ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

СЧЕТ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ПЕРВОМ КЛАССЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

МОСКВА • 1948 • ЛЕНИНГРАД

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

Г. Б. ПОЛЯК

СЧЕТ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ПЕРВОМ КЛАССЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1948 Ленинград

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

I. Введение....................... 3

II. Обучение счету................... 9

Система расположения учебного материала...... —

Обучение вычислительным приемам.......... 19

Закрепление счетных навыков учащихся....... 45

Первый десяток.................... 66

Второй десяток.................... 86

Первая сотня..................... 109

III. Обучение решению задач............... 116

Простые задачи.................... —

Составные задачи................... 140

IV. Учет успеваемости.................. 181

V. Работа с семьей.................... 191

VI. Краткие выводы ................... 195

Библиография.................... 199

Отв. редактор М. А. Мельников. Техн. редактор В, П. Гарнек А-00879. Подписано к печ. 2/II 1948 г. 12,5 п. л. Уч.-изд. л. 10,17.

_Тираж 15.000 экз. Заказ № 1636_

2-я ф-ка деткниги Детгиза Министерства Просвещения РСФСР. 2-я Советская, 7

Отпечатано с матриц во 2-й типографии Управления Воениздата МВС СССР имени К. Ворошилова. Зак, № 769

I. ВВЕДЕНИЕ

Вопросы обучения счету и решению задач в I классе в достаточной мере освещены в нашей литературе. К сожалению, работы, трактующие эти вопросы, имеют в виду преимущественно детей 8-летнего возраста, которые до 1944 г. составляли основной контингент учащихся I класса. Что же касается детей 7-летнего возраста, которыми комплектуются теперь первые классы нашей школы, то методика их обучения пока очень слабо разработана. Переносить дидактические приемы, рекомендуемые для занятий с детьми 8-летнего возраста, на семилетних детей, очевидно, нельзя, ввиду естественного различия в умственном развитии детей данных возрастов.

Это различие ярко выявилось в результате проведенною нами в конце августа — начале сентября 1944 г. изучения числовых представлений поступавших в московские школы детей семи- и восьмилетнего возраста, которые обследовались нами по одному и тому же плану, включавшему 16 вопросов. Последние предлагались каждому испытуемому в индивидуальном порядке.

Приводим полученные нами результаты (см. таблицу 1 на стр. 4—6).

Из таблицы видно, что восьмилетние дети давали лучшие ответы, по сравнению с детьми семилетнего возраста, на все вопросы, входившие в план обследования.

Дети восьмилетнего возраста умеют считать в более широких границах, лучше знают цифры. Восьмилетки заметно лучше семилеток решали в уме предложенные им примеры и задачи. Особенно это обнаружилось в их ответах на вопросы №№ 4, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 15, 16. Так, пример «К 2 палочкам прибавить 3» решали в уме 48,4% восьмилеток и 34,2% семилеток. Пример «К 7 палочкам прибавить 1» решали в уме 59,4% восьмилеток и 41% семилеток и т. д.

Таблица 1

Результаты изучения числовых представлений у детей, поступающих в I класс

(Всего было охвачено 266 детей, из них 202 семилетних и 64 восьмилетних)

Вопросы, предлагавшиеся каждому испытуемому

Качество ответов

% детей давших эти ответы

7-летнего возраста

8-летнего возраста

1. Сосчитай, сколько тут шариков (на счетах)

Умеют считать:

Не свыше 5......

. . ю......

20......

. . 50......

. . 100 ......

Свыше 100........

0,5 14,4 31,8 29,7 22,3

1,5

10,9 12,5 34,4 39,0 3,1

2. Какая это цифра?

Знают все цифры ....

„ некоторые цифры .

Не знают ни одной цифры

28,7 46,0 25,2

57,8 26,6 15,6

3. К 4 палочкам прибавить 1. Сколько получится?

Сосчитали в уме .....

„ на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах ......

54,0 30,2

15,8

60,9 26,6

12,5

4. К 2 палочкам прибавить 3. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

• на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах ......

34,2 36,1

29,7

48,4 26,6

25,0

5. К 7 палочкам прибавить 1. Сколько получится?

Сосчитали в уме .....

, на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

41,0 33,7

25,2

59,4 26,6

14,0

Продолжение

Вопросы, предлагавшиеся каждому испытуемому

Качество ответов

% детей давших эти ответы

7-летнего возраста

8-летнего возраста

6. К 6 палочкам прибавить 3. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

. на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах ......

25,2 30,7

44,1

34,4 40,6

25,0

7. К 8 палочкам прибавить 4. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

. на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

9,4 16,8

54,0

26,6 25,0

48.6

8. Мальчик сорвал на одной грядке 2 огурца, на другой—3. Сколько всего огурцов сорвал он?

Сосчитали в уме.....

„ на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах.......

35,1 42,5

22,3

40,6 29,7

29,7

9. От 3 палочек отнять 1. Сколько получится?

Сосчитали в уме .....

, на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

45,1 32,2

22,8

50,0 35,9

14,0

10. От 4 палочек отнять 3. Сколько получится?

Сосчитали в уме ......

, на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

29,7 34,7

35,6

37,5 26,6

35,9

11. От 7 палочек отнять 1. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

, на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах ...

29,2 30,7

40,1

35.9 34,4

29,7

Продолжение

Вопросы, предлагавшиеся каждому испытуемому

Качество ответов

% детей давших эти ответы

7-летнего возраста

8-летнего возраста

12. От 8 палочек отнять 3. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

„ на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

9,4 34,7

55,9

21,9 45,3

32,8

13. От 11 палочек отнять 2. Сколько получится?

Сосчитали в уме .....

, на пальцах • .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

8,4 10,9

58,4

20,3 10,9

68,8

14. Девочка сняла с грядки 7 морковок. Одну морковку она съела. Сколько морковок осталось?

Сосчитали в уме.....

, на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

41,0 32,7

26,2

48,4 28,1

23,4

15. Взять 2 раза по 4 палочки. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

. на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

12,4 14,9

56,4

26,6 20,3

53,1

16. 10 палочек разделить на 2 равные части. Сколько получится?

Сосчитали в уме.....

. на пальцах . .

Не сумели сосчитать даже на пальцах .......

11.4 15,3

54,0*

20,3 29,7

50,0

* Вопросы №№ 7, 13, 15 и 16 считались дополнительными и, как таковые, предлагались не всем испытуемым, а лишь тем из них, кто удовлетворительно справился с основными вопросами.

Дело, однако, не только в более слабом развитии числовых представлений семилетних детей. Как показывает опыт, успешность обучения семилеток арифметике тормозится еще рядом факторов, важнейшими из которых являются следующие: ограниченность жизненного опыта многих детей этого возраста и, как следствие, ограниченный круг их представлений об окружающей жизни, более слабое, по сравнению с восьмилетками, развитие их мышления, воображения и речи, рассеянность внимания, быстрая утомляемость, медленный темп работы.

Очевидно, что применявшаяся в I классе методика обучения счету и решению задач должна быть приспособлена к уровню развития нового состава учащихся этого класса. Чтобы выявить особенности этой методики, мы организовали опытную работу в шести первых классах московских школ №№ 113, 64 и 71 (преподавательницы И. В. Архангельская, М. А. Печинская, М. А. Ефремова, А. П. Головачева, Е. И. Чеснова и К. С. Катасова).

Эти классы имели в своем составе детей исключительно 7-летнего возраста. Работа велась под руководством Кабинета методики начального обучения Института методов обучения. Это руководство осуществлялось путем устного инструктажа учителей, печатных инструктивных (материалов, а также через посредство опытных уроков.

Основным методом исследования, которым мы пользовались в нашей работе, было систематическое наблюдение. Лишь некоторые вопросы, входившие в нашу тему, были подвергнуты экспериментальному изучению (роль зрительного и слухового восприятия числовых данных при решении примеров, сравнительная решаемость примеров при полной и краткой записи решения и др.).

Регулярно проводился учет знаний учащихся, а также индивидуальное изучение детей, отстававших по арифметике.

Помимо опыта названных выше школ, нами был изучен опыт ряда школ Киевского района Москвы (школ №№ 57, 60, 70, 73, 76 и некоторых других), а также школ Борского района Горьковской области,

куда выезжала научная экспедиция Института методов обучения АПН.

Кроме того, была изучена литература по вопросам обучения начальной арифметике.

В дальнейшем изложении мы намерены, опираясь на собранный материал, остановиться сперва на методике обучения счету, понимая под этим обучение нумерации и действиям, а затем на методике решения задач.

II. ОБУЧЕНИЕ СЧЕТУ

Система расположения учебного материала

Основные концентры программы I класса. При введении всеобщего обучения с семилетнего возраста программа I класса по арифметике, в свое время составленная в расчете на восьмилетних детей, была первоначально оставлена без изменения. Лишь в 1946 г. она была сокращена путем исключения из нее сложения и вычитания в пределе 100, деления по содержанию и задач в три действия.

Сокращение программы I класса следует считать вполне правомерным, так как прежняя программа, как показал опыт обучения семилеток в течение 1944/45 и 1945/46 уч. гг., оказалась явно непосильной для нового контингента учащихся I класса.

Новая сокращенная программа этого класса включает, таким образом, следующие три концентра:

первый десяток (нумерация, сложение и вычитание),

второй десяток (нумерация и четыре действия),

первая сотня (нумерация и четыре действия над круглыми десятками).

Ступени обучения вычислениям. Методически последовательное расположение учебного материала — один из важнейших факторов успешного обучения вычислениям.

Рассмотрим, как следует располагать учебный материал внутри каждого концентра, иначе говоря, на какие ступени1 следует разбивать каждый концентр. Этот вопрос, освещению которого уделено много места в руководствах по методике арифметики, остается до

1 Мы пользуемся здесь термином, введенным С И. Шохор-Троцким.

сих пор спорным, о чем свидетельствует несогласие различных авторов в установлении ступеней обучения действиям.

Возьмем для примера действия «Сложение и вычитание в пределе 20», входящие в состав концентра «Второй десяток».

В то время как одни авторы рекомендуют раздельное изучение этих действий (рассмотрение всех случаев сложения и лишь после этого переход к вычитанию), другие авторы считают целесообразным изучать сложение и вычитание параллельно, а именно рассмотреть сложение без перехода через десяток, затем вычитание без перехода через десяток, потом сложение с переходом через десяток и, наконец, вычитание с переходом через десяток. Некоторые сторонники параллельного изучения названных действий идут еще дальше, рекомендуя чередовать каждый случай сложения с соответствующим случаем вычитания. Приведем для примера предлагаемый некоторыми авторами порядок изучения сложения и вычитания в пределе 20 с переходом через десяток:

1. Прибавление однозначного числа к 9, например: 9 + 2; 9 + 5; 9+3; 9 + 6.

2. Вычитание однозначного числа из двузначного, когда в остатке получается 9, например: 11—2; 13 — 4; 16 — 7; 12 — 3.

3. Прибавление однозначного числа к 8, например: 8 + 3; 8 + 6; 8 + 4.

4. Вычитание однозначного числа из двузначного, когда в остатке получается 8, например: 11 —3; 13 — 5; 12 — 4.

5. Прибавление однозначного числа к 7, например 7 + 4; 7 + 6;, 7+9.

6. Вычитание однозначного числа из двузначного, когда в остатке получается 7, например: 11 —4; 13 — 6; 15 —8, 12 —5 и т. д.

В целом обучение сложению и вычитанию в пределе 20 с переходом через десяток распадается здесь больше, чем на 10 ступеней.

Попытаемся выяснить, чем следует руководствоваться при установлении ступеней обучения арифметическим действиям.

Как известно, при выполнении действий над числами последние чаще всего разбивают на части, над которыми легко произвести требуемое действие, например, при сложении 7 и 12, вместо присчитывания к 7 двенадцати единиц по одной, обычно разбивают 12 на 10 и 2, затем складывают 7 и 2 и полученный результат (9) прибавляют к 10, получается 19. При вычитании 8 из 15, вместо отсчитывания от 15 восьми единиц по одной, разбивают число 8 на числа 5 и 3 и последовательно отнимают последние от 15 (15|—5=10; 10—3=7).

Способ разбивки данных чисел на части и порядок выполнения действия над полученными частями принято называть вычислительным приемом.

Обучение каждому действию сводится к обучению соответствующим вычислительным приемам. В отдельную ступень следует поэтому выделять лишь те случаи данного действия, которые выполняются с помощью особого вычислительного приема.

С этой точки зрения следует все случаи сложения в пределе 20 с переходом через десяток отнести к одной ступени, так как они выполняются с помощью одного приема. На этом основании следует отнести к одной ступени и все случаи вычитания в пределе 20 с переходом через десяток. При выделении же ступеней, установленных для данных действий в некоторых задачниках, их авторы руководствуются не вычислительными приемами, которым должны быть обучены дети, а малосущественными обстоятельствами (величиной данных чисел или результата действия)1. Легко видеть, что при такой системе изучения этих действий учащиеся воспринимают вычислительный прием, применяемый при прибавлении однозначных чисел к 9, как отличный от того, который применяется при прибавлении однозначных чисел к 8. В свою очередь прием, используемый при прибавлении однозначных чисел к 8, воспринимается ими как отличный от того, который используется при прибавлении однозначных чисел к 7 и т. д. Таким образом, при изучении сложения и вычитания в пределе 20 учащиеся как бы должны здесь усвоить свыше 10 вычислительных

1 Как мы видели, выше (см. стр. 10), случаи сложения выделяются в особые ступени в зависимости от величины первого слагаемого, а случаи вычитания — в зависимости от величины остатка.

приемов вместо двух. Это может значительно затруднить усвоение этих действий. На усвоении вычислительных приемов отрицательно сказывается также частый переход от сложения к вычитанию, имеющий место при этой системе, так как, не успев усвоить прием сложения, учащиеся переходят к вычитанию, затем — после решения нескольких примеров на это действие — они возвращаются к сложению и т. д. Очевидно, что усвоение приемов этих действий было бы значительно облегчено, если бы учащиеся сначала упражнялись в применении только приема сложения (к различным случаям этого действия, расположенным в определенной последовательности) и лишь после основательного усвоения этого приема перешли к вычитанию.

При выделении ступеней обучения отдельным действиям некоторые авторы исходят из необходимости установления тесной связи между взаимообратными действиями (сложением и вычитанием, умножением и делением).

Параллельное изучение взаимообратных действий, несомненно, полезно: оно способствует пониманию особенностей каждого действия, зависимости между их данными и результатами, вносит разнообразие в занятия по арифметике, в частности в решение задач.

При раздельном изучении взаимообратных действий учащиеся в течение сравнительно долгого времени решают примеры и задачи только на одно определенное действие. Это делает занятия по арифметике однообразными и утомительными для учащихся. Кроме того, поскольку в это время решаются задачи на одно определенное действие, учащиеся могут решать их чисто механически.

Эти положения следует в определенной мере учитывать при установлении ступеней обучения действиям. Но решающее значение имеют здесь вычислительные приемы.

Мы сравнительно подробно остановились на ступенях обучения сложению и вычитанию в пределе 20 с переходом через десяток.

Принципы, из которых мы исходили при выделении этих ступеней, применимы и к другим действиям: при обучении каждому из них следует избегать излишней многоступенчатости, руководствуясь при выделении

ступеней теми вычислительными приемами, которыми должны овладеть учащиеся так, чтобы каждая ступень охватывала новый для учащихся вычислительный прием.

В арифметике каждая следующая ступень основана на предыдущих: действия в пределе 20 сводятся к действиям в пределе 10, действия в пределе 100 — к действиям в пределе 20, умножение сводится к сложению и т. д. При обучении арифметике следует поэтому соблюдать строжайшую методическую последовательность, переходя к новой ступени, а в особенности к новому концентру, лишь после основательного усвоения учащимися материала предыдущих ступеней и концентров.

Особо следует подчеркнуть важность основательного усвоения сложения и вычитания в пределе 10 для успешного изучения сложения и вычитания в пределе 20 и круглых десятков в пределе 100 и, далее, важность прочного усвоения сложения и вычитания в пределе 20 для успешного изучения умножения и деления в пределе 20 и круглых десятков в пределе 1001.

Переход к сложению и вычитанию в пределе 20, когда еще недостаточно хорошо усвоены сложение и вычитание в пределе 10, точно так же, как переход к умножению и делению в пределе 20, когда дети еще недостаточно владеют навыками сложения и вычитания в последнем пределе, может резко отрицательно сказаться на успешности обучения данному предмету, так как при слабом знании основ учащиеся не могут успешно усвоить последующий программный материал.

Незачем распространяться о значении сознательного и прочного усвоения нумерации для успешного усвоения действий.

Наблюдения, а также анализ ученических работ показывают, что многие ошибки учащихся являются результатом слабого знания нумерации. Приведем образцы ошибок, допущенных некоторыми учащимися в примерах на сложение и вычитание:

1 Мы здесь не касаемся значения прочного усвоения сложения и вычитания в пределе 20 для успешного изучения сложения и вычитания в пределе 100, исходя из того, что последние действия не изучаются в I классе.

Эти ошибки являются следствием того, что учащиеся путают 30 и 13, 60 и 16, 70 и 17. (Приведенные ошибки взяты из ученических работ I и II класса, относящихся к тому времени, когда уже была пройдена нумерация в пределе 100.)

Изучению действий в любом пределе должно предшествовать самое основательное изучение нумерации в данном пределе.

Мы решительно высказались выше за необходимость соблюдения строжайшей системы в расположении программного материала по арифметике, в частности за переход к новым концентрам и ступеням лишь после основательного усвоения материала предшествующих концентров и ступеней. Настаивая на строгом соблюдении этих положений, мы считаем возможным и даже необходимым отступить от них в отношении нумерации в пределе 20 и 100. Опыт показал, что с нумерацией в пределе 20 целесообразно исподволь знакомить учащихся уже при изучении действий в пределе 10, а с нумерацией в пределе 100 — при изучении действий в пределе 20. Необходимость такого постепенного ознакомления с нумерацией чисел следующего концентра задолго до перехода к этому концентру вызывается тем, что для детей, которые приходят в школу со слабыми представлениями в этой области (а таких среди семилеток немало), усвоение нумерации — длительный процесс. В течение немногих уроков, которые отводятся на изучение нумерации, такие дети не могут хорошо усвоить ее. (В особенности это касается нумерации в пределе 100.) Целесообразно, поэтому, параллельно с изучением действий в пределе данного концентра, постепенно знакомить детей с нумерацией чисел следующего концентра. Необходимость более раннего ознакомления с нумерацией в пределе 20 и 100 вызывается, между прочим, и тем обстоятельством, что дети должны записывать даты, читать и записывать номера задаваемых задач и примеров и т. д.

Ознакомление с нумерацией чисел следующего концентра, само собою разумеется, возможно лишь после того как учащиеся овладели нумерацией чисел данного концентра. В нашем опыте постепенное ознакомление с нумерацией в пределе 20 стало практиковаться тогда, когда изучались последние случаи сложения и вычита-

ния в пределе 10 (случаи прибавления и вычитания 7, 8 и 9), а ознакомление с нумерацией в пределе 100 стало вводиться после перехода к изучению умножения и деления в пределе 20, для чего периодически выделялось по несколько минут в конце урока.

Следует отметать, что дети проявляли большой интерес к изучению нумерации чисел следующего концентра. В результате длительного изучения чисел и действий в пределе данного концентра у учащихся под конец притупляется интерес к нему. Ознакомление с нумерацией чисел следующего концентра поэтому положительно воспринималось ими.

Связь между отдельными ступенями. Для успешного обучения действиям большое значение, наряду с рациональным выделением ступеней, имеет связь между отдельными ступенями. Чтобы этого достигнуть, следует при прохождении каждой данной ступени иметь в виду знания и навыки, которые потребуются от учащихся при прохождении следующих ступеней с тем, чтобы заблаговременно подготовлять детей к ним.

Особое внимание следует в этом плане уделять подготовке к умножению и делению в процессе изучения сложения и вычитания. Для этого целесообразно при изучении сложения и вычитания широко применять групповой счет (прямой и обратный счет группами единиц), например: к 2 прибавлять по 2, пока не получится 20, к 3 прибавлять по 3, пока не получится 18..., от 20 отнимать по 2, пока ничего не останется (пока не получится 0)..., к 20 прибавлять по 20, пока не получится 100 и т. д.

При изучении сложения и вычитания в любом пределе (будь то числа в пределе 10, 20 или 100) полезно возможно чаще предлагать учащимся упражнения в сложении одинаковых слагаемых, а также в последовательном «вычитании одного и того же числа, например:

Для усвоения сложения в равной степени полезны примеры с одинаковыми и разными слагаемыми, например, 8+5 и 8+8. Но сложение одинаковых слагаемых

не только способствует закреплению навыка сложения, но и подготовке к умножению и, как следствие, к делению. Сказанное о сложении одинаковых слагаемых относится и к последовательному вычитанию одинаковых чисел. В процессе изучения сложения и вычитания следует поэтому уделять внимание решению соответствующих примеров, чтобы исподволь создавать базу для успешного изучения умножения и деления.

Для лучшей подготовки учащихся к последующим ступеням важное значение также имеет рациональный выбор вычислительных приемов.

Каждое арифметическое действие может выполняться с помощью различных приемов. Возьмем пример J 5 — 9 на вычитание в пределе 20 с переходом через десяток. Этот пример может быть решен с помощью ряда приемов:

Анализируя приведенные приемы, мы видим, что последний из них целесообразно применять при решении ограниченного круга примеров (при решении примеров, в которых вычитаемое близко к 10). Что же касается остальных 2 приемов, то они применимы при решении любого примера на это действие. Первые 2 приема можно поэтому назвать общими, в отличие от последнего, который является частным приемом данного действия.

Каким приемам — общим или частным — следует отдавать предпочтение при обучении действиям?

Так как общие приемы применимы к любым числам, то с их помощью можно решать любые примеры, в том числе примеры, при решении которых возможно применение частных приемов. Главное внимание следует поэтому уделять общим приемам. Но частные приемы облегчают в ряде случаев выполнение арифметических действий. Кроме того, они содействуют изучению зависимости между данными и результатами действий, подготовляют к изучению законов и свойств действий, развивают сообразительность учащихся. Поэтому, наряду с общими приемами, следует уделять внимание и част-

ным приемам с тем, однако, чтобы с последними учащиеся знакомились после того, как они основательно усвоят общие приемы.

Как мы видели выше, существует ряд общих приемов выполнения некоторых действий. Возникает вопрос: следует ли обучать всем общим приемам производства данного действия или только одному из них? Какому из этих приемов отдавать предпочтение перед другими?

Применение нескольких приемов при решении одного и того же примера дает ученикам возможность глубже осознать зависимость между данными и результатами действий, содействует развитию их математического мышления. Это, однако, может привести к тому, что учащиеся не усвоят прочно ни одного приема. При изучении каждого случая того или иного действия необходимо поэтому выбрать основной прием вычисления, которому учащиеся должны быть обучены самым основательным образом. Лишь после прочного усвоения этого приема целесообразно применять другие приемы с тем, однако, чтобы знание основного приема не было ослаблено.

При выборе основного приема для каждого действия следует, при прочих равных условиях, отдавать предпочтение приему, который находит применение и на последующих ступенях. В этом случае сокращается количество подлежащих усвоению вычислительных приемов и, как следствие, облегчается изучение действий.

Обучение вычислительным приемам имеет своей целью вооружить детей уменьем правильно и быстро находить результаты действий. Оно необходимо поэтому лишь для тех учащихся, которые либо вовсе не знают, как находить результаты данного действия, либо находят их примитивными неэкономными способами. Если же ученик знает на память результаты изучаемого действия или умеет правильно и в достаточной мере бегло находить эти результаты, пользуясь отличными от рекомендуемых учителем, но вполне рациональными приемами, — нет никаких разумных оснований настаивать, чтобы при выполнении этого действия ученик применял прием, выбранный учителем в качестве основного.

Связь между отдельными ступенями должна выра-

жаться не только в заблаговременной подготовке учащихся к последующим ступеням, но в еще большей мере в опоре при изучении нового материала на ранее пройденном. Возьмем, для примера, случай сложения двузначного числа с однозначным в пределе 100 без перехода через десяток, например: 32+5. С аналогичным случаем сложения учащиеся встречались при изучении сложения в пределе 20 (при решении примеров 12+5; 13+2 и т. п.). Эти знания учащихся должны быть в полной мере использованы при рассмотрении соответствующего случая сложения в пределе 100 так, чтобы новый вычислительный прием выступал перед детьми лишь как вариация уже известного им приема, что может значительно облегчить усвоение нового случая сложения.

Подобным образом при прохождении любой ступени следует в максимальной мере опираться на ранее приобретенные детьми знания: при изучении сложения и вычитания в пределе 20 опираться на знания, приобретенные ими при прохождении сложения и вычитания в пределе 10, при изучении умножения и деления в пределе 20 исходить из сложения и вычитания в данном пределе, действия над круглыми десятками связывать с действиями в пределе 10 (например: 2+4; 20+40; 6 — 3; 60 — 30; 2X4; 20X4; 9 : 3; 90 : 3 и т. д.).

Прежде чем приступить к обучению новому действию, следует на основе анализа вычислительных навыков, которые требуются при его выполнении, проверить, в какой мере учащиеся владеют этими навыками и, в случае выявления пробелов в их подготовке, давать им соответствующие упражнения для восполнения этих пробелов с тем, чтобы к моменту перехода к новой ступени дети были вполне подготовлены к восприятию охватываемого ею учебного материала.

Легко видеть, что при связи между новыми ступенями и ранее пройденными усвоение нового учебного материала значительно облегчается по сравнению с тем случаем, когда новые ступени, как это нередко наблюдается в школьной практике, проходятся без связи с ранее изученными.

Опора при изучении нового материала на ранее пройденный имеет особо важное значение для успешного обучения семилеток, умственное развитие которых недо-

статочно для того, чтобы они могли сами устанавливать связь между новыми действиями и ранее изученными. С подобной сравнительно сложной мыслительной работой семилетки могут справиться лишь при активной помощи учителя, который путем соответствующего подбора упражнений помогает им осознать общность вычислительных приемов, применяемых при выполнении различных случаев того или иного действия.

Многие семилетки слабо различают вычислительные приемы, которым их обучают. Это выражается в том, что при решении смешанных примеров на различные действия они часто затрудняются в выборе приема для каждого из них. Следует поэтому стремиться к максимальному сокращению количества различных приемов, которые надлежит усвоить семилеткам. Достижению этой задачи может способствовать опора при изучении новых действий на вычислительные приемы, использованное при изучении ранее пройденных действий.

Обучение вычислительным приемам

Подбор учебного материала при обучении вычислениям. Для успешности обучения вычислительным приемам важное значение имеет тщательный подбор примеров и задач на новые действия.

Прежде всего возникает вопрос, следует ли объяснение новых действий вести на задачах или на примерах?

Когда вводится новое действие, с которым учащиеся еще ни разу не встречались, например, когда впервые вводится умножение, то смысл этого действия, очевидно, легче довести до сознания учащихся при выяснении его на задачах, чем на примерах. Новый же вычислительный прием в большинстве случаев может лучше быть усвоен детьми, когда он выясняется на рационально подобранных примерах. Это не значит, что задачам не место при объяснении новых приемов. В некоторых случаях применение задач, в особенности задач, взятых из жизненного опыта детей, может существенно помочь им в усвоении нового приема. Но выбор таких задач должен быть проведен весьма тщательно, так чтобы их решение не затрудняло учащихся и тем не отвлекало внимания детей от нового вычислительного приема, который им надлежит усвоить. В противном

случае задачи могут не только не облегчить усвоения нового приема, но даже затруднить его. Задачи при объяснении новых вычислительных, приемов, таким образом, не всегда применимы.

В этом отношении нельзя принять без оговорок предложенную С. И. Шохор-Троцким «методу целесообразных задач», которая предусматривает использование задач при объяснении каждого нового случая того или иного действия. Разделяя в основном точку зрения Шохор-Троцкого на значение вводных задач при объяснении новых понятий, мы считаем невозможным распространить использование этого дидактического приема решительно на все действия. Здесь уместно сослаться на А. И. Гольденберга, который указывал, что использование задач при объяснении всех действий может привести к нарушению известного педагогического принципа «за раз преодолевать всегда только по одной трудности». Вводные задачи при объяснении новых вычислительных приемов целесообразно применять лишь тогда, когда при их помощи легче довести до сознания учащихся изучаемый прием. В других случаях объяснение следует вести на примерах.

Автор пособия «Методические разработки по математике для начальной школы» проф. П. А. Компанийц1 рекомендует следующую последовательность в переходе от задач к примерам при изучении действий в I классе. (Покажем предлагаемую им последовательность в применении к сложению в пределе 10.)

а) Задачи, в которых требуется сложить предметы, которые можно передвигать, например:

... Слева 5 кубиков, справа 2 кубика. Сколько всего кубиков?

б) Задачи, в которых требуется сложить предметы, которые видны ученикам, но которые нельзя передвигать, например:

... На одной стене класса 5 картин, на другой — 2 картины. Сколько всего картин?

в) Задачи, в которых требуется сложить предметы, которые не видны, но которые можно представить каждый в отдельности, например:

1 П. А. Компанийц, Методические разработки по математике для начальной школы, Л., 1933, стр. 17—18.

... В одной клетке 5 кроликов, в другой 2 кролика. Сколько всего кроликов?

г) Задачи, в которых требуется сложить предметы, которые не видны и которые нельзя себе представить каждый в отдельности, например:

... На платье надо 5 метров материи, на передник 2 метра. Сколько всего материи надо?

д) Отвлеченные примеры: к 5 прибавить 2. Сколько получится?

Разделяя в основном положения проф. Компанийца по этому вопросу, мы считаем необходимым указать, что подобная постепенность в переходе к решению отвлеченных примеров должна применяться с учетом подготовки и развития учащихся, так как в ряде случаев может оказаться посильным для них более быстрый переход к отвлеченным примерам. С другой стороны, при решении примеров может возникать необходимость в иллюстрировании их соответствующими задачами, в тех случаях, когда выполнение действия затрудняет учащихся и когда учитель находит, что объяснение с помощью задач может помочь детям преодолеть их затруднения.

Исключительно большое значение при подборе примеров1 на новое действие имеет соблюдение строгой методической последовательности в переходе от легких к трудным вычислениям.

Прежде всего эти примеры не должны включать никаких действий, кроме вновь изучаемого. Они должны, таким образом, содержать одно действие. Кроме того, их трудность должна нарастать очень медленно. Особое внимание следует уделять выбору первых примеров, добиваясь, чтобы вычисления, требуемые при их решении, не затрудняли учащихся с тем, чтобы они могли полиостью сосредоточить свое внимание на вычислительном приеме. Возьмем случай сложения без перехода через десяток в пределе 20. Эта ступень охватывает примеры различной степени трудности. Так, пример 12+7, при решении которого приходится к 2 прибавить 7 единиц, значительно труднее примера 12+2, где к 2 нужно прибавить всего лишь 2 единицы.

1 Сказанное здесь о примерах относится и к задачам.

Если при объяснении этого действия начать с примера 12+7, то, в силу трудности вычислений, внимание многих учащихся может быть отвлечено от вычислительного приема, который здесь применяется. Гораздо успешнее может, очевидно, пойти изучение этого действия, если в качестве первых примеров взять 15+1; 18+1; 12+2; 16+2; 14+4 и т. д., так как ввиду легкости вычислений можно успешнее сосредоточить внимание детей на изучаемом приеме.

Лучшему усвоению нового приема могут способствовать, так называемые, однородные сходные примеры, которые решаются с помощью одного и того же приема и у которых к тому же имеется много общего в данных числах, например:

Благодаря однородности приема и сходству числовых данных, учащиеся, решая такие примеры, могут легче усвоить новый прием по сравнению с тем случаем, когда им предлагаются несходные примеры. Говоря о подборе упражнений при обучении вычислениям, В. Латышев говорит: «Упражнения, предлагаемые вслед за выводом, полезно разнообразить как можно более, чтобы заставить ученика вдумываться в работу. Упражнения же, предлагаемые перед выводом, должны быть, наоборот, близки между собою, чтобы внимание учащихся могло легко сосредоточиться на общих их признаках, что и дает возможность сделать вывод»1.

Такими близкими между собою упражнениями при обучении вычислениям в I классе и являются однородные сходные примеры.

Лишь после усвоения нового приема можно перейти к решению смешанных простых примеров, требующих применения как только что изученного приема, так и ранее изученных, положим:

1 В. Латышев, Руководство к преподаванию арифметики, 2-е изд., М., 1897, стр. 152.

и, наконец, к решению составных примеров, включающих новое действие в сочетании с ранее изученными, положим:

К решению смешанных простых, а в особенности к решению составных примеров следует таким образом переходить лишь после усвоения детьми изучаемого приема. Это требование должно соблюдаться строжайшим образом, так как преждевременный переход к решению смешанных примеров тогда, когда учащиеся еще не овладели в должной мере новым приемом, может отрицательно сказаться на усвоении нового действия.

Трудность примеров и задач зависит не только от трудности вычислений, которые требуются при их решении, но и от того, видят ли учащиеся числа, над которыми они выполняют действие, или не видят их.

Когда при решении примеров или задач учащиеся имеют возможность видеть числовые данные, им легче выполнить требуемое действие по сравнению с тем случаем, когда они воспринимают числовые данные только наслух и когда они вынуждены, вследствие этого, удерживать числа в памяти. В последнем случае к памяти учащихся предъявляются чересчур большие требования: запомнить данные числа, части, на которые они расчленяются при выполнении действия, неполные результаты и т. д.

Такие требования можно, очевидно, предъявлять учащимся только после того, как они хорошо усвоили соответствующий вычислительный прием. До этого нужно давать детям возможность видеть при выполнении действия данные числа с тем, чтобы им не нужно было их запоминать и чтобы они могли, благодаря этому, полнее сосредоточить свое внимание на вычислительном приеме.

Поспешный переход от зрительного к чисто слуховому восприятию числовых данных может отрицательно сказаться на усвоении изучаемого приема.

Особенно большие затруднения представляет для семилеток слуховое восприятие таких числовых данных, которые приходится при выполнении действия расчленять на части.

Об этом свидетельствуют результаты проведенного

нами исследования сравнительной решаемости примеров при зрительном и слуховом восприятии числовых данных. Это исследование проводилось так: одни и те же примеры предлагались учащимся дважды — один раз числовые данные воспринимались ими на слух (примеры диктовались учителем), а другой раз (на следующий день) — зрительно (учитель записывал примеры на доске), при этом, чтобы получить более достоверные данные, в одном классе сперва применялось слуховое восприятие числовых данных, а потом зрительное, а в другом классе наоборот.

Как при зрительном, так и при слуховом восприятии числовых данных учащиеся, решая примеры, записывали ответы (только ответы) на листочках бумаги, которые они по окончании работы сдавали учителю.

Исследование проводилось 8—9 апреля, 17—18 апреля и 7—8 мая 1946 года: 8—9 апреля учащимся предлагались примеры на 4 действия в пределе 20, 17 — 18 апреля — примеры на 4 действия с круглыми десятками в пределе 100 и 7—8 мая — примеры на сложение и вычитание в пределе 100. (Последние действия тогда еще входили в программу I класса.)

В таблице 2 приведены данные о количестве ошибок, допущенных учащимися при зрительном и слуховом восприятии примеров.

Таблица 2

Дата исследования

Какие предлагались примеры

Количество учащихся

Количество ошибок, допущенных учащимися

при зрительном восприятии

при слуховом восприятии числовых данных

8—9 апреля 1946 г.

Примеры на 4 действия в пределе 20 ... .

69

39

72

17—18 апреля

Примеры на 4 действия с круглыми десятками в пределе 100 ....

64

65

70

7—8 мая

Сложение и вычитание в пределе 100 ....

68

104

162

Из таблицы видно, что при решении примеров на действия с круглыми десятками учащиеся при слуховом восприятии числовых данных допустили почти столько же ошибок, сколько допускали и при зрительном восприятии их. Не то мы имеем при сравнении количества ошибок, допущенных детьми при слуховом и зрительном восприятии примеров на 4 действия в пределе 20, а также на сложение и вычитание в пределе 100.

Это легко объяснить тем, что при выполнении действий над круглыми десятками не приходится расчленять данные числа на части. При выполнении же действий над некруглыми числами последние приходится расчленять на части и затем удерживать в памяти данные числа, отдельные их части, промежуточные результаты. Неудивительно поэтому, что учащиеся при слуховом восприятии таких примеров допускают значительно больше ошибок, чем при зрительном восприятии их.

Некоторые учащиеся при слуховом восприятии примеров дают заметно большое количество ошибок. Так, ученица П. (класс I Б 71-й школы) при зрительном восприятии примеров на действия в пределе 20 допустила 1 ошибку, а при слуховом восприятии тех же примеров — 5 ошибок. Ученица Л. (класс I В той же школы) при зрительном восприятии примеров на действия в пределе 100 не допустила ни одной ошибки, а при слуховом восприятии тех же примеров допустила 3 ошибки. Таких случаев было относительно много.

Учитывая трудности, какие представляет для учащихся слуховое восприятие числовых данных, следует при изучении нового вычислительного приема на первых порах предлагать данные числа в форме, доступной зрительному восприятию (записывать их на доске или использовать примеры из задачника), вводя выполнение действия над числами, воспринимаемыми на слух, лишь после того, как учащиеся основательно усвоят изучаемый прием. В некоторых случаях переход от зрительного восприятия числовых данных к слуховому восприятию их должен совершаться не сразу, а постепенно, так чтобы от полной записи числовых данных сначала был совершен переход к частичной записи их (например, одно из данных чисел записывать, а другое — диктовать) и лишь затем к решению примеров без

записи числовых данных. Таким образом, учащиеся должны будут вначале удерживать в памяти часть числовых данных и лишь потом — все данные.

Действия в пределе 10, 20 и 100 учащиеся должны в конечном счете уметь выполнять устно, удерживая данные числа в памяти. Но овладение такими навыками— нелегкое дело для учащихся I класса, в особенности для семилеток. Необходима поэтому строжайшая последовательность в переходе от легкого к трудному при обучении их устным вычислениям в указанных пределах.

Мы подробно остановились на подборе учебного материала, так как рациональный выбор его может, по данным нашего опыта, способствовать существенному повышению успешности обучения семилеток арифметическим действиям.

Применение наглядности. Исключительно большую роль при обучении семилеток вычислениям играют наглядные пособия.

Образование точных понятий может быть достигнуто лишь на базе ясных наглядных представлений. Для лучшего усвоения учениками арифметических понятий следует поэтому широко применять наглядность.

Необходимо, однако, помнить, что наглядность — средство, а не цель. Наглядные пособия при обучении арифметике следует выбирать и применять так, чтобы с их помощью можно было скорее подвести учащихся к сознательному выполнению действий без помощи наглядныX пособий.

При выполнении вычислений действие над данными числами обычно заменяется действием над другими числами, которые образуются из данных (чаще всего путем разбивки последних на слагаемые). Чтобы наглядные пособия лучше способствовали усвоению изучаемых действий, необходимо, чтобы они были удобны для разного рода группировок, которые требуются различными вычислительными приемами.

Возьмем для примера сложение в пределе 20 с переходом через десяток. При производстве данного действия обычно разбивают второе слагаемое на 2 части так, чтобы от сложения первого слагаемого с первой частью второго слагаемого в сумме получилось 10.

После получения этого числа к нему прибавляют вторую часть второго слагаемого, например:

Без наглядных пособий учащимся трудно усвоить эту цепь действий. Но иллюстрировать указанный случай сложения можно по-разному, например:

а) Взяв картину, на которой нарисовано много однородных предметов (положим, плодов, цветов и т. п.), учитель выделяет на ней количество предметов, равное первому слагаемому, затем прибавляет к ним число предметов, равное второму слагаемому.

б) Взяв число кубиков (кружков), равное первому слагаемому, учитель прибавляет к ним количество кубиков (кружков), равное второму слагаемому.

в) Прикрепив к 2 кускам картона 20 конвертиков, по 10 штук к каждому куску (см. ниже счетные таблицы на стр. 31), учитель последовательно вставляет в конвертики число кружков, равное каждому слагаемому.

Первое из указанных трех пособий наименее пригодно, так как нарисованные на картине предметы трудно выделять, а тем более трудно группировать так, как это требуется при выполнении данного действия.

В этом отношении второе пособие, допускающее возможность любой группировки предметов, несомненно, лучше первого. Но при пользовании им ученик может, не разбивая второго слагаемого на требуемые части, отложить число кубиков, равное каждому слагаемому, соединить их вместе и затем сосчитать, сколько всего кубиков получилось. Это пособие, таким образом, вряд ли будет содействовать усвоению приема данного действия.

Наилучшим по своим дидактическим качествам следует признать третье пособие, которое, допуская возможность любой группировки предметов, устроено так, что неизбежно приходится группировать второе слагаемое так, как это требуется при выполнении данного случая сложения. В самом деле. В случае сложения 8 и 7 ученик, вставив в конвертики 8 кружков, вставляет затем еще 2 кружка для дополнения до 10, а потом добавляет к ним еще 5 кружков на второй таблице. Благодаря этому, пользование таким пособием содей-

ствует усвоению и закреплению способа производства изучаемого действия.

Необходимо помнить, что наглядные пособия должны быть использованы не столько для получения результата счета, сколько для того, чтобы с их помощью облегчить учащимся усвоение способа выполнения действий. На это обстоятельство приходится обращать внимание, так как в школьной практике наглядные пособия нередко используются не так, как это требуется изучаемым вычислительным приемом. Так, при указанном выше случае сложения нередко к 8 кубикам (или палочкам) присоединяют 7 таких единиц и затем сосчитывают, сколько всего получилось единиц. При таком применении наглядных пособий последние служат лишь для получения результатов действия, но не для усвоения приема, так как, очевидно, что сколько бы примеров ученик ни решил, пользуясь такой наглядностью, он едва ли усвоит вычислительный прием, применяемый при данном действии.

Наглядные пособия бывают индивидуальные и классные. Первые находятся в индивидуальном пользовании учащихся, вторые предназначены для демонстрирования перед всем классом. Индивидуальные наглядные пособия ценны тем, что все ученики непосредственно оперируют ими. Их активность при пользовании этими пособиями поэтому обычно выше, чем при применении классных пособий. Зато при применении последних легче, чем при применении индивидуальных пособий, следить за тем, чтобы учащиеся рационально пользовались данным пособием, легче сосредоточить внимание детей на используемом приеме. Преимущество классных пособий состоит еще в том, что их легко «изъять из употребления», когда необходимо перевести учащихся от наглядного счета к отвлеченному. Поэтому в тех случаях, когда можно—без ущерба для усвоения новых понятий — обойтись без индивидуальных пособий, целесообразно ограничиться применением только классных пособий.

Наглядные пособия должны, как уже указывалось, способствовать усвоению вычислительных приемов с тем, чтобы сделать возможным переход учащихся к выполнению изучаемого действия без помощи наглядных пособий. Применяя наглядные пособия при объяс-

нении нового действия, следует внимательно следить за процессом усвоения нового приема, чтобы, как только станет возможным, перевести учащихся на выполнение действия без наглядных пособий. В ряде случаев переход учащихся от вычислений с помощью наглядных пособий к вычислениям без пособий должен совершаться постепенно, так чтобы от полной наглядности сначала совершался переход к частичной наглядности и лишь затем к выполнению действий без пособий.

Чтобы сделать понятным различие между полной и частичной наглядностью, возьмем задачу:

Мальчик, собрал под одной яблоней 4 яблока, а под другой — 3. Сколько всего яблок собрал мальчик?

Эту задачу можно иллюстрировать по-разному:

1. Взяв в одну руку четыре кружка, а в другую — три, учитель показывает их детям, давая им, таким образом, возможность видеть, сколько яблок мальчик собрал под каждой яблоней и сколько он их собрал всего.

2. Взяв 4 кружка и показав их учащимся, учитель кладет их в коробочку или корзиночку. Затем он показывает детям 3 кружка и кладет их туда же, предлагая им сосчитать в уме, сколько всего яблок собрано.

3. Учитель показывает детям 4 кружка, иллюстрируя ими 4 яблока, собранные мальчиком под первой яблоней. Что же касается 3 яблок, собранных под второй яблоней, то о них учитель лишь говорит детям, но не показывает их.

Как видно из приведенного примера, в первом случае иллюстрировались и слагаемые и сумма, во втором случае — только слагаемые, в третьем случае — только одно из слагаемых. В первом случае была применена полная наглядность, во втором и третьем случаях — частичная наглядность.

При изучении нового действия следует вначале применять полную наглядность, переходя постепенно к частичной наглядности и затем к выполнению действия без помощи наглядных пособий. Очевидно однако, что все учащиеся не могут одновременно перейти к выполнению изучаемого действия без наглядных пособий. В любом классе может быть несколько таких учащихся, которые, вследствие более слабого развития, могут от-

стать от основной массы класса в усвоении изучаемого приема. Переходя с классом к вычислениям без наглядных пособий, следует позволить отставшим учащимся еще пользоваться в течение определенного времени индивидуальными наглядными пособиями, при этом необходимо следить за тем, чтобы они применили их рационально, в соответствии с данным вычислительным приемом с тем, чтобы они могли возможно скорее перейти к выполнению действия без пособий.

Чтобы стимулировать учащихся к выполнению действий без помощи наглядных пособий, следует при оценке ответов учащихся учитывать, решали ли они заданные примеры «в уме» или пользовались при решении наглядными пособиями, ставя более высокие отметки тем, кто раньше других перешел от наглядного счета к отвлеченному.

Рассмотрим классные и. индивидуальные наглядные пособия по арифметике для I класса.

Начнем с классных пособий.

К числу наиболее широко применяемых в школьной практике наглядных пособий по арифметике относятся, как известно, классные счеты и арифметический ящик. Проверенные в школьной практике на протяжении многих десятков лет, эти пособия показали несомненную эффективность в процессе обучения начальной арифметике, в особенности в I классе. Наш опыт, однако, показал, что, наряду с широко известными достоинствами, эти пособия имеют некоторые недостатки, снижающие эффективность пользования ими при обучении семилеток.

Что касается классных счетов, то эффективность их применения снижается наличием на проволоках лишних косточек. Последние, как показывает опыт, отвлекают внимание многих семилеток от косточек, которыми иллюстрируются данные числа или действия. Кроме того, счетные косточки не могут быть использованы в тех случаях, когда по ходу учебных занятий нужно оперировать счетными предметами, держа их в руках, например, когда нужно реально разделить 12 предметов между 3 учениками, когда нужно дать ученику в руки 5 и 3 предмета и т. д.

Недостатком счетного материала арифметического ящика являются малые размеры кубиков и брусков, что

затрудняет эффективное их использование в качестве классного пособия.

Ввиду указанных недостатков, ограничивающих возможности применения данных пособий, мы занялись конструированием и испытанием пособий, которые были бы свободны от этих недостатков.

Из ряда таких пособий в нашем опыте наиболее оправдали себя счетные таблицы.

Счетные таблицы представляют собою 2 листа картона, каждый с 10 гнездами (конвертиками), разбитыми на 2 пятка (см. рис. 1*).

Счетные таблицы предназначены для демонстрирования кружков, а также рисунков различных предметов: грибов, яблок, цыплят и т. п. и даже палочек. Для демонстрирования последних может также быть использована особая счетная таблица, представляющая собою лист картона с 20 гнездами, разбитыми на 2 десятка, каждый из которых, в свою очередь, разбивается на 2 пятка. В гнезда вставляются палочки, по одной палочке в каждое гнездо (см. рис. 2).

Счетные таблицы могут быть использованы для иллюстрирования любого числа и действия в пределе 10 и 20. Чтобы более отчетливо выступал состав чисел второго десятка из десятка и единиц, можно при пользовании последней счетной таблицей применять пучок в 10 палочек, который хранится в специально для этого

Рис. 1

* В целях экономии места на рис. 1 показана только одна из двух счетных таблиц.

предназначенном гнезде, расположенном по середине таблицы между первым и вторым десятком.

Описанные пособия похожи по своему устройству на классные счеты. Но на счетных таблицах, в отличие от классных счетов, учащиеся не видят никаких лишних счетных предметов, кроме тех, которые демонстрируются в данный момент. Положительной особенностью счетных таблиц является и то, что в случае надобности можно легко взять в руки любое необходимое количество счетных предметов (кружков, палочек и т. д.) и реально проделать над ними требуемое действие.

Пусть при решении задачи «Колхозница вынесла на рынок 15 яиц. Она продала одному покупателю 12 яиц. Сколько яиц у нее осталось?» требуется иллюстрировать действие: 15—12. Выставив на 2 счетных таблицах 15 кружков, мы даем вызванному ученику, изображающему покупателя, сперва 10 кружков (таблицу с 10 кружками), а затем еще 2 кружка. Легко видеть,

Рис. 2

что при пользовании классными счетами подобная действенная наглядность недостижима.

Следует отметить и то, что на счетных таблицах могут демонстрироваться не только кружки, но и другие геометрические фигуры (треугольники, четырехугольники и т. д.), а также рисунки любых предметов. Это делает данное пособие более привлекательным для учащихся, чем классные счеты.

Многие семилетки приходят в школу с весьма ограниченным запасом числовых представлений. Чтобы ускорить развитие числовых представлений таких детей и тем сделать возможным успешное обучение их арифметике в объеме, требуемом программой I класса, необходимо широкое применение наглядных пособий, особенно в начале учебного года. Последние должны быть рационально подобраны так, чтобы они могли наиболее эффективно способствовать образованию ясных понятий, сознательному усвоению вычислительных приемов.

Таким требованиям в наибольшей мере удовлетворяют пособия с определенной счетной структурой (как, например, счеты, числовые фигуры и т. п.), так как они способствуют лучшему осознанию места числа в натуральном ряде, более точному восприятию каждого числа, по сравнению с пособиями, не имеющими определенной счетной структуры (например, палочками, кружками, камешками и т. п.). Очевидно, чем разнообразнее будут пособия, которыми ученик пользуется при счете, тем более общими будут его представления об изучаемых числах. При обучении арифметике в I классе следует поэтому применять возможно более разнообразный счетный материал.

Но пособия, имеющие определенную структуру, эффективнее бесструктурных, а потому первые должны найти более широкое применение. На этом основании целесообразно некоторые из пособий второго рода располагать и хранить так, чтобы они приобретали определенную структурную форму.

Это достигалось в нашем опыте при помощи счетных таблиц, так как легко видеть, что при демонстрировании кружков или палочек на счетных таблицах представления об изучаемом числовом ряде, о месте каждого числа в этом ряде, о составе числа формируются более быстро и более четко, чем при пользова-

нии этими пособиями в бесструктурной форме. Так, 7 палочек, выставленные на счетной таблице, дают гораздо более отчетливое представление о числе 7 (его месте в числовом ряде, его составе), чем 7 палочек, демонстрируемых в руке или положенных на парту.

В ряде случаев может, само собой разумеется, оказаться целесообразным демонстрировать палочки и кружки, держа их в руках. Но чаще всего, как показал наш опыт, полезно демонстрировать их на счетных таблицах, в особенности, когда количество показываемых предметов свыше 5, так как ученикам тогда трудно воспринять их число, когда их держат в руках. Из сказанного выше видно, что счетные таблицы являются не просто кассами для хранения кружков и палочек, а счетными пособиями, которые при рациональном применении могут существенно повысить эффективность обучения нумерации и действиям в пределе 10 и 20.

Остается сказать о требованиях, которым должен удовлетворять демонстрационный материал для счетных таблиц. Чтобы ярче выступали отдельные компоненты изучаемых действий (например, отдельные слагаемые при сложении), желательно, чтобы кружки были двух цветов. Лучше всего, если с одной стороны кружки будут одного цвета (скажем, красные), а с другой стороны— другого цвета (скажем, синие). Для этого достаточно склеить между собою попарно кружки, вырезанные из красной и синей бумаги.

Рисунки для счетной таблицы желательно подобрать так, чтобы при небольшом количестве демонстрационного материала он был возможно более разнообразным по своей тематике. В нашем опыте в этом плане применялись рисунки грибов, кур, чашек, грузовиков. Как видно, здесь представлены растения, животные, предметы домашнего обихода, средства передвижения.

Палочки для счетной таблицы так же, как и кружки, желательно иметь двух цветов.

Помимо рисунков, которые при демонстрировании вставлялись в гнезда счетной таблицы, в нашем опыте применялись «стоячие» рисунки (стоячие куры, грибы и т. п.).

Чтобы рисунок получал устойчивое положение, к нему приклеивалась «ножка» из плотной бумаги: прямоугольная полоска такой бумаги сгибалась пополам и

одним концом приклеивалась к рисунку. При достаточной длине отогнутой части полоски бумаги рисунок становится вполне устойчивым. Применявшиеся в нашем опыте «стоячие» куры, гуси и т. д. сильно привлекали внимание детей.

К числу классных пособий, которые широко применялись в нашем опыте и оказались весьма эффективными, относится также числовая касса. Это наборное полотно с 25 гнездами (конвертиками), расположенными в 3 горизонтальных ряда. В гнездах первого ряда размещены карточки с числами 1—10, в гнездах второго ряда — карточки с числами 11—20, в гнездах третьего ряда — карточки со знаками действий и знаком равенства. 10 гнезд каждого из первых двух рядов разбиты с помощью интервала на 2 пятка (см. рис. 3).

В каждом гнезде хранится несколько карточек с данным знаком (цифрой, знаком действия или равенства) для того, чтобы с их помощью можно было составлять и решать любые примеры.

Гнезда второго ряда, по понятным соображениям, остаются вначале пустыми и заполняются лишь после перехода к концентру «Второй десяток».

В школьной практике классные числовые кассы обычно содержат только числа первого десятка, из которых в дальнейшем составляются числа второго десятка. Такими кассами и мы пользовались вначале. Опыт, однако, показал, что для успешного усвоения

Рис. 3

нумерации в пределе 20, для формирования отчетливых понятий о натуральном ряде чисел в указанном пределе важно, чтобы семилетки многократно наблюдали соответствующие числа, расположенные в определенном порядке. Этой цели служила упомянутая выше числовая касса, которая, благодаря описанной системе расположения чисел, существенно облегчает учащимся усвоение нумерации чисел 1-го и 2-го десятков, а частично и состава этих чисел. Так, (многократно пользуясь числовой кассой, ученик может заметить что 7 это 5 да 2, что 8 это 5 да 3, что 12 это 10 да 2, что 16 это 15 да 1 и т. д.

Числовая касса может быть применена при изучении не только первого и второго десятков, но и первой сотни. Для того чтобы можно было с помощью числовой кассы составить любое число в пределе 100, необходимо лишь дополнить ее карточками с цифрой 0.

В дополнение к указанным классным пособиям, в нашем опыте нашло широкое применение индивидуальное счетное пособие («счетная касса»), которая сочетала в уменьшенном виде числовую кассу и счетную таблицу.

Кроме того, касса имела отделение для хранения кружков и другого счетного материала (см. рис. 4).

Легко видеть, что положительные особенности клас-

Рис. 4

сных счетных таблиц и числовой кассы присущи и счетной кассе.

В школьной практике нередко приходится наблюдать, как индивидуальный счетный материал (разрезные цифры, палочки, кружки и др.) хранится у учащихся в беспорядке, что затрудняет его использование на уроках арифметики. Примененные в нашем опыте счетные кассы рационализируют хранение этого материала. Дело, однако, не только в этом. В той ее части, которая охватывает разрезные цифры и гнезда с палочками, счетная касса является наглядным пособием, которое, как показал наш опыт, может существенно облегчить ученику изучение первого и второго десятка.

Разрезные цифры счетной кассы широко применялись в нашем опыте для «записи» решения примеров и задач, особенно в начале года, когда учащиеся еще слабо справлялись с соответствующими записями в тетрадях. «Запись» с помощью карточек счетной кассы являлась ступенью, подготовлявшей детей к записям в тетрадях. Разрезные цифры применялись также для показа ответов при устном счете.

Палочки счетной кассы находили применение при изучении нумерации, а особенно действий в пределе 10 и 20. Пусть требуется от 11 отнять 3. Вставив в гнезда счетной кассы 11 палочек, ученик отнимает от них сперва 1 палочку и затем еще 2. Легко видеть, что при пользовании счетной кассой ученик может усвоить вычитание с переходом через десяток гораздо успешнее, чем при пользовании разрозненными палочками.

Описанные выше классные и индивидуальные наглядные пособия так же, как классные счеты и арифметический ящик, применимы при прохождении ряда концентров программы I класса (первою и второго десятков и частично первой сотни). Помимо этих пособий, в нашем опыте успешно применялись: при прохождении первого десятка наборное полотно для иллюстрирования чисел первого десятка и таблица сложения, при прохождении, второго десятка — таблицы сложения и умножения, при прохождении концентра «Первая сотня» — таблица чисел 1-й сотни. Но на этих пособиях мы намерены остановиться при рассмотрении отдельных концентров программы I класса.

Для успешного обучения семилеток действиям требуется широкое применение наглядности. Мы, однако, против чрезмерного применения наглядных пособий, так как излишняя привычка к наглядности может тормозить развитие умственных способностей ребенка, может задержать переход его от конкретного счета к отвлеченному.

Широко рекомендуя описанные выше наглядные пособия, мы считаем поэтому необходимым отметить, что их следует применять лишь в той мере, в какой это необходимо для того, чтобы возможно скорее подвести учащихся к отвлеченному счету.

Объяснение нового вычислительного приема. Для успешного усвоения новых действий важное значение, как мы пытались показать выше, имеет тщательная предварительная подготовка учащихся, правильный подбор упражнений, тщательный выбор наглядных пособий. Не меньшее значение (если не большее) для достижения этой цели имеет правильная методика объяснения нового вычислительного приема.

Прежде всего следует стремиться к тому, чтобы на уроках, посвящаемых объяснению новых действий, было, по возможности, урезано время на проверку домашнего задания, на устный счет и др., с тем, чтобы объяснению новых понятий можно было уделить основную часть урока.

Мы считаем необходимым остановиться на этом вопросе, так как в школьной практике нередко объяснение новых действий проводится в конце урока, в обстановке, мало благоприятной для восприятия нового учебного материала.

Следует, далее, принять меры к максимальной активизации внимания учащихся, так как, очевидно, что при недостаточном внимании с их стороны даже наилучшее объяснение учителя может быть неэффективным. Чтобы добиться активного внимания детей, следует, по возможности, возбуждать их любознательность, сообщая им иногда даже за день или за два до объяснения нового действия, что предстоит его изучение, стараясь при этом вызвать в детях чувство удовлетворения своим умственным ростом, тем, что они узнали в школе много нового

и что им предстоит узнать еще что-то, до сих пор им неизвестное.

Активизации внимания детей может содействовать использование новых наглядных пособий. Этой цели может также служить применение цветных мелков при записи решения первых примеров на доске или цветных карандашей при записи их в тетрадях. Заметим, что здесь имеется в виду использование цветных мелков и карандашей для записи (или даже только для подчеркивания) лишь результатов действий, либо для обрамления решенных примеров (для заключения их в прямоугольную рамку), так как полная запись решения этих примеров цветным шрифтом может оказаться менее отчетливой по сравнению с обычной записью мелом на доске или чернилами в тетрадях.

Наш опыт показал, что подобное даже весьма ограниченное применение цветного шрифта при записи решения первых примеров на новое действие содействует активизации внимания детей, способствует восприятию нового учебного материала, который лучше запечатлевается в их сознании.

В нашем опыте запись цветным шрифтом (запись результатов или черчение прямоугольных рамок) наиболее часто применялась при изучении отдельных случаев табличного сложения и умножения.

Чтобы внимание детей не рассеивалось при объяснении нового приема, не следует допускать, чтобы они писали во время этого объяснения, разрешая им приступать к записям в тетрадях лишь после объяснения первых задач или примеров, когда у учителя есть основание полагать, что оно понято детьми и что они будут делать эти записи в достаточной мере осмысленно.

Чтобы при объяснении нового приема учащимся легче было понять и усвоить, на какие части разбиваются данные числа и в каком порядке производятся действия над полученными частями, целесообразно устное объяснение приема в ряде случаев сопровождать записью вспомогательных вычислений, так как, очевидно, что при этом условии учащимся легче усвоить вычислительный прием, чем при одном устном объяснении его. Так, при объяснении случая сложения двузначных чисел с однозначными в пределе 20 (например,

при выполнении действия 14 + 2) целесообразно устное объяснение дополнить следующей записью:

Приведенная запись недостаточно вскрывает применяемый вычислительный прием. Для этого, несомненно, более подходила бы запись:

14 + 2 = (10 +4) + 2= 10 +(4+ 2) = 10 + 6 = 16.

Но последняя чересчур сложна для учащихся I класса, в особенности семилеток. Мы считаем поэтому возможным применять приведенную выше менее совершенную, но зато более доступную для семилеток запись.

Подробная запись вспомогательных вычислений отнимает больше времени по сравнению с обычной записью решения примера. Трата времени на запись вспомогательных вычислений при решении первых примеров, однако, вполне оправдывает себя, так как в этом случае учащиеся скорее усваивают новый прием по сравнению с тем случаем, когда вспомогательные вычисления выполняются лишь устно, но не записываются.

Говоря о записи вспомогательных вычислений, мы имеем в виду преимущественно запись их учителем на доске. В тетрадях же можно, как правило, ограничиваться обычной записью, так как подробная запись вспомогательных вычислений может отнять чересчур много времени у учащихся I класса. Лишь при изучении более трудных действий следует предлагать учащимся, чтобы и в тетрадях они решали некоторое (небольшое) количество примеров с подробной записью.

Усвоение вычислительных приемов, как показал наш опыт, еще более облегчается, когда, помимо записи вспомогательных вычислений на доске и частично в тетрадях, решение 2—3 примеров на данное действие с подробным указанием вспомогательных вычислений

* Результат действия, само собою разумеется, записывается после выполнения вспомогательных вычислений.

заблаговременно оформляется учителем крупным шрифтом на большом листе бумаги или кар гона и полученное, таким образом, наглядное пособие вывешивается в классе. Приведем образцы таких пособий.

Для случая сложения в пределе 20 без перехода через десяток:

Для случая сложения в пределе 20 с переходом через десяток:

Заготовив подобное пособие, учитель приносит его в класс, но не сразу вывешивает его, а лишь после объяснения нескольких примеров на данное действие на доске. Решенные на таблице примеры разбираются в классе и служат затем справочным пособием для учащихся в тех случаях, когда они встречают затруднения при решении примеров на данное действие.

Чтобы первые примеры не затрудняли учащихся, иногда представляется целесообразным предварительное выполнение тех вычислений, которые требуются при решении каждого из этих примеров. Так, при объяснении случая вычитания с переходом через десяток в пределе 20 можно прежде, чем рассмотреть пример, скажем 11—4, сначала предложить учащимся примеры 11—1: 10 — 3. Подобным образом можно решению примера 11—6 предпослать решение примеров 11 — 1; 10 — 5, решению примера 12 — 5 предпослать решение примеров 12 — 2; 10 —3 и т. п. Очевидно, что при подобном предварительном рассмотрении элементов, из которых складывается решение первых примеров, учащимся легче будет понять последнее. К этому методическому

приему следует прибегать при объяснении более трудных действий, когда решение первых примеров без предварительной подготовки может, по мнению учителя, затруднить многих учащихся.

При объяснении первых задач или примеров учитель сам ведет запись на доске, но выяснение способа их решения и само решение должно проводиться эвристическим методом, так чтобы учащиеся как бы сами приходили к новому вычислительному приему. Последнее, кстати сказать, будет достигаться тем легче, чем в большем соответствии с изучаемым приемом будут применяться используемые при его объяснении наглядные пособия, о чем подробно говорилось выше.

При объяснении нового вычислительного приема первые примеры решаются коллективно под руководством учителя. Так же коллективно, но при все меньшей и меньшей помощи со стороны учителя решаются упражнения, даваемые после объяснения вычислительного приема в целях его первичного закрепления. Эти упражнения решаются отдельными учениками по вызову учителя, при этом и здесь запись на доске сравнительно часто выполняет сам учитель, так как лишь немногие учащиеся I класса в состоянии, особенно в первом полугодии, сделать отчетливую запись на доске.

Таким образом, вызванный ученик устно решает заданный пример, само же решение с его слов записывает на доске учитель.

Объяснив новый вычислительный прием, учитель должен выяснить, в какой мере этот прием понят и усвоен учащимися. Частично он может судить об этом по ответам учащихся, вызываемых им для решения примеров, о чем шла речь выше. Но таким путем могут быть проверены лишь немногие учащиеся. Чтобы проверить, как объясненный прием усвоен всеми учащимися, следует после опроса отдельных учащихся предложить классу один или несколько примеров на данное действие для самостоятельного решения. Количество таких примеров должно устанавливаться учителем в зависимости от того, как новое действие, судя по ответам опрошенных учеников, усваивалось классом: если оно усваивалось легко, можно задать для самостоя-

тельного решения несколько примеров; в противном случае следует ограничиться одним-двумя примерами.

Однако и в первом случае количество примеров на новое действие, впервые задаваемых для самостоятельного решения, должно быть невелико с тем, чтобы избежать закрепления ошибочных навыков. Вообще же примеры для самостоятельного решения можно предлагать лишь после того, как у учителя имеются основания считать, что новый прием понят и усвоен большинством учащихся.

На основе своих наблюдений над детьми во время их самостоятельной работы, а также на основе их ответов при проверке этой работы, учитель делает заключение о том, как усвоено новое действие, и в случае надобности дает дополнительные разъяснения, добиваясь восполнения пробелов в знаниях тех учащихся, которые не поняли нового приема.

В ряде случаев за коллективным решением примеров на новое действие должна сперва следовать полусамостоятельная и лишь затем вполне самостоятельная работа учащихся.

При проведении полусамостоятельной работы учащиеся приступают к решению примеров после предварительного полного или частичного выяснения способа их решения. Так, при изучении случая вычитания однозначных чисел в пределе 20 без перехода через десяток учитель после коллективного решения нескольких примеров записывает на доске 4 примера (положим, 15 — 2; 18 — 3; 19 — 7; 16 — 3) и решает их с учащимися устно, после чего предлагает им самостоятельно решить эти примеры в тетрадях.

Если учитель находит, что учащиеся не нуждаются в столь большой помощи, он может лишь разобрать с ними, как следует решать эти примеры, не требуя от них нахождения остатка, выясняя, например, что при выполнении действия 15 — 2 следует от 5 отнять 2 и полученный остаток прибавить к 10, при выполнении действия 18 — 3 следует от 8 отнять 3 и полученный остаток прибавить к 10 и т. д. В данном случае, как это легко видеть, учащимся оказывается лишь частичная помощь в решении примеров, намеченных для включения в самостоятельную работу.

Очевидно, что с самостоятельным решением приме-

ров, при котором предварительно выясняется способ их решения, учащиеся могут справиться гораздо лучше, чем с вполне самостоятельным решением. Благодаря этому, полусамостоятельная работа, как промежуточная ступень между коллективной и самостоятельной, может в ряде случаев оказаться весьма полезной для закрепления пока еще слабых навыков учащихся в выполнении нового действия, может предохранить слабых учеников от приобретения неверных навыков.

Семилетки часто смешивают новый вычислительный прием с ранее изученными. Так, при решении примера 17—13 некоторые учащиеся считают так: от 7 отнять 3, получится 4 да еще 10. получится 14. Как видно, на случай вычитания двузначного числа в пределе 20 здесь перенесен прием, применяемый при вычитании однозначного числа в этом пределе без перехода через десяток. Необходимы поэтому специальные упражнения, чтобы отграничить новый вычислительный прием от ранее рассмотренных, в первую очередь от тех, с которыми учащиеся могут легко спутать новый прием. Так, после изучения случаев вычитания однозначного и двузначного числа в пределе 20 (каждого из этих 2 случаев в отдельности) целесообразно рассмотреть такие примеры на это действие, как

добиваясь, чтобы учащиеся четко осознали различие в приемах выполнения этих двух случаев вычитания.

Объяснение нового вычислительного приема, как и любого нового учебного материала, — дело сложное. К таким урокам учитель должен готовиться с особой тщательностью. «Чем легче учителю учить, — говорит Л. Н. Толстой, — тем труднее ученикам учиться. Чем труднее учителю, тем легче ученику. Чем больше будет учитель сам учиться, обдумывать каждый урок и соразмерять с силами учеников, чем больше будет следить за ходом мысли ученика, чем больше вызывать на; вопросы и ответы, тем легче будет учиться ученик»1. Эти указания Л. Н. Толстого учитель должен особенно учитывать при подготовке к объяснению нового учеб-

1 Л. Н. Толстой, Арифметика, М., 1913, стр. 146.

ного материала, в частности, к объяснению новых действий.

Следует помнить, что к новому учебному материалу учащиеся обычно проявляют повышенный интерес. При высококачественном объяснении новые знания падают на благодарную почву и хорошо упрочиваются в ней. Здесь уместно привести мнение великого русского ученого И. П. Павлова о роли элемента новизны в обучении. «Высшим проявлением педагогического таланта Павлов считал использование элемента новизны, управление первыми впечатлениями ученика, которые оставляют след в его мозгу иногда на всю жизнь»1.

Закрепление счетных навыков учащихся

Для того чтобы учащиеся прочно овладели вычислительным приемом, необходимо систематическое упражнение их в его применении.

Эта работа должна начинаться с первого урока, на котором объясняется новый прием, и должна вестись в течение длительного времени, пока учащиеся не овладеют данным навыком в совершенстве.

Повторное решение примеров. Одним из средств закрепления счетных навыков детей является повторное решение примеров, которое представляется целесообразным практиковать как непосредственно после объяснения вычислительного приема, так и в дальнейшем.

На уроке, на котором объясняется новый вычислительный прием, в ряде случаев полезно после записи решения первых примеров в тетрадях предложить учащимся эти примеры для устного решения, чтобы проверить, в какой мере они научились их решать. Тетради учащихся, само собою разумеется, должны при этом быть закрыты.

Приведем пример из нашей практики. При объяснении случая вычитания однозначных чисел из 20 были решены па доске и записаны в тетрадях примеры:

20 — 2= 18 20 — 4= 16 20—3 = 17 2^-7 = 13 20 — 5 = 15 20 — 8 = 12 20-6 = 14 20 — 9 = 11.

1 Ю. Фролов, И. П. Павлов и педагогика, журн. .Советская педагогика“, 1940, № 2.

Учитель стер с доски ответы, предложил учащимся закрыть тетради, а затем сказал: «Теперь проверю, умеете ли вы решать примеры, которые мы решали с вами». Учитель указывал каждый раз на пример, написанный на доске, и опрашивал учащихся, какой ответ у них получился, а в случае надобности, и как они решали данный пример.

При повторном решении примеры, в зависимости от их трудности, могут предлагаться учащимся по порядку или вразбивку, иногда же — при изучении более трудных действий — и по порядку, и вразбивку.

Повторное решение примеров, о котором идет здесь речь, служит не только для проверки степени усвоения нового приема, но в еще большей мере для его закрепления. Указанные цели могут достигаться путем решения новых примеров на данное действие. Однако на первых порах, пока новый прием еще слабо усвоен учащимися, повторное решение одних и тех же примеров может в большей мере, чем решение новых примеров, способствовать усвоению объясненного приема.

При решении нового примера на данное действие выполнение вычислительных операций нередко настолько затрудняет детей, что мешает им понять, на какие части расчленяются данные числа и в каком порядке выполняется действие над этими частями, иными словами, мешает им усвоить новый прием. При повторном же решении примера вычислительные операции обычно не затрудняют учащихся, по крайней мере, большинство их. Благодаря этому, легче сосредоточить внимание детей на усвоении приема.

Повторение решенных примеров, однако, ни в коем, случае не исключает необходимости решения новых примеров, в процессе которого учащиеся упражняются в применении объясненного вычислительного приема к новым числовым данным.

Двух-трехкратное решение одних и тех же примеров полезно не только при изучении нового вычислительного приема, но иногда и при повторении действий, для того чтобы дети научились бегло выполнять их. Приведем пример из нашего опыта.

При повторении действий в пределе 20 учащиеся ре-

шали следующие примеры, записанные учителем на доске:

После письменного решения этих примеров учитель, как и в описанном выше случае, вторично предложил ученикам некоторые из этих примеров для того, чтобы проверить, как они умеют их решать, главное же для того, чтобы дети научились лучше решать их.

Чтобы поддержать интерес детей к повторному решению примеров, учитель после опроса нескольких учащихся предложил поднять руки тем, кто может быстрее их решать, проводя затем опрос некоторых из тех, кто поднял руки.

Повторное решение записанных на доске примеров может практиковаться не только тогда, когда решение этих примеров записывается в тетрадях, но и тогда, когда они решаются устно, так как и при занятиях устным счетом представляется иногда целесообразным, чтобы учащиеся решали одни и те же примеры 2 — 3 раза. При занятиях устным счетом можно добиваться двух-трехкратного решения одних и тех примеров и иным путем.

Указав несколько примеров в задачнике (или написав их на доске), учитель предлагает детям решить эти примеры сперва тихо про себя и лишь после этого проводит опрос. Пусть учитель наметил для устного решения примеры:

Указав детям на эти примеры, учитель говорит: «Решайте примеры тихо про себя, до тех пор, пока не будете уметь решать их правильно и бегло. Потом я вас спрошу». Учащиеся решают примеры шопотом, а затем

подвергаются опросу со стороны учителя. Как видно, учащиеся решают здесь одни и те же примеры минимум, 2 раза: тихо про себя и затем при опросе учителя.

Интерес детей к повторному решению одних и тех же примеров при занятиях устным счетом можно иногда поддержать постепенным усложнением задаваемых примеров. Приведем выдержку из записи урока.

Учитель — Теперь у нас будет устный счет (пишет на доске примеры):

Решите эти примеры тихо про себя, потом я буду вас спрашивать.

Поднимите руки, кто решил все примеры.

Учитель — Сколько тут получилось? (Указывает на первый пример.)

Один ученик — 16:2 = 3

Другой ученик — 16 : 2 = 8.

Учитель (обращаясь к первому ученику и указывая на его соседа по парте). Если я дам вам 16 яблок на двоих, то сколько каждый из вас получит, если будете делить между собою яблоки поровну?

Ученик — Каждый получит 8 яблок.

Учитель — Итак, сколько получится, если 16 разделить на 2?

Ученик. 16 разделить на 2, получится 8.

Учитель — Хорошо, садись. Сколько тут получилось? (Указывает на второй пример.)

— 8:2, получится 4.

— 12 разделить на 2 (указывает на третий пример).

— 12:2, получится 6.

— Сколько получится, если 18 :2 (указывает на четвертый пример):

— 18:2, получится 9.

— Теперь решите последний пример.

— 14:2, получится 7.

— Теперь я буду задавать вам эти примеры враз-

бивку. Я буду показывать пример, а вы будете говорить только ответ. (Учитель указываег на отдельные примеры, а учащиеся, по его вызову, говорят ответы.)

Учитель. Вы решаете примеры правильно, но чересчур медленно. Кто может быстрее считать? (Несколько учащихся поднимают руки. Учитель опрашивает одного из них. Затем учитель усложняет записанные на доске примеры, дописывая к каждому из них знак + или — и число.)

На доске получается запись:

Учитель — Решайте первый пример.

Ученик — 16:2, получится 8, от 8 отнять 3, получится 5. (Так решаются и остальные примеры.)

Повторное решение примеров уместно, само собой разумеется, при таком количестве их, когда учащимся трудно запомнить результаты. Иначе они могут при повторном решении называть ответы по памяти. Это обстоятельство следует учитывать при установлении количества повторений, практикуя трех-четырехкратное повторение при решении сравнительно большого числа примеров или более трудных примеров, а двукратное при меньшем количестве их.

Требовать от детей, чтобы они по несколько раз решали примеры, пока они не будут уметь хорошо решать их, следует не только при решении примеров в классе, но и при задавании их на дом. В последнем случае следует указывать детям, что недостаточно решить заданные примеры один раз письменно в тетрадях, что после этого нужно прорешать их еще 2—3 раза устно, чтобы уметь хорошо их решать. Чтобы стимулировать детей к подобному приготовлению задаваемых на дом уроков, следует при проверке домашних заданий требовать от вызываемых учащихся, чтобы они решали заданные примеры устно, не заглядывая в свои тетради. (Более подробно о проверке домашних заданий см. ниже в главе «Учет успеваемости».)

Такая проверка домашних заданий стимулируем учащихся при приготовлении домашних уроков по арифметике решать задаваемые примеры несколько раз, чтобы уметь хорошо решать их. В нашем опыте большинство учащихся при приготовлении домашних заданий решали задаваемые на дом примеры («пересчитывали их», по выражению детей) 2—3 раза, а некоторые и большее число раз.

Из сказанного выше видно, как много внимания уделялось в нашем опыте повторному решению одних и тех же примеров. Этот опыт показал, что двух-трехкратное решение одних и тех же примеров способствует закреплению вычислительных навыков детей, выработке у них навыков беглого счета. Можно опасаться, что повторное решение одних и тех же примеров будет скучным для детей, снизит их интерес к устному счету. Наш опыт, однако, показывает, что при правильном проведении подобных упражнений, при условии, когда повторное решение примеров проводится под знаком проверки знаний, учащиеся проявляют должный интерес к этому занятию.

Нечего говорить о том, что для закрепления каждого вычислительного приема необходимы систематические упражнения в решении надлежащим образом подобранных новых примеров, на чем мы сравнительно подробно останавливались выше. Упражнения, даваемые в целях закрепления вычислительных приемов, должны предлагаться учащимся систематически, на протяжении длительного промежутка времени, до тех пор, пока они не будут уметь применять эти приемы не только правильно, но и быстро.

Наряду с изучением нового программного материала, следует систематически вести работу над закреплением ранее изученных вычислительных приемов, при этом следует постепенно повышать требования к учащимся в отношении беглости вычислений. Так, сложение и вычитание в пределе 20, изучение которых обычно закапчивается в начале III четверти, следует повторять в течение всей III и даже IV четверти, добиваясь от детей все лучшего и лучшего овладевания вычислительными приемами и более быстрого их применения.

При оценке вычислительных навыков детей в выполнении ранее изученных действий следует учитывать сте-

пень беглости, с какой они выполняют вычисления. Так, если ученик выполняет в IV четверти сложение и вычитание в пределе 20 правильно, но чересчур медленно, ему должно быть указано на это, как на недочет в его знаниях, а оценка последних должна быть соответствующим образом снижена.

Повторение пройденного в любой области школьной работы, в том числе и в арифметике, должно способствовать не только закреплению ранее приобретенных знаний, но и их углублению и усовершенствованию, при этом следует, по возможности, разнообразить формы заданий, так как в противном случае учащиеся могут потерять интерес к занятиям, связанным с повторением пройденного.

Для достижения указанных целей, помимо описанных выше средств развития навыков беглого счета, полезны: а) применение более сложных упражнений, б) использование в процессе повторения других вычислительных приемов, помимо основного, в) новые формы записи, г) упражнение учащихся в составлении примеров, д) применение занимательных упражнений.

Усложнение вычислительных упражнений. Усложнение вычислительных упражнений может заключаться в увеличении количества действий в решаемых примерах, так, чтобы учащиеся постепенно переходили от решения примеров в 1 действие к решению примеров в 2—3—4 действия. Оно может, далее, состоять в применении заданий, которые требуют от учащихся выбора действия или выбора примера. Приведем образцы таких заданий:

а) Какое число больше 5 на 4? больше 8 на 3? больше 12 на 2?

б) Какое число меньше 10 на 4? меньше 20 на 5? меньше 12 на 3?

в) Какое число нужно прибавить к 5, чтобы получить 8? Какое число нужно отнять от 12, чтобы осталось 10?

г) Среди следующих примеров найти пример с ответом 5:

Как видно, в упражнениях а), б) и в), в отличие от обычных примеров, не указываются действия, необходимые для их решения.

Таким образом учащиеся должны здесь сами выбрать действия и затем выполнить их. Это делает данные упражнения более сложными по сравнению с соответствующими примерами, в которых указаны требуемые действия.

Сравнительно сложным является также упражнение г), так как для нахождения искомого примера необходимо здесь решить несколько примеров.

Применение дополнительных приемов вычисления. Углублению знаний учащихся, усовершенствованию их вычислительных навыков может служить применение некоторых приемов дополнительно к основному, после того как учащиеся прочно усвоили последний. Дополнительные приемы могут вводиться самим учителем, который, если он находит это нужным, объясняет детям новый возможный способ производства данного действия. Иногда сами учащиеся предлагают новые приемы, по своей собственной инициативе или в ответ на вопрос учителя, как можно по-иному выполнить данное действие. Придумывание различных приемов выполнения одного и того же действия весьма полезно для математического развития учащихся. Следует поэтому всячески поощрять их к подобной творческой работе.

Краткая запись решения примеров. Для того чтобы дети научились не только правильно, но и бегло вычислять, необходимо, чтобы они много упражнялись в выполнении каждого действия. Для достижения этой цели иногда полезно предлагать учащимся, не списывая заданных примеров, записывать в тетрадях только ответы. Пусть учащимся заданы примеры:

В том случае, когда учащиеся записывают в тетрадях только результаты действий, запись решения этих примеров может принять следующую форму;

При проверке решения следует иметь перед глазами заданные примеры, относя каждый из написанных ответов к соответствующему примеру.

Очевидно, что при записи одних ответов учащиеся могут за определенное время решить значительно больше примеров по сравнению с тем случаем, когда от них требуется полная запись (списывание числовых данных, знаков действий, знаков равенства и результатов).

Краткую запись при изучении каждого действия можно, однако, вводить лишь после того, как учащиеся в достаточной мере овладеют полной записью его. Следует помнить, что при полной записи действия дети лучше понимают его, в частности лучше осмысливают зависимость между его данными и результатами. Краткая запись поэтому уместна лишь при повторении действия.

К краткой записи при решении примеров следует прибегать преимущественно при классных занятиях. При домашних же заданиях можно, как правило, всегда требовать от учащихся полной записи решаемых примеров.

При краткой записи (записи одних результатов) учащиеся работают более интенсивно, чем при полной. Вследствие этого можно опасаться, как бы они при краткой записи не допускали больше ошибок, чем при полной. Для изучения этого вопроса мы дважды предлагали учащимся одни и те же примеры, требуя от них в одних классах: в первый раз краткой записи, а во второй раз полной, а в других классах наоборот: в первый раз — полной, а во второй раз — краткой записи.

В том и в другом случаях примеры предлагались в 4 вариантах с таким расчетом, чтобы каждый из 4 учащихся, сидящих на 2 соседних партах, выполнял

Таблица 3

Данные об итогах решения одних и тех же примеров при полной и краткой записи

а) Примеры на сложение

№№ п/п

№ школы

№ класса

Количество учащихся

Общее колич. неверно решенных примеров

Общее колич. примеров, оставшихся нерешенными

Всего

Общее колич. неверно решенных примеров

Общее колич. примеров, оставшихся нерешенными

Всего

при полной записи

при краткой записи

1

2 3 4

64 64 71 71

1А 1Б 1Б 1В

36 291 36 35

21 15 31 34

4

5 7

25 20 38 34

26 18

28 38

5 1

31 18 29 38

Всего . .

136

101

16

117

110

6

116

б) Примеры на вычитание

1

64

IA

34

43

43

36

1

37

2

64

29

20

1

21

42

42

3

71

33

25

15

40

50

5

55

4

71

IB

37

50

8

58

60

1

61

Всего . .

133

138

24

162

183

7

195

1 Относительно небольшое количество учащихся в некоторых классах объясняется тем, что обработке подвергались работы только тех учеников, которые дважды решали одни и те же примеры — при полной и краткой записи.

работы, отличные от тех, какие выполняются его соседями на данной и соседней партах.

В каждом классе проводились 2 работы: одна — на сложение, а другая — на вычитание в пределе 20. Каждая работа включала 16 примеров.

Примеры предлагались на небольших карточках. Каждый ученик получал карточку с написанными на ней примерами, при этом в одном случае учащимся предлагалось списывать примеры на данный каждому из них листок бумаги и решать их, в другом случае — писать на своем листке только отзеты.

Результаты работы учащихся видны из таблицы 3 (стр. 54).

Исследование показало, что вне зависимости от того, применяли ли учащиеся сперва краткую запись, а потом полную или сперва полную, а затем краткую, они в примерах на вычитание, при краткой записи допустили больше ошибок и пропусков, чем при полной. С примерами же на сложение они справились почти одинаково при обеих формах записи. Это объясняется большей трудностью вычитания по сравнению со сложением. Решение примеров на вычитание при краткой записи, очевидно, утомило учащихся больше, чем при полной.

Следует отметить, что до проведения описанной работы учащиеся указанных школ мало упражнялись в краткой записи. В дальнейшем, по мере того, как они привыкли к подобной записи, они и при выполнении трудных действий допускали при краткой записи, незначительно больше ошибок, чем при полной.

Чтобы выяснить, какую экономию во времени дает краткая запись по сравнению с полной, мы учитывали время, которое каждый ученик употреблял на решение одних и тех же примеров при полной и краткой записи. Соответствующие данные приведены в таблице 4 (стр.56).

В среднем, на решение примеров на сложение учащиеся затрачивали при полной записи 14,1 мин., а при краткой — 4,9 мин., на решение примеров на вычитание— при полной записи 15,2 мин., а при краткой — 5,3 мин. Таким образом, при полной записи на решение примеров затрачивается почти в 3 раза больше времени, чем при краткой.

Краткую запись уместно применять и при занятиях устным счетом. В последнем случае учитель диктует

Таблица 4

Данные о количестве времени, затраченного учащимися I класса на решение примеров при полной

и краткой записи

а) Примеры на сложение

№№ п/п

№ школы

№ класса

Количество учащихся

Количество учащихся и время затраченное на решение примеров

при полной записи

при краткой записи

5-10 мин.

11-15 мин.

16-20 мин.

21-25 мин.

26-35 мин.

36-45 мин.

1-5 мин.

6-10 мин.

11-15 мин.

16-25 мин.

26-35 мин.

36-45 мин.

1

64

IA

36

10

13

7

3

1

2

25

5

3

1

1

1

2

64

29

12

15

2

26

3

3

71

36

3

20

9

1

2

1

30

4

2

4

71

IB

35

8

12

8

4

3

21

13

1

б) Примеры на вычитание

1

64

IA

34

5

11

10

4

3

1

18

7

5

3

1

2

64

29

11

13

4

1

23

5

1

3

71

33

4

15

11

2

1

21

12

4

71

IB

37

3

18

10

4

2

21

18

примеры, предлагая учащимся записывать ответы (только ответы) в тетрадях.

При задавании примера или задачи для устного решения учитель может требовать от учащихся устного или письменного ответа. Письменные ответы требуют дополнительной затраты времени. Несмотря на это, требование записи ответов (только ответов) при устном счете представляется иногда целесообразным, так как оно влечет за собою активное участие всех учеников в решении заданных примеров, что не всегда наблюдается в том случае, когда ответ требуется в устной форме. Поскольку требуется записать ответ, ученики стараются внимательно слушать задание учителя, стараются решить его, ибо в противном случае их пассивность может быть легко выявлена. Кроме того запись ответов дает учителю возможность лучше проверить, как учащиеся справились с заданным упражнением.

Запись ответов (имеется в виду запись конечных результатов) особенно уместна при решении сложных примеров, так как здесь дополнительное время, которое требуется на запись, составляет незначительную долю того времени, которое расходуется на самое решение примера.

Вместо записи ответов, можно иногда требовать от учащихся составления ответов из карточек цифровой кассы. Свои ответы, в зависимости от полученного задания, учащиеся либо показывают учителю, держа карточки в руках, либо раскладывают их на парте.

Первая из этих 2 форм применима тогда, когда учитель диктует примеры, вторая — тогда, когда он записывает их на доске. В последнем случае учитель задает несколько примеров (чаще всего в 2 вариантах) и предлагает их решать, составляя ответы из карточек цифровой кассы и раскладывая их на парте. Обходя затем класс, учитель проверяет правильность ответов. В случае, если ответ неверен, учитель сдвигает с места соответствующую карточку, давая этим знать, что пример неверно решен и что нужно заново решить его.

«Запись» ответов с помощью карточек цифровой кассы вносит разнообразие в замятия арифметикой. Кроме того, исправление неверных ответов при такого рода «записи» не связано с неприятностями, какие уче-

ник обычно испытывает при исправлении неверных записей в тетради. Все это способствует, по нашим наблюдениям, возбуждению интереса детей к подобному решению примеров.

Упражнение учащихся в составлении примеров. Для развития счетных навыков, для поддержания интереса к занятиям арифметикой важное значение имеет составление примеров учащимися.

Последнее должно вестись в тесной связи с решением готовых примеров, ибо только при этом условии оно будет способствовать развитию счетных навыков детей.

Задания, требующие от учащихся составления примеров, должны содержать указания, какого рода примеры нужно составить, положим, составить примеры на сложение в пределе 20, составить примеры, похожие на только что решенные, составить примеры на вычитание в пределе 20 так, чтобы в ответе получилось 4 и т. п.

Следует также указывать, сколько действий (одно, два или больше) должен включать каждый из составляемых примеров.

В тех случаях, когда целью учебных занятий является повторение всех изученных действий, можно разрешить ученикам составить любые примеры, какие им угодно.

В нашем опыте составление детьми примеров практиковалось сравнительно часто и, по нашим наблюдениям, вызывало большой интерес у детей.

Тут важно отметить, что примеры, которые дети составляли сами, решались ими лучше, чем примеры, которые задавал им учитель. Это удалось выяснить следующим образом. Из тетради каждого ученика было выбрано по 12 простых или по 8 составных примеров, в зависимости от того, какие примеры были составлены данным учеником. Эти примеры были написаны на карточках и были затем предложены учащимся для самостоятельного решения, при этом каждому ученику предлагались примеры, взятые из его же тетради. Учащимся при этом не сообщалось, откуда взяты примеры. Поэтому они воспринимали их, как готовые. Результаты показали, что некоторые учащиеся, решая примеры как готовые, справились с ними заметно хуже по сравнению с тем случаем, когда они сами составляли их.

Так, из 77 учащихся, охваченных данным исследованием, при решении «готовых» примеров 15 человек допустили по 1 ошибке, 34 человека — по 2 ошибки и 3 человека — по 3 ошибки. Таким образом около 27% учащихся допустили ошибки в примерах, которые каждый из них правильно решил тогда, когда он сам составлял их.

Приведем образцы етих ошибок:

Некоторые ошибки, например, 17 + 3=14; 20—-4=5; 4X5=9, очевидно, вызваны тем, что учащиеся выполняли над данными числами другое действие, вместо того, которое требовалось (вычитание вместо сложения, деление вместо вычитания и т. д.). Подобные ошибки, нередко встречаемые в письменных работах семилеток при решении ими готовых примеров и вызываемые, очевидно, рассеянностью их внимания, почти не встречались в примерах, которые дети сами составляли и решали. Уже этот один факт свидетельствует о том, что при решении «своих» примеров дети более внимательны, чем при решении готовых примеров.

Вообще же лучшая решаемость составляемых детьми примеров по сравнению с готовыми вызывается большей активностью учащихся, большим интересом, который они проявляют к решению «своих» примеров, чем к решению готовых примеров.

Придавая большое значение составлению примеров, мы в то же время считаем необходимым указать, что основная масса вычислительных упражнений должна состоять в решении готовых примеров, так как только при этом условии может быть обеспечено систематическое обучение действиям. Составление примеров должно занимать сугубо подчиненное место по отношению к решению готовых примеров.

Составление примеров может быть устным и письменным.

Устное составление примеров уместно, главным образом, во время занятий устным счетом. На-

ряду с упражнением учащихся в решении готовых примеров, которые учитель предлагает от себя, здесь полезно иногда предложить детям придумать свои примеры на то или иное действие, в том или ином пределе и решить их.

Письменное составление примеров, как показывают наблюдения, труднее устного. Упражнение учащихся в письменном составлении примеров можно ввести лишь после того, как учащиеся получили должный навык в устном составлении их. В нашем опыте письменное составление примеров было введено с начала второго полугодия, устное же практиковалось с начала учебного года.

В дополнение к решению готовых примеров, учащимся сравнительно часто предлагалось составить 1—2 своих примера, записать их и решить. Иногда же на уроке выделялось 15—20 мин., во время которых учащиеся, по заданию учителя, занимались придумыванием примеров и записью их решения.

Кроме подобной общеклассной работы, интерес детей к составлению примеров был в нашем опыте использован для уплотнения рабочего времени тех учащихся, которые, благодаря лучшим вычислительным навыкам и более быстрым темпам работы, выполняли предлагавшиеся классу задания раньше других и которые, вследствие этого, иногда оставались на уроке без дела. Этим учащимся рекомендовалось в случае, когда у них будет свободное время на уроке, составлять примеры и решать их. Этот опыт вполне оправдал себя. Когда учащиеся, ранее других выполнившие общеклассное задание, остаются до окончания задания всеми учениками без дела, они неизбежно начинают мешать своим товарищам работать, нередко начинают заниматься посторонними делами, нарушают дисциплину в классе. Все эти нежелательные явления исчезли после того как стало практиковаться составление учениками примеров в свободное на уроке время. Нечего говорить о том, что дополнительное упражнение учащихся в решении примеров способствовало развитию их вычислительных навыков. Может казаться, что в условиях I класса у учащихся бывает так мало свободного времени на уроках, что вряд ли стоит заботиться об его использовании. Наш опыт показывает, что это не так.

Об этом свидетельствует количество примеров, составленных и решенных учащимися в свободное после выполнения общеклассных заданий время. Приведем данные о количестве таких примеров, составленных и решенных некоторыми учениками класса I А 64-й школы.

Ученик Боря Р. составил и решил 8, 9, 10, 11, 12, 17 и 18 апреля по 15 примеров, 20 апреля — 6 примеров, 23 апреля — 3 примера, 25 апреля — 11 примеров, 3 мая — 9 примеров, 4 мая—12 примеров, 6 мая — 15 примеров, 7 и 8 мая — по 8 примеров и 11 мая — 9 примеров, а всего за время с 8 апреля по 11 мая — 186 примеров, из них 21 составных примеров (в 2 и более действий).

Ученик Володя Н. составил и решил в этом плане 8 апреля — 8 примеров, 9 апреля—18 примеров, 10 апреля — 9 примеров, 11 апреля.— 8, 12 апреля —12, 13 апреля— 10, 17 апреля— 12, 18 апреля — 8, 20 апреля — 12, 22 апреля —7, 23 апреля —18, 25 апреля — 6, 3 мая — 4, 6 мая—3 и 7 мая—10 примеров, а всего за этот период времени 145 примеров, из них 24 составных.

Ученик Боря Р. за время с 8 апреля по 11 мая составил и решил в свободное на уроках время 106 примеров, из них 12 составных.

Ученик Александр Р. за этот же период времени составил и решил всего 151 пример. Ученик Анатолий К. за время с 8 по 16 мая составил и решил 108 примеров.

(Всего составлением и решением примеров в свободное время на уроках занималось в этом классе свыше 20 учеников, которые за время с 8 апреля до конца учебного года составили каждый от 75 до 190 примеров.)

Как видно, некоторые учащиеся успели в свободное на уроке время составить и решить изрядное количество примеров.

О размерах обычно остающегося неиспользованным свободного времени части учащихся I класса могут также свидетельствовать приведенные выше (см. стр. 56) данные о количестве времени, потраченного учащимися первых классов на решение примеров на сложение и вычитание в пределе 20.

Приведем в дополнение к этим данным сведения по

отдельным классам. В классе I А 64-й школы на решение примеров на сложение (мы имеем здесь в виду время, потраченное на полную запись) учащиеся употребили от 7 до 45 мин., на решение примеров на вычитание от 7 до41 мин. В классе I Б 71-й школы учащиеся потратили на решение примеров на сложение от 10 до 24 мин. и на решение примеров на вычитание от 10 до 26 мин., в классе I. В той же школы — от 7 до 28 мин. на решение примеров на сложение и от 8 до 28 мин. — на решение примеров на вычитание. Как видно из этих данных, у многих учащихся во время самостоятельной работы остается немало свободного времени. Неудивительно поэтому, что некоторые из них успевали в свободное на уроках время составить и решить так много примеров.

Некоторые учащиеся настолько заинтересовались составлением примеров, что стали этим заниматься и во внешкольное время, дома.

Заслуживает внимания вопрос о степени трудности примеров, составляемых детьми, в частности в том случае, когда им разрешается составлять любые примеры, какие им угодно. Можно было опасаться, как бы учащиеся не стали в этом случае составлять чересчур легких примеров, решение которых могло, вследствие этого, оказаться малополезным для развития их счетных навыков. В действительности незначительная часть детей пошла по этому пути. Большинство учащихся составляло примеры, не уступавшие по своей трудности готовым примерам, которые они решали с учителем. Некоторые же ученики составляли более трудные примеры, выходя даже за пределы программы I класса.

Приведем образцы таких примеров:

Повидимому, этих учащихся удовлетворяло именно то, что они могли составлять более трудные примеры по сравнению с теми, которые задавались учителем. Они, таким образом, находили здесь более полное применение своим знаниям.

Занимательные упражнения. Весьма эффективным средством повышения интереса детей к повторению пройденного являются занимательные упражнения.

Эти упражнения особенно полезны при обучении семилеток, ввиду быстрой утомляемости детей этого возраста. Использование занимательных упражнений, в дополнение к обычным, способствует повышению их работоспособности. Следует, однако, помнить, что занимательные упражнения — средство обучения. Поэтому они должны быть использованы так, чтобы, давая учащимся некоторое развлечение, они в то же время способствовали улучшению вычислительных навыков.

Почти каждое вычислительное упражнение можно сделать занимательным. Решение примеров можно сделать занимательным путем замены обычной формы записи новой, более интересной для учащихся. Так, вместо того, чтобы записать примеры, как обычно, столбиком, учитель располагает их лесенкой, предлагая решать их снизу вверх («подниматься по лесенке»). В случае, если ученик неверно решил какой-нибудь пример, считается, что он «упал» с той или иной ступеньки, смотря по тому, в решении какого примера он допустил ошибку.

Вот образцы записи примеров лесенкой.

Для записи примеров может быть использован круг: в круге пишется одно из данных чисел и знак действия, а другие данные — вне круга, например:

Вычислительные упражнения можно сделать занимательными, если требовать от учащихся, чтобы на вопросы учителя они давали свои ответы не вслух, а шопотом или молча записывая ответ на доске. Так, при изучении нумерации в пределе 100 можно предложить учащимся, чтобы они числа одного десятка (например, от 20 до 30) называли вслух, а числа другого десятка (например, от 30 до 40) называли шопотом.

Большой интерес обычно вызывают у детей упражнения, требующие от них «угадывания» примера или числа.

В нашем опыте применялись различные варианты этих упражнений. Приведем некоторые из них.

1. Учитель пишет на доске несколько примеров, допустим:

Затем он вызывает ученика и предлагает ему стать спиной к доске. Учитель молча указывает остальным учащимся, какой пример решать, положим 8+6. Те решают пример и называют ответ (14). Вызванный ученик, обернувшись после этого к доске, должен по ответу узнать, какой пример решался классом.

2. Учитель пишет на доске несколько примеров, положим:

Затем он, обращаясь к классу, говорит: «Я смотрю на пример с ответом 20: Угадайте, на какой пример я смотрю».

3. Учитель заготовляет карточки и пишет на каждой из них какое нибудь число. Принося карточки в класс,

он кладет их на стол лицевой стороной книзу. Взяв затем карточку, учитель смотрит, какое число написано на ней, и, скрывая ею от детей, говорит им: «Угадайте, какое у меня число. Чтобы это узнать, возьмите 3 пять раз, от полученного числа отнимите 10, к полученному числу прибавьте 3 и получите такое число, как у меня». Благодаря тому, что дети должны «угадать» скрытый от них ответ, обычное, решение сложного примера становится занимательным для них.

Большой интерес у детей вызывает игра в лото. В нашем опыте эта игра проводилась так. Учащимся раздавались заранее заготовленные карточки величиной в почтовую открытку, на которых были написаны одни и те же числа, на каждой карточке 6 чисел. На одних карточках числа были расположены в одном порядке, на других карточках — в другом. Карточки раздавались так, чтобы учащиеся, сидящие на одной парте, получали различные варианты. На маленьких карточках, лежавших на столе у учителя, были написаны примеры, на каждой карточке по одному примеру. Эти карточки лежали лицевой стороной книзу. Учитель брал каждый раз карточку и вслух прочитывал написанный на ней пример. Учащиеся решали пример и, в случае, если на их карточке оказывался соответствующий ответ, они закрывали ею вырезанным из картона квадратиком. Те учащиеся, которые правильно закрывали все числа на своих карточках, считались выигравшими. Приведем образцы карточек с ответами и карточек с примерами на сложение и вычитание в пределе 20.

Легко видеть, что карточки с ответами могут быть использованы при закреплении различных действий. Для этого следует лишь обновлять карточки с примерами, подбирая последние так, чтобы они давали в ответе числа, написанные на больших карточках.

К занимательным упражнениям можно отнести и, так называемые, задачи-смекалки, например:

Два мальчика играли в шашки 4 часа. Сколько часов играл каждый мальчик?

4 комнаты было в избе. Из одной комнаты сделали 2. Сколько комнат стало в избе?

2 мальчика играли в лошадки. Они пробежали 40 м. Сколько метров пробежал каждый мальчик?

Семилетки, недавние дошкольники, очень любят игры. Для повышения эффективности учебных занятий полезно ввести в них элементы игры. Следует, однако, избегать чрезмерного увлечения занимательными упражнениями. Кроме того, игры и занимательные упражнения, применяемые во время учебных занятий, должны, как уже указывалось, служить средством обучения.

Среди учащихся I класса встречаются такие, которые имеют повышенный интерес к арифметике. Удовлетворение запросов этих детей имеет важное значение не только для их личного развития, но и для повышения эффективности занятий всех учеников, так как увлечение передовой части учащихся арифметикой не может не влиять положительно на усиление интереса к этому предмету у остальных детей. Удовлетворение этих запросов может достигаться путем поощрения детей к применению дополнительных приемов вычисления, к составлению примеров и задач, путем использования занимательных упражнений, задач-смекалок и др.

Первый десяток

В основу системы преподавания арифметики должно быть положено изучение действий, а не чисел. Это относится ко всем разделам курса арифметики, в том числе и к первому десятку. Этот раздел имеет, однако, свои особенности, так как успешное изучение действий в пределе 10 возможно лишь в том случае, если учащиеся имеют четкие представления о каждом числе.

Изучению действий в пределе 10 должно поэтому предшествовать изучение чисел в данном пределе.

Изучение чисел, о котором идет здесь речь, имеет мало общего с «методом изучения чисел», который отстаивался в свое время Евтушевским, так как тут имеется в виду не прохождение всех действий в пределе каждого изучаемого числа, а лишь сознательное восприятие его.

Изучение чисел в пределе 10. В методической литературе существуют различные точки зрения по вопросу о развитии числовых представлений ребенка, определяющие, в свою очередь, различия в методике изучения чисел первого десятка. Одни авторы (Беец, Лай и др.) считают, что в основе образования числовых представлений ребенка лежит единовременное восприятие им числа рассматриваемых предметов. Исходя из этого, они рекомендуют каждое из чисел 1-го (и даже 2-го) десятка преподносить учащимся в форме зрительного образа числовой фигуры, представляющей собою определенным образом расположенную совокупность кружков (см. рис. 5).

Другие авторы (Мейман, Штеклин и др.) находят, что числовые представления ребенка развиваются на основе последовательного пересчитывания предметов. По мнению этих авторов, при изучении чисел первого десятка следует поэтому основное внимание уделять счету предметов.

Третьи авторы (Галанин и др.) выступают против рассматривания числа как совокупности единиц, предлагая рассматривать его, как результат измерения (как отношение).

Порочность первой точки зрения очевидна. «Совокупность предметов, справедливо указывается в руководстве по методике арифметики Штеклина, не может быть отчетливо воспринята с одного взгляда. Для этого нужно, чтобы внимание последовательно переносилось с одного предмета на другой, т. е., чтобы мы последо-

Рис 5

вательно воспринимали единицы, считали их. Если число предметов совокупности весьма мало, например, равно 2 или 3, то счет происходит столь быстро, что последовательное восприятие единиц очень близко к одновременному восприятию их. Если же число предметов увеличивается, то говорить о восприятии их с одного взгляда становится все более и более затруднительным»1.

Точка зрения Лая опровергается также, данными о развитии числовых представлений ребенка в раннем детстве. По данным К. Ф. Лебединцева2, лишь числовые представления в пределе от 1 до 5 возникают у детей под влиянием непосредственного восприятия ими, при помощи зрения и отчасти осязания, групп однородных предметов. Дальнейшее же развитие числовых представлений детей происходит путем пересчитывания однородных предметов, встречающихся в окружающей жизни. Но и в пределе 5 числовые представления ребенка становятся более точными лишь в результате счета. По наблюдениям Лебединцева, «представления о числах 1—5 возникают у ребенка не в порядке числового ряда (сперва «два», потом «один» и часто «четыре» раньше «трех»). Дети могут иметь ясные числовые представления в пределе 1—5, не умея в то же время правильно считать в том же пределе. Счет в пределе 1—5 не дает новых числовых представлений и только углубляет, расширяет и систематизирует уже имеющиеся числовые представления»3.

По данным Лебединцева, развитие числовых представлений у ребенка проходит 3 основных этапа: 1) «Образование отдельных конкретных числовых представлений в области чисел 1—5 при помощи непосредственного восприятия групп однородных предметов и разложения этих групп на меньшие и на отдельные единицы, 2) объединение этих числовых представлений в числовой ряд... в пределе 1—5, 3) расширение известного ребенку числового ряда и числовых пред-

1 И. Штеклин, Методика арифметики, М., 1911. ч. 1, стр. 7—8. (Разрядка автора)

2 К. Ф. Лебединцев, Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве, Киев, 1923.

3 Там же,

ставлетшй до 10 я далее при помощи конкретного счета»1.

Таким образом, представления даже о числах первого пятка, возникающие под влиянием непосредственного восприятия групп предметов, становятся вполне отчетливыми лишь в результате счета.

Применение числовых фигур в качестве единственного наглядного пособия при изучении чисел первого десятка могло бы привести к односторонним представлениям об этих числах, как об определенным образом расположенных кружках.

По данным Лебединцева, «общее представление о числе возникает у детей тогда, когда они считают предметы не только однородные, но и разнородные». Для формирования общих представлений о числах первого десятка необходимо, поэтому, применение возможно более разнообразного счетного материала в процессе обучения.

Было бы, однако, неверно полностью игнорировать применение числовых фигур. При многократном восприятии определенным образом расположенных кружков их форма запечатлевается в памяти. Благодаря этому, применение числовых фигур содействует запоминанию детьми состава чисел и, как следствие, облегчает им усвоение таблиц сложения и вычитания. Так, многократно воспринимая числовую фигуру ;;, ученик постепенно запоминает, что число 8 состоит из 4 и 4, из 6 и 2 и т. д.

Несомненную пользу может также принести восприятие чисел как результатов измерения, что обогащает числовые представления ученика, делает их более полными, более общими.

Д. Галанин, выступая за изучение чисел как результатов измерения, пишет: «В этом методе обучения попутно начинает развиваться и идея непрерывности изменений, а равно и функциональной зависимости, например, между объемом и весом однородных тел». И далее «Число не является оборванным, как оно является при счете, а непрерывно изменяющимся, как оно есть в действительности».

1 К. Ф. Лебединцев, Введение в современную методику математики, стр. 61.

Галанин поясняет свои положения так: «Отливая по стакану воды из графина, мы видим, как она непрерывно убывает. Это непрерывное убывание откладывается в подсознательной области, где уже благодаря ему закладывается идея непрерывности... Течение прерывается на определенном промежутке, и это прерывание дает одновременно и идею измерения, и идею функциональной зависимости объема и веса»1.

Легко видеть, что в увлечении своим методом Галанин впадает в крайность, чрезмерно преувеличивая силы детей, приступающих к изучению арифметики. Однако зерно истины в его высказываниях, несомненно, имеется. Очевидно, что при частом получении числа как результата измерения, учащиеся будут иметь более полное представление о нем. Кроме того, частые измерения будут делать первоначальные занятия арифметикой более интересными для детей. Великий русский педагог К. Д. Ушинский писал об этом так: «Я полагаю, что наглядными понятиями об измерениях, именно потому, что они наглядные, следует начинать... Занявшись изучением геометрических форм, учитель арифметики оживит свое преподавание и может воспользоваться измерениями, чтобы самой арифметике придать наглядность и живость... Следует начинать с тот, чтобы познакомить детей с мерами и весами и дать им самим возможность мерить, взвешивать и считать»2.

Из сказанного выше следует, что изучение каждого из чисел первого десятка должно включать: а) восприятие числа как совокупности однородных предметов, в том числе кружков числовых фигур и результата измерения и б) счет в данном пределе. Нечего говорить о том, что при изучении каждого числа следует учить детей, как записывать его (учить письменной нумерации). Кроме того, для подготовки учащихся к сложению и вычитанию следует при изучении отдельных чисел первого десятка выяснять состав числа из слагаемых.

Мы видели (см. «Введение»), чго в пределе 5 умели

1 Д. Галанин., Методика арифметики. Первый год обучения, М., 1910, стр. 5.

2 Цитировано по статье В. Чернышева, „К. Д. Ушинский как реформатор преподавания арифметики“. Педагогический сборник, 1910 г., декабрь.

считать все семилетние дети, охваченные нашим исследованием (из опрошенных нами 202 детей этого возраста был всего лишь один ребенок, который не умел считать до 5), чего нельзя сказать про второй пяток. С действиями в пределе первого пятка семилетки также лучше справились, чем с действиями в пределе второго пятка. Обучение 7-летних детей арифметике целесообразно поэтому начинать с чисел и действий в пределе Б и лишь после того, как этот материал усвоен детьми, приступить к изучению чисел и действий в пределе 6—10. Иными словами, концентр «Первый десяток» целесообразно разбить на первый пяток и второй пяток. Подобная система изучения концентра «Первый десяток», в свое время предложенная некоторыми авторами в применении к восьмилетним детям1, не нашла широкого применения на практике, так как умственное развитие этих детей позволяло обучать их нумерации и действиям в пределе 10, не прибегая к разбивке десятка на пятки. Для большинства же семилетних детей, умственное развитие которых заметно ниже, такой порядок изучения слишком труден. Гораздо легче, по нашим данным, дети этого возраста усваивают нумерацию и действия в пределе 10 при разбивке этого концентра на 2 пятка, так как при этом условии они сперва изучают более легкие для них числа и действия в пределе 5 и лишь во вторую очередь переходят к изучению чисел и действий в пределе 6—10.

При рассмотрении каждого числа тщательно выясняется, как оно образуется из предшествующего путем прибавления 1, при этом, чтобы в результате восприятия числа учащиеся получили общее понятие о нем, целесообразно, как уже отмечалось, применять возможно более разнообразный дидактический материал.

Счет имеет целью дать детям отчетливое понятие о данном числовом ряде, о месте каждого числа в этом ряде. Достижению этой цели могут способствовать следующие упражнения.

1. Прямой счет. При упражнении учащихся в прямом счете полезно, чтобы они не только считали

1 См. Ф. Геде, Руководство к первоначальному обучению арифметике, СПБ, 1891.

Д. Мартынов, Учебник методики арифметики, Л., 1886.

по порядку, например: 1 кубик, 2 кубика, 3 кубика..., или 1, 2, 3..., но и считали так: 1 кубик да 1 кубик — 2 кубика, 2 кубика да 1 кубик — 3 кубика.., или 1 да 1 — 2, 2 да 1 — 3 и т. д.

2. Обратный счет. Упражнение в обратном счете ведется аналогично упражнениям в прямом счете.

3. Счет от любого числа, например: Миша, считай от 1 до 6. Коля, считай дальше.

4. Определение места данного числа в числовом ряду, например: какое число следует за числом 6? Какое число стоит впереди числа 5. Какое число стоит между числами — 5 и 7? и т. п.

5. Групповой счет, например: к 2 шарикам (или к 2 единицам) прибавлять по 2 шарика (или по 2 единицы) до тех пор, пока не получится 10, от 10 отнимать по 2 до тех пор, пока ничего не останется.

6. Ритмичный счет, например:

После произнесения каждой подчеркнутой группы чисел делается пауза. Ритмичный счет является разновидностью группового счета.

Ознакомление с каждой цифрой следует проводить так, чтобы учащиеся поняли, что цифра служит для обозначения данного числа каких угодно предметов, например, цифрой 5 обозначается и 5 яблок, и 5 кружков, и 5 палочек и т. д. Каждую цифру следует поэтому иллюстрировать различными предметами и рисунками. Полезно также выяснить неудобство обозначения чисел черточками или кружками, указывая детям, что если, например, число 8 обозначить кружками, то запись их займет много места и времени. Кроме того, нелегко будет сразу узнать, какое число записано. Поэтому принято чиста записывать цифрами.

При рассмотрении состава каждого числа целесообразно ограничиваться разложением его на 2 слагаемых, разбивая, например, число 6 на 5 и 1 (или 1 и 5), на 4 и 2 (или 2 и 4) и на 3 и 3, так как при разложении числа на большее количество слагаемых учащиеся могут слабо усвоить состав числа даже из 2 слагаемых. Следует, кроме того, помнить, что для успешного изу-

чения сложения и вычитания в пределе 10 достаточно, если учащиеся будут знать состав каждого числа первого десятка из 2 слагаемых.

При рассмотрении состава числа полезно широко опираться на переместительное свойство суммы с тем, чтобы облегчить детям запоминание слагаемых, на которые оно может быть разложено.

При выяснении состава каждого числа используются различного рода наглядные пособия (палочки, кружки, кубики, камешки и т. п.). Полезно также, чтобы учащиеся делали соответствующие зарисовки в тетрадях. Так, при рассмотрении состава числа 5 можно предложить учащимся нарисовать в одной строке 4 красных кружка и 1 синий, а в другой строке — 3 красных и 2 синих.

Знание состава чисел первого десятка имеет важное значение для успешного изучения сложения и вычитания в этом пределе. Выяснению состава каждого числа следует поэтому уделять большое внимание.

Приведем в качестве образца план изучения числа 6, осуществленный в нашем опыте.

Тема урока: число и цифра 6

1. Восприятие числа 6.

а) Образование данного числа (на классных пособиях).

На счетах откладываются 5 косточек, затем к ним прибавляют еще одну. Выясняется, сколько всего косточек получилось.

На числовой таблице показывают 5 кружков, затем к ним прибавляют еще 1. Выясняется, сколько всего кружков получилось.

б) Образование данного числа (на индивидуальных пособиях).

Учащиеся откладывают 5 палочек, затем прибавляют к ним еще 1 и говорят, сколько всего палочек получилось.

По заданию учителя, учащиеся рисуют в тетрадях сперва 5 вишен, затем еще одну. Выясняется, сколько всего вишен получилось.

в) Ознакомление с числовой фигурой 6. Раскладывание числовых фигур 1—5 в порядке воз-

растания. Рассмотрение числовой фигуры 6. Составление числовой фигуры 6 из кружков. Зарисовка ее в тетрадях, г) Измерение шагами.

По заданию учителя, вызванный ученик делает 5 шагов, затем еще 1 шаг. Выясняется, сколько всего шагов он сделал.

2. Упражнения в счете.

а) Прямой и обратный счет единицами и двойками до 10 (на дидактическом материале и отвлеченно).

б) Выяснение последовательности чисел в пределе 6 с помощью вопросов: какое число следует за числом 4? за числом 2?

За каким числом следует число 4? число 6?

Какое число находится между 4 и б? между 2 и 4?

3. Задание на дом.

Научиться хорошо считать прямо и обратно до 6. Нарисовать 6 грибов.

Тема урока: Число и цифра 6 (продолжение)

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение пройденного на предыдущем уроке.

3. Ознакомление с цифрой 6.

а) Раскладывание цифр 1 — 5 в порядке возрастания. Иллюстрирование каждой цифры соответствующей числовой фигурой. Показ новой цифры. Иллюстрирование ее числовой фигурой.

б) Упражнения в чтении цифр от 1 — 6 (учитель показывает отдельные цифры, а учащиеся иллюстрируют их имеющимся у них счетным материалом. Учащиеся показывают цифры, называемые учителем, и т. п.).

в) Зарисовка в тетрадях 6 предметов, например: 6 яблок, 6 флажков.

4. Письмо цифры 6.

Объяснения учителя. Упражнения учащихся в письме цифры 6.

5. Решение задач на сложение и вычитание1.

6. Задание на дом. Нарисовать 6 слив. Писать цифру 6 (2 строки)

1 Имеется в виду решение задач на изученные случаи сложения и вычитания в пределе 5.

Тема урока: Число и цифра 6

(продолжение)

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение пройденного на предыдущем уроке. Письмо цифры 6.

3. Рассмотрение состава числа 6.

Разложение числа 6 на 5 и 1 (или на 1 и 5) на классных и индивидуальных пособиях. Зарисовка в тетрадях 6 кружков. Разбивка их с помощью вертикальной черточки (стоячей палочки) на 5 и 1 (или на 1 и 5). Запись равенства: 5+1 =6, 1+5=6.

Подобным образом число 6 разлагается на 4 и 2 (или 2 и 4) и на 3 и 3.

4. Задание на дом.

6 палочек раскладывать на 2 кучки, как это делали в классе. Запомнить, как по-разному можно разложить 6 палочек на 2 кучки. Писать цифру 6 (три строки).

Тема урока: Число и цифра 6 (продолжение)

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение пройденного на предыдущем уроке.

3. Подведение итогов.

а) Беседа о том, какое новое число изучали, какую новую цифру писали.

б) Раскладывание цифр 1—6 и соответствующих числовых фигур в порядке возрастания.

в) Проверка знаний учащихся.

4. Решение задач на сложение и вычитание.

5. Задание на дом. Написать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 кружков раскладывать на 2 кучки. Запомнить, как по-разному можно разложить 6 кружков на 2 кучки1.

Успешное изучение чисел первого десятка возможно лишь при широком применении наглядных пособий. В нашем опыте наиболее эффективными здесь оказались счеты, арифметический ящик, а также описанные выше счетные таблицы, классная числовая касса, уче-

1 Приведенные планы уроков должны, само собою разумеется, видоизменяться в зависимости от уровня развития учащихся. В некоторых классах на изучение числа 6 может потребоваться иное количество уроков, чем то, которое указано в нашем плане.

нические счетные кассы. Кроме того, здесь весьма успешно применялось наборное полотно для иллюстрирования чисел первого десятка.

Это пособие состоит из 2 листов картона: один служит для иллюстрирования чисел 1—5 (см. рис. 6): другой— для иллюстрирования чисел 6—10. Каждое число иллюстрируется: а) рисунком, б) квадратной числовой фигурой и в) цифрами. Для этого на наборном полотне для каждого числа имеется 3 гнезда одно — для карточки с рисунком, другое — для карточки с числовой фигурой и третье—для карточки с цифрой.

Обычно в школьной практике рисунки или числовые фигуры, применяемые для иллюстрирования отдельных чисел первого десятка, помещаются вместе с соответствующей цифрой на одной таблице так, что иллюстрации и цифры неразделимы. Наше наборное полотно, как видно из его описания, устроено так, что можно легко снимать с него любую иллюстрацию или цифру, а так же легко ставить их обратно на их место. Это делает возможным использовать наборное полотно для целого ряда весьма полезных упражнений при изучении чисел первого десятка. Так, можно снять с полотна карточки с числовыми фигурами и цифрами, оставив только карточки с рисунками, и предложить учащимся расставить снятые карточки на их прежние места. Можно оставить на полотне карточки о числовыми фигурами и цифрами и предложить ученикам расставить на прежние места снятые карточки с рисунками. Можно, далее, заменять одни рисунки или числовые фигуры другими, требуя от учащихся, чтобы они правильно расставили новые иллюстрации в гнезда наборного полотна.

Таким образом, наборное полотно может быть широко использовано в процессе преподавания, тогда как упомянутые выше таблицы с иллюстрированными отдельными числами первого десятка могут служить лишь для зрительного восприятия. Следует, кроме того, отметить преимущество порядка размещения чисел первого десятка на наборном полотне по сравнению с порядком размещения их на упомянутых выше иллюстрированных таблицах, которые обычно вешаются на классной стене в одну линию. Как мы видели, числа первого десятка на наборном полотне разбиты на 2 пятка. Это облегчает

Рис. 6

усвоение места каждого числа в числовом ряде, а частично и усвоение состава чисел. В этом отношении упомянутые выше таблицы с иллюстрированными числами первого десятка значительно уступают нашему наборному полотну.

Как указывалось выше, первый десяток целесообразно разбить на 2 пятка: сперва изучить числа 1, 2, 3, 4, 5, затем сложение и вычитание в пределе 5, после чего приступить к изучению чисел второго пятка, а вслед за этим к изучению сложения и вычитания в пределе 10.

Этим, в частности, объясняется то, что почти во всех использованных в нашем опыте наглядных пособиях десяток, как правило, выступает в виде двух пятков.

Здесь уместно поставить вопрос о пользовании пальцами при обучении счету в I классе, в частности при изучении первого десятка. Как известно, пальцы, как пособие при счете, широко применялись на заре истории человечества. Они послужили началом для нашей десятичной системы счисления. Пальцы очень удобное для ребенка «наглядное пособие», которое он имеет всегда при себе. Все же широкое применение пальцев при обучении счету нецелесообразно, так как, привыкнув пользоваться ими, учащиеся, как показывает опыт, слишком поздно переходят к счету в уме.

Мы вполне разделяем мнение Н. Лексина, который, высказываясь против пользования пальцами как наглядным пособием, указывал, что оно «служит соблазном и мешает им (учащимся. — Г. П.) постепенно отходить от наглядного к абстрактному».

В этом отношении упомянутые выше наглядные пособия выгодно отличаются от пальцев, так как учитель может сравнительно легко устранить пользование этими пособиями тогда, когда он находит это необходимым.

Полностью игнорировать пальцы при обучении счету было бы однако нерационально, так как некоторые слабо успевающие учащиеся при пользовании пальцами усваивают понятия о числах первого десятка легче и

1 Н. Лексин, Методика начальной арифметики в духе воспитывающего обучения, Казань, 1914, стр. 69.

лучше, чем при пользовании другими наглядными пособиями. Пальцы уместно применять при изучении чисел первого десятка. При изучении же действий применение пальцев в качестве счетного пособия следует допускать в исключительных случаях, когда другие пособия оказываются неэффективными.

При изучении чисел первого десятка в качестве наглядных пособий могут и должны быть использованы рисунки, выполняемые учащимися в тетрадях. Эта работа весьма интересует малышей. Но рисование на уроках арифметики должно применяться так, чтобы оно служило целям обучения данному предмету. Рисунки в тетрадях должны быть возможно проще, небольшого размера, без излишних деталей. В противном случае уроки арифметики могут превратиться в уроки рисования. Предлагая детям задание, требующее от них рисования в тетрадях, учитель должен указывать, что рисовать, какого размера должны быть рисунки, как располагать их в тетради.

Изучение арифметики в I классе начинается с рассмотрения отдельных чисел первого пятка. Однако не следует сразу с этого начинать обучение арифметике. Во-первых, требуется некоторое время для выяснения числовых представлений учащихся. Во-вторых, прежде, чем обучать детей письму цифр, даже такой легкой цифры, как 1, необходимо, чтобы они предварительно проделали ряд подготовительных упражнений, которые облегчили бы им процесс письма.

Первые уроки арифметики должны, таким образом, быть использованы для выяснения числовых представлений учащихся и для подготовки их к письму цифр. В нашем опыте содержанием этих уроков явился прямой и обратный счет в пределе 10 (на дидактическом материале и отвлеченно), устное (без записей) решение задач на сложение и вычитание в пределе 5 и 10 и, наконец, графические упражнения. Последние состояли в обведении определенного числа клеток, в изображении определенного числа «прямых» (вертикальных) и наклонных палочек, рисовании домиков, контуров фруктов, овощей и т. п., при этом каждый раз указывалось детям, сколько им следует написать или нарисовать тех или иных фигур, подробно разъяснялось, как их распо-

лагать. Эти упражнения существенно облегчили последующее изучение чисел, а в особенности письмо цифр.

Очевидно, чем слабее развитие учащихся, тем больше требуется подобных упражнений для подготовки их к изучению чисел первого десятка. Графические упражнения следует подбирать так, чтобы они, по возможности, включали элементы различных цифр1.

Известно, какие серьезные затруднения представляют для некоторых учащихся первые уроки письма, в частности письма чернилами. Очевидно, чем дольше такие учащиеся пользуются тетрадью, тем грязнее она становится. Представляется поэтому целесообразным в начале года не давать учащимся I класса полных тетрадей, так как даже старательным детям трудно их сохранить чистыми до конца. Следует помнить, что ввиду слабой техники письма учащиеся I класса ежедневно пишут относительно мало и что, вследствие этого, полная тетрадь исписывается ими в сравнительно долгий срок (во многих классах, по нашим наблюдениям, первая тетрадь была исписана учащимися к концу ноября, иначе говоря, за 3 месяца).

Учитывая это обстоятельство, следовало бы выпускать для учащихся I класса, особенно для 1 полугодия, тетради небольшого объема (в 10—12 стр.).

Сложение и вычитание. Трудность сложения зависит, главным образом, от величины второго слагаемого, трудность вычитания—от величины вычитаемого. Следует поэтому сначала рассмотреть случай сложения, когда второе слагаемое равно 1, затем рассмотреть случай, когда оно равно 2 и т. д. Точно так же следует сначала рассмотреть случай вычитания, когда вычитаемое равно 1, затем, когда оно равно 2 и т. д.

Наблюдения, а также данные экспериментального исследования показывают, что при параллельном изучении сложения и вычитания, в пределе 10, когда каждый случай вычитания рассматривается вслед за аналогичным случаем сложения, учащиеся усваивают

1 Мы не останавливаемся здесь на приемах обучения письму цифр ввиду того, что этот вопрос обстоятельно выяснен в пособии А. С. Пчелко .Методика преподавания арифметике в начальной школе“, М., 1945 г., стр. 149—152.

вычитание гораздо легче, чем при раздельном изучении этих действий, когда к изучению вычитания приступают после рассмотрения всех случаев сложения. Сложение и вычитание в пределе 10 полезно поэтому проходить параллельно (случай вычитания 1 вслед за случаем прибавления 1, случай вычитания 2 вслед за случаем прибавления 2 и т. д.).

Такой порядок изучения этих действий, однако, уместен лишь при прохождении сложения и вычитания в пределе всего первого десятка. В пределе же 5 представляется целесообразным сначала рассмотреть все случаи сложения и лишь после усвоения детьми этого действия перейти к вычитанию. Следует помнить, что учащиеся знакомятся здесь впервые с этими арифметическими действиями. Переход от сложения к вычитанию после рассмотрения случая прибавления 1 в пределе 5 мог бы явиться преждевременным, так как вряд ли достаточно решения 4 примеров на сложение (1 + 1; 2+1; 3+1; 4+1), чтобы учащиеся поняли смысл этого действия, научились правильно его записывать. Лучше поэтому сначала рассмотреть все случаи сложения в пределе 5, которых, кстати сказать, немного (всего 10 примеров) и лишь затем перейти к рассмотрению вычитания в этом пределе. В пределе же 10, по указанным выше соображениям, представляется более рациональным параллельное изучение сложения и вычитания: прибавление 1, затем вычитание 1, прибавление 2, потом вычитание 2 и т. д.

Основной прием сложения в пределе 10 состоит в присчитывании к первому слагаемому стольких единиц, сколько их во втором слагаемом. Так, при прибавлении 1 нужно к первому слагаемому присчитать единицу, при прибавлении 2 нужно последовательно присчитать к нему 2 единицы, при прибавлении 3 нужно последовательно присчитать 3 единицы (по одной единице или 1 и 2 единицы, или 2 и 1 единицу) при прибавлении 4 нужно последовательно присчитать 4 единицы (по-одной единице или 2 и 2 единицы) и т. д.

Очевидно, что при пользовании этим приемом легко находить сумму лишь в тех случаях, когда второе слагаемое содержит небольшое число единиц, так как при прибавлении большого числа их легко ошибиться, сколько единиц уже прибавлено и сколько осталось еще

прибавить. Поэтому в тех случаях, когда второе слагаемое больше первого, например: 2 + 5, 3 + 7 целесообразно, на основе переместительного свойства, переставить места слагаемых и к большему числу прибавить меньшее (к б прибавить 2, к 7 прибавить 3). В отдельных случаях при решении трудного примера, положим 4 + 5, полезно обратиться к ближайшему более легкому примеру (4+4), решив который, легко путем соответствующего изменения полученной суммы (путем прибавления 1 к 8) найти искомый результат сложения (9).

Основной прием вычитания в пределе 10 состоит в последовательном отсчитывании от уменьшаемого стольких единиц, сколько их в вычитаемом. Так, при вычитании 1 следует от уменьшаемого отсчитать 1 единицу, при вычитании 2 следует последовательно отсчитать 2 единицы и т. д. Очевидно, что даже при отсчитывании сравнительно небольшого числа единиц легко ошибиться, сколько единиц уже отсчитано- и сколько осталось еще отсчитать. Поэтому, при решении многих примеров на вычитание целесообразно рассматривать их, как обратные соответствующим примерам на сложение, и искать остаток путем нахождения такого числа, которое, будучи прибавлено к вычитаемому, давало бы в сумме уменьшаемое (7 — 4 = 3 потому, что 3 + 4 = 7, 9 — 7 = 2 потому, что 7 + 2 = 9 и т. д.).

Пользоваться этим приемом при выполнении вычитания учащиеся, однако, могут только в том случае, если они хорошо усвоили сложение. К изучению каждого случая вычитания следует поэтому приступать лишь после основательного усвоения учениками соответствующего случая сложения. Чтобы облегчить детям усвоение данного приема вычитания, в частности, полезны подготовительные упражнения в дополнении одного из слагаемых до суммы, например: сколько нужно прибавить к б, чтобы получить 8? Сколько нужно прибавить к 7, чтобы получить 10? и т. п.

Прямые действия значительно легче обратных. Целесообразно поэтому возможно чаще вычитание заменять сложением. Следует также помнить, что способ дополнения при вычитании находит широкое применение в жизни, например, при вычислении размера сдачи.

При изучении сложения и вычитания в пределе 10 следует уделить особое внимание случаям прибавле-

ния и вычитания 1 и 2, добиваясь, чтобы учащиеся умели бегло выполнять последние действия, так как остальные случаи этих действий в пределе 10 легко свести к прибавлению и вычитанию 1 и 2: случаи прибавления и вычитания 3 сводятся к последовательному прибавлению или вычитанию 1 и 2, случаи прибавления и вычитания 4 сводятся к последовательному прибавлению или вычитанию двух двоек. Случаи прибавления 6, 7, 8 и 9 могут путем перестановки слагаемых быть сведены к прибавлению 4, 3, 2 и 1. Случаи вычитания б, 7, 8 и 9 могут быть рассмотрены как обратные сложению. Остаются примеры 5 + 5 и 10 — 5, но они обычно не представляют затруднений для учащихся.

Чтобы облегчить учащимся усвоение случаев прибавления и вычитания 1 и 2, полезно при изучении этих случаев дать детям возможность видеть ряд чисел:

123456789 10,

написав его на доске или демонстрируя его на числовой кассе, так как при этом условии значительно облегчается нахождение результата действия. Так, при сложении 7 + 1 ученик, рассматривая числовой ряд, может гораздо легче найти число, следующее за 7, чем в том случае, когда он не имеет этого ряда перед своими глазами. Этот дидактический прием, само собою разумеется, уместен лишь на первом этапе изучения названных действий.

При рассмотрении нового случая сложения или вычитания целесообразно выяснить прием данного действия сначала на наглядных пособиях, затем на задачах или примерах с именованными числами и лишь после этого переходить к решению примеров с отвлеченными числами.

Наглядные пособия, как уже указывалось, должны быть использованы так, чтобы в максимальной мере содействовать усвоению приемов, с помощью которых производятся данные вычисления. Так, при объяснении случая прибавления 2 следует строго следить за тем, чтобы при решении первых примеров с помощью наглядных пособий (палочек, кубиков и т. п.) ученики находили сумму, отправляясь от первого слагаемого и последовательно добавляя к нему единицы второго сла-

гаемого, а не вели счет от 1, так как в последнем случае применение наглядных пособий не содействует усвоению приема данного действия.

Запись сложения и вычитания в тетрадях представляет на первых порах серьезные трудности для семилеток. Обучению этим записям должны быть предпосланы упражнения в «записи» этих действий с помощью карточек цифровой кассы так, чтобы учащиеся приступали к записи примеров и задач на сложение и вычитание в тетрадях лишь после того, как они освоятся с соответствующими «записями» с помощью карточек цифровой кассы.

Для успешного изучения сложения и вычитания в пределе 20 (и в дальнейших пределах) ученик должен уметь быстро находить результаты сложения и вычитания в пределе 10. Между тем приемы сложения и вычитания в пределе первого десятка чересчур сложны, чтобы с их помощью можно было быстро находить искомые результаты. О трудности этих приемов свидетельствует, в частности, то, что многие учащиеся нередко, при решении примеров и задач на эти действия, правильно определяя результат, не могут объяснить, как они получили его.

Поэтому, наряду с ознакомлением учащихся с приемами сложения и вычитания и упражнением их в пользовании этими приемами, следует практиковать заучивание ими таблицы сложения, знание которой облегчает нахождение и результатов вычитания.

Для лучшего запоминания детьми результатов сложения в нашем опыте применялись стенные таблицы этого действия, при этом одни учителя оформляли все случаи сложения на одной таблице (см. таблицу на стр. 85), другие каждый случай сложения оформляли на особой таблице, получая, таким образом, таблицу прибавления 1, таблицу прибавления 2 и т. д.

После рассмотрения каждого случая сложения учитель вывешивал соответствующую таблицу (в случае, когда учитель пользовался сводной таблицей, он обычно завешивал бумагой случаи, ненужные в данный момент). Таблица прочитывалась вслух, потом ответы закрывались и учащиеся, по заданию учителя, читали и решали сначала все примеры таблицы по порядку,

Таблица 5

Таблица сложения до 10

а затем отдельные примеры вразбивку. После этого таблица снималась со стены, и начинался устный опрос детей.

Таким образом, при опросе учащихся им вначале давалась возможность зрительного и слухового восприятия числовых данных, а затем одного слухового восприятия их. Обычно ко второй, чисто устной форме опроса учитель переходил тогда, когда учащиеся обнаруживали вполне удовлетворительное знание таблицы при зрительном восприятии числовых данных. Здесь, таким образом, находили применение указанные выше положения (см. стр. 23—26) о постепенном переходе от зрительного к слуховому восприятию числовых данных при обучении вычислениям.

Как видно из сказанного выше, постепенность соблюдалась также в переходе от спрашивания таблицы по порядку к спрашиванию ее вразбивку, так как, очевидно, не имеет смысла спрашивать таблицу вразбивку, если учащиеся не знают ее по порядку.

От твердого знания таблицы сложения в пределе 10 зависит успешное усвоение вычитания в этом пределе, а »в дальнейшем успешное усвоение сложения и вычитания в пределе 20 и круглых десятков в пределе 100. Следует поэтому добиваться, чтобы учащиеся твердо помнили результаты сложения в пределе первого десятка. «Иначе, — правильно указывает А. И. Гольденберг, — нам пришлось бы постоянно прибегать к инструментальному счету1, чтобы каждый раз добывать результаты, в которых неизбежно будет предстоять надобность при выполнении действий над числами большими десяти»2.

Второй десяток

Устная и письменная нумерация. При изучении нумерации чисел второго десятка так же, как и при изучении чисел в пределе 10, следует начинать со счета реальных предметов и лишь затем переходить к отвлеченному счету. В качестве наглядных пособий

1 Под инструментальным счетом Гольденберг понимает счет на предметах.

2 А. Гольденберг, Методика арифметики, СПБ, 1914, стр. 10.

могут быть использованы счеты, кубики, палочки, а также описанные выше счетные таблицы.

Особое внимание должно быть уделено выяснению смысла числительных второго десятка (одиннадцать = один-на-десять, двенадцать = две-на-десять и т. п.). В этих целях, в частности, полезно на первых порах единицы счетного материала класть не рядом с десятком, а на десяток (см. рис. 7).

Рис. 7

В дальнейшем при иллюстрировании чисел второго десятка единицы помещаются рядом с десятком, но и здесь желательно класть их не как попало, а так, чтобы они неизменно находились вправо от десятка, в соответствии с поместным значением единиц первых двух разрядов.

При изучении нумерации следует возможно чаще выяснять десятичный состав рассматриваемых чисел (из скольких десятков и единиц состоит данное число).

При изучении устной нумерации в пределе второго десятка, как и в пределе 10, уместны упражнения в прямом и обратном счете, в определении места того или иного числа в числовом ряде (какое число следует за числом 13, какое число стоит впереди числа 16, между какими числами стоит число 18 и т. п.), упражнения в групповом счете (счете двойками, пятерками) и др.

При обучении письменной (а частично и устной) нумерации полезно применение 2-х вертикальных полос с набором кружков, которые, как и в описанных выше счетных таблицах, вставляются в гнезда (конвертики), имеющиеся на каждой полосе.

Повесив рядом две полосы и вставив в левую из них десять кружков, а в правую один кружок (см. рис. 8), учитель в беседе с детьми выясняет, сколько всего получилось кружков, из скольких десятков и, сверх того, единиц состоит полученное число, и затем записывает его под двумя полосами так, чтобы цифра 1, означаю-

щая десяток, стояла под левой полосой, а цифра 1, означающая единицу, — под правой, при этом детям объясняется значение написанных цифр («1 десяток и 1 единица»). Подобным образом объясняется письменная нумерация остальных чисел второго десятка.

В ученических тетрадях для подобного иллюстрирования чисел второго десятка, вместо кружков могут быть использованы клетки (см. рис. 9).

При обучении письменной нумерации также полезно применение нумерационной таблицы.

Отложив 11 палочек и выяснив десятичный состав числа 11, его записывают сначала в нумерационной таблице, а затем вне таблицы. Примерно так объясняется письменная нумерация и других чисел второго десятка.

Рис. 8 Рис 9

Для того чтобы учащиеся более отчетливо представляли себе ряд чисел от 1 до 20, полезно, чтобы они записали эти числа в 2 строки так:

123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Усвоению ряда чисел от 1 до 20 могут также способствовать описанные выше классные числовые кассы.

Пользуясь зрительно воспринимаемым рядом чисел от 1 до 20, учащиеся упражняются в прямом и обратном счете по 1, по 2, по 5, что может помочь им не только четко представлять себе место каждого числа в натуральном ряде, но в некоторой мере и взаимное положение чисел в этом ряде.

Сложение и вычитание. Сложение и вычитание в пределе 20 полезно проходить параллельно, рассматривая отдельные случаи вычитания вслед за соответствующими случаями сложения, при этом, как указывалось выше, следует выделять в особые ступени лишь те случаи, которые различаются вычислительными приемами. С этой точки зрения следует отнести к одной ступени такие случаи сложения без перехода через десяток, как, например, 12+5 и 12+8, которые в задачниках нередко относятся к 2 различным ступеням. Как при сложении 12+5, так и при сложении 12+8 единицы первого слагаемого обычно складываются с единицами второго слагаемого, и полученная сумма прибавляется к 10. Иначе говоря, оба эти случая сложения выполняются с помощью одного приема. Поэтому нет достаточных оснований для отнесения их к различным ступеням обучения.

Случай сложения однозначного числа с двузначным в пределе 20 легко путем перестановки слагаемых свести к сложению двузначного с однозначным. Поэтому сложение однозначного числа с двузначным можно отнести к той же ступени, что и сложение двузначного числа с однозначным.

К подобной перестановке часто прибегают даже слабо успевающие учащиеся. Приведем выдержку из протокола индивидуального опроса таких учащихся.

Опрашивается Валя Б.

— Запиши пример: к 2 прибавить 18.

— 2+18 = 20,

— Расскажи, как ты считала.

— К 18 прибавить 1 получится 19 и прибавить 1 получится 20.

Опрашивается Нина С.

— Запиши пример: 2+18.

— 2+18-20.

— Как ты считала?

— Я наоборот считала: к 18 прибавить 1 и 1 получится 20.

Как видно, эти ученицы не могли сразу прибавить 2 единицы и прибавляли их по одной, перестановка же слагаемых была выполнена ими без всяких затруднений.

К одной ступени можно отнести все случаи вычитания двузначного числа из двузначного, например, 18—13 и 20—13, так как в том и в другом случае от уменьшаемого обычно отнимают десяток вычитаемого, а затем его единицы. К одной ступени, как указывалось выше, следует отнести все случаи сложения с переходом через десяток. Одной ступенью охватываются также все случаи вычитания с переходом через десяток.

В итоге существенно сокращается количество ступеней обучения, на какие разбивается сложение и вычитание. Все же их остается немало. Возникает вопрос, в каком порядке целесообразно расположить эти ступени.

В школьной практике, под влиянием существующих задачников, обычно сначала рассматривают случаи сложения и вычитания без перехода через десяток, а затем случаи этих действий с переходом через десяток.

Наш опыт показал, что такая последовательность изучения сложения и вычитания в пределе 20 не является бесспорной, поскольку некоторые случаи сложения и вычитания без перехода через десяток труднее сложения и вычитания с. переходом через десяток.

Об этом свидетельствуют данные о количестве ошибок, допущенных учащимися I класса в сложении и вычитании в пределе 20 (см. табл. 6 на стр. 92).

Из таблицы видно, что со сложением и вычитанием без перехода через десяток учащиеся справились в среднем хуже, чем с соответствующими действиями с переходом через десяток. Так, в то время как на 1 пример на сложение без перехода

через десяток приходится в среднем 40,3 ошибок и пропусков, на 1 пример на сложение с переходом через десяток приходится 30 ошибок и пропусков. То же наблюдается и в области вычитания, где на 1 пример без перехода через десяток падает 53,3 ошибок и пропусков, а на 1 пример с переходом через десяток — 47,8 таких изъянов.

Большая легкость сложения и вычитания с переходом через десяток по сравнению с соответствующими действиями без перехода через десяток особенно явственно выступает, когда мы, игнорируя нерешенные примеры, сопоставляем только ошибки, допущенные учащимися.

На большую легкость сложения и вычитания с переходом через десяток по сравнению со сложением и вычитанием без перехода указывает и то, что некоторые учащиеся переносят на последние случаи сложения и вычитания приемы, применяемые при сложении и вычитании с переходом через десяток. Приведем выдержки из протоколов индивидуального опроса учащихся.

Опрашивается ученик класса I А 64-й школы Толя С.

— Запиши пример: 12 + 4. Считай вслух.

— К 12 прибавить 2 получится 14, к 14 прибавить 2 получится 16.

— К 14 прибавить 6.

— К 14 прибавить 5 получится ... 19 и к 19 прибавить 1 получится 20.

Как видно, Толя перенес на этот случай сложения прием, близкий к тому, который применяется при сложении с переходом через десяток, оставляя первое слагаемое нетронутым и прибавляя к нему отдельные части второго слагаемого.

Опрашивается ученик класса I В той же школы Юра Г.:

— Запиши пример: к 13 прибавить 5. Считай вслух.

— К 13 прибавить 5 получится 17.

— Как ты считал?

— К 13 сначала прибавить 4 получится 16, к 16 прибавить 1 получится 17...

— Запиши пример: к 14 прибавить 6.

— К 14 прибавить 6 получится 19.

— Расскажи, как ты считал.

Таблица 6

Данные о результатах решения примерев на сложение и вычитание в пределе 20. (Примеры были предложены в конце января 310 учащимся восьми первых классов школ Москвы).

Количество ошибок, допущенных в данном примере

Количество примеров, оставшихся нерешенными

Всего ошибок и пропусков

9 10..........

13-- 5..........

12— 4..........

3—16..........

2—12..........

14+ 6 . . . .....

11+ 9 . -.........

7--13..........

2+18..........

4+7..........

9+8..........

7+7..........

3+8..........

4+ 9..........

33 56 49 43 26 37 34 41 31 20 34 26 23 25

1

3 3 3 3 2 5 3 6 6

33 56 49 44 26 40 37 44 34 22 39 29 29 31

Примеры на вычитание

17-10..........

19-5..........

18-4..........

17-13..........

16-14..........

20-9..........

20— 4..........

20-17..........

20—12..........

11-3..........

13-8..........

11- 7..........

17-8..........

18-9..........

26 56 39 75 67 49 51 56 40 26 49 28 52 41

2 1 1 1 2 3 4 3 4 5

10 9 9

10

28 57 40 76 69 52 55 59 44 31 59 37 61 51

— К 14 прибавить 5 получится 18, к 18 прибавить 1 получится 19.

Из записи видно, что при решении этих примеров Юра прибегал к тому же приему, что и Толя С, но в отличие от последнего допускал ошибки в отдельных операциях.

Примерно так же решала примеры на сложение и вычитание в пределе 20 ученица класса I Б 71-й школы Валя Б.:

— Запиши пример: к 13 прибавить 5.

— 13 + 5= 18.

— Расскажи, как ты считала?

— К 13 прибавить 3 получится... 15 и к 15 прибавить 2 получится 17.

— А у тебя получилось 18. Как же ты считала? Еще раз объясни.

— К 13 прибавить 3 получится... 16 и к 16 прибавить 2 получится 18.

— К 12 прибавить 4.

— 12 + 4=16.

— Как ты считала?

— К 12 прибавить 2 получится 14 и к 14 прибавить 2 получится 16.

Подобные случаи наблюдались и при решении примеров на вычитание без перехода через десяток.

Вот как ученица класса I Б 71-й школы Таня Н. решала пример 20 — 4.

— От 20 отнять 4. _ 20 — 4=16.

— Расскажи, как ты считала.

— Я от 20 отняла сначала 2, осталось 18, а потом еще 2, осталось 16.

А вот как ученик класса I Б 64-й школы Лева П. решал пример: 19 — 5.

— От 19 отнять 5.

— От 19 отнять 5 получится 14.

— Как ты считал?

— От 19 я отнял 4 получится 15, от 15 отнять 1 получится 14.

— Запиши еще один пример: от 20 отнять 4. .

— От 20 отнять 4 получится 16.

— Как ты считал?

— Я от 20 отнял 2 получится 18, от 18 отнять 2 получится 16.

Из протокольных записей видно, что многие учащиеся при сложении и вычитании без перехода через десяток пользуются приемами, аналогичными тем, которые обычно применяются при сложении и вычитании с переходом через десяток.

Повидимому, эти приемы легче для учащихся по сравнению с приемами, используемыми при сложении и вычитании без перехода через десяток. Отсюда напрашивается мысль о целесообразности изучения сложения и вычитания с переходом через десяток раньше сложения и вычитания без перехода.

Но если нельзя этого категорически утверждать в отношении всех случаев сложения и вычитания без перехода через десяток, то наши данные показывают, что, по крайней мере, случай вычитания двузначных чисел в пределе 20, как наиболее затрудняющий учащихся, следовало бы изучать в последнюю очередь, после изучения случаев вычитания однозначных чисел без перехода и с переходом через десяток.

Как это следует из таблицы 6, на вычитание двузначных чисел падает в среднем 56,2 ошибки на 1 пример, на вычитание однозначных чисел с переходом через десяток 39,2 ошибок на пример, а на вычитание однозначных чисел без перехода через десяток 48,8 ошибок на пример.

Представляется, поэтому, полезным вычитание двузначного числа из двузначного в пределе 20 проходить после изучения вычитания однозначных чисел без перехода и с переходом через десяток. Такой порядок изучения вычитания в пределе 20 вызывается еще тем, что семилетки обычно смешивают приемы вычитания однозначного и двузначного числа без перехода через десяток (примеры 17—13 часто они решают, как пример 17—3 и наоборот). Целесообразно поэтому, по возможности, отдалить время изучения этих двух случаев вычитания.

Наиболее рациональным поэтому нам представляется следующий порядок изучения сложения и вычитания в пределе 20:

1. Сложение однозначного числа с 10, например:

2. Вычитание из полного двузначного числа1 десятка или единиц, например: 14—10; 14 — 4.

3. Прибавление однозначного числа к полному двузначному и наоборот, например: 12 + 3; 12 + 8; 3+ 12; 8+12.

4. Вычитание однозначного числа из полного двузначного в случае, когда единицы вычитаемого меньше единиц уменьшаемого, например: 15 — 3.

5. Вычитание однозначного числа из 20, например: 20 — 4.

6. Сложение с переходом через десяток, например: 9 + 3; 8 + 5.

7. Вычитание с переходом через десяток, например: 11—2; 14 — 6.

8. Вычитание полного двузначного числа из двузначного, например: 18 — 12; 20—12.

Прием сложения однозначного числа с 10 основан на знании нумерации и состоит в соединении данных десятичных групп в одно число, например: 10 + 8=18.

Прием вычитания из полного двузначного числа его десятка или единиц состоит в разложении уменьшаемого на десятичные группы, от которых затем отнимается одна из групп, например:

При сложении без перехода через десяток сначала складываются единицы, затем их сумма прибавляется к 10, например:

1 Полным двузначным числом будем условно называть числа изображенное двумя значащими цифрами.

* Окончательные результаты действий, само собою разумеется, записываются после выполнения вспомогательных вычислений.

При вычитании однозначного числа из полного двузначного без перехода через десяток из единиц уменьшаемого вычитают единицы вычитаемого и полученный остаток прибавляют к 10, например:

При сложении с переходом через десяток первое слагаемое дополняют до 10 и к полученному десятку прибавляют остальные единицы второго слагаемого, например:

При вычитании с переходом через десяток от уменьшаемого отнимают его. единицы, затем от полученного десятка отнимают остальные единицы вычитаемого, например:

При вычитании полного двузначного числа из двузначного от уменьшаемого отнимают сначала десяток, затем единицы вычитаемого, например:

Это действие можно выполнять и по-другому:

Выполнение вычитания в последних 2 случаях значительно облегчается при замене /вычитания сложением (7 + 8 = 15, поэтому 15 — 7 = 8; 13 + 5=18, поэтому 18 — 13 = 5). Но как уже указывалось в разделе «Первый десяток», для подобного выполнения вычитания учащиеся должны хорошо усвоить соответствующие случаи сложения, должны,, в частности, уметь допол-

вять одно из слагаемых до суммы, например: должны знать, сколько нужно прибавить к 7, чтобы получить 15; сколько нужно прибавить к 13, чтобы получить 18; сколько нужно прибавить к 14, чтобы получить 20 и т. п.

Помимо указанных приемов, при сложении и вычитании в пределе 20 полезно иногда применять следующие приемы:

1. Перестановку слагаемых, например, вместо действия 3+ 12, выполняется действие 12 + 3.

2. Сведение трудных случаев сложения к ближайшим более легким. Так при решении примера 7 + 8 складывают 7 + 7 и к полученной сумме прибавляют единицу.

3. Округление одного из слагаемых, например, при сложении 7 и 9 складывают 7 и 10 и из полученной суммы вычитают единицу.

4. При вычитании с переходом через десяток вычитаемое отнимают от десяти и полученный остаток прибавляют к единицам уменьшаемого, например:

Первые 2 из указанных выше дополнительных приемов уже знакомы учащимся. Поэтому эти приемы можно там, где это представляется целесообразным — применять уже в процессе изучения основных приемов. Последние 2 дополнительных приема уместно ввести лишь после прочного усвоения детьми основных приемов.

Особое внимание следует уделить дополнительному приему, который значится выше под цифрой 2. Для того, чтобы учащиеся могли успешно им пользоваться, они должны твердо знать суммы 2 равных однозначных чисел (6 + 6; 7 + 7 и др.). Эти случаи следует особо иметь в виду при изучении сложения в пределе 20 с переходом через десяток.

Приемы сложения и вычитания необходимо объяснять на наглядных пособиях. В нашем опыте особенно эффективным здесь оказались классные счеты, а также счетные таблицы. Пособия, как указывалось выше, должны быть использованы так, чтобы применение их

содействовало усвоению изучаемых приемов. Так, при решении примера 13 -{— 4 следует добиваться, чтобы при пользовании палочками учащиеся находили искомую сумму не путем сосчитывания всех складываемых палочек, а так, как это вытекает из приема данного действия (3 + 4 — 7; 10 + 7=17), ибо только при этом условии решение примеров при помощи наглядных пособий подготовит учащихся к решению аналогичных примеров без применения пособий.

Мы старались свести к минимуму число ступеней при изучении сложения и вычитания в пределе 20. Все же, как мы видели, их набралось изрядное количество, что объясняется множеством вычислительных приемов, которыми выполняются эти действия. Неудивительно поэтому, что усвоение этих приемов затрудняет многих учащихся. Об этом свидетельствуют ошибки, допускаемые ими в решении примеров на эти действия, (см. таблицу 7).

Таблица 7

Наиболее частые ошибки, допущенные учащимися I класса школ Москвы и Борского района Горьковской области в примерах на сложение в пределе 20. (Всего было охвачено 14 школ, из них 4—в Москве и 10—в Борском районе).

Пример: 13+5

Неверные ответы.........

17

8

20

80

19*

Частота каждого ответа......

8

4

3

2

2

Пример: 3+16

Неверные ответы........ .

18

20

Частота каждого ответа......

10

4

Пример: 4+9

Неверные ответы.........

14

12

9

53

Частота каждого ответа......

10

5

2

2

* В этой, как и в других аналогичных таблицах, мы приводим лишь те ошибочные ответы, которые встречаются больше 1 раза.

Пример:

Неверные ответы ....... „ . .

18

16

1

_

_

Частота каждого ответа......

9

8

2

Анализ приведенных ответов показызает, что учащиеся, неверно решавшие данные примеры, чаще всего допускали ошибку на 1. Проведенное нами индивидуальное изучение неуспевающих учащихся показало, что подобные ошибки проистекают оттого, что многие дети ищут сумму путем присчитывания к первому слагаемому единиц второго слагаемого по одной, вместо того, чтобы пользоваться общепринятыми вычислительными приемами. В результате они либо присчитывают лишнюю единицу, либо теряют при счете одну единицу.

К этой категории ошибок следует отнести отзеты 17, 19 в решении примера 13 + 5, ответы 18 и 20 в решении примера 3+ 16, ответы 14 и 12 в решении примера 4 + 9, ответы 18 и 16 в решении примера 9 + 8.

Ответ 8 в решении примера 13 + 5 объясняется тем, что, сложив 3 и 5 единиц, учащиеся забыли затем прибавить полученные 8 единиц к 10. Ответ 80 в решении этого примера, очевидно, является результатом слабого знания нумерации в пределе 100 (результатом смешения чисел 18 и 80). Ответ 1 в решении примера 9 + 8, очевидно, вызван тем, что учащиеся, вместо сложения 9 и 8, вычитали 8 из 9.

Переходим к рассмотрению наиболее частых ошибок, допущенных названными выше учащимися в примерах на вычитание (см. таблицу 8).

Таблица 8

Пример: 17—13

Неверные ответы......

14

3

5

2

Частота каждого ответа . . .

9

7

6

5

Пример: 20—17

Неверные ответы......

13

2

4

5

7

8

1

17

Частота каждого ответа . . .

8

5

4

3

2

2

2

2

Пример: 13—8

Неверные ответы......

6 4

— — — —

7 7

— — — —

Пример: 17-8

Неверные ответы......

11 10

8

6

3 — - —

Частота каждого ответа . . .

11 9

4

3

2 - - -

Из приведенной таблицы видно, что в примерах на вычитание без перехода через десяток чаще всего допущены ошибки на 1 или на 10, в примерах на вычитание с переходом через десяток чаще всего допущена ошибка на 1.

Указанные ошибки в случае, когда неверный ответ разнится от правильного на 1, являются результатом отсчитывания от уменьшаемого по одной единице, а з случае ошибки на 10 проистекают в результате неверного применения вычислительною приема. Так, при решении примера 17 — 13 ученик отнимает 3 от 7 и полученные 4 единицы прибавляет затем к 10, частично перенося, таким образом, на данный случай вычитания прием, применяемый при сложении двузначных чисел с однозначными (например, при сложении 3+14). Аналогичной причиной вызван ошибочный ответ 13 в решении примера 20 — 17. При решении 17 — 8 учащиеся применяли прием, используемый при вычитании однозначных из двузначных без перехода через десяток, решая этот пример, как пример 18—7. Некоторые из приведенных выше ошибок учащихся объясняются тем, что они слабо знают сложение и вычитание в пределе 10.

Чтобы свести к минимуму ошибки учащихся в сложении и вычитании, следует добиваться сознательного усвоения ими приемов этих действий. Для этого необходимы предварительная подготовка детей к изучению этих действий, тщательное объяснение каждого приема, рациональное применение наглядных пособий, систематическая работа над закреплением изученных приемов, о чем достаточно подробно говорилось выше.

Уделяя большое внимание обучению детей приемам сложения и вычитания, следует в то же время требо-

вать от них запоминания таблиц этих действий. Достаточно, однако, чтобы они заучили только таблицу сложения, так как, хорошо усвоив эту таблицу, они усваивают и таблицу вычитания как действия обратного сложению.

Но и таблицу сложения можно усваивать не всю, а лишь основные ее равенства, к которым путем перестановки слагаемых могут быть сведены остальные равенства. Таких основных равенств в пределе второго десятка всего 20, а именно:

Эти равенства были в нашем опыте оформлены на классной таблице, которая применялась в процессе обучения примерно так же, как а таблица сложения в пределе 10.

«Основанием всех вычислений посредством сложения и вычитания,—справедливо указывает Ф, Геде,—служит таблица сложения однозначных чисел... Если учащиеся знают, что 5 + 8=13, то весьма легко достигнуть знания, что 13—5 = 8; 13—8 = 5; 50+80=130; 1300—800 = 500; 75+ 8 = 83 и т. д.»1 Следует поэтому добиваться, чтобы учащиеся твердо знали таблицу сложения.

Умножение и деление. Сложение и вычитание в пределе 10 и 20 мы находили полезным изучать параллельно так, чтобы каждый случай вычитания рассматривался вслед за соответствующим случаем сложения. Что же касается умножения и деления в пределе 20, то, как показал наш опыт, представляется

1 Ф, Геде, Руководство к первоначальному обучению арифметике, СПБ, 1891, стр. 1.

целесообразным изучать эти действия раздельно, рассмотрев сначала все случаи умножения и лишь после этого перейти к делению.

Целесообразность раздельного изучения умножения и деления вызывается особенностями этих действий, смысл которых учащимся несравненно труднее понять, чем смысл сложения и вычитания. После введения умножения поэтому нельзя так скоро ввести деление. Иначе учащиеся, не усвоив смысла умножения, будут легко смешивать это действие с делением.

Первоначальное ознакомление с вычитанием, несмотря, на относительную доступность для учащихся смысла этого действия, мы в своем месте рекомендовали несколько отдалить от первичного введения сложения, советуя сначала рассмотреть все случаи сложения в пределе 5 и лишь затем переходить к рассмотрению вычитания в этом пределе. Тем более требуется отдалить введение деления о г введения умножения. Это будет достигнуто, когда деление будет введено после рассмотрения (всех случаев умножения. Заметим, что такой порядок изучения умножения и деления мы допускаем лишь в пределе 20, поскольку учащиеся впервые знакомятся здесь с этими действиями. Что же касается умножения и деления в пределе 100*, то эти действия, как показывает многолетний опыт нашей школы, полезно изучать параллельно, проходя каждый случай деления вслед за соответствующим случаем умножения.

Случаи умножения в пределе 20 можно располагать двояко, объединяя в отдельные таблицы равенства: а) с одинаковыми множимыми или б) с одинаковыми множителями.

Какой из этих 2 систем следует придерживаться при обучении умножению в пределе 20?

Легко видеть, что при объединении в отдельные таблицы равенств с одинаковыми множимыми учащиеся уже при изучении случая умножения 2 сталкиваются с необходимостью повторять множимое 2 сравнительно большое число раз (до 10).

Благодаря этому можно уже при изучении этого

* Хотя умножение и деление в пределе 100 изучаются во II классе, мы сочли необходимым коснуться здесь этих действий в целях более полного освещения затронутого вопроса.

случая умножения дать понять учащимся выгоду, какую представляет умножение по сравнению со сложением равных чисел (запись 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 заменяем записью 2X7; запись2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2-4-2 + 2 заменяем записью 2X9 и т. д.).

При второй системе расположения таблицы умножения преимущества умножения по сравнению со сложением равных чисел могут быть в достаточной мере вскрыты лишь при изучении последних случаев таблицы. Зато при первой системе расположения таблицы учащимся приходится уже с первых шагов изучения данного действия усваивать сравнительно трудные случаи его, например, 2X6; 2X7; 2X8; 2X9; 2x10, тогда как при второй системе даже самые трудные случаи первой таблицы, например, 8X2, 9X2 могут быть легко усвоены детьми.

Учитывая трудность умножения для семилеток, можно в I классе придерживаться второй из указанных выше 2 систем расположения таблицы умножения, поскольку эта система облегчает усвоение таблицы.

При изучении же таблицы, расположенной по постоянному множимому, следует в I классе начинать не со случая умножения 2, как это обычно практикуется, а со случая умножения 1, а именно:

При этом условии умножение 2 будет легче усваиваться учащимися, так как трудные случаи этого действия можно будет свести к соответствующим случаям умножения 1 (1X9 = 9 и еще 1 X 9= 9, поэтому 2X9= 18).

Систему расположения таблицы умножения по постоянному множителю можно применять лишь в пределе 20. В пределе же 100 следует придерживаться обычной системы расположения таблицы, так как во II классе, где полностью изучается табличное умножение, отпадает необходимость в облегчении начальных случаев этого действия.

Мы выдвинули ряд положений в пользу каждой из 2 систем расположения таблицы умножения в пределе 20.

Вопрос о порядке изучения этого действия, ввиду ограниченности нашего опыта, не может, однако, считаться окончательно разрешенным и нуждается в дальнейшем исследовании.

Умножение в пределе 20 может выполняться с помощью различных приемов, из которых наиболее часто применяются:

а) Последовательное сложение равных слагаемых, например:

б) Перестановка сомножителей, например:

Для успешного изучения умножения требуется тщательная подготовка учащихся. Мы имеем здесь в виду многократное упражнение детей в групповом счете как задолго до изучения умножения (в процессе прохождения сложения и вычитания), так и непосредственно перед рассмотрением каждой новой таблицы. Групповой счет должен вестись на наглядных пособиях и отвлеченно.

Чтобы учащиеся поняли смысл умножения как сложения равных чисел, полезно в порядке подготовки к изучению этого действия предложить им взять 4 раза по 2 кружка, взять 3 раза по 5 палочек, взять 2 раза по 4 карандаша и т. д., при этом можно вначале не требовать от учащихся нахождения результата, добиваясь лишь того, чтобы они правильно откладывали равные группы единиц требуемое число раз, что является важнейшим условием сознательного усвоения смысла умножения.

Лишь после ряда подобных практических упражнений можно приступить к систематическому изучению умножения, при котором равные группы единиц берутся в определенной последовательности (например, 1X2; 2X2; 3X2; 4X2; 5X2 и т. д.1) и каждый раз отыскивается результат действия.

1 Здесь и в других местах этой страницы имеется в виду случай расположения таблицы по постоянному множителю. Аналогичные приемы уместны при изучении таблицы, расположенной по постоянному множимому.

Лучшему пониманию смысла умножения способствует подробная запись используемого приема, например:

Важное значение имеет также рациональное применение наглядных пособий. В качестве последних могут быть использованы классные счеты, кубики, палочки, кружки и т. п., а также рисунки.

Приведем образец последних (берем случай умножения на 2):

Вместо рисования на доске, здесь могут быть использованы упомянутые выше (см. стр. 88) вертикальные полосы, в гнезда которых вставляются кружки или готовые рисунки (см. рис. 8).

Наглядные пособия также необходимы при рассмотрении приема умножения, основанного на переместительном свойстве этого действия.

При объяснении этого приема можно, нарисовав 2 ряда клеток по 5 клеток в каждом ряду (см. рис. 11 ), двумя путями найти, сколько всего клеток: 5X2 = 10 (2 ряда по 5 клеток в каждом ряду), или 2X5 = 10 (5 столбцов по 2 клетки в каждом столбце)

Рис. 10

При объяснении этого приема можно применить и более действенную наглядность, вызвав к доске учащихся и поставив их в 2 ряда, по 5 человек в каждом ряду. Определение числа вызванных учащихся ведется так же, как мы определяли выше число клеток в прямоугольнике.

Добиваясь сознательного усвоения учениками приемов умножения, следует в то же время требовать от них заучивания таблицы этого действия. Чтобы фиксировать внимание детей на результатах умножения, в нашем опыте учащимся обычно предлагалось каждую вновь изученную таблицу после записи ее в тетради обводить прямоугольной рамкой, пользуясь для этого цветными карандашами. Иногда им рекомендовалось записывать цветными карандашами результаты умножения.

Каждый раз после ознакомления учащихся с новым случаем умножения в классе вывешивалась таблица, на которой крупным шрифтом были записаны рассмотренные равенства. Учащиеся прочитывали их вслух. Затем результаты завешивались полоской бумаги, и учащимся предлагалось читать примеры таблицы сначала по порядку, а затем вразбивку и решать их (называть результаты умножения). Таким образом при первичном опросе учащимся давалась возможность зрительно воспринимать сомножители. Лишь после того, как дети стали давать безошибочные ответы классная таблица умножения снималась со стены, и начинался чисто устный опрос. Однако и здесь примеры предлагались сначала по порядку и лишь, когда ученик обнаруживал знание таблицы по порядку, примеры из нее предлагались ему вразбивку.

Соблюденная нами постепенность в переходе учащихся от зрительного восприятия сомножителей к чисто слуховому восприятию их, в переходе от заучивания таблицы по порядку к заучиванию ее вразбивку зна-

Рис. 11

чительно облегчила им запоминание результатов умножения.

Этой цели служило также упражнение учащихся в повторной записи пройденных таблиц, при этом иногда от учащихся требовалось записывать равенства полностью, иногда же только результаты умножения.

В школьной практике часто не изучается таблица умножения единицы. В результате многие ученики при умножении многозначных чисел затрудняются в выполнении соответствующих вычислений. Чтобы этого избежать, необходимо, как указывалось выше (см. стр. 103), особо рассмотреть случай умножения единицы. Полезно также решать с учениками задачи вроде следующих:

Купили 6 чернильниц по 1 руб. каждая. Сколько всего денег уплатили?

В детском саду сшили 8 передников. На каждый передник пошло по 1 м материи. Сколько метров материи пошло на все передники?

Деление на части в пределе 20 может выполняться:

а) путем откладывания в каждую часть по 1 единице до тех пор, пока не будут исчерпаны все единицы делимого. Так, при делении 8 на 2 мы, взяв 8 палочек, откладываем в каждую часть (кучку) по 1 палочке, затем еще по 1 и т. д., пока не разделим поровну все палочки;

б) путем подбора числа, которое, будучи умножено на делитель, давало бы в произведении делимое, например, при делении 8 карандашей между 2 детьми, мы путем подбора находим, что на долю каждого ребенка придется 4 карандаша, потому что 4X2 = 8.

При ознакомлении учащихся с делением на части вначале используется первый прием, но затем выясняется, что можно проще находить результат деления, подбирая число единиц, приходящихся на каждую часть и проверяя его посредством умножения.

Очевидно, что для правильного подбора частных учащиеся должны не только уметь правильно и быстро находить произведения по данным сомножителям, но и по данному произведению и одному из сомножителей находить другой сомножитель. В порядке подготовки к делению полезны поэтому такие упражнения:

1. Повесив классную таблицу умножения например, умножения на 2, или написав ее на доске, учитель, оставив открытыми множители и произведения, завешивает полоской бумаги множимые и затем спрашивает учащихся, какое число нужно взять 2 раза, чтобы получить 8? чтобы получить 12? 10? 16? и т. п. Подобные вопросы предлагаются в дальнейшем часто устно, без помощи таблицы.

2. При решении на доске примеров на умножение учитель иногда стирает в решенных примерах множимые или множители, предлагая вызванным учащимся восстановить стертые цифры.

3. Учащиеся упражняются в составлении примеров на умножение, дающих в ответе указанное число, например, им предлагается назвать примеры на умножение, которые дают в ответе 4; 6; 8; 10; 12 и т. д., охватывая, таким образом, все случаи умножения в пределе 20.

Объяснение деления на части проводится на наглядных пособиях, при этом наряду с делением палочек, кубиков, кружков и т. п., уместно делить на равные части полоски бумаги, бечевки, ленты, прямоугольники и т. п. с проверкой равенства частей путем наложения. Полезны также рисунки, выполняемые учителем на доске или учащимися в тетрадях, например:

В связи с делением на части полезно ознакомить учащихся с половиной и четвертью. Эти понятия выясняются путем деления сначала на 2, а потом на 4 равные части круга, прямоугольника или отрезка прямой, после чего можно перейти к нахождению половины или четверти данного числа предметов (палочек, камешков, тетрадей и т. п.) и, наконец, к решению задач, в которых требуется нахождение половины или четверти данных чисел.

Для лучшего усвоения деления, для лучшего понимания связи между этим действием и умно-

Рис. 12

жением, полезно решение взаимообратных примеров как-то:

Первая сотня

Устная и письменная нумерация в пределе 100. Как и в пределе 10 и 20, в пределе 100 сначала изучается устная нумерация, а затем письменная.

Изучение устной нумерации начинают со счета предметов, затем переходят к отвлеченному счету. В качестве наглядных пособий при изучении устной нумерации могут быть использованы палочки (отдельные палочки и пучки их, 10 штук в каждом), бруски и кубики арифметического ящика, таблица, разделенная на 100 клеток, по 10 клеток в каждом ряду1. Полезной может также оказаться таблица с 3 отделениями для поразрядного размещения палочек (единиц, десятков и сотни).

Сначала повторяется устная нумерация. в пределе 20, а затем следуют упражнения в дальнейшем счете, при этом постепенно расширяется область чисел, в какой ведется счет, вплоть до 100. Особое внимание следует обратить на числительные сорок и девяносто, которые усваиваются некоторыми детьми с трудом.

При прохождении устной нумерации важно довести до сознания учащихся, что десяток тоже единица, только составная, и что десятками считают так же, как единицами. Чтобы этого добиться, полезно упражнять учащихся в параллельном сосчитывании некоторого количества простых единиц и такого же количества десятков, например, одному ученику предлагается отсчитать 8 палочек, а другому 8 десятков палочек, при этом счет десятками ведется двояко: один десяток, два десятка, три десятка, четыре десятка и т. д., или десять, двадцать, тридцать, сорок и т. д.

1 В нашем опыте для этого была использована оборотная сторона таблицы чисел первой сотни (см. ниже стр. 112).

Для лучшего усвоения детьми понятия о десятке как о счетной единице полезны и такие упражнения: учитель предлагает учащимся отсчитать, скажем, 50 палочек. Дети считают их по одной. Затем палочки связываются в пучки, по 10 штук в каждом, и сосчитываются десятками. В беседе выясняется, как легче считать.

Вначале учащиеся упражняются в сосчитывании предметов, число которых состоит только из десятков (например, тридцать, пятьдесят), а затем из десятков и единиц (например, тридцать пять, семьдесят четыре). В последнем случае следует неизменно следить за тем, чтобы десятки сосчитываемых предметов помещались слева, а единицы — справа. При счете палочек можно тут использовать упомянутую выше таблицу с гнездами для единиц отдельных разрядов, кладя десятки палочек в отделение (гнездо) для десятков, а единицы — в отделение для единиц.

При прохождении устной нумерации в школьной практике иногда с успехом применяется следующий приём. Вызвав 2 учеников, учитель предлагает им сосчитать палочки (или кубики), лежащие на столе, при этом счет ведется ими под руководством учителя, так: один ученик считает палочки; насчитав 10 палочек, он каждый раз начинает счет снова с 1, а чтобы не забыть, сколько десятков он насчитал, другой ученик после отсчета каждого десятка загибает палец на своей руке. По окончании счета учащиеся показывают сосчитанное число палочек на пальцах: один ученик становится слева и показывает столько пальцев, сколько было десятков, другой становится справа и показывает столько пальцев, сколько единиц.

При упражнении детей в счете следует особо иметь в виду переход через десятки, предлагая им примерно такие задания:

Какие числа следуют за числом 28? 57? 39? 68? 89? (От учащихся требуется назвать несколько чисел, следующих за данным.)

Назовите числа, которые больше 49, но меньше 53 и др.

При изучении устной и письменной нумерации следует добиваться, чтобы учащиеся имели ясное пред-

ставление о десятичном составе рассматриваемых чисел.

Этой цели могут служить следующие упражнения:

Сколько десятков и сверх того единиц в числе 37? 81? 69? (Или: Сколько гривенников и сверх того копеек в 37 коп.? 81 коп.? 69 коп.?)

Назовите число, которое состоит из 7 десятков? из 4 десятков и 7 единиц? из 9 десятков и 1 единицы? и т. п. (Или: Сколько копеек составляют 7 гривенников? 4 гривенника и 7 коп.? 9 гривенников и 1 коп.?)

Особо следует выяснить десятичный состав числа 100. Эта новая счетная единица должна быть четко показана на наглядных пособиях в виде пучка в 100 палочек, или в виде доски арифметического ящика.

При изучении письменной нумерации в качестве наглядных пособий (в дополнение к указанным выше) могут быть использованы абак, нумерационная таблица и классные счеты.

Учащимся предлагается отложить определенное количество палочек (например, 42). Это число откладывается затем на абаке (см. рис. 13) и записывается в нумерационной таблице (см. рис. 14) и вне ее. Некоторые числа одновременно откладываются на счетах.

Постепенно круг используемых наглядных пособий сокращается.

Многие дети 7-летнего возраста при поступлении в школу не умеют считать до 20, а некоторые даже — до 10. Для этих учащихся усвоение нумерации в пределе 100 представляет серьезные трудности. Большую помощь при изучении нумерации в этом пределе может им оказать классная таблица чисел первой сотни. Эта таблица представляет собою лист бумаги или картона,

Рис. 13 Рис. 14

разграфленный с лицевой и оборотной стороны на 100 клеток, расположенных в 10 рядов, по 10 клеток в каждом ряду. Клетки оборотной стороны остаются пустыми, в клетках же лицевой стороны размещен ряд чисел от 1 до 100:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Для того чтобы отчетливо выступали круглые десятки (числа 10, 20, 30 и т. д.), они оформляются красным шрифтом, в отличие от остальных чисел, написанных черным шрифтом.

Приведем образцы упражнений, которые могут применяться при пользовании оборотной стороной таблицы:

— Сосчитать, сколько клеток в 1 ряду, сколько клеток в 2, 3, 4, 5 и т. д. рядах.

—- Показать 20, 40, 50, 60, 70 и т. д. клеток. Показать 3 десятка клеток (5 десятков, 9 десятков и т. д.).

— Показать 25, 32, 54, 73, 46 и г. д. клеток. Сколько десятков и, сверх того, единиц в каждом из этих чисел?

Записать, сколько тут клеток? (указывается определенное количество клеток). Сколько десятков и, сверх того, единиц в этом числе?

При пользовании лицевой стороной таблицы могут быть даны упражнения:

Считать по порядку от 1 до 20, от 20 до 30, от 30 до 40 и т. д.

Найти в таблице числа 35, 47, 52, 94, 73, 28 и т. д. Сколько десятков и, сверх того, единиц в этом числе?

Найти в таблице числа 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.

Найти в таблице числа 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96.

Найти в таблице числа 5, 10, 15, 20, 25, 30 и т. д.

Легко видеть, что таблица чисел первой сотни может значительно облегчить детям усвоение нумерации в этом пределе. Следует помнить, что без хорошего знания нумерации невозможно успешное изучение действий. Необходимо поэтому сделать все, что возможно, для того, чтобы учащиеся хорошо усвоили нумерацию.

Таблица чисел первой сотни может быть использована также для подготовки к изучению сложения и вычитания. Этой цели могут служить упражнения:

К 10 (20) прибавлять по 10 (20) пока не получится 100.

К 2 прибавлять по 10, пока не получится 92.

От 98 отнимать по 10, пока не получится 8.

К 5 прибавлять по 5, пока не получится 100 и т. д.

Во всех этих упражнениях учащимся предлагается показывать получаемые числа в таблице.

Полезно, чтобы учащиеся и в своих тетрадях записали числа первой сотни так, как они расположены в таблице. Эта работа может быть выполнена ими частично в классе, частично дома.

Для более четкого выяснения поместного значения цифр при изучении письменной нумерации полезно сопоставить числа, у которых в одном столько десятков, сколько в другом единиц и, наоборот, например: 16 и 61, 38 и 83 и т. п. Полезны также упражнения вроде следующих:

Какие числа можно обозначить посредством цифр? 2 и 5?

Напишите наибольшее число с помощью цифр 1 и 3. Напишите наименьшее число с помощью этих цифр.

Действия над круглыми десятками. Из действий над круглыми десятками полностью, с охватом всех случаев, проходятся лишь сложение и вычитание. При изучении остальных действий рассматриваются лишь случаи, посильные для учащихся I класса.

При изучении умножения рассматривается только случай, когда множитель — однозначное число. Точно так же при изучении деления следует ограничиваться случаем деления на однозначное число. Так как программа I класса включает лишь деление на части, то здесь не может быть изучено деление на круглые десятки (например, 60 : 30, 80 : 20 и т. п.), которое обычно рассматривается как деление по содержанию. (Деление на части, например: деление 90 на 30 равных частей, не может быть здесь применено ввиду явной непосильности этого действия для учащихся I класса.)

Действия над круглыми десятками можно производить двояко, в зависимости от того, рассматриваем ли мы состав данных чисел из простых единиц или из десятков. Так, для выполнения действия 40-1-20 можно: а) к 40 единицам прибавить 20 единиц или б) к 4 десяткам прибавить 2 десятка. Второй прием, очевидно, легче первого. Его и следует рассматривать, как основной вычислительный прием при выполнении действий над круглыми десятками.

Чтобы облегчить учащимся усвоение этого приема, целесообразно при объяснении каждого действия параллельно рассматривать аналогичные примеры с числами в пределе 10 и 100, например;

Из действий над круглыми десятками более трудными для учащихся являются последние два, особенно деление. Усвоению этих действий могут содействовать

упражнения в групповом счете в связи с прохождением сложения и вычитания, например:

К 20 прибавлять по 20 до тех пор, пока не получится 100.

От 90 отнимать по 30, пока не получится нуль и т. п Полезными могут также оказаться наглядные пособия (десятки палочек, бруски арифметического ящика, счеты). Надобность в этих пособиях особенно ощущается при объяснении деления.

III. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

В I классе в первой четверти учебного года решаются исключительно простые задачи (задачи в 1 действие). Начиная же со второй четверти, решение задач в 1 действие перемежается с решением задач в 2 действия. Однако для удобства изложения мы остановимся сперва на вопросах обучения решению простых задач, а затем составных.

Простые задачи

Решение простых задач имеет большое образовательное и практическое значение: оно способствует лучшему пониманию смысла арифметических действий, закреплению вычислительных навыков учащихся, содействует их подготовке к жизни, где решение таких задач находит частое применение. Значение простых задач в школьном курсе арифметики заключается, кроме того, в подготовке учащихся к решению составных задач, в которые простые задачи входят как элементы. В этом отношении роль простых задач в деле обучения решению составных может быть сопоставлена с тем значением, какое таблицы сложения и умножения однозначных чисел имеют в деле обучения вычислениям.

Важно поэтому, чтобы учащиеся хорошо осмысливали различные виды простых задач, умели их хорошо решать.

В задачниках для I класса встречается сравнительно много видов простых задач, а именно: задачи на сложение, в которых требуется найти число, равное данным числам, вместе взятым, например:

Володя вырезал 5 лошадок из белой бумаги и 3 лошадки из серой. Сколько всего лошадок вырезал Володя?

Задачи на сложение, в которых требуется данное число увеличить на несколько единиц, например:

В одном пучке 8 морковок, а в другом на 2 морковки больше. Сколько морковок в другом пучке?

Задачи на сложение, в которых по данному вычитаемому и остатку нужно найти уменьшаемое (задачи, выраженные в косвенной форме), например:

Когда ученик решил 12 примеров, ему осталось решить еще 4 примера. Сколько примеров задано ученику?

Задачи на вычитание, в которых требуется найти остаток, например:

В бочке было 9 ведер воды. Из нее взяли 6 ведер. Сколько ведер воды осталось в бочке?

Задачи на вычитание, в которых требуется данное число уменьшить на несколько единиц, например:

Миша сделал 8 флажков, а Ваня на 3 флажка меньше. Сколько флажков сделал Ваня?

Задачи на вычитание, в которых по данной сумме 2 слагаемых и одному из них требуется найти другое неизвестное слагаемое, например:

На 2 полках 9 книг. На верхней — 5. Сколько книг на нижней полке?

Задачи на умножение, в которых требуется повторить данное число несколько раз, например:

Бондарь набивает на кадку 3 обруча. Сколько обручей ему нужно для 4 таких кадок?

Задачи на деление, в которых нужно данное число разделить на несколько равных частей, например:

Мать купила 6 пряников и разделила их поровну между тремя девочками. Сколько пряников получила каждая девочка?

Задачи на деление, в которых нужно найти половину или четвертую часть данного числа, например:

В книжке 12 страниц. Мальчик прочитал половину книжки. Сколько страниц прочитал мальчик?

До 1945/47 уч. г. программа включала оба случая деления, а) деление на части и б) деление по содержанию. Опыт показал, что изучение обоих случаев деления непосильно для детей 7-летнего возраста. Об этом свидетельствовали повседневные наблюдения, а также результаты изучения знаний детей по арифметике. Задачи на деление, предложенные нами в начале апреля 1946 г. учащимся I класса школ Москвы и

Борского района, Горьковской области, были вполне правильно решены незначительной частью детей: задачи на деление по содержанию вполне правильно решили 20,6%, а задачи на случай деления на части 25,8% всех учащихся. Остальные учащиеся вовсе не решили этих задач, либо решили их неверно (полностью или частично). Среди ученических работ было много таких, в которых допущены грубые ошибки в наименованиях. В этом не было ничего удивительного, если вспомнить, что учащиеся и более старших классов нередко слабо различают основные случаи деления.

Очевидно, что в I классе следует ограничиваться изучением только одного случая деления, выбирая для этого более легкий случай этого действия, каким является деление на части. В этом отношении мы вполне разделяем точку зрения Н. Извольского. «Следует вовсе удалить... задачи на деление по содержанию из 1-го года обучения, — пишет Извольский. — Их явится возможным ввести в курс лишь тогда, когда будет пройдено деление на равные части в пределе первой сотни. Лишь после этого можно будет приступить к задачам на деление — сравнение»1. В другом месте Извольский указывает, что «потребность деления на равные части возникает постоянно в практической жизни, между тем как вопрос о кратном сравнении двух однородных объектов может возникнуть только на сравнительно высоком уровне развития человека»2.

На относительную легкость для ребенка деления на равные части по сравнению с делением по содержанию указывает и А. С. Пчелко. «Деление на равные части,— говорит А. С. Пчелко, — знакомо ребенку из его жизненного дошкольного опыта; деление по содержанию ребенку незнакомо»3. И в другом месте: «Самая запись деления на равные части проста и понятна ребенку; запись деления по содержанию сложна и трудна для детей»4.

1 Н. Извольский, К методике одного случая деления. Математический вестник, 1914, № 3.

2 Н. Извольский, Методика деления. Педагогический вестник Московского учебного округа, 1912, № 7—8.

3 А. С. Пчелко, Методика преподавания арифметики в начальной школе, М., 1945, стр. 183.

4 Там же, стр. 184.

Следует поэтому считать правомерной внесенную в последний вариант программы I класса поправку, ограничивающую изучение деления только случаем деления на части.

Правомерным следует также признать исключение из программы I класса задач на разностное сравнение, которые, как показал опыт, обычно оставались нерассмотренными в этом классе за недостатком времени.

Но даже после исключения задач на деление по содержанию и на разностное сравнение остается еще сравнительно много видов простых задач, решению которых следует обучить школьников I класса.

Многие из этих видов задач серьезно затрудняют семилеток. Чтобы добиться сознательного решения ими указанных выше задач, требуется строжайшая последовательность в подборе учебного материала, тщательное выяснение особенностей каждого вида задач, широкое применение наглядности, большая осторожность в переходе от менее сложных к более сложным формам работы, тщательный инструктаж учащихся в отношении записи и объяснения действий.

Задачи на сложение и вычитание. Наиболее легкими являются простые задачи на сложение, в которых требуется найти число, равное двум данным числам, вместе взятым. В нашем опыте эти задачи стали предлагаться с первых уроков арифметики. Их решение вначале состояло лишь в нахождении ответа, поскольку учащиеся еще не имели понятия о сложении как действии, вследствие чего невозможно было выяснить, как (каким действием) она решена. Лишь спустя несколько уроков, после того как учащиеся получили понятие о сложении и были ознакомлены с записью этого действия, при решении задач стало выясняться действие, с помощью которого был найден ответ, и решение задач стало записываться, при этом учащиеся сперва записывали решение с помощью разрезных цифр, а позже перешли к обычной записи.

В качестве первой задачи, решение которой подлежало записи, была взята следующая:

К 3 грибам прибавить 1 гриб. Сколько всего получится грибов?

Поскольку дети уже были знакомы с записью сложения им нетрудно было понять запись решения этой задачи.

тем более, что условие задачи иллюстрировалось макетами грибов.

Хотя в приведенной записи отсутствовали наименования1 все же она читалась так: «К 3 грибам прибавить 1 гриб получится 4 гриба». Чтобы учащиеся лучше усвоили смысл записи, она была прочитана несколько раз: хором, всем классом и отдельными учениками, по вызову учителя.

Как видно, первая задача была сформулирована так, что в ней прямо указывалось требуемое для ее решения действие. После этого была предложена аналогичная задача, в которой требуемое действие выступало уже менее явственно:

Девочка нашла под одной елочкой 4 гриба, а под другой — 1 гриб. Сколько всего грибов нашла девочка?

Благодаря близости содержания этой задачи к содержанию предыдущей, а частично благодаря тому, что вторая задача, как и первая, иллюстрировалась макетами грибов, учащиеся сравнительно легко поняли запись решения новой задачи.

Вслед за задачей про грибы детям были предложены задачи про сбор яблок, орехов, камешков, желудей и т. п., например:

Мама сорвала с одной яблони 3 яблока, а с другой — 2 яблока. Сколько всего яблок сорвала мама?

Надя нашла у реки 4 белых камешка и 2 красных. Сколько всего камешков нашла Надя?

Благодаря тому, что эти задачи по своему содержанию близко примыкали к первым двум, детям нетрудно было понять, как записывается их решение.

Последующие задачи данного вида имели уже более разнообразное содержание, но все они, по мере возможности, брались из близкого детям окружения.

1 По понятным причинам, наименования у компонентов действий в то время не ставились. Запись наименований была введена значительно позже, после того как дети научились писать.

Несмотря на тщательный подбор тематики задач, все же многие дети, главным образом, из-за слабого развития воображения, иногда плохо осмысливали их содержание. Приходилось поэтому, особенно на первых порах, широко применять иллюстрирование задач с помощью наглядных пособий. Наглядность применялась сперва полная (иллюстрирование числовых данных и результата действия), затем частичная (иллюстрирование только числовых данных или даже только некоторых данных).

Чтобы облегчить детям усвоение условия, наглядность иногда применялась так, чтобы они не только видели предметы, о которых рассказывается в задаче, но чтобы они возможно более ясно представляли себе ее содержание. Для этого, помимо специального дидактического материала (счетных косточек, палочек, кубиков и т. п.) для иллюстрирования задач применялись реальные предметы, в первую, очередь, предметы классного обихода, а также вырезанные из плотной бумаги или картона рисунки некоторых предметов, как-то: грибов, яблок, елочек, флажков, гусей и т. п.

Эти рисунки вставлялись в гнезда (конвертики) описанных выше счетных таблиц.

К некоторым рисункам, как указывалось выше, приделывались «ножки» из приклеенных полосок картона. Такие рисунки, обладавшие устойчивостью, ставились при иллюстрировании задач на классную полочку.

Опыт показал, что такие «стоячие» рисунки делают содержание иллюстрируемых ими задач гораздо более доходчивым для учащихся1.

Некоторые задачи не только иллюстрировались с помощью наглядных пособий, но и инсценировались. К примеру, если в задаче шла речь о девочке, которая собирала камешки у реки, к доске вызывалась ученица, которая должна была, по возможности, изобразить то, о чем рассказывается в задаче (ходить с корзиночкой, класть в нее камешки и т. д.). Иногда все это изображалось самой учительницей.

1 Названные наглядные пособия применялись при решении не только данного, но и многих других видов простых и составных задач.

Следует, однако, отметить, что столь широкое применение наглядности практиковалось лишь при решении первых задач данного вида. В дальнейшем такие задачи иллюстрировались лишь в тех случаях, когда учащиеся обнаруживали непонимание способа их решения.

Следующим новым видом простых задач, с которым были ознакомлены учащиеся, явились задачи на вычитание, в которых требуется найти остаток. Эти задачи были введены примерно так же, как и рассмотренные выше задачи на сложение.

Сначала была взята задача, в которой прямо указывалось действие, требуемое для ее решения («от 3 карандашей отнять 1 карандаш. Сколько карандашей останется?»).

После письменного решения ее была рассмотрена задача:

У девочки было 5 карандашей. Один карандаш она потеряла. Сколько карандашей осталось у девочки?

За этой задачей следовали близкие по своему содержанию задачи про тетради, перья, краски, а затем задачи с более разнообразным содержанием.

Первые задачи на вычитание иллюстрировались реальными предметами или дидактическим счетным материалом. В дальнейшем наглядность применялась в тех случаях, когда решение задачи затрудняло учащихся.

При рассмотрении задач на вычитание (как и задач на сложение) сначала применялась полная наглядность, затем частичная, после чего перешли к решению задач без применения наглядных пособий.

В случае применения полной наглядности, в особенности при решении задач на вычитание, учащиеся могут находить результат действия путем простого сосчитывания демонстрируемых счетных предметов. Вследствие этого они могут недостаточно хорошо осознать смысл выполняемого действия. Не то наблюдается при применении частичной наглядности, где для нахождения результатов учащиеся вынуждены в определенной мере считать в уме. При решении задач на вычитание полная наглядность поэтому применима в ограниченной мере. В гораздо большей степени должна здесь применяться частичная наглядность. К примеру, если нужно при решении задачи от 6 грибов отнять 2 гриба, учащимся показывается 6 грибов (кружков, кубиков или

палочек), но сейчас же после показа они кладутся в корзиночку или в коробочку. Из последней затем вынимают 2 гриба и предлагают детям сосчитать, сколько грибов осталось.

Вообще же при решении этих задач, как и других, наглядность применима лишь в той мере, в какой это необходимо для подготовки детей к решению задач без наглядных пособий.

После того как указанные выше задачи на сложение и вычитание рассмотрены в отдельности, следует приступить к решению задач на эти действия в смешанном порядке.

Чтобы учащиеся лучше осознали, какие задачи решаются сложением и какие вычитанием, им вначале предлагаются рядом задачи с близким содержанием, а иногда и с одинаковыми числовыми данными, одна из которых решается сложением, а другая вычитанием, например:

У Вани было 3 тетради. Он купил еще одну. Сколько тетрадей стало у Вани?

У Володи было 3 пера. Одно перо он дал товарищу. Сколько перьев осталось у Володи?

Или:

На заборе сидели 5 ласточек. Одна из них улетела. Сколько ласточек осталось на заборе?

На крыше сидело 5 голубей. К ним прилетело еще 2 голубя. Сколько голубей стало на крыше?

Благодаря общности содержания задач, которая иногда дополняется и общностью числовых данных, учащимся легче осмыслить различие между задачами на сложение и на вычитание.

Несмотря на тщательное выяснение способа решения указанных 2 видов простых задач, некоторые из наших учащихся формально поняли различие между сложением и вычитанием, сочетая каждое из этих действий с определенными словами — например, сложение со словами купил, получил, нашел, прилетели, а вычитание со словами — продал, отдал, потерял, улетели и т. п.

Этот изъян в знаниях учащихся обнаружился, когда спустя несколько времени им была предложена для самостоятельного решения задача:

От куска полотна отрезали сначала 5 потом еще 3 м. Сколько всего метров полотна отрезали?

Руководствуясь при выборе действия чисто внешними приметами — в данном случае наличием в условии задачи слова «отрезали», которое они привыкли сочетать с вычитанием, — некоторые ученики решали ее вычитанием вместо сложения. Потребовалась дополнительная работа, чтобы исправить обнаружившийся изъян в понятиях детей о сложении и вычитании. Для этого были рассмотрены задачи, которые при общей формулировке решаются, в зависимости от смысла задачи, одни сложением, а другие вычитанием, например:

На дереве сидело 5 воробьев. Три воробья улетело. Сколько воробьев осталось на дереве?

На заборе сидело несколько ласточек. Сначала улетело 5 ласточек, потом 3. Сколько всего ласточек улетело?

От куска ленты отрезали сначала 6 м, потом 4 м. Сколько всего метров ленты отрезали?

От куска электрического шнура длиной в 9 ж отреза ли 3 м. Сколько метров шнура осталось в куске?

К подобному сопоставлению задач, близких по своему содержанию, но различных по способу решения, приходилось на протяжении учебного года прибегать во многих случаях, так как учащиеся данного возраста слабо различали особенности таких задач, легко вмешивали один вид с другим. Здесь сказывалось слабое развитие дифференцирующих функций мышления детей. Только путем тщательного сравнения близких понятий удавалось отграничить их одно от другого в сознании учащихся.

Из сказанного выше видно, как медленно протекал процесс обучения семилетних детей решению задач. Подобные медленные темпы овладения навыком наблюдались при решении и других видов задач.

На первых порах учащимся предлагались задачи, которые учитель составлял сам или которые он брал из задачников. Скоро, однако, дети стали привлекаться к составлению задач.

И здесь продвижение наших учащихся шло очень медленно. Первые задачи дети составляли по инсценировкам, которые разыгрывались у доски, например, учительница давала вызванной к доске ученице сначала 3 карандаша, потом еще 1 и предлагала классу составить про это задачу. В случае, если связное изложение

условия затрудняло учащихся, им предлагались вопросы: Сколько карандашей сначала дали Наде? Сколько карандашей дали ей потом? Что нужно сосчитать?

В дальнейшем задания по составлению задач были усложнены и сводились к требованию полного или частичного составления условия. В первом случае от детей требовалось составить задачу от начала до конца, во втором случае требовалось дополнить условие задачи, начатой учителем.

В заданиях, требовавших от учащихся полного составления задачи, чаще всего давалась числовая «формула», применительно к которой нужно было составить задачу, — например: составить задачу, в которой нужно к 5 прибавить 2 (или к 5 м прибавить 2 м); составить задачу, в которой нужно от 8 отнять 3 (или от 8 кг отнять 3 кг) и т. п.

Иногда в заданиях указывалось только действие, которым должна решаться задача, например, составить задачу, в которой нужно к одному числу прибавить другое число, составить задачу, в которой нужно от одного числа отнять другое, и т. д.

Частичное составление задач чаще всего выражалось в том, что учащиеся должны были подобрать вопрос к основной фабуле задачи, изложенной учителем, например, учитель рассказывал детям: «Мама нарвала 8 огурцов, за завтраком съели 5 огурцов» и предлагал им придумать вопрос («Что здесь можно узнать?»).

Частичное составление задачи иногда заключалось в дополнении условия, в котором недоставало некоторых данных, например:

В детском саду было 5 белых мячей и несколько красных. Сколько всего мячей было в детском саду?

Первые задачи с недостающими данными привели многих учащихся в недоуменье. Потребовались беседы, можно ли решить задачу, почему нельзя ее решить. Затем учитель дополнял условие недостававшим данным и предлагал детям решить задачу.

В дальнейшем, когда предлагалась задача с недостающими данными, учащиеся обычно сами заявляли: «Эту задачу нельзя решить». Многие из них оказывались в состоянии дополнить задачу так, чтобы можно было ее решить.

Задачи с недостающим вопросом или недостающими данными способствуют лучшему осознанию детьми структуры простой задачи, элементов, из которых она складывается и без которых невозможно ее решить.

Составление задач нелегко давалось многим учащимся. Так, излагая свои задачи, некоторые учащиеся ограничивались изложением фабулы и не ставили вопроса, на который ищется ответ. Иногда наблюдались изъяны в самой постановке вопросов, что выражалось в неполной, неточной формулировке их. Каждая такая ошибка тщательно исправлялась.

В ряде случаев составленные детьми задачи заключали в себе нереальные числовые данные. Такие задачи подвергались критике на первых порах со стороны учителя, а затем и со стороны учащихся, которые в таких случаях указывали, что так не бывает.

Содержание составляемых детьми задач вначале было чересчур однообразным, охватывая весьма небольшой круг тем. Чтобы не отпугнуть детей, вначале не выдвигалось никаких возражений против выбранной тематики задач.

Однако в дальнейшем учитель стал обращать вникание детей на то, что нехорошо составлять задачи все про одно и то же, что нужно стараться придумывать все новые задачи. Постепенно тематика детских задач стала расширяться. Приведем образцы этих задач:

Мама купила мне 6 яблок. 2 яблока я съела. Сколько яблок у меня осталось?

У девочки было 6 перьев. Она купила еще 2 пера. Сколько всего перьев стало у девочки?

У мальчика было 5 тетрадей. Одну тетрадь он исписал. Сколько чистых тетрадей у него осталось?

Летело 10 самолетов. 2 самолета приземлились, так как у них нехватило бензина. Сколько самолетов полетело дальше?

На стирку белья пошло 6 ведер горячей воды и 4 ведра холодной. Сколько всего ведер воды пошло на стирку?

На огороде росло 6 арбузов. Три арбуза сорвали. Сколько арбузов осталось на огороде?

На грузовую машину сначала погрузили 6 мешков муки, потом еще 3 мешка. Сколько всего мешков муки стало на грузовике?

Особого внимания требует к себе вопрос о записи условия и решения задачи.

В школьной практике числовые данные простых задач большей частью не записываются на доске. Учителя исходят здесь из того, что учащимся нетрудно запомнить эти данные и что поэто?лу незачем записывать их на доске. Наш опыт показал, что при обучении семилетних детей нецелесообразно предлагать условия задач в чисто устной форме, так как многие из них, ввиду рассеянного внимания, плохо запоминают числовые данные. Кроме того, запись числовых данных способствует лучшему осознанию структуры задачи, помогая учащимся понять, что в задаче даются определенные числа, над которыми нужно выполнить то или иное действие для того, чтобы получить ответ на ее вопрос. В нашем опыте запись числовых данных решаемых задач применялась поэтому сравнительно часто.

Вначале, пока дети не знали букв, данные в задаче числа записывались без наименований. Позже записывались числа с начальными буквами наименований. Заметим, что запись числовых данных задач в это время проводилась исключительно на доске и не переносилась в тетради.

Часто проводилась также запись решения задачи. Это делалось с той целью, чтобы дети лучше осмысливали, каким действием и как решается задача. Запись решения, в отличие от записи условия, проводилась уже не только на доске: в ряде случаев учащимся предлагалось записать решение задачи с помощью разрезных цифр либо с помощью рукописных цифр в тетрадях.

При записи решения задач наименования у компонентов действий вначале не ставятся. Таким образом, запись решения задачи в это время ничем не отличается от записи примера. Запись решения задачи, однако, читается резко отлично от записи примера. Возьмем задачу.

Мальчик сорвал с одной яблони 6 яблок, а с другой 4. Сколько всего яблок сорвал мальчик?

Поскольку дети в это время знают мало букв, решение задачи записывается так:

Но эта запись читается: «К б яблокам прибавить 4 яблока получится 10 яблок. Всего мальчик сорвал 10 яблок».

Таким образом, при решении задачи ученик должен указать, какое действие нужно выполнить над данными числами, затем выполнить его и, наконец, объяснить, что означает полученный результат. Последнее необходимо для того, чтобы ученик отдавал себе ясный отчет в том, какой ответ получен на поставленный в задаче вопрос.

Подобное решение и объяснение задачи, несмотря на несложность предъявляемых требований, серьезно затрудняют многих учащихся, которые, выслушав предложенную задачу, обычно очень быстро дают ответ, но не в состоянии указать, как он был получен ими, не могут объяснить, что означает полученный результат.

На первых порах приходится мириться с тем, что учащиеся сначала называют результат действия и лишь после этого в ответ на вопросы учителя объясняют, какое действие они выполняли и что означает полученное число, например, при решении приведенной выше задачи после того как ученики дают ответ «10 яблок», учитель спрашивает у них, как вы это узнали или как записать решение задачи, а затем выясняет, что это за 10 яблок. Лишь постепенно дети приучаются сначала указывать, какое действие следует произвести над данными числами, и по выполнении его объяснять значение полученного результата.

Задачи сначала решаются коллективно, всем классом, под руководством учителя, который, пользуясь методом беседы, с помощью соответствующих вопросов, приводит учащихся к правильному решению. Последнее записывается на доске, при этом в случае, когда от учащихся требуется запись решения, им дается возможность пользоваться записью, сделанной на доске.

Очевидно, однако, что цель обучения состоит не в том, чтобы дети умели решать задачи при помощи учителя, а чтобы они научились решать их самостоятельно. Сравнительно рано должно поэтому быть введено обучение самостоятельному решению задач. Это обычно дается нелегко, ввиду отсутствия у детей навыков самостоятельной работы.

