Репьев В. В. Методика тригонометрии. — М. : Учпедгиз, 1937. — 152 с. — Библиогр. с. 150—152.

В. В. РЕПЬЕВ

МЕТОДИКА ТРИГОНОМЕТРИИ

УЧПЕДГИЗ МОСКВА 1937

В. В. РЕПЬЕВ

МЕТОДИКА ТРИГОНОМЕТРИИ

УТВЕРЖДЕНО ВСЕСОЮЗНЫМ КОМИТЕТОМ ПО ДЕЛАМ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА ★ 1937

514 Р 41

Автор заботливо и со вниманием рассматривает в систематическом порядке все вопросы, относящиеся к преподаванию тригонометрии, критически разбирая различные методы и выбирая тот, который кажется автору наилучшим. Методические соображения автора правильны, предлагаемые приемы занятии и порядок их проведения продуманы. Хотя книга не выходит за рамки скромного разбора рядовых вопросов, однако она может принести существенную пользу преподавателю средней школы, в особенности недостаточно опытному.

Отв. редактор И. И. Вайсфельд Техн. редактор Г. Шапиро

Сдано в набор 9/VIII 1937 г. Подписано к печати 3/XI 1937 г.

Формат бумаги 60X92J/16 Бум. фабрики г Сокол*. Тираж 7000 экз.

Изд. листов 9,5. Бум. лист. 4,75. Авт. лист. 10,45. В 1 бум. листе 115^200 тип. зн.

Цена 1 руб. 55 коп., переплет 30 коп.

Учпедгиз № 9747 У—3. Заказ № 542. Уполн. Главлита ДГ° Б-31&06

17 ф-ка нац. книги ОГИЗ'а РСФСР треста «Полиграфкнига» Москва, Шлюзовая наб.,, д. № 10.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Предисловие............................... 4

Глава I. Исторический очерк развития тригонометрии......... 5

Глава II. Тригонометрия как научная дисциплина и как школьный предмет ............................13

Глава III. Оборудование учебных занятий по тригонометрии......21

Глава IV. Начальные сведения по тригонометрии. (Пропедевтика тригонометрии)...........................25

Глава V. Первые уроки по основному курсу тригонометрии...... 31

Глава VI. Радианное измерение.....................40

Глава VII. Тригонометрические функции углов от 0° до 360° и от 0° до — 360°............................43

Глава VIII. Периодичность тригонометрических функций их графики ... 55

Глава IX. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов . . 66

Глава X. Тригонометрические функции двойных и половинных углов . . 71

Глава XI. Преобразование тригонометрических многочленов в одночлены и обратно..........................75

Глава XII. Тригонометрические таблицы.................78

Глава XIII. Решение косоугольных треугольников............ 84

Глава XIV. Круговые функции......................104

Глава XV. Тригонометрические уравнения ..............119

Глава XVI. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач 144

Глава XVII. Тригонометрия в кружковой работе............148

Приложение. Литература по тригонометрии...............150

ПРЕДИСЛОВИЕ.

На русском языке чрезвычайно мало литературы по методике тригонометрии: она исчисляется несколькими журнальными статьями и брошюрами по отдельным вопросам преподавания тригонометрии. Книг, которые можно назвать курсами по методике тригонометрии, совершенно не имеется. Учет работы по тригонометрии в средней школе, занятия с учительством по повышению квалификации, работа со студентами педагогических институтов по методике математики показывают, что на современном этапе развития нашей средней школы потребность в методической литературе по тригонометрии весьма значительна.

Изложенное послужило причиной составления „Методики тригонометрии". В книге рассматриваются все основные вопросы преподавания тригонометрии, дается значительное число методических и дидактических указаний и советов учителю, а в иных случаях приводятся детали отдельных уроков. Книга предназначается для студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, готовящихся к учительской работе, и для учителей математики средней школы, ведущих преподавание тригонометрии и нуждающихся в повышении своей методической квалификации. Являясь первым опытом создания методики тригонометрии, книга не может претендовать на безупречность и непогрешимость,—автор будет благодарен за все критические замечания и указания.

Глава I.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ.

1. История тригонометрии показывает, что как ее возникновение, так и ее путь развития были обусловлены развитием производства и производственных отношений. История вскрывает и те практические проблемы, решение которых привело к рождению этой научной дисциплины и которые стимулировали ее дальнейшее развитие. В то же время изучение развития тригонометрии оказывает преподавателю помощь в правильном уяснении значения того или другого раздела этой дисциплины, его относительной ценности, а в иных случаях дает и указания на наиболее целесообразные методы изложения предмета в школе.

Учитель с большой выгодой для педагогического процесса может использовать исторические данные; экскурсы в историю тригонометрии укажут ту материальную базу, на которой как надстройка развивалась тригонометрия, подчеркнут техническое значение тригонометрии, дадут объяснения тем терминам, которыми она оперирует, расширят кругозор учащихся, знакомя их со смежными дисциплинами (астрономия, геодезия, сферическая тригонометрия). Эти же экскурсы способствуют поднятию интереса учащихся к изучаемому предмету.

К сожалению, в нашей учебно-методической литературе нет книг, дающих в краткой и популярной форме историю тригонометрии. Задачей этой главы является дать учителю в краткой, компактной форме тот материал по истории тригонометрии, который можно использовать в школе.

2. Колыбелью математики является древний Египет. Зародыши некоторых простейших способов изучения геометрических фигур, которыми пользуется тригонометрия, повидимому, также возникли в древнем Египте. При постройке пирамид или при определении их размеров египтяне, повидимому, пользовались отношением между половиной диагонали основания правильной четырехугольной пирамиды и ее боковым ребром; другими словами, они пользовались тем, что мы называем косинусом угла, образуемого ребром с плоскостью основания пирамиды.

Этот намек на наши тригонометрические отношения содержится в одном из древнейших математических документов, сохранившемся до наших дней, в папирусе Аамеса, написанном приблизительно за 1800 лет до начала нашей эры, причем в этом

папирусе имеется указание, что Аамес пользовался руководством, составленным около 3000 лет до нашей эры. Таким образом, намеки на наши тригонометрические величины как на отношения сторон прямоугольного треугольника очень древнего происхождения. Конечно, ничего, подобного нашей тригонометрической символике, у египтян не было и по состоянию математических знаний не могло и быть. Интересно отметить, что первые попытки использовать тригонометрические отношения базировались на прямоугольном треугольнике.

Имеются также сведения, что за 1800 лет до нашей эры вавилонские ученые предсказывали солнечные и лунные затмения, что возможно лишь при некоторых знаниях тригонометрии. До нас не дошло никаких документов, свидетельствующих о состоянии тригонометрических знаний вавилонян. Однако вавилоняне подготовили почву для развития тригонометрии в двух направлениях: во-первых, они делили окружность на 360 равных частей и таким образом подготовили используемое в наши дни градусное измерение углов; во-вторых, они разработали шестидесятиричную систему счисления, которая позднее перешла к грекам, а впоследствии и к другим европейским народам. Эта система использовалась позднее и тригонометрией; она сохранялась очень долго: ее следы встречаются даже в XVII веке нашей эры.

Начиная с VI века до начала нашей эры, на исторической арене появляются греки. К концу IV века геометрия достигает пышного развития. Около 300 года до начала нашей эры в Александрии жил знаменитый греческий геометр Эвклид. Его „Начала" являются замечательным трактатом, в котором он собрал геометрические знания своих предшественников, систематизировал их и, повидимому, дополнил. Эвклид кладет начало так называемой александрийской школе геометров, которая дала целый ряд талантливейших математиков древности. Пышный расцвет геометрии греков подготовил необходимые предпосылки для зарождения тригонометрии.

Основоположником тригонометрии является Гиппарх, один из выдающихся астрономов древнего мира1. Гиппарх составил таблицу хорд дуг, которая в то время играла такую же роль, какую играет в наше время таблица синусов дуг. К сожалению, таблица хорд Гиппарха утеряна и до нас не дошла; только по свидетельству других ученых мы узнаем, что эти таблицы были написаны в двенадцати книгах. Таким образом, Гиппарх является изобретателем той тригонометрии, которую можно назвать тригонометрией хорд. Его вычисления требовали знания тригонометрии как плоской, так и сферической (занимающейся решением треугольников, построенных на сферической поверхности).

После Гиппарха над тригонометрией работает другой великий астроном, Клавдий Птоломей, живший в Александрии

1 Гиппарх родился или в Никее (в Вифинии, в Малой Азии), или на острове Родосе, повидимому, в первой четверти II века до нашей эры. Период наиболее продуктивной научной деятельности его относится к середине II века.

около середины II века нашей эры. После Птоломея остался ряд трактатов, дошедших до нас. Его известность основана на большом астрономическом трактате под названием „Великое построение", которое арабы впоследствии назвали „Альмагест". Альмагест развит на трудах предшествующих астрономов, в особенности на трудах Гиппарха. В Альмагесте Птоломея дошла до нас таблица хорд, составленная через каждые полградуса от 0° до 180°. При составлении таблицы хорд Птоломей не только использовал предшествующие таблицы, но и усовершенствовал их, сделав свою таблицу более полной и более точной. Птоломей делит окружность на 360, а диаметр на 120 равных частей, а значит, радиус на 60 частей; каждую часть радиуса он делит также на 60 частей и каждую из этих частей — вновь на 60 частей. Таким образом, в основе деления лежит вавилонская шестидесятиричная система счисления. Метод вычисления хорд найден Птоломеем. Он установил теорему: „прямоугольник из диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равновелик сумме прямоугольников из противоположных сторон", известную в настоящее время в следующей редакции: „Произведение диагоналей вписанного выпуклого четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон его". Из этой теоремы Птоломей вывел другие две: о вычислении посредством хорд двух дуг, меньших полуокружности, хорды дуги, равной сумме и разности этих дуг, а также о вычислении по хорде дуги хорды половины этой дуги1.

Пользуясь этими теоремами, а также длинами сторон вписанного в круг квадрата и правильных вписанных в круг пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, Птоломей вычисляет хорды дуг от 0° до 180° с промежутками в полградуса.

В Альмагесте дается также ряд примеров, показывающих, как использовать таблицы хорд для решения плоских прямоугольных треугольников. Но астроном не может довольствоваться решением плоских треугольников; для астрономии нужны способы решения сферических треугольников. Птоломей в Альмагесте развивает зачатки сферической тригонометрии. Интересно отметить, что сферическая тригонометрия развита Птоломеем полнее, чем прямолинейная. Это объясняется тем, что тригонометрией занимались ради приложения ее к астрономии. Заметим, что у Птоломея впервые встречаются знаки для обозначения минут (') и секунд ("). Знак для обозначения градусов (°) появился позднее.

Таким образом, трудами Гиппарха и Птоломея были созданы основы новой дисциплины — тригонометрии. Основными причинами создания тригонометрии были требования развивающейся астрономии. Однако тригонометрия древних по сравнению с тригонометрией наших дней своеобразна; это своеобразие определя-

1 Изложение указанных трех теорем имеется в книге Фаццари „Краткая история математики" (1923). Первая и третья из них являются первыми по времени предшественницами той теоремы, которая известна в тригонометрии под названием „теоремы сложения".

ется, во-первых, тем, что греки рассматривали хорды,— их тригонометрия была тригонометрией хорд; во-вторых, в ней не было и следов современной нам тригонометрической символики-* в-третьих, она еще не выработала той терминологии, которой пользуется тригонометрия наших дней; в-четвертых, она является вспомогательной главой астрономии, а не самостоятельной математической дисциплиной.

3. В то время как греческая культура пришла в упадок и математическая мысль замерла, на историческую сцену в развитии математики выступает другой народ — индусы. Если греки занимались по преимуществу геометрией и достигли в ней замечательных результатов, то индусы работали главным образом над арифметикой и создали употребляемую нами десятичную нумерацию. Однако интерес индусов к счетным операциям позволил им усовершенствовать вычислительную геометрию: развитие тригонометрии получило у них значительные успехи. Начало расцвета математической мысли индусов относится примерно к IV веку нашей эры и достигает максимального развития в работах знаменитого математика и астронома Брамагупты, жившего в VII веке. К сожалению, ни один индусский трактат по тригонометрии не дошел до нас, а потому об их работе можно судить лишь по математическим работам их переводчиков и комментаторов.

Индусы делили окружность на 360 градусов, а градус на 60 минут. Из соотношения 2тгг = 21600 они определяли (полагая тг = 3,1416) радиус в минутах дуги; таким образом, радиус равен 3438 минутам. Квадрант они делили на 24 равные части (каждая часть, таким образом, содержала 3°45'). Такое деление окружности основано на астрономических соображениях. Индусы делили окружность, изображающую кажущуюся орбиту солнца, на 12 частей, а каждую из этих частей подразделяли на 8 частей; таким путем вся окружность делилась на 96 равных частей.

Индусы поняли, что для вычислений удобнее пользоваться не хордами, а полухордами, или синусами. Кроме синуса индусы рассматривали и другие функции дуги: косинус и синус-верзус, представляющий разность между радиусом и косинусом (sinus versusa = l—cos а в современных обозначениях). Таким образом, индусы расширили круг гониометрических функций.

Как составляли индусы таблицу синусов? Синус квадранта (четверти окружности) равен радиусу, или 3438. Теперь легко вычислить синус дуги в — квадранта: он равен половине радиуса, или 1719. Пользуясь тем, что синус и косинус для дуги в— квадранта равны между собой, по теореме Пифагора получили синус дуги в — квадранта. Зная синус дуги в — квадранта, вычисляли синус дуги в —квадранта, пользуясь теоремой Пифаго-

ра. Таким образом, в распоряжении индусов оказались синусы дуг в —, — и у квадранта.

Далее, пользуясь формулой siv2a = 2sin2a (в современных обозначениях), они последовательно вычисляли, исходя из синуса дуги в — квадранта, синус дуги в — квадранта, а затем и синус дуги в — квадранта, а исходя из синуса дуги в — квадранта, получали последовательно синус дуг в — , —, — квадранта. С помощью этих синусов, пользуясь косинусами дополнительных дуг и теоремой Пифагора, индусы вычисляли синусы дуг в и — квадранта, а затем синусы половины этих дуг. Таким путем получалась таблица синусов для дуг первого квадранта с промежутком в — квадранта. Бхаскара показывает, как составлять таблицу синусов с интервалами в—квадранта; он использует формулы сложения.

Для надобностей астрономии индусы решали прямоугольные треугольники как плоские, так и сферические. Косоугольные треугольники решались посредством разложения на прямоугольные треугольники.

Подводя итоги работе индусов в области тригонометрии, отметим, что, во-первых, вместо рассмотрения хорд они вводят полухорды, или синусы; во-вторых, они вводят новые функции дуги, косинус и синус-верзус, и, в-третьих, они с помощью этих новых функций указывают другие пути в составлении тригонометрических таблиц. Однако, как и у греков, тригонометрия индусов еще не оформилась в самостоятельную дисциплину: она продолжает оставаться вспомогательной главой астрономии, она еще не может получить свойственную ей символику.

4. В начале VII века видную историческую роль играли арабы, внесшие свою долю в развитие культуры и наук. Недавние кочевники, покорив Персию, Месопотамию, Сирию, Египет, государства северной Африки и Испанию, арабы быстро заимствовали культуру покоренных цивилизованных народов. Столица великого государства, Багдад, стала центром науки.

По хозяйственным причинам арабы особо интересовались астрономией и астрологией; вместе с тем они проявляли большой интерес к приобретению практических знаний. Из математических наук они занимались арифметикой, алгеброй и тригонометрией. Чтобы овладеть математической культурой, они переводят на арабский язык книги греческих астрономов и математиков; делаются переводы и с индусского языка. В области тригонометрии они прежде всего овладели теми знаниями, которыми располагали индусы. Индусская таблица синусов была переведена на арабский язык во второй половине VIII века.

Наиболее древним арабским трактатом по тригонометрии является трактат Аль Баттани1. В этом трактате Аль Баттани, как и индусы, пользуется не хордами, а полухордами, или синусами. Он начинает вводить алгебраические формулы. Аль Баттани впервые вводит котангенс. Для точного определения времени в то время употреблялись солнечные часы с гномоном. Расчеты, связанные с гномоном и его тенью, и вызвали появление котангенса. Если <р обозначает угол высоты солнца, h—высоту гномона, а — длину его горизонтальной тени (черт. 1), то из прямоугольного треугольника получаем:

Аль Баттани дает <р значения 1°, 2°, 3°,принимает h = 12 и составляет таблицу для вычисления а. Таким образом, здесь имеет место первый подход к котангенсу и дается первая таблица котангенсов.

В X веке Абуль Вафа делает новые шаги в развитии тригонометрии. Он дает способ построения таблиц синусов с промежутком в полградуса и с точностью до девятого десятичного знака и вводит тангенс и котангенс. Он также работал над гномоном и его тенью; но он вычислял длину тени, отбрасываемую горизонтальным гномоном на вертикальную плоскость (черт. 2). Если / — длина гномона, b — длина его тени, <р — высота солнца над горизонтом, то из прямоугольного треугольника имеем:

Длину I он принял равной 60. Таким образом, были составлены таблицы тангенсов.

Абуль Вафа дает следующее определение тангенсу, который у него фигурирует под названием „umbra" (что означает „тень"). Umbra дуги есть прямолинейный отрезок, проведенный из конца дуги параллельно синусу, в интервале между этим концом и прямой, идущей из центра круга к другому концу той же дуги. Таким образом umbra равна половине касательной двойной дуги,

Черт. 1.

Черт. 2.

1 Аль Баттани родился около 850 года. Он хорошо знал греческую астрономию и по справедливости считается самым знаменитым астрономом IX века. Аль Баттани уделял внимание математике, в частности тригонометрии, необходимой для астрономических занятий.

заключенной между двумя прямыми, проведенными из центра круга к тому и другому концу двойной дуги. Абуль Вафа вводит не только umbra (тангенс), но и umbra recta (котангенс) и diameter umbrae (секанс). Он указывает те соотношения, которые существуют между тригонометрическими функциями одной и той же дуги. Однако, большие достижения Абуль Вафа в развитии тригонометрии не были использованы последующими учеными и не имели влияния на развитие тригонометрии. Позднее вновь пришлось изобретать тангенс. Отметим, что около 1000 года у арабов встречается общая формулировка теоремы синусов как для плоских, так и для сферических треугольников.

В истории тригонометрии арабского периода надо отметить еще Гебера, жившего во второй половине XI века в Испании. Он написал трактат по астрономии, первая книга которого посвящена тригонометрии. У Гебера тригонометрия впервые выступает как самостоятельная дисциплина. Гебер дает доказательства теорем, которые излагает; он вводит новые приемы в доказательства теорем по сферической тригонометрии.

В Персии значительные успехи в области тригонометрии сделал Насир Эддин (1201—1274).

Как и Гебер, он разрабатывал тригонометрию как самостоятельную дисциплину. Насир Эддин пользовался теоремой синусов в решении косоугольных треугольников; но он не знал теоремы косинусов и для решения треугольника иногда разбивал его на два прямоугольных треугольника.

Подводя итоги развитию тригонометрии у арабов, отметим следующее: во-первых, они ввели новые тригонометрические функции— тангенс и котангенс — и составили для них таблицы; во-вторых, нашли способы составлять таблицы, значительно более точные, чем те, которые были до них; в-тоетьих, у них тригонометрия начинает приобретать самостоятельный характер; в-четвертых, они первые пользуются формулами, содержащими тригонометрические величины.

5. В дальнейшем развитие тригонометрии переходит в Европу. В первой половине XIV века впервые в Европе в тригонометрических вычислениях появляются тангенс и котангенс под названиями umbra recta и umbra versa; в это же время составляются таблицы синусов. К концу средних веков разработка проблем тригонометрии значительно вырастает. Георг Пейрбах (1423—1461), профессор Венского университета, вводит тригонометрию арабов и составляет новые обширные таблицы синусов. Его ученик Иоганн Мюллер1, известный под названием Региомонтана (1436— 1476), делает значительные шаги вперед в развитии тригонометрии.

Труды Региомонтана по тригонометрии имеют очень большое

1 Иоганн Мюллер родился в Кенигсберге, во Франконии. Он учился в Венском университете у Пейрбаха, жил в Италии, Германии, Венгрии. По универсальности знаний, по числу своих работ Мюллер-Региомонтан может считаться не только восстановителем наук в Европе, но и талантливым продолжателем их развития.

значение: он оформил тригонометрию как научную дисциплину и дал ей такое содержание, которое в главных чертах сохранилось до нашего времени. Региомонтан провел большую работу по составлению тригонометрических таблиц. Он первый составил таблицы синусов, пользуясь десятичной системой; таблицы были составлены через минуту; радиус принимался равным 107, что соответствует точности наших семизначных таблиц. Региомонтан составил таблицу тангенсов через градус. Как плоскую, так и сферическую тригонометрию Региомонтан обогатил новыми открытиями. В частности, формула

для решения треугольника по двум сторонам и углу между ними была найдена Региомонтаном и носит его имя. Региомонтан систематизирует задачи на решение треугольников. Тригонометрия была им изложена в труде „Пять книг о разного рода треугольниках", который был закончен около 1464 года. Однако эта работа не была опубликована при его жизни; она вышла в свет лишь в 1533 году и только с этого времени начала оказывать большое влияние на развитие тригонометрии.

Остается отметить еще только немногие факты. Гениальный астроном Николай Коперник (1473—1543) также занимался тригонометрией; он составил таблицу секансов. Величайший французский алгебраист Виета (1540—1603) систематически применял буквенную символику к тригонометрии; он создал гониометрию, дал тригонометрическое решение уравнения третьей степени. Но Виета еще не обладал современными удобными обозначениями тригонометрических функций. Создатель логарифмов шотландец Непер (1550—1617) дал таблицу логарифмов синусов первого квадранта через каждую минуту. Другой творец логарифмов Бригг (1556 —1630) составил логарифмы значений тригонометрических функций при основании 10.

6. Следует упомянуть о происхождении современных названий тригонометрических функций и их обозначений.

Профессор Кэджори в книге „История элементарной математики" так объясняет происхождение названия „sinus", которое известно на Западе с XII века.

„Полная хорда AB называлась у браминов джйа, или джива; эти слова означали также тетиву охотничьего лука. Для АС, или половины хорды, они употребляли слова джйардха, или ардхаджйа; для краткости пользовались также названиями полной хорды. Интересно проследить историю этих слов. В арабской транскрипции джива писалась джиба. Вместо этого слова арабы стали употреблять слово джайб, писавшееся почти так же и означавшее „пазуха". Это слово, в свою очередь, было переведено на латинский язык словом „sinus".

Термин „cosinus" введен около 1600 года Гентером как сокращенное название „complement sinus", или „со sinus", что значит „дополнительный синус", или синус дополнительной дуги. Этот термин вошел в употребление с XVII века. Термин „tangens" означает „касательная", a „secans"—„секущая". Эти термины введены Финком в XVI веке, а в общее употребление вошли в XVII веке; в том же веке вводятся термины „cotangens" и „cosecans".

Тригонометрия — составное греческое слово: „xptvcDvov" (треугольник) и „p-sxpsiv" (измерять); как видно, оно обозначает „измерение треугольника". Первым употребил это название немецкий математик Питиск в сочинении „Тригонометрия, или измерение треугольников" в 1600 году. Заметим, что эта книга является, повидимому, первым учебником по тригонометрии.

Замечательно плодотворная мысль ввести символы sin, cos, tg и т. д. как знаки трансцендентных операций над переменными величинами принадлежит Иоанну Бернулли (1667—1748). Уже в 1694 году Бернулли пользуется сокращенным обозначением синуса; но символы Бернулли еще не были похожи на современные символы тригонометрии. Введение символов позволило петербургскому академику Фридриху Христиану Майеру в 1727 готу положить основания аналитической тригонометрии, позволяющей включить тригонометрические функции вместе с другими элементарными функциями в общую систему математического анализа. Однако успехи Майера в этом направлении являются только началом преобразования тригонометрии в аналитическую форму. Закончил это дело знаменитый математик Леонард Эйлер (1707—1783)1. Эйлер окончательно закрепил ту символику, которой пользуются в тригонометрии в наши дни; он же первый составил полную аналитическую теорию тригонометрических функций.

Заканчивая краткий исторический очерк развития тригонометрии, отметим, что эта дисциплина, рожденная из потребностей астрономии и геодезии, долгое время являлась вспомогательной главой астрономии. Систематически развитое изложение тригонометрии было дано довольно поздно — во второй половине XI века, а на язык математических символов в их современном виде тригонометрия переведена только в XVIII веке. Такое позднее оформление тригонометрии как особой геометрической дисциплины привело к тому, что она поздно стала включаться в программу школ (в начале XIX века).

Глава II.

ТРИГОНОМЕТРИЯ КАК НАУЧНАЯ ДИСЦИПЛИНА И КАК ШКОЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ.

7. Каждый учебный предмет определяется развитием и современным состоянием соответствующей научной дисциплины.

1 Эйлер родился в Базеле и работал в качестве академика в Петербурге и Берлине. Он сделал громадные вклады во многие отрасли математики.

В соответствии с этим встают следующие вопросы о тригонометрии1: что такое тригонометрия как научная дисциплина? каковы характерные признаки, выделяющие ее из ряда других математических дисциплин? Эти вопросы представляют существенный интерес, так как они определяют положение тригонометрии в курсе средней школы, от них в известной степени зависят построение программы и характер изложения предмета. Эти вопросы не имеют единодушных ответов в методической литературе. Можно констатировать весьма различные взгляды на тригонометрию как научную дисциплину.

В методической литературе встречается взгляд, что тригонометрии как особой научной дисциплины не существует. Представителем этого взгляда является Дж. В. А. Юнг. В книге „Как преподавать математику?" он пишет: „Тригонометрию обыкновенно рассматривают и преподают как отдельный предмет, но если бы мы попробовали отыскать ей одной присущие характерные черты, то нам не удалось бы отыскать ясно очерченной центральной идеи, которая могла бы придать предмету его индивидуальность. Арифметика имеет дело с понятием числа, алгебра — с обобщенным понятием числа, геометрия — с понятием пространства и относящимися к этой области проблемами..." „Какова же соответственная определенная характеристика тригонометрии? Будет ли такой характерной идеей изучение тригонометрических отношений, т. е. отношений между сторонами прямоугольного треугольника? Но ведь это — глава геометрии; на них лежит печать геометрии, и ничто не может препятствовать отнесению их к курсу геометрии. Быть может, это будет решение треугольников, как это показывает само наименование предмета? Но ведь решение треугольников есть не что иное, как продолжение и приложение учения о тригонометрических отношениях и, таким образом, оно также относится к области геометрии. Будут ли это преобразование формул и решение уравнений, содержащих тригонометрические отношения? Но ведь это — вопросы характера существенно алгебраического..."2.

И далее Юнг утверждает, что даже прямой и естественной связи между частями материала, изучаемого под названием .тригонометрия", не существует, что тригонометрия распадается на ряд отдельных частей, связь между которыми незначительна, что таких отдельных частей можно насчитать восемь.

Существенно отличного взгляда держатся те, которые определяют тригонометрию как учение об особых функциях, называемых тригонометрическими (гониометрическими), выделяя таким образом тригонометрию в особую научную дисциплину. Весьма широкое и разнообразное использование тригонометри-

1 Во избежание недоразумений оговоримся, что в дальнейшем будем говорить о плоской, или прямолинейной, тригонометрии, не затрагивая сферической тригонометрии. Но ради краткости будем употреблять термин „тригонометрия", отбрасывая слово „плоская".

2 Дж В. А. Юнг, Как преподавать математику, перевод с английского, 1923 г., стр. 214.

ческих функций в геометрии, в сферической тригонометрии, в механике, в физике и в других дисциплинах, использование их как орудия для изучения других периодических функций отнюдь не идет в разрез с этим взглядом на тригонометрию как на особую научную дисциплину. Наоборот, именно эти разнообразные применения тригонометрии в других научных и прикладных дисциплинах еще больше утверждают значимость тригонометрических функций, а вместе с тем значимость и самого учения об этих функциях. Меньше всего, конечно, играет какую-нибудь роль при решении вопроса о том, является ли тригонометрия самостоятельной научной дисциплиной, тот факт, что тригонометрические функции имеют геометрическое происхождение.

Некоторые авторы даже отказываются от самого названия „тригонометрические функции", напоминающего об их происхождении из треугольника, и предлагают заменить его термином „гониометрические функции". Ф. Клейн пишет, что термин „гониометрические функции" предпочтителен термину „тригонометрические функции" по той причине, что учение о треугольниках представляет только частное применение этих функций, играющих в высшей степени важную роль во всех отраслях математики1.

8. Все изложенное позволяет сделать несколько выводов о тригонометрии как учебном предмете. Как расценить и как отнестись к тенденциям уничтожить тригонометрию как самостоятельный учебный предмет, растворить ее в других математических учебных предметах, в частности, в геометрии? То положение, какое занимает тригонометрия как научная дисциплина среди других математических наук, побуждает признать неправильными попытки уничтожения тригонометрии как самостоятельного предмета. Действующие в настоящее время программы средней школы по математике, учитывая положение, что школа должна вооружить учащихся основами наук, выделяют тригонометрию в самостоятельную учебную дисциплину. Такое положение является единственно правильным, оно согласуется с общим положением и развитием тригонометрии.

Учение о тригонометрических функциях — гониометрия — на современном этапе развития тригонометрии является для нее основным объектом изучения. Это накладывает требование и на курс тригонометрии средней школы: он должен уделить большое внимание изучению гониометрических функций. Такое положение правильно учитывается программой: в основу построения курса тригонометрии кладется учение о гониометрических функциях.

Однако это учение явилось бы для учащихся на первых порах крайне абстрактным материалом, а без применения к решению треугольников не могло бы быть использовано ими в практических и политехнических целях. Для большей конкретности учения о гониометрических функциях, для придания всему курсу триго-

1 Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, 1933 г., стр. 244,

нометрии практической и политехнической ориентации следует возможно ранее использовать эти функции в решении прямоугольных и косоугольных треугольников. Программы нашей школы учитывают также и это положение: уже в 8-м классе они вводят решение прямоугольных треугольников и другие вычислительные задачи, решаемые с помощью тригонометрических таблиц.

9. Каждая научная дисциплина создает свои понятия, определяет их сообразно со своими целевыми установками, развивает их в связи с общим развитием дисциплины. Совокупность этих основных понятий, их определение, их дальнейшее развитие является интереснейшим фактом и с точки зрения методики. Такими основными понятиями являются в интересующей нас дисциплине тригонометрические функции. Какими путями вводятся эти понятия в тригонометрию? Научная и учебная литература пользуется в основном двумя существенно различными путями введения основных понятий.

Первый путь состоит в том, что вводится так называемый тригонометрический круг с началом и дополнительным началом отсчета дуг, с начальным и дополнительным диаметрами, с начальной и дополнительной касательными и с подвижным радиусом. Затем определяются шесть тригонометрических линий и, наконец, тригонометрические величины. А в дальнейшем все учение о тригонометрических функциях строится в более или менее тесной зависимости от тригонометрического круга и его элементов1. Описанный путь введения и развития тригонометрических функций в научной и учебной литературе является наиболее ранним, наиболее распространенным.

Второе направление в определении и развитии тригонометрических понятий базируется на понятии вектора и на некоторых теоремах о векторах2. В этом случае начало курса тригонометрии развивается примерно так: понятие о векторе, равенство векторов, алгебраическое значение или величина вектора, отнесенного к некоторой оси; последовательные векторы, замыкающий вектор, геометрическая сумма векторов; теорема Шаля-Мебиуса; проекция вектора на ось; проекция геометрической суммы нескольких векторов на ось. Затем дается расширение понятия об угле и дуге, и, наконец, определяются тригонометрические величины. Приведем примерные определения функций.

Величина, выражающая отношение проекции радиуса-вектора на ось Y к самому радиусу-вектору, называется синусом угла наклона радиуса-вектора к оси X.

Величина, выражающая отношение проекции радиуса-вектора на ось X к самому радиусу-вектору, называется косинусом угла.

Величина, выражающая отношение проекции радиуса-вектора на ось Y к проекции его на ось X, называется тангенсом угла.

1 Примером классического направления в определении гониометрических функций и развитии учения о них является „Тригонометрия" I. Serret, а из учебной литературы — „Учебник прямолинейной тригонометрии" Н. Рыбкина.

2 Примером векторного направления в определении гониометрических функций является „Тригонометрия" Б. Б. Пиотровского.

Котангенс, секанс и косеканс определяются как величины обратные соответственно тангенсу, косинусу и синусу.

Конечно, векторное направление тригонометрии кладет существенный отпечаток на целый ряд основных деталей курса, придавая ему специфические особенности, интересные и с научной и с методической стороны.

В литературе наблюдается некоторая разновидность второго пути. Особенности этой разновидности заключаются в том, что вводится прежде всего понятие о декартовых координатах точки на плоскости, некоторые простейшие задачи на точку, в частности, задача о расстоянии точки от начала координат, а затем вводится определение тригонометрических функций с помощью координат точки и расстояния ее от начала1. Приведем определения тригонометрических величин.

Величина, выражающая отношение ординаты конца дуги к радиусу круга, называется синусом дуги или соответствующего центрального угла

Величина, выражающая отношение абсциссы конца дуги к радиусу круга, называется косинусом дуги или соответствующего центрального угла

Величина, выражающая отношение ординаты конца дуги к его абсциссе, называется тангенсом дуги или угла

Котангенс, секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно тангенсу, косинусу и синусу.

10. Обратимся к сравнительной оценке двух основных разбираемых направлений.

1) Первый путь изложения пользуется особым, довольно искусственно вводимым тригонометрическим кругом со всеми характерными для него линиями. Этот круг используется в тригонометрии и нигде в других дисциплинах не встречается.

Некоторая искусственность в самом определении и развитии понятий тригонометрических величин является недостатком такого пути изложения. Второе направление избавляет от введения искусственных тригонометрических линий, но взамен этого вводятся понятие вектора и начальные положения векторной алгебры. В таком изложении культивируется очень важное понятие вектора, имеющее громадное значение в математике, физике и других прикладных математических дисциплинах. В этом бесспооное преимущество векторного изложения.

2) При первом способе изложения требуются особые условия о знаке каждой тригонометрической величины. При втором способе изложения знаки функций являются следствием основных соглашений относительно положительного и отрицательного на-

1 Представителем этого направления является Г. Гессенберг, „Тригонометрия на плоскости".

правлений координатных осей и не нуждаются в дополнительных условиях и соглашениях.

3) Некоторая искусственность в определении тригонометрических величин при первом способе изложения накладывает отпечаток искусственности применения их в физике, механике, астрономии и геометрии. Второй способ изложения дает более естественное и более простое приложение в перечисленных научных дисциплинах, что обусловливается широким использованием понятия вектора этими науками.

