ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Академия педагогических наук СССР

Научно-исследовательский институт содержания и методов обучения

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Под редакцией Г. Г. Масловой

Издательство „ПЕДАГОГИКА“

Москва ⋅ 1971

51 (077) П-42

П-42

Повышение эффективности обучения математике в средней школе.

Пособие для учителей. Под ред. Г. Г. Масловой. М., „Педагогика“, 1971. 168 стр. с иллюстр.

В сборнике рассматриваются следующие вопросы: теоретико-множественный подход к изучению математики; материалы по факультативным занятиям; общая методика преподавания математики.

Рассчитан на учителей, а также студентов математических факультетов педвузов и педучилищ.

Авторы статей сборника — опытные учителя и методисты—делятся опытом работы по новым программам и проведения факультативных занятий.

51(077)

От редактора

В настоящий сборник включены статьи по материалам докладов, прочитанных на Всесоюзных „Педагогических чтениях“ 1968 г. Авторы всех статей непосредственно связаны со школой. Большинство их — учителя, многие принимают активное участие в экспериментальной работе по проблеме совершенствования математического образования в средней школе. Содержание статей, представленных в сборнике, отражает творческие поиски передовых учителей в решении этой проблемы и некоторые достигнутые результаты.

По тематике статьи могут быть условно разделены на несколько групп.

К первой из них относятся работы Ю. Н. Макарычева, Д. И. Федоровой и М. М. Хмелинской, посвященные теоретико-множественному подходу и использованию простейших логических понятий при изучении школьного курса математики, а также статья Б. Г. Зива по конкретным вопросам осуществления межпредметных связей. В этих статьях отражены некоторые из основных идей новой программы по математике (см.: „Математика в школе“, 1968, № 2).

В статье Ю. Н. Макарычева „Теоретико-множественный подход к изучению математики в средней школе“ рассматриваются возможности широкого использования теоретико-множественных понятий для наиболее эффективного изучения всего школьного

курса математики (в частности, при раскрытии содержания и формировании таких важнейших понятий, как уравнение, неравенство, при решении уравнений и неравенств, при выполнении тождественных преобразований), организации мышления учащихся, развития их математического языка. Приведенные автором примеры убедительно показывают преимущество использования теоретико-множественного подхода в обучении математике по сравнению с традиционной методикой.

В статье Д. И. Федоровой „Опыт преподавания математики в I —II классах на основе теоретико-множественного подхода“ дается конкретизация положений, высказанных в статье Ю. Н. Макарычева, применительно к начальной школе.

Автор описывает содержание экспериментальной работы, которую проводила в течение ряда лет группа учителей г. Новосибирска и Новосибирской области: Марокова Н. А., Шарпак Ф. А., Баландина А. Д., Тарасова А. Д., Шевелева М. И., Красильникова О. В., Политова М. Н., Колбаскина 3. К., Стасишина А. С. В статье показывается, как использование теоретико-множественных понятий, раскрываемых на весьма простых, хорошо подобранных упражнениях, влияет на усвоение детьми программного материала и, что особенно важно, на общее развитие учащихся, на успешное изучение ими математики в последующих классах.

М. М. Хмелинская в статье „Из опыта использования элементов логико-математического языка в курсе алгебры VI и VII классов“ рассказывает о системе формирования у детей 13—14 лет логико-математического языка на уроках алгебры. Автор очень осторожно подходит к введению теоретико-множественных и логических понятий. Вводятся они на конкретных примерах, доступных детям, и — только там, где они существенно облегчают изучение традиционного материала (например, понятия высказывания, переменной, выражения с переменной и другие позволяют более глубоко усвоить решение уравнений, неравенств и их систем).

Ленинградский учитель математики Б. Г. Зив в статье „Связь преподавания математики и физики

как средство повышения интереса учащихся к математике" анализирует возможные контакты в преподавании этих предметов при изучении элементарных функций. Автор обращает внимание на выяснение физического смысла параметров зависимостей, рассматриваемых в курсе математики и физики, области определения функций. В статье даются примеры приложения некоторых функций, изучаемых в школе (квадратичной, показательной, логарифмической).

Статьи А. Ю. Михайловской, В. П. Борисенко, Э. А. Ясинового посвящены опыту проведения факультативных занятий. В этих статьях читатель найдет различные подходы к трактовке одной и той же темы факультативных курсов. Нам думается, что знакомство с ними, их методический анализ представят для читателя определенный интерес. Полезными окажутся упражнения и задачи, имеющиеся почти в каждой статье. Следует, однако, заметить, что общее число задач и упражнений, приведенных авторами, несколько превышает объем материала, который рекомендуется программой факультативных занятий (см.: „Математика в школе“, 1967, № 1).

Материал статьи Д. И. Цирелиса „Решение экстремальных задач и графическое исследование функций“ предназначен в основном для внеклассной работы: рассматриваются задачи на нахождение экстремумов функций, на аргументы которых налагаются дополнительные условия. На ряде примеров учащиеся подводятся к пониманию общей задачи линейного (и нелинейного) программирования. Приводимые автором задачи удачно связаны с программой обязательного курса математики и позволяют с новых позиций рассмотреть цель тождественных преобразований алгебраических и тригонометрических выражений. Систематическое привлечение геометрических иллюстраций способствует более отчетливому уяснению учащимися сущности решения тех или иных задач и в какой-то мере — развитию пространственных представлений школьников.

В статье Р. А. Хабиба „О роли экспериментальных и приближенных методов в обучении математике“ ставится важная, особенно в связи с переходом школы на новую программу по математике, проблема

о соотношении индуктивных и дедуктивных методов, о месте опыта (эксперимента) в формировании у учащихся представлений о научных методах познания. Автор на ряде примеров показывает необходимость оптимального использования индуктивных методов при работе с учащимися 10—13 лет. Общие положения иллюстрируются примерами изложения некоторых вопросов курса математики.

Об организации объективного изучения знаний учащихся рассказано в статье К. А. Краснянской. Эта важнейшая проблема еще не получила разрешения. Однако общие положения, высказанные в статье, несомненно, представят интерес для учителя не только как постановка проблемы: отдельные рекомендации и соображения могут быть использованы им в практической работе.

В подготовке статей данного сборника приняли участие научные сотрудники НИИ содержания и методов обучения АПН СССР тт. Боковнев О. А., Макарычев Ю. Н., Монахов В. М., Никольская Л. Н., Семушин А. Д., Суворова С. Б., Шершевский А. А.

Все замечания по настоящему сборнику просьба направлять по адресу: Москва, К-62, ул. Макаренко, 5/16. Институт содержания и методов обучения АПН СССР.

МАКАРЫЧЕВ Ю. Н. (Москва)

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Еще совсем недавно считалось, что основная цель обучения математике состоит в сообщении учащимся известных фактов и выработке определенных навыков. В последнее время в связи с существенным расширением сферы приложений математики образовательная роль ее стала пониматься шире. Человек, окончивший среднюю школу, должен владеть языком основных математических понятий, он должен в жизненной ситуации уметь выделять существенное (отличать его от несущественного), иметь развитую интуицию и в то же время обладать способностью к дедуктивным рассуждениям. Словом, этот человек должен иметь математическое развитие.

Изучение математики, при котором за основу принята теоретико-множественная концепция, может способствовать выработке таких качеств, которые составляют основу общей культуры человека.

Действительно, в любом вопросе науки или практики человеку приходится встречаться с различными объектами, изучать их свойства, наблюдать различные отношения между ними. Например, в географии такими объектами могут быть части света, свойствами — их природные условия, отношениями — взаимное расположение частей света. В математике отвлекаются от природы конкретных вещей— их называют

просто элементами, а совокупности элементов, составленные по какому-либо признаку, — множествами. Данное множество можно разбивать (например, в целях классификации) на части — подмножества, выяснять принадлежность того или иного элемента множеству или его подмножеству. Например, в грамматике множество всех слов разбивают на существительные, прилагательные и т. д., в биологии множество всех позвоночных животных — на млекопитающих, птиц и пр. Какой частью речи является слово „красивый“? К какому классу животных относится голубь? Эти вопросы с точки зрения математики одинаковы. Слово или животное —это элемент множества, часть речи или класс животных —это подмножество. Выяснение принадлежности данного элемента тому или иному подмножеству определенного множества элементов представляет задачу, решение которой бывает важно в любой области знания.

Так же необходимо бывает в каком-то множестве устанавливать порядок среди его элементов или выяснять их пространственное расположение, находить объединение двух множеств или отыскивать их общие элементы, устанавливать различные соответствия.

Ясно, что, основанное на теоретико-множественной концепции, математическое воспитание будет способствовать развитию общей культуры учащегося. Изучение основных теоретико-множественных понятий поможет организовать его мышление (научит его лучше видеть связи между явлениями, более экономно мыслить).

Теоретико-множественный подход оказывается достаточно эффективным и при изучении школьного курса математики. В частности, он позволяет лучше раскрыть содержание понятий, что является необходимым условием их успешного освоения.

При сложившейся системе обучения наблюдается стремление не к раскрытию содержания понятий, а к достижению мнимой строгости в изложении. Это неизбежно ведет к преждевременной, ранней формализации, которая большинством учащихся не воспринимается. Отсюда и появляется тенденция к отработке навыков в решении типовых задач. В резуль-

тате у многих учащихся образуются формальные знания, ограничивающие возможности их приложений, и, конечно, снижается интерес к изучению математики.

Сколько бы ни изменялись программы по математике—понятия числа, выражения, тождественного преобразования выражения, уравнения и неравенства, функции всегда будут составлять основное содержание школьного курса математики.

Раскрытие содержания этих понятий может успешно осуществляться, если будет проводиться целенаправленное изучение языка математики. Учащиеся должны хорошо понимать смысл употребляемых терминов и используемой символики, уметь читать предложения, составленные с помощью математических обозначений, записывать условие задачи на языке символов. Должна быть выработана система упражнений, в которой новые термины неоднократно применялись бы в различных ситуациях.

Целенаправленное изучение языка математики при раскрытии содержания основных понятий школьного курса алгебры требует привлечения теоретико-множественной терминологии.

Для усвоения понятия числа, а тем более для понимания задачи расширения понятия числа необходимы ясные представления об основных числовых множествах: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел и т. д. Ученик должен видеть, что, например, число —5 принадлежит множеству целых чисел, множеству рациональных чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел; что действие вычитания всегда выполнимо на множестве целых чисел, но ограничено в выполнении на множестве натуральных или множестве неотрицательных рациональных чисел. Эти знания станут более отчетливыми, если будут использоваться такие понятия, как множество, элемент множества, отношение принадлежности.

Усвоение понятий выражения, тождественного равенства выражений, их тождественных преобразований связано с усвоением понятий множества значений переменной (или переменных), множества значений выражения, пересечения множеств. Немногие из

учащихся смогут правильно решить уравнение x2—5х — 6 = |4x — 6|, если не будут понимать, что выражения |4х— 6| и 4x — 6 тождественны на множестве чисел, не меньших чем 1,5. Явное использование теоретико-множественного языка облегчает усвоение этих вопросов.

Формирование понятия уравнения или неравенства осуществляется значительно проще, если применять понятия высказывания, множества (множество решений уравнения или неравенства), принадлежности (данное число является корнем уравнения — принадлежит множеству его решений). Использование теоретико-множественных понятий позволяет легче осуществить и сам процесс решения уравнения или неравенства.

Например, решая неравенство

учащийся рассуждает так: „Переменная х в выражении

может принимать значения из множества

Неравенство

равносильно на множестве Х1 алгебраическому неравенству

или неравенству

решения которого образуют множество Х2 = (2,6).

Следовательно, множество решений данного неравенства есть общая часть (пересечение) множеств Х1 и Х2:

Владея этой терминологией и символикой, учащиеся хорошо видят весь процесс решения неравенства, образно представляют множество решений неравенства.

Понятие функции, как известно, употребляется в двух смыслах: как отображение одного множества на другое (или как соответствие между двумя множествами, как правило соответствия) и как переменная. Первый смысл составляет содержание понятия функции, в то время как второй смысл употребляется для экономии речи („Функция принимает значение, равное 8“). Тем не менее в школьном курсе математики, как правило, термин „функция“ употребляется во втором значении. Поэтому естественно, что ряд вопросов курса, в которых применяется понятие функции, плохо усваивается учащимися. Исправить положение невозможно без того, чтобы не использовать основные теоретико-множественные понятия, так как они составляют само существо понятия функции.

Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении школьного курса математики создает исключительно благоприятные условия для постановки в школе целенаправленного изучения языка математики. Возникает вопрос о том, как рано следует начинать заниматься этим. Известно, что изучение языка эффективнее протекает в раннем возрасте; по-видимому, изучение математического языка также целесообразно осуществлять на более раннем этапе образования.

Использование теоретико-множественного подхода оказалось весьма эффективным при изучении математики в начальных классах. Это подтверждает экспериментальная работа сектора обучения математике НИИ содержания и методов обучения АПН СССР1, которая проводится с 1964 г. в школах Москвы и Новосибирска.

Эксперимент ведется под руководством действительного члена АПН СССР проф. А. И. Маркушевича и посвящен разработке перспектив развития математического образования.

Организационно-экспериментальная работа составляла три этапа. Сначала разрабатывалась программа по математике для I —III классов. Затем был создан

1 В проведении работы непосредственное участие принимали сотрудники сектора К. И. Нешков, А. М. Пышкало и автор настоящей статьи.

первый вариант учебных материалов, который после пробного эксперимента в одном-двух классах был существенно переработан. На третьем этапе эксперимент по переработанным учебным материалам проводился уже в 20—25 классах различных школ. Во всех классах обучение вели рядовые учителя начальных школ. Состав учащихся также был обычным.

Цель эксперимента состоит главным образом в том, чтобы проверить программу и учебные материалы. Задачи отработки приемов обучения, методики обучения или определения уровня навыков на этой стадии эксперимента специально не ставились.

Анализ традиционной постановки преподавания в начальной школе показывает, что содержание изучаемого материала недостаточно для осуществления хорошего математического и общего развития школьников. В принятой системе обучения математике в начальной школе чрезмерное внимание уделяется вычислительным навыкам в действиях с многозначными числами, что на современном уровне развития общества не представляет общеобразовательной ценности. Большой затраты времени и огромных усилий школьников требует тренировка в решении сложных и часто искусственных арифметических задач. Геометрические сведения в начальной школе чрезвычайно скудны (прямоугольник, треугольник, круг, прямоугольный параллелепипед). При этом главным объектом изучения являются не сами фигуры, не отношения между фигурами, а измерения величин (длин, площадей, объемов).

Таким образом, изучение математики в начальной школе ограничивается числами и фигурами, причем последние в курсе представлены недостаточно.

Кроме того, сам характер обучения в начальной школе, когда основное время уходит на отработку навыков в решении различных типов задач и разучивание многочисленных правил, не содействует общему и математическому развитию школьников.

При разработке учебных материалов была поставлена общая цель: найти пути, которые позволили бы существенно усовершенствовать преподавание математики в начальных классах, с тем чтобы уровень развития и знаний учащихся привести в соответствие

современным требованиям. Было необходимо отобрать вопросы, которые представляют общеобразовательную значимость, смогут облегчить изучение курса математики и в то же время позволят в значительной мере использовать жизненный опыт школьников.

Средством к осуществлению этого явились основные теоретико-множественные понятия. Их использование в курсе математики начальной школы позволило доступнее, глубже и интереснее поставить изучение традиционных вопросов, проводить в курсе серьезную пропедевтику алгебры и геометрии, значительно повысить уровень логического развития учащихся. Теоретико-множественный подход дал возможность значительно упростить и сделать более четким математический язык.

Остановимся на трех основных проблемах экспериментального курса.

1. Одна из задач начального образования состоит в том, чтобы сформировать у учащихся понятие о числе, выработать навыки в действиях с натуральными числами, умения и навыки в решении простейших задач на сложение, вычитание, умножение и деление.

В сложившейся системе обучения в I классе учащиеся сразу приступают к счету и выполнению сложения и вычитания в пределах первого десятка.

В экспериментальных классах этому предшествует подготовительный этап — качественная фаза обучения, — когда учащиеся знакомятся с конкретными примерами множеств, выделением отдельных элементов этих множеств, операциями над множествами: объединением и пересечением. Разумеется, что это делается в доступной, занимательной для детей этого возраста форме. Приведем пример.

Учитель показывает ученикам три картинки. На первой картинке изображены заяц, еж и бобер — рыболовы. Они наловили рыбы. На другой — кот и лиса — охотники. У них ничего нет. На третьей картинке все вместе едят уху (в тексте: „Они объединились и дружно принялись за работу“). От ребят требуется показать каждого рыболова, каждого охотника, каждый элемент объединения этих множеств.

Понятию числа элементов множества предшествуют понятия „столько же“, „больше“, „меньше“. Их введение осуществляется на понятном для детей примере. На рисунке изображены ребята, у каждого из них —мяч. В тексте написано: „Каждый ребенок имеет только один мяч. Каждый мяч принадлежит только одному ребенку. Можно сказать, что мячей столько же, сколько ребят“. Аналогично вводятся понятия „больше“ и „меньше“. Решаются задачи:

1) Банки нужно поставить в ящик: в каждую ячейку одну банку (на рисунке ящик с восемью ячейками, рядом с ящиком стоят пять банок). Выяснить с помощью стрелок, чего меньше —банок или ячеек (учащиеся должны провести от каждой банки к ячейке стрелку).

2) Нам сказали, что чашек (на рисунке четыре чашки и пять блюдец) нарисовано столько же, сколько и блюдец. Проверить, раскрасив одну чашку и одно блюдце красным цветом, другую чашку и другое блюдце синим цветом и т. д.

3) В цирке на арене приготовили для дрессированных собачек тумбочки (дан рисунок). Для каждой ли собачки приготовлена тумбочка?

Подобные задачи формируют у учащихся понятие о числе как некоторой характеристике различных множеств, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.

После этого переходят к счету предметов. Рассматриваются задачи:

1) Положите в один ряд столько палочек, сколько пальцев на правой руке. Положите в другой ряд (под каждой палочкой первого ряда) столько палочек, сколько дней в неделе. Чего больше, дней в неделе или пальцев на правой руке?

2) Положите в один ряд столько палочек, сколько элементов в множестве слов: синий, красный, зеленый, желтый, голубой, малиновый. Положите в другой ряд столько палочек, сколько элементов в множестве слов: одуванчик, колокольчик, тюльпан, роза, мак. В каком множестве больше слов?

3) Положите в один ряд столько палочек, сколько элементов в множестве слов: один, два, три, четыре, пять, шесть. Положите в другой ряд столько пало-

чек, сколько элементов в множестве слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять. В каком множестве больше слов?

Учащимся разъясняется, что множество слов: один, два, три и т. д., в котором элементы нужно называть в определенном порядке, является стандартным. С этим множеством (в котором перечисление элементов заканчивается в определенном месте) сравниваются самые различные множества.

Подход к сложению чисел осуществляется через объединение множеств. При этом рассматриваются задачи общего характера, когда пересечение двух множеств непустое. Например: „В V классе преподают б учителей, а в VI — 8. Сколько учителей работает в V и VI классах?“ Подобные задачи вполне жизненны, их решение вызывает большой интерес у учащихся: ведь, чтобы решить такую задачу, нужно рассмотреть все возможные случаи, и лишь в каждом из них ответ будет однозначным. Кроме того, такие задачи способствуют раскрытию содержания понятия „сложение чисел“, что очень важно для умения решать задачи.

Учитель начальной школы должен научить детей решать простые задачи. Вопрос о том, какие из задач решаются сложением, является проблемным в методике начальной школы. К сожалению, для его решения давались не совсем правильные рекомендации. Некоторые из них были основаны на чисто внешних критериях. К их числу относятся так называемые слова-признаки: если в вопросе задачи содержится слово „всего“ или „вместе“, то задача решается сложением; если же содержится слово „осталось“, то задача решается вычитанием. Можно придумать сколько угодно задач, в которых следует поступить наоборот. Вот примеры: „Вчера я начал читать с 8-й страницы, а сегодня дочитал до 19-й. Сколько всего страниц я прочитал за два дня?“, „До каникул осталось 7 дней да еще 4 дня. Сколько дней осталось до каникул?“

По существу, никакие слова-признаки не помогут ученику разобраться в задаче на сложение (или вычитание), если он не усвоит основного математического содержания: с помощью сложения находится

число элементов объединения двух множеств с пустым пересечением. Разумеется, что к этому выводу учащиеся приходят не с помощью правил, а путем осмысливания специально поставленных задач.

Подход к умножению аналогичен. Рассматриваются задачи с конкретным содержанием, которые приводят к составлению множества пар — декартова произведения одного множества на другое (сам термин „декартово произведение“ вводится лишь в III классе). Приводим пример: „В школьном буфете завтрак состоит из двух блюд. На первое можно выбрать сосиски, пельмени, котлеты или рыбу, а на второе — молоко, кофе или чай. Какие завтраки можно составить из этих блюд? Сколько можно составить различных завтраков?“ При решении подобных задач учащимся приходится составлять самим пары и находить их число, которое, как они вскоре обнаруживают, не зависит от того, в каком порядке находится декартово произведение. Учащиеся сразу убеждаются в справедливости переместительного свойства умножения и бессмысленности отличать множимое от множителя. Учащимся разрешается находить произведение двух чисел в любом порядке: умножать „тетради на копейки“ или „копейки на тетради“.

Теоретико-множественный подход при обучении арифметике не отражается отрицательно на вычислительных навыках учащихся. Напротив, ознакомление уже в I классе с понятием выражения и внесение некоторой полноты в алгоритмы арифметических действий способствуют повышению их вычислительной культуры. По наблюдениям методистов начальной школы, вычислительные навыки учащихся в экспериментальных классах намного лучше, чем в обычных классах. Что же касается умения решать задачи, то здесь у учащихся экспериментальных классов дело обстоит еще лучше.

2. В экспериментальном курсе осуществлялась серьезная пропедевтика алгебры. Основное внимание уделялось формированию понятия переменной, формированию понятий, связанных с изучением уравнений, неравенств и тождественных преобразований.

Буква как переменная вводится уже в I классе. Однако термин „переменная“ в I и II классах не употребляется. Он вводится лишь в середине учебного года в III классе.

Система упражнений еще задолго до введения термина „переменная“ готовит учащихся к правильному восприятию этого понятия. Попутно учащимся раскрывается содержание и других важных понятий. Например, во II классе при формировании понятия неравенства учащимся разъясняют: „Если в неравенстве X + 5 < 9 подставить вместо х число 2, то получается верное неравенство 2 + 5 < 9. Число 2 называют решением неравенства х + 5 < 9. Если в то же неравенство вместо х подставить число 6, то получается неверное неравенство 6 + 5 < 9. Поэтому число 6 не является решением данного неравенства“.

Служит ли число 7 решением неравенства х +1 > 4? Какие из чисел множества {2, 6, 7, 10, 0, 5} являются решениями неравенства с — 1 > 5? Найдите какое-нибудь решение неравенства у + 7 > 15. Составьте неравенство, решением которого было бы число 25. Найдите множество решений неравенства х — 5 < 8.

Подобная система вопросов-задач, формируя понятие переменной, позволяет раскрыть учащимся содержание понятия неравенства. Такие упражнения выполняются всеми учащимися с большим интересом. Они вполне доступны второклассникам, так как требуют от них только элементарной сообразительности.

Вот пример рассуждения второклассника при решении неравенства 325— c > 320: „Если вместо с подставить число 1, то разность 325 и 1 будет больше 320; значит, 1—решение этого неравенства. Если вместо с подставить 2, то тоже получается верное неравенство; значит, число 2 —тоже решение. Числа 3 и 4 годятся, еще годится 0. А вот 5 уже не будет решением неравенства, так как 325—5 равно 320, а не больше 320. Значит, множество решений этого неравенства состоит из чисел: 0, 1, 2, 3, 4“.

Разобравшись в содержании понятия неравенства с одной переменной, учащиеся будут лучше подготовлены к изучению последующего материала; им

в дальнейшем не будут страшны квадратичные, логарифмические или тригонометрические неравенства, так как для решения таких неравенств им потребуется (кроме приобретенных знаний) лишь знание соответствующих алгоритмов.

При решении уравнений учащиеся не заучивают многочисленных правил нахождения неизвестного компонента каждого из арифметических действий. Учитель показывает им, как можно пользоваться моделью. Например, учащемуся надо решить уравнение 86 — X = 27. Он на „маленьких“ числах составляет модель равенства 5—2 = 3. Число 2 заменяет буквой X, получает уравнение 5 — х = 3. Здесь уже легко сообразить, что х = 5—3. Записывают это учащиеся так:

Разумеется, что учителю не возбраняется поставить вопрос: как найти вычитаемое, если известно уменьшаемое и разность? Но учитель не должен требовать от учащихся заучивания стандартных формулировок.

В III классе учащиеся совершенно сознательно решают задачи: „Начертите прямоугольник. Обозначьте его стороны через х и у. Составьте выражения для вычисления площади и периметра прямоугольника“. „Как из натурального ряда получена числовая последовательность: 5, 12, 19, 26, 33...?“ В последней задаче многие учащиеся находят формулу общего члена. Решаются задачи на составление уравнений с одной и двумя переменными.