Вначале вводится полусамостоятельное решение. Оно состоит в следующем. Задача разбирается и решается

коллективно, при этом решение записывается на доске. Однако, когда учащиеся приступают к записи решения, последнее стирается или завешивается так, что детям приходится в определенной мере самостоятельно выполнить требуемую запись. Требования к детям при полусамостоятельном решении задач с течением времени повышаются. Это выражается в том, что во время коллективного разбора задачи решение выполняется лишь устно, но не записывается, после чего детям предлагается самостоятельно записать решение.

После ряда упражнений в полусамостоятельном решении вводится самостоятельное решение задач, при котором учащимся лишь сообщается условие, после чего иногда после повторения учащимися условия, а иногда даже без повторения его — им предлагается самостоятельно записать решение.

Как при самостоятельном, так и при полусамостоятельном решении запись действий вначале осуществляется с помощью разрезных цифр. Лишь после нескольких таких упражнений вводится запись с помощью рукописных цифр в тетрадях.

Заметим, что самостоятельная запись решения с помощью разрезных цифр, как упражнение, подготовляющее к самостоятельной записи в тетрадях, широко применялась в нашем опыте при решении не только рассмотренных выше, но и других видов задач, во всех тех случаях, когда не было уверенности в том, что дети справятся с самостоятельной записью решения данного вида задач в тетрадях.

Для каждой задачи, в зависимости от ее трудности, выбирается одна из указанных выше 3 форм решения: коллективная, полусамостоятельная или самостоятельная: более трудные задачи решаются коллективно, более легкие полусамостоятельно или самостоятельно.

Следует указать, что полусамостоятельное, а затем самостоятельное решение задач были в нашем опыте введены значительно раньше, чем в других школах: полусамостоятельное решение в октябре, а самостоятельное в ноябре месяце.

Это мероприятие, по нашим наблюдениям, вполне оправдало себя: самостоятельно работая над задачей, учащиеся глубже вникали в способ ее решения.

Чтобы подготовить учащихся к решению составных

задач, целесообразно сравнительно рано ввести, так называемые, цепочки простых задач, которые представляют собою небольшие группы задач, подобранных так, что каждая следующая задача данной группы является продолжением предыдущей, например:

У хозяйки было 6 стаканов, Один стакан она разбила. Сколько стаканов осталось у хозяйки?

... Хозяйка купила еще 3 стакана. Сколько стаканов стало у хозяйки?

В саду расцвели сначала 3 розы, потом еще 4. Сколько всего роз расцвело?

... 2 розы сорвали. Сколько роз осталось?

Решение цепочек простых задач, как показал опыт, значительно облегчает в дальнейшем переход к решению составных задач.

Мы подробно остановились на методике решения первых двух видов простых задач. Примерно так же ведется обучение решению других видов простых задач. При рассмотрении каждого из них тщательно выясняется смысл задач и действия, требуемые для их решения, при этом сначала применяется полная, а затем частичная наглядность. Лишь после этого переходят к решению задач без помощи наглядных пособий. Новый вид задач сначала рассматривается изолированно от других, затем он сопоставляется с близкими видами из числа ранее рассмотренных. На первых порах учащимся предлагаются готовые задачи, в дальнейшем они сами привлекаются к составлению задач. Задачи каждого вида сначала решаются коллективно, потом полусамостоятельно и, наконец, самостоятельно. Вслед за решением отдельных простых задач вводится решение цепочек таких задач. Чтобы облегчить понимание условия и способа решения задачи, сравнительно часто практикуется запись условия и решения, особенно на доске.

На остальных видах простых задач мы будем поэтому останавливаться весьма кратко.

Начнем с задач на случай увеличения данных чисел на несколько единиц.

Чтобы сознательно решать такие задачи, учащиеся должны прежде всего ясно понимать смысл оборота речи «столько же». В этих целях еще задолго до вве-

дения этих задач полезно иногда предлагать учащимся задачи вроде следующих:

В саду посадили 5 яблонь и столько же вишневых деревьев. Сколько всего деревьев посадили в саду?

С одной грядки сорвали 4 огурца и с другой столько же. Сколько огурцов сорвали с обеих грядок?

Само выяснение смысла задач на случай увеличения на несколько единиц может быть проведено так: сначала учащимся предлагается упражнение:

Отложить на одной проволоке классных счетов 4 шарика, а на другой столько же.

А затем:

Отложить на одной проволоке 5 шариков, а на другой столько же и еще 2, при этом выясняется, что на второй проволоке получилось на 2 шарика больше, чем на первой.

Подобным образом предлагается положить на одной полочке 4 кубика, а на другой столько же и еще 3, дать одному ученику 3 карандаша, а другому столько же и еще 2, при этом каждый раз, как и в предыдущем случае, выясняется, на сколько единиц второе число больше первого.

После таких подготовительных упражнений предлагается задача:

Отложить на одной проволоке классных счетов 6 шариков, а на другой на 2 шарика больше. Сколько шариков нужно положить на второй проволоке?

При решении этой задачи выясняется, что на второй проволоке нужно положить столько шариков, сколько на первой, и еще 2.

Подобным образом смысл увеличения на несколько единиц выясняется при решении практических задач:

Дать одному ученику 3 тетради, а другому на 2 больше.

Нарисовать на одной строке 5 кружков, а на другой на 3 больше и т. д.

После этих упражнений можно перейти к решению задач по задачнику. Но и тут следует уделять много внимания выяснению смысла увеличения на несколько единиц, при этом если словесное объяснение оказывается недостаточным, необходимо применять наглядность.

Так, в нашем опыте при решении задачи: — С одного куста сняли 6 помидор, а с другого на 3 помидора больше. Сколько помидор сняли с другого куста? — учитель нарисовал на доске 6 кружков для обозначения б помидор, которые сняли с первого куста, и предложил вызванному ученику нарисовать под первым рисунком столько кружков, сколько помидор сняли со второго куста.

Уменьшение на несколько единиц выясняется примерно так же, как и увеличение на несколько единиц.

Учащимся предлагается отложить на верхней проволоке 6 шариков и столько же на нижней. Затем предлагается снять с нижней проволоки 2 шарика. Выясняется, что вначале на верхней и нижней проволоке было поровну шариков, но затем на нижней проволоке стало на 2 шарика меньше.

После нескольких подобных упражнений дается задание отложить на одной проволоке 7 шариков, а на другой на 1 шарик меньше.

При выполнении этого упражнения выясняется, что на второй проволоке следует отложить столько шариков, сколько на первой, а затем отнять один.

Задачи на вычитание, в которых по данной сумме 2-х слагаемых и одному из них требуется найти другое неизвестное слагаемое, серьезно затрудняют учащихся I класса, которые нередко решают их сложением, вместо вычитания. Так задачу: Чашка и блюдце стоят вместе 10 руб. Чашка стоит 6 рублей. Сколько стоит блюдце?— многие учащиеся при правильном устном ответе письменно решают так:

Чтобы облегчить детям выбор действия, условия первых задач данного вида полезно излагать так, чтобы неизвестное слагаемое отыскивалось, как остаток, например:

В детском саду 7 мячей — белых и красных. Белых мячей 5, а остальные красные. Сколько красных мячей в детском саду?

Хозяйка купила 6 тарелок. Из них 2 глубоких, а остальные мелкие. Сколько мелких тарелок купила хозяйка?

По характеру изложения условий эта задачи приближаются к задачам, в которых требуется найти остаток. Решение этих задач поэтому сравнительно легко дается учащимся и является хорошей подготовкой к решению задач данного вида, изложенных более сжато, например:

У мальчика 5 карандашей — черных и цветных. Черных карандашей 2. Сколько цветных?

Лучшему пониманию данного вида задач содействует применение наглядности, преимущественно частичной, например, читая первую часть условия последней задачи, учитель показывает детям коробочку, в которой 5 карандашей. Читая затем вторую часть условия, он вынимает из коробочки 2 черных карандаша и показывает их учащимся, после чего предлагает им узнать, сколько цветных карандашей было у мальчика, или сколько цветных карандашей осталось в коробочке.

Некоторую помощь при решении этого вида задач в нашем опыте оказала запись числовых данных условия. Поскольку запись этих данных практиковалась весьма часто, многие учащиеся к этому времени уже осознали, что при решении задачи действия выполняются над теми числами, которые даны в условии. Поэтому, если кто-либо из учащихся решал последнюю задачу сложением (2 + 3 = 5), то учитель, ссылаясь на запись условия на доске, указывал, что в условии нет числа 3. Этою часто было достаточно, чтобы ученик, осознал и исправил свою ошибку.

Серьезные затруднения для учащихся обычно представляет выбор действия при решении задач, выраженных в косвенной форме. Так задачу: «Мальчик купил книгу за 5 руб. После этого у пего осталось 2 руб. Сколько рублей было у мальчика до покупки?» — многие учащиеся I класса решают вычитанием, вместо сложения.

Чтобы избежать таких ошибок, при разборе задач данного вида тщательно выяснялся выбор действия. Так, при решении приведенной выше задачи было выяснено, что до покупки у мальчика были и те 5 руб., которые он уплатил за книгу, и те 2 руб., которые у него остались. Поэтому чтобы, узнать, сколько денег было у него до покупки, нужно к 5 руб. прибавить 2. Задача к тому: же инсценировалась: к доске вызывался уче-

ник, изображавший мальчика, о котором рассказывается в задаче. Этому ученику было дано 5 руб. и 2 руб.

Иногда при решении подобных задач применялись рисунки. Так, при решении задачи: Хозяйка купила несколько яблок. За завтраком съели 4 яблока. После этого осталось 6 яблок. Сколько яблок купила хозяйка?— детям предложено было нарисовать яблоки, которые были куплены хозяйкой.

Эти и подобные приемы постепенно способствовали усвоению способа решения данного вида задач. Продвижение учащихся, однако, шло здесь очень медленно. Пришлось поэтому в течение длительного времени такие задачи решать коллективно.

Задачи, выраженные в косвенной форме, а также задачи, в которых требуется по данной сумме 2 чисел и одному из них найти другое число, настолько трудны для учащихся I класса, что представляется полезным ввести их значительно позже, чем они введены в наших задачниках.

Здесь уместно привести мнение С. Житкова, который указывал, что при небольших числовых данных в таких задачах учителю «бывает затруднительно показать ученикам, какое именно действие они произвели». Когда же эти задачи вводятся в пределе 100, а в особенности за этим пределом, то «данные в задачах числа не так малы, чтобы ученик мог легко подобрать искомое число, а потому он скорее сознает необходимость того действия, которое в этом случае должно быть произведено»1.

С этими предложениями можно вполне согласиться.

Задачи на умножение и деление. Задачи на умножение и деление вводятся в III четверти в связи с изучением умножения и деления в пределе 20.

В качестве первых задач на умножение полезно подобрать такие, в которых выбор действия как бы подсказывается текстом условия, например:

Мать ходила за водой 2 раза. Каждый раз она приносила по 2 ведра воды. Сколько ведер воды принесла мать?

Хозяйка ходила на огород 2 раза. Каждый раз она

1 С. Житков, Методика арифметики, М., 1916, стр. 121.

приносила по 4 кабачка. Сколько всего кабачков принесла хозяйка?

Из текста этих задач легко вывести, что для решения первой задачи нужно 2 ведра взять 2 раза, а для решения второй нужно 4 кабачка взять 2 раза.

Гораздо труднее понять детям выбор действия при решении таких задач на умножение, как:

Чашка стоит 5 руб. Сколько нужно уплатить за 4 таких чашки?

Килограмм крупы стоит 5 руб. Сколько нужно уплатить за 4 кг такой крупы?

Сшили 5 простынь. На каждую простыню пошло 3 м полотна. Сколько метров полотна пошло на все простыни?

Чтобы сделать понятным выбор действия в таких задачах, решение их полезно выполнять сначала сложением, а затем умножением, например:

Такая двойная запись, само собой разумеется, применима лишь вначале. В дальнейшем решение таких задач выполняется одним умножением, за исключением случаев, когда учащихся затрудняет выбор действия и когда вследствие этого приходится записывать решение сначала сложением.

Чтобы учащиеся лучше осмыслили выбор действия при решении задач на умножение, полезно иногда решать несколько задач с примерно одинаковым содержанием, например, несколько задач, в которых требуется определить стоимость покупки, затем несколько задач, в которых нужно узнать расход материала на изготовленные предметы и т. д.

Такой подбор задач следует практиковать в тех случаях, когда задача затрудняет учащихся и когда возникает необходимость в решении нескольких аналогичных задач для того, чтобы дети хорошо осмыслили выбор действия.

Первые задачи на деление, как и первые задачи на

умножение, следует подобрать так, чтобы выбор действия легко вытекал из текста условия, например:

Мама купила 6 пряников и разделила их поровну между 2 девочками. Сколько пряников получила каждая девочка?

Отец разделил 12 красок поровну между 2 мальчиками. Сколько красок получил каждый мальчик?

Для лучшего осмысливания выбора действия при решении задач на деление целесообразно применять наглядность.

Кроме того, здесь, как и в случае умножения, иногда уместно решать подряд группы задач с примерно одинаковым содержанием, например, группу задач, в которых требуется узнать цену одного из нескольких купленных предметов, затем группу задач, в которых нужно узнать, сколько материала пошло на один из нескольких изготовленных предметов и т. д.

После того как отдельно рассмотрены задачи на умножение и задачи на деление, полезно как и при решении задач на сложение и вычитание, их сопоставить для того, чтобы дети научились четко различать эти 2 вида задач.

Для этого подряд решаются группы задач с одними величинами, например, несколько задач, в которых идет речь о цене — количестве — стоимости, затем несколько задач, в которых говорится о дневной (или часовой) выработке, количестве рабочих дней (или часов) и общей выработке, потом группа задач, в которых идет речь о расходе материала на 1 предмет, количестве изготовленных предметов и общем расходе материала и т. д.

Каждая из указанных групп включает вперемежку задачи на умножение и задачи на деление.

Приведем для примера задачи на названные выше группы величин.

Яблоко стоит 2 руб. Мальчик купил 4 таких яблока. Сколько он должен уплатить денег?

Девочка купила 3 м ленты за 6 руб. Сколько стоит метр ленты?

Сколько нужно уплатить за 5 груш по 3 руб. каждая?

Швея сшила 10 наволочек в 2 дня, каждый день поровну. Сколько наволочек сшила сна в 1 день?

Столяр делает в день 4 табуретки. Сколько табуреток он может изготовить в 3 дня?

В 5 дней сшили 10 рубашек, каждый день поровну. По сколько рубашек сшили в 1 день?

Портниха сшила из куска ситца 3 платья. На каждое платье пошло 4 м. Сколько метров ситца было в куске?

Из 12 ж полотна сшили 6 одинаковых простынь. Сколько метров полотна пошло на каждую простыню?

Из 15 листов бумаги сшили 5 записных книжек. Сколько листов бумаги пошло на каждую книжку?

На каждую группу величин выше приведены 3 задачи. В действительности, в некоторых случаях требуется решение большего числа их, пока дети научатся правильно решать задачи с данными величинами.

После достаточных упражнений в решении готовых задач, учащиеся привлекаются к составлению задач на умножение и деление. Поскольку составление задач на эти действия значительно труднее, чем на сложение и вычитание, следует часто указывать детям не только действие или числовую формулу, но и тематику задач, которые нужно составить, например, составить задачу про покупку яблок так, чтобы нужно было 3 руб. X 5, составить задачу про пошивку платьев, в которой нужно 12 M : 3 и т. п.

Иногда требуются еще более подробные указания о содержании подлежащих составлению задач, так как без этого учащимся трудно правильно составить задачи на эти действия.

Приведем выдержку из записи урока, на котором дети упражнялись в составлении задач на умножение.

Учитель: —Кто может составить задачу, в которой нужно 6 взять 3 раза?

— Сначала ехало на грузовике б человек, а потом еще село 12 человек. Сколько всего стало на грузовике человек?

— Как ты будешь решать эту задачу?

— К 6 человекам прибавить 12.

— Ты неверно придумал задачу. Я просил составить задачу, в которой нужно 6 взять 3 раза.

— На грузовике ехало по б человек три раза. Сколько всего человек ехало на грузовике?

— Кто еще придумал задачу?

— На грузовик клали по 6 мешков три раза. Сколько всего мешков было на грузовике?

Чтобы облегчить работу учащихся, им было предложено составить задачу, в которой нужно 6 метров взять 3 раза. Но и это мало помогло. Вот задачи, составленные детьми:

— Мама ходила три раза в магазин и покупала каждый раз по 6 метров сатина. Сколько всего метров сатина купила мама?

Мама покупала в магазине по б м материи три раза. Сколько метров материи купила мама?

Из приведенной выдержки видно, как трудно дается семилеткам составление задач на умножение. Как мы видели, некоторые задачи неверно составлены, другие звучат неправдоподобно («На грузовике ехало по 6 человек три раза, на грузовик клали по 6 мешков три раза»).

Лишь после того, как детям было предложено составить задачу про покупку 3 кусков материи по 6 м в каждом, они справились с предложенным заданием.

Вообще потребовалась длительная кропотливая работа, пока дети научились составлять задачи на умножение и деление.

Приведем образцы детских задач на эти действия.

Во дворе 3 лавочки. На каждой лавочке сидит по 3 человека. Сколько человек на всех лавочках?

Во дворе играло 12 девочек. Они разделились на 2 группы поровну. Сколько девочек было в каждой группе?

У Миши было 4 марки. К нему пришел товарищ. Миша и говорит ему: «Давай делить марки поровну». Товарищ говорит: «Давай». Сколько марок досталось каждому мальчику?

В зоопарке было 7 обезьян. Каждый день им давали по 2 банана. Сколько бананов получали все обезьяны в день?

На елку пришли ко мне 6 девочек в гости. Я сняла

с елки 12 конфет и разделила их между девочками поровну. Сколько конфет получила каждая девочка?

Нам поручили к празднику украсить 4 портрета. На каждый портрет мы потратили 2 м ленты. Сколько метров ленты потратили мы на украшение портретов?

Мама купила 12 роз. Она поставила их в 2 вазы поровну. Сколько роз поставила она в каждую вазу?

Папа купил 8 мандаринов. У него были мальчик и девочка. Он разделил между ними мандарины поровну. Сколько мандаринов получил мальчик и сколько девочка?

Как видно, содержание детских задач на умножение и деление стало в достаточной мере разнообразным.

В нашем опыте уделялось много внимания объяснению решения новых видов простых задач. Тщательно проводилось также систематическое повторение ранее рассмотренных видов с тем, чтобы навыки учащихся не только не ослабевали, но все более усовершенствовались. Этому, в частности, способствовала наглядность, которая в нашем опыте применялась в процессе закрепления, во всех тех случаях, когда проявлялось недостаточное понимание смысла решаемой задачи со стороны некоторых учащихся. Наглядность при этом применялась так, чтобы она, по возможности, была полезна для всех учащихся, а не только для тех, для которых она непосредственно предназначалась в данный момент. В этих целях выбирались возможно более разнообразные формы наглядности. Так, при решении задач на случай увеличения и уменьшения на несколько единиц, помимо разнообразного счетного материала (палочек, кубиков, карандашей, перьев и т. д.), иногда применялись рисунки, черчение линий, работа с бумагой и т. п., например, учащимся предлагалось начертить 2 отрезка прямой линии так, чтобы один был длиною 6 см, а другой на 2 см длиннее, или, отрезать 2 полоски бумаги, из которых одна была бы длиною в 10 см, а другая на 3 см короче и т. п.

Очевидно, что подобное разнообразие форм наглядности может способствовать уточнению и углублению знаний даже тех учащихся, которые в основном осмыслили данный вид задач.

Составные задачи

Мы видели, с какими трудностями связано обучение семилеток решению задач в 1 действие. Тем труднее научить их решать задачи в 2 действия.

Решение составной задачи сводится к расчленению ее на простые и к решению последних. Чтобы справиться с составной задачей, ученик должен прежде всего уметь решать простые задачи, входящие в составные. Поэтому составные задачи следует каждый раз выбирать с таким расчетом, чтобы они включали в себя знакомые, хорошо осмысленные детьми виды простых задач. Исходя из этого, при первичном введении составных задач уместно взять задачи, сочетающие в себе наиболее легкие виды простых задач на сложение и вычитание. В дальнейшем в составные задачи постепенно включаются и другие виды простых задач, однако, каждый раз лишь после того, как дети научатся хорошо решать последние.

Первая задача в 2 действия предлагается учащимся после предварительного решения 2 простых задач, входящих в составную.

Так, сначала можно рассмотреть простые задачи.

У мальчика было 3 карандаша. Он купил еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало у мальчика?

... Один карандаш мальчик подарил своему товарищу. Сколько карандашей осталось у мальчика?

После решения первой, а затем второй задачи из них составляется задача:

У мальчика было 3 карандаша. Он купил еще 2 карандаша. Один карандаш он подарил своему товарищу. Сколько карандашей осталось у мальчика?

Чтобы учащиеся лучше осознали особенность нового вида задач, сначала инсценируется, первое действие (как мальчик, у которого было 3 карандаша, купил еще 2 карандаша), а затем второе (как мальчик из своих 5 карандашей подарил, один карандаш своему товарищу).

Каждое из этих действий записывается учителем на доске. Получается запись:

После этого учащимся предлагается записать решение задачи в тетрадях, а затем учащиеся повторяют условие задачи и объяснение ее плана и решения.

Примерно так решают несколько первых задач в 2 действия: сначала решают простые задачи, входящие в данную составную, затем из 2 простых задач образуют составную. Последняя инсценируется или, по крайней мере, иллюстрируется наглядными пособиями, так чтобы возможно более отчетливо выступал перед детьми состав задачи из 2 действий (так сказать, двухактность задачи). Действия постепенно выясняются, и учитель записывает их на доске. После этого учащиеся записывают решение в своих тетрадях, а затем повторяют условие и объяснение плана и решения.

В дальнейшем учитель сразу предлагает составные задачи, не предпосылая им простых задач, входящих в составную. В остальном эти задачи решаются так же, как и первые, с тем лишь отличием, что наглядность при их решении применяется не всегда, а лишь в тех случаях, когда решение задачи затрудняет учащихся.

После того как дети осмысливают данную разновидность составных задач, вводится новая разновидность их, например, задачи, решаемые вычитанием и сложением, положим:

У Нади было 5 елочных игрушек. Она подарила своей подруге 2 игрушки, а потом купила себе еще 4 игрушки. Сколько елочных игрушек стало у Нади?

В бочке было 7 ведер воды. Из нее взяли 4 ведра для поливки цветов, а затем налили в нее 6 ведер. Сколько ведер воды стало в бочке?

После решения нескольких таких задач решаются в смешанном порядке рассмотренные выше две разновидности задач. Затем вводится новая разновидность составных задач, например:

На одном кусте расцвели 5 роз, а на другом на 2 розы меньше. Сколько роз расцвело на обоих кустах?

В одной корзине было 10 кг клубники, а в другой на 3 кг меньше. Сколько килограммов клубники было в обеих корзинах?

За этим следует решение смешанных задач трех знакомых детям разновидностей, например:

На елке было 9 игрушек. С нее сняли 5 игрушек,

а затем повеиили новых 3 игрушки. Сколько игрушек стало на елке?

В одном бидоне 8 л молока, а в другом на 2 л меньше. Сколько литров молока в обоих бидонах?

Хозяйка надоила утром 7 л молока и вечером 8 л. Из этого молока она продала 10 л. Сколько литров молока осталось у хозяйки?

Так введение новых разновидностей задач чередуется на протяжении учебного года с решением задач, расположенных в смешанном порядке.

Как уже указывалось выше, каждый новый вид простых задач целесообразно включать в составные задачи лишь после того, как дети умеют хорошо решать задачи этого вида. Этим объясняется то, что в нашем опыте некоторые более трудные виды простых задач стали фигурировать в составных задачах спустя длительное время после ознакомления детей с этими видами задач. Так, простые задачи на сложение, выраженные в косвенной форме, были введены в середине II чегверти, а в составные задачи они стали включаться лишь в конце третьей четверти. До этого времени дети решали такие задачи лишь в 1 действие.

При выборе составной задачи следует учитывать не только, какие простые задачи входят в нее, но и какие вычисления требуются при ее решении, так как трудные действия отвлекают внимание детей от содержания задачи, требуют от них много умственной энергии и тем тормозят осмысливание хода ее решения. Поэтому во всех случаях, когда вычисления могли затруднять наших учащихся, числовые данные задачи уменьшались с тем, чтобы сделать действия над ними вполне посильными для детей.

Числовые данные для составных задач вообще подбирались так, чтобы учащиеся умели выполнять действия над ними не только правильно, но и в достаточной мере бегло. Недаром числовые данные для первых составных задач были подобраны так, чтобы при их решении требовались действия в пределе 10, несмотря на то, что в это время детьми уже было изучено несколько случаев сложения и вычитания в пределе 20. Поскольку последние действия еще затрудняли многих учащихся, было нерационально включать их в составные задачи, которые сами по себе представляли в это

время серьезные затруднения для детей. Лишь после того, как дети научились хорошо выполнять эти действия, последние стали находить применение при решении составных задач. Так подбирались числовые данные для составных задач не только на сложение и вычитание, но и на другие действия.

Трудность составной задачи зависит не только от трудности входящих в нее простых задач и требуемых для ее решения вычислений, но и от того, в каком порядке числовые данные расположены в ее условии.

Возьмем 2 задачи.

2 чашки стоят 12 руб. Хозяйка купила 3 таких чашки. Сколько денег уплатила хозяйка?

Хозяйка купила 3 чашки. Сколько денег уплатила она, если 2 таких чашки стоят 12 руб.?

В первой задаче числовые данные расположены в том порядке, в каком их нужно брать в процессе решения, во второй задаче они не расположены в таком порядке. Первая задача как бы приведена к простым задачам, на которые приходится ее расчленить, вторая не приведена к этим задачам. Первую задачу можно поэтому отнести к приведенным, вторую к неприведенным.

Очезидно, что выделение простых задач из первой составной легче, чем из второй. Поэтому при рассмотрении новой разновидности составных задач следует вначале брать преимущественно приведенные задачи и лишь в дальнейшем переходить к решению аналогичных неприведенных.

Несмотря на постепенное введение новых разновидностей составных задач, на тщательный подбор их, решение их давалось многим учащимся с большим трудом. Наблюдения на уроках, а главное, индивидуальное изучение детей выявили целый ряд причин этих затруднений, которые коренились в несознательном усвоении условий, в не вполне рациональном разборе задачи, в несовершенном объяснении ее и т. д.

Чтобы преодолеть эти затруднения, потребовалось внести ряд существенных коррективов в процесс решения задач на всех его этапах (усвоение условия, разбор и объяснение задачи, запись решения, закрепление навыков и умений учащихся и т. д.).

Рассмотрим каждый из этих этапов в отдельности.

Усвоение условия. Известно, какое большое значение имеет ясное понимание условия задачи для успешного ее решения. Сознательному усвоению условия следует поэтому уделять много внимания.

Прежде всего необходимо обращать внимание на выразительнее чтение условия. Далее, чтобы облегчить учащимся усвоение условия, полезно числовые данные его записывать на доске, сравнительно часто применяя схематическое расположение их так, чтобы детям легче было осмыслить зависимость между величинами.

Приведем образец схематической записи условия.

3 м материи стоят 90 руб. Сколько стоят 2 м такой материи?

Схематическая запись условия:

Много места и внимания следует также уделять повторению условия. После того, как условие прочитано и записано, несколько учащихся, по вызову учителя, повторяют (пересказывают) его. Пересказ иногда требуется полный, иногда по вопросам. При решении же более трудных или новых разновидностей задач условие пересказывается учащимися и по вопросам учителя и полностью.

При всех указанных формах работы над условием часть детей, как то показали результаты индивидуального изучения их, все же не усваивали его. При индивидуальном обследовании учащихся им часто предлагались, среди других, задачи, которые незадолго до этого (за день или два) решались в классе. Ученик должен был прочитать задачу и пересказать ее, при этом до пересказа у него спрашивали, может ли он повторить условие, И вот многие из тех учащихся, которые давали утвердительный ответ на последний вопрос, не умели пересказывать условие.

Здесь сказывалось существенное различие между узнаванием и воспроизведением. Прочитав знакомое условие, ученик узнавал его и был уверен, что он может его повторить. При воспроизведении же оказывалось, что он его не знает.

Наиболее часто учащиеся затруднялись при пересказе середины и конца условия, в особенности же при пересказе главного вопроса. Нередко ученику требовалось прочитать условие решенной ранее задачи несколько раз, пока он оказывался в состоянии пересказать его. Между тем в ряде случаев достаточно было добиться хорошего пересказа условия, чтобы получить правильное решение задачи от ученика, который до этого не умел решать ее.

Стало ясно, что использованные до этого обычные приемы повторения условия недостаточны, что необходимо их усовершенствовать.

При пересказе задачи обычно активно ее воспроизводят немногие учащиеся. Большая же часть детей воспринимает условие пассивно, на слух. Чтобы активизировать работу учащихся в процессе повторения задачи, им предлагалось повторять условие прослушанной ими задачи сначала тихо, про себя. Лишь после этого приступали к пересказу вслух. Таким образом, все учащиеся, а не только те, кого учитель вызывал для устного пересказа, повторяли условие.

В случае, когда дети сами читали условие, им рекомендовалось прочитывать задачу не менее 2 раз, затем закрыть задачник и повторить условие тихо про себя. Дети предупреждались, что от них будет требоваться пересказ условия без книжки. («Вы должны будете повторять задачу, не заглядывая в задачник».) Такие предупреждения стимулировали учащихся внимательно читать условие и пересказывать его про себя, чтобы быть готовыми к пересказу вслух.

Выбор учащихся, которые вызывались для устного пересказа, производился весьма тщательно. Как правило, задачу повторяли учащиеся различной степени успеваемости (положим, один с хорошей, а другой с плохой успеваемостью, или один с хорошей, другой с посредственной и третий с плохой успеваемостью и т. д.). Количество пересказов зависело от трудности задачи, главное же от того, как успешно пересказывали ее вызванные учащиеся.

Особое внимание при пересказе условия уделялось главному вопросу. После повторения условия учащиеся особо опрашивались, какой главный вопрос задачи. Во вторую половину учебного года, когда учащиеся уже

умели хорошо читать, учитель сравнительно часто, помимо числовых данных, записывал на доске главный вопрос.

Пересказ условия имеет весьма важное значение для его усвоения. Наши наблюдения, однако, показали, что пересказ задачи, даже вполне правильный, не может считаться достаточно надежным показателем сознательного усвоения ее.

Нередко при решении задачи обнаруживалось, что ученик, правильно пересказавший условие, не представляет себе того, о чем рассказывается в задаче.

Очевидно, что при таком чисто формальном усвоении словесного текста задачи ученик не может правильно понять зависимость между величинами, о которых идет в ней речь и, как следствие, не может правильно решить задачу.

Д. Мартынов в своем пособии «Методика арифметики для начальной школы» говорит по этому поводу: «... Содержание задачи можно считать усвоенным лишь тогда, когда ученик достигнет до наглядного, как бы картинного представления между данными в задаче числами. Направить воображение ученика в эту именно сторону — дело учителя»1. И в другом месте: «Живое детское воображение, нарисовавшее в голове полную картину выраженного в задаче обстоятельства, поможет мышлению открыть способ ее решения»..

В нашем опыте этой цели служил ряд приемов, которые применялись тогда, когда учитель находил словесное повторение условия недостаточным для того, чтобы дети ясно представляли себе содержание задачи.

Прежде всего тщательно выяснялось значение трудных слов, входивших в текст задачи. Это делалось для того, чтобы дети ясно понимали словарь задачи, чтобы они видели за словами их конкретное содержание. Так, при решении задачи «Из 20 метров материи сделали 2 шторы и скатерть. На каждую штору пошло по 8 м материи. Сколько материи пошло на скатерть? выяснялось значение слов «штора, скатерть». При решении задачи «Купили несколько метров материи по 6 руб. за метр и на 2 рубля прикладу. Всего истратили 20 руб.

1 Д. Мартынов, Методика арифметики для начальной школы, М., 1874, стр. 96.

Сколько купили метров материи?» выяснялось значение слова «приклад» и т. п.

В тех случаях, когда учитель находил, что детям будет трудно представить себе содержание задачи из-за чрезмерной сжатости изложения условия, последнее излагалось им более полно, со внесением некоторых деталей, которые могли, по его мнению, обеспечить усвоение задачи.

Возьмем задачу. На рамку идет 4 бруска. Из 18 брусков сделали несколько рамок и еще осталось 2 бруска. Сколько сделали рамок?

Чтобы учащимся легче было представить себе содержание задачи, условие ее было изложено учителем так:

На рамку для картины идет 4 бруска. У столяра было 18 брусков. Он сделал несколько рамок и еще осталось у него 2 бруска. Сколько рамок сделал столяр?

Для лучшего восприятия условия иногда проводились краткие беседы, имевшие своей целью помочь детям лучше понять смысл задачи.

Так, при решении задачи «Бригада рабочих выезжала на 2 недели в колхоз. 2 дня из этого времени ушло на дорогу. Сколько дней провела бригада в колхозе?» с детьми была проведена беседа о том, зачем бригада выезжала в колхоз, какую помощь рабочие могли оказать колхозу. В беседе было выяснено, что рабочих послали в колхоз на 2 недели, но что они работали там не все время, так как 2 дня у них ушло на дорогу. Проведенная беседа значительно облегчила понимание задачи.

Целям сознательного усвоения условия в ряде случаев служила наглядность. Формы этой наглядности были многообразны в зависимости от особенностей решаемой задачи. В одних случаях иллюстрировались числовые данные задачи, в других случаях проводилось живое иллюстрирование ее.

Иллюстрирование числовых данных задачи проводилось с помощью реальных предметов, дидактического счетного материала, готовых рисунков, или зарисовок на доске.

Приведем несколько задач и покажем, как они иллюстрировались.

Для починки сарая привезли сначала 7 бревен, потом еще 9 бревен. Половину всех этих бревен распилили на доски. Сколько бревен распилили на доски?

Задача была иллюстрирована с помощью палочек: было взято 7 палочек (бревен), потом 9. Все палочки были разделены на 2 равные части.

С одного куста сорвали 5 роз, а с другого на 2 розы больше. Сколько роз сорвали с обоих кустов?

Задача была иллюстрирована так: «в одну числовую таблицу было вставлено 5 кружков, а в другую на 2 кружка больше.

В бидоне было 17 л молока. Из него отлили в 3 кувшина по 4 л в каждый. Сколько литров молока осталось в бидоне?

Задача была иллюстрирована так;

Рис. 15

Хозяйка купила чайник за 30 руб. и 5 чашек. Всего она уплатила 50 руб. Сколько стоила 1 чашка? Условие этой задачи было оформлено так:

Рис. 16

В одном мешке было 7 кг муки, в другом 5 кг. Из этой муки испекли 6 одинаковых хлебов. Сколько муки пошло на каждый хлеб?

Условие этой задачи было оформлено так:

Рис. 17

От 17 м проволоки обрезали 5 м. Остаток разделили на 4 равные части. Какой длины каждая часть? Графическое оформление условия.

Рис. 18

Сравнительно широко в нашем опыте применялись иллюстрированные прейскуранты. Приведем образцы их:

Рис.19 Рис.20

В отдельных случаях прейскуранты содержали не рисунки, а реальные предметы (елочные игрушки, писчебумажные принадлежности и т. п.).

Принося в класс прейскурант, учитель знакомил детей с выставленными «товарами», после чего приступал к решению различного рода задач про покупку этих товаров.

Приведем образцы задач про покупку посуды.

Хозяйка купила тарелку за 10 руб., ложку за 4 руб. и дала в уплату 20 руб. Сколько она получила сдачи?

Покупатель купил 3 ложки по 4 руб. и нож за 5 руб. Сколько денег он должен уплатить за всю покупку?

У колхозницы было 18 руб. Она купила тарелку за 10 руб., а на остальные деньги 2 ложки. Сколько стоила каждая ложка?

Очевидно, что по данному прейскуранту может быть составлено много задач на различные действия.

Вместо решения задач про третьих лиц, иногда по прейскурантам решались задачи про покупки, якобы сделанные самими учащимися. Составление и решение таких задач принимало характер «игры в магазин». Из среды учащихся выделялись продавец, кассир и покупатель. Последний подходил к продавцу, просил отпустить тот или иной товар и спрашивал, сколько нужно уплатить за него. Затем он подходил к кассиру, давал ему деньги (бумажку с написанным на ней числом) и просил сдачи.

Живое иллюстрирование условий практиковалось не только при решении задач по прейскурантам, но и при решении некоторых задач, взятых из задачника: учитель вызывал к доске одного или нескольких учащихся, которые изображали действующих лиц задачи.

Приведем несколько задач и покажем, как они иллюстрировались.

Колхозница собрала 5 корзин малины, по 3 кг в каждой корзине. Из 7 кг ягод она сварила варенье, остальные продала. Сколько килограммов ягод она продала?

После того как условие было прочитано, учитель сказал: «Я вызову сейчас ученицу. Она как бы будет той колхозницей, о которой рассказывается в задаче»,

Затем произошел следующий диалог между учителем и вызванной ученицей:

Учитель — Сколько корзин малины ты собрала?

Ученица — Я собрала 5 корзин.

Учитель — Сколько килограммов было в каждой корзине?

Ученица — В каждой корзине было по 3 кг. Учитель — Из скольких килограммов ты сварила варенье?

Ученица — Я сварила варенье из 7 кг. Учитель — А что ты сделала с остальной малиной?

Ученица — Остальную малину я продала.

Учитель — Что тебе нужно сосчитать?

Ученица — Сколько килограммов ягод я продала?

При рассмотрении задачи «2 мальчика пошли вместе удить рыбу и договорились делить пойманную рыбу поровну. Один мальчик поймал 7 рыб, а другой 9. Сколько рыб досталось каждому мальчику?» учитель после прочтения условия провел с учениками следующую беседу:

— Кто из вас когда-нибудь удил рыбу? (Много мальчиков подняли руки.) Вот как много ребят удили рыбу! Двое из тех, кто удил рыбу, пойдут к доске. Вот вы двое станьте у доски лицом к классу. Вы как бы будете теми мальчиками, о которых рассказывается в нашей задаче.

Скажите, куда вы вместе пошли?

— Мы пошли на реку удить рыбу.

— Сколько рыб ты поймал?

— Я поймал 7 рыб.

— А сколько рыб ты поймал?

— Я поймал 9 рыб.

— Как вы поделили между собою пойманную рыбу?

— Мы поделили ее поровну.

— Что спрашивается в задаче?

— Сколько рыб получил каждый из нас.

При живом иллюстрировании условий вопросы на первых порах ставил учитель. С течением времени вопросы действующим лицам задачи задавали и учащиеся.

В некоторых случаях учащиеся, которые представляли действующих лиц задачи, изображали то, что по-

следние делали. Приведем пример из нашей практики.

Учащимся была предложена задача. На вокзал надо отправить 20 ящиков. Грузовик отвез 5 раз по 3 ящика. Сколько ящиков осталось еще отравить?

После того как условие было прочитано и записано учителем на доске, в беседе с детьми было выяснено, что могло быть в этих ящиках и для чего их нужно было отправить на вокзал. Затем были вызваны два ученика, которые представляли грузчиков. Эти учащиеся в движениях изображали, как грузчики клали один раз 3 ящика, затем второй раз 3 ящика. После этого им были заданы вопросы, сколько всего раз по 3 ящика они грузили на грузовик и что спрашивается в задаче.

Иногда учитель предлагал детям представить себе, что это случилось с ними. В отдельных случаях им предлагалось закрыть глаза и представить себе то, о чем рассказывается в задаче. Такой прием был, например, применен при решении следующей задачи: «В первый раз в школу привезли дрова на 3 подводах, по 5 бревен на каждой подводе, а потом привезли еще 4 бревна на одной подводе. Сколько всего бревен привезли в школу?»

Прочитав условие, учитель сказал детям: «Чтобы лучше понять задачу, закройте глаза и старайтесь представить себе то, о чем рассказывается в задаче: сначала 3 подводы по 5 бревен на каждой подводе, а потом еще 4 бревна на одной подводе».

Выше был указан ряд приемов, использованных в нашем опыте в целях сознательного усвоения учащимися условий задач. Эти приемы применялись, однако, лишь тогда, когда обычное чтение и повторение условия оказывалось недостаточным для того, чтобы учащиеся сознательно усвоили его.

Разбор задачи. Составную задачу можно, как известно, разобрать синтетически или аналитико-синтетически.

