А. М. ПЫШКАЛО

Методика обучения элементам геометрии в начальных классах

А. М. ПЫШКАЛО

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Пособие для учителей

издание 2-е, исправленное и дополненное

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1973

513 (07) П 95

Пышкало А. М.

П95 Методика обучения элементам геометрии в начальных классах. Пособие для учителей. Изд. 2-е, испр. и доп. М., «Просвещение», 1973.

208 с. с ил.

613(07)

ОТ АВТОРА

В настоящее время завершен переход начальной школы на работу по новому учебному плану и новым программам.

Новая программа по математике в начальных классах, кроме основного арифметического материала, включает некоторые сведения из алгебры и геометрии.

Использование геометрического материала в новом начальном курсе математики далеко выходит за рамки традиционных целей и задач, которые сводились, главным образом, к ознакомлению школьников с измерением геометрических величин и достаточно прочно усвоены учителем начальной школы.

Предлагаемая книга имеет своей целью оказать помощь учителям и методистам при работе по новой программе в овладении методикой обучения математике. Перед нами стояла задача, на основе проведенных исследований, разъяснить научно-методические идеи, лежащие в основе изменения содержания геометрического материала в начальном курсе математики.

В новой программе повышается роль геометрического материала в обучении математике. Это характеризуется не только ознакомлением младших школьников с большим числом геометрических фигур, но и усилением внимания к изучению свойств и отношений этих фигур и ознакомлением с геометрической формой предметов реального мира.

Степень детализации в раскрытии некоторых вопросов методики определялась главным образом в зависимости от того, насколько хорошо знаком с этим вопросом учитель начальных классов. Поэтому, например, из общих вопросов методики преподавания математики больше внимания уделено вопросу применения таких средств обучения, как учебные диафильмы, диапозити-

вы, кинофильмы. По этой же причине мы почти не остановились на методике проведения, например, измерений на местности.

В соответствии с новым учебным планом школы преподавание математики, начиная с IV класса, должно осуществляться учителем-предметником. Однако не исключена возможность (а во многих, например, малокомплектных школах это неизбежно), что математику в этом классе будет вести учитель начальной школы, не имеющий специального математического образования. Поэтому в книге уделено внимание обзору содержания элементарной геометрии, основным понятиям геометрии, их научным определениям, т. е. вопросам, изучение которых повышает научную квалификацию учителя.

Это имеет значение и для любого учителя начальных классов, так как более глубокая его математическая подготовка дает возможность осуществлять перспективное обучение математике, учить выделять главное, избегать перегрузки обучения выполнением упражнений, имеющих второстепенное значение. А главное — создает большие предпосылки для самостоятельных творческих поисков учителя в совершенствовании методики обучения.

В новом издании этой книги основная (рекомендательная) часть приведена в полное соответствие с окончательным вариантом программы, которая (вместе с учебниками) в течение 1967—1971 гг. подвергалась доработке и изменениям. Здесь учтен опыт массового обучения, уточнены требования к знаниям и умениям младших школьников по классам. Большое внимание уделено вопросам организации обучения (уроку), усилено внимание и к теоретической подготовке учителя, например, включено рассмотрение важнейшего вопроса о геометрических задачах (раздел 1, пункт 9).

Автор приносит искреннюю благодарность старшим научным сотрудникам АПН СССР А. С. Пчелко, М. И. Моро, доценту Р. А. Хабибу, доценту Н. П. Ирошникову, заведующему кафедрой методики начального обучения МГПИ им. В. И. Ленина Л. Н. Скаткину, заведующей кабинетом начального обучения Института усовершенствования учителей Москвы Н. Г. Уткиной, учителям и методистам за ценные критические замечания, содействовавшие улучшению книги.

I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ.

1. ГЕОМЕТРИЯ КАК ЕСТЕСТВЕННАЯ НАУКА. ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ.

Геометрия изучает определенные неизмененные (не зависящие от времени) формы и свойства пространства.

Геометрия, как об этом, в частности, свидетельствует ее название, первоначально была наукой об измерении земельных участков1. Как и другие естественные науки (такие, как биология, химия, физика и т. п.), геометрия на своей первой (эмпирической) ступени развития занималась собиранием фактов, характеризующих свойства окружающего пространства, исследовала отношения между этими фактами, определяла и обобщала выявленные закономерности.

Человек изучал форму предметов в связи со своей практической деятельностью. Он строил жилища, обтесывал камни, натягивал нити, изготовлял ткани, глиняные сосуды. Нужно было сделать тысячи предметов с прямыми краями, натянуть миллионы нитей, обозначить на поверхности земли миллионы прямых линий, чтобы получить ясные представления о прямой линии как о том общем, что есть в каждом из этих конкретных случаев.

Вся принятая в геометрии терминология свидетельствует о том, что геометрические понятия возникли путем абстракции от реальных предметов. Великий русский математик Н. И. Лобачевский подметил, например, что слово «точка» — отточенное острие гусиного пера. Слово «линия» (латинское linea) происходит от слова linum (лат.) —«лен, льняная нить».

От других естественных наук геометрию отличает относительная простота и бедность фактов и отношений,

1 Геометрия — дословно «землемерие».

бедность качественной стороны изучаемых ею явлений1. Именно это обстоятельство, очевидно, и привело к тому, что в геометрии раньше, чем в других естественных науках, стало возможным применение наиболее рационального метода исследования — дедуктивного2 (логического).

Индуктивный3 (опытный) метод познания был и остается основным, например, для такой науки, как биология, в которой предмет исследования (живой организм) как с качественной, так и с количественной, стороны настолько сложен и многогранен, что иногда с трудом поддается даже описательному обзору.

Возможность использования дедукции сравнительно быстро привела к тому, что замечаемые людьми связи превращались постепенно в логические выводы одних положений геометрии из других. Постепенно вырабатывалось само понятие геометрической теоремы и ее доказательства, выяснились основные положения, из которых другие могут быть выведены, т. е. выяснялись аксиомы геометрии. Так геометрия превратилась в математическую теорию. В основных своих положениях геометрия как математическая теория сложилась более 2500 лет назад. По словам академика А. Д. Александрова, в «Началах» Евклида (III век до н. э.) геометрия была представлена в виде такой стройной системы, что ничего принципиально нового к ее основам математики не смогли добавить до появления работ Н. И. Лобачевского, т. е. в течение нескольких тысячелетий.

В настоящее время важнейшими отраслями геометрии стали: неевклидова геометрия (например, геометрия Лобачевского), проективная геометрия, начертательная геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия. Каждая из названных геометрий имеет в большей или меньшей степени отношение к школьному предмету геометрии, но в школьной геометрии в явном виде не излагаются основы ни одной из них.

1 Р. Неванлинна. Пространство, время и относительность. М., «Мир», 1966.

2 Дедукция — метод рассуждения (доказательства) «от общего к частному».

3 Индукция — получение общих выводов из рассмотрения отдельных (всех) частных случаев (метод рассуждения «от частного к общему»).

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

Определить понятие — это значит точно выделить тот класс объектов, который охватывается данным понятием. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Существует правило построения определения, в логике оно носит название: «определение понятия при помощи указания рода и видового отличия». Например, мы определяем квадрат как прямоугольник (название ближайшего рода), у которого смежные стороны равны (видовое отличие). В системе определений геометрических понятий, построенных при помощи указанного правила, мы неизбежно приходим к вопросу об основных понятиях.

Дело в том, что в процессе определения понятия каждый раз одно понятие (например, «квадрат») определяется через другое, более широкое («прямоугольник»), которое, в свою очередь, также может быть определено через еще более широкое понятие («параллелограмм», «четырехугольник», «многоугольник»). Такую последовательную цепь определений нельзя продолжать бесконечно. В конце концов мы приходим к понятиям наиболее широким и общим, для которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют основными (первичными или неопределяемыми). Основными понятиями в геометрии, например, являются понятия точки, прямой линии, плоскости.

Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных (неопределяемых) понятий как в науке геометрии, так и в школьном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, не имеет смысла ставить такие вопросы: «Что называется прямой линией?», «Что называется точкой?», «Что называется плоскостью?» и т. п., так как эти понятия основные, они не определяются через указание рода и видового отличия. При различных построениях курса геометрии в качестве основных могут быть приняты различные понятия: понятия, которые являются основными при одном построении курса геометрии, могут оказаться определяемыми при другом способе построения этого курса.

Так, принятый ныне школьный курс геометрии построен на следующих основных понятиях: «точка», «пря-

мая», «плоскость», «движение», «множество точек», «принадлежит» («лежит на», «проходит через»), «лежит между», «построить фигуру».

Следует иметь в виду, то внутри самого школьного курса геометрии, по мере овладения учащимися геометрическими представлениями, от класса к классу также меняется система основных (неопределяемых, элементарных) понятий. В младших классах эта система более обширна. Например, в I—III классах такие понятия, как отрезок, многоугольник, угол, прямоугольник и т. п., являются неопределяемыми. Но уже в IV классе они определяются. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет смысла ставить вопросы: «Что называется (что такое) отрезком? Что называется многоугольником? Что называется углом? и т. п.». Но уже можно ставить вопрос: «Что называется треугольником (четырехугольником, пятиугольником и т. п.)?»

Дети должны отвечать на этот вопрос примерно так: «Треугольник — это многоугольник, у которого три угла (вершины, стороны)». Здесь можно давать несколько избыточное определение прямоугольника как четырехугольника, у которого все углы прямые; можно определить понятие острого и тупого угла через понятие прямого угла.

3. ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ.

Учитель начальной школы должен быть знаком с научной трактовкой геометрических понятий, с их научным определением.

Рассмотрим кратко этот вопрос, считая, что учитель знаком с основными теоретико-множественными понятиями. Важнейшим понятием геометрии является понятие геометрической фигуры.

Определение. Геометрической фигурой называется всякое непустое множество точек.

Понятие фигуры определяется через основные понятия: «точка» и «множество». Из определения следует, что, например, геометрическими фигурами являются и отдельно взятая точка, и любое конечное множество точек (рис. 1). Отрезок, луч,

Рис. 1.

Рис. 2. Рис. 3.

прямая, треугольник, шар, куб и другие бесконечные множества точек также являются геометрическими фигурами.

Принадлежность точки А фигуре F (рис. 2) записывают так: AœF; Точка В не принадлежит фигуре F. Это записывают так: B$=F.

Фигура Fi называется частью фигуры F, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Это записывают так: F\CiF. Например, треугольник ABC на рисунке 3 (фигура Fi) будет частью четырехугольника ABCD.

Понятие «часть фигуры» используется при определении других фигур.

Например, отрезком MN называется часть прямой, состоящая из точек M и N и всех точек прямой, лежащих между ними (рис. 4).

Лучом OK называется часть прямой, состоящая из точки О и всех точек прямой, лежащих по ту же сторону от точки О, что и точка К (рис. 5).

При определении некоторых геометрических фигур используется понятие «расстояние между фигурами». Если каждую точку фигуры F\ соединить отрезком с каждой точкой фигуры F2, то наименьший из этих отрезков определяет расстояние между фигурами Fi и F2. Так, расстояние между двумя точками будет определяться

Рис. 4. Рис. 5.

отрезком, который соединяет эти точки. Расстояние между точкой А и отрезком MN (рис. 6) будет определяться отрезком AN, а расстояние между точкой Е и прямой AB определяется отрезком перпендикуляра ЕС (рис. 7).

Окружностью с центром О (точка) и радиусом R (отрезок) называется множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки О на расстояние R.

Понятие отрезка используется для ведения понятия выпуклой фигуры. Фигура1 называется выпуклой, если ей принадлежит отрезок, соединяющий любые две ее точки. Так, фигуры, изображенные на рисунке 8, выпуклые, а фигуры, изображенные на рисунке 9, невыпуклые. Примерами выпуклых фигур являются прямая, луч, отрезок, плоскость, любой треугольник. Однако не любой четырехугольник есть выпуклая фигура (рис. 9).

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне. Можно заметить,

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

1 Имеется в виду часть плоскости вместе с ее границей.

что если все диагонали многоугольника принадлежат ему, то этот многоугольник будет выпуклым.

Так, пятиугольник ABCDE (рис. 10) выпуклый, а пятиугольник MNOPK невыпуклый, так как диагональ NP не принадлежит этому пятиугольнику.

4. ОПЕРАЦИИ НАД ФИГУРАМИ.

Из различных фигур можно образовать новые фигуры. Это выполняется с помощью операций объединения (соединения) двух или нескольких фигур, пересечения двух или нескольких фигур и нахождения разности двух фигур. Некоторые из этих операций находят широкое применение уже в самом начале обучения (разрезание и складывание фигур).

Объединением двух или нескольких фигур называется множество всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Для обозначения этой операции применяется знак «U». Объединение фигур F\ и F2 записывается так: F\UF2.

Например, объединением треугольника ABC (Fi) и треугольника MNO (F2) будет шестиугольник ABCNMО (рис. 11). Объединение двух лучей 0.4 и KB может представлять собой, например, прямую (рис. 12, а) или луч OA (рис. 12, б).

Пересечением (или общей частью) двух или нескольких фигур называется множество всех точек, которые являются общими для всех этих фигур. Операция пересечения обозначается знаком «Л ». Так, например, на рисунке 11 общей частью фигур Fi и F2 будет являться отрезок ON, т. е. Fi nF2 = F3 — отрезок ON, а на рисунке 12, а пересечением лучей OA и KB будет отрезок КО.

Рис. 11. Рис. 12.

На рисунке 13 рассмотрены некоторые случаи пересечения двух треугольников. Пересечением двух треугольников может быть четырехугольник (рис. 13, а), треугольник (рис. 13,6), отрезок (рис. 13, в), точка (рис. 13, г). Может случиться, что пересечение двух фигур не содержит ни одной общей точки (рис. 13, д). (В этом случае говорят, что пересечение есть пустое множество.)

Разностью двух фигур F\ и F2 называется множество всех точек фигуры Fi, которые не принадлежат фигуре F2. Разность фигур F\ и F2 обозначается символом F{ / F2.

Так, разностью двух треугольников (рис. 14) ABC и ADC будет заштрихованная фигура, не содержащая точек отрезков AD и DC.

5. КРУГ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ, ИЗУЧАЕМЫХ В IV—VI КЛАССАХ.

Ознакомление учителя I—III классов с кругом понятий и важнейшими терминами, которыми должны в ходе обучения овладеть учащиеся IV—VI классов, поможет ему лучше ориентироваться в содержании школьного курса геометрии и правильно направлять (корректиро-

Рис. 13.

Рис. 14.

вать) текущую работу над геометрическим материалом. При этом необходимо предостеречь учителя от преждевременного использования приведенных нами словесных формулировок определений непосредственно в I— III классах. Как будет показано, основная задача изучечения геометрического материала в младших классах состоит в накоплении запаса геометрических представлений, на основе которого в дальнейшем можно будет логически определять понятия. Процесс формирования геометрических понятий не следует начинать с введения словесного (формального) определения. Он должен быть организован так, чтобы учащиеся постепенно подошли к правильному определению понятия.

Приведем пример списка1 важнейших понятий и терминов, рассматриваемых в IV—VI классах.

Основные геометрические понятия.

1. Геометрическая фигура есть множество точек.

2. Равными фигурами называются фигуры, которые можно совместить наложением.

3. Пересечением двух фигур называется множество точек, принадлежащих как одной, так и другой фигуре.

4. Объединением двух фигур называется множество точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

5. Отрезком AB называется часть прямой, состоящая из точек А и В и всех точек, расположенных между ними.

6. Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных от данной течки на данное расстояние.

7. Лучом OA называется часть прямой, состоящая из точки О и всех точек прямой, расположенных по одну сторону от точки О.

8. Через две точки можно провести одну и только одну прямую.

9. Отрезок короче ломаной линии, соединяющей его концы.

10. Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

11. Два луча, проведенные в плоскости из одной точки, делят плоскость на две области. Объединение этих лучей граница каждой области. Одна такая область вместе с ее границей называется углом. Лучи — стороны угла. Общее начало лучей — вершина угла.

12 Развернутым углом называется угол, стороны которого составляют прямую линию.

13. Прямым углом называется угол, равный половине развернутого.

1 Список составлен научными сотрудниками сектора обучения математике ИОПО АПН СССР К. И. Нешковым и А. Д. Семушиным в ходе многолетней экспериментальной работы с учащимися IV—VI классов по проекту экспериментальной программы. Заголовки разделов строго соответствуют разделам этой программы.

14. Биссектрисой угла называется луч, который делит угол пополам.

15. Прилежащими углами называются два угла, пересечение которых служит их общей стороной.

16. Смежными углами называются два прилежащих угла, объединение которых есть развернутый угол.

17. Вертикальными углами называются два угла, смежные с одним и тем же третьим углом.

18. Вертикальные углы равны.

19. Углом между двумя прямыми называется один из наименьших углов, вершина которого — точка пересечения прямых, а стороны — части прямых.

20. Перпендикуляром к прямой называется другая прямая, образующая с ней прямой угол.

21. Через точку к прямой можно провести один и только один перпендикуляр.

22. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной.

23. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

24. Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра к стороне треугольника, проходящего через противолежащую вершину, от вершины до точки пересечения со стороной или ее продолжением.

Осевая симметрия.

25. Осевой симметрией называется преобразование, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка той же плоскости, совпадающая с ней при повороте плоскости около заданной прямой до совмещения различных полуплоскостей. Прямая, около которой происходит поворот, называется осью симметрии.

26. При осевой симметрии точки оси остаются неподвижными.

27. Симметричные точки, не лежащие на оси, находятся в различных полуплоскостях относительно оси симметрии.

28. Симметричные фигуры равны.

29. Ось симметрии перпендикулярна к отрезку, соединяющему симметричные точки, и делит его пополам.

30. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии, переходит сама в себя

31. Точка, принадлежащая оси симметрии, одинакого удалена от двух симметричных точек.

32. Точка, не принадлежащая оси симметрии, ближе к той из симметричных точек, с которой лежит в одной полуплоскости относительно оси.

33 Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух ее точек, есть ось симметрии плоскости, переводящая одну из этих точек в другую.

34. Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух ее пересекающихся прямых, есть объединение двух осей симметрии плоскости, каждая из которых переводит одну прямую в другую.

35. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми

сторонами, а третья — основанием равнобедренного треугольника. Вершина, лежащая против основания, называется вершиной равнобедренного треугольника.

36. В треугольнике: а) против равных сторон лежат равные углы; 6) против большей стороны лежит больший угол.

37. В треугольнике: а) против равных углов лежат равные стороны; б) против большего угла лежит большая сторона.

38. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

30. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

40. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

41. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

42. В равных треугольниках равны соответственные элементы.

43. Прямоугольным треугольником называется треугольник, имеющий прямой угол. Сторона, лежащая претив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.

44. Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

45. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

46. Если катет и прилежащий (противолежащий) к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему (противолежащему) острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

47. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

48. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между ними, не равны, то против большего угла лежит большая сторона.

49. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, а третьи стороны не равны, то против большей стороны лежит больший угол.

Центральная симметрия.

50. Центральной симметрией называется преобразование плоскости, при котором одна точка (центр симметрии) остается неподвижной, а каждой другой точке А ставится в соответствие такая точка В, что центр симметрии служит серединой отрезка AB.

51. Центрально симметричные фигуры равны.

52. Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит сама в себя.

53. Две центрально симметричные прямые, не проходящие через центр симметрии, не пересекаются.

54. Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

55. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести к этой прямой одну и только одну параллельную прямую.

56. Отношение параллельности транзитивно.

57. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

58. Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с внутренним углом.

59. Внешний угол треугольника: а) равен сумме внутренних углов, не смежных с ним; б) больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

60. Объединение двух параллельных прямых с частью плоскости, заключенной между ними, называется полосой. Эти прямые называются сторонами пал осы.

61. Поперечным отрезком называется отрезок, концы которого принадлежат сторонам полосы.

62. Середина поперечного отрезка полосы есть центр симметрии полосы.

63. Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей), то:

а) внутренние (или внешние) накрестлежащие углы равны;

б) соответственные углы равны.

64. Прямые параллельны, если при пересечении двух прямых третьей:

а) внутренние (или внешние) накрест лежащие углы равны;

б) соответственные углы равны.

65. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.

66. Два перпендикуляра к одной прямой, лежащие в одной плоскости, параллельны.

67. Если поперечные отрезки полосы параллельны, то они равны.

68. Шириной полосы называется поперечный отрезок, перпендикулярный сторонам полосы. Ширина полосы везде одинакова.

69. Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух параллельных прямых, есть ось симметрии плоскости, переводящая одну из этих прямых в другую. Эта ось симметрии называется осью полосы.

70. Ось полосы делит пополам каждый поперечный отрезок.

71. Множество точек плоскости, удаленных от прямой на данное расстояние, есть объединение двух прямых, параллельных этой прямой и удаленных от нее на данное расстояние.

72. Два угла с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

73. Два угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Многоугольники.

74. Многоугольником называется объединение замкнутой ломаной линии и части плоскости, заключенной внутри этой линии.

75. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне.

76. Выпуклым многоугольником называется многоугольник, которому принадлежат все его диагонали.

77. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусам.

78. Сумма внутренних углов многоугольника равна произведению числа его сторон без двух на 180 градусов.

79. Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого равны внутренние углы и стороны.

80. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

81. Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой равны боковые стороны. Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии.

82. В равнобедренной трапеции: а) углы, прилежащие к основанию, равны; б) диагонали равны.

83. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

84. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

85. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

86. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

87. Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

88. Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть его центр симметрии.

89. В параллелограмме:

а) противолежащие стороны равны;

б) противолежащие углы равны;

в) диагонали делятся пополам точкой их пересечения.

90. Четырехугольник есть параллелограмм, если:

а) две противолежащие стороны равны и параллельны;

б) противолежащие стороны попарно равны;

в) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

91. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого имеется прямой угол.

92. Все углы прямоугольника прямые.

93. Диагонали прямоугольника равны.

94. Прямоугольник имеет центр симметрии и две оси симметрии.

95. Четырехугольник есть прямоугольник, если в нем:

а) три угла прямые;

б) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

96. Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны.

97. В ромбе:

а) все стороны равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

98. Ромб имеет центр симметрии и две оси симметрии.

99. Четырехугольник есть ромб, если в нем:

а) все стороны равны;

б) диагонали перпендикулярны одна другой и точкой пересечения делятся пополам.

100. Квадратом называется прямоугольник, две смежные стороны которого равны.

101. Все стороны квадрата равны. Квадрат есть ромб.

102. Квадрат имеет центр симметрии и четыре оси симметрии.

Параллельная проекция.

103. Проекцией точки А на прямую х в направлении прямой у называется точка В, которая является пересечением прямой х с прямой, параллельной у и проходящей через точку А\ х — прямая проекций, у—направление проектирования.

104. Проекцией фигуры называется множество проекций всех точек этой фигуры.

105. Параллельная проекция отрезка может быть меньше, равна или больше самого отрезка.

106. Параллельная проекция отрезка, параллельного прямой проекций, равна проектируемому отрезку.

107. Равные отрезки, если они параллельны или лежат на одной прямой, имеют равные проекции.

108. Ортогогональной проекцией называется параллельная проекция, у которой направление проектирования перпендикулярно прямой проекции.

109. Ортогональная проекция отрезка или равна, или меньше проектируемого отрезка.

110. Наклонной к прямой называется не перпендикулярный к этой прямой отрезок, один конец которого лежит на прямой.

111. Если из одной точки (вне прямой) проведены к прямой две наклонные, то:

а) равные наклонные имеют равные, ортогональные проекции;

б) равные ортогональные проекции имеют равные наклонные;

в) большая наклонная имеет большую ортогональную проекцию;

г) большая ортогональная проекция имеет большую наклонную.

Словарь важнейших терминов.

Биссектриса треугольника 221.

Биссектриса угла 14.

Внешний угол многоугольника 57, 59, 77.

Диагональ многоугольника 75.

Квадрат 100—102.

Луч 7.

Медиана треугольника 23.

Многоугольник 74.

Многоугольник выпуклый 76.

Многоугольник правильный 79.

Множество точек, одинаково удаленных ... 33, 34, 69, 71.

Наклонная 110—111.

Объединение фигур 4.

Окружность 6.

Отрезок 5.

Ось полосы 70.

Параллельные прямые 54,

Параллелограмм 87, 88.

1 Номера, под которыми стоят соответствующие формулировки в приведенном выше списке.

Пересечение фигур 3. Перпендикуляр к прямой 20, 21.

Полоса 60, 68. Поперечный отрезок полосы 61, 62, 67. Признаки параллелограмма 90. Признаки параллельности 64. Признаки прямоугольника 96.

Признаки равенства треугольника 39—41. Признаки равенства прямоугольных треугольников 44—47. Признаки ромба 99. Прямоугольник 91.

Проекция параллельная 103—107. Проекция ортогональная 108—109.

Равенство фигур 2. Ромб 96, 98.

Свойства высоты равнобедренного треугольника 38; отрезка 9; параллельности 55, 56; параллелограмма 89, 94.

Свойства прямоугольника 92, 93; прямой 8; ромба 97.

Симметрия осевая 25—32; центральная 50—53.

Соотношение между сторонами и углами треугольника 36, 37; между сторонами треугольника 10.

Средняя линия треугольника 85, 86; трапеции 83, 84.

Сумма внутренних углов треугольника 57.

Трапеция 80. Трапеция равнобедренная 81, 82.

Треугольник прямоугольный 43; равнобедренный 35.

Треугольники с двумя соответственно равными сторонами 48, 49.

Угол 11; угол между двумя прямыми 19; угол прямой 13; угол развернутый 12.

Углы вертикальные 17, 18; прилежащие 15; смежные 16; с соответственно параллельными сторонами 72; с соответственно перпендикулярными сторонами 73.

6. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ И РАЗВИТИЕ УЧАЩИХСЯ.

Для определения возможных путей изменения содержания и методики изучения геометрического материала младшими школьниками необходимо знать, как происходит процесс усвоения знаний, какими особенностями он характеризуется на каждом этапе обучения. В последнее время психологами и педагогами осуществлена попытка более глубоко проникнуть в процесс развития геометрического мышления, раскрыть и выяснить его специфику1.

С этой целью можно определить несколько уровней мышления в области геометрии, которые условно называют «уровнями геометрического развития».

1 См.: А. М. Пышкало. Геометрия в I—IV классах. М., «Просвещение», 1965, 1968, стр. 69; А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики. Минск, 1965, стр. 35.

Каждому уровню соответствует свой язык, содержащий определенную геометрическую и логическую терминологию, своя символика, своя глубина логической обработки изучаемого геометрического материала. Переход от одного уровня к другому связан с изменением языка, символики и глубины логической обработки геометрических объектов. Переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящим лишь от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а потому зависит от содержания и методов обучения. Их изменение может содействовать ускорению перехода к следующему, более высокому уровню или тормозить этот переход.

Первый, исходный, уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура рассматривается как «целое». На этом уровне при восприятии фигуры ученики еще не выделяют ее элементов, не замечают, например, сходства между квадратом и прямоугольником. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Ученик, мыслящий на первом уровне, может легко научиться узнавать такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, хорошо запоминает их названия, но не видит общих признаков в этих фигурах, не видит в квадрате ромба, в ромбе — параллелограмма и т. д. Для ученика каждая из этих фигур существенно индивидуальна.

При правильном обучении первый уровень может быть достигнут всеми учащимися I класса и старшими дошкольниками.

Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют устанавливать отношения между элементами фигур или самими фигурами. Они выполняют анализ воспринимаемых фигур. Свойства фигур выясняются только экспериментальным путем. Усвоение свойств фигур происходит в процессе наблюдений, измерений, вычерчивания, моделирования (например, вырезания из бумаги). Эти свойства используются при узнавании фигур. Но свойства не выводятся и логически не упорядочены. Учащиеся еще не понимают структуры логического следования. На этом уровне фигуры выступают носителями своих свойств и распознаются учащимися по этим свойствам. Но эти свойства еще не связываются друг с другом. Например, учащиеся довольно быстро замечают, что и у прямо-

угольника, и у параллелограмма общего вида противоположные стороны попарно равны, но учащиеся еще не приходят к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм. Правильно организованное обучение, как показывают данные экспериментов, позволяет обеспечить достижение этого уровня всеми учащимися III класса.

Учащиеся, достигшие третьего уровня геометрического развития, уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. На третьем уровне происходит логическое упорядочение свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого. Логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Но порядок логического следования дается учителем или учебником, и сам ученик еще не видит возможностей изменять этот порядок. На третьем уровне начинают понимать, что дедукция позволяет устанавливать свойства фигур более экономно и обще, чем с помощью эксперимента: выяснив экспериментально одни свойства фигуры, путем логического рассуждения — вывода можно получить другие свойства. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником, параллелограммом.

Обучение на третьем уровне геометрического развития в основном начинается (по новой программе) в IV классе и завершается к моменту окончания школы.

Четвертый уровень геометрического развития характеризуется тем, что учащиеся осознают значение дедукции в целом как способа построения всей геометрической теории.

Переходу на этот уровень способствует усвоение (понимание) роли и сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств; анализа логических связей понятий и предложений. Учащиеся на этом уровне легко видят различные возможности развития теории, исходя из различных посылок, и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой-нибудь фигуры.

Например, ученик может рассмотреть всю систему свойств и признаков параллелограмма, взяв за основу определение параллелограмма, данное в учебнике1. Но

1 См.: Н. Н. Никитин Геометрия. Учебник для VI— VIII классов. М., «Просвещение», 1971, стр. 92.

может построить и другую систему, взяв за ее основу такое определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, две противоположные стороны которого равны и параллельны».

Достижение четвертого уровня геометрического развития (во всей его полноте) всеми учащимися в настоящее время еще не предусматривается учебной программой школы. Однако (в чем нас убеждают эксперименты и опыт работы математических школ) этот уровень вполне доступен учащимся VIII—X классов.

Пятый уровень мышления в области геометрии соответствует современному (Гильбертовскому) эталону строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий характер и более широкие применения, когда, например, точками служат некоторые объекты, явления или состояния; фигурами — любые совокупности таких точек и т. д.

Переход одного уровня к другому, более высокому, осуществляется постепенно и последовательно. При этом элементы более высокого уровня зарождаются «внутри» предшествующего, появляются до того, как осуществлен переход к этому новому уровню. Причем и после этого перехода мы часто возвращаемся к более низкому уровню с целью обеспечения лучшего понимания изучаемых на новом уровне вопросов. Все это дает возможность на каждом этапе обучения определить (выявить) основной уровень, на котором ведется обучение, а также элементы предшествующего и последующего уровней геометрического развития.

7. КРИТЕРИИ ОТБОРА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ I—III КЛАССОВ.

Важным условием, обеспечивающим полноценную реализацию обучения математике, является не только правильное, осознанное учителем преподнесение учебного материала программы и стабильного учебника, но и умение самостоятельно (квалифицированно) отобрать необходимый учебный материал. Речь идет не только

о составлении задач, аналогичных задачам учебника, и использовании их с целью тренировки детей, а об умении, в случае необходимости, составить «промежуточные» задачи, позволяющие уточнять представления учащихся, обобщать их или совершенствовать необходимые навыки. Потребность в выполнении такой работы велика.

Проведенное нами в 1960—1964 годах исследование показало, что плохое качество геометрических знаний есть результат, отражающий не столько ограниченные познавательные возможности младших школьников, сколько недостатки, относящиеся к реализации программы, к содержанию преподносимого геометрического материала, к системе его изучения, принятой тем или иным учителем. Каждый учитель должен быть знаком с основными критериями, позволяющими не допускать ошибок при отборе геометрического материала. Это важно и в связи с реализацией творческого подхода в обучении и развитии младших школьников. Содержание критериев сводится к следующему.

I. Обучение геометрии в традиционной школе1 начиналось с измерений и осуществлялось в последовательности, соответствующей историческому ходу развития науки (от геометрии «измерений» к геометрии «формы»). Содержание геометрического материала начальных классов сложилось в основном под влиянием потребности формирования практических измерительных навыков. В то же время психологами установлено, что усвоение геометрических фактов у детей идет в противоположном направлении: первые геометрические сведения у них являются по существу качественными, а не количественными. Это важное положение служит одним из критериев отбора содержания геометрических знаний младших школьников и определяет некоторые методические рекомендации, разработанные в новой программе. В I—-III классах следует вести целенаправленное ознакомление учащихся с большим числом геометрических объектов, не связывая эту работу только с выполнением измерений.

II. Известно, что в процессе обучения рисованию, ручному труду, физкультуре и в повседневной игровой и практической деятельности у младших школьников на-

1 Традиционной будем называть школу, работавшую по программам, ныне заменяемым новыми.

капливается запас предметных представлений о материальных вещах, их взаимном положении в пространстве, об их свойствах (устойчивость или неустойчивость, подвижность или неподвижность, способность сохранять или изменять форму и т. д.). Они лежат в основе формирования геометрических представлений учащихся, поэтому не следует считать, что изучение геометрического материала в I—III классах строится на пустом месте, и при подготовке материалов к урокам необходимо исходить из того, что учащиеся имеют значительный запас представлений о свойствах материальных предметов («геометрия как физика»)1. Отвлечение от некоторых свойств материальных вещей (абстрагирование) позволяет выявить то общее, что лежит в основе геометрических представлений и понятий.

III. В учебной и художественной литературе, в содержании радио и телевизионных передач, в речи учителя и взрослых, в школе, на улице и дома дети встречаются с геометрической терминологией, характеризующей форму предметов, свойства фигур и их отношения. Дети усваивают большое число геометрических терминов. Однако эти термины часто оторваны от реальных представлений или употребляются детьми не по назначению, что приводит к формированию ложных представлений. Тенденция исключить из обихода младших школьников тот или иной геометрический термин или заменить его более легким, как это, например, сделано в традиционном курсе с термином «параллелепипед», приводит к формированию неверных геометрических представлений, отрицательно сказывается на общем развитии детей. Поэтому при отборе содержания геометрического материала следует исходить из того, что необходимо опираться на запас геометрических терминов, которым владеют ученики, и проводить работу по раскрытию их правильного научного содержания.

IV. Умение определять геометрическую форму предметов имеет большое общеобразовательное значение. Однако в традиционном обучении не велось целенаправленной работы по ознакомлению детей с геометрической формой окружающих предметов. Например, мирились с тем, что ученик не может определить форму

1 См.: Д. Гильберт. Основания геометрии. М.—Л., 1948. Предисловие П. К. Рашевского, стр. 7—9.

кастрюли, карандаша и т. п. Ознакомление детей с формой требует запаса представлений о плоских и пространственных фигурах, из которых может быть составлена или на которые может быть разложена геометрическая модель предмета. Программа геометрического материала I—III классов предусматривает работу по определению формы окружающих предметов на основе ранее созданного запаса геометрических представлений. Поэтому учитель должен уделять постоянное внимание работе по изучению геометрической формы предметов и их частей, должен уметь формулировать задания и вопросы на эту тему.

V. В повседневной практике и в учебной работе учащиеся фактически широко используют не только знакомство с отдельными фигурами, но и рассматривают их связи, их взаимное положение. Например, используется параллельность, перпендикулярность прямых. Часто при изображении различных предметов рассматривается задача о пересечении фигур, выясняется принадлежность или не принадлежность одной фигуры другой. Например, принадлежность точки отрезку, отрезка — многоугольнику и т. п. Отношения взаимного положения фигур сами по себе являются важными геометрическими объектами. Они играют существенную роль при изучении свойств фигур, овладение ими помогает детям полнее и точнее анализировать окружающий мир. Поэтому изучение отношений взаимного положения фигур и предметов должно предусматриваться в работе учителя.

VI. Начиная с дошкольного возраста дети овладевают разнообразными трудовыми и практическими навыками, в том числе и простейшими навыками измерений. В школе эти навыки усложняются. Уже в I классе возникает необходимость, вытекающая из потребностей практической и учебной деятельности, в измерении длины, веса, времени. Исследование показало, что формирование представлений о геометрических величинах должно осуществляться с младших классов. Несмотря на то что измерениям геометрических величин в традиционном обучении уделялось много внимания, оно носило односторонний характер — обращалось внимание только на формирование практических навыков, но учащиеся так и не получали четких представлений о величинах и их измерениях. Планируя работу по формированию изме-

рительных навыков прикладного характера, следует заботиться о формировании представлений о геометрических величинах и использовать эти навыки и представления в процессе формирования понятий числа, операций (действий) над числами, представлений о свойствах операций, тесно связывать эту работу с изучением фигур.

