Политехническое обучение в преподавании математики : из опыта работы в V—X классах : сб. статей / Акад. пед. наук РСФСР, Ин-т методов обучения ; под ред. А. Д. Семушина. — М. : Изд-во АПН РСФСР, 1956. — 228 с.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА-1956

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Институт методов обучения

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В V—X КЛАССАХ

Сборник статей под редакцией А. Д. СЕМУШИНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1956

ОТ РЕДАКТОРА

Перед работниками народного образования поставлена ответственная задача: «Развивать политехническое обучение в общеобразовательной школе, обеспечив ознакомление учащихся с важнейшими отраслями современного промышленного и сельскохозяйственного производства. Обеспечить тесную связь обучения с общественно полезным трудом, воспитывать у подрастающего поколения коммунистическое отношение к труду»*.

Опыт работы школ за прошедшее пятилетие показывает, что осуществление политехнического обучения в ряде учебных предметов доводится до изучения основ современного производства, до соединения обучения с производительным трудом.

Непосредственно в курсе математики не представляется возможным изучать основы современного производства, крайне ограничены и возможности соединения обучения с производительным трудом. Задачи школьного курса математики в осуществлении политехнического обучения состоят в том, чтобы возможно полнее содействовать изучению основ современного производства и воспитанию у учащихся некоторых умений, необходимых в общественно полезном труде.

Практика преподавания математики в свете задач политехнического обучения приводит к необходимости изменения как содержания традиционного школьного курса математики, так форм и методов преподавания. В опыте работы школ определились следующие направления, по которым идет подчинение преподавания математики целям политехнического обучения:

1. приближение обучения математике к потребностям производства;

2. раскрытие своеобразия отражения математикой законов природы (производства) ;

* Директивы XX съезда КПСС по шестому пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1956—1960 годы.

3. развитие умения облекать жизненные задачи в математическую форму;

4. воспитание умений, необходимых в общественно полезном труде.

Раскроем содержание каждого из этих направлений, опираясь на опыт передовых учителей математики. Некоторые материалы из этого опыта публикуются в настоящем сборнике в виде самостоятельных статей.

Содержание обучения. Рассмотрим изменения, которые вносятся в содержание школьного курса математики по каждому из перечисленных выше направлений.

1. Практика осуществления первого направления находит свое выражение в приближении школьных методов решения задач к методам решения тех же задач, применяемым в промышленности, в сельском хозяйстве, повседневной практической деятельности.

Почти в любой области современного производства используются, например: идея функциональной зависимости, графические методы решения задач, диаграммы, графики. Между тем в практике преподавания математики в средней школе этим методам решения задач все еще не уделяется достаточного внимания, особенно в V—VII классах.

В двух статьях данного сборника освещается опыт систематического изучения функций и их графиков в свете задач политехнического обучения. Изложение этого материала строится так, чтобы в VI—IX классах подготовить учащихся к более глубокому исследованию функций в X классе, в частности, при помощи производной, как это предусматривается проектом новых программ по математике.

Изучению функций в VI—VII классах посвящена работа Б. П. Бычкова (старший преподаватель учительского института, г. Бельцы, Молдавская ССР). В статье изложен опыт работы, проведенной под руководством автора в средней школе № 1 г. Бельцы. Автором намечается такой подход ознакомления учащихся с функциональной зависимостью, при котором соответствующий материал не сосредоточивается в одном месте, а изучается в различных разделах курса алгебры. Рекомендации автора в основном не выходят за рамки программы, осуществление их без существенных изменений доступно в каждой школе.

С более фундаментальными предложениями выступает В. Г. Ашкинузе (учитель средней школы № 68, Москва). Изложение курса алгебры VIII класса он предлагает начинать с достаточно глубокого изучения понятия функции. На большом числе удачно подобранных примеров учащиеся подводятся к определению понятия функции, области ее существования, к определению понятия возрастания и убывания и др. На этой основе строится изучение всего дальнейшего программ-

ного материала, так или иначе связанного с формированием понятия функциональной зависимости.

Первоначальное ознакомление учащихся с понятием иррационального числа при рассматриваемой в статье структуре изучения курса алгебры переносится в курс геометрии. Закрепление этого понятия в курсе алгебры проводится при изучении темы «Степени и корни».

Статьи Б. П. Бычкова и В. Г. Ашкинузе представляют одну и ту же точку зрения на изучение функций. При этом осуществление функционального подхода к изучению курса алгебры в VI—VII классах по методике, рекомендуемой Б. П. Бычковым, послужит для учащихся хорошей подготовкой для дальнейшего изучения функций в VIII—IX классах в соответствии с предложениями В. Г. Ашкинузе.

Опыт работы, представленный в обеих статьях, заслуживает внимания и серьезного изучения в связи с осуществляемым переходом школы на новые программы. Однако, независимо от решения этой важной задачи, учителя как VI—VII, так и VIII—X классов найдут в этих статьях богатый фактический материал для организации изучения функций и в рамках ныне действующих программ. Изучение материала, помещенного в первом разделе статьи В. Г. Ашкинузе, в таком случае может быть распределено на длительное время.

В геометрии приближение обучения математике к потребностям производства наиболее яркое выражение находит в перестройке традиционной системы обучения решению задач на построение, необходимость в которой давно уже назрела.

В самом деле, неоднократно уже высказывалась точка зрения, что «классическая» постановка решения задач на построение циркулем и линейкой не полно учитывает потребности жизненной практики, не обеспечивает подготовку учащихся к практической деятельности. Приступая к осуществлению политехнического обучения, необходимо сделать конкретные шаги по преодолению отмеченного недочета в подготовке учащихся средней школы.

В повседневной практике решения задач на построение следует использовать не только циркуль и линейку, но и угольник, и транспортир, чтобы с помощью всех этих инструментов решать задачи на построение так же, как они решаются в чертежно-конструкторской практике. По тем же соображениям учащихся следует знакомить и с приближенными методами решения задач на построение.

Математическая проблема решения задач на построение с помощью циркуля, линейки, угольника и транспортира может и должна быть сформулирована так же строго, как и только с циркулем и линейкой. На первых уроках геометрии в VI классе, до того как проблема решения задач на построения не будет еще сформулирована, можно допустить употреб-

ление линейки в качестве масштабной и транспортира как прибора для измерения углов. В дальнейшем линейка определяется как инструмент исключительно для построения прямых, а транспортир как прибор для построения углов, равных данному (транспортир в смысле малки*).

Черт. 1.

Построения с циркулем и линейкой в таком случае станут в школе доступным примером решения задач на построение с ограниченными средствами. Решение задач на построение в «классической» постановке следует оставить как материал для задач на доказательство. На примере решения этих задач можно будет продолжать отрабатывать цели и содержание всех этапов решения задач на построение — анализ, построение, доказательство, исследование.

Приближение обучения математике в школе к потребностям производства находит свое выражение также в увеличении роли различного рода таблиц, счетных приборов (русские счеты, логарифмическая линейка), вычислений над приближенными числами при решении задач в курсах арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Например, таблицы квадратов чисел и корней квадратных из чисел учителя начинают применять с VII класса с тем, чтобы пользование этими таблицами в VIII—IX классах прочно ввести в повседневную вычислительную практику.

Удачно преодолеваются трудности обучения учащихся овладению русскими счетами в средней школе «Памяти В. И. Ленина» (Горки, Ленинского района, Московской области). На уроки арифметики в этой школе приносятся классные счеты, и ученикам, решающим задачи у доски, разрешается пользоваться счетами. Таким путем методы решения задач в школе сближаются с методами решения задач, применяемыми в производственной и повседневной практике. Для достижения этой же цели многими учителями ставится вопрос и о необходимости отказа от решения алгебраических задач арифметическими средствами.

* Прибор, применяемый в столярном и плотничьем деле для построения углов наперед заданной величины. Малка (черт. 1) состоит из двух планок, скрепленных между собой шарниром.

Из приведенных примеров видно, что совершенствование вычислительной культуры учащихся проводится с учетом задач осуществления политехнического обучения. В то же время в школе недостаточно уделяется внимания обучению учащихся предварительной оценке ожидаемого результата — «прикидке» — при решении задач и примеров.

Прикидка вычислений широко распространена в инженерно-конструкторской практике и в повседневной жизни. На основании прикидки ожидаемого результата человек, умеющий считать на логарифмической линейке, безошибочно определяет положение запятой после того, как значащие цифры получены по линейке. Овладение прикидкой позволит учащимся в школьной практике контролировать результаты своих вычислений, избегать грубых ошибок при их выполнении. Приемы проведения прикидки на материале задач из курса арифметики средней школы описываются в статье Я. А. Шора (преподаватель Московского педагогического училища № 1 им. К. Д. Ушинского).

2. Рассмотрим пути, по которым идет подчинение содержания школьного курса математики и методики его изложения второму из вышеперечисленных направлений. Осуществление этого направления связано с отбором материала, на котором в доступной для учащихся форме можно было бы не только показать, что математика как наука о количественных отношениях и пространственных формах материального мира представляет собой отражение действительности, но и раскрыть своеобразие этого отражения по сравнению с другими школьными предметами.

Математика все еще значительной частью учащихся воспринимается как «сухая», оторванная от жизни наука. Возможно, что такое восприятие является результатом влияний на современное преподавание классического образования, при котором математика рассматривалась лишь как гимнастика для ума, раскрытию же связей математики с жизнью не уделялось внимания. Такое понимание математики несовместимо с задачами осуществления политехнического обучения.

При политехническом обучении больше, чем когда бы то ни было ранее, следует уделять внимание содержательному истолкованию изучаемого материала, раскрытию своеобразия отражения действительности математикой.

На примере линейной функции у = kx-\-b можно показать учащимся, что этой зависимостью одновременно описывается зависимость между длиной стержня и температурой нагрева— U — зависимость между объемом газа и его температурой при постоянном давлении (закон Гей-Люссака) — <ut-=v0(\ 4- $t); зависимость между давлением и температурой газа при постоянном объеме (закон Шарля) — pt = р0(\+Щ\

зависимость между скоростью и временем в равноускоренном движении vt — v0 -f- at и т. д. Учащимся следует при этом рассказать, что в курсе физики каждая из перечисленных зависимостей и их свойства изучаются отдельно, в математике же при рассмотрении функции у = kx-\-b все отмеченные выше закономерности и их свойства изучаются одновременно.

Учащимся полезно раскрыть, что и при изучении функции у = ах2 мы рассматриваем одновременно многообразные процессы материального мира, а не один, как это делается в физике, отдельно при выводе формулы пути s= ^ ^2 равноускоренного движения; отдельно при подсчете тепловой энергии W = RP, выделяемой на сопротивлении; отдельно при изучении закономерности изменения силы р = kv2 сопротивления воздуха телу, движущемуся с достаточно большой скоростью.

Общеизвестны многочисленные примеры величин из окружающей нас действительности, связанных прямо пропорциональной зависимостью у = kx, обратно пропорциональной зависимостью у = — .

При политехническом обучении на примерах, подобных рассмотренным, раскрывается мысль, что, выделяя в конкретных жизненных задачах лишь количественные отношения, математика в общем виде, как ни в каком другом школьном предмете, изучает законы производственных процессов. При рассмотрении зависимости у = ах2 внимание учащихся должно быть обращено на то, что эта зависимость используется, например, при расчете электрических нагревательных приборов, при расчете летательных аппаратов, описывает законы, используемые в ряде других областей науки и техники. При изучении линейной зависимости у = kx + b рассматриваются физические законы, используемые в химической, электротехнической, металлообрабатывающей и других отраслях промышленности.

Широкая, не присущая никакому другому школьному предмету, общность отражения материального мира математикой может быть раскрыта также в курсах геометрии и тригонометрии. Доказывая теоремы, решая задачи, учащимся следует раскрывать зависимости в природе и на производстве, отображаемые этими теоремами; по возможности следует добиваться того, чтобы учащиеся общее воспринимали через возможно большее число проявлений конкретного. Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что признаки равенства треугольников определяют их свойство жесткости. Учащиеся шестых классов должны знать различные применения этого свойства в строительстве, в быту. Учащиеся седьмых классов должны понимать, что в быту и в технике используется и отсутствие жесткости (подвижность) параллелограмма.

При изучении подобия фигур в VIII классе учащимся должно быть раскрыто, что изучаемые свойства подобных фигур применяются в аэрофотосъемке, в картографии, в чертежно-конструкторской практике, на производстве (например, при разметке деталей по чертежу). С учащимися полезно даже решить одну-две задачи на построение фигуры, подобной данной, не подобным преобразованием, а на «разных» листах бумаги. В этом случае хорошее приложение нашел бы пропорциональный циркуль. Изготовление классных пропорциональных циркулей возможно организовать силами учащихся на практикумах по труду.

В IX классе учащиеся должны видеть, что формула а4 = = R У2 представляет одновременно решение задачи на определение площади наибольшего сечения квадратной балки из бревна заданного размера; задачи на определение диаметра металлического стержня для изготовления болта с квадратной головкой наперед заданных размеров — задач на экономный раскрой материала в самых различных производствах.

Различные содержательные истолкования, доступные для учащихся, допускают задачи на построение. Отдельные примеры таких задач на построение приводятся в сборнике «Преподавание математики в свете задач политехнического обучения»*.

Раскрытию своеобразия отражения действительности в курсе арифметики и при изучении начал курса алгебры успешно содействует составление формул решения задач, составление задач по данной формуле.

Некоторые из задач как в курсе геометрии, так и в курсах алгебры и тригонометрии полезно сначала поставить перед учащимися в форме задачи с практическим содержанием. После решения задачи, если это возможно и необходимо, следовало бы обратить внимание учащихся на другие задачи, отображаемые тем же решением.

Осуществлению второго направления содействует также такое изложение программного материала, при котором необходимость изучения той или иной темы обосновывается потребностями практики. Обычно это делается в связи с изучением начал геометрии, при изучении тригонометрии, при изучении подобия фигур. Реже такое обоснование предпосылается изучению курса алгебры в целом, изучению отдельных его разделов. Чаще обращаясь к истории математики, можно будет выявить возможности такого подхода к изучению самых различных разделов курса математики средней школы.

Обращение к действительности для раскрытия своеобразия отражения ее математикой нельзя понимать узко, только как

* А. И. Фетисов (ред.), Преподавание математики в свете задач политехнического обучения, изд. 2, изд-во АПН РСФСР, М., 1954.

обращение непосредственно к вещам окружающей нас обстановки и отношениям между ними. Этой же цели могут служить различного рода модели, чертежи — все материальные реализации, отображением которых служит то или иное высказываемое положение, а также идеальные образы, связь которых с действительностью была установлена ранее.

Для достижения последней цели выполнимость теорем, содержательность определений, связь решаемых задач с жизнью, практикой в ряде доступных для этого случаев полезно иллюстрировать и на вещах, и на моделях, и на чертежах. В других случаях для достижения той же цели можно, а чаще всего и следует, ограничиться моделями и чертежами, вещами и чертежами или только моделями, только чертежами. Выполнимость выводов алгебры полезно чаще проверять при помощи числа или на каких-либо других алгебраических моделях.

При политехническом обучении раскрытие своеобразия отражения действительности математикой должно стать предметом постоянных забот учителя. При проведении этой работы нельзя полагаться на то, что учащиеся младших классов сами разберутся в характере связи математики с жизнью. В то же время наиболее желательным результатом такой работы можно было бы считать такое положение, когда учащиеся старших классов уже сами, без помощи извне, связывали бы изучаемый материал с жизнью, самостоятельно применяли его к решению практических задач.

3. Важным направлением в деле осуществления политехнического обучения является повседневная работа по развитию у учащихся умения облекать задачи, поставленные жизнью, в математическую форму. Основным средством проведения такой работы служит обучение решению задач по текущему программному материалу.

На уроках математики следовало бы больше уделять внимания решению задач прикладного характера: задач, отражающих достижения социалистического строительства; задач, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни (в быту, в школе и т. п.); задач с производственным (техническим и сельскохозяйственным) содержанием; задач из смежных школьных дисциплин. В то же время содержание прикладных задач должно быть таким, чтобы оно не уводило школу от изучения собственно математики.

Почти в каждой из статей, публикуемых в настоящем сборнике, приводятся различные примеры задач прикладного характера. Специально этому вопросу посвящается статья И. А. Рейнгарда (старший преподаватель Днепропетровского государственного университета).

В статье И. А. Рейнгарда приводится набор оригинальных задач с техническим содержанием; при составлении их автор руководствовался следующими требованиями: а) наличие в

задаче современного технического содержания; б) наличие в задаче четко выраженного математического содержания; в) доступность для понимания учащихся и краткость прикладной части задачи. «Соблюдение первого требования,— пишет автор,— исключает из рассмотрения псевдотехнические, не типичные для современного производства задачи. Выполнение второго требования обогащает техническую задачу математическим содержанием. Третье требование необходимо для того, чтобы оберечь цикл прикладных задач от перегрузки внепрограммными техническими сведениями».

Не во всех задачах И. А. Рейнгарду удалось сделать доступной для учащихся «техническую часть» задачи. Несмотря на этот недочет, статья И. А. Рейнгарда поможет определить общий характер задач с техническим содержанием. Отбирая те или иные задачи для решения в классе, учителю следует буквенные данные заменять числовыми.

Интересный опыт составления задач с прикладным содержанием накоплен учителями 25-й средней школы г. Ворошиловграда. По решению методического объединения преподаватели этой школы ведут рукописный журнал «Математика и жизнь». В этот журнал всеми преподавателями школы вписываются из различных печатных источников числовые данные об успехах социалистического строительства, данные о жизни за рубежом, интересный цифровой материал по самым различным областям науки и техники. Весь этот материал используется для составления задач как самими учителями, так и учащимися при выполнении домашних заданий.

Развитию умения учащихся облекать жизненные задачи в математическую форму могут помочь практические работы, проводимые рядом учителей в классных условиях.

Вычисление площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма и круга, объемов и поверхностей различных геометрических тел в пятых классах ряд учителей проводит не только по готовым числовым данным, но и по данным, получаемым самими учащимися при измерении моделей. С этой целью учащимся дается модель, измерительный инструмент, и они сами решают вопрос о том, какие измерения надо выполнить для решения поставленной перед ними задачи. Такие же работы, особенно для определения углов и линейных размеров, недоступных непосредственному измерению в геометрических телах, проводятся в старших (IX, X) классах при изучении стереометрии.

Серьезного внимания и изучения заслуживает опыт проведения в классных условиях измерительных работ с миниатюрными моделями геодезических приборов. С помощью такого набора самодельных вешек, эккера, астролябии, мензулы, портновского метра вместо мерной ленты ряд учителей в классе знакомит учащихся с приемами вешения прямых, построения

прямого угла, измерения углов, измерения недоступных расстояний и т. п. Таким путем удается тщательно подготовиться к выходам в поле, успешно справиться с программой проведения измерительных работ.

Опыт проведения измерительных работ с самодельными геодезическими приборами получил уже широкое распространение. Творческое решение этих вопросов дали M. М. Ремизов (учитель средней школы № 24, г. Магнитогорск), Л. П. Никольский (учитель средней школы № 72, Москва), Е. М. Гельфан (учитель Белоусовской средней школы, Калужская область), Л. У. Тестоедов (учитель школы рабочей молодежи № 1, г. Свердловск). Опыт учителей Л. П. Никольского и Е. М. Гельфана публикуется в настоящем сборнике.

Систематические навыки в применении математики к решению практических задач учащиеся смогут получить на предусматриваемых школьным учебным планом практикумах по труду в V—VIII классах, по машиноведению в VIII классе, по изучению автомобиля в IX классе, по электротехнике в X классе. На этих практикумах найдут практическое приложение умения учащихся решать задачи на построение (разметка заготовок), знакомство учащихся с чертежами и изображениями, с функциями и их графиками и т. д. Опыт проведения такой работы представляет значительный интерес.

Ценные представления о применении математики к решению практических задач учащиеся могут получить при проведении экскурсий на фабрики и заводы, в МТС и мастерские, при знакомстве с работой землемеров.

4. Воспитанию умений, необходимых в общественно полезном труде, способствует использование в школьном курсе математики таблиц и графиков, повышение вычислительной культуры учащихся, сближение школьных и производственных методов решения одних и тех же задач — осуществление значительной части рассмотренных выше мероприятий. Достижению этой цели служит также ознакомление учащихся с математическими принципами измерительных приборов (делительный циркуль, поперечный масштаб, нониус, курвиметр, планиметр и т. п.), а также выполнение измерений с помощью этих приборов при проведении практических работ.

Важным в деле развития у учащихся практических умений является развитие глазомера, развитие навыков в выполнении чертежей от руки, обучение построению изображений, обучение приближенным методам решения задач. Сколько-нибудь успешное разрешение всех этих вопросов может быть выполнено лишь усилиями преподавателей всех школьных дисциплин, при условии правильной связи в работе преподавателей математики, черчения, физики, химии, ручного труда и др.

В публикуемом сборнике вопросу связи преподавания мате-

матики и черчения посвящается статья А. А. Панкратова (старший преподаватель Калининского педагогического института) . В статье намечаются действенные, проверенные на опыте пути осуществления этой связи. Для преподавателей математики бесспорный интерес представят рассматриваемые в статье предложения об использовании в курсе геометрии навыков, вырабатываемых на уроках черчения. В дополнение к предложениям А. А. Панкратова можно рекомендовать применение форматок на уроках геометрии при решении задач на построение. Чтобы избежать перегрузки учащихся, форматки следует выполнять в карандаше и не более одной-двух в каждом классе.

Некоторые навыки в овладении простейшими орудиями труда могут быть привиты учащимся в процессе изготовления ими наглядных пособий, при проведении измерительных работ на пришкольных участках, на полях колхозов.

Ценные умения и навыки прививаются учащимся при изготовлении ими наглядных пособий. Известно много школ в городах и сельской местности, в которых силами учащихся и учителя созданы образцовые математические кабинеты с пособиями, не уступающими по качеству промышленным образцам. Опыт проведения такой работы описан в сборнике «Изготовление наглядных пособий по геометрии» (изд-во АПН РСФСР, М., 1953) и в журнале «Математика в школе» (1954, № 6).

Изменения, которые вносятся передовой практикой преподавания в традиционный школьный курс математики, помогут определить содержание преподавания математики в свете задач политехнического обучения. Особенно полезны мероприятия, которые содействуют осуществлению политехнического обучения по всем или нескольким из рассмотренных выше направлений. К такому учебному материалу при предлагаемой авторами сборника методике его изучения относится изучение функций, решение задач на построение, проведение практических работ и др. При этом, естественно, не должны упускаться из виду задачи повышения общей математической культуры учащихся, так как прочное и глубокое знание теории математики служит основой политехнического обучения.

Авторы, статьи которых публикуются в настоящем сборнике, указывают на пути осуществления политехнического обучения в рамках ныне действующих программ. Однако, как это становится все яснее и яснее, решение задач политехнического обучения в преподавании математики потребует и более коренных изменений содержания школьного курса математики. В качестве первого шага в программу X класса включен раздел об исследовании функций при помощи производной и применении производной к решению простейших практических задач.

Программой предполагается обусловить необходимость про-

ведения практических работ (в том числе и геодезических), необходимость обучения учащихся построению изображений, необходимость более широкого использования математических таблиц.

Формы обучения. Основной формой в преподавании математики остается урок. Содержание материала по всем направлениям осуществления политехнического обучения раскрывается учащимся из объяснений учителя, при проведении упражнений, в ходе опроса и проверки знаний учащихся.

Последнее время, как отмечалось выше, получает все более широкое распространение проведение фронтальных практических работ на уроках математики. Опыт покажет, насколько целесообразна эта форма обучения в преподавании математики.

Новой, требующей серьезной методической разработки, формой преподавания математики явились экскурсии, проводимые как совместно с учителями других предметов, так и чисто математические.

При политехническом обучении меняется и характер внеклассной работы. Широкое распространение получают кружки, по изготовлению наглядных пособий. На кружках стали решаться задачи с практическим содержанием.

В ряде случаев внеклассная работа стала для учителей лабораторией, в которой они проверяют доступность и методику изложения нового материала прежде, чем изучать его в классных условиях со всеми учащимися. Весьма желательно было бы в порядке кружковой работы начать разработку методики обучения учащихся исследованию функций при помощи производной и ее приложений к решению задач, к отбору таких задач. Такую работу преподавателям VIII—X классов следовало бы провести до того, как эти вопросы придется излагать в классных условиях.

Методика изложения материала. Осуществлению политехнического обучения будет содействовать совершенствование методики преподавания по всем разделам курса математики. В первую очередь это относится к изложению вновь вводимого материала. Улучшения методики изложения потребует и тот материал, который не претерпит изменения при переходе от традиционного обучения к политехническому.

В каждой из статей публикуемого сборника авторы говорят о методике изложения рекомендуемого ими материала. Многие из рассматриваемых методических приемов без особых изменений и поправок с успехом могут быть использованы в практике работы каждого преподавателя.

Особого внимания заслуживают описываемые в статье А. А. Панкратова приемы построения изображений шара и его комбинаций с другими геометрическими телами, методика использования ортогональных проекций геометрических тел для

решения вычислительных задач. Несомненный практический интерес представляет методика ознакомления учащихся с приемами проведения геодезических работ в классных условиях. Удачно разработана методика обучения учащихся прикидке ожидаемого результата при решении примеров и задач.

Ценные методические приемы применяются Б. П. Бычковым и В. Г. Ашкинузе для организации изучения функций и обучения учащихся построению графиков. Каждый учитель отберет в этих статьях то, что может быть использовано им непосредственно для работы с классом. Самого пристального внимания заслуживает, например, методика обучения построению графиков на клетчатой бумаге и на графленой классной доске. Другие методические приемы прежде чем их применять в классных условиях, можно было бы рекомендовать учителю проверить сначала во внеклассной работе.

Публикуемые статьи описывают опыт авторов в какой-либо одной узкой области преподавания. При таких условиях обобщения опыта на изложении материала не могли не сказаться в некоторой степени увлечения и личные вкусы авторов. Уже только поэтому не следует механически переносить индивидуальный опыт в массовую школу. Предполагается, что каждый учитель критически отнесется к рекомендациям авторов, приспособит их к конкретным условиям.

В то же время усилия учителей должны быть направлены не только на проверку материалов, представленных в сборнике, но и на творческую разработку методики. С учетом своеобразия изучения курса математики средней школы при политехническом обучении следует взяться за разработку методики изложения начал планиметрии и стереометрии, изложения вопросов, связанных с измерением величий, за разработку методики ознакомления учащихся с геометрическим материалом в курсе арифметики. Творческой разработки в свете задач политехнического обучения требует методика изучения первых разделов курса алгебры, методика ознакомления учащихся с отрицательными, иррациональными и комплексными числами, методика изучения функций.

При политехническом обучении важное значение приобретает разработка методов развития логического мышления учащихся, развития их пространственного воображения.

При использовании всех форм изложения учебного материала следует шире опираться на самостоятельную работу учащихся, развивать их активность, прививать учащимся интерес к предмету, воспитывать у них любовь к труду.

Развитию навыков самостоятельной работы учащихся, как показывает опыт ряда учителей, содействуют выполнение посильных расположенных в постепенно нарастающей трудности заданий, отыскание с учащимися различных способов решения одной и той же задачи, воспитание навыков работы с учебни-

ком. Шире следует привлекать учащихся и к самостоятельному доказательству теорем в классе. С этой целью некоторые учителя сначала обстоятельно раскрывают учащимся содержание теоремы, идею и основные этапы ее доказательства, после чего нередко учащиеся сами завершают доказательство, а учитель при этом руководит лишь оформлением записей на доске.

В младших классах некоторые учителя сами выполняют доказательство и необходимые алгебраические преобразования, предоставляя учащимся самостоятельно дома или тут же в классе дать письменное обоснование каждому этапу проведенного рассуждения. В старших классах полезно привлекать учащихся к самостоятельному изучению ряда теорем по учебнику.

Воспитательная работа. Изучение состояния преподавания математики, результаты которого нашли отражение в публикуемом сборнике, раскрывает и характер изменений воспитательной работы в процессе преподавания математики.

Преподаватели математики больше внимания стали уделять связи теории с практикой, содержательному истолкованию изучаемого материала. Это, в свою очередь, по правильному руслу направляет работу по воспитанию материалистического мировоззрения на уроках математики.

Перед преподавателями математики стоят еще большие задачи в области дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы. Необходима дальнейшая разработка путей воспитания у учащихся на уроках математики любви к Родине, коммунистического отношения к труду.

Отметим, наконец, что решение всех задач по осуществлению политехнического обучения в курсе математики V—X классов должно проводиться в тесной взаимосвязи с преподаванием математики в I—IV классах. Однако опыт такой работы все еще чрезвычайно беден.

* * *

Предложения и замечания по сборнику просьба направлять по адресу: Москва, Б-64, Лобковский пер., д. 5/16, Институт методов обучения АПН РСФСР. Сектор методики математики.

Я. А. ШОР

преподаватель Московского педагогического училища № 1 им. К. Д. Ушинского

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ

Во многих случаях при решении самых различных задач, прежде чем приступать к точным вычислениям, полезно произвести предварительную оценку ожидаемого результата — сделать «прикидку».

Прикидка находит широкое применение в практике социалистического строительства, в повседневной жизни. Прикидка в ряде случаев позволяет предупредить грубые ошибки при выполнении точных расчетов. Нередко уже самой грубой оценки ожидаемого результата достаточно для того, чтобы увидеть бесполезность каких-либо последующих точных расчетов.

Учащиеся школы должны уметь выполнять прикидку,— овладеть вычислительными методами, столь широко используемыми в практике. Изучению различных приемов выполнения прикидки в школе при политехническом обучении должно быть уделено больше внимания, чем это делалось ранее. Это, кроме того, будет способствовать повышению вычислительной культуры учащихся вообще.

В настоящей статье рассмотрен ряд примеров и задач, в которых прикидка осуществляется способами, доступными для учащихся. В то же время материал подобран так, чтобы познакомить учащихся с разнообразными приемами выполнения прикидки.

Примеры и задачи, рассматриваемые в статье, взяты из следующих сборников задач:

1. Пономарев С. А. и Сырнев Н. И., Сборник задач и упражнений по арифметике для V—VI классов семилетней и средней школы, Учпедгиз, М., 1955;

2. Березанская Е. С, Сборник задач и упражнений по арифметике для V и VI классов семилетней и средней школы, М., Учпедгиз, 1951;

3. Ларичев П. А., Сборник задач по алгебре, ч. II, М., Учпедгиз, 1955.

Задачи и примеры из сборника задач С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева приводятся с указанием лишь номера, без ссылки на источник. Материал из задачников Е. С. Березанской и П. А. Ларичева отмечен, соответственно, буквами Б. и Л. после номера рассматриваемых примеров и задач.

1. Прикидка при решении примеров

Для выполнения прикидки не существует определенных правил, как это, например, имеет место для приближенных вычислений. Это приводит к тому, что знак приближенного равенства (^), употребляемый для записи результата прикидки, ничего уже не говорит о степени точности ответа, а лишь довольно грубо определяет его порядок*.

В ходе выполнения нижеприводимых упражнений учащимся следует раскрыть не только приемы выполнения прикидки, но и ее отличие от приближенных вычислений. Это, в свою очередь, поможет учащимся более глубоко уяснить смысл и значение приближенных вычислений.

Полезно на ряде примеров показать учащимся различные приложения прикидки в курсе математики средней школы (контроль за точными вычислениями, способ проверки решений задач, подход к отысканию приближенных значений, оценка решений задач с точки зрения здравого смысла и т. п.). С этой целью имеет смысл постоянно сравнивать результаты прикидки и обычных (точных) вычислений, обязывать учащихся делать прикидку, если учитель обнаружил в решении ученика ошибку, приучить при помощи прикидки опровергать несуразные ответы.

Наконец, следует иметь в виду, что прикидка может выполняться с различной степенью приближений (в первом приближении, во втором приближении и т. д.). Прикидку в первом приближении (в самом грубом) следует приучать учащихся выполнять устно; для получения результата во втором приближении можно пользоваться полуписьменными вычислениями. Примеры для таких вычислений и образцы записи приводятся ниже.

№ 39(4). 10087 + 3445 + 5684 + 7389 = 27 105.

Прикидка: а) в тысячах: 10 + 3 + 6 + 8 = 27 (тыс.) = = 27 ООО;

б) в сотнях 101 +34 + 57 + 79 = 271 (сотня) =27 100.

* Имея в виду отмеченную особенность ответа, вместо термина «прикидка» иногда употребляют слова «грубый расчет». В настоящей статье отдается предпочтение первому терминологическому обороту как наиболее распространенному.

№ 199 (1; Б). 481 • 13 + 2007 = 8260. Прикидка: 500 • 13 + 2000 = 8500.

№ 233 (1; Б). (97548+ 69432): (16400- 15388)= 165.

Прикидка: (100000 + 70000 - 3000) : (16000 - 15 ООО) = = 167000: 1 000= 167.

№ 78(3). (840 + 357) • (527 + 481) = 1 206 576.

Прикидка: (850 + 350) • (520 + 480) = 1 200 - 1 ООО = = 1 200000.

Как видно из приведенных примеров, при выполнении прикидки необязательно придерживаться правил округления: например, 357 мы заменили через 350, а не через 360; 527 через 520, а не через 530.

№ 78(4). (986 - 800) • 19 + ( 1 007 - 965) • 14 - 48 • 16 = = 3354.

Прикидка: 200 • 19 + 40 • 15 — 50 • 15 = 3800 - 150 = = 3650.

№ 79(7). 805001 + [908-307 - 65-(403-289)] —205-78 = = 1 060 357.

Прикидка: 805 тыс. +• 90Э • 320 - 70 • 100 — 200 • 80 = = 805 тыс. 4- 288 тыс. — 70 тыс. — 16 тыс. = 1093 тыс. — - 23 тыс. = 1070 тыс. = 1 070000.

№ 111(6). (110292: 14: 101 +4129-3127)-(1237--23 138: 23) =249480.

Прикидка: 1) 110292 : 101 : 14 « 1 100 : 14^80;

2) 4129 - 3127 « 1000; 3) 1000 + 80 s» 1100 ;

4) 23138 : 23^ 1000; 5) 1237 - 1000^ 230;

6) 1100 • 230 = 253 000.

№ 307 (3).

Прикидка. Примем

№ 351(2).

Прикидка:

№ 351(4).

Прикидка:

№ 407(6).

Прикидка:

№ 409(3).

Прикидка:

№ 848(12; Б).

№ 457(5).

Прикидка:

№ 968 (4; Б).

Прикидка. Первое частное 3 — : 4 — несколько меньше

единицы, второе — несколько больше единицы, следовательно, в скобках получаем около 2. Этот результат умножаем на число, мало отличающееся от 5; поэтому искомый результат близок к 10.

№ 489(4).

Прикидка: 1) 13—-—^10; 2) 16 увеличиваем в 1 — раза, получим 24; 3) 19— увеличить несколько более, чем в 6 раз, или 20-6 = 120; 10+24+ 120=154.

№ 494(3).

№ 495(3).

Прикидка: 1) заменим 36— через 37—* тогда

2) вместо 8 — -7 возьмем 9-7, но отбросим — от 7

или 2, получим 61;

имеем:

4) для вычисления 24— можно отбросить — от 24,

получим 18;

5) 24-6 дает 144, или 24-6 — = 156, итак,

№ 496(2).

Рассмотрим пример, в котором на первый взгляд трудно оценить ожидаемый результат:

№ 970(5; Б).

Прикидка. Сделаем замены:

Имеем:

Рассмотрим несколько примеров на вычисления с десятичными дробями:

№ 614(5). 7,8 + 0,107 + 0,096 + 0,779 999 = 8,782999.

Прикидка: 7,8 + 0,1+0,1+ 0,8 = 8,8.

№ 616(1). 53,404 + 1,4342 + 0,05 + 5,5428 = 60,431.

Прикидка: 53 + 1 + 6 = 60

или 53,4 + 1,4 + 5,6 = 60,4.

Указание. Мы взяли 5,6 вместо 5,5428, учитывая, что ранее отбрасывали сотые доли.

№ 1243(2; Б). 7,02006 + 2,80004 + 0,2901 + 1,00532 + + 3,58448 = 14,7.

Прикидка: а) 7 + 3+ 1 + 4= 15;

б) 7+ 2,8 + 0,3 + 1 + 3,6 = 14,7.

№ 1276(3; Б). 5,002 + 1,0004 — 3,0484 — (5,7 - 4,8141 -— 0,0059) = 2,074.

Прикидка: 5 + 1 -3-(5,7-4,8) =3 — 0,9 = 2,1.

№ 640(2). (1,2543 + 3,7457)+(14,04 — 11,906) = 7,134.

Прикидка: 1,25 + 3,75 + 14-12 = 5 + 2 = 7.

№ 643(3). 28 — {19,8004 — [3,2005 - (2,906 — 0,5307)1} = 9,0248.

Прикидка: 28 — {19,8 - {3,2 — 2,4]} = 28 — 19 = 9.

№ 672(4). 0,008 + 0,992-5-0,6-1,4 = 4,1744.

Прикидка: 5-1,4 = 7; 7-0,6 = 4,2; умножение 4,2 на 0,992 и прибавление 0,008 существенного влияния на результат не окажет.

№ 1331(7; Б). (19,68—11,9) • 0,01 +3,02-10,01 = 30,308.

Прикидка: (20 —12)-0,01 + 3-10 = 0,08 + 30^30,1.

№ 1332 (4; Б). (1,5 + 0,95 + 0,001 )• (14,3 + 0,73 + 6,97) + + (17-15,6) = 55,322.

Прикидка: (1,5 + 1) - (14 + 1 + 7) + 1,4 = 2,5 • 22 + 1,4 = 56,4.

№ 717(2). 589,72 :16 — 18,305 : 7 + 0,0567 : 4 = 34,256 675.

Прикидка: 589 = 480+ 109, при делении на 16 получим примерно 37; 18,3:7^2,5; 0,0567:4 в нашем расчете нет смысла учитывать.

Итак, имеем: 37 — 2,5 = 34,5.

№ 717(4). 22,5 : 3,75 + 208,45 + 2,5 : 0,004 = 839,45. Прикидка: 23 : 4 + 208 + 2500 : 4 ä 6 + 208 + 625 = 839. № 718(3). (86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2) = 15. Прикидка: (90 + 660) : (37 + 13) = 750 : 50 = 15. № 720(3). [(14,068 + 15,78) : (1,875 + 0,175)] : [(0,325 + + 0,195)-4] =7.

Прикидка: [(14+ 16) : 2] : (0,5-4) = 15:2 = 7,5.

№ 720(4). (0,578 + 0,172) - (0,823 -+ 0,117) — —1,711 : (4,418+ 1,382) = 0,41.

Прикидка: (0,6 + 0,2) • (0,8 + 0,1 ) — 1,7 : (4,4 +1,4) = = 0,8-0,9 — 1,7 : 5,8 ~0,7 - 1,8 : 6 = 0,7 - 0,3 = 0,4. № 722(2). (90,09 : 91 + 3,774 : 0,34) : (232,31 :17,87 + + 186,85: 5,05) = 0,2418.

Прикидка: (90 : 90 + 377 : 34) : (240 : 18 + 185 :5) = = (1 + 11) : (13 + 37) = 12 :50ä±- = 0,25.

Прикидка:-------=-------~

F 20 4,5 1 6-4 20 1 4,5 24

^5+ 13 + 22 = 40. № 1369 (1; Б). 1,72992 :0,01088 = 159.

Прикидка:

№ 1462(1; Б).

Прикидка:

№ 1466(1; Б).

Прикидка:

№ 1467(1; Б).

Прикидка:

№ 1467(3; Б).

Прикидка:

№ 725(2).

Прикидка:

Рассмотрим приемы прикидки в примерах на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.

№ 843(2).

Прикидка:

№ 844(3).

Прикидка:

№ 846(2).

Прикидка:

№ 847(3).

Прикидка: 1) от 27 берем примерно— и получаем 9;

2) (9 — 3): 0,3 = 20; 3) при выполнении прикидки величина ^ 16 —--15—^ : 2 — может быть отброшена, так как она составляет примерно ^16 ~--16J : 3 = « 0,05. Итак, имеем: 20 + —^22.

Во втором приближении мы могли бы иметь:

№ 847(4).

Прикидка: /17--16 — ):5— может быть нами не принята во внимание (см. решение примера № 847(3), тогда решение примет вид:

№ 852(2). Вычислить сумму чисел:

Ответ: 25. Прикидка:

для подсчета

отнимем

несколько меньше

и получим

это примерно

Итак, имеем:

№ 887(2).

Прикидка:

это примерно 13 увеличить 25 раз,

№ 888(2).

Прикидка:

для

подсчета к 63 прибавляем

№ 852(4). Вычислить произведение числа

на дробь

Ответ:

Прикидка:

2) 68 — : 0,86; это значит 68— или 70 увеличить на — часть от 70, т. е. 70+ 10 = 80;

№ 886(1).

Прикидка:

2) 54,6 : — ; это значит 55 увеличить в 2 — раза — получим 137;

9) 24,6 : 1 — ; это значит взять — от 24,6, т. е. отнять от 24,6 его — часты 24,6-—^24 —4 =20;

№ 889(2).

Прикидка:

№ 1686(1; Б).

Прикидка: 1) в квадратных скобках имеем: 53— 4- -1-9,1(6)^53,8 + 9,2 = 63; число 63 надо увеличить в 1 — раза, т. е. взять 63 + -^--63^63 + 12 = 75;

2) 10,3 — 8 — = 1,8; от этого числа взять — , получим 1, т. е. первая дробь дает при нашем способе подсчета 75;

Приведем еще один пример с целью показать решение в первом и втором приближении.

Прикидка (первое приближение):

Второе приближение:

1) первое слагаемое ввиду его малой величины и слабого влияния на результат оставляем без изменения;

2) числитель второй дроби оставляем равным 1150;

3) 50 —-61,6^51.62^50-63 = 3150; ' 11

4) 29,16-100 = 2920;

5) 3150-2920 = 230;

6) 1150:230 = 5.

Из рассмотренных примеров видно, что обучение прикидке может проводиться при прохождении каждого раздела программы, а не сосредоточиваться в одном месте.

2. Прикидка при решении арифметических задач

Прикидка при решении арифметических задач представляет собой решение задачи с „округленными" числами. Округление при этом производится не по правилам приближенных вычислений, а так, чтобы сравнительно легко вы-

полнялись все последующие вычисления. Решение задачи с „хорошими" числами облегчает части учащихся понимание содержания задачи, проведение анализа ее решения и, следовательно, отыскание решения. В то же время прикидка служит целям контроля за правильностью точного решения задачи. Рассмотрим возможность проведения такой работы.

