Репьев В. В. Общая методика преподавания математики — М. : Учпедгиз, 1958. — 224 с.

В. В. РЕПЬЕВ

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

УЧПЕДГИЗ 1958

В. В. РЕПЬЕВ

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Пособие для педагогических институтов

Утверждено Министерством просвещения РСФСР

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва - 1958

ОТ АВТОРА

В 1955 г. Горьковское книжное издательство выпустило небольшим тиражом мою книгу «Очерки по общей методике математики». Не лишенная недостатков, она нашла довольно теплый прием в педагогических кругах. Ею заинтересовалось Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Получены были обстоятельные рецензии Е. С. Березанской, Л. М. Фридмана и др. «Очерки» с учетом пожеланий и критических замечаний легли в основу настоящей книги.

Проблемы общей методики преподавания математики не нашли широкого освещения в советской методической литературе. Такое обстоятельство оправдывает появление в свет этой книги. Автор надеется, что она будет полезна учителям математики средней школы и студентам физико-математических факультетов, готовящимся к педагогической деятельности.

Познание пространственных форм и количественных отношений материального мира, с которым имеет дело преподавание математических дисциплин в школе, не может осуществляться в отрыве от научной методологии. Марксистско-ленинская теория является методологической основой изучения и развития методических проблем. Такова первая особенность книги.

Осуществление политехнического обучения привело к значительной перестройке всей работы средней школы: изменяются учебные планы, вводятся новые программы, заменяются учебники, активизируются методы обучения и т. д. В книге проблемы методики преподавания математики рассматриваются с учетом интересов политехнического обучения. Это вторая особенность книги.

Школьное обучение математическим дисциплинам является сложным психологическим процессом. При изучении и развитии методических проблем автор опирается на достижения современной психологии и учение И. П. Павлова о высшей нервной деятельности. Такова третья особенность книги.

В значительной мере в книге нашел обобщение богатый передовой опыт, накопленный нашей школой за сорок лет ее существования.

Автор глубоко благодарен В. М. Брадису и Е. С. Березанской за обстоятельные рецензии на рукопись, которые дали возможность внести много изменений, улучшающих книгу. Автор благодарит Л. М. Фридмана, критический отзыв которого был использован при работе над рукописью.

Все пожелания и замечания о книге автор просит направлять по адресу: Москва—3-ий проезд Марьиной рощи, д. 41, Учпедгиз, редакция математики.

Глава I

ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Предмет методики преподавания математики

Чтобы выяснить место методики преподавания математики среди научных дисциплин, надо установить, что является предметом ее изучения и исследования, указать ближайшую более общую по отношению к ней науку и выяснить методы, какими решаются свойственные ей проблемы.

Советская педагогика — наука о коммунистическом воспитании подрастающего поколения в условиях социалистического общества. Она имеет дело с воспитанием, образованием и обучением.

Советская методика преподавания математики имеет своим предметом математическое образование, обучение основам математической науки и неразрывно связанное с ним воспитание подрастающего поколения в условиях средней общеобразовательной советской школы.

Значит, методика преподавания математики принадлежит к циклу педагогических научных дисциплин. Предмет ее исследования значительно уже, чем предмет исследования педагогики. Последняя является по отношению методики ближайшей родовой наукой.

В методике преподавания математики прежде всего рассматриваются цели математического образования в советской средней общеобразовательной школе с политехническим обучением. Затем существенный интерес представляет содержание математического образования. Изучаются и разрабатываются принципы преподавания математики, методы и приемы обучения основам математической науки, пути и способы изложения на уроках отдельных разделов и глав, а также организация и проведение разнообразных внеклассных занятий учащихся по математике.

В советской методике преподавания математики проблемы рассматриваются и разрабатываются на основе марксистско-ленинской теории. Образование вообще и математическое образование в частности является одной из надстроек над экономическим базисом. Необходимость укрепления социалистического базиса определяет цели, содержание и характер общего среднего образования и математического образования в средней общеобразовательной школе. Ярким примером определяющего влияния социалистического экономического базиса на общее среднее образование яв-

ляетея требование нашего социалистического общества о политехническом обучении. Это привело, в частности, к необходимости пересмотра целей математического образования, его содержания и методов обучения.

Математическое обучение есть организованное в школьных условиях познание подрастающим поколением пространственных форм и количественных отношений материального мира, познание основ математической науки. Это учебное познание, естественно, должно опираться на научную теорию познания. Марксистско-ленинская теория отражения дает возможность правильно решить главные методические проблемы, в частности она является основой принципов и методов обучения математическим предметам.

Таким образом, советская методика преподавания математики есть педагогическая научная дисциплина, в которой на основе марксистско-ленинской теории изучаются и разрабатываются проблемы математического образования, обучения и неразрывно связанного с ним воспитания в условиях советской средней общеобразовательной школы.

2. Методика преподавания математики и педагогика

Человеческое общество начало заниматься проблемами воспитания и обучения уже в глубокой древности. Постепенное расширение и дифференциация проблем педагогики приводит к тому, что в ней начинают рассматриваться и разрабатываться вопросы математического образования и обучения. Основоположник педагогической науки Ян Амос Коменский (1592—1670) в «Великой дидактике» уделяет внимание вопросам начального обучения арифметике1. Организатор народных училищ в России, видный дидакт Ф. И. Янкович (1741—1814) напечатал в 1783 г. «Руководство учителям первого и второго класса народных училищ», в котором освещаются и вопросы обучения счету. Значит, педагогика по отношению методики является не только ближайшей родовой, но и материнской наукой: начальные методические положения возникают и развиваются в педагогике.

Практика обучения в школах требовала учебников. В них в той или иной мере отражались и накоплялись методические положения.

Методика преподавания математики выделилась из педагогики в трудах видного педагога швейцарца И. Г. Песталоцци (1746—1827), который в 1803 г. напечатал книгу «Наглядное учение о числе»2. Таким образом, методика преподавания математики

1 Я. А. Коменский, Избранные педагогические сочинения, т. 1—3, под ред. А. А. Красновского, М., 1939—1941.

2 И. Г. Песталоцци, Избранные педагогические сочинения, т. 1—3, М., 1909—1912.

с начала XIX столетия становится отдельной самостоятельной дисциплиной.

В настоящее время методика преподавания математики всего полнее связана с дидактикой. В дидактике рассматривается теория обучения в школе — задачи, сущность, содержание, организация, средства и методы обучения. В методике рассматриваются те же проблемы в более узком объеме. Значит, дидактика является одним из источников, из которого методика получает основные принципиальные положения об обучении, которые используются при изучении и разработке проблем преподавания математики.

Кроме того, из дидактики заимствуются методы исследования методических проблем.

В свою очередь развивающаяся методика преподавания математики, имеющая дело с конкретными проблемами, опирающаяся на практику обучения, дает в распоряжение педагогики свои достижения, обогащает дидактику.

3. Методика преподавания математики и математика

Народы древнего мира, например вавилоняне, египтяне, китайцы, за 3000—2000 лет до н. э. обучали детей началам арифметики и некоторым сведениям из геометрии. В VII—V веках до н. э. в Греции, в Афинах мальчики с семилетнего возраста обучались наряду с чтением и письмом счету. У римлян во II веке до н. э. имелись элементарные школы, в которых дети также обучались счету. Римляне этого времени разработали систему учебных предметов, знание которых считалось необходимым для господствующего класса. В эту систему входили грамматика, риторика, диалектика, арифметика, геометрия, астрономия и музыка. Эти «семь свободных искусств» служили основой учебных планов и в течение средних веков. Таким образом, арифметика и геометрия включались в учебные планы школ в весьма далекие от наших дней эпохи. В то время математика состояла из двух дисциплин — арифметики и геометрии. Основы их и нашли место в учебных планах общеобразовательных школ. За длинный период древних и средних веков содержание арифметики и геометрии как предметов обучения многократно изменялось.

Элементарная алгебра выделяется в отдельную дисциплину в работах знаменитого математика Средней Азии Мухаммеда из Хорезма. Под влиянием возрастающих требований к математическому образованию со стороны капиталистического общества она вводится в преподавание в качестве дополнительного раздела арифметики. В 1768—1769 гг. была напечатана «Универсальная арифметика» гениального математика Л. Эйлера (1707—1783). В ней завершается развитие элементарной алгебры. Эта книга служила долгое время образцом для составления учебников. Со второй половины XVIII века алгебра становится отдельным предметом школьного обучения.

Тригонометрия долгое время являлась вспомогательной вычислительной главой астрономии, а позднее и геодезии. В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (1669—1739), напечатанной в 1703 г., имеется особый отдел, посвященный тригонометрии. Этот отдел носит сугубо практический характер. На протяжении первой половины XVIII столетия школьные курсы тригонометрии имели практическое направление: основным вопросом являлось решение треугольников. В 1748 г. Эйлер в книге «Введение в анализ бесконечно малых» дал стройную теорию тригонометрических функций и усовершенствовал символические обозначения. Это открывает возможности составлять более совершенные учебники по тригонометрии. Тригонометрия становится отдельной дисциплиной учебного плана школ.

Под влиянием бурно развивающегося производства, техники, естествознания во второй половине XIX века усиливаются стремления к реальному образованию. Буржуазия была глубоко заинтересована в таком образовании. В это же время было выдвинуто требование о включении в учебные планы средних школ основ высшей математики — аналитической геометрии и математического анализа. В начале XX столетия на Западе и в России эти новые математические предметы были включены в учебные планы некоторых типов средних школ.

Таким образом, развивающаяся и обогащающаяся математика оказывает существенное влияние на учебные планы средних общеобразовательных школ в отношении увеличения числа математических предметов.

Однако этим оно не исчерпывается: развивающиеся и совершенствующиеся методы математики приводят к изменению методов, применяющихся при изложении математических предметов в школе. Например, в наши дни изменяется изложение тригонометрии в советской школе: в основу его кладется вектор и его проекции на оси прямоугольной системы координат. Такая перестройка преподавания тригонометрии дает возможность повысить идейное содержание этого школьного предмета и представляет интерес в свете задач политехнического обучения1.

Под влиянием развития математики меняется и содержание математических предметов. Например, одной из ведущих идей элементарной геометрии является преобразование фигур. Это находит отражение в новых программах нашей школы и оказывает влияние на учебную литературу.

4. Методика преподавания математики и другие науки

Обучение математическим предметам является весьма сложным психологическим процессом: оно опирается на многие функ-

1 В. Г. Чичигин, Методика преподавания тригонометрии, Учпедгиз, 1954. С. И. Новоселов, Тригонометрия, Учпедгиз, 1956.

ции сознания. При обучении используются восприятия, как основа познавательного процесса; обучение опирается на представления и память. Существенна роль речи. Для обучения математике особое значение имеет мышление в широком смысле слова и мышление в понятиях. Значительна роль воображения и в особенности пространственного; имеют значения влечения и интересы, внимание и воля. Обучение математике не только использует разнообразные функции сознания, но и ставит задачу разумно изменять сознание, преобразовывать и развивать его согласно с целями математического образования. В силу этого при изучении и разработке методических проблем необходимо учитывать достижения психологии и ее законы; особо большое значение имеет педагогическая психология1.

Значительный интерес для методики преподавания математики представляет современная физиология высшей нервной деятельности. И. П. Павлов говорил, что «...наше воспитание, обучение, дисциплинирование всякого рода, всевозможные привычки представляют собой длинные ряды условных рефлексов»2. В процессе обучения математике правила определения понятий3, различные правила доказательств теорем4, решения задач и многое другое становятся рядами условных рефлексов. Эти ряды оказываются прочными, если сознательно, систематически и настойчиво вырабатываются у учащихся; они получаются слабыми и ненадежными, если к развитию их относятся поверхностно, без должного внимания.

И. П. Павлов установил, что «...основная и самая общая деятельность больших полушарий есть сигнальная с бесчисленным количеством сигналов и с переменной сигнализацией»5. Первые сигналы связаны с вещами и явлениями материального мира, исключая слово. Однако при обучении особо большое значение имеет слово — сигнал первых сигналов (вторая сигнальная система). В преподавании математики весьма широко применяются словесные сигналы (например, ромб, логарифм, косинус) и символические сигналы (например, тгг2, у^/ (х), tgx). Успех обучения зависит от своевременного обогащения второй сигнальной системы учащихся.

При обучении математическим предметам широко используются разнообразные формы и законы мышления. Ф. Энгельс указывает: «Элементарная математика, математика постоянных величин, движется, по крайней мере в общем и целом, внутри гра-

1 М. Н. Шардаков, Очерки психологии школьника, Учпедгиз, 1955. Н. А. Менчинская, Психология обучения арифметике, Учпедгиз, 1955. В. И. Зыкова, Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний, Учпедгиз, 1955.

2 И. П. Павлов, Избранные труды, изд. АПН РСФСР, 1951, стр. 409.

3 См. гл. III, п. 5 этой книги.

4 См. гл. VI, п. 11.

5 И. П. Павлов, Избранные труды, изд. АПН РСФСР, 1951, стр. 322.

ниц формальной логики; математика переменных величин, самый значительный отдел которой составляет исчисление бесконечно-малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям»1. В школьной математике в значительной мере учащиеся имеют дело с постоянной величиной. Поэтому элементарная логика имеет большое значение в преподавании — в процессе выработки элементарных правил научного мышления.

Для обучения имеет значение история математики. В истории вскрывается зависимость возникновения и развития математических знаний от практической деятельности человека, от развития средств производства и прежде всего орудий труда, от естествознания и техники. История естественно приводит к материалистическим взглядам на предмет и метод математической науки. Из истории черпается тот материал, который учитель в виде исторических справок сообщает учащимся на уроках и который используется во многих видах внеклассных занятий учащихся. В иных случаях история математики подсказывает методические пути целесообразного изложения тех или других положений на уроках.

5. Пути решения методических проблем

Важнейшим источником решения методических проблем является практика советской школы по обучению математическим предметам. Наши лучшие учителя и методисты в практической деятельности разрешили и разрешают многие проблемы преподавания математики. Опыт суммируется и обобщается на страницах журнала «Математика в школе», в отдельных книгах, издаваемых Учебно-педагогическим издательством Министерства просвещения, издательством АПН РСФСР, педагогическими институтами, республиканскими, краевыми и областными издательствами. Одним из путей собирания и накопления опыта являются ежегодно организуемые педагогические чтения, проводимые в городах, областях, республиках, институте методов обучения АПН РСФСР.

Крупнейшие специалисты по методике преподавания математики прошлого сделали существенные вклады в развитие методики, представляющие интерес и для советской школы. В советской методике подвергается пересмотру и ревизии «буржуазное наследство» в этой области и берется из него все ценное и доброкачественное, отбрасывается все сомнительное и ложное.

Для исследования отдельных методических проблем — проверка новых учебных программ, новых учебников, методической ценности наглядных пособий, сравнительной эффективности изложения отдельных глав, оценки методов и приемов учебно-воспитательной работы — применяются наблюдение и эксперимент. Путем

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 127.

наблюдения и эксперимента собирается и накапливается фактический материал.

Наблюдения выполняются целенаправленно и по плану. Они проводятся на уроках математики над учащимися всего класса или над отдельными учениками. Результаты наблюдений фиксируются в особых журналах или дневниках.

В эксперименте подлежащее изучению явление вызывается на уроке педагогом. Рекомендуется применять «естественный эксперимент», особенность которого заключается в том, что при нормальном проведении учебных занятий учитель ставит ученика или всех учащихся класса в такие условия, при которых легко проявляется и наблюдается интересующее исследователя явление.

Опираясь на результаты наблюдения и эксперимента, дается описание и объяснение изучаемого и намечается методическая закономерность исследуемого явления.

6. Из истории развития методики математики в России

В начале XVIII века в России при старых феодально-крепостнических отношениях начинают развиваться ремесла и промышленность, расширяться торговля. Так как реформы требовали новых кадров, то Петр I организует подготовку специалистов и заботится о профессиональном и общем образовании. В первой половине XVIII века развиваются школы реального типа; в них уделялось большое внимание преподаванию математики.

Возникает необходимость в учебной литературе по математике. Во второй половине XVIII века эта проблема получила частичное решение. Методическая школа Л. Эйлера создала учебники арифметики, алгебры и тригонометрии. Перед этой школой стояли задачи отказаться от догматизма, преодолеть западный формализм, упростить изложение, сблизить школьную математику с практикой и разработать русскую терминологию. Л. Эйлер печатает «Руководство к арифметике» (1738—1740), «Универсальную арифметику» (1768—1769). Эти книги явились прототипами учебников систематического курса арифметики и курса алгебры.

Талантливый ученик Л. Ф. Магницкого, видный деятель просвещения XVIII века Н. Г. Курганов (1726—1796) создал «Универсальную арифметику» (1757), «Арифметику или числовник» (1771), которые были популярными учебниками второй полоеины XVIII века. Курганов использовал в своих учебниках конкретно-индуктивный метод.

Ученик Эйлера М. Е. Головин составил книгу «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789). Это первый русский учебник тригонометрии.

Другие представители школы Эйлера — С. Я. Румовский, С. К. Котельников, Н. И. Фусс — также составили школьные учебники.

В XVIII веке в России высоко ценятся «Начала» Евклида: эта книга три раза переводится на русский язык. Один из переводов принадлежит Курганову. Попытки создать учебники геометрии делались, но они были неудачными.

Во второй половине XVIII века возникают первые народные училища. Появляются первые учебники для этих училищ. Широкое распространение получила «Краткая арифметика» М. Меморского, изложенная в катехизической форме. Таким образом, в обучение арифметике вводится метод беседы.

Для народных училищ появился первый учебник геометрии (1786). Автор не указан. Есть основания полагать, что учебник написан М. Е. Головиным. В учебнике на первом месте — идея наглядности, широкое применение геометрии в практике, в частности в землемерии.

Итак, в XVIII веке в России появились видные педагоги-математики, создавшие учебную литературу. Это существенная предпосылка к зарождению русской методики преподавания математики.

В XIX веке растет сеть школ, появляются учебные заведения по подготовке педагогических кадров, продолжается работа по составлению учебников.

В 1831 г. Ф. И. Буссе печатает «Руководство к преподаванию арифметики для учителей». Это первая методическая книга в России.

Настоящим создателем русской методики арифметики для народной школы является П. С. Гурьев. В книге «Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям» (1839) и других методических работах Гурьев показал, что он придает большое значение философским основам методики; критерием правильности решения методических проблем считает опыт и практику. Он рекомендует вести учащихся от чувственного к отвлеченному, от частного к общему; он сторонник такого преподавания, которое будит интерес, опирается на самодеятельность. Он строит обучение арифметики на базе передовых идей дидактики и психологии. П. С. Гурьев является одним из первых издателей педагогических журналов.

Великий русский ученый Н. И. Лобачевский (1792—1856) — носитель прогрессивных педагогических и методических идей, стоит за единую общеобразовательную государственную школу. Он сторонник образования на базе естественных наук, придает большое значение связи математики с техникой. В 1830 г. Лобачевский пишет «Наставление учителям математики в гимназиях». Проблемы методики он решает с материалистических позиций. В «Наставлении» идет речь о значении сознательности, наглядности, систематичности, научности обучения, о воспитывающем обучении, о необходимости учитывать возрастные особенности детей.

Во второй половине XIX века множатся ряды методистов. Трудами А. И. Гольденберга, В. А. Латышева, С. И. Шохор-Троцкого

и других педагогов создана русская прогрессивная школа методики арифметики.

Первый труд по методике преподавания геометрии принадлежит А. Н. Острогорскому — «Материалы по методике геометрии» (1883). Эта книга — обстоятельная методика систематического курса геометрии. В этот период успешно разрабатывается методика наглядного и сокращенного курсов геометрии, создаются учебники геометрии. Трудами С. Е. Гурьева, А. Н. Острогорского, В. А. Латышева закладываются основы методики геометрии.

Второй половине XIX века принадлежат первые работы по методике преподавания алгебры и ставится вопрос о введении в учебные планы средней школы начал математического анализа. Труды А. Н. Страннолюбского, В. П. Ермакова, В. П. Шереметевского, М. Г. Попруженко, К. Ф. Лебединцева создают основы методики преподавания алгебры и основ анализа1.

В советское время растут кадры, занимающиеся проблемами методики преподавания математики; в решение методических проблем включаются многие видные математики нашей страны. В наше время созданы особо благоприятные условия для развития методики преподавания математики.

7. Деление методических дисциплин

В настоящее время советская методика математики представляет довольно разветвленную область знания. Она делится на несколько более узких дисциплин. Историческое развитие нашей общеобразовательной школы обусловило следующее деление: 1) на методику преподавания математики в начальной школе (I—IV классы) и 2) на методику преподавания математики в средней школе (V—X классы). Такое деление носит условный характер, так как многие проблемы представляют интерес и с точки зрения начального обучения, и с точки зрения среднего образования.

Методика преподавания математики в начальной школе представляет наиболее развитую часть нашей дисциплины. Она в свою очередь делится на методику начальной арифметики и методику наглядной геометрии. Методика преподавания математики в средней школе делится на следующие части: 1) общую методику математики, 2) методику арифметики, 3) методику алгебры, 4) методику геометрии и 5) методику тригонометрии2.

1 А. В. Ланков, Из истории развития передовых идей в русской методике математики, Учпедгиз, 1951. В. Е. Прудников, Русские педагоги-математики XVIII—XIX веков, Учпедгиз, 1956.

2 Вопросы общей методики математики находят краткое освещение в книгах: С. Е. Ляпин, Методика преподавания математики, Учпедгиз, ч. 1, 1952; ч. 2, 1956; В. М. Брадис, Методика математики, Учпедгиз, 1954.

Глава II

ЦЕЛИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

1. Задачи советской средней школы

Общественное воспитание и обучение имеет целью подготовить подрастающее поколение к продолжению и совершенствованию общественного производства и строительства, необходимых для дальнейшего развития социалистического общества, для постепенного перехода к коммунизму. Общественное воспитание и обучение имеет конечной целью расширенное в количественном и качественном отношении воспроизводство рабочей силы в самом широком смысле слова. Цели, содержание, организация и методы воспитания и обучения определяются общественными отношениями людей, развитием этих отношений и нормируются государственной властью.

Советская средняя общеобразовательная школа с политехническим обучением является первой ступенью в подготовке подрастающего поколения к плодотворному участию в общественном производстве и строительстве. Цели школы —подготовить всесторонне развитых, культурных, образованных, знакомых с основами производства, умеющих использовать теоретические знания в практике, высокоидейных, стойких и бодрых, беззаветно преданных Советскому государству и КПСС строителей и защитников коммунизма; подготовить молодежь к свободному выбору профессии, к непосредственному включению в общественное производство, строительство, сельское хозяйство или к продолжению обучения в технических училищах, техникумах и других специальных школах, в высших учебных заведениях.

Цели математического обучения определяются теми основными задачами, которые на данном историческом этапе поставлены государственной властью перед советской средней общеобразовательной школой.

Чтобы разумно и целеустремленно излагать основы математических дисциплин учащимся средней советской школы, чтобы правильно и эффективно воспитывать, чтобы целесообразно организовать внеклассные занятия по математике и умело руководить ими, преподаватель должен полно, всесторонне и глубоко знать истинные цели преподавания математики. Совершенное знание задач обучения математическим предметам является одним из важнейших факторов, направляющих педагогическую деятель-

ность учителя математики в советской школе. Чтобы не утрачивать ясного представления этих целей, учителю рекомендуется время от времени возвращаться к ним: это помогает вести обучение с должной принципиальностью, не отрывать его от задач воспитания, избежать кустарщины и обмельчания, неприемлемых методов и приемов.

Учитель математики является агитатором за математическое образование, пропагандистом математических знаний среди учащихся. Чтобы умело и доступно разъяснять цели обучения математике, учитель должен хорошо знать значение этой науки и цели математического образования.

2. Прочное усвоение основ математической науки — необходимое звено политехнического обучения

Три четверти века тому назад Ф. Энгельс писал: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал»1.

С тех пор математика продолжала развиваться и обогащаться новыми научными дисциплинами, новыми теориями и методами исследования; значительно расширились понятия о пространственных формах и количественных отношениях; однако предмет математики, указанный Энгельсом, не изменился. В наши дни математику определяют так: математика — наука о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира.

Чтобы изучить формы и отношения в их чистом виде, надо отказаться от их конкретного материального содержания, устранить его как безразличное для изучения. А это означает, что одним из основных методов математики является абстракция — отвлечение пространственных форм и количественных отношений от их материального содержания. Абстракция дает возможность познать конкретное наиболее совершенно и глубоко.

Математика возникла в глубочайшей древности под влиянием практических нужд человеческого общества. Она развивалась и развивается под влиянием практики. Практические потребности общества оказывают непосредственное влияние на развитие математики, а также сложное опосредствованное влияние через другие науки — механику, физику, астрономию, геодезию, технические дисциплины. В частности, на развитие математики существенно влияет развитие способов производства, орудий производства, строительство народнохозяйственных сооружений.

При проектировании современных индустриальных орудий производства, разнообразных средств транспорта и связи, при проектировании фабрик и заводов, электростанций, обводнительных и

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 37.

оросительных сооружений, городов и поселков со сложным современным хозяйством математика находит самое широкое применение. Претворение проектов в жизнь также нуждается в использовании математических знаний.

Математика —основа современной технической культуры.

Основной целью преподавания математики в советской средней школе является сообщение учащимся знаний об элементарных пространственных формах и количественных отношениях, предусмотренных программами математики, сообщение учащимся основ математической науки — основ знаний по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии. Преподавание основ математики является существенной составной частью политехнического обучения. Недаром в постановлении ЦК ВКП(б) указывается: «Всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики,., представляет собой грубейшие извращения идей политехнической школы»1.

В математике накоплен богатейший запас фактов о пространственных формах и количественных отношениях. В силу своей общности математические факты отличаются абстрактностью и вместе с тем могут широко применяться в практике. Задача обучения заключается в том, чтобы сообщить школьникам элементарные математические факты.

Среди математических фактов особо важное значение имеют правила-предписания о разнообразных вычислительных операциях, т. е. алгорифмы. Учащиеся должны правильно, быстро и изящно вычислять, проверять свои расчеты, применять алгорифмы к решению задач, в том числе и практических. Обучение должно развить у учащихся стремление к изящным вычислениям.

В методической литературе встречаются высказывания, которые или приумаляют, или даже отрицают значение фактического материала в математическом образовании. Такие взгляды ошибочны, ибо они отрывают содержание от формы, пренебрегают содержанием и переоценивают форму.

3. Привитие умений и навыков практического применения математики

Элементарные математические факты, о которых идет речь в школьных предметах, а также математические методы находят разнообразнейшие применения в социалистическом хозяйстве, производственной деятельности, строительстве и быту трудящихся. Любое прямое измерение с последующей обработкой его результатов, любое косвенное измерение, статистический учет, любой

1 «О начальной и средней школе». Постановление ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г.

проект орудий производства, транспорта, строительства, реализация проекта является применением математических фактов и методов.

Политехническое обучение необходимо приводит к требованию научить школьников применять элементарные математические факты и методы в решении практических, доступных осмысливанию проблем.

Богатства математики используются во многих отраслях научного знания. И прежде всего достижения математики и ее методы применяются в других науках о неживой природе: механике, физике, астрономии, геодезии. В этих науках находят использование многие теории и методы математики.

История наук о неживой природе показывает, что с их развитием математические методы находят в них все более широкое и глубокое применение. Например, в XX веке значительно усиливается использование математики в химии: в одних отраслях этой науки интенсивно применяется математический анализ, в других — достижения геометрических дисциплин.

Математические методы находят место и в некоторых научных дисциплинах о живой природе, однако использование этих методов ограничено.

Нельзя обойтись также без математики в некоторых социальных дисциплинах. К. Маркс в письме к Ф. Энгельсу от 11 января 1858 г. пишет: «При разработке основных начал экономики меня так чертовски задерживают ошибки в подсчетах, что с отчаяния я снова засел за быстрое прохождение алгебры. Арифметика никогда не давалась мне. Но на обходном пути алгебры я очень скоро справлюсь»1. За алгеброй Маркс штудирует аналитическую геометрию и затем дифференциальное исчисление. Ф. Энгельс свидетельствует, что «Маркс был основательным знатоком математики...»2. В результате занятий математикой К- Маркс исследовал процесс получения производной и развил законченную концепцию диалектического развития дифференциального исчисления из алгебры3.

Деятельность К. Маркса — создателя научной политической экономии — ярко показывает, что математические методы полезны и в социальных науках.

Одна из задач математического образования заключается в том, чтобы вооружить подрастающее поколение основами математических методов, использующихся в других научных областях и в особенности в науках о неживой природе. Преподавание должно вскрыть на доступных учащимся примерах, на целесообразно подобранных задачах это значение математических дисциплин.

1 Цитировано по статье С. Яновской «О математических рукописях К. Маркса», журн. «Под знаменем марксизма», 1933, № 1.

2 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 10.

3 См. указанную выше статью С. Яновской.

4. Формирование основ марксистско-ленинского мировоззрения

Важная задача советской средней школы — формирование у молодежи основ целостного научного мировоззрения, а таким мировоззрением является диалектический материализм. Эта задача должна реализоваться при обучении каждому школьному предмету. Значит, и преподавание математики имеет существенную задачу — формировать у учащихся основы марксистско-ленинского мировоззрения.

Познание есть непосредственное и опосредствованное отражение человеческим мозгом материального мира. В. И. Ленин прекрасно раскрывает процесс познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»1. Обучение математике должно идти по этому же пути. Ощущение, живое активное восприятие дают возможность школьникам накапливать запас представлений. На основе восприятий и представлений создаются понятия, устанавливаются связи между ними — математические предложения, излагаются теоремы, т. е. совершается переход к абстрактному мышлению. Затем учащиеся применяют полученные знания на практике. Марксистско-ленинская теория познания, являясь методологической основой всего обучения, дает возможность формировать у подрастающего поколения научное мировоззрение.

Рассматриваемая задача математического образования недооценивается в методической литературе; только в небольшом числе журнальных статей она находит некоторое освещение. К сожалению, эту цель нередко забывает и учитель, что приводит к снижению ценности математического образования.

Если преподаватель на уроках покажет, что основные (первичные) математические понятия абстрагируются из материального мира, что последующие понятия вводятся под воздействием этого мира, что в аксиомах непосредственно или опосредствованно отражается многовековая практика человечества, что все богатства, накапливаемые в математике, также создавались и создаются под влиянием практики, то это будет способствовать формированию основ материалистического миропонимания.

Если в процессе обучения широко используется понятие о переменной величине, разумно культивируется понятие о функции, вводится понятие производной и показывается ее применение, то такое обучение способствует развитию диалектического мышления. В этом отношении понятие о функциональной зависимости представляет особый интерес: являясь одним из важнейших понятий современной математики, оно дает умения и навыки мыслить величины в изменчивости и во взаимной связи.

1 В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 146—147.

Если, обучая математике, преподаватель дает учащимся доступные элементарные умения и навыки в практическом использовании математических знаний, показывает широчайшие возможности применения математики в общественном производстве и строительстве, демонстрирует на конкретных примерах значение математики для некоторых других областей научного знания,— то все это окажет влияние на формирование у подрастающего поколения научного миропонимания.

Конечно, этим не исчерпываются все возможности обучения математике в формировании у учащихся основ марксистско-ленинского мировоззрения. Эти возможности при разумном обучении весьма широки. Важно, чтобы педагог знал эту существенную задачу математического образования, помнил о ней и использовал все возможности для ее выполнения.

5. Развитие логического мышления

В процессе обучения учащиеся встречаются с разнообразными формами и законами логического мышления.

Учащиеся познают значительное количество математических понятий. Одни из них — основные (первичные) — вводятся путем абстракции и в иных случаях косвенно определяются через аксиомы, другие — определяются. Учащиеся знают большое количество определений, знакомятся с их структурой, применяют правила определений; занимаются делением понятий и практически познают, как строятся классификации.

При обучении применяются суждения. Учащимся приходится отличать различные виды математических суждений и в некоторой мере интересоваться их структурой.

При изучении доказательств теорем и выводов правил учащимся приходится широко пользоваться умозаключениями, применять разнообразные методы доказательств, воспроизводить доказательства, прослушанные на уроке или изученные по учебнику, находить новые доказательства. При решении задач школьник должен найти план решения, затем выполнить решение, а это требует четких рассуждений, логических обоснований.

В преподавании математических дисциплин эти виды умственной деятельности учащихся встречаются очень часто, применяются систематически; те или другие из них имеют место на каждом уроке математики.

Это приводит к утверждению, что преподавание математики является замечательной школой для развития логического мышления учащихся.

Конечно, развитие логического мышления осуществляется в преподавании многих других учебных предметов. Однако обучение математике имеет в этом отношении явные преимущества перед другими предметами. В преподавании математики формы

логического мышления особо выпукло выступают на первый план, при этом используется все богатство этих форм, все многообразие их. Ученики познают логические методы в их конкретном применении, в их активном использовании. Школьные математические предметы содержат богатый материал для демонстрации всех форм логического мышления, при этом использование этих форм отличается особой четкостью и доступностью. Все это и делает преподавание математики особо действенным в отношении развития логического мышления учащихся.

Мнение, что изучение математики является могучим средством «шлифовки логического мышления», находит единодушное признание. Однако в практике преподавания эта задача многими учителями реализуется далеко не достаточно. Необходимым условием эффективного преподавания математики является знание учителем логики: без этого не может быть полноценного преподавания.

Иногда главную цель преподавания математики, особенно геометрии, видят в усвоении на математическом материале форм логического мышления. Эта точка зрения неприемлема, ибо отрывает форму от содержания, переоценивает форму, недооценивает материальную и переоценивает формальную цель образования.

В значительной мере процесс обучения математике строится так, что новые для учащихся факты доказываются, решение задач обосновывается. Учитель постоянно и неизменно воспитывает у учащихся потребность в мотивировке всех утверждений, потребность в доказательстве. Нет другого школьного учебного предмета такого, как математика, в котором столь часто ставится вопрос: «На каком основании?». Ученика приучают ставить этот вопрос себе по поводу своих утверждений, товарищам и учителю по поводу их высказываний; ученика приучают ничего не принимать без обоснования.

В силу этого в ученике воспитывается критическое отношение к своим суждениям, к их обоснованию, а вместе с тем воспитывается строгое отношение к чужим утверждениям, в том числе и к утверждениям преподавателя, а самокритика и критика — главный метод, с помощью которого вскрываются и преодолеваются недостатки и который побуждает искать новое, рождает это новое.

В связи с этим отметим, что школьника приучают контролировать свои размышления и вычисления. Ошибка, допущенная в одном месте, накладывает свой отпечаток на последующие выкладки и портит окончательный результат, делая его ложным. Одним из средств борьбы с ошибками является самоконтроль и контроль при выполнении письменных математических упражнений. Учитель ведет обучение так, чтобы приучить учащихся к контролю, к проверке; он показывает учащимся различные способы и приемы контроля в разнообразных вычислениях, приучает

находить в необходимых случаях новые пути проверки, прививает навык считать, что задача решена, если решение проверено. Умение и навыки контролировать математические выкладки имеют значение в производстве, в практике, всюду, где только используются математические методы. Другими словами умения и навыки контролировать вычисления имеют политехническое значение.

6. Познание методов математики

В математике используются многие частные методы научного исследования. В одних случаях они применяются в общелогических формах, в других — в специфических формах, которые определяются особенностями математических дисциплин. Неполная индукция с характерным для нее заключением от частного к общему и аналогия играют роль эвристических методов при развитии математических дисциплин; полная индукция находит применение как вспомогательный метод при доказательстве теорем1. Дедуктивный метод имеет особое значение: он используется при изложении математических теорий, достигших на данном этапе некоторого завершения. Роль дедуктивного метода настолько значительна, что математику называют дедуктивной наукой2. Широко используются разнообразные формы аналитического метода. Синтетический метод является ведущим методом для некоторых математических дисциплин3. При установлении некоторых предложений имеет значение метод математической индукции.

Указанные частные методы научного исследования находят место и в школьных математических предметах. Одна из целей преподавания математики заключается в том, чтобы научить учащихся понимать сущность применяемых методов, сознательно пользоваться ими, ввести учащихся в элементы методологии математики.

Эта цель математического образования в методической литературе обычно не отмечается. Она часто недооценивается, а иногда и совершенно опускается в практике преподавания. Такая позиция ошибочна. Математическое образование можно считать полноценным только в том случае, когда учащиеся не только запомнят доказательства теорем, предусмотренных программой, не только приобретут умения и навыки в решении задач, но осознают основные методы, которые применяются в математических предметах, и научатся использовать их в доступных для их развития вопросах.

В математике особо систематически применяется дедуктивный метод. Основным звеном его является заключение от общего

1 О неполной индукции см. гл. IV, п. 7—9; об аналогии ту же главу, п. 12—13; о полной индукции ту же главу, п. 10—11.

2 О дедукции см. гл. IV, п. 1—4.

3 Об аналитическом и синтетическом методах см. гл. VII и VIII.

к частному на основании разумно подобранных посылок. Математическому доказательству придают такую форму, что оно состоит из цепи или сети умозаключений, связанных между собой и преследующих цель обоснования теоремы.

Значит, изучение математических предметов дает возможность учащимся познакомиться с дедуктивным методом, приобрести начальные навыки в его применении.

7. Развитие творчества и пространственного воображения

Умелое обучение математике дает богатейший материал для развития познавательных сил учащихся и элементов творчества. Обучение организуется так, что учащиеся под руководством учителя проявляют активность и инициативу в «открытии» правил и теорем, в отыскании доказательств, в решении разнообразных задач. В младших классах «открытия» носят преимущественно индуктивные формы: в них обобщаются результаты наблюдений и опытов; позднее учащиеся под руководством учителя ищут и находят доказательства теорем, планы решения задач и приводят их в исполнение. Учащиеся нередко получают задания: доказать, построить, решить, вывести. Выполнение таких заданий также требует активности, инициативы и элементов творчества, а значит, способствует развитию этих ценных качеств.

Не слишком ли специфично такое математическое творчество? Стимулирует ли оно развитие творчества в других областях? Всюду, где используются математические методы — в значительной части естествознания, в технике,— инициатива и творчество, приобретенные при обучении математическим предметам, окажут плодотворное влияние на творчество и в этих областях знания.

Пространственное воображение является особым видом воображения. Его сущность заключается в том, что сознание, используя непосредственно данные пространственные образы, преобразует их в новые пространственные образы, создает новую пространственную ситуацию.

Пространственное воображение играет существенную роль во многих науках (механике, физике, астрономии, химии), в технических дисциплинах (машиностроении, в промышленном и гражданском строительстве), в искусстве (архитектуре, скульптуре). Пространственное воображение необходимо как в творческом процессе в науках, в технических дисциплинах и в искусстве, так и при изучении основ наук и искусств.

В условиях жизни СССР особое значение имеют разнообразные виды конструктивного1 творчества, а необходимой предпосылкой успешности его является хорошо развитое пространственное воображение.

Изучение математики является хорошей школой развития пространственного воображения. Преподавание наглядной геометрии, систематического курса элементарной геометрии, особен-

но второй его части — стереометрии и тригонометрии,— развивает пространственные представления, побуждает мыслить пространственными образами, преобразовывать одни образы в новые пространственные образы, создавать ситуации.

8. Воспитание любви к родине

Одна из задач учителя математики заключается в воспитании любви к социалистической родине, к советскому народу; в воспитании советского патриотизма.

Если преподаватель на уроках в исторических справках расскажет, что народы нашей страны (армяне, таджики, узбеки) уже во второй половине первого тысячелетия нашей эры обладали значительными математическими знаниями, превосходящими знания европейских народов того времени, если он сообщит исторические справки о видных ученых этих народов и их достижениях в математических науках,— он будет способствовать развитию уважения к народам нашей родины. Если педагог расскажет о славянских «числолюбцах», о первом русском арифметике и геометре Л. Ф. Магницком и его деятельности, о великих русских математиках — гениальном творце неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевском, основоположнике первой русской математической школы П. Л. Чебышеве, о замечательной женщине-математике С. В. Ковалевской и других математиках, прославивших русский народ,— он вызовет чувство гордости за свою родину, любовь к ней. Если учитель сообщит учащимся, что Великая Октябрьская социалистическая революция открыла небывалые возможности для развития наук, что советские математические школы успешно обогащают математические дисциплины, что во многих областях эти школы опередили западных ученых,— то он будет воспитывать советский патриотизм.

Используя числовой материал о грандиозных успехах социалистического строительства, о процветании советского народа, преподаватель на уроках математики может показать замечательные достижения нашей великой родины в построении социализма.

Возможности воспитания советского патриотизма в процессе обучения математике весьма многообразны. Это воспитание еще больше усиливается, если использовать некоторые формы внеклассной работы: кружки по истории отечественной математики, специальные ученические журналы и листки, математические стенные газеты, эпизодические лекции и доклады.

9. Другие цели обучения математике

Преподавание математики имеет целью научить читать соответствующую умственному развитию учащихся математическую книгу.

В современных условиях умение читать математическую книгу, изучать ее приобретает особое значение. Технические книги пишутся языком, весьма близким к тому, на котором пишутся математические. Ученик, научившийся работать над математической книгой, в некоторой мере будет подготовлен к изучению технической книги. Значит, умения и навыки читать математические книги являются составной частью политехнического обучения1.

Обучение каждому школьному предмету оказывает помощь в изучении родного языка. С этой точки зрения преподавание математики имеет свои особенности. В прецессе обучения учащимся предъявляются требования точно и кратко формулировать аксиомы, определения, правила и теоремы, конструировать новые формулировки, последовательно, сжато и вместе с тем полно излагать доказательства и решения; при обучении не допускаются пустословие и многословие, сомнительные суждения и умозаключения. При правильном преподавании каждый урок математики является хорошим уроком краткой и полной, связной и последовательной речи.

Вместе с тем учащиеся упражняются в письменном изложении решения задач, доказательств теорем. В старших классах требуется дать краткое и в то же время исчерпывающе полное изложение.

Все это приводит к тому, что преподавание математики является хорошей школой для развития устной и письменной речи, которая применяется при изложении других наук о неживой природе и технических дисциплин.

Определенность и общность математических предложений и методов их обоснования, законченность и полнота изложения, четкость математических задач, безупречность их решения, тонкая и совершенная гармония числа и формы, краткость символики, сжатость и сила языка, многообразие использования в практике — все это придает математике своеобразную красоту и привлекательность. Практика преподавания отлично показывает, что разумное обучение математике у большинства учащихся вызывает чувство восхищения математическими доказательствами и решениями задач, увлечение ее теориями, прививает любовь к этой науке. Каждый преподаватель — мастер своего дела — неоднократно наблюдал, каким огоньком удовольствия загораются глаза учащихся в процессе изучения остроумного доказательства, оригинального и стройного решения задачи, интересного практического применения теоретических положений. Это позволяет утверждать, что преподавание математики вносит свой вклад в эстетическое воспитание учащихся. Преподаватель должен всемерно заботиться об усилении эстетического элемента в процессе обучения; если учащийся испытывает удовлетворение

1 См. гл. XI, п. 1—2.

при изучении математики, это является одним из надежных условий успеха обучения, обеспечивает получение прочных знаний, умений и навыков.

Конечно, изложенные задачи математического образования в советской средней школе не исчерпывают всех целей обучения основам математических наук. Можно, например, говорить о значении этого обучения в отношении развития устойчивого внимания, воли, настойчивости в преодолении препятствий и трудностей. В нашу задачу входило изложить основные цели математического обучения и те из побочных целей, которые представляют наибольшее значение с точки зрения задач советской средней школы.

Изложенное дает основание заключить, что обучение в школе основам математических наук, проводимое на высоком и вместе с тем доступном для учащихся научном уровне, вскрывающее политехническую значимость математики и дающее первые шаги в ее практическом применении, правильно целеустремленное как в познавательном, так и в воспитательном отношении,— такое обучение вносит существенный вклад в коммунистическое воспитание молодого поколения, готовит это поколение к активной плодотворной деятельности в социалистическом обществе.

Глава III

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

1. Математические понятия

Математические понятия — отражения в мозгу человека существенных свойств, форм и количественных отношений действительного мира. Так, например, в глубокой древности возникли понятия натурального числа, геометрического тела, площади многоугольника, объема тела.

Если первые математические понятия формируются на базе восприятий и представлений, то с развитием науки формирование новых понятий может идти и другим путем: они могут формироваться на базе уже ранее установленных понятий. Например, изучение одномерного, двух- и трехмерного пространств с помощью метода координат приводит к понятию об л-мерном пространстве, а несколько позднее — к понятию о пространстве, имеющем бесконечно много измерений. Мышление понятиями имеет корни в наглядном чувственном содержании: это чувственное содержание его сопровождает. Однако мышление математическими понятиями далеко выходит за пределы чувственных данных: оно результат активной творческой переработки этих данных, обусловленной исторически практикой, в том числе и практикой научной деятельности. Мы мыслим, например, n-угольную правильную пирамиду, которой не может быть в восприятии; мыслим, что путем удвоения числа боковых граней правильной я-угольной пирамиды, вписанной в прямой круговой конус, получается 2м-угольная пирамида, мыслим это, хотя ничего подобного такому «изменению» пирамиды никогда не наблюдали.

К математическому понятию, если оно включается в доказательства, предъявляется требование, чтобы оно было тем или другим путем определено. Научное мышление не может пользоваться понятиями нечеткими, недостаточно определенными, многозначными.

Однако однозначная определенность математических понятий не мешает им развиваться, изменяться, совершенствоваться. Что это так, достаточно вспомнить замечательно яркое развитие понятия о числе, прошедшее многовековый трудный путь от зарождения нескольких первых натуральных чисел до комплексных и гиперкомплексных.

Всякое математическое понятие включается в систему соответствующей научной дисциплины и нередко нескольких смежных дисциплин; всякое понятие связано с другими понятиями дисциплины, находится в определенных отношениях с ними. При установлении отношений имеют значение содержание и объем понятия. Содержание понятия — совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием, а объем понятия — совокупность всех объектов, к которым применимо понятие. Множество всех объектов, к которым приложимо понятие, составляет класс. Один класс является высшим по отношению к другому, если он включает все объекты этого класса в себя вместе с объектами других классов. Множество действительных чисел является высшим классом (родом) по отношению множества рациональных чисел (вида). Вместе с тем множество действительных чисел является видом по отношению множества комплексных чисел (рода).

Определение является одним из существенных путей введения в математические дисциплины новых понятий, наделенных необходимыми качествами для включения их в логические операции.

Что же разумеется под определением понятия?

Определением понятия является такая формулировка, которая без остатка сводит определяемое понятие к уже известным понятиям той же научной области1.

Когда говорят, что «Вычитание есть действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое», то имеют дело с определением: понятие о вычитании полностью сведено к ранее установленным понятиям. Формулировка:«Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм», также является определением.

Очевидно, что первые понятия, с которых начинается изложение научной дисциплины, нельзя определить указанным выше путем: нет возможности первые понятия полностью свести к другим понятиям той же дисциплины, так как таких понятий еще не установлено. В математических дисциплинах первые понятия вводятся без определений. Такие понятия носят названия основных или первичных. Во многих курсах по основаниям геометрии к числу первичных понятий относят следующие: точка, прямая, плоскость. Мыслится, что точки, прямые, плоскости находятся во взаимных отношениях, которые обозначаются словами: «лежит», «между», «конгруэнтный». Описание отношений между первичными понятиями дается аксиомами. Аксиомы косвенно определяют первичные понятия настолько, что после этого их можно использовать в доказательствах. Поэтому принято говорить о косвенном определении основных понятий через аксиомы.

1 А. Я. Хинчин, О математических определениях в средней школе, журн. «Математика в школе», 1941, № 1.

Каково происхождение основных понятий?

Эти понятия введены путем абстракции. Натянутая струна дает представление о прямой. Ребро линейки и линия, прочерченная с помощью этого ребра и карандаша на бумаге, дают представление о прямой. Отвлекаясь от размеров поперечного сечения струны, неизбежных неровностей ребра линейки, ширины и толщины начерченной линии на бумаге, получаем геометрический образ — прямую. Поэтому говорят об определении прямой через абстракцию. Так вошли в науку понятия множества, натурального числа, точки, плоскости. Не только основные, а многие математические понятия вошли в науку путем определения через абстракцию.

2. Пути введения понятий при обучении

Роль понятий в процессе обучения математическим предметам очень значительна. От качества изучения понятий в громадной мере зависит качество обучения математике: полнота, глубина, основательность знаний и даже качество умений и навыков. Крайне важно, чтобы учащиеся прочно усваивали понятия основ математических наук, вкладывали в них верный смысл, точное содержание, правильно представляли объем понятия. Это обеспечивает безошибочное пользование понятиями в конкретных случаях и в практике. Особенно тщательно надо изучать понятия, которые включаются в доказательства теорем, в обоснования правил.

Пробелы в изучении понятий неизбежно подрывают прочность знаний, порождают формализм.

Итак, одно из основных методических правил заключается в следующем: каждое понятие учеником должно быть усвоено совершенно.

Ни в каком случае не следует давать учащимся неверных или искаженных понятий: они рано или поздно окажутся тормозом в усвоении курса, их придется искоренять и заменять другими. Если умственное развитие детей не позволяет дать понятие, которое принято в научной дисциплине, то следует дать детям понятие в доступной их пониманию форме так, чтобы в дальнейшем в нужный момент можно было усовершенствовать его, довести до уровня научного понятия1.

Для развития правильного и эффективного мышления учащихся в понятиях необходимо, чтобы это мышление опиралось на чувственные данные: на восприятия и представления. Чтобы достичь этого, надо в V—VI классах, а в некоторых случаях и в последующих классах, при введении новых понятий пользоваться действительными пространственными формами и количественными отношениями — вещами, их моделями, изображения-

1 Примеры неверных определений приведены в п. 5 этой главы.

ми; надо использовать с этой целью и опыт учащихся, приобретенный в обыденной жизни, и опыт, полученный раньше в процессе обучения математическим предметам.

Знакомя школьников с новым понятием, следует исходить «от живого созерцания» конкретных ситуаций, целесообразно использовать восприятия, привлечь на помощь запас полезных представлений; следует добиться, чтобы учащиеся выделили необходимые существенные свойства, отбросили все ненужное и на этой базе овладели понятием, т. е. перешли к абстрактному мышлению. С каждым вводимым понятием связывается слово, «термин». Этот термин учащиеся запоминают; надо, чтобы они вкладывали в него определенное содержание, правильно представляли его объем. Термин постепенно входит в активный запас слов учащихся.

Для каждого ученика термин должен стать сигналом второй сигнальной системы, при этом таким сигналом, который вызывает правильную и безотказную реакцию головного мозга.

Иногда для понятия вводится условное символическое обозначение. Для каждого ученика символ должен стать безотказным сигналом второй сигнальной системы.

Такой путь введения понятий представляет интерес и в том отношении, что он в известной мере обеспечивает более естественный переход к применению понятия в практике.

Итак, изучение математических понятий в V, VI, а иногда и в последующих классах идет по ленинской схеме познания: от живого созерцания — к абстрактному мышлению, а от него — к практике.

Описанный процесс формирования понятий имеет сложный характер. В нем применяется элементарный анализ — расчленение объекта мысли на его элементы с целью выделить те его признаки, которые характерны для формируемого понятия. Анализ сопровождается элементарным синтезом — объединением всех существенных для понятия признаков, и вместе с тем образованием класса тех объектов, к которым применимо понятие. В формировании понятия играет существенную роль абстракция — мысленное выделение существенного и отвлечение от остальных признаков, не имеющих значения для понятия.

Роль математических понятий в изложении курсов различна: одни из них включаются в логические операции — в доказательства, в обоснования правил и теорем (например, понятия — параллелограмм, логарифм); другие в логические рассуждения не включаются и выполняют служебную роль (например, понятия— аксиома, лемма); третьи на различных этапах обучения имеют различную значимость (например, понятие «треугольник» в начальном и систематическом курсах геометрии). Трудность усвоения понятий учащимися также различна. Она зависит и от сущности понятия, и от его роли в курсе, и от возрастных особенностей учащихся. Поэтому и методические пути введения поня-

тий различны. Основные из них следующие: а) определение через абстракцию, иногда сопровождающееся поясняющими описаниями; б) косвенное определение понятий через аксиомы; в) определение через указание ближайшего рода и видового отличия, через перечисление существенных признаков.

3. Определение через абстракцию

Систематический курс геометрии часто начинается с введения понятия о теле. Это первое понятие; значит, оно не может быть определено.

Учитель подбирает несколько различных прямоугольных параллелепипедов, несколько цилиндров и шаров.

На уроке учитель демонстрирует 3—4 параллелепипеда.

— Как называются эти известные вам предметы или тела?

— Чем отличаются они друг от друга?

— А что в них сходного, общего?

— При изучении геометрии мы не интересуемся материалом, прочностью, весом, цветом тел. Эти свойства рассматриваются в других науках. Все эти тела имеют одинаковую форму. По форме они одинаково и называются. При изучении геометрии интересуются формой тел.

Учитель демонстрирует несколько различных цилиндров.

— Как называются эти тела?

— Почему каждое из них называют цилиндром?

— По форме цилиндры схожи между собой, но отличаются от прямоугольных параллелепипедов. По форме шары схожи между собой, но отличны от цилиндров и от прямоугольных параллелепипедов.

— Если не принимать во внимание физические свойства тела, а рассматривать форму его, то тело называют геометрическим телом.

— Представьте параллелепипед больше этого параллелепипеда. Покажите руками, какой параллелепипед вы представили. Вы представили, вообразили геометрическое тело.

— Представьте цилиндр больше этого цилиндра. Вы вообразили геометрическое тело.

— Какие измерения имеет прямоугольный параллелепипед?

— Как они называются?

— Каждое геометрическое тело имеет три измерения. При изучении геометрии интересуются размерами геометрических тел.

Преподаватель демонстрирует различные расположения шара относительно параллелепипеда: тела не имеют общих точек, касаются, шар — внутри параллелепипеда.

— Как шар расположен по отношению параллелепипеда?

— В геометрии рассматривается и взаимное расположение геометрических тел.

— Итак, на уроках геометрии занимаются формами, размерами и взаимным положением геометрических тел.

Иногда вводится такое описание: геометрическим телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон.