4) При первом способе изложения ряд доказательств осложняется необходимостью обобщения для дуг в различных квадрантах. Второй способ изложения сокращает эти доказательства, так как они справедливы для произвольных дуг и не нуждаются в обобщениях.

Как видно, с точки зрения научной, второй способ изложения имеет некоторое преимущество перед первым.

Обратимся теперь к методической стороне того и другого способа.

1) Второй способ, несмотря на большую естественность и большую общность введения понятий тригонометрических функций, отличается (как раз благодаря этой общности) меньшей наглядностью и при дальнейшем изложении тригонометрии вызывает порой затруднения у непривыкших к абстрактному мышлению.

Первый способ вводит тригонометрический круг со своеобразно координируемыми тригонометрическими линиями, а это является для начинающих полезной, наглядной опорой.

2) В векторном изложении большая легкость и большая общность доказательств порой затрудняют глубоко осмыслить сущность новых положений и теорем.

В классическом изложении при наличии большей наглядности в ряде доказательств приходится дольше фиксировать внимание на сущности теорем, а это имеет за собой ряд положительных сторон: доказательство изучается глубже, сущность теоремы вскрывается для начинающего полнее, результаты изучения получаются лучшие.

3) Векторное изложение благодаря большей общности не нуждается в концентричности расположения материала.

В классическом изложении эта концентричность естественно подсказывается самым ходом развития понятий, а эта концентричность при умелом использовании ее нужна и ценна.

Резюмируя все сказанное относительно двух основных направлений в развитии курса тригонометрии, отметим, что классическое направление, несмотря на некоторую искусственность, отличается большей наглядностью, большей координацией элементов, входящих в определение тригонометрических функций, большей возможностью полнее систематизировать расширение тригонометрических понятий, а в силу этого заслуживает предпочтения перед векторным изложением при первоначальном изучении тригонометрии, с чем мы имеем дело в нашей средней школе.

Векторное изложение, отличающееся большей общностью своих первоначальных понятий, а наряду с этим большей абстрактностью, большей подвижностью и быстротой в развитии понятий, пригодно для аудитории, достаточно развитой, что может иметь место в повторных курсах, при которых необходимо возобновить, расширить и углубить знания по тригонометрии.

11. Кроме двух приведенных выше основных направлений в развитии понятий тригонометрических функций, в научной и учебной литературе находит место еще один способ введения тригонометрических функций — из прямоугольного треугольника. В этом случае тригонометрические функции определяются следующем образом:

Синусом угла называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе.

Косинусом угла называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Тангенсом угла называется отношение катета, противолежащего этому углу, к другому катету.

Котангенсом угла называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к другому катету.

Секанс и косеканс могут быть определены как отношения, обратные соответственно отношениям косинуса и синуса.

С научной точки зрения такой способ введения тригонометрических функций не может встретить возражений. Вебер и Якобсталь в „Энциклопедии элементарной математики" (т. II) вводят тригонометрические функции, используя прямоугольный треугольник. Авторы справедливо отмечают, что значение этих функций проще всего выясняется на прямоугольном треугольнике. Однако такое определение тригонометрических функций является слишком узким, стесняющим дальнейшее развитие научной дисциплины, не удовлетворяющим тем запросам и требованиям, которые предъявляют тригонометрии другие научные дисциплины и практические проблемы. В силу этой узости и ограниченности определений они являются недостаточными, а поэтому обычно вслед за ними вводятся более широкие определения, с более мощной амплитудой в области их применения. Так поступают Вебер и Якобсталь в „Энциклопедии элементарной математики": вслед за определением тригонометрических функций из прямоугольного треугольника они вводят определения, исходя из тригонометрического круга.

12. Каковы же методические особенности введения тригонометрических функций с помощью прямоугольного треугольника?

1) Прежде рассмотренные нами пути развития понятий о тригонометрических функциях требуют введения некоторых предварительных понятий — тригонометрического круга с его линиями, вектора с его проекциями, а поэтому всегда являются для учащихся довольно искусственными; эта искусственность еще более усиливается при определении функций. Определение тригонометрических функций из прямоугольного треугольника обходится без этих предварительных понятий, поэтому оно является

для учащихся более простым и естественным: искусственность сосредоточена не в предварительных подготовительных понятиях, а только в определении функций. Таким образом прямоугольный треугольник дает более простые, легче усваиваемые определения тригонометрических функций.

2) Определение тригонометрических функций из прямоугольного треугольника является, как уже отмечалось, очень узким, недостаточным для дальнейшего развития учения об этих функциях. При обычном для средней школы курсе тригонометрии рано или поздно придется стать перед необходимостью расширить понятия функций, дать им другие, более общие определения. Таким образом, в случае использования прямоугольного треугольника нельзя избежать двукратного определения понятий, что в некоторых конкретных условиях может натолкнуться на неудобства и затруднения.

3) Первые два выше рассмотренных направления в развитии понятия тригонометрических функций на долгий срок оттягивают применение этих функций к решению прямоугольных треугольников. Например, в первом случае изложения надо дать понятие о тригонометрическом круге, о связанных с ним тригонометрических линиях, по крайней мере, для угла первого квадранта, далее — о тригонометрических функциях, их изменении при изменении угла от 0° до 90°, об их независимости от радиуса круга; надо научить строить угол, соответствующий данному значению функции, установить зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла и дать соответствующие навыки в решении примеров на определение тригонометрических величин по одной из них, — только тогда возможно перейти к установлению зависимости между сторонами и тригонометрическими функциями углов в прямоугольном треугольнике с последующим решением треугольников. Решение же прямоугольных треугольников является первым материалом, на котором вскрывается практическая ценность тригонометрических функций. Таким образом выяснение полезности, а значит, и целесообразности введения этих функций при первом способе изложения тригонометрии (а равно и при втором) откладывается на долгий срок.

Не так обстоит дело в случае использования прямоугольного треугольника. Тригонометрические величины, полученные как отношения сторон прямоугольного треугольника, быстро, просто и естественно позволяют установить формулы для решения прямоугольного треугольника, а значит, и вскрыть перед учащимися целесообразность изучения тригонометрии. В этом заключается бесспорное преимущество введения тригонометрических функций из прямоугольного треугольника. Ознакомление с понятиями тригонометрических функций из прямоугольного треугольника с последующим решением прямоугольных треугольников с помощью натуральных таблиц тригонометрических функций в силу изложенного может быть названо введением в тригонометрию, пропедевтикой тригонометрии.

При каких же условиях целесообразно использовать пропедевтику тригонометрии? В условиях средней школы, когда на весь курс тригонометрии отводится довольно значительное время, есть смысл ввести пропедевтику: она позволит самым простым способом познакомить учащихся с тригонометрическими величинами, даст возможность примерить их к решению прямоугольного треугольника, позволит вскрыть перед учащимися громадное политехническое значение этих функций и их приложений в физике и геометрии.

Обычно преподавателя математики смущают в этом пропедевтическом курсе два обстоятельства: неизбежная двойственность определений и затрата большого количества часов. Наблюдения за работой школ показывают, что при правильном развертывании пропедевтического и затем основного курса тригонометрии, при достаточном интервале между ними эта двойственность определений не вызывает затруднений. Излишняя же затрата времени есть явление кажущееся, а не реальное, что каждый преподаватель математики может легко проверить, тщательно составив планы по обоим вариантам прохождения, тригонометрии.

Однако если на курс тригонометрии отводится небольшое количество часов, то прохождение пропедевтики тригонометрии с последующим основным курсом вряд ли может быть признано целесообразным. Общая сжатость курса необходимо вызовет сжатость пропедевтической части и быстрого перехода к новым определениям функций, а это может вызвать путаницу у учащихся. Таким образом, при сжатом сроке от пропедевтики надо отказаться.

Глава III.

ОБОРУДОВАНИЕ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ.

13. Надо иметь в виду, что рационально подобранное и используемое оборудование учебных занятий по тригонометрии позволяет поднять качество учебной работы: повышает интерес к ней со стороны учащихся, повышает ее продуктивность, способствует правильному и прочному усвоению знаний и навыков по применению этих знаний.

При оборудовании учебных занятий целесообразно руководствоваться следующими положениями:

а) Приборы и другие пособия должны подбираться так, чтобы они могли служить удобными объектами для наблюдения и давали возможность развертывать теорию, чтобы они позволяли полнее и глубже реализовать последующее применение теории к практике.

б) Соответствующий этим требованиям подбор учебного инвентаря является задачей ответственной и важной, но не менее ответственной и важной является другая задача — правильно, педагогически целесообразно использовать этот инвентарь.

в) Если прибор предназначается для демонстраций, он должен быть достаточно больших размеров, хорошо оформлен. Если прибор предназначается для лабораторных работ, он должен быть небольших размеров, прост по конструкции; такие приборы школа должна приобретать в количестве, достаточном для обслуживания всех учащихся, одновременно занимающихся.

14. Перейдем теперь к описанию того инвентаря, который полезен при преподавании тригонометрии; при этом отметим, что часть пособий, которые используются при изучении геометрии, нужна и при изучении тригонометрии. Начнем с перечисления этой части пособий.

1) Каждый учащийся должен иметь набор чертежных приборов: линейку с миллиметровыми делениями, треугольник, циркуль и транспортир.

2) Надо иметь один-два набора чертежных приборов перечисленной выше номенклатуры для работы на доске.

3) Полезно иметь особую доску с координатной сеткой; координатная сетка может быть нанесена и на части классной доски.

4) Можно хорошо и интересно использовать некоторые геодезические приборы: эклиметр, астролябию школьного типа, теодолит, а в месте с ними — вехи, рулетки. Каждый из указанных геодезических приборов надо иметь в количестве пяти шести экземпляров, а вех — около 20 штук (в расчете на класс в 30—35 человек).

15. Теперь обратимся к пособиям, предназначенным специально для тригонометрии. Этот специальный инвентарь можно подразделить на три основных типа: а) демонстрационные модели; б) лабораторные модели; в) стенные тригонометрические таблицы.

I. Тригонометрия уделяет большое внимание развитию понятия угла и дуги. Она вводит углы от 0° до 360°, от 0° до —350° и, наконец, углы любой величины. Хорошим наглядным демонстрационным пособием может служить .универсальная модель круга". Заимствуем описание ее из брошюры П. А. Карасева „Учебно-наглядные пособия по математике и методика работы с ними в средней школе" (1933).

Берется доска из фанеры размером 80 X 80 X 5 см. Лицевая сторона доски оклеивается миллиметровой бумагой с темной редкой сеткой. На ней вычерчивается тушью окружность, внешний диаметр которой 60 см; ширина линии 2 мм. Окружность разделена на градусы; через каждые 10° поставлены числа: 0°, 10°, 20° и т. д., через каждые 5° по окружности набиты гвоздики без головок, выдающиеся над доской. К доске прилагаются резиновые шнурки толщиной 1 и 1,5 мм. В крайнем случае можно использовать обыкновенную резинку шириной в 4—5 мм, употребляемую в швейном деле. Такую обмотанную резинку следует выкрасить красными, фиолетовыми или зелеными чернилами.

Эта модель с достаточным педагогическим эффектом может быть использована при обобщении понятия угла: можно продемонстрировать образование угла подвижным лучом-радиусом и показать углы от 0° до 360° и от 0° до—3(50°, а также показать образование углов любой величины. Модель может быть использована для демонстрации тригонометрических линий, для показа их изменений в зависимости от изменений угла и для вычисления значений функций. Начальный и дополнительный диаметры, начальную и дополнительную касательные показывают с помощью натянутых шнуров. Шнур, связанный кольцом, позволяет продемонстрировать: а) линии синуса и косинуса, б) линии тангенса и секанса, в) линии котангенса и косеканса. Можно показывать изменение этих линий и вычислять значения функций для того или другого угла (точность незначительная).

II. В практике школ иногда встречается модель, являющаяся приспособлением „универсальной модели круга" к нуждам тригонометрии. На листе фанеры размером 80 X 80 X 5 см, обшитом по краям тесовой рамкой и оклеенном миллиметровой бумагой, наносится совершенно так же, как в .универсальной модели круга", окружность и набиваются гвоздики. Затем вычерчиваются по соответствующим линиям миллиметровой бумаги начальный и дополнительный диаметры и оси тангенсов и котангенсов. На диаметрах тоже набивают гвоздики, но таким образом, чтобы они являлись проекциями гвоздиков по окружности. При таком расположении гвоздиков резиновый шнур, связанный концами и натянутый между соответствующими гвоздиками (в центре, на окружности и на начальном диаметре), изобразит подвижной радиус, линии синуса и косинуса. На линиях начальной и дополнительной касательных набиваются гвоздики таким образом, чтобы они лежали на лучах, проходящих через центр и через гвоздики на окружности. Резиновый шнур позволит демонстрировать построение тригонометрических линий, их изменение и, наконец, вычисление значений функций для данного значения аргумента.

III. Для изучения функций в первом квадранте может быть успешно использована модель следующего устройства. На кусок картона размером 20 X 20 см наклеивается миллиметровая бумага. Затем вычерчивается четверть окружности радиусом в 10 см (черт. 3); проводится начальная и дополнительная касательные.

Дугу окружности с помощью транспортира можно разделить на градусы, но это кропотливая работа; чтобы ее избежать можно на время использования модели прикреплять транспортир с помощью булавок или кнопок, как показано на чертеже. В центр втыкается булавка с привязанной к ней нитью. Нить будет служить подвижным лучом. Такую модель каждый учащийся может приготовить для себя сам (сделать это надо во внеурочное время, в порядке домашней работы).

Модель используется для лабораторных работ: а) при изучении понятий тригонометрических линий и функций; б) при составлении таблицы значений синуса и косинуса, когда угол изменяется от 0° до 90°; в) при составлении таблицы значений тангенса и котангенса; г) при изучении изменений тригонометрических линий и функций угла в первом квадранте.

Описанная самодельная модель — лабораторного типа. Она оказывает значительную помощь при усвоении учащимися серии новых понятий, связанных с первой четвертью тригонометрического круга. Так как радиус равен 100 мм, то значения функций вычисляются очень легко; при хорошем построении и тщательном отсчитывании получаются значения функций с точностью до 0,01.

Черт. 3.

IV. На кусок картона размером примерно 30 X 30 см наклеивается миллиметровая бумага. Вычерчивается окружность радиусом 10 см, проводятся начальный и дополнительный диаметры, начальная и дополнительные касательные. Положительное направление этих линий окрашивают в один цвет, а отрицательное— в другой. Для отсчета углов градуируется окружность или используется транспортир, как указано в только что описанной модели. В центр втыкается кнопка с привязанной нитью, служащей подвижным лучом. Такие модели можно приготовить в большом количестве.

Они используются для лабораторных работ: а) при развитии и обобщении понятия угла; б) при построении тригонометрических линий для углов любой величины; в) при изучении изменений тригонометрических линий и соответствующих функций для углов от 0° до 360°.

V. Если две последние модели служат для лабораторной работы, то можно сконструировать модели, подобные им, но больших размеров, которые будут удобны для демонстрации перед классом. Приводим описание такой модели по брошюре П. А. Карасева.

Возьмите лист толстой (5 мм) фанеры размером 100 X 60 см, обшейте по краям тесовой гладкой рамкой. Наклейте на фанеру миллиметровую бумагу

с редкой сеткой. На ней проведите две перпендикулярные оси, совпадающие с основными линиями сетки и пересекающиеся в левом нижнем углу листа. Приняв точку пересечения осей за центр, радиусом, равным 50 см, проведите тушью дугу в 90°. Разметьте ее на градусы циркулем, раздвинув его концы на 8,8 мм. В концах горизонтального и вертикального радиусов по основным линиям проведите начальную и дополнительную касательные. Ь центре сделайте небольшое отверстие, через которое пропустите черную нить длиной 120 см. Оба радиуса, горизонтальный и вертикальный, а также оси тангенсов и котангенсов градуируйте, принимая 1 см равным двум единицам (в этом масштабе 1 мм будет равен 0,2, а 50 см z=z 100).

Эта модель может служить для демонстрации перед классом построения тригонометрических линий, для изучения их изменений, а равно для определения значений функций по заданному углу.

VI. Очевидно, легко подготовить модель, конструкция которой аналогична только что описанной, но которая позволит вести демонстрации для углов от 0° до 360°.

VII. В продаже встречается модель демонстрационного типа для построения тригонометрических линий. Эта модель приготовлена из проволоки. Конструкция модели видна на чертеже 4. Окружность, ее диаметры и касательные спаяны между собой; секущая вращается вокруг центра на тонкой оси. К секущей прикреплен свободно висящий отрезок, часть которого позволяет демонстрировать линию синуса и который отсекает на начальном диаметре линию косинуса. Обычно различные части модели окрашиваются в разные цвета: положительное направление линий окрашивается в один цвет, а отрицательное — в другой.

Назначение модели—демонстрировать построение тригонометрических линий и их изменение при изменении аргумента. В силу того, что как окружность, так и другие линии представлены на модели довольно грубо, использовать модель для измерений тригонометрических линий и вычислений значений функций неудобно и нецелесообразно.

VIII. Для демонстрации построения тригонометрических линий и их изменений в зависимости от угла существует прибор „тригонометр". Тригонометр представляет собой коробку, сделанную из дерева. В верхнюю грань вставлено стекло, позволяющее видеть тригонометрический круг. Под стеклом — подвижной радиус, линии синуса и косинуса, тангенса и секанса, котангенса и косеканса. Подвижной радиус и соответствующая линия приводятся в движение с помощью рукоятки. Таким образом модель позволяет наблюдать изменения угла, дуги и всех тригонометрических линий во всех квадрантах.

IX. Одним из видов пособий, которые можно использовать продуктивно, являются стенные таблицы. Роль стенной таблицы заключается в следующем: она в сжатой компактной форме дает сводку результатов изученного материала; своевременное появление ее на стене возбуждает внимание учащихся, способствует запоминанию формул и правил; во время прохождения соответствующего раздела тригонометрии может служить справочником. Таблица должна привлекать внимание учащихся, а поэтому должна быть выполнена красиво, четко, легко читаемым шрифтом, на хорошей чертежной бумаге достаточно большого размера, должна быть легко обозрима и отличаться краткостью формулировок. Желательно, чтобы все таблицы были сделаны на листах одинакового формата.

Таблица вывешивается тогда, когда в ней явится надобность, обычно во время прохождения соответствующего раздела курса, и снимается, когда преподаватель найдет необходимым, чтобы учащиеся воспроизводили необходимый материал по памяти. Конечно, те таблицы, которые служат справочниками, должны оставаться на стене дольше. Примерный список стенных таблиц:

1) Стандарты обозначений тригонометрических функций.

2) Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же угла.

Черт. 4.

3) Изменение тригонометрических функций с изменением угла от 0° до 360°.

4) Формулы приведения.

5) Формулы сложения и вычитания углов.

6) Формулы двойного угла.

7) Формулы половинного угла.

8) Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрически!, функций в произведение и частное.

9) Формулы для преобразования произведений.

10) Формулы решения прямоугольных треугольников.

11) Формулы решения косоугольных треугольников.

12) Значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

13) Диаграмма знаков функций в каждой четверти.

14) Графики тригонометрических функций (прямых и обратных).

16. Заканчивая обзор основных пособий по тригонометрии, сделаем ряд. указаний об их использовании. Тригонометрия изучается в 9-м и 10-м классах средней школы. К этому времени учащиеся накопляют некоторые знания па планиметрии и получают некоторые навыки в пространственном воображении. А такое положение побуждает наложить ограничения на использование тригонометрических моделей. Учащиеся не нуждаются в многократных и повторных демонстрациях одного и того же факта; часто бывает достаточно одной-двух демонстраций. Мало того, излишние многократные демонстрации одного и тога же факта могут оказаться вредными, так как расходуют без достаточной пользы время и притупляют интерес учащихся. Учитель должен проявить большую чуткость, чтобы уловить тот момент, когда используемая модель выполнила свою положительную службу и дальнейшее ее использование нецелесообразно.

Глава IV.

ПРОПЕДЕВТИКА ТРИГОНОМЕТРИИ.

17. Основные задачи пропедевтики тригонометрии заключаются в том, чтобы безыскусственным, простым способом познакомить учащихся с тригонометрическими функциями как отношениями сторон прямоугольного треугольника, показать ценность и значение этих функций на применении их к решению прямоугольного треугольника и дать навыки в этом решении.

Каково же содержание пропедевтики тригонометрии? Методическая и учебная литература выявляет в этом отношении довольно большое разнообразие. Одни авторы дают определение первых четырех функций и показывают применение их к решению прямоугольных треугольников; другие, кроме этого материала, выводят зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Не всегда можно установить те принципы, которыми руководствуются авторы в установлении содержания пропедевтики тригонометрии. В выработке этого содержания надо руководствоваться такими положениями:

1) основной фигурой в пропедевтике является прямоугольный треугольник и основной задачей — его решение; поэтому надо дать необходимые сведения для решения прямоугольных треугольников с помощью таблиц натуральных величин синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов;

2) пропедевтика должна быть проста; поэтому нецелесообразно включать в нее материал, не имеющий прямого отношения к решению прямоугольных треугольников.

Эти положения позволят сделать пропедевтику тригонометрии достаточно простой, безыскусственной, сжатой по материалу и вместе с тем практической. Исходя из этих положений, можно наметить следующее содержание начальной главы курса тригонометрии.

Тригонометрия и одна из ее задач — решение треугольников. Понятие о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе (из прямоугольного треугольника). Таблицы натуральных значений тригонометрических величин. Определение угла построением по данному значению одной из его функций. Определение по данному значению одной из тригонометрических функций соответствующих значений остальных функций. Формулы решения прямоугольных треугольников. Основные случаи решения прямоугольных треугольников. Решение других фигур, сводящихся к прямоугольным треугольникам. Решение практических задач с использованием прямоугольного треугольника.

18. Остановимся на первых уроках пропедевтики тригонометрии. Прежде всего полезно дать учащимся объяснение названия этой дисциплины1. Оно означает „измерение треугольника" или „решение треугольника". А решить треугольник — значит по достаточному числу данных элементов треугольника вычислить все его неизвестные стороны и углы. Тригонометрия дает возможность решать и многоугольники. Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, а каждый треугольник — на два прямоугольных треугольника. Таким образом в тригонометрии при решении многоугольников основной фигурой является прямоугольный треугольник; поэтому важно установить зависимость (с помощью формул) между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

После этого введения можно ознакомить учащихся с понятиями тригонометрических величин. Прежде всего отметим, что с точки зрения тех основных установок, которыми определяется содержание пропедевтики тригонометрии, достаточно ввести только четыре функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; их вполне достаточно для решения прямоугольного треугольника (без секанса и косеканса нетрудно обойтись, а потому знакомство с ними преждевременно). Последовательность, в которой следует знакомить учащихся с перечисленными четырьмя функциями, такова: синус, косинус, тангенс, котангенс.

План занятий, предназначенных для первого знакомства с понятиями тригонометрических величин, примерно может быть таков:

а) показать, что отношение двух каких-нибудь сторон прямоугольного треугольника не зависит от длины сторон;

б) показать, что изменение угла прямоугольного треугольника влечет за собой изменение отношения сторон; таким образом, отношение сторон зависит от величины угла;

в) дать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

1 См. стр. 13.

Преподаватель должен ввести стандартные обозначения тригонометрических функций (sin a, cos а, ig а, ctg а, a впоследствии seca, coseca) и не допускать отступлений от этих обозначений.

19. Первыми упражнениями, способствующими усвоению новых понятий, могут послужить следующие:

а) вычисление значений тригонометрических функций для некоторых углов (например для углов в 30°, 45°, 60°, для углов прямоугольных треугольников со сторонами в 3, 4 и 5 единиц или в 5, 12 и 13 единиц);

б) графическое определение значений тригонометрических величин; составление таблиц этих значений.

Хорошим упражнением лабораторного типа является составление учащимися таблицы натуральных значений синусов и косинусов для углов от 0° до 90° через каждые 5°. Для этой работы каждый ученик должен иметь кусок миллиметровой бумаги размером 10 X 10 см, циркуль, транспортир и линейку. В начале урока преподаватель объясняет цель работы, показывает, как должна быть оформлена таблица, и объясняет способ ее составления.

На миллиметровой бумаге строится сектор в четверть круга с радиусом, равным 10 см (черт. 5). С помощью транспортира прямой угол делят на 18 равных частей (по 5° в каждой части) и из конца каждого проведенного радиуса опускают перпендикуляр на радиус OA. Длина каждого перпендикуляра отсчитывается в миллиметрах; взяв отношение длины каждого перпендикуляра к длине радиуса (100 мм), получим значения синуса углов 5°, 10°, 15° и т. д. Отсчитывая расстояние основания каждого перпендикуляра от центра круга и беря отношения этих расстояний к длине радиуса, получим значения косинуса тех же углов.

Черт. 5.

Черт. 6.

Таким образом учащиеся самостоятельно составляют таблицу значений синуса и косинуса.

Полезно провести и другую лабораторную работу — составление таблицы значений тангенсов. Для составления этой таблицы поступают так: берут кусок миллиметровой бумаги размером 10X20 см; один из катетов берут равным 10 см (черт. 6), а острые углы строят так же, как в предыдущем случае, в 5°, 10°, 15° и т. д.; по линии AT отсчитывают в миллиметрах другой катет. Таким образом легко составить таблицу значений тангенсов примерно до 70°.

Аналогично поступают для составления таблицы значений котангенсов. Конечно, надо обратить внимание учащихся на то, что, поскольку значения тригонометрических функций получены графическим способом, точность составленных таблиц невелика. На самом деле в тригонометрии употребляются таблицы, имеющие значительно большую точность. О том, как составляются такие более точные таблицы, будет речь позднее (глава XII).

Задача с нахождении угла построением по данному значению одной из его функций не требует особых разъяснений. Что касается вычисления по данному значению функции соответствующих значений других функций, то примеры разбираемого вида надо решать без формул, выражающих зависимость между тригонометрическими функциями одною и того же угла, пользуясь непосредственно определениями тригонометрических функций.

Пример. Вычислить синус, косинус и тангенс острого угла А, если ctg Л = — . 4

Решение. По определению ctg А ~ ; значит, дано отношение катетов — = — ; полагая я = 4 и Ь — 31, находим:

теперь найдем:

Такой путь вычисления значений функций интересен потому, что он держит учащихся в сфере основных понятий и их определений, а поэтому способствует сознательному усвоению этих понятий.

В число начальных сведений по тригонометрии обычно включается вопрос о дополнительных функциях. Вывод соотношений между тригонометрическими функциями двух дополнительных углов нетруден. Пользуясь определениями тригонометрических функций, надо из прямоугольного треугольника найти выраже-

1 Катеты берутся в любом масштабе, но так, чтобы они были соответственно пропорциональны числам 3 и 4; в частности, можно взять катеты соответственно равными 3 и 4 (в произвольно выбранной единице длины).

ния этих функций для острого угла А через стороны треугольника, а затем то же для острого угла В; из сопоставления между собой тех и других выражений легко получаются соотношения между тригонометрическими функциями углов А и В. Затем вводится понятие дополнительных углов; из полученных соотношений, пользуясь этим понятием, исключается угол S; таким образом, получается серия соотношений между дополнительными углами.

20. Формулы решения прямоугольного треугольника имеют особое значение в педагогическом процессе: они являются первыми формулами, показывающими приложения тригонометрических функций, оправдывают введение этих функций, оправдывают и самую дисциплину, позволяют вскрыть практическое значение тригонометрии. Все это говорит о том, что формулы решения прямоугольного треугольника заслуживают большого внимания. Останавливаться на выводе четырех формул решения прямоугольного треугольника нет надобности; в методическом отношении этот вопрос очень легкий и в преподавании не вызывает затруднений.

В прямоугольном треугольнике один элемент всегда дан — это прямой угол; значит для решения прямоугольного треугольника должны быть даны еще два элемента, независимых друг от друга. Таким образом, неизвестных элементов будет три; а чтобы найти три неизвестных, надо иметь три независимых друг от друга уравнения. Следовательно, независимых уравнений, связывающих шесть основных элементов каждого прямоугольного треугольника, должно быть три. За независимые уравнения можно принять следующие:

В эти уравнения входят все основные элементы треугольника. Что эта система есть действительно система независимых уравнений, доказать нетрудно: третье уравнение не содержит элемента а, который не мог быть исключен из первого и второго уравнений, так как он не входит в первое уравнение; таким образом, третье уравнение не является следствием первых двух. Аналогичное рассуждение может быть проведено относительно первого и второго уравнений; следовательно, эти три уравнения — независимы. Из этих уравнений можно получить ряд других уравнений, связывающих те же элементы, но уже зависимых от этой системы уравнений; в частности, из них получаются три уравнения, которые применяются чаще других:

Порядок рассмотрения различных случаев решения прямоугольных треугольников в учебной литературе довольно различен. Наиболее удобно в первую очередь рассматривать те случаи решения прямоугольных треугольников, когда задан угол, а затем— те случаи, когда в числе данных не имеется угла. Таким

образом, целесообразно рассматривать решения прямоугольных треугольников в такой последовательности:

1) по гипотенузе и острому углу;

2) по катету и острому углу;

3) по гипотенузе и катету;

4) по катетам.

При решении треугольников надо приучать учащихся к тому, чтобы они, где возможно, старались искомые величины определять непосредственно из данных величин, а не через найденные из вычисления. Данные элементы в практических расчетах несут в себе неизбежные погрешности измерения, вычисленные же элементы, кроме этих неизбежных погрешностей, несут в себе также погрешности тригонометрических таблиц и выполненных приближенных вычислений. Настойчиво следует приучать учащихся к контролю решения. На этом вопросе мы не останавливаемся, так как обычно в учебниках показано, как производить контрольные вычисления.

Затем следует показать применение формул прямоугольного треугольника к решению равнобедренного треугольника. Здесь можно давать решения для численных значений данных величин и в общем виде. Можно вывести формулы площади треугольника и параллелограма, когда даны в каждой из этих фигур две стороны и угол между ними. Наконец, можно дать учащимся другие прямолинейные фигуры, в частности, правильные многоугольники, с требованием определить неизвестные элементы или произвести другие расчеты, интересные с геометрической точки зрения.

Пропедевтика тригонометрии заканчивается применением формул прямоугольного треугольника к решению практических задач. Сюжеты таких практических задач можно заимствовать из техники.

Приводим для примера несколько задач, которые часто встречаются (при съемке планов, в дорожном деле, в коммунальном хозяйстве).

1) Узнать ширину реки АС (черт. 7). Для этого разбит прямоугольный треугольник ЛВС с прямым углом Сив нем измерен катет ВС (— 456 м) и угол B({=z 42°).

Черт. 7. Черт. 8.

2) Расстояние между двумя пунктами А и В на поверхности земли равно 745 м (черт. 8), а угол между линией AB и ее проекцией ВС на горизонтальную плоскость равен 34°. Определить превышение пункта А над пунктом В.

3) Определить длину проекции ВС линии AB на горизонтальную плоскость, если расстояние AB равно 745 м, а угол наклона линии AB к ее горизонтальной проекции равен 34° (черт. 8).

Заканчивая обзор пропедевтики тригонометрии, отметим, что для эффективного и основательного усвоения ее учащимися надо затратить около 15 часов занятий в классе при 7—8 часах домашней работы.

Глава V.

ПЕРВЫЕ УРОКИ ПО ОСНОВНОМУ КУРСУ ТРИГОНОМЕТРИИ.

21. В нашей школе принято изложение общего учения о тригонометрических функциях путем введения тригонометрического круга. В научной и учебной литературе по тригонометрии встречаются два варианта этого изложения: одни авторы принимают радиус круга равным единице, другие считают его произвольным. Который из этих вариантов принять в школе?

При развитии тригонометрии на тригонометрическом круге с радиусом, равным единице, будут иметь место следующие особенности:

1) Ученики приучаются смотреть на тригонометрические функции, как на отрезки. С одной стороны, это хорошо, так как придает большую наглядность обучению: всегда можно значение функции для того или другого аргумента показать на чертеже. С другой стороны, это плохо, так как ставит тригонометрические функции в некоторое особое условие, которое слишком ярко говорит об их геометрическом происхождении.

2) Ученикам, как показывают наблюдения, обычно кажется, что, если принять радиус равным единице, вся теория излагается только для частного случая и что, если взять круг другого радиуса, нельзя приложить к нему те соображения, которые развивались для указанного частного случая.

3) С точки зрения развития теории тригонометрических функций круг с радиусом, равным единице, никаких облегчающих и упрощающих теорию преимуществ не имеет.

Приведенные соображения позволяют заключить, что тригонометрический круг с радиусом, равным единице, вызывает при обучении тригонометрии некоторые неудобства, а поэтому пользоваться им нецелесообразно.

Трудность первых уроков по тригонометрии заключается в большом количестве новых понятий, терминов, определений и в некоторой искусственности этих понятий. Конечно, если учащиеся познакомились с пропедевтикой тригонометрии, то перечисленные трудности значительно уменьшаются, но в известной степени все же остаются. Чтобы обойтись возможно меньшим числом понятий, терминов и определений, целесообразно с первых же уро-

ков ввести весь круг, а не только первый квадрант; так следует поступить даже в том случае, когда предполагается изучать «функции только в первом квадранте. Введение тригонометрического круга позволяет ввести определения тригонометрических линий в такой редакции, которая будет нужна и при дальнейшем обобщении понятий и не потребует введения коррективов и изменений; кроме того учащиеся заблаговременно привыкнут к нужным геометрическим образам.

В нашей учебной литературе далеко не всегда удачны те термины, которые связаны с тригонометрическим кругом. Например, встречаются термины „горизонтальный диаметр", „вертикальный диаметр"; понятия горизонтального и вертикального направлений связаны с некоторыми физическими явлениями; между тем ни с горизонтальным, ни с вертикальным направлениями тригонометрический круг с его линиями ничего общего не имеет. Встречаются другие два термина: „горизонтальная касательная" и „вертикальная касательная"; очевидно, что эти термины также неудачны (по тем же самым соображениям). Наиболее удачными терминами являются следующие: начало дуг, конец дуг, начало дополнительных дуг, начальный диаметр, дополнительный диаметр, начальная касательная, или ось тангенсов, дополнительная касательная, или ось котангенсов, подвижной радиус. Эта система терминов удобна в том отношении, что начало дуг и начало дополнительных дуг являются терминами, влияющими на образование ряда других терминов; она не связана со случайным положением тригонометрического круга с его линиями на листе бумаги или на классной доске; она позволяет дать наиболее краткие и четкие формулировки основным понятиям — тригонометрическим линиям. Термины — ось тангенсов и ось котангенсов — можно вначале не вводить; они вовдятся после определения линий тангенса и котангенса.

22. Определения тригонометрических линий надо строить так, чтобы они

1) были даны в такой редакции, которая будет годна для углов любого квадранта,

2) подчеркивали зависимость линии от дуги или угла,

3) были независимы от случайных обозначений линий на чертеже, т. е. не содержали буквенных обозначений.

Этим условиям удовлетворяют, например, следующие определения:

Линией синуса дуги называется отрезок перпендикуляра, опущенного из конца дуги на начальный диаметр, считая этот отрезок от основания перпендикуляра до конца дуги.

Линией косинуса дуги называется отрезок начального диаметра от центра до линии синуса.

Линией тангенса дуги называется отрезок начальной касательной от начала дуг до пересечения с продолжением подвижного радиуса, проходящего через конец дуги.

Линией котангенса дуги называется отрезок дополнительной касательной от дополнительного начала дуг до пересечения

с продолжением подвижного радиуса, проходящего через конец дуги.

Линией секанса дуги называется отрезок прямой от центра до конца линии тангенса.

Линией косеканса дуги называется отрезок прямой от центра до конца линии котангенса.

При изучении тригонометрии понятия тригонометрических функций развиваются концентрически. Концентрическое изучение в этом случае имеет ряд неоспоримых преимуществ. Во-первых, тригонометрические функции, связанные с определенным интервалом изменения аргумента кажутся учащимся более конкретными и простыми; во-вторых, при концентрическом расположении материала трудности, связанные с изучением функций, распределяются на больший отрезок курса, а это значит, что преодоление трудностей облегчается; в-третьих, при концентрическом изучении приходится неоднократно повторять ряд определений, доказательств и формул, изученных в предшествующем концентре, что, как показывает опыт, способствует лучшему запоминанию материала.

Концентры определяются этапами обобщения аргумента. Число концентров может быть различно: оно варьируется в зависимости от тех конкретных условий, в которых изучается курс. Большее число концентров можно допустить в средней школе при первичном, неторопливом развертывании курса тригонометрии; при повторных и обзорных курсах, имеющих небольшое число часов, для курсов с хорошо развитыми в математическом отношении учащимися число концентров может быть сведено к минимуму. Наметим возможные концентры применительно к средней школе.

Если курс строится со включением в него пропедевтики, то можно наметить следующие концентры: 1) пропедевтика; 2) функции углов от 0° до 360°; 3) функции углов от 0° до —360°; 4) функции углов любой величины.

Если курс строится без пропедевтики, то можно наметить такие концентры; 1) тригонометрические функции острого угла и решение прямоугольных треугольников; 2) функции углов от 0° до 360°; 3) функции углов от 0° до—360°; 4) функции углов любой величины. Конечно, и в случае пропедевтики можно выдержать вслед за ней те же концентры, которые намечены в предположении, что курс строится без нее; в таком случае будут иметь место пять концентров.

23. После изложенных общих соображений перейдем к вопросу, каким же путем изучить с учащимися начало курса — введение тригонометрического круга, определения тригонометрических линий и функций. Рассмотрим два варианта: в первом — будем предполагать, что учащиеся не изучали пропедевтики тригонометрии; во втором—что изучали.

Переходим к детальному рассмотрению первых уроков по основному курсу в предположении, что учащиеся незнакомы с пропедевтикой тригонометрии. Начнем с введения тригонометрического круга.

Возьмем круг произвольного радиуса R (черт. 9). Выберем на окружности произвольную точку А и условимся считать эту точку за начало дуг,— от нее будем отсчитывать дуги против движения часовой стрелки. Далее, проведем через точку А диаметр ААХ и диаметр, ему перпендикулярный, Яв,; первый из них как проходящий через начало дуг называется начальным диаметром, а второй — дополнительным диаметром. Точка В называется началом дополнительных дуг. В том и другом начале дуг проведем касательные ТТХ и КК\. Касательную, проведенную через начало дуг, будем называть начальной касательной, а касательную, проведенную через начало дополнительных дуг, будем называть дополнительной касательной. Начальный и дополнительный диаметры делят круг и окружность на четыре квадранта, которые нумеруются в последовательном порядке, начиная от начала дуг, против движения часовой стрелки так: I, II, III и IV.

Отложим по окружности от начала дуг дугу AM; точку M назовем концом дуги. Проведем через конец дуги радиус. Если будет изменяться длина дуги, то точка M придет в движение — она будет скользить по окружности. Придет в движение и радиус О/И; назовем его подвижным радиусом.

Таковы подготовительные сведения о тригонометрическом круге. Чтобы учащиеся запомнили введенные понятия, термины и связи между ними, полезно повторить их, демонстрируя модель. С этой же целью можно предложить учащимся начертить в тетрадях круги со всеми введенными линиями и надписать на чертежах соответствующие термины. Прочное знание новых понятий необходимо: оно является базой для определения тригонометрических линий, обеспечивает лучшее усвоение и запоминание последующих основных определений.

Затем преподаватель, пользуясь чертежом и подвижной металлической моделью круга или какой-либо другой аналогичной моделью, дает определения тригонометрических линий; наиболее простая редакция этих определений приведена выше. Чтобы учащиеся запомнили эти определения, полезно сделать следующие упражнения:

а) преподаватель строит на подвижной модели угол и тригонометрические линии его и, показывая на модели линии, проверяет усвоение учащимися названий и определений тригонометрических линий;

б) преподаватель предлагает начертить в тетрадях круг, построить тригонометрические линии для угла, например в 20°, 75°, и написать их названия на чертеже;

Черт. 9.

в) преподаватель предлагает учащимся приготовить дома модель тригонометрического круга на миллиметровой бумаге для последующих индивидуальных занятий. В дальнейшем представится возможность дать ряд новых упражнений, способствующих как усвоению понятий тригонометрических линий, так и понятий функций.

24. Когда учащиеся овладели понятиями тригонометрических линий, вводятся определения тригонометрических величин. Направления тригонометрических линий для угла в первом квадранте условно принимаются положительными. Определения тригонометрических величин просты, однообразны и не вызывают затруднений; например отношение линии синуса к радиусу называется синусом дуги; аналогично формулируются другие определения. Надо отметить, что sin a, cos а, ig а и т. д. принимают значения отвлеченных чисел, так как рассматриваются как отношения линий.

Чтобы помочь лучшему запоминанию и усвоению понятий тригонометрических линий и величин, чтобы подготовить учащихся к пониманию основного положения, что sin a, cos а, tg а и т. д. суть функции дуги или угла, чтобы подготовить понимание структуры таблиц значений тригонометрических функций,— целесообразно организовать лабораторные занятия по составлению таблиц натуральных значений функций sin a, cos а, tg а и ctg а. Останавливаться на описании этих лабораторных занятий нет надобности, так как они даны в одной из предшествующих глав.

Базируясь на таблицах значений тригонометрических величин, используя модели, подчеркивают, что эти величины суть функции дуги или угла. Иногда удобнее пользоваться углом, в других случаях лучше пользоваться дугой; часто не бывает надобности отмечать, что является аргументом — угол или дуга, в таких случаях хорошо пользоваться термином „аргумент". Приучать постепенно учащихся к этому термину полезно.

Далее, опять базируясь на таблицах, изучают характер и границы изменения функций при изменении аргумента от 0° до 90°; результаты исследования фиксируются в виде таблички. Конечно, при этом исследовании возможно использование модели. При изучении изменения тригонометрических функций заслуживают внимания значения некоторых функций при значении аргумента в 0° и 90°.

Что, например, значит tg 90°? Ведь при 90е продолженный подвижной радиус не пересекает оси тангенсов в силу параллельности линий и, значит, согласно определению, не существует значения тангенса при этом значении аргумента. Но если мы обратимся к значениям тангенса, когда острый угол приближается к 90°, то найдем, что при этом приближении тангенс неограниченно возрастает, т. е. принимает значение, большее любого, наперед заданного числа. Этот характер изменения выражают словами „тангенс стремится к бесконечности" и условно записывают так:

Аналогичные разъяснения даются для sec 90°, ctg о0 и cosec 0°.

25, Перейдем теперь к построению углов по данным значениям тригонометрических функций. Этот вопрос представляет интерес с точки зрения усвоения основных понятий тригонометрии; кроме того, он является хорошей подготовкой к переходу к обратным тригонометрическим функциям. Для построения углов не требуется никаких новых теоретических изысканий, этот вопрос сводится к рассмотрению примеров. Пользуясь примерами, надо показать построение углов по данным значениям любой из шести функций, подчеркивая общие направляющие шаги в этих построениях. После этого можно предложить учащимся упражнения для самостоятельной работы. Разберем один пример.

Построить угол X, если tg л: = —.

Тангенс есть отношение линии тангенса к радиусу. Это отношение в нашем примере равно — ; значит, если радиус принять равным трем единицам длины, то в линии тангенса таких единиц будет четыре. Построим первый квадрант с радиусом, равным трем единицам произвольной длины; отложим от начала дуг по оси тангенсов отрезок, равный четырем таким единицам, и соединим центр с концом линии тангенса. Таким образом, получается искомый угол х; его полезно отметить дугой со стрелкой, показывающей направление отсчета углов.

Аналогичным способам строятся углы по данному значению любой из шести функций. Надо обратить внимание учащихся, что данному значению функции соответствует в первом квадранте только один угол. Среди примеров надо дать и такие, в которых значение функции дано целым числом; такие примеры иногда смущают учащихся: они не видят в них отношений; надо показать, что в этом случае можно подразумевать знаменатель единицу.

28. Следующий вопрос — зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла первого квадранта. Пользуясь примером, надо напомнить учащимся, что если дано какое-либо значение одной функции, то по нему можно построить в пределах от 0° до 90° угол, а пользуясь углом, можно построить все остальные тригонометрические линии и, измерив их, найти приближенные значения других функций того же угла. Следовательно, по данному значению одной функции можно графическим способом определить значения других функций того же угла. Можно, однако, ту же задачу решить аналитически, для чего следует установить зависимость между функциями одного и того же угла с помощью формул.

Независимых друг от друга формул, связывающих шесть функций, должно быть пять, ß самом деле, если дано значение одной функции, то для определения остальных пяти надо иметь пять независимых друг от друга уравнений, устанавливающих соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Вообще соотношений можно составить больше, но среди них только пять независимых друг от друга, а остальные — следст-

вия этих пяти. Такое рассуждение будет не вполне доступно учащимся перед началом изучения формул; поэтому его можно дать после вывода их и после упражнений на их использование.

На примере вывода первой формулы, выражающей зависимость между синусом и косинусом одного и того же аргумента, покажем план вывода любой другой формулы. Преподаватель ставит задачу: найти зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла.

На доске вычерчиваются какой-либо угол, его линии синуса и косинуса. На основании теоремы Пифагора записывают зависимость между этими линиями. Теперь ставится вопрос, как от этой геометрической зависимости перейти к тригонометрической формуле. Вспомнив определение синуса и косинуса, легко сообразить, что обе части выписанного равенства надо разделить на R2. Таким образом, получается формула sin2a+cos2a = 1. Для конкретизации формулы и демонстрации ее применения полезно решить несколько примеров на определение значения одной из входящих в формулу функции по данному значению другой функции.

В результате изучения первой формулы намечается план вывода остальных формул. План этот надо зафиксировать примерно в такой редакции:

а) постановка задания о выводе формулы;

б) подготовка соответствующего чертежа;

в) запись соответствующего геометрического соотношения;

г) переход к тригонометрической формуле;

д) формулировка полученного соотношения. По этому плану выводятся формулы:

Здесь можно сообщить учащимся, что эти пять соотношений являются независимыми друг от друга: ни одно из них нельзя получить из четырех остальных. Это — основные соотношения, Пользуясь этими основными соотношениями, можно вывести много других, которые явятся следствиями основных. Из соотношений-следствий полезно аналитическим способом вывести три:

Эти формулы могут быть получены из чертежа по тому же плану, как и основные формулы. Однако аналитическому выводу надо отдать предпочтение, так как при этом выводе становится очевидным, что эти формулы суть следствия основных. Вывод из чертежа можно поручить учащимся в качестве полезного домашнего упражнения.

27. Обилие формул, выражающих зависимости между функциями одного и того же аргумента, обычно пугает учащихся: им кажется трудным запомнить эти формулы и научиться пользоваться ими. Некоторые преподаватели чрезмерно увлекаются

числом формул: кроме пяти основных и трех следствий, сообщают учащимся еще ряд формул. Такое увлечение с методической точки зрения нецелесообразно: оно вызывает излишнюю нагрузку памяти учащихся и в известной мере подменяет интересные и полезные преобразования заучиванием формул.

Последовательность упражнений на применение формул такова: а) по значению одной функции вычислить значения остальных функций того же угла; б) через данную тригонометрическую функцию выразить все остальные функции того же аргумента; составить соответствующую табличку; в) доказательство тождеств; г) решение тригонометрических уравнений (таких, где можно использовать эти формулы). Ближайшим применением изученных формул может послужить составление таблички значений функций для углов в 30°, в 45° и в 60°.

Установление зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла дает возможность познакомить учащихся с первыми тождественными преобразованиями. Все указания о тождественных преобразованиях, изложенные в этой главе, имеют значение и для тождественных преобразований, которые будут встречаться в других главах гониометрии.

Тождественные преобразования в курсе тригонометрии, а равно и в ее приложениях, играют очень видную роль. Упрощение тригонометрических выражений, преобразования многочленных выражений в одночленные и обратно, решение уравнений, так называемые сложные случаи решения треугольников,— все это приводит к тем или другим тождественным преобразованиям. В силу изложенного при изучении тригонометрии следует уделять большое внимание этим преобразованиям, стараясь развить у учащихся как сообразительность и находчивость, так и навыки в таких преобразованиях. Учебная литература по тригонометрии обычно использует в качестве упражнений в тождественных преобразованиях доказательство или проверку тождеств и упрощение выражений. При решении таких задач приводят путем тех или иных преобразований одну из частей равенства (чаще всего более сложную) к выражению, данному в другой части равенства, либо приводят обе части равенства к одному и тому же выражению.

Пример. Проверить тождество.

Решение.

Второй вид упражнений в тождественных преобразованиях заключается в упрощении тригонометрических выражений. Он состоит в том, что требуется преобразовать данное выражение в другое, тождественно равное ему. Первые шаги в области

тождественных преобразований нередко затрудняют учащихся: они не знают, как приступить к преобразованиям, какими формулами воспользоваться. Поэтому учитель должен дать некоторые возможные общие указания. Надо рекомендовать учащимся проверить, нет ли в составе заданного выражения таких, которые входят в состав тригонометрических формул или получаются из последних путем простых преобразований.

Поясним это на примере. Упростить выражение.

M = (1 + tg2 а) (1 — sin2 а).

Всматриваясь в данное выражение, в отдельные его множители, видим, что первый множитель входит в состав одного из известных нам тождеств, а именно:

tg2a+ 1 = sec2a,

а выражение, стоящее во вторых скобках, получается из тождества

путем перенесения члена sin2 а из левой части в правую:

значит,

можно заменить через

Теперь имеем:

Рассматривая полученное выражение, видим, что оно напоминает левую часть известного тождества cos a- seca = 1; используя его, получаем:

Итак,

Таковы общие указания, которые надо дать учащимся для применения при тождественных преобразованиях. Кроме того, полезно дать ряд частных советов, которые во многих случаях могут оказать помощь в тождественных преобразованиях:

а) если в тригонометрическое выражение входят тангенсы, котангенсы, секансы и косекансы одного и того же угла, то их бывает полезно заменить через синусы и косинусы того же угла;

б) если в выражение входят квадраты секанса и косеканса, то иногда их бывает полезно заменить по формулам:

в) если в выражение входят только тангенсы и котангенсы, то заменять их через другие функции обычно бывает нецелесообразно;

г) если в выражение входят не только функции угла а, но и функции углов 2а, За, — а и т. д., то часто бывает полезно преобразовать выражение так, чтобы остались функции, аргументы которых одинаковы.

Сообщая такие указания учащимся, полезно их иллюстрировать примерами. Часто в разбираемую главу включается вопрос о дополнительных углах.

Глава заканчивается изучением структуры таблицы значений тригонометрических функций от 0° до 90° и решением прямоугольных треугольников с помощью этих таблиц. Эти вопросы освещены выше, поэтому на них мы не останавливаемся.

Глава VI.

РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ.

28. Опыт работы в школе показывает, что вопрос о радианном измерении является довольно трудным для учащихся как по своему существу, так и по недоработке его в значительной части учебной литературы по тригонометрии. Шевченко в статье „Преподавание второго концентра тригонометрии" (журн. „Математика и физика в средней школе" № 1, 1935 г.) совершенно правильно указывает, что изложение этого вопроса в учебниках далеко не всегда вразумительно, а иногда и просто путано и неверно. Он указывает ряд учебников, где встречаются неясности и противоречия.

В учебной литературе чаще всего радианному измерению углов и дуг отводятся первые страницы. Надо заметить, что в начале курса невозможно дать мотивы необходимости введения нового способа измерения углов. А без этих мотивов такое новое измерение углов кажется учащимся искусственным, надуманным и неизвестно для чего нужным. Кроме того, вопрос о радианном измерении труден для изложения, он нелегко усваивается учащимися. Приходится сделать заключение, что с радианным измерением торопиться не стоит и относить его к самому началу курса нецелесообразно; его следует ввести тогда, когда учащиеся прочно усвоят понятия тригонометрических функций. Если учащиеся изучили пропедевтику тригонометрии, то перед переходом к более общему определению тригонометрических функций уместно ввести и новые меры углов; если же учащиеся начали изучение тригонометрии, минуя пропедевтику, то новые меры углов целесообразно ввести перед изучением формул приведения.

В вводной беседе надо познакомить учащихся с различными системами измерения углов. Учащимся известна та система, в которой за единицу принимается одна девяностая часть прямого угла, называемая градусом; в технических дисциплинах и в практических расчетах эта система, старейшая в хронологическом отношении, является самой распространенной. Во Франции при введении метрической системы мер было предложено установить десятичную систему измерения углов. По этой системе прямой угол делится на сто равных частей, и одна сотая прямого угла принимается за единицу измерения углов, называемую градом; в свою очередь град делится на сто минут, а минута делится на сто секунд. Эта система имеет большие удобства при арифметических вычислениях, так как в ней составное именованное число легко заменяется десятичным числом, а превращение и раз-

дробление совершаются простым переносом зяпятой. Несмотря на эти удобства, десятичная система не получила широкого распространения. В астрономии за единицу измерения углов принимают угол, равный — d, или 15°. Земля совершает полный оборот около своей оси в промежуток времени, называемый звездными сутками; меридианная плоскость описывает в звездный час угол 15°; этот угол и называется угловым часом.

В тригонометрии, а также в высшей математике перечисленные системы измерения углов не всегда удобны и вместо них применяется так называемое радианное измерение углов. В этой системе за единицу принимается центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Чтобы такой угол мог служить единицей измерения углов, необходимо, чтобы он был один и тот же в кругах любого радиуса. Чтобы показать это,, построим центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу круга. Из геометрии известно, что центральные углы пропорциональны дугам, им соответствующим; обозначив радиус через #, прямой угол через d и центральный угол через а, можем на основании приведенной теоремы написать:

откуда

так как d и тг величины постоянные, то и угол а есть величина постоянная, от радиуса круга не зависящая.

Измерение углов в радианах выполняется так: пусть А — величина центрального угла в радианах, I — длина его дуги; так как центральные углы пропорциональны соответствующим дугам круга, то, сравнивая взятый угол с радианом, составим пропорцию:

откуда

Это равенство надо понимать так: чтобы получить число, измерающее центральный угол в радианах, надо длину его дуги разделить на длину радиуса.

29. Когда новая мера угла установлена, надо указать, как переводить ее в старые, и обратно. Надо обратить внимание учащихся, что развернутый угол равен 180°, или тг радианам. Это соотношение между градусным и радианным измерением углов является основным; учащиеся должны прочно его запомнить и научиться пользоваться им при переходе от градусного измерения к радианному, и обратно.

Обозначим градусное выражение величины какого-нибудь угла через а° и радианное — через ср. Тогда, пользуясь указанным соотношением, можем составить пропорцию:

отсюда получаются нужные формулы:

Нет надобности запоминать эти формулы, лучше запомнить тот несложный мыслительный процесс, который приводит к этим формулам, и пользоваться им всякий раз, когда встретится необходимость в переходе от радианного измерения к градусному, и обратно.

Чтобы усвоить переход от одного измерения к другому, надо решить достаточное число примеров, которые обычно даются в сборниках задач. В качестве первых упражнений надо показать, как выразить один радиан в градусах и один градус — в радианах.

Полезно также составить табличку наиболее употребительных углов в градусном и радианном измерении.

Если / — длина дуги, R — длина радиуса и <р—радианная мера соответствующего угла, то имеем:

а отсюда

т. е. длина дуги равна радиусу, умноженному на величину соответствующего угла, выраженную в радианах. Это простое выражение длины дуги довольно часто встречается в математике и ее приложениях, на него надо обратить внимание учащихся и рекомендовать запомнить. Несколько примеров на определение длины дуги помогут этому.

В заключение сделаем несколько замечаний:

1) Некоторые авторы употребляют термин „радиальное измерение". Этот термин следует признать неудачным. Целесообразнее строить термин, исходя из слов „радиан", а не из слова „радиус", и применять как в учебной литетуре, так и в школе термин „радианное измерение".

Величина угла в градусах

Длина дуги

Величина угла в радианах

2) Аргумент тригонометрических функций принимает значение, выраженное или в градусах, или в радианах. Градусы и его доли (минуты и секунды) принято обозначать соответствующими значками; радиан же не имеет условного обозначения, а его доли выражаются обыкновенными и десятичными дробями. Если угол выражен в радианах, то при нем не пишут названия или какого-либо условного сокращенного обозначения. Такая транскрипция очень удобна.

3) Учащиеся привыкли к положению, что в результате всякого измерения величин получается число именованное, а не отвлеченное; эта мысль настойчиво культивируется в продолжение всего хода обучения математике и физике в средней школе. В результате измерения угла радианами получается, разумеется, тоже именованное число. Поэтому употреблять в преподавании термин „отвлеченное измерение", как это часто делается в учебной литературе, а под ее влиянием и в школе, нецелесообразно и вредно: этот термин способен вызвать у учащихся глубокую путаницу в понятиях, связанных с измерением, он делает для них непонятными простые вещи и процессы, с какими имеем дело в этом случае. Выражение „отвлеченное измерение" должно быть изгнано из преподавания тригонометрии1.

Глава VII.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛОВ от 0° до 360° и от 0° до —360°.

30. Если учащиеся познакомились с тригонометрическими функциями острого угла, исходя из отношений сторон в прямоугольном треугольнике, то следующий шаг в развитии понятий об этих функциях будет заключаться в расширении понятий о тригонометрических функциях для углов от 0° до 360°. Этот шаг делается и в том случае, когда учащиеся изучили функции острого угла в их общем определении, как указано в пятой главе.

Как приступить к развитию понятий о тригонометрических функциях при условии, что учащиеся познакомились с ними в пропедевтике тригонометрии? Прежде всего надо обратить внимание на узость определений функций с помощью отношений сторон прямоугольного треугольника. Например, с точки зрения этих определений нельзя говорить о тригонометрической величине угла в 0° и 90°: прямоугольные треугольники в этих случаях перестают существовать, и определения теряют смысл. Нельзя говорить о тригонометрической величине угла, большего 90°, например в 100°: прямоугольные треугольники не имеют таких углов, и функ-

1 Отметим попутно, что ряд авторов книг по тригонометрии, избегают этого термина. Например, I. Serret в книге „Тригонометрия" этого термина не употребляет, Е. Пржевальский в книге „Прямолинейная тригонометрия" также избегает этого термина.

ции для них не определены. Таким образом перед учащимися будет продемонстрирована недостаточность определений тригонометрических величин как отношений сторон прямоугольного треугольника и будет поставлен вопрос о необходимости расширения определений понятий тригонометрических величин.

Это развитие определений является ответственным и в методическом отношении довольно трудным моментом. Трудности заключаются в том, что, с одной стороны, надо дать новые определения функций, опираясь на тригонометрический круг, а с другой стороны, имеющиеся понятия и определения не следует разрушать: они должны войти в состав новых, более общих определений. Первый вопрос, с которым сталкиваемся при развитии понятий о функциях, является вопрос об обобщении понятий угла и дуги.

31, Обобщение понятий угла и дуги.

Угол определяется как мера вращения, которое совершает подвижной луч, выходящий из неподвижной точки. Надо привести учащихся к мысли, что угол может быть более двух прямых. Можно также напомнить учащимся, что в результате сложения нескольких углов получаются углы, которые больше двух прямых. Далее, напомнив учащимся правило отсчета углов, следует продемонстрировать перед ними на универсальной модели круга получение угла, большего 180°; эта демонстрация отлично согласуется с определением угла как меры вращения подвижного луча и дает яркие образы углов, больших 180°. Упражняясь на универсальной модели, можно предложить учащимся показать путем вращения подвижного шнура, например, такие углы: 225°, 270°, 300°, 330°, 360°. Такие же упражнения учащиеся могут выполнить на имеющихся у них индивидуальных моделях. Вместо универсальной модели круга можно использовать шарнирную модель угла (черт. 10).

В тригонометрии особую, роль играют углы в 0°, 90°, 180°, 270°: они в дальнейшем выделяются в связи с изучением изменений тригонометрических функций; поведение некоторых функ-

Черт. 10.

ций отличается особенностями, когда аргумент, принимает значения, соответствующие этим углам; наконец, они играют роль в формулах приведения.

Закончить работу по развитию понятия угла следует вычерчиванием углов заданных размеров; учащимся предлагается построить на одном и том же чертеже следующие, например, углы: 135°, 180°, 210°, 240°, 315°, 380°.

32. Обобщение понятий тригонометрических функций.

Для обобщения понятий тригонометрических функций необходимо ввести тригонометрический круг с его элементами. Соображения о введении этого круга развиты в главе V и не требуют дополнений. Для ознакомления с тригонометрическими линиями можно рекомендовать такой порядок:

а) задать острый угол и построить все тригонометрические линии для этого угла (черт. 11); дать определения этих линий; условиться считать все эти линии положительными;

б) отметив на другом чертеже (черт. 12) какой-либо угол во II четверти, построить тригонометрические линии для этого угла согласно их определениям; затем ввести правило знаков, применяя правило Декарта: если отрезки линий, расположенные в одном направлении от какой-либо определенной точки, считают положительными, то отрезки линий, направленные от этой точки в противоположную сторону, считают отрицательными (этот принцип применим к линиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса; для линий секанса и косеканса правило Декарта неприменимо; знаки этих линий устанавливаются так: если линии секанса и косеканса проходят через конец дуги, то они считаются положительными; если же эти линии не проходят через конец дуги, то они считаются отрицательными);

в) аналогичные рассуждения провести относительно III и IV четвертей (черт. 13 и 14).

Чтобы учащиеся прочно овладели построением тригонометрических линий, следует предложить им ряд упражнений такого вида: построить тригонометрические линии и отметить направле-

Черт. 11. Черт. 12.

ние знаками плюс и минус для углов в 120°, 225°, 300°, 150°, 240°. Некоторые из таких упражнений следует выполнить в виде домашней работы.

Иногда встречаются попытки определить знаки тригонометрических линий порядком записи и чтения линии. Если, например, линия тангенса AT совпадает с положительным направлением оси тангенсов, то она положительна: если же записать ТА, то это будет говорить о том, что линия ТА отрицательна. Такая условность в записи, весьма распространенная в некоторых отделах высшей математики, вряд ли уместна в средней школе: геометрия к таким условиям не приучает, и особой надобности в них не имеет и тригонометрия.

Переходим к определениям тригонометрических функций. Как уже указывалось, эти определения надо вести так, чтобы прежние определения (из отношений сторон прямоугольного треугольника) вошли в новые как частные случаи. Это можно сделать различными способами; приведем один из них.

Преподаватель на доске, а учащиеся в тетрадях вычерчивают круг произвольного радиуса /?, строят угол а и прямоугольный треугольник OMN (черт. 11). Согласно известному учащимся определению синуса имеем: sin а — NM , где NM — катет, а ОМ— гипотенуза. Переходя к определению функций с помощью тригонометрического круга, будем тригонометрические функции выражать так, чтобы последующий член отношения являлся радиусом; тогда будем иметь:

Таким же путем видоизменяется выражение, определяющее косинус: по старому определению было cosa = *^~"> теперь запишем:

Черт. 13. Черт. 14.

Тангенс определяется так: tga=-^-. Нам же нужно и тангенс записать так, чтобы последующим членом был радиус R; значит, надо отношение заменить равным отношением, в котором последующим членом был бы радиус. Через точку А проводим начальную касательную, а подвижной радиус продолжаем до пересечения с этой касательной; получаем прямоугольный треугольник OA Г, подобный треугольнику ONM. Из подобия треугольников следует:

-=-. Ho -= ig а, значит, и-= tg a. Таким образом, получаем, что tg a = —л Идя этим путем, найдем, что ctg а = —— •

Подводя итоги приведенным соображениям, преподаватель еще раз обращает внимание учащихся на то, что все известные тригонометрические функции выражены как отношения некоторых отрезков в круге к радиусу этого круга. В таком подходе новые определения развиваются так, что поглощают старые, и все обычные в таких случаях сомнения учащихся в непротиворечивости новых определений старым устраняются. В дальнейшем вопрос об определении тригонометрических функций затруднений не встречает: тригонометрической функцией угла называется отношение соответствующей тригонометрической линии (с ее знаком) к радиусу.

Хорошими упражнениями, способствующими усвоению обобщенных понятий, являются построения углов по данному значению одной из них.

Разберем один пример. Построить угол х, если ctg х — — 1,5.

Вопросы преподавателя:

В каких четвертях котангенс имеет отрицательный знак? Значит, в какой четверти искомый угол х? Что означает абсолютное значение котангенса, равное 1,5? Какой длины должна быть линия котангенса в нашем примере? Как построить линию котангенса, учитывая ее направление?

Постройте и укажите стрелками углы, соответствующие построенной линии. Сколько углов удовлетворяют нашей задаче в границах от 0° до 360°?

Упражнений на построение углов должно быть достаточно много, чтобы учащиеся получили необходимые навыки в этом. Важно подчеркивать перед учащимися, что каждому значению функции соответствуют два угла в интервале от 0° до 360°. Исключение будет иметь место только для тех значений функции, которые соответствуют углам 0°, 90°, 180°, 270°.

33. Изменение тригонометрических функций с изменением угла от 0°до 360°.

Изучение изменения тригонометрических функций при изменении аргумента от 0 до 360° представляет значительный интерес: устанавливаются границы их значений, возрастание и убывание

функций, непрерывность и разрывы функций. Можно рекомендовать такой план изучения изменения каждой функции:

а) рассмотрение изменения тригонометрической линии на модели; заключение об изменении функции;

б) рассмотрение изменения той же линии на чертеже: фиксация в таблице соответствующего изменения функции;

в) описание изменения функции на основе представления тригонометрической линии (без чертежа и модели).

Что касается выполнения первого пункта плана, то можно привлечь или тригонометр, или универсальную модель круга, или какую-либо другую аналогичную модель из описанных в главе III. Проследив изменение какой-либо тригонометрической линии на модели, рассматривают ее изменение, пользуясь чертежом. Чтобы избежать большого числа чертежей, можно рассматривать на одном чертеже изменение линии синуса и косинуса, на другом — изменение линий тангенса и секанса и на третьем — котангенса и косеканса. При такой комбинации перед учащимися пройдут примерно такие чертежи, какие даны под номерами 15, 16 и 17.

Надо обратить особое внимание учащихся на те предельные значения углов, при которых та или другая функция претерпевает разрыв. В этом случае надо взять угол, немного меньший предельного, и затем другой угол, немного больший предельного, и проследить изменение функции, увеличивая первый угол и уменьшая второй до предельного. Например, чтобы выяснить значение тангенса при значении аргумента в 90°, поступим так:

Черт. 15.

Черт. 16.

Черт. 17.

1) возьмем угол, немного меньший 90°; линия тангенса будет положительна; она увеличивается по мере приближения угла к 90° и может быть сделана сколь угодно большой; когда угол, увеличиваясь, достигнет 90°, ось тангенсов и продолженный подвижной радиус будут параллельны,— тангенс перестает существовать;

2) возьмем угол, немного больший 90°; линия тангенса будет отрицательна; по мере приближения угла к 90° она остается отрицательной, но по абсолютному значению растет и может быть сделана сколь угодно большой; когда угол, уменьшаясь, достигнет 90°, ось тангенсов и продолженный подвижной радиус будут параллельны, — тангенс перестает существовать.

Но при приближении острого угла к 90° тангенс возрастает неограниченно, т. е. принимает значения, большие любого наперед заданного числа,—этот характер изменения выражают словами „тангенс стремится к бесконечности" и условно записывают так: tg 90° = оо. При приближении тупого угла к 90° тангенс, оставясь отрицательным, по абсолютному значению неограниченно возрастает,— этот характер изменения выражают словами „тангенс стремится к минус бесконечности" и условно записывают так:

tg 90° = —оо.

Объединяя приведенные два условных равенства, получим ^g 90°— =±=оо. Будем говорить, что тангенс претерпевает разрыв при 90°.

Результаты проведенного исследования изменений тригонометрических функций можно представить в виде следующей таблицы:

В следующем этапе изучения изменения функций надо приучить учащихся представлять себе (без чертежа) изменение каждой тригонометрической линии в пределах каждого квадранта, а в дальнейшем и в пределах от 0° до 360°. Учащиеся должны давать устно описание изменения функции. Конечно, такие упражнения не должны длиться целыми уроками: это было бы утомительно и скучно; к ним полезно возвращаться в течение нескольких уроков минут на 10—12. В результате надо добиться, чтобы учащиеся четко описывали изменение функций по четвертям в границах изменения аргумента от 0° до 360°.

34, Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента.

Часто выводят формулы зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла только для углов I четверти и обходят вопрос о распространении формул на углы любой четверти; при этом учащимся сообщают, что формулы, выведенные для углов I четверти, верны и для углов других четвертей. Обходить вопрос о распространении формул не следует; рекомендовать учащимся поверить без доказательства справедливости этих формул нет никаких оснований. Эти доказательства ценны потому, что фиксируют внимание учащихся на определении функций, на их знаках, на построении углов и тригонометрических линий; а на этом этапе обучения все эта представляет значительный интерес и весьма полезно. Конечно, не следует доказывать все пять формул для углов каждой четверти. Достаточно доказать справедливость формуя выборочно: одной-двух для угла II четверти, двух других для угла III четверти и т. д.