VII. Анализ новой программы свидетельствует о том, что система геометрических знаний учащихся I—III классов имеет определенное самостоятельное значение, не должна истолковываться, как это имело место в традиционном курсе начальной арифметики, как нечто второстепенное, дополнительное к арифметическим знаниям. Важное место, например, занимают пространственные представления (образы), отражающие пространственные отношения и свойства реальных вещей. Они играют большую роль не только в усвоении геометрии, но и многих других школьных предметов (рисования, черчения, географии, физики и т. д.). Поэтому отбор и изучение геометрического материала в I—III классах следует осуществлять так, чтобы этот материал составил нечто цельное, законченное и играл самостоятельную роль, обеспечивая формирование пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.

VIII. В традиционной начальной школе работа по формированию основных геометрических навыков носила односторонний характер. Из многочисленных чертежных и измерительных инструментов дети на протяжении первых лет обучения использовали только масштабную линейку и не овладевали навыками использования других инструментов, даже таких, как циркуль. Это приводило к возникновению значительных трудностей в дальнейшем обучении, в котором указанные навыки играют важную роль. Поэтому при отборе содержания геометрического материала следует заботиться о выработке навыков использования различных чертежных и измерительных инструментов, навыков построения геометрических фигур, представлений о точности.

IX. Изучение смежных дисциплин I—III классов предъявляет значительные требования к содержанию геометрического материала. Эти требования не удовлетворяются только наличием у детей твердых измерительных навыков и умением применять их в разнообразной деятельности школьников. Обеспечение потребностей та-

кого предмета, как рисование, связано с наличием представлений о форме предметов, об отношениях взаимного положения фигур и частей фигур на плоскости и в пространстве, с умением анализировать фигуры. Без этих представлений и умений учащиеся не смогут овладеть основами построения изображений предметов (рисунком). Значительный запас представлений и навыков требуется для усвоения разнообразного материала на уроках ручного труда, где учащимся нужно уметь не только измерять, но и определять форму, точно вычерчивать, на уроках природоведения, например, при ознакомлении с планом. Следовательно, при определении содержания геометрического материала необходимо учитывать потребности смежных дисциплин, изучаемых в I—III классах.

X. Геометрический материал I—III классов является составной частью единого курса математики восьмилетней школы. Он должен изучаться так, чтобы всеми учащимися к концу III класса был достигнут необходимый (второй) уровень геометрического развития, что означает завершение геометрической пропедевтики. Поэтому при отборе содержания геометрического материала нужно заботиться не только о накоплении запаса геометрических представлений и навыков, но и достижений учащимися соответствующего логического развития, усвоения ими необходимой геометрической и логической терминологии.

XI. Изучение смежных дисциплин (географии, черчения, физики и др.) после окончания III класса предъявляет к содержанию геометрического материала большой круг требований. Например, приступая к изучению географии, учащиеся должны иметь прочные представления о круге, окружности, шаре. Значительный запас геометрических представлений и навыков требуется на уроках труда. Поэтому при отборе материала, привлекаемого на уроки математики I—III классов, необходимо заботиться о постепенном включении вопросов, готовящих школьников к изучению смежных дисциплин по окончании III класса.

XII. Программа начального курса математики обычно основывалась на рассмотрении минимума сведений о числе и сводилась к формированию необходимых навыков счета и вычислений.

В программе трехлетней начальной школы сделан некоторый шаг вперед в построении начального курса математики. «Основной стержень этого курса — арифметика натуральных чисел и основных величин. Вокруг этого стержня объединяются элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, которые органически включаются в систему арифметических знаний...». Такой подход уже в настоящее время позволил использовать в процессе сообщения сведений о числах, их свойствах, об операциях (действиях) над числами и их свойствах теоретико-множественные представления2.

Это тем более важно, что в дальнейшем обучении математике (с IV класса) эти и логические представления широко используются не только в связи с числами и операциями над ними, но и в такой же степени в процессе формирования геометрических знаний.

Таким образом, теоретико-множественные и логические понятия постепенно начинают составлять основной стержень, на базе которого формируется система математических знаний в школе. Поэтому уже в I—III классах нужно (без употребления специальной терминологии и символики) начинать подготовку учащихся и при отборе упражнений геометрического содержания включать в их число такие, при выполнении которых формируются и используются теоретико-множественные понятия.

8. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ МЕТОДИКУ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ.

Важнейшей задачей учителя является определение методики, обеспечивающей раскрытие основного содержания геометрического материала начального курса математики на каждом уровне геометрического развития, а также методики ведущих линий (направлений) изучения этого материала:

формирование геометрических представлений;

развитие мышления;

1 «Программа восьмилетней школы. Начальные классы». М., «Просвещение», 1971, стр. 35.

2 Там же, стр. 36.

формирование пространственных представлений и воображения;

обеспечение связи изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики; формирование теоретико-множественных представлений и их использование в обучении математике;

формирование навыков; использование наглядности в обучении.

Каждая методическая линия должна быть определена для каждого уровня геометрического развития с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся.

Важным общим началом методики изучения геометрического материала является достижение активизации познавательной деятельности учащихся в обучении на каждом этапе.

Формирование геометрических представлений. Особенности методики формирования геометрических знаний определяются задачей достижения всеми учащимися к концу III класса второго уровня геометрического развития. Но этого еще недостаточно для овладения геометрическими понятиями, поэтому изучение геометриечских фигур и их отношений доводится в основном до уровня представлений.

Работа по изучению геометрического материала должна проводиться как в естественнонаучной дисциплине: свойства фигур выявляются экспериментально, усваиваются необходимая терминология и навыки. Поэтому важное место в обучении должен занимать лабораторный метод.

Общаясь с разнообразными материальными моделями геометрических фигур, выполняя с этими моделями большое число опытов, учащиеся выявляют наиболее общие их признаки, не зависящие от материала, цвета, положения, веса и т. п.

Это достигается систематическим применением приема материализации изучаемых геометрических объектов. Например, прямая линия не только объект, полученный с помощью линейки, не только след движущейся точки (конца карандаша), но и край — ребро линейки, натянутая нить, линия сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости пола и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств

материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями.

В I классе должно быть завершено первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями, что выполняется с помощью окружающих материальных вещей, готовых моделей и изображений (первый уровень). У учащихся постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры, т. е. переход на более высокий (второй) уровень геометрического развития.

Значительное место в методике отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В I классе это позволяет из множества фигур выделить множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т. д. Во II и III классах это позволяет уточнить свойства фигур, их классификацию. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских (круг — многоугольник, окружность — круг и т. д.) фигур плоских и пространственных фигур (квадрат — куб, круг — шар и т. п.). Например, при ознакомлении с кубом следует найти в нем характерные точки, отрезки, многоугольники, при ознакомлении с шаром следует (реально) показать его круговые сечения. Во II—III классах (второй уровень) эффективным, вызывающим качественные сдвиги в процессе формирования геометрических представлений является использование отношений взаимного положения фигур для установления их свойств. Например, использование отношений взаимного положения (пересечения) отрезка и прямой на плоскости позволяет учащимся убедиться в конечности отрезка и бесконечности прямой.

Созданный запас геометрических представлений обеспечивает необходимую основу для проведения в дальнейшем работы по формированию геометрических понятий.

Развитие мышления учащихся. В процессе изучения материала у учащихся формируются навыки индуктивного мышления, воспитываются умения делать простейшие индуктивные умозаключения1. Одновременно с этим

1 Индукция (индуктивные умозаключения)—способ установления фактов (истин, положений), когда общий вывод делается на основе ряда отдельных (частных) наблюдений (экспериментов).

постепенно развиваются и используются навыки дедуктивного мышления1.

Все это ведется через формирование приемов умственных действий таких, как анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение.

В I классе ведется работа по первоначальному ознакомлению с фигурами. Уже при этом дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей методики обучения в этот момент является обеспечение целенаправленного и полного анализа фигуры, на основе которого в дальнейшем выделяются ее существенные свойства и происходит отвлечение от несущественных свойств. В ходе такой работы с необходимостью возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, условных изображений. Однако их введение не может являться формальным актом. Например, введение буквенных обозначений фигур и их элементов в I классе может оказаться преждевременным потому, что учащиеся еще не достигли того уровня геометрического развития, когда они различают элементы фигуры. Символика в этом случае «не работает», а потому не усваивается всеми учащимися смысл ее употребления. Но уже во II классе введение буквенной символики помогает не только отличить фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений.

В традиционном обучении уже в I классе часто начинали изучение фигур с введения формального определения. Эксперимент показал, что использование формальных определений в I классе оказывается преждевременным. Это происходит прежде всего потому, что запас геометрических представлений учащихся еще мал, у них поэтому не возникает потребность к обощению. Но уже в III классе (второй уровень), когда дети овладели значительным запасом представлений, возникает потребность к обобщениям, учащиеся уже должны уметь давать описания фигур и их свойств, близкие к определениям.

1 Дедукция (дедуктивное умозаключение)—метод рассуждения (доказательства), при котором от общего предложения (суждения) отправляются к частному. Например, если известно, что предложение «Всякое натуральное число, сумма цифр которого делится на три, само делится на три» верно, то для установления факта делимости данного конкретного числа, например 465, на три достаточно убедиться в том, что сумма его цифр 4+6-f5=15 делится на три.

Одна из задач методики изучения геометрического материала состоит в систематическом осуществлении первоначального ознакомления учащихся (особенно III класса) с классификацией фигур; со структурой логического следования. (Программой предусмотрено, например, изучение классификации треугольников в теме «Виды треугольников».)

Организационно работа по развитию мышления не расчленяется, и логические категории сами по себе не являются предметом изучения.

Формирование пространственных представлений и воображения. Пространственные представления (образы) отражают соотношения и свойства реальных предметов, т. е. свойства трехмерного видимого или воспринимаемого пространства.

Психологи и педагоги различают два вида пространственных представлений: образы памяти и образы воображения.

Пространственные представления памяти отражают предмет почти в том виде, как он был дан для восприятия. Представления памяти в начальном курсе математики можно распределить на группы в зависимости от их содержания: образы реальных предметов, образы геометрических тел (материальных моделей) и фигур, образы чертежей и рисунков геометрических фигур и т. д. Учащиеся воспроизводят по памяти виденные ими ранее образы.

Представления воображения отличаются от представлений (образов) памяти тем, что они являются новыми образами, возникающими после мысленной переработки (воссоздающее воображение) заданного материала. Например, учащиеся по словесному описанию представляют геометрическую фигуру, выполняют затем ее рисунок или чертеж, или по условному изображению (чтению чертежа) представляют (получают представление) фигуру.

Образы воображения создаются на основе образов памяти. При их создании учащиеся опираются на усвоенные знания, на свой прошлый опыт. Однако не всегда образ воображения — это образ предмета, обязательно встречающегося в практике ученика. Образы воображения характеризуются созданием нового образа на основе имеющихся представлений.

Пространственное воображение — это деятельность, которая проявляется в процессе создания образов воображения. Основу работы по формированию пространственного воображения составляет прежде всего создание запаса пространственных представлений, получаемых на основе непосредственного знакомства с образами материальных геометрических объектов (первый уровень), которые в дальнейшем совершенствуются с привлечением геометрических моделей.

На базе создания запаса представлений уже во II—III классах (второй уровень) становится возможным формирование собственно пространственных представлений, когда новые пространственные представления создаются как комбинация ранее созданных.

Важным методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственные восприятия учащимися конкретных вещей, материальных моделей геометрических образов.

В I классе (первый уровень) пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта пространственной ориентировки реальных предметов, материальных моделей геометрических фигур.

Во II и III классах (второй уровень) характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Следует, например, формировать представления об одной фигуре с опорой на непосредственное восприятие другой фигуры. Например, представления о кубе с опорой на непосредственное восприятие модели квадрата, изготовленного из палочек и пластилина. Дети изготовили такую модель. На некоторое время учащимся показывается модель куба, и после того как она убрана, ставятся вопросы: «Можно ли из палочек и кусочков пластилина изготовить модель куба? Сколько для этого нужно взять палочек, сколько кусочков пластилина?» Учащиеся решают эту задачу мысленно, в воображении (только 10% второклассников дали ответы на вопросы, выполнив построение модели куба, остальные дали правильный ответ, решив задачу в воображении).

Непрерывное и систематическое ознакомление младших школьников с фигурами, их свойствами, отношениями геометрических фигур, ознакомление с измерениями

геометрических величин обеспечивает овладение кругом основных геометрических представлений и навыков, которые используются в повседневной деятельности, в жизни.

Связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойств чисел, операций над ними и, наоборот, использовать числа для изучения свойств геометрических образов.

В I классе модели фигур следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для пересчитывания (счетный материал). Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников.

В I классе учащиеся знакомятся с измерением отрезков. Это позволяет устанавливать связь между отрезками и числами. Во II классе устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами. Раннее знакомство с измерением отрезков позволяет содержательно иллюстрировать процесс формирования представления о натуральном числе, о десятичной системе счисления (сантиметр — единица, дециметр — десяток, метр — сотня), об операциях над числами (масштабная линейка как числовой луч, как счетный прибор). Геометрические фигуры должны быть использованы при ознакомлении учащихся с долями единицы.

При изучении геометрических величин рекомендуется тщательно знакомить учащихся с фигурами — объектами измерений. Учитель должен систематически проводить работу, подготавливающую представления, лежащие в основе понятия «геометрическая величина» (длина, площадь, объем), содействующую формированию общих представлений об измерении геометрических величин.

На основе этих представлений учащиеся узнают, что длина отрезка — это число, полученное определенным способом с помощью другого (единичного) отрезка, а площадь фигуры (не только многоугольника)—число, полученное с помощью единичного квадрата.

Не следует форсировать работу по установлению соотношений между единицами измерений, которые, в свою

очередь, должны вводиться постепенно, а также спешить с введением формул для вычисления площади и периметра прямоугольника. Эксперимент показал, что, после того как учащиеся, например, усвоили измерение отрезка в сантиметрах (или площади в квадратных сантиметрах), перенос полученных навыков и знаний при использовании новой единицы измерения совершается без затруднений всеми школьниками.

Важной методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств.

В свою очередь, для уточнения теоретико-множественных и логических представлений следует использовать знания младших школьников о геометрических фигурах, отношениях между ними, выраженных в системе определений, описании свойств (простейших теорем) и т. д. Так, уже в I—III классах выполняются простейшие классификации множества углов (прямые и непрямые -— в I классе; прямые, острые, тупые — во II классе); множества треугольников (по сторонам, по углам); множества многоугольников (по числу углов) и т. д. Изучение родовых и видовых отличий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий.

Это уже с I класса дает возможность построить методику ознакомления с прямоугольниками таким образом, что дети довольно рано усваивают, что любой квадрат — прямоугольник.

Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, дает возможность в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это, в свою очередь, позволяет детям более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получения фигуры из других (складывание), т. е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, дополнения над точными множествами.

Формирование навыков. Учитель должен систематически проводить работу, обеспечивающую формирование навыков использования измерительных и чертежных

инструментов, построения геометрических фигур, умений описывать (словесно выражать) процессы и результаты работы, выполненной учеником. Важным методическим условием реализации этой системы является обеспечение осознанности учеником выполнения действий и лишь затем достижение автоматизированного действия.

Результатом обучения геометрии является не только создание прочных практических навыков измерений и построений фигур, но и формирование представлений о точности.

В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейки (с точностью до 1 см), знакомятся с циркулем. При этом детям предъявляются не меньшие требования, чем это обычно делается в отношении навыков письма. Наличие полноценных навыков уже к концу I класса позволяет проводить работу по усвоению более сложного материала, создает возможность для активизации мышления учащихся в процессе ознакомления с геометрическими объектами.

Во II—III классах в практику измерений и построений постепенно включаются новые инструменты: циркуль-измеритель, чертежный треугольник, малка. Повышаются требования к точности измерений и построений, к качеству чертежей, к описанию выполняемой работы.

Наличие к концу III класса у всех учащихся прочных навыков выполнения измерений и построений фигур создает условия, при которых в дальнейшем обучении главное внимание должно быть сконцентрировано на овладении геометрическими понятиями.

Работа по формированию навыков должна проводиться распределение почти на каждом уроке. Это создает условия для более частого применения знаний, умений и навыков в учебной деятельности детей, обеспечивает выработку прочных навыков.

Использование наглядности. Роль и место средств наглядности в изучении геометрического материала, как это показало исследование, на каждом этапе обучения и для каждого уровня геометрического развития различны.

Если в самом начале I класса (первый уровень) основным средством наглядности является конкретная вещь, то уже в конце I класса и во II классе важным

средством наглядности становится геометрическая материальная модель (в том числе чертеж).

В III классе (второй уровень) заметно повышается роль геометрического чертежа. Геометрический чертеж постепенно становится основным средством наглядности.

В данной книге приведена разработанная автором система наглядных пособий, учитывающая изменение характера использования наглядности в обучении. Рассказ о ней не выделен в отдельную главу, а ведется применительно к частным вопросам методики обучения математике.

Органической составной частью методики изучения геометрического материала должно стать применение в I—III классах клетчатой бумаги, плакатов-заданий, карточек-заданий и тетрадей на печатной основе, учебных диафильмов и кинофильмов. В их разработке использованы некоторые идеи программированного обучения.

Применение этих средств позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся в обучении; содействует развитию навыков и умений самостоятельного приобретения новых знаний, выработке приемов учебного труда, наблюдательности, смекалки и других качеств, определяющих характер общего развития учащихся; обеспечивает преодоление дефекта, состоящего в формировании только навыка «воспроизводящего мышления».

Разрабатываемые дидактические материалы (учебные кинофильмы, диафильмы, плакаты-задания, карточки для самостоятельной работы) должны стать органической частью системы учебных материалов начального курса геометрии. Они способствуют формированию геометрических представлений у всех учащихся, позволяют осуществить обучение с учетом индивидуальных особенностей каждого ученика, содействуют более экономному ведению процесса обучения.

Целенаправленная деятельность учителя по формированию геометрических представлений создает благоприятные условия как для успешного усвоения курса математики, так и для овладения основами знаний по другим предметам: физике, черчению, рисованию, географии, трудовым дисциплинам, а также содействует формированию приемов мыслительной деятельности, совершенствованию в учебном труде, умению самостоятельно решать

сложные задачи, позволяет активизировать познавательную деятельность детей в обучении.

Изучение геометрического материала в начальном курсе математики обеспечивает необходимую подготовку для перехода к основному курсу геометрии. Запас геометрических представлений является хорошей основой для работы по формированию геометрических понятий, индуктивные методы (эксперимент) служат необходимой базой для изучения в дальнейшем курсе геометрии на дедуктивной основе.

Геометрический материал должен рассматриваться как основная часть единого курса математики начальных классов восьмилетней школы. Геометрические знания не требуют для своего усвоения предварительного знакомства с арифметикой и широко используются для иллюстрации таких понятий, как «число», «операции над числами». В значительной мере осуществлению этой связи содействует использование в обучении теоретико-множественных понятий и аналогии. Однако изучение геометрического материала уже в I—III классах дает воз: можность своевременно раскрыть детям еще одну ветвь математики, отличную от арифметики, позволяет показать учащимся важную сторону математических знаний.

9. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

В настоящее время происходит становление нового курса математики, в котором (в отличие от прежнего) наметилась единая линия (от первого до последнего класса средней школы) формирования системы математических понятий, навыков и умений. В таких условиях с необходимостью пересматриваются сложившиеся взгляды и основные методические положения.

Современные методисты прилагают значительные усилия для осмысления функций текстовых задач в процессе обучения математике. И это имеет важное значение: от того, насколько точно будут определены эти функции, зависит перестройка системы обучения решению задач, определяется роль и место каждой задачи. В этом отношении интересны взгляды К. И. Нешкова. Он исходит из того, что в обучении каждая задача выполняет определенную основную функцию: дидактическую, познавательную или развивающую.

Задача, выполняющая дидактические функции, в основном предназначается для усвоения теоретических сведений— «это задачи на прямое применение изученной теории или рассматриваемой зависимости, на закрепление всех основных фактов школьного курса математики»1.

Задачи с познавательными функциями направлены на «усвоение основного содержания» курса математики. При их решении происходит необходимое для всех учащихся углубление знаний и усвоение обязательного для всех учащихся материала.

Задачи с развивающимися функциями могут иметь содержание, несколько отходящее от основного курса (обязательного для всех), и более сложное. В них посильно рассматриваются отдельные вопросы школьной программы. «Запоминание и усвоение этого материала всеми учащимися не обязательно. При решении этих задач ученику недостаточно применять изученные теоретические сведения или уже известные методы решения задач, а необходимо проявить выдумку, сообразительность»2.

Очевидно, что при такой классификации функций текстовых задач одна и та же задача в зависимости от условий и времени использования может нести несколько функций. Однако учитель должен точно видеть и понимать, какую из основных функций в данный момент несет рассматриваемая с учащимися задача. Определив эту функцию, учитель применяет соответствующую методику обучения ее решения, устанавливает характер требований к учащимся.

В современных учебниках для начальной школы достаточно полно представлена система задач, несущих дидактические и познавательные функции. Но в настоящее время не разделяются познавательные и развивающие функции задач, это легко подтверждается тем, что учитель требует от всех учащихся умения решить любую задачу, которая помещена в стабильном учебнике.

Среди текстовых задач и раньше, и теперь определенное место занимали так называемые задачи «геометрического содержания». В ранее действовавших стабильных учебниках I—IV классов около 7% общего числа тексто-

1 К. И. Нешков, А. Д. Семушин. Функции задач в обучении. «Математика в школе», 1971, № 3.

2 Там же.

вых задач составляли арифметические задачи (вычислительного характера), содержащие геометрические термины1, половина которых только на первом этапе использования несли дидактическую и частично познавательную функции по отношению к формированию понятий о длине отрезка, периметре прямоугольника, площади прямоугольника и навыков измерения этих величин. Среди них были очень немногие, косвенно связанные с формированием представлений о геометрических фигурах и их свойствах.

В связи с усилением внимания к изучению элементов геометрии в курсе математики трехлетней начальной школы заметно изменилась система соответствующих текстовых задач. В новых учебниках увеличилось число таких задач. Среди них появились и задачи, несущие развивающие функции. В целом система геометрических задач содержит:

а) задачи, в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология;

б) задачи, связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей фигур;

в) задачи (вычислительные), связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника;

г) задачи на элементарные построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);

д) задачи на элементарные построения фигур с заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т. д.);

е) задачи на классификацию фигур;

ж) задачи на деление фигур на части (в том числе на равные части) и на составление фигур из других;

з) задачи, связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений;

1 См.: А. М. Пышкало. Геометрия в I—IV классах, 1963 стр. 15.

и) задачи на выяснение геометрической формы предметов или их частей.

Задачи, целью которых является формирование основных геометрических представлений и навыков, т. е. задачи, несущие дидактические и познавательные функции, составляют основу в каждой из выделенных выше групп. Некоторая часть задач несет развивающие функции, небольшую часть из них учитель найдет в «Дополнительных материалах для упражнений»1 и во II, III, IV разделах настоящей книги.

10. ОСОБЕННОСТИ УРОКА МАТЕМАТИКИ.

Одновременно с изменением содержания начального обучения математике в настоящее время происходит изменение роли и места теоретических знаний в процессе обучения. Именно с этим непосредственно связано изменение традиционной методической системы ознакомления детей с фактами, явлениями, понятиями. Из этого следуют и те перемены, которые произошли в самой схеме процесса обучения. Например, программа и учебники математики уже теперь не предусматривают, как это было раньше, специального времени на повторение. Та схема учебной работы, которая сложилась за последние 20—30 лет в начальной школе, зародилась в XIX веке, когда начальное образование было для большинства людей конечным звеном. Подавляющее большинство после окончания начальной школы сразу приступали к трудовой деятельности. Поэтому основное внимание в обучении, естественно, уделялось только отработке важнейших практических навыков и умений (чертить, измерять, считать). Для достижения этой цели учителю достаточно было: 1) как-то объяснить новый материал (чаще всего дать определение понятия, например имени существительного, сложения и т. п.), сообщить ряд «правил»; 2) организовать достаточно длительное повторение упражнений на данное правило, в результате чего в связи с решением десятков и сотен однородных задач формировать нужные навыки (измерения, вычисления, письма). При таком подходе основная нагрузка ложилась на деятельность памяти. Чтобы навык не распадался, организовы-

1 Стабильные учебники математики для I, II, III классов.

валось повторение. Для этого программой отводилось специальное время. Главной задачей учащихся при такой системе обучения было правильно «воспроизвести» все то, что в «готовом» виде ими пассивно усваивалось. При этом возникала потребность в искусственном отрыве одних знаний от других. Например, вычитание чисел не связывалось со сложением, деление с умножением, геометрия измерений с геометрией формы и т. д. По очень меткому выражению А. А. Люблинской, в такой схеме учебной работы «Повторение является не только главным, но и почти единственным действием, которого требовало заучивание учебного материала»1. Не случайно в то время стали популярными слова: «Повторение — мать учения».

Главной целью начального обучения теперь является подготовка к дальнейшему обучению, к овладению основами науки.

Это, конечно, не снимает задачи формирования у учащихся системы основных навыков и умений, но включает дополнительные требования: научить детей навыкам и умениям учебного (умственного) труда, т. е. научить их использовать систему не только практических, но и умственных действий (только одним из которых является повторение!). При этом существенно меняется схема учебной работы, возникает иное соотношение между знаниями и действиями учащихся. Прежде всего, сообщение нового понятия не является, как это было раньше, единовременным актом, в котором активным был учитель, а учащиеся пассивно «на память» воспроизводили то или иное правило, которым начиналось усвоение нового материала. Понятие формируется во времени, на базе определенного запаса представлений. В этом процессе учащиеся выполняют (специально разработанную методистами) выраженную в системе упражнений в новых учебниках совокупность практических и умственных действий. Причем соответствующее правило (определение понятия) появляется не на начальной, а скорее на завершающей фазе обучения, в результате активной творческой (а не воспроизводящей) деятельности каждого ребенка. Можно

1 А. А. Люблинская. Использование действий в процессе усвоения знаний и умственном развитии младших школьников. «Начальная школа», 1971, № 4.

привести много примеров. Рассмотрим один из них. И по старой, и по новой программам учащиеся начальной школы знакомятся с понятием площади прямоугольника. Изучение всей темы проходило в IV классе и распадалось на следующие этапы:

1. Ознакомление с прямоугольником (осуществлялось в III классе).

2. Ознакомление с квадратными мерами: квадратный сантиметр, квадратный метр (с этого начиналось изучение темы в IV классе).

3. Формулировка правила, с помощью которого вычисляется площадь прямоугольника.

4. Решение задач и введение попутно единиц измерения площади земельных участков (ар, гектар). Таблица мер.

2-й и 3-й этапы занимали 1—2 часа (из 16 часов, отведенных на всю тему). Остальное время использовалось на формирование навыков решения задач.

Реализуя общие положения психологов, методисты пришли к выводу, что ознакомление с представлениями о площади фигуры в новых условиях должно вырабатываться постепенно и не в результате кратковременного изучения связанных с этим понятием вопросов, а распределено на несколько лет обучения. При этом не менее важной, чем выработка навыков вычисления площади, целью работы должно являться формирование общих представлений о площади фигуры как о геометрической величине. Поэтому изучение темы разделили1 на следующие этапы:

1. Знакомство с многоугольниками, кругом (осуществляется непрерывно с I класса), в частности с прямоугольником.

2. Знакомство с делением фигуры на части и составлением из этих частей других фигур, подсчет этих частей, формирование первоначальных представлений о равновеликости и равносоставленности (подготовка начинается во II классе).

3. Формирование общих представлений о площади фигуры на основе сравнения с другой фигурой (выяснения,

1 Термин «разделить» понимается не в буквальном смысле, так как этапы не следуют один за другим, а иногда протекают одновременно или почти одновременно.

которая из них может быть помещена внутри другой) осуществляется в III классе.

4. Формирование представлений о единичном квадрате, с помощью которого можно всегда обнаружить, какая из фигур имеет большую площадь (в III классе). Знакомство с квадратным сантиметром.

5. Нахождение площади различных фигур в квадратных сантиметрах. Палетка (в III классе).

6. Вычисление площади прямоугольника в квадратных сантиметрах (в III классе).

7. Вычисление площади в квадратных дециметрах (в III классе).

8. Вычисление площади в квадратных метрах (в III классе).

9. Вычисление площади земельных участков (в арах и гектарах) (в IV классе).

Даже при беглом сравнении нового и старого подходов ознакомления младших школьников с необходимым кругом представлений и навыков по теме «Площадь прямоугольника» бросаются в глаза существенные различия, обоснование которых приведено выше в более общем виде. Действительно, первая схема нацеливает на получение механического навыка измерения (точнее, вычисления) площади прямоугольника. Вторая схема дает возможность реализовать значительно больший круг задач, начиная с формирования общих представлений о площади фигуры, на основе которых формируется совокупность представлений, наглядных и доступных учащимся, играющих роль основной теории. Применение этой теории связано с широким кругом практических и умственных действий, главными среди которых, кроме повторения, есть наблюдения, сравнения, сопоставление и противопоставление и другие специально подобранные действия, помогающие детям сознательно применять теоретические знания в процессе формирования навыка.

Отмеченные изменения, естественно, повлияли на общие требования к учебнику. Изменилось также не только содержание, но и структура современного урока. Теперь, очевидно, вряд ли можно говорить, например, об уроке, который полностью посвящается повторению или только сообщению нового материала. Все это нашло определенное отражение в новых учебниках по математике. Не случайно, что они написаны, в отличие от учебников по дру-

гим предметам, поурочно. Причем система уроков в учебниках обладает, помимо указанных выше особенностей, тем своеобразием, что в ней ограничено число уроков, полностью посвященных изучению только геометрических, только алгебраических или только арифметических фактов. Главную часть составляют уроки с преобладанием в них арифметического материала; иногда (значительно реже) встречаются уроки с преобладанием алгебраического или геометрического материала.

Из указанных выше положений следует, что для достижения прочных знаний геометрический материал нецелесообразно выделять в отдельную учебную дисциплину и посвящать его изучению отдельные уроки, концентрировать эти уроки в одном месте (как это делали, например, в III классе традиционной школы). Его целесообразно изучать распределенно, включать в каждый урок математики. Это создает больше возможностей для осуществления связи геометрических и других знаний, а также вносит определенное разнообразие в учебную деятельность детей на уроках математики, что содействует повышению эффективности обучения. Полный урок для изучения геометрического материала может быть отведен в тех случаях, когда проводится практическая работа (например, измерение на местности) или лабораторная работа (изготовление моделей и т. д.).

Опыт показывает, что изучение геометрического материала целесообразно равномерно распределить по всему учебному году. В процессе формирования геометрических представлений, необходимых навыков не последнюю роль играет фактор времени — продолжительность и постепенность. Для достижения этого учитель должен заботиться о включении почти в каждый урок (и не только урок математики!) геометрического материала. Учитывая возрастные особенности младших школьников, неустойчивость их внимания, очень важно разнообразить характер деятельности ребенка на уроке. Нельзя признать нормальным, например, если весь урок дети только считают (или только пишут). Выполнение заданий геометрического содержания связано с разнообразными видами познавательной деятельности школьников. Здесь есть и наблюдения, и измерения, и конструирование, и рисование, вычерчивание с помощью линейки и циркуля, моделирование из бумаги и палочек и т. п. Поэтому включение гео-

метрического материала в урок само по себе позволяет по мере необходимости вносить разнообразие в учебную деятельность.

С другой стороны, эти же обстоятельства в значительной мере служат обоснованием нецелесообразности выделения для изучения геометрического материала в I—III классах отдельных (полных) уроков.

Таким образом, геометрическому материалу можно уделять несколько минут (5—10) почти на каждом уроке математики, стараясь связать его с изучением остальных вопросов курса математики, рассматриваемых на этом уроке.

II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В I КЛАССЕ.

Опыт показывает, что изучение геометрического материала в I классе целесообразно равномерно распределить по всему учебному году. С таким расчетом в настоящее время и построен учебник математики для I класса.

В нем в подавляющее большинство уроков включены упражнения и задания с геометрическим содержанием. Для того чтобы получить целостное представление о содержании, приемах и методах его реализации в обучении, мы излагаем кратко наиболее важные методические рекомендации. Следует учитывать, что роль этих указаний, конечно, выходит за рамки, связанные только с интерпретацией, с обогащением соответствующих методических направлений, принятых в стабильных учебниках.

Основная цель состоит в том, чтобы дать возможность учителю на основе четкого понимания задач, поставленных перед ним программой, творчески осуществить процесс обучения младших школьников элементам геометрии, не выходя при этом за рамки программы. Поэтому методические рекомендации, как правило, и рассматривают не просто отдельные упражнения, отдельные вопросы, а некоторые наиболее важные направления, связывающие воедино эти вопросы, упражнения.

11. ОБОБЩЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВЕЛИЧИНЕ ПРЕДМЕТОВ, ОБ ОТНОШЕНИЯХ ИХ ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Еще до школы дети накапливают большое число представлений о форме, размерах и взаимном расположении различных предметов в окружающем простран-

стве. Эти представления являются необходимой основой для формирования в дальнейшем важнейших геометрических представлений, а затем и понятий. Сооружая из «кубиков»1 разнообразные постройки, дети знакомятся не только с отношениями взаимного положения предметов (выражаемыми словами «выше», «ниже», «в середине», «над», «под», «левее», «правее», «между» и т. д.), но и обращают внимание на сравнительные размеры предметов (выражая это словами «больше», «меньше», «шире», «уже», «короче» и т. д.).

В игровой и практической деятельности происходит также ознакомление с формой предметов и их отдельных частей. Например, дети сразу замечают, что колесо (цилиндр) или мяч (шар) обладает свойством катиться, а коробка (призма) таким свойством не обладает. Эти физические свойства дети интуитивно связывают с формой тел. Но так как опыт детей и накопление терминологии носит случайный характер, то важной задачей обучения становится уточнение накопленных представлений и усвоение сооветствующей терминологии. С этой целью необходимо систематически предлагать разнообразные примеры2. Отношения между предметами, выраженные словами «одинаковые», «различные», «больший», «меньший» и другие, устанавливаются либо на реальных предметах (полоски бумаги, палочки, мячи и т. д.), либо на их изображениях (рисунках, чертежах). Каждый из приводимых с этой целью примеров должен четко выявлять основной признак, по которому выясняются эти отношения. Например, выясняя вопрос о том, какая из двух палочек «большая», важно обеспечить, чтобы обе палочки были одинаковой толщины (или одинаковой длины). Во всех случаях при сравнении необходимо подбирать такие предметы, для которых «признак сравнения» хорошо заметен, однозначен и может быть легко выделен учащимися.

Например, легко сравнивать два шара различного диаметра и цветов, но трудно (особенно на первых порах) — шары различного диаметра и одинакового цвета.

1 Это слово взято в кавычки потому, что в наборах «кубиков», кроме призм, пирамид и других многогранников, встречаются также шары, цилиндры и тем более сложной формы (сочетание призмы и цилиндра и т. д.).

2 Такие примеры в небольшом числе содержит учебник.

Рис. 15.

Учащиеся в этом случае часто говорят: «Шары одинаковые» (имея в виду цвет).

При выполнении подобных упражнений учитель каждый раз должен подчеркивать, что интересует нас при сравнении вещей. В частности, при изучении геометрических свойств вещей нас интересует не материал, из которого сделаны эти вещи, не их цвет, а другие качества: размеры, взаимное расположение элементов, форма.

Термин «одинаковые» (вещи, фигуры) истолковывается как конгруэнтные (равные). По мере изучения геометрических фигур этот термин будет заменен термином «равные» (например, «равные отрезки»).

Термины «больше» — «меньше» в каждом примере должны быть конкретизированы (заменены частными терминами), т. е. четко и строго истолкованы. Например, при сравнении полосок (рис. 15) нецелесообразно спрашивать, какая из них больше (или меньше).