При синтетическом разборе исходят из числовых данных задачи и к ним подбирают вопросы. При аналитико-синтетическом разборе решению задачи предшествует ее анализ, при котором исходят из главного вопроса задачи и к нему подбирают данные.

Возьмем задачу:

В одном ящике 12 кг чаю, в другом —на 4 кг меньше. Сколько чаю в двух ящиках?

Синтетически разбор этой задачи ведется, примерно, так:

В задаче говорится, что в одном ящике было 12 кг чаю, а в другом — на 4 кг меньше. Из этого можно узнать, сколько килограммов чаю было во втором ящике. Для этого нужно от 12 кг отнять 4 кг получится 8 кг. Во втором ящике было 8 кг чаю.

В первом ящике было 12 кг чаю, а во втором 8 кг. Из этого можно узнать, сколько килограммов чаю было в обоих ящиках. Для этого нужно к 12 кг прибавить 8 кг получится 20 кг. В обоих ящиках было 20 кг чаю.

А теперь приведем примерный аналитико-синтетический разбор этой задачи.

В задаче спрашивается, сколько килограммов чаю в двух ящиках. Для того чтобы это найти, нужно знать, сколько чаю было в каждом ящике. Мы знаем, сколько чаю было в первом ящике, но сколько его было во втором ящике, нам неизвестно. Поэтому нужно сначала найти, сколько чаю было во втором ящике. Лишь после этого можно будет узнать, сколько чаю в обоих ящиках.

Итак, первый вопрос- сколько килограммов чаю во втором ящике? В первом ящике 12 кг, а во втором на 4 кг меньше. Чтобы узнать, сколько килограммов чаю во втором ящике, нужно от 12 кг отнять 4 кг получится 8 кг. Итак, во втором ящике 8 кг чаю.

Второй вопрос: сколько килограммов чаю в обоих ящиках? В первом ящике 12 кг, а во втором 8 кг. Чтобы узнать, сколько килограммов чаю в обоих ящиках, нужно к 12 кг прибавить 8 кг получится 20 кг. Итак, в обоих ящиках 20 кг чаю.

Легко видеть, что аналитнко-синтетический разбор обеспечивает более сознательное решение задачи, поскольку выполнению действий здесь предшествует выяснение плана решения, тогда как при синтетическом разборе общий план решения предварительно не выясняется, вследствие чего ученик может решать отдельные простые задачи, не понимая значения выполняемых действий для решения основного вопроса составной задачи. Ф. И. Егоров говорит по этому поводу следующее: «Синтетический прием представляет

собою как бы ряд отдельных попыток, не связанных общей руководящей нитью и потому случайно приводящих к цели... Аналитический прием, наоборот, представляет цепь логически связанных между собой и вытекающих друг из друга заключений»1.

Аналитико-синтетический разбор2, несомненно, ценнее синтетического, но как мы видели, он требует сравнительно сложных рассуждений и потому труднее последнего. Особенно большие трудности он представляет для семилетних детей. Необходима поэтому определенная система обучения разбору задач, которая в строгой последовательности прививала бы учащимся навыки и уменья, которые требуются при синтетическом, а затем при аналитико-синтетическом разборе.

При введении составных задач применяется исключительно синтетический разбор. Эта форма разбора применяется и в дальнейшем до тех пор, пока учащиеся не осваиваются в определенной мере с выделением простых задач из составной.

Обычно это дается им нелегко. Приходится поэтому вначале прибегать к наводящим вопросам, чтобы помочь детям выделить простые задачи из составной, например (берем приведенную выше задачу про 2 ящика чаю):

Учитель — Сколько килограммов чаю было в первом ящике?

Ученик — В первом ящике было 12 кг чаю.

— А что говорится про второй ящик?

— Во втором ящике было на 4 кг меньше.

— Что можно узнать?

— Можно узнать, сколько килограммов чаю было во втором ящике?

— Как узнать, сколько килограммов чаю было во втором ящике?

— Чтобы узнать, сколько килограммов чаю было во втором ящике, нужно от 12 кг отнять 4 кг получится 8 кг; 8 кг чаю было во втором ящике.

— Сколько килограммов чаю было в первом ящике?

— В первом ящике было 12 кг.

1 Ф. И. Егоров, Методика арифметики, М., 1906, стр. 45—46.

2 Мы говорим об аналитико-синтетическом, а не об одном аналитическом разборе, потому что за анализом задачи следует синтетическое ее решение.

— А сколько килограммов чаю было во втором ящике?

— Во втором ящике было 8 кг.

— Что можно узнать?

— Можно узнать, сколько килограммов чаю было в обоих ящиках.

— Как узнать, сколько килограммов чаю было в обоих ящиках?

— Чтобы узнать, сколько килограммов чаю было в обоих ящиках, нужно к 12 кг прибавить 8 кг получится 20 кг. В обоих ящиках было 20 кг.

Постепенно следует сокращать количество наводящих вопросов при вычленении простых задач, требуя от учащихся, чтобы они связно излагали выделяемые из составной простые задачи, например: в первом ящике было 12 кг чаю, а во втором на 4 кг меньше; нужно узнать, сколько килограммов чаю было во втором ящике и т. д.

По мере того, как учащиеся усваивают синтетический разбор вводится аналитико-синтетический разбор задач.

Чтобы сделать анализ доступным для учащихся, мы иногда предпосылали составной задаче аналогичную простую задачу с таким же главным вопросом, как и в составной, при этом, в целях облегчения анализа, задачи иногда инсценировались.

Приведем пример:

Для решения была намечена составная задача:

У хозяйки было 20 руб. Она купила чашку за 10 руб. и блюдце за 6 руб. Сколько денег осталось у хозяйки?

Чтобы сделать анализ этой задачи понятным для учащихся, решению этой задачи было предпослано решение следующей простой задачи:

У хозяйки было 15 руб. Она купила чашку с блюдцем за 12 руб. Сколько денег осталось у хозяйки?

К доске была вызвана ученица, изображавшая хозяйку, о которой рассказывается в условии. Этой ученице были предложены вопросы:

— Сколько у тебя было денег?

— Что ты купила?

— Сколько денег ты уплатила за чашку с блюдцем? — Что тебе нужно сосчитать?

После решения этой задачи была предложена приведенная выше составная задача, которая была инсценирована примерно так же, как и предшествующая.

После этого учитель провел с учащимися беседу по следующим вопросам:

— Что требуется узнать во второй задаче?

— Можно ли сразу это узнать?

— Почему мы могли сразу узнать, сколько денег осталось у первой хозяйки?

А почему нельзя сразу узнать, сколько денег осталось у второй хозяйки?

— Итак, что же нужно сначала узнать во второй задаче и т. д.

Благодаря предварительному решению простой задачи, учащимся нетрудно было ответить на указанные вопросы, что, как это легко видеть, сводилось к анализу задачи.

Постепенное усложнение простой задачи, как дидактический прием при обучении анализу задач, применялось сравнительно часто, главным образом, при решении новых разновидностей составных задач.

Приведем образцы составных задач и предшествовавших им подготовительных простых задач.

Простая задача. В школе 2 пионерских отряда: в одном отряде 30 человек, а в другом — 40. Сколько пионеров в другом отряде?

Составная задача. В школе 2 пионерских отряда: в одном отряде 30 человек, а в другом на 10 человек больше. Сколько пионеров в обоих отрядах?

Простая задача. Совхоз должен был засеять свои поля в 13 дней. Совхоз закончил сев на 2 дня скорее. Во сколько дней совхоз засеял свои поля?

Составная задача. Колхоз должен был засеять свои поля в 2 недели. Колхоз закончил сев на 3 дня скорее. Во сколько дней колхоз засеял свои поля?

При решении каждой из приведенных выше составных задач, чему, как указывалось, предшествовало решение соответствующей простой, в беседе выяснялось, почему в предыдущей (простой) задаче можно было сразу узнать то, что з ней спрашивалось, а в этой (составной) задаче сразу нельзя этого узнать. Благодаря подготовительным простым задачам, учащиеся сравни-

тельно легко определяли, что нужно сначала узнать для того, чтобы можно было затем найти то, что спрашивается в составной задаче.

В некоторых случаях простая задача, которая должна была предшествовать составной, предлагалась не учителем, а составлялась учащимися, по его заданию.

Приведем пример.

Учащимся было предложено составить задачу, в которой нужно от 20 отнять 15. Из нескольких заслушанных задач, составленных детьми, была выделена, как лучшая, следующая:

В колхозе нужно было починить 20 сеялок. Уже починили 15. Сколько сеялок осталось починить?

После решения задачи она была усложнена учителем, который придал ей следующую форму:

В колхозе нужно было починить 20 сеялок. В одну неделю починили 7 сеялок, в другую — 8. Сколько сеялок осталось починить?

При разборе этой задачи было выяснено, почему в первой задаче можно было сразу узнать, сколько сеялок осталось еще починить, а во второй задаче нельзя сразу этого узнать. Затем был составлен план второй задачи, и она была решена на доске.

Чтобы облегчить учащимся анализ составных задач, иногда предварительно синтетически решались простые задачи, входящие в данную составную. Приведем выдержку из записи урока.

Учитель — Будем решать задачи. Слушайте внимательно. .. .2 катушки ниток (показывает детям 2 катушки ниток) стоят 12 руб. Сколько рублей стоит одна катушка?

Ученик — Одна катушка стоит 6 рублей.

— У кого другой ответ? (Других ответов не было.) Как вы узнали, что одна катушка стоит 6 руб.?

— 12 рублей разделить на 2 получится 6 рублей; 6 рублей стоит одна катушка.

— Мы узнали, что одна катушка стоит 6 руб. А сколько стоят 3 катушки ниток? (показывает детям 3 катушки ниток).

— 3 катушки ниток стоят 18 руб.

— У кого другой ответ? (Других ответов не оказалось.) Объясни, Ваня, как ты считал.

— Надо 6 рублей взять 3 раза получится 18 рублей.

— Правильно. Слушайте еще задачу. Смотрите, какие у меня красивые открытки. 4 таких открытки (показывает 4 художественных открытки) стоят 8 руб. Сколько рублей стоит одна открытка?

— Одна открытка стоит 2 руб.

— У кого еще другой ответ? Поднимите руки те, у кою получился другой ответ? (Два ученика поднимают руки). А у кого получилось 2 руб.? (Поднимают руки остальные ученики.)

— Объясни, Миша, как ты узнал, что открытка стоит 2 руб.

— 8 рублей разделить на 4 получится 2 руб. Одна открытка стоит 2 руб.

Учитель (обращаясь к ученикам, давшим неверный ответ). Вам теперь понятно? Сколько стоили 4 открытки? (Показывает их.)

— 4 открытки стоили 8 руб.

— А сколько стоит 1 открытка?

— Одна открытка стоит 2 руб.

— Как ты узнал это?

— 8 руб. разделить на 4 получится 2 руб.

— Одна открытка стоит 2 руб. (Показывает 1 открытку.) А сколько будут стоить б таких открыток? (Показывает б открыток.)

— 6 открыток будут стоить 12 руб.

— У кого другой ответ? (Нет.) Как ты узнал?

— 2 руб. взять б раз получится 12 рублей.

— Эти задачи мы решали устно. Теперь будем решать задачи письменно. Смотрите, что я рисую (рисует на доске кружку). Кружка стоит 3 руб. Сколько стоят 5 таких кружек?

Учитель оформил условие на доске так:

Рис. 21

— Сколько стоят 5 кружек?

— 5 кружек стоят 15 руб.

У кого другой ответ? (Нет.) Как ты это узнал?

— 3 руб. взять 5 раз получится 15 руб.

— Объясни, что это за 15 руб.?

— 15 руб. стоят 5 кружек.

— Запишите решение задачи в своих тетрадях.

... Задача, которую вы решали в тетрадях, легкая. Теперь будем решать задачу потруднее. Смотрите, что я буду рисовать. 2 чашки стоят 8 руб. Сколько нужно уплатить за 5 таких чашек?

Учитель оформляет условие на доске так:

Рис. 22

— Повторите условие тихо про себя. (Учащиеся повторяют.) Повтори условие вслух. (Ученик повторяет.)

— Можем ли мы сразу узнать, сколько стоят 5 чашек?

— Сразу нельзя.

Учитель (указывая на предыдущую задачу). А почему мы могли сразу узнать, сколько стоят 5 кружек?

— Потому что там сказано, сколько стоит одна кружка, а здесь не сказано.

— Что здесь не сказано?

— Не сказано, сколько стоит одна чашка.

— Что же сначала будем узнавать?

— Сколько стоит одна чашка?

— Как это узнать?

— 8 рублей разделить на 2 получится 4 pyб.

— Объясни, что это за 4 руб.?

— 4 руб. стоит одна чашка.

— А что спрашивается в задаче?.

— Сколько стоят 5 чашек?

— Сколько же стоят 5 чашек?

— 5 чашек стоят 20 рублей.

— Как ты это узнал?

— 4 руб. взять 5 раз получится 20 руб,

— Что это за 20 руб.?

— 20 руб. заплатили за 5 чашек.

— Скажем это хором.

Ученики — 20 рублей заплатили за 5 чашек.

— Что спрашивается в задаче?

— Сколько стоят 5 чашек?

— Узнали мы это?

— Узнали.

— Значит, задача решена?

— Решена.

После этого учащимся было предложено записать решение задачи в тетрадях.

Постепенное усложнение задач, о котором рассказывалось выше, применялось, главным образом, при анализе новых разновидностей составных задач, в остальных случаях составные задачи для аналитико-синтетического решения предлагались сразу, предпосылая им подготовительные простые задачи лишь в тех случаях, когда без них учащимся было бы трудно анализировать намеченную к решению составную задачу.

При анализе приходится подбирать данные к вопросу, при синтезе подбирать вопрос к числовым данным. Выработке уменья подбирать данные к вопросу могут способствовать простые задачи без числовых данных, выработке уменья подбирать вопрос к числовым данным могут содействовать простые задачи без главного вопроса.

Подобные неполные задачи, ввиду их ценности для выработки умений, требуемых при аналитико-синтетическом решении составных задач, стали предлагаться учащимся задолго до введения задач в 2 действия (см. выше стр. 125—126). Такие неполные задачи предлагались сравнительно часто и в дальнейшем.

При разборе составных задач нередко приходится наблюдать недостаточно ясное понимание многими учениками значения главного вопроса. Это выражается в том, что некоторые из них считают законченным решение задачи тогда, когда еще не найден ответ на главный вопрос, иногда же они продолжают решение поел s нахождения ответа на этот вопрос. Здесь сказывается слабое развитие диференцирующих функций мышления детей, которое уже отмечалось выше.

Приведем пример. Возьмем задачи:

Куплено 2 куска ткани. В первом было 8 ж, во вто-

ром на 3 м больше. Сколько метров ткани было во втором куске?

Мама купила в первый раз 6 м полотна, а во второй раз на 2 м больше. Сколько всего метров полотна купила мама?

При решении второй задачи некоторые учащиеся ограничились выполнением одного действия (6 м + + 2лсп=8 м), считая, что они полностью решили задачу. С другой стороны, решение первой задачи некоторые учащиеся выполняли с помощью 2 действий:

Чтобы устранить такого рода ошибки, учащимся предлагались рядом задачи с общим основным текстом условия, но с различными главными вопросами, требующими для своего решения то одного, то двух действий.

Приведем образцы таких задач.

Володя поймал 5 бабочек, а Миша на 3 бабочки больше. Сколько всего бабочек поймали мальчики?

Володя поймал 7 бабочек, а Миша на 5 бабочек больше. Сколько бабочек поймал Миша?

В прошлом году в городе построили 5 новых школ, а в этом году на 3 школы больше. Сколько школ построили в этом году?

В прошлом году в районе построили 9 новых школ, а в этом году на 2 школы больше. Сколько школ построили в районе за 2 года?

Благодаря такому подбору задач, учащиеся стали обращать больше внимание на их главный вопрос.

Чтобы дети лучше осознали значение главного вопроса, учитель нередко после того, как был найден ответ на главный вопрос, спрашивал у детей, что нужно дальше узнать. В ответ на это некоторые учащиеся предлагали излишние действия, попадая, таким образом, впросак. Их ошибки в этих случаях тщательно выяснялись. Постепенно учащиеся поняли, что после того, как найден ответ на главный вопрос задачи, решение ее закончено и больше узнавать нечего. Излишние действия стали встречаться все реже.

Объяснение решения задачи. Успешность обучения решению составных задач в определенной

мере зависит от того, как учащиеся объясняют их решение.

Наблюдения на уроках, а в особенности индивидуальное изучение детей показывает, что многие из них не справляются с решением задач потому, что они не обучены объяснению задачи. Часть учащихся при решении задачи ограничивается указанием действий и их выполнением (правильным или неправильным), не давая при этом никаких объяснений. Некоторые пытаются объяснять решение, но делают это без всякого определенного плана.

Нередко ученик одно действие объясняет, а другое нет, при выполнении одного действия ставит вопрос, при выполнении другого действия вопроса не ставит, иногда вопрос ставит до выполнения действия, иногда после.

Приведем примеры.

При индивидуальном изучении учащихся, плохо выполнивших контрольную работу, каждому предлагалась для решения следующая задача, входившая в состав контрольной:

Мать сорвала с одной грядки 5 огурцов, а с другой — 4. За завтраком съели 6 огурцов. Сколько огурцов осталось?

После повторения условия ученик должен был вслух решать и объяснять задачу.

Вот как решал и объяснял ее ученик Боря Г.

«К 4 огурцам прибавить 5 огурцов, получится 9 огурцов. От 9 огурцов отнять 6 огурцов, получится 3 огурца. Первое действие. Мать сорвала с первой грядки 4 огурца, с другой 5, всего 9 огурцов. За обедом съели 6 огурцов, осталось 3 огурца на завтрашний день».

А вот как решала и объясняла эту задачу Леля Ч. «Сколько они съели за завтраком огурцов? К 4 огурцам прибавить 5 огурцов, получится 9 огурцов.

К 6 огурцам прибавить 9 огурцов, получится 15 огурцов».

Эту же задачу Юра С. решал и объяснял так:

«К 4 огурцам прибавить 5 огурцов, получится 9 огурцов она сорвала с грядок. А 6 огурцов они съели,

осталось 2 огурца».

Приведенные записи свидетельствуют об отсутствии у детей определенных навыков в объяснении решения задачи, что нередко является причиной неверного решения. Сопровождая решение беспорядочными отрывочными объяснениями, ученик недостаточно осмысливает задачу, следствием чего является целиком или частично неверное решение ее. Нечего говорить о том случае, когда ученик при решении задачи не дает никаких объяснений, ограничиваясь лишь выполнением действий. Тут чаще всего, вместо сознательного решения, наблюдается механическое манипулирование числовыми данными.

Значение объяснений для правильного решения задачи особенно рельефно выступало при индивидуальном изучении детей. Нередко ученик, который выполнял действия без всяких объяснений и при этом давал неверное решение, стал более правильно решать задачу после того, как от него стали требовать хотя бы только частичного объяснения решения.

Учитывая значение объяснений для правильного решения задачи, мы уделяли в нашем опыте сравнительно много внимания этому вопросу, стараясь привить учащимся устойчивые навыки в данной области.

Мы поставили перед собою цель научить детей давать при решении объяснение каждого действия, которое включало бы:

а) формулировку вопроса плана,

б) мотивировку выбора действия (какое действие нужно выполнить и почему),

в) выполнение действия и

г) объяснение значения полученного результата. Покажем это на примере. Возьмем задачу.

100 кг печенья разложили поровну в 5 ящиков. 3 ящика продали. Сколько килограммов печенья продали?

При решении этой задачи от учащихся требовалось, примерно, такое объяснение:

Первый вопрос: Сколько килограммов печенья положили в каждый ящик? 100 кг печенья разложили поровну в 5 ящиков. Чтобы узнать, сколько килограммов положили в каждый ящик, нужно 100 кг разделить на 5, получится 20 кг. В каждый ящик положили 20 кг печенья.

Второй вопрос: Сколько килограммов печенья продали? Продали 3 ящика, а в каждом ящике было по 20 кг. Чтобы узнать, сколько килограммов печенья продали, нужно 20 кг взять 3 раза, получится 60 кг. Итак, продали 60 кг печенья.

Приведенная форма объяснения задачи была, само собой разумеется, введена не сразу. Как и при решении простых задач, здесь постепенно повышались требования к учащимся.

Вначале допускалось сперва выполнить действие и лишь после этого объяснить его. Само объяснение вначале допускалось не в том порядке, какой указан выше, а именно: учащиеся сначала объясняли значение полученного результата, затем ставили вопрос и, наконец, объясняли выбор действия. Подобные отступления вызывались тем, что на первых порах учащимся трудно было начинать объяснение решения с постановки вопроса. Для многих из них легче было сначала выполнить действие и лишь после этого объяснить его.

Однако в случае таких отступлений, объяснение, как правило, затем повторялось в должном порядке, при этом учитель возможно чаще подчеркивал преимущество такого объяснения.

Объяснение задачи вначале проводилось в вопросо-ответной форме. В дальнейшем (в конце III и IV четверти стало практиковаться связное объяснение более легких задач, при котором от вызванного ученика требовалось объяснить решение задачи, без наводящих вопросов со стороны учителя.

Чтобы сделать такого рода объяснение посильным для учащихся, учитель после того, как объяснение задачи было проведено в вопросо-ответной форме, иногда сам связно объяснял задачу, предупреждая учащихся, что они должны будут повторить его объяснение. Обычно учитель тут же проверял, кто из учащихся может повторить данное объяснение. Еще чаще в качестве образца, которому следует подражать, учитель выставлял связное объяснение задачи со стороны тех учащихся, которые хорошо справлялись с такого рода объяснением. В целях поощрения ответы таких учащихся оценивались выше ответов, данных не в связной форме.

Особенно трудно было добиться, чтобы учащиеся

объясняли решение при самостоятельном решении задач (в классе или дома). Нередко приходилось убеждаться в том, что даже те учащиеся, которые умели хорошо объяснять задачи, при самостоятельной работе над задачей не сопровождали свое решение никакими объяснениями, результатом чего иногда являлось неверное решение задачи такими учениками, от которых нельзя было этого ожидать.

Чтобы стимулировать к объяснению задачи при самостоятельной работе над нею, учитель при задавании задач на дом или для самостоятельного решения в классе, рекомендовал учащимся, чтобы они объясняли себе решение задачи так, как они это делают в классе у доски: сначала поставить вопрос, затем объяснить себе, как это можно узнать, выполнить действие и, наконец, объяснить, что узнали (что получилось).

Когда задача предлагалась для самостоятельного решения в классе, учитель обычно предупреждал детей, что он будет проверять, объясняют ли они себе решение или решают задачу без объяснений. Эту проверку учитель проводил, подходя к отдельным учащимся и тихо спрашивая у них объяснение того или иного действия. Чтобы охватить при этом возможно больше учащихся, учитель обычно требовал от опрашиваемого ученика частичного объяснения одного какого-либо действия, например, формулировки вопроса, или объяснения значения полученного результата.

Очевидно, что такая проверка не дает возможности полностью выявить, объясняют ли себе учащиеся решение задачи при самостоятельной работе и как они это делают. Все же, по нашим наблюдениям, такая проверка себя оправдывает. Получив указание о необходимости объяснять себе решение задачи и предупрежденные о том, что это будет проверяться, учащиеся старались выполнять требование учителя, чтобы быть готовыми к ответу на его вопросы.

Из всех элементов, из которых складывается объяснение задачи, объяснение значения результатов действия имеет особо важное значение, так как, очевидно, что только при ясном понимании значения результата каждого действия возможно дальнейшее правильное решение задачи.

Выполняя вычисления, ученик отвлекается от условия задачи. Необходимо поэтому, чтобы после выполнения действия он объяснял, что означает полученный результат, так как этим устанавливается связь с условием, прерванная во время выполнения действия.

Следует также помнить, что после каждого действия изменяются условия задачи. Чтобы знать условия, которые складываются после выполнения действия, необходимо объяснение полученного результата. В нашем опыте поэтому уделялось особое внимание объяснению значения получаемых результатов. Учитель неослабно следил за тем, чтобы учащиеся после выполнения каждого действия объясняли, что означает полученный результат.

Запись решения задачи. При решении составных задач, как и при решении простых, в I классе обычно записываются только действия, так как навыки письма у детей даже к концу учебного года явно недостаточны, чтобы они могли записывать вопросы плана.

Такая ограниченная запись затрудняет процесс обучения решению задач, так как важнейший элемент объяснения — вопросы плана учащиеся вынуждены воспринимать исключительно на слух, вместо того, чтобы воспринимать их также зрительно и моторно, как это имеет место при записи вопросов. В этом отношении учащиеся I класса поставлены в худшее положение по сравнению с учащимися старших классов начальной школы, где, помимо устного объяснения, сравнительно широко практикуется запись вопросов плана. Очевидно, что такая запись способствует лучшему пониманию решения. К сожалению, в I классе не представляется возможным требовать от детей подобной записи. Однако, по мере того, как учащиеся овладевали навыком чтения, в частности навыком чтения рукописного текста, учитель иногда записывал вопросы плана на доске с тем, чтобы учащиеся могли воспринимать их не только на слух, но и зрительно. По нашим наблюдениям, даже такая запись, которая предназначалась только для чтения, а не для воспроизведения, заметно облегчала детям понимание решения. Заметим, что во всех случаях, когда учитель применял запись вопросов, учащиеся предупреждались, что эту запись не следует переносить

в тетради, что им, как всегда, следует записывать в тетрадях только действия.

Что касается последних, то у данных и результатов действий ставились при их записи начальные буквы наименований для того, чтобы в процессе решения дети возможно чаще вспоминали предметы, о которых говорится в условиях задачи, и, как следствие, вспоминали и само условие.

В конце III четверти к записи действий была присоединена запись ответа задачи. Последняя запись была введена для того, чтобы стимулировать детей к объяснению ответа на главный вопрос и тем содействовать лучшему осмышлению всею решения задачи.

Обучение самостоятельному решению задач. Важное значение для успешного обучения детей решению задач имеет возможно более частая самостоятельная работа их в данной области. К сожалению, в школьной практике самостоятельное решение задач на уроках арифметики в I классе нередко занимает ничтожное место. Для многих учащихся работа над задачами в классе часто сводится к механическому списыванию готового решения с доски вместо того, чтобы в результате собственных умственных усилий самим находить способ решения. На такой недочет в работе некоторых учителей в свое время указывал К. Д. Ушинский, который образно описывал свои наблюдения так:

«Один ученик решает задачу или читает, а другие 30 или 40 тратят попусту время и привыкают к самому гибельному, к самому вредному препровождению его. При таком методе иному счастливому ученику удается целую неделю... провести без мысли в голове, без занятия в руках, стараясь только сохранить ту неподвижность тела и тот тупой, бессмысленно внимательный взгляд, который требуется классной дисциплиной»1.

Очевидно, что при самостоятельной работе над задачей подобная умственная бездеятельность учащихся, по крайней мере, большинства их вряд ли возможна.

Следует указать, что только при частом упражнении детей в самостоятельном решении задач и примеров

1 К. Д. Ушинский. Избранные педагогические сочинения, М., 1945, стр. 76.

можно рассчитывать на их интерес к занятиям арифметикой. «Дети только тогда интересуются предметом, — говорит В. Латышев, — если он занимает их мысль, заставляет работать их ум; удовольствие, которое они испытывают, дойдя до чего-нибудь своим умом, т. е. сознание собственной деятельности и силы и составляет ту притягательную силу, которая заставляет детей отдаваться своим занятиям вполне»1.

Но самостоятельное решение составных задач не может быть сразу введено. Как и при обучении решению простых задач, к самостоятельному решению составных задач следует вести учащихся через коллективное и полусамостоятельное решение. Как правило, новые более трудные разновидности задач решаются коллективно. По мере освоения способа решения задач данной разновидности или данной степени трудности, они постепенно предлагаются для полусамостоятельного, а затем для самостоятельного решения.

При коллективном решении разбор задачи проводится в форме коллективной беседы, в процессе которой решение задачи записывается на доске, так чтобы при выполнении его в своих тетрадях учащиеся имели возможность пользоваться записью на доске.

Хотя эта форма организации работы дает учащимся возможность списывать готовое решение с доски, все же приходится к ней прибегать в указанных выше случаях. Поскольку речь идет о новых трудных разновидностях задач, нужно, помимо четкого устного разбора и объяснения, дать детям образец письменного решения.

Чтобы довести до минимума процент учащихся, которые могут механически списывать решение, учитель должен стараться втягивятъ в коллективный разбор возможно больше детей. Кроме того, во время записи решения в тетрадях и после нее следует тщательно проверять, понимают ли учащиеся то, что они записали в своих тетрадях. В частности, проверку по окончании записи уместно иногда проводить при закрытых тетрадях так, чтобы учащиеся должны были объяснять решение, не пользуясь своими записями.

1 В. Латышев, Руководство к преподаванию арифметики, 2-е издание, М., 1897, стр. 44.

Полусамостоятельное решение проводится по-разному в зависимости от трудности задачи. В одних случаях разбор задачи, как и при коллективном решении, проводится в форме коллективной беседы, во время которой на доске записывается решение задачи. Но перед тем, как учащиеся приступают к выполнению решения в своих тетрадях, запись с доски стирается или завешивается. Во время своих записей учащиеся, таким образом, лишены возможности пользоваться готовым образцом решения, как это имеет место при коллективном решении.

В других случаях коллективный разбор задачи сопровождается устным выполнением действий без записи решения на доске, после чего учащимся предлагается самостоятельно записать решение в своих тетрадях. Как видно, здесь учащимся оказывается меньшая помощь, чем в предыдущем случае. Эту форму полусамостоятельного решения поэтому уместно применять при рассмотрении менее трудных задач, чем в первом случае.

В зависимости от трудности решаемой задачи вносятся вариации в самый разбор ее, который проводится то с большей, то с меньшей полнотой.

По-разному проводится и самостоятельное решение. Различие между отдельными формами организации работы здесь заключается в том, читает ли условие задачи учитель или учащиеся, далее, повторяется или не повторяется условие вслух. Очевидно, что, когда учитель читает условие и когда оно затем повторяется учащимися вслух, им легче его усвоить, чем в том случае, когда они сами читают его и не повторяют вслух.

Выбор указанных форм чтения и повторения условия определяется в зависимости от трудности задачи и уровня развития учащихся; при этом в случае, когда от них требуется самостоятельное усвоение условия, следует им напомнить, что нужно читать условие не менее 2 раз и обязательно пересказывать его про себя.

Недостаточно, однако, ограничиться инструктажем учащихся в отношении чтения и повторения условия, предоставляя им работать далее над задачей так, как каждый из них найдет это нужным. И в III четверти, когда были введены упражнения в самостоятельном ре-

шении составных задач, наши учащиеся еще в очень слабой степени владели навыками самостоятельной работы, чтобы предоставить их самим себе во время самостоятельного решения задач. Приходилось, поэтому, уделять много внимания инструктажу детей, как самостоятельно решать задачу. Обычно им рекомендовалось, прежде чем приступить к записи решения, подумать: а) можно ли сразу узнать то, что спрашивается в задаче, б) если нет, то, что нужно раньше узнать, в) сколькими действиями решается задача. Детям давалось на это некоторое время (обычно 2—3 мин.). Опросив после этого детей, продумали ли они то, что им советовалось, учитель в случае утвердительного ответа1 предлагал им приступить к записи решения в тетрадях, при этом, как указывалось выше, им напоминали о необходимости подробно объяснять решение задачи тихо про себя, так как они объясняют его у доски2.

Как учащиеся выполняют это требование, учитель проверял с помощью соответствующих вопросов, которые он, обходя класс и знакомясь с записями в тетрадях, тихо задавал отдельным учащимся, требуя от них такого же тихого ответа. Активность учителя во время самостоятельной работы детей состояла не только в проверке, объясняют ли себе учащиеся решение задачи, но и в оказании помощи тем из них, которые в ней нуждались. Эту помощь учитель старался оказывать так, чтобы не освобождать детей от самостоятельной работы над задачей.

Ученику, который сравнительно долго не приступал к записи решения, учитель обычно предлагал повторить условие, советуя ему после этого подумать, можно ли сразу узнать то, что спрашивается в задаче, а если нельзя, то, что нужно сначала узнать. Ученику, допустившему неверный выбор или выполнение действия,

1 В случае отрицательного ответа на этот вопрос учитель давал детям дополнительное время на обдумывание задачи. Иногда же, когда многие учащиеся заявляли о своем незнании, как решить задачу, проводилось полусамостоятельное решение ее, вместо намеченного первоначально самостоятельного.

2 Указания, как читать и пересказывать условие, как разбирать задачу, как объяснить и записывать решение, давались учащимся и при задавании задач на дом, которое было введено во втором полугодии после того, как учащиеся научились читать.

учитель указывал на его ошибку путем подчеркивания неверной записи. После каждого такого указания учитель обычно предоставлял ученика самому себе на несколько минут, а затем снова подходил к нему, чтобы проверить, продвинулся ли он в решении задачи, оказалась ли достаточной помощь, которая была ему ранее оказана, не нуждается ли он в дополнительной помощи. Но и дополнительная помощь оказывалась, по «возможности, так, что от ученика все же требовалась самостоятельная работа над задачей, пусть небольшая.

Составные задачи, решаемые в I классе, как известно, бывают в 2 действия. К тому же при их решении в тетрадях записываются только действия. Самостоятельное решение одной задачи, поэтому, обычно отнимает немного времени, в течение которого учитель может успеть проверить и то недостаточно полно, работу лишь немногих учеников. Поэтому, после того, как учащиеся заканчивали решение задачи, обычно проводился коллективный опрос их, чтобы выяснить, как ими понято решение.

Свой опрос учитель проводил иногда в форме аналитико-синтетического разбора задачи, иногда же он ограничивался выяснением лишь плана задачи. В том и другом случае, в процессе коллективного опроса на доске записывалось решение задачи с тем, чтобы учащиеся, допустившие ошибки, могли, благодаря зрительному восприятию правильного решения, лучше их осознать.

Эти учащиеся должны были исправить свои ошибки, но не путем внесения частичных исправлений в неверное решение, а путем полной записи правильного решения. Вторичная полная запись решения имела своей целью закрепить в сознании учащихся правильное решение задачи. Кроме того, при таком способе исправления неверных решений устранялись небрежные записи, которые имеют место в том случае, когда ученик перечеркивает ошибочные записи и надписывает над ними правильные.

Здесь уместно будет указать, что при полусамостоятельном и самостоятельном решении составных задач так же, как и при аналогичном решении простых, иногда от учащихся требовалась «запись» решения не в тетрадях, а с помощью разрезных цифр на парте. Такая

форма «записи» применялась в тех случаях, когда можно было опасаться относительно большого количества ошибочных решений.

Из сказанного выше видно, насколько сложен процесс обучения самостоятельному решению задач. Мы считаем необходимым обратить на это внимание, так как в школьной практике нередко учитель при задавании задачи для самостоятельного решения ограничивается указанием ее номера или, в лучшем случае, прочтением условия, предоставляя после этого учащихся самим себе.

В нашем опыте такая форма организации работы практиковалась лишь во время контрольных работ. Мы, таким образом, строго различали обучение самостоятельному решению задач и самостоятельное решение, проводимое в целях учета успеваемости учащихся1.

В некоторых случаях при самостоятельном решении задач учащимся разрешалось выбирать из задачника задачи, какие им нравятся. Эта форма работы была введена в середине III четверти и применялась 2—3 раза в месяц, для чего выделялось по 15—20 мин. на уроке, при этом, чтобы облегчить детям выбор задач, им указывался раздел задачника, из которого можно выбирать задачи. Учащиеся проявляли большой интерес к этому занятию. Чтобы выяснить, чем руководствуются дети при выборе задач, мы опрашивали отдельных учащихся во время их самостоятельной работы, почему они выбрали данную задачу. Опрос проводился в индивидуальном порядке так, чтобы учащимся не слышны были ответы их товарищей. Выяснилось, что одних детей в выбранной задаче привлекает ее содержание, другие выбирают легкие задачи, третьи выбирают трудные задачи, нередко из еще не пройденных разделов.

Решение задач по свободному выбору развивает у детей инициативу, будит их активность. Считаем, поэтому, полезным проведение таких занятий с тем, однако, чтобы учитель не допустил чрезмерного увлече-

1 Процесс обучения самостоятельному решению учитель частично также использовал для учета знаний детей. Последний, однако, играл здесь побочную роль.

ния ими в ущерб решению выбираемых им задач, что должно являться основной формой учебной работы в данной области.

Закрепление навыков и умений учащихся. Известно, какую большую роль играет рационально поставленное повторение пройденного в процессе обучения. Это относится ко всем разделам школьной работы, в том числе и к арифметике.

Особенно большое значение имеет повторение пройденного в процессе обучения семилетних детей, которые обычно очень медленно овладевают каждым навыком и в то же время быстро утрачивают его в случае ослабления работы над ним. Требовалось поэтому систематическое повторение, чтобы навыки, приобретенные учащимися в процессе решения каждой разновидности задач, не только не ослабевали, но получали дальнейшее закрепление и развитие. Это достигалось в результате систематической работы, которая проводилась: а) непосредственно после решения данной разновидности задач и б) на протяжении длительного времени после этого.

Как бы хорошо ни была разобрана и объяснена задача в классе, она может остаться недостаточно хорошо понятой некоторыми учащимися.

Поэтому после решения задачи проводилась дополнительная работа над нею, имевшая своей целью: а) выявить, насколько хорошо решенная задача осмыслена учащимися, б) уточнить представления тех из них, которые недостаточно ясно поняли способ ее решения и в) закрепить приобретенные детьми навыки.

Дополнительная работа над решенной задачей обычно состояла: а) в повторном объяснении ее, б) в решении похожих готовых задач, в) в составлении детьми подобных задач.

Повторное объяснение задачи проводилось с различной степенью полноты, в зависимости от качества ответов детей при первичном ее разборе и объяснении. Повторное объяснение иногда включало лишь повторение плана задачи, либо объяснение значения результатов действий, иногда же оно состояло в повторном разборе задачи, близком к тому разбору, который предшествовал ее решению.

Приведем примеры.

В классе решалась задача:

В булочную привезли 3 корзины булок, по 20 булок з каждой корзине. Половину всех этих булок продали. Сколько булок продали?

При первичном разборе этой задачи большинство опрошенных учащихся давали вполне удовлетворительные ответы на вопросы учителя. Поэтому после ее решения учитель ограничился следующей беседой с детьми:

— Что мы сначала узнавали?

— Сколько всего булок привезли в булочную.

— Сколько их привезли всего?

— Всего привезли 60 булок.

— Что потом узнавали?

— Сколько булок продали.

— Сколько булок продали?

— Продали 30 булок.

По-иному было проведено повторное объяснение следующей задачи:

3 одинаковых мешка крупы весят вместе 90 кг. Мешок муки на 10 кг тяжелее мешка крупы. Сколько весит мешок муки?

При первичном разборе этой задачи некоторые учащиеся давали неверные ответы. Допущенные ошибки были, правда, выяснены. Проведенный разбор все же дал основание полагать, что часть школьников недостаточно хорошо поняла задачу. Поэтому после решения задачи был вторично проведен сжатый разбор ее, примерно так:

— Каков главный вопрос задачи?

— Сколько весит мешок муки.

— Можно ли сразу это узнать?

— Нет.

— Почему нельзя сразу узнать, сколько весит мешок муки?

— Потому что мы не знаем, сколько весит мешок крупы?

— А можно ли узнать, сколько весит мешок крупы?

— Можно

— Как узнать, сколько весит мешок крупы?

— Чтобы узнать, сколько весит мешок крупы, нужно 90 кг разделить на 3, получится 30 кг. Мешок крупы весит 30 кг.

— Что нужно дальше узнать?

— Сколько весит мешок муки?

— Как это узнать?

— Чтобы узнать, сколько весит мешок муки, нужно к 30 кг прибавить 10 кг, получится 40 кг. Мешок муки весит 40 кг.

Следует указать, что и в более развернутом виде повторное объяснение обычно не отнимало много времени, поскольку речь тут шла о закреплении материала, в основном уже усвоенного детьми.

Решение подобных задач. Закреплению и в то же время углублению и развитию приобретенных учащимися навыков служило решение подобных задач.

Подобные задачи наиболее легко составить путем изменения числовых данных основной задачи.

Приведем пример.

Основная задача. Из одного улья взяли 7 кг меда, из другого 9 кг. Четвертую часть этого меда продали. Сколько меда продали?

Подобная задача. Из одного улья взяли 8кг меда, из другого 12 кг. Четвертую часть меда продали. Сколько меда продали?