Учащиеся знакомятся с понятиями графика соответствия, графика уравнения. При этом рассматриваются примеры графиков, состоящих из конечного множества точек. Учащиеся легко строят график по данному уравнению, находят уравнение по данному графику. Доступность в выполнении подобных упражнений объясняется тем, что учащиеся могут перебрать все точки графика, перечислить все решения

уравнения с двумя переменными (ведь с ними рассматриваются конечные множества). Тем самым проводится хорошая подготовка для дальнейшего изучения систематического курса.

Некоторые математики и методисты выражают опасение, что решение подобных „искусственных“ задач с конечными и дискретными множествами может затруднить понимание „настоящих“ задач с непрерывными множествами. В ответ приведем пример из практики.

После ряда упражнений на построение графиков, состоящих из конечного множества точек, учащимся была предложена задача: „На огонь был поставлен чайник с водой. Через каждую минуту записывались показания термометра — температура воды в чайнике.

Получилась таблица:

Время в мин

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Температура в град

15

30

44

57

69

80

88

94

98

100

100

100

Построить график зависимости температуры воды от времени ее нагревания".

Ученик, вызванный к доске, построил все 12 точек, координаты которых указаны в таблице, а затем неожиданно для учителя соединил их плавной кривой. На вопрос учителя: „Почему эти точки ты соединил линией?“ — ученик ответил: „Ну, а как же! Ведь после, допустим, минуты нагревания, но когда еще не прошло целой минуты, вода имела температуру? А то получается, что в промежутке между целыми минутами вода не имела никакой температуры“.

В III классе проводилась пропедевтика тождественных преобразований выражений: запись законов арифметических действий в общем виде, замена суммы одинаковых слагаемых произведением слагаемого на число слагаемых и некоторые другие простейшие преобразования. На простейших примерах выяснялось

содержание тождественного равенства двух выражений.

3. Большое внимание в курсе уделялось развитию геометрических представлений.

Уже с I класса учащимся даются изображения и названия геометрических фигур: круга, многоугольника, точки, линии, отрезка, ломаной линии, окружности, угла, прямоугольника, квадрата, треугольника. Узнавание фигур, их изображение с помощью циркуля, линейки, угольника составляют один из основных видов упражнений первоклассников. Кроме того, учащиеся занимаются измерением длины отрезка, ломаной линии, отыскиванием периметра (длины границы) многоугольника.

Во II классе учащиеся вычисляют площадь прямоугольника, более детально знакомятся с понятиями окружности и круга (как множества точек), понятиями хорды и диаметра окружности. Им показываются модели шара и многогранника. Даются названия элементов многогранника (вершина, ребро, грань). На различных моделях учащиеся показывают вершины, ребра и грани многогранников, считают число вершин, ребер и граней рассматриваемых фигур.

Большая систематическая работа ведется по изучению отношения принадлежности, отношения взаимного расположения фигур в пространстве.

В III классе вводятся понятия луча, прямой, плоскости, угла (как части плоскости). Решаются задачи на построение отрезка с помощью циркуля и линейки, на объединение и пересечение геометрических фигур. Рассматриваются классификации углов, треугольников. Изучаются отношения параллельности и перпендикулярности в множестве прямых плоскости. Здесь уже взгляд на фигуру как множество точек получает известную законченность.

Приведем примеры задач из курса III класса.

1) Точка М—середина отрезка АВ, длина которого 5 см. Выполните чертеж. Отметьте множество точек отрезка, удаленных от M не более чем на 2 см. Принадлежит ли этому множеству точка М, точка В?

2) Длина отрезка CD равна 4 см; точка О — середина отрезка. Отметьте множество точек отрезка CD,

удаленных от его середины не менее чем на 15 мм. Принадлежит ли этому множеству точка С? точка О?

3) Начертите треугольник ABC, в котором AB = АС = 5 см. Отметьте множество точек треугольника, удаленных от вершины А: а) на 3 см (простым карандашом); б) менее чем на 3 см (красным карандашом); в) более чем на 3 см (зеленым карандашом).

4) Начертите квадрат ABCD со стороной 5 см. Закрасьте желтым карандашом фигуру, все точки которой принадлежат квадрату и удалены от точки А не более чем на 5 см. Закрасьте синим карандашом часть квадрата, точки которой удалены от точки С не далее, чем точка В. Принадлежит ли каждая точка отрезков BD и АС пересечению желтой и синей частей квадрата?

5) Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были: а) точка, б) отрезок, в) треугольник, г) четырехугольник.

6) Начертите два луча так, чтобы их пересечением были: а) точка, б) отрезок, в) луч, г) пустое множество.

Геометрические сведения вызывают большой интерес учащихся, способствуют формированию пространственных представлений, вырабатывают навыки в использовании чертежных инструментов.

Проделанная работа существенно облегчит изучение систематического курса геометрии.

При проведении эксперимента не ставилась задача определения уровня общего и математического развития учащихся. Тем не менее отдельные факты, основанные на наблюдении за учащимися, позволяют сделать некоторые выводы.

Было замечено, что значительно улучшилась речь учащихся. Она стала свободнее, образнее и более аргументированной. Появилось умение решать нешаблонные задачи (в том числе логические). Возросло критическое отношение к сообщаемым фактам. Появилась способность к абстрактному мышлению. По заявлению учителей, работающих в экспериментальных классах, с учащимися стало легче изучать русский язык и другие предметы.

Теоретико-множественный подход к изучению математики способствовал развитию логического мыш-

ления школьников. Изучение отношений, в процессе которого использовались графы, знакомство с понятием классификации способствуют развитию навыков дедуктивного мышления. О возможности проведения учащимися логических рассуждений можно судить по задаче, которую большинство учащихся III класса решают довольно свободно: „В нашем лесу каждый занимается своим делом и этому делу обучает других: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг от друга. Кот учился у Выдры, Еж — у Зайца, Лиса — у Волка, а Мышь — у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц—Белку, а Барсук — Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж —учителем Дятла. Лучше всех плел корзины Еж. Чем занимаются Заяц, Дятел, Волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу и кто — плести корзины?“

ФЕДОРОВА Д. И. (г. Новосибирск)

ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В I—II КЛАССАХ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ПОДХОДА

Начиная с 1965/66 учебного года группа учителей г. Новосибирска и Новосибирской области проводит эксперимент по программе, составленной проф. А. И. Маркушевичем. Обучение ведется по экспериментальным материалам1 под руководством и при участии научных сотрудников сектора обучения математике Научно-исследовательского института содержания и методов обучения Академии педагогических наук СССР К. И. Нешкова, Ю. Н. Макарычева и А. М. Пышкало.

В данной статье описывается первый опыт работы по этой программе в I классе и в первом полугодии II класса.

В основу экспериментальной программы положено использование теоретико-множественных понятий.

Уже на первых уроках рассматриваются разнообразные примеры, связанные с опытом детей, поясняющие понятия „множество“, „элемент множества“. Дети узнают, что слова „семья“, „команда“, „букет“, „рой“, „коллекция“ и т. п. можно заменить словом „множество“. Например, вместо выражения „букет цветов“ можно сказать „множество цветов“.

1 К. И. Нешков, А. М. Пышкало. Математика в начальных классах, ч. I. Под ред. проф. А. И. Маркушевича, „Просвещение“, 1968; Ю. Н. Макарычев, К. И. Нешков. Математика в начальных классах, ч. II. Под ред. проф. А. И. Маркушевича, „Педагогика“, 1970.

Каждый предмет, входящий в множество, называют элементом множества. Множество столярных инструментов состоит из таких элементов (учитель показывает): молотка, топора, пилы и стамески. Учащиеся рассматривают различные множества. Называют их элементы. Здесь широко используются сказки, знакомые детям. Приведем примеры.

1) За столом у Мухи-Цокотухи собрались насекомые (показывается рисунок из сказки). Назовите один элемент множества насекомых. Назовите каждый элемент этого множества.

2) На прием к доктору Айболиту пришли больные (показывается рисунок). Назовите и покажите один элемент множества больных. Назовите и покажите каждый элемент этого множества.

3) Изобразите элементы множества, которое состоит из следующих элементов: домика, елки, березки. Можно ли окно домика считать элементом этого множества?

Рис. 1.

Затем дети учатся, используя различные признаки предметов, выделять часть множества. Такими признаками могут быть: назначение предметов (например, назвать элементы, являющиеся предметами одежды); цвет предметов (назвать все зеленые предметы); расположение предметов. Рассмотрим подробно один пример. Я вывешиваю таблицу (рис. 1)1, задаю детям вопросы: „Назовите каждый элемент множества, расположенный в верхней строке, в нижней строке, в средней строке. В левом столбце расположены следующие элементы: фуражка, туфли и флажок. Какие элементы расположены в правом столбце, в среднем столбце? Покажите часть множества, состоящую из животных. Назовите каждый элемент множества, состоящего из предметов зеленого цвета, и т. п.".

Прежде чем перейти к изучению численности множества, мы знакомим детей с операциями объединения множеств, пересечения множеств и дополнения одного множества до другого, со свойствами этих операций. Все это выполняется на ярких и доступных младшим школьникам примерах. Я показываю картинки и рассказываю: „Заяц и еж наловили рыбы, развели костер и стали варить уху. Заяц и еж — рыболовы. В это время медведь и лиса возвращались с охоты. Медведь и лиса — охотники. Они увидели костер и пошли к нему. Еж пригласил гостей сесть к огоньку поближе. Когда все звери уселись вокруг костра, медведь начал рассказывать про охоту. Он очень любил рассказывать, а еж и заяц любили слушать.

Вот так объединились множества рыболовов и охотников. Получилось одно множество. Его называют объединением.

Объединение множества рыболовов и множества охотников состоит из медведя, лисицы, ежа и зайца".

Учащиеся выполняют разнообразные упражнения. Так, например, по таблице (см. рис. 1) предлагаю учащимся показать множество предметов верхней строки (первое множество). Показать множество пред-

1 Таблица цветная: зеленые — фуражка, елка; красные — флаг, шар; черная — собака; желтые — подсолнух, туфли; коричневые — домик, конь.

метов левого столбца (второе множество). Объединить эти множества. (Назвать каждый элемент объединения.)

Эта работа связывается с разнообразной деятельностью детей. Например, по клеткам тетради дети вычерчивают (по линейке) таблицу (рис. 2). Я предлагаю им обвести красным карандашом каждую клетку нижней строки, затем каждую клетку среднего столбца и нарисовать круг в каждой из обведенных клеток. Или говорю детям: „Заштрихуйте клетки правого столбца, клетки верхней строки. Обведите карандашом другого цвета все заштрихованные клетки“.

При объяснении операции пересечения множеств я также стараюсь привлечь как можно больше знакомых учащимся предметов, использовать имеющийся у них запас слов.

Показываю детям рисунок (рис. 3) и рассказываю: „Ребята построили город с двумя улицами. Одна —

Рис. 2.

Рис. 3.

улица Мира, а другая — Победы. Красные дома (я их выделила цветом) расположены как на одной, так и на другой улице (остальные дома других цветов). Множество красных домов называют пересечением множеств домов этих улиц".

Устанавливаем, что угловые дома являются общими элементами для обоих множеств. Затем рассматриваем несколько упражнений, в ходе решения которых дети рисуют: они, например, обводят карандашом множество клеток среднего столбца (см. рис. 2), затем множество клеток средней строки. Выясняется, имеются ли в этих множествах общие элементы (общие клетки). Детям предлагается общие клетки закрасить (или нарисовать в них какие-нибудь предметы).

Усвоение операции над множествами требует рассмотрения разнообразных примеров, связанных не только с наблюдениями или вычерчиванием (рисованием). Здесь важны и более абстрактные упражнения, например, такие:

1) Я провел у тети в гостях понедельник, вторник и среду, а моя сестра — вторник, среду и четверг той же недели. Когда мы были в гостях вместе с сестрой? В какие дни тетя принимала меня или сестру?

2) Летом Наташа побывала в Москве, Киеве и Ростове, а ее брат Коля — в Киеве, Москве и Ленинграде. В каких городах побывали ребята? В каких городах были и Коля и Наташа?

Операция дополнения одного множества до другого также легко усваивается первоклассниками.

Вначале рассматриваю пример, на котором вводится термин „дополнить“: „В магазине составлены наборы, в которые входят: яблоко, груша, конфета, пачка печенья и пастила (все это я показываю). В коробку положили яблоко и грушу. Чтобы получился такой набор, это множество надо дополнить конфетой, пачкой печенья, пастилой“. Дети говорят, что в дополнение входят элементы: конфета, пачка печенья, пастила. Затем рассматриваются разнообразные упражнения, где учащиеся находят дополнение, например:

„Дед с бабкой тянули репку. Какими элементами (по сказке) надо дополнить это множество, чтобы вытянуть репку?“

Только после такой подготовки мы перешли к изучению чисел. Вначале установили с помощью взаимно однозначного соответствия, что значит „больше“, „меньше“, „столько же“. Для этого можно использовать закрашивание или соединение элементов множеств линиями (стрелками). Например, раскрашиваячашки и блюдца (если чашка синяя, то и соответствующее блюдце также синее), устанавливаем, что чашек больше, чем блюдец, а блюдец меньше, чем чашек (рис. 4). „Соединяя“ удилища с крючком (вычерчивая леску), устанавливаем, что крючков столько же, сколько и удилищ, а поплавков больше, чем крючков (удилищ) (рис. 5). Все это делается без пересчитывания элементов множеств.

После этого переходим к нахождению числа эле-

Рис. 4.

Рис. 5.

ментов множества, числа элементов объединения, пересечения и дополнения.

Дети установили, что объединение двух множеств, из которых одно содержит 3, а другое — 4 элемента, может иметь 7, 6, 5 или 4 элемента. При этом рассматривалось переместительное свойство объединения вначале двух, а затем и трех слагаемых.

Так, ребятам была предложена картина, на которой изображены три множества: вороны, сидящие на дереве; кролики, сидящие под деревом; домашние утки, плавающие в озере. Вначале нашли число элементов каждого множества. Затем стали отыскивать в различном порядке число элементов объединения этих множеств. Один ученик заявил: „А что их пересчитывать различными способами? Они все здесь: хоть 5 прибавь к 3, а затем к 4, получится 12; хоть сделай по-другому: 4+3+5=12 или 5 + 4 + 3=12“. Ученики обнаружили переместительное и сочетательное свойства суммы.

Сложение и вычитание чисел изучались сразу в пределах 20. Ознакомление детей с двузначными числами выполнялось на основе их хороших представлений об измерении отрезков вначале в сантиметрах, затем в дециметрах и наконец в дециметрах и сантиметрах. От записи 1 дм 8 см переходили к записи 18 см и по аналогии от 1 д. 8 ед. (одного десятка восьми единиц) к 18 ед. При иллюстрации и проверке результатов сложения и вычитания наряду с набором палочек и другим счетным материалом мы широко использовали масштабную линейку. Учащиеся назвали ее счетной машиной и с большой охотой пользовались ею при вычислениях, основой кото-

Рис. 6.

рых является абсолютное знание (наизусть) таблицы сложения однозначных чисел. Таблица разучивалась с применением переместительного свойства сложения. При этом широко применялась таблица с двумя входами (рис. 6). Одновременно учащиеся выполняют с ее помощью и операцию вычитания.

При изучении таблицы (решении задач и примеров на сложение и вычитание) в пределах 20 дети усвоили термины „слагаемые“, „сумма“, „уменьшаемое“, „вычитаемое“, „разность“, научились находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое. Во втором полугодии выполнение сложения и вычитания в пределах 100 производилось и в столбик.

Очень много внимания уделяется формированию понятий „выражение“, „значение выражения“.

С составлением простейших выражений дети знакомятся рано. Вначале даются упражнения такого вида: „Составить выражение из чисел 23 и 11 и знака „-“ (или „ + “)".

Дети получают: 23—11.

Они очень быстро усваивают, что если выполнить действие, то получится число (12), которое называют значением выражения.

В связи с составлением более сложных выражений вводятся скобки. Их роль выясняется в ходе решения большого числа упражнений. Значительное место в обучении занимает решение задач путем составления выражений по условию.

В заключение курса I класса дети знакомятся с умножением и делением в пределах 100. Наряду с традиционным подходем к введению операции умножения (произведение — сумма одинаковых слагаемых) общий смысл умножения выясняется на основе изучения декартова (прямого) произведения множеств (в I—II классах это делается без употребления теоретико-множественной терминологии и символики).

Рассматривается, например, множество чисел {1,2,3} и множество букв {а, б, в, г}. Составляются всевозможные пары из одного числа и одной буквы. Такие пары, как 1а, 16, 1в, применяют, например, для обозначения классов в школе. Сколько элементов в множестве таких пар? Чтобы не пропустить при состав-

лении и подсчете ни одной пары, можно ввести следующую запись:

а

б

в

г

1 2 3

1а 2а 3а

16 26 36

1в 2в 3в

1г 2г 3г

Теперь легко подсчитать число пар. В каждой строке —по 4 пары, таких строк —3. Можно подсчитать иначе. В каждом столбце —по 3 пары, а таких столбцов —4; 3 + 3 + 3 + 3=12. Учащиеся получают очень важное представление, что при решении задач, в которых требуется узнать число пар, можно составлять таблицы. С помощью таблиц решаются задачи:

1) Пусть {3, 4} и {1, 2, 5, 6, 9} —два множества цифр. Составить всевозможные двузначные числа, первая цифра которых берется из первого множества, а вторая —из второго. Сколько получилось двузначных чисел? Подсчитайте двумя способами.

2) Пусть {а, о, у} и {м, п, р} — два множества букв. Составить множество слогов из двух букв. Первая буква берется из второго множества, а вторая — из первого. Сколько получилось слогов? Подсчитайте двумя способами.

Затем изучается операция умножения как результат сложения одинаковых слагаемых. Дети знакомятся с терминами „произведение“, „множители“. Вначале произведение отыскивается с помощью сложения. При этом применяется переместительное свойство. („Как легче найти произведение 3-9?“) Сразу же рассматриваются задачи, в которых по условию составляется произведение. Затем последовательно изучается таблица умножения.

В ходе усвоения таблицы умножения рассматриваются задачи на нахождение неизвестного множителя (по известным произведению и другому множителю).

Знакомство с множествами облегчило и изучение в I классе темы „Измерение площади прямоугольника и квадрата“.

До сих пор эта тема полностью изучалась в IV классе и представляла значительную трудность. Учащиеся I класса разобрались в ней, не испытывая затруднений. Этому способствовало хорошее знакомство детей с множествами, наличие навыков работы с таблицами: умение перечислить элементы, расположенные в верхней строке, средней строке, нижней; элементы, расположенные в левом столбце, среднем, правом; умение подсчитать их число.

Объединяя множества, находя число элементов объединения, ученик уже проделывает по существу операцию измерения (вычисления) площади.

Когда в III четверти мы начали изучать умножение, то вычисление площади оказалось для учащихся делом совсем нетрудным, оно использовалось как иллюстрация для изучения таблицы умножения,

Однажды я задала вопрос ученикам: „Можно ли, не пересчитывая все клетки на доске (одна половина классной доски разлинована в клетку), узнать, сколько их всех?“ — „Да,—ответили ученики,—для этого надо сосчитать клеточки верхней строчки и клеточки одного столбца и полученные числа перемножить“.

Когда было введено понятие „квадратный сантиметр“, ребята спросили: „Квадратный метр тоже бывает? И дециметр? И километр?“ Послышалось ироническое: „Чудаки, неужели и квартиру измеряют квадратными сантиметрами?“ А потом, когда с помощью модели квадратного сантиметра измеряли площадь начерченного в тетради прямоугольника, заметили: „Вот работы было бы, такой малюткой пол измерить!“ Спустя несколько дней была решена задача: „Во дворе лежат пластинки линолеума размером в 1 кв. м. Можете ли вы принести их ровно столько, сколько надо, чтобы закрыть всю поверхность пола?“

Ребята дружно подняли руки и дали ответ: „Да, можем. Надо только измерить метром две стенки в классе: ту, что у доски, и ту, где находится дверь (длину и ширину они не знали), а затем перемножить их. Какое число получится, столько и надо пластинок“.

Изучив таблицу умножения, учащиеся познакомились с площадью прямоугольника и вычисляли ее, разбивая каждый прямоугольник на квадратные сан-

тиметры. При этом преследовались цели: научить измерять, делать разбивку фигур на единичные квадраты и выполнять вычисления. И эти цели были достигнуты: в конце года ученики I класса могли определять площадь различных фигур.

Вычисление площадей связывалось с изучением таблицы умножения. В I классе по программе не требовалась формулировка правила вычисления площади прямоугольника. Упражнений по подсчету квадратных сантиметров было проведено очень много, поэтому учащиеся хорошо усвоили этот раздел. Это не были одинаковые упражнения: черчение чередовалось с подсчетом, штрихованием, вклеиванием и т. п.

Характерно, что никто из 42 учеников не облегчал себе работу: каждый выполнял свой чертеж, каждому хотелось сделать работу на более сложном чертеже. Надо сказать, что геометрический материал для ребят совсем новый. С ним они впервые встретились в школе, может быть, поэтому к нему проявляется повышенный интерес: желание сделать все самому, проверить, например, что в многоугольнике столько же сторон, сколько и вершин, и обратно.

Учебный год учащиеся закончили хорошо: только 7 человек имели оценку „3“ по математике и другим предметам.

В течение лета ребята почти ничего не забыли из пройденного в I классе.

Вычисление площадей во II классе пошло по линии уточнения представлений. Сначала ребята познакомились со свойствами сторон прямоугольника. Это было сделано в ходе решения практических задач: проверили равенство прямых углов, изготовив для этого их модели, измерили и сравнили противолежащие стороны класса, крышки стола. На одном из уроков труда учащимся было предложено начертить многоугольник, вырезать его. Найти периметр. С работой справились все.

Убедившись, что учащиеся твердо усвоили понятие периметра, я перешла с ними к вычислению площади фигуры.

Формулировка правила вычисления площади прямоугольника была введена на основе рассмотрения большого числа разнообразных упражнений:

1) Сколько клеток в раме окна? в фрамуге над дверью?

2) Сколько черных и белых клеток на шахматной доске? (Многие увлекаются шахматами.)

3) Сколько плиток надо для ремонта пола (рис. 7)?

4) Подсчитать число квадратов, на которые разбиты фигуры (рис. 8—11).

5) Начертить прямоугольник по заданным размерам.

6) Вычислить площадь фигуры, разбив ее на квадраты.

7) Составить таблицу вида:

Длина прямоуг.

Ширина прямоуг.

Плошадь прямоуг.

7 см

7 см

7 см

7 см

7 см

7 см

7 см

7 см

7 см

1 см

2 см

3 см

4 см

6 см

8 см

10 см

11 см

12 см

7 кв. см

14 кв. см

21 кв. см

28 кв. см

42 кв. см

56 кв. см

70 кв. см

77 кв. см

84 кв. см

Рис. 7.

Рис. 8.

8) Вывести правило. („Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины“).

9) Вычислить площадь прямоугольника по данным длине и ширине (без чертежа).

10) Начертить и вырезать фигуры с прямыми углами. Вычислить их площади (рис. 12). (Эту практическую работу выполнили все учащиеся на „4“ и „5“. Вспоминаю, что раньше многие учащиеся IV классов слабо справлялись с такой работой.)

11) Найти одну из сторон прямоугольника по данной площади и другой стороне.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 12,

12) Найти площадь квадрата по его периметру.

13) Начертить прямоугольник заданной площади.

В первом полугодии все учащиеся II класса имели хорошие навыки вычисления площади прямоугольника. Работа с геометрическим материалом велась на каждом уроке, являлась непременным элементом урока, выполнялась учащимися с удовольствием.

В программе II класса много времени отводится изучению множеств. Учащимся постепенно сообщаются новые понятия, вводятся символы, которые нужны для дальнейшего изучения математики. Эти понятия отрабатываются до полного усвоения всеми учащимися. Изучая тему „Обозначение множеств буквами“, учащиеся познакомились с буквами латинского алфавита.

Затем буквы стали применять и при обозначении точек, отрезков, многоугольников. С помощью буквы обозначаем неизвестное число в уравнении. Затруднений в работе это не вызвало, постепенно буквы вошли в обиход. Не заучивая правила, ученики научились находить любой компонент суммы, разности, произведения и частного. Начиная с I класса учились составлять выражения из чисел, букв, по условию задачи составлять уравнения.

Приведем примеры:

Задача 1. В зоопарке были крокодилы, медведи и обезьяны. Крокодилов было 17, медведей —в 3 раза больше, чем крокодилов, и в 2 раза меньше, чем обезьян. Что можно узнать, используя эти сведения? (Сколько было медведей? 17-3. Сколько было обезьян? 17-3-2. Сколько было всего зверей? Крокодилов 17, медведей — 17*3, обезьян — 17-3-2. Получили выражение 17 + (17-3) + (17-3-2). Затем нашли значение выражения.)

Задача 2. После того как из кассы выдали 2509 руб., в ней оставалось 802 руб. Сколько рублей было в кассе?

Решение, х — 2509 = 802. Проверка.

Решение задач с помощью уравнений и составления выражений нравится детям. Они предпочитают эти способы решению с составлением плана, хотя мы

практикуем и этот вид решения задач. Часто на уроке одна и та же задача решается по-разному.

„Швейная фабрика сшила 183 мужских пальто, женских — в 3 раза больше, чем мужских, а детских — на 251 пальто меньше, чем женских. Сколько всего пальто сшила швейная фабрика?“

1. Краткая запись условия:

M.-183.

Ж.-183-3.

Д.- 183-3-251.

2. Схема — анализ.

3. Решение с вопросами.

1) Сколько сшили женских пальто?

2) Сколько сшили детских пальто?

3) Сколько всего пальто сшили на швейной фабрике?

Ответ. На швейной фабрике сшили 1030 пальто

4. Составление выражения:

183 + (183-3) + (183-3—251) = 1030.

Ответ. На швейной фабрике сшили 1030 пальто.

Устный опрос и проведенные контрольные работы показали, что пройденный материал ребята усвоили прочно.

Однажды после уроков мы читали книгу Н. Носова „Витя Малеев в школе и дома“. Встретились там задачи:

1) В магазине было 8 пил, а топоров — в 3 раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и 3 пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила? (Задача по программе 40-х годов решалась в IV классе, сейчас решается в V классе.)

2) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и сколько у девочки? (III кл.)

Ребята-второклассники рассмеялись: „Витя, ученик IV класса, не может решить такие простые задачи“. Я приняла это за бахвальство и, прекратив чтение, предложила решить первую задачу. Ее решили правильно 7 человек. Легко была решена и вторая задача.

Учителя, часто посещающие уроки в наших экспериментальных классах, в своих отзывах отмечают не только хорошие вычислительные навыки детей, наличие у них большого запаса геометрических представлений, но и их хорошее общее развитие (дети более успешно занимаются и другими предметами школьного курса).

ХМЕЛИНСКАЯ М. М. (Москва)

ИЗ ОПЫТА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯЗЫКА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VI И VII КЛАССОВ

В традиционном обучении математике логический язык математики обычно не используется.

Однако связи между математическими понятиями и фактами, понимание которых необходимо для объединения знаний в некоторую достаточно прочную структуру, носят логический характер. В школьном курсе математики часто встречаются ситуации, когда одно предложение следует из другого или из других, но ни на одном этапе обучения не разъясняется, что значит „следует“. Учащихся не знакомят со свойствами логических операций. Это порождает существенные недостатки в знаниях учащихся, снижает воспитательный эффект курса математики, в результате изучения которого учащиеся должны научиться рассуждать, анализировать, обобщать.

Вопросы воспитания логического мышления учащихся в связи с изучением математики в последнее время привлекают внимание ученых, методистов и многих учителей. Хотя эти вопросы уже давно обсуждаются в методической литературе, на различных конференциях и съездах по математическому образованию, все же и до настоящего времени они не получили удовлетворительного ответа. Мнение о том, что навыки логического мышления вырабатываются сами собой в процессе изучения математики и других предметов, опровергаются жизнью. Грубые логические ошибки

допускают школьники и даже студенты, хорошо успевающие по математике. Мы не утверждаем, что нужно ввести логику в школу в качестве отдельного предмета, но некоторые из тех логических операций и средств вывода, которые используются в школьном курсе математики, должны изучаться на уроках математики. Все большее признание получает точка зрения, согласно которой в процессе обучения математике нужно специально учить рассуждать.

В данной статье описывается эксперимент по введению и использованию элементов логико-математического языка в курсе алгебры VI и VII классов. В основу эксперимента были положены следующие принципы:

1. Изучение теоретико-множественных и логических понятий является не дополнением к преподаванию алгебры, а его неотъемлемой частью.

2. Это изучение не концентрируется в одном месте курса, а проводится постепенно без выделения специальной темы.

3. Новые теоретико-множественные и логические понятия даются учащимся на конкретном математическом, а также на нематематическом, взятом из жизни, материале.

4. Усвоенный учащимися теоретико-множественный и логический аппарат в дальнейшем широко используется в обучении.

В начале курса алгебры VI класса учащиеся ознакомились с понятиями „множество“, „принадлежность элемента множеству“, „подмножество“.

При изучении темы „Алгебраические выражения“ в VI классе были рассмотрены следующие понятия логико-математического языка: переменная, выражения с переменной, высказывания, предложения с переменной (формулы).

Переменная есть символ, вместо которого разрешается подставлять имена предметов из определенной области. С переменной неразрывно связывается область ее возможных значений. В записи переменная играет роль держателя того места, на которое может быть поставлено имя некоторого элемента из множества значений переменной. В математике в качестве

таких символов употребляются буквы (обычно берутся строчные буквы латинского алфавита). Обозначая переменную буквой, полагается одновременно задавать область допустимых значений этой переменной.

Например, запись х+у имеет смысл лишь тогда, когда указано множество, элементы которого можно ставить вместо символов х и у. Это может быть множество натуральных чисел, множество действительных чисел, множество векторов, множество углов и т. д.

В начальной алгебре ограничиваются числовыми переменными, т. е. такими переменными, область значений которых — числовое множество.

Примеры.

1. Значениями переменной n являются числа 3, 5, 7, 9. Найти множество значений выражения n + 8.

2. Значениями переменной m являются 2, 4, 6, 8, 10. Найти множество значений каждого выражения: а) m—1; б) 3m.

При дальнейшем изучении выражений мы ввели на конкретных примерах описательное определение понятия выражения, показывающее, как из элементарных выражений можно составить сложные при помощи знаков операций и скобок. Это вводилось так.

Отдельная цифра (например, 5, 9) или конечная последовательность цифр (например 59, 559) является выражением. В дальнейшем каждую переменную будем также считать выражением. Такие выражения можно назвать элементарными. Из элементарных выражений при помощи знаков операций и скобок составляются новые выражения, не содержащие переменных (числовые выражения), и выражения, содержащие переменные (выражения с переменной).

Примеры.

Числовые выражения и выражения с переменной мы сравнивали с помощью таблицы:

Числовые выражения

Выражения с переменной

Важно, чтобы учащиеся уяснили себе, в чем состоит отличие числового выражения от выражения с переменной. Числовое выражение есть запись какого-то числа. Выражение с переменной — это форма для отыскания числа, указатель тех действий, которые надо выполнить, чтобы найти значение выражения при указанных значениях переменных.

При составлении выражений необходимо подчеркивать значение скобок как эффективного средства математического языка. Польский профессор С. Страшевич1 предлагает, например, для лучшего понимания роли скобок как знаков, позволяющих выделить определенное целое, не придерживаться строго соглашений о случаях опускания скобок, а разрешать учащимся на разных этапах обучения писать (2 + 3)*5 = (2-5)+ (3-5), не считая это за ошибку. Это замечание, на наш взгляд, заслуживает внимания.

В процессе изучения алгебры мы пытались сформировать представление о том, что в математике так же, как и в русском языке, мысль выражается в виде предложения или ряда предложений, для записи которых

1 С. Страшевич. Отношения между арифметикой и алгеброй в преподавании детям возраста до 15 лет, „Математика в школе“, 1965, № 2.

употребляются специальные знаки (символы). Записывая предложение при помощи математических символов, мы кратко выражаем математическую мысль предложения.

Учащимся предлагались предложения двух видов: числовые предложения и предложения с переменной.

Если два числовых выражения соединить символом сравнения,1 то получится числовое предложение.

Примеры.

(1) (2) (3)

Предложения (1), (3) верные, а предложение (2) неверное.

Предложение, относительно которого можно сказать, что оно верно (истинно) или неверно (ложно), будем называть высказыванием.

С учащимися рассматривались высказывания и нематематического характера. Например, выяснялось, истинно или ложно каждое из следующих высказываний:

а) Киев находится в Европе.

б) Иркутск находится в Европе.

в) Река Днепр впадает в Черное море.

Чтобы подвести учащихся к понятию предложения с переменной, мы рассмотрели такое упражнение:

«Какие из следующих предложений являются высказываниями:

а) Ученик VI „А“ класса школы №444 Ворончев получил оценку „4“.

б) Ученик VI „А“ класса школы № 444 ... получил оценку „4“.

На вопрос б) учащиеся обычно отвечали: „Вы не записали фамилию ученика“.

Таким образом, они приходили к выводу, что о предложении с „пустым местом“ нельзя сказать, истинно оно или ложно. Если в этом предложении заполнить

1 Символами сравнения являются знаки для обозначения отношений „больше“ >, „меньше“ <, „равно“ =, „меньше или равно“ „больше или равно“ >.

пустое место, подставив фамилию какого-нибудь ученика, то получим высказывание истинное или ложное. Необходимо подчеркнуть, что вместо знака «...» можно подставить фамилию учащегося только из списка VI „А“ класса.

В данном случае формируется понятие переменной, которое мыслится в неразрывной связи с областью определения переменной.

Предложения д) и е) также не являются ни истинными, ни ложными. Если на место переменной х подставить какое-нибудь число, то получим истинное или ложное высказывание.

Если два выражения, из которых хотя бы одно содержит переменную, соединить символом сравнения, то получим предложение с переменной.

Уравнения рассматривались как предложения с переменной, содержащие знак =, неравенства — как предложения с переменной, содержащие знаки <, >, <, >.

Введение обобщающего термина „предложение с переменной“ дает возможность изучать уравнения и неравенства параллельно.

Для того чтобы учащиеся понимали, что буквой в уравнении (неравенстве) обозначается переменная, полезно рассматривать с ними такого рода упражнения:

1) Пусть в неравенстве х > 8 переменная х принимает значения из множества А = {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11}. Составить множество В всех значений х, которые обращают неравенство х > 8 в истинное высказывание.

2) у — переменная, область значений которой (—2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. При каких значениях у следующие предложения обратятся в истинные высказывания: а) 2 + у = 8; б) у > 4; в) 3y = 45; г) у — квадрат целого числа?

Учащиеся убеждаются, что при одних значениях переменной получаются истинные высказывания, при других —ложные.

Значение переменной, при котором предложение с переменной становится истинным высказыванием, будем называть решением предложения с переменной.

Множество решений предложения с переменной содержит все числа, которые являются решениями предложения с переменной, и не содержит никаких других чисел.

Примеры.

1. Найти множество решений уравнения 3x = 41, где x^Q (Q — множество рациональных чисел).

Если число — подставим вместо х, то получим истинное высказывание 3 — = 41;--единственное решение данного уравнения, так как, подставляя вместо X все другие числа из множества рациональных чисел, получим ложные высказывания.

Множество решений:

2. Найти множество решений уравнения 3x = 41, где x£N (N—множество натуральных чисел).

Нет такого натурального числа, при подстановке которого уравнение становится истинным высказыванием. Поэтому множество решений данного уравнения является пустым, т. е. уравнение не имеет решения на множестве натуральных чисел.

3. Найти множество решений неравенства х < 6, где

Если подставить вместо х любое число множества А = {1, 2, 3, 4, 5}, то X < 6 становится истинным высказыванием. Следовательно, множество решений неравенства X < 6 есть A = {1, 2, 3, 4, 5}.

4. Определить множество решений уравнения 2^+1=7, если a) x£N, б) xÇ^Z (Z — множество целых чисел); в) x£Q\ г) х£{— 2, —1, 0, 1, 2}.

Решая уравнения и неравенства, мы выделяем из множества значений переменной подмножество тех ее значений, при которых предложение с переменной становится истинным высказыванием, т. е. множество решений этого предложения.

Понимание того, что буква в уравнении представляет переменную, поможет учащимся лучше уяснить вопрос о числе решений предложения с переменной, который решается различно в зависимости от области значений переменной.

При таком подходе хорошо раскрывается идея употребления букв для обозначения переменных. Появляется возможность выяснить четкий смысл таких важных и трудных понятий, как множество допустимых значений букв в предложении с переменной, множе-

ство решений такого предложения, посторонний корень, потеря корня.

При дальнейшем изучении алгебры учащиеся VI класса постепенно знакомились со сложными предложениями с союзами „и“, „или“, „если..., то...“, с равносильными предложениями.

Следует отметить, что тема „Сложные предложения“ не является новой для шестиклассников. Сложное предложение они изучали в IV классе.

При рассмотрении сложных предложений на уроках математики обращалось внимание на следующие два вопроса:

1. Как зависит истинность того или иного сложного предложения от истинности входящих в его состав простых предложений?

2. Как зависит истинность некоторых простых предложений, входящих в состав сложного предложения, от истинности сложного предложения и истинности остальных предложений, входящих в его состав?

Эти зависимости лежат в основе вывода заключений из данных посылок, их уяснение способствует пониманию логической структуры математических предложений.

Учащиеся приобретали навыки правильного построения сложных предложений с союзами „и“, „или“, „если..., то...“, со словосочетанием „тогда, и только тогда, когда“.

После детального выяснения смысла логических союзов мы ввели такие символы:

A —для обозначения союза „и“;

V — для обозначения союза „или“ (термины „конъюнкция“ и „дизъюнкция“ не вводились); → — для обозначения союза „если..., то...“;

<=> — для обозначения слова „равносильно“, а также выражений-синонимов „тогда, и только тогда, когда“, „необходимо и достаточно“.

Следует отметить, что употребление символов A, У для обозначения союзов „и“, „ила“ не обязательно; главное не в обозначениях, а в уточнении смысла союза. Однако использование символов =>, <=> мы считаем очень полезным, так как они сокращают записи математических предложений и делают наглядной их логическую структуру.

Усвоенные учащимися некоторые теоретико-множественные и логические понятия использовались при решении линейных уравнений с переменной под знаком модуля, уравнений второй и третьей степени, левая часть которых разлагается на множители, при тождественных преобразованиях.

Использование теоретико-множественных понятий позволяет подчеркнуть роль того основного множества, элементы которого являются значениями переменной, входящей в уравнение или неравенство.

При решении некоторых уравнений мы основывались на теореме: „Произведение двух чисел а и b равно нулю тогда, и только тогда, когда первый множитель а равен нулю или второй множитель b равен нулю“. Эта теорема записывалась при помощи математических символов так:

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Найти множество решений уравнения, если

Решение.

Решен и е.

Решение.

Решение.

2. Написать простые предложения, которые выражают ту же мысль, что и каждое из следующих сложных предложений, x£Q:

3. Написать сложные предложения, равносильные каждому из следующих простых предложений, если

4. Указать на числовой оси множества точек, заданных следующими предложениями: а) х<4их> — 5,5; б) х < 4 или х > — 5,5 (рис. 1).

Опыт показал, что учащимся вполне доступен смысл логических понятий, если их вводить на традиционном материале по мере необходимости и разъяснять с помощью специально подобранных упражнений. Использование этих знаний облегчает сознательное усвоение понятий абсолютной величины, множества решений уравнения (неравенства), а также приемы решения уравнений второй и третьей степени, левая часть которых разлагается на множители. Результаты проведенного эксперимента подкрепляют предположение о том, что подобную ра-

Рис. 1.

боту целесообразнее начать даже раньше (например, при изучении темы „Выражения“ в IV классе).

В VII классе при рассмотрении темы „Неравенства“ были введены операции пересечения и объединения множеств, а также символы для их обозначения. Эти операции вводились на конкретном математическом, а также на нематематическом, взятом из жизни, материале.

При введении операции пересечения множеств мы рассмотрели такие примеры.

Пример 1. Пусть А — множество всех спортсменов VII класса, В — множество всех отличников этого же класса. Составить множество всех учащихся, которые являются и спортсменами и отличниками.

Рассмотрим два случая:

а) в классе нет спортсменов-отличников (рис. 2);

б) в классе есть спортсмены-отличники (рис. 3). Множества мы изображали графически при помощи диаграмм Эйлера-Венна (см. рис. 2, 3).

В случае а) множества А и В не имеют общих элементов. В случае б) множества А и В имеют общие элементы. При этом образуется новое множество С, которое называется пересечением заданных множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех, и только тех, элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.

Мы обратили внимание учащихся на соглашение о том, что два множества образуют пересечение и в том случае, когда они не имеют общих элементов. Пересечение таких множеств не содержит ни одного элемента, т. е. является пустым множеством. Таким образом, множества А и В образуют пересе-

Рис. 2. Рис. 3.

чение Сив случае а), причем С=0 (пустое множество).

Пример 2. Составьте множество Р всех целых положительных делителей числа 18 и множество M всех целых положительных делителей числа 24. Найдите пересечение этих двух множеств. Каждое число, принадлежащее множеству Р[\М, является делителем числа 18 и числа 24, т. е. их общим делителем. Найдите наибольший общий делитель чисел 18 и 24.

Если ввести операции над множествами в V классе, то примеры, подобные последнему, можно дать при изучении теории делимости чисел.

При введении операции объединения двух множеств А и В мы рассмотрели множества А и В из примера 1. Предлагалось составить множество всех учащихся, которые являются спортсменами или отличниками.

Пример 3. Найти пересечение и объединение множеств Р и М:

Решение.

Введенные теоретико-множественные и логические понятия широко использовались при решении неравенств первой степени с одной переменной, неравенств второй и третьей степени, левая часть которых разлагается на множители, неравенств с переменной под знаком модуля, дробно-рациональных неравенств, а также систем неравенств первой степени.

Рассмотрим некоторые примеры на решение неравенств.

При решении неравенств мы основываемся на теоремах:

Примеры.

Найти множество решений неравенств и изобразить их на числовой оси:

Неравенство равносильно двум сложным предложениям с союзом „и“, которые соединены союзом „или“. Находим множество решений каждого сложного предложения с союзом „и“, т. е. пересечение множеств:

Затем находим объединение множеств (x | x>0} и {x|х < — 1} (рис. 4).

Ответ.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств, которые соединены союзом „или“:

Решая каждую систему, мы находим пересечение двух множеств (рис. 5).

Рис. 4.

Рис. 5.

Найдем объединение полученных множеств (рис. 6).

Ответ.

Рис. 6.

Находим пересечение множеств (рис. 7 и 8):

Рис. 7.

Рис. 8.

Находим объединение множеств пустого и {х\ — — 3<х<5}.

Учащиеся были ознакомлены и с решением неравенств методом интервалов.

При решении неравенств методом интервалов часто записываются только условие задачи и ответ к ней, а процесс решения никак не фиксируется. Например, решая неравенство х2 — 4x — 5 > 0 (1), учащиеся обычно записывают лишь следующее:

Решение неравенств с использованием языка логики позволяет фиксировать каждый шаг рассужде-

нии. Например, решая неравенство (1), учащиеся за писывают:

Рис. 9.

Подробный логический анализ решения неравенств способствует более глубокому усвоению этого материала, осознанности записей, улучшает математическую речь. Использование теоретико-множественных и логических обозначений позволяет зафиксировать на бумаге то, что объясняется обычно учителем лишь словесно и потому выпадает иногда из поля зрения учащихся.

Раннее введение теоретико-множественных и логических понятий, на наш взгляд, является одним из необходимых шагов на пути постепенной перестройки школьного курса математики в направлении сближения его с современной математической наукой.

ЗИВ Б. Г. (Ленинград)

СВЯЗЬ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ К МАТЕМАТИКЕ

Изучение функциональной зависимости пронизывает весь курс школьной математики. Учащиеся строят графики функций, изучают их свойства, решают задачи с использованием этих свойств.

Однако необходимо с учащимися рассмотреть, как и где элементарные функции применяются на практике, в смежных науках. В этом случае ученики быстрее убедятся в том, какое важное место в жизни современного человека занимает математика, поймут и оценят красоту и силу математических методов.

В настоящей статье приведены только некоторые примеры приложения элементарных функций в физике, предлагаемые автором на уроках в школе. В IX классе были рассмотрены приложения квадратичной и других степенных функций. Однако решение задачи о движении тела, брошенного под углом а к горизонту, в общем виде давалось в X классе, так как только к этому времени учащиеся могли выполнять необходимые тригонометрические преобразования. Примеры практических приложений тригонометрических функций были разобраны в конце курса IX класса, причем тема „Колебания и волны“ по физике изучалась одновременно с соответствующим материалом курса математики. Это обеспечивало лучшее усвоение темы и известную экономию времени.

Применение показательной и логарифмической функций в физике рассматривалось в X классе.

При рассмотрении каждой функции вместе с изучением ее свойств и построением графиков подробно освещался вопрос о ее практических приложениях. В большинстве случаев основные положения сообщались учителем, а потом полученные знания закреплялись при самостоятельном решении задач (как в классе, так и дома). В необходимых случаях ставился эксперимент, который наглядно иллюстрировал то или иное явление.

Учащиеся с большим интересом работали на уроках, где ставились вопросы связи математики с физикой, так как в новом свете видели все то, что изучали на уроках математики. Наибольший эффект достигался в тех случаях, когда учащиеся самостоятельно могли получить конкретный физический результат известными им математическими методами. Проверка знаний учащихся по этим разделам программы давала, как правило, хорошие результаты.

I. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

1. В курсе физики подробно изучается равномерно-переменное движение и выводится зависимость пути от времени:

(1)

На уроках математики целесообразно показать, что в этом случае речь идет о квадратной функции вида у = ах2 + bх, и выяснить физический смысл параметров а и b.

Интерес представляет и построение графика функции (1).

Так, координаты вершины параболы (рис. 1):

Корни функции:

После этого следует отметить, что по смыслу задачи область задания функции (1) t>0, поэтому гра-

фиком этой функции может служить не вся парабола, а только часть ее, соответствующая t > 0.

При решении этой задачи чрезвычайно удобно еще раз подчеркнуть, что в математике изучается функция y = ах + bх + с, в общем случае область ее определения есть —∞ < x < ∞, тогда как условие конкретной задачи может изменить эту область.

На опыте решения ряда задач мы убедились в большой пользе параллельного применения аналитического и графического способов решения.

Так, задача: „Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 60 м/сек, достигает высоты 100 я?и (g^ 10 я/сек2) — приводит к такой зависимости: h = 60t — 5t2 — и для заданного значения h = 100 м дает ответ: ^ = 2 сек и /2 = 10 сек.

График функции А = — 5/2 + 60/ иллюстрирует эти решения (рис. 2).

К тому же график показывает, что на высоте 180 м тело будет только один раз — через 6 сек после бросания; эта высота является наибольшей при заданной начальной скорости. По графику можно быстро определить, через сколько секунд тело будет на любой высоте, меньшей 180 м. Таким образом, график хорошо отражает физическую сторону явления.

2. Важное место занимают задачи, где требуется написать уравнение траектории движения тела. Рассмотрим две такие задачи.

Задача 1. Тело, брошенное горизонтально с начальной скоростью 25 м/сек, упало на землю через

Рис. 1. Рис. 2.

3 сек. С какой высоты (h) брошено тело? Какова дальность полета? (рис. 3).

Движение в этом случае можно рассматривать как сумму двух движений: равномерно-прямолинейного вдоль оси абсцисс и равномерно-переменного вдоль оси ординат. Пусть х и у — текущие координаты точки М:

Из первого уравнения имеем:

Тогда

Это уравнение траектории движения можно записать в виде:

Если подставить числовые данные, считая

то

Дальность полета тела s ^ 25 ⋅ 3 = 75 м.

Рис. 3. Рис. 4.

С математической точки зрения дальность полета тела есть положительный корень квадратичной функции

Тогда при x = 75 у = 0. Отсюда можно определить h:

Задача 2. Тело брошено со скоростью v под углом а к горизонту. Составить уравнение траектории движения тела и построить ее (рис. 4).

Движение под углом к горизонту можно рассматривать, как и в предыдущем примере, как сумму равномерно-прямолинейного движения вдоль оси абсцисс со скоростью vx = vzosol и равномерно-переменного движения вдоль оси ординат с ускорением —g" и начальной скоростью v2 = v sin а.

За время t тело в горизонтальном направлении пройдет путь

и в вертикальном направлении — путь

Если вместо t подставить значение — , то мы получим уравнение траектории движения тела:

Итак, траекторией движения тела, брошенного под углом а к горизонту, является парабола вида:

Для построения графика этой функции учащиеся должны использовать известные им приемы построения параболы. Координаты вершины параболы:

Найдем корни функции

Для данной конкретной задачи областью определения функции является

(рис. 5).

Рис. 5.

Рассмотрение функции и ее графика позволяет ответить на ряд практических вопросов. Прежде всего, расстояние

указывает дальность полета тела, причем при а = 45° дальность полета тела будет наибольшая (при а = 45° sin 2* = 1).

Кроме этого, можно определить наибольшую высоту полета тела по отношению к горизонту; она определяется ординатой вершины параболы:

Интересно также показать, что при углах бросания а и 90°—а дальность полета тела будет одинаковой.

Приведенные примеры показывают, как математическими методами можно решать конкретные физические задачи.

II. ФУНКЦИИ у = х-

В общем случае степенная функция может быть записана так:

где А и а—некоторые параметры.

На практике встречается очень много явлений, которые могут быть описаны степенной функцией. В качестве примера приведем некоторые из них.

1. Закон Ома:

Если U = const, то

/ = /(/?).

Мы видим, что сила тока изменяется по закону у = х~\ х>0 (рис. 6).

Рис. 6.

Если R—*0, то I→ ∞, что приведет к короткому замыканию. Если же R→оо, то I→0.

2. Закон Бойля — Мариотта:

PV= const

при постоянной температуре T.

Мы опять имеем степенную функцию вида у = ах~1 (рис. 7).

При изменении температуры Т изменяется график функции, так как величина постоянной зависит от Т.

Рис. 7.

3. Закон всемирного тяготения Ньютона

Сила взаимодействия двух тел пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Этот закон справедлив в том случае, если размеры тела весьма малы по сравнению с расстоянием между ними.

В этом случае сила взаимодействия изменяется по закону степенной функции у = ах~2, ху 0 (рис. 8).

Аналогично можно рассмотреть и закон Кулона, устанавливающий силу взаимодействия между двумя зарядами:

4. Испускание электронов накаленными телами.

Испускание электронов металлами под влиянием температуры называется термоэлектронной эмиссией. Если эти электроны ускорить внешним электрическим полем, то они образуют ток. Такой электронный ток может быть получен в вакууме.

При постоянной температуре катода сила тока зависит от разности потенциалов V. Используя данные приборов, можно построить график зависимости / от V (рис. 9).

На участке OA сила тока с изменением V изменяется по закону

Рис. 8. Рис. 9.

В этом случае мы имеем дело со степенной функцией вида

III. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

В общем случае показательная функция может быть записана так:

где а, A и параметры.

При помощи показательной функции описываются многие важные процессы в природе.

Рассмотрим некоторые из них.

1. Радиоактивный распад. Закон радиоактивного распада состоит в том, что масса распадающегося вещества уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз.

Пусть в начальный момент мы имеем A10 г радиоактивного вещества и пусть за какую-нибудь единицу времени, скажем за один час, количество этого вещества уменьшается в k раз (k > 1). Тогда через час после начала наблюдения у нас останется My—г этого вещества, через два часа — My — г, через три часа — My — г и т. д.

Вообще через / часов (/ — целое число) масса M оставшегося вещества будет равна:

Мы получили эту формулу, считая, что время t изменяется прерывно. Можно показать, что такой же результат получится и в том случае, если время изменяется непрерывно.

Таким образом, при радиоактивном распаде количество вещества изменяется со временем по закону показательной функции (рис. 10).

Постоянная а имеет определенное значение для каждого радиоактивного вещества и характеризует скорость распада этого вещества.

Однако в физике принято скорость распада характеризовать периодом полураспада Т, т. е. тем временем, за которое количество вещества уменьшается в два раза (рис. 11).

Зная уравнение распада, можно легко найти период полураспада Т:

при t = Т

Если строить график зависимости массы радиоактивного вещества от времени в экспериментальных условиях, то мы получим некоторую кривую. Как убедиться в том, что эта кривая есть график показательной функции? Для этого удобнее зависимость массы M от времени t изображать на полулогарифмической сетке:

Мы получили линейную зависимость lg M от времени t. Таким образом, экспериментальные точки, нанесенные на полулогарифмической сетке, должны лечь на прямую линию (рис. 12).

При помощи этого графика легко определить период полураспада радиоактивного вещества.

Рис. 10. Рис. 11.

Выше мы получили:

по графику определяется как тангенс угла наклона прямой к оси t.

Если время t распада нам неизвестно, но известны начальная и конечная массы M и M0 вещества, а также постоянная распада а, то величина t может быть найдена так:

Таким образом, время является логарифмической функцией отношения — . Отметим, что на этом уравнении основан метод датировки археологических находок, определения возраста минералов по количеству содержащихся в них радиоактивных веществ и т. п.

2. Поглощение света средой. Рассмотрим следующую задачу: „Световой луч, проходя через пластмассовую пластину, теряет 1/3 своей интенсивности. Чему будет равна интенсивность светового луча, если он пройдет через n таких пластин?“

Пусть /0 — интенсивность падающего света.

Тогда

интенсивности света после прохождения одной, двух, трех и т. д. пластин.

Рис. 13.

После прохождения n пластин интенсивность света будет равна:

Можно показать, что с изменением толщины пластины интенсивность света изменяется по закону:

где х — толщина пластины. Мы видим, что закон поглощения света описывается показательной функцией вида 1 = 10ах; 0< а < 1 (рис. 13).

Аналогично происходит поглощение света при прохождении его в глубины рек, морей и океанов.

Интересна следующая таблица.

Мы видим быстрое падение интенсивности света при его проникновении в глубины морей и океанов.

Если заданы интенсивность падающего света и интенсивность его после прохождения пластины, то можно найти соответствующую этим данным толщину X пластины:

т. е. толщина пластины является логарифмической функцией отношения — . Из приведенных примеров ясно, что логарифмическая функция повсюду сопутствует показательной функции.

МИХАЙЛОВСКАЯ А. Ю. (Москва)

ОПЫТ ВЕДЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В ВОСЬМЫХ КЛАССАХ

В 1967/68 учебном году в восьмых классах школы № 710 Москвы читался факультативный курс, содержащий три темы, выбранные из программы, опубликованной в журнале „Математика в школе“, № 2 за 1967 г.: „Элементы теории множеств“, „Метод координат“ и „Преобразование графиков функций“.

Почему были выбраны эти темы?

Первая тема курса — „Элементы теории множества—дает богатый материал для интересных занятий: сочетание строгих определений с разнообразием примеров, взятых как из математики, так и из окружающей жизни, увлекает ребят, будит их фантазию» учит рассуждать.

Две другие темы факультативного курса даются на теоретико-множественной основе. Идеи теории множеств позволяют связать эти темы в один курс, сделать его слитным, единым. Теория множеств является связующим звеном между факультативным курсом и многими понятиями и темами программы.

Ниже приводится краткое содержание основных теоретических положений, изученных на факультативных занятиях, и ряд характерных примеров. Ввиду краткости изложения может показаться, что отдельные вопросы очень трудны и недоступны учащимся восьмых классов. Следует учесть, что каждое положение сопровождалось разбором большого числа при-

меров возрастающей трудности, каждому выводу предшествовал ряд вопросов, приводящих к этому выводу.

Тема 1. Элементы теории множеств

На первых занятиях вводится понятие множества, даются определения элемента множества, подмножества, универсального и пустого множества, рассматриваются операции пересечения, объединения множеств, дополнения множества до универсального.

Убедившись в том, что учащиеся усвоили этот материал, переходим к рассмотрению множеств из курса математики: множество треугольников (вспоминаем их классификацию!), множество четырехугольников (классификация, определения!), различные числовые множества.

Примерные вопросы:

1. В какие подмножества множества треугольников входит треугольник с углами в 30° и 60°? (Подмножества прямоугольных треугольников и разносторонних треугольников.)

2. Найти пересечение множества прямоугольных треугольников: а) с множеством равносторонних треугольников (пустое множество); б) с множеством равнобедренных треугольников (множество прямоугольных треугольников с углом в 45°).

3. Даны следующие множества четырехугольников: А — множество параллелограммов; В — множество ромбов; С—множество прямоугольников; О — множество квадратов.

Найти пересечение множества прямоугольников и множества ромбов (В (] С = D — множество квадратов); найти пересечение множества параллелограммов и множества ромбов (A1]В = В — множество ромбов); найти объединение множества прямоугольников и множества параллелограммов (A (J С = А — множество параллелограммов); найти объединение множества ромбов и множества прямоугольников (B[jС— множество ромбов и прямоугольников с неравными сторонами, или множество прямоугольников и ромбов, имеющих острый угол) и т. д.

Приняв множество А параллелограммов за универсальное, найти_дополнение множеств В, С, В[}С до множеству A (В — параллелограммы с неравными сторонами; С — параллелограммы с острыми углами; В (J С — параллелограммы с неравными сторонами, имеющие острый угол).

Упражнение хорошо иллюстрируется с помощью кругов Эйлера (рис. 1).

4. Множество четырехугольников, расположенных на плоскости, разбиты на подмножества по следующим признакам: Л— множество четырехугольников, диагонали которых взаимно перпендикулярны; В — множество четырехугольников, диагонали которых равны; С—множество четырехугольников, диагонали которых в точке пересечения делятся пополам.

Найти множества A1]С; В[\С\ A1]BÇ\C(множество ромбов; множество прямоугольников; множество квадратов).

Будет ли множество квадратов пересечением множеств А и В? (Нет! Смотри рисунок 2: АС = BD; АС A-BD, но четырехугольник ABCD не является квадратом.)

Подобные вопросы вносят четкость в определения, признаки, свойства различных геометрических фигур.

Затем переходим к рассмотрению различных числовых множеств. Особое внимание обращается на операции с подмножествами множества целых чисел, дающих равные остатки при делении на данное число.

Рис. 1 Рис. 2.

Нахождение пересечений, объединений данных множеств и дополнений до универсального в дальнейшем поможет при записи формул решений тригонометрических уравнений — при сопоставлении найденных значений с исключенными, при выделении повторяющихся в данных сериях углов.

Поясним это на нескольких примерах.

1) Найти объединение следующих множеств:

1) Записать в виде одного выражения:

2) Найти дополнение множества А до универсального множества У:

2) Записать множество углов, удовлетворяющих условиям:

3) Разбить объединение множеств А и В, где A = (3k\ и B = {2k + 1), на два таких множества, пересечение которых пусто.

3) В результате решения тригонометрического уравнения

получили:

Исключить повторяющиеся углы.

Числа вида 3k можно разбить на два множества:

Необходимо особо остановиться на идее соответствия между элементами различных множеств (например, взаимно однозначного соответствия между действительными числами и точками числовой прямой; парами действительных чисел, записанных в определенном порядке, и точками координатной плоскости; точками окружности и множеством касательных к этой окружности и т. д.). Идея соответствия между элементами множеств будет использована впоследствии при определении понятия функции.

В заключение дается понятие мощности множеств. Показывается, что множество рациональных чисел счетно, а действительных чисел — несчетно.

Тема 2. Метод координат

Изучение темы начинается с рассмотрения координаты точки в одномерном пространстве — на числовой прямой. Находим множества точек, координаты которых связаны данным соотношением, пересечения и объединения этих множеств, т. е. решаем уравнения, неравенства и системы неравенств с одним неизвестным. Все решения иллюстрируются на числовой прямой.

Большое внимание уделяется понятию расстояния между точками числовой прямой (в дальнейшем это поможет учащимся усвоить одно из труднейших понятий — понятие предела числовой последовательности).

Пусть даны точки А(хх) и В(х2)] расстояние между точками есть модуль разности их координат:

Это понятие позволяет дать наглядное решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Разберем более подробно решение ряда уравнений и неравенств. (Мы считаем целесообразным решать уравнения и неравенства параллельно.)

1. Решить уравнение |x| = # и неравенства |x|<а, |х|>д; полученные решения изобразить на числовой оси.

Модуль действительного числа х есть расстояние точки числовой оси с координатой X от начала координат; |x| есть число неотрицательное. Поэтому при а<0 уравнение решений не имеет; при а = 0 х = 0; при а > 0 получим две точки, симметричные относительно начала координат: х1 = а и х2 = — а (рис. 3, а). Неравенство |x|<я при а<0 решений не имеет; при д>0 множество решений — интервал (—а; а) (рис. 3, б). Второе неравенство при а < 0 справедливо для любого действительного числа х, при а = 0 — для любого хф§, при а > 0 множество решений есть объединение двух интервалов: (—∞; — а)[)(а; + оо). Заметьте, что пересечение этих множеств пусто! (рис. 3, в).

2. Найти множество точек числовой прямой, координаты которых удовлетворяют условиям: а) |х — 2| = 3; б) 1*_2|>3; в) | JC — 21< 3.

Произвольную искомую точку обозначим Х(х). Тогда ее расстояние от точки А (2) будет: а) р(Х\ A)= 3; б) р (Х\ А) > 3; в) р (X; А) < 3. Отложив от точки А вправо и влево по 3 единицы, получим искомое

Рис. 3.

множество: а) хг = — 1; x2 = 5; б ( x< —1; лс>5; в) — 1 < X < 5 (рис. 4).

Рис. 4.

3. Решить неравенство |2х + 3]>5.

Разделив обе части неравенства на 2, получим: \х + 1,51 > 2,5. Решение видно из рисунка 5: х < — 4; *>1.

Рис. 5.

4. Решить уравнения:

Левую часть уравнения можно рассматривать как сумму расстояний произвольной точки оси Х(х) до двух данных точек А(— 3) и 5(1) (рис. 6). Заметим, что если точка X лежит на отрезке AB или совпадает с одной из данных точек, то

Рис. 6

Если точка Хх (х) лежит вне отрезка AB, то сумма ее расстояний до двух данных точек больше 4: р(Х|| А) + р(*ь В)>А (рис. 7).

Рис. 7.

Поэтому уравнению а) удовлетворяют координаты любой точки сегмента [—3; 1], т. е. — 3<л;<1; уравнение в) решений не имеет.

Для решения уравнения б) обозначим расстояние до ближайшей точки через а, т. е. р(Хг; А) = а (или р(Хг; В), тогда р(Хг; В) = а + 4, или а+а + 4 = 8, а = 2. Отложив от данных точек по 2 единицы (на продолжении отрезка AB), найдем корни уравнения:

5. Решить неравенства:

Из решения задачи 4 видно, что неравенство а) решений не имеет; решение неравенства б) есть объединение двух интервалов —co<x< — 3 и 1 < x < со; для решения неравенств в) и г) заметим, что корни соответствующего уравнения |x + 3|+|х—1| = 8 Х| = —b* х2 = 3 разбивают числовую ось на три интервала. Устанавливаем знак неравенства подстановкой координаты произвольной точки интервала в данное неравенство: если х<—5, например х = -10, то 1-10 + 31 + 1-10- 11 = 7+ 11 > 8; если — 5<x<3, например, х = 0, то 3 + 1 < 8; если X > 3, например х = 5, то 8 + 4>8. Следовательно, решение неравенства в) — 5 < x < 3 и решение неравенства г) X < — 5, X > 3.

6. Решить уравнения:

Заметим, что если точка Х(х) лежит правее точки B1\), то

Так как разность расстояний — число положительное, то искомые точки расположены „ближе“ к точке В, чем к точке А. Возьмем точку Хх внутри отрезка AB и обозначим р(В;Х1) = b\ тогда р(A; Х1) = 4 — £,

Ответ.

7. Решить неравенства:

Ответ.

8. Доказать неравенство |a + b|<|a| + |b|. Возьмем точки А (а) и В (b) (пусть а < b). Тогда + есть расстояние от точки А (а) до точки B1 (— 6), симметричной точке В(b) относительно начала координат. Надо доказать, что

Рассмотрим все возможные случаи положения точек А и В относительно начала координат:

(рис. 8, а), (рис. 8, б),

(рис. 8, в) (рис. 8, г).

Если а > b, точки А и В „поменяются местами“. К концу первого полугодия учащиеся восьмых классов знакомы с графиками ряда функций: у — kx+b;

Этот запас сведений, а также знание уравнения окружности с центром в точке с координатами а и b позволяют решать разнообразные системы уравнений и неравенств, привлекая и графические методы. Приведем несколько примеров.

9. Решить систему

Ответ.

Рис. 8.

10. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данным условиям:

Ответ. Множество точек отрезка прямой у = х, где

(рис. 9).

11. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:

Ответ. Часть окружности с центром в начале координат, радиуса 3 единицы, лежащая ниже прямой у = х (рис. 9).

12. Множество A —множество точек (х, у) плоскости, для которых у>хг, множество В — множество точек плоскости, для которых (x — I)2 + (у — 1)2<9. Указать множество А(]В.

Ответ. Часть круга с центром в точке С (1; 1), радиуса 3 единицы, лежащая выше кривой у = х3. Ду-

Рис. 9. Рис. 10.

га окружности принадлежит искомому множеству, а дуга кривой не принадлежит (рис. 10).

13. Найти точки на плоскости по следующим условиям:

Рассматривается и решение различных геометрических задач. Например, зная координаты вершин треугольника, найти его площадь; зная концы отрезка, найти координаты точек, делящих данный отрезок в данном отношении (внешним и внутренним образом), и т. д.

Тема 3. Преобразование графиков функций

На факультативных занятиях понятие функции вводилось следующим образом. Пусть имеем две переменные л и у. Множество значений переменной X обозначим X; множество значений, которые принимает переменная у, обозначим Y. Переменная у называется функцией от переменной х, если каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y (рис. 11).

Множество X называется множеством допустимых значений аргумента или областью существования функции.

Множество Y называется множеством значений функции или областью изменения функции.

Рис. 11,

Функцию можно считать заданной, если указаны ее область существования и закон соответствия, относящий каждому элементу х области существования X единственный элемент у множества Y.

Закон соответствия между элементами множеств X и Y задается в общем виде формулой у = f(x).

Для того чтобы идея соответствия была хорошо понята учащимися, полезно разобрать ряд примеров, в которых задается знакомая зависимость между двумя переменными. Множество значений одной из переменных изображается точками числовой оси; множество значений другой переменной изобразим точками другой числовой оси. На рисунке 12 показано, каким элементам множества X ставятся в соответствие элементы множества Y, если функция задана формулой у = 2х. На рисунке 13 иллюстрируется соответствие между двумя множествами, заданное функцией у = X2.

Очень важно подчеркнуть, что каждой точке области определения, т. е. каждому элементу множества X) соответствует единственная точка оси Oy, т. е. единственный элемент множества У. При этом может

Рис. 12.

Рис. 13.

оказаться, что разным элементам множества X соответствует один и тот же элемент множества К (рис. 14).

При построении различных кривых на координатной плоскости замечаем, что если кривая является графиком функций, то перпендикуляры к оси Ох пересекают график в единственной точке. Если перпендикуляр к оси Ох пересекает кривую в двух и более точках, то эта кривая не выражает функциональной зависимости.

Преобразования графиков функций давались как преобразование одного точечного множества плоскости в другое.

Для обоснования преобразований использовались следующие предложения:

1. Графиком функции У = f(х) в данной системе координат называется множество всех точек плоскости, координаты которых связаны заданным соотношением.

2. Теорема. Для того чтобы точка А(х0, у0) принадлежала графику функции у =f(х), необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли соотношению у=f(х), т. е. у0=f(х0)1.

Необходимость.

Дано: точка А(х0;у0) принадлежит графику функции у=/(х).

Доказать: y0 = f(xQ).

Справедливость этого соотношения вытекает из определения графика функции.

Достаточность (теорема противоположная).

Дано: точка В(хх\ у() не принадлежит графику функции у=/(х), причем — допустимое значение аргумента.

Доказать: ух f(xx).

Так как x1 принадлежит множеству допустимых значений аргумента функции У = /(х), то на графике найдется точка С(хх; у2), абсцисса которой хх, а ордината √2¥=У\, так как точка В(хх\ ух) не лежит на

1 Очень полезно одно из занятий в VIII классе посвятить разбору таких очень важных логических понятий, как условие необходимое и достаточное, теорема прямая, обратная, противоположная.

графике y=f(x). Тогда y2=:f(^i)y а следовательно, У\Ф1(Х\) (рис. 14).

Если доказательство в таком виде трудно, то можно просто объяснить учащимся, что если точка А(хO1 y0) лежит на графике y=f(x)> то y0 = f(x0)~- верное числовое равенство.

3. При преобразовании множества точек, заданных графиком y=f(x), в график y = F(x) достаточно показать, что координаты точки А(хх; уг)9 в которую при данном преобразовании переходит точка А> С*о; .Уо) исходного графика, удовлетворяют соотношению у = F (x), т. е.

Все преобразования даются по одному плану.

Рассмотрим сдвиг вдоль оси ординат, преобразующий график функции у =f(x) в график функции у =f(х) + b (рис. 15).

Рис. 14.

Рис. 15.

Пусть точка А (х0; у0) — произвольная точка графика y=f(x). Тогда, подставив ее координаты в уравнение у = f(x)y получим верное числовое равенство у0 =f(xQ). Построим точку A1 с координатами (⋅^oî Уо + b) (рис. 16). Для того чтобы убедиться, что точка A1 принадлежит искомому графику, подставим ее координаты в уравнение у= f(x) + b:

Уо + b =f(x0) + b, откуда y0 =f(x0). Получили верное числовое равенство, следовательно, координаты точки A1 удовлетворяют данному соотношению, т. е. точка A1 лежит на графике функции y=f(x)+b.

Очевидно, что, выполнив аналогичное построение для всех точек графика у = f(x), получим график искомой функции.

Легко видеть, что в результате этого преобразования график функции у =/(х) смещается вдоль оси ординат на \b \ единиц вверх, если b > 0, и вниз — если b < 0.

Аналогично рассматривается сдвиг вдоль оси абсцисс, т. е. построение графика функции у = f(x + а) (рис. 16).

Построение графика y=f(x + a) + b сводится к комбинации двух преобразований: сдвига вдоль оси абсцисс и сдвига вдоль оси ординат (рис. 17).

Затем рассматривается симметричное отражение графика от оси абсцисс у= —f(x) (рис. 18) и оси ординат у =f(—x) (рис. 19).

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19.

Здесь же можно рассмотреть построение графиков y = |f(x)| (рис. 20) и у=f(|x|) (рис. 21). Для построения графика функции У = I/O*) I достаточно построить график функции y=f(x), затем, оставив без изменения части графика, лежащие в верхней полуплоскости, отра-

зить от оси абсцисс части графика, лежащие в нижней полуплоскости.

Для построения графика у=/(|x|) достаточно построить график функции у = f(x) для х > 0 и отразить полученный график от оси ординат.

Можно дать и растяжение (или сжатие) вдоль координатных осей, т. е. построение графиков функций y = kf(x); y=f(px) и y = kf(px).

Разобрав каждое преобразование в общем виде, применяем его к известным функциям. Строим различные графики, определяем области, в которых выполняются те или иные условия, решаем системы уравнений и неравенств.

Разнообразие форм кривых, получающихся при помощи преобразований из нескольких основных, изученных на уроках, резкое изменение формы или

Рис. 20.

Рис. 21.

расположения кривых при изменении знака или величины хотя бы одного из параметров вызвали у учащихся большой интерес.

Все чертежи выполнялись цветными карандашами (а на доске цветным мелом), причем каждый этап построения выделялся своим цветом. Получались яркие, хорошо запоминающиеся рисунки.

Методика проведения факультативных занятий существенно отличается от методики урока: широко практикуются лекции-беседы учителя, доклады учащихся, самостоятельный разбор учащимися различных вопросов.

Обстановка на занятиях должна быть дружелюбной, нужно выставлять поощрительные оценки: как часто боязнь получить плохую оценку лишает ученика возможности соображать!

Желательно сопровождать изучение материала показом кино- и диафильмов. Так, при изучении последней темы можно показать ряд фрагментов (с I по VII) фильма „Преобразование графиков функций“.

В 1967/68 учебном году в восьмых классах обучалось 112 человек. Заключительный зачет по курсу в конце года сдавали 76 человек. Годовые оценки за факультативный курс таковы:

оценку „5“ получили 26 человек, „ „4“ „ 34 человека, „ „3“ n 16 человек.

ЦИРЕЛИС Д. И. (г. Бендеры)

РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

В данной статье используется опыт работы автора в молдавской средней школе-интернате № 1 г. Бендеры (1957—1961 гг.), в ЮМШ г. Тирасполя при Тираспольском пединституте (1961—1965 гг.) и в средней школе № 10 г. Бендеры (1965—1967 гг.), в основном на занятиях математического кружка старших классов.

Решение экстремальных задач предоставляет большие возможности для повышения активности учащихся на внеклассных занятиях, поднимает интерес к изучению математики, расширяет математический горизонт учащихся, приближает преподавание математики к жизни.

Общие методы решения экстремальных задач изучаются в математическом анализе. Но ряд задач данного типа можно решить элементарными методами, которые требуют от учащихся применения приемов, содействующих развитию их математических способностей, и учат рациональному использованию математического аппарата.

Например, задачу: „Вписать в шар радиуса R цилиндр с наибольшей площадью боковой поверхности Sa — можно решить в средней школе одним из следующих методов.

Пусть х- радиус основания вписанного цилиндра, 2у —его высота; тогда S = 4nxy, х2 + у2 = R2.

Задача заключается в определении значений х и у, максимизирующих функцию S.

1-й способ.

2-й способ.

3-й способ.

Очевидно, что

4-й способ. Решение задачи сводится к определению наибольшего значения произведения чисел х и у при постоянной сумме их квадратов. На рисунке 1 дано геометрическое решение задачи; х и у — катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого R.

5-й способ. Применяя аппарат неравенств, получим:

Следовательно,

Рис. 1. Рис. 2.

Таким образом, аппарат тригонометрических функций, применяемый к решению подобных задач (см. 3-й способ решения), получает новое назначение. Таких примеров можно привести много. Например, решая задачу: „Среди всех треугольников с данным углом В = а и данной высотой hb найти тот, у которого наименьший периметр“, мы углубляем знания учащихся по тождественным преобразованиям тригонометрических функций. Имеем (рис. 2):

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный. Особое внимание уделяется исследованию функций и определению их экстремальных значений графическими методами, которые позволяют объединить в одну схему как задачи на максимум и минимум в классическом смысле так и задачи линейного и нелинейного программирования.

В различных теоретических и практических задачах часто требуется определить значения переменных, которые максимизируют или минимизируют данную функцию и в то же время удовлетворяют дополнительным требованиям (задачи на условные экстремумы).

Рассмотрим один из возможных графических приемов исследования экстремальных значений функций двух переменных.

Пусть требуется исследовать функцию z=f(x, у), на аргументы которой наложено дополнительное

условие g(x, у) = 0. Это означает, что значения функции f(x, у) рассматриваются только для точек, лежащих на кривой g(x, у) = 0.

Допустим, что через каждую точку M0 плоскости проходит лишь одна кривая вида f(x,y) = z0. Иначе говоря, при rг^гг кривые f(x, y) = z0 и f(x* У) = 2\ не имеют общих точек. Тогда при непрерывном изменении параметра z0 кривые f(x,y) = z0 покроют часть плоскости (рис. 3).

Предположим, что функция f(x, у), рассматриваемая только на кривой g (х, у) = 0, достигает в точке А своего наибольшего значения. Обозначим значение функции f(x, у) в точке А через m и рассмотрим кривую /(х, у) = m. Ясно, что точка А лежит на этой кривой, т.е. является общей точкой кривых g(x, v) = 0 и f(x, у) = m. В то же время по одну сторону кривой K*! y)=z значения функции f(x, у) больше, чем m, а по другую — меньше, чем m. Следовательно, кривая g(x,y) = 0 расположена целиком по одну сторону от кривой f(x, у) = m (а именно —по ту сторону, где значения функции J(x} у) меньше m).

Следовательно, в точке А кривая g(x,y) = 0 касается кривой f(x, у) = m. То же будет, если в точке А функция достигает наименьшего значения.

Итак, если в точке А на кривой g(x, у) = 0 функция f(x, у) имеет экстремальное значение /71, то кривая /(х,у) = m, проходящая через точку A, касается кривой g(x, у) = 0.

Рис. 3. Рис. 4.

Таким образом, определение экстремумов функции z=f(x, y) при наличии связи g(x, у) = 0 можно заменить задачей: из семейства кривых f(x, y)=z выделить те, которые касаются кривой g(x, у) = 0 (рис. 3).

Приведем несколько примеров графического исследования условных экстремумов функций.

1. Исследовать функцию f(x, y)=Y х2 + у2 при условии, что X и у связаны соотношением

В этом случае линия /(*, у) = rг представляет собой окружность радиуса z0 с центром в начале координат, а линия g(x, у) = 0 есть прямая (рис. 4). Из линий f(x, y) = z0 (т. е. окружностей с центром в начале координат) лишь одна касается прямой g(x, у) = 0, причем вся эта прямая расположена (кроме точки касания) в области, где функция f(x, у) имеет большие значения. Поэтому в точке касания функция f(x, у) достигает наименьшего значения (расстояние точки (х, у) от начала координат), которое, как легко видеть из A OTS на рисунке 4, равно

Наибольшего же значения функция f(x, у) на прямой g(x, у) = 0 не имеет — это ясно геометрически, так как прямая в обе стороны неограниченно удаляется от начала координат. 2. Исследовать на максимум и минимум функцию

при условии, что

Здесь линиями f(x, y) = z0 опять являются окружности с центром в начале координат, а линия g(x> У) = 0 (m- е- (х-а)2 + (y-bf-r2 = 0) есть окружность радиуса r с центром в точке (а, b). Геометрически ясно, что имеется две окружности J(x, y)=z% касающиеся кривой g(x, у) = 0 (рис. 5), радиусов zmln и zmax, определяемых формулами:

3. Определить экстремальные значения функции

при

Здесь /(х, y) = z0 — прямая линия, уравнение которой

причем при разных z0 мы получаем семейство параллельных прямых, заполняющих плоскость. Касательными к линии g(x, у) = 0 (т. е. окружности (х — af + (у — bf — rг = 0) являются прямые РМ и QR, уравнения которых

соответственно (рис. 6). Имеем:

точка 5 имеет координаты:

откуда

Рис. 5. Рис. 6.

Аналогично находим координаты точки Т;

и потому

В приведенных выше примерах те кривые семейства f(x, y) = z0, которые касаются линии g*(x, у) = 0, были найдены непосредственно из геометрических соображений. В более сложных случаях для этой цели удобно пользоваться следующей теоремой (доказательство которой можно найти в курсах высшей алгебры).

Теорема. Если кривые f(x, у) = а и g (х, у) = 0у где /(x, у) и g (х, у) —некоторые многочлены от X и у, касаются друг друга в точке (х0, у0), то х = х0 и у =у0 есть не менее, чем двойное решение системы

Иначе говоря, если, скажем, исключить из этой системы у, то полученное уравнение относительно х будет иметь х = х0 двойным корнем.

Многие геометрические задачи на максимум и минимум могут быть решены с использованием этой теоремы.

4. Из квадратного листа жести нужно вырезать по его углам квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок образовалась открытая сверху коробка наибольшего объема.

Задача сводится к определению наибольшего значения функции

(1)

при наличии связи

(2)

Система (2) представляет собой отрезок прямой AB (рис. 7) без граничных точек.

Определение экстремума функции V = Ax2, при

заменяется задачей: из семейства кривых Ах2у = V (V — параметр) найти ту кривую, которая касается отрезка

На основании сформулированной выше теоремы система

должна иметь двойное решение. Исключая переменную уу получаем уравнение 4x3—2ах2 + 11=0, которое должно иметь двойной корень. Имеем:

Для того чтобы это уравнение имело двойной корень, необходимо и достаточно выполнение условия:

откуда

Теперь легко находим двойной корень:

(х и у — координаты точки касания кривой и отрезка

Ответ.

Рис. 7.

Аналогичным образом решаются и другие задачи. Мы сформулируем несколько задач, для которых приведем соответствующие чертежи, аналитические выражения функций, экстремумы которых должны быть найдены, системы ограничений и ответы.

5. В круг радиуса R вписать равнобедренный треугольник, вершина которого находилась бы в центре круга и площадь которого была бы наибольшей (рис. 8).

Рис. 8.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S = xy при ограничениях

Ответ.

6. В шар радиуса R вписать конус наибольшего объема с вершиной в центре шара.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции

при ограничениях

Ответ.

7. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема (рис. 9).

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции У=2ъх2у при ограничениях

Ответ.

8. В данный шар вписать конус наибольшего объема (рис. 10).

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции

при ограничениях

Рис. 9.

Рис. 10.

Ответ.

9. Вписать в правильную четырехугольную пирамиду правильную четырехугольную призму наибольшего объема (рис. 11).

Рис. 11.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V = x2y при ограничениях

Ответ.

10. Вписать в конус радиуса R и высоты h цилиндр наибольшего объема.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V = nx2y, где ^—радиус основания, а у — высота искомого цилиндра при ограничениях

Ответ.

11. Описать около шара радиуса R усеченный конус наименьшего объема (рис. 12).

Рис. 12.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции

при ограничениях

Ответ. 1/т1n = 2тг/?3 при x=y = R, т. е. конус вырождается в цилиндр.

12. Стоимость перевозки груза на один километр по железной дороге AB (рис. 13) равна k1 рублей, а по шоссе CD — k2 рублей, kx < k2. Как должно про-

Рис. 13.

ходить шоссе CD (найти положение точки С), чтобы стоимость перевозки груза из пункта А в пункт D была наименьшей? AB = a, BD = b.

Задача сводится к нахождению минимума функции

при ограничениях

Для решения найдем координаты точки касания гиперболы х2 — у2 = b2 и прямой z = k2x + kx(а — у). Исключая из системы

, получим:

Из условия касания

находим:

Пример более сложной задачи:

13. Из круглого бревна диаметра 2R требуется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы прочность балки на изгиб была бы не меньше Я, а площадь сечения балки не превышала бы 5. Время, необходимое для ее вырезания, должно быть минимальным. На вырезку единицы длины по направлению AB (рис. 14) требуется kx сек., по направлению ВС — k2 сек. Сопротивление на изгиб пропорционально ширине балки и квадрату высоты ее поперечного сечения.

Обозначим высоту поперечного сечения балки через X, a его ширину — через у (АВ = х, ВС=у).

Тогда задача сводится к нахождению наименьшего значения функции t = 2k{x + 2k2y при ограничениях

Таким образом, функция t = 2kxx+2k2y определена на криволинейном треугольнике MNK, где М — точка пересечения кривых ху = 5и ах2у = Р, точки A/ и K — точки пересечения окружности х2 + у2 = R2 с кривыми ху = S и аху = Р соответственно.

Для определения наименьшего значения функции t = 2kxx + 2к2у найдем координаты точки касания (Г) прямой t = 2kix + 2k2y = tmtil и кривой ах2у = Р.

Исключая у из системы

получим:

Условие касания получаем из условия кратности корней уравнения х3 + рх2 + q = 0:

Рис. 14.

откуда

Координаты точки Т будут:

Исследование некоторых элементарных функций одного аргумента можно провести графически, если преобразовать их в функции двух аргументов при соответствующем ограничении их области определения.

1. Исследовать характер изменения функции z= — X3 + рх\ р < 0.

Пусть у = хг, тогда г=у + рх. Исследование данной функции сводится к исследованию функции двух переменных z = у + рх при у = х3.

Изменение функции z легко проследить, так как г —отрезок оси Oy, отсекаемый на оси Oy прямой у = — рх + z.

Пусть прямая у =— рх + z (г —параметр) пробегает все точки кубической параболы у = хъ\ при этом направление пробега прямой меняется дважды: один

Рис. 15. Рис. 16.

раз — в точке A, второй раз — в точке В (рис. 15). Точки A и В критические. В них прямая у = — рх + z касается кривой у=хъ\ в точке В значение z достигает минимума, в точке А — максимума. Непосредственное визуальное определение приводит нас к следующим результатам: на интервале (— со, ха) значения z возрастают от —со до za=OAx; на отрезке [хаУ хь] значения z убывают от za=OAl до zb=OBx\ на интервале (хь, + со) значения z возрастают от г„ = 0Вх до + со.

По графику на рисунке 15 можно решить и ряд дополнительных задач, например: а) найти значения функции z по заданным значениям аргумента х; б) найти значения аргумента х при заданных значениях функции z (т. е. решить уравнение Xs + рх — z = 0).

2. Определить экстремальное значение функции z = ax + х2\ а > 1.

Пусть у = а*, тогда z = у + х2- По рисунку 16 определим характер экстремума (минимума), его приближенное значение zm = OA и соответствующее значение аргумента xm = OВ. Функция убывает на полуинтервале (— со, хт\ и возрастает на [хт, + со).

Аналогично можно исследовать функции:

3. Определить экстремум функции

Пусть

(1), тогда

(2). Решение задачи сводится к определению координат точки касания Т кривых (1) и (2) (рис. 17, а > 0). Имеем:

4. Однородный стержень, имеющий ось вращения в точке A, несет груз Р на расстоянии а от точки А и удерживается в равновесии вертикальной силой Q, приложенной к его свободному концу. Определить длину стержня, при которой Q минимальна, если погонный метр стержня весит q (рис. 18).

Применяя условия равновесия тела, имеющего ось вращения, получим:

Пусть

Получим (рис. 19):

5. Определить сопротивление внешней цепи, при котором выделяемая теплота в реостате наибольшая. ЭДС эмемента — ZT, его внутреннее сопротивление — г, полное сопротивление реостата — /?, сила тока — /аУ сопротивление включенной части реостата — х, время прохождения тока — t.

Тогда I Имеем:

Рис. 17. Рис. 18.

Для определения максимума обозначим: у = kE2tx. Тогда Q= у Решение задачи сводится к определению координат точки касания Т (рис. 20) кривых

Ответ.

6. Определить наибольшее и наименьшее значения равных действительных корней уравнения

Задача эквивалентна следующей: „Максимизировать и минимизировать функцию £ = a+ß при (ос —2)2 + £2 = 4Ц. Графоаналитическое решение дает следующий результат (рис. 21):

Решить задачу, если на параметры а, ß накладывается дополнительное условие: а2 + (ß — I)2 < 1 (рис. 22).

Рис. 19. Рис. 20.

Ответ. zm = 0 при ос = 0, ß = 0;

Рис. 21. Рис. 22.

7. Груз весом Р кГ равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прилагая силу F под углом а к горизонту. Найти минимальное значение силы F при коэффициенте трения k (рис. 23).

Имеем: Q = P—F sin а; /^cos а = k (Р — Fsin а).

Задача сводится к определению наименьшего значения функции

Рис. 23.

Ответ.

8. Ряд задач на отыскание экстремальных значений геометрических величин можно решить построением. Приведем условия нескольких таких задач.

1) Пусть М — данная точка, Nx — произвольная точка некоторого множества {L\ точек плоскости. Из

множества отрезков MNX выделить отрезки наименьшей и наибольшей длины. Решить задачу, если: a) L— данный отрезок, б) L — данная окружность, в) L— данный многоугольник.

Решения показаны на рисунках 24—26. MNXl — отрезок наименьшей длины, MNXi — отрезок наибольшей длины.

Рис. 24.

Рис. 25. Рис. 26.

Рис. 27. Рис. 28.

2) AB — основание треугольника АВСХ, где Сх — произвольная точка окружности О. Построить треугольник:

а) наибольшей (наименьшей) площади (рис. 27);

б) медиана СХМ которого наибольшая (наименьшая) (рис. 28);

в) угол Сх которого наибольший (наименьший) (рис. 29).

Описанная выше работа по решению задач на максимум и минимум позволяет на внеклассных занятиях в старших классах широко использовать графики всех элементарных функций, изучаемых в школе.

Рис. 29.

БОРИСЕНКО В. П. (Москва)

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

В статье рассматриваются способы построения графиков функций Р(х) + Q(x), P(x)*Q(x), у для тех значений x, при которых Q(x)=£0. При этом учащиеся получают представление о новых для них примерах использования простейших геометрических преобразований.

1. Построение графика функции у = Р(х) + Q(x) по заданным графикам функций у=Р(х) и y=Q(x)

Пусть даны графики функций у = Р(х) и y = Q(x) (рис. 1). Построим график функции у = Р(х) + Q(x). Для этого покажем прием построения точки А\ принадлежащей искомому графику, для значе-

Рис. 1. Рис. 2.

нии X из области определения функций у = Р(х) и y = Q(x).

Возьмем на оси Ох произвольную точку M и проведем через нее вертикаль MN. Точка M может быть взята произвольно. С помощью вертикали MN построение искомой точки А' будем выполнять следующим образом:

1) Через точку А, принадлежащую графику функции y = Q(x), проведем вертикаль, точку ее пересечения с графиком функции у =Р(х) обозначим через В.

2) Соединим точки А и M отрезком прямой.

3) Спроектируем ортогонально точку В на прямую MN, основание перпендикуляра обозначим через K.

4) Через точку К проведем прямую, параллельную прямой MA, до ее пересечения с прямой AB; точка пересечения, обозначим ее через А', и будет искомой, т. е. она будет принадлежать графику функции y-P(x) + Q(x).

В самом деле, из построения следует, △ LMA = △ BKA', докажем теперь, что точка A1 действительно принадлежит графику функции у = Р(х) + Q (х). Из рисунка 1 следует, что

но точка В принадлежит графику функции у = Р(х), а точка А — графику функции y = Q(x). Следовательно, точка А' принадлежит графику функции y=P(x)Jr + Q(x).

2. Построение графика функции у = Р(x)-Q(x) по заданным графикам функций у = Р(х) и у = Ç(x)

Пусть даны графики функций у = Р(х) и у = Q(x) (рис. 2). Требуется построить графикфункцииз/=Я(х)Х XQ(x). Рассмотрим прием построения точки А', принадлежащей графику функции у = P(x)-Q(x).

Построение будем выполнять в следующем порядке:

1) Через точку А, принадлежащую графику функции y = Q(x), проведем вертикаль до ее пересечения с графиком функции у = Р(х). Точку пересечения обо-

значим через В. (Примечание: построение, естественно, выполняется на множестве значений х, для которых обе функции определены.)

2) Через точку А проводим горизонталь до ее пересечения с прямой x=1, эту точку пересечения обозначим через Мх .

3) Проводим прямую ОM1.

4) Через точку В проводим горизонталь до пересечения ее с биссектрисой первого (или третьего) координатного угла, эту точку обозначим через M2.

5) Через точку M2 проводим вертикаль до пересечения ее с прямой ОМх, эту точку обозначим через Ж3.

6) Точка пересечения прямой AB с горизонталью, проведенной через точку A13,—точка А' —к будет искомой, т. е. она будет принадлежать графику функции у = Р (х) ⋅ Q (х).

В самом деле, из построения следует, что ордината точки А' в выбранном масштабе равна длине отрезка N1A';

(это следует из подобия треугольников ОЕМ1 и ON2M3)

Но N1A — ордината точки A, a N1B — ордината точки В, следовательно, точка А' принадлежит графику функции у = P(x)-Q(x).

Рассмотрим некоторые примеры построения графиков функций:

1) Построить график функции y = xQ(x) по заданному графику функции y = Q(x).

Из построения, приведенного на рисунке 3, следует:

2) Построить график функции у = P(x)*Q(x)»Т(х) по заданным графикам функций у = Р(х), y = Q(x), у = Т(х) и без предварительного построения графика функции вида у = А (х)-В(х). Схема построения дана на рисунке 4.

3) В некоторых случаях удобно применить следующий прием для построения графика функции вида y=P(x)-Q(x) по заданным графикам функций_у = Р(х) и .у — Q(x), представленный на рисунке 5.

Прежде всего, заметим, что точки Ж и N, точки пересечения графиков с осью Ох, принадлежат искомому графику. (Почему?)

Проведем прямую у = 1. Предположим, что эта прямая пересекает заданные графики в точках A, В и С. Обозначим абсциссы этих точек через хА, хв , хс. Легко видеть, что при значениях аргумента хА, хв и хс значения функции у = P(x)-Q(x) будут равны Р(хА), Q(xB), Р(хс) соответственно.

Рис. 3 Рис. 4.

Рис. 5 Рис. 6.

Аналогично могут быть построены точки искомого графика при построении прямых у = 2,3,..., —1, —2,....

3. Построение графика функции y = P(x):Q(x) по заданным графикам функций у = Р(х) и у= Q(x)

Пусть даны графики функций у = Р(х) и у = Q (х). Рассмотрим построение точки, принадлежащей графику функции у = —(построение, естественно, будем выполнять для тех значений аргумента, при которых определены обе функции, причем С(х)≠0). Этапы построения приведены на рисунке 6.

1) Через точку A, принадлежащую графику функции y=Q(x), проведем горизонталь до пересечения ее с прямой х = 1, полученную точку обозначим через М1.

2) Проведем прямую ОМ1.

3) Через точку В, принадлежащую графику функции у = Р(х), проведем горизонталь до пересечения ее с прямой ОМх. Точку пересечения обозначим черезM3.

4) Через точку M3 проведем вертикаль до пересечения ее с прямой у=х, точку пересечения обозначим через M2 .

5) Искомая точка, точка А', находится как точка пересечения прямой AB с горизонталью, проведенной через точку M2.

Рис. 7.

Рис. 8. Рис. 9.

Доказательство:

откуда и следует доказываемое утверждение.

Для построения графика функции у = удобно также использовать идею приема, рассмотренного на стр. 109 (пример 3), схема построения дана на рисунке 7.

На рисунках 8—9 показаны приемы построения графиков функций

ЯСИНОВЫЙ Э. А. (г. Куйбышев)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В VII—VIII КЛАССАХ

Ниже рассматривается система упражненений по теории делимости в VII—VIII классах. Эти упражнения имеют большое значение для общего развития школьников. Число упражнений, представленных в статье, превышает необходимый минимум. Поэтому некоторые из них могут быть опущены или предложены тем, кто проявляет особый интерес к рассматриваемым вопросам.

Занятия по теории делимости в VII классе начинались с повторения формул сокращенного умножения и деления, закрепления навыков тождественных преобразований.

Следует отметить, что торопиться с доказательством свойств делимости чисел не стоит. Вначале достаточно опираться на элементарные знания учащихся по этому разделу. Обычно все ученики знают, что:

1) если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число;

2) если из двух слагаемых одно делится на некоторое число, а другое не делится на него, то и сумма не делится на это число.

Свойства делимости целых чисел излагаются после шести-семи занятий. Вначале дается определение:

Целое число а называется делящимся на целое число b ≠ 0 в том, и только в том случае, когда

существует третье целое число с, такое, что а = b-с.

Делимость а на b записывают так: а \ b. Затем рассматриваются свойства делимости.

1. Свойство рефлексивности: число кратно самому себе, т. е. а \ а. Это вытекает из того, что а — аЛ.

2. Свойство транзитивности: если а \ b и b \ с, то а \ с.

Доказательство. Имеем: a = bqx; b = cq2. Подстановка дает:

Отсюда следует, что а \ с, что и требовалось доказать.

3. Если a j b, то (— а) [ b, а\ (— b), (— а) \ (— b). Доказательство. Из условия имеем: a = bq.

Можно записать — a=b(—q), или а = (— b)(— q), или — а = (— b) q.

Отсюда, по определению, имеем: (— а) \ b, а\ (—b) и (— а) : (—*)> что и требовалось доказать.

4. Если а1 \ b и а2 \ b, то (a1 ± а2) ⋅ b. Доказательство. Имеем: a1 = bq1, a2 = bq2.

Сложив или вычтя почленно, получим: а1± а2 = bq1 ± bq2=b(q1 ± q2).

Отсюда, согласно определению, имеем: ± а2) ⋅ b, что и требовалось доказать.

5. Если одно из чисел ах и а2 делится, а другое не делится на b, то и сумма ах + а2 и разность — а2 не делится на b.

6. Если хотя бы один из множителей делится на число b, то и произведение делится на b.

7. Число нуль делится на любое число b ≠ 0.

8. (Теорема о делении с остатком.) Для любых двух целых неотрицательных чисел а и b (b 0) существует единственная пара целых чисел q и г, таких, что а = bq + г, где 0 < r < b. Число а называют делимым, b —делителем, г—остатком.

Свойство 5 доказывается методом от противного, исходя из равенства (а1 + а2) — а2 = а1, или (а1 + а2) — — at=a2 (смотря по тому, какое из чисел а1 и а2 не

кратно b). Свойства 6 и 7 доказываются аналогично свойствам 1, 2.

Теорема о делении с остатком иллюстрировалась на многих примерах, но доказательства ее не давалось.

После теоремы о делении с остатком решались задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел с помощью алгоритма Евклида. Затем вводились понятия: наименьшее общее кратное, простые числа, взаимно простые числа, каноническое разложение числа (без теоремы о единственности разложения), позиционная форма записи числа. Все эти понятия закреплялись при решении большого числа задач.

Выводились признаки делимости на 3, 9, 4, 25, 11. Решались уравнения в целых числах.

Мы нашли возможным решать неопределенные уравнения вида

до решения уравнений вида

До решения первых двух видов уравнений учащиеся решали примеры на исключение целой части из алгебраической дроби вида

В VIII классе давались некоторые сведения из теории сравнений, позиционная форма записи целых чисел (десятичная, двоичная и др. системы), решались неопределенные уравнения первой степени.

Учащимся VIII класса давался следующий материал.

Определение.

Два числа а и b называются сравнимыми по модулю m, если они дают один и тот же остаток при делении на m.

Сравнимость чисел а и b по модулю принято записывать так: а = b(m) или b = а (m) — и читать: „а сравнимо с b по модулю ти или nb сравнимо с а по модулю m“. На примерах следует разъяснить введенное понятие.

Свойства сравнений. (К доказательству свойств привлекались сами учащиеся. В тех случаях, когда учащиеся затруднялись в доказательстве (например, 1-я часть свойства 2), доказательство давал учитель.)

1. Если az=b(m), то (a — b):m, и обратно: если (а — b) \m, то а = b (m).

2. Свойство рефлексивности: всякое число сравнимо с самим собой по модулю m, т. е. а = а(m).

3. Свойство транзитивности: если а = b(m) и b = с (m), то а = с (m).

4. Число сравнимо со своим остатком, который получается от деления данного числа на модуль m.

5. Сравнения можно почленно складывать, т. е. если a~b (m) и ах = bx (m), то а + ах = b + bx (m).

6. Сравнения можно почленно вычесть, т. е. если а = b (m) и a = b1 (m), то а — ах = b — bx (m).

7. Сравнения можно почленно перемножить, т. е. если а = b(m) и a1 = b1(m), то а-ах = b>bх(m).

8. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число, т. е. если а = b (m), то ak= bk (m).

9. Обе части сравнения можно возвысить в одну и ту же натуральную степень, т. е. если а = b(m), то ак = bk(m).

10. Обе части сравнения можно разделить на одно и то же число, взаимно простое с модулем, т. е. если a-k = b-k(m) и (km) = 1, то а ~ b(m).

Многие из свойств сравнений учащиеся сами смогут доказать под руководством учителя.

После доказательства каждого свойства давались примеры на их применение. Например, после доказательства свойства 9 решалась задача: „Какой остаток дает число 1712 при делении на 5?"

Решение. 17 = 2(5).

Возводя в 4-ю степень обе части равенства, получим: 174 = 16(5); но 16=1(5). Значит, по свойству транзитивности имеем: 174=1(5).

Возводя обе части последнего равенства в куб, получаем: 1712=1(5), т. е. число 1712 при делении на 5 дает в остатке 1.

В IX и X классах с целью повторения учащимся периодически даются задания на применение сведений по теории делимости.

Перейдем теперь к рассмотрению задач, используемых при изучении теории делимости на факультативных занятиях в VII—VIII классах.

VII КЛАСС

I. Разбиение целых чисел на классы по остаткам

(задачи на делимость)

1. Разбить все целые числа по модулю 2. (Каждый класс записать также в общем виде.)

2. Разбить все целые числа по модулю 3. (Записать в общем виде.)

3. Разбить все целые числа по модулю: а) 4; б) 5.

4. Из всех целых чисел, разделенных на классы по модулю 6, выписать отдельно четные и отдельно нечетные (записать в общем виде).

5. Из всех целых чисел, разделенных на классы по модулю 8, выписать отдельно: а) четные; б) нечетные; в) кратные 4 (в общем виде).

6. Доказать, что произведение трех последовательных целых чисел кратно 6.

7. Доказать, что сумма двух нечетных чисел есть число четное.

8. Доказать, что сумма четного и нечетного чисел есть число нечетное.

9. Доказать, что сумма любых трех последовательных целых чисел делится на 3.

10. Доказать, что сумма любых пяти последовательных целых чисел делится на 5.

11. Доказать, что сумма двузначного числа и числа, написанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

12. Доказать, что разность между двузначным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

13. Доказать, что сумма любых семи последовательных целых чисел кратна 7.

14. Доказать, что сумма любых шести последовательных целых чисел не кратна 6.

15. Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел кратна 8.

16. Доказать, что а2 — а делится на 2 при любом целом значении а.

17. Доказать, что число а2 + а делится на 2 при любом целом а.

18. Доказать, что число (2а+1)2—1 кратно 8 при любом целом а.

19. Доказать, что разность (сумма) квадратов двух любых четных чисел кратна 4.

20. Доказать, что разность квадратов двух любых нечетных чисел кратна 8.

21. Доказать, что при любом целом п: а) n(n3 — n) \ 6;

22. Доказать, что выражение

есть целое число при всяком целом значении переменной m.

23. Доказать, что число 6k + k3 + 6k2 + 11k + 6 кратно 6 при любом натуральном значении k.

24. Доказать, что если число n не кратно 3, то число n2 + 2 кратно 3.

25. Доказать, что число n(n+ 1)(n + 2) кратно 3 при любом целом n.

26. Доказать, что сумма (n — 1)3 + n3 + (n + 1)3 кратна 9 при любом целом n.

27. Доказать, что n5 — n делится на 5 при любом целом n.

28. Доказать, что n1 — n делится на 7 при любом целом n.

29. Доказать, что n (2n + l)(7n+ 1) делится на 6 при любом целом n.

30. Доказать, что b(b4— 16) делится на 64 при любом четном b.

31. Доказать, что при любом четном n число n3 + 20n кратно 48.

32. Доказать, что n (n2—1)(n2—5n + 26) делится на 120 при любом пелом n.

33. Доказать, что n2 + bn + 5 не кратно 121 ни при каком целом n.

34. Доказать, что n2 + n + 10 не кратно 169 ни при каком целом n.

35. Доказать, что ни при каких целых значениях п: а) n2 — n + 1 не кратно 5; б) n2 + 4n + 6 не кратно 5.

36. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел никогда не является квадратом натурального числа.

37. Доказать, что число вида 4n2—5 не может быть квадратом натурального числа ни при каком целом n.

38. Доказать, что 4n2—2 не может быть квадратом натурального числа ни при каком целом n.

39. Доказать, что числа вида 9n2—1, 9n2—3, 9n2—4, 9n2—6, 9n2—7 не могут быть квадратами натурального числа ни при каком целом n.

40. Доказать, что равенство 5х2 + 6х + 15 =y2 невозможно ни при каких целых значениях х и у.

41. То жо самое доказать относительно равенств: а) 5х2 + 16x + 26 —y; б) 5х2 + 6х + 14 = y2—2у.

42. Доказать, что 5m + 6n+11k ни при каких натуральных m, n и k не может быть квадратом натурального числа.

43. Какой цифрой может оканчиваться: а) квадрат целого числа; б) куб целого числа; в) четвертая степень целого числа?

44. Доказать, что число m5 оканчивается той же цифрой, что и само число m.

45. Доказать, что равенство 5х2 + 26х + 2у =у2 + 46 невозможно ни при каких целых х и у.

46. Доказать, что число 3n —2 ни при каком натуральном n не кратно 10.

II. Позиционная форма записи чисел

(десятичная система)

47. Записать в позиционной форме следующие числа:

48. Из позиционной формы записи числа перейти к записи числа в виде суммы:

49. Найти число aabb, являющееся точным квадратом.

50. Из различных цифр х, у и z образованы все возможные трехзначные числа; сумма их в 33 раза больше трехзначного числа ххх. Найти х, у и z.

51. Найти 4-значное число abed, являющееся квадра-

том натурального числа, цифры которого удовлетворяют соотношениям: а + b+c+d = ab, b=c+d.

52. Убедиться в справедливости равенств: abcj= аоо + be, abcd = aboo + cd, abedk = abcoo+dk, использовать эти равенства для доказательства признака делимости чисел на 4, на 25.

53. Убедиться в справедливости равенств: ab = 9a + использовать эти равенства для доказательства признака делимости чисел на 3 и на 9.

54. Число 1ab1c кратно 924. Найти его.

55. Известен такой признак делимости чисел на 11: число делится на 11 тогда, и только тогда, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. Доказать этот признак для чисел: трехзначных, четырехзначных, пятизначных, шестизначных.

56. Найти число abed, если а, cd, ad и abed— квадраты натуральных чисел.

57. Решить уравнение 6-хх^ху = ххуу.

III. Деление с остатком

58. Написать общий вид чисел, дающих при делении на 7 остаток, равный: а) 3; б) 5; в) 6.

59. Если число n при делении на 7 дает остаток 1 или 2, то его квадрат при делении на 7 дает остаток соответственно 1 или 4. Доказать это.

60. Если число n при делении на 10 дает остаток 1, 2 или 3, то его квадрат при делении на 10 дает остаток 1, 4 или 9. Доказать это.

61. Число n при делении на 11 дает остаток 2. Какой остаток при делении на 11 дает куб данного числа?

62. Тот же вопрос при условии, что число n при делении на 11 дает остаток 3, 4, 5 или 6.

63. Число 16 при делении на b дает остаток 5. Число 30 при делении на b дает остаток 7. Какой остаток при делении на b дает число 46?

64. При делении чисел a, b и с на 7 получаются остатки соответственно 1, 4 и 5. Какой остаток при делении на 7 дает сумма а + b + с?

65. При делении чисел а и b на 7 получаются остатки 2 и 3. Какой остаток при делении на 7 дает произведение а ⋅£?

66. Числа а я b при делении на 8 дают остатки 3 и 5. Какой остаток получится, если а-b разделить на 8?

67. При делении чисел я, b, с и d на 5 получаются остатки соответственно 1, 2, 3 и 4. Какой остаток получится при делении а + b + с + d на 5?

68. При делении а на 4 получается остаток 1. Какой остаток при делении на 4 дает число а3 + а2 + а?

69. При делении чисел a, b и с на 5 получились остатки соответственно 1, 2 и 3. Найти остаток от деления а2 + b2 + с2 на 5.

70. Число а при делении на 7 дает остаток 6. Какой остаток при делении на 7 дает а2, а3?

71. Число а = 13 127 при делении на некоторое целое положительное число b дало в частном q =121. Найти делитель b и остаток г.

72. Числа а, b, с — остатки от деления целого числа N соответственно на 3, 5, 7. Доказать, что число 70а + 21b + 15с — N кратно 105.

IV. Решение уравнений в целых числах

73. Исключить целую часть из каждой дроби:

74. Исключить целую часть из каждой дроби:

75. Решить уравнения в целых числах:

76. Решить уравнения в целых числах:

77. Решить уравнения в целых числах:

78, При каких целых х и у возможно каждое из равенств:

79. При каких целых значениях х каждое из написанных ниже дробных выражений будет являться целым числом:

80. Решить в целых числах уравнения:

81. Доказать, что уравнение х2 — Зу2 =17 решений в целых числах не имеет.

82. Решить каждое из уравнений в целых числах:

83. Каждое из уравнений решить в целых числах:

V. Простые и составные числа. Каноническое разложение числа. Алгоритм Евклида

84. Выписать простые числа из первой сотни целых чисел, т. е. из промежутка от 1 до 100.

85. Выписать отдельно составные и отдельно простые числа из следующих чисел: 1227, 111, 299, 127, 132, 137, 139, 857, 859, 1397.

86. Не пользуясь таблицей простых чисел, доказать, что числа 101, 103, 107, 109, 113, 131, 733, 997, 2647, 2657, 2719 являются простыми.

87. Представить в каноническом разложении следующие числа: 12, 120, 800, 1200, 1800, 1227, 100, 1000, 10000.

88. С помощью алгоритма Евклида найти НОД следующих пар чисел: (588, 2058), (588, 2849), (299, 391), (391, 667), (6188, 4709).

89. Наименьшее общее кратное чисел а и b обозначают символом [а, b], их наибольший общий делитель—символом (а, b). Доказать:

90. Найти:

91. Дано: дробь — сократима. Доказать, что сократима также каждая из дробей:

92. Дано: дробь — сократима. Доказать, что дробь — тоже сократима.

93. Если неправильная дробь сократима, то после исключения целой части оставшаяся дробная часть тоже сократима. Доказать.

94. Сформулировать и доказать теорему, противоположную предыдущей.

95. Доказать, что если целые положительные числа а и b взаимно простые, то взаимно простыми будут также и следующие пары чисел: 1) а и а + b;

96. Дано: а и b— взаимно простые числа. Доказать, что сумма после приведения к общему знаменателю не может быть сократимой дробью.

97. Доказать, что каждая из дробей

не сократима ни при каком целом n.

98. Найти все целые значения n, при которых дробь

обращается в целое число.

99. Найти все целые значения а, при которых дробь

обращается в целое число.

100. Доказать, что каждая из дробей

не сократима ни при каких целых значениях букв.

101. Узнать, при каких значениях а дробь сократима:

102. Доказать, что если натуральное x>1, то х4 + 4 всегда составное число.

103. Доказать, что если натуральное х>1, то х* + х2+1 всегда составное число.

104. Доказать, что при любом целом х число (х+1) (х + 3)-(х + 5)-(х + 7) + 15 составное.

105. Доказать, что при любом целом х число (х+1) (х + 3)-(х + 5)-(х + 7) + 10 составное.

VIII КЛАСС

I. Неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестными

106. Решить в целых числах уравнения:

107. Решить в целых положительных числах уравнения:

108. Разложить число 118 на такие два слагаемых, из которых одно делилось бы на 11, а другое — на 17.

109. Для упаковки самоваров имеются ящики, из которых в одни укладываются 4 самовара, а в другие—7. Сколько нужно взять тех и других ящиков, чтобы упаковать 41 самовар?

110. Доказать, что каждое из уравнений не имеет целых решений:

111. Разложить число 100 на такие два положительных слагаемых, чтобы одно из них делилось на 7, а другое — на 11.

112. Для настилки пола шириной в 3 м имеются доски в 11 см и 13 см. Сколько нужно взять досок того и другого размера?

113. Для ссыпки ржи имеются мешки двух размеров: мешок одного размера вмещает 60 кг, другого — 80 кг. Сколько нужно взять тех и других, чтобы ссыпать 440 кг ржи и чтобы не было неполных мешков?

114. Найти общий вид чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3, а при делении на 11 дают в остатке 4.

II. Арифметические приложения теории сравнений

115. Даны три числа: 78, 210 и 346. Сравнимы ли они с 27 по модулю 11?

116. Среди чисел 123, 211, 134, 214, 303, 21 найти все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 5.

117. Среди чисел 135, 226, 106, 181,225, 167, 452 найти все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 15.

118. Среди чисел 146, 1201, 182, 241 найти все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 12.

119. Записать с помощью сравнений следующие условия:

1) Число а дает остаток 3 при делении на 5.

2) Число b дает остаток 1 при делении на 5.

3) Числа тип оканчиваются одной и той же цифрой.

4) Число а оканчивается нулем.

5) Число а оканчивается цифрой 7.

120. Найти остатки от деления на 8 следующих степеней: 313, 513, 713.

121. Найти остаток от деления суммы 313 + 513 713 на 8.

122. Найти остатки от деления на 10 следующих степеней: 314, 714, 914.

123. Найти остаток от деления 1349 на 48.

124. Найти остаток от деления 219 + 419 + 519 + 719819 на 9.

125. Найти остатки от деления 1630 на 3, 1630 на 5, 2719 на 4, 2719 на 7.

126. Доказать, что 4323 + 2343 делится на 66.

127. Доказать, что 25э + 1 делится на 11.

128. Доказать, что 7 + 72 + 73+ ... +744 делится на 100.

129. Найти две последние цифры чисел: 249, 3101, 1728, 19321.

III. Позиционная форма записи целых чисел

130. Записать с помощью степеней числа 10 следующие числа: 372, 4892, 21037, 407122, 555 555.

131. Записать в десятеричной системе следующие числа: 10112, 101012, 12~3, 12013, 2ШТ3% 10 1013э 10 1012.

132. Записать в десятеричной системе следующие числа: Î2325, 2Ï45 , 325 , 2~3~5, ÎÔ425.

133. Записать в двоичной системе счисления следующие числа: 2, 3, 5, 17, 20, 27.

134. Записать в троичной системе следующие числа: 2, 3, 4, 5, 17, 28, 38.

135. Записать в пятеричной системе следующие числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 28, 99.

136. Перевести в пятеричную систему счисления следующие числа: Ш2, ПТ2, 10102, ГГГ3, 2324.

137. Выполнить сложение в указанной 'системе счисления: 1) 1012+ 1112+ 1002; 2) 1235 + 1045;

3) 1112 + 112+1; 4) 73810 + 25210.

138. Записать с помощью степеней следующие числа (основание степени указано внизу около числа): ху2, л-Уз, xyztA, xytiA, xyTt5, xyztl0.

139. Выполнить умножение в указанной системе счисления: 1) П2хП2; 2) Т35Х135; 3) Î25XÎ35; 4) 1Ô2 X И 2.

IV. Задачи по теории делимости целых чисел, которые могут быть решены методом полной математической индукции

140. Доказать, что число вида 9n—1 делится на 8 при любом натуральном n.

141. Доказать, что число вида 91—8n — 1 делится на 64 при любом натуральном n.

142. Доказать делимость при любом натуральном п: 1) (5n-2n):3, 2) (8n-3n):5; 3) (17" — И") : 6.

143. Доказать, что 5-49n+1 + 8n кратно 41 при любом целом n > 0.

144. Доказать, что 4-6n+ 5n — 4 кратно 25 при любом целом n > 0.

145. Доказать, что число вида 8n + 6 кратно 7 при любом целом n > 0.

146. Доказать, что число 2«7n+ 1 кратно 3 при любом целом n > 0.

147. Доказать, что 7n + 3n— 1 делится на 9 при любом целом n > 0.

148. Доказать делимость при любом целом неотрицательном n: 1) (22n+1 + 1) : 3; 2) (32n+1 + 2'7+2) : 7; 3) (42n+1 + 3n;+2) : 13; 4) (52'+1 + 4'z+2) : 21.

149. Доказать, что для любого натурального а при нечетном р>0 разность аР — а кратна 6.

V. Задачи на повторение и закрепление теории делимости

150. Доказать, что произведение 4 последовательных целых чисел кратно 24.

151. Доказать, что выражение

есть целое число при любом целом n.

152. Доказать, что числа вида 16я2—1, 16n2—2, 16n2—3, 16n2-4, 16n2-5, 16n2 -6, 16n2 -8, 16n2—9 не могут являться квадратами никаких целых чисел.

153. Сколько имеется целых положительных чисел, меньших 100 и не кратных ни 2, ни 5?

154. Сколько имеется натуральных чисел, меньших 1000 и не кратных ни 2, ни 5?

155. Доказать, что х5 + 3x*у — 5х*у2 — \5х2у3 + АхуА + 12у5 не может равняться 33 ни при каких целых значениях х и у.

156. Доказать, что а (а4—1) кратно 30 при любом целом а.

157. Доказать, что число вида а (а4—16) кратно 15 при любом целом значении а.

158. Доказать, что число вида а(а4—81) кратно 10 при любом целом а.

159. Доказать, что а (а4—b25) кратно 6 при любом целом а.

160. Доказать, что а (а4 —b4) кратно 5 при любом целом а.

161. Доказать, что а(а4—10000) кратно 3 при любом целом а.

162. Решить уравнения в целых числах:

163. Решить уравнения в целых числах:

164. Сколько существует пар целых чисел от 1 до 100, для которых —есть целое число?

165. Сколько существует пар целых чисел от 1 до 100, для которых есть целое число?

166. Доказать, что числа а и а—1 взаимно простые при любом целом а.

167. То же, что и в задаче 166, доказать относительно каждой пары чисел (буквы обозначают целые числа):

168. Доказать, что число 2х2 + 2х + 1 не делится на 7 ни при каком целом х.

169. То же самое доказать относительно чисел 3×2 + 2х+ 1, 5х2 + 2х + 1.

170. Показать, что произведение 4 последовательных целых чисел в сумме с единицей дает число составное.

171. Показать, что

есть целое число при любом целом m.

172. Доказать, что

есть целое число при любом целом m.

173. Доказать, что х54 — х22 делится на 10 при любом целом значении х.

174. Доказать, что 1110—1 делится на 100.

175. Найти остаток от деления б592 на 11.

176. Найти последнюю цифру числа 7101.

177. Найти последние три цифры числа 243402.

178. Доказать, что если числа n и 8 взаимно просты, то n2 ш 1 (8).

179. Доказать, что если числа nиб взаимно просты, то n2 = 1 (24).

180. Доказать, что 22225d55 + 55 5 52222 кратно 7.

181. При каких целых значениях х выражение 1 + 4x будет являться квадратом целого числа? (Вывести формулу для X.)

182. Решить в целых числах уравнение 9х + 2 =

183. Доказать, что 3 + 4х не может являться квадратом целого числа ни при каком целом х.

184. Доказать, что число 4n2 — I не может являться квадратом никакого целого числа.

185. Доказать, что уравнение 4х2 + 8nх +1=0 не может иметь рациональных корней, если n — целое число.

186. Доказать, что уравнение х2 + 3рх + 1 = 0 не имеет рациональных корней при целом р.

ХАБИБ Р. А. (г. Ташкент)

О РОЛИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Новая программа средней школы по математике предусматривает „педагогически правильное сочетание индуктивных и дедуктивных методов“1. При изучении ряда теоретических вопросов программой рекомендуются „индуктивные, в частности, опытные методы установления фактов, в том числе использование непосредственного практического опыта учащихся“2.

Такая точка зрения составителей программы безусловно заслуживает одобрения. Ведь уже в восьмилетней школе ученики знакомятся с большим кругом вопросов, имеющих доступные и интересные для них практические приложения.

Результаты ежегодных проверок показывают, что слабые практические навыки (измерений, построений, вычислений) являются достаточно устойчивым недостатком в математической подготовке школьников. Это, в свою очередь, приводит к формализму в знаниях, к отрыву теории от практики, сужает возможности формирования интереса учащихся к изучению математики. Среди учителей, как показал анкетный опрос, нет единого мнения о роли практических работ в процессе обучения математике, хотя по этому вопросу имеется большая методическая литература.

1 „Программы средней школы по математике“. Изд. „Просвещение“. М., 1967, стр. 5.

2 Там же.

Всякое противопоставление логического и практического исчезнет, если сформировать у учащихся представление об эксперименте как о средстве естественнонаучного исследования, которое проводится по схеме: опыт и наблюдение, гипотеза, ее проверка (опять-таки при помощи эксперимента). Этому вопросу и посвящена настоящая статья. Ее цель — рассказать об опытной работе автора в школе, направленной на установление органической связи изучения математической теории и практической деятельности учащихся.

Математическим экспериментом (опытом) следует считать не только выполнение измерений и вычислений, но и всякое обращение к числам при проверке различных формул, обращение к чертежу при установлении (или подтверждении) геометрических свойств. Экспериментальный (опытный) метод устанавливает связь между теоретическими свойствами и их проявлением в частных случаях, которое обнаруживается экспериментом.

Очень тесно связано (по содержанию и по форме) с проведением экспериментов использование практических работ учащихся и получение разного рода приближенных результатов измерений и вычислений для осознания и иллюстрации теоретических положений.

Эксперимент — важный элемент обучения математике

Рассмотрим этот вопрос вначале в плане возможности, а затем в плане полезности и необходимости.

1. С основными положениями и фактами математики можно ознакомить посредством эксперимента.

Конечно, не всегда проведение „наводящего“ эксперимента уместно, но имеется немало возможностей проведения таких учебных работ, которые позволили бы ученикам заметить определенную закономерность, а впоследствии и проверить ее на частных случаях. В курсе планиметрии такие возможности связаны с использованием подвижных моделей, реализующих определенную геометрическую зависимость.

Следовательно, можно построить учебный процесс таким образом, чтобы подчеркнуть значение эксперимента как средства научного исследования.

2. Теперь рассмотрим, будет ли это содействовать интересам изучения математики, науки, как известно, дедуктивной, в которой экспериментальные методы не всегда применимы (например, при изучении свойства несоизмеримости отрезков).

На этот вопрос также следует ответить положительно. Во-первых, экспериментальное обоснование и опытная проверка предполагают обращение к материалу, более понятному и знакомому, чем изучаемые вопросы. Поэтому изучение текущего материала тесно связывается с жизненным опытом школьников (в этот опыт уже вошли и предыдущие разделы курса), новые данные включаются в систему привычных представлений и усвоенных фактов —все это является, согласно положениям педагогической психологии, условием сознательного усвоения изучаемых вопросов. Во-вторых, при таком подходе ученики яснее понимают связи между математическими абстракциями и действительностью, между новыми вопросами и абстракциями меньшей силы, с которыми они уже знакомы. Проф. А. И. Маркушевич справедливо отмечает, что, „если в плоть и кровь учащихся проникает убеждение в том, что нет противоположности между суждением математики и тем, что подсказывает здравый смысл и опыт, тогда они чаще будут прибегать к самоконтролю, меньше будут рассчитывать на память и ошибок будут делать меньше“1.

3. Простота проведения экспериментов и многих практических работ, иногда вообще не требующих лабораторного оборудования, отсутствие сложных, может быть, даже недоступных (на данном этапе умственного развития школьников) логических построений, осуществление дидактического правила „от простого к сложному“— все это позволяет при помощи экспериментальных средств ознакомить школьников с идеями, очень важными для изучения и понимания

1 А. И. Маркушевич. Об очередных задачах преподавания математики в школе, „Математика в школе“, 1962, № 2, стр. 10.

математики. Эти идеи нередко важны и в методическом отношении, так как позволяют показать ученикам в самом начале изучения математики могущество математических методов, заинтересовать их богатством практических приложений этой науки. Приведу некоторые примеры:

а) На уроках арифметики ученики измеряют длины отрезков, а затем и длины ломаных (периметр треугольника). При этом можно объяснить, каким образом производится приближенное измерение длины отрезка кривой, для чего вместо искомой длины нужно взять длину ломаной, вписанной в данный отрезок кривой линии. Умение измерять длины любых отрезков (и прямолинейных и криволинейных) ученики теперь могут применить для измерения длин рек по карте, длин государственных границ и т. п.

б) Аналогично вводится понятие о приближенном измерении площадей различных фигур (данная фигура заменяется прямоугольником, имеющим приближенно такую же площадь). Знакомство с приближенными методами измерения площадей позволит в дальнейшем экспериментальным путем получить приближенную формулу площади круга. Методика изучения этих вопросов излагается в разделе „Пути усиления роли эксперимента при обучении математике“ (стр. 136).

в) Решение многих вычислительных задач по геометрии доступно уже в V—VI классах при помощи построения данной фигуры и измерения искомых величин. Еще не владея тригонометрией, ученики могут находить приближенные решения задач, которые в старших классах решаются точными методами.

г) При помощи построения графиков функций (по точкам) ученики могут решать задачи на максимум и минимум (среди них очень много задач с практическим содержанием), т. е. для них становятся доступными приближенные решения задач, которые даются в курсе высшей математики.

Не следует опасаться того, что, узнав приемы приближенного измерения длин и площадей, способы графического решения математических задач, школьники потеряют вкус к дальнейшим исследованиям. Напротив, приближенные способы решения ставят вопросы, которые может решить только теоретиче-

ское исследование: о точности полученного результата и общности полученного вывода. И наоборот, „оценить огромные преимущества теоретических способов решения по сравнению со способами, основанными на построениях и измерениях, можно только посредством сопоставления этих способов на практике“1.

4. Рассмотрим еще один довод в пользу введения экспериментальных методов в курс школьной математики. Ошибочно считают, что нет разницы между двумя и двадцатью опытами. Мол, все равно эти опыты не заменят дедуктивного вывода данного свойства!

Действительно, эксперимент не заменяет дедуктивного вывода. Но не следует сбрасывать со счетов психологические компоненты процесса усвоения знаний. Когда ученики еще ничего не знают о существовании определенной закономерности, полезно до проведения доказательства навести их на эту закономерность. Совпадение выводов в 20—30 случаях (по числу учеников, так как каждый проводит свой эксперимент) трудно объяснить случайностью. Так у учеников появляется уверенность в существовании какого-то свойства, появляется потребность доказать его при помощи дедуктивных средств.

„Проверяя“ определенное свойство на примерах, мы также не можем утверждать, что проверка на частных случаях дает полную гарантию в правильности дедуктивного вывода. И здесь подтверждение данного свойства на 20—30 частных случаях в результате массового опыта лишь увеличивает уверенность в объективной правильности этого свойства.

Уверенность в логической достоверности опыта возрастает после того, как учащимся раскрывается прием опровержения ложного заключения примером.

Это свойство эксперимента — его способность доказывать неправильность некоторого утверждения— особенно важно. Учащимся необходимо сказать, что этот метод применяется как научный метод исследования в математической науке.

1 В. М. Брадис. Вычислительная работа в курсе математики средней школы, Изд. АПН РСФСР, 1962, стр. 225.

Важен этот метод и для активизации обучения математике, когда учитель стремится развивать творческую самостоятельность школьников. Мы знаем, что при этом приходится поощрять попытки обобщения, попытки использования аналогий, попытки судить об обратной зависимости по прямой связи и т. д. Ясно, что в некоторых случаях ученики получают неверные утверждения, которые проще всего опровергнуть при помощи опыта, т. е. путем рассмотрения определенного частного случая (контрпримера).

Например, известно, что в ромбе диагонали перпендикулярны. Ошибочное же утверждение „Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то это ромб“ опровергается соответствующим построением. Если же опыт не опроверг проверяемого правила, то возникает вопрос: случайно это или нет? Возникает возможность установить закономерность, справедливую для всех частных случаев. Быстрый отбор всех не заслуживающих исследования случаев с помощью соответствующего эксперимента экономит время исследователя и предупреждает грубые ошибки.

Неумение обращаться к практике, к опыту, как правило, обесценивает знания школьников. Анализ ученических ошибок показывает, что среди них много таких, которые свидетельствуют о формальном изучении математики. Например, ошибка —— =- у учеников V класса объясняется неоправданной аналогией с действием умножения и тем, что учащиеся за выполненным преобразованием не видят реальных фактов. Исправление ошибок обращением к опыту, к простейшим случаям, где школьников выручит их учебный и жизненный опыт, — действенная мера.

5. Обращение к опыту позволяет вести оперативный учет состояния знаний школьников. В самом деле, любая опытная проверка установленного свойства дает быстродействующую характеристику знаний учеников: если ученик „опроверг“ верное свойство, значит, он не понимает этого свойства (или не умеет пользоваться инструментами, графиками, таблицами). Ценно и то, что такой взаимный контроль ведется также и самими учениками, которые всегда склонны сверять результаты своей работы друг с другом.

Необходимость введения эксперимента в школьный курс математики очевидна. Школа нуждается в методической разработке таких вопросов, так как правильное применение экспериментальных методов формирует естественнонаучное мышление школьников, поощряет их активность и самостоятельность, воспитывает у них отчетливое логическое мышление, помогает бороться с формализмом в знаниях учащихся.

С этим необходимо считаться и авторам учебников и задачников. Например, целесообразно включать упражнения на опровержение неверных утверждений в задачники, полезно в некоторых случаях заменять категорические задания типа „доказать, что...44 заданиями „проверить, справедливо ли следующее утверждение“ и др., которые поощряли бы предварительное рассмотрение конкретных моделей, частных случаев.

Учитель должен бы ь заинтересован в том, чтобы процесс обучения совершался как бы по своим внутренним законам, а не был навязан ученикам волей педагога. Эта внутренняя логика процесса обучения, разумеется, направляется учителем, но направляется так, чтобы ученики осознавали связь теории с практикой.

Учебная деятельность школьников в раскрытии этой связи должна:

1) подготавливать изучение и закрепление последующих свойств и правил;

2) служить критерием ценности изучаемого материала (ценности как чисто учебной — применение на уроках математики и других предметов, так и объективной—истинность теории проверяется практикой);

3) создавать условия для систематического применения теоретических сведений.

Пути усиления роли эксперимента при обучении математике

1. В курсе математики восьмилетней школы серьезное внимание уделяется изучению функций, осуществлению функционального подхода. Всем своим содержанием этот материал тесно связан с жизнью,

с практикой. И тем не менее изучение его нередко проводится в отрыве от опыта, вне связи с экспериментом.

В школе изучают главным образом функции, заданные аналитическими выражениями. По ним строят графики, облегчающие решение ряда задач.

На практике чаще всего получают некоторые значения функции, по ним строят график и отыскивают аналитическое выражение неизвестной функции. Из практики родилась и в настоящее время успешно решается проблема математической обработки экспериментальных данных.

Внимание к изучению элементарных методов математической обработки экспериментальных данных поможет определению роли экспериментальных и приближенных методов при обучении математике по новым программам.

Попытка ознакомления учеников с этой стороной изучения графиков описана в статье Д. К. Дашковского („Математика в школе“, 1958, № 2). Автор рассказывает, что учителя 157-й школы Ленинграда при изучении графиков линейной зависимости использовали таблицы растворимости некоторых солей в зависимости от температуры. Эти таблицы, помещенные в учебниках химии, служили материалом для построения графиков и получения приближенной формулы зависимости.

Использование таблиц из учебника по химии — конкретный пример реализации межпредметных связей. Однако в указанной попытке использованы далеко не все возможности: как и обычно, ученики обрабатывают готовый табличный материал. Собственно, такие задачи даже имеются в стабильном задачнике по алгебре (П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. II, Учпедгиз, М., 1958). Например, задача № 1787 дает таблицу экспериментально полученных данных зависимости скорости звука в сухом воздухе от температуры и требует: 1) начертить график зависимости v от 2) заменить этот график приближенно прямой линией, 3) составить приближенную линейную формулу зависимости v от t, найдя угловой коэффициент и начальную ординату посредством измерений на чертеже.

Было бы полезно и для изучения химии и для изучения математики, если бы результаты наблюдений, полученные при выполнении практических работ на уроке химии, служили материалом для работы этих же учеников на уроке математики.

Аналогичное положение с физикой. При изучении физики школьники выполняют много наблюдений, доступных для графической обработки, в том числе и в восьмилетней школе: зависимость тока от приложенного к концам проводника напряжения, изменение температуры, давления, влажности в течение дня или недели, расход электроэнергии или газа в квартире за определенный период времени и т. п. (Л. И. Резников, Графический метод в преподавании физики, Учпедгиз, М., 1960, стр. 49—52). Как видим, часть этих наблюдений может быть выполнена даже в порядке домашнего задания.

2. Второй важный путь усиления роли практической деятельности учащихся в процессе обучения математике в восьмилетней школе — изучение приближенных способов измерений длин, площадей и объемов.

Объем материала по этому разделу большой. Его изучение было бы целесообразно перенести на факультативные занятия.

Однако ознакомление учащихся с приближенными приемами измерения длин и площадей должно происходить и на обязательных уроках, так как, во-первых, учащиеся убедятся, что сообщаемые им без строгого обоснования формулы являются отражением реально существующих закономерностей, и, во-вторых, сопоставление приближенных и точных методов позволит учащимся оценить общность, точность формул и экономию времени, которую они приносят.

Изучение приближенных методов вычисления длин, площадей и объемов будет иметь определенное пропедевтическое значение для изучения элементов высшей математики. В самом деле, если научить учащихся приближенно определять площадь любой фигуры, то это облегчит нахождение площадей с помощью интеграла. Практические навыки приближенного вычисления площадей могут пригодиться учащимся и при изучении физики, когда им придется решать

задачи, связанные с нахождением площади фигуры, ограниченной частью кривой, осью абсцисс и ординатами крайних точек кривой: вывод формул кинематики (формул равномерного и равнопеременного движения), определение величины работы пара или газа (в осях „объем — давление“)1.

Наконец, рассмотрение приближенных методов измерения позволяет учащимся приложить к решению практических задач те геометрические сведения, которые изучаются ими на уроках геометрии. Большая часть описанного здесь материала была мной проверена в школьной практике.

а) Измерение длины дуги кривой проводится вслед за практическими работами на измерение длины ломаной линии, периметров треугольника и многоугольника.

Теоретическая сторона приема приближенного измерения длины отрезка кривой заключается в том, что вместо искомой кривой измеряется длина ломаной, вписанной в данную кривую линию.

Заменяя отрезок кривой отрезком прямой, получаем результат, меньший искомого (повторяем свойство отрезка). Далее, заменяя каждое звено ломаной двумя звеньями, мы увеличиваем первоначальный результат, но и второе полученное число будет меньше искомого (эти факты опять-таки объясняются при помощи свойства отрезка). Таким образом, свойство отрезка помогает учащимся осознать, что чем меньше звенья ломаной, вписываемой в данную кривую, тем меньше погрешность результата, полученного при измерении длины ломаной.

Измеряем приближенно длину отрезка кривой при помощи измерения длины произвольной ломаной, вписанной в кривую.

Ставится вопрос, как упростить процесс измерения, который в первоначальном виде требует большой затраты труда. Во-первых, можно вместо измерения длины каждого звена ломаной строить сумму этих отрезков и только после этого находить значение длины ломаной.

1 Л. И. Резников. Графический метод в преподавании физики, Учпедгиз, М., 1960, стр. 57.

Во-вторых, упрощение можно получить, если звенья ломаной брать одинаковыми, например по 1 см или 0,5 см, ломаную с одинаковыми звеньями строить с помощью измерительного циркуля. Здесь же выясняется, что саму ломаную вообще строить не обязательно. Вычисление длины ломаной ведется „устно“: при помощи подсчета числа „шагов“ измерительного циркуля вдоль кривой.

После введения приема приближенного измерения длины отрезка кривой полезно проверить на практике утверждение о том, что точность результата измерения повышается, если брать раствор циркуля меньше, чем в первый раз. Чтобы поддержать интерес учащихся к приему приближенного измерения отрезка кривой, мы измеряли по географическим картам длины рек (результат работы оформлялся в виде диаграммы), длины границ между государствами, длины орбит планет и искусственных спутников Земли и т. д.

В учебных целях, чтобы оценить аккуратность выполнения работы в зависимости от точности результата, я использовал следующий прием: кусок нитки измерялся при помощи линейки, затем криволинейный отпечаток этого куска нитки, окрашенной чернилами, размножался при помощи копирки. Эти листки могут готовить и сами учащиеся, и у учителя будет достаточный набор раздаточного материала, который можно использовать для кратковременных измерительных работ на уроках геометрии.

Измерение длины кривой при помощи измерительного циркуля дает неплохую точность. В этом учащиеся еще раз убедятся при измерении длины окружности. Так, например, для четверти окружности измерение раствором циркуля в 1 см дает результат 77 мм, а измерение раствором циркуля в 0,5 см — результат 78,3 мм, тогда как вычисление по формуле— 78,5 см (рис. 1). Однако ручаться, что при описанном приеме получаем нижнюю границу искомого результата, нельзя — большое значение имеет и то, какую погрешность имеет раствор циркуля в 1 см или в 0,5 см.

После введения формулы длины окружности можно для измерения длины отрезка кривой использовать сопоставление длины этого отрезка с длиной окруж-

ности, т. е. подвести учащихся к идее самодельного курвиметра. Измерение упрощается, если взять для измерения круг с длиной окружности в 1 дм, а для больших расстояний — в 1 м. Проверка точности измерений каждым курвиметром дает учащимся возможность составить таблицы поправок (или определить знак погрешности и ее значение в процентах к измеряемой величине).

б) Измерение площадей. Учащиеся знакомятся с одним приближенным способом измерения площадей — при помощи палетки. Необходимо заметить, что этот прием не пользуется любовью учащихся из-за однообразия и утомительности подсчета числа клеток. На мой взгляд, этот способ можно в школьных условиях рационализировать: вписывать в данную фигуру прямоугольники (или треугольники), площади их вычислять при помощи непосредственного измерения сторон и подсчитывать лишь число клеток, не входящих в прямоугольники. Такой подход позволяет применить знания, которые имеются у учащихся, и облегчает подсчет клеток.

Второй способ приближенного измерения площадей—при помощи взвешивания. Этот способ усиленно рекомендуется для введения в школьную практику Л. И. Резниковым в упомянутой выше книге (стр. 57), однако в школе не получил признания. Между тем этот способ доступен даже ученикам V класса, и, применяя его, можно было бы пользоваться следующей методикой. Вырезают из плотной бумаги фигуру, площадь которой хотят определить, а также (из той же бумаги) единицы площади — квадратные дециметры, квадратные сантиметры, половины, четверти и т. д. этих единиц. Измерение площади происходит самым наглядным образом: фигура уравновешивается на весах

Рис. 1.

каким-то числом квадратных единиц, и никаких дополнительных вычислений делать не надо.

Наконец, третий способ приближенного измерения площадей имеет самое непосредственное отношение к геометрии и должен быть поставлен, по моему мнению, на первый план, так как он доступен уже ученикам V класса и имеет более глубокие связи с геометрическим материалом, чем другие способы.

Он заключается в замене данной фигуры другой, площадь которой мы умеем вычислить, и в постепенном повышении точности приближения к искомому результату.

Предположим, надо измерить площадь сечения реки (рис. 2). Производят через равные по ширине расстояния, например через 2 м, измерения глубины. Далее, вместо того чтобы вычислять площади образовавшихся криволинейных трапеций, заменяем их прямоугольниками с высотами, представляющими среднее арифметическое соседних глубин, так как очевидно, что площади треугольников ABC и ADE примерно равны друг другу. Нелишне подумать, как лучше всего производить вычисление суммы площадей прямоугольников. Рационализация вычислений требует применения суммы навыков, которые должны прививаться в процессе изучения геометрии: проведения средних линий криволинейных трапеций (эти отрезки параллельны друг другу), построения суммы всех средних линий в виде одного отрезка, измерения длины этого суммарного отрезка и, наконец, вычисления общей площади прямоугольников. Этот прием смогут найти и сами учащиеся, если обратить их внимание на то, что основания всех прямоугольников равны.

Такой же прием применяем для измерения площади фигуры, изображенной на рисунке 3. Теперь очевидно,

Рис. 2.

что средние линии целесообразно строить одновременно с основаниями криволинейных трапеций, проведя какую-нибудь базисную прямую. Возможно, некоторые учащиеся догадаются, что основания трапеций вообще можно не строить. Далее строим сумму средних линий криволинейных трапеций и вычисляем приближенное значение площади фигуры.

Применение миллиметровой бумаги значительно упрощает необходимые построения и расчеты. Миллиметровая бумага может быть использована при измерении площади круга, и ее применение даст хорошую точность ввиду мелкой миллиметровой сетки. На рисунке изображена четверть круга. Задаемся целью прийти к искомому результату, вычисляя площадь квадрата, приблизительно равновеликого данной фигуре. Степень приближения можно контролировать, подсчитывая число квадратных единиц несовпавших частей круга и квадрата. Из чертежа видно, что площадь квадрата ABCD меньше площади четверти круга, а площадь квадрата АЕНК— больше (это определяется при помощи подсчета числа клеток), таким образом, сторона квадрата заключается между 0,88R и 0,9 R. Поэтому получаем для площади круга следующую оценку:

Это соответствует следующей оценке числа тс:

т. е. значение тс определено с 3 значащими цифрами. Последняя цифра ненадежная.

Многочисленные практические работы, связанные с приближенным измерением длин и площадей, могут быть использованы для более строгого обоснования формул длины окружности и площади круга. Например, сводя результаты зависимости длины окружности от радиуса в одну таблицу и строя график этой зависимости, получаем приближенную формулу этой зависимости. Аналогично может быть получена прибли-

Рис. 3.

женная формула зависимости площади круга от радиуса.

в) Объем пирамиды. Учащимся даются задания изготовить модели пирамид из плотной бумаги: несколько пирамид — с основаниями в 26 см, несколько — с основаниями в 35 см2, несколько — с основаниями в 48 см2. Высоты моделей также задаются заранее, но возможен и другой вариант — каждый ученик измеряет насколько возможно точно высоту приготовленной им модели. Эти данные (значение высоты и площади основания) записываются. Объем приготовленной модели также измеряется (при помощи песка и мензурки), и его значение также записывается.

Каждая группа учащихся, приготовивших модели с равновеликими основаниями, оформляет полученные данные графически: на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются значения высоты пирамиды, на другой — значения объема. Так как точек будет 4—5, то можно будет видеть, что они располагаются вдоль какой-то прямой (точнее, внутри полоски с параллельными краями). Ширина этой полоски дает учителю возможность контролировать степень точности данных, полученных опытным путем (чем она шире, тем хуже точность измерений учащихся данной группы).

Так как указанная полоска должна проходить через начало координат (при Н=0 объем равен нулю), то уравнение искомой зависимости надо искать в следующей формуле: V = kH, где k предстоит вычислить.

Рис. 4. Рис. 5.

Каждый учащийся вычисляет1 значение k для той точки, координаты которой получены им самим, и, сравнивая его со значениями полученными остальными членами группы, определяет „общее“ значение k. Примерный график обработки для пирамид с основанием в 26 см2 показан на рисунке 4.

Аналогичную работу производят учащиеся других групп. В итоге каждая группа получает свою формулу для нахождения объема на заданной площади, хотя все они устанавливают одну и ту же формулу зависимости объема от высоты: V=kH, но с различными значениями коэффициента Предположим, эти данные сведены в следующую таблицу:

5

26 см2

35 см2

48 см2

55 см2

k

8,7

11,7

16,0

18,3

Теперь по данным этой таблицы строим график зависимости k = A-S и убеждаемся, что это прямая линия, проходящая через начало координат (при S = 0 и объем пирамиды равен нулю, т. е. и £ = 0).

Каждая группа вычисляет формулу этой зависимости k = AS, используя координаты „своей“ точки. Очевидно, должно получиться значение A, близкое

Вычисляя среднее значение A, получаем искомую приближенную формулу зависимости, например, такого вида:

Остается сказать ученикам, что формула получилась приближенной, что в последующем будет выве-

1 Предполагается, что учащиеся уже знакомы с задачей получения приближенной формулы зависимости, заданной при помощи графика прямой линии. Для прямых, проходящих через начало координат, эта задача сводится к решению уравнения первой степени. На прямой выбирается произвольная точка (желательно дальше от начала координат), и ее координаты подставляются в уравнение у «— kx, что позволяет определить значение k.

дена точная формула объема пирамиды, где значение А равно —.

Чтобы подвести учащихся к этой точной формуле, можно рассмотреть две пирамиды, объемы которых можно получить, вычисляя объем куба (рис. 5). И в том и в другом случае получаем формулу объема пирамиды:

Теперь каждый ученик может проверить, согласуется ли эта формула с полученными им опытными данными, насколько велико отклонение теоретического объема от значения, полученного опытным путем.

Описанная работа дает возможность самым тесным образом связать практические задания с изучением теории. Что касается строгости обоснования формулы объема пирамиды, то здесь налицо все особенности, которыми обладают выводы, полученные экспериментальным путем.

Рис. 6.

г) Объем шара. Используя несколько металлических шариков различного объема, можно получить 5—6 значений для радиуса шара и его объема. Эти значения могут быть найдены по согласованию с другими учителями на уроках физики и труда: объем шаров может быть получен при помощи непосредственного измерения (путем использования мензурок с водой) или при помощи взвешивания и последующего вычисления объема по формуле V=—.

Строим систему координат (оси „радиус — объем“, рис. 6) и наносим соответствующие точки на чертеж. Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график зависимости, приближенную формулу которой стремимся разыскать. (Ясно, что график должен проходить через начало координат, так как при R = 0 и V = 0.)

Выражаем искомую зависимость следующей формулой:

Поскольку полученный график не является прямой линией, ясно, что k не является постоянной, а также зависит от радиуса шара. (К этому же выводу приходим, подставляя координаты различных точек полученного графика в формулу зависимости V=k-R.)

Ищем вторую зависимость k от R при помощи формулы k = mR, где значение m неизвестно. Используя вычисленные значения k и соответствующие им значения R, строим второй эмпирический график (система осей „радиус — величина ku). Полученный график опять покажет, что значения m также не являются одинаковыми для всех построенных точек. Это подтверждается вычислением значений m для каждой точки; вычисления ведутся несколькими группами учащихся — каждая группа последовательно вычисляет для одной определенной точки значения m и т. д.

Следовательно, и величина m также зависит от R. Пусть m = t-R. Используя вычисленные значения m и соответствующие значения R, строим третий эмпирический график (система осей „радиус — величина nа*)— он должен оказаться прямой, т. е. t можно найти

обычным путем. Предположим, мы нашли, что / = 4,2; тогда

Сравнивая значения 4,2 с — гс, определяем точность полученной формулы. Проверяя опять точную формулу объема шара на тех опытных данных, которые ими получены, учащиеся могут выявить группу, которая добилась наилучших результатов в измерении радиуса и объема шара. Примерный ход построения графиков изображен на рисунке 6.

КРАСНЯНСКАЯ К. А. (Москва)

ОРГАНИЗАЦИЯ ОБЪЕКТИВНОГО ИЗУЧЕНИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Обучение математике и развитие познавательной деятельности учащихся могут успешно осуществляться при условии постоянного изучения усвоения учащимися знаний. Поэтому проблема объективной проверки знаний является одной из актуальных проблем в педагогике. Решение этой проблемы можно вести в двух направлениях:

а) обеспечение объективного подхода при изучении состояния знаний больших коллективов учащихся,

б) обеспечение такого подхода при изучении состояния знаний отдельного ученика. В статье рассматривается только первое направление.

В проблеме изучения состояния знаний выделяются следующие основные этапы:

1) отбор результатов обучения, подлежащих проверке (определенные знания, умения, навыки, общее математическое развитие, математическая культура, качество личности, формируемое в процессе обучения),

2) составление контрольных заданий,

3) организация проверки,

4) обработка и оценка ответов учащихся.

Объективное изучение знаний заключается в нахождении таких методов осуществления всех перечисленных этапов проверки, при которых обеспечивается максимально возможное соответствие результатов изучения знаний учащихся действительному состоянию их знаний.

I

Изучение состояния знаний, как правило, предпринимается с целью определения степени усвоения того или иного материала, оценки путей улучшения содержания, организации или методов обучения.

Для выявления более эффективной по содержанию программы или формы организации обучения необходимо установить критерии их сравнительной оценки. Одним из таких критериев является уровень развития знаний (или других результатов обучения) большинства учащихся, которые обучались по разным программам или в отличных по организации системах обучения.

После определения задачи исследования нужно выбрать и измерить у учащихся те результаты обучения, состояние которых позволит дать объективный ответ на поставленную задачу. Однако в зависимости от мнения и опыта лиц, проводящих проверку, для решения одной и той же задачи ими могут быть отобраны и измерены различные пересекающиеся или не пересекающиеся между собой совокупности результатов обучения. Поэтому очень важным моментом является оценка правильности произведенного отбора.

В настоящее время еще не найдены точные методы, позволяющие количественно оценить возможность использования показателей состояния отобранных для проверки результатов обучения как объективных критериев для решения тех или иных педагогических задач. Несмотря на это, все же имеются некоторые возможности уменьшить субъективное влияние лиц, проводящих проверку, на отбор результатов обучения.

Значительно повысит объективность отбора соблюдение некоторых рекомендаций.

а) Выбор проверяемых результатов обучения определяется целью исследования. Он зависит от того, что именно измеряется: общая математическая подготовка учащихся, усвоение какого-либо раздела курса, эффективность метода обучения, вычислительные навыки и пр.

Предположим, что целью исследования является выяснение зависимости между знаниями по математике и физике. То есть нужно, например, установить,

насколько успешно будет проходить изучение физики в зависимости от овладения учащимися некоторыми математическими знаниями. Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить, например, состояние знаний по физике со знанием из курса математики системы мер и весов, систем единиц, с умениями устанавливать функциональную зависимость величин, выполнять тождественные преобразования, решать уравнения, выполнять действия с целыми, дробными числами.

Если целью исследования является проверка умения учащихся решать задачи на движение, то достаточно измерить умение решать задачи на встречное движение и на движение в одном направлении.

Таким образом, для получения достоверных опытных данных необходимо, определив задачу исследования, заранее спланировать, изучение каких результатов обучения будет служить источником получения этих данных. Существенную помощь в отборе результатов может оказать четкая формулировка задачи исследования в форме гипотезы, которую надо подтвердить или опровергнуть. Гипотеза должна быть конструктивной, т. е. она должна содержать предположение о том, какие причины (метод обучения, программа и т. п.), по мнению исследователя, оказывают влияние на уровень развития тех или иных результатов обучения. Например, гипотеза: начало систематического изучения функций на ранней ступени обучения (VI класс) способствует улучшению функциональной подготовки учащихся по сравнению с подготовкой, полученной к концу восьмилетнего обучения по действующей программе. Проверка такой гипотезы позволит сделать выводы относительно содержания, организации, методов обучения.

б) Для проверки необходимо отобрать только несколько результатов обучения, состояние которых будет служить достаточным основанием для отклонения или подтверждения гипотезы.

Достижению объективности в этом отборе может способствовать использование предшествующего педагогического опыта и учет общественного мнения относительно важности развития у учащихся того или иного результата обучения. Нужные для этого сведения можно найти в научно-методической литерату-

ре, посвященной вопросам обучения и изучения психологии учащихся.

Учет общественного мнения очень важен для выявления требований, которые предъявляет окружающая нас действительность к знаниям учащихся.

в) Уменьшение влияния лиц, проводящих исследование, на отбор проверочного материала может быть достигнуто при осуществлении более строгого контроля за отбором результатов обучения. Для этого полезна такая система организации отбора проверочного материала:

1) цель исследования сообщается компетентным лицам (учителям, научным работникам, методистам), каждый из них (или весь коллектив в целом) составляет перечень результатов обучения, которые, по их мнению, следует измерить;

2) составленный список обсуждается, исправляется, пополняется, после чего комиссия, которая руководит исследованием, окончательно утверждает список.

г) Наибольшей объективности в отборе проверочного материала можно добиться при наличии подробных перечней результатов обучения, которыми должны владеть учащиеся после изучения отдельных разделов или всего курса математики.

Такими списками следовало бы сопровождать новые программы по математике. Если вначале эти перечни будут в достаточной мере субъективными, то под воздействием школьного опыта и общественного мнения они будут изменяться и в итоге давать более точное представление о содержании математической подготовки учащихся.

Первый этап организации изучения знаний считается завершенным, если исследователи располагают перечнем результатов обучения, подлежащих измерению.

Например, в качестве показателей, позволяющих судить об уровне функциональной подготовки учащихся VIII класса, можно использовать уровни развития следующих умений:

1) из соответствий, заданных разными способами (графиком, уравнением, описанием), выделять функциональные;

2) строить графики изученных функций на основе свойств функций и по точкам;

3) определять свойства функции по графику и по аналитическому выражению;

4) задать одну и ту же функцию различными способами (графиком, таблицей, уравнением, описанием);

5) применять свойства функции при решении уравнений, неравенств, в тождественных преобразованиях, при изучении новых разделов школьного курса математики.

II

При составлении контрольных заданий обычно руководствуются целью проверки. Например, проверке подлежат несколько результатов обучения:

1) функциональная подготовка;

2) вычислительные навыки;

3) навыки выполнения тождественных преобразований;

4) понимание прочитанного текста.

Основной недостаток указанного списка заключается в возможности широкой трактовки содержания каждого из пунктов. Их нужно максимально конкретизировать. Так, например, для заключения о состоянии навыков тождественных преобразований учащихся IV класса, обучающихся по новой программе, нужно проверить умения:

1) приводить подобные члены;

2) переносить члены из одной части уравнения в другую.

В данном случае объем знаний, которые нужно измерить, определяется программой. Из приведенного примера видно, что конкретизация цели исследования заключается в отыскании знаний и умений, уровни развития которых служат показателями состояния измеряемого результата обучения. Такую конкретизацию сравнительно легко осуществить по отношению к частным умениям, показатели развития которых можно определить из программы.

Гораздо труднее конкретизировать цели в случае измерения результатов обучения более общего харак-

тера, например: вычислительной культуры учащихся; умений, формируемых в процессе изучения ряда предметов (например, умения делать выводы); творческих способностей учащихся.

Однако можно определить знания, состояние которых является косвенными показателями развития сложных умений. Например, невозможно непосредственно измерить понимание прочитанного текста. Но косвенными показателями этого умения могут служить: умение отыскать неправильности в содержании или последовательности изложения математических фактов, в доказательстве математического предложения, в решении конкретной задачи, умение применить сведения, почерпнутые из прочитанного текста, на практике, и пр.

При составлении контрольных заданий большую пользу могут принести четкие описания программных требований к знаниям учащихся.

В объяснительной записке к новой программе по математике можно найти описание уровней развития некоторых умений. Как правило, описание деятельности дается только для одного уровня, а именно: уровня, являющегося обязательным для большинства учащихся. Например, по теме „Уравнения и системы уравнений“ (VII класс):

„Примеры нелинейных систем уравнений должны подбираться так, чтобы их алгебраическое решение не представляло трудностей, но соответствующие им геометрические картины были разнообразны; например, четыре решения системы

изображаются точками пересечения окружности и пары прямых".

По теме „Дробные показатели степени“ (VIII класс): „Примеры иррациональных уравнений для обязательных контрольных работ:

Таким образом, описание деятельности, характерной для различных уровней усвоения измеряемых зна-

ний, можно дать перечислением конкретных заданий, решение которых должно быть доступно учащимся на каждом из этих уровней.

Выбор оснований для выделения различных уровней состояния измеряемых знаний зависит от цели исследования, особенностей этих знаний, требований программы, целей обучения.

Эти основания, а следовательно, и описание деятельности, характерной для каждого уровня, на первоначальном этапе исследования будут в значительной мере отражать принципы, мнения, взгляды лиц, ведущих исследование.

Однако использование описания уровней на практике позволит внести в них необходимые изменения и уточнения и тем самым снизить их субъективный оттенок.

Составление таких описаний, пусть даже в достаточной мере субъективных, является основой для осуществления единого подхода к выявлению и сравнению знаний учащихся. Оценки качества знаний различных групп учащихся будут справедливы с точки зрения этих критериев.

Конкретизация целей исследования облегчает составление первого варианта контрольной работы.

Вопрос включения каждого задания этой работы в окончательный вариант или изменения его содержания и редакции может быть решен только в процессе проверки. Для этой цели отбирается сравнительно небольшая группа из 50—100 различных по успеваемости и развитию учащихся. Результаты выполнения работы этими учащимися позволяют выяснить:

1) насколько содержание задания соответствует целям проверки и возможностям учащихся, для которых составлена работа;

2) однозначно ли учащиеся понимают условие задачи.

При решении поставленных проблем можно использовать некоторые количественные критерии.

Одним из таких критериев может служить трудность задания. Будем считать, что трудность задания численно равна проценту учащихся проверочной группы, верно ответивших на это задание. Например, из 80 человек на первый вопрос работы верно отве-

тили 60 человек. Тогда трудность этого задания численно равна 75. (——= 75%).

Однако этот способ определения трудности имеет существенные недостатки. Оценка истинной трудности задания может быть сильно искажена по ряду причин, например вследствие неудачного изложения материала в учебнике или из-за неудачного объяснения этого материала учителем, обучавшим учащихся.

Показатель трудности задания может быть использован в зависимости от цели работы как мотив для отклонения или включения задания в текст работы, изменения его редакции, расположения в ряду других заданий. Слова „в зависимости от цели работы“ вставлены не случайно. Так, если цель работы заключается в выявлении учащихся с хорошей математической подготовкой, то в текст работы следует включить в основном трудные задания.

При составлении и отборе заданий можно пользоваться еще одним критерием — дифференцировочной возможностью (различительной силой) задания.

Дифференцировочную возможность можно определить как свойство задания, позволяющее по ответу на это задание уловить различие в уровне измеряемых знаний у учащихся проверочной группы.

Считается, что задание обладает высокой различительной возможностью, если верный ответ на него могут дать только учащиеся, хорошо усвоившие материал. Остальные учащиеся обязательно выполняют это задание неверно. Показателем дифференцировочной возможности задания принято считать разность трудностей этого задания для сильных и слабых (в отношении измеряемых знаний) учащихся. Так, если в первой группе трудность задания равна, например, 24, а во второй — 65, то дифференцировочная возможность оценивается числом 41 (65—24 = 41).

Отбор учащихся в сильную и слабую группы проводится на основе четвертных оценок или результатов выполнения учащимися проверочной группы всей работы. Например, в сильную подгруппу выделяют 25% учащихся всей группы, имеющих наибольшее число верных ответов на контрольные задания по сравнению с другими учащимися. В слабую подгруппу

отбирают 25% учащихся, имеющих наименьшее число верных ответов. Такая система отбора представляется обоснованной особенно в тех случаях, когда при выводе четвертных оценок не учитывались знания, проверяемые данной работой.

Если задание имеет низкую различительную способность, то причиной может быть следующее:

1) редакция задания неудачна, задание сформулировано нечетко, непривычно, содержит неточные выражения;

2) для решения требуется знание другого предмета, например физики или химии;

3) задание или очень легкое, или очень трудное для любого учащегося данного года обучения;

4) задание измеряет результат обучения, отличный от того, который проверяется всеми остальными заданиями.

Если причина относится к 1-му и 4-му пунктам, то следует или исключить задание, или изменить его редакцию и проверить еще раз. Если причина относится ко 2-му или 3-му пунктам, то вопрос о включении задания следует решать в зависимости от цели работы.

Таким образом, учет показателей трудности и дифференцировочной силы задания оказывает существенную помощь при составлении контрольных заданий.

При проверке знаний необходимо обеспечить максимальную объективность оценки правильности ответов учащихся на контрольные задания. Решение этой проблемы находится в прямой зависимости от условий, в которые поставлен учащийся при нахождении ответа.

Здесь возможны две ситуации:

1) вопрос предлагается учащемуся вместе с готовыми ответами, один или несколько из которых верные;

2) ответ на вопрос учащийся должен сформулировать самостоятельно.

В первом случае объективность оценки ответа учащегося достигается сравнительно просто. В связи с этим задания с готовыми ответами получают все большее распространение, особенно в связи с осуществлением программированного обучения.

По-другому приходится решать эту проблему во втором случае.

Задания со свободным ответом можно эффективно использовать для измерения самых различных результатов обучения.

Однако для записи ответа учащийся вынужден пользоваться словами и символами. В тех случаях, когда правильный ответ на вопрос может быть записан в виде чертежа или единственно возможной комбинации слов и символов, оценка не вызывает затруднений.

Например:

1. Вопрос. Решите уравнение

Ответ. Уравнение не имеет решений.

2. Вопрос. Найдите 39-е четное число натурального ряда. Ответ. 78.

Однако таким свойством обладает далеко не всякое задание. В иных случаях приходится составлять подробную инструкцию, позволяющую любому проверяющему объективно оценить ответ учащегося.

Например:

Вопрос. Если сумма двух чисел есть число четное, то каким числом (четным или нечетным) будет произведение этих чисел? Приведите примеры.

Инструкция к оценке этого задания может быть записана следующим образом: ответ следует считать верным, если рассмотрены два возможных случая (произведение — число четное и нечетное) и на каждый из них приведен пример.

Однако составить такую инструкцию к контрольной работе далеко не просто. Особенно в тех случаях, когда решение вопроса требует связного подробного изложения большого по объему материала или записи последовательности рассуждений и вычислений, произведенных учащимися.

Поэтому при составлении контрольных работ для массовой проверки знаний учащихся пока приходится отказываться от заданий, к которым не удается составить краткую и ясную инструкцию оценки ответа.

После предварительной проверки заданий составляется текст контрольной работы. Проверочная ценность этого текста оценивается показателями надежности и достоверности.

Надежность работы характеризуют следующие факторы: 1) измеряет ли работа тот результат обучения, который мы ставили целью измерить, измеряет ли она его глубоко и полно (всесторонне) и 2) не измеряет ли она другие результаты обучения.

Например, для выявления вычислительных навыков учащихся проводится работа, состоящая из отдельных примеров в одно действие. Каждое задание действительно измеряет желаемый навык. Однако по результатам выполнения такой работы нельзя сделать вывод об умении школьников определять порядок действий. А без этих данных невозможно дать объективную всестороннюю характеристику состояния вычислительных навыков учащихся.

Определить „надежность“ работы можно теоретически (теоретически обосновать надежность содержания работы для измерения желаемых знаний) и эмпирически (на основе сравнения результатов выполнения работы учащимися с результатами, полученными при изучении знаний этих же учащихся другим способом). Эмпирический метод позволяет получить количественный показатель надежности работы, так называемый коэффициент надежности.

Пусть, например, имеется тест, измеряющий тот же результат обучения, что и наша работа. Надежность теста доказана в процессе его использования в школьной практике. Одной и той же проверочной группе учащихся предлагают и тест и нашу работу. В этом случае надежность работы численно равна коэффициенту корреляции оценок учащихся группы по тесту и по работе. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем лучше наша работа измеряет нужные знания.

Чем выше значение коэффициента надежности, тем надежнее измеряет работа знания учащихся. Однако многолетний опыт показал, что значение коэффициента, близкое, например, к 0,8, удается получить очень редко. Для большинства работ значение коэффициента не превосходит 0,6.

Вопрос об использовании работы, имеющей низкий коэффициент надежности, можно решить только при сравнении результатов по этой работе с результатами, полученными при проверке знаний другими методами.

Если дополнительные исследования покажут, что 1) новая работа дает возможность точнее и быстрее оценить нужные знания, чем другие методы и работы, применявшиеся ранее для этой цели, или 2) при использовании работы удается получить новую информацию, отличную от той, которую можно было получить при старых методах изучения знаний, то, несмотря на малое значение коэффициента надежности, работа может применяться для измерения нужных знаний.

Определением надежности завершается только первая часть исследования содержания работы.

Множество различных факторов оказывает влияние на результат выполнения работы каждым учащимся в отдельности и всей проверочной группой в целом.

Основным фактором является состояние измеряемых работой знаний учащихся к моменту выполнения работы.

Все остальные факторы можно разделить на следующие три группы:

1) особенности содержания заданий, включенных в работу;

2) привычка учащихся к выполнению определенной деятельности (например, умение отвечать на вопросы тестового характера);

3) настроение, состояние здоровья, отношение учащихся к работе во время ее выполнения.

В связи с этим возникает вопрос об оценке еще одного свойства содержания работы, которое принято называть достоверностью работы.

Достоверность характеризуется точностью соответствия полученных результатов проверки (оценок учащихся по работе) действительному состоянию измеряемых знаний у учащихся проверочной группы.

Чем выше достоверность работы, тем больше зависит оценка, полученная учащимся за выполнение работы, от состояния знаний этого ученика и тем меньше она (оценка) зависит от влияния случайных факторов, перечисленных выше.

Достоверность работы можно оценить на основе сравнения результатов, полученных при многократном выполнении данной работы одной и той же группой учащихся. Чем выше стабильность результатов выполнения работы для каждого ученика, тем достовернее работа.

Разберем один из возможных методов, позволяющих количественно оценить достоверность работы.

Учащиеся проверочной группы дважды выполняют одну и ту же работу с разрывом в 2—3, максимально в 4 дня. О том, что работу придется писать два раза, учащиеся не предупреждаются. Никакого разбора и исправления ошибок, допущенных учащимися при первом выполнении контрольных заданий, не производится.

В связи с этим можно предположить, что состояние знаний, измеряемых работой, будет примерно одинаковым в момент первой и второй проверок.

О стабильности результатов можно судить по совпадению оценок, полученных каждым учащимся при двукратном контроле.

Количественной мерой совпадения оценок является коэффициент корреляции этих оценок.

Чем больше значение этого коэффициента, тем стабильнее результаты измерения знаний учащихся и, следовательно, тем достовернее работа, которой эти измерения производились.

III

Организация проверки состоит из трех этапов:

1) выбора метода проверки;

2) подбора группы учащихся для проверки знаний;

3) составления инструкции проведения проверки, Остановимся на каждом этапе проверки.

1) Существенное влияние на объективность выявления состояния знаний имеет правильный выбор метода проверки. Все методы проверки можно разделить на письменные (обычные письменные контрольные работы, тесты любого вида, анкеты) и устные (устный опрос, индивидуальная беседа с учащимися). Письменный метод полезен при выяснении фактических знаний, уровня развития отдельных умений и навыков (в этом случае нас меньше интересуют процесс рас-

суждений и приемы поиска ответа, чем правильность самого решения и характерные ошибки, допущенные при этом).

Если задачей исследования является изучение умственной деятельности учащихся при поиске решения, то эффективным методом проверки является устный метод, используя который можно зафиксировать (путем дополнительных вопросов) малейшие оттенки этой деятельности.

Таким образом, выбор метода проверки определяется целью исследования. В отдельных случаях только сочетание нескольких различных методов позволит решить задачу, стоящую перед экспериментаторами.

2) Подбор группы учащихся для проверки знаний.

Педагогические явления представляют собой процессы, испытывающие всевозможные колебания от действия многих случайных причин.

На первый взгляд кажется невозможным устранить влияние этих причин и выявить закономерности, лежащие в основе педагогических явлений. Однако это предположение неверно, так как измерения свойств педагогических явлений подчиняются закону больших чисел.

В педагогических терминах содержание закона больших чисел можно сформулировать так: при увеличении объема группы учащихся, у которых проверяются знания, происходит взаимное погашение индивидуальных отклонений в знаниях отдельных учащихся от некоторого среднего уровня, характерного для всей совокупности учащихся.

Сделаем вывод: о состоянии знаний большого коллектива учащихся можно судить по результатам проверки группы учащихся, являющейся частью этого коллектива. Однако, для того чтобы полученные выводы были достоверными, эта группа должна быть достаточно большой и качественно представительной, т. е. имеющей особенности, присущие всей совокупности учащихся (а не случайные признаки). Это возможно в том случае, если члены группы взяты из рассматриваемой совокупности, но из разных школ, обучаются у разных учителей, имеют различную подготовку. Группы, удовлетворяющие этим требованиям, принято называть репрезентативными.

Методика составления репрезентативной группы учащихся зависит от цели исследования. Так, при изучении эффективности какого-либо метода обучения преимущество данного метода перед другим может быть выяснено в результате измерения знаний двух групп учащихся, обучавшихся разными методами.

Полученные результаты можно считать достоверными только в том случае, когда исследование ведется на двух эквивалентных группах учащихся. В каждой из этих групп должны быть примерно одинаковые по своим педагогическим качествам учителя, а также состояние знаний и уровень развития учащихся к началу эксперимента. Показателями состояния знаний и уровня развития учащихся могут служить отметки учеников по математике и характеристики, написанные учителем. Для большей уверенности можно учесть оценки, полученные учащимися за прежние годы по этому предмету, по другим предметам, за специальные контрольные работы, которые составляли экспериментаторы для выяснения состояния знаний учащихся.

Как уже было сказано, влияние случайных факторов на результаты эксперимента может быть уменьшено, если число учащихся достаточно велико, а объекты, отобранные для измерения, максимально однородны в отношении неизмеряемых качеств и максимально вариативны по измеряемому качеству.

IV

Для использования статистических методов при обработке результатов целесообразно оценивать выполнение работы учащимся суммой данных им верных ответов (верный ответ оценивается 1, а неверный ответ или отсутствие ответа — нулем).

Все оценки учащихся, выполнявших работу, выписываются в ряд. Применение статистических методов обработки результатов измерений позволяет получить некоторые количественные показатели, характеризующие особенности ряда распределения оценок. Эти показатели будут служить одновременно характеристиками состояния измеренных знаний. Существует возможность оценить достоверность этих характеристик при распространении их на всю совокупность учащихся, из которой была взята репрезентативная

группа. Эта возможность и является преимуществом предложенной системы организации изучения знаний учащихся.

Перечислим некоторые характеристики, которые можно найти для ряда распределения оценок учащихся по работе:

а) расположение этих оценок в ряд по возрастанию (убыванию), интервальное распределение оценок в случае большого числа вопросов, ранговое распределение оценок по двум работам, выполненным одной и той же группой учащихся; вычисление размаха (разность наибольшей и наименьшей оценок),

б) графическое изображение ряда распределения оценок: гистограммы, полигоны, огивы;

в) определение центральных тенденций ряда распределения оценок; вычисление среднего арифметического, медианы, моды;

г) определение изменчивости результатов около средней: среднее квадратическое, квартильное отклонение;

д) определение значимости разности средних и дисперсий двух распределений;

е) определение зависимости изменения одного качества от изменения другого качества: вычисление коэффициентов корреляции.

Вернемся к вопросу об оценке работы учащихся. Оценка, выраженная суммой верных ответов на контрольные задания, или баллы, заработанные учеником, пока ничего не говорят об уровне успешности обучения. Некоторые характеристики уровня развития измеряемого качества можно получить в результате сравнения баллов, полученных учащимися, с нормами и стандартами, установленными для этой работы.

Стандарт —это число, характеризующее предполагаемый уровень выполнения работы учащимися какой-либо совокупности. Стандарт определяется на основе учета требований программы и возможностей учащихся данной совокупности.

Норма —это число, характеризующее достигнутый учащимися в действительности уровень выполнения работы. Норма устанавливается на основе результатов, полученных при проверке этой работы на репрезентативной группе учащихся. Она численно равна

среднему арифметическому баллов, полученных учащимися этой группы за выполнение работы.

Стандарты иногда совпадают с нормами, но чаще отличаются от них.

Так, например, в 1962—1963 гг. сектор обучения математике Института общего и политехнического образования проводил изучение функциональных представлений учащихся восьмых классов. Работа состояла из 8 вопросов, для ответа на которые учащиеся должны были определить свойства функции по ее графику (был предложен график квадратного трехчлена).

Контрольная работа по алгебре

Вариант 1

Ребята! Вам предлагаются 8 вопросов.

К каждому из них в пунктах а), б), в) даны ответы.

Внимательно прочитайте вопрос и, пользуясь чертежом, определите, какой из ответов является правильным.

На рисунке 1 изображен график квадратного трехчлена. Ответить на вопросы, пользуясь данным чертежом.

1. При каких значениях аргумента (переменной) х значения функции у равны 0:

2. При каких значениях аргумента х значения функции у положительны:

3) При каких значениях аргумента х значения функции у отрицательны:

Рис. 1.

4. При каких значениях аргумента х функция у возрастает:

5) При каких значениях аргумента х функция у убывает:

6. При каких значениях аргумента х функция у имеет наименьшее значение:

7. Какое из перечисленных значений может принимать функция у:

8. График какой из перечисленных функций (заданных формулами) изображен на рисунке:

Работа проводилась в мае месяце, когда заканчивается повторение пройденного. Считалось, что ученик VIII класса должен безошибочно ответить на все вопросы, т. е. стандарт определили равным 8 баллам.

Однако норма выполнения этой работы, установленная на репрезентативной группе учащихся восьмых классов, оказалась равной 7 баллам, т. е. в среднем верный ответ учащиеся давали на 7 вопросов из 8.

В результате влияния различных случайных факторов баллы, полученные отдельными учащимися за выполнение работы, являются весьма приблизительной оценкой их действительных знаний. Но по отношению к большому коллективу учащихся этого влияния следует опасаться меньше (действует закон больших чисел). Поэтому интересно сравнить со стандартами и нормами, установленными для работы, результаты, показанные не одним учеником, а средние результаты отдельных групп учащихся, выполнявших эту работу.

Сравнение норм, полученных для отдельных коллективов учащихся, с установленными стандартами выполнения этой работы дает возможность сделать вывод об уровне измеряемых у учащихся знаний по отношению к идеальному уровню, который должен быть сформирован у любого среднего ученика данной ступени обучения.

Сравнение уровня знаний отдельных групп учащихся между собой возможно на основе сравнения норм, установленных по результатам выполнения каждой из этих групп учащихся одной и той же работы. Сравнение этих же норм с нормой, полученной для репрезентативной группы, выполнявшей ту же работу, определит успешность класса по отношению к средней успешности учащихся данного года обучения.

Если в течение ряда лет предлагать одну и ту же работу репрезентативной группе учащихся определенного возраста, то полученные таким образом нормы позволят проследить направление изменения знаний, измеряемых работой, с течением времени. Устанавливаемые в течение ряда лет нормы могут затем служить руководством при выработке стандартов.

Изложенный в статье метод во многих отношениях отличается от используемых сейчас в школе методов контроля знаний и позволяет осуществлять разностороннее изучение знаний учащихся. Выполнение требований, предъявляемых к организации проверки знаний по этой методике, способствует получению более объективных экспериментальных данных.

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора...................... 3

Макарычев Ю. Н. Теоретико-множественный подход к изучению математики в средней школе . ...... 7

Федорова Д. И. Опыт преподавания математики в I — II классах на основе теоретико-множественного подхода . 23

Хмелинская М. М. Из опыта использования элементов логико-математического языка в курсе алгебры VI и VII классов........................ 39

Зив Б. Г. Связь преподавания математики и физики как средство повышения интереса учащихся к математике . 54

Михайловская А. Ю. Опыт ведения факультативных занятий в восьмых классах................. 66

Цирелис Д. И. Решение экстремальных задач и графическое исследование функций............. 85

Борисенко В. П. Графический способ сложения и умножения функций.....................106

Ясиновый Э. А. Элементы теории делимости на факультативных занятиях в VII—VIII классах.........112

Хабиб Р. А. О роли экспериментальных и приближенных методов в обучении математике ............ 130

Краснянская К. А. Организация объективного изучения знаний учащихся по математике............149

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Под редакцией Галины Герасимовны Масловой. Редактор Г. С. Уманский Обложка художника Н. А. Перовой. Художественный редактор Е. Б. Шапалина Технический редактор Н. И. Васильева Корректор Р. П. Семченкова

Сдано в набор 10/VIII 1970 г. Подписано в печать 30/XII 1970 г. Формат 84Х Х1087з2. Бумага № 2. Печ. л. б'Д (8,82). Уч.~изд. л. 7,95. А 03889. Тираж 70 тыс. экз. (Б3 № 57—1970 г. № 12). Зак. 98. Цена 21 коп.

Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР, Москва, Г-117, Погодинская ул., 8

Отпечатано с матриц типографии «Татполиграфа Управления по печати при Совете Министров Тат. АССР г. Казань в Тульской типографии Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.