№404(1). Из свекловицы выходит 16% сахара. Сколько сахара выйдет из 22 m и 5 ц свекловицы?

Прикидка: 16% от 22 m 5 ц это примерно — часть от 225 ц или 37 ц.

№ 455(1). Рабочий получил путевку в санаторий со скидкой в 70% и уплатил за нее 240 руб. Сколько стоила путевка?

Прикидка. Рабочий уплатил за путевку менее — ее стоимости, т. е. путевка стоила более 240-3 = 720 (руб.)

№ 505(1). Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за 3 дня. В 1-й день он убрал урожай с — всей площади, во 2-й день с — оставшейся площади и в 3-й день —с остальной площади в 30 -~га- В среднем, с каждого гектара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано на всем участке?

Прикидка. В 1-й день убрано примерно — всей площади, осталось убрать — участка. Во второй день убрали примерно--— оставшейся площади, т. е. примерно также — участка, и осталось убрать — , которая составляет — га. Следовательно, вся площадь приближенно равна 90 га и собранное количество пшеницы составит 20-90 = = 1800 (ч)= 180 (т.) Ответ задачи: 183 т.

№ 505(2). Участники автопробега в 1-й день прошли — всего пути, во 2-й день — оставшегося пути, в 3-й день — нового остатка, а в 4-й день — остальные 320 км. Как велик весь путь автопробега?

Прикидка. В 1-й день — — всего пути ^ вместо осталось — пути; во 2-й день — остатка (вместо — ), т. е. опять пути, осталась — часть пути; в 3-й день около — остатка, т. е. — часть пути; осталась---= — всего пути. Весь путь более 320-3 = 960 (км.). Ответ задачи: 1100 км.

Наличие более или менее значительных расхождений между действительным ответом и результатом прикидки, например, 10—15%, отнюдь не может считаться неприемлемым для предварительной оценки ожидаемого результата л особенно в первом приближении. Назначение прикидки, в отличие от приближенных вычислений, как раз и состоит в том, чтобы лишь ориентировочно наметить ожидаемый результат.

№506(1). Автомобиль прошел в 1-й день—всего пути, во 2-й день — того, что прошел в первый, и в 3-й день остальные 200 км. Каков был расход бензина, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 — кг бензина?

Прикидка. Во 2-й день пройдено немногим меньше, чем в первый, а за два дня--1--^— части всего пути. Следовательно, весь путь равен 200 : — = 600 (км). Расход бензина 1 --(600: 10) « 100 (кг). Ответ задачи: 108 — кг.

№ 508(2). Трамвайный маршрут имеет в длину 14— км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку до -i- минуты. Средняя скорость трамвая на всем маршруте 12"j" км в час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?

Прикидка. На остановки потребуется 21 минута. На движение 14 — : 12 —^15 : 12 —=1—(часа) или 1 час 12 мин., а всего 1 час 33 минуты. Ответ задачи: 1 час 33 мин.

№ 513(1). Товарный поезд был в пути три часа. За первый час он прошел 36 км, за второй 40 км и за третий 39 — км. Найти среднюю скорость поезда. 4

Прикидка. Ответ должен быть: а) больше 36 км, но меньше 40 км; б) ближе к 40 км, чем к 36 км. Ответ: — км.

№ 539(1). Два трактора различной мощности вспахали вместе 246 га целины. Более мощный трактор работал 15 дней, а другой 12 дней, причем первый трактор вспахивал в день в 1 — раза больше, чем второй. Сколько гектаров земли вспахивал каждый трактор за 1 день?

Прикидка. Если бы работал только трактор меньшей мощности, то ему понадобилось бы 15 дней + 15 дней + 12 дней ~ 31 день, т. е. второй трактор вспахивал в день 246: 31 ж 8 (га), a первый на больше, т. е. 10 (га).

Ответ: 8 га, 10 га.

В задачах на совместную работу встречаются ошибки такого характера: если, например, в задаче дано, что один рабочий может выполнить всю работу за 6 часов, а другой за 8 часов, то некоторые учащиеся полагают, что вместе они выполнят работу за 6 -ь 8 = 14 (часов). Предварительная оценка результата хотя бы в установлении факта, что искомый ответ должен быть меньше 6 часов, поможет учащимся избежать таких ошибок. Такая предварительная оценка может быть выполнена при решении следующих задач:

№ 149(1). 346, 365,415,452, 504, 544, 545, 546,547,548, 549, 554, 782, 783, 784, 853, 854, 855, 873, 874, 913, 926, 937, 962.

№ 550(2). Скорый поезд проходит 187-^- км за 3 часа, а товарный поезд 288 км за 6 час. Через 7 часа после выхода товарного поезда по тому же направлению отправляется скорый. Через сколько времени скорый поезд догонит товарный?

Прикидка. 187 : 3 ж 62; 288 : 6 = 48; разность скоростей 14 км. За 7-J- часа товарный поезд прошел 48-7-^ ж

~ 50 • 7 = 350 км, 350 : 14 = 25 (часов). Ответ задачи: 24 часа.

№ 556. В 4 часа 20 мин. утра из Киева в Одессу вышел товарный поезд со средней скоростью 30 — км в час. Через некоторое время навстречу ему из Одессы вышел почтовый поезд, скорость которого в 1 — раза больше скорости товарного, и встретился с товарным поездом через 6 — часов после своего выхода. В котором часу вышел из Одессы почтовый поезд, если расстояние между Киевом и Одессой 663 км?

Прикидка. Скорость почтового поезда 30--1 —^ ^30 • 1— = 30- 1— = 48 (км). За 6— часов почтовый 75 поезд прошел 48• 6-^- < 50 -6-^-^310 км. Товарный прошел 663 — 310^350 км за 350:30—12 часов. Почтовый поезд вышел в 4--h 12 — 6 — ^ 10 часов утра.

Ответ: 9 часов 45 минут.

№ 568(1). Прямоугольный участок земли, имеющий в длину 78 — м и в ширину 56 — м, застроен так, что — его площади занято строениями. Определить площадь под строениями.

Прикидка. 78— • 56 — ^80-55; от этого надо отбросить — часть, т. е. 80 • 11, останется 80-44 = 3520 (кв. м).

Ответ: 3578 — кв. м.

№ 568(2). На прямоугольном участке земли, длина которого — км, а ширина 136 м, колхоз предполагает разбить сад. Сколько деревьев будет посажено в саду, если под каждое дерево в среднем нужно отвести площадь в 4 — кв. м?

Прикидка: 150- 136^150-140 = 21000 (кв. м)\ 21 000 : 4 -J = (18 000+ 3000) : 4 -~ ^ 4000+700 =4700 (дер.) Ответ: 4533 дер.

№ 573(1). Сарай имеет размеры 5— м • 4 — м • 2— ^. Сколько сена (по весу) поместится в этом сарае, если его наполнить на— его высоты и если 1 куб. м сена весит 82 кг?

Прикидка: 5 ^-4-^--2-^-ж5«5-2-^-ж62 (куб. м); -^-от 62ж 45 (куб. м); 82 - 45^3700 (кг).

Ответ: 3805— кг. 16

№ 626(2). Одна из сторон треугольника равна 146,7 см, вторая сторона больше первой на 23,4 см, а третья стэрона больше второй на 15,8 см. Найти периметр треугольника.

Прикидка: 150 • 3 + 20 • 2 + 15 = 505 (см).

Ответ: 502,7 см.

Выполняя прикидку, стараются компенсировать ошибки, появляющиеся на различных этапах вычислений. Так, например, вместо 146,7 берут 150, зато вместо 23,4 берут 20, и вместо 15,8 — 15.

№ 654. В первом участке было 480,4 га, во втором на 15,6 га меньше, чем в первом, а в третьем на 13,2 га больше, чем во втором участке. Сколько всего земли отвел колхоз под посев зерновых?

Прикидка. Отклонения площадей двух участков на 15,6 га и на 13,2 га от площади большого участка не окажут существенного влияния на результат прикидки. Поэтому для подсчета общей посевной площади 4 80 увеличиваем в 3 раза и получим 1440 га. Ответ: 1423,2 га.

№ 682. Надо огородить колхозный сад, ширина которого 109,4 м, а длина на 24,6 м больше ширины. Сколько кольев потребуется для изгороди, если на каждый метр идет 5 кольев?

Прикидка: (110-4 + 25-2)-5 = 2450.

Ответ: 2434.

№ 713. Транспортер за 4,2 часа поднял из котлована 107,1 куб. м земли. Сколько он поднимает земли за 6,5 часов, если будет работать с той же производительностью?

Прикидка. Время увеличено несколько больше, чем в ~y раза, поэтому производительность труда около 110-1-^- = 165 (куб. м). Ответ: 165,75 куб. м.

№ 772. Два парохода вышли одновременно навстречу друг другу из двух портов, расстояние между которыми

501,9 км. Через сколько времени они встретятся, если скорость первого парохода 25,5 км в час, скорость второго 22,3 км в час?

Прикидка: 500 : (26 + 22) « 500 : 50 = 10 (часов). Ответ: 10,5 часа.

№ 774. Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 12,4 км в час. Спустя 3 часа 15 мин.* из Б навстречу ему выехал другой велосипедист со средней скоростью 10,8 км в час. Через сколько часов после выхода второго встретятся велосипедисты, если 0,32 расстояния между А и Б равны 76 км?

Прикидка: 1) 76 : 0,32 « 75 : — - 225 (км);

2) 12 - 3^- ^ 40 (км);

3) 225 —40= 185 (км);

4) 12,4+10,8«12+11 =23 (км);

5) 185:23^8 (час). Ответ: 8,5 часа.

№ 781. Из города А в город Б, отстоящий от А на 234 км, выехал автомобиль со скоростью 32 км в час. Через 1,75 часа после этого из города Б выехал навстречу первому второй автомобиль, скорость которого в 1,225 раза больше скорости первого. Через сколько часов после своего выезда второй автомобиль встретит первый?

Прикидка: 1) 32-1,75 это 32-2 без — от 32, т. е. 56 км;

2) 234-56^236 - 56 = 180 [км);

3) 32- 1,225 —к 32 км прибавить — часть от 32, получим 40 км;

4) 40 + 32^70 (км).

5) 180: 70^2,5 (часа). Ответ: 2,5 часа.

№ 834(1). Силосная башня имеет форму цилиндра, высота которого 10 м, а внутренний диаметр основания 5 м. Сколько кубических метров силоса вмещает башня?

Прикидка: 3,14-2,5-25-10»31,4-3-2да 190 (куб. м).

Ответ: 196 куб. м.

№ 936. Из овощной палатки в течение трех дней было продано 58,9% привезенного картофеля. В первый день было продано 5,7 ц картофеля, во второй—в 1— раза меньше, чем в первый день, а в третий день — того, что было

продано в первые два дня вместе. Сколько центнеров картофеля было привезено в палатку?

Прикидка. Будем считать 58,9% ^60% =— ; 5,7 ц^бц;

1) 6 + 4+ от (6 + 4)^12 (ч);

2) 12: — = 20 (ч).

Ответ: 20 4.

№ 940. Магазином продано в первый день 40% имевшейся ткани, во второй день-^-того, что было продано в первый день, а в третий день—вся остальная ткань. Сколько метров ткани продано за 3 дня, если в третий день было продано на 192 м больше, чем во второй?

Прикидка (первое приближение). Примем ~[^~~~' получим:

1) в первый день продано 40%, во второй — 20%, в третий—40%;

2) 40 — 20 = 20 (%) или ±- ;

3) 192-5 = 960 (м).

Ответ: 1440 м; расхождение прикидки и ответа на задачу значительное.

Второе приближение. Добавим к 20% от 40% ^3%.

Тогда получим, что во второй день было продано 23%, в третий —37%; разность 37% — 23% = 14% zz-j ; 192-7^1330 (м).

При решении задач с пропорциональными величинами предварительная оценка результата является вместе с тем способом установления зависимости между данными и искомыми величинами. Во многих случаях достаточно ограничиться вопросом о характере ожидаемого ответа, чтобы убедиться в понимании учеником зависимости между величинами.

№ 1071(2). За 72 куб. м газа был прислан счет на 14 руб. 40 коп. Сколько придется уплатить, если расход газа составит 106 куб. м?

Прежде чем приступать к решению задачи, от всех учащихся следует добиться понимания, что плата за газ увеличится во столько раз, во сколько увеличился расход газа.

Уточняя ожидаемый ответ, следует установить, что газа израсходовано примерно в 1— раза больше, поэтому уплатить надо будет около 21 рубля.

Задача. Заготовлено сена для коровы на 60 дней при выдаче по 10 кг в день. На сколько дней хватит этого же запаса, если выдачу увеличить на 2 кг в день?

Перед решением этой задачи устанавливается, что с увеличением нормы выдачи в какое-то число раз срок расходования корма уменьшается во столько же раз.

Уточняя ответ, можно установить, что норма увеличена в 1— раза, поэтому срок сократится в 1— раза, т. е. станет равным — прежнего срока или 50 дням, вместо 60. Такие рассуждения помогают пониманию изменения одних величин в зависимости от изменения других, находящихся с ними в прямой или обратной пропорциональной зависимости.

Учащихся полезно приучать к оценке ожидаемого результата и в задачах на сложное тройное правило. Для этой цели необходимо подобрать такие задачи, в которых можно было бы установить не только характер изменения одной из заданных величин, но и численно оценить ожидаемый результат.

Первоначально приемы прикидки целесообразно изучать на простых задачах с целыми числами, обращая при этом главное внимание на установление зависимости между данными и искомыми величинами. Только после этого имеет смысл перейти к обучению прикидке в задачах с более трудными числовыми данными.

Задача. Для 5 лошадей на 30 дней запасли 9 ц овса. Сколько овса надо запасти для 12 лошадей на 45 дней, исходя из той же нормы?

Предварительная оценка ожидаемого результата может состоять лишь в установлении факта, что расход овса увеличится. Прикидка же может быть выполнена на основе следующих рассуждений: число лошадей увеличилось в — раза, срок кормления увеличен в 1— раза; следовательно, расход овса увеличится почти в 4 раза и будет несколько меньше 36 ц. Ответ: 32,4 ц.

В ряде задач трудно установить числовое значение ожидаемого результата, однако можно оценить ожидаемый результат с точки зрения увеличения или уменьшения его в сравнении с величинами, заданными в условии.

№ 1893(B). На отопление 4 печей в течение 8— месяцев израсходовали 10,88 m каменного угля. Сколько печей можно отопить 9,6 m угля в течение 2 месяцев при том же расходе на 1 печь?

Краткая запись условия:

10,88 m угля — 8 мес. — 4 печ.

9,6 m угля — 2-^- мес.—х печ.

Устанавливаем сначала, что так как угля стало меньше, то при неизменном числе печей можно будет отопить меньшее число их. С другой стороны, так как срок отопления сократился, то при одном и том же запасе угля можно будет отопить большее количество печей. Дальше уточняем оценку ожидаемого результата. Запас угля сократился незначительно, а срок же отопления сокращен резко (больше, чем в 3 раза), поэтому число отапливаемых печей значительно увеличится примерно в 3 раза.

Ответ: 12 печей.

Рассмотрим еще один прием предварительной оценки ожидаемого результата в задачах, для которых удается наметить только границы, между которыми должно находиться решение.

Например, в задаче № 373(Б) требуется определить среднюю температуру за несколько дней. Полезно в беседе с учащимися предварительно установить, что наибольшая температура была 15°, наименьшая 10° и ответ должен быть больше 10°, но меньше 15°.

В задаче № 467(B) ставится вопрос: „Сколько надо взять печенья ценою в 16 руб. за 1 кг и ценою в 9 руб. за 1 кг, чтобы получить 21 кг печенья средней ценой 11 руб. за 1 кгТ (Условие задачи нами несколько изменено.)

Предварительная оценка ожидаемого ответа должна привести учащихся к мысли, что более дешевого печенья (по 9 руб. за 1 кг) надо будет взять больше, так как средняя цена 11 руб. ближе к 8 руб., чем к 16 рублям.

В различных вариантах такие задачи неоднократно встречаются в курсе арифметики.

№ 2268 (Б). Имеется серебро 850-й пробы и 720-й пробы. Сколько надо взять того и другого серебра, чтобы получить 1 кг 40 г сплава 800-й пробы?

Для выполнения прикидки можно применить рассуждение, аналогичное сделанному в предыдущей задаче. В самом деле, сплав нужно получить 800-й пробы, т. е. ближе к 850-й пробе, чем к 720-й пробе. Поэтому от первого слитка надо будет взять серебра больше, чем от второго.

В задаче № 2306(B) даны кислоты крепостью в 90° и 70° и спрашивается, сколько надо взять той и другой, чтобы получить 1 кг кислоты: а) в 80°, б) в 75°, в) в 82°? Применяя рассуждения, аналогичные вышеизложенным, можно заранее указать, что в первом случае придется взять той и

другой кислоты поровну, во втором случае больше 70°-ной кислоты, в третьем — 90°-ной.

Рассмотренные приемы прикидки могут быть применены ко многим задачам, решаемым в курсе арифметики. Систематически проводимая предварительная оценка ожидаемого результата при решении задачи поможет преодолению широко распространенного недочета обучения, когда учащиеся, решая задачи, не задумываются над реальностью полученного результата, не оценивают получаемые решения с точки зрения их соответствия условию задачи, жизненной правдоподобности.

3. Предварительная оценка ожидаемого результата при изучении других разделов курса математики

К обучению учащихся предварительной оценке ожидаемого результата следовало бы приступать еще в начальной школе. Некоторые приемы прикидки из рассмотренных в статье могли бы быть использованы для этой цели.

Не менее важно, чтобы работа по овладению приемами прикидки не заканчивалась курсом арифметики. Рассмотренные приемы ее выполнения должны быть повторены и закреплены в старших классах. Для проведения такой работы представляются большие возможности во всех классах, при изучении всех предметов школьного курса математики.

Для обучения приемам прикидки успешно могут быть использованы упражнения по подсчету числовых значений алгебраических выражений, решение вычислительных задач по геометрии, выполнение различного рода измерительных работ. Предварительная оценка ожидаемого результата при решении задач при помощи уравнений во многих случаях может быть проведена на основе тех же соображений, что и при решении арифметических задач.

К предварительной оценке ожидаемого результата полезно прибегать при возведении чисел в степень и извлечении корня.

Например, полезно, чтобы учащиеся при возведении в квадрат (в куб. и т. д.) дробных чисел определяли границы ответа. Решая пример ^ 3 -^-J', учащиеся должны понимать, что ответ будет заключен между 32 = 9 и 42 = 16 и числовое значение его будет ближе к 16.

При извлечении квадратного корня из чисел, например следует сначала установить, что корень — трехзначное число, большее 800 и меньшее 900, что значение корня ближе к 800. С учетом последней цифры подкоренного выражения и нескольких проверок возведением в квад-

рат чисел, оканчивающихся на 3 и 7, находим, что у64480е* = = 803.

Путем прикидки удается избежать грубых ошибок при извлечении квадратных корней из правильных дробей. Например, при извлечении 1/0,2116 устанавливается, что значение корня заключено между 0,4 и 0,5 и что оно ближе к 0,5.

Особо важное значение имеет предварительная оценка результата при решении примеров на вычисления с помощью таблиц логарифмов и в особенности при работе с логарифмической линейкой. Рассмотрим несколько примеров на вычисления с помощью таблиц логарифмов. Примеры взяты из второй части „Сборника задач по алгебре" П. А. Ларичева (Учпедгиз, 1955).

№ 1116(1).

ответ получен при вычислении с помощью четырехзначных таблиц логарифмов.

Прикидка:

№ 1117(2).

Прикидка:

а) Первое приближение:

б) Второе приближение:

№ 1118(3).

Прикидка:

№ 1123(2).

Прикидка:

Из приведенных примеров видно, что даже для достаточно сложных примеров прикидка безошибочно позволяет определить порядок ответа, что особенно важно для вычислений со счетной линейкой. Прикидка, проводимая в рассматриваемых примерах, позволит избегать грубых ошибок и при вычислениях с логарифмическими таблицами.

Примеры и задачи, на которых предполагается вести обучение прикидке, должны быть тщательно отобраны, так как в некоторых случаях выполнение прикидки может оказаться непосильным для учащихся. Однако, как показывает опыт, при систематическом изучении приемов прикидки учащиеся успешно осваиваются с ней и прибегают к предварительной оценке ожидаемого результата при решении задач и примеров независимо от того, требует или не требует этого учитель. Изобретательность, которую при этом приходится проявлять, даже доставляет учащимся творческое удовлетворение.

Б. П. БЫЧКОВ

старший преподаватель учительского института, г. Бельцы, Молдавская ССР

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОПЕДЕВТИКА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VI—VII классов

При политехническом обучении важное значение приобретает усиление внимания к изучению функциональной зависимости. С понятием функции, ее графическим изображением и исследованием, с применениями графиков для решения практических задач учащихся следует познакомить в VI—VII классах. Важно также, чтобы изучение этого материала не сосредоточивалось в одном месте, а раскрывалось при изучении различных разделов курса алгебры.

Однако по настоящее время изучению функций в VI и VII классах не уделяется достаточного внимания, изучение функций и их графиков оторвано от изучения остальных разделов школьного курса алгебры. Все это приводит к тому, что вопросы, касающиеся функциональной зависимости, особенно в VI и VII классах, изучаются поверхностно, исследованию функций не уделяется почти никакого внимания, а построение графиков чаще всего превращается в самоцель. В результате учащиеся, в лучшем случае, приобретают некоторые умения в построении графиков, но оказываются совершенно беспомощными в вопросах исследования функций. Нередко учащиеся не умеют рассказать об основных свойствах функции даже по готовому графику.

В настоящей статье на основании опыта дана разработка некоторых вопросов методики проведения функциональной пропедевтики в курсе алгебры VI—VII классов. В VI классе это сделано на материале изучения алгебраических выражений, обучения построению диаграмм и более раннего ознакомления учащихся с осями координат. Рекомендуемые методы работы должны найти широкое применение при изучении тождественных преобразований в VII классе. Известную завершенность в VII классе эта работа получает при изучении прямо пропорциональной зависимости, графиков уравнений первой степени и при решении уравнений.

1. Пропедевтика функциональной зависимости при изучении буквенных выражений

Большие возможности для осуществления пропедевтики функциональной зависимости представляет изучение темы „Буквенные выражения" и многотемного раздела о тождественных преобразованиях. Функциональное содержание материала этих разделов раскрывается учащимся при выполнении упражнений по подсчету числовых значений алгебраических выражений и при рассмотрении характера изменения числовых значений алгебраического выражения в зависимости от изменения числовых значений букв, входящих в него.

Такие упражнения ценны тем, что они приучают учащихся видеть в алгебраических выражениях не только определенную комбинацию букв, но и функцию от этих букв; готовят учащихся к пониманию различных способов выражения функциональной зависимости (аналитического, табличного и графического); создают известные предпосылки для формирования представлений о непрерывном изменении величин. Особенно ценно для достижения всех этих целей применять табличную форму записи числовых значений алгебраических выражений и букв, его определяющих.

Рассматриваемый подход к изучению алгебраических выражений обладает и рядом методических достоинств. Учащимся в доходчивой форме раскрывается, что буквы, входящие в алгебраическое выражение, и оно само служат обозначением чисел. В таком случае изучение тождественных преобразований воспринимается учащимися в неразрывной связи с выполнением действий над числами, развиваются вычислительные навыки учащихся.

Подсчет числовых значений алгебраических выражений и изучение их изменения облегчают учащимся усвоение ряда алгебраических понятий. Нередко, например, смешиваются понятия коэффициента и показателя степени. Различие этих понятий становится более понятным, если для алгебраических выражений 2х и л2 подсчитать их числовые значения при одних и тех же значениях х. Для удобства сравнения полученных значений их записывают в виде таблицы:

X

1

2

3

4

5

• •

2

4

6

8

10

x2

1

4

9

16

25

Сопоставляя полученные значения, учащиеся убеждаются в различии этих двух понятий.

При необходимости такая же работа выполняется для выражений Зх и хл, Ах и х* и т. д.

Уместно с первых же уроков приучать учащихся к определению допустимых значений букв, входящих в алгебраическое выражание. Сначала это следует делать для формул, представляющих решение задач.

Задача № 12*. В кассе кино продано а билетов по 3 руб. и b билетов по 5 руб. Сколько выручено денег за все билеты? Вычислить при а=100, 6=250; а = 150, 0 = 400.

При решении этой задачи можно предложить учащимся, чтобы они сами указали допустимые значения для а и b (а и b мог>т принимать целые значения, и сумма их не должна превышать числа мест в театре).

Задача. Записать, сколько единиц содержит число, имеющее а десятков и b единиц.

В этой задаче а и b могут принимать только целые значения от 0 до У.

Задача**. Нормальное число часов ежедневного сна в возрасте до 18 лет, по мнению врачей, дается формулой lg_^ A = 8-t- —, где t — возраст в годах. После 18 лет достаточно всем спать по 8 часов в сутки.

Определите по формуле, сколько часов следует спать ежедневно:

1) новорожденному ребенку,

2) четырехлетнему ребенку,

3) двенадцатилетнему ребенку,

4) каждому из ваших братьев и сестер.

Предлагая составить таблицу для определения нормального числа часов ежедневного сна для различных возрастов, выясняем при составлении таблицы, что допустимыми значениями для t являются 0<;^<18. При рассмотрении таблицы обращаем внимание учащихся на изменение числового значения А в зависимости от изменения числового значения t.

При решении задач на составление буквенных формул следует постепенно прививать взгляд на алгебраическое выражение как на функцию букв, в него входящих. Так, например, решая задачу „Поезд проходите км в час. Сколько километров пройдет он за t часов? вычислить, если 1) v—Ab\

* П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. I, Учпедгиз, 1955.

** В. Л. Гончаров, Начальная алгебра, VI — VII классы, изд-во АПН РСФСР, М., 1955, стр.20.

получим формулу s=v-t. Результаты вычислений располагаем в виде таблицы, которую можно продолжить, придавая v и t различные значения по выбору учащихся.

В результате внимательного изучения таблиц, при решении ряда подобных задач, нетрудно привести учащихся к выводу, что числовое значение формулы, полученной при решении задачи, зависит от числовых значений данных задачи.

В дальнейшем, при вычислении числовых значений алгебраических выражений, заменяя буквы сначала числами целыми и дробными, а затем положительными и отрицательными, следует придавать буквам различные системы числовых значений. Записывая результаты вычислений в табличной форме и обращая внимание на то, что числовое значение алгебраического выражения изменяется при изменении числовых значений букв, в него входящих, подводим учащихся к выводу, что числовое значение алгебраического выражения зависит от числовых значений входящих в него букв.

После изучения темы отрицательные числа буквам, входящим в алгебраическое выражение, следует придавать как положительные значения, так и отрицательные и ноль.

Решая, например, упражнение № 189 из стабильного задачника, можно предложить учащимся, чтобы, прежде чем перейти к вычислению у — 2л2 при данных в таблице значениях х, расположить эти значения в возрастающем порядке. Тогда решение будет представляться в следующем виде:

Учащихся следует приучать, чтобы по значениям х, расположенным в возрастающем порядке, и по соответствующим значениям у, они могли проследить, как изменяется числовое значение^ в зависимости от изменения числовых значений х.

2. Графики в курсе алгебры VI класса

Программа предусматривает введение координатных осей в VII классе. Но как показывает опыт ряда учителей, целесообразнее ввести систему координат в VI классе в связи с построением графиков температуры, равномерного движения и др. Для этого еще при введении отрицательных чисел учащихся следует познакомить не только с горизонтально, но и с вертикально вычерчиваемыми числовыми осями. В дальнейшем для геометрической иллюстрации нового класса чисел и их свойств в одинаковой мере используются оба вида осей.

В этот период изучения чисел важно дать геометрическое истолкование абсолютной величины числа как расстояния точки, его изображающей, до начальной точки О. Это в значительной степени облегчает геометрическое истолкование сравнения положительных и отрицательных чисел по величине. В самой непосредственной связи с числовой осью следует знакомить учащихся и с действиями над положительными числами, отрицательными и нулем.

Для того, чтобы учащиеся свыклись с числовыми осями, хорошо на протяжении всего времени изучения положительных и отрицательных чисел иметь в классе два плаката с числовыми осями в крупном масштабе (на одном—горизонтальная числовая ось, на другом —вертикальная), на которых точки, изображающие положительные числа, отмечены, например, красным цветом, отрицательные—синим, а нуль-зеленым.

После такого знакомства с осями на введение системы координат вместе с построением диаграмм и графиков в VI классе нужно отвести не более 3—4 уроков.

Первый урок

На первом уроке учащиеся знакомятся с системой координат и понятием координат точки. Заранее к уроку подготавливаются географическая карта, школьный метр, хорошо заостренные мелки.

Если в классе нет доски, разграфленной в клетку, то перед уроком, во время перемены, нужно одну половину доски разграфить в клетку мелом. В дальнейшем подготовка доски перед каждым уроком поручается дежурному ученику.

Учащиеся должны иметь миллиметровую бумагу или тетради в клетку.

Весь урок посвящается объяснению нового материала. Сначала учащимся предлагается определить положение города на карте по заданным географическим координатам. При этом подчеркивается, что положение города на пло-

скости определяется двумя координатами, что при каждой из них указываются дополнительно: долгота—восточная или западная, а широты—северная или южная. Разъясняется, что последние условия нужны для того, чтобы знать, в каком направлении вести отсчет от двух фиксированных линий: нулевого меридиана и экватора.

Учащимся предлагается также задача на определение положения на стене гвоздя, который необходимо вбить для портрета по заданному расстоянию гвоздя вправо от левой стены и вверх от пола. Обращаем внимание учащихся на то, что решение этой задачи сходно с первым: в обоих случаях положение точек на плоской поверхности определялось по двум заданным числам и указаниями относительно направления отсчета от двух заранее фиксированных линий.

Далее разъясняется, что таким путем можно определить положение точки на любой плоскости. Для этого строят две взаимно перпендикулярные числовые оси — горизонтальную Ох и вертикальную Oy (черт. 1).

Число, выражающее расстояние точки от вертикальной оси, с учетом направления, и отсчитываемое по горизонтальной оси Ох, обозначают буквой х, а число, выражающее расстояние точки от горизонтальной оси, с учетом направления, и отсчитываемое по вертикальной оси Oy—буквой у. Числа X и у, определяющие положение точки относительно выбранных числовых осей, называют координатами точки, а числовые оси—координатными осями, их точка пересечения О —началом координат.

Например, координатами точки А будет х — 3, у — 2; точки В — х=— 3, у = 4. Учащимся сообщается, что координаты точки принято писать в скобках после наименования

Черт. 1.

обозначаемой точки (сначала х, затем у), разделяя их точкой с запятой, например, А (3; 2), В (—3; 4). Иногда для краткости пишут и говорят просто „точка (3; 2)tt или „точка (-3; 4)\

Можно ввести попутно соответствующую терминологию— абсцисса и ордината точки, ось абсцисс и ось ординат, но опыт показывает, что учащиеся шестых классов сталкиваются с большими затруднениями как при произношении этих терминов, так, в особенности, и при их написании; поэтому введение этих терминов лучше отложить до VII класса.

После ознакомления учащихся с понятиями осей координат и координат точки в классе решаются примеры на построение точек по заданным координатам, а также на определение координат заданных точек.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, № 1016, 1017 (1, 2), 1018.

Второй урок

Основная цель второго урока состоит в построении графика изменения температуры. Для построения графика температуры предлагается следующая задача: „Наблюдая ежедневно в 12 час. дня температуру* воздуха в течение первой недели декабря, получили следующую таблицу показаний термометра:

Дата

1

2

3

4

5

6

7

Температура

+ 5°

+ 7°

+з°

+ г

-2°

-5°

-3е

1. Построить график изменения температуры по данным таблицы.

2. Определить по графику дни, когда температура воздуха была наибольшей и наименьшей".

График приведен на черт. 2.

По графику легко устанавливается, что наибольшая температура воздуха была 2 декабря + 7°, а наименьшая — 6 декабря — 5°.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. 1, упражнения № 192, 193.

Третий урок

Сначала на уроке проводится упражнение на составление табличной записи температуры воздуха за 10 дней по заданному графику (черт. 3). График вычерчивается на доске перед уроком.

* Данные приводятся применительно к условиям школ Молдавской АССР.

Основная же цель третьего урока состоит в обучении построению графика равномерного движения. С учащимися рассматривается следующая задача: „Из города вышел турист и движется равномерно со скоростью 4 км,час""".

1. На каком расстоянии от города будет турист через t час. после выхода.

Черт. 2. Черт. 3.

2. Вычислить путь S туриста при следующих значениях t

t час

0

1

1

1— 2

2

3

2

4

.S км

3. Построить график изменения пути S в зависимости от t.

4. Найти по графику расстояние туриста от города через два с половиной часа после выхода".

Устанавливается, что зависимость S от t выражается формулой: S = 4t.

Вычисляем S при значениях t, указанных в таблице:

t час.

0

1

1

2

2

3

1

4

5 км

0

4

6

8

12

14

16

Для построения графика время будем отсчитывать но горизонтальной оси, которую обозначим через Ot, а рас-

стояния — по вертикальной оси, обозначив ее через OS (черт. 4).

Масштабы выберем следующие: по оси Ot 2 клетки Ù А 1 часу,* по оси OS 1 клетка А 1 километру. Строим точки

При построении графика объясняем, что все построенные точки лежат на одной прямой и что, следовательно, график равномерного движения представится лучом, исходящим из начала координат. Учащимся следует также сказать, что это утверждение будет доказано им в VIII классе.

Чтобы найти по графику расстояние туриста от города через 2у часа после выхода, в точке, соответствующей t = 2 — , восставим к оси Ot перпендикуляр до пересечения с графиком. Длина этого перпендикуляра в масштабе, взятом на оси OS, и даст нам искомое расстояние (10 км). Таким же способом решаются задачи: на каком расстоянии от города будет турист через 1— часа, 4— часа и т. д.?

Черт. 4.

* Символ А употребляется как знак соответствия и запись „2 клетки А А 1 часу" читается: „Две клетки соответствуют одному часу". Такая система записи соответствия принята, например, в методической литературе Германии.

При этом необходимо подчеркнуть, что расстояния, пройденные туристом за различные промежутки времени, изображаются длинами перпендикуляров АУА\ В}В; СгС и т. д., а график движения представляет собой прямую линию, которая соединяет концы этих перпендикуляров и дает нам возможность составить представление о том, насколько быстро увеличивается расстояние, пройденное туристом с течением времени. Раскрыть эту сторону дела в высшей степени важно, так как у учащихся с самого начала может создаться неправильное представление о графике движения как о траектории движения, которое потом искореняется с трудом.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, № 191, 194, 196.

Если есть возможность отвести еще один урок на построение графиков, то на этом уроке строятся графики перевода одних мер в другие по типу упражнения № 195 из стабильного задачника*. Если же такой возможности не окажется, то указанное упражнение и им подобные предлагаются учащимся в виде домашнего задания, так как ничего принципиально нового эти построения не представляют.

К построению графиков в дальнейшем следует периодически возвращаться, предлагая учащимся построение различных эмпирических графиков. Материалом для таких заданий могут служить примеры № 465 — 471, 639—643, 810—813 из стабильного задачника. Материал для построения графиков можно также брать из газет и справочников.

3. График линейной функции

С графиком линейной функции учащиеся должны быть ознакомлены до того, как начинается систематическое изучение раздела об уравнениях. В противном случае решение уравнений первой степени с одним неизвестным, а также решение одного уравнения первой степени с двумя неизвестными пришлось бы рассматривать без привлечения соответствующего геометрического истолкования решений.

При сосредоточении изучения вопросов о построении графиков линейной функции в конце учебного года, как это делают некоторые учителя, не хватает времени не только на рассмотрение материала о геометрическом истолковании решений, но и на закрепление навыков построения графиков. Не остается времени и для ознакомления учащихся с применениями графиков к решению практических задач, которым при политехническом обучении должно быть отведено значительное место.

* Для упражнений в классе можно найти дополнительный материал в „Сборнике задач но алгебре" П. А. Ларичева (ч. I, изд. 1952 г.)

С учетом изложенного предлагается следующий порядок изучения графиков в курсе алгебры VII класса.

Повторение сведений о системе координат и обучение построению графиков проводится перед изучением темы „Уравнения первой степени с одним неизвестным". В дальнейшем, при изучении уравнений первой степени с одним неизвестным, а также неравенств первой степени с одним неизвестным, эти графики используются для геометрического истолкования решений. График ах + by + с = О строится при введении понятия одного уравнения с двумя неизвестными и служит для геометрического истолкования бесконечного множества решений этого уравнения. Геометрическое истолкование решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными проводится параллельно с решением этих систем.

График у — kx. Ознакомление учащихся с графиком у = kx естественно проводить в порядке обобщения известных учащимся сведений о прямой пропорциональной зависимости. На изложение этого материала необходимо отвести 3—4 урока.

На первом уроке дается общее выражение прямой пропорциональной зависимости формулой.

Берем несколько задач. 1) Скорость автомобиля 30 км в час. Автомобиль за t часов проехал 5 км. Выразить формулой зависимость s от t (s = 30£).

2) В пустой бассейн вливается в каждую минуту 2 ведра воды. За t минут в бассейн влилось d ведер воды. Выразить формулой зависимость d от t (d = 2t).

3) Килограмм винограда стоит 6 руб. За а кг винограда уплачено b руб. Выразить формулой зависимость b от а (Ь = да).

4) Удельный вес тела d — 7, вес тела /?, объем тела v куб. см. Выразить формулой зависимость р от v (р = 7v).

Во всех рассмотренных задачах мы имеем дело с двумя видами величин. Одни величины, в зависимости от условий задачи, принимают различные числовые значения (5, t, v, А, а, Ь, />, d и t); такие величины называются переменны ми. Другие величины в условиях данной задачи сохраняют одно и то же числовое значение (скорость автомобиля; количество ведер воды, вливающейся в бассейн в минуту; стоимость одного килограмма винограда; удельный вес тела); такие величины называются постоянными.

Обращаем далее внимание на то, что числовое «значение переменной величины 5 в первой задаче изменяется в зависимости от числовых значений, придаваемых переменной величине t, что это изменение имеет закономерный характер. После подсчета ряда отношений s к t устанавливается,

что отношение соответствующих значений переменных величин s и t остается величиной постоянной и в условиях данной задачи — = 30.

Используя формулы, полученные при решении задач 1—4, получаем, что —= 2; — =6; — = 7. Для конкретизации вывода полезно и здесь подсчитать отношения для некоторых значений d и t, b и а, р и v.

Таким путем устанавливается, что во всех задачах наблюдается одна и та же зависимость между двумя переменными величинами: отношение их соответствующих значений остается величиной постоянной в условиях данной задачи. Такая зависимость называется прямо пропорциональной зависимостью, переменные величины—прямо пропорциональными величинами, а постоянная величина—коэффициентом пропорциональности.

Обозначая одну из переменных величин буквой у, другую переменную—х, а постоянную—k как обобщение рассмотренных примеров, зависимость между у и х выражаем формулой — = k или у = kx.

После вывода формулы желательно, чтобы учащиеся сами привели примеры различных прямо пропорциональных величин и показали бы, что зависимость между ними выражается той же формулой.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, № 1023, 1024.

На втором уроке строится график прямо пропорциональной зависимости.

В формуле у = kx принимаем k = 2 и строим график у = 2х. Так как в данном случае мы не связаны условиями конкретной задачи, то х можно придавать произвольные значения.

Составляем таблицу:

X

-3

—2

-1

0

1

2

3

4

У

-6

—4

-2

0

2

4

6

8

По таблице учащиеся наносят на координатную плоскость точки. Масштаб по оси хну желательно взять 1 А 1 клетке.

Прежде чем соединять точки между собой, учитель снова, как и в VI классе, разъясняет, а не доказывает, что

графиком прямо пропорциональной зависимости служит прямая, проходящая через начало координат.

Желательно на том же уроке построить графики при других значениях коэффициента пропорциональности.

График прямо пропорциональной зависимости — первый график, который приходится строить в VII классе. Поэтому перед его построением с учащимися повторяются сведения о системе координат, сообщенные им в VI классе, вводится в употребление новая терминология (ось абсцисс, ось ординат, абсцисса, ордината, координатные углы). Новые термины учитель записывает на доске, а учащиеся в тетрадях.

Дома учащимся предлагается построить графики у = л, у = —х, у = ^х, у - — Лк, у = Зх, у = 4л:, у = — 2х на одном чертеже.

На третьем уроке выясняется геометрический смысл коэффициента пропорциональности. Это удобно сделать на материале домашнего задания.

Графики, предложенные для домашнего задания, перед уроком чертятся на классной доске. Сравнивая эти графики, делают следующие выводы: если ß>0, то прямая проходит через I и III координатные углы, если &<Д то через II и IV. Чем больше k по абсолютной величине, тем больше острый угол, образованный прямой с осью абсцисс; чем меньше абсолютная величина к, тем этот угол меньше. Учащиеся должны понимать также, что при k = 0 уравнение принимает вид у = 0, а график совпадает с осью абсцисс.

Особо следует выделить рассмотрение графика у = х. Для этого графика каждая точка прямой имеет абсциссу, равную ординате, т. е. каждая точка прямой одинаково удалена от координатных осей и прямая, следовательно, служит биссектрисой I и III координатных углов. При рассмотрении этого примера внимание учащихся должно быть обращено на то, что прямая может рассматриваться как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данной формуле.

Для закрепления изученного материала могут служить упражнения № 1030, 1031.

На четвертом уроке решаются упражнения, способствующие закреплению понятия прямой пропорциональной зависимости и ее графического изображения. Особое внимание мы обращаем на пример № 1029, решение которого потребует привлечения математических таблиц, помещенных в конце задачника. Несомненный интерес представляет и решение примеров № 1032 (1, 2), подготавливающих учащихся к построению и чтению графиков движения поездов.

Желательно с учащимися рассмотреть и упражнения № 1025-1028.

Усвоению понятия прямой пропорциональной зависимости способствует также решение следующих примеров*.

Известно, что величины х и у прямо пропорциональны между собой. Заполните пустые места в таблицах и напишите формулу, выражающую зависимости между у и х.

X

-3

-1

0

4

7

10

14

У

2

X

-10

-6

-5

3

20

У

—24

32

28

X

-3

2

5

7

13

У

40

5

-10

-45

X

-5

—2

1

4

12

У

2

1

-3

-4

График у — kx-\- b. Для построения графика уравнения y = kx-\-b отправляемся от следующей задачи: „Группа школьников вышла из города А и сделала привал в пункте В на расстоянии 3 километров от А, а затем двинулась дальше по тому же направлению, проходя 2 км в час.

1) Найти расстояние у от Л, на котором будет находиться группа школьников через х часов после начала движения от В.

2) Вычертить график изменения расстояния у в зависимости от изменения времени х.и

Зависимость между расстоянием и временем выразится уравнением у — 2х + 3. Для построения графика составим таблицу, придавая х значения 0, 1, 2, 3, 4.

X

0

1

2

3

4

у = 2х + 3

3

5

7

9

11

Для построения графика выбираем следующий масштаб: на оси абсцисс 1 клетка А 1 часу; на оси ординат 1 клетка А 1 км.

* Идея этих примеров заимствована нами из книги В. Л. Гончарова „Начальная алгебра", VI—VII класса, изд-во АПН РСФСР, М., 1955.

На одном и том же чертеже строим графики уравнения у = 2х -{-3 и у = 2х.

Сравнивая эти два графика, вместе с учащимися устанавливаем, что ординаты всех точек графика у=2х + 3 получаются из ординат соответствующих точек графика у — 2х путем увеличения их на 3 единицы. На этом основании делается вывод, что для построения графика у = 2х + 3, график у — 2х надо сместить параллельно самому себе на 3 единицы масштаба вдоль оси Oy в положительном направлении.

Устанавливается также, что графиком уравнения у = = 2л: + 3 служит прямая, так как при параллельном переносе прямая у = 2х остается прямой.

На построенном графике, кроме того, проводятся следующие упражнения: 1) определить с помощью графика, на каком расстоянии от А будет находиться группа школьников.

через 2~; 3-^-; 5;5у; 6 часов после выхода из В; 2) определить, через сколько часов после выхода из В группа школьников будет находиться на расстоянии 5—; 6; 8; 8-^-; 9-; 10 км от А.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, № 1046.

После введения понятий о графике на примере рассмотрения содержательной задачи переходят к построению графика, заданного формулой у = kx + b при различных зна-

Черг. 5.

чениях ft и ft. Учащимся разъясняется, что поскольку мы уже не связываем себя условием конкретной задачи, то значениям х можно придавать любые значения (положительные, отрицательные и нуль). В классе следует выполнить построение нескольких графиков. При построении графиков у — kx + b не следует спешить с переходом к построению прямой по двум точкам.

Осуществление намеченного плана обучения учащихся построению графиков прямой в значительной степени облегчается, если классная доска имеет разграфленную координатную сетку. Если по каким-либо причинам координатную сетку нельзя нанести на классную доску, то желательно было бы, как это делают некоторые учителя, изготовить переносную графленую доску. Такую „доску" можно сделать из куска линолеума и вешать ее в классе так же, как вешают географические карты.

4. Определение уравнения

В учебной литературе по алгебре существует два определения уравнения; первое — рассматривающее уравнение как равенство, справедливое только при некоторых значениях входящих в него букв*; второе — рассматривающее уравнение как любое равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значения которых надо найти**.

Первое определение исключает из класса уравнений уравнения, не имеющие решений, а также имеющие бесчисленное множество решений, противопоставляя тем самым понятие тождества понятию уравнения; второе включает понятие тождества как частный случай уравнения, решениями которого служит любое число из множества допустимых значений, и распространяется на случаи, когда уравнение не имеет решений, когда оно имеет бесконечное множество решений.

Второе определение отражает научную трактовку уравнения, связанную с понятием функции: „Уравнение, равенство между функциями того или иного числа „неизвестных" величин"***.

Действительно, если нам заданы две функции / (хи хг, . . . , хп) и ср (хи х2, . . . , хп) от п переменных хь х2 . . . , хп9 то относительно этих двух функций могут быть поставлены следующие вопросы:

* А. П. Киселев, Алгебра, ч. I, Учпедгиз, 19^3.

** П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Алгебра, ч. I, Учпедгиз, 1940; Д. К. Фадеев и И. С. Соминский, Алгебра, Учпедгиз, 1951; В. Л. Гончаров, „Начальная алгебра", VI —VII класса, изд-во АПН РСФСР, М., 1955.

*** А. Колмогоров, „Уравнение", БСЭ, т. 56, 1936, стр. 163.

1) Существует ли в данной числовой области такая система допустимых числовых значений переменных, при которых функции / (*,, х2, . . . , хп) и <р (х1У х2, . . . ,хп) принимают равные числовые значения?

2) Если такие системы существуют, то сколько их и какие именно?

Поставленную таким образом задачу можно записать в символической форме так: / (х,, х2, . . . ,хп) = <? (лс„ хъ . . . , хп). Полученное равенство и называется уравнением, а ответить на поставленные вопросы —значит решить уравнение. Переменные xv x2j . . . , хп называются неизвестными, искомые их значения — корнями уравнения; а процесс их нахождения — решением уравнения.

Одна из функций может быть постоянной или нулем, например <?, тогда имеем / (хи х2, . . . ,хп) = с, либо / (xv х2, . . . ,хп) = 0.

Если уравнение / (хи . . . , хп) = <р (хи . . . ,хп) удовлетворяется всеми допустимыми числовыми значениями неизвестных, то оно называется тождеством.

В элементарной алгебре чаще всего рассматриваются случаи, когда заданы две функции от одного переменного / (х) и ср (X), тогда задача нахождения числовых значений неизвестного х, при которых данные функции имеют одинаковое числовое значение, приводит к решению уравнения f(x) = 9 (л).

Таким образом, записью 2х—1=5 — х мы выражаем вопрос: при каких числовых значениях х функции 2л; — 1 и 5 — X имеют одинаковые числовые значения.

Сформулированная постановка проблемы просто иллюстрируется графически. Пусть дано уравнение 2х — 1 =5 — х. Левая часть этого уравнения есть функция ух — 2х — 1, а правая у2 = 5 — X. Построим графики этих функций в прямоугольной системе координат (черт. 6). Функции изображаются графически различными прямыми, имеющими только одну общую точку, абсцисса которой х = 2. Только при X = 2 имеет место равенство ух = у2.

Определение уравнения, даваемое в школе, по нашему мнению, не должно идти вразрез с научным определением. Вопрос состоит лишь в том, как подвести учащихся к этому определению. Ясно, что учащимся VII класса дать вышеприведенное научное определение уравнения невозможно, его надо заменить более простым. Замена научного определения другим возможна и допустима с методической точки зрения в том случае, когда возрастные особенности не позволяют дать такое определение, которое принято современной наукой. Условия такой замены указаны проф. А. Я. Хинчиным: „Ни в одном случае, — говорит А. Я. Хинчин,— школа не должна в целях упрощения искажать научную

трактовку понятия, придавать ему черты, противоречащие научному его пониманию,— черты, которые в последующем пришлось бы искоренять; другими словами, ни в одном случае школа не должна развивать понятия в направлении, отклоняющемся от пути его научного развития"*. А с понятием уравнения получается как раз наоборот, здесь школа делает все возможное для того, чтобы увести учащегося от научного определения уравнения.

В курсе алгебры VI—VII классов функциональная трактовка понятия уравнения может быть изложена следующим образом**.

Сначала на примере одного алгебраического выражения (например, Зл: + 5) решается задача на отыскание его числовых значений, а затем ставится обратная задача: „Какое значение надо подставить вместо буквы х для того, чтобы выражение Зх + 5 получило наперед заданное значение, например 17?tt или „При каком значении л: числовое значение выражения Зх + 5 будет равно 17?" Решение поставленной обратной задачи доводится до записи Зх + 5 = 17.

Дальнейшим шагом к определению уравнения с функциональной точки зрения является решение задачи: „Определить, при каком значении х выражения 5х — 3 и 2х-\-9 имеют одинаковое числовое значение?" Постановка задачи снова доводится до записи Ъх — 3 — 2*4-9 и в VI классе завершается следующим определением: „Уравнением назы-

Черт. 6.

* А. Я. Хинчин, Основные понятия математики и математические определения в средней школе, Учпедгиз, 1940, стр. 4

** Подобный подход к понятию уравнения проводится проф. В. Л. Гончаровым в учебнике „Начальная алгебра", VI -VII классы, изд-во АПН РСФСР, М., 19"5.

вается равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами".

Понимание приведенного определения уравнения доступно учащимся VI класса; оно не противоречит научному определению уравнения, так как предполагает равенство двух алгебраических выражений / (х) = Ъх — 3 и ср (х) — 2х -{- 9.

Черт. 7.

Определение уравнения, данное в VI классе, уточняется в VII классе по линии более глубокого раскрытия его функционального содержания. Это удобно сделать сразу, как только будет закончено обучение построению графика прямой. На последнем уроке изучения этой темы учащимся, например, в качестве домашнего задания предлагается построить на одном чертеже графики у = х + 4 и у — Ъх — 2.

На следующем уроке, при проверке домашнего задания учащимися на доске составляются таблицы для построения графиков: у — Зх — 2 и у — х + 4 (черт. 7).

X

-3

-2

— 1

0

1

2

3

4

5

6

у = 3х-2

— 11

-8

—5

-2

1

4

7

10

13

16

X

-4

-3

-2

— 1

0

1

2

3

4

5

У=х+4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Из сравнения числовых значений по таблице устанавливается, что выражения 3х — 2 и х + 4 будут иметь одинаковое числовое значение при х — 3, когда числовое значение каждого из рассматриваемых выражений равно 7.

Используя график, учащихся нетрудно убедить, что для нашего примера существует только одно значение х, при котором Зл: — 2 = х 4- 4. Учащиеся обычно сами замечают, что на чертеже изображены графики изменения левой и правой частей уравнения и что эти графики пересекаются только в одной точке, абсцисса которой х = 3.

В заключение учащиеся записывают следующие определения.

Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значения которых надо найти, называется уравнением.

Неизвестные числа, обозначенные буквами, называются просто неизвестными.

Решить уравнение—это значит найти, при каких значениях неизвестных обе части уравнения будут иметь одно и то же числовое значение.

Значения неизвестных, при которых обе части уравнения имеют одно и то же числовое значение, называются решениями (корнями) уравнения.

В VII классе учащихся следует познакомить с примерами уравнений, не имеющих решений, и уравнений, решениями которых служат любые числа из множества допустимых значений:

х-±2 = х + 3; х + 2х = 3х; a + b = b + a; (х + У)2 = х2 -f -\-2xy-\- у2 и т. д. Рассмотрение этих примеров заканчивается определением тождества.

Уравнение, решением которого может быть любое число из совокупности допустимых значений, называется тождеством.

В дальнейшем графики можно применять для геометрического истолкования решений уравнений первой степени с одним неизвестным и решений неравенств первой степени с одним неизвестным.

Приведем два примера: 1) решить уравнение х— 3 = = - 2х + 3.

Для того, чтобы дать геометрическое истолкование решения данного уравнения, достаточно, обозначив через уг левую часть уравнения и через у2 правую часть, построить соответствующие графики: уЛ =х — 3 и у2 = — 2х + 3.

Решением уравнения будет х—2, абсцисса точки пересечения прямых.

2) Решить неравенство х + 3<2х.

Обозначив левую часть через ух и правую —через у2„ получим y1=zxJ{-3; у2 = 2х.

Строим соответствующие графики (черт. 8).

Из чертежа видно, что ординаты у: меньше ординат у2 при х>3; все эти значения и являются решениями данного неравенства.

Черт. 8.

5. Одно уравнение первой степени с двумя неизвестными

Для введения понятия одною уравнения первой степени с двумя неизвестными решается следующая задача: „Сумма двух чисел равна 5. Найти эти числа".

Для решения составляется уравнение х-\-у — Ъ и устанавливается неопределенный характер этой задачи. Действительно, существует бесчисленное множество чисел, сумма которых может быть равна 5.

Поясняем учащимся это следующим образом.

Составим таблицу значений х и у, удовлетворяющих данному уравнению, придавая произвольное значение одной из неизвестных, например х. Для удобства вычислений выразим у через X, у = 5 — х.

X

—4

-31

2

-2

1

-'7

0

I

2-1 2

4

5

6

7

У

9

1

87

7

1

5

4

4

1

0

-1

-2

Исследуя таблицу, замечаем, что для уравнения х-\-у — = 5 существует бесконечное множество пар чисел, удовлетворяющих этому уравнению. Пара чисел х и у, удовлетворяющая уравнению первой степени с двумя неизвест-

ними, называется его решением. Например, х = — 2, у = 7.

По таблице строим график (черт. 9). Уже из этого факта учащиеся делают вывод, что решения уравнений представляют собой координаты различных точек прямой у = = 5 — X.

Не менее важно показать и обратное: координаты любой точки прямой у = 5 — X служат решением уравнения. Для этого возьмем произвольную точку хг — 3 и у — 2 этой прямой. Из того, что точка (хг; уг) принадлежит прямой, следует, что Ух =5 — хг и хг + уг = 5.

Понимание изложенного трудно дается учащимся, поэтому желательно опытным путем проверить оба эти факта. После того, как график прямой вычерчен, следует найти еще одно решение уравнения х + у — 5 и показать, что точка, соответствующая этому решению, лежит на прямой. Наоборот, взять какую-нибудь точку на прямой, определить ее координаты и показать, что они удовлетворяют уравнению х + 4-^ = 5. Поскольку учащиеся VII класса не владеют еще зависимостью между прямой, обратной и противоположными теоремами, полезно бы проверить, что координаты точек, не лежащих на прямой, не являются решениями уравнения.

Окончательный вывод записывается учащимися в тетрадях.

1. Любая пара чисел х и у, удовлетворяющая рассматриваемому уравнению, представляет собой координаты точки, расположенной на прямой.

2. Координаты (х, у) любой точки прямой являются решениями уравнения. Следовательно, все точки рассматриваемой прямой обладают одним и тем же свойством: их координаты удовлетворяют данному уравнению, причем ни одна другая точка плоскости этим свойством не обладает. Отсюда вывод: график уравнения первой степе-

Черт. 9.

ни с двумя неизвестными есть прямая линия, являющаяся геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Домашнее задание: П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, № 1052, 1053 (1, 2).

Еще один урок следует посвятить специально закреплению полученных выводов на конкретных примерах. В стабильном сборнике задач для проведения такой работы имеется достаточное число упражнений: № 1046—1054.

6. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными

Понятие системы уравнений вводим, отправляясь от следующей задачи: „Сумма двух чисел равна 5, а разность этих чисел равна 1. Найти эти числа".

Сравнивая эту задачу с предыдущей, устанавливаем, что в данном случае задача является определенной. Составляем уравнения х +_у = 5 и х—у = \. Подчеркнув, что в обоих уравнениях каждая буква х и у обозначает одно и то же число, вводим определение системы уравнений и знак системы уравнений.

Записываем систему:

Предыдущее изложение должно подготовить учащихся к пониманию того, что каждое из уравнений системы, взятое в отдельности, имеет бесчисленное множество решений. Хорошее владение графиками, понимание графического истолкования решений одного уравнения первой степени с двумя неизвестными позволяет в доступной форме раскрыть смысл решения системы. Не располагая еще никакими способами решения системы, составляем таблицу решений для каждого уравнения системы в отдельности и ищем среди них общее—решение системы.

x

-2

—1

0

1

2

3

4

5

6

у = 5 — x

7

6

5

4

3

2

1

0

—1

x

-2

— 1

0

1

2

3

4

5

6

у = x— 1

-3

—2

—1

0

1

2

3

4

5

Сравнивая значения у при одних и тех же значениях х в обеих таблицах, учащиеся быстро находят значения х и у, удовлетворяющие обоим уравнениям системы. Записываем решение: х — 3, у = 2. Нетрудно убедиться, что в данном случае решение будет единственное, так как значения у в первой таблице располагаются в убывающем порядке, а во второй таблице—в возрастающем порядке.

Проведенное рассуждение становится еще более убедительным после того, как мы построим на одном чертеже графики первого и второго уравнения системы (черт. 10).

Обращаем внимание на то, что координаты (х = 3, у = — 2) точки пересечения представляют решение системы, а так как прямые пересекаются в одной точке, то ясно, что данная система имеет только одно решение.

Затем следует рассмотреть системы уравнений, не имеющие решения, а также имеющие бесконечное множество решений. Для понимания этого материала геометрические представления также окажут неоценимую услугу.

Связывая изучение графиков с изучением уравнений и систем уравнений, мы добивались, во-первых, того, что учащиеся еще в VI классе приобретали прочные графические навыки, а во-вторых, более сознательно усваивали понятие уравнения, системы уравнений и их решений. Все это, вместе взятое, в свою очередь, способствовало прочному и сознательному усвоению программы VII класса, подготовило учащихся к достаточно строгому изучению функций в VIII классе.

Черт. 10.

В. Г. АШКИНУЗЕ

учитель средней школы № 68, Москва

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VIII КЛАССА

Действующая программа предусматривает знакомство с отдельными вопросами функционального содержания в пропедевтическом плане уже в VI и VII классах, относя введение функциональной терминологии, а также более подробное изучение некоторых конкретных видов алгебраических функций в VIII класс. Поэтому решающей в деле ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости является постановка этих вопросов в VIII классе. Настоящая статья представляет собой, в основном, изложение опыта работы в этом направлении, проведенной автором в течение 1953/54 и 1954/55 уч. годов в школе № 68 Киевского района Москвы.

1. Расположение функционального материала в курсе алгебры VIII класса

Располагая функциональный материал в курсе алгебры VIII класса, нужно принять во внимание, что для усвоения этого материала требуется значительное время, в течение которого основные понятия и представления могли бы уложиться в сознании учащихся. Поэтому целесообразно ознакомление с понятием функции не откладывать до второго полугодия, а сделать одной из первых тем VIII класса. Это дает возможность не концентрировать функциональный материал в одном месте курса, а возвращаться к нему при изучении ряда других вопросов и тем самым закреплять и углублять этот материал в течение длительного времени. В нашей практике этот материал был распределен следующим образом.

В начале учебного года, непосредственно после повторения и обзора курса VI—VII классов, мы приступили к установлению понятия о функции и ее графике. После этого был рассмотрен вопрос о возрастании и убывании функ-

ции, была изучена линейная функция, а также повторен известный учащимся из курса VII класса график обратной пропорциональности, на знание которого в дальнейшем нужно опираться. После этого мы перешли к теме „Степени и корни", где при повторении действия возвышения в степень были построены графики функций у = х2, у = л;3, у = х*, у = хь, а также выяснены общие свойства функций у = ахп (при положительных коэффициентах а). При изучении действия извлечения корня практиковались различные упражнения с функциональным содержанием. По окончании этой темы, в конце первого полугодия был рассмотрен вопрос о параллельном переносе графика функции в направлении оси абсцисс и в направлении оси ординат, необходимый для изучения квадратного трехчлена. После этого с начала второго полугодия мы приступили к изучению квадратного трехчлена и квадратных уравнений.

2. Об алгебраическом выражении как функции входящих в него букв

Для того чтобы учащиеся могли сознательно подойти к изучаемому ими алгебраическому материалу вообще и к учению о функциях в особенности, важно понимать, что буквы, входящие в любое алгебраическое выражение, не есть какие-то абстрактные символы, а числа, причем числовое значение алгебраического выражения есть величина, зависящая от того, какие числа понимаются под этими буквами. Правильному пониманию этого вопроса может успешно способствовать хорошо организованная в VI и VII классах функциональная пропедевтика, однако все же часто слишком обильные упражнения в действиях над алгебраическими выражениями приводят к тому, что учащиеся перестают видеть в этих действиях именно тождественные преобразования и, приходя в VIII класс, рассматривают алгебру только как некоторое „буквенное исчисление".

Поэтому мы считали необходимым первый же урок алгебры в VIII классе посвятить беседе на эту тему. Приводим конспект этой беседы с учащимися:

„Поставим перед собой вопрос: „Что такое алгебра, что она изучает и чем отличается, скажем, от арифметики?"

После двухлетнего изучения алгебры может показаться странным возвращаться к этому вопросу. Тем не менее, если вы попытаетесь четко ответить на этот вопрос, вы увидите, что сделать это не так уж легко.

Часто говорят, что арифметика изучает действия над числами, а алгебра —над буквами. И в самом деле, в VI и VII классах вы много занимались выполнением различных действий с буквами и комбинациями букв — алгебраически-

ми выражениями. Но что представляют собой эти действия с буквами? Что значит сложить а и 6? Что получится в результате? В VI классе на уроке алгебры не редкость услышать такой вопрос: „Вот мы написали, что а + Ь — с, а в соседнем классе —там другой учитель — писали a + b = d. Кто же прав?"

Чтобы разобраться во всех поставленных вопросах, посмотрим, не сталкивались ли мы с такими же вопросами раньше, при изучении арифметики, если сталкивались, то как эти вопросы решались.

В арифметике, подходя к определению сложения целых чисел, мы начинали с таких примеров: если к двум яблокам приложить еще три, то получится пять яблок; если к двум домам пристроить три дома, то получится пять домов и т. д. Отсюда мы переходим к общему заключению:

2 + 3 = 5.

Если мы относительно этого действия поставим такой же вопрос, какой ставили относительно алгебраических действий с буквами—чего тут два, чего три, чего пять и вообще, какой смысл имеет написанная строчка, то тут ответ совершенно ясен. Запись 2 + 3 = 5 означает, что если мы возьмем два каких-нибудь (безразлично, каких именно) предмета и еще три таких же предмета, то вместе мы получим пять таких же предметов. Именно потому, что нам здесь безразлично, количество каких предметов выражают данные числа, мы можем говорить о числах вообще; именно поэтому арифметика есть наука о числах и действиях над ними. И в истории человечества арифметика как наука появилась тогда, когда люди научились рассматривать свойства чисел и действия над ними, отвлекаясь от конкретного содержания этих чисел.

Если мы сделаем еще один шаг в том же направлении, мы придем как раз к тому положению, которое имеем в алгебре. Если в записи 2 + 3 нам безразлично, количество каких предметов выражается числами 2 и 3, то в записи а-\-Ь нам безразлично, сколько предметов означает а и сколько Ь. Таким образом, под буквами а и Ъ мы можем мыслить любые числа. Что же мы должны тогда понимать под записью а + Ь? Очевидно, только указание на определенные действия (в данном случае — сложение), которые мы должны выполнить над числами а и Ь. Теперь на вопрос, чему равна сумма а-\-Ь, может быть дан совершенно определенный ответ: это зависит от того, чему равно число а и чему равно число Ь. То же самое можно сказать и о любом другом алгебраическом выражении: чему равно выражение -——--!--это зависит от того, какие числа мы

будем понимать под а и х; если мы будем изменять эти числа, будет изменяться и величина данного буквенного выражения. Исследовать характер этого изменения — в этом заключается одна из задач, которые ставит перед собой алгебра. В предшествующем изучении алгебры эта задача почти не затрагивалась.

Что же представляют собой те алгебраические действия, которыми мы занимались в VI—VII классах? Обратимся к примерам.

Представьте себе, что, решая какой-нибудь пример, вы получили в результате выражение (а + b)2, а посмотрев в конец задачника, вы обнаружили там ответ a2 -f 2ab + b2. Очевидно, вы сделаете вывод, что пример решен правильно.

Если же вы, решая пример, получите выражение аъ — 6, а ответ в задачнике будет 6а2—На, то вы, очевидно, заключите, что в решении где-то имеется ошибка.

Какие основания имеются для вашего заключения как в том, так и в другом случае?

В первом случае основанием, очевидно, является то, что вам известна формула:

(а + Ь)2 = a2 + 2ab + b2, (1)

полученная по некоторым определенным правилам, а во втором то, что формула

а3-6 = 6а2-11а (2)

вам неизвестна. Но ведь вы изучили еще не всю алгебру! Где гарантия в том, что в восьмом классе вам не выведут и такую формулу? А если не в восьмом, то в девятом или в десятом, или, может быть, в институте?

Тем не менее, вы совершенно правы, считая, что в первом случае ваш ответ верен, а во втором — нет. Чтобы выяснить, почему это так, нужно подробнее остановиться на том, что означает формула (1), как и всякая известная вам алгебраическая формула или любое выполненное вами алгебраическое преобразование.

Вспомним, что всякое алгебраическое выражение есть лишь указание на те действия, которые надо совершить над числами, обозначенными входящими в это выражение буквами. В частности, левая часть формулы (1) указывает, что числа а и b нужно сложить и результат умножить сам на себя (возвести в квадрат). Правая же часть этой формулы указывает, что число а нужно умножить само на себя, то же самое проделать с числом Ь, затем перемножить числа а и b и результат еще умножить на 2, а затем все три произведения сложить. Какой смысл имеет соединение этих двух выражений знаком равенства, если они означают со-

вершенно различные действия, производимые над числами а и Ь?

Смысл заключается в следующем: хотя левая и правая части формулы (1) определяют разные действия над числами а и Ь, окончательный результат действий в левой и правой частях формулы (1) будет одним и тем же. На этом основании формула (1), как известно, называется тождеством.

Вычисление левой и правой части формулы (1) при различных значениях а и b подтверждает сказанное:

а

b

Левая часть

Правая часть

Разумеется, сама по себе такая проверка не является основанием для утверждения, что равенство (1) есть тождество. Настоящее доказательство этого можно получить, если воспользоваться известными законами арифметических действий. Эти законы и лежат в основе всех известных нам алгебраических преобразований. Таким образом, всякое действие с алгебраическими выражениями состоит в замене одного выражения другим, дающим при подстановке в него вместо букв любых чисел тот же результат, что и данное выражение. Или короче: всякое действие с алгебраическими выражениями состоит в замене данного выражения другим, тождественно равным ему выражением. Поэтому такие действия часто называют тождественными преобразованиями алгебраических выражений. Изучение методов тождественных преобразований также является одной из задач алгебры.

Рассмотрим с этой точки зрения равенство (2) — проверим, будет ли оно тождеством. Подстановка в формулу (2) значений а=1, 2, 3 дает в левой и правой части одинаковые результаты; однако уже при а —А левая и правая части оказываются различными. Дальше, очевидно, проверку можно не вести: равенство (2) не обладает теми же свойствами, что и равенство (1) —оно не является тождеством. Именно поэтому нет и не может быть никакого правила, позволяющего выражение аъ — 6 преобразовать в 6а2 —Па.

Относительно равенства (2), естественно, возникает вопрос; если оно верно не при всех значениях а, то при каких же значениях а оно верно, а при каких — нет? Можно показать, что значения а = 1, а = 2 иа = 3 — единственные, при которых равенство (2) верно: при всех остальных значениях а результаты вычислений левой и правой частей будут различны.

Таким образом, по поводу всякого равенства, содержащего буквы, можно поставить вопрос: при каких значениях этих букв данное равенство будет верно или, другими словами, какие значения букв удовлетворяют этому равенству? В частности, может случиться, что все (допустимые) значения букв удовлетворяют данному равенству, — тогда это равенство является тождеством. В общем случае вопрос об отыскании значений букв, удовлетворяющих данному равенству, есть вопрос о решении уравнений, а сами эти значения букв называются также решениями уравнения. Если уравнение содержит только одну неизвестную букву, то решения этого уравнения называются еще его корнями. Так, рассмотренное уравнение (2) имеет три корня: 1, 2 и 3.

Исследование вопросов о существовании решений уравнения, их числе и методах их нахождения также является одной из основных задач алгебры.

Мысли, высказанные в этой беседе, закреплялись на последующих уроках, для чего использовались все представляющиеся возможности, особенно во время повторения и углубления курса VII класса. Так, при выполнении тождественных преобразований в доступных для учащихся примерах устанавливались допустимые значения для букв, иногда выполнялась проверка тождественности равенств подстановкой системы числовых значений. Полезно в это время решить с учащимися ряд примеров на установление нетождественности двух алгебраических выражений. Эти примеры можно дать в такой форме.

Учащийся забыл правило умножения многочлена на многочлен и, перемножая двучлены а + b и а-\-с, получил:

(а + b)-(a + c) = a2 + bc.

На каком основании можно утверждать, что действие выполнено им неправильно? При каких условиях относительно чисел a, b и с данное равенство будет верно?

Для ответа на первый вопрос достаточно, очевидно, подобрать значениям, b и с, дающие при подстановке в левую и правую части различные результаты. Для ответа на второй вопрос учащиеся должны раскрыть скобки в левой части и привести данное равенство к виду

а.(* + ') = 0;

последнее равенство верно либо при а = О, либо при biz — с. Эти два случая и дают ответ на вопрос задачи.

Разобрав этот пример, полезно осмыслить его результат. В случае а = 0 рассматриваемое действие сводится к умножению одночленов, так что этот случай мало интересен. В случае же с = — b данное равенство превращается в тождество:

[а + Ь) (а-Ь) = аг-Ь\

представляющее собой известную формулу. Таким образом, умножение суммы двух чисел на их разность оказывается единственным случаем умножения двучленов, когда можно умножать первый член на первый, а второй — на второй.

Таких примеров можно составить довольно много. Решаемые время от времени, они приучают учащихся более сознательно относиться к выполняемым алгебраическим операциям.

3. Подготовка к введению понятия функции

При изучении функционального материала следует прежде всего позаботиться о том, чтобы выработать в сознании учащихся прочную связь между основными свойствами функций и элементарными геометрически-графическими представлениями. Когда мы говорим, что такая-то величина в некотором промежутке положительна или отрицательна, возрастает или убывает и т. п., у учащихся должен возникать соответствующий этому геометрический образ. Без этого вряд ли возможно сознательное овладение идеей функциональной зависимости.

Повидимому, эти простейшие графические представления не могут выработаться лишь на таких простейших примерах, как линейная функция и квадратный трехчлен, предусмотренных программой VIII класса. Этим, быть может, и следует объяснить тот факт, что функциональный материал является одним из самых трудных для учащихся и часто, по существу, не усваивается ими.

Поэтому мы считали целесообразным, прежде чем формулировать общее определение функции, подробно рассмотреть некоторые примеры, которые позволяли бы с достаточной ясностью выделить, во-первых, общую идею графического представления функциональной зависимости, во-вторых, связь между простейшими аналитическими свойствами функции (возрастание, убывание, положительность, отрицательность и т. п.) и геометрическими свойствами ее графика.

При подборе примеров мы стремились, во-первых, к тому, чтобы входящие в них переменные величины имели конкретный смысл, чтобы не приходилось о них говорить просто „величина х" и „величина у", что на этой стадии изуче-

ния функций было бы затруднительным для учащихся. Во вторых, важно, чтобы рассматриваемые функции были не слишком бедны функциональными свойствами, чтобы эти функции принимали как положительные, так и отрицательные значения, имели бы максимум и минимум и т. д. В первом из рассматриваемых примеров желательно также, чтобы аргумент и функция представлялись хорошо знакомыми для учащихся величинами (например, длины отрезков) и непрерывное изменение которых могло бы быть продемонстрировано на модели.

Остановимся на методике рассмотрения этих примеров. Пример 1. В треугольнике ABC (черт. 1) известны две стороны АС = 5 см и AB = 3 см. Нужно определить проекцию CD третьей стороны ВС на сторону АС.

Прежде всего выясняется, что в такой формулировке задача является неопределенной: существует бесчисленное множество различных треугольников, имеющих данные стороны AB и АС, но различные отрезки DC. Чтобы определить длину отрезка DC, нужно выбрать определенную длину стороны ВС (которую можно брать любой в пределах от АС — —AB = 2 см до АС + АВ = 8 см), т. е. отрезок DC зависит от стороны ВС; с изменением этой стороны будет меняться и отрезок DC. Теперь поставленная выше задача уточняется: требуется исследовать изменение отрезка DC с изменением стороны ВС.

В общих чертах это изменение можно охарактеризовать непосредственно: при увеличении стороны ВС от 2 см до 8 см отрезок CD также увеличивается, причем если длина стороны ВС близка к 2 см или к 8 см, то и длина DC также будет близка соответственно к 2 см или к 8 см. Постараемся, однако, подробнее исследовать изменение DC с изменением ВС.

Черт. 1.

Учащимся сообщается формула:

с указанием на то, что она будет выведена позже, в курсе геометрии. Полагая в этой формуле ВС = х, DC=y и подставляя в нее известные значения AB и АС, получим:

Разъясняется, что мы непосредственно получили бы исчерпывающее решение поставленной нами задачи, если бы сумели по формуле (1) вычислить значения у для всех допустимых значений х (2<х<8) и результаты этих вычислений сопоставить между собой.

Однако это невозможно, так как всех допустимых значений л бесконечно много. Перед классом ставится цель хотя бы приблизиться к решению этой задачи, вычислив значение у (с точностью до 0,1) для достаточно большого числа значений X, заключенных между числами 2 и 8 (хотя бы через каждые 0,2).

Для достижения этой цели каждому из учащихся дается по одному значению х, для которого он должен провести вычисления. Пока класс занят вычислениями, учитель чертит на разграфленной в клетку доске оси координат и наносит на каждой из них числовую шкалу от 8 до 0. По мере поступления от учащихся результатов вычислений, учитель отмечает их на приготовленном чертеже. По окончании этой работы, выполненной при участии учеников, чертеж на доске должен приобрести вид, изображенный на чертеже 2а.

С этим чертежом полезно провести некоторую работу: дать учащимся определенный размер стороны ВС (т. е. значение х) и потребовать определения (по черт. 2а) длины ее проекции DC (значение у). Ответы можно проверить прямым измерением на подвижной модели. При этом сначала следует давать те значения х, для которых имеется соответствующая точка на черт. 2а, а затем уже промежуточные значения х. Этот второй вариант существенно отличается от первого: в первом случае мы по черт. 2а только прочитываем результаты уже проведенных ранее вычислений, на втором же — предсказываем результаты вычислений, которые не были выполнены. Это обстоятельство должно быть специально отмечено.

В связи с последним упражнением необходимо обратиться к принципиально важному вопросу: какой вид принял бы черт. 2а, если бы мы нанесли на него точки, показывающие результаты вычислений величины у при всех возможных значениях величины х. К этому вопросу лучше всего подойти динамически: если сторону ВС треугольника ABC мы будем непрерывно увеличивать от 2 см до 8 см, ее проекция DC будет также непрерывно увеличиваться. При этом на черт. 2а точка, характеризующая в каждый данный момент длину DC, будет непрерывно перемещаться, проходя последовательно положения, отмеченные точками на черт. 2а. По этим точкам, нанесенным на черт. 2 а, мы можем довольно точно провести линию, которую описала бы движущаяся точка (черт. 2 б). Каждая точка линии, изо-

браженной на черт. 2 б, характеризует длину отрезка DC при определенной длине стороны ВС. Эта линия называется графиком зависимости отрезка DC от стороны ВС.

Черт. 2

Переход от системы отдельных точек —диаграммы (черт. 2 а) к непрерывной линии—графику (черт. 2 б) является принципиально важным моментом и должен быть четко выделен в ходе урока.

Получив график зависимости величины у от х, следует поупражняться по нему в определении значений х по данным значениям у. При этом в формулировке вопросов следует учитывать важное в дальнейшем разделение переменных на аргумент и функцию; вопросы нужно ставить примерно в такой форме: „Какой должна быть сторона ВС, чтобы ее проекция CD оказалась равной 5,7 см?и Полезно выяснить также по графику, при каких значениях стороны ВС угол ВАС будет прямым, острым, тупым. Ответы на последние три вопроса должны быть записаны соответственно в виде: х = 5,8; 2 <х< 5,8; 5,8 < х < 8. Если понадобится, следует специально разъяснить употребление записи вида a<*<6. Нужно также добиться от учащихся ответа (хотя бы и не совсем гладкого) на вопрос, каким образом из построенного графика можно усмотреть, что проекция DC стороны ВС увеличивается с увеличением ВС, а также, когда это увеличение происходит быстрее.

Разбор примера 1 проводится в течение урока. На дом к следующему уроку можно дать задание построить (на миллиметровой бумаге) для того же треугольника ABC график зависимости проекции AD стороны AB от стороны ВС. При этом отрезок AD считается положительным, если он лежит на стороне АС, и отрицательным, если он лежит на ее продолжении. Для вычислений можно пользоваться формулой (1) и равенством AD = АС — DC, которое вполне согласуется с указанным выше соглашением о знаке отрезка AD. Все указания следует дать учащимся в классе, сопроводив подробными указаниями о выборе масштаба и границах числовой шкалы на осях. Следует потребовать, чтобы этот график к началу следующего урока был возможно точнее нанесен на доску: он явится объектом дальнейшей работы.

При проверке выполнения домашнего задания рассматриваются те же вопросы, что и на первом уроке для построенного тогда графика. При изучении второго графика можно ставить и несколько более сложные вопросы, например: какой должна быть сторона ВС, чтобы отрезок AD был больше (или меньше) какой-либо данной величины; как будет изменяться отрезок AD, если сторона ВС будет увеличиваться в данных пределах, и т. п. После этого можно перейти к разбору следующего примера.

Пример 2. Дан квадратный лист картона со стороной 20 см, из которого требуется склеить коробку (без крышки). Для этого с каждого угла листа вырезают квадраты одной и той же величины, затем оставшиеся с каждой стороны прямоугольники отгибают и склеивают смежными сторонами. Каков будет объем полученной коробки?

Ясно, что и эта задача, как и предыдущая, является неопределенной: объем коробки зависит от размеров вырезаемых квадратов. Для каждого возможного размера стороны вырезаемого квадрата (а возможным здесь является любой размер, меньший половины стороны данного листа картона, т. е. меньший 10 см) мы получим свой объем коробки.

Нужно отметить, что если вырезаемый квадрат имеет очень маленькую сторону, то и объем коробки будет очень мал, так как мала будет ее высота. С другой стороны, если сторона вырезаемого квадрата будет лишь немного меньше 10 см, то объем коробки также получится очень малым, так как дно будет квадратом с очень малой площадью. Сколько-нибудь значительным объем коробки может получиться лишь в том случае, когда сторона вырезаемого квадрата будет не очень мала, но и не слишком велика.

Для того чтобы подробнее исследовать зависимость объема коробки от стороны вырезаемого квадрата, построим, как и в предыдущих примерах, ее график.

Легко выводится формула

v = 4x (10 — х)2,

где X — сторона вырезаемого квадрата (в см), a v — объем коробки (в смь).

Если на уроке после этого останется время, можно приступить к построению графика объема коробки. В противном случае можно ограничиться вычислением значений v для нескольких значений х (с использованием таблицы квадратов), задав построение графика на дом.

На следующем уроке по построенному графику (черт. 3), как и в предыдущих упражнениях, решаются задачи на определение объема коробки по данной стороне вырезаемого квадрата при изменении стороны х в данных пределах, о наибольшем объеме коробки и об участках возрастания и убывания („В каких пределах можно увеличивать сторону вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки увеличивался?") и т. п.

Полезно остановиться также на сравнительной оценке скорости изменения объема коробки при изменении стороны X. Первые представления о скорости изменения функции могут быть даны учащимся путем выяснения следующих вопросов:

„Сторона вырезаемого квадрата изменилась на 0,1 см. В связи с этим несколько изменился объем коробки. В каком случае это изменение будет больше: если сторона вырезаемого квадрата была 0,9 см или 3,1 см? Как различить на графике участки более быстрого и более медленного изменения объема? На каких участках объем изменится наиболее быстро, наиболее медленно?"

Разобрав все эти вопросы, можно переходить к рассмотрению следующего примера.

Пример 3. На черт. 4 представлен график зависимости температуры воздуха в Москве от времени в период с 18 по 20 марта 1953 г. Установить по этому графику:

Черт. 3.

1. Какая температура была 18 марта в 16 часов? 19 марта в 4 часа? 20 марта в 9 часов?

2. В какие моменты температура равнялась +8°. +2°, 0°, _8°, — 7°?

3. Когда температура была выше 4 4°, выше —2°, ниже — 4°? Когда температура была выше 0°, ниже 0°?

4. Когда температура была самой высокой за рассматриваемый промежуток времени? Когда —самой низкой?

5. В какие периоды времени температура повышалась, а в какие — понижалась? Укажите границы изменения температуры в каждый из этих периодов.

Черт. 4 делается на доске. Ответы на все эти вопросы учащиеся коротко (в виде соответствующих равенств или неравенств) записывают в тетради. График в тетрадях не

вычерчивается. На дом дается задание восстановить график температуры в Москве. (Это можно сделать довольно точно.)

На следующем уроке на доску, где нанесен график домашнего задания, можно нанести еще один график — график температуры за тот же промежуток времени, скажем, в Ленинграде, после чего по этому чертежу установить: когда в Ленинграде была та же температура, что и в Москве, когда разница температур в Москве и Ленинграде была наибольшей и т. п.

Наконец, на этом же уроке можно разобрать следующий пример.

Пример 4. Для сварки длинный металлический стержень нагрет в одной своей точке до температуры 1000°. Тогда температура в каждой точке стержня определяется формулой

t_ 1000

где X — расстояние рассматриваемой точки в дециметрах от точки нагревания, причем это расстояние считается положительным в одном направлении и отрицательным — в другом. Построить график температуры в каждой точке стержня.

При построении этого графика удобно пользоваться таблицами обратных величин. Построение графика следует начать с вычисления координат отдельных его точек. Вычислив значение t для какого-нибудь значения х, нужно сразу же вычислить значение t и для противоположного значения х. После одного-двух таких вычислений будет обнаружено, что

Черт. 4.

достаточно вычислить t лишь для положительных значений х, т. е. обнаружена симметрия графика относительно оси ординат. После этого вычисления целесообразно прервать и задуматься вообще над установлением формы этого графика, Когда выяснится, что график неограниченно приближается к оси абсцисс, его уже можно будет в общих чертах изобразить. После этого останется только уточнить его положение вычислением координат небольшого числа точек.

Этот пример чрезвычайно важен в том отношении, что здесь впервые „предсказывается" вид графика до его непосредственного построения.

В порядке работы по построенному графику t = ~~ можно поставить такие вопросы:

1. Какая температура будет в трех дециметрах от места сварки?

2. Какой длины участок стержня будет иметь температуру, превышающую 60°?

3. На каком расстоянии от места сварки за стержень можно держаться голыми руками?

4. Если температура измеряется с точностью до Г, то каковы пределы, за которыми можно считать температуру уже далее не изменяющейся?

4. Определение функции

Рассмотренные в разделе 3 примеры дают учащимся конкретный материал, на базе которого можно уже сформулировать определение функции и ее графика, а также некоторые другие определения. Изложение этих определений нужно провести в порядке подведения итогов рассмотренным примерам. Приведем общую схему изложения этого материала.

Примеры, разобранные в разделе 3, при всем различии их конкретного содержания, имеют много общего в отношении их математической сущности. В каждом из этих примеров шла речь о зависимости одной величины от другой. Так, в первом примере мы рассматривали зависимость длины проекции CD стороны ВС треугольника ABC от длины этой стороны, во втором — зависимость объема коробки от стороны вырезаемого квадрата, в упражнении 3 — зависимость температуры Т от времени t.

В таких случаях, когда какая-нибудь величина, которую мы обозначим через у, зависит от другой величины х, говорят, что величина ^ есть функция величины х. Так, в перечисленных выше примерах проекция стороны ВС есть функция этой стороны, объем коробки есть функции стороны вырезаемого квадрата, температура — функция времени.

Понятно, что какая-нибудь величина может зависеть не от одной величины, а от нескольких. В таких случаях мы говорим о функции нескольких переменных величин. Например, площадь прямоугольника есть функция длины его основания и высоты; время, которое нужно самолету, чтобы пролететь определенное расстояние, — функция этого расстояния и скорости самолета. В каждом из рассмотренных выше примеров можно было также говорить о функциях нескольких переменных величин. Так, в первом примере отрезок CD является функцией не только стороны ВС, но и остальных сторон треугольника ABC. Мы говорили об отрезке CD как о функции одной переменной величины ВС, так как специально интересовались зависимостью CD от этой стороны и потому считали остальные стороны треугольника постоянными (AB = 3 см, АС =5 см).

Таким образом, термин „функция" выражает факт зависимости одной величины от другой.

В дальнейшем нас будет интересовать почти исключительно функция одной переменной величины, поэтому все необходимые определения мы сформулируем применительно к таким функциям.

Для того чтобы сформулировать более точное определение функции, нам нужно уточнить, что мы понимаем под словом „зависимость".

В одном из примеров, разобранных нами в разделе 3, говоря о том, что отрезок CD зависит от стороны ВС, мы разъясняли, что имеем в виду при этом следующее обстоятельство: если мы зафиксируем любое определенное значение стороны ВС, то сможем найти [по формуле (1)] также вполне определенное значение отрезка CD. Точно так же во втором примере: говоря, что объем картонной коробки зависит от стороны вырезаемого квадрата, мы хотели этим сказать, что при каждом определенном размере стороны вырезаемого квадрата мы получим коробку вполне определенного объема. Совершенно аналогично обстояло дело с понятием зависимости и во всех остальных примерах.

Таким образом, мы можем сформулировать следующее определение функции.

Величина у называется функцией величины х, если каждому допустимому значению величины х соответствует некоторое определенное значение величины у. Величину X называют независимой переменной или аргументом, а величину у — зависимой переменной.

Итак, чтобы говорить о величине у как функции величины X, необходимо, чтобы было указано, какие числовые значения х считаются допустимыми, а также, чтобы было дано правило, которое позволяло бы для каждого из этих значений х найти соответствующее ему значение у.

Что касается допустимых значений аргумента, то в тех случаях, когда вопрос о функциональной зависимости возникает из рассмотрения какой-нибудь конкретной задачи, эти значения определяются самим смыслом задачи. Так, в первом из примеров, рассмотренных в разделе 3, допустимым, является любое значение х, удовлетворяющее неравенству 2<х<8; во втором примере допустимым является любое положительное значение х<^10; в упражнении 3 допустимым является любой момент времени между 0 часов 18 марта и 24 часами 20 марта; в упражнении 4—любое значение х. Если рассматривать стоимость телеграммы как функцию числа содержащихся в ней слов, то допустимым будет любое целое положительное значение аргумента.

Что же касается того правила, которое устанавливает соответствие между значениями аргумента и значениями функции, то для нас безразлично, в какой форме это правила сформулировано: важно лишь, чтобы это правило позволяло фактически находить значения функции для каждого допустимого значения аргумента. Так, для первого примера из раздела 3 это правило могло бы быть сформулировано следующим образом: чтобы для данного значения х найти соответствующее значение у, нужно построить треугольник ABC со сторонами AB = 3 см, АС — Ь см, ВС = х см и измерить в сантиметрах длину проекции стороны ВС на сторону АС.

Однако мы находим значение у каждый раз не построением и измерением, а вычислением при помощи формулы (1). Эта формула, позволяя для каждого допустимого значения X найти при помощи вычислений соответствующее значение у, сама может рассматриваться как правило (соответствия между значениями х и у), о котором говорится в определении функции. Поэтому можно говорить о том, что формула (1) определяет величину у как функцию величины X независимо от того, что означают буквы хиу,т. е. из какой конкретной задачи получена эта формула.

Наконец, построенный график также сам по себе позволяет находить значения у для любого значения х, т. е.сам по себе определяет у как функцию аргумента х. Правило соответствия между значениями х и у можно было бы здесь сформулировать так: значение у при некотором значении х есть ордината той точки графика, которая имеет своей абсциссой данное значение х. В примере 3 температура Т как функция времени определялась только таким образом.

В какой бы форме ни было дано правило нахождения значения у по данному значению х, его часто обозначают какой-нибудь одной буквой. Если, например, это правило обозначено буквой /, то тот факт, что величина у полу-

чается из величины х при помощи правила /, записывают так:

У=/(х) (1)

и читают: у равно / от х. Если дано какое-нибудь значение X, например х = 3,7, то соответствующее значение у запишется так:

У =/ (3,7).

Например, если правило нахождения объема коробки v по стороне X вырезаемого квадрата обозначить через q, а правило определения температуры Т в момент времени t в третьем примере через Л, то можно написать:

v = q (х\ T = h (t).

В дальнейшем мы в основном будем иметь дело с функциями, для которых правило соответствия между значениями независимой и зависимой переменных дается формулой, выражающей значение функции через значение аргумента. В таком случае под буквой / в записи у — f (х) нужно понимать совокупность тех алгебраических действий, которые нужно выполнить над числом х, чтобы получить число у. При этом нас часто не будет интересовать, какая именно конкретная задача приводит к рассматриваемой функциональной зависимости. В этих случаях мы будем считать допустимыми все значения аргумента, при которых правая часть формулы (1) имеет смысл. Так, для функции у = * ~~ 1 допустимыми являются все значения х. для функции у =- X (2х-\) все значения х, кроме х = 0 и х — — .

Если функция задана с помощью формулы у — f (*), то эту формулу можно рассматривать как уравнение с двумя неизвестными. Однако не всякое уравнение с двумя неизвестными X и у определяет у как функцию х\ это имеет место только в том случае, когда уравнение позволяет для каждого значения х найти единственное значение у. Уравнение ху = 1 определяет у как функцию от х, если считать допустимым любое значение х, за исключением х = 0, потому что для любого значения х¥=0 мы можем найти соответствующее ему значение у по формуле: у = —. Уравнение же у2 — X2 =г 0 не определяет у как функцию от х (если только не считать л; = 0 единственным допустимым значением аргумента), так как при любом фиксированном значе-

нии X этому уравнению удовлетворяют два значения у;

Как можно было уже заметить из примеров § 3, удобным средством наглядного представления функциональной зависимости и выявления ее свойств является график функции. Дадим теперь точное определение этого важного понятия.

Графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссами которых являются все допустимые значения аргумента, а ординатами — соответствующие значения функции.

Если функция y—f [х) задается уравнением с двумя переменными х и у, в частности, если / (х) есть алгебраическое выражение, содержащее переменную величину х, то график функции есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Вообще, если имеется некоторое уравнение с двумя переменными X и у, то геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, называют графиком уравнения, независимо от того, определяет это уравнение величину у как функцию величины х или нет. Так, графиком уравнения у2 —л2 = 0 является совокупность двух прямых—биссектрис углов между осями координат; графиком уравнения я2+У2 = 0—одна точка, именно начало координат.

Если мы имеем график некоторой функции, то всякая прямая, параллельная оси Oy (и пересекающая ось Ох в точке, соответствующей допустимому значению аргумента), пересекает этот график в единственной точке — это есть просто иное выражение того факта, что каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Обратно, если мы имеем некоторую линию, то для того, чтобы ее можно было считать графиком некоторой функции, необходимо, чтобы каждая прямая, параллельная оси Oy, пересекала ее не более чем в одной точке. Если это условие выполнено, то данная кривая определяет некоторую функцию, для которой она является графиком, причем допустимыми являются те значения аргумента, для которых соответствующие им прямые, параллельные оси Oy, пересекают данную линию. Как мы видели, для того чтобы непосредственно и точно построить график какой-либо функции, как правило, нужно построить бесконечное множество точек. Однако с необходимой для практики точностью мы получим тот же результат, если построим достаточно густой ряд точек графика, а затем соединим эти точки непрерывной линией. Однако и этот путь приводит к большому числу подчас громоздких вычислений. Дело существенно облегчается, если мы можем заранее, по неко-

торым свойствам функции (чаще всего по свойствам формулы, ее выражающей) определить вид ее графика. В дальнейшем мы должны научиться обнаруживать такие свойства функции.

С одним из таких свойств мы познакомились в упражнении 4. Рассматриваемая там функция t = i1^Q°2 обладает тем свойством, что она не меняет свего значения при изменении знака аргумента. Такие функции, по причинам, которые будут выяснены дальше, называются четными.

Черт. 5.

Таким образом, функция у = f (х) называется четной, если для всякого допустимого значения аргумента противоположное ему значение также является допустимым, а значения функции для этих значений аргумента равны между собой, т. е.

f(-x)=f (X). (2)

Геометрически формула (2) означает, что каждой точке графика функции / (х) соответствует симметричная ей относительно оси Oy точка (черт. 5), также принадлежащая этому графику, т. е. что ось Oy является осью симметрии для графика функции. Таким образом, график четной функции имеет ось ординат своей осью симметрии.

Наряду с четными функциями часто встречаются функции, графики которых также обладают симметрией, но уже другого рода. Это так называемые нечетные функции,

Функция у — f (х) называется нечетной, если для всякого допустимого значения аргумента противоположное ему значение также является допустимым, а значения функции при этих значениях аргумента равны

по абсолютной величине и противоположны по знаку, т. е.

f(-x) = -f(x). (3)

Геометрически равенство (3) означает, что каждой точке графика функции у =/ (х) соответствует точка, симметричная ей относительно начала координат (черт. 6), также принадлежащая этому графику, т. е., что начало координат является центром симметрии графика функции у —f(x). Таким образом, график нечетной функции имеет начало координат своим центром симметрии.

Весь этот материал может быть проработан за 2 часа: на первом введены определения функции и ее графика, на втором рассмотрены понятия четной и нечетной функции. Говоря об определении функции и ее графика и о функциональных обозначениях, нельзя, конечно, рассчитывать, что все эти понятия сразу и окончательно будут усвоены учащимися. Не следует смущаться, если кое-кому из учащихся покажется, что он здесь чего-то недопонимает. Со временем все эти понятия станут ясными и привычными для учащихся, так как им придется еще неоднократно сталкиваться с ними в самых различных случаях. На данном этапе учитель должен видеть цель во введении необходимой терминологии, которой в дальнейшем нужно постоянно пользоваться. Первое время, пользуясь функциональной терминологией и функциональными обозначениями, учитель, как правило, должен сопровождать их необходимыми по ходу дела объяснениями; в дальнейшем необходимость в таких пояснениях отпадает.

Введя понятие нечетной функции, следует, конечно, построить ее график. На первый раз следует взять какую-нибудь несложную, с точки зрения вычислений, но в то же время не тривиальную, с точки зрения своих функциональных свойств, функцию, например у — х* — 2х. Вычисление значений этой функции выполняется весьма просто, если пользоваться таблицей кубов. На дом можно дать построение графиков четной и нечетной функций, например

По графикам всех этих

Черт. 6.

функций следует разбирать примерно такие же вопросы, которые ставились в примерах § 3. Однако, в отличие от тех примеров, здесь при формулировке вопросов можно говорить просто о величинах х и у, независимо от их конкретного содержания.

Изучая этот материал, полезно поставить перед учащимися несколько вопросов, требующих от них самостоятельных размышлений, например:

1. Может ли график какой-нибудь функции иметь своей осью симметрии ось Ох или какую-нибудь прямую, ей параллельную?

2. Доказать, что для нечетной функции y=f (х) всегда должно быть / (0) = 0, если только значение аргумента x — 0 является допустимым.

Лучше всего, если ответы на эти и другие вопросы будут даваться учащимися на основании геометрических соображений.

5. Возрастание и убывание функции

Возрастание или убывание функции является одной из важнейших ее характеристик. Зная участки возрастания и убывания функции, как правило, можно составить себе довольно ясное представление об общем ходе ее изменения. Поэтому мы считали необходимым специально остановиться на этих понятиях, дав им точное определение. Это определение было дано в таком виде, чтобы оно, с одной стороны, давало учащимся возможность фактически находить в важнейших случаях участки возрастания и убывания функции, а, с другой—служило подготовкой к усвоению учащимися общих методов исследования функций при помощи производной, предусмотренных проектом новой программы для X класса.

Специально изучению этого понятия был отведен 1 час, однако к изложенному способу отыскания участков возрастания и убывания мы возвращались и впоследствии при исследовании различных функций, а также при решении текстовых задач на максимум и минимум.

Относительно методики изложения понятий возрастания и убывания (как и всяких вообще вопросов, относящихся к произвольным функциям) заметим следующее.

Реальная трудность, с которой приходится считаться при изложении этого материала, заключается в абстрактности используемых рассуждений. Облегчить понимание материала можно было бы рассмотрением вместо произвольной функции y—f(x) отдельных конкретных функций; однако такая конкретизация, приводя к использованию индивидуальных свойств отдельных функций, лишает выводы необходи-

мой общности. Этого, однако, можно избежать, если считать, что рассматриваемая произвольная функция задана графически. При этом мы фактически подменяем произвольную функцию, фигурирующую в наших рассуждениях, некоторой вполне определенной функцией (график которой начерчен на доске), однако легко можем избежать использования индивидуальных свойств этой конкретной функции, так что все наши выводы сохранят полную общность. Все эти соображения показывают, что систематическое привлечение графических иллюстраций, обращение к чертежу в каждом звене рассуждения, является средством понижения степени абстракции изложения и тем самым существенно облегчать усвоение материала учащимися.

Вот как примерно может быть изложен материал, относящийся к понятию возрастания и убывания функций.

Пусть мы имеем некоторую функцию у —f (х), график которой изображен на черт. 7, и пусть у нас аргумент изменился от некоторого значения х к некоторому значению хг. Тогда разность хх — х между новым и старым значением аргумента называется приращением этого аргумента.

Это приращение мы будем обычно обозначать через h : хх — X — h, т. е. хг = X -4- А. Величина h будет положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли новое значение аргумента хг больше или меньше старого значения х.

Для того, чтобы установить, на сколько изменилась величина у при переходе от старого своего значения х к новому значению xlf нужно составить разность между новым значением функции / (хг) и ее старым значением / (х). Эта разность / {xx)—f (х) или f (х -f h) — f (х) называется приращением функции у — f (х), соответствующим переходу

Черт. 7.

аргумента от значения х к значению хг. Приращение функции также может быть как положительным, так и отрицательным; оно будет положительно, если новое значение функции больше старого, и отрицательно, если новое значение функции меньше старого. На черт. 7 изображен случай, когда и приращение аргумента, изображаемое отрезком ххъ и приращение функции, изображаемое отрезком ВА}, положительны. Полезно в виде упражнения на чертежах, подобных черт. 7, изобразить схематически все другие возможные комбинации знаков приращений аргумента и функции.

Ранее при рассмотрении примеров различных функций мы говорили об их возрастании и убывании. В эти термины мы вкладываем следующий смысл.

Мы говорили, что функция у = / (х) возрастает, если большим значениям аргумента х соответствуют большие значения функции, а меньшим—меньшие значения функции. Аналогично мы говорили, что функция у — f (х) убывает, если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции и меньшим значениям аргумента — большие значения функции.

Однако часто бывает так, что при возрастании аргумента значения функции сначала, скажем, уменьшаются, а затем увеличиваются. Поэтому понятия возрастания и убывания разумно рассматривать не применительно ко всей функции в целом, а лишь для значений аргумента, достаточно близких к данному фиксированному значению аргумента. Если мы зафиксируем некоторое значение аргумента х и будем давать аргументу приращения, достаточно малые по абсолютной величине (положительные и отрицательные), то мы можем составить представление о поведении функции вблизи данного значения х, или, как говорят в математике, в окрестности точки X. Учитывая это, мы можем сформулировать следующие определения.

Функция называется возрастающей в окрестности точки X, если достаточно малым положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции, а достаточно малым по абсолютной величине отрицательным приращениям аргумента — отрицательные приращения функции.

Функция называется убывающей в окрестности точки X, если достаточно малым положительный приращениям аргумента соответствуют отрицательные приращения функции, а достаточно малым по абсолютной величине отрицательным приращениям аргумента—положительные приращения функции.

Несколько короче эти определения можно сформулировать следующим образом:

Функция называется возрастающей в окрестности точки je, если при достаточно малых по абсолютной величине приращениях аргумента приращения функции имеют тот же знак, что и соответствующие приращения аргумента.

Функция называется убывающей в окрестности точки х, если при достаточно малых по абсолютной величине приращениях аргумента приращения функции имеют знак, противоположный знаку соответствующих приращений аргумента.

Таким образом, мы видим, что возрастание и убывание функции в окрестности данной точки зависят оттого, будут ли приращения функции иметь тот же знак, что и приращения аргумента, или противоположный знак. Поэтому целесообразно ввести в рассмотрение отношение приращений функции и аргумента: это отношение будет положительно или отрицательно, смотря по тому, будут ли рассматриваемые приращения иметь один и тот же знак или разные знаки. Окончательно мы получим следующее определение.

Функция у — f (х) называется возрастающей в окрестности точки Ху если при А, достаточно малых по абсолютной величине, будет —--— 7 > О, и убывающей, если v ;—J—±-- < 0. h

Покажем на примере, как на основании этого определения находятся участки возрастания и убывания функций. Пусть, например, дана функция / (х) — 2х2 — 8х + 5.

Дадим аргументу х некоторое приращение А и найдем новое значение функции:

/ (х + А) = 2 (х + А)2 - 8 (л--НА) + 5 = = 2л:2 + 4jcä + 2А2 - 8х - 8А + 5.

Приращение функции будет равно

/ (х + А) -/ (х) = Ax/i + 2А2 - 8А.

Рассмотрим теперь отношения приращения функции к приращению аргумента:

flx + h)-f[x) =4х_8 + 2д (1)

Если рассматриваемое значение х таково, что Ах — 8>0, то при достаточно малых А и вся сумма (1) будет положительна, а если Ах — 8<0, то при достаточно малых А вся сумма будет отрицательна, т. е. при достаточно малых А знак выражения (1) определяется знаком выражения Ах—8.

Решая же неравенства Ах — 8>0 и Ах — 8 < 0, найдем, что при достаточно малых h:

Поэтому наша функция / (х) — 2х2 — 8х + 5 убывает в окрестности любой точки х при х<С2 и возрастает при д:>2. При X — 2 она, очевидно, принимает наименьшее значение:

у (2) = 2.22-8.2 + + 5 = —3.

График рассматриваемой функции имеет вид, изображенный на черт. 8.

Вообще, если слева от некоторого значения х аргумента лежат значения, в окрестности которых функция / (х) убывает, а справа—значения, в окрестности которых эта функция возрастает (черт. 9 а), то данное значение аргумента называется точкой минимума функции f (х). Аналогично, если слева от данного значения аргумента X функция f (х) возрастает, а справа —убывает (черт. 9 б), то данное значение аргумента называется точкой максимума функции f (х). Значение минимума функции является, очевидно, наименьшим значением функции, если ограничиться значениями аргумента, достаточно близкими к рассматриваемой точке минимума. Однако для всей функции в целом это значение может не быть наименьшим, как показывает черт. 10. Аналогичные обстоятельства имеют место и для точки максимума.

В качестве применения изложенного материала можно предложить учащимся следующую задачу физического содержания.

Тело брошено вверх со скоростью 5 м/сек. Написать формулу, выражающую высоту подъема тела в момент времени t и определить, в какой момент эта высота будет наи-

Черт. 8.

Черт. 9.

Черт. 10.

большей. Начертить график высоты подъема тела в зависимости от времени.

Ответ этой задачи полезно сопоставить с тем, который можно получить на основании известных учащимся физических формул.

6. Линейная функция

В VII классе учащиеся знакомятся с графиком уравнения первой степени, строят графики уравнений с числовыми коэффициентами. В VIII классе нужно уже глубже изучить линейную функцию как наиболее простую и чаще других встречающуюся на практике функцию, обосновав при этом все получающиеся результаты. Знакомя учащихся с линейной функцией, следует выделить три ее характерных свойства, каждое из которых может быть положено в основу ее определения: степень выражающего ее уравнения, прямо-

линейность ее графика и пропорциональность ее приращений приращениям аргумента.

Переход к линейной функции может быть мотивирован для учащихся целью изучить функции, графики которых наиболее просты в геометрическом отношении, именно — прямолинейны.

Пусть нам дана некоторая прямая /, не параллельная оси ординат (черт. 11). Тогда каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекает прямую / в единственной точке. Следовательно, прямую / можно рассматривать как график некоторой функции y=f (х). Допустимыми можно считать все значения аргумента х. Поставим своей целью выразить ту же функцию у =/ (х) с помощью формулы. Для этого, прежде всего, установим одно важное свойство функции fix).

Пусть аргумент изменился от некоторого значения х к некоторому значению х'. Тогда функция / (л:) получит приращение, равное / (x')—f (х), которое на черт. 11 изображается отрезком А'С. Рассмотрим также другое приращение аргумента, получающееся при переходе от некоторого значения хх к новому значению х\ (х} может и совпадать с л:). Ему соответствует приращение функции / (х\) — f (j^), изображаемое на черт. 11 отрезком А\СА. Из подобия треугольников А А'С и АЛ'^С, следует, что -=z-^—*

(1)

Равенство (1) показывает, что все отношения приращений функций / [х] к соответствующим приращениям аргумента равны между собой, а, значит, величина каждого из.

Черт. 11.

этих отношений есть величина постоянная для данной прямой /. Очевидно, второе из отношений (1) будет равно просто приращению функции / (х), если х\ — хА = 1, так что* величина каждого из отношений (1) есть приращение функции / (х), соответствующее приращению аргумента, равному 1. В частности, если мы обозначим приращение функции f(x), соответствующее приращению аргумента от значения х — — О к значению х = \% через а (черт. 12), т. е. положим

/ (1)-/ (0) = а,

то из равенства (1) получим

/(*'>-/(*) = а. (2)

Таким образом, коэффициент а показывает величину подъема точки, движущейся по прямой /, при увеличении ее абсциссы на 1. Величина а называется угловым коэффициентом прямой I.

Формула (2) выражает следующее важное свойство функции.

Приращения функции f (х) пропорциональны соответствующим приращениям аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является угловой коэффициент прямой I.

Положим теперь / (0) = Ь, и пусть точка M (х; у) с координатами X и у лежит на прямой / (черт. 12). Тогда приращение функции, соответствующее переходу аргумента от значения 0 к значению х будет

Черт. 12

На основании установленного выше свойства функции / (л;) получим:

откуда

у = ах + Ь. (3)

Таким образом, координаты любой точки прямой / удовлетворяют уравнению (3). Покажем теперь, что прямая / есть график функции (3). Для этого нам нужно еще доказать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой /, не удовлетворяют уравнению (3).

Пусть точка N с координатами хг и ух (черт. 13) не лежит на прямой /. Обозначим через M точку пересечения прямой / с прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку N. Тогда точка M будет иметь ту же абсциссу хх и некоторую ординату y2^^i- Так как M лежит на прямой /, то по доказанному выше ее координаты хх и у._. должны удовлетворять уравнению (3), т. е.:

у2 = ахг + Ь.

Отсюда, в силу того, что у%ФУ\, получим:

У\ Ф ахг + Ь,

т. е. координаты хг и ух точки N не удовлетворяют уравнению (3).

Следовательно, прямая / является геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (3), т. е. графиком функции у = ах -f b.

Таким образом, нами доказана следующая теорема. Всякая прямая, не параллельная оси у, являет-

Черт. 13.

ся графиком функции у=ах+Ь, где а—угловой коэффициент данной прямой, а Ь—ордината точки ее пересечения с осью Oy.

Легко видеть, что имеет место и обратная теорема.

Всякая функция вида у = ах + b имеет графиком прямую линию.

В самом деле, если дана функция у = ах-\- Ь, то, проведя через точку b оси Oy прямую с угловым коэффициентом, равным а, мы на основании доказанного выше можем утверждать, что она будет являться графиком именно данной функции.

Определение. Функция вида у = ах + Ь, где а и 6— постоянные коэффициенты, называется линейной.

На основании доказанного выше этому определению равносильно каждое из следующих.

Функция называется линейной, если ее приращения пропорциональны соответствующим приращениям аргумента.

Функция называется линейной, если ее графиком является прямая линия (не параллельная оси ординат). Следует подчеркнуть, откуда вытекает равносильность этих определений: приведенные выше рассуждения показывают, что из третьего определения вытекает второе, из второго—первое, а из первого—третье, что можно схематически изобразить так:

Из этой схемы ясно видно, что из любого из этих определений вытекают все остальные.

Разобрав определения линейной функции, можно предложить учащимся рассмотреть несколько функций с тем, чтобы они определили, какие из этих функций являются линейными, записали каждую из них в виде формулы и наметили вид графика. Предложить можно хотя бы такие функции:

1. Вес сосуда с жидкостью в зависимости от объема налитой жидкости.

2. Площадь квадрата в зависимости от его стороны.

3. Стоимость товара в зависимости от его веса.

4. Скорость тела, брошенного вверх, в зависимости от времени.

5. Стоимость телеграммы в зависимости от числа содержащихся в ней слов (эта стоимость вычисляется почтовыми работниками по следующему правилу: по 30 коп. за каждое слово и еще один рубль за отправку телеграммы).

6. Путь, пройденный телом при равномерном движении, в зависимости от времени.

7. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, в зависимости от времени.

8. Количество воды в ванне в зависимости от времени, если в ванне имеется кран, через который вода вытекает с постоянной скоростью.

9. Вес человека в зависимости от его возраста.

10. Скорость тела при равномерном движении.

При разборе этих примеров нужно, по возможности, начинать с установления пропорциональности приращений функции приращениям аргумента. При этом необходимо подробно выяснить конкретный смысл коэффициентов уравнения у — ах 4- Ь, множество допустимых значений аргумента и другие характерные особенности функции.

Графики целесообразно наметить для всех перечисленных здесь функций, а не только для линейных.

После этого можно предложить учащимся на дом следующую задачу.

1. Бидон, в который налито 2,4 л керосина, весит 2,59 кг. Построить по этим данным график зависимости веса бидона с керосином от количества керосина и выразить эту зависимость формулой. Установить по графику или по формуле вес пустого бидона и удельный вес керосина.

На следующем уроке целесообразно предложить учащимся несколько упражнений на составление уравнений прямых, данных на чертеже, и, обратно, на построение графиков линейных функций, данных в виде у = ах + Ь.

Построение прямой по уравнению вида у ~ ах + b также следует выполнять непосредственно по отрезку b на оси ординат и угловому коэффициенту а. Например, чтобы построить прямую y=z2x— 1, берем точку Л, соответствующую числу — 1 на оси ординат; затем строим вторую точку этой прямой, для чего от точки А отступаем на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх; полученную точку В соеди-

Черт. 14.

няем с А (черт. 14). Для повышения точности построения можно абсциссу точки А увеличить не на единицу, а, скажем, на 3 единицы, а ординату — вместо 2 на 6 единиц (приращения функции пропорциональны приращениям аргумента!); если полученную таким образом точку С (см. черт. 14) соединим с Л, получим ту же прямую. Если угловой коэффициент а— дробь, то приращение аргумента удобно выбрать таким, чтобы приращение функции было целым.

Аналогичным образом нужно поступать и при составлении уравнения прямой, данной на чертеже: коэффициенты а и b уравнения у = ах + b прочитываются прямо на чертеже. При этом полезно хотя бы для одной из данных прямых провести вывод ее уравнения. Вместе с построением графиков линейных функций можно также продолжать упражнения в чтении этих графиков. При этом по поводу каждого из построенных графиков могут ставиться такие вопросы:

1) При каких значениях аргумента у>0, у <0?

2) Что можно сказать о величине у, если х > 0, если х<0?

3) При каких значениях х величина у имеет тот же (противоположный) знак, что и X?

Относительно каждой из рассмотренных линейных функций должно быть также выяснено, будет ли она возрастающей или убывающей. Тот же вопрос полезно выяснить и относительно линейных функций, рассмотренных на предыдущем уроке. После этого необходимо подробнее остановиться на вопросе о возрастании или убывании линейной функции, выяснив зависимость этих свойств от знака углового коэффициента. В связи с этим можно выяснить и более общий вопрос о влиянии коэффициентов уравненияу= ах-]- b на положение его графика.

На этом же уроке может быть разобран и вопрос о прямой пропорциональности как частном случае линейной функции. При этом нужно иметь в виду, что нет нужды здесь специально изучать пропорциональную зависимость величин— с ней учащиеся достаточно имели дело в VI и VII классах. В VIII классе должно быть выяснено только отношение этого понятия к общему понятию линейной функции, определяемое равенством / (0) = 0. Это можно пояснить хотя бы на примере рассмотренной выше зависимости веса сосуда с жидкостью от объема этой жидкости: если мы можем пренебречь весом сосуда по сравнению с весом жидкости или же просто будем рассматривать вес жидкости без сосуда, то получим прямую пропорциональность.

В этой же связи уместно поставить перед учащимися вопрос, может ли линейная функция быть нечетной или четной.

Следующий (третий по счету) урок можно посвятить общему уравнению прямой.

Если дано любое уравнение первой степени с двумя неизвестными

тх + пу=р, (4)

где коэффициент п Ф О, то, выражая из него у через х, получим:

y=-f (5)

т. е. выражение вида у — ах -\-Ь. Следовательно, уравнение (4) определяет у как линейную функцию аргумента л\ а потому графиком этого уравнения является прямая линия, не параллельная оси ординат. Уравнение (4), так же как и уравнение (5), называется уравнением этой прямой.

Если же в уравнении (4) коэффициент п — О, то это уравнение вовсе не определяет у как функцию от х. Однако геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, — графиком уравнения — будет в этом случае, очевидно, прямая, параллельная оси ординат.

Резюмируя все сказанное, приходим к следующему выводу:

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными имеет своим графиком прямую линию, и, обратно, всякая прямая линия на плоскости является графиком некоторого уравнения первой степени с двумя переменными.

По этой причине уравнения первой степени называются также линейными уравнениями. Для построения графика линейного уравнения необязательно каждый раз решать его относительно у: зная заранее, что графиком уравнения должна являться прямая линия, достаточно любым способом вычислить координаты двух ее точек.

В качестве приложения этого материала можно проделать несколько упражнений в графическом решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Стоит позаботиться о том, чтобы в числе предложенных систем были определенные, неопределенные и противоречивые. Не вдаваясь в детали исследования, следует, однако, отметить эти возможные случаи (они должны быть уже известны учащимся из VII класса), а также выяснить условия того, чтобы система имела единственное решение; для этого необходимо и достаточно, чтобы графики уравнений системы имели различные угловые коэффициенты, т. е. чтобы коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы не были пропорциональны.

Хорошим упражнением служит также составление уравнения прямой, заданной координатами двух своих точек. Проще всего это делается при помощи неопределенных коэффициентов.

7. Простейшие преобразования графиков

Умение выполнять простейшие преобразования графиков во многом способствует сознательному усвоению учащимися функционального материала. С некоторыми такими преобразованиями— параллельным переносом в направлении осей абсцисс и ординат—учащиеся встречаются при изучении графика квадратного трехчлена. Однако при той беглости, с которой обычно говорится об этих вопросах, учащиеся часто не успевают в них разобраться. Поэтому мы считали необходимым выделить вопросы о преобразованиях графиков в отдельную небольшую тему, в которую включили параллельный перенос графиков в направлении оси абсцисс и оси ординат, симметрию относительно оси абсцисс, а также некоторые приложения этих преобразований.

Начать следует с самого простого из перечисленных преобразований — параллельного переноса в направлении оси ординат. Подвести учащихся к этому преобразованию лучше всего на возможно более конкретных примерах вроде следующего.

На черт. 15 изображен график изменения температуры воздуха в Москве в течение одних суток. Построить на том же чертеже график температуры воздуха в течение тех же суток в Ленинграде, если известно, что температура в Ленинграде была все это время на 3° выше температуры в Москве.

Черт. 15.

Пользуясь данным графиком, учащиеся легко строят точки, характеризующие температуру в Ленинграде в отдельные моменты времени, а затем формулируют общее правило построения графика температуры в Ленинграде.

Разобрав, если нужно, еще пример такого же характера, учитель подводит итог — формулирует в общем виде постановку задачи и ее решение.

Пусть дан график функции y—f {х)\ требуется построить график функции y—f (х) + а, где а — постоянное (положительное или отрицательное) число. Для этого ординату каждой точки данного графика нужно увеличить на а единиц. Таким образом, график функции у =f(x) 4- а получается из графика функции y=f(x) переносом в направлении оси ординат на а единиц (на а единиц вверх при а>0 и на а единиц вниз при а<0). Если учащимся на уроках геометрии говорилось об общем понятии геометрического преобразования фигур (хотя бы в связи с подобным преобразованием), то здесь нужно отметить, что параллельный перенос графика также является геометрическим преобразованием: каждая точка данного графика y = f(x) переходит в некоторую точку графика у —f (х) + а.

В качестве упражнения учащимся может быть предложено наметить графики функций, отличающихся постоянным слагаемым от уже известных учащимся функций у — х2, у — л:8, у = Ух, у—— и др. При этом нет нужды тратить время на точное вычерчивание графиков: достаточно, если учащиеся прямо от руки (но, по возможности, аккуратно) наметят их общий вид. Хорошо, если некоторые из предлагаемых функций будут даваться в таком виде, чтобы для применения установленного выше правила нужно было выполнить некоторые тождественные преобразования. Так, например, для построения графика у—- нужно выполнить почленное деление числителя на знаменатель, после чего обнаружится, что график данной функции получается из гиперболы у = — переносом на 2 единицы вниз.

Полезно дать учащимся и обратную задачу: по данным на чертеже кривым составить их уравнения. Разумеется, для этого упражнения нужно предлагать уже известные учащимся кривые, смещенные в направлении оси ординат. Чтобы не тратить лишнего времени на вычерчивание этих кривых на доске (а здесь нужна точность, достаточная для того, чтобы учащиеся могли узнать эти кривые), учителю лучше всего обзавестись шаблонами наиболее часто встречающихся кривых, вырезанными в размерах, согласованных с

размерами разграфленной в клетку классной доски, из плексигласа, фанеры или хотя бы из бумаги. Достаточно будет, например, набора, содержащего шаблоны кривых:

Подводя итог разбору этого преобразования, полезно выяснить, какие из следующих характеристик функции / (л:) сохраняются для функций вида / (х) + а:

1. Допустимые значения аргумента.

2. Участки возрастания и убывания функции.

3. Скорость возрастания или убывания.

4. Наибольшие и наименьшие значения функции, а также значения аргумента, при которых эти значения функции достигаются.

5. Участки, на которых функция имеет положительные и отрицательные значения.

6. Четность или нечетность функции.

В связи с переносом графика в направлении оси ординат нами была также разобрана следующая задача:

при расчете болтовых соединений диаметры железных болтов выбирают в зависимости от нагрузки, на которую эти болты рассчитаны, согласно формуле:

d = 0,045 KQ + 0,5,

где d — диаметр болта в сантиметрах, a Q—предельная нагрузка в килограммах. Наметить примерный вид графика зависимости d от Q. Построить этот график точнее (для 0<Q<3000), вычислив для этого координаты нескольких его точек.

После переноса графика в направлении оси ординат можно перейти к симметрии относительно оси абсцисс, которая соответствует изменению знака функции. Изучение этого преобразования проводится по той же схеме, что и предыдущего, так что мы ограничимся здесь лишь отдельными замечаниями.

1. Среди прочих упражнений необходимо выяснить форму и положение графика функции вида у = ах2 при отрицательных значениях коэффициента а.

2. В упражнениях на построение графиков можно предлагать и такие функции, которые получаются из более простых, известных ранее учащимся, при помощи последовательного выполнения обоих изученных преобразований. При этом учащимся должно быть показано, что выбираемые преобразования зависят от того, в каком порядке мы хотим их

выполнять. Так, например, график у = 1 — х2 может быть получен из параболы у = х2 преобразованием симметрии относительно оси абсцисс и последующим переносом на 1 вверх (черт. 16а). Представив же данную функцию в виде У = — (х2 — 1), видим, что тот же график может быть получен из параболы у = х2 переносом на 1 вниз и последующей симметрией относительно оси абсцисс (черт. 166).

3. Разобрав с учащимися преобразование симметрии относительно оси абсцисс, нужно в применении к функции —/ (х) остановиться на тех же вопросах 1 — 6, которые были выше сформулированы относительно функции / (х) 4- а.

Труднее первых двух преобразований воспринимают учащиеся перенос графика функции в направлении оси абсцисс. Подвести учащихся к этому преобразованию лучше всего снова на конкретных примерах. Нами были использованы для этого следующие примеры:

1. На черт. 17 изображен график изменения уровня воды в Волге, в районе г. Горького, во время весеннего половодья. Построить график изменения уровня воды в Волге во время весеннего половодья в районе г. Казани,считая, что уровень воды в каждый момент в г.Казани такой же, какой был за 7 суток до этого момента в г. Горьком.

2. Считается, что стальной болт может выдержать нагрузку на 1000 кг большую, чем железный болт того же диаметра. Пользуясь построенным ранее графиком зависи-

Черт. 16.

мости диаметра железного болта от нагрузки, на которую он рассчитан, построить график зависимости диаметра стального болта от нагрузки. Выразить эту зависимость формулой.

Остановимся подробнее на методике разбора второго примера. Начать нужно с построения отдельных точек искомого графика с тем, чтобы подметить способ их получения из точек данного. Чтобы построить какую-нибудь точку искомого графика, мы должны прежде всего задаться некоторым значением аргумента, т. е. нагрузки Q (взять некоторую точку оси абсцисс). Чтобы найти соответствующий этой нагрузке диаметр стального болта, воспользуемся тем что данный график (черт. 18) позволяет определять для каждой данной нагрузки диаметр соответствующего ей железного болта. В соответствии с условием задачи уменьшим взятое нами значение Q на 1000 кг (сместимся из выбранной точки оси абсцисс на 1000 единиц влево) и найдем соответствующий полученной нагрузке Q —1000 диаметр железного болта (восставим из полученной точки оси абсцисс перпендикуляр к ней до пересечения с данным графиком). Полученная величина и является искомым диаметром стального болта, соответствующим нагрузке Q (из взятой сначала точки оси абсцисс восставим к ней перпендикуляр, равный полученному последним действием перпендикуляру). Очевидно, что построенная нами таким образом точка искомого графика может быть сразу получена из

Черт. 17.

точки данного графика, имеющей абсциссу Q — 1000, переносом вправо на 1000 единиц. Для получения искомого графика в целом нужно эту операцию проделать с каждой точкой данного графика, т. е. перенести данный график на 1000 единиц вправо.

Очевидно, все проведенные здесь рассуждения носят совершенно общий характер и не зависят от индивидуальных свойств рассматриваемых в этом примере функций d (Q) и dl (Q); эти рассуждения применимы всегда, когда рассматриваются две функции f (х) и g (х), связанные соотношением

g (х) =/ (х-а),

где а — некоторое постоянное (положительное или отрицательное) число, и требуется, зная график первой из них, построить график второй. Поэтому мы можем сформулировать следующее правило: если функция g (х) получается из функции / (х) заменой аргумента х выражением х — я, где а — постоянное число, то график у = g (х) получается из графика y=f (х) переносом на а единиц в направлении оси абсцисс.

Например, функция у = —-— , которая получается из функции у= — заменой аргумента х выражением jc+1, имеет своим графиком гиперболу, для построения которой достаточно гиперболу у = — перенести на 1 единицу влево (черт. 19).

Упражнения на это преобразование носят такой же характер, как и выполняемые при изучении предыдущих: по-

Черт. 18.

строение графиков функций с указанной заменой аргумента (сначала самой по себе, а потом и в сочетании с прибавлением к функции постоянного слагаемого и с изменением знака функции), а также составление уравнений кривых, данных на чертеже.

В числе функций для построения графиков полезно дать примеры квадратных трехчленов и дробно-линейных функций. Для приведения этих функций к виду, удобному для построения графиков, нужно в квадратном трехчлене выполнить выделение полного квадрата, а в дробно-линейной функции — выделение целой части.

В этой связи была разобрана также следующая задача.

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40м/сек. Написать формулу, выражающую высоту подъема этого тела в зависимости от времени. Построить график высоты подъема. Построить на том же чертеже график и написать формулу высоты подъема другого тела, брошенного вверх с той же начальной скоростью через некоторое время после первого, если известно, что через 7 сек. после начала движения первого тела второе было на высоте 66 м. Определить по графику, через какое время после начала движения первого тела было брошено второе. (Ускорение силы тяжести принять равным 10 м/сек.2)

Заканчивая изучение этого преобразования, следует разобрать в отношении функции f(x-ha) те же вопросы 1—6, которые перечислены на стр. 103 относительно функции

Черт. 19.

В качестве непосредственного приложения всего этого материала полезно несколько подробнее рассмотреть дробно-линейную функцию. Графики отдельных дробно-линейных функций могли быть построены еще раньше. Теперь нужно показать, что всякая дробно-линейная функция, т. е. функция вида

v = a^, (1)

где с Ф 0 (в противном случае данная функция—линейная), может быть приведена к виду

x -f- п

откуда вытекает, что графиком дробно-линейной функции является гипербола, получающаяся из графика обратной пропорциональности у = — параллельным переносом в направлении оси ординат на m единиц и в направлении оси абсцисс на п единиц (черт. 20).

Черт. 20.

По графику устанавливается, что допустимыми для дробно-линейной функции являются все значения аргумента, за исключением значения х —--— , для функции, записанной в виде (1), или X = — п для функции, записанной в виде (2).

Величина у принимает все значения, причем каждое—при одном значении х, за исключением значения — или m (для функции, записанной соответственно в виде (1) или (2), которое она не принимает ни при каком значении х. Наконец, дробно-линейная функция убывает или возрастает в окрестности любого допустимого значения х в зависимости от положительности или отрицательности коэффициента k в записи (2).

К дробно-линейной зависимости величин приводят многие задачи практического характера. Укажем для примера одну из них.

Трелевочный трактор, который применяется на лесоразработках для транспортировки леса, волочит за собой связку бревен определенной ширины и высоты. Показать, что среднее давление, которое оказывает трактор с бревнами на грунт, есть дробно-линейная функция длины бревен. Выразить эту функцию в виде формулы, пользуясь данными, приведенными в таблице:

Длина бревен (в м)

4

7

9

Давление (в кг/дм2)

17

14

13

Построить график давления в зависимости от длины бревен; определить по графику давление на грунт трактора без бревен, а также одних бревен.

Заметим, что для однозначного определения четырех коэффициентов а, Ь, с и d, входящих в выражение (1), необходимы четыре уравнения, тогда как условия задачи дают возможность составить только три. Однако в действительности нам не нужно определять всех четырех коэффициентов. В самом деле, очевидно, функция (1) не изменится, если мы коэффициенты а, Ь, с и d умножим на любое число, т. е. заменим величинами, им пропорциональными. Этот факт выражают, говоря, что коэффициенты в записи (1) дробно-линейной функции определяются с точностью до пропорциональности. В частности, так как с ф О, умножением всех коэффициентов на — можно добиться того, что коэффициент при X в знаменателе станет равным 1. Предполагая сразу, что с=19 мы сведем задачу к нахождению трех коэффициентов a, b и d. Заметим еще, что мы сразу пришли бы к трем неизвестным коэффициентам, если бы искали дробно-линейную функцию в виде (2), но уравнения в этом случае не были бы линейными относительно неизвестных k, m, п.

К дробно-линейной функции приводят также многие задачи, имеющие привычный для учащихся характер. Можно отметить этот факт, разобрав, например, такую задачу.

В бассейн проведены две трубы, из которых первая может наполнить пустой бассейн за х часов, а вторая за у часов. При совместной работе двух труб бассейн наполнится за два часа. Составить уравнение, связывающее величины ли у, построить его график и исследовать по нему зависимость величины у от х.

График этой зависимости изображен на черт. 21; стрелки на нижней ветви гиперболы показывают, что начало координат не принадлежит графику; система значений х = О, у = 0 не удовлетворяет уравнению — + — = — , связывающему по условию задачи величины х и у, но удовлетворяет уравнению 2х + 2у = ху, получающемуся из этого уравнения освобождением его от дробных членов. Выясняя с учащимися это обстоятельство, нужно указать, что нулевые значения переменных не имеют смысла по условию задачи. Отрицательным же значениям X и у целесообразно приписать определенный смысл: отрицательное значение х означает, что первая труба не наполняет, а опорожняет бассейн за соответствующее время. При таком соглашении, исследуя зависимость между -v и у, можно выяснить довольно много вопросов, например:

1. Что можно сказать о величинах х и у, если обе они положительны?

2. Как изменяется у при возрастании х (в частности, при неограниченном возрастании х)?

3. При каких значениях х величина у будет отрицательной?

4. Могут ли обе величины х и у быть отрицательными?

Ответы на все эти вопросы необходимо немедленно переводить на язык данной задачи. Так, например, ответ на второй вопрос должен быть сформулирован так: при возрастании величины X величина у убывает; это означает,

Черт. 21.

что чем больше времени требуется первой трубе для наполнения бассейна (т. е. чем меньше мощность первой трубы), тем меньше времени должно требоваться для этого же второй трубе (тем больше должна быть мощность второй трубы, чтобы вместе с первой она могла наполнить бассейн в установленное условиями задачи время — 2 часа). Если х будет очень большим, то у будет весьма мало отличаться от 2; это означает, что, если одной первой трубе требуется очень много времени для наполнения бассейна (т. е. если первая труба почти не помогает второй), второй должно требоваться для наполнения бассейна лишь немногим более двух часов.

8. Квадратный трехчлен и квадратные уравнения

Если предыдущий функциональный материал усвоен учащимися, то изучение квадратного трехчлена не вызывает затруднений. При этом можно считать, как мы и делали, вопрос о выражении корней квадратного трехчлена через его коэффициенты, т. е. вопрос о решении квадратных уравнений, одним из вопросов, относящихся к исследованию свойств квадратного трехчлена, наряду с вопросами о возрастании и убывании, знаке и т. п. С этой точки зрения целесообразно рассмотреть некоторые общие свойства квадратного трехчлена до вывода формул его корней.

С выделением полного квадрата из квадратного трехчлена полезно знакомить учащихся VIII класса с самого начала учебного года. При изучении преобразований графиков выделение квадрата можно было применить к построению графика квадратного трехчлена. Переходя непосредственно к изучению квадратного трехчлена, нужно лишь проделать эти преобразования в общем виде и сделать все необходимые выводы.

Для построения графика и установления его общих свойств, квадратный трехчлен

(1)

представляется в виде

(2)

а затем в виде

(3)

Формула (3) показывает, что графиком квадратного трехчлена (1) является парабола, получающаяся из параболы

у = ах2 переносом на — у- в направлении оси абсцисс и на -- в направлении оси ординат.

Эта парабола:

1 имеет осью симметрии прямую х = — — ;

2° обращена выпуклостью вниз или вверх, в зависимости от того, будет ли а > 0 или а < 0.

По графику квадратного трехчлена (1) и параллельно этому по формуле (2) устанавливаются следующие основные свойства трехчлена, ограничиваясь сначала для определенности случаем а>0 (черт. 22).

1. При;с<— — квадратный трехчлен убывает, а при X > — — возрастает.

2. При X =--— квадратный трехчлен (1) принимает свое наименьшее значение, равное----.

3. Каждое значение у >--квадратный трехчлен (1) принимает при двух значениях х\ значение у =-- он принимает при одном значении х (равном--—\ ; зна-

Черт. 22.

чений y <--эта функция не принимает ни при каком значении х.

Значения аргумента, которым соответствует значение функции, равное нулю, называют обычно корнями этой функции. Из свойства (3) вытекает следующее свойство:

4. Квадратный трехчлен (1) не имеет корней, если --->0 (черт. 23,а), т. е. если о2— 4ас < 0, имеет один корень, если--= 0 (черт. 23,6), т. е. если Ь2 — 4ас = О, и два корня хг и если — Ь* ~~ 4ас < 0 (черт. 23,в), т. е. если б2 — 4я£>0.

Черт. 23.

5. Если--— > 0, то квадратный трехчлен будет положителен при всех значениях х (черт. 23,а) ; если--= 0, то квадратный трехчлен будет положителен при всех значениях х, кроме значения х =--— , являющегося корнем трехчлена (черт. 23,6); если —--< 0, то квадратный трехчлен будет отрицателен при значениях ху заключенных между корнями трехчлена, т. е. при х}<^х <^х7, и положителен при значениях х, лежащих вне этого промежутка, т. е. при х<хх или х>х2 (черт. 23,в).

Установив таким образом, свойства квадратного трехчлена при а>0, можно предложить учащимся самостоятельно разобрать по тому же плану случай а<0. Подводя на следующем уроке итоги разбору, можно будет обнаружить, что как в случае <я>0, так и в случае а<0, существование корней трехчлена зависит лишь от знака выраже-

ния b2 — 4ас, называемого дискриминантом квадратного трехчлена (1): если дискриминант квадратного трехчлена положителен, трехчлен имеет два корня; если дискриминант равен нулю, — один корень, и если дискриминант отрицателен, — не имеет корней.

Запоминать большое число общих формулировок, относящихся к возрастанию или убыванию квадратного трехчлена, его знаку и тг п., не имеет смысла. Целесообразнее рекомендовать учащимся запомнить лишь указанную только что зависимость числа корней трехчлена от знака его дискриминанта, а также свойства 1° и 2° его графика (см. стр. 112). В тех же случаях, когда встречается необходимость использовать какие-либо другие свойства квадратного трехчлена, учащимся проще всего представить себе мысленно вид его графика.

Заметим в связи с этим, чго для построения графика квадратного трехчлена нет необходимости каждый раз выделять полный квадрат: зная заранее, что графиком трехчлена у = ах2 4 Ьх + с является парабола, симметричная относительно прямой х = —— , можно начать с построения этой прямой. Затем подстановкой в данный трехчлен значения X = — — найдем ординату вершины параболы; после этого, определив вычислением координаты двух-трех точек графика, лежащих по одну сторону от оси симметрии, мы сможем с достаточной для практических целей точностью наметить график трехчлена.

В качестве примерных упражнений, которые могут быть выполнены при изучении квадратного трехчлена, укажем задачу 2 из статьи „Алгебра", помещенной в сборнике „Преподавание математики в свете задач политехнического обучения" (изд. 2, изд-во АПН РСФСР, 1954), а также следующую физическую задачу.

Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх. Известно, что тело достигло наибольшей высоты через 1 сек. и упало на землю через 6 сек. после начала движения.

1. Построить график высоты тела с момента начала его движения до момента его падения на землю.

2. Определить высоту, с которой было брошено тело, его начальную скорость и наибольшую высоту подъема.

3. Продолжить построенный график влево до его пересечения с осью абсцисс. Каков физический смысл этого участка графика?

4. Продолжить график вправо. Каков физический смысл этого продолжения графика?

Прекрасным практическим применением свойств квадратного трехчлена являются задачи на отыскание наибольших

и наименьших значений. Некоторое число таких задач приводится в упомянутой уже выше статье „Алгебра". Полезно рассмотреть еще одну задачу.

В деревянном бруске, имеющем квадратное основание со стороной а и высоту h (А<а), нужно сделать квадратный вырез. Какой нужно взять сторону основания этого выреза, чтобы полная поверхность оставшейся части бруска (черт. 24) была наибольшей? Ответить на тот же вопрос, если А> а.

Некоторые из задач на нахождение наибольших или наименьших значений, приводящиеся непосредственно не к квадратному трехчлену, а к более сложным функциям, могут быть решены при помощи общего приема определения участков возрастания и убывания функций (см. стр. 90—92) и известных учащимся сведений о знаке квадратного трехчлена. Приведем примеры таких задач.

1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 1 км2. Какими должны быть стороны этого прямоугольника, чтобы длина забора оказалась наименьшей?

2. Страница книги имеет площадь 5 см2. Согласно техническим условиям, общая ширина полей сверху и снизу текста должна составлять а см, а справа и слева b см. При каком отношении сторон этой страницы площадь, занимаемая напечатанным текстом, будет наибольшей? Проверить, будут ли наивыгоднейшими в этом смысле размеры страниц „Сборника задач по алгебре" П. А. Ларичева.

Решение этих задач приводится к исследованию функции вида у =-!—. Покажем, как они решаются, на примере первой из них.

Пусть длина участка х км. Тогда его ширина будет равна км, а его периметр р = 2х + -~ . Для определения наименьшего значения р найдем участки возрастания и убывания величины р как функции х (допустимыми значениями X являются все положительные числа). В соответствии с общим приемом дадим аргументу х некоторое приращение h и рассмотрим новое значение величины р:

Черт. 24.

Приращение величины будет равно:

Рассмотрим, наконец, отношение приращений:

При малых h знаменатель последней дроби будет положителен для любого x Ф О, так что знак дроби будет совпадать со знаком ее числителя. Знак же числителя при малых h определяется знаком выражения 2хг — 2, которое будет отрицательно при 0<x<l и положительно при х>1. Таким образом, величина р убывает при увеличении x от 0 до 1 и возрастает при дальнейшем увеличении х. Следовательно, периметр участка будет наименьшим, если его длина х = — 1 км, участок будет при этом квадратным.

При изучении квадратных уравнений основными теоретическими моментами являются выражение корней уравнения через коэффициенты (формулы корней) и выражение коэффициентов уравнения через его корни (теорема Виета). Оба эти момента допускают графическую иллюстрацию, с которой полезно познакомить учащихся.

Вывод формулы корней квадратного уравнения (мы ограничимся для простоты приведенным уравнением) можно сопроводить следующей геометрической иллюстрацией. Пусть дано приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0. Построим график его левой части, т. е. квадратного трехчлена у = x2 + px-{-q (черт. 25). Обозначим вершину полученной параболы через Л, точки ее пересечения с осью абсцисс — через В и С и точку пересечения с осью абсцисс ее оси симметрии — через М. Так как абсцисса точки M нам известна ^она равна —~j , то для определения абсцисс хх и х2 точек В и С достаточно определить каждый из равных между собой отрезков ВМ и MC. Определим сначала длину

Черт. 25.

отрезка MA. Ордината точки А равна значению данного трехчлена при х =--— :

Так как ордината точки А отрицательна (если бы она была положительна, то данное уравнение не имело бы корней), то для определения длины отрезка AM нужно эту ординату взять с противоположным знаком:

Для определения отрезка MC дополним прямоугольный треугольник AMC до прямоугольника AMCD.

Так как рассматриваемая парабола получается с помощью параллельного переноса из графика функции у •■= х2, то имеет место соотношение:

CD = AD\

откуда AD = V^D, или

Теперь, зная абсциссу точки Ж, легко вычислить абсциссы точек В и С, являющиеся корнями данного уравнения:

Полученные выражения совпадают с известной формулой корней приведенного квадратного уравнения.

Что касается теоремы Виета, то здесь весьма простой геометрический смысл имеет соотношение хх + х2 =--— .

Так как прямая х =--является осью симметрии параболы у = ах2 -f- Ьх 4~ с (черт. 25), точка пересечения этой прямой с осью абсцисс является серединой отрезка между точками пересечения параболы с осью абсцисс. Следовательно, значение х =--— является средним арифметическим корней хх и хъ т. е. *1 ^ *2 = — ^- , откуда и выте кает, что хг + х2 =--.

Простую геометрическую иллюстрацию допускает также зависимость знаков корней квадратного уравнения от знаков

его коэффициентов. Чтобы не увеличивать здесь число возможных случаев, ограничимся снова приведенным квадратным уравнением х2 + рх -f- q = 0. Его свободный член q есть, очевидно, ордината точки пересечения графика трехчлена у = х2 + рх + q с осью ординат, а коэффициент р определяет абсциссу вершины этого графика (которая равна —yj î в частности, эта вершина расположена слева от оси ординат при /?>0 и справа при р<0. Если теперь <7>0, то парабола у = X2 рх + q пересекает ось ординат выше оси абсцисс; при этом точки пересечения с осью абсцисс должны лежать по одну сторону от оси ординат — по ту же сторону, что и вершина параболы (черт. 26,а, б). Поэтому корни уравнения у = х2 + рх + q имеют в этом случа е один и тот же знак, такой же, как и величина —— , т. е. противоположный знаку коэффициента р. Если же <7<0, то парабола пересекает ось ординат ниже оси абсцисс, а, следовательно, ось абсцисс — по разные стороны от оси ординат ( черт. 26,в, г);

Черг. 26.

корни уравнения х2-\-рх -h q = 0 будут в этом случае разных знаков. При этом та из точек пересечения параболы с осью абсцисс будет дальше от оси ординат, которая лежит по ту же сторону от оси ординат, что и вершина параболы. Поэтому тот из корней данного уравнения будет больше по абсолютной величине, который имеет знак, совпадающий со знаком величины--, т. е. противоположный знаку р.

При проведении этого исследования стоит остановиться также на случаях, когда хотя бы один из коэффициентов р и q равен нулю, т. е. на случаях неполных квадратных уравнений. В случае q = 0 парабола у = х2 + рх пересекает ось у в начале координат (черт. 27), так что один из корней уравнения х- + рх = О равен нулю. В случае р = О парабола симметрична относительно оси ординат (черт. 28) так что корни уравнения х24- q = О противоположны друг, Другу.

Ту же зависимость между знаками коэффициентов уравнения X2 4- рх + q = О и знаками его корней можно иллюстрировать геометрически при изучении известного способа графического решения этого уравнения, заключающегося в сведении его к решению системы:

Различные возможные случаи графического решения системы изображены на черт. 29, по которому легко сделать выводы о знаках корней данного уравнения. Разбор всех этих

Черт. 27. Черт. 28.

случаев (к ним следует присоединить и случаи обращения каждого из коэффициентов р и q в нуль) является для учащихся полезным упражнением, заставляя их еще раз разобраться в зависимости положения прямой на плоскости от коэффициентов ее уравнения.

Только что указанный прием графического решения квадратных уравнений практически не особенно удобен. Существует другой, также графический прием, позволяющий приближенно находить корни уравнений вида x2J\-px+q=0. Этот прием сводится к построению номограммы.

В уравнении х2 -{-рх + q = 0 переменными считают р и q,

Черт. 29.

а X придают постоянное значение. Положив х — Ъ и х2 — а. мы получаем линейное уравнение а + bp -\- q=0 относительно р и q. Его графиком служит прямая (черт. 30).

Каждой точке плоскости (р; q) соответствуют определенные значения р{ и qly определенное приведенное квадратное уравнение х2 + р}х + сг = 0. Точки плоскости (р; q), принадлежащие прямой а + bp +- q = 0, для каждого значения JCj соответствуют тем квадратным уравнениям, одним из корней которых служит х}.

Построим графики уравнения а -f- bp + q = 0 для ряда значений х. На черт. 31 построено 49 прямых для различных значений х от—9 до 9. На полях чертежа против каждой прямой указаны значения Ху для которых построена каждая из прямых. Отметим, наконец, что для каждой точки (/?,; <7j) плоскости (р\ q) определяется не более двух прямых а -h bp 4- q = 0, коэффициенты а и b для которых находятся из условий

J a -f Ърх + qx = 0, U=62.

Черт. 31 называется номограммой решения квадратных уравнений.

Для решения квадратного уравнения на черт. 31 отыскивается точка, абсцисса и ордината которой равнялись бы соответственно значениям рх и qx данного уравнения, и определяются прямые, проходящие через данную точку или ближайшие к ней из числа начерченных. Значения х, для* которых построены эти прямые, и будут корнями уравнений. Например, для уравнения х2 -f- 7х и- 5 = 0 по положению точки А (7; 5) находим, что хх ^ — 6,2 и х2^ — 0,8. Первоначально с учащимися следует решить несколько уравнений, корнями которых служат целые числа.

На черт. 31 хорошо видна область точек плоскости, через которые не проходит ни одна из построенных нами прямых. Очевидно, эти точки соответствуют квадратным уравнениям, не имеющим корней. Это будут уравнения х2+рх^-, дискриминант которых р2 — 4q < 0, т. е. q >— .

Черт. 30.

Черт. 31.

Следовательно, рассматриваемые точки — это точки, лежащие выше параболы q = — р2. Точки, лежащие на самой параболе q — — р2, соответствуют уравнениям, для которых р2 — 4q = 0, т. е. уравнениям, имеющим равные корни. Так как для каждого значения х существует единственное приведенное квадратное уравнение, имеющее это значение х своим двойным корнем, то каждая из наших прямых имеет с параболой q = — р2 единственную общую точку. Эти прямые являются касательными к параболе. Построенные нами касательные к параболе q — ~~Р2^ как это видно из черт. 31, довольно хорошо очерчивают эту параболу.

Построение разобранной номограммы не только раскрывает практическое приложение графиков, но и дает учащимся средство для приближенного решения квадратных уравнений. Номограмму учащиеся могли бы использовать при решении вычислительных задач на уроках математики и физики. Для этого чертеж надо выполнить на листе миллиметровой бумаги размером в развернутый тетрадочный лист.

Л. П. НИКОЛЬСКИЙ

учитель средней школы № 72, Москва

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В V—VI КЛАССАХ

Изучение геометрического материала в V классе и начал геометрии в VI классе следует тесно связывать с проведением практических работ. Практические занятия в доступной форме раскрывают связи изучаемого материала с жизнью, воспитывают у школьников навыки самостоятельной работы, развивают их пространственное воображение.

Практические работы не следует ограничивать только выполнением измерительных работ непосредственно на местности. В V и VI классах имеется возможность проводить измерительные работы с моделями геометрических тел, с моделями настольных и классных геодезических приборов.

1. Практические работы с моделями геометрических тел

При изучении геометрического материала в курсе арифметики V класса следует шире, чем в каких-либо других классах, использовать модели геометрических тел и чертежи, связывать изучаемые геометрические образы с вещами из окружающей обстановки. Вещи, модели и чертежи могут быть успешно использованы при ознакомлении учащихся с вновь вводимыми понятиями и для решения задач. В V классе, кроме того, измерения моделей служат сильным, если не единственным, средством убеждения учащихся в истинности высказываемых утверждений.

Учащихся следует подводить к изучению свойств геометрических фигур с помощью измерения моделей. Задачи по изученному геометрическому материалу полезно решать не только по готовым числовым данным, но и по данным, получаемым в результате измерений. Вводя понятие о той или иной фигуре, полезно, чтобы учащиеся сами изготовили ее модель.

На приводимых ниже примерах раскрывается методика проведения таких работ.

Прямоугольник и квадрат. Многолетний опыт автора показывает, что понятие прямоугольника и квадрата, их площади и периметра усваиваются учащимися пятых классов легче, если изучение проводится в тесной связи с изготовлением моделей и выполнением измерительных работ.

На первый урок учитель приносит готовые модели. Демонстрируя их, учитель расширяет круг известных учащимся сведений об этих фигурах. С помощью вопросов выясняются существенные признаки квадрата и прямоугольника. Учащиеся V класса могут ответить, например, на следующие вопросы:

1. Сколько сторон у прямоугольника и квадрата?

2. Сколько равных сторон у прямоугольника и квадрата?

3. Сколько углов у прямоугольника и квадрата?

4. Как называются углы в прямоугольнике и квадрате?

Для закрепления сообщенных сведений к следующему уроку учащиеся по заданию учителя изготовляют по одной модели квадрата и прямоугольника. Эти модели в дальнейшем используются для проведения практических работ и при решении задач.

Предлагаемые практические работы служат не только средством ознакомления, но и закреплений изучаемого материала; особенно полезны задания, требующие от учащихся самостоятельного отыскивания исходных данных. Обычно это делается так; один ученик вызывается к доске, получает модель фигуры, измерительный инструмент и в зависимости от условий задачи производит сначала необходимые измерения, а затем соответствующие вычисления. Остальные учащиеся записывают результаты производимых измерений в тетради, после чего самостоятельно решают задачу.

Ниже приводятся примеры задач, решаемых таким путем.

Задача 1. Сделав необходимые измерения, определить площадь модели прямоугольника.

Задача 2. По модели прямоугольника определить периметр такого же по форме земельного участка, приняв 1 см на модели за 10 м на местности.

Задача 3. Вычислить, сколько надо внести удобрения на земельный участок, определяемый условием задачи № 2, если на каждый гектар вносится по 2,7 ц суперфосфата.

Задача 4. Вычислить, сколько можно на таком участке посадить фруктовых деревьев, если расстояние между деревьями в рядах принять равным 6 м, а между рядами — 8 м.

Задача 5. Определить по модели площадь квадрата, сделав необходимые измерения.

Задача 6. Определить периметр данного квадрата.

Задача 7. В кухне перед плитой требуется облицевать кафельными плитками часть стены размером 2X1,5 м.

Сколько потребуется квадратных плиток со стороной в 15 см?

Практические работы по измерению периметра фигур надо производить вслед за измерением их площади. В результате такого приема учащиеся реже допускают смешение понятий площади и периметра.

В ходе измерительных работ учащимся необходимо сообщить первые сведения о приближенных вычислениях и объяснить, что степень точности измерений зависит от качества измерительных инструментов, от характера поставленной задачи и практических потребностей.

Параллелограмм. На первом уроке, посвященном этой теме, по готовым моделям изучаются свойства параллелограмма и прямоугольника. Наглядное сравнение и непосредственное измерение приводят учащихся к убеждению, что эти фигуры обладают некоторыми общими свойствами: параллельность и равенство противоположных сторон; наличие четырех углов. При этом следует отметить, что в прямоугольнике все углы прямые, а в параллелограмме — два острых и два тупых. Это свойство удобно продемонстрировать на шарнирной модели параллелограмма.

Для вывода формулы площади параллелограмма следует взять две равные бумажные модели параллелограмма. Одну из моделей на глазах у учащихся разрезать так, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник, площадь которого учащиеся уже умеют вычислять. Таким образом становится ясно, что для вычисления площади параллелограмма надо измерить его высоту, расстояние между противоположными сторонами и умножить ее на длину основания параллелограмма.

На дом дается задание: изготовить параллелограмм, определить его периметр и вычислить площадь. Изготовленные модели и результаты вычислений сдаются на просмотр для оценки.

Треугольник. Знакомство с треугольником начинается с показа готовых моделей различного вида. Изображения треугольников чертятся на доске, а ученики делают чертежи в тетрадях.

Затем объясняется прием построения высоты с помощью угольника. Дома учащиеся изготовляют модели различных треугольников и по одной из них определяют длину сторон, периметр, а также строят высоты и измеряют каждую из сторон. Изготовленные модели на последующих уроках используются для измерительных работ.

Используя равносоставленность треугольника и параллелограмма (черт. 1), треугольника и прямоугольника (черт. 2), можно дать понятие о площади треугольника и о способе ее вычисления. Крайне полезно, чтобы каждый учащийся.

на своих моделях разрезанием треугольника на части «перекроил» его и в параллелограмм и в прямоугольник.

На последующих занятиях, параллельно с изучаемым программным материалом, учащиеся закрепляют общую формулу измерения площади треугольника путем решения задач, связанных с непосредственным измерением фигур.

Задача 1. Определить площадь и периметр данного прямоугольника, сделав для этого необходимые измерения.

Задача 2. По данной модели вычислить площадь участка земли, имеющего форму прямоугольника (параллелограмма, треугольника), приняв 1 см на плане за 100 м на местности.

Задача 3. По модели данного прямоугольника определить периметр земельного участка такой же формы, приняв 1 см на плане за 25 м на местности, и рассчитать, сколько-

Черт. 1. Черт. ?.

Черт. 3.

потребуется столбов для изготовления изгороди, считая расстояние между столбами в 3 м.

Задача 4. Сделать необходимые измерения и определить площадь данного прямоугольника, а также площади выделенных на нем фигур (черт. 3).

Черт. 4.

Задача 5. Определить площадь прямоугольника и каждого треугольника в отдельности (черт. 4).

Задача 6. Определить, какую часть площади прямоугольника составляет средний треугольник (черт. 4).

Черт. 5.

Задача 7. Определить площади данных прямоугольника, параллелограмма и треугольников (черт. 5).

Задача 8. Определить площади прямоугольника и треугольников (черт. 6).

Задача 9. Определить площадь данного квадрата и его периметр.

Задача 10. Вычислить, сколько потребуется паркетных шашек, определяемых условием задачи 9, для настилки пола комнаты, длина которой 7,5 м, а ширина 3,6 ж?

Черт. 6.

Задача 11. Определить площадь квадрата, восьмиугольника и треугольников (черт. 7).

Задача 12. Определить по данному прямоугольнику (черт. 8) площадь строительной площадки и площадь, занимаемую домом, приняв 1 см на плане за 10 ж на местности.

Черт. 7.

Задача 13. Определить в кубических метрах количество земли, которое надлежит вынуть из котлована глубиной в 5 м, если площадь котлована равна площади, занимаемой домом (черт. 8).

Задача 14. Определить периметр фигуры (черт. 9), изображающей здание нашей школы, и вычислить площадь, занимаемую школой, приняв 1 см на плане за 5 ж на местности.

Изучение геометрического материала без практических работ приводит учащихся к многочисленным ошибкам, порою самым неожиданным и грубым. При проведении занятий по указанной методике знания учащихся оказываются несравненно более глубокими и прочными. Мы убедились в этом, проведя контрольную работу: учащиеся получили вырезанные из бумаги параллелограмм и треугольник. В задании предлагалось: 1) определить площадь параллелограмма; 2) определить площадь треугольника; 3) вычислить периметр параллелограмма; 4) вычислить периметр треугольника.

При решении задач требовалось с помощью масштабной линейки произвести измерения моделей и по полученным данным вычислить периметр и площадь треугольника. Работа проводилась в течение одного часа.

Черт. 8.

Черт. 9.

Анализ работы показал следующее:

Учащихся по списку

Писало работу

Правильно вычислили

площади

периметр

параллелограмма

треугольника

параллелограмма

треугольника

41

40

40

38

35

37

Из таблицы видно, что все учащиеся успешно справились с решением первой задачи.

Во второй задаче на вычисление площади треугольника две ученицы приняли за площадь треугольника произведение стороны основания на высоту, а не половину этого произведения.

Третья задача вызвала некоторое затруднение у пяти учениц: в их работах размер боковой стороны оказался равным высоте. Аналогичные ошибки допущены в четвертой задаче.

Прямоугольный параллелепипед (брус и куб). С измерением объемов прямоугольного параллелепипеда и куба учащиеся знакомились в IV классе начальной школы. Однако эти сведения недостаточно прочны и глубоки, поэтому в V классе надо повторить и в меру возможного расширить эти знания.

Демонстрируя параллелепипед, учитель указывает, что он ограничен шестью плоскими гранями, каждая из которых представляет собой прямоугольник. Обращается внимание на равенство противоположных граней, которые для убедительности измеряются, затем дается определение параллелепипеда: прямоугольный параллелепипед есть тело, ограниченное шестью попарно равными прямоугольниками.

Далее на модели показываются ребра прямоугольного параллелепипеда и подсчитывается их число (12). Отмечается, что ребра сходятся в одной точке — вершине — и что вершин имеется восемь; длины трех ребер, сходящихся в одной вершине, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Если у параллелепипеда (бруса) два ребра равны, то говорят, что параллелепипед имеет квадратное основание. Показывается такой брус. Если же все три измерения равны, то брус называют кубом. Следует отметить, что у куба все шесть граней представляют собой равные квадраты.

Затем разъясняется понятие «кубическая единица»: кубической единицей, или единицей объема, называется куб, ребром которого является единица длины. Показываются модели кубического сантиметра и кубического дециметра. Используя угол, образуемый двумя стенами и полом класса, три взаимно перпендикулярных стержня длиною в 1 м каждый, можно создать также представление и о кубическом метре.

С измерением объемов учащиеся знакомятся на разборном кубическом дециметре.

После этого предлагается ряд задач практического содержания.

Задача 1. Произвести необходимые измерения классной комнаты и подсчитать, сколько кубических метров воздуха приходится на одного ученика класса.

Задача 2. Сколько времени требуется экскаватору для того, чтобы выбрать землю из котлована размером 50 мУ^ХЪ л*Х X 4 ж, если его часовая производительность 120 куб. ж? Сколько он заменит землекопов, если человек за смену (8 часов) вырывает 4 куб. м? Сколько надо самосвалов, чтобы вывезти весь грунт, если самосвал берет 3 куб. м?

На дом дается задание изготовить параллелепипед и куб, определить их объемы, а также измерить объем своей комнаты.

При переходе к измерению боковой и полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда дается задание изготовить их развертки (выкройки).

Рассматривая развертку куба, учащиеся убеждаются, что каждая грань куба — квадрат, а площадь боковой поверхности куба равна сумме площадей четырех квадратов, полная поверхность куба равна сумме площадей шести равных квадратов. В тетрадях делается зарисовка развертки куба, сопровождаемая! записью соответствующих формул.

Измеряя поверхность прямоугольного параллелепипеда, учащиеся сначала определяют площадь каждой грани, а затем полученные результаты суммируют. Затем ставится вопрос: «Нельзя ли проще и быстрее вычислить боковую и полную поверхности этого параллелепипеда?» Рассматривая развертку прямоугольного параллелепипеда, учащиеся замечают, что его боковая поверхность имеет форму прямоугольника, площадь которого они уже умеют вычислить. Отсюда приходят к выводу, что периметр основания прямоугольного параллелепипеда надо умножить на высоту параллелепипеда. А для определения полной поверхности надо к боковой поверхности прибавить удвоенную площадь основания параллелепипеда. Вывод записывается соответствующими формулами.

Правила вычисления объема и поверхности параллелепипеда закрепляются решением практических задач. Задачи на определение поверхности прямоугольного параллелепипеда следует чередовать с задачами на вычисление его объема. Такое чередование необходимо, чтобы предупредить возможную ошибку смешения понятий объема и поверхности тела.

Задача 1. Определить стоимость побелки стен и потолка классной комнаты, если побелка 1 кв. м стоит 80 коп. (Окна, двери в расчет не принимать.) Предварительно учащиеся делают измерения.

Задача 2. Определить стоимость побелки потолка и стен вашей комнаты, считая, что побелка 1 кв. м стоит 80 коп.

Задача 3. Требуется оклеить обоями комнату размером 5 X 4 м и высотой 3 м. Сколько кусков обоев надо купить, если длина куска 9 м, а ширина 0,5 м?

Окружность и круг. Формулы длины окружности и площади круга также выводятся опытным путем. Учащиеся заблаговременно заготавливают несколько кружков, на которых и проводят измерение длины окружности и диаметра, записывая данные измерения в таблицу.

Длина диаметра

Во сколько раз длина окружности больше диаметра

Длина окружности

Сравнивая результаты измерений, учащиеся замечают, что длина окружности больше диаметра приблизительно в три раза. Сообщается, что в результате многочисленных измерений и математических вычислений найдены более точные значения отношения длины окружности к длине диаметра. Предлагается записать практически применяемые значения этого отношения, равные —, или 3,14, и сообщается его обозначение:

Учащимся дается формула для нахождения длины окружности: C = kD или С=2ти/?.

Для решения задач на определение длины окружности по диаметру или радиусу и обратных им используются предметы классной обстановки: круглые банки из-под цветов, трубы центрального отопления и водопровода, а также набор различных круглых деталей.

С вычислением площади круга учащиеся знакомятся, используя разрезанную на возможно большее число секторов модель круга, путем преобразования его в «параллелограмм». Такое преобразование показывает, что радиус круга в преобразованной фигуре можно принять за высоту параллелограмма со стороной основания, равной половине длины окружности (С). Приходим к заключению, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на длину радиуса.

Выводы закрепляются решением задач.

Задача 1. Вырезать из картона круг, представляющий модель клумбы в масштабе 1 : 50, если известно, что длина окружности клумбы равна 31,4 м.

Задача 2. Вычислить отдельно площади прямоугольника, треугольников, круга и той части фигуры, которая лежит между кругом и треугольниками (черт. 10).

Задача 3. Определить площади данных фигур: квадрата, круга и частей, не занятых кругом и квадратом (черт. 11, 12).

Черт. 10.

Цилиндр. Рассматривая развертку поверхности цилиндра, учащиеся быстро приходят к выводу, что для вычисления боковой поверхности цилиндра надо длину окружности цилиндра умножить на его высоту. Понятие об измерении объема цилиндра вводится по аналогии с измерением объема прямоугольного параллелепипеда. Полученные выводы закрепляются решением практических задач.

В качестве домашней работы предлагается вырезать выкройку для изготовления цилиндра, произвести измерения модели, необходимые для вычисления поверхности и объема.

Черт. 11. Черт. 12.

Помимо задач, решение которых связано с непосредственными измерениями, полезно ввести задачи с использованием данных чертежей той или иной фигуры или детали.

Задача 1. Определить действительную длину участка железнодорожного пути, если 1 см на плане принять за 2 км, 5 км, 30 км на местности (черт. 13).

Черт. 13.

Задача 2. Найти площадь фигуры, изображенной на черт. 14*.

Черт. 14.

Задача 3. Вычислить площадь фигуры по размерам, указанным на черт. 15.

Черт. 15.

* Для всех задач размеры даны в миллиметрах.

Задача 4. Вычислить площадь заштрихованной части фигуры по размерам, заданным на черт. 16.

Черт. 16.

Задача 5. Определить площадь гаража для двух автомобилей, имеющих длину 4,5 м, ширину 1,8 м при условии, что между машинами и стенами должен быть оставлен проход в 1 м (черт. 17).

Черт. 17.

Черт. 19.

Задача 6. Определить площадь (в м), занимаемую зданием нашей школы (черт. 18).

Задача 7. Из листа железа, размеры которого приведены на чертеже, приготовлена коробка. Найти ее объем и поверхность (черт. 19).

Задача 8. Сколько пойдет мраморных плиток для облицовки четырехгранной колонны с квадратным сечением. Размеры даны на черт. 20.

Задача 9. Определить длину приводного ремня по размерам, данным на черт. 21.

Задача 10. Вычислить площадь кругового кольца по размерам, данным на черт. 22.

Черт. 21.

Черт. 20. Черт. 22.

Задача 11. Из треугольного листа жести вырезан круг. Вычислить процент отхода материала. Размеры даны на черт. 23.

Методика проведения практических работ с геометрическими моделями рассматривалась в данной статье на материале

V класса. Однако многие из рассмотренных методических приемов с успехом можно использовать при изучении систематического курса геометрии в VI классе. Особенно полезны практические работы на первых уроках геометрии.

Черт. 23.

2. Измерительные работы с моделями настольных и классных геодезических приборов

Полезным видом практических работ являются измерительные работы, проводимые непосредственно на местности: в поле, на пришкольном участке, на сквере.

Однако в больших городах возможности проведения измерительных работ на местности крайне ограничены. Это привело меня к мысли организовать изучение принципов геодезических работ в классной обстановке на миниатюрных моделях геодезических измерительных приборов. Такие измерительные работы полезны и при подготовке к выходам в поле.

Изготовление моделей геодезических приборов. Для проведения практических работ по геометрии в классной обстановке надо иметь следующее настольное оборудование: 1) вехи, 2) бирки, 3) эккер, 4) полевой циркуль, 5) рулетку (метровую), 6) угломер (астролябия), 7) эклиметр, 8) компас.

Набор указанных измерительных приборов, кроме компаса, легко изготовить силами учащихся. В процессе изготовления измерительных приборов учащиеся лучше знакомятся с устройством инструментов и прочнее закрепляют в памяти назначение каждого из них.

Материалом для изготовления указанного набора могут служить деревянные розетки, на которых обычно укрепляются электрические выключатели и штепсельные розетки, карандаши, спички и небольшие кусочки фанеры.

Веха. Для изготовления берется деревянная розетка, в середине сверлится отверстие, в которое вставляется карандаш. На последний через каждый сантиметр наклеивается бумаж-

ная поперечная полоска шириной в 10 мм* (черт. 24). Количество вех 10 шт.

Бирка (колышек). Употребляется для обозначения промежуточных точек между двумя вехами. Напилить десять планок указанных размеров (черт. 25); в середине сделать отверстия и вставить по спичке, которые будут изображать короткие колышки. Бирок надо иметь 10—15 шт.

Черт. 24.

Черт. 25.

Эккер. Основанием для стойки эккера служит деревянная розетка, в которой укрепляется стойка эккера (карандаш). К верхнему концу карандаша прикрепляется квадратная дощечка, по углам которой вбивают булавки или гвоздики, определяющие два взаимно перпендикулярных направления (черт. 26).

Рулетка. Ее можно заменить портновским метром.

Полевой циркуль. Для изготовления модели полевого циркуля надо взять три планки и скрепить их так, как это указано на черт. 27.

Угломер (астролябия). Для изготовления этого прибора требуются две деревянные розетки разных диаметров и один карандаш (черт. 28). На верхнее основание наклеивается бумажный лимб**; на концах диаметра (0°—180°) укрепляются булавки для визирования, служащие неподвижными диоптрами.

В центре лимба укрепляется подвижная линейка, которая носит название алидада; она свободно вращается около

* Размеры всех приборов даны в миллиметрах.

** Набор лимбов, напечатанных типографским способом, прилагается к данному сборнику.

Черт. 26. Черт. 27.

Черт. 28. Черт. 29.

оси лимба. Алидада на концах имеет пару диоптров, называемых подвижными.

Эклиметр — прибор для измерения углов в вертикальной плоскости. Отличается от астролябии тем, что лимб устанавливается в вертикальной плоскости (черт. 29). Для изготовления эклиметра нужна деревянная розетка, карандаш и транспортир.

Кроме указанного выше набора настольных измерительных приборов, полезно иметь модели классных измерительных приборов, размер которых в два-три раза больше настольных. Основаниями для классных измерительных приборов вместо розеток служат обрезки досок; для изготовления вех и стоек других приборов можно использовать достаточно толстые и прямые ветки кустарника. В остальном их устройство такое же, как и настольных приборов.

3. Методика проведения измерительных работ в классной обстановке

Применение моделей геодезических приборов позволяет изучение приемов измерительных работ распределить на весь учебный год и тем самым тесно связать их проведение с прохождением текущего программного материала. Практически проведение измерительных работ с моделями геодезических приборов можно включить в изучение каждого сколько-нибудь крупного раздела курса геометрии VI—VII классов.

Опыт работы с несколькими выпусками показал, что для проведения измерительных работ нет необходимости выделять специальные уроки, можно обойтись и без фронтальных работ. Учащиеся успешно усваивают приемы измерительных работ, если изложение их проводится учителем не только по чертежу, но и с привлечением моделей. Прочного усвоения приемов измерительных работ удается добиться, если к выполнению работ с моделями привлекать самих учащихся.

Часть учащихся можно привлекать к повторному выполнению работы в классе сразу же после изложения вопроса учителем. Другая часть учащихся получит некоторую практику в выполнении работ с моделями при проверке усвоения изученного материала на последующих уроках, при решении различных задач с помощью моделей.

Изложение нового материала учителем лучше всего проводить на классных моделях геодезических приборов. Для опроса и проверки знаний учащихся, для выполнения ими различных тренировочных упражнений удобнее использовать настольные модели.

При первом знакомстве с моделями геодезических приборов учащимся полезно показать и фабричные образцы настоящих измерительных приборов. Если таких приборов в школе

нет, то следует организовать экскурсию в те места, где они имеются. Знакомство с настоящими приборами позволит несколько преодолеть условности проведения измерительных работ с моделями и создать у учащихся достаточно верные представления о характере измерительных работ, выполняемых землемерами, топографами, геодезистами.

Удобны модели и при подготовке к выходам в поле. На моделях в этом случае изучаются различные приемы проведения той или иной работы, отрабатываются обязанности, которые придется исполнять учащимся при проведении работы непосредственно на местности. В классе учащиеся осваиваются и с сигналами, при помощи которых передаются распоряжения при выполнении работ на местности. При этом, конечно, не все работы, рассматриваемые в классе, повторно проводятся в «поле».

Методика проведения измерительных работ с моделями геодезических приборов чрезвычайно разнообразна.

В дополнение к вышеизложенному некоторые частные методические приемы раскроем на примере описаний нескольких работ.

Построение прямой (вешение) и измерение расстояний. Прежде чем приступить к выполнению работы; по вешению прямых в классных условиях, учащимся следует рассказать о различных случаях, в которых к построению прямых на местности приходится прибегать в жизненной практике. На уроке, кроме моделей вех и полевого циркуля, следует показать настоящие вехи, полевой циркуль, мерную ленту, колотушку, таблицу сигналов.

Разъяснение приемов вешения прямых я начинаю с помощью классных вех. Двумя вехами, например, на первой и последней партах одного ряда фиксируются точки, между которыми будет провешиваться прямая. На одной-двух других партах этого ряда учащиеся получают вехи для обозначения промежуточных точек провешиваемой прямой. Дальнейшая работа по вешению проводится общеизвестными приемами. Установка промежуточных вех учащимися в первой работе выполняется по сигналам учителя и под его непосредственным руководством.

Для закрепления полученных знаний повторное вешение прямой на другом ряду парт по вызову учителя проводится одним из учащихся.

Усвоение изученных приемов проверяется на следующих уроках. При проверке выполнения домашнего задания некоторым из учащихся предлагается рассказать, с помощью настольных моделей измерительных приборов, о приемах вешения прямых. Учащийся, получивший такое задание, вызывает себе помощников и, руководя ими, выполняет задание учителя. Остальные учащиеся следят за выполнением задания, в неко-

торых случаях по указанию учителя делают зарисовки проводимой работы у себя в тетрадях.

В этот период учащимся можно уже предлагать задачи для самостоятельного решения с помощью моделей геодезических приборов. По теме «Вешение прямых» могут быть предложены, например, следующие задачи.

Задача 1. Построить точку пересечения двух прямых.

Задача 2. Провешивая прямые, показать, что три точки, не лежащие на одной прямой, определяют три прямые.

Задача 3. Построить с помощью моделей все прямые, определяемые четырьмя (пятью и т. д.) точками. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения заданных точек.

После того как приемы вешения прямых освоены, учащихся следует познакомить с приемами измерения длин. В классных условиях эти измерения проводятся рулеткой или портновским метром вместо мерной ленты, моделью полевого циркуля вместо настоящего.

В классной обстановке можно познакомить учащихся и с измерением расстояния шагами, с приемом определения средней длины шага. Для определения длины шага проводится специальная работа.

Построение углов. К построению и измерению углов астролябией приступают после того, как учащиеся освоились с транспортиром и приобрели некоторый навык работы с ним. Приступая к знакомству с астролябией, учащимся следует рассказать, что к построению и измерению углов астролябией прибегают при съемке планов местности и разметке строительных площадок по готовому плану, при строительстве дорог и каналов, при составлении карт, в астрономии и в других областях повседневной практики.

Первые измерения и разъяснения способов отсчета углов проводит учитель. Учащиеся проделывают такую же работу в связи с решением практических задач.

Задача 1. На одном краю стола задана точка. Определить, под каким углом видны вехи, поставленные на другом краю стола.

Задача 2. Под каким углом из заданной в классе точки видно окно (дверь, классная доска, портрет на стене и т. д.).

Задача 3. Сравнить углы, под которыми с учительского стола видны первая и последняя парта в ряду.

Ценны и интересны также упражнения по глазомерной оценке величины углов и глазомерному построению углов наперед заданной величины с последующей проверкой работы с помощью угломера.

После изучения понятия «перпендикуляр» включается ряд работ с эккером. С учащимися рассматриваются приемы построения взаимно перпендикулярных прямых, проведенных через заданную точку, построения перпендикуляра, опущенно-

го из данной точки на прямую и восстановленного к ней. Закрепление рассмотренных приемов работы с угломером и эккером удобно провести при съемке «плана местности» в классных условиях. За «участок местности» принимается предварительно вычерчиваемый на листе бумаги многоугольник. Измерения, необходимые для съемки плана «участка», проводятся учащимися поочередно и заносятся в таблицу. Затем план «участка» строится на доске и в тетрадях учащихся.

Определение недоступных расстояний. В связи с изучением симметрии, свойств равнобедренного треугольника и признаков равенства треугольников становится возможным рассмотреть приемы измерения недоступных расстояний. В доходчивой форме знакомство учащихся с этими приемами может быть выполнено на моделях геодезических приборов.

Для проведения в классных условиях работ по изучению приемов измерения недоступных расстояний заранее на большом листе чертежной бумаги подготавливается план подходящего для этих целей участка местности. Желательно, чтобы это был план знакомого учащимся близлежащего участка местности. Это облегчит учащимся ориентировку на плане и позволит им измерения на плане соотносить с действительностью.

Измерение ширины реки с использованием свойств равнобедренного треугольника мною проводится по плану, пред-

Черт. 30.

ставленному на черт. 30. Работа выполняется несколькими группами учащихся после того, как прием измерения разъяснен учителем на чертеже.

Учащимися первой группы на месте «дерева» ставится веха, на «своем» берегу провешивается прямая, и из точки, обозначенной первой вехой, опускается на эту прямую перпендикуляр. Вторая группа отыскивает на провешенной прямой точку, направление из которой на дерево составляет с прямой угол 45°. Третья группа учащихся измеряет расстояние ВС и заканчивает оформление решения на доске.

Рассмотренные примеры проведения измерительных работ с моделями геодезических приборов определяют лишь методику проведения этих работ. Эта методика может быть перенесена и на другие работы, выполнение которых возможно в классной обстановке. Содержание этих работ и их объем в зависимости от подготовки класса могут быть определены самим учителем. В современной учебно-методической литературе* всегда можно найти достаточное число задач, решение которых может быть выполнено в классных условиях с привлечением моделей геодезических приборов.

* И. П. Трунов, Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы, Учпедгиз, М., 1954; П. Я. Дорф и А. О. Румер. Измерения на местности, изд-во АПН РСФСР, 1953.

Е. М. ГЕЛЬФАН

учитель Белоусовской средней школы, Калужская область

НАСТОЛЬНЫЙ ПОЛИГОН

Проведение измерительных работ на местности представляет одно из доступных средств, раскрывающих связь школьного курса геометрии с практикой. Знакомство учащихся с обозначениями точек и прямых, принятыми в геодезии, со способами построения на местности углов и различных фигур раскрывает конкретное содержание понятий и теорем, изучаемых в курсе геометрии. Кроме того, учащиеся приобретают практические навыки, особенно полезные в условиях сельской школы.

Достижение перечисленных целей значительно облегчается применением настольных полигонов, на которых в классных условиях можно знакомить учащихся с приемами измерительных работ. Ниже описывается опыт такой работы с учащимися VI—VII классов.

Конструкция настольного полигона. Настольный полигон состоит из основания и набора миниатюрных моделей геодезических приборов (черт. 1—4).

Основание полигона представляет собой либо доску, либо лист достаточно прочного картона. Особенно удобен двуслойный картон или сухая штукатурка. На основании, как на поверхности земли, с помощью моделей геодезических приборов, выполняются «измерительные работы».

Комплект моделей геодезических приборов состоит из 15— 20 вешек, эккера, угломера (астролябии), полевого циркуля к масштабной линейки.

Вешки имеют цилиндрическую форму (черт. 1), длина их равна 10—15 см, а диаметр 7—9 мм*.

* На черт. 1 представлены размеры вешек, которые используются в практике работы автора. Однако нет необходимости строго выдерживать ни указанные на чертеже размеры вех, ни размеры моделей других приборов.

С одного конца вешки укрепляется острие с наружной частью около 1 см. Для изготовления вешек подходит твердая древесина, так как в ней можно достаточно прочно укрепить острие. В крайнем случае для вех можно использовать ученические ручки.

Поверхность вех окрашивается чередующимися двухцветными поперечными полосками. Удобно иметь вешки, окрашенные в разные цвета (например, красный и белый, черный и белый, синий и белый). Это позволит проще выделять проводимые построения, заданные точки и линии.

Черт. 1.

Черт. 2.

Черт. 3.

Эккер изготовляется в виде крестовины или квадрата с четырьмя гвоздиками, обозначающими два взаимно перпендикулярных направления (черт. 2). Крестовина и квадрат могут быть сделаны из кусочков фанеры или склеены из нескольких слоев картона. Стойка, на которой укрепляется эккер, изготовляется так же, как и вешка, однако ее длина должна быть на 2—3 см короче вешек.

Угломер делается из фанерного кружочка с наклеенным на него бумажным кругом (лимб), на котором по краям нанесены градусные деления от 0° до 360° (черт. 3). Лимб укрепляется на такой же стойке, как и эккер. В центре лимба в стойку угломера вбивается ось (гвоздик без шляпки), на которую при работе надевается визирная планка (черт. 3) или стрелка. Визирная планка (стрелка) выполняет роль алидады, с помощью которой ведется отсчет углов.

Полевой циркуль (черт. 4) представляет собой раздвоенную с одного конца палочку. В месте раздвоения ножек циркуля вставляется фанерный клин или распорки из палочек.

В качестве масштабной линейки может быть взята любая линейка с делениями.

При выполнении работ на полигонах вешки, эккер и угломер втыкаются остриями в основание полигона. Поэтому основание полигона желательно изготовлять из мягких пород деревьев (липа, осина) с тем, чтобы острие входило в доску без больших усилий. Острие же перед работой должно быть хорошо заточено.

Для нормального обеспечения учебного процесса желательно иметь один классный полигон и комплект индивидуальных. Отличаются они друг от друга размерами основания и назначением. Основание классного полигона имеет размеры 100 X 90 X 1,5 см, а индивидуальные — 35 X 18 X 1,5 см. Классный полигон применяется при объяснениях учителя и ответах учащихся, при проверке усвоения изученного материала. Индивидуальные полигоны (один на двух учащихся) предназначаются для проведения фронтальных работ.

Модели измерительных приборов предлагаемой конструкции удобны тем, что при объяснениях учителя полигон может быть расположен в наклонном и даже вертикальном положении. Это облегчает учащимся наблюдения за работами, проводимыми учителем, делает возможным проведение фронтальных измерительных работ на партах. Укрепление вешек, эккера и угломера при помощи острия позволяет нагляднее фиксировать положение точек, точнее проводить измерение расстояний между ними.

Подбор измерительных работ, проводимых на классном полигоне. Опыт показывает, что учителя, впервые приступающие к проведению измерительных работ на классном полигоне, испытывают затруднения в подборе упражнений.

Ниже приводится перечень упражнений, которые помогут учителям в выборе их при изучении различных разделов курса геометрии VI класса.

Программный материал 1. Прямая линия

Работы на полигоне

а) Провешивание прямой;

б) Нахождение точки пересечения двух прямых;

в) Провешивание прямой через две заданные точки;

2. Луч, отрезок.

3. Сумма отрезков.

4. Угол.

5. Прямой, острый и тупой углы. Перпендикуляр.

6. Многоугольник.

7. Симметрия геометрических фигур относительно оси.

8. Признаки равенства треугольника.

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

10. Два перпендикуляра, проведенных к одной прямой, не пересекаются.

11. Признаки параллельности двух прямых.

12. Сумма углов треугольника.

а) Провешивание прямой через заданную точку;

б) Измерение длины отрезка провешенной прямой линейкой и полевым циркулем.

Нахождение суммы отрезков на провешенной прямой.

а) Провешивание двух прямых под произвольным углом;

б) Построение и измерение углов с помощью угломера (астролябии).

а) Построение прямых углов с помощью эккера и угломера;

б) Восставить и опустить перпендикуляр с помощью эккера.

а) Построение многоугольника произвольной формы;

б) Измерение периметра многоугольника с помощью полевого циркуля.

Построение симметричных фигур при помощи вешек и эккера.

Определение недоступных расстояний.

Определение недоступных расстояний.

Построение параллельных прямых при заданном между ними расстоянии.

Построение параллельных при помощи построения равных углов астролябией.

Определение недоступного расстояния при помощи равнобедренного прямоугольного треугольника.

Методика проведения измерительных работ в классных условиях. Указанная тематика измерительных работ показывает, что к проведению измерений можно обращаться на протяжении всего учебного года, органически включая их в учебный процесс.

Классный полигон может быть использован при объяснении нового материала, при проверке усвоения изученного материала. Раскрывая содержание новых геометрических понятий, учителю полезно сопровождать свои объяснения не только чертежами на доске, но и демонстрацией построения геометрических фигур на классном полигоне. Того же полезно добиваться и при ответах учащихся.

Индивидуальные полигоны применяются для организации фронтальных работ. Желательно, например, чтобы при изучении нового приема измерительных работ учащиеся на индивидуальных полигонах копировали построения, проводимые учителем на классном полигоне. В некоторых случаях полезно

проводить фронтальные работы по самостоятельному решению задач на индивидуальном полигоне без предварительных объяснений учителя. Различные варианты найденных учащимися решений по окончании фронтальной работы демонстрируются на классном полигоне.

Фронтальные работы проводились в нашей школе как при изучении нового материала, так и при повторении ранее изученного. Особенно же полезны такие работы на настольных полигонах при подготовке учащихся к выходам непосредственно на местность.

Перед выходом на местность в классе на настольных полигонах можно изучать приемы проведения намечаемой измерительной работы. Чтобы возможно полнее приблизить подготовку на полигоне к реальной обстановке, на основание полигона полезно прикрепить вычерченный на бумаге план местности, на которой будет проводиться работа. Чаще же всего можно ограничиться лишь планом объекта измерения.

Например, при подготовке учащихся VII класса к измерению длины и ширины пруда, расположенного вблизи школы, на основания полигонов были прикреплены примерные контуры пруда, вырезанные из цветной бумаги. В порядке фронтальной работы были рассмотрены различные приемы измерения недоступных расстояний, отобраны те, которые могли бы быть применены в условиях данной местности. На классном полигоне проводился инструктаж бригад, проверялось понимание обязанностей каждым из ее членов.

После такой предварительной подготовки в классе проведение работы на местности не вызывает уже затруднений у учащихся. Тем не менее и в поле полезно взять индивидуальный полигон, чтобы на нем можно было разъяснить недопонятое, указать на допущенные ошибки. На полигоне же проводится и анализ выполненной работы.

Вопрос о чередовании измерительных работ на местности и на полигоне решается в зависимости от конкретных условий, в которых находится школа. В школах больших городов, где выходы в поле сопряжены со значительными трудностями, целесообразно выходы в «поле» проводить один раз осенью и два раза весной. В сельской школе имеются более благоприятные возможности для проведения периодических выходов в поле.

Г. Г. МАСЛОВА

аспирант сектора методики математики ИМО АПН РСФСР

К ВОПРОСУ О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В ПЛАНИМЕТРИИ

В соответствии с задачами политехнического обучения учащиеся средней школы должны получать знания, умения и навыки, в наибольшей степени связанные с современной производственной практикой. Это требование должно учитываться, в преподавании всех учебных предметов, в частности при изучении вопросов, связанных с геометрическими построениями. Умение учащихся графически грамотно выполнять построения является одним из важных моментов в подготовке учащихся к практической деятельности.

Существующий в настоящее время подход к выполнению геометрических построений в школе не может быть признан удовлетворительным. В самом деле, в школьной практике по традиции, не оправданной ни теорией, ни практикой геометрических построений, в качестве инструментов для построений на уроках геометрии обычно используются только циркуль и линейка. Вследствие этого учащиеся не изучают приемы построений, широко распространенные в современной чертежно-конструкторской и производственной практике (например, при разметке), где выбор инструментов чрезвычайно широк.

Таким образом традиционное обучение учащихся выполнению геометрических построений оторвано от практики и не отвечает задачам подготовки учащихся к практической деятельности по окончании школы.

Требование приближения преподавания геометрии к жизни, к практике уже не раз выдвигалось в учебно-методической литературе*.

* Н. Ф. Четверухин, Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии, «Известия АПН РСФСР», вып. 6, 1946.

Его же, О научных принципах преподавания геометрии в советской школе, «Известия АПН РСФСР», вып. 31, 1951,

Его же, Методы геометрических построений, Учпедгиз, 1952.

Для выполнения этих требований необходимо обучать учащихся практически распространенным приемам выполнения построений, умению обосновывать эти построения. Для этого необходимо поставить вопрос об увеличении набора инструментов, применяемых при построениях.

Исходя из чертежно-конструкторской практики и реальных возможностей школы, на уроках геометрии для построений следует применять линейку, циркуль, чертежные треугольники и транспортир. Использование этих инструментов позволит сообщить учащимся приемы построений, применяемые в современной чертежно-конструкторской и производственной практике, наличие среди инструментов транспортира позволяет ввести решение задач на построение почти с первых уроков курса геометрии. Последнее имеет важное значение для правильного формирования геометрических понятий.

По мере ознакомления учащихся с теоретическим материалом вводятся в употребление новые инструменты, устанавливаются новые приемы работы с уже известными инструментами.

Полученные в результате такой работы практические умения и навыки совершенствуются при выполнении ряда построений: при решении задач на построение, при выполнении чертежей к доказываемым теоремам, при выполнении работ на уроках черчения.

Указанная работа способствует математическому развитию учащихся. Доказательство правильности построения, исследование решения, сравнение различных вариантов решения способствуют закреплению изучаемой теории, делают знания учащихся действенными, придают им практическую направленность. Навыки в решении задач на построение способствуют лучшему восприятию учащимися курса черчения. Простота построений с помощью более широкого набора инструментов позволяет при той же затрате времени значительно увеличить число задач, предлагаемых учащимся для решения.

В школе должно быть уделено больше внимания обучению учащихся приближенным методам решения задач на построения.

Как известно, приближенные построения широко используются в чертежно-конструкторских и разметочных работах. Однако в курсе геометрии средней школы такие построения совершенно не рассматриваются. Это положение нельзя признать нормальным. В самом деле, рассмотрение приближенных приемов полезно не только для ознакомления- учащихся с новым для них подходом к решению конструктивных задач. Определение погрешностей построения (обычно с помощью несложных тригонометрических соотношений) дает возможность закрепить теоретические сведения, показать их исполь-

зование при решении практических задач. При этом важно, что обоснование приближенных приемов решения значительного числа задач, соответствующих тематике школьного курса геометрии (деление окружности на равные части, спрямление дуг окружностей), достаточно элементарно, не выходит за рамки программы средней школы, доступно учащимся.

В данной статье автор описывает свой опыт обучения учащихся решению задач на построение с расширенным набором инструментов и ознакомления с приближенными построения ми в курсе планиметрии средней школы.

VI класс. В VI классе большое внимание уделяется обоснованию построений, выполняемых с расширенным набором инструментов, а также обучению учащихся практически целесообразным приемам решения конструктивных задач. Объяснение приемов построений происходит постепенно, по мере ознакомления учащихся с соответствующим теоретическим материалом.

Построение перпендикулярных прямых. После доказательства теоремы о возможности проведения через данную точку перпендикуляра к данной прямой разбирается решение этой задачи с помощью одного чертежного треугольника (черт. 1). Затем указывается, что для упрощения техники выполнения построений следует дополнительно использовать и линейку (черт. 2). В этом случае облегчается ориентация треугольника относительно данных прямой и точки: вначале к данной прямой прикладывается линейка, к ней — треугольник одним из своих катетов, затем треугольник передвигается вдоль линейки до тех пор, пойа второй его катет не пройдет через данную точку.

Указанный прием часто используется при построении перпендикулярных прямых. Поэтому желательно, чтобы учащиеся не только усвоили прием построения, но и приобрели некоторый навык в его выполнении. С этой целью время от времени на уроке или в порядке домашнего задания предлагаются задачи на построение перпендикуляра к данной прямой, при

Черт. 1.

Черт. 2.

этом задаются различные случаи расположения прямой и точки. Кроме того, решаются задачи, включающие построение перпендикулярных прямых, например: «На сторонах прямого угла даны две точки. Одна из них на расстоянии 3 см от вершины, а другая — на расстоянии 4 см. Определить построением и измерением расстояние между этими точками».

Подобного рода упражнения способствуют созданию полезных практических навыков, помогают предотвратить создающееся иногда смешение понятий перпендикуляра и вертикали. Построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки рассматривается как второй вариант решения задачи. При этом сравниваются оба варианта. Ученики должны хорошо понимать, что построение перпендикуляра с помощью треугольника и линейки выполняется просто, но основание перпендикуляра не может быть точно определено. Поэтому, при необходимости более точно определить основание перпендикуляра, задачу обычно решают с помощью линейки и циркуля*. Следует 'пояснить, что точность построения перпендикуляра к отрезку с помощью треугольника и линейки уменьшается, если отрезок, к которому проводится перпендикуляр, небольшой длины: в этом случае затруднено точное прикладывание стороны треугольника к данному отрезку. В остальных случаях приему построения перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки следует отдавать предпочтение как более простому.

Параллельные прямые. После изучения признаков параллельности прямых разбирается задача о проведении через данную точку прямой, параллельной данной, указывается, что эта задача часто встречается на практике, приводятся соответствующие примеры.

Вначале рассматривается наиболее широко распространенный прием построения параллельных прямых — с помощью треугольника и линейки (черт. 3). Затем разбираются другие приемы построения параллельных прямых, также основанные на признаке параллельности — с помощью транспортира, линейки и циркуля.

Черт. 3

* В дальнейшем ученики ознакомятся с таким приемом построения перпендикулярных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, в котором этот недостаток не будет иметь места.

Прием проведения через данную точку прямой, параллельной данной, с помощью циркуля и линейки, приведенный в учебнике геометрии А. П. Киселева*, дается как задача на доказательство.

Перпендикулярные прямые. К построению перпендикулярных прямых приходится еще раз возвратиться после изучения теоремы о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых. Вначале рассматривается прием, приведенный на черт. 4. Учитель, пользуясь чертежом на доске или специальным плакатом, объясняет последовательные этапы построения и его теоретическое обоснование. Подчеркивается, что этот прием уже свободен от отмеченного выше недостатка: основание перпендикуляра определяется точно.

Затем на уроке разбирается, как этим приемом может быть решена задача: «Через конец луча, не продолжая! его, провести к нему перпендикуляр». (Как известно при существующем изложении решение этой задачи отнесено в конец VII класса.)

Здесь же можно указать еще один прием построения перпендикулярных прямых с помощью двух чертежных треугольников (черт. 5), близкий к приему построения перпендикулярных прямых с помощью рейсшины и треугольника.

Черт. 4

Черт. 5

После рассмотрения теоремы о сумме внутренних углов треугольника разбирается последний прием построения перпендикулярных прямых с использованием треугольника и линейки (черт. 6, а, б). Обоснование этого приема может служить хорошим примером аналитического доказательства.

* А. П. Киселев, Геометрия. Учебник для VI—IX классов семилетней и средней школы, ч. I, Учпедгиз, 1954, § 74.

Закрепление рассмотренных приемов построения перпендикулярных прямых происходит при решении соответственно подобранных задач. Для упражнений подбираются задачи разнообразные по содержанию, с тем чтобы учащиеся не только смогли закрепить навыки в выполнении построений, но и повторить основные понятия курса геометрии VI класса. Приведем некоторые из этих задач.

Черт. 6

1. Через данную точку провести перпендикуляр к данной прямой, если:

а) данная точка лежит на данной прямой,

б) данная точка не лежит на данной прямой.

2. Через конец отрезка, не продолжая его, провести к нему перпендикуляр.

3. Провести все высоты в данном треугольнике (остроугольном, прямоугольном, тупоугольном).

4. Через вершину треугольника провести перпендикуляр к медиане, проведенной из другой вершины.

5. В треугольнике ABC из вершин А и В опустить перпендикуляры на биссектрису угла С.

6. Из точки вне треугольника опустить перпендикуляры на все его стороны.

7. Из концов данною отрезка, не лежащего на данной прямой, опустить на нее перпендикуляры, если:

а) отрезок пересекает прямую,

б) отрезок не пересекает прямую*.

8. Через вершины данного треугольника провести прямые,, перпендикулярные данной прямой*.

9. Через центр данного круга провести прямую, перпендикулярную данному радиусу.

10. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по его катету.

* Подготовительные задачи к построению фигур, симметричных относительно оси.

11. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по его гипотенузе.

12. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам.

13. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Графическое решение задач на вычисление. Расширение набора инструментов значительно сокращает время выполнения построений. Поэтому оказывается возможным ввести новый вид упражнений — графическое решение задач, которые обычно в практике школы решаются как задачи на вычисление.

Графическое решение задачи заключается в построении искомого элемента (или искомой фигуры) и определении его величины измерением. Естественно, что применение графического метода решения увеличивает число задач, решение которых доступно учащимся. При графическом решении учащиеся закрепляют навыки выполнения построений, обращения с измерительными инструментами.

Приведем некоторые задачи, которые можно рекомендовать учащимся для графического решения с помощью всех указанных выше инструментов.

1. Найти высоты равностороннего треугольника, сторона которого равна 5 см.

2. Найти высоты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 6 см, а острый угол 40°.

3. Найти периметр равнобедренного треугольника, высота которою 8 см, а угол при вершине равен 50°.

4. Определить высоты треугольника, стороны которого равны 4 см, 9 см, 10 см.

5. Найти расстояние между двумя точками, находящимися на сторонах угла в 110°, если одна из них отстоит от вершины утла на 5 см, а другая — на 9 см.

6. В тупоугольном треугольнике определить длины высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершины тупого угла.

Использование при построениях острых углов чертежных треугольников. В VI классе учащиеся получают первоначальное знакомство с использованием при построениях острых углов чертежных треугольников. В VI классе можно ограничиться лишь ознакомлением учащихся с построением углов в 30°, 45°, 60°.

Приведем для примера несколько задач, которые можно предложить ученикам с этой целью.

1. Построить прямоугольный треугольник с острым углом в 45° по его катету.

2. Построить биссектрисы углов в 90° и 60°.

3. Построить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам 45° и 60°.

4. Построить равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании (угол при основании равен 30°, 45°, 60°).

Работа по закреплению навыков в построении перпендикулярных и параллельных прямых с помощью треугольника и линейки продолжается при изучении осевой симметрии.

Несмотря на простоту понятия осевой симметрии, оно обычно усваивается учащимися VI класса с трудом. Одной из причин этого является то, что учащиеся недостаточно четко усваивают понятие перпендикуляра к прямой, не владеют навыками в построении перпендикуляров к данной прямой.

Предлагаемые рациональные приемы построения перпендикулярных прямых позволяют уделить большое внимание построению симметричных фигур, что способствует лучшему усвоению учащимися понятия симметрии. Для овладения этим понятием решаются такие задачи:

1. Построить точку, симметричную данной относительно данной прямой.

2. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной прямой.

3. Построить ломаную, состоящую из п звеньев (п = 2, 3, 4), симметричную данной относительно данной прямой.

4. Построить многоугольник, симметричный данному относительно данной прямой.

При решении этих задач положение оси симметрии задается произвольно.

Приближенные построения. Уже в VI классе можно познакомить учащихся с приближенным приемом решения двух задач на построение — делением отрезка и дуги окружности на равные части. Их приближенные решения легко осуществляются путем подбора подходящего раствора циркуля (черт. 7).

Черт. 7.

К решению этих задач сводятся такие задачи из курса VI класса, как построение медиан, умножение отрезков и дуг

на дробное число и т. д. Точных приемов деления отрезков и дуг на равные части учащимся еще нельзя сообщить, так как у них еще нет для этого достаточных знаний.

Для упражнений в делении отрезков и дуг на равные части полезно предлагать для решения задачи, встречающиеся в практике. Например: разметить центры отверстий в прокладке фланцевого соединения (черт. 8).

Ученикам на уроке показывается соответствующая модель фланцевого соединения, определяются требуемые данные (внутренний диаметр трубы, наружный диаметр фланца, число болтов), выясняется последовательность выполнения разметки. Само построение учащиеся выполняют дома. На таких задачах учащиеся знакомятся с примерами использования теоретических знаний в практических целях и выполняют их с интересом.

VII класс. В VII классе происходит закрепление навыков решения основных задач на построение. Вместе с тем, в соответствии с программой изучаются и другие задачи на построение, часто встречающиеся в чертежно-конструкторской практике: построение параллелограммов, ромбов, трапеций, касательных к окружности и т. д.

Ввиду распространенности этих задач важно, чтобы ученики научились решать их рациональными приемами, с помощью принятого набора инструментов. Если учащиеся будут владеть рациональными приемами решения основных задач на построение, прежде всего приемами построения параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки, то оформление решения не вызовет у них затруднений и учитель сможет уделить больше внимания логической стороне решения задач (анализу, доказательству и исследованию). Поэтому для усвоения учащимися новых задач на построение важную роль играет повторение в начале учебного год а.

При повторении приемов построения параллельных и перпендикулярных прямых от учащихся обязательно требуется их обоснование. При решении задачи на проведение через данную точку перпендикуляра к данной прямой отдельно выделяется случай, когда данная точка является граничной точкой данного отрезка (решение этой задачи нужно знать для построения прямоугольника, прямоугольной трапеции и т. д.).

В начале учебного года повторяются следующие задачи, подготовляющие учеников к построению четырехугольников.

1. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам

Черт. 8

(подготовительная к задаче — построить прямоугольник по двум сторонам).

2. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе (подготовительная к задаче — построить прямоугольник по стороне и диагонали) и т. д.

Эта работа может проводиться не только при повторении, но и параллельно с изучением нового материала.

В это же время в порядке повторения решаются задачи на построение симметричных фигур. При этом, как и ранее, от учащихся требуется, чтобы построение параллельных и перпендикулярных прямых выполнялось с помощью чертежного треугольника и линейки.

Приведем некоторые из задач, предлагавшихся учащимся.

1. Построить точку, симметричную данной относительно данной прямой (данной точки).

2. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной прямой (данной точки).

3. Построить треугольник, симметричный данному относительно а) его катета, б) его гипотенузы, в) вершины прямого угла, г) середины гипотенузы.

4. Построить треугольник, симметричный данному равнобедренному треугольнику относительно его основания*.

5. Построить треугольник, симметричный данному относительно середины его стороны.

Полезно предлагать учащимся и такие задачи.

1. Даны две точки и прямая. Проверить построением, симметричны ли эти точки относительно данной прямой.

2. Даны три точки. Проверить построением, симметричны ли две из них относительно третьей.

Построения при изучении нового материала. В начале изучения первой темы «Четырехугольники» следует уделить серьезное внимание вопросам доказательства существования изучаемых объектов. Доказательство проводится с помощью построения (так называемая конструктивная форма доказательства).

При изучении свойств параллелограмма даются задачи на построение параллелограмма по двум сторонам и углу между ними, по двум сторонам и диагонали. При этом происходит закрепление навыков построения параллельных прямых с помощью треугольника и линейки.

После рассмотрения следствия теоремы о свойстве углов параллелограмма разбирается задача на построение геомет-

* Если ученики к этому времени знают определение параллелограмма, то в последних задачах полезно предложить учащимся определить вид полученной фигуры.

рического места точек, одинаково удаленных от данной прямой, причем рассматривается несколько вариантов ее решения. Особое внимание обращается на прием решения задачи с помощью треугольника, линейки и циркуля (черт 9*).

Черт. 9.

На последующих уроках рассмотренный прием закрепляется, например, при решении нижерассматриваемых задач:

1. Найти геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние а и от данной точки — на Ь.

2. Найти геометрическое место точек, удаленных от сторон данного угла на расстояние а.

3. Найти геометрическое место точек, удаленных от двух данных пересекающихся прямых на расстояние а.

4. Найти геометрическое место точек, удаленных от одной из пересекающихся прямых на расстояние а и от другой — на расстояние Ь.

В VII классе полезно закрепить навык графического решения вычислительных задач. Решение задач графическим способом играет большую роль в выработке навыков обращения с чертежными и измерительными инструментами, в воспитании аккуратности, в подготовке учащихся к практической деятельности. Аналогичная, но более простая по содержанию работа проводилась в VI классе.

Задачи для графического решения могут быть взяты из стабильного задачника Н. Рыбкина** (§10 №21 (1), 26 и др.). Однако более целесообразно предлагать ученикам графически решать задачи, для которых ответы неизвестны. Такие задачи может составить сам учитель, включив туда и задачи с построением углов в 30°, 45°, 60° (для использования острых углов чертежных треугольников).

Число задач для графического решения не должно быть большим (3—4 задачи в четверть) с тем, чтобы не умалять

* На черт. 9 рассматриваемый прием раскрывается на примере построения одной из искомых прямых.

** Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, Учпедгиз, М., 1954.

в глазах учащихся значения теории и в то же время дать ученикам понятие о возможности решения ряда задач этим методом.

Приведем несколько примеров задач для графического решения.

1. Определить высоту ромба по стороне 5 см и- острому углу в 45°.

2. Определить диагонали ромба по стороне 6 см и углу 60°.

3. Найти диагонали параллелограмма по двум сторонам в 8 см и 4 см и углу 20° между ними.

4. Построить трапецию по меньшему основанию 6 см, высоте 4 см и двум боковым сторонам в 5 см и 6 см. Определить острые углы и обе диагонали.

Изучение темы «Окружность» также может сопровождаться решением большого числа задач на построение. И здесь следует обращать внимание на то, чтобы построения выполнялись приемами, распространенными в чертежно-конетрукторской практике.

Рассмотрим, например, задачу деления данной дуги пополам. В учебнике А. П. Киселева* эта задача решена при помощи циркуля и линейки. Однако в школе не следует ограничиваться рассмотрением только этого способа. Полезно показать учащимся, что в зависимости от данных задачи и выбора инструментов варианты ее решения могут быть различными. Деление дуги пополам при заданном центре дуги обычно выполняется с помощью чертежного треугольника и линейки (черт. 10).

Увеличение числа чертежных инструментов дает возможность показать учащимся практически распространенные приемы построения касательной к данной окружности при заданной точке касания (черт. 11), непосредственно при изучении свойств касательной. Как известно, в стабильном учебнике геометрии эта задача рассматривается значительно позже, в конце темы «Вписанные углы».

Анализ задачи показывает, что искомая касательная должна быть перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, решение сводится к уже известной задаче.

Этим же методом решается задача о проведении к данной окружности касательной, параллельной данной прямой: вна-

Черт. 10.

* А. П. Киселев, Геометрия. Учебник для VI—IX классов семилетней и средней школы, ч. I, Учпедгиз, 1954. § 108.

Черт. 11

чале определяются точки касания, а затем строится касательная, построение выполняется с помощью чертежного треугольника и линейки (черт. 12, а, б, в).

Здесь же рассматривается построение касательной, проходящей через точку, лежащую вне окружности. Построение выполняется при помощи только одной линейки (черт. 13). Аналогично поступают при построении общей внешней и внутренней касательной к двум окружностям.

Точность построения касательных при непосредственном прикладывании линейки к двум окружностям или к окружности и точке в большинстве случаев удовлетворяет требованиям практики, чем и объясняется широкое применение в графических работах указанных приемов.

С точки зрения геометрических построений эти построения так же строги, как и проведение прямой через две точки с помощью прикладывания к ним линейки.

Черт. 12

Черт. 13.

Точки касания определяются на основании свойства радиуса, проведенного в точку касания (черт. 14), при помощи чертежного треугольника и линейки.

Черт. 14.

Указанные выше приемы построения касательных полезно использовать при решении задач на построение четырехугольников и треугольников, если заданы их высоты. При этом значительно облегчается техника выполнения построений, оказывается возможным использовать для доказательства свойств касательных (прямую и обратную теоремы).

Приведем примеры таких задач.

1. Построить треугольник по основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам (черт. 15).

Черт. 15. Черт. 16.

2. Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них (черт. 16).

3. Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне (черт. 17).

4. Построить равнобедренный треугольник по основанию.' и высоте, проведенной к боковой стороне.

5. Построить ромб по стороне и высоте.

6. Построить ромб по диагонали и высоте (черт. 18).

7. Построить параллелограмм по диагонали и двум высотам.

8. Построить параллелограмм по углу, высоте и диагонали.

9. Построить параллелограмм по стороне и двум высотам.

10. Построить трапецию по основаниям, высоте и углу при основании.

11. Построить прямую, удаленную от данной прямой на расстояние а.

После изучения вписанных углов в стабильном учебнике геометрии рассматривается несколько задач на построение:

построение прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе; построение касательной к данной окружности и т. д.

Решение всех этих задач с помощью чертежного треугольника и линейки уже известны учащимся. При разборе этих решений с помощью циркуля и линейки подчеркивается, что они широко используются в чертежно-конструкторской практике, выясняется, в каких случаях удобнее использовать треугольник и линейку, в каких — циркуль и линейку.

Необходимо сделать еще одно замечание относительно построения касательных к окружности. Ранее ученикам сообщалось, что строить общие касательные к двум окружностям или проводить касательную к окружности через данную вне ее точку можно при помощи одной линейки. Точки касания определялись позже. При решении этих задач с помощью циркуля и линейки вначале определяются точки касания, а затем уже строятся касательные.

Как видно из всего сказанного выше, предлагаемый порядок ознакомления учащихся с построением касательных значительно отличается от существующего в школьной практике.

Черт. 17. Черт. 18.

Приведем более подробный план изложения этого материала.

Начнем с урока, на котором рассматривается взаимное расположение прямой и окружности и теорема о свойстве касательной к окружности. (К этому уроку уже повторены приемы построения перпендикуляра к данной прямой с помощью чертежного треугольника и линейки.)

После изложения теоремы о свойстве касательной (прямая теорема) ученикам указывается, что ее можно использовать для обоснования построения касательной к данной окружности, если задана точка касания (центр окружности известен). Проводится анализ задачи, выясняется, что она может быть решена с помощью чертежного треугольника и линейки (черт. 11).

Для закрепления приема ученикам предлагается, например, такая задача: построить равнобедренный треугольник, основание которого, равное а, касается окружности радиуса г, a вершина находится в центре окружности.

Следующий урок посвящается изучению свойств касательной (обратная теорема) и теоремы о касательной, параллельной хорде.

После объяснения нового материала рассматривается приложение обратной теоремы для решения задачи: «Дана окружность и касательная к ней. Найти точку касания, если известен центр окружности». Искомая точка определяется как основание перпендикуляра к касательной, проведенного через центр окружности. Решение выполняется с помощью треугольника и линейки. Доказательство не представляет затруднений. Затем разбирается задача: «Из точки, взятой вне окружности, провести касательную и определить точки касания». (Построение касательной выполняется с помощью одной линейки, нахождение точки касания — с помощью треугольника и линейки.)

Здесь же решается задача: «Дана дуга и точка на ней. Через данную точку провести касательную к данной дуге, если центр дуги неизвестен».

Отдельный урок посвящается опросу и решению задач на отыскание некоторых геометрических мест. Вначале повторяются известные ученикам геометрические места точек: окружность, биссектриса угла, прямые, параллельные данной прямой и удаленные от нее на данное расстояние. Затем рассматриваются геометрические места центров всех окружностей, касающихся данной прямой в данной точке и лежащих по одну сторону данной прямой; центров всех окружностей, касающихся данной прямой в данной точке; центров всех окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой; центров всех окружностей, касающихся двух параллельных прямых.

Введение новых геометрических мест тесно связывается с изученным теоретическим материалом. Обращается внимание и на приемы построения учащимися параллельных и перпендикулярных прямых.

На двух следующих уроках рассматривается решение задач на сопряжение (плавный переход) прямых с помощью дуг окружностей*. Предварительно повторяется решение таких задач:

а) провести касательную к данной окружности, параллельную данной прямой;

б) найти центр окружности, касающейся данной прямой в данной точке, если радиус окружности известен;

в) найти геометрическое место центров всех окружностей, касающихся данной прямой в данной точке.

Переходя к изложению нового материала, учитель объясняет ученикам, что подразумевается под выражениями «сопряжение прямой и дуги», «сопряжение двух дуг», показываются чертежи деталей или сами детали, в которых имеет место сопряжение прямых и дуг. После этого производится разбор решения основных задач на сопряжение.

Рассматриваются следующие задачи:

1. Выполнить плавный переход между двумя пересекающимися прямыми при помощи дуги окружности данного радиуса (черт. 19).

2. Выполнить плавный переход с помощью дуги окружности между двумя параллельными прямыми.

После решения этих задач ученикам предлагается решить 2—3 задачи, содержание которых заимствовано из практики разметки, например: разметить прокладку фланцевого соединения (наружный обвод фланца имеет прямоугольную форму со скругленными углами).

Приближенные приемы решения задач на построение в VII классе рассматриваются, как и в VI классе, только в связи с изучаемым материалом. Таких задач будет три — деление отрезка и дуги на равные части (рассматривалось в VI классе) и проведение через точку, данную на дуге произвольной кривой, касательной к ней.

Приближенный прием деления отрезка на равные части повторяется перед изучением теоремы, на которой основывает-

Черт. 19.

* Этот материал не входит в программу геометрии VII класса, но был рассмотрен в виде опыта на уроке.

ся точное решение этой задачи с тем, чтобы показать ученикам, как, пользуясь этой теоремой, можно точно решить задачу, которая ранее решалась приближенно.

После разбора построения касательной к окружности по заданной точке касания (центр дуги неизвестен) полезно ознакомить учащихся с приемом построения касательной к дуге произвольной кривой, если задана точка касания (представление о касательной дается как о предельном положении секущей). Прием приближенного решения этой задачи ясен из черт. 20. Если кривизна дуги в окрестности данной точки* меняется незначительно, то проведенная прямая мало отличается от касательной. Этот прием может дать большую погрешность, если кривизна в окрестности данной точки меняется значительно.

VIII класс. В VIII классе происходит дальнейшее совершенствование навыков выполнения основных построений с расширенным набором инструментов и решения наиболее часто встречающихся задач на построение. Геометрические построения занимают довольно значительное место в курсе математики VIII класса. Поэтому, как и в предыдущих классах, при решении задач необходимо не ограничиваться рассмотрением теоретических обоснований построений, а обращать внимание и на умение учащихся решать эти задачи практически целесообразными приемами. Этого можно достичь, если построения доводятся до конца, до фактического нахождения искомой фигуры. Последнее оказывается возможным при расширении набора инструментов, так как в этом случае, как уже неоднократно указывалось выше, значительно экономится время на непосредственное выполнение построений.

Повторение решения задач на построение. Весь материал по геометрии, начиная с подобия треугольников, чрезвычайно насыщен конструктивными задачами. Поэтому на первых уроках геометрии в VIII классе с учащимися, одновременно с изучением раздела «Измерение отрезков», повторяются решения некоторых задач на построение. Это — основные задачи на построение (построение параллельных и перпендикулярных прямых) и задачи, решения которых входят как составные части при решении задач методом по-

Черт. 20.

* Средней кривизной дуги называется абсолютная величина отношения угла Да между касательными в концах этой дуги к длине дуги. Предел этого отношения при стремлении к нулю называется кривизной в данной точке.

добия. К последним задачам могут быть отнесены, например, такие задачи:

1. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними (задача, подготовительная к задаче: «В данный треугольник вписать параллелограмм с заданным углом и отношением сторон»).

2. Построить параллелограмм по углу, высоте и основанию.

3. Построить ромб по острому углу и стороне и т. д.

Решение задач на построение в связи с изучением нового материала начинается при изучении подобных треугольников. После рассмотрения признаков подобия треугольников учащимся предлагаются задачи на построение треугольников с использованием леммы и признаков подобия. Содержание и приемы решения этих задач обычны.

Рассмотрим несколько подробнее вопрос о применении в школе при построении подобных фигур так называемого пропорционального масштаба. Пропорциональным масштабом называется чертеж, с помощью которого можно получать отрезки, измененные в заданном отношении.

Ознакомление учащихся с пропорциональным масштабом производится после изучения теоретического материала по подобным треугольникам. Ученикам предлагается решить, например, следующую задачу: «Построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия k, равным 0,6».

Решение этой задачи в школе выполняется, как правило, на основании леммы. Несколько сложнее (по технике выполнения) осуществляется решение, если искомый треугольник должен быть построен на другом чертеже или если нельзя проводить на данном чертеже вспомогательных линий. Тогда приходится находить стороны искомого треугольника либо построением, либо вычислением, а затем уже строить его по трем сторонам.

Построение сторон искомой фигуры можно значительно упростить, применяя пропорциональный масштаб. Рассмотрим его построение для решения приведенной выше задачи.

На произвольной прямой откладываем отрезок MN, равный какой-либо стороне данного треугольника, например ВС. Из точки N восставляем к нему перпендикуляр и на нем от точки N откладываем отрезок ND, равный сходственной стороне В\С\ искомого треугольника (черт. 21). Таким образом, ND = 0,6 MN. Точки M и D соединяем прямой. Полученная фигура используется для нахождения отрезков, равных 0,6 а, где а — длина произвольного отрезка.

Чтобы получить длину стороны, сходственной стороне AB данного треугольника, надо от точки M отложить отрезок МК, равный стороне AB данного треугольника, и восставить из

точки К перпендикуляр к прямой MN. Отрезок KL этого перпендикуляра будет равен искомой стороне АХВ\.

Эти вспомогательные построения значительно упрощаются, если пропорциональный масштаб выполнен на миллиметровой бумаге.

После упражнений в построении треугольников переходят к построению подобных многоугольников по данному центру подобия и коэффициенту подобия. Обычно обоснование этих построений не вызывает особых трудностей. Однако фактическое построение в большинстве случаев оказывается для учеников затруднительным, так как они, как правило, мало тренируются в этих построениях, не владеют навыками в построении параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки.

Для лучшего усвоения этой части программы необходимы упражнения в построении подобных многоугольников с варьированием условий и данных задач. Ученикам предлагается решать задачи на построение многоугольника, подобного данному, по заданному центру подобия и коэффициенту подобия k (Af>l, k<^\). Центр подобия может находиться:

а) вне данного многоугольника,

б) внутри данного многоугольника,

в) на одной из его сторон,

г) в одной из его вершин.

Во всех случаях параллельные прямые строятся с помощью чертежного треугольника и линейки.

Надо сказать, что рассмотренные в учебнике геометрии А. П. Киселева приемы построения подобных многоугольников не всегда могут быть использованы при решении практических задач, например при построении искомого многоугольника на другом чертеже. В этом случае для построения может использоваться пропорциональный масштаб.

С учащимися рассматривается два возможных варианта решения задачи на построение подобных многоугольников. По первому способу многоугольник предварительно разбивается диагоналями на треугольники. По второму способу искомый многоугольник строится непосредственно. (Углы строятся при помощи транспортира.)

Полученные на уроке сведения учащиеся закрепляют дома при решении аналогичных задач. Фигуры выбираются достаточно простые, с тем чтобы выполнение работы не занимало у учащихся много времени.

Черт. 21.

Завершается изучение этой темы контрольной работой, в которой одним из заданий является решение задачи на построение подобных многоугольников с использованием пропорционального масштаба. Пропорциональный масштаб выполняется на миллиметровой бумаге, а построение искомых фигур — в обычных тетрадях для контрольных работ. При этом от учеников не требуется обоснования построения. Но при устных ответах учащихся у доски они должны уметь привести полное доказательство построения при любых условиях задачи.

При изучении темы «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике» учащиеся решают большое число упражнений, задачи на доказательство, вычисление, построение, в которых часто приходится встречаться с построением перпендикулярных и параллельных прямых.

Если ученики хорошо усвоили технику выполнения построения, как это обычно и бывает при правильной постановке изучения геометрических построений, то чертежи к задачам на доказательство и вычисление, чертежи к теоремам выполняются от руки. Но решение собственно задач на построение требуется выполнять с помощью чертежных инструментов.

Интересный материал для обучения учащихся решению задач на построение имеется в теме «Тригонометрические функции острого угла» — построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций.

Содержание этих задач в школьной практике, как правило, однообразно. Например, построить угол х, если tg х = 3/4 и т. п. Решение их обычно сводится к шаблону — «Строим прямой угол, на стороне угла от вершины откладываем отрезок, равный трем единицам...» и т. д.

Такая однотипность решений объясняется тем, что значение тригонометрической функции угла обычно задается в виде простой дроби, числитель и знаменатель которой, как правило, выражаются однозначным числом (1, 2, 3, 4, редко 5). Уже незначительное изменение задания значения тригонометрической функции, например, задание ее в виде десятичной дроби или простой несократимой дроби с большим знаменателем, заставляет учеников более осмысленно подходить к решению задачи, позволяет показать им приближенный характер решения некоторых задач. Рассмотрим для примера построение угла, синус которого равен 0,866. Исходя из определения синуса острого угла, ученики устанавливают, что отношение противолежащего катета к гипотенузе равно 0,866. Отсюда, если гипотенуза равна 1000 мм, то катет равен 866 мм; если гипотенуза равна 100 мм, то катет равен 86,6 мм; если гипотенуза равна 50 мм, то катет равен 43,3 мм, и т. д.

После решения этой задачи предлагается несколько измененная задача, например, построить угол х, если sin х = — — . Здесь удобно представить правую часть в виде десятичной дроби. Получим решение, аналогичное предыдущему. Изменим несколько правую часть данного уравнения.

Пусть, например, sin х = — . Выразив правую часть в виде десятичной дроби и округлив результат, приближенно получим

sin x ^ 0,895.

Проведя построение, получим соответствующее приближенное решение задачи.

Чрезвычайно важно, чтобы ученики хорошо поняли, что в разобранном выше примере погрешность определения sin х (разность между истинным значением дроби и ее приближенным значением) может быть сделана как угодно малой. Однако практически увеличение точности, начиная с некоторого момента, не будет сказываться на фактической точности результата построения, так как погрешность при вычислении длины отрезка будет менее погрешности откладывания отрезка.

Зятем постановка задачи несколько изменяется. Ученикам предлагается без транспортира построить угол, например в 28°. Указывается, что с этой целью могут быть использованы таблицы тригонометрических функций. Подчеркивается, что результат построения будет, вообще говоря, приближенным, так как в таблицах даны приближенные значения тригонометрических функций.

IX класс. В IX классе ученики должны обладать уже достаточно прочными навыками в решении основных задач на построение с помощью всех инструментов, рекомендуемых в начале статьи. Поэтому отпадает необходимость в тренировке выполнения этих построений. Вместе с тем в IX классе представляется возможным уделить большее внимание использованию при построениях острых углов чертежных треугольников, например при построении правильных многоугольников.

Ознакомление учащихся с такими построениями идет параллельно с изучением приемов построения правильных многоугольников, приведенных в учебнике А. П. Киселева. Острые углы чертежных треугольников используются и при решении других задач, в которые входит построение углов в 30°, 45°, 60°.

Приближенные построения. В IX классе учащихся можно познакомить не только с новыми приемами приближенного решения задач на построение, но и с оценкой их точности. Все сведения по геометрии и тригонометрии, необходимые для понимания идеи приближенных построений, в

частности метода последовательных приближений (понятие последовательности, предела последовательности), уже известны. При этом задачи подбираются так, чтобы знакомство с приближенными построениями явилось не расширением программы, а иллюстрацией приложения изучаемой теории к решению практических задач.

Приемы приближенных решений задач не заучиваются. Надо помнить, что ознакомление учащихся с приближенными построениями производится лишь для того, чтобы ученики поняли ценность и практическую целесообразность этих построений, умели верно подойти к оценке того или иного приема и в простейших случаях определить погрешность построения.

В IX классе можно рекомендовать примерно такой план изложения вопросов, связанных с приближенными построениями.

После того как разобраны точные приемы построения правильных я-угольников (л = 3, 4,3-2* и 4-2*, где k= 1, 2,...), ставится вопрос, как решить аналогичную задачу для любого л, сообщаются краткие сведения по теории вопроса, указывается, что с этими задачами часто приходится встречаться на практике.

Один из приближенных приемов решения этой задачи ученики уже знают из курса VI класса. Часто используются также специальные таблицы, в которых приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность радиуса 1. Чтобы получить сторону многоугольника, вписанного в окружность данного радиуса, нужно длину хорды (стороны), взятой из таблицы, умножить на данный радиус. Учащихся полезно ознакомить с этими таблицами.

Затем ученикам показывается широко распространенный приближенный способ построения стороны правильного многоугольника, вписанного в окружность данного радиуса (черт. 22). Этот способ дает точный результат для п = 3, 4, 6. Для других п длина найденного отрезка отличается от истинной длины искомой стороны. Подсчет погрешности этого приема громоздок, поэтому его нецелесообразно проводить в классе.

Знакомство с методом последовательных приближений может быть осуществлено на примере приближенного решения задачи о трисекции угла. Теоретическую основу этого вопроса можно изложить на уроке алгебры при решении задач на

Черт. 22

определение суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассматривается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

определяется сумма п первых ее членов

и сумма всех членов (л-^оо)

Таким образом, получаем

откуда и следует возможность приближенного решения задачи трисекции угла. Построение заключается в делении углов пополам и алгебраическом суммировании углов.

Черт. 23.

Выполнение построения лучше всего провести в классе, на доске. Вполне достаточно, если будут найдены 3—4 первых приближения и указано предельное положение луча ОЛГ (черт. 23). На уроке может быть рассмотрено решение той же задачи с использованием бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем (черт. 24).

Интересно сравнить быстроту сходимости в обоих случаях. Для этого рассмотрим вопрос о точности построения. Учащимся дается определение абсолютной и относительной погрешности построения, вычисляются погрешности построенных приближений. Как легко видеть, величина погрешности построения зависит от номера приближения.

Черт. 24.

Большой интерес вызывает задача на определение номера приближения, которое дает относительную погрешность, меньшую по абсолютной величине любою наперед заданного числа.

Пусть, например, надо определить номер приближения, при котором относительная погрешность менее 1 %.

Так как сумма п первых членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем —^~ выражается формулой

то для решения задачи имеем неравенство

т. е.

откуда

так как п — целое число, то

п > 7.

Со следующим примером метода последовательных приближений ученики встречаются при введении определения длины окружности, при рассмотрении последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в данную

окружность*, при неограниченном удвоении числа их сторон.

После вывода формулы длины окружности рассматриваются некоторые способы графического спрямления полуокружности, т. е. способы построения отрезка, длина которого равна длине полуокружности.

Прежде всего указывается практическая необходимость умения решать такие задачи. Показывается, что прием спрямления окружности, рассмотренный выше, практически неудобен, так как с увеличением числа сторон правильного многоугольника, вписанного в данную окружность, абсолютная погрешность о, определяемая по формуле

8 = I 2тгг — пап I

уменьшается.

Относительная погрешность Д будет равна

где г — радиус спрямляемой окружности,

п — число сторон правильною многоугольника, ап — сторона правильного вписанного л-угольника.

Однако при фактическом выполнении построения суммарная погрешность построения, начиная с некоторого п, начнет расти, так как рост погрешности элементарных операций при сложении отрезков превысит уменьшение погрешности от увеличения числа сторон правильного вписанного многоугольника.

Затем разбирается прием спрямления длины полуокружности, приведенный на черт. 25. Отрезок ВС приближенно будет равен искомой длине, т. е. длине полуокружности. В самом деле: BC=BlA+ACl=a3+a4=R(V3+V2) ^ R( 1,732 + + 1,414),

ßC^ 3,146 R.

Черт. 25.

* Аналогично строится последовательность периметров правильных описанных многоугольников, которая также будет сходиться к длине окружности.

Подсчитаем теоретическую абсолютную и относительную погрешность этого приема. Приближенно абсолютная погрешность будет равна:

За|тг — 3,146|/?^ 0,004/?; относительная погрешность Д :

Второй способ спрямления полуокружности несколько сложнее (черт. 26). На радиусе OA строим угол СО А, равный 30°. От точки С в сторону точки А откладываем отрезок CD = 3R. Точки В и D соединяем. Отрезок BD будет приближенно равен длине полуокружности. В самом деле, из черт. 26 имеем: абсолютная погрешность

относительная погрешность

Как видно из приведенных выше выкладок, определение погрешностей вполне доступно для учеников IX класса и тесно связано с программным материалом, причем определение погрешности можно предложить учащимся как задачу на вычисление.

При изучении формулы длины дуги ученикам показываются некоторые приемы спрямления дуг окружности. Запоминания этих приемов требовать не следует. Важно- лишь, чтобы ученики понимали, что в чертежно-конструкторской и производственной практике часто допускаются приближенные построения, знали, как определяется погрешность построения.

В классе могут быть рассмотрены следующие приемы спрямления дуг.

Черт. 26.

1. Пусть требуется графически определить длину дуги AB (черт. 27). Определим середину (С) дуги AB и середину (D) хорды, стягивающей дугу AB. Из точки С проведем перпендикуляр СЕ к АС, который пересечет хорду AB в точке Е. Далее найдем отрезок DF, равный -g- DE, тогда приближенно

^АВ = 2AF.

Определение выражения погрешности способа несложно, поэтому приведем окончательный результат. Абсолютная погрешность определяется формулой

а относительная погрешность — формулой

2. Для графического определения длины дуги AB (черт. 28) через точку О, центр дуги, проведем прямую, перпендикулярную хорде AB, и отложим от точки Су середины дуги AB, отрезок CLh длиною 3R. Через точку С проведем касательную к дуге до пересечения с прямыми AL и BL в точках M и N. Длина отрезка MN и будет приближенно равна длине дуги AB.

И в этом случае определение погрешностей построения вполне доступно ученикам IX класса. После несложных выкладок получим абсолютную погрешность построения

Черт. 27.

Черт. 28.

и относительную погрешность

3. Наконец, полезно познакомить учащихся со способом спрямления дуг окружностей, предложенным инженером В. П. Гончаром. Метод В. П. Гончара позволяет чрезвычайно просто с большой степенью точности спрямлять дуги кривых второго порядка. Мы здесь укажем лишь прием спрямления дуг окружностей.

Черт. 29.

Пусть требуется спрямить дугу AB окружности (черт. 29). Найдем ее середину, точку М. От точки А на продолжении хорды AB отложим отрезок АС, равный хорде AM. Затем через точку А проводим касательную к данной окружности и на ней из точки С, как из центра, радиусом ВС засекаем точку /С. Длина отрезка АК приближенно равна длине дуги AB.

Определение погрешности этого способа представит трудности для учеников IX класса, так как здесь нужно будет использовать теорему синусов. Поэтому определение погрешности данного способа можно отнести на кружковые занятия или предложить ученикам X класса как задачу на вычисление погрешности (в общем виде).

В X классе решения задач на построение выполняются также с расширенным набором инструментов, уделяется внимание и приближенным приемам решения конструктивных задач.

При решении косоугольных треугольников в курсе тригонометрии полезно предлагать ученикам параллельно с аналитическим решением определять искомые элементы графически (построение углов выполняется, как правило, с помощью,

транспортира). Это дает возможность приближенно оценить правильность аналитического решения. Такую проверку ученики могут делать и при решении задач из других разделов тригонометрии.

При повторении полезно предложить ученикам определить погрешности приближенного решения некоторых из приведенных выше задач на построение. Особый интерес для учеников X класса представляет определение погрешности приближенного спрямления дуги окружности способом В. П. Гончара. При этом для упрощения можно рассмотреть частный случай, когда спрямляемая дуга содержит у радиан.

Как показала практика, весь материал, приведенный в статье, вполне доступен для учащихся.

Расширение набора инструментов, знакомство с приближенными построениями позволяют дать ученикам знания и навыки, наиболее полно отвечающие потребностям производственной практики. Использование расширенного набора инструментов упрощает технику выполнения построений, позволяет широко использовать последние при изучении планиметрии, вследствие чего теоретические знания учащихся становятся более прочными, приобретают практическую направленность; при этом обогащается теория и содержание геометрических построений.

Предлагаемый подход к изложению геометрических построений значительно повышает интерес и внимание учащихся к изучаемому предмету, что также способствует повышению качества обучения.

И. А. РЕЙНГАРД

старший преподаватель Днепропетровского государственного университета

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Осуществление политехнического обучения в преподавании математики потребует некоторого увеличения числа прикладных задач, решаемых в курсе геометрии. Сделать это тем более необходимо, что стабильные задачники по геометрии* содержат недостаточное число таких задач. В задачнике по планиметрии, например, из 970 задач только около 50 связано со сколько-нибудь интересным прикладным содержанием. Однако и среди этих 50 задач встречаются задачи либо с неграмотным, либо с нереальным и просто надуманным техническим содержанием. Например, в задаче № 22 из § 10 вычисляется высота стропильной фермы, которая на практике обычно задается в качестве исходной величины; в задаче № 80 из того же параграфа определяется длина тяги технически неправдоподобного подъемного крана.

Не связана с реальной, жизненной ситуацией задача № 29 из § 21 „Сборника задач по тригонометрии"**. В этой задаче объем заполненной части лежащей цилиндрической цистерны определяется не по стрелке сегмента поперечного сечения цилиндра, как это обычно делается в практике, а по центральному углу, под которым виден сегмент. Такое же искусственное „сближение" с практикой задач по стереометрии имеет место и во второй части стабильного задачника по геометрии***.

Несомненно, что искусственно составленные задачи из стабильного задачника должны уступить место живым, заимствованным из современной жизненной практики, содержательным прикладным задачам. В настоящей статье предпри-

* Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, М., 1953.

Его же, Сборник задач по геометрии, ч. II, М., 1953.

Его же, Сборник задач по тригонометрии, М., 1953.

** Его же, Сборник задач по тригонометрии, М., 1953.

*** Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. II, М., 1953.

нимается попытка на отдельных примерах* определить характер задач с техническим содержанием.

Часть из публикуемых задач не потребует технической смекалки и может послужить материалом для непосредственной иллюстрации содержательности некоторых из доказываемых в курсе геометрии предложений. Примерами таких задач могут служить задачи № 4, 7.

Другая часть задач с известными упрощениями и обобщениями приводится в такой формулировке, в которой она возникает в жизни. Для решения такого рода задач недостаточно уже механического применения изученных теорем. Ценность подобных задач состоит в том, что решение их ставит учащихся в положение „маленьких конструкторов", знакомит их с реальным производственным применением математики, зачастую требует творческого подхода к их решению и исследованию. Примерами таких задач являются задачи на расчет и исследование простейших механизмов, задачи на вычисление величин, необходимых для проектирования железных дорог, и другие задачи, приведенные в статье.

Включение прикладных задач в курс средней школы приводит к необходимости установления методических требований к такого рода задачам. Основными требованиями, которые нужно предъявить к задачам прикладного характера, являются: наличие в задаче передового технического содержания, наличие в задаче четко выраженного математического содержания, обязательность краткой и доступной для понимания учащихся технической части задачи. Соблюдение первого требования исключает из рассмотрения псевдотехнические, не типичные для современного производства задачи. Выполнение второго требования обогащает техническую задачу математическим содержанием. Третье требование оберегает цикл прикладных задач от перегрузки внепрограммными техническими сведениями.

Ниже приводятся примеры прикладных задач шести различных тематических направлений. Первые три задачи, посвященные делению и выделению земельных участков, составлены в соответствии с принятой в колхозах и совхозах системой обмера при выделении полей заданной формы и площади. Задачи 5 и 6, рассматривающие рациональный раскрой металлической полосы, составлены в результате изучения рационализаторских предложений и руководящих материалов по экономии металла при раскрое полосы перед штамповкой. В прикладных задачах 8 и 9 приводятся примеры построения центра тяжести произвольного четырех-

* Автор составил до 100 различных оригинальных задач с техническим содержанием. (Ред.)

угольника и трапеции, даются геометрические доказательства выполненных построений. Задачи 10, 11 и 12 представляют типичное применение геометрии к вычислению линейных размеров деталей конструкций в инженерно-строительном деле. В задачах 13 и 14 вычисляются величины, которые необходимо знать при проектировании железнодорожной поворотной петли и путей к поворотному кругу.

Особое место в статье занимают задачи 15, 16, 17, 18, 19, 20, представляющие собой планиметрические задачи (последние четыре с применением тригонометрии), составленные на основе изучения простейших плоских механизмов. В этих задачах вычисляются перемещение и ход ведомых звеньев механизмов, а также проводятся наиболее характерные геометрические исследования. Формулировка поставленных задач совпадает с формулировкой производственных вопросов, возникающих при проектировании механизмов и машин, что требует от учащихся творческого анализа условий задач при решении и исследовании.

Отметим, наконец, что решению прикладных задач должно предшествовать достаточно хорошее усвоение учащимися текущего материала и прочные навыки в решении соответствующих элементарных задач по курсу геометрии.

Задача 1. От треугольного участка ABC, площадь которого равна m га, межой BD требуется отделить треугольный участок, площадь которого составит п га (т>//)*, причем сторона AC—d (черт. 1).

Решение. Предположим, что задача решена и нам удалось разделить треугольник ABC линией ВД на две части так, что—-= —. Но S^ABC^——, a SàABD=-. Отсюда -=-= —. Ho AC= d и, следовательно, — =—, a AD =—. (I)

Вычислив по формуле (l) величину AD, мы определяем положение искомой точки D на стороне АС треугольника ABC и отделяем искомый треугольный участок прямой линией, проходящей через данную точку В и найденную точку D.

Черт. 1.

* В случае т<^п мы „прирезаем" к данному треугольному участку треугольный участок, площадь которого равна т—п.

Задача 2. От прямоугольного поля ABCD межой, исходящей из точки Е, лежащей на стороне AD на расстоянии d от точки А, отделить участок площадью в m га, если ширина AB —а (черт. 2).

Решение. Решение задачи распадается на два случая: 1) Межа EF отделяет от данного прямоугольника ABCD трапецию AEFB, площадь которой 5 = a —m (1). Из равенства (1) определяем неизвестную величину отрезка BF. BF= ———. Отложив теперь на стороне ВС от точки В отрезок BF, получаем искомую точку F—вторую точку межи EF, отделяющей от поля ABCD участок заданной площади т, причем m > ^у-. При т = ad BF — du отделяемый участок является прямоугольником.

2) Отделяемый участок площади m имеет форму треугольника. В этом случае ^//г< точка F окажется на стороне AB и AF = — .

Задача 3. Разделить земельный участок ABCD, имеющий форму прямоугольной трапеции высотой MN, на две равновеликие части (черт. 3).

Решение. Пусть основания AB и CD трапеции ABCD соответственно равны а и Ъ, высота трапеции равна H, а неизвестное расстояние AN от вершины А до делящей межи—л:. По требованию задачи SANMD=SNBCM , т. е. AM-NM = NB+MC -MN, так как Л^ = а-;с, а МС = Ь-х, а — X + b — X тт a-h b топ • х--i-H, откуда x =-.

Таким образом, для выполнения построения достаточно отложить от вершины А расстояние AN — х = аАг- и затем

Черт. 2.

Черт. 3.

провести через найденную точку N межу М1\[±АВ, которая и разделит участок ABCD на две равновеликие части ANMD и NBCM.

Рассмотренные задачи могут быть предложены учащимся VIII класса в четвертой четверти после изучения соответствующих разделов темы „Площади многоугольников".

Задача 4. Из листа треугольной формы (черт. 4) вырезать двумя операциями квадрат, один из прямых углов которого совпадает с прямым углом треугольника, а противоположная ему вершина D лежит на гипотенузе треугольника. Определить сторону и площадь полученного квадрата, если катеты треугольника 5С = а, АС — h.

Решение. Для того чтобы на гипотенузе AB треугольника ABC построить вершину квадрата D, проведем из вершины С под углом 45° к ВС его диагональ CD, которая пересечет AB в искомой точке D. Проводя линии отреза FD и DE соответственно параллельно катетам треугольника АС и СВ, получим квадрат CEDF.

Из подобия треугольников ADE и ABC следует, что — = — или-= —, откуда X =-, а площадь квадрата S =-.

Приведенная задача может быть предложена учащимся VIII класса уже в первой четверти при прохождении темы „Подобные фигуры".

Задача 5. На черт. 5 и 6 показаны соответственно нерациональный и рациональный раскрой стальной полосы при изготовлении заготовки для детали самоходного комбайна. Подсчитать, сколько метров полосы будет сэкономлено при рациональном раскрое 200 заготовок.

Решение. При нерациональном раскрое на изготовление каждой детали расходуется 175 мм стандартной стальной полосы. При рациональном раскрое заготовки соответствующим образом переставляются (черт. 6), в результате

Черт, 4.

Черт. 5. Черт. 6.

чего достигается экономия АхК=х (мм) на каждую пару заготовок. Определим х:

А1К = х = АхР-КР=175 — КР; KP = DCl + C1D1; СгОг = 60 мм. Так как ^DCCX = 45°, a ^CDCX = 90°, то DC\ - DC =60 мм.

Следовательно, КР = DCX + C1D1 = 60 + 60= 120 (лш) и л: 5= 175 — 120 = 55 (мм).

Отсюда заключаем, что при изготовлении 200 деталей мы сэкономим 55 x 100 = 5,5 м стандартной стальной полосы.

Данная задача может быть решена учащимися VI класса на уроке геометрии при изучении свойств равнобедренного треугольника.

Задача 6. Подсчитать, сколько дисков радиуса г можно изготовить при рациональном раскрое стандартной полосы металла шириной в 5 г и длиной в 40 г (на черт. 7 и 8 соответственно показаны нерациональный и рациональный раскрои).

Решение. На полосе 5 r-40 г при нерациональном раскрое сможет разместиться 40 дисков радиуса г. Для того чтобы подсчитать число дисков, которые можно изготовить при рациональном раскрое полосы, определим расстояние АОъ между горизонтальными осями соседних дисков и разделим длину полосы 38 г на это расстояние. Целая часть полученного частного, умноженная на 2 и сложенная с двумя дисками даст искомое число дисков.

Из прямоугольного треугольника ОхОвА

Черт. 7.

Черт. 8.

Искомое количество дисков

Задача 7. Какова наибольшая ширина досок, которые можно выпилить из бревен диаметром АС = d = 450 мм, если из каждого бревна требуется получить 9 досок одинаковой ширины толщиной 30 мм каждая?

Решение. Из прямоугольного треугольника_ABC (черт. 9) наибольшая ширина доски AB = ]/ АС2 — С В2 ; AC = d = 450 мм; СВ = 9*30 = 270 (мм).

Отсюда окончательно: AB =z j/4502 — 2702 = 360 мм.

Черт. 9.

Черт. 10.

Задачи 6 и 7 являются простым примером приложения теоремы Пифагора и могут быть решены учащимися VIII класса в третьей четверти.

Задача 8. Построить положение центра тяжести S произвольного четырехугольника.

Построение. Требуемое построение можно провести известным громоздким способом, разбивая четырехугольник диагоналями на две пары треугольников и сводя решение задачи к построению положений центров тяжестей Sx и 52, 53 и 54 указанных пар треугольников. Центром тяжести будет точка 5 —точка пересечения прямых 5252 и 53S4 (черт. 10).

Учащимся полезно предложить более простой способ построения центра тяжести четырехугольника. Проведем диагонали АС и BD данного четырехугольника ABCD (черт. 10). Отложим от вершины А отрезок AF = ЕС и соединим полученную точку F с вершинами D и В. В этом случае положение искомого центра тяжести четырехугольника ABCD совпа-

* Квадратные скобки, в которые взята дробь, показывают, что в качестве частного мы должны брать наибольшее целое число, содержащееся в этой дроби („антье"), так как ответ должен быть только целым числом.

дает с положением центра тяжести построенного нами треугольника FDB.

Доказательство. Действительно, пусть центр тяжести треугольника FDE расположен в точке Sly а центр тяжести треугольника FBE—в точке S2. Эти же точки (5, и S2) служат центрами тяжести треугольников ACD иАСВ, так как треугольники ADC и F DE, ABC и FBE попарно имеют одну и ту же медиану. Центр тяжести делит ее в отношении 2:1. Следовательно, искомый центр тяжести S должен лежать на прямой SXS2. Отложим на диагонали BD отрезок BFU равный отрезку DE. Пусть центры тяжести треугольников ЕСЕг и AEFX расположены в точках 53 и S4, тогда центры тяжести треугольников DBC и ABD также лежат соответственно в точках Ss и S4.

Рассмотрим треугольники FBD и AF-^C, обозначив их центры тяжести через s' и s". Очевидно, что положение центра тяжести s' треугольника FBD совпадает с центром тяжести s'" треугольника FFxEy так как треугольники FDB и FXEF имеют одну и ту же медиану FT.

Аналогично положение центра тяжести s" треугольника AF,С совпадает с положением центра тяжести s'" того же треугольника FFXE.

Отсюда следует, что s' совпадает с s". Учитывая, что S = 5,S2 X 53S4 и что s' принадлежит прямой S}S2, a s"—прямой SSS4, получаем, что точки S, s' и s" совпадают, что и требовалось доказать.

Задача 9. Построить положение центра тяжести произвольной трапеции.

Построение. Укажем простое построение положения искомого центра тяжести, для чего продолжим нижнее основание AB — а трапеции ABCD влево на величину АР=ЬГ равную длине верхнего основания DC (черт. 11), а верхнее основание DC продолжим вправо на величину CQ = #, равную длине нижнего основания AB. Полученные таким образом точки Р и Q соединим прямой линией PQ, которая пересечет прямую MN, соединяющую середины оснований

Черт. 11.

трапеции, в искомой точке S —центре тяжести трапеции ABCD.

Доказательство. Соединим построенную точку Р с вершиной D и построенную точку Q—с вершиной В трапеции. Полученный таким образом четырехугольник PBQD является параллелограммом (так как DQ \\ PB по условию, a DQ — PB — а-\- b по построению). Как было показано при решении предыдущей задачи, центр тяжести 5 трапеции совпадает с центром тяжести треугольника FBD, в котором AF—EC. Учитывая, что в проведенном нами построении прямая PQ является диагональю построенного параллелограмма PBQD, а ее отрезок FT— медианой треугольникаFBD (DT— ТВ, так как диагонали параллелограмма делятся в точке Т пополам), заключаем, что PQ действительно определит в пересечении с прямой MN искомый центр тяжести S, если PQ пройдет через точку F, т. е. если в результате проведенного нами построения AF окажется обязательно равным ЕС. Действительно, так как АС \\ BQ, то APAF~/\PBQh л DEC~ aDBQ, то соответственно--=- и -=-, откуда -= - — или AF = ЕС, что и тре бовалось доказать.

Рассмотренные две задачи на построение положений центров тяжестей вместе с приведенными доказательствами справедливости построения вследствие определенных трудностей, возникающих при доказательстве, можно вынести на занятие кружка прикладной математики в четвертой четверти VIII класса.

Задача 10. Пролет треугольной строительной фермы AB = d, а уклон = —. Определить длину раскоса DN, если известно, что DM=NB.

Решение. Учитывая, что NN1±AB (черт. 12), имеем: NXB = DNX = DB = Из подобия треугольников BNMX и BCD следует, что - =-= — : —=—, откуда

Черт. 12.

NN y — ——. Так как уклон -= —, то CD——— = —- и NNX = —— = —. Окончательно из прямоугольного треугольника DNNX:

Приведенная задача, в которой для определения длины раскоса используется подобие треугольников и теорема Пифагора, может быть решена учащимися VIII класса в третьей четверти.

Задача 11. Определить длины ригелей A1B1 = 11vê А^В2 = /2 решетчатой стойки, изображенной на черт. 13, если раскосы АВи Л,5„ А2В3 взаимно параллельны, нижнее основание стойки AB = /, а верхнее основание АгВг = 1ь.

Решение, л А1В2В1 ~ д АВгВ, следовательно:

а АгВ2А2~ а АВгАи следовательно, — = AlB*. (2)

Сравнивая (1) и (2), получим:—=—>откуда /21=^-/а. (3) л А^В3А3^ a AB}A^, откуда следует, что — = А*В*. (4) а Л252£3 - а АВВЪ откуда следует, что -f - = -7^-. (5)

Из (4) и (5) следует, что = А. или /2/2 = //8. (6)

Умножив почленно равенства (3) и (6), мы получаем:

Определив таким образом подставим его значение в равенство (6) и получим выражение для /2:

Рассмотренная задача может быть решена учащимися VIII класса в конце первой четверти. При вынесении задачи на кружковое занятие десятиклассников возможно продолжить до п построение указанной стойки и предложить учащимся провести доказательство методом полной математической индукции.

Задача 12. Определить длину диагональной стропильной ноги MN крыши пристройки, если пролет основной крыши равен а, пролет крыши пристройки равен 6, высота основной крыши равна H, а высота крыши пристройки равна h (черт. 14). Предварительно построить на чертеже диагональную стропильную ногу, являющуюся линией пересечения скатов основной крыши и крыши пристройки.

Построение. Определим точку встречи конька NQ крыши пристройки со скатом основной крыши. Для этого проведем через конек NQ плоскость, перпендикулярную к; основанию крыши („потолку"), и построим треугольник TSR-^ сечение чердачного помещения этой плоскостью. Искома» точка ЛГ определится в результате пересечения прямых NQ и SR. Соединяя точку N с точками M и Р, получаем иско^ мые диагональные стропильные ноги крыши пристройки.

Приведенное построение является простым примером позиционной задачи на построение с техническим содержанием.

Решение. Из подобия треугольников SRSX и NRM} следует, что-= —. Из прямоугольного треугольника SRSX имеем 5/? = j/~#2+ Отсюда NR 4 Я2 + а2. Окончательно из прямоугольного треугольника MNR искомая длина диагональной стропильной ноги

Данная задача может быть решена учащимися X класса при прохождении темы „Многогранники".

Задача 13. Определить расстояние начала петли для поворота паровоза от центра О окружности петли, если радиус этой окружности и сопрягающей дуги АС равен /?, а расстояние между осями путей равно / (черт. 15).

Черт. 13.

Черт. 14.

Решение. На участке А^А паровоз двигается прямолинейно. От точки А до точки С паровоз двигается по окружности радиуса /?, касательной к прямой ААХ в точке А и сопряженной в точке перегиба С с окружностью радиуса R рассматриваемой петли.

Пройдя дугу петли CKD, паровоз проезжает по сопрягающей дуге DB радиуса R и выходит на прямолинейный путь ВВЪ двигаясь в направлении, обратном первоначальному. Так как окружности с центрами в точках О и Ог имеют общую касательную в точке С, то ОхСО—прямая,и из прямоугольного треугольника ОхОЕ искомое расстояние

Приведенная задача может быть решена учащимися VIII класса в третьей четверти после изучения теоремы Пифагора.

Черт. 15.

Черт. 16.

Задача 14. Определить угол а наклона прямой вставки ВС к оси пути и длину X от начала сопрягающей кривой (окружности радиуса R) до оси поворотного круга, если расстояние между центром Ох поворотного круга и осью пути равно А, диаметр поворотного круга равен d, а прямая вставка между поворотным кругом и началом кривой равна / (черт. 16).

Решение. До точки А паровоз движется прямолинейно. От точки А до точки В паровоз движется по окружности, касательной к оси пути и к прямой вставке ВС. Переходя от точки В на прямую вставку ВС, паровоз выезжает на поворотный круг. Из черт. 16 видно, что h = OxH —

Следовательно,

(1)

Определим искомый угол а, решив составленное тригонометрическое уравнение (1). Так как

После элементарных преобразований мы приходим к квадратному уравнению относительно tg -|-:

откуда

Теперь легко определить искомую длину х. Из черт. 16 видно, что x = МХВ +- ВМ = R sin а + \f + j cos а.

Рассмотренная задача может быть решена учащимися X класса в третьей или четвертой четверти на уроке тригонометрии при изучении способов решений тригонометрических уравнений.

Задача 15. Ползун В стержневого шарнирного механизма, изображенного на черт. 17, при повороте стержня OA вокруг точки О совершает поступательное движение вдоль оси xx. Вычислить ход ползуна (путь, который проходит ползун из левого крайнего в правое крайнее положение), если длина стержня АО = г,АВ=1, а расстояние ОС точки О от оси хх равно А.

Решение. Все звенья исследуемого механизма соединены при помощи шарниров. Левое крайнее положение ползуна 5j и его правое крайнее положение В2 можно пост-

Черт. 17.

роить, сделав на оси хх засечки радиусом R = г + / из центра О (черт. 18). Тогда искомая величина хода ползуна изобразится отрезком В1В2. Из прямоугольного треугольника ВхОС имеем (Bfif = (г + If — А2, откуда

£jß2 = 2BXC = 2VT? + l)2-h2 .

Задача имеет действительные решения, если г -4- / > //.

Если г + />Л, заданным числам г, / и Л соответствует определенное значение хода ползуна. Полезно обратить внимание учащихся на то, что в случае r>/z рассматриваемый механизм возможен. Если же r + Z — Л, то ВХВ2— 0, ползун неподвижен и механизм лишен практического смысла.

Задача 16. Ось вращения О рамы кулисного механизма, изображенного на черт. 19, расположена на расстоянии h мм от оси хх движения ползуна А. Определить, какой должна быть длина прорези АК рамы, если ОК—т, а ход ползуна А должен составлять H мм.

Решение. На черт. 19 показано левое крайнее положение ползуна Л, возможное при заданном ходе последнего в H мм. В этом случае АА0 = —. Из прямоугольного треугольника АОА0 имеем АО2 = (АК + КО)'1 = О Al + AAl или (Z -f- m)2 = h2 + ^- , откуда искомая длина прорези рамы

Задачи 15 и 16 могут быть решены на уроках геометрии в третьей четверти в VIII классе после изучения теоремы Пифагора.

Задача 17. Определить угол полного размаха стержня CD четырехзвенного шарнирного механизма, изображенного на черт. 20, если AB = ВС = a, CD-AD-d.

Черт. 18. Черт. 19.

Решение. Построим искомый угол <р полного размаха стержня CD. Наибольший угол который образует стержень CD с осью AD9 будет соответствовать совпадению направлений звеньев механизма AB и ВС. Поэтому для построения угла — необходимо на окружности радиуса 2а с центром в точке А сделать из точки D засечку радиусом AD — d. Соединив полученную таким образом точку С с точкой Д получаем ^ CD А =-у-« Соединим теперь точку В с точкой D. Так как по условию треугольник ADC равнобедренный, то его медиана BD (AB —ВС = а) является одновременно его высотой и биссектрисой и, следовательно, ^ CDB = —. Из прямоугольного треугольника CDB

sin— ==— =— ИФ=4агс sin— .

Данная задача может быть решена учащимися VIII класса после первого знакомства с тригонометрическими функциями, либо в IX классе при изучении темы о решении прямоугольных треугольников.

Задача 18. На какое расстояние должен продвинуться вверх шарнир D четырехзвенного шарнирного механизма грейфера, чтобы ковши M и N захватили сыпучий груз, если угол секторного сечения RBT ковшей равен <р, а сторона шарнирного ромба ABCD равна а. В случае, когда ^/?ßS=180°, шарнирный ромб является квадратом (черт. 21).

Решение. Как видно из черт. 22, в закрытом положении грейфера ^АхВОъ составленный стороной ромба с вертикальной осью, равен <р--^- . При вращении ковшей

Черт. 20

Черт.

Черт. 22.

Поэтому

Искомое перемещение

отсюда

Приведенную задачу можно рекомендовать для решения в третьей четверти IX класса.

Задача 19. Определить угол размаха стержня AB, поворачивающегося вокруг оси А, при вращении круглого эксцентрика радиуса R вокруг оси Ох (черт. 23), если эксцентриситет ООг=1.

Решение. Выполним построение искомого угла размаха ср стержня AB (черт. 24). Как видно из чертежа, круглый эксцентрик, вращаясь вокруг неподвижного центра 01% будет описывать своим центром О окружность радиуса / с центром в точке Ох.

Строим окружность радиуса R + I с центром в точке Ol9 являющуюся огибающей семейства окружностей — контуров различных положений эксцентрика. Наибольшее отклонение стержня АВ2 от вертикальной оси АОх определится как касательная к огибающей окружности, проведенная из точки А. Наименьшее отклонение стержня АВХ от оси АОх определится как касательная к окружности радиуса R — I с центром в точке Oi. Из прямоугольных треугольников ОгАВ и 01АВ1 имеем соответственно: sin фтах =-; sin <l>min=

Черт. 23. Черт. 24,

И искомый угол размаха

Исследование. Для того, чтобы исследовать полученное решение и выяснить возможность существования механизма в различных случаях, преобразуем выражение (3) для искомого угла ср:

Очевидно, что механизм существует при

А2-(/? + /)2>0, (5)

так как в этом случае и подавно выполняется условие (6)

А2-(/?-/)2>0. (6)

Следовательно, угол <р будет действительным числом только в том случае, если Л > R + /. Последнее очевидно также из чертежа. При А<7? + / рассматриваемый механизм невозможен.

Пусть А = R + /. Тогда

Рассмотрим частные случаи, которые получаются при различных значениях эксцентриситета /.

а) Если />0, то

так как среднее геометрическое при R не равном I меньше сред-

него арифметического —-— , и мы получаем определенное значение для угла размаха ср = arc sin-.

б) Если / = 0, то

В этом случае эксцентрик представляет собой ролик, удерживающий касательный к нему стержень в горизонтальном положении, и рассматриваемый механизм не имеет практического значения.

в) Если / = /?, h = R + l = 2R, то

и угол размаха стержня (максимальный в условиях данной задачи) ср = -J .

Задача 20. Вычислить величину угла ф поворота стержня AB кулисного механизма (черт. 25) при повороте стержня OA = г на угол 9, если расстояние OB между шарнирами О и В равно /*. Решение. Из прямоугольного треугольника АВАг

Из прямоугольного треугольника АгОА: ОАг — rcoscp; ААг= г sin ср.

Отсюда:

Исследование. При решении данной задачи полезно предложить учащимся выяснить, в каком случае рассматриваемая кулиса будет „качающейся", а в каком „вращающейся" (т. е. соответственно, в каком случае стержень AB будет качаться, а в каком случае может делать полный оборот вокруг точки В).

1) Легко видеть, что при />г знаменатель правой части равенства (1) не может быть равным нулю, так как/>rcoscp при любых ср. Отсюда следует, что ни при каком угле поворота tg^ не обращается в бесконечность, а это и показывает, что стержень AB не сможет совершить полного оборота.

Черт. 25.

* Конструктивно мы будем считать, что длина стержня AB, вдоль которого скользит ползун А, больше r -f- /.

2) В случае /<г для значений угла ср, найденного из уравнения / 4- г cos ср = 0, tg ф обращается в бесконечность, угол ф может принимать всевозможные значения и рассматриваемая кулиса будет „вращаться".

3) Если же 1 = г, то

В этом случае кулиса также является вращающейся, причем стержень AB вращается вдвое медленнее, чем стержень OA. Последнее может быть легко продемонстрировано на модели.

Модель кулисного механизма.

Все рассмотренные задачи, а также многие другие аналогичных типов решались в кружках прикладной математики с учащимися восьмых, девятых и десятых классов 20-й и 81-й средних школ г. Днепропетровска. Решение задач сопровождалось демонстрацией заранее подготовленных моделей, таблиц и графических схем.

Применение моделей помогало учащимся быстрее освоить схему механизма, выделить необходимые для решения задач геометрические элементы, установить зависимость между заданными и искомыми величинами. Для исследования решений особенно полезными оказались подвижные модели. Почти все необходимые для этой цели модели были приобретены в магазинах наглядных пособий.

Наблюдения за работой кружков убедительно говорят о повышенном интересе учащихся к решению задач прикладного характера. Эти задачи часто оказывались для учащихся более доступными, чем решение некоторых из задач, обычно рассматриваемых на уроке. Первоначально вызывала недоумение учащихся необычность условия в задачах на выделение земельных участков. Решение же задач, связанных с проектированием железнодорожных путей, с основами инженерно-строительного дела, с рациональным раскроем материалов, затруднений у учащихся не вызывало.

Опыт кружковой работы убеждает, что некоторые из приведенных выше задач могли бы быть использованы для решения в классных условиях. Что же касается задач на исследование механизмов, то их пока можно рекомендовать лишь для кружковой работы.

А. А. ПАНКРАТОВ

старший преподаватель Калининского педагогического института

О СВЯЗИ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ И ЧЕРЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

При определении характера и конкретных форм связи курсов геометрии и черчения необходимо исходить из целей преподавания этих предметов, их содержания и значения в деле обучения и воспитания.

Оба предмета в рамках школьных программ занимаются изучением пространственных форм и пространственных отношений материального мира. Изучение свойств основных фигур, умение создавать из них новые формы и видеть в комбинированной фигуре основные, умение изображать пространственные фигуры на плоскости ч по изображению восстановить оригинал в представлениях или в модели (из пластилина, картона, дерева), пополнение на этом материале запаса пространственных представлений учащихся, развитие их пространственного воображения — вот некоторые из общих для обоих предметов и важнейших с точки зрения политехнического обучения задач, которые решают геометрия и черчение. Необходимость связи в преподавании этих предметов обусловливается также тем, что и в геометрии, и в черчении учащиеся обучаются выполнению чертежей, играющих важную роль как при изучении самих предметов, так и в жизненной практике вообще.

Связь в преподавании геометрии и черчения может идти по разным направлениям.

При политехническом обучении предполагается, например, повышение теоретического уровня изучаемых в школе предметов. Геометрия дает теоретические основы для черчения. Чтобы преподавание черчения велось на достаточном научном уровне, преподавателям черчения при изложении материала следовало бы чаще, чем это имеет место в практике школы, опираться на теоретические сведения, известные учащимся из курса геометрии. Для преподавателей геометрии, в свою очередь, черчение может стать материалом практического прило-

жения геометрической теории. Значит, отношение между геометрией и черчением есть в известном смысле отношение между теорией и практикой.

В черчении большое значение имеет ряд условностей (типы линий, способы изображения тел, указание размеров, типы надписей, расположение проекций, оформление чертежных листов и т. д.), из которых многие являются общеобязательными на всей территории Советского Союза (ГОСТы). Многие из этих условностей следует использовать в геометрии. Это поможет сделать геометрический чертеж более четким, понятным, вообще графически более совершенным. Кроме того, в отдельных случаях (практически довольно часто) геометрия может при решении целого ряда вопросов заимствовать из черчения и некоторые из его методов, например употребление эпюров.

Таким образом, характер связи и отношений между черчением и геометрией обладает следующей основной особенностью: это не есть отношение главенства и подчинения. Из самой сути предметов и их целей вытекает, что связь между ними является взаимной.

В практике работы школ наметились следующие пути осуществления связи в преподавании геометрии и черчения.

1. В преподавании геометрии: а) использование в интересах геометрии практических навыков, графических приемов, отдельных методов изображения пространственных форм на плоскости, которыми учащиеся овладевают при изучении черчения; б) сообщение учащимся определенного круга теоретических сведений из области геометрии, анализ основных методов выполнения различных геометрических построений (на плоскости и в пространстве), которые найдут многочисленные практические приложения в курсе черчения.

2. В преподавании черчения: а) возможно более широкое использование геометрической теории при обосновании разнообразных геометрических построений; б) выработка навыков в черчении плоских и пространственных фигур, которые могли бы найти употребление в курсе геометрии.

Рассмотрим, что можно и целесообразно сделать для установления связи в преподавании геометрии и черчения по каждому из предметов в отдельности.

I. Геометрия

Недочеты чертежей в планиметрии можно разделить на две категории:

а) прямые ошибки геометрического характера;

б) плохое оформление.

Недочеты первого рода являются следствием неверно понятой задачи или отсутствия необходимых знаний у учащихся.

Например, от ученика требуют начертить ромб, а он изображает параллелограмм общего вида, или наоборот. Сюда же относятся ошибки, связанные с неверным пониманием существа построений и вытекающим отсюда неправильным истолкованием результатов построения или недопустимыми обобщениями (достаточно напомнить очень распространенные заблуждения, от которых не сразу удается избавиться в стенах вуза, что возможна трисекция любого угла или спрямление окружности циркулем и линейкой и им подобные).

Недочеты второго рода ставят перед нами вопрос об ошибках оформления чертежа.

Но что принять тут за основу оценок? Какие критерии имеются в нашем распоряжении? Если говорить о чертежах технических, то там дело ясное. Существуют четко разработанные многочисленные стандарты, которыми полагается руководствоваться при выполнении технического чертежа. Всякое отступление от них является ошибкой.

Для планиметрических чертежей никаких аналогичных обязательных «стандартов» не существует. Некоторые разрозненные рекомендации по оформлению чертежей, которые можно найти в литературе и которые учителя (а за ними ученики) в большинстве случаев не соблюдают, не решают вопроса.

Такое положение представляется ненормальным. Использование системы стандартов и условностей делает технический чертеж понятным без многословных объяснений. Попытка сделать таким же и геометрический чертеж естественна, а возможность — реальна.

Нельзя механически перенести все стандарты черчения в практику выполнения планиметрических чертежей, но какие-то определенные требования к ним нужно и можно сформулировать. Упомянутые выше стандарты должны быть непременно учтены. В пользу этого соображения говорят хотя бы следующие два обстоятельства.

1 ) Стандарты могут дать очень удобное средство для улучшения оформления чертежа;

2) Применение и использование стандартов в планиметрии не затруднит и не обременит учащихся, так как они знакомы с ними из курса черчения.

Чтобы сформулировать правила оформления чертежей, уточним предварительно наши требования к оформлению.

Оформление чертежа — это не только забота о его внешней красоте. Хорошо оформленным чертеж мы считаем тот, из рассмотрения которого становится ясным смысл выполненных на нем построений. Например, если чертеж делается при решении задачи на построение, то из самого чертежа, без всяких описаний, мы должны усмотреть, где на нем фигура, заданная условием задачи, какие построения были проделаны в процессе решения; что получено в результате этого реше-

ния. Коротко; хорошо оформленный чертеж — это чертеж «удобочитаемый». Аккуратность выполнения, конечно, сама собой разумеется.

В практике автора данной статьи вполне оправдали себя следующие правила выполнения и оформления планиметрических чертежей.

1. Первоначально весь чертеж выполняется в карандаше возможно более тонкими сплошными линиями с соблюдением требуемой точности.

2. После того как чертеж готов, приступают к так называемой обводке, которая, в зависимости от обстоятельств, выполняется карандашом или тушью (чернилами).

3. Контуры искомых фигур обводятся линиями основной толщины (ширина линий \ мм).

4. Контуры данных фигур обводятся сплошными линиями, ширина которых вдвое меньше предыдущей ^ —j .

5. Все линии вспомогательных построений выполняются сплошными и наиболее тонкими {— и тоньше).

6. Оси симметрии фигур изображаются штрих-пунктирными линиями толщиной - •

7. Размеры отрезков, углов, радиусов дуг, диаметров окружностей проставляются в соответствии с требованиями стандартов для технических чертежей.

8. Все точки, используемые в процессе построений, в том числе данные, изображаются в виде небольших кружков, разумея под точками центры этих кружков.

9. Надписи на чертеже (обозначение точек, размерные числа) выполняются стандартным шрифтом.

10. Искомые точки обозначаются последними буквами латинского алфавита (прописными): X, Y, Z,..., Х\, Х2, Х3,..., Yu Y2, Y3,..., и т. д. Искомые отрезки и линии обозначаются строчными буквами X, Х\, х2...> и т. д.

Нередко в процессе построений важно бывает знать не только то, какие вспомогательные линии проведены, но и в каком порядке. Такие линии удобно отмечать их порядковым номером (см. примеры 4, 6).

Примечания.

1. Прямой угол, если он встречается на чертеже много раз и если на чертеже «тесно», можно отмечать заштрихованной четвертью круга.

2. В случае возможности используются цветные карандаши (тушь), цветной мел.

3. Равные отрезки, если только равенство не указано на чертеже простановкой одинаковых размеров, удобно отмечать

обычным способом — перечеркиванием их одинаковым числом штрихов или одинаковыми значками.

4. В случае, когда нужно указать равные углы, проставляем их размер (если он известен) или применяем приемы, ставшие уже общепринятыми: а) отмечаем равные углы одинаковым количеством концентрических дуг или б) проводим (с центром в вершине) по одной дуге в каждом из углов и перечеркиваем их одинаковым количеством штрихов.

Первые шесть правил позволяют отчетливо выделять на чертеже фигуры, заданные и искомые, а также линии, проведенные в процессе решения (линии вспомогательных построений). Пятое правило предусматривает использование сплошных линий минимальной толщины для проведения вспомогательных построений. Это удобнее, чем применение для тех же целей штриховых линий: при употреблении штриховых линий нередко затрудняется определение точки их пересечения, так как она оказывается между штрихами; кроме того, проведение сплошной линии практически проще, чем штриховой.

Седьмое правило помогает, помимо прочего, разобраться в характере проделанных вспомогательных построений. Так, например, если нужно показать, что из некоторой точки А проводится дуга данного радиуса R, то это делается, как на чертеже 1.

Фраза: проведена прямая, параллельная данной прямой AB и удаленная на расстоянии а от нее, графически выражается, как на чертеже 2.

Если через некоторую точку А данной прямой ВС проведена прямая под углом а к ней, то это показывается, как на чертеже 3. В случае, когда величина угла на чертеже не указана, считаем, что секущая проводится под произвольным углом.

Чертеж 4 показывает, что через точку А отрезка AB под произвольным углом к нему проведена прямая и на ней от точки А отложены последовательно отрезки a, b и с.

Таким же путем можно отразить на чертеже и другие вспомогательные построения, число которых в школьной практике не так велико.

Черт. 1. Черт. 2.

На чертежах в учебно-методической литературе многочисленные точки пересечения всевозможных линий или никак специально не выделяются, или все обводятся небольшими кружочками. И то, и другое одинаково неудобно в том смысле, что не позволяет во множестве точек чертежа увидеть сразу те, которые имеют то или иное значение для решения данной задачи. Правило 8 помогает устранить этот недочет.

Нередки случаи, когда цель построений сводится к отысканию одной или нескольких отдельных точек. В других случаях получение таких точек дает возможность сразу построить искомую фигуру (например, при проведении общей касательной к двум окружностям). Эти точки целесообразно снабжать по крайней мере особыми обозначениями, что и предусмотрено в правиле 10. Неплохо было бы выделять их и графически (например, двойным кружком).

Правило 9 в разъяснениях не нуждается.

Правила 3, 4, 5 и 9 можно считать обязательными для всех планиметрических чертежей. Что касается правила 7, то его нужно придерживаться в случаях, когда постановка размеров является необходимой или во всяком случае разумной. Иными словами, можно и нужно отказываться от проведения известных выносных и размерных линий, если они излишне загружают чертеж и, значит, не делают его более понятным.

Приведем ряд примеров, чтобы показать, как реализуются предложенные выше правила. Примеры эти относятся к задачам на вычисление и построение. Чертежи, относящиеся к доказательству теорем, в статью не включены, так как составление их является делом более простым. Во всех случаях приводится текст задачи и соответствующий чертеж. Кроме чертежей, никаких указаний к решению задач или их исследованию не дается, так как они общеизвестны. В некоторых случаях задачи на построение сопровождаются не одним, а несколькими чертежами, соответствующими различным вариантам их решения. Рядом с чертежами, выполненными с соблюдением правил 1—10, кое-где помещены (справа) для сравнения чертежи, сделанные без учета этих правил, какие чаще всего и можно встретить в школьной практике, а также в некоторых книгах.

Черт. 3. Черт. 4.

Пример 1. Восставить перпендикуляр к прямой ВС в точке А (черт. 5 и 6).

Черт. 5. Черт. 6.

Пример 2. Из точки А, данной вне прямой ВС, опустить перпендикуляр на эту прямую (черт. 7 и 8).

Черт. 7.

Черт. 8.

Пример 3. Построить биссектрису данного угла ABC (черт. 9).

Черт. 9.

Пример 4. Через точку А, данную вне прямой ВС, провести прямую, ей параллельную (черт. 10, 11, 12)*.

Черт. 10. Черт. 11.

Черт. 12.

* Ниже приводятся три варианта решения задачи на построение прямой, параллельной данной, с помощью циркуля и линейки. Каждое из приводимых решений служит хорошим примером задачи на доказательство. В то же время учащихся следует познакомить с приемом построения параллельных прямых с помощью линейки и чертежного треугольника.

Пример 5. Из точки А, данной вне окружности [О, R), провести касательную к этой окружности (черт. 13, 14).

Черт. 13.

Черт. 14.

Пример 6. К двум данным окружностям (О, R) и (Оь Rx) построить общую внешнюю касательную (черт. 15).

Черт. 15.

Пример 7. Построить окружность данного радиуса R, капающуюся внешним образом двух данных окружностей {0\, R\) и (02, R2). Решение приведено на черт. 16.

Черт. 16.

Пример 8*. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см (черт. 17).

Пример 9. Основания трапеции относятся, как 2:3, а их разность равна 3,2 м. Найти длину средней линии трапеции -(черт. 18).

Черт. 17. Черт. 18.

Пример 10. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции (черт. 19).

Черт. 19.

* Эта и другие задачи на вычисление взяты из сборника задач по геометрии: Н. Рыбкин, Планиметрия, ч. I, 1953.

Пример 11. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание.

Черт. 20

Пример 12. Через точку М, данную внутри угла ABC, провести окружность, касающуюся сторон этого угла (черт. 21).

Черт. 21.

Пример 13. К трем данным отрезкам a, b а с построить четвертый, пропорциональный отрезок х (черт. 22).

Черт. 22.

Пример 14. Построить отрезок, средний пропорциональный между двумя данными отрезками а и b (черт. 23).

Пример 15. Построить угол, синус которого равен (черт. 24).

Черт. 23. Черт. 24.

Пример 16. Построить правильный треугольник, вписанный в данную окружность (О, R). Построение см. на черт. 25.

Черт. 25.

Пример 17. Прямой угол разделить на 3 равные части (черт. 26).

Черт. 26.

Пример 18. Определить площадь окна по данным его размерам в метрах (черт. 27).

Чтобы предупредить возможные возражения и недоразумения, необходимо сделать ряд замечаний и разъяснений, относящихся к приведенным выше правилам и примерам.

Прежде всего на правила 1 —10 нельзя смотреть, как на какое-то универсальное средство, устраняющее решительно все затруднения в оформлении чертежей: эти правила не действуют автоматически. Обязанность учителя—систематически приучать учащихся к их соблюдению и самому подавать в этом пример.

Предлагаемые приемы оформления планиметрических чертежей уместны лишь тогда, когда нас интересует не только результат какого-либо построения, но и процесс его выполнения (например, в случае решения задач на построение). Разумеется, эти приемы становятся лишними, если нам нужно просто получить (построить) какую-нибудь фигуру, а сам процесс построения для нас безразличен.

Первые четыре примера относятся к программе VI класса, где черчение не изучается, и учащиеся не знают никаких специальных правил для выполнения чертежей. Как быть в этом случае? Ясно, что требовать соблюдения всех правил здесь невозможно, но некоторые из них (применение трех типов линий обводки, изображение осей симметрии) следует рекомендовать. Заметим, между прочим, что отдельные учителя считают возможным использовать почти все правила.

В этих же примерах даны такие варианты решения отдельных задач, которые недоступны учащимся VI класса. Сделано все это потому, что к этим задачам уместно вернуться в VII классе. Это позволит в повторение включить элемент нового.

Во всех примерах, кроме 9, размеры отрезков указаны в соответствии со стандартами для машиностроительных чертежей. Однако такой способ не является единственно возможным. В примере 9 размеры даны так, как это принято в строительном черчении. Никаких возражений против такого приема, конечно, быть не может.

В отдельных случаях (примеры 8, 10, 11) на чертеже можно отразить не только ход решения в задачах на построение, но и в задачах на вычисление. В таких случаях подробное описание решения становится лишним.

Всевозможные надписи на чертежах (обозначения точек, размерные числа и др.) нужно делать так, чтобы ни одна из них не была перечеркнута какой-либо линией чертежа. Чтобы добиться этого, следует иногда не спешить с расстановкой

Черт. 27.

обозначений и размеров до окончания всех построений. В противном случае придется прибегать к стиранию неудачно поставленных букв и чисел, что не всегда удобно делать на доске и тем более в тетради.

Из множества задач на построение обычно выделяют известную группу таких, которые называют основными. При решении более сложных задач постоянно приходится пользоваться построениями, предусмотренными в этих основных задачах, или просто ссылаться на них, как на известные. Это обстоятельство нужно иметь в виду, когда мы так или иначе хотим отразить на чертеже вспомогательные построения. Если мы делаем чертеж одной из основных задач на построение (например, построение перпендикуляра к прямой), то вспомогательных построений тут мало и все они должны быть отражены на чертеже со всеми подробностями. Другое дело, если решается более или менее сложная задача. В этом случае некоторые из вспомогательных построений лучше не показывать, выделяя лишь главнейшие из них: иначе чертеж окажется загроможденным вспомогательными построениями и будет трудно читаем.

Например, при построении общей касательной к двум данным окружностям (черт. 15) достаточно показать, что вспомогательная окружность II проводится радиусом, равным половине отрезка ООи и центр ее есть середина этого отрезка. Однако процесс отыскания этой середины отражать нет никакого смысла*.

Несколько слов об использовании в математике стандартного шрифта. Этот шрифт представляет собой хорошее средство для четких, простых по выполнению и достаточно красивых надписей. В математике следовало бы шире пользоваться стандартным шрифтом. Этим будет оказана хорошая помощь учителю черчения, а кроме того, внешний вид многих работ по математике заметно выиграет.

Когда учащиеся освоят основные приемы оформления планиметрических чертежей, они в дальнейшем легко разбираются в готовых чертежах, т. е. «читают» их, если даже они и не делали их сами или делали сравнительно давно. Задача по чтению чертежей может быть поставлена так: дан чертеж; узнать, в чем состояли построения, как они выполнялись, какая фигура получилась в результате проделанных построений. Разобравшись в этих вопросах, ученик будет в состоянии сформулировать условия задачи, в результате решения которой появился данный чертеж.

Иногда приходится слышать возражение, что оформление планиметрических чертежей по правилам черчения — дело

* Более того, построение середины отрезка 00i может быть выполнено приближенными методами. (Ред.)

трудное, требует большой затраты времени, которого и так на уроках не хватает. Но так рассуждают люди, которые или вовсе не пытались браться за дело, или брались, но бросали его, столкнувшись на первых порах с естественными и неизбежными трудностями и испугавшись их.

Конечно, аккуратная отделка чертежа требует большего времени, чем неряшливое его исполнение. Но практика показывает, что учащиеся, от которых систематически требовали аккуратных чертежей, сравнительно быстро приобретают нужные навыки и начинают хорошо работать без излишней затраты времени. Кроме того, во всем нужно знать меру и не жертвовать изложением основного материала в угоду одной лишь внешней отделке чертежа.

Нередко случается, что, объяснив какое-нибудь новое построение и сделав на доске надлежащий чертеж, учитель замечает, что ученики успеют сделать в классе лишь начальную фазу работы (построение в тонких линиях). Беды в этом нет. Доработку чертежа нужно задать на дом. Не нужно только на обводку смотреть как на дело чисто техническое. Прежде чем приступить к окончательной обводке чертежа и соответствующему его завершению, ученик должен отчетливо представить себе условие задачи, отыскать на чертеже заданные элементы, искомые линии и линии вспомогательных построений, т. е. основательно повторить задачу и разобраться в ней. Доработка чертежа становится, таким образом, важным элементом в работе по сознательному усвоению нового материала.

Обратимся к чертежам пространственных фигур и посмотрим, что можно извлечь из курса черчения для улучшения их качества.

Напомним три требования к чертежам, выдвинутые в работах проф. Н. Ф. Четверухина и получившие полное признание в современной методике: а) верность, б) наглядность, в) свободное выполнение.

Если учитель математики не рассматривал с учащимися параллельных проекций и решений задач на проекционном, чертеже, то ему ничего иного не остается, как пользоваться только тем, что известно учащимся о наглядном изображении пространственных фигур из курса черчения — отдельными видами аксонометрии (фронтальная, ортогональная изометрическая и другие проекции). Но нельзя забывать, что эти проекции в общем случае недостаточно отвечают третьему требованию.

Учитель, изложивший основы произвольных параллельных проекций, должен показать, что в практике стереометрии целесообразнее пользоваться ими и, как правило, избегать употребления аксонометрии, так как третье требование выполняется в этом случае наилучшим образом.

Для обеспечения верности изображения достаточно не забывать свойств параллельных проекций. Что касается достижения наглядности изображения, то тут важное значение имеет:

1) умелое, расчетливое использование проекций;

2) продуманное оформление чертежа.

Например, изображение правильной четырехугольной пирамиды, данное на черт. 28, является верным. Верен также чертеж 29, где проведено построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки А, В, С, данные на ее ребрах. Однако неудачное оформление чертежей резко снижает их наглядность.

Черт. 28. Черт. 29.

Сформулируем правила оформления чертежей, которые вполне оправдали себя в многолетней практике автора настоящей статьи.

1. Видимые контуры фигур обводить сплошными линиями средней толщины г^") •

2. Невидимые контуры — штриховыми линиями, вдвое более тонкими •

3. Все линии вспомогательных построений, независимо от их видимости, обводить возможно более тонкими сплошными линиями ("т и менее).

4. Видимые контуры искомых фигур (например, при решении задач на построение) обводить сплошными линиями основной толщины (Т ^ \ мм), их невидимые контуры — штриховыми линиями половинной ширины j •

Остаются в силе правила 8, 9, 10, предложенные для планиметрических чертежей.

Вполне уместно употребление штриховки для выделения

отдельных плоских фигур, главным образом искомых, которая выполняется максимально тонкими сплошными линиями или цветными карандашами (тушью, мелом).

Преимущества приведенных соглашений видны при сравнении чертежей 29 и 30, на которых представлено различное оформление одной и той же задачи.

Нередко бывает, что составление верного наглядного чертежа является делом весьма трудным или даже вовсе непосильным для учащихся. В таких случаях целесообразно прибегать к изображению пространственных фигур по методу ортогонального проектирования на две и более плоскостей.

Эпюры дают изображения, недостаточно наглядные, и в этом они существенно уступают наглядным чертежам. Однако сравнительная простота их выполнения, верность изображения, которая там обеспечивается, а также то обстоятельство, что ученики весьма основательно знакомы с ними из курса черчения, убедительно говорят в пользу применения эпюров при решении стереометрических задач.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 1. Как относятся между собою поверхности трех шаров, если первая поверхность касается граней куба, вторая касается его ребер, а третья проходит через его вершины.

Изобразим куб в проекциях на плоскости* V и Н, расположив его так, чтобы основание было параллельно плоскости H, а диагональ основания — перпендикулярна плоскости V (черт. 31). Тогда горизонтальной проекцией первого шара будет окружность, вписанная в квадрат, второго — описанная около квадрата. Третий шар сначала следует изобразить его вертикальной проекцией (окружность, описанная около прямо-

Черт. 30.

* В черчении вертикальная и горизонтальная плоскости проекций обозначаются буквами V и Н.

угольника). Этим можно ограничиться и не чертить вертикальных проекций первых двух шаров и горизонтальной — последнего. Эти дополнения ничего не дадут. Представленный чертеж отчетливо изображает все необходимые элементы фигуры и позволяет просто установить необходимые соотношения между ними.

Пример 2. Около шара описана правильная треугольная призма, а около нее описан шар. Как относятся между собой поверхности этих шаров?

Построение эпюра начинаем с выбора положения той из данных фигур, которая может повлиять на сложность чертежа. В данном случае такой фигурой является призма. Будем считать, что ее основание параллельно плоскости H и одна сторона его перпендикулярна плоскости V.

Горизонтальная проекция шара и описанной призмы изобразятся соответственно кругом и описанным около него правильным треугольником (черт. 32). Окружность, описанная около этого треугольника, есть горизонтальная проекция сечения шара, описанного около призмы, плоскостью ее основания. Учитывая это, а также то, что высота призмы должна быть равна диаметру первого шара, можем построить вертикальную проекцию шара, описанного около призмы. Горизонтальную проекцию его можно было бы и не показывать. Полученный чертеж вполне пригоден для того, чтобы на него опираться во всех требуемых вычислениях.

Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и высотой h провести плоскость через

Черт. 31 Черт. 32.

сторону основания перпендикулярно к противоположной боковой грани и определить площадь полученного сечения.

Эпюр (черт. 33) позволяет получить такое изображение пирамиды, на котором легко построить требуемое сечение, установить его вид, проделать необходимые вычисления, провести исследование (из чертежа непосредственно усматриваем, что сечение существует не при всяких численных значениях а и h).

На эпюрах часто дают не только ортогональные проекции внешних очертаний и видимых элементов предмета, а и проекции определенным образом произведенных разрезов и сечений. Эффективность такого способа изображения хорошо известна учащимся из курса черчения. Весьма оправданным является и применение его в стереометрии.

Пример 4. В конусе помещены два шара так, что они касаются друг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов шаров равно m : п. Определить величину угла при вершине сечения, проведенного через ось конуса.

Осевое сечение этой группы тел представит собою треугольник со вписанными в него кругами, как на черт. 34. (В задачнике Н. Рыбкина чертеж к этой задаче выполнен неверно*.)

Пример 5. Радиус сферического сектора — R, наибольший угол между радиусами — а . Определить объем и поверхность шара, вписанного в сектор.

Осевое сечение представит круговой сектор со вписанным в него кругом (черт. 35).

Пример 6. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту; через середину высоты про-

Черт. 33.

Черт. 34.

Черт. 35

* Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, М., 1953, § 22 № 18.

ведена плоскость, параллельная основанию. Доказать, что площадь сечения, заключенная между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (черт. 36).

При решении задач на тела вращения можно ограничиться построением одной, например вертикальной, проекции фигуры.

Черт. 36. Черт. 37.

Целесообразно в этом случае дать разрез (черт. 37, 38) одной половины (до оси симметрии) изображаемого тела.

В стереометрии этим чаще всего можно и ограничиться, так как в условиях задачи обычно содержатся указания, по которым можно судить о виде тела. Если таких указании нет или недостаточно, то на чертеже следует дать еще одну проекцию. Сечения надлежит штриховать или выделять жирной обводкой.

Пример 7. Равносторонний треугольник со стороной а вращается около внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от нее на расстояние, равное высоте треугольника.

Определить объем и поверхность полученного тела (черт. 37).

Пример 8*. Определить объем и поверхность тела по данным на чертеже размерам (черт. 38).

Ограничиваясь этими примера-

ми, дадим список задач, при решении которых можно применять рассмотренные приемы выполнения чертежей:

а) Н. Рыбкин, Сборник задач по стереометрии, ч. II, § 20 —№ 10, 11, 12, 16, 18; § 21 — № 13, 28, 29, 30; §22 — № 4, 5, 6, 9, 11, 18, 22; § 23 —№ 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 14; 18; 20, 22, 23, 25, 32—45, 47, 48, 49; § 24 — № 1—34; § 25 —№ 4, 6, 12, 14, 18, 19, 20, 22, 25, 26, 29, 30, 33, 37, 38, 41, 42.

Черт. 38.

* Задача на применение теоремы Гюльдена.

б) Н.Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, § 22 — № 1, 2, 3, 9, 18, 19, 30; § 23 —№ 1—26.

в) Б. В. Романовский, Дополнительный сборник задач по стереометрии (Учпедгиз, 1940), № 202—218, 231, 273, 278, 289—304.

Метод ортогонального проектирования на две или более плоскостей дает средство для обоснования приемов построения изображений шара и его комбинаций с другими телами.

Пример 9. Дано изображение шара и его> экватора ABCD. Найти полюсы N и S шара.

Будем считать, что данное изображение (черт. 39, а) есть проекция пиара на вертикальную плоскость проекций. Построив проекцию шара на профильную плоскость W (вид слева, получим черт. 39, б, на котором проекции N\ и S\ полюсов легко найти. Зная же их, нетрудно получить искомые точки N и 5 на плоскости V, т. е. на данном изображении.

Из сопоставления чертежей 39, а и 39, б непосредственно вытекает тот способ построения полюсов при данном изображении экватора, который дан проф. Н. Ф. Четверухиным*.

Пример 10. В данный шар вписать равносторонний конус.

Изобразим шар (черт. 40, а) и будем считать, что это есть проекция данного шара на плоскость V. Построим вспомогательную проекцию шара на плоскость W (черт. 40, б). Впишем в правую окружность равносторонний треугольник, как показано на чертеже 40, б, теперь имеем профильную проекцию шара с вписанным в него равносторонним конусом; остается закончить проекцию на плоскость V и получить требуемое изображение.

Заметив, что в данном частном случае центр основания вписанного конуса находится на расстоянии половины радиуса от полюса S, можно в дальнейшем при аналогичных обстоятельствах сразу получать верный чертеж.

Черт. 39.

* Н. Ф. Четверухин, Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии, Учпедгиз, 1946.

Пример 11. Около шара радиуса R описать конус, диаметрально противоположные образующие которого образуют прямой угол при вершине.

Решение выгодно начать со вспомогательного построения— проекции шара и описанного около него соответствующего конуса на плоскость W (черт. 41, б). Затем переходим к построению проекции на плоскость V и получаем требуемое решение: а) определяем положение точек 5, В, С; б) АЕ = = AD = А\В\\ в) проводим эллипс, изображающий основание конуса (по главным осям DE и ВС); г) заканчиваем изображение конуса, проведя из точки S касательные к построенному эллипсу.

Аналогично же поступаем, когда требуется в данный шар вписать или описать около него цилиндр, пирамиду, усеченный конус или призму, на которые наложены условия, определяющие их форму, или когда нужно шар описать около названных тел.

Задач, где встречаются указанные выше сочетания различных геометрических тел с шаром, можно немало найти в различных сборниках (см., например, Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, часть II, § 23 —№ 22—26, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43).

Черт. 40.

Черт. 41.

До сих пор говорилось о том, что может заимствовать для своих целей геометрия из курса черчения. Но было бы неправильно ограничиваться только этим.

Учитель математики постоянно должен помнить, что использование геометрических знаний в черчении есть одна из важных и наиболее доступных форм практического применения геометрии, что без знания геометрии невозможно успешно и осмысленно усвоить материал по программе черчения. Учитывая это, в курсе геометрии нужно выделить круг вопросов, на отработку которых учитель математики должен обратить особое внимание, имея в виду непосредственную заинтересованность в них учителя черчения. К числу таких вопросов следует отнести в первую очередь следующие:

1. Владение такими инструментами, как линейка, чертежный треугольник, циркуль, транспортир; умение применять их в наиболее рациональных комбинациях для решения основных задач на построение (построение параллельных и перпендикулярных прямых, построение треугольников, деление отрезка на равные части, деление угла пополам, построение углов различной величины и др.); знание приемов проверки линейки, чертежного треугольника.

2. Выяснение условий наилучшего выполнения простейших построений (проведение прямой через две точки, определение точки пересечения двух прямых, двух дуг окружности, окружности и прямой).

3. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей, различные случаи построения взаимно касающихся прямой и окружности, двух окружностей.

4. Основные геометрические места точек. Решение задач на построение методом геометрических мест. Важны, в частности, следующие задачи:

а) Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных прямых.

б) Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.

в) Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данной прямой в данной точке.

г) Построить окружность данного радиуса, касающуюся внешним образом двух данных окружностей.

д) Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей — одной внешним, а другой — внутренним образом.

е) Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей внутренним образом.

ж) Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной точке и касающуюся данной прямой.

з) Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной окружности и данной прямой.

и) Построить окружность, касающуюся данной прямой в данной точке и касающуюся данной окружности.

5. Понятие о разрешимости задачи на построение с помощью циркуля и линейки; построения точные и приближенные.

6. Различные виды масштабов; подобное преобразование и его механическое выполнение (пантограф).

7. Виды проекций; параллельные проекции и их основные свойства; проекции многогранников и круглых тел.

8. Понятие о полном изображении. Решение стереометрических задач на построение на проекционных чертежах, обладающих свойством полноты.

Решение задач на построение на проекционном чертеже может принести пользу черчению, если к их решению приступить как можно раньше (например, с начала третьей четверти IX класса). Прочные, полезные для черчения, навыки во владении проекционным чертежом могут быть созданы, если он будет применяться не только для решения задач на построение, но и при изложении текущего материала по учебнику. В частности, на проекционном чертеже удобно иллюстрируются всевозможные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.

В старших классах, особенно в IX—X, учащихся следует приучать к выполнению чертежей от руки.

II. Черчение

Многие преподаватели черчения необоснованно считают, что черчение есть предмет со всех точек зрения самостоятельный, ничему не подчиненный и ни с чем не связанный, и ведут свою работу в полной изоляции от всех других школьных предметов. Уже из приведенного факта ясно, что вопрос о путях и необходимости осуществления связи геометрии и черчения в процессе преподавания черчения мог бы стать темой специальной дискуссионной статьи. Учитывая это, ограничимся лишь замечаниями, связанными с организацией преподавания черчения в свете задач политехнического обучения.

Все дальнейшее исходит из того, что при политехническом обучении необходим контакт в преподавании черчения с другими школьными предметами: математикой, физикой, ручным трудом и др. Наиболее тесной и повседневной должна быть связь черчения с геометрией.

При политехническом обучении должен быть повышен теоретический уровень преподавания черчения. Теория черчения составляется:

а) из фактов, взятых из геометрии;

б) из ряда условностей, определяемых и оправдываемых самим черчением (это преимущественно различные стандарты).

По отношению к ГОСТам и другим условностям учителю в процессе преподавания черчения следует лишь наиболее отчетливым образом разъяснять их целесообразность, вытекающую из потребностей практики. Геометрические же факты должны использоваться более осознанно, т. е. учащиеся обязаны не только знать геометрический материал, но и понимать, почему он в данном случае может найти свое приложение в черчении. Возражения против такого использования геометрии, встречающиеся в литературе, не представляются убедительными. Практика показывает, что дело черчения, а заодно и геометрии, чрезвычайно много выигрывает, если геометрическая теория находит себе сознательное применение в практике черчения. Черчение предстает при этом не как рецептурный предмет, составленный из определенного собрания разрозненных, не связанных- между собой правил, приемов, а как практически ценный предмет, базирующийся на определенной теоретической основе.

Общеизвестно, как трудно даются учащимся приемы решения задач на построение в планиметрии и особенно в стереометрии. Оставляя в стороне прочие причины этого явления, укажем одну из них: ограниченность практики учащихся в решении этого рода задач. Учитель черчения не может и не должен поэтому думать, что его ученики уже все знают и все могут понять с полуслова, что они подготовлены к усвоению и выполнению тех многочисленных (и нередко довольно сложных) построений, которыми приходится заниматься в черчении. Дело учителя черчения — довести до сознания учащихся геометрическую суть рассматриваемых задач и тех построений, которыми сопровождается их решение. Ошибаются те учителя черчения, которые думают, что это не их дело.

Выработка чертежных навыков у учащихся — дело серьезное. Но достигается оно не простым натаскиванием и тренировкой, которая очень многими учителями сводится к многократному копированию определенной серии построений, а постепенным переходом от знаний к умению, от умения — к навыку. Таким образом, основа всего — знание. И опираться нужно именно на него. Упражнения, тренировка не только не исключают, а прямо предполагают использование знаний учащихся, в частности — знаний тех или иных разделов геометрии. Такая постановка работы по черчению дает возможность:

а) повторить и закрепить решение большого круга задач на построение, известных учащимся из геометрии;

б) расширить круг этих задач, так как в работе по черчению часто встречаются такие задачи, с которыми в курсе геометрии учащиеся не сталкивались.

Все это заметно расширит практику учащихся в решении задач на построение, что весьма важно одновременно и для черчения, и для геометрии.

Требование об использовании геометрической теории, о проведении геометрических обоснований вовсе не означает, что учитель черчения должен повторно излагать те или иные разделы геометрии. Это значит лишь, что черчение должно вестись на определенном математическом уровне.

Готовясь к уроку черчения, учитель должен: а) продумать,, какой геометрический материал ученики должны знать, чтобы усвоить тот или иной раздел программы по черчению; б) выяснить, давно ли этот материал изучался на уроках геометрии, в каком объеме; в случае надобности, задать учащимся повторить соответствующие разделы геометрии; в) убедиться (опросом), что такое повторение выполнено; г) при изложении нового материала урока, при решении различного рода задач разъяснять геометрический его смысл; д) показывать верность утверждений или проделанных построений краткой ссылкой на известное; такие ссылки в большинстве случаев учащиеся могут делать сами, нужно только приучить их к этому; е) если учитель дает новое определение или излагает факт, не известный учащимся из геометрии, то изложение должно быть математически грамотным и сопровождаться доказательством, если оно доступно учащимся; в противном случае указать, где и когда оно будет дано учителем математики.

Из сказанного выше непосредственно следует, что черчение в школе нельзя преподавать как ремесло, вырабатывать у учащихся лишь механические навыки. Создавая навыки, нужно постоянно помнить о доведении до учащихся их геометрической основы. Лишь в этом случае навыки будут приобретаться не в процессе механической тренировки, а явятся результатом сознательной деятельности и будут по-настоящему прочными.

Чертежные навыки и знания учащихся не являются самоцелью. Нужно повседневно внушать учащимся мысль, что их познания из области черчения должны быть самым широким образом использованы на занятиях по математике, физике и другим предметам, а по окончании школы — непосредственно на производстве, а также в вузе или техникуме.

Упражнения в черчении не должны быть односторонними; например, работа по составлению чертежей по известным данным должна сочетаться с работой по чтению чертежей. Следует иметь в виду, что упражнения, всякого рода самостоятельная работа учащихся не должны сводиться лишь к простому копированию того, что сделано в классе, но только с более тщательным исполнением. Во всех подходящих случаях в самостоятельную работу (упражнения) необходимо включать такие моменты, которые давали бы пищу не только рукам, а и уму учащихся, толкали бы их на творческие усилия.

Ко всякой работе учащихся нужно предъявлять следующие требования:

а) учащимся должна быть вполне ясна геометрическая суть работы;

б) работа должна быть оформлена в соответствии с существующими правилами и стандартами;

в) выполнение работы должно быть аккуратным.

Наконец, важно, с точки зрения общих интересов геометрии и черчения, чтобы в процессе преподавания черчения уделялось возможно более внимания следующим видам работы:

а) вычерчивание ортогональных проекций геометрических фигур при разнообразном расположении их относительно плоскостей проекций;

б) решение разнообразных задач на чтение чертежей, в частности на построение неизвестных проекций фигур по одному или двум данным;

в) снятие эскизов в ортогональных проекциях с натуры.

III. Геометрия и черчение во внеклассной работе

Совместные усилия учителей черчения и математики, направленные на достижение постоянной связи в их работе, могут быть с успехом продолжены во внеклассных мероприятиях. Для проведения кружковой работы можно рекомендовать следующие вопросы:

1. Решение стереометрических задач на построение повышенной трудности, требующих применения знаний как геометрии, так и черчения.

2. Выполнение заданий повышенной трудности по черчению (чтение чертежей, составление технических чертежей).

3. Изучение некоторых вопросов начертательной геометрии^ выходящих за рамки школьных программ по черчению и геометрии; в частности интересны и поучительны задачи на построение теней, построение центральных проекций фигур (элементы теории и практики линейной перспективы).

4. Знакомство с приборами и приспособлениями, облегчающими или механизирующими выполнение чертежных работ (приспособления для штриховки, механическая рейсшина, технический пантограф, эллипсограф и др.), изготовление моделей некоторых из них.

5. Изучение элементов геодезического черчения.

6. Изготовление наглядных пособий (разнообразные модели, таблицы, чертежи), которые могут быть использованы на уроках геометрии и черчения.

7. Рассмотрение вопросов истории графических наук.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

От редактора .... .........3

Я. А. Шор — Предварительная оценка результатов при решении задач и примеров.............17

Б. П. Бычков — Функциональная пропедевтика в курсе алгебры VI—VII классов............43

В. Г. Ашкинузе — Изучение функций и их графиков в курсе алгебры VIII класса............67

Л. П. Никольский — Практические работы на уроках математики в V—VI классах............124

Е. М. Гельфан — Настольный полигон.......146

Г. Г. Маслова — К вопросу о решении задач на построение в планиметрии..............151

И. А. Рейнгард — Прикладные задачи в курсе геометрии 181

А. А. Панкратов — О связи в преподавании геометрии и черчения в средней школе............201

Приложение: Шкалы для угломера (вкладка)

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Сборник статей под редакцией А. Д. Семушина

Редактор Я. А. Зорина Техн. редактор Т. Н. Мухина

Корректоры Н. О. Лименес и З. А. Ольшанная

Сдано в набор 9/XI 1955 г. Подписано к печати 28/III 1956 г.

Формат 60 X 92Vi6 = бум. л. 7,25 печ. л. 14,25 + 0,25 вкл. Уч.-изд. л. 13,61 А 00777 Тираж 20 000

Изд-во АПН РСФСР, Москва, Поюдинская ул., 8. Заказ 842. Типография изд-ва АПН РСФСР, Москва, Лобковский пер., 5/16. Цена в переплете 4 р. 70 к.