Преподаватель, излагая вывод одной из этих формул, сообщает общий план доказательства. Он состоит из следующих пунктов:

1) постановка задания о выводе зависимости между функциями;

2) подготовка соответствующего чертежа;

3) запись необходимого геометрического соотношения (на основании теоремы Пифагора или с использованием подобия треугольников);

4) целесообразное деление членов равенства или членов дроби, входящей в геометрическое соотношение, на R или /?2;

5) учет направления тригонометрических линий проставлением знаков плюс и минус;

6) переход к тригонометрическим формулам;

7) формулировка полученного соотношения.

Пусть, например, требуется найти зависимость между тангенсом, синусом и косинусом для угла II четверти. Строим угол ее

Черт. 18.

(черт. 18) и соответствующие тригонометрические линии. Ищем геометрическое соотношение между линией тангенса, синуса и косинуса.

Из подобия треугольников О AT и ON M находим:

Заменяя OA через R и деля члены второго отношения на R, получаем:

Учитывая направление тригонометрических линий, проставляем знаки:

Переходим к тригонометрической формуле:

Дальнейшая работа по выводу формул может быть организована так: наметив соотношение, преподаватель предлагает учащимся самостоятельно его доказать, а в помощь слабым и для контроля один из учащихся выполняет доказательство на доске. Такой прием работы отлично оправдывается опытом. Можно предложить ряд доказательств выполнить дома: это вполне посильная и очень полезная домашняя работа.

При решении примеров на вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них надо обратить внимание учащихся на необходимость ставить при извлечении квадратных корней два знака—плюс и минус. На одном-двух примерах, используя чертежи, следует разъяснить, что оба знака имеют смысл и что ни тот, ни другой из них опускать нельзя. Следует также обратить внимание на порядок знаков: запись должна быть такой, что верхнему знаку значения одной из функций соответствуют верхние знаки значений других функций, а нижнему — нижние.

Пример. Вычислить значения тригонометирческих функций угла а, если

Вычисляем cosa по формуле

Синусу, равному

соответствуют два значения косинуса:

если угол a IV четверти, и

если угол a III четверти. При вычислении тангенса записываем:

Значение — — соответствует углу IV четверти, а значение + — — углу III четверти.

Значения других функций находим аналогично. В результате получаем:

Все верхние знаки соответствуют углу IV четверти* а нижние знаки — углу III четверти.

35. Формулы приведения.

Приступая к изучению этих формул, преподаватель на первом уроке в течение нескольких минут кратко дает целевую установку этой подтемы. Он напоминает, что учащиеся познакомились с тригонометрическими функциями углов любой четверти. Ставится вопрос, нельзя ли тригонометрические функции углов, больших 90°, выразить через функции острого угла.

Пусть, например, требуется выразить sin 160° через функцию острого угла. Преподаватель ставит учащимся вопросы, попутно выполняя чертеж на доске; учащиеся делают соответствующие чертежи в тетрадях (черт. 19).

Что называется синусом угла? Как записать по определению, чему равен sin 160°? Кач можно угол в 160° записать через предельные углы? Выясняется, что любой угол II четверти, можно представить в виде суммы 90° и некоторого острого угла и в виде разности 180° и некоторого острого угла. Например, 160°=: 0J-h70o и 160° = 180°—20°. Будем приставлять углы II четверти сперва в виде разности.

Как записать, чему равен sin 20°. Сравниваем выражения для sin 160° и sin 20°. Будут ли они равны? Что необходимо рассмотреть для выяснения вопроса о равенстве этих выражений? Почему Д OMN = Д О У1\Ы{? Что заключаем из равенства треугольников? Каков же окончательный вывод?

Черт. 19.

На проделанном примере учащиеся убеждаются, что есть возможность приводить функции углов, больших 90°, к функциям острого угла. Производить все операции, указанные в примере, для каждого случая слишком длительно и неудобно; возникает

необходимость в формулах, которые давали бы возможность по определенному правилу быстро выражать тригонометрические функции углов, больших 90°, через функции острого угла.

Сперва рассматриваются тригонометрические функции углов II четверти. Детальный разбор приведенного выше примера позволит теперь вести работу эвристическим приемом. Пользуясь чертежом, выводятся формулы:

Формулы для остальных тригонометрических функций того же угла легко выводятся либо при помощи чертежа, либо аналитически, путем использования формул зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла и двух указанных формул.

Дальнейший план изучения формул приведения может быть такой: а) формулы для углов 180° + а; б) формулы для углов 360° — а; в) правило для формул приведения, в которые входят предельные углы в 180° или 360°; г) формулы для дополнительных углов; д) формулы для углов 90° +^; е) формулы для углов 270° — а; ж) формулы для углов 270° -)-а; з) правило для формул приведения, в которые входят предельные углы или в 90°, или 270°.

Конечно, формулы приведения могут быть изучены и в другом порядке, например в такой последовательности: а) 90° — а; б) 90° + а; в) 180° —а; г) 180° +а; д) 270° —а; е) 270° +а; ж) 360°—а.

Заканчивая вопрос о формулах приведения, обращают внимание учащихся на то, что угол а может быть не только острый, но любой величины, лишь бы сумма его с соответствующим предельным углом (или их разность) не превышала 360°. Чтобы показать справедливость формул приведения для таких случаев, полезно выполнить с учащимися одно-два доказательства справедливости формул, например для 180°+ а, полагая, что 90°<а<180°.

36. Тригонометрические функции углов от 0° до —360°.

Следующим шагом в развитии понятия угла является введение отрицательных углов в границах от 0° до —360°. До сих пор рассматривались углы, образуемые движением подвижного радиуса против движения часовой стрелки; указанное направление мы условились считать положительным. Углы, образуемые движением подвижного радиуса по направлению часовой стрелки, следовательно, считаются отрицательными. При этом расширении понятия угла также полезно использовать универсальную модель круга. Попутно вводятся отрицательные дуги. Здесь снова применяется правило Декарта: если условиться считать дуги, расположенные в одном направлении от какой-либо точки, положительными, то дуги, направленные в противоположную сторону, будут считаться отрицательными.

Затем надо ввести определения тригонометрических функций отрицательных углов. Что касается значений функций этих углов, то их выражают через значения функций положительных углов.

Как найти, например, sin (—30°)? Будем поступать аналогично тому, как поступали при выводе формул приведения (черт. 20). /_АОМ ——30°; затем /_АОМ1 — -)- 30°; посмотрим также линии синусов этих углов: NM и NM\. Имеем:

Чтобы сравнить sin (—30°) и sin 30°, доказывается равенство треугольников ON M и ONMx: получаем: NM = NMt. Следовательно, правые части равенств

отличаются только знаком, и мы приходим к выводу:

sin(—30°) = — sin 30°.

Затем делается вывод формул для приведения тригонометрических функций отрицательного угла к функциям положительного угла в общем виде. Из чертежа, как в разобранном примере, доказывают для случая, если 0°>а> — 90°, что

Черт. 20.

Часто кто-либо из учащихся ставит вопрос: а если угол по абсолютной величине больше 90°, то сохраняются ли выведенные формулы? Если вопроса такого и не последует, все же нельзя ограничиться выводом формул лишь для случая 0°>а> — 90°, a необходимо показать справедливость их для любого отрицательного угла от 0°до — 360°. Впрочем не следует разбирать выводы для всех функций; достаточно проверить справедливость формул для sin (—а) и cos (—а).

Упражнения следует выполнять в таком порядке: 1) Для случая, когда 0°>а> — 90°, привести к положительному углу и написать значения функций; например:

2) Для случая, когда —90°>а>—360°, привести к наименьшему положительному углу; например,

3) Примеры смешанного типа, требующие, помимо приведения, и других преобразований.

Полезно вскрыть ошибку, которая очень часто встречается при решении указанных выше примеров; например, чтобы привести ctg(—140°) к функции наименьшего положительного угла, пишут:

Интересны примеры типа: привести sin (а—90°) к функции угла а.

Глава VIII.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКИ

37. Общий план изучения периодичности тригонометрических функций может быть дан в таком виде:

а) обобщение понятия угла;

б) периодичность и период синуса и косинуса;

в) определение периодичности и периода;

г) периодичность других тригонометрических функций;

д) упражнения;

е) графики тригонометрических функций.

На протяжении курса тригонометрии уже дважды обобщалось понятие угла: были введены углы от 180° до 360°; затем отрицательные углы от 0° до — 360°; теперь предстоит последнее обобщение понятия угла: предстоит познакомить учащихся с тем, что величина угла не ограничивается никакими пределами.

Прежде всего надо напомнить, что угол определяется как мера вращения, которое совершает подвижной луч, что угол считается положительным, если это вращение совершается против движения часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае. Для наглядной иллюстрации понятия угла любой величины можно воспользоваться движением стрелки часов: если условиться положение минутной стрелки ровно в 12 часов считать начальным, то она через полчаса образует со своим начальным направлением угол в 180°, через 1 час — угол в 360°, через 1,5 часа — угол в 540°, через 3 часа—угол в 1080°. Попутно с обобщением понятия угла следует расширить понятие дуги. Предположим, что какая-нибудь точка подвижного луча вычерчивает путь своего движения; очевидно, при этом могут получаться дуги, большие 360°.

Затем надо обратить внимание учащихся, что если а — угол в пределах до 360°, то положение подвижного луча будет одно и то же как для угла а, так и для углов 360° + «; 360° -2 + а и т. д., вообще для углов 360°-/z-{-a, где п принимает значения ±1, ±2, ^3,...

Возьмем произвольный угол а и построим его линии синуса и косинуса. Пусть теперь подвижной луч сделает полный оборот, т. е. угол в 360°, после этого он, очевидно, окажется в том же положении, которое занимал ранее. Займет то же положение и конец дуги, а, значит, линии синуса и косинуса будут совпадать

соответственно с теми же линиями угла а. То же произойдет, если подвижной луч сделает несколько полных оборотов в положительном или отрицательном направлении; а это значит, что значения синуса и косинуса не изменятся, если к углу а прибавить 360° какое угодно число раз. Таким образом, получаем формулы:

sin (360° п + а) = sin а, cos (360° п + а) = cos а,

где п — положительное или отрицательное целое число или нуль. Те же формулы в радианной мере углов запишутся так:

sin (2 тг п + а) = sin а9 cos (2 тг п -J- а) = cos а9

где п принимает те же значения. После этого надо доказать, что угол 360° — наименьший угол, от прибавления которого (целое положительное или отрицательное число раз) к аргументу значение синуса не меняется. Пусть ах—угол, заключающийся в границах от 0° до 360° и удовлетворяющий равенству

a=360oft-f-ai» где п = 09± 1,±2,.«;

тогда, как показано,

sin а = sin (360° n-{-al) = sin ах.

В границах от 0° до 360° имеется, как известно, еще один угол, синус которого имеет то же значение, что и синус угла aÂ; таким углом является 180° — а1а Но 180°—ах получается из ах путем прибавления угла в 180° — 2ах. Не будет ли являться угол в 180°— — 2 ах таким углом, от прибавления которого произвольное целое число раз значение синуса не изменится, т. е. оно будег оставаться тем же, какое имел синус угла а19 а следовательно, и угла а? Рассмотрим, например,

sin [(180° — 2oj-2+oJf

аргумент которого получается прибавлением к ах удвоенной величины 180°—2 а!; имеем:

sin [(180° — 2 аг) • 2 + aj = sin (360° — 3 ах) = sin (— 3 ах);

но, очевидно, что sinc^, вообще говоря, не равен sin (—За,); значит, углов, которые меньше 360° и от прибавления которых к аргументу значение синуса не меняется, нет.

Так же можно показать, что угол 360° играет такую же роль г по отношению косинуса. Угол в 360° (или 2тг) является периодом синуса и косинуса, а функции sin a и cos a — периодическими функциями.

Когда учащиеся познакомились с двумя периодическими функциями, целесообразно дать общее определение периодичности

и периода. То свойство тригонометрических функций, что они не изменяют своих значений, когда аргумент нарастает на определенную постоянную величину, взятую целое положительное или отрицательное число раз, называется периодичностью, а самые функции—периодическими. Наименьшая величина угла или дуги, от прибавления которой к аргументу не изменяется значение функции, называется периодом.

Далее изучается периодичность тангенса и котангенса и, наконец, секанса и косеканса. Надо подчеркнуть, что периоды тангенса и котангенса равны 180°, или тг, а у всех других функций равны 360°, или 2 тт. Полезно также обратить внимание на то, что каждая из двух функций: синус и косеканс, косинус и секанс, тангенс и котангенс, имеют один и тот же период.

Когда формулы, выражающие периодичность функций, установлены, надо с учащимися проделать довольно большое число упражнений на упрощение аргументов, приводя их к величинам,.

меньшим 360°, или 2 тг, и затем меньшим 90°, или ^ ; часть упражнений надо дать учащимся в качестве домашней работы. При работе над упражнениями целесообразно подбирать их в следующей последовательности:

а) приведение к аргументу, меньшему 360°, или 2тг;

б) приведение к аргументу, не превышающему 90°, или — ;

в) смешанные упражнения, которые потребуют применения не только формул периодичности и приведения, но и формул зависимости между функциями одного и того же угла.

38. К вопросу о периодичности непосредственно примыкает вопрос о построении графиков тригонометрических функций.

Курс математики средней школы уделяет известное внимание понятиям переменной величины и функции; метод координат используется для построения графиков некоторых функций. Разумеется, нет оснований упустить возможность изучения функциональной зависимости, которую дает тригонометрия. Надо отметить, что графики тригонометрических функций

1) дают учащимся ясное и наглядное представление об изменении этих функций, иллюстрируют те границы, в которых происходит это изменение, наглядно демонстрируют однозначность прямых функций, а позднее — многозначность обратных фунций;

2) позволяют наглядно иллюстрировать периодичность функций;

3) дают возможность решать (графически) такие тригонометрические уравнения, которые не решаются другими элементарными приемами;

4) имеют большое практическое значение, в частности, широко используются в физике и механике;

5) являются подготовительной ступенью для изучения высшей математики.

Сравнительная значимость тригонометрических функций далеко не одинакова, а поэтому и подход к их изучению должен быть

различным. Это позволяет выделить те функциии, построение графиков которых надо признать полезным в первую очередь; таковыми являются синус, косинус, тангенс и котангес. Графиками секанса и косеканса можно заниматься в случае наличия свободного времени. План графического изучения каждой функции можно принять такой:

1) построение графика;

2) упражнения в нахождении по графику значения функции по заданному значению аргумента; однозначность решения;

3) описание по графику характера изменения функции; непрерывность или прерывность функции;

4) границы изменений функции;

5) непропорциональность изменений аргумента и функции;

6) нахождение по графику значения аргумента по заданному значению функции; многозначность решения.

39. Как показывает опыт, урок по построению графика с методической точки зрения представляет своеобразное сочетание объяснений преподавателя и работы на доске с параллельно организуемыми лабораторными занятиями учащихся. Преподаватель с чертежными приборами для работы на доске — с линейкой, циркулем, прямоугольным треугольником — объясняет построение графика синуса, производя некоторые необходимые вычисления и выполняя чертеж. Конечно, лучше, если в распоряжении преподавателя будет доска с нанесенной на ней координатной сеткой, а если этого нет, то надо еще до урока подготовить на доске координатную сетку. Каждый из учащихся должен быть обеспечен линейкой и циркулем; кроме того, каждому учащемуся дается кусок миллиметровой бумаги, примерно, размером 20 X 10 см; миллиметровую бумагу можно заменить клетчатой бумагой. Преподаватель должен приготовить таблицы натуральных значений тригонометрических величин.

Ставя вопросы учащимся, преподаватель приводит их к мысли, что для построения графиков функций необходимо составить таблицы значений аргумента и соответствующих значений функции. Начиная с нуля, будем давать приращения аргументу по 15°, а для удобства построения графика градусы переведем в радианы: в этом случае значения аргумента и значения синуса будут выражаться числами, удобными для сравнения. Для перевода градусов в радианы воспользуемся значением тг = 3,142. Значения синуса выпишем из таблиц натуральных значений тригонометрических величин (все вычисления вполне достаточно производить с точностью до 0,01). После заполнения первого столбца таблички преподаватель кратко выясняет, как наиболее быстро и рационально перевести градусы в радианы; затем предлагает учащимся заполнить в своих тетрадях второй столбец таблицы. По мере заполнения этого столбца учащимися, он заполняется и в таблице на доске. Далее, учащиеся самостоятельно, пользуясь таблицами значений тригонометрических величин, знакомыми им из предыдущего курса, заполняют третий столбец таблицы.

Значения аргумента

Значения синуса

в градусах

в радианах

0

0,00

0,00

15

0,26

0,26

30

45

0,52

0,78

0,50

0,71

60

1,04

0,87

75

1,31

0,97

90

1,57

1,00

105

1,83

0,^7

120

2,09

0,«7

135

2,36

0,71

150

2,62

0,50

165

2,88

0,26

180

3,14

0,00

Значения аргумента

Значения синуса

в градусах

в радианах

180

3,14

0,00

195

3.40

— 0,26

210

3,66

— 0,50

225

3,92

-0,71

240

4,18

— 0,87

255

4,45

— 0,97

270

4,71

— 1,00

285

4,97

— 0,97

300

5,23

— 0,87

315

5,50

— 0,71

330

5,76

— 0,50

345

6,02

— 0,26

360

6,28

0,00

Когда таблица составлена, преподаватель кратко указывает, как удобнее расположить кусок миллиметровой бумаги, как целесообразно начертить оси. После этого предлагает приступить к построению точек по их координатам. Один из учащихся выполняет работу на доске. Когда все точки построены, преподаватель, ставя вопросы классу, выясняет, что если бы аргумент изменялся не через 15°, а через 5° или через 1°, то число точек было бы еще больше; как видно, все точки располагаются на некоторой кривой. Кривую вычерчивают как на доске, так и на листках бумаги.

Продолжая дальнейшее увеличение аргумента, будем наблюдать, что синус в силу своей периодичности изменяется так же, как в пределах от 0° до 360°; таким образом кривую можно продолжить в положительном направлении оси X; она будет безгранично повторять такие же „волны", как от 0° до 360°. Но аргументу можно давать и отрицательные значения; это позволит продолжить кривую в отрицательном направлении оси X. Полученная кривая называется синусоидой.

Обратив внимание учащихся, на то, где на чертеже откладываются значения аргумента и где значения синуса, делают несколько упражнений такого вида: найти по графику значение синуса для угла в 40°, для угла в 70°, для угла в 0,2 тг. Сколько можно найти значений синуса для каждого значения аргумента? Таким образом на графике демонстрируется, что синус есть функция однозначная. Конечно, по данному значению аргумента значение функции определяется приближенно. Надо обратить внимание учащихся на высшую и низшую точки, до которых кривая соответственно поднимается и опускается (ось абсцисс предполагается горизонтальной); таким образом, еще раз фиксируется внимание учащихся на границах изменения синуса.

Опыт показывает, что учащиеся склонны думать, что синус изменяется пропорционально аргументу. Педагогу приходится

вести борьбу с этой ошибкой, сопоставляя по таблице значений синуса и угла. Нелишне также, пользуясь графиком, еще раз обратить внимание учащихся на то, что угол и синус не пропорциональны (сравнивая, например, sin 40°, sin 80° и sin 120°; sin 30°, sin 60° и sin 90°).

В учебной литературе встречается несколько другой способ построения синусоиды. Из какой-либо точки оси абсцисс произвольным радиусом описывают окружность (черт. 21). С помощью транспортира строят центральные углы в 15°, как показано на чертеже. Условно принимают за дугу в 15° некоторый отрезок, приблизительно равный выпрямленной дуге в 15°. Этот отрезок откладывают по оси абсцисс, начиная от начала, вправо и влево несколько раз. Для построения соответствующих ординат вместо значений синуса используют пропорциональные им линии синуса, перенося их паралелльно им самим из круга к соответствующим значениям аргумента, отложенным по оси X. Таким путем получается синусоида. Особенности этого способа построения таковы:

а) он не требует никаких предварительных вычислений и поэтому выполняется значительно быстрее и проще;

б) вместо значения синуса откладываются пропорциональные им линии синуса, что благодаря произвольности масштаба не встречает возражений, но что иногда смущает учащихся.

Иногда преподаватели для построения графика пользуются такими значениями аргумента, для которых соответствующие значения функций известны и обычно держатся в памяти, т. е. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и т. д. Градусы переводят в радианы, вычисляя с точностью до 0,1; значения функции вычисляются с точностью до 0,1. Таким образом таблица значений аргумента и функции будет подготовлена. График строится, как в первом из описанных способов.

Наконец, следует использовать график для определения значений аргумента по данному значению функции; например, найти по графику значения х, если sin х = — ; то же, если sin х = 0,7,

Полезно подчеркнуть многозначность решения этих примеров.

Когда построение синусоиды закончено, хорошо повесить на стене тщательно вычерченную синосоиду, которую можно использовать при дальнейшем изучении графика.

Черт. 21.

40. После общих указаний относительно построения графиков тригонометрических функций, после детального разбора построения синусоиды и последующих упражнений с ней, нет надобности подробно и детально останавливаться на построении графитов других функций. Ограничимся немногими замечаниями.

Построение графика косинуса по существу сводится к построению синусоиды. На самом деле, cos .* = sin^—х^ или cos A: = sin У значит, график косинуса есть синусоида, сдвинутая по оси абсцисс. Иногда и рекомендуют так подходить к графику косинуса. Однако в условиях средней школы такой подход надо признать нецелесообразным: дело в том, что в таком подходе фактически пользуются параллельным перенесением осей координат; это преобразование неизвестно учащимся, а при беглом и поверхностном объяснении его применительно к нашему случаю оно не дает достаточного эффекта и оставляет следы неудовлетворенности и неясности. Поэтому график функции y — ZQSX лучше построить независимо от графика функции у = = sin X одним из тех способов, которые описаны применительно к синусу. Естественно, в этой работе учащимся предоставляется больше самостоятельности. При построении графика функции y=.cosx по второму способу некоторые авторы учебников для удобства перенесения линии косинусов рекомендуют начертить круг так, чтобы интересующие нас отрезки располагались параллельно оси ординат. Поскольку график фунции j/ = cos х является повторением синусоиды, ему уделяется меньше внимания.

Приемы построения графиков функций y = igx и y = ctgx и их последующего использования те же, что и синусоиды. Надо обратить внимание учащихся на разрывность этих функций при некоторых значениях аргумента и показать ее отображение на графиках.

41. Когда изменение аргумента рассматривается в границах от 0° до 360°, то каждому значению функции соответствуют, как правило, два значения аргумента. Когда аргумент может принимать любые значения, задача о нахождении угла по данному значению ею тригонометрической функции становится, как это отмечалось при изучении графиков, неопределенной. Часто бывает необходимым найти формулы, содержащие в себе все углы, для которых тригонометрическая функция имеет заданное значение; такие формулы называются формулами общего вида углов. Первое знакомство учащихся с формулами общего вида углов целесообразно провести на примерах.

Пример 1. Пусть дан sin х =—^ и требуется составить общую формулу, в которой содержались бы все без исключения углы, удовлетворяющие этому равенству. В границах от 0° до 360° известны два таких угла:

лгх=:450 и *2=180° —45°

(в интересах дальнейших выкладок выполнять вычитание в выражении для х2 не следует). Все остальные углы могут получиться из двух

найденных на основании периодичности; используя период синуса 360°„ получим:

(360°..*-f 45°,

\3г 0о.£ + 180о—45°,

где k— произвольное целое число (положительное или отрицательное) или нуль. Полученные формулы можно записать так:

^=/180°- 2 £ + 45°,

1180°-(2 Ä-h 1) —45°.

Их можно соединить в одну:

*= 180°-л+( — 1)я.45°.

В самом деле, если л = 2£, т. е. четное число, то получим первую формулу, если же n — 2k-\-\y т. е. нечетное число, то получим вторую формулу.

Рассматривая ряд примеров, аналогичных приведенному, учащиеся подходят к общему решению задачи об отыскании формулы общего вида углов, имеющих один и тот же синус. Если sin х = а и хх = а, то формула общего вида углов будет:

х= И80°- 2 k + a,

1180°-(2 — а,

где k — произвольное целое число или нуль. Или, соединив в одну формулу, получим:

х=180о.л + (— 1)л-а.

Аналогично можно вывести формулы общего вида для косинуса и тангенса. Если cos х = а и хх = а$ то общая формула углов будет:

л: = 360°-/г±а,

где п — любое целое число или нуль. Если tg х = а и хх = а9 то формула общего вида углов будет:

дг=180°./* + а,

где п — любое целое число или нуль.

При помощи рассуждений, аналогичных изложенным, легко убедиться, что формулы общего вида углов для котангенса, секанса и косеканса будут соответственно такие же, как для тангенса, косинуса и синуса; однако особой надобности получить эти формулы не имеется. Так как ctga= ^ , sec а— cosec а = , то всегда можно отыскание формулы общего вида углов для котангенса, секанса и косеканса свести к отысканию общего вида углов соответственно для тангенса, косинуса и синуса.

Как видно из изложенного, отыскание общего вида углов по данному значению функции отличается для каждой функции некоторыми особенностями. Надо добиться, чтобы учащиеся умели составлять формулы; лучше в каждом конкретном случае каждый раз составлять формулы, повторяя те рассуждения, ко-

торые приведены в рассмотренных выше примерах. Можно наметить следующий общий план отыскания формулы общего вида углов:

а) надо найти один из углов, удовлетворяющих данному равенству (а — первый угол);

б) при заданном значении синуса (косеканса) и косинуса (секанса) выписать значения второго угла соответственно так: 180° — а и—а; при заданном значении тангенса (котангенса) второе значение выписывать не следует;

в) пользуясь периодичностью функций, составляют формулы общего вида углов;

г) в случае надобности при заданном значении синуса (косеканса) и косинуса (секанса) полученные две формулы объединяются в одну.

При отыскании первого и второго углов полезно рекомендовать учащимся пользоваться чертежом, указывая на нем эти углы.

42. Полнее, когда учащиеся будут знать теорему сложения и ее следствия, когда они изучат формулы преобразования многочленов в одночлены, полезно вернуться к функции у — sinx и ее графику и показать некоторые ее применения в механике и физике. Если общий бюджет времени, отводимый на изучение тригонометрии, не позволит сделать этого в порядке учебной работы в классе, то целесообразно заняться этим вопросом в математическом кружке. Основная задача, которую следует поставить и разрешить, заключается в том, чтобы познакомить учащихся с сложением гармонических колебательных движений. А основой путь в решении этой задачи — графическое сложение. Наметим общий примерный план выполнения этой работы.

Вспомнив построение графиков функции j/ = sin х (черт. 22), предлагают учащимся построить с соблюдением того же масштаба графики следующих функций: j/ = sin2*, y = sin Зх, у = sin -к (черт. 23, 24, 25). Сопоставление рассматриваемых функций и их графиков позволит выяснить роль коэфициента при X.

Затем предлагают учащимся построить в том же масштабе графики функций

Сравнение графиков этих функций с графиком фукции y = s\n х позволит сделать вывод о роли постоянного слагаемого или — -^j в аргументе. Учащиеся убедятся, что графиком функции y = sin будет та же кривая, что и функции y = sinx, но сдвинутая по оси X влево на отрезок, соответствующий в масштабе у '

Черт. 22.

Черт. 23.

Черт. 24.

Черт. 25.

После этого следует перейти к графическому сложению двух функций. Пусть даны функции

ух = sin X и у2 = sin 2х

Образуем новую функцию:

у — sin X + sin 2х.

Как построить график этой функции? Очевидно, что каждому значению абсциссы х будет соответствовать ордината, равная алгебраической сумме соответствующих ординат функций

ух — sin X и у2 — sin 2х.

Используя это положение, учащиеся, зная графики слагаемых функций, могут получить график функции у —sin я-{-sin 2х (на чертеже 26 дан график этой функции).

Черт. 26.

Для упражнения можно построить таким же способом графики следующих функций:

В заключение учащиеся знакомятся с простейшими синусоидальными величинами механики и в первую очередь с гармоническим колебательным движением, с графиком зависимости пути от времени в этом движении и, наконец, с графическим сложением двух и трех гармонических движений.

Глава IX.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СУММЫ И РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ.

43. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов, или, как иногда говорят, теорема сложения, играла в истории тригонометрии видную роль: некоторые из соотношений этой теоремы служили древним грекам для составления таблиц хорд; этой теоремой и ее следствиями неоднократно пользовались позднее при составлении таблиц синуса и других функций. Теорема сложения представляет большой интерес и с точки зрения гониометрических преобразований: на ней обычно основываются последующие главы гониометрии — вывод формул для двойных и тройных углов, для половинных углов, преобразование алгебраической суммы функций в произведение и, обратно, преобразование произведения функций в алгебраическую сумму. Кроме того, формулы сложения находят применение в различных отделах высшей математики. В силу этого в программах по тригонометрии теорема сложения занимает важное место.

Вывод формул для sin (a±ß) и cos(a±ß) в методическом отношении представляет довольно трудный материал; в отношении трудности им, пожалуй, во всей тригонометрии принадлежит первое место, С одной стороны, довольно искусственные синтетические выводы этих формул для острых углов из чертежа, с другой стороны, кропотливое, длительное, многоступенчатое обобщение этих формул для любых углов, — таковы основные причины, вызывающие трудности в изложении этого материала в школе.

Литература по тригонометрии довольно богата различными доказательствами теоремы сложения. Например, в маленькой книжечке Г. Гесенберга „Тригонометрия на плоскости" приведено четыре различных геометрических доказательства теоремы сложения. Другие авторы также часто дают несколько доказательств этой теоремы. Наиболее распространенным доказательством формул для острых углов является то, которое приведено в учебнике прямолинейной тригонометрии П. Шмулевича; этим доказательством в дальнейшем и будем пользоваться. Дадим подробное изложение первых уроков.

44. Преподаватель сообщает, что задача заключается в том, чтобы выразить тригонометрические функции sin (a s*n (а—ß)> cos(a+ß) и cos (а— ß) через тригонометрические функции углов а и ß; другими словами, надо вывести формулы, связывающие тригонометрические функции алгебраической суммы углов с функциями слагаемых углов. Предварительно полезно обратить внимание на то, как читаются приведенные выражения: sin(a+ß)— синус суммы двух углов, sin (а — ß)—синус разности двух углов и т. д., противопоставляя этому чтение таких выражений: sina+ + sin ß; cos a-(-cos ß и т. д. Так как учащиеся проявляют склонность к допущению ошибки вида: sin (а -)- ß) = sin а -f- sin ß, то полезно

обратить их внимание на то, что тригонометрическая функция суммы двух углов, вообще говоря, не равна сумме тех же тригонометрических функций этих углов, т. е.

sin (а + ß) ф sin а + sin ß,

cos (а + ß) ф cos а -f cos ß.

То же подчеркивается и относительно функций разности двух углов. Полезно при этом воспользоваться частными, хорошо знакомыми учащимся значениями функций углов 30°, 45°, 60°, 90° и др.

Примеры:

Несколько таких примеров явятся предупреждением о распространенной ошибке.

После этой подготовки преподаватель приступает к выводу формул для синуса и косинуса суммы двух углов. Преподаватель на доске, а учащиеся вслед за ним в тетрадях подготовляют чертеж (чертеж полезно сделать несколько крупнее обычного: это облегчит фиксацию на нем обозначений углов). Строим угол ос<90° и к нему пристраиваем угол ß < 90°; получается угол а -|- ß. Пусть он также будет меньше 90° (черт. 27). Эти углы полезно отметить на чертеже, а ограничения, наложенные на них, записать в рубрике „дано". Затем строим линии синуса и косинуса этих углов: выбираем на луче AB произвольную точку В и опускаем из нее перпендикуляры на два других луча: ВС ± АС и BD JL AD.

ВС и BD могут играть роль линий синуса соответственно для углов ß и а —|— ß. Для угла а построим линию синуса, опустив перпендикуляр СЕ из точки С на луч AD. Наконец, проводим через точку С перпендикуляр CK к BD. Заметим, что L СВК — L CAD (как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

С помощью отрезков на чертеже выражают sin(a-f-ß):

Черт. 27.

Чтобы перейти к функциям углов а и р, представим BD в виде суммы двух слагаемых DK и ВК. Тогда

Подставляем значения ВК и СЕ:

Таким образом получаем формулу:

sin (а + ß) == sin а cos ß cos а sin ß. (1)

Аналогично выводится формула:

cos (я+ ß) = cos a cos ß — sin а sin ß. (2)

В заключение этих геометрических выводов полезно еще раз обратить внимание учащихся на те ограничения, которые наложены на углы: а<90°, ß<90° и a+ß<90°. Чтобы конкретизировать полученные формулы и показать некоторое их применение, надо решить примеры, как-то: вычислить sin 75°, cos 75°.

45. Дальнейшее развитие теоремы сложения может быть направлено различными путями. Первый путь заключается в следующем: последовательно доказывается, что формулы для синуса и косинуса суммы двух углов верны и в том случае, если

1) а<90°; ß<90° и a+ß = 90°;

2) а<90°; ß<90° и a + ß>90°;

3) один из углов увеличить на 90°;

4) а и ß — любые положительные углы;

5) а и ß — любые отрицательные углы.

Затем как следствие этих обобщенных формул выводятся формулы синуса и косинуса разности двух углов.

Особенности этого пути заключаются в том, что: а) он безукоризнен с точки зрения полноты и законченности доказательства; б) дает полезные преобразования на применение обоснованных формул теоремы сложения и на использование формул приведения; в) избегает геометрического обоснования формулы для синуса и косинуса разности двух аргументов и делает их простыми следствиями обобщенных формул суммы двух углов; г) требует аналитических рассуждений, содержащих ряд тонкостей; д) довольно труден для учащихся, особенно для тех из них, которые не отличаются хорошей подготовкой.

Второй способ заключается в следующем: вслед за выводом формул синуса и косинуса суммы двух углов для случая, когда все углы острые, дается аналогичное доказательство формул синуса и косинуса разности двух углов, а затем указывается без доказательства, что все четыре полученные формулы справедливы для каких угодно углов1. Особенности этого способа тако-

1 Так поступает, например, П. Шмулевич в „Учебнике прямолинейной тригонометрии". Так поступают очень часто в школьной практике.

вы: а) он заслуживает упрека с точки зрения законченности доказательства; в нем имеет место догматическое утверждение; б) доказательство формул для синуса и косинуса разности двух углов является в известной мере повторением доказательства формул синуса и косинуса суммы углов; г) он сравнительно с предыдущим проще и доступнее для учащихся и требует меньше времени. Этот путь можно использовать в таком классе, который по математической подготовке не отличается большими успехами или когда почему-либо отводится недостаточно времени на изучаемую главу.

Третий путь можно назвать компромиссным. В нем развитие теоремы сложения идет таким порядком: вслед за доказательством формул для синуса и косинуса суммы углов, когда все углы острые, идет аналогичное доказательство формул о синусе и косинусе разности углов, а затем дается обобщение формул для двух-трех видов аргумента и делается указание о полной общности полученных формул.

Особенности этого компромиссного пути заключаются в том, что: а) формулы для суммы углов и для разности углов даются независимо друг от друга из геометрических соображений; б) очень близкие и похожие доказательства этих формул позволяют основательнее усвоить структуру этих выводов и лучше запомнить их; в) обобщение формул выдвигается как существенный вопрос и частично проводится в такой мере, в какой это позволяют конкретные условия класса; г) процесс развития теоремы получает значительную гибкость в педагогическом отношении: он легко приспособляется к условиям работы класса; д) при благоприятных условиях обобщение возможно закончить полностью.

Какой из трех путей выбрать, зависит от конкретных условий подготовки и работы класса. Полное игнорирование доказательств общности формул нежелательно: оно во многих отношениях обесценивает эту главу. Третий путь, как наиболее гибкий, в педагогическом отношении заслуживает преимущественного внимания.

46. Доказательство формул для синуса и косинуса разности углов геометрическим способом целесообразно провести по тому же плану и такими же приемами, как и описанное доказательство формул суммы двух углов. Наблюдения показывают, что оно проходит сравнительно легко; активность учащихся может быть использована очень полно. Приведем это доказательство, чтобы показать, как желательно зафиксировать материал в тетрадях у учащихся.

Дано: а<90°; ß<90° и a>ß. Найти: sin (а — ß) и cos (а — (5). Построение: BD ±_AD и ВС±_АС:

(черт. 28).

Доказательство: LBCK—a, так как углы ВСК и CAD имеют стороны, соответственно перпендикулярные. Теперь имеем:

(3)

Аналогично выводится формула:

(4)

Для лучшего запоминания приведенных четырех формул следует их сопоставить друг с другом, обратив внимание на их сходство и различие; с этой целью полезно использовать стенную таблицу. Надо при этом обратить внимание учащихся, что формулы (3) и (4) являются следствиями формул (1) и (2).

Далее дают обобщение формул для любых углов, зафиксировав в заключение план, в котором обобщение проведено. Такой план помогает лучше понять смысл проделанной работы.

47. Как процесс обобщения четырех формул, так и последующие упражнения должны быть использованы для того, чтобы учащиеся прочно запомнили эти формулы.

Порядок упражнений можно рекомендовать такой:

а) вычисление значений синуса и косинуса, секанса и косеканса таких углов, как 15°, 75°, 105°, 165°, 195° и т. п., которые можно легко представить в виде суммы или разности двух углов, значения функций которых известны учащимся без таблиц;

б) вычисление значений синуса, косинуса, а позднее — секанса и косеканса суммы и разности двух углов, когда известно, в каких четвертях эти углы, и когда даны значения каких-либо функций каждого из этих углов; например, вычислить sin (а—S), если а — угол второй четверти, ß— угол первой четверти, ig cl — — 2, cos ß — —;

в) вычисление всех значений синуса и косинуса, секанса и косеканса суммы и разности двух углов, когда даны значения каких-либо функций каждого из этих углов; например, вычислить все значения sec (а 4-В), если cosa = — и sin 3 = —;

Черт. 28.

г) упрощение выражений, когда в них входит синус или косинус суммы или разности двух углов; например, упростить выражения:

д) доказательство тождеств; например,

cos (А + В) cos (А — В) — cos2 А — sin2 В.

При упражнениях надо иметь в виду, что учащиеся часто затрудняются, когда им приходится пользоваться формулами теоремы сложения, читая их не в прямом, а в обратном порядке. Преподаватель должен дать достаточное число примеров, позволяющих использовать формулы путем перехода от правой части к левой. Такое использование формул имеет практический интерес.

48. Вывод формул тангенса суммы и разности двух углов не представляет в методическом отношении трудностей: их получают как следствия четырех предыдущих формул аналитическим способом.

Таким образом, в результате изучения главы о функциях суммы и разности углов, учащиеся должны сохранить в памяти шесть формул. Запоминать формулы, выражающие котангенс суммы и разности двух углов, не имеет смысла: эти формулы встречаются редко, а в случае надобности вычисление котангенса легко заменяется вычислением тангенса. Однако выводы формул котангенса суммы и разности двух углов целесообразно выполнить в качестве упражнений.

Последовательное применение формул для алгебраической суммы двух углов дает возможность найти тригонометрические функции алгебраической суммы какого угодно числа углов. Однако практически наталкиваются на довольно громоздкие и трудные для учащихся выкладки, сложность которых быстро растет с увеличением числа слагаемых. В силу приведенных соображений следует ограничиться тригонометрическими функциями алгебраической суммы трех углов, проводя соответствующие упражнения как заключительные по изучению функций суммы и разности аргументов.

Глава X.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДВОЙНЫХ И ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ.

49. Ближайшим следствием теоремы сложения является возможность получить выражения тригонометрических функций углов та, где m — целое число, через функции угла а. Программа математики средней школы предусматривает изучение

функций только двойных углов. Такая установка программ заслуживает одобрения: рассмотрение функций углов За, 4а и т. д. может быть выполнено, что часто и делается в школах, в порядке упражнений.

Вывод формул тригонометрических функций двойных углов крайне прост и не требует методических указаний. Изложив вывод формулы для sin 2 а, учитель предлагает учащимся самим вывести формулы для cos 2а и tg2a. В связи с формулой

cos 2а = cos2 а — sin2 а

полезно дать формулы:

cos 2а = 1 — 2 sin2 а и cos 2а = 2 cos2 а — 1.

Эти же соотношения можно представить в виде:

1 —cos2a = 2sin2a и 1 -f cos2a — 2cos9a,

или, заменив 2 a через x,

Из последних формул легко получить формулы для синуса и косинуса половинного угла.

Представляют некоторый интерес формулы, выражающие тригонометрические функции угла через тангенс угла, вдвое меньшего:

Вывод этих формул затруднений не представляет. Формулы для выражения ctg 2a, sec 2a и cosec2a через tga легко получаются соответственно из формул для tg 2a, cos 2а и sin 2а.

Преимущество этих формул заключается в том, что все тригонометрические функции угла выражаются рационально и однозначно через тангенс угла, вдвое меньшего. Это свойство может быть полезно в различных тождественных преобразованиях, в частности, при решении уравнений, содержащих различные тригонометрические функции неизвестных углов: оно позволяет заменить эти функции рациональными выражениями, содержащими только одну функцию — тангенс1.

Последовательность упражнений на применение формул для функций двойных углов такова:

1 Об использовании этих формул при решении уравнений см. главу „Тригонометрические уравнения".

а) определение значений функций угла по данному значению одной из функции угла, вдвое меньшего; например, вычислить:

б) упрощение тригонометрических выражений; например:

в) доказательство тождеств; например:

г) решение уравнений1.

Что касается тройных углов, то познакомить учащихся с выводами формул тригонометрических функций этих углов следует в порядке упражнений. Эти формулы запоминать не надо, лучше запомнить процесс их вывода и пользоваться им, когда в этом встретится надобность. В порядке упражнений можно познакомить учащихся также с вычислением значения функции угла, когда дана функция вчетверо меньшего угла, например, вычислить cos 4л:, если cos# = Следует заметить, что, переходя последовательно от выражения функции угла За (через функции угла а) к выражению функции угла 4а, затем 5а и т. д., можно любую функцию угла та, где m — целое число, выразить через функции угла а.

50. Если формулы двойных углов позволяют определять значение функций угла по значению функций угла, вдвое меньшего, то эти же формулы дают возможность разрешить обратную задачу— определить значение функций угла по значению функций угла, вдвое большего. Вывод формул для функций половинных углов есть не что иное, как приспособление формул функций двойных углов к новым задачам и условиям.

Формулы для синуса и косинуса половинного угла

сразу получаются из соотношений

1 Систематически и удачно подобранные упражнения по разбираемому материалу дает Б. Я. Березовский в „Сборнике задач по прямолинейной тригонометрии" (1936).

Полезно обратить внимание учащихся на то, что так как cos а не может по абсолютному значению перевышать единицы, то значение подкоренной величины положительно и не превышает единицы, а потому эти формулы дают всегда вещественные значения, по абсолютной величине не превышающие единицы, чего и следовало ожидать. Полезно обратить внимание и на двойной знак перед корнем: он показывает, что синус и косинус угла, определяемые через косинус вдвое большего угла, имеют два значения, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, что можно пояснить примером. Приводить встречающееся в учебный литературе общее доказательство необходимости двух знаков перед корнем нецелесообразно: оно довольно громоздко и занимает много времени.

Из формул для sin-^- и ços- делением получаем:

При всех значениях а подкоренная величина имеет положительные значения или нуль; поэтому эта формула всегда дает вещественные значения. Необходимость двойного знака выясняется на примерах. Кроме этой формулы для тангенса половинного угла можно получить другие выражения, выгодно отличающиеся от предыдущего тем, что не содержат радикалов, а именно:

Последовательность упражнений на применение формул для функций половинных углов такова:

а) определение значений функций угла по данному значению одной из функций угла, вдвое большего: например, вычислить sinx, cos x, tgx, если sin 2х —---и х — угол второй четверти;

б) упрощение тригонометрических выражений; например:

в) доказательство тождеств;

г) решение уравнений.

При нахождении тригонометрических величин для углов, составляющих часть данного, приходится ограничиваться только углами, составляющими половину, четверть, восьмую и т. д. данного угла. Нахождение тригонометрических величин углов, составляющих какую-либо иную часть данного угла, приводит к решению уравнений выше второй степени, а потому выходит за рамки программы средней школы.

Глава XI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В ОДНОЧЛЕНЫ И ОБРАТНО.

51. Глава о преобразовании тригонометрических многочленов в одночлены в методическом отношении не представляет трудностей: она проста по обоснованию тех формул, которые в ней встречаются, она богата упражнениями, которые в отношении последовательности их выполнения легко систематизировать.

Вывод формул для преобразования суммы и разности синусов и косинусов

sin a±sin ß и cos a zt; cos ß

довольно прост: сложение, a затем вычитание по частям равенств, выражающих синусы суммы и разности двух аргументов, такие же операции с равенствами, выражающими косинусы суммы и разности двух аргументов, и последующие замены аргументов приводят к требуемым формулам. Учащиеся под руководством преподавателя могут провести вывод этих формул самостоятельно. Словесная формулировка их обычно не вызывает затруднений у учащихся.

Обращается внимание учащихся на то, что эти формулы справедливы для любых углов, так как формулы, которые используются для вывода, верны для всяких углов. Чтобы придать формулам большую конкретность и показать их использование, надо вслед за выводом решить 2—3 примера, в которых даны численные значения углов.

Следующая серия формул из этой главы — формулы для преобразования суммы и разности тангенсов и котангенсов в одночлены— уже не имеет такого большого значения, как формулы, рассмотренные выше. Поэтому следует обратить внимание лишь на способ вывода; этот способ учащиеся запоминают и приучаются пользоваться им, встречаясь с аналогичными случаями; самые же формулы можно не запоминать.

Рассматриваемые тригонометрические преобразования требуют значительного количества упражнений. Последовательность этих упражнений такова:

а) преобразование алгебраической суммы двух одноименных тригонометрических величин (непосредственное использование формул);

б) преобразование суммы или разности функции и дополнительной функции (предварительное использование дополнительного угла, а затем формул);

в) преобразование алгебраической суммы тригонометрической функции и такого числа, которое легко заменяется значением функций какого-нибудь угла без использования таблиц;

г) преобразование алгебраической суммы тригонометрической функции с некоторым коэфициентом и такого числа, что после вынесения за скобки коэфициента в скобках получается выражение, рассмотренное в предыдущем пункте;

д) преобразование разностей квадратов двух одноименных функций или функции и дополнительной функции (предварительное разложение на множители);

е) преобразование трехчленов и других многочленов;

ж) другие более сложные преобразования.

Как и в других главах, полезным видом упражнений могут служить доказательства тождеств и решение уравнений. Отметим особый вид тождеств, в которых углы связаны дополнительным условием. В качестве таких условий обычно используют следующие: а) сумма углов равна 180° и б) сумма углов равна 360°. Например, доказать, что если А -|- /? + С = 180°. Упражнения этого вида требуют использования почти всех гониометрических формул; они побуждают к разнообразным преобразованиям и являются хорошим заключительным материалом при изучении гониометрии. Зависимость между тригонометрическими функциями трех углов, сумма которых равна 180°, может быть истолкована как зависимость, свойственная углам треугольника. Однако прикладное значение этих зависимостей незначительно; поэтому на доказательство таких тождеств с учащимися надо смотреть, как на полезный материал тренировочного характера.

52. Теперь перейдем к вопросу о „приведении к логарифмическому виду с помощью введения вспомогательного угла". При логарифмических вычислениях введение вспомогательного угла, как правило, не облегчает вычисления, а усложняет их. Если вычислять при помощи таблиц каждое слагаемое отдельно, а затем найти общую сумму, то такой способ вызывает меньше затруднений, требует меньшего числа логарифмов, выписываемых из таблиц, не требует предварительных преобразований к логарифмическому виду. Таким образом, при логарифмических вычислениях введение вспомогательного угла, как правило, не имеет практического значения и с этой точки зрения не заслуживает большого внимания. Этот прием преобразования суммы и разности в одночлены меньше всего интересен с точки зрения логарифмических вычислений. Однако этот прием преобразования алгебраических сумм в буквенной символике дает простые формулы, преобразования отличаются изяществом, они довольно разнообразны и используют довольно большое число гониометрических формул. Это позволяет считать разбираемый прием преобразования сумм полезным для упражнений. Таким образом, преобразование суммы и разности в произведения с помощью вспомогательного угла имеет некоторое методическое значение.

Математика всегда стремится дать общее решение той или другой проблеме; она обычно не удовлетворяется решением проблемы для некоторых частных случаев. Все приемы преобразования алгебраических сумм в произведения без введения вспомогательного угла представляют частные случаи; введение же вспо-

могательного угла позволяет преобразовать любую алгебраическую сумму в одночлен. Вот эта общность решения проблемы преобразования суммы является, пожалуй, наиболее существенным мотивом, благодаря которому теория вспомогательного угла находит место в тригонометрии.

Не останавливаясь на общей теории, отметим один частный случай, который представляет интерес с точки зрения решения тригонометрических уравнений и с точки зрения применения в механике при изучении гармонических колебаний. Требуется преобразовать в одночлен сумму

asinAr + ôcosx,

представляющую однородный относительно синуса и косинуса двучлен первой степени. Поступают так:

где угол fp определяется из уравнения

53. Перейдем к преобразованию произведений тригонометрических функций в алгебраические суммы. Требуется преобразовать произведения sin 2 sin ß, sin a cos ß и cos a cos ß в алгебраические суммы функций. Эти произведения входят как слагаемые в формулы теоремы сложения. Воспользуемся этими формулами. Перепишем их так, чтобы интересующие нас произведения были в левых частях равенств:

sin a cos ß -J- cos a sin ß = sin (a -|- ß); (1)

sin a cos ß — cos a sin ß = sin (a — ß); (2)

cos a cos ß — sin a sin ß = cos (a -f- ß); (3)

cos a cos ß + sin a sin ß = cos (a — ß). (4)

Вычтя почленно (3) из (4) и разделив обе части полученного равенства на 2, найдем:

Сложением тех же равенств и делением на 2 получаем:

Сложением первой и второй формул и делением на 2 получаем:

Упражнения на использование этих формул надо дать в такой последовательности:

а) непосредственное применение формул к произведению двух функций, входящих в формулы;

б) применение формул к произведению трех и более синусов и косинусов;

в) преобразование произведения тангенсов и котангенсов.

Глава XII.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ.

54. Изучение тригонометрических таблиц распадается на две части: 1) составление таблиц и 2) использование таблиц. Займемся сначала первой — составлением таблиц.

Основная задача заключается в том, чтобы показать учащимся, как элементарным путем составить таблицы натуральных значений, тригонометрических функций, а затем логарифмов этих значений. Надо иметь в виду, что в курсе средней школы ограничиваются тем, что указывают учащимся пути, доступные их пониманию и убеждающие их в возможности составления таблиц; с современными же средствами, основанными на разложении функций в ряды, конечно, познакомить учащихся невозможно.

В физике, механике, геодезии и ряде других дисциплин, использующих математику, синус малого положительного аргумента часто заменяют его дугой, выраженной в радианах. Часто с помощью такой замены составляются формулы, играющие существенную роль в этих дисциплинах. Таким образом, этот вопрос является существенным и важным с точки зрения практики. В рассматриваемой главе надо дать учащимся понятие об этой замене и о вычислении границ аргумента, в которых погрешность не превышает заданной величины. Надо отметить также, что ни в одной другой главе курса тригонометрии средней школы так не вскрывается ценность радианного измерения дуг и углов.

Учитывая приведенные соображения, наметим наиболее приемлемый план изучения главы о составлении таблиц:

а) введение: значение тригонометрических таблиц и некоторые соображения об их составлении;

б) теорема: sin х < х < tg х, где 0 < х <

в) теорема:л;—sinx<—, где 0<л;<— ;

г) показ возможности составления таблиц натуральных значений синуса;

д) о границах, в которых возможна замена синуса его дугой с погрешностью, не превышающей заданной;

е) составление таблиц логарифмов значений тригонометрических функций.

55. Перейдем к детальному рассмотрению содержания главы. Во введении надо напомнить учащимся, что при решении прямоугольных треугольников уже приходилось пользоваться таблицами значений функций; в начале курса даже составлялись такие таблицы графическим способом. Однако графическое составление таблиц не может удовлетворить практических запросов: таблицы дают малую точность, эта точность зависит от ряда случайных обстоятельств, учесть границы погрешности невозможно. Теперь перед учащимися стоит задача: изучить способы аналитического вычисления значений функций, познакомиться со способами составления таблиц с учетом границ погрешностей.

Тригонометрические функции углов любой величины всегда можно привести к углам от 0° до 90°, пользуясь формулами, выражающими периодичность функций, и формулами приведения. А если воспользоваться функциями дополнительных углов, то можно еще более сузить границы изменения аргумента: достаточно составить таблицы от 0° до 45°. Как правило, тригонометрические таблицы так и составляются. По данному значению одной из функций легко найти соответствующие значения других функций. Поэтому принципиально достаточно составить таблицы для какой-либо одной величины, например для синуса, а затем по ней можно составить таблицы для других величин. Для секанса и косеканса таблиц не составляют: без них легко обойтись. В дальнейшем будем по преимуществу интересоваться составлением таблиц значений синуса.

Затем переходят к изложению теорем, указанных в плане.

56. Теорема I.

sin X < л < tg X при 0 < X < —,

где X — радианная мера дуги или угла.

Доказательство строится на сравнении трех площадей: 1) сектора, 2) треугольника, ограниченного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу этого сектора, и 3) треугольника, ограниченного линией тангенса, радиусом и подвижным лучом (черт. 29). Очевидно, что

Черт. 29.

или

Чтобы перейти к тригонометрическим величинам, разделим все части этого неравенства на положительный множитель —/?2:

Следовательно,

Теорема II.

где л: —радианная мера дуги или угла. По теореме I имеем:

Умножим обе части этого неравенства на положительное выражение 2 cos2—: 2

Выполняем следующие преобразования неравенства:

Заменяя в правой части неравенства

большей величиной

(по теореме I), получим:

что и требовалось установить. Из теорем I и II получаем:

Эти неравенства устанавливают границы, в которых находится значение синуса острого угла, и в дальнейшем используются для вычисления значений синуса для малых значений аргумента.

Затем можно перейти к показу возможности составления таблиц натуральных значений тригонометрических функций. Как известно, авторы первых тригонометрических таблиц пользовались довольно сложными способами вычислений. Тот способ, который предлагается рассмотреть, напоминает способы древних авторов тем, что он элементарен, но он отличается от них большей простотой. Однако этот способ не является таким, которым стали бы вычислять таблицы в наши дни, если бы это потребовалось:

в настоящее время при составлении таблиц пользуются приемами, которые дает высшая математика. Таким образом, на рассматриваемый способ надо смотреть, как на такой, который показывает только возможность составления таблиц.

Преподаватель в обстоятельном объяснении показывает, как вычислить значение синуса какого-либо малого угла, например sin 1'.

1) Находим радианную меру (х) угла в 1':

для тг = 3,14159265359 получим х = 0,000290888208 < 0,0003.

2) Пользуясь неравенствами х—— < sin х < х9 находим границы, в которых заключен sinx: так как sinx<x, а х — = 0,000290888208, то,

sin X < 0,000290888208;

так как л:< 0,0003, то

теперь имеем:

а потому на основании неравенства

0;000290888201<sin;t;

итак,

0,000290888201 < sin х < 0,000290888208.

3) Принимаем за значение синуса число, выраженное первыми общими цифрами чисел, выражающих границы синуса:

sin X ^ 0,0002908882.

4) В случае надобности округляем результат; например, чтобы получить результат с шестью десятичными знаками, округляем его:

sin*^ 0,000291.

Пользуясь планом, учащиеся могут вычислить без помощи таблиц sin 33". sin 5', sin Г°.

По формулам синуса двойного угла, синуса суммы двух углов, с попутным использованием некоторых других формул, можно, зная значение sin 1', вычислить sin 2', sin 3', sin 4' и т. д. После того как найдены значения синуса углов от V до 30°, вычис-

ление значений синуса углов от 30°1' до 60° можно выполнить по формуле:

sin (30° + а) = УЗ sin a + sin (30° —a),

где a<30°. Обоснование этой формулы затруднений не встретит.

Вычисление значений синуса углов от 60°1' до 90° можно выполнить по формуле:

sin (60° + a) = sin a + sin (60° — a),

где a<30°. Обоснование этой формулы также затруднений не встретит.

57. Таким образом, возможность составления таблиц натуральных значений тригономе!рических функций установлена. Переходим к рассмотрению вопроса о замене синуса радианной мерой дуги. Уже те примеры, которые сделают учащиеся в связи с вопросом о составлении таблиц, покажут, что точность вычисления синуса по этому способу очень быстро уменьшается с увеличением угла. Встает такая задача: до какого предела можно заменять синус радианной мерой дуги при условии, чтобы точность вычисления была не меньше требуемой. Покажем решение этой задачи на примере.

Задача. Какой величины должна достигнуть дуга, чтобы погрешность от замены синуса радианной мерой дуги начала влиять на пятый десятичный знак?

1) Влияние погрешности на пятый десятичный знак начнется тогда, когда величина погрешности сделается равной или больше:

— •0,00001=0,000005.

2) Обозначив через г число минут в дуге, соответствующей установленной границе погрешности, определяем радианную меру этой дуги:

3) Составляем по теореме II неравенство для определения z:

4) Решаем неравенство относительно z:

Итак, z>90', или z>l°30'. Следовательно, если при замене синуса радианной мерой его дуги желательно получить пять верных десятичных знаков, то дугу надо брать не больше 1°30'.

58. Переходим к последнему из намеченных вопросов, а именно, к вопросу о составлении таблиц логарифмов значений тригонометрических функций. Здесь также приходится довольствоваться лишь показом возможности составления таблиц. Для удобства изложения соединим этот вопрос с вопросом о структуре таблиц логарифмов и о пользовании ими.

Приступая к главе о таблицах логарифмов значений тригонометрических функций, преподаватель должен добиться ясного и четкого понимания учащимися значения тех операций, которые производятся с помощью таблиц.

Пусть требуется решить прямоугольный треугольник по следующим данным: Л = 42°35'4о" и с = 4158,6 м. По формуле a = csinA находим а = 4158,6 sin 42°35'48". Теперь достаточно по таблицам натуральных значений тригонометрических функций отыскать значение sin 42°35'4b" и умножением определить катет а. Для избежания этого умножения применяется логарифмирование:

lgа = lg4158,6-figsin 42°35'48".

Отыскание lg sin 42°35'48" можно бы выполнить в два приема: сперва найти натуральное значение sin 42°35'48", а затем—логарифм этого значения. Таким образом, пришлось бы пользоваться двумя различными таблицами. Чтобы избежать этого, составлены специальные таблицы, в которых даны непосредственно логарифмы значений тригонометрических функций.

Такое введение, на которое потребуется несколько минут, удовлетворит запросы учащихся в отношении цели изучения данной темы и вскроет возможность составления таблиц логарифмов тригонометрических функций.

Приступая к ознакомлению с таблицами, отмечают, что логарифмы значений синуса и косинуса всегда отрицательны. Этим логарифмам придают искусственную форму: характеристики оставляют отрицательными, а мантиссы делают положительными; например, lg sin 30° = — 0,30103= 1,69897. В печати же по техническим соображениям к отрицательной характеристике прибавляется 10 и для lg sin 30° получается значение 9,69897 вместо 1,69897. Поэтому, когда из таблиц выписывается логарифм синуса или косинуса какого-либо угла, то из характеристики табличного логарифма следует вычесть 10.

Затем переходят к рассмотрению структуры таблицы логарифмов тангенса и котангенса от 0° до 45° и от 45° до 90°.

59. Наконец, переходим к упражнениям. Сперва разбираются такие случаи, когда угол задан в градусах и минутах. Преподаватель объясняет порядок нахождения и показывает на доске запись; затем записывает на доске ряд примеров и предлагает учащимся решить их самостоятельно. Решение проводится для контроля и на доске; встречающиеся ошибки и затруднения детально разбираются.

Когда учащиеся освоились с отысканием логарифмов значений тригонометрических функций углов, заданных в градусах и ми-

нутах, можно перейти к примерам, требующим интерполирования. Полезно сделать несколько примеров, пользуясь интерполированием с помощью пропорций. Надо обратить внимание учащихся на то, что интерполирование основано здесь на допущении пропорциональности приращения функции приращению аргумента; для малых приращений аргумента это допущение дает малую погрешность. Первый пример преподаватель решает на доске и обращает внимание учащихся на запись.

Пример. Найти lg sin 15°46'24".

Когда процесс вычисления поправки с помощью пропорции усвоен, следует перейти к вычислению поправки с помощью соответствующих табличек. При решении примеров обращается внимание на то, в каких случаях надо прибавлять и в каких выяитать получаемую поправку: поправка на секунды в случае логарифмов синуса и тангенса прибавляется к первоначальному логарифму, в случае же косинуса и котангенса — вычитается.

Следующий вопрос для изучения — нахождение величины угла по заданному логарифму значения тригонометрической функции. Сначала решаются примеры, когда величина угла дается непосредственно в таблицах, а затем — примеры, когда величина угла определяется с помощью интерполирования. Этот материал также требует достаточного числа упражнений.

Закончить изучение таблиц следует решением задач и примеров, которых обычно имеется достаточно в учебниках и сборниках задач1.

Глава XIII.

РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

60. В предыдущей главе изложен вопрос о составлении и употреблении таблиц логарифмов значений тригонометрических функций. Решение прямоугольных треугольников освещено с методической точки зрения достаточно полно в связи с пропедевтикой тригонометрии. Решение этих треугольников с помощью логарифмов— вопрос в методическом отношении несложный и не нуждается в разъяснениях. Поэтому в настоящей главе займемся решением лишь косоугольных треугольников.

1 В частности, такие задачи и примеры в достаточном числе даны в „Сборнике задач по тригонометрии" Н. Рыбкина, переработанном В. Ефремовым.

План изучения этой главы можно наметить в двух вариантах. Первый вариант такой: в начале темы изучаются все необходимые для решения треугольников соотношения между сторонами и углами треугольника, а затем эти соотношения применяются в четырех основных случаях решения треугольников. Второй вариант заключается в следующем: даются необходимые соотношения для одного случая решения треугольников, затем они используются для этого решения; далее выводятся соотношения для другого случая и используются для решения и т. д.

С точки зрения системы и тот, и другой план не могут встретить возражений. Однако второй вариант заслуживает предпочтения перед первым по следующим соображениям: а) он дает возможность применить то или другое интересное с точки зрения решения треугольников соотношение между его элементами непосредственно вслед за получением этого соотношения; таким путем вскрывается роль данного соотношения; б) пользование таблицами логарифмов значений тригонометрических функций распределяется на больший промежуток времени, что способствует лучшему овладению этими таблицами; в) чередование теории с ее применением облегчает усвоение курса.

План изучения главы о решении косоугольных треугольников: можно наметить в таком виде:

а) Число независимых соотношений между сторонами и углами в косоугольном треугольнике; теорема синусов; выражение радиуса круга, описанного около треугольника; решение треугольника по стороне и двум углам; вычисление площади треугольника по этим данным.

б) Теорема тангенсов; формулы Мольвейде; решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; вычисление площади треугольника по этим же данным.

в) Теорема косинусов; решение треугольников по трем сторонам; неудобство пользования теоремой косинусов.

г) Формулы синуса, косинуса и тангенса половины угла треугольника; выражение радиуса круга, вписанного в треугольник; решение треугольника по трем сторонам при помощи новых формул; вычисление площади треугольника по формуле Герона.

д) Решение треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них; исследование этого случая.

е) Решение треугольников по неосновным элементам (этот пункт плана может быть выполнен в том случае, если контрольная работа покажет хорошее усвоение учащимися основных случаев решения треугольников).

61. В качестве введения к решению треугольников следует напомнить учащимся, что косоугольный треугольник определяется тремя элементами, причем, по крайней мере, один из них должен быть длиной или площадью. Надо условиться называть стороны и углы треугольника основными элементами его. Встает вопрос, сколько же уравнений, связывающих основные элементы треугольника, необходимо иметь, чтобы было возможно решить треугольник. Всего основных элементов шесть; три из них даются;

значит, для определения трех неизвестных должны существовать три независимых друг от друга уравнения. Одно такое уравнение учащимся известно из геометрии: сумма внутренних углов треугольника равна 180°; встает вопрос о нахождении еще двух независимых уравнений между его сторонами и углами. Эти уравнения дает, например, теорема синусов.

В литературе встречаются два различных доказательства этой теоремы. Первое из них отличается значительной простотой и естественностью. В треугольнике проводят высоту и определяют ее дважды из прямоугольных треугольников; приравнивая оба выражения для этой высоты, получают одно из уравнений между сторонами и углами треугольника. Затем проводят другую высоту и таким же образом находят новое уравнение между сторонами и углами треугольника. Доказательство проводят как для остроугольного, так и для тупоугольного треугольника. Второе доказательство использует описанный круг и также проводится как для остроугольного, так и для тупоугольного треугольника. Оно несколько сложнее, искусственнее первого, но его преимущество в том, что оно позволяет попутно установить зависимость между радиусом описанного круга и элементами треугольника.

И то и другое доказательство можно использовать в школе. Наиболее удобный путь изучения теоремы синусов таков: а) дается доказательство этой теоремы первым способом, б) дополнительно доказывают, что постоянное для каждого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около этого треугольника. При такой комбинации получается выигрыш: основная и важнейшая теорема устанавливается простым и безыскусственным, легко запоминаемым доказательством. Дополнительное доказательство о геометрическом значении отношения стороны к синусу противолежащего угла достаточно просто.

Два уравнения, выражающие теорему синусов, и уравнение A -f-ß-f-C=180° являются системой трех независимых уравнений; другие уравнения между сторонами и углами треугольника являются следствиями этих основных уравнений. Конечно, за систему независимых уравнений можно принять и другие системы, связывающие основные элементы треугольника. Учебная литература проявляет в этом вопросе значительное разнообразие. Однако замечательная по своей стройности и простоте теорема синусов вместе с теоремой о сумме углов треугольника дает простейшую и наиболее удобную систему. То положение, что все другие соотношения, связывающие основные элементы треугольника, являются следствием теоремы синусов и теоремы о сумме углов треугольника, легко может быть проведено через всю главу о решении треугольников.

При решении треугольников надо обращать внимание на следующие пункты: а) установить ту систему формул (уравнений), которая позволяет удобнейшим путем решить треугольник, б) установить формулу (уравнение), позволяющую произвести контрольное вычисление, в) провести исследование решения, г) на-

учить рационально располагать выкладки. Эта схема является общей для изучения всех четырех случаев решения косоугольных треугольников.

62. Первый случай решения треугольников (по стороне и двум углам).

Для первого случая решения треугольника (даны: сторона а и два угла В и С) используют систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Для контрольного вычисления применяется формула

по которой можно вычислить, например, угол С.

Исследование решения в этом случае затруднений не встречает. Угол А должен быть углом треугольника, а для этого необходимо, чтобы он удовлетворял условиям:

0°< Л<180°;

эти условия удовлетворяются, если данные углы В и С будут удовлетворять условиям:

кроме того, число а, дающее длину стороны треугольника, должно быть больше нуля. Все это несложное исследование учащиеся выполнят сами, отвечая на правильно поставленные вопросы преподавателя.

Очень часто в решение треугольника включают и вычисление его площади. Формулы для вычисления площади треугольника лучше выбирать такие, в которых площадь выражается непосредственно через данные элементы. В таком случае вычисление площади становится операцией, независимой от вычисления неизвестных элементов треугольника, а это значит, что в случае надобности площадь может быть вычислена без вычисления неизвестных элементов треугольника. Кроме того, вычисление площади непосредственно с помощью данных элементов позволяет избавиться от некоторых неизбежных погрешностей, связанных с использованием приближенных значений искомых элементов треугольника, полученных в результате вычислений с применением таблиц. В первом случае решения треугольника площадь должна быть выражена через данную сторону и два угла; вывод этой формулы затруднений в методическом отношении не встречает.

Образец вычислений.

Дано: а = 471,48; В = 26°10'24"; С = 81°20'26".

Найти: А, Ь, с и S.

1) Вычисление угла А.

А = 180° — (Я+С) = 180° —107°30,50" = 72°29'10".

2) Вычисление стороны Ь,

3) Вычисление стороны с.

4) Контрольное вычисление угла С.

Разность 4" между данным значением (81°20'26") угла С и полученным в результате контрольного вычисления (81°20'30") объясняется погрешностями при вычислениях по таблицам.

5) Вычисление площади.

Надо обратить внимание учащихся на практическое значение теоремы синусов, в частности, на ее роль при решении треугольников в геодезических работах, связанных с триангуляцией. Для съемок больших частей земной поверхности разбивают сеть треугольников (черт. 30), вершины которых на местности отмечаются особыми вышками. В этой сети треугольников производят измерение какой-либо одной стороны; она называется базисом. Затем измеряют углы этих треугольников с помощью теодолитов. Далее, решают первый треугольник, в который входит сторона — базис; это решение выполняется по теореме синусов. Затем решают второй (соседний) треугольник и т. д. В результате получается, что все треугольники сети решены. Эта сеть треугольников и служит опорой для съемки местности.

