Министерство просвещения РСФСР

Вологодский государственный педагогический институт

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОЛОГДА

1976

Министерство просвещения РСФСР

Вологодский государственный педагогический институт

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОЛОГДА 1976

Настоящий сборник—коллективный труд работников математических кафедр педагогических институтов, посвященный проблеме подготовки студентов пединститутов к проведению внеурочной работы по математике. Первый выпуск этого сборника вышел из печати в 1975 году.

Сборник рассчитан на преподавателей и студентов педагогических институтов. Содержащиеся в нем материалы могут быть использованы в период педагогической практики студентов, при работе в школах юных математиков, летних математических школах и для работы в подшефных сельских школах.

Мы надеемся, что и учителя школ также найдут здесь много полезного для проведения различных внеурочных занятий по математике.

В публикуемых статьях рассмотрены некоторые теоретические вопросы, а также обобщен опыт работы математических кафедр ряда вузов страны по указанной проблеме.

В сборнике четыре раздела: научно-популярный, обмен опытом по подготовке студентов педвузов к проведению внеурочной работы, виды внеурочной работы, подборка материалов по истории математики.

Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: 160600, г. Вологда, ул. Маяковского, 6, пединститут, кафедра математического анализа.

Редколлегия:

Губа С. Г., Ломакин Ю. В. (редактор), Лютомский Г. В., Чернышева. Н. Г.

© Вологодский государственный педагогический институт, 1976.

Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин, Н. Г. Килина, М. Г. Лускина, Б. И. Шутова

(г. Киров)

СИСТЕМА ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ КИРОВСКОГО ПЕДИНСТИТУТА К ПРОВЕДЕНИЮ ВНЕКЛАСССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

В статье изложена сложившаяся за последние годы система подготовки студентов математического факультета Кировского государственного педагогического института им. В. И. Ленина к организации и проведению внеклассной работы по математике в школе.

Предлагаемая система складывается из факультативного практикума по внеклассной работе, а также из специальных или факультативных курсов, семинаров и практикумов, которые имеют своим назначением не только подготовку студентов к внеклассной работе. Это спецкурс «Проблемы обучения решению задач», факультативный курс истории математики, спецсеминар по методике математики, практикум по моделированию. Важной частью рассматриваемой системы являются внеаудиторные занятия студентов: курсовые работы, педагогическая практика, научные кружки по методике преподавания математики. Математическую подготовку для овладения содержанием и методами внеклассной работы студенты получают при изучении основных математических курсов, в которых даются методические комментарии по особо сложным темам школьного курса математики и внеклассных занятий с учащимися.

Эта система подготовки студентов к проведению внеклассной работы по математике сложилась на факультете как результат научной и организационной деятельности профессорско-преподавательского состава математических кафедр факультета и особенно кафедры математического анализа и методики математики. Такая система сформировалась потому, что математические кафедры правильно оценили пользу, которую приносят внеклассные занятия

математикой в развитии математического образования школьников.

Для внеклассных и факультативных занятий могут быть рекомендованы опубликованные в журнале «Математика в школе» статьи профессора Ф. Ф. Нагибина «Дополнительные вопросы арифметики» (1968 г., № 5), «Достаточные и необходимые условия» (1972 г., № 3), «Скользящая симметрия» (1974 г., № 4), известные его книги «Математическая шкатулка» и «Экстремумы», изданные в 1968 г. Волго-Вятским издательством, «Сборник задач для подготовки учащихся средних школ к математическим олимпиадам», составленный проф. Н. А. Колмогоровым, проф. Ф. Ф. Нагибиным и ст. преподавателем В. В. Чудиновских. На внеклассных занятиях могут быть использованы статьи доцента Е. С. Канина «Дополнительные упражнения по алгебре для VIII класса» («Математика в школе», 1967, № 2), его же книги «Тождественные преобразования» (Киров, 1972), «Алгебраические упражнения в восьмилетней школе» (Йошкар-Ола, 1973); «Алгебраические упражнения. 6 класс» (М. «Просвещение», 1975). Работают в этом направлении и аспиранты профессора Ф. Ф. Нагибина. В настоящее время подготовлены к изданию и находятся в печати работы Е. С. Канина, М. Г. Лускиной, А. П. Шиховой, имеющие целью помочь учителю математики в подборе материала для внеклассных занятий и в разработке методики их проведения.

Многие преподаватели математических кафедр проверили свои методические рекомендации при организации и проведении внеклассных или факультативных занятий в школе. Такие занятия проводили или проводят в школах доценты Л. А. Зыкова и Е. С. Канин, старшие преподаватели М. А. Вершинина, М. Г. Лускина, А. П. Шихова, ассистенты В. Г. Михеева, Т. С Оффенгенден и аспиранты кафедры по специальности «методика математики». Экспериментальной проверке некоторых методических материалов по внеклассной работе существенно помогли занятия в действующих при факультете юношеской математической школе и Кировском филиале ВЗМШ МГУ, руководимом доцентом П. А. Крупиным.

Программой по методике математики предусмотрено изучение вопросов организации и проведения внеклассной работы по математике в школе. Но в основном курсе из-

ложению и рассмотрению всей системы внеклассных занятий математикой удается выделить 1—2 лекции и 1 — 2 практических занятия. Этого, конечно, недостаточно. Именно поэтому кафедра математического анализа и методики математики организовала факультативный практикум «Методика организации и проведения внеклассной работы по математике». И хотя практикум проводится факультативно, все студенты без исключения принимают в нем участие.

Практикуму отведено 18 часов. Примерный план его:

Тема

Число часов

лекций

практ.

1.

Цели и формы проведения внеклассной работы по математике

1

2.

Математические школы (ЮМШ, ЗМШ), математические лагеря. Цели, содержание и методика проведения занятий математического кружка

2

3.

Математические состязания (олимпиады, конкурсы, викторины), отбор задач для состязаний

4

4.

Подготовка и методика проведения математических вечеров

1

4

5.

Математические экскурсии

1

4

6.

Внеклассное чтение по математике. Математические сочинения

1

На лекциях освещаются цели и задачи внеклассной работы по математике, рассматривается методика организации основных видов внеклассных занятий. На практических занятиях студенты изучают литературу по внеклассной работе по математике, знакомятся с возможной тематикой кружковых занятий, составляют планы работы кружков, подбирают задачи для математических олимпиад и подготовительные задачи к ним, разрабатывают конспекты математических вечеров, решают занимательные задачи, изучают математические софизмы, фокусы, игры. На занятиях используется опыт организации внеклассной

работы передовых учителей математики г. Кирова и Кировской области.

На лекциях и практических занятиях подчеркиваются цели того или иного внеклассного занятия:

а) повышение интереса к математике;

б) пропаганда успехов математики и особенно советской математической школы;

в) выявление наиболее способных к математике учащихся и работа с ними по углублению и расширению знаний по математике.

Ниже излагается план проведения одного из занятий практикума. Тема: «Цели, организация, содержание и методика проведения занятий математического кружка в школе».

1) Краткий обзор литературы по организации кружковой работы.

2) Беседа со студентами о целях и назначения кружковой работы, формах ее проведения (студенты дома изучали главу I из книги «Математика после уроков» авторов М. Б. Балк, Г. Д. Балк).

3) Знакомство с тематикой кружковых занятий по классам.

4) Составление плана работы кружка (для одного из классов) по выбору студентов.

5) Домашнее задание:

а) Закончить составление плана работы кружка.

6) Прочитать рассказ об истории создания картины Богданова-Бельского «Устный счет» и решить задачи, связанные с ней:

1. Указать такие пять последовательных натуральных чисел, чтобы сумма квадратов первых трех была равна сумме квадратов двух следующих.

2. Указать такие четыре последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равнялась бы сумме квадратов трех следующих за ними натуральных чисел.

Практикум по внеклассной работе проводится в седьмом семестре до начала педагогической практики, чтобы студенты могли использовать изученное на педпрактике.

Небольшой по объему практикум не может раскрыть все особенности организации и методики внеклассных занятий. Поэтому отдельные разделы и вопросы этой методики более углубленно изучаются в других курсах, на се-

минарах и практикумах, основное назначение которых — не только подготовка студентов к проведению внеклассной работы по математике.

Известно, что большую часть внеклассных занятий по математике составляет решение задач достаточно высокой степени трудности. Изучение роли и теории задач, методов и методики решения задач предусматривается в специальном курсе «Проблемы обучения решению задач» (34 часа лекций, 10 часов практических занятий). На спецкурсе рассматриваются и некоторые методы решения задач, не входящие в программу средней школы, но не требующие специальных теоретических познаний, а также психология и методика обучения решению задач. Методы исчерпывающих проб, рассеивания, логического выведения, различные методы моделирования (предметное, табличное, графическое, в том числе координатное, использование графов, диаграмм Эйлера-Венна и др.), методы решения логических задач, рассматриваемые в спецкурсе, с успехом могут быть использованы на внеклассных занятиях по математике. На лекциях и практических занятиях спецкурса решаются задачи из различных пособий, рекомендованных для внеклассных занятий, в том числе задачи конкурсных экзаменов в МГУ, МФТИ, ЛГУ и другие ведущие вузы страны. Эти разделы спецкурса служат как подготовке к обучению решению задач вообще, так и подготовке к решению задач на занятиях математического кружка, на олимпиадах, факультативных занятиях. В сочетании с практикумом по решению задач спецкурс имеет целью как формирование умений в решении нестандартных задач, так и совершенствование математической и методической подготовки будущего учителя математики. Спецкурс задуман и поставлен проф. Ф. Ф. Нагибиным, сейчас этот курс ведет доцент Е. С. Канин.

С целью подготовки студентов к преподаванию некоторых особенно сложных тем курса математики средней школы, к проведению факультативных и других внеклассных занятий по математике кафедрой поставлен спецсеминар по методике математики. Этот спецсеминар ведут квалифицированные методисты кафедры (доценты Е. С. Канин, Н. Г. Килина, В. С. Семаков). Основная форма проведения семинара — подготовка, заслушивание и обсуждение докладов студентов с заключительными комментария-

ми руководителя семинара. Каждый студент обязан подготовить доклад и выступить с ним на семинаре. На спецсеминаре заслушиваются доклады по следующим темам: «Множества и операции над ними. Бесконечные множества. Эквивалентность множеств», «Элементы математической логики в школьном курсе математики и на внеклассных занятиях», «Дополнительные вопросы арифметики целых чисел», «Элементы комбинаторики», «Элементы дискретной математики (алгебры и функции Буля)», «Вопросы аксиоматических построений теорий», «Векторные пространства и решение задач линейного программирования» и др. В докладах излагаются как фактическое содержание, так и методика изучения этой темы на внеклассных занятиях. Заслушанные на спецсеминаре доклады по указанным выше темам готовят студентов к проведению факультативных и других внеклассных занятий по математике.

Более 20 лет наша кафедра ведет факультативный курс истории математики. Изучение истории науки, ее методологических основ — важная часть подготовки будущего учителя. Содержание лекций по истории математики дает фактический материал, который можно использовать в школе на уроках и внеклассных занятиях по математике. Стремясь придать курсу истории математики большую профессиональную направленность, мы ставим перед студентами специальные проблемы методики изучения элементов историзма в школе, делаем обзор соответствующей литературы для учителя и школьников, даем комментарии к ее использованию.

Основное назначение практикума по моделированию (конструированию и изготовлению различных моделей и наглядных пособий) — подготовка студентов к изготовлению наглядных пособий и использованию моделей, наглядных пособий и экранных средств обучения в практике преподавания. Умения и навыки, приобретенные студентами на этом спецпрактикуме, могут быть использованы при организации внеклассной работы по математике, такой, как самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий из картона, стекла, дерева и т. д., самостоятельное изготовление диапозитивов и диафильмов (хотя бы по сценарию, подготовленному учителем).

Велика роль курсовых работ в подготовке и организа-

ции внеклассной работы по математике. При выполнении курсовых работ студенты имеют возможность глубоко разработать ту или иную тему кружковых или факультативных занятий, опробовать свои разработки в школе при проведении занятий кружка или других внеклассных занятий. Это значение курсовых работ учитывается на математическом факультете КГПИ им. В. И. Ленина: студенты выпускных курсов выполняют курсовые работы в основном по методике математики, часто по темам, раскрывающим содержание и методику внеклассных занятий и мероприятий по математике. Тематика таких работ довольно разнообразна. Ниже приводятся некоторые темы таких курсовых работ: «Элементы сферической геометрии на внеурочных занятиях по математике», «Численные методы решения уравнений на внеклассных занятиях», «Дифференциальные уравнения в школьном курсе и на внеклассных занятиях по математике», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей на факультативных занятиях», «Факультативный курс по вычислительной математике», «Элементы номографии на внеклассных занятиях школьников», «Внеклассная работа по изучению последовательностей в восьмилетней школе», «Бинарные отношения на занятиях математического кружка в 5 классе», «Бинарные алгебраические операции, группы и цветные графы Кэли на кружковых занятиях в 7-м классе», «Приложения алгебры логики на внеклассных занятиях в школе», «Элементы общей алгебры на внеклассных занятиях в школе», «Элементы математической логики на математическом кружке» и др.

Выполняя подобные курсовые работы, студенты разрабатывают содержание занятий, определяют формы и методы работы с учащимися. Часто такие работы включают в себя экспериментальную проверку содержания и методики проведения внеклассных занятий по определенной теме. Так, студенты провели экспериментальную проверку разработанной ими системы кружковых занятий по изучению последовательностей в 8-м классе в школе № 29 г. Кирова и Зуевской средней школы № 38 Кировской области. О результатах работы они доложили на итоговой научной студенческой конференции.

Методике внеклассной работы по математике уделяется внимание и на занятиях студенческого научного круж-

ка по методике преподавания математики. Некоторые занятия кружка посвящаются методике и опыту проведения внеклассных занятий и мероприятий. Так, аспирант Л. Г. Ярославцева выступала на занятии кружка с докладом «Изучение бинарных отношений с учащимися 6—7-х классов на математическом кружке». Содержание некоторых курсовых работ об организации внеклассной работы кратко излагается на занятиях кружка. На этих занятиях студенты делятся опытом проведения внеклассных мероприятий («Математический вечер в школе», опыт проведения в период педпрактики).

Итак, практикум по внеклассной работе, спецкурс «Проблемы обучения решению задач», спецсеминар по методике математики, факультативный курс истории математики, спецсеминар по методике математики, спецпрактикум по моделированию, некоторые курсовые работы дают студентам-математикам теоретическую и частично практическую подготовку для организации и проведения внеклассной работы по математике в школе. Завершение такой подготовки студенты получают при прохождении педагогической практики и при участии в работе юношеской математической школы и Кировского филиала ВЗМШ МГУ.

В программу педагогической практики включено обязательное проведение внеклассной работы по математике (организация и проведение кружковых или факультативных занятий, математических вечеров, школьных математических олимпиад, участие в так называемых «неделях математики» или в работе «Малой академии наук», организованной при участии студентов в средней школе № 14 г. Кирова и др.).

В ноябре-декабре 1974 года педпрактику проходили 67 студентов IV курса специальности «математика» (с дополнительной специальностью «физика»), а в феврале— марте 1975 года — 90 студентов IV выпускного курса специальности «математика». За это время студенты-практиканты провели следующие внеклассные занятия и мероприятия по математике: 50 занятий математических кружков, 22 факультативных занятия, 14 математических вечеров, 14 часов занимательной математики, причем примерно четвертая часть всех этих мероприятий проведена в сельских школах. Вот темы некоторых занятий: «Числа-

великаны, числа-малютки», «Очень важная наука математика», «От счетных палочек до ЭВМ», «Уникурсальные кривые» и др. Студенты-практиканты организовали 11 бесед о математиках-ученых, 25 математических викторин, конкурсов, КВН, математические олимпиады в 6 школах г. Кирова и 12 школах Кировской области. Во время педпрактики оформлено 30 стендов и 14 математических стенных газет, проведены недели математики, устные журналы и т. д. Интересно прошли математические вечера «Математика и оборона страны» (шк. № 10 г. Кирова), «Математический кросс» (шк. № 14 г. Кирова), «Греческая математика» (шк. № 58 г. Кирова) и др. Первый из них был посвящен 57-й годовщине Советской Армии, участвовали в вечере ученики 10-х классов. К вечеру были оформлены альбомы и стенды, отражающие применение математики в военном деле. Участники вечера заслушали несколько сообщений учащихся о применении математических методов в оборонной промышленности, в производстве военной техники, в военном деле. С интересом были выслушаны выступления гостей вечера: воинов Кировского гарнизона, курсантов военных училищ — бывших учеников школы. На вечере проведена викторина, в которую были включены задачи и вопросы «военного содержания».

После педагогической практики студенты отчитываются о проделанной внеклассной работе, сдают в кабинет методики математики конспекты лучших мероприятий, проведенных в школе. Часть материалов передается в подшефные сельские школы. Студентам выставляется оценка за внеклассную работу по математике.

Итоги педагогической практики студентов показывают, что студенты-математики достаточно хорошо подготовлены к проведению внеклассной работы по математике и, стало быть, усилия кафедры, направленные на подготовку к организации такой работы, вполне оправданы.

Многие студенты старших курсов математического факультета участвуют под руководством преподавателей в проверке контрольных работ более чем двухсот учеников Кировского филиала ВЗМШ МГУ. Здесь практически применяются знания, приобретенные на практикуме по решению задач и при изучении спецкурса «Проблемы обучения решению задач». Часть этих студентов выполняет

курсовые работы по методике и организации обучения в заочных математических школах.

Имеется еще один выход в практику проведения внешкольных занятий по математике. Некоторые студенты участвуют в проведении занятий юношеской математической школы, организованной при математическом факультете нашего института. Так, студенты проводили лекции и практические занятия для учащихся 9-х классов по теме «Общее понятие функции», о методах номографии и др. Наша задача — привлекать больше студентов к работе в ЮМШ.

Сложившаяся система подготовки студентов по организации, методике внеклассной работы по математике, на наш взгляд, вполне удовлетворяет современным требованиям к методической подготовке студентов. Наша задача по дальнейшему совершенствованию этой системы заключается не столько в ее изменении, сколько в совершенствовании содержания и методики названных выше форм обучения. Такое совершенствование вызывается, во-первых, новым содержанием школьного курса математики, во-вторых, необходимостью совершенствования методики учебной работы в средней школе. Эту задачу и разрешает сейчас кафедра математического анализа и методики математики Кировского государственного педагогического института имени В. И. Ленина.

А. И. Орлов

(г. Москва)

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО, НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — ОСНОВА КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Памяти Леонида Михайловича Волова, учителя математики.

§ 1. Теория вероятностей и основные требования к ее преподаванию

Одна шестая всех появляющихся за год научных работ по математике относится к теории вероятностей и ее приложениям (судя по реферативному журналу «Математика»). Теория вероятностей является едва ли не наиболее важной из применяющихся в практических задачах математических дисциплин. Шутка американского математика Дж. Дуба, начавшего свой доклад в Московском математическом обществе словами: «Всем специалистам по теории вероятностей хорошо известно, что математика представляет собой часть теории вероятностей», звучит пророчески. В США уже сейчас число специалистов по математической статистике и вероятностным моделям сравнимо с числом математиков всех других специальностей.

Между тем необходимо признать, что в нашей стране вероятностные идеи еще не заняли надлежащего места. В производственных и жизненных спорах слишком часто обе стороны придерживаются метафизического детерминизма — либо нечто произойдет (одно мнение), либо не произойдет (другое мнение). Диалектическое снятие противоречия происходит при переходе к теории более высокого уровня, в которой рассматриваемое событие является случайным и имеет некоторую вероятность появления, отличную от 0 и 1. С точки зрения этой более высокой теории, обе спорящие стороны правы и неправы одновременно — правы, ибо то, что они предсказывают, может произойти, и неправы, поскольку их предсказания могут не осуществить-

ся. «Непонимание неизбежности вероятностного описания сложных явлений лежит в основе множества заблуждений».

Из сказанного ясна важность преподавания теории вероятностей школьникам. По мнению автора, знакомство с ее основами совершенно необходимо каждому выпускнику средней школы. При построении факультативного курса или цикла занятий математического кружка необходимо предусмотреть ответы на следующие естественно возникающие вопросы.

а) Какой математический объект изучает теория вероятностей?

б) Какие содержательные математические теоремы есть в ней?

в) Как пользоваться выводами теории вероятностей в практике? В частности, откуда брать значения вероятностей?

г) Что в курсе относится собственно к теории вероятностей, а что — к смежным областям?

Многие курсы теории вероятностей для школьников ограничиваются так называемой «элементарной теорией вероятностей» и «геометрическими вероятностями». При этом рассматриваются лишь тривиальные утверждения типа «теоремы о вероятности произведения событий». В качестве трудных задач фигурируют сложные комбинаторные подсчеты. Часто отсутствуют строгие математические определения, теория вероятностей излагается как естественнонаучная дисциплина. В результате учащиеся не имеют представления о математическом содержании теории вероятностей. Отметим, что комбинаторика — самостоятельная область математики, применяемая весьма широко, в том числе и в теории вероятностей, каковую, однако, можно изучать и развивать без знания комбинаторики.

В разработанном автором курсе с самого начала создается проблемная ситуация. Что значит — мастерская дает 23% брака? Как проверить, что монета правильна? Курс нацелен на доказательство с помощью неравенства Чебышева первого содержательного результата в теории вероятностей — закона больших чисел. С помощью неравенства Чебышева получаются оценки для вероятностей отклонения выборочных сумм от их математического ожидания, которые используются для проверки исходных гипотез (задача математической статистики). Ради стройности курса отсе-

чены «боковые ветви» — теорема Байеса, геометрические вероятности и т. д. Из-за ограниченности объема статьи приведен лишь «скелет» — опущены хорошо известные «жизненные» задачи (бросание кубика, вытаскивание шара из урны, стрельба в цель). Описываемый далее курс был осуществлен в летней физико-математической школе Смоленской области (1970 год) и в летней школе Колмогоровского интерната при МГУ (1973 год).

§ 2. Символ суммирования

Нам понадобятся обозначения, с которыми школьников можно познакомить, конечно, не только при изучении теории вероятностей.

Обозначение 1. Пусть каждому элементу а конечного множества А сопоставлено число Х(а). Пусть ^(а) — некоторое предложение об элементе а. Тогда запись

(1)

означает, что нужно произвести суммирование Х(а) для тех и только тех а, для которых Ца) справедливо. (Произносится: сумма Х(а) по всем а, для которых ^(а) справедливо).

Обозначение 2. Если Ща) верно тогда и только тогда, когда аеВ (или: В есть множество всех тех а, для которых справедливо л(а)), то вместо (1) можно написать

(2)

Обозначение 3. Если элементы А — числа, f — некоторая функция и Що) справедливо тогда и только тогда, когда f(a)>e, то вместо (1) можно написать

(3)

Отметим некоторые свойства знака суммирования

1. Если каждое из слагаемых есть сумма двух слагаемых, то и сумма их распадается на две суммы:

2. Если все слагаемые имеют общий множитель, то его можно вынести за знак суммы:

3. Для любых подмножеств В и С множества А справедливо равенство:

§ 3. Проблемная ситуация

«Мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, — сказал Струков Ивану Ильичу» (А. Н. Толстой. Хождение по мукам. Том I). Как понимать эти слова? Одна деталь не может быть бракованной на 23' . Она либо годна, либо нет. Наверно, Струков имел в виду, что в большой партии деталей примерно 23% брака. А что значит «примерно»? Если из 100 проверенных деталей 30 окажутся бракованными, надо ли обвинять Струкова во лжи? А если 300 из 1000? Или 30000 из 100000?

«Хорошая монетка, при бросании которой в среднем в половине случаев выпадает герб, а в половине — решетка, используется как жребий во многих случаях». Но что означает «в среднем»? Если сделать много серий по 10 бросаний (проведите эксперименты!), то часто будут встречаться серии с 4 или 6 гербами. А если на 10000 бросаний окажется 4000 гербов, можно ли считать, что монета правильна?

Необходимы математические модели, позволяющие находить ответы на поставленные сейчас вопросы. Часть математики, которая называется теория вероятностей, как раз и изучает подобные модели.

§ 4. «Элементарная» теория вероятностей

Исходное понятие при построении вероятностных моделей — испытание (опыт). Первый шаг — выделение возможных исходов опыта элементарных событий. Рассмотрим опыт: проверка качества детали. Возможны два исхода: «деталь годна» и «деталь не годна». Принимаем, что при бросании монеты осуществляется одно из двух элементарных событий—«выпала решетка», «выпал герб» (случай «монета встала на ребро» считаем невозможным). Введем соответствующее математическое понятие.

Определение 1. Пространством элементарных событий называется любое конечное множество.

Замечание. Конечность числа элементов пространства элементарных событий принята лишь для упрощения изложения.

Теория вероятностей и ее термины возникли в XVII веке. С современной точки зрения надо пользоваться терминами теории множеств. Однако большинство задач, которые можно найти в книгах по теории вероятностей, сформулированы в старых терминах. Приведем небольшой словарь.

Теория вероятностей

Теория множеств

Пространство элементарных событий.

Конечное множество.

Элементарное событие.

Элемент этого множества.

Событие.

Подмножество.

Достоверное событие.

Подмножество, совпадающее с множеством.

Невозможное событие.

Пустое подмножество.

Сумма А +В событий А и В.

Объединение AHB событий А и В.

Произведение AB событий А и В.

Пересечение АПВ событий А и В.

Событие, противоположное А.

Дополнение А.

События А и В несовместны.

Пересечение А и В пусто.

События А и В совместны.

Пересечение А и В не пусто.

Вероятность события, так сказать, является марой возможности осуществления события. С точки зрения естествоиспытателя, вероятность события А — это число, к которому приближается отношение числа осуществлений события А к числу всех опытов при увеличении числа опытов. Иногда вероятность событий можно установить из соображений равновозможности. Так, при бросании правильного кубика любая грань имеет одинаковые шансы, а именно: 1 шанс из 6, оказаться верхней. Все это показывает естественность следующего определения.

Определение 2. Каждому элементарному событию (Oj, входящему в пространство элементарных событий Q = = {(Ol, 0)2, сок}, отвечает число P(coi), называемое вероятностью элементарного события coi.

Примем следующие естественные аксиомы.

Аксиома 1. 0 <! P(ooi) <1, i = 1, k.

Аксиома 2, P(coi) + P(cû2) + ... + P(cûk) = 1.

Определение 3. Вероятностным пространством называется объект (Q, Р), состоящий из пространства элементарных событий й = {coi, 0)2, сок} и набора вероятностей Р = {P(coi), Р((о2), Р(сок)}, удовлетворяющих аксиомам 1 и 2.

Определение 4. Вероятностью Р(А) события А называется сумма вероятностей элементарных событий, входящих в событие А:

Р(А) = 2Р((о).

Мы сконструировали математический объект, теорию которого и будем развивать. Легко видеть, что определение 4 согласуется с интуитивным представлением о связи вероятностей события и входящих в него элементарных исходов.

Задача 1. Докажите, что a) P(Q) = 1; б) Р(0) = О; в) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Определение 5. События А и В называются независимыми, если

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Продумайте связь определения 5 с интуитивным представлением о независимости (осуществление одного события не должно влиять на осуществление другого).

Задача 2. Пусть события А и В независимы. Тогда противоположные им события также независимы.

Задача 3. Пусть все исходы равновероятны, в событие А входит k исходов. Тогда из независимости А и В следует, что kP(B) является целым числом.

Рассмотрим сложный опыт, состоящий в проведении двух испытаний; в соответствующем ему вероятностном пространстве есть событие «исход первого испытания такой-то, исход второго испытания такой-то».

Определение 6. Два испытания называются независимыми, если независимы любые два события, первое из которых определяется только исходом первого испытания, второе — только исходом второго испытания.

Задача 4. Рассмотрим два испытания, которым соответствуют вероятностные пространства (Qu Р\)> №2, Р2), Q\ = = {coi G)m}, Q2 = {«î, ап}. Проверьте, что вероятностное пространство, соответствующее независимому проведению этих двух испытаний, можно сконструировать следующим образом: Q = {{(Di, gcj), i = 1, m, j = 1, /г}, Р((о)ь cij)) = Pl(ö)i) P2(<Xj)

§ 5. Случайные величины и их характеристики

Определение 7. Случайной величиной X, определенной на вероятностном пространстве (Й, Р), называется функция от элементарного события: X: со *Х{&).

Определение 8. Математическим ожиданием случайной величины X называется число (произносится: математическое ожидание X):

(4)

Теорема 1. Пусть случайная величина X принимает значения Хи *2> хт. Тогда

Доказательство. Сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями Х(со):

Теорема 2. Пусть X и У — случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве (й, Р), а и Ъ — любые числа. Тогда

Доказательство. По определению математического ожидания и из свойств символа суммирования имеем:

Задача 5. Пусть X—случайная величина, MX — ее математическое ожидание, а—некоторое число. Докажите, что

а) М(Х—МХ) = 0; б) М(Х—а)2 = М(Х—МХ)2 + (а—МХ)2.

Задача 6. Пусть случайная величина X принимает значения Х\, хп с вероятностями Р(Х = Х\), Р(Х = Хг), Р(Х = хп) соответственно, f — некоторая функция. Тогда

Определение 9. Случайные величины X и У называются независимыми, если для любых чисел а и b независимы события (X = а) и (У — Ь).

Задача 7. Случайные величины, определенные по результатам различных опытов в схеме независимых испытаний, сами независимы.

Задача 8. Если случайные величины X и У независимы, а и b — некоторые числа, то случайные величины X + cl и У + b также независимы.

Задача 9. Любые функции f(X) и £(У) от независимых случайных величин X и У являются независимыми случайными величинами. Доказать.

Задача 10. Пусть X и У — независимые случайные величины, X принимает k значений, У принимает m значений. Докажите, что в вероятностном пространстве не менее km элементарных событий. Постройте примеры, показывающие, что число элементарных событий может быть любым натуральным числом, не меньшим km.

Теорема 3. Если случайные величины X и У независимы, то

М(ХУ) = MX • M У.

Доказательство. Пусть X принимает значения au •••> Дк. в то время как У принимает значения Ьи Ьт. Сгруппируем в М(ХУ) члены, в которых X и У принимают одинаковые значения:

Из независимости X и У и теоремы 1 следует, что

Задача 11. Постройте пример, показывающий, что из равенства М(ХУ) = МХ-МУ не следует независимость случайных величин X и У.

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Полезно также уметь измерять изменчивость случайной величины относительно математического ожидания.

Определение 10. Дисперсией случайной величины X называется число

DX = М(Х—МХ)2.

Задача 12. Пусть X — случайная величина, а и b—неторые числа, У = аХ -f Ь. Докажите, что ОУ = a2DX.

Задача 13. Покажите, что 0(Х+У) = DX + БУ + 2М (X—MX) (У—МУ).

Задача 14. Если случайные величины X и У независимы, то D(X + У) = DX + иУ.

Задача 15. Докажите, что для любых случайных величин X и У

(М(Х—МХ) (У—МУ))2 < DX -Dy.

Если имеет место равенство и DX Ф 0, то существуют такие числа а и Ь, что У = аХ + Ъ.

Задача 16. Пусть Х\, Х2, Хь—попарно независимые случайные величины, У^=Х\+Х2+ ... +Хк. Тогда МУк= МХХ + МХ2 + ... + МХк, йУк = DXi + DX2 + ... + DXk.

Теорема 4. (Обобщенное неравенство Чебышева). Пусть X — неотрицательная случайная величина (т. е. Х(о)) >0 для любого coeQ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4) неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некото-

рых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых Х(ы) ^ а. Получим:

Для всех слагаемых в правой части (5) Х(со)>а, поэтому

(6)

Из (5) и (6) следует требуемое.

Задача 17 (неравенство Чебышева). Пусть X — случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство

Задача 18. Пусть X — случайная величина, f — такая функция, что из 0следует 0 /(b) </(с), а — положительное число. Докажите, что Р(|Х| >а) М/(|Х| |/(а)

Задача 19. Постройте неотрицательную случайную величину X и положительное число а так, чтобы обобщенное неравенство Чебышева обращалось в равенство.

Задача 20. Докажите, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а, что обобщенное неравенство Чебышева является строгим.

Задача 21. Для удовлетворяющей условиям теоремы 4 случайной величины X при любом а>0 обобщенное неравенство Чебышева обращается в равенство. Найти X.

Задача 22. Можно ли в условиях теоремы 4 отбросить требование неотрицательности случайной величины XI положительности а?

§ 6. Закон больших чисел

Теорема 5. Пусть случайные величины Хи Х^ Хк попарно независимы и DXi^C Тогда для любого положительного б выполнено неравенство

(7)

(Теорему 5 называют теоремой Чебышева).

Доказательство. Рассмотрим случайную величину Zk = (Х\ + ... +X\?)lk. Из теоремы 2, результатов задач 12, 14, 16 и условия настоящей теоремы следует, что MZk = = (MXi+ ... +МХъ)/к, DZk = (DXl+ ... + DXk)lk2<clk. Применим к Zk неравенство Чебышева. Получим для стоящей в левой части (7) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Правая часть неравенства (7), а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных сие убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на е, приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом е. Это утверждение называют законом больших чисел.

Задача 23. Пусть с = 1, е = 0,1. При каких k правая часть неравенства (7) не превосходит 0,1? 0,00001? 0,05?

Задача 24. Рассмотрим событие А и случайную величину X такую, что Х((о) = 1, если соеА, и Х(о)) = 0, если соей А. Покажите, что MX = Р(А), DX = Р(А) (1— Р(А)).

Теорема 6 (теорема Бернулли). Пусть M — число наступлений события А в k независимых испытаниях, и р есть

вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом е>0.

(8)

Доказательство. Пусть Х\(ы) = 1, если в i-м испытании событие А наступило, и Xi((o) = 0 в противном случае. Тогда случайные величины Хи Х2, Хь независимы (задача 7), МХ\ = р, DX[ = р(1—р) (задача 24). Ясно, что M = Х\ + 4- Х2 + ... + ^к. Применим к Хи Х2, Хь теорему 5 с С = = р(1—р) и получим неравенство (8).

С помощью теоремы б можно кое-что сказать в ответ на поставленные в § 3 вопросы. Пусть из 10000 деталей 3000 оказались бракованными. Согласуется ли это с тем, что вероятность брака равна 0,23? В этом случае k = 10000, M = 3000, M/k = 0,3, р = 0,23, M/k — р = 0,07. Для проверки гипотезы поступают так. Оценим вероятность того, что \M/k—р|> 0,07. Положим в теореме 6 е = 0,07:

(9)

При k — 10000 правая часть (9) меньше 1/250. Вероятность весьма мала, что ставит под сомнение исходную гипотезу.

Более точно поступают так. Выбирают малое число а, называемое уровнем значимости. Если описанная выше вероятность меньше а, то гипотезу отвергают, как говорят, на уровне значимости а. Обычно а = 0,05, или а = 0,1, или а = 0,01. При k = 100 правая часть в (9) ~ 0,36, что не дает оснований отвергать гипотезу. При k = 1000 правая часть в (9) ^0,036. Гипотеза отвергается на уровне значимости а = 0,05 (и а = 0,1), но (9) не дает оснований отвергнуть ее на уровне значимости а = 0,01.

Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы вероятность получить 10000 бракованных деталей подряд равна 0,2310000>0.

Задача 25. Аналогично разберите проверку гипотезы о правильности монеты (§ 3).

В теории вероятностей есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчетах. Проверка гипотез относится к отрасли теории вероятностей, которая называется «математическая статистика».

Задача 26. Покажите, что в теореме 5 условие DX\ С можно заменить на следующее: «Существует константа С такая, что DXn Су п, п = 1, 2, ...».

Задача 27. Докажите, что в теореме 5 условие попарной независимости можно заменить на следующее: М(Х\— —МХО (Xj—MX-) = 0, при i ф U

Задача 28. Докажите, что в условиях теоремы 5

Далее можно сформулировать и доказать теоремы Пуассона, Маркова, ввести оценки неизвестной вероятности осуществления события и доверительные интервалы, дать понятие о центральной предельной теореме и т. д. Подчеркнем еще раз, что проблема состоит в ОТБОРЕ материала из массы возможного. Приведенный выше материал вместе с опущенными «жизненными» задачами рассчитан на 14 часов, не считая домашних заданий.

Небольшой список рекомендуемой литературы

1. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., «Наука», 1970 (7 изд.).

2. Гнеденко, Б. В. Журбенко И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика. «Математика в школе», 1968, № 2, 72—84, № 3, 30—49.

3. Колмогоров А. Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику. «Математика в школе», 1968, № 2, 68—72.

4. Мостеллер, Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. М., «Мир», 1969.

5. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1068.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том I. М., «Мир», 1964.

7. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М., Изд-во МГУ, 1972-

Краткие решения и указания

1. Непосредственно следуют из свойств символа суммирования (§ 2).

2. Поскольку

3. Пусть Q состоит из п равновероятных исходов, в А входит k исходов, в В—/ исходов, в AB—m. По определению независимости------ —-, то есть k-=kP(B) = т.

5а). По определению математического ожидания

По свойству 2 символа суммирования Мс = с для любого числа с.

По теореме 2М(Х—МХ) = МХ-М(МХ) = MX—MX = 0.

Из свойства 2 символа суммирования и 5а) следует, что

6. Пусть у и Уъ Ук — значения f(X), £<п. По теореме 1

7. Непосредственно следует из определения 6.

8. Ясно, что множества {со: Х(со) + а = с) и {со: X(io) = с—а) совпадают.

9. В естественных обозначениях

10. Каждое из km непересекающихся множеств {и>: X((ù) = JCi, У(со) = j/j} содержит по крайней мере одно элементарное событие. Если X и У получены в результате двух независимых испытаний, вероятностные пространства которых состоят из k и m элементов соответственно, то общее вероятностное пространство, построенное, как в задаче 4, состоит из km элементов. «Раздробляя» один из его элементов на нужное число частей, строим искомые примеры.

11. Пусть Р(щ) = ~^~> i = 1» 2, 3, X и У заданы таблицей

0)1

ТО 2

X

— 1

0

1

У

2

5

2

Тогда

12. По теореме 2 и задаче 5 МУ=аМХ-]-Ь. Имеем по свойству 2 символа суммирования ОУ = М(У—МУ)2 = М(аХ -f-

13. Непосредственно следует из определения.

14. Следует из теоремы 3 и задач 5а) и 8.

15. Отличается лишь обозначениями от неравенства Коши-Буняковского с весом (aibipi + a2b2p2 + ... + йпЬпрп)2

<(ai2pi +а22р2+ ... +an2pn)(bi2pi + ... + bn2pn).

16. Соотношения легко доказываются методом математической индукции.

17. Достаточно заметить, что {со: \Х((о)— МХ(со)| >а) = = {со: (Х(со) — MX((ù))2 а2} и применить теорему 4.

18. {со: \Х\ а}= {со: f[\X\)> f(a)}.

19. Например, Х(ьу)=а. Впрочем, легко видеть, что искомая случайная величина единственна.

20. Достаточно взять а<СМХ.

21. Для Х(со)=0 утверждение выполнено. Из задачи 20 следует единственность решения.

22. При отбрасывании любого из указанных требований правая часть неравенства может стать отрицательной.

24. Воспользуйтесь теоремой 1.

26. Имеем

Поскольку у= при возрастании k убывает, приближаясь к 0, то закон больших чисел верен.

27. При указанном условии справедлива формула DZ^ = г ~ (DX\ + ... + DX\Jy которая только и используется при доказательстве

28. В (7) положим г = jp== . Тогда кг2 = }Пг, что и требовалось.

М. А. Лифшиц, Т. Е. Савелова

(г. Ленинград, г. Великий Устюг)

ПРИБЛИЖЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ

Представления о числе складывались постепенно под влиянием требований практики. Простейшими числами являются целые положительные числа, используемые при счете. Они называются натуральными и были известны людям много тысячелетий назад. Насущные потребности повседневной жизни привели к появлению простых дробей — чисел вида 1/2, 2/3, 5/4 и т. д. Такие числа называются рациональными.

Натуральные числа можно представить в виде точек на прямой линии, причем каждая точка отстоит от предыдущей на отрезок единичной длины. Рациональные числа представляются точками на той же самой прямой и, можно считать, что они измеряют доли длины.

С открытием несоизмеримых отрезков в геометрии появилась необходимость в расширении понятия о числе. В математику были введены иррациональные числа — это числа, служащие для измерения величин, несоизмеримых с выбранной единицей измерения. Но, очевидно, мало ввести понятие о новых числах, необходимо еще выяснить способ их записи при помощи цифр, решить вопрос о геометрическом изображении иррационального числа и о приближении иррациональных чисел рациональными.

В данной работе предлагается материал для внеклассной работы в 8—9-х классах. Он может быть использован на занятиях кружка или факультатива по теории чисел. Разбивка его на три занятия условна и может быть изменена.

Занятие 1

Рациональные числа на числовой прямой

Рассмотрим обыкновенные дроби и их расположение на числовой прямой. Числитель и знаменатель каждой дроби — целые числа. Вспомним, что такое числовая прямая. Для этого возьмем произвольную прямую линию, отметим на ней какую-нибудь точку. Пусть эта точка будет изображать нуль (рис. 1). Будем откладывать вправо от нуля по 1 см и отмечать точки 1, 2, 3, ... Откладывая по 1 см от нуля влево, отметим точки —1, —2, —3, ... Таким образом мы разместим на числовой прямой все целые числа. Но при этом многие точки прямой остались неотмеченными. Например, все точки между нулем и единицей еще не сопоставлены ни с каким числом. Расположим на нашей прямой всевозможные дроби, знаменателем каждой из них могут быть числа 1, 2, 3, ... Дроби со знаменателем 1 —это целые числа, они уже расположены на числовой прямой. Чтобы отметить дроби с любым другим знаменателем, например со знаменателем 3, разделим отрезок от 0 до 1 на три равные части (вспомните, как это делается). Получим точки 1/3, 2/3. Затем замеряем отрезок от 0 до 1/3 и откладываем его сколько угодно раз в обе стороны от 0. При этом получим изображение для дробей ... —2/3, —1/3, 0, 1/3, 2/3, т. е. для всех дробей со знаменателем 3. Аналогично размещаются на числовой прямой дроби с любым другим знаменателем гс.

Упражнение 1. С помощью двух взаимно перпендикулярных прямых разместить на плоскости пары рациональных чисел.

Когда мы разместили на числовой прямой все дроби, возникает вопрос: остались ли на прямой свободные точки или дроби покрывают всю прямую целиком? Попробуем выяснить это. Для этого возьмем квадрат со стороной 1 см

Рис. 1.

и его диагональ. Длину диагонали обозначим буквой х. Легко вычислить х2. В самом деле, по теореме Пифагора

Отложим диагональ квадрата на числовой прямой от точки О и докажем, что ее конец не может быть помечен дробью, т. е. не соответствует никакому рациональному числу. Для этого предположим, что конец диагонали помечен дробью X = ~, не нарушая общности, можно считать, что дробь — несократимая (почему?). Тогда т. к. х2 = 2, то [~} = 2, следовательно р2 = 2q2. Отсюда видно, что р — четное число и р2 делится на 4, а значит делится на 4 и правая часть, т. е. q2 делится на 2, а из этого следует, что q делится на 2, т. е. q — четное число. Получили, что ~ сократимая дробь, что противоречит нашему предположению. Значит, такая запись невозможна, и конец диагонали не может быть помечен никакой дробью. Это открытие явилось сенсацией для древних математиков.

Упражнение 2. Доказать, что числа КЗ; |/б; К3 + ]2 не являются рациональными (не представимы в виде дроби — ).

Упражнение 3. Доказать, что диагональ единичного куба тоже не представима в виде ~.

Упражнение 4. Даны два куба А и В: А — единичный, а объем куба В вдвое больше объема куба А. Доказать, что, если объем V куба со стороной а составит V = а3, то сторона куба В не представима в виде •

Таким образом, доказали, что дроби не заполняют всю числовую прямую целиком. Интересно, как густо они там расположены?

Прежде всего проверим, что в каждом отрезке числовой прямой можно найти дробь, какой бы маленький отрезок

ни рассматривать. Рассмотрим некоторый маленький отрезок, пусть С — его середина, а f — длина. Ореди чисел 1, 1/2, 1/3, ... обязательно есть число меньшее, чем длина f нашего отрезка.

Пусть это число будет ~; ~ </. Рассмотрим дроби со знаменателем п. Эти дроби разбивают всю прямую на одинаковые куски, длины которых равны ~. Точка С попадет в какой-нибудь из этих кусков и поэтому находится от одного из этих концов куска на расстоянии не больше, чем 2 • ~Г . Обозначим этот конец буквой В. Мы знаем, что В соответствует дроби (возможно сократимой) со знаменателем п. Кроме того, В находится внутри нашего первоначального отрезка (почему?).

Вот мы и проверили, что внутри любого отрезка числовой прямой обязательно есть дробь.

Упражнение 5. Доказать, что во всяком круге на плоскости найдется точка, соответствующая паре дробей.

Занятие 2

Точность приближения и величина знаменателя

Рассматривая на предыдущем занятии произвольное число С, нашли, что среди дробей со знаменателем п всегда найдется дробь, находящаяся от С не дальше, чем на расстоянии • Выяснили, что дроби настолько густо посеяны на числовой прямой, что к любой точке можно подобраться при помощи дробей на любое заданное расстояние. Правда, для этого может быть придется использовать дроби с очень большими знаменателями.

Упражнение 6. Доказать, что в любом отрезке найдется дробь с простым знаменателем.

Получив эти результаты, логично задать себе вопрос: насколько точно дроби приближаются к точкам числовой прямой? Еще древние математики знали случаи очень точных приближений. Например, рассмотрим дроби со знаменателем 7. Мы знаем, что такие дроби приближают точку

на оси с точностью 1/14. Но вот очень важное число я: отношение длины окружности к ее диаметру. В конце прошлого века было установлено, что число я не является рациональным, так же как число ]/2, которое уже рассматривалось. Правда, доказательство этого много труднее. Однако еще древние математики знали, что я очень хорошо приближается дробью 22/7. Архимед доказал, что разница здесь не более чем 1/497. А по нашим знаниям можно получить приближение с точностью 1/14. Вот какая разница! Оказывается это неслучайно, и можно получить хороший результат в этом направлении.

Теорема. Пусть А — какое-нибудь число. Рассмотрим знаменатели 1, 2, 3, 1976. Можно найти дробь ~ с одним из этих знаменателей такую, что уклонение от А будет не более, чем 1Q7^:

Это уклонение тем более будет меньше, чем дробь ~. (Не следует думать, что 1976 какое-нибудь особенное число. Такую же теорему можно доказать для всякого целого положительного числа).

Перейдем к доказательству теоремы.

Имеем число А и набор знаменателей 1, 2, 1976. Хотим выбрать дробь —со знаменателем q из нашего набора так, чтобы разница между А и ~ была не больше, чем

Будем наматывать числовую прямую на круглый барабан (это очень полезная операция, она помогает решить много других задач). Барабан — это окружность длины 1, на которой отмечена точка L. К этой точке мы приклеим О числовой прямой (рис. 2а). Затем намотаем положительную полуось и отрицательную на эту окружность. Так как окружность имеет длину 1, то все целые числа окажутся в одной точке, а именно в точке L. Более того, если две точки числовой оси (точка X и точка У) попали в одну и ту же

точку окружности, то это значит, что числа X и У отличаются на целое число оборотов, т. е. на целое число единиц: X—У = m (рис. 26). Здесь m — целое число. Если же точки X, У отличаются на окружности на дугу величины а, то это означает, что X + а отличается от У на целое число:

X—У = а + m, где m — целое число (рис. 2в). Почему?

Вернемся к доказательству теоремы. На числовой прямой отметим точки: 0-4 = 0, 1-А9 2 А, 1976-А. Раз-

Рис 2а.

Рис. 26.

Рис. 2г.

делим нашу окружность на 1976 одинаковых «ящиков»; каждый «ящик» будет иметь длину j^j: . Посмотрим, куда попадут числа OA, 1-А, когда числовую прямую намотаем на барабан. Каждое число попадет в какой-нибудь «ящик». «Ящиков» всего 1976 штук, а чисел на одно больше— 1977. Значит, в каком-то «ящике» можно найти два числа. Пусть числа tA и s-А попали в один «ящик». Его длина равна 7^, поэтому tA—S'A = b + m, где m — целое число, величина b< К|7(Г Осталось преобразовать последнюю формулу:

Мы получили дробь ^__s , знаменатель которой Q = t—s, несомненно, принадлежит нашему набору; что касается точности, то оказалось, что величина [А— ~\ ^ величине

что и требовалось доказать.

Упражнение 7. Найти по методу, описанному в доказательстве, хорошее приближение для: а) А =1^2; вместо 1976 взять 7; б) А = л; вместо 1976 взять 5; дать в обоих случаях оценку точности приближения.

Упражнение 8. Попробуйте усовершенствовать доказательство и добейтесь, чтобы точность была выше, чем для знаменателя из набора 1, 2, 3, 1976.

Занятие 3.

Следствием теоремы, доказанной на прошлом занятии, было приближение с точностью-^- . Оказывается, что этот результат можно еще улучшить и получить для любой точки приближение с точностью у^а ^ .

Возьмем знакомое нам число]/2 и ближайшую к нему дробь — из всех дробей со знаменателем q. Проверим сейчас, что уклонение этой дроби от Y 2 не меньше, чем~^.

Предположим сначала, что дробь больше, чем ]/ 2. Тогда, выполнив вычитание, получим — —2 = ~, где Ь —целое положительное число.

Значит,

При этом, так как “ ближайшая к Y2 дробь, то

(Докажите это).

Значит,

Случай, когда дробь меньше корня, разберите самостоятельно.

Теперь сделаем несколько заключительных замечаний. Мы видели, что дроби густо расположены на числовой оси. С их помощью можно как угодно близко подобраться к любому числу. Однако, если ограничить знаменатель дроби, то приближение возможно лишь с ограниченной точностью.

Вернее, всегда возможно приближение с точностью“, где

q — знаменатель приближающей дроби. С другой стороны, оказалось, что число нельзя приблизить намного точнее,

например, уже с точностью нельзя. Это закономерно.

Дело в том, что V 2 есть корень квадратного уравнения X2—2 = 0 с целыми коэффициентами. Степень уравнения неслучайно совпадает со степенью наилучшего приближения. Корни любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами нельзя приблизить дробью с точностью много лучшей, чем ~при больших q. Корни любого кубического уравнения нельзя приблизить с точностью много лучшей, чем ~f при больших q и т. д. На этой идее было впервые построено особое число, которое не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами. Такое число получается очень просто. Вот его десятичная запись:

ОД0100100000010...0100...01...

Промежутки между единицами заполняются следующим образом: первый промежуток содержит 1 нуль, второй—1-2 нулей, третий — 1-2-3, четвертый — 1 • 2 • 3 • 4 и т. д. Составленное таким образом число (его называют числом Лиувиля) замечательно хорошо приближается дробями и поэтому не является корнем никакого уравнения с целыми коэффицентами. К этому кругу идей принадлежит еще одна знаменитая задача древних — задача о квадратуре круга: дан круг, требуется с помощью циркуля и линейки построить квадрат равной площади.

Упражнение 9. Провести квадратуру круга равнозначно тому, что циркулем и линейкой построить число я. Доказать это.

Оказалось, что задача о квадратуре круга не имеет решения как раз по той причине, что число л не является алгебраическим, т. е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, а все числа, которые можно построить циркулем и линейкой, являются алгебраическими.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика, М., «Просвещение», 1967.

2. Хинчин А. Я. Элементы теории чисел, «Энциклопедия элементарной математики», кн. 1, стр. 263—353 (особенно стр. 332).

3. Гельфонд А. О. О проблеме приближения алгебраических чисел рациональными, сб. «Математическое просвещение», вып. 2, 1957, стр. 35.

4. Гельфонд А. Я. Алгебраические и трансцендентные числа, М., Гостехиздат, 1952.

5. Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки, «Энциклопедия элементарной математики», кн. IV, М., Физматгиз, 1963, стр. 205—227.

6. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные, М., «Мир», 1966.

7. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры, М., «Наука», 1966.

Р. А. Усова, Л. В. Усов, А. Д. Бланк

(г. Вологда)

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБОБЩЕННАЯ ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

§ 1. Системы линейных уравнений

Решение многих научных и инженерных задач сводится к решению системы линейных уравнений. В школьном курсе алгебры изучаются только системы двух уравнений с двумя неизвестными. Решение реальных задач чаще всего сводится к нахождению решения системы линейных уравнений с большим числом уравнений и неизвестных.

Цель данной работы — показать некоторые методы отыскания решений систем с произвольным числом уравнений и произвольным числом неизвестных.

Ниже всюду будем предполагать, что система состоит из «ш» линейных уравнений с «м» неизвестными, причем число уравнений может быть не обязательно равным числу неизвестных. В общем случае систему «m» уравнений с «п» неизвестными принято записывать в виде:

(1.1)

Здесь через хи х2, ... хп обозначены неизвестные. Уравнения считаются перенумерованными сверху вниз — первое, второе,... i-e, т-е. Величины ац, а\2,... атп являются коэффициентами при неизвестных в своих уравнениях. Например, а34 — это коэффициент при х4 в третьем уравнении (читается а-три-четыре, а не а-тридцать четыре). В общем виде коэффициент произвольного i-ro уравнения при некоторой произвольной неизвестной Х\ принято обозначать че-

рез aij, где первый индекс i указывает номер уравнения, а второй индекс f — номер неизвестной, при которой поставлен этот коэффициент в данное уравнение. Величины &1, ö2,... bm, стоящие в правых частях равенств (1.1), называются свободными членами системы. Свободный член произвольного /-го уравнения обозначен через bi. Свободные члены и коэффициенты системы предполагаются известными.

Решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел k\9 k2,... kn, которая, будучи подставлена в систему на место неизвестных Х\9 х2,... Л'п, обращает все уравнения в тождество. Например, решением системы (1.2) является упорядоченная совокупность чисел X = (1,2,0,—1,4), т. е. #i=l, х2=2, х3 = 0, дг4 = — 1, *5 = 4.

(1.2)

Следует однако отметить, что не всякая система линейных уравнений имеет решение. Например, система (1.3) не имеет ни одного решения.

(1.3)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Совместная система может иметь одно решение или несколько. Совместная система называется определенной, если она обладает одним единственным решением. Если же система имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы и наоборот. Число уравнений в эквивалентных системах может быть разным.

Две несовместные системы принято считать эквивалентными.

Если в процессе отыскания решения системы линейных уравнений, мы будем ее преобразовывать, то решение преобразованной системы можно принять за решение исходной только в том случае, если эти системы эквивалентны.

Основная задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих, во-первых, узнать, совместна данная система или нет, во-вторых, установить число решений системы, в-третьих, указать способ нахождения решений. Наиболее мощным математическим аппаратом для решения основной задачи теории систем линейных уравнений является теория матриц.

§ 2. Матрицы

Множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая имеет га строк и п столбцов, называется матрицей. Числа, из которых составлена таблица, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С и т. п., а элементы матриц — малыми буквами а, Ь, с. В общем виде к каждому элементу матрицы приписываются два числа (индекса). Первое число указывает номер строки, а второе — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. Например, коэффициенты при неизвестных в системе линейных уравнений (1.1) образуют матрицу А, а свободные члены — матрицу В.

Если матрица имеет га строк и п столбцов, то говорят, что данная матрица типа гаХп. Поскольку числа т и п характеризуют размеры матрицы, то говорят, что матрица А имеет размерность гаХм, при этом указываются числа га и м, а не их произведение.

Если m = 1, то матрица состоит из одной строки и называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Если же п = 1, то матрица состоит из одного столбца и называется матрицей-столбцом или вектор-столбцом.

Если т = я, то матрица называется квадратной. Обычное число можно рассматривать как матрицу, у которой т = п= 1. Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком.

Если m ф п, то матрица называется прямоугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается «О».

В квадратной матрице выделяют главную диагональ, состоящую из элементов ац, а22••• аПп, расположенных по порядку с левого верхнего угла в нижний правый угол матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы, расположенные на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица называется единичной, если каждый элемент главной диагонали равен единице. Ее обозначают через Е. Например, единичная матрица третьего порядка запишется так

§ 3. Операции над матрицами

1. Равенство матриц. Две матрицы А и В называются равными, если равны их соответствующие элементы, т. е. aij = feij для всех i = 1,2,, m и всех f = 1,2,.., п. Понятно, что имеет смысл говорить о равенстве матриц только одного и того же типа, т. е. имеющих одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Например:

(3.1)

(3.2)

В примере (3.1), хотя все элементы матрицы В совпадают с соответствующими элементами матрицы А, но В Ф А, потому что эти матрицы имеют различное количество столбцов.

В примере (3.2) матрицы А и В будут равны при х = 2, так как все остальные элементы совпадают, а сами матрицы одного и того же типа.

2. Транспонирование. Замена строк столбцами, сохраняя порядок следования, называется транспонированием. Транспонированная матрица обозначается той же буквой, что и исходная, но с буквой Т вверху. Например, матрица Ат является транспонированной по отношению к матрице А.

3. Сложение матриц. Суммой двух прямоугольных матриц А и В, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

4. Произведение матрицы на число. Произведением матрицы на число к называется матрица >- А, элементы которой получены умножением на число К элементов матрицы А.

5. Умножение матрицы на матрицу. Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов левой матрицы-сомножителя А равно числу строк правой матрицы-сомножителя В. Если это условие выполнено, то под произведением матрицы А типа тХп на матрицу В типа nXk понимают матрицу С, элементы С\\ которой определяются следующим образом: каждый элемент произвольной 1-й строки и произвольного /-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки левой матрицы-сомножителя А на соответствующие элементы /-го столбца правой матрицы-сомножителя В. Сформулированное правило умножения матрицы А на матрицу В можно описать посредством формулы

Cij = au&ij+ai2&2j + •••• + ßin bnj для всех i = 1,2,.., m j = 1,2, .., k.

Легко видеть, что матрица-произведение С будет иметь столько строк, сколько их имеет левая матрица-сомножитель А и столько столбцов, сколько их имеет правая матрица-сомножитель В. Приведем примеры умножения матрицы А на матрицу В в буквенном и числовом виде.

Заметим, что ЕА=АЕ = А. Действительно, например

6. Обращение квадратной матрицы. Вспомним для начала понятