Проблемы современного математического образования : материалы Рос.-Амер. симпозиума, 18—20 ноября 2016 г. / М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. пед. гос. ун-т ; [под ред. А. П. Карпа и С. А. Поликарпова]. — М. : МПГУ, 2017. — 148 с. — Библиогр. в конце статей.

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МАТЕРИАЛЫ РОССИЙСКО-АМЕРИКАНСКОГО СИМПОЗИУМА

18-20 ноября 2016 г.

Teachers College, Columbia University

Москва 2017

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский педагогический государственный университет»

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Материалы Российско-Американского симпозиума 18-20 ноября 2016 г.

МПГУ

Москва 2017

УДК 51:378(063) ББК 22.1:74.58я431 П781

Supported by the United States Department of State

This publication was funded by a grant from the United States Department of State. The opinions, findings and conclusions stated herein are those of the authors and do not necessarily reflect those of the United States Department of State

Supported by the Eurasia Foundation

This publication is made possible by the support of Eurasia Foundation. The contents are the responsibility of the authors and do not necessarily reflect the views of Eurasia Foundation

Под редакцией А. П. Карпа и С. А. Поликарпова

Проблемы современного математического образования :

П781 Материалы Российско-Американского симпозиума 18-20 ноября 2016 г. / Под ред. А. П. Карпа и С. А. Поликарпова - Москва : МПГУ, 2017.-148 с.

ISBN 978-5-4263-0453-6

Сборник содержит материалы прошедшего в ноябре 2016 года российско-американского симпозиума, посвященного современным проблемам математического образования. Включены статьи российских и американских участников симпозиума. Эти материалы также изданы в США на английском языке.

УДК 51:378(063) ББК 22.1:74.58я431

ISBN 978-5-4263-0453-6

© МПГУ, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

А. П. Карп

Размышляя о проблемах математического образования............5

Николас Н. Вассерман

Вопрос о нешкольной математике: как готовить учителей математики?.............................19

Сол Гарфанкел

Добиваясь культурных перемен................................39

В.Н. Дубровский, В.А. Булычёв

«Математический конструктор» и математический практикум ... .50

И. С. Овсянникова

Использование технологий в математическом образовании........68

С.А. Поликарпов

Математическое образование в России. Новые принципы подготовки учителей математики..............74

А.Л. Семёнов

О реализации концепции математического образования..................................93

В.З. Шарич

Цели и задачи современных математических олимпиад: наука, спорт, поступление или престиж?.........................99

Д.Э. Шноль

Исследовательские задачи по математике в российской школе ... .113

Эрика Н. Уолкер

Политические, социологические и культурологические аспекты математического образования в Соединенных Штатах Америки..............................133

Сведения об участниках......................................146

Вниманию читателей предлагается сборник статей, написанных участниками Российско-Американского симпозиума «Проблемы современного математического образования», прошедшего 18-20 ноября 2016 года в Нью-Иорке. Симпозиум был организован при поддержке гранта Eurasia Foundation, данного Московскому педагогическому государственному университету и Teachers College, Columbia University. В нем приняли участие как сотрудники обоих университетов, так и иные заинтересованные и приглашенные лица, в том числе аспиранты и магистранты Teachers College, Columbia University. Сборник открывается вводной статьей А.П.Карпа, а далее статьи даются в алфавитном порядке. Статьи, написанные по-английски, были для данного сборника переведены на русский (соответственно, для выпускаемого в США сборника был подготовлен перевод на английский статей, написанных по-русски).

Публикуемые материалы в большой, хотя и не полной мере отражают происходившее в ходе симпозиума - не в полной, поскольку важнейшую роль в нем играло обсуждение выступлений и затронутых в них проблем, на которое отводилась значительная часть времени. Нами подготовлена и видеозапись симпозиума, позволяющая следить и за этой его стороной. Вместе с тем и публикация статей основных выступавших, как представляется, дает возможность проследить за обсуждавшимся, увидев сходство и различия существующих в обоих странах проблем.

Разумеется, названными и обсуждавшимися проблемами дело не исчерпывается. Проблем у современного математического образования много, как много и взглядов на их причины и возможные пути исправления и улучшения ситуации. Важно продолжать обсуждение, не закрывая глаза на трудности и неудачи, и не пытаясь отгородится от происходящего в других странах, а, напротив, стремясь использовать накопленный ими опыт. Хочется надеяться, что публикуемые материалы будут поэтому полезны.

В организации сипозиума и подготовке материалов к публикации большую роль сыграли Джулия ДеБаттс, Сергей Левчин и Джулиана Фуллон. Выражаем им искреннюю благодарность.

А.П. Карп

Teachers College, Columbia University

РАЗМЫШЛЯЯ О ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Эта статья, как и весь сборник, посвящена проблемам, стоящим перед математическим образованием. Перед образованием вообще и математическим в частности всегда стояли и всегда будут стоять проблемы - без трудностей и их преодоления оно вряд ли может идти, - и некоторые из них встречались ещё тысячелетия назад, когда так же, как и сегодня, жаловались на тяготы учения или леность учеников. Понятно, однако, что каждая эпоха несёт и свои новые трудности, так же как и свои методы разрешения новых и старых проблем, и особые достижения. При этом какие-то проблемы, вероятно, можно считать общими и не зависящими от особенностей отдельных стран (хотя, возможно, и проявляющимися по-своему), а какие-то присущи только отдельным странам или регионам. Данный сборник призван отражать происходящее в двух странах - США и России. Роль этих стран (при всех их различиях) в международном математическом и техническом развитиии очевидна, и уже потому представляется интересным сравнить видение людей, занимающихся математическим образованием в обеих странах. Данная статья открывает сборник и представляет, соответственно, попытку общего взгляда на новые проблемы. В дальнейшем они будут обсуждаться более детально.

Нужно сразу сказать, что многие современные явления затрагивают несколько сфер, поэтому речь о них неминуемо пойдёт в разных разделах. Среди таких явлений нужно назвать два - стремительное технологическое развитие и существенные социальные изменения.

Первое очевидно. Сегодняшний школьник и в России, и в США не захочет, как в старину, вести конспект, а либо запишет речи лектора на телефон, либо будет жаловаться, что не сделали слайды, которые можно сфотографировать, коль скоро они (безобразие!) не выложены в интернет. Российский автор (Суворов, 1993) с чувством повествовал о том, как его в детстве учили торговать арбузами, для чего составляли таблицу, сколько денег надо брать за вес (с шагом 50 граммов), сегодня

такое редко где увидишь - у всех калькуляторы. Американские школы простодушно рекомендуют учащимся, которые чего-то не поняли, самим посмотреть на сайте Khan academy (https://www.khanacademy.org/), где все изложено (надо понимать, лучше, чем может учитель). Технологический прогресс оказывает воздействие не только на формы и методы обучения, но и на его содержание и философию.

Социальные изменения не столь очевидны и не столь однозначны. Понятно, что число обучающихся математике во всём мире за последнее столетие существенно возросло. Ясно, что и сегодня обучают ей не всех, да что там, многие и вовсе остаются безграмотными. Но в России и США дело обстоит, конечно, иначе - уже многие десятилетия математике формально учат всех детей. Различия оказываются лежащими куда более глубоко - вроде и ребёнка из престижной частной школы в Новой Англии, и его сверстника из сибирской деревни, и девочку из школы в Южном Бронксе, и мальчика из московского специализированного лицея учат математике, вот только выучивают по-разному, и различия весьма ощутимы. Процессы здесь идут активно и вряд ли всегда только в сторону увеличения возможностей для всех детей. Параллельно с социальными процессами, как их отражение, разворачиваются дискуссии о происходящем, сами в свою очередь иногда добавляющие остроты. В любом случае наличие проблем осознается, а стало быть, осознается и нужда в их решении.

Говоря о современных социальных и социально-политических явлениях, нельзя не сказать и об организационном, включая и вопросы распределения власти (в том числе образовательной), и функционирование и взаимодействие различных групп, действующих в математическом образовании. Всё это, на первый взгляд далёкое от того, что происходит на уроке математики, на него, тем не менее, существенно влияет.

По сути дела, в дальнейшем речь пойдёт о различных проявлениях названных современных явлений.

Зачем мы учим математику?

Вероятно, россиянин ответит на вопрос, вынесенный в заголовок, словами выдающегося российского ученого XVIII века М.В. Ломоносова, которые висели и висят чуть не в каждом российском кабинете

математики: «Математику уж затем учить надобно, что она ум в порядок приводит». Дело, однако, в том, что, несмотря на всё влияние так называемого формального подхода (Пчелко, 1940; Young, 1906), отмечавшего важность математики для общего развития, на практике учили математику потому, что иначе нельзя было выполнять определённые работы, необходимые в жизни. Ни водить корабли, ни торговать в лавке без математики не получалось, да и в армии без математики ни в артиллерии, ни при строительсве крепостей было не обойтись. Вот и оказывалось, что и Линкольн (Ellerton & Clements, 2014), и Пушкин (Karp, 2007) учились арифметическим и иным премудростям.

Теперь вдруг оказалось, что техника, скажем, деления, которой за столетия так хорошо научились учить, на самом деле никому не нужна. Никто на бумажке делить не будет. И мореплаватель, дабы определить местоположение в океане, уж точно не станет решать прямоугольные треугольники, и даже инженер, чтобы что-то рассчитать, воспользуется какими-то компьютерными программами, не утруждая себя воспоминаниями о школьной премудрости.

Зачем же нам учить математику вообще и её части: алгебру, геометрию, тригонометрию - в частности? Ответы на такие вопросы давались разные (см., например, Gonzalez and Herbst, 2006, о целях изучения геометрии). Но если взрослым можно ответить, что математика действительно является основой и школой рационального мышления, то для детей такое объяснение чересчур замысловато. Меж тем надо не просто уметь отвечать на вынесенный в заголовок вопрос, но и отвечать так, чтобы убедить школьника. Разумеется, всегда остается возможность сказать, что без математики пропадёшь в вузе, но ограничиваться таким, вообще-то справедливым, аргументом не хочется.

Наверное, самая распространённая рекомендация состоит в том, что надо побольше показывать пользу математики - мол, увидев приложения математики к реальному миру, ребёнок и сам смекнёт, что надо ей учиться. Тут можно повторить, что рост использования математики в современном мире парадоксальным образом сопровождается заметным уменьшением её использования обычным потребителем, а потому совершенно непонятно, почему, даже убедившись в огромном значении математики в современном мире, ребёнок сделает вывод, что именно ему надо её изучать.

Автор этой статьи считает, что «взрослый» ответ, зачем изучать математику, уже дан - чтобы воспитать цивилизованного гражданина и чтобы отобрать тех, кто ей и ее приложениями будет в дальнейшем заниматься, что невозможно без предоставления всем детям возможности с ней достаточно познакомиться (слова «отбор» не следует бояться - речь идет собственно о самоотборе, о выявлении тех, кто, достигнув определенной зрелости, и на основании имеющегося опыта, сам захочет связать с математикой жизнь). Детям же изучать математику должно быть интересно, что и снимает вопрос, зачем это делается.

Этот простой ответ влечёт, однако, многообразные дискуссии о том, что интересно детям и как добиться их заинтересованности. Нужно повторить, что попыток дать ответ на заданный вопрос много и, соответственно, много есть разных подходов к преподаванию, о которых стоит говорить.

Кто должен учиться математике?

Продолжая начатое обсуждение, кто-то может сказать, что, мол, учиться и должны только те, кому интересно, а ежели какой семилетний мальчишка из того же Южного Бронкса или какого-то района Москвы или Петербурга, не приобретшего ещё международной известности, учиться не хочет, то, стало быть, он сам и виноват, что такой хулиган. Лицемерие такого рассуждения на самом деле давно вполне очевидно. Ребёнок формируется в процессе обучения, и, считая его с самого начала обучения полностью ответственным за свой выбор, мы автоматически не допускаем к образованию те слои населения, которые ранее к нему не допускались или допускались в меньшей, чем другие, мере. Очевидная истина, что ребёнок обладает лишь ограниченной (хотя и постоянно растущей с возрастом) ответственностью за свой выбор и что должны быть предприняты усилия, чтобы до определённого возраста учить всех, в том числе предусматривая возможности «начинать с начала», если раньше обучение не шло, разумеется, касается и математики.

Важнее всего то, что ребёнку должны быть в реальности предоставлены возможности, из которых он будет выбирать. В действительности же большое количество детей и не может захотеть изучать математику потому, что их с ней на самом деле не знакомят. Возможность

обучения во многих случаях и в США, и в России лишь формальная, а реальное качество обучения таково, что на самом деле даже самый старательный и способный ученик не может подняться выше определённого очень невысокого уровня. Соответствующие школы в двух странах, о которых идёт речь, формировались по разным принципам: в Америке, например, часто говорят о проблемах так называемых городских (urban) школ, в которых часто учатся афроамериканцы и выходцы из Латинской Америки, а в России школы в центре большого города, наоборот, обычно лучше, чем школы в глухой провинции или деревне (хотя, конечно, всегда есть исключения, да и, например, всё громче в последнее время звучат проблемы школ в российских районах, заселённых недавними переселенцами), но важно и тут и там, что проблема качества обучения приобретает политическое значение. Шубрингу (Schubring, 2012) принадлежит исторический анализ развития «математики для всех». Считать, что процесс завершён даже в двух анализируемых странах, нельзя, а потому полезно обсудить взгляды на проблему с обеих сторон.

Добавляется, как уже говорилось, и то, что сравнительно очевидные истины приходится повторять, ибо под тем или иным соусом заявления, что каким-то группам населения и не надо учиться математике, звучат снова и снова. И это тем опаснее, что звучат они не открыто: прямые призывы ограничить образование детей по какому-либо признаку и в Америке, и в России редки, напротив, они прикрываются заботой о соответствующих группах, потому и важно вскрывать суть подобных заявлений, отделяя их от справедливых и разумных предложений.

Популярная в России идея профильного обучения, то есть сравнительно раннего выбора основного направления обучения, опирается на здравую мысль о различии интересов детей. Действительно, скажем, к 16 годам, а то и раньше ребёнок вполне в состоянии осознанно решить, что хочет меньше заниматься математикой, чем историей, и вряд ли стоит ему в этом препятствовать. Нужно, однако, понимать, что ребёнок имеет право передумать, а потому система должна быть достаточно гибкой, не лишающей ребёнка вообще занятий математикой и допускающей хоть в какой-то форме его возвращение к большему, чем первоначально выбранный, курсу, если в дальнейшем у него возникнет такое желание. Есть к тому же опасения, как бы возраст,

когда ребёнку надо принимать решение, не стал сдвигаться в сторону всё более юного, а главное, как бы решение не стало приниматся не ребёнком, а кем-то другим, хотя бы той же школой, исходящей из своих планов, сколько классов каждого профиля надо завести и т.п. Введение профильного обучения сопровождается всевозможными хорошими словами об уважении прав ребёнка, но важно, чтобы действительность им соответствовала, а не пришла к обеднению тысяч школьников, лишаемых математики.

Справедливая мысль, что в современном обществе живут люди, сформировавшиеся в совершенно разных культурах (какое значение ни придавай этому слову), и что различные культуры заслуживают уважения, оказывается иногда поводом сказать, например, что всё в том же Южном Бронксе нужно учить какой-то совсем особой математике, с которой, правда, нельзя будет потом учиться в вузе, но которая зато чудо как хороша для живущих там детей. Что спорить, разумеется, петербургский учитель сделает правильное дело, если обратит внимание учеников, что тот самый Эйлер, в честь которого названо, скажем, число «е», жил или похоронен неподалеку от школы. И так же уместно и полезно будет упоминание других имён, дорогих другим культурам, и установление связи происходящего на уроках математики с культурными ценностями разных народов. Важно, однако, чтобы это происходило в добавление к основному курсу математики, а не взамен его.

Попытка отлучения детей от математики может происходить и под флагом заботы об их личной жизни - «ну зачем девчонке математика?», и под флагом заботы о классном коллективе - Walker (2003) рассказывает, как ученика афроамериканского происхождения не переводили в более сильный класс, поскольку считали, что в слабом он нужнее, так как оказывает благотворное влияние на одноклассников.

Перед нами, таким образом, не только социально-экономические, политические и организационные, но и методические и идеологические (включая борьбу с устоявшимися стереотипами) проблемы.

Кто учит математике?

Вопросы подготовки учителей занимают всё больше места в дискуссиях. На наших глазах выросла целая область, посвященная тому, какие знания нужны учителю (см. например, Ball и др., 2008, 2009).

Взяв российские учебники для будущих учителей (например, Стефанова и Подходова, 2005), мы тоже увидим, что очень многое делается теперь не так, как раньше. Какие курсы должны читаться будущим учителям? Каково соотношение между общепедагогическими, методическими и математическими курсами? Нужны ли курсы, развивающие то, что Ball и ее соавторы называют математическим горизонтом, но что вряд ли найдёт непосредственное применение в школьном преподавании, и если да, то до какой степени - нужна ли, скажем, будущему учителю общая топология? А гомотопическая? А дифференциальная?

Автор этих заметок в своё время проходил две школьные практики, и в ходе второй (более важной) ему надо было дать 20 уроков. Счёт урокам, которые должен дать американский студент-практикант, идёт на сотни. Как правильно? Как приучать будущего учителя к школьной реальности?

Сравнительно недавно в США вспыхнули дискуссии о том, нужно ли учителю Middle school (7-8 классов) знать дифференциальное и интегральное исчисление. Они были спровоцированы исследованиями, показавшими, что большинство американских учителей этих классов его таки не знают, в отличие от китайских учителей. Российского учителя не то что 7-8, но и 1-2 классов дифференцировать и интегрировать учат (другое дело, выучивают ли), зато вряд ли он в такой же степени, как американский, владеет хотя бы графическим калькулятором. Как и в Китае, в России зато больше внимания традиционно уделяется глубокому изучению школьных тем, о котором писала Liping Ma (1999), в то время как в США знания учителя о школьной математике часто остаются на уровне выпускника средней школы (Cooney, & Wiegel, 2003). Что же можно извлечь из накопленного и такого различного опыта обеих стран? Любое продвижение здесь представляется ценным.

Следует при этом помнить, что будущий учитель, которого сегодня готовят в высшем педагогическом учебном заведении, будет работать не только сегодня, а, вероятно, и через 30 лет. Что же надо сделать, чтобы подготовить будущего учителя для будущей школы, о которой мы пока и сами мало что знаем?

Как организовать обучение математике?

Но как бы ни готовили учителя, всё же главное в его формировании происходит уже в школе. Что же ждёт там учителя? Сегодня американские газеты обсуждают, можно ли оценивать учителей по результатам тестов, сдаваемых их учениками, и насколько нужно публично извещать о таких результатах. В практику российской школы вошла аттестация учителей, происходящая куда более изощрённым способом, чем раньше. При этом по обе стороны океана любят так или иначе ссылаться на то, что делается в бизнесе, мол, там-то не по словам судят, а по продукции: хорошая продукция (читай: выученность детей, измеряемая тестами, или какие-нибудь еще «объективные показатели») - молодец; плохая - уходи прочь. Можно спорить (и спорят) о том, насколько объективны эти «объективные показатели», но можно воспользоваться и другой методологией и посмотреть на какой-нибудь содержательный пример (case study).

Вероятно, самый яркий пример успеха учителя математики в США за последние десятилетия - Jaime Escalante (1930-2010), ставший героем популярного фильма. Приехавший из Боливии учитель устроился работать в заурядной американской школе. Со временем, несмотря на определённое противодействие школьной администрации, он стал предлагать учащимся более трудные курсы и больше требовать от них, проводя при этом с ними много часов и помогая им разобраться в изучаемом. Постепенно в этой школе, в которой раньше и обычные-то курсы мало кто выучивал толком, десятки школьников стали успешно сдавать так называемый АР Calculus, то есть практически вузовский курс дифференциального и интегрального исчисления. Соответственно, десятки школьников, никогда прежде и не думавших о том, что они могут учиться таким сложным вещам, поскольку они трудны и «неинтересны», стали им учиться. Неслыханный успех (россиянину, чтобы оценить его, нужно представить себе, что в какой-нибудь самой обычной провинциальной школе вдруг ежегодно вырастают десятки участников областной и Всероссийской олимпиады, - это, конечно, не совсем то, но сравнимо по неожиданности) принёс Эскаланте славу. Кроме фильма о нём была выпущена книга под названием «Лучший учитель Америки» (Mathews, 1988) и много статей. Тем не менее над Эскаланте стали сгущаться тучи. Выяснилось, что он нарушает множество правил: что говорить, к нему на курсы записывалось чуть

не по 60 человек, а норма-то, согласованная с профсоюзами, была 35. Никаких благ лишние школьники Эскаланте, разумеется, не приносили, но нельзя же допускать непорядок! Да и сидение вечерами с детьми тоже оказалось делом сомнительным. Ничего дурного ему, слава богу, не инкриминровали, но сторож-то тоже сидел лишнее время! Куда годится! Кончилось тем, что Эскаланте из школы (в которой тем временем сменился директор) должен был уйти. Ушли и его последователи - после чего всё благополучно вернулось к прежнему состоянию, и никто уже никакие сложные курсы не сдавал.

Хороший российский учитель, который хотел добиться успеха, а не просто выполнить все указания начальства, оказывался часто в лучшем положении, чем Эскаланте, хотя бы ввиду общего непорядка. Легендарный петербургский учитель А.Р. Майзелис (Карп, 2007) тоже сидел со школьниками до позднего вечера, для чего у него был собственный ключ от школы. Вопросы, которые неминуемо возникли бы в подобной ситуации в Америке, тогда как-то не вставали. Вероятно, и в России ситуация в этом плане когда-то изменится...

Вряд ли можно в описанной истории найти что-нибудь от бизнес-модели. Какой уж тут свободный бизнес, когда ничего почти делать нельзя. Работать больше, чем положено (не из-за денег даже, а чтобы добиться успеха), нельзя, организовать что-то иначе, чем принято, нельзя, а что же можно? Если продолжать сравнения с экономической жизнью, то скорее вспомнятся средневековые цехи, где регламентировалось и когда свет гасить, и какими инструментами работать. Цеховая организация рухнула в том числе под воздействием сил извне системы: мужики в деревнях заводили своё дело и работали, не сверяясь с цеховыми правилами. Вот и в образовании возникают внешкольные структуры (о которых тоже надо говорить, когда речь идёт о математическом образовании), выступающие взамен школы.

Тут, однако, встают многочисленные вопросы. Прежде всего о том, как определять качество этих внешкольных структур. Легко оценить качество частного учителя, которого наняли, дабы повысить школьную оценку слабого ученика: не повысили оценку - задача не решена. Но как быть, если внешкольная структура носит не вспомогательный, а основной характер? Да и может ли она носить такой характер? Сегодня американские родители могут перевести своих детей на домашнее обучение, сами организовав для них систему работы. Но ведь ребёнка

надо учить не одной математике, а всем предметам, нужна, стало быть, своего рода логистика. По силам ли она родителям?

В духе романов о будущем можно, конечно, представить себе, что родители, возможно, с помощью специальных служб набирают своим детям учителей, возможно из разных мест и преподающих с помощью интернета, так что обучение оказывается, с одной стороны, организуемым для конкретного ребёнка, а с другой - ориентированным на конкретного учителя. Сегодня такое представить себе в реальности трудно, но ясно, что роль хорошего учителя и его возможности должны быть увеличены. Это, разумеется, не приведёт к тому, что не станет плохих и средних учителей и что о них не надо будет думать, так же как о детях, чьи родители недостаточно активны, чтобы бороться за их лучшее образование. Однако само по себе увеличение роли хорошего учителя и тем самым изменение системы принятия решений способно оказать благотворное влияние на весь учебный процесс. Надо перестать мешать работать новым Эскаланте.

Связан с этим и вопрос поддержки тех, кто хочет больше учиться. Автору этой заметки довелось писать с коллегой письмо в поддержку учащихся одной нью-йоркской школы, которые просили организовать для них курс Pre-Calculus (примерно соответствующий российскому курсу алгебры 10 класса). Учитель был готов его вести, но директор нашёл, что это будет неразумным распределением ресурсов, а детям хватит и менее сложных курсов. Увы, наше письмо не помогло: директор и нам отказал. Ситуация складывается парадоксальная: вроде бы система печётся о тех, кто не получил образование, а с другой стороны, тем, кто явно хочет и может учиться, поддержки не хватает.

Достаточно сказать, что мест в школах для одарённых детей в Нью-Йорке в десятки (!) раз меньше, чем детей, набирающих высшие баллы на проводимом для определения одарённости экзамене (экзамен тоже можно критиковать, но дело сейчас не в этом). Получается, что мест катастрофически не хватает даже для тех, у кого по социально-экономическим причинам нет никаких других способов получить лучшее образование.

Россия справедливо гордится своим опытом поддержки интересующихся математикой детей, в том числе из отдалённых районов -вспомним хотя бы о заочных математических школах (Marushina, & Pratusevich, 2011). Тем не менее наивно будет надеяться, что проблем в названной сфере нет.

Очерчены лишь два круга вопросов организации математического образования. Их, конечно, гораздо больше - например, вопросы неравенства в образовании, о которых уже говорилось, конечно, тоже во многом сюда относятся. Технология да и выросшее в рамках происходящего социального развития новое понимание задач образования способны помочь в разрешении этих вопросов. Опыт, в том числе опыт размышления над ними в разных странах, кажется тут очень полезным.

Чему учить в школе?

Вопреки распространённому убеждению, программы по математике с годами меняются весьма заметно. Различаются они и по странам. Невозможно сравнить структуру российского и американского курса геометрии, тригонометрии, даже и алгебры, хотя многие (тоже не все) утверждения присутствуют и тут, и там. А некоторые разделы и вовсе не проходятся в той или иной стране. Когда-то замечательный петербургский алгебраист Дмитрий Фаддеев говорил, что в отношении разделов школьного курса математики надо придерживаться принципа презумпции виновности, то есть доказывать всякий раз надо не то, что раздел не нужен, а, наоборот, что он нужен. Опыт другой страны поддерживает сходную мысль - то, что что-то привычно в курсе твоей страны, не означает, что можно делать только так. Нужно сравнивать и думать, быть может, даже приходя к выводу, что надо держаться за своё, но сознавая, что, вероятно, есть и у него свои уязвимые стороны, над которыми надо работать.

При этом перед обеими странами стоит проблема радикального обновления программ. Как уже говорилось, большая часть курса, нацеленная на формирование технических навыков, безусловно, кажется бессмысленной: никто этими навыками пользоваться не будет. Значит ли это, что их можно исключить из программы? Быть может, и нет, по крайней мере не всегда, ибо связь между навыками и концептуальным пониманием, против которого вроде никто не возражает, не простая - понимание без навыков вряд ли возможно. Но то, что курс нуждается в обновлении, в том числе в учёте возникших новых разделов математики и новых требований, очевидно. Вряд ли кто-то может сказать, что точно знает, как это делать, но попыток и размышлений много, и ими надо делиться.

К тому же в обеих странах возникает огромное количество всевозможных программ, нацеленных на лучшее обучение каких-то групп учащихся - более одарённых, или нуждающихся в усиленном изучении какого-то раздела, или лучше понимающих предмет при определённых условиях обучения и т.д. и т.п. Весь этот опыт заслуживает обсуждения.

Как сделать обучение математике более эффективным?

Самые интересные для практика математического образования вопросы мы оставили на конец, а их очень много. Тут и весь комплекс проблем организации урока математики - сегодня явно наблюдается отход от доминировавшей десятилетия общеклассной формы, когда учитель обращается ко всему классу и весь класс работает как целое. Парадоксальным образом мы возвращаемся к системе, когда, как в средние века, в одном помещении сравнительно независимо работает несколько групп, или даже ученики работают индивидуально над своими проектами. Как строить уроки и организовывать материал в таком классе? Какова роль учителя? Что он должен делать, чтобы дети выучивались лучше?

Обучение через решение задач давно стало популярным лозунгом, и тут немало придумано и понято (см., например, Karp, 2015, об изменениях в организации системы задач в конце XIX - начале XX века). Но сегодня справедливо говорят и о новых типах задач, и о новой системе их организации - об этом размышляют в обеих странах.

Технологические открытия, на наш взгляд, более всего значимы для математического образования тем, что изменили наше понимание целей и содержания математического образования, но они, конечно, чрезвычайно значимы и тем, что делают возможным новые методы и средства математического образования. Примеры тут неисчерпаемы - от новых возможностей представить материал до новых способов понимать и оценивать продвижения учащегося.

Все эти и многие другие аспекты преподавания математики и приёмы для улучшения его эффективности нужно обсуждать и всесторонне рассматривать.

Вместо заключения

Эта статья носит вводный характер: её цель - показать, какие разные и острые проблемы стоят перед сегодняшним математическим образованием. Называя их (конечно, поневоле кратко и ни в коем случае не претендуя на полноту), автор и не пытался дать их решение или перечислить существующие решения. На самом деле и статьи в сборнике, разумеется, не могут, даже в совокупности, на это претендовать. Они, как увидит читатель, куда более конкретны, чем данная статья, в том смысле, что говорят о конкретном опыте и каких-то частях или аспектах рассмотренных проблем. Думается, что и в целом не приходится ждать какого-то общего и единого ответа - мол, делать надо так. Ответом на стоящие проблемы и должна быть вся совокупность накопленного опыта. Желательно, однако, видеть и сравнительно небольшие шаги в рамках общей картины. Если размышления и достижения, представленные в этом сборнике, помогут читателям в их размышлениях и работе, значит, наша цель достигнута.

Литература

Карп А. (Сост.). (2007). Памяти А.Р. Майзелиса. Санкт-Петербург: СМИО-Пресс.

Пчелко A.C. (Сост.). (1940). Хрестоматия по методике начальной арифметики. Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР.

Суворов В. (1993). Аквариум. Москва: Издательский дом «Новое время».

Стефанова Н.Л., Подходова Н.Ю. (Ред.). (2005). Методика и технология обучения математике. Курс Лекций. Москва: Дрофа.

Ball D.L., Thames М.Н., Bass H., Sleep L., Lewis J. & Phelps G. (2009). A practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou, H. Sakonidis (Eds.). Proceedings of the 33rd conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 1 (pp. 95-98), Thessaloniki: PME.

Ball D.L., Thames M.H. & Phelps G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-104.

Cooney T. & Wiegel H. (2003). Examining the mathematics in mathematics teacher education. In A. Bishop, M. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick & F. Leung (Eds.). Second international handbook of mathematics

education (pp. 795-822). Dordrecht/Boston/ London: Kluwer Academic Publishers.

Ellerton N. & Clements M.A. (Ken). (2014). Abraham Lincoln's Cyphering Books and Ten Other Extraordinary Cyphering Books. New York: Springer.

Gonzalez G. and Herbst P. (2006). Competing arguments for the geometry course: Why were American high school students supposed to study geometry in the twentieth century? International Journal for the History of Mathematics Education, 1(1), 7-3 3.

Karp A. (2007). «We all meandered through our schooling...»: Notes on Russian mathematics education during the first third of the nineteenth century. British Society for the History of Mathematics Bulletin, 22, 104-119.

Karp A. (2015). Problems in old Russian textbooks: How they were selected. In K. Bjarnadöttir, F. Furinghetti, J. Prytz & G. Schubring. (Eds.). "Dig where you stand". 3. Proceedings of the third international conference on the history of mathematics education, (pp. 203-218). Uppsala: Uppsala University.

Ma L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Marushina A. & Pratusevich M. (2011). Extracurricular Work in Mathematics. In A. Karp, B. Vogeli (Eds.). Russian Mathematics Education: Programs and Practices (pp. 375-410). London-New Jersey-Singapore: World Scientific.

Mathews J. (1988). Escalante: The Best Teacher in America. Henry Holt & Co.

Schubring G. (2012). From the few to the many: Historical perspectives on who should learn mathematics. In K. Bjarnadöttir et al. (Eds.). «Dig where you stand» 2 (pp. 443^162). Lisbon: UIED.

Young J.W.A. (1906). The teaching of mathematics in the elementary and the secondary school. New York: Longmans, Green, and со.

Walker E. (2003). Who can do mathematics. In B. Vogeli & A. Karp (Eds.). Activating mathematical talent. National Council of Supervisors of Mathematics.

Николас Н. Вассерман

Teachers College, Columbia University

ВОПРОС О НЕШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ: КАК ГОТОВИТЬ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ?

Какие математические курсы надо включать в программу подготовки учителей математики, особенно для старших классов? Что они должны знать о предмете? Такие вопросы обсуждаются уже долгое время. Особые споры с давних пор вызывает выбор между глубиной изучения и развитием широты кругозора. Должен ли, в частности, каждый будущий учитель математики слушать те же математические курсы, что и будущий учёный-математик, расширяя кругозор, или, напротив, большинство курсов должно концентрироваться на увеличении глубины понимания школьной математики, которую предстоит преподавать?

С обеих сторон есть немало убедительных аргументов, равно как и солидных исследований. Одни, например, говорят, что серьёзная математика нужна учителям средней школы, потому что её идеи пронизывают школьную математику и позволяют объяснять и понимать её содержание. Это, разумеется, правда. Большая часть школьной математики посвящена алгебраическим структурам, изучаемым в курсах абстрактной алгебры (хотя бы те же арифметические операции с многочленами, то есть в кольце (R[x],+,x)). Беда, однако, в том, что свидетельств того, что изучение соответствующих курсов оказывает воздействие на будущее преподавание, не очень видно (например, Zazkis & Leikin, 2010), равно как не видно и доказательств того, что у прослушавшего такие курсы учителя дети лучше успевают (например, Darling-Hammond, 2000; Monk, 1994). Недавние попытки предложить основанные на практике подходы к определению необходимого для учителей знания (например, Ball, Thames, & Phelps, 2008; Rowland, Huckstep & Thwaites, 2005) не так уж благосклонны к высшей математике: конечно, предлагаемое тут содержание образования не сводится к обсуждаемому со школьниками (хотя учителям и предстоит учить алгебре, а не абстрактной алгебре), но всё же во главу угла ставится то, чтобы изучаемое будущими учителями влияло именно на то, как будет строиться преподавание.

Изучать только ту математику, которую учитель будет в дальнейшем преподавать, разумеется, неблагоразумно. И математики, и люди, занимающиеся математическим образованием, по-прежнему ценят содержание, выходящее за эти пределы (например, CBMS 2001, 2012); даже упомянутые выше практические подходы к учительскому знанию предполагают изучение более сложных разделов (например, Ball, Thames, and Phelps' (2008) говорят о горизонтах знания; McCrory, et al.'s (2012) о продвинутой математике). Отметив таким образом, что согласия по вопросу о пользе преподавания нешкольной математики будущим школьным учителям нет, мы перейдём к тому, как такую нешкольную математику преподавать.

Ниже речь пойдёт о математических курсах, читаемых будущим учителям (что, повторим, связано с более широким вопросом, упомянутым выше, о знаниях по математике, нужных будущему учителю). Что бы там ни говорилось, но пока лицензия на школьное преподавание обычно связана с выполнением стандартной программы для человека, получающего математическое образование (mathematics major), да и общественное мнение обычно считает это правильным. Исходя из этого, цель статьи - подумать, как же такие курсы преподавать, дабы это не было пустой тратой времени, а, напротив, давало полезные и осмысленные результаты. В частности, речь пойдёт о двух подходах: 1) преподавание, связывающее нешкольную математику не с содержанием школьной, а с тем, как она преподаётся, и 2) преподавание, которое даёт примеры успешных педагогических методов.

Тут надо сделать ещё одну оговорку: реальность организации вузовского учебного процесса такова, что, хотя мы и говорим о курсах для будущих учителей, на самом деле редко где аудитория будет состоять только из таких студентов, среди слушателей будут и планирующие совсем иную карьеру. Соответственно, надо думать и о том, чтобы курс и подходы к преподаванию оказались полезными для всех.

Соединяя нешкольную математику с преподаванием школьной

Как уже говорилось, недавно предпринимались попытки описать, опираясь на практику, какие знания по математике нужны будущему учителю (например, Ball, Thames, & Phelps, 2008; McCrory, et al., 2012; Rowland, Huckstep, & Thwaites, 2005). Математические знания, кото-

рые получают будущие учителя, должны быть связаны с их будущей работой и практикой преподавания - это та часть математики, которая связана с такой деятельностью, как объяснение понятий, разработка заданий и вопросов, понимание и оценивание того, как думают учащиеся. Смотря на продвинутую математику с этих позиций, понимаешь, что с ней не всё просто. Ясен, например, временный статус всей области горизонтов образования в схеме учительского знания, предложенной Ball, Thames, and Phelps (2008). Трудные вопросы, однако, не кажутся неразрешимыми. Прежде чем подробнее сказать о нашей модели, скажем о других предложениях, как связывать школьную математику с нешкольной.

Многие считают достаточным подход, который просто проясняет связи высшей математики с элементарной. Вероятно, первым сделал этот подход популярным Феликс Клейн в своей «Элементарной математике с точки зрения высшей». Его задача в том и состояла, чтобы сделать соответствующие связи наглядными. Сегодня сходная позиция отстаивается влиятельными организациями (см. CBMS, 2012), призывающими показывать, как применяется более сложная математика в разделах, преподаваемых в школе. Так, например, отмечается, что «будущим учителям полезно узнать, что множество комплексных чисел Сможет быть построено как факторкольцо кольца многочленов R[x]... [и что] метод Кардано и алгоритм для решения уравнений четвёртой степени в радикалах может быть развит как предисловие к теории Галуа» (с. 59). Cuoco (2001) так обобщает принципы планирования того, как будущие учителя должны изучать вузовские курсы: «Связывайте со школьной математикой!» (с. 170). Суть данного подхода, таким образом, в том, чтобы связать высшую математику с той, что учителю предстоит преподавать. Отдавая должное такому подходу, который может быть полезен, автор данной статьи не считает его, однако, достаточным. И вправду, и общее утверждение, что простое соотнесение продвинутой тематики (той же теории Галуа) со школьной математикой делает эту тематику важной, и связанная с ним надежда, что обученные соответствующей продвинутой математике учителя будут как-то особо реагировать на сложности, возникающие в преподавании, представляются неубедительными. Такого «спуска вниз», как кажется, не стоит ожидать (см. рисунок 1а.)

Рис. 1a. «Скрытая» модель продвинутых курсов для будущих учителей

Рис. 1b. Наша модель продвинутых курсов для будущих учителей

Взамен мои соавторы и я (Wasserman, Fukawa-Connelly, Mejia-Ramos & Weber, in press) предлагаем альтернативную модель, которая связывает продвинутую математику с преподаванием школьной математики. Этот подход опирается на понятие осознание в контексте (Powell & Hanna, 2006; Ticknor, 2012) и утверждает, что будущие учителя приобретут лучшие навыки для преподавания, если они учатся в связи с контекстом своей педагогической практики. Наша модель, проиллюстрированная на рис. 1b, состоит из двух частей - опора на практику и применение в практике (возвращение к практике). Опора на (преподавательскую) практику предполагает построение преподавания, которое отталкивается не от содержания продвинутой или школьной математики, но от ситуаций в практике школьного преподавания - тех конкретных шагов, которые должен делать школьный учитель в своей ежедневной профессиональной работе. Рассмотрение каждой ситуации имеет свою педагогическую и свою математическую цель - это касается и школьной, и нешкольной математики. И каждая

такая цель для каждой ситуации должна отражать цели курса продвинутой математики. Вторая же часть - применение на практике -предполагает использование идей и методов продвинутой математики как средства по-новому посмотреть на эти педагогические ситуации, проясняя поставленные цели.

Сложные математические темы должны изучаться с обычной математической строгостью, но задания должны делать явным то, как они связаны со школьной математикой и её преподаванием. Суть в том, что, опираясь на школьную практику и подчёркивая связи с ней, все три стороны: продвинутая математика, школьная математика и педагогическая практика - могут быть обсуждены более ясно и таким образом, чтобы улучшить преподавание продвинутой математики будущим учителям.

Теоремы о действиях с пределами последовательностей

Ниже я привожу пример одного такого задания, специально подготовленного для курса математического анализа для будущих учителей, соответствующего описанным выше установкам. Теоремы о действиях с пределами последовательностей, гласящие, что сумма или произведение сходящихся последовательностей тоже сходятся, являются важной частью курса. Их доказательство основывается на стандартном 6-N подходе, к которому, впрочем, студентам тоже надо привыкнуть. По сути дела, речь идёт о понятии отклонения или погрешности, и мы связываем их с обычным для курса школьной математики вопросом об округлении чисел. Математическая цель задания в рамках курса анализа - доказать теоремы о действиях с пределами последовательностей. Математическая цель в рамках изучения школьной математики - добиться понимания студентами основных идей о том, как при действиях с округлёнными числами могут накапливаться погрешности. Чтобы поставить педагогическую цель урока, надо сначала оговорить некоторые связанные с тем принципы успешного математического преподавания. Два принципа, о которых тут надо сказать, таковы: 1) успешное преподавание проясняет недостатки в математических утверждениях и рассуждениях студентов; и 2) успешное преподавание предполагает подбор примеров, которые делают ясными тонкости математической идеи. Продолжая обсуждение нашего подхода,

мы теперь представим задания, перемежая их обсуждение с обсуждением математических и педагогических целей.

Опираясь на практику преподавания. Вместо того чтобы начинать с вопросов анализа и теорем о действиях с пределами, наш подход предполагает обсуждение ситуации, возникающей в практике преподавания. Предположим, что школьникам дали задачу о периметре и площади прямоугольника (см. рисунок 2). Один школьник обращается к учителю: «Мой калькулятор показывает, что V75 = 8,66025404, a V362 = 19,02629759. Можно я округлю эти числа до 8,66 и 19,02?» Поглядев в свой ответ, учительница заметила, что она и сама округлила окончательный ответ до 55,37 единиц для периметра и 164,77 квадратных единиц для площади. Она задалась вопросом: «До какого знака надо округлять корни, чтобы окончательный ответ был с точными двумя знаками после запятой, как у меня в ответе?» На этом история (ситуация) заканчивается, оставляя ответ учительницы неизвестным слушателям. Будущим учителям математики средней школы (БУМСШ), слушающим курс анализа, предлагается, во-первых, продумать своё поведение, в такой ситуации, а во-вторых, продумать математическую сторону поставленной задачи.

Отметим, что если не округлять, а отбрасывать лишние знаки, то, чтобы получить периметр с точностью до сотых (55,37), надо оставлять данные до тысячных (8,660 и 19,026), а чтобы получить площадь с точностью до сотых (164,77), надо и вообще оставлять знаки до десятитысячных (8,6602 и 19,0262). БУМСШ рассматривают, как накапливаются погрешности в задаче о периметре и площади. Именно, если я - приближение V75, а Ък - приближение л/362, и то и другое округлённое до какого-то знака, тогда можно записать для ошибки, е, что: V75~- е<ак< V75 + е и л/362 -е<Ък< л/362 + е. Предполагая, что е такая маленькая, что все числа в этой записи положительные (и ещё настолько маленькое, что числом е2 можно пренебречь), получаем следующие неравенства:

2(V75 + V362) - Ае < 2(ак +bk) < 2(V75 + V362) +4е, и

V75 + - e(V75 + V^)+e2 ^

Другими словами, погрешность при нахождении периметра самое большее в 4 раза больше, чем первоначальная е, а погрешность при нахождении площади самое большее в (л/75 + л/362) раз (то есть чуть меньше, чем 28) больше исходной погрешности е. Примечательно, что если

при нахождении периметра четыре погрешности просто суммируются (для каждой стороны), то при нахождении площади они умножаются на число, зависящее от исходных значений длин сторон а и b.

Рис 2. Задача для ситуации в преподавании

Математический анализ. Тут преподавание анализа БУМСШ обращается к доказательству теорем о действиях с пределами. В частности, мы включаем две наиболее важные теоремы в таблицу 1 (в предположении, что а —> а, и b —► b).

Таблица 1

Доказательство теорем о пределах суммы и произведения последовательностей

а + b —» а + b

Доказательство. Пусть s > 0. Для всех п, \(ап + Ьп) - (а + Ь)\ = \(ап-а) + (Ъп-Ъ)\<\ап-а\ + \Ъп-Ъ\. Поскольку ап —» а, то найдётся N' 1 такое, что для всех п > Nр \ап - а\ < ^ • Поскольку Ъп —> Ь, то найдётся N2 такое, что для всех п > Ny \bn-b\<2- Тем самым для всех п > max[NpN2], \{an + bn)-{a + b)\<\an-a\ + \bn-b\< s s < 2 + 2 • Тем самым для всех s > 0 последовательность (а + Ь) отстоит от (а + Ь) не далее, чем на s (для п > max[NrN2]).

ab —> ab

Доказательство. Пусть е > 0. Для всех п, \abn-ab\ = \abn-abn + ab-ab\ < \abn - abj + \ab- ab\ = = \bj \an-a\ + \a\\bn-b\. Поскольку bn —> b, найдётся N2 такое, что для всех п > N2, \bn - b\ < ■. Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, найдётся такое М, что для всех п, |6J < M. Поскольку ап —> о, найдётся такое Л^у, что для всех п > Np \ап -а\< 2^щ . Пусть N = max[7Vy,7V2]. Тогда для всех п > N, \abn - ab\ < \Ц \ап-а\ + \а\\Ъп~Ь\<\Цщ+ \а\ щ=s.

Переходя к преподавательской практике. БУМСШ получают задание, опираясь на некоторые выводы о том, как накапливаются погрешности в рассмотренной ситуации, продумать некоторые общие выводы, которые можно получить из доказательства о том, как растёт погрешность. В частности, из доказательства видно, что при сложении двух приближенных значений (ак и Ьк) погрешности складываются (использование s/2 для обеих последовательностей это подчёркивает). Аналогично доказательство показывает, что, когда рассматривается произведение двух приближенных значений (ак и Ък\ погрешность умножается на сумму двух значений а и Ъ. Возвращаясь к исходной истории о случившемся на уроке, понимаем, что если исходная погрешность для обоих приближенных значений меньше, чем е, то в задаче о периметре погрешность будет не больше чем 4е, а в задаче о площади погрешность будет не больше чем е(а+Ь). Стало быть, если нужно дать приближенное значение периметра с точностью до сотых (0,01), то тогда приближенные значения для длин сторон нужно брать с точностью до одной четвёртой от этого (0,0025), а если нужно получить площадь с точностью до 0,01, тогда приближения сторон надо брать с точностью до одной 28 от этого, то есть примерно с точностью до 0,000361. Другими словами, общие правила для понимания того, как накапливается погрешность (которые доказанные теоремы помогают понять), становятся полезным знанием, позволяющим учителю ответить на вопросы учащихся. Учитель понимает по ходу дела, что вне зависимости от исходных данных возможная погрешность при нахождении периметра (сложении) является постоянной, в то время как при нахождении площади (умножении) она зависит от того, какова длина сторон.

Как часть возвращения к практике рассматривается ещё одна похожая педагогическая ситуация: Используя калькулятор, школьник составляет и решает уравнение sin(59°) = х/4л/5; делает он следующее: уравнение переписывается следующим образом 0,85 = х/8,94, отсюда x = 0,85 x 8,94. Учитель просит учащихся не округлять до конца, но школьники не слушаются, замечая, однако, что их ответ всё же очень близок к тому, что даётся. БУМСШ предлагается продумать, как изменить задание так, чтобы школьникам стали ясны возможные трудности с округлением в этой ситуации. Педагогическая ситуация должна помочь будущим учителям приобрести нужные умения - в данном случае речь идёт о том, чтобы понять, что подход школьников может

оказаться сомнительным, даже если в данном примере он и сработал, а также научиться подбирать нужные примеры, дабы показать возможные трудности. Ключевым, дабы достичь нужных педагогических целей, является понимание того, как накапливается ошибка при умножении двух приближенных значений. Поскольку ошибка возрастает вместе с суммой исходных двух значений, возможно, самое простое -это увеличить одно из данных чисел, например использовать не 4л/5, a 360V5 (в этом случае ошибка в ответе при использовании подхода, применённого школьником, будет порядка 6 единиц, то есть весьма ощутима, учитывая, что округляли до сотых). В целом мы считаем, что наш подход помогает связать содержание курса анализа с происходящим на школьном уроке таким образом, что и математическое, и педагогическое развивается.

Следуя моделям успешного преподавания математики

Второй приём при преподавании продвинутых математических курсов (в дополнение к обсуждённой модели построения с опорой на практику и с возвращением к преподавательской практике) - это следование моделям успешного преподавания.

Другими словами, способы, которыми преподаватели курсов продвинутой математики ведут свои занятия, должны воспроизводить в широком смысле успешное математическое преподавание. Старая мудрость гласит, что «мы учим так, как нас учили». Предоставление БУМСШ возможности учить математику в ходе хорошего преподавания поможет и им преподавать математику, следуя хорошим образцам. Понятно, что успешных педагогических приёмов немало и я не смогу обо всех сказать, больше того, на самом деле в данной статье я скажу лишь об одном приёме - об использовании компьютерных технологий. Компьютерные технологии могут быть могучим средством в образовании; однако они не панацея - ничего магического или автоматически хорошего в их применении нет. Технологии становятся мощным средством обучения лишь тогда, когда подготовленные преподаватели используют их для обогащения обучения студентов и развития их мышления. В этой статье я приведу лишь один пример того, как использовать динамические технологии, и пример опять будет взят из курса анализа.

Динамические технологии в математике такие, как Sketchpad, GeoGebra, Fathom, TinkerPlots и др., оказывают большое воздействие на математическое образование. Научные исследования показывают, что такое программное обеспечение обогащает обучение (например, Battista, 2007; Sträßer, 2002). Сам термин «динамические технологии» передаёт, что 1) действия при их использовании прямые (пользователь выбирает точку, перемещает её и т.п.); 2) движение при этом непрерывно (то есть изменения совершаются непрерывно в реальном времени); и 3) происходит погружение в среду (то есть пользователь чувствует себя так, как будто оперирует с объектами) (например, Finzer & Jackiw, 1998). В школьной математике динамическая геометрия, например, позволяет школьникам построить прямоугольник и потом перестраивать его в тысячи других прямоугольников, просто «таща» его вершину, таким образом предоставляя возможность взаимодействия школьника и двухмерного объекта. Интерфейс среди прочего позволяет увидеть, какие свойства не меняются во всех этих тысячах рассматриваемых случаях; например, школьники могут видеть, что во всех прямоугольниках диагонали имеют одинаковую длину. Динамическая природа технологии позволяет школьникам рассуждать по индукции, формируя и подтверждая гипотезы о двумерных фигурах, что может помочь пониманию важности одних свойств для наличия иных, тем самым развивая интуицию и готовя к проведению дедуктивных доказательств.

Прежде чем я перейду к обсуждению примера использования динамических технологий в преподавании анализа, я скажу о нескольких особенностях преподавания с помощью динамических технологий. Во-первых, продвинутый курс математики - это не место для обучения БУМСШ конкретным технологиям и деталям, это возможность для них получить опыт изучения математики с помощью технологий. Во-вторых, математика, которую студенты изучают в этом контексте, не школьная. Это означает, что и технологии должны соответствовать изучаемому. В контексте изучения вещественного анализа, то есть строгого и доказательного курса о вещественных числах и функциях вещественной переменной, нужны такие технологические возможности, которые помогут в изучении именно этого материала. Говоря точнее, мы используем то, что я называю динамической визуализацией доказательства. В-третьих, я исхожу из того, что динамические технологии особенно полезны, когда не преподаватель, а сами студенты

их используют. Таким образом, хотя динамические технологии могут быть использованы просто как наглядное сопровождение преподавательской лекции, я стараюсь строить преподавание так, чтобы студенты сами взаимодействовали с компьютерными технологиями (конечно, помощь преподавателя всегда при этом остаётся важным средством поддержки математических экспериментов студентов).

Динамическая визуализация доказательства в анализе

Вещественный анализ посвящен вещественным числам и функциям вещественной переменной, в том числе важную роль играет понятие бесконечности. Например, мы используем (бесконечные) последовательности, чтобы лучше понять свойства вещественных чисел; произвольно малые значения s помогают говорить о (бесконечно) малых величинах; и бесконечные процессы рассматриваются в построении различных доказательств. Можно сказать, что анализ берёт «статичные» объекты - числа или функции - и превращает их в «динамичные», рассматривая их с помощью бесконечных последовательностей. Потому использование динамических технологий для наглядности быть может особенно продуктивно в анализе. К тому же важнейшая задача курса - проведение доказательств (что, впрочем, справедливо для многих продвинутых курсов). Поэтому ниже я буду говорить именно о динамической визуализации доказательства.

Хотя наглядное может иногда служить препятствием при доказательстве (например, при использовании картинок, содержащих лишнюю информацию, которой нет в доказываемом утверждении), оно всё же важно, чтобы натолкнуть на мысль. Одна из принципиальных трудностей при проведении доказательств состоит в том, чтобы соединить общее утверждение с частными случаями и примерами, от которых, с одной стороны, отталкивается общее суждение и которыми, с другой стороны, оно подтверждается (или опровергается). Динамические технологии дают возможность не только сделать наглядными и общее и частное, но и взаимодействовать с ними. В контексте анализа динамическая визуализация доказательства была обеспечена средствами GeoGebra. При этом мы руководствовались несколькими соображениями. Во-первых, цель использования наглядности не только в том, чтобы убедить студента в справедливости или ложности утверждения, но и в том,

чтобы сознательно воспроизвести некоторые ступени или идеи доказательства с тем, чтобы помочь пониманию доказательства утверждения. Во-вторых, поскольку цель именно в том, чтобы помочь при доказательстве, то, что дано (условия), должно быть ясно высказано и его должно быть возможно изменять. В-третьих, нужно иметь возможность повторять процессы или рассуждения в доказательстве с тем, чтобы исследовать различные нюансы доказательства, в том числе то, почему рассуждение оказывается неверным, если данные условия несколько меняются. Наконец, соответствующая среда должна, как уже было сказано, представлять студентам возможность самим с ней взаимодействовать.

Теоремы о действиях с пределами последовательностей

Ниже я дам пример такой динамической визуализации доказательства в курсе анализа для будущих учителей, в котором планируется продемонстрировать образцы успешного преподавания с использованием динамических технологий. Я использую при этом тот же математический контекст, что и предыдущем примере, - теоремы о действиях с пределами, важные, как уже отмечалось, в любом курсе анализа. Ниже мы подробнее остановимся на визуализации доказательства одной из них - о сумме последовательностей. При доказательстве используется, разумеется, стандартное определение сходимости последовательности: последовательность (ап) сходится к вещественному числу а, если для каждого числа s> 0 найдётся натуральное число N такое, что если n>N, то \а - а\ < s. Даже если студенты знакомы с этим определением и понимают, как его себе наглядно представить, доказательство теоремы всё равно предполагает умение скоординировать использование этого определения несколько раз для трёх последовательностей. Надо, во-первых, понимать данную информацию, умея выбрать подходящее значение s > 0, которое должно быть как-то связано с последовательностью (ап+Ьп), но пониматься как обычное число, с которым можно манипулировать. Во-вторых, доказательство использует неравенство треугольника \{ап + Ьп) -(а + Ъ)\ = \(ая -а) + фп - Ь)\ < \ап - а\ + \Ъп - Ь\, показывающее, что погрешность суммы двух последовательностей (в смысле отклонения от предела) не больше, чем сумма погрешностей данных последовательностей. В-третьих, кроме того, что нужно подбирать различные s для демонстрации сходимости, в доказательстве нуж-

но ещё манипулировать с различными значениями N (то есть с, и N2\ которые должны быть достаточно большими и из которых надо выбрать нужное N. Во всех этих возможных трудностях динамическая наглядность при проведении доказательства оказывается полезной.

Динамическая наглядность при проведении доказательства: введение. Рисунок 3 показывает страницу из GeoGebra, построенную для достижения динамической визуализации доказательства. Она создана для того, чтобы преодолевать затруднения с s-N рассуждениями при работе с доказательством сходимости последовательности (ап+Ьп). Во-первых, туда включены имеющиеся данные - в рассматриваемом случае это последовательности (ап) и (Ьп) (задаваемые для упрощения формулами от п) и их пределы а и Ъ. Тут всё можно менять. Показываются первые несколько членов каждой последовательности и отклонение последующих членов от предела, так что использование неравенства треугольника в доказательстве может быть подтверждено примерами. Отметим начальный случайный выбор числа £, которое можно менять, как используя бегунок на экране, так и просто выбирая новое случайное значение. Показывается ^-окрестность для последовательности (ап+Ьп). Студентам также предлагается рассмотреть множитель для £, который определит s-окрестность и ^-окрестность для последовательностей (ап) и фп), простейший вариант - это Vi, но и другие множители могут подходить. (Изначально этот множитель не определён, но, когда он задан, обе е}- и ^-окрестности становятся наглядными - см. рисунок 4а.) Кроме того, даётся краткое описание утверждения и цели; бегунки для пх и п2 дают студентам возможность наглядно представить первые члены каждой последовательности. Изменения в последовательности (сходящейся или не сходящейся к определённому числу) становятся таким образом наглядными. Разбирая доказательство, студенты должны рассматривать общий случай, основываясь на том, что они знают о последовательностях и (Ьп), найти подходящее Л^для данного с для последовательности (ап+Ьп). Для ех- и ^-окрестностей студенты могут перемещать бегунок, пока часть последовательности (ап) после члена ат не окажется внутри ^-окрестности а, а часть последовательности (bj после члена аю не окажется внутри ^-окрестности Ъ. Студенты могут независимо манипулировать числом п; но в доказательстве они естественно определяют число 7V, используя значения Nx и NT полученные прежде, то есть берут max^, N2]. Когда это делается на компьютере, бегунок для п исчезает, и первые N членов последовательности

(я +è ) задаются автоматически (рисунок 4а). Меняя s в нескольких случаях и вручную поправляя Nx и N2 (а данная информация гарантирует их существование), студенты могут убедиться, что выбор N действительно удачен. На самом деле, если используются знакомые студентам последовательности (а^ и (èj, они могут в явном виде определить Nx как функцию от ех и N2 как функцию от s2 (рисунок 4Ь).

Рис 3. Страница из GeoGebra для обеспечения динамической наглядности при проведении доказательства

Рис. 4а. Построение N как наибольшего значения из N{ и N2

Рис. 4b. Построение N и N2, основанное на сходимости каждой из последовательностей

Ещё об использовании динамической визуализации доказательства. Как уже говорилось, одна из важных деталей использования компьютера при доказательстве теоремы о сходимости суммы двух сходящихся последовательностей с помощью определения на языке s-Ntsl, что такое использование позволяет изучить некоторые важные нюансы доказательства. Например, что происходит, если мы изменяем множитель, на который умножается взятое si Обычно при доказательстве берётся s/2 для (ап) и (Ьп), но это совершенно не обязательно. Можно, например, использовать и s/3. Это сделает sx- и ^-окрестности даже меньше, а значения Nx и Nr вообще говоря, больше, что в свою очередь и N сделает больше, что, разумеется, тоже подойдёт для ^-окрестности для последовательности (ап+Ьп) (см. рисунок 5а.) Доказательство меняется лишь незначительно: вместо +è ) - (a+b)\ < s/2+ s/2 = s» станет «\(an+bn) - (a+b)\ < s/3+ s/3= 2s/3 < s». Представляется интересным отметить, что студенты приобретают лучшее понимание доказательства, рассматривая множители, которые не приведут к доказательству, - например, рассматривая то есть вообще не меняя значение s. Как видно на рисунке 5Ь, и Nv и N2 легко определяются и в этом случае (для sl = s2=s), но максимальное из этих значений N совершенно не обязательно подходит для последовательности (ап+Ьп) -член (aN+bN) может быть и за пределами ^-окрестности а+Ь.

Рис. 5b. Установление неподходящего значения множителя (например, дающего s/l)

Динамическая визуализация доказательства вместе с возможностью взаимодействовать с объектами и менять какие-то данные помогает лучше понять суть теоремы о действиях с пределами последовательностей и её доказательство, в том числе проясняя такие вопросы, как сходимость последовательности и операции с различными s и N и их использование при доказательстве. Динамическая природа прово-

димого рассуждения полезна именно тем, что студенты могут видеть, что происходит с самыми разными последовательностями, что в свою очередь обогащает и углубляет понимание логики доказательства. На БУМСШ, обучающихся в условиях применения динамических технологий, это, скорее всего, окажет большое воздействие, и они будут и сами стремиться применять такие методы в своём будущем преподавании.

Обсуждение и заключение

Хотя нерешённых вопросов о преподавании продвинутых курсов математики в ходе подготовки будущих учителей много, в данной статье мы сосредоточились лишь на обсуждении продуктивного преподавательского опыта проведения таких курсов (а не на достоинствах и недостатках содержания таких курсов), то есть преподавания, имеющего потенциал для подготовки учителей и предоставляющего им полезные для этого занятия. Хотя, разумеется, более широкие вопросы, которые могут быть поставлены, в данной статье мы не пыталась разрешить, два подхода, здесь описанные, как представляется, могут быть полезными людям, преподающим соответствующие курсы.

Модель преподавания, опирающаяся на практику и обращающаяся к применению на практике, нацелена на то, чтобы поместить углублённое изучение математики в контекст подготовки БУМСШ к их будущей профессиональной деятельности. Важно ещё раз подчеркнуть, что мы несколько расширяем границы обычно обсуждаемого - мы размышляем не столько о том, чтобы связать содержание углублённого курса и школьного курса, сколько о том, чтобы связать углублённый курс с тем, как преподавать школьный. Разумеется, отсюда ясно, что определённые педагогические идеи включаются в задачи курса; другими словами, у курса появляются не только математические, но и педагогические цели, в том числе цель знакомства БУМСШ с опытом успешного преподавания (например, курса анализа, как в этой работе). БУМСШ должны научиться 1) прояснять математические недочёты в рассуждениях студентов и 2) подбирать примеры, дабы показывать тонкости и нюансы той или иной математической идеи. При этом эти педагогические цели должны быть связаны с математическими: в рассмотренном случае именно изучение теоремы

из анализа позволило студентам понять тонкости округления чисел и улучшило умения БУМСШ подбирать примеры, дабы показать те или иные существующие ограничения.

В связи с таким подходом, основанном на связи содержания курса с конкретными педагогическими ситуациями, мы описали и одно направление демонстрации успешного педагогического приёма - использования динамической технологии. Использование динамической визуализации доказательства при изучении анализа было сознательно задумано как идущее в параллели к более широкому применению такой технологии. В данном случае оно, безусловно, очень полезно и к тому же даёт возможность студентам (повторим, а не только преподавателям) взаимодействовать с технологией. Такое преподавание делает возможным и открытое обсуждение с БУМСШ некоторых общих идей об использовании динамических технологий. Можно сказать, что описанный педагогический подход дополнял те идеи - опоры на практику и возвращения к практике, - о которых шла речь. Если обращение к педагогическим ситуациям помогает установить связь содержания курса анализа с педагогической практикой в средней школе, то использование динамической технологии можно считать шагом к обучению успешному преподаванию. Преподавание теоремы о действиях с пределами последовательностей может протекать по-разному, идея следования моделям успешного преподавания связана с тем, как именно тот или иной преподаватель его осуществляет. Динамическая визуализация доказательства - это лишь один способ такого следования, он не только полезен для изучения запланированного содержания, но к тому же даёт возможность БУМСШ ещё раз задуматься о том, как им самим строить преподавание, опираясь на собственный студенческий положительный опыт.

В соединении два описанных подхода (связь с педагогическими ситуациями и следование моделям успешного преподавания) могут сделать преподавание продвинутого курса будущим учителям более связанным с их будущей профессиональной деятельностью. Разумеется, ещё много надо сделать, чтобы улучшить подготовку будущих учителей математики, в частности определяя и выясняя, что именно надо учить для того, чтобы успешно преподавать (эта задача включает выяснение роли высшей математики в преподавании более элементарной). Хочется думать, однако, что два подхода, намеченные в этой статье, полезны для подготовки будущих учителей математики.

Литература

Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Battista, M.T. (2007). The development of geometric and spatial reasoning. In F.K. Lester, Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 843-908). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Conference Board of the Mathematical Sciences. (2001). The mathematical education of teachers (MET I). Retrieved from: http://cbmsweb.org/METDocument/

Conference Board of the Mathematical Sciences. (2012). The mathematical education of teachers II (MET II). Retrieved from: http://www.cbmsweb. org/MET2/MET2Draft.pdf

Cuoco, A. (2001). Mathematics for teaching. Notices of the AMS, 48(2), 168-174.

Darling-Hammond, L. (2000). Teacher quality and student achievement: A review of state policy evidence. Educational Policy Analysis Archives, 8(1).

Finzer, W., & Jackiw, N. (1998). Dynamic manipulation of mathematical objects. Retrieved from: http://www.dynamicgeometry.com/General_ Resources/Recent_Talks/Sketchpad_40_Talks/Dynamic_Manipulation. html

Klein, F. (1932). Elementary mathematics from an advanced standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis (trans. Hedrick, E.R. & Noble, C.A.). Mineola, NY: Macmillan.

McCrory, R., Floden, R., Ferrini-Mundy, J., Reckase, M.D., & Senk, S.L. (2012). Knowledge of algebra for teaching: A framework of knowledge and practices. Journal for Research in Mathematics Education, 43(5), 584-615.

Monk, D.H. (1994). Subject area preparation of secondary mathematics and science teachers and student achievement. Economics of Education Review, 13(2), 125-145.

Powell, A.B., & Hanna, E. (2006, July). Understanding teachers'mathematical knowledge for teaching: A theoretical and methodological approach. In Proceedings of the 30th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 369-376).

Rowland, T, Huckstep, P., & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers' mathematics subject knowledge: the knowledge quartet and the case of Naomi. Journal of Mathematics Teacher Education, 8(3), 255-281.

Sträßer, M. (2002). Research on dynamic geometry software (DGS) - an introduction. The International Journal on Mathematics Education, 34(3), 65.

Ticknor, C.S. (2012). Situated learning in an abstract algebra classroom. Educational Studies in Mathematics, 81(3), 307-323.

Wasserman, N., Fukawa-Connelly, T., Mejia-Ramos, J.R, & Weber, K. (in press). Making real analysis relevant to secondary teachers: Building up from and stepping down to practice. PRIMUS, X(ХХ)..

Zazkis, R., & Leikin, R. (2010). Advanced mathematical knowledge in teaching practice: Perceptions of secondary mathematics teachers. Mathematical Thinking and Learning, 12(4), 263-281.

Сол Гарфанкел

СОМАР

ДОБИВАЯСЬ КУЛЬТУРНЫХ ПЕРЕМЕН

Перед читателем история, пересмотренная с личных позиций. Примерно 50 лет назад я пришёл к выводу, что американское математическое образование должно быть радикально изменено. На мой взгляд, математическое образование должно отказаться от преимущественной заботы о подготовке математиков и сосредоточиться прежде всего на обучении всех людей. Оставив обсуждение разумности этого положения за рамками статьи и приняв его за предмет веры, зададимся вопросом: что же из того следует? Опуская много шагов и остановок и описание энтузиазма юности, сформулирую ещё один предмет веры: обычный школьник лучше выучивает математику, если видит смысл в том, чтобы её учить, - смысл в реальной жизни. Это же ведёт к математическому моделированию. У меня поначалу не было никакого серьёзного опыта в моделировании и приложениях (я занимался математической логикой), но мне повезло - моим наставником был Генри Поллак.

Тут встает вопрос, как же добиться такой смены парадигмы в системе образования, которая сопротивляется ЛЮБЫМ переменам? Здесь приходит черёд ещё одного предмета веры: из ничего ничего и не выйдет. Иными словами, недостаточно (кроме как, возможно, во Франции!) просто отстаивать философскую позицию, что надо всё поменять, надо показать людям конкретно, что вы имеете в виду, говоря о переменах. Мы и начали что-то делать. Мы создали организацию, цель которой - разрабатывать материалы для учителей и учеников, воплощающие нашу философию.

Начали мы с малого, как в смысле того, что наша группа была очень мала, так и в смысле того, что мы делали. Мы разрабатывали программные модули для студентов четырёх младших курсов, которые были рассчитаны примерно на час. Эти модули могли быть использованы в течение всех лет подготовки бакалавра, причём для их изучения ничего дополнительно не надо было изучать. В каждом из них изучался какой-то раздел математики посредством какого-то приложения

или модели. Их рецензировали не только академические математики, но и учителя и практики-прикладники.

Рис. 1. Примеры модулей

Разумеется, нет полного, заранее заготовленного набора материалов, представляющего все возможные способы использовать вузовскую математику. Новые приложения придумывают каждый день. Стало быть, нужно было организовать процесс, который можно продолжать и поддерживать. Больше того, мы хотели, чтобы наша работа считалась частью академической деятельности, так чтобы на неё распространялись обычные в академическом мире способы выражения признания.

Чтобы добиться и того, и другого, мы основали UMAP Journal. Это журнал о моделировании и приложениях математики и материалах, готовых для использования студентами. Присылаемые в журнал статьи рецензируются, и только лучшие из присланных публикуются. Журналу идёт 37-й год, и, как и в любом научном журнале, авторы

и рецензенты считают работу в нём частью своих академических обязанностей. Публикации в журнале учитывают в академическом мире, когда принимают решения о выдвижении автора на научную позицию или о предоставлении постоянного места работы.

Рис. 2. Несколько обложек журнала UMAP

Ещё немного истории. UMAP начал функционировать в конце 70-х, используя средства, предоставленные Национальным научным фондом (National Science Foundation, NSF). В те годы практически всё федеральное финансовое обеспечение от NSF шло в высшие учебные заведения. Работы со школой (К-12) практически не было. Ситуация изменилась в 1983-1984 годах, когда было опубликовано несколько докладов, начиная с «Риск для страны» («А Nation at Risk»). Этот доклад хвалил американское вузовское математическое и естественнонаучное образование, но указывал на изъяны на уровне школы. В результате средства были изысканы и для начального и среднего математического и естественнонаучного образования.

СОМАР надеялся опереться на наши успехи в вузах и действительно вскоре получил несколько грантов, чтобы подготовить модули о приложениях и моделировании для школьников.

Рис. 3. Примеры модулей для школьников

Эта работа помогла подготовить философскую базу для Стандартов, разработанных Национальным советом учителей математики (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) в 1989 году. Этот документ в свою очередь привёл к проведению многочисленных программных экспериментов в школе (К-12), которые оказали существенное воздействие на появление задач из реального мира на всех академических уровнях. Одна из программ для старших классов была разработана СОМАР и называлась «Математика: моделируя наш мир» («Mathematics: Modeling Our World»).

Рис. 4. Моделируя наш мир (обложки)

Тут мне надо быть очень осторожным, чтобы не слишком расхвастаться. Всё равно большая часть того, что сейчас преподаётся, очень традиционна. Нет, однако, сомнения, что с изменениями в технологии и болезненным признанием важности межпредметного подхода к преподаванию математики и естествознания ситуация меняется - даже для тех, кто специализируется на математике и работе с математически одарёнными учениками.

Ещё одно, последнее обращение к прошлому: в 1984 году СОМАР получил маленький грант на три года от Министерства образования (Department of Education), чтобы основать университетское Соревнование в моделировании (Mathematical Contest in Modeling). В первый год проведения в МСМ участвовало 90 команд из 70 американских вузов.

Рис. 5. Объявления о соревновании в моделировании

В 1999 году мы создали параллельное соревнование, названное ICM, в котором предлагались межпредметные задачи, для решения которых нужно было обладать знаниями и за пределами математики. До того в соревновании участвовали в основном американские университеты и росло число участников очень скромно. В 2005 году всё это изменилось: в соревновании активно стали принимать участие китайские команды.

Рис. 6. Таблица, показывающая рост числа цчастников MCM/ICM

В 2016 году было зарегистрировано 12 734 команд, причём 12 200 из Китая. Изначально, когда мы просили грант, мы говорили, что задача соревнования не в том, чтобы награждать одарённых, напротив, смысл состоит в том, чтобы пропагандировать преподавание и изучение моделирования. Можно не сомневаться, что эта стратегия была успешной. Благодаря этим соревнованиям и нескольким другим, по их подобию, курсы моделирования были добавлены в университетские программы во многих странах, в том числе в США и в Китае.

Интересно, однако, что школьные программы переменам сопротивляются. Отчасти это объясняется неким общим для многих стран феноменом: в университетах и сотрудники, и организации довольно гибки и могут менять и содержание курсов, и время, когда они преподаются. Нередко профессиональные общества математиков берут на себя руководство, но, даже если они консервативны и не торопятся что-либо менять, их не сравнишь с руководством школ. В большинстве случаев школьные программы определяются министерствами образования, то есть частью государственной бюрократии. Кроме того, во многих странах есть заключительный школьный экзамен, который считается очень важным, и программа очень крепко привязана к этому экзамену.

Так как же влиять на эту систему? Один способ - это продолжать развивать то, что уже было сделано. MCM/ICM становится всё более престижным соревнованием для университетов, и это влияет на школы (особенно элитные). Следующий естественный шаг - это учредить соревнования для старших классов. В конце 90-х мы начали HiMCM -школьную версию МСМ. Мы ввели несколько другие правила, чтобы соответствовать расписанию средней школы, но задачи, по сути дела, остаются того же типа, и само соревнование, как и МСМ, - это настоящее командное соревнование, в котором на решение задачи отводится много времени. Отметим, однако, различие: в HiMCM принимают участие около 950 команд, больше половины которых теперь из Китая.

Но всего этого недостаточно. Чтобы оказать воздействие на политическое руководство школ, надо сделать больше. В 2015 году мы учредили Международное соревнование в математическом моделировании (International Mathematical Modeling Challenge, IMMC).

Рис. 7. ЛОГО IMMC

Это соревнование в стиле Олимпиады. В частности, каждая участвующая страна может выставить две команды. Каждая команда состоит из четырёх школьников. Организационный комитет IMMC, который я возглавляю и в котором состоит Владимир Дубровский, не указывает странам, как выбрать команды, которые будут их представлять. Отбор задач и оценка решений осуществляется отдельной группой экспертов. Опять-таки из-за трудностей с расписанием команды сами выбирают пять последовательных дней для работы над задачами, начиная с любого дня в период, отведённый для соревнования (с середины марта до середины мая). Проверка выполняется в начале июня, и выдающиеся команды приглашаются на церемонию награждения. В прошлом

году церемония состоялась в ходе Международного конгресса по математическому образованию (ICME) в Гамбурге, где выдающиеся команды представили свои работы международной аудитории.

Рис. 8. Организационный комитет и группа экспертов IMMC

В первый год соревнования в нём участвовали 17 команд из 10 стран. В прошлом году было уже 40 команд из 23 стран.

Рис. 9. Список стран-участниц IMMC-2016

Можно предполагать, что в 2017 году эти числа заметно вырастут.

Чтобы дать представление о характере задач IMMC, упомянем задачу 2015 года о производстве фильма и задачу 2016 года о страховке соревнований по бегу на случай выплаты специальной премии за установление мирового рекорда.

Рис. 10. Плакаты для соревнований 2017 и 2016 года

Итак, IMMC представляет собой попытку повлиять на школьные программы, создавая престижное международное соревнование. Но как это может произойти? Представьте себе учителей или даже администраторов, до которых доходит весть, что моделирование -это важное дело. Что же они будут делать, притом что, скорее всего, они понятия не имеют, что такое моделирование? Чтобы им помочь, мы создали «Указания для оценки и преподавания математического моделирования» (GAIMME - Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education).

Рис. 11. Обложка GAI MME

Процитируем предисловие к GAIMME:

Главная цель создания GAIMME была такова. Несмотря на всю пользу, которую приносит демонстрация того, как математика помогает анализировать и направлять решения трудных задач из реальной жизни, многие люди всё же очень редко сталкиваются с математическим моделированием. Мы хотели дать более ясную картину того, что же это всё-таки такое как процесс (и объяснить, чем математическое моделирование не является), а также показать, как обучение моделированию помогает школьникам взрослеть, продвигаясь от класса к классу независимо от того математического знания, которым они обладают.

Вдобавок, благодаря Teachers College, Columbia University, мы подготовили три справочника по моделированию. Целью этих публикаций было снабдить учителей начальной и средней школы набором упражнений на моделирование, которые они могли бы использовать со своими школьниками. Эти материалы пригодятся и при подготовке учителей, и в их профессиональном совершенствовании. Разумеется, всё это только начало. Как я и писал вначале, культурные перемены трудны и не свершаются в один день. Мы начали с того, чтобы добиться лучшего понимания важности математического моделирования.

Мы показали, что математическое моделирование может быть введено на любом образовательном уровне. Теперь нам надо убедить учителей, что предлагаемая смена парадигмы не только желательна, но и достижима, и предоставить им нашу полную поддержку в достижении этой цели.

Рис. 12. Контактная информация

В.Н. Дубровский,

СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова;

В.А. Булычёв,

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТОР» И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

Рутинность школьной математики и её оторванность от жизни (как и от самой математической науки) всегда были предметом обсуждений и одной из главных причин реформирования математического образования в разное время и в разных странах. Полностью избавиться от этих недостатков (если вообще считать их таковыми) вряд ли возможно, поскольку для подавляющего большинства школьников и их родителей, что бы там ни говорили передовые учителя и методисты, важнейшей целью остаётся успешная сдача выпускного экзамена, который служит пропуском в университет. Тем не менее стремиться хотя бы к частичному избавлению от них нужно, иначе интерес к предмету будет настолько снижен, что не подействуют уже никакие практические выгоды от его изучения. Именно этим объясняется постоянный поиск таких приёмов обучения математике, которые даже в малых дозах способны стимулировать интерес к ней у самых разных категорий учащихся. Один из таких способов, предложенный давно и имеющий разнообразные формы, - попытаться смоделировать для ученика ситуацию, близкую к деятельности профессионального математика-исследователя, включающей среди прочего постановку и проведение математических экспериментов, наблюдение за их результатами, их анализ, создание и проверку гипотез, умение сделать выводы из наблюдений и обосновать их логическими рассуждениями. Такого рода деятельность позволяет зачастую решить обе задачи: сделать учебный процесс более интересным и приблизить его к реальной жизни. Инструмент, позволяющий школьникам самых разных уровней подготовки выполнять собственные математические эксперименты и исследования, был создан около 25 лет назад. Мы говорим о программах динамиче-

ской геометрии, область применения которых в ходе их развития расширилась практически на всю школьную (и не только) математику, так что в настоящее время программы этого типа чаще называют интерактивными математическими системами (ИМС). Первые ИМС, The Geometer's Sketchpad (в русской версии «Живая математика») и Cabri, были с большим энтузиазмом приняты международным математическим сообществом и признаны наиболее удачной находкой в области образовательных информационно-компьютерных технологий. С тех пор появилось множество аналогичных программ; наибольшее распространение сегодня благодаря своей бесплатности получила, по-видимому, Geogebra. Уже более 10 лет интерактивная математическая среда «Математический конструктор» (МК) (Математика, 2015) выпускается и в России. Её отличительной особенностью является глубоко продуманный, удобный интерфейс с оригинальными дополнительными инструментами и средствами настройки, разработанными на основе многолетней практики использования различных ИМС. Следует сказать, что авторы статьи имеют прямое отношение к созданию и развитию «Математического конструктора», поэтому приводимые ниже конкретные примеры реализованы именно к этой программе, хотя в принципе могут быть перенесены и в большинство других ИМС.

За последние 10-15 лет доля участников учебного процесса, знакомых с интерактивными математическими системами, увеличилась во много раз, появились богатые коллекции готовых моделей в формате этих программ и обширная литература. Однако их реальное применение на уроках математики, к сожалению, всё ещё очень ограничено. Конечно, никто не рассчитывает на то, что эти ресурсы и вообще новые информационно-компьютерные технологии смогут одномоментно решить современные проблемы образования, в частности математического, о котором мы здесь говорим. Но и игнорировать тот факт, что компьютер, интернет, всевозможные гаджеты стали неотъемлемой частью среды, окружающей сегодня ученика и учителя, невозможно, тем более что, как отмечено выше, многие разработки в этой области действительно способны придать новые качества учебному процессу. Что же мешает массовому внедрению ИМС в преподавание математики?

Чтобы компьютер использовался на уроках систематически, нужно обеспечить выполнение как минимум двух условий. Первое техническо-организационное. Это прежде всего наличие необходимого оборудования и программного обеспечения, но не менее важна и возможность «гладкого», не требующего больших усилий и времени перехода от ведения урока обычным способом к уроку с использованием технологий и обратно. Второе условие «содержательное»: дополнительные затраты времени на подготовку к урокам и на самих уроках, которые неизбежно требуются от учителя, желающего активно применять в своей работе компьютерные методики и ресурсы, должны компенсироваться более высокой по сравнению с традиционными средствами учебной эффективностью этих материалов. То есть компьютерные модели и задания за счёт большей мотивации и интереса учащихся, подключения дополнительных каналов получения информации, новых постановок задач должны обеспечивать лучшие или как минимум те же результаты, что и обычные формы обучения, но быстрее.

Современное техническое оснащение школ, как правило, позволяет использовать на уроках компьютер с проектором. А вот организовать на постоянной основе индивидуальную работу учащихся на компьютерах во время урока сложнее: здесь можно рассчитывать или на мобильные компьютерные классы, так как классы с достаточным числом настольных компьютеров обычно отданы урокам информатики, или на использование личных ноутбуков или планшетов. Оба эти способа имеют свои недостатки; так или иначе, в России, да и во многих других странах, школы которых довелось посетить авторам, они встречаются редко. Поэтому пока что преобладающей формой использования ИМС на уроках оказывается фронтальная работа с классом, при которой сложно привлечь к активной учебной деятельности всех учащихся. Между тем главная ценность ИМС с точки зрения содержания поддерживаемой ими учебной деятельности состоит в том, что они предоставляют пользователю инструментарий для математических экспериментов и исследований, то есть видов деятельности преимущественно индивидуальных.

Мы расскажем об одной удачной форме работы с использованием ИМС на регулярной основе, развиваемой в Специализированном учебно-научном центре (СУНЦ) МГУ в рамках отдельного предмета «Математический практикум». Она свободна от организа-

ционно-технических проблем и в то же время вовлекает в индивидуализированную экспериментально-исследовательскую деятельность всех учащихся. Помимо конкретных знаний и компетенций, которые ученики получают в результате выполнения заданий практикума, они приобретают прочные навыки работы с программой и понимание её возможностей, она становится их рабочим инструментом при решении обычных математических задач. Прежде чем рассказать о структуре и заданиях «Математического практикума», несколько слов о СУНЦ МГУ.

Физико-математическая школа-интернат при МГУ была открыта в 1963 году, а впоследствии вошла в структуру университета на правах факультета (СУНЦ) и получила второе название «Школа им. А.Н. Колмогорова». Основная цель этой школы - предоставить детям, не имеющим доступа к крупным университетским центрам, возможность проявить и развить свои способности в области математики, физики и других естественных наук. Опыт работы этой и ещё нескольких аналогичных школ, открытых одновременно с ней, по поиску и обучению одарённых детей оказался весьма успешным, и по их образцу со временем было организовано множество школ такого типа в разных странах по всему миру, в том числе в США. В то же время такие школы с самого начала служили прекрасной экспериментальной площадкой для разработки новых форм и методов обучения, включения в школьную математику новых для неё тем, оказывая существенное влияние на эволюцию математического образования в массовой школе. «Математический практикум» занимает достойное место среди этих новых форм.

Этот предмет был включён в программу ФМШ одним из создателей школы, академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым, вскоре после её открытия. В общих чертах практикум устроен так: читается установочная лекция по очередному заданию, затем выдаются листки с теоретическим материалом и варианты заданий в количестве, достаточном для того, чтобы каждый учащийся получил собственный вариант; некоторые задания рассчитаны на выполнение небольшими группами. Задания выполняются в течение двух-трёх недель, как правило, во внеурочное время. Результаты выполнения могут обсуждаться на заключительном занятии. Практический характер заданий выражается в том, что в них требуется

произвести вычисления, начертить какие-то графики, диаграммы, чертежи, склеить модели заданных многогранников и т.д. Более подробно познакомиться с математическим практикумом, который на многие годы стал отличительной чертой курса математики в ФМШ при МГУ, с его идеологией, историей и конкретными заданиями можно в статье Вавилова (2013). К сожалению, со временем по ряду причин организационного и методического характера практикум как отдельный математический предмет в ФМШ прекратил своё существование. Немаловажную роль сыграло в этом и всё более широкое распространение персональных компьютеров и соответствующего программного обеспечения, в результате которого многие задания в своей исходной форме потеряли смысл или морально устарели. Так, изначально вычисления надо было проводить вручную, с помощью таблиц или логарифмической линейки, а графики чертить по точкам на миллиметровой бумаге. И хотя такого рода деятельность и в наши дни имеет определённый смысл при изучении математики, нынешний школьник, вооружённый современными компьютерами и другим оборудованием, воспринимает её как явный анахронизм. Сама идея регулярного выполнения практических работ по математике нисколько не утратила актуальности, но нужно было так переформулировать старые задания и придумать новые, чтобы наличие компьютера не «убивало» их, а, наоборот, усиливало их эффективность. Эта работа была активизирована в последние годы и уже дала свои результаты - математический практикум как отдельный предмет вернулся в учебный план СУНЦ. Программной основой для новых компьютерных заданий стал «Математический конструктор». Конечно, эти и аналогичные задания можно выполнять и с помощью других сред динамической математики. В частности, обширная коллекция разнообразных лабораторных работ, многие из которых берут начало в заданиях математического практикума ФМШ, составила ядро образовательного комплекса Дубровский и др. (2004), где они были реализованы в формате программы «Живая геометрия».

Особенностями обновлённого компьютерно-математического практикума в школе Колмогорова, тесно связанными с функционалом ИМС, являются повышение доли конструктивных задач, расширение возможностей для самообучения и самопроверки, экспе-

риментально-исследовательской деятельности. Ниже мы приводим несколько примеров заданий нового практикума. Отметим, что их компьютерная форма упростила работу преподавателя: выполненные задания высылаются на проверку электронной почтой, а сама проверка проводится путём «шевеления» исходных данных: достаточно убедиться, что конструкция остаётся при этом устойчивой. Обычно корректность конструкции сама по себе говорит и о том, что учащийся усвоил сопутствующий теоретический материал; иногда этот материал включается в программу коллоквиума или зачёта по соответствующей теме. Необходимо сказать, что сами по себе задания в форме практикума вовсе не требуют отдельного предмета в учебном плане, их можно давать и в рамках обычных школьных математических предметов. Да и практикум в СУНЦ не сводится только к этим заданиям: в течение учебного года они выдаются только пять-шесть раз.

Теперь можно перейти к примерам. Первые три из них посвящены построениям в пространстве, точнее, на изображениях пространственных фигур - области, в которой динамические модели, как показывает опыт, наиболее охотно используются учителями. Отметим, что некоторые программы динамической геометрии имеют специальную компоненту для создания моделей трёхмерных объектов и различных построений на них. Но ценность таких программ при изучении стереометрии в школе спорна: можно ли научиться, например, строить сечения, если за вас это делает компьютер? Мы считаем, что для целей школьного курса вполне достаточны и даже более полезны построения, выполняемые в «двумерных» программах (подробнее этот взгляд изложен в работах Дубровский, 2003; Dubrovsky, 2004).

Построение сечений. Развитие пространственного воображения является как одной из главных целей предмета «Стереометрия», так и основой его успешного освоения. С этой точки зрения тема «Построение сечений» играет в курсе стереометрии важнейшую роль. К сожалению, уделяемое ей в учебных планах по этому предмету время явно недостаточно. Тот факт, что задачи на построение сечений, как, впрочем, и любые задачи на построение, остаются на обочине школьного курса геометрии и, как следствие, отсутствуют на экзаменах, в частности на ЕГЭ, возможно, объясняется

и трудоёмкостью их проверки. В данном практикуме сечения строятся на компьютерных моделях многогранников, которые можно вращать вокруг двух осей. Это как раз тот случай, когда проблема проверки практически снимается. Отслеживать все проведённые построения не нужно: если конструкция не разрушается при вращении модели и вариации точек, задающих сечение, в чём можно убедиться за несколько секунд, то можно быть уверенным, что построение правильное. Подчеркнём, что построения здесь проводятся точно так же, как если бы они выполнялись на бумаге, но благодаря возможности смены ракурса учащийся может увидеть, что на самом деле строится в пространстве, и проконтролировать свои действия. Практикум представляет собой серию из 10-15 заданий возрастающей сложности, начиная с самых простых, из школьного учебника. В каждом задании дан какой-то стандартный многогранник и три точки на его рёбрах или гранях и требуется построить многоугольник, по которому плоскость, проходящая через эти точки, пересекает многогранник. В ходе выполнения заданий ученик должен сам открыть для себя основные приёмы построений и научиться ими пользоваться. Данный практикум позволяет минимизировать отводимое на построение сечений время уроков без потери качества обучения. Впервые такая серия заданий была разработана для образовательного комплекса (Дубровский и др., 2004), и с тех пор они были многократно и с успехом опробованы в разных школах и даже в разных странах, в том числе и в форме лабораторной работы в классе.

Сечения-2. По истечении некоторого времени после первого практикума на построение сечений для повторения и закрепления даётся второй. Он содержит только одно, но гораздо более сложное задание для каждого учащегося, которое также выполняется на вращающейся модели. Ответ к одному из заданий представлен на рисунке 1. Формулируется оно так: дано вращающееся изображение треугольной призмы; через каждое ребро призмы проводится плоскость, параллельная диагонали боковой грани (этим условием плоскости задаются однозначно); требуется построить изображение выпуклого многогранника, ограниченного этими плоскостями, и сечение этого многогранника плоскостью, проходящей через три точки, данные на рёбрах призмы.

Рис. 1

Успешное выполнение задания такого типа - надёжное свидетельство того, что тема усвоена.

Изображения многогранников. Задания этого практикума формулируются примерно так: дана декартова система координат и определённым образом расположенный относительно неё многогранник (правильный или полуправильный); требуется построить параллельную и центральную проекции этого многогранника после поворота вокруг заданной оси на заданный угол. Для выполнения этого практикума требуются знания из большинства разделов стереометрии: о правильных многогранниках, о свойствах проекций, о расстояниях и углах в пространстве, о движениях пространства. На установочной лекции учащимся кратко рассказывается, как задавать повороты с помощью матриц и как вычислять координаты проекций точек по координатам самих точек.

Результаты выполнения данного практикума приятно удивили. Ученики самостоятельно научились умножать матрицы и разобрались в геометрическом смысле операции умножения, изучили матричный инструментарий МК, а многие «перевыполнили план» и построили динамические модели, в которых можно произвольно изменять направление оси вращения и угол поворота, а также положение центра проекции. На рисунке 2 показана одна из таких моделей вместе с «ползунками», задающими длину г ребра многогранника (в данном случае шестиугольной антипризмы с равными рёбрами), угол ф, задающий

положение оси призмы, и угол а поворота вокруг этой оси; параметр d относится к центральной проекции, которая на этом рисунке не показана.

Рис. 2

Описанные практикумы обладают важным качеством: они хорошо адаптируются как к уровню класса, так и к каждому отдельному ученику. Если первый практикум на сечения базируется на стандартных заданиях, наиболее простые из которых входят в программу обычной школы, то второй - это задание на ту же тему, требующее и более развитого пространственного воображения, и изобретательности, а третий уже существенно выходит за рамки стандартной программы. В то же время в рамках одного практикума ученик, наряду с базовой задачей, программой-минимум, получает и более интересные задания повышенной сложности, которые требуют самостоятельного изучения необходимого теоретического материала; эти задания оцениваются отдельно.

«Восстановление многоугольников». Пусть на плоскости был нарисован многоугольник и отмечены середины его сторон. Сотрём многоугольник, оставив лишь отмеченные середины. Можно ли и как восстановить стёртый многоугольник? Эта известная задача стала одним из источников заданий данного практикума. Другой источник - так называемая теорема Наполеона (обе задачи можно найти в книге Яглома, 1955):

Центры А , Bv Сх правильных треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону, являются вершинами правильного треугольника (рисунок 3).

Рис. 3

Теорему Наполеона можно преобразовать в задачу на построение, аналогичную вышеприведённой задаче о серединах сторон: пусть даны три точки A 1? ВхиСх; требуется восстановить по ним треугольник ABC так, чтобы они оказались центрами правильных треугольников, построенных на его сторонах. Легко составить множество разнообразных задач этого типа. Например, в «задаче Наполеона» можно считать заданными не центры, а вершины надстроенных правильных треугольников или взять центр одного из них, вершину другого и середину оставшейся стороны треугольника ABC (см. рисунок 4) и т.д. В самом общем случае треугольник ABC нужно восстанавливать по точкам Av Bv Сх так, чтобы каждый из треугольников АХВС, АВХС и АВСХ имел заданный набор углов. Также можно «восстанавливать» не только треугольники, но и многоугольники с любым числом сторон (как в задаче о серединах сторон).

Рис. 4

Поясним математическую суть этих задач.

Если в «задаче Наполеона» (рисунок 3) последовательно выполнить повороты на 120° против часовой стрелки вокруг точек Bv Ах и Cv то точка А сначала перейдёт в В, затем в С и, наконец, вернётся на место, то есть она является неподвижной точкой композиции этих трёх поворотов. Можно доказать, что при любом расположении центров такая композиция есть параллельный перенос, причём он имеет неподвижную точку, то есть является тождественным преобразованием, тогда и только тогда, когда центры поворотов образуют правильный треугольник. (Отсюда и вытекает теорема Наполеона.) Поскольку в этом случае любая точка плоскости будет неподвижной точкой композиции, вершину А восстанавливаемого треугольника можно выбирать произвольно, то есть задача имеет бесконечно много решений. В случае если точки Av Вх и Сх должны быть не центрами, а вершинами надстроенных треугольников, нужно рассмотреть композицию поворотов вокруг этих точек на 60°. Эта композиция есть поворот (на 180°), а значит, она имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, в этом случае наша задача имеет единственное решение при любом расположении точек Av Вх и Су Аналогичным образом рассматриваются и другие задачи этого типа, причём место поворотов

могут занимать другие виды преобразований, например поворотные гомотетии или осевые симметрии. Как и в рассмотренных выше примерах, такие задачи либо имеют единственное решение при любых данных точках, либо, вообще говоря, решений не имеют, но при некоторых особых расположениях данных точек имеют бесконечно много решений. Изучая эти особые расположения во втором случае, можно обнаружить интересные геометрические факты, такие как та же теорема Наполеона.

Каждый вариант практикума «Восстановление многоугольников» состоит из двух заданий, в одном нужно «восстановить» треугольник, в другом - четырёхугольник; кроме того, одно из заданий относится к первому из описанных случаев, а другое - ко второму. Помимо собственно построения, требуется провести и исследование разрешимости и числа решений. В СУНЦ данный практикум проводится в 10-м классе в конце изучения темы «Преобразования подобия плоскости» и не только выполняет обучающую функцию, но и является весомой частью зачёта по этой теме. Подробный разбор двух относительно простых задач на восстановление многоугольника и методические рекомендации по работе с соответствующими моделями, включёнными в «Коллекцию» (Математика, 2015), можно найти в работах Дубровского (2011б, 2012).

Пользуясь «Математическим конструктором», задания данного практикума можно выполнять на трёх уровнях:

• на экспериментально-исследовательском уровне с помощью геометрических преобразований, отвечающих способу привязки данных точек к искомому многоугольнику, строится динамическая модель, позволяющая экспериментально выяснить, к какой из указанных выше ситуаций относится данное задание, и найти решение приближённо, «подгонкой»;

• на конструктивном уровне выполняется построение, дающее все решения, если они существуют; следует сказать, что в большинстве вариантов возможны построения, не требующие нахождения и исследования композиций преобразований;

• на теоретическом уровне даётся полное исследование задания (которое сводится к изучению множества неподвижных точек композиции соответствующих преобразований подобия) и построение осуществляется на основе этого исследования.

От учащихся СУНЦ требуется выполнение заданий на втором или третьем уровне проработки. Отдельным бонусом награждаются решения, в которых для второго из описанных выше случаев (с бесконечным числом решений при специальном выборе данных точек) условие существования решения сформулировано и доказано как отдельная теорема (по образцу теоремы Наполеона) и тем самым самостоятельно сделано маленькое математическое открытие. Например, исследование конструкции на рисунке 4 даёт такое утверждение:

если точки Вхи Сх- это вершина и центр правильных треугольников, построенных на двух сторонах произвольного треугольника ABC, а точка Ах - середина третьей стороны, то треугольник А]В]С] будет прямоугольным с острыми углами 30 и 60°.

С этим заданием, требующим более высокого уровня абстракции и математической культуры, справляются немногие. Но, с другой стороны, заслуживает упоминания достижение ученика СУНЦ Н. Башаева, который, используя знания, приобретённые при выполнении практикума, нашёл новое доказательство так называемой теоремы Наполеона-Барлотти, выражающей условие того, что центры правильных n-угольников, построенных на сторонах данного произвольного n-угольника, сами образуют правильный n-угольник. Планируется публикация этого доказательства в научно-популярном физико-математическом журнале «Квант», имеющем в России огромный авторитет. (Американскому читателю известен журнал «Quantum», издававшийся NSTM с 1990 по 2000 годы; большинство публикаций в нём составляли переводы статей из «Кванта».)

Подчеркнём ещё раз, что мы хотели познакомить читателя с реально используемыми заданиями практикума. А поскольку математический уровень учащихся СУНЦ заведомо выше, чем в подавляющем большинстве других школ России, да и других стран, поэтому высок и уровень заданий. Но сама эта форма допускает вариацию тем и уровня сложности в очень широких пределах. Специально для этой статьи мы составили два задания, более доступных, как нам кажется, для массовой школы.

Свойства функций. Известно, какую большую роль при изучении математического анализа играет умение привести пример (или контрпример). Ученика может озадачить даже самый простой вопрос этого типа, например, привести пример функции, не имеющей производ-

ной ровно в двух точках. Данный практикум направлен на выработку простейших навыков такого рода. Но если в обычных задачах на графики функция дана, а требуется её исследовать и построить график, то в практикуме порядок работы обратный (и этим он интересен): ученики получают список некоторых свойств функции, а саму функцию с этими свойствами, то есть задающую её формулу, нужно найти. Затем с помощью программы нужно построить её график и проверить по нему выполнение заданных свойств. Каждое задание практикума состоит из серии отдельных задач возрастающей сложности, причём каждая задача допускает много правильных ответов, что тоже отличает эти задачи от обычных. Вот пример такого задания:

Найдите функции, удовлетворяющие указанным свойствам, и постройте их графики. Каждый пункт задания выполните на отдельном листе.

1. f(x)- чётная функция;

2. f(x) - периодическая функция с периодом 4;

3. f(x) имеет естественную область определения ;

4. f(x) имеет область определения (- оо, + оо) и область значений ;

5. f(x) возрастает на промежутках (- оо, 0], [3, + со) и убывает на промежутке [0, 3];

6. f(x) имеет бесконечно много корней на отрезке [0, 1], но не равна тождественно нулю;

7. f(x) имеет локальные минимумы в точках 0 и 2 и не имеет локальных максимумов;

8. f(x) имеет горизонтальную асимптоту у = 3, и других асимптот у неё нет;

9. f(x) имеет вертикальную асимптоту х = -2, и других асимптот у неё нет;

10. f(x) имеет наклонную асимптоту у = х + 1, и других асимптот у неё нет.

Задания могут различаться не только условиями на функцию, но и допустимыми способами описания искомой функции f(х): в самых простых случаях ученики могут просто угадать готовое решение (формулу) и проверить его на графике, построенном с помощью программы; можно взять функцию заданного вида с переменными коэффициентами (например, многочлен) и подобрать коэффициенты;

можно пытаться составить ответ в виде суммы или произведения каких-то стандартных функций или более сложных их комбинаций, использовать преобразования графиков и т.д. Способ конструирования функции регулируется инструментами, включёнными в модель. Таким образом, уровень сложности задания определяется как задаваемыми вопросами, так и инструментарием. Перед выполнением практикума ученикам демонстрируется образец оформления работы; вместе с самим графиком на нём показываются данные из условия: особые точки, асимптоты и т.д. Возможный вид ответа к вышеприведенной задаче 7 показан на рисунке 5.

Рис. 5

Вероятности случайных событий. Цель практикума - построение математической модели случайного опыта и использование её для решения задач. Практикум даётся после того, как учащиеся познакомились с классическим и геометрическим определениями вероятности и научились пользоваться простейшими формулами для вычисления вероятностей (формулы сложения и умножения, формула полной веро-

ятности). На вводном занятии обсуждаются основные схемы вероятностных экспериментов: случайный выбор с возвращением и без, выбор случайной точки на линии и в области, испытания Бернулли. Демонстрируется, каким образом каждая из схем реализуется в МК и какими средствами можно фиксировать результаты случайных опытов и производить их обработку. Каждое задание разбивается на несколько этапов:

• построение модели опыта средствами МК;

• решение нескольких простых теоретических задач и проверка полученных ответов с помощью построенной модели;

• экспериментальное решение одной или нескольких сложных задач, которые не поддаются решению аналитическими методами (при этом не исключается, что найдутся ученики, которые придумают аналитическое решение и для этих задач, -тем интереснее будет проверить их результаты с помощью модели).

Таким образом, выполняя любое из заданий практикума, ученик проходит три этапа мини-исследования: построение компьютерной модели, проверка её адекватности и, наконец, её использование для получения новых результатов.

Приведём пример такого задания.

Десять человек должны случайным образом поделиться на две равные команды для игры в футбол. Они решили сделать это с помощью монеты: бросая её по очереди, каждый игрок попадает в команду «орлов» или «решек». Как только хотя бы в одной из команд наберётся пять человек, жеребьёвка прекращается, и все, кто ещё не успел бросить монету, идут в другую команду1.

1. Смоделируйте описанную жеребьёвку в МК.

2. С какой вероятностью в одну команду попадут 1-й и 2-й игроки? 1-й и 5-й? 1-й и 6-й? 1-й и 10-й? 9-й и 10-й?

3. Для какой пары игроков вероятность попадания в одну команду наибольшая? Для какой - наименьшая? Как ведут себя эти две вероятности, когда жребий бросают игроков и ?

Фрагмент модели, созданной учеником для решения этой задачи, показан на рисунке 6.

1 В такой жеребьёвке легко заметить связь с известной задачей Банаха о спичечных коробках Banach's Matchbox Problem.

Рис. 6

Мы описали лишь некоторые из заданий обновлённого компьютерного математического практикума в СУНЦ. За рамками этой статьи остались, в частности, практикумы по алгебре и началам математического анализа, такие как исследование расположения нулей квадратичной функции в зависимости от её коэффициентов, методы приближенного нахождения корней уравнений и др. Большое число заданий из анналов математического практикума ещё ждёт своей переработки. Но и рассмотренные примеры, по нашему мнению, свидетельствуют о том, что эта форма работы оптимальна для использования компьютера в преподавании математики в старших классах, и особенно на профильном уровне. Такую работу легко организовать, а выполненные задания, как правило, легко проверяются. Практикум может использоваться как для закрепления пройденного материала, так и для самостоятельного изучения нового. Он позволяет индивидуализировать работу с учащимися, открывает широкие возможности для проявления их творческой активности. И, наконец, компьютерный математический практикум нравится ученикам: он получил высокую оценку по результатам их опроса, проводимого в СУНЦ в конце учебного года.

Литература

Вавилов B.B. (2013). Математический практикум: вчера и сегодня. Математическое образование, 5(67), 5-37.

Дубровский В.Н. (2003). Стереометрия с компьютером. Компьютерные инструменты в образовании, 6, 3-11.

Дубровский В.Н. (2011). По следам исчезнувших многоугольников, или Геометрическая палеонтология. Математика, 16.

Дубровский В.Н. (2012). По следам исчезнувших многоугольников 2. Теорема Наполеона. Математика, 1.

Дубровский В.Н., Башмаков М.И., Вавилов В.В., Пантуев A.B., Поздняков С.Н. и др. (2004). Образовательный комплекс «Математика, 5-11 классы. Практикум». Москва: ЗАО «1С», AHO Учеб.-изд. центр «Интерактивная линия», «Институт новых технологий».

Математика. Коллекция интерактивных моделей: 5-11 классы. (2015). Программная среда « 1С:Математический конструктор 6.1». (DVD). Москва: 1 С-Паблишинг.

Яглом И. М. (1955). Геометрические преобразования. Том 1. Москва: ГИТТЛ.

Dubrovsky. V. (2004). Solid and dynamic. Micromath, 20(3).

И.С. Овсянникова

Математический факультет МПГУ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

XXI век по праву назван «цифровой эпохой»: информационно-коммуникационные технологии уверенно вошли во все сферы человеческой жизни. Естественно, не обошлось без изменений в образовании. Всё больше и больше инновационных технологий направлено на внедрение ИКТ в учебный процесс. В каждом регионе России ежегодно проводятся различные мероприятия: конференции, семинары, мастер-классы, - посвященные возможностям использования информационных технологий в образовании.

За прошлый год мне удалось посетить более 15 мероприятий в разных субъектах РФ. О сложившейся более или менее целостной картине интеграции информационных технологий в образовательный процесс в нашей стране, я и постараюсь рассказать ниже.

Первое, чего нельзя не отметить, - это существенное различие в материально-техническом оснащении образовательных учреждений в разных регионах. На сегодняшний день нельзя говорить об оснащении хотя бы большей части школ интерактивным оборудованием, наличии компьютерных классов и даже о доступном для массового пользования выходе в Интернет. Профессиональная подготовка в сфере ИКТ-компетенции педагогических кадров тоже далека от совершенства. Так, например, даже школы, имеющие в своём распоряжении интерактивные доски, до сих пор используют их как экран для проектора, хотя этому изобретению уже более 25 лет и новинкой его назвать никак нельзя. Ситуация отражает общемировую проблему, когда выгода от инвестиций в технологии для образования оказывается достаточно невелика (Lim, Zhao, 2013). И вопрос здесь не столько в нежелании изучать основы работы с новым оборудованием, сколько в слишком неадекватной загрузке преподавателя в современной школе. Зачастую у педагога не остаётся времени на полноценный отдых, и тем более не приходится говорить о проявлении творческих способностей, саморазвитии и профессиональном росте педагога.

Тем не менее во всех регионах нашей страны в той или иной степени успешно ведутся проекты по внедрению ИКТ в образование. При этом, несмотря на расширение возможностей для коммуникации, использование глобальной сети для обмена опытом и профессионального развития всё ещё не стало общепризнанной нормой. Регулярно проводимые тематические семинары, конференции, организуемые образовательные площадки и ресурсные центры дают хорошие результаты, но они зачастую не выходят за пределы города, в лучшем случае трансляция опыта осуществляется в рамках региона. Так, педагоги в разных частях страны параллельно решают одни и те же задачи, сталкиваются в целом с одними и теми же проблемами, находят эффективные пути их решения, но, по сути, сохраняют свои достижения в тайне.

Анализируя успешные педагогические практики по использованию технологий в образовании, можно выделить три основных преимущества, которые дали образованию информационные технологии.

Преимущества использования технологий в классе

Прежде всего, технологии - это эффективное средство визуализации. Сейчас в руках у учителя как никогда много инструментов и ресурсов, которые могут сделать фундаментальные концепции более ясными, абстрактные величины осязаемыми, связи между понятиями явными. Благодаря применению технологии мы можем подготовить материал, который будет наиболее подходить к когнитивным стилям наших учеников. Использование видео- и аудиоинструкций, текстовых материалов, динамических сред моделирования позволяет раскрывать ту или иную идею тысячами различных способов.

Особое внимание учителя математики заслуживают динамические среды, такие как GeoGebra. С одной стороны, мы используем GeoGebra для демонстрации математических концепций и подготовки учебных материалов. С другой стороны, GeoGebra даёт возможности для реализации активного личностно-ориентированного обучения, предоставляя возможности для проведения математического эксперимента и исследования. В свою очередь, позитивный опыт проведения математических экспериментов способствует повышению мотивации учащихся к работе с математическим материалом (Durmus and Karakirik, 2006).

Несмотря на то что GeoGebra ещё недостаточно распространена в России, учителя математики уже успели оценить её значимость, особенно в проектной и исследовательской деятельности. Благодаря тому, что GeoGebra - это кросс-платформенная среда, работа с ней возможна с любого устройства и в любое время, а значит, у учеников есть больше возможностей для проведения исследования, взаимодействия и развития своих идей.

Использование технологий в образовании играет важную роль для повышения мотивации учащихся. Технологии являются эффективным инструментом добавления динамики уроку даже при выполнении рутинных упражнений на отработку знаний.

Одно из перспективных решений для повышения мотивации к обучению - так называемая геймификация. Игровые механизмы для поощрения желаемого поведения уже активно используются в таких областях, как маркетинг, политика и фитнес (MacMillan, 2011). Безусловно, современный тренд не мог не затронуть и образование, тем более что игровые технологии уже давно являются его неотъемлемой частью. Постановка конкретных целей и задач, наглядная визуализация прогресса, сотрудничество и, конечно, различные виды развлечений -вот то, что делает игры такими увлекательными и чего так не хватает образовательному процессу.

Благодаря технологиям использование игровых механик в образовании стало значительно проще и эффективнее. Даже проведение опроса или тестирования превращается в увлекательное действо, если использовать облачные решения, например SMART Lab Monster Quiz, Kahoot! или Quizizz.

Впервые применение идей геймификации в моей педагогической практике произошло летом 2012 года в рамках летней школы для учащихся, получивших неудовлетворительные оценки по математике по окончании начальной школы. Совершенно очевидно, что дети, у которых возникли проблемы с математикой уже на первой ступени образования, не испытывали особого желания проводить свои летние каникулы, занимаясь этой наукой. Именно поэтому было принято решение геймифицировать этот процесс и организовать турнир, получивший название «33 коровы». В процессе игры каждый ученик получал за выполнение заданий «литры молока». Собранные «литры» в конце турнира можно было обменять на специальные жетоны, например «дополнительное

время» или «иммунитет», который мог «спасти» учащегося от выхода к доске (правда, лишь один раз). Даже примитивные игровые элементы: баллы, очки и награды - дали существенные результаты: успеваемость повысилась, появился интерес к математике как науке, учащиеся осознали, что на занятиях по математике можно добиться успеха, перестали бояться отвечать на вопросы и выходить к доске.

Такие результаты естественно привели к дальнейшему исследованию данной образовательной технологии и возможностей упрощать процесс создания игр с помощью специализированного программного обеспечения. На сегодняшний день разработан курс повышения квалификации для преподавателей по созданию геймицированных систем для образования с использованием ПО SMART Notebook, хорошо знакомого преподавателям, разрабатывающим уроки для интерактивной доски. Кроме того, в рамках проекта Департамента образования ведётся работа со школьниками по разработке образовательных игр, мы надеемся, что их опыт игроков может дать нам больше информации об эффективных игровых механиках и элементах, которые помогут сохранять увлечённость при обучении на протяжении длительного периода времени.

И последний аспект, который нельзя не отметить: благодаря технологиям образование может стать действительно мобильным, непрерывным, а главное, индивидуализированным.

Появилось огромное количество различных источников информации, расширились возможности для саморазвития, непрерывного обучения и совершенствования. На сегодняшний день на просторах глобальной сети можно найти материалы по любой тематике, прослушать лекции ведущих специалистов и даже пройти обучение в лучших мировых университетах, не выходя из дома.

Среди современных образовательных технологий особое место занимают технологии смешанного обучения, в том числе так называемого перевёрнутого, интеграция в образовательную практику облачных решений и применение технологии BYOD (от англ. Bring Your Own Device - «принеси своё собственное устройство»). Все они направлены на повышение мобильности образовательной среды, создание условий для свободного взаимодействия между учениками и отработки полученных навыков в любое время и вне зависимости от того, где они находятся.

Используя возможности смешанного обучения, открытых образовательных ресурсов и платформ с онлайн-курсами, можно выстраивать эффективные индивидуальные траектории развития для каждого ученика. Благодаря использованию облачных технологий сегодня совершенно необязательно собираться вместе, чтобы работать над проектом, все участники могут подключаться в удобное им время, обмениваться идеями, вносить правку, оставлять комментарии.

Таким образом, работая в классе с учениками, одарёнными в различных областях (математике, искусстве, музыке и т.д.), мы можем в том числе и на уроке математики дать всем без исключения ученикам возможность для реализации своих талантов, развития навыков взаимодействия и социальных коммуникаций, объединяя их в группы в рамках, например, STEAM-проектов (Science, Technology, Engineering, Art and Math - Наука, Технологии, Конструирование, Искусство и Математика). Основным отличием от уже распространённых в мире STEM-проектов, как становится ясно из названия, является добавление искусства в STEM для усиления эффективности исходной комбинации. (Robelen, 2011).

Вне зависимости от контингента учащихся всегда можно найти идею для хорошего STEAM-проекта: исследовать, как золотое сечение связано с понятием красоты; создавать кинетические скульптуры; изучать математическую составляющую в поэзии и музыке (симметрия, ритм, параллельный перенос и т.п.).

В заключение хочется отметить, что ни в коем случае нельзя умалять достоинства традиционных форм обучения. Любые инновации должны вводиться с умом и использовать уже созданную надёжную основу как плацдарм для развития новых идей. Повторим, однако, слова известного американского философа Джона Дьюи: «Если мы будем учить сегодня так, как мы учили вчера, мы украдём у наших детей завтра» (Dewey, 1944). Нам необходимо перестраивать структуру и формат уроков так, чтобы они отвечали современным реалиям. Информационные технологии открывают для преподавателя широкий спектр возможностей экспериментировать и искать новые подходы, менять свой педагогический стиль, получая удовольствие от того, что происходит на уроке, и делая свои занятия современными, эффективными и увлекательными. Увлеченность - это хотя, к сожалению, и недостаточное условие успешности в школе, но уж точно необходимое.

Литература

Dewey, J. (1944). Democracy and Education, New York: Macmillan Company,.

Durmus, S. and Karakirik, E. (2006). Virtual manipulatives in mathematics education: A theoretical framework. The Turkish Online Journal of Educational Technology - TO JET, 5(1).

Lim, C.-R, Zhao, Y., Tondeur, J., Chai, C.-S., & Tsai, C.-C. (2013). Bridging the Gap: Technology Trends and Use of Technology in Schools. Educational Technology & Society, 16 (2), 59-68.

MacMillan, D. (2011, January 19). «Gamification»: A growing business to invigorate stale websites. Retrieved from: http://www.businessweek.com/magazine/content/11_05/b4213035403146.htm

Robelen Erik W. (2011, December 1). « STEAM: Experts Make the Case for Adding Arts to STEM», Education Week. Available on line at: www.edweek.org/ew/articles/2011/12/01/13steam_ep.h31.html

С. А. Поликарпов,

Математический факультет МПГУ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ. НОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Сегодняшняя ситуация в области образования в России довольно драматична. Ориентация на результат обучения становится приоритетом в образовательных стандартах и школы, и вуза. Трудности в реализации этого принципа связаны как с непривычностью постановки задачи, так и с неприятием частью образовательного сообщества необходимости преобразований. Эта статья посвящена подходу к подготовке учителя математики, предлагаемому коллективом математического факультета Московского педагогического государственного университета.

Общее образование

В 2009-2012 годах в России были приняты новые Федеральные государственные образовательные стандарты (далее ФГОС) общего образования. Стандартов всего три: начального образования, охватывает 1-4 классы; основного - 5-9 классы и среднего - 10-11 классы. Министерством образования и науки Российской Федерации (далее Минобрнауки РФ) была предусмотрена поэтапная процедура перехода на обучение по ФГОС. Обязательный переход всех школ на новые образовательные программы, соответствующие требованиям ФГОС, основного общего образования был осуществлён с 1 сентября 2015 года. В начальном образовании такой переход произошёл ещё раньше, в 2011 году. Переход на обучение по ФГОС в 10-11 классах запланирован на 2020 год.

ФГОС последнего поколения, может быть, впервые в России, предъявляют требования к результатам обучения. Все результаты обучения отражены в ФГОС в виде весьма общих формулировок, более полно они раскрываются в примерных образовательных программах по уровням общего образования. Важно, что термин «про-

грамма» здесь употребляется не по отношению к отдельному школьному предмету, а должен пониматься как документ, описывающий всё происходящее в школе на данной ступени общего образования. Там же, в примерной программе, формулируются требования (соответственно, примерные) к содержанию обучения по предметам и к предметным результатам. Здесь нужно отметить, что стандарты допускают одновременное существование нескольких примерных программ, но сегодня существует лишь одна примерная программа на каждом уровне общего образования, разработанная по заказу Минобрнауки РФ. Важным шагом нужно признать их всестороннее общественное обсуждение в интернете ещё до утверждения.

Стандарты позволяют каждой школе составить собственную образовательную программу, однако школы, имеющие государственную аккредитацию, обязаны учитывать требования примерной программы. В реальности это означает, что подавляющее большинство школ следует (или пытается следовать) той логике, что заложена в примерной программе. Кроме того, ФГОС содержит описание требований к условиям реализации обучения, включая кадровое обеспечение, материально-техническое оснащение школ, информационно-коммуникационную среду и др.

К результатам обучения в школе помимо предметных, то есть результатов освоения конкретного содержания, относят личностные результаты, связанные с развитием моральных и гражданских качеств учащегося, и так называемые метапредметные результаты, в целом характеризующие освоение умения учиться. Разумеется, новизна подхода, связанного с оценкой результата, порождает немало трудностей. С оценкой предметных результатов многое было понятно и раньше, а сейчас формализовано в Государственной итоговой аттестации за девятый и одиннадцатый классы. Более того, реальная картина на сегодня такова, что именно вопросы, проверяемые на Государственной итоговой аттестации, во многом определяют математическое содержание, которое преподается в школе в первую очередь.

В частности, имеется кодификатор - официальный систематизированный перечень требований к уровню подготовки выпускников и проверяемых элементов содержания и спецификация - документ, описывающий, как требования кодификатора должны быть отражены

в экзаменационных вариантах (ФИПИ, 2016). Надо сказать, правда, что кодификатор составлен на основании требований предыдущего стандарта 2004 года. Но когда школьники, начавшие в 2011 году с первого класса обучаться по ФГОС, должны будут сдавать ОГЭ и ЕГЭ, ожидается, что будут изменены и требования к содержанию аттестационных процедур.

Государственная итоговая аттестация за девятый класс, так называемый Основной государственный экзамен (ОГЭ), должна целиком проводиться на основе открытого банка заданий, размещённых в интернете официально и всем известных заранее. Разумеется, условия реального экзамена и задач из открытого банка могут отличаться в незначительных деталях и в цифрах, но в целом содержание экзамена считается известным. После девятого класса часть учащихся выбирают продолжение обучения по рабочим специальностям, идут в технические училища.

Государственная итоговая аттестация за одиннадцатый класс, так называемый Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике, с 2015 года проводится отдельно на двух уровнях - базовом и профильном. Сдавать математику (как и русский язык) нужно в обязательном порядке. Как и ОГЭ, экзамен ЕГЭ базового уровня должен целиком проводиться на основе открытого банка заданий.

ЕГЭ профильного уровня проводится на основе открытого банка заданий лишь частично. В экзаменационном варианте также имеются задачи повышенной сложности, точные условия которых заранее неизвестны. Последняя задача - всего их на профильном уровне в 2016 году было 19 - является фактически олимпиадной, её нельзя решить, не будучи глубоко увлечённым математикой.

При этом ежегодно для подготовки к экзамену официально заранее публикуются демонстрационные версии экзаменационных вариантов, построенные на основе требований кодификатора и спецификации. Приводятся решения демонстрационных задач и правила их оценивания. В тексте демонстрационного варианта имеется также явное указание, что задания, включённые в него, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться на экзамене, а полный перечень вопросов, которые могут контролироваться, приведён в кодификаторе. Тем не менее некоторой неожиданностью и причиной ряда жалоб стала в 2016 году ситуация, когда оказалось, что реальные условия задач

профильного уровня стали отличаться от демонстрационного варианта не только в незначительных деталях. При сохранении заявленной в спецификации тематики их решение требовало, таким образом, не только запоминания формул и алгоритма решения конкретной задачи, но и понимания сути предмета.

Очевидной многим в математическом сообществе странностью существующей процедуры является то, что статистические данные с результатами по стране, а также использованные варианты экзамена не становятся общедоступными даже спустя значительное время по окончании годового цикла (в сентябре года, предшествующего очередному экзамену) Государственной итоговой аттестации.

Профильность экзамена по математике имеет значение при поступлении в вуз. Результаты базового экзамена там, где нужно предъявлять знания математики, не примут. При этом поступить в университет стремятся практически все выпускники одиннадцатого класса школы. Не последнюю роль в этом играет набор в армию по призыву. Студенты университета в армию не призываются, в отличие от почти всех остальных юношей, не имеющих ограничений по здоровью.

Обычный российский школьник (не являющийся победителем олимпиад) при поступлении в обычный российский университет (не МГУ или СПбГУ, где имеются свои дополнительные вступительные испытания по профильным предметам) должен предъявить результат трёх ЕГЭ, одним из которых всегда является результат по русскому языку, два других зависят от выбранного направления подготовки и от профиля. Скажем, при поступлении в Московский педагогический государственный университет (далее МПГУ) будущий учитель математики кроме русского языка должен предъявить результаты по обществознанию (как любой будущий педагог в стране) и по профильному экзамену ЕГЭ по математике. А вот абитуриент, решивший стать профессиональным математиком, при поступлении в МПГУ предъявляет результаты по русскому языку, профильной математике и физике.

Поступление в университет на бесплатной основе (за счёт денег, выделяемых государством) происходит по следующему принципу. В каждом университете заранее известно число мест, которое будет оплачиваться государством, на каждом направлении подготовки. Внутри направления подготовки у университета имеется возможность

распределить места самостоятельно (взять больше студентов для обучения на учителя физики, чем на учителя истории, или наоборот). О принятом решении по распределению мест сообщается заранее. Абитуриенты распределяются по желаемым профилям (например, учитель истории). Для поступления важно, чтобы число тех абитуриентов, кто поступает на тот же профиль и у кого сумма баллов ЕГЭ по учитываемым предметам больше, было меньше этого заранее определённого лимита.

К слову, каждый экзамен (кроме базового по математике) оценивается из 100 баллов. В 2016 году на математический факультет МПГУ можно было поступить, чтобы через пять лет получить диплом учителя математики, имея 215 баллов в сумме по трём экзаменам. Вместе с тем любопытно, что в этом же году на математический факультет МПГУ поступил и абитуриент - будущий математик (не учитель), получивший 100 баллов по профильной математике.

Вместе с тем как оценивать личностные и метапредметные результаты обучения в общем образовании - до сих пор ясно не вполне, на выпускных школьных экзаменах они, конечно, никак не проверяются.

При этом к абитуриентам имеется достаточно много претензий со стороны вузов. Отсутствие у вновь поступивших умения учиться, организовывать своё время, продумывать свою жизненную траекторию способствовало появлению в учебном плане многих вузов курсов психологической направленности. Также часто на первом году обучения вводятся курсы по ликвидации пробелов в школьной математике, например, начиная с 2016 года на математическом факультете МПГУ мы выделили на это целый день - восемь часов учебных занятий в неделю в течение семестра.

Высшее педагогическое образование

В высшем педагогическом образовании существуют два ФГОС в бакалавриате (в последней редакции приняты в начале 2016 года) для четырёх- и пятилетнего периода обучения, ФГОС магистратуры (декабрь 2014 года) и отдельно аспирантуры (август 2014 года). Разница в сроках обучения бакалавра связана с тем, что возможна подготовка учителя к работе по одному (четыре года) или двум (пять лет) предметам. Согласно проведённым опросам (сентябрь 2016 года, под-

робнее ниже в этой статье), в педагогических вузах распространено сочетание предметов «Математика» и «Информатика». Это можно объяснить в том числе тем обстоятельством, что в стандартах школьного образования эти предметы объединены понятием «предметная область» в единое целое, а также тем, что в сельской школе и математику, и информатику, скорее всего, будет вести один и тот же учитель. Значительно реже встречается, но также распространено сочетание «Математика» и «Физика». В МПГУ, например, ведётся подготовка по профилям «Математика» и «Экономика».

ФГОС определяет требования только к части результатов. Во ФГОС высшего образования (не только педагогического) введено понятие компетенции как результата освоения образовательной программы -комплекса дисциплин, практик, процедуры итоговой аттестации. Компетенции бывают разных типов, но одновременно в данный момент меняется и их типология.

В одном из рассматриваемых сейчас проектов ФГОС бакалавриата педагогического образования предусмотрены компетенции универсальные (всего их восемь, один из характерных примеров гласит, что выпускник бакалавриата должен быть «способен управлять своим временем, выстраивать и реализовывать траекторию саморазвития на основе принципов образования в течение всей жизни») и общепрофессиональные (их на сегодня семь, пример формулировки - «способен осуществлять контроль и оценку формирования образовательных результатов обучающихся, выявлять и корректировать трудности в обучении»). Далее следуют компетенции профессиональные, и вуз вправе установить их самостоятельно, учитывая несколько аспектов, среди которых главную роль играет ещё один нормативный документ - Профессиональный стандарт педагога (Министерство труда, 2013).

Этот документ появился в 2013 году, утверждён Министерством труда и социальной защиты Российской Федерации, содержит описание так называемых трудовых действий школьного учителя, то есть действий, которые учитель выполняет в процессе своей работы. Структура Профессионального стандарта педагога такова, что в нём описаны как трудовые действия любого учителя, так и - отдельно -трудовые действия учителя математики. Цель этого документа (в отличие от ФГОС, утверждённого Минобрнауки РФ) - отразить взгляд

работодателя в лице государства на качество подготовки любого работающего учителя, не только сегодняшнего выпускника. Вскоре должна быть запущена новая процедура аттестации учителей на основе Профессионального стандарта.

Для описания профессиональной компетенции Минобрнауки РФ предлагает следующую структуру. Требуется указать знания и умения учащегося перед началом освоения компетенции, затем те знания, умения и действия, которые студент будет способен демонстрировать и выполнять после обучения, в результате освоения компетенции. Знания, умения и действия могут быть освоены на нескольких уровнях: так называемом пороговом (минимально допустимом), базовом и продвинутом.

Затем требуется обосновать, зачем, собственно, студенту осваивать эти действия. А именно, каждое действие в рамках освоения компетенции требуется связать с каким-то трудовым действием, предусмотренным Профессиональным стандартом педагога.

Наконец, требуется указать, где именно в учебном плане подготовки учителя должны возникнуть знания, умения, действия, указанные в описании компетенции, в рамках изучения каких дисциплин и практик они должны быть освоены. Но главное, как именно их освоение должно быть проверено.

При этом примерные основные образовательные программы в высшем образовании также предусмотрены, но многие из них на сегодня находятся в стадии разработки, в том числе программы по педагогическому образованию.

В данный момент Московский педагогический государственный университет в сотрудничестве с Минобрнауки РФ разрабатывает программу подготовки учителя математики в бакалавриате на основе компетентностного подхода.

Летом 2016 года Федеральное учебно-методическое объединение по направлению «Образование и педагогические науки» (общественное объединение педагогических вузов страны) по заказу Минобрнауки РФ разработало перечень профессиональных компетенций (и соответствующих знаний, умений, действий), определяющих требования к подготовке учителя в основном и среднем образовании. В этом перечне предметность подготовки фактически никак не учитывается, требования предъявляются к подготовке любого учителя основной и средней школы.

Так что же мы должны включить в программу подготовки учителя математики для того, чтобы полученное им образование оставалось актуальным и после окончания университета, к каким трудовым действиям, характерным только для учителя-математика, мы должны его подготовить? И как это сделать?

Пороху в огонь добавляет, например, неослабевающая дискуссия о соотношении высшей математики и математики школьной (так называемой элементарной) в программе подготовки учителя.