Лучше спросить, «какая из полосок уже (или шире)», «какая из полосок короче (длиннее)». Выражение «Вася больше Кати» заменяем выражением «Вася выше Кати», а «береза меньше сосны» заменяется выражением «береза ниже сосны» и т. д.

Упражнения, способствующие формированию правильных и четких представлений, соответствующих терминам «больше» — «меньше», «правее» — «левее», «выше»— «ниже», «над» — «под» и т. д., занимают значительное место в образовании пространственных представлений и потому должны применяться в обучении младших школьников не эпизодически, а систематически. Минимум таких упражнений содержит учебник. В случае необходимости такие упражнения могут быть подготовлены учителем1.

1 Можно воспользоваться упражнениями из книги А. М. Пышкало «Геометрия в I—IV классах». М., «Просвещение», 1965, 1968, разд. II, п. I.

12. ГЕОМЕТРИЯ ЛИСТА БУМАГИ. УСВОЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ И ТЕРМИНОВ.

Выражение «геометрия листа бумаги» употребляется нами в широком методическом смысле. Линованные и нелинованные листы бумаги (и не только прямоугольной формы) могут быть широко и разнообразно применены в ходе образования геометрических представлений. Уже на первых уроках первоклассники знакомятся с тетрадью. Учитель обращает внимание детей на то, что листы тетради покрыты прямыми линиями: эти линии проведены в различных направлениях. Некоторые прямые линии пересекаются (учащиеся находят примеры пересекающихся прямых), а некоторые — не пересекаются (учащиеся показывают такие линии). Учитель обращает внимание детей на «точку пересечения» каких-нибудь двух прямых линий на листе тетради. Просит отметить эту точку карандашом. Полезно употребить в таком случае (и научить детей) выражение: «Эти две прямые проходят через отмеченную точку, пересекаются в этой точке». Необходимо научить первоклассников отмечать и такие точки, через которые данная прямая не проходит. В этом случае говорят: «Отмеченная точка не лежит на прямой». Дети узнают, что в тетради по математике линии на листе бумаги образуют одинаковые (равные) клетки (квадраты).

С целью формирования представлений о прямой линии, точке, пересекающихся и не пересекающихся прямых линиях следует использовать не только тетради в клетку, но и остальные виды линованных тетрадей, употребляемых первоклассниками.

Важно, чтобы геометрическая терминология употреблялась систематически и не только на уроках математики, но и (не меньше) на занятиях по чистописанию и на других уроках. По мере ознакомления детей с числами и со счетом клетки тетради и отдельные точки могут использоваться в качестве счетного материала (наряду со счетными палочками).

Вот пример таких упражнений:

«Закрась красным карандашом четыре клетки подряд» (или «столбик из четырех клеток» или «ряд из четырех клеток»).

«Закрась синим карандашом какую-нибудь одну

клетку. Пропусти одну (две, три и т. д.) клетку справа (слева, сверху, снизу) и закрась еще одну клетку (две клетки)» и т. п.

«Отметь точку пересечения двух каких-нибудь прямых. Отсчитай от этой точки (две, три, четыре и т. д.) клетки вниз (вверх, вправо, влево) и отметь на прямой еще одну точку».

Следует предостеречь учителя от употребления в обучении таких терминов, как «косая» линия («косая» линейка), и не спешить с введением в словарь первоклассника терминов «вертикальная», «горизонтальная», «наклонная» прямые линии.

13. ТОЧКА. ЛИНИЯ. ЛИНИИ ПРЯМЫЕ И КРИВЫЕ, ЗАМКНУТЫЕ И НЕЗАМКНУТЫЕ.

Успешное формирование такого абстрактного понятия, как «геометрическая фигура», во многом зависит от многообразия представлений, накопленных учащимися. Поэтому совершенно недостаточно, например, получить представление о прямой линии только на основе наблюдений линованного листа (см. выше). Учитель, максимально используя опыт детей, должен привлечь разнообразные предметы, с помощью которых уточняются представления о точке, линии и т. д. и усваиваются соответствующие геометрические образы.

Если туго натянуть нитку (или кусочек шпагата), то она напоминает прямую линию. Если же натяжение ослабить, нить провиснет и будет представлять собой кривую линию. Если концы нити связать и нить положить на стол, то мы получим модель замкнутой кривой линии. В результате достаточного числа упражнений в вычерчивании точек и линий учащиеся приходят к выводу, что прямая линия — незамкнутая линия. Наблюдая окружающие предметы, их части, контуры предметов и их частей, дети должны уметь показывать такие из них, которые напоминают изучаемые геометрические фигуры.

Особо благоприятные условия на наблюдения и использования в практике школьников различных линий представляются на уроках обучения письму, рисованию, трудового обучения. Здесь линии возникают в связи с движением точки (линия — след движущейся точки). Конец остро заточенного грифеля карандаша, конец пера

представляют собой точку. Чем острее этот конец, тем точнее получается изображение точки (тем четче представление детей о точке).

При написании букв дети замечают, например, что контур буквы «О» представляет собой замкнутую кривую линию, а есть буквы, элементами которых являются различные кривые линии.

Каждый рисунок ребенка возникает в результате построения (проведения) различных линий. Уже в I классе ученик должен учиться использовать геометрическую терминологию для характеристики нарисованных им фигур. Причем эта характеристика должна становиться точнее и содержательнее по мере ознакомления детей с геометрическими фигурами и их свойствами. Усвоение геометрической терминологии является исключительно важной задачей обучения. Соответствующие термины должны составлять часть активного словаря школьника, что может быть достигнуто только в случае систематической работы по развитию речи.

Потребность в использовании терминологии возникает в процессе учебной деятельности детей. Поэтому на долю учителя падает задача целенаправленно регулировать эту деятельность на всех уроках по содержанию и объему. В связи с этим целесообразно еще раз подчеркнуть опасность использования ненаучной терминологии на уроках рисования, труда и других предметов.

14. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ ЛИНИИ. ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ.

Изучение прямой линии связано с очень важным понятием линейной протяженности, являющимся одним из существенных компонентов пространственной ориентировки и пространственных представлений. Формирование понятия «прямая линия» осуществляется постепенно. В I классе проводится первоначальное ознакомление с прямой линией и важным ее свойством — через две точки можно провести только одну прямую линию. Учащиеся обнаруживают, что через одну точку можно провести сколько угодно кривых линий (рис. 16), а также и сколько угодно прямых линий, т. е. в этом случае прямая ничем не отличается по своим свойствам от любой кривой. Но уже рассмотрение случая, когда линия долж-

Рис. 16 Рис. 17.

на проходить через две заданные точки, ярко подчеркивает отличие прямой от других линий. Учащиеся отмечают две точки и проводят через них кривые линии (рис. 17).

Затем аналогичное задание выполняется с прямыми линиями. Оказывается, что все прямые линии, проходящие через две данные точки, сливаются, т. е. через две точки проходит одна прямая линия.

При изучении прямой линии, кроме получения ее изображения по линейке, следует привлекать и другие способы построения. Наглядным является, например, и получение прямых линий в результате перегибания листа бумаги. Линия сгиба листа бумаги прямолинейна. Учащиеся перегибают небольшой лист бумаги произвольной формы в любом направлении (складывают лист бумаги вдвое), затем расправляют лист и видят, что получившаяся линия есть прямая (рис. 18).

Важно обратить внимание детей на тот факт, что у каждого из них был свой (различной формы) лист бумаги, что этот лист каждый ученик перегибал в произвольном направлении и все же каждый получил один и тот же результат, изображение прямой линии.

Рис. 13.

С помощью перегибания листа полезно проверить, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых (лист бумаги прокалывается и перегибается так, чтобы всякий раз линия сгиба проходила через точку прокола), а через две точки проходит только одна прямая (два прокола — две точки). Только одна прямая проходит через эти точки, т. е. лист в этом случае можно перегнуть единственным способом.

Учащиеся уже умеют отмечать точки на прямой линии. Выполняется задача: отметить на прямой две точки. Тогда часть прямой линии, границей которой будут эти точки, называют отрезком прямой линии или сокращенно отрезком. Эти точки называют концами отрезка (рис. 19).

Учащиеся постепенно усваивают, что изображение прямой линии отличается от изображения отрезка прямой тем, что концы последнего отмечаются точками или штрихами. Например, на рисунке 19 изображены прямая линия, отрезок, являющийся частью некоторой прямой (прямая и принадлежащий ей отрезок), и просто отрезок. По мере выполнения наблюдений и различных упражнений учащиеся I класса подводятся к выводу, что отрезок весь может быть изображен на бумаге, а вся прямая на бумаге не поместится (какой бы большой лист мы ни брали). Поэтому целесообразнее ставить учащимся задания по отысканию предметов (или частей предметов), напоминающих отрезок прямой линии. Например, отрезком прямой линии является край линейки, край кромки стола, классной доски, ребро шкафа, место, где сходятся (пересекаются) пол и стена или потолок и стена, или две соседние стены класса и т. д.

Важными являются и такие упражнения: «Отметь две точки и соедини их по линейке отрезком (отметь четыре точки и соедини их попарно отрезками), каждые две точки соедини отрезком». Приведенные задачи несут различную логическую нагрузку. Эти задачи необходимо связывать и с работой по формированию понятия числа. Так, в последней задаче можно спросить, сколько отрезков при этом получилось.

Весьма полезны следующие упражнения (использование «геометрии листа бумаги») : «На пересече-

Рис. 19.

нии двух линий отметь точку. Отступи от нее на пять клеток вниз и на три клетки влево, отметь вторую точку. Отступи от второй точки на четыре клетки вправо и на две клетки вниз и отметь третью точку. Соедини отрезками точки 1 и 2, точки 2 и 3. Сколько отрезков содержит полученная фигура? Укажи концы каждого отрезка» (рис. 20).

Представления о ломаной линии даются учащимся I класса после того, как у них накопился некоторый опыт наблюдения и вычерчивания отрезков и детьми усвоена необходимая терминология.

Как видно, последнее из описанных выше упражнений подготавливает детей к знакомству с ломаной линией. В их опыте уже встречались различные фигуры, составленные из отрезков. Ломаной линией мы будем называть фигуру, которая составлена из отрезков так, что конец одного отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего и т. д. Эти отрезки не образуют нового отрезка. Фигура (рис. 20) будет ломаной линией. Она состоит из двух отрезков. Учащимся сообщаются новые термины: отрезки, образующие ломаную, называют звеньями. Если на отрезке отметить какую-нибудь точку, то она разделит его на два отрезка (на две части), т. е. мы получим фигуру, составленную из двух отрезков, но эта фигура не будет ломаной линией, так как все ее звенья составляют отрезок (рис. 21).

Полезно продемонстрировать учащимся получение модели ломаной линии. Можно сделать это из палочек (отрезки — звенья) и шариков пластилина или буквально переломить отрезок (тонкую палочку) в одной, двух точках. Такая иллюстрация хорошо подкрепляется термином «ломать», употребленном в полном соответствии с представлениями о ломаной полученными учащимися.

Необходимо рассмотреть с учащимися и замкнутые ломаные линии, попрактиковаться в их изображении на бумаге и в изготовлении моделей ломаных из палочек или проволоки. Это поможет в дальнейшем при ознакомлении школьников с многоугольниками,

Рис. 20.

так как замкнутая ломаная линия является границей многоугольников. В результате учащиеся I класса должны, например, назвать число отрезков, составляющих фигуры, найти среди изображенных (рис. 22) фигур ломаные линии, указать звенья, их число.

В частности, фигура А (см. рис. 22) состоит из трех отрезков. Однако постепенно учащиеся I класса должны уметь отвечать и на вопрос: «Укажите все отрезки, которые вы видите на рисунках 23 и 24?»

На рисунке 23 можно указать 3 отрезка, а на рисунке 24 — 6 отрезков.

Практика вычерчивания ломаных линий на клетчатой и гладкой бумаге будет влиять не только на формирование навыков построения фигур, на усвоение свойств этих фигур и соответствующей терминологии, но и обеспечит подготовку к дальнейшему ознакомлению учащихся с другими геометрическими фигурами, в частности с многоугольниками.

Рис. 21.

Рис. 22.

Рис 23. Рис. 24.

15. МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Большинство детей уже в опыте, предшествующем школьному обучению, встречались с многоугольниками. Изучение развития геометрических представлений показало, что большинство детей знакомы с такой фигурой, как круг (дети умеют отличать его от других фигур). Это обстоятельство целесообразно использовать на первом уровне уточнения представлений о многоугольниках. Рассматриваются круг и многоугольник, вырезанные из картона (рис. 25).

Фигура справа отличается от круга тем, что имеет углы, много углов. Учащимся можно продемонстрировать, как катится круг по столу. Многоугольник не катится по столу. Этому мешают его углы. Затем для уточнения представлений о многоугольниках целесообразно использовать уже знакомые учащимся геометрические фигуры: точки, отрезки, ломаные линии. Предлагаются упражнения на вычерчивание и изготовление моделей многоугольников из бумаги. И здесь целесообразно использовать клетчатую бумагу. Приведем пример. Дети (можно под диктовку учителя) выполняют упражнение: «Отметить на пересечении двух прямых линий точку. Отступить от нее на шесть (или другое число) клеток и отметить вторую точку. Отступить от второй точки на четыре клетки вниз и на три клетки вправо и отметить третью точку. Соединить отрезками каждые две точки». В результате все учащиеся должны получить одну и ту же фигуру (рис. 26)1.

Учитель может повторить чертеж на доске и рассмотреть полученную фигуру. Это замкнутая ломаная линия. Она является границей многоугольника, который мы закра-

Рис. 25.

Рис. 26.

1 Предлагаемое упражнение— хороший пример математического диктанта.

шиваем цветным карандашом или (по линиям границы) вырезаем из бумаги.

Отрезки, составляющие границу, называют сторонами многоугольника, концы этих отрезков — точки — называют вершинами многоугольника. У нашего многоугольника три стороны, а вершин тоже три (замечаем, что у многоугольника вершин столько же, сколько сторон и наоборот). Такой многоугольник называют треугольником. Учащимся указывается, что название многоугольника определяется числом вершин (сторон, углов). Если, например, у многоугольника семь вершин, то его называют семиугольником.

16. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ЧИСЛА.

Легко видеть, что элементы многоугольников наряду со счетными палочками, клетками тетради, точками и т. п. также могут служить счетным материалом. По мере изучения чисел учащиеся вспоминают построения соответствующих многоугольников, находят число его вершин (сторон).

Важно научить детей правильно показывать элементы многоугольника. Вершина — это точка, значит, ученик точно указывает каждую вершину (указка направляется в соответствующую точку). Стороны многоугольника — отрезки, значит, ученик должен показывать их от одной вершины до другой (указка движется от одной вершины, вдоль всего отрезка — стороны, до другой вершины).

Не следует ограничивать деятельность учащихся при построении многоугольников только вычерчиванием выпуклых фигур. Нужно стимулировать детей, поддерживать у них стремление вычерчивать самые различные по форме многоугольники. В результате правильно поставленной работы дети должны уметь давать ответы, например, на следующие вопросы к рисунку 27.

а) Какие фигуры изображены на рисунке 27?

1—кривая линия, 2 — отрезок прямой, 3 — точка, 4— замкнутая кривая линия, 5 — круг, 6 — замкнутая ломаная линия, 7 — четырехугольник, 8 — пятиугольник, 9 — десятиугольник, 10 — прямая линия, 11 — ломаная линия.

б) Сколько сторон (вершин) у многоугольника 7, (8, 9)? Сколько звеньев у ломаной 6(11)?

Постепенно можно предлагать детям и более сложные задания.

Рис. 27.

Какие знакомые фигуры ты видишь на рисунке 28?

Дети рассказывают (и показывают): «На этом чертеже изображены круг, четырехугольник, два треугольника, пять отрезков».

Следует научить детей видеть знакомые фигуры в окружающих их предметах или частях предметов. С этой целью можно использовать примерно такой плакат (см. рис. 29).

Работа с плакатом или с окружающими предметами должна быть связана не только с определением формы (вида фигуры), но и со счетом (самих фигур, их элементов).

17. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.

При вычерчивании отрезков в ходе построения ломаных линий к многоугольников дети устанавливают отношения «больше», «меньше», «одинаково» (равно) на множестве отрезков. Обобщить накопленный опыт сравнения отрезков можно с помощью системы несложных заданий. Например, учащиеся, пользуясь линиями тетради (рис. 30), устанавливают, какой из отрезков больше: верхний или средний, какой из отрезков меньше: нижний или сред-

Рис. 28.

Рис. 29.

Рио. 30. Рис. 31

ний. Верхний и нижний отрезки оказались одинаковыми. Такие отрезки называют равными.

Далее учащимся предлагается найти равные отрезки в более сложных условиях, когда отрезки, например, являются сторонами многоугольников. Эти упражнения выполняются на глаз, а их результаты проверяются с помощью бумажной полоски или нитки. Дети отмечают карандашом на краю полоски концы одного отрезка, прикладывают полоску к другому отрезку (рис. 31).

Второй отрезок больше четвертого (это видно хорошо на глаз). Наиболее трудно сравнить отрезки 1 и 3. На полоске бумаги отмечаем точки против концов отрезка 1. Прикладываем полоску (эти точки) к отрезку 3 и замечаем, что отрезок 1 меньше отрезка 3.

Здесь еще не следует давать формального определения, какие отрезки называют равными или неравными. Вначале можно накопить практический опыт сравнения отрезков, развить глазомер детей.

Опыт сравнения отрезков в дальнейшем будет усовершенствован применением циркуля.

18. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. САНТИМЕТР.

Ознакомление с измерением отрезков — исключительно ответственный момент обучения младших школьников. Это обусловлено тем. что понятие длины отрезка является первым примером, относящимся к формированию общих представлений об измерении величин, в частности геометрических, а также и тем, что навыки в измерении отрезков имеют важное практическое значение. На первом этане следует дать четкие представления о процессе измерения отрезков. Опыт показывает, что

с этой целью можно использовать показ измерения, например, доски, рейки шагами.

Измерить доску (или другой отрезок) шагами — значит пройти (вдоль) доску от начала до конца и сосчитать число шагов.

Учитель вызывает ученика (лучше самого высокого) и просит его измерить шагами доску. У мальчика получилось, например, 5 шагов. Затем вызывается другой ученик (лучше самый маленький), у него получилось другое число шагов, например 7.

Числа получились разные потому, что у людей разные шаги. Другие дети получили при измерении этой же доски новые числа. Как же быть?!

Может быть, кто-нибудь из учеников, а в случае если таких нет, сам учитель рассказывает, что ученые договорились измерять отрезки (длину доски, высоту дерева, ширину улицы, глубину колодца и т. д.) одним и тем же отрезком, который назвали метром. Учащиеся, измерявшие доску шагами, поочередно (под руководством и с помощью учителя) измеряют доску метром и получают одно и то же число, например 4.

Дети понимают, что при измерении доски метром каждый из них получит одно и то же число — длину доски. Можно выполнить измерение нескольких отрезков (например, длина и ширина класса) метром. Однако на этом этапе (так определено программой) целесообразно обратить особое внимание на измерение отрезков другой единицей длины — сантиметром. Получение же первоначальных представлений об измерении с использованием метра методически оправдано тем, что при объяснении процесса измерения все учащиеся хорошо видят как объект измерения, так и единицу.

Введение новой единицы оправдывается тем, что маленькие отрезки, например длину карандаша, измерять метром нельзя. И при измерении отрезков, меньших метра, используют другую единицу измерения — сантиметр. Здесь еще не следует говорить о соотношении между метром и сантиметром. Для начала можно показать модели сантиметра: бумажную полоску длиной в 1 см (ширина полоски должна быть заметно меньше длины), сантиметр — кусочек спички, проволоки. Подчеркнуть, что общим для всех рассмотренных объектов является то, что их длина равна 1 см. Замечается, что если на

пересечении двух линий тетради отметить точку и, отступив от нее на две клетки вправо (влево, вверх или вниз), отметить вторую точку, то длина отрезка, соединяющего эти точки, — 1 см. Учащимся демонстрируется масштабная линейка и сообщается, что длина отрезка, соединяющего две соседние точки (большие штрихи),— 1 см. На клетчатой бумаге дети вычерчивают отрезок в 1 см и изготовляют дома несколько моделей сантиметра (из картона или кусочков спичек).

Исключительно важным этапом в формировании представлений об измерении отрезков и длины отрезка является использование для этого модели одного сантиметра.

С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи.

Задача 1. Измерить с помощью модели сантиметра длинный отрезок. При выполнении учащимся этого задания учитель следит, чтобы каждый из них:

1. Точно приложил конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка.

2. С помощью карандаша на измеряемом отрезке, отметил другой конец модели сантиметра.

3. Приложил снова к полученной отметке один из концов модели сантиметра и на отрезке сделал еще одну отметку (у другого конца). Вторая отметка свидетельствует о том, что отсчитаны 2 см. Аналогично (каждый раз делая отметки) поступают до тех пор, пока последняя из отметок совпадет с другим концом измеряемого отрезка. В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке сантиметров, получит целое число сантиметров.

В случае, если совпадения не происходит, как это показано на рисунке 32, ученик дает ответ примерно в следующей форме: «Длина этого отрезка больше 4, но меньше 5 сантиметров».

После приобретения достаточного навыка в использовании модели сантиметра для измерения отрезка можно провести контрольную работу (в виде математического диктанта).

Рис. 32.

Учитель диктует: «Отметьте точку на пересечении двух линий в левой (в правой) части листа бумаги. Отступите от этой точки на 9 клеток вправо (влево) и на 3 клетки вниз и отметьте вторую точку. Соедините отрезком эти точки. С помощью модели сантиметра найдите длину получившегося отрезка».

Задача 2. С помощью модели сантиметра построить (начертить) отрезок заданной длины.

При выполнении учащимися этой задачи необходимо следить за тем, чтобы каждый из них:

1. Вначале провел прямую линию.

2. Отметил на прямой точку (один из концов отрезка) и в каком-нибудь одном направлении от нее последовательно отложил (каждый раз отмечая карандашом) нужное число сантиметров.

3. Отметил карандашом второй конец отрезка.

Опыт показывает, что выполнение этих задач особенно на первых порах связано с большими трудностями для учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра (мышцы пальцев еще недостаточно тренированны). Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Часто выполняемый процесс откладывания модели сантиметра «от одного конца до другого конца отрезка» создает у детей важные ассоциации, которые в дальнейшем предотвратят многие ошибки, встречающиеся при измерениях.

На следующем (более высоком) этапе формирования навыков измерения отрезков упомянутые выше две задачи решаются с помощью масштабной линейки, не имеющей оцифровки. По заданию учителя на полоске плотной бумаги учащиеся сами размечают с помощью модели сантиметра (или клетчатой бумаги) шкалу такой линейки.

Наиболее простым, но важным для контроля усвоения учащимися навыков измерения отрезков является упражнение: «Показать на линейке отрезок заданной длины». При этом ученик должен концом карандаша «пройти» вдоль всего найденного отрезка (вдоль края линейки) от одного конца до другого, называя и указывая каждый следующий сантиметр.

После приобретения навыка измерения отрезков, начерченных на гладкой и клетчатой бумаге, следует научить детей вначале с помощью модели сантиметра, а затем и самодельной масштабной линейки (без цифр на шкале) измерять отрезки на окружающих предметах. Объектом измерения могут служить счетные палочки, карандаши, пенал, тетрадь, спичка и другие небольшие предметы. Значительное место в этой работе должны занимать задачи, в которых необходимо измерить стороны многоугольника. Например, такие задачи: «Начертите какой-нибудь треугольник (четырехугольник и т. д.) и найдите длину каждой его стороны».

Не следует торопиться с использованием для измерений маштабной линейки с оцифрованной шкалой. Дело в том, что форсированное введение в обиход школьников такой линейки приводит к тому, что ученик, обращая внимание только на правый конец измеряемого отрезка и на штрих, стоящий против него на шкале линейки, часто допускает грубые ошибки. Причиной ошибки является отсутствие внимания учеников к начальному штриху (не всегда совпадающему с обрезом линейки).

Ученик совмещает начальный конец отрезка не с начальным штрихом шкалы (рис. 33) и возникает ошибка.

Рассмотренный выше подход к формированию навыков измерения отрезков позволяет избежать указанной ошибки. Если же такая ошибка наблюдается у ряда учащихся, то с ними необходимо вернуться к измерению отрезков с помощью модели сантиметра или полоски бумаги (самодельной масштабной линейки с неоцифрованной шкалой). Полезно также научить детей пользоваться при измерении линейкой «с обломанными концами». Другими словами, научить измерять отрезки, делая любой штрих шкалы началом отсчета.

Например, найти длину отрезка, если линейка приложена так, как это показано на рисунке 34. При этом дети, не обращая внимания на цифры шкалы, последовательно подсчитывают, сколько сантиметров укладывается в отрезке. (В данном случае 5 см.)

Рис. 33. Рис. 34.

19. ЧИСЛА И ОТРЕЗКИ. ИЛЛЮСТРАЦИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАСШТАБНОЙ ЛИНЕЙКИ.

В ходе овладения навыками измерения отрезков с помощью масштабной линейки появляется возможность использования единичных отрезков (сантиметр) в качестве счетного материала, а шкалы линейки вначале для иллюстрации, а затем и для выполнения операции сложения и вычитания чисел.

Предварительно рассматривается задача: «Отрезок разделен точкой на две части (рис. 35); измерить масштабной линейкой длину каждой части. Можно ли без измерения узнать длину всего отрезка? Проверить измерением».

При сложении чисел с помощью шкалы линейки ученик поступает следующим образом. Пусть нужно выполнить сложение 2 + 4.

Вначале находится на шкале отметка «2» (она соответствует двум сантиметрам — двум единицам счета). Затем ученик отсчитывает вправо от этой отметки еще 4 см и попадает в отметку «6». Сложение чисел таким образом заменяется сложением длин отрезков (рис. 36).

Важно заметить учащимся, что при сложении оба отрезка откладываются один за другим в одном и том же направлении (вправо от начальной отметки).

Заметим, что отсчет второго числа может быть выполнен по 1 см и группами (например, по 2 см) или сразу.

Рис. 35.

Рис. 36.

Рис. 37.

Различные варианты откладывания второго слагаемого связаны с изучением его «состава» (т. е. представление этого числа в виде суммы нескольких слагаемых), в том числе и равных.

Рассмотренный прием может быть использован в ходе изучения таблицы сложения.

При вычитании чисел, которое рассматривается почти одновременно со сложением, учащиеся поступают так. Пусть нужно выполнить вычитание 8—5.

На шкале линейки находится отметка «8» (уменьшаемое). Она соответствует 8 см — 8 единицам счета. Затем ученик отсчитывает от этой отметки влево столько сантиметров, сколько единиц содержит вычитаемое (в нашем случае 5 см). Это может быть выполнено последовательным отсчетом по 1 см, а также группами (как это показано, например, на рисунке 37).

Ученик попадает в отметку «3». Отсчитав 5 единиц следующим образом, 2 единицы, еще 2 единицы и 1 единицу, можно спросить, а как еще (иначе) можно отсчитать 5 единиц? Рассматривается, например, такой случай (рис. 38), а также и другие предлагаемые детьми случаи.

Очевидно, что масштабную линейку (длиной 25 см) в качестве «счетной машины» можно применять достаточно продолжительное время (по крайней мере до полного усвоения учащимися наизусть таблицы сложения однозначных чисел), т. е. при изучении чисел второго десятка.

Рис. 38.

20. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. ДЕЦИМЕТР.

Знакомство школьников с новой единицей длины — дециметром целесообразно начать в связи с изучением второго десятка и завершить к началу изучения сотни. Детям напоминают (если это было сделано), что высоту дома, длину забора, ширину улицы измеряют в метрах. Маленькие отрезки, меньше метра, мы измеряем в сантиметрах. Для измерения отрезков применяется еще одна единица измерения длины. Она больше сантиметра, но меньше метра, и называется дециметром (рис. 39).

В одном дециметре содержится десять сантиметров. Учащихся знакомят с сокращенной записью: 1 дециметр — 1 дм.

Учатся читать записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т. п.

Каждый ученик изготовляет из полоски плотной бумаги или картона модель дециметра, с помощью которой выполняет аналогичными способами измерения и построения отрезков. Если учитель ознакомление с единицами длины начал с метра, как это у нас описано выше, то детей уже здесь можно познакомить с тем, что 1 м содержит 10 дм. Дети рассматривают школьный метр (раскрашенный по дециметрам) и используют его для измерения (в дециметрах) размеров окружающих предметов.

С помощью модели дециметра или метра (раскрашенного по дециметрам) дети строят отрезки заданной длины в тетради и на классной доске. Весьма содержательной является задача: «Отмерьте от бумажной ленты (нитки или шпагата) кусок, длина которого равна 5 дм (или другому числу)».

В практике измерения отрезков уже с первых шагов встречается случай, когда длина отрезка, например длина карандаша, в сантиметрах равна 12 см, а в дециметрах она больше 1 дм, но меньше 2 дм. В этом случае дети по своей инициативе говорят: «длина карандаша 1 деци-

Рис. 39.

Рис. 40.

метр да еще 2 сантиметра». Учитель подсказывает им, что в таком случае говорят: «длина карандаша равна 1 дециметру и 2 сантиметрам», и показывает, что это записывается так: 1 дм 2 см. Учащиеся практикуются в вычерчивании отрезков, например, длиной в 1 дм 5 см, 1 дм 9 см и т. п. Одновременно ставится вопрос: «А сколько это будет сантиметров?»

21. ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИХ ПРИ ВВЕДЕНИИ ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ.

К моменту формирования представлений учащихся о чтении и записи двузначных чисел у школьников должен накопиться достаточно большой опыт измерения отрезков в дециметрах и сантиметрах, а также некоторый навык перехода от записи 1 дм 3 см к записи 13 см. Все это дает широкие возможности при ознакомлении с чтением и записи двузначных чисел использовать не только традиционную связку палочек — «десяток», но и 1 дм как «десяток сантиметров». В этом случае большое значение имеют упражнения.

1. Сколько сантиметров в 2 дм 4 см (рис. 40)?

2- Сколько сантиметров в отрезке, длина которого 7 дм и 2 см?

3. Сколько дециметров и сантиметров в отрезке, длина которого равна 86 см и т. п.?

Вот что по этому поводу пишет доктор физико-математических наук А. И. Маркушевич, характеризуя экспериментальную программу по математике для начальных классов1.

«...к записи двузначных чисел мы переходим лишь после того, как учащиеся, ознакомившись с измерением длин отрезков и цифрами, начинают делать записи вроде следующих: 1 дм 1 см, 2 дм, 1 дм 6 см, отдавая себе

1 Речь идет не о новой программе, а об эксперименте сектора математики АПН СССР. К. И. Нешков, А. М. Пышкало. Математика в начальных классах. М., «Просвещение», 1968, стр. 6.

отчет в том, что первая из них означает то же, что и одиннадцать сантиметров, вторая — двадцать сантиметров, третья — шестнадцать сантиметров и т. п. Отсюда уже легким становится переход сначала к тому, чтобы считать предметы не только единицами, но и десятками и сначала записывать двадцать три, например, так: 2 д. 3 ед. (два десятка и три единицы), а затем писать просто, пропуская подразумеваемые буквы. Таким образом, использование десятичной системы мер служит нам своеобразным трамплином для того, чтобы легче сделать запись чисел по десятичной системе счисления»1.

22. УГОЛ МНОГОУГОЛЬНИКА.

Термин «угол» в геометрии употребляется в нескольких различных смыслах. Говорят о плоском угле (часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной и той же точки, двугранном угле (часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями), многогранном угле и т. д.

По вполне понятным причинам в I классе мы не можем говорить о плоском угле, так как у учащихся еще нет достаточных представлений о таких геометрических фигурах, как плоскость, луч, т. е. мы не можем дать верное представление об углах многоугольника как о плоских углах. Поэтому на первом этапе термин «угол» нами будет употребляться в смысле «оторванный угол многоугольника». Такая физическая трактовка более содержательна и наглядна, чем та, которую мы использовали в самом начале ознакомления с многоугольниками.

Высказанные выше соображения, на наш взгляд, являются хорошим обоснованием того, что сведения об углах в I—III классах должны вводиться не навязчиво и очень аккуратно.

При получении модели угла следует продемонстрировать учащимся (для начала) оторванные углы треугольника (рис.41) и невыпуклого четырехугольника (рис.42).

Многоугольник разрывается на части так, чтобы каждая из них содержала по одной вершине и по две стороны (части сторон), выходящих из этой вершины.

1 Подробнее с этим можно познакомиться в той же книге.

Рис. 41. Рис. 42.

Вершина многоугольника является и вершиной (соответствующего) угла.

Вначале целесообразно познакомить учащихся с бумажными моделями углов. Дети должны изготовить их, разорвав бумажный многоугольник. Важным с точки зрения формирования правильных представлений об углах является формирование у учащихся навыка показывать углы многоугольника. Для этого толстый конец указки нужно поместить в вершину угла (рис. 43), указку направить вдоль одной из сторон, которой принадлежит «эта вершина», и «веерообразным движением» поворачивать указку до совпадения с другой стороной.

Указка «заметает» угол, как это можно наблюдать при работе очистителей стекла автомашин от дождя и снега.

С движением связаны также раскрытие содержания «уменьшить угол» (сделать меньше), «увеличить угол» (сделать больше). С этой целью следует воспользоваться «раздвижным углом» —

Рис. 43.

Рис 44. Рис. 45.

моделью малки (ее можно сделать из двух тонких палок, скрепленных кусочками пластилина, рис. 44) или двумя фанерными планочками, скрепленными гвоздиком (рис. 45).

Учащимся сообщается (показывается на модели), что чем ближе мы сдвигаем стороны угла, тем меньше он становится; чем дальше мы отодвигаем стороны, тем угол больше.

Становится ясным, насколько уступает (в методическом отношении) показ угла дугой (которая проводится внутри угла от одной его стороны к другой). Поэтому мы не рекомендуем применять дуги для обозначения углов в обучении младших школьников. В силу рассмотренной выше трактовки термина «угол», принятой нами в I—III классах, не стоит рассматривать отдельно взятые углы, а ограничиться главным образом углами многоугольников.

23. ПРЯМОЙ УГОЛ. ПОЛУЧЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА ПЕРЕГИБАНИЕМ БУМАГИ.

В традиционной практике часто, вводя представление о прямом угле, учитель ссылался на прямоугольник. Это выглядело примерно так. Учитель говорит (и показывает): «Дети, вы знакомы с прямоугольником. Его углы называются прямыми углами. Вот они (показывает каждый из углов прямоугольника)». Это казалось достаточным. Однако такой подход нельзя считать корректным, логически верным. Дело в том, что понятие «прямоугольник» может быть дано на основании понятия прямого угла (прямоугольником называют многоугольник, все углы которого прямые). Поэтому в программе прежде чем уточнять представления детей о прямоугольниках, рассматривается образование прямого угла как части плоскости путем перегибания листа бумаги.

Для этого на уроке проводится следующая работа. Каждый из учащихся получает лист бумаги, лучше неопределенной формы (но не прямоугольной). Можно иметь и бумажные круги различной величины. Учитель имеет также свой лист бумаги. Обращает внимание детей на тот факт, что у каждого имеется лист бумаги не такой, другой формы, чем у других. Затем под руководством учителя дети складывают листы вдвое (учитель говорит и показывает), разглаживают линию сгиба двумя пальцами. Лист после этого вновь разворачивается. Учитель обращает внимание школьников на то, что линия сгиба — прямая линия, которая делит лист бумаги на две части. После чего лист вновь складывают (по линии сгиба) вдвое (рис. 46).

Сложенный вдвое лист бумаги предлагается перегнуть вдвое еще раз, следя при этом за тем, чтобы части полученной ранее линии сгиба совпали. Учитель показывает всем, как нужно еще раз перегнуть сложенный вдвое лист бумаги, и подчеркивает, что необходимо точнее перегнуть (показывает еще раз) лист бумаги. Новая линия сгиба тщательно разглаживается двумя пальцами. Перегнутый лист бумаги разворачивается. Устанавливается, что две пересекающиеся линии сгиба (прямые линии) делят лист бумаги на четыре части — на четыре угла (рис. 46). Вершина всех этих углов —одна точка. Устанавливается, что все они (если перегибание выполнялось точно) одинаковы, т. е. равны между собой (это видно, если снова перегнуть лист по линии сгиба и сложить его вчетверо).

Учащимся можно предложить аккуратно разорвать (или разрезать) лист бумаги по линиям сгиба. Сравнить полученные каждым учеником углы (наложением). Сравнить их с углами, которые сделал другой ученик. Учитель может обойти класс, собрать по одному углу от каждого и показать, что они равны (сложить в пачку). Следует обратить внимание детей на то, что, несмотря на различие листов бумаги, несмотря на то, что работу уче-

Рис 46.

ники выполняли (отдельно каждый) самостоятельно, результат оказался один и тот же — были получены равные утлы. Такие углы называют прямыми.

24. СРАВНЕНИЕ УГЛОВ.

С помощью бумажной модели, полученной учащимися вышеописанным способом, отыскиваются прямые и непрямые углы на окружающих предметах и их частях, имеющих форму многоугольника, или у бумажных многоугольников и их чертежей. Сравнение углов с прямыми осуществляется наложением. В связи с этой работой целесообразно рассказать учащимся о применении чертежного треугольника. Показывается чертежный треугольник, с помощью бумажного прямого угла отыскиваются его прямые и непрямые углы.

В целях достижения большей наглядности удобнее использовать чертежный треугольник, сделанный из прозрачного материала.

На первом этапе (в первом классе) достаточно ограничиться классификацией всех углов на прямые и непрямые, т. е. не спешить с введением понятий «тупой» и «острый» углы.

Ученик говорит, например, что углы, изображенные на рисунке, не прямые потому, что они не совпадают с прямыми углами чертежного треугольника.

Сведения о прямых и непрямых углах используются для развития дальнейших представлений о фигурах и их свойствах. Содержательными и полезными являются такие упражнения1.

Пример 1. Начертите какой-нибудь треугольник с прямым углом. Покажите стороны, между которыми расположен прямой угол.

Примечание. В случае необходимости можно поставить дополнительный вопрос, связанный с измерениями. Например, измерьте стороны, между которыми расположен прямой угол.

Пример 2. Начертите какой-нибудь треугольник. Можно ли разбить этот треугольник на два треугольника:

1 Упражнения взяты из кн.: К. И. Нешков и А. М. Пышкало. Математика в начальных классах, ч. I. М., «Просвещение». 1968.

а) имеющие по прямому углу;

б) не имеющие прямых углов?

Пример 3. Отметьте точку. Проведите из нее два отрезка по 4 см, так, чтобы между ними был:

а) прямой угол;

б) угол меньше прямого;

в) угол больше прямого.

Соедините (в каждом случае) свободные концы отрезков. Какая получилась фигура? Измерьте третью сторону получившегося многоугольника.

Пример 4. Проведите отрезок так, чтобы он разбил четырехугольник (рис. 47) на два треугольника, каждый из которых имеет прямой угол.

Пример 5. Можно ли многоугольник, изображенный на рисунке 48 разбить отрезком на два многоугольника так, чтобы каждый из них имел:

а) по одному прямому углу;

б) по два прямых угла?

25. МНОГОУГОЛЬНИКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ПРЯМЫЕ УГЛЫ. ПРЯМОУГОЛЬНИК. КВАДРАТ.

Уточнение представлений о прямоугольнике осуществляется постепенно. Эту работу целесообразно начать с рассмотрения различных многоугольников, у которых один, два, три и т. д. угла прямые.

Для построения многоугольников, содержащих прямые углы, в I классе удобно (и методически оправдано) использовать линии клетчатой бумаги. Предварительно (после ознакомления с прямым углом) обращают внимание детей на то, что некоторые прямые линии образуют прямые углы. Эти углы и берут за основу при построении многоугольников, содержащих прямые углы.

Рис. 47. Рис. 48.

Рис. 49.

Вначале строят треугольник, у которого один угол прямой (рис. 49). Отмечается вершина прямого угла (рис. 49,а), затем строят стороны треугольника, образующие прямой угол (рис. 49, б), и, наконец, третью сторону. Треугольник закрашивается (рис. 49,в).

Можно предпринять попытку построить треугольник, у которого два угла прямые. Отметив две точки (вершины двух углов треугольника), учащиеся убеждаются, что треугольника «не получается» (рис. 50) потому, что линии (стороны) не пересекаются. Делается вывод, что треугольник может иметь не более одного прямого угла.

Затем выполняется построение четырехугольника с одним (рис. 51), двумя (рис. 52) прямыми углами.

При построении четырехугольника с тремя прямыми углами (рис. 53) дети убеждаются, что и четвертый угол в этом случае окажется прямым.

Проверяется, что пятиугольник не может иметь все углы прямыми (рис. 54). Учащиеся в ходе построения различных многоугольников, содержащих прямые углы, убеждаются в том, что только четырехугольник может иметь все углы прямыми. Такой четырехугольник называют прямоугольником.

Обращается внимание школьников на форму окружающих предметов (или их частей). Дети называют предметы, имеющие форму прямоугольника: крышку стола,

Рис. 50.

Рис. 51. Рис. 52.

классную доску, оконное стекло, потолок (пол, стены) и т. д.

В процессе измерения сторон прямоугольника дети замечают, что его противоположные стороны попарно равны. Это может быть проверено и без измерений. Дети устанавливают, что лист бумаги, например, из тетради имеет форму прямоугольника (можно взять и другие листочки прямоугольной формы). Учащиеся с помощью чертежного треугольника убеждаются в том, что все его углы прямые. После этого путем перегибания (при этом не следует разглаживать линию сгиба) противоположные стороны совмещаются (накладываются). Это выполняется по отношению к каждой паре сторон. Делается вывод о равенстве противоположных сторон.

Только после этого можно приступить к выполнению упражнений, связанных с построением прямоугольников

Рис. 53. Рис. 54.

Рис. 55.

по заданной длине его сторон (длине и ширине). В I классе, главным образом, это делается на клетчатой тетради.

Опишем кратко ход решения такой задачи.

Задача. Начертить прямоугольник длиной 4 см и шириной 2 см. На пересечении двух линий клетчатого листа отмечаем точку — одну из вершин прямоугольника. Дети знают, что стороны прямоугольника, которые содержат эту вершину (которые сходятся в этой вершине), называют одну шириной, а другую длиной прямоугольника. Значит, нам нужно из этой точки провести два отрезка так, чтобы:

1) между ними был прямой угол;

2) один из отрезков содержал 4 см, а другой 2 см.

Выполним построение, используя клетки (можно не пользоваться измерениями с помощью масштабной линейки, а отсчитать полученное число клеток, так как дети уже знают, что 2 клетки соответствуют 1 см). Полученные (рис. 55, а) три точки — три вершины прямоугольника. Используем свойство сторон и без измерений (или отсчитав, находим четвертую вершину (рис. 55,б).

Соединим (по линейке) последовательно эти точки отрезками. Заштриховываем цветным карандашом. Мы получили прямоугольник, у которого длина 4 см, а ширина 2. см.

26. ПОСТРОЕНИЕ ФИГУР НА ГЛАДКОЙ И КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИГУР.

Как было показано выше на отдельных примерах, построение (вычерчивание) геометрических фигур: точек, отрезков, прямых, ломаных, многоугольников — используется учителем не только для формирования важных навыков владения карандашом и линейкой. Не менее важным является использование простейших построений с целью уточнения представлений о геометрических фигурах, их элементах, свойствах.

Построения по мере обучения все чаще и в большей степени могут выполняться на гладкой бумаге. Для этого удобно использовать обычную тетрадь для рисования.

Особое внимание учитель обращает на правильную позу ученика в момент вычерчивания (посадка, как и при письме). Нужно обучить каждого, как правильно держать карандаш, предупредить детей о равномерном и несильном нажиме на карандаш. Каждому ученику следует показать, как правильно держать линейку при вычерчивании отрезков, как должен быть поставлен карандаш по отношению к краю линейки (наклон в ту сторону, в которую проводится отрезок). Нужно научить детей пользоваться цветными карандашами для закрашивания и штриховки (от руки) фигур1. При оценке выполнения отдельных заданий следует учитывать и аккуратность, и чистоту изображения, а не только правильность в математическом отношении.

Внимание должно быть уделено не только вычерчиванию, но и изготовлению бумажных, картонных (и из других материалов) моделей геометрических фигур. Основным инструментом для их вырезания служат ножницы. Опыт показывает, что лучше брать ножницы с тупыми концами. Формирование навыка обращения с ножницами требует систематической тренировки. Вначале дети учатся разрезать бумагу по линиям листа тетради (или начер-

1 В случае, если учитель недостаточно знаком с правилами использования карандаша и линейки при вычерчивании, он может взять консультацию у учителя черчения или познакомиться с этим по учебнику черчения.

ченным линиям). Большинство работ по изготовлению моделей многоугольников может быть осуществлено в домашней обстановке. В этом случае в классе проводится подготовка: объясняется задание, выполняется чертеж.

27. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ (ЗАПАС СЛОВ И ВЫРАЖЕНИЙ) И ПЕРЕЧЕНЬ НАВЫКОВ, КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ УЧАЩИЕСЯ I КЛАССА.

К концу I класса дети должны усвоить (сознательно и правильно употреблять в практике) следующие термины и предложения:

1. Большой — маленький, высокий — низкий, длинный — короткий, узкий — широкий, одинаковые — разные, равные — неравные и т. д. Больше — меньше, выше — ниже, длиннее — короче, уже — шире и т. д. Правее — левее, ближе — дальше, спереди — сзади, в середине, между, над — под и т. д.

2. Точка. Отметь точку. Линия. Кривая линия. Прямая линия. Отметь точку на линии, вне линии. Прямая линия проходит через эту точку (две точки). Линии пересекаются в этой точке. Проведи прямую через одну точку, через две точки. Эти линии не пересекаются. Кривая замкнутая линия.

3. Отрезок. Начало отрезка. Конец отрезка. Концы отрезка. Ломаная линия. Ломаная состоит из отрезков. Замкнутая ломаная. Звенья ломаной. Соединить две точки отрезком. Линейка. Край линейки. Начертить отрезок (прямую) по линейке.

Сравни отрезки. Сравни отрезки на глаз. Равные отрезки. Неравные отрезки. Длина отрезка. Измерь отрезок. Найди длину отрезка. Построй (начерти) отрезок длиной ... см.

4. Многоугольник. Граница многоугольника. Стороны (вершины, углы) многоугольника. Треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т. д.; прямоугольник, квадрат. Начерти многоугольник. Назови многоугольник. Измерь стороны многоугольника.

5. Угол. Сравни углы. Сравни углы на глаз. Угол больше (меньше). Вершина угла. Прямой угол.

6. Прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника равны. Длина прямоугольника. Ширина прямоугольника. Начерти прямоугольник длиной ... см. и шириной ... см.

7. Раздели отрезок точкой на две части. Раздели многоугольник (какой) отрезком на два многоугольника (какие).

8. Предмет (название) имеет форму треугольника (четырехугольника, прямоугольника и т. д.).

В соответствии с указанной терминологией определяется перечень основных навыков, которые следует формировать.

1. Моделирование из палочек и пластилина треугольника, четырехугольника ( в том числе прямоугольника) и т. п.

2. Моделирование из бумаги и картона. Умение выполнять ножницами прямолинейные разрезы листа бумаги в различных направлениях. Умение вырезать из бумаги полоски разной длины и ширины. Умение нанести на полоску сантиметровую шкалу.

Умение вырезать из нелинованной и клетчатой бумаги различные многоугольники.

Умение получить прямой угол перегибанием листа бумаги произвольной формы.

3. Навыки вычерчивания и рисования. Проведение прямых линий по линейке и от руки в любом направлении: горизонтально, вертикально, наклонно (произвольно) по отношению к линиям обреза листа бумаги или к краям классной доски. Проведение прямой линии через заданную точку (в любом направлении). Проведение двух пересекающихся в данной точке прямых. Проведение через одну точку нескольких прямых. Проведение прямой через две данные точки.

Умение соединить по линейке (и от руки) две точки отрезком прямой линии.

Вычерчивание произвольных (но с заданным числом элементов) многоугольников на гладкой бумаге. Вычерчивание прямоугольников, квадратов, треугольников с прямым углом на клетчатой бумаге (заданных размеров).

4. Умение сравнивать отрезки на глаз, с помощью нитки, с помощью бумажной полоски.

Умение сравнивать углы на глаз, наложением, с помощью модели шарнирного угла.

Умение сравнивать углы с прямым углом чертежного треугольника или с бумажной моделью прямого угла (доски, классной комнаты и т. п.).

5. Умение измерять отрезки и выражать их длину в сантиметрах, в дециметрах и сантиметрах, в метрах. Умение строить (чертить) отрезок заданной длины. Умение измерять отрезки в окружающей обстановке (размеры предметов). Умение измерять стороны многоугольников, звенья ломаных линий.

6. Умение определить форму предметов или их частей: назвать (на окружающих предметах) треугольники, четырехугольники, отрезки, точки и т. д.

28. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В I КЛАССЕ.

А. Индивидуальные.

1. Линейка (25 см).

2. Чертежный треугольник (лучше с углом 60°, 30°).

3. 3—4 листочка цветной бумаги, из которой постепенно (под руководством учителя) дети изготовляют набор фигур (круги, многоугольники).

4. Полоски бумаги для изготовления моделей сантиметра, дециметра, метра.

5. Палочки (или кусочки проволоки) диаметром 1—3 мм (длиной 8 см — 4 палочки, 6 см — 4 палочки, 12 см — 4 палочки).

6. Пластилин.

7. Нитки (или тонкий шпагат).

Б. Классные пособия общего пользования.

1. Классная линейка: для черчения — с ручкой; метр цветной, разделенный на дециметры.

2. Чертежные треугольники.

3. Цветные мелки.

4. Набор цветных моделей многоугольников разного вида (треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д., в том числе и правильные).

5. Набор моделей геометрических тел (можно взять у преподавателей математики старших классов). Призмы (в том числе куб и прямоугольный параллелепипед),

пирамиды. Набор используется с целью определения формы граней.

6. Набор палочек (или проволочных спиц), аналогичный индивидуальному. Палочки длиннее и толще в 2 раза, чем в наборе для индивидуального пользования.

7. Арифметическая доска (размер 1X1 м), разлинованная так, чтобы на ней имелись квадратные клетки 5X5 см (с этой целью можно использовать часть классной доски).

8. Серия диапозитивов: «Геометрический материал», I часть. Автор А. М. Пышкало. Издание завода «Физэлектроприбор. № 4» (приобретается в Учколлекторе).

9. Диафильм «К урокам математики в I классе (геометрический материал)». Автор А. М. Пышкало. Студия «Диафильм», Москва (приобретается в Учколлекторе).

III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ВО II КЛАССЕ.

Во II классе, как и на первом году обучения, для изучения геометрического материала, включенного в курс математики, нецелесообразно полностью использовать отдельные уроки. Целесообразнее этот материал равномерно распределять по всему учебному году, стараясь, чтобы почти на каждом уроке учащиеся получали хотя бы небольшое задание геометрического характера (моделирование, вычерчивание, измерение, работа с перегибанием бумаги, наблюдения).

Во II классе продолжается развитие линий, намеченных в I классе, дальнейшее уточнение представлений, совершенствование навыков, закрепление и развитие словаря, приобретенного ранее.

29. ДЕЛЕНИЕ ФИГУР НА ЧАСТИ. СОСТАВЛЕНИЕ НОВОЙ ФИГУРЫ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ФИГУР.

С делением фигуры на части дети уже знакомились в I классе. Например, они усвоили, что если на отрезке отметить точку, то эта точка разделит его на два отрезка— две части. Учащиеся встречались в своей практике и с делением многоугольника на две (и более) части.

Деление проводилось с помощью отрезка. Поэтому частями многоугольника снова оказывались многоугольники.

Во II классе работа должна быть расширена. Это необходимо делать потому, что с делением фигур на части и с обратной задачей (составлением из отдельных фигур — частей — новой фигуры связано формирование важных представлений, облегчающих введение понятия

доли величины, а также и представлений, без которых в дальнейшем трудно сформировать у учащихся понятие «площадь фигуры».

Задачи, где необходимо разделить фигуру на части, могут быть разрешены на бумажных моделях фигур (буквальным разрезанием), на чертеже и в воображении. Приведем пример одной из задач.

Задача. Разделить четырехугольник отрезком на две части, так, чтобы:

а) обе части были треугольниками;

б) обе части были четырехугольниками;

в) одна часть была треугольником, а другая — четырехугольником;

г) одна часть была треугольником, а другая — пятиугольником.

На рисунке 56 (под соответствующими буквами) даны варианты решения этой задачи.

Для решения этой (или аналогичной задачи) на бумажной модели каждый ученик должен подготовить нужное число (в данном случае 4) одинаковых (равных) многоугольников. Последняя задача сама по себе явится важной с точки зрения формирования самых общих представлений о равенстве фигур. Она может быть решена тремя способами.

1-й способ. По клеточкам вычерчиваются равные многоугольники, и каждый из них вырезается отдельно.

2-й способ. Вырезается один многоугольник. Накладывается на бумагу и по границе обводится карандашом. Нарисованный многоугольник вырезается и т. д.

3-й способ. Берется пачка бумаги (из стольких листов, сколько многоугольников нужно получить). На верхнем листе вычерчивается нужный многоугольник. Вся пачка разрезается по контурам начерченного многоугольника.

Рис. 56.

После того как у учащихся подготовлено нужное число многоугольников, они выполняют разрезание в соответствии с условием задачи.

При решении задач на разрезание фигур в воображении (устно) ученик (на глаз) прикидывает, как должен пройти отрезок, удовлетворяющий условию задачи. Проверка может быть осуществлена либо построением предполагаемого отрезка, либо разрезанием модели, либо с помощью линейки.

Покажем на примере, как это может быть осуществлено.

Задача. Можно ли провести отрезок так (покажи это наложением линейки), чтобы он разделил четырехугольник, изображенный на рисунке:

а) на два треугольника;

б) на три треугольника;

в) на четырехугольник и треугольник;

г) на два треугольника и шестиугольник;

д) на пятиугольник и треугольник?

Приведем возможные решения (рис. 57), причем на чертеже прямая линия изображает, каким образом прикладывается линейка. Необходимо рассматривать различные случаи решения, предлагаемые учащимся.

Задача составления новой фигуры из нескольких фигур на первых порах решается как задача обратная, рассмотренной выше, т. е. школьник вначале разрезал фигуру на несколько частей, а затем, сложив эти части, восстановил первоначальную фигуру. Решение задачи на

Рис. 57,

составление фигур лучше осуществлять на бумажных моделях.

Следует иметь в виду, что если четырехугольник (см. на рис. 57) можно было разбить на два треугольника тремя способами, то решений обратной задачи (для каждого случая) может оказаться бесконечно много. Например, только для случая (см. рис. 57, а2) из двух полученных треугольников можно сложить большое число различных многоугольников (рис. 58), среди которых окажется и данный четырехугольник и т. д. Приведенный пример подчеркивает сложность формулировки задачи так, чтобы ее решение было однозначным или более определенным.

Например, для того чтобы из двух треугольников можно было сложить четырехугольник, необходимо равенство какой-нибудь стороны одного треугольника, какой-нибудь стороны другого треугольника или еще более сложные требования, связанные с величиной углов (что, понятно, еще недоступно учащимся младших классов). Поэтому не для любых двух треугольников может быть сформулирована задача: «Составить из двух треугольников четырехугольник». Тем большим требованием должны отвечать два треугольника, из которых можно сложить прямоугольник или квадрат.

Поэтому наиболее приемлемой формулировкой будет, например, такая: «Какой многоугольник (какие) можно сложить из двух (трех и т. д.) многоугольников (четырехугольников)». Задача имеет бесконечное множество решений. Ученику достаточно показать какое-нибудь одно (или несколько).

Особый интерес учащихся вызывает решение задач на составление различных фигур из одних и тех же частей квадрата, одна из разновидностей так называемой индийской головоломки1.

Рис. 58.

1 Другие примеры рассмотрены в разделе IV.

Приведем пример, квадрат 10X10 см из плотной бумаги (лучше цветной) делится на 7 частей так, как это показано на рисунке 59 (части отмечены номерами для того, чтобы были ясны примеры).

Ученики наблюдают силуэты фигур (например, «кошки», рис. 59) и пытаются из семи многоугольников (частей квадрата) сложить «кошку». Большой интерес представляет и задача: «Сложить из этих семи фигур квадрат, четырехугольник (но не квадрат)». Решение аналогичных задач требует много времени. Поэтому это целесообразно делать во внеклассной работе (тема для проведения математического конкурса) или дома.

Следует отметить, что задачи вида: «Какие знакомые фигуры вы видите на чертеже?»1 (рис. 60) —не являются задачами на деление фигур на части и преследуют иные цели

Причем в зависимости от чертежа они приводят к существенно различным решениям. Так, например, на рисунке 60, а ученик должен заметить следующие знакомые фигуры:

а) отрезки КА, KM, ME, АЕ, ОЕ, АО, AM, ОМ (8 отрезков);

б) замкнутые ломаные линии КАЕМ, KAM, АОЕ, ОМЕ, КМОЕА, КМЕОА и т. д.;

в) незамкнутые ломаные линии АКМ, АКМО, АКМОЕ, АОЕ, АОЕМК и т. д. на рисунке 60,б, кроме всех вышеназванных фигур (отрезков и ломаных линий), ученик должен будет назвать:

Рис. 59.

1 Такие задачи в достаточном числе содержатся в учебниках.

а) треугольники АОЕ, АМЕ, АКМ, МОЕ;

б) четырехугольник (прямоугольник) КАЕМ;

в) пятиугольники КМОЕА, КМЕОА.

Как видите, приведенная задача существенно изменится в зависимости от чертежа и каждый раз (с целью облегчения) нуждается в дополнительных условиях.

30. ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР БУКВАМИ.

Необходимость введения буквенной символики в практику решения геометрических задач учащимися II класса очевидна. Приведенные выше (п. 29) задачи это ярко подтверждают. С другой стороны, использование буквенных обозначений позволяет во II классе вновь рассмотреть изученные ранее фигуры, обобщить их свойства, и, что самое важное, постепенно формировать представления о математическом языке. Учащиеся быстро убеждаются в том, что буквенные обозначения позволяют коротко и ясно формулировать задачи, ставить вопросы, фиксировать результаты решения.

При обозначении фигур следует употреблять заглавные буквы латинского алфавита и для начала те из них, которые пишутся и произносятся на русском и латинском языках одинаково.

Этими буквами являются К, О, М, Е, Т, А. К ним можно присоединить уже известные учащимся X — икс, У — игрек.

Учащимся объясняют, что каждой точке на чертеже можно дать «имя». Это целесообразно сделать, чтобы различать точки. Для этого принято около точки ставить одну из заглавных букв. Обозначить точку — значит назвать ее какой-нибудь буквой.

Концы отрезка — точки, каждую из них обозначают заглавной буквой. Значит, для обозначения отрезка

Рис. 60.

удобно применять две буквы. Если, например, написано отрезок OK—-это значит, что О и К— точки — концы отрезка. Важно заметить, что порядок букв при обозначении отрезков не существен. Так, отрезок МО и ОМ — один и тот же.

Приведем примеры содержательного (с точки зрения формирования геометрических представлений) использования буквенных обозначений в обучении.

Пример 1. Начертите отрезки АО и ОК.

Решение. Из обозначений видно, что точка О явится общей для двух отрезков. На рисунке 61 приведены некоторые решения.

Пример 2. Начертите отрезки АО, OK, КА.

Решение. Из обозначений видно, что каждая пара данных отрезков имеет общую точку (рис. 62).

Ясно, что приведенные примеры целесообразно использовать в обучении только после того, как дети приобретут опыт применения буквенных обозначений.

Учащимся сообщается, что при рассмотрении ломаных линий и многоугольников применяются буквы, обозначающие их вершины. Эти буквы записываются одна за другой по мере обхода вершин. На рисунке 63 изображена ломаная АОКМ, или, что одно и то же, МКОА.

Рис. 61.

Рис. 62.

Рис. 63. Рис. 64.

На рисунке 64 изображен треугольник ТОА (АОТ, или OAT, ТАО и т. д.).

Вершины многоугольника, начиная с любой, могут быть названы одна за другой последовательно по движению часовой стрелки или против движения часовой стрелки.

Введение буквенных обозначений должно происходить постепенно на основе рассмотрения достаточного числа примеров для каждого вида фигур. Например, переход к изучению буквенных обозначений углов многоугольника может быть осуществлен только после усвоения приемов обозначения буквами многоугольников, чтения и записи этих обозначений. Учащимся сообщается, что углы можно обозначать одной буквой, стоящей около вершины. На рисунке 64 — это угол Л, угол О, угол Т. Применяется значок «Z.», заменяющий слово «угол». Так, запись «ZK» читается: угол К.

Иногда обозначать угол одной буквой неудобно. На рисунке вершина А является вершиной трех углов. Поэтому углы обозначают и тремя буквами. При записи углов тремя буквами важно, чтобы средней всегда была буква, стоящая у вершины.

На рисунке 65 мы имеем Z.KAT, Z-KAD, /.DAT, /-А KD, ^АТК, jLKDA, Z.ADT.

Мы подчеркнули вершины каждого из названных углов. Следует заметить, что, например, /-AKD и Z-DKA — один и тот же угол. Можно сообщить учащимся, что иногда удобно обозначать углы

Рис. 65.

Рис. 66. Рис. 67.

цифрами. В этом случае соответствующая цифра ставится внутри угла ближе к вершине (рис; 66). При обозначении прямых линий, как и при обозначении отрезков, применяют две буквы. Они ставятся в различных местах около прямой. На рисунке 67 изображены прямые линии АО, DE и отрезок KT.

Во II классе постепенно можно использовать, например, для записи результатов измерения отрезков такую запись: «AD = 3 см». Учащиеся эту запись должны читать так: длина отрезка AD равна 3 см. После того как учащиеся усвоят смысл этой записи, задачу «Начертить отрезок ОМ длиной 5 см» можно формулировать так: «Построить (начертить) отрезок ОМ = 5 см».

31. ДЕЛЕНИЕ ФИГУРЫ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ. СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР ИЗ НЕСКОЛЬКИХ РАВНЫХ ФИГУР.

Частный случай задачи деления фигуры на части — деление фигуры на равные фигуры (на равные части) — играет исключительно важную роль в процессе обучения школьников математике. Кроме назначения — заложить исходные представления, на основе которых образуется в дальнейшем понятие площади фигуры, эта задача позволяет иллюстрировать операцию умножения чисел (и обратную операцию). На основе представлений и навыков, приобретенных при ее решении, становится возможным рассмотрение таких вопросов, как изображение чисел фигурами (отрезками, точками и т. д.), в частности, ознакомление с диаграммами. Исключительно важна эта задача и для изучения понятий «доля величины»,

«дробь величины», на основе которых существенно расширяются представления о числе.

Наибольшие удобства при реализации рассматриваемой задачи в начальных классах представляются в связи с изучением отрезков и многоугольников, которые легко могут быть разрезаны на равные фигуры.

Опыт сравнения, измерения и вычерчивания отрезков дает возможность установить, что на каждом отрезке может быть отмечена точка, делящая этот отрезок на две равные части (на два равных отрезка). В этом случае говорят: «Эта точка делит отрезок пополам». Детям сообщают, что эту точку называют серединой отрезка.

Необходимо рассмотреть несколько способов отыскания середины отрезка. Например, это можно сделать с помощью нитки (берется кусочек нитки, равной с отрезком длины, перегибается), с помощью бумажной полоски (аналогично, как и ниткой), измерением (находят длину отрезка). Перегибание отрезка (например, полоски или нитки) позволяет делить его не только на 2, но и на 3, на 4 (на 2 и еще раз на 2), на 5, на 6 (на 3, а затем на 2) и т. д. частей. Деление данного отрезка на нужное число равных частей путем его измерения в практике обучения младших школьников (они не знакомы с дробями) методически не оправданно. Однако несколько позже (после ознакомления детей с циркулем, со сравнением отрезков при помощи циркуля) целесообразно показать приближенное деление отрезка на нужное число равных частей методом проб: на глаз определяется расстояние между концами ножек циркуля. Циркулем «прошагивают» нужное число раз. Если при этом не пройден весь отрезок, то расстояние между ножками немного увеличивают и снова «прошагивают» отрезок. Так поступают до тех пор, пока не станет возможным «прошагать» отрезок циркулем нужное число раз. После этого точки — концы каждого «шага» отмечают карандашом.

Бумажная полоска имеет форму прямоугольника. Опыт ее использования для деления отрезков на равные части может быть применен для показа деления многоугольника на равные части (в данном случае прямоугольника). Это делается на первом этапе обучения, В дальнейшем нужно раскрыть детям буквально неогра-

ничейные возможности решения такой задачи. Рассмотрим это на примере.

Задача. Разделить прямоугольник на две равные части.

При такой формулировке решение ее чрезвычайно многозначно. Если деление выполнять отрезком, то имеем (рис. 68) бесконечное множество решений.

Но прямоугольник на части можно делить, например, ломаной линией. И в этом случае невозможно рассмоттреть все решения. На рисунке 69 показаны некоторые из них.

Изменим формулировку задачи: «Разделить прямоугольник (отрезком) на две равные части так, чтобы каждая из частей была: а) прямоугольником; б) треугольником; в) четырехугольником».

Задача «а», очевидно, будет иметь два решения (рис. 70, а).

Задача «б» имеет одно решение (рис. 70, б), но задача «в» имеет бесконечное множество решений (рис. 70, в).

Рассмотренные примеры убеждают в том, насколько внимательным должен быть учитель, составляя тексты задач, для решения которых выполняется деление фигур на равные части.

Наиболее подходящей в методическом отношении формой (особенно для начала), как мы уже замечали выше, является решение рассматриваемых задач перегибанием фигуры, например: бумажных полосок —

Рис. 68.

Рис. 69.

Рис. 70.

Рис. 71.

прямоугольников, треугольников, кругов и т. д. По мере усвоения опыта постепенно все больше и больше следует выполнять решение таких задач на чертеже. Однако и в самом начале ознакомления с задачей деления фигуры на равные части дети могут пользоваться чертежами. Возможности для большого класса фигур открывает применение клетчатой бумаги. Учащиеся хорошо представляют, что клетка — это квадрат и все клетки на листе есть равные квадраты. Поэтому любой многоугольник, граница которого составлена из сторон клеток, всегда (линиями клетчатого листа) будет разделен на целое число равных частей—квадратов (рис.71).

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно только найти число клеток (квадратов), на которые разделена фигура. На рисунке 71: фигура 1—3 клетки, фигура 2—29 клеток, фигура 3—26 клеток.

Пользуясь клетками, легко ре-

Рис. 72.

шается и обратная задача (еще раз заметим, что обратная задача имеет не одно решение). Например, составить (начертить) фигуру, содержащую 6 равных квадратов. Задача имеет много решений. Приведем некоторые из них (рис. 72). Можно, введя дополнительные условия, получить задачу, имеющую меньшее число решений, например, начертить прямоугольник, содержащий 6 клеток. Эта задача имеет только два решения (см. рис. 72,1,2). Для решения аналогичных задач можно использовать набор 10—12 равных квадратов. По заданию учителя дети складывают из этих квадратов различные фигуры.

32. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ И СОСТАВЛЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

Выше мы уже рассказывали о возможности использования геометрических фигур в процессе формирования понятия числа, операции над числами в I классе. Совершенно очевидно, что аналогичная работа должна расширяться и углубляться во II классе и в дальнейшем обучении.

Большую помощь в овладении таблицей умножения оказывают упражнения по подсчету геометрических фигур. С этой целью могут быть использованы точки, отрезки, круги, квадраты и другие фигуры.

Пример 1. Найти число точек, отмеченных на рисунке 73.

В зависимости от времени учебного года эта задача может быть решена различными способами:

а) непосредственным подсчетом;

б) сложением:

ученик замечает 4 строки точек, по 3 точки в каждой строке (или 3 столбца точек, по 4 точки в каждом) и записывает: 3 + 3 + 3 + 3 = 12(4 + 4 + 4 = 12);

в) непосредственным применением умножения (задача сводится к выполнению умножения 3-4, или 4*3).

Примечание. Имеем хорошую геометрическую иллюстрацию коммутативности умножения (переместительный закон) двух чисел.

Рис. 73.

Совершенно не обязательно располагать точки (или другие фигуры) в виде прямоугольника.

Пример 2. Найти число геометрических фигур, изображенных на рисунке 74. (Дополнительные примеры рассмотрены в разделе IV, стр. 123.)

В связи с изучением таблицы умножения эта задача решается примерно так: фигуры расположены в 3 строки, каждая из которых содержит 6 фигур. Поэтому 6-3 = 18. Можно рассуждать иначе: фигуры расположены в 6 столбцов, в каждом из которых по 3 фигуры. Поэтому 3-6=18. То, что на рисунке изображено 18 фигур, может быть проверено непосредственным подсчетом.

Рис. 74.

Рис. 75.

Рис. 76.

Пример 3. Найти число квадратов, на которые разделены фигуры (рис. 75). Учащиеся должны найти закономерность (слои, строки, столбцы), позволяющую применить при подсчете квадратов (клеток) умножение, т. е. получить выражение а-Ь, где а — число клеток в одном слое (строке, столбце и т. д.), Ъ — число таких слоев.

Пример 4. Найти число квадратов (клеток), на которые разделены прямоугольники (рис. 76). После примеров, аналогичных рассмотренным выше, эта задача проще.

Примечание. В стабильном учебнике1 дается квадрат (10x10 см), разделенный на квадратные сантиметры, а также бумажный угольник. Располагая соответствующим образом угольник — экран, можно получить прямоугольники с любым числом клеток, получающихся в результате умножения однозначных чисел. На рисунке 77 показан случай для выражения 5*3, или 3*5. Геометрические фигуры, разбитые, в частности, на равные квадраты (или сложенные из таких квадратов), целесообразно использовать для составления и вычисления значений более сложных, чем произведение двух чисел, выражений. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Составить выражение для нахождения числа квадратов, составляющих фигуру, изображенную на рисунке 78.

Решение может быть выполнено двумя способами.

1) Фигура составлена из прямоугольников АМУЕ и ОУ7Х

1 М. И. Моро, М. А. Бантова. Математика для второго класса. М., «Просвещение», 1972, стр. 36.

Рис. 77.

Рис. 78.

Рис. 79.

Первый из них содержит 4-6 клеток, а второй 2-5 клеток. Получаем выражение для нахождения числа клеток 4-6 + 2-5. Находим значение выражения (выполняем вычисления), получаем 34, 34 квадрата содержит данная фигура.

2. Эту фигуру можно разделить иначе: на прямоугольник АХОМ, содержащий 2-6 клеток, и на прямоугольник ХКТЕ, содержащий 2-11 клеток. Получаем выражение 2-6 + 2-11, значение которого также равно 34.

Пример 2. Составить выражение для нахождения числа клеток, составляющих фигуру (рис. 79). Задача также может быть решена не единственным способом. Однако наиболее простое выражение, составленное по условию задачи, будет 13-7—5-3. От клеток, заполняющих большой прямоугольник, отбрасываются клетки прямоугольника, расположенного внутри. Использование в обучении рассматриваемых задач связано с дополнительными трудностями для учителя (нужно каждый раз рисовать

фигуру, разделенную на клетки). Применение арифметической доски значительно упрощает работу. Рассмотрим

только один пример. На арифметической доске (рис. 80) буквами обозначается несколько точек. Учащимся предлагается, например, начертить (пользуясь линиями тетради в клетку) многоугольник АМЕТХП и найти число клеток, составляющих многоугольник (составить выражение). Такой способ задания удобен и при выполнении самостоятельных или контрольных работ. В этом случае каждый ученик получает «свою» фигуру (каждому ученику сообщается свой вариант). Например, I вариант — вычерчивает многоугольник МЕТХУК, II вариант — МКОТХВ, III вариант—АКУВЕД, IV вариант — АКУХТД и т. д.

33. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦИРКУЛЯ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ОТРЕЗКОВ И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ.

Во II классе становится возможным использовать циркуль для сравнения отрезков. С этой целью, кроме циркуля-измерителя, можно применять обычный циркуль и даже «козью ножку» (самый простой и дешевый циркуль). Учащиеся получают задание начертить два отрезка. Учитель на доске также вычерчивает отрезки AM и ОЕ (рис. 81) и проводит показ, сопровождаемый объяснением. Дети по ходу объяснений работают в тетрадях. Ставится вопрос: как с помощью циркуля сравнить эти отрезки? Поставим одну ножку циркуля (иглу) в точку А (один из концов отрезка AM), раздвинем циркуль так, чтобы вторая ножка (конец карандаша) попал в точку M (рис. 81, а). Не изменяя положения ножек, поставим одну из них в начало второго отрезка в точку О и посмотрим, куда поместилась вторая ножка. На рисунке 81, б видно, что отрезок AM меньше отрезка ОЕ.

Рис. 80.

Рис. 81.

Учитель знакомит детей с записью, применив соответствующие знаки: АМ<ОЕ или ОЕ>АМ. Такая запись читается: отрезок AM меньше отрезка ОЕ, или отрезок ОЕ больше отрезка AM. С помощью циркуля учащиеся сравнивают стороны многоугольников, звенья ломаных и т. д.

После того как учитель убедился в том, что дети овладели основными навыками сравнения отрезков, учитель показывает с помощью циркуля построение отрезка, равного данному отрезку, и затем рассматривает приемы измерения отрезков с помощью циркуля и масштабной линейки.

Пусть нам нужно измерить сторону прямоугольника. Прикладываем циркуль к стороне так, как это показано на рисунке 82. Не меняя положения ножек, прикладываем их концы к линейке (см. рисунок). Мы видим, что длина этого отрезка равна 5 см. У учащихся может возникнуть вопрос: зачем применять при измерении циркуль, когда эту сторону можно измерить, приложив линейку? Детям можно рассказать, что в некоторых случаях (особенно в производственной практике) линейку не удается совместить с отрезком. Вот тогда и целесообразно применить для измерения циркуль. Можно также отметить тот факт, что измере-

Рис. 82.

ние отрезков с помощью циркуля и линейки точнее.

После этого учащиеся при небольшой помощи со стороны учителя догадаются, каким образом с помощью циркуля (и линейки) можно начертить отрезок заданной длины. Особенно легко в этом случае решается задача «увеличения данного отрезка в несколько раз» (последовательным откладыванием на прямой данного отрезка нужное число раз). О том, как использовать циркуль для деления отрезка на несколько равных частей, мы уже рассказали на странице 93.

34. ОБОБЩЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. ОСНОВАНИЕ И ВЫСОТА ПРЯМОУГОЛЬНИКА. КВАДРАТ.

К этим вопросам во II классе следует вернуться и в связи с повторением и, главным образом, с целью уточнения первоначальных представлений. Для проверки утверждения, что противоположные стороны прямоугольника попарно равны, эти стороны сравнивают (у различных прямоугольников) с помощью циркуля.

В ходе решения разнообразных задач на сравнение и измерение отрезков полезно рассмотреть и такие1.

1. Сравнить отрезки, соединяющие противоположные вершины прямоугольника (рис. 83), т. е. сравнить отрезки AM и ЕК.

Дети обнаруживают, что у прямоугольника такие отрезки равны.

2. Сравнить отрезки АО, ЕО, КО, МО,

Точка О —точка пересечения отрезков, соединяющих противоположные вершины прямоугольника. Она делит эти отрезки пополам.

Замеченные свойства позволяют построить прямоугольник (не на клетчатой бумаге) без применения чертежного треугольника. Для этого нужно начертить две пересекающиеся прямые (рис. 84, а). От точки пересечения отложить равные отрезки (рис. 84, б) и их концы соединить по линейке (рис. 84, в). Инте-

Рис. 83.

1 Эти задачи не для обязательного использования.

ресно эту задачу выполнить путем перегибания листа бумаги.

Изучение опыта работы школы и состояния знаний учащихся убеждает, как часто дети усваивают некоторые неудачные в научном отношении термины, что связано с дальнейшим переучиванием. К таким терминам, на наш взгляд, можно отнести термины «длина» и «ширина» прямоугольника. Наиболее существенным недостатком выражения «длина прямоугольника» состоит в том, что в нем термин «длина» употребляется в ином смысле, чем в выражении «длина отрезка». Длина прямоугольника— это его сторона, это отрезок. Длина отрезка — это число. Следует заметить, что по традиции длиной называют не любую сторону прямоугольника, а большую (соответственно шириной обязательно называют меньшую из сторон) и если учесть, что через год обучения (в IV классе) дети будут знакомиться с новой терминологией (с основанием и высотой), то не лучше ли будет уже во II классе начать постепенно вводить эту терминологию.

Для начала детям следует привести пример. Они знают, что сатин, ситец (или другая ткань) изготовляется на фабрике в виде длинной полоски одинаковой ширины (ширина ткани). Ситец сворачивается в рулон. (Дополнительные сведения даны в разделе V, стр. 190.) При продаже от этого рулона отрезаются куски прямоугольной формы, длина этих кусков зависит от желания покупателя. Пусть, например, ширина ткани 80 см. Один человек, пусть это будет мама, купила 2 м, бабушка купила 80 см, а сестра — 50 см. Оказывается, что (при одной и той же ширине) длина прямоугольника может быть различной и быть больше ширины, меньше ее и равна ширине. Этот пример предназначен для того, чтобы разрушить вышеупомянутую условность. После этого

Рис. 84.

учащимся можно сообщить, что в математике вместо слов «длина» и «ширина» стороны прямоугольника называют основанием и высотой. Если одна из сторон названа основанием, то другую сторону прямоугольника, имеющую с ней общую вершину, называют высотой (рис. 85). Заметим, что прямой угол заключен между основанием и высотой (или основание и высота, образующие прямой угол, являются сторонами прямого угла).

Квадратом называют прямоугольник, у которого основание и высота (длина и ширина) равны между собой. Это значит, что все стороны квадрата равны между собой. Дети постепенно должны усвоить, что любой квадрат является прямоугольником (четырехугольником, у которого все углы прямые), но прямоугольник не всегда будет квадратом.

Так как квадрат является прямоугольником, то для него выполняются свойства, рассмотренные на странице 102, т. е. отрезки, соединяющие противоположные вершины квадрата, равны. Точка пересечения этих отрезков делит их пополам. Но дополнительно к этому учащиеся замечают, что у квадрата отрезки, пересекаясь, образуют прямые углы. Это проверяется с помощью циркуля и чертежного треугольника. Результаты наблюдений используются для построения квадрата из листа бумаги путем перегибания.

Лист бумаги неопределенной формы сгибается вчетверо, как при получении прямого угла. От точки пересечения линии сгиба (по этим линиям откладываются равные отрезки) отмечаются точки (прокалываются). Лист снова складывается вчетверо и через две из точек выполняется разрезание (рис. 86).

Рис. 85.

Рис. 86.

35. ДЛИНА ЛОМАНОЙ. ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА.

Уже в I классе учащиеся решали много задач, связанных со сложением и вычитанием длин отрезков. Например, «от отрезка длиной 9 см отнять отрезок длиной 4 см», или «сложи отрезки длиной 5 см и 3 см» или «длина первого отрезка 4 см, второй отрезок на 3 см длиннее первого, а третий на 2 см длиннее второго, чему равна длина третьего отрезка?». Все перечисленные задачи носят «вычислительный» характер. Учащиеся при их решении оперируют длинами отрезков, т.е. числами, и для решения этих задач несущественно наличие чертежа. Таким образом, сумма длин отрезков — это число, являющееся суммой чисел.

Когда же говорят о сумме отрезков, то имеют в виду новый отрезок, получение которого не связано с измерением (с длиной), т. е. является не вычислительной, а геометрической задачей.

Это различие должно быть ясно учителю. Во II классе в ходе рассмотрения вычислительных задач с длинами отрезков следует все чаще и чаще искать возможности использовать при их решении геометрический подход. Другими словами, учащиеся узнают, что сумма отрезков—это новый отрезок, полученный из данных следующим способом.

Для построения суммы двух отрезков нужно эти отрезки расположить на прямой линии так, чтобы конец первого совпал с началом второго. Тогда отрезок, начало которого является началом первого отрезка, а концом — конец второго, и будет суммой двух отрезков (рис. 87),

Рис. 87,

Рис. 88.

Рис. 89.

Для получения разности этих отрезков 2 (вычитаемое) накладывается на отрезок 1 (уменьшаемое). Разностью отрезков 1 и 2 будет та часть отрезка 1, на которую он больше (длиннее), чем отрезок 2 (рис. 88).

Сумму или разность отрезков можно построить с помощью циркуля, не используя масштабную линейку. Учащиеся проверяют, что длина отрезка, являющаяся суммой данных отрезков, есть сумма длин слагаемых отрезков.

Очень наглядно эти понятия связываются с решением простейших уравнений.

Пример. Точка О делит отрезок АМ= 12 см, на отрезок А0 = 3 см и отрезок ОМ. Найти длину отрезка ОМ.

По условию и приведенному чертежу (рис. 89) (буквой X обозначить длину отрезка ОМ) учащиеся могут составить различные уравнения:

1. 3+х=12

2. 12—х = 3

3. 12—3 = х

В результате решения любого из этих уравнений получаем, что отрезок ОМ *=9 см.

Интерес представляет следующая форма постановки аналогичной задачи: «Пользуясь чертежом, составить уравнение и найти неизвестный отрезок» (рис. 90).

Длина ломаной линии равна сумме длин ее звеньев. Длину ломаной можно найти двумя способами.

1. Измерить каждое звено и полученные числа сложить. Мы получили новое число — длину ломаной (рис. 91): 4 + 7 + 3 = 14 (см).

Рис. 90.

Рис. 91. Рис. 92.

2. Найти геометрическую сумму звеньев. Например, с помощью циркуля отложить на прямой линии одно за другим (рис. 92) все звенья ломаной. Этот процесс называют «выпрямлением» ломаной. Полученный отрезок измерить. В обоих случаях результат должен быть одним и тем же.

Выпрямление ломаной можно продемонстрировать учащимся, проведя небольшой эксперимент. Берется модель ломаной, сделанная из тонкой и мягкой (например, медной) проволоки. Сначала находят ее длину первым способом, затем выпрямляют проволоку и измеряют ее (как отрезок).

После решения достаточного числа задач на нахождение длины (замкнутых и незамкнутых) ломаных можно ознакомить детей с понятием периметра многоугольника. Предварительно им необходимо напомнить, что граница многоугольника есть замкнутая ломаная. Затем сообщить, что длину границы многоугольника называют периметром этого многоугольника. Дети самостоятельно приходят к выводу, что периметр многоугольника есть длина ломаной линии.

Для первых задач, в которых нужно найти периметр многоугольника, целесообразно использовать различные треугольники. Используют бумажные или картонные модели многоугольников. Дети измеряют каждую сторону, находят длины сторон. Получают сумму длин. Это и будет периметром многоугольника. Затем переходят к решению задач на чертежах разнообразных многоугольников. В этом случае иногда, например для треугольников, целесообразно также находить периметр вторым способом (спрямлением ломаной).

Задача нахождения периметра прямоугольника или квадрата тесно связана с использованием свойств их противоположных сторон и с составлением выражения (формулы) для нахождения периметра.

Однако еще до этого целесообразно показать учащимся возможность составления таких выражений и для других многоугольников. Например, найти периметры многоугольников, изображенных на рисунке 93.

Учащиеся составляют выражение для вычисления периметров этих фигур. Соответственно 4-3=12 {см)\ 2-3 + 6-2=18 (см)\ 2-10 = 20 (см). После достаточной тренировки в решении аналогичных задач дети без труда усваивают структуру выражения для вычисления периметра прямоугольника и квадрата. Так, например, для вычисления периметра прямоугольника со сторонами 9 см и 7 см можно составить два выражения 9-2 + 7-2 и (9 + 7)-2.

Для вычисления периметра квадрата со стороной 6 см составляется выражение 6-4.

36. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ.

Учащиеся понимают высказывание: «Расстояние между двумя точками может быть указано по-разному». Из своего жизненного опыта они знают, что, например, от школы до дома можно идти различными дорогами, различными путями. При этом одна дорога короче (или длиннее) другой.

Поэтому во II классе нужно уточнить это понятие. На арифметической доске рассматривается задача (рис. 94):

«Из точки А (школа) в точку M (дом) можно идти разными дорогами (улицы — стороны квадратов), проходя при этом разные пути (обозначаются цветными мелками) ».

Ставятся вопросы: по какой дороге нужно идти, чтобы пройти:

а) наибольшее расстояние;

Рис. 93.

б) наименьшее расстояние?

Для сравнения расстояний (длин ломаных) находится соответствующее число «улиц».

Ломаная красного цвета состоит из 17 улиц (равных отрезков — сторон квадрата), синяя — из 15, зеленая— из 17 таких же отрезков, и, наконец, белая — из 7. Можно поставить вопрос о нахождении других (не отмеченных на рисунке) расстояний между точками А и M по различным ломаным линиям. Здесь можно еще раз напомнить, что две точки можно соединить различными ломаными, их сколько угодно и только одним отрезком. Длина отрезка меньше длины любой из ломаных, соединяющих его концы. Поэтому за расстояние между двумя точками принимают отрезок, соединяющий эти тонки.

Упражнения в измерении расстояний между точками могут быть использованы для изучения (обнаружения) некоторых свойств фигур. Например, при измерении расстояний между противоположными вершинами прямоугольника дети обнаруживают, что эти расстояния равны. Вершина А находится на таком же расстоянии от вершины М, как и вершина Т от вершины Е (рис. 95). Путем измерений можно установить, что внутри прямоугольника можно найти точку, которая одинаково удалена от всех его вершин (несколько советов дано и в разделе V, стр. 192).

37. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТРЕЗКАМИ.

Изображение чисел геометрическими фигурами в различных формах широко используется с I класса. Например, при первоначальном ознакомлении с числом и операциями над числами, кроме счетных палочек, применяются геометрические фигуры и их элементы. Уже при

Рис. 94.

Рис. 95.

Рис. 96.

Рис. 97.

использовании масштабной линейки для иллюстрации операций сложения и вычитания дети знакомятся с возможностью изображать числа отрезками: числу 3 соответствует отрезок в 3 см, а числу 7 — отрезок длиной 7 см и т. д.

Дети знакомятся с возможностью изображать условия различных задач отрезками. Краткая запись условия задач «в отрезках» весьма эффективный прием, позволяющий более наглядно представить содержание задачи. Однако этот прием может быть введен постепенно на основе четких представлений об отрезках, об их сравнении, о длине отрезков. Изображение условий задачи «в отрезках» связано с формированием четких представлений о масштабе (во II классе этот термин можно еще не вводить в обиход школьников). Представления вводятся в ходе решения, например, таких задач.

Задача 1. Отрезок АО (рис. 96) соответствует (изображает) 1 единице. Сколько единиц изображает отрезок МТ, КЕ? Каким отрезком (начертить) можно изобразить число 9?

Задача 2 отличается тем, что отрезок OA изображает не 1 единицу, а, например, 2 (3; 4; 5 и т. д.). Вопросы ставятся те же, что и в предыдущей задаче.

Задача 3 несколько сложнее предыдущих. Отрезок МО изображает число 3 (5; 7 и т. п.). Какие числа изображают остальные отрезки (рис. 97)? Каким отрезком (начертить) можно изобразить число 12?

Отсюда уже недалеко до введения термина «диаграмма».

Для этого учащимся рассказывают, что иногда величины удобно изображать отрезками. Чертеж, на котором величины изображены отрезками, называют диаграммой1. Рассматриваются примеры простейших диаграмм.

1 Это делают в III классе.

Например, дети должны уметь прочитать диаграмму, показывающую сравнительные успехи школьников вторых классов в сборе бумажной макулатуры: сразу сказать, какой из классов собрал больше (меньше), чем остальные. Расположить их в порядке убывания (или возрастания) количества собранной макулатуры и, наконец, назвать числа, характеризующие успехи каждого класса (рис. 98).

38. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИРКУЛЬ.

Знакомство учащихся с окружностью и кругом связано с известными трудностями, которых можно избежать. Учащимся напоминают, что для вычерчивания отрезков прямых линий служит линейка, и рассказывают (сопровождая показом), что для вычерчивания окружностей есть специальный инструмент — циркуль. В момент показа работы циркуля, когда еще не вся окружность начерчена, полезно подчеркнуть, что одна ножка циркуля (с иглой) стоит на одном месте (эту точку называют центром окружности), а другая ножка движется и ее конец (мел, карандаш) вычерчивает линию. Эту линию называют окружностью. Очень важно на первых порах сразу подчеркнуть, что окружность есть граница фигуры, с которой учащиеся хорошо знакомы. Эта фигура— круг. При этом уместно привлечь для сопоставления многоугольник, границей которого является замкнутая ломаная линия. Учащиеся подводятся к выводу, что окружность — замкнутая кривая линия — является границей круга.

Полезно показать учащимся вычерчивание окружности с помощью планки (или картонной полоски). Полоска гвоздиком прибивается к доске. К другому ее концу прикладывается мел, полоска вращается около гвоздя и мел вычерчивает окружность. Большую окружность можно начертить на земле с помощью веревки и двух колышков (рис. 99).

Рис. 98.

Рис. 99.

С целью уточнения представления детей об окружности и круге необходимо рассмотреть задачи.

1. Назовите точки, принадлежащие и не принадлежащие окружности (рис. 100).

2. Назовите точки (рис. 101): а) принадлежащие кругу; б) принадлежащие окружности; в) не принадлежащие кругу; г) принадлежащие кругу, но не принадлежащие окружности. Учащиеся отвечают на вопросы задачи:

а) О; £; Д; Af; б) AÎ; Д; в) Т\ К; г) О, Е.

Затем учащихся можно познакомить с понятием «радиус» окружности. Для этого они проводят окружность. По просьбе учителя отмечают на окружности какую-нибудь точку и соединяют отрезком эту точку с центром. Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом. Предлагается провести еще 2—3 радиуса и сравнить их. Учащиеся постепенно приходят к выводу о том, что все радиусы этой окружности равны.

В конечном итоге дети начинают понимать, что расстояние между любой точкой окружности и ее центром постоянно одно и то же и равно ее радиусу, т. е. точки окружности одинаково удалены от ее центра.

Рис. 100. Рис. 101.

Рис. 102.

Известно, что навык вычерчивания окружности формируется медленно и требует большого числа упражнений (многократных повторений). Для тренировочных самостоятельных упражнений (дома) можно рекомендовать построение разнообразных «розеток» (например, таких, как на рисунке 102).

В результате учащиеся должны научиться вычерчивать окружность с центром в заданной точке и с радиусом данной длины.

39. ДОЛИ ЕДИНИЦЫ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДОЛЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ.

Накопленные учащимися представления и навыки деления фигуры на равные части являются основными, исходными для формирования важнейших представлений о долях единицы, на основе которых формируется понятие дроби.

Основной целью обучения во II классе является получение четких представлений об одной доле единицы. Роль единицы играют различные предметы и геометрические фигуры.

Начать можно с рассмотрения жизненных примеров. В частности, булку хлеба (батон) можно (по весу) разделить на две равные части, пополам. Если говорят «дай мне половину яблока», это значит, что яблоко нужно разделить на две равные части и одну часть отдать, т. е. отдать нужно одну вторую часть. После этого получение долей (так называют равные части величины) можно иллюстрировать на самых различных геометрических фигурах. В ходе такой работы, кроме формирования четких представлений об одной доле фигуры, дети выполняют разнообразные задания, связанные с вычерчивани-

Рис. 103.

ем, перегибанием фигур, их разрезанием, т. е. совершенствуют важные в практическом отношении навыки, усваивают геометрические термины. Эта деятельность способствует также воспитанию геометрической интуиции.

Ознакомление с одной долей величины целесообразно начать с уточнения представлений о половине — одной второй доле.

Рассматривается половина отрезка, половина прямоугольника, половина квадрата. Учащиеся должны увидеть, что одну вторую долю прямоугольника можно получить несколькими способами (рис. 103). При этом целесообразно использовать бумажный прямоугольник (полоску), который в случаях, представленных на рисунках 103, а и б, реализуется путем перегибания так, чтобы полученные части совпали. В случае, изображенном на рисунках 103, в и г, сначала выполняется перегибание так, чтобы линия сгиба прошла через две противоположные вершины прямоугольника. Затем прямоугольник разрезается по линии сгиба, и путем наложения одного из полученных треугольников на другой дети убеждаются в их равенстве, так как треугольники совпадают (совмещаются). Дети видят, что одна доля фигуры может иметь различную форму. После этого можно повторить получение одной второй доли фигуры на чертеже. Затем показывается образование половины круга, половины треугольника (равнобедренного). Вслед за половиной показывается получение одной четвертой доли фигуры. При этом необходимо подвести детей к пониманию того, что одна четвертая доля может быть получена при делении одной второй пополам. Это последовательно показывается на разнообразных

Рис. 104.

Рис. 105.

фигурах (рис. 104). Затем, очевидно, формируются представления и навыки в получении одной восьмой доли. И опять этот процесс целесообразно связать с формированием представления о том, что одна восьмая есть половина одной четвертой. Очень важно для усвоения терминологии употреблять все выражения, характеризующие процесс получения той или иной доли. Так, например, дети должны заметить, что для получения одной второй доли полоски ее нужно сложить вдвое, одной третьей — втрое, одной четвертой — вчетверо и т. д. Поэтому употребление слов «сложить вдвое, втрое и т. п. ту или иную фигуру» методически оправдано.

Следующая группа содержит одну третью, одну шестую доли. Такая группировка оправдана тем, что шестую долю можно получить как половину одной третьей доли или как третью часть одной второй доли (рис. 105).

Дети должны уметь практически получать более мелкие доли из крупных путем деления последних на равные части.

Одна девятая доля получается делением одной третьей на три равные части (рис. 106), а одна десятая — как результат деления пополам одной пятой доли. При этом фигура делится на пять равных частей, затем пятая доля делится пополам. После этого можно показать получение десятой доли вначале делением отрезка пополам, а затем делением половины на пять равных частей. В заключение иллюстрируется получение одной седьмой доли фигуры.

Знакомство с миллиметром— новой единицей длины — целесообразно осуществить после первоначально-

Рис. 106.

го ознакомления с долями единицы. В этом случае миллиметр можно строго определить как одну десятую долю сантиметра. Если же по тем или иным причинам представления о миллиметре даются до изучения долей единицы, то все равно следует обратить внимание учащихся на то, что миллиметр—одна десятая доля сантиметра. Необходимо вспомнить, что дециметр — это десять сантиметров. Значит, дециметр делится на 10 равных частей — долей, т. е. одна десятая дециметра — сантиметр. Аналогично устанавливается, что дециметр — одна десятая метра. Приведенные факты не только важные практические приложения усвоенных учащимися сведений об одной доле единицы, но являются существенными в подготовке основных представлений, на базе которых строится понятие десятичной дроби.

40. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАСШИРЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБ УГЛАХ.

В I классе дети были ознакомлены с прямым углом. Они научились на глаз и с помощью чертежного угольника узнавать среди углов многоугольников прямые углы, отличать их от непрямых. Это позволило познакомить детей с такой фигурой, как прямоугольник (квадрат).

Во II классе осуществляется дальнейшее ознакомление детей с углами. Им даются представления о тупых и острых углах, на основе сравнения с прямым углом. При сравнении углов используются слова «больше», «меньше». В связи с этим необходимо наглядно продемонстрировать увеличение или уменьшение угла. С этой целью можно приготовить несложную модель «переменного» угла. Вырезать из плотной бумаги или тонкого картона прямоугольник размером 60X40 см. Прорезать в нем щель. Из плотной цветной бумаги (пленка) вырезать круг диаметром 18 см, прорезать его по радиусу и вставить часть круга в прорез картонного прямоугольника. С помощью полученной модели угла выполняются различные упражнения.

Учитель показывает, как можно уменьшить угол. Для этого достаточно поворачивать его сторону так, чтобы она сближалась с другой стороной. Для увеличения угла нужно вращать его сторону так, чтобы она удалялась от другой стороны. При этом полезно задание формулиро-

вать так: «Покажите угол больший (меньший), чем на модели». (Ученик поворачивает подвижную сторону угла в нужном направлении.)

После такой подготовки можно знакомить детей с острым (тупым) углом, как с углом меньшим (большим) прямого с помощью чертежного треугольника.

Во втором случае угол больше прямого угла потому, что он может быть получен из прямого угла, если его стороны еще больше удалить (повернуть) друг от друга. В первом случае угол меньше прямого потому, что его можно получить, если стороны прямого угла сблизить. В обоих случаях целесообразно применять подвижную модель угла.

Во втором классе не следует обращать внимание на то, как учащиеся усвоили словесное описание тупого и острого углов.

Важно добиться, чтобы среди рассматриваемых углов многоугольника (или на окружающих предметах) учащиеся могли различать на глаз или с помощью чертежного угольника прямые, тупые или острые углы.

41. КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Учащиеся II класса накопили значительный опыт сравнения отрезков. Получили четкие представления о сравнении углов многоугольников, научились определять на глаз и с помощью чертежного треугольника (или бумажной модели прямого угла) острые или тупые углы. Все это дает возможность начать работу по ознакомлению детей с возможными случаями классификации треугольников. На наш взгляд, в этом состоит обоснование столь раннего ознакомления с такой классификацией. Определение видов треугольников в зависимости от углов дает возможность еще раз уточнить понятия «прямой», «острый» и «тупой» углы. Все треугольники в зависимости от углов можно разбить на три класса:

остроугольные — у них все углы острые;

прямоугольные — у них один угол прямой;

тупоугольные — у них один угол тупой.

Правильно обученные дети во II классе интуитивно чувствуют, что не существует (нельзя начертить) треугольника с двумя прямыми или со всеми прямыми углами (аналогично о тупых углах). Поэтому у них нет со-

Рис. 107.

Рис. 108.

мнения в том, что каждый треугольник попадет только в один из классов.

На первом этапе дети оперируют набором бумажных треугольников. Каждый ученик получает набор из 10 — 12 различных треугольников. Учащиеся определяют на глаз или с помощью чертежного треугольника их углы и сортируют на кучки. Для проведения такой работы учитель должен иметь раздаточный материал (он может быть подготовлен с помощью детей на уроках труда).

Затем аналогичные упражнения выполняются на чертежах. В результате учащиеся II класса научатся строить заданные (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные) треугольники.

При ознакомлении с классификацией треугольников по их сторонам учитель должен избежать широко распространенной логической ошибки: классифицировать треугольники на разносторонние, равнобедренные и равносторонние,— так как равносторонние треугольники являются и равнобедренными (по определению). Если в отношении классификации треугольников «по углам» мы имели схему, изображенную на рисунке 107, то схема классификации треугольников «по их сторонам» иная (рис. 108).

42. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ И ПЕРЕЧЕНЬ НАВЫКОВ, КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ УЧАЩИЕСЯ И КЛАССА.

Во II классе совершенствуется, уточняется, расширяется и закрепляется словарь, приобретенный учащимися в I классе.

Расширение словаря происходит в связи с овладением новыми фигурами, новыми свойствами фигур, их отно-

шениями в связи с выработкой новых навыков. При этом учащимися должны быть усвоены:

1. Термины, употребляемые в связи с сравнением и измерением отрезков и расстояний между точками с помощью циркуля и линейки:

Измерь расстояние между двумя точками. Измерь отрезок (расстояние между точками) с помощью циркуля и линейки. Сравни отрезки (расстояния между точками) с помощью циркуля. Я сравнил эти отрезки, они равны (не равны) между собой. Один из отрезков больше (меньше) другого. Измерь расстояние между противоположными вершинами прямоугольника (квадрата, четырехугольника).

2. Термины, употребляемые в связи с измерением длины ломаной и периметра многоугольника:

Длина ломаной — это сумма длин ее звеньев. Найди длину ломаной. Граница многоугольника — замкнутая ломаная. Длина границы многоугольника называется его периметром. Периметр многоугольника — длина ломаной, ограничивающей его.

3. Термины, употребляемые в связи с введением буквенных обозначений: точек, отрезков, прямых, многоугольников, углов многоугольников, ломаных линий:

Обозначьте точку буквой1.... Обозначьте буквами концы отрезка. Это точка M (эм). Это отрезок КМ (ка-эм) и т. п. Это треугольник АОЕ и т. п. Обозначьте вершины многоугольника (название многоугольника) буквами.... Обозначьте угол одной буквой. Это угол Л и т. п. Обозначьте угол тремя буквами. Это угол OEM. Его вершина— точка Е. Обозначьте последовательно вершины многоугольника... . Назовите точку (отрезок, ломаную, угол многоугольника). Назовите противоположные стороны прямоугольника (квадрата). Назовите противоположные вершины четырехугольника (прямоугольника, квадрата).

4. Термины, употребляемые в связи с делением фигур на части и понятием «доля фигуры»:

Точка... делит отрезок на две части (на две равные части; на две неравные части). Точка... делит отрезок... пополам. Точка... является серединой отрезка... . Разде-

1 Здесь и далее точки заменяют конкретные буквенные обозначения геометрических фигур.

лить отрезок пополам. Разделите отрезок на две (три, четыре и т. д.) части. Разделите отрезок на две (три, четыре и т. д.) равные части. Провести отрезок (отрезки) так, чтобы он разделил прямоугольник на две части. Разделить прямоугольник на две равные части (на три, четыре, пять... и т. д. до десяти) равные части. Эта фигура (многоугольник, прямоугольник, квадрат) состоит (содержит) из ... равных квадратов (равных прямоугольников, треугольников). Разделить фигуру (многоугольник, прямоугольник, круг) перегибанием на две (три, четыре... и т. д.) равные части. Покажите одну... долю (одну часть) этой фигуры. Это одна вторая (одна третья, одна четвертая, одна пятая, одна шестая и т. д. до одной десятой) фигуры (круга, отрезка, прямоугольника и т. д.).

5. Терминология, связанная с представлениями о круге и окружности, циркуле и его частях:

Окружность — линия, вычерчиваемая с помощью циркуля. Центр окружности. Окружность — замкнутая кривая линия. Окружность — граница круга. Круг ограничен окружностью. Радиус окружности. Соедините точку окружности с ее центром. Циркуль. Ножки циркуля. Поставьте ножку циркуля в точку..., Начертите окружность с центром в точке... .

6. Терминология, употребляемая для характеристики взаимного расположения геометрических фигур:

Точка... лежит на прямой.... Прямая... проходит через точку... . Точки... (две, три) лежат на прямой. Прямая... проходит через точки..., Эти прямые пересекаются в точке... . Этот отрезок и прямая пересекаются (не пересекаются).

Точка лежит внутри фигуры (круга, многоугольника...). Точка лежит на стороне многоугольника (на окружности, на границе...). Точка лежит вне фигуры (название). Точка не принадлежит фигуре.

7. Терминология, употребляемая при классификации треугольников:

Это остроугольный (прямоугольный, тупоугольный) треугольник. Этот треугольник разносторонний, этот треугольник равнобедренный (равносторонний).

Примерный перечень практических умений и навыков, которые приобретают учащиеся II класса, шире, чем у первоклассников. А сами навыки совершеннее. Под

влиянием систематических упражнений по вычерчиванию, перегибанию фигур, моделированию фигур из бумаги и палочек значительно возрастает скорость выполнения заданий. Причем при значительно большей, чем у первоклассников скорости выполнения заданий, качество их выполнения также заметно выше.

Расширение круга умений и навыков и совершенствование их во II классе происходит за счет выполнения большого числа упражнений, практических заданий, среди которых многие являются новыми.

Характерными являются умения и навыки в применении циркуля для сравнения отрезков, для приближенного деления отрезков на равные части (доли), для измерения (циркулем и линейкой) отрезков и расстояний между точками и, наконец, по своему основному назначению, для вычерчивания окружностей и кругов заданного радиуса с центром в данной точке.

Следует значительно увеличить требования к точности измерений, моделирования фигур (в том числе построения чертежей). Необходимо повысить требования и к аккуратности (тщательности) выполняемых моделей, чертежей.

Перечислим основные умения, приобретаемые учащимися II класса:

1. Отметить точку на прямой (отрезке), вне прямой (две точки, три точки). Отметить точки на заданном расстоянии друг от друга.

2. С помощью клетчатой бумаги построить фигуру, содержащую один (два, три) прямых угла. Построить прямоугольник, квадрат.

3. С помощью чертежного треугольника определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

4. Сравнить отрезки и расстояния между двумя точками с помощью циркуля.

5. С помощью циркуля и линейки измерить отрезки, стороны многоугольников, звенья ломаных, находить длину ломаной, находить периметр многоугольника.

6. Уметь составить выражение для нахождения периметра прямоугольника (квадрата) по готовым данным и по данным, полученным путем непосредственного измерения.

7. Уметь использовать таблицу умножения для нахождения числа равных квадратов, на которые разделена данная фигура.

8. Уметь обозначать фигуры (точки, отрезки, прямые, ломаные, многоугольники, углы многоугольников) буквами и читать эти обозначения.

9. Уметь разделить фигуру (отрезок, круг, прямоугольник, квадрат) на равные части (доли) и указать одну из полученных долей.

10. Уметь определять форму окружающих предметов и их частей.

43. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ВО II КЛАССЕ.

К списку учебных пособий для I класса (стр. 82) следует добавить1:

А. Индивидуальные:

1. Циркуль (можно «козью ножку») с карандашом.

2. Набор из 10—15 треугольников (из бумаги). Б. Классные пособия общего пользования:

1. Циркуль деревянный — классный.

2. Циркуль-измеритель.

3. Диафильм «Математика. II класс (геометрический материал)». Автор А. М. Пышкало. Студия «Диафильм». Москва, 1968 год (приобретается в Учколлекторе).

1 Все пособия, указанные в списке для I класса, применяются и во II классе.

IV. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В III КЛАССЕ.

В III классе (в отличие от I и II классов) некоторые уроки целесообразно полностью посвящать изучению геометрического материала. Такими уроками прежде всего могут быть уроки, связанные с выполнением практических работ. Однако подавляющее большинство учебного материала, как и во II классе, в III классе целесообразно распределять равномерно по всему учебному году, чтобы почти на каждом уроке дети встречались с решением задач геометрического содержания.

Как и в предыдущие годы обучения, нужно стараться, чтобы дети получали возможность изучать геометрические факты (фигуры, свойства фигур, отношения) в различных интерпретациях: в ходе наблюдения окружающих предметов, изучения их формы и размеров; в конструировании моделей геометрических фигур (из бумаги, картона, проволоки, палочек и пластилина); при вычерчивании геометрических фигур; при измерении отрезков и расстояний между точками.

В III классе акцент должен быть сделан на формирование навыков и умений использования для построения геометрических фигур линейки, циркуля, чертежного треугольника. Причем все чаще эти построения следует выполнять на гладкой (нелинованной) бумаге.

В III классе продолжается дальнейшее развитие основных линий в обучении, намеченных еще в I классе и продолженных во II. Уточняются представления, совершенствуются навыки.

Новым, а потому требующим особого внимания от учителя в курсе математики этого класса будет формирование основных представлений учащихся о площади фигуры как еще об одной геометрической величине, фор-

мирование основных представлений о единицах измерения площади, формирование представлений о непосредственном измерении площади фигур (с помощью палетки или клеток листа тетради) и навыков вычисления площадей прямоугольников.

Вторым важным и сравнительно новым для учащихся вопросом будет уточнение представлений учащихся о долях величины, нескольких долях, т. е. об обыкновенной дроби. В связи с этим открывается возможность расширить и уточнить представления детей о диаграммах; познакомить с масштабом линейных и столбчатых диаграмм. При этом широко используются знания о геометрических фигурах.

Третьим вопросом, на который следует обратить особое внимание в III классе, можно считать вопрос, связанный с обобщением понятий и навыков измерения отрезков, установления соотношений между единицами измерений, т. е. ознакомление детей с метрической системой мер (в частности, длины и площади).

44. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА».

Как мы уже отметили выше, одним из основных новых для учащихся (трудных в методическом отношении и по существу) вопросов курса математики III класса является формирование правильных представлений о площади фигуры.

Для учителя начальных классов вопрос об изучении темы «Площадь прямоугольника» не является новым вопросом. Большинство учителей хорошо знакомы с методикой изложения этой темы, так как уже вели преподавание (и неоднократно) в IV классе. И несмотря на это вопрос «Что такое площадь прямоугольника?» ставит учителя в тупик. Учитель иногда не в состоянии дать на этот вопрос достаточно правильный ответ (то же самое можно отнести и к понятию длины отрезка).

Казалось бы, что ученик тем более не справился бы с ответом на поставленный в такой явной форме вопрос (кстати, перед учеником так ставить вопрос не следует).

Однако если этот вопрос поставить перед учеником в другой форме, например, так: «Найти площадь этого прямоугольника» (или «Найти длину данного отрезка»),

то в большинстве случаев мы получим совершенно правильный ответ: «Площадь этого прямоугольника, например, равна 40 квадратным сантиметрам» (или «Длина этого отрезка равна 10 сантиметрам»). Площадь прямоугольника (как и длина отрезка) есть число, полученное определенным способом в результате измерения. Поэтому, как мы уже об этом говорили, процесс формирования понятий длины отрезка, площади фигуры должен быть тщательно и всесторонне рассмотрен с учащимися. Эта тщательность и всесторонность в методике ознакомления учащихся четвертых классов не была обеспечена. Отсюда и невысокий уровень навыков и знаний школьников1.

Дело в том, что в учебной литературе2 и в практике обучения сложился такой методический подход, в результате которого, очевидно, стремились привить только практический навык вычисления площади прямоугольника (только прямоугольника!). Изучение всей темы распадалось на известные этапы3.

Вся тема изучалась в IV классе (16 часов) в течение двух недель. На первом уроке детям сообщались сведения о единицах измерения и правило вычисления площади прямоугольника. Остальное время использовалось на формирование навыков решения задач. Очевидно, что такой подход к изучению этой темы в III классе мог привести к еще более слабым знаниям многих школьников. Поэтому в методическую схему изучения рассматриваемой темы внесены существенные качественные изменения, такие, что они позволяют добиться от учащихся третьих классов в усвоении этой темы более глубоких знаний и хороших навыков. Такие возможности открылись в результате ряда экспериментов и подтвердились массовой практикой обучения. Постараемся обобщить результаты этих экспериментов и практики.

Представления о площади фигуры должны вырабатываться постепенно и не в результате кратковременного изучения связанных с этим понятием вопросов, а распре-

1 Об этом говорят результаты контрольных работ, систематически проводимых Министерством просвещения РСФСР и Академией педагогических наук. «Математика в школе», 1961, № 4; 1966, № 5 и др.

2 А. С. Пчелко и Г. Б. Поляк. Арифметика для 4 класса. М., «Просвещение», 1967, стр 66—76.

3 См. раздел I, стр. 43.

деленно на несколько лет обучения. При этом не менее важной, чем выработка навыков вычисления площади, целью работы должно являться формирование общих представлений о площади фигуры как о геометрической величине. Поэтому изучение темы целесообразно разделить1 на следующие этапы:

Знакомство с многоугольниками, кругом (осуществляется непрерывно с I класса).

Знакомство с прямоугольником, с квадратом.

Знакомство с делением фигуры на части и составлением из этих частей других фигур, подсчет этих частей, формирование первоначальных представлений о равновеликости и равносоставленности (подготовка начинается во II классе).

Формирование представления о единичном квадрате, с помощью которого можно всегда обнаружить, какая из фигур имеет большую площадь (в III классе). Знакомство с квадратным сантиметром. Палетка.

Нахождение площади различных фигур в квадратных сантиметрах (в III классе).

Вычисление площади прямоугольника в квадратных сантиметрах (в III классе).

Вычисление площади в квадратных дециметрах (в III классе).

Вычисление площади в квадратных метрах (в III классе).

Вычисление площади земельных участков (в арах и гектарах) (в IV классе).

45. ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ.

Сравнение отрезков дает возможность узнать, какой из отрезков больше или меньше другого. Смысл этих отношений для отрезков определяется довольно четко, однозначно и наглядно, так как сама операция сравнения проста и наглядна. Она легко воспринимается младшими школьниками, ибо отрезок «одномерен» и обладает только свойством протяженности.

1 Термин «разделить» понимается не в буквальном смысле, так как этапы не следуют строго один за другим, а иногда протекают одновременно или почти одновременно.

Перед проведением беседы, в которой впервые будет использован термин «площадь» фигуры, важно обобщить накопившиеся сведения о сравнении отрезков, отношениях «больше», «меньше», «равны» для отрезков и длине отрезка. Это существенно, так как в ходе формирования первоначальных общих представлений о площади фигуры, представлений о новой геометрической величине нужны четкие представления о длине отрезка. Учитель рассказывает (привлекая ответы учащихся), как при изучении отрезков мы установили, что их можно сравнить. В результате сравнения любых двух отрезков выясняется, какой из них больше (меньше) или, может быть, они равны. Это выполняется путем наложения одного отрезка на другой (показ).

Затем мы научились измерять отрезки. В результате измерения (с помощью единичного отрезка — единицы измерения) для каждого отрезка мы получим определенное число (приводятся примеры для нескольких отрезков, изображенных на доске). Это число называем длиной отрезка.

Иное дело, когда учащиеся должны сравнить, например, два многоугольника или два круга. Учащимся интуитивно ясно, что слова «больше», «меньше» в этом случае имеют другой смысл, чем в применении к отрезкам.

Действительно, что можно сказать, например, о прямоугольниках, изображенных на рисунке 109?

Который из них больше? Можно, например, сказать, что 1-й прямоугольник больше 2-го? Да, скажут некоторые дети. Он больше потому, что его основание больше, чем основание 2-го прямоугольника.

Нет, скажут другие ученики. Больше 2-й прямоугольник, ведь он шире, чем 1-й. Такой разговор учащихся вполне естествен, так как в их опыте пока еще было рассмотрено и усвоено сравнение отрезков и они переносят имеющиеся знания и применяют их к качественно новому свойству, которым обладают двумерные фигуры (например, многоугольники) и не обладают одномерные — отрезки, линии.

Появляется необходимость выяснить смысл операции сравнения двух многоугольников, т. е. установить, можем ли мы говорить, какой из них больше или меньше другого или они равны.

Рис. 109.

Рис. 110.

Рис. 111.

Наблюдая различные фигуры, можно заметить, что одна из них при наложении на другую полностью помещается внутри первой. Иногда это можно заметить довольно легко, на глаз. Например, четырехугольник Б (рис. 110) полностью помещается внутри круга Л. Если мы вырежем такой четырехугольник из бумаги, то он весь поместится внутри круга.

В таком случае говорят, что площадь круга больше площади четырехугольника, или площадь четырехугольника меньше площади круга. Рассматривается несколько аналогичных примеров.

В результате сравнения фигур, изображенных на рисунке 111, ученики должны сказать, что площадь фигуры В больше площади прямоугольника А (или Г), больше площади треугольника £, но меньше площади четырехугольника Д.

Учащиеся замечают, что прямоугольники А и Г равны. Делается вывод, что равны и их площади. Учащиеся объясняют, что площадь четырехугольника Д больше площади каждой из фигур (Л, Б, В и Г) потому, что каждая из этих фигур полностью помещается внутри четырехугольника Д.

Затем рассматривают случай, когда сравнить площади фигур на глаз трудно или просто невозможно. Например, трудно сказать, какая из фигур I или II, изображенных на рисунке 112, занимает больше места на плоскости. Попытки

Рис. 112.

Рис. 113.

поместить одну из этих фигур внутри другой (это можно продемонстрировать на бумажных моделях) не дают ответа на поставленный вопрос. Фигура I не помешается полностью внутри второй, а фигура II не помещается внутри I.

Как же быть? Как выяснить, например, площадь какого из прямоугольников (см. рис. 109) больше? Вот здесь и пригодятся навыки (приобретенные еще во II классе) деления фигур на равные фигуры (например, на равные квадраты). Разделим каждый из прямоугольников на равные фигуры. Если мы эти прямоугольники расположим на клетчатой бумаге, то такими равными фигурами будут квадраты — клетки (рис. 113). Та из фигур будет иметь большую площадь, которая содержит большее, чем у другой фигуры, число квадратов — клеток. 1-й прямоугольник содержит (учащиеся уже научились использовать таблицу умножения для нахождения числа клеток) 27 квадратов, а 2-й —40 квадратов. Значит,

Рис. 114. Рис. 115.

Рис. 116.

2-й прямоугольник имеет большую площадь, чем 1-й (клетки имеют равные площади). Или площадь 1-го прямоугольника меньше площади 2-го. В дальнейшем для сравнения площадей фигур используется клетчатая бумага. Сравниваются площади различных многоугольников (рис. 114) и фигур, границы которых — кривые линии (рис. 115).

Подсчет целых (и нецелых — больших половины) клеток, составляющих каждую из фигур, дает возможность установить, которая из них имеет большую площадь.

Дети должны получить представление и о том, что для сравнения площадей можно использовать не только равные квадраты (клетки), на которые делятся фигуры, но и другие фигуры, например треугольники. Для выяснения, какая из фигур (рис. 116) имеет большую площадь, можно использовать треугольники (например, полклетки). Оказывается, что большая площадь у фигуры А (она содержит 18 треугольников, а фигура Б — 17 таких же треугольников) .

Рис. 117.

Рис. 118.

Таким образом, навык разрезания фигур на части и составления фигур из других фигур имеет решающее значение в процессе формирования общих представлений о площади фигуры. Важным при этом является понимание учащимися того, что различные фигуры имеют одну и ту же площадь, если каждая из них составлена из одних и тех же частей (упражнения с «китайской» головоломкой весьма полезны в этом отношении).

Например, все фигуры на рисунке 117 имеют одну и ту же площадь (занимают одинаковое место на бумаге) потому, что каждая из них составлена из 6 одинаковых частей (клеток).

То же самое можно сказать о фигурах, изображенных на рисунке 118. Каждая из них составлена из двух одинаковых (равных) треугольников.

46. ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ В КВАДРАТНЫХ САНТИМЕТРАХ.

Учащиеся постепенно знакомятся с процессом измерения площади. При этом важно использовать аналогию с известной им величиной — длиной отрезка, с измерением отрезков. Дети вспоминают, что измерение отрезков сводилось к выяснению того, сколько раз единичный (принятый за единицу) отрезок укладывался в измеряемом отрезке. Такими единичными отрезками могут быть любые отрезки. Для общего пользования ученые предложили применять в качестве единичных отрезков метр, дециметр (одна десятая метра), сантиметр (одна десятая дециметра), миллиметр (одна десятая сантиметра), километр (1000 метров).

Площади фигур также можно измерять. Для этого нужна единица измерения. Пригодны ли для этой цели единичные отрезки? Имеющийся опыт учащихся поможет им прийти к выводу, что нет.

Условились для измерения площадей фигур применять единичные квадраты. Это такие квадраты, сторона

которых равна единице. Таким квадратом может быть квадрат со стороной в 1 см (или квадрат со стороной в 1 дм, или квадрат со стороной в 1 л). Такой квадрат принято (соответственно) называть квадратным сантиметром, квадратным метром и т. п.

Единичным квадратом может быть и любой другой квадрат, например одна клетка клетчатой бумаги.

Учащиеся вычерчивают квадратный сантиметр и для сравнения рядом—сантиметр (рис. 119). Им сообщается, что запись «3 кв. см» читается: три квадратных сантиметра, а запись «3 см» — три сантиметра. Предлагается начертить «3 см» (рис. 120) и «3 кв. см». Они это выполняют по-разному. Так с самых первых шагов исключается возможность путать, смешивать эти различные понятия. Ибо они усваиваются не формально, а на основе конкретного практического опыта учащихся, связывающихся с реальными образами.

Выполняется ряд упражнений, где фигуры разбиваются на квадратные сантиметры или составляются из квадратных сантиметров. Для этого каждый ученик должен изготовить набор из 15—20 кв. см. Затем, подметив, что квадратный сантиметр содержит четыре клетки, используется клетчатая бумага.

Учащиеся узнают, что если площадь одного квадратного сантиметра принять за единицу площади, то можно найти площадь данной фигуры. Для этого нужно сосчи-

Рис. 119.

Рис. 120.

тать, сколько квадратных сантиметров содержит эта фигура. Таким образом, площадью фигуры (в квадратных сантиметрах) называется число квадратных сантиметров, на которые эта фигура может быть разделена (разрезана). Выясняется, что измерить площадь фигуры — значит найти число единичных квадратов (в данном случае квадратных сантиметров), на которые может быть разделена фигура.

С помощью «математической доски» ставится ряд задач (рис. 121) по нахождению площадей фигур. Непосредственным подсчетом числа квадратных сантиметров находят, что площадь 1-й фигуры—10 кв. см, 2-й — 12 кв. см, 3-й—15 кв. см, а 4-й — 24 кв. см. Дети быстро обнаружат, что для нахождения площади иногда можно составить выражение, вычислив значение которого находим площадь.

Это не будет для детей трудной проблемой, так как во II классе они решали подобные задачи. Поэтому для нахождения площади фигуры (рис. 121) учащиеся составят выражение и, вычислив его значение, найдут площадь: 6-4 = 24 (кв. см)1. (Фигура 2 составлена из четырех прямоугольников, каждый из которых содержит по 6 кв. см.) Аналогично может быть вычислена площадь и другой фигуры. Так, фигура 3 имеет площадь 5-3 = 15 (кв. см), а фигура 4—4-6 = 24 (кв. см) или 6-4 = 24 (кв. см).

В результате делаются важные выводы, что площадь фигуры может быть найдена непосредственными подсчетами квадратных сантиметров, а в некоторых случаях

Рис. 121.

1 Нам представляется целесообразным использовать такую форму записи при вычислении площадей. Это объясняется тем, что при составлении выражений (и уравнений) нецелесообразно указывать наименование величин. Однако можно употреблять и традиционную запись: 3 кв. смХ4=12 кв. см.

и вычислением. В последнем случае мы не подсчитываем непосредственно все квадратные сантиметры, на которые разделена фигура.

47. НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ ПАЛЕТКИ.

Привлечение в качестве аналогии фактов, хорошо известных учащимся, для того чтобы формировать новые представления и понятия, — эффективный прием обучения. Мы показывали, как это может быть сделано, например, в ходе формирования представлений о площади фигуры (аналогия — длина отрезка). Для введения представлений о палетке также следует воспользоваться аналогией с масштабной линейкой.

«Мы выяснили, что площадь фигуры можно измерить (как можно измерить и длину отрезка). Для этого у нас есть единица измерения (квадратный сантиметр). Но для измерения длины отрезков имеется специальный инструмент. Мы с ним хорошо знакомы. Это масштабная линейка. С помощью какого инструмента измеряют площадь, есть ли такой инструмент? Да, есть. Он называется палеткой».

Примерно так может начать свою беседу учитель. Учащимся показывается палетка, показывается способ ее применения для измерения площадей различных фигур.

Для того чтобы преодолеть известные трудности, возникающие при использовании палетки, необходимо провести ряд подготовительных упражнений. Эти упражнения могут выполняться учащимися непосредственно перед тем, как они познакомятся с применением палетки или раньше (в связи с задачей деления фигуры на части, например, на равные квадраты с подсчетом этих частей). Приведем пример таких задач.

Задача 1. Найти площадь каждой фигуры (рис. 122).

Учащиеся замечают, что фигура состоит из целых

Рис. 122.

Рис. 123.

квадратных сантиметров и из их «половин». Две половины дают 1 кв. см, и таким образом площадь 1-й фигуры равна 4 кв. см; 2-й — 3 кв. см; 3-й — 6 кв. см.

Задача 2. Найти площадь каждой фигуры (рис. 123).

Учащиеся подмечают, что фигура А содержит 2 кв. см, фигура Б — 4 кв. см, фигура В — 6 кв. см, фигура Г— 6 кв. см, фигура Д — 6 кв. см. В случае затруднений (например, ученик не видит, как образуется квадратный сантиметр из двух частей) необходимо показать это, например, на фигуре А с помощью бумажной модели (рис. 124).

Задача 3. Найти площадь фигуры (рис. 125).

Вначале подсчитываем число целых квадратов (их 21), затем половинок (их 8). Каждые две половинки дают один целый квадрат. Значит, фигура содержит 25 кв. см. После такой подготовки учащиеся легче справляются с измерением площади фигуры палеткой. Для

Рис. 124. Рис. 125.

Рис. 126.

того чтобы установить преемственность с аналогичными упражнениями, выполняемыми на клетчатой бумаге, устанавливается, что клетчатая сетка листа тетради нами использовалась как палетка.

Перед учащимися ставится задача самого общего вида (граница фигуры — контур — имеет произвольный вид). Палетка (рис. 126) произвольно наложена на фигуру. Нужно показать учащимся способ подсчета квадратных сантиметров. Для этого подсчитывают число квадратных сантиметров, составляющих многоугольник, расположенный полностью внутри фигуры. Их оказалось 15. Затем подсчитываем число квадратных сантиметров, которые пересечены линией границы нашей фигуры. Таких квадратов оказалось 16. Эти квадраты не полностью расположены внутри фигуры. У некоторых из них фигуре принадлежит больше половины, у некоторых меньше половины квадратного сантиметра. Можно считать, что все неполные квадраты составляют 8 полных: число неполных квадратов делим на 2. Таким боразом, приблизительно мы нашли площадь фигуры. Она равна (15 + 8 = 23) 23 кв. см. Следует подчеркнуть, что измерение площади палеткой (так же как и измерение отрезков линейкой) выполняется приблизительно.

48. СОСТАВЛЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ИЗ КВАДРАТНЫХ САНТИМЕТРОВ. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИМЕТРА ЭТИХ ФИГУР.

Прежде чем переходить к ознакомлению учащихся третьих классов с правилом вычисления площади прямоугольника, можно выполнить упражнения, раскрывающие соотношения между размерами прямоугольника (в сантиметрах) и его площадью (в кв. сантиметрах).

Эти упражнения можно связать также с повторением геометрических сведений, усвоенных учащимися раньше.

Рассмотрим примеры,

Рис. 127. Рис. 128.

1. Из б кв. см составить несколько (3—4) фигур. Найти их периметры (рис. 127).

Длина стороны квадратного сантиметра равна 1 см. Значит, в частности, периметр квадратного сантиметра равен 4 см, периметр фигуры 1—14 см, фигуры 2—10 см, фигуры 3—12 см, фигуры 4—14 см, делается вывод, что у всех фигур одна и та же площадь (6 кв. см), но разные периметры.

2. Составить из 12 кв. см прямоугольник. Найти размеры этого прямоугольника. Задача имеет 3 решения.

Уже в этом случае можно заметить, что произведение длины на ширину в каждом из случаев составляет 12 (рис. 128) (т. е. равно площади этого прямоугольника).

49. ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

Совершенно очевидно, что после систематической подготовки, некоторые стороны и особенности которой мы характеризуем, формулировка правила вычисления площади прямоугольника (по известным длинам его сторон) может быть высказана учащимися самостоятельно, при незначительной помощи со стороны учителя. При этом может быть использована хорошо известная учителям методика, о которой мы рассказывать не будем. Подчеркнем лишь, что в процессе постепенного подведения учащихся к осознанию правила вычисления площади прямоугольника можно выделить несколько последовательных этапов.

I этап (исходный). Подсчет числа квадратных сантиметров, когда все они видны (фигура разбита на квад-

ратные сантиметры). Он еще не связывается с размерами прямоугольника — его высотой и основанием (или длиной и шириной). Дети в этом случае обнаруживают полосы, на которые делится прямоугольник, замечают, что каждая полоса содержит одно и то же число квадратных сантиметров. После этого умножают число квадратных сантиметров в одной полосе на число полос.

II этап. Дети обнаруживают, что число квадратных сантиметров в одной полосе равно длине прямоугольника в сантиметрах, а число полос равно ширине этого прямоугольника (также в сантиметрах). После обобщения полученных сведений делается вывод: «Площадь прямоугольника (в квадратных сантиметрах) равна произведению длины его основания (в сантиметрах) на длину высоты (в сантиметрах)». Или «для вычисления площади прямоугольника (в квадратных сантиметрах) нужно измерить (в сантиметрах) его длину и ширину и полученные числа перемножить».

Приведем различные иллюстрации, используемые последовательно, в процессе подведения учащихся к формулировке выше приведенных правил (рис. 129).

В процессе формирования общих представлений о площади фигуры, при выводе правила для вычисления

Рис. 129.

площади прямоугольника (примерно в течение 1 полугодия) учащиеся находят площади фигур в квадратных сантиметрах. Эта работа тесно связывается с повторением и закреплением знаний таблицы умножения, с составлением выражений и вычислением их значений. С этой целью полезно находить площади фигур, составленных из прямоугольников, размеры которых могут быть найдены непосредственным измерением (учащиеся получают картонные фигуры) или по данным чертежа. Причем для нахождения нужных размеров учащиеся применяют знания о свойствах противоположных сторон прямоугольников, сведения о сумме и разности отрезков. Короче говоря, задачи на вычисление площадей должны быть связаны с повторением геометрического материала, изученного в I и II классах. Приведем одну из таких задач.

Задача. Составить выражение для нахождения площади и периметра фигуры, изображенной на рисунке (рис. 130).

Рис. 130.

Рассмотрим решение этой задачи. Данную фигуру с целью нахождения ее площади можно представить либо в виде: а) объединения прямоугольника АОМД и прямоугольника ДКТЕ (рис. 130,А); б) объединения прямоугольника ЕАОХ и прямоугольника МКТХ (рис. 130, Б); в) разности прямоугольника АУТЕ и прямоугольника ОУКМ (рис. 130, В).

Рассмотрим случай а). Найдем размеры прямоугольников. У прямоугольника АОМД ЛО = 6 см (дано), ОМ есть разность отрезков АЕ и ДЕ, но ДЕ = КТ (противоположные стороны прямоугольника), поэтому ОМ = 9—4 = 5 (см). Размеры прямоугольника ДЕТ К известны (они непосредственно видны). Составим выражение для нахождения площади прямоугольников (6-5); (10-4) и всей фигуры: 6-5+10-4. Вичислим значения выражения: 1) 6-5 = 30; 2) 10-4 = 40; 30 + 40 = 70.

Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.

Рассмотрим случай б). Найдем размеры прямоугольников. У прямоугольника АОХЕ основание ЕХ = 6 см, потому чго противоположная сторона прямоугольника АО = 6 см, высота £Л = 9 см (дано).

У прямоугольника МКТХ основание ХТ=\0—6 = 4 (см), а высота КТ = 4 см (дано).

Составим выражения для нахождения площадей прямоугольников (6-9; 4-4) и площади всей фигуры: 6-9 + 4-4. Вычислим значение выражения: 1) 6-9 = 54; 2) 4-4=16; 54+16 = 70.

Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.

Рассмотрим случай в).

Размеры прямоугольника ЕАУТ известны. Найдем размеры прямоугольника ОУКМ: ОМ = 9—4 = 5 (см), М/(= 10—6 = 4 (см).

Составим выражения для нахождения площадей прямоугольников (10-9; 5-4) и площади всей фигуры: 10-9— 5-4. Вычислим значение выражения: 1) 10-9 = 90; 2) 5-4 = 20; 3) 90—20 = 70.

Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.

Для нахождения периметра можно поступить двумя способами:

1) Найти длину каждой стороны фигуры. Составить выражения (9 + 6 + 4-+-5 + 4 +10) и найти ее значение (38). Ответ: 38 см.

2) Заметить, что периметр этой фигуры равен периметру прямоугольника АУТЕ.

Составить выражение: (9+10)-2 и найти его значение (38). Ответ: 38 см.

Приведенные нами рассуждения должны выполняться устно. Учащиеся (для каждого случая) выясняют размеры нужных прямоугольников, не обязательно пользуясь буквенными обозначениями.

50. КВАДРАТНЫЙ ДЕЦИМЕТР. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ В КВАДРАТНЫХ ДЕЦИМЕТРАХ. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КВАДРАТНЫМ ДЕЦИМЕТРОМ И КВАДРАТНЫМ САНТИМЕТРОМ.

К мысли о необходимости введения еще одной единицы измерения площади дети подводятся учителем. Для этого достаточно решить задачу на вычисление площади многоугольника больших размеров (например, площади крышки учительского стола или классной доски). При этом получается сравнительно большое число квадратных сантиметров. Предлагается использовать новую единицу площади—квадратный дециметр: площадь квадрата со стороной в 1 дм.

Дети некоторое время решают задачи (аналогичные тем, которые рассматривались в связи с вычислением площади в квадратных сантиметрах). Затем ставится задача нахождения площади одного и того же прямоугольника сначала в квадратных сантиметрах, затем в квадратных дециметрах. При этом даются прямоугольники, периметры которых выражаются целым числом дециметров. В частности, рассматривается задача: «Найти площадь квадратного дециметра в квадратных сантиметрах».

Выясняется, что 1 кв. дм содержит 100 кв. см, т. е. 1 кв. дм= 100 кв. см.

Только после решения сравнительно большого числа задач целесообразно применять формальное правило «превращения» мелких мер (кв. см) в более крупные (кв. дм), используя выведенное соотношение между этими единицами. В частности, решаем задачу: «Найти площадь прямоугольника (в квадратных дециметрах) длиной 25 см и шириной 20 см».

Учащиеся находят площадь в квадратных сантиметрах 25-20 = 500 (кв. см). Затем, пользуясь соотношением

1 кв. дм==\00 кв. см, устанавливают, что 500 кв см = 5 кв. дм.

При ознакомлении с соотношением между квадратным дециметром и квадратным сантиметром важны наглядные реальные представления. С этой целью полезно (в качестве домашнего практического задания) предложить учащимся изготовить из бумаги квадратный дециметр и расчертить его на квадратные сантиметры.

51. КВАДРАТНЫЙ МЕТР. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ В КВАДРАТНЫХ МЕТРАХ, СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КВАДРАТНЫМ МЕТРОМ И ДРУГИМИ ЕДИНИЦАМИ ПЛОЩАДИ.

Введение новой единицы измерения площади — квадратного метра объясняется по аналогии с тем, как это было сделано при ознакомлении школьников с квадратным дециметром. Квадратным метром называется площадь квадрата со стороной в 1 м. Для получения реальных представлений о квадратном метре целесообразно вначале продемонстрировать бумажную модель квадрата со стороной в 1 м (можно склеить из газетных листов), а затем предложить каждому ученику изготовить такую модель (в качестве практического домашнего задания).

Квадратный метр —широко распространенная в жизни единица измерения площадей. Ею исчисляется площадь помещений (комнат, квартир и т. д.). Поэтому необходимо хорошо познакомить детей с измерением площадей помещений. Следует расшифровать выражения: «площадь комнаты», «площадь квартиры», «площадь класса», «площадь коридора» и т. п. Во всех выражениях имеется в виду площадь пола того или иного помещения.

Важно провести практическую работу по измерению площади класса (площади пола). Учащиеся устанавливают, что пол класса имеет форму прямоугольника. Измеряются стороны этого прямоугольника (длина и ширина класса) в метрах. Может оказаться, что их длина не выражается в целых метрах. В этом случае выполняется округление до целых метров. При этом рассуждают, например, так: длина класса 8 м 65 см. 65 см больше, чем полметра. Поэтому будем считать, что длина класса

9 м. Ширина класса 6 м 20 см. 20 см меньше, чем полметра, поэтому будем считать ширину равной 6 м. Площадь класса будет: 9-6 = 54 (кв. м).

Эту же задачу учащиеся повторяют дома. Они вычисляют площадь своей комнаты.

После решения задач на вычисление площадей прямоугольника в квадратных метрах по данным, полученным путем измерений (самими учащимися), и по готовым данным (например, обозначенным на чертеже или сообщенным в условии задачи) ставится вопрос о нахождении соотношений между квадратным метром и квадратным дециметром. Для этого решаются задачи, в которых площадь прямоугольника вначале вычисляется в квадратных метрах. При этом стороны прямоугольников должны быть выражены целыми числами метров. Учащиеся подмечают (в случае необходимости это подсказывается учителем), что площадь в квадратных метрах и площадь в квадратных дециметрах выражаются числами, у которых отличается только число нулей (первые несколько цифр одинаковы). По результатам решения нескольких таких задач составляется таблица, где это хорошо видно.

Метры

Дециметры

длина

ширина

кв. метры

длина

ширина

кв. дециметры

5 M 5 м 12 м

3 м

4 м

5 м

15 Кв. M

20 кв. м 60 кв. м

50 дм 50 дм 120 дм

30 дм 40 дм 50 дм

1500 кв. дм 2000 кв. дм 6000 кв. дм

Только после этого решается задача: «Найти площадь 1 кв. м в квадратных дециметрах». Сторона квадратного метра равна 10 дм. Площадь этого квадрата (в квадратных дециметрах) равна 10-10 = 100 (кв. дм), т. е. 1 кв. м = 100 кв. дм.

Соотношение между квадратным метром и квадратным сантиметром может быть получено двумя способами:

1. Непосредственным решением задачи: «Вычислить площадь 1 кв. м в квадратных сантиметрах (сторона квадратного метра 1 м = 100 см, 100-100=10 000 (кв. см)».

2. Применяя известное учащимся соотношение между квадратными дециметрами и квадратными сантиметрами: 1 кв. лс=100 кв. дм (это установлено при решении задачи). Значит, 100 кв. дм = 100 кв. ^ж-100= 10 000 кв. см (раздробление квадратных дециметров в квадратные сантиметры). Таким образом, 1 кв. м = 100 кв. дм = 10 000 кв. см, т. е. 1 кв. м =10 000 кв. см.

52. ЗАДАЧИ, ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

В процессе решения разнообразных задач на вычисление площади прямоугольника уже в связи с вычислением площади в квадратных сантиметрах (и в дальнейшем) следует познакомить учащихся с обратными задачами.

Основная задача на вычисление площади прямоугольника в общем виде формулируется так: «Известны длина и ширина прямоугольника. Найти его площадь».

Эта задача имеет две обратные:

1. Известны площадь и длина прямоугольника. Найти ширину прямоугольника.

2. Известны площадь и ширина прямоугольника. Найти длину прямоугольника.

Для решения обратных задач удобно использовать уравнения. Например, при решении задачи: «Площадь прямоугольника 500 кв. см, его ширина 20 см. Найти длину» — учащиеся рассуждают так: «Пусть длина прямоугольника X см. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, значит, 20-л: = 500. Неизвестный множитель равен произведению, деленному на известный множитель. Поэтому х = 500:20=25». Ответ: длина прямоугольника равна 25 см. Аналогично решается задача нахождения ширины прямоугольника по его известным площади и длине.

Можно практиковать схематические задания задач (рис. 131). На основании этой схемы составляется уравнение: 80-х = 3200, откуда х = 3200:80 = 40.

Очень важно чтобы (особенно на первых порах) площадь и размеры прямоугольника выражались «од-

Рис. 131.

ноименными» единицами площади и длины. Например, если площадь дана в квадратных метрах, то один из линейных размеров этого прямоугольника должен быть выражен в метрах.

Только после того как учащиеся хорошо ознакомятся с метрической системой мер площадей (соотношениями между известными им единицами площади), можно предлагать учащимся решение обратной задачи, где площадь и один из линейных размеров прямоугольника выражаются «разноименными» единицами площади и длины. Например, площадь прямоугольника равна 2000 кв. см, длина 5 дм. Найти ширину. При решении этой задачи ученик может поступить двумя спсобами.

1-й способ. Площадь выразить в квадратных дециметрах (2000 кв. см = 20 кв. дм). Тогда искомая ширина (20:5 = 4) будет выражена в дециметрах (4 дм).

2-й способ. Выразить длину прямоугольника в сантиметрах (5 дж = 50 см). Тогда искомая ширина прямоугольника (200:50 = 40) будет выражена в сантиметрах (40 см).

53. ПРОВЕШИВАНИЕ ПРЯМЫХ. ИЗМЕРЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА МЕСТНОСТИ.

Очень часто практические работы на местности проводятся в конце учебного года. Причиной этого являются, главным образом, не методические соображения, а метеорологические условия (плохая погода в зимнее время и т. п.). Такое положение нельзя считать нормальным. Для того чтобы практические работы были не простой формальностью (нужно выполнять программу!), следует обеспечить их проведение в течение всего учебного года и стараться органически связывать с изучением текущего материала.

Поэтому работу: «Провешивание прямой. Измерение и построение отрезков на местности»—целесообразно провести в первой четверти, в связи с повторением сведений об измерении отрезков.

Выражение «провешить1 прямую» означает расставить вехи так, чтобы они были расположены на одной прямой линии. При этом используется важное свойство

1 Слово «провешить» происходит от слова «веха».

прямой: через две точки можно провести одну и только одну прямую линию. Об этом необходимо напомнить учащимся перед проведением работы.

Для того чтобы провешить прямую в заданном направлении, нужно иметь набор из трех вех, набор деревянных колышков (или проволочных спиц).

Положение прямой определяется двумя вехами (1 и 3), которые втыкаются в землю (рис. 132). Провешиваемый отрезок отмечается колышками. Для того чтобы каждый из колышков оказался на прямой, определенной вехами (1 и 3), один из учеников становится, например, у вехи 3. Другой ученик в это время старается поставить веху 2 между вехами 1 и 3 так, чтобы для наблюдателя (ученик, стоящий у вехи 1) все три вехи совпадали. Для того чтобы это произошло, наблюдатель подает команду голосом или руками. О характере команды необходимо условиться заранее. После того как веха 2 установлена на линии вех 1—3, у ее нижнего острия третий ученик вбивает колышек. Так постепенно между вехами 1 и 3 будут вбиты несколько колышков, расположенных на одной и той же прямой. Колышки вбиваются (приблизительно) на расстоянии 4—5 м друг от друга. Вдоль провешенной прямой от любой ее точки и в любом направлении может быть отложен (отмерен) заданный отрезок. Измерение отрезков может быть выполнено с помощью ленты, рулетки, мерной веревки (тонкой веревки, на которой через каждый метр завязан узелок).

Рис. 132.

54. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА И ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА МЕСТНОСТИ.

Построение прямого угла и прямоугольника на местности выполняем после того, как учащиеся знакомы с провешиванием прямых линий. Как мы уже упоминали выше, это целесообразно связать, например, с построением.

В ходе подготовки к проведению работы в памяти учащихся восстанавливаются сведения о прямом угле, его построении, о прямоугольниках, свойствах их сторон. Построение прямого угла на местности может быть выделено в отдельную работу, если построение прямоугольника связывается с реализацией конкретных представлений об аре или гектаре (в IV классе).

Построение прямоугольников с заданными размерами может быть связано и с разбивкой грядок и газонов прямоугольной формы на пришкольном участке.

Для построения прямоугольников на местности применяется экер, несколько вех и колышков. Экер представляет собой два деревянных бруска, сбитых крестообразно под прямым углом (рис. 133). На концах брусков вбить по гвоздику. Он укрепляется на палке с заостренным концом (удобнее втыкать в землю). Можно изготовить модель экера из старого классного треугольника (рис. 133). Гвоздики вбиваются в вершинах углов. Так как школьники уже имеют опыт построения прямых углов с помощью чертежного треугольника, то экер, изготовленный из него, быстро ими осваивается.

При построении прямого угла вначале (колышком) отмечается его вершина. В этой точке устанавливается (вбивается) палка экера.

Вначале провешиваются стороны угла. С помощью визира устанавливаются вехи (1) и (2). С помощью вехи (3) и колышков провешивается одна сторона прямого угла, а потом и другая (рис. 134).

После этого проводится работа по построению на местности прямоугольника с задан-

Рнс. 133.

Рис. 134.

ными размерами. В ходе работы используются экеры, вехи, колышки, рулетка. Строится (как было описано выше) прямой угол. В направлении каждой из сторон откладываются заданные отрезки — длина и ширина будущего участка прямоугольной формы. Таким образом, мы уже получили (рис. 135) три вершины прямоугольника (А — вершина прямого угла OAK). Для нахождения четвертой, последней вершины этого прямоугольника можно

Рис. 135.

Рис. 136.

поступить по-разному. Можно с помощью экера построить прямой угол с вершиной в одной из двух вершин прямоугольника. Например, в точке О (рис. 135) отложить отрезок (отмерить) ОМ, равный отрезку АК. Можно поступить иначе. Найти вершину М, построив прямые углы в вершинах К и О. Для этого одновременно устанавливаются два экера (рис. 136). Ученик, подчиняясь одновременно командам наблюдателей К и О, устанавливает веху в точке М. После этого стороны КМ и ОМ прямоугольника отмечаются колышками.

Мы кратко охарактеризовали содержание измерительных работ, но не останавливались на организационных моментах и других вопросах их проведения потому, что все они многократно описывались в методической литературе и хорошо известны учителю.

55. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ДРОБЕЙ.

Геометрические фигуры и возможность их деления на равные части, как об этом было сказано выше, явились основой, на которой были получены первоначальные представления об одной доле величины, доле единицы. В III классе программа предусматривает первоначальное ознакомление школьников с дробью величины. Совершенно очевидно, что и в этом случае геометрические фигуры также необходимы в процессе формирования понятия дроби.

Деление различных фигур на равные части и рассмотрение фигур, содержащих одну, две и т. д. такие части позволяют ввести необходимую терминологию и символику для обозначения дробных чисел.

Последовательно рассматриваются геометрические модели всех дробей (с знаменателем не более 10).

Например, последовательно образуются (рис. 137).

Аналогично, применяя по возможности различные фигуры, знакомим с дробями, имеющими другие знаменатели. В частности, для изображения дробей с знаменателем 10 (как и в других случаях) удобно использовать прямоугольник, содержащий 10 клеток тетради (рис. 138).

Учащимся предлагается назвать (записать обыкновенной дробью или сказать словами), какая часть прямоугольника закрашена (какая не закрашена).

На этом этапе ознакомления детей с дробями геометрическая интерпретация является единственной, дающей возможность рассмотреть операцию раздробления дробей в более мелкие доли и обратную операцию.

Рис. 137.

Рис. 138.

Как мы указывали, уже в ходе ознакомления школьников II класса с долями единицы целесообразно, например, получать из -g- путем деления одной второй доли на две равные части (рис. 139). При этом (в III классе) дети устанавливают, что — (половина единицы) содержит две четвертые доли единицы, т. е. можно сказать, что-g-=-|-. При иллюстрации раздробления дроби в более мелкие доли нужно использовать отрезки, круги, прямоугольники (удобно, например, использовать клетки тетради). Покажем, например, что g-. Начертим один под другим два прямоугольника длиной в 8 клеток — каждый будет изображать единицу. Клетка в этом случае изображает -g-долю (рис. 140),

Две клетки составляют

или

дети устанавливают по чертежу, заштриховываем на верхнем прямоугольнике шесть восьмых, а нижнем — три четвертых. Путем сравнения убеждаемся в том, что соответствующие (заштрихованные) прямоугольники равны между собой, значит

Покажем на круге, что получаются путем раз дробления (делением на два) Чертим круг. Делим его на три части (это можно сделать на глаз или с помощью циркуля, если известен прием деления окружности на 6 частей). Заштриховываем -у- часть круга (рис. 141).

Затем каждая третья часть круга делится пополам. Уста-

Рис. 139. Рис. 140.

навливается, что заштрихованная часть круга содержит две шестые доли круга. Делается вывод, который и записывается так: -^-=-т-, или-g-=-£-. Только после рассмотрения достаточного числа геометрических иллюстраций, в результате чего у детей накапливается запас представлений, можно переходить к формальному решению примеров вида: «Вставьте пропущенное число долей:

56. ДИАГРАММЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.

Во II классе дети впервые познакомились с тем, что числа, например, данные в условиях задач, можно изображать геометрическими фигурами: отрезками, прямоугольниками, т. е. познакомились с простейшими диаграммами.

И дело не только в том, что в III классе можно использовать соответствующую терминологию (использовать слова: диаграмма, масштаб, график), но прежде всего в том, что уточняются представления о масштабе.

Первоначальное ознакомление детей со столбчатыми диаграммами (слово «столбчатые» не обязательно сообщать учащимся) целесообразно связать с изучением долей фигур. В III классе необходимо только ознакомить детей с первоначальными представлениями о столбчатых диаграммах. Каждый столбик — прямоугольник — составляется из равных прямоугольников. Один из таких прямоугольников (масштаб) принимается за одну или несколько единиц. Сложность предлагаемых

Рис. 141.

Рис. 142.

Рис. 143.

заданий постепенно увеличивается (аналогично с тем, как это делается при ознакомлении с линейными диаграммами).

Учащимся напоминают, что числа можно изображать отрезками. Такой чертеж, на котором это сделано, называют диаграммой, затем показывают и объясняют, как можно изображать числа прямоугольниками (полосками, столбиками). Пусть 1 клетка соответствует, например, 1 кг, тогда по числу таких клеток в каждом из столбиков (рис. 142) можно судить о весе обозначенных в диаграмме предметов.

Затем решается более сложная задача. Усложнение состоит в том, что масштабный прямоугольник соответствует не одной, а нескольким единицам. Учащимся, например, предлагается прочитать диаграмму (рис. 143), показывающую число учащихся в различных классах школы. Дети рассказывают (подсчитывая число масштабных прямоугольников, содержащихся в каждом столбике), что в I классе учатся 40, во II — 32, в III — 36, в IV — 28 учащихся. Диаграммы не обязательно изображаются на клетчатом фоне (клетчатый фон «математической доски» удобен для этого). Можно продемонстрировать диаграммы двух видов на гладком фоне.

Рис. 144.

Рис. 145.

На рисунке 144 учащиеся выясняют (читают диаграмму), что больше всех бумаги собрано учащимися II В класса (90 кг). Учащиеся II Б класса и II Г класса собрали по 60 кг, а II А класса — 75 кг бумаги.

На диаграмме другого вида масштабный прямоугольник не задан. При чтении диаграммы (рис. 145) учащиеся пользуются шкалой. В этой диаграмме определяют высоту столбиков на глаз. Они устанавливают, что первая бригада перевыполнила план ремонта, а четвертая не выполнила. Первая бригада отремонтировала 200 тракторов. Это на 50 тракторов больше, чем по плану. Учащиеся последовательно рассказывают о каждой бригаде, называя число тракторов, указывая, на сколько тракторов перевыполнен или недовыполнен план. Третьеклассники должны уметь строить простые диаграммы по данным, взятым из жизни класса (число мальчиков и девочек и т. д.).

Кроме того, диаграммы в III классе следует использовать как наглядное средство, играющее важную роль в общем развитии школьника, как один из способов доведения до школьников разнообразной научной информации. Эту работу необходимо проводить систематически в течение учебного года, постепенно усложняя.

Начать нужно с упражнений, при выполнении которых уточняется и закрепляется навык в чтении диаграмм (эта работа была начата еще во II классе). В этом случае и удобно использовать диаграммы, содержащие све-

дения общеобразовательного характера. Например, на рисунке 146 дана диаграмма, показывающая часовые скорости, которые могут быть достигнуты человеком (с помощью только его физической силы).

На рисунке 147 дана диаграмма, показывающая длину некоторых важных рек мира. Учитель может использовать различные данные о высоте важнейших вершин СССР (Европы, Азии), об океанских глубинах, о продолжительности жизни животных (растений), о высоте различных пород деревьев, о весе животных и т. п. Сведения для построения таких диаграмм можно получить

Рис. 146.

Рис. 147.

в справочниках и энциклопедиях (в частности, в Детской энциклопедии). Обширна группа диаграмм, используемых как с общими воспитательными целями, так и с целями формирования навыков чтения: диаграммы, отражающие ход развития нашей страны, достижения ее науки и техники, культуры и искусства.

Учащиеся должны научиться составлять диаграммы на материале своего класса, школы, научиться выбирать удобный масштаб, строить диаграмму. Для уточнения представлений о масштабе и совершенствования навыков чтения диаграмм целесообразно решить несколько специальных задач.

Задача 1. Найти масштаб диаграммы (рис. 148). Прочитать диаграмму.

Задача 2. Найти масштаб диаграммы (рис. 149). Прочитать диаграмму.

С помощью диаграммы можно поставить (и решить) ряд задач. Например, найти число взрослых, мальчиков и девочек (рис. 150), если известно, что мальчиков на

Рис. 148. Рис. 150.

Рис. 149. Рис. 151.

8 меньше, чем девочек. (Решенние задачи сводится к нахождению масштаба диаграммы.) Или: на диаграмме (рис. 151) изображен сбор яблок и груш с пришкольного сада. Найти, сколько собрано отдельно груш и яблок, если всего собрано 210 кг фруктов.

В III классе учащимся можно сообщить начальные сведения о графиках. Наиболее удобным случаем для этого является диаграмма (график) по результатам наблюдений температуры воздуха в течение недели ( месяца) — календарь погоды.

Учащимся рассказывается, что на горизонтальной оси (прямой) указаны точки, обозначающие дни недели (месяца), на вертикальной — температура в градусах. Горизонтальная ось (прямая) пересекает вертикальную в точке О (нуль градусов). Вниз от горизонтальной оси откладываются отрезки, соответствующие характеристике «холодно», вверх от этой оси — отрезки, соответствующие характеристике «тепло» (говорят: «Температура воздуха выше нуля, ниже нуля»).

Пусть в течение одной недели марта учащиеся измеряли температуру воздуха. Наблюдения оформляли в таблице.

Дни недели

1

2

3

4

б

6

Температура воздуха в градусах ......

3° X.

5° X.

2° т.

4° т.

1° т.

Учитель рассказывает и показывает ход построения графика (диаграммы) изменения температуры воздуха в течение 1-й недели марта (рис. 152).

Рис. 152.

57. ПРИМЕРЫ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЛОЩАДЬЮ И ДЛИНОЙ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

Программа математики предусматривает ознакомление учащихся III класса с примерами зависимости между величинами. По существу речь идет о формировании функциональных представлений. Кроме таких зависимостей, которые обнаруживают себя в связи с решением задач на движение (зависимость между временем, скоростью и путем), задач, где учащиеся устанавливают зависимость между ценой единицы товара, числом купленных единиц этого товара и суммой, уплаченной при этом, следует использовать зависимость, существующую между длиной одной из сторон прямоугольника (другая сторона построена) и площадью, а также зависимость между сторонами прямоугольника, имеющих одну и ту же площадь.

На решении ряда задач, учащиеся легко приходят к выводу, что из двух прямоугольников, у которых одна и та же ширина (или одна и та же длина), площадь того прямоугольника больше, у которого больше длина.

Причем площадь правого прямоугольника (рис. 153) будет больше площади левого прямоугольника в два раза потому, что у второго из них в два раза больше длина. Показать это можно непосредственно вычислением. Этот вопрос целесообразно связать с изучением «изменения результатов умножения с изменением одного из компонентов». В результате дети должны уметь сформулировать ответ к задаче: «Ширину прямоугольника увеличили в 5 раз, оставив длину без изменения. Как изменится площадь прямоугольника?» Площадь прямоугольника увеличится в 5 раз потому, что площадь прямоугольника — это произведение двух множителей (длины и ширины) прямоугольника. Один из множителей (ширина) увеличивается в 5 раз, значит, и произведение (площадь) увеличивается во столько же раз.

Полезно рассмотреть зависимость длины прямоугольников заданной площади от его ширины.

Рис. 153.

Пусть у нас имеются прямоугольники, площадь которых постоянна и равна, например, 64 кв. см. Одним из таких прямоугольников может быть, в частности, прямоугольник шириной 1 см и длиной 64 см. Увеличим ширину в 2 раза и посмотрим, какой будет длина прямоугольника, площадь которого равна 64 кв. см (постоянна). Найдем длину нового прямоугольника: #«2 = 64; х = 64:2, х = 32 (см).

Мы видим, что с увеличением ширины в 2 раза длина уменьшилась в 2 раза. Попробуем увеличить ширину в 8 раз. Новая ширина будет 8 см. Найдем длину (х) прямоугольника. Составим уравнение х- 8 = 64; х = 64:8; х = 8 см. Заметим, что длина уменьшилась в 8 раз...

Оказывается, что длина уменьшается во столько же раз, во сколько раз увеличивается ширина в том случае, если площадь прямоугольника не изменяется. Очевидно, что эта задача в дальнейшем может быть истолкована в связи «с изменением частного в зависимости от изменения делителя». Делимое — площадь, делитель — длина (или ширина), частное — ширина (или длина). При увеличении (уменьшении) делителя в несколько раз частное уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Решение подобной задачи находит практическое применение, например, в связи с нахождением размеров возможных прямоугольников (стороны которых измеряются целым числом), площадь которых задана.

58. ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ.

Представляется целесообразным изложить основные методические соображения о характере ознакомления младших школьников с осевой симметрией. Дело в том, что выражение «эта фигура симметрична», «эти фигуры симметрично расположены» и т. п. часто используются в обучении младших школьников (особенно на уроках рисования, ручного труда). Еще чаще эти или аналогичные выражения дети слышат по радио, телевидению, от взрослых и старших товарищей.

Введение представления об осевой симметрии не должно носить формального характера, а основываться на конкретных примерах, наблюдениях, связанных с практической деятельностью детей.

На уроках (рисования, ручного труда или других) можно провести ряд небольших практических работ, в процессе выполнения которых дети используют основные представления об осевой симметрии фигур, знакомятся с терминологией.

Практическая работа 1. Возьмите небольшой лист бумаги. Нанесите на него каплю чернил или туши. Перегните лист так, чтобы линия сгиба прошла через каплю или вблизи нее. Плотно прижмите друг к другу сложенные части листа бумаги, разгладьте линию сгиба. Раскройте листок (рис. 154). Вы увидите, что по разные стороны от прямой линии (линии сгиба) получились совершенно одинаковые фигуры (отпечатки).

Эти фигуры называют симметричными относительно прямой линии, а прямую линию (линию сгиба) называют осью симметрии.

Возьмите листок бумаги и повторите еще раз опыт с каплей чернил. После того как чернила просохнут, начертите карандашом ось симметрии получившейся фигуры.

Практическая работа 2. Перегните лист плотной (желательно черной) бумаги. Хорошо разгладьте линию сгиба так, чтобы обе части листа прилегали друг к другу. С помощью булавки или иголки наколите какой-нибудь рисунок так, чтобы игла каждый раз прокалывала обе части сложенного листа. Раскройте листок и посмотрите его на свет. Что вы увидите? Как расположились фигуры относительно линии сгиба? Как можно назвать эту линию?

Практическая работа 3. Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Хорошо разгладьте линию сгиба и отметьте на ней две точки. Не раскрывая листа бумаги, вырежьте какой-либо узор так, чтобы не перерезать линию сгиба на отрезке, ограниченном этими точками. Расправьте листок. Какую фигуру вы получили? Укажите ось симметрии.

Рис. 154.

Во внеклассной работе можно использовать разнообразные упражнения.

1. Приложить край линейки к изображенным на рисунке 155 фигурам так, чтобы он служил осью симметрии.

2. Фигуры, изображенные на рисунке 156, разделены линией на две части. В каких случаях эта прямая будет осью симметрии?

3. В каких случаях (рис. 157) прямая линия не является осью симметрии?

4. Каждая ли из прямых линий, изображенных на рисунках 158 и 159, является осью симметрии фигуры? Все ли фигуры могут иметь ось симметрии?

Рис. 155.

Рис. 156. Рис. 157.

Рис. 158. Рис. 159.

5. На рисунке 160 изображены фигуры, имеющие одну, две, три оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура, изображенная на рисунке 161?

6. Вырезать из клетчатой бумаги прямоугольник размерами 3x2 см и квадрат 3x3 см. Установить путем перегибания этих фигур, сколько осей симметрии имеет каждая из них.

7. Рассмотрите предметы или их части, находящиеся в классе (дома). Укажите, какие из них имеют одну (или несколько) ось симметрии.

8. Пользуясь клетками тетради, нарисовать фигуру, имеющую две (четыре) оси симметрии,

9. Нарисовать фигуру, имеющую три, шесть осей симметрии.

Рис. 160. Рис. 161.

10. Сколько осей симметрии имеет пятиконечная звезда?

11. Нарисовать прямоугольник и все его оси симметрии.

12. Нарисовать квадрат и его оси симметрии.

13. На рисунке 162 изображены печатные буквы А, О, Н, М, Т. Сколько осей симметрии имеет каждая из этих букв? Назовите еще буквы русского алфавита, изображения которых имеют оси симметрии.

14. Говорят, что кленовый лист симметричен — имеет ось симметрии. Назовите еще растения, листья которых имеют ось симметрии.

15. Часто оконные рамы симметричны. Покажите, как проходит ось симметрии оконной рамы. Назовите еще предметы или их части, имеющие ось симметрии. В каждом случае покажите, как проходит эта ось.

16. Нарисуйте прямоугольник. Нарисуйте его ось симметрии. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник? Нарисуйте все оси симметрии прямоугольника.

17. Нарисуйте квадрат и все оси симметрии квадрата. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

18. Нарисуйте четырехугольник, не имеющий осей симметрии, имеющий хотя бы одну ось симметрии. Нарисуйте эту ось.

Рис. 162.

19. Нарисуйте треугольник, не имеющий ни одной оси симметрии; имеющий только одну ось симметрии. Нарисуйте эту ось.

20. Начертите отрезок. Имеет ли отрезок ось симметрии?

21. Начертите окружность. Отметьте ее центр. Проведите прямую линию через ее центр. Будет ли эта прямая линия осью симметрии окружности?

22. Ось симметрии делит фигуру на две равные части (на две доли). Сколько осей симметрии нужно провести, чтобы разделить круг на 4 доли; на 8 долей? Начертите круг, проведите в нем оси симметрии так, чтобы они разделили его на 4 доли. Закрасьте одну четвертую долю круга.

23. Вырезать из бумаги круг. Путем перегибания сложите круг вдвое, затем вчетверо и, наконец, еще раз. Разгладьте линии сгиба, расправьте круг. Являются линии сгиба осями симметрии? Сколько получилось осей симметрии? На сколько долей они разделили круг?

59. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ И ПЕРЕЧЕНЬ НАВЫКОВ, КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ УЧАЩИЕСЯ III КЛАССА.

В III классе совершенствуется и закрепляется словарь, усвоенный учащимися в предшествующие годы.

Расширение словаря происходит за счет изучения новых вопросов и прежде всего в связи с изучением вопроса о площади фигуры, построениями.

1. В связи с изучением измерений площадей усваиваются необходимые слова и выражения:

Эта фигура занимает большее место, чем... . Ее площадь больше. Единичный квадрат. Квадратный сантиметр. Квадратный дециметр. Квадратный метр. Сколько единичных квадратов содержит фигура (название). Сколько квадратных сантиметров (квадратных дециметров и т. п.) содержит фигура. Палетка.

Число квадратных сантиметров, размещающихся в один ряд по длине (основанию), по ширине (высоте)... совпадает с числом линейных сантиметров. Измерить площадь фигуры — значит найти число квадратных сантиметров (квадратных дециметров и т. п.), содержащихся в этой фигуре.

Вычислить площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах (квадратных дециметрах, квадратных метрах) равна произведению его длины на ширину в сантиметрах (дециметрах, метрах).

Единицы измерения площади, квадратные единицы. Меры площади.

2. В связи с проведением измерительных работ дети усваивают необходимые слова и выражения:

Рулетка, мерная лента (веревка), колышки, вехи, экер.

В III классе учащиеся должны:

1. Уметь определить радиус окружности (круга), если задан ее центр. Уметь разделить окружность точками на 2, 3, 4, 6, 8, 9 частей. Уметь разделить круг (радиусом) на 2, 3, 4, 6, 8, 9 равных частей.

2. Уметь вычислить площадь прямоугольника, квадрата и простых фигур, составленных из прямоугольников.

Уметь раздроблять и превращать квадратные меры.

3. Уметь читать и составлять столбчатые и линейные диаграммы. Уметь определять их масштаб.

4. Уметь пользоваться простейшими инструментами для измерений отрезков, для построения отрезков и прямоугольников.

5. Уметь разделить отрезок (круг, квадрат, прямоугольник) на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 равных частей и заштриховать заданное число частей. Уметь устанавливать равенство этих частей — фигур (наложением).

6. Уметь построить (на нелинованной бумаге) с помощью линейки и чертежного треугольника прямоугольник (квадрат) с заданными размерами.

60. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В III КЛАССЕ.

В III классе используются все средства, употребляемые в списке для II класса (стр. 122). К ним должен быть добавлен ряд пособий классного и индивидуального пользования.

А. Индивидуальные пособия.

5—6 листов миллиметровой бумаги для построения диаграмм.

Рис. 163

Б. Классные пособия.

1. Серия диапозитивов «Геометрический материал», часть II. Автор А. М. Пышкало. Производство завода «Физэлектроприбор», № 4. Москва. 1968.

2. Диафильм «Диаграммы». Автор А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм».

3. Диафильм1 «Прямоугольник, его периметр и площадь». Автор А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм». Москва.

4. Диафильм «Геометрические фигуры и их взаимное положение». Авторы К. И. Нешков, А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм». Москва.

5. Диафильм «К урокам математики в III классе». Автор А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм». Москва.

6. Диафильм «Доли величины. Дроби». Автор А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм». Москва. 1968.

7. «Таблицы по математике для 3 класса», «Просвещение», 1972.

8. Прибор (демонстрационный) для упражнений при изучении линейных диаграмм (рис. 163). Прибор представляет собой фанерную доску (3) размером 70X90 см. Поле доски покрыто квадратной сеткой, как у арифметической доски 5x5 см. В доске проделаны отверстия (1),

1 Диафильмы и диапозитивы могут быть приобретены в магазинах Главснабпроса (областном Учколлекторе).

сквозь которые продета тесьма (2). Тесьма раскрашивается так, чтобы одна ее часть (половина) была яркого цвета, а другая — цвета, которым окрашена доска. (Вместо окраски этой части тесьмы ее можно заменить, например, прозрачной полиэтиленовой полоской.)

Подготовленные таким образом кусочки тесьмы продеваются сквозь соответствующую пару отверстий и сшиваются. Образуется кольцо, которое можно непрерывно продергивать сквозь эту пару отверстий. По мере продергивания на внешней стороне доски появляется большая или меньшая часть ярко окрашенной тесьмы (в это время другая ее часть уходит за доску). На приборе можно очень быстро установить данные диаграмм, задать масштаб и упражняться в чтении и составлении линейных диаграмм.

9. Прибор демонстрационный для упражнений при изучении столбчатых диаграмм. Отличается от описанного выше тем, что у него вместо тонкой тесьмы в достаточно широкие (щелевидные) прорези продеты кольца из лент (шириной 5—10 см).

V. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРИМЕНЕНИЯ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИИ И ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В I—III КЛАССАХ.

61. КОМПЛЕКСНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УЧЕБНЫХ СРЕДСТВ.

Новое содержание курса математики начальной школы предполагает и новые приемы и методы обучения и влечет за собой значительное расширение арсенала учебных средств, с помощью которых осуществляется формирование геометрических представлений и понятий, выработка необходимых навыков.

В последнее время, кроме традиционных: арифметического ящика, серии таблиц, разверток прямоугольного параллелепипеда, моделей геометрических фигур, изготовляемых учителем или учащимися, чертежей на доске и в тетрадях — в обучении все больше применяются диафильмы, диапозитивы, кинофильмы, тетради на печатной основе, карточки-задания и другие дидактические материалы1. Все это вызвало к жизни проблему комплексного использования различных средств обучения. Очевидно, что в основе решения этой проблемы лежит реализация основных принципов дидактики и принципа наглядности обучения в особенности.

В ходе развития геометрических представлений у младших школьников должно быть рассмотрено максимальное разнообразие видов геометрических фигур, в результате обобщения и абстрагирования которых выделяются существенные признаки, характеристические свойства, лежащие в основе понятий. Поэтому следует стремиться привлекать на уроки самые различные учебные средства. Например, наряду с применением диафильмов, следует одновременно использовать таблицы (или чертежи на доске), модели. Это обеспечит и разно-

1 Например, дидактический материал для I класса М. И. Моро. М., «Просвещение», 1965, 1969, 1972.

образие деятельности учителя и учащихся в ходе обучения, даст возможность детям не только наблюдать иллюстрации тех или иных объектов, но и экспериментировать, вычерчивать, отвечать на вопросы, писать, т. е. существенно активизирует познавательную деятельность учащихся. В настоящей работе мы не имеем возможности подробно останавливаться на характеристике и методике применения всех видов учебного оборудования, но уделим внимание тем из них, которые менее известны учителю и еще недостаточно описаны в методической литературе. Такими учебными пособиями, на наш взгляд, являются экранные пособия (диафильмы, диапозитивы, кинофильмы). Следует отметить, что с каждым годом производство этих пособий заметно увеличивается.

62. УЧЕБНЫЕ ДИАПОЗИТИВЫ. ИХ СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕНЕНИЮ.

В 1966 году по заказу Министерства просвещения РСФСР впервые была выпущена серия диапозитивов «Геометрический материал в курсе математики начальной школы», часть I, в 1968 году выпущена II часть этой серии1. Эти диапозитивы предназначены для использования в I—III классах (I часть для I—II классов, II часть — для III классов), и с их помощью можно рассмотреть все основные вопросы курса. Всего они содержат около 100 цветных кадров размером 24x36 мм. Это дает возможность получить на экране большое, яркое и четкое изображение.

Проследим на примере более подробной характеристики I части серии диапозитивов за их содержанием, характером и приемами применения в обучении.

Предлагаемая вниманию учителя серия диапозитивов применяется в I—III классах. В ней обобщены современный опыт и методика изучения геометрических вопросов, методика формирования геометрических представлений, представлений о геометрических величинах и их измерениях.

1 Выпущены заводом «Физэлектроприбор», № 4. Москва, 1966— 1968 годы. Автор диапозитивов А. М. Пышкало. Редактор В. С. Рочко. Диапозитивы можно прибрести в Учколлекторах (областных магазинах Главснабпроса).

Диапозитивы не только помогают учителю экономить силы и время в ходе подготовки к урокам и при изложении нового материала, но и являются эффективным дидактическим пособием (в виде заданий, вопросов, задач), позволяющим организовать активное обучение на всех его этапах (проведение самостоятельных работ, опроса, контрольных работ и т. д.).

Отдельные кадры или группы кадров этой серии диапозитивов, отобранные учителем для урока, могут либо представлять собой основной материал, на котором строится весь урок (или его часть, если не весь урок отводится для изучения геометрического материала), либо играть вспомогательную роль. Тогда диапозитивы используют наряду с другими пособиями (таблицами, моделями, диафильмами и кинофильмами).

Значительно повышается дидактический эффект применения диапозитивов, если осуществлять их демонстрацию без затемнения класса (или при частичном затемнении близ экрана). Для демонстрации можно использовать диапроектор «Свет-3», установив его на расстоянии 1,5— 2 м от экрана (например, на столе учителя). При этом достигается достаточно крупное изображение изучаемого объекта и, главное, возможность одновременно с экраном использовать классную доску, ученическую тетрадь, чертежные инструменты, т. е. осуществлять разнообразные формы работы с учащимися.

Еще большие возможности открывает применение классной доски с светлым (лучше серо-зеленым) покрытием. Такая доска одновременно может служить и экраном. Проекция кадров непосредственно на классную доску расширяет дидактические возможности диапозитива. Это позволяет, например, прямо на изображении выполнять построения белым и цветным мелом (дополнительные построения, введение обозначений, числовых данных и т. д.).

Прежде чем использовать диапозитивы на уроках или при индивидуальной работе (например, с отстающими учащимися), учитель должен тщательно ознакомиться с их содержанием и методическими указаниями1. Это даст возможность отобрать нужные кадры, определить

1 К каждой серии диапозитивов прилагается брошюра, содержащая методические указания.

их место и роль в системе изложения учебного материала, избранной тем или иным учителем. Здесь не только возможны, но и необходимы варианты, связанные, например, со степенью подготовленности данного класса. Знакомство с содержанием каждого кадра позволит учителю соответствующим образом планировать не только те уроки, на которых будут использованы диапозитивы, но и предшествующие и последующие уроки, отобрать и подготовить необходимые пособия, инструменты и материалы.

Приводимый ниже текст к кадрам показывает характер работы с диапозитивами и может быть изменен в зависимости от того, в каком классе, на каком этапе обучения и с какой целью они применяются. Так, например, один и тот же кадр, рассматривающий многоугольники, может быть использован как иллюстрация при ознакомлении школьников с многоугольниками в I классе и в ходе тренировочной работы при формировании понятия «натуральное число» и знакомстве со счетом (подсчет числа вершин, сторон, углов). Этот же кадр может быть показан и при дальнейшем обучении в связи с ознакомлением учащихся с понятиями «острый», «прямой» и «тупой» углы (определении на глаз вида углов и т. д.), а затем и в процессе формирования понятия «периметр многоугольника» и т. д.

2.1. Точка. Прямая линия. Отрезок. При ознакомлении учащихся с геометрическими фигурами, точкой и линиями можно использовать ученические тетради (их разлиновку). Учитель рассказывает, что лист тетради покрыт прямыми линиями, которые образуют клетки (поэтому такую тетрадь называют «тетрадь в клетку»). Учащиеся должны уметь показывать пересекающиеся и непересекающиеся прямые линии, найти и отметить точку пересечения (например, на кадре красным цветом отмечены точка пересечения двух прямых линий, отступить от этой точки на несколько клеток вправо (влево, вверх, вниз) и отметить еще одну точку на этой же прямой (на кадре вторая точка отстоит от первой на три клетки вправо, а на вертикальной прямой — на четыре клетки вниз).

Представления о непересекающихся прямых формируются при рассмотрении листа «в линейку». Учащиеся

1 Указан номер кадра.

должны уметь показать непересекающиеся прямые, а также точку, лежащую на прямой и не лежащую на прямой. При этом следует употреблять выражения: «Прямая проходит через точку» и «Прямая не проходит через точку».

В нижней части кадра на одной прямой линии отмечены две точки. Часть прямой линии между этими двумя точками называют отрезком прямой линии или просто отрезком. Отмеченные точки называют концами отрезка.

3. Линии прямые и кривые. Замкнутые кривые. Учащиеся должны уметь чертить с помощью линейки прямые линии, отличать их от других линий. На кадре изображены прямые линии (1, 2 и 3), кривая линия (4), замкнутая кривая линия (5), отмечена точка пересечения

прямых линий 1 и 3. Учащиеся могут указать (приблизительно) положение точки пересечения прямых линий 3 и 2. Этот кадр целесообразно использовать после некоторой тренировки в вычерчивании линий.

4. Прямая линия. Отрезок прямой линии. Кадр может быть использован в процессе постепенного ознакомления школьников с прямой линией, отрезком, кривой линией, а также для проверки усвоения ими уже изученного материала.

Вопросы и задания учащимся:

а) Какие фигуры изображены здесь?

Учащиеся должны указать точки, отрезки, прямые, кривые линии. Можно напомнить им, что изображение прямой линии отличается от изображения отрезка тем, что у последнего отмечены конечные точки — концы.

б) Показать отрезок и его концы. Отметить еще одну точку на отрезке. Сколько точек можно отметить на отрезке?

в) Показать кривую линию. Отметить на ней точку, две точки.

г) Показать прямую линию и какую-нибудь точку на ней. Можно ли отметить еще одну точку на прямой? Отметить точку, через которую не проходит прямая линия.

Примечание. Отметить точку — значит показать указкой ее место на экране. Дети подводятся к выводу, что на линии и на отрезке можно отметить сколько угодно точек.

5. Точка. Прямая и кривая линии. Отрезок прямой линии. «На прямой отмечено три точки. Сколько отрезков при этом образовалось?» Для постановки и выяснения этого вопроса используется первая часть кадра. Учащиеся должны заметить не два, а три отрезка. Один отрезок имеет концами точки 1 и 3, второй — 1 и 2 и третий — точки 2 и 3 (концы отрезка—точки — пронумерованы).

Вторая часть кадра посвящена подведению итогов работы по формированию представлений о точке, линиях и отрезке. Учащиеся показывают (или называют по указанию учителя) точки, отрезки, прямые и кривые линии, замкнутые и незамкнутые кривые линии. В частности, интересно заметить, что фигура 6 состоит из двух отрезков, фигура 7 — из отрезков и кривых линий, фигура 8 — замкнутая кривая, содержит два отрезка и т. д.

6. Ломаная линия. Кадр может быть использован при первоначальном знакомстве учащихся с ломаной линией и при опросе. Дети должны уметь показать замкнутые и незамкнутые ломаные линии, каждый отрезок — звено ломаной, вершины ломаной. Обращается внимание на то, что фигура 4, хотя и составлена из двух отрезков, ломаной линией она не является, так как эти отрезки составляют вместе новый отрезок (лежат на одной и той же прямой линии).

7. Многоугольники. Кадр используется при ознакомлении учащихся с понятием многоугольника. Устанавливается, что фигуры 1 и 4 ограничены замкнутыми кри-

выми линиями (одну из этих фигур учащиеся, вероятно, назовут кругом). Границей же фигур 2 и 3 являются ломаные линии. Такие фигуры называются многоугольниками. Стороны (отрезки) ломаной линии называют сторонами многоугольника, концы отрезков вершины ломаной— вершинами многоугольника.

Учащиеся должны уметь показать каждую вершину, каждую сторону многоугольника, найти число вершин (сторон). Они устанавливают, что вершин у многоугольника столько же, сколько и сторон, и узнают, что многоугольник, у которого три вершины (стороны, угла), называют треугольником, а у которого, например, семь вершин, — семиугольником. Ознакомление с различными

многоугольниками может вестись постепенно, по мере того как дети знакомятся с числами. Элементы многоугольника могут использоваться и как дидактический материал (наряду со счетными палочками) в процессе ознакомления с числами.

8. Многоугольники. Кадр демонстрируется как иллюстрация при формировании первоначальных представлений учащихся об углах многоугольников. От треугольника «отрываются» углы. Одновременно с диапозитивами целесообразно показать «оторванные» углы на бумажной модели многоугольника.

Демонстрация углов на экране осуществляется с помощью указки. Указкой обводят обе стороны угла или один конец ее устанавливают в вершине угла. Сама же указка направляется по одной из сторон угла и медленно вращается к другой, «заметая» угол так, как это можно наблюдать при работе очистителя стекла автомобиля.

9. Многоугольники. Кадр может быть использован для обобщения представлений учащихся о многоугольнике и его элементах (вершинах, сторонах, углах) и для опроса, а в дальнейшем, например после ознакомления с прямым, острым и тупым углами, для закрепления этих понятий (определить на глаз углы многоугольника).

Подсчет числа вершин каждого многоугольника дает возможность не только определить его название, но и вести работу по развитию понятия «число».

10. Геометрические фигуры. Кадр демонстрируется при обобщении представлений об изученных фигурах

(точка, прямая, отрезок, кривая линия, ломаная линия, многоугольник). Этот же кадр может быть использован и для опроса учащихся, для проверки усвоения ими пройденного материала.

Примерные задания:

а) показать (назвать) многоугольники. Ученик показывает фигуры 4 и 6 и говорит: «Эта фигура (4) —треугольник, а эта (6) — пятиугольник». Попутно могут быть даны задания: показать стороны, углы, вершины и т. д.;

б) показать (назвать) замкнутую ломаную (кривую) и т. д.;

в) показать (назвать) прямые линии;

г) показать (назвать) отрезки. Кроме фигуры 7, ученик может указать отрезки — звенья ломаной (фигуры 2, 5), стороны многоугольников (фигуры 4, 6);

д) назвать фигуры, изображенные на кадре. Ученик должен определить (в любом порядке) вид фигуры. Некоторые учащиеся не будут делать отличия фигур 4 и 5 и назовут их треугольниками. В этом случае необходимо подчеркнуть, что треугольником (в нашем понимании) является фигура 4, а фигура 5 — замкнутая ломаная линия, состоящая из трех звеньев.

Примечание. Кадры 6, 7, 8, 9 и др. могут быть использованы и при работе по изображению учащимися фигур на клетчатой и гладкой бумаге. Например, можно предложить ученику нарисовать или вырезать из бумаги фигуру, похожую (или такую же) на фигуру 3 (кадр 7) и т. д.