63. Второй случай решения треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Под влиянием решения треугольника при помощи теоремы синусов учащиеся и в этом случае проявляют желание опереться на эту теорему. Надо дать им возможность попытаться решить треугольник по двум сторонам и углу между ними, пользуясь этой теоремой; они убедятся, что теорема синусов в этом случае неудобна для применения. Явится необходимость найти другие уравнения для этого решения.

Теорема тангенсов (сумма двух сторон треугольника относится к разности тех же сторон, как тангенс полусуммы противолежащих им углов относится к тангенсу полуразности тех же углов) может быть доказана или из рассмотрения чертежа или аналитическим методом, исходя из теоремы синусов. Лучше стать на второй путь обоснования теоремы тангенсов: он проще геометрического вывода; кроме того, он показывает, что теорема тангенсов является следствием теоремы синусов и, значит, не дает новых независимых уравнений, связывающих основные элементы треугольника.

Вслед за обоснованием теоремы тангенсов надо дать аналитический вывод двух формул Мольвейде.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними выполняется: 1) или с помощью теоремы тангенсов, а затем теоремы синусов, 2) или с помощью теоремы тангенсов и формул Мольвейде.

Второй путь имеет некоторое преимущество перед первым: он требует нахождения меньшего числа логарифмов. Учитывая это, целесообразно изучить формулы Мольвейде после теоремы тангенсов и применять их к решению треугольника по двум сторонам и углу между ними. Вывод Формул Мольвейде имеется в учебниках; он прост и в пояснениях не нуждается.

Черт. 30.

Когда необходимые уравнения для решения треугольника по двум сторонам и углу между ними получены, переходят к самому решению, используя следующую систему уравнений:

(4)

(5)

(6)

Уравнение (4) позволяет найти

уравнение (5) дает возможность вычислить — (Л — В). Зная же —и — (А— В), можно найти углы А и В. Уравнение (6) позволяет вычислить сторону с.

Для контрольного вычисления можно воспользоваться теоремой синусов.

Что касается исследования решения, то оно очень просто и затруднений не вызывает. Из геометрии известно, что для возможности решения задачи стороны треугольника должны быть заданы положительными числами, а угол С должен находиться в промежутке от0° до 180° (0 <С<180°). Если эти условия удовлетворяются, то решение всегда возможно, и результат получается единственный.

Образец вычислений. Дано: 0 = 750,4; С = 72°40'10"; 6 = 344,6. Найти: А, В, с, S. 1) Подготовительные вычисления.

2) Вычисление

3) Вычисление углов А и В.

А) Вычисление стороны с.

5) Контрольное вычисление стороны а.

6) Вычисление площади S.

64. Третий случай решения треугольников (по трем сторонам).

Поставив перед учащимися задачу вычисления углов треугольника, когда даны три стороны его, преподаватель легко добивается заключения, что ни теорема синусов, ни теорема тангенсов не дают возможности вычислить углы треугольника. Эту задачу решает теорема косинусов. Простое доказательство теоремы косинусов заключается в обобщении двух теорем планиметрии (о квадрате стороны треугольника, лежащей против острого угла, и о квадрате стороны, лежащей против тупого угла). Однако при таком доказательстве совершенно не видно, что теорема косинусов дает соотношение, являющееся следствием ранее установленных соотношений. Поэтому можно дать и иной вывод этой теоремы. Приводим аналитическое доказательство.

Из формулы А -\- В-\- С= 180° имеем:

Л = 180° — (Я + С);

затем находим:

sin i4 = sin (В -\- С) — sin В cos С -\- cos В sin С,

откуда делением на sin А:

Заменив отношение синусов отношением сторон, получим:

а из этого равенства получаем:

(7)

Аналогично можно получить еще два равенства:

(8) (9)

Умножаем равенства (7), (8) и (9) соответственно на а, Ь и —с и складываем результаты; после упрощения получим:

(10)

Аналогично можно получить выражения квадратов сторон Ъ и а.

Этот аналитический вывод ясно показывает, что теорема косинусов есть следствие основных независимых соотношений между элементами треугольника выраженных равенствами (1), (2) и (3). Если имеется свободное время, то аналитический вывод может быть сообщен учащимся; в противном случае можно ограничиться указанием, что теорема косинусов есть следствие уже известных соотношений между сторонами и углами треугольника.

Теорема косинусов используется учащимися для решения треугольников по трем сторонам. Она же позволяет иногда быстро вычислить по двум данным сторонам и углу между ними третью сторону треугольника. Однако, когда стороны заданы многозначными числами, теорема косинусов дает значительные неудобства при вычислении углов треугольника по трем его сторонам. Надо обратить внимание учащихся, что в этом случае для вычисления cos А по формуле

приходится выполнять действия второй ступени (умножение, деление и возведение в степень) над многозначными числами; а это долго и утомительно. Неудобство рассматриваемой формулы заключается в том, что она дает для косинуса выражение, неудобное для логарифмирования; поэтому она удобна для применения лишь в тех случаях, когда стороны заданы такими числами, с которыми легко оперировать (например однозначными). В противном случае эта формула неудобна, и для вычисления углов по данным сторонам треугольника определяют

Формулы, выражающие синус, косинус и тангенс половины угла треугольника, следует выводить примерно так, как эта сделано в учебнике Н. Рыбкина. Следует подчеркнуть, что корни в этих формулах необходимо брать только со знаком плюс.

Это делается вследствие того, что каждый из углов — > — > — всегда больше 0° и меньше 90°. Следует также показать учащимся, как с помощью круговой подстановки из выражения для sin — получаются выражения для sin — и sin —. Тоже надо показать для выражений косинусов и тангенсов половинных углов.

Из геометрии известно, что в треугольнике сумма двух любых сторон всегда больше третьей стороны, а разность меньше третьей стороны. Эти геометрические теоремы дают условия для определения возможности решения треугольника. Бели данные стороны треугольника удовлетворяют требованиям этих теорем, то решение всегда возможно.

Встает вопрос, какими же формулами удобнее пользоваться при вычислении углов треугольника по трем данным сторонам. Надо подсчитать с учащимися число необходимых логарифмов для вычисления с помощью синусов половинных углов, с помощью косинусов и, наконец, с помощью тангенсов половинных углов. Этот подсчет приведет к заключению, что, когда надо найти все углы, выгоднее воспользоваться формулами тангенсов половинных углов, так как они требуют нахождения только четырех логарифмов, а другие серии формул требуют шести и семи логарифмов. Формулы для тангенсов половинных углов выгоднее еще и потому, что при малом приращении угла тангенс получает по сравнению с синусом и косинусом значительно большее по абсолютному значению приращение. Таким образом, можно констатировать, что вообще тангенсами половинных углов пользоваться выгоднее и удобнее.

Для вычисления площади треугольника по трем сторонам пользуются формулой Герона. Полезно дать учащимся легкий вывод этой формулы с помощью синуса и косинуса половины угла треугольника:

(11)

Пользуясь формулой Герона и выражением для радиуса вписанного круга, можно дать другие выражения для тангенсов половинных углов, которые вносят некоторые упрощения в вычисления. Если точка О — центр круга, вписанного в треугольник, то площадь треугольника выразится так:

Таким образом,

S=pr. (12)

Преобразуем формулу для тангенса половинного угла треугольника:

(13)

или

(14)

Таким же путем найдем:

(15)

Эта новая серия формул является наиболее удобной для решения треугольника по трем сторонам.

Образец вычислений.

Дано: а = 742,54; & = 671,06; с = 540,20. Вычислить: А, Ву С и S.

1) Подготовительные вычисления.

2) Вычисление логарифма г.

3) Вычисление А.

А) Вычисление В.

5) Вычисление С.

6) Контрольное вычисление.

7) Вычисление S.

65. Четвертый случай решения треугольников (по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них).

Для четвертого случая решения треугольников не требуется установления новых зависимостей между сторонами и углами треугольника: решение выполняется с помощью теоремы синусов. Так, если даны стороны а и b и угол А, то по формуле

определяется угол В. Затем, пользуясь суммой углов треугольника, определяют угол С. Наконец, по формуле

вычисляется сторона с.

Для контроля можно определить угол А из уравнения

Следовательно, с точки зрения использования зависимостей между основными элементами треугольника этот случай не представляет ничего нового.

Но с точки зрения исследования решения он представляет значительный интерес и в этом отношении существенно отличается от предыдущих случаев. Это исследование можно провести как аналитически, так и графически; можно сочетать в единый процесс оба способа исследования. В методическом отношении этот последний путь является наилучшим: аналитический способ находит хорошую опору в геометрических образах, что конкретизирует мыслительный процесс.

Для построения треугольника по сторонам а и b и углу А поступаем так: строим угол Л и на одной из его сторон откладываем от вершины угла отрезок АС, равный стороне b, а затем из точки С описываем дугу радиусом СВ, равным стороне а (черт. 31).

I случай. Может случиться, что дуга пересечет сторону угла в одной точке В и ее продолжение в другой точке Вг (черт. 31). Очевидно, что это случится, когда а^>Ь. Чертеж ясно свидетельствует, что задача имеет одно решение, а именно треугольник ABÖ. Угол В определяется по формуле:

Черт. 31.

Так как #<а и sin-4^1, то b sin А < а; значит, для sin В получим значение, меньшее единицы, т. е. всегда можно вычислить угол В. Но так как угол В лежит против меньшей стороны, то он должен быть острым. Таким образом, из двух значений от 0° до 180° для угла В необходимо взять значение, меньшее 90°.

II случай. Может случиться, что дуга пересечет другую сторону угла А в одной точке В и пройдет через вершину угла (черт. 52). Это будет тогда, когда а=Ь, т. е. когда треугольник ABC — равнобедренный. Задача, как показывает чертеж, имеет снова одно решение. Об этом свидетельствуют и формулы: так как а = Ь, то Ъ sin А < а и, значит, для sin В всегда получается значение, меньшее единицы, т. е. всегда можно вычислить угол В. Из двух значений для угла В в границах от 0° до 180° необходимо выбрать только одно: угол В должен быть острый, так как он равен углу А.

III случай. Рассмотрим теперь тот случай, когда а <£. При этом могут представиться в свою очередь три случая:

1) Может случиться, что дуга описанная радиусом, равным а (черт. 33), не пересечет другой стороны угла. Построение треугольника будет невыполнимо, задача невозможна. Аналитически это получится тогда, когда b sin А > а, т.е. когда для ь sinA) а значит, для sin В получается значение, большее единицы.

2) Может случиться (черт. 34), что дуга, описанная радиусом, равным а, будет касаться другой стороны угла. Очевидно, что треугольник АБС прямоугольный (Z.B — 90°). Задача будет иметь одно решение. Аналитически это получится тогда, когда b sin А = я, т. е. sin В = 1.

Черт. 32. Черт. 33.

Черт. 34.

3) Может случиться, что дуга пересечет другую сторону угла в двух точках В и В} (черт. 35). Чертеж показывает, что требованию задачи удовлетворяют два треугольника: АСВ и ACBV Аналитически это получится тогда, когда b sin А < а. Тогда в границах между 0° и 180° можно будет найти два угла, В и Ви удовлетворяющих соотношению sin# =—-—; один из них — острый, другой — тупой; они связаны равенством: ß -j-ß, = 180°.

Чтобы удобнее обозреть результаты проведенного исследования, его можно дать в виде таблицы, в которую следует включить и чертежи. Таблица фиксируется в тетрадях:

Черт. 35.

Целесообразно подобрать две-три задачи с практическими сюжетами и показать на них применение решения треугольников в практике.

66. Выше рассмотрены основные случаи решения треугольников. Кроме основных случаев, существует множество задач на решение треугольников, в которых требуется по данной системе его элементов или их функций определить некоторые другие элементы, Условимся называть такие задачи сложными случаями решения треугольников. Действующая программа нашей средней школы по тригонометрии не уделяет внимания этим случаям решения треугольников. Думается, что программа в этом вопросе занимает правильную позицию: общей теории, доступной для учащихся средней школы, вскрывающей пути и способы решения таких задач, нет, а поэтому и указать ее в программе не представляется возможным. Однако надо заметить, что весьма многие задачи на сложные случаи решения треугольников интересны и полезны как упражнения, требующие инициативы, сооб-

разительности, находчивости, а кроме того, основательных навыков в весьма разнообразных преобразованиях тригонометрических выражений. С этой точки зрения решение этих задач надо считать очень полезными упражнениями, которые заслуживают того, чтобы использовать их и на уроках в порядке кружковой работы.

Рассмотрим решение одной задачи.

Вычислить сторону а треугольника, зная его периметр 2/? и углы В и С, Угол А треугольника равен 18J° — (ö-f-C). Сторону а можно определить из уравнения а + ^ + с = 2^, если стороны b и с выразим через сторону а из теоремы синусов:

или

Приведя в последнем уравнении выражение, стоящее в скобках, к виду, удобному для логарифмирования, получим:

или

Определяем а:

Рассмотренная задача демонстрирует, что ее решение требует некоторой изобретательности, умения использовать формулы решения треугольников, умения преобразовать в одночлен сумму sin А + sin В -f- sin С, где Л, В и С— углы треугольника.

67. Сложные задачи на решение треугольников можно подразделить на три группы:

1) в число трех данных элементов входят два угла треугольника;

2) в число трех данных элементов входит только один угол треугольника;

3) в числе данных элементов нет ни одного угла треугольника.

Приемы решения рассматриваемых задач заключаются в том, что стараются свести задачу к одному из основных случаев решения треугольника. Иногда удается сделать это путем рассмот-

рения и решения вспомогательных треугольников, в которые входит достаточное число данных элементов. Например, если требуется решить треугольник по двум углам А и В и высоте hc% то, рассматривая один из прямоугольных треугольников, на которые высота hc рассекает искомый треугольник, можем определить или сторону Ь, или сторону а, дальнейшее же решение задачи сводится к использованию теоремы синусов.

Когда геометрическое решение задачи ясно, то можно использовать для решения такой прием: вычисляют элементы последовательно вычерчиваемых вспомогательных треугольников и подходят таким путем к вычислению элементов искомого треугольника. Этот прием особенно полезен при решении задач третьей группы. Например, если требуется решить треугольник по стороне Ьу высоте ha и сумме двух других сторон s, то можно принять план последовательного построения треугольников за план решения. План построения таков: прежде всего можно построить треугольник ACD по гипотенузе b и катету ha (черт. 36); затем строят треугольник АСЕ по сторонам b и s и углу С и, наконец, строят треугольник ABC. План решения: 1) пользуясь прямоугольным треугольником ACD, вычисляют угол С; 2) из треугольника АСЕ по двум сторонам b и s и углу между ними С вычисляют два других угла этого треугольника, а так как L В — 2Е, то определяют угол В; 3) наконец, решают треугольник АБС по первому случаю решения косоугольных треугольников.

С. О. Шатуновский в книге „Методы решения задач прямолинейной тригонометрии"1 дает общие правила и методы решения треугольников по данной системе определяющих элементов. С этой книгой полезно познакомиться учителям математики, стремящимся повысить свою квалификацию в области изучения методов решения треугольников2. Приведем некоторые общие указания и поясним их задачами.

Под решением треугольника будем разуметь определение некоторых его элементов по данной системе определяющих элементов. Решение треугольника состоит из трех последовательных операций: во-первых, составляется система уравнений, которыми определяются искомые элементы; во-вторых, производятся разнообразные упрощения этих уравнений путем тождественных преобразований выражений, содержащих тригонометрические функ-

Черт. 36.

1 Москва, 1929.

2 Для ознакомления с идеей, лежащей в основе этих методов, можно также рекомендовать книгу И. А. Гибш „Элементарная математика" (1936).

ции углов, и, в-третьих, решается полученная упрощенная система уравнений.

Чтобы составить необходимую для решения систему уравнений, устанавливается следующее положение: „однородная дробь нулевого измерения относительно сторон а, Ь, с треугольника ABC не изменяет своего значения при замене сторон синусами противолежащих углов" (С. О. Шатуновский).

Поясним справедливость этого положения двумя примерами: а) Рассмотрим однородную дробь нулевого измерения

Заменим a, b и с из равенства

б) Другой пример:

Рассмотренное положение позволяет составить систему уравнений, из которой определяют искомые элементы треугольника. Поступают так: 1) из данных линейных элементов, или изданных и искомых линейных элементов, или из однородных функций этих элементов составляют дроби нулевого измерения относительно этих элементов; 2) затем выражают каждый из этих элементов через стороны и углы треугольника; 3) потом заменяют в полученном выражении стороны треугольника синусами противолежащих углов. Таким путем получается достаточное число уравнений для определения искомых элементов треугольника.

Продемонстрируем приведенные соображения на решении трех задач, соответствующих трем указанным выше группам задач на сложные случаи решения треугольников.

Задача 1. Вычислить стороны треугольника по данным А, В vi а2 — 1\ Так как а2 — № есть величина второго измерения, то составляем дробь нулевого измерения:

где а — одна из искомых сторон треугольника. Заменим в составленной дроби стороны через синусы противолежащих углов:

получим уравнение

которое дает возможность определить сторону а. Вычисляем а:

Стороны Ь и с определяются по теореме синусов.

Задача 2. Вычислить углы треугольника В и С, если дано 2/?, S и угол А Так как площадь треугольника есть величина второго измерения, то составляем дробь нулевого измерения —, а затем поступаем, как было указано выше:

Итак, получаем уравнение:

Присоединяем к нему уравнение

Полученная система дает возможность определить искомые углы.

Задача 3. Вычислить углы треугольника, если дано 2/7, а и he.

В этой задаче требуется определить углы треугольника по трем однородным функциям одного и того же измерения относительно линейных элементов треугольника.

Для вычисления углов треугольника необходимо иметь три уравнения с тремя неизвестными углами. Первое уравнение таково:

A-f Д + С=180о. (16)

Два других получим путем составления дробей нулевого измерения

(17)

откуда получаем:

(18)

Исключив из уравнения (18) угол А, получим:

или

откуда

(19)

Из уравнения (17) определяем угол Bf а затем из уравнения (19) —угол С:

Дальнейшее решение затруднений не встретит.

Как показывают приведенные задачи, сложные случаи решения треугольников иногда приводят к решению довольно простых уравнений, а в других случаях требуют решения сложных тригонометрических уравнений. Такое положение заставляет разбить рассматриваемые задачи на две группы: 1) к первой следует отнести задачи, которые не требуют решения сложных тригонометрических уравнений или систем, 2) ко второй — задачи, требующие основательных знаний и навыков в решении тригонометрических уравнений или систем. Очевидно, в условиях выполнения принятых в средней школе программ по тригонометрии первая группа задач может найти место вслед за изучением основных случаев решения косоугольных треугольников, а вторую группу задач целесообразнее отнести к последней теме по тригонометрии— к приложению тригонометрии к решению задач из планиметрии и стереометрии.

Глава XIV.

КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ.

68. Обратные тригонометрические, или круговые, функции играют существенную роль в математике и ее приложениях. Элементарная теория, связанная с изучением этих функций, вполне доступна учащимся средней школы. Учитывая это, программы

по математике включают в курс тригонометрии особую главу об обратных тригонометрических функциях. На изучение этой главы отводится около 10 часов.

Изучение круговых функций встречает ряд затруднений:

1) программы очень скупо расшифровывают содержание этой темы;

2) принятые в школе учебник и задачник по тригонометрии Рыбкина дают по этой теме довольно скудный несистематизированный материал и недостаточное число упражнений, к тому же разбросанных в разных местах;

3) тема слабо освещена в методической литературе;

4) преподаватель средней школы часто не имеет достаточного опыта в изложении этой темы.

Таковы основные затруднения. Они побуждают дать несколько более полное изложение фактического материала главы, а также и методики ее.

Как научная, так и учебная литература отличается большой пестротой в терминологии, связанной с интересующими нас функциями; их называют так: обратные тригонометрические функции, обратные круговые функции, круговые функции, аркусы, циклометрические функции. Термин „тригонометрические функции" в отношении прямых функций является общепринятым; никаких оснований отступать от него не имеется. На первых порах изучения обратных функций, пока они противопоставляются соответствующим прямым, целесообразно употреблять термин „обратные тригонометрические функции". Но тенденции математики таковы, что она все обратные функции старается сделать автономными (также и по названию). На самом деле, из двух функций у = ах и x = \ogay вторая вводится как обратная первой, но в ее названии „логарифмическая функция" нет никаких намеков на то, что она обратна показательной функции. Аналогично этому следует, наряду с термином „обратные тригонометрические функции", ввести термин самостоятельный: наиболее целесообразным термином является „круговые функции"1. Этим термином мы и воспользуемся в дальнейшем как основным; кроме того, ради краткости иногда будем употреблять термин „аркусы".

В учебной литературе главы о тригонометрических уравнениях и о круговых функциях помешаются в разном взаимном порядке: случается, что глава о круговых функциях предшествует главе об уравнениях; случается и наоборот—уравнения предшествуют круговым функциям. Под влиянием учебной литературы эта путаница в порядке изучения указанных тем проникает и в школу.

Так как систематическое, достаточно полное и глубокое изучение тригонометрических уравнений возможно только при предварительном изучении круговых функций, то единственно приемлемой является такая последовательность: раньше — круговые

1 Им пользуется, например, Е. Пржевальский в книге „Прямолинейная тригонометрия".

функции, а затем—тригонометрические уравнения. Некоторые авторы и преподаватели практики высказываются за раннее введение понятий круговых функций. Мотивы таковы: более раннее введение круговых функций позволит основательнее познакомиться с ними, изучить их и, значит, добиться лучших результатов. Такие высказывания в некоторой части заслуживают внимания. Но надо решительно возразить против тех крайних предложений, которые рекомендуют ввести круговые функции еще в пропедевтике тригонометрии. Преподавателю-практику известно, что начальные сведения по тригонометрии отличаются рядом трудностей, связанных с новизной многочисленных понятий, определений и символов. Усложнять эти трудности в начале курса введением еще нового ряда понятий и символов по круговым функциям нецелесообразно и даже вредно. Наиболее подходящее место для главы о круговых функциях — в конце гониометрии, перед главой об уравнениях.

Главу о круговых функциях можно проходить в школе примерно по следующему плану:

а) Прямые и обратные функции; однозначные и многозначные функции; понятие о функциях, обратных тригонометрическим; промежуток возможного изменения аргумента (область существования функции).

б) Построение значений круговых функций по данному значению аргумента.

в) Графики круговых функций; многозначность функций; главные значения.

г) Зависимости между главными значениями круговых функций одного и того же аргумента.

д) Действия над круговыми функциями.

69. Понятие функции играет в изложении интересующей нас главы существенную роль. Поэтому целесообразно начать с воспроизведения в памяти учащихся этого понятия. Затем следует перейти к понятию взаимно обратных функций и выяснить его на примерах.

Пусть у = — х-{-5; здесь х есть аргумент, а у—функция.

Если мы теперь станем считать аргументом у, а функцией х9 то, решив уравнение относительно х, получим функцию х = 2у—10.

Обе функции у = + 5 и х = 2у—10 получены в результате решения одного и того же уравнения, х — 2у -\-Ю = 09 относительно каждой из переменных; такие функции называются взаимно обратными.

Если мы в функции х = 2у— 10 обменяем местами буквы х и у9 т. е. попрежнему обозначим аргумент буквой х9 то получим функцию у — 2х—10, которая тоже называется обратной в отношении функции y = ^ç х-\-Ъ.

Другие примеры взаимно обратных функций (аргумент всюду обозначен буквой л:):

Используя первый из этих примеров, надо обратить внимание учащихся на то, что функция у — х2 — однозначная, т. е. каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение^ функции; соответствующая же ей обратная функция y = ±Yx—двузначная, т. е. каждому значению аргумента соответствуют два значения функции; хорошо дать геометрическую интерпретацию этой двузначности на графике. Если каждому значению аргумента соответствует не одно, а несколько значений функции, то функция называется многозначной.

Полезно также обратить внимание учащихся на то, что обратная функция y = ±V~x перестает принимать действительные значения при л;<0. Значит, если желают иметь дело с действительными значениями этой функции, то надо наложить некоторые ограничения на изменение аргумента х: он должен изменяться от нуля до бесконечности. Таким образом устанавливается промежуток (изменения аргумента), в котором функция принимает действительные значения.

70. После сделанного введения можно перейти к ознакомлению с обратными тригонометрическими функциями. Лучше начать с некоторого частного значения синуса. На тригонометрическом круге строят дугу, равную —, и соответствующую линию синуса. Получаем:

Что такое в этом равенстве — ? — есть дуга, синус которой равен ~. Эта фраза полностью записывается на доске. С помощью математических символов эту фразу записывают так:

(.Arc* есть сокращенное обозначение латинского слова .Arcus*, что означает .дуга-.) Словесная формулировка этой записи, как выше сказано, будет:

есть дуга, синус которой равен

для краткости читают так:

есть арксинус

После рассмотрения примеров можно перейти к выяснению понятия функции, обратной в отношении у = sin х. Будем считать у аргументом, а х функцией. Что означает х? х есть угол, синус которого равен у. Эту фразу записывают с помощью математических символов так:

х = Arc sin j;

и получают, таким образом, функцию, являющуюся обратной в отношении функции у = sin X. Согласно сказанному выше об обозначении переменных станем в дальнейшем записывать только что полученную функцию так:

у = Arc sin X,

т. е. будем обозначать аргумент буквой х. Функция у — Arc sin х является обратной тригонометрической функцией, или круговой функцией.

На первых порах изучения аркусов следует практиковать повторение каждый раз полной словесной формулировки записей обратных тригонометрических функций: это отлично вскрывает сущность нового понятия и устанавливает связь с понятиями, уже хорошо известными, с прямыми тригонометрическими функциями. В транскрипции символов круговых функций полезно между „Агс" и последующей буквой оставлять небольшой промежуток; эта мелочь предохранит учащихся от очень распространенных ошибок при чтении и записи тех функций, в которых после „Arc" идет буква с.

Иногда авторы учебников тотчас же, как только вводится понятие об обратных тригонометрических функциях, рекомендуют обратить внимание на многозначность этих функций. В первый урок делать это нецелесообразно: понятие об аркусах усваивается с некоторым трудом, преодоление же в один урок не одной, а нескольких трудностей излишне. Внимание на многозначность можно обратить впервые при решении примеров, способствующих усвоению новых понятий и обозначений.

Чтобы учащиеся усвоили понятие арксинуса и смысл вновь введенного символа, следует предложить им ряд примеров, в которых надо перейти от частных значений прямой функции к соответствующей записи частных значений обратной функции, и наоборот. Вот образцы таких упражнений.

1) Записать с помощью аркусов следующие равенства:

2) Проверить, верны ли следующие равенства:

3) Вычислить следующие дуги:

Используя последнюю серию примеров, обращают внимание учащихся на многозначность арксинуса. Следует обратить внимание учащихся на то, что, например, выражение Arc sin 5 не имеет смысла, т. е. нет такой дуги, синус которой равен 5. В этом отношении будут полезны следующие упраж^ечия:

найти границы изменения х, чтобы были возможны равенства:

Таким образом, учащиеся постепенно знакомятся с тем промежутком изменения аргумента х, для которого функция^ — Arc sin х имеет смысл.

Проводя первые упражнения, направленные на усвоение понятия арксинуса, следует обратить внимание учащихся на то, что

sin (Arc slnx) = х;

это следует из определения арксинуса.

Итак, описанный путь ознакомления с арксинусом состоит из следующих моментов:

1) запись частного значения тригонометрической функции в виде частного значения обратной тригонометрической функции с демонстрацией на тригонометрическом круге;

2) введение обратной тригонометрической функции и ее символа;

3) примеры для перехода от равенства, представленного при помощи прямой функции, к равенству, представленному при помощи соответствующей ей обратной функции, и наоборот;

4) установление границ изменения аргумента обратной тригонометрической функции;

5) многозначность обратной функции.

По такому же плану, но с значительно меньшей затратой времени учащиеся знакомятся с другими круговыми функциями. С целью экономии времени знакомство с остальными аркусами проводится фронтально.

Полезным упражнением, позволяющим еще раз обратить внимание учащихся на сущность круговых функций, на их многозначность и на границы изменения аргумента, является построение дуг.

1. Построить Arc tg2. Обозначим эту дугу через х:

X = Arc tg 2;

тогда согласно определению арктангенса имеем:

tgx = 2.

Задача сводится к построению дуги, тангенс которой равен 2; решение же этой задачи ученикам известно. Им известно также, что она имеет бесчисленное множество ответов.

Дальнейшим развитием этих упражнений являются упражнения на построение дуг, аргументы которых выражены через тригонометрическую функцию какого-либо угла.

2. Построить у = Arc tg (2 tg а), если угол a задан.

Согласно определению имеем: t^-y = 2tga. Строим угол a и соответствующую линию тангенса AT; откладываем на оси тан енсов от начала отрезок АА, равный 2. AT (черт. 37); соединив конец 7\ новой линии тангенса с центром, получаем одну ^з искомых дуг. Легко видеть, что таких дуг будет бесчисленное множество.

71. Переходим теперь к рассмотрению графиков круговых функций. Каждая пара функций

y=s\nx и X = Arc sin у y = cosx и X = Arc cos у y = igx и A: = Arctgj;

изображается одной и той же кривой, так как каждое уравнение та.чой пары отличается от другого уравнения той же пары только формой записи, но как то, так и другое уравнение выражают одну и ту же функциональную зависимость между переменными X и у. Но так как обычно независимую переменную обозначают через X, а функцию через у, то, как сказано, круговые функции запишутся так:

у = Arc sin х% у = Arc cos х, у = Arc tg х.

Изменение обозначений имеет геометрический смысл: ось X заменена осью К, а ось Y— осью X. Чтобы придать координатным осям привычное расположение, достаточно поступить так: построить биссектрису координатного угла (черт. 38), принять ее за ось вращения и повернуть чертеж на 180° вокруг этой оси. Такой процесс преобразования координат позволяет легко получить графики круговых функций.

Если преподаватель предвидит затруднения в понимании учащимися такого преобразования координат и получения графиков круговых функций, он может продемонстрировать весь процесс с помощью чертежа на прозрачной бумаге. Напомнив обычное расположение осей координат и графика синуса, преподаватель демонстрирует вращение вокруг биссектрисы координатного угла (чертеж перевертывается обратной стороной); прозрачная бумага позволяет видеть и оси, приведенные в обычное положение, и кривую в ее новом положении.

Используя графики прямых функций и описанный прием получения графиков круговых функций, учащиеся вычерчивают в тетрадях графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Графики арксеканса и арккосеканса можно не вычерчивать.

72. Графики круговых функций целесообразно использовать для демонстрации многозначности этих функций. Рассмотрим, например, график функции у — Arc tg х. Пусть потребуется найти

Черт. 37.

при помощи графика значение функции у% соответствующее заданному значению а аргумента х. Отложим на оси абсцисс отрезок OA, измеряемый числом а в выбранных единицах (черт. 39). Через конец А этого отрезка проведем прямую АК, паралельную оси ординат; эта прямая пересечет нашу кривую бесчисленное множество раз. Каждой точке пересечения будет соответствовать значение функции у.

Для устранения многозначности круговых функций вводится понятие о главных значениях их. Рассмотрим, например, функцию д/ = Агс sin X. Аргумент х может принимать значения от—1 до + 1, ибо только в этом промежутке изменения аргумента функция имеет смысл. Но каждому значению аргумента х соответствует бесчисленное множество значений функции у. Однако, если мы для каждого значения х условимся рассматривать только наименьшее по абсолютной величине значение у, т. е. будем рассматривать функцию в определенных границах, то в этих границах функция перестает быть многозначной и становится однозначной. Так, в границах

Черт. 38.

функция у = Arc sin х для каждого значения аргумента х получает единственное значение. Значения функции у = Arc sin ^ выделенные таким образом, называются ее главными значениями. Для отличия от функции у = Arc sin л*, рассматриваемой без ограничения, эта однозначная „ветвь" обозначается символом у = arc sin X (через малую букву а). Итак,

После установления главных значений каждой из круговых функций в отдельности составляют таблицу

Используя периодичность тригонометрических функций, легко установить следующие равенства:

Главные значения круговых функций играют основную роль во всем дальнейшем развитии учения об аркусах; математический анализ по преимуществу интересуется этими главными значениями. Поэтому в дальнейшем развитии этой главы надо уделить наибольшее внимание главным значениям.

73. Все изложенное до сих пор о круговых функциях относится по преимуществу к уяснению новых понятий. Теперь целесообразно заняться: 1) выражением главного значения любой круговой функции через главные значения других круговых функций; 2) действиями над круговыми функциями. Эти два вопроса интересны потому, что в результате их изучения учащиеся должны овладеть приемами оперирования с круговыми функциями. Овладеть этими приемами — такова основная задача в изучении этих двух вопросов. Формулы, которые получаются в этих разделах,

запоминать не следует; запоминать надо лишь приемы обращения с этими функциями, а не формулы. Остановимся на первом вопросе— на установлении зависимости между главными значениями круговых функций.

Пример. Выразить arc cos — через арктангенс.

План.

1) Обозначим аркус одной буквой.

2) Представляем полученное равенство при помощи соответствующей прямой функции.

3) Вычисляем значение интересующей нас прямой функции.

4) Представляем полученное равенство при помощи соответствующей обратной функции.

5) Сравниваем первоначальное равенство и полученное; делаем окончательный вывод.

Решение.

(так как у— дуга первой четверти, то перед корнем взят знак плюс).

Таким образом, при решении первого примера дается общий план решения примеров этого типа. Этим планом учащиеся и пользуются в дальнейшей работе; он позволит им изучить приемы обращения с круговыми функциями. Наряду с примерами разобранного вида полезно давать упражнения на доказательство тождеств, например:

Последним упражнением рассматриваемого вида может быть составление таблицы зависимости между главными значениями круговых функций. Работа проводится следующим образом: пре-

подаватель, сообщив тему работы, вычерчивает на доске схему таблицы и предлагает учащимся то же сделать в тетрадях; затем по диагонали, начиная с левого верхнего угла, записывает все шесть круговых функций в их обычном порядке; далее, учащиеся выражают одну круговую функцию через все остальные; результаты заносятся в соответствующий столбец в обычном расположении функций. Заполнив 1—2 столбца в классе, преподаватель предлагает учащимся продолжить работу дома. В результате получается таблица, в которой каждая горизонтальная строка представляет выражение всех аркусов через какой-нибудь один, а каждый вертикальный столбец должен дать выражение одного какого-нибудь аркуса через все остальные.

Заметим, что такая табличка может служить преподавателю хорошим пособием для подбора упражнений, а поэтому ее полезно иметь под рукой при изучении вопроса о выражении аркусов через другие аркусы. Она в известной мере освобождает от задачника и позволяет дать большее число упражнений, которых в нашей учебной литературе, как правило, недостаточно. Надо иметь в виду и то, что таблица имеет смысл только для первого квадранта.