Отдельным важным вопросом является содержание Государственной итоговой аттестации - процедуры, дающей право начать работу учителем. Традиционный формат включает в себя два этапа: государственный экзамен (обычно проверяющий лишь теоретические знания студента) и защиту выпускной квалификационной работы.

Общественное мнение

По поручению Минобрнауки РФ коллективом МПГУ был проведён ряд опросов. Результаты довольно показательны. Приведём только некоторые примеры.

Мы опросили более 40 вузов, реализующих программы инженерного и естественнонаучного профилей, как основных заказчиков хорошо математически подготовленных абитуриентов. Вопросы касались в основном качества подготовки выпускников школ, приходящих на учёбу.

В подавляющем большинстве случаев (более 90%) преподавателям вузов приходится повторять с первокурсниками разделы школьной программы. Многие из студентов не могут построить графики основных элементарных функций, не знают их свойства, не владеют основами теории вероятностей, не знают геометрии, тригонометрии, логарифмы и др. И таких недостатков за последние три года не стало меньше. Для ликвидации пробелов в ряде вузов организованы корректирующие курсы по школьной математике для первокурсников (два - четыре часа в неделю в первом семестре).

С точки зрения содержания наиболее важным для продолжения обучения в инженерном (естественнонаучном) вузе признаются изучение элементов математического анализа и навыки исследования

функций. Не столь важными были признаны результаты по разделам «Теория вероятностей и математическая статистика», «История математики».

Большинством респондентов (более 80%) изучение математики признаётся важным для формирования аналитического и системного мышления. Как предмет в школе, способствующий развитию навыка экспериментального исследования, коммуникации и командной работы, математику воспринимают в значительно меньшей степени.

Среди проблем в организации математического образования в школе отмечаются: «натаскивание» на сдачу ЕГЭ, отсутствие доказательной геометрии (первокурсники не проявляют умения доказывать утверждения).

Наконец, выпускники инженерных и естественнонаучных факультетов не готовятся к возможной работе в школе в будущем.

Был также проведён опрос более 40 учителей математики в школах страны. Надо сказать, что здесь выборка не была совсем уж случайной. Опрос проводился в основном среди учителей хороших школ, входящих в отраслевые рейтинги, участников профессиональных конкурсов. Это был осознанный выбор организаторов опроса, рассчитывавших на конструктивную ответную позицию.

Респонденты-учителя поддерживают идею изменений образовательного стандарта в части математической подготовки школьников, но около половины из них (45%) считают, что содержание математической подготовки должно оставаться неизменным, а изменения должны касаться технологий, средств и методов обучения, примерно треть (34%) респондентов допускают возможность изменений в содержании математической подготовки с учётом современного контекста.

По мнению четверти (27%) респондентов, предметные требования примерной программы основного общего образования (5-9 классы) полностью соответствуют требованиям стандарта, ещё четверть (25%), напротив, считает, что требования в примерной программе нуждаются в уточнении, и пятая часть респондентов (20%) отмечает незначительные несоответствия.

По мнению четверти (26%) респондентов, предметные требования примерной программы среднего общего образования (10-11 классы) полностью соответствуют требованиям стандарта, ещё четверть

(24%), напротив, считает, что требования в примерной программе нуждаются в уточнении, и ещё четверть (26%) отмечает незначительные несоответствия.

Большинство респондентов (84%) применяют на уроках технологии обучения, отличные от традиционной схемы «объяснение - закрепление - опрос», такие как дифференцированное обучение, организация проблемной и исследовательской ситуации в процессе обучения, ориентация учащихся на самостоятельное решение задач и поиск необходимых им фактов, «перевёрнутый» урок и др. При этом около половины респондентов (46%) редко применяют на уроках ИКТ-технологии обучения, предпочитая обходиться традиционными средствами; применяет ИКТ-технологии на каждом уроке - каждый седьмой (15%), каждую неделю - каждый четвёртый (27%).

Сопроводительные материалы как для ОГЭ, так и для ЕГЭ (кодификатор и спецификацию) в своей работе используют около трети респондентов, тогда как демонстрационный вариант и банк заданий практически все (92%). Около половины респондентов (49%) отводят разбору заданий демоверсий и открытого банка ОГЭ/ЕГЭ в выпускном классе один час в неделю, ещё треть (31%) проводят часовые или двухчасовые тренинги по каждой теме.

Также был проведён опрос, в котором участвовали свыше 160 преподавателей математических кафедр педагогических и некоторых классических университетов, участвующих в подготовке будущих учителей математики. Результаты следующие.

Как уже отмечалось выше, в настоящее время в большинстве вузов, представленных респондентами, реализуется двупрофильный бакалавриат по подготовке учителя математики с такими вторыми профилями, как «Информатика» (прежде всего), «Физика», «Технология».

Промежуточная аттестация, как правило, проводится дважды в год по окончании семестра, однако в некоторых вузах применяется модульный способ, где аттестация может проводиться чаще - например, дважды в семестр, каждые два месяца.

Как на методическую, так и на общекультурную подготовку будущего учителя математики уходит около 25% учебного времени, а на предметную - около 50%. Методическая подготовка в разных вузах начинается в разное время - чаще всего на втором или третьем курсе, а заканчивается на четвёртом или пятом курсе

(при пятилетнем сроке обучения). При этом в большинстве ответов упоминается прохождение студентами непрерывной (учебной) практики в организациях общего образования одновременно с изучением в рамках теоретического обучения методики, педагогики, психологии.

Педагогическая практика с отрывом от учёбы (продолжительностью 4-6 недель, иногда 8-10 недель) проходит, как правило, на 3-4 курсах, но может начинаться уже на втором курсе, а также иметь место и на пятом курсе (при пятилетнем сроке обучения).

Во многих вузах используются рейтинговая система (93%), деловые игры (32%), кейс-методы (36%) как способы контроля сформированности компетенций.

Процедура государственной итоговой аттестации в вузе во многих случаях (73%) состоит из государственного экзамена и защиты выпускной квалификационной работы и иногда только из защиты выпускной квалификационной работы (27%).

Государственная итоговая аттестация (ОГЭ/ЕГЭ) учащихся школ в подготовке учителей математики рассматривается в рамках курса методики (52%) либо в рамках дисциплины по выбору (56%). В большинстве случаев (60%) будущих учителей ориентируют на проведение в школе курса по выбору 1 час в неделю в течение года по тематике ОГЭ/ЕГЭ.

Респонденты считают, что сложившаяся система педагогического образования хорошо готовит учителей к выполнению следующих трудовых действий в начале их педагогической деятельности (формулировки даны в соответствии с Профессиональным стандартом педагога): формирование способности к логическому рассуждению и коммуникации, установки на использование этой способности, на её ценность (73%); формирование конкретных знаний, умений и навыков в области математики и информатики (93%).

В то же время отмечается, что подготовка в вузе в незначительной мере готовит учителей математики к выполнению таких трудовых действий, как формирование способности к постижению основ математических моделей реального объекта или процесса, готовности к применению моделирования для построения объектов и процессов, определения или предсказания их свойств (так считают около 44% опрошенных), формирование внутренней (мысленной) модели математической ситуации, включая простран-

ственный образ (более 50%), формирование материальной и информационной образовательной среды, содействующей развитию математических способностей каждого ребёнка и реализующей принципы современной педагогики (58%); формирование способности преодолевать интеллектуальные трудности, решать принципиально новые задачи, проявлять уважение к интеллектуальному труду и его результатам (49%); выявление совместно с обучающимися недостоверных и малоправдоподобных данных (53%), сотрудничество с другими учителями математики и информатики, физики, экономики, языков и др. (56%); развитие инициативы обучающихся по использованию математики (52%); профессиональное использование элементов информационной образовательной среды с учётом возможностей применения новых элементов такой среды, отсутствующих в конкретной образовательной организации (55%); использование в работе с детьми информационных ресурсов, в том числе ресурсов дистанционного обучения, помощь детям в освоении и самостоятельном использовании этих ресурсов (49%), содействие в подготовке обучающихся к участию в математических олимпиадах, конкурсах, исследовательских проектах, интеллектуальных марафонах, шахматных турнирах и ученических конференциях (47%).

Преподаватели педвузов довольно редко применяют в своей работе специализированное программное обеспечение, интернет-ресурсы, около половины опрошенных обходятся без них в принципе, только 10% применяют их на каждом занятии. При этом более половины опрошенных отмечают положительное влияние на усвоение сложных тем использования возможностей визуализации и интерактивных возможностей в изучении математики при помощи ИКТ.

Во многих педвузах были введены в программу подготовки дополнительные дисциплины для ликвидации пробелов школьного математического образования, чаще всего продолжительностью 36-72 часа (два-четыре часа в неделю в течение семестра). Из-за слабой школьной математической подготовки большинству респондентов приходится изменять (уменьшать) объём материала вузовских курсов. Отмечается неумение выпускников школы логически рассуждать, доказывать утверждения, воспринимать абстракции, видеть за абстрактными объектами возможность их применения

в конкретной ситуации, плохое владение понятием функции, методами преобразования алгебраических выражений и решения уравнений и неравенств.

Имеет место значительное различие в объёме обучения элементарной математике при подготовке будущих учителей математики для основной и средней школы в разных вузах - разброс составляет от двух до 30 зачётных единиц (всего за год обучения в вузе реализуется 60 зачётных единиц).

К недостаткам в организации методической подготовки респонденты относят: недостаточность объёмов педагогической практики, элементарной математики, предусмотренных в программе подготовки; неготовность учительства к наставничеству и работе со студентами во время педагогической практики.

Заметим, что во всех опросах и учителя, и преподаватели вузов традиционно жалуются на нехватку часов для аудиторных занятий. Кроме того, по мнению многих респондентов во всех проведённых опросах, содержание математической подготовки в школе в последние годы значительно упростилось, слабо связано с применением в реальной жизни, перегружено типовыми приёмами решения задач.

Вопрос трактовки полученных результатов, конечно, не последний. Должно ли утверждение о том, например, что школьная теория вероятностей не важна в инженерном и естественнонаучном вузе, подводить нас к тому, чтобы исключить соответствующий раздел из школьной программы? Или как относиться к тому, например, что вузовское сообщество не считает школьную математику местом для экспериментального исследования, коммуникации и командной работы? Должны ли мы следовать этим мнениям или постараться противопоставить им содержательные контрпримеры?

Компетенции учителя математики

С учётом международного и российского опыта, российской нормативной базы в области образования, результатов проведённых опросов в МПГУ были выделены несколько компетенций учителя математики, и в дальнейшем планируется строить подготовку в предметной и методической области именно вокруг них. Важное место в построении подготовки учителя занимает также тезис о том, что в школе учитель будет

делать именно то, чему его учили в вузе. Таким образом, имеет очевидный смысл ещё в вузе знакомить студентов с лучшими практиками работы со школьниками, привлекать студентов к участию в такой работе.

Решение задач должно стать общим для всех предметных компетенций контекстом, поддерживающим традицию российской школы и одновременно линию деятельностного подхода к обучению, декларируемого во ФГОС общего образования на всех уровнях, как основного способа освоения предметного математического содержания.

Коллектив математического факультета МПГУ предлагает формировать и оценивать следующие компетенции учителя математики.

• Способность научить математическому моделированию реального объекта или процесса.

Результаты, которые российские школьники демонстрируют в исследовании PISA по математике, ниже, чем результаты, которые в том же возрасте они показывают в исследовании TIMSS. Известной причиной такого разрыва является практикоориентированность задач PISA, необходимость строить математические модели в реальных жизненных ситуациях. И выясняется, что российские школьники пока умеют это делать не слишком хорошо. Кроме того, во многих случаях школьная математика может преподаваться не догматически, а как предмет экспериментальный, способствующий развитию научной интуиции, любознательности, инициативы учащихся.

Для того чтобы учить математическому моделированию в школе (и учить будущих учителей), целесообразно внедрять новые подходы, в том числе на основе так называемых исследовательских задач, моделирования при помощи компьютера.

• Способность научить математическому рассуждению (доказательству).

Российское (советское) образование с XVIII века отличалось сильной традицией преподавания геометрии. Геометрия даёт возможность соединения:

■ наглядного представления математических объектов;

■ дедуктивных построений (доказательств), применения эвристических соображений, догадок, проверки гипотез, подкрепляемых наглядными образами, при построении доказательств;

■ письменного (и в определённых пределах устного) изложения математических построений и доказательств в широком, математически содержательном поле;

■ алгебраического моделирования наглядных конфигураций;

■ важнейших эстетических и историко-культурных элементов.

Именно подготовка наших школьников по геометрии позволяет удерживать относительно высокое место, например, в исследовании TIMSS. Геометрия является инструментом формирования способности к логичному мышлению школьника. Тем самым её значение непосредственно выходит за пределы курса математики.

Современные инструменты ИКТ открывают значительные возможности для математического экспериментирования на геометрическом материале как основания для выдвижения гипотез, которые затем доказательно обосновываются.

Ещё одним разделом содержания в примерной программе школы, на материале которого возможно отрабатывать навык математического рассуждения, является, конечно, «Математическая логика», лежащая также в основе содержания школьного предмета «Информатика». В доступной форме (Семенов, 2002) в этом разделе могут быть изложены глубокие математические утверждения, часто допускающие наглядную трактовку.

• Способность научить обращаться с формальными математическими конструкциями (формулами, алгоритмами и др.).

Вероятно, это самая сложная из обязанностей учителя математики. Самоценность математики как предмета, предназначенного для развития логического мышления в целом, многими признаётся безоговорочно. Это может сыграть (и зачастую играет) с нами злую шутку. Математическое содержание предмета отходит, таким образом, на второй план. Но есть ли в действительности глубокий смысл в решении уравнений, где нужно преобразовывать логарифмы или тригонометрические выражения? Насколько глубокая математика кроется за этими упражнениями? Нужно ли их бесконечно повторять, если многие детали в реальных задачах, скорее всего, всегда в дальнейшем будут поручаться компьютеру?

Надо сказать при этом, что представления о занятиях математикой как о чём-то, что могло бы особенно благотворно (в сравнении с другими предметами) воздействовать на развитие мышления чело-

века в целом, пока не имеют под собой достаточной научной основы и являются скорее верованиями (Star, 2013). Более того, некоторые весьма уважаемые в мире математического образования исследователи (Schoenfeld, 2014) заявляют, что, вообще говоря, не важно, на каком предметном материале учить (математическом или нет), важно, как именно ты это делаешь.

Таким образом, принимая во внимание необходимость обеспечить возможность учащемуся школы сдать ОГЭ/ЕГЭ, а значит, освоить всё предметное содержание, предусмотренное примерной программой, тем не менее очень важно фиксировать особое внимание и учащихся школы, и, главное, студентов - будущих учителей на аспектах математики, важных в сегодняшних и, вероятно, завтрашних приложениях.

• Способность научить оценивать вероятность событий и явлений, анализировать данные.

Это один из больших вызовов российскому школьному образованию сегодня. Надо сказать, что вопрос о введении в программу алгебры гимназий и реальных училищ элементарного курса теории вероятностей ставился ещё в дореволюционной России (в том числе, например, на Втором Всероссийском съезде преподавателей математики). Последующие события в нашей стране привели к появлению командной экономики, сделали массовое вероятностное мышление ненужным для государственной идеологии. Несмотря на выдающиеся труды в области теории вероятностей советских математиков, в том числе А.Н. Колмогорова и многих его учеников, соответствующей традиции в массовом образовании так и не возникло. В современный школьный курс вероятность попала всего около 15 лет назад во многом благодаря стараниям Е.А. Бунимовича, В.А. Булычёва.

Сегодня задачи по теории вероятностей входят в ЕГЭ, но тем не менее надо отчётливо понимать, что в курсе вузовской методики соответствующий раздел до сих пор так и не возник. Его просто некому было разработать. Учителя, работающие в школе, сами не изучали вероятность как часть школьной математики. Как следствие, они боятся её преподавать, это наиболее неудобный для них раздел. Методисты в вузе - те же люди, что и 20 лет назад.

Вместе с тем значение вероятностного мышления для благополучного существования в современном мире трудно переоценить.

Моделирование вероятностных ситуаций и анализ данных при помощи компьютера - прекрасный способ сделать освоение этого раздела интересным для всех участников.

• Способность научить использовать компьютерные инструменты.

Видим ли мы где-то в промышленности, в сфере научных разработок людей, стоящих за чертёжными досками? Правда ли, что они предпочитают теперь инструменты компьютерной визуализации и моделирования? А как обстоит дело со школьниками? Нет ли в этом противоречия?

Один из известных советских и российских математиков А.Г. Кушниренко вспоминал недавно в интервью о своём опыте преподавания в 1993 году геометрии при помощи компьютера школьным учителям в Университете штата Пенсильвания, США. В том числе он рассказал, что к 1998 году необходимость в таком курсе отпала, поскольку все учителя стали искать способ самостоятельно научиться работе с соответствующим программным обеспечением. Навыки работы в среде компьютерной геометрии стали нормой, без них нельзя было устроиться на работу.

К сожалению, состояние дел в российской школе и педагогическом вузе от этого ещё далеко. Меж тем как все необходимые средства, включая отечественные разработки мирового уровня, сегодня существуют.

• Способность научить коммуникации на математическом языке.

В учебной математической деятельности особое место занимает общение, в частности - обмен математической информацией. Сегодня понятно, что в школьном курсе необходимо предусмотреть: работу в малых группах, дискуссии в больших группах, презентации индивидуальных и групповых проектов. Во всех этих видах деятельности центральным является развитие общих коммуникативных и организационных способностей учащихся наряду с умением использовать для общения именно математический язык. Учителя должны суметь организовать деятельность учащихся так, чтобы они увидели разницу между математическим языком и языком, которым люди пользуются в повседневной жизни, и оценили точный характер математического языка.

Особую роль в обучении студентов должна сыграть здесь прекрасная традиция отечественной школы - математические кружки. Организация кружков на математических факультетах педагогических

вузов видится наиболее естественным способом развития коммуникативных навыков будущих учителей помимо непосредственно педагогической практики в школе. На математическом факультете МПГУ с 2016 года такой кружок работает по системе Н.Н. Константинова. Учащийся получает листок с задачами, решив задачу, приглашает преподавателя (студента в нашем случае) и рассказывает своё решение ему. Задача преподавателя в возникающем диалоге - убедиться в отсутствии ошибок в решении или указать на них, одновременно оставляя возможность ученику довести решение до правильного. Кроме того, на факультете проводятся также и командные математические соревнования школьников.

Аттестация учителя математики

Разумеется, вслед за сменой приоритета в обучении учителя с содержания на результат очевидные изменения должны произойти и в процедуре аттестации учителя. В традиционной форме Государственная итоговая аттестация выглядит как неизбежный ритуал. Студенты учат ответы на заранее известные вопросы из базовых разделов высшей математики и рассказывают их на государственном экзамене. Затем проводится защита выпускной квалификационной работы - в целом при условии, что студент проявлял необходимое усердие в процессе учёбы и подготовки диплома, выглядящая как пересказ заранее заготовленного текста.

Уровень неформальности, неожиданности в такой процедуре очень невысок. Но главное - совершенно непонятно, как именно эти в самом деле ритуальные действия связаны с будущей работой учителя.

Первый шаг в изменении этой модели в МПГУ будет сделан уже в этом году - на государственном экзамене появятся задачи, которые в школьной программе могут быть отнесены к задачам повышенной сложности. В дальнейшем, очевидно, в процедуре аттестации должны будут оцениваться многие компоненты, в том числе, например, записанные на видео занятия студента со школьниками во время педагогической практики.

Возможно и появление на аттестации задач методического характера, подобных тем, например, что предлагаются действующим учителям на проходящем в стенах МПГУ ежегодном Творческом конкурсе (МЦНМО, 2016).

Заключение

Содержание этой статьи в значительной мере имеет программный характер, многое ещё предстоит осмыслить и сделать. Процессы трансформации педагогического образования в России, в том числе подготовки учителей математики, в основном находятся в самом разгаре, зачастую идут трудно, но в целом неизбежны. Коллектив математического факультета МПГУ, осознавая себя, с одной стороны, как и весь университет, продолжателем традиции Л.С. Выготского, с другой - наследником выдающихся математиков, учёных и педагогов (перечислить всех, никого не упустив, никакой возможности нет), прилагает все усилия для реализации изложенных идей.

Литература

Министерство труда (Министерство труда и социальной защиты Российской Федерации) (2013). Профессиональный стандарт педагога. [Электронный ресурс]. - http://профстандартпедагога.рф/ профстандарт-педагога/

МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования) (2016). Творческий конкурс учителей математики. [Электронный ресурс]. - http://www.mccme.ru/oluch/

Семенов А. Л. (2002). Математика текстов. [Электронный ресурс]. -http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.22.pdf

ФИПИ (Федеральный институт педагогических измерений) (2016). Демоверсии, спецификации, кодификаторы. [Электронный ресурс].-http://www.fipi.ru/

Schoenfeld, А. Н. (2014). What Makes for Powerful Classrooms? [Электронный ресурс]. - https://gse.berkeley.edu/people/alan-h-schoenfeld

Star, J. R. (2013). Does the Learning of Mathematics Build Higher-Order Thinking Skills? [Электронный ресурс]. - http://curriculumredesign. org/wp-content/uploads/Star_Stockholm-130419c-FINAL.pdf

А.Л. Семёнов,

Московский государственный университет

О РЕАЛИЗАЦИИ КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

В статье рассматриваются вопросы реализации Концепции развития математического образования в Российской Федерации, принятой в конце 2013 года. В частности, рассматриваются тенденции в развитии нормативной базы, ЕГЭ, подготовке учителей, создании научно-образовательных математических центров.

Концепция развития математического образования в Российской Федерации (далее Концепция утверждена распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 года № 2506-р. (Министерство, 2013) Эта концепция задала формат, который в последующие годы был использован в ряде концептуальных документов для других образовательных областей.

Концепция разрабатывалась в соответствии с Указом Президента РФ (майским 2012 года) в период, когда в стране начали действовать Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) для разных уровней образования. ФГОС, задавая прогрессивный в целом вектор развития образования, были сформулированы весьма общим образом. В этот период создание концепции, которая, не противореча ФГОС, задает более чёткие ориентиры, было особенно важным.

Также важно, что в обсуждении Концепции приняли участие сотни учителей, преподавателей вузов, управленцев. Проект документа неоднократно обсуждался на заседаниях НМС по математике при Минобрнауки России.

На следующем, после принятия ФГОС и Концепции, этапе уточнения содержания образования в стране прошло широкое обсуждение примерных программ по различным предметам, охватившее тысячи участников и по математике. Это обсуждение было организовано по заданию Минобрнауки России Московским городским педагогическим университетом. При этом участники учитывали положения Концепции. Одним из итогов обсуждения было принятие двухуровневой примерной программы по математике для основной школы. Данное решение

имеет принципиальную важность. Дело в том, что до этого официально считалось, что содержание образования и требования к уровню подготовки выпускников основной школы одни и те же для всех школ. Стандарт был единым для всех основных школ. При этом, де факто, существовали школы с углублённым изучением отдельных предметов, например, в 7-9 классах. Принятие двух примерных программ по математике (базовой и углублённой) создало важный прецедент.

Ещё один важный прецедент был создан в результате принятия двух вариантов экзамена для ЕГЭ по математике, что в течение ряда лет предлагали и вузовские математики, и школьные. (Ещё более естественно было бы наличие этих двух вариантов для экзамена по русскому языку.) Профильный (углублённый) вариант экзамена по математике важен ещё и по причине, которую мы сейчас поясним.

Совершенно ясно, что ЕГЭ не только объективный измеритель результатов обучения по данному предмету, и даже не только, что было бы лучше, объективный измеритель компетентности в данном предмете, которая достигнута выпускником благодаря всей его учёбе в школе и вне школы. Важность ЕГЭ (со знаком «+» или «-») для общества в не меньшей степени определяется влиянием экзамена на содержание образования. При этом под содержанием мы понимаем, конечно, не просто список тем, а и то, что именно требуется и проверяется в качестве результата, - например, подробное доказательство в решении новой для студента геометрической задачи, или знание «близко к тексту» доказательства теоремы из учебника, или умение выбрать правильный числовой ответ из вариантов, предложенных в задании. Так вот, хотим мы этого или не хотим, учить будут тому, «что спрашивают на экзамене». Один из основных дефектов ЕГЭ - экзамен был построен с самого начала с игнорированием данного очевидного обстоятельства. Результаты в области математики не заставили себя долго ждать. ЕГЭ был спроектирован по алгебре и началам анализа и включал значительное количество заданий с выбором ответа. Реально преподаваемая в школах математика немедленно начала перестраиваться. В частности, начал резко снижаться объём изучаемой геометрии и т.д. Благодаря, в частности, усилиям автора настоящих строк этот процесс удалось остановить, геометрия вернулась. Однако проблема решена не до конца.

С самого начала одним из элементов системы ЕГЭ была публикация (в интернете) в начале учебного года так называемой «демонстра-

ционной версии ЕГЭ». Такая публикация полезна, она даёт представление выпускникам и учителям о том, как выглядит «реальный ЕГЭ», какой сложности в нём задания и т.д. Однако учителя немедленно обнаружили, что задания в реальном ЕГЭ очень похожи на эту «демоверсию». Это значило, что надо сосредоточиться на решении именно задач из демоверсии и похожих на них задач из многочисленных тренировочных пособий по ЕГЭ, отложив в сторону обычные школьные учебники (задачники). Происходило то, что в просторечии называется «натаскиванием». Конечно, такая ситуация определяется не тем, что составителям вариантов «лень придумывать» разнообразные задачи, и даже не желанием гарантировать равную сложность заданий в одной и той же позиции - «равноправие вариантов». Причина в том, что реальное разнообразие приводило бы к значительному падению результатов ЕГЭ. А экзамен и так постоянно критикуется за чрезмерную простоту заданий и низкое число задач, достаточных для преодоления минимального порога. (Удивительно, что за это ругают именно ЕГЭ, а не преподавание математики в школе, как оно сложилось независимо от ЕГЭ).

В профильном (повышенной сложности) ЕГЭ по математике наметился существенный отход от данной практики. Здесь задания в ряде позиций обладают разумным разнообразием. Естественно, что это привело к критике со стороны учителей. Эта критика будет учтена, но не в направлении снижения разнообразия, а в направлении снижения технической сложности экзаменационного варианта.

ЕГЭ по математике будет совершенствоваться и дальше. При этом все существенные изменения будут планироваться и обсуждаться за четыре-пять лет до своей реализации. Одним из желательных направлений, опробованных в девятом классе, была бы система оценивания, существенным образом стимулирующая подготовку по всем разделам (в девятом классе это арифметика и алгебра, геометрия, реальная математика). Будет осуществлён и постепенный уход от демоверсии в направлении разнообразия реальных вариантов. О других проблемах и перспективах см. (Семенов, 2014).

ЕГЭ лишь один элемент, обеспечивающий качество образования. Но ключевым элементом является подготовка учителя. Улучшение ситуация зависит от трёх направлений, названных в Концепции: направления «Кадры», направления «Мотивация» и направления

«Содержание». Сегодня в стране идёт процесс модернизации педагогического образования. Одним из основных принципов модернизации является сближение педагогического образования со школой. В частности, практическая работа в школе, включая ведение кружков, занятия с отстающими, проверку домашних заданий и, конечно, самостоятельное проведение уроков, - необходимый элемент подготовки учителя. Сегодня практика особенно эффективна, поскольку работа студента и отдельные элементы работы учителя, учащихся записываются с помощью портативной видеокамеры с микрофоном или качественного мобильного телефона. Потом эти записи служат материалом для анализа, на них строится изучение педагогики, психологии, методики. Более того, не только работа в основной и старшей школе, но и практика в детском саду и в начальной школе для будущего учителя математики очень полезна для понимая того, откуда берутся проблемы в дальнейшем обучении ребёнка. Не менее важно для будущих учителей постоянное решение задач, прежде всего из школьной математики, в зоне ближайшего развития студента. Такое решение и его анализ, рефлексия необходимы для будущего учителя и должны составлять вместе с практикой основную часть предметной подготовки.

Естественно спросить: «А как же с университетской математикой? Где же высшая алгебра, математический анализ и т.д.?» Отвечу. Мы против того, чтобы требовать от студентов изложения выученных, а часто списанных, плохо усвоенных доказательств теорем из курсов классических университетов и при этом закрывать глаза на то, что они не могут решить несложные задачи школьного курса (пусть даже и из ЕГЭ). Мы за то, чтобы всё то, что считается освоенным студентом, было им реально освоено. Это требование академической честности выглядит тривиальным, но выполняется не так уж часто.

При этом для способных студентов необходимо обеспечить возможность получать помощь в освоении интересующих их разделов математики. Это может быть сделано благодаря использованию открытых образовательных ресурсов интернета в сочетании с индивидуальным консультированием, которое могут обеспечить работники педагогического университета, а при необходимости и (дистанционно) работники других вузов в рамках сетевых программ.

Особую важность приобретает математическая подготовка учителей начальной школы. Мы часто слышим от учителей математики,

что именно там лежит корень проблем. Именно там появляются существенные пробелы в элементарной математической грамотности, порождающие представления о детях, «неспособных к математике» -именно к математике (такие представления, разумеется, отрицаются Концепцией), навешивается «научный» ярлык «дискалькулия». Внимание к такой подготовке отнюдь не означает, что будущим учителям начальной школы нужно преподавать аналитическую геометрию или тренировать их на решение тригонометрических неравенств. Важнейшим элементом их подготовки является формирование умения определять, в чём именно состоит трудность в решении данной задачи для данного ребёнка и каковы общие проблемы данного ребёнка в математике. Одним из элементов такого формирования является решение студентом широкого круга задач начальной школы, включая «олимпиадные» (например, задачи из Олимпиады «Кенгуру» или журнала «Квантик»), и наблюдение за реальными или моделируемыми трудностями в таком решении.

В работе, которую мы ведём по заданию Минобрнауки России, будущее содержание математического образования строится как значимое и вне математики. Это значит, что стратегии решения задач, вырабатываемые на математическом материале, будут применяться в широком круге ситуаций. При этом мы опираемся на российскую и мировую традицию и практику, выраженную в афоризме, приписываемом Ломоносову: «Математику для того учить стоит, что она ум в порядок приводит», как создателей и продолжателей этой традиции следует назвать и Пуанкаре, Фрейденталя, Лакатоша, Пойя и многих других.

Как подчёркивается в Концепции, существенная доля математической деятельности человечества - это работа в сфере IT. Интеграция математики и информатики в начальной школе, реализованная в ФГОС и часто осуществляемая в реальном образовании, служит основой для соответствующей ориентации учащихся. В частности, возможен подход, где учащиеся постоянно включены в решение учебных программистских задач, постепенно становящихся уже производственными, одновременно в изучение новых элементов программирования и в обучение информатике младших. Эта идея активно продвигается в различных странах союзом World Information Technology and Services Alliance (WITSA, см. http://elib.bsu.by/handle/123456789/100064)

С другой стороны, в РФ принята Новая технологическая инициатива (НТИ, см. http://asi.ru/nti/). Сейчас разрабатывается Концепция изучения технологии в школе, где последовательно реализуется связь современных технологий, прежде всего информационных, с основными предметами естественно-математического цикла.

Говоря о необходимости лидеров производимых перемен, Концепция предлагает создание ряда научно-образовательных центров высшего уровня, которые реально не уступали бы ни в каком отношении лучшим мировым. Последнее предполагает соответствующий уровень оплаты и условий жизни для ведущих мировых математиков, их коллег и российских специалистов различных категорий, инфраструктуру и т.д. Эти центры будут работать в определённой степени подобно Принстонскому институту перспективных исследований, аналогичным центрам Европы, Индии, Китая и т.д. Такие центры будут созданы при участии федерального бюджета в Санкт-Петербурге, Москве, Новосибирске, Казани. За счёт средств регионов они будут создаваться также в Уфе и Екатеринбурге.

Литература

Министерство образования и науки (2013). Распоряжение Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р. Концепция развития математического образования в Российской Федерации. http://минобрнауки.рф/документы/3894

Семенов А.Л. (2014). ЕГЭ по математике. Перезагрузка. Учительская газета, № 49 (от 9 декабря), http://www.ug.ru/archive/58474

В.З. Шарич,

Школа «Фоксфорд»

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ СОВРЕМЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД: НАУКА, СПОРТ, ПОСТУПЛЕНИЕ ИЛИ ПРЕСТИЖ?

В этой статье пойдёт речь о современных математических олимпиадах в России. Олимпиады - эффективное средство поиска и отбора талантливой молодёжи и её раннего погружения в науку. В последнее время говорят об определённых кризисных явлениях в олимпиадном движении; эти явления будут ниже проанализированы.

Краткая история математических олимпиад

Математические олимпиады зарождались и развивались постепенно. Ещё в средние века одни математики предлагали другим задачи, которые они сами решать умели, но такие, что другим догадаться до решения было сложно: знамениты состязание итальянцев Фиоре и Тартальи (Гутер и Полунов, 1980), решение французом Виетом задачи нидерландца ван Ромена (Стройк, 1984) и другие.

Первая в мире олимпиада для выпускников гимназий была проведена в Венгрии в 1894 году по инициативе Венгерского математического общества и знаменитого физика Лорана Этвёша. Сборник задач этих олимпиад издан на русском языке в издательстве «Мир» в серии «Задачи и олимпиады» (Кюршак и др., 1976).

Первые олимпиады в России были проведены в 1934 году в Ленинграде и Тбилиси, одним из инициаторов их проведения был замечательный геометр, член-корреспондент АН СССР Б.Н. Делоне. В 1935 году была проведена первая математическая олимпиада в Москве, председателем оргкомитета был член-корреспондент АН СССР П.С. Александров, а членами оргкомитета - профессора-математики МГУ. Задачи московских олимпиад были опубликованы в сборнике ГА. Гальперина и А.К. Толпыго (1986).

Олимпиады стали проводиться и в других странах, а в 1959 году в Румынии состоялась первая международная олимпиада школьников.

С 1961 года Министерство просвещения РСФСР, затем СССР ежегодно стало проводить математическую олимпиаду для школьников -сначала Всероссийскую, а с 1967 года Всесоюзную. Всесоюзная олимпиада состояла из пяти этапов:

1. школьный,

2. районный (городской),

3. областной (республиканский, краевой),

4. зональный,

5. заключительный тур.

В 1992 году Всесоюзные олимпиады прекратили своё существование, а Всероссийская олимпиада школьников (далее ВОШ) стала проводиться в те же пять этапов. В 2009 году был отменён зональный этап (на тот момент он назывался «федеральный окружной»), ВОШ стала проводиться в четыре этапа. В 2009-м же году Московская математическая олимпиада (далее ММО) и Санкт-Петербургская математическая олимпиада (далее СПбМО) перестали быть этапами Всероссийской, но обе олимпиады проводятся ежегодно, сохраняя традиции.

ВОШ - российская национальная олимпиада, её организатором является Министерство образования и науки РФ. Первый этап Олимпиады выявляет лучших в рамках одной школы - они становятся участниками второго этапа. Второй этап выявляет лучших среди учащихся школ одного муниципалитета (округа) - они становятся участниками третьего этапа. Третий этап выявляет лучших в пределах своих регионов (областей) - они становятся участниками четвёртого этапа. Наконец, четвёртый, заключительный этап выявляет около 100 лучших школьников России. (Из них посредством серьёзного дополнительного отбора определяется сборная из шести человек, которые представляют Россию на Международной олимпиаде.)

Кроме ВОШ, ММО и СПбМО, в России есть множество олимпиад разной сложности и охвата. Стоит отметить международный Турнир городов (далее ТГ), который проводится с 1980 года. Многие вузы проводят свои олимпиады, которые - при определённых условиях и по определённым правилам - учитываются при приёме абитуриентов.

Олимпиады оказали огромное влияние на школьное математическое образование и науку в целом. Однако сегодня олимпиадное движение переживает кризис на нескольких фронтах:

• содержательный кризис,

• форматный кризис,

• этический кризис.

Ниже пойдёт речь о характере этого кризиса и способах выхода из него.

Математические олимпиады как способ поиска талантливой молодёжи и раннего вовлечения в науку

В этом разделе речь пойдёт о содержательном кризисе: задачи на олимпиадах не обладают былой красотой и новизной идей, а упор приходится на спортивную составляющую.

Поясним это. Одна из важнейших задач математических олимпиад - поиск талантливой молодёжи и раннее вовлечение в науку. Соревнования стимулировали развитие кружковой деятельности и по факту серьёзно повысили требования к математическим познаниям школьников. Основная роль в этом процессе принадлежит Всероссийской олимпиаде школьников (ВОШ).

Перед методической комиссией, составляющей задачи Всероссийской олимпиады, каждый год стоит сложная миссия - придумать новые, то есть не встречавшиеся нигде ранее, задачи, достаточно интересные, в меру сложные, решаемые инструментами школьной программы, но так, чтобы у детей, занимающихся в кружках, не было явного преимущества перед теми, кто такой возможности не имеет. Если в первых олимпиадах встречались новые для школьников идеи - принцип Дирихле, понятие инварианта и полуинварианта, дискретная непрерывность, раскраски и другие (Фомин, Генкин, Итенберг, 1994), то на сегодняшний день все эти идеи прочно вошли в программы кружков. Изобрести новую идею чрезвычайно трудно и считается большой удачей. Поэтому решения современных олимпиадных задач представляют собой комбинации известных идей, причём сложность задачи измеряется практически количеством и разнообразием идей, которые требуется в ней применить (Канель-Белов, 2011).

Стремясь к победе, школьники и руководители кружков сосредотачиваются на стандартных идеях решения олимпиадных задач. Это приводит к искусственному ограничению программ кружков. Многие

важные и интересные (с точки зрения науки) сюжеты оказываются за пределами внимания, потому что они «не нужны на олимпиадах». К счастью, этому замыканию успешно противостоят достаточно дальновидные руководители кружков. К сожалению, таких руководителей меньшинство.

Поиск талантливых школьников не является самоцелью проведения олимпиады. Участие в олимпиадном движении должно быть первым шагом в науку, поскольку школьная программа для этого не предназначена и к этому не приспособлена. В то же время в науке неизбежно появляются новые идеи; как правило, они слишком сложны для школьных олимпиад, поэтому требуется нетривиальная методическая переработка этих идей (если это вообще возможно).

Это суть содержательного кризиса: отрыв от науки и превращение олимпиад из праздника математической красоты в спортивное соревнование по скоростному комбинированию стандартных идей.

Математические олимпиады как инструмент отбора будущих студентов технических специальностей

В этом разделе речь пойдёт о форматном кризисе: понятие олимпиады по математике стало более широким, в связи с чем Олимпиады значительно потеряли в качестве.

Для того чтобы объяснить это явление, нужно взглянуть на ситуацию шире. Около 10 лет назад в России началось введение Единого государственного экзамена (ЕГЭ). Этот экзамен, сдаваемый всеми выпускниками школ в одно и то же время и по одним и тем же задачам, является как выпускным экзаменом в школе, так и вступительным экзаменом в вузы. Отдельные вступительные экзамены были запрещены (через некоторое время редкие вузы получили разрешение проводить собственные дополнительные вступительные испытания, но остались обязаны учитывать результаты ЕГЭ). Абитуриенты поступали по баллам, полученным на ЕГЭ.

ЕГЭ в российских условиях даёт не совсем объективную картину. Вузы, желая принимать наиболее достойных абитуриентов, добились возможности учитывать результаты олимпиад школьников. Наиболее активные вузы стали проводить свои олимпиады.

Эта деятельность была упорядочена введением Перечня Российского совета олимпиад школьников. Перечень - список олимпиад, за победу на которых вузы могут предоставлять льготы при поступлении. Каждой олимпиаде из перечня присуждается уровень: первый, второй или третий. Вузы определяют льготы по уровню. Это означает, что если двум олимпиадам был присуждён один и тот же уровень, то каждый вуз предоставляет призёрам этих олимпиад одинаковые льготы (при этом разные вузы могут предоставлять разные льготы).

Например, упомянутые выше ММО, СПбМО и ТГ вошли в перечень и получили первый уровень. В 2016/2017 учебном году в перечень вошли всего 29 олимпиад по математике, из них 9 первого уровня, 11 второго уровня и 9 третьего уровня. Вузы определяют льготы в конце учебного года и до начала приёмных кампаний. Возможны две разновидности льгот: поступление без вступительных испытаний либо засчитывание максимального балла за ЕГЭ. Перечень и уровни обновляются ежегодно. ВОШ остается вне перечня; вузы обязаны принимать призеров ВОШ без экзаменов.

Само введение ЕГЭ вызвало напряжение в среде абитуриентов и родителей, поскольку судьба абитуриента фактически решалась одним экзаменом. Поэтому многие видят в олимпиадах «запасной вариант», подстраховку на случай, если ЕГЭ не удастся написать хорошо. В значительной степени это так, но, к сожалению, ежегодно многие из абитуриентов необоснованно надеются на победу в олимпиаде из перечня.

В то же время некоторые организаторы олимпиад, соблюдая формально все условия для вхождения в перечень, значительно снизили сложность задач на своих соревнованиях; такие олимпиады иногда невозможно отличить от обычных прежних вступительных экзаменов в вузы либо от контрольной работы в математическом классе.

Школьники стали массово готовиться к олимпиадам из перечня, зачастую не по своей воле, а благодаря переживающим родителям, которых этот вопрос начинает заботить за много лет до выпуска ребёнка из школы. Преподаватели и организаторы образования сделали встречный шаг и проводят соответствующие курсы либо индивидуальные занятия. С одной стороны, факт увеличения спроса на качественное математическое образование следует признать

положительным. С другой стороны, ситуация накалилась настолько, что для школьника, желающего поступить в хороший вуз, не готовиться или не участвовать в олимпиаде из перечня считается неестественным.

Это суть форматного кризиса: олимпиадное движение вышло из естественного русла работы с одарёнными детьми и превратилось в суррогат вступительных экзаменов.

Математические олимпиады как критерий успешности учебного заведения

В этом разделе речь пойдёт об этическом кризисе: победы в олимпиадах официально стали достоянием не только непосредственно участников, добившихся этих побед, но и учебных заведений, в которых эти школьники обучаются. Как следствие, искажается мотивация участия отдельно взятого школьника в олимпиаде, а также мотивация учителя или школы обучать талантливого школьника.

Для того чтобы понять это явление, нужно познакомиться с некоторыми деталями российского школьного образования. Каждый год составляется рейтинг российских школ и публикуется список 500 первых мест (топ-500). Оказаться в этом списке весьма престижно, а в некоторых регионах школам присуждаются денежные гранты за высокие места. Как следствие, администрация каждой школы заботится о месте в рейтинге.

Для составления рейтинга каждой школе присуждается общий балл, полученный суммированием баллов этой школы за все достижения из определённого списка. Одно из весомых достижений - результаты учащихся этой школы на Всероссийской олимпиаде школьников. Хорошим выступлением на региональном этапе учащийся может принести своей школе 1 или 3 балла (в зависимости от степени диплома); хорошим выступлением на заключительном этапе учащийся может принести своей школе 5 или 10 баллов (в зависимости от степени диплома). Для сравнения: хорошими баллами на ЕГЭ учащийся может принести своей школе максимум 1 балл, что гораздо меньше, чем победа в олимпиаде. Для вхождения в топ-500 по неофициальным подсчётам достаточно набрать 50-70 баллов (официально такая информация нигде не публикуется).

Существенный вклад олимпиадных успехов в общий балл учебного заведения приводит к чрезмерному вниманию к школьникам, которые могут этих успехов добиться. Часто такие школьники получают значительные поблажки в учёбе (например, им разрешается пропускать уроки или вообще не ходить в школу ради подготовки к олимпиадам). Некоторые школы могут вербовать школьников из других - не менее хороших -школ ради увеличения своего общего балла, а для убедительности подобного приглашения организовать условия, не соответствующие требованиям общего образования. Наблюдается также обратный эффект: школы, слабо соответствующие нуждам одарённого школьника, регулярно стараются препятствовать переходу этого школьника в другую, лучшую школу. Интересы школьника при этом не принимаются во внимание.

Ситуация осложняется тем, что рейтинг влияет также на оценку работы департаментов образования, отчего на администрации школ оказывается дополнительное давление. Впрочем, давлению подвержены и сами школьники, так как участие в олимпиаде получает совершенно лишний эмоциональный груз их ответственности за свою школу. Защищать честь школы становится не только почётным правом, но и тревожной обязанностью.

Это суть этического кризиса: участие в олимпиаде перестало быть добровольным делом каждого школьника и привлекает неестественное внимание административного аппарата, вступая в противоречие с доктриной об оптимальном развитии ребёнка.

Кризис олимпиадного движения

Итак, можно отметить три вида кризиса современного олимпиадного движения в России:

1. Содержательный кризис. Нехватка науки в олимпиадных задачах, а как следствие - превращение кружковых занятий в подготовку к олимпиадам вместо углублённого изучения интересных математических сюжетов.

2. Форматный кризис. Дискредитация понятия математической олимпиады и восприятие олимпиад как обязательной составляющей учебного процесса для учащихся выпускных классов.

3. Этический кризис. Отодвигание интересов школьника на второй план и гонка администраций школ за баллами в рейтинге.

Меры по преодолению кризиса математического олимпиадного движения

Описанный выше кризис активно обсуждается олимпиадным сообществом не первый год. Есть определённые положительные сдвиги по каждому из направлений, хотя перспектив полного разрешения не видно. Опишем кратко наблюдаемые изменения.

Преодоление содержательного кризиса

Научное содержание в олимпиадных задачах увеличивается путём приглашения действующих учёных - докторов наук и профессоров, которые в своё время были победителями олимпиад, - в состав методических комиссий. Однако у каждого из них мало сил и времени, которые они могут выделять на олимпиады. Поэтому счёт примкнувших к олимпиадному движению учёных идёт на единицы.

С другой стороны, победители олимпиад уже в старших классах и на младших курсах в значительной степени готовы к восприятию математики как науки. Для таких детей проводятся летние (и не только) школы с участием учёных, готовых погружать молодёжь в свои области исследования. Эти школы набирают популярность: в России проходят Летняя конференция Турнира городов (ЛКТГ) и Летняя школа «Современная математика», во Франции проходит школа в Лионе, в Германии - школа в Бремене, и это только некоторые из мероприятий.

Занятия большинства таких школ состоят из лекций или циклов лекций учёных, но формат ЛКТГ совершенно иной. Туда приглашаются лучшие участники олимпиады Турнир городов. Им предлагается на выбор несколько довольно длинных серий задач, посвященных одной теме и позволяющих за короткий срок вникнуть в эту тему и подобраться к нерешённым задачам математики. Задачи подбираются профессиональными математиками специально для ЛКТГ, эти же математики приезжают на конференцию и беседуют со школьниками. Бывало, что на самой ЛКТГ или после неё школьники, заинтересовавшись сюжетом, совершали прорыв и решали задачи, с которыми никто до них не мог справиться. Материалы Летних конференций Турнира городов опубликованы издательством МЦНМО (Константинов, 2009).

Преодоление форматного кризиса

Для дифференциации олимпиад по сложности завоевания призового места введены уровни. Планка при определении первого уровня установлена достаточно высоко. Благодаря этому первый уровень присуждён олимпиадам с действительно интересными, нестандартными, сложными задачами; его можно считать своеобразным признаком качества.

Традиционные популярные олимпиады, не уступающие Всероссийской по качеству, - Московская математическая олимпиада, Санкт-Петербургская математическая олимпиада, Турнир городов - перестроили свой формат проведения и выполняют все условия для вхождения в перечень, гарантируя своим победителям максимальные льготы.

Олимпиады второго и третьего уровня, несомненно, проводятся качественно, пользуются заметным интересом со стороны участников, их задачи абсолютно корректны и обладают определённой новизной. Поэтому любое соревнование, удостоенное права быть включённым в перечень, вполне достойно внимания.

Преодоление этического кризиса Представляет интерес недавно принятое решение делить баллы, «заработанные» школьником, сменившим место учёбы, пополам между старой и новой школами. Это правило распространяется на первый год обучения в новой школе и призвано по возможности справедливо распределять баллы, а также снижать «ценность» вербовки нового школьника по сравнению со «взращиванием» своего. Однако это лишь полумера, в буквальном и переносном смыслах.

Большая часть учительского сообщества ставит интересы школьника на первое место. Школьникам это позволяет двигаться по оптимальной образовательной траектории, в том числе в тех случаях, когда траектория подразумевает смену учебного заведения. Закон фиксирует право школьника (а точнее, родителя или законного представителя несовершеннолетнего гражданина) выбирать школу (при условии, что школа имеет возможность принять школьника, а школьник выполнил все требования для поступления). Поэтому ничто реально не препятствует мобильности учащихся. В то же время наблюдается снижение этой мобильности в связи с развитием технологий, позволяющих получить качественное образование в любом городе России.

Об опыте проведения математических соревнований

Математическое многоборье на базе СУНЦ МГУ

Осознавая несовершенство системы существующих олимпиад, мы с единомышленниками реализовали своё видение «идеального» математического соревнования. В данном разделе мы ближе познакомимся с форматом этого соревнования.

Кроме индивидуальных олимпиад, в России проходит множество командных математических турниров. Эти турниры не предоставляют никаких льгот и обладают большей свободой в выборе сюжетов задач. В частности, допускаются задачи, для решения которых нужно владеть основами высшей математики либо обладать знаниями специфических сюжетов, выходящих за рамки школьной программы (что запрещено на ВОШ и олимпиадах из перечня). Таким образом формируется посыл, что изучать нешкольную математику (как высшую, так и элементарную) можно и нужно. Это попытка заполнить пропасть между школьной и вузовской программой.

В основном такие командные соревнования представляют собой турниры математических боёв, весьма популярного вида противостояния двух команд. Однако есть и иные формы проведения турниров. Одна из таких форм была воплощена автором с коллегами на базе Специализированного учебно-научного центра МГУ с 2008 по 2014 годы под названием «Математическое многоборье». СУНЦ МГУ продолжает проводить Многоборье, несколько изменив формат. Преследуя цель описать исходный формат, мы будем говорить о Многоборье в прошедшем времени.

Математическое многоборье - командно-личный турнир для команд из четырёх школьников восьмого, девятого, десятого или одиннадцатого классов. Состязания проводились в двух возрастных лигах: «младшие» (8-9 классы) и «старшие» (10-11 классы). На турнире проводилось пять соревнований:

• индивидуальные соревнования:

■ по алгебре и теории чисел (письменно),

■ по комбинаторике и логике (устно),

■ по геометрии (письменно);

• командные соревнования:

■ «Математическая регата» (письменно),

■ «Командная олимпиада» (устно).

Индивидуальные соревнования проводились по формату классических олимпиад: четыре-пять задач, 240 минут времени, баллы на письменных соревнованиях выставлялись по схеме Всероссийской олимпиады посредством тщательной проверки решений, баллы на устных соревнованиях (0 или 1 - задача решена или нет) определялись в диалоге с жюри.

Командные соревнования проходили в принципиально разных форматах: скоростное письменное соревнование «Математическая регата» (четыре тура по три задачи и 20-30 минут на каждый тур) и продолжительное устное соревнование «Командная олимпиада» (8-10 задач, 240 минут на всю олимпиаду).

Разный формат соревнований был призван как повысить ответственность за собственные достижения (индивидуальные баллы каждого участника учитывались в рейтинге команды), так и привить вкус к командной работе.

Кроме самих соревнований, важную роль имели сопровождающие мероприятия:

• экспериментальный тур с новыми формами проведения интеллектуально-исследовательских соревнований,

• научно-популярные математические лекции членов методической комиссии,

• встречи с представителями образовательных организаций. Общий принцип награждения был таков: награждать за всё,

за что можно награждать. Поэтому в каждой лиге награждались лучше команды в каждом из командных соревнований и в общем командном зачёте (всего шесть номинаций), а лучшие участники награждались отдельно по каждому классу за каждое индивидуальное соревнование и в индивидуальном зачёте (всего восемь номинаций). Таким образом, удавалось наградить каждого, кто преуспел хотя бы в какой-нибудь дисциплине. Именно так устроена наука: результаты получаются в отдельных направлениях, а не во всех сразу. Соблюдались чёткие (и довольно сложные) принципы начисления баллов и определения победителей, но награждались все команды, этим подчёркивалось, что в науке каждый вносит посильный вклад.

Методическая комиссия многоборья состояла как из представителей олимпиадного сообщества, так и из действующих учёных (некоторые математики успешно сочетают эти два вида деятельности).

Большое значение придавалось новым идеям в задачах, а соревновательный компонент сознательно отодвигался на второй план. Кроме того, каждый член методической комиссии имел почётную обязанность прочесть лекцию на интересную ему математическую тему. Обычно эти лекции собирали большое число заинтересованных школьников.

Многоборье привлекало зарубежные команды: за короткий срок в турнире успешно принимали участие сборные из Сербии, Кореи, Греции, Монголии, Украины, Казахстана. Тем самым мы хотели продемонстрировать участникам, что математика не ощущает границы между государствами и является достоянием всех наций.

Отдельного внимания заслуживает экспериментальный тур. Это соревнование проводилось в последний день турнира для всех желающих школьников и не входило в зачёт. За годы существования турнира формат экспериментального тура ни разу не повторился. Мы искали новый функциональный формат, пытаясь отойти от классических представлений об олимпиадах. В частности, на экспериментальных турах были:

• скоростное решение головоломок,

• математические квесты,

• поиск информации в интернете,

• математическое моделирование

и другие формы интеллектуальной активности, так или иначе связанной с математикой.

Материалы первых трёх турниров «Математическое многоборье» опубликованы в книге (Тихонов, Шарич, 2012), готовятся к публикации сборники материалов других лет.

Заключение. Перспективы преодоления кризиса

Несмотря на обилие противоречий внутри олимпиадного движения, некоторые пути их разрешения вполне допустимы. В заключение мы рассмотрим те из них, которые представляются наиболее осуществимыми.

Для преодоления содержательного кризиса следует начать с более плотного и содержательного взаимодействия олимпиадных функционеров и практикующих учёных. Вероятно, одна из причин неучастия учёных в олимпиадном движении в том, что формально такой

труд не может быть зачтён как научная деятельность, хотя сложность сопоставима. В научной сфере олимпиадные задачи занимают позицию между педагогикой и математикой, отчего не попадают ни туда, ни туда. Следуя общей тенденции признания дисциплин на стыках существующих наук, возможно, в обозримом будущем появится и раздел математики под официальным названием «олимпиадная математика» (на текущий момент это название используется в сообществе, но часто вызывает недоумение у непосвящённых людей).

Технический прогресс делает знания более доступными. Возможно, скоро будет снято табу на использование внешкольных приёмов при решении олимпиадных задач. Это привело бы к более серьёзному проникновению высшей математики в программу соревнований, а уже материал первого курса университета богат источниками новых идей (доказательством тому служит возрастающая популярность студенческих олимпиад).

Для преодоления форматного кризиса образовательное сообщество должно активизироваться с целью разъяснения школьникам и родителям истинного смысла математических олимпиад. Возможно, в обществе выкристаллизуется отдельная категория испытаний - нечто среднее между олимпиадами и вступительными экзаменами - для того чтобы школьники, имеющие способности к математике, но объективно не являющиеся лучшими, могли продемонстрировать свои умения и получить за это привилегии.

Перемены в законодательстве касательно правил приёма в вузы не поддаются прогнозированию. Можно лишь надеяться, что процедура поступления станет более гибкой и иссякнет необходимость в существовании перечня.

Для преодоления этического кризиса нужно смягчить формат учёта олимпиадных результатов в рейтинге учебного заведения. Конечно, эти результаты отражают качество функционирования школы, но формат начисления баллов не устойчив по отношению к флуктуациям, вызванным везением, самочувствием и иными факторами, не связанными с реальными знаниями школьника.

Мы наблюдаем уменьшение роли учебного заведения в школьном образовании. Большое число родителей переводит своих детей на семейную форму обучения, старшеклассники уходят в экстернат. Современные технологии и законодательство способствуют этому процессу.

В результате может оказаться, что потеряет смысл понятие «учиться в определённой школе». Тогда и вопрос начисления школам баллов за детей будет автоматически снят.

В целом олимпиадное движение, будучи живым и довольно молодым организмом, претерпевает естественные изменения. Трудно переоценить его совокупный вклад в развитие математического образования школьников; в то же время нужно признать, что сейчас олимпиадное движение лишь поддерживает существующую систему дополнительного образования, помогая ей расти количественно, но не качественно. В последнее время набирают обороты новые, проектные формы внешкольной работы: конференции школьников, соревнования по математическому моделированию. Олимпиады привлекают чёткостью и прозрачностью критериев, объективностью определения победителей при глубоком математическом содержании. Органичное соединение этих качеств и новых форм могло бы стать новым витком эволюции олимпиадного движения.

Литература

Гальперин Г.А., Толпыго А.К. (1986). Московские математические олимпиады. Москва: Просвещение.

Гутер P.C., Полунов Ю.Л. (1980). Джироламо Кардано. Серия «Творцы науки и техники». Москва: Знание.

Канель-Белов А.Я. (2011). Олимпиады: дверь в математику или спорт? Математическое просвещение, 5(15)6 1-19.

Константинов H.H. (2009). Летние конференции Турнира городов: Избранные материалы. Москва: Издательств МЦНМО.

Кюршак Й, Нейкомм Д., Хайош Д., Шуранн Я. (1976). Венгерские математические олимпиады. Перевод с венгерского Ю.А.Данилова. Москва: Мир.

Тихонов Ю.В., Шарич В.З. (Сост.). (2012). Математическое многоборье 2008-2010. Москва: Издательство МЦНМО.

Стройк Д.Я. (1984). Краткий очерк истории математики. Москва: Наука.

Фомин Д.В., Генкин С.А., Итенберг И.В. (1994) Ленинградские математические кружки. Киров: АСА.

Д.Э. Шноль,

Школа «Летово», школа «Интеллектуал»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИЙСКОЙ ШКОЛЕ

Введение

В данной статье обсуждается применение особого типа задач (так называемых «исследовательских задач») при обучении математике. Общепризнано, что решение задач - это главный метод не только обучения собственно математике, но также развития критического и творческого мышления учеников. В последнее время в российской школе помимо задач классического типа стали использоваться задачи иного типа, которые в России получили название «исследовательские задачи». Некоторые преимущества таких задач, а также трудности их использования будут обсуждены ниже.

Два примера

Начнём с примера двух уроков, на первом из которых использована классическая задача, а на втором - исследовательская задача на ту же тему.

Классическая задача. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Основания трапеции ВС и AD равны 4 см и 8 см соответственно, а высота трапеции равна 6 см. Найдите площадь треугольника ВСО (рисунок 1).

Решение этой задачи требует от учеников сделать следующие шаги:

1. Увидеть, что треугольники ВСО и AOD подобны, и обосновать их подобие.

2. Найти коэффициент подобия из данных задачи (он равен отношению оснований, то есть 2).

3. Найти высоту треугольника ВСО, проведённую к основанию ВС, используя тот факт, что отношение соответственных высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия (значит,

точка О делит высоту, проходящую через неё, на отрезки равные 2 см и 4 см).

4. Используя известную формулу, найти площадь треугольника ВСО (4 см2).

Рис. 1

Это пример хорошей учебной задачи, где наряду с использованием известных фактов (признаки подобия треугольников, свойства подобных треугольников, формула площади треугольника) ученику необходимо самому найти ход решения задачи, который не следует с очевидностью из условия задачи. Подробное решение такой задачи (включая его запись) займёт на уроке 10-15 минут в зависимости от того, насколько быстро ученики найдут идею решения. Если ученик успешно решает такую задачу самостоятельно, то мы можем констатировать, что он достаточно прочно усвоил базовые геометрические факты, умеет их применять и решать в некоторой степени нестандартные задачи.

Теперь приведём пример исследовательской задачи на эту же тему.

Не жёстко заданная трапеция

В трапеции заданы её основания и высота. Что из ниже перечисленного можно найти по этим данным?

1) Длины боковых сторон.

2) Расстояние между серединами боковых сторон.

3) Длины диагоналей.

4) Расстояние между серединами диагоналей.

5) Площади треугольников, на которые трапецию разбивают диагонали.

6) Боковые стороны продлили до точки пересечения. Что ещё можно найти в этой конструкции?

7) Что изменится в ответах на вопросы 1-6, если дополнительно задать один из углов трапеции?

8) Что изменится в ответах на вопросы 1-6, если дополнительно задать боковую сторону трапеции (углы трапеции не заданы)?

По опыту известно, что даже сильные школьники, решив конкретную задачу на не жёстко заданной конструкции, не всегда понимают, что в этой конструкции можно найти (то есть что инвариантно относительно возможных изменений), а что нет. Иными словами, формальное решение классической задачи часто не даёт полного понимания ситуации.

Если после верного решения приведённой выше классической задачи на нахождение площади треугольника ВОС мы спросим учеников, можно ли в условиях этой задачи найти длину диагонали, то, скорее всего, наш вопрос будет для учеников совершенно новой задачей, так как, решая первую задачу, они не задумывались о ситуации в целом.

Приведённая выше исследовательская задача направлена как раз на полное понимание заданной геометрической конструкции. Вопросы поставлены так, чтобы ученик смог определить все её основные инварианты. Такая постановка задачи приводит к тому, что от статического взгляда на геометрическую задачу ученики должны перейти к динамическому. Если высота трапеции задана, то основания трапеции должны лежать на двух параллельных прямых, находящихся на данном расстоянии друг от друга. Если мы мысленно закрепим одно из оснований на одной параллельной прямой, то второе основание может свободно перемещаться вдоль другой прямой. Задача -выяснить, какие величины останутся неизменными при таком перемещении. В результате такой переформулировки условия первые три пункта задачи решаются легко: длины боковых сторон и диагоналей очевидно изменяются при перемещении одного из оснований, а длина средней линии - нет.

Пункты 4) и 5) более сложные, кроме того, результат пункта 5) противоречит нашей интуиции: несмотря на то что длины диагоналей и боковых сторон изменяются, площади треугольников остаются неизменными. Обычно этот неожиданный результат вызывает большой эмоциональный отклик. Интересно, что удивление по этому поводу возникает даже после того, как ученик первоначально решил задачу в классическом варианте, то есть нашёл конкретную площадь треугольника ВСО.

Пункт 6) позволяет школьникам самим выбирать объекты, которые являются кандидатами на инварианты данной конструкции (например, расстояние от точки пересечения продолжений сторон до оснований трапеции). Этот пункт ещё сложнее предыдущих, так как в нём больше свободы, а тем самым больше неопределенности.

Пункт 7) даёт понять, от скольких параметров зависит рассмотренное нами семейство трапеций: достаточно дополнительно задать один угол, и трапеция будет задана жёстко, а значит, можно будет найти все её элементы (таким образом, это семейство зависит от одного параметра).

Наконец, пункт 8) при всём его сходстве с пунктом 7) показывает, что некоторые наборы геометрических данных могут задавать конечное множество различных объектов (в данном случае различных трапеций может быть две, если длина боковой стороны больше высоты).

Решение такой задачи на уроке может занять до двух часов учебного времени (и всё равно, скорее всего, задача будет решена не полностью). Эта «затратность по времени» естественна, ведь такая постановка задачи гораздо ближе к реальной работе учёного-исследователя, который может работать над задачей и недели, и месяцы.

Как правило, задачи такого типа вызывают у учеников повышенный интерес, дают широкий простор их интеллектуальному творчеству, рассматриваемые многообразные вопросы становятся естественным образом предметом дискуссии, индивидуального или группового исследования. Кроме того, в решении таких задач наиболее уместно использовать различные компьютерные программы (для приведённой выше задачи - программы динамической геометрии: «Живая геометрия», «Geogebra» и др.). Отмеченные нами положительные стороны исследовательских задач неоднократно обсуждались в российском математическом сообществе (см., например, Скопенков, 2008, Сгибнев, Шноль, 2007), однако к массовому применению таких задач это не привело. В чём же причина такого положения?

Исследовательские задачи в российской школе

С конца 80-х годов, когда исследовательские задачи стали использоваться в практике преподавания в российской школе, были подробно описаны и частично применены на практике два основных вида исследовательских работ:

1) индивидуальная внеурочная исследовательская работа ученика, выбранная им по своему желанию,

2) решение исследовательских задач на уроке (индивидуально, по группам или всем классом).

На данный момент первый вид исследовательских работ получил в российских школах довольно заметное развитие и некоторые организационные формы. Во многих школах и регионах проводятся конференции исследовательских работ школьников, где бывают и работы по математике, издано некоторое число книг, содержащих как описания общих подходов в такой работе, так и конкретные задачи исследовательского характера (см., например, Сгибнев, 2015, Иванов и др., 2013, Куланин и др., 2013), проводятся семинары и конференции организаторов этой работы (см., например, http://www.mccme.ru/circles/ oim/mmks/opyt.htm и http://www.mccme.ru/nir/uir/). В последние несколько лет в результате введения в России новых Федеральных государственных образовательных стандартов проектно-исследовательская деятельность стала в российской школе обязательным компонентом образования, в связи с чем в эту деятельность теперь формально вовлечено большинство школьников России. Тем не менее эксперты, работающие в этой области, отмечают, что сколько-нибудь интересные исследовательские работы делаются примерно в двух десятках школ России, так как каждая такая работа требует высококвалифицированного руководителя, и новых идей и задач. Такого богатства не может быть много.

В подавляющем большинстве остальных школ под индивидуальной исследовательской работой понимается полуреферативная работа, в которой ученик проявил некоторую самостоятельность в изложении внепрограммного материала. Разумеется, такая работа, проделанная самостоятельно, может быть во многих отношениях полезной. С другой стороны, при массовом и обязательном применении этой формы работы в российских условиях стоит ожидать потока халтурных компиляций или просто скачанных из интернета работ. Как бы там ни было, внеурочная форма исследовательской работы школьников за последние 20 лет стала заметной частью математического образования в России (со своими плюсами и минусами).

Этого нельзя сказать о второй форме применения исследовательских подходов при обучении математике - работе на уроке в массовой

школе. На эту тему публикуются статьи в методических журналах (см., например, Далингер, 2000), делаются доклады на конференциях, пишутся диссертации, но никаких заметных изменений в массовой школе не происходит. При этом, на наш взгляд, как это ни парадоксально звучит, именно обычный, не имеющий специальных склонностей к математике ученик нуждается в знакомстве с исследовательскими задачами на уроке в большей степени, чем ученик, увлечённый математикой. Ученики, любящие математику, стремящиеся решать более сложные и нестандартные математические задачи классического типа, получают удовольствие от встречи с математикой при решении таких задач. Любая нестандартная задача содержит в себе тот или иной элемент исследования, необходимость обобщать, делать предположения, проверять гипотезы и т.д. На долю же «обычного» ученика остаётся усвоение «теоретического материала» и «прорешивание» необходимого для экзамена набора упражнений. Сложные, нестандартные, олимпиадные задачи такому ученику не по силам, в результате чего большинство учеников не получают на уроках математики опыта удовольствия от самостоятельного открытия, а их общие мыслительные умения развиваются недостаточно. Наконец, заметим, что проведение пошагового исследования на уроке математики гораздо ближе к привычной ученику деятельности в области математики, чем написание реферата на заданную тему. Реферативная работа часто воспринимается учениками как отдельная форма деятельности, мало связанная с общими задачами математического образования, исследовательские же задачи поддерживают интерес к основному курсу и развивают разнообразные математические умения, необходимые, в частности, и для успешной сдачи экзаменов.

Причины малого использования исследовательских задач

Попробуем сначала определить основные причины того, что элементы исследования редко используются в массовой школе, а потом предложим некоторые пути изменения этой ситуации. 1) Отсутствие необходимого учебного времени Проведение учениками самостоятельного или группового исследования по теме, входящей в обязательную программу, а тем более по теме, выходящей за пределы программы, требует дополнительного

учебного времени. Систематический рассказ учителя с грамотно выстроенной системой упражнений и задач по новой теме требует в два-три раза меньше времени на её освоение, чем самостоятельная (групповая или индивидуальная) работа учеников, направленная на исследовательское решение новой проблемы. Современные программы по математике в России содержат очень большой объём изучаемого материала, временные затраты на изучение которого рассчитаны авторами программ исходя из традиционных целей и методов преподавания. У учителя практически нет резерва времени, чтобы позволить себе проводить с учениками исследование на уроке. Если это рассуждение и не во всём объективно верно, то воспринимают ситуацию большинство российских учителей именно так.

2) Отсутствие опыта исследовательской работы у самих учителей

Учителя ни в своём школьном детстве, ни при обучении в институте, как правило, не имели опыта исследовательской работы. Многие исследовательские задачи школьного уровня трудны даже для сильных учителей, так как непривычны своей постановкой. Требуются специальные курсы по обучению учителей как решению таких задач, так и организации исследовательской работы в классе. Наш опыт показывает, что заинтересованные учителя овладевают этими умениями и приобретают вкус к решению таких задач достаточно быстро.

3) Отсутствие хорошего набора исследовательских задач, посильных обычным школьникам

Набор хорошо подобранных учебных задач - главный инструмент качественного обучения математике. В отличие от создания упражнений для отработки навыка или технического приёма, создание новой учебной задачи (интересной, красивой, глубокой и т.д.) - процесс творческий и потому непредсказуемый. Невозможно сесть и за два часа придумать хороший набор исследовательских задач по данной теме. Традиция математического образования хранит много прекрасных классических по формулировкам задач, в ней аккумулированы достижения нескольких поколений педагогов-математиков. Однако не очень сложных исследовательских задач пока накоплено явно недостаточно (см. некоторый набор таких задач в книге Сгибнева, 2015). Можно надеяться, что через 20-30 лет совместные усилия педагогов разных стран приведут к тому, что собрание таких задач

станет богаче, но на данный момент ни в одном российском учебнике или учебном пособии нет достаточного набора исследовательских задач, которые учитель мог бы регулярно применять при работе в массовой школе.

4) Сложность в планировании и управлении уроком, построенным по модели исследования

Опытный учитель легко создаёт план урока, построенного по традиционным моделям. В классических формах работы легче оценить необходимое время, синхронизировать работу сильных и слабых учеников, давая сильным ученикам дополнительные, более трудные задачи, добиться выполнения поставленных задач. При решении классической задачи опытный учитель может легко подтолкнуть ученика, указав ему следующий шаг решения, при решении же исследовательской задачи это часто сделать гораздо сложнее, и поэтому есть риск, что ученики будут длительное время «буксовать». Одним словом, урок, на котором школьники проводят самостоятельное исследование, требует от учителя больших импровизационных и организационных умений, большей гибкости в определении учебных целей и оценивания их достижения. При современной перегруженности учителей (по моим оценкам, средняя нагрузка составляет 24 учебных часа в неделю) для регулярной подготовки более сложного по форме проведения урока у большинства учителей просто нет ресурсов.

5) Сложность в оценивании исследовательской работы по математике

Часто результатом проведённого на уроке исследования является не полное решение поставленной проблемы, а некоторые частичные продвижения в понимании ситуации. Например, одним из результатов может быть опровержение выдвинутой самим учеником неверной гипотезы. В исследовательской задаче в большей мере важен процесс решения, а не достигнутый результат. Фиксация этого процесса, а тем более оценивание его по некоторым заранее созданным критериям часто вызывает большие трудности. Оценить стандартную самостоятельную (контрольную) работу, проверяющую конкретные умения и навыки по данной теме, гораздо проще, чем исследовательскую работу, в которой отражён индивидуальный ход мысли ученика. Так как система оценивания (система обрат-

ной связи с учеником) в целом является проблемной зоной российской школы, учителя опасаются, что без привычного оценивания школьники не будут достаточно серьёзно относиться к такой форме работы. Таким образом, исследовательские задачи причисляют к «полуигровым» приёмам обучения, иногда необходимым для психологической разгрузки, но далёким от основных задач и методов обучения.

6) Влияние заданий итоговой аттестации на формы учебной деятельности на уроке

Какие бы прекрасные задачи математического образования ни были прописаны в концепции развития российского математического образования или в преамбуле учебной программы, реальные формы работы, типы задач, акценты при изучении той или иной темы во многом определяются типами заданий, предлагаемых на итоговой аттестации. В вариантах Единого государственно экзамена по математике только две последние задачи (задача с параметром и задача о свойствах некоторого класса чисел) с большой натяжкой можно назвать задачами на исследование: чтобы справиться с этими задачами при крайне малом количестве времени на экзамене, ученик должен владеть многими нестандартными, хотя формально и не выходящими за рамки программы методами. Однако эти задачи предназначены для учеников самого высокого уровня и на ситуацию с массовым школьным образованием совершенно не влияют. Так как в целом массовое математическое образование в России находится в довольно плачевном состоянии (согласно отчетам ФИПИ около половины выпускников не усваивают программу 10-11 классов), ожидать введения в итоговую аттестацию большего числа задач с элементами исследования не приходится. Таким образом, форма современного экзамена никак не стимулирует учителя и учеников массовой школы решать задачи исследовательского характера.

Некоторые пути решения проблемы

Остановимся подробнее на некоторых из перечисленных выше причин слабого использования исследовательских задач в массовой школе в России и обсудим возможности изменения существующего положения.

1) Где взять время на исследовательские задачи на уроке?

Как уже говорилось выше, существующие школьные программы по математике в России велики по объёму изучаемого материала и поэтому резервного времени на новые формы работы на уроке у учителя практически нет. Достаточно сказать, что с 1980-х годов в программу 7-11 классов введён дополнительный раздел «Теория вероятностей и статистика», сокращений в других частях программы не произошло, а количество часов в базисном учебном плане уменьшилось с шести часов до пяти часов в неделю. Тем не менее при желании и грамотном распределении усилий учитель в обычном классе массовой школы может найти некоторое время для работы над исследовательскими задачами. Как это сделать? Прежде всего, стоит несколько сократить те части курса, где ученики преодолевают чисто технические трудности: громоздкие примеры на действия с дробями, преобразование дробно-рациональных выражений или выражений, содержащих радикалы, и т.п. Например, достаточно добиться того, чтобы все ученики шестого класса могли вычислить значение выражения |l ,2 — -^-j : -yj-, и остановиться на этом уровне сложности. Технически более сложные упражнения отнимают массу времени и ничего не дают для математического развития учеников.

Далее можно выделить такие темы базовой программы, изучение которых наиболее целесообразно проводить с элементами самостоятельного исследования, - такие темы, где на него не потребуется значительно больше времени, а эффект от самостоятельного открытия нового знания может быть наиболее ощутим. Такова, например, тема зависимости расположения графика линейной функции от соответствующих коэффициентов. Эта тема изучается в седьмом классе, уметь строго доказывать эти зависимости от семиклассника не требуется, для их самостоятельного открытия большого количества времени не нужно, а провести эксперимент и постараться сформулировать найденные закономерности ученику очень полезно. Кроме того, под исследовательские задачи на темы, не входящие в основную программу, можно отводить те уроки, которые традиционно «провисают». Это могут быть уроки в конце четверти, когда выставлены все оценки,

уроки в конце учебного года, когда у учеников накопилась усталость от традиционных видов деятельности и повторение пройденного даёт малый эффект, «разгрузочные уроки» в середине технически сложных, утомительных тем (например, темы «Действия с обыкновенными дробями»). Другими словами, если вводить исследовательские задачи небольшими порциями там, где это уместно с методической и с психологической точек зрения, то найти для этого время можно даже в современной «спрессованной» российской программе.

Ситуация несколько меняется в старших классах. Недавние перемены в модели ЕГЭ по математике дают учителю большую свободу при работе в 10-11 классах с учениками, не нацеленными сдавать профильный ЕГЭ (например, с учениками гуманитарных классов). Так как большинству учеников нет необходимости тратить все отведённые часы математики на подготовку к базовому ЕГЭ (он достаточно лёгкий), а современная программа позволяет гибко варьировать распределение часов в программе 10-11 классов, учитель может при работе с такими классами широко использовать исследовательские задачи как при повторении курса 5-9 классов, так и при изучении новых тем.

2) Как найти хорошие исследовательские задачи, посильные обычным школьникам?

Для того, чтобы понять где искать хорошие задачи, нужно понять, что такое хорошая исследовательская задача. В замечательной книге А. И. Сгибнева «Исследовательские задачи для начинающих» (см. Сгибнев, 2015) дается следующая характеристика хорошей исследовательской задачи: «хорошая задача для начинающих - та, в которой есть естественный параметр, по которому можно двигаться в исследовании, т.е. легко выделяемая последовательность частных случаев, так что в каждый момент ученик сам понимает, что можно делать дальше» (стр. 6). Добавим, что для работы с обычным классом особенно полезно, когда в решении задачи может быть непривычным для учеников образом использован известный им программный материал. Кроме того, важным критерием при работе с неоднородным классом является возможность движения как небольшими, так и более крупными шагами, а также наличие у задачи естественных обобщений. Один из примеров хорошей исследовательской задачи был приведён в начале статьи, разберём ещё два примера таких задач, позволяющих лучше понять перечисленные выше свойства «хорошей задачи».

Примеры исследовательских задач

Диагонали прямоугольников

1) На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером 2x5 клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника?

(Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину).

2) Тот же вопрос для прямоугольников 2x6, 2x7, 2x8, 2x9.

3) Найдите закономерность для любого прямоугольника 2хп и обоснуйте её.

4) Проведите подобное исследование для прямоугольников Зхп.

5) Проведите подобное исследование для прямоугольников 5хп, 4хп, бхп.

6) Проведите исследование для прямоугольника размером mxn.

7) Обобщите задачу.

Можно было, конечно, начать с «нулевого» вопроса: сколько клеток пересекает диагональ в прямоугольнике 1хп, но, на наш взгляд, лучше сразу начинать с нетривиального и потому интересного вопроса, а случай 1хп ученикам всё равно придётся рассмотреть самим в процессе исследования.

Ответ на вопросы 1) и 2) ученик получает экспериментальным путём. Увидеть закономерность нетрудно, достаточно занести данные в таблицу (таблица 1):

Таблица 1

Прямоугольник

2x5

2x6

2x7

2x8

2x9

2x10

Число клеток, которые пересекает диагональ

6

6

8

8

10

10

Саму закономерность может сформулировать даже слабый ученик: если длина прямоугольника четна, то число пересечённых клеток равно этой длине, если нечетна, то это число на 1 больше. Обосновать эту закономерность гораздо сложнее. Это положительное свойство задачи: ученик, увидевший закономерность, но не умеющий её внятно обосновать, начинает лучше осознавать разницу между гипотезой, построенной на эксперименте, и доказанным фактом.

Как натолкнуть учеников на то, что открытую ими закономерность нужно доказывать? Достаточно попросить обосновать ответ для до-

статочно большого значения параметра п. Например, при попытке ответить на вопрос «Сколько клеток пересечёт диагональ в прямоугольнике 2x1000?» ученик понимает, что нарисовать такой прямоугольник у него не получится и нужно создать некоторое общее рассуждение для обоснования ответа. Каким образом ученики могут это делать? Будем для определённости проводить диагональ из левого нижнего в правый верхний угол (рисунок 2). Наблюдательные ученики замечают, что если длина прямоугольника четна, то диагональ проходит через узел клетчатой сетки, который находится в центре прямоугольника. Дальше они рассуждают примерно так: диагональ сначала пересекает все клетки левого нижнего прямоугольника размером lx(n/2), а их п/2 штук, а потом все клетки такого же правого верхнего прямоугольника, значит, она пересечёт ровно п клеток. Если же п нечётно, то центр прямоугольника находится на общей стороне двух клеток. Значит, в нижней половине диагональ пересечёт (п+1)/2 клеток и в верхней столько же, итого п+1. Таким образом, чтобы провести обоснование, ученику нужно увидеть из рисунка, что в данном случае решающую роль играет то, где находится центр прямоугольника, и с помощью этого нового, никак не упомянутого в условии задачи объекта провести доказательство. Это также является достоинством задачи: доказательство требует изобретения нового метода, при этом шаг нужно сделать не очень большой, он посилен большинству школьников.

Рис. 2

Перейдем к вопросу 4): исследование прямоугольников Зхп. Во-первых, задание сформулировано более кратко и ученик должен сам догадаться, что стоит начать с эксперимента с небольшими значениями п. Во-вторых, довольно быстро (уже для случая 3x4) будет видно,

что закономерность предыдущего пункта прямо не работает: дело не в четности n, а в чем-то другом (в делимости на 3). В-третьих, закономерность в этом пункте более сложная, ее не так просто заметить и сформулировать (таблица 2).

Таблица 2

Прямоугольник

3x3

3x4

3x5

3x6

3x7

3x8

3x9

3x10

Число клеток, которые пересекает диагональ

3

6

7

6

9

10

9

12

В-четвертых, обоснование новой закономерности также не может быть перенесено в неизмененном виде из пункта 3).

Это тоже положительное свойство задачи. Сильные школьники, быстро решившие пункты 1-3, здесь должны будут подумать подольше. Более слабые школьники, если они будут упорно экспериментировать, имеют все шансы решить и этот пункт задачи.

Перейдём теперь к рассмотрению общего случая mxn. Как правило, сначала школьники видят, что если шип взаимно просты, то число пересечённых клеток равно k = m + n — 1. Для доказательства этого факта снова нужна новая идея, и она приходит далеко не всем: нужно посмотреть, сколько вертикальных и горизонтальных линий требуется пересечь, чтобы «добраться» из левой нижней вершины в правую верхнюю. Ясно, что мы должны пересечь все внутренне горизонтальные и вертикальные линии, а в первую клетку мы попадаем, ещё ничего не пересекая, получается формула k = (m - 1)+(п - 1) +1= m + n - 1. В случае, же когда m и n не взаимно просты, зависимость видна далеко не сразу, особенно для сложных случаев типа 6x9. Наконец, ученик может догадаться, что дело в наибольшем общем делителе этих двух чисел, и получить общую формулу k = m + n - d, где d = НОД (m; n). В базовом школьном курсе понятие наибольшего общего делителя вводится прежде всего для того, чтобы складывать обыкновенные дроби, а содержательных задач на использование этого понятия крайне мало. В этой же задаче по комбинаторной геометрии НОД неожиданно даёт ключ к решению задачи в общем виде, чем укрепляет и важность базовых понятий, и связи внутри разных частей математики. Кроме этого, задача имеет естественное продолжение-обобщение: можно рассмотреть диагонали прямоугольных

параллелепипедов, разбитых на единичные кубики. С одной стороны, получающаяся задача не является тривиальным следствием уже рассмотренной (нужно понять, что получится, если два ребра параллелепипеда не взаимно просты, а все три взаимно просты), а с другой стороны, эта задача не является слишком сложной после пройденного пути на плоскости.

Стоит отметить, что задача, разобранная выше, за исключением понятия НОД, которое возникает только на последних этапах решения, мало связана с основной школьной программой, и это её очевидный минус в условиях описанного выше дефицита времени.

Разберём другую задачу, имеющую источником базовую школьную конструкцию седьмого класса.

Сумма квадратов двух двучленов

Сколько слагаемых может быть в многочлене стандартного вида, равного сумме квадратов двух двучленов?

Наш опыт говорит о том, что при приведённой выше краткой постановке данная задача ставит в тупик даже достаточно сильных школьников. Многие не понимают, в чём вопрос задачи, многие - с чего нужно начинать её решение.

Поэтому эту задачу стоит разбить на части дополнительными вопросами.

1) Пример. Раскроем скобки в выражении (а + b)2 + (c + d)2, равном сумме квадратов двух двучленов: (а + b)2 + (c + d)2 = a2 +2ab + b2 + с2 + + 2cd + d2. Подобных слагаемых нет, и мы получили многочлен стандартного вида, состоящий из шести слагаемых.

2) Приведите пример многочлена стандартного вида, состоящего из пяти членов и равного сумме квадратов двух двучленов.

3) Может ли такой многочлен иметь: а) 3 члена, б) 2 члена, в) 4 члена?

4)* Может ли одночлен быть равен сумме квадратов двух двучленов?

Остановимся сначала на вопросе, почему приведённая выше задача оказывается сложной для подавляющего большинства российских школьников, хотя она основана на теме, которую традиционно знают неплохо (многочлены и формулы сокращённого умножения).

Главная причина в том, что подавляющее большинство задач в российском курсе алгебры является упражнениями, где нужно действовать

по известному алгоритму или по аналогии с разобранными учителем задачами. Задания на конструирование алгебраического объекта с заданными свойствами встречаются редко и являются хоть и полезными, но «одноходовками» (придумайте уравнение с заданными корнями или придумайте дробь, не имеющую смысла при х = 2, и т.п.). Данная задача не отсылает школьника к известному ему алгоритму и требует некоторого изобретательства.

Чтобы начать её решать, нужно только одно - не бояться экспериментировать. Большинству школьников в начале решения не понятно, какие нужно выбрать одночлены, чтобы получилось то, что требуется. Правильная стратегия - поставить в скобки что-нибудь и посмотреть, что получится. В результате таких экспериментов многие «набредают» на самые простые случаи: 5 членов и 3 члена. После этого уже более сознательно идёт поиск решения для двух членов. С этими задачами практически любой школьник может справиться за разумное время. Отметим, что по ходу решения ученики уточняют своё понимание термина двучлен, например, многие для случая двух членов предлагают такое решение: (а + а)2 + (с + с)2 и не сразу осознают его ошибочность.

Задача про многочлен с четырьмя членами требует новой идеи. Нужно заранее понять, какие члены после раскрытия скобок получатся подобными. Если достаточно долго никаких идей у класса не появляется, то учитель может задать первый квадрат двучлена и попросить придумать второй. В этом случае задача всё ещё остаётся достаточно трудной (наличие такой не разрушающей задачу подсказки - её большой плюс). Например, можно предложить классу первый квадрат двучлена следующего вида: (a3+1)2. Это предложение хорошо тем, что дальше можно разобрать два различных решения с несколько отличными идеями.

Первое решение. Взаимно уничтожить удвоенные произведения:

(а3 +\)2 + (а2-а)2= а6 + 2а3 +1 + я4-2а3 +а2= а+ал+а2+\.

Второе решение. Создать две пары подобных слагаемых:

(а3 +1)2 + (а6 +1)2 = а6 + 2а3 +1 + ап + 2а6 +1 = а12 + За6 + 2а3 -.

Возможны и другие хорошие подсказки учителя. Например, первый квадрат двучлена может иметь такой вид: (аЪ + са1)2.

Наконец, последний вопрос «Может ли одночлен быть равен сумме квадратов двух двучленов?» является для семиклассников по-настоящему трудным. Можно немного упростить задачу, ограни-

чившись только двучленами от одной и той же переменной, но даже и в этом виде доказательство оказывается практически непосильным семиклассникам. Поэтому в большинстве классов разумно ограничиться обсуждением самого вопроса, выдвижением гипотезы, что такое невозможно, и констатацией того, что пока мы это доказывать не умеем.

Разобранная нами задача, на мой взгляд, является удачным примером исследовательской задачи, построенной на основном программном материале, решение которой позволит как закрепить конкретные предметные навыки, отрабатываемые в этой теме (формулы сокращённого умножения, подобные слагаемые), так и развить исследовательские умения.

Последняя из разобранных задач, а также приведённая в начале статьи задача про трапецию показывают, что для проведения полноценного исследования на уроке совсем не обязательно выходить за рамки школьной программы, изыскивая на это дополнительное время. При внимательном рассмотрении базовых школьных тем в них можно найти материал для создания исследовательской задачи, хотя, как уже говорилось, это дело гораздо более трудное и непредсказуемое, чем составление классических упражнений на данную тему.

3) Как выдержать баланс сложности при формулировке исследовательской задачи для целого класса?

При работе с классом, в котором учатся школьники разного уровня, важной задачей является грамотное построение последовательности подзадач. С одной стороны, первые вопросы должны быть посильны всем, с другой стороны, в задаче должны быть пункты, которые заставят задуматься самых сильных школьников и решение которых принесёт им настоящую радость. Приведённые выше примеры задач удовлетворяли этим условиям.

Мне не раз приходилось видеть (особенно в зарубежных источниках) материалы для исследования на уроке, которые по своей структуре напоминали подробный бухгалтерский отчёт о каждом маленьком продвижении в исследовании, все шаги которого заранее продуманы учителем и даже придуманы критерии по оценке каждого такого шага (см., например, Но Foo Him, Spario Soon, 2002). Здесь кроется большая опасность: исследовательская задача может стать просто ещё одной рутинной формой учебной работы, где думать уже практически

не нужно - просто отвечай на поставленные учителем вопросы. У сильных школьников такая форма работы часто вызывает отторжение, так как она лишает их законного удовольствия преодолеть трудности и получить самостоятельный результат.

По моему мнению, некоторые новые возможности нам могут дать современные компьютерные технологии. Некоторым ученикам, чтобы продвигаться, нужны маленькие ступеньки, некоторым интересно прыгать через две или три ступеньки самостоятельно. Компьютерная среда позволяет это сделать. Нужно разбить задачу на несколько достаточно больших шагов, а для тех, кто самостоятельно такой шаг сделать не может, приготовить указания дальнейшего движения (например, в виде вопросов) и подсказки необходимых новых идей. Таким образом учитель сможет отслеживать не только продвижение каждого ученика, но и время, которое он думал без подсказок, частоту получения помощи учеником и т.п. Насколько мне известно, в России пока нет такой разработанной системы исследовательских задач. Думаю, что создать такую систему - задача ближайшего будущего.

4) Как обучить учителей работе с такими задачами?

По моему опыту, многие учителя любят время от времени менять манеру преподавания, отказываются от привычных учебников в пользу учебников с иным подходом или задачным материалом. Многих учителей привлекает возможность попробовать на своих уроках непривычные для них методики. Так как для того, чтобы научиться использовать исследовательские задачи, учителю нужно самому иметь опыт решения таких задач, то обучение учителей нужно начинать с семинаров по решению таких задач. Проведённые мною за последние несколько лет семинары показывают, что учителя решают такие задачи с большим энтузиазмом, хотя и не без трудностей. Задачи, лично решённые и, так сказать, прожитые учителем в качестве ученика, с большой вероятностью будут применены им на его собственных уроках.

Заключение

Подведём итоги. За последние несколько десятилетий в России сложилось теоретическое понимание того, что применение задач исследовательского типа имеет многие положительные стороны, описанные

выше. Тем не менее эти задачи мало встречаются в практике преподавания российской школы. Для возможного изменения сложившегося положения вещей необходимо сделать следующие шаги:

1. Сократить объём обязательного ядра школьной программы за счёт её наиболее технических частей. Это позволит учителю иметь достаточный резерв времени для использования различных методов преподавания, в том числе включения исследовательских задач.

2. Создать открытый банк задач исследовательского типа, посильных ученикам массовых школ. Для этого стоит, в частности, активно использовать зарубежный опыт. В перспективе в этом банке можно было бы реализовать идею разноуровневых указаний и подсказок для учеников.

3. Провести серию семинаров (вебинаров) для учителей по обучению использованию исследовательских задач на уроках математики.

Стоит закончить эту заметку важным в российских условиях замечанием. Чтобы исследовательские задачи не стали очередным разрушителем образования, их нельзя навязывать в качестве обязательного элемента урока. Нужно дать возможность любому учителю решать на уроке те задачи (более классические или более исследовательские), которые представляются ему более подходящими для поставленных им целей. Необходимо понимать, что в большой инерционной системе, какой является национальная школа в любой стране, не стоит ждать значительных перемен в короткие сроки.

Литература

Далингер В.А. (2000). О тематике учебных исследований школьников. Математика в школе, 9.

Иванов С.Г., Рыжик В.И. (2013). Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика». Москва: Просвещение.

Куланин Е.Д., Шихова H.A. (2013). Исследовательские задачи по геометрии 8-10 классы. Москва: Илекса.

Пойа Д. (1976). Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение, преподавание. Пер. с англ. B.C. Бермана, под ред. И.М. Яглома. Москва: Наука.

Сгибнев А.И. (2015). Исследовательские задачи для начинающих. Москва: МЦНМО.

Сгибнев А.И., Шноль Д.Э. (2007). Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал». Математика № 12, 53-58.

Скопенков А.Б. (2008). Размышления об исследовательских задачах для школьников. Математическое просвещение. Серия 3, вып. 12, с. 23-32.

Шноль Д.Э., Сгибнев А.И., Нетрусова Н.М. (2009). Система открытых задач по геометрии. 7 класс. 8 класс. Москва: Чистые пруды.

Но Foo Him, Spario Soon. (2002). Patterns and structures. Singapore: Federal publications

Страница сайта МЦНМО об опыте решения школьниками и студентами исследовательских задач: http://www.mccme.ru/circles/oim/ mmks/opyt.htm

Семинар учебно-исследовательских работ школьников по математике: http://www.mccme.ru/nir/uir/

Эрика Н. Уолкер

Teachers College, Columbia University

ПОЛИТИЧЕСКИЕ, СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ И КУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СОЕДИНЕННЫХ ШТАТАХ АМЕРИКИ2

На математическое образование в США влияют как политические, социологические и культурные факторы, так и факторы, связанные с программами, преподаванием и оценкой результатов. Большинство школьников посещают государственные школы, существующие за счёт местного финансирования и финасирования, предоставляемого штатом и федеральным правительством. В этих школах учатся миллионы школьников, и в том числе школьники самого разного расового или этнического происхождения, что отражает существующее в США этническое и расовое разнообразие граждан. Школы могут быть расположены и в больших городах, и в сельской местности, и в пригородах. На протяжении всей истории образования различные группы школьников обучались по-разному в зависимости от своего статуса: бедные иммигранты сперва вообще редко получали какое-либо образование, а после Промышленной революции стали получать лишь базовые знания, обучаясь чтению, письму и арифметике. До 1960-х на Юге потомки рабов, и вовсе в своё время лишённых даже начального образования, учились меньше, чем их белые сверстники, поскольку должны были работать в поле большую часть года. К тому же местные органы власти, и даже образовательные власти штатов, возглавляемые белыми, добивались того, чтобы обучение в школе ограничивалось практическими вопросами, нужными для сельскохозяйственных и домашних нужд. Даже если образование было хоть в какой-то мере доступно для мальчиков и мужчин, женщинам и девочкам оно предоставлялось куда в меньшей степени. Даже когда было введено совместное обучение, предполагалось, что девочкам и женщинам хватит

2 Многое из включённого в эту статью было ранее сказано в статье Walker, E.N. (2006). Challenging limiting assumptions: High-quality mathematics for underserved students. Working paper for the Understanding Educational Equity and Excellence at Scale Invitational Forum (pp. 71-78). Providence, RI: Annenberg Institute for School Reform.

курсов, посвященных домашним нуждам, целью которых было подготовить будущих жен и матерей или домашнюю прислугу.

Понятно, что этот исторический контекст и по сей день оказывает своё воздействие - двухсотлетняя традиция влияет на нас и нынче. Даже школьный календарь и распорядок школьного дня во многом сохраняет память о нуждах сельского хозяйства и ритме общественной жизни. Следует к тому же помнить, что система образования складывалась и в городах, и в сельской местности независимо - без единого национального замысла - и управлялась местными властями. И программы, и организация учебного процесса, и задачи обучения определялись местными школьными советами и образовательными властями района и штата.

Это многообразие школьных систем оказывало большое воздействие на молодежь страны и её математическое образование. В отличие от многих других западных стран Соединённые Штаты никогда не вводили единой национальной программы. До недавнего времени и отдельные штаты, и даже отдельные районы сами вводили свою программу и свои стандарты. Другое дело, что уже в 1989 году общественная организация Национальный совет учителей математики (National Council of Teachers of Mathematics) подготовила документ Curriculum and Evaluation Standards (Стандарты программы и оценки). Эти стандарты оказали весьма заметное влияние на стандарты математического образования штатов и районов, а также на программы, учебники, оценку и программы подготовки и переподготовки учителей. Начиная с 2009 года Национальная ассоциация губернаторов (National Governors Association) и Совет руководителей школьного образования штатов (Council of Chief State School Officers) приступили к подготовке так называемых Common Core State Standards (Основных общих стандартов штатов), что можно описать как попытку «разработать единые стандарты готовности к высшему образованию и карьере по математике и английскому». В определённый момент 48 из 50 штатов присоединились к инициативе. В 2016 году 42 штата приняли Единые стандарты, в то время как некоторые штаты с самого начала отказались от их использования, а некоторые вышли из поначалу принятого ими проекта. Развитие Стандартов привело к созданию двух организаций, занимающихся проведением оценки в русле Единых стандартов, - это Партнёрство для оценки готовности к высшему образованию и карьере (Partnership for Assessment of Readiness for College and Careers, PARCC)

и Консорциум сбалансированной оценки (Smarter Balanced Assessment Consortium, SBAC).