В приведенном примере первое понятие систематического курса геометрии — понятие о теле — создается путем рассмотрения конкретных тел, моделей. Понятие о геометрическом теле абстрагируется от действительных тел. Это — определение через абстракцию. Путь образования понятия является сложным психологическим и педагогическим процессом. Роль преподавателя при этом значительна: от его мастерства зависит правильность образования понятия; от его искусства зависит, насколько хорошо произойдет первая встреча с понятием, а эта встреча оставляет глубокий отпечаток в сознании учащихся на длительный период.

Аналогично вводятся понятия о поверхности, линии, точке, геометрической фигуре, а несколько позднее — о прямой и плоскости. Эти понятия вводятся также путем определения через абстракцию.

4. Поясняющие описания

Приведенный конспект части урока заканчивается формулировкой: «Геометрическим телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон». Эта формулировка — поясняющее описание понятия о теле. Тело — первое понятие, которое вводится в школьном курсе геометрии. Его нельзя определить с помощью других понятий геометрии, ибо таких понятий еще нет. Поэтому приходится довольствоваться поясняющим описанием. Оно опирается на те представления и понятия, которые известны учащимся из их жизненного опыта: пространство, часть, ограничено, сторона.

Формулировки: «Поверхностью называется граница тела», или «Поверхностью называется общая часть двух смежных областей пространства»; «Линией называется общая часть двух смежных областей поверхности»; «Точкой называется то общее, что имеют две смежные части одной и той же линии», суть не что иное, как поясняющие описания: они построены на базе представлений и понятий из жизненного опыта учащихся.

Учебники арифметики для средней школы содержат значительное число понятий, введение которых сопровождается поясняющими описаниями. Вот несколько примеров: «Всякое целое число есть либо единица, либо собрание нескольких единиц», «Действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе, называется вычитанием», «Одна доля или собрание нескольких одинаковых долей единицы называется дробью».

Некоторые преподаватели не различают и путают поясняющие описания и логические определения, при этом обычно поясняющие описания принимают за логические определения. Например, поясняющее описание геометрического тела, рассмотренное ранее, принимают за определение.

Поясняющие описания надлежит отличать от определений потому, что они играют различную роль и в математическом предмете, и в педагогическом процессе. Описание не является математическим предложением, оно не используется в доказательствах, тогда как каждое определение применяется при обосновании теорем. Поэтому нет надобности предъявлять учащимся требование, чтобы они заучивали поясняющие описания: достаточно, если ученики будут уметь свободно своими словами передавать смысл описания. А каждое определение каждый ученик должен уметь точно формулировать.

При небольшой затрате труда со стороны учителя легко научиться отличать описания от определений. Определения полностью опираются на те понятия, которые ранее тем или другим путем введены в курс, а описание может опираться как на введенные понятия, так и использовать такие представления и понятия, которые заимствованы из жизненной практики учащихся. Анализируя формулировку, предназначенную для введения нового понятия, легко выяснить, является ли она определением или поясняющим описанием.

Иногда и авторы учебников поясняющие описания выдают за определения. Нельзя признать за определение, например, такую формулировку: «Различные группы, составленные из каких-либо предметов и отличающиеся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называются вообще соединениями»1. Такие понятия, как «группу», «предмет», «порядок», ранее этой формулировки не вводились. Кроме того, «предмет»— термин крайне неудачный. Можно представить пять карандашей различного цвета, мысленно образовать из этих представлений соединения, но эти соединения, согласно приведенной формулировке, не подходят под понятие о соединениях, так как представления о карандашах не тождественны карандашам. Приведенная формулировка есть поясняющее описание, а не определение, как указано в тексте учебника.

Арифметическая и геометрическая прогрессии «определяются», как «ряды» чисел, но понятие о ряде не вводилось. Значит, и в этом случае поясняющие описания выдаются за определения. Термин «ряд» используется неудачно; этот термин применяется в математике со строго определенным содержанием2.

1 А. П. Киселев, Алгебра, ч. II, Учпедгиз, 1956.

2 Было бы полезно, если бы в школьных учебниках по математике определения и поясняющие описания отличались и названием и формой формулировок.

В описании понятий можно различать некоторые особенности.

Наиболее примитивными являются такие описания, которые указывают практическое значение понятия. Это целевые описания. «Целые числа служат для счета предметов» — пример целевого описания.

Встречаются каузальные описания, в которых вскрываются некоторые возможные причины появления понятия. «Целые числа— результат счета предметов»; «Линия—след движущейся точки» — примеры таких описаний.

В качестве поясняющих описаний употребляются и такие, в которых указывается, чем может быть понятие. Например: «Точка есть граница линии». Иногда такие описания вскрывают и несущественные признаки. Точку мы мыслим не только как конец отрезка, но и как середину его, и как расположенную вне отрезка.

Наиболее ценными являются систематические описания, которые вскрывают существенные свойства понятия и которые отвечают на вопрос, что это такое. Например: «Угол есть мера наклона одного луча к другому», «Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки».

Для истолкования одного и того же понятия можно и желательно дать не одно, а несколько описаний: каждое из них осветит часть существенного, а вместе взятые вскроют существенное более полно. Если понятие вводится путем логического определения, это не воспрещает использовать целесообразные поясняющие описания.

5. Определения

Рассмотрим введение понятий через определения. Приведем в форме конспекта часть урока, на котором изучается понятие параллельных прямых.

— Обратите внимание на два ребра классной линейки. Представим, что эти ребра продолжены и в одном направлении и в другом направлении. Эти ребра — прямые линии. В какой плоскости лежат эти прямые?

— Пересекутся ли эти прямые?

— Такие прямые, как ребра линейки, называются параллельными прямыми. Найдите в классной обстановке еще примеры параллельных прямых.

— Правильно. Левое и правое ребра доски — параллельные прямые. Почему их можно назвать параллельными прямыми?

— Я начертил на доске две прямые линии. (На доске изображены две линии не параллельные, но и не пересекающиеся в пределах чертежа.) Какие прямые изображены на дооке?

— Начертите в тетрадях с помощью линейки две параллельные прямые и две непараллельные прямые.

— Какие же прямые называются параллельными?

(В проекте определения ученики забыли указать, что прямые лежат в одной плоскости.)

— Пересекутся ли прямые, расположенные вот так? (С помощью двух металлических спиц учитель демонстрирует скрещивающиеся прямые.)

— Да, они не пересекутся. Следовательно, по определению, которое вы дали, эти прямые параллельны. Как же исправить определение?

— Верно. В определении надо указать, что прямые лежат в одной плоскости. Как же окончательно сформулировать определение параллельных прямых?

— Прекрасно! Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными прямыми.

В школе получило широкое распространение следующее «определение» параллельных: «Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и при продолжении не пересекаются». Оно неудовлетворительно: под такое «определение» подходят и такие прямые, которые в границах чертежа пересекаются и не пересекаются при продолжении. Кроме того, оно более многословно, чем принятое в науке. Часто применяются «определения» параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей, содержащие такие же дефекты, что и приведенное. От таких «определений» давно пора отказаться1.

Приведенный пример демонстрирует, что введение определяемого понятия можно выполнить, используя целесообразные ситуации пространственных форм и количественных отношений материального мира. Введение понятия путем определения не исключает получение его путем абстракции при рассмотрении конкретных ситуаций. Формулирование определения опирается на конкретные представления. В V и VI классах уместно широко использовать наглядность при изучении определяемых понятий и их определений.

Но если понятие легко может быть осознано учащимся, тогда нет надобности адресоваться к действительности. Например, понятие о параллелограмме и трапеции ученики прекрасно осознают на основе ранее известных понятий о четырехугольнике, параллельных и непараллельных прямых.

Приведенный конспект части урока демонстрирует также, что при изучении определяемых понятий уместно пользоваться методом эвристической беседы. С методической точки зрения такая беседа очень ценна; она носит в себе элементы творческой активности, способствует включению нового термина в активный запас слов учащихся, фиксирует внимание на содержании понятия, облегчает запоминание формулировки и обеспечивает более высокую ступень сознательности.

1 В учебнике геометрии Н. Н. Никитина и А. И. Фетисова дано безупречное определение параллельных прямых.

Формулировку определения понятия уместно давать после того, как понятие уже сформировано, когда ученики уже овладели необходимым конкретным материалом, когда они уяснили содержание понятия, неоднократно слышали термин, сами употребляли его при ответах на вопросы учителя. Лучше, если школьники, руководимые учителем, дадут формулировку сами.

В отдельных случаях изучение понятия можно начать с формулировки определения. Так следует поступать, если формулировка доступна для осознания без предварительной подготовки. Например, в систематическом курсе геометрии так можно ввести понятия о прямоугольнике и квадрате: с этими четырехугольниками учащиеся знакомы, а определения их крайне просты.

Определение — математическое предложение. Это приводит к требованию, что каждый ученик должен запомнить определение и легко воспроизводить его. Чтобы добиться этого, каждое определение многократно повторяется и в течение урока, на котором оно введено, и на последующих уроках как в порядке контроля за его усвоением, так и при использовании в доказательствах теорем и в решении задач. Определение должно прочно войти в систему знаний учащихся.

Опираясь на конкретные примеры, полезно обратить внимание учащихся, что один из способов формулировки определения заключается в следующем: указывается ближайшее родовое понятие1, к которому принадлежит определяемое, и существенное свойство или признак (видовое отличие) определяемого понятия. Например, желая построить определение ромба, подмечаем, что ближайшим родовым понятием является параллелограмм, а видовым отличием — равенство сторон, образующих угол ромба; получаем определение: «Ромбом называется параллелограмм, у которого две стороны, образующие угол, равны». Определения такой структуры очень часто используются в математических предметах и особенно в геометрии. Примерами могут служить определения любого вида четырехугольников, которые изучаются в планиметрии. Опыт показывает, что учащиеся, усвоив структуру определения с помощью ближайшего рода и видового отличия, хорошо пользуются этим и при запоминании их, и при формулировках новых определений.

Определение через указание ближайшего рода и видового отличия не является единственным путем построения определения. Например, в рассмотренном выше определении параллельных прямых вскрываются все существенные признаки, которые необходимы, чтобы линии назвать параллельными, однако в форму-

1 Ближайшим родовым понятием по отношению данного называется то из родовых понятий, которое обладает наименьшим объемом. Например, по отношению понятия «квадрат» родовыми являются «прямоугольник», «ромб», «параллелограмм», «четырехугольник», а ближайшим родовым — «прямоугольник» или «ромб».

лировке нельзя усмотреть того родового понятия, к которому относятся параллельные, ибо такого понятия нет в геометрии. Значит, определить понятие возможно путем перечисления его характерных признаков. К числу таких определений относятся также определения параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

К математическим определениям предъявляется требование, чтобы среди видовых существенных признаков не было таких, которые являются следствиями существенных признаков, указанных в определении. Например, «Равносторонний треугольник — такой треугольник, у которого стороны равны» — правильно сформулированное определение: в нем указан ближайший род и существенный видовой признак (равенство сторон). Если к этому определению добавить: «и все углы равны», то оно получит новый признак, но такой, который является следствием первого видового отличия — равенства сторон. Определение с этим добавлением дефектно. С формулировкой, которую иногда приходится слышать: «Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны»,— преподаватель математики не может мириться: она неудачна.

Надо отметить, что и в математических учебниках встречаются определения, содержащие лишние видовые различия. Например, формулировка: «Параллелепипед, ребра которого перпендикулярны к основанию, называется прямым»,— содержит лишние признаки: чтобы параллелепипед был прямой, достаточно перпендикулярности к плоскости основания одного ребра. Легко усмотреть, что определения: «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны», «Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами»— также содержат лишние признаки.

В определениях некоторые учащиеся допускают ошибки. Укажем типичные из них. Довольно часто учащиеся включают в определение лишние признаки понятия. Одна старательная ученица дала такое «определение»: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны, противоположные углы равны, а диагонали, пересекаясь, делятся пополам». Такое «определение» не искажает понятия параллелограмма, однако с логической точки зрения построено неверно: оно содержит серию лишних признаков, являющихся следствиями основного признака.

Иногда учащиеся опускают существенные признаки понятия. Это наблюдается, в частности, тогда, когда в определение включается не ближайшее родовое понятие, а одно из более общих родовых понятий. Например, дается такое «определение»: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все внутренние углы — прямые». Выпадение существенных признаков влечет расширение объема понятия и, значит, искажает понятие.

Наблюдаются ошибочные определения, которые образуют «порочный круг». Например, учащиеся довольно часто прямой

угол определяют как такой, который содержит 90°, а угловой градус— как угол, равный части прямого угла.

К числу типичных ошибок относятся и такие определения, которые сужают объем понятия. Нередки случаи, что оканчивающие среднюю школу дают «определения»: «Иррациональным числом называется корень из числа, когда он точно не извлекается», «Комплексным называется такое число, которое содержит мнимую единицу». И в том и в другом случае понятие искажено: объемы понятий сужены.

Наблюдаются случаи, что некоторые учителя не ведут борьбы с искажением определений, не вскрывают ошибки учащихся, не добиваются безупречных формулировок. Такое преподавание нельзя считать удовлетворительным.

Понятию дается, как правило, одно определение. Если от этого отступают и дают два или более определений, то необходимо убедиться, что эти определения эквивалентны (равносильны). Например, две формулировки: «Квадрат — прямоугольник, у которого основание и высота равны», «Квадрат — ромб, у которого имеется прямой угол»,— являются эквивалентными определениями квадрата.

6. О формировании некоторых понятий

Среди понятий школьного курса математики имеются такие, которые формируются в сознании учащихся длительные периоды.

Понятие числа формируется с некоторыми промежутками на протяжении всего обучения в школе. С натуральным числом дети знакомятся в начальной школе. Оно вводится путем абстракции. Каждое натуральное число — количественная характеристика конечных множеств вещей одной и той же мощности. В курсе арифметики V класса учащиеся повторяют эти числа и изучают дробные числа. В результате в распоряжении детей оказывается множество неотрицательных рациональных чисел. В курсе алгебры VI класса совершается дальнейшее развитие понятия числа: вводятся отрицательные рациональные числа и формируется множество рациональных чисел. В VIII классе происходит новое обобщение понятия числа: сводятся иррациональные числа и формируется множество действительных чисел. В X классе совершается последнее в школьном курсе обогащение объема понятия числа: вводятся мнимые числа и формируется множество комплексных чисел. Таким образом в процессе обучения формирование понятия числа в сознании учащихся происходит постепенно весьма длительный период.

Длительный период формируется в сознании учащихся другое важнейшее понятие математики — понятие функции. Однако характер этого формирования совершенно иной. Современное идейное содержание понятия функции совпадает с понятием соответ-

ствия. В школе рассматривают функции числового аргумента. С идеей функции связаны понятия переменной, зависимости между переменными, допустимых значений аргумента или области определения функции. Учитель математики начиная с V класса ведет систематически работу, направленную на развитие функционального мышления учащихся. С этой целью он доступными средствами культивирует понятие об изменении величин, зависимости одной переменной от другой, соответствия между значениями одной и другой переменными. Для этого применяют изучение и составление таблиц, рассматривают примеры конкретных функциональных зависимостей, используют графическое изображение заданных функций, практикуют вычисление числовых значений алгебраических выражений при различных значениях аргументов, обращают внимание на допустимые значения букв, входящих в алгебраическое выражение. Учащиеся знакомятся с линейной функцией, ее графиком, графическим решением систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Подготовительный период продолжается примерно до начала третьей четверт-и VIII класса. Его иногда называют периодом функциональной пропедевтики. И только во втором полугодии VIII класса вводится определение функции и начинается период систематического изучения функций.

Длительный период формирует важное понятие курса алгебры — понятие уравнения.

Имеются понятия, формирование которых совершается в небольшие промежутки времени, однако требует несколько уроков. В ближайшие годы в программе алгебры X класса найдет место понятие производной функции. Формирование этого понятия можно осуществлять примерно по следующему плану: приращение аргумента и функции, скорость равномерного прямолинейного движения, скорость изменения линейной функции, средняя скорость неравномерного движения, скорость неравномерного движения, скорость изменения функции, понятие о производной функции, геометрический смысл производной, план отыскания производной. Таким образом, понятие производной формируется примерно на протяжении 6—7 уроков.

Введение понятия иррационального числа, множества действительных чисел также требует нескольких уроков.

7. Использование определений в доказательствах

При доказательствах пользуются следующим правилом: определяемые понятия заменяются их определениями; при этом надлежит использовать определение полностью.

Поясним примером. Требуется изложить доказательство теоремы. «Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник — параллелограмм».

Условие: ABCD — выпуклый четырехугольник, AB=CD, BC=AD.

Доказать: ABCD — параллелограмм (черт. 1). Доказательство излагается методом беседы.

— Что требуется доказать?

— Какой четырехугольник называется параллелограммом?

— Как на основании определения параллелограмма изменить требование теоремы?

— Значит, требуется доказать, что АВ II CD и ВС \\ AD. Как доказывается параллельность прямых?

— Какое построение следует сделать?

Черт. 1

— Строим диагональ BD. К чему теперь сводится требование теоремы?

— Надо доказать, что /1 = /2 и /4 = /3. Как обычно доказывается равенство углов?

— Какое заключение можно сделать о треугольниках ABD и BCD?

— Как читается теорема, на основании которой сделано заключение?

— Каков итог нашего рассуждения?

Пример показывает, что определяемое понятие «параллелограмм» в процессе доказательства заменено определением этого понятия. Это дало ключ к замене заключения теоремы иным заключением и проложило путь к доказательству.

Правило замены в процессе доказательства определяемого понятия его определением должен широко использовать «каждый преподаватель при изложении теорем. Оно не должно оставаться в секрете от учащихся: школьникам необходимо овладеть этим правилом и пользоваться им.

8. Косвенное определение через аксиомы

Основные (первичные) понятия учащиеся познают путем абстракции из конкретных ситуаций. Так, например, в учебниках геометрии вводятся понятия прямой, плоскости. Однако получен-

ные таким образом основные понятия еще недостаточно подготовлены для применения их в доказательствах. Чтобы основные понятия подготовить к такому использованию, необходимо установить связи между ними с помощью аксиом. Аксиомы наделяют основные понятия такими свойствами, которые дают возможность применять эти понятия в доказательствах, придают им логическую определенность. Такое наделение основных понятий свойствами, необходимыми для использования в доказательствах, и носит название косвенного определения через аксиомы.

Примером косвенного определения может служить введение понятия о прямой в книге «Элементарная геометрия» Адамара:

«Простейшая из линий — прямая линия: представление о ней дает нам натянутая нить. Понятие прямой очевидно само по себе; чтобы иметь возможность пользоваться этим понятием в наших рассуждениях, будем рассматривать прямую линию, как определяемую ее очевидными свойствами и, в частности, следующими двумя:

1) Всякая фигура, равная прямой линии, есть прямая линия; и обратно, каждая бесконечная прямая линия может быть совмещена со всякой другой и притом таким образом, что какая-либо одна точка первой совмещается с любой точкой второй.

2) Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну»1.

Принципиально также дается косвенное определение прямой в школьных учебниках планиметрии.

Другим примером косвенного определения первичных понятий могут служить аксиомы, вскрывающие свойства плоскости.

Таким образом, крупицы современного аксиоматического изложения геометрии находят место в школьных учебниках.

9. Деление понятий

Если при определении понятия решающее значение имеет его содержание, то при классификации на первый план выступает объем понятия. Под классификацией разумеется деление множества объектов, составляющих объем понятия, на виды на основании сходства объектов одного вида и различия их от объектов других видов в существенных признаках2.

Приведем пример. Объем понятия «треугольник»— множество всех треугольников. Это множество можно разделить на три вида: остроугольные треугольники, каждый из которых имеет все

1 Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз, 1957, стр. 21. Классический пример косвенного определения через аксиомы дал Д. Гильберт в книге «Основания геометрии», Гостехиздат, 1948.

2 В логике термины «классификация» и «деление» применяются в одном и том же смысле.

углы острые; прямоугольные треугольники, имеющие по прямому углу; тупоугольные треугольники, имеющие по тупому углу. Основанием этой классификации являются возможные виды углов в треугольнике.

С логической точки зрения приведенная классификация выполнена правильно: деление проведено на основании одного существенного признака — вида углов; образованные виды треугольников исключают друг друга — каждый треугольник отнесен только к одному виду; объемы видов полностью исчерпывают объем класса треугольников.

Иногда от школьников приходится слышать следующую классификацию треугольников: треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние. Основанием ее является неравенство или равенство сторон треугольника. С логической стороны эта классификация неправильна: второй и третий вид не исключают друг друга — любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

Классификацию треугольников по сторонам можно дать в схеме:

Школьные математические предметы дают прекрасные образцы классификаций. Этим надо воспользоваться, чтобы познакомить учащихся с сущностью классификаций. Такое знакомство представляет общеобразовательный интерес: классификации имеют широкое применение и в науках, и в некоторых областях практической деятельности. Применяя логически правильные классификации и вскрывая их сущность, преподаватель способствует более систематическому и глубокому изучению математических предметов; в частности классификации оказывают помощь в изучении определений, в правильном раскрытии объема понятий.

При повторении курса геометрии уместно уделять внимание и обзору понятий. С этой целью можно использовать построение логического «дерева» происхождения понятий. Конечно, первую такую работу надо выполнить в классе; после этого аналогичные занятия можно включить в домашнее задание.

Треугольник

Разносторонний треугольник (нет равных сторон)

Равнобедренный треугольник (две стороны равны)

Равнобедренный треугольник (только две стороны равны)

Равносторонний треугольник (три стороны равны)

Приведем «родословную» понятия «равнобедренный треугольник», составленную учеником VI класса.

Равнобедренный треугольник

Треугольник Равенство отрезков

Многоугольник

Плоская фигура Ломаная линия

Если ученики не сумеют полностью развить «родословную» понятия, все же эта работа принесет пользу: она побуждает восстановить в памяти определения ряда понятий, требует вдуматься в каждое определение, систематизирует понятия и побуждает поработать над учебником. Если «родословная» понятия окажется громоздкой, то ее можно ограничить в VI—VII классах четырьмя, а в старших пятью — шестью звеньями. «Родословные» понятий «прямоугольный параллелепипед», «правильная шестиугольная пирамида» можно ограничить пределами стереометрии.

Глава IV

ДЕДУКЦИЯ И ИНДУКЦИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ

1. Взаимосвязь дедукции и индукции

Дадим общие описания дедукции и индукции, какие обычно встречаются в энциклопедиях, чтобы, опираясь на них, изложить основные соображения об этих методах.

В дальнейшем понятия об индукции и дедукции будут уточнены.

Дедукция (выведение), или дедуктивный метод,— способ рассуждения от общего к частному, от общих положений к частным заключениям. Индукция (наведение), или индуктивный метод,— способ рассуждения от частного к общему, от фактов к обобщениям. Приведем примеры.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. (Большая посылка.)

В треугольниках ABC и А\В\С\ имеем: АВ = А\Ви ВС = =ВХС\У АС=А\С{. (Малая или подводящая посылка).

Следовательно, Л ABC = Л AiBid. (Заключение.)

Это пример дедуктивного заключения.

Ученик заинтересовался вопросом, чему равна сумма внутренних углов треугольника. Он начертил три различных треугольника, измерил транспортиром углы каждого из них и подсчитал сумму углов каждого треугольника. Во всех случаях получилось 180°. Ученик сделал заключение: сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Это пример индуктивного заключения.

История наук знает, что одни ученые придавали исключительное значение индукции, подчиняя ей дедукцию, другие первое место отводили дедукции, умаляя значение индукции. Индуктивный и дедуктивный методы, как способы научного исследования, считались взаимно противоположными, исключающими друг друга. Такое противопоставление этих методов свойственно метафизическому мышлению и не может быть принято.

Дедукция и индукция в процессе развития наук и научного творчества не изолируются друг от друга, а тесно переплетаются, взаимно дополняют друг друга, используются взаимосвязно. Дедукция невозможна без индукции и индукция невозможна без дедукции. Всякая научная дедукция является прямым или опо-

средствованным, через ряд других дедукций, результатом предварительного индуктивного изучения материала, и применением индуктивно полученных выводов. Всякая научная индукция таит в себе мысль, что рассматриваемые частные факты являются случаями общей закономерности, но мысль о существовании общей закономерности подготовляет применение дедуктивного метода. Кроме того, всякая научная индукция является ценной только тогда, когда она дает достаточное основание для дедуктивного использования. В. И. Ленин усматривает в соединении анализа и синтеза элемент диалектики1; аналогично соединение индукции и дедукции надо считать одним из элементов диалектики. Ф. Энгельс говорит: «Индукция и дедукция связаны между собою столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собою, их взаимное дополнение друг друга»2.

Изложенное полностью применимо к математическим дисциплинам. За математикой укрепилась слава дедуктивной науки. И это в известной мере правильно, ибо математические теории излагаются дедуктивным методом. Но если рассматривать математические дисциплины в их созидании, в их развитии, то оказывается, что математике не чужда индукция, что в процессе исторического развития математических дисциплин индукция и дедукция тесно связаны между собой и взаимно дополняют друг друга. Если дедукция является методом изложения математических теорий, то методом исследования являются и дедукция, и индукция. А. Я. Хинчин говорит, что «...в живой сущности научного метода математики дедукция и индукция по сути дела обречены некоему вполне диалектическому и чрезвычайно плодотворному синтезу, который составляет один из важнейших моментов метода математики»3.

Если индукция и дедукция в своем синтезе составляют один из важнейших моментов метода математики, то в школьных математических предметах, являющихся основами соответствующих математических дисциплин, как при изложении этих предметов в учебниках, так и при изложении на уроках весьма широко применяется и индукция, и дедукция; Причем индуктивный метод в начальных курсах обычно занимает первенствующее место. Такое положение диктуется необходимостью приспособить изложение к особенностям детского возраста, к особенностям умственного развития детей.

1 См. В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 192—193.

2 Ф. Энгельс, Диалектика природы Госполитиздат, 1955, стр. 180—181.

3 А. Я. Хинчин, Роль и характер индукции в математике. «Сборник работ математического раздела Коммунистической академии», т. 1, 1929.

Из изложенного следует, что для учителя математики важно хорошо осознать сущность дедуктивного и индуктивного методов, их взаимосвязь и взаимообусловленность, их разновидности. Учитель должен уметь правильно применять каждый из методов при обучении математическим предметам и уметь разъяснить сущность каждого из них.

2. Дедуктивный метод в математике

Переходим к более детальному рассмотрению дедуктивного метода. Под этим методом разумеется вывод из совокупности ранее установленных предложений некоторого нового предложения. Такой вывод может состоять из одного умозаключения, цепи или сети умозаключений, связанных между собой и преследующих одну цель — обосновать новое предложение. В логике указываются следующие отличительные черты дедукции: а) с помощью дедукции устанавливается или принадлежность свойств объекту или классу объектов, или принадлежность объекта или класса объектов другому классу с большим объемом; б) с ее помощью дается вывод из общего к подчиненному ему общему, или частному; в) с помощью дедукции делаются достоверные выводы, если посылки верны и если умозаключения правильны.

В таком истолковании дедуктивный метод находит применение и при доказательстве математических теорем1. В качестве примера приведем доказательство теоремы о вертикальных углах. Пусть требуется доказать, что вертикальные углы — /А и /2— равны. Для доказательства используем /_3, являющийся смежным и для /_\, и для /_2.

Известно, что сумма смежных углов равна 2d. (Большая посылка.) /_ \ и /_Ъ—смежные. (Малая или подводящая посылка.) Следовательно, /_Х-\-/Ъ=Ш. (Заключение.) Это первый силлогизм в нашем доказательстве.

Второй силлогизм имеет ту же большую посылку, а малой посылкой является: Z2 и Z'3— смежные. Заключение: Z2-f- /b=2d.

Третий силлогизм строится так: Две величины, равные порознь третьей, равны между собой. (Большая посылка.) Zl+Z3=2d и /_2-\-/_Ъ=2й. (Малая посылка.) Следовательно, Z 1 + Z3=Z2+Z3. (Заключение.)

Наконец, последний силлогизм таков:

Если от равных величии отнять равные, получим величины равные. (Большая посылка.) Z1 + Z3=Z2+Z3; отнимаем от обеих частей равенства по /Ъ. (Подводящая посылка.) Итак, Z1 = Z2. Это и требовалось доказать.

1 В дальнейшем покажем, что в математике дедуктивный метод имеет более широкое применение.

Учителю, недостаточно подготовленному по логике, рекомендуется познакомиться с этой дисциплиной хотя бы по школьному учебнику.

В доказательствах з качестве больших посылок используются или аксиомы, или ранее установленные теоремы, или следствия из них, или наконец определения. Малыми, или подводящими, посылками служат или условия теорем, или следствия этих условий, полученные на основании умозаключений.

Ясное дело, что математические доказательства не излагаются в виде строго расчлененной цепи или сети силлогизмов. Нередко при изложении доказательств опускается в том или ином силлогизме одна из посылок. Так можно поступать, если излагающий доказательство не сомневается, что логическая структура доказательства будет понята слушателями. Например, в только что изложенном доказательстве можно первый силлогизм построить так: /\ и /_Ъ—смежные; следовательно, /Л-\-/_Ъ=2й. В этом силлогизме опущена большая посылка. Можно построить то же умозаключение и так: сумма смежных углов равна 2d; следовательно, ^/l+^/3=2rf. В этом случае опущена малая посылка. Конечно, при изложении теоремы в VI классе такие пропуски посылок можно делать с большой осторожностью, но, например, при повторении этой теоремы в VII классе, когда учащиеся хорошо освоились с теоремой о сумме смежных углов, вполне допустимо, если ученик, излагая теорему о вертикальных углах, опустит ту или другую посылку в рассматриваемом умозаключении: такой пропуск не вызовет недоразумений.

3. Дедуктивная система

При изложении математических дисциплин систематически применяемый дедуктивный метод приобретает новые качества: он переходит в дедуктивную систему.

Когда излагается математическая дисциплина, то прежде всего устанавливается система первичных понятий — первичных «вещей», с которыми имеет дело эта дисциплина, и первичных отношений между этими «вещами». Затем дается система аксиом, устанавливающая взаимосвязи между первичными понятиями, в известной мере определяющая основные понятия и основные отношения между ними. Система аксиом определяет также и методы оперирования с основными и последующими понятиями. Далее на базе основных понятий и основных отношений между ними, на базе аксиом по мере надобности вводятся производные понятия; нередко эти понятия вводятся в процессе изложения системы аксиом. Производные понятия устанавливаются путем определений, которые полностью сводят определяемые понятия к понятиям, уже ранее установленным в этой научной области.

Опираясь на эти основания и используя формы таких умозаключений, которые дают достоверные результаты, в строгой логической последовательности излагаются теоремы, леммы, выводятся необходимые следствия из них.

Такова в самых общих чертах структура изложения матема-

тичеоких дисциплин на современном этапе развития математики. Такова сущность дедуктивной системы изложения. Такое изложение и является причиной того, что математику называют дедуктивной наукой.

Каким же образом получается, что из первичных понятии и отношений между ними и системы аксиом логическими путями развивается стройная математическая дисциплина, имеющая глубокое содержание, результаты которой, как правило, находят прекрасное применение в практике?

Основные понятия и отношения между ними абстрагируются непосредственно, а чаще всего опосредствованно весьма сложными и длительными путями ив действительного материального мира. Производные понятия, которые вводятся в дисциплину в процессе ее развития и изложения путем определений, также в конечном итоге навеяны материальным миром. Ф. Энгельс указывает: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира»1. «Представления о линиях, поверхностях, углах, многоугольниках, кубах, шарах и т. д.— все они отвлечены от действительности...»2. Аксиомы математических дисциплин, устанавливающие связь между понятиями и являющиеся первыми большими посылками в первых умозаключениях при доказательствах, также непосредственно, а на современном этапе развития науки опосредствованно отражают зависимости между пространственными формами и количественными отношениями материального мира.

Логические операции, которые применяются в процессе доказательств, обусловлены отношениями вещей в материальном мире. В. И. Ленин говорит: «Диалектика вещей создает диалектику идей, а не наоборот»3. «Логика есть учение не о внешних формах мышления, а о законах развития «всех материальных, природных и духовных вещей», т. е. развития всего конкретного содержания мира и познания его, т. е. итог, сумма, вывод истории познания мира»4. Следовательно, возможность построения доказательства, возможность получения правильных дедуктивных выводов обусловлена глубокими внутренними связями, которые присущи пространственным формам и количественным отношениям действительного мира. Вся эта ситуация, взятая в целом, и приводит к тому, что дедуктивные математические системы дают такие результаты, которые прекрасно, как правило, применяются к реальному миру, используются в практике и служат материальному и духовному прогрессу человечества. «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 37.

2 Tам же, стр. 38.

3 В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 169.

4 Там же, стр. 66.

всех других областях мышления, законы, абстрагированные от реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей,— и собственно только поэтому может вообще применяться»1, — указывает Ф. Энгельс.

Если в логическом понимании дедукция — это выведение, то в математическом понимании под дедуктивным методом разумеется всякое строгое логическое обоснование предложения. На самом деле для доказательства теорем в математике используются и синтетический метод, и некоторые формы аналитического метода (восходящий анализ). Если синтетический метод действительно является методом выведения из ранее установленных предложений данной научной области доказываемой теоремы, то аналитический метод можно охарактеризовать, как метод подведения доказываемого предложения под известные предложения2.

Таким образом, дедуктивный метод в математическом понимании включает не только синтетические, но и аналитические формы доказательств. В него входит полная индукция как подсобный метод и математическая индукция. Значит, дедуктивный метод в математике имеет больший объем, чем в логике.

4. Дедукция при обучении математике

В. И. Ленин обратил внимание на следующее положение, выдвинутое Гегелем: «Доказательство есть вообще опосредованное познание»3. В первые годы обучения (в начальной школе) учащиеся еще недостаточно подготовлены и развиты, чтобы познавать пространственные формы и количественные отношения опосредствованно. В силу этого в первые годы при изучении начальных математических предметов — арифметики и самых элементарных сведений из геометрии — нельзя использовать доказательство для устранения математических фактов, а это значит, что при установлении этих фактов роль дедукции весьма ограничена.

Обучение арифметике и элементам геометрии (в связи с арифметикой) в V классе в значительной мере сохраняет стиль обучения в начальной школе. Правила как арифметические, так и геометрические не могут получить дедуктивного обоснования.

1 Ф. Энгельс Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 37.

2 Об аналитическом и синтетическом методах см. гл. VII.

3 В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 123.

Однако к учащимся V класса более настойчиво, чем в начальной школе, предъявляется требование: «Объяснить правило на примере». Это требование обозначает, что ученик должен провести общее рассуждение для обоснования правила, но на конкретном числовом материале.

Например, учащимся V класса нельзя дать общего обоснования признака делимости на 5. Учитель подменяет общее рассуждение выяснением обоснования правила на примерах. 10 делится на 5 без остатка; поэтому всякое число, оканчивающееся нулем, разделится на 5 без остатка, так как такое число состоит из целого числа десятков. Пусть требуется установить, делится ли 495 на 5. Число 495 можно представить в виде суммы двух чисел 490 и 5. Первое слагаемое, оканчивающееся нулем, делится на 5, второе слагаемое также делится на 5. А если каждое слагаемое делится на 5, то и сумма, т. е. число 495, разделится на 5 без остатка. А разделится ли на 5 без остатка числю 497? Почему не разделится?

В результате таких рассуждений устанавливается признак делимости на 5.

Такое рассуждение применимо к любому натуральному числу, с этой точки зрения оно является общим, но пятиклассник знакомится с таким суждением только на частных примерах. Пятикласснику предъявляется требование, чтобы он сумел подобрать примеры и повторить это рассуждение применительно к ним.

Таким образом, в процессе обучения осуществляется постепенное усиление применения дедуктивного метода, а это подготовляет учащихся к более полному и систематическому применению дедукции в последующем классе.

В VI классе начинается изучение систематического курса геометрии и алгебры. А это приводит к тому, что значительно усиливается использование дедуктивного метода. Каждая теорема является примером применения этого метода.

Если для научных курсов элементарной геометрии является желательным, чтобы система аксиом была независимой, т. е. она не должна содержать аксиом, являющихся следствиями других аксиом, то при изложении школьных курсов иногда вводятся зависимые аксиомы.

Так, например, в школьных учебниках иногда вводится аксиома: «Отрезок прямой короче всякой другой линии, соединяющей его концы». Впервые это предложение было принято за аксиому Архимедом Сиракузским (около 287—212 гг. до н. э.). Это предложение средствами элементарной геометрии можно доказать. Однако в целях упрощения изложения оно вводится как. аксиома, характеризующая свойство отрезка прямой. Это зависимая аксиома от других аксиом геометрии.

Первые шаги в систематическом применении дедуктивного метода при обучении геометрии в VI классе содержат для учащихся и для учителя много подводных камней и мелей. Учащиеся

довольно длительное время воспитывались на применении неполной индукции к установлению математических правил: наблюдение, опыт, проверка на частных примерах,— вот что служило основанием для получения правил. А теперь предстоит в известной мере отойти от этих приемов, даже забраковать их и начать использовать другие методы. В систематическом курсе геометрии нередко доказываются такие предложения, которые кажутся учащимся очевидными, не нуждающимися в доказательствах. Предложения, что перпендикуляр, опущенный из заданной точки на данную прямую, короче наклонной, проведенной из той же точки и на ту же прямую, что равным наклонным, проведенным из точки к прямой, соответствуют равные проекции, что в треугольнике против большого угла лежит и большая сторона, часто кажутся учащимся очевидными, не требующими какого-либо обоснования.

В элементарном курсе геометрии применяются довольно разнообразные приемы доказательств. Ученику с первых же шагов изучения систематического курса геометрии приходится встречаться с различными путями доказательств теорем; нельзя указать каких-либо признаков, по которым было бы возможно предвидеть прием доказательства.

Все перечисленное и многое другое приводит к тому, что при первых шагах изучения систематического курса геометрии учащихся ожидает много трудностей.

Конечно, методически правильное преподавание арифметики и связанных с нею геометрических сведений в предшествующем классе в некоторой мере оказывает помощь на первых этапах применения дедуктивного метода. Однако эта помощь полностью не может ликвидировать всех трудностей, с которыми приходится иметь дело. Вот почему необходима особенно тщательно продуманная работа учителя с классом на подступах к систематическому применению дедуктивного метода и на первых этапах его применения. Укажем основные направления в этой подготовке.

5. Об изучении аксиом

В дедуктивной дисциплине аксиомы — исходные предложения, которые принимаются без доказательства. Они устанавливают отношения между основными понятиями и косвенно определяют эти понятия. Они устанавливают и методы оперирования понятиями, приемы доказательства.

При обучении в школе роль аксиом значительно ослабляется: из школьных предметов только в курсе геометрии вводится система аксиом, причем далеко не полная. В силу этого каждое школьное доказательство не является строго логическим — оно своеобразное сочетание логических умозаключений, наглядных представлений, опыта и интуиции.

Учебная литература обычно подходит к изложению аксиом формально: дается формулировка аксиомы и не вскрывается ее конкретное содержание, не приводится никаких пояснений. Авторы, очевидно, исходят из того, что аксиома — предположение, которое принимается без доказательства, а следовательно, и не требует каких-либо пояснений. Опыт обучения говорит, что многие шестиклассники при таком изложении аксиом усваивают их неудовлетворительно: они медленно запоминают формулировки; эти формулировки остаются для них формой без конкретного содержания; в силу этого учащиеся затрудняются применять аксиому в конкретных случаях.

Чтобы избежать указанного, в изучении аксиом полезно опереться на конкретный материал, на факты, известные учащимся из практики.

Поясним примером. При ознакомлении учащихся с аксиомой: «Если две величины порознь равны одной и той же третьей величине, то они равны между собой», уместно привести некоторые факты, поясняющие сущность этого предложения. Необходимо проверить, правильно ли изготовлена литровая кружка, действительно ли объем ее равен кубическому дециметру. Наполняют кружку водой и переливают воду в контрольный литр. Если контрольная литровая кружка будет заполнена и не получится остатка воды, то проверяемая кружка имеет объем, равный одному кубическому дециметру. В качестве другого примера можно привести способ двойного взвешивания на верных весах. Опираясь на такой конкретный материал, дается формулировка аксиомы. Полезно предложить учащимся придумать примеры, иллюстрирующие аксиому.

При ознакомлении с аксиомой: «Если к равным величинам прибавить поровну, то получим величины равные», также приводятся пояснения. До отправки в пионерские лагеря вес Коли был равен весу Пети. За время пребывания в лагерях вес каждого из них увеличился на 1,5 кг. Какое заключение можно сделать о весе Коли и весе Пети. Учащиеся приводят еще примеры, поясняющие аксиому. Затем дается формулировка.

Так же вводятся и геометрические аксиомы.

Такой подход к изучению аксиом обеспечивает понимание сущности каждой аксиомы, обеспечивает сознательность знаний, помогает легче запомнить формулировки и раскрывает пути применения их при доказательствах предложений.

Но и этого еще недостаточно. Чтобы сделать аксиомы активным запасом знаний, на который можно отереться при доказательстве теорем, полезно на уроке проводить несложные упражнения, требующие применения аксиом.

Приводим примеры таких упражнений:

1) Известно, что отрезок АВ равен отрезку MN и отрезок CD равен тому же отрезку MN. Какое заключение можно сделать об отрезках АВ и CD? На каком основании делается заключение?

2) На прямой последовательно расположены точки А, В, С и D; AB=CD. Доказать, что AC=BD.

3) На прямой последовательно расположены точки М, N, Р и Q; MP = NQ. Доказать, что MN = PQ.

4) /_АВС, /_CBD и /_DBE имеют общую вершину и последовательно прилегают один к другому; /_ABC=/_DBE. Доказать, что /_АВВ = /_СВЕ.

5) На дуге окружности последовательно расположены точки Л, В, С, и D\ куАС = ^jBD. Доказать, что ^jAB = ^j CD.

6) На прямой последовательно лежат точки Л, В, С и D; AByCD. Доказать, что AC>BD.

7) /_АВС, /_CBD и /_DBE имеют общую вершину и последовательно прилегают один к другому; /_АВСУ> /_ DBE. Доказать, что /_АВСУ ZDBE.

Указанные мероприятия в некоторой мере помогают преодолеть формальное усвоение аксиом и включить их в активный запас знаний.

6. Подходы к первым доказательствам

В методической литературе до сих пор не обращалось внимания на то, что нередко учащийся не может понять и усвоить доказательство теоремы в силу того, что доказательство фиксируется на классной доске в виде непривычных записей. Фиксация выкладок мешает понимать сущность доказательства; форма «поедает» содержание.

Очевидно, надо приучить учащихся к форме записей, применяющихся при доказательстве теорем, заблаговременно до встречи с первыми теоремами. Удобным материалом для этого являются действия над отрезками и действия над углами. Этим вопросам в учебнике обычно уделяется очень мало места, а поэтому и учитель, следуя за учебником, также весьма бегло останавливается на них. Изучение действий над отрезками и действий над углами является весьма подходящим материалом, чтобы дать учащимся первые навыки не только в операциях над этими величинами, но и в оформлении записей этих операций.

Например, даются две ломаные линии: ABCDE и КЕМ; требуется найти, на сколько первая из них больше второй. Учащиеся с помощью циркуля и линейки находят сумму звеньев первой ломаной линии и при этом фиксируют: АВ -j- ВС + CD -f--\-DE = PQ. Затем находят сумму звеньев второй ломаной линии и записывают: КЕ -\- LM — RS. Наконец, находят искомую разность: PQ — RS= XY.

В отношении операций над отрезками уместно выполнить с параллельной фиксацией следующие упражнения:

1) Найти сумму отрезков АВ и CD.

2) Путем построения показать, что сумма отрезков а и b не зависит от порядка слагаемых.

3) Найти сумму трех отрезков АВ, CD, EF.

4) Показать, что к сумме отрезков а, Ъ, с применим сочетательный закон сложения.

5) Дан треугольник ABC. Построить отрезок, равный его периметру.

6) Найти разность двух отрезков а и Ь (а > Ь).

7) Даны два треугольника: А ABC и ADEF. На сколько периметр одного из них больше периметра другого?

8) Дан отрезок АВ. Построить отрезок MN = ЗАВ.

9) Даны отрезки а и Ь. Построить отрезок х = 4а + ЗЬ.

10) Построить отрезок х = Зс — 2d, где с и d—данные отрезки.

11) Данный отрезок АВ разделить пополам.

Примечание. Деление отрезка выполняется с помощью циркуля и линейки обычным способом. Правильность деления проверяется циркулем. Деление можно выполнить циркулем путем последовательных испытаний.

12) Найти четвертую часть отрезка с.

13) Построить отрезок х= — а-\-—Ь, где а и b — данные отрезки.

14) Даны отрезки т, п, р. Построить отрезок x = 5m-f

Число таких упражнений легко увеличить.

Операции над углами уместно связать с измерением углов транспортиром. Прежде всего необходимо научить детей выполнять две основные операции: измерить транспортиром данный угол и построить угол, величина которого задана в градусах или прямых углах.

Приводим примерные упражнения:

1) Построить угол, равный сумме двух углов: /_ АБС и /_ DEF.

Указание. Учащийся измеряет транспортиром каждый из данных углов, вычисляет число градусов, содержащихся в угле, равном сумме данных, и затем транспортиром строит искомый угол; в итоге фиксирует: ZABC + ZDEF = Z.MNP.

2) Найти сумму трех углов: /_2, /_3.

3) Построить угол, равный сумме углов A ABC.

4) Найти разность /Л и /_В (Z^> ZB)-

5) Построить угол, равный /_А + /_В — /_С, где Л, В, С — данные углы.

6) Дан / К. Построить / М = 3 /_ К.

7) Построить /_M = \/_ABC — 3l_DEF.

8) Построить угол, равный половине, третьей части /1.

9) Построить угол, равный —, — угла Л.

10) Построить ZX = 2ZABC— ~-/_DEF. Число таких упражнений также легко увеличить.

Действия над отрезками и углами дают возможность учащимся приобрести некоторые навыки в выполнении операций над простейшими геометрическими величинами и первые умения и навыки фиксировать эти операции. Навыки в фиксации отчасти устранят одну из трудностей, с какой учащиеся встречаются при доказательстве первых теорем. Нередко учитель ставит вопрос, где взять учебные часы на такие упражнения. Опыт свидетельствует, что перерасход учебного времени легко ликвидируется при изучении первых двух десятков теорем.

При изложении на уроке первых теорем геометрии целесообразно применять наиболее простые обозначения отрезков и углов. Это облегчает усвоение содержания теоремы и ее доказательство. Иногда можно фиксировать только чертеж фигуры и отказаться от других записей; например, так можно поступить при изложении зависимости между дугами и стягивающими их хордами. В других случаях фиксируется чертеж фигуры, условие и заключение; например, так уместно поступить при изложении/ связей между центральными углами и соответствующими дугами. В немногих случаях фиксируется чертеж и доказательство; так, например, приходится поступать при изложении теоремы о вертикальных углах. Упрощенное оформление доказательств способствует лучшему пониманию и усвоению геометрической сущности теорем.

При получении начальных сведений по геометрии в связи с изучением арифметики широко применяются наблюдение и опыт; при этом большую роль играют органы чувств учащихся и особенно зрение.

Поэтому вполне естественно, что при изучении первых теорем учащиеся могут задать вопрос: «А зачем доказывать эту теорему? Справедливость ее очевидна». Учитель должен быть готовым дать убедительный ответ на такой вопрос.

Прежде всего надо показать учащимся, что наблюдение и опыт не всегда дают безошибочные знания: результаты наблюдения и опыта могут быть приближенно верными или даже ошибочными. Чтобы продемонстрировать это, рекомендуется использовать так называемые зрительные иллюзии, описание которых можно найти в курсах психологии.

Поясним примерами. При появлении со стороны учащихся реплики, что доказывать нет надобности, что теорема очевидна, учитель вывешивает лист чертежной бумаги, на котором изображены два равных отрезка АВ и CD со «стрелками», как показано на чертеже 2, и предлагает учащимся «на глаз» установить, который из отрезков больше. Опыт показывает, что подавляющее большинство учащихся утверждает: «Отрезок CD больше отрезка

Черт. 2.

АВ». После такой оценки длин отрезков на глаз длины измеряются линейкой с миллиметровыми делениями, и учащиеся убеждаются, что глаз обманул их.

Прекрасный эффект дает демонстрация фигуры, изображенной на чертеже 3. Отрезки АВ и АС равны, но АС является большой диагональю одного, а АВ — малой диагональю другого параллелограмма. Ставится вопрос, который из отрезков АВ и АС больше. Обычный ответ: АВ^>АС. Измерение этих отрезков показывает, что зрение и в этом случае обманывает.

Естественно следует вывод, что глазу не всегда можно доверять, что то, что мы устанавливаем путем наблюдения, подлежит проверке. Такой проверкой и являются доказательства.

Достаточно 2—3 раза продемонстрировать зрительные иллюзии, чтобы вопрос: «Зачем доказывать?» в дальнейшем не возникал.

Черт. 3

При удобном случае полезно разъяснить учащимся, что наблюдение и опыт не всегда возможно провести. В равнобедренном треугольнике, изображенном на листе бумаги, мы можем проверить равенство углов при основании путем измерения. Но если вообразить равнобедренный треугольник больших размеров, то такая проверка может оказаться неосуществимой.

Кроме того, всякий опыт может быть осуществлен только в отношении небольшого числа фигур какого-либо класса. Опыт не может охватить все множество фигур этого класса. Доказательство же имеет силу для любой фигуры определенного класса. Доказательству надо отдать предпочтение перед опытом.

Демонстрация иллюзий, краткие, но убедительные разъяснения ограниченной роли наблюдения и опыта в познании математических фактов приводят к тому, что учащиеся постепенно вырабатывают правильное отношение к дедуктивному методу, а наблюдение и опыт ставятся на свое место, они не теряют своего значения в познании мира — за ними сохраняется значительная эвристическая роль, к ним учитель будет прибегать по мере надобности. Таким путем устанавливается естественная взаимосвязь между дедуктивным и индуктивным методами

Как уже отмечалось, в элементарной геометрии используются

весьма разнообразные способы доказательств предложений. Вращение фигуры в плоскости вокруг центра, осевая симметрия, движение фигуры в плоскости, метод от противного, доказательство равенства углов или отрезков путем установления равенства треугольников, метод геометрических мест, подобия, пределов, алгебраический и некоторые другие уже применяются в планиметрии и отдельно, и в сочетаниях. В первое полугодие изучения систематического курса геометрии шестикласснику приходится познакомиться со многими из этих способов доказательства. Ни учебник, ни учитель не дают и не могут дать учащимся указания, которые позволяли бы судить, какой способ надлежит выбрать для установления верности теоремы, доказательство которой еще неизвестно. Только значительная практика в доказательствах может развить умения и навыки сравнительно удачно и быстро подбирать способы и пути доказательств.

Методический обзор путей ознакомления учащихся с отдельными способами доказательств выходит за пределы этой работы. Ограничимся лишь общими указаниями.

Каждая первая встреча учащихся с новым для них способом доказательства должна быть тщательно подготовлена и проведена учителем. Это необходимо сделать для того, чтобы доказательство было сознательно усвоено учащимися, и главным образом для того, чтобы учащиеся осознали новый способ установления верности предложений, его сущность, отдельные этапы и особенности, чтобы последующие встречи с тем же способом доказательства не вызывали затруднений. При первой встрече с новым способом доказательства следует кратко и четко выяснить сущность способа, опираясь при этом на конкретную теорему, а в иных случаях полезно записать и план доказательства. Например, при первой встрече с доказательством методом противоречия (от противного) уместно наметить и записать план доказательства. Такой зафиксированный план учащиеся применяют, как показывает опыт, весьма удачно и при последующих встречах с доказательством этим методом1.

Где возможно без нарушения системы курса, полезно предлагать последовательно не одну, а несколько теорем, которые доказываются одним и тем же способом. При этом получается повторение учащимися способа доказательства применительно к новой теореме, а такое повторение с педагогической точки зрения очень полезно. Например, в интересах усвоения метода перегибания плоской фигуры теорему о свойствах равнобедренного треугольника можно разбить на две самостоятельные теоремы: а) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; б) в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

В целях фиксации внимания учащихся на определенном мето-

1 См. гл. VII, п. 11.

де полезно использовать и задачи на доказательство геометрических предложений.

При первых встречах с такими способами доказательства, в которых применяется движение, уместно использовать демонстрации моделей. Например, теорема о первом признаке параллельности двух прямых является одной из труднейших теорем для шестиклассников: доказательство опирается на метод приведения к нелепости и двукратное вращение фигуры вокруг центра симметрии1. При изложении теоремы уместно продемонстрировать вращение левой части фигуры вокруг центра симметрии до совмещения с правой ее частью. Демонстрируется и обратное движение. С этой целью подготовляется чертеж, на котором правая часть фигуры изображена на полулисте чертежной бумаги, а левая — на кальке.

Иногда говорят, что ученики VI класса, переходя к изучению курсов геометрии и алгебры, совершают «скачок»: индуктивное мышление резко сменяется дедуктивным. Изложенное выше показывает, что это не совсем так: до этого учащиеся пользовались дедуктивными умозаключениями и после этого они пользуются неполной индукцией. Только неумелое обучение может привести к тому, что получится неприятный в педагогическом отношении «скачок». Одна из задач методики преподавания математики и каждого учителя математики состоит в том, чтобы дети совершили переход к систематическим курсам плавно, без всяких «скачков».

7. Неполная индукция и ее роль в развитии математики

Неполной индукцией называется такое умозаключение, в котором вывод делается только на основании части всех случаев, согласующихся с обобщением, при условии, что не имеется ни одного случая, которые противоречат обобщению. Схематически неполную индукцию можно представить так:

А19 Л2, ... , Ап суть В\

Аи Д2, ... , Ап составляют только часть элементов множества Л.

Вероятно, все элементы множества А суть В.

В этой схеме Ak, где k= 1,2,..., я, может быть и отдельным элементом множества А, и подмножеством множества А.

Для неполной индукции характерно, что Аи Л2,..., Ап не исчерпывают множества Л; они дают только часть всех элементов множества Л,— при этом нередко весьма незначительную. Этим и объясняется название «неполная индукция». Для рассматриваемого умозаключения характерно и то, что заключение делается о всех элементах множества А, т. е. заключение делается от частного к общему. И как результат этого неполная индукция дает

1 Н. Н. Никитин, А. И. Фетисов, Геометрия, ч. 1, Учпедгиз, 1956.

вывод вероятный; вероятность верности заключения в конкретных случаях весьма различна: она может быть равна 0, т. е. индуктивный вывод может быть ложным; она может равняться и 1, т. е. вывод достоверен.

Имеет ли какое-либо значение неполная индукция для математики и если имеет, то какое?

При изложении математических теорий пользуются только достоверными умозаключениями, поэтому неполная индукция не применяется.

Однако история математики показывает, что при возникновении, при развитии математических дисциплин, неполная индукция наряду с другими методами и в единстве с ними играла и играет значительную роль. Несомненно, что первый период в развитии математических знаний был периодом накопления математических фактов, получаемых как ответы на запросы практической деятельности человека грубо эмпирическим путем. В этом первоначальном накоплении математических фактов безусловно видную роль играла неполная индукция. Некоторые законы арифметических действий — переместительные законы сложения и умножения, сочетательные законы тех же действий и распределительный закон умножения относительно сложения — индуктивного происхождения. В глубочайшей древности люди при сложении конкретных чисел множество раз наблюдали, что, будут ли прибавлять т предметов к п таких же предметов или, наоборот, п будут прибавлять к т, сумма остается та же самая, и в результате этих наблюдений постепенно создавался переместительный закон сложения для натуральных чисел. Дальнейшее развитие понятия о числе — постепенное введение дробных чисел, появление иррациональных чисел, отрицательных и мнимых чисел — позволяло на конкретных примерах убеждаться в том, что законы арифметических действий применимы и к этим новым числам, при этом неполная индукция играла решающую роль. Уже изложенное позволяет утверждать, что для возникновения и развития арифметики характерно использование наряду с другими методами неполной индукции.

Геометрия, как и арифметика, также пережила в глубокой древности под влиянием практических задач, стоящих перед человеком, период медленного накапливания эмпирических правил. Переход человека к занятию земледелием вызывает потребность в измерении площадей земельных участков, а это приводит к постепенному накоплению правил измерения площадей, одни из которых были верными, другие приближенными, а третьи ошибочными. Развитие ремесел, строительство городов потребовало дальнейшего расширения геометрических знаний: появляются эмпирические правила измерения объемов некоторых тел. Безусловно и правила измерения площадей, и правила измерения объемов, и ряд других геометрических правил создавались путем неполной индукции.

Таким образом, в историческом развитии математики индукция наряду с другими методами играла заметную роль. Это положение подтверждается, если обратиться к изучению творчества отдельных математиков.

8. Неполная индукция в творчестве математиков

Неполная индукция имеет значение как один из эвристических методов в творчестве математиков.

Творчество талантливого французского математика Ферма (XVII в.) носит ясные следы неполной индукции. После Ферма осталась серия недоказанных предложений из теории чисел. В частности, к числу этих предложений относятся малая теорема Ферма: «Частное от деления ар_1на р всегда имеет остаток единицу, если р есть любое простое число, а а — любое натуральное число, не кратное р», и большая теорема Ферма: «Если х, у, z — целые числа, отличные от 0, то уравнение хп -f- уп = гп не может быть решено, если только п — целое число и больше двух». Интересно отметить, что поиски доказательства этой теоремы идут индуктивным путем: Эйлер доказал невозможность решения для п = 3 и п = \\ затем теорема была доказана для п = 5 и п = 7; далее Куммер доказал теорему для всех п <100. Общего доказательства до сих пор не найдено1.

Творчество Ферма дает примеры того, что в математике нельзя ограничиться неполной индукцией, что этот метод может дать ложное предложение. Ферма высказал предложение, что все числа вида 22" +1 суть простые числа. Ферма мог проследить правильность этого предложения для п =1, 2, 3 и 4; эти частные случаи, по-видимому, и послужили основанием для выставленного им предложения. Но Эйлер показал; что предложение Ферма неверно для п = 5, так как 225 + 1 делится на 641. Предложение, найденное с помощью неполной индукции, оказалось ложным.

В 1742 г. петербургский академик Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что каждое нечетное число есть сумма трех простых чисел. Это предположение было получено Гольдбахом путем проб: он брал нечетные числа и всякий раз ему удавалось такое число представить как сумму трех простых чисел. Эйлер дополнил проблему Гольдбаха: всякое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел.

В наше время проблему Гольдбаха — Эйлера формулируют так: «Всякое четное число, большее или равное 6, есть сумма двух простых чисел, а всякое нечетное число, большее или равное 9, есть сумма трех простых чисел». Эта проблема — результат неполной индукции. Проблема Гольдбаха оказалась настолько сложной, что в продолжение без малого двух сотен лет не была

1 Э. Кольман, Предмет и метод современной математики, Соцэкгиз, 1936, стр. 64.

решена. В 1937 г. советский академик И. М. Виноградов напечатал работу, в которой показал, что все нечетные числа, начиная с некоторого, разлагаются на сумму трех простых чисел. Таким образом, проблема Гольдбаха получила частичное решение.

Количество примеров, подтверждающих, что в творчестве отдельных математиков неполная индукция играла и играет эвристическую роль, нетрудно увеличить.

Имеются свидетельства известных математиков, подчеркивающих значение индукции в процессе творчества. Один из крупных математиков Германии Ф. Клейн пишет: «Вы можете часто услышать от нематематиков, в особенности от философов, что математика занимается выводами логических следствий из ясно заданных посылок... Совершенно иначе смотрит на дело всякий, кто сам продуктивно занимается математикой. В действительности те люди судят исключительно по той выкристаллизованной форме, в какой принято излагать готовые математические теории; но исследователь работает в математике, как и во всякой другой науке, совершенно иначе: он существенно пользуется своей фантазией и подвигается вперед индуктивно, опираясь на эвристические вспомогательные средства»1. И несколько ниже Клейн дает оценку индуктивному методу: «...индуктивная работа того, кто впервые установил какое-либо предложение, имеет, конечно, такую же ценность, как и дедуктивная работа того, кто его впервые доказал, ибо то и другое одинаково необходимо»2.

Итак, математике в ее возникновении, в ее развитии не чужда неполная индукция.

Однако «Самая простая истина, самым простым, индуктивным путем полученная, всегда неполна, ибо опыт всегда незакончен»3, — отмечает В. И. Ленин.

Ф. Энгельс указывает, что «... индуктивное умозаключение по существу является проблематическим»4.

Эти высказывания классиков марксистско-ленинской теории имеют особо большое значение для математики: в математике никогда не довольствуются индуктивными заключениями, как окончательным итогом исследования; индуктивное заключение — это гипотеза; чтобы сделать эту гипотезу математическим фактом, надо найти дедуктивное обоснование гипотетического предложения.

9. Неполная индукция при обучении математике

Чтобы ввести учащихся в область изучения даже простейших математических объектов и их отношений, чтобы познакомить их

1 Феликс Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1, 1935, стр. 335.

2 Там же, стр. 336.

3 В. И. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947, стр. 154.

4 Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1955, стр. 180.

с элементарными выводами одних отношений из других, необходимо подготовить мышление учащихся путем накопления чувственных данных, нужных для установления и математических понятий, и тех операций, какие придется выполнять учащимся с целью вывести одни отношения из других.

Неполная индукция может оказать и оказывает существенную помощь в подготовке мышления учащихся: она, опираясь на наблюдения, на опыты, на конкретные пространственные формы и количественные отношения, на примеры, является мощным средством в подготовке учащихся к понятийному мышлению, она дает чувственную основу для этого мышления. В силу этого неполная индукция должна занимать при обучении, особенно в первые годы, солидное место. Процесс обучения математическим предметам должен начинаться с целесообразного накапливания чувственных данных и затем на этом базисе переходить к понятийному мышлению, к установлению и развитию отношений между понятиями, к выводу одних отношений из других.

Таким образом, значение неполной индукции в процессе обучения прежде всего заключается в необходимости подготовить мышление учащихся, оснастить его чувственными данными для того, чтобы на этой базе перейти к логическим операциям над математическими понятиями.

Мы видели, что при возникновении и развитии математики индуктивный метод играл и играет существенную роль, что в творчестве отдельных математиков неполная индукция имеет значение эвристического метода. Это дает уверенность в том, что разумное использование в педагогическом процессе неполной индукции ни в какой мере не противоречит методологии математики, а вполне согласуется с ней.

Надо заметить, что при обучении индуктивные заключения не могут привести к ложным результатам, как это может иметь место при исследовательской работе: на страже правильности индуктивного вывода стоит учитель; в случае надобности он внесет необходимые коррективы и достигнет того, что полученный с помощью неполной индукции результат будет безупречным.

Применение неполной индукции прекрасно согласуется с принципами дидактики, требующими уместного применения наглядности, исходить от конкретного и развивать на этой основе абстрактное, исходить от частного и овладевать общим.

Одним из принципов обучения математическим предметам является такая организация педагогического процесса, чтобы учащиеся по возможности сами открывали математические предложения, чтобы возможно полнее использовалась инициатива учащихся, культивировались искания, поощрялись начатки творчества, чтобы максимально использовалась активность, свойственная детям. Приобретенные таким путем математические знания всегда отличаются большей основательностью, большей прочностью, и, как показывает опыт, учащиеся проявляют интерес и да-

же любовь к математическим предметам, что в свою очередь обеспечивает дальнейшее успешное обучение. Если в развитии математики неполная индукция играет роль одного из эвристических методов, то это надо использовать в педагогическом процессе: неполную индукцию следует применять, особенно в младших классах, как существенную составную часть эвристического метода обучения; она дает возможность наводить учащихся на открытия и формулировки новых для них предложений.

Интересно и то, что использование индуктивного метода необходимо влечет за собой применение и других методов. На самом деле, учащиеся, применяя индукцию, производят наблюдения, в иных случаях им придется выполнить несложный и посильный эксперимент; они должны подметить то существенно общее, что проходит перед ними в различных явлениях, и отвлечься от тех различий, которые свойственны явлениям; учащимся предъявляются требования провести анализ, выделить из явления то, что интересно в отношении дальнейшего развития теории, но этот анализ неизбежно сопровождается синтезом, ибо подмеченное общее есть уже синтез; учащиеся формулируют добытое индуктивным путем предложение, но это таит в себе уже дедукцию, так как предложение применяется к частным случаям, к решению примеров и задач; нередко полученное индуктивным путем предложение требуется доказать. Таким образом, в процессе обучения неполная индукция неизменно влечет за собой целую серию сопутствующих методов, которые представляют существенный интерес с точки зрения задач советской школы и политехнического обучения.

Однако математика при изложении своих концепций пользуется дедуктивным методом, значит, и в школьных математических предметах, как основах наук, этот метод должен занимать видное место; он, особенно в средних и старших классах, должен быть явно основным методом. Поэтому нецелесообразно злоупотреблять неполной индукцией, применять ее там, где нет в этом надобности. Нецелесообразно, например, строить курс геометрии так, что каждая теорема предваряется опытом, что каждая теорема изучается примерно по следующей схеме: формулировка теоремы, опыт, иллюстрирующий ее, затем доказательство. В истории развития советской школы такие попытки построения курса геометрии для семилетней школы имели место. Их надо признать несостоятельными: они искажают сущность школьного математического предмета, ибо дают неверное соотношение между использованием индукции и дедукции: математический предмет становится индуктивно-дедуктивным; они несостоятельны и с дидактической точки зрения, ибо далеко не каждое предложение нуждается в том, чтобы его предварительно устанавливать опытным путем.

В средних классах (V—VII классы) неполная индукция используется, где это необходимо, как наводящий метод для изу-

чения новых предложений, но она постепенно и неуклонно уступает свое место дедукции. Практика работы школ показывает, что учащиеся VI класса в умственном отношении уже настолько развиваются, что дедуктивный метод при установлении новых для них предложений не затрудняет: они при правильном обучении умело им пользуются.

В старших классах индуктивный метод еще больше теряет свое значение. Однако даже в этих классах нет оснований совершенно отказываться от использования неполной индукции: ее полезно применять от случая к случаю при изучении предложений, которые без этого могут вызвать затруднения или привести к формальному их усвоению. Кроме того, в этих классах изменяется и самый характер индукции: если в младших классах в основе индуктивных заключений по преимуществу лежит опыт с вещами и их отношениями, то в старших классах этот опыт в значительной степени заменяется рассмотрением примеров или примерных задач.

Для пояснения изложенного приведем несколько примеров использования индуктивного метода и, опираясь на них, сделаем дополнительные замечания.

В начальном курсе арифметики учащиеся подмечают на ряде примеров, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, и в результате формулируют переместительный закон сложения. Этот закон позднее в V классе проверяется на примерах для дробных чисел, в VI классе для рациональных чисел, в VIII — для вещественных и, наконец, в X — для комплексных чисел, но он нигде в курсе арифметики и алгебры средней школы не получает дедуктивного обоснования. Так же обстоит дело и с другими законами арифметических действий. Такое положение, очевидно, и побуждает некоторых авторов законы арифметических действий называть аксиомами арифметики1.

Иногда учащиеся, изучая теоремы, отличающиеся новизною тех отношений, которые в них устанавливаются, усваивают такие теоремы формально, поверхностно, без должного понимания. Например, опыт показывает, что некоторые учащиеся формально усваивают теорему об измерении вписанного в окружность угла. Вот почему доказательство этой теоремы уместно предварить экспериментом с последующим индуктивным выводом. Цель эксперимента — продемонстрировать то отношение, какое существует между градусной величиной дуги, на которую опирается угол, и градусной величиной этого угла. Эксперимент сводится к измерению транспортиром двух-трех вписанных углов и к сопоставлению результатов этих измерений соответственно с количеством градусов, заключающихся в дугах, на которые они опираются. Для эксперимента нужно заблаговременно подгото-

1 П. С. Александров, Научное содержание школьного курса алгебры, журн. «Математика в школе», 1946, № 4, 5 и 6.

вить модель, которая в методической литературе известна под названием «Универсальной модели круга». Эксперимент вскрывает сущность этою отношения, о котором идет речь в теореме, и дает возможность сделать индуктивный вывод — формулировать теорему; эксперимент дает конкретную базу для мышления учащихся и позволяет изжить формальное усвоение не только этой теоремы, но и серии последующих теорем об измерении углов, связанных с окружностью.

В иных случаях индуктивный подход к теореме представляет интерес потому, что он дает возможность учащимся «открыть» теорему и проливает свет на структуру доказательства. Примером может служить теорема о сумме углов треугольника. Если •каждый из учащихся вырежет из бумаги треугольник, затем «оторвет» два угла и приложит их к третьему, то легко убедиться, что сумма всех углов равна 2d. Так как треугольники были раз личной формы и различных размеров, то явно напрашивается мысль, что это не случайное явление, а строгая закономерность. Опираясь на эти наблюдения, учащиеся легко формулируют теорему. Произведенный ими опыт дает некоторые указания и на то, как надо доказывать теорему: следует сделать такие дополнительные построения, чтобы было выполнено сложение всех углов треугольника. В этом примере особо ярко выявляется эвристическая роль неполной индукции.

10. Полная индукция и ее роль в математике

Полную индукцию можно представить следующей схемой:

Аи А2, Л, суть В\

Аи Л2, Ап составляют множество А.

Следовательно, все элементы А суть В.

Под Ак, где k=l, 2,..., п, можно разуметь или отдельные объекты (элементы) множества А, или виды некоторого рода А. Сущность умозаключения, данного схемой полной индукции, состоит в том, что логическое сказуемое В, установленное посылками о каждом отдельном объекте класса или о каждом виде, в заключении утверждается за всем классом или за всем родом. Заключение основывается на полном тождестве объемов понятий, о котором идет речь в выводе, и совокупности объемов всех понятий, всех объектов или всех видов рода, о которых говорится в посылках. Другими словами, для полной индукции характерно, что объем понятия А равносилен совокупности объемов понятий Аи А2, Ап. Эта формула индукции называется полной потому, что А], Л2, Ап полностью исчерпывают множество А.

Полная индукция была известна Аристотелю (IV в. до н. э.), а поэтому ее иногда называют аристотелевской индукцией. Иногда ей дают название совершенной индукции, так как она в

отличие от неполной индукции дает безупречные, совершенные знания. Иногда полную индукцию называют формальной, так как обычно она рассматривается как один из методов доказательства.

Полная индукция является одним из видов умозаключений, дающим безупречно строгий вывод при условии, что Ak полностью исчерпывают множество А.

Аристотелевская индукция находит довольно широкое применение в математических доказательствах в следующем плане: если требуется доказать предложение относительно понятия А и если дать единое доказательство не представляется возможным, то родовое понятие А разбивается на видовые понятия Аи Л2, Ап9 полностью исчерпывающие объем родового понятия Л, а затем отдельно доказывается верность предложения для Аи для Л2, Лп, и затем, опираясь на эти частные предложения, утверждается правильность доказываемой теоремы относительно А.

Такое применение полной индукции находит место при доказательствах многих теорем. Например, так называемая теорема косинусов очень часто отдельно доказывается для случая, когда сторона лежит против острого угла, затем для случая, когда она лежит против тупого угла, и, наконец, отмечается случай, когда сторона лежит против прямого угла. В результате утверждается, что теорема косинусов верна для любого треугольника. Это заключение с логической точки зрения безупречно, так как указанные виды треугольников полностью исчерпывают родовое понятие треугольника.

Доказательство теоремы об измерении вписанного в окружность угла также расщепляется на три случая: 1) центр окружности лежит на одной из сторон угла, 2) центр лежит внутри угла и 3) центр — вне вписанного угла. Эти три случая полностью исчерпывают различные возможности расположения центра относительно сторон угла, а поэтому теорема верна для любого вписанною угла.

Заметим, что между двумя приведенными примерами имеется существенная разница. При обосновании теоремы косинусов каждый частный случай доказывается независимо от других, а поэтому эти частные случаи можно рассматривать в каком угодно порядке. При обосновании теоремы об измерении вписанного угла прежде всего надо рассмотреть случай, когда сторона угла проходит через центр, ибо второй и третий случаи опираются на первый.

11. Полная индукция в обучении математике

Уже приведенные примеры применения полной индукции показывают, что в школьном обучении математическим предметам приходится пользоваться этой формой индукции.

В курсе арифметики учащиеся впервые встречаются с этой формой умозаключения. Если в арифметике, как научной дисциплине, умножение рациональных чисел вводится на основе определения, то в школьных курсах арифметики по методическим соображениям поступают иначе. Первоначально рассматривается только умножение положительных рациональных чисел, при этом дают поясняющие описания, какой смысл вкладывается в умножение на целое число, на дробь, на смешанное число. Затем на базе этих описаний выводятся правила: 1) умножения дроби на целое число, 2) умножения целого на дробь, 3) умножения дроби на дробь и 4) умножения смешанных чисел1. Однако такое изобилие правил по методическим причинам неудобно; это неудобство дает себя знать особенно после изучения правил деления дробей. Поэтому в результате изучения умножения дробей полезно дать одно общее правило, охватывающее все перечисленные частные случаи. На примерах выясняется, что таким общим правилом умножения положительных рациональных чисел является умножение дроби на дробь: к нему могут быть сведены все остальные правила. Процесс получения общего правила умножения — есть не что иное, как заключение но схеме полной индукции.

Такое же использование полной индукции имеет место при установлении общего правила деления положительных рациональных чисел.

В курсе планиметрии учащиеся многократно встречаются с применением аристотелевской индукции как при изучении теорем, так и при решении задач на доказательство. Первыми из них являются теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами и об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. При изложении теорем, в доказательстве которых применяется полная индукция, учитель должен с особой педантичностью обращать внимание учащихся на то, что теорема может считаться доказанной, если исчерпаны все возможные случаи, на которые распадается теорема.

В VIII или IX классе, опираясь на ту или другую теорему, полезно познакомить учащихся с сущностью аристотелевской индукции, с необходимым требованием, предъявляемым к ней, чтобы она могла считаться методом доказательства.

Знакомство учащихся с полной индукцией постепенно укрепляется при дальнейшем изучении математических предметов. Прекрасный материал для этого дает алгебра: в главе, в которой вводятся отрицательные, дробные и иррациональные показатели, полная индукция многократно применяется при установлении правил действий над степенями с одинаковыми основаниями.

Практика показывает, что учащиеся допускают ошибки в црименении аристотелевской индукции, которые заключаются

1 Е. С. Березанская, Методика арифметики, Учпедгиз, 1955.

в том, что при разложении класса А на видовые понятия Аи Л2, .... Ап не исчерпывается полностью родовое понятие А и, таким образом, рассматриваются не все Ак, а только часть их, однако в формулировке теоремы идет речь о любом элементе или подмножестве множества А. Ошибка объясняется недостаточным развитием анализирующего мышления и по существу сводится к подмене аристотелевской индукции неполной индукцией, в результате чего формальная индукция теряет свою логическую безупречность и перестает носить характер доказательства. Например, ученик доказывает теорему синусов для остроугольного, затем для тупоугольного треугольника и дает общую формулировку, что во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. И вопрос, будет ли теорема верна для прямоугольного треугольника, иногда вызывает замешательство. Аналогично с этим иногда вызывает смущение и вопрос, будет ли теорема косинусов верна для прямоугольного треугольника, если искать выражение для квадрата гипотенузы.

Мерой борьбы против такой ошибки в применении полной индукции является настойчивое и систематическое требование учителя исчерпывающе полно проводить деление родового понятия А на видовые понятия Ль А2, ... , Ап. Полезно также обратить внимание учащихся на то, что если относительно хотя бы одного видового понятия теорема не доказана, она вообще остается недоказанной; что если относительно хотя бы одного видового понятия теорема неверна, она вообще неверна.

12. Аналогия в математике

К неполной индукции примыкает заключение по аналогии. Если две вещи сходны одна с другой в одном или более признаках и если некоторое положение истинно относительно одной из них, то оно, возможно, истинно и относительно другой. Заключение по аналогии можно представить следующей схемой:

А обладает признаками Си с2у сп.

В обладает теми же признаками си с2, сп,

А обладает признаком d. Вероятно, и В обладает признаком d.

Примеры заключений по аналогии:

а) Построим на сторонах прямоугольного треугольника квадраты. Квадраты подобны между собой.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника подобные многоугольники, чтобы стороны треугольника были их сходственными сторонами.

Квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Вероятно, многоугольник, построенный на гипотенузе, равновелик сумме подобных многоугольников, построенных на катетах.

б) Построим на сторонах прямоугольного треугольника кубы, чтобы стороны треугольника служили ребрами кубов.

Вероятно, и куб, построенный на гипотенузе, равновелик сумме кубов, построенных на катетах.

Вероятность заключения по аналогии весьма различна. В первом примере легко доказать, что заключение будет достоверно. Во втором примере заключение ложно.

Между заключением при неполной индукции и заключением по аналогии имеются сходства и различия. И то и другое дает заключения, которые требуют дальнейшего изучения, чтобы убедиться в их истинности или ложности. Разница между ними состоит в следующем: в индукции делается заключение от отдельных объектов или отдельных видов объектов к роду; в аналогии же — от объекта к объекту или от класса к классу.

Вероятность заключения по аналогии зависит от того, насколько признаки си с2у сп9 принадлежащие Л и В, преобладают над различиями между Л и В: чем больше общих свойств, чем меньше различий, тем больше вероятность правильности заключения. При оценке вероятности заключения признаки, являющиеся следствиями некоторого признака, не принимаются во внимание. Если В обладает признаком, не совместимым с теми признаками, о которых делается заключение по аналогии, то общие признаки Л и В не имеют значения и вероятность заключения равна 0. Если признак d является следствием си с-2, сп, то нет надобности в заключении по аналогии: признак d принадлежит и В.

При изложении математических теорий в обработанной форме не пользуются аналогией. Она может играть некоторую роль только в процессе математического творчества как один из эвристических методов. Она может подсказать существование нового, еще неизвестного предложения, но это предложение является пока только гипотезой. Возникает задача доказать или опровергнуть эту гипотезу. Аналогия может подсказать способ доказательства, но надо проверить, правильны ли эти предсказания: надо выполнить доказательство. Аналогия может подсказать путь решения задачи, а выполнение этого решения проверяет догадки.

Математические теории излагаются так, что не видно никаких следов, отражающих искания, творческий путь автора, не видно тех методов, какие привели автора к новой теории, к новым предложениям. Но несмотря на это, в истории математики можно найти достаточное количество фактов, свидетельствующих о положительной роли заключений по аналогии в созидательной работе. Понятие о функции комплексного переменною создается по аналогии с понятием функции действительною переменного. Первоначальное общее направление изучения функций комплексного переменного в значительной мере определяется аналогиями с методами изучения функций действительного переменного. Аналогия подсказала создание геометрии я-мерного пространства.

13. Аналогия при обучении математике

В педагогическом процессе роль аналогии двояка: или она выступает как положительный эвристический фактор, или она при легкомысленном использовании ведет ученика к ложным заключениям, которые не обосновываются, не проверяются, а применяются к решению задач и примеров.

Как положительный эвристический фактор аналогия может оказать помощь в трех направлениях: она может быть применена для того, чтобы навести учащихся на открытие нового для них предложения и помочь формулировать его; она может дать указания о выборе метода и приема доказательства предложения; она может оказать помощь в отыскании путей решения задачи или примера.

Например, опираясь на аналогию, учитель может привести класс к тому, что учащиеся откроют предложение, что многоугольник, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме подобных ему многоугольников, построенных на катетах этого прямоугольного треугольника, если стороны треугольника будут являться сходственными сторонами многоугольников. И сейчас же перед учащимися возникает задача найти доказательство этого гипотетическою предложения. Этот пример легко и продолжить: 1) не будет ли круг, построенный на гипотенузе, как на диаметре, равновелик сумме кругов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах? 2) не будет ли поверхность шара, построенного на гипотенузе, как на диаметре, равновелика сумме поверхностей шаров, построенных на катетах, как на диаметрах?

Метод доказательства теоремы об объеме усеченного конуса учащиеся могут усмотреть по аналогии с методом доказательства теоремы об объеме усеченной пирамиды. Эти тела имеют много сходного и различного; то, что общее в телах, может навести на мысль — использовать тот же прием доказательства теоремы об объеме усеченного конуса, который был применен для доказательства теоремы об объеме усеченной пирамиды.

Некоторые теоремы стереометрии по своему содержанию и методу доказательства аналогичны соответствующим теоремам планиметрии. Таковы, например, теоремы о перпендикуляре и наклонных, проведенных из точки на прямую и плоскость, о параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей, перпендикулярных прямой. Этим обстоятельством в эвристических целях следует пользоваться.

При решении задач на построение полезно указывать признаки задач, которые позволяют определить выбор метода решения. Такие указания дают почву для заключений по аналогии, и вероятность таких заключений значительна. Например, неоднократно обращалось внимание учащихся на то, что если решение задачи сводится к отысканию положения точки на плоскости, то

задача успешно решается методом геометрических мест. Если ученик при решении задачи усматривает, что решение будет найдено, если он сумеет определить положение точки по отношению к некоторой плоской фигуре и на основании этого делает заключение, что при решении задачи целесообразно встать на путь применения геометрических мест, то такое заключение имеет значительную вероятность и обещает успех в решении задачи. При решении задач иногда самая малозначительная Аналогия позволяет найти метод решения.

Приведенные примеры показывают, что в педагогическом процессе аналогия оказывается полезным в эвристических целях вспомогательным методом.

Но правы те, кто утверждает, что многие математические заблуждения и ошибки учащихся объясняются неверными заключениями по аналогии. Ученик по аналогии, чаще всего им не осознаваемой, распространяет какое-либо правило на такие случаи, к которым оно не применимо, и начинает пользоваться этим незаконно расширенным правилом в решении примеров и задач. К числу ошибок, порожденных неверной аналогией, относится, например, хорошо известная учителям довольно распространенная и медленно искореняемая ошибка в сокращении слагаемых в числителе и знаменателе дроби. Такое сокращение обычно не встречается в V классе, когда учащиеся занимаются арифметикой, и появляется в VII классе, когда приходится заниматься алгебраическими дробями. Причина этой ошибки — в неверном заключении по аналогии, которая обусловливается многими сходствами между суммой и произведением: сходные формулировки правил изменения суммы и произведения в зависимости от изменения компонентов, сходные переместительный и сочетательный законы сложения и умножения.

По-видимому, неверные аналогии являются причинами и многих других ошибок учащихся. Например, sin(a+(3)= sina +sin j3 (по аналогии с уменьшением одночлена на многочлен); \g(a-{-b) = —\ga-\-\gb (та же аналогия).

Ошибочные заключения по аналогии свойственны не только детям, но и взрослым. История математики может указать примеры ошибочных аналогий, которые допускались специалистами-математиками. Известно, например, что долгое время свойства суммы определенного числа слагаемых распространяли на ряды, что долгое время по аналогии с элементарными функциями полагали, что все непрерывные функции дифференцируемы. Л. Эйлер правило а • уТГ= у ab по аналогии распространяет на мнимые числа и получает неверное равенство: у—а • /—Ь=УаЬ> где а и Ъ — неотрицательные числа1.

1 См. статью В. Н. Молодшего «Понятие комплексного числа в его развитии», журн. «Математика в школе», 1947, № 1.

Таким образом, использование учащимися заключения по аналогии в иных случаях приводит к ошибкам. Перед учителем стоит задача вести борьбу с такими ошибками, искоренять их, если они уже появились, а лучше предупреждать возможность их возникновения.

Общим профилактическим средством является разъяснение в доступной для учащихся форме с иллюстрацией примерами, как строится заключение по аналогии, что это заключение не гарантирует безупречности вывода, что вывод не более как только гипотеза (догадка), которую нужно проверить, доказать, что эта догадка становится правилом, если она будет обоснована, что заключения по аналогии могут быть и совершенно ошибочными. Такое популярное выяснение особенностей заключения по аналогии может быть понято учащимися VII класса. В дальнейшем при появлении ошибок, объясняющихся неверными аналогиями, учитель будет иметь возможность уделить внимание особенностям заключения по аналогии.

Другим существенным средством, предупреждающим рассматриваемые ошибки, является более глубокое, всестороннее и тщательное изучение математических понятий и предложений. Легкомысленные аналогии объясняются формальными, нечеткими и поверхностными знаниями и непрочными навыками. При изучении понятий надо с особой настойчивостью добиваться, чтобы учащиеся совершенно четко представляли содержание понятия, не включали в это содержание ничего, что не относится к нему; чтобы они правильно представляли объем понятия и не относили к нему ничего, что не имеет отношения к понятию. При изучении предложений надо добиваться, чтобы учащиеся ясно осознали сущность предложения, могли сознательно доступным их развитию путем обосновать его, чтобы они ясно представляли сферу применения предложения, а значит знали, где нельзя применить его, чтобы приобрели основательные навыки в приложении предложения к решению примеров и задач. Такое изучение понятий и предложений является действенным профилактическим мероприятием против неверных заключений по аналогии.

Глава V

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ В ШКОЛЬНОМ ПРЕПОДАВАНИИ

1. Аксиома математической индукции

На современном этапе развития математических дисциплин метод математической индукции получил широкое обобщение и является существенным методом доказательства1. Так как наша работа имеет методические цели, то в дальнейшем ограничимся рассмотрением только начального вида математической индукции, для которого характерен переход от натурального числа п к следующему натуральному числу п-\- 1.

Обозначим через Р предложение, связанное с натуральным параметром п. Чтобы доказать правильность предложения для любого значения параметра, не меньшего га, прежде всего убеждаются, что предложение Р верно для натурального числа т (нередко т = 1), а затем устанавливают, что если предложение Я верно для натурального числа п ^ га, то имеется общий метод доказательства того, что это предложение будет верно и для числа п + 1. В результате делают заключение, что предложение Р верно для любого натурального числа, не меньшего га. В этом — сущность логического принципа, лежащего в основе математической индукции.

Этот принцип вводится как одна из аксиом, которой можно дать следующую формулировку: «Если предложение Р верно для натурального числа га и если, предположив, что предложение Р верно для натурального числа п (п> га), можно доказать, что оно будет верно и для следующего натурального числа п-\- 1, то предложение Р верно для любого натурального числа, не меньшего га».

Аксиома математической индукции устанавливает особый способ доказательства предложений, связанных с натуральным параметром. Этот способ называют методом математической индукции.

1 См., например, статью Ю. М. Гайдука «Принцип полной индукции, его эквиваленты и обобщения», журн. «Математика в школе», 1950, № 2 или С. В. Серпинского «О математической индукции», журн. «Математика и физика в школе», 1936, № 3.

В математической и методической литературе математическую индукцию иногда называют полной индукцией. Целесообразно сохранить за термином «полная индукция» то значение, которое придает ему логика, и отказаться от названия математической индукции термином «полная индукция». Это упорядочит терминологию.

При помощи математической индукции доказываются предложения, которые тем или иным путем уже найдены и сформулированы. Но математическая индукция бессильна как эвристический метод математики: она не может дать никаких указаний, как кайти новое предложение. При изложении теорем нередко принцип математической индукции применяется по такому плану:

A. Прежде всего надо найти предложение Р, а для этого применяется неполная индукция: изучая некое соотношение для чисел, наталкиваются на закономерность — на предложение Р. Это предложение пока только гипотеза: оно может быть и верно, и ложно. Ставится задача о его доказательстве.

Б. Второй этап —доказательство путем перехода от п кп + 1" допускают, что предложение Р верно для натурального числа я, и доказывают, что в таком случае оно будет верно и для числа п-\~ 1.

B. Последний этап: в пункте А установлено, что предложение Р верно для числа т; на основании пункта Б утверждают, что оно верно и для т + 1, а если оно справедливо для т -f- 1, то на основании пункта Б оно будет иметь место и для числа т + 2 и т. д.; другими словами предложение Р верно для любого натурального числа, не меньшего т.

2. Подходы к введению аксиомы

Так как математическая индукция даже в элементарных разделах математики играет видную роль и находит значительное применение, то весьма желательно, чтобы учащиеся средней школы осознали этот метод доказательства, поняли его структуру и научились им пользоваться.

Достигается ли это в практике работы нашей школы? Не всегда достигается. Наши учащиеся не могут усвоить этот метод доказательства уже потому, что на всем протяжении изучения курсов математических предметов метод математической индукции находит применение только один раз: в главе «Бином Ньютона» при обосновании формулы произведения биномов, отличающихся вторыми членами. Ясно, что одной встречи с этим методом, да еще без достаточного разъяснения его сущности, недостаточно, чтобы учащиеся овладели методом, чтобы могли применить его к доказательству предложений.

Наблюдения за учащимися, оканчивающими среднюю школу, показывают, что математическая индукция усваивается далеко не всеми. Некоторые из них смотрят на нее как на своеобразный метод доказательства, который применяется только к выводу формулы произведения биномов, отличающихся вторыми членами, или к выводу формулы бинома Ньютона; другие не могут разъяснить, в чем же сущность доказательства с помощью перехода от л к п + 1, и не могут применить этот метод к доказательству пред-

ложений при явном указании на уместность использования метода математической индукции.

Такое положение является дефектом в математической подготовке нашей молодежи, который надлежит изжить: метод математической индукции является существенным методом даже с точки зрения элементарной математики.

Первое знакомство с методом математической индукции следует осуществить в начале IX класса в главе о прогрессиях. Чтобы это знакомство прошло с положительными результатами, надо подготовить учащихся путем рассмотрения целесообразно подобранных примеров.

Полезно показать, что в математике нельзя довериться неполной индукции, что эта индукция может дать ложные результаты. Показать это можно путем рассмотрения нескольких примеров, подобрать которые нетрудно.

Л. Эйлер старался найти формулы, которые позволяли бы получать простые числа. С этой целью он рассматривал трехчлен второй степени х2 + х + 41. Если в этот трехчлен вместо х подставить 0, получим простое число 41; при х = 1 имеем простое число 43; при х = 2 получаем 47. Подставляя вместо х последующие натуральные числа, будем получать простые числа. Напрашивается заключение, что числовое значение рассматриваемого трехчлена при любом целом неотрицательном значении х есть простое число. Это общее заключение сделано на основании наблюдения ряда частных случаев, среди которых не было ни одного, противоречащего общему предложению. Верно ли сделанное заключение? Оно неверно. Подставим вместо х число 40. Получим 402 + 40 + + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 412, т. е. составное число.

Таким образом, заключение от частного к общему оказалось ложным. Неполная индукция может дать ложное заключение.

С целью показать, что заключению от частного к общему нельзя доверять, можно использовать и другие формулы, данные Эйлером для получения простых чисел. Формула 2х2 + 29 дает 29 простых чисел при х = 0,1,2...,28.

В качестве примера можно сообщить учащимся историческую справку о проблеме Гольдбаха — Эйлера1.

Далее следует обратить внимание учащихся на то, что если требуется обосновать предложение Р, зависящее от натурального числа, то непосредственная проверка верности предложения для любого натурального числа невыполнима, ибо последовательность натуральных чисел бесконечна. В таком случае стараются установить, что свойство, о котором идет речь в предложении Р, как бы «передается по наследству» от одного случая, определяемого натуральным числом, к следующему случаю, определяемому следующим по порядку натуральным числом.

1 См. гл. IV, п. 8.

Обратимся к примеру. Для этого можно использовать известную учащимся теорему: «Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике с п сторонами равна 2d (п — 2)».

Чтобы доказать эту теорему для произвольного натурального числа п>3, недостаточно доказать ее относительно первых 10 или 20 значений п. Такие доказательства дадут только материал для вывода по принципу неполной индукции, а потому теорема так и останется гипотезой, но не строго обоснованным предложением. Если п=3, то имеем треугольник, а сумма углов треугольника равна 2d или 2d (3—2). Таким образом, доказываемое предложение для п = 3 верно. В случае четырехугольника проведем диагональ, которая разделит четырехугольник на два треугольника; ясно, что сумма углов четырехугольника равна 2d-2 или 2d(4—2), т. е. теорема также верна. В случае пятиугольника разобьем его диагональю на четырехугольник и треугольник. В четырехугольнике сумма углов равна 2d • 2, а в треугольнике 2d; значит, в пятиугольнике сумма углов равна 2d-3 или 2d(5—2). Таким путем рассуждение можно продолжать неограниченно: можно доказать теорему для шестиугольника, затем для семиугольника и т. д. Как и в рассмотренных случаях, каждое последующее заключение неизбежно вытекает из предыдущего. Рассматриваемое свойство о сумме углов «передается по наследству» при переходе от одного многоугольника к следующему, и теорему можно считать установленной для произвольного натурального числа п, не меньшего 31.

Основой предыдущего рассуждения является то, что для установления верности теоремы при любых значениях натурального числа я, не меньших 3, мы доказываем теорему последовательно для п = 3, 4, 5, 6 и т. д.; при этом подмечаем, что существует общий метод доказательства каждого последующего частного случая теоремы, опирающийся на использование предшествующего результата. По существу возможность заключения о верности теоремы основывается на двух положениях: 1) установлено, что теорема верна для п = 3; 2) имеется общий метод доказательства того, что если теорема верна для натурального числа я(л>3), то она верна и для следующего натурального числа п-\-1. В том, что эти два положения достаточны, чтобы считать теорему установленной, заключается логический принцип, который принимается как аксиома. После этого дается формулировка аксиомы о математической индукции примерно в той редакции, какая дана выше.

3. Первые доказательства методом математической индукции

Изучение прогрессий дает возможность несколько раз применить доказательство с помощью метода математической индукции, при этом метод используется в довольно простых ситуациях.

1 Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика. Перевод с англ., под ред. проф. В. Л. Гончарова, Огиз, 1947, стр. 32—34.

Пусть аи а2у ... , ап, ап+1 , ... , ар — члены арифметической прогрессии. На основании определения прогрессии видно, что а2 = а1+г, где г — разность прогрессии, а3 = а2 + г = щ + 2г, а4 = а3 + т = а>\ + Зг. Рассматривая выражения для второго, третьего и четвертого членов прогрессии, пользуясь неполной индукцией, легко прийти к следующему предложению: любой член арифметической прогрессии равен сумме первого члена и произведения разности прогрессии на число предшествующих членов, т. е.

ап=аг+г{п—\). (1)

Это равенство пока только гипотеза, добытая путем неполной индукции и требующая доказательства.

Допустим, что равенство (1) верно. Докажем, что в таком случае оно будет верно и для ап+1. На самом деле, по определению прогрессии

подставляя в это равенство вместо ап его выражение через аи г и /г, получим:

fln+x^flx+fa— 1)Г+Г,

или

Отсюда видим, что если теорема верна для ап, то она верна и для ап+1.

Но было уже показано, что теорема верна для а4; значит, она будет верна и для а5, а если верна для а5, то верна и для а6 и т. д. Следовательно, равенство (1) верно для любого натурального числа, не меньшего 2. Теорема доказана.

На уроке решаются упражнения на применение метода математической индукции.

1. Найти сумму sn:

sn= 1 + 3+5... +(2/i-l).

Составим последовательно суммы двух, трех и т. д. слагаемых:

s2 = l+3 = 4, s3 = l+3+5=9, s4=l+3+5+7=16, s5 = 1+3+5+7+9 = 25. Замечаем, что s2=22, s3 = 32, s4=42, s5 = 52.

Возникает догадка, что

sn=n2 (2)

Допустим, что равенство (2) верно. Докажем, что будет верно равенство

sn+i = (п + I)2. (3)

sn+i получится, если к sn прибавить последующее нечетное число 2п + 1:

sn+1 = sn+2n + \=n*+2n + l = (n+l)*.

Итак, из равенства (2) вытекает равенство (3).

Непосредственным подсчетом уже показано, что равенство (2) верно для п = 5. Утверждаем, что оно будет верно для п = 6, для п = 7 и т. д.

Следовательно, равенство (2) верно для любого числа слагаемых.

2. Найти сумму п первых натуральных четных чисел:

s„=2+4+6 + ...+2ai.

3. Доказать равенства:

а) 3+6+9+...+3п = 1,5 (л+1),

б) 2+2а+28+...+2Л=2(2Л—1).

Легко получить достаточное число упражнений, если брать суммы п первых членов арифметических и геометрических прогрессий. Некоторые упражнения учащиеся выполняют дома.

На уроке излагается обычное доказательство теоремы о сумме членов арифметической прогрессии: оно просто и удобно для изложения в форме задачи.

В качестве упражнения полезно доказать формулу суммы членов арифметической прогрессии путем математической индукции: это позволяет учащимся еще раз проследить за сущностью нового для них метода.

Теорема о выражении общего члена геометрической прогрессии также дает возможность применить метод математической индукции в очень простой ситуации. Опыт показывает, что это доказательство учащиеся выполняют самостоятельно. Что касается теоремы о сумме п первых членов геометрической прогрессии, то целесообразно дать традиционное для школы доказательство, а в порядке упражнения найти второе доказательство способом математической индукции.

Чтобы учащиеся научились пользоваться методом доказательства с помощью математической индукции, полезно после изучения главы о прогрессиях предложить им как на уроках, так и в порядке домашней работы ряд упражнений. Приведем примеры.

Методом математической индукции доказать равенства:

Описанное введение в учебный процесс математической индукции достаточно, чтобы подавляющее большинство учащихся IX класса довольно четко осознали, что аксиома о математической индукции дает в их распоряжение новый метод для доказательства предложений, связанных с натуральным параметром п, что этот метод находит широкое применение. Учащиеся осознают сущность этого метода и приобретают некоторые навыки в его использовании для доказательства уже сформулированных предложений.

4. Метод математической индукции в X классе

В ближайшие годы учащиеся X класса будут встречаться с применением метода математической индукции при доказательстве теоремы о произведении биномов, отличающихся вторыми членами. Это дает возможность повторить и аксиому математической индукции и метод доказательства, основанный на ней.

Ожидаемые новые программы X класса не будут содержать главы о соединениях и биноме Ньютона. Тогда этот материал можно использовать в работе математического кружка.

По принятому в нашей школе изложению формула бинома Ньютона получается как следствие предложения о произведении биномов, отличающихся вторыми членами. Однако формула бинома с помощью математической индукции может быть установлена независимо от теоремы о произведении биномов. Уместно предложить учащимся доказать формулу методом математической индукции.

Учащиеся прекрасно знают тождества:

Легко придать этим тождествам иной вид:

При желании можно найти и разложение (а-\-Ь)*9В результате подмечается общая закономерность:

Предположим, что равенство (1) верно. Докажем, что будет верно и равенство

(2)

Умножая обе части (1) на а+6, получим:

(3)

Так как Стп + Стп 1 = C™+\t то равенство (3) можно записать так:

Равенство (1) установлено для п=4; значит, оно будет верно и для лг=5, и для п=6, и т. д., т. е. для любого натурального значения п>2.

Так как равенство (1) верно и при п=1, то можно утверждать, что оно установлено для любого натурального числа.

В курсах математического анализа теорема о производной степени с натуральным показателем обычно излагается с помощью применения формулы бинома Ньютона. При изложении этой теоремы в школе учитель будет лишен возможности использовать формулу бинома. Возможно иное изложение теоремы. Предварительно изучается теорема о производной произведения двух функций, а затем теорема о производной степени с натуральным показателем.

Уже ранее доказано, что х'=\.

Найдем производную функции х2:

Найдем

По неполной индукции делаем заключение:

(4)

Равенство (4) требуется доказать. Применим переход от п к Допустим, что равенство (4) верно. Покажем, что будет верно равенство:

(5)

Получаем:

Итак, если верно равенство (4), то верно и равенство (5).

Было показано, что равенство (4) верно для я, равного 1, 2, 3. Значит, оно будет верно и для п=3+1=41 и для я=4+ 1=5, и т. д. Оно верно для любого натурального значения п.

Итак, (хп)'=пхп-\

Теорема о производной произведения функций также может быть доказана методом математической индукции.

При изучении неравенств уместно предложить учащимся упражнения на доказательство неравенств методом математической индукции.

Доказать неравенства:

1) 2п>п при любом натуральном п\

2) Аг2>2я + 1 при любом натуральном /2^3;

3) 2п>п2 при всяком натуральном /?>5;

4) (1 + Р)п> 1 + пр, если Р> — 1 и п — любое натуральное число.

Неоднократное применение метода математической индукции при доказательстве теорем, при решении упражнений обеспечит усвоение аксиомы математической индукции, плана доказательства с помощью ее и даст некоторые навыки в решении задач.

Глава VI

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ

1. Понятие теоремы. Простые и сложные теоремы

Основные понятия, отношения между ними и система аксиом являются основаниями для построения дедуктивной дисциплины. Теорема —основное звено дедуктивной системы. Теорема — предложение, которое принимается после логического обоснования, после доказательства1.

В формулировке каждой теоремы указывается, при каких условиях рассматривается математический объект или отношение объектов и что об этом объекте или отношении утверждается. В силу этого теоремы часто формулируются в форме условных предложений, в одной части которых указывается условие, а в другой — заключение. Например, в теореме «Если в окружности два центральных угла равны, то и соответствующие им дуги равны» условие указано в придаточном предложении, а заключение о равенстве соответствующих дуг — в главном. Встречаются формулировки теорем в форме утвердительных предложений, например, «Вертикальные углы равны между собой», «Сумма двух смежных углов равна 2d». Таким формулировкам можно придать форму условного предложения: «Если углы вертикальные, то они равны», «Если два угла смежные, то сумма их равна 2d».

Понятие теоремы наиболее выпукло выявляется в школьном курсе геометрии. Однако теоремы имеются и в других математических предметах, хотя нередко и не носят такого названия. Предложения: «Если число делится на 3 и на 5, то оно делится на 15», «Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел», являются теоремами.

По числу условий и заключений теоремы делятся на два класса — простые и сложные. Теорема называется простой, если она содержит только одно условие и одно заключение. Например, теорема «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3» является простой: в ней содержится только одно условие и только одно заключение. Теорема называется сложной, если она содержит или несколько условий, или несколько заключений, или, наконец, несколько условий и заключений. Предложение «Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6» — сложное: оно со-

1 Греческое слово бешр-г^а в буквальном переводе означает зрелище, представление. Перевод по смыслу — предложение, доступное познанию.

держит два условия. «В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой» — сложная теорема: она содержит два заключения. Теорема «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам» — сложная: она содержит несколько условий (АВ || CD, BC\\ADf АВ = AD) и два заключения.

Сложная теорема, имеющая несколько заключений, может быть разложена на столько теорем, сколько заключений. Только что приведенная теорема разлагается на две: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» и «Диагонали ромба делят углы его пополам».

2. Виды простых теорем

Простой теореме можно дать следующую форму:

«Если есть Л, то есть и В» или «Из А следует В» (1), где через А обозначено единственное условие и через В — единственное заключение теоремы. Назовем теорему (1) прямой.

Если сделаем условие теоремы заключением, а заключение — условием, получим обратную теорему:

«Если есть В, то есть и Л» или «Из В следует Л» (2).

Если отрицаются условие и заключение прямой теоремы, то получим противоположную теорему:

«Если отсутствует Л, то отсутствует и В» или «Из отсутствия Л следует отсутствие В» (3).

Если отрицаются условие и заключение обратной теоремы, то получим теорему, противоположную обратной:

«Если отсутствует В, то отсутствует и Л» или «Из отсутствия В следует отсутствие Л» (4).

Теорема, противоположная обратной, является вместе с тем обратной противоположной.

Верность прямой теоремы влечет за собой верность обратной противоположной, и наоборот. А верность обратной теоремы влечет за собой верность противоположной, и наоборот. Эти положения можно формулировать так: а) теоремы прямая и обратная противоположной взаимно обратимы; б) теоремы обратная и противоположная взаимно обратимы. Те же положения можно выразить и так: а) теоремы прямая и обратная противоположной равносильны; б) теоремы обратная и противоположная равносильны.

Эти два положения легко обосновать. Из теоремы (1) необходимо следует теорема (4). Доказываем методом от противного. Если бы Л было, то по прямой теореме было бы и В. Но В нет. Следовательно, если отсутствует В, то отсутствует и Л.

Из теоремы (4) следует теорема (1). Если бы не было В, то по теореме, обратной противоположной, не было бы Л. Но Л есть, следовательно, есть и В.

Таким образом убедились, что теоремы прямая и обратная противоположной взаимно обратимы. Таким же путем можно пока-

зать взаимную обратимость теорем обратной и противоположной: они равносильны.

Верность прямой теоремы не влечет верности обратной: прямая теорема верна, а обратная в одних случаях может быть верна, в других — неверна.

Верность прямой теоремы не влечет верности противоположной: при верности прямой теоремы противоположная в одних случаях будет верна, в других — неверна.

Чтобы убедиться в верности теорем (1), (2), (3) и (4), не следует доказывать каждую из них отдельно, а достаточно доказать только две: или прямую и обратную, или прямую и противоположную. Если верны теоремы прямая и обратная, то на основании предложений об обратимости следует, что будут соответственно верны обратная противоположной и противоположная. Если верны теоремы прямая и противоположная, то на основании предложений об обратимости будут соответственно верны обратная противоположной и обратная.

Чтобы избежать недоразумений, отметим, что изложенные соображения о равносильности верны только для простых теорем.

В сложных теоремах взаимосвязь между прямой и обратной теоремами носит более сложные формы. Это будет показано дальше.

3. Понятие теоремы в VI классе

С понятием «теорема» учащиеся нашей средней школы встречаются впервые в VI классе при изучении курса геометрии. Принято этот термин вводить после того, как учащиеся познакомятся с первыми теоремами и изучат их доказательства. Это целесообразно: понятие о теореме при первом знакомстве с ним можно конкретизировать уже знакомыми учащимся теоремами.

При освоении понятия теоремы надо обратить внимание учащихся на структуру формулировок теорем, на наличие в каждой формулировке условия и заключения. Чтобы учащиеся научились выделять условие и заключение, рекомендуется выполнять упражнения по анализу формулировок теорем. Опыт показывает, что такие упражнения целесообразно проводить по 6—7 минут на трех-четырех уроках. Приводим примеры.

Выделить условие и заключение в следующих теоремах:

а) Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

б) Если числитель дроби увеличить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

в) Если каждое из двух слагаемых делится на какое-либо число, то сумма делится на то же число.

г) В круге центральные углы равны, если равны дуги, на которые они опираются.

Уместно обратить внимание учащихся на возможность любой формулировке теоремы придать форму условного предложения и провести беглые упражнения по этому вопросу.

Следующие теоремы формулировать в виде условных предложений:

а) Сумма двух нечетных слагаемых есть четное число.

б) Сумма двух смежных углов равна 2d.

в) Вертикальные углы равны между собой. Указать условие и заключение в следующих теоремах:

а) С увеличением знаменателя дроби в несколько раз дробь уменьшается во столько же раз.

б) Все развернутые углы равны.

в) Биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

При доказательстве первого десятка геометрических теорем учащиеся встречаются с прямыми и обратными теоремами. Чтобы дети лучше осознали различие между этими теоремами, также необходимы упражнения на уроках. При выполнении этих упражнений обращается внимание на то, что иногда обратные теоремы верны, в других случаях они оказываются ложными.

В левом столбце таблицы записаны прямые теоремы. Сформулируйте соответствующие им обратные теоремы и выясните,

Прямая теорема

Обратная теорема

1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10.

2. Если число оканчивается цифрой 2, то оно делится на 2.

3. Если в окружности два центральные угла равны, то и соответствующие им дуги равны.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Позднее в VI классе необходимо расширить понятие о теореме: пользуясь примерами, познакомить учащихся с теоремами противоположными и обратными противоположным. В связи с этим уместны упражнения такого вида: ниже в таблице приведены

Прямая теорема

Обратная теорема

Противоположная теорема

Теорема, обратная противоположной

1. Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.

2. Если число оканчивается двумя нулями, то оно делится на 100.

3. Если в треугольнике два угла равны, то противолежащие им стороны равны.

прямые теоремы; сформулировать соответствующие обратные, противоположные и обратные противоположным теоремы и выяснить, какие из них верны, какие ложны.

Если учитель найдет нецелесообразным знакомить учащихся с теоремой, обратной противоположной, он легко исключит этот вопрос из упражнений.

4. Значение прямой и обратной теорем

Особого внимания заслуживает случай, когда верны прямая и обратная (прямая и противоположная) теоремы.

Рассмотрим пример: «В параллелограмме диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам». Теорема констатирует, что у одного из видов выпуклого четырехугольника — у параллелограмма — диагонали делят друг друга пополам. Встает вопрос, является ли параллелограмм единственным видом выпуклого четырехугольника с таким свойством диагоналей. А этот вопрос требует выяснить, будет ли верна обратная теорема: «Выпуклый четырехугольник, у которого диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам, есть параллелограмм». Эта теорема верна. Таким образом, рассматриваемое свойство диагоналей параллелограмма выступает как особо существенное, основное свойство, характеризующее параллелограмм, выделяющее его из других видов четырехугольников. Это свойство и носит название признака параллелограмма.

Значит, верность прямой и обратной теорем выделяет основной признак математического объекта или отношения, такой признак, который можно назвать характеристическим.

Так как обратная и противоположная теоремы взаимно обратимы, то верность прямой и противоположной теорем также выделяет особо существенный, характеристический признак объекта или отношения.

Следующие теоремы выделяют характеристическое свойство арифметической прогрессии: 1) В арифметической прогрессии любой член, кроме первого, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов; 2) Если в последовательности любой член, кроме первого, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность — арифметическая прогрессия.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии устанавливается теоремами: 1) В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое между соседними членами; 2) Если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое между соседними членами, то последовательность — геометрическая прогрессия.

Пользуясь примерами, уместно показать учащимся значение верности прямой и обратной (или прямой и противоположной) теорем, показать, что верность таких теорем выделяет свойство, кото-

рое принадлежит только рассматриваемому объекту или отношению и не может принадлежать иному объекту или отношению.

В связи с этим заметим, что характеристическое свойство иногда выделяется определением и теоремой. По определению два треугольника равны, если один из них можно совместить всеми элементами с другим. Из определения следует, что три стороны одного из двух равных треугольников соответственно равны трем сторонам другого. Далее доказывается теорема, что два треугольника равны, если три стороны одного из них соответственно равны трем сторонам другого. Таким образом, на основании определения и теоремы выделяется характеристический признак равенства треугольников.

Установление характеристических признаков имеет значение при доказательстве предложений. Они дают возможность одни определения понятий заменять другими определениями, равносильными первым. Например, обычное определение параллелограмма можно заменить такими: «Параллелограмм — выпуклый четырехугольник, у которого диагонали, пересекаясь, делятся пополам» или «Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны». Эти определения равносильны обычному. Такая замена определений очень часто осуществляется при доказательствах. Подмена одного определения другим считается важным правилом доказательства.

5. Необходимый и достаточный признаки

В непосредственной связи с прямой и обратной (прямой и противоположной) теоремами находится вопрос о понятиях необходимого признака и достаточного признака (необходимого условия и достаточного условия). В школьных предметах встречаются теоремы, содержащие необходимый признак, достаточный признак и, что особо важно, встречаются теоремы, содержащие необходимый и достаточный признаки. С такими теоремами (правилами) имеют дело уже учащиеся V класса при изучении признаков делимости. Например, формулировка «На 9 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9», содержит необходимый и достаточный признаки. В VI и последующих классах учащиеся занимаются изучением геометрических мест точек; формулировка определения плоского геометрического места точек в той или иной форме содержит указание на необходимый и достаточный признаки.

Необходимыми признаками (условиями) какого-либо утверждения называются любые следствия его. Из делимости числа на 10 следует делимость его на 2 и 5; значит, делимость числа на 2 и 5 — необходимые признаки делимости на 10. Если число не делится на 2 или на 5, то оно не делится и на 10. Поэтому можно сформулировать определение и так: необходимыми признаками верности

утверждения называются такие признаки, при отсутствии которых утверждение будет ложно.

Достаточными признаками (условиями) верности утверждения называются такие признаки (условия), при наличии которых утверждение обязательно верно. Чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 10. Делимость на 10 — достаточный признак делимости на 2.

Необходимый признак может быть недостаточным. Например, необходимый признак делимости на 10 — делимость на 2 — является недостаточным: из делимости на 2 не следует делимость на 10. Достаточный признак может не быть необходимым. Например, делимость на 10 — достаточный признак делимости на 2, но не необходимый: число может не делится на 10, но делится на 2.

Если одновременно верны: «Из А следует В» (прямая теорема) и «А следует из В» (обратная теорема), то В является и необходимым, и достаточным признаком А.

Из делимости числа на 9 следует делимость на 9 суммы его цифр; из делимости суммы цифр числа на 9 следует делимость его на 9. В первом предложении делимость на 9 суммы цифр числа — необходимый признак, во втором — достаточный признак делимости числа на 9. В таких случаях оба предложения часто объединяют в одну формулировку: «Для делимости числа на 9 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9», или иначе: «Число делится на 9 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9».

Таким образом, верность прямой и обратной теорем приводит к установлению необходимого и достаточного признака, который является характеристическим. В таком случае формулировки прямой и обратной теорем можно объединить в одну формулировку. Однако такое объединение не уменьшает числа доказательств: установление верности теоремы, содержащей необходимый и достаточный признаки, требует доказать, во-первых, что признак необходимый, во-вторых, что признак достаточный.

Так как обратная и противоположная теоремы взаимно обратимы, то к необходимому и достаточному признаку приходят и в том случае, если верна прямая и противоположная теоремы.

6. Необходимый и достаточный признаки при обучении в школе

Первая встреча учащихся V класса с необходимым и достаточным признаками и происходит в обстановке прямой и противоположной теорем. В это время учащиеся еще не имеют понятия о теореме и формулировки их называют правилами. В V классе изучается признак делимости на 2. Учащиеся пришли к выводу, что для делимости числа на 2 необходимо, чтобы оно оканчивалось

нулем или четной цифрой. Сейчас же встает вопрос, может ли делиться число на 2, если оно оканчивается нечетной цифрой. Нет, не делится. Значит, на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем или четной цифрой.

Надо обратить внимание учащихся на значение и смысл слов «те и только те». Что значит «те числа»? Что значит «и только те числа»? Что значит «те и только те числа»?

При изучении каждого следующего признака делимости дети продолжают встречаться с этим своеобразным оборотом речи. При каждой такой встрече уместно ставить приведенные выше вопросы. Только такая настойчивая и последовательная работа учителя дает возможность учащимся вкладывать в него определенный смысл. Без этого фраза останется своеобразной формой, лишенной присущего ей содержания.

Вторая встреча учащихся с необходимым и достаточным признаками происходит при изучении геометрических мест точек. Эту встречу уместно предварить целесообразно подобранными упражнениями.

Понятию геометрического места точек дается такое описание: геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, называется совокупность точек, все точки которой и только они обладают этим свойством. Чтобы какую-то совокупность точек назвать геометрическим местом, следует установить, что каждая точка совокупности обладает некоторым свойством и что ни одна точка, не принадлежащая совокупности, не обладает этим свойством. Другими словами необходимо доказать прямую и противоположную теоремы. Очевидно, что для установления геометрического места точек можно доказать другую пару теорем — прямую и обратную. Таким образом, каждая теорема о геометрическом месте точек содержит необходимый и достаточный признаки.

Чтобы учащиеся усвоили понятия о необходимом, достаточном, необходимом и достаточном признаках, полезно использовать упражнения, неоднократно возвращаться к ним, постепенно усложнять их.

На примерах преподаватель выясняет понятия, а затем предлагает учащимся рассмотреть ряд предложений и выяснить, какие из них содержат необходимый, какие достаточный, какие необходимый и достаточный признаки. Возможно использовать упражнения, не связанные с математикой.

В следующих предложениях вместо многоточия по смыслу вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»:

а) Чтобы стать членом ВЛКСМ,... достигнуть 14-летнего возраста.

б) Чтобы перейти в следующий класс, ... иметь посредственные отметки по всем предметам.

в) Чтобы получить аттестат зрелости,... сдать все установленные для этого экзамены.

г) Чтобы стать инженером, ... изучить математику.

д) Чтобы утолить жажду, ... выпить стакан веды.

е) Чтобы купить новый учебник геометрии, ... иметь 2 руб. 15 коп.

В случае надобности легко подобрать еще аналогичные упражнения.

Приводим подобные упражнения с математическим содержанием.

а) Чтобы сумма двух натуральных чисел была четной,..., чтобы каждое слагаемое было четным.

б) Чтобы натуральное число делилось на 6, ... , чтобы оно делилось на 2.

в) Чтобы натуральное число делилось на 6, ... , чтобы оно делилось на 2 и на 3.

г) Чтобы (х — 1) (х — 2) = 0, ... , чтобы х = 1.

д) Чтобы 2х + 5 = 13, ... , чтобы х = 4.

е) Чтобы число х было больше 5, ..., чтобы оно было больше 31.

Дается серия предложений и предлагается выяснить, содержит ли каждое из них необходимый и достаточный признаки, и те из них, которые содержат, разбить на два, чтобы одно содержало необходимый, другое — достаточный признак.

а) Чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и 5.

б) Число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма цифр его делится на 3.

в) На 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем или четной цифрой.

г) Чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны его были попарно равны.

Далее преподаватель дает пары предложений и предлагает каждую пару объединить в одну формулировку:

а) Если число делится на 3 и 4, то оно делится на 12. Если число делится на 12, то оно делится на 3 и 4.

б) Если один из двух сомножителей делится на 7, то произведение делится на 7.

Если произведение двух сомножителей делится на 7, то по крайней мере один из них делится на 7.

в) В параллелограмме противоположные углы равны.

Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то четырехугольник — параллелограмм.

г) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

1 Д. К. Фадеев и И. С. Соминский, Алгебра, ч. 1, Учпедгиз, 1951. В книге содержится много таких упражнений.

Так как рассматриваемые понятия усваиваются медленно, то к ним уместно возвращаться в старших классах.

Например, в IX классе при изучении арифметической и геометрической прогрессий учащиеся знакомятся с характеристическими признаками каждой из них. Это послужит поводом вспомнить необходимый и достаточный признаки и попытаться дать единую формулировку для каждой из теорем.

В X классе учащиеся встречаются с необходимым и достаточным условием равенства нулю комплексного числа. В том же классе они изучают важное следствие теоремы Безу: чтобы многочлен f(x) относительно х делился на двучлен х — а, необходимо и достаточно, чтобы при х = а значение многочлена было равно О, т. е. х = а был корнем многочлена.

7. Теоремы, обратные по отношению сложных теорем

В сложных теоремах с несколькими условиями и одним заключением взаимная связь между прямой и обратной теоремами усложняется. Вообще говоря, в таком случае может быть сконструировано несколько обратных теорем, из которых одни могут быть верны, другие — ложны. При этом в условия обратных теорем могут войти или только заключение, или заключение и некоторые условия прямой теоремы, а заключением могут быть условия или часть условий прямой теоремы.

Поясним примером. Теорема «Сумма смежных углов равна 2 d» — сложная, только что указанного вида. Условие ее распадается на две части: а) рассматриваются прилежащие углы, т. е. имеющие общую вершину, общую сторону и расположенные в разных полуплоскостях по отношению прямой, на которой лежит общая сторона; б) две другие стороны этих углов — противоположные лучи, т. е. имеющие общее начало и направленные по прямой в противоположные стороны. В теореме одно заключение: сумма углов равна 2 d. Для рассматриваемой теоремы можно сформулировать три обратных. Приведем две из них: 1) «Если сумма двух углов равна 2 d, то они смежные»; 2) «Если два угла имеют одну общую сторону, расположены в разных полуплоскостях относительно этой стороны и в сумме равны 2 d, то две другие их стороны — противоположные лучи». Первая из этих теорем имеет условием заключение и заключением условие прямой. Эта теорема неверна. Во второй условием является заключение и одно из условий (прилежащие углы) прямой, а заключением—только второе условие (две другие стороны — противоположные лучи) прямой теоремы. Эта теорема верна: она доказывается методом от противного. Предоставляем читателю сформулировать третью обратную теорему и убедиться, что она также верна.

Итак, по отношению сложной теоремы, содержащей несколько условий и одно заключение, можно построить несколько обратных

теорем. Если переставить местами условие и заключение прямой, получим одну обратную теорему; если взять заключением только часть условий прямой, а условием сделать заключение и другую часть условий прямой теоремы, получим обратные теоремы. Одни из обратных теорем могут быть верны, другие — ложны.

Если сложная теорема имеет несколько условий и несколько заключений, то построение обратных теорем еще более усложняется. В этом случае обратная теорема может и не содержать в своем условии и заключении всех заключений и условий прямой. Для теоремы: «В параллелограмме противоположные стороны попарно равны», одной из обратных является: «Если в выпуклом четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны, то такой четырехугольник — параллелограмм». В последней совершенно выпало одно из заключений прямой теоремы — равенство другой пары противоположных сторон.

При формировании обратных теорем для сложной с несколькими условиями и заключениями предварительно можно эту теорему разбить на такое число теорем, сколько различных заключений, а затем формировать обратные теоремы для каждой из них. В этом случае построение обратных теорем упрощается.

8. Обращение по разделению

Если верность прямой теоремы не влечет за собой верности обратной, то встречаются такие серии прямых теорем, которые необходимо влекут правильность соответствующей серии обратных теорем.

Пусть имеем серию прямых предложений:

Из Аг следует Вг

Из Л2 следует В2 (I)

Из Ап следует Вп

Допустим, что условия А%9 Л2, Ап единственно возможны; они полностью исчерпывают в данном случае все возможные случаи условий. Допустим далее, что все заключения Ви В2> Вп различны и не совместимы одно с другим.

При выполнении этих условий соответствующие обратные теоремы необходимо верны:

Из Вх следует Ах

Из В2 следует А2 (П)

Из Вп следует Ап

Легко показать, что серия предложений (II) действительно верна. Для доказательства используем метод приведения к нелепости. Допустим, например, что предложение «Из В{ следует Ах»

неверно: В\ не влечет за собой А\. Тогда из В{ должно вытекать АКУ где к — одно из следующих чисел: 2, 3, п. Но по соответствующей прямой теореме «Из Ак следует Вк». Таким образом, Вх и Вк существуют одновременно, совместно. Это противоречит условию о несовместности Ви В2, Вп. Следовательно, допущение, что В\ не влечет за собой А\, ложно. Необходимо принять, что «Из Вх следует А\».

Таким же методом можно показать, что любая обратная теорема серии (II) верна.

Изложенное логическое правило, по которому из верности серии (I) прямых теорем при определенных условиях, наложенных на условия и заключения этих теорем, следует верность серии (II) обратных теорем, называется обращением по разделению. Оно при указанных условиях освобождает от необходимости доказывать обратные теоремы.

В школьных математических предметах имеются примеры обращения по разделению.

В геометрии относительно сторон треугольника доказываются три известные теоремы:

C2 = d2 + b2 (!)

C2 = a2+b2—2ap (2)

C2=a2+b2+2ap9 (3)

где а, 6, с — длины сторон треугольника, р — длина проекции стороны Ь на сторону а. В теореме (1) сторона с лежит против прямого угла; в теореме (2) — против острого угла и в теореме (3) — против тупого угла треугольника.

Условия этих трех теорем единственно возможны: сторона треугольника лежит или против прямого, или против острого, или против тупого угла. Ничего иного быть не может. Заключения теорем несовместимы друг с другом: квадрат стороны треугольника либо равен сумме квадратов двух других сторон, либо меньше этой суммы, либо больше ее.

На основании обращения по разделению будут верны соответственно три обратных теоремы: если в треугольнике 1) с2 = а2 + -г б2, то /_С — прямой; 2) с2 <[ а2 -f- Ь2У то /_С — острый; 3) с2 > а2 + Ь2, то /_ С — тупой. Эти обратные теоремы нет надобности доказывать. Вот почему теорема, обратная теореме Пифагора, в учебниках не доказывается. Она верна на основании обращения по разделению.

Иногда преподаватель не обращает достаточного внимания на верность только что приведенных обратных теорем и учащиеся не подозревают их существования. А это приводит к неприятным ошибкам: на вопрос, какой вид треугольника, если стороны его а) 3, 4, 5; б) 3, 4, 6; в) 6, 8, 9 единиц длины, учащиеся дают верные ответы и неверные обоснования, ссылаясь на прямые теоремы, вместо обратных. Некоторые учителя не замечают этих ошибок и делают их вместе со школьниками.

Рассмотрим еще один пример обращения по разделению. Пусть х и у — неотрицательные числа. Тогда имеют место следующие теоремы:

а) если х<у, то х"</\

б) если х = у, то хп=уп,

в) если лС>у, то хп>уп,

где п — натуральное число. Эти теоремы—следствия закона монотонности умножения. Условия этих предложений полностью исчерпывают все возможные случаи соотношений по величине между х и у. Заключения этих теорем — взаимно исключающие.

Значит, применимо обращение по разделению. Будут верны следующие обратные предложения:

а) если хп<уп, то х<у,

б) если хп=уп, то х = уу

в) если то х^>у.

Известно, что ряд теорем из главы «Иррациональные числа» доказывается способом проверки. Например, так доказывается теорема: Уab...l =пу/Г~а~• п\Г~ь ...V l , где все радикалы — арифметические корни. Логическим основанием применения доказательства способом проверки является серия обратных теорем, только что приведенная. Без указания этого логического основания доказательство способом проверки нельзя признать состоятельным.

9. Генетический метод при изложении теорем

При изложении отдельных глав математических предметов, отдельных групп особо важных теорем или правил рекомендуется пользоваться генетическим методом. Сущность этого метода состоит в том, что перед учащимися вскрывается, что привело к возникновению той или другой главы или группы теорем, на какие практические вопросы дают они ответы, каковы пути, приводящие к тем или другим математическим теориям, к особо существенным теоремам.

Применение генетического метода особо ценно, если зарождение и развитие той или другой теории связывается с решением практических проблем, с запросами производства и техническими задачами. Генетический метод помогает учащимся осознать, почему необходимо изучение новой для них главы, новой для них группы теорем; он в известной мере делает естественным появление тех или других проблем и ответов на них в виде теорем или правил. Применение генетического метода требует от преподавателя широкого кругозора, глубокого понимания сущности математических дисциплин, знания истории математики, осведомленности в технике, физике и других науках о неживой природе.

С точки зрения использования генетического метода целесообразно: а) приводить на уроках краткие, но красочные исторические

справки, вскрывающие причины, приведшие к зарождению математических теорий; б) в начале изучения отдельных глав, где возможно, в самых общих чертах раскрывать содержание этих глав и таким путем развертывать планы их изучения; в) вести преподавание так, чтобы в некоторой мере учащиеся вновь открывали под руководством учителя основные теоремы и правила; г) вести обучение так, чтобы отдельные существенные группы теорем появлялись в результате рассмотрения условий, приводящих к этим теоремам.

Уместно, например, в VI классе началу изложения систематического курса геометрии предпослать краткую и интересную историческую справку, в которой осветить, какие практические задачи в древнем мире привели к зарождению геометрии. Такая справка покажет, что геометрия возникает, как ответ на запросы производства, из потребности практики; справка вскроет и название новой для учащихся дисциплины. В справке необходимо подчеркнуть громадное значение геометрии в современном производстве, в том великом строительстве, которое осуществляется в СССР.

Применение генетического метода приводит к тому, чтобы планы изучения отдельных глав в общих чертах, по возможности, вскрывались перед учащимися. Когда, например, учащиеся VI класса познакомятся с отрицательными числами, когда будет сформировано множество рациональных чисел, естественно встанет вопрос о дальнейшем изучении этих чисел. В результате учащиеся приходят к схематическому плану: предстоит научиться выполнять четыре действия над рациональными числами и возводить их в степени с натуральным показателем. Такому планированию доступны очень многие главы школьных математических предметов.

Приступая к изучению теорем о равенстве треугольников, учитель обращает внимание, что «определение» равных треугольников иногда не может быть эффективно использовано для установления, будут ли два треугольника равны. Представим, что на плоском куске земной поверхности отмечены два треугольника; требуется выяснить, будут ли эти треугольники равны. Чтобы ответить на этот вопрос, надо один из них наложить на другой. Однако выполнить такое наложение нельзя. Значит, чтобы судить о равенстве треугольников, полезно установить правила, освобождающие от непосредственного наложения. Такими правилами и являются теоремы о признаках равенства треугольников.

Приступая к изложению учения о подобии фигур, учитель продемонстрирует планы одного и того же земельного участка, составленные в разных масштабах, планы одного и того же цеха, завода, составленные также в разных масштабах. Эти планы послужат конкретным исходным материалом для понятия о подобных фигурах. Вместе с тем учитель сообщит о громадном значении подобия фигур в проектировании сооружений народного хозяйства, при воплощении проектов в жизнь.

10. Об изображении фигур

Изложение доказательств геометрических и весьма часто тригонометрических теорем сопровождается изображением фигур — чертежами. Чертежи применяются и при решении задач.

Чертежи широко используются в разнообразных областях техники, на производстве и строительстве. Говорят, что чертеж — язык техники. Сделать правильный чертеж, умело читать его, пользоваться им стало необходимостью для квалифицированного рабочего. Поэтому повседневное внимание учителя математики чертежу, особенно методам изображения форм трехмерного пространства на плоскости имеет существенное значение для политехнического обучения.

С педагогической точки зрения чертеж — опора для пространственных представлений и воображения, опора для мышления, для познания пространственных форм и количественных отношений мира. Чертеж вносит наглядность, дает возможность легче установить виды пространственных форм и характер отношений. Чертеж выполнит свое назначение, если он верен, легко выполним, нагляден.

В процессе преподавания изображение планиметрических фигур не вызывает затруднений.

Особое значение имеет изображение на плоскости стереометрических фигур. Целесообразно применять те методы изображения, с какими учащиеся знакомятся при изучении черчения1. Общим способом изображения трехмерных форм является метод параллельного проектирования, дающий параллельную проекцию. При обучении используется и косоугольное проектирование (черт. 4) и прямоугольное проектирование (черт. 5).

Черт. 4 Черт. 5

1 Учителю математики полезно знать программу преподавания черчения и учебники по этому предмету. Хорошо, если бы учитель математики преподавал и черчение. Это будет постепенно осуществляться с того времени, когда математические отделения педагогических институтов начнут выпускать учителей широкого профиля.

Свойства параллельной проекции найдут обоснование в IX классе в курсе стереометрии. Параллельное проектирование достаточно, чтобы обеспечить изложение теорем верными, наглядными и легко выполнимыми чертежами. В некоторых случаях, в частности при решении задач, полезно применять частные виды параллельной проекции.

Черт. 6 Черт. 7

Если надо восстановить по чертежу форму фигуры, то используется частный случай параллельного проектирования — аксонометрическая проекция, особенностью которой является отнесенность проектируемой фигуры к прямоугольным осям координат (черт. 6). Аксонометрическое проектирование также может быть и косоугольным, и прямоугольным.

Иногда применяют один из видов аксонометрического проектирования — фронтальную проекцию, при получении которой одну из координатных плоскостей располагают параллельно плоскости проекций (на черт. 7 — фронтальная проекция правильной четырехугольной призмы).

Если при фронтальном проектировании третью координатную ось расположить на проекции под углами в 135° к двум другим осям и условиться сокращать размеры отрезков, параллельных этой оси, вдвое, то получим кабинетную проекцию. На чертеже 8 изображена правильная шестиугольная пирамида в кабинетной проекции. Фронтальное проектирование, в частности кабинетную проекцию, целесообразно применять в задачах на построение метрического характера, а также в вычислительных задачах, когда условие задается чертежом1.

При изложении нового материала чертеж на доске выполняет

1 В отношении изображения стереометрических фигур ограничимся изложенным. Полное и глубокое освещение этого вопроса относится к методике преподавания геометрии.

учитель. До VII класса включительно учитель изображает фигуры с помощью чертежных приборов. Начиная с VIII класса это требование ослабляется: рекомендуется выполнять некоторые чертежи от руки. Конечно, и при этом методы изображения должны соблюдаться. При вычерчивании некоторых стереометрических фигур используются цветные мелки, например при построении сечений многогранников, при изображении вписанных фигур.

Учащиеся при фиксации теоретических положений в тетрадях делают чертежи фигур карандашом с применением чертежных приборов. В некоторых случаях полезно применять цветные карандаши.

При устных ответах у доски учащиеся начиная с VIII класса выполняют чертежи от руки; навыки быстро и хорошо делать чертежи от руки имеют образовательное значение.

Черт. 8

11. Правила доказательства теорем

Доказать теорему — значит, опираясь на предложения, уже установленные, показать, что заключение есть логическое следствие условия.

При доказательстве принимают, что некоторый факт имеет место: а) если он является частью условия или непосредственно следует из условия; б) если он является частью определения одного из понятий, о которых идет речь в теореме, или которые вводятся в доказательство; в) если он вытекает из аксиомы; г) если он получается из предыдущих теорем. Однако школьные доказательства не выдерживают этих положений. В них принимаются некоторые факты на основе наглядного созерцания.

Чтобы успешно обучать учащихся доказывать теоремы, необходимо соблюдать ряд правил, вытекающих из сущности математических доказательств, а в методическом плане являющихся правилами изложения доказательств.

Доказательство заключается в логическом переходе от условия теоремы к заключению. Чтобы сделать этот переход, надо осознать, каково условие и каково заключение. Таким образом, первое правило обучения доказывать теоремы состоит в том, чтобы сообщить учащимся условие и заключение и добиться, чтобы они осознали их. Это правило должен строго соблюдать учитель при

изложении теорем. Но этого мало, надо выработать у учащихся соответствующую серию условных рефлексов и включить в действие вторую сигнальную систему: оно должно сделаться правилом деятельности ученика, когда перед ним стоит задача — доказать.

При доказательстве исходят из того, что условие выполнено. Условие необходимо для доказательства. Второе правило, которое надо соблюдать при изложении доказательств, состоит в том, что в процессе доказательства надлежит полностью использовать условие. Это правило постепенно надо сделать достоянием сознания учеников. Одним из путей научить полностью использовать условие теоремы состоит в обсуждении вопросов, на каких этапах доказательства и как применена та или другая часть условия, все ли части условия использованы при доказательстве.

Каждое доказательство опирается на ранее установленные предложения: они служат логической базой рассуждения. Чтобы при изложении было возможно опереться на эту базу, каждый ученик должен основательно знать материал. Поэтому изложение каждого нового доказательства, особенно в VI—VIII классах, надо предварять воспроизведением в памяти того, на что придется опираться. Это третье правило. Преподаватель, готовясь к изложению теоремы, должен учесть, какие предложения потребуются при доказательстве, и наметить приемы их повторения.

При изложении доказательства целесообразно определяемое понятие заменить определением. Это четвертое правило. Оно рассмотрено и пояснено примером 1.

Иногда определение одного и того же понятия может быть дано в различных формулировках; другими словами, оно редуцируется к различным ранее введенным понятиям. При доказательстве следует использовать то определение, которое наиболее подходит для этого. Например, если нас интересует угол между диагоналями квадрата, то, вспомнив, что квадрат — ромб, у которого внутренний угол прямой, утверждаем, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны; если же нас интересует сопоставление длин диагоналей квадрата, то, опираясь на то, что квадрат — прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, заключаем, что диагонали квадрата равны между собой. Итак, пятое правило заключается в том, что при изложении доказательства следует использовать то определение, которое наиболее соответствует характеру рассуждения.

В некоторых доказательствах бывает необходимо применять не определение понятия или отношения, а предложение, выделяющее характеристический признак этого понятия или отношения. Такое предложение заменяет определение, служит заместителем определения. Например, если для обоснования какой-либо теоремы приходится доказывать равенство треугольников, то опираются не на определение равных треугольников, а на один из признаков

равенства треугольников; если в процессе доказательства приходится показать, что выпуклый четырехугольник—параллелограмм, то используют не определение, а один из признаков параллелограмма. Итак, шестое правило состоит в том, что определение часто заменяется теоремой, выделяющей характеристический признак определяемого понятия.

Способы и приемы доказательства теорем весьма разнообразны.

Один из путей доказательства теоремы заключается в том, что на основании известных предложений преобразуют условие теоремы так, чтобы заключение сделалось очевидным следствием полученного условия. В простейших теоремах бывает достаточно выполнить одно преобразование условия; в более сложных доказательствах такое преобразование выполняется последовательно несколько раз, пока не получат такого условия, из которого непосредственно вытекает заключение. Общая цель таких преобразований состоит в том, чтобы сблизить условие теоремы с ее заключением, и таким путем доказать теорему. Хорошо, если каждое новое условие равносильно первоначальному. Однако возможно, что некоторые части условия в процессе преобразования будут отброшены.

В других случаях теорема может быть доказана преобразованием заключения. Сущность этого преобразования состоит в том, что заключение теоремы заменяется другим заключением, которое легче получить и из которого следует заключение теоремы. Первое вспомогательное заключение вновь преобразуется во второе вспомогательное, из которого легко получается первое вспомогательное и т. д. Так поступают до тех пор, пока не приходят к заключению, непосредственно вытекающему из условия1.

Безусловно, что в процессе исторического развития математики многие теоремы были установлены в результате решения соответствующих задач. В педагогических целях при обучении полезен подход к некоторым теоремам как к задачам: это ставит изучение теоремы в более естественное положение, лишает формулировку теоремы, даваемую перед доказательством, догматичности, усиливает эвристический элемент при обучении. Например, теорема о площади параллелограмма может быть изложена так: даны длины основания и высоты параллелограмма (соответственно а и h единиц длины), найти площадь его; решая эту задачу, учащиеся получат известное равенство; после этого полученная формула читается в форме теоремы. Такой прием можно использовать при изложении в классе теорем об измерении площадей фигур; он применим к геометрическим теоремам, в которых вскрываются метрические свойства фигур.

Иногда учителя высказывают сомнение в целесообразности такого подхода к изучению геометрических теорем; по их мнению,

1 См. следующую главу.

при таком изучении умаляется значение теоремы. С этим нельзя согласиться. При изложении в форме задачи теорема не перестает быть теоремой. Ведь не умаляется значение формулы решения квадратного уравнения, хотя она всегда в школе появляется как результат решения задачи: найти корни уравнения х2 + рх -f- q = 0.

В связи с этим заметим, что при изложении теорем не следует спешить с формулировками их. Изложение можно начать с формулировки только в том случае, если эта формулировка проста, доходчива, если есть уверенность, что при первом чтении учащиеся поймут ее. В таких случаях преподаватель, прочитав один-два раза теорему, предъявляет учащимся требование, чтобы они расшифровали условие, указали заключение. Так можно начать изложение, например, теоремы о сумме углов треугольника, о свойствах диагоналей прямоугольника.

Если формулировка теоремы не отличается простотой, то учитель, начиная изложение, вычерчивает фигуру, если она нужна, выясняет и фиксирует на доске условие теоремы, устанавливает и записывает заключение, и только после этого можно поставить вопрос о формулировке теоремы. Эту формулировку дают учащиеся; причем она может быть дана и после доказательства теоремы, как итог последнего. Такой прием надо применять при изложении многих теорем со сложными формулировками, например, о признаках параллельности прямых, о формулах сокращенного умножения.

12. О повторении теорем

Качество изучения теорем прежде всего зависит от качества изложения их на уроках. Глубоко продуманное, умелое изложение доказательств теорем, обоснования правил, вызывающее повышенный интерес учащихся, возбуждающее увлечение математикой, неизменно повышает качество усвоения, основательность знаний. За последнее время все настойчивее выдвигается требование: теоретические вопросы школьного курса математики должны быть в основном усвоены на уроках. Мастера педагогического дела достигают этого.

Для прочного усвоения доказательств и формулировок теорем, для контроля над тем, правильно ли понято доказательство, для проверки знаний применяется многократное повторение изложенного на уроке. Правильно организованное повторение обогащает в должном направлении вторую сигнальную систему учащихся, вырабатывает серию полезных условных рефлексов. Повторение не должно сосредоточиваться на малом промежутке времени (например, на одном уроке), а должно быть распределено на достаточно продолжительный промежуток времени (примерно на пять уроков). Кроме того, к повторению возвращаются при завершении изучения главы или законченной части главы. Повторение за год организуется в последней четверти учебного года.

Как правило повторение не должно быть топтанием на месте. Оно должно вносить нечто новое, показать повторяемое в новых связях, в новых опосредствованиях.

Прежде всего повторение проводится на том же уроке, на котором изложены теоремы. Такое повторение обязательно проводится в V—VII классах на каждом объяснительном уроке, часто выполняется в VIII классе по усмотрению преподавателя, а в старших классах осуществляется по желанию учащихся и иногда по решению преподавателя. Повторение на объяснительном уроке выполняется с использованием уже имеющихся записей на доске. Это требует малой затраты учебного времени. Желательно, чтобы ученик, вызванный для повторения, возможно ограничил свое обращение к записям, чтобы его изложение носило характер нового продумывания доказательства.

Однако повторение на объяснительном уроке приобретает значительно большую ценность, когда изменяются некоторые переменные факторы — буквенные обозначения в алгебраических выкладках, чертеж геометрической фигуры, расположение чертежа, обозначение фигуры буквами и другие. Например, при повторении доказательства теоремы о вертикальных углах предлагается доказать равенство другой пары вертикальных углов. Конечно, такое повторение требует больше времени, но оно помогает лучше осознать сущность доказательства. Вместе с тем успешное повторение свидетельствует о значительных достижениях ученика, особенно V—VII классов. В процессе такого повторения учитель может накапливать отметки (оценки): каждый сознательный и толковый ответ ученика V—VII классов свидетельствует об успешном усвоении курса и заслуживает положительной оценки.

На ближайших последующих уроках повторение преследует две цели: закрепить изучаемое в памяти и проверить качество усвоения. В зависимости от повторяемого материала одна из этих целей может преобладать над другой. При этом также меняются те факторы, которые не являются существенными для теоремы. Если повторяется теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла, то рассматривается тупой угол. Теорема о логарифме произведения доказывается для трех сомножителей.

Каждому учащемуся предъявляется требование безупречно знать формулировки теорем, не допускать их искажения. Поэтому формулировки теорем повторяются многократно. Это делается в порядке беседы в начале урока, к ним возвращаются и при повторении доказательств, и при решении различного вида задач.

Завершая изучение той или другой главы, учитель организует повторение наиболее существенного из этой главы. Это делается и в порядке домашней работы учащихся, и частично на уроках.

При повторении обращается внимание на точное выделение условия и заключения, на использование при доказательстве всех данных, на правильность ссылок на ранее изученные теоремы и аксиомы. Часты ошибки, когда ученик вместо обратной ссылается

на прямую теорему или наоборот. С такими ошибками надо вести настойчивую борьбу.

При повторении материала в последней четверти учебного года в качестве одного из упражнений можно использовать составление «родословных» теорем. Задача ставится так: дана теорема; требуется указать, на какие теоремы непосредственно или через другие теоремы опирается доказательство данной.

В качестве примера приводится «родословная» теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

Аксиома о параллельных прямых

Теорема о равенстве внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных третьей прямой

Теорема о равенстве соответственных углов при пересечении двух параллельных третьей прямой

Теорема о признаке параллельности двух прямых по равенству соответственных углов

Теорема о признаке параллельности двух прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов

Теорема о вертикальных углах

Теорема о сумме смежных углов

Одна из таких «родословных» составляется под руководством учителя коллективными усилиями учащихся на уроке, а затем учащиеся составляют их в порядке домашней работы. При выпол-

нении таких упражнений ученик, повторяя доказательство, подмечает, на какие теоремы оно опирается; просматривая доказательства этих теорем, устанавливает, какие теоремы использованы в них и т. д. В VII и VIII классах работу можно ограничить 3—4 звеньями «родословной». Если ученик, составляя «родословную», не сумеет полностью исчерпать ее, все же работа остается полезной: она помогает постичь систему геометрии и требует повторения теорем.

Для составления «родословных» надо тщательно отбирать теоремы, учитывая при этом возраст учащихся и их подготовку.

Глава VII

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ

1. Элементарный анализ и синтез

Анализ и синтез имеют огромное значение в научном познании.

Человек в практике миллиарды раз расчленял предметы на части, т. е. выполнял материальный анализ, доставлял предметы из частей, т. е. производил материальный синтез. Анализ и синтез как методы научного исследования являются отражениями в нашем мозгу многовековой практики человечества. Ф. Энгельс говорит: «...мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство. Без анализа нет синтеза»1.

В дальнейшем эти формы мышления будем называть элементарным анализом и элементарным синтезом.

Элементарный анализ и синтез имели и имеют значение в развитии математики. Они находят широкое применение и в преподавании ее.

Мы уже видели, что при формировании понятия на базе конкретных ситуаций, при абстрагировании его мысленно выделяются существенные признаки, т. е. выполняется элементарный анализ, а затем эти признаки объединяются и образуют содержание понятия, т. е. осуществляется элементарный синтез. Например, при образовании понятия о натуральном числе мышление выделяет целые и положительные числа, а затем создает понятие о натуральном числе; это понятие объединяет все натуральные числа в один класс.

При изучении начальных сведений по геометрии учащиеся, оперируя с моделями, находят новые правила; при этом весьма часто используются элементарный анализ и синтез, опирающиеся на соответствующие материальные процессы. Изучая вопрос об измерении площади круга, ученики разрезают модели кругов на секторы (элементарный анализ, опирающийся на соответствующий материальный процесс), затем из этих секторов составляют фигуру, по форме близкую к форме прямоугольника (элементарный синтез, опирающийся на соответствующий материальный процесс), в результате этого устанавливают правило для вычисления площади круга.

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1953, стр. 40.

Когда устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками прямой, между упорядоченными парами действительных чисел и точками плоскости, то имеет место элементарный синтез, но он опирается на анализ: прямую мыслим состоящей из точек, непрерывное поле действительных чисел мыслим состоящим из отдельных чисел.

Разложение числа или выражения на множители есть элементарный анализ, но полученные множители соединяют между собой знаком умножения и произведение приравнивают разложенному, а это уже элементарный синтез.

Приведенные примеры показывают, что элементарный анализ и синтез имеют существенное значение для математических дисциплин и представляют интерес с педагогической точки зрения, что они находятся в тесном взаимодействии, во взаимной связи, сопутствуют друг другу.

Элементарный анализ и синтез применяются и в доказательствах теорем. Когда в VIII классе введено понятие о целом отрицательном показателе, встает задача установить правила действий над степенями с одинаковыми основаниями. Пусть рассматривается умножение двух степеней. Какие случаи возможны? Таких случаев четыре: атап\ агтап\ атсгп\ fl-wa~n, где т и п — натуральные числа. Налицо — элементарный анализ. Убеждаемся, что в каждом случае применимо правило умножения степеней с натуральными показателями. Это правило становится общим для всех указанных частных случаев, а это уже — элементарный синтез.

Деление степеней с одинаковыми основаниями, возвышение степени в степень дают другие аналогичные примеры элементарного анализа и синтеза. Они находят использование и в доказательствах способом приведения к абсурду

2. Синтетический метод при доказательстве теорем

Доказать теорему — значит перейти путем логических рассуждений, опираясь на ранее установленные предложения (аксиомы, теоремы, следствия), от условия доказываемой теоремы к ее заключению. Установление верности заключения можно вести двумя путями. Первый заключается в том, что отправляемся от условия и, пользуясь известными предложениями, получаем заключение как логическое следствие. Это синтетический путь доказательства. Второй состоит в том, что отправляемся от заключения и, опираясь на известные предложения, показываем, что заключение является логическим следствием условия. Это аналитический путь доказательства.

Для более детального ознакомления с синтетическим методом доказательства приведем два примера.

Пример 1. Три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

В ДЛВС (черт. 9) AD и BE — его высоты; они пересекаются в точке Р.

Докажем, что отрезок СК, проходящий через точку Р и вершину С, также — высота Д ABC.

На стороне АВ, как на диаметре, построим окружность с центром в точке О. Точки D и Е лежат на этой окружности как вершины вписанных прямых углов, опирающихся на диаметр АВ.

Черт. 9

На отрезке PC, как на диаметре, построим вторую окружность с центром 01. Точки D и Е принадлежат и этой окружности, как вершины вписанных углов, опирающихся на диаметр PC.

Из прямоугольного Д СЕР следует, что Z 3 + /. 5 = d.

Проведем общую хорду двух окружностей DE. Z4 = Z5, как углы, вписанные в окружность с центром 0\ и опирающиеся на одну и ту же дугу РЕ. Z 1 = Z 4, как углы, вписанные в окружность с центром О и опирающиеся на одну и туже дугу АЕ. Значит, Z5=Z4=ZU a Z3=Z2, как углы вертикальные. В Д ВКР Zl + Z2 = d,aZ ВКС = d.

Итак, СК — высота Д ABC.

Излагая это доказательство, учитель не может мотивировать целесообразность тех построений, которые выполнены. Почему потребовалось построить первую окружность, а не сделать какое-либо иное построение? Почему надо построить вторую окружность? Зачем потребовалось провести хорду DE? При изложении доказательства учитель не может ответить на эти вопросы.

Учитель не может мотивировать, почему из многих треуголь-

ников он рассматривает Д СЕР и интересуется суммой острых углов его. Он не может вскрыть и целесообразность последовательного рассмотрения равенств пар углов: /_ 4 = 5, 1 = /_\.

Только тогда, когда будет показано, что /_ 1 + Z. 2 = dt учащиеся осознают, что тот путь, по которому их вел учитель, целесообразен: он приводит к доказательству теоремы.

Такие же особенности имеют доказательства теорем о свойствах медиан треугольника, о двух и трех перпендикулярах и многих других теорем школьного курса геометрии.

Пример 2. Требуется доказать теорему: «Полусумма кубов двух неравных положительных чисел больше куба их полусуммы».

Условие: а>0, 6>0, а фЪ.

Доказать:

Доказательство. Из условия теоремы следуют неравенства:

(1)

Из этих неравенств получаем, что

(2)

Умножаем обе части полученного неравенства на

(3)

Раскроем скобки:

(4)

Выполняем преобразования:

(5) (6)

Получаем то, что требовалось доказать:

Приведенное доказательство еще ярче демонстрирует особенности синтетического метода. Излагающий доказательство не может мотивировать, на каком основании в качестве исходных выбраны неравенства (1), почему следует перемножить по частям

эти неравенства (2), каким образом появился множитель -^-(3),

почему надо выполнить умножение (4). И только тогда, когда будет выполнено преобразование (5), слушающие доказательство начинают понимать, что и исходные неравенства, и весь путь преобразований целесообразны: они дают возможность доказать теорему.

Конечно, найти такое доказательство, используя только синтетический метод, трудно. При его созидании применяются и аналитический, и синтетический методы; они взаимодействуют. Синтетическим методом излагается уже готовое доказательство.

3. Схема синтетического доказательства

Дадим общую схему синтетического доказательства. Обозначим через S совокупность тех предложений, которые уже установлены в данной научной области. Сюда входят аксиомы, определения, теоремы и следствия теорем. Требуется установить, что верна теорема Ап. Это значит, что надлежит перекинуть логический «мост» между совокупностью известных предложений S и доказываемой теоремой Ап.

«Сооружение моста» начинаем от совокупности S и, используя условия теоремы Ап, будем вести к заключению этой теоремы. Выводим первую группу следствий Ль В простейших случаях этих следствий может быть одно, в других случаях их может быть и больше. Во втором примере два следствия (1). Затем выводим вторую группу следствий А2 и так далее, пока не придем к группе следствий АПша1, которая приводит к заключению доказываемой теоремы Ап.

В простейших случаях логическая связь между S и Ап представляет цепь связанных между собой последовательных умозаключений (силлогизмов). В более сложных доказательствах эта связь представляет сеть переплетающихся между собой умозаключений.

Если в процессе доказательства приходим не к предложению Ani а к предложению, противоречащему Ап, т. е. несовместимому с ним, тогда заключаем, что теорема Ап ложна.

Если синтетическое рассуждение исходит из верных посылок и с логической точки зрения безупречно, то оно приводит к верному результату: синтетическим методом теорема доказывается или опровергается.

Древние греки сознательно отдают предпочтение синтетическому изложению геометрии. «Начала» Евклида (III в. до н. э.) изложены синтетическим методом; к этому побуждает и сущность элементарной геометрии. В «Началах» систематически применяемый синтетический метод перерастает в новое качество — в синтетическую систему изложения.

Синтетический метод служит для отыскания доказательства такого предложения, которое сформулировано, но логически не

обосновано. Но в этом отношении метод имеет специфические недостатки. В распоряжении ищущего доказательства не имеется критерия выбора пути, он не знает, по какому пути надо идти, чтобы сблизить условие с заключением. В распоряжении доказывающего нет критерия того, чтобы узнать, какие известные предложения выбрать в качестве исходных, какие следствия получить из них. Получив первые вспомогательные следствия Ль ищущий доказательство вновь не имеет критерия, какие предложения использовать дальше, чтобы получить вторую серию вспомогательных предложений А2 и т. д. И только тогда, когда от вспомогательных следствий Ап_х очевиден переход к АПУ доказывающий может с удовлетворением констатировать, что тот путь, которым он шел,— правильный путь: цель достигнута.

Ясно, что при таком положении можно и не достигнуть логического обоснования предложения Ап. Тогда приходится возвращаться к исходным предложениям, искать новых путей установления логических связей между условием и заключением теоремы.

Итак, синтетический метод, как метод исканий доказательств для сформулированных предложений, имеет тернистый путь. Несмотря на это, он все же имеет определенную значимость, особенно в случаях, когда логические ситуации, связывающие условие и заключение теоремы, несложны.

Синтетический метод имеет значение как метод открытия новых, до сих пор неизвестных, предложений, хотя и в этом отношении ему присуща некоторая ограниченность.

В логике этот метод называется прогрессивным: в ходе доказательства мысль идет вперед от оснований через промежуточные следствия к доказываемому. Синтетический метод является одной из существенных составных частей дедуктивного метода.

4. Синтетический метод в преподавании

Школьный курс геометрии, являясь основой соответствующей научной дисциплины, носит синтетический характер: ему свойственна синтетическая система. В других школьных математических предметах синтетический метод находит также применение. Поэтому и в преподавании синтетический метод должен занять видное место. Обучение надо вести так, чтобы учащиеся не только практически научились пользоваться синтетическим методом, но осознали сущность и особенности его.

Синтетическое изложение доказательств отличается исчерпывающей полнотой, сжатостью и краткостью, а поэтому удобно для изложения математических теорий в печатном виде. Синтетический метод является основным при изложении курсов геометрии в учебниках для школы. Значит, с этим методом учащиеся будут иметь дело при изучении и повторении теорем по учебнику.

Синтетические доказательства для начинающих изучать мате-

матику кажутся искусственными. Невозможность мотивировать вспомогательные построения, дать предварительно обоснованный план доказательства — таковы причины этой искусственности. Значит, в чистой форме синтетический метод мало удобен в классных занятиях учителя с учениками, мало удобен и при изложении учителем доказательств на уроке. Поэтому при изложении доказательств на уроке в иных случаях полезно предварять синтетическое изложение аналитическими поисками плана доказательства, в других — заменять синтетическое доказательство аналитическим, а в третьих — сохранять чисто синтетическое доказательство.

Применение чисто синтетического метода при изложении доказательств на уроке неизбежно приводит к использованию лекционного метода. При этом ограничивается инициатива и активность учащихся. К учащимся предъявляются требования — внимательно слушать и наблюдать, понимать изложение учителя, фиксировать доказательство и, может быть, повторить его. Роль их в созидании доказательства ограничивается выяснением второстепенных вопросов. Это также приводит к выводу, что, по возможности, особенно в V—VII классах, надо предварять синтетическое доказательство аналитическими поисками планов доказательств, а в иных случаях заменять синтетическое доказательство аналитическим.

В старших классах, где усиливается применение лекционного метода, усиливается использование и синтетического метода при доказательствах теорем. Однако и здесь желательно вести изложение так, чтобы учащиеся понимали план доказательства, а это требует других методов.

Из изложенного ранее следует, что при решении учеником задач на доказательство синтетический метод окажет пользу, если задача проста, если для ее решения при переходе от условия к заключению требуется небольшое число умозаключений. При решении учеником сложных задач на доказательство синтетический метод мало пригоден для отыскания планов доказательств. В этом случае нужны аналитические методы. Однако иногда синтетический метод уместно применить для подведения итогов решения задачи, доказательство которой найдено другими методами.

5. Восходящий анализ

Перейдем к рассмотрению той формы аналитического метода, которая дает возможность доказывать теоремы.

Пример 3. Теорема: «Если через точку, взятую внутри круга, проведены хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра».

Условие: точка А— внутри круга; ВС— диаметр, проходящий через точку A; DE — хорда, проходящая через ту же точку (черт. 10).

Доказать, что AD • АЕ = А В • АС. Доказательство. Требуется доказать, что

AD-AE=AB-AC. (1)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что

ав = ле

ad ас к 9

Для того чтобы доказать пропорцию (2), достаточно показать подобие треугольников, стороны которых являются членами пропорции. Для создания таких треугольников соединяем прямыми точки В и D, точки С и Е.

Чтобы доказать верность пропорции (2), достаточно доказать, что

Д ABD&A АСЕ. (3)

Эти треугольники подобны: Z В = Z Е и / D = Z С. Следовательно, теорема верна:

AD-AE=AB-AC.

В отличие от синтетического доказательства примера 1 приведенное доказательство начинается с рассмотрения того, что требуется доказать: для доказываемого равенства (1) подбирается достаточное основание — пропорция (2). Для этой пропорции подбирается новое основание — подобие треугольников (3). При подборе этого основания мотивируются дополнительные построения — построение отрезков BD и СЕ. Треугольники (3) подобны: приходим к установленному основанию. В результате вывод — заключение доказываемой теоремы верно.

С педагогической точки зрения рассматриваемая форма доказательства имеет положительные качества: есть отправное звено, с которого начинается рассуждение,— доказываемое равенство, дополнительные построения мотивированы и не кажутся искусственными, учащиеся ясно осознают на каждом этапе целеустремленность всего доказательства. Таким же путем можно доказать многие теоремы геометрии, например почти все теоремы из главы «Параллелограммы и трапеции», многие теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге.

Пример 4. Доказать неравенство:

(1)

Черт. 10

1 Неравенство (1)—частный случай известного неравенства В. Я. Буняковского:

Чтобы доказать неравенство (1), достаточно показать, что

или

(2)

Неравенство (2) есть следствие неравенства

или

(3)

Неравенство (3) очевидно; при——= —имеет место равенство. Итак, неравенство (1) доказано.

И в этом доказательстве рассуждение начинается с доказываемого— с неравенства (1). Определенным образом сформированное неравенство (2) является достаточным основанием для неравенства (1). Затем формируется неравенство (3), из которого необходимо следует неравенство (2). Убеждаемся, что неравенство (3) верно. Следовательно, теорема доказана.

Весь путь этого доказательства отличается творимой в процессе рассуждения и осознаваемой слушателями плановостью. Поэтому при изложении оно кажется слушателям естественным. Мало того, такое доказательство ученики могут найти самостоятельно, если осознают на конкретных примерах сущность метода.

Таким же способом можно доказать, что

а) б) в)

6. Схема аналитического доказательства

Рассмотрим общую схему этого метода.

Пусть 5 — совокупность предложений, уже установленных в данной научной области. Требуется доказать предложение Вп.

Чтобы доказать предложение ВпУ достаточно установить некоторое предложение Bn_lt при верности которого была бы верна теорема Вп. Если Выесть одно из предложений совокупности 5 или очевидное следствие некоторых предложений этой совокупности, то Вп доказано. Если же Вп_х не принадлежит совокупности S и не является очевидным следствием ее, то подыскивают второе предложение Вя_2> из которого необходимо следует Вп_х. Если предложение ВПтш2 — одно из известных предложений или

непосредственное следствие их, то предложение Вп доказано. Если этого нет, то подбирают третье предложение £„_3, из которого следует В„_2 и т. д. В процессе такого сближения предложения Вп с совокупностью 5 может быть достигнуто предложение В\, которое или принадлежит S, или является очевидным следствием 5. В таком случае заключаем, что предложение Вп верно. Эта общая схема рассуждения и была продемонстрирована в примерах 3 и 4.

Если путем синтеза из совокупности 5 выводится как следствие предложение Вп, то путем анализа предложение Вп приводится к предложениям совокупности 5. Поэтому в логике этот метод называется регрессивным: мышление идет от доказываемого назад к основаниям. Иногда этот метод называют редукцией— приведением.

Так как в этой форме аналитического метода для доказываемого последовательно подбирают достаточные основания, от следствия восходят к основанию, то этот метод называют восходящим анализом. Иногда для того же понятия применяют термин «совершенный анализ» в силу того, что метод является одним из средств доказательства.

Исходным пунктом аналитического рассуждения является заключение доказываемой теоремы. Рассуждение имеет направление от доказываемого к известному. Для доказываемого предложения подбирается основание, из которого следует доказываемое. При этом доказываемая теорема преобразуется в первое основание, причем преобразуются и условия и требования. Такое же преобразование условия и заключения происходит при подборе второго основания и т. д. Значит, весь процесс рассуждения характеризуется переходом от следствия к основанию путем преобразования условий и заключений каждого следствия в условия и заключения каждого последующего основания.

Чтобы ярче оттенить особенности восходящего анализа, он рассматривался как особый метод. В действительности же он неизменно связан с синтезом. В доказательстве, в искании доказательства восходящий анализ может первенствовать, но он скрывает в себе синтез. Подбор для доказываемого предложения целесообразного основания, подбор достаточных оснований на каждом последующем этапе рассуждения являются и аналитическими, и синтетическими процессами: этот процесс аналитический, ибо из многих возможных оснований выбирается одно, но он и синтетический, ибо устанавливает логическую связь между основанием и следствием: из основания выводится следствие. Таким образом, восходящий анализ выступает во взаимодействии с синтетическим методом.

Как и синтетический метод, восходящий анализ является существенной составной частью дедуктивного метода.

До сих пор рассматривался случай, когда в процессе рассуждения приходим к предложению В\9 которое является одним из

предложений совокупности S или очевидным следствием предложений этой совокупности.

Допустим, что в процессе рассуждения придем к предложению В\, которое находится в противоречии с одним из предложений совокупности S. Какой вывод можно сделать в этом случае о Вп?

Если из Вп можно вывести как следствие из Вп_1 можно получить как следствие Вп_2 и т. д. до В\ включительно, то из этого следует ложность Вп.

Если из Вп нельзя получить как следствие В и то ложность В{ не решает вопроса о ложности Вп.

7. Значение восходящего анализа при обучении

Восходящий анализ является одним из тех методов, которые дают возможность ученику найти доказательство уже сформулированной, но еще не обоснованной теоремы. Этот метод представляет значительный интерес с педагогической точки зрения: он содержит в себе один из ключей к созданию доказательства, к развитию творческого искания путей обоснований. Следовательно, обучение надлежит вести так, чтобы каждый ученик не только практически овладел этим методом, но и осознал сущность его. Обязанность преподавателя на конкретных примерах продемонстрировать этот метод, подметить с учащимися его характерные особенности и дать упражнения, на которых учащиеся получили бы умения и навыки пользоваться им. А в качестве конкретных примеров можно использовать и многие теоремы геометрии, и многие задачи на доказательство. Знакомство с методом можно осуществить в VIII классе, используя, например, задачи на доказательство, связанные с подобием треугольников.

Однако восходящий анализ не является безотказным для отыскания доказательств: он таит в себе подводные скалы и мели. Дело в том, что преобразование предложения Вп в основание а этого предложения в новое основание ВПт_2 и т. д. является процессом многозначным: в каждом случае можно подобрать несколько оснований. В силу этого применение восходящего анализа может и не увенчаться успехом. В таком случае предпринимают вторую попытку, направляя искания по другому руслу.

Как показывают примеры 3 и 4, изложение преподавателем на уроке доказательств в форме совершенного анализа имеет существенные положительные моменты: рассуждение имеет отправной пункт, мотивируется в известной мере переход в каждом логическом звене, в геометрических доказательствах мотивируются до некоторой степени дополнительные построения, в процессе доказательства развертывается осознаваемый учениками план рассуждений. Наблюдения показывают, что такие доказательства учащиеся считают естественными, лишенными той искусственно-

сти, какая характерна для синтетических рассуждений. Поэтому совершенный анализ полезно использовать, где возможно, в классной работе педагога с учениками.

Это использование можно осуществить тремя путями. В VI—VIII классах, когда возможно, изложение теоремы начинается устно путем восходящего анализа, а как только план доказательства будет уяснен, включается синтетический метод и изложение доказательства записывается. Так можно изложить многие теоремы из главы о четырехугольниках.

Пример такого изложения приводится ниже1. В VIII и старших классах, когда возможно, изложение доказательства дается методом восходящего анализа, при этом доказательство фиксируется. А затем учащиеся обращают аналитическое доказательство и получают синтетическое доказательство. Так можно, например, изложить теоремы о двух и трех перпендикулярах. В старших классах изложение доказательства, когда возможно, дается только восходящим анализом. Так можно, например, решать многие задачи на доказательство неравенств.

Применение восходящего анализа при изложении доказательств дает возможность усилить эвристический элемент в процессе обучения: учащиеся под руководством учителя принимают активное и инициативное участие в созидании доказательства. В VI—VII классах эта форма анализа особенно хорошо сочетается с методом эвристической беседы. Включение в эвристическое изложение аналитического метода в большей мере развивает мышление учащихся, чем при использовании синтетического метода.

Так как школьные курсы элементарной геометрии являются синтетическими, то не каждое геометрическое доказательство удобно излагается методом восходящего анализа. Это накладывает некоторые ограничения на применение метода.

Наблюдения показывают, что некоторые преподаватели математики путают восходящий анализ с другими формами аналитического метода и полагают, что он не является методом доказательства, что он только позволяет найти план доказательства, что после его применения необходимо, обратив рассуждение, дать синтетическое доказательство. И примеры, демонстрирующие восходящий анализ, и общая схема этого метода показывают, что такая точка зрения неверна. Восходящий анализ содержит в себе синтез, а потому не требуется никаких синтетических доказательств. Однако правильно то, что любое доказательство методом восходящего анализа можно, обратив его, заменить синтетическим доказательством. При этом синтетическое рассуждение, подготовленное аналитическим методом, не будет казаться учащимся искусственным. Это и используется в педагогическом процессе.

1 См. гл. IX, п. 4.

8. Нисходящий анализ

При изыскании путей и планов доказательств теорем имеет значение другая форма аналитического метода, которую назовем нисходящим анализом1. Для выяснения особенностей ее рассмотрим две задачи на доказательство.

Пример 5. Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катету прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы.

Черт. 11

Условие: ДABC — прямоугольный, Z С = d, ВМ = ть — медиана катета, А С = Ь (черт 11). Доказать, что

(1)

Будем исходить из доказываемого равенства (1) и получать из него последовательные следствия.

Из прямоугольного Д ВСМ имеем, что

Подставляя в равенство (1) вместо ml найденное выражение, получаем следствие.

(2)

Упрощая левую часть этого равенства, находим следствие

(3)

Последнее равенство верно.

Какой вывод из приведенного рассуждения можно сделать?

1 Иногда эту форму анализа называют несовершенным анализом.

Ученики склонны считать, что теорема-задача доказана: равенство (1) установлено. Некоторые преподаватели математики, как показывают наблюдения, склоняются к тому же заключению.

Однако приведенное рассуждение не доказывает равенства (1): мы не можем утверждать ни его правильности, ни его ложности. Дело в том, что и из неверного положения путем верных умозаключений можно получить верное следствие. Например, при афЪ равенство а — Ь — Ъ — а неверно; однако следствие этого неверного равенства (а — Ь)2 = (Ь — а)2 верно.

Таким образом, наличие безупречного следствия (3) не является основанием для утверждения, что доказываемое равенство (1) верно. Вопрос о верности теоремы-задачи остается открытым.

Что же дает рассуждение примера 5?

Оно не бесполезно; оно подсказывает план синтетического доказательства. Если все рассуждение удастся обратить, то это обращенное рассуждение и будет синтетическим доказательством теоремы-задачи. В нашем примере рассуждение обратимо.

Из прямоугольного /\АВС имеем:

а2+Ь2=с2. (3)

Преобразуем левую часть этого равенства:

(2)

Из прямоугольного /\ВСМ получаем:

Заменяем сумму двух первых членов левой части равенства (2) через ml:

(1)

Получили то, что утверждает теорема. Теорема доказана. Итак, несовершенный анализ помог найти план синтетического доказательства.

Пример 6. Из середины катета прямоугольного треугольника опущен перпендикуляр на гипотенузу; доказать, что разность квадратов полученных отрезков гипотенузы равна квадрату высоты, проведенной на гипотенузу.

Условие: Д А ВС — прямоугольный, /_ С = d,

AM = MC=-jb; СН ±АВ; MN J_ АВ (черт. 12).

Доказать, что/2 — k2 = h2c. (1)

Из доказываемого равенства (1) следует, что

(l+к) (l-k)=h2c,

или

c(l-k)=h%. (2)

Так как из перпендикулярности СН и MN к АВ следует, что СИ || MN, и по условию АМ = МС, то AN = NH. Поэтому l — k = p, где р — проекция катета а на гипотенузу.

Значит, из равенства (2) следует, что

ср=Щ. (3)

По известной теореме ср = а2. Получаем, что

a2^h2c,

или

а=К (4)

Черт. 12

Это равенство противоречиво.

Следовательно, доказываемая теорема-задача неверна.

В этом примере несовершенный анализ выступает в иной роли, чем в предыдущем: он приводит к опровержению неверного предложения. Если рассуждение со всеми его умозаключениями правильно, а следствие оказалось ложным, значит, доказываемое ложно.

Вместе с тем итог рассуждения показывает, как следует исправить теорему-задачу, чтобы она стала верной. В формулировке последние слова: «квадрату высоты, проведенной на гипотенузу», надо заменить словами: «квадрату другого катета».

9. Схема нисходящего анализа и его значение в преподавании

Рассмотрим схему рассуждения, свойственную нисходящему анализу. Как и ранее, обозначим через S совокупность тех предложений, которые уже установлены в данной научной области, а через Сп — то предложение, которое требуется доказать.

Временно допустим, что предложение Сп установлено. Опираясь на него и предложения совокупности S, выводим одно или несколько следствий, которые обозначим Сп-Х. Затем из этих следствий и предложений совокупности S выводим вторую совокупность следствий Сп—2. В ней может быть и одно, и несколько следствий. Далее таким же путем от Сп_2 переходим к третьей совокупности следствий Сп_3 и т. д., пока не получим некоторого следствия С\9 которое: 1) или противоречит одному из известных предложений, 2) или является известным предложением.

В первом случае при правильности умозаключений необходимо заключить, что предложение Сп ложно, т. е. не является логическим следствием известных предложений: если следствие ложно, то и основание ложно. Этот случай имеем в примере 6.

Во втором случае, когда приходим к следствию Сь являющемуся верным предложением, сделать определенное заключение относительно Сп нельзя: предложение Сп может быть и верно, может быть и неверно. Известно, что из ложного можно получить как следствие истинное предложение. Значит, правильность Ci не гарантирует верности предложения Сп.

Предложение Сп будет доказано только в том случае, когда возможен логический переход от С\ к С2, затем к С3 и т. д. и, наконец, от Сп_! к Сп. Только при осуществлении такого обращения в рассуждении Сп будет доказано.

Таким образом, нисходящий анализ, как показывает общая схема и иллюстрирует пример 6, имеет значение как деструктивный метод: он может служить для опровержения таких предложений, которые ошибочно приняты за верные, но требующие доказательства. Но нисходящий анализ может выполнять и другую роль; с помощью его отыскивается план доказательства предложения. Таково основное значение этой формы аналитического метода.

В педагогическом процессе используется и то, и другое значение этого метода.

При появлении неверного утверждения со стороны ученика учитель, не отклоняя этого предложения, ставит ученику целесообразно подобранные вопросы и в результате приводит его к явному противоречию с твердо установленными и известными предложениями; а затем вскрывается ошибочность первоначального утверждения ученика. Значит, нисходящий анализ, применяемый в форме педагогического метода Сократа (470—399 гг. до н. э.), в учебном процессе выступает как деструктивный метод, разрушающий неверные утверждения учащихся.

Пример 5 показывает, что в педагогическом процессе нисходящий анализ имеет и конструктивное значение: в некоторых случаях он помогает найти план доказательства теоремы и само доказательство. В случае, когда в результате применения несовершенного анализа получается следствие, согласное с установленными предложениями, надо сделать попытку обратить рассужде-

ние. Если это обращение удается, то обращенное рассуждение и является синтетическим доказательством теоремы. Если обращение выполнить нельзя, то вопрос о верности теоремы остается открытым. Нужны дальнейшие изыскания путей доказательства.

С этим значением нисходящего анализа уместно познакомить учащихся VIII класса при решении задач на доказательство. Преподаватель подбирает серию задач. При решении первой из них, как в примере 5, вскрывается сущность метода и его значение; выясняется, что значит обратить рассуждение. Затем учащиеся в классе еще решают 3—4 задачи, на которых демонстрируются и подчеркиваются особенности метода. Далее предлагается учащимся в порядке домашних работ решить ряд задач; при этом дается указание, что для отыскания плана доказательства надо воспользоваться нисходящим анализом. В дальнейшем учащиеся будут неоднократно встречаться с этим методом в теоремах-задачах. Все это дает возможность не только осознать сущность и значение метода, но освоить его применение.

Некоторые методисты и учителя склонны недооценивать педагогическое значение нисходящего анализа. Этот анализ входит как существенная составная часть в способ доказательства от противного, при этом он выступает как деструктивный метод. А способ доказательства от противного в школьных курсах математики применяется довольно часто. Уже одно это свидетельствует о видной роли нисходящего анализа.

Кроме того, он имеет некоторые преимущества перед совершенным анализом в отношении искания планов доказательств: учащиеся делают переход от предложения к следствию легче, так как такой переход привычнее, чем подбор для предложения достаточного основания. Поэтому для отыскания планов синтетических доказательств нисходящий анализ заслуживает предпочтение перед восходящим.

10. Доказательство приведением к нелепости

Дадим общую схему доказательства теоремы способом приведения к нелепости, иначе способом противоречия. Пусть S — совокупность предложений, установленных в данной научной области. Требуется доказать предложение Ап. Допустим, что Ап —ложно. Отрицание истинности А п по закону исключенного третьего необходимо влечет признание истинности предложения А1ПУ противоречивого Ап*. Надлежит выяснить истинность или ложность АХПУ т. е. убедиться, что А1п— или следствие совокупности предложений S, или противоречит одному из предло-

* Противоречивыми называются такие два предложения, из которых каждое есть отрицание другого. Например, «10 делится на 3», «10 не делится на 3» — два противоречивых предложения.

В связи с этим заметим, что традиционный для нашей школы термин «способ от противного» целесообразно заменить термином «способ противоречия»: последний более совершенно передает суть способа доказательства.

жений совокупности 5 или условию доказываемой теоремы Ап. Поступаем, как при использовании нисходящего анализа. Присоединим А1пк совокупности известных предложений S и получим отсюда следствия. Одним из следствий оказывается предложение Л1!, которое отрицает истинность А\$ находящегося или в совокупности 5 или являющегося условием предложения Ап. Другими словами, приходим к противоречию, к абсурду. Это противоречие могло возникнуть потому и только потому, что допущена верность предложения Ап\ ложное следствие при правильности выводов может получиться только и только в том случае, если посылка ложна. Таким образом показано, что предложение А{п— ложно. Оно отклоняется. На основании закона исключенного третьего необходимо признать, что предложение Ап — верно. Это и требовалось доказать.

Нет надобности приводить примеры доказательства способом противоречия: изучившему школьные математические предметы известно много таких примеров.

Для доказательства способом приведения к абсурду характерно особо выпуклое применение двух законов логики: закона противоречия и закона исключенного третьего. В применении к математике первый из них можно формулировать так: невозможно, чтобы при одних и тех же условиях математический объект находился и не находился в определенном отношении к другому объекту; например, невозможно, чтобы при одних и тех же условиях АВ \\ CD и АВ% CD, а = Ь и а Ф Ь. Второй закон можно формулировать так: каждый математический объект может находиться относительно другого объекта или в утвердительном, или в отрицательном отношении, и нельзя мыслить никакое третье отношение между теми же объектами; например, а или равно 6, или не равно 6, всякое третье отношение между а и Ь исключается. Когда при доказательстве способом противоречия отрицают Ant то по закону исключенного третьего необходимо допускается предложение Ап, так как никакое третье отношение между объектами, о которых идет речь, невозможно. Когда в процессе нисходящего анализа приходят к предложению А{, которое противоречит А\, то по закону противоречия нельзя признать истинными эти противоречивые предложения. А так как верность А\ или установлена ранее, или обусловлена, то по закону исключенного третьего признается, что А\ —ложно. Это приводит к отрицанию Ап, а, значит, по тому же закону к принятию предложения Ап.

Доказательство приведением к нелепости в отличие от других способов и приемов доказательств является не прямым, а косвенным: в нем истинность предложения Ап устанавливается путем доказательства ложности противоречивого предложения А„; только после установления ложности Ап утверждается истинность AlV

Доказательству противоречием присущи черты, общие с аналитическим методом. Оно начинается с рассмотрения того, что требуется обосновать. Это первое, что сближает сопоставляемые методы. Допущенное предложение Ап расщепляется на возможные виды, и каждый вид исследуется отдельно: в отношении каждого случая показывается, что он приводит к нелепости, ибо, если бы один из них был истинным, то предложение Ап было бы ложным. Это расщепление предложения на возможные виды является элементарным анализом. Это второе, что сближает доказательство противоречием с аналитическим методом. Введя предложение Ап , присоединяют его к совокупности предложений S и получают следствия, пока не достигают противоречивого следствия. Отрицают последнее. Это сближает доказательство противоречием с нисходящим анализом.

11. Доказательство противоречием при обучении

Школьные курсы математики, особенно курс элементарной геометрии, широко применяют доказательство приведением к абсурду. Опыт свидетельствует, что при правильном знакомстве с этим методом учащиеся довольно скоро и хорошо овладевают им и умело применяют к обоснованию новых предложений.

Навыки шестиклассников в элементарном анализе еще недостаточны, а это иногда вызывает затруднения в понимании доказательства противоречием. Поэтому целесообразно предварительно выполнить с учащимися некоторые упражнения, которые подготовят их мышление к тем ситуациям, какие встречаются в доказательствах способом приведения к абсурду. Вместе с тем эти упражнения практически познакомят учащихся с законами противоречия и исключенного третьего. Приводим примеры таких упражнений.

1) Даны два отрезка прямой: а и Ь. (Отрезки не вычерчиваются.) Какие соотношения могут быть между длинами этих отрезков?

2) с и d — два отрезка прямой; с не больше d. Какие соотношения могут быть между длинами этих отрезков?

3) а и Ъ — два отрезка прямой; афЬ. Какие заключения можно сделать о длинах этих отрезков?

4) с и d — отрезки прямой; с не меньше d. Какие заключения можно сделать о длинах этих отрезков?

5) Л и В— два угла; ZЛ не меньше /_В. Какие заключения можно сделать о величине этих углов?

6) С и D — два угла; /_С Ф /_Dy /_С не больше /_D. Какое соотношение существует между /С и /_D?

7) АВ и CD — две прямые, принадлежащие одной плоскости. Какие случаи возможны во взаимном расположении этих прямых?

8) АВ и CD — прямые, лежащие в одной плоскости; АВфСО. Каково взаимное расположение этих прямых?

Рассмотрение доказательства способом приведения к противоречию возможно осуществить при изучении теоремы: «В треугольнике против равных углов лежат и равные стороны».

Приводим примерное изложение теоремы на уроке. Из беседы даются только высказывания учителя.

Условие: дан ДЛ5С, £А=/_В (черт. 13).

Требуется доказать, что а = Ь.

— Что требуется доказать? Покажите на чертеже.

— Допустим, что заключение доказываемой теоремы неверно. Что следует из этого?

— Правильно: необходимо принять противоречащее заключению: а Ф Ь. Если а Ф Ь, то какие возможны случаи в отношении величин этих отрезков?

— Возможны два случая: или а^>Ьу или а<СЬ. Рассмотрим первый случай. Если а>6, то какое заключение можно сделать об углах треугольника?

— На основании какой теоремы можно сделать такое заключение? Как читается теорема?

— Пришли к выводу, который противоречит тому, что дано. Следовательно, невозможно, чтобы а было больше 6.

— Рассмотрим второй случай: а<^Ь. Какое можно сделать заключение?

— Как отнестись к этому заключению?

— Значит, приходится отклонить и неравенство а<6. Итак, допущение, что афЬ, ложно. Необходимо признать, что а = 6. А это и требовалось доказать.

После повторения доказательства теоремы сообщается название нового способа доказательства и намечается план, по которому проведено доказательство. План записывается примерно в такой редакции.

1) Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее утверждение. (Иногда говорят: «противоречим заключению».)

2) Подмечаем в результате этого возможные случаи.

3) Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит или условию теоремы, или ранее установленным предложениям.

4) Наличие противоречий заставляет отказаться от принятого заключения.

5) Признаем правильность заключения доказываемой теоремы. Содержание плана ученики передают своими словами. По пла-

Черт. 13

ну ученик доказывает другие теоремы, в обосновании которых лежит способ противоречия.

Первой теоремой, к которой учащиеся применяют план, является следующая; «В треугольнике против большего угла лежит и большая сторона». Опыт показывает, что достаточно выяснить условие теоремы, ее заключение и сообщить, что теорема доказывается способом противоречия, как учащиеся, пользуясь планом, хорошо справляются с доказательством.

Далее уместно напомнить учащимся, что способом противоречия ранее были доказаны предложения о признаке параллельности прямых и о свойстве соответственных углов при пересечении двух параллельных третьей прямой. Эти теоремы повторяются. К концу VI класса способ доказательства противоречием становится достоянием большинства учащихся.

Глава VIII

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

1. Математическая задача

В этой главе под задачей будем разуметь и обычные школьные задачи, кроме задач на доказательство, и те программные теоретические вопросы, с которыми впервые на уроке учащиеся встречаются в форме задач.

Древние народы — египтяне, вавилоняне, индийцы — уделяли значительное внимание решению разнообразных задач. Древние греческие геометры детально разработали схемы решения задач на построение. Эти задачи они называли проблемами. Анализ, который они применяли для отыскания путей решения задач на построение, получил название проблематического анализа. Одну из существенных частей плана решения задач на построение греки называли «аиагогеухта^^— преобразование. Отсюда и анализ, который применяется при решении задач, получил название апагогического метода.

В каждой задаче указывается, что дано, и выставляется требование, что надо выполнить. Для возможности решения задачи необходимо, чтобы искомое и данные находились в функциональной зависимости. Только наличие этих функциональных зависимостей дает возможность решить задачу. Таким образом, каждая задача состоит из условия, функциональных зависимостей и требования.

Иногда в методической литературе задачу, весь текст ее называют «условием». Иногда это же приходится слышать и на уроках. Как видно из изложенною, термин «условие» в этом смысле нельзя признать удачным: он не охватывает всего текста задачи. От этого неудачного термина следует отказаться.

В школьных задачах часто дается такое число данных, что получается определенное решение или несколько определенных решений. Такие задачи называют определенными. Если данных больше, чем необходимо для решения, задачу называют переопределенной. Такие задачи в некоторых случаях могут быть решены, но, как правило, они не имеют решений. Если данных недостаточно, то задачу называют недоопределенной, или неопределенной. Такие задачи имеют бесчисленное множество решений. Неверно, когда говорят, что неопределенную задачу нельзя решить. Неопределенные задачи решимы; особенность их в том, что можно указать сколько угодно решений.

При решении задач опираются на известные предложения той дисциплины, к которой относится задача. Однако опираются нередко и на смежные математические дисциплины. Содержание этих дисциплин является тем логическим основанием, на котором базируется решение задач.

2. Синтетический метод решения задач и его схема

Некоторые задачи можно решить без особого изыскания плана и способа решения. Это такие задачи, планы решений которых или очевидны, или без особых мероприятий легко устанавливаются. При решении таких задач первенствующее значение имеет синтетический метод.

Синтетическое решение состоит в том, что, используя некоторые данные, определяют вспомогательные величины, т. е. решают первую серию вспомогательных задач. Затем, применяя результаты решения этих задач и, может быть, данные, решают вторую серию вспомогательных задач. Так поступают и далее, пока не найдут искомое.

Поясним примером.

Задача 1. Два самолета с реактивными двигателями одновременно вылетели с двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между аэродромами 1870 км. Через сколько часов они встретятся, если один из них в— часа пролетает 360 км, а скорость второго составляет —скорости первого?

Решение.

1) Какова скорость первого самолета?

360: —=900 (км в час).

2) Какова скорость второго самолета?

900.—=800 (км в час).

3) На сколько самолеты сближаются в течение часа?

900+800=1700 (км).

4) Через сколько часов после вылета самолеты встретятся?

1870:1700=1,1 (часа).

Ответ. 1,1 часа.

Прежде всего используются некоторые данные, формируется из них и решается первая вспомогательная задача — находится скорость первого самолета. Затем из результатов решения первой задачи и одного из данных формируется и решается вторая вспомогательная задача — определяется скорость второго самолета. Далее результаты решения первой и второй вспомогательных задач дают возможность сформировать и решить третью вспомогательную задачу. Наконец, из результата решения третьей задачи

и одного из данных формируется и решается последняя задача, дающая ответ на требование задачи.

Таким же путем синтетический метод применяется к решению многих геометрических задач на вычисление и построение.

Дадим общую схему использования синтетического метода при решении задач.

Пусть X — требование задачи и Л — условие ее. Тогда задачу можно изобразить символической записью: ХА. Решение начинается с использования всего или части условия для формирования и решения вспомогательных задач первой серии. Эта серия может состоять и из одной и из нескольких задач. Первую серию вспомогательных задач можно обозначить Х'А,У где Д'— часть или все условие задачи ХА. Затем, используя итоги решения всех или части задач Х'А, и, может быть, некоторые данные условия Л, формируют и решают вторую серию вспомогательных задач ХА„У где А—все или. часть результатов решения задач Х'А, и, может быть, часть данных условия А. Серия задач ХА„ также может состоять из одной или нескольких задач. Аналогично формируется и решается третья серия вспомогательных задач и т. д. Так продолжается, пока последняя серия вспомогательных задач не обеспечит решение задачи ХА.

3. Значение синтетического метода в обучении

При использовании синтетического метода решение начинается с некоторых данных, обусловленных задачей, и имеет общее устремление к искомому. Поэтому синтетическому решению присущи те же положительные и отрицательные черты, что и синтетическому доказательству. При таком решении не имеется критерия, с каких данных следует начинать решение и какие вспомогательные величины надлежит определить. Не имеется критерия в выборе последующих вспомогательных задач. При некоторой сложности задачи решающий может ясно и не представлять, верно ли он комбинирует данные, верно ли подбирает вспомогательные задачи, достигнет ли желательного результата. Каждый опытный преподаватель знает, что при решении арифметических задач учащиеся V и VI классов нередко предлагают решать нелепые вспомогательные задачи. Значит, синтетический метод мало пригоден для отыскания планов и способов решения достаточно сложных задач.

Синтетический метод успешно применяется при решении задач, которые не отличаются значительной сложностью. При таком применении имеют значение удачные догадки, в основе которых иногда лежат аналогии между решаемой задачей и ранее решенными. Удачные аналогии имеют тем большее значение, чем богаче опыт решающего.

Если синтетический метод маломощен при отыскании планов решения задач, то с помощью его задача решается: он приводит к ответу на требование задачи. Он применим к решению многих задач. В этом большое значение метода.

Если требуется зафиксировать решение задачи, то можно успешно использовать синтез. Весьма часто в оформлении решения задач синтетический метод занимает основное место.

Чтобы показать особенности синтетического метода при решении задач, он рассматривался вне связи с другими методами. Однако при его применении безусловно имеет место и анализ. Последний применяется в неразвернутом, скрытом виде и может не осознаваться решающим. Прежде чем появился план решения задачи 1, имели место следующие мысли. Чтобы выяснить, через сколько часов встретятся самолеты, необходимо знать, на сколько они сближаются в течение часа, а это будет установлено, если будет известна скорость каждого самолета. Скорость второго легко найти, если известна скорость первого самолета, а последнюю определим из следующего соотношения: в —часа он пролетает 360 км.

Приведенные мысли обусловлены использованием аналитического метода. Простота сюжета задачи, привычность мышления делают эти соображения столь сжатыми и беглыми, что они могут и не осознаваться решающим. Получается впечатление, что задача решена применением синтетического метода, а в действительности его использование обусловлено аналитическими поисками пути решения.

4. Аналитический метод при решении задач

Перед приступающим к решению сложной задачи стоят первый и основной вопрос: найти план решения. Если план решения не удается предусмотреть, то целесообразно для отыскания этого плана применить анализ. Удачное использование анализа очень часто дает возможность найти план решения.

Для применения аналитического метода характерно рассмотрение искомого в предположении, что условия задачи выполнены. Поэтому анализ начинают с рассмотрения искомого, с установления его связей с данными, или с предположения, что задача решена, или с введения и обозначения искомого.

Задача 2. Основание пирамиды — ромб, большая диагональ которого равна а и острый угол равен а. Вершина пирамиды проектируется в вершину тупого угла ромба. Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом J8. Определить боковую поверхность пирамиды.

В пирамиде SABCD основание ABCD — ромб, большая диагональ BD = a, Z. ABC = а> ребро SA JL пл. ABCD, двугранный угол ABCS равен J3 (черт. 14).

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников, попарно равных: ASAB = A SAD и ASBC = ASCD.

Обозначив площадь боковой поверхности пирамиды через s, площади ASAB и ASBC соответственно через S\ и s2, получим:

S = 2s1+2s2. (1)

Решаемая задача распалась на две вспомогательные: требуется найти S\ и s2. Это первая серия вспомогательных задач.

Выразим площади s{ и s2 через длины оснований и высот соответствующих треугольников. В Д SBC проведем высоту SK. Точку К соединим прямой с точкой А. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, АК±_ВС\ ZSKA= j8, как линейный угол двугранного угла ABCS. Равенство (1) можно записать так:

Так как ДВ=ВС, то

(2)

Черт. 14

Таким образом, необходимо найти длины отрезков АВ, SA, SK. Это вторая серия вспомогательных задач.

Отрезок АВ — сторона прямоугольного /\АВО, в котором катет ВО

Длину отрезка АВ легко определить.

Отрезки SA и SK — стороны прямоугольного Д SAK, в котором /_ SKA = (3. Чтобы найти длины этих отрезков, надо знать длину отрезка АК. Это третья серия вспомогательных задач. В нее входит только одна задача.

Отрезок АК — катет прямоугольного ААВКУ в котором /_ АВК = а, а гипотенузу АВ, как показано ранее, можно определить.

Аналитический поиск плана решения закончен. Теперь следует решение. Оно — применение синтетического метода. Аналитическое рассуждение обращается.

Из прямоугольного ДЛВО найдем длину отрезка АВ:

Затем из прямоугольного ААВК определим длину отрезка АК'.

Далее из прямоугольного ASAK узнаем длины отрезков AS и SK:

Определяем боковую поверхность пирамиды:

Ответ.

5. Схема аналитического метода. Примеры

Рассмотрим общую схему аналитического рассуждения.

Обозначим задачу через ХА, где X — требование, а А — условие задачи. Первый шаг в анализе состоит в том, что рассматривают X в связи с данными задачи, стараются установить в той или иной форме связь между X и А. Если такое сопоставление искомого и данного не приводит к установлению плана решения, то, опираясь на известные предложения, преобразуют ХА в другую задачу YB; при этом данные А преобразуются в В, требование X в новое требование У. При таком преобразовании задачи ХА в первую вспомогательную задачу Ув руководствуются тем, что решение этой вспомогательной задачи кажется легче, доступнее. Решение первой вспомогательной задачи должно обеспечить решение основной. Если решение задачи Yв известно, то анализ заканчивается. Если решение ее неизвестно, то ее преобразуют во вторую вспомогательную задачу Zc, решение которой обеспечивает решение задачи YBy а, значит, и основной задачи. Такое преобразование продолжают и далее пока не получат задачу VH, решение которой известно и обеспечивает решение предыдущей вспомогательной задачи, а, значит, и основной задачи.

Таким образом, проблематический анализ можно представить следующей схемой:

В иных конкретных случаях переход от основной задачи к последней вспомогательной совершается так, что каждая ступень в этом последовательном переходе состоит из одной вспомогательной задачи. В других случаях в одной или нескольких ступенях этого перехода может быть две и больше вспомогательных задач. Например, основная задача может расщепиться на две вспомогательные задачи, в свою очередь одна или обе из них могут преобразоваться каждая в две или более вспомогательных задач и т. д. Таким образом, под каждым символом Yв> %с> •••> Vк следует разуметь одну или несколько вспомогательных задач.

Приведем еще примеры применения аналитического метода.

Задача 3. Построить равнобочную трапецию по нижнему основанию, углу при этом основании и сумме боковой стороны с высотой.

Анализ. Допустим, что ABCD — та равнобочная трапеция, которую требуется построить: AD=a, АВ-\-ВЕ= =5, /_А=а (черт. 15).

Из совместного рассмотрения данных и требования задачи не удается усмотреть план построения трапеции. Преобразуем данную задачу в более простую. Рассмотрим ДЛВ£. Легко видеть, что его построение обеспечивает построение трапеции. Этот треугольник — прямоугольный; в нем /_А=а, А В + BE = s. Таким образом, основная задача преобразуется в первую вспомогательную — требуется построить Д ABE.

Усмотреть план построения этого треугольника не удается: затрудняет использование отрезка 5. Необходимо преобразовать эту задачу во вторую вспомогательную. Продолжим отрезок АВ за точку В и отложим отрезок ВМ=ВЕ; точки М и Е соединим прямой. Получим Д АЕМ. В нем известны AM = s, /_А = а, /_М = —-—. Этот треугольник построить легко. Так как Д ВЕМ — равнобедренный, то Д АЕМ обеспечивает построение Д ABE. Анализ закончен: план построения найден.

Затем выполняется построение: прежде всего строится Д АЕМ, от него переходят к построению Д ABE и, наконец, получают трапецию ABCD. Построение — синтетический процесс. Построение решает задачу.

Черт. 15

Далее доказывается, что построенная трапеция удовлетворяет всем требованиям задачи. Доказательство — синтетический процесс.

В изложенном решении анализ обладает всеми характерными признаками, указанными в общей схеме. Его назначение—найти план решения. При построении и доказательстве применяется синтез. Анализ и синтез взаимодействуют.

Задача 4. Требуется найти формулу решения уравнения.

x*+px+q=0. (1)

В задаче даны параметры р и q и те операции, которые надо выполнить над корнем и параметрами, чтобы в результате получить 0. Решения уравнения (1) не изменяются, если заменим ею следующим:

(2)

Уравнение (2) — первая вспомогательная задача. Равносильность не нарушится, если уравнение (2) заменить следующим:

(3)

Уравнение (3) — вторая вспомогательная задача.

Если----<7> 0, то уравнение (3) распадается наследующие два:

(4)

Уравнения (4) равносильны уравнению (3). Получаем решение:

(5)

В процессе решения уравнения (1) каждая задача подменялась другой так, что любая поставленная задача равносильна предыдущей. Поэтому решение задач (4) равносильно решению уравнения (1). Следовательно, в этом случае нет надобности доказывать или проверять, что выражения (5) являются корнями уравнения (1).

Цель преобразования основной задачи в вспомогательные заключается в том, что задачу, решение которой неизвестно, постепенно сводят к более простым задачам, пока не достигают такой или таких задач, решение которых известно. Однако последовательное преобразование задач является, говоря вообще, операцией многозначной. При удачных преобразованиях приходим к задачам, решение которых известно. При неудачных преобразованиях можно и не достигнуть задач, решение которых известно. Таким образом, анализ не является безотказным методом оты-

екания путей решения задач. В случае неудачи непригодный вариант анализа отбрасывается и заменяется другим вариантом, в котором полностью или частично сменяется подбор вспомогательных задач.

Например, если в процессе анализа задачи 3 для возможности использования отрезка 5 был бы продолжен отрезок АВ за точку А и отложен отрезок AM = BE, то вспомогательный Л ВЕМ оказался бы неопределенным. Этот вариант анализа не дает результата.

6. Разновидности аналитического метода

Как показывают приведенные решения задач 2, 3 и 4, аналитический процесс в той или иной форме сопровождает синтез. Иногда синтез следует за анализом как необходимый следующий этап решения задачи. В этом случае аналитическое рассуждение обращается: решают последнюю или последние вспомогательные задачи, затем, опираясь на полученные результаты, решают предпоследние вспомогательные задачи и т. д., пока не будет решена основная задача. Так обстоит дело в решении задач 2 и 3. Еще древнегреческие геометры детально разработали план решения задач на построение. Поэтому некоторые авторы называют эту форму анализа, которая дает только план решения, анализом древних или классическим анализом.

Итак, для классического анализа характерно, что он только помогает найти план решения, что он не является методом решения в узком смысле слова, что он прокладывает путь последующему применению синтетического метода, с помощью которого задача и решается. Эта форма аналитического метода находит применение не только для отыскания планов решения задач на построение, но и при решении арифметических и геометрических задач на вычисление.

В других случаях анализ применяется так, что в процессе подстановки каждой вспомогательной задачи устанавливается и обращение каждой смежной пары задач: синтез осуществляется в процессе анализа, синтез сливается с анализом. Получается впечатление, что анализ не только способствует отысканию плана решения, но с помощью его задача и решается. Так обстоит дело при решении задачи 4. Такое положение получается при использовании алгебраической символики, уравнений или систем уравнений. Поэтому анализ, связанный с использованием уравнений или систем уравнений, в отличие от анализа древних иногда называют одной из форм алгебраического анализа.

Итак, для той формы алгебраического анализа, с которой в школе имеют дело при решении задач, характерно, что неизвестное или неизвестные обозначены буквами, что с ними оперируют как с известными и наравне с известными, что в результате вве-

дения обозначений приходят к уравнению или системе уравнений, что в процессе решения уравнения или системы аналитический и синтетический методы как бы сливаются, что и приводит к решению задачи, к получению ответа. Особая продуктивность этой формы аналитического метода обусловлена и введением алгебраической символики, и применением уравнений или систем их, теория решения которых подготовлена заблаговременно и в некоторой части дает возможность решать задачи полуавтоматически.

Если при использовании алгебраического анализа возникает сомнение в равносильности двух смежных вспомогательных задач, то пригодность полученных решений проверяют по уравнению или системе или по задаче.

7. О потере и приобретении решений

Если вспомогательная задача равносильна той, вместо которой она подставляется, если эта равносильность имеет место при каждом таком преобразовании, то все решения последних вспомогательных задач и только они являются и решениями основной задачи. Такое положение имеет место в задаче 4. Это имеет существенное значение при алгебраическом анализе, так как тогда в иных случаях снимается необходимость доказывать пригодность решений для основной задачи.

Однако не всегда удается такое преобразование основной задачи в вспомогательные, чтобы соблюдалась равносильность.

Если преобразование основной задачи в первую вспомогательную выполняется так, что условия основной задачи есть следствие условий вспомогательной, или если такое же соотношение существует между условиями двух смежных вспомогательных задач, то может оказаться, что последняя вспомогательная задача будет не эквивалентна основной. При этом возможна потеря решений.

Пусть, например, требуется найти признак делимости на 3. При решении этой задачи некто рассуждал так: если число делится на 9, то оно разделится на 3; значит, решение вопроса о признаке делимости на 3 можно заменить задачей о признаке делимости на 9; признак делимости на 9 известен; следовательно, признак делимости на 3 будет тот же, что признак делимости на 9.

В таком рассуждении имеется дефект. Условие первой задачи является следствием условия второй. Однако решение второй задачи дает только часть решений основной, а другая часть теряется.

Другим примером такой потери решений может служить распространенная ошибка учащихся, заключающаяся в «сокращении» без должных предосторожностей обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.

Если преобразование основной задачи в первую вспомогательную выполняется так, что условия вспомогательной есть следст-

вия условий основной, или если такое же соотношение имеется между условиями двух смежных вспомогательных задач, то может оказаться, что последняя вспомогательная задача неэквивалентна основной. Возможно приобретение решений посторонних для основной задачи.

Пусть, например, требуется решить уравнение

Ух2 — 3+1=0.

Не требуется выкладок, чтобы сказать, что оно не имеет решений.

Однако иногда можно наблюдать такое «решение»: Ух2— з= — 1, **—3=1, х2 = 4, хг=2; х2=—2.

Оба посторонних для заданного уравнения корня есть результат замены этого уравнения первым вспомогательным, условия которого являются следствиями условий заданного уравнения.

При преобразовании уравнения

У^+л- Ух—\=У\ — х,

решаемого в поле действительных чисел, в уравнение

Ух2—\=У\ —X также появляется решение, постороннее для данного уравнения.

8. Арифметические задачи

Первыми задачами, при решении которых учащиеся встречаются с применением анализа для отыскания плана решения, являются арифметические.

Задача 5. Рабочий выиграл по облигациям внутреннего трехпроцентного займа 1800 руб. Часть полученных денег рабочий затратил на покупку облигаций по 200 руб. каждая, 36—%

выигрыша — на покупку мебели, а остальные 140 руб. — на мелкие расходы. Сколько облигаций купил рабочий?

Чтобы найти план решения, рассмотрим тот воарос, который ставит задача: «Сколько облигаций купил рабочий?». Чтобы ответить на него, надо знать, сколько денег он затратил на покупку облигаций и стоимость одной облигации. Последнее известно. Значит, задача сводится к тому, чтобы узнать, сколько рабочий затратил денег на приобретение облигаций. Ответ на этот вопрос можно найти, если известен размер выигрыша и если известны остальные расходы. Выигрыш известен. Чтобы узнать затраты рабочего на другие расходы, необходимо знать, сколько он затратил на приобретение мебели и сколько на мелкие расходы. По-

следнее известно. Сколько рабочий истратил на приобретение мебели, можно вычислить по данным задачи. План решения установлен.

Решение.

1) Сколько рабочий затратил денег на покупку мебели?

36 — % =—; 1800-—= 660 (руб.). з 1 зо зо VFJ '

2) Сколько он затратил всего денег на мебель и мелкие расходы?

660+140=800 (руб.).

3) На сколько рублей купил облигаций?

1800—800=1000 (руб.).

4) Сколько рабочий купил облигаций?

1000:200=5 (обл.). Ответ. 5 облигаций.

Чтобы ярче подчеркнуть особенности аналитического искания пути решения, иногда рекомендуют фиксировать применение анализа в виде схемы. Для рассматриваемой задачи схема такова:

Сколько рабочий купил облигаций?

Сколько денег затратил на облигации?

Какова стоимость одной облигации? 200 руб.

Сколько рабочий выиграл?

1800 руб.

Сколько рабочий затратил денег на другие расходы?

Сколько израсходовал на покупку мебели?

36— % от 1800 руб. 3

Сколько затратил на мелкие расходы?

140 руб.

Иногда преподаватели математики, да и некоторые авторы книг по методике преподавания арифметики, решение задач с предварительным аналитическим изысканием пути решения называют аналитическим. Как показывает изложенное, анализ применяется только для отыскания плана решения. Осуществление этого плана-решения задачи является синтетическим процессом. Таким образом, называть решение аналитическим нет оснований. В совершенно аналогичных случаях при решении геометрических задач на построение никогда не употребляют термин «аналитическое решение».

Иногда в методической литературе, когда речь идет о решении арифметических задач, под анализом разумеют разложение задачи на более простые. Такое понимание сущности анализа неполно и односторонне. Если возможно, следует начинать с разложения задачи, каждая из которых проще первоначальной. Но это только одна сторона аналитического процесса. Другая сторона его заключается в преобразовании задачи в другую, решение которой обеспечивает решение предыдущей. Эта сторона аналитического процесса и не учитывается. При отыскании пути решения задачи 5 не было разложения задач на более простые, а аналитическое рассуждение свелось к последовательному преобразованию задач.

Чтобы найти план решения, нет надобности проводить анализ полностью, а достаточно провести его в такой мере, в какой это необходимо для уяснения пути решения. Такой анализ, с точки зрения логической схемы, не завершенный, но достаточный для усмотрения плана, называют частичным анализом.

При фронтальном решении задач в классе частичный анализ целесообразно проводить устно. При этом применение анализа достигает своей цели и не требует много учебного времени. В V классе надо добиваться, чтобы учащиеся и при индивидуальном решении задач, когда неясен план решения, проводили анализ устно. Умелое выполнение анализа свидетельствует о значительном прогрессе в развитии мышления ученика.

Решая с учащимися V и VI классов задачи, полезно выработать правильный подход к решению задач. Его можно наметить в следующих «правилах» для ученика: а) если знаешь план решения, то приступай к выполнению этого плана; б) если задача «типовая», вспомни план решения задач этого типа и выполняй план; в) если не знаешь плана решения, то обратись к вопросу задачи: что следует найти? что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос? даны ли числа, которые необходимы для этого? если не даны, нельзя ли их определить? как определить? и т. д.; в результате наметь план и действуй по нему; г) проверь полученный ответ. Такой подход к задаче полезен не только при изучении арифметики, но и других учебных математических предметов.

Рассматриваемая форма анализа не является безотказным методом в отыскании путей решения арифметических задач. Среди множества арифметических задач имеются так называемые типовые задачи, решение которых выполняется особыми приемами. Типовые задачи — это по существу алгебраические задачи, которые, однако, находят место в арифметических задачниках. Для решения этих задач необходима более гибкая форма анализа, опирающаяся на уравнения. Таким образом, применение анализа к изысканию путей решения арифметических задач ограничено.

9. Аналитический метод при решении задач на построение

При отыскании планов решения геометрических задач на построение роль анализа значительно возрастает. Только простейшие задачи на построение можно решать без предварительного изыскания плана решения. К числу таких задач относятся основные задачи на построение, построение треугольников по основным элементам и некоторые другие. Более сложные задачи могут быть решены, если предварительно будет найден план решения. План можно искать, опираясь на синтетический метод, но это мало эффективный путь. Анализ имеет преимущества; ему надо отдать предпочтение.

Опыт советской школы показывает, что первые шаги в применении анализа при решении задач на построение уместно сделать в VI классе во второй половине III четверти. Практика показывает, что при правильном обучении шестиклассники в это время хорошо уясняют цели анализа, пути его применения и в состоянии овладеть этим методом для отыскания планов решения.

Первое знакомство учащихся с применением анализа целесообразно провести на задачах, которые в процессе анализа не нуждаются в дополнительных построениях. Опишем первую встречу учащихся с такими задачами.

Учитель предлагает следующую задачу: «Построить треугольник по основанию, высоте и медиане, проведенной к основанию». Оформив на доске данные элементы и требование задачи, педагог предоставляет учащимся некоторое время для решения. Задача не поддается решению.

— Задача вызвала затруднения. Чем это объясняется?

— Мы не знаем, с чего начать построение; не знаем плана построения. Научимся отыскивать план построения.

— Требуется построить треугольник. Допустим, что мы задачу решили и этот треугольник построили. Изобразим его и обозначим ABC. Отметим на чертеже данные элементы: основание АВ = с\ высота CD = hc; медиана СЕ = тс (черт. 16).

— Вас смущает, что основание, высота и медиана не равны соответственно данным отрезкам?

— Это верно: они не равны данным отрезкам. Но мы временно допустили, что Д ABC — тот, который надо построить. Это поможет нам найти план построения. А позднее построим треугольник, у которого основание, высота и медиана будут соответственно равны данным отрезкам.

— По данным элементам построить треугольник мы не смогли. Найдем вспомогательный треугольник, который можно было бы построить. С этой целью рассмотрим треугольники, которые имеются на нашей фигуре. Начнем с ДЛС/Х Какие элементы даны в этом треугольнике?

— Д ACD — прямоугольный и его катет CD дан. Можно ли по этим элементам построить определенный прямоугольный треугольник?

— Рассматриваемый треугольник не может служить вспомогательным. Изучим /\СРЕ. Какие элементы в нем известны?

— Достаточно ли данных, чтобы построить определенный треугольник?

— Итак, мы нашли вспомогательный треугольник, который можно построить. Представим, что Д CDE построили. Как построить ДЛВС?

— Какой же план построения /\АВС?

— Мы нашли план построения. Все рассуждения, направленные на отыскание плана построения, называются анализом.

Один из учеников выполняет построение циркулем и линейкой на классной доске, а остальные в тетрадях. Затем дается доказательство, что построенный треугольник удовлетворяет требованиям задачи, и проводится исследование. В результате решения первой задачи фиксируется общий план решения задач на построение: 1) анализ, 2) построение, 3) доказательство, 4) исследование. По этому плану на последующих уроках решается еще несколько задач. Когда учащиеся приобретут первые умения применять анализ, решение задач включается в домашнюю работу учащихся.

Представляют интерес задачи на построение треугольников, когда среди данных имеется сумма или разность линейных элементов. С решением этих задач уместно познакомить учащихся VI класса в IV четверти. Анализ сохраняет тот же характер, но появляются новые обстоятельства — приходится делать дополнительные построения. Эти задачи представляют интерес по следующим соображениям: а) имеется значительное количество задач, которые посильны шестиклассникам; б) задачи имеют в своих решениях нечто общее, что позволяет дать учащимся некоторые

Черт. 16

указания в отношении анализа; в) вместе с тем каждая задача имеет нечто особенное, что требует от учащихся напряженного мышления, инициативы и что вызывает интерес.

При дальнейшем обучении планиметрии учащиеся неоднократно встречаются с применением анализа для отыскания путей решения задач на построение: в VII классе с методом геометрических мест точек, с методом параллельного перенесения, в VIII классе с методом подобия. В результате учащиеся основательно овладевают решением задач на построение.

10. Алгебраический анализ при решении задач

Общим методом решения задач путем составления уравнений или систем уравнений является аналитический метод, а именно та его разновидность, которая выше названа одной из форм алгебраического анализа. На самом деле при решении устанавливают взаимосвязь между неизвестными величинами и данными. Для этого прежде всего вводят обозначения для искомых; затем оперируют с ними как с известными и, используя данные, находят выражения для промежуточных величин. Далее составляют уравнение или систему уравнений. Переложение текстовой задачи на язык уравнений является первым преобразованием задачи, а уравнение или система — первой вспомогательной задачей. Каждый шаг решения уравнения или системы — это преобразование одной задачи в следующую, вспомогательную. Преобразование продолжается, пока не приходят к задаче, решение которой выполняется непосредственно. Итак, все характерные черты анализа четко выступают в процессе решения задач путем составления уравнений или систем уравнений. Использование аппарата уравнений придает этому анализу некоторые особенности, которые и дают возможность выделить его в особую форму.

Задача 6. Разность катетов прямоугольного треугольника равна г, а гипотенуза его вдвое больше меньшего катета. Найти стороны треугольника.

Составим уравнение. Прежде всего установим, какие величины целесообразно приравнять для получения уравнения. Уместно использовать то равенство, которое дает теорема Пифагора.

Обозначим длину меньшего катета через х. Длина другого катета будет равна лг+г, а длина гипотенузы выразится через 2х.

Получаем уравнение

x2 + (x+r)* = (2x)\ (I)

Переход от текстовой задачи к уравнению является первым преобразованием задачи, а уравнение — первой вспомогательной задачей. Эквивалентно ли в нашем примере уравнение (1) задаче? В дальнейшем увидим, что нет.

Решаем уравнение (1)

(2) (3)

(4)

Переход от уравнения (1) к уравнению (2), а затем к (3) — последовательные преобразования вспомогательных задач. Уравнение (3) решается по известной формуле. Из алгебры известно, что вспомогательные задачи (1), (2), (3) —равносильны. Полученные решения (4) есть решения уравнения (1).

Из двух решений первое — положительное, второе — отрицательное. Последнее не удовлетворяет задаче. Это значит, что задача и уравнение (1) не равносильны.

Длина меньшего катета равна

Длины другого катета и гипотенузы соответственно равны

Проверкой легко убедиться, что найденные выражения удовлетворяют задаче.

Как показывает решение задачи 6, основная задача и полученное уравнение или система уравнений могут оказаться не равносильными задачами. При решении уравнения или системы также возможно появление не равносильных вспомогательных задач. Кроме того, при составлении уравнения или системы и в последовательном преобразовании их возможны ошибки. Чтобы не оказаться во власти ошибок в последовательном преобразовании уравнений или систем, чтобы отсеять посторонние решения, полезна проверка решений последней вспомогательной задачи в отношении первого уравнения или системы. Необходимо проверить решения последней вспомогательной задачи в отношении основной задачи.

Рассматриваемая форма алгебраического анализа находит применение в решении задач на построение путем составления уравнения или систем уравнений.

11. Геометрические задачи на вычисление

При решении геометрических задач на вычисление применяются разнообразные методы. Проводя упражнения по решению

планиметрических, а позднее стереометрических задач, преподаватель постепенно вырабатывает у учащихся следующий подход к этим задачам: а) если ученик, ознакомившись с задачей, может наметить план решения, то он приводит этот план в исполнение; б) если по ознакомлению с задачей ученик не может усмотреть план решения, то он принимает меры к отысканию плана с помощью классического анализа; в) если эта форма анализа не дает эффекта, то ученик приступает к решению задачи путем составления уравнений или систем уравнений, т. е. применяет одну из форм алгебраического анализа; г) встречаются задачи, при решении которых ученику приходится сочетать различные формы аналитического метода.

Черт. 17

Задача 7. Найти объем правильной шестиугольной пирамиды, если боковая поверхность ее равна 5, а угол при вершине боковой грани равен а.

Если ученик имеет хорошую математическую подготовку, он может по ознакомлению с текстом задачи наметить план ее решения и приступить к выполнению этого плана. При этом первенствует синтетический метод; анализ выступит на первый план, когда дело дойдет до определения стороны а основания пирамиды по s и а.

Однако может случиться, что ученик без специального исследования не сможет установить план решения задачи. Тогда он применит для отыскания этого плана анализ.

Требуется найти объем V пирамиды. Известно, что V=~QH, где Q — площадь основания и Н — высота пирамиды. Значит, задача распадается на две вспомогательные задачи: надо найти Q и надо найти Я. Так как Q=l^~ ^» гДе Р — периметр и k — апофема основания пирамиды, то задача о вычислении Q сводится к тому, чтобы найти Р и k. Чтобы найти периметр, надо найти сторону основания пирамиды (а). Апофему основания также возможно выразить через сторону основания (черт. 17).

Высота пирамиды // = |/"/2—А2, где / — апофема пирамиды. Последняя легко определяется, если будет известна сторона а. Итак, вычисление объема пирамиды сводится к определению стороны основания. Намечается план решения части задачи.

Ученик это рассуждение может зафиксировать в следующей схеме:

Ученик может применить для фиксации и более простую схему:

Конечно, ученик может провести частичный анализ, достаточный, чтобы наметить план решения.

Для определения стороны а примененная форма анализа уже недостаточно сильна. Поэтому ученик использует алгебраическую форму анализа; он составит уравнение, связывающее неизвестное а и данные s и а, и решит это уравнение.

Когда сторона а будет определена, ученик приступит к реализации ранее установленного плана вычисления объема пирамиды.

Если решение задачи 6 демонстрирует применение к решению геометрической задачи на вычисление алгебраического анализа, то решение задачи 7 показывает применение к таким задачам двух форм аналитического метода1.

1 В. В. Репьев, Этюды по методике решения стереометрических задач на вычисление, изд. Горьковского государственного педагогического института имени А. М. Горького, 1956.

Глава IX

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1. Выбор методов обучения. Политехническое обучение и методы обучения

При обучении математическим предметам учитель применяет различные проверенные на практике методы, способствующие наиболее полноценному выполнению задач советской школы.

Выбор методов обучения обусловливается сущностью, спецификой учебной дисциплины. Например, в преподавании математики рассказ как метод сообщения знаний находит крайне ограниченное применение, а эвристическая беседа в V—VIII классах используется сравнительно часто.

Выбор метода обучения зависит от содержания учебного материала, от математической темы. Если учитель впервые знакомит школьников с принципом математической индукции и его применением при доказательстве теорем, то очевидно, что беседа как метод обучения будет неуместна; в силу особенностей темы преподаватель использует школьную лекцию.

На выбор метода оказывают влияние и возрастные особенности учащихся. Например, при изложении в V классе вопроса об измерении длины окружности учитель применит лабораторную работу с заключительной беседой и последующими упражнениями. Другие методы здесь менее приемлемы или совершенно нецелесообразны.

Очень часто, а в младших классах всегда, на уроке применяется несколько методов: лекционное изложение сопровождается демонстрацией, беседа сменяется упражнениями, лабораторная работа заканчивается беседой и т. д.

Выбор метода для изложения того или другого материала, для проведения упражнений является серьезным вопросом. Неудачный выбор методов чреват многими неприятностями: новый материал усваивается формально или недопонимается, упражнения не дают ожидаемых результатов, выполняются с большими изъянами. К сожалению, ошибки в выборе методов нередки, а из этих ошибок надо отметить одну: некоторые учителя не используют методы, вызывающие активность учащихся, недооценивают эти методы, а в иных случаях боятся их — они требуют серьезной подготовки. Не в этом ли одна из причин слабой успеваемости по математике значительного количества учащихся, особенно в V—VII классах?

Интересы политехнического обучения требуют пересмотра методов преподавания. В школе должны найти место такие методы, при которых полнее используется активность учащихся. Во-первых, необходимо более широко применять лабораторные работы для того, чтобы учащиеся овладели новыми для них фактами и научились пользоваться ими. Во-вторых, следует пересмотреть тематику упражнений и методов их проведения. В-третьих, надо более полно применять практические занятия и внутри, и вне школы.

Включение в педагогический процесс методов, при которых полнее используется активность учащихся, подсказывается и физиологическим учением И. П. Павлова: шире используются анализаторы, играющие важную роль в познании учеником окружающего мира, включается в педагогический процесс и такой тонкий анализатор, как двигательный аппарат, в частности мышечный аппарат руки привлекается для познания фактического содержания математики, для того, чтобы приложить ее в практике.

2. Школьная лекция

Школьная лекция по математике состоит в том, что преподаватель излагает классу теорему, обоснование правила или иной материал; роль учащихся при этом сводится к восприятию, осознанию, фиксации в тетрадях и запоминанию.

Черт. 18

Рассмотрим пример. Учитель решил изложить в VIII классе обоснование формулы Герона лекционным методом. Приводим часть этого изложения.

— Запишите тему «Вычисление площади треугольника по трем сторонам».

Изобразим два треугольника: один остроугольный (1), другой тупоугольный (2) (черт. 18). Обозначим их одними и теми же буквами. Введем обозначения сторон: а, Ь, с.

Дано: Д ABC, стороны его а, 6, с. Требуется вычислить площадь ДЛВС — Построим высоту CD.

Известно, что площадь треугольника вычисляется так:

Значит, задача сводится к вычислению высоты CD по трем сторонам треугольника.

Отрезок CD входит в прямоугольный Л ACD, в котором известна гипотенуза. Таким образом, задача сводится к определению отрезка AD.

По теоремам о квадрате стороны треугольника имеем: для случая 1) а2 = Ь24-с2— 2с • AD или для случая 2) а2 = Ь2-\--f с2 -j- 2с • AD. Получаем:

Следовательно, в обоих случаях находим, что

Вычисляем CD2:

Итак,

Поставленная задача решена. У кого имеются вопросы?

— Семенов, идите к доске. Повторите решение.

— Полученной формуле для площади треугольника придают другой вид. Выпишем отдельно подкоренное выражение:

Ab2c2— (Ь2 + с2 — а2)2

и преобразуем его.

Далее преподаватель излагает преобразование выведенного выражения, вводит обозначение для периметра треугольника и получает окончательную формулу:

— Кому и что непонятно?

— Иванов! Повторите, как мы вели преобразование формулы площади треугольника.

Приведенный пример показывает, что школьная лекция по математике отличается некоторыми особенностями. Лекционное изложение, как правило, длится часть урока и только в некоторых случаях — в X классе — целый урок. Это изложение может в подходящих местах прерываться. Его можно прервать для повторения учащимися того, что дано и что требуется сделать: это способствует лучшему осознанию излагаемого. Иногда, где удобно по содержанию материала, можно прервать доказательство и ответить на возникшие у школьников вопросы, а затем продолжить изложение. Школьная лекция обязательно заканчивается выяснением, кому и что в изложенном непонятно, и ответами учителя или учащихся на все возникшие вопросы. Лекционное изложение иногда сопровождается повторением.

Каждое математическое доказательство состоит из сети связанных между собой умозаключений. Из этой сети умозаключений нельзя потерять или недопонять ни одного звена: доказательство разорвется, потеряет цельность, сделается непонятным. Значит, учащимся предъявляется требование сосредоточить внимание на излагаемом, умело слушать и видеть, не опуская ни одного умозаключения, а для этого необходимо волевое напряжение. Если ученик на некоторое время ослабит внимание, он потеряет логическую нить и таким путем попадет в затруднительное положение. Следовательно, школьная математическая лекция может применяться в старших классах (IX—X), где учащиеся уже могут управлять своим вниманием. В средних классах (VII—VIII) она находит ограниченное применение, используется только в неизбежных случаях, а в младших—совершенно неприменима.

Учащиеся, слушая лекцию, воспринимают и осмысливают уже готовое доказательство, сообщаемое педагогом. Они не участвуют в отыскании путей доказательства, в созидании его. При лекционном изложении школьники не имеют возможности проявить инициативу, находчивость, изобретательность. В этом заключается один из существенных недостатков рассматриваемого метода, это приводит к ограничению использования его.

К недостаткам метода относится и то, что в процессе изложения преподаватель в некоторой мере лишен возможности судить, насколько правильно и хорошо понимают школьники. Только закончив изложение, учитель путем ряда контрольных вопросов может уточнить, как понято изложенное. Уместно ставить, примерно, такие вопросы: а) Где и как использовано при доказательстве то, что дано? б) На какие известные теоремы мы опирались при доказательстве? в) Зачем потребовалось устанавливать равенство (или подобие) таких-то треугольников?

В X классе школьная лекция по математике должна занимать видное место. В связи с подготовкой к экзаменам на аттестат зрелости уместны обзорные лекции. Темы таких лекций разнообразны: понятие о числе в его развитии, учение о равносильности

уравнений и систем уравнений, учение о функции, система аксиом геометрии и др.

Лекционное изложение может сопровождаться демонстрацией приборов, моделей, чертежей.

3. Рассказ как метод обучения математике

Рассказ как метод сообщения преподавателем новых для школьников знаний имеет повествовательную форму: в основе его лежит сюжет, в рассказе сообщается о событиях, развертывающихся последовательно во времени. Как уже отмечено, рассказ как метод обучения математическим предметам находит весьма ограниченное применение: для изложения программного материала он почти неприменим. Однако учитель использует этот метод для сообщения исторических справок о развитии математики, сведений о жизни и деятельности отдельных творцов науки. Путем таких справок преподаватель знакомит учащихся с развитием математических знаний у русского народа, у других народов нашей родины, с достижениями советских математических школ. Интересный рассказ может служить введением к изложению отдельных глав или тем. В других случаях содержательный рассказ может завершать изучение главы или темы.

Приведем некоторые темы, которые учитель может изложить методом рассказа.

1) Исторические справки о возникновении метрической системы мер. Метрическая система мер в России и СССР (V класс).

2) Где, когда и как возникли геометрические знания. (Введение в геометрию в VI классе.)

3) Задача Гольдбаха — Эйлера и ее частичное решение академиком И. М. Виноградовым. (В связи с повторением арифметики в VI классе.)

4) Великий русский геометр Н. И. Лобачевский. (В связи с изучением аксиомы параллельных в VI классе. Тема может найти освещение в IX классе на первых уроках стереометрии.)

5) Историческая справка о возникновении и развитии тригонометрии. (Заключение по теме VIII класса об изучении тригонометрических функций острого угла- Более углубленные исторические сведения можно дать в IX классе.)

6) Из истории логарифмов (IX класс).

7) Историческая справка о возникновении и развитии стереометрии. (Введение в стереометрию в IX классе.)

8) Из истории возникновения понятия производной (X класс). Иногда учитель может использовать рассказ для сообщения интересной практической задачи.

Пример. Учитель демонстрирует изображенный на листе бумаги чертеж и рассказывает следующее.

Перед техником стоит задача: найти расстояние между двумя кораблями А и В, стоящими на якорях (черт. 19). В распоряже-

нии техника имеются эккер и рулетка. Техник поступает так: используя эккер, подбирает точку С, из которой отрезок АВ виден под прямым углом; откладывает по СА и СВ равные, но произвольной длины отрезки CD и СЕ; измеряет отрезок DE и находит его середину — точку F; к отрезку CF в точке С восставляет перпендикуляр KL; из точек А и В опускает перпендикуляры АК и BL на KL; измеряет длины отрезков СК и CL.

Далее техник находит длину АВ по формуле

x=V2 (а*+Ь2), где х=АВ, а = СК и b=CL.

Верна ли формула, которой воспользовался техник?

Опыт говорит, что такие задачи-рассказы вызывают живой интерес школьников: их внимание привлекает практическое значение задачи.

Чтобы рассказ произвел должное впечатление на учащихся, необходимо живое, красочное и даже интригующее изложение. Учитель должен быть мастером рассказа.

4. Эвристическая беседа

Чтобы школьники научились доказывать, надо дать им возможность не только слушать и усваивать готовые доказательства, но и создавать их. Значит, надо так организовать педагогический процесс, чтобы учащиеся имели возможность искать и находить доказательства и пути решения, чтобы они чувствовали себя созидателями, творцами доказательства и решения, чтобы у каждого учащегося было такое состояние, словно он делает открытие.

Одним из первых методов, который позволяет учащимся проявить элементы инициативы в созидании доказательств и решений задач, который подготовляет к последующему применению методов, дающих большие возможности проявить творчество, является эвристическая беседа. По внешней форме этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом проблему (теорему, задачу), а затем путем целесообразных вопросов приводит учащихся к решению проблемы. Учащиеся постепенно преодолевают в доказательстве или решении один шаг за другим, открывая таким путем все доказательство или решение.

Приведем пример. В VII классе излагается теорема о свойстве диагоналей параллелограмма.

Черт. 19

— Начертим параллелограмм ABCD. Построим его диагонали. Обозначим точку их пересечения буквой О (черт. 20).

— Запишем условие теоремы.

Дано: ABCD — параллелограмм, АС и BD — его диагонали; О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО=ОС, BO=OD.

— Повторим условие и заключение теоремы. Доказательство.

— Что же нам необходимо доказать?

— Каким путем обычно доказывается равенство отрезков?

— Какие же треугольники уместно рассмотреть?

Изучим эти треугольники. Какие элементы в треугольниках равны?

Черт. 20

— Как читается теорема, на основании которой утверждаем, что AABO=/\CDO?

— Что следует из равенства этих треугольников?

— Как сформулировать доказанную теорему?

Попутно с ответами учащихся на вопросы доказательство фиксируется и на доске, и в тетрадях. Беседа заканчивается вопросами:

— Какие имеются вопросы по доказательству?

— Как можно изменить доказательство и получить тот же результат?

— Огоньков! Идите к доске и полностью повторите теорему1.

Как показывает приведенный пример, преподаватель, целесообразно подбирая вопросы, ведет класс по тому пути, который необходим для доказательства. Вопросы ставятся всему классу; ответы дают отдельные ученики по вызову учителя. В результате коллективных усилий получаются нужные выводы. Таким образом, метод эвристической беседы отличается коллективной работой класса под руководством учителя над разрешением поставленной проблемы. Эта коллективность не мешает каждому учащемуся искать ответы на вопросы преподавателя: метод

1 Примеры эвристической беседы приведены в гл. III, п. 5, 7; гл. VII, п. 11.

дает возможность каждому школьнику участвовать в доказательстве.

Метод эвристической беседы успешно применяется многими учителями: опыт оправдывает его использование. Практика показывает, что этот метод вызывает активность подавляющего большинства учащихся класса. Преподаватель имеет возможность наблюдать, кто из учащихся не включился в общую работу; он может втянуть всех учащихся путем индивидуального обращения к каждому ученику.

Возможность активно участвовать в доказательстве или решении задачи приводит к тому, что у учащихся постепенно развиваются умения и навыки обосновывать теоремы, решать задачи. Живой диалог, активное участие в созидании доказательства или решении задачи, возможность проявить инициативу и элементы творчества — все это вызывает у учащихся интерес к занятиям, увлечение математикой, любовь к этой науке.

Беседа, в которой на долю ученика падает необходимость давать полные ответы, правильно формулировать мысли и делать умозаключения, способствует развитию краткой, точной, исчерпывающе полной устной речи. При этом вторая сигнальная система учащихся ставится на службу педагогического процесса, вместе с тем вторая сигнальная система обогащается, улучшается: головной мозг начинает правильно реагировать на новые словесные раздражители.

Эвристическая беседа является одним из основных методой при изложении нового материала, при фронтальном решении задач в V—VII классах. Этот метод уместно применять и в VIII и даже в некоторых случаях в старших классах. Естественно, что его использование в различных классах отличается особенностями. Учитывая умственное развитие учащихся V—VI классов, преподаватель ставит вопросы так, чтобы они были посильны среднему ученику; промежутки между соседними вопросами делает небольшие. В следующих классах промежутки между вопросами удлиняются; чем старше класс, тем больше у учащихся возможности проявить изобретательность, самостоятельность и зрелость мысли.

Эвристическая беседа применяется особенно полно и эффектно, когда доказательство строится аналитическим методом (восходящий анализ), как в приведенном примере. Применение эвристической беседы к изложению доказательства методом восходящего анализа делает все построения, если они имеются, целеустремленными и оправданными, переход от одного этапа рассуждения к следующему — естественным, всю структуру доказательства — логически необходимой. В младших классах, когда не делается упор на логическую сущность восходящего анализа, при фиксации доказательства на доске используется синтез. В эвристической беседе анализ естественно переходит в синтез. В старших классах, когда желают сосредоточить внима-

ние учащихся на логической сущности анализа, оформление записей должно отобразить этот метод.

Эвристическая беседа прекрасно сочетается с нисходящим анализом, с помощью которого находится план доказательства. В таком случае синтетическое доказательство учащиеся выполняют самостоятельно. В младших классах фиксируется только это доказательство, а в старших классах, когда желают подчеркнуть логическую сущность нисходящего анализа, фиксируется и этот анализ, и последующий синтез.

Синтетическое доказательство менее удобно для изложения эвристической беседой: иногда нельзя поставить вопросы в отношении построений, не всегда удается поставить вопросы об исходном этапе рассуждений, о переходе от одного логического звена к другому. При изложении синтетических доказательств часто бывает полезно сочетать методы школьной лекции и эвристической беседы. Например, при изложении теоремы о свойстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами преподаватель сообщит не только условие и заключение теоремы, а также и то, что при доказательстве рассматриваются два случая: в первом изучаются углы, имеющие общую вершину, а во втором—углы с различными вершинами. Только после этого учитель может применить эвристическую беседу для доказательства теоремы в первом случае. При переходе ко второму случаю преподаватель вновь применит лекционное изложение, чтобы разъяснить взаимное положение углов и сообщить дополнительные построения, необходимые для сведения этого случая к первому, а далее использует эвристическую беседу. Таким образом, лекционное изложение переплетается с беседой.

Ясно, что в процессе эвристической беседы преподаватель может опираться на демонстрации не только чертежей, но и моделей, что преподаватель может применять и лабораторные работы. Например, излагая методом эвристической беседы теорему о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника, учитель продемонстрирует модель треугольника и покажет на ней процесс перегибания. Приступая к изложению признака равенства треугольников по трем сторонам, преподаватель может предложить детям на отдельных четвертушках бумаги построить треугольники со сторонами 12, 10 и 8 см; каждая пара учеников, просматривая свои чертежи на свет, убеждается, что треугольники накладываются один на другой, т. е., что треугольники равны. После такой лабораторной работы учащиеся формулируют теорему, и затем дается ее доказательство.

5. Требования к системе вопросов

Успешность применения эвристической беседы обеспечивается целесообразным выбором метода решения учебного мате-

риала и умелой системой вопросов учителя. И то и другое требует продумывания доказательства или решения, составления плана беседы с наметкой основных вопросов. Высокая общая и математическая культура, находчивость, живая речь, умение кратко, просто и ясно ставить вопросы, изменять их в случае надобности — такие качества преподавателя обеспечивают успешное применение этого метода.

Система вопросов учителя и ответы школьников должны удовлетворять ряду требований.

Система вопросов должна обладать логической последовательностью, определяемой содержанием материала и методом, используемым для доказательства или решения.

Вопросы должны давать достаточный простор для мышления учащихся. Интервалы между вопросами, считая по тому материалу, который надлежит вложить в ответ, могут быть различны. Следует избегать слишком малых интервалов. Интервалы по мере развития учащихся растут. Другими словами вопросы должны быть достаточно сложны, но посильны для среднего ученика.

Вопросы должны быть сформулированы кратко и точно. Это необходимо, чтобы направлять мышление учащихся по тому пути, который нужен для развития доказательства. Следует избегать неопределенных вопросов. Например, неуместны вопросы: «Что можно сказать, рассматривая чертеж?», «Что можно сказать про выражение (а + б)3?».

Слово, на которое падает логическое ударение, следует ставить в начале вопроса, например, «Почему треугольники равны?».

Одновременно следует предлагать только один вопрос. Двойные вопросы неуместны: они дезорганизуют мышление учащихся и, как показывают наблюдения, задерживают ответы.

Не следует применять подсказывающих вопросов, т. е. таких, в которых в той или другой форме дается ответ. Подсказывающие вопросы не стимулируют мышления учащихся. Например, неудачен вопрос: «Для доказательства равенства отрезков АО и ОС не рассмотреть ли нам ДЛВО и ДСДО?». Следует избегать употребления вопросов, в которых предлагается выбрать одно из двух возможных положений. Например: «Равны или неравны Л ABC и CDO?». Такие вопросы являются одним из видов подсказывающих.

Вопрос задается всему классу. Каждый учащийся обязал стараться подготовить на него ответ. О готовности отвечать ученик сигнализирует поднятием руки.

К ответам следует привлекать возможно больше учащихся. Иногда на один и тот же вопрос полезно получить ответы от двух-трех учащихся. Полезно спрашивать и тех, которые не изъявляют желания отвечать, не поднимают рук.

Если учащиеся затрудняются ответить на вопрос, то уместно или расчленить его на более мелкие, или перефразировать, или в крайнем случае дать ответ самому преподавателю.

Ответ ученика должен быть точным и полным. Ответ дается так, чтобы был понятен всем учащимся класса.

6. Особая форма эвристической беседы

Когда учащиеся уже усвоят первые доказательства, приобретут некоторые умения доказывать, можно приступить при изложении теорем и решении задач на доказательство к применению особой формы эвристической беседы, предоставляющей больше простора инициативе школьников в отыскании доказательств.

Сущность этой особой формы сводится к следующему: преподаватель ставит учебную проблему, добивается, чтобы каждый ученик понял условие теоремы и ее заключение, а затем предлагает учащимся самостоятельно найти доказательство. Далее заслушиваются проекты доказательств, приемлемый верный проект принимается и фиксируется. Таким образом, доказательство создается учащимися.

Поясним примером. Учащимся VII класса предстоит изучить свойство диагоналей прямоугольника. Приводим речь учителя.

Черт. 21

— Запишем: «Теорема о свойствах диагоналей прямоугольника».

— Слушайте формулировку теоремы: «В прямоугольнике диагонали равны». Что же нам дано?

— Запишем: «Дано: ABCD— прямоугольник, АС и BD—его диагонали» (черт. 21).

— Что требуется доказать?

— Запишем: «Доказать: АС = BD».

— Челнокова! Идите к доске и, пользуясь чертежом, разъясните, каково условие теоремы, каково заключение.

— Теперь вдумайтесь в то, что требуется доказать, и найдите доказательство. Даю на размышление 2 минуты. Кто найдет доказательство, поднимет руку.

Через 2—3 минуты учитель вызывает кого-нибудь к доске: ученик сообщает проект доказательства. Если доказательство верно и приемлемо, ученик под руководством учителя фиксирует его на доске, а остальные — в тетрадях. Если доказательство верно, но неприемлемо ввиду сложности, преподаватель одобряет его и отмечает, что можно дать более простое доказа-

тельство; выслушивает проект другого ученика. Если ученик предлагает неверное доказательство, учитель тактично отклоняет его. Это можно сделать различными приемами: или дать возможность ученику продолжить доказательство и убедиться в его ошибочности, или предложить другим ученикам показать несостоятельность проекта, или, наконец, преподаватель путем беседы показывает ложность пути доказательства. Повторяем, что это опровержение надо сделать очень тактично.

Самое ценное в описанной форме эвристической беседы то, что учащиеся самостоятельно ищут и находят доказательство. Метод помогает развитию инициативы, творческих сил, изобретательности. Математические предметы в известной части вновь открываются, создаются учащимися. Конечно, такое «переоткрытие» обеспечивается деятельностью преподавателя: это он подбирает теорему, доказательство которой ученики могут найти, это он с особой щепетильностью раскрывает условие теоремы, дает чертеж фигуры, выясняет заключение, это он следит за верностью доказательства, отметая все ложное.

Учащиеся класса, в котором применяется особая форма эвристической беседы, начинают осознавать, что они успешно усваивают учебные математические предметы, что они справляются с доказательством новых теорем. Появляется уверенность в своих силах; увлечение математикой растет. Автору пришлось быть свидетелем такого случая: учитель широко использовал при изложении новых теорем эвристическую беседу; учащиеся привыкли доказывать новые теоремы. Однажды преподаватель в VII классе изложил теорему лекционным методом; когда доказательство закончилось, ученики заявили протест: они сами справились бы с доказательством и этой теоремы.

Учителям, не применяющим особую форму эвристической беседы, кажется, что метод требует много времени, что разбор ложных доказательств затягивает работу. Однако такие доказательства появляются редко. Опыт свидетельствует, что метод достаточно экономичен в отношении времени. Приходилось наблюдать, когда в течение урока семиклассники легко доказывали три теоремы. Критика и опровержение ошибочных доказательств не бесполезны: они развивают умение подмечать ошибки, вскрывать их и побуждать искать и находить верные доказательства.

Слабой стороной рассматриваемого метода является то, что трудно уяснить, включились ли все ученики в подыскание доказательства. Различить ищущего, но не нашедшего, и не ищущего почти нет возможности. Однако эта слабая сторона в известной степени теряет свою остроту, так как каждый учащийся доказательство услышит, поймет и зафиксирует. Выслушивать проекты доказательств следует иногда и у тех учащихся, которые не подняли рук, не изъявили желание дать доказательство.

Особую форму эвристической беседы можно использовать

уже с середины VI класса. Метод применим к изложению теорем, в процессе доказательства которых не требуется выполнять дополнительных построений или эти построения просты и легко предусматриваются, способы доказательства их естественны. Если рассмотреть теоремы первой половины курса планиметрии (до подобия фигур), то можно убедиться, что примерно 25% всех теорем может быть изложено этим методом. Последующая часть курса геометрии, а также курс алгебры и тригонометрии имеют доказательства, которые могут быть успешно изложены при помощи этой разновидности эвристической беседы.

Возможно, что учащиеся предложат доказательства, отличающиеся от изложенных в учебнике. Преподаватель должен быстро ориентироваться в них, принять те, которые пригодны, из нескольких доказательств выбрать лучшее. Все это требует от учителя высокой эрудиции, находчивости и серьезной подготовки к уроку.

При задачах на доказательство каждое решение, предложенное учеником, представляет значительный интерес, так как оно свидетельствует об успехах учащихся. После изучения равенства треугольников учащимся VI класса предложили задачу: «Если сторона, медиана, проведенная к ней, и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, медиане, проведенной к ней, и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. Доказать». Чертеж, условие и заключение были изображены на листе чертежной бумаги. Учитель не давал приведенной формулировки, а разъяснил условие и заключение теоремы-задачи по чертежу. Шестиклассники дали три различных доказательства. Работа проводилась устно. Учитель поставил три отличные отметки. Все решение этой теоремы-задачи заняло около 10 минут. Три доказательства не были равноценными, но все они говорили о значительных успехах учеников. Класс был увлечен работой.

7. Лабораторные работы по математике. Первый вид лабораторных работ

Характерным признаком лабораторных работ являются занятия учащихся для решения учебных проблем с вещами и моделями; при этом применяются те или другие измерительные приборы и простейшие инструменты. При обучении математике лабораторные работы используются во всех классах.

По своим задачам они делятся на два вида: к первому относятся те лабораторные работы, цель которых познакомить учащихся с новыми математическими фактами, найти новые закономерности; ко второму относятся те, цель которых приложить знания к решению конкретных задач, способствовать выработке умения и навыков в применении математики.

Лабораторные работы первого вида имеют исследовательский элемент, они носят эвристический характер. Каждая такая работа проводится примерно по следующему плану: а) преподаватель кратко ставит перед учащимися ту задачу, которую надлежит разрешить, и дает инструктивные указания о путях решения; б) учащиеся индивидуально или небольшими группами (парами, звеньями) работают под руководством учителя над розданным им материалом с измерительными приборами и инструментами; цель работы ученика или звена накопить единичные факты, которые позволили бы найти общую закономерность, решающую поставленную задачу; в) работа завершается коллективным обсуждением под руководством учителя итогов, во время которого подчеркивается подмеченная учащимися закономерность, отбрасывается все случайное и ненужное, формулируется окончательный вывод.

Выполняя лабораторные работы первого вида, учащиеся пользуются неполной индукцией. Это значит, что такие занятия по математике могут применяться прежде всего в младших классах. Например, их полезно использовать при изучении геометрических сведений в курсе арифметики V класса. Их можно иногда применять и в других классах как наводящий метод для отыскания новых предложений, которые затем доказываются. Например, в VI классе учащиеся путем измерения внутренних углов треугольника транспортиром могут подметить, что сумма углов каждого треугольника равна 180°; позднее эта теорема получит доказательство.

Использование в процессе работы органов чувств и особенно двигательного аппарата рук, наличие эвристического элемента, открытие нового — все это вызывает большую активность учащихся, создает деловую настроенность, будит интерес к учебному предмету. А это с педагогической точки зрения очень ценно и особенно в младших классах.

В V классе предстоит изучить вопрос об измерении длины окружности. Заблаговременно преподаватель предлагает учащимся дома начертить на тонком картоне окружности с радиусами от 5 до 10 см и аккуратно вырезать круги. Эти круги учитель собирает; с помощью учащихся заготовляет из миллиметровой бумаги полоски длиной примерно в 70 см.

В начале урока учитель указывает, что в практике часто приходится измерять длины окружностей. Непосредственное измерение длины окружности не всегда возможно. Необходимо научиться определять длину окружности по диаметру или по радиусу. Предстоит выяснить, во сколько раз длина окружности больше длины диаметра, будет ли отношение длины окружности к своему диаметру одно и то же для всех окружностей или же у разных окружностей эти отношения будут различны.

— Работать будем парами. Обтяните круг полоской и измерьте длину окружности, затем измерьте длину диаметра. Изме-

рять в сантиметрах, отсчеты производить с точностью до 0,1 см. Результаты заносите в табличку:

пп.

Длина окружности с точностью до 0,1 см

Длина диаметра с точностью до 0,1 см

Отношение длины окружности к длине диаметра с точностью до 0,01

1

37,7

12,0

3,14

2

3

Учитель раздает круги и полоски миллиметровой бумаги, указав, что каждая пара должна выполнить не менее трех опытов, и, ответив на возможные вопросы учащихся, предлагает приступить к работе.

В процессе самостоятельной работы учащихся учитель инструктирует тех из них, которые встретят какие-либо затруднения, контролирует работу отдельных пар, одобряет приемлемые результаты, побуждает исправить ошибки. Если какая-либо пара закончит три опыта над тремя различными кругами ранее других, преподаватель рекомендует произвести четвертое измерение.

Когда большинство пар закончит работу, организуется заключительная беседа. Отводятся все неверные измерения и вычисления; выясняется, что громадное большинство измерений дало отношение длины окружности к диаметру 3,14, по своему происхождению это число приближенное. Формулируется правило, что длина окружности больше своего диаметра приближенно в 3,14 раза. Правило записывается.

Таким образом, учащиеся V класса путем эксперимента познали новый для них геометрический факт.

Путем лабораторных работ с исследовательскими элементами можно изучить в V классе вопросы об измерении площади треугольника, площади круга.

В систематическом курсе геометрии лабораторные работы в некоторых случаях могут служить для открытия новых для учащихся теорем, которые в дальнейшем доказываются. Например, в связи с изучением основных задач на построение шестиклассникам предлагается построить все высоты треугольника. Подмечается, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Факт пока установлен методом неполной индукции, в дальнейшем он получит дедуктивное обоснование. Аналогично можно установить, что пересекаются в одной точке и биссектрисы внутренних углов треугольника, и медианы его, и перпендикуляры к сторонам треугольника в их серединах.

8. Второй вид лабораторных работ

Лабораторные работы второго вида имеют особое значение с точки зрения политехническою обучения: теоретические знания применяются к решению учебно-практических задач, теория ставится на службу практике.

Они проводятся по следующему примерному плану: а) учитель методом беседы повторяет с учащимися теоремы и правила, которые потребуются при выполнении лабораторного задания, ставит задачу, дает минимально необходимый инструктаж и раздает пособия и приборы; б) каждый учащийся выполняет работу самостоятельно; учитель, наблюдая за занятиями учащихся, оказывает помощь, кому следует, проверяет решения, регулирует циркуляцию раздаточного материала; в) в конце занятия отводится несколько минут для подведения итогов и объяснения домашнего задания.

Пример. VIII класс изучил измерение площадей прямолинейных фигур. Преподаватель подготовляет набор несложных планов земельных участков многоугольной формы.

На уроке учитель ставит задачу. Найти площадь изображенного на плане земельного участка двумя способами: 1) путем разбивки многоугольника на такие фигуры, площади которых мы умеем вычислять; 2) путем преобразования многоугольника в равновеликий треугольник. Чтобы не портить планы, необходимо скопировать их на бумагу путем скалывания вершин.

Учащиеся выполняют полученные задания. Ответы, получаемые ими, совпадать не будут в силу того, что они найдут приближенные значения площадей. Допустимой относительной погрешностью можно считать + 0,021.

До сих пор многие учителя математики недооценивают рассматриваемый вид лабораторных работ. В интересах политехнического обучения они должны занять прочное место в каждой школе. Приведем некоторые темы для таких работ.

1) Изготовление учащимися V класса из чертежной бумаги, картона, цветной бумаги некоторых геометрических тел (куба, прямоугольного параллелепипеда, цилиндра).

2) Вычисление площадей квадрата, прямоугольника, круга, а также фигур, представляющих простейшие комбинации перечисленных, по розданным картонным моделям (V класс).

3) Вычисление объемов куба, прямоугольного параллелепипеда и тел, являющихся простейшими комбинациями перечисленных, по выданным моделям (V класс).

4) Действия над отрезками (VI класс).

5) Действия над углами, с помощью транспортира (VI класс).

6) Графическое составление таблиц натуральных значений

1 Допустимая погрешность устанавливается путем приближенных вычислений по способу границ.

синусов и косинусов для углов от 5 до 85° через каждые 5° (VIII класс).

7) Графическое составление таблиц натуральных значений тангенсов и котангенсов для углов от 5 до 70° через каждые 5° (VIII класс.)

8) Вычисление площадей многоугольников по чертежам фигур (VIII класс).

9) Вычисление площадей земельных участков по планам (VIII класс).

10) Вычисление площадей круга, его частей и фигур, представляющих комбинации круга с многоугольниками (IX класс).

11) Вычисление поверхностей, объемов, площадей сечений, углов многогранников по моделям тел (X класс).

12) Вычисление поверхностей, объемов, углов круглых тел по моделям тел (X класс).

13) Задачи на вычисление по чертежам тел (X класс).

Организация и проведение перечисленных и других лабораторных работ требует наличия соответствующего раздаточного материала. Задача каждого преподавателя и всего коллектива учителей математики заключается в том, чтобы постепенно накапливать такие пособия. Например, для V класса надо иметь изготовленные из тонкого картона и оклеенные глянцевой цветной бумагой квадраты и прямоугольники разных размеров, треугольники разных видов, круги с различными диаметрами, кубы и прямоугольные параллелепипеды разных размеров, цилиндры с различными диаметрами и высотами. Накапливание осуществляется различными путями: учащиеся изготовляют пособия на уроках в порядке лабораторных работ, в порядке домашних заданий, на занятиях кружков. Важно умело руководить этим изготовлением, целесообразно планировать его и бережно относиться к сделанному

9. Практические работы по математике

В настоящее время особое значение приобретают разнообразные занятия по приложению математических знаний к решению практических задач. Практические работы по математике проводятся и внутри школы, и на местности. В некоторых отношениях они похожи на лабораторные работы только что описанного вида: цель и тех и других — приложение законов математики на практике, выработка навыков в использовании математики для решения практических проблем. Однако практические работы отличаются от лабораторных: в практических занятиях математическая теория применяется к действительным пространственным формам и количественным отношениям, а не к искусственно созданным моделям. Другими словами, эти работы ближе к практике, а поэтому с педагогической точки зрения ценнее.

Практические занятия на местности могут иметь только учебное значение. Однако особенно ценно, когда такие работы полез-

ны для хозяйства школы, колхоза, коммунальных учреждений. Общественная полезность практических работ ярко вскрывает значение математической науки для практики, налагает большую ответственность за качество их выполнения, благотворно влияет на ученический коллектив.

Внутри школы пятиклассники могут выполнить примерно такие работы: определить площадь комнаты, найти объем классной комнаты, вычислить световую площадь спортивного зала. Ученики VI класса могут составить планы комнаты и даже двух-трех соседних комнат; при этом на планах указываются площади и объемы. В VIII классе учащиеся могут составить план целого этажа. Необходимые при этом измерения выполняются двумя-тремя учениками, а составление плана и вычисления выполняет каждый ученик.

Практические работы на местности можно разделить на два вида: к первому относятся те, которые заканчиваются на местности и не требуют последующей обработки материала, ко второму относятся съемки земельных участков и другие занятия, которые после выхода на местность нуждаются в последующей обработке материала в классе или дома.

Практические занятия первого вида проводятся по следующему примерному плану: а) преподаватель на уроке знакомит учащихся с приборами, которыми предстоит пользоваться, показывает их употребление; на уроке рассматриваются и основные задачи, которые намечены для решения на местности; для предстоящего выхода на местность учащиеся организуются в звенья или бригады; б) совершается выход на местность, где учащиеся решают путем построений, измерений и вычислений предварительно рассмотренные и новые задачи; в) на местности подводятся итоги занятий.

Практические работы второго вида выполняются по более сложному плану: а) на уроке учитель знакомит учеников с необходимыми приборами и их употреблением, сообщает, как выполняется съемка земельного участка намеченным способом, организует учащихся в бригады; б) затем делается выход на местность, где каждая бригада выполняет все необходимое для составления плана, а при мензульной съемке даже получает план в карандаше; в) далее в классе или дома учащиеся оформляют результаты съемки земельного участка в виде плана; г) наконец, свои работы сдают учителю для проверки и оценки. После проверки учитель делает краткий критический разбор полученных планов.

Практические занятия на местности очень разнообразны. Здесь нет возможности дать примеры их организации и проведения1.

1 См., например: 1) П. Я. Дорф и А. О. Румер, Измерения на местности, изд. АПН РСФСР, 1953; 2) В. В. Репьев, Практические работы по математике на местности, Горьковское книжное издательство, 1953.

10. Математические экскурсии

В методической литературе вопрос о математических экскурсиях разработан слабо. Даже самое понятие о такой экскурсии не имеет устойчивого истолкования. В практике школ экскурсии организуются и проводятся нечасто.

Характерным признаком математической экскурсии является организованное посещение классом объекта, где имеется возможность наблюдать за применением математических методов в производстве, строительстве, транспорте и получить материал для дальнейшей математической обработки на уроках.

Политехническое обучение побуждает обратить серьезное внимание на этот метод. Умело организованная и проведенная экскурсия знакомит учащихся с промышленным, строительным, транспортным или иным производственным объектом; она дает поучительный материал о применении математики в практике и предоставляет учащимся материал для последующей обработки на уроках. Экскурсия имеет познавательное, обучающее и воспитывающее значение.

Объекты экскурсий довольно разнообразны. Такими объектами могут быть промышленные предприятия, отдельные цеха, народнохозяйственные стройки в отдельных их частях, машинно-тракторные станции, объекты транспорта, промышленные выставки, политехнические музеи, отделения палаты мер и весов и др.

Намереваясь провести экскурсию, прежде всего учитель обязан достаточно основательно познакомиться с намеченным объектом, узнать, чем богат объект в математическом отношении, выяснить, как показать эти богатства учащимся. Вместе с тем учитель намечает цель экскурсии. Хорошо, если учитель соберет и тот материал, который в дальнейшем он использует на уроках.

С классом проводится предварительная беседа о предстоящей экскурсии, выясняются ее основные цели, что подлежит наблюдению, какой количественный материал следует зафиксировать. Если требуется, учащиеся организуются для выполнения задач экскурсии.

Желательно, чтобы руководил экскурсией учитель, а представитель предприятия или учреждения являлся консультантом. Однако допустимо, чтобы руководил экскурсией представитель предприятия или учреждения. В таком случае учитель заблаговременно договаривается с руководителем, на что в процессе экскурсии следует обратить особое внимание, что представляет особый интерес в математическом отношении, и знакомит руководителя с математической подготовкой класса.

На последующем уроке экскурсия завершается заключительной беседой и математической обработкой собранного материала. Обработка зависит от математической подготовки класса. Например, в VI классе выполняются целесообразные расчеты, составляются и решаются задачи, вычерчиваются диаграммы. В стар-

ших классах при расчетах применяются более сильные средства: полнее вскрывается функциональная природа количественных явлений, строятся графики, составляются уравнения или системы уравнений, решаются геометрические и тригонометрические задачи.

В практике школ иногда проводятся комплексные экскурсии. Например, учителя математики и черчения организуют экскурсию в проектное бюро завода, учителя математики и физики — в машинно-тракторную станцию. Такие экскурсии заслуживают одобрения. Важно помнить, чтобы они не были беспредметны в математическом отношении.

11. Упражнения

Обучение математике имеет одну из важнейших задач — научить применять математические факты и методы в конкретных условиях, дать основательные умения и навыки в этом применении. Для выполнения этой задачи учащимся предлагаются разнообразные, целесообразно подобранные, устные и письменные упражнения. Решение упражнений имеет очень большое значение. По некоторым предметам им уделяется более 50% всего учебного времени, отводимого на уроки. При обучении арифметике, например, только на решение задач рекомендуется затрачивать до 50% всех уроков. Громадное количество учебных часов отводится на выполнение упражнений при обучении алгебре. Велика роль упражнений и при обучении другим математическим предметам.

Задачи политехнического обучения неизбежно приводят к расширению понятия об упражнениях. Если ранее в это понятие вкладывалось устное и письменное решение примеров и задач из существующих школьных задачников, то этого в наше время уже недостаточно. Интересы политехнического обучения требуют включения в число упражнений чтения разного вида диаграмм, составления разнообразных диаграмм, составления некоторых видов таблиц, расширения использования таблиц при вычислениях, составления и чтения графиков и разнообразного пользования ими, моделирования, решения задач на вычисления по данным моделям, чтения разнообразных планов и карт, решения задач по планам, составления планов помещений и земельных участков, решения других разнообразных измерительных задач внутри школы и на местности, составления несложных смет и т. д. Таким образом, политехническое обучение приводит к значительному расширению понятия об упражнениях: они становятся более многообразными, получают более яркую практическую направленность, приводят к применению более активных методов обучения. В наши дни перед каждым педагогом-математиком стоит задача творчески подбирать материал для упражнений, представляющих особый интерес в свете задач политехнического обучения, использовать его на уроках и в порядке домашних работ уча-

щихся. Конечно, такая работа по подбору материала может получить лучшее осуществление в коллективе; школьные объединения учителей математики, педагогические кабинеты выполнят ее успешнее. Политехническое обучение приводит к необходимости пересмотра учебной литературы, особенно задачников; в них должны найти место упражнения, отвечающие интересам политехнического обучения.

Обычно в курсах педагогики упражнения рассматриваются как особый метод обучения. Упражнения являются необходимым средством обучения математике. Однако при решении упражнений могут быть использованы многие педагогические методы. Учитель организует фронтальное решение упражнений всеми учащимися класса при одновременном решении на доске; при этом применяется метод беседы. Некоторые упражнения выполняются в порядке лабораторных занятий. Иногда организуется самостоятельное решение примеров или задач по задачнику. В отношении V—VIII классов надо заметить, что особого внимания заслуживают методы, требующие высокой активности учащихся; такие методы помогают выработать более основательные навыки.

Приведем некоторые соображения, соблюдение которых обусловливает получение основательных умений и навыков и определяет пути выполнения упражнений.

Выполнение упражнений для привития того или другого навыка основывается на соответствующих теоретических положениях. Для успешного развития навыка необходимо прочное знание теории: теорем, формул, правил. В свою очередь выполнение упражнений содействует более прочному усвоению теоретических положений, более глубокому и всестороннему осмысливанию их, а иногда расширению и развитию. Поэтому при выполнении упражнений, особенно на первом этапе выработки навыка, необходимо требовать от учащихся ссылок на соответствующие теоретические положения, вспоминать их словесные формулировки, а в иных случаях и символическую запись. Это способствует образованию ряда условных рефлексов, лежащих в основе навыков.

Например, в VII классе, изучив равносильность уравнений, учащиеся приступают к решению уравнений первой степени с одним неизвестным; решение первых примеров настойчиво сопровождается вопросами: «На каком основании мы переносим члены из одной части уравнения в другую?», «Будет ли полученное уравнение равносильно предшествующему?», «Мы разделили обе части уравнения на 4. На каком основании мы можем сделать такое упрощение уравнения?». Только тогда, когда учитель убедится, что связь между очередным упражнением и его теоретическим основанием ясна для каждого школьника, можно отказаться от воспроизведения соответствующих теоретических положений.

Для выработки основательного навыка упражнения даются в продуманной системе. Система упражнений определяется учеб-

ником и главным образом задачником. Если преподаватель отступает от задачника, то каждый такой шаг продумывается и делается только тогда, когда имеется уверенность, что он улучшит систему упражнений и качество навыков. Упражнения по тому или иному вопросу полезно распределять по времени. Это значит, что к упражнениям определенного типа полезно возвращаться неоднократно через некоторые промежутки времени. Если, например, на развитие навыка пользоваться признаком делимости на 9 отводится 45 минут, то это время полезно распределить на три урока по 20—10 минут на каждом из них.

Разумная система упражнений по какому-либо вопросу такова, чтобы в состав ее, где это возможно и удобно, входили упражнения на ранее изученный материал, а также, где возможно, включались упражнения, подготовляющие выполнение упражнений ближайших последующих глав. Например, занимаясь с учащимися упражнениями на формулы сокращенного умножения, учитель не забывает включать примеры на сложение, вычитание и умножение многочленов следующего вида: (а2—а)2 + (а2+а)2; (2х+х2)2— (2х—х2)2; (с3—\) (с3+\) (с+2); вместе с тем преподаватель предлагает такие упражнения: «В следующие трехчлены а4 + 4а2 + ?, Ьь—? + 462, ? + 8с3 + 16с2 на место знаков вопроса вставить одночлены, чтобы получились полные квадраты суммы или разности двух чисел; такие упражнения полезны для последующего разложения многочленов на множи тели.

Опытные учителя широко практикуют устное выполнение упражнений. Такие упражнения позволяют увеличить число решаемых примеров и задач, развивают полезные умения и навыки, вносят разнообразие в педагогический процесс. Например, в VII классе учитель предлагает устно показать, что при натуральном значении п выражения:

будут целыми числами.

В другой раз учитель предлагает устно решить системы уравнений:

Упражнений дается достаточно, но не излишнее количество: недостаточное число упражнений мешает получить необходимую серию условных рефлексов, мешает основательности навыков, а излишнее — вызывает перерасход учебного времени и может создать нежелательную настроенность у учащихся.

Приступая к упражнениям по тому или иному вопросу, полезно в подходящей форме разъяснять школьникам цели упражнений, их значение. Ценно, если выработка навыка — результат сознательного волевого акта. Не менее ценно, особенно в младших классах, если выполнение упражнений сопровождается заинтересованностью.

Важно, чтобы первые упражнения по вырабатываемому навыку устанавливали такие связи, выполнялись с помощью таких операций и таким расположением выкладок, какие надлежит закрепить. Поэтому иногда полезно первое упражнение выполнить на доске преподавателю. Например, решение первого примера по формуле приведенного квадратного уравнения может выполнить учитель. При решении следующих примеров он проявляет особую настойчивость к оформлению выкладок.

Полезно добиваться ускорения темпов при выполнении упражнений; однако это делается с осторожностью и тактом: верность решения следует предпочесть быстрому решению с ошибками и недочетами. При решении прямоугольных и косоугольных треугольников с помощью таблиц логарифмов автор этой книги обычно указывал, что для решения прямоугольного треугольника достаточно 7—8 минут, а для решения косоугольного треугольника требуется 12 минут; при этом в решение включается контрольное вычисление и вычисление площади. Обычно через несколько уроков некоторые ученики заявляли, что они уже укладываются в указанные нормы. На контрольной работе они на деле доказывали это.

Основательность навыков укрепляется обязательной домашней работой учащихся. Домашние задания даются в системе упражнений изучаемой главы. В домашнюю работу включаются упражнения, которые требуют восстановить в памяти ранее изученное, подновить уже имеющиеся навыки.

Глава X

УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Урок — основная форма организации учебной работы

В нашей средней школе урок с определенным классом является основной организационной формой учебной работы. Под руководством учителя на уроках осуществляется общеклассная коллективная работа, а в иных случаях бригадные и индивидуальные занятия каждого ученика.

В советской педагогике изучается и развивается теория построения и проведения уроков во всей общности. В методике преподавания математики рассматриваются математические уроки с их специфическими особенностями. Практическая работа многих тысяч учителей математики дает богатый материал для теоретических обобщений и выводов.

Структура и план урока по математике зависят от многих факторов: от учебной дисциплины и содержания материала, от основных и побочных целей урока, от возраста учащихся и состава класса. В силу этого уроки по математике по своему строению отличаются большим разнообразием.

В структуре громадного большинства уроков по математике находят место следующие этапы: организационный момент, проверка выполнения домашней работы, учет знаний и навыков учащихся, задание домашней работы, итоги урока. В структуре математических уроков часто встречаются такие важные составные части: повторение в связи с предстоящим изложением нового материала, изложение нового материала, повторение изложенного на том же уроке, упражнения для применения полученных теоретических знаний, практические и лабораторные занятия в классной комнате, устный счет и другие виды устных занятий, повторение ранее изученного материала. Иногда в структуру урока входят исторические справки по математике, выяснение значения и роли математики в промышленном производстве, народном строительстве и социалистическом учете, письменные контрольные работы. Большинство математических уроков преследует не одну, а несколько целей и имеет сложную структуру.

Только сравнительно в малом числе уроков ставится или явно первенствует над другими одна цель. Такие уроки даются в разных классах, в старших классах они встречаются чаще. В этом случае можно говорить об объяснительном, тренировочном, об-

зорном уроках, об уроках, отведенных повторению, письменной контрольной работе, практическим работам на местности, экскурсии на производство. Имеются попытки дать классификацию уроков по математике, но признать их удачными и полезными нельзя.

Наблюдения уроков математики показывают, что преподаватели — мастера педагогического дела — дают совершенные уроки, в которых при самом строгом анализе их нельзя усмотреть недостатков. Наряду с такими наблюдаются уроки посредственные, а иногда и слабые. Среди частых недостатков встречаются следующие: формальная подготовка учителя к уроку, неумелая организация учащихся, приводящая к падению дисциплины, неоправданная потеря учебного времени, неудовлетворительная организация проверки выполнения домашней работы, в частности чрезмерное затягивание ее, слабо организованный устный учет знаний и навыков учащихся, непродуманное изложение нового материала, игнорирование активных методов обучения и наглядности, недооценка практических занятий. Наблюдения говорят, что проблема о построении и проведении уроков по математике представляет практический интерес не только для начинающих учителей, но и для таких, которые уже имеют стаж педагогической деятельности.

2. Подготовка к уроку и план урока

Опыт многих лучших учителей свидетельствует, что эффективным путем подготовки к урокам является изучение целой темы и составление по ней методической разработки по отдельным урокам. Такая работа особенно полезна для молодого учителя: она дает возможность установить верный взгляд на содержание главы и определить пути изложения ее на уроках. Однако нередко и опытный учитель выполняет такую же работу, если находит необходимым подвергнуть пересмотру содержание и пути изложения той или другой главы курса: изучает учебную и методическую литературу, обновляет и совершенствует свои знания по существу, устанавливает новые пути изложения главы, подбирает более ценный материал для упражнений, совершенствует способы изложения отдельных вопросов, тщательно подбирает материал, вскрывающий значение главы в политехническом обучении.

Составление серьезной поурочной методической разработки темы является одним из лучших путей повышения квалификации учителя. Такая подготовка к урокам становится особо актуальной в наши дни, когда совершается постепенный переход на новые программы, вводятся новые учебники и задачники, когда учителю приходится осваивать новые пути изложения учебных математических дисциплин.

Подготовку к очередным урокам целесообразно вести не накануне, а за 3—4 дня до урока по 2—4 урокам. Заблаговремен-

ная подготовка дает возможность предусмотреть повторение необходимого материала и установить пути этого повторения, выполнить подготовительные упражнения, если это целесообразно, проверить обеспеченность наглядными пособиями и изготовить те из них, которых не имеется, установить по классному журналу учеников, знания и навыки которых следует проверить. Одновременная подготовка к 2—4 урокам экономит рабочее время учителя.

Пути подготовки к уроку зависят от квалификации учителя, от стажа его педагогической деятельности, от его индивидуальных особенностей. При подготовке учитель справится в полугодовом плане об очередных уроках, детально воспроизведет изложение материала в учебном руководстве, пересмотрит решения и, если нужно, решит по принятому задачнику упражнения, изучит указания методической литературы. Если требуется, он ознакомится с изложением материала и упражнениями по другим учебникам и задачникам, пересмотрит материалы своего опыта, использует газеты, справочники, журналы для подбора материала, представляющего интерес в отношении политехнического обучения.

В результате учитель составляет план урока. Хорошо продуманный план — необходимая предпосылка отличного урока. План нужен для руководства им во время урока, а поэтому в него включается все, что необходимо учителю, что обеспечивает наиболее совершенное развертывание урока на всех его этапах. Вместе с тем план должен быть кратким, легко обозримым: в нем не должно быть ничего лишнего, что мешало бы его реализации.

В плане записывается тема урока, последовательность и длительность его этапов, содержание материала, методы и приемы обучения, наглядные пособия, фамилии учащихся, знания и навыки которых намечено проверить, мероприятия по осуществлению индивидуального подхода к учащимся. В план включаются решения упражнений, которые предполагается использовать на уроке.

Никаких общих форм для плана не рекомендуется. Учитель, начинающий педагогическую деятельность, составит подробный план урока; опытный учитель удовлетворится кратким планом. Однако и у опытного учителя план урока в некоторых частях может перерасти в конспект, если урок дается в особых условиях (например, открытый).

Преподаватель заботится, чтобы на уроках не было потеряно ни одной минуты, чтобы учебное время использовать полно и разумно. Урок должен быть плотным по материалу, но не перегруженным. Молодому учителю полезно включать в планы уроков запасный материал.

Приведем примерный план одного урока геометрии в V классе.

Тема. Проверка усвоения материала о сумме внутренних углов треугольника и изложение свойств равнобедренного треугольника.

I. Организационный момент 1 мин.

II. Проверка усвоения материала о сумме внутренних углов треугольника и выпуклого многоугольника. 16 мин.

1) Вызвать к доске и дать задания по билетам И. Затонову (или К. Петрову), Л. Карпову (или С. Стульчикову).

а) Сумма внутренних углов треугольника. (Доказать.) Задача. Сумма внутренних углов многоугольника равна

1800°. Сколько углов имеет многоугольник?

б) Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. (Доказать.)

Задача. Один из внутренних углов треугольника в 5 раз больше другого и на 5° меньше третьего. Вычислить углы треугольника.

2) Беседа с классом. Обратить внимание на ответы И. Палицына и К. Пестова.

— Чему равна сумма внутренних углов треугольника?

— Сформулировать свойства внешнего угла треугольника.

— Чему равна сумма внутренних углов шестиугольника?

— Один острый угол прямоугольного треугольника больше другого угла в 5 раз. Чему равен каждый острый угол прямоугольного треугольника?

— Сколько перпендикуляров можно опустить из точки, взятой вне прямой, на эту прямую? Почему один?

3) Заслушать ответы учеников, вызванных к доске. Поставить отметки.

III. Изложение свойств равнобедренного треугольника. 16 мин.

— Какой треугольник называется равнобедренным?

— Что называется биссектрисой, высотой, медианой треугольника?

— Что называется основанием равнобедренного треугольника? Теорему изложить в форме эвристической беседы.

В случае надобности продемонстрировать модель равнобедренного треугольника и ее перегибание по биссектрисе угла при вершине.

IV. Повторение доказательства свойств равнобедренного треугольника с использованием нового чертежа и с новыми обозначениями. Для повторения вызвать М. Викторову (или К. Снайперова). При удачном повторении поставить отметку. 8 мин.

V. Задание на дом: учебник «Геометрия», §, 20, повторить §16. 1 мин.

VI. Итоги урока. Повторение формулировок свойств равнобедренного треугольника. 3 мин.

Итого 45 мин.

3. Изложение нового материала

Изложение нового математического материала является важнейшей составной частью процесса обучения и часто встречающимся этапом урока, оказывающим существенное влияние на

другие стороны педагогического процесса. Иногда в старших классах этот этап перерастает в объяснительный урок.

Изложение нового, особенно доказательство теорем, требует знаний ранее изученного материала — определений, аксиом, теорем и их следствий. Готовясь к очередным урокам, учитель предусматривает, что необходимо для ознакомления с новым, какими путями организовать повторение. Такое повторение называют текущим. В одних случаях его целесообразно провести в порядке предварительной домашней работы; при этом требуется вспомнить и доказательства теорем. В других случаях можно ограничиться заблаговременным повторением на уроках или даже непосредственно перед изложением нового материала формулировок предложений, которые используются в новых доказательствах. Повторение полезно провести и тогда, когда надо вспомнить способ доказательства, который предстоит применить при изложении нового. В иных случаях повторение даже выделяется в отдельный этап урока, предшествующий объяснению нового.

Готовясь к изложению нового материала, преподаватель обдумывает, какие педагогические методы и приемы использовать, как активизировать учащихся, чтобы добиться наибольшей продуктивности. Вместе с тем он устанавливает, требуется ли применение неполной индукции или достаточно ограничиться дедукцией, в каком сочетании использовать анализ и синтез, следует ли применять наглядные пособия или в них нет надобности. Если требуется наглядность, то в какой момент опереться на нее. В иных случаях наблюдения, опыты, измерения предшествуют новому, подготовляют сознание ученика к осмысливанию и усвоению его. В других случаях демонстрации появляются в процессе изложения нового, как поясняющий элемент процесса доказательства. Возможно использование наглядности после изложения нового для конкретизации и пояснения его, для показа его применений. Наконец, возможны и различные комбинации трех указанных случаев.

Учитель продумывает, что и как при изложении фиксировать на классной доске. Это особенно важно для V—VII классов. Записи на доске должны быть минимальны и, по возможности, просты.

На протяжении всего урока и особенно объяснительной части его необходимо сосредоточенное внимание каждого учащегося, стремление понять, усвоить, привести в систему знания, уяснить логические связи нового материала с известным. Особенно ценно устойчивое внимание учащихся, направленное на познание математических фактов и методов. Оно обеспечивается серьезным интересом к математике. Однако в V—VII классах имеет значение и временная заинтересованность. В кратком введении в тему полезно использовать интересные задачи, исторические справки, выяснение практической ценности материала и другие приемы, направленные к тому, чтобы вызвать интерес и внимание каж-

дого ученика. Задача учителя — добиться положительного отношения ученика к усвоению математики. Это достигается постепенно, путем длительных усилий. В этом отношении важно, чтобы учащиеся чувствовали горячую любовь преподавателя и к математической науке, и к делу воспитания и обучения. Большое значение имеет речь учителя. Она должна быть доходчивой, живой, гибкой, будящей положительные эмоции.

Учитель должен развивать в себе умение следить за тем, как каждый ученик воспринимает материал, как в его сознании устанавливаются связи нового с ранее известным, как протекают мыслительные процессы.

В нашей школе к изложению нового предъявляются значительные требования. На объяснительном уроке выполняется основная часть работы по усвоению материала, а также по его применению к решению упражнений, в том числе и практических. Чтобы осуществить это, надо заботиться о максимальной продуктивности урока и особенно объяснительной части его.

Методы изложения нового материала отличаются значительным разнообразием. Они рассмотрены ранее.

4. Подготовка к заданию домашней работы

Систематическая и регулярная домашняя работа учащихся по математике является необходимым условием получения основательных знаний и прочных навыков. Поэтому учащиеся выполняют довольно значительное количество разнообразных домашних работ. Учитель на уроке учит, а дома учащиеся прежде всего повторяют. Они повторяют и запоминают определения понятий, формулировки аксиом, правил, теорем и их следствий, они повторяют доказательства теорем. Кроме того, в домашние работы включаются решение примеров и задач, вычерчивание диаграмм, графиков функций, изготовление моделей и т. д.

Успех выполнения домашней работы зависит от качества урока, от тщательности подготовки учителя к заданию домашней работы и от качества проверки выполнения домашних работ.

Включаемые в домашнюю работу задачи и примеры учитель обязан решить. Это необходимо, чтобы ясно представлять степень их трудности, чтобы правильно рассчитать потребное время на выполнение домашнего задания, чтобы иметь необходимый материал для рациональной проверки выполнения домашней работы. Решения заносятся в планы урока. В плане не фиксируются решения таких упражнений, которые учитель выполняет устно.

Домашняя работа должна быть посильна ученику с средней успеваемостью, а в отношении упражнений она не должна быть слишком легкой. Для учащихся, хорошо успевающих, иногда целесообразно давать дополнительные задания. Это позволяет в некоторой мере осуществить индивидуальный подход к домашней

работе. Программы по математике регламентируют время, отводимое на выполнение домашней работы. В V классе оно равно 40% а в остальных классах 50% времени, затрачиваемого на уроки Расчет времени на выполнение домашней работы производится из учета средних темпов работы класса на уроке. Например, в VII классе на тренировочной части урока длительностью в 30 минут решено 5 примеров на умножение алгебраических дробей. В домашнюю работу, рассчитанную на 25 минут, включается решение четырех примеров такой же трудности.

Выполнение домашней работы подготовляется и обеспечивается содержанием урока, а в иных случаях и нескольких предыдущих уроков. Кроме того, ее выполнение обеспечивается специальными указаниями и разъяснениями преподавателя. Наиболее целесообразно домашние задания давать ближе к концу урока, однако с таким расчетом, чтобы имелось время на эти указания и разъяснения Задание обязательно записывается на классной доске. Каждый ученик его фиксирует в дневнике, а в иных случаях в тетради.

5. Проверка выполнения домашней работы

Выполнение домашних работ требует постоянного, разнообразного по форме и действенного контроля со стороны преподавателя. Практика показывает, что, если учитель тщательно следит за домашними работами, то все учащиеся втягиваюся в выполнение заданий. Как только ослабляется контроль, начинается падение количества учащихся, работающих дома.

Учитель проверяет факт выполнения домашней работы и качество этого выполнения. Работы, содержащие недочеты и ошибки, исправляются, недопонятое разъясняется. Значит, проверка носит не только формальный констатирующий характер, но имеет обучающее и воспитывающее значение.

Иногда недочеты и ошибки учеников являются результатом недостатков уроков преподавателя. Изучая домашние работы учащихся, можно вскрыть недочеты уроков, обнаружить, что недопонято учащимися, что исказилось в их понимании, какие навыки развиты слабо и методы не усвоены. Учтя это, учитель наметит систему корректирующих упражнений и другие мероприятия, которые дадут возможность ликвидировать изъяны.

Естественно, проверку выполнения домашней работы проводить в первой части урока: результаты проверки могут повлечь некоторые изменения в плане урока. В отдельных случаях, когда объяснительная часть урока не связана с домашней работой, возможно проверку отнести на вторую половину урока.

Контроль над домашними письменными работами состоит из проверки факта выполнения, верности и рациональности решения, самостоятельности и качества оформления работы.

Факт выполнения и качество оформления можно проверить путем беглого просмотра раскрытых учениками домашних тетрадей. В это время каждая пара учеников, сидящих за партой, проверяет работы путем сличения их и исправляет недочеты и ошибки.

Иногда при беглом осмотре контролируется правильность выполнения задания. Если домашняя работа содержит построение диаграмм, графиков функций, графическое решение уравнений или систему уравнений, решение геометрических задач на построение, то беглый просмотр тетрадей дает возможность учесть и верность выполнения. Просмотр тетрадей завершается краткими замечаниями учителя о наблюдениях.

Факт выполнения, качество оформления, а в иных случаях и правильность учитель проверяет и так: каждый учащийся, вызванный во время урока к доске, кладет на стол учителя свою домашнюю тетрадь. Учитель по окончании урока, а, если найдутся свободные минуты, то и во время урока бегло просматривает эти тетради.

Преподавателю вменяется в обязанность проверять домашние тетради во внеурочное время. Такая проверка позволяет контролировать наиболее полно и всесторонне. Это трудная работа, требующая значительного времени, особенно в старших классах.

Применяется одновременная проверка домашних тетрадей у всех учащихся класса. Такая проверка особенно полезна, когда учитель получил новый для него класс, в начале учебного года, перед окончанием особо ответственных глав курса, перед письменными контрольными работами. Чтобы домашняя работа учащихся не нарушалась, они имеют по две домашних тетради: одна проверяется, на другой они выполняют очередные задания.

Применяется и выборочная проверка тетрадей. Готовясь к уроку, можно наметить учеников, которые нуждаются в усиленном контроле за их работой дома. Выборочная проверка удачно практикуется тогда, когда учитель хорошо знает всех учащихся класса, особенности каждого из них.

В V—VII классах внеурочная проверка домашних тетрадей осуществляется чаще, чем в старших: учащиеся в возрасте 11—14 лет нуждаются в более тщательном контроле за их работой.

В результате проверки тетрадей учитель фиксирует недочеты и ошибки, подготовляет и проводит на уроках мероприятия, направленные на ликвидацию дефектов обучения, на изжитие недочетов и ошибок.

Практикуется проверка домашних работ путем устного фронтального опроса. По указанию учителя один ученик неторопливо читает по тетради решение задачи или примера и дает пояснения. Он указывает результаты промежуточных действий или преобразований и окончательный ответ. Остальные ученики следят по тетрадям. Все ошибки и недочеты исправляются. Вторую задачу

или пример читает другой ученик. Такой прием применим к проверке решения арифметических примеров и задач, упражнений на тождественные преобразования в алгебре. Он мало пригоден при проверке решения геометрических задач: различие изображений фигур и обозначений мешает его применению. Основная цель приема — исправить возможные в работах ошибки и недочеты. Однако эта цель достигается только частично.

Проверка самостоятельности выполнения работы осуществляется систематическим решением на доске домашних упражнений. С этой же целью полезно предлагать упражнения, аналогичные выполненным дома. Учитель вызывает к классной доске двух-трех учащихся: одному предлагает решить задачу, другому пример, третьему доказать теорему. Пока они готовятся, учитель может проверить другую часть домашней работы иными приемами. Он применяет беглый просмотр тетрадей, устный фронтальный опрос, устное решение примеров и задач, контролирующих сознательность усвоения и решения. Учитель может поставить ряд вопросов, проверяющих усвоение той части домашнего задания, которая готовилась устно. Сюда относятся формулировки правил, теорем, определений, аксиом. Можно организовать и занятия, не связанные с проверкой домашней работы: беглый устный счет, повторение материала, который необходим для предстоящего изложения нового.

Закончив работу с классом, учитель привлекает внимание учащихся, чтобы выслушать ответы вызванных к доске и использовать их решения для исправления недочетов и ошибок. Заслушав изложенное учеником доказательство или решение, можно предложить учащимся сделать критические замечания, дополнения, пояснения; рассматривается рациональность решения.

Предложив отвечающим у доски дополнительные вопросы, преподаватель получает возможность оценить работу двух-трех учащихся. Он может поставить отметки и тем учащимся, которые сделали правильные и существенные замечания о доказательствах, предложили иные способы доказательства, которые указали более рациональные пути решения упражнений.

Такую проверку выполнения домашней работы можно назвать уплотненной. Время для проверки используется и для учета успеваемости.

6. Устный учет знаний и навыков на уроке

В основу учета школьной работы кладется текущий, индивидуальный, систематически проводимый учет знаний, умений и навыков учащихся. В связи с отменой переводных экзаменов значение текущего учета успеваемости особенно возрастает. Учитель обязан в процессе учебной работы внимательно изучать каждого ученика, представлять его особенности и учитывать их при проверке знаний и навыков. Для хорошо поставленного текущего

учета характерны систематичность, всесторонность, требовательность, объективность, внимательность и чуткость.

Текущий учет имеет непосредственные цели: а) выяснить знания каждого ученика по изучаемому материалу; б) проверить умения и навыки применять математические факты и методы к решению разнообразных вопросов, в том числе и практических задач; в) накопить отметки, выставляемые в классном журнале, и обеспечить учет за учебную четверть и за год. Однако учет знаний и навыков имеет широкое педагогическое значение. Он стимулирует регулярные и самостоятельные занятия математикой. Он имеет обучающее и воспитывающее значение: при устном учете учащиеся внимательно слушают и вопросы учителя, и ответы товарищей, готовят ответы, в случае неудачи товарища по вызову учителя, дают верный ответ, пополняют и совершенствуют свои знания и навыки.

Успешное выполнение текущего учета обеспечивается серьезной подготовкой к этому делу. Идя на урок, учитель должен ясно представлять, как он организует и проведет учет знаний и навыков, кого он намерен проверить, какие основные и дополнительные вопросы предложит каждому из проверяемых; в случае надобности можно написать основные вопросы на отдельных билетах.

Формы текущего учета разнообразны. Некоторые виды проверки на уроке выполнения домашней работы уже являются одной из форм учета знаний и навыков учащихся.

Опыт показывает, что при изложении нового материала имеются возможности оценивать достижения учащихся в изучении математических дисциплин. Если ученик V—VII класса, внимательно выслушав изложение нового, по вызову учителя повторяет изложенное и выявляет, что он хорошо понял доказательство, толково его излагает, дает осмысленные ответы на дополнительные вопросы, то такой ученик заслуживает высокой оценки: ответ его свидетельствует не только об усвоении выслушанной теоремы, но и об успехах усвоения математического предмета. В VIII—X классах такое повторение уже недостаточно для оценки успеваемости.

Повторение доказательства теоремы является особенно ценным для учета если при этом изменены переменные факторы — расположение чертежа фигуры, буквенные обозначения и др.

Нередко изложение нового материала организуется так, что учащиеся находят доказательства теорем, излагают их, дают формулировки теорем. Иногда также решаются и задачи на доказательство. Если ученик, вдумавшись в условие и заключение теоремы, нашел правильный путь ее доказательства, умело изложил его, правильно зафиксировал на доске, то это также свидетельствует об успехах ученика. Он заслуживает поощрения и высокой оценки. Иногда высказывают сомнение: может быть, ученик изучил очередную теорему предварительно дома. Но и это

говорит о значительных успехах ученика: он умеет самостоятельно по учебнику изучать новое, правильно понимать и усваивать. Такое отношение к занятиям заслуживает поощрения. Значит, поставленная отметка не будет ошибочной.

При изложении нового материала могут встретиться и иные возможности выявления знаний учащихся. Например, в V—VII классах при изложении материала в форме эвристической беседы ученик дал правильные и осмысленные ответы на ряд вопросов учителя, свидетельствующих о хорошем знании ранее изученного, об умении четко мыслить и излагать свои соображения. Учитель может положительно оценить достижения такого ученика.

Однако на объяснительном этапе урока надо оценивать только хорошие и отличные ответы; отрицательные отметки недопустимы: они могут подавить инициативу учеников, их творческие искания и обесценить эвристический элемент при усвоении нового. Кроме того, встречаются учащиеся, внимательные и способные, но недостаточно инициативные и медленно усваивающие. Такой ученик может и не суметь повторить прослушанное доказательство, не найти нового доказательства. Но оценивать знания такого ученика отрицательной отметкой преждевременно.

На уроках повторяются доказательства теорем и правил, которые изложены ранее. Основная цель повторения — добиться основательных и прочных знаний. Повторение используется и для учета знаний. После изложения доказательства теоремы или обоснования правила, после ответов на дополнительные вопросы и решение упражнений каждый отвечающий получает оценку.

Можно проверять знания любого ученика по основному содержанию изучаемой темы. Это должны знать учащиеся. Такая установка имеет особое значение для старших классов.

Подводя итоги изучению главы или некоторой законченной части ее, учитель организует уроки повторения и проверки знаний и навыков. Учащиеся по заданию предварительно повторяют материал дома. На уроке применяются уплотненные формы проверки. Пусть, например, проводится урок повторения теорем о равенстве треугольников. Учитель вызывает к классной доске двух-трех учащихся и дает им индивидуальные задания по заранее заготовленным билетам. Пока ученики готовятся, с классом ведется повторение в форме беседы: вспоминаются формулировки теорем, устно решаются задачи на доказательство, связанные с равенством треугольников. Закончив работу с классом, учитель переключает внимание учащихся, чтобы слушать ответы учеников у доски, делать по ним замечания, дополнения, отвечать на вопросы. Отвечающим у доски ставятся оценки. Можно, наряду с проверкой знаний и навыков учащихся у доски, практиковать вызов трех-четырех учащихся на первые парты. Эти ученики также получают индивидуальные билеты. Позднее некоторые вызываются для ответа к доске, другие отчитываются по записям, сделан-

ным на бумаге. Классу предлагается решать те или другие упражнения. Итоговые проверки по целым темам имеют особое значение в X классе.

Доказательства некоторых геометрических теорем легко излагаются устно без записей. При уплотненной проверке знаний можно вызвать ученика к столу для устного доказательства.

С целью учета используются те этапы урока, которые отводятся выработке навыков, тренировке в решении упражнений. Например, упражняя учащихся в решении приведенных квадратных уравнений, учитель наблюдает, что ученик знает формулу корней уравнения, правильно читает ее, умело применяет к решению примеров, хорошо приводит уравнение к канонической форме. Это дает возможность оценить знания и навыки ученика. В это время отрицательные оценки преждевременны.

Иногда отводится часть урока, а в старших классах и целый урок на самостоятельную работу учащихся по решению упражнений. С целью учета учитель намечает трех-четырех учащихся, особо внимательно наблюдает за их работой: на сколько она самостоятельна, каковы ее результаты. Он чаще подходит к этим учащимся, не отвлекая внимания класса, предлагает каждому из них вопросы, связанные с решаемыми упражнениями, проверяет знание формулировок теорем, рациональность и правильность решения, качество оформления. В конце урока учитель объявляет поставленные этим ученикам отметки.

Если возможно отвлечь несколько учащихся от выполнения самостоятельной работы, то учитель вызывает двух-трех из них к доске и дает им индивидуальные задания по билетам. Не прерывая самостоятельную работу класса, можно проверить ответы и оценить знания и навыки.

Кроме того, при самостоятельной работе можно оценить знания и навыки тех учеников, которые выполнили часть или все задание быстрее других, не допустили ошибок, хорошо оформили свои работы.

По методологическим соображениям и в интересах политехнического обучения элементы практики органически связываются с изучением теории. Требуется, чтобы при устном учете уделялось внимание проверке умений и навыков применять знания к решению элементарных практических вопросов. Например, в VIII классе учитель предложит такие вопросы: «Как построить поперечный масштаб?», «Как применяется гомотетия при горизонтальной мензульной съемке земельного участка?».

Ответы на такие вопросы подлежат учету.

7. Письменный учет знаний и навыков

Для текущего учета знаний и навыков по математическим предметам применяются различные виды контрольных письменных работ. Если стоит задача проверить навыки применять ма-

тематические предложения, то в контрольную работу включается решение задач, примеров и другие упражнения. Если стоит задача проверить знания теоретического материала и навыков, то в контрольную работу включается требование доказать теорему и решить упражнения. Этот вид контрольных работ можно применять начиная с VIII класса. Он реже встречается в практике школ.

За последние годы во многих школах успешно применяются кратковременные контрольные письменные работы, рассчитанные на 15—20 минут. Такие работы проводятся во второй половине урока. Этот вид учета применим при проверке арифметических и алгебраических навыков по узким темам. Например, в VI классе при изучении главы о рациональных числах учитель может провести две кратковременные работы: одну — после изучения действий 1-й ступени, другую — после изучения действий 2-й ступени. В VIII классе при изучении темы «Степени и корни» одну такую работу можно провести после изучения возвышения чисел в квадрат и извлечения, квадратного корня, другую — после изучения степеней с нулевым и целым отрицательным показателем. Работа дается на заранее заготовленных билетах в 4—6 вариантах. Этот вид контрольных работ позволяет экономить учебное время, вполне достаточен для проверки узкой области умений и навыков и правильно отражает подготовленность каждого учащегося. Подготовка и проверка таких контрольных работ выполняется легко и требует мало времени.

В школах применяются многовариантные (6—8 вариантов) контрольные работы, рассчитанные на один урок, а иногда в X классе и на два урока. С помощью таких работ учитываются умения и навыки в решении задач и других упражнений, а также знания теоретического материала. Работа дается по билетам. Подготовка и проверка требует усилий и времени. Однако это окупается тем, что учет носит объективный характер. Этот вид учета побуждает учащихся систематически и основательно заниматься, старательно готовиться к контрольной работе, рассчитывать только на свои знания и навыки. Опыт показывает, что систематически проводимые многовариантные контрольные работы совершенно ликвидируют попытки со стороны отдельных учащихся ввести учителя в заблуждение. Они имеют воспитывающее значение.

Некоторые учителя практикуют двух- и даже одновариантные контрольные письменные работы в течение урока. Их легко подготовить и проверить. Однако этот вид учета не заслуживает одобрения: он не дает уверенности в объективности учета знаний и навыков.

В крайнем случае письменную работу в два варианта можно провести в малочисленном классе, который хорошо воспитан, в котором не найдется ни одного ученика, решившегося ввести учителя в заблуждение.

При проверке письменных контрольных работ учитель обязан тщательно учесть типичные недочеты и ошибки. Этот материал он использует на очередном уроке при анализе результатов работы, а также при подборе упражнений, предназначенных для ликвидации недостатков в подготовке некоторых учащихся.

В целях предупреждения неуспеваемости многие учителя ведут особые тетради, в которых фиксируются изъяны в знаниях и навыках каждого ученика. Такие тетради дают возможность разумно организовать индивидуальную работу с теми учащимися, которые нуждаются в этом, и своевременно ликвидировать отставание. Виды индивидуальной работы различны: одни учащиеся повторяют указанные им вопросы по учебнику и затем отчитываются в этом повторении, другие выполняют упражнения и представляют их учителю, третьи втягиваются в дополнительные занятия, пока не будут изжиты недочеты в их подготовке. Такие мероприятия являются эффективными в отношении предупреждения неуспеваемости.

Все многообразие видов устного и письменного учета знаний и навыков учащихся обеспечивает объективный учет за каждую четверть учебного года и итоговый учет в конце учебного года.

Глава XI

МЕТОДИКА РАБОТЫ С УЧЕБНЫМИ КНИГАМИ

1. Значение и особенности работы над математической книгой

Одна из задач советской средней школы — развивать познавательные склонности у подрастающего поколения и научить самостоятельно учиться. А это прежде всего значит — научить пользоваться книгой, умело читать ее, самостоятельно работать над ней.

Одна из целей математического образования в средней школе заключается в том, чтобы научить самостоятельно читать доступную математическую книгу.

Умелое чтение математической книги имеет широкое и разностороннее значение. Главные задачи развития народного хозяйства СССР заключаются в развитии тяжелой промышленности, в непрерывном техническом прогрессе, в развитии производительности труда, в росте всех отраслей народного хозяйства. Решение этих задач требует квалифицированных кадров, владеющих техникой, обеспечивающих дальнейший технический прогресс. Нужны кадры, умеющие читать и пользоваться современной технической книгой. Техническая литература пишется языком, близким к языку математических книг. Значит, обучение чтению математической книги в некоторой мере подготовляет к работе над технической литературой. Другими словами, умения и навыки читать математические книги имеют значения для политехнического обучения.

Широко распространенное в СССР заочное среднее и высшее образование требует настойчивой самостоятельной работы над математической и технической книгой. Умения и навыки, приобретенные в школе, читать математическую книгу служат хорошей подготовкой к заочному образованию.

Наблюдения за работой школы показывают, что в отношении обучения чтению математической книги имеется пестрота: одни учителя уделяют этой задаче внимание и добиваются успехов, другие не учат работать с книгой. В результате молодежь, получающая аттестаты зрелости, имеет различную подготовку в чтении математической книги, в самостоятельной работе над ней.

Умелое чтение серьезной книги — дело трудное. При чтении математической книги трудности возрастают, углубляются, появляются новые, специфические для математики.

Изложение материала в математических книгах отличается многими особенностями. Основные из них таковы: а) своеобразие языка, обусловленное богатством специальных терминов для понятий, операций и отношений; б) абстрактность математических теорий; в) сжатость и краткость изложения; г) широкое применение символики, сгущающей мысль, усиливающей сжатость изложения; д) преобладание дедуктивного метода в обосновании предложений; е) тесная связь текста с изображением фигур. Эти особенности кладут свой отпечаток и на школьную учебную литературу. В силу этого чтение математической учебной книги является трудным делом, особенно для подростков и юношей, требующим значительного напряжения воли, сосредоточенного внимания и интенсивного мышления.

Кроме того, математические предложения излагаются в учебниках так, что они слабо будят положительные эмоции. Бедность или полное отсутствие этих эмоций тормозит работу над книгой, отпугивает от нее.

2. Общие положения

Обучение правильно и самостоятельно читать и понимать учебные книги по математике следует начинать с первых недель занятий в V классе и продолжать на протяжении всего пребывания учащихся в школе. Эту цель математического образования нельзя забывать и недооценивать.

При обучении широко используются задачники. Они являются и пособиями, по которым школьники учатся читать книгу.

Еще большее значение в этом отношении имеют учебники. Правильное использование учебника на уроке и в домашних занятиях вносит значительный вклад в умения читать математическую книгу.

Чтобы научить школьников работать с книгой, организуются и проводятся соответственные занятия на уроках. Виды занятий разнообразны, по мере перехода учащихся в старшие классы они усложняются, а вместе с тем растут и требования к школьникам. Таким образом, выбор приема работы с книгой зависит от класса, возрастных особенностей учащихся, от имеющихся умений работать с книгой. Этот выбор зависит и от книги, материала, особенностей его изложения в учебнике.

Кроме того, организуется самостоятельная домашняя работа учащихся с книгой. Ее виды также разнообразны и усложняются по мере перехода школьников в старшие классы. Результаты самостоятельной домашней работы над книгой, если в задание включалось изучение нового материала, контролируются на очередном уроке.

Значительную помощь в развитии умений и навыков читать книги оказывает организация чтения популярной математической литературы о жизни и деятельности выдающихся математиков,

по истории развития математики и детских книг, в частности по занимательной математике. Это чтение вызывает повышение интереса и к математике и к книгам. Таким положением надо воспользоваться и втянуть школьников во внеклассное чтение.

3. Приемы работы с задачником

Любой ли ученик, всегда ли, читая задачу из принятого в этом классе задачника, понимает ее? Наблюдения и эксперимент показывают, что далеко не каждый ученик понимает прочитанную задачу.

Понимание некоторых задач затрудняется математической сущностью их. Недостаточное усвоение теоретических положений, недостаточное развитие пространственных представлений и воображения иногда мешают понять геометрическую задачу. Понимание затрудняется вещами и связями между ними, о которых идет речь в задачах. В этом случае сказывается ограниченность жизненного опыта ученика. С этим чаще приходится встречаться при решении арифметических и алгебраических задач. Значит, для успешного решения задач необходимо учить читать и понимать задачи.

С этой целью практикуется фронтальная работа всего класса по решению задач. Учитель предлагает учащимся открыть задачник на такой-то странице и прочитать про себя указанную задачу, затем кратко записать данные в тетради.

После небольшой паузы, однако настолько длительной, чтобы учащиеся могли прочитать задачу не менее двух раз и переписать числовые данные в тетрадь, учитель проводит беседу с целью убедиться, как понята задача, разъяснить все непонятное и подготовить учащихся к решению. По указанию учителя задача повторяется 1—2 раза по записям числовых данных. Затем обсуждается вопрос, кому и что непонятно. На все вопросы даются разъяснения другими учениками, а в крайнем случае учителем. В свою очередь учитель ставит классу вопросы, чтобы убедиться, насколько правильно понята задача. Таким образом задача получает полное истолкование и осмысливание. Это необходимое условие успешного решения.

Такая фронтальная работа проводится в различных классах: в V—VI— при решении арифметических задач, в VII—VIII— при решении задач на составление уравнений.

Приведем примерный конспект части урока арифметики в VI классе.

— Дети, откройте задачник на странице 183. Прочитайте про себя задачу 1099 1)1. Выпишите числа, данные в задаче, в тетрадь.

1 С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник задач и упражнений по арифметике, Учпедгиз, 1955.

«Два шкива соединены бесконечным ремнем. Окружность первого шкива 28 см, а второго 42 см. Сколько оборотов в минуту сделает второй шкив, если первый делает 600 оборотов в минуту?»

— Шура Иванова! Передайте содержание задачи своими словами.

— Валя Романов! Повторите задачу.

— Поднимите руки, кому что-либо непонятно в задаче. Коля не знает, что такое шкив. Некоторые другие дети также не знают шкива.

— Кто пояснит, что такое шкив? ...Соня Уточкина!

Соня вспоминает, что дети видели шкив во время экскурсии в МТС и кратко напоминает устройство передачи.

Учитывая, что это первая задача на шкивы, что за ней последуют еще задачи с такими же сюжетами, учитель введет понятия о ведущем и ведомом шкивах и продемонстрирует модель передачи.

Такое изучение задачи способствует развитию умений и навыков читать книгу и создает предпосылки для успешного решения не только рассматриваемой, но и нескольких последующих задач этого вида.

Если можно ожидать, что понимание задачи, включаемой в домашнюю работу, может вызвать затруднение, то такая же фронтальная работа класса проводится при задании домашней работы.

Готовясь к организации на уроке самостоятельной работы по решению задач, учитель продумывает, понимание каких из них может вызвать затруднения. Эти задачи предварительно читаются и комментируются.

В IX классе при самостоятельном решении на уроке стереометрических задач иногда полезно, чтобы учащиеся применяли моделирование. Оно помогает правильно понять задачу, составить чертеж и дать решение.

4. Приемы работы с учебником в V—VII классах

В V—VI классах полезно, особенно на первых порах использования новых для учащихся учебников, фронтально читать по учебнику те параграфы, содержание которых рассмотрено на уроке и которые включаются в домашнюю работу. Это чтение завершает рассмотрение материала на уроке и подготовляет домашние занятия учащихся по учебнику, ориентирует их в использовании учебника.

Пусть, например, в V классе в первой половине урока учащиеся познакомились с понятиями о действиях 1-й и 2-й ступени, вспомнили порядок выполнения действий, решили несколько примеров. Во второй половине урока учитель предлагает раскрыть

учебники арифметики на странице 47 и прочитать § 421. По указанию учителя один из учеников читает вслух первые три абзаца, а остальные следят по книгам. Для проверки правильности понимания прочитанного учитель ставит вопрос классу.

— Что называется арифметическим выражением?

— Придумайте примеры арифметических выражений.

— Какие действия относятся к действиям 2-й ступени? Затем другой ученик читает следующие пять абзацев. Учитель выясняет, кому и что непонятно, и указывает, что правило, напечатанное жирным шрифтом, надо заучить.

Далее третий ученик читает второе правило и т. д.

Полезно показать учащимся, как следует изучать по учебнику новый материал. С этой целью организуется фронтальная работа класса по изучению одной-двух теорем. Работа проводится так, как обычно читается математическая книга — с кратким конспектированием, выполнением чертежей, с осмысливанием деталей изложения. Изученное по учебнику излагается одним-двумя учащимися на классной доске. Это контролирует правильность понимания и дает возможность устранить все сомнения.

Пусть, например, в VII классе предстоит изучить зависимость между хордами и их расстояниями от центра в одной и той же окружности. Преподаватель предлагает раскрыть учебник геометрии2 на странице 93 и разъясняет, что намечается сделать.

— Надо изучить теоремы 1 и 2 о зависимости между хордами и их расстояниями от центра в одной и той же окружности. Будем коллективно читать и кратко записывать прочитанное, как мы обычно записываем доказательства на классной доске. Запишите название параграфа.

— Петров! Читайте формулировку теоремы и следующие две строки.

— Изобразим фигуру.

— Запишите условие теоремы и заключение теоремы.

— Волгина! Что вы записали?

— Сурцов! Читайте дальше. Следите за чертежом.

— Запишите кратко этот абзац.

— Как читается теорема, на основании которой утверждаем, что ААОВ = ДСОО?

— Акатова! Читайте последние строки доказательства.

— У кого имеются вопросы по доказательству первой теоремы?

— Самостоятельно прочитайте и кратко запишите доказательство второй теоремы.

Когда большая часть учащихся закончит конспектирование второй теоремы, учитель вызывает к доске двоих учеников

1 И. Н. Шевченко, Арифметика, Учпедгиз, 1956.

2 Н. Н. Никитин, А. И. Фетисов, Геометрия, ч. 1, Учпедгиз, 1957.

и поручает одному изложить теорему 1, другому теорему 2. Это изложение контролирует, как поняты доказательства; при этом разъясняется все недопонятое и сомнительное.

5. Приемы работы с учебником в VIII—X классах

В старших классах учащимся предоставляется большая самостоятельность в работе над учебником.

Некоторые учителя практикуют на уроке самостоятельное изучение по учебнику нового материала. Задание дается небольшое с таким расчетом, чтобы его выполнение и контроль уложились в один урок. Материал подбирается несложный. При чтении книги учащиеся конспектируют. Изучение теоремы завершается самостоятельным доказательством каждым учащимся этой теоремы. Проверкой умений читать книгу и усвоения прочитанного является последующее изложение доказательств на классной доске.

Например, в VIII классе учитель предлагает изучить по учебнику геометрии (стр. 178) и законспектировать материал под заголовком «Площадь треугольника». На это дается 15 минут. Требуется, чтобы ученик, изучив доказательства, выполнил их самостоятельно. Когда большинство учащихся закончат конспектирование, к доске вызываются два ученика: одному поручается изложить теорему о площади треугольника, другому — вывести формулу Герона. Пока они готовятся, класс под руководством учителя занимается устным решением задач на вычисление площадей треугольников. Затем заслушиваются ответы учащихся, вызванных к доске.

Можно поручать изучение новых вопросов по учебнику в порядке домашней работы. Работа, даваемая на дом, не должна содержать ничего принципиально нового. Успешность ее выполнения подготовляется на уроке Следующий урок начинается с непременной проверки выполнения домашней работы.

Например, в IX классе на уроке изложена прямая теорема о трех перпендикулярах и сформулирована обратная теорема. В домашнюю работу включается повторение прямой теоремы и изучение по учебнику доказательства обратной теоремы. Следующий урок геометрии начинается с проверки выполнения домашней работы, при этом обратная теорема о трех перпендикулярах обязательно излагается на доске.

В старших классах усиливается домашняя работа по учебнику, направленная на повторение ранее изученного. Это имеет особое значение в X классах в связи с подготовкой к экзаменам на аттестат зрелости. В этом классе повторяются с последующим контролем целые главы.

Например, учащимся X класса предлагается повторить в течение недели главу «Квадратные уравнения», при этом учитель

указывает те параграфы, на которые следует обратить особое внимание. По истечении срока узловые вопросы этой главы воспроизводятся на уроках.

6. Использование популярной математической литературы

В целях развития умений читать математическую книгу, в целях поднятия интереса к математике учитель использует популярную и специально детскую литературу по математике.

Чтобы приблизить эту литературу к учащимся, чтобы руководить ее чтением, полезно в математическом кабинете создать небольшую библиотечку, обеспечивающую внеклассное чтение учащихся.

В библиотечку целесообразно включить популярную и детскую литературу по истории математики, биографии великих математиков, по истории метрологии. В библиотечке найдут место популярные технические книжки, связанные с математикой, например книжки о счетных машинах. Здесь же сосредоточиваются книги по описанию математических наглядных пособий, по их изготовлению. Конечно, в библиотечке найдет значительное место литература по занимательной математике, которая неизменно привлекает юношество.

Учитель принимает и другие меры, направленные на пробуждение интереса к внеклассному чтению популярной и детской литературы. В частности, этому способствует проведение разнообразных внеклассных мероприятий и занятий по математике.

Комплекс разнообразных приемов работы учащихся с книгой на уроках, умелое использование книги в домашней работе, организация чтения популярной математической литературы обеспечат развитие умений и навыков читать математическую книгу, самостоятельно работать над ней.

Глава XII

НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1. Принцип наглядности при обучении математике

Наглядность обучения — один из принципов советской дидактики.

Математика — наука, предметом которой являются пространственные формы и количественные отношения материального мира. Исходный метод математики — абстракция, т. е. отвлечение пространственных форм и количественных отношений от конкретного материального содержания. При обучении математике применение принципа наглядности заключается в живом созерцании конкретных вещей или их заместителей — моделей, чертежей, в наблюдении количественных отношений между вещами или моделями, их элементами, в наблюдении движений вещей и моделей, изменений количественных отношений, в выполнении связанных со всем этим измерений. Применение принципа наглядности заключается и в умелом использовании накопленных учащимися в их детском опыте представлений о пространственных формах и количественных отношениях окружающего мира.

Активное живое созерцание — исходный этап познания пространственных форм и количественных отношений, начальное отправное звено для перехода к понятийному мышлению: это — вход в математические теории, преддверие к теоретическому мышлению. Наглядность обеспечивает переход к абстрактному мышлению.

Критерием верности математических теорий является практика. Переход от абстрактного мышления к практике — существенный этап познания пространственных форм и количественных отношений. В учебном процессе это приводит к приложению теоретических положений к решению учебных практических вопросов. Вновь появляются вещи или их модели, чертежи, измерительные приборы. Теперь они — объекты применения математических знаний; оперируя ими, школьники получают первые навыки в применении математики. Таким образом, использование принципа наглядности в некоторой мере обеспечивает учебно-практические приложения математики, способствует переходу от теоретического мышления к практике.

Итак, применение принципа наглядности при обучении математике имеет свои корни в теории познания и вполне согласуется

с методологией математики. Мало того, теория познания приводит к требованию широко применять принцип наглядности. Она является теоретической основой использования лабораторного метода, практических занятий и демонстраций, в которых наглядность реализуется наиболее полно.

С точки зрения политехнического обучения соблюдение принципа наглядности имеет важное значение. Уже переход от наблюдений, опытов, измерений к теоретическому мышлению демонстрирует применимость математики к материальному миру, практическую значимость ее. Приложение теоретических положений к выполнению учебно-практических задач еще глубже подчеркивает практическую ценность математики, является первыми шагами применения ее и показывает великое значение нашей науки в производстве, строительстве, технике. Политехническое обучение неизбежно приводит к требованию разумно использовать принцип наглядности, усилить наглядное обучение особенно в той его части, которая связана с практическими задачами.

Применение принципа наглядности при обучении математике находит глубокое подтверждение в психологии. Установлено, что мышление в математических понятиях имеет своей основой чувственное содержание. Оно связано с этим содержанием, не может быть оторвано от него. Однако мышление в понятиях, не отрываясь от чувственного содержания, далеко выходит за его пределы. Наблюдения учащимися пространственных форм и количественных отношений, опыты с моделями, измерения — все это создает чувственную основу для понятийного мышления. Значит, с психологической точки зрения наглядность является необходимой составной частью процесса обучения, подготовляющей и обеспечивающей понятийное мышление, оперирование с математическими понятиями. Значит, игнорирование принципа наглядности, неполное или неправильное применение наглядности тормозит развитие мышления в понятиях, ведет к формализму со всеми дурными его последствиями.

Изложенные соображения вскрывают основное значение наглядного обучения математике, но не исчерпывают его. Наглядное обучение — сложный психологический процесс. Использование наглядных пособий на уроке повышает интерес к теме урока, усиливает внимание к излагаемому материалу. В иных случаях применение наглядных пособий, особенно организация лабораторных работ, повышает активность школьников, приводит к более полному использованию органов чувств, побуждает к напряжению воли. В других случаях применение наглядности сопровождается отвлечением, образованием понятия, абстрагированием от несущественного, обобщением. Такая психологическая многогранность наглядного обучения позволяет утверждать, что оно имеет разностороннюю педагогическую ценность.

В советской школе многие преподаватели математики успешно применяют принцип наглядного обучения и имеют значительные

достижения в педагогической деятельности. Однако имеются и такие учителя, которые игнорируют наглядность, не пользуются демонстрациями, избегают лабораторных работ, не организуют практических занятий на местности и внутри школы. Есть и такие школы, в которых коллективы учителей математики не проявляют действенного интереса к реализации наглядного обучения, к оснащению математического кабинета пособиями.

2. Основные положения применения наглядности

Наметим основные положения, определяющие применение наглядности при обучении математическим предметам.

Уже приведенные соображения показывают, что вводить учащихся в познание пространственных форм и количественных отношений надо путем использования органов чувств, путем предметного наблюдения. К этому призывает основоположник наглядного обучения Ян Амос Коменский, Н. И. Лобачевский отмечает, что «Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств»1 и в своих наставлениях преподавателям математики рекомендует опираться на наглядность. Первые шаги в обучении математике надо делать, опираясь на восприятия, на представления. Наблюдения, опыты, непосредственные измерения дают исходный материал для вступления в теорию. При этом чем полнее используются органы чувств, тем лучше. Восприятия и представления служат основой для образования понятий, формулирования аксиоматических положений, правил.

В V классе наглядность служит и обоснованием математических фактов. Это обусловлено особенностями возраста пятиклассников. Неполная индукция при этом выступает как ведущий метод. Дети таким путем накапливают фактический материал о пространственных формах и количественных отношениях. Так, например, познаются детьми многие факты наглядной геометрии. Нередко в наглядности находят опору и арифметические правила.

Но обучение математике не может опираться только на наглядность. С развитием учащихся, с обогащением их мышления представлениями и понятиями наглядное обучение постепенно идет к «затуханию». Уже в VI классе, опираясь на наглядность, усиливаются при изложении нового материала логические обоснования, начинает играть заметную роль абстрактное мышление. Так, например, в VI классе излагается геометрия и алгебра.

Однако затухание наглядного обучения идет неравномерно. При изложении некоторых вопросов наглядность сводится к минимуму, при изложении других она усиливается. Это зависит от

1 Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. 2, Гостехиздат, 1949, стр. 164.

особенностей учебного материала. В IX классе учащиеся приступают к изучению стереометрии; они подходят к ознакомлению с пространственными формами и количественными отношениями трехмерного пространства; это приводит к усилению наглядного обучения. Изучение изменений тригонометрических функций с изменением аргумента от 0° до 360° также полезно сопровождать наглядностью: моделями, чертежами, представлениями. При изучении некоторых вопросов стереометрии, при решении стереометрических задач наглядные пособия оказываются полезными и в X классе.

В систематических курсах, особенно в VI и VII классах, наглядность может способствовать уяснению сущности теоремы, методов доказательства; может помочь создать полезную чувственную основу для правильного мышления. Первые встречи с такими методами геометрических доказательств, как вращение фигуры в плоскости вокруг точки, перегибание по оси (осевая симметрия), наложение одной фигуры на другую, приложение одной фигуры к другой,— необходимо сопровождать демонстрациями моделей, выполнением с помощью моделей соответствующих движений. Иногда не следует отказываться от такого использования наглядности и в старших классах: и здесь предметное восприятие может оказать помощь мышлению и воображению. Например, изложение леммы о равновеликости треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, теоремы об объеме треугольной пирамиды полезно сопровождать демонстрациями моделей и тщательно выполненными чертежами.

Учитель должен проявлять большую чуткость и значительный такт в применении наглядности: наглядность надо использовать, когда есть в этом потребность; ее следует исключить из педагогического процесса, если нет надобности в ней. При этом нельзя забывать, особенно при решении задач, об индивидуальных особенностях учащихся: одни из них нуждаются в наглядной опоре больше, другие меньше. Например, при самостоятельном решении в классе стереометрических задач большинство учащихся опирается на чертеж, а двум-трем ученикам, может быть, окажутся полезны и модели.

Как уже отмечалось, интересы политехнического обучения выдвигают на первый план применение принципа наглядности, особенно тогда, когда учитель вырабатывает у учащихся умения и навыки применять фактическое содержание математики к выполнению конкретных упражнений, образует и развивает новую серию условных рефлексов, обогащает вторую сигнальную систему. В силу этого в обучении видное место занимают разнообразные уроки, проводимые лабораторным методом, практические занятия как в классе, так и на местности. На одних уроках учащиеся работают над раздаточным материалом с измерительными приборами, на других — решают разнообразные практические задачи на местности.

3. Математический кабинет

Чтобы обеспечить использование принципа наглядности в преподавании математики, каждая школа должна иметь математический кабинет. Кабинет — комната, предназначенная для хранения учебных математических пособий и соответствующим образом оборудованная. Кроме этой основной цели, кабинет может служить школьным математическим музеем, в котором хранятся интересные и полезные ученические работы. Он может выполнять и роль мастерской по изготовлению наглядных и измерительных пособий учителем или под его руководством учащимися.

Так как многие наши школы небогаты наглядными пособиями, то на первых порах эти пособия можно сосредоточить в нескольких шкафах. Опыт говорит, что организация математического кабинета не мешает использовать этот кабинет для занятий того или другого класса. Задачи политехнического обучения делают организацию математического кабинета необходимой.

В математическом кабинете сосредоточиваются счетные учебные приборы, пособия для изучения метрической системы мер, чертежные приборы, приборы и инструменты для выполнения измерительных работ внутри и вне школы, разнообразные модели, математические стенные таблицы, портреты видных русских, советских и зарубежных математиков, инструменты и материалы для изготовления моделей, архив полезных ученических работ. Хорошо иметь при кабинете небольшую библиотечку, в которой должны найти место книги по оборудованию кабинета, изготовлению наглядных пособий, для внеклассного чтения по математике, пособия по организации внеклассных мероприятий.

В совокупности счетных приборов должны найти место большие русские счеты на подставке, служащие для демонстрации в классе, малые счеты (30—40 штук) для индивидуальной работы школьников, большие дробные счеты для демонстраций, большие демонстрационные логарифмические линейки, 25-сантиметровые логарифмические линейки (25—30 штук). Последние можно заменить логарифмическими линейками в 12,5 см. Желательно, чтобы кабинет имел несколько арифмометров.

К числу пособий для изучения метрической системы мер относятся метры с сантиметровыми делениями, образцы квадратных мер — складной скелет из планок квадратного метра, квадратные дециметры, образцы кубических мер — складной скелет из планок кубического метра, кубические дециметры и сантиметры, образцы мер для измерения жидкостей — литр с его частями, применяющимися в торговом деле, весы с торговым разновесом. До сих пор английский дюйм иногда применяется в производстве при использовании импортного оборудования. Полезно иметь шкалу с английскими дюймами.

Из чертежных приборов в кабинете должны быть те, которые используются для работы на классной доске, затем приборы для

работы учащихся в тетрадях. Кроме того, кабинет должен иметь наборы чертежных приборов, применяемых в техническом черчении: готовальни, рейсшины, линейки, треугольники, большие металлические транспортиры, лекала.

Для обеспечения выполнения разнообразных измерительных работ на поверхности земли, в частности, для съемок земельных участков, в кабинете сосредоточиваются простейшие землемерные приборы и их модели. Сюда относятся приборы для измерения длины отрезков прямых: десятиметровые рулетки, мерные шнуры, полевые метровые и двухметровые циркули, шпильки и вехи с флажками. Среди приборов для съемки земельных участков прежде всего полезно иметь мензулы с принадлежностями: алидадами (визирными линейками), вилками, ватерпасами, компасами. Затем необходимы угломеры (астролябии), эклиметры, планшеты для глазомерных съемок с трехгранными масштабными линейками и компасами, эккеры различных конструкций, различные виды высотомеров1.

Если учесть, что практические работы по математике на местности выполняются звеном или бригадой от 4 до 7 учащихся, то легко подсчитать, сколько приборов того или другого вида необходимо иметь, чтобы обеспечить одновременную работу всего класса. Многие топографические приборы могут изготовить учащиеся под руководством учителя.

4. Демонстрационные и лабораторные приборы

Для педагогического процесса модели имеют большое значение. По способам использования на уроке они делятся на два вида: демонстрационные и лабораторные. Конечно, такое деление условно: одну и ту же модель можно использовать и для демонстраций, и для лабораторных работ. Однако при оборудовании кабинета такое деление полезно иметь в виду. Модели для демонстраций должны быть таких размеров и так сконструированы, чтобы обеспечивалось удобное наблюдение их с любого ученического места в классной комнате; в кабинете их надо иметь небольшое число (2—3 экземпляра). Модели для лабораторных работ должны быть небольших размеров, просты по устройству, удобны в обращении с ними; но каждая модель должна быть представлена в кабинете большим числом экземпляров (20—50 штук), чтобы обеспечивалась одновременная работа учащихся по крайней мере одного класса.

Из лабораторных моделей прежде всего выделим раздаточные наборы для V класса. Укажем некоторые планиметрические наборы.

1 Полезно иметь набор миниатюрных геодезических приборов, позволяющих на классном полигоне дать представление о работах на местности. Эти приборы используются, когда нельзя осуществить выход на местность.

1) Набор квадратов и прямоугольников со сторонами от 6 до 15 см (стороны в целых сантиметрах).

2) Набор квадратов и прямоугольников (длины сторон в дробных числах сантиметров).

3) Набор остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников со сторонами разной длины (от 7 до 18 см).

4) Набор плоских фигур, представляющих простейшие комбинации квадратов, прямоугольников и треугольников. Примерные фигуры указаны на чертеже 22.

Черт. 22

Черт. 23

5) Набор четырехугольников.

6) Набор кругов с диаметрами от 10 до 20 см.

7) Набор плоских фигур, представляющих простейшие сочетания кругов, полукругов, прямоугольников и треугольников. Примерные фигуры указаны на чертеже 23.

Перечисленные раздаточные пособия изготовляются учащимися и на уроках, и в порядке домашней работы, и на кружковых занятиях. Делаются они из тонкого картона, оклеенного глянцевитой цветной бумагой. Каждый набор содержит 40—50 моделей, что обеспечивает одновременную работу одного класса по вычислению площадей фигур. Для хранения каждого набора изготовляется картонная коробка.

Перечислим некоторые стереометрические наборы для V класса.

1) Набор кубов и прямоугольных параллелепипедов с ребрами от 5 до 12 см (длина ребер в целых сантиметрах).

2) Такой же набор кубов и прямоугольных параллелепипедов (длина ребер в дробных числах сантиметров).

3) Набор цилиндров с различными диаметрами оснований и высотами.

4) Набор моделей, представляющих простейшие сочетания прямоугольных параллелепипедов и цилиндров. Примерные тела указаны на чертеже 24.

Раздаточные пособия первых трех групп могут быть изготовлены пятиклассниками, а последней группы — учащимися старших классов. Перечисленные пособия изготовляются из чертежной бумаги и оклеиваются цветной бумагой. Хорошо иметь такие наборы из дерева. Каждый набор содержит от 20 до 50 тел. Набор хранится в отдельном ящике.

Наборы раздаточных пособий находят применение и в последующих классах.

Для VI класса целесообразно иметь наборы:

1) Планов небольших построек или частей их (классных комнат, школьного зала, жилых комнат, небольших домиков); на таких планах отсутствуют надписи линейных размеров, но указывается масштаб;

Черт. 24

2) крупномасштабных планов небольших земельных участков с 4—6 вершинами (пришкольного земельного участка, школьной усадьбы, сада общественного пользования и др.).

Для VIII класса полезно иметь наборы:

1) на плотной бумаге чертежей разнообразных многоугольников (параллелограммов, трапеций, треугольников, правильных многоугольников, а также плоских фигур, представляющих сочетание перечисленных);

2) крупномасштабных планов земельных участков, многоугольной формы с 6—10 вершинами.

Для IX класса полезны наборы:

1) на плотной бумаге чертежей плоских фигур, представляющих сочетания круга и его частей с разнообразными многоугольниками;

2) учебных крупномасштабных топографических карт с изображением рельефа местности в горизонталях.

Для X класса желательно иметь наборы:

1) многогранников, которые изучаются в курсе геометрии;

2) разнообразных комбинаций многогранников;

3) цилиндров, конусов и комбинаций их;

4) тел, представляющих комбинации многогранников и круглых тел;

5) карточек с чертежами многогранников (для решения задач на вычисление по готовым чертежам);

6) карточек с чертежами круглых тел и их комбинаций (задачи по готовым чертежам).

5. Приборы конструктивного типа

Кроме деления приборов на лабораторные и демонстрационные, их можно разделить на два других класса в зависимости от количества предложений, которые на них истолковываются. Одни из них используются для демонстрации очень малого количества (1—3) предложений; другие пригодны для истолкования значительного числа предложений. Первые можно назвать моделями-одиночками, вторые — конструктивными. Очень часто модели-одиночки дают пространственные формы в застывшем виде; как правило, на них нельзя демонстрировать подвижность пространственных форм, изменяемость количественных отношений. Конструктивные приборы отличаются возможностью демонстрировать многие пространственные формы, на них часто можно показать изменение этих форм, переходы одних форм в другие. Приборы конструктивного типа заслуживают предпочтения: они представляют большую ценность для педагогического процесса. Однако они не могут вытеснить модели-одиночки. Последние полезны там, где приборы конструктивного типа не могут быть применены; они полезны при лабораторных работах; они, как правило, доступнее для изготовления их учащимися.

При изучении стереометрии можно широко использовать модель, состоящую из деревянной дощечки, сделанной из мягкого дерева (осины, липы) размером примерно 25 см\ 15 см (толщина роли не играет), набора тонких металлических спиц с заостренными концами; длина спиц приблизительно 15; 10; 8,5 см (по 5—6 спиц каждого вида), двух-трех картонных плоскостей и нескольких небольших пробковых шариков. Такое пособие можно использовать для демонстраций многих теорем первого отдела курса стереометрии, некоторых теорем о многогранниках и значительного числа задач. Пособие просто по устройству и может быть изготовлено в любой школе. Если в кабинете математики будет сосредоточено 15—20 таких приборов, то их можно использовать как лабораторные пособия при решении стереометрических задач. Если размеры прибора увеличить в два раза, спицы окрасить масляной краской в различные яркие цвета, то прибор можно использовать как демонстрационное пособие.

Полезным демонстрационным пособием является «Универсальная модель круга». Лицевая сторона куска 5-миллиметровой фанеры размером 60 см X 60 см оклеивается миллиметровой бу-

магой с темной сеткой. На ней тушью вычерчивается окружность с внешним диаметром 40 см; «ширина» линии 2 мм. Окружность делится на градусы; через каждые 5° вбиваются металлические сапожные шпильки так, чтобы они выдавались над доской на 2 мм. Градусные деления нумеруются через 10° или 20°. К доске прилагаются резиновые шнурки из обыкновенной резины, употребляемой в швейном деле. Толщина шнурка 2—3 мм. У одних шнурков на концах делаются петли, другие связываются в виде кольца. В центре круга, внутри и вне его также вбиваются шпильки. Чтобы кусок фанеры не коробился, его можно нашить на деревянную рамку (обвязка снизу). Такую модель легко сделать силами учащихся.

С помощью модели демонстрируются предложения об углах, связанных с окружностью (измерение вписанного угла, угла с вершиной внутри и вне круга и др.). Можно демонстрировать правильные вписанные многоугольники, обобщение понятия угла в тригонометрии, тригонометрические функции и их изменение в зависимости от изменений угла. При последней демонстрации начальный и дополнительный диаметры, начальную и дополнительную касательные показывают с помощью натянутых шнурков.

Ценным наглядным пособием является следующий универсальный стереометрический прибор1. Он состоит из корпуса примерно размером 38 см X 23 см X 5 см с выдвижным ящиком, который служит для хранения деталей. Верхняя грань корпуса сделана из органического стекла. На стекле изображены окружность и серия многоугольников, вписанных в эту окружность. В этой серии имеются правильные многоугольники и неправильные, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе геометрии при решении стереометрических задач. Многоугольники расположены так, что значительное количество их вершин совпадает. В верхнюю грань корпуса вделано 24 металлических крючка, расположенных в вершинах многоугольников, а также три гнезда для крепления металлического стержня.

Металлический стержень имеет длину примерно 34 см, диаметр поперечного сечения его 0,5 см. На стержень надеты две втулки; на одной из них закреплены 6 крючков.

Среди деталей имеются плоские фигуры, сделанные из фанеры, равные фигурам, изображенным на верхней грани корпуса. Контуры их выделены синим цветом. В вершинах фигур вделаны металлические крючки. Фанерные фигуры используются как верхние основания многогранников и цилиндра.

Кроме этого набора, имеются плоские фигуры, сделанные из картона. Они служат для демонстрации сечений многогранников плоскостями, параллельными основаниям. В вершинах картонных фигур закреплены крючки.

1 Сконструировал в 1953 г. А. И. Раев. В 1956 г. поступил в продажу первый выпуск прибора.

Имеется плоская пластинка из органического стекла, на которой изображены те же фигуры, что на верхней грани корпуса. В вершинах этих фигур также вделаны 24 металлических крючка.

Для изображения прямых, отрезков прямых применяется резиновый шнур синего цвета с петлями на концах. При демонстрации сечений тел плоскостью используется красный шнур.

Таковы основные детали прибора. Число их при желании можно увеличить.

Изображение фигур выполняется с помощью резиновых шнуров, которые натягиваются между крючками. Например, для демонстрации правильной шестиугольной пирамиды металлический стержень вставляется в гнездо верхней грани корпуса, совпадающее с центром правильного шестиугольника, изображенного на этой грани. Втулка с крючками закрепляется на другом конце стержня. Затем натягивается шнур между крючками вершин шестиугольника и крючками втулки. Для такого построения пирамиды потребуется не более одной минуты.

Если требуется продемонстрировать призму или усеченную пирамиду, то на верхнем конце стержня закрепляется соответствующий многоугольник из фанеры, а затем натягивается резиновый шнур, который изобразит боковые ребра, а если требуется, то и высоту, апофему, другие отрезки, представляющие интерес для рассматриваемого геометрического вопроса.

Для демонстрации фигур к теоремам из первого отдела стереометрии стержень вставляется в гнездо верхней грани корпуса, а на другом конце его закрепляется пластинка из органического стекла. Резиновый шнур натягивается между крючками.

Универсальный стереометрический прибор дает возможность демонстрировать очень многие теоремы из первого отдела стереометрии, почти все теоремы из главы о многогранниках. На модели удачно изображаются цилиндры, конусы, усеченные конусы, вписанные в эти тела разнообразные многогранники, некоторые описанные многогранники. На приборе можно продемонстрировать фигуры для большого числа задач на вычисление и построение.

Положительными качествами прибора являются его простота и удобство в употреблении; для построения отдельных фигур требуется очень мало времени. Ценно, что можно демонстрировать многие пространственные формы в движении, можно показать переход одних форм в другие. При построении тел можно наблюдать расположение отрезков и углов внутри тела. Простота устройства прибора, возможности вариаций в его конструкции позволяют изготовить его внутри школы.

6. Модели из органического стекла и других материалов

Обыкновенное и органическое стекло — прекрасный материал для изготовления стереометрических моделей. Самодельные моде-

ли из стекла постепенно распространяются в школах; чаще изготовляются модели-одиночки. Полезно обратить внимание на изготовление приборов из стекла и картона конструктивного типа.

Приведем примеры. Из стекла делается куб с ребром в 2 дм; одна из граней его не прикрепляется. Затем из тонкого картона изготовляются возможные виды многоугольников, которые получаются при сечении поверхности куба плоскостью; среди них — равносторонний треугольник с наибольшей стороной, равнобедренная трапеция, пятиугольник, правильный шестиугольник. Вкладывая последовательно эти многоугольники в куб, можно продемонстрировать разнообразные виды сечений куба плоскостью. Из тонкого картона или подклеенной чертежной бумаги изготовляются правильная четырехугольная пирамида, цилиндр, прямой конус, каждый из которых можно вставить в стеклянный куб и получить вписанное в куб тело.

Модель, схожую с описанной, можно изготовить для демонстрации сечений прямоугольного параллелепипеда плоскостью, для демонстраций вписанных в него тел.

Заслуживает внимания следующий стереометрический прибор1. Существенной составной частью прибора являются «ширмы». Шесть прямоугольных пластинок одного и того же размера из тонкого органического стекла последовательно соединены между собой так, что из них легко можно образовать боковые поверхности 3—6-угольных призм. Таким же образом соединены между собой шесть пластинок одного и того же размера, имеющих форму равнобедренных треугольников. Из них образуются боковые поверхности 3—6-угольных пирамид. Размеры «ширм» рассчитаны так, что пирамиды можно вставить в одноименные призмы, чтобы их основания совпадали, а вершина пирамиды оказалась на другом основании призмы. «Ширмы», расположенные на подставке, дают возможность демонстрировать ряд призм, пирамид, вписанных в призмы пирамид.

Кроме того, для каждого демонстрируемого тела изготовлены из жесткой бумаги разнообразные сечения плоскостью. Сечения каждого тела имеют особый цвет, что упрощает их использование. Прибор дает возможность демонстрировать очень большое количество сечений.

Прибор допускает разнообразные вариации — упрощения, усовершенствования; он легко изготовляется в школе силами учащихся, удобен для обращения.

Из литровой бутылки можно изготовить цилиндр, а затем из подклеенной чертежной бумаги сделать несколько тел, которые могут быть вставлены (вписаны) в этот цилиндр.

Эту серию самодельных приборов легко продолжить.

Кроме указанных ранее картонных моделей, из тонкого картона или подклеенной чертежной бумаги силами учащихся можно

1 Сконструировал А. И. Раев в 1954 г. Прибор принят к производству.

изготовить многие и планиметрические, и стереометрические модели. При изучении сведений из наглядной геометрии окажутся полезными модели для экспериментального подтверждения правил вычисления площадей прямоугольного треугольника, любого треугольника, круга. Из планиметрических моделей особенно полезны те, которыми сопровождаются первые встречи учеников VI класса с новыми для них методами доказательств — перегибанием фигур по оси симметрии, наложением одной фигуры на другую, приложением одной фигуры к другой, вращением вокруг точки в плоскости, центральной симметрией. Из картона, при желании, можно изготовить много других полезных планиметрических моделей.

Из картонных стереометрических моделей представляют интерес развертки поверхностей многих многогранников, развертки многогранных углов, пять правильных многогранников.

Изящны нитяные модели геометрических тел и других стереометрических фигур. В таких моделях картонные пластинки служат основаниями фигур, а боковые ребра, образующие, высоты и другие отрезки прямых, делаются из цветных шелковых нитей. Разнообразные призмы и пирамиды, цилиндры и конусы, различные усеченные пирамиды и усеченные конусы со всеми интересными отрезками прямых могут успешно демонстрироваться на таких моделях. Нитяные модели можно изготовить для многих стереометрических задач.

Незаменимы некоторые разрезные геометрические модели из дерева. В V классе для установления правила вычисления площади круга успешно применяется деревянная модель круга, разрезанного на секторы, из которых складывается фигура, равновеликая кругу и близкая по форме прямоугольнику. В том же классе для экспериментального выяснения правила вычисления объема цилиндра незаменима модель цилиндра, разрезанного по осевым сечениям на 16 клиньев, из которых складывается тело, близкое по форме прямоугольному параллелепипеду.

В старших классах можно использовать модель треугольной призмы, рассеченной на три равновеликие пирамиды, разрезанную модель шара, на которой демонстрируется шаровой сегмент, сектор, слой. Представляют интерес модели пятиугольной призмы и пирамиды, рассеченные диагональными плоскостями соответственно на треугольные призмы и пирамиды, модель конуса с тремя коническими сечениями, куба, разрезанного на шесть равных правильных четырехугольных пирамид.

Деревянные модели отличаются прочностью; поэтому они удобны как раздаточные пособия при лабораторных работах. Изготовление моделей из дерева силами учащихся можно осуществить при наличии в школе деревообделочной мастерской1.

1 П. Я. Дорф, Учебные пособия по математике в средней школе, Учпедгиз, 1955. В книге большой перечень с описаниями наглядных пособий.

7. Стенные таблицы

Математические стенные таблицы — очень полезные и легко изготовляемые наглядные пособия. Цели использования таблиц довольно разнообразны: одни из них являются справочниками, другие оказывают помощь учащимся при запоминании формул и правил, третьи — средство быстро сообщать содержание задач и примеров, четвертые применяются на уроке для коллективного чтения и других упражнений. Конечно, имеются таблицы, использование которых преследует не одну, а несколько целей. В зависимости от значения таблицы приемы использования их различны. К числу таблиц, являющихся стенными математическими справочниками, относятся таблицы условных знаков, которые используются на крупномасштабных и мелкомасштабных планах, таблицы стандартных обозначений метрических мер, крупномасштабные планы различных строений и земельных участков. Таблицы справочного характера вывешиваются в классных комнатах на длительный период. К ним обращаются преподаватель и учащиеся по мере надобности.

Заслуживают широкого признания таблицы для устного счета. Они обслуживают беглый устный счет по следующим разделам: обыкновенные дроби, десятичные дроби, процентные вычисления, рациональные числа, действительные числа. К ним примыкают таблицы для устного решения задач на доказательства в VI—VII классах. Каждая такая таблица содержит одну задачу; на таблице дается изображение фигуры, зафиксированы условие и заключение теоремы. Таблицы для устных беглых вычислений и решения задач на доказательство появляются в классе только в те минуты, когда проводятся соответствующие упражнения.

Представляют интерес таблицы, которые служат для иллюстрации изучаемого материала и которые применяются для некоторых упражнений на уроке. Сюда относятся таблицы с разнообразными видами диаграмм, с графиками элементарных функций, с чертежами фигур для отдельных теорем и задач. Такие таблицы используются в течение одного-двух уроков. Например, когда изучается график функции y=simr, преподаватель показывает на классной доске, как строится график, однако вычерченная на доске синусоида далеко не совершенна; поэтому уместно показать учащимся таблицу с изображением синусоиды, выполненной более точно и дающей фигуру, близкую к идеальной синусоиде. Используя таблицу, учитель предложит учащимся и ряд упражнений: по заданному значению х найти значение ъ'тх, по заданному значению у определить значение найти координаты точки, указанной на синусоиде, и др. Так полезно поступать при изучении графических изображений многих функций.

Таблицы, предназначенные для более быстрого и прочного запоминания формул и правил, применяются при изучении любого математического предмета. Например, в таких таблицах нахо-

дят место общее правило умножения обыкновенных дробей, два общих правила деления обыкновенных дробей, законы арифметических действий, формулы сокращенного умножения, формулы решения квадратного уравнения, значения тригонометрических функций углов в 30, 45 и 60°, формулы зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента и многие другие. Таблицы этого вида появляются в классе на уроке, когда обосновывается формула или правило. Хорошо оформленная таблица привлекает внимание учащихся, способствует запоминанию фактического материала. Но правила и формулы надлежит запомнить в течение 2—3 дней; значит, и таблица находится в классной комнате 2—3 дня; дальнейшее ее пребывание на стене окажется вредным для процесса обучения.

Полезно иметь таблицы, на которых изображены схемы классификаций некоторых понятий, «родословные» отдельных понятий, «родословные» некоторых теорем, зрительные иллюзии.

При изготовлении таблиц в школе надо добиваться, чтобы они были выполнены четким, легко читаемым, строго выдержанным шрифтом, чтобы они были хорошо оформлены, привлекали внимание учащихся. Полезно таблицы изготовлять одного и того же формата: это позволит использовать их на возможных выставках. Наиболее удобный формат 0,5 листа чертежной бумаги.

В кабинете надлежит иметь портреты основоположников марксистско-ленинской теории — Маркса, Энгельса, Ленина, видных русских и советских математиков: Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева, С. В. Ковалевской, Н. Н. Лузина и других.

Кабинет должен иметь портреты математиков, имена которых встречаются в школьных курсах и могут встретиться во внеклассных занятиях: Виета, Ферма, Декарта, Ньютона, Лейбница, Гаусса и других.

Портреты математиков уместно снабдить краткими биографическими справками и перечислениями основных открытий, сделанных учеными.

8. Оборудование кабинета

Есть еще школы, где наглядные пособия по математике находятся в запущенном состоянии, хранятся где-нибудь и как-нибудь, не пополняются. В условиях политехнического обучения такое положение нельзя признать нормальным. Перед администрацией таких школ, перед коллективом учителей математики стоят задачи: привести в порядок математический инвентарь, составить план оборудования кабинета и приступить к накапливанию пособий. Каковы же основные пути приобретения математического инвентаря?

Некоторые пособия могут быть закуплены в магазинах.

Другой путь приобретения математического инвентаря — изготовление пособий учащимися. Опыт лучших учителей математики показывает, что в этом отношении можно сделать многое.

Некоторые пособия могут быть сделаны на уроках. В V классе учитель организует лабораторную работу по изготовлению кубов и прямоугольных параллелепипедов. Тела делаются из чертежной бумаги, подклеенной обыкновенной клетчатой или тонкой миллиметровой бумагой. Клетчатая бумага помогает более тщательно начертить выкройку тела. Одни ученики получают задание сделать кубы с ребром 10 см, другие — с ребром 6 см, третьи — прямоугольные параллелепипеды с ребрами 10 см, 6 см и 6 см и, наконец, четвертые — параллелепипеды с ребрами 10 см, 10 см, 6 см. В распоряжении учителя окажется значительное количество тел. Отбирая хорошо сделанные тела, учитель получит одну или несколько моделей для геометрического истолкования формулы (а + Ь)3. В дальнейшем можно изготовить куб, четыре грани которого сделать из стекла. Ребро куба примерно 16,2 см. Этот куб заполнить телами, которые сделали пятиклассники. Модель готова.

Описанным путем можно приготовить наборы планиметрических фигур из картона: прямоугольников, треугольников, четырехугольников. Эти наборы используются как раздаточный материал при лабораторных работах по вычислению площадей. Можно приготовить набор цилиндров.

Наборы раздаточного материала можно получить и путем домашних заданий. Например, в VIII классе можно сделать копии разномасштабных планов земельных участков в форме 6—10-угольников. Планы копируются путем скалывания.

За последние годы получили распространение домашние задания по изготовлению стереометрических моделей для задач. Ученик получает номер задачи и задание решить задачу и приготовить модель. С педагогической точки зрения такие задания не представляют интереса: модель изготовляется для решенной задачи, а значит, для решающего она бесполезна. Однако если преследуются цели пополнения кабинета, то такие задания могут принести пользу. Учитель продумывает, какие модели нужны для кабинета, как они в дальнейшем будут использоваться, в каком количестве желательно иметь модели. Это определит требования к размерам модели. Ученик получает задание и инструктаж, составляет чертежи и расчеты проекта модели и после одобрения проекта учителем выполняет модель. В школах чаще всего изготовляются модели-одиночки для истолкования отдельных задач. Желательно изготовлять приборы конструктивного типа, могущие обслужить многие задачи или теоремы.

Если преподаватель учтет склонности отдельных учащихся, навыки в ручном труде, то возможны поручения учащимся по оборудованию кабинета. Ученик VII класса Коля С. имел дома верстак; он охотно работал на нем. Учитель поручил ему изгото-

вить некоторые учебные топографические приборы. Задание было выполнено старательно и умело.

Учитель математики может использовать работу учащихся в мастерских. По договоренности с учителем ручного труда можно получить полезные математические пособия. Контакт учителя математики с учителем черчения даст возможность приобрести наборы чертежей, которые используются как раздаточный материал при организации лабораторных работ.

Как свидетельствует опыт, большую помощь в оборудовании кабинета оказывает модельно-математический кружок учащихся1.

1 См. гл. XIII, п. 6.

Глава XIII

ВНЕКЛАССНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Значение внеклассных занятий

Разнообразные формы внеклассных занятий по математике дают возможность полнее и глубже осуществить учебно-воспитательные задачи.

Внеклассные занятия имеют существенное значение для математического образования учащихся:

а) дают возможность шире пропагандировать значение математической науки, являются важным средством для пробуждения интереса к знаниям, позволяют углубить этот интерес, способствуют увлечению математикой, прививают любовь к ней;

б) в некоторой мере удовлетворяют запросы учащихся, особенно старших классов, в отношении расширения их математического кругозора дают возможность заниматься такими вопросами, которые выходят за пределы школьных учебных программ;

в) позволяют шире и глубже вскрыть практическое значение математики, углубить политехнизацию обучения, а это в свою очередь помогает формированию материалистического мировоззрения;

г) расширяют возможности сообщения исторических сведений по математике, в особенности о развитии математических знаний у наших предков — славян, у русского народа, у других народов Советского Союза; позволяют показать ведущую роль советских математических школ в мировой науке, а все это углубляет воспитание советского патриотизма и национальной гордости.

д) под умелым руководством оказывают значительную помощь в пополнении математического кабинета самодельными наглядными пособиями; позволяют на базе общественно полезного труда прививать практические умения и навыки;

е) содействуют развитию у учащихся умения самостоятельно читать и конспектировать популярную внеучебную математическую литературу, готовить сообщения, доклады, составлять доступные проекты пособий;

ж) помогают воспитанию детского коллектива, его сплочению; приучают школьников выступать перед товарищами, перед аудиторией; способствуют деловому сближению педагога с учащимися; позволяют глубже изучать интересы и запросы послед-

них; усиливают воспитывающее влияние преподавателя на подрастающее поколение.

Вот почему серьезный и вдумчивый учитель математики не ограничивает свою деятельность только учебно-воспитательной работой на уроке, а организует и руководит разнообразными внеклассными занятиями учащихся.

2. Виды внеклассных занятий

Передовые советские средние школы и лучшие учителя накопили очень ценный опыт по организации внеклассных математических занятий. Этот опыт показывает, что формы таких занятий весьма многообразны. Их можно разделить на два вида: 1) эпизодические внеклассные мероприятия и 2) постоянно действующие внеклассные организации (работающие по крайней мере в течение учебного года).

К первому виду относятся:

а) выступления и сообщения на математические темы во время проведения воспитательного часа, которые обычно организуются в каждом классе в две недели один раз;

б) математические пионерские сборы, отдельные математические мероприятия (например, викторины) на пионерских сборах, посвященных другим вопросам;

в) отдельные доклады учащихся, лекции преподавателей на историко-математические темы, в частности, в связи со знаменательными математическими датами;

г) выпуск стенных математических листков, посвященных определенным математическим темам;

д) математические викторины, командные математические соревнования;

е) подготовка и проведение школьных математических олимпиад; подготовка городских, областных математических олимпиад и участие в них;

ж) организация и проведение школьных математических вечеров.

Ко второму виду внеклассных занятий относятся:

а) разнообразные, по задачам и формам работы, математические кружки;

б) школьные математические общества учащихся;

в) выпуск школьных математических стенных газет и рукописных журналов.

Приведенное деление форм внеклассных мероприятий, как свидетельствует практика школ, имеет условный характер; в живой внеклассной работе нередко одни формы порождают другие, переходят в новые формы, разветвляются на несколько новых форм. Например, хорошо работающий кружок может выступить организатором математического вечера или инициатором вы-

пуска математического листка, стенной газеты, рукописного журнала; математический пионерский сбор может породить организацию викторины, командного математического соревнования или кружка.

Многообразие форм внеклассных занятий не позволяет в пределах небольшой главы рассмотреть проблему во всей полноте. В дальнейшем ограничимся главным образом описанием тех мероприятий, которые дают возможность усилить интерес школьников к математическим знаниям и привить любовь к науке, представляют наибольшее значение с точки зрения политехнического обучения, способствуют воспитанию советского патриотизма.

3. Подготовка к организации внеклассных занятий

Если в школе внеклассные занятия по математике не проводились, то нет оснований ожидать, что инициатива в этом отношении будет принадлежать учащимся. Инициатором и организатором таких занятий, особенно в младших классах, является преподаватель: он в основных чертах намечает план внеклассных мероприятий и занятий на предстоящий учебный год, готовится к их проведению; он настойчиво и тактично подготавливает учащихся к осознанию полезности организации и проведения внеклассных мероприятий.

В целях такой подготовки прежде всего педагог может использовать урок по математике. Например, в V—VI классах почти на каждом уроке арифметики отводится время для занятий беглым устным счетом. Этот счет очень часто проводится в начале, а иногда в середине или в конце урока. Представим, что учитель в конце урока организовал беглый устный счет. За 5 минут до звонка он включает в эти занятия полезные для счета вопросы занимательной арифметики: угадывание задуманных учащимися чисел по итогам вычислений, угадывание результатов вычислений над произвольными задуманными учениками числами и другие увлекательные расчеты и вычисления. Опишем одну из таких пятиминуток. Учитель говорит: «Пусть каждый задумает про себя какое-либо двузначное число. Умножьте задуманное число на 3. К произведению прибавьте 19. К полученной сумме прибавьте еще 41. Результат разделите на 3. Отнимите задуманное число», [х, Зх, Зх+19, Зх-}-60, х+20,20]. Теперь учитель «угадывает», какой результат получился у одного и другого школьника.

Эффект и заинтересованность — полные. Удивительно и то, как учитель угадывает полученный результат; удивительно и то, что у всех получилось одно и то же число, а ведь были задуманы разные числа. Высказываются пожелания повторить «фокус»: ученикам хочется овладеть этим развлечением. Преподаватель охотно идет навстречу: выполняется еще пример, но в нем иной

порядок действий, иной числовой материал и иной результат. И вновь учитель безошибочно угадывает результат вычисления, и вновь этот результат у всех одинаковый... Звонок на перемену... Увлеченные ученики просят учителя «еще угадать», рассказать, как угадывать. Урок окончен. Класс остается под большим впечатлением последних минут урока.

На одном из следующих уроков занятия беглым устным счетом завершаются угадыванием задуманных учащимися чисел. Учитель говорит: «Задумайте целое число, не превышающее 20. Умножьте его само на себя. Прибавьте к результату удвоенное задуманное число; прибавьте еще единицу. Петя Иванов! Скажите, какое число вы получили, а я скажу, какое число вы задумали», [х, х\ х2+2ху х2+2х+1 = (х+1)2].

Петя называет число 144. Учитель незамедлительно сообщает, что Петя задумал число 11. Маруся Петрова получила 400. Учитель объявляет, что она задумала 19. Еще два-три угадывания и следующая задача: «Задумайте целое число, не превышающее 25. Умножьте его само на себя, отнимите от результата учетверенное задуманное число и к разности прибавьте 4». Вновь учитель отгадывает ряд задуманных чисел. Вновь учащиеся остаются под положительным впечатлением урока.

Так учитель продолжает и далее включать увлекательные пятиминутки в устный беглый счет. Он может и в письменные занятия внести полезные занимательные вычисления и интригующие задачи. А для заинтересовавшихся арифметикой предложить некоторые упражнения для занятий дома. Вот примеры таких упражнений: 1) записать число 7 с помощью пяти двоек; 2) записать 100 с помощью четырех девяток; 3) записать 1000 посредством пяти единиц; 4) начертить квадрат, содержащий девять клеток, и написать в клетках все числа от 11 до 19, чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и с угла на угол (по диагоналям) была равна 45.

Учитель легко подберет такие упражнения в существующей литературе по занимательной математике.

Проводя воспитательные часы, учитель, естественно, уделяет внимание выяснению значения наук в народном хозяйстве, их роли в социалистическом строительстве. Он кратко и красочно покажет и значение математики в современной технической культуре.

В другой раз учитель, проводя воспитательный час, расскажет, что проектирование гидроэлектростанций и каналов, заводов и фабрик, городов и поселков, железных дорог и метро, заводских и фабричных станков и шагающих экскаваторов, мощных паровозов и электровозов, самолетов и теплоходов начинается с разнообразных измерений, сложных расчетов, с составления многих чертежей. Претворение проектов в действительность также требует многих разнообразных измерений и вычислений, глубоких геометрических знаний, широкого применения математики.

Так постепенно и настойчиво педагог подготовляет в младших классах почву, чтобы поставить вопрос об организации и проведении внеклассных математических мероприятий, о создании соответствующих организаций, дающих возможность ближе и глубже познакомиться с математикой, ее применением в производстве и технике.

4. Пионерская организация и внеклассные занятия

Как свидетельствует практика, лучшие учителя математики с большим умением и тактом используют инициативу, активность и самодеятельность пионерской организации в борьбе за развитие интереса к математическим знаниям, за привитие любви к ним, за глубокие и прочные знания, за усиление начал политехнического обучения, за углубление коммунистического воспитания.

В этих целях в последние годы используются пионерские сборы. Пионерская организация очень часто охватывает почти всех учащихся V—VII классов. Значит, пионерские сборы являются массовыми мероприятиями. Это обязывает педагога и вожатого особенно вдумчиво и тщательно подготовиться к сбору, чтобы он дал максимальный педагогический эффект.

Сбор может быть посвящен математической теме; он может быть посвящен и иным темам, но в заключительной части его могут найти место увлекательные практические задачи, математические викторины, разнообразные вопросы из занимательной математики.

Темы математических пионерских сборов должны быть рассчитаны на учащихся V, VI или VII классов или в крайнем случае каких-либо двух параллельных классов. Основные темы по своим целевым установкам могут быть довольно разнообразны. Укажем некоторые из них.

Темы, посвященные пропаганде математических знаний:

1) Математика на службе социалистического строительства.

2) Математика на службе техники.

3) Как применяется геометрия на практике. Темы из истории математики:

1) Как люди учились считать.

2) Как люди постепенно дошли до арифметики целых чисел.

3) Абак и русские счеты.

4) Когда и как зародилась геометрия.

5) Когда и как возникла алгебра.

Темы из истории отечественной математики.

1) Арифметика у древних славян.

2) Математика у народов нашей родины в средние века.

3) Первый русский математик Л. Ф. Магницкий. Желательно проводить сборы в связи со знаменательными датами. Так, например, в феврале 1956 г. во многих школах успешно проходили сборы, посвященные великому математику

Н. И. Лобачевскому в связи со столетием со дня его смерти. Вместе с тем отмечалось 130 лет со дня рождения неевклидовой геометрии, которая получила название геометрии Лобачевского.

Требуется, чтобы каждый сбор был хорошо продуман и подготовлен, сообщения были краткими и яркими, чтобы они сопровождались, где возможно, демонстрациями, инсценировками, декламацией. Каждый сбор заканчивается математическими развлечениями, играми, веселой и занимательной математикой.

5. Кружок любителей арифметики

Опыт нашей средней школы свидетельствует, что математические кружки по своим задачам, тематике занятий весьма разнообразны. Начнем с одного из возможных кружков для младших классов.

Кружок любителей арифметики уместно организовать для учащихся VI и VII классов. Возраст учащихся этих классов не позволяет увлекаться большими докладами, поэтому работа в кружке строится так, чтобы сообщения были кратки, увлекательны, сопровождались демонстрациями, иллюстрациями, упражнениями. В кружке используются различные виды самостоятельной работы учащихся: решение интересных задач, вычисления на счетах, решение арифметических головоломок, исторических задач. Основная тематика черпается из арифметики, однако можно использовать и доступные вопросы из геометрии и алгебры.

Приводим примерный список тем, которые могут быть использованы на занятиях кружка любителей арифметики. Некоторые из тем могут применяться на нескольких занятиях кружка.

1) Как люди учились считать: развитие понятия о целом числе. Счет у наших предков — славян.

2) Абак. Русские счеты и вычисления с их помощью. (Расширение и углубление умений и навыков в выполнении действий на счетах.)

3) Различные системы счисления. Переходы от одной системы счисления к другой.

4) Счетные машины. Арифмометр и вычисления с его помощью.

5) Возникновение метрической системы мер. Метрическая система в СССР.

6) Исторические справки об умножении целых чисел. Некоторые приемы умножения целых чисел.

7) Исторические сведения о делении целых чисел.

8) Из истории математики народов нашей родины.

9) Из истории математики Китая.

10) Из истории математики Индии.

11) Простейшие приемы приближенных вычислений.

12) Некоторые исторические задачи по арифметике.

13) Некоторые типы арифметических задач, выходящие за пределы школьных программ.

14) Арифметические игры и задачи занимательной математики1.

6. Модельно-математический кружок

Потребность школьников в полезных практических делах значительна. Учащиеся любят труд, охотно включаются в процесс труда.

Преподаватель математики имеет возможность организовать кружок по изготовлению разнообразных полезных математических пособий. Такие кружки носят различные названия: «Юные моделисты», «Умелые руки». В практике автора такой кружок назывался модельно-математическим.

Кружок можно укомплектовать учащимися различных классов начиная с VII. Для начала деятельности кружка достаточно, если в нем примут участие 8—10 человек; руководить многочисленным кружком этого типа одному учителю трудно. Основным видом работы является элементарный ручной труд. Можно использовать и другие виды занятий: демонстрацию некоторых изготовленных пособий и их применения, выставки моделей и приборов, математические развлечения.

Чертежная и цветная бумага, тонкий картон являются удобным материалом для изготовления многих математических пособий. В нашей практике члены кружка изготовляли процентные транспортиры, служащие для составления секторных диаграмм; модели для демонстрации равновеликости многоугольников, предложений о вычислении площадей треугольника, параллелограмма, круга, которые используются при изучении начальных сведений по геометрии; многие модели разверток геометрических тел, модели разнообразных многогранников и некоторых круглых тел.

Значительный интерес учащихся вызывает изготовление моделей из стекла. Члены кружка могут изготовить многие виды многогранников, а также некоторые круглые тела. Для изображения высот, апофем тел применяются цветные шелковые нити, для изображения диагональных сечений — цветное стекло. Для

1 Литература: 1) Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, Гостехиздат, 1951; 2) В. Беллюстин, Как постепенно люди дошли до современной арифметики, Учпедгиз, 1940; 3) И. Депман, Из истории математики, Детгиз, 1950; 4) И. Депман, Меры и метрическая система, Детгиз, 1953; 5) Г. Н. Попов, Сборник исторических задач по элементарной математике, ОНТИ, 1938; 6) А. М. Воронец и Г. Н. Попов, Математические развлечения, Госиздат, 1928; 7) Я. И. Перельман, Занимательная арифметика, Огиз, 1934; 8) Я. И. Перельман, Живая математика, Гостехиздат, 1946; 9) В. Литцман, Великаны и карлики в мире чисел, ОНТИ, 1935; 10) Б. А. Кордемский и Н. В. Русалев, Удивительный квадрат, Гостехиздат, 1952; 11) Г. Н. Берман, Счет и число, Гостехиздат, 1952; 12) Г. Н. Берман, Приемы счета, Гостехиздат, 1953; 13) Б. А. Кордемский, Математическая смекалка, Гостехиздат, 1955.

работы по стеклу кружок должен располагать алмазом или его заменителем. Боковые поверхности цилиндра, усеченного конуса изготовляются соответственно из тонкой прозрачной бутылки и стеклянной колбы или воронки. Кривые поверхности разрезаются путем нагревания стекла по линии разреза и последующего быстрого охлаждения водой. Для склеивания стекла используются полоски глянцевитой цветной бумаги и канцелярский клей; еще лучше применить универсальный клей.

Прекрасным, но, к сожалению, дорогостоящим материалом для моделирования является органическое стекло. Органическое стекло легко обрабатывается: оно режется стальным ножом и затем ломается, режется ножницами, распиливается обыкновенной ножовкой, прокалывается раскаленным докрасна гвоздиком, в горячем виде легко деформируется, склеивается универсальным клеем.

Юноши охотно занимаются изготовлением пособий из проволоки и жести. Остовы многих многогранников, ряд моделей, демонстрирующих фигуры к теоремам о положении прямых и плоскостей в пространстве, модели к стереометрическим задачам на вычисление можно изготовить из этих материалов. Работа связана с паянием; необходимо иметь пару электрических или обычных паяльников. Модели окрашиваются масляной краской в 2—3 цвета с учетом методических интересов.

Члены кружка могут многое сделать и из дерева. В этом отношении заслуживает внимания изготовление простейших топографических приборов. Вехи, полевые циркули, различные виды эккеров, разнообразные высотомеры, эклиметры, астролябии, планшеты для глазомерной съемки, ватерпасы — все это могут сделать ученики при самом скромном столярном инструменте.

По воспитательно-образовательным соображениям при проектировании и изготовлении пособий уместно придерживаться следующего порядка: а) учитель знакомит ученика с намечаемым для изготовления пособием или путем беседы, или по книге; при этом выясняется назначение прибора или модели, возможности применения; б) затем ученик изготовляет необходимые чертежи, производит, если требуется, расчеты; на чертежах указываются размеры спроектированного пособия; в) ученик представляет проект преподавателю для одобрения; г) далее ученик подготовляет необходимый материал и оформляет пособие; д) наконец, сдает его руководителю кружка. Такой порядок проектирования и изготовления пособий имеет большое значение: ведь примерно так составляются проекты и воплощаются в жизнь в производстве, в строительстве. Такой порядок накладывает на ученика большую ответственность за качество изготовляемого пособия.

Приборы и модели, представляющие особый интерес для членов кружка, изучаются на особых собраниях кружка. Сообщение о конструкции пособия, о его значении делает ученик, изготовивший прибор или модель. В своем выступлении учитель от-

мечает качество сделанного пособия, его недостатки. Это позволяет в дальнейшем улучшать качество изготовляемых учениками пособий.

Организуемые кружком выставки пособий имеют воспитательное значение: выставка — общественный смотр деятельности всего кружка и каждого его члена. На выставку приглашаются учащиеся, родители и ученики других школ. На выставке члены кружка дают посетителям пояснения, демонстрируют пособия и разъясняют их назначение. Пионеры, отличившиеся в изготовлении моделей, представляются к награждению нагрудным значком «Юный техник»1.

7. Топографические кружки

Многие учителя проводят с учащимися топографические работы на местности в порядке учебных занятий. Однако это не мешает организации топографических кружков. Занятия учащихся в таких кружках позволяют более основательно познакомиться с интересными приложениями математики к решению практических вопросов. Работа кружков на местности может осуществляться или осенью — в сентябре — октябре, или весной — в апреле — мае. В зимнее время кружок может заниматься изучением отдельных вопросов топографии, решением топографических задач, работой над планами и картами, проектированием по планам.

Топографические кружки организуются и для VI—VII, и для старших классов. Приведем примерные планы занятий двух кружков.

План занятий кружка по горизонтальной мензульной съемке:

1) беседа на тему — устройство мензулы, принадлежности к ней, съемка земельного участка методом кругового визирования;

2) практическая работа на местности — съемка небольшого участка круговым визированием; 3) беседа — критический обзор планов предыдущей съемки; ознакомление со съемкой методом прямой засечки; 4) практическая работа — съемка небольшого участка способом прямой засечки; 5) практическая работа — съемка участка применением методов прямой засечки и кругового визирования; 6) беседа — съемка методом обхода; невязка периметра, пути ее ликвидации; 7) практические занятия — съемка небольшого земельного участка способом обхода; 8) практическая работа — съемка участка путем использования всех трех изученных методов; 9) отчетная выставка топографического

1 Литература: 1) П. Я. Дорф, Учебные пособия по математике в средней школе, Учпедгиз, 1955; 2) Журн. «Математика в школе», 1941, № 1; 1946, № 3 и 4; 1954, № 6 и др.; 3) Е. М. Больсен, Литература по наглядным пособиям, журн. «Математика в школе», 1955, № 3. (В статье содержится большой перечень книг и статей о наглядных пособиях.)

кружка; 10) решение с помощью мензулы трех задач — найти длину отрезка прямой на местности: а) концы которого доступны, а непосредственное измерение невозможно; б) один конец которого недоступен; в) который целиком недоступен; 11) вычисление по планам мензульной съемки площадей земельных участков; 12) проектирование по планам; применение мензулы в народнохозяйственных съемках.

Если первые восемь занятий кружка следует провести в осенний период, то последующие занятия могут быть организованы и зимой.

План занятий кружка по глазомерной съемке с изображением рельефа местности горизонталями: 1) беседа — понятие о горизонтальной съемке, съемка методами кругового визирования и прямой засечки, масштаб шагов; 2) практическое занятие — составление масштаба шагов каждым членом кружка, съемка участка способом прямой засечки и кругового визирования; 3) беседа — горизонтальная съемка участка способом обхода, маршрутная съемка; 4) практическая работа — горизонтальная маршрутная съемка с применением трех изученных методов; 5) беседа — способы изображения неровностей местности на планах и картах, понятие о горизонталях; 6) беседа — чтение планов, на которых рельеф местности изображен в горизонталях; изображение неровностей в горизонталях при глазомерной съемке; 7) практическая работа — глазомерная съемка земельного участка с резко выраженным рельефом; изображение последнего горизонталями; 8) практическая работа — маршрутная съемка с нанесением неровностей в горизонталях; 9) отчетная выставка топографического кружка.

Такой план можно реализовать в топографическом кружке IX класса в весенний период или в летние каникулы.

По образцу приведенных можно составить планы занятий других видов топографических кружков. В основу их могут быть положены работы, выполняемые с помощью отдельных типов топографических приборов, как это сделано в приведенных планах. В основу можно взять и такие занятия, которые выполняются различными приборами. Топографические кружки уместно организовать в летний период в пионерских лагерях1.

8. Кружок по истории математики

Факты из истории математики преподаватель сообщает на уроках. Однако урок ограничивает возможные экскурсы в область истории. Опыт школы показывает, что внеклассные занятия дают

1 Литература: 1) П. Я. Дорф и А. О. Румер, Измерения на местности, изд. АПН РСФСР, 1953; 2) В. В. Репьев, Практические работы по математике на местности, Горьковское книжное издательство, 1953; 3) М. А Знаменский, Измерительные работы на местности, Учпедгиз, 1956; 4) Б. Н. Белый, Литература по методике организации и проведения измерительных работ на местности, журн. «Математика в школе», 1956, № 3.

больше возможностей познакомить учащихся со многими фактами из истории математической науки. Для этого используются кружковые занятия, отдельные доклады и лекции, математические вечера, специальные историко-математические листки, рукописные журналы, монтажи, стенные математические газеты.

Большое значение в этом отношении имеют специальные кружки по истории математики. Деятельность таких кружков содействует расширению воспитательных и образовательных задач: формированию диалектико-материалистического мировоззрения, развитию советского патриотизма, преданности строительству коммунизма, лучшему пониманию значения математической науки.

Для старших классов можно организовать кружки по истории мировой математики, истории отечественной математической науки. Приведем примерную тематику.

1) Математика в средние века у народов Кавказа (армян, азербайджан).

2) Математика в средние века у народов Средней Азии (узбеков, таджиков).

3) Математика у наших предков — славян в X—XII веках.

4) Математические знания в России до XVIII века.

5) Школа «навигацких» наук. Л. Ф. Магницкий и его «Арифметика».

6) Организация Петербургской академии наук. Л. Эйлер.

7) Жизнь и деятельность Н. И. Лобачевского.

8) Геометрия Н. И. Лобачевского.

9) Жизнь и деятельность М. В. Остроградского.

10) Жизнь и деятельность П. Л. Чебышева.

11) Теория и практика в научной деятельности П. Л. Чебышева.

12) Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской.

13) Расцвет математики у народов Советского Союза.

14) Проблема Гольдбаха — Эйлера и ее решение академиком И. М. Виноградовым1.

1 Литература: 1) Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, Огиз, 1946; 2) В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1948; 3) В. Ф. Каган, Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке, Огиз, 1948; 4) Б. В. Гнеденко, Михаил Васильевич Остроградский, Гостехиздат, 1952; 5) В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — ученый и педагог, Учпедгиз, 1950; 6) Ф. П. Отрадных, Жизнь и творчество П. Л. Чебышева, изд. «Советская наука», 1953; 7) С. В. Ковалевская, Научные работы, изд. АН СССР, 1948; 8) А. В. Ланков, Из истории развития передовых идей в русской методике математики, Учпедгиз, 1951; 9) П. Я. Полубаринова-Кочина, Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской, изд. АН СССР; 10) И. Я. Штрайх, Алексей Николаевич Крылов, Воениздат, 1951; 11) А. П. Юшкевич, Математика и ее преподавание в России, журн. «Математика в школе», 1947, 1948, 1949, № 1 и 3; 12) Историко-математические исследования, выпуски I—IX, Гостехиздат; 13) В. Н. Молодший, Элементы истории математики в школе, Учпедгиз, 1953; 14) Л. Воронцова, Софья Ковалевская, изд. ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1957.

9. Математические стенные газеты и листки

Под умелым руководством учителя математические стенные газеты являются важным фактором, организующим и направляющим математическую жизнь школьников. Опыт показывает, что хорошо составленная и интересно оформленная газета в течение ряда дней привлекает многих читателей; нередко газета читается с тетрадкой и карандашом в руках. Газета будит и поддерживает интерес к математическим знаниям, дает материал для размышлений в часы досуга, выступает организатором школьных мероприятий — викторин, олимпиад, кружков, освещает жизнь школы. Газета направляет подготовку учащихся к городским или областным олимпиадам. Она отмечает замечательные события в математической жизни нашей родины.

Организаторами выпуска математических газет могут являться пионерские отряды, математические кружки, отдельные инициативные классы и даже группы учащихся — энтузиастов математических знаний. Каждый номер выходит при ближайшем участии учителя. Газета издается для учащихся определенных классов; это накладывает требования к подбору материала: он должен быть полезным, интересным и доступным для учащихся этих классов. Как правило, в газетах находят место задачи повышенной трудности, задачи занимательной математики, доступные для учащихся парадоксы, головоломки.

Мы отличаем от математических стенных газет стенные математические листки. Листок посвящается какой-либо одной существенно математической теме с целью сосредоточить внимание учащихся на этой теме, вскрыть ее более полно и глубоко, чем это можно сделать на уроке. Листок является своеобразным пособием по теме; он не отображает текущей жизни, а, значит, может использоваться при изучении соответствующих тем в течение ряда лет.

Приведем тематику статей и заметок листка, посвященного теореме Пифагора: 1) Из истории теоремы Пифагора (в статье показывается, что теорема была известна вавилонянам и египтянам задолго до Пифагора); 2) Пифагор и его школа; 3) Некоторые интересные доказательства теоремы Пифагора; 4) Применение теоремы Пифагора в практике (на конкретных задачах); 5) Исторические задачи, решаемые с помощью теоремы Пифагора; 6) Теорема Пифагора в занимательной математике; 7) Литература для учащихся о теореме Пифагора.

В математических листках могут освещаться многие существенные вопросы школьной математики. Укажем некоторые возможные темы для листков: 1) Целые числа (V—VI классы). 2) Рациональные числа (VI класс). 3) Уравнения 1-й степени с одним неизвестным (VII класс). 4) Действительные числа (VIII класс). 5) Тригонометрические функции острого угла на службе практики (VIII класс). 6) Приближенные вычисления

(VIII—IX классы). 7) Из истории тригонометрии (IX—X классы). 8) Тригонометрия на службе практики (X класс). 9) Из истории отечественной математики (IX—X классы). 10) Производная на службе других наук и техники (X класс).

10. Математические вечера

К числу эпизодических внеклассных мероприятий относятся математические вечера. Организаторами вечеров являются математические кружки, отдельные классы учащихся. В подготовке и проведении вечера активную помощь оказывает учителю школьная комсомольская организация.

Вечера посвящаются определенной теме из истории отечественной математики, жизни и деятельности крупнейших представителей математической науки. Например, в январе 1956 г. во многих школах г. Горького проведены вечера для учащихся старших классов, посвященные великому русскому математику Н. И. Лобачевскому в связи со 100-летием со дня его смерти и 130-летием неевклидовой геометрии. В первом отделении в небольших докладах излагалась жизнь и деятельность великого математика, в выступлении учителя вскрывались основные особенности неевклидовой геометрии Лобачевского. Наблюдения показывают, что это сообщение вызвало особый интерес учащихся. Во втором отделении учащиеся выступали с художественным чтением отрывков из воспоминаний о Лобачевском его современников, из романа И. Заботина «Лобачевский». К вечеру выпускались стенные математические листки, посвященные жизни и деятельности Н. И. Лобачевского, оформлялись стенды с фотографиями и высказываниями великого геометра, а также с высказываниями о нем. Были организованы выставки литературы о Н. И. Лобачевском1.

Могут быть организованы вечера, основные цели которых — показать великую культурно-историческую ценность математики, ее место и значение в системе наук, ее применение в технике и практике социалистического строительства. Например, на одном из таких вечеров для учащихся старших классов был сделан доклад на тему «Математическая наука». В докладе отмечено, что математика — одна из старейших наук: уже у народов, живших более 4000 лет тому назад между реками Тигром и Евфра-

1 Литература: 1) Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. Собрал и редактировал Л. Б. Модзалевский, изд. АН СССР, 1948; 2) П. С. Александров, Н. И. Лобачевский — великий русский математик, изд. «Молодая гвардия», 1946; 3) Большая советская энциклопедия, изд. 2, т. 25; 4) В. Ф. Каган, Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке, Гостехиздат, 1948; 5) В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1948; 6), В. И. Костин, Н. И. Лобачевский и его геометрия, Горьковское обл. изд-во, 1947; 7) И. Заботин, Лобачевский (роман), Таткнигоиздат, 1954.

том, она достигла значительного развития; что египтяне, китайцы, индийцы в седой древности владели многими математическими фактами. В докладе особо подчеркивается, что практика, производство, техника являются толкачами в развитии математики. Замечательных успехов достигла математика в древней Греции. Народы нашей родины внесли существенные вклады в развитие математических знаний. Сообщается о математической культуре армян, узбеков, таджиков в первое тысячелетие нашей эры. Наши предки — славяне проявили живой интерес к математике. Русский народ дал многих блестящих математиков. Великая Октябрьская социалистическая революция создает самые благоприятные условия для развития наук в СССР; в наши дни многие математические школы нашей родины не только догнали, но и перегнали буржуазную науку и занимают ведущее место в мировой науке.

Второе отделение было посвящено занимательной математике1.

Наблюдения показывают, что организуются вечера, целиком посвященные занимательной математике. Учащиеся VII—VIII классов с большим интересом принимают участие в постановке одноактовой пьесы в стихах «Математический съезд»; они охотно занимаются изготовлением костюмов, оформлением сцены и зала.

Нередко вечера заканчиваются математическими викторинами. Хорошо организованные викторины вызывают живой интерес многих учащихся2.

1 Литература: 1) М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире, Гостехиздат, 1941; 2) Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, Огиз, 1946; 3) А. П. Юшкевич, О математике народов Средней Азии в IX—XV вв., Историко-математические исследования, вып. IV, Гостехиздат, 1951; 4) И. Депман, Рассказы о математике, Детгиз, 1954; 5) И. Депман, Из истории математики, Детгиз, 1950; 6) В. Литцман, Веселое и занимательное в фигурах и числах, 1923; 7) Я. И. Перельман, Занимательная алгебра, Гостехиздат, 1949; 8) Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, Гостехиздат, 1951.

2 Литература по внеклассным занятиям: 1) «Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе». Сборник статей под редакцией П. В. Стратилатова, Учпедгиз, 1955; 2) В. Д. Чистяков, Математические вечера в средней школе, Учпедгиз, 1956; 3) Г. И. Линьков, Внеклассная работа по математике в средней школе, Учпедгиз, 1954; 4) А. А. Колосов, Внеклассная работа по математике, Учпедгиз, 1955; 5) Журн. «Математика в школе», 1951, № 4; 1953, № 5 и др.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора................. 3

Глава I.

Задачи и содержание методики преподавания математики

1. Предмет методики преподавания математики ... 5

2. Методика преподавания математики и педагогика . 6

3. Методика преподавания математики и математика . 7

4. Методика преподавания математики и другие науки . 8

5. Пути решения методических проблем...... 10

6. Из истории развития методики математики в России . 11

7. Деление методических дисциплин........ 13

Глава II.

Цели преподавания математики в советской средней школе

1. Задачи советской средней школы........ 14

2. Прочное усвоение основ математической науки — необходимое звено политехнического обучения ... 15

3. Привитие умений и навыков практического применения математики.............. 16

4. Формирование основ марксистско-ленинского мировоззрения .................. 18

5. Развитие логического мышления........ 19

6. Познание методов математики......... 21

7. Развитие творчества и пространственного воображения 22

8. Воспитание любви к Родине.......... 23

9. Другие цели обучения математике........ —

Глава III. Методика изучения математических понятий

1. Математические понятия.......... 26

2. Пути введения понятий при обучении...... 28

3. Определение через абстракцию......... 30

4. Поясняющие описания............ 31

5. Определения................ 33

6. О формировании некоторых понятий....... 37

7. Использование определений в доказательствах . . 38

8. Косвенное определение через аксиомы..... 39

9. Деление понятий.............. 40

Глава IV.

Дедукция и индукция в преподавании математики в школе

1. Взаимосвязь дедукции и индукции....... 43

2. Дедуктивный метод в математике....... 45

3. Дедуктивная система............ 46

4. Дедукция при обучении математике....... 48

5. Об изучении аксиом............ 50

6. Подходы к первым доказательствам...... 52

7. Неполная индукция и ее роль в развитии математики 57

8. Неполная индукция в творчестве математиков ... 59

9. Неполная индукция при обучении математике , . . 60

10. Полная индукция и ее роль в математике .... 64

11. Полная индукция в обучении математике .... 65

12. Аналогия в математике........... 67

13. Аналогия при обучении математике...... 69

Глава V.

Математическая индукция в школьном преподавании

1. Аксиома математической индукции....... 72

2. Подходы к введению аксиомы..... . . 73

3. Первые доказательства методом математической индукции................. 75

4. Метод математической индукции в X классе ... 78

Глава VI. Методика изучения теорем

1. Понятие теоремы. Простые и сложные теоремы . . 81

2. Виды простых теорем............ 82

3. Понятие теоремы в VI классе......... 83

4. Значение прямой и обратной теорем...... 85

5. Необходимый и достаточный признаки...... 86

6. Необходимый и достаточный признаки при обучении в школе................. 87

7. Теоремы, обратные по отношению сложных теорем . 90

8. Обращение по разделению.......... 91

9. Генетический метод при изложении теорем .... 93

10. Об изображении фигур........... 95

11. Правила доказательства теорем........ 97

12. О повторении теорем............ 100

Глава VII. Анализ и синтез при доказательстве теорем

1. Элементарный анализ и синтез........ 104

2. Синтетический метод при доказательстве теорем . . 105

3. Схема синтетического доказательства...... 108

4. Синтетический метод в преподавании ..... 109

5. Восходящий анализ............. 110

6. Схема аналитического доказательства...... 112

7. Значение восходящего анализа при обучении . . . 114

8. Нисходящий анализ............. 116

9. Схема нисходящего анализа и его значение в преподавании ................ 118

10. Доказательство приведением к нелепости .... 120

11. Доказательство противоречием при обучении ... 122

Глава VIII. Анализ и синтез при решении задач

1. Математическая задача............ 125

2. Синтетический метод решения задач и его схема . . 126

3. Значение синтетического метода в обучении . . . 127

4. Аналитический метод при решении задач..... 128

5. Схема аналитического метода. Примеры..... 130

6. Разновидности аналитического метода...... 133

7. О потере и приобретении решений....... 134

8. Арифметические задачи........... 135

9. Аналитический метод при решении задач на построение................. 138

10. Алгебраический анализ при решении задач .... 140

11. Геометрические задачи на вычисление...... 141

Глава IX. Методы обучения математике

1. Выбор методов обучения. Политехническое обучение и методы обучения............. 144

2. Школьная лекция.............. 145

3. Рассказ как метод обучения математике..... 148

4. Эвристическая беседа............ 149

5. Требования к системе вопросов........ 152

6. Особая форма эвристической беседы...... 154

7. Лабораторные работы по математике. Первый вид лабораторных работ............. 156

8. Второй вид лабораторных работ........ 159

9. Практические работы по математике...... 160

10. Математические экскурсии.......... 162

11. Упражнения................ 163

Глава X. Урок по математике

1. Урок — основная форма организации учебной работы 167

2. Подготовка к уроку и план урока....... 168

3. Изложение нового материала......... 170

4. Подготовка к заданию домашней работы..... 172

5. Проверка выполнения домашней работы..... 173

6. Устный учет знаний и навыков на уроке..... 175

7. Письменный учет знаний и навыков....... 178

Глава XI. Методика работы с учебными книгами

1. Значение и особенности работы над математической книгой.................. 181

2. Общие положения.............. 182

3. Приемы работы с задачником......... 183

4. Приемы работы с учебником в V—VII классах . . . 184

5. Приемы работы с учебником в VIII—X классах . . 186

6. Использование популярной математической литературы 187

Глава XII. Наглядность при обучении математике

1. Принцип наглядности при обучении математике . . 188

2. Основные положения применения наглядности . . 190

3. Математический кабинет........... 192

4. Демонстрационные и лабораторные приборы ... 193

5. Приборы конструктивного типа........ 196

6. Модели из органического стекла и других материалов 198

7. Стенные таблицы.............. 201

8. Оборудование кабинета............ 202

Глава XIII. Внеклассные занятия по математике

1. Значение внеклассных занятий........ . 205

2. Виды внеклассных занятий.......... 206

3. Подготовка к организации внеклассных занятий . . 207

4. Пионерская организация и внеклассные занятия . . 209

5. Кружок любителей арифметики........ 210

6. Модельно-математический кружок....... 211

7. Топографические кружки........... 213

8. Кружок по истории математики........ 214

9. Математические стенные газеты и листки.....216

10. Математические вечера............ 217

Василий Васильевич Репьев

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Редактор Н. И. Лепешкина Обложка художника Г. С. Богачева Художественный редактор А. В. Максаев Технический редактор М. И. Натапов Корректор М. В. Голубева

* * *

Сдано в набор 13/XII 1957 г. Подписано к печати 5/V 1958 г. 60X92Vi6 Печ. л. 14 Уч.-изд. л. 13,34.

Тираж 35 тыс. экз. А03947

* * *

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Типография изд. «Уральский рабочий», г. Свердловск, ул. имени Ленина, 49. Заказ № 367. Цена без переплета 4 руб., переплет 80 коп.