К составлению подобных задач путем изменения числовых данных основной задачи учитель прибегал преимущественно тогда, когда основная задача представляла серьезные трудности для некоторых учащихся и когда, по его мнению, требовалось решить еще одну такую задачу. Эти задачи обычно предлагались для самостоятельного решения.

Во многих случаях для подобных задач брались не только другие числовые данные, но и другое содержание.

Приведем пример.

Основная задача. За 20 руб. купили 5 кусков обоев. Сколько стоят 3 таких куска?

Подобная задача. За 18 руб. купили 6 яблок. Сколько стоят 4 таких яблока?

Очевидно, что решение таких задач требует от учащихся больше самостоятельной работы по сравнению с тем случаем, когда подобная задача имеет общее содержание с основной.

Подобные задачи может составлять учитель. Лучше, однако, если их составляют, по его заданию, сами уча-

щиеся, так как составление задач помогает им лучше осознать их структуру. Нечего говорить о ценности такой творческой работы для умственного развития учащихся. Составление задач в 2 действия, однако, нелегкое дело для учащихся I класса. Чтобы сделать эту работу посильной для них, им, в ряде случаев, рекомендовалось составить подобные задачи с тем же содержанием, но только с другими числовыми данными, либо — чаще всего — с теми же числами, но с другим содержанием (с другими наименованиями), при этом в последнем случае указывались сами наименования. Приведем пример:

Основная задача. Ларек продал до обеда 40 л молока, после обеда на 10 л больше. Сколько молока продал ларек за весь день?

После решения задачи детям было предложено составить похожую на нее, которая решалась бы так же, как и первая, но чтобы, вместо наименования «литры» при числах было наименование «метры».

Иногда учитель вносил соответствующие изменения в запись решения на доске и требовал от учащихся составить задачу с тем же содержанием, но такую, которая решалась бы так, как записано на доске.

Приведем пример.

Основная задача. Построили 2 дома для рабочих. В одном из них 4 этажа по 20 квартир в каждом; в другом на 10 квартир больше. Сколько квартир во втором доме?

После решения задачи учитель стер ее условие и вместо прежнего решения записал на доске новое:

Учащимся было предложено продумать похожую задачу, которая решалась бы так, как записано на доске.

Приведем образец задачи, составленной учащимися по этому заданию:

Построили 2 дома для рабочих. В одном из них 3 этажа по 20 квартир в каждом; в другом на 10 квартир больше. Сколько квартир во втором доме?

Как видно, учащимся пришлось здесь изменить лишь одно из данных. В некоторых случаях решение изменялось учителем более существенно, т. е. приходилось изменять в условии несколько данных.

Наряду с составлением задач, в которых сохранялось содержание или числовые данные основной задачи, в ряде случаев практиковалось составление подобных задач с новым содержанием и другими числовыми данными. Последний способ составления задач применялся преимущественно в конце учебного года, когда такие задания стали посильными для многих учащихся.

Приведем пример из нашей практики.

После решения задачи про 2 мальчиков, которые вместе удили рыбу (см. выше, стр. 151) мы провели с детьми следующую беседу:

— Дети, мы решали с вами задачу про 2 мальчиков, которые вместе удили рыбу, а потом делили ее между собою поровну. Много других задач решается так же, как эта задача. Может быть, и вам приходилось решать такие задачи. Не приходилось ли кому-нибудь из вас ходить вместе с товарищем в лес за грибами или за ягодами, а потом делить между собою поровну то, что вы собрали?

Ученик. Мне приходилось.

Учитель. Расскажи нам про это. (Обращаясь к классу.) Очень интересно послушать, что Женя нам расскажет. Давайте внимательно слушать.

Ученик. Я пошел с товарищем в лес за ягодами. Я собрал 10 стаканов ягод...

— А сколько стаканов собрал твой товарищ?

— Он собрал 8 стаканов.

— Как вы разделили между собою ягоды? — Мы разделили их поровну.

— Что нужно узнать?

— Сколько стаканов получил каждый из нас?

— Кто может повторить задачу Жени?

— Женя пошел со своим товарищем в лес собирать ягоды. Он собрал 10 стаканов ягод, а его товарищ 8 стаканов. Все ягоды они разделили между собой поровну. Спрашивается, сколько стаканов получил каждый из них?

Учащимся было предложено самостоятельно решить задачу в тетрадях. Когда большинство детей закончило

свою работу, к доске был вызван ученик, который записал на доске решение. Затем с детьми была проведена следующая беседа:

— Внимание. Проверим, как вы решали задачу про Женю и его товарища.

— Что вы сначала узнавали в этой задаче?

—- Сколько они всего собрали стаканов ягод.

— Сколько всего стаканов собрали они?

— Они собрали 18 стаканов ягод.

— А что вы потом узнавали?

— Сколько стаканов ягод получил каждый мальчик?

— Сколько стаканов получил каждый мальчик?

— Каждый мальчик получил 9 стаканов.

— Мальчики, к завтрашнему дню каждый из вас должен придумать задачу про детей или взрослых, которые пошли в лес или на реку собирать что-нибудь и договорились делить между собою поровну то, что они соберут. Вспомните, может быть, это случалось с вами, а если не случалось, то придумайте задачу про других.

В приведенном примере учащиеся составляли задачи с содержанием, близким к содержанию исходной задачи. В некоторых случаях содержание составленных детьми задач резко отличалось от содержания данной задачи.

Приведем пример:

После решения задачи «Два мальчика собрались удить рыбу. Один накопал 26 червяков, другой на 5 червяков меньше. Сколько червяков накопали оба мальчика?» — учащимся было предложено составить подобные задачи. Среди задач, составленных детьми, многие близко примыкали к основной, имея своим содержанием ловлю рыбы, сбор грибов и орехов. Содержание отдельных детских задач было, однако, довольно далеко от исходной задачи.

Приведем образец такой задачи:

Мальчик пошел со своим отцом в музей. В одном зале музея они посмотрели 18 картин, а в другом на 6 картин меньше. Сколько всего картин посмотрели они в музее?

Ученик, составивший эту задачу, очевидно, получил достаточно отчетливое представление о структуре исходной задачи, если он сумел составить подобную

задачу с содержанием, столь далеким от содержания исходной.

Обычно заслушивались не все желающие поделиться придуманными ими задачами, а лишь некоторые (обычно 2—5 человек), так как выслушивание ответов всех желающих потребовало бы слишком много времени. Решалась же, как правило, лишь одна из заслушанных задач, отобранная, как лучшая, учителем или им совместно с учащимися. Эта задача обычно предлагалась для самостоятельного решения, устного, а еще чаще письменного.

Повторное объяснение задачи, а в особенности решение подобных, способствуют закреплению и уточнению навыков, приобретенных детьми в процессе решения данной разновидности задачи. Эти навыки, однако, могут в дальнейшем ослабеть, если систематически не работать над их усовершенствованием. В нашем опыте последнее достигалось путем вторичного рассмотрения ранее решенных задач или путем решения подобных задач. Указанные приемы повторения применялись через определенные промежутки времени с таким расчетом, чтобы навыки учащихся не только не ослабевали, но все более и более совершенствовались.

Примерно раз в 2 недели учитель проверял, как учащиеся справляются с более трудными из ранее решенных задач. Учитель указывал детям номер задачи, предлагал им прочитать условие, повторить его про себя и затем подумать, как ее нужно решать. Вызванный после этого ученик должен был рассказать условие задачи и затем объяснить, как ее решать.

В том случае, когда ученик не мог объяснить ту или иную часть решения, учитель обращался к классу с соответствующими вопросами. Отдельные вопросы учитель иногда задавал классу и после того, как вызванный ученик закончил объяснение задачи. Это делалось для того, чтобы проверить, как задача понята остальными учащимися.

Помимо вторичного рассмотрения некоторых из тех задач, которые решались ранее, систематически, через определенные промежутки времени, решались новые задачи, похожие на ранее решенные. Эти задачи учитель составлял сам или, чаще всего, подбирал из задачника. Вначале промежутки времени, отделявшие решение

подобных задач одной разновидности,, были сравнительно невелики (примерно 1—5 дней), в дальнейшем эти промежутки прогрессивно возрастали.

Так, после ознакомления учащихся с задачами, решаемыми способом приведения к единице, подобная задача была им предложена через день, затем через 3 дня, далее через 7 дней, потом через 10 дней и т. д. Продолжительность этих промежутков в каждом отдельном случае устанавливалась в зависимости от того, как были осмыслены учениками задачи данной разновидности.

В целом система повторения, которая применялась в нашем опыте, вполне себя оправдала, способствуя не только закреплению, но и все большему усовершенствованию навыков детей в данной области.

IV. УЧЕТ УСПЕВАЕМОСТИ

Правильно поставленный педагогический учет является важным стимулом повышения успеваемости. Он имеет также большое значение для рациональной постановки обучения, так как правильно планировать свои занятия учитель может лишь тогда, когда он знает, как преподаваемый материал усвоен учащимися, какие пробелы имеются в их знаниях, навыках и уменьях.

Учет знаний и навыков по арифметике может проводиться на основе: а) ответов учащихся при опросе их учителем и б) их письменных контрольных работ. Из этих двух способов учета первый является более достоверным, так как он дает учителю возможность выявить не только фактические знания ученика, но и, насколько они сознательно усвоены, тогда как по письменным контрольным работам иногда трудно бывает судить, в какой мере ученик сознательно выполнил то или иное действие, иногда даже трудно установить, как он его выполнил. Пусть ученик I класса правильно решил все примеры на сложение в пределе 20, включенные в контрольную работу. Судя по результатам, следует оценить его работу отличной отметкой. Между тем он мог получить правильные ответы, прибегая к изображению каждого слагаемого с помощью черточек и сосчитывая затем, сколько всего черточек получилось. При устном ответе ученика использование подобного приема вряд ли могло бы остаться скрытым от учителя, поскольку при такого рода опросе от ученика обычно требуется подробное объяснение выполняемых действий. Использование же этого приема при выполнении письменной контрольной работы может быть не выявлено учителем.

При всем том письменные контрольные работы имеют важное значение, так как с их помощью можно

при небольшой затрате времени, выявить, пусть недостаточно полно, знания и навыки всех учащихся класса.

Опрос учащихся. На уроках арифметики в I классе учитель обычно адресует свои вопросы всем учащимся с тем, чтобы они готовились к ответу. Затем опрашиваются некоторые из них.

Такого рода фронтальный опрос способствует активизации внимания класса, дает учителю возможность держать в поле своего зрения всех учащихся. Но при фронтальном опросе учителю нелегко выявить, как отдельные учащиеся справились с его заданием.

Так, нередко ученики, неверно решившие заданное упражнение, повторяют при опросе названный до них ответ, в особенности, если этот ответ был дан хорошо успевающими учениками.

Чтобы лучше выявить, как класс справился с заданным упражнением, следует начинать опрос с более слабых учеников. Кроме того, не следует допускать называния одного и того же ответа несколькими учениками. С этой целью после опроса одного ученика и получения от него ответа, следует спросить, у кого получился другой ответ, после заслушания второго ответа спросить, у кого получился иной ответ и т. д.

Для того чтобы выявить, у скольких учеников (и у кого именно) получился тот или другой ответ, учитель может после заслушания всех ответов — предложить поднять руки тем учащимся, у кого получился данный ответ. При такой системе опроса обычно удается выявить целый ряд ответов, отличных один от другого. Цель опроса в этом случае достигается в гораздо большей мере, чем в том случае, когда сначала опрашиваются лучшие ученики и когда допускается называние одного и того же ответа несколькими учащимися.

После заслушания ответов учащихся учитель должен в ряде случаев предложить некоторым из них объяснить, как был ими решен заданный пример. Такой опрос должен, как правило, проводиться во всех тех случаях, когда несколько учеников дали неверные ответы. Но если и не было неверных ответов, все же целесообразно иногда выяснить способ решения данного примера, в особенности тогда, когда учащиеся еще не вполне усвоили данный вычислительный прием. Нечего гово-

рить о необходимости выяснения способа решения заданной задачи.

При фронтальном опросе учитель обычно старается охватить возможно, больше учащихся. Вследствие этого, отдельному ученику нередко приходится отвечать всего на один какой-либо вопрос учителя. Это затрудняет оценку ответов. Наряду с фронтальным опросом следует поэтому практиковать индивидуальный опрос отдельных учащихся. Последний можно проводить по-разному.

Во время занятий устным счетом учитель после решения нескольких примеров со всем классом проводит индивидуальный опрос одного- двух учеников, задавая каждому из них по несколько примеров или задач и оценивая соответствующим образом их ответы.

При вызове учащихся к доске для письменного решения примера или задачи учитель может после выполнения ими письменной работы предложить им несколько примеров или задач для устного решения.

При индивидуальном опросе вызванный ученик должен ответить на несколько вопросов учителя. Поэтому у учителя имеется больше оснований для оценки его знаний.

Но ведя опрос одного ученика, учитель не должен упускать из виду остальных учеников, привлекая их в нужных случаях, к анализу, уточнению и дополнению ответа их товарища. Нужно так вести опрос, чтобы он служил целям обучения всего класса.

При ведении индивидуального опроса полезно иногда привлекать самих детей к задаванию примеров и задач ученику, вызванному для ответа, так как это содействует повышению активности учащихся, их интереса к работе. Вопросы учащихся должны, однако, занимать сравнительно небольшое место в общей системе опроса. Учитель должен каждый раз указывать, из какого раздела курса следует задавать вопросы. Нечего говорить о том, что вопросы учащихся должны апробироваться учителем.

Для учета знаний учащихся должна быть также использована проверка домашних заданий. Для этого необходимо организовать проверку так, чтобы она давала учителю возможность в достаточной мере точно и

объективно учитывать качество выполнения домашней работы отдельными учениками.

В нашем опыте это достигалось тем, что при проверке домашних заданий вызванным для ответа ученикам не разрешалось пользоваться своими записями в тетрадях. При таком способе проверки учитель может легко выявить тех учеников, которые списали заданную работу у своих товарищей или решили ее не вполне самостоятельно, тогда как, в случае неограниченного пользования записями в своих тетрадях, такие ученики могут легко скрыть от учителя несамостоятельное выполнение домашнего задания.

Рекомендуемый здесь способ проверки домашних заданий по арифметике не только дает возможность объективно учитывать качество работы учащихся, но и стимулирует их к самостоятельному добросовестному выполнению заданий, поскольку они знают, что во время ответа им не будет позволено прибегать к своим записям в тетради.

Следует отметить, что права пользования своими за писями лишается лишь вызванный для ответа ученик Остальные учащиеся могут и даже обязаны проверять свои записи в тетрадях.

Рассмотрим, как, исходя из указанных положений, следует проверять заданные на дом: а) задачи и б) примеры.

При проверке заданной на дом задачи вызванный ученик объясняет ее план и решение, пользуясь лишь задачником. Тетрадь же он сдает учителю. Проверка обычно протекает так: если ученик помнит условие, он читает его по задачнику. Затем он объясняет, как он решил задачу, при этом он выполняет действия устно либо записывает их на доске.

Когда проверка задачи проводится без записи решения на доске, учащиеся, неверно решившие ее, часто не в состоянии уяснить себе, в чем состоят допущенные ими ошибки, как нужно решать данную задачу. Когда же решение задачи сопровождается записью его на доске, учащиеся, допустившие ошибки, могут легко их найти и исправить, могут легче понять, как решается задача.

Чтобы запись решения не отнимала лишнего времени, можно, в то время, как вызванный ученик, записы-

вает на доске решение заданной на дом задачи, проводить с остальными учащимися проверку заданных примеров или даже устный счет, заслушивая объяснение задачи после того, когда ее решение будет записано на доске.

Недостаточно, однако, ограничиваться опросом одного ученика. Следует каждый раз предлагать контрольные вопросы всем учащимся, чтобы убедиться, как весь класс справился с задачей, которая была задана на дом. Свои вопросы учитель может задавать классу после того, как вызванный ученик закончил объяснение решения задачи, частично же — в случае допущения ошибки вызванным учеником — в процессе его объяснения. Учитель может требовать от учащихся формулировки отдельных вопросов плана, объяснения, почему выбрано то или иное действие, объяснения значения полученных результатов.

При проверке заданных на дом примеров вызванный ученик должен решать их по задачнику, сдав свою тетрадь учителю.

Для того чтобы можно было в достаточной мере выявить, как вызванный ученик приготовил заданные на дом примеры, следует требовать от него решения не одного примера (как это обычно имеет место при ответах по записям в тетрадях), а нескольких (3—4), в зависимости от сложности примеров.

Легко видеть, что при такой системе проверки домашнего задания ответ вызванного ученика дает достаточно оснований для более или менее достоверной оценки его знаний.

Как и при проверке заданной на дом задачи, целесообразно, наряду с обстоятельным опросом 2—3 учеников, после их ответа (а частично и в процессе его) предлагать отдельные вопросы всем учащимся для того, чтобы проверить, как класс в целом приготовил заданный урок. Вопросы учителя могут требовать от учащихся решения отдельных более трудных примеров, входивших в состав домашнего задания, объяснения приемов, с помощью которых они решали тот или иной пример.

Иногда после подобной проверки полезно предложить всем учащимся закрыть тетради, после чего им предлагаются один или два наиболее трудных примера из числа заданных на дом.

При описанной выше системе проверки задаваемых на дом примеров учащиеся могут недостаточно внимательно слушать ответы своих товарищей, опрашиваемых учителем. Чтобы этого не случилось, можно требовать от вызванного ученика решения задаваемых примеров не по задачнику, а под диктовку остальных учащихся, которые по вызову учителя читают каждый по одному примеру, а вызванный ученик решает его.

Приведем выдержку из записи урока.

На дом были заданы примеры:

При проверке домашнего задания учитель вызвал к доске ученика Борю К. Боря вышел к доске с тетрадью и сдал ее учителю. Учитель, обращаясь к классу, говорит:

— Вы будете с места читать по одному примеру, а Боря будет их устно решать. Читай, Ваня, первый пример.

Ваня — 18:3.

Боря — 18:3 получится 6.

Учитель — Читай, Сеня, следующий пример.

Сеня — 20:5.

Боря — 20:5 получится 4.

Всего Боря решил 4 примера. Так было опрошено еще 2 ученика, из которых один решал второй столбик, а другой — третий столбик.

Решать заданные на дом примеры под диктовку учащихся, безусловно, труднее, чем решать их по задачнику. Опрос под диктовку учащихся, поэтому, уместен лишь тогда, когда на дом были заданы сравнительно нетрудные примеры.

При оценке устных ответов учащихся, будь то во время занятий устным счетом, будь то при проверке домашних заданий, следует принимать в расчет не только правильность ответов опрашиваемого ученика, но и то, какими вычислительными приемами он пользовался, а также степень беглости, с какой он выполнял вычисления.

Письменные проверочные работы. Письменные проверочные работы должны составляться с большой тщательностью. Необходимо помнить, что неудачно поставленный устный вопрос может быть в ходе опроса легко исправлен учителем, замена же неправильно подобранного задания в письменной контрольной работе связана с большими неудобствами.

Письменная проверочная работа по арифметике может состоять только из примеров или только из задач, но она может быть комбинированной, включая в себя задачи и примеры.

Задачи для проверочных работ должны быть средней трудности, вначале в одно, а затем в 2 действия. Задачи должны быть преимущественно приведенные.

Учитывая, что лишь во втором полугодии учащиеся I класса овладевают техникой беглого чтения, можно вводить вполне самостоятельное чтение ими условий задач, включаемых в проверочные работы, лишь в конце III или в начале IV четверти. До этого условия контрольных задач читаются учителем.

При подборе примеров для проверочных работ следует, по возможности, охватить различные случаи того действия или тех действий, усвоение которых учитель хочет проверить с помощью данной работы. При этом следует добиваться, чтобы, охватывая случаи различной степени трудности (легкие, средние и трудные), с наибольшей полнотой представить в контрольной работе последние.

При составлении контрольной работы следует избегать повторения тождественных или взаимообратных примеров (скажем, примеров 5-|—8 и 8+5, примеров 6X4 и 20 : 5) с тем, чтобы отобранные примеры охватывали возможно больше различных случаев проверяемых действий.

Контрольная работа, проводимая по окончании темы или раздела, должна включать примеры, главным образом, из данной темы или раздела. В каждую контрольную работу целесообразно, однако, включать небольшое число примеров на ранее изученные действия, при этом следует уделять особое внимание тем из ранее пройденных тем, которые не входят, как элемент, в только что изученное действие и которые не могут поэтому быть косвенно проверены с помощью примеров на новое

действие. Так, в контрольную работу на сложение и вычитание круглых десятков можно не включать примеров на сложение и вычитание в пределе десяти, но обязательно включение некоторого количества примеров на действия в пределе 20, так как последние действия не находят применения при сложении и вычитании круглых десятков, а потому, не могут быть косвенно проверены с помощью примеров на сложение и вычитание круглых десятков.

Примеры, включаемые в контрольную работу, должны, как. правило, быть в одно действие, так как в этом случае легче подобрать нужные случаи отдельных действий, главное же легче затем установить, какие случаи усвоены и какие не усвоены учениками.

Пусть требуется составить проверочную работу на умножение и деление в пределе 20.

Прежде всего следует свести к минимуму особо легкие случаи этих действий (скажем, случаи умножения и деления в пределе 10). Следует, далее, уделить в работе больше места примерам на деление, потому что из двух действий, усвоение которых проверяется данной работой, последнее труднее первого и в то же время по качеству усвоения деления можно судить об усвоении и умножения. При подборе примеров следует, наконец, избегать повторения тождественных или взаимообратных случаев данного действия (скажем, случаев 3X4 и 4X3; 9X2 и 18 : 2).

Руководствуясь указанными положениями, можно на случаи: умножение 2-х и деление на 2 взять примеры 2X8; 14:2 и 18:2 или 2><7, 18 : 2 и 12 : 2, на умножение 3-х и деление на 3 взять примеры 3X4; 9 : 3 и 12:3, на умножение 4-х и деление на 4 взять примеры 4X4; 8:4 и 20 :4, на остальные случаи умножения и деления в пределе 20 взять примеры

Следует также включить несколько примеров на изученные ранее сложение и вычитание в пределе 20, положим:

Контрольная работа может, таким образом, быть составлена так (даем один из многих возможных вариантов):

Восполнение пробелов в знаниях учащихся. Во всех случаях, когда ученик обнаруживает незнание или нетвердое знание изученного материала — независимо от того, выявилось ли оно во время устного опроса, проверки домашней работы или в письменной контрольной работе — учитель должен принять меры к восполнению выявленного пробела.

Каждая ошибка, допущенная учеником, должна быть осознана им и исправлена. Особое внимание следует уделять работе над ошибками, которые допущены несколькими учениками.

Для восполнения пробелов, выявленных в знаниях учащихся, часто, помимо разъяснений, необходимы коррегирующие упражнения. Подбор таких упражнений должен в каждом отдельном случае производиться на основе тщательного анализа выявленного пробела, при этом, если последний обнаружен у многих учеников, коррегирующие упражнения проводятся в форме коллективного занятия с данной группой учащихся, а то и со всем классом. В случае же, когда незнание того или иного вопроса обнаружено у одного ученика, проводятся индивидуальные занятия с этим учеником.

Следует добиваться, чтобы в результате соответствующих разъяснений и коррегирующих упражнений неверные представления были решительно вытеснены из сознания учащихся и заменены предельно четкими и точными, так, чтобы сделать невозможным повторение допущенной ошибки.

В этих целях, в частности, необходимо, чтобы ученик, допустивший ошибку, будь то ошибка в устном ответе или в письменной работе, обязательно исправил ее, при этом, если работа, подлежащая исправлению, невелика по объему, он исправляет ее тут же в классе. Если же для исправления требуется сравнительно много

времени, он выполняет это дома или в классе после уроков. Учитель должен каждый раз отмечать тех учеников, которым необходимо переделать неверно решенные примеры или задачи, а затем проверять исправленную работу.

При планировании учебных занятий следует принять во внимание ошибки, допущенные отдельными учениками, а тем более группами их с тем, чтобы с помощью надлежащим образом подобранных вопросов и упражнений добиваться окончательного устранения этих ошибок. Через определенные промежутки времени следует проверять, в какой мере ученики, ранее допускавшие данную ошибку, восполнили пробел в своих знаниях.

V. РАБОТА С СЕМЬЕЙ

Учащиеся I класса (мы имеем здесь в виду детей 7-летнего возраста, составляющих основной контингент учащихся этого класса) в большей мере, чем учащиеся более старших классов, требуют индивидуального подхода к себе. Некоторые учащиеся-семилетки только тогда усваивают учебный материал по арифметике, когда им объясняют его в индивидуальном порядке. Когда же его объясняют всему классу, они плохо воспринимают его. Особенно часто это наблюдается в начале учебного года. Здесь отрицательно сказывается рассеянность внимания этих детей, которое удается в полной мере мобилизовать только при индивидуальных занятиях с ними.

Одному учителю трудно справиться с этими занятиями, в особенности, когда количество учащихся, нуждающихся в этом, относительно велико. На помощь учителю должны здесь придти родители учащихся.

Но для того чтобы помощь по арифметике, оказываемая родителями своим детям, была в достаточной мере эффективной, необходимо, чтобы объяснения родителей не расходились с объяснениями учителя. На это приходится обращать внимание, так как родители и другие члены семьи при оказании учащемуся I класса помощи по арифметике, нередко дают ему объяснения, резко расходящиеся с объяснениями учителя. Особенно часто это наблюдается в отношении вычислительных приемов. Так, при выполнении сложения в пределе 100 некоторые родители рекомендуют своим детям записывать данные числа столбиком и учат их приему письменного сложения. Нечего говорить о других менее значительных отступлениях, которые нередко допускаются родителями при объяснении своим детям способа производства действий, изучаемых в I классе. Вследствие этого помощь родителей, иногда, вместо пользы, прино-

сит вред, так как в результате этой «помощи» знания, сообщенные учителем, не только не закрепляются, но даже теряются.

Чтобы этого избежать, необходимо систематически держать родителей в курсе тех знаний, которые сообщаются детям в классе для того, чтобы помощь, оказываемая учащимся дома, в максимальной мере способствовала закреплению знаний, сообщенных в классе. Речь идет о том, чтобы знакомить родителей с вычислительными приемами, применяемыми при выполнении отдельных действий, с формой записи и объяснения решения задач и т. д.

Инструктаж родителей, о котором мы здесь говорим, должен в основном проводиться на родительских собраниях, частично в индивидуальных беседах с родителями. В нашем опыте учителя проводили нечто вроде семинаров для родителей, знакомя их с очередным учебным материалом по арифметике, со знаниями, которые будут сообщаться учащимся при его изучении, с требованиями, которые будут предъявляться к ним в отношении объяснения и записи новых действий и новых видов задач.

Родители проявляли большой интерес к инструктажу учителей и охотно стали являться на собрания. В опыте учительницы А. П. Головачевой после введения подобных инструктивных бесед в повестку дня родительских собраний на последние стало являться до 90% всех родителей. Родители благодарили учительницу за указания, с удовлетворением заявляли: «Теперь мы будем знать, как объяснять примеры и задачи».

К сожалению, эта форма работы с родителями была введена слишком поздно (в середине III четверти).

Обычно родители проявляют большой интерес к учебным занятиям своих детей на первом году их обучения. В дальнейшем этот интерес нередко ослабевает.

Проявлением этого интереса, в частности, является то, что даже без напоминания со стороны учителя многие из них систематически следят за выполнением их детьми домашних заданий, оказывают им помощь в учебе. Этим следует воспользоваться, чтобы направить помощь родителей в нужное русло, так как очевидно, что при согласованной работе школы и семьи успешность обучения может значительно возрасти.

В работе с семилетками большое место, наряду с обучением занимает воспитание: воспитание воли детей, привитие им любви к труду и умения трудиться, добросовестно, точно и аккуратно выполнять задания, в определенном порядке и в то же время экономно располагать свои записи, доводить работу до конца, исправлять каждую допущенную ошибку и др. Семья должна быть в курсе работы, проводимой в этом направлении учителем, и, со своей стороны, способствовать воспитанию в детях указанных качеств.

К помощи семьи следует прибегать не только на протяжении учебного года, но иногда и до начала учебных занятий после записи ученика в школу.

Чтобы рационально планировать первые ступени обучения арифметике, необходимо знать запас числовых представлений, с которыми дети приходят в школу. В этих целях полезно при приеме детей в школу выяснить с помощью соответствующих вопросов, в каком пределе («до скольких») они умеют считать, знают ли они цифры, умеют ли прибавлять и отнимать числа хотя бы в пределе 5.

Для того чтобы опрос одного ученика не отнимал слишком много времени, можно ограничиться следующими вопросами:

1. Сосчитай, сколько тут палочек.

2. Напиши цифру 4, цифру 2, цифру 9.

3. У мальчика был один карандаш. Ему купили еще 3 карандаша. Сколько всего карандашей стало у мальчика?

4. У девочки было 5 яблок. 2 яблока она отдала подруге. Сколько яблок осталось у девочки?

В случае, если опрос выясняет чересчур слабое развитие числовых представлений поступающего, полезно советовать родителям, чтобы в течение времени, остающегося до начала школьных занятий, они старались научить своего ребенка считать до 20, учили его узнавать цифры, упражняли его в устном (без записей) решении задач на сложение и вычитание в пределе 5. Учитывая, что прием в I классе обычно проводится в мае—июне, можно рассчитывать, что при внимании родителей к развитию числовых представлений своих детей, они могут до начала учебных занятий добиться многого в этой области.

Нечего говорить о том, что детские сады должны в общем плане своей воспитательной работы уделять достаточно внимания развитию числовых представлений детей, используя для этого различные виды игр, книжки-считалки и т. п.

Среди детей, поступающих в первый класс, встречаются такие, которые не умеют считать даже до 10, не знают ни одной цифры, не справляются даже с самыми легкими случаями сложения и вычитания в пределе 5. Эти дети серьезно затрудняют работу учителя I класса. Привлечение родителей к работе над развитием числовых представлений этих детей до начала учебного года может существенно облегчить первые шаги обучения их арифметике в школе.

Обучение семилеток арифметике — дело нелегкое. Успешно справиться с ним учитель I класса может, лишь опираясь на родителей, которые должны выступать как бы в качестве его помощников, должны действовать под его систематическим руководством.

VI. КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Снижение на год возраста детей, поступающих в I класс, выдвинуло актуальной важности задачу разработки методики обучения семилетних детей, поскольку в нашей методической литературе вопросы обучения в I классе трактуются применительно к детям преимущественно 8-летнего возраста. Это относится ко всем предметам программы I класса, в том числе и к арифметике. Слабое развитие числовых представлений, с которыми приходят в школу некоторые семилетние дети, ограниченность их жизненного опыта, слабое развитие мышления, воображения и речи, рассеянность внимания, медленные темпы работы, быстрая утомляемость — эти и другие возрастные особенности семилеток серьезно тормозят успешное обучение их счету и решению задач.

Настоящая книга является результатом опытной работы по обучению семилетних детей арифметике. Организации опытной работы предшествовало изучение числовых представлений учащихся семи- и восьмилетнего возраста, поступающих в I класс.

Опытная работа выявила необходимость внесения существенных коррективов в методику обучения арифметике, применявшуюся при обучении восьмилетних детей.

Это относится как к методике обучения вычислениям, так в особенности к методике обучения решению задач.

При обучении вычислениям следует, по возможности, свести к минимуму количество ступеней, относя к одной ступени все случаи каждого действия, которые выполняются с помощью одного приема.

Сокращение количества различных вычислительных приемов, которым должны быть обучены дети, может также достигаться осуществлением тесной связи между отдельными ступенями.

Для успешного обучения вычислительным приемам необходима тщательная подготовка учащихся к изучению каждого действия, рациональный подбор упражнений, возможно более четкое объяснение нового приема, рациональный выбор и применение наглядных пособий. Наш опыт показал, что использованные нами пособия могут при рациональном применении существенно повысить эффективность обучения вычислениям, могут облегчить учащимся переход от конкретного счета к отвлеченному.

Для закрепления и дальнейшего усовершенствования счетных навыков полезны повторное решение одних и тех же примеров, применение краткой записи (записи одних результатов) при решении части примеров, постепенное усложнение вычислительных упражнений, упражнение учащихся в составлении примеров, применение занимательных упражнений. Целый ряд дидактических приемов, использованных нами в этом плане, показал свою высокую эффективность.

Обучение решению задач — сложный процесс, эффективность которого зависит от целого ряда факторов: системы подбора и расположения задач, качества усвоения условия, качества разбора и объяснения решения, степени самостоятельности учащихся при выполнении решения, системы повторения пройденного.

Рациональное использование этих факторов имеет важное значение для успешности обучения в любом классе. Тем более оно актуально при обучении детей семилетнего возраста.

Наш опыт имел своей целью выявить пути наиболее эффективного использования этих факторов при обучении детей данного школьного возраста.

Опыт показал, что при обучении детей семилетнего возраста требуется не только более строгая последовательность в подборе задач, в переходе от одного вида к другому, но и сравнение близких по своей структуре задач, так как учащиеся этого возраста слабо различают особенности таких задач, легко смешивают один вид с другими.

Особое внимание следует уделять рациональному подбору составных задач. В нашем опыте эти задачи подбирались так, чтобы они включали в себе хорошо понятые детьми виды простых задач, чтобы легко

было вычленить последние из составной задачи, чтобы учащихся не затрудняли вычисления, которые требуются при ее решении.

При подборе каждой задачи, будь то простая или составная, необходимо тщательно учитывать, следует ли ее решать коллективно, могут ли ученики решать ее полусамостоятельно или вполне самостоятельно. Как правило, новую разновидность задач целесообразно сперва решать коллективно, затем по мере усвоения их учениками, предлагать их для полусамостоятельного и, наконец, для самостоятельного решения.

Новый контингент учащихся I класса несравненно хуже, по сравнению с восьмилетними детьми, усваивает условия задач. Здесь отрицательно сказывается слабое развитие их речи, в особенности же слабое развитие их воображения,, в силу чего многим из них трудно представить себе содержание задачи.

Чтобы учащиеся лучше усваивали условие, следует прививать им рациональные навыки чтения и пересказа текста задачи, в частности навык пересказывать условие не только при коллективном, но и при самостоятельном решении.

Достижению этой цели может также служить использованный в нашем опыте ряд дидактических приемов, ставивших своей целью вызвать в воображении учащихся то, о чем рассказывается в задаче: более полное изложение условия, применение наглядности (использование различного рода дидактического счетного материала, рисунков и чертежей, инсценирование и т. п.).

Серьезные трудности для семилетних учащихся представляет разбор задач, в частности аналитико-синтетический разбор, который имеет важное значение для осмысленного выполнения решения. Здесь особенно эффективным в нашем опыте оказалось решение неполных задач (без вопроса или без некоторых данных), а в особенности постепенное усложнение простых задач.

Большое внимание также уделялось обучению детей, как объяснять решение задачи, при этом преследовалась цель привить им навык объяснять решение не только при коллективном, но и при вполне самостоятельном решении.

Серьезным тормозом в процессе обучения семилетних детей, наряду с медленным темпом овладевания навыком, является быстрая утрата его в случае ослабления работы над ним. Требуется строго последовательная система повторения, чтобы навыки учащихся в области решения задач не только не ослабевали, но все более закреплялись и совершенствовались.

Наш опыт выявил целый ряд дидактических приемов, способствующих повышению эффективности обучения детей семилетнего возраста счету и решению задач.

Методика обучения арифметике в I классе, однако, не может считаться вполне разработанной. В частности, остаются неразработанными вопросы об особенностях этой методики в условиях двухкомплектной школы, о сравнительной трудности отдельных случаев сложения и вычитания в пределе 20, о системе изучения табличного умножения.

Исследование этих и некоторых других недостаточно изученных вопросов методики обучения счету и решению задач в I классе должно явиться содержанием дальнейшей научной работы в данной области.

БИБЛИОГРАФИЯ

Руководства по методике арифметики Евтушевского В., Гольденберга А., Шохор-Троцкого С, Латышева В., Арженикова К., Беллюстина В., Егорова Ф., Галанина Д., Житкова С, Эрна Ф,. Кавуна И. и Поповой Н., Волковского Д., Эменова В. (ред.), Пчелко А.

Галанин Д., Наглядные пособия в преподавании арифметики, М., 1912.

Лебединцев К., Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве, Киев, 1923.

Волковский Д., Руководство к числам первого десятка, изд. 2-е, Госиздат, М., 1923.

Лай В., Первый год обучения арифметике. «Работник просвещения», М., 1923.

Горбунов-Посадов Е. и др., Живые числа, живые мысли. Книга 1-я, изд. 2-е, М.—Л., ГИЗ, 1923.

Волковский Д., Числовые и геометрические представления детей, поступающих в школу. «Вестник Просвещения», 1926, № 1.

Блехер Ф., Математика в детском саду, Госиздат, М., 1929.

Матвеева и др., Первоначальное обучение арифметике, Учпедгиз, М.—Л., 1931.

Менчинская Н., Первоначальное обучение детей арифметике. За политехническую школу; 1933, № 3.

Лемешева Е., Приемы оживления преподавания арифметики в 1 классе. «На культурном посту», Смоленск, 1934, № 10.

Менчинская Н., Развитие арифметических операций у детей школьного возраста, М., 1934.

Беккер Л. и Тихомиров В., Математические игры для первых и приготовительных классов. «Начальная школа», 1935, № 7.

Сигрианская, Конспект показательного урока «Прибавление и отнимание по 2 и по 3». «За коммунистическое просвещение», ИПО, 1935, № 7—8.

Решение задач с элементами анализа в I классе. «В помощь учителю», Воронеж, 1937, № 5.

Сборник «Опыт работы по арифметике», под редакцией А. С. Пчелко, М., 1937.

Ермилова К. Знакомство с понятием «на столько-то больше», М., НКП, РСФСР, 1937.

Петрова Е., Методика изучения понятий «на столько-то больше», «на столько-то меньше». «Начальная школа», 1937, №12.

Борисова З., Как я занимаюсь арифметикой с учениками I класса. Методический материал в помощь учителю начальной школы, НКП РСФСР, 1938.

Методическое пособие для учителя начальной школы, под редакцией Б. П. Есипова. I класс, М, 1938.

Атлас Д., Из опыта решения задач в I классе. Методический материал в помощь учителю начальной школы, НКП РСФСР, М, 1938.

Никитин Н., Наглядные пособия по математике в начальной школе, М., 1938.

Блехер Ф., Развитие первоначальных математических представлений у детей дошкольного возраста. «Дошкольное воспитание», 1939, №№ 8, 9 и 10.

Парфенов С, Арифметическая игра: «Быстро и правильно». «Начальная школа», 1939, № 5.

Сборник «В помощь учителю начальной школы», 1 класс, НКП, 1939. Статьи. Гессен А., Урок по арифметике, в первом классе. Эменов В., Арифметика в первом классе. Несмеянова Л., Уроки арифметики. Ускова Н., Решение задач в первом классе.

Георгиев Л., Обучение арифметике в I классе во втором полугодии. «В помощь учителю», Л., 1939, № 12.

Невская П., Как изучать новый материал по арифметике. «В помощь учителю». Л., 1940, № 5.

Пчелко А., Хрестоматия по методике начальной арифметики, М., 1940.

Поляк Г., Решение задач в I классе. Сб. Поляк и Эменов. Пути улучшения преподавания арифметики в начальной школе. Институт школ НКП, М., 1940.

Трофимова А., О составлении задач в I классе. «В помощь учителю», Л., 1940, № 7.

Новоселов Ф., О решении простых задач в I классе. Методический бюллетень МООНО, 1940, № 9.

Попова Н., Из опыта решения задач в I классе. «В помощь учителю», Л., 1940, № 10.

Федорова Н., Как я обучаю детей I и II класса решать задачи. Труды первой научно-педагогической конференции учителей г. Ленинграда, Л., 1940.

Чевский А., Конспекты уроков по арифметике в I классе. Из опыта работы учителей Коми АССР, в. 2, Сыктывкар, Госиздат, 1941.

Архангельская Н., Особенности работы с детьми семилетнего возраста по арифметике в 1 классе. «Начальная школа», 1944, № 5—6.

Пинчукова И., Сложение и вычитание в пределах 20. Сборник «Наш опыт». Улан-Удэ, Бурято-Монгольского государственного изд., 1944. (Институт усовершенствования учителей).

Адрианова М. и Любимова Е., Воспитание и обучение семилеток. «Начальная школа», 1945, № 1.

Бронникова, Решение задач в I классе. «Начальная школа», 1946, № 6.