В контексте движения за единые стандарты, разрабатываемые для улучшения математического образования американских школьников, особенно заметно неравенство в качестве полученаемого математического образования. Вопрос равенства - первостепенный для американского математического образования. В теории наличие неравенства противоречит американским идеалам справедливости. На практике его наличие оказывает существенное воздействие на то, как школьники учатся. Так, историческая традиция дискриминации приводит к тому, что сегодня в США школьники африканского и латиноамериканского происхождения, а также коренные американцы в среднем хуже сдают тесты, чем их белые сверстники или школьники азиатского происхождения. Например, в тестах по математике Национальной проверки образовательного прогресса (National Assessment of Educational Progress)3 2015 года для восьмиклассников у школьников с тихоокеанских островов был средний балл 306, у белых 292, у испаноязычных 270, у индейцев и коренных жителей Аляски 267, у чёрных 260 (при максимуме 500). Аналогично видны различия между детьми из бедных и богатых семей. Дети, чьи родители получили высшее образование, набирают в среднем 294 балла, в то время как дети, родители которых получили лишь среднее образование, набрали лишь 268 баллов4. Опыт обучения в школе во многом объясняет такие различия в баллах - например, около 1/3 различий в результатах по математике старшеклассников можно объяснить (в статистическом смысле) различиями в программах обучения (прослушанных курсах). В школах, где

3 The National Assessment of Educational Progress (NAEP) - это крупнейшее продолжаемое национальное исследование знаний и умений учащихся в различных дисциплинах. Тестирование периодически проводится по математике, чтению, письму, естествознанию, искусствам, экономике, науках о государстве и праве, географии, американской истории, а также технологической и инженерной грамотности (TEL).

NAEP предоставляет результаты по предметам и данные по школам и программно-методическим особенностям для разных групп учащихся (например, четвероклассников) и их подгрупп (например, девочек). Данные по отдельным ученикам или школам не даются, хотя данные по большим районам могут предоставляться. Результаты получаются из изучения репрезентативных выборок школьников четвёртых, восьмых и двенадцатых классов при тестировании знаний по предметам или школьников девяти, тринадцати или семнадцати лет для долгосрочных исследований. Эти классы и этот возраст были выбраны как представляющие наиболее важные переходы в академическом развитии (https://nces. ed.gov/nationsreportcard/about/).

4 Эти данные получены из http://www.nationsreportcard.gov/reading_math_2015/#mathematics/ groups?grade=8

учатся бедные дети и дети из групп, традиционно недополучающих образование, талантливые школьники могут остаться незамеченными, да и даже если их дарование будет замечено, ресурсов школы может не хватить для того, чтобы им по-настоящему помочь.

Разумеется, есть ещё немало факторов, из-за которых возникают различия в результатах, и кроме различий в программах, по которым учатся школьники (изученных курсах). Соответственно, было проведено много исследований, выясняющих как причины неравенства в результатах, так и способы его устранения или, по крайней мере, уменьшения. Некоторые исследователи-педагоги именуют разницу в результатах «разрывом в достижениях», а другие называют её «разрывом в возможностях» (например, Flores, 2007) или «образовательным долгом» (Ladson Billings, 2006). Вопрос, который задают многие специалисты по математическому образованию, «Как можно поддержать развитие математического дарования всех школьников, а не только немногих привилегированных?», возник из-за различий в образовании для многих групп населения. Большое количество исследований по математическому образованию и его политике в Соединённых Штатах посвящено поискам ответа на вопрос «Как можно добиться доступности качественного изучения математики для детей из групп, исторически недополучавших образование (бедных школьников и школьников, принадлежащих к меньшинствам, как обычно их называют)?».

Задавая эти вопросы, люди, занимающиеся математическим образованием, должны по-новому взглянуть на тех, у кого не всё получается с математикой, не ограничиваясь жалобами на нехватку возможностей и сетованиями по поводу тех или иных неудач. Разумеется, сегодняшние попытки реформ важны для улучшения результатов афроамериканцев, коренных американцев и латиноамериканцев, но слишком часто констатация структурных и организационных недостатков американского образования приводит лишь к упрощённым подходам, когда внимание уделяется только программам, а о педагогике, преподавании и о том, как дети учатся и не думают.

Слишком часто дискуссия о равенстве и попытки реформ, вдохновляемые такой дискуссией, концентрируются на числе курсов, которые прослушал тот или иной школьник, на том, занимался ли школьник алгеброй и если да, то когда, или на том, были ли доступны школьнику более сложные курсы. Разумеется, всё это важно, однако это лишь показатели состояния программ и определённых организационных решений,

на которые влияют многие: районные организаторы образования, администраторы, учителя. Такие «легко определяемые» показатели равенства служат свидетельством того, что равенство в возможности получить качественное образование может быть и имеет место в данной школе или системе школ. Но проверять эти показатели недостаточно - надо проверять существо дела в глубину, и только тогда можно будет сказать, достигнуто ли равенство в образовании на самом деле.

Разумеется, со времён основания страны возможностей заниматься математикой у недополучающих образование школьников стало куда больше. Как уже было сказано, американская история показывает, что в свое время бедным школьникам, женщинам и девочкам, бывшим рабам и иммигрантам математическое образование вообще было не доступно. Но и сегодня образовательное неравенство продолжает оказывать серьёзное влияние на результаты школьников. В частности, для чёрных и латиноамериканских школьников надежды, пробуждённые решением Верховного суда по делу «Браун против Совета по образованию Топеки (Канзас)» в 1954 году ликвидировать школьную сегрегацию (которая поддерживала неравенство в ресурсах и финансовом обеспечении), оказались во многом иллюзорными. В сегрегированных школах школьники, особенно из бедных семей, по-прежнему имеют меньше шансов получить качественное образование у высококвалифицированных учителей, им менее, чем белым, доступны сравнительно сложные курсы. Так, отчёт 2015 года по Нью-Йорку говорит, что в 39% старших классов не предлагается курс «Алгебра II» и «Физика и химия»5. В «интегрированных» школах (школах, в которых учатся школьники разных рас, в том числе и белые, и чёрные) афроамериканские и латиноамериканские школьники могут быть зачислены лишь на более лёгкие курсы, чем их белые сверстники, - учителя заведомо не ждут от них успехов, что и приводит к невысоким итоговым результатам.

Хотя есть данные о неравенстве в обучении математике ещё в начальной школе, но главной ступенью в образовательной карьере являются 7-9 классы (middle school). Здесь начинается математическая линия, ведущая к высшему образованию6, с курса «Алгебра I», важного вводного

5 http://www.chalkbeat.org/posts/ny/2015/07/23/report-many-nyc-high-schools-dont-offer-advanced-math-and-science-courses/

6 Последовательность курсов: «Алгебра I», «Геометрия», «Алгебра II», «Тригонометрия», «Подготовка к анализу», «Анализ».

курса, зачисление на который нередко довольно произвольно. Школьники, чьи родители зажиточны, образованны и знают, как «работает система», скорее попадут в более продвинутые классы вне зависимости от их результатов в тестах. Причём, чёрные школьники и школьники латиноамериканского происхождения испытывают трудности не только с «ранним» зачислением на курс алгебры (в восьмом классе или раньше), но и позднее, в девятом классе. Соответственно, дальше чёрных школьников и школьников латиноамериканского происхождения оказывается меньше и на более продвинутых курсах лесенки - тригонометрии, Pre-Calculus (подготовке к анализу) и началах математического анализа. Причём, если разрыв в изучении алгебры и геометрии уменьшается, поскольку штаты и районы увеличивают требования, то в изучении более сложных курсов разрыв сохраняется.

Поскольку школьники - коренные американцы и школьники африканского и латиноамериканского происхождения7 бросают математику раньше и чаще, чем белые школьники или школьники азиатского происхождения, уроки математики были названы бывшим президентом Национального совета учителей математики «одним из самых сегрегированных мест в американском обществе». Это может увидеть любой случайный наблюдатель, однако многие администраторы и учителя задавали мне вопрос, почему так мало чёрных студентов в более сложных курсах по математике, даже не задумываясь о своей роли в этом.

Но даже если рассматривать только школьников с одинаковыми достижениями в математике в школьные годы и одинаковым социально-экономическим статусом, чёрные реже, чем белые, занимаются математикой углубленно. Это имеет плохие последствия и для результатов тестов, и вообще для образования. Ну, а всевозможные соревнования, математические клубы или программы для одарённых уже автоматически оказываются менее посещаемыми чёрными - туда ведь идут те, кто учится на «продвинутых» математических курсах.

Недостаточно повышать требования по математике для всех учащихся, хотя, вероятно, без этого не обойтись. В течение многих лет

7 На занятиях математикой школьников-латиноамериканцев и коренных американцев сказывается их высокий уровень отсева. В 1990-е по стране только около 57% школьников-латиноамериканцев и 63% школьников - коренных американцев -закончили среднюю школу. Соответственно для белых и чёрных учащихся этот показатель практически одинаков - около 87%. У школьников азиатского происхождения и эмигрантов он равен 88%, а у рождённых в США 95% (College Board, 1999).

в большинстве штатов, чтобы успешно закончить школу, требовалось прослушать два-три курса математики. Хотя не уточнялось, какие курсы надо изучать, многие (например, те, чьи родители получили высшее образование) понимали, что выбрать надо те курсы, которые выглядят привлекательными для поступления в вуз. Сегодня это стало ещё более верным. Хотя многие штаты и районы на изменения в политике приёма и на пристальное внимание к равенству в возможностях ответили тем, что увеличили требования к числу классов, которые нужны для успешного окончания школы, по-прежнему школьники и их родители нуждаются в дополнительной информации, чтобы успешно выбирать нужные курсы математики. Хотя, как сказано, штаты и увеличили требования к успешному окончанию школы - в большой мере благодаря влиянию важного доклада Департамента образования Риск для нации (А Nation at Risk) - и некоторые даже называют алгебру курсом, необходимым для успешного окончания школы, никто не сделал ясной для всех мысль, что и для поступления в вуз, и для успешной сдачи SAT нужны определённые курсы, которые и имеют значение. То, что в школе предлагается много упрощенных курсов, вносит дополнительную путаницу. Между тем важность правильного выбора курсов ясна: пусть и необязательно прослушать курс анализа для того, чтобы поступить в приличный вуз, но уж предыдущие курсы вплоть до подготовки к анализу (pre-calculus) надо пройти хорошо, чтобы показать готовность к вузовскому обучению. Да и то это произойдёт только, если у школы хорошая репутация, но если нет - а многие школы, в которых учатся школьники, принадлежащие к меньшинствам, хорошей репутацией не обладают, - даже на хорошую оценку по pre-calculus будут смотреть с подозрением (если она не подкрепляется хорошей оценкой на тестах готовности к высшему образованию).

Исследования, посвященные попыткам добиться большего равенства в образовании и улучшить результаты школьников, говорят и о необходимости изменить подход учителей математики (в первую очередь к тому, как осуществляется программа преподавания и оцениваются результатов). Увы, эти своего рода одномерные попытки не затрагивают обычно главную составляющую процесса - то, как происходит общение учителя со школьниками, в том числе вопросы норм и стандартов такого общения и образовательной практики. Взгляды учителей на математику и на то, кто ей может заниматься, а также оценка учителем способностей учеников

оказывают воздействие на то, какие возможности предоставляет учитель ученикам, и в свою очередь на то, как ученики этими возможностями пользуются. Есть немало данных, подтверждающих, что представителям меньшинств чуть не с детского сада дают материал полегче да поменьше. Соответственно, программы и организацию обучения надлежит исследовать в единстве с тем, как на практике осуществляется преподавание и изучение материала. Программы претворяются в жизнь учителями, а ученики отвечают на действия учителя.

Важно сознавать, что курсы преподаются не автоматами и преподавание происходит не в вакууме. И предлагаемые курсы, и уровень, на котором они предлагаются, отражают представления школьного руководства о школьниках и том, чего они могут достичь. Школьники, сидящие в классе, тоже не машины. Их академическое (или совсем не академическое) поведение и то, как оно воспринимается оказывают воздействие на то, как учителя строят преподавание. Возможность школьников получить качественное математическое образование зависит от того, что система в целом или конкретная школа думает об их способностях к изучению математики.

Есть немало свидетельств того, что математические возможности представителей национальных меньшинств (кроме азиатского) и детей из бедных семей оценивают невысоко. Когда учителя говорят: «Ох, такую задачу можно давать в сильном классе, но уж никак не в моём обычном», или «Сделай первые десять задач - они самые простые», или «Ну, уж доказательства мы в геометрии делать не будем»,8 они принимают важнейшие решения о содержании курса, который слушают их ученики. Больше того, они принимают важнейшие решения о самих этих учениках.

Разрыв в достижениях между чёрными школьниками, коренными американцами и школьниками латиноамериканского происхождения, с одной стороны, и белыми школьниками и школьниками азиатского происхождения, с другой, возрастает с годами, проведёнными в школе, и ясно, что учителя играют здесь большую роль. Работа со школьными учителями над тем, чтобы улучшить их представления о возможностях школьников, является важным направлением в исправлении ситуации с обучением тех, кто сегодня недополучает математическое образование. Как уже ска-

8 Сама многократно слышала такие комментарии и как учитель, и как человек, занимающийся образованием.

зано, эти представления влияют и на преподавание, и на то, какие программно-методические решения принимаются учителями. Это влияние не всегда удаётся задокументировать, но это не значит, что оно остаётся незамеченным школьниками. Вот тому свидетельство.

Несколько нью-йоркских старшеклассников, участников молодёжного движения, сообщили, что их учительница спит во время урока математики или читает газету. «Мы всерьёз беспокоимся, как будем сдавать экзамены9, - сказал один из них, - но мы не знаем, что нам делать. Мы поговорили с директором, но ничего не изменилось». Другой школьник сказал: «Боюсь, она просто не хочет нас учить». Районное руководство, присутствовавшее, когда это обсуждалось, посоветовало школьникам рассказать обо всём родителям, с тем чтобы те пожаловались директору и дальше в район. Обсуждение состоялось в конце года в апреле.

Изучение практики преподавания и тех иногда непроизносимых утверждений, на которых она основывается, чрезвычайно важно. Эта реальная практика говорит очень много о том, кому в действительности доступны занятия математикой, и только изучая и изменяя их, мы можем изменить нынешнюю ситуацию, при которой дети из меньшинств обычно недостаточно представлены среди сильных по математике учащихся. Приведу ещё один пример, на этот раз из моей собственной работы, показывающий, как практика определяет, насколько в математическом образовании достигается равенство.10

В одном районе большого города, чтобы попасть в сильные классы, школьники должны сдать тест. Многие из них говорят только по-испански. Их зачисляют только в «переходный» класс общего уровня. Сдавать тест по-испански нельзя.

Этот пример, как и многие другие приводимые в моих работах11, показывают ограниченность распространённых представлений о возможности хороших математических результатов у школьников из меньшинств. Пример не редкость - такое можно увидеть во многих

9 Regents - это экзамены, которые сдают в New York State, чтобы определить, можно ли выдавать школьнику полноценный (Regents) диплом об окончании школы.

10 Некоторые элементы этого раздела публиковались в работе Walker, E.N. (2003). Who can do mathematics? In B. Vogeli and A. Karp (Eds.), Activating mathematical talent, Monograph Series for Leaders in Mathematics Education. Boston: Houghton Mifflin and National Council of Supervisors of Mathematics.

11 См., например, книгу Walker's Building Mathematics Learning Communities: Improving Outcomes in Urban High Schools, опубликованную Teachers College Press в 2012 году.

районах. Предполагается, что все приезжающие из испаноговорящих стран нуждаются в дополнительном повторении математики - возможность, что это не так, просто не допускается. Так и учителям, и администраторам можно не утруждать себя лишними размышлениями. Сдавать математику на родном языке не разрешается, поскольку всё равно заранее предполагается, что испаноговорящие школьники сдадут математику плохо. Меж тем было бы вполне логично проверять именно знания математики, а не языка, разрешая сдавать экзамен на родном языке. Хуже всего тут то, что подобная практика имеет кумулятивный и продолжительный эффект. Хотя есть немало примеров того, как школьники из меньшинств всё же добились успеха в изучении математики, несмотря на все затруднения. Эти искусственные трудности, разумеется, должны быть ликвидированы.

Различные проблемы, связанные с неравенством (неравенство в финансовом обеспечении, нехватка учителей), часто приводят к тому, что в больших городах учащихся учат менее квалифицированные и менее опытные учителя, чем в более зажиточных школах в пригородах. В результате школьники в этих городских школах (часто чёрные или латиноамериканского происхождения) получают лишь базовое математическое образование, основанное на повторении и заучивании, без попыток развить их мышление. Например, компьютеры будут в такой школе использоваться для базовых операций, а не для математических исследований. Разумеется, основы и базовые навыки важны, но не должно быть так, чтобы ими дело и ограничивалось. Какой бы ни была программа, учителя каждый день принимают решения, от которых зависит курс, изучаемый школьниками, и если они считают, что школьники «заслуживают» полноценного образования, те его и получают, а если им кажется, что нет ничего лучше того, чтобы зазубрить ещё парочку однотипных примеров, то так оно и будет сделано. «Педагогика нищеты» (Haberman, 1991), которую осуществляют многие учителя, разрушает и их собственный профессиональный рост, что опять-таки сказывается на учащихся.

Достижение успеха в преподавании математики предполагает внимание как к, так сказать, макровопросам (программы и организационные проблемы), так и к микровопросам преподавания и учения. Нельзя считать прекрасным преподаванием только способность успешно работать с теми, у кого есть все преимущества. Подлинный тест для учи-

теля - это способность учить даже тех, кто прежде получил плохое образование, живёт в непростых условиях и даже поначалу не очень интересуется математикой. Не стоит при этом ждать, что какая-нибудь программа станет «волшебной палочкой», способной всё исправить.

Есть немало примеров хорошего обучения детей, принадлежащих к меньшинствам. Есть немало исследований, показывающих, как успешно работает математическая педагогика, основанная на равенстве, и какое положительное воздействие она оказывает на школьников и их достижения. Школы, добивающиеся хороших результатов, надо пропагандировать, надо изучать их подходы, дабы распространять их шире. Заметим, что годами считали, что девочки хорошо заниматься математикой не могут - у них ведь результаты тестов были хуже, чем у мальчиков, да и курсы по математике они обычно выбирали послабее, чем мальчики. Но теперь, когда вопросу было уделено больше внимания, девочки сравнялись с мальчиками в выборе математических курсов и результатах в них.12

Учителя сами испытывают воздействие различных течений в обществе и различных воззрений на преподавание математики. В Соединённых Штатах господствует взгляд, что те, кто хорошо занимается по математике, делают это «естественно». Соответственно, в отличие от других дисциплин, где предполагают усидчивую работу - скажем, можно добиться умения хорошо писать, - наше общество подчёркивает, что математика -трудный предмет, в котором лишь немногие могут преуспеть. Эти взгляды препятствуют развитию и математических дарований, и просто математической образованности. Мы воспринимаем слабые успехи по математике чуть ли не как нечто нормальное, в отличие от других стран, где ожидают, что все школьники «достигнут уровня математического понимания, которое у нас достигают лишь лучшие». В Соединённых Штатах господствует идея, что математикой занимаются в одиночестве, вне какой-либо группы. Это господствующие стереотипы, как пишет Burton (1999): «неверные социальные стереотипы, продвигаемые средствами массовой информации», утверждают, что «математик - это мужчина, запершийся в своей комнате и карябающий на своей бумажке доказательство чего-то непонятного, быть может, великой теоремы Ферма» (р. 127). Такой взгляд на математику и занятия ею распространяется в американской

12 Разумеется, этот вопрос ещё сложнее, чем представлено в данном наброске.

школе с малолетства. Исследования показывают, что учителя начальной и средней школы и сами разделяют такие взгляды на то, чем занимаются математики и кто они вообще такие, и внушают их учащимся. (Cirillo & Herbel-Eisenmann, 2011; Moreau, Mendick & Epstein, 2009).

Мы должны также осознать, что подлинное реформирование математического образования предполагает, что учителя изменят стиль своей каждодневной практики, и в некоторых случаях изменят его очень значительно. Это означает, что они должны существенно пересмотреть всю парадигму своей деятельности, переходя к преподаванию, весьма отличному от того, которое было, когда они сами учились. Качественное преподавание математики лишь недавно было признано нужным в каждой школе, до недавнего времени считалось, что оно прерогатива «элиты», и уж по крайней мере только тех, кто планирует получать высшее образование.

Рассматривая вопросы образования, связанные с программами, преподаванием, системой оценки, нельзя забывать и о воззрениях учителей, их знаниях и представлениях о предмете и его преподавании, опирающихся на их представления о школьниках и их возможностях. Эти воззрения складывались в ходе сложного историко-политического и культурного процесса. Необходимость создания равного и эффективного математического образования для всех заставляет всех нас - учёных, педагогов, учителей, политиков, родителей, администраторов - изучить и изменить взаимоотношения между тем, что делается на уроках, тем, что мы ждём от школьников, их результатами и их возможностями. Без этой работы мы по-прежнему будем искать лишь частичные решения большой проблемы, а равенство в образовании будет оставаться для многих школьников недостижимым.

Литература

Anderson, J. (1988). The education of blacks in the South, 1860-1935. Chapel Hill: University of North Carolina Press.

Anyon, J. (2005). Radical Possibilities: Public Policy, Urban Education, and a New Social Movement. New York: Routledge.

Burton, L. ( 1999). The practices of mathematicians: What do they tell us about coming to know mathematics? Educational Studies in Mathematics, 37, 121-143.

Cirillo, M. & Herbel-Eisenmann, B. (2011). Mathematicians would say it this way: An investigation of teachers' framings of mathematicians. School Science & Mathematicians, 111 (2), 68-78.

Flores, A. (2007). Examining Disparities in Mathematics Education: Achievement Gap or Opportunity Gap? High School Journal, 91 (1), 29-42.

Gutierrez, R. (2000). Advancing African-American urban youth in mathematics: Unpacking the success of one math department. American Journal of Education, 109 (1), 63-111.

Gutierrez, R. (2003). Beyond essentializing: The complex role of language in teaching Latina/o students mathematics. American Educational Research Journal, 39(4), 1047-1088.

Haberman, M. (1991). Pedagogy of poverty versus good teaching. Phi DeltaKappan, 73, 290-294.

Kilpatrick, J. (1992). A history of research in mathematics education. In D.A. Grouws (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 3-38). New York: Macmillan.

Ladson-Billings, G. (2006). From the achievement gap to the education debt: Understanding achievement in U.S. schools. Educational Researcher, 35(1), 3-12.

Lagemann, E.C. (2000). An elusive science: The troubling history of education research. Chicago: The University of Chicago Press.

Moreau, M.R, Mendick, H., & Epstein, D. (2009). What do GCSE students think of mathematicians? Mathematics in School, 38 (5), 2-A.

Moreno, J.F. (1999). The elusive quest for equality: 150 years of Chicano/ Chicana education. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Tarr, J.E., Berry, R.Q., Walker, E.N., Rasmussen, C.L., Hollebrands, K.F., Konoid, С, Chval, K.B., & King, К. (2013). New assessments for new standards: The potential transformation of mathematics education and its research implications. Journal for Research in Mathematics Education, 44(2), 340-352.

Tyack, D. & Hansot, E. (1992). Learning together: A history of coeducation in American public schools. New York: Russell Sage Foundation.

Walker, E.N. (2014). Beyond Banneker: Black mathematicians and the paths to excellence. Albany, NY: SUNY Press.

СВЕДЕНИЯ ОБ УЧАСТНИКАХ

Владимир Александрович Булычёв, доцент кафедры высшей математики Калужского филиала МГТУ им. Н.Э.Баумана, окончил мех-мат МГУ им. М.В.Ломоносова, там же защитил кандидатскую диссертацию, посвященную стохастическим дифференциальным уравнениям в частных производных. Область научных интересов в настоящее время - использование компьютерных технологий в преподавании математики и обучение школьников основам теории вероятностей и статистики. Автор более 60 публикаций, среди которых учебники по теории вероятностей для школьников и статьи по использованию интерактивных математических сред в обучении математике. Один из разработчиков проекта «1С: Математический конструктор».

Николас Вассерман - Assistant Professor математического образования в Teachers College, Columbia University. В течение шести лет работал школьным учителем, сначала в большой государственной школе в Остине, а потом в маленькой частной на Манхэттене. Его научные интересы сосредоточены на определении того, что должны знать учителя математики, и того, как эти знания развивать, в том числе он размышляет над тем, в какой мере более сложные области математики связаны со школьной практикой и на нее влияют. С увлечением занимаясь обучением учителей, он старается найти оптимальные пути улучшения математической подготовки учителей для школьной работы. Д-р Вассерман также много уделяет внимания тому, как лучше использовать современные компьютерные технологии в преподавании математики.

Сол Гарфанкел получил ученую степень (Ph.D) в Университете Висконсина в 1967 году. Несколько лет до основания СОМАР (the Consortium for Mathematics and its Applications - Объединение математики и ее изучения) преподавал в Корнелле и университете Коннетикута. С момента основания СОМАР его исполнительный директор. Возглавлял несколько поддерживаемых Национальным фондом науки проектов по развитию программ в том числе UMAP, HiMap, и ARISE. Был организатором Annenberg/CPB телекурса, For All Practical Purposes (Для практических нужд). Получил награду NCSSM (Glen Gilbert Award) и награду за многолетние достижения от ISDDE. Был членом группы экспертов по математики PISA. Основатель и руководитель МСМ (Mathematical Contest in Modeling-Соревнования по математическому моделированию).

Владимир Натанович Дубровский - доцент кафедры математики СУНЦ МГУ Также преподает в МПГУ, одаренным школьникам Финляндии, Таиланда и других стран. Окончил механико-математический факультет МГУ, там же защитил диссертацию на звание кандидата физико-математических наук, посвященную случайным процессам. Автор нескольких книг и более 150 статей научного, научно-популярного и методического характера. Работал редактором по математике журнала Quantum. Руководил разработкой ряда электронных учебных пособий, в частности программы динамической геометрии «Математический конструктор». Член оргкомитета International Mathematical Modeling Challenge. Почетный работник общего образования РФ. Заслуженный преподаватель МГУ Многократный Лауреат премии Фонда Сороса среди учителей средних общеобразовательных учреждений. Многократный лауреат грантов Москвы в области образования и конкурсов фонда «Династия» в номинации «Учитель, воспитавший ученика».

Александр Поэлевич Карп - профессор математического образования в Teachers College, Columbia University. Окончил математический и исторический факультеты педагогического университета (института) им. А.И.Герцена в Санкт-Петербурге и там же защитил кандидатскую диссертацию по методике преподавания математики. А.П.Карп почти двадцать лет проработал школьным учителем математики и почти тридцать лет ведет различные курсы для учителей - сначала в Петербургском институте усовершенствования учителей (теперь Академии постдипломного педагогического образования), а в дальнейшем в Teachers College, Columbia University. В настоящее время его научные интересы в первую очередь сосредоточены на истории математического образования и обучении одаренных. Автор более 100 печатных работ, среди которых более 20 книг.

Ирина Станиславовна Овсянникова, аспирантка третьего года обучения заочной аспирантуры Московского Педагогического Государственного Университета. В 2011 году окончила Московский Государственный Горный Университет. В 2013 году окончила маги-

стратуру МГПУ по специальности «Теория и методика преподавания математики в профильной школе». Стаж работы в школе учителем математики и информатики - 10 лет. Занимается научно-исследовательской работой по направлению «Развитие исследовательских компетенций учащихся на уроках геометрии». За время обучения в аспирантуре опубликовала 4 научные статьи.

Сергей Алексеевич Поликарпов окончил Экспериментальную школу № 710 АПН СССР с золотой медалью. В 1994 году занял второе место на Московской математической олимпиаде. В дальнейшем окончил с красным дипломом механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В 2004 году под руководством В.В. Козлова (академика РАН, в течение многих лет директора Математического института им. В. А. Стеклова РАН) защитил кандидатскую диссертацию на тему «О периодических траекториях динамических систем». С 2005 года на работе в Российской академии наук. С 2014 года работает в МПГУ, в октябре 2016 года избран на должность декана математического факультета.

Алексей Львович Семёнов, профессор МГУ, директор Института образовательной информатики РАН, окончил мехмат МГУ, к.ф.-м.н. (1975), д. ф.-м.н. (МИАН им. В. А. Стеклова, 1984), специалист в области математической логики и теории алгоритмов, академик Российской академии наук (Отделение математических наук) и Российской академии образования (Отделение общего образования), Лауреат Премии Президента РФ, Правительства РФ, ЮНЕСКО за работы в области информатизации школы. Координатор разработки Концепции развития математического образования в Российской Федерации принятой Правительством России в 2013 г. Автор школьных учебников по математике и информатике. Участник разработки стандартов, программ и других нормативных документов по математике. Председатель Научно-методического совета ЕГЭ по математике.

Эрика Н. Уолкер - профессор математического образования в Teachers College, Columbia University. В прошлом награждалось за работу школьным учителем. В настоящее время ее научные интересы сконцентрированы на на изучении социальных и культурных факторов, влияющих на то, как изучается математика и в какой мере она увлекает учащихся, в особенности учащихся из групп, исторически недополучавших образование. Д-р Уолкер является автором многочисленных журнальных статей и двух книг: Building Mathematics Learning Communities: Improving Outcomes in Urban High Schools (Teachers College Press, 2012) and Beyond Banneker: Black Mathematicians and the Paths to Excellence (SUNY Press, 2014).

Владимир Златкович Шарич, заведующий кафедрой математики онлайн-школы Фоксфорд, педагог дополнительного образования Физтех-лицея им. П.Л. Капицы, методист математического отделения Олимпиадных школ МФТИ. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. В школьные годы - призер Всероссийской олимпиады школьников по математике. В дальнейшем состоял в жюри более 50 всероссийских турниров и олимпиад. В течение 2008-2014 руководил методической комиссией и жюри Математического многоборья. Преподавал в более 30 международных образовательных проектах на территории Сербии, Кореи, Казахстана, Греции, Египта и России (для иностранных учащихся). Ведет сайт mathschool.ru, посвященный математическим образовательным проектам. Научные интересы в настоящее время лежат в области аддитивной комбинаторики, педагогические - в области подготовки старшеклассников к олимпиадам. Автор статей в журналах «Потенциал» и «Математика в школе». Лауреат Фонда «Династия» в номинации «Наставник будущих ученых». Участник любительских пеших и водных походов.

Дмитрий Эммануилович Шноль, учитель математики школы «Интеллектуал» и школы «Летово», закончил Московский заочный педагогический институт, автор двух пособий по математике и более 20 статей по проблемам математического образования. Соросовский учитель. Многократный лауреат грантов Москвы в области образования. Победитель всероссийского конкурса «Школа будущего» (2010). Области педагогических интересов: исследовательская деятельность в преподавании математики, проблемы формирования целостного педагогического коллектива.

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Материалы Российско-Американского симпозиума 18-20 ноября 2016 г.

Редактор Дубовец В. В. Оформление обложки Удовенко В. Г. Компьютерная верстка Ковтун М. А., Дорожкина О. Н.

Управление издательской деятельности и инновационного проектирования МПГУ 119571, Москва, Вернадского пр-т, д. 88, оф. 446 Тел.: (499) 730-38-61 E-mail: izdat@mpgu.edu

Подписано в печать 28.02.2017. Формат 60x90/16. Бум. офсетная. Печать цифровая. Объем 9,25 п. л. Тираж 150 экз. Заказ № 625.