11. Геометрические фигуры. Изучение геометрической формы предметов. Задача этого кадра — помочь формированию представлений учащихся о геометрической форме. Дети рассматривают фигуры, изображенные на кадре, и, пользуясь обозначениями (верхний ряд—номера, нижний ряд—буквы), составляют пары, обозначающие фигуры одной и той же формы. Например, 1-Е (отрезок), 8-Б( ломаная линия), 2-Д (круг), 3-3 (четырехугольник, прямоугольник), 5-В (четырехугольник) и т. д. Учащиеся отвлекаются от цвета фигуры.

12. Геометрические фигуры. Изучение геометрической формы. В этом кадре учащиеся сталкиваются с более сложным, чем в предыдущем, заданием. Здесь фигуры

отличаются не только цветом, но и размерами и различным положением на плоскости. Задание может быть сформулировано примерно так: указать (назвать) фигуры, имеющие одинаковую форму. Учащиеся составляют пары обозначений: А-3 (круги), Г-6 (треугольники), Б-4 (треугольники) и т. д.

Примечание. Кадры 11—12 могут быть использованы и в связи с изучением в дальнейшем углов и т. д.

13. Изучение геометрической формы (см. стр. 60, рис. 29). Учащиеся должны найти на рисунке предметы или их части, изображающие знакомые им геометрические фигуры. Например, они должны уметь определить форму кусочков стекла, вставленных в оконные рамы, форму стенки ящика, его крышки, крышки для бочки, форму клумбы и т. д. Ответ формулируется примерно так: «Крышка для бочки имеет форму круга», «Клумба имеет форму шестиугольника, внутри которого помещен круг» и т. д.

После этого учащиеся определяют геометрическую форму предметов и их частей, находящихся в классе, на улице, дома. Ученик показывает предмет, например учебник, и говорит: «Лист учебника имеет форму четырехугольника», или он говорит: «Волейбольная площадка имеет форму четырехугольника, прямоугольника», не имея перед глазами этой площадки, т. е. решая задачу в воображении.

14. Изображение фигур на клетчатой бумаге. Кадр может быть использован для иллюстрации возможных

построений (простейших) на клетчатой бумаге (начало этой работы показано на кадре 2).

Учитель рассказывает (дает задания):

а) Рисунок А. На пересечении двух прямых линий клетчатого листа бумаги отмечена точка 1. Для того чтобы построить (отметить) точку 2, нужно отступить от точки 1 на четыре клетки вправо и затем на три клетки вверх. Соедините по линейке точки 1 и 2, и вы получите отрезок, изображенный на рисунке.

б) Рисунок Б. Точка 1 — точка пересечения двух прямых линий клетчатого листа бумаги. Отступим на восемь клеток влево и отметим точку 2. От точки 2 отступим на три клетки вниз и затем на три клетки вправо. Отметим точку 3. Соединив по линейке точки 1 и 2, 2 и 3, получим ломаную линию (можно спросить: как называется эта фигура?).

в) Рисунок В. Приведем возможную формулировку задания (или объяснения). Отметим на пересечении двух прямых линий точку 1. Отступим от нее на шесть клеток вправо и на одну клетку вниз и отметим точку 2. От точки 2 отступим на четыре клетки вниз и на три клетки влево, отметим точку 3. Соединим по линейке точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1.

г) Рисунок Г. Отметим на пересечении двух прямых линий точку 1. Отступим от нее на три клетки вправо и отметим точку 2. От точки 2 отступим на четыре клетки вправо и на пять клеток вниз и отметим точку 3. Отступим от точки 3 на семь клеток влево и отметим точку 4.

Соединим последовательно (по порядку номеров) эти точки. Закрасим полученную фигуру цветным карандашом. Как она называется?

Кадр 14 можно показывать на разных этапах изучения фигур и с различными целями. Например, его можно использовать для проверки выполнения учащимися самостоятельной работы. (Под диктовку учителя учащиеся последовательно выполняют построение точек и т. д., и по окончании работы демонстрируется кадр. Дети проверяют свой чертеж, исправляют ошибки и т. п.)

15. Изображение фигур на клетчатой бумаге. Все, что было описано выше, относится и к этому кадру.

Примечание. Кадр можно показывать также и в связи с изучением углов многоугольника (определить на глаз прямой, тупой, острый углы), при ознакомлении учащихся с периметром многоугольника (начертить в тетради такой же многоугольник, найти его периметр).

16. Сравнение отрезков. Кадр иллюстрирует начальный этап формирования представлений о сравнении отрезков наложением. Учащиеся убеждаются, что части 1 и 3 рейки (отрезки, куски) совпали (концы реек совпали) Такие отрезки (куски рейки) принято называть равными. При наложении отрезков 2 и 3 одни концы их совпали, а другие нет, такие отрезки не равны, кусок 2 рейки больше куска 3.

Ставится вопрос: можно ли сравнить отрезки 4 и 5 при показанном способе наложения? Учащиеся должны уметь объяснить, что нужно сделать с кусками 4 и 5, для

того чтобы сравнить их (т. е. сказать равны или не равны они).

17. Сравнение отрезков. Учащиеся сравнивают (на глаз) отрезки и устанавливают, что отрезки 1 и 2 не равны, отрезок 2 равен отрезку 3, отрезок 4 больше отрезка 2 (1, 3, 5), отрезок 5 меньше отрезка 1 (2, 3, 4).

Ставится вопрос об определении наибольшего, наименьшего из данных отрезков и т. д.

18. Измерение отрезков. Кадр следует показывать после ознакомления школьников с сантиметром (построение отрезков заданной длины с помощью модели сантиметра, измерение отрезка с помощью одного сантиметра последовательным откладыванием).

Этот рисунок иллюстрирует приемы использования масштабной линейки при измерении отрезков. Важно обратить внимание школьников на необходимость точной установки нулевой отметки (она не всегда совпадает с краем линейки — обрезом) около одного из концов отрезка (рис. А, Б, В). Надо рассмотреть случай, когда длина отрезка может быть определена при произвольной установке линейки (рис В), а также когда учащиеся, еще не знакомые с миллиметром, при измерении получают число, например, большее 4, но меньшее 5 см. Дети должны усвоить эту терминологию (На рисунке Г изображен отрезок, длина которого больше 4 сантиметров, но меньше 5 см).

19. Прямой угол. Кадр иллюстрирует беседу, предваряющую изготовление учащимися модели прямого угла. На рисунке поэтапно показано изготовление этой модели:

а) каждый ученик получает листок бумаги неопределенной формы (непрямоугольной);

б) перегибаем его вдвое, расправляем линию сгиба;

в) расправляем листок. Он разделен прямой линией на две части;

г) перегибаем листок снова, вначале вдвое, а затем вчетверо. Следим, чтобы при этом совпали прямолинейные края;

д) расправляем листок. Он разделен прямыми линиями на четыре угла, каждый из которых называют прямым;

е) разрежем (разорвем) листок по линиям сгиба. Сравним полученные углы. Наложим один угол на другой так, чтобы у них совпали вершины и стороны. Если они совпадут, то такие углы называют равными. Учитель может собрать у нескольких учащихся по одному из полученных углов. Сравнивает их наложением. Дети видят, что все полученные углы (прямые) равны между собой.

ж) один из этих прямых углов учащиеся сравнивают с углами чертежного угольника и убеждаются, что и у чертежного угольника один угол прямой. Прямой угол сравнивают с другими углами, например с углами многоугольника, и выясняют, какие из этих углов прямые, а какие не прямые (это можно делать еще до введения понятий «острый» и «тупой» углы).

20. Сравнение углов. Угол 1 наложен на угол 2 так, что у них совпали вершины и одна из сторон. Если при этом совпадут и две другие стороны, то углы будут равны. Здесь этого не произошло. Поэтому угол 1 не равен углу 2, а меньше его, так как составляет часть второго угла.

Кадр используется в качестве иллюстрации к беседе учителя. Одновременно (или несколько ранее) нужно продемонстрировать сравнение углов наложением на бумажных моделях (рассмотреть случай равенства и неравенства).

21. Сравнение углов. Малка (шарнирный угол)—угол с подвижными сторонами, с помощью которого можно сравнивать углы. Его можно сделать из двух тонких реек или полосок плотного картона, скрепив их гвоздиком. Чем больше мы сближаем стороны, тем меньший угол получаем.

Установим малку так, чтобы ее угол был равен углу 2. При наложении малки на угол 3 видим, что угол 2 меньше угла 3.

Этот кадр используется для иллюстрации беседы учителя и дополняет непосредственный показ сравнения углов с помощью малки.

22. Сравнение углов. Острый и тупой углы. Кадр иллюстрирует понятия «острый» и «тупой» углы. Учитель напоминает, что один из углов чертежного треугольника прямой. С этим углом сравниваются углы 1, 2, 3 и 4. Угол меньше прямого называют острым углом (углы 1 и 3), угол больше прямого — тупым углом (углы 2 и 4). Затем с помощью чертежного угольника (и на глаз) определяют прямые, тупые и острые углы многоугольников.

23. Построение многоугольников, имеющих прямые углы (на клетчатой бумаге). После того как учащиеся научились определять прямые углы многоугольников, можно переходить к построению многоугольников, имеющих прямые углы. Кадр предназначен для использования в двух основных случаях:

а) для иллюстрации объяснений учителя, касающихся построения многоугольников, содержащих только по одному прямому углу. Дети подмечают (при участии учителя), что две пересекающиеся прямые линии клетчатого листа образуют прямой угол (четыре прямых угла), и проверяют это с помощью чертежного треугольника. Затем учитель объясняет, например, порядок построения треугольника, имеющего один прямой угол (рис. А), после чего учащиеся самостоятельно выполняют построение такого многоугольника;

б) для контроля выполненной учащимися самостоятельной работы по построению треугольника (или четы-

рехугольника), один из углов которого прямой, задание может быть сформулировано так, как в тексте к кадру.

24. Построение многоугольников, имеющих прямые углы (на клетчатой бумаге). Методика использования этого кадра аналогична описанной в тексте к кадру 23. Отличие — в содержании заданий. Учащиеся должны убедиться в том, что можно построить четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д., имеющие два прямых угла. Следует поставить задачу: построить треугольник, имеющий два прямых угла. Учащиеся приходят к выводу, что этого сделать нельзя.

25. Построение многоугольника, имеющего прямые углы (на клетчатой бумаге). Методика использования кадра та же. Отличие—в содержании задачи. Здесь на-

до построить многоугольник, у которого три угла прямые. Учащиеся еще не знают, сколько сторон будет иметь такой многоугольник. Построение убеждает их в том, что таким многоугольником может быть четырехугольник. Более того, у этого четырехугольника и четвертый угол также прямой. Формулируется определение: «Четырехугольник, у которого все углы прямые, называют прямоугольником».

26. Построение многоугольников, имеющих прямые углы (на клетчатой бумаге). Методика использования кадра та же. Здесь продолжается выяснение характерных свойств прямоугольника. Главная задача, поставленная перед учащимися, — установить тот факт, что, кроме четырехугольника, никакой другой многоугольник не может иметь все углы прямые. Учащиеся могут попытаться (на клетчатой бумаге) построить пятиугольник, у которого все углы прямые. Это не получается.

Примечание. В кадрах 23—26 раскрыто содержание только некоторой части работы по построению многоугольников, в частности прямоугольников. После построения многоугольников с произвольными сторонами необходимо постепенно подойти к построению, например, прямоугольных треугольников (термин «прямоугольный» можно и не сообщать учащимся) и прямоугольников с заданными (в сантиметрах) сторонами, образующими или составляющими прямой угол. Этой работе должны предшествовать упражнения учащихся по измерению сторон многоугольников (в том числе и прямоугольников).

27. Прямоугольник. Кадр предназначен (в основном) для выяснения степени усвоения учащимися понятия «многоугольник». Можно поставить вопрос: какой из многоугольников, изображенных на кадре, является прямоугольником? Каждая фигура анализируется в соответствии с определением понятия «прямоугольник»:

а) прямоугольник — четырехугольник;

б) у прямоугольника все углы прямые.

Примерные ответы учащихся:

Фигура А не прямоугольник потому, что не является четырехугольником (или потому, что не все углы этой фигуры прямые).

Фигура Б не прямоугольник по тем же причинам.

Фигура В — прямоугольник, так как она четырехугольник, у которого все углы прямые.

Фигура Г — не прямоугольник, потому что у этого четырехугольника углы не являются прямыми.

Фигура Д — не прямоугольник, так как она не четырехугольник и не многоугольник, ибо ее границей не является ломаная линия.

28. Прямоугольник. Свойство сторон. В своей предшествующей работе дети уже познакомились с термином «противоположные стороны» и в процессе построения прямоугольника (например, по клеточкам тетради) они подметили равенство противоположных его сторон. Кадр предназначен для иллюстрации беседы, в ходе которой учащимся будет дана окончательная формулировка свойства сторон прямоугольника.

29. Прямоугольник. Основание и высота прямоугольника. До сих пор мы не давали специальных названий сторонам прямоугольника. (Возможно, что дети еще из дошкольной практики знакомы с терминами «длина» и «ширина» прямоугольника.) Нам представляется нецелесообразным закреплять эти термины в учебном обиходе школьников. В процессе дальнейшего изучения курса будут употребляться слова «основание» и «высота». Кроме того, употребление слова «длина» для обозначения стороны прямоугольника создает известные трудности в понимании таких выражений, как «длина забора», «длина отрезка» и т. п. Поэтому вначале мы объясняем учащимся, что длина прямоугольного куска ткани может

быть больше ширины, равна ширине и меньше ширины. Затем заменяем термины. Вводим термин основание прямоугольника (одна из сторон прямоугольника) и высота прямоугольника — сторона, имеющая с основанием общую вершину (не противоположная сторона). Здесь же можно впервые разъяснить термин квадрат — прямоугольник, у которого основание и высота равны или у которого равны все стороны.

30. Прямоугольник. Квадрат. С помощью этого кадра уточняются и закрепляются понятия «основание», «высота», «квадрат».

Примерные вопросы: какой из прямоугольников является квадратом? Назовите основание и высоту каждого прямоугольника и т. д.

31. Квадрат. Кадр предназначен для закрепления понятия «квадрат». Может быть использован, в частности, в связи с проведением самостоятельной работы или опроса.

Примерные вопросы: какие из многоугольников, изображенных на кадре, являются квадратами. Объясните, почему многоугольник Б (четырехугольник, у которого все стороны равны), не является квадратом. Почему не является квадратом многоугольник В и т. д.

32. Выпрямление ломаной линии. Кадр помогает формированию представлений учащихся о длине ломаной линии. Длина ломаной линии равна сумме длин отрезков, составляющих эту ломаную линию. Пользуясь

клетчатой бумагой (две клетки — 1 см), учащиеся определяют длину каждой ломаной линии в сантиметрах. Затем ломаные линии сравниваются (попарно) между собой (1 и 2, 4 и 5, 3 и 4 и т. д.).

Можно предложить учащимся построить (начертить) отрезок, длина которого равна длине ломаной (выпрямление ломаной). Эти упражнения целесообразно связать с изучением понятия «расстояние между двумя точками».

33. Выпрямление ломаной линии. Расстояние между двумя точками. Упражнение № 1. От одной точки к другой можно двигаться различными путями. Например, если двигаться только по линиям клетчатого листа,

то путь по зеленой ломаной AM будет равен 13 см. Надо предложить учащимся найти расстояние между точками А и M по синей ломаной и по красной ломаной. Они должны найти наиболее короткий путь по различным ломаным линиям (в данном случае красная ломаная). Таким путем будет путь по прямой, проходящей через две точки. Предлагается проверить это измерением.

(Учащиеся строят в тетрадях точки А и М, как на кадре.)

Упражнение №2 может быть сформулировано так. Точка Д — мой дом, точка Е — наша школа. Стороны клеток — улицы. Из школы домой (и наоборот) можно идти только по улицам, проходя каждую один раз. Вопросы: какой из отмеченных путей самый длинный, самый короткий? Найти кратчайший путь и т. д.

Упражнение № 3. Учащиеся строят такие же, как на кадре, точки у себя в тетрадях и цветными карандашами вычерчивают самые короткие ломаные, соединяющие каждую пару точек (длину выражают в сантиметрах).

34. Периметр многоугольника. Периметром многоугольника называют длину его границы, т. е. длину ломаной линии. В кадре поставлены три задачи по определению периметра. Они могут быть предложены как при ознакомлении учащихся с изучаемым понятием, так и для самостоятельной работы (если данный материал был изложен).

В задаче № 2 обращается внимание на то, что может быть составлена формула, упрощающая вычисление периметра (вместо 5 + 8 + 5-4-8 можно записать (5 + 8)-2).

35. Подсчет клеток (квадратов), из которых составляется фигура. В упражнениях 1, 2 и 3 учащимся предлагается сосчитать число равных квадратов, из которых составлена каждая фигура. Несколько позже можно поставить вопрос о вычислении периметра каждой из этих фигур (допустим, что каждый квадрат имеет сторону в 1 см).

Задания 4, 5 и 6 излагаются примерно в такой форме: из облицованной кафелем стены выпало несколько плиток. Сколько плиток (какого цвета) нужно для ремонта?

36. Подсчет числа клеток, из которых составлена фигура. При подсчете клеток учащиеся подмечают некоторые закономерности и применяют формулы, упрощающие подсчет. Например, фигура 1 составлена из 5 полос, по 3 клетки в каждой. Значит, всего фигура содержит 3X5=15 клеток. Фигура 2 как бы сложена из трех одинаковых частей, каждая из которых содержит по 5 клеток. Поэтому вся фигура состоит из 5X3=15 клеток.

Фигура 3 содержит 4-9 = 36 клеток (квадратов). Для подсчета числа равных квадратов, из которых сложена фигура 4, учащиеся должны заметить, что если выступающие в нижнем левом углу фигуры 5 клеток перенести в вырез правого верхнего угла фигуры, то получится прямоугольник (квадрат), содержащий 5 столбцов, по 5 клеток в каждом. Поэтому фигура 4 состоит из 5x5 = 25 клеток (квадратов). Если сторону каждого квадрата принять, например, равной 1м (1 см или 1 дм), то можно поставить задачу: найти периметр каждой фигуры.

37. Подсчет числа клеток, из которых составлена фигура. Учащиеся находят простейшие формулы для подсчета числа клеток. Фигура 1—4«2, или 2-4. Фигура 2— 4-6, или 6-4. Фигура 3 — можно подсчитать, например, число больших квадратов (по 4 клеточки в каждом) и умножить это число на 4 (4-3) -4.

При подсчете числа клеток, составляющих фигуру 6, можно заметить, что если «отрезать» квадрат из четырех клеток в верхнем левом углу фигуры и поместить его в «вырез» нижнего правого угла, то получится квадрат,

содержащий 6 столбцов клеток, по 6 в каждом, т. е. 6-6 = 36.

Найти число клеток, содержащихся в фигуре 7, можно несколькими способами: 1-й способ: (8-5)+ (4-4); 2-й способ: (9-4)+ (5-4); 3-й способ: (9-8) —(4-4).

Учащиеся замечают, что фигура представляет собой прямоугольник «девять на восемь», из которого удален квадрат «четыре на четыре» (клетки).

Фигуры могут быть использованы также и для вычисления периметра (в сантиметрах).

38. Нахождение числа клеток, составляющих фигуру. Кадр предназначен для опроса учащихся и для проведения самостоятельных работ.

Примерные задания:

а) найти число квадратов, составляющих фигуру АОЕМ, фигуру КМЕОСД;

б) прямоугольник разделен на квадраты со стороной в \ см (I дм или 1 м). Найти периметр фигуры АСТМ (каждый ученик может получить самостоятельное задание) .

39. Разностное и кратное сравнение отрезков (рис.39). Надо установить, что отрезок АО меньше (короче) отрезка ME на 2 см, или что отрезок ME больше (длиннее) отрезка АО на 2 см. Предлагается найти (по клеткам) длину каждого из остальных отрезков.

С помощью отрезков 1—5 выясняется также смысл выражения: «Отрезок 1 в десять раз длиннее (больше) отрезка 2», «Отрезок 3 в два раза короче (меньше) отрезка 4» и т. д. Несколько позже отрезки 1—5 можно использовать в качестве основной иллюстрации при изучении «линейных диаграмм». Например, пусть одна клеточка соответствует весу в два килограмма. Тогда отрезок 1 будет изображать вес в 40 килограммов, отрезок 2 — четыре килограмма и т. д.

40. Окружность и круг (рис. 40). Учащиеся знакомятся с терминами: «центр окружности» — точка, «радиус окружности» — отрезок, «окружность» — замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Окружность — граница круга (круг не есть линия!).

При вычерчивании окружности циркулем радиус окружности — расстояние между концом иглы циркуля

и концом карандаша (расстояние между двумя точками) — может быть измерен по линейке.

41. Деление круга и окружности на части. Учащиеся устанавливают, что отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, делит окружность и круг на две равные части (рис. 1), а отрезок, не проходящий через центр, делит окружность и круг на две неравные части (рис. 2).

На рисунке 3 окружность и круг разделены на четыре равные части. Упражнения 5, 6 и 7 посвящены делению на равные и неравные части других фигур. Равные части называют долями. Сказать: «На сколько долей разделена фигура», все равно, что сказать: «На сколько равных

частей разделена фигура». Под равными фигурами (частями фигур) понимаются те, которые совпадают при наложении. Это необходимо проверить на практике с помощью вырезанных из бумаги фигур. Полезно выполнить деление круга на доли путем перегибания.

42—43. Доли единицы. Их обозначение. Кадры иллюстрируют представления о долях величины (равных частях фигур. Могут быть использованы и при опросе учащихся и для проведения самостоятельных работ.

Примерные задания:

Написать (назвать), какая часть (сколько долей) фигуры А—4 заштрихована красным (синим). Фигура А—4 находится в ряду А в столбце под номером 4.

44. Деление данной фигуры на части. Примерные вопросы: «На сколько частей отрезок КМ разделил треугольник AMT (рис. 1)?» (На два треугольника АМК и КМТ.) «Сколько треугольников видно на рисунке?» (Три: треугольники AMT, АМК и КМТ.) «На сколько и каких фигур отрезки АЕ и МК разделили четырехугольник АМТК (рис. 5)?» (На четыре многоугольника: треугольники АОМ, МОЕ, АОК и четырехугольник КОЕТ.) «Сколько многоугольников изображено на рисунке 5?» (Четырехугольники АМТК, КОЕТ, треугольники АОМ, АМК, АОК, АКМ, МОЕ, АМЕ, КМТ, пятиугольники КАМЕО, КАОМТ, КОАМТ, шестиугольник АМОЕТК.)

45. Виды треугольников. Кадр предназначен для определения (на глаз) вида треугольника как по углам, так и по сторонам:

треугольники 1, 4, 6, 8 равнобедренные;

треугольники 2, 3, 5, 7 разносторонние;

треугольники 1, 5, 6 остроугольные;

треугольники 2, 4 прямоугольные;

треугольники 3, 7, 8 тупоугольные.

Кадр может быть использован при объяснении и при закреплении темы, а также при опросе учащихся.

46. Составление фигур из данных частей. Учащимся предлагается разрезать квадрат на части, как это указано на рисунке. Сложить из всех частей квадрата каждую из фигур.

63. УЧЕБНЫЕ ДИАФИЛЬМЫ. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИХ СОДЕРЖАНИЯ И ОСОБЕННОСТЕЙ МЕТОДИКИ ПРИМЕНЕНИЯ.

В отличие от диапозитивов, каждый кадр которых может быть использован в любом порядке и с различными комментариями (кадр диапозитива не содержит объяснительного текста), диафильм обладает существенными особенностями. Главными из них следует считать: 1) наличие объяснительных надписей в каждом кадре1;

1 Это позволяет, в частности, использовать диафильмы для самостоятельной работы с отдельными учащимися.

2) расположение этих кадров на ленте в определенной последовательности, предусмотренной автором.

По заказу Министерства просвещения РСФСР для I—III классов школы студией «Диафильм», Москва, выпущены следующие диафильмы:

1. «Изучай форму предметов». I часть, черно-белый. Автор А. М. Пышкало. Диафильм может быть использован во внеклассной работе с учащимися третьих классов1.

2. «Геометрические фигуры и их взаимное положение». I часть. Цветной. Авторы К. И. Нешков и А. М. Пышкало. Может быть использован в классной и внеклассной работе с учащимися II—III классов2.

3. «Прямоугольник, его периметр и площадь». I часть. Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диафильм предназначен для использования в III классе в связи с изучением темы «Площадь прямоугольника».

4. «К урокам математики в I классе (геометрический материал)». I часть. Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диафильм рассматривает основной геометрический материал, вошедший в урок математики по проекту программы. Для удобства диафильм разделен на фрагменты:

I фрагмент. «Точка, линия, отрезок» (9 кадров).

II фрагмент. «Многоугольник. Вершина и стороны многоугольника» (4 кадра).

III фрагмент. «Сравнение отрезков» (4 кадра).

IV фрагмент. «Измерение отрезка. Сантиметр» (4 кадра).

V фрагмент. «Прямой угол. Прямоугольник» (7 кадров).

Последний кадр диафильма предназначен для учителя и содержит краткие методические указания о применении диафильма.

Рассматриваемый диафильм применяется отдельными фрагментами (или кадрами) на протяжении всего учебного года по мере изучения соответствующих разделов программы. По усмотрению учителя фрагменты и отдельные кадры диафильма могут быть применены в ходе ознакомления первоклассников с новым материа-

1 О содержании и методике его использования смотри в журнале «Начальная школа», 1965, № 2, стр. 20.

2 Подробнее смотри журнал «Начальная школа», 1966, № 3, стр. 25.

лом, для закрепления и повторения пройденного материала или, наконец, для опроса учащихся и проведения контрольных работ. Опыт показал, что одновременный просмотр всего диафильма (например, для повторения всего курса) в методическом отношении не оправдан.

Полезно сочетать диафильм с использованием других учебных пособий (чертежи на доске, таблицы). В частности, это особо необходимо, когда по техническим причинам (отсутствие мощного проектора, а поэтому необходимость в полном затемнении класса) невозможно использование классной доски и тетрадей учащихся по ходу демонстрации диафильма. В этом случае объяснения кадра диафильма продолжаются (уже в незатемненном классе) на соответственно подобранной модели, таблице или рисунке (на классной доске) и связываются с выполнением учащимися практических заданий и решением задач.

Приведенные выше замечания в равной мере относятся и к другим диафильмам по математике.

5. «К урокам математики во II классе (геометрический материал)». Цветной. Автор А. М. Пышкало. Как и выше рассмотренный, этот диафильм составлен в точном соответствии с новой программой. Он имеет фрагментарную структуру, соответствующую основным разделам курса математики, содержащим геометрический материал.

6. «Диаграммы». I часть. Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диафильм может быть частично использован во II классе (в ходе первоначального ознакомления детей с диаграммами). В основном же он предназначен для применения в III классе. В нем подробно рассматриваются разнообразные задачи, решение которых обеспечивает навыки построения и чтения столбчатых, линейных и секторных диаграмм.

7. «Доли величины. Дроби». I часть. Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диафильм может быть частично применен во II—III классах в ходе формирования первоначальных представлений детей о долях величины. Формирование этих представлений в диафильме основано на показе деления фигур на равные части.

I фрагмент «Сравнение частей величин» предназначен для уточнения представлений учащихся о возможности деления величины (в частности, геометрических фи-

гур) на части, рассматривается сравнение частей (фигур). Долями называют равные части.

II фрагмент «Одна доля величины» рассматривает получение одной доли величины в результате деления различных фигур (отрезков, прямоугольников, кругов) на заданное число равных частей (фигур).

В III фрагменте «Дробь величины» учащиеся рассматривают различные возможности получения несколько долей величин — дробь величины.

I—III фрагменты могут быть полностью использованы во II—III классах в связи с изучением «долей единицы со знаменателем до 10», что соответствует требованиям новой программы.

IV фрагмент «Изображение дробей точками луча. Сравнение дробей» рассматривает возможность изображения дробей точками луча, что используется для иллюстрации сравнения дробей. Для сравнения дробей применяется изображение их и частями равных кругов.

8. «К урокам математики в III классе—геометрический материал». Цветной. Автор А. М. Пышкало. Содержит отдельные фрагменты, соответствующие программе и учебнику.

I фрагмент «Повторение пройденного». II фрагмент «Круг и окружность» посвящен отношениям системы геометрических представлений, полученных в I—II классах.

III фрагмент «Общие представления о площади фигуры».

IV фрагмент «Квадратный сантиметр. Площадь фигуры в квадратных сантиметрах», используемый отдельными кадрами при изучении соответствующих вопросов в ходе их объяснения на уроке. V фрагмент «Диаграмма». VI фрагмент «Геометрические фигуры и дроби».

Диафильмы, как и диапозитивы, могут быть приобретены в личное пользование каждым учителем (или школой) в Учколлекторе (областном магазине Главснабпроса).

ЛИТЕРАТУРА

Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. I и II. М. Учпедгиз, 1948, 1951.

Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия. М., «Просвещение», Ш66.

Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., ГИТТЛ, 1956.

Гильберт Д. Основания геометрии. М., Гостехиздат, 1948.

Данилов М. А., Есипов Б. П. Дидактика. М., Изд-во АПН РСФСР.

Колмогоров А. Н. Статьи в журнале «Математика в школе», 1966—1968.

Маркушевич А. И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. «Математика в школе», 1962, № 2.

«Математика. Ее содержание, метод и значение». М., Изд-во АН СССР, 1953.

Макарычев Ю. Н., Нешков К. Н. Математика в начальных классах, ч. II, под ред. проф. А. И. Маркушевича. М., «Педагогика», 1970.

Макарычев Ю. Н., Нешков К. И., Пышкало А. М. Математика в начальных классах, ч. Ill, под ред. проф. А. И. Маркушевича. М., «Педагогика», 1071.

Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., «Просвещение», 1965.

Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика. I класс. М., «Просвещение», 1972.

Моро М. И., Бантова М. А. Математика. 2 класс. М., «Просвещение», 1972.

Неванлинна Р. Пространство, время, относительность. М., «Мир», 1966.

Нешков К. И., Пышкало А. М. Математика в начальных классах, ч. I, под ред. проф. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1968.

«Основы методики начального обучения математике», под ред. Пчелко А. С. М., «Просвещение», 1965.

Пчелко А. С. Методика преподавания арифметики в начальных классах. М., Учпедгиз, 1953.

Пчелко А. С, Бантова М. А., Моро М. И., Пышкало А. М. Математика. 3 класс. М., «Просвещение», 1972.

Пышкало А. М. Геометрия в I—IV классах. М., «Просвещение», 1965, 1968.

«Энциклопедия элементарной математики», кн. IV (геометрия), под ред. В. Г. Болтянского, И. М. Яглома. М., Изд-во физико-математической литературы, 1963.

СОДЕРЖАНИЕ

От автора ............. ........ 3

I. Общие вопросы содержания и методики изучения геометрического материала в курсе математики начальных классов

1. Геометрия как естественная наука. Ее содержание и методы 5

2. Основные понятия геометрии. Основные понятия школьного курса геометрии.................7

3. Понятие геометрической фигуры...........в

4. Операции над фигурами..............11

5. Круг геометрических понятий, изучаемых в IV—VI классах 12

6. Изучение геометрии и развитие учащихся...... 19

7. Критерии отбора геометрического материала для начального курса математики I—III классов...........22

8. Основные положения, определяющие методику изучения геометрического материала в начальных классах.....28

9. О геометрических задачах в начальном курсе математики . 38

10. Особенности урока математики...........41

11. Методические рекомендации по изучению геометрического материала в I классе

11. Обобщение первоначальных представлений о величине предметов, об отношениях их взаимного положения в пространстве.....................47

12. Геометрия листа бумаги. Усвоение основных геометрических образов и терминов................50

13. Точка. Линия. Линии прямые и кривые, замкнутые и незамкнутые .....................51

14. Прямая линия. Отрезок прямой линии. Ломаная линия . . 52

15. Многоугольники.................57

16. Многоугольники и числа.............58

17. Сравнение отрезков...............59

18. Измерение отрезков. Сантиметр...........61

19. Числа и отрезки. Иллюстрация сложения и вычитания с помощью масштабной линейки............66

20. Измерение отрезков. Дециметр...........68

21. Двузначные числа и использование их при введении измерения отрезков..................69

22. Угол многоугольника ..............70

23. Прямой угол. Получение прямого угла перегибанием бумаги ....................72

24. Сравнение углов................74

25. Многоугольники, содержащие прямые углы. Прямоугольник. Квадрат....................75

26. Построение фигур на гладкой и клетчатой бумаге. Моделирование фигур..................79

27. Примерный словарь (запас слов и выражений) и перечень навыков, которыми должны овладеть учащиеся I класса . 80

28. Список учебных пособий, используемых в связи с изучением геометрического материала в I классе.........82

III. Методические рекомендации по изучению геометрического материала во И классе.

29. Деление фигур на части. Составление новой фигуры из нескольких фигур................84

30. Обозначение геометрических фигур буквами ...... 89

31. Деление фигуры на равные части. Составление фигур из нескольких равных фигур..............92

32. Использование геометрических фигур при изучении таблицы умножения и составлении арифметических выражений . . 96

33. Использование циркуля для сравнения отрезков и их измерения .... ................100

34. Обобщение свойств прямоугольника. Основание и высота прямоугольника. Квадрат.............102

35. Длина ломаной. Периметр многоугольника......105

36. Расстояние между двумя точками..........108

37. Изображение чисел отрезками...........109

38. Окружность и круг. Циркуль...........1ll

39. Доли единицы. Изображение долей геометрическими фигурами ......................113

40. Дальнейшее расширение представлений об углах.....116

41. Классификация треугольников............117

42. Примерный словарь и перечень навыков, которыми должны овладеть учащиеся II класса............118

43. Список учебных пособий, используемых в связи с изучением геометрического материала во II классе........122

IV. Методические рекомендации по изучению геометрического материала в III классе.

44. Краткая характеристика системы изучения темы «Площадь прямоугольника».................124

45. Формирование общих представлений о площади фигуры . 126

46. Единичный квадрат. Площадь фигуры в квадратных сантиметрах .....................131

47. Нахождение площади фигуры с помощью палетки . . .134

48. Составление многоугольников из квадратных сантиметров. Нахождение периметра этих фигур..........136

49. Правило вычисления площади прямоугольника.....137

50. Квадратный дециметр. Вычисление площади в квадратных дециметрах. Соотношение между квадратным дециметром и квадратным сантиметром.............141

51. Квадратный метр. Площадь фигуры в квадратных метрах. Соотношение между квадратным метром и другими единицами площади..................142

52. Задачи, обратные задаче вычисления площади прямоугольника .....................144

53. Провешивание прямых. Измерение и построение отрезков на местности..................145

54. Построение прямого угла и прямоугольника на местности . 147

55. Геометрическая иллюстрация дробей.........149

56. Диаграммы и простейшие графики..........152

57. Примеры зависимости между величинами. Зависимость между площадью и длиной сторон прямоугольника . . 158

58. Первоначальное представление об осевой симметрии . . 159

59. Примерный словарь и перечень навыков, которыми должны овладеть учащиеся III класса............164

60. Список учебных пособий, используемых в связи с изучением геометрического материала в III классе......165

V. Некоторые вопросы методики применения наглядных пособий и технических средств обучения в процессе изучения геометрического материала в I—III классах

61. Комплексное использование учебных средств......168

62. Учебные диапозитивы. Их содержание и методические рекомендации по применению.............169

63. Учебные диафильмы Краткая характеристика их содержания и особенностей методики применения ....... 201

Литература ...................205

Анатолий Михайлович Пышкало

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Редактор Л. А. Сидорова Переплет М. Ф. Вольшевского Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор В. Ф. Коскина Корректор Р. Б. Штутман

Сдано в набор 21/1V 1972 г. Подписано к печати 22/V 1973 Г* 81Xl08",o. Бумага тип. № 2. Печ. л. 6,5. Услов. л. 10,92. Уч-изд. л. 10.67. Тираж 150 000 Заказ 1821

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Типография № 2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8. Цена без переплета 29 к., переплет 13 к.