Полезно обратить внимание учащихся на круговые функции переменной—х и показать путь приведения их к переменной х.

1) Если у — arc sin (— л:),то — * = sinj/ и x=i — sinj/= sin(—у). Но так как

то, умножая части неравенства на — 1, получим:

т. е. —у находится в границах изменения главного значения арксинуса. Значит,

—у = arc sin X, у = — arc sin х.

Итак,

aresin (—х) = — arc sin л:.

2) Если j/=arccos(—х), то —* = cosj', х=—cosj/ =

— cos (тс—у).

Но так как

то, вычитая части неравенства из тг, получим:

О =^ тс —у ^ тг,

т. е. тг—у находится в границах изменения главного значения арккосинуса. Значит,

тг —у — arc cos Ху у = тс — arc cos х.

Итак,

arc cos (— х) = тг — arc cos х.

Аналогично этому устанавливается, что

74. Переходим к изучению некоторых действий над круговыми функциями. В средней школе достаточно изучить сложение и вычитание аркусов, умножение аркуса на целое число и деление аркуса на 2.

Изучая первое действие — сложение аркусов, дают учащимся общий план, по которому выполняются действия. Вычислить: arc sin а -f- arc sin b.

План.

1) Обозначим каждый аркус какой-либо одной буквой.

2) Переходим к соответствующим равенствам, представленным при помощи прямых функций.

3) Подбираем гониометрическую формулу, дающую выражение для тригонометрической функции, в аргументе которой представлено то действие, какое надо произвести над данными аркусами.

4) Определяем значения всех функций, входящих в состав выбранной формулы.

5) Подставляем найденные значения функций в выбранную формулу.

6) Представляем полученное равенство при помощи аркусов.

Решение.

По приведенному плану вычисляются суммы или разности как одноименных, так и разноименных функций. По этому же плану выполняются и другие действия над аркусами. Вычисление сумм и разностей аркусов целесообразнее показать на примерах, а затем и в общем виде. Надо заметить, что третий пункт приведенного плана позволяет выбрать несколько гониометрических формул, дающих выражение тригонометрической функции, в аргументе которой представлено то действие, какое надо произвести над данными аркусами. В том примере, который рассмотрен выше, кроме sin (a -f ß), можно было воспользоваться cos {а -\- ß), tg (а -f- ß). По существу все такие решения не могут встретить возражений. Следует указать учащимся, что ответы, полученные разными способами, сводятся одни к другому путем выражения значения одной функции через соответствующее значение другой.

Надо заметить, что сложение аркусов является довольно сложным для учащихся вопросом. Учитель должен хорошо знать трудные места этой операции. Пусть в предыдущем примере

тогда

а значит,

О ^ arc sin а + arc sin b ^ тг,

или

Здесь возможны два случая:

При решении предыдущего примера без оговорок был допущен первый случай. Рассмотрим второй случай. Вычитая из тг каждую часть неравенства

получим:

А так как то имеем:

а отсюда

или

Так как входить в детали этого вопроса с учащимися 10-го класса не представляется возможным, то следует подбирать такие примеры на сложение дуг, когда получаемая дуга не будет выходить за границы главных значений круговых функций. Если потребуется найти алгебраическую сумму трех, четырех и т. д. аркусов, то производится сложение двух из них, а затем производится сложение полученного аркуса со следующим и т. д.

Пример.

1 Более подробно об этом см. в книге И. А. Гибш .Элементарная математика", 1936.

Итак,

Как уже отмечалось, можно изучить умножение аркуса на целое число. Если множитель равен 2, то умножение выполняется с помощью формул двойных у I лов; если же множитель больше, чем 2, то умножение заменяется сложением аркусов.

Пример. Выразить 2 arc cos а через арккосинус того же аргумента я. Обозначаем arc cos а через у:

тогда имеем: но

отсюда и, значит,

Деление аркусов на число является действием, имеющим еще больше ограничений, чем умножение: средствами элементарной математики деление возможно только на целую степень двух. Оно производится на основании формул, выражающих тригонометрические функции половинных углов. В средней школе, как правило, придется ограничиться делением на 2.

Пример. Выразить--— через арктангенс того же аргумента л.

Обозначим arc tg а через у:

у = arc tg а;

тогда имеем:

Но tgy = a-

Подставляя а вместо tgy, получаем:

отсюда

Итак,

Глава XV.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

75. Тригонометрические уравнения являются одним из существенных и важных отделов тригонометрии: они дают богатейший материал для применения всех формул гониометрии, представляют большие возможности для проявления и развития творческой деятельности учащихся в области тригонометрии, имеют значительное применение в прикладных науках, оказывают существенную пользу при решении многих задач по геометрии с применением тригонометрии. Все это говорит за то, что тригонометрические уравнения должны занимать видное место в программах средней школы и в изучение тригонометрии в 9-м и 10-м классах.

Сборники задач по тригонометрии часто строятся так, что упражнения на решение уравнений даются чуть ли не в каждой главе гониометрии; в этом случае развитие примеров решения уравнений идет попутно с развитием курса тригонометрии. Кроме того учебники, а за последние годы и программы, дают в конце курса тригонометрии особую главу под названием „тригонометрические уравнения". Эта тема носит заключительный, обзорный характер.

Попутное изучение уравнений отличается многими особенностями. Первая особенность определяется тем, что решением уравнений занимаются почти в каждой главе тригонометрии, а отсюда— большое число концентров по изучению уравнений.

Вторая особенность состоит в том, что вопросы, связанные с решением уравнений, в силу необходимости подчиняются инте-

ресам и характеру соответствующей темы: решение уравнений рассматривается, главным образом, с точки зрения приложений теорем и формул изучаемой главы.

Третья особенность заключается в том, что приходится пользоваться теми приемами решений, которые диктует данная глава, а эти приемы не всегда являются простейшими и лучшими; другими словами, иногда культивируются мало удобные приемы решения уравнений.

Четвертая особенность состоит в том, что, подчиняя решение уравнений развитию учения о тригонометрических функциях, предъявляют различные требования к корням уравнения. В самом деле, в начале курса ставится вопрос только об определении значения какой-либо тригонометрической функции угла, а не самого угла; позднее имеется возможность определять углы в пределах от 0° до 360°, еще далее можно пользоваться общим видом углов, а после изучения таблиц — давать решения уравнений с помощью таблиц логарифмов тригонометрических функций и т. д.

Тригонометрические уравнения, как отмечено выше, представляют достаточно большой и важный раздел тригонометрии как с точки зр1ния теории, так и по практическому применению; все средства гониометрии и тригонометрии в целом должны быть поставлены на службу уравнений и использованы при их решении. А все это оправдывает выделение особой главы о тригонометрических уравнениях в конце курса тригонометрии.

С введением тригонометрических уравнений спешить не следует. Уже неоднократно отмечалось, что начало курса тригонометрии представляет достаточно трудностей, и усложнять его новыми трудностями, связанными с решением уравнений, нецелесообразно. Слишком раннее введение уравнений вызовет увеличение числа концентров в их изучении, а это нежелательно, так как в таком случае произойдет неуместное обмельчание каждого концентра как в отношении отводимого на его изучение времени, так и в отношении глубины изучения и возможности приобретения необходимых навыков в решении уравнения.

76. При попутном изучении уравнений уместны следующие концентры:

I. Тригонометрические уравнения, сопутствующие главе о тригонометрических функциях углов от 0° до 360°.

II. Уравнения, сопутствующие главе об обобщении понятия угла.

III. Уравнения, связанные с теоремой сложения и формулами двойных и половинных углов.

IV. Уравнения, использующие преобразование алгебрических сумм тригонометрических функций в одночлены.

77. I концентр. С точки зрения использования тригонометрического материала этот концентр отличается следующим: а) существенную роль в преобразовании уравнений играют формулы, выражающие зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента; б) в состав уравнений могут быть включены функции с такими аргументами, которые потребуют

использования формул приведения; в) корни уравнения определяются только в границах от 0° до 360°.

Прежде всего полезно напомнить учащимся некоторые общие сведения об уравнениях в их применении к тригонометрическим уравнениям. Тригонометрическим равенством называется такое равенство, в которое входят тригонометрические функции. Тригонометрические равенства подразделяются на тождества и уравнения. Тригонометрическим тождеством называется тригонометрическое равенство, справедливое при всяких значениях входящих в него углов (дуг). Учащиеся уже встречали значительное число тождеств, и поэтому они не затруднятся привести достаточное количество примеров. В первую очередь в качестве примеров надо использовать формулы, выражающие зависимость между функциями одного и того же аргумента.

Тригонометрическим уравнением называется тригонометрическое равенство, верное не при всяких значениях углов (дуг). Например, равенство sinx = cosA: есть тригонометрическое уравнение, так как оно верно только при некоторых значениях х, например при х = 45°, х = 225° и др. Полезно привести еще пару примеров уравнений, например tgх-\~ dgх = 0, tg2.t=l, и предложить учащимся указать те значения х, при которых эти уравнения удовлетворяются.

Чтобы учащиеся лучше уяснили себе сущность тригонометрического уравнения, полезно привести примеры равенств, предложив указать, какие из этих равенств представляют тригонометрические уравнения и какие — тождества, например:

Корнем уравнения называется то значение аргумента, которое удовлетворяет уравнению, или, иначе говоря, обращает его в тождество. Решить уравнение — значит найти его корни. Надо указать, что общие свойства уравнений, их упрощения и преобразования, известные учащимся из курса алгебры, остаются в силе и для тригонометрических уравнений.

Далее, взяв пример, надо на нем показать учащимся общий план решения уравнение Он состоит в том, что:

1) выражают все входящие в уравнение тригонометрические функции через какую-либо одну из них — обычно через ту, которая определяется из уравнения простейшим способом;

2) определяют значение этой функции из уравнения по общим способам решения уравнений;

3) находят по полученным значениям функции значения неизвестного аргумента (в нашем концентре от 0° до 360°);

4) проверяют полученные корни.

Пример 1. Решить уравнение: 2cos°*-f sin* — 2 = 0.

Чтобы выразить все тригонометрические функции через одну из них, можно или заменить cos2* через 1—sin2* или заменить sin* через ±_ Vi—cos2*.

Очевидно, первая замена проще: она избавляет от иррационального уравнения нот возможности получить уравнение, неравносильное данному. Производим эту замену:

2(1 — sin**) -f sin X — 2 = 0.

Решаем это уравнение относительно sin* по правилам алгебры (с этой целью можно допустить подстановку sin х = у; такие подстановки можно практиковать в начале изучения решения уравнений; если класс достаточho сильный, можно отказаться от таких подстановок: опыт показывает, что возникающие иногда при этом затруднения незначительны).

Отсюда имеем:

Получив все корни в границах от 0° до 360°, проверяют их (процесс проверки полезен не только с точки зрения решения уравнения, но и с точки зрения тригонометрических преобразований):

1) 2cos2 0° + 5in0° —2 = 0, 2 — 2 = 0.

2) 2 cos2 180° + sin 180° — 2 = 0, 2 — 2 = 0.

Оба корня удовлетворяют уравнению. Так же проверяют и остальные корни.

Решая уравнения, надо показать учащимся, что тригонометрические уравнения имеют ту особенность, что если при решении уравнения встретятся мнимые значения тригонометрических величин, то их следует отбросить.

Пример 2. sin** + 2 sin х = 0.

Проверка:

Тригонометрические функции изменяются в известных границах. При решении уравнений могут получиться такие значения той или другой функции, которые выходят за пределы границ ее изменения; такие значения также следует отбросить. Поэтому после того, как буду г найдены значения функции, надо подвергнуть их рассмотрению и определить, какие из них годны и какие надлежит отбросить.

Пример 3. 2 ig?x -f- 4 = 5 sec x.

Заменяем tg2* по формуле: tg2* — sec'jc — 1.

78. Дать учащимся какие-либо общие правила, которые показали бы, какая именно функция легче всего определяется из данного уравнения, невозможно: только значительная практика может помочь разобраться в этом вопросе. Однако можно учащимся дать некоторые указания; эти указания таковы:

а) если в уравнение входят секансы и косекансы искомых углов, часто бывает полезно выразить их соответственно через косинусы и синусы;

б) если в уравнение входят квадраты секанса и косеканса, то иногда бывает полезно заменить их по формулам:

в) если в уравнение входят тангенсы и котангенсы, а другие функции не встречаются, то выразить их через синусы и косинусы обычно бывает нецелесообразно;

г) если в уравнение входят тангенсы и котангенсы наряду с другими функциями неизвестных углов, то обычно бывает полезно выразить их через синусы и косинусы;

д) если при замене одной функции другими можно избежать введения радикала, то всегда надо стремиться это сделать: это избавит от возможности получить уравнение неравносильное данному.

В школьной практике при решении уравнений обычно не пользуются тригонометрическими таблицами. Как следствие этого наблюдаются два явления: во-первых, таблицы скоро забываются, во-вторых, решение громадного большинства тригонометрических уравнений не может быть закончено, т. е. доведено до определения значения неизвестного аргумента. И то, и другое явление с методической точки зрения нежелательно; поэтому полезно при решении уравнений пользоваться тригонометрическими таблицами для определения углов.

В частности, в I концентре надо использовать таблицы натуральных значений тригонометрических функций. Конечно, при этом будут получаться приближенные корни.

Пример 4.

Решение. Чтобы избежать иррационального уравнения, следует заменить sin2* через 1 — cos2*,

1) cos * :=4; нет решения.

2) cos x=z -jj- zz 0,25; по таблицам находим: *j =ir 75°ЗГ; очевидно, имеется еще одно значение неизвестного *2=^360°— 75°ЗГ = 284°29\

В рассматриваемом концентре лучше избегать уравнений с буквенными коэфициентами. Если же такие уравнения будут введены, то придется в их решении ограничиться только определением значения тригонометрической функции, а не аргумента.

В I концентре можно познакомить учащихся с особым способом решения уравнений однородных относительно синуса и косинуса неизвестных углов. Взяв несколько примеров таких уравнений: Уз sin x = cos x, sin'x — 3 sin x cos x -f- 2 cos2x = 0, преподаватель выясняет их особенности: а) в них входят только синусы и косинусы неизвестных углов; б) свободного члена нет; в) все члены имеют одно и то же измерение относительно синуса и косинуса неизвестного угла.

Однородные уравнения могут быть решены путем исключения cos x с помощью формулы sin2x + cosl'a;= 1; но при этом, как правило, будем иметь дело с иррациональным уравнением относительно sin л: и рискуем ввести посторонние корни. Однородные уравнения указанного типа удобно решать посредством почленного деления обеих частей уравнения на cos х (или sin х) в степени однородности, в результате чего получается уравнение, содержащее только ig л (или ctg л:). Такой способ решения избавляет от иррационального уравнения и отличается большой простотой.

Пример 5. V'6 sin x — cos x. Деля на cos*, получим:

V3tgx = \,

откуда

Пример 6. sin2* —

Деля на cos2*, получим:

При указанном способе решения однородных уравнений приходится делить на cos х. Но так как в однородных уравнениях cos x не равен нулю1, то делить на cos х можно, не опасаясь

1 В этом легко убедиться подстановкой в уравнение вместо * значения (2я+1)-90°, при котором cos* равен нулю.

потери корней. Иногда неоднородное уравнение легко приводится к однородному. Если такое преобразование можно сделать, то им следует воспользоваться.

Пример 7. 2sin2* — 5sinх cosх -f- 7cos2* = 1.

Левая часть уравнения однородна относительно sin* и cos *. Чтобы правую часть сделать однородной с левой, умножим правую часть на выражение sin2* + cos2*, тождественно равное единице, что не изменит величины правой части.

Получаем:

Решение полученного уравнения затруднений не вызовет.

Последний вид уравнений, который можно изучить в рассматриваемом концентре,— уравнения, требующие применения формул приведения. При решении уравнений этого вида учащиеся впервые встретятся с новым требованием: если в тригонометрическом уравнении имеются функции с различными аргументами, то прежде всего следует преобразовать уравнение так, чтобы получить все функции одного и того же аргумента. Это требование, вообще говоря, не является обязательным, но в рассматриваемом виде уравнений его выполнение обязательно.

Пример 7 sin (180° — *) — 5 sin (360° — *) — 2 cos (270° — *) —7= 0.

Преобразуем члены уравнения так, чтобы аргументы всех функций были одинаковы. Применяя формулы приведения, получаем:

Обычно в сборниках задач по тригонометрии уравнения рассматриваемого типа представлены в очень ограниченном количестве1. Но при желании преподаватель сам сможет легко составить необходимое количество таких уравнений.

В конце I концентра следует уделить внимание иррациональным уравнениям. Уже неоднократно указывалось, что при решении тригонометрических уравнений надо стараться по возможности не производить таких преобразований, которые приводят к иррациональным уравнениям, чтобы избежать получения неравносильных уравнений. Рассмотрим здесь такие уравнения, при решении которых не удается избежать возведения в степень (ограничимся возведением в квадрат). В отношении уравнений, которые решаются путем возведения обеих частей уравнения в степень, надо указать учащимся, что необходимо произвести испытание пригодности полученных корней.

1 Достаточное для упражнений количество уравнений рассматриваемого типа можно найти в книге Б. Я. Березовского „Сборник задач по прямолинейной тригонометрии".

Пример 9. V2 sin x + f 3 cos x — 0.

Переносим один из членов уравнения в правую часть в возводим обе части уравнения в квадрат:

Производим испытание корней:

первый корень не удовлетворяет уравнению (заметим, что 60° есть корень уравнения

следовательно, 300° является корнем данного уравнения.

79. II концентр. Этот концентр с точки зрения тригонометрического материала отличается следующим: а) при решении уравнений требуется определять все корни их с помощью общего вида углов; о) в члены уравнения могут входить тригонометрические функции любых как положительных, так и отрицательных углов; в) при решении повторяются те способы, которые изучены в I концентре.

План изучения уравнений во II концентре может быть таков:

1) решение простейших уравнений вида f(x) = m, где / есть символ одной из шести тригонометрических функций; при этом требуется дать все корни с помощью общего вида углов;

2) решение уравнений вида f(ax) = m, где / имеет тот же смысл, что в предыдущем пункте, и а — вещественное число;

3) решение уравнений, рассмотренных в I концентре, но с требованием дать корни с помощью общего вида углов;

4) решение уравнений, требующих предварительного упрощения с помощью формул периодичности функций и формул приведения отрицательных углов к положительным.

План может быть сокращен путем исключения второго пункта. Это в дальнейшем не вызовет никаких затруднений, а этот пункт найдет естественное место в III концентре. Займемся первым видом уравнений:

sin x = tri у cosx — m, igx — m, ctgx — m9 secx = m, cosecx = m.

Отметим, что достаточно из шести написанных уравнений изучить три первых, остальные же без затруднений приводятся к трем первым.

В учебной литературе решение уравнений этого вида чаще всего сводится к составлению формул общего вида углов для каждого из написанных шести уравнений и затем к применению

этих формул к частным случаям, когда m принимает вещественные значения в должных границах. Такой способ нельзя признать удачным по следующим соображениям: составление формул — процесс простой; поэтому на нем задерживаются недолго, и он скоро забывается; применение составленных формул общего вида углов является однообразным и малоинтересным упражнением, в силу чего нельзя долго задерживаться на таких упражнениях; поэтому эти формулы скоро забываются. В результате часто забываются и вывод формул и самые формулы.

Чтобы избежать указанных недостатков, следует при решении простейших уравнений добиваться, чтобы каждый ученик запоминал процесс составления общих решений, а для этого надо дать учащимся план получения этих решений и по нему в каждом частном случае находить их. Такое изучение решения простейших уравнений позволит учащимся запомнить процесс получения общего вида углов и, значит, даст им в руки способ получить, если потребуется, формулы общего вида углов.

Пользуясь примером, дадим план решения простейших уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

План.

1) Определяем: имеет ли уравнение решения, учитывая границы изменяемости функции.

2) Находим значения двух углов в границах от 0° до 360; в случае надобности используем таблицы на1уральных тригонометрических величин.

3) Составляем формулы общего вид 1 всех углов, удовлетворяющих уравнению.

4) Объединяем обе формулы.

Решение.

1) Значение синуса больше—1 и меньше —уравнение имеет решения.

2) хх — 30°, дг2=1ь0° — 30°.

3) лг^ЗбО^л-Ь 30°,

х2 — Ш°'П-\- lb0° — 30°, где п — любое целое относительное число или нуль.

4) x=180°-k + (— 1)*-30°.

В отношении плана надо заметить, что в начале работы он выполняется полностью, а после ряда упражнений, когда преподаватель убедится, что учащиеся безошибочно находят два угла в границах от 0° до 360°, можно второй пункт отбросить. Объединение обеих формул приходится делать для всех функций, кроме тангенса и котангенса. При контрольной работе такое объединение можно считать необязательным. Однако познакомить с ним учащихся следует: понимание этого объединения может пригодиться впоследствии.

При решении уравнений надо применять не только градусное, но и радианное измерение углов, причем следует разъяснить учащимся недопустимость смешения в одной и той же формуле двух различных измерений.

Пример 2. Решить уравнение

Уравнение имеет решения:

При решении уравнения вида cosx — m для удобства объединения формул следует брать одно решение положительное, а другое — равное ему по абсолютному значению отрицательное решение.

Пример 3. Решить уравнение tg* = 2,5.

По таблицам натуральных значений тригонометрических величин находим: X 68° (с точностью до — ); общее решение будет:

лг^180°.*4-68°.

При решении уравнения вида igx — m нет надобности брать в пределах от 0° до 360° два значения для х, так как второе значение получается путем прибавления к первому одного периода (180°), т. е. покрывается формулой общего вида углов.

Необходимо указать учащимся, что если уравнение имеет решения* то оно имеет неограниченное число решений. Это существенно отличает тригонометрические уравнения от алгебраических.

80. Особого внимания заслуживает тот случай простейших уравнений, когда какая-либо функция задается двумя значениями, равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку:

sin л: = dz т; cos х = ilz т\ tgx = ±m.

Решая примеры по тому же плану, отдельно для положительного значения, а затем для отрицательного, надо показать учащимся, что формула общего вида углов, удовлетворяющих таким уравнениям, будет одна и та же для всех трех функций, а именно:

х= 180°=ta° или x — kr,zïia.

Так как эта формула одна для всех функций, структура ее проста и такие уравнения встречаются часто, то эту формулу полезно запомнить. Ее можно использовать и для решения часто встречающихся уравнений:

sin д: = 0, cos л; = 0, tgA' = 0,

представляющих частный вид уравнений, указанных выше.

81. Переходим теперь к уравнению вида f (ах) — т, где f— символ одной из тригонометрических функций, а — вещественный коэфициент при неизвестном х, m — вещественное число, данное в границах, свойственных той или другой функции. Как уже отмечалось, уравнения этого вида можно рассмотреть в этом концентре, но в силу особой структуры аргумента можно отнести и к III концентру, где будут рассматриваться функции двойных, тройных и половинных углов.

В отношении уравнений этого вида надо сделать только одно указание. Общий вид углов надо составлять применительно к углу ах, и только после этого следует разделить результат на коэфициент при х.

Пример 4. Решить уравнение cos Зх =----—

Уравнение имеет решения:

3*1 — 120° и 3*2= - 120°.

Находим общий вид углов (делить на коэфициенты при Х\ или х2 пока не следует):

Зх — 360°. k ±120°. Теперь делим на 3 и получаем окончательный ответ:

х= 120°. k ±40°.

82. Иногда в учебной литературе в этом же концентре устанавливается зависимость между двумя значениями переменного угла, которым соответствуют равные значения одной из тригонометрических функций, т. е. устанавливают зависимость между хх и лг2, если 1) sin^^sin^, 2) côs*!= cos*2 и 3) igxl — igx2. А затем на основании этих зависимостей решают некоторые виды уравнений, например: a) sin ах — sinbx — 0, б) sin ах -f-cos bx = 0.

Зависимости между хх и х2 легко выводятся.

Если

sin*^ sin*;2,

то или

X!+;c,.=(2A-fl)-ir,

или

х^~—тХ^— 2 kiz,

где k— любое целое число или 0. Действительно, если sin#1 = = sinx2, то углы хх находятся по формулам:

хх= 2£тг -\-х2, Ху= 2kvi -f- я — х2,

откуда находим:

хх—х2—2ктс и x1+Jra=(2Ä-{-

Чтобы дяа угла имели равные синусы, необходимо и достаточно, чтобы сумма углов была равна нечетному кратному числа тг или чтобы разность их была равна четному кратному числа тг.

Аналогично устанавливаются следующие положения: Чтобы два угла имели равные косинусы, необходимо и достаточно, чтобы сумма или разность этих углов была равна четному кратному числа ти.

Чтобы два угла имели равные тангенсы, необходимо и достаточно, чтобы разность этих углов была равна кратному числа тс.

Устанавливать аналогичные зависимости между аргументами в случае равенства между собой двух котангенсов, секансов или косекансов не имеет смысла, так как эти функции легко заменяются тремя рассмотренными. Однако, несмотря на такие интересные зависимости между аргументами, вряд ли целесообразно использовать их в школе для решения уравнений. Тот тип уравнений, который решается с помощью зависимости между аргументами при равенстве одноименных функций, найдет естественное место в IV концентре изучения уравнений после формул преобразования тригонометрических многочленов в одночлены. Значит, если опустить изучение рассматриваемых зависимостей и их применение к уравнениям, решение уравнений не проиграет, а только произойдет перемещение материала из одного концентра в другой. Вместе с тем, опуская изучение зависимостей между аргументами, мы сокращаем число необходимых для запоминания формул, к тому же таких, которые учащиеся легко забывают.

Пункты 3) и 4) рассматриваемого плана (стр. 126) изучения уравнений не требуют пояснений. Заметим только, что в нашей учебной литературе мало уделяется внимания таким уравнениям, которые требуют использования формул периодичности функций, формул приведения функций отрицательных углов к положительным и вообще формул приведения.

Дадим несколько примеров таких уравнений.

83. III концентр. Этот концентр характеризуется следующим: а) существенную роль в преобразованиях уравнений играют формулы двойных аргументов; б) наряду с ними используются формулы половинных аргументов; в) используются основные формулы теоремы сложения. В этом концентре продолжают применять составление формул, выражающих общий вид углов, являющихся корнями уравнения. План изучения этого концентра уравнений в основном определяется тремя указанными видами формул. Уравнения, требующие для своего решения основных формул теоремы сложения, лучше решать после уравнений, требующих использования формул двойных и половинных углов, так как часто такие уравнения являются более сложными. Используя первые уравнения из этого концентра, надо показать учащимся большие преимущества решения уравнений с помощью формул двойных и половинных углов.

Пример 1. Решить уравнение 4 sin х cos х ~\.

1-й способ решения. Заменяем cos х через

получили иррациональное уравнение. Возводим обе части его в квадрат:

16 Sin2JC(l— Sin2JC) =z 1.

Решаем полученное биквадратное уравнение:

2-й способ решения. Воспользуемся для преобразования левой части уравнения формулой синуса двойного угла:

Сравнивая 1-й способ решения со 2-м, использующим формулы функций двойных углов, приходится констатировать: а) что в 1-м способе решение отличается некоторой сложностью, а во 2-м — оно очень просто; б) что в 1-м способе пришлось ввести неизвестное под знаком корня, что привело к решению иррационального уравнения, которое может дать лишние корни, а во 2-м способе — мы избежали иррационального уравнения.

При решении некоторых видов тригонометрических уравнений полезно иметь в виду, что все тригонометрические функции углов можно выразить однозначно и рационально через тангенс половинного угла:

Пример 2. 9 cos2 — — 2 cos х — — sin х = 1.

Замечаем, что все тригонометрические функции, входящие в состав уравнения, легко выражаются через tg~. Пользуясь этим, преобразуем уравнение:

Умножая

, получим:

или

откуда

По таблицам легко найти — и — , после чего вычисляем Х\ и лг2. Заметим, что при отбрасывании знаменателя в примере получается уравнение, равносильное данному,

Преимущества решения уравнений путем замены тригонометрических функций неизвестных углов с помощью тангенса половины неизвестного угла заключаются в следующем: любая тригонометрическая функция неизвестного х может быть выражена через tg^- рационально, а это избавляет нас от получения неравносильных уравнений; выражение функций через tg — однозначно, что избавляет от излишних усложнений в решении уравнений.

При использовании различных приемов решения одного и того же уравнения формулы общего вида углов, являющихся корнями этого уравнения, часто меняют свой вид в зависимости от приемов решения. Если при решении не происходит ни потери корней, ни введения посторонних корней, то при решении всевозможными способами и приемами получаются равносильные формулы, т. е. одинаково содержащие все корни, которые удовлетворяют данному уравнению. На это необходимо обратить внимание учащихся, и с этой целью полезно, решив уравнение разными приемами и получив по внешнему виду разные формулы, показать на нескольких примерах, что полученные при разных приемах формулы равносильны.

Чтобы убедиться в равносильности формул, можно рекомендовать два пути. Первый путь заключается в том, что учащиеся выписывают ряд частных значений углов, получаемых как из одной общей формулы, так и из другой, а затем, сравнивая их, убеждаются, что эти частные значения совпадают. Второй путь заключается в том, что преобразованием полученных общих формул углов показывают, что формулы равносильны. Первый путь проще: он вполне доступен учащимся. Второй иногда требует большей сообразительности и может оказаться трудным для некоторых учащихся.

Пример 3. Решить уравнение sin х cos х = 0.

1-й способ.

(1)

2-й способ.

(2) (3)

Чтобы убедиться, что формула (1) равносильна двум формулам (2) и (3). вместо взятым, находим частные значения углов:

Мы видим, что значения х, полученные из формул (2) и (3), совпадают со значениями je, полученными из формулы (I); следовательно, формулы (2) и (3), вместе взятые, равносильны формуле (1).

Убедимся в равносильности формул вторым путем:

В формуле (2) 90° умножается на любое четное число, в формуле (3) — на любое нечетное число; значит, в обоих случаях, взятых вместе, 9j° умножается на любое целое число, т. е. получаем:

Таким образом, мы пришли к формуле (1), т. е. формула (1) равносильна формулам (2) и (3), вместе взятым.

При решении уравнения могут получиться равные корни. В этом случае учащиеся бывают склонны сохранять только один из равных корней, а остальные отбрасывать. От этого их следует предостеречь. Надо указывать не только, какие корни получены, но и сколько раз входит каждый корень, т. е. определять кратность корней. В противном случае при решении уравнения различными приемами могут получиться неравносильные общие формулы.

84. IV концентр. В этом концентре при решении уравнений пользуются, наряду с другими формулами гониометрии, формулами преобразования алгебраических сумм тригонометрических функций в одночлены. Если к этому времени введены обратные тригонометрические функции, то целесообразно пользоваться ими в выражении общего вида углов. В отношении других вопросов этот концентр представляет повторение материала, который уже встречался в предыдущих концентрах.

Пример 1. Решить уравнение cos 5л: -f- cos x =z 0.

Преобразуя сумму косинусов в произведение, получим:

или

Пример 2. Решить уравнение sin 5лг-{- sin Злг-f- sin x = 0.

Преобразуем сумму первого и последнего членов левой части:

Полезно обратить внимание учащихся на то, что другие приемы решения приведенных выше уравнений (и других уравнений такого же типа) приводят к сложным преобразованиям и к таким алгебраическим уравнениям относительно тригонометрической функции, решение которых элементарными способами часто бывает невозможно. Прием же решения, основанный на применении формул преобразования алгебраических сумм тригонометрических функций в произведения, прост и удобен в том отношении, что не вводит посторонних корней.

Часто встречаются уравнения вида asinx-\-bcosx = c. Такие уравнения удобно решаются с помощью введения вспомогательного угла. Покажем это на примерах.

Пример 3. Решить уравнение 3 sin х -\-V 3 cos х —V 6 .

Делим обе части уравнения на один из коэфициентов при тригонометрических функциях; в данном случае удобнее делить на коэфициент при sin*. Получаем:

Заменим

через tg30° (угол в 30° является вспомогательным; поэтому и прием решения называется введением вспомогательного угла). Получаем:

Пример 4. Решить уравнение 2 sin х -f- 5 cos х = 4.

Деля обе части уравнения на 2, получаем:

Находим в таблицах угол, значение тангенса которого равно 2,5. Обозначим этот вспомогательный угол через <р; получаем:

sin X -f tg ср cos X =z 2.

Умножая на cos ср, имеем:

sin X cos ср -f- sin cp cos x = 2 cos cp sin (x -f = 2 cos cp.

Из последнего уравнения определяют x -f- т\ а затем и х.

Уравнение рассматриваемого вида можно решить другими приемами, например заменой cos л: через ztj/l—sin2 л: и возведением в квадрат. Но способ введения вспомогательного угла имеет ряд преимуществ, на которые следует обратить внимание учащихся. Преимущества эти следующие: 1) не применяются такие операции, которые приводят к неравносильным уравнениям; 2) формула для вычисления простейшего угла всегда имеет логарифмический вид, а потому все вычисления удобно производятся при помощи таблиц логарифмов.

Приведем решение уравнения asmрх-\-bcosрх — с9 где а9 Ь, с—вещественные числа:

где

Разберем, при каких условиях это уравнение имеет решение, Из условия I sin (рх + ср) | ^ 1 вытекает условие

или

Но

поэтому

или

Итак, рассматриваемое уравнение имеет решение при условии, если

85. Переходим к тому случаю, когда глава о тригонометрических уравнениях дается в конце курса. Изложим общие руководящие требования, которым она должна удовлетворять.

В курсе средней школы глава о тригонометрических уравнениях изучается в 10-м классе после частичного обзора главы об алгебраических уравнениях, после подведения некоторого теоретического базиса под решение алгебраических уравнений. Это позволяет и побуждает изучать эту главу на более высоком теоретическом уровне. Глава эта интересна и с точки зрения алгебраических приемов решения уравнений; она позволяет повторить многие из этих приемов и дает возможность использовать теоремы о равносильных уравнениях. При решении уравнений широчайшим образом пользуются гониометрией: все основные разделы гониометрии, все основные формулы находят здесь применение, дается возможность повторить почти всю гониометрию, а такое повторение в 10-м классе, в год окончания средней школы, очень полезно для поступления в высшие учебные заведения и для успешной работы в них.

Наряду с культивированием общих путей решения тригонометрических уравнений, в рассматриваемой главе надо дать обзор отдельных приемов решения, надо научить учащихся разбираться, какой прием целесообразнее применить к тому или другому уравнению, а также — какие преимущества и недостатки имеет каждый прием. Таким образом, здесь дается критический обзор наиболее употребительных приемов решения уравнений. В рассмотренных выше четырех концентрах изучения уравнений таблицы логарифмов тригонометрических величин не имели применения; в главе же об уравнениях, даваемой в конце курса, можно с успехом применять эти таблицы как в интересах решения уравнений, так и в интересах приобретения навыков в пользовании таблицами. Для выражения искомого угла по найденному значению его функции в рассматриваемой главе представляется возможным использовать обратные тригонометрические функции; это следует практиковать, чтобы научить учащихся составлять общий вид углов с помощью главных значений обратных тригонометрических функций.

Центральное место отводится решению одного уравнения с одним неизвестным. Но, кроме того, полезно ввести решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, а при благоприятных условиях можно познакомить учащихся и с системой трех уравнений с тремя неизвестными. Как в интересах изучения приемов решения уравнений, так и в интересах разнообразия видов занятий, следует научить учащихся графическому решению некоторых тригонометрических уравнений, например, такого типа:

x -f- sin x = 0; x2 — cos х = 0.

При решении уравнений надо приучать учащихся испытывать корни. Это особенно необходимо в том случае, если при преобразовании обеих частей уравнения получилось уравнение неравно-

сильное данному. Это интересно и с точки зрения упражнений в тригонометрических преобразованиях.

86. Даем план изучения главы о тригонометрических уравнениях.

1) Введение; тригонометрические равенства — тождества и уравнения; корни уравнения; тригонометрические уравнения как вид трансцендентных уравнений.

2) Решение простейших уравнений вида: sinx = m, cosx—tn, tgx = m; условия возможности их решения; общий вид углов; бесчисленное множество корней; графическое решение.

3) Формулы для корней уравнений вида: s\nx — ±m, cosx = -±m, tgx — ±.m.

А) Уравнения вида: 1) sin ax = m, cos ax=m, tg ax = m\ 2) sin (ax+b) = m9 cos(ax+b) = m, tg (ax -f- b) = m.

5) Общие пути решения тригонометрических уравнений.

6) Приемы решения уравнений, позволяющие избежать потери корней и введения посторонних корней; исследование для обнаружения потерянных корней и посторонних корней.

7) Обзор различных приемов решения уравнений с одним неизвестным.

8) Решение уравнений, левая часть которых представляет произведение тригонометрических функций неизвестного аргумента, а правая — равна нулю; уравнения, имеющие вид дроби, в числителе и знаменателе которой содержатся тригонометрические функции неизвестного аргумента.

9) Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса неизвестного аргумента; преимущества способа, использующего деление на косинус или синус неизвестного угла в степени однородности.

10) Решение уравнений вида asin х -\- b cos х = с способом введения вспомогательного угла; преимущества этого способа.

11) Решение уравнений способом замены тригонометрических функций неизвестного угла их выражениями через тангенс половины этого угла; преимущества этого способа.

12) Решение уравнений способом преобразования алгебраических сумм тригонометрических функций в одночлены.

13) Графический способ решения таких уравнений, в которых неизвестное входит и под знаками тригонометрических функций и без них.

14) Решение некоторых систем тригонометрических уравнений с двумя неизвестными.

15) Решение некоторых систем с тремя неизвестными.

16) Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаками аркусов.

Нет надобности делать детальный обзор всего плана изучения главы о тригонометрических уравнениях в 10-м классе: многое в этом плане является повторением и систематизацией тех сведений об уравнениях, которые учащиеся получили в предшествующем курсе тригонометрии и которые развиты в первой части этой главы. Б дальнейшем остановимся только на тех пунктах

плана, которые являются или новыми по сравнению с ранее изученным материалом или требуют углубления и расширения.

При изучении общих путей решения тригонометрических уравнений (п. 5 плана) полезно напомнить учащимся свойства уравнений, известные из алгебры. В частности, надо напомнить следующее: а) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному; б) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, содержащее неизвестные, то, вообще говоря, получится уравнение, неравносильное данному; в) если обе части уравнения возвести в одну и ту же степень с целым положительным показателем, то, вообще говоря, получится уравнение, неравносильное данному. Если при решении тригонометрических уравнений и раньше уделялось внимание вопросу о равносильности уравнений, о потере корней и ввдении посторонних корней, то теперь, в силу повышения теоретических знаний учащихся в области алгебраических уравнений, этому вопросу уделяется значительно большее внимание.

Общий, но не обязательный путь решения уравнения состоит в следующем: 1) если в уравнение входят тригонометрические функции с различными аргументами, но содержащими одно и то же неизвестное, например х, Зх, ~х и т. д., то все функции приводят к какому-нибудь одному аргументу; 2) если в уравнение входят различные тригонометрические функции одного и того же неизвестного аргумента, то их приводят к одной какой-нибудь функции; 3) полученное алгебраическое относительно одной какой-нибудь тригонометрической функции уравнение решают методами алгебры; в результате получается одно или несколько простейших уравнений; 4) решают эти простейшие уравнения; 5) проводят испытание корней.

Наиболее ответственными являются пункты 1) и 2): от выбора аргумента, к которому приводят все тригонометрические функции, и от выбора функции, через которую выражают другие тригонометрические функции, зависит получение такого уравнения, которое наиболее простыми и доступными способами может быть решено относительно неизвестной функции; от этого же выбора зависит и то, будут ли в результате преобразований получаться уравнения, равносильные данному или неравносильные. Указанный общий путь решения тригонометрических уравнений далеко не всегда является удобным и легко выполнимым; в силу этого применяются различные частные приемы решения.

Стремление в процессе преобразования уравнений получать уравнения, равносильные данным и решаемые доступными учащимся средствами, приводит к повышению требовательности к различным частным приемам решения уравнений, заставляет критически отнестись к этим приемам и дать сравнительную оценку. Критическая же оценка различных частных приемов решения уравнений может быть проведена путем сравнения этих приемов при применении их к одному и тому же уравнению.

В рассматриваемой главе надо научить учащихся выбирать такие приемы решения, чтобы все входящие в уравнения тригонометрические функции, если возможно, выражались рационально через одну какую-нибудь функцию (относительно которой полученное после преобразования уравнение будет решаться как алгебраическое): это позволит избежать посторонних корней. Но если уравнение решается так, что все тригонометрические функции не могут быть выражены рационально через какую-нибудь одну функцию, то надо полученные корни испытать и отбросить посторонние.

87. Займемся видом уравнения, левая часть которого представляет произведение нескольких тригонометрических выражений, содержащих неизвестные, а правая — равна нулю, т. е. уравнением, которое может быть представлено в виде

№f2(x)...fa(x) = 0. (1)

Известно, что произведение двух или нескольких множителей может быть равным нулю при условии, если, по крайней мере, один из них равен нулю. Отсюда следует, что для отыскания корней уравнения (1) надо приравнять нулю каждый из сомножителей, из которых состоит левая часть уравнения (1), и решить каждое из полученных таким образом уравнений

Ш) = 0, f2(x) = 0,... ,fa(x) = 0. (2)

Все корни данного уравнения (1) должны необходимо быть в числе корней уравнений (2). Обратное, вообще говоря, неверно: некоторые из корней уравнений (2) и даже все их корни могут не удовлетворять уравнению (1). Для выяснения того, какие из корней уравнения (2) принадлежат уравнению (1), необходимо каждый из этих корней испытать путем подстановки в уравнение (1). Впрочем, для предварительной проверки корня какого-нибудь из уравнений (2), например уравнения fé(x) = 0, достаточно подставить этот корень во все, кроме ft(x)9 сомножители: если при этом все они получат определенные значения, то проверяемый корень уравнения = 0 будет также и корнем уравнения (1); если же какой-нибудь из сомножителей при подстановке в него проверяемого корня обращается в бесконечность или в неопределенность, то вопрос требует дальнейшего исследования.

Пример. Решить уравнение sin х (2 cos х —У2 ) = 0.

Решение.

Испытаем корни: при хх—Ы второй множитель (2cosjc — Vll) имеет определенное значение; следовательно, хх— kz есть решение заданного уравнения; при x2 = 2ätc+-^- первый множитель (sin х) имеет определенное значение;

следовательно, х2 = 2kiz + есть решение заданного уравнения. Испытание корней путем подстановки их в заданное уравнение является излишним.

Иногда при решении уравнения приходится делить обе его части на один и тот же множитель, содержащий неизвестное. При этом, чтобы не потерять корней, следует приравнять нулю множитель, на который разделили уравнение, и решить полученное таким образом уравнение. Нужно об этом напомнить учащимся, так как они часто забывают это. При решении уравнений иногда поступают так: переносят все члены уравнения в одну его часть, выносят за скобки общие множители, а затем решают уравнение, как было объяснено выше.

К уравнениям, левая часть которых является произведением, а правая — равна нулю, примыкают уравнения, содержащие (в одной или обеих частях) дроби с тригонометрическими функциями неизвестного аргумента в знаменателях. Освобождение от знаменателя приведением всех членов к одному знаменателю и отбрасыванием его иногда может повести к тому, что получится уравнение, неравносильное данному; поэтому такое освобождение от знаменателя нежелательно. Уравнение рассматриваемого вида целесообразно решать так: переносят все члены уравнения в одну часть, приводят их к общему знаменателю и, получив уравнение вида —*- =0, заменяют деление на F{x) умножением на F(x) — и сводят к решению уравнения, левая часть которого имеет вид произведения, а правая — равна нулю.

88. Переходим к решению таких уравнений, в которых неизвестное входит и под знаком тригонометрических функций и под знаком алгебраических действий (например х — sin х = 0, ~ = tg х).

Решение этого вида уравнений аналитическим способом средствами элементарной математики невозможно, в распоряжении учащихся средней школы остается лишь графический способ решения таких уравнений. Графический способ решения уравнений встречался учащимся неоднократно, но до сих пор он себя не оправдывал: он применялся к уравнениям или системам, которые просто и скоро решались аналитическим способом; только теперь учащиеся смогут оценить значение графического способа.

Покажем способ решения такого вида уравнений на одном примере.

Пример. Решить уравнение \-\-x— sinxzzzO.

Уравнение можно переписать так: l-f-* = sin х. Левую часть уравнения можем рассматривать, как одну функцию переменного х9 а правую часть — как другую функцию того же переменного. Таким образом, задача может быть поставлена так: найти те значения переменною ху при которых функции у=. 1-\-Х и y = sinx имеют равные значения.

Чтобы решить эту задачу, строим графики функций у п: 1 -\-х и у = sin;c и ищем абсциссы точек их пересечения (черт. 40). График первой функции есть прямая, начальная ордината которой раьна единице и которая образует с осью

абсцисс угол в 45°; график второй функции — синусоида. Графики пересекаются в одной точке; найдя измерением абсциссу точки пересечения, получим корень нашего уравнения. Как и всегда при графическом решении, корень получается приближенный (х ^= — 1,95).

Решение примера показывает, что рассматриваемые уравнения могут решаться графическим способом только в простейших случаях, когда графики функций, к которым приходим, могут быть построены учащимися. Учебники и задачники по тригонометрии не уделяют внимания рассматриваемым трансцендентым уравнениям. Приводим некоторые уравнения для графического решения:

Черт. 40.

89. Переходим к системе из двух тригонометрических уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим два вида систем:

1) первый вид характеризуется тем, что тригонометрические функции двух неизвестных аргументов входят только в одно уравнение, а другое—представляет алгебраическую сумму неизвестных аргументов, например:

2) второй вид характеризуется тем, что оба уравнения содержат тригонометрические функции неизвестных аргументов, например:

Рассмотрим примеры систем первого вида.

Пример. Решить систему

При решении систем первого вида поступают так: путем различных преобразований уравнения, содержащего тригонометрические функции неизвестных углов, стараются определить разность углов, если в другом уравнении дана их сумма, и, наоборот, стараются определить из одного уравнения сумму углов, если в другом уравнении дана их разность.

В нашей системе определим из первого уравнения разность углов. Преобразуя левую часть уравнения, находим:

заменяем в полученном уравнении

его значением из второго уравнения:

или

из полученного уравнения определяем разность неизвестных углов:

Зная сумму неизвестных и их разность, можем определить неизвестные:

Полученные корни легко проверить.

Переходим к рассмотрению систем второго вида.

Пример 1. Решить систему

Делим по частям первое уравнение на второе и выполняем преобразования:

Из полученного уравнения находим сумму неизвестных. Теперь задача сводится к решению системы первого вида.

Пример 2. Решить систему

Последовательно складывая и вычитая соответствующие части уравнений, получим систему:

Находим сумму и разность неизвестных: а затем и неизвестные.

90. Переходим к уравнениям, содержащим обратные тригонометрические функции неизвестного аргумента, например:

Прием решения уравнений такого вида состоит в переходе от обратных тригонометрических функций к прямым.

Пример 1. Решить уравнение arc tg х = arc ctg х.

Обозначив arctgjc, а также и arc ctg х через гп, мы на основании определения обратных тригонометрических функций будем иметь:

tgm — x и ctg т~х\

значит,

tg m — ctg т.

Решая полученное уравнение относительно т, находим наименьшее положительное значение т\ оно равно— » следовательно, х — tg^jj" — 1. Проверка подтверждает правильность полученного корня. Находить общий вид дуги m нет необходимости: легко убедиться, что общий вид дуг не дает новых значений для неизвестного х.

Пример 2. Решить уравнение arc cos х — arc sin х — arc cos--

Пусть

arc cos x — fti и arc sin x — n%

тогда имеем:

cos ni — x и sin n=i x.

Данное уравнение можно записать так:

Переходим к прямой функции:

Подставляем вместо тригонометрических величин их выражения через хг.

Решая полученное уравнение, найдем корни:

Испытав найденные корни путем подстановки в заданное уравнение, находим, что —есть корень заданного уравнения, а-- таковым не является.

Глава XVI.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

91. Задачи на приложение тригонометрии к геометрии представляют весьма ценный материал для применения тех знаний, которые учащиеся приобрели из курса тригонометрии, и тем самым эти задачи являются лучшим средством для закрепления этих знаний и более глубокого усвоения тригонометрии.

Прежде всего следует отметить, что задачи на приложение тригонометрии к геометрии требуют от учащихся уменья ясно представить себе, а нередко и построить те фигуры, которые позволяют установить связь между линейными элементами и углами, и затем правильно выразить эту связь с помощью тригонометрических формул. Далее надо провести ряд выкладок оперируя выражениями, содержащими тригонометрические функции; при этом обычно приходится пользоваться довольно разнообразными формулами гониометрии. Затем, определив неизвестное, часто приходится приводить полученное выражение к логарифмическому виду, что также часто требует интересных тригонометрических преобразований. Наконец, часто требуется производить вычисление значения полученного выражения для определенных значений входящих в него букв с помощью таблиц логарифмов. Таким образом, в приложении используются довольно разнообразные вопросы как из гониометрии, так и из решения треугольников. Следовательно, приложение тригонометрии к геометрии представляет большой интерес с точки зрения преподавания тригонометрии.

Затем надо отметить, что приложение тригонометрии к решению геометрических задач содействует лучшему усвоению учащимися курса геометрии; следовательно, от этого выигрывает и преподавание геометрии. Элементарная геометрия не дает аналитически выраженной зависимости между линейными элементами и углами фигуры, а поэтому она является бессильной при решении геометрических задач, где такая зависимость требуется; только при некоторых частных значениях углов (например 30°, 45°, 60°, 120° и т. п.) задачи решаются средствами самой геометрии. Положение меняется, если привлечь тригонометрию на по-

мощь геометрии. Тригонометрия избавляет нас от необходимости ограничиваться только некоторыми, очень немногими углами; она позволяет вычислять не только линейные элементы фигуры, зависимые от углов, но и углы, зависимые от линейных элементов. Тригонометрия, следовательно, значительно расширяет круг возможных для решения геометрических задач, она делает геометрические задачи более общими и более разнообразными. Таким образом, геометрия выигрывает от приложения к ней тригонометрии, выигрывает и ее преподавание.

Наконец, приложение тригонометрии к геометрическим задачам приближает математические предметы к такому их использованию, какое встречается в практике, например в технических расчетах, где для разрешения поставленной практической проблемы привлекаются все нужные и полезные в данном вопросе математические дисциплины. Познакомить учащихся 9-го—10-го классов с таким „выступлением единым фронтом" математических предметов безусловно полезно и целесообразно. Если заметить, что при решении геометрических задач часто применяются алгебраические уравнения и разнообразные алгебраические преобразования, то, очевидно, что такой фронт математических предметов является достаточно полным.

92. Переходим к рассмотрению методических особенностей отдельных этапов применения тригонометрии к геометрии. Очевидно, что при этом придется учитывать интересы того и другого предмета. В 9-м классе целесообразно использовать формулы решения прямоугольного треугольника и таблицы натуральных значений тригонометрических величин к решению планиметрических задач. Наиболее интересными вопросами планиметрии с рассматриваемой точки зрения являются следующие: правильные вписанные и описанные многоугольники, площадь правильного многоугольника, площади прямолинейных фигур, площади частей круга.

При решении задач, в которых фигурирует правильный я-угольник, надо обратить внимание учащихся на то, что часто не бывает надобности вычерчивать л-угольник: для решения задачи часто достаточно бывает построить один из треугольников с вершиной в центре /г-угольника и с основанием, совпадающим со стороной /г-угольника. Решая с учащимися достаточное число подобных задач, преподаватель добьется того, что основные затруднения этого этапа приложения тригонометрии к решению геометрических задач будут преодолены. Полезно заметить и то, что приведенные задачи впоследствии могут являться составными частями более сложных геометрических задач на вычисление поверхностей и объемов тел, а поэтому навыки в решении приведенных задач облегчат решение последующих задач по стереометрии.

Приложение формул решения прямоугольного треугольника продолжается при решении стереометрических задач в 9-м и 10-м классах. В зависимости от углов стереометрические задачи, решаемые с помощью тригонометрии, можно подразделить на четыре вида:

1) в задаче задан угол между двумя пересекающимися прямыми; например, вычислить полную поверхность правильной пятиугольной пирамиды, если сторона основания ее равна а и угол при вершине боковой грани равен а;

2) в задаче задай угол между прямой и плоскостью; например, определить боковую поверхность конуса, если высота его Н, а угол между образующей и плоскостью основания равен ß;

3) в задаче задан угол между двумя плоскостями; например, вычислить объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если сторона нижнего основания равна а, сторона верхнего основания равна Ь, а угол между основанием и боковой гранью равен 8;

4) в задаче задан угол между двумя скрещивающимися прямыми; например, вычислить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, с вершиной 5 и основанием ABCDEF, если сторона основания равна а и угол между ребром SA и стороной основания ВС равен о.

Надо заметить, что задачи каждого из этих видов, как показывает опыт, встречают неодинаковые затруднения. Легче всего учащиеся разбираются в задачах первого вида, задачи второго и третьего видов вызывают у части учащихся затруднения, а наибольшие затруднения вызывают задачи четвертого вида — с углами между скрещивающимися прямыми.

93. Когда в конце программы 9-го класса учащиеся изучат преобразования алгебраических сумм в произведения, к решению геометрических задач с помощью тригонометрии предъявляют новое требование: приводить полученный результат к виду, удобному для логарифмирования. Это требование делает задачи еще более интересными и полезными с точки зрения применения тригонометрии. Полезно также различать задачи в зависимости от того, дается ли угол в условии задачи, или требуется найти его. Задачи с вычислением искомого угла затрудняют учащихся несколько больше; в силу этого задачам, требующим вычислить тот или другой угол, следует уделить достаточное внимание. До изучения обратных тригонометрических функций при решении таких задач можно довольствоваться определением значения какой-либо тригонометрической функции угла; в частных случаях удается найти и самый угол; можно найти угол приближенно по таблицам натуральных значений тригонометрических величин. А после того, как учащиеся познакомятся с обратными тригонометрическими функциями, следует для выражения угла пользоваться этими функциями.

Приводим примеры задач, в которых требуется найти угол (обращаем внимание на то, что и здесь возможны указанные выше четыре вида углов: угол между двумя пересекающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями и, наконец, угол между двумя скрещивающимися прямыми):

1) вычислить угол, образуемый пересечением двух диагоналей куба;

2) определить угол наклона ребра правильного тетраэдра к основанию его;

3) вычислить углы между двумя гранями правильного октаэдра;

4) в правильной десятиугольной пирамиде с вершиной S боковое ребро равно b9 а сторона основания равна а. Вычислить угол можду ребром AS и стороной основания CD.

В первую половину учебного года 10-й класс изучает таблицы логарифмов тригонометрических величин, формулы и приемы решения прямоугольных и косоугольных треугольников. Это позволит расширить и углубить применение тригонометрии в двух направлениях: во-первых, ввести такие задачи, которые требуют логарифмических вычислений; во-вторых, ввести задачи, требующие применения формул решения косоугольных треугольников. Очевидно, что такое расширение и углубление применения тригонометрии может быть осуществлено примерно с третьей четверти учебного года. Но возможно, что лучше отнести это расширение и углубление к специальной теме: „Приложение тригонометрии к решению геометрических задач".

94. При решении геометрических задач с применением тригонометрии и с последующими логарифмическими вычислениями следует требовать от учащихся, чтобы прежде всего было дано решение задачи в общем виде. Если даже условие задачи не содержит буквенных обозначений, то надо приучить учащихся к тому, чтобы они вводили эти обозначения сами. Например, при решении задачи: „По площади треугольника АВС, равной 84 см2> стороне его АС =17 см и углу CAB = 81°22'10" определить объем тела, производимого вращением треугольника около стороны АВ", ученики должны ввести обозначения площади треугольника (5), стороны АС (Ь) и угла CAB (а), затем дать решение этой задачи в общем виде и, наконец, с помощью таблиц логарифмов найти значение объема (V) при заданном значении величин.

В отношении приведения полученного выражения к виду,, удобному для логарифмирования, заметим, что это приведение следует делать, если можно, без введения вспомогательного угла. Часто преобразования, связанные с этим приведением, с точки, зрения изучения тригонометрии представляют значительный интерес и требуют от учащихся большой сообразительности в использовании гониометрических формул. Что касается введения вспомогательного угла, то часто бывает, что пользоваться им неудобно: вычисления усложняются. В силу этого можно допустить вычисление (по таблицам логарифмов) отдельных слагаемых полученной алгебраической суммы и последующее определение значения искомой величины путем алгебраического сложения.

При вычислении с помощью логарифмических таблиц надо приучать учащихся располагать выкладки рационально, избегая излишних переписываний. В частности, необходимо настойчиво разъяснять учащимся, что не следует подставлять в формулы вместо букв соответствующие числовые значения, объяснив им все неудобство такой подстановки. Увлекаться решением большого числа геометрических задач с применением тригонометрии и последующими логарифмическими вычислениями не следует; такие задачи требуют довольно значительного времени. Доста-

точно решить в классе несколько таких задач как примерных, а затем предложить ряд задач в порядке домашней работы.

В заключение отметим, что в числе задач следует давать и такие, которые приведут к составлению и решению тригонометрических уравнений. В частности, могут быть предложены учащимся задачи на сложные случаи решения треугольников, приводящие к решению тригонометрических уравнений или их систем.

Глава XVII.

ТРИГОНОМЕТРИЯ В КРУЖКОВОЙ РАБОТЕ.

95. Полнота и законченность системы основных тригонометрических понятий, изящество приемов изучения функций, изящество и законченность символики, гибкость и красота преобразований, многообразие приложений — все это при правильном преподавании, естественно, вызывает у учащихся большой интерес к предмету. Этому немало способствует и то, что курс тригонометрии изучается при высоком сравнительно уровне развития учащихся. Преподаватель может использовать интерес к тригонометрии и увлечение ею для более углубленной и более широкой работы, организуемой в порядке кружковой работы для интересующейся и наиболее одаренной в математическом отношении части учащихся. Такая работа по тригонометрии может найти место или в математическом кружке для учащихся двух старших классов или в специальном кружке любителей тригонометрии.

Что может явиться содержанием такой кружковой работы по тригонометрии? Программа по тригонометрии средней школы не может охватить всех интересных вопросов прямолинейной тригонометрии: значительная часть таких вопросов всегда останется за пределами программы. Кружковая работа позволяет изучить ряд интересных и важных вопросов прямолинейной тригонометрии. Например, в действующей у нас программе по тригонометрии отсутствует вопрос о преобразовании произведений синусов и косинусов в многочлены; может быть, и преподаватель, связанный программой и временем, не сможет уделить внимания этому серьезному вопросу в учебные часы; но ничто не помешает изучить этот вопрос в кружке. Можно быть уверенным, что участники кружка будут при продолжении образования заниматься математикой, и знание этого интересного преобразования будет им очень полезно.

Ценный и хороший материал для кружковой работы может дать сферическая тригонометрия. В ней новизна геометрических образов, их свойств и приложений будет сочетаться с своеобразным повторением формул плоской тригонометрии, так как можно найти аналогию между рядом формул сферической тригонометрии и формулами прямолинейной тригонометрии. Ниже приводятся некоторые темы из сферической тригонометрии для кружковой работы. Кроме того, в программу кружковой работы можно включить некоторые темы по истории тригонометрии,

некоторые дополнительные вопросы по приложению тригонометрии к другим дисциплинам, к техническим расчетам и т. д.

В школах можно встретить специально математические стенные газеты, листки, журналы. В таких органах для старших классов может найти место раздел по тригонометрии. В нем можно помещать и исторические справки, тригонометрические задачи и примеры, вопросы занимательной тригонометрии и тому подобный материал.

Приведем примерный список тем для кружковой работы.

Темы.

а) По истории тригонометрии.

1) Начатки тригонометрии у древних греков.

2) Начатки тригонометрии у индусов.

3) Тригонометрия у арабов.

4) Тригонометрия в Европе до XVII века.

5) Когда и кем введены современная тригонометрическая терминология и символика.

б) По плоской тригонометрии.

1) Преобразование произведений тригонометрических функций в многочлены.

2) Тригонометрическая форма комплексного числа.

3) Теорема Моавра.

4) Решение двучленных уравнений.

5) Разложение тригонометрических функций по степеням аргумента и вычисление их значений.

в) По сферической тригонометрии.

1) Начатки геометрии на сфере.

2) Сферические треугольники и некоторые их свойства.

3) Соотношения между углами и сторонами сферического треугольника.

4) Формулы прямоугольного и прямостороннего сферического треугольника.

г) По прикладной тригонометрии.

1) Тригонометрия на службе артиллерии.

2) Тригонометрия на службе астрономии.

3) Тригонометрия в механике и физике.

4) Тригонометрия в технике.

5) Тригонометрия в мореплавании.

6) Тригонометрия при измерениях на поверхности земли.

Литература. Фаццари, Краткая история математики.

Вилейтнер, Хрестоматия по истории математики, вып. II.

Цейтен, История математики в древности и средние века.

Кэджори, История элементарной математики.

Шмулевич, Курс тригонометрии.

Пржевальский, Прямолинейная тригонометрия.

Некрасов, Основания сферической тригонометрии.

Serret, Тригонометрия.

Попов, Как применялась и применяется тригонометрия на практике.

Шмулевич, Учебник прямолинейной тригонометрии.

Приложение

ЛИТЕРАТУРА ПО ТРИГОНОМЕТРИИ.

95. В список включены книги, которые могут оказать помощь учителю в повышении его научной и методической квалификации по тригонометрии.

Weber H. и Wellstein J„ Энциклопедия элементарной математики, т. II, книга 2-я, 1910.

Книга предназначена для преподающих и изучающих тригонометрию. В книгу входят главы: плоская тригонометрия и полигонометрия, геометрия и тригонометрия сферы. Как и другие книги тех же авторов, входящие в состав энциклопедии, книга по тригонометрии отличается высоким научным уровнем изложения. Она может служить учителю средней школы для повышения его квалификации в области тригонометрии.

Serret J., Тригонометрия.

Книга содержит прямолинейную и сферическую тригонометрии и теорию тригонометрических функций. Из теории этих функций автор дает формулу Моавра для всякого показателя, разложение тригонометрических функций, прямых и обратных, в ряды и другие интересные сведения, излагаемые элементарным путем (без применения анализа бесконечно малых). Книга дает богатый материал для повышения квалификации преподавателя математики.

Пиотровский Б. Б., Тригонометрия, 1925.

Автор развивает тригонометрию, пользуясь учением о векторе и его проекциях на оси. Книга дает полное, достаточно глубокое изложение плоской тригонометрии. Она может служить учителю средней школы для изучения векторного изложения тригонометрии.

Клейн Ф., Вопросы элементарной математики с точки зрения высшей, т. 1, Арифметика, алгебра и анализ, 1933.

В книге имеется довольно большая глава о гониометрических функциях. Автор после общих замечаний о тригонометрических функциях переходит к обзору их приложений к решению треугольников, в особенности сферической тригонометрии, к учению о малых колебаниях, в особенности о колебаниях маятника, к изображению периодических функций посредством рядов из гониометрических функций.

Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 1936.

Эта книга является курсом сферической тригонометрии. Параллельно с теоретической частью приводятся схемы решения задач, вводящие читателей в область вычислительной техники.

Шатуновский С. О., Методы решения задач прямолинейной тригонометрии, 1929.

В книге даются общие методы решения треугольников, когда в число трех определяющих данных входят одна, две или три какие-либо однородные функции его линейных элементов; другими словами, даются общие методы решения тех случаев, которые в учебной литературе иногда называются сложными случаями. В книге приводится решение значительного числа примерных задач. Она может оказать преподавателю помощь в изучении общих методов решения сложных случаев треугольников.

Шмулевич П. К., Курс прямолинейной тригонометрии и методы решения тригонометрических задач (энциклопедия тригонометрии), 1911.

Эту книгу по справедливости можно назвать энциклопедией прямолинейной тригонометрии в объеме курса средней школы. Кроме изложения тригонометрии она лает в каждой главе образцы различных приемов решения задач. По книге разбросаны отдельные методические указания. Книга может служить настольным пособием для подготовки учителя к урокам.

Шмулевич П. К., Учебник прямолинейной тригонометрии, переработал Б. Я. Березовский, изд. 1-е и 3-е, 1934 и 4-е и 5-е, 1936.

Эта книга является переработкой предыдущей книги и утверждена Главным управлением учебных заведений Наркомтяжпрома СССР в качестве стабильного учебника для техникумов Наркомтяжпрома. Она имеет многие положительные качества, но вместе с тем она утратила некоторые качества прежнего издания. Как учебник она для средней школы громоздка, как пособие же может быть полезной преподавателю при подготовке к урокам.

Березанская Е., Тригонометрические уравнения и методика их преподавания, 1935.

Эта книга дает довольно полный обзор приемов решения тригонометрических уравнений и отдельные методические указания об изучении уравнений в школе. Книга может помочь учителю поднять свою квалификацию в области тригонометрических уравнений. Ее можно рекомендовать каждому учителю математики, приступающему к изложению тригонометрических уравнений в 10-м классе средней школы.

Рыбкин Н., Прямолинейная тригонометрия, 1935.

Книга утверждена Наркомпросом РСФСР как стабильный учебник для средней школы. Некоторые главы развиты недостаточно, например глава об обратных тригонометрических функциях, об уравнениях, о составлении таблиц.

Крогиус В. А., Прямолинейная тригонометрия, 1923.

Книга состоит из двух частей: первая часть — о функциях острого угла и решении треугольников, вторая часть—учение о тригонометрических функциях. Во второй части тригонометрические функции определяются как отношения радиуса-вектора и его проекций на две взаимно перпендикулярные оси.

Пржевальский Е., Прямолинейная тригонометрия и собрание тригонометрических задач, 1909.

Книга представляет полный учебник прямолинейной тригонометрии. В ней имеется ряд глав, выходящих за пределы программ средней школы. Книга содержит 3000 задач и примеров, из которих 2000 расположены в порядке глав учебника, а остальные задачи—смешанные. По числу задач — это один из немногих наиболее полных сборников задач по тригонометрии в объеме средней школы.

Билибин Н., Курс тригонометрии, ч. I «Прямолинейная тригонометрия", ч. II „Основания теории тригонометрических функций".

Объем материала этой книги примерно соответствует объему программы нашей средней школы. Но расположение материала существенно отличается: в первой части развиваются понятия тригонометрических функций при изменении аргумента от 0° до 180°, а затем излагается решение треугольников. Во второй части дается общая теория тригонометрических функций.

Гебель В. Я., Прямолинейная тригонометрия и собрание задач, 1927.

Книга представляет учебник тригонометрии в объеме средней школы и сборник задач. В книге выделен I концентр — тригонометрические величины острых углов и решение прямоугольных треугольников.

Гессенберг В., Тригонометрия на плоскости (библиотека Гешен).

Небольшая книжка содержит следующие главы: введение, прямоугольный треугольник, тригонометрические функции любого угла, косоугольный треугольник, теорема сложения, геометрическое применение теоремы сложения, четырехугольник. Как показывают названия глав, порядок изложения не лишен оригинальности. Эта же оригинальность имеет место в изложении отдельных глав.

Рыбкин Н., Сборник задач по тригонометрии для средней школы, переработано В. А. Ефремовым, 1934.

Сборник утвержден Наркомпросом РСФСР как стабильный задачник для средней школы. Во второй части сборника даны задачи по геометрии, преимущественно по стереометрии, требующие применения тригонометрии.

Гейланд Е., Сборник задач по тригонометрии, 1923 (библиотека Гешен).

В сборнике даны 952 задачи по тригонометрии на плоскости. Он является приложением к книге проф. Гессенберга „Тригонометрия" (библиотека Гешен).

Лямин А. А., Методический сборник задач по прямолинейной тригонометрии, 1918.

Книга представляет сборник примеров и задач по тригонометрии в объеме средней школы. К каждое главе автор дает небольшое введение, напоминающее необходимые формулы и указывающее основные приемы решения задачи примеров. Подбор примеров и задач почти по всем главам сделан удачно. Это является достоинством сборника; но есть главы, имеющие недостаточное количество упражнений.

Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, вып. II, Геометрия и тригонометрия, 1932.

Хрестоматия, составленная крупным специалистом, содержит ряд отрывков из классиков математической науки. Второй выпуск, посвященный геометрии и тригонометрии, содержит несколько отрывков по истории тригонометрии.

Попов Г. Н., Как применялась и применяется тригонометрия на практике, 1926.

Брошюра, написанная автором для учащихся старших классов средней школы, дает ряд интересных применений тригонометрии. Она может служить пособием для кружковой работы по тригонометрии.

Березовский Б. Я., Сборник задач по прямолинейной тригонометрии, 1936.

Этот сборник задач отличается большим числом разнообразных тригонометрических задач и довольно удачным систематическим их расположением. Сборник составлен по программам техникумов. Он содержит задачи по всем главам прямолинейной тригонометрии в объеме программ средней школы, а потому учитель легко может использовать сборник и в школе.

Гибш И. А., Элементарная математика, 1936.

Книга является общим курсом элементарной математики для высших педагогических учебных заведений; она содержит ряд глав плоской тригонометрии. Эти главы с пользой могут быть прочитаны учителем, работающим над повышением своей квалификации по тригонометрии.