М. В. ПОТОЦКИЙ

О педагогических ОСНОВАХ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

М. В. ПОТОЦКИЙ

О ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Пособие для учителей

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва — 1963

Рукопись обсуждалась на заседании секции математики Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР и рекомендована к печати.

ОТ АВТОРА

Эта небольшая книга — не учебник по методике обучения математике. Она не ставит себе целью систематическое изложение различных вопросов методики. Это — очерки.

Наше время—свидетель небывалого развития науки и техники Запуск спутников и космических ракет, облет и фотографирование обратной стороны Луны, замечательные полеты космонавтов, развитие атомной энергетики, создание электронных счетных машин — знаменуют собой блестящие достижения ученых и инженеров. Роль науки в жизни общества неизмеримо возрастает. Выдающиеся достижения технических наук основаны на широком использовании математики. Математические методы проникают в естествознание, биологию, медицину. Тем самым математическое образование в средней и высшей школе всех профилей становится решающим фактором научного и технического прогресса. Стремление к повышению уровня математического образования, к достижению наивысших результатов в обучении в кратчайшие сроки требует постоянного усовершенствования методов обучения. Таким образом, проблемы методики обучения математике выдвигаются на первый план среди важнейших проблем науки.

Этим определяется и назначение этой книги: 1) попытаться осветить те исходные предпосылки общепедагогического характера, на которых должна основываться методика обучения математике; 2) сделать из них определенные выводы в отношении преподавания элементарной и высшей математики в школе (а последней и в вузе).

Эта книга имеет целью заполнить известный пробел, существующий в методической литературе, где имеется много работ, посвященных отдельным конкретным во-

просам преподавания элементарной математики, и почти нет работ, посвященных основам самой методики и общим вопросам преподавания.

Я не ставил себе целью давать конкретные рекомендации по различным вопросам методики. Я стремился лишь поставить на обсуждение некоторые из них, сознавая, что не всегда имел возможность предложить их решения, которые со своей стороны могли бы потребовать создания отдельных книг. Поэтому эта книга предназначается тем, кто хотел бы задуматься над основами методики и ее проблемами и, может быть, собственной творческой работой содействовать их решению. Книга в первую очередь предназначается учителю математики в средней школе: учитель творит методику в своем школьном преподавании. Работники и аспиранты кафедр методики преподавания математики и специальных математических кафедр педагогических институтов в теоретическом плане обобщают опыт и наблюдения передового учителя и ведут его подготовку по математическим предметам. Хочу надеяться, что и они найдут здесь интересный для себя материал. Думаю, и студенту педагогического института книга принесет пользу.

При подготовке этой книги к печати я имел в своем распоряжении рецензии доц. Н. М. Бескина, И. Б. Вейцмана, доц. | И. А. Гибша |, проф. С. Е. Ляпина, доц. Ф. Ф. Нагибина, Г. А. Назаревского, доц. З. А. Скопеца.

Рецензия чл.-корр. АПН РСФСР проф. Н. А. Менчинской оказала мне большую помощь при изложении материала по вопросам психологии. Проф. В. И. Левин и Н. О. Решов познакомились с рукописью и поделились со мной своими замечаниями. Во время обсуждения рукописи в Учебно-методическом совете Министерства просвещения РСФСР, происходившем под председательством действительного члена АПН РСФСР проф. Н. Ф. Четверухина, ряд членов совета высказали свои соображения о рукописи.

Я стремился использовать, по возможности, все сделанные замечания. Хочу надеяться, что мне это удалось.

Всем перечисленным товарищам, которые своими отзывами и советами содействовали работе над рукописью, приношу искреннюю благодарность.

ГЛАВА I

ОБ ОСНОВАХ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Необходимость теоретического исследования вопроса о методике обучения математике как науке, о ее задачах, предмете и методах назрела давно. Это видно хотя бы из того, что даже среди математиков-методистов нет по этому вопросу единства взглядов, не говоря уже о математиках, не занимающихся методикой специально. Более того, самый вопрос о том, является ли методика обучения математике наукой, обсуждается подчас очень остро.

Хотя наличие особенностей детского возраста, требующих их учета в процессе обучения, вряд ли может подлежать сомнению, однако даже в отношении методики обучения элементарной математике приходится слышать различные мнения. Одни говорят: «О какой науке методике можно говорить, ведь для науки характерны суждения, обоснованные доказательствами, тогда как в методике ничего, кроме личных мнений и даже вкусов, не существует? Я вам скажу что угодно и попробуйте меня опровергнуть!» Другие находят, что методика — это искусство, где все решает не знание каких-то особых «методов преподавания или обучения», а интуиция педагога. Третьи считают, что единственная задача методики— это отыскание наиболее коротких способов изложения математических теорий, и сводят, таким образом, методику к частной и притом чисто математической задаче — анализу математических доказательств.

Еще хуже обстоит дело, когда речь заходит о методике обучения высшей математике. Существует мнение, что самое упоминание о методике обучения высшей ма-

тематике как о самостоятельной отрасли знания совершенно недопустимо. Те, кто его придерживаются, говорят: «Неужели профессор вуза не знает, как ему излагать свой курс? Он сам лучше всех найдет наиболее рациональный путь построения своих лекций. Его квалификация— вот его методика, тем более что в основном вузовская лекция или вузовский учебник сводятся к последовательному изложению материала на определенном уровне строгости». Не останавливаясь сейчас на критике этой точки зрения, заметим, что в настоящее время, когда элементы высшей математики входят в программу средней школы, эта аргументация теряет свою силу.

Наличие столь противоречивых суждений о методике налагает на учителя и методиста, занимающихся методическими проблемами, требование отдать себе ясный отчет в том, насколько велико значение методики, какие проблемы и какими методами она изучает.

Для этого прежде всего выясним, откуда возникает необходимость в исследовании методических проблем.

Даже одного беглого взгляда на положение вещей со знаниями по математике наших учащихся средних школ и вузов и на постановку преподавания в них достаточно для того, чтобы признать, что они еще очень далеки от совершенства. Так, например, знания многих учащихся средних школ все еще страдают формализмом. Во многих случаях они крайне непрочны. Успеваемость недостаточна. Это в большой мере характерно и для учащихся высшей школы. Заучивание фактов зачастую преобладает над пониманием и умением применять методы высшей математики. Самостоятельное мышление развивается совершенно недостаточно. Приобретенные знания забываются очень быстро.

Исследование показывает, что недостатки в знаниях учащихся являются следствием недостатков преподавания математики как в средней, так и в высшей школе. Так, например, в средней школе с серьезными трудностями встречается преподавание арифметики. Программы по математике далеко не во всем отвечают предъявляемым к ним требованиям. Многие учебники не удовлетворяют задачам современного обучения для школы. Главнейшими из недостатков в преподавании высшей математики являются: недостаточная связь пре-

подавания высшей математики с практикой, явно недостаточная связь с требованиями профессиональной подготовки (инженеров, учителей и др.), перегрузка программ.

Отсюда возникают проблемы, решение которых настоятельно необходимо. Это прежде всего коренные вопросы о содержании программ и о способах обучения в средней и высшей школе, о создании новых учебников и задачников, о преподавании математики в связи с задачами политехнизации и многие другие. Таким образом, уже эти краткие замечания показывают, что перед методикой обучения не только элементарной, но и высшей математике стоят большие задачи, что ей есть над чем работать, что у нее есть предмет исследования. Этим одновременно опровергаются утверждения, что в вопросах преподавания математики все видно «с одного взгляда», что все искусство в ее преподавании состоит лишь в «последовательном изложении предмета», и т. д. Если бы это было так, то все недочеты в обучении были бы давно исправлены. Впрочем, не нужно думать, что необходимость в методике обучения оправдывается лишь наличием недостатков в преподавании. Как бы успешно ни шло преподавание, проблема его усовершенствования остается во всех случаях. Сказанное объясняет и цель этой главы. В ней мы попытаемся установить, чем должна заниматься методика математики, каков предмет ее исследования, каковы ее задачи, какие положения лежат в ее основе, каким требованиям должны удовлетворять ее утверждения с тем, чтобы они являлись столь же обоснованными и доказательными, как положения любой другой науки.

Выяснение этих вопросов должно привести к повышению научного уровня работ по методике (так как неотъемлемым свойством каждой научной работы является обоснованность ее утверждений и строгость ее выводов), это будет содействовать росту самосознания самих работников в области методики, пониманию ими важности их методической работы и чувству ответственности за получаемые результаты. Последнее тем более необходимо, что и сейчас нередки случаи, когда у самих работников в области методики нет достаточно ясного представления о ценности и значении их методической работы.

С другой стороны, методика, стоящая на твердой основе, властно вмешавшись в работу как средней, так и высшей школы, будет содействовать повышению уровня преподавания как элементарной математики в школе, так и высшей математики во втузах и вузах. Подняв последнее на более высокую ступень, методика обеспечит лучшую подготовку по математике как нашей технической интеллигенции, так и наших педагогических кадров, а это значит, что она поднимет на высшую ступень и работу учителя в средней школе.

Для того чтобы обеспечить последовательность и обоснованность в наших дальнейших рассуждениях, прежде всего необходимо точно определить предмет и задачи методики обучения математике (в средней и высшей школе — одновременно). Мы их определим следующим образом.

Предметом исследования методики обучения математике являются процессы обучения и самообучения математике.

В соответствии с этим задачами методики являются:

1. Выяснение целей и задач математического образования на каждой данной стадии обучения в данном среднем или высшем учебном заведении (в зависимости от их профиля). Отбор математического материала и формирование из него различных учебных курсов, подлежащих обязательному (или факультативному) изучению в данном учебном заведении.

2. Анализ методов и приемов обучения, применяемых на практике, с целью теоретического обоснования и обобщения наиболее эффективных из них.

3. Изучение существующих форм обучения (урок, лекция, семинар, лабораторные и практические занятия, курсовая работа и т. д.) с целью их усовершенствования.

4. Разработка на основе опыта преподавания и теоретического анализа новых способов и форм обучения математике с последующей их проверкой на практике.

5. Разработка и создание учебников, задачников, учебных пособий, справочников (для учебных целей), контрольных работ и т. д.

6. Разработка различных организационных мероприятий, содействующих обучению.

7. Осуществление воспитывающего обучения: выработка в процессе обучения марксистского мировоззре-

ния, повышение общей и математической культуры учащихся.

8. Исследование всех проблем, связанных с самостоятельным изучением математики (заочное образование, самообразование).

9. Разработка вопросов, связанных с созданием научно-популярной литературы по математике.

10. Разработка вопросов, связанных с созданием математической литературы, предназначенной знакомить учителей-математиков с вопросами, лежащими вне их узкой специальности.

В связи с этим достаточно широким определением предмета и задач методики следует сделать несколько замечаний, чтобы подчеркнуть наиболее существенные их черты.

1. Методика обучения как элементарной, так и высшей математике рассматривается здесь как единая дисциплина с точки зрения как предмета, так и задач обучения. Методика обучения элементарной математике и методика обучения высшей математике являются лишь разделами этой единой дисциплины. Это объясняется, во-первых, тем, что деление математики на элементарную и высшую не имеет научного основания и проводится чисто условно (под элементарной математикой мы будем понимать те разделы, которые сейчас входят в программу средней школы, относя элементы аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений к высшей математике). Во-вторых, общие проблемы обучения, как будет выяснено ниже, ставятся и решаются на единой основе для всех разделов математики, с учетом, конечно, возраста учащихся и характера рассматриваемого раздела. В дальнейшем, если это не будет оговорено особо, под термином «методика обучения математике», или, короче, «методика математики» будет подразумеваться вся эта дисциплина в целом.

2. Как видно из первого пункта, задачей методики является не только отыскание и изучение наиболее удачных способов изложения отдельных, частных вопросов курса, но, что несравненно более важно и о чем многие забывают, также и формирование самих курсов по математике. Иными словами, здесь идет речь об учебных планах и о программах курсов по элементарной и выс-

шей математике. И лишь потом ставится вопрос о способах изложения отдельных, конкретных вопросов в данном математическом курсе (в устном преподавании или в учебнике).

3. Существенно то, что задачей методики вовсе не является обязательное изобретение в каждом данном случае какого-нибудь нового способа изложения материала или обучения ему, но часто ее задачей является отыскание и выделение среди стихийно сложившихся приемов изложения наиболее удачных, выяснение их существа, их теоретическое обоснование и их широкое распространение.

4. Из данного определения методики вытекает и то, какая работа может называться работой в области методики или, короче, методической работой. По этому вопросу существует много неясностей. Так, в настоящее время среди математиков не методистов существует весьма распространенное мнение, что, например, в том случае, когда по какому-нибудь научному математическому вопросу появляется работа, посвященная его повторному изложению, но с новой точки зрения, то эта «повторная» работа есть будто бы работа методическая.

Из приведенных выше определений явствует, что методической работой следует называть работу, преследующую цели обучения (например, составление учебника) или трактующую вопросы обучения (например, теоретическую работу по вопросам обучения), а не работу, ставящую своей задачей исследование проблем математики. Поэтому «повторная» работа в приведенном примере будет методической только в том случае, если она имеет целью обучение кого-либо тем математическим вопросам, которые в них излагаются. Если же ее целью является только новое изложение рассматриваемых в ней теорий, то ничего специального, «методического» в этой работе не будет. Отсюда ясно, что и «первая» научная математическая работа на данную тему может оказаться методической работой, если она не только сообщает ученому миру математический факт, но и ставит себе цели обучения.

5. Наконец, сделаем следующее терминологическое замечание. Вместо обычно употребляемого выражения «методика преподавания математики» мы здесь всюду говорим о «методике обучения математике». Надо ду-

мать, что последнее выражение точнее передает существо дела; методика занимается всеми вопросами обучения, а последнее далеко не сводится к одному преподаванию: такие формы обучения, как заочное обучение, самообразование, повышение своей квалификации лицами, имеющими высшее образование, и т. д., вряд ли охватываются термином «преподавание».

Выясним теперь вопрос о том, из каких областей знания должна черпать методика содержание своих исследований, свои понятия, свои методы, короче говоря, тот материал, с которым она работает.

Основным источником методики преподавания математики, как и всякого научного знания, является практика, в данном случае вся практика педагогической работы (учителя в школе, преподавателя в вузе, автора учебной литературы и т. д.), вытекающая из необходимости обучения математике. Самый предмет методики — обучение математике — обусловливает ее двойственный характер: изучение и обработка математического материала должны основываться в методике на анализе умственной деятельности человека. Поэтому, пользуясь методом диалектического материализма, методика математики обрабатывает математический материал на основе требований и положений: 1) педагогики; 2) логики и 3) психологии, используя в случае необходимости данные истории и методологии математики, а иногда и истории культуры вообще.

Вряд ли здесь надо подробно останавливаться на доказательстве того, что данные педагогики (о которой подробнее мы будем говорить во второй главе), а точнее, данные дидактики не могут не учитываться при методической обработке математического материала. Так, не говоря уже о средней школе, даже преподавание в высшей школе не может отрицать необходимости основания его на принципах сознательности обучения, систематичности и доступности изложения, необходимости добиваться известной прочности приобретенных учащимися знаний и даже в какой-то мере наглядности в обучении.

Пункт, посвященный логике, имеет целью подчеркнуть некоторые особенности в отношении применения логики в методических рассуждениях, так как правильное логическое мышление является обязательным для

любого научного рассуждения. Дело в том, что в методике, быть может, больше, чем в какой-либо другой области знания, распространены всевозможные предвзятые и ничем не обоснованные суждения, начинающиеся обычно со слов: «общеизвестно», «очевидно», «по нашему глубокому убеждению...» и т. д. Между тем хорошо известно, что время «очевидных» суждений давно миновало в науке, о чем неоспоримо свидетельствует ее история. Казалось бы, что не может быть более очевидного (именно «оче-видного»!) факта, чем вращение Солнца вокруг Земли, а не Земли вокруг Солнца. Однако правильным, как показал Коперник, оказалось последнее. Все люди «видели», что в плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Однако Лобачевский показал логическую, несостоятельность этого утверждения. Каждодневный опыт, казалось, говорил, что время абсолютно и едино, а не свое в каждой движущейся системе. Но, как показал Эйнштейн, верным оказалось как раз последнее. Мы видим, что все эти представления навсегда рухнули под натиском научного метода, похоронившего под своими обломками всякое доверие к тому «здравому смыслу», который препятствует прогрессу в науке, принимая на веру и выдавая за истину то, что еще подлежит исследованию. Множество всевозможных суждений «по здравому смыслу» существуют и в методике, которые столь часто употребляются, что их полная необоснованность уже не бросается в глаза. Вот некоторые из них: «Тот метод изложения лучше, которым лучше владеет сам учитель». Это утверждение подкупает своей явной «истинностью». И оно действительно безукоризненно верно в том смысле, что если человек каким-нибудь методом не владеет, то и пользоваться им он, конечно, не сможет. Но оно грубо ошибочно, если его принять безоговорочно. Основываясь на нем, учитель может отказаться от совершенствования, от изучения других методов, утверждая, что все равно лучше тот метод, которым он уже владеет. Таким образом, это утверждение выступает против научной объективной оценки методов. Существует ходячее представление, что «чем короче доказательство, тем оно лучше». Его ошибочность, как будет показано дальше, состоит в том, что оно не учитывает особенностей мышления учащегося.

Столь же ошибочны и на том же основании представления о том, что «трудное изложение учит думать», что «учебник должен быть кратким, т. е. тонким», и многие другие. Как будет показано ниже, все эти утверждения противоречат элементарным педагогическим требованиям.

Опыт истории учит, что «очевидность» не помощник, а враг науки. Наука же начинается там, где «очевидное» подвергается сомнению и беспристрастному исследованию. Поэтому защита всевозможных ходячих представлений в методике без их критического анализа — это защита первого попавшегося, случайного, поверхностного и в громадном большинстве случаев ошибочного решения вопроса. Поэтому важнейшее, что методика как наука должна сделать, — это решительно выдвинуть на первый план доказательную силу своих утверждений, т. е. обеспечить четкость, строгость и безупречную логику в своих рассуждениях. Таким образом, здесь идет речь о том, чтобы отвести логике то ее законное место, которое она занимает в любой науке и на которое она и здесь имеет право. Это положение в то же время направлено против недоверия к логике, с которым приходится встречаться в методике, против требования мелочной «экспериментальной проверки» даже таких фактов, относительно которых уже логика может сделать обоснованные выводы. Это тем более необходимо, что постоянное во всех случаях, даже там, где это по существу дела и не требуется, выжидание результатов опыта только тормозило бы развитие методики.

Здесь важно заметить, что из основного положения философии диалектического материализма о том, что критерием теории является практика, вовсе не следует, что всякое теоретическое суждение подлежит практической проверке. Вот пример. Если мы сосчитали, что в комнате находится двадцать стульев, и сосчитали, что пять из них мы вынесли, то нам не нужно пересчитывать оставшиеся, чтобы убедиться на практике, что их осталось пятнадцать. В последнем случае изучение арифметики стало бы бесполезным. Практической проверке подлежат лишь те теоретические выводы, относительно которых логика (теория) не может высказать окончательного суждения, или те, которые основаны на гипотетиче-

ских утверждениях, поскольку они должны считаться с возможным наличием неучтенных факторов.

Таким образом, этот пункт, будучи направлен против грубого эмпиризма, утверждает право и обязанность методики на научные прогнозы. Такой прогноз, будучи научным, т. е. достаточно серьезно обоснованным, даже независимо от того, оправдается он в дальнейшем или нет, уже и в данный момент играет важную организующую роль в науке, формируя проблемы и направляя исследования по определенному пути.

К этому стоит добавить, что и величайшие открытия науки в самом начале часто выступают в форме своеобразных прогнозов. Достаточно сказать, что такие открытия, как закон тяготения Ньютона, или геометрия Лобачевского, или периодическая система элементов Менделеева и многие другие, в момент их появления не были и не могли быть доказаны с полной строгостью. Лишь последующее развитие науки доказало их истинность.

Наконец, пункт, говорящий о психологии, является важнейшим.

Взаимоотношение логики и психологии можно определить следующим образом: формальная логика изучает законы правильного мышления. Она дает правила выполнения таких умозаключений, при помощи которых, идя от истинных (отражающих действительность) исходных предпосылок, мы приходим к истинным (т. е. тоже отражающим действительность) выводам. Короче говоря, логика дает формальную схему для выполнения умозаключений, одинаково обязательную для всех: для ребенка или для взрослого, для любого человека независимо от его образовательного или культурного уровня. Однако выполнять эти правила умозаключений должен живой человек, и от того, как он их будет выполнять, и зависит результат его умственной деятельности. Так, всякая умственная операция, всякий логический вывод требуют известных действий (мыслительных, волевых или иного порядка, природы их мы не касаемся), иногда почти незаметных, иногда довольно значительных, от наличия которых и зависит результат, будет или не будет успешно выполнена данная мыслительная операция, будет ли получен правильный вывод или не будет. Так, например, из каждого положения в обычных условиях

можно сделать множество самых разнообразных логических выводов, и человеку прежде всего требуется направить свои умственные усилия на осуществление выбора между теми различными цепями логических умозаключений, какие в данных условиях вообще мыслимы, чтобы найти те из них, которые обещают привести его к желаемому результату. Так, имея систему аксиом эвклидовой геометрии, мы можем сделать из нее огромное число выводов. Но для того чтобы доказать теорему о сумме углов треугольника, нам надо суметь выбрать лишь некоторые из них и так их использовать, чтобы они привели нас к цели. Таким образом, результат мыслительной деятельности человека часто не столько зависит от правил логики, сколько от того, насколько умело и правильно он их использует.

Уже на этом примере мы видим, что хотя для всех людей правила логики одни и те же, но от этих правил до их выполнения, т. е. до фактически логического мышления, еще очень далеко. Возрастные особенности детей вообще ставят определенные границы их умению логически мыслить. Взрослые люди тоже мыслят по-разному, благодаря разной культуре, различному складу ума и т. д. Один и тот же человек тоже может мыслить логично и нелогично в зависимости от окружающей обстановки, от интереса к делу, от волевых усилий, от настроения и т. д. Все то, что связано с умственными действиями, которые выполняет человек, чтобы осуществить логическую цепь умозаключений, все то, что их сопровождает и способно влиять на них (в положительную и отрицательную сторону)—воля, эмоции, установки, настроения, посторонние ассоциации — все это изучает психология. Таким образом, психология мышления изучает мышление человека в связи со всем складом его психики. Она изучает и исследует все те действия, которые должен выполнить человек, чтобы обеспечить и фактически осуществить ту или иную цепь логических умозаключений. Короче говоря, если логика говорит о том, как человек должен мыслить, то психология изучает то, как человек фактически, на самом деле мыслит. Психология должна объяснять, почему, как и какие возникают отклонения от правильного мышления и что надо сделать, чтобы обеспечить это правильное мышление. Отсюда следует вывод кардинального зна-

чения. Методика, изучающая вопросы обучения, не может не основываться на анализе всех обстоятельств, связанных с мышлением учащегося. Иными словами, методика должна основываться на данных психологии.

Самым важным педагогическим фактом, лежащим в основе всей методики обучения, является следующий: логически безупречное изложение предмета, учитывающее уровень знаний учащегося, само по себе, как правило, не может гарантировать его понимания и усвоения ни школьником, ни учащимся вуза. Весь педагогический опыт работы школ и вузов решительно подтверждает это положение. В основе его лежит тот факт, что работа мышления, как мы видим, протекает по своим особым законам, которые изучает психология и которые не сводятся к законам логики. Подробному обоснованию сказанного будут посвящены главы II и III. Ниже мы лишь отметим некоторые простейшие обстоятельства наводящего характера, подтверждающие его справедливость.

Вот простейший пример, который прекрасно иллюстрирует взаимоотношение логики и психологии в школе. Младший школьник, который не может выполнить какого-нибудь сложного для него подсчета с числами, прекрасно справляется с этим подсчетом, если вместо «абстрактных» чисел имеет дело с «яблоками» или «грушами». Здесь конкретный и близкий ему образ психологически облегчает выполнение определенной логической операции. Роль психологии в обучении детей обычно объясняется возрастными особенностями учащихся. Однако и в обучении взрослых психологическая сторона играет не меньшую роль. Об этом свидетельствует хотя бы уже одно то хорошо известное обстоятельство, что рассуждения об абстрактных понятиях обычно усваиваются гораздо труднее, чем о конкретных объектах, хотя с чисто логической стороны первые определяются гораздо проще последних. Объясняется это тем, что близкие нам образы, с которыми мы обычно имеем дело, всегда конкретны. Но решающий пример недостаточности одной логики даже в обучении взрослых дает практика заочного обучения. По идее заочное образование представляет собой самостоятельное изучение предмета только по книге, без предварительного слушания лекций (с последующими консультациями и сдачей

экзамена). Взрослому учащемуся педагогического института дается учебник по математике, логически безупречно написанный и учитывающий уровень его знаний. И вот массовая практика показывает, что, когда такие учебники попадают в руки учащимся, которые должны изучать предмет самостоятельно, не слушая лекций, впервые знакомясь с предметом по учебникам, то учащиеся не могут их усвоить. Тогда учащимся даются различные методические пособия, разъясняющие наиболее сжато написанные места в учебнике. Эти пособия предназначены заменить учащимся отсутствующие лекции. Но это не меняет дела. (Все это приводит к существующей ныне очень тяжелой для учащихся-заочников системе заочного обучения, когда они летом до полутора месяцев слушают лекции по всем предметам по 8—12 часов в день и т. д.)

Этим фактам обычно не придается большого веса, и они объясняются случайными причинами (плохой подготовкой заочников, отсутствием времени и т. д.). Однако массовый опыт обучения не может объясняться случайными причинами. Он заслуживает самого серьезного внимания. Из него следует вывод основного значения, подтверждающий сказанное выше:

Если содержание учебника, логически безупречно излагающего предмет и учитывающего уровень знаний учащегося, не усваивается, то можно утверждать, что логическая безупречность изложения материала (в учебнике) еще не гарантирует ясности представлений у учащихся. Иными словами, это значит, что соблюдение правил формальной логики в изложении учебного материала еще не решает проблемы обучения. Этот вывод тем более важен и показателен, что здесь исключаются все те побочные обстоятельства, которые в обычном вузовском обучении, будучи связаны с личным влиянием лектора и его речи на учащихся, маскируют роль внелогических элементов учебного процесса. В практике же самостоятельного изучения учебной литературы эта недостаточность одной логики, как мы видим, вырисовывается с полной отчетливостью. Таким образом уже этот факт решительно опровергает приведенную выше точку зрения, что в вузовском обучении логичное изложение предмета решает все вопросы обучения. Из всего сказанного следует неизбежный вывод, что в обучении не-

обходимо учитывать еще какие-то факторы, связанные с умственной деятельностью человека, не ограничивающиеся одной логикой. Но такие факторы могут дать только психология и педагогика.

Естественно возникает вопрос о том, в чем конкретная причина этой недостаточности одной логики в обучении? Как это надо учитывать в процессе обучения? Мы подробно остановимся на этом в главе III Здесь же лишь отметим принципиальные соображения. Наблюдения психологов показывают, что процесс усвоения (урока, лекции или учебника) есть очень сложный мыслительный процесс. Вопреки наивному представлению, новые знания не просто «добавляются» к старым в сознании учащегося. Новые знания сплошь и рядом на первых порах входят в известное противоречие со старыми представлениями учащегося, ибо, преодолевая ограниченность этих представлений, они в какой-то мере их разрушают. В процессе усвоения возникают всевозможные переплетения старых и новых представлений, возникают различные ложные представления, мешающие правильному формированию новых понятий, искажающие их. Лишь постепенно, с помощью умелого руководства преподавателя, выкристаллизовываются новые знания во всей их логической завершенности. Поэтому задачей методики (совместно с психологией) и является анализ этого процесса познания математики, анализ этих взаимодействий, чтобы на его основе правильно строить обучение. Многие математики-методисты, даже творчески работающие в области методики, склонны недооценивать значение психологии. Более того, даже, упоминая на словах о роли психологии, они фактически игнорируют ее в своих методических исследованиях. Объясняется это тем, что изложение чисто логической и формально вычислительной стороны математики играет сейчас столь большую роль в ее преподавании, что невольно отодвигает на второй план в представлении многих методистов все остальные вопросы методики. Недостаточное внимание к психологии является сейчас наиболее слабым местом методики.

Вот что пишет, касаясь обучения в средней школе, вице-президент АПН РСФСР проф. Н. К. Гончаров («Вопросы философии», 1959, № 2, стр. 40): «До сих пор и в педагогике, и в методике, как правило, ограничивают-

ся преимущественно анализом деятельности учителя и совершенно недостаточно исследуется деятельность учеников. Не исследуется процесс усвоения учащимися учебного материала, овладения знаниями, умениями и навыками (подчеркнуто мной.— М. П.), не используются богатейшие возможности учения И. П. Павлова о физиологии высшей нервной деятельности. Поэтому многие работы по дидактике и частным методикам носят описательный эмпирический характер (подчеркнуто мной.— М. П.), не способствуют поднятию качества учебно-воспитательной работы, связи знаний с практикой, препятствуют глубокому научному обобщению передового опыта».

Все это полностью применимо и к методике математики. Внимательный анализ приводит к выводу, что причина отмеченных недостатков коренится в том, что многие методисты пытаются вывести не только проблематику, но и решения методических проблем, т. е. способы изложения предмета, в основном только из логики самого изучаемого предмета. В отношении же учащихся интересуются только уровнем их знаний в данный момент и количеством тех логических и математических операций, которые придется выполнить учащемуся при том или ином изложении предмета.

Недостаточность такого подхода очевидна. Вот несколько примеров. Какие дроби надо излагать раньше — простые или десятичные? Арифметика сама по себе не может дать ответа на этот вопрос, так как порядок их изучения не вытекает из логики арифметики как науки. И те и другие можно изложить одинаково логично. Наконец, можно излагать только те или только другие. Решает вопрос тот порядок, при котором их лучше будут усваивать учащиеся.

Однако не только отдельные конкретные проблемы методики, но и все основные и общие ее вопросы — о построении курсов в целом как в средней, так и в высшей школе, решаются на психологической основе. Рассмотрим, например, школьный курс геометрии, в котором логика изложения проявляется с наибольшей полнотой, а психологический подход кажется наименее применимым. Современная геометрия строится в научном плане следующим образом: в ее основу кладется определенная система аксиом, даются некоторые определения и в дальней-

шем чисто дедуктивно строится система теорем, составляющих фактическое содержание предмета. Однако школьный курс геометрии весьма далек по своему логическому уровню от требований современной математической строгости, так как последняя была бы недоступна учащемуся. В школьном преподавании мы часть материала опускаем, часть не доказываем строго и т. д. Что нами руководит в этом отборе и приспособлении геометрии к школьному преподаванию? Ясно, что сама геометрия ни одного слова не говорит нам о том, какие из ее предложений надо исключить, а какие оставить и как эти последние надо излагать в школе. В самих теоремах геометрии, рассматриваемых как чисто научные истины, еще не содержится решительно никаких указаний на то, какие при их изучении учащиеся встретят трудности и какие сделают ошибки, как эти ошибки предвидеть и как их предупредить. Так же точно, уровень знаний учащихся оставляет еще очень большой простор для выбора различных путей логического изложения предмета.

Решая вопросы обучения, мы обычно говорим, что мы учитываем «возрастные особенности учащегося», т. е. скрывающийся за этой формулировкой характер мышления учащегося на разных этапах его развития. И хотя сейчас этот учет мышления делается педагогом в большинстве случаев стихийно и не очень точно, но факт решения основного и общего вопроса о содержании и уровне изложения школьного курса геометрии на психологической основе не подлежит сомнению.

Даже структура вузовских курсов (не говоря уже об изложении в них отдельных вопросов) строится на этой же психологической основе. Вот пример. Известный курс проф. Н. А. Глаголева «Проективная геометрия» (ОНТИ, 1936 г.) излагает проективную геометрию в полном «противоречии» с типичной структурой математического курса, о которой говорилось выше: аксиомы изложены в конце книги, а курс начинается с изложения ряда конкретных фактов науки. Следовала ли такая структура курса из теорем проективной геометрии? Ни в коем случае. Автор курса как педагог видел, что учащийся лучше осознает суть предмета из его изложения, «прямо противоположного» аксиоматическому. Таким образом, снова психологические соображения определили собой структуру курса.

Итак, логичных изложений предмета может быть много и притом педагогически неравноценных. Выбор между ними определяется не логикой предмета, а анализом мышления учащегося.

Далее можно утверждать, что почти все основные понятия методики (если они не имеют непосредственно математического содержания или не связаны с организационными мероприятиями) определяются в психологических терминах и в психологическом плане. Перед работником в области методики сама математика возникает как своего рода «готовая» наука. Методист не обязан делать в ней открытий. Его задача — разрабатывать методы обучения математике. Как мы уже говорили, сама данная наука не дает на этот счет почти никаких конкретных указаний. Отбирая материал, подлежащий изучению, разрабатывая и анализируя отдельные приемы обучения, методист все время пользуется такими основными понятиями методики, как легкий и трудный материал, доступное изложение, ошибочное рассуждение, интересный вопрос, сознательное усвоение и т. д. Легко видеть, что эти понятия не могут быть определены в терминах формальной логики, так как последняя не знает ни «легких» или «трудных» умозаключений, ни «интересных» или «скучных» вопросов. Она рассматривает правила умозаключений независимо от того умственного труда, который требуется затратить для их выполнения. Между тем перечисленные выше понятия могут быть определены только путем оценки количества и качества той умственной работы, которую необходимо выполнить для получения результата, и того влияния, которое они оказывают на учащегося. Но это уже целиком лежит в области психологии. Трудность или легкость задачи не определяется также и уровнем знаний учащегося. Так, хорошо известно, насколько олимпиадные задачи, рассчитанные на данный уровень знаний, труднее обычных! Легко обнаружить, что попытки трактовать все эти понятия в рамках формальной логики не выдерживают критики, так как они приводят к оценке качества выводов по их «длине», к утверждению, что, чем рассуждение короче, тем оно якобы легче, а длинное уже из-за его длины — трудно. Практика преподавания решительно опровергает эти взгляды.

Далее. С точки зрения формальной логики ошибочное рассуждение — это отклонение от правильного вы-

вода. Учащемуся надо указать на него и потребовать исправления. Но педагог не может этим ограничиться. Его должно интересовать, какие представления и почему помешали учащемуся сделать правильный вывод и привели именно к данному ошибочному выводу. Этот анализ позволяет педагогу предвидеть возможные ошибки и так строить преподавание, чтобы по возможности их предупреждать.

Совершенно очевидно, что успешное преподавание вообще немыслимо без постоянного учета мышления учащихся. И все успешно работающие учителя обычно стихийно его учитывают. Задача методики, психологии и педагогики и состоит в том, чтобы поддержать эту работу учителей, теоретически обобщать отдельные их приемы и попытки в этом направлении. (Мы остановимся на этом вопросе подробнее в главе III.) Ссылки некоторых методистов на то, что, используя опыт преподавания, они тем самым учитывают и мышление учащегося, малоубедительны. Опыт говорит о том, что было, как учащийся мыслил в определенном случае. Необобщенный и непроверенный в психологическом плане, он вряд ли может сказать о том, как будет мыслить учащийся в других случаях. Поэтому он и приводит к грубому эмпиризму. Мы же заинтересованы в сознательном и систематическом использовании учителем и методистом всех достижений современной психологической науки.

Уже эти общие соображения, надо думать, с достаточной ясностью показывают, что пренебрежение анализом особенностей психики человека недопустимо. Попытка ограничиться сведением вопросов методики к одной логике, к одному логическому изложению материала, к выбору из многих возможных путей изложения какого-то одного — обычно кратчайшего — и этим решить все задачи обучения — наивна и игнорирует весь сложный процесс умственной деятельности человека. Отказ от обращения к психологии лишает нас возможности правильного понимания и анализа мышления учащегося при восприятии им материала и тем самым возможности воздействия на его восприятие, в то время как в этом-то и состоит одна из важнейших задач методики.

Итак, всякая попытка решать вопросы методики без учета психологии обречена на провал. Она исключает из рассмотрения важнейший аргумент в пользу объектив-

ного решения любого методического вопроса, так как равносильна попытке «исключить» из процесса обучения того самого человека, которого мы обучаем. Психология — это основа методики, без которой последняя становится беспредметной.

Однако это последнее утверждение надо понимать правильно. Было бы ошибочно делать отсюда вывод, что главное внимание в подготовке учителя или методиста должно уделяться психологии, а не математике. Совершенно ясно, что преподавать математику в средней школе и решать различные вопросы, связанные с ее преподаванием, может только тот, кто получил глубокое, на современном уровне, высшее математическое образование (по программе университета или педагогического института). Поэтому самый вопрос об обучении математике возникает только перед всесторонне образованным математиком. Но когда этот вопрос поставлен, то решать его мы должны на основе анализа мышления учащегося, т. е. на основе данных психологии. При этом совершенно очевидно, что никакие ссылки на психологию не могут оправдывать нарушение логики самой математической науки, не могут предлагать способы обучения, ей противоречащие. Выше мы видели, что математические теории допускают много различных способов их изложения: из них же самих в огромном большинстве случаев не вытекают решения методических проблем. Поэтому методика математики возникает как самостоятельная наука именно там, где логика самой математики не решает проблемы обучения. И наоборот, там, где решение педагогического вопроса полностью определяется самой математикой, там наука методика становится попросту излишней.

Иногда в отношении вузовского обучения считают, что всякий учет психики учащегося недопустим, потому что фактически он будто бы приводит к замене строго научного, логически построенного изучения предмета своего рода суррогатом науки, к замене строгих доказательств теорем всевозможными расплывчатыми формулировками с целью «облегчить» тяготы обучения «ленивым» учащимся.

Однако такой взгляд противоречит существу дела. Учет психологических факторов имеет целью не вытеснение логических элементов в обучении, а, наоборот, создание наиболее благоприятных условий для усвоения этих

логических элементов. Итак, психология не вместо логики, а для логики, в помощь усвоению логики!

По поводу использования в методике данных истории и методологии математики надо заметить, что методика математики в известной мере неотделима от методологии математики, т. е. от изучения и анализа методов научного исследования. Вряд ли можно правильно решать большие проблемы методики, вроде отбора математического материала и формирования из него математических курсов, подлежащих изучению в данном учебном заведении, совсем не затрагивая вопроса о структуре самой математической науки, а иногда даже тех ее проблем, которые находятся еще в стадии развития и формирования. Тем более все сказанное относится к связи методики с историей математики, а иногда при решении больших проблем методики и с историей культуры вообще. Действительно, наиболее глубокое понимание фактов науки возникает при рассмотрении их в связи с окружающими их научными фактами, в связи с теми проблемами, которые послужили источником и стимулом для их разработки. Более того, во многих случаях данные истории могут указывать на наиболее целесообразные пути изложения отдельных вопросов курса даже в современном преподавании. Это объясняется тем, что во многих случаях (но, конечно, далеко не во всех!) та логика вещей, которая в исторических масштабах привела к разработке данного вопроса, открывает нам наиболее естественный подход к нему и сейчас и позволяет дать учащимся наиболее простое его изложение. Иногда знание истории вопроса, знание трудностей, с которыми встречались ученые, впервые выдвигавшие этот вопрос, позволяет предвидеть и те затруднения, которые могут возникнуть у современных учащихся при его изучении.

Нетрудно заметить, что те же самые задачи, которые стоят перед методикой математики, и те основы, на которых она строится (с известным учетом специфики), окажутся справедливыми и для методик других наук: физики, химии, биологии, литературы, языков и т. д. Знаменитый русский писатель-публицист революционный демократ А. И. Герцен, сам по образованию астроном и математик, сказал о методике в «Былом и думах»: «Трудных наук нет, есть только трудные изложения, т. е.

«непереваримые», и, далее: «В том-то и состоит вся задача педагогии сделать науку до того понятной и усвоенной, чтобы заставить ее говорить простым, обыкновенным языком». Здесь дано весьма широкое определение методики и ее задач, причем общее для всех методик. Это определение требует от методики отыскания таких концепций и точек зрения, которые открывают наиболее простые пути для понимания и усвоения науки и ее изложения. Таким образом мы видим, что все методики имеют общие задачи, а законы умственной деятельности также общие всем людям. Поэтому методику можно определить наиболее широко как науку о наиболее рациональном сообщении новых знаний (на уроке, в лекции, в учебнике, в научной литературе и т. д.).

Ниже, в главах II и III мы подробнее коснемся того общего, что лежит в основе всех методик, пока же читателю стоит обратить внимание на то, что в дальнейшем многое из того, что будет говориться о методике математики, будет справедливо и для методик других наук.

На основании сказанного выше можно сделать основные выводы о методах, которыми должна пользоваться сама методика математики при исследовании своих проблем.

Прежде всего надо отметить, что, поскольку методика при изучении вопросов обучения обрабатывает математический материал на основе данных педагогики, логики и психологии, постольку она включает в себя элементы как логико-математических, так и общественных и естественных (педагогика, психология) наук. Отсюда вытекает, что и методы исследования методики математики будут в основном те же, что и методы, используемые в этих науках.

Следует отметить, что методологической основой всякого исследования (в том числе и по методике) является философия диалектического материализма.

Основными методами методики являются: 1) наблюдение в процессе преподавания (или самообучения учащегося) за характером его восприятия и усвоения материала; 2) опыт (эксперимент), который ставится для проверки ценности вносимых в обучение изменений. На основании наблюдений и эксперимента выполняется теоретический анализ, обобщение и формулировка получаемых отсюда выводов, носящих иногда характер

широких научных прогнозов, которые должны лечь в основу дальнейших наблюдений и опытов, с последующей их проверкой на практике.

Специфичными для методики способами проверки эффективности существующего преподавания являются: опрос в процессе учебных занятий и на экзамене, проверка тетрадей и контрольных работ, беседы на консультациях, наблюдения за работой учащихся в классе, в кружке, дома, индивидуальные беседы с учащимися, системы вопросов, имеющие целью подвести учащихся к пониманию дальнейших тем курса, проверяющих их умение самостоятельно мыслить и т. д.

Совершенно очевидно, что для обоснования методических положений (как и положений любой науки) необходимо использование всей совокупности исходных данных и их всестороннее исследование. Поэтому методическое суждение может только тогда считаться обоснованным, а выводы из него заслуживающими доверия, если, учитывая все обстоятельства, имеющие отношение к данной проблеме, они опираются на данные математики, логики, педагогики и психологии — всех этих наук, вместе взятых. И наоборот, если, решая какую-либо из задач методики, мы хотим пренебречь какими-либо из этих факторов или обстоятельств, то мы должны доказать законность их исключения. Только в результате таких исследований мы не будем скользить по поверхности явлений, только в этом случае наши выводы будут научно обоснованными, а мы сами будем избавлены от бесплодных и бесконечных споров, которые так часты в методике.

Выше мы говорили о том, что обоснование своих заключений методика черпает не только из наук логико-математического цикла, но и из наук социальных и биологических, на основе которых строятся педагогика и психология. Отсюда вытекают важные соображения о доказательствах методических положений. Мы знаем, что доказательства в социальных и биологических науках совсем непохожи на математические доказательства; не укладываясь в одну простую формальнологическую схему, они обычно основываются на истолковании длительных наблюдений и опытов. Поэтому и доказательства в методике, часто весьма сложные по своей структуре, не будут (да и не смогут) укладываться в несколько коротеньких фраз, строк или даже страниц книги, наподобие

привычных для математика дедуктивных доказательств математических теорем.

Рассмотрим в качестве примера, как должно идти решение какого-нибудь типичного вопроса в методике. Пусть, например, требуется решить вопрос о том, должен или не должен (а если должен, то в каком именно виде) изучаться какой-нибудь определенный раздел курса математики в средней школе или в вузе. Ограничиваясь при его решении лишь рассуждениями, не выходящими за пределы самого курса математики, мы в большинстве случаев вступим в область беспочвенных и ничем серьезно не обоснованных споров о вкусах. Серьезное и объективное решение поставленного вопроса приводит к необходимости выяснения следующих обстоятельств: какие требования будут предъявляться к учащемуся по окончании им данного учебного заведения с точки зрения его математических знаний и общей культуры? Имеет ли непосредственное отношение этот раздел к его будущей деятельности: для окончившего среднюю школу — к его работе на производстве или при обучении в вузе, а для окончившего вуз — к его работе инженера, учителя и т. п.? После этого могут быть поставлены следующие вопросы. Какова роль этого раздела в общей системе знаний и навыков, получаемых учащимися в данном учебном заведении? Какова его роль в общей подготовке учащегося в данном учебном заведении с точки зрения формирования его мышления и общей культуры? Какова роль исследуемого раздела не только в данном или в соседних математических курсах, но и в других смежных курсах (физики, механики и т. д.)? И лишь после этого будет решаться вопрос о том, должен ли и в каком виде изучаться данный раздел в курсе математики в данном учебном заведении. При этом учет данных педагогики и психологии может выражаться, например, в выяснении его места в программе, его размеров, в создании наиболее благоприятных условий для его усвоения в смысле наиболее доступного изложения материала, возбуждения интереса к нему у учащихся и т. д. Все эти соображения, убедительно изложенные, могут составить книгу больших или меньших размеров.

Как бы это ни казалось хлопотливым и громоздким, но только решение вопроса, полученное на этом пути, т. е. обоснованное всей возможной совокупностью обстоя-

тельств, может считаться научно обоснованным. Такой подход к разрешению проблем методики не должен казаться необычным. Достаточно сказать, что именно так решаются все сколько-нибудь серьезные вопросы естествознания. Так, например, очевидный для нас теперь факт, что «деревянный стол в конечном счете состоит из молекул», для своего полного доказательства (если его провести с самого начала до конца) потребует громадного числа наблюдений, длительных опытов, большого числа глубоких рассуждений и гипотез, основанных на этих опытах, и новых опытов, пока они не приведут нас к обоснованному выводу в справедливости нашего утверждения. Поэтому различные предложения о введении в курс средней школы новых разделов (теория вероятностей и т. д.) должны всесторонне обосновываться.

То обстоятельство, что методика в процессе решения своих задач использует целый арсенал средств, заимствованных ею из других наук, не должно дискредитировать ее как науку: ведь именно так обстоит дело почти на каждом шагу в естествознании. Ботаника и минералогия, зоология и медицина и многие другие естественные науки пользуются результатами и методами физики и химии, механики и биологии и многих других наук, что однако никто не ставит им в вину.

Специфика методики обучения математике, т. е. то, что присуще ей одной и что выделяет ее как самостоятельную науку из других наук, состоит в том, что она использует данные различных наук и методы их исследования для обработки математического материала с целью обучения математике. На этом пути она получает свои закономерности (о них будет речь дальше), не сводящиеся к закономерностям других наук.

Наличию этих закономерностей не противоречит и тот факт, что различные методисты в своих исследованиях по одному и тому же вопросу могут приходить к различным, но обоснованным выводам, которые в данный момент могут законно сосуществовать друг с другом как равноценные. Так, например, в преподавании различные педагоги могут практиковать различные способы изложения одного и того же материала, причем каждый способ может быть серьезно обоснован и может иметь свои достоинства и недостатки. При этом может случиться, что в данный момент ни теоретические рассуждения, ни опыт не смогут

ни одному из них отдать обоснованного предпочтения. Такое положение вещей ничем не отличается от того, которое имеет место и в других науках, например в физике, химии, медицине и т. д., где могут сосуществовать различные, во многом взаимоисключающие теории, достаточно хорошо в данный момент обоснованные фактами, относительно которых опыт еще не может решить, какая из них ближе к истине.

Однако в наличии таких различных, но обоснованных и одновременно сосуществующих решений методических проблем нет ничего общего с теми утверждениями, о которых говорилось выше и которые сводились к тому, что в методике «существуют только мнения» и что «каждый может высказать любое мнение — и его никто не сможет опровергнуть». Естественно, что по нерешенным вопросам науки может идти борьба взглядов. Такая борьба обоснованных взглядов имеет громадное прогрессивное значение в науке, содействуя ее развитию. В связи с выдвинутыми здесь требованиями об объективной оценке педагогических положений, о строгой обоснованности педагогических рекомендаций и т. д., полностью вытекающих из их научного характера, надо решительно подчеркнуть, что все эти методические положения не должны служить средством мелочной опеки над педагогом ни в средней, ни в высшей школе. Они не должны стеснять свободы учителя или лектора как в стиле и характере их преподавания (с его всегда индивидуальной окраской), так и в известной свободе выбора материала, при условии, что это преподавание сохраняет общую направленность, вытекающую из объективного анализа его задач и предъявляемых к нему требований, обоснованных данными современной методики.

Неисчерпаемость свойств материи и процессов, совершающихся в мире, серьезность и диапазон задач, которые всегда ставит перед собой любая наука, обеспечивают ей постоянное развитие. Разрешение одних задач ставит на очередь новые. Некоторые из них, не укладываясь в рамки данной науки, обусловливают возникновение новых научных дисциплин и т. д. Несомненно, что такое же непрерывное развитие обеспечено и методике обучения математике. Рост общей культуры, общий технический и научный прогресс будут непрерывно повышать требования к математической подготовке учащихся как в сред-

ней, так и в высшей школе. Развитие же самой математики, в частности появление в ней новых и обобщающих теорий, в свою очередь будет сейчас же отражаться на содержании и изложении математических курсов на всех ступенях обучения. Но это значит, что перед методикой всегда будут возникать все новые и новые задачи — как большие и общие проблемы о формировании математических курсов, так и частные вопросы об изложении отдельных их разделов. Развитие психологии, со своей стороны, будет обеспечивать все более точные решения этих вопросов. Поэтому нет оснований опасаться, что наступит момент, когда методика разрешит все свои задачи. Ей обеспечено постоянное и непрерывное развитие.

Все, о чем говорилось выше, разрешает и возникающий иногда среди методистов спор о том, что собой представляет методика — науку или искусство? Методика — наука, и как всякая наука, она дает педагогу знания, эффективность применения которых лишь возрастает вместе с искусством и мастерством педагога. Ее цель — дать такие знания, чтобы, например, педагог мог заранее предвидеть, где его учеников будут ожидать трудности, в чем они будут состоять и как они должны преодолеваться. Это тем более необходимо, что даже отдельные удачные приемы изложения материала надо знать, так как они далеко не всегда в нужный момент являются по вдохновению к услугам педагога. Тем более это относится к решению вопросов, связанных с построением определенных разделов курса, которые требуют серьезного и длительного размышления. Но при этом сам педагог должен ясно сознавать границы своих возможностей: если в механике или других технических науках возможен более или менее точный предварительный расчет, позволяющий нам предвидеть результаты наших технических предположений, то в методике точный расчет при ее современном состоянии возможен далеко не всегда.

Уже одно простое перечисление тех областей знания (математика, логика, педагогика, психология, история), из которых методика черпает материал для своих исследований, показывает, насколько своеобразна и трудна научная работа по методике. Вопросы, с которыми приходится иметь дело методике, с одной стороны, имеют своим источником глубокие и общие абстракции из области математики и логики, с другой стороны, основываются

на данных естествознания и общественных наук. Отсюда возникают как своеобразие тех элементов, которые должна сочетать в себе творческая работа по методике, так и трудность их учета, необходимого при решении методических проблем.

Чтобы правильно оценить все своеобразие научной работы по методике, чтобы убедиться в том что последняя является такой же полноценной, как и научная работа в любой другой области знания, примем во внимание следующее: от творческого работника в области методики требуются во многом совсем иные данные, чем, например, от творческого работника в области математики. Так, творчески работающий математик должен обладать тем, что принято называть математическими способностями. В частности, он должен уметь свободно оперировать с абстракциями, обладать высокой точностью и остротой мышления, умением концентрировать внимание на отдельных вопросах, какой бы частный характер они ни носили. Так, хорошо известно, какую громадную роль играет в математическом творчестве внимание к деталям, когда подчас доказательство уже ясно ощущаемого результата требует скрупулезного учета всевозможных частных случаев, ограничений и оговорок, без которых рассматриваемая теория может потерять всякий смысл. Это невольно накладывает известный отпечаток на характер и особенности математического мышления.

От творческого работника в области методики эти данные требуются в значительно меньшей степени, но зато к нему предъявляется ряд других требований. Так, даже, занимаясь самыми мелкими вопросами методики, методист не может упускать из виду, что правильное их решение требует от него учета данных и математики, и педагогики, и психологии, и иных наук, а также ряда других факторов (преподавание смежных дисциплин, организационные вопросы и другие). Это уже само по себе требует известной разносторонности и не позволяет ему замыкаться в слишком узкие рамки. Тем более это имеет место при решении больших методических проблем. Таким образом, наличие широкого круга наук, с которыми имеет дело работник в области методики, требует от него не только знаний во всех перечисленных областях науки, но и широкого кругозора, без чего совершенно невозмож-

но творческое сочетание столь разнородных элементов при решении стоящих перед методикой задач. Этот широкий кругозор в полном смысле слова необходим педагогу еще и потому, что он должен уметь философски осмыслить рассматриваемый математический материал с тем, чтобы выделить из него те основные вопросы, которые должны быть затронуты на данной стадии обучения в средней или высшей школе. В этом смысле можно сказать, что математику-методисту разносторонность подчас гораздо более необходима, чем даже «чистому» математику, который может успешно творчески работать в своей узкой области, будучи лишь в общих чертах осведомлен в смежных областях науки. Наконец, перечисляя особенности творческого труда в области методики, следует отметить, что для успешного решения конкретных ее задач педагог должен обладать пониманием человеческой психики (это особенно важно!), умением конкретизировать абстракции, чтобы сделать их доступными учащимся, умением вести наблюдение, для чего необходимо обладать рядом совершенно специфических качеств естествоиспытателя, умением задумать и поставить опыт и сделать из него надлежащие выводы и т. д.

Уже этот краткий перечень различных сторон педагогической деятельности методиста показывает, что его успехи отнюдь не обеспечиваются его математическими способностями. Поэтому можно утверждать, что математик отдается методической работе не потому, что он «плохой математик» (как это иногда расценивают), а потому, что он обладает тем комплексом данных, которые обеспечивают ему творческие успехи в области методики.

Иногда, отрицая специфику методики, указывают, что некоторые математики, не будучи методистами и не занимаясь методикой, находят правильные решения некоторых методических проблем. Однако с этой точки зрения с таким же успехом можно было бы отрицать необходимость в интегральном и дифференциальном исчислениях, ссылаясь на то, что Архимед вычислял квадратуры, не зная аппарата интегрального исчисления, а Ферма и Декарт решали задачи на экстремум, не умея дифференцировать. Цель методики — найти закономерности обучения и дать приемы, позволяющие всем педагогам успешно решать возникающие перед ними задачи методики.

Задача методики — сделать усвояемой логику науки. Поэтому всякий истинный ученый ценит методику: она ищет наилучшие пути, чтобы нести в народ его открытия. Поэтому исторически важно и не случайно, что размышления над методическими проблемами не раз приводили крупных ученых к большим открытиям в их специальных науках. Достаточно сказать, что Д. И. Менделеев пришел к своей периодической системе элементов в поисках наиболее рационального способа изложения предмета в своих «Основах химии», а Р. Дедекинд, размышляя над способом изложения курса математического анализа, дал свою знаменитую аксиому непрерывности и теорию действительного числа.

Вряд ли нужно после всего сказанного специально останавливаться на том, что творческая работа по методике требует к себе такого же внимания, как и научная работа в любой другой области знания.

При той широкой сети средних и высших учебных заведений, когда не только элементарная, но и высшая математика стала проникать в широкие круги нашего народа, при том громадном числе учащихся, с которым мы сейчас имеем дело, выработка правильной системы обучения, изыскание наиболее рациональных методов обучения и их возможно более широкое распространение имеют решающее значение. Всякий неудачный и непродуманный прием изложения отдельного вопроса или, что еще хуже, неудачное построение курса в целом, распространенные в устном изложении или в учебнике, могут сильно затруднить обучение. Ответственность перед учащимися со стороны педагогического персонала очень велика, и все усилия последнего должны быть положены на то, чтобы не работать вслепую, чтобы ничего непродуманного, случайного или кустарного не было в его работе. Среди преподавательского состава средней и высшей школы работает очень много молодежи, и облегчить и направить ее педагогическую работу — дело методики. Поэтому недооценка методики равносильна отказу педагогам в помощи, в которой они нуждаются более того, — это пренебрежение интересами народного образования в нашей стране.

ГЛАВА II

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ И ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МЕТОДИКИ

В этой главе мы рассмотрим те положения педагогики и психологии, на основе которых должны решаться вопросы обучения математике в средней (и высшей) школе.

Разработка вопросов методики должна вестись на основе философии диалектического материализма. Основные положения последней общеизвестны и в кратких чертах сводятся к следующим. Марксистский философский материализм утверждает материальность мира и первичность материи, рассматривая все явления природы как результат движения материи. Он утверждает вторичность сознания, которое является продуктом наиболее высокоразвитой материи — человеческого мозга. Сознание отражает объективную реальность, мир, существующий вне нас и независимо от нас, частью которого мы являемся. Тем самым философский материализм утверждает познаваемость мира. Марксистский диалектический метод рассматривает явления природы не в виде изолированных друг от друга вещей или явлений, но в их взаимной связи и обусловленности, в их непрерывном зарождении, развитии и исчезновении, в вечной смене процессов. Поэтому для понимания явлений их надо рассматривать не изолированно друг от друга, а в их взаимосвязях и в развитии. Изменения в природе не являются простыми количественными изменениями. Накопление количественных изменений ведет к качественным изменениям, к возникновению новых явлений, новых процессов. Это положение кратко характеризуют, говоря о переходе количества в качество. Вещам и явлениям

природы свойственны внутренние противоречия. Борьба между этими противоречиями, разрешаясь, приводит к изменениям, к развитию вещей и явлений.

На основе положений философского материализма и марксистского диалектического метода мы и будем анализировать проблемы обучения.

Выясним прежде всего, что представляют собой современные педагогика и психология как науки, что они могут дать для методики? Хотя педагогика обычно определяется как наука о воспитании подрастающего поколения (т. е. в основном детей), но, несомненно, такое ограничение ее предмета мало оправданно. Человек в любом возрасте непрерывно изменяется под влиянием окружающей его среды: условий жизни, работы, взаимоотношений с людьми, чтения, театров, музеев и т. д. Поэтому целесообразно ставить вопрос о целенаправленном воздействии на человеческую личность в течение всей ее жизни, т. е. о воспитании человека любого возраста. Конечно, формы воспитательного влияния будут меняться с возрастом и производительной деятельностью человека.

В текущей литературе, в решениях партии и правительства мы встречаем указания на отставание педагогики. Так, указывают, что педагогическая наука все еще отстает от жизни, от растущих запросов школы и народного образования, что отставание педагогической теории от современных требований, предъявляемых к ней в нашем социалистическом обществе, резко выделяется на фоне крупных успехов других областей советской науки. Учителя жалуются, что педагогическая наука не дает им определенных и категорических указаний на то, как поступать в тех или иных трудных случаях. Во всех этих случаях они предоставлены самим себе и должны полагаться лишь на свой такт и на свою интуицию. Применяя же те или иные педагогические мероприятия, педагог заранее не может предвидеть их результатов, т. е. «рассчитать» их действие, их влияние на учащихся и т. д. Аналогичные упреки приходится слышать и в отношении психологии.

Встречаются упреки и другого рода. Говорят, что по сравнению с техникой достижения педагогики более чем скромны. Оставляя в стороне вопрос о законности сравнения столь разнородных областей знания, трудно отри-

цать тот факт, что педагогика не дает нам многого из того, что мы от нее хотели бы получить. И в этом смысле требования к ней надо признать вполне обоснованными, а претензии — справедливыми. Можно отметить много существенных недостатков в педагогических исследованиях, свидетельствующих об отставании педагогической теории. Так, подчас исследование, анализ и обобщение опыта заменяются его описанием. В дидактике явно отстает изучение процесса усвоения знаний, умений и навыков, в результате чего учитель должен опираться на свой личный опыт там, где он доложен был бы основываться на обобщенном теорией коллективном опыте. А обобщить этот коллективный опыт — задача вполне посильная для педагогики. Недостаточно разработан вопрос об индивидуальном подходе к учащимся в процессе обучения как с целью борьбы с неуспеваемостью, так и для работы с отличниками. Вопросы методики воспитывающего обучения также разработаны недостаточно. Много нерешенных еще теоретических проблем выдвигает воспитание и обучение в школах-интернатах и т. д.

Однако осознание этих недостатков педагогики не должно переходить в нигилистическое отношение к ней и в пренебрежение ее бесспорными достижениями. А достижения у педагогики есть. Так, несомненным достижением педагогики является общая система трудового воспитания и политехнического обучения в школе, воспитательная работа, проводимая в пионерских организациях и в комсомоле. Особенно большое значение приобретает в наших условиях педагогическое наследие А. С. Макаренко. Несомненно, что система интернатов, приводя к развитию новых разделов в педагогике, будет многое заимствовать из его опыта.

Самым суровым испытанием для всего общественного и государственного строя нашей Родины была Великая Отечественная война, окончившаяся разгромом фашистской Германии. Но кто были те рядовые бойцы и командиры, которые на фронте или в тылу, на фабриках, заводах и в поле обеспечили нашу победу? В основном это была молодежь и те люди среднего возраста, которые прошли нашу советскую школу. Сколько героизма проявили Зоя Космодемьянская, герои «Молодой гвардии» и многие, многие другие! Все они были воспитанниками нашей школы.

Блестящие достижения нашей атомной промышленности, запуск космических ракет, фотографирование обратной стороны Луны, подготовка и осуществление замечательных полетов советских космонавтов — все это достижения нашей науки и техники. Но инженеры и техники, ученые всех специальностей, все те люди, которые создали и обеспечили эти достижения, в том числе и сами герои — космонавты, — все они когда-то прошли нашу школу (среднюю или высшую), в ней сформировался их характер, она дала им необходимые знания, зародила в них творческий энтузиазм. И если здесь на первый план естественно выдвигаются достижения техники и математики, физики и химии, биологии и других естественных наук, то и роль нашей советской педагогики, которая на первый взгляд не бросается в глаза, бесспорна. Обо всем этом следует подумать, оценивая достижения современной педагогики. Но, конечно, видя все эти достижения педагогики, мы не можем закрывать глаза на ее недостатки.

В связи с высказанным нельзя забывать и того, что культурное развитие человеческого общества есть в конечном счете единый процесс. Изолированных наук нет. Успехи каждой науки обусловлены достижениями смежных наук и в свою очередь влияют на них. Поэтому с полным основанием можно предполагать, что ответственность за свои недочеты педагогика в какой-то мере разделяет и с другими науками. Надо признать, что, пожалуй, ни к одной другой науке мы не предъявляем столь больших требований, как к педагогике.

Видя замечательные достижения нашей техники, все мы гордимся ими и никому не придет в голову бросать упреки технике в том, что она «отстает от требований жизни», хотя мы с неменьшим желанием уже сейчас совершили бы полеты на Луну или на Марс в ракетном снаряде и вели бы жизнь на основе полного развития атомной энергетики. Мы понимаем, что современный уровень этих наук обусловлен всей их историей. Мы реально оцениваем их достижения, зная, что их дальнейшее развитие зависит не только от наших желаний или материальных затрат, но и от их реальных возможностей и от достижений смежных наук. Мы понимаем, что все они вместе требуют известных масштабов времени и что поэтому

воплощение в жизнь многих наших желаний — дело будущего.

Так же точно обстоит дело и с медициной. Ее достижения бесспорны. Все знают о достижениях наших хирургов, совершающих операции, которые раньше казались немыслимыми. Множество новых лекарств излечивает от таких болезней, которые раньше казались неизлечимыми. Средняя продолжительность жизни человека увеличилась. Однако мы хорошо понимаем историческую обусловленность уровня развития медицины и не бросаем ей упреков, например, в том, что она уже сейчас не обеспечила нам продолжительности жизни, скажем, до 150 лет, хотя мы все, несомненно, этого желаем.

Иначе мы судим о педагогике. Видя перед собой современного человека со всем богатством и всеми особенностями его психики и одновременно видя, как мы еще далеки от полного познания всех закономерностей его физической и духовной жизни, от умения воспитать в каждом человеке тот идеал человека коммунистического общества, который сейчас вырисовывается перед нами, мы иногда забываем об исторической обусловленности достижений педагогики и ее зависимости от смежных с ней наук и порицаем ее за то, что она не дает нам уже сейчас методов для воспитания этого идеального человека.

Можно сказать, что наши исходные точки зрения на технику и на педагогику в какой-то мере противоположны. Требования к технике исходят из учета ее реальных возможностей. Требования к педагогике в большой мере определяются нашими желаниями. Впрочем, вряд ли можно особенно удивляться такому взгляду на педагогику. Если бы нам удалось взглянуть воочию на технику жителей планеты какой-нибудь солнечной системы, где цивилизация существует очень давно и значительно выше нашей, то мы, вероятно, также огорчились бы отставанием нашей техники (от ее возможностей в далеком будущем). Поэтому, объективно оценивая современное состояние педагогики и справедливо критикуя многие ее недостатки, мы одновременно должны признать, что не все наши желания могут быть выполнены ею в данный исторический момент.

Многие недостатки педагогики объясняются огромными трудностями, стоящими перед ней. Остановимся на этих трудностях. Если мы ждем от педагогики точных и

определенных решений и рекомендаций по любому интересующему нас вопросу воспитания и обучения человека (малыша, школьника, студента), то мы должны признать, что педагогика является одной из труднейших, если не самой трудной наукой нашего времени.

Дело в том, что, чем меньше факторов приходится рассматривать в процессе исследования, тем обычно легче получаются результаты и тем более точный характер они носят. И наоборот, обилие обстоятельств, которые приходится учитывать в процессе исследования, неизмеримо усложняют его и накладывают отпечаток некоторой «расплывчатости» на получаемые результаты. Однако это неизбежно. Так, решая математическую задачу, мы всегда точно знаем, что дано и что требуется найти. Поэтому математические теоремы служат образцом точности. Изучая явления природы в физике, химии и других естественных науках, мы часто даже не знаем всех факторов, которые в них участвуют, и со временем обнаруживаем такие, о которых раньше ничего не знали. Поэтому закономерности, устанавливаемые в естественных науках, носят приближенный характер и время от времени получают новую качественную и количественную формулировку (теория тяготения, строение вещества). В еще большей степени это относится к общественным наукам. С неменьшим числом факторов сталкивается и педагогическая наука. Действительно, хотя все науки взаимосвязаны, но если, например, зоология и ботаника связаны с математикой (через физику и химию) достаточно отдаленно, то педагогика, можно сказать, непосредственно зависит от уровня развития всех наук, от всей культуры, от всех условий жизни человека, ибо все они непосредственно влияют на нее. Не говоря уже о влиянии на учащегося общественного строя его родины и той системы воспитания, которую этот строй определяет (у нас, в СССР, это система коммунистического воспитания), разве мы не должны учитывать, что преподавание в школе математики, физики, химии, географии, ботаники, зоологии, истории и других наук, обогащая знания, влияет самым решительным образом на формирование как ума, так и всей личности учащегося? Разве книги, газеты, театры, кино, телевидение, музеи не действуют в этом же направлении, независимо от всевозможных педагогических мероприятий?

И педагогика все это должна учитывать. Действительно, то, что, в одну эпоху являлось недостижимой мечтой, в другую — является предметом обучения, а в третью — воспринимается человеком почти что от рождения как необходимая составная часть его существования. Поэтому век лошади и век пара, век моторов, электричества, авиации, кино, радио, телевидения и автоматики, а в будущем век широкой атомной энергетики и межпланетных путешествий будут совершенно различно влиять на молодежь не только в смысле ее образования, но и в смысле самого формирования ее личности, ее запросов, интересов, характера, планов на будущее и т. д. И если мы хотим проводить определенную систему воспитания, заранее знать, как реагировать на отдельные поступки человека, если мы требуем от педагогики точных рекомендаций во всех этих случаях, то разве мы не должны точно учитывать влияния всех перечисленных выше факторов? А как бесконечно трудно сейчас их учесть, хотя бы даже приблизительно! Наконец, трудности воспитания усугубляются тем, что в настоящий момент один, пусть даже идеально согласованный, режим школы взаимодействует в каждом классе с 30—40 семейными режимами учащихся, определяющимися достатком, культурой, обычаями, интересами, которые в каждой семье в какой-то мере свои, часто в чем-то противоречащие друг другу, а иногда и режиму учебного заведения.

Эти же трудности, но в несколько своеобразной форме стоят перед психологией. Последняя исследует наиболее сложную, ответственную и наименее изученную область: умственную деятельность человека. Она изучает закономерности развития психики. Как бы ни были сложны наши электронные счетные машины, мгновенно решающие сложнейшие задачи, определяющие траектории наших спутников и ракет, и сами эти летающие лаборатории,—но мозг сложнее и совершеннее любой машины, любого инструмента, созданного руками человека. И не будет удивительным, если мы скорее многое узнаем об отдаленных небесных телах и раньше ступим на их почву, чем поймем процессы, протекающие в мозгу и обусловливающие нашу умственную деятельность. Деятельность мозга (в частности, в процессе обучения) зависит от столь тонких и глубоко скрытых закономерностей и факторов,

что они не идут ни в какое сравнение с теми, с которыми имеет дело инженер, физик или астроном. Многие из них мы и сейчас не только не умеем учитывать, но, по-видимому, даже не подозреваем о самом их существовании. Несколько строчек одного автора прочтутся и сразу забудутся. Другой же автор в тех же строках, на ту же тему, подберет такие слова и так их расставит, что читатель сохранит о них незабываемое впечатление на всю жизнь. И это относится не только к художественной литературе, но и к научной. Но как найти эти слова? Как их расставить? Каковы законы творчества? Учащийся что-то не понял. Но одно-два слова вдумчивого учителя, чуть-чуть иной оборот речи или подход к теме,— и сразу все стало ясным. Одно коротенькое, вовремя сделанное в учебнике замечание может устранить ложное понимание у десятков тысяч учащихся, облегчить усвоение, сэкономить тысячи часов. Бывают случаи, когда при одной формулировке условия какой-нибудь математической задачи учащиеся кропотливо и долго ищут ее решение, но стоит лишь слегка изменить ее формулировку — и они решают ее мгновенно в уме. Необходим очень тонкий анализ мышления учащегося, чтобы знать, когда, где, что и как требуется сказать, чтобы учащийся скорее усвоил науку.

Число факторов, с которыми имеет дело психология, также чрезвычайно велико. Мышление зависит не только от способностей учащегося, но и от предшествующего обучения, восприимчивости, памяти, внимания, сознательности, силы воли, интереса к делу, окружающих условий и т. д. Поэтому не удивительно, что иногда может показаться, будто бы закономерности, которые в педагогике и психологии удается установить, носят «расплывчатый» и «весьма общий» характер. Может показаться, будто бы эти науки вообще не в состоянии выдвинуть сколько-нибудь определенных правил или положений, а пробавляются лишь «очевидными» истинами. Однако это глубокое заблуждение.

Исходя, подобно любой науке, из простейших предпосылок, служащих элементарным отражением практики (подобно тому, как эвклидова геометрия начинается с очевидного утверждения, что через две точки можно провести только одну прямую), эти науки приходят к далеко не очевидным выводам (на основании наблюдений и

эксперимента), играющим громадную роль в обучении, о которых мы в свое время будем говорить.

Обратим внимание и на другую сторону дела. Не надо забывать, что развитие педагогики и психологии основано также на данных естественных наук, изучающих биологическую природу человека. Поэтому достижения педагогики в известной мере зависят от успехов биологии. Между тем мы еще очень далеки от полного и точного (с точки зрения анатомии и физиологии!) познания физической природы человека, понимания строения и деятельности его органов. Так, касаясь такого важного для педагогики вопроса, как наследственность, мы оказываемся перед множеством нерешенных проблем. Что наследуется человеком? Как сильно влияние наследственности? Что зависит от влияния среды, от воспитания? Полных и точных ответов на эти вопросы биология нам сейчас не дает. Но можем ли мы тогда в педагогике дать исчерпывающие и точные рекомендации, как поступить в том или ином случае, что противопоставить тем или иным вредным явлениям в человеке, если мы точно не знаем их причины? Изучение биологии ведется на основе физики и химии, изучающих структуру молекул, свойства белковых соединений, закономерности обмена веществ и т. д. и т. п. Таким образом, развитие биологии находится в тесной связи с решением многих из этих проблем.

Мы уже отмечали, что умственная жизнь человека, начиная с его первых детских лет, не только сама зависит от его обучения, но и в свою очередь влияет на него, так как развивается и помимо обучения, под влиянием различных жизненных ситуаций.

Работы И. П. Павлова, давая объективную основу для понимания природы умственной деятельности человека, основывают явления психики на данных физиологии. Отнюдь не сводя задачи и методы психологии к вопросам физиологии, они выясняют материальную основу психических процессов. То обстоятельство, что учение И. П. Павлова возникло только сейчас, а не значительно раньше, обусловлено всем развитием биологии. Только после работ Дарвина, осветивших естественную историю животного мира и установивших происхождение человека, стало возможным на основе экспериментов, выполненных на животных, перейти к изучению психической жизни человека.

В настоящее время люди еще не пришли к полному познанию свойств и закономерностей человеческой психики. Какие физиологические процессы происходят в мозгу человека в момент его умственной деятельности? В чем физиологическая специфика различных ее видов? Как понять с физиологической стороны всевозможные виды умственной деятельности, такие, как восприятие, представление, усвоение материала учебного предмета, решение задач? Что такое с этой точки зрения творчество? Что такое память? Какова физиологическая основа таких явлений, как задатки, одаренность человека и т. д.? Как их развивать? Что здесь является прирожденным и что достигается воспитанием? Дать определенные ответы на все эти вопросы мы пока не можем. Мы очень мало знаем о химизме мозговых процессов. Но, вероятно, знание их открыло бы нам широкие возможности для влияния на всю деятельность мозга.

Мы коснулись здесь вопроса о трудностях педагогики и психологии, конечно, не для того, чтобы оправдывать недостатки этих наук. Наша цель другая. Мы хотели показать этим всю серьезность и ответственность педагогических исследований.

Пусть биология, физиология и психология не могут сейчас полностью ответить на вопросы, которые перед ними ставит педагогика, но это не должно останавливать педагогов.

Видя перед собой пример инженеров и ученых других специальностей, преодолевших огромные трудности и создавших наши счетные машины, космические спутники и ракеты, педагоги должны приложить максимальные усилия к решению педагогических проблем на основе последних достижений современной науки.

Систематическое исследование умственной деятельности в процессе усвоения наук является для нас наиболее важным достижением психологии. Можно сказать (и в последней главе мы остановимся на этом более подробно), что многие недостатки в методике обучения объясняются не слабой разработкой соответствующих вопросов педагогики и психологии, а, наоборот, как раз тем, что мы еще недостаточно учитываем их достижения в процессе преподавания. Поэтому, наряду с решением своих специфических задач по усовершенствованию обучения (о чем подробно говорится в главах III и IV),

методика в огромной степени заинтересована в ассимиляции того, что уже достигнуто психологией и педагогикой. Построение методики на базе достижений этих наук — одна из важнейших задач методических исследований.

Остановимся на некоторых важнейших положениях педагогики и психологии, которые в дальнейшем явятся для нас источником наиболее общих и основных выводов в отношении постановки математического образования. Наиболее общими положениями педагогики, характеризующими ее требования к процессу обучения, являются основные принципы дидактики. Само содержание этил принципов показывает, что их соблюдение одинаково важно в обучении как в средней, так и в высшей школе. Эти принципы общеизвестны, хотя иногда их формулируют по-разному. Осуществление их в обучении основано на анализе умственной деятельности учащегося, о которой мы подробно будем говорить в следующей главе.

Соблюдение принципа систематичности и последовательности обучения совершенно обязательно при изучении математики. При нарушении этого принципа не только невозможно сколько-нибудь научно изложить любую математическую теорию, но нельзя даже сформулировать ни одного математического предложения, так как любое из них может быть понято только на основе логически предшествующих ему положений. Только последовательность и систематичность в изложении материала могут приучить учащихся логично мыслить, что совершенно обязательно в любой науке, а особенно в математике.

Без соблюдения принципа доступности обучения последнее вообще теряет смысл. Только доступное для учащегося изложение материала (т. е. усваиваемое им при затрате посильного труда) обогащает его знания, развивает его мышление и является необходимым условием успешности его обучения. Наоборот, наличие недоступного материала (по его характеру или по изложению) толкает учащихся на его зазубривание. Важное значение имеют правила обучения, соблюдение которых обеспечивает доступность обучения. Эти правила говорят о необходимости в процессе обучения идти от известного к неизвестному, от простого к сложному, от более легкого к

более трудному и о целесообразности разделения трудностей.

Соблюдение принципа сознательности в обучении особенно важно. Самый термин «сознательность» можно понимать по-разному. В узком смысле слова сознательное изучение математики требует, чтобы учащийся понимал смысл данной теоремы, знал, как она получена из предшествующих положений, понимал, а не зазубривал ее вывод, умел ею пользоваться при решении задач, знал ее ближайшие следствия. В дальнейшем мы будем понимать сознательность гораздо шире. Мы будем считать, что учащийся изучает математику или некоторый раздел математики сознательно, если он понимает не только отдельный вывод, но знает на доступном для него уровне, почему и с какой целью этот раздел изучается, какова его роль во всем курсе, в науке, его связь с жизнью и т. д. Именно такое понимание принципа сознательности наиболее плодотворно в методике (следует, конечно, оговориться: это не значит, что относительно каждой теоремы геометрии или правила алгебры должны выясняться все эти вопросы).

Вряд ли нужно останавливаться на том, какую громадную роль играет сознательность в широком смысле слова в любой деятельности человека. Достаточно напомнить, на какие подвиги способна армия, знающая, за что она сражается, на что способен боец, знающий, за что он отдает свою жизнь. История Великой Отечественной войны хранит множество случаев героизма, ставших возможными только благодаря высокой сознательности бойцов нашей армии. Человек, осознающий смысл своего труда, проявит в этом труде такую энергию, какую никогда не сможет мобилизовать тот, кто трудится только по обязанности. Все это относится и к обучению. Обучение всегда требует значительных усилий в течение длительного времени. Поэтому сознательное отношение учащегося к своему учебному труду имеет решающее значение. Понимание учащимися необходимости изучения данного материала, роли и значения изучаемых вопросов в общественной и в их личной практике будет способствовать концентрации таких усилий и получению таких результатов, о которых учащийся не мог бы и мечтать, изучая предмет только в силу выполнения учебного плана. Можно сказать, что, чем более

взрослым и сознательным является учащийся, тем важнее для него понимать смысл и задачи его учебной работы, так как сознательность в том и состоит, что человек хочет знать, что и зачем он делает. Поэтому, если для младшего школьника в иных случаях будет достаточным указание, что «это нужно так делать», то для взрослого учащегося такая мотивировка бесполезна. Пока он сам не убедится в целесообразности его труда, он не проявит интереса к делу. Но уже одно чувство неудовлетворенности от отсутствия этого сознания начинает тормозить все его обучение, и даже самые ничтожные препятствия начинают ему казаться непреодолимыми. В результате, несмотря на все свои усилия, он перестает усваивать материал. Характерно, что особенно большую роль играет сознательность в обучении взрослых в вузе. Можно было бы привести множество случаев, показывающих, что как только изложение материала представляет трудности, так учащиеся сейчас же поднимают вопрос: «Объясните, зачем нам нужно это изучать?» Это показывает, что сознание необходимости и целесообразности их действий особенно необходимо учащимся при возрастании трудностей.

Эти соображения сейчас же указывают на те приемы, которые способны помочь учащимся в преодолении трудностей. Часто помощь учащимся в усвоении трудного материала должна состоять не в том, чтобы по нескольку раз повторять им одно и то же, а в том, чтобы объяснить, зачем этот вопрос изучается, как и почему он вообще перед нами возник, как он связан с другими, где он дальше будет использован, почему нельзя обойтись без его изучения, в чем его общественная ценность, раскрыть перед учащимися перспективы науки. Из самих формул и теорем этого обычно не видно. Уже это одно позволит учащимся, даже незаметно для самих себя, мобилизовать нужные силы для овладения материалом.

Не менее важным является соблюдение принципа наглядности на всех стадиях обучения. В младших классах он требует ознакомления школьников с изучаемыми объектами в натуре или в рисунках. Так, изучение геометрических объектов должно сопровождаться ознакомлением учащихся с конкретными, материальными фигурами и телами (треугольник, квадрат, круг, цилиндр и

другие), абстракции которых он изучает в математике. На последующих ступенях обучения — в старших классах и даже в высшей школе — принцип наглядности сохраняет все свое значение. Однако понимание его соответствующим образом обобщается. Так, наглядность в дальнейшем изучении математики может в ряде случаев проявляться хотя бы в одной только чисто умозрительной конкретизации тех общих и абстрактных понятий, с которыми имеет дело изучаемая математическая теория. Так, например, изучение многомерных геометрий в высшей школе может сопровождаться наглядной иллюстрацией рассматриваемых там объектов путем их «конкретизации», т. е. сравнения их с тоже абстрактными, но хорошо знакомыми учащимся образами нашего трехмерного пространства.

Наконец, согласно требованиям дидактики, обучение математике, содействуя общему образованию учащихся, должно быть одновременно воспитывающим обучением. Это значит, что оно должно не только повышать их знания, но и прививать им общую культуру. В этом смысле важно осознание учащимися роли математики в истории культуры человеческого общества, ее взаимоотношений с другими науками, в частности понимание фундаментального значения математики для естественных и технических наук, использующих ее методы. Все это приобретает особое значение в связи с проблемами политехнизации и связи обучения с производительным трудом. Связь преподавания математики с другими науками и практикой и ориентировка учащихся в исторической обстановке развития математики будет способствовать развитию диалектического мышления и диалектико-материалистического мировоззрения учащихся и росту их общей культуры. Громадную воспитательную роль играет ознакомление учащихся с биографиями ученых, с обстановкой их жизни, с методами их работы и творчества и т. д. Здесь это важно прежде всего с педагогической точки зрения. Великий ученый, независимо от чисто личных черт его характера,— это всегда пример величайшего трудолюбия, целеустремленности в работе, самозабвенного труда на пользу человечества.

И педагогический вывод из изучения его биографии для учащегося один: «будь хоть в какой-то мере таким, как он».

Внимательный анализ показывает, что все принципы дидактики имеют в своей основе данные психологии. Например, принцип связи теории с практикой, принцип систематичности и последовательности обучения, которые с виду как будто ничего не говорят об учащемся, на самом деле имеют психологическую основу, так как и характер связи теории с практикой и система изложения предмета будут определяться возрастом и знаниями учащихся, т. е. в конечном счете образом их мышления. Казалось бы, что принцип научности говорит только об изучаемой науке. Однако нетрудно заметить, что то изложение, которое мы будем считать научным для младшего школьника, уже не будет таковым для старшего или для студента вуза. Итак, мера научности изложения определяется не излагаемой наукой, а уровнем мышления учащегося. Изложение начал геометрии, которое для учащихся 6—7 классов будет считаться систематическим и научным, для старшего школьника или для студента будет примером вольного обращения с материалом, полным пренебрежением строгостью и т. д. Чтобы избежать недоразумения, следует подчеркнуть, что нельзя путать два различных понятия: уровень строгости, на котором строится в данный момент наука (это определяется уровнем развития науки), и уровень строгости, на котором излагается наука. Последний определяется тем, кому она излагается, но именно об этом и идет всегда речь при решении дидактических или методических проблем. Так же точно и всевозможные методические закономерности в своей основе имеют психологическое начало. Как известно, с особенным трудом учащиеся изучают в математике очевидные для них теоремы. Поэтому существует методическое правило: сначала разъяснить учащемуся, в чем заключается неочевидность теоремы, т. е. заставить учащегося в ней усомниться, а потом ее доказывать. Далее можно сформулировать правило, что для лучшего понимания нового материала целесообразно его излагать, исходя из наиболее естественной для учащегося точки зрения. Мы видим, что здесь снова методические рекомендации возникают на психологической почве. Подобных примеров можно привести сколько угодно. Точнее говоря: ни один из методических вопросов не решается без психологической основы. В знании законов мышления — ключ к успехам в обучении. Читатель увидит в последующих гла-

вах, как все закономерности, с которыми мы будем встречаться в методике, в явной или в неявной форме, но всегда учитывают характер мышления учащегося.

В заключение надо отметить, что принципы дидактики, концентрирующие в себе опыт, накопленный поколениями ученых, и являющие собой пример блестящего достижения педагогики, обладают одной «невыгодной» для них особенностью: они кажутся слишком очевидными. Кажется, что они всегда, во всяком обучении выполняются сами собой, в силу их естественности. Однако это заблуждение. Можно было бы привести множество примеров из практики средней и высшей школы, когда отдельные вопросы излагаются мало доступно, когда вместо разделения трудностей мы видим их нагромождение, когда учащийся не видит, какие цели преследует изучение некоторых разделов курса и т. д. Поэтому, несмотря на их внешнюю очевидность, принципы дидактики, обладая глубоким содержанием, заслуживают вдумчивого изучения и сознательного применения в педагогической практике.

Теперь мы остановимся на некоторых общих психологических факторах обучения, которым обычно не уделяют места в работах по методике, хотя часто именно от них в первую очередь зависит успешность обучения. (Подробному психологическому исследованию процесса усвоения конкретных вопросов математики будет посвящена глава III.)

Не приходится говорить, что интерес к делу со стороны учащегося имеет решающее значение. Интересную задачу легче решать, так как уже один интерес к ней сам по себе, независимо от желания, мобилизует умственную энергию, облегчает запоминание, ускоряет изучение предмета. Обеспечить интересное обучение — прямая обязанность педагога.

Значительно менее очевидную, хотя, может быть, гораздо более важную, роль в успешности обучения играет воля учащегося. Здесь, конечно, идет речь не о том, что изучение предмета при наличии желания идет успешнее, чем при его отсутствии. Здесь идет речь о том особом волевом усилии, которое учащийся может проявить, помимо обычного желания и интереса к делу, и которое может обеспечить значительные успехи. Вот что вспоминает один математик: «Нам задали на дом несколько задач повы-

шенной трудности. В тот же вечер я с интересом принялся за их решение. Однако, сколько я не бился над ними, ни одна задача у меня не выходила. Утром из рассказов моих товарищей я узнал, что многие из них решили все эти задачи. Я не знал, как они их решили, но самый факт их решения меня сильно взбудоражил. Идя домой, я не мог успокоиться: как же это может быть, чтобы они решили все задачи, а я — ни одной! Никаких оправданий моего неуспеха быть не может. Я во что бы то ни стало должен их решить! Придя домой, я снова сел за свои задачи с твердым намерением не вставать из-за стола, пока я их не решу. Вскоре я решил первую задачу, за ней вышла вторая, и через некоторое время все задачи были решены. Этот случай заставил меня задуматься. Вот что значит, думал я, когда человек во что бы то ни стало хочет что-то сделать! Ведь и у меня с самого начала было сильное желание решить эти задачи, но его, видимо, оказалось недостаточно. Я понял, что желать можно по-разному». Одного этого примера достаточно, чтобы стало ясно, что может сделать целеустремленное волевое усилие. Сознание важности поставленной цели, необходимость ее достижения создают то волевое усилие, которое необходимо для преодоления трудностей.

На умственные процессы влияет также ряд факторов, которые с виду не имеют к ним никакого отношения. Между тем их влияние столь значительно, что, будучи благоприятным, оно может во много раз повысить эффективность обучения; действуя же в противоположном направлении, оно может парализовать все усилия учащегося и свести весь их эффект к нулю. Речь идет о таких сторонах личности человека, как его эмоции, чувства, настроение в данный момент, темперамент, характер и другие. Хотя, с одной стороны, они как будто и не связаны непосредственно с умственной деятельностью человека, так как ум и способности могут сочетаться с любыми чертами характера и темперамента, однако ясно, что живет, учится, творит и работает не «изолированное мышление само по себе», а весь человек, как нечто цельное.

Роль эмоций и чувств во всех проявлениях жизни человека хорошо известна. Медицина знает, какую громадную роль в деле борьбы за жизнь и здоровье больного играет его собственное душевное состояние. Желание больного выздороветь, бодрость его духа мобилизуют фи-

зические силы организма, меняют жизнедеятельность органов кровообращения, дыхания, пищеварения, желез внешней и внутренней секреции, самый ход химических процессов в организме в направлении борьбы за его жизнь и здоровье. Наоборот, удрученное состояние больного, утрата веры в выздоровление, потеря интереса к жизни, соответствующим образом влияя на его организм, сильно затрудняют его лечение. Физиологи установили, что в основе эмоций и чувств лежат процессы, протекающие как в коре больших полушарий, так и в подкорковых центрах. Уже отсюда ясно, что если чувства человека и его настроение таким решающим образом влияют на всю физическую жизнедеятельность его организма, то не меньшее, а еще большее влияние они должны оказывать на его умственную сферу, на работу его мозга, на его мышление, содействуя его работе или расстраивая ее.

Хорошо известно, что какой бы работой человек ни занимался, что бы он ни делал, он никогда не может относиться безразлично к тому, что он делает. Выполняя работу, которая доставляет человеку радость, он чувствует прилив творческих сил, работа идет у него быстро и успешно. Встречающиеся препятствия не останавливают его, а преодолеваются им с особой энергией. Наоборот, выполняя скучную, тяготящую его работу, человек работает с меньшим эффектом, медленнее, каждое даже мелкое препятствие вырастает в его представлении до огромных размеров и кажется непреодолимым. Итак, настроение и чувства, с которыми человек выполняет ту или иную работу, не только вызываются этой работой, но и сами влияют на успешность ее выполнения. В отношении обучения это значит, что если предмет доступен учащемуся, если цели его изучения ясны, если он чувствует свое движение вперед, то создающиеся здесь положительные эмоции в свою очередь облегчают дальнейшее обучение. Если же материал излишне труден и не дается ему, если движения вперед он не видит, то досада от безрезультатности труда снижает эффективность всех его психических процессов — мышления, памяти, усвоения — и ухудшает возможность дальнейшего обучения. Таким образом, успешное обучение создает положительные эмоции, в свою очередь содействующие успешности дальнейшего обучения. Отрицательные эмоции действуют в обратном направлении. Можно сказать, что здесь создается своего

рода «цепной процесс». Это и не удивительно. Чувства, переживаемые человеком в данный момент, вызывая чисто физиологические изменения в его организме, самым решительным образом влияют на всю его умственную сферу, на его восприятие, усвоение, творчество и т. д.

Сейчас, в связи с учением И. П. Павлова о роли центральной нервной системы и ее влиянии на другие системы организма, все сказанное приобретает особое, можно сказать, решающее значение. Важно понять, что если теорема Пифагора или теоремы и правила дифференциального или интегрального исчислений не зависят от человека, то изучает их живой человек, и успешность их изучения всецело зависит как от работы его мыслительного аппарата, так и от его эмоционального состояния. А оно может быть при этом совершенно различным, в зависимости от характера изложения, сухого и однообразного или живого, ставящего вопросы, будящего мысль. Поэтому и само преподавание не должно проходить мимо этих эмоциональных факторов. Оно не должно смотреть на эти факторы как на случайные, привходящие и не подвластные ему обстоятельства. Наоборот, преподавание само должно создавать и воспитывать в учащемся такие чувства, которые содействовали бы успешности его обучения. В этом заключается одна из важнейших, если не самая важная педагогическая задача обучения. Сделать чувства, волю, интересы учащегося союзниками обучения — вот цель каждого педагога.

В скупых, но чрезвычайно красочных выражениях говорит о роли этих «личных» факторов акад. Е. О. Патон в своих «Воспоминаниях» (Москва, 1958). Его примеры тем более показательны, что они относятся, казалось бы, к таким случаям, где мы обычно и мысли не допускаем о влиянии этих факторов на труд человека. Так, говоря о работе сварщика, Е. О. Патон пишет: «От умения сварщика, от его внимательности, выносливости, даже от его настроения (подчеркнуто мной. — М. П.) зависит качество шва, прочность, надежность конструкции». И далее: «Я уже не раз на своем опыте убеждался в том, что трудные и смелые задачи куда интереснее решать, чем задачи простые и мелкие. И пусть это не покажется парадоксом — легче решать! Когда человеку предстоит не через бугорок перевалить, а взять в науке штурмом крутую,

недоступную вершину, он собирает, мобилизует, а затем отдает все лучшее, что в нем есть, он становится сильнее, умнее, талантливее. А значит, и работать ему становится легче».

Вопрос о влиянии внушения и самовнушения чрезвычайно важен для педагога. Его значение определяется тем, что сила воздействия на человека внушения и самовнушения часто оказывается сильнее, чем влияние на него чисто физических факторов. Вот для начала несколько медицинских примеров.

Хорошо известно, что иногда слово как лечебный фактор бывает сильнее лекарства. Так, например, бывает, что человеку, страдающему от боли, которому не помогло лекарство, впрыскивают воду, но уверяют его, что это такое новое лекарство, от которого боль обязательно должна прекратиться. И боль действительно прекращается. В ряде случаев словесным внушением удавалось изменять температуру тела. Существует много случаев, когда болезни внушались человеку неосторожными словесными действиями врачей. Так, в литературе описан случай, когда человек в течение ряда лет чувствовал себя тяжело больным только потому, что врач сказал ему, что он болен, и подробно описал симптомы болезни. И вот этот человек, поверив врачу и пристально наблюдая за собой, стал замечать у себя все названные признаки болезни. Впоследствии выяснилось, что его организм был здоров и все его болезненные явления обусловливались воздействием нервной системы. Можно назвать ряд случаев, когда по существу здоровые люди обращались к врачу по поводу мелких заболеваний. И только после неосторожных заявлений врача: «Вы серьезно больны. Вы должны быть осторожны...» — они действительно заболевали на длительные сроки.

В медицинской литературе существует специальный термин для таких болезней, «внушенных» врачами. Их называют «иатрогенными заболеваниями».

Автору приходилось наблюдать, как в длинном и утомительном пешем походе, когда казалось, что ноги отказываются идти, стоило подумать о чем-нибудь приятном, как ноша становилась легче, а путь короче.

Все это имеет самое непосредственное отношение и к педагогике. Если внушение в состоянии изменить работу внутренних органов, то совершенно очевидно, что тем

большее влияние оно способно оказать на умственную деятельность человека. Поэтому если врач должен быть осторожен в своем разговоре с больными, то не меньшую чуткость должен проявлять и педагог в своих беседах с учащимися. Всевозможные замечания, вроде таких, что «у тебя все равно ничего не выйдет», способны в сильнейшей степени деморализовать учащегося. И, наоборот, уверенное убеждение, что «задача должна выйти, потому что ты серьезно занимался — а ты не хуже других», во многих случаях сыграет свою положительную роль.

Часто учитель сердится на учащегося, не усвоившего объяснения сразу, винит его в невнимании, в непонятливости и тем еще больше лишает его уверенности в своих силах. Мне обычно кажется, что если учащиеся меня не поняли, то, по-видимому, я неудачно объяснил материал. И я пробую объяснить его еще раз, но уже другими словами.

Может быть, еще большую роль играет самовнушение. Если учащийся почему-либо пришел к выводу, что «он не способен», что «ничего не получится», если он потерял веру в свои силы, то, конечно, сколько бы времени он ни сидел над учебником или задачником, все равно теории он не усвоит, задачи не решит. Такое самовнушение парализует его волю, противодействует концентрации его мысли, и он не сможет мобилизовать столько энергии на преодоление стоящих перед ним задач, сколько он мог бы ее проявить в нормальных условиях. В этом случае педагог должен уметь распознать, что трудности, возникшие у учащегося, коренятся не в математике, а в психике (учащийся, конечно, этого сам не замечает!). И помощь ему должна состоять не в том, чтобы упрекнуть его в нерадивости, и не в том, чтобы десять раз объяснять одно и то же, а в том, чтобы добиться перелома в его психике, вселить в него уверенность в своих силах, возбудить волю, показать ему, на что он действительно способен.

Возможно, что учащемуся, потерявшему веру в себя, целесообразно сначала дать для решения самые простые задачи, которые он наверное решит, чтобы дать ему возможность поверить в свои силы.

Один математик говорит: «Когда я был студентом, я все боялся взяться за репетиторство, хотя почти все мои

товарищи по курсу давно уже давали уроки. Мне все казалось, что я чего-то еще не знаю, чего-то не сумею сделать. Однажды я узнал, что один опытный репетитор не смог решить трудной задачи из задачника. Я взялся за эту задачу и быстро решил ее. Этого оказалось достаточно. Психологический перелом наступил. Я обрел уверенность в своих силах, и с этого момента я без колебаний и с успехом давал уроки».

Разумеется, все сказанное об эмоциях надо понимать правильно. Никакие эмоции не могут заменить изучение предмета. Ни бодрость, ни уверенность в своих силах (здесь это будет самоуверенность) не помогут учащемуся решать задачи, если он не учил теории и несерьезно работал над курсом (хотя в отдельных случаях и могут облегчить самостоятельные поиски верных путей решения).

В заключение этой главы хотелось бы сделать в духе сказанного несколько, впрочем вполне очевидных, замечаний о педагогике взаимоотношений учителя и учащихся. Бесспорно, что знание учителем предмета, его поведение в классе, его воспитательная работа, его отношение к учащимся влияют на учащихся самым решительным образом. Хорошо известно, что младшие школьники стремятся во всем подражать любимому учителю. В старших классах отношение к учителю часто переносится на его предмет: если учитель математики пользуется уважением, то не знать математику становится стыдно. Все действия учителя в школе (на уроке и на перемене), на улице, в театре и т. д. часто невольно проходят перед глазами его учеников и подвергаются их обсуждению. Хорошие поступки учителя еще более повышают его авторитет и, наоборот, иногда мелкие, но неудачные часто болезненно воспринимаются учащимися, пусть даже такие, как попытка где-то «пробраться без очереди» (конечно, не в школьном буфете, где в знак уважения к учителю ученики всегда пропускают его вперед).

Это огромное внимание, которое учащиеся проявляют к учителю, и уважение, которым пользуется учитель, должны подсказать последнему такое же отношение к учащимся. Не надо забывать, что и ученик, как бы он ни был мал и неопытен, какими бы знаниями он ни обладал, имеет свои интересы и вкусы, свой характер и волю, чувство собственного достоинства и законного самолюбия.

Эти чувства, поскольку они не противоречат интересам коллектива, заслуживают полного уважения.

В связи с этим я хочу привести здесь один, по существу совсем незначительный эпизод из своего жизненного опыта, имеющий известное отношение к сказанному и оставивший у меня, в силу ряда причин, впечатление на всю жизнь. Я учился тогда в VI или VII классе школы. Математику нам преподавал знающий учитель, прекрасный педагог. Уроки его были всегда серьезны и интересны. Мы, школьники, очень его уважали и любили. Однажды он провел письменную работу. Работа состояла всего из одной задачи. Моя работа оказалась неудовлетворительной. Я стал искать ошибку. Единственная во всей работе пометка учителя — толстая красная черта его карандаша — перечеркивала середину листка, особенно густо испещренную выкладками. Я стал проверять себя: все выкладки были верными, ошибки не было. В чем дело? Я еще раз все проверил. И тогда мне вдруг все стало ясно. Я неправильно списал с доски условие задачи. Решение же ее было безошибочно, причем моя описка не делала его более простым. Учитель, посмотрев, вероятно, только на ответ и не углубляясь в мое решение, перечеркнул как ошибочные те выкладки, где, по его мнению, должна была быть ошибка. С тех пор прошло уже много лет, но я до сих пор живо помню ту обиду, которую тогда невольно ощутил за несправедливую оценку, и чувство досады, возникшее, быть может, значительно позже, за любимого учителя: как мог он без внимания подойти к проверке работ! Признаюсь, когда я сам теперь проверяю работы моих учащихся, у меня невольно все время стоит перед глазами моя школьная контрольная работа, и я стараюсь как можно тщательнее проверять и оценивать написанное ими, чтобы не повторить ошибки моего учителя.

Особую роль в обучении играет экзамен. Здесь все особенности психики человека проявляются с особенной остротой. Для успешной сдачи экзамена, помимо знания материала, необходимо умение проявить эти знания. Многие учащиеся говорят, что до экзамена они все знали, а в момент экзамена «вдруг все забыли». Другие добавляют, что, выйдя после экзамена в коридор, они вдруг сразу вспоминали все то, что «не знали» на экзамене. Волнение, испытываемое многими учащимися на экзаме-

не, столь велико, что мы не имеем основания им не верить.

По-видимому, иногда только психические факторы в состоянии правильно объяснить истину. Вот несколько примеров. Автору пришлось видеть, как один неплохой студент вуза, отвечая у доски, никак не мог извлечь квадратный корень из положительной единицы. Этот студент потом сам объяснил, что только тогда, когда он сел на место и еще раз взглянул на доску, он понял, «что он наделал!» В другой раз студентка педагогического института на государственном экзамене не смогла решить несложную систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

С формальной точки зрения они оба обнаружили незнание элементарных фактов. Но не должно ли казаться по меньшей мере странным, что один окончил школу и пришел в вуз, не умея извлекать корни из единицы (хотя ему это, несомненно, приходилось много раз делать), а другая окончила школу и кончает институт, не умея решать простых систем уравнений (а именно так думали некоторые члены госкомиссии)? Ведь эти самые системы уравнений встречаются каждому ученику школы на уроках алгебры и геометрии, а студенту — в аналитической и дифференциальной геометриях, в математическом анализе и в механике. Не правильнее ли предположить, что не незнание, а чисто психические факторы — волнение или подавленное состояние — привели к таким результатам?

Один учащийся рассказывал, что во время экзамена, отвечая на устный вопрос, он никак не мог сосредоточиться только потому, что ему казалось, будто сидевший рядом экзаменатор смотрит на него и с нетерпением ждет его ответа. Но как только экзаменатор отошел в сторону и он увидел, что его никто не торопит, он мигом сообразил и дал правильный ответ.

Понимание психического состояния учащегося могло бы помочь отделить настоящее незнание от того «экзаменационного незнания», с которым мы, к сожалению, слишком часто встречаемся на экзаменах.

Сделаем выводы. У нас очень распространено представление, что дело педагога (учителя, а тем более преподавателя вуза) в основном заключается в том, чтобы изложить логическую сторону науки (доказать теоремы.

объяснить правила), закрепить это решением задач и затем проверить знания учащегося.

Цель этой главы — показать, что таким решением вопроса ограничиваться нельзя. Настоящая методика начинается в тот момент, когда мы ставим вопрос так: «Мы излагаем материал. Но как понимает нас учащийся? Что он думает? Как он вообще мыслит?»

Всякая попытка решения задач обучения математике без обращения к данным педагогики и психологии не будет ни достаточно обоснованной, ни успешной, так как один из важнейших аргументов в пользу того или иного решения педагогического вопроса выпадает из рассмотрения. Как бы то ни было, но мы должны считаться с психикой учащихся, с ее, закономерностями и возможностями, и мы не можем безнаказанно их игнорировать. Без данных педагогики и психологии методики нет.

Прямой обязанностью педагога является подготовка педагогического и психологического плацдарма для наиболее успешного обучения математике. Педагог должен видеть в учащемся человека во всем многообразии его жизненных проявлений.

Таким образом, здесь идет речь о необходимости использования и организации в интересах обучения таких факторов, как интересы, память, воля, эмоции и чувства учащихся. Именно от этих психологических и педагогических элементов, как будто бы не имеющих непосредственного отношения к математике, в решающей степени зависит успешность ее изучения.

Можно сказать, что обучение математике тем и отличается от изложения математических истин (например, в научной математической работе), что оно обязано учитывать и использовать все необходимые данные психологии и педагогики.

Эта педагогическая сторона является тем более важной, что от сознательности, от интереса к делу, от волевого усилия зависит, как мы видели, самый уровень логического (математического) мышления учащегося.

Не колеблясь, можно утверждать, что успех обучения сплошь и рядом зависит не от того или иного доказательства теоремы, а от того, как и с чем учащийся к ним подходит. Сознает учащийся пользу для себя в обучении, интересуется им, и он сдвинет горы на своем пути и, в частности, усвоит даже (в худшем случае!) и не очень

удачное по форме доказательство какой-нибудь теоремы. И наоборот, если он не интересуется обучением, не видит для себя в нем пользы, даже самое блестящее изложение пойдет впустую — учащийся не сможет им до конца овладеть. Педагогическая обстановка обучения — решает!

В мобилизации всех сторон личности учащегося путем приведения нашего преподавания в соответствие с педагогическими требованиями к нему мы имеем огромный и еще далеко не исчерпанный резерв повышения успеваемости на всех ступенях обучения. В использовании этого резерва и состоит одна из важнейших задач педагогики.

Мы видим, какой широкий круг вопросов приходится затрагивать и исследовать при анализе методических проблем. Поэтому, может быть, и само название нашего предмета — методика обучения математике — было бы целесообразно заменить другим, более широким: педагогика математики.

ГЛАВА III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрим некоторые характерные черты и особенности мышления, проявляющиеся при изучении математики. Подчеркнем следующее. Введение в программу средней школы элементов высшей математики предъявляет особенно большие требования к абстрактному мышлению учащихся. Достаточно сказать, что вместо таких конкретных геометрических образов, как треугольник, окружность, площадь круга, график параболы и т. д., с которыми имеет дело элементарная математика, здесь выступят на сцену такие общие и абстрактные понятия, как линия (вообще), любая (непрерывная или разрывная) функция, касательная к любой кривой, площадь, ограниченная кривой, и т. д. Поэтому как бы ни был мал по объему круг сведений по высшей математике, входящий в программу средней школы, он охватывает важнейшие понятия математического анализа и аналитической геометрии (хотя последняя и не входит в программу, но такие вопросы, как графическое решение систем уравнений, графики кривых 2-го порядка уже затрагивают основные понятия этой дисциплины).

Именно поэтому вопросы, связанные с усвоением элементов высшей математики, должны представлять несомненный интерес и для учителя средней школы.

Мы начнем с напоминания некоторых общих психологических понятий, которые потребуются нам для исследования проблем методики. Начнем с вопроса о мышлении. Психология определяет мышление как отражение в сознании человека существенных и общих свойств вещей и явлений, как отыскание закономерных связей между ними. Исходя из данных, полученных с помощью ощуще-

ний и восприятий, мысля, человек сопоставляет их друг с другом, анализирует, делает выводы и таким образом приходит к обобщениям, к познанию наиболее существенных сторон действительности. Мысля, человек наиболее глубоко и всесторонне познает окружающий его мир. Психология учит, что мышление начинается с вопроса, который возникает перед человеком, с проблемы или задачи, которые требуется решить. Мышление и представляет собой поиски ответа на этот вопрос. Без такого вопроса активное мышление не имеет стимула к работе. Для успешного протекания мыслительного процесса важно четко и ясно представлять себе, в чем суть вопроса, в каком направлении мы должны искать ответ, что мы должны искать. Это хорошо выражено известной фразой, что вопрос, правильно поставленный, есть уже вопрос наполовину решенный.

Поскольку психология утверждает, что сознание (и мышление) человека есть форма отражения мозгом объективной действительности в представлениях, понятиях, суждениях и т. д., то отсюда следует важнейший для теории обучения гносеологический вывод: явления могут быть правильно познаны в процессе обучения только в том случае, если само обучение правильно отражает в понятиях, суждениях и т. д. закономерности объективного мира. Следовательно, обучение будет только тогда успешным, когда оно дает представление учащемуся не о разрозненных фактах, а рассматривает явления такими, какими они существуют в действительности, т. е. в их взаимосвязях друг с другом и в их развитии.

Отсюда вытекает определение, которое дает психология акту понимания. Понять какое-нибудь явление — это значит раскрыть в нем существенное, осознать причину его возникновения, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Отсюда следует, что явление не может быть правильно понято, если его рассматривать в изолированном виде, вне его связи с окружающими явлениями, с которыми оно связано в естественных условиях. Поэтому заучивание отдельных фактов без умения их объяснить и вывести из них ближайшие следствия не обеспечивает их понимания.

Отсюда вытекают определения ряда важнейших методических понятий. Так, «понять математическую теорию или теорему» — это значит уяснить себе, каким образом

она возникла из предшествующих положений, как она с ними связана, каково ее происхождение. Отсюда, в частности, выясняется, что доказательства в математике, которые дают формальнологический вывод одних математических положений из других, не только их обосновывают, но и содействуют углубленному их пониманию. (Именно эту сторону дела учащиеся обычно недооценивают.) Однако эти же соображения указывают и на то, что даже знание формально безупречных выводов, вообще говоря, оказывается недостаточным для полного понимания математических теорий. Действительно, как мы только что видели, обучение может достигнуть своей цели только в том случае, если оно будет полно* и правильно отражать в теоретических понятиях те реальные факты и связи, которые существуют между изучаемыми объектами действительности.

Между тем известно, что все основные и большие математические идеи имеют своим источником определенные проблемы практики, в большинстве случаев связанные с количественным изучением различных процессов действительности. Поэтому, исходя из положения о единстве исторического и логического, можно утверждать, что истинное понимание математических идей возможно лишь на основе знания их происхождения, знания тех их источников в реальной действительности, в ее проблематике, которая в результате абстракции приводит к соответствующим математическим теориям. И наоборот, изучение только формальной стороны этих теорий, без выяснения того, какие явления и проблемы действительности они отражают, будет односторонним и не будет обеспечивать их истинного, глубокого и полного понимания.

Это тем более важно подчеркнуть, что выводы формул и доказательства теорем, получаемые в математике на пути применения формальной логики, сами по себе вообще не могут раскрыть перед учащимися тех их пер-

* Философия диалектического материализма учит, что в каждый данный момент мы познаем относительную, а не абсолютную истину. Ввиду этого здесь и ниже под «полным пониманием» или под «истиной в полном объеме» мы будем понимать ту полноту знания, которая возможна в данный момент, в данных условиях, при данном уровне развития науки, для данных учащихся.

вооснов в фактах реальной действительности, отражением которых они являются. Поэтому учащийся, изучающий различные математические теории только как формальнологические системы, не получит о них истинного и полного представления даже как о чисто математических теориях. Иными словами, формальный вывод не раскрывает перед учащимися истину в полном ее объеме. Он отражает лишь часть ее. Такой вывод не будет внутренне убедительным, так как его истинные истоки, лежащие в практике, будут скрыты от учащегося, которому он таким образом будет представляться произвольным и надуманным. Чтобы хоть в какой-то мере «освоить» такой вывод, учащийся должен будет временно победить в себе естественное стремление осознать внутреннюю взаимосвязь фактов (которой он не видит) и довольствоваться установлением лишь их формальнологической связи. Особенно большое значение все сказанное имеет для обучения высшей математике, которое стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. В качестве примера достаточно отметить, что, как показывает опыт преподавания, как бы ясно и обстоятельно ни разъяснять учащемуся формальные свойства скалярного и векторного произведений, но до тех пор, пока учащийся не узнает, что примером скалярного произведения является, например, работа, а векторного — момент или скорость, его «понимание» будет формальным и сведется к «заучиванию». Более того, естественное «недоумение»: «зачем он изучает эти произведения и откуда они взялись», будет тормозить попытку даже механического их заучивания. Поэтому нетрудно себе представить, что учащийся, который изучал бы, например, математический анализ только по формально написанному курсу Э. Ландау «Введение в дифференциальное и интегральное исчисление», так до конца и не знал бы, что же он в конце концов изучает. Наука превратилась бы для него в игру в символы.

Более того, усвоение и понимание даже всех отдельных положений изучаемого раздела математики еще не обеспечивает его истинного понимания в целом. Дело в том, что сознательное изучение математики требует, чтобы учащийся понимал, что в этом разделе главное и что второстепенное, какие задачи ставит перед собой этот раздел, как он связан с соседними областями знания, ка-

ковы его приложения и т. д. Ценность каждой теоремы определяется не столько ее собственным содержанием, сколько тем, что из нее вытекает, где и как она используется и т. д. Только понимание всех этих фактов, вместе взятых, обеспечивает отчетливое понимание структуры науки или ее раздела, его важнейших идей. Поэтому учащийся, изучающий данный математический курс или его раздел сам, без помощи лектора (в вузе) или учителя (в школе), во время изучения курса не будет знать этих фактов, если они не разъяснены в учебнике, так как они требуют знания всего курса в целом, т. е. и того, что ему еще предстоит изучать, а также знания соседних наук.

Таким образом, истинное понимание науки не вытекает из формальной логики доказательств ее теорем и вывода формул, а требует словесного разъяснения всех относящихся сюда вопросов со стороны автора учебника, лектора или учителя. Поэтому соответствующие методологические замечания и должны были бы стоять между теоремами и формулами, чтобы разъяснять их взаимную связь, их роль в предмете и приложениях, цементируя тем самым факты курса в единое целое. Однако мы это редко видим.

Иными словами, как бы безупречно ни излагать формальную сторону математики, это одно еще не решает проблемы обучения, так как не может обеспечить полного и всестороннего ее понимания. Таким образом, формальный вывод, вполне удовлетворительный с математической стороны, может оказаться с педагогической точки зрения недостаточным. Более того, изучение одной формальноалгоритмической стороны курса по существу равносильно изучению не предмета, а как бы «схемы предмета» и притом с ее середины, а не с начала, поскольку истинным источником и началом всякой математической теории является практика, а не формула или аксиома. Однако здесь следует предостеречь против ошибочного вывода, будто бы при изучении каждой теоремы или каждого пункта программы необходимо каждый раз ссылаться на их прообразы в реальной действительности Это было бы и невыполнимо и ненужно. Здесь лишь говорится о том, что связи математических теорий с их источниками в явлениях природы в целом всегда должны быть ясны учащемуся.

С другой стороны, не нужно думать, что сказанное требует изучения предмета в историческом плане, здесь речь идет лишь о том, что логика науки — ее истоки, проблемы, цели должны быть ясны учащемуся.

Можно привести высказывания отдельных математиков, подтверждающие эти соображения. Так, математики, объединившиеся под именем Н. Бурбаки, пишут: «Уразумения существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе» (Н. Бурбаки, Архитектура математики, «Математическое просвещение», 1960, № 5, стр. 102). Известный французский математик Фреше говорит: «Если что-нибудь действительно необходимо, так это — уничтожение догматического метода: не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяются» («Математическое просвещение», 1957, № 2, стр. 255). Однако эти положения, по-видимому, еще недостаточно осознаны, и поэтому, как мы это покажем в последней главе, преподавание в средней и высшей школе далеко не всегда находится в согласии с ними.

Итак, преподавание должно разъяснять, как наука и теория отражают практику. Оно должно рассматривать различные вопросы науки не в искусственной изоляции их друг от друга, а в их связях, взаимозависимостях, в развитии. Эти зависимости должны отражать те связи, которые существуют между объектами реальной действительности, находящими свое отражение в этих теориях. Таким образом, связь теоретической науки— математики с жизнью в процессе преподавания становится необходимым условием глубокого и правильного понимания абстрактных математических теорий. Иными словами, учащийся только тогда будет по-настоящему понимать математику, когда он будет в ней видеть отражение действительности.

Наконец, важно, чтобы учащийся видел, что самые абстрактные положения математики находят приложения в практике, чтобы он понимал, почему без элементарной и высшей математики развитие человеческой культуры сейчас невозможно. Только обучение математике в этом духе позволит учащемуся в полной мере осознать замечательные слова В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к прак-

тике— таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» («Философские тетради», 1947, стр. 146—147).

Все сказанное должно рассеять ложное представление, с которым иногда приходится встречаться, что будто бы сухое абстрактное и формальное изложение математики на уроке, в лекции или учебнике вытекает из самого характера математики как науки.

Из предыдущего следует, что дело обстоит как раз наоборот. Чисто формальное изложение математики не вытекает из ее существа, а полностью противоречит ему. Конечно, никто не отрицает математики как логической системы истин. Но сведение преподавания математики только к повторению этой схемы противоречит педагогической проблеме обучения. Преподавание элементарной и высшей математики должно дать и строгие выводы, и учить логично мыслить, и развивать творческое мышление. Однако формальное преподавание препятствует правильному пониманию математики, так как отрывает математику от ее истинных, первооснов в реальной действительности.

Отсюда следует, что «овладеть абстрактным понятием»— это значит осознать, какие образы действительности оно отражает, т. е. видеть те конкретные формы, обобщением которых образовано данное общее понятие. Поэтому овладение каким-либо (в особенности общим) понятием состоит не столько в умении дать его определение, сколько в умении указать его конкретные воплощения. Умение конкретизировать общие понятия является важнейшим и необходимым признаком овладения понятием. Так, например, только тот учащийся овладел понятием «треугольник», кто не только сумеет дать его определение, но и расскажет о возможных типах треугольников, сумеет их вычертить и т. д.

Чрезвычайно существенно для овладения понятием овладеть всей системой понятий, к которой оно принадлежит, т. е. уметь отличить те конкретные образы, которые подходят под данное общее понятие, от тех, которые не имеют к нему отношения. Поэтому при обучении важно наряду с конкретными примерами приводить примеры с виду похожих образов, но под это понятие не подпадающих Например, давая определение смежных углов, важно показать пример углов не смежных, с общей

стороной, но две другие стороны которых не лежат на одной прямой.

Вопрос об уровне строгости в изложении предмета находится на стыке формальной логики и психологии. Обычно здесь сталкиваются две противоположные тенденции: с чисто математической точки зрения желательна максимальная строгость; с другой стороны, она ограничивается уровнем математического мышления учащихся. Исходным положением должно быть следующее: строгость должна разъяснять смысл и помогать усвоению, а не затемнять его.

Педагогический опыт показывает, что строгость вывода далеко не всегда обеспечивает его внутреннюю убедительность. С другой стороны, правильное понимание сущности вопроса далеко не всегда связано со строгостью его изложения. Так, строгое изложение часто не усваивается, а нестрогое усваивается и приводит к правильному пониманию существа дела. В своей «Творческой автобиографии» Эйнштейн говорит: «В возрасте 12—16 лет я ознакомился с элементами математики, включая основы дифференциального и интегрального исчисления. При этом, на мое счастье, мне попались книги, в которых обращалось не слишком много внимания на логическую строгость, зато хорошо была выделена везде главная мысль». С формальнологической точки зрения, игнорирующей психологию математического мышления, все это представляется парадоксальным: с одной стороны, все изложено логично — и не усвоено учащимся; с другой стороны, изложено не строго, с пропуском или нарушением логической цепи умозаключений — и усвоено правильно. Получается, что безупречная логика не содействует, а как бы «препятствует» пониманию. Однако противоречия здесь нет. Прежде всего, и это подчеркнуто Эйнштейном, в каждом вопросе есть главная мысль — сущность предмета, и она, безусловно, первенствует над формой изложения. Овладение же сущностью дела часто возможно и средствами бытовой речи, далекой от математической формализации, ибо и бытовая речь может правильно передавать смысл.

Обстоятельный психологический анализ говорит, что усвоение знаний происходит в процессе активной мыслительной деятельности учащихся, которая состоит в выделении в изучаемой проблеме существенных ее сторон

путем анализа, абстрагирования и обобщения. Так, известно, что на первых ступенях изучения материала учащийся привязан к изложению в учебнике, к чертежу. Иногда бывает достаточно изменить чертеж, чтобы учащийся не смог доказать теорему. Проникая в существо вопроса, учащийся отбрасывает неизбежно конкретные условия данного чертежа и путем обобщения и абстрагирования приходит к пониманию идеи вывода. Поэтому убедительность для учащихся формальнологического вывода в первую очередь зависит не столько от его математической строгости, но главным образом от того, насколько полно и ясно он отражает сущность дела, т. е. те истинные связи, которые существуют между реальными прообразами изучаемых математических понятий. Если вывод не отражает этих связей или учащимся не ясно, каковы реальные прообразы этих понятий, то вывод может потерять для них всю свою убедительность. При этом здесь идет речь не только о таких выводах в высшей математике, где слишком общие формулировки могут действительно скрывать от учащихся геометрическую или физическую сущность вопроса. Это же относится и к элементарной математике, например, к тем случаям, где за длинными выкладками или введенными обозначениями учащиеся могут потерять связь с теми конкретными величинами (отрезками, углами), о которых идет речь в задаче или в теореме. Так же точно в громоздком доказательстве от учащихся может ускользнуть логика появления различных вспомогательных фигур и построений.

Все сказанное и разъясняет наш парадокс. В зависимости от уровня мышления учащегося может наступить момент, когда всевозможные оговорки, ограничения и т. д., с чем связана строгость изложения, начнут заслонять перед учащимся основную идею вопроса, рассеивать его внимание на мелочах, начнут тормозить процессы анализа, обобщения и выделения существенного. В результате учащийся перестает понимать материал. Наоборот, конкретный пример, если он хорошо подобран (или иногда нестрогий вывод), благодаря доступности, подчас близости к жизни, отсутствию всяких оговорок, меньшей абстрактности позволяет учащемуся легче выделить существенные стороны теории, охватить ее идею, т. е. правильно понять ее. Строгость — обоюдоострое ору-

жие. Строгость, необходимость которой понятна и осознана, будет убеждать учащегося и помогать в усвоении материала. Строгость, смысл которой не ясен, будет тормозить обучение, подавляя учащегося. Учащийся будет заучивать доказательства и оговорки, а на экзамене будет бояться отвечать даже то, что он знает, из опасения что-нибудь пропустить.

Обучение самостоятельному мышлению особенно важно потому, что число фактов науки, которые человек познает в годы обучения, сравнительно невелико. Поэтому необходимо научить учащихся приобретать дальнейшие знания самостоятельно. Но для этого требуются умение, привычка и любовь к самостоятельному мышлению. Данные психологии прямо говорят о том, что именно для этого надо сделать. Так как самостоятельное мышление начинается с попыток ответить на вопрос, то первое, что должно делать обучение, это не просто «излагать материал», но ставить все время перед учащимися вопросы. В школьном преподавании это обычно делается. Для того чтобы решение задач будило мысль и развивало мышление, предлагаемые задачи должны быть посильны учащемуся. Непосильная задача не активизирует мышление. Действительно, размышляя над задачей и не чувствуя продвижения вперед, учащийся, еще не привыкший к длительной концентрации внимания и усилий на одном и том же вопросе, перестает им интересоваться. Наоборот, решая посильную задачу, мысль учащегося последовательно переходит от одного объекта к другому. Это приковывает его внимание к задаче и стимулирует дальнейшие поиски ее решения. Отсюда, в частности, вытекает, что развитие мышления может быть с большим успехом достигнуто путем упражнения его в самостоятельном решении посильных задач, чем путем изучения сложных и малодоступных теорий.

Существенную роль в обучении играет память. По вопросам запоминания психология дает чрезвычайно важные и притом в ряде случаев совсем неочевидные указания. Прежде всего для успешного запоминания необходимо, вообще говоря, не столько многократное чтение или повторение одного и того же материала, сколько желание его запомнить, осознание важности его запоминания. Далее, многочисленные наблюдения и опыт показали, что осмысленное запоминание вообще прочнее

механического. Это значит, что для хорошего запоминания материала надо прежде всего его хорошо понять. Но еще важнее следующее обстоятельство. Лучше всего и прочнее всего запоминается тот материал, над которым учащийся самостоятельно, активно, творчески думал, с которым он самостоятельно работал, даже если он его и не собирался запомнить. Такое запоминание в процессе активного мышления оказывается во многих случаях гораздо прочнее даже преднамеренного, но пассивного запоминания, путем заучивания. Отсюда следует, что особенно хорошо будет запоминаться тот материал, с применением которого учащийся самостоятельно решал посильные, но не шаблонные задачи, которые тем самым активизировали его самостоятельное мышление. Таким образом, развитие мышления и прочность запоминания достигаются одними и теми же приемами: самостоятельным решением нешаблонных, но посильных задач. Лучше запоминается то, что заучивалось не в один прием, а в течение длительного времени (хотя бы время, уделявшееся заучиванию, в сумме было одним и тем же). Поэтому спешная подготовка к экзамену при недостаточной работе в течение учебного года приводит к быстрому забыванию материала после экзамена. Наконец, важно подчеркнуть, что запоминание зависит от общего отношения учащегося к изучаемому материалу. Интересный материал скорее и прочнее запоминается и медленнее забывается; очень часто особенно хорошо запоминаются факты, связанные с сильными эмоциями: удачный или, наоборот, неудачный ответ у доски, успешное выступление с докладом на семинаре и т. д.

Теперь остановимся на процессе усвоения материала.

Основное требование, предъявляемое к методике как к науке,—это способность делать прогнозы относительно того, как планировать материал и как он будет усваиваться. Опыт обучения позволяет сформулировать два принципа, на которых можно основываться при решении конкретных задач методики. (Дальнейший фактический материал будет служить их подтверждением).

Первый принцип утверждает, что успешность усвоения нового зависит от взаимоотношения старых и новых представлений в сознании учащегося. Дело в том, что новые знания не просто «добавляются» к старым. Приобретая новые знания, учащийся одновременно по-ново-

му осмысливает и старый материал. У него возникают новые представления и понятия. Часто бывает, что на первых порах новые представления образуют своего рода конгломерат старых представлений и новых знаний.

Второй принцип состоит в утверждении противоречивости процесса познания.

Этот принцип в известном смысле конкретизирует и дополняет первый принцип. Он утверждает, что новые знания часто как бы «противоречат» уже приобретенным знаниям и требуют известной перестройки имеющихся представлений.

С помощью этих принципов можно прежде всего обоснованно ответить на важнейший вопрос методики: «Что является в обучении легким и что трудным?» Многие считают, что это определяется размерами изучаемого материала, что краткое доказательство теоремы является более легким, чем длинное, что задача на построение, требующая меньшего числа построений, легче той, где этих построений требуется больше и т. д. Нетрудно показать, что это неверно. Несомненно, к числу трудных для школьников задач надо отнести задачу: «Найти геометрическое место точек, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек есть некоторая постоянная величина». Между тем построение, решающее эту задачу, чрезвычайно простое. Однако оно не совсем обычное и додуматься до него нелегко (ответом является прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему данные точки).

Вывод можно сделать только один — необходимая для преподавания объективная и более или менее убедительная оценка степени трудности задачи может быть получена не в терминах формальной логики, а только на основе тщательного изучения процесса мышления учащегося в каждый данный момент его обучения. Поэтому с точки зрения психологического подхода ясно, что дело не в длине вывода, а в той умственной работе, которую требуется совершать для его отыскания или усвоения. В связи с этим на поставленный вопрос о том, что является легким и что трудным в обучении, в первом приближении можно ответить так: опыт показывает, что число логических умозаключений, которые ведут от начальных посылок к конечным выводам, не определяет степени трудности материала. Практика преподавания показывает, что

легким для усвоения является то, что лежит в русле привычных представлений учащихся или непосредственно развивает эти представления, независимо от того, из коротких или длинных цепей умозаключений состоят приводимые здесь рассуждения. Трудным для усвоения является то, что не укладывается в эти привычные представления, что в какой-то мере (пусть лишь в представлении учащихся!) противоречит этим привычным представлениям или в какой-то мере их разрушает, опять-таки независимо от длины тех цепей чисто логических умозаключений, из которых состоят проводимые нами рассуждения. Что же касается возникновения привычных представлений, о которых здесь идет речь, то они создаются жизненным опытом учащегося и его предшествующим обучением. Это в одинаковой мере относится и к детям и к взрослым учащимся.

В подтверждение сказанного можно привести множество примеров из педагогического опыта, когда, казалось бы, длинное и громоздкое рассуждение усваивается учащимися довольно быстро и без особого труда и, наоборот, когда какое-нибудь коротенькое и с виду совсем несложное рассуждение, занимающее в учебнике не более десяти строчек, никак не дается учащимся, а опрос показывает, что они не овладели им до конца. При ближайшем рассмотрении всегда обнаруживается, что длинное рассуждение лежало в круге привычных представлений учащегося, а краткое и с виду «простое», но трудно усваиваемое доказательство имеет в основе идеи, необычные для учащихся, не укладывающиеся в привычные им представления. В качестве общего примера достаточно указать, что арифметическое решение задачи обычно труднее алгебраического. Действительно, в последнем, каким бы оно ни было длинным, мы используем заранее знакомую идею сведения задачи к уравнению и решения уравнения по готовым правилам. Между тем даже самое короткое арифметическое решение (не слишком очевидной и не шаблонной задачи) связано с неизвестной заранее идеей и требует догадки: «Что здесь предпринять?» Но в этом и состоит трудность задачи. Доказательство геометрической теоремы или решение геометрической задачи путем вычисления (даже если оно длинное!) легче найдется, чем то, которое выполняется путем построений. Последнее же решение всегда требует отыскания

какого-то в каждом случае своего и часто необычного по идее построения. Наконец, в качестве примера, подтверждающего нашу мысль, можно отметить приведенный выше пример с геометрическим местом. На основании предыдущего можно сказать, что, планируя изложение предмета, мы должны учитывать не столько длины выводов, сколько постоянную смену и развитие представлений учащегося. Мы должны учитывать не только то, что из предшествующего учащийся знает или должен знать (как это делается сейчас), но и то, как он мыслит, что он помнит, какие способы рассуждения являются для него привычными, какие будут новыми, и т. д.

С этой точки зрения нетрудно предвидеть, что переход от сложения целых чисел к их вычитанию встретится в арифметике с меньшими трудностями, чем переход от целых чисел к изучению дробей. И это объясняется не только переходом к новому разделу, но появлением совершенно нового для учащегося понятия — дроби. Так же точно переход от умножения на целое число к умножению на правильную дробь сопровождается новыми трудностями; от привычной идеи увеличения числа при его умножении (на целое число) здесь учащийся должен перейти к его уменьшению при умножении на дробь. А это приводит к ломке старых представлений, обусловливающей трудности. Второй из упомянутых принципов отражает тот факт, что новые знания и идеи всегда падают на умственную почву, определенным образом обработанную предшествующим обучением. Во многих случаях они являются прямым развитием идей, приобретенных в процессе предыдущего обучения, и поэтому они воспринимаются естественно и легко. Наоборот, в ряде случаев они вступают во временный конфликт и противоречия с привычными представлениями, отчего их усвоение проходит болезненно и трудно. Поэтому можно сказать, что процесс приобретения новых знаний есть процесс противоречивый, полный острой борьбы между старым и новым в сознании учащегося. Обучая новому, надо не только «сообщать новые факты», но и учитывать влияние старых знаний. Одним представлениям учащегося надо помочь, с другими — бороться, если, являясь уже пройденным этапом, они только препятствуют движению вперед.

Важно отметить, что никакой «целесообразной постановкой преподавания» в средней школе или в вузе нельзя

так подготовить сознание учащегося, чтобы новое всегда воспринималось им как простое развитие уже имеющихся старых представлений. Прежде всего ясно, что введение всевозможных новых понятий почти всегда сопровождается в какой-то мере ломкой и видоизменением старых. Поэтому можно сказать, что даже самый простой процесс обобщения содержит в себе элементы отрицания. Так, например, развитие понятия числа каждый раз сопровождается некоторыми процессами отрицания в сознании учащегося. Это происходит при переходе от понятия целого числа к понятию дробного числа, от понятия положительного числа к понятию рационального числа и т. д. Действительно, если раньше для учащегося существовало только целое число, то теперь термин «число» уже не может сохранить для него своего прежнего значения. Теперь число может быть и целым и дробным. Если раньше термин «число» обозначал всегда положительное число, то теперь этот термин уже не означает положительного числа, а может обозначать число любого знака и т. д. То же самое относится и к другим понятиям (линия, пространство и т. д.), о которых будет идти речь дальше. Так, например, если в школе для учащегося существует лишь эвклидово пространство, то в высшей школе под термином пространство он уже не может понимать только эвклидово пространство, так как здесь он встречает аффинное пространство, проективное пространство и т. д.

Итак, обобщению старых и введению новых понятий неизбежно сопутствует процесс отрицания старого, узкого их понимания. Поэтому новое, более широкое понимание неизбежно вступает в сознании учащегося в известное противоречие со старым, так как под старым термином он теперь должен понимать нечто иное, чем он привык с ним связывать до сих пор. Уже приведенные примеры показывают, что при освоении нового сознание учащегося не просто обогащается представлениями, но сплошь и рядом вынуждено при этом существенным образом изменять и перестраивать уже укоренившиеся и привычные представления. И причина этого заключается не в «плохом школьном преподавании» (где мы, обучая, естественно, идем от целого числа к дробному, от эвклидова пространства к пространству Лобачевского и т. д.), а в диалектике развития науки и обучения и в

отражающем их нашем мышлении. Эти принципы объясняют нам наблюдаемое иногда в процессе обучения искажение представлений у учащегося. Учащийся часто слышит на уроке или в лекции (или читает в учебнике) одно, а понимает нечто другое, искаженное, благодаря столкновению новых формирующихся представлений со старыми. Это явление естественно. Сознание, перестраиваясь, не сразу приходит к новому, но на какой-то момент удерживает наряду с новым еще и старые представления, перенося их в те новые области, где они уже не имеют силы. Это и приводит в начале к своеобразному смешению старых и новых представлений. Знакомясь ниже с конкретными примерами особенностей мышления учащегося при изучении математики, читатель легко заметит, что в их основе лежат отмеченные выше принципы, а также те общие соображения о связи с действительностью, о которых мы уже говорили. Стоит заметить, что все они имеют место на всех стадиях обучения в средней и в высшей школе.

Выше мы рассмотрели некоторые самые общие вопросы психологии математического мышления. Теперь мы остановимся на работе мышления при изучении ряда конкретных вопросов математики. Поскольку по вопросам мышления в процессе изучения элементарной математики существует легко доступная литература, мы ограничимся в этой области лишь освещением некоторых результатов, чтобы обратить на них внимание читателей. Несколько подробнее мы остановимся на изучении высшей математики (где будет приведен ряд наблюдений автора). Последние вопросы должны представлять несомненный интерес для работников средней школы хотя бы потому, что элементы высшей математики будут входить в ее программу. В заключение мы попытаемся сформулировать некоторые общие выводы.

Значение психологии математического мышления определяется для педагога тем, что как система изложения материала (в целом), так и изложение каждого пункта программы в отдельности могут быть обоснованно проведены только на основе анализа мышления учащегося. Далее, во многих случаях наибольший успех в преподавании могут иметь именно те педагогические мероприятия, которые будут рассчитаны не столько на ликвидацию отдельных чисто математических ошибок

учащихся, сколько на устранение определенных недочетов в самом их математическом мышлении. Ознакомление с закономерностями математического мышления должно послужить для преподавателей средней и высшей школы стимулом для их собственных наблюдений в этой области. Эти наблюдения будут представлять громадную ценность уже потому, что их еще очень мало. Между тем они могут послужить ценным источником для дальнейшего развития самой психологии, для попытки создания теории, объясняющей, пусть в грубых чертах самый механизм нашей умственной деятельности.

Каждый учитель знает, что часто в школьной практике бывает так: объяснение дано правильно и как будто доступно учащемуся, чертеж сделан правильно, а вывод, который из всего этого сделал учащийся, грубо ошибочен. Что конкретно отвлекло учащегося от правильного логического вывода и, казалось бы, точных и предельно ясных формулировок? В чем корень ошибки? Как предупредить ее возможность? В отношении школьников эти ошибки часто объясняют возрастными особенностями учащихся. Но в чем они конкретно сказываются? В чем суть совершенствования в применении правил логики с возрастом? Взрослые учащиеся тоже делают ошибки в применении как будто ясных правил логики. В чем причина этого в каждом отдельном случае? Как вести обучение, чтобы устранить возможность этих ошибок?

На все эти вопросы должна ответить психология.

Вопросы психологии математического мышления систематически стали разрабатываться сравнительно недавно, и результатов, полученных в этом направлении, еще немного. Если в дореволюционной России отдельные вопросы этого рода, посвященные в основном обучению математике, находили себе место в методических работах В. А. Евтушевского, В. А. Латышева, В. К. Беллюстина, Ф. И. Егорова, С. И. Шохор-Троцкого и других, то в наше время этими вопросами занимаются главным образом психологи.

Ряд интересных статей по этим вопросам помещен в «Известиях Академии педагогических наук РСФСР».

Среди них можно отметить следующие работы:

1) Н. А. Менчинская, Интеллектуальная деятельность при решении задач, вып. 3, 1946; 2) Н. А. Менчинская, К проблеме

психологии усвоения знаний, вып. 61, 1954; 3) П. А. Шеварев, Опыт психологического анализа алгебраических ошибок, вып. 3, 1945; 4) В. И. Зыкова, Психология усвоения геометрических понятий учащимися VI классов, вып. 61, 1954; 5) 3. И. Калмыкова, Процессы анализа и синтеза при решении арифметических задач, вып. 61, 1954; 6) 3. И. Калмыкова, Процессы анализа и синтеза при решении арифметических задач, вып. 71, 1955; 7) Ф. Н. Гоноболин, К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися, вып. 54, 1954; 8) Б. А. Блюменфельд, К характеристике наглядно-действенного мышления, вып. 13, 1948; 9) З. М. Мехтизаде, Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями, вып. 71, 1955; 10) Г. А. Меделян, Психологический анализ ошибок при решении арифметических задач учащимися V—VI классов, вып. 71, 1955; 11) Н. Ф. Талызина, Особенности умозаключений при решении геометрических задач, вып. 80, 1957; 12) Л. П. Доблаев, Мыслительные процессы при составлении уравнений, вып. 80, 1957; 13) В. Д. Ярощук, Психологический анализ процессов решения типовых арифметических задач, вып. 80, 1957, и целый ряд других работ. Надо указать также статью П. А. Шеварева «К вопросу о природе алгебраических навыков» («Ученые записки ГИП», т. 2, 1941) и книги: Н. А. Менчинская, Психология обучения арифметике, Учпедгиз, 1955; В. И. Зыкова, Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний, Учпедгиз, 1955 и «Пути повышения успеваемости по математике», изд. АПН РСФСР под ред. Н. А. Менчинской и В. И. Зыковой, Москва, 1955.

В 1962 г. вышла в свет книга Е. Н. Кабановой-Меллер «Психология формирования знаний и навыков у школьников» (изд. АПН РСФСР).

Во всех этих работах рассматриваются вопросы психологии изучения элементарной математики главным образом учащимися I—VI классов. Будучи выполнены в основном психологами, эти работы дают чрезвычайно много ценного для методики обучения математике. Надо пожелать, чтобы каждый учитель познакомился хотя бы с теми из этих работ, которые затрагивают вопросы, встречающиеся ему в преподавании.

В статьях (12, 13) очень картинно охарактеризована роль психологии в методике. Там говорится, что недостатки в методике решения каких-либо задач обусловлены недостаточной изученностью процессов мышления. Так, когда одну и ту же задачу решают несколько учащихся, то математическая структура их решений может быть одинакова, но психологические процессы, осуществляющие решение задач, могут существенно отличаться друг от друга. Поэтому, опираясь только на одну математическую структуру решения, нельзя построить эффективной методики обучения. Надо знать.

как фактически решаются эти задачи учащимися, как мыслят учащиеся, чтобы построить методику соответствующего раздела курса*. Если бы учащиеся всегда правильно усваивали объяснение учителя, а задачи решали бы всегда верно, то задачи методики и психологии стали бы значительно проще. Однако мы слишком часто наблюдаем, что правильная мысль учителя воспринимается искаженно, а решение задач сплошь и рядом сопровождается многочисленными ошибками. Отсюда следует, что предметом изучения психологии математического мышления в первую очередь должны стать как система преподавания в целом, так и ошибки учащихся и, следовательно, порождающие их трудности в изучении предмета.

Известно, что мышление начинающего школьника в основном конкретно. Между тем цель любой науки состоит в том, чтобы на основе изучения конкретных явлений и процессов суметь обнаружить и сформулировать некоторые общие положения и закономерности, характерные для данной области знания. Поэтому естественно, что первые затруднения учащихся, приступающих к изучению математики (арифметики, геометрии, алгебре), возникают в процессе обобщения и абстрагирования.

Наблюдения показывают, что конкретность мышления школьников проявляет себя, например, в том, что учащиеся легче решают сюжетные задачи (т. е. задачи с конкретным содержанием), чем числовые. То же относится и к классификации арифметических задач по типам. Задачи с конкретным содержанием они классифицируют лучше, чем числовые. Ребенок легче ставит и решает задачи, соответствующие его жизненному опыту, чем задачи, более далекие от него или в его представлении противоречащие этому опыту. Так, Н. А. Менчинская приводит пример предложения, где надо было поставить вопрос и дать на него ответ: «На ремонт школы отпустили 8 досок, а потом еще 7...» Учащийся легко справился с этой задачей. Трудности вызвала следующая задача: «Когда сожгли 8 поленьев, то осталось

* Не следует забывать, что хотя учащиеся учатся вместе (в классе), но думают они «раздельно». Однако в этом «отдельном» есть общие психические закономерности, которые нас и будут интересовать.

еще 12...» Поставить вопрос к этой задаче и решить ее оказалось труднее, потому что определение числа предметов, часть из которых уже уничтожена, несомненно, реже встречается в опыте ребенка, чем подсчет существующих предметов. О конкретности мышления говорит и такое наблюдение: как только учащийся переходит к усвоению более сложного и отвлеченного материала, он снова нуждается в опоре на чувственные восприятия. Так, изучение дробей требует от учащихся более высокой степени абстракции, чем изучение целых чисел. Поэтому при переходе к изучению дробей им все время необходимо опираться на те реальные образы и процессы действительности, которые отражаются в действиях с дробями.

Привязанность к конкретным представлениям, отсутствие привычки к абстрактному мышлению и порождают трудности в процессе абстрагирования и обобщения. Много интересных наблюдений в этом отношении содержат работы В. И. Зыковой по геометрическому мышлению. Большую трудность представляет для некоторых учащихся выделение тех существенных черт геометрического образа, которые фигурируют в его определении, из тех его свойств, которые обнаруживаются на данном конкретном чертеже. Так, одна ученица VI класса, начертив вертикальные углы (черт. 1) и характеризуя их, сказала, что это «углы с равными сторонами». Как видим, при правильном чертеже в сознании этой ученицы (а опыт показывает, что обычно ошибки даже одного ученика в какой-то мере типичны для целой группы учеников) взяло верх совершенно ложное представление, почерпнутое из частного вида обычного чертежа. Она не сумела выделить существенное в этом чертеже — равенство углов — и отбросить как несущественный элемент — случайное равенство отрезков, представляющих на чертеже стороны угла. Далее, она не сумела абстрагироваться от того факта, что бесконечные прямые изображены на чертеже отрезками. Это произошло, по-видимому, потому, что понятие угла сложнее, чем понятие отрезка. Внимание же учащихся отвлекается на более простой и знакомый им образ. В основе этих явлений лежит хорошо известный факт, что часто геометрическая наглядность оказывается сильнее

Черт. 1.

формальнологического определения, выраженного словом. В таком же роде и другой пример. Видя на чертеже 2 равные углы, но с разными длинами сторон, некоторые учащиеся заявляют, что угол АОВ больше угла А'О'В'. В одной школе были даны понятия радиуса и диаметра и сделан чертеж (черт. 3). На вопрос о том, сколько диаметров можно провести в окружности, некоторые учащиеся ответили «два!» и начертили их такими, какими они были раньше начерчены на доске. Учащиеся не сумели на основании определения сделать правильный вывод, понять определение в его полном обобщенном смысле, а оказались привязанными к его конкретному воплощению на чертеже. Некоторые учащиеся, привыкнув к чертежу, где внешний угол а был расположен справа от треугольника, считали, что угол ß (черт. 4) уже не является внешним. В другом случае учащиеся, привыкшие видеть прямоугольный треугольник в положении чертежа 5,а, не считали его прямоугольным в положении, данном на чертеже 5, Ь. Иными словами, к формальному определению учащиеся от себя «примысливали» и определенное (конкретное) расположение фигуры, которое они видели на чертеже. Поэтому, например, прямоугольным треугольником они считали не просто «треугольник

Черт. 2. Черт. 3. Черт. 4.

Черт. 5. Черт. 6.

с прямым углом», а треугольник с прямым углом «внизу». Еще пример. Зная определение окружности, некоторые учащиеся считали, что на чертеже 6, а изображена не окружность, так как там «нет центра», в то время как чертеж 6, Ь представляет собой окружность, так как там есть «центр». Уже отсюда видно, какой важной проблемой методики является связь слова и образа в объяснении учителя. Знания, почерпнутые только со слов учителя, во многих случаях будут формальными, так как учащиеся не будут видеть их конкретного воплощения на чертеже. Поэтому борьба с формализмом в знаниях должна идти по линии их конкретизации. Знания, полученные только из чертежа, в большинстве случаев будут неверными, так как чертеж всегда конкретен, и учащиеся сами не всегда сумеют выделить из него существенные черты того образа, который он изображает. Поэтому в процессе обобщения роль слова особенно велика, так как только слово выполняет обобщающую функцию. Поэтому правильное сочетание объяснений учителя с чертежами на доске играет исключительно важную роль в обучении. Оно особенно важно потому, что в процессе обучения учащийся переходит от менее точного знания к более точному, где роль слова снова приобретает особое значение.

Рассмотренные примеры показывают нам (и учитель это должен иметь в виду), что часто учащиеся слышат и видят одно, но понимают нечто совсем другое. Как мы видели, это может объясняться различными причинами. Иногда отдельные учащиеся что-то привносят в представление от себя, на основании каких-то побочных ассоциаций, иногда они могут по забывчивости что-то опустить из определения, иногда что-то не понять до конца и т. д. Иногда излишне кратко сформулированное определение может неполностью разъяснить понятие. Эти же примеры говорят о том, что даже правильная словесная формулировка ученика не всегда может правильно отражать его истинные представления, которые могут быть ошибочными под влиянием различных посторонних наслоений. Все эти примеры показывают, что отмеченные ошибки учащихся не являются следствием каких-то математических ошибок учителя. Наоборот, все эти ошибки возникают при полной безупречности математической стороны обучения, как следствие некоторых чисто психических особенностей

мышления учащихся при их попытках сделать правильные логические выводы.

Следует отметить, что, даже видя ошибки учащихся, учитель может не знать, где скрыты их источники. Психология должна помочь учителю предвидеть и объяснить появление ошибок, а методика — дать методы обучения, которые исключали бы самую их возможность. Несомненно, что далеко не все учащиеся делают ошибки, многие сразу и правильно схватывают изучаемые понятия. Но задача школьного обучения состоит в том, чтобы возможно большее число учащихся сразу и правильно воспринимали изучаемый материал.

Чем можно помочь правильному процессу абстрагирования? Прежде всего укажем на два обстоятельства. Учитель должен: 1) тщательно выбирать слова и обороты речи при объяснениях, стремясь не только к точности, но и к тому, чтобы предостеречь учащегося от ложных представлений; 2) обеспечить знания учащихся достаточно богатым запасом конкретных геометрических образов. Наличие последнего позволит учащимся легче обобщать понятия, ибо, зная, например, не один, а много различных прямоугольных треугольников, в различных их расположениях, учащиеся легче будут отделять их существенные признаки от несущественных. Отсюда психология делает педагогический вывод: чтобы исключить возможность представлений, всецело привязанных к данному конкретному чертежу (и тем облегчить процесс абстрагирования, связанный с выделением общих и существенных признаков понятия), необходимо сопровождать объяснение различными чертежами, в которых варьировать несущественные признаки изучаемых понятий. Тогда остающиеся без изменения существенные признаки будут правильно восприниматься учащимися. Там, где учителя (следуя этому совету), говоря об углах, треугольниках,

Черт. 7.

диаметрах и т. д., сразу чертили эти фигуры в самых разнообразных положениях согласно чертежу 7, никаких ошибок указанного вида никто из учащихся не делал. Таким образом, это чисто психологическое решение задачи обучения является более действенным, чем попытка, повторяя учащимся много раз одно и то же определение, ждать, пока все это само собой проникнет в их сознание. Важное свойство обучения состоит в том, что обучение создает известные связи (ассоциации, цепи представлений), которые обладают определенной устойчивостью. Последнее проявляется в некоторой инерции мысли, в трудности перехода от одних представлений к другим. Иногда эти ставшие привычными представления оказывают тормозящее, искажающее влияние на вновь образующиеся представления. Так, характерной особенностью многих ошибок является «примысливание» к чертежу тех образов, которых на нем нет, но которые учащиеся привыкли видеть в сходных чертежах. Таким образом, это «примысливание» имеет своим источником предшествующие впечатления. Так, увидев на классной доске чертеж прямых т и п (чертеж 8, а), многие учащиеся считают, что m — это «перпендикуляр», а п — это «наклонная», так как они привыкли видеть эти прямые в расположении, изображенном на чертеже 8, Ь. Видя чертеж 9, а, многие учащиеся заявляли, что угол а — «внешний», поскольку они привыкли видеть его в связи с треугольником, как это изображено на чертеже 9, Ь. Несомненно, что появлению этих ошибок способствовало и неясное представление о том, что свойство прямой «быть перпендикуляром» или «быть наклонной» есть свойство, харак-

Черт. 8.

Черт. 9.

теризующее не одну прямую, а взаимоотношение прямых друг с другом.

С инерцией мышления связан и тот факт, что решение однообразных задач снижает уровень внимания к ним учащихся. Последние перестают вникать в их содержание и решают их по шаблону. В результате длительное решение подряд одинаковых по типу задач приводит в конце концов к тому, что при постановке перед учащимися новых задач они начинают решать их «по-старому», не замечая, что ситуация в задачах изменилась и что это приводит к грубым ошибкам. Так, например, после того, как младшие школьники привыкли к решению простых задач (в одно действие), они при переходе к сложным задачам вначале пробуют и их решать по-прежнему, в одно действие, даже не пытаясь вникнуть в их содержание. Так, решая задачу «В одном кувшине 6 стаканов молока, а в другом на 3 стакана больше. Сколько молока в обоих кувшинах?», учащиеся часто, не очень раздумывая, дают ответ: 9. Аналогичные явления в решении новых задач «по типу старых» широко распространены и у старших школьников. Отсюда психологи делают правильный вывод, что при подборе упражнений необходимо разнообразить предлагаемые учащимся задачи.

С описанным явлением связано и другое, ему подобное, которое состоит в том, что элементы ситуации, сохраняющиеся долгое время (в однородных задачах), перестают восприниматься. Так, если учащиеся решили подряд много однотипных примеров, то, встречая пример совсем другого характера, лишь по виду похожий на предыдущий, они часто не замечают этого различия и решают его теми же приемами, которыми они решали прежние. (Примеры будут приведены дальше.)

Большие трудности (а следовательно, и ошибки) возникают у учащихся в связи с необходимостью перестройки мышления при изучении нового материала. Здесь новые понятия входят в противоречие со старыми привычными понятиями. Так, в работе (9) (см. стр. 77) отмечаются большие трудности, сопровождающие изучение дробей, действия с которыми в ряде случаев противоречат привычным представлениям школьников. Например, умножение на правильную дробь уменьшает число, между тем как раньше при умножении на целое число произведение увеличивалось. Часть от числа находилась для

целых чисел делением, а теперь при употреблении дробей— умножением на правильную дробь. Величина дроби не зависит от величины числителя или знаменателя в отдельности, а зависит от соотношения, между ними, между тем как раньше величина определялась одним числом и т. д.

С устойчивостью связей, с инерцией мышления, с трудностями перестройки мышления связан процесс необоснованного переноса учащимися закономерностей или представлений из одной области в другую, где они уже не имеют места. Так, например, Н. А. Менчинская указывает, что некоторые учащиеся, привыкнув складывать такие числа, как 800 + 300=1100 путем предварительного отбрасывания нулей 8 + 3=11, а потом их приписывания, распространяли этот же прием на деление и «получали»: «1000:200 = 500». Здесь совершенно ясно, что те признаки, которые различают эти ситуации, выпали из сознания учащихся, в результате чего возник незаконный перенос закономерности из одной области арифметики в другую.

В связи с этим стоит лишний раз подчеркнуть, что учителю легче бороться с ошибками, зная их внутренние причины, чем, относя их за счет небрежения учащихся, как это склонны делать иные учителя. Так, в данном случае гораздо полезнее, зная причины ошибки, напомнить учащимся сложение и пояснить, почему при делении это правило не имеет места, чем просто отметить его ошибочность и оставить у учащихся зерно сомнения, «а почему же там (при сложении) все получалось?»

Интересное наблюдение связано с решением новых и относительно трудных задач. Оказывается, что при концентрации умственных усилий на решении относительно новой задачи наступает ослабление остроты осознавания и мышления при осуществлении привычных операций. Так, решая новые, трудные для них задачи, учащиеся часто делают ошибки в несложных действиях, которые им хорошо знакомы. Таким образом, отвлечение внимания на трудные операции часто приводит к ошибкам в простых операциях. Объяснение, которое дается этому явлению, представляется весьма вероятным: по-видимому, концентрация возбуждения в одних участках коры по закону отрицательной индукции приводит к торможению в других.

Наконец, стоит отметить наблюдение психологов, которое хорошо известно учителям и методистам, что трудности усвоения, превышающие известный уровень, не стимулируют, а, наоборот, снижают уровень мышления, снижают уровень анализа задачи, короче говоря, не развивают мышления учащихся и не приносят им пользы.

Важные наблюдения, связанные с усвоением курса геометрии как логической системы (в VI классах), изложены в работах В. И. Зыковой и Ф. Н. Гоноболина. Мы уже отмечали, что на начальных ступенях обучения, когда способности учащихся к абстрагированию и обобщению еще развиты слабо, чертеж часто оказывает более сильное влияние, чем слово. Это проявляется в том, что учащиеся, не обобщая, относят всякое проводимое рассуждение к конкретно данному чертежу. Этим, в частности, объясняется тот факт, что учащимся трудно даются доказательства очевидных теорем: с одной стороны, данный чертеж их вполне убеждает и не вызывает у них сомнения в его истинности, с другой стороны, у них нет потребности и самой мысли о его обобщении. Вместе с тем у них еще нет потребности и в проведении цепи последовательных рассуждений, что в значительной степени объясняется возрастом, их непривычкой к длинным, связным и абстрактным рассуждениям. В связи с этим психологи отмечают необходимость специального обучения учащихся проведению последовательных рассуждений. При проведении таких рассуждений учащиеся должны учиться последовательно формировать и формулировать свои мысли и одновременно правильно обосновывать каждое из своих заключений. Эти две последние задачи в большинстве случаев «мешают» друг другу, так как обоснования часто приходится черпать из ранее пройденного материала. Таким образом, эти трудности связаны с раздвоением внимания учащихся, которое одновременно должно быть направлено на формирование последующего рассуждения и на ссылку на предыдущее.

В связи с этим в работе (7) указывается на трудности усвоения теорем по учебнику геометрии Киселева, связанные, с одной стороны, с чрезмерной сжатостью изложения, а с другой стороны, с разрывами логической цепи умозаключений. Последнее обусловлено или ссылками на предшествующие параграфы, требующие возвращения назад и прерывающие чтение материала, или необходи-

мостью восполнить недостающие звенья логической цепи путем не всегда очевидных собственных умозаключений учащихся. Здесь же устанавливаются и три ступени понимания математического материала (доказательства теорем), имеющие место у школьников любых классов. Первая ступень — фрагментарное понимание — понимание отдельных мест логической цепи умозаключений (например, отдельных частей доказательства теоремы), без умения связать эти звенья воедино. Вторая ступень — логически необобщенное понимание — представляет понимание всей логической цепи, всего доказательства, но без умения выделить идею, лежащую в его основе (учащийся приводит доказательства на привычном чертеже, но не в состоянии его провести при новом расположении фигур). И, наконец, третья ступень — логически обобщенное понимание — проявляется в умении выделить основную идею вывода и провести его в условиях любого чертежа. В результате этих наблюдений автор вносит ряд предложений относительно изложения материала в учебниках. Например, в ряде случаев он рекомендует вести доказательства без ссылок на другие параграфы, излагая все необходимое в виде одной единой цепи рассуждений. Далее он указывает на необходимость, наряду с достаточно обстоятельным изложением доказательства теоремы, если оно сколько-нибудь длинное и сложное, указывать его схему, его идею, с тем, чтобы учащийся мог охватить все доказательство в целом — весь путь, каким мы идем от исходных предпосылок к выводам.

Большую и трудную проблему представляет собой исследование психологии математического творчества, хотя бы и в тех сравнительно небольших размерах, в которых оно проявляется при решении не очень сложных математических задач. В очень интересных статьях (1), (5), (6) и в книге Н. А. Менчинской рассматривается ряд конкретных приемов решения арифметических задач, употребляемых в практике. Не останавливаясь на них подробно, затронем здесь лишь отдельные вопросы. Несомненно, что важнейшей составной частью всякого математического творчества является анализ и синтез. В литературе, посвященной методике решения арифметических задач, усиленно рассматривается вопрос о том, какой из этих методов играет или должен играть ведущую роль. Данные психологии говорят, по-видимому, о том, что ни

один из этих методов в чистом виде не применяется и что только их совместное использование обеспечивает успех в решении задач. Действительно, идем ли мы от данных к искомому — методом синтеза, или от искомых к данным — методом анализа, но в сколько-нибудь содержательной задаче из данных или искомых всегда можно сделать множество самых разнообразных выводов. Для решения же задачи надо выбрать те из них, которые ведут к цели. Иначе говоря, надо знать, в каком направлении искать решение задачи. Но это значит, что, идя от данных, надо как-то учитывать искомое и те величины, которые с ним связаны. И, наоборот, идя от искомого, надо учитывать данные и то, что по ним в первую очередь можно определить. Но это и значит, что только анализ и синтез, вместе взятые, и могут обеспечить решение задачи.

Мы будем называть математической зоркостью умение смотреть на чертеж или на формулу и видеть по возможности все то, что они могут дать. У многих учащихся это умение развито слабо. Так, большие трудности представляет для учащихся выделение нужных конфигураций в сложном чертеже, или, наоборот, дополнение сложного чертежа такими линиями, чтобы в нем возникли искомые конфигурации, решающие задачу. Психологи считают, что был бы полезен, с целью развития математической зоркости, специальный подбор задач в задачниках, где требовалось бы «обнаружить в данной конфигурации, например, два равных треугольника, или прямые углы, или трапецию и т. д.», или «дополнить данную конфигурацию проведением вспомогательных линий так, чтобы в ней возникали такие-то фигуры» и т. д. Вот пример, приводи-

Черт. 10. Черт. 11. Черт. 12.

мый в книге В. И. Зыковой, где решение рассматриваемой задачи получается сразу, если уметь смотреть на чертеж. В равнобедренном треугольнике ABC (черт. 10) с основанием АС сторона AB продолжена за вершину В на расстояние BD и точка D соединена с вершиной С. При этом периметр треугольника CBD равен 24, а периметр треугольника ADC равен 39. Найти АС. (Решение: 39 — 24=15.)

Трудную задачу для учащихся представляет переосмысливание чертежа или понятия, что является необходимой предпосылкой для успешного решения многих задач. Здесь, с одной стороны, сказывается тормозящее влияние первого впечатления, с другой стороны, переосмысливание связано со своеобразным скачком мысли, так как требует перехода от одной цепи умозаключений к другой, приводящей к тому же результату, но исходящей из других предпосылок. Вот примеры. Параллельные прямые AB и CD пересечены прямой EF. Один из внутренних углов при точке О равен 130°, ОМ — биссектриса этого угла. Определить углы, образованные ею с прямой DC (черт. 11). Здесь прямая ОМ выступает одновременно и как биссектриса и как секущая. Оказалось, что ее роль как биссектрисы затруднила многим учащимся использование ее свойств как секущей (о которых говорится в теореме о параллельных линиях). Далее опыт показывает, что многие учащиеся с трудом усваивают, что наименьший общий знаменатель нескольких дробей и наименьшее общее кратное знаменателей тех же дробей есть одно и то же число. Здесь мы встречаемся с одним и тем же вопросом, но рассматриваемым с различных точек зрения. Чрезвычайно интересный пример того, как формулировка задачи влияет на успешность ее решения, приводит С. Л. Рубинштейн в книге «О мышлении и путях его исследования», изд. АН СССР, 1958, стр. 95. Задача состоит в следующем: дан черт. 12, где AFEC — квадрат, a BCDF — параллелограмм, причем АВ = а и АС = Ь.

В одном случае спрашивалось: «Найти сумму площадей параллелограмма BCDF и квадрата AFEC». Этот вопрос заставляет задуматься. Школьники, решавшие эту задачу, определяли отдельно площадь каждой из фигур и потом их складывали. Во втором случае вопрос ставился так: «Найти сумму площадей треугольников

ABC и FED». Здесь сразу видно, что достаточно сдвинуть вдоль сторон AB и ED один из треугольников относительно другого на величину FB = CD, чтобы они не перекрывали друг друга, а лежали рядом. При этом становится очевидным, что сумма их площадей равна ab. Этот пример показывает, какую громадную роль играет математическая зоркость и умение переосмыслить задачу для ее успешного решения. Учащийся, который уже в первой формулировке задачи увидит ее вторую формулировку, решит ее сразу. Одновременно этот пример демонстрирует роль слова в математике: один оборот речи требует размышлений, другой — воспринимается мгновенно.

В работе (13) приводится небольшая табличка, которая показывает (если ее считать убедительной), что с обучением арифметике не все обстоит благополучно. В табличке рассматривается зависимость между умением учащихся подвести задачу под тип и умением ее самостоятельно решить. В таблице указано число случаев, когда задача верно подведена под тип и верно решена — 124; верно подведена под тип и не решена— 16; неверно подведена под тип и не решена — 55; и, наконец, число случаев, когда задача решена без подведения под тип —5. Первые три числа — естественны. Последнее число является катастрофическим. Решение задач по этой графе должно осуществляться наиболее сильными учащимися, т. е. теми, кто конкретно мыслит и решает данную задачу как таковую, по ее условию, не задумываясь о ее типе. И вот оказывается, что таких случаев меньше всего. Это означает, что мы больше учим тому, как классифицировать задачи, чем тому, как их решать. Нельзя согласиться с тем, что в этом заключается задача обучения арифметике.

В основном выше были изложены наблюдения над учащимися младших классов (I—VI). Наблюдений над учащимися старших классов очень мало. Здесь надо отметить статью (3), где рассмотрен один тип ошибок у старших школьников. Эти ошибки можно было бы назвать ошибками из-за недостаточной остроты математического мышления или восприятия, т. е. неумения различать формулы, видеть, что дано и что не дано, и т. д. Эти ошибки были обусловлены тем, что учащиеся недостаточно четко дифференцировали сходный материал, иначе говоря, учитывали некоторые общие стороны ал-

гебраических формул и не учитывали их особенностей. Так, например, зная формулы ат-ап = ат+п и (ат)п = атп, некоторые учащиеся иногда пользовались «формулой» (ат)п = ат_и,или, сокращая дробь а8: а6, получали а4: а3. Автору остается добавить еще одно свое наблюдение (возможно, не новое), связанное с начальным изучением алгебры. Особую трудность для учащихся представляет столкновение новых представлений, к которым ведет их алгебра, с привычными представлениями из арифметики. Это относится к важнейшему понятию буквенной записи действий. Учащийся привык, что в арифметике при сложении или умножении двух чисел в результате получается некоторое новое — одно число. Например, 12 + 37 = = 49 или 13'17 = 221. В алгебре, если надо сложить (или перемножить) два числа а и о, то мы записываем действие сложения (или умножения) в виде выражения а + Ь (или а-Ь). Но это же выражение, состоящее по-прежнему из двух чисел, должно обозначать теперь сумму (или произведение) этих чисел, т. е. результат действия.

Учащемуся кажется по записи, что действие еще предстоит сделать, но оказывается, что оно уже сделано, так как одно и то же выражение обозначает и действие и его результат. Этот конфликт в уме учащегося связан также и с вычитанием и с делением. Этот пример лишний раз подчеркивает, что требуется очень внимательный подход учителя к изложению начал алгебры, чтобы возможно скорее преодолеть это очень существенное затруднение в сознании учащегося.

Известны трудности, связанные с пониманием смысла терминов «необходимый» и «достаточный» признаки. Повидимому, существенную роль здесь играет сама терминология, противоречащая употребляемой в бытовой речи. Как известно, необходимый признак какого-либо факта говорит о том, что следует или вытекает из наличия этого факта, а достаточный признак указывает на то. что обусловливает этот факт.

В качестве примера рассмотрим следующий факт: «делимость числа на 15».

Необходимым признаком делимости числа на 15 будет, например, делимость числа на 5.

Действительно, из того, что число делится на 15, вытекает (или необходимо следует), что это число делится на 5.

Достаточным признаком будет, например, делимость числа на 30. Действительно, если число делится на 30, то этого факта достаточно, чтобы утверждать, что число будет делиться на 15. Иными словами, делимость числа на 30 обусловливает его делимость на 15.

Необходимым и достаточным признаком будет делимость числа на 3 и на 5.

В бытовой речи мы употребляем эти термины иначе. Мы говорим: «Мне необходимо встать в 7 часов утра, чтобы вовремя поспеть на работу». Но на самом деле «вставание в 7 часов утра» — это достаточный признак своевременной явки на работу, а не необходимый. Поэтому в математической терминологии эта фраза должна была бы звучать так: «Мне достаточно встать в 7 часов утра, чтобы вовремя попасть на работу». Действительно, из того, что я поспел на работу вовремя, вовсе не следует, что я встал в 7 часов утра, так как я мог встать и раньше. Поэтому в учебных целях можно было бы предложить, хотя бы временно, пока учащийся не освоится, дополнить существующую терминологию так, чтобы термин отражал «естественно» тот факт, о котором он говорит. Так, термин «необходимый признак» можно было бы дополнить словом «вытекающий» и говорить «необходимый (т. е. вытекающий!) признак». Термин «достаточный» гораздо более ясен, но и его, если в этом была бы потребность, можно было бы дополнить словом «обусловливающий».

Рассмотренные примеры должны показать, какую важную роль играют для методики эти наблюдения за «внелогической» умственной деятельностью учащихся. Изучение психологии математического мышления должно стать основным источником для усовершенствования методов преподавания, так как понимание причин ошибок учащихся — это первое условие для их искоренения.

Рассматривая вопрос о характере математического мышления учащихся, изучающих высшую математику, мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Хотя диапазон возрастов учащихся от первого класса средней школы до последних курсов высшей относительно очень велик, тем не менее очень много черт мышления оказываются общими как у учащихся той, так и другой школы. Так, устойчивость определенных представлений, проявляющаяся в известной инерции

мысли, трудности перестройки мышления при переходе к новому материалу, неправомерный перенос понятий из одной области в другую сказываются всюду. Тем не менее изучение высшей математики характеризуется и рядом особенностей, с которыми нам не приходится в такой форме встречаться при обучении элементарной математике. Хотя классификация этих особенностей и очень условна, мы постараемся ее наметить.

1. Первая особенность состоит в появлении в высшей математике новых объектов (категорий) и способов (форм) мышления, во многом резко отличающихся от употребляемых в элементарной математике (подробнее о них мы будем говорить дальше).

2. Вторая особенность состоит в том, что в процессе изучения высшей математики возникновение новых понятий сплошь и рядом не укладывается в рамки формальной логики.

Если, например, в элементарной геометрии почти весь курс посвящен дедуктивным выводам из аксиом и легко понятному расширению материала изучения (треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружность, плоскость, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), как и в алгебре (буквенная символика, действия с буквенными выражениями, уравнения первой и второй степени), то в высшей математике и самый стиль изложения не носит столь дедуктивного характера, и понятия, изучаемые в ней, возникают перед учащимися далеко не так последовательно — в порядке возрастающей трудности или обобщений, — как в элементарной математике. Достаточно указать, например, на самое основное понятие математического анализа — производную и на такие его разделы, которые могут изучаться в любом порядке, как максимум и минимум, дифференциал и другие. Появление новых понятий и новых разделов науки следует здесь в основном уже не формальной, а диалектической логике. Последнее сейчас же сказывается и на тех требованиях, которые предъявляет изучение высшей математики к математическому мышлению, и на тех специфических трудностях, которые возникают при этом и которые не имели себе аналога при изучении элементарной математики. Поскольку в процессе преподавания новые понятия возникают здесь часто совершенно независимо от уже введенных, не являясь ни их непосредственным

формальным следствием, ни их обобщением, то естественно, что вопрос о наиболее целесообразной форме их введения (например, таких, как производная, дифференциал и интеграл и др.) стоит здесь особенно остро.

3. Третья особенность состоит в роли абстракции и конкретизации. Как уже было сказано, на первых ступенях школьного обучения математике главная трудность для учащихся состоит в умении отвлечься от конкретных объектов и овладеть абстрактными понятиями. При изучении высшей математики положение меняется. Здесь понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме («функция», «непрерывная функция», «производная», «интеграл», «поверхность», «линия», «множество» и т. д.), что главная трудность для учащихся состоит не в обобщении, а в умении видеть за этими общими и абстрактными понятиями все то множество конкретных образов, обобщением которых они являются. Поэтому при изучении высшей математики на первый план выступают трудности конкретизации общих понятий. Без конкретизации все эти понятия будут восприниматься учащимися как чисто словесные определения, за которыми учащийся ровно ничего не будет видеть.

Прежде чем рассматривать вопросы, отмеченные в этих трех пунктах, мы коснемся трудностей, связанных с «отягощающим влиянием» старых представлений на приобретаемые знания Мы уже говорили, что было бы ошибочным представлять себе пути познания и усвоения нового как некоторый гладкий и ровный процесс, идущий по восходящей линии. В процессе изучения курса элементарной математики, кроме определенных знаний, учащиеся приобретают определенные навыки математического мышления. Тем более важным оказывается то, что наличие этих знаний и навыков (без которых изучение высшей математики невозможно) оказывает в ряде случаев тормозящее влияние на изучение самой высшей математики. Эти тормозящие влияния могут быть весьма многообразными, но в основном их можно охарактеризовать как бессознательное и незаконное перенесение учащимися старых представлений на новые объекты, где эти старые представления уже не имеют силы. Иначе говоря, здесь идет речь о трудностях перестройки мышления. Такое явление приходится считать естественным. Действительно, в высшей математике происходит расши-

рение и обогащение многих старых понятий, в которые теперь вкладывается новое и более богатое содержание. Поэтому не удивительно, что начинающий учащийся по долголетней привычке продолжает еще некоторое время понимать старые термины по-старому (а не по-новому!) и вкладывает в новые понятия более близкое и привычное ему старое содержание. Это проявляется, начиная с первых же понятий, о которых заходит речь в высшей математике, например, таких, как кривая, функция, вектор и многие другие.

В самом деле, в элементарной математике кривая — это в громадном большинстве случаев окружность или один из простейших, обычно непрерывных графиков, или, наконец, как в физике, — эллипс, парабола и гипербола. Что же удивительного в том, что учащийся, изучая высшую математику в школе (или в вузе) и встречая здесь термин «кривая», еще некоторое время представляет ее себе не в самом общем виде, о котором ему уже говорилось, т. е. с возможными угловыми точками, без касательной, с разрывами и т. д., а как нечто старое и привычное ему, т. е. как гладкую кривую, вроде окружности, параболы или гиперболы. Привычка рассматривать в физике скользящие векторы мешает учащемуся освободиться от этих ограничений и, рассматривая, например, в аналитической геометрии свободные векторы, считать, что все векторы, равные по длине, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону, равны и неотличимы друг от друга. Не удивительно, что, встречаясь в высшей математике с термином «функция» и записью y=f(x), учащийся на первых порах невольно представляет ее себе непрерывной, вроде у = х2 или у=х3 и т. д., в то время как теперь он должен понимать ее в самом широком смысле слова, может быть, заданную с помощью нескольких аналитических выражений, или с помощью предельного перехода, с конечными или бесконечными разрывами и т. д. И надо сказать, что эта привычка «видеть старое в новом» или видеть «новое по-старому» исчезает далеко не сразу, и этот «груз старого» еще долго тяготит учащегося.

Настоящим бичом для преподавателей является желание учащихся, начинающих изучать аналитическую геометрию, «решать» всякое встречающееся им уравнение! Здесь имеет место незаконный перенос привычных

понятий из элементарной алгебры в аналитическую геометрию. Учащиеся невольно переносят в аналитическую геометрию элементарно-алгебраическое понимание уравнений. В алгебре уравнения в основном служат для того, чтобы найти из них неизвестные х или у или оба вместе. (Графики играют в алгебре еще сравнительно небольшую роль). Поэтому первая задача в элементарной алгебре при встрече с уравнением — это его решение. В результате у учащихся средней школы и создается своего рода рефлекс, «если есть уравнение, то его надо решить». Между тем в аналитической геометрии, как известно, уравнение играет совершенно другую роль, определяя линию, и его заранее вовсе не требуется во всех случаях «решать» или что-нибудь «находить» из него. Этот же рефлекс «решения» действует и дальше.

Были и такие случаи, когда некоторые учащиеся (начинающие изучать векторы) считали, что два вектора, расположенные по боковым сторонам равнобочной трапеции, равные им по длине и направленные от большего основания к меньшему — равны друг другу. Не удивительно, что, привыкнув за свои школьные годы к равенству сторон равнобочной трапеции, эти учащиеся не сразу освоились с их новой ролью в данном случае.

Изучение аналитической геометрии в плоскости оказывает свое «отягощающее» влияние на изучение аналитической геометрии в пространстве. Так, встречаясь здесь с уравнениями вида f(x, у) = 0, учащиеся с трудом могут привыкнуть к тому, что это теперь не линия, как их все время учили до этого, а поверхность. Если все это усваивается студентами вуза после большой работы и многократных объяснений и повторений со стороны преподавателя, то легко себе представить, насколько труднее это будет усваиваться школьниками или теми учащимися, которые изучают высшую математику самостоятельно!

Далее, учащимся трудно освоиться с мыслью, что уравнение х = а изображает на плоскости прямую, а не точку. Прежде всего учащийся считает, что поскольку у нигде в уравнении не записано, то, следовательно, его нет или у = 0. Поэтому в его представлении мы имеем х = а, у = 0, т. е. имеем точку. Хотя такое рассуждение с точки зрения аналитической геометрии бессмысленно, однако причины его понятны. Изучая курс алгебры, учащийся

привык, что если в алгебраическом уравнении нет какой-нибудь буквы, то ее обычно и вообще нет в задаче, или что она «равна 0». Отсюда возникает запись у = 0. С другой стороны, всякое решение уравнения, например х = а, определяет в алгебре одно значение неизвестного и, следовательно, значение одной величины (длины, угла, площади, положения одной точки прямой и т. д.). Итак, все его прежние представления ведут учащегося как будто бы к естественному выводу, что уравнение х = а определяет одну точку (тем более, что линия определяется как график уравнения y=f(x) с двумя переменными). Между тем здесь (полная противоположность!) одно значение х = а определяет прямую как бесчисленное множество точек. Не удивительно, что нужно время, чтобы освоиться с этим новым подходом к уравнениям. И дело преподавателя заключается не только в том, чтобы кратко пояснить, что «уравнение х = а определяет прямую» (а потом сердиться на учащегося за его ошибки), но и в том, чтобы помочь учащемуся преодолеть его старые воззрения и привычки. Но это всегда трудно и требует времени. С целью борьбы с этими мешающими представлениями преподаватель должен стремиться оторвать в сознании учащегося новые представления от старых, разъясняя самым обстоятельным образом ту новую обстановку, в которой находится учащийся, чтобы ему стала яснее вся незаконность переноса старых представлений в новые условия. Часто явление ассоциации со старым бывает связано с недостаточным развитием логического мышления учащегося. Острота логического мышления тоже приобретается постепенно. Отсутствие ее состоит обычно в том, что учащийся «читает в учебнике одно», а понимает «нечто другое», более привычное, хотя бы сказанное и было выражено вполне ясно. Учащийся как бы «упускает» из виду то или иное слово, ту или иную характерную черту, будучи невольно связан старыми представлениями. Например, учащийся читает: «Рассмотрим любую функцию...». Кажется, сказано ясно, что функция — любая, т. е. может быть и разрывная, а учащийся все-таки мысленно видит ее как непрерывную по привычке иметь дело с непрерывными графиками. Изучая теорему, в которой идет речь о любых функциях, он по привычке представляет их себе непрерывными. В результате он не понимает смысла теоремы, которая для непрерывных функ-

ций становится тривиальной. Наоборот, он считает теорему невыполнимой, если она выполняется лишь для разрывных функций.

Все приведенные выше примеры ясно показывают, сколько трудностей таится для учащегося за этим, казалось бы, до предела безупречным сочетанием логически безукоризненных формулировок. Все эти трудности имеют своим источником все своеобразие и всю противоречивость человеческого мышления. С другой стороны, эти соображения указывают на то, с каким неослабевающим вниманием нужно учитывать все особенности мышления учащегося и соответствующим образом строить обучение, насколько недостаточными надо признать все попытки свести дело к одному только «краткому», «строгому» и «точному» изложению предмета. Дело в том, что все недочеты мышления учащегося, о которых говорилось выше, являются не результатом его недостаточной подготовки, его небрежения или какой-то его вины, а именно результатом всей той нормальной подготовки, которую ему дает средняя школа. Учащийся, изучая элементарную математику, формирует свое мышление. И он по самому существу дела не может сформировать его заранее таким, каким оно становится только в самом процессе изучения высшей математики. В самом деле, учащийся заведомо не может себе представлять кривую, поверхность, функцию и т. д. иначе, чем по образцам, знакомым из элементарной математики. И он не может после одного-двух определений сразу перестроить свои представления. Перестройка представлений — это длительный процесс. Поэтому долг преподавателя или автора учебника состоит в том, чтобы действенно помочь в этом учащемуся.

В основном эти меры помощи уже вытекают из предшествующего изложения и частью были указаны выше. Прежде всего они сводятся к общему требованию обстоятельного разъяснения материала. В частности, нужно привить учащемуся математическую зоркость, которая неразрывна с остротой математического мышления, т. е., не скупясь на всевозможные указания, необходимо учить учащегося видеть в каждой математической, буквенной или словесной формулировке только то, что в них сказано, не больше и не меньше, ничего из них не упуская и ничего к ним не привнося. Можно сказать, что нужно на-

учить учащегося читать математический текст «по буквам». Для этого нужно не только дать формулу или дать формулировку, но обстоятельно разъяснить в них каждую фразу, каждое слово, которые могут вызвать сомнение или быть источником непонимания.

Иногда бывает важно подчеркнуть какой-нибудь факт, который иначе может пройти незамеченным и доставить потом много хлопот учащемуся. Пусть, например, требуется выбрать некоторое k обязательно четным. Если записать «пусть k = 2n», то математически этого вполне достаточно. Но недостаточно зоркий учащийся может не обратить на это внимания, а потом и забыть об этом. Между тем если бы в книге стояло «пусть k = 2n (четное!)», то слово, помещенное в скобках, не очень затруднило бы автора и очень помогло бы учащемуся (фиксируя на этом его внимание). Далее, говоря о «любой функции», достаточно вставить фразу: «которая может быть непрерывной (гладкой или с угловыми точками) или разрывной (с любым числом и характером точек разрыва)», чтобы сразу устранить множество ложных ассоциаций у учащегося, который склонен видеть в «любой функции» все еще «непрерывную». Надо сказать, что такие пояснения в учебниках делаются исключительно редко. Автор обычно считает, что если формулировка точна, то вопрос исчерпан. Между тем иногда достаточно одного слова, одной фразы, чтобы предостеречь мысль учащегося от ложного пути. Это налагает особые требования на устную речь преподавателя.

Чтобы лучше оттенить то, что надо себе представить на основании данного текста и чего не надо при этом видеть, полезно в учебниках и в устной речи давать примеры тех образов или объектов, на которые те или иные понятия не распространяются. Вот пример того, как слишком лаконичная формулировка не дает возможности полностью осознать смысл теоремы, однако достаточно было бы лишь кратких дополнений в виде противопоставления, чтобы исправить дело. Типичная формулировка теоремы о сумме бесконечно малых гласит: «Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая». Дальше дается доказательство этой теоремы и следует переход к другим вопросам. С математической точки зрения — все это безупречно. С педагогической — недостаточно. Прежде все-

го утверждение о конечности числа слагаемых настораживает учащегося. А может ли их быть «бесконечное число» и что тогда будет? Это уже в какой-то мере оставляет его неудовлетворенным и мешает ему с должной глубиной осознать теорему. Действительно, смысл важного утверждения о конечности числа слагаемых не будет до конца ясен учащемуся до тех пор, пока он не узнает, что существуют суммы (точнее, пределы сумм) «бесконечно большого» числа бесконечно малых слагаемых, которые не бесконечно малы. И хотя эти вопросы связаны с другим кругом идей, но все-таки без разъяснения этого вопроса учащийся видит в своей формулировке внешне очевидные слова, но всей глубины вопроса не ощущает. Однако исправить дело, конечно, нетрудно. Достаточно хотя бы в двух словах разъяснить, что, например, выражение —{-—\- ...-{-— = п . — при п-> со дает в пределе 1, чтобы вся теорема рельефно запечатлелась в уме учащегося. Итак, пример того случая, в котором теорема несправедлива, разъясняет дело и позволяет понять рассматриваемую теорему во всем ее значении и глубине.

Надо отметить, что всевозможные сопоставления и противопоставления всегда способствуют более глубокому пониманию материала. Только тогда, например, студент во всей глубине осознает значение теоремы о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым, когда узнает, что существуют геометрии, где эта теорема не выполняется. Только тогда он сможет полностью осознать смысл какой-нибудь «мелкой» оговорки, например, о том, что мы имеем дело в таком-то вопросе с «k раз дифференцируемой функцией», когда он будет знать, что и как изменится в теореме, если функция будет «дифференцируема менее, чем k раз» и т. д.

Выше говорилось о тех случаях, когда с целью устранения мешающих ассоциаций приходится обрывать связи, которые в сознании учащегося связывают новый материал со старым. Однако бывают случаи, когда необходимо не только оторвать новые понятия и представления от старых, но одновременно и установить между ними связь. Так, вводя, например, понятие о векторе, его надо связать со старым материалом, чтобы учащемуся не казалось необычным то, что в одной букве со стрелкой за-

дается и величина и одно из бесконечного множества направлений. Учащийся привык, что в системе координат для обозначения направления служит «угол с осью». А здесь ни угла, ни оси нет. Для разъяснения этого учащемуся стоит напомнить (в лорядке установления связи), что и в алгебре одна буква определяет одно из бесконечного множества чисел и одно из двух направлений. Поэтому его не должно удивлять и то, что мы, обобщая, вкладываем в запись буквы со стрелкой представление и об одном из бесконечного множества направлений на плоскости или в пространстве. Но одновременно понятие вектора надо оторвать от старых понятий, чтобы учащийся вполне ясно отдавал себе отчет в том, что вектор не скаляр и что он обладает совсем другими свойствами. Это обстоятельство многие учащиеся склонны забывать, перенося на вектор свойства скаляров. Так, например, говоря на лекции о единичных векторах на осях координат и спрашивая студентов, можно ли записать, что они равны, часто получаешь ответ: «Можно!» Часто учащиеся считают равными между собой векторы, расположенные по радиусам одной окружности и равные им по длине, или единичные касательные векторы в различных точках кривой. Между тем здесь равны лишь длины векторов, а их направления различны. Поэтому здесь не может быть и речи о равенстве векторов. Отсюда следует, что надо специально привести один-два таких примера, которые подчеркнут специфику векторов, чтобы раз навсегда предостеречь учащихся от этих ошибок.

Таким образом, с целью лучшего раскрытия перед учащимися новых понятий, приходится одновременно как «связывать» их со старыми понятиями, так и «отрывать» от них, т. е. обрывать установившиеся и мешающие связи. Именно в таком диалектическом единстве противоположностей и заключается суть обучения новому и усвоения нового. Все изложенное выше убедительно показывает, какую колоссальную роль играет форма изложения материала. Поэтому совершенно неверно существующее и довольно широко распространенное представление о том, что форма изложения математического материала есть нечто второстепенное по отношению к его содержанию.

Перейдем теперь к первой особенности усвоения высшей математики, которая состоит в трудностях перехода

к новым объектам и способам мышления. Если усвоение отдельных новых терминов, понятий или теорий связано зачастую со значительными затруднениями, то переход к новым формам мышления, т. е. к мышлению новыми объектами (в качестве основных), влечет за собой еще большие трудности. Не претендуя на сколько-нибудь полное рассмотрение вопроса, ограничимся лишь рядом отдельных конкретных примеров.

Учащийся, изучающий элементарную математику, мыслит, если можно так выразиться, в основном единичными объектами. Иначе говоря, каждая величина, о которой он говорит обычно, определяется у него одним числом, одной буквой и т. д. Например, в алгебре он имеет дело с известными а, &, с... и т. д. или неизвестными х, у, г... и т. д. И каждая из этих величин мыслится обычно в каждой задаче как имеющая одно или несколько конкретных значений. (Например, одно значение неизвестного в уравнении первой степени, два значения неизвестного в квадратном уравнении, причем каждое из них рассматривается независимо одно от другого и т. д.). То же имеет место и в геометрии: отрезок, угол, площадь и т. д. — каждая из этих величин определяется одним числом. Также мыслится учащимися и линия. Так, прямая или окружность рассматриваются ими тоже как своего рода единые объекты. Даже линия, которую они строят по точкам по ее уравнению, рассматривается ими тоже как некоторый единый образ (одно уравнение!). Высшая математика заставляет учащегося во многих вопросах мыслить множествами (конечными и бесконечными) или классами образов. Первым примером здесь является переменная величина, которую надо себе мыслить принимающей бесчисленное множество значений. Однако этот случай не представляет особенных трудностей для мышления, так как обычно в элементарных вопросах переменная величина задается формулой (одной формулой!) и это облегчает ее восприятие. Более сложный случай представляет собой понятие предела, которое теряет свой смысл без представления «всей совокупности» значений переменной величины, стремящейся к пределу. Так, например, длина окружности определяется как предел периметров многоугольников. Для того чтобы освоить понятие длины окружности, надо как-то себе представить, так сказать, и «всю» совокупность этих многоугольников,

без чего понятие предела теряет свой смысл. Это уже, как известно, представляет большие трудности для учащихся, и раздел теории пределов считается в школьном курсе достаточно трудным. Однако и здесь, как только учащийся освоил понятие длины окружности, он может уже больше не думать о многоугольниках, сводя дело к единому понятию — длине окружности.

Иначе обстоит дело во многих вопросах высшей математики. Так, при изучении аналитической геометрии учащемуся приходится сталкиваться с понятиями, не сводящимися к таким «единым» образам. Так, точка определяется аналитически парой (х, у) чисел. Эта необходимость представлять себе единый объект — точку на аналитическом языке сразу в виде пары равноправных чисел, представляет благодаря своей новизне и необычности значительные трудности для изучающих аналитическую геометрию, особенно в тот момент, когда они начинают изучать уравнения прямой, кривых 2-го порядка и т. д. Чтобы яснее подчеркнуть, что весь смысл дела, вся трудность и новизна для учащегося заключаются именно в одновременном рассмотрении обеих координат х и у и в их равноправии, заметим, что при построении графиков мы смотрим на л: и у совсем с другой точки зрения. При построении графиков главное внимание уделяется функциональной точке зрения, т. е. тому, что каждому, одному значению х отвечает одно (или несколько) значение у, что записывается в виде y=f(x). Уже сама эта запись показывает, что здесь X и у не равноправны и что, строя кривую, мы рассматриваем «сначала» аргумент х, а «потом» находим по нему функцию у. Вот это «сначала х, а потом у» и есть характерная сторона функциональной точки зрения, которая дополняется тем, что самое получение графика в представлении учащегося есть процесс построения его «точка за точкой».

Между тем вся суть дела в аналитической геометрии состоит именно в том, чтобы на уравнение Ах+Ву + С = 0 смотреть как на уравнение, определяющее совокупность пар равноправных координат (х, у), ему удовлетворяющих, т. е. смотреть на прямую как на «сразу данную» совокупность бесчисленного множества точек (пар чисел), а не мыслить себе ее последовательное возникновение путем построения, с помощью таблицы значений х и у. В этом смысле можно сказать, что в аналитической reo-

метрии (по крайней мере в начале курса) уравнение прямой в виде y = kx + b «ближе», «роднее» учащемуся, чем уравнение Ах + Ву + С = 0. Действительно, в первом уравнении он по-старому видит «сначала х, а потом у», в то время как во втором х и у занимают равноправные положениям рассматриваются сразу как пара (х, у) чисел. Все эти трудности в скрытом виде возникают перед учителем в школе уже в то время, когда он рассматривает на уроке графическое решение уравнений и даже решает отдельные задачи на графики (например, такую: «Определить, лежит ли точка А (2, 4) на кривой у = х2»). Косвенным указанием на эти трудности служит тот факт, что студенты первого курса, строившие графики прямой в школе, подходят в аналитической геометрии к изучению прямой как к новому и трудному материалу.

Трудности такого же рода возникают при дальнейшем изучении уравнения Ах + Ву + С = 0, когда говорят, что прямая определяется отношением А : В : С трех коэффициентов. Здесь приходится мыслить «цепочками отношений» как едиными элементарными объектами мысли. Учащиеся овладевают этим далеко не сразу. В результате, в задаче о задании прямой двумя условиями многие учащиеся ищут значения трех (!) неизвестных А, В, С из двух уравнений. Все эти примеры наглядно показывают нам, в какое противоречие входят новые представления со старыми: понимание точки как пары чисел, прямой — как уравнения и т. д. — требуют для их освоения решительной перестройки представлений и мышления учащегося.

Можно привести и другие примеры, где мышление, подобно предыдущим случаям, имеет дело с несколькими объектами, определяющими одно понятие. Так, определение дедекиндова сечения требует представления его посредством пары классов (I, II), так как без них самое понятие сечения теряет смысл. В канторово понятие непрерывности входит представление о двух классах точек (о левых и правых концах стягивающих отрезков), с помощью которых определяется общая их точка. Далее, когда говорят о векторах, то заданием вектора на плоскости в виде А = е\А[-\-е2А2 определяется по существу не один вектор, а бесчисленное множество равных между собой векторов с данными проекциями на оси. Эти век-

торы лежат на всех взаимно параллельных прямых плоскости. Однако учащиеся не сразу осваиваются с тем, что приведенное выше задание определяет не один, а систему бесчисленного множества векторов. И это приводит их к всевозможным недоразумениям при решении задач. Между тем здесь надо научиться мыслить «системами векторов» (так как каждое указанное задание определяет сразу все векторы этой системы) и понять, что у нас нет принципиальной возможности «индивидуализировать» векторы при их задании указанной формулой. Аналогично, изучая проективную геометрию, целесообразно мыслить себе данный образ как геометрически тождественный со всеми своими проекциями и, говоря о нем одном, понимать, что речь идет сразу о нем и обо всех его проекциях. В противоположность этому в элементарной геометрии обычно данную фигуру и фигуру, полученную из нее движением, рассматривают как две различные, но равные фигуры.

Чрезвычайно интересное явление представляет собой своеобразный «психологический шок» под влиянием нового материала. Оно заключается в том, что учащийся, находившийся под влиянием наплыва новых понятий (где все по-иному!), начинает чувствовать себя неуверенно и в старых, хорошо известных ему понятиях. Так, приходится встречаться с вопросами учащихся такого рода: «Можно ли сократить уравнение Ах2 + 4у2 = 2z на 2?»

Вторую и третью из названных выше особенностей мышления мы рассмотрим вместе. Их появление обусловлено не столько взаимоотношением нового материала со старым (о чем мы говорили до сих пор), сколько именно тем, что изучаемый материал — новый. Во второй главе мы отмечали, что понимание математического материала требует знания того, какие объекты и процессы реальной действительности он отражает, как новые понятия связаны с окружающими их понятиями, как они входят в систему понятий, каково их происхождение и т. д. На основе этого мы рассмотрим ниже те приемы изложения нового материала, которые должны помочь учащимся преодолеть трудности его усвоения.

Предварительно отметим несколько общих соображений о мышлении. По мере своего развития мышление каждого человека приобретает определенные черты, характерные для него одного. В результате у каждого че-

ловека создается свой определенный склад ума. Так, хорошо известно, что каждый человек, опираясь на общие для всех законы логики, мыслит в известных пределах «по-своему». Если предложить одну и ту же задачу нескольким лицам, то одни изберут аналитический путь ее решения, другие предпочтут геометрический. Одному нужны наглядные представления, другой прекрасно обходится без них. Один предпочитает умозаключать от частного к общему, другой хочет скорее овладеть целым — и отсюда идти к изучению отдельных частных фактов. Эти индивидуальные особенности мышления учащихся не может игнорировать и педагог. Несоответствие в какой-либо мере изложения материала (устное или в учебнике) складу ума учащегося вызывает огромные трудности при его усвоении.

Можно указать множество конкретных случаев затруднений такого рода, но мы остановимся лишь на нескольких. Так, например, читая учебник, один учащийся спокойно следит за последовательными рассуждениями автора и вполне удовлетворен тем, что все эти рассуждения строго соответствуют правилам логики. Другой, наоборот, не может хладнокровно следить даже за самым последовательным и логичным развитием теории до тех пор, пока ему не ясно, каково то множество объектов, к которому относится данная теория, каков их геометрический смысл, и т. д. Поэтому один учащийся спокойно изучает данную теорему, как она есть, другого невольно беспокоит вопрос о том, справедлива ли, например, обратная теорема. И до тех пор, пока он это не выяснит, он чувствует себя неудовлетворенным, и эта неудовлетворенность мешает ему двигаться дальше. Можно отметить и различные способы изучения материала учебника со стороны различных учащихся (при самостоятельном изучении, в вузовских условиях, при самообразовании), ярко отражающие различный образ их мышления. Одни, изучая книгу, идут строго последовательно и не чувствуют в себе силы перейти к изучению последующей страницы до тех пор, пока до конца не разберутся в предыдущей. Но многие поступают иначе. Они не могут отдаться последовательному и детальному изучению материала до тех пор, пока перед ними, хотя бы в общих чертах, не обрисуется весь предмет «в целом». Поэтому они сначала бегло просматривают книгу, чтобы

ознакомиться хотя бы только с текстом теорем, часто даже не разбирая их доказательств. Дойдя же до конца книги и получив хотя бы приблизительное представление о ее содержании, они приступают к ее последовательному изучению с самого начала.

В какой же мере должны учитывать педагог и автор учебника это разнообразие в характере мышления, в складе ума учащихся? Можно ли всем им удовлетворить? Прежде всего заметим, что общность обучения, возраста и т. д. обусловливают обычно некоторые общие черты мышления у учащихся. На поставленный вопрос можно ответить следующее: основным принципом изложения должна быть всесторонность освещения каждого в какой-либо мере важного, а в особенности трудного вопроса. Это значит, что всякую сколько-нибудь важную теорию (или теорему), если она может представлять известные трудности, стоит изложить с различных точек зрения, т. е. дать различные формулировки теоремы или дать несколько ее доказательств Например, одно в качестве основного, другие — в виде задач. Логическая цепь умозаключений, исходящая из каких-нибудь определенных предпосылок, в большинстве случаев дает подход к предмету с какой нибудь одной стороны. С точки зрения логики этого вполне достаточно. Однако подход к вопросу с различных точек зрения, исходя из различных предпосылок, открывает новые его стороны и обогащает его понимание. Таким образом, материал, к которому учащийся подошел различными путями, приобретает большую рельефность в его сознании. Наоборот, отсутствие всесторонних представлений о предмете часто тормозит изучение математики. Поэтому подход к предмету с различных точек зрения, являясь логически избыточным, часто оказывается психологически необходимым. Вот пример. Прямую у = Ь можно получить как частный случай прямой, данной уравнением y = kx+b при & = 0. Логически этого вполне достаточно! Однако учащийся лучше осознает уравнение у = Ь, если ему независимо от этого вывода объяснят, что это уравнение непосредственно определяет точки, отстоящие от оси ОХ на расстояние Ь. Этот же путь ознакомления с материалом с различных точек зрения отвечает и тому историческому пути, которым идет человек в познании истины. Первое представление о предмете в значительной степени односторон-

не. Более подробное и глубокое изучение вопроса, проводимое с различных точек зрения, открывает в нем все новые и новые стороны. Поэтому учащийся легче и скорее овладеет предметом из более полного и может быть более длинного изложения, чем из сжатого и одностороннего. Исходя из этого, было бы правильным, если бы и сама программа настаивала на наиболее полном и всестороннем рассмотрении всякого важного вопроса: гораздо полезнее полное рассмотрение основных и важных вопросов, чем беглое рассмотрение большого их числа, когда учащийся не успевает их продумать, а следовательно, и запомнить.

Поэтому можно утверждать, что соображения психологического порядка должны учитываться не только преподавателями и авторами учебников, но и составителями программы курса.

Переходя к непосредственному рассмотрению пунктов 2 и 3 о введении новых понятий и о роли абстрагирования и конкретизации, мы должны отметить явление, которое можно назвать «психологическим скачком». Мы уже говорили, что в курсах по высшей математике новые понятия или идеи вводятся далеко не всегда путем непосредственного развития или обобщения старых. Иногда они вводятся так, что мотивы их введения и внутренняя логика развития предмета остаются от учащихся скрытыми. Поэтому часто для овладения новой идеей, новым подходом к материалу, новой терминологией мышлению приходится совершать своего рода «скачок» от старых и привычных к незнакомым и часто неожиданным понятиям, к которым мышление не подготовлено.

Эти трудности перехода к новому особенно чувствительны в тех случаях, когда новые понятия вводятся, как это часто бывает в математике, путем логически безукоризненно строгих, но с виду совершенно ничем не мотивированных определений, никак не связанных с известным материалом. При этом новые понятия часто вводятся столь абстрактно и формально, что учащийся, изучая дальнейшую теорию, иногда подолгу не видит ни одного их конкретного воплощения. Причины этих трудностей состоят в том, что от учащегося остается скрытой та цепь выводов, которая привела ученых от старых понятий к необходимости введения новых. В этом переходе от известного к неизвестному, минующем промежуточные ша-

ги, и состоит тот логический скачок, который должно совершить мышление учащегося.

В качестве примера «логического скачка» укажем на введение основного понятия математического анализа — производной. С этого понятия начинается курс анализа, но это понятие никак с точки зрения формальной логики не вытекает из курса элементарной математики. В самом деле, почему вдруг надо изучать «предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю», т. е. производную

Одно лишь безупречно строгое формальное определение и изложение правил дифференцирования поведет к зубрежке. Поэтому в вузовских учебниках и в лекциях обычно приводят примеры скорости, ускорения, плотности, теплоемкости, которые выражаются производными. Учитель, которому придется вводить это понятие в школе, должен иметь в виду следующее. Понятие производной формировалось постепенно в трудах Ферма, Декарта, Барроу, Лейбница и Ньютона на протяжении около 100 лет в связи с задачами анализа и геометрии, физики и механики, одновременно с решением задач на максимум и минимум и с развитием понятия интеграла. Поэтому формальное определение, которое не подготовило бы мышление учащегося к понятию производной, потребовало бы от него громадного психологического скачка, связанного с огромными трудностями для усвоения. Чтобы преподавание было здесь полноценным, учитель должен, руководствуясь учебником, не спеша разъяснить учащимся на достаточном числе примеров геометрического, физического и механического характера всю важность понятия производной и то, почему ни естественные науки, ни математика не смогли обойтись без этого понятия. При этом придется очень обстоятельно разъяснить учащимся на примерах, как физический смысл задачи приводит к математическому понятию производной.

Но самым существенным должно быть здесь не увеличение числа отдельных прикладных примеров, а указание на то, что понятие производной является по существу самым важным понятием математики переменных величин. Действительно, все явления природы есть результат

движения материи, начиная от простого механического перемещения молекулы и кончая процессами, совершающимися в нашем мозгу и обусловливающими наше мышление. Между тем важнейшей характеристикой всякого движения является его скорость. Именно это то понятие скорости и выражает на математическом языке производная, и надо, чтобы учащийся это понял. Грубейшей педагогической ошибкой учителя было бы стремление без подробного разъяснения этой идейной стороны дела скорее перейти к упражнениям на формальное применение правил дифференцирования. Надо помнить: сколько бы раз ни выполнять непонятное действие, оно от этого не станет понятнее.

Примером скачка (из вузовского преподавания) может служить введение аффинных координат и аффинных свойств в курсе аналитической геометрии. Истинный смысл и значение этих свойств раскрываются только на третьем курсе после изучения аффинных преобразований, инвариантами которых они являются. Для учащихся же первого курса, не знакомых с этими преобразованиями, не могущих понять ни смысла, ни значения выделения аффинных свойств фигур, переход к ним представляется неоправданным осложнением, а мышление для овладения ими должно совершить логический скачок. В данном случае наиболее рациональный выход — вообще не вводить этих понятий до курса проективной геометрии, где они появляются вполне естественно и сами собой.

Вот пример несколько более сложного логического скачка. Казалось бы, что система аксиом, с которой должно начинаться строгое изложение любой математической дисциплины (алгебры, геометрии) или раздела, содержит с логической стороны наиболее простые, исходные истины и, следовательно, ее изучение не должно было бы представлять трудностей при изучении. Однако дело обстоит как раз наоборот. В школе об аксиомах говорят вскользь, а в вузе — в основном на старших курсах. Одна из причин этого состоит несомненно в том, что математическая наука исторически никогда не начинается с аксиом. Любой ученый, обращаясь в своем творчестве к новой области, обычно никогда не начинает с построения ее аксиоматики или скрупулезного соблюдения «абсолютной строгости» во всех выводах. Он прежде всего озабочен тем, чтобы построить самую теорию, чтобы найти и сфор-

мулировать ее основные факты и положения. А аксиоматизация и строгое ее обоснование обычно приходят потом. Поэтому, когда учащийся, вступающий в новую область, сразу начинает с ее аксиоматики (до ознакомления с сущностью новой теории) или сразу погружается во все тонкости выводов, то его мышление обычно совершает путь, обратный тому естественному пути, которым шли ученые (и наука). Образующийся здесь психологический скачок и создает трудности в освоении аксиоматики, так как этот, логически безупречный, путь, как мы видим, чаще всего не отражает истинных связей между вещами. Математики хорошо знают, как часто изложение теории в научных статьях и монографиях не отражает того творческого пути, которым шел сам автор. Уже это одно является источником огромных трудностей в их понимании. Конечно, иногда в старших классах, в вузовских лекциях и в учебнике можно начинать изложение новой теории с аксиом и безупречно строгих выводов. Но для их успешного усвоения надо затратить достаточно много времени на разъяснение существа дела.

Однако во многих случаях наличие логического скачка неизбежно. Развертывать же перед учащимися весь тот исторический ход событий, который приводит к новым понятиям, в большинстве случаев нецелесообразно. Поэтому возникает вопрос о том, что нужно сделать, чтобы облегчить учащемуся переход к новым понятиям, а иногда и к связанному с ними новому «образу мышления»? Основное положение вытекает из сказанного выше. Оно было нами использовано, когда шла речь о производной. Его можно сформулировать следующим образом. Введение новых понятий должно сопровождаться разъяснением того, какие явления реальной действительности они отражают, иными словами их конкретизацией. В громадном числе случаев одно и то же математическое понятие может служить отражением многих явлений реальной действительности. Например, понятие вектора служит математическим выражением таких явлений, как сила, скорость, ускорение и т. д. С помощью дифференциального уравнения данного вида могут быть записаны самые разнообразные процессы и т. д. В этом случае достаточно указать хотя бы один реальный образ, который отображает данное понятие, чтобы у учащегося ни на минуту не возникало сомнения в обоснованности его введения.

Например, рассматриваемые в курсе анализа непрерывные линии или функции, определенные на различных интервалах различными уравнениями, несомненно вначале будут казаться учащемуся, привыкшему к иному заданию линий, в какой-то мере надуманными и неестественными. И это будет продолжаться до тех пор, пока он, например, не узнает, что аналитическое выражение для изогнутой оси балки, находящейся под действием сосредоточенных нагрузок, тоже записывается различными уравнениями на различных интервалах между точками приложения нагрузок. Рассматривая разрывные линии или функции, тоже целесообразно показать разрывные функции в природе, те явления, графиками которых будут разрывные линии и т. д. Вводя понятие о многомерных пространствах, о многомерных векторах, необходимо указать те физические явления — фазовые пространства и т. д., которые отражены в этих понятиях. В связи с вопросом об усвоении нового материала надо решительно подчеркнуть (на основании многочисленных наблюдений над учащимися), что основные трудности в обучении — это трудности освоения идей, а не формального математического аппарата, как бы он ни был сложен. Если идеи понятны, то и громоздкие выкладки обычно преодолимы без большого труда. «Ссылки на действительность» — апелляция к реальным прообразам математических понятий и позволяет легче всего освоить идейную, а следовательно, и формальную сторону математики. Наоборот, если идейная сторона вопроса непонятна, то это обычно прежде всего проявляется в тех осложнениях, которые учащиеся начинают испытывать с выкладками. Поэтому изучение всякого математического аппарата должно начинаться с выяснения его идейной стороны. Это снимает большую часть трудностей.

Еще раз подчеркнем: не нужно думать, что каждую теорему или каждую математическую операцию надо как-то практически иллюстрировать. Однако важно, чтобы учащийся видел связь с практикой больших, важных и трудных проблем. Что же касается остальных, то он должен ясно понимать, в чем состоит их вспомогательная роль для первых. В результате этих общих соображений можно указать ряд конкретных правил, которыми целесообразно руководствоваться для достижения положительных результатов в преподавании.

Первое правило кратко формулирует только что сказанное. Его можно выразить так:

1. Не вводить новых понятий формально. Под формальным изложением материала мы будем понимать такое его изложение, которое начинается с формулировки определения или некоторых исходных предпосылок и сводится в дальнейшем к последовательному изложению чисто математической стороны теории, без выяснения того, каким путем эта теория возникла и какие явления действительности она отражает.

Мы видим, что формальное изложение не раскрывает самой сущности изучаемого материала. Необходимо выяснить его связи с практикой, его роль в данном предмете и связи со смежными областями науки. Кратко говоря, учащемуся надо пояснить, как мы пришли к необходимости и неизбежности изучения этого материала.

Так, если введение аффинных координат и аффинных свойств фигур (о которых мы говорили) было бы все-таки признано неизбежным уже на первой стадии обучения, то следовало бы не просто определить их формально, как это обычно делается в учебниках, но как-то пояснить, какие проблемы действительности приводят нас к необходимости введения этих понятий. В данном случае этой проблемой являются поиски такой системы координат и таких свойств фигур, которые сохраняются при параллельном проектировании. Уже одно это замечание, связанное с указанием на роль параллельного проектирования в геометрии, позволило бы учащимся в какой-то мере полнее осознать смысл и значение новых понятий. Так же точно аксиомы теории групп не будут поняты до тех пор, пока учащимся не будет разъяснено, почему вообще возникло понятие группы и почему группа определяется именно этими аксиомами, а не другими.

2. Необходима конкретизация новых понятий. Это требование непосредственно вытекает из предыдущего. Часто из данного определения не видно, каковы конкретно те новые образы, которые вводятся данным определением. Чрезвычайно важно, чтобы учащийся с самого начала видел какой-либо реальный пример конкретного объекта (математического, физического), подчиняющегося данной теореме или тому предложению, о котором идет речь. Например, если речь идет о разрывных функциях вообще, то надо показать хоть несколько конкрет-

ных примеров этих функций (как в математике, так и в приложениях).

Вопрос о конкретизации был отмечен выше в качестве одного из основных пунктов. Как уже говорилось выше, процесс конкретизации имеет самое большое значение в математике вообще, так как связан с умением «видеть» и «читать» формулу. Насколько это для учащихся трудно, показывает хотя бы следующий простой пример. Учащийся, начинающий изучать аналитическую геометрию или чертить графики в школе, быстро осваивается с общим утверждением, что уравнение Ах+Ву + С = 0 определяет прямую. Но если его спросить, что определяет уравнение * = 5, то, как мы говорили выше, он почти всегда ответит «точку», хотя последнее уравнение тоже определяет прямую, поскольку оно есть просто частный случай (т. е. одно из конкретных воплощений) предыдущего уравнения.

Действительно, если бы учащийся, видя уравнение Ах+Ву+С = 0, умел «читать» его, то он прочел бы из него сразу, что все уравнения вида Зх—2г/ + 5 = 0, 5х + у = = 0, 2х—7 = 0, у = 0 и т. д. есть только частные случаи общего уравнения, получившиеся при различных частных значениях входящих в него букв. Умение «читать» уравнение, т. е. видеть его конкретные воплощения, как показывает опыт, дается далеко не сразу. Поэтому было бы грубой ошибкой порицать учащегося за неумение «читать формулы». Ему просто надо в этом помочь. Борьба за реальное, а не формальное понимание материала должна вестись на почве максимальной конкретизации математических понятий. Вот еще аналогичный пример. В аналитической геометрии в пространстве учащиеся изучают поверхности 2-го порядка, определяемые общим уравнением второй степени с тремя переменными. Но если спросить учащегося, что определяет собой уравнение х2 + у2 = 4, то в 9 случаях из 10 он восклицает: «Окружность!», забывая, что это уравнение есть просто конкретный пример общего уравнения поверхности 2-го порядка и поэтому изображает не линию — «окружность», а поверхность —цилиндр.

3. Введение понятий должно происходить путем наиболее естественным для учащегося. Переходя к новой теме или вводя новое понятие, целесообразно подготовить учащегося к их восприятию. Наоборот, неожиданное и

ничем не мотивированное их введение создает для учащегося дополнительные затруднения в виде необходимости преодоления логического и психологического скачка. Подход к новым понятиям должен быть наиболее естественным с точки зрения учащегося. То, что учащемуся кажется естественным и логичным, будет им усвоено без большого труда. То, что по какой-то причине кажется ему необычным, противоречащим привычному, никогда (пока это сознание у него остается) не будет усвоено учащимся до конца. Это не значит, что учитель (лектор, автор учебника) должен быть в плену у «привычек» учащегося. Наоборот, он всегда должен стараться поднять учащегося до своего уровня. Однако это надо делать умело, исходя из учета психологии обучаемого. Поэтому целесообразно вначале разъяснить учащемуся введение нового понятия, исходя из привычных ему представлений, а потом развить это новое в нужных направлениях. Отсюда следует, что при отыскании наиболее естественного подхода к новому надо исходить из учета тех представлений, которые учащийся имеет на основе полученных им знаний. Чрезвычайно важно указать учащемуся на неизбежность введения новых понятий в силу стоящих перед наукой задач. В качестве примера такого подхода к новому материалу в курсе анализа можно, в частности, указать на построение кривых, связанное с бесконечными процессами и предельным переходом.

Построение кривых типа кривой Пеано, кривой, несущей на себе площадь, и т. д. может казаться учащемуся вначале искусственным и надуманным. Учащийся привык видеть перед собой всегда всю кривую уже начерченной, уже готовой (хотя бы в данной ограниченной части плоскости). Между тем здесь ему задается какой-то «бесконечный процесс», какое-то построение, которое никогда не будет доведено до конца и вдобавок предлагается называть этот искусственный образ знакомым словом «кривая», на которую он ничуть не похож. Учащийся, основывающийся на своих представлениях о кривой, полученных как в средней, так и на первых курсах высшей школы, будет считать, что, говоря о кривых, было бы наиболее естественно вовсе исключить из рассмотрения образы, связанные с бесконечными процессами, а рассматривая эти образы вне связи с кривыми, дать им какое-нибудь свое особое название. Между тем стоит

только указать учащемуся на его же практику по элементарной математике, как ему придется признать, что, наоборот, исключение этих образов из класса кривых и отказ от их рассмотрения были бы еще более искусственными и надуманными, чем ему раньше представлялось их изучение. Для этого учащемуся достаточно напомнить, что почти все основные понятия в геометрии связаны с бесконечными процессами. Так, длину окружности (а следовательно, и всякой кривой), площадь круга (а следовательно, и всякую площадь, ограниченную замкнутой кривой), площадь поверхности, касательную и т. д., сумму бесконечно убывающей прогрессии — все эти понятия нельзя было бы определить без обращения к бесконечному процессу. Поэтому в противоположность первому впечатлению было бы как раз неестественным, если бы мы всюду в математике использовали бесконечные процессы, а как только заходила бы речь о кривой, переставали бы их употреблять. Одновременно учащемуся следовало бы пояснить, что наиболее естественное определение кривой (именно с точки зрения охвата привычных учащемуся образов, вроде кривых Кантора и Жордана) требует включения в число кривых и образов, получающихся в нашем случае с помощью бесконечных процессов.

4. Не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий. Часто новые понятия вводятся посредством предложений, начинающихся словами: «Рассмотрим выражение...», «Назовем...» После этого без всяких дальнейших пояснений того, откуда взялись эти понятия, изучаются их свойства. Такой подход к новому материалу с математической стороны, конечно, безупречен. Однако он часто бывает совершенно недостаточным для полного понимания и освоения нового понятия. После такого введения новых понятий у учащегося часто создается впечатление, что как само это понятие, так и самый факт его введения являются произвольными или случайными. Ему кажется, что это понятие можно было бы или ввести как-то иначе, или даже не вводить совсем и что данный способ его введения обусловлен только усмотрением лектора или автора учебника.

В качестве примера можно указать, что понятия производной, дифференциала, скалярного и векторного про-

изведений без объяснения тех внутренних причин, которые привели к введению этих понятий, всегда будут усваиваться с трудом. И наоборот, осознание необходимости введения этих понятий облегчит их усвоение.

Основная задача учителя (лектора, автора учебника) заключается здесь в том, чтобы совершенно ясно показать учащемуся, что этот произвол в определении новых понятий только кажущийся, что в науке нет «случайных» теорем или «случайных» теорий.

Если новое понятие может быть введено только одним способом, то это надо объяснить учащемуся. Если же вперед можно двигаться различными путями, то надо разъяснить в доступной форме, почему избран именно данный путь. Пока тот или иной вопрос будет казаться учащемуся поставленным произвольно, а не естественно вытекающим из предшествующего, пока учащемуся не будут ясны причины изучения этого вопроса, последний будет ему казаться неубедительным, ненужным, и «внутренний протест» против «ненужного» вопроса будет мешать учащемуся сконцентрировать свои силы на его изучении. Так, скалярное произведение будет казаться введенным произвольно, пока не будет выяснено, что оно определяет работу силы. Итак, чем больше устанавливается связей между новым и старым, чем это новое естественнее вытекает из старого, чем больше между ними преемственности, тем легче оно усваивается. Таким образом, общефилософская точка зрения, что всякое явление надо изучать в его связях с окружающими явлениями, здесь снова выдвигается на первый план на основе чисто психологических соображений.

5. Для лучшего усвоения нового материала надо указать корни нового материала в старом материале или аналогии новому в старом. Учащемуся должно быть ясно, как вытекает новое из старого, где заложены в старом корни нового. Если учащемуся показать, что уже и в знакомом материале он встречался с этим новым, правда, бывшим там еще в зачаточном виде, то это новое сразу перестанет ему казаться необычным, он увидит в нем естественное продолжение старого. Наконец, чрезвычайно большую роль играет указание в старом, хотя бы только аналогии с новым. Уже это одно облегчает учащемуся восприятие нового. Так, рассматривая предель-

ные переходы в началах дифференциального и интегрального исчислений, следует напомнить учащемуся о таких же переходах в алгебре и геометрии, при изучении бесконечно убывающей прогрессии, длины окружности, площади круга, касательной и т. д. В высшей математике, говоря о введении несобственной прямой в проективной плоскости (при переходе к аффинной геометрии) и о классификации пар прямых (пересекающиеся и не пересекающиеся на этой прямой), целесообразно напомнить, что эта прямая есть не что иное, как линия горизонта на картине художника, на которой сходятся изображения параллельных краев дороги Говоря о том, что эквидистанта в геометрии Лобачевского не является прямой, стоит по аналогии указать, что, принимая на шаре «большой круг за прямую», мы получим в качестве его эквидистанты уже не большой круг, т. е. тоже не «прямую». Последнее легко видно на чертеже и тем самым сближает неэвклидовы представления с обычными. Это сопоставление особенно целесообразно именно потому, что утверждение, что равноотстоящая от прямой есть «непрямая», представляется очень неожиданным.

6. Вывод, доказательства, а иногда и формулировку предложения целесообразно давать в виде «процесса приближения к истине».

Во многих случаях доказательство теоремы можно вести двумя путями: 1) Можно исходить только из уже известных положений и, имея в виду нашу цель, путем последовательных рассуждений идти к искомому результату. Здесь доказательство представляет собой «процесс приближения к истине». Он ведет учащегося от известного к неизвестному. 2) Можно идти обратным путем, т. е. исходить сразу из искомого предложения, считая его (каким-то образом!) уже найденным, после чего доказывать его справедливость, оправдывая тем самым сделанное нами предположение. Первый путь в силу сказанного обычно предпочтительнее, тогда как второй путь требует своеобразного «скачка мысли» от известного положения сразу к неизвестному, искомому положению, с последующей проверкой его справедливости. Но зато этот путь часто бывает короче. Отметим, что методом «процесса» можно дать не только доказательство теоремы но и ее формулировку, как это будет видно из приводимых ниже примеров.

Вот несколько примеров «выводов-скачков». Уравнение пучка, определяемого двумя пересекающимися прямыми:

(1)

обычно дается сразу в виде записи:

(2)

а потом доказывается, что последнее уравнение и есть искомое. (Этот пример является геометрической иллюстрацией решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, когда р и д подбираются так, чтобы исключить одно из неизвестных.) Все это доказательство кажется с виду крайне простым, но тем не менее учащиеся осваиваются с ним далеко не сразу. Действительно, это типичный «вывод-скачок». Самая главная психологическая трудность для учащегося состоит в том, что это уравнение получено «слишком быстро», ниоткуда «не выведено». Учащемуся не легко понять, «откуда взялись» эти р и <7, кроме того, он не убежден, что данное решение задачи единственное. Ему все время кажется, что с помощью какого-нибудь другого, подобного «фокуса» удастся доказать, что и какой-нибудь другой «ответ» (по существу неправильный) тоже «будет верен!» И ответ и решения кажутся ему не «неизбежными», а «случайными» и в этом корень трудностей. Таким образом, в данном случае было бы целесообразно предложить другой вывод этой формулы, может быть, и более длинный, но зато естественным путем приводящий к цели. Этот вывод мог бы иметь следующий вид (пример «вывода-процесса» для этой задачи). Сначала решается задача об отыскании геометрического места точек, расстояния каждой из которых до двух данных прямых (1) (т и п) имеют постоянное отношение (черт. 13). Уравнение искомого геометрического места имеет вид (2). При этом устанавливается, что прямая (2) всегда проходит через точку пересечения прямых (1) (т и п) (если прямые т и п параллельны, то прямая (2) параллельна им). После этого приведенный выше вы-

Черт. 13.

вод уравнения пучка перестает казаться искусственным, так как легко понять, что всякая прямая пучка делит в каком-то отношении угол между основными прямыми и расстояния всех ее точек от данных прямых находятся в постоянном отношении.

К типу выводов-скачков относятся и выводы, начинающиеся словами: «Рассмотрим выражение...» Трудности их для учащихся в том, что рассматриваемое в них выражение получено не в процессе «приближения к истине», а взято сразу, как готовое. Вот пример. Уравнение прямой, проходящей через две точки, в форме определителя часто вводится следующим образом. Записывают сразу искомое выражение:

а потом доказывают, что оно дает искомую прямую путем такого рассуждения: «Рассмотрим это выражение. Оно первой степени относительно х и у и удовлетворяется при подстановке...» и т. д. Этот вывод-скачок очень красив и краток. Поэтому его иногда целесообразно дать. Однако если его не сопроводить естественным выводом-процессом, показывающим, что знакомое уже учащимся уравнение:

можно преобразовать к этому же виду, то этот вывод-скачок оставит чувство неудовлетворенности у учащихся и не будет осознан ими до конца.

Подведем итоги. Мы остановились здесь на «выводах-скачках» не для того, чтобы требовать их устранения. Часто они могут быть педагогически полезны, освещая «неожиданные пути» в математике. Но одно является обязательным — и на этом мы настаиваем — необходимо сопровождать такие выводы самым тщательным разъяснением их смысла, может быть, выводами путем «приближения к истине» и т д. Без этого и сам вывод-скачок и задуманный его педагогический эффект не дойдут до учащегося.

Можно отметить, что формулировка аксиомы непрерывности в форме Дедекинда требует тоже своеобразного скачка мысли, так как от разбиения множества точек на два класса здесь делается неожиданный переход к пограничной точке, причем в самой формулировке аксиомы ничего не говорится о каком-либо процессе, посредством которого мы получаем эту точку. Она возникает здесь неожиданно. Между тем формулировка аксиомы непрерывности в форме Кантора (стягивающихся отрезков) естественно ведет мысль от сближающихся их границ— точек — к единственной для всех отрезков их общей точке. Сама формулировка здесь определяет процесс приближения к искомой точке, в противоположность формулировке Дедекинда, где речь идет лишь о разбиении точек на два класса. Что касается исторического хода вещей, то несомненно, что «метод процесса» соответствует ему более всего. Красивые и краткие доказательства, исходящие в большинстве случаев из различных «неожиданных» идей, редко бывают исторически первыми по времени.

7. Трудные, но важные вопросы в ряде случаев целесообразно излагать индуктивно. Вряд ли нужно особенно разъяснять, насколько трудно дается изучение сложного вопроса сразу в общем виде. Между тем в каждом курсе могут встретиться такие положения, которые учащиеся не просто обязаны знать, но которыми они обязаны свободно владеть. В аналитической геометрии такими будут вопросы: прямая, плоскость, канонические уравнения кривых и поверхностей второго порядка. Исходя из общего педагогического принципа разделения трудностей, было бы целесообразно такие трудные, но важные вопросы начинать с изучения их отдельных частных случаев и лишь потом путем постепенного их обобщения переходить к общему случаю. Этим достигалось бы более глубокое освоение каждого из частных случаев, который осваивался бы не только через общий случай, но и сам по себе.

Рассмотрим, например, изучение прямой линии в аналитической геометрии на плоскости в вузе или в школе), где важно, чтобы учащийся научился «ощущать» каждое данное уравнение само по себе, а не только как частный случай общего уравнения. Этот раздел было бы целесообразно проходить так: сначала рассмотреть

уравнения вида у=2х, у=3ху... и т. д. и потом объединить их в виде уравнения y=*kx. Рассмотреть уравнения вида #=5, х=3... и т. д. и потом объединить в виде у = Ьу х=а. Затем рассмотреть уравнения вида г/ = Зл:+5, у=—2х+ 1 и т. д. и потом объединить их в виде y = kx + b. После этого надо вывести уравнение прямой в виде y = kx + b и показать, что при k = 0 или 6 = 0 оно дает нам уже знакомые частные случаи (кроме случая х=а). Этот индуктивный подход с последующей дедукцией содействовал бы конкретизации общих понятий. Несоблюдение индуктивного подхода приводит иногда к уродливым явлениям, когда учащийся «знает» сложные вопросы и не знает простых. Так, учащийся легко строит прямую у = 2х—3, но затрудняется построить прямую y=2xt так как при изучении основное внимание сосредоточивалось на общем виде уравнения прямой. Не раз приходилось встречаться и с фактами, когда на вопрос: «какая поверхность определяется уравнением x2 + y2 = z»t—следует ответ: «Сейчас определю это с помощью инвариантов!» После этого следует правильное определение вида поверхности. Но нужны ли такие уродливые знания?

8. Исторические трудности указывают на возможность психологических трудностей. Опыт показывает, что трудными часто оказываются те вопросы курса, которые в эпоху их возникновения сами с трудом пробивали себе дорогу в науке. Можно предполагать, что те идеи, которые в свое время возникли в тяжелой борьбе с привычными представлениями и с различными другими препятствиями, могут представлять трудности и для современных учащихся, знакомящихся с этими вопросами впервые. История и опыт преподавания подтверждают сказанное. Хорошо известно, что возникновение пространственной аналитической геометрии (И. Бернулли, Клеро — первая половина XVIII в.) отстоит почти на столетие от появления плоской аналитической геометрии (Ферма, Декарт, 1636—1637 гг.). С одной стороны, это говорит о том, что общественная потребность в пространственной аналитической геометрии назрела значительно позже, чем в плоской, но, с другой стороны, это с несомненностью свидетельствует и о том, что этот переход в чисто математическом отношении был связан с известными трудностями. И опыт преподавания нам показывает, насколько труден для учащегося переход от аналитической геомет-

рии в плоскости к аналитической геометрии в пространстве, хотя принципиально новых идей при этом возникает не так уж много. Примеров можно привести сколько угодно. Всякий преподаватель хорошо знает, с каким трудом учащиеся усваивают ту истину, что конкретно данное уравнение F(x, у) = 0 определяет поверхность, а не линию и т. д. (Здесь подчеркнуто, что речь идет о конкретно данном уравнении, а не об общей формулировке, которую нетрудно заучить!) Отсюда следует, что дело не в том, чтобы порицать учащегося за незнание таких «простых» вещей, а в первую очередь в том, чтобы как-то педагогически продуманно помочь ему усвоить основные вопросы аналитической геометрии в пространстве. Еще пример из другой области. Инстинктивное желание учащихся «доказать» равенство а0 = 1, если и кажется сейчас нелепым, то оно не так уж необъяснимо. Конечно, нетрудно сформулировать те или иные аксиомы или определения и заставить учащихся их заучить. Но трудности в понимании этим не снимаются. История говорит нам, что ученые не сразу пришли к аксиоматическому построению арифметики. Известно, что Клеро, Лаплас и другие математики пытались, например, доказать правило знаков при умножении отрицательных чисел и лишь Лобачевский указал на необходимость аксиоматического подхода к этому вопросу. Следовательно, этот вопрос представлял когда-то большие трудности и для крупных ученых. И не удивительно, если современные учащиеся, изучив его по книге, далеко не сразу проникают во всю его глубину и допускают временами «грубые» ошибки. Наконец, пожалуй, самым ярким примером может служить открытие и изучение геометрии Лобачевского, где и современные учащиеся испытывают множество трудностей, напоминающих те, с которыми встречались наши прадеды 100 лет назад. Было бы, конечно, неправильно видеть в приведенных примерах попытку сведения вопросов истории науки к вопросу психологии ученых (хотя последняя тоже исторически обусловлена). Здесь говорится только о том, что трудности исторического порядка должны послужить сигналом к осторожности для современного педагога, так как они в ряде случаев могут возбудить психологические трудности и у современного учащегося.

Заканчивая этот весьма неполный обзор особенностей усвоения математического материала, хочется заметить,

что успех в обучении математике в большой мере определяется тем, насколько сумеет преподаватель проникнуться сознанием того, как непросты (в психологическом отношении) все эти простые (с математической точки зрения) вопросы.

Рассмотренные нами примеры дают возможность высказать некоторые, пусть очень грубые, соображения о самом механизме умственных процессов, протекающих в мозгу человека при изучении математики. Они дают возможность сделать попытку объяснения с единой точки зрения тех особенностей усвоения математического материала и тех ошибок, которые мы набюдали выше.

Исследования мышления показывают, что наши знания и опыт откладываются в памяти не в виде изолированных друг от друга отдельных логических положений (посылок) или неразложимых далее представлений или суждений, а в виде некоторых комплексов мыслей или представлений, в виде «готовых путей мысли», в виде «готовых способов рассуждений». И обратно, когда мы вспоминаем что-нибудь, то мы обычно вспоминаем не отдельную черту, не только тот пункт, который нас в данный момент интересует, но сразу целый комплекс представлений, который связан с ним или который мы вместе с ним запомнили. Отсюда понятно, что, наряду с существенными и основными чертами образа, часто запоминаются, а потом и воспроизводятся и несущественные его черты. Так, например, любой чертеж всегда содержит какой-то определенный частный вид образа, причем как существенные, так и несущественные элементы изображены на нем одинаково. Так невольно запоминаются, а потом и воспроизводятся «равные стороны» вертикальных углов (черт. 1), «тупой угол справа», в качестве внешнего угла (черт. 4). Видя прямые m и я, изображенные на чертеже 8, а; учащийся заявляет, что это «перпендикуляр и наклонная», так как он вспоминает их вместе с прямыми чертежа 8, о, т. е. в таком виде, как он их когда-то запомнил. Поэтому не должно казаться удивительным, что начинающий и еще недостаточно опытный учащийся, не обладающий большой культурой математического мышления, вспоминая вместе с существенными чертами объекта и несущественные его черты, не всегда может отделить одни от других. Этими же причинами объясняется и то, что и в вузовском обучении в первое время учащиеся

понимают новые понятия еще «по-старому» (например, любую функцию, как непрерывную). Эти понятия запомнились им вместе с целым рядом таких признаков или сопутствующих им понятий, которые в новых условиях уже перестают существовать.

Здесь мы говорили о запоминании и воспроизведении. Теперь рассмотрим, как происходит активное мышление. Здесь можно высказать следующие соображения. Наблюдение показывает, что: 1) благодаря жизненному опыту в нашем сознании возникают определенные привычные или проторенные пути или связи, по которым мышление и идет в первую очередь; 2) благодаря характеру запоминания и воспроизведения, а также жизненному опыту, отложившемуся в сознании, процесс мышления обычно идет не путем последовательного выполнения элементарных, далее неразложимых логических операций (например, силлогизмов), а путем оперирования нерасчлененными комплексами мыслей или представлений (часто независимо от того, идет ли он по проторенному или по новому пути). Здесь под проторенными путями мы понимаем определенные способы мышления, например в математике решение данного типа задач раз навсегда определенными приемами. Нерасчлененными комплексами мы называем готовые, сложившиеся представления, например «Учебник должен быть кратким».

Мышление проторенными путями и нерасчлененными комплексами имеет и положительные и отрицательные стороны. Положительной стороной проторенных путей является то, что они избавляют человека от необходимости каждый раз заново решать те мыслительные задачи, которые ему уже много раз встречались и еще много раз встретятся. Мысля нерасчлененными комплексами, мы не останавливаемся на последовательном выполнении всех его логических этапов, не расчленяем нашу мысль на все формально логические ее звенья, вроде силлогизмов, а используем ставшие уже привычными готовые ассоциации мыслей. Тем самым вместо медленного продвижения мысли с осуществлением всех промежуточных логических этапов мы идем здесь быстро и сразу к окончательному выводу, минуя очевидные умозаключения.

Отрицательной стороной проторенных путей является то, что они часто мешают мыслить сообразно меняющейся обстановке. Они часто мешают решению новых задач,

мешают отысканию новых путей, ведут мышление по «старым дорогам», которые в новых условиях порою не ведут к цели. Это с особой остротой проявляется иногда в научном творчестве. Решая новую проблему, ученый вначале часто инстинктивно идет старыми путями, используя хорошо ему известные методы. Но в новых условиях использование старых методов в ряде случаев бывает сопряжено с большими осложнениями в виде громоздких вычислений и т. д. Лишь впоследствии ученый находит и те прямые пути, обычно построенные на совершенно новых идеях, которые прямо ведут к решению задач нового типа. Большая доля успеха в математическом (как и во всяком другом) мышлении обеспечена тому, кто сумеет вовремя преодолеть «гипноз» проторенных путей и найти прямой путь к цели. Успех многих молодых ученых в науке или иногда лиц, впервые вступающих в данную область знания, в большой мере объясняется их свободой от проторенных путей.

Если наши привычные рассуждения правильны во всех случаях, то, мысля нерасчлененными комплексами, мы приходим к правильным выводам. Но может случиться, что наши привычные рассуждения верны не всегда, а только при определенных условиях (наличия которых мы можем и не осознавать, если они, например, всегда раньше выполнялись). В этом случае наши заключения при таком способе мышления могут оказаться ошибочными, если эти условия вдруг перестали соблюдаться. Так, решая какую-либо новую научную проблему и рассуждая с помощью нерасчлененных комплексов, мы можем не заметить того пункта, где логически возможно было разветвление мысли и где мы должны были бы в данных конкретных условиях выбрать не привычный по предыдущим случаям, а совсем новый путь. Таким образом, мышление привычными, нерасчлененными комплексами таит в себе много опасностей. Оно может стать источником грубых ошибок, так как здесь мы можем принять за очевидное многое такое, что на самом деле, не являясь таковым, подлежит исследованию. Подобный образ мышления в быту и в науке питает всевозможные шаблонные утверждения, научные предрассудки, догматизм и т. д., так как заменяет конкретное логическое мышление готовыми суждениями «по здравому смыслу», т. е. нерасчлененными комплексами привычных, но в данном случае

ошибочных представлений. Примеров подобных заблуждений можно привести сколько угодно. Так, с древних времен считалось, что на плоскости через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. До Лобачевского это представление определялось уровнем науки того времени, но даже после того, как он обнаружил его логическую несостоятельность, математики не сразу поняли его, ибо этому мешало привычное суждение «по здравому смыслу», что прямая, проходящая через данную точку и не пересекающая данную прямую, может быть только одна. Далее, в XVIII веке на основании геометрических представлений сложилось убеждение, что «всякая непрерывная функция имеет производную», т. е., геометрически говоря, что всякая непрерывная кривая имеет касательную (нерасчлененный комплекс). И лишь в XIX веке было доказано, что это суждение логически необоснованно: из непрерывности кривой не следует, что она должна иметь касательную. Далее, кажется очевидным (нерасчлененный комплекс), что кривая не может нести на себе площадь или что кривая не может быть одновременно границей трех областей. Однако во всех этих случаях оказывается, что привычные представления ведут нас по ошибочному пути и что из элементарных геометрических положений и определений кривой не следуют указанные «выводы». Это значит, что если бы мы попытались построить цепь силлогизмов от исходных посылок в направлении наших «выводов», то мы увидели бы, что в какой-то момент мы совершаем ошибку против логики, идя по пути «привычных ассоциаций мысли», которые в данных условиях противоречат истине.

Типичным примером мышления нерасчлененными комплексами представляется метод мышления, применяемый многими при решении следующей задачи: «Составить из 6 спичек четыре равносторонних треугольника со сторонами, равными одной спичке». Обычно тот, кто решает эту задачу, прежде всего кладет спички на стол и безуспешно пытается построить на столе искомые фигуры. Между тем в задаче вовсе не сказано и совсем не требуется, чтобы искомые треугольники лежали в одной плоскости. И действительно, только построение тетраэдра дает правильный ответ. Однако постоянная привычка решать задачи на построение с плоскими фигурами обычно мешает правильному решению этой задачи! На-

личием проторенных путей и мышлением нерасчлененными комплексами представлений объясняются ошибки в нижеприведенных рассуждениях совсем другого типа. Например, шуточные задачи: «Что легче, пуд пера или пуд железа?» или «Что больше весит 1 кг 20-ти копеечных монет или 2 кг 10-ти копеечных?» — всецело основаны на том, что «железо» ассоциируется с чем-то тяжелым, «перо» — с чем-то легким; во втором случае мысль фиксируется на достоинстве монет и на том, что вдвое менее ценных монет взято «вдвое больше» и при этом упускается, что их взято «вдвое больше» не по количеству, а по весу, что уже предрешает ответ.

Из приведенных соображений ясно, что острота (строгость и точность) математического мышления определяется умением не только мыслить комплексами, но главное— умением расчленять комплексы на единичные логические звенья, иначе говоря, умением разбить сложное суждение на цепь силлогизмов или других элементарных суждений, из которых уже получаются сложные суждения. Это умение страхует от множества логических ошибок. Ибо таким путем мы сразу обнаруживаем те пункты рассуждения, где нерасчлененные комплексы готовы нас повести по ложному пути.

В связи с этим надо заметить, что изучение всевозможных математических парадоксов чрезвычайно полезно с точки зрения развития точности математического мышления. Понятно также, почему доказательства «очевидных теорем» с таким трудом даются учащимся, начинающим изучать геометрию (впрочем то же наблюдается и на более высоких ступенях обучения). Например, доказательства теорем о единственности перпендикуляра, проведенного в данной точке к данной прямой, или теорема о равенстве всех прямых углов друг другу представляются учащимся VI класса ненужными. Опыт (готовые комплексы представлений) сразу подсказывает им правильное решение вопроса; умением же расчленять комплексы и потребностью в их расчленении на логические звенья учащиеся еще не обладают. Поэтому они и не видят в этих предложениях теорем, подлежащих доказательству.

На более высоких стадиях обучения — в старших классах школы и на младших курсах вузов — мышление нерасчлененными комплексами тоже проявляет себя,

правда в более тонких вопросах. Например, любой учащийся школы (а иногда и вуза) считает само собой разумеющимся (нерасчлененный комплекс), что всякий отрезок можно разделить пополам и что он имеет одну середину. Однако острый математический глаз видит, что это — теорема, которая является следствием определенных аксиом и что, следовательно, это сложное утверждение получается путем целой цепи элементарно-логических умозаключений. Далее, кажется очевидным и сразу следующим из аксиом (нерасчлененный комплекс), что любой простой многоугольник разбивает плоскость на две области. Однако при ближайшем рассмотрении обнаруживается, что это — теорема и притом требующая для своего доказательства предварительного установления ряда лемм (расчленение комплекса). Еще пример: кажется очевидным, что если непрерывная функция имеет в двух своих точках значения разных знаков, то в какой-то точке между ними она обращается в нуль. Однако это теорема, требующая доказательства. К этому же типу рассуждений относятся и такие математические рассуждения, где совершается неправомерное распространение понятий, относящихся к одному кругу вопросов, на вопросы, похожие на них, но по существу другого характера. Здесь тоже упускаются из виду те логические этапы рассуждений, которые указывают границы применимости этих понятий. Сюда же относятся мешающие ассоциации. В этом случае некоторые положения, запомнившиеся в комплексе с им близкими, в новой области восстанавливаются в памяти вместе с ними, хотя здесь последние уже могут и не иметь места. И только умение расчленять комплексы помогает устранению этих лишних ассоциаций.

Надо отметить, что неумением расчленять комплексы объясняется часто то, что человеку, мало размышлявшему над каким-либо вопросом, все в нем кажется простым и ясным. И лишь при более глубоком изучении предмета в нем обнаруживаются всевозможные трудности. Вот пример. На уроке или на лекции учащемуся все ясно, ибо в это время он обычно не успевает вникать самостоятельно во все детали. Но когда он приходит домой и начинает самостоятельно воспроизводить все выводы, он обнаруживает много непонятного. Это естественно. Здесь он поневоле начинает «расчленять» комплексы, поскольку ему приходится самостоятельно строить цепи из элемен-

тарных логических умозаключений. Уметь «видеть вопросы» там, где другие их не видят, — это значит уметь расчленять комплексы там, где другие думают готовыми, стандартными положениями. Для ученого в этом залог успеха в науке, ибо это свидетельствует об остроге и глубине его мысли, об умении не поддаваться ходячим представлениям.

Итак, одним из важнейших качеств математического мышления является умение расчленять комплексы, в частности умение обнажить логическую структуру рассуждения, умение отделить то, что строго доказано, от всего привнесенного, не следующего логически из данных предпосылок. Это равносильно умению понимать из математической фразы только то, что в ней сказано, ничего к ней не примысливая, т. е. инстинктивно отбрасывая все посторонние ассоциации. Это равносильно, как мы говорили выше, умению читать фразу «по буквам». В этом инстинктивном расчленении сложных комплексов, умении видеть с одного взгляда все логические этапы сложного рассуждения, как мы уже говорили, сказывается острота математического мышления. Она же сказывается и в умении замечать сразу неточности и ошибки в математических рассуждениях, так как при расчленении сложного рассуждения на элементарно-логические звенья всевозможные неточности сейчас же обнаруживаются. Например, сразу обнаруживается то, что не подходит под данное определение, к чему оно не относится, какие исключения должны быть отмечены, и т. д.

Теперь отметим другую сторону математического мышления. Творческое мышление, связанное с открытием новых фактов, в известной мере состоит из операций, противоположных расчленению комплексов. Успех в математическом творчестве зависит от того, чтобы суметь, оторвавшись от проторенных путей (или иногда идя по ним), сразу заметить тот путь, который ведет от исходных предпосылок к намечаемым конечным выводам. Итак, успешное математическое мышление должно обладать способностью одновременного расчленения комплексов на логические элементы и умением заглянуть вперед, позволяющим сразу охватить закономерности и связи между, казалось бы, далеко друг от друга отстоящими фактами.

В связи с проблемой творческого мышления вряд ли можно обойти молчанием недавно вышедшую книгу

Д. Пойа «Как решать задачу» (Учпедгиз, Москва, 1961, изд. 2). Автор, крупный современный математик, поставил себе целью облегчить учащемуся поиски решения задачи. В основе его рекомендаций учащемуся лежит следующая таблица. (Мы приводим ее здесь без пояснений, предполагая, что читатель знаком с книгой Д. Пойа.)

I.

Нужно ясно понять задачу.

II.

Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.

ПОНИМАНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ

Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво? Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ

Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме? Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.

Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?

Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям. Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-нибудь полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу? Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

III.

Нужно осуществить план решения.

IV.

Нужно изучить найденное решение.

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА

Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?

ВЗГЛЯД НАЗАД

(изучение полученного решения)

Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

Как мы можем расценить попытку автора? Проблема математического творчества очень сложна. Можно ли помочь творить? Можно ли предложить определенные пути поисков и решения трудной задачи?

Можно ли этот чисто интуитивный процесс творчества как-то разбить на элементарные составные части, отдать себе отчет в том, в чем каждая из них состоит и на основании этого попытаться предложить пути овладения ими?

Д. Пойа делает попытку в этом направлении. Конечно, в настоящее время никакие советы методиста не могут заменить творческой одаренности и догадливости учащегося. Однако как-то систематизировать и целесообразно направить поиски учащегося следует. Дело в том, что, по-видимому, сравнительно большая доля времени, уходящего у учащегося на поиски решения, используется учащимся малоэффективно. Его мысль «свободно блуждает» вокруг и около задачи. Он не знает, с чего начать, «за что ухватиться», к чему идти.

Д. Пойа стремится сразу направить его мысль в определенное русло.

Конечно, советы Д. Пойа относятся не к простейшим задачам, которые решаются почти сразу. Он имеет в виду и не того учащегося, который, едва попробовав решать задачу и убедившись, что она «не выходит», сразу бросает ее. Советы Д. Пойа адресованы к вдумчивому учащемуся, решающему не простую (для его уровня) задачу.

В основу таблицы Д. Пойа, как нам кажется, положена мысль, что всякая новая задача решается на основании предыдущего опыта учащегося, а не просто путем догадки, и поэтому, пытаясь идти вперед, он должен все время к нему возвращаться.

Надо признать, что эта мысль правильна. Почти всякая новая и сложная математическая операция слагается из некоторого числа старых и простых операций, которые все вместе дают нечто качественно новое. Так, умножение многозначных чисел сводится к умножениям однозначных чисел и к их сложению. Дифференцирование сводится в конечном счете к вычитанию, делению и переходу к пределу. Новые понятия определяются через старые и т. д. И эта мысль должна быть с полной отчетливостью доведена до сознания учащихся.

Второе, что требуется от учащихся, — это терпеливое и настойчивое следование каждой возникшей у них идее по возможности до конца. Эта чисто психологическая сторона дела в таблице Д. Пойа не проявлена, хотя от воли и настойчивости учащегося в огромной мере зависит успех его усилий. Поэтому мы со своей стороны могли бы предложить такое своего рода дополнение к таблице Д. Пойа (каждый учитель, который разделяет взгляды Д. Пойа и найдет это дополнение целесообразным, может предложить его своим учащимся):

«Помните: почти всякая задача (особенно из задачника) решается с помощью известных Вам элементов, т. е. теорем, определений, приемов решения других задач и т. д.

Таким образом, все ваше решение должно состоять только в удачном использовании знакомых фактов.

Начиная какой-либо путь решения, пытайтесь предвидеть, чем он кончится и чего можно достигнуть. Продумывайте как можно дальше каждую возможность. Не бросайте решение на полдороге. Думайте до конца. Терпеливо следуйте за своей идеей. От ваших воли, терпения, настойчивости зависит все. Вы не можете не решить задачу. Все элементы, из которых слагается ее решение, вы знаете. Настойчиво и целесообразно комбинируйте их».

На основе исследования математического мышления можно обоснованно поставить вопрос о доступном изложении математики и о размерах математического учеб-

пика. Несомненно, что изложение в учебнике (на уроке, на лекции) должно быть доступным и что все то, что может быть сделано для обеспечения доступности, должно быть сделано. Однако есть два соображения, выдвигаемые некоторыми математиками, которые затрудняют осуществление доступного изложения в учебниках. Вот они:

1. Учебник должен быть кратким, так как увеличение его размеров (в смысле числа страниц, при том же материале) только увеличивает время на его изучение и делает его изложение расплывчатым. 2. Доступное изложение часто переходит в «излишне доступное», которое «разжевывает» материал и поэтому не развивает мышления. Разберем эти доводы.

Прежде всего надо подчеркнуть, что против разумной краткости никто не спорит. Было бы нелепо излагать на многих страницах то, что можно изложить в нескольких строчках. Беда в другом. Стремление к «краткости» на деле приводит к исчезновению из книги как раз всего того, что содействует ее пониманию, остаются же одни формулы, которые без соответствующих объяснений становится трудно понимать. Поэтому достигаемые такой ценой краткость и малая толщина книги не ускоряют ее изучения.

Нетрудно понять, что время, необходимое для усвоения книги (которое одно только и должно служить критерием ее качества в этом смысле), не пропорционально толщине книги. Более того, в громадном большинстве случаев, как раз все то, что способно облегчить, а следовательно, и ускорить изучение книги, обычно увеличивает ее размеры. Так, обстоятельное изложение материала, которое устраняет ложные представления, освещает методологические вопросы, выделяет главную мысль, привлекает историю науки, выясняет связи с практикой (а для высшей школы и — с профессиональными интересами учащихся), утолщая книгу, ведет к более глубокому пониманию, пробуждает интерес, делает учебник доступным и, следовательно, ускоряет его изучение. В этих условиях всякая лишняя страница учебника перестает уже быть «лишней», так как она способствует обучению, прочности запоминания и т. д. И наоборот, идеально краткие учебники (в которых что ни слово, то загадка!) как раз и заставляют учащихся много часов про-

сиживать над каждой их страницей (а в случае самостоятельного их изучения в конце концов бросать их недочитанными). Итак, требование «краткости» (во всех случаях!) —это не что иное, как прочно вошедший в педагогический лексикон нерасчлененный комплекс, противоречащий данным педагогики. Стремление к краткости дошло до того, что против нее стали наконец протестовать даже некоторые учителя-историки средней школы («Народное образование», 1957, № 9), жалуясь на то, что некоторые их учебники стали такими тонкими, что учащиеся перестали их понимать.

2. Пункт 2 тоже требует возражений. Аргументация, выдвигаемая по этому пункту, состоит в следующем: поскольку математическое мышление развивается на преодолении трудностей, постольку и изложение в книге должно стоять на таком уровне, чтобы оно требовало известной затраты труда на усвоение. Легкое же, «разжевывающее» изложение не стимулирует работы мысли и поэтому не содействует развитию математического мышления. Эти утверждения кажутся неотразимыми. Однако в них смешивают разные вопросы. Безусловно верно, что изучение математики и развитие математического мышления невозможны без упражнения мышления на преодоление известных трудностей. Но также безусловно верно и то, что чтение непонятно написанной книги не имеет ничего общего с упражнением математических способностей. Дело в том, что чтение трудной, т. е. непонятной для учащегося, книги стимулировало бы работу математического мышления (как это следует из данных психологии) лишь в том случае, если бы учащийся, встречая трудное место, прежде всего рассматривал бы его как своего рода трудную, но посильную математическую задачу. Однако именно этого обычно не бывает. Средний учащийся думает о другом: нет ли в этом тексте опечатки? Не забыл ли он что-нибудь из предыдущего? На чем основан этот вывод? Наконец, он часто просто не знает, что предпринять, где искать выход, что от него требуется? Таким образом, он не видит здесь самого главного, от чего зависит развитие его мышления, он не видит здесь перед собой математического вопроса, ясно и четко поставленной математической задачи.

Важно понять, что средний учащийся — это не ученый, который может подолгу и целенаправленно думать

над одной фразой: если краткое размышление в разных направлениях не приводит к цели и он не видит продвижения вперед, то он теряет интерес к делу, перестает думать и бросает книгу Во всяком случае, можно сказать, что непонятно изложенный вопрос с точки зрения среднего учащегося скорее напоминает ребус, чем математическую задачу. Вряд ли разгадывание такого ребуса содействует развитию математического мышления. Но самое главное состоит в том, что, даже найдя приемлемое для себя объяснение непонятного места, учащийся сам не может проконтролировать правильность своих выводов. Может быть, ему кажется, что он понял, но на самом деле его объяснение неправильно. Как бы то ни было, но трудностей при изучении математики учащийся встречает более чем достаточно. И совершенно незачем их искусственно увеличивать путем непонятного изложения материала, презрительно именуя попытку изложить материал доступно «разжевыванием». Материал в книге и в устной речи должен быть изложен так, чтобы средний учащийся мог спокойно работать над книгой и понимать учителя или лектора.

Что же касается математического мышления, то его действительно надо развивать путем преодоления трудностей. Однако они должны состоять не в разгадывании «математических ребусов», а в решении целесообразно подобранных задач. Имея дело с четко сформулированной задачей, учащийся не будет гадать, что ему делать, а всегда будет твердо знать, что от него требуется. Даже не решив данную задачу, он часто сможет решить соседнюю, т. е. сможет двигаться вперед. Роль задачника в развитии мышления становится особенно ответственной. К этому следует добавить, что доступное изложение, обеспечивающее усвоение предмета и возможность беспрепятственно двигаться вперед, создает положительные эмоции у учащегося. Он чувствует уверенность в своих силах, у него появляется повышенный интерес к предмету, а это в свою очередь облегчает (и, что самое главное, ускоряет!) ему дальнейшее изучение курса. Наоборот, трудное изложение, невозможность двигаться вперед приводит к потере веры в свои силы, к утрате интереса к делу, к приостановке обучения.

Со всей решительностью надо подчеркнуть, что сейчас боязнь «толстой книги» и «доступного изложения»

приносит неисчислимый вред народному образованию, резко сужая круг лиц, могущих успешно изучать элементарную и высшую математику. Доступное изложение (даже если оно утолщает книги) оправдано тем, что оно помогает понять науку, утверждение же, что трудное изложение якобы учит думать, а доступное — не учит, ничем не обосновано. Пусть не поймут автора превратно. Автор вовсе не выступает здесь с требованием «писать толстые книги». Автор выступает здесь за то, чтобы книги были понятными и полезными и чтобы формальное требование определенного числа страниц не вредило их качеству. Удобочитаемые доступные математические книги должны быть созданы. Это будут учебники, учебные пособия, книги для чтения для любых уровней обучения. Размеры же их будут такими, чтобы их действительно можно было прочесть и понять.

Весьма возможно, что учебник по математике должен состоять из двух книг, изучаемых параллельно. Одна из них должна доступно и интересно излагать курс, указывать приложения его теорем и формул, а другая должна давать краткий конспект (вроде современного учебника). Таким образом, изучив обстоятельно вопрос по одной книге, учащийся потом повторит самое существенное из него по конспекту. Составление конспекта можно потребовать и от самого учащегося.

Мы знаем, что в любой науке существуют законы (или закономерности), которые выражают существенные связи между явлениями или процессами, изучаемыми этой наукой. Так, в физике мы знаем законы Архимеда, Паскаля, Ома и многие другие. В астрономии мы знаем законы Кеплера. В математике эти закономерности выражаются теоремами и формулами. Мы знаем теорему Пифагора, формулу для площади круга и другие. В химии периодическая система Менделеева выражает связь между атомными весами и свойствами элементов. В политической экономии мы знаем закон прибавочной стоимости и т. д. Спрашивается: существуют ли какие-либо закономерности в методике? Безусловно! Более того, по существу о них у нас все время в этой главе и шла речь. Напомним некоторые из этих методических закономерностей (которые обычно в методике называются положениями, хотя они ничем не отличаются от закономерностей любой другой науки): 1) интересное изложение

быстрее усваивается, и полученные таким образом знания запоминаются наиболее прочно; 2) правильное понимание абстрактной математической теории возникает в результате знания причин ее появления и того, какие реальные процессы или факты действительности она отражает; а) многосторонний подход к вопросу обеспечивает наиболее глубокое его понимание; 4) наиболее естественный подход к теме с точки зрения учащегося обеспечивает наиболее успешное овладение ею; 5) трудности усвоения нового материала определяются взаимоотношениями новых представлений со старыми. То, что лежит в русле привычных представлений, усваивается относительно легче, чем то, что им противоречит.

Можно привести много и других примеров. Все они опираются на анализ мышления учащегося в процессе обучения. Некоторые из этих закономерностей весьма очевидны, другие обнаруживаются не сразу. Впрочем, очевидные закономерности есть в любой науке. Тот факт, что площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту — тоже весьма очевидное положение. К сожалению, многие положения методики (даже как будто бы и самые очевидные!) далеко не всегда соблюдаются в педагогической практике учителя или авторов учебников.

Читатель, вероятно, заметил, что многое из сказанного в этой главе будет справедливым не только в отношении методики математики, но и в отношении методик других наук. Это надо считать естественным. В основе всех частных методик лежат единые законы человеческого мышления. Поэтому можно утверждать, что общность закономерностей мышления, проявляющаяся при изучении различных предметов (физики, химии, математики, ботаники и др.), в известной мере объединяет различные частные методики на единой основе психологической науки. Не говоря уже о таких общих чертах мышления, проявляющихся всюду, как анализ и синтез, мы остановимся на более конкретных его особенностях, проявляющихся в процессе обучения. Здесь прежде всего надо назвать процессы абстракции и конкретизации. Цель всякой науки состоит в том, чтобы на основе конкретных фактов сформулировать общие законы науки, чтобы потом в свою очередь применять их к истолкованию единичных явлений. Процесс формирования у уча-

щихся общих понятий (процесс абстракции) и их использование в решении конкретных проблем (процесс конкретизации) мы встречаем при изучении всех предметов. В математике, осваивая общее понятие (например, «треугольник»), мы абстрагируемся от частных видов этих фигур. Так же точно, говоря в физике о молекуле, в химии об элементе, в ботанике о плоде, в зоологии о млекопитающем, в истории о классе, в языке о наречии, мы учим абстрагированию. Решая в геометрии, в физике или в химии задачи на применение теоремы или закона, в языке, когда пишут диктант, учащиеся учатся применению общих закономерностей к конкретному случаю, т. е. конкретизация. И следовательно, все трудности абстракции и конкретизации, а также и ошибки при их изучении, а поэтому и борьба с этими ошибками при всем их своеобразии в каждом отдельном предмете имеют свои общие психологические корни в особенностях человеческого мышления. Эти ошибки возникают, в частности, в связи с выделением существенных признаков вещей и явлений. Мы видели, как в геометрии несущественное для дела положение прямого угла «попало» в число признаков прямоугольного треугольника. Изучая ботанику, некоторые учащиеся причисляют клубень картофеля к корням, неправильно обобщая несущественный признак: «все, что под землей, — корень»! и т. д. И борьба с подобными ошибками, как говорят психологи, во всех случаях должна сводиться к анализу примеров, где варьируются несущественные признаки и сохраняются существенные.

Влияние предшествующих и бытовых представлений, затрудняющих усвоение нового, тоже сказывается всюду. В арифметике мы это видели на примере умножения целого числа на дробь, в ботанике это проявляется в том, что иные учащиеся считают кочан или луковицу плодами, так как они привыкли, что плод — «это то, что употребляется в пищу», а бамбук считают деревом, так как он большой и похож на ствол дерева. Привычное представление о падении тел в воздухе затрудняет приобретение правильных представлений в физике о том, что в безвоздушном пространстве все тела падают с постоянным ускорением. Характерные для мышления сильных учащихся так называемые свернутые умозаключения (когда мысль идет от исходных посылок сразу к ко-

нечным выводам, минуя промежуточные этапы) тоже проявляются при решении задач в математике, в физике, в химии и т. д. Таким образом, все те процессы мышления, которые создают трудности и являются источниками ошибок (перестройка привычных связей, переосмысливание терминов и т. д.), имеют место по существу при изучении любого предмета, проявляясь, конечно, в каждом из них по-своему.

В настоящее время начата серьезная работа по вопросам программированного обучения. В основе программированного обучения лежит самый тщательный учет особенностей мышления учащегося.

Основная мысль программированного обучения состоит в том, чтобы возможно более полно руководить (управлять) процессом обучения. С этой целью не только точно обуславливается материал, подлежащий изучению (это и сейчас делается в программах), но обуславливаются (программируются) процессы и приемы обучения, формирующие определенные мыслительные операции, необходимые для овладения данной наукой. Успешный процесс обучения должен обладать хорошей обратной связью. Это значит, что в каждый момент обучения мы должны точно знать, как учащийся усваивает материал, где и какие он встречает трудности. С этой целью материал разбивается на ряд небольших кадров, после каждого из которых следует система вопросов, имеющая целью установить, как усвоен этот кадр, с тем, чтобы переходить к следующему только после усвоения предыдущего.

Метод программированного обучения находится в стадии разработки и в нем есть еще много неясного.

ГЛАВА IV

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ

В настоящее время у нас нет больших работ, посвященных школьному образованию вообще и курсу математики в частности. Мы имеем лишь ряд журнальных статей, посвященных отдельным и частным вопросам курса, например, таким, как теория уравнений, прогрессии, логарифмы, теория пределов и т. д. Между тем нам необходимы сейчас работы фундаментального характера, обоснованно решающие коренной вопрос: каким сейчас должен быть школьный курс математики.

Существующий сейчас в школе курс элементарной математики не подвергался за последнее время сколько-нибудь существенным изменениям: Между тем здесь возникают серьезные вопросы как общего характера, так и более частные, требующие обоснованного решения, которое далеко не всегда может быть получено, если его аргументацию черпать только внутри самого же курса элементарной математики. Таковы, например, вопросы о том, необходим ли в этой программе тот или иной раздел, например, раздел соединений или раздел о биноме и т. д. или, наоборот, может быть, в дополнение к ним нужно включить в курс средней школы (за счет чего-то менее существенного!) раздел, посвященный, например, элементам теории вероятностей, или какой-нибудь другой раздел математики. Все эти вопросы вряд ли могут быть обоснованно решены, если не говорить об общих требованиях к математическому образованию оканчивающих среднюю школу и об их дальнейшей судьбе, о положении элементарной математики среди других пред-

метов средней школы, об их требованиях к элементарной математике и т. д.

В этой главе мы остановимся лишь на некоторых вопросах преподавания элементарной и высшей математики в средней школе, которые вытекают из общих педагогических проблем, намеченных в предыдущих главах. Основной задачей преподавания математики с этой точки зрения надо считать приведение его в соответствие с требованиями психологии и педагогики, т. е. к проявлению величайшего внимания к учащемуся как к человеку при решении вопросов обучения.

Всякое обучение, в частности и обучение математике, носит двойственный характер. С одной стороны, оно сообщает знания в данной области науки и методы решения ее проблем. В этом состоит важная, систематизирующая сторона обучения. В этом его сила и смысл. Но в этом же скрыта и его слабая сторона. Приучая учащегося к классификации проблем и методов, обучение тем самым (в какой-то мере) подавляет непосредственную творческую мысль учащегося. Встречаясь с новой задачей, учащийся в первую очередь невольно думает, каким из известных приемов ее можно решить? И теперь ему уже труднее самостоятельно искать новых путей ее решения. Важнейшей задачей обучения должно быть сочетание его систематизирующей стороны с одновременным развитием творческой мысли учащегося. Поэтому всюду, где только возможно, надо приучать учащихся не бояться самостоятельно мыслить, любить думать. Радость самостоятельного разрешения трудной, но посильной задачи (после известного размышления) обычно бывает очень большой, но она, к сожалению, редко знакома нашим учащимся. Мы слишком часто учим классифицировать задачи, вместо того, чтобы учить сразу их решать. Кому незнакомо характерное для многих учащихся заявление, которое они делают, встречаясь с новой задачей: «Таких задач мы не решали». Как будто им надо уметь решать только уже когда-то решенные задачи!

Нечего и говорить, что обучение должно удовлетворять требованиям дидактики, быть научным, систематическим, сознательным, наглядным. Прочность знаний должна обеспечиваться их продуманностью. Это последнее, по-видимому, далеко не всегда учитывается в преподавании. Так, можно указать примеры того, что мно-

гие самые кардинальные вопросы курса быстро забываются учащимися (видимо, не будучи глубоко продуманными), в то время как отдельные формулы, на которые решалось много задач и примеров, легко сохраняются в их памяти. Достаточно сказать, что, например, беседы с окончившими среднюю школу через 1—2 года по ее окончании показывают, что очень многие на вопрос: «Как определить, что такое длина окружности?» — смогли ответить только то, что длина окружности равна 2nR. Многие не могли сказать, что такое синус. Очень показателен и следующий факт из области физики. Многие люди с высшим образованием, с которыми приходилось беседовать, не могли объяснить, пользуясь законом Архимеда, «почему корабль плавает?» Надо думать, что в свое время эти вопросы не были продуманы до конца. Поэтому надо смело идти на исключение из программы тех вопросов курса, без которых можно обойтись, с тем, чтобы на остальные темы предлагать учащимся для решения как можно больше нешаблонных задач, требующих размышления. Более того, чтобы сделать знание теоремы более прочным, было бы полезным на уроке перед демонстрацией ее доказательства (где это возможно) дать ученикам хотя бы 2—3 минуты самостоятельно над ней подумать. Может быть, стоит сделать им кое-какие намеки на ее доказательство. Пусть учащиеся ее не докажут, но то, что они над ней самостоятельно задумаются, это уже принесет им большую пользу, развивая их мышление, улучшая запоминание и вызывая их интерес к предстоящему доказательству, так как теперь каждый из учащихся будет думать: «У меня не вышло. А как же следовало поступить?» (Автору пришлось видеть ряд уроков, проведенных в таком духе и прошедших очень оживленно и успешно).

Следует подчеркнуть, что забывается не все одинаково. Факт, хладнокровно рассказанный учителем, забывается довольно быстро. Но тот же факт, заинтересовавший или вызвавший определенные эмоции, запоминается значительно прочнее. Известно, что, выполнив вычисление, надо хотя бы грубо прикинуть, соответствует ли ответ поставленному вопросу, не было ли допущено в процессе вычисления грубой ошибки. Это все знают, но редко выполняют. Автор на всю жизнь запомнил рассказ на эту тему, услышанный им от его школьного учителя

математики. Последний, раздавая контрольные работы, в которых он обнаружил грубые вычислительные ошибки, рассказал случай из своей жизни: «На первом курсе университета мы писали контрольную работу по астрономии. Надо было вычислить время восхода Солнца в определенный день. Возвращая контрольные работы, профессор обратил наше внимание на одну из них, в которой студент, получив числовой результат, не потрудился его осмыслить и проверить. Между тем из его вычислений вытекало, что Солнце в этот день должно было взойти вечером».

Поскольку преподавание направляется учебниками и задачниками, то мы в первую очередь посмотрим, обеспечивают ли они в наибольшей возможной мере выполнение педагогических требований к обучению? К сожалению, эта сторона дела оставляет желать лучшего. Сейчас учебник в основном излагает лишь формально-алгоритмическую сторону предмета. Между тем учебник должен удовлетворять определенным психолого-педагогическим требованиям, о которых шла речь выше. Так, например, сознательность изучения требует, чтобы учащийся не только знал выводы отдельных теорем и правил, но понимал бы, какие жизненные задачи лежат в их основе. Поэтому учебник должен излагать не только формальную сторону курса, но и в интересной форме сообщать некоторые факты из истории, из приложений, выяснять пути мысли от одного вопроса к другому (чего сейчас нет в учебнике), т. е. выяснять внутреннюю логику предмета. Далее, учебник должен быть написан доступным языком на определенном уровне строгости, серьезно обоснованном анализом мышления учащегося. Объем учебника должен отвечать характеру излагаемого материала.

Это же касается и задачника. Далеко не все эти требования в настоящее время выполняются. Проблема задачника— это проблема обучения элементам математического творчества. Здесь непочатый край работы для математика-методиста. Ряд соображений относительно задачника вытекает из психологических требований, о которых уже говорилось выше. Здесь идет речь о таких задачах, например, в задачнике по геометрии, которые будут вырабатывать умение «смотреть на чертеж», например умение обнаружить в сложном чертеже заранее

заданные фигуры, умение дополнить чертеж так, чтобы в нем обнаружились фигуры определенного вида и т. д. С помощью последовательного усложнения таких задач можно было бы достигнуть существенного развития математической зоркости. Хотя ее воспитание осуществляется при решении любой геометрической задачи и математическая зоркость требуется во всех стадиях ее решения, но воспитание определенных сторон мышления должно происходить не «между прочим», как это делается сейчас, а на специальных и своевременно подобранных примерах. Здесь чрезвычайно важно последовательное, без пропусков, развитие всех процессов, из которых слагается творческое мышление. Поэтому установление последовательных этапов, которые проходит мышление при решении задачи, — очень большая и очень сложная психологическая проблема. Однако в этом направлении сделано еще очень мало. Одна из целей алгебраического задачника — научить смотреть на формулы: видеть их смысл, уметь извлекать из них все, что они могут дать, короче говоря, научить исследовать и анализировать формулу. Уметь анализировать формулы важно для всех, имеющих дело с математикой: для физиков, механиков, химиков, естественников и т. д. Все они, приводя решение какой-нибудь своей задачи к формуле или к уравнению, в конечном счете приходят к необходимости их анализа. И здесь следует повторить то, что только что было сказано о геометрических задачах: искусству анализа надо учить специально. Математики-методисты должны создать методы этого обучения.

Особое значение в смысле развития мышления имеет обучение решению арифметических задач арифметическими методами (без помощи уравнений). Арифметическое решение арифметических задач вместе с решением задач на построение является одним из лучших средств развития нешаблонного, самостоятельного, творческого математического мышления. Задачи на построение в небольшом числе решаются в течение всего времени изучения геометрии. С арифметическими же задачами дело обстоит хуже. Арифметику изучают в младших классах. В это время решают простейшие задачи, классифицируют их по типам и т. д. Трудных задач нешаблонного характера, задач на соображение в это время решать не приходится, так как это не соответствует возрасту уча-

щихся. После же окончания курса арифметики в VI классе к ней уже больше не возвращаются. Таким образом, здесь заведомо не используются все те богатые возможности для развития мышления, которые может дать арифметическое решение задач. Однако упускать эти возможности не следует. Поэтому было бы целесообразно где-то в старших классах практиковать решение нешаблонных арифметических задач арифметическими методами. Многие из таких арифметических задач часто формулируются очень просто и очень жизненны по своей фабуле. Поэтому они способны привлечь и заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки. Их решение разовьет логическое и конкретное мышление, умение ориентироваться в обстановке и т. д. По этому поводу можно найти много интересного в статьях (1, 5, 6) (из перечисленных на стр. 77). Если признать это мероприятие целесообразным, его надо закрепить в программе. Стоит заметить, что в любых разделах математики можно найти достаточно материала для развития математического мышления. Однако арифметический материал ценен тем, что, предоставляя для решения задачи самые простые и хорошо знакомые учащемуся средства (четыре арифметических действия), он не отвлекает учащихся на поиски различных методов (алгебраических, геометрических), какими может решаться более сложная задача, а сосредоточивает все внимание учащегося на творческом комбинировании простейших арифметических приемов, что здесь и является самым важным. Наконец, именно умение решать арифметические задачи требуется подавляющему числу учащихся, независимо от их дальнейшей профессиональной деятельности.

Обучение должно быть эмоциональным. Оно должно возбуждать положительные эмоции и, по возможности, не допускать отрицательных. Очевидно, что преподавание, построенное на сознательном приобретении знаний, уже будет создавать положительные эмоции у учащихся. С этой же точки зрения необходимо, чтобы обучение было интересным. Это значит, что в первую очередь интересными должны быть учебники и задачники. Казалось бы, что это требование надо считать самым естественным. По крайней мере можно смело утверждать, что интерес учащегося к науке в наилучшей возможной сте-

пени разрешает все без исключения проблемы обучения. Однако сейчас наши учебники крайне сухи — главным образом потому, что максимальная строгость изложения и лаконизм речи считаются их основными достоинствами.

Совсем особую роль играют всевозможные «занимательные» книги. Считается, что эти книги учащийся может читать дома, этими вопросами он может заниматься в кружке, но не в классе, не на уроке. Однако вряд ли такая точка зрения может быть педагогически оправдана. Действительно, почему школьная наука должна быть сухой и серьезной, а увлекаться можно только в свободную минуту, после уроков? Иначе говоря, слабый учащийся, для успехов которого интерес к делу особенно важен, будет лишен интересного обучения, так как дома у него обычно остается мало времени. Почему ученый вправе сказать, что он занимается наукой потому, что увлечен ею, а в устах учащегося это восприняли бы как легкомысленный ответ? Правда, от учителя требуют интересного и увлекательного преподавания. Но как ему вести его, когда учебники, задачники и расчет времени по программе толкают его к обратному?

Одной из важнейших задач современной методики должно явиться создание такой учебной литературы (учебники, задачники и т. д.), которая в органическом единстве сочетала бы в себе серьезность науки с ее увлекательностью, где задачник по математике, наряду с серьезными и в какой-то мере необходимыми «сухими» задачами содержал бы в себе и все то серьезное из «занимательной» науки, что способно заинтересовать и увлечь учащегося. Нельзя забывать, что «занимательная», точнее интересная, задача — это всегда не шаблонная задача, требующая вдумчивости, имеющая обычно очень простую формулировку, задача, которую, не решив, не бросишь. Она развивает настоящее математическое мышление, мобилизует творческую энергию учащегося. Интересное изложение в учебнике и интересная задача будут содействовать быстроте и глубине усвоения, прочности запоминания. Они поднимут самый уровень математического мышления учащегося. Надо понять, что решение интересной, пусть даже «занимательной» задачи — не забава, а серьезное изучение математики.

Во многих «занимательных» вопросах учащийся найдет сплошь и рядом несравнимо больше материала для

развития своего математического мышления, чем в монотонном строе теорем. Более того, заинтересованный этими «занимательными» вопросами, он перенесет свой интерес к науке и на неизбежные в каждом предмете «скучные» разделы.

Разве не развивают математическое мышление следующие сугубо «занимательные» задачи? «Из б спичек сложить 4 равносторонних треугольника» (черт. 14, а) (см. точную формулировку задачи на стр. 127).

«Четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги, перечеркнуть 9 точек, расположенных в виде квадрата в 3 ряда, по 3 точки в каждом ряду» (черт. 14,б); «Фигуру, данную на чертеже 14, с, разбить двумя прямыми на 6 частей» (см. Ф. Ф. Нагибин, Математическая шкатулка, Учпедгиз, 1958). Первая задача требует точного мышления, умения отрешиться от мешающих ассоциаций мысли, связанных с привычкой к планиметрическим задачам на построение. Вторая в какой-то мере связана с умением преодолеть желание оставаться «внутри чертежа» (квадрата из точек) и требует выхода за его пределы. Третья, несложная, но важная задача, связанная с разбиением фигуры на различные области и взаимным расположением прямых.

Можно встретить ряд свидетельств крупных ученых о том, что решение занимательных задач положило начало их увлечению математикой. Так известная задача о переливании жидкости из сосуда в сосуд побудила Пуассона к серьезным занятиям математикой.

В связи с этим стоит напомнить, что только задатки являются врожденными, способности же человека развиваются и проявляются в обучении и в труде. Трудно

Черт. 14.

сказать, до какой высокой степени мы могли бы их развить целесообразно поставленным обучением. Но можно утверждать, что если мы не будем их сознательно развивать и совершенствовать в наших учащихся, то они вообще никак себя не проявят и, быть может, многие из тех, кто впоследствии зарекомендовали бы себя большими открытиями, так никогда и не узнают, на что они были способны. Между тем «интересная математика» помогла бы им проявить себя.

Таким образом, в задачнике наряду с задачами чисто учебного характера, способствующими усвоению формальной стороны курса, должны быть задачи, «берущие за живое». Всевозможные парадоксы, софизмы, не тривиального характера, просто интересные по своему содержанию задачи, решаемые нешаблонными методами, задачи с неожиданными ответами, доказательства интересных чем-либо теорем — все это должно найти свое место в задачнике. И это надо сделать не для того, чтобы «развлечь» учащегося, а потому, что интерес к делу выявит и мобилизует такие творческие силы учащегося, о каких мы сейчас и не подозреваем, и тем решительно повысит успешность обучения в наших школах и вузах. Конечно, составить такой задачник, органически сочетающий все эти стороны обучения, — дело, очень сложное, но и очень нужное. Для этого нужно отрешиться от представления, что изучение науки будто бы требует академической сухости от учебника и задачника. Нас никто не может заставить читать скучную книгу, смотреть скучную пьесу, слушать неинтересную музыку. Почему «право» быть «скучным» признано за учебником?

Еще в прошлом столетии Гете сказал: «Учебники должны увлекать: они могут это сделать лишь в том случае, если покажут науку и знание с самой их доступной, самой жизнерадостной стороны».

Не должен ли каждый педагог в своей деятельности хоть в какой-то мере стремиться к этому идеалу?

Важным правилом должно быть требование, чтобы учащиеся, отвечая урок, говорили «своими словами». Часто от учащихся, особенно младших классов, требуют заучивания текстов теорем, утверждая, что таким путем они, во всяком случае, будут их правильно формулировать. Однако это ошибочное требование. Повторение заученных фраз ведет к утрате их смысла, к зубрежке.

Наоборот, пусть корявая, но своя фраза всегда составляется в результате своего собственного мышления и тем самым развивает его. Более того, недоверие к собственному мышлению учащихся не имеет основания. Если учащийся был в кино или в театре, на спортивном состязании или в музее, он всегда расскажет о том, что он там видел. Этот рассказ может быть и очень длинным и содержательным. Почему же он не сможет сформулировать коротенькую теорему своими словами, если он ее понял? Ведь не требуют же от него заучивания доказательств? Более того, только так и можно добиться от учащихся понимания математических положений, требуя от них изложения своими словами.

Задачи политехнического обучения требуют понимания связи между математикой и техникой. С этой стороны важно отметить, что политехнические задачи в курсе математики должны иметь своей главной целью не их чисто «математическое решение в технических терминах», а конкретное выяснение того, почему и как данная техническая ситуация приводит к данной математической задаче.

Поэтому умелая подача такой задачи играет здесь первостепенную роль. Важно доступно, хорошо и интересно рассказать учащимся о технической стороне дела, о стоящей здесь технической проблеме, о необходимости ее математического решения и, наконец, о том, какую математическую форму и почему оно принимает.

Здесь стоит привести один пример, ярко характеризующий взаимоотношения, в которые иногда вступают в представлении учащихся жизнь, физика и математика. Этот случай рассказал П. К. Шмулевич, автор различных учебников и задачников для средней школы и для подготовки к экзаменам в высшую. В предисловии к своему «Сборнику задач», предлагавшихся на выпускных экзаменах в средних учебных заведениях (ч. 1, «Алгебра», изд. 1917 г.), он рассказывает следующий случай. Его школьный товарищ, в общем неглупый ученик, не приготовил урока по физике. Однако, на его несчастье, учитель вызвал его к доске. Произошел следующий диалог. Учитель. Что вам было задано? Ученик. Наклонная плоскость. Учитель. Начертите наклонную плоскость. (Ученик чертит.) Учитель Ну, что же дальше? (Молчание.) Учитель, Положите на нее шарик, (Уче-

ник чертит.) Учитель. Ну, что же с ним будет? (Ученик снова молчит.) Учитель. Ну, представьте себе, что вы положили на наклонную плоскость тяжелый шарик. Что с ним будет? Ученик (предварительно помолчав): шарик покатится вверх! Под общий громовой хохот учитель сажает ученика на место. П. К. Шмулевича, как он пишет, заинтересовал этот ответ с другой стороны. Почему этот неглупый ученик дал такой странный ответ, ведь знал же он, что шарик вверх не покатится? И тут же на перемене он поинтересовался:—В чем дело? Ученик, видя к себе участие, откровенно ответил: «Я знаю, что если я положу шар на уклон, то он, конечно, скатится вниз. Но ведь у них в физике и математике все наоборот. Может быть, у них и шар пойдет вверх. А иначе, чего же он меня спрашивает?» Самое же интересное было то, что с этим охотно согласились и многие их товарищи по классу.

Хотя этот пример относится к давнему прошлому, и методика преподавания за это время далеко шагнула вперед, но какую-то долю и теперешних взглядов некоторых учащихся на обучение этот рассказ все же содержит. Причина этого в том, что учащимся не всегда разъясняется цель изучения того или иного вопроса и взаимоотношения между жизнью и наукой, между физической и математической сторонами задачи. Поэтому учащимся и может показаться, что они рассматривают задачу, где все заранее видно, и что называется «наводят тень на ясный день».

Поскольку эта (или подобная ей) задача дает очень простой и наглядный пример применения тригонометрии к практическому вопросу из области физики и поэтому может быть предметом рассмотрения и на уроке математики, остановимся на этом примере подробнее. Как о нем стоит говорить на уроке математики?

Прежде всего скажем, что мы рассмотрим положение шарика на наклонной плоскости (черт. 15). Шарик обладает весом —сила Р веса приложена в его центре С. Что будет с шариком? Без всяких специальных рассуждений ясно, что он под действием силы тяжести покатится вниз

Черт. 15.

И не ради этого ответа мы взялись за рассмотрение этой задачи. Нас интересует другое.

Какой силой Q, направленной параллельно наклонной плоскости, его можно удержать на ней в равновесии?

Пусть угол наклонной плоскости с горизонтальной будет а. Ясно, что если угол а = 0, то и сила Q = 0. Если угол а растет и становится равным то очевидно, что и сила Q растет и станет при а = — равной весу Р. Нас интересует, как растет сила Q с ростом угла а, чему она равна при произвольном а.

Все это чисто физическое, качественное исследование задачи. Теперь перейдем к количественному расчету. Для этого разложим силу Р по направлениям: параллельному наклонной плоскости и перпендикулярному к ней. Последнее мы объясним тем, что эта сила будет уравновешиваться реакцией плоскости в точке Л/, которая будет направлена по перпендикуляру к наклонной плоскости (стоит остановиться на том, почему она направлена именно по перпендикуляру. Это учащимся может быть неочевидно).

Теперь вступает в дело математика. Так как углы а и ВСМ имеют взаимно перпендикулярные стороны, то ZBCM = a= ZAMC. По правилам тригонометрии имеем: сила СВ = CM cosa = Р cosa, сила CA = Р sina. Эта сила CA заставит шарик скатываться, если его не удерживать чем-то на наклонной плоскости. Отсюда Q = = СА = Р sina. Теперь, чтобы показать физический смысл задачи, полезно исследовать ответ. Получаем: при a=() сила Q = 0. При растущем a растет и сила Q. При а = 90° сила Q = P. Если так (или подобно этому) разбирать каждый пример с техническим или физическим содержанием, то учащийся будет видеть, что технически очевидно, в чем состоит физическая сторона задачи и что дает при ее решении математика, в какой мере она необходима, какова ее роль. Это-то и должна дать политехническая задача. Такое подробно исследование одной задачи полезнее беглого решения таких десяти, где «политехнизация» состоит в употреблении технических терминов, только «осложняющих» математическое решение задачи.

Мне приходилось слышать возражения «Преподавание, о котором вы говорите, невыполнимо. Оно потребует

слишком много времени!» Хочется ответить дилеммой: «Если преподавание на основе сознательного усвоения знаний невыполнимо (так как требует много времени), то давайте преподавать на основе формализма, так как оно идет скорее!» Третьего выхода нет. При решении всех этих вопросов надо исходить не из расчета потребного времени (его всегда не будет хватать!), а из целесообразности. Если признать данную меру целесообразной, то для нее всегда найдется время, за счет чего-то менее ценного. Учащийся, научившийся самостоятельно мыслить, и сам в случае необходимости разберется в нужном ему материале. Обучить же «всему» — все равно невозможно.

Основная задача учителя математики в школе — преподавание элементарной математики. Преподавание высшей математики ограничится ее элементарными вопросами и займет относительно немного места. Тем не менее значение и этих элементарных разделов очень велико и налагает на учителя большую ответственность, так как вносит новые математические идеи, изложение которых потребует от учителя педагогического такта и глубоких знаний. Мы не будем здесь останавливаться на отдельных деталях изложения этих разделов, так как программа и учебники определяют их объем, а анализ педагогических и психологических проблем подскажет учителю характер их изложения. Отметим лишь самое существенное.

Высшая математика — это математика процессов, математика переменных величин. От элементарной математики, т. е. математики постоянных величин, от действий с известными и неизвестными постоянными величинами (числами) а, Ь, х, у, ... мы переходим в высшей математике к действиям с известными и неизвестными функциями */=/(*)»•.. Если неизвестные постоянные величины (числа) определялись в алгебре, геометрии или тригонометрии из алгебраических или тригонометрических уравнений (например, квадратного), то неизвестные функции будут определяться в математическом анализе из уравнений другого типа, функциональных, например f(x+ +У) дифференциальных, например x2dy—ydx=0, и других. Последние исторически обычно возникали при математической записи некоторых явлений природы, процессов, совершающихся в ней. В основе же этих записей лежит законное для бесконечно малых отождест-

вление приращений А х, Д у,... переменных х, г/,.., с их дифференциалами dx, dy,... и замена приращений дифференциалами при составлении уравнений.

Математика нужна естествознанию и технике в основном для всевозможных расчетов и количественных исследований Но рассчитываем мы и исследуем на практике не бесконечно малые величины, а величины конечных размеров. Нас в практике интересует прочность стенок целого котла, выдерживающего определенное давление, а не бесконечно малого его кусочка; нас интересует прочность балки, поддерживающей потолок, а не бесконечно малой ее части, так как последняя сама по себе вообще ничего не может удерживать. Нас интересует вся траектория космической ракеты, протяжением в сотни тысяч или миллионов километров, а не бесконечно малый элемент ее дуги. Но все дело состоит в том, что нужные нам формулы для расчетов котлов, балок, траекторий ракет и т. д., взятые в целом, мы непосредственно подсчитать не смогли бы. Это превосходило бы наши возможности. И вот тут-то и появляется математический анализ, который позволит по исследованию бесконечно малых элементов линий и поверхностей (дифференциальное исчисление) в конечном счете (интегрирование!) получать закономерности и формулы для всех исследуемых объектов в целом.

Почему обращение к бесконечно малым облегчает решение нашей задачи? Бесконечно малый элемент траектории ракеты — это в конечном счете отрезок прямой (секущей или касательной).

Иметь дело с отрезками прямых проще, чем с дугами кривых линий. Записывая закономерности для этих бесконечно малых прямолинейных отрезков в виде дифференциальных уравнений (здесь в эти уравнения могут входить силы, скорости, ускорения, время, путь, — все, что связано с движением точки или тела по траектории), мы, путем их интегрирования, получаем закономерности, связанные с движением по всей криволинейной траектории в целом. Так же точно рассчитывая напряжение деформированной бесконечно малой стенки котла, находящегося под давлением, мы считаем эту стенку вблизи данной точки как бы простейшей поверхностью второго порядка. В результате же интегрирования мы получаем расчет на прочность для котла конечного размера, стенки которого представляют собой, вообще говоря, по-

верхности весьма сложного вида. И так обстоит дело всюду в технике.

Математика как своеобразная отрасль естествознания, решающая количественные проблемы естествознания, техники и теоретической науки путем использования своеобразного математического языка — вот какими должны предстать перед школьником элементарная и в описываемый период обучения высшая математика. Не потопить эту идейную сторону науки в формулах, а выяснить ее учащимся во всем ее величии — вот главная обязанность учителя. Несомненно, что это очень трудная задача, так как сам математический аппарат невольно толкает к формализации преподавания, как к более «легкому» решению педагогических вопросов.

Обратим внимание и на другую сторону дела.

С высшей математикой учитель будет иметь дело, не только преподавая ее начала в последнем классе школы, высшая математика, можно сказать, незримо присутствует во всех вопросах элементарной математики. В некоторых из них (графики, пределы, графическое решение систем уравнений) она проявляется более или менее явно, в других она глубоко скрыта, но ее присутствие во всех них должен ощущать учитель. Он знает, что все основные вопросы, излагаемые в школьном курсе элементарной математики, излагаются там неполно. Их завершение на современном научном уровне дается высшей математикой. Таким образом, изучение высшей математики в педагогическом институте имеет самую непосредственную связь с работой учителя в школе. Выяснению этой стороны дела посвящены в педагогическом институте специальный курс элементарной математики и различные курсы по высшей математике.

Специальный курс элементарной математики ставит своей задачей решение определенных проблем элементарной математики на современном научном уровне и привлекает для их решения (там, где это необходимо с точки зрения элементарной математики и в ее интересах!) определенные разделы высшей математики.

Курсы по высшей математике также разрешают эту же задачу по связи высшей математики с элементарной, но они должны по сути дела подходить к ее решению с точки зрения высшей математики. Имея своей задачей математическое развитие учащихся, расширение их

кругозора, развитие их математического мышления, высшая математика должна показать, как и почему она сама возникла и развивалась в процессе решения определенных задач практики и, в частности, элементарной математики, и как она со своей точки зрения теперь подходит к разрешению этих проблем. Отсюда возникает естественный вопрос о том, в какой мере преподавание высшей математики в педагогическом институте может (с соответствующими видоизменениями) служить примером для школьного преподавания высшей математики учителем? Как построена вузовская учебная литература по высшей математике? Раскрывает ли она полностью происхождение высшей математики из проблем практики, понимание ее идейной стороны как математики переменных величин, ее связи с элементарной математикой, что так важно для учителя, и т. д.? Мы увидим, что некоторые из этих сторон раскрываются в вузовском обучении недостаточно, поэтому ниже мы коснемся преподавания высшей математики в педагогическом институте, чтобы, частично отметив эти недочеты, предостеречь учителя от некритического перенесения отдельных сторон и методов преподавания высшей математики в среднюю школу. Одновременно мы остановимся и на тех вопросах элементарной математики, которые непосредственно связаны с высшей.

Каково должно быть преподавание высшей математики в пединституте? Прежде всего надо подчеркнуть, что оно должно удовлетворять психолого-педагогическим требованиям, о которых говорилось выше. Иными словами, требования педагогики не перестают существовать и в отношении преподавания высшей математики в вузе.

1. Обучение должно быть сознательным в самом широком смысле слова. Это приводит к требованию, чтобы учащийся с самого начала знал, что и с какой целью он изучает. Это значит, что учащийся с самого начала должен понимать, что высшая математика изучает не «вымыслы ученых», а конкретные явления окружающей нас действительности, но что она изучает их в обобщенной и абстрактной форме. Он должен понимать, что математика есть, таким образом, своеобразный инструмент для познания и использования явлений природы, без которого ни инженер, ни естествоиспытатель, ни он — будущий

учитель — не могут обойтись. Поэтому курс должен начинаться с конкретного и тщательного выяснения обстоятельств возникновения данной научной дисциплины из задач практики и самой математики, уделяя этому столько места, сколько нужно для ясного и убедительного изложения. Тем самым в начале каждого курса по высшей математике перед учащимся будут поставлены задачи и указаны цели курса, набросан его план. Курс станет целеустремленным! В результате учащийся будет воспринимать курс как процесс решения определенных проблем, поставленных перед ним в самом начале или возникающих в нем по ходу дела. Учащийся не должен воспринимать курс как замкнутую в себе цепь теорем, он должен видеть связь его с другими науками, знать, что он дает для практики, какие ее проблемы он решает. На протяжении всего курса учащимся должны выясняться основные идеи курса, подчеркиваться наиболее существенное и освещаться его значение. В монотонном потоке теорем сам учащийся не может выделить ведущие идеи, отделить главное от второстепенного, осознать (что самое важное!), в чем состоит, значение отдельных вопросов курса. Выяснить это перед учащимся — главная задача преподавания.

Учащийся должен знать, что часто проблемы, рассматриваемые в данном курсе, с других точек зрения и другими методами решают и другие математические науки. Изучая курс, он должен видеть, как развивались математические методы и идеи, иногда помогая друг другу, иногда борясь друг с другом, и т. д. Такая постановка курса будет содействовать более осмысленному, интересному, быстрому и прочному усвоению предмета. Одновременно это будет развивать в учащемся диалектико-материалистическое мировоззрение, воспитывать его общую культуру. Курс должен заканчиваться так, чтобы учащийся видел, что курс не просто оборвался на такой-то теореме за исчерпанием отведенного на него времени или страниц учебника, а что он завершается ввиду разрешения тех математических и прикладных вопросов, которые были перед ним поставлены с самого начала. Учащийся должен ясно отдавать себе отчет в том, что ему дал курс, чем он обогатил его конкретные знания, насколько развил его математическую и общую культуру и помог ему как будущему учителю.

2. Сознательное изучение высшей математики будущим учителем невозможно, если учащийся не будет знать, что она дает ему для его будущей профессиональной деятельности. Поэтому курсы по высшей математике в педагогическом институте должны давать учащимся не только общее математическое образование, но и отвечать на вполне определенные и конкретные вопросы школьного курса элементарной математики.

Чтобы создать ясность перспектив в этом направлении, каждый из курсов по высшей математике с самого начала должен ставить в качестве одной из своих задач выяснение определенных вопросов школьного курса. И эту свою цель он должен довести в ясной форме до сведения студента. Важно понять, что эта конкретная связь высшей математики с элементарной должна быть установлена в первую очередь в интересах самой же высшей математики. Действительно, это придаст целеустремленность курсу и будет содействовать большей сознательности его изучения. Каждый из учащихся будет твердо знать, что именно дает ему высшая математика для его будущей работы в школе и насколько важно ее изучение. Далее это будет отвечать истинному положению вещей (которое обычно остается от учащихся скрытым), что, во-первых, высшая математика возникла в результате своеобразного развития элементарной (что подчеркивал еще К. Маркс в своих математических рукописях) и, во-вторых, что высшая математика с точки зрения современной науки разъясняет целый ряд проблем элементарной математики, не находящих в последней своего решения. Связь нового материала из высшей математики со старым, хорошо известным учащемуся, обеспечивая преемственность в обучении, будет облегчать усвоение высшей математики. Опыт преподавания убедительно показывает, что все те вопросы высшей математики, которые связываются с проблемами элементарной, вызывают особенно большой интерес у учащихся и хорошо ими запоминаются. Поэтому будущий учитель должен видеть связь высшей математики с элементарной не только в спецкурсе по элементарной математике (где эта связь осуществляется в интересах элементарной математики, с точки же зрения высшей математики носит случайный характер), но и в самой высшей математике. Таким образом, связь изучаемого предмета с практикой и со специ-

альностью учащегося является важнейшим звеном обучения. Именно она в первую очередь обеспечивает глубокое понимание предмета и сознательное усвоение его логики.

3. Вряд ли нужно еще раз повторять сказанное выше о том, насколько педагогически важно сознательно стремиться к интересному и доступному изложению предмета на всех ступенях обучения.

Все сказанное приводит к выводу, что качество курса определяется не только его полнотой и математической строгостью изложения, но и выполнением отмеченных выше педагогических требований. Ценность самых тонких математических рассуждений сводится к нулю, если педагогические недочеты изложения препятствуют им дойти до сознания студента. Как с этой точки зрения решают вопросы обучения наши вузовские учебники по высшей математике? К сожалению, в большом числе случаев они не удовлетворяют ряду элементарных педагогических требований. Их самым большим недостатком является излишний формализм. Выкладки и формулы часто заслоняют перед учащимися идеи, выражением которых они служат. Убийственную характеристику этих учебников дал А. Я. Хинчин, сказавший в предисловии к своим «Восьми лекциям по математическому анализу» (Гостехиздат, 1946, стр. 5.), что учащийся (даже имеющий известные познания по высшей математике), пытаясь самостоятельно изучать эти учебники, не увидит леса за деревьями.

В качестве примера достаточно взять любой учебник по аналитической геометрии или по математическому анализу. Так, например, учебник П. С. Моденова «Аналитическая геометрия» (П. С. Моденов, «Аналитическая геометрия», изд. МГУ, 1955) начинается с фразы: «Произвольная точка О прямой линии разбивает эту прямую на два луча. Назовем направление одного из этих лучей...» и т. д. Далее до конца книги идет сплошной поток определений, теорем, доказательств, следствий, признаков и т. д. Прикладных примеров очень мало. Все понятия вводятся чисто формально. Так, даже скалярное и векторное произведения определены без всякой ссылки на механику или физику. Ни одним словом автор не пытается объяснить учащемуся, откуда взялся предмет «Аналитическая геометрия», какие цели этот предмет перед собой ставит, как он связан с практикой и с другими ма-

тематическими науками, что в нем наиболее важно, что он даст студенту как будущему математику, как будущему учителю. Такая книга больше похожа на справочник, чем на учебник. Учащийся, который сам читал бы такой учебник, так от его первой до последней страницы и не знал бы что и зачем он изучает. Такое изложение просто обесценивает те, во многом интересные, чисто математические идеи, которые есть в этой книге. И прежде всего потому, что они не дойдут до учащегося. Аналогичное положение вещей мы видим и в курсе И. И. Привалова «Аналитическая геометрия» (И. И. Привалов «Аналитическая геометрия», изд. 27, Физматгиз, 1962), широко используемом как в технических, так и в педагогических вузах. Весь курс сплошь состоит из последовательного вывода формул. Никаких конкретных указаний на приложение методов аналитической геометрии (кроме нескольких общих фраз во введении) к другим математическим вопросам или к вопросам практики нет. Ничего не говорится о взаимоотношении аналитической геометрии с другими математическими предметами, ее роли в математике и т. д.

В курсе не отделяется главное от второстепенного. Никаких замечаний итогового или обобщающего характера курс не содержит. С полным основанием этот курс можно признать типичным по его структуре для многих подобных курсов геометрии и анализа для вузов и втузов.

Даже один из лучших — курс математического анализа Г. М. Фихтенгольца (Г. М. Фихтенгольц, «Основы математического анализа», Гостехиздат, т. I, 1955, т. II, 1956) без всякого вступления начинается прямо с изложения теории действительного числа и понятий о функции, о пределе и т. д., без каких бы то ни было указаний на то, как и почему возник курс анализа, каковы его цели и задачи. По существу изложение, принятое в нашей учебной математической литературе, начинающееся прямо «с формул», есть изложение предмета не с его логического начала, а «с середины», ибо сами идеи, породившие эти математические теории, остаются скрытыми от учащихся, которые начинают с изучения их математических следствий. И не удивительно, что такие книги недоступны для самостоятельного изучения и в первую очередь не из-за трудностей формальных выкладок, а из-за чисто психологических причин, поскольку

учащийся не понимает смысла того, что он делает, что и зачем он изучает. Более того, чрезвычайно интересные и ценные исторические (по сути дела методологические) замечания, которые делает Г. М. Фихтенгольц (о пределе, о функции, о перестановке предельных переходов, общий очерк истории анализа и др.), которые после некоторых изменений должны были бы по сути дела предшествовать этим вопросам, ибо именно они и освещают их идейный смысл, в большинстве следуют за ними и набраны мелким шрифтом! Иначе говоря, автор сам подчеркивает, что в его представлении доказательства теорем и вывод формул важнее идей, положенных в их основу. Учащимся же предстоит самим совершать необходимую, но по существу противоестественную и невыполнимую работу, от формальных выкладок восходить к идеям, их породившим. В некоторых курсах, предназначенных для технических вузов, делается попытка осветить некоторые из этих принципиальных вопросов, но это делается в столь кратких, общих и декларативных фразах, что они явно не достигают цели. Также не решают поднятого вопроса отдельные примеры прикладного характера, которые встречаются в наших курсах. Будучи несомненно полезными, эти случайные примеры тем не менее не раскрывают методологических проблем: ни происхождения предмета из проблем практики и его основных задач, ни проблем, которые ставит перед собой наука. Мало учат они и решению прикладных задач.

Достаточно в качестве примера сослаться на уже упомянутый курс Г. М. Фихтенгольца. Те несколько прикладных примеров, которые должны дать представление учащемуся о производной, изложены так, что не могут дать истинного представления о ее значении в математике и ее приложениях. Так, перед тем как ввести понятие производной, сказано (т. I, стр. 140): «...в качестве введения в дифференциальное исчисление, мы рассмотрим в настоящем номере задачу о скорости, а в ближайшем номере— задачу о касательной; обе задачи исторически оказались связанными с формированием основного понятия дифференциального исчисления, впоследствии получившего название производной».

Введя же понятие производной и приведя примеры ускорения и теплоемкости, автор пишет (стр. 146): «Все

эти применения производной (число которых легко было бы увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают тот факт, что производная существенным образом связана с основными понятиями из различных областей знания, способствуя самому установлению этих понятий». И это все! Конечно, эти утверждения носят слишком декларативный характер и вряд ли могут убедить учащегося, что понятие производной является самым важным в математике переменных величин и по существу участвует в математических теориях всех процессов, совершающихся в природе, ибо они все сводятся к движению материи, а последнее всегда совершается с определенной, и обычно переменной, скоростью. Между тем этот универсальный характер понятия производной и следовало бы подчеркнуть с самого начала ее введения.

Не приходится удивляться, что формальное изложение наших учебников мало доступно и обычно не вызывает особого интереса у учащихся. Надо считать совершенно несостоятельной попытку уйти от этих фактов утверждением, что «лекции восполняют эти недочеты учебников». Учебник должен руководить преподаванием, быть цельной книгой и не нуждаться для своего понимания в устных комментариях лектора. Более того, учебник, освещающий все эти вопросы, освободил бы лектора от необходимости строгого следования программе и учебникам и тем позволил бы ему проявить творчество в лекционном курсе, так как целый ряд разделов он мог бы передать на самостоятельное изучение студентам. Последним же это было бы полезно, так как содействовало бы налаживанию их самостоятельной работы над курсом*.

Таким образом, мы видим, что современные вузовские учебники не лишены весьма существенных недостатков и перенесение их системы в среднюю школу — даже в соответственно упрощенном виде — нежелательно. Однако, несомненно, что составить учебник по высшей математике, удовлетворяющий педагогическим требованиям, — вполне возможно. Поэтому был прав знаменитый русский драматург и писатель А. П. Сумароков, который в своем «Письме о чтении романов» (1759 г.) писал: «... са-

* Автор сделал попытку в какой-то мере приблизиться к созданию такого курса в своей книге «Аналитическая геометрия на плоскости», Учпедгиз, 1956,

мой высочайшей математики основания понятно написать удобно; хотя то и подлинно, что книг таковых мало видно». К сожалению, несмотря на протекшие с тех пор 200 лет, поставленная задача до сих пор еще далеко не решена. Можно быть уверенным, что введение элементов высшей математики в среднюю школу несомненно ускорит составление таких книг. Поэтому специальные учебники по высшей математике, которые будут созданы для средней школы, сумеют избежать указанных недостатков и воплотят в себе основные педагогические требования, которые к ним предъявляются.

Остановимся на выяснении положений диалектического материализма, которые проявляются при изучении высшей математики в вузе и многие из которых (без упоминания философских терминов) может использовать и учитель в своем школьном преподавании. Это будет способствовать воспитанию материалистического мировоззрения у учащихся. Прежде всего отметим, что наиболее полный учет требований психологии и педагогики в содержании и организации обучения позволяет в наиболее полной форме раскрыть перед учащимися философскую сторону математики и содействовать развитию их диалектико-материалистического мировоззрения. Конечно, такой «параллелизм» в требованиях педагогики и философии не случаен. Он объясняется тем, что обе эти науки объективно отражают процессы окружающего нас мира, причем педагогика строится на основе практики обучения и данных философии. Наши вузовские курсы в их современной постановке, как мы видели, далеко не полностью удовлетворяют основным педагогическим требованиям. Поэтому обнаружить в них проявление философских понятий самому учителю в период его вузовского обучения не просто.

Обучение, освещающее возникновение науки, ее связи с практикой и с другими науками, выясняющее ее методологические проблемы, позволяет увидеть, как история науки демонстрирует ряд основных идей диалектического материализма, например: происхождение математики под влиянием потребностей практики, взаимосвязь и преемственность математических теорий, развитие науки и отдельных понятий путем разрешения внутренних противоречий и т. д. Ниже мы остановимся на рассмотрении лишь нескольких принципиальных примеров.

Так, вводные разделы в общий курс математического анализа и аналитической геометрии с разных точек зрения покажут, что если математические потребности древнего мира (в астрономии, механике, физике) удовлетворялись возможностями элементарной математики, то появившаяся в XVII веке в связи с развитием мореплавания, техники, военного дела, а следовательно, и астрономии, механики, оптики, необходимость в изучении движения и различных процессов поставила перед элементарной математикой задачи, превосходившие ее возможности. И вот мы видим, как под влиянием необходимости математического изучения процессов, путем своеобразного развития элементарной математики из нее возникли аналитическая геометрия и математический анализ. На это отчетливо указал К. Маркс, отметивший, что корни дифференциального исчисления лежат в алгебре. Уже здесь мы видим важнейшие положения диалектического материализма: возникновение абстрактной науки под влиянием проблем практики и тем самым отражение практики в математической теории; возникновение новых математических методов путем разрешения противоречий: новые требования практики входят в противоречие с возможностями старой науки, что разрешается путем возникновения новых методов, в какой-то мере противоположных старым. Вместо синтетических методов геометрии древних возникает аналитический метод, вместо математики постоянных и конечных величин — математика переменных и бесконечно малых.

Важно, чтобы учитель, излагая элементы высшей математики в школе, заставил учащегося проникнуться идеей взаимосвязи явлений и процессов в природе, важно, чтобы, изучая различные теоретические науки, учащийся понимал, что и эти науки между собой тесно связаны, изучая во многих случаях одни и те же явления, но с различных точек зрения и различными методами.

Чрезвычайно интересный пример с этой стороны представляют собой такие, казалось бы, противоположные по своим методам науки, как аналитическая и начертательная геометрии. Между тем первая — аналитическим (в пространстве), а вторая — конструктивным методом решают с различных точек зрения, но по существу тождественные задачи: изучение пространственных образов и конфигураций по их проекциям на координатные оси и

плоскости. Чрезвычайно поучительным представляется отыскание и исследование, например, линии пересечения каких-либо двух поверхностей (тел), задавая их в одном случае с помощью уравнений, а в другом — путем вычерчивания их ортогональных проекций. К сожалению, в преподавании или в учебниках таких примеров обычно не приводится. Однако здесь мы имели бы интересную демонстрацию единства проблемы при противоположных методах исследования, взаимосвязи и сотрудничества различных наук в разрешении одной проблемы, причем аналитическим методом пользуются обычно математики, а графическим — инженеры.

Следующий пример на эту же тему представляет взаимоотношение аналитической, дифференциальной и проективной геометрий. Аналитическая геометрия, изучающая в основном кривые и поверхности 1-го и 2-го порядка по их уравнениям, лишена возможности (в силу характера алгебраического метода) систематического изучения других геометрических образов, а также их строения вблизи данной точки. Поэтому исследование кривых и поверхностей методами аналитической геометрии оказывается неполным. Именно поэтому на смену аналитической геометрии в учебном плане педвузов и университетов приходит дифференциальная геометрия. Последняя, пользуясь более сильными методами анализа, получает возможность исследования линий и поверхностей в бесконечно малых их частях, вблизи данной точки. При этом более сильный качественно новый метод дифференциальной геометрии приводит к количественным изменениям в материале исследования: путем аппроксимации (приближения) дифференциальная геометрия получает возможность локального исследования (т. е. в бесконечно малых частях) любого образа (а не только 2-го порядка), правая часть уравнения y=f(x) которого разлагается в ряд Тейлора. Но это в свою очередь позволяет нам с новой точки зрения понять значение в геометрии образов 1-й и 2-й степени, так как оказывается, что именно они аппроксимируют вблизи данной точки любую линию и поверхность, изучаемые в классической дифференциальной геометрии. Таким образом, мы здесь видим, как обогащение метода исследования путем сочетания двух противоположных методов «в целом» и «в малом» расширяет область исследуемых образов. Но последнее

вновь приводит нас в процессе своеобразного синтеза к первоначальным объектам (образы 2-го порядка), значение которых предстает перед нами в новом свете.

Несколько по другой линии обнаруживается связь между аналитической и проективной геометриями. Зародившись в одну и ту же эпоху в трудах Декарта и Ферма (аналитическая геометрия) и в трудах Дезарга и Паскаля (проективная геометрия), они испытали различную судьбу. Аналитический метод, благодаря своей общности и легкой применимости к различным задачам, завладел математикой, оттеснив синтетический метод проективной геометрии на задний план. Математики эпохи Декарта верили в почти универсальную применимость аналитического метода. Однако с течением времени по мере усложнения задач геометрии обнаружилась ограниченность его возможностей. Чрезвычайно общий, но именно поэтому громоздкий аналитический метод оказался в силу этого далеко не всегда применимым. (Этот факт представляет собой интересный пример диалектического единства противоположностей: в общности метода, в его сильной стороне проявляется его слабость — ограниченная применимость!) И вот на смену аналитическому методу в начале XIX века появляется и развивается синтетический метод проективной геометрии, позволяющий разрешить множество задач, недоступных методу аналитической геометрии. Однако (и это снова чрезвычайно показательно) синтетический метод проективной геометрии совершенно непохож на синтетический метод элементарной геометрии. Проективный метод обогащен общностью приемов и новым содержанием, которого не было у элементарно-геометрического. Все сказанное иллюстрирует развитие геометрии в борьбе противоположных тенденций и разрешение этой борьбы путем создания более общих методов, обогащенных всем тем, что было в первоначальных.

Чрезвычайно важную идею развития путем преодоления внутренних противоречий можно проиллюстрировать, рассматривая развитие основных понятий математики на протяжении учебных курсов. Не останавливаясь на таком, всем известном примере, как развитие понятия числа, мы можем отметить развитие понятия линии, функции, пространства и т. д. Для школьника функция — это в большинстве случаев непрерывная функция, для сту-

дента — она может иметь всевозможные точки разрыва, состоять из отдельных точек, определяться бесконечными процессами. Кривая для него может заполнять квадрат, ограничивать вдоль одной и той же дуги три области; нести на себе площадь и т. д. Понятие пространства также меняется в процессе обучения. Для школьника и для начинающего студента оно еще эвклидово, дальше учащийся знакомится с пространством Лобачевского, наконец, на высших ступенях обучения понятие пространства в процессе обобщения рассматривается как Риманово многомерное пространство. На развитие понятий далеко не всегда обращается должное внимание в процессе обучения математике, так как сейчас каждая наука имеет дело со «своими» понятиями и далеко не всегда интересуется тем, какими они были в представлении учащегося раньше, в «другой» науке. Однако правильная с педагогической точки зрения постановка курса, освещающая методологию и структуру предмета, должна отметить и эту сторону дела, удовлетворив тем самым требованиям философского образования учащегося. Эта же педагогически правильная постановка преподавания отметит и еще одно с философской стороны важное обстоятельство, а именно, что все эти абстрактные понятия отражают объективные свойства действительности. Так, Риманово многомерное пространство имеет своими источниками фазовое пространство в физике, четырехмерное искривленное пространство теории относительности и т. д.

Наконец, можно отметить и гораздо более элементарные понятия, смысл которых развивается по мере изучения математики учащимися. Так, две фигуры равны или геометрически тождественны в элементарной геометрии, если они наложимы друг на друга. Они тождественны в аффинной геометрии, если переходят друг в друга в процессе цепи подобий и параллельных проектирований, наконец, они тождественны в проективной геометрии, если переводятся друг в друга цепью любых проектирований. С философской стороны следует отметить, что это развитие понятий всегда происходит путем борьбы противоположных тенденций. Старое, узкое понятие входит в противоречие с новыми требованиями науки и практики, и это противоречие разрешается путем расширения смысла понятия. Но этот процесс расширения смысла понятия

всегда связан с отрицанием его прежнего, более узкого смысла. Так, например, если прежнее понятие числа всегда обозначало целое число, то в процессе развития понятие числа начинает обозначать рациональное число, которое уже не обязано быть целым, и т. д. Хорошо известен пример (обычно всегда отмечаемый при изучении геометрии Лобачевского) непосредственного влияния математики на философию: самое появление непротиворечивой системы геометрии Лобачевского показало явную несостоятельность философии Канта о будто бы врожденном истинном представлении о свойствах пространства, которое должно быть эвклидовым.

Прекрасным примером для учащихся того, что наука развивается под влиянием практики, является история всякой аксиоматики. Система аксиом появляется в данной математической науке не в начале ее развития, а уже тогда, когда ее методы, проблематика и результаты приобрели в достаточной мере определенный характер. Достаточно сослаться на аксиоматику Эвклида, свидетельствующую о высоком уровне геометрии в древней Греции, на аксиоматику Гильберта, возникшую после построения геометрии Лобачевского, на аксиоматику теории вероятностей, данную А. Н. Колмогоровым, и т. д.

Несколько труднее обнаружить в математике примеры развития путем перехода количественных изменений в качественные. Однако и здесь можно указать примеры, когда количественный рост дает качественно новое математическое явление. К этому типу явлений относятся переходы к пределу. Так, рассматривая длину периметра вписанного многоугольника, мы видим, что неограниченный рост числа его сторон при неограниченном уменьшении их длин приводит к качественно новому понятию — к длине кривой линии. Так же точно сумма конечного числа непрерывных функций дает непрерывную функцию, но ряд, составленный из непрерывных функций, может дать разрывную функцию, т. е. качественно новый образ.

Мы видим, что развитие наук и техники облегчает человеку использование сил природы. Своеобразную «механизацию труда» мы видим и в математике. Задачи на квадратуры, которые в древности для своего разрешения требовали гения Архимеда, теперь решаются любым студентом первого курса, знающим интегральное исчисление, в несколько минут. Еще пример. Теорему Паскаля

от теоремы Брианшона отделяет исторический промежуток в 150 лет. После открытия принципа двойственности вторая теорема непосредственно вытекает из первой. Таких примеров можно было бы привести сколько угодно.

Таким образом, мы видим, что обучение математике, основанное на анализе мышления учащегося, на использовании данных педагогики и дидактики, строится на подлинно научной основе. В этих условиях обучение позволяет всей своей системой в наибольшей степени раскрыть перед учащимися его философскую основу: показать, что математические науки возникли в процессе теоретического решения проблем практики, что они развиваются в тесном единстве друг с другом, во взаимных влияниях друг на друга, в процессе разрешения внутренних противоречий, присущих любому процессу развития.

Высшая математика, которую будущий учитель изучает в педагогическом институте, имеет многообразные связи с его преподаванием в школе. Во-первых, она обосновывает самую структуру элементарной математики и решает многие ее проблемы. (Об этом мы будем говорить подробно ниже.) Во-вторых, в старших классах учитель сам будет преподавать элементы высшей математики. И, наконец, надо установить правильную точку зрения на подготовку всякого специалиста и его последующую работу по специальности. Врач лечит живых людей, а не трупы, но, чтобы стать врачом, ему еще студентом придется провести много времени за вскрытием трупов в анатомическом театре. Инженер, работающий в цеху, вряд ли будет там много дифференцировать или интегрировать. Но, чтобы стать инженером, ему придется в вузе долго изучать высшую математику, так как без нее он не осилит ни механики, ни теории сопротивления материалов, ни электротехники, ни многих других наук. Так же обстоит дело и с учителем. Даже если ему в школе и никогда не придется преподавать высшую математику, то и в этом случае знание ее для него обязательно: она даст ему глубокое понимание всех основных вопросов элементарной математики. Остановимся на этом подробнее.

Мы уже говорили, что почти каждый вопрос элементарной математики, если его затронуть сколько-нибудь обстоятельно или попытаться разобрать «до конца», находит свое полное решение в высшей математике. Многие учителя забывают об этом, считая, что элементарная ма-

тематика непосредственно не связана с высшей. Чтобы осветить истинное положение вещей, мы приведем здесь ряд конкретных примеров, где связь между высшей и элементарной математикой выступает весьма наглядно. Размышление над ними поможет учителю глубже вникнуть в эти вопросы и на их основе предложить учащимся ряд тем для внеклассной работы, углубляющих понимание школьного курса.

Начнем с самого простого примера. На чертеже 16 изображено несколько треугольников. Но на этот же чертеж можно смотреть и с другой точки зрения. Можно считать, что у нас изображены два отрезка AB и А'В'. Мы проектируем отрезок А'В' из точки 5 на отрезок AB. Концы А' и В' первого отрезка переходят в концы А и В второго, и обратно. Далее можно сказать, что «число точек» на отрезке А'В' равно «числу точек» на отрезке AB, так как каждой точке ЛГ одного отрезка всегда отвечает только одна точка M второго, и обратно. Но тогда, естественно, возникает вопрос: почему отрезки, имеющие одинаковое «число точек», имеют различные длины? На это можно ответить: потому, что «точки не имеют измерения, т. е. длины», или потому, что «законы, имеющие место для конечных множеств, не распространяются на бесконечные множества» (в данном случае — точек). На первый взгляд эти ответы кажутся не очень убедительными, но тем не менее они справедливы.

Чертеж 17 представляет еще более яркую иллюстрацию на этот счет. Точек на отрезке AB «столько же», сколько на отрезке АС, который является его частью. Действительно, точки M и N отрезка AB проектируются из точки S в точки М' и N' отрезка А'В'. Эти же точки

Черт. 16 Черт. 17.

M', N' в свою очередь параллельным проектированием переходят в точки M и N отрезка АС. При этом оба проектирования есть взаимно однозначные преобразования. Таким образом, все точки отрезка AB (включая и точки, лежащие на отрезке АС\ см. точку N), укладываются теперь на отрезке АС — его части. При этом не нужно ду мать, что на одну точку отрезка АС падает несколько точек отрезка AB. На самом деле, в каждую точку отрезка АС попадает точно только одна точка отрезка АВУ но тем не менее целый отрезок AB «укладывается» на его части АС.

Вот тот же пример в арифметической форме. Утверждение, что четных чисел «столько же», сколько и нечетных, звучит убедительно. Согласно записи

1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .

2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .

мы видим, что под каждым нечетным числом стоит четное. Утверждение, что всех целых чисел (положительных) «столько же», сколько четных (составляющих их часть), с виду представляется менее убедительным, хотя оно не менее справедливо. Если взглянуть на запись

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . .

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ... ,

то мы видим, что под каждым целым числом всегда найдется место для четного числа. Но здесь отчетливо видно, что все дело в том, что тех и других чисел бесконечно много, иначе в нижней строчке не хватило бы четных чисел.

Эти примеры очень показательны. С одной стороны, они свидетельствуют о том, насколько близко мы находимся к проблемам теории множеств, рассматривая эти простейшие математические факты. (При этом сама теория множеств — это сейчас одна из наиболее глубоких и абстрактных областей математики, которая изучает структуры различных множеств и закономерности, обнаруживающиеся в них. В теории множеств и разъясняются полностью поднятые здесь вопросы). С другой стороны, характерно то, что сами учащиеся обычно не замечают этих «парадоксов» и не спрашивают о них. Последнее объясняется тем, что эти проблемы лишь логически просты, но психологический путь к ним очень труден, так как

они связаны с таким кругом идей, который достаточно далек от проблем элементарной математики. (Пользуясь изложением теории множеств в книге Н. Н. Лузина «Теория функций действительного переменного», учитель мог бы в кружке дать учащимся в виде связного рассказа известное представление о фактах этой своеобразной области математики.) Сейчас теория множеств кладется в основу многих разделов математики. Так, вопросы обоснования алгебры и геометрии сводятся к теории множеств. Описательно сформулированные исходные предпосылки, помещаемые в начальных разделах школьных курсов арифметики и геометрии, имеют своей основой полные аксиоматики, излагаемые в вузовских курсах теоретической арифметики и оснований геометрии. Исследование этих аксиоматик на непротиворечивость требует использования положений теории множеств. Далее, понятия иррационального числа, непрерывности числового множества, действий с иррациональными числами обосновываются теоретико-множественными аксиомами Дедекинда или Кантора. Вопрос о существовании трансцендентных чисел (я, е и других) рассматривается в вузовском курсе теории чисел. Во всех этих вопросах элементарной математики мы стоим на ее грани с высшей.

Одной из основных задач элементарной алгебры является решение уравнений. В школьном курсе систематически рассматриваются решения лишь простейших уравнений (1-й и 2-й степени) и простейших систем уравнений. Но уже у более сильного ученика школы, естественно, возникает вопрос о разрешимости уравнений высших степеней, о числе их решений, о решении различных систем уравнений. В школьном преподавании этот вопрос почти не затрагивается. Только курсы, читаемые в пединституте, высшая алгебра и элементы теории групп дают ответы на эти вопросы.

Решение уравнений представляет интерес и с другой стороны. Каждое уравнение с одним, двумя или тремя переменными определяет в аналитической геометрии, вообще говоря, некоторую поверхность в пространстве. Таким образом, решение алгебраической системы уравнений с точки зрения аналитической геометрии сводится к отысканию точек пересечения этих поверхностей. Иногда чисто геометрическое истолкование уравнений какой-нибудь системы позволяет очень быстро решить вопрос

о характере ее корней, в то время как ее подробное алгебраическое решение требует значительного времени. Пусть нам требуется решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

После несложной геометрической прикидки нетрудно заметить, что решения этой системы комплексны. В самом деле: первое уравнение определяет параболоид вращения вокруг оси Oy с вершиной в точке (0, 2, 0,) (черт. 18). Второе уравнение определяет двуполостный гиперболоид, вершины которого имеют координаты (± |/10, О, О), и третья поверхность есть эллипсоид с полуосями, меньшими 1. Конечно, если требуется найти числовое решение, то его находят подсчетом. Но и в этом случае полученный качественный результат позволяет заранее предвидеть характер решения. Стоит заметить, что учитель в классе может воспользоваться такой предварительной грубой проверкой во время решения задачи учащимся на доске. (См. аналогичные примеры в книге автора «Аналитическая геометрия на плоскости», Учпедгиз, 1956.)

Рассмотрим другие примеры. Так, многие вопросы элементарной алгебры связаны с использованием теории рядов. Например, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть частный случай числового ряда. Действия с логарифмами, составление логарифмических таб-

Черт. 18.

лиц и таблиц тригонометрических функций основаны на применении теории рядов. Вопрос об обобщении формулы бинома Ньютона, о его распространении на дробные и отрицательные показатели тоже связан с теорией рядов и рассматривается в курсе математического анализа. В школе не рассматривается связь между показательными (логарифмическими) и тригонометрическими функциями, так как она требует детального изучения комплексных чисел и функций от комплексного переменного. Однако в пединституте она изучается и там выводится знаменитая формула Эйлера

(1)

е—неперово число 2,71828 ...), дающая эту связь. Интересно то, что из этой формулы без всякого чертежа выводятся все формулы тригонометрии. Действительно, заменим в формуле (1) величину а на —а. Тогда получим:

(2)

Теперь перемножим почленно равенства (1) и (2). Имеем:

слева имеем

справа получаем

Окончательно:

Получим теперь формулы для sin (а + ß) и cos (а + ß). Для этого запишем формулу (1) для величин ß и а + ß. Имеем:

(3) (4)

Перемножим теперь почленно равенства (1) и (3).

Имеем:

Согласно формуле (4) имеем:

Так как равенство двух комплексных чисел возможно только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части, то имеем:

Аналогично можно получить и другие формулы тригонометрии.

Конечно, приведенный вывод этих формул не заменяет элементарного их вывода, не требующего обращения к комплексным величинам. Тем не менее формула Эйлера очень интересна, поскольку она обнаруживает глубокие связи между, казалось бы, чуждыми друг другу областями математики.

Несомненно, что в кружке можно было бы показать эту формулу учащимся как иллюстрацию применения комплексных чисел. При этом следовало бы без доказательств, но доступно и интересно рассказать учащимся о рядах, определяющих функции cosot, sina, еа в действительной и комплексной области. Для этого можно было бы начать с замены числового равенства

при J q \ < 1 на функциональное

объяснив, что оно справедливо при)*|<1. (Можно было бы показать и деление 1 : (1—х).) После этого стоило бы рассказать о геометрическом смысле этого равенства:

замены ординаты кривой у = -J_вблизи точки x=xq на ординаты линий */=!, У—1+х, у~1+х+х2 и т. д. После

этого можно было бы без доказательства (но психологически убедительно) рассказать о рядах

и об их распространении на комплексную область. Отсюда уже получалась бы (вполне убедительно!) формула Эйлера.

Функциональное мышление, которое мы воспитываем на уроках элементарной математики, основано на понимании функциональной зависимости, умении видеть в различных вопросах математики переменные и их изменения (аргумента и функции). С этим непосредственно связан вопрос о задании функциональной зависимости, о ее графическом изображении. Таким образом, эти по существу элементарные вопросы, которые подробно рассматриваются в школе, подводят нас к наиболее глубоким понятиям вузовского курса математического анализа. Действительно, на уроках мы строим графики по готовым уравнениям. Но законен и обратный вопрос, и его могут задать учащиеся: можем ли мы, имея произвольный график, подобрать к нему уравнение? (Т. е. уравнение, по которому можно было бы этот график построить). Можем ли мы, например, записать одно уравне-

Черт. 19.

ние для разрывной линии, например изображенной на чертеже 19? Ответ на этот вопрос вводит понятие функционального, например тригонометрического, ряда Фурье. И вот оказывается, что ряд из непрерывных функций sinkx и coskx может изображать произвольную (с известными ограничениями) как непрерывную, так и разрывную функции. Но когда какую? Ответ дает теорема, гласящая, что если ряд Фурье сходится в данном промежутке равномерно, то он определяет непрерывную функцию. Так, на чертеже 19 мы видим линии — в первом случае непрерывную, во втором — разрывную. Уравнение первой имеет вид:

а уравнение второй

Первый ряд сходится равномерно, а второй — нет. При этом в точках разрыва сумма второго ряда всюду равна 0. Действительно, при х = тСу Зя, 5я,... имеем у = ф(&я)=0. Напомним, что ряд сходится равномерно, если абсолютная величина разности его суммы S(x) и суммы Sn (х) его п членов внутри интервала сходимости может быть сделана меньше любого заданного е:

сразу для всех х в данном интервале (т. е. для всех х может быть подобрано одно s ). Если же это невозможно и п придется подбирать не только в зависимости от е, но и отдельно для каждого значения х, при котором мы рассматриваем сумму, то ряд сходится неравномерно. Конечно, об этих тонкостях ученику в школе никто говорить не будет, но общие соображения по этим вопросам учитель (для себя) должен иметь в виду.

Основные вопросы геометрии снова приводят нас к высшей математике. Об аксиоматике мы уже говорили. Важнейшая проблема — отыскание общих методов доказательства геометрических теорем — решается аналитической геометрией. Аналитическая геометрия вместе с

высшей алгеброй решают вопрос о выполнимости геометрических построений с помощью тех или иных инструментов, например линейки и циркуля (эти вопросы рассмотрены в упомянутой выше книге автора).

Чрезвычайно важную роль играет проективная геометрия для углубленного понимания многих вопросов геометрии, изучаемых в школе. Она обобщает многие теоремы элементарной геометрии, которые оказываются частными случаями проективных теорем. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть нам дан треугольник. Относительно него существуют следующие две важные теоремы.

Теорема Чевы. Если в плоскости треугольника ABC взята произвольная точка О (вне треугольника или внутри него, безразлично, но не на его сторонах) и соединена с его вершинами, то три полученные прямые АО, ВО, СО пересекают противолежащие стороны треугольника в таких точках Р, Q, R, что имеет место следующее соотношение (черт. 20):

(1)

Следует заметить, что мы «обходим» треугольник все время в одном направлении и что порядок точек в отрезках имеет существенное значение, так как, например, отрезки AR и RA отличаются знаком (черт. 20).

Справедлива и обратная теорема.

Обратная теорема Чевы. Если на сторонах AB, ВС, CA треугольника ABC (или на их продолжениях) даны соответственно три точки R, Р, Q, причем справедливо соотношение (1), то три прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая. Если на плоскости треугольника ABC проведена прямая /, не проходящая через его вершины, то точки Р, Q, R ее пересечения со сторонами треугольника (или с их продолжениями) располагаются так, что выполняется следующее соотношение:

(2)

Черт. 20.

Обратная теорема Менелая. Если на сторонах ВС, CA, AB треугольника ABC (или на их продолжениях) даны соответственно три точки Р, Q, /?, причем справедливо соотношение (2), то три точки Р, Q, R лежат на одной прямой (черт. 21).

Справедливость прямой и обратной теоремы Чевы и Менелая говорит нам о том, что эти теоремы характеризуют указанные конфигурации. Это значит, что наличию конфигурации Чевы, т. е. геометрическому факту прохождения трех прямых (проходящих через вершины треугольника) через одну точку, отвечает на алгебраическом языке равенство (1). И обратно, наличию этого алгебраического соотношения отвечает как геометрический факт конфигурация Чевы, т. е. прохождение трех названных прямых через одну точку. То же справедливо и для теоремы Менелая. Геометрическому факту пересечения прямой сторон треугольника (или их продолжений) отвечает на алгебраическом языке соотношение (2). И обратно, наличию этого алгебраического соотношения отвечает геометрический факт— пересечение прямой сторон треугольника, т. е. принадлежность трех точек одной прямой.

Обе эти теоремы являются проективными теоремами. Это надо понимать в том смысле, что рассматриваемые на обычной эвклидовой плоскости (где мы имеем право совершать измерения), они определяют свойства, сохраняющие силу при любом числе проектирований, конечно, таких, при которых сами треугольники не разрушаются, (треугольник переходит в треугольник; прямые, имеющие общую точку, переходят в прямые, имеющие тоже общую точку; прямая, пересекающая стороны треугольника, переходит снова в прямую, пересекающую стороны нового треугольника). Следовательно, для новых конфигураций будут по-прежнему справедливы те же соотношения Чевы и Менелая.

Поскольку теорема Чевы справедлива для любого треугольника и для любой точки О, то можно утверждать, что это же соотношение Чевы будет справедливым, на-

Черт. 21.

пример, для трех медиан, трех биссектрис и трех высот треугольника. Более того, мы можем поставить перед собой обратную задачу.

Пользуясь обратной теоремой Чевы, доказать факт прохождения каждой из этих троек прямых через одну точку. Именно докажем, что:

1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть дан треугольник ABC и прямые АР, BQ и CR его медианы (черт. 22). Докажем, что они пересекаются в одной точке. По определению медианы, точки Р, Q, R есть середины сторон треугольника. Следовательно,

AR = RB, BP = PC, CQ = QA.

Но в этом случае соотношение Чевы тождественно удовлетворено и, следовательно, по обратной теореме Чевы три медианы пересекаются в одной точке.

2. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке (черт. 23).

Пусть АР, BQ и CR — биссектрисы. Тогда по известной теореме о том, что биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, имеем:

(Здесь всюду идет речь о длинах сторон.) Подставляя эти значения отношений в левую часть соотношения Чевы, видим, что оно тождественно выполняется. Следова-

Черт. 22. Черт. 23.

тельно, по обратной теореме Чевы три биссектрисы пересекаются в одной точке.

3. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (черт. 24).

Пусть АР, BQ и CT? —высоты. Тогда, обозначая ZPAB через a, ZQBC через ß, ZRCA через у, найдем, что ZRCB = a, ZCAP = ß, ZQBA = f. Тогда имеем:

Откуда находим, что соотношение Чевы выполняется. Следовательно, по обратной теореме Чевы три высоты пересекаются в одной точке.

Как видим, мы получили замечательный результат. В элементарной геометрии все эти три теоремы доказывались как различные теоремы совершенно различными, искусственно созданными приемами, не имеющими между собой ничего общего. Так, теорема о высотах доказывалась с помощью построения нового треугольника, для которого высоты данного служили перпендикулярами к сторонам нового, в их серединах, а теорема о медианах — с помощью проведения прямых, параллельных медианам. Аналитическая геометрия, рассматривая также эти теоремы как различные, давала для их доказательства единый аналитический метод, использующий уравнения прямых. Проективная геометрия подходит иначе. Она доказывает эти три теоремы единым методом и притом как частные случаи одной проективной теоремы.

В чем же внутренняя причина такого результата? Ответ ясен. Во всех этих трех различных метрических (измерительных) теоремах было одно общее, можно сказать «проективное ядро» — каждая тройка прямых пересекалась в одной точке. В результате цепи проектирований метрические свойства прямых — быть медианами, биссектрисами или высотами — терялись, но зато сохранялось их общее и более глубокое проективное свойство — пересекаться в одной точке. Последнее же на языке алгебры

Черт. 24.

выражается соотношением Чевы. И обратно, когда каждую из этих троек прямых, в дополнение к условию Чевы, мы начинаем характеризовать дополнительным метрическим (измерительным) свойством, то мы каждый раз получаем определенную теорему о том, что три определенным образом метрически охарактеризованные прямые проходят через одну точку. Но отсюда возникает мысль, что, по-видимому, придавая тройкам таких прямых и некоторые другие метрические свойства (лишь бы выполнялось условие Чевы), мы сможем получить и другие метрические теоремы о пересечении трех соответствующих прямых в одной точке. Это предположение оказывается справедливым. Докажем для примера следующую теорему, которая в школьном курсе элементарной геометрии обычно остается в стороне.

Теорема. Три прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанный круг касается противоположных им сторон, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Доказательство. По свойствам касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем (черт. 25): AR = AQ, BR = BP и CP = CQ (все отрезки мы можем считать положительными). Теперь мы видим, что соотношение Чевы выполняется. Следовательно, по обратной теореме Чевы эти три прямые пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая с помощью предельного перехода тоже позволяет получить ряд теорем элементарной геометрии. Удалим точку R «в бесконечность» (черт. 21). Посмотрим, во что обращается соотношение Менелая. Так как при этом отрезки AR и BR неограниченно растут, а остальные величины остаются конечными, то для решения вопроса необходимо найти предел отношения —. Имеем:

Черт. 25.

так как

Итак, соотношение Менелая принимает вид:

Запишем его иначе:

Теперь его можно прочесть так: стороны угла АС В рассекаются параллельными прямыми AB и QP на пропорциональные части (черт. 26.)

Если точка Q делит сторону АС пополам, т. е. zrr =1» т0 получаем:

т. е. точка Р есть середина стороны СВ. В результате получаем теорему о средней линии треугольника в таком виде:

Если прямая, параллельная основанию треугольника, проходит через середину одной боковой стороны, то она и другую боковую сторону делит пополам.

С помощью теорем Чевы и Менелая можно получить и много других теорем элементарной геометрии.

Рассмотрим теорему Дезарга. Ее роль определяется тем, что в то время как теоремы Чевы и Менелая говорили каждая об одном треугольнике, теорема Дезарга говорит о взаимном расположении двух треугольников, находящихся в одной или в различных плоскостях. Напомним эту теорему.

Прямая теорема Дезарга (черт. 27). Если два треугольника ABC и А'В'С расположены так, что прямые АА\ ВВ/ и СС, соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S, то и соответственные стороны AB и А'В\ ВС и В'С, АС и А'С пересекаются в трех точках M, N, Р одной прямой.

Черт. 26.

Обратная теорема Дезарга. Если два треугольника ABC и А'В'С расположены так, что их соответственные стороны AB и А'В', ВС и В'С\ АС к А'С пересекаются в трех точках M, N, Р одной прямой, то прямые АА\ ВВ\ СС, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке.

Пространственная теорема Дезарга является обобщением одной хорошо известной теоремы из элементарной стереометрии. Она состоит в следующем: если трехгранную пирамиду с основанием ЛВС рассечь плоскостью параллельно основанию, то в сечении получится треугольник А'В'С (подобный треугольнику ABC), причем соответственные их стороны оказываются параллельными. Нетрудно заметить, что треугольник А'В'С находится в условиях теоремы Дезарга с треугольником ABC (черт. 28). Действительно, прямые, соединяющие их вершины (ребра пирамиды АА\ ВВ\ СС), пересекаются в одной точке — вершине 5, а их соответственные стороны AB и А'В', ВС и В'С\ АС и А'С взаимно параллельны, или, условно говоря, пересекаются в трех точках M „ 9N „ ,Р ж («бесконечно удаленных» точках!) одной прямой («бесконечно удаленной» прямой!). Это так сказать «предельный случай» теоремы Дезарга. Иными словами, если перемещать секущую плоскость а' пирамиды относительно плоскости а основания, то мы все время имеем конфигурацию Дезарга (черт. 27). В

Черт. 27.

Черт. 28.

тот момент, когда плоскость а' становится параллельной плоскости а основания, прямая / их пересечения «уходит в бесконечность» и мы получаем известную школьную теорему как предельный случай теоремы Дезарга.

Значение теоремы Дезарга для школьного курса этим не исчерпывается. Особенно велико ее значение в стереометрических школьных чертежах, выполняемых по правилам начертательной геометрии, которая в свою очередь представляет собой одну из глав проективной геометрии. Поясним это примером. Пусть учитель на доске изобразил наклонную пирамиду SABC, стоящую на плоскости а, и рассек ее плоскостью а' (черт. 29). Спрашивается, правильно ли он начертил от руки, на глаз это сечение в виде треугольника А'В'С. Иначе говоря, мог ли он начертить его от руки каким хотел или при этом он должен был придерживаться каких-нибудь определенных правил? С первого взгляда кажется, что для правильности чертежа достаточно лишь правдоподобно для глаза изобразить фигуру. Однако уже краткое размышление показывает, что дело обстоит иначе.

Из чертежа ясно, что два треугольника ABC и А'В'С должны находиться в условиях теоремы Дезарга. Поэтому точки пересечения их соответственных сторон должны лежать на одной прямой — и эта прямая должна быть прямой пересечения плоскостей а и а'. Если это условие на данном чертеже выполнено, то он верен (черт. 27), в противном случае ошибочен (черт. 29). Отсюда вытекает грамотное построение таких чертежей от руки (черт. 27). Чертим плоскости а и а' и пирамиду SABC. Возьмем одну произвольную точку, например А\ на ребре AS в качестве вершины треугольника сечения А'В'С' пирамиды с плоскостью а' (по существу этим мы однозначно и определим положение самой плоскости а' относительно плоскости а, так как плоскость определяется не одной лишь прямой, но прямой и точкой). Теперь строим сечение. Про-

Черт. 29.

должаем ребро AB до пересечения с прямой /. Получаем точку М. Соединяем точку M с точкой А'. В пересечении прямой MA' с ребром SB получаем точку В'. В пересечении ребра АС с прямой / получаем точку Р. В пересечении прямой РА' с ребром SC получаем точку С. Соединяем точки А\ В', С, и получаем треугольник А'В'С. Также решается вопрос об отыскании сечения многогранной пирамиды и призмы (пирамида с бесконечно удаленной вершиной) наклонной плоскостью, так как каждую из них можно разбить на трехгранные пирамиды и призмы. Более того, сечение плоскости с конусом или с цилиндром снова находится на основании теоремы Дезарга, так как это сечение мы строим по точкам с помощью вписанных пирамиды и призмы, а потом эти точки соединяем плавной кривой.

Как мы знаем, в полном четырехугольнике UVWT четверка точек ABMN является гармонической, т. е.

(черт. 30).

Также гармоническими будут четверки точек U, W, S, N и V, Т, S, М. Кроме того, известно, что если одна из точек гармонической четверки стала «бесконечно удаленной», то ей сопряженная (находящаяся с ней в паре) делит отрезок, образованный другой парой, пополам.

Это значит, что из соотношений

при M и N «бесконечно удаленных» найдем, что US = SW и VS=ST.

Черт. 30.

Черт. 31.

Эти соотношения дают нам возможность получить из нашей конфигурации хорошо известную теорему, изучаемую нами в элементарной геометрии. Именно спроектируем всю рассматриваемую фигуру на другую плоскость так, чтобы прямая AB «ушла в бесконечность» (см. черт. 31). Тогда точки А и В, M и N спроектируются в «бесконечно удаленные точки» и фигура UVWT спроектируется в фигуру U'VWT\ которая будет параллелограммом (черт. 31). При этом, поскольку четверки точек £/, W, S, N и V, Г, 5, M —- гармонические, а точки М' и N' становятся «бесконечно удаленными» точками, то точка 5 проектируется в точку S', середину отрезков U'W и VT. Итак, наше проектирование приводит нас к теореме: диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.

Известные в проективной геометрии теорема Паскаля и ей двойственная теорема Брианшона тоже участвуют во многих школьных теоремах. Теорема Паскаля утверждает: если в любую кривую 2-го порядка вписан произвольный 6-угольник, то три пары его противоположных сторон пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (черт. 32) (прямая Паскаля). Теорема Брианшона говорит: если относительно любой кривой 2-го порядка описан произвольный 6-угольник, то прямые, попарно соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (точка Брианшона) (черт. 33). Доказательства их можно найти в любом курсе проективной геометрии.

Черт. 32. Черт. 33.

Естественно, что, будучи справедливыми для любой кривой 2-го порядка, эти теоремы будут справедливыми и для окружности. Далее известно, что эти же теоремы будут справедливыми и для 5-, 4-, 3-угольников, причем в этом случае надо считать, что: 1) в случае теоремы Паскаля вершины по две сливаются в одну, а соответствующие стороны обращаются в касательные; 2) в случае теоремы Брианшона касательные по две сливаются в одну, а вершины превращаются в точки касания.

Таким образом, мы видим в теоремах Паскаля и Брианшона источник множества теорем об окружности, которые остаются вне рамок школьного курса. Однако предельные случаи для двух из этих теорем в школе рассматриваются (черт. 34). Правильный вписанный шестиугольник дает пример предельного случая теоремы Паскаля. Три пары сторон AB и DE, ВС и EF, CD и FA параллельны, а следовательно, точки их попарного пересечения М„,Ы„ и находятся в «бесконечности» и, следовательно, все лежат на одной «бесконечно удаленной прямой» (так как все «бесконечно удаленные» точки плоскости лежат на одной прямой). Итак, если бы этот 6-угольник был любым, то теорема Паскаля имела бы место, но прямая Паскаля была бы расположена в конечной части плоскости. Когда же 6-угольник, деформируясь, приближается к правильному, то прямая Паскаля начинает удаляться и в пределе «уходит в бесконечность». Правильный описанный 6-угольник дает пример теоремы Брианшона (черт. 35). Три диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке О в центре окружности. Если бы 6-угольник не был правильным, то точка О пересечения этих трех диагоналей все равно суще-

Черт. 34. Черт. 35.

ствовала бы, но она вообще не совпадала бы с центром круга.

Стоит напомнить, что прямые—стороны описанных многоугольников, т. е. касательные к окружности, — это прямые пучка 2-го порядка, образа двойственного кривой 2-го порядка. Таким образом, каждой теореме Паскаля о вписанном я-угольнике 6) сейчас же по принципу двойственности отвечает теорема Брианшона об описанном я-угольнике (ai<6).

Известное свойство окружности (как геометрического места точек, из которых заданный отрезок виден под постоянным углом) позволяет взглянуть на определение окружности с проективной точки зрения (черт. 36). Легко заметить, что Z (ab) = Z (a'br), Z (be) = /_(Ь'с') и т. д. Действительно, из треугольников AMR и BRN имеем: ZAMB= ZANB (по свойству окружности), /^MRA = = ZNRB (как вертикальные), т. e.Z(aô) = Z (а'б').Из треугольников ANS и BSP имеем:

ZAMB = ZAPB (по свойству окружности) ZNSA= ZPSB (как вертикальные), т. е. Z (be) = Z (b'c') и т. д.

Таким образом, пучки с центрами в точках А и В проективны, так как сложные отношения соответственных четверок лучей будут одинаковы

Итак, окружность определена как геометрическое место точек пересечения соответственных прямых двух проективных пучков.

Большую роль играет проективная геометрия в выяснении природы измерения. С аксиоматической стороны возможность измерения длин и углов вытекает из аксиом, рассматриваемых в курсе оснований геометрии. Проективная геометрия показывает, что измерения воз-

Черт. 36.

никают только в результате наличия несобственных или иначе «бесконечно удаленных» элементов в плоскости или в пространстве. В проективной плоскости, или в проективном пространстве, все точки, прямые и плоскости равноправны, поэтому там никаких измерений нет, так как их «не с чем связать». Как только возникают несобственные «бесконечно удаленные» плоскости, прямые и точки, так сейчас же возникают измерения, так как длина отрезка и величина угла это характеристики взаимоотношения отрезков и углов с несобственными элементами плоскости или пространства. При этом если мы введем различные несобственные элементы, то и определяемые ими измерения длин и углов будут осуществляться по-разному, а следовательно, и геометрии, определяемые ими, будут различными. Так возникают геометрии Эвклида, Лобачевского и Римана. Таким образом, самое интересное заключается здесь в том, что самые основные понятия метрической, т. е. измерительной, геометрии: «длина отрезка» и «величина угла» — связаны с «бесконечно удаленными» элементами, которых, по сути дела, реально нет в метрической плоскости или в метрическом пространстве. В проективной геометрии (напр., Н. А. Глаголев, Проективная геометрия, 1935 г.) выводятся формулы для угла (ab) между прямыми а и b и длины AB отрезка AB:

где под знаком логарифма стоят сложные отношения, А и В — концы отрезка, а и b — поляры точек А и В относительно несобственной кривой 2-го порядка, t\ и t2 — касательные к кривой, проходящие через точку Р — полюс прямой AB, на которой лежит отрезок АВ\ Т{ и Т2— полюса прямых t{ и t2 (черт. 37).

Из этих общих формул при выборе соответствующих значений k и вида несобственной кривой мы можем получить плоскости Эвклида, Лобачевского и Римана и формулы для измерения в них длин и углов. Мы получаем эвклидову плоскость, когда несобственная кривая распадается на дважды взятую несобственную прямую, плоскость Лобачевского, когда рассматривается внутренняя область действительной несобственной кривой, и плоскость Римана, когда несобственная кривая — мнимая.

В случае эвклидовой геометрии (несобственная кривая превращается в дважды взятую несобственную прямую, с абсолютной инволюцией на ней), как можно показать подсчетом, приведенные формулы упрощаются, и формула для длины отрезка принимает вид:

(черт. 38), где А и В — концы отрезка, Е — единичная точка, С — точка пересечения прямой AB с несобственной прямой плоскости. Если точка С «уходит в бесконечность», то мы имеем:

где АЕ играет роль единичного масштабного отрезка. Формула для угла принимает вид:

где W — есть сложное отношение четырех прямых — двух сторон угла и двух прямых y = ix и у =—ix, направленных из вершины угла в две мнимые, так называемые циклические точки плоскости, т. е. в те мнимые точки, в которых окружность пересекает «бесконечно удаленную» прямую. Угол ф измеряется по этой формуле в радианной мере. Так как W комплексное, то вся величина угла ф оказывается действительной. Итак, в пределе из общих формул мы получаем наши обычные формулы для измерения длин и углов в эвклидовой геометрии.

Черт. 37. Черт. 38.

Важную роль играет проективная геометрия в вопросах черчения и начертательной геометрии. Впрочем, это естественно. Начертательная геометрия есть по существу одна из глав проективной геометрии. В черчении существуют следующие способы построения эллипса и параболы. Эллипс строится так: Строим прямоугольник (черт. 39) ABCD. Его стороны AB, ВС, CD и DA делим пополам точками Su U, S2, V и проводим прямые S\S2 и UV. Точку их пересечения назовем О. Отрезки BU и OU делим каждый на одно и то же число равных между собой частей и нумеруем их, как показано на чертеже. Теперь находим точки пересечения прямых:

Теперь мы можем утверждать, что точки Su Р, Q, R, U принадлежат эллипсу. Соединяя их плавной кривой, получим четверть эллипса. Также строят и остальные три его четверти. Действительно, ряды BU и OU точек перспективны, так как образованы сечением прямых BU и OU пучком параллельных прямых (черт. 40). Следовательно, пучки Si (SiO, Sil, Si2 ...) и S2(S20, S21, S22 ...) проективны. Точки пересечения их соответственных пря-

Черт. 39.

Черт. 4Ü. Черт. 41.

мых образуют кривую 2-го порядка. Но если эта кривая вся заключена внутри прямоугольника, то она — эллипс.

Если бы прямоугольник A BCD был квадратом, то это построение дало бы нам окружность. Если бы точка S2 ушла в бесконечность, то наше построение дало бы параболу (черт. 41). Итак, построения, выполняемые в черчении, основаны на свойствах проективных пучков.

Существует следующий способ построения эллипса по его касательным. Продолжим две противоположные стороны АВ{ и C\D четырехугольника ABXCXD (черт. 42). Откладываем на стороне АВ\ от точки Si отрезки

SXBX = OU, SXB2 = 2 • OU, SXB3 = з.ои,

На стороне C\D от точки S2 откладываем отрезки

Строим прямые В\С\, В2С2, В$СЪу... Эти прямые будут касательными к эллипсу, так как нетрудно установить, что они будут прямыми пучка 2-го порядка, поскольку соединяют пары соответственных точек двух проективных рядов

Sx, Bv В2 » В3, • • • и S2, Cj, С2, С3, . • •

(Проективность рядов нетрудно проверить, составив сложные отношения соответственных четверок точек и помня, что точке Вп отвечает точка Сп и что отрезку SlBn =n-OU отвечает отрезок S2Cn—- OU). Проводя (от руки) кривую, касающуюся прямых ВпСп (п=* 1,2,3...), получаем эллипс.

В любом стереометрическом чертеже, который учитель выполняет на школьной доске, явно или неявно, но

Черт. 42.

всегда присутствует важнейшая теорема аффинной геометрии—теорема Польке —Шварца. Эта теорема говорит, что любые три отрезка, выходящие из одной точки и лежащие в одной плоскости, можно рассматривать как параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, исходящих из одной точки в пространстве (черт. 43,а). Эта теорема отвечает, например, на такие вопросы: можно ли (черт. 43) фигуру (Ь) считать чертежом куба, прямую SH фигуры (с)—высотой пирамиды, а фигуру (d) — изображением шара?

Теорема Польке — Шварца говорит: если эти фигуры изображены в параллельной проекции, то можно считать, что они изображают названные фигуры. Другое дело, что эти изображения непривычны для глаза, и мы стараемся на доске выполнять чертежи этих фигур в более привычном виде. Но важно, что право выбора способа изображения и законность выбора оправдываются этой теоремой.

Большую роль играет дифференциальная геометрия в вопросах элементарной математики. Прежде всего построение графиков связано с проведением касательных и исследованием на особые точки. Правда, в школе эти исследования не проводятся, и учитель сообщает учащимся готовые результаты, но сам он должен уметь провести такое исследование, если понадобится дома, при подготовке к уроку.

Очевидно, например, что, строя графики даже таких простых функций, как у=хг, у=х%, y=igx, мы без подробного дифференциально-геометрического исследования не можем сказать, как, например, ведут себя эти кривые в начале О координат. То, что первая кривая касается в этой точке оси ОХ, а не пересекает ее, а третья пересекает ее, но не касается, нельзя определить, давая |*| малые числовые значения, так как мы никогда не будем знать, как ведет себя кривая при еще меньших значениях |*|, которые еще ближе к 0. Только отыскивая тангенсы углов

Черт. 43.

наклона касательных к этим кривым (т. е. производные) в начале координат, мы видим, что для кривой у = хъ тангенс угла наклона касательной равен tga = ~ =3х2 и при х = 0 дает tga = 0, т. е. кривая касается оси ОХ. Для кривой y = tgx тангенс угла наклона касательной будет: tga= — =—— и при х = 0 имеем: tga=l, т. е. тангенсоида пересекает в начале О координат ось ОХ под углом в 45°. Для второй кривой имеем:

Откуда при х = 0 имеем:

Это значит, что полукубическая парабола касается в своей особой точке в начале О координат оси ОХ (черт. 44).

Все это типичные элементарные дифференциально-геометрические исследования.

В стереометрии мы рассматриваем поверхности круглых тел. Но поверхности цилиндра и конуса, если их разрезать, например, по образующим, развертываются на плоскость. И это обусловливает простые формулы для их боковых поверхностей.

где R— радиус основания, / — длина образующей.

Возникает вопрос, можно ли так разрезать шаровую поверхность, чтобы ее без складок и разрывов тоже развернуть на плоскость? Ясно видно, что если шаровую поверхность разрезать, например, по меридиану пополам, то обе половины сферы не лягут на плоскость. Но может быть сферу можно разрезать как-то иначе и притом на много частей так, чтобы каждая из них могла без складок и разрывов лечь на плоскость? Теория поверхностей дает на этот вопрос решающий ответ: поскольку первые квадратичные формы сферы и плоскости никакими преобразованиями своих переменных не могут быть приведены к одинаковому виду, постольку никакая часть сферы не может быть наложена на плоскость.

Отсюда, в частности, возникает так называемая картографическая проблема. Дело заключается в следующем. Если бы часть сферической поверхности можно было наложить на плоскость (без растяжения и сжатия), то географическая карта представляла бы собой просто уменьшенное изображение соответствующей области земного шара. Однако, как мы видели, этого сделать нельзя. Поэтому точно изобразить часть земной поверхности на плоскости невозможно. Вот простейший пример. На чертеже 45 изображен прямоугольный равносторонний сферический треугольник ABC, охватывающий одну восьмую часть шара; сторонами его являются дуги больших кругов. Как его изобразить на плоскости? Если кратчайшие пути на сфере между его вершинами, т. е. его стороны (дуги больших кругов), изобразить кратчайшими линиями на плоскости, то полученный нами прямолинейный равносторонний треугольник на плоскости будет иметь углы по 60°, а не по 90° как на сфере. Итак, углы исказились. Если углы сохранить, то изображения сторон станут криволинейными, и мы получим треугольник, где придется считать, что дуга А'В' короче хорды А'В\ ибо дуга А/В/ изображает кратчайшую дугу AB на сфере, а хорда А'В' изображает какую-то сфериче-

Черт. 44.

Черт. 45.

скую линию большей длины. Итак, точного, без искажений, изображения сферической области на плоскости получить нельзя. Изображение на карте неизбежно искажает какие-то черты объекта на сфере.

Специальная наука — картография — занимается изысканием таких способов изображения областей земли на карте, при которых в зависимости от потребностей карты те или иные элементы изображения (длины, углы, площади) искажались бы возможно меньше (за счет искажения других). В этом примере мы вышли из области математики в область географии. Впрочем, это закономерно. Ведь географическая карта встречается всюду: на уроках географии и истории, на страницах газет. Картографическая задача с математической стороны достаточно сложна, и учитель математики в этом вопросе должен быть, вероятно, не менее сведущим, чем географ. Вот еще пример близости высшей и элементарной математики: изучаемые в высшей математике кривые — эллипс, гипербола и парабола — получаются в сечении известной в школе поверхности прямого кругового конуса плоскостью (черт. 46). Если же на плоском листе бумаги начертить прямую линию и свернуть этот лист в цилиндрическую трубку, то прямая превратится на цилиндре в пространственную кривую — в винтовую линию, свойства которой рассматриваются в дифференциальной геометрии (черт. 47).

На уроках физики достижения высшей математики используются очень часто: хорошо известная формула

для периода небольших качаний маятника

Черт. 46. Черт. 47.

есть по существу следствие из приближенного решения дифференциального уравнения колебаний маятника:

где а — угол отклонения маятника, / — его длина, g — ускорение силы тяжести, t — время (черт. 48). При очень малых углах а отклонения маятника (когда можно положить, что sina^a) уравнение принимает вид: —р*.

и мы получаем записанную формулу для периода. Интегрирование написанного выше точного уравнения выполняется в эллиптических функциях.

Длина дуги AB эллиптической орбиты небесного тела выражается тоже через эллиптические интегралы, а определение площади эллиптического сектора SAB (где S — Солнце), о котором идет речь в законах Кеплера, тоже требует интегрирования (черт. 49). Так же точно вычисление работы переменной силы на некотором пути снова требует интегрирования.

Мы здесь отметили лишь некоторые связи между элементарной математикой и высшей. Одни из этих связей выступают явно, другие обнаруживаются при более внимательном рассмотрении. Как бы то ни было, но они показывают, что учитель изучает высшую математику не напрасно. Она не только расширяет его кругозор, но и отвечает на ряд конкретных вопросов, которые перед ним ставит преподавание элементарной математики в средней школе.

Черт. 48. Черт. 49.

Наша беседа с читателем подходит к концу. Основная цель ее — попытаться поставить решение педагогических (методических) проблем обучения на научную почву, попытаться наметить их решения в соответствии с требованиями психологии и педагогики, показать тесную связь между подготовкой учителя в вузе и его работой в средней школе. Учащийся как человек— его мышление, память, интересы — вот что должно интересовать педагога. Как учащийся усваивает математику, что и почему его затрудняет, как преодолеть эти затруднения — вот о чем должен все время думать учитель.

Эта книга — призыв к действию. Нужно развивать теорию методики, составлять учебники, задачники, учебные пособия, решительно преодолевая устарелые традиции, смело выдвигать те мероприятия, которые диктуют наука и практика. В отношении средней школы — слово за учителем. Никто лучше него не знает ее потребностей и ее учащихся. От его творческой инициативы зависит усовершенствование преподавания математики в нашей школе, а в конечном итоге — культурный прогресс нашей страны.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора.............«... 3

Глава I. Об основах методики обучения математике , . 5

Глава II. Педагогические и психологические предпосылки методики................ 34

Г лава III. Математическое мышление........ , . . 60

Глава IV. О некоторых вопросах преподавания математики в школе ... .141

Михаил Владимирович ПОТОЦКИЙ О педагогических основах обучения математике

Редактор Г. С. Уманский Художник M. H. Гозенпут Художественный редактор Б. Л. Николаев Технический редактор H. Ф. Макарова Корректор К. А. Иванова

Сдано в набор 13/11 1963 г. Подписано к печати 2/VII 1963 г. 84X108V32. Печ. л. 12,5 (10,25). Уч.-изд. л. 10,31. А 06818. Тираж 42 тыс. экз. Заказ 305.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Полиграфический комбинат Приволжского совнархоза, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Цена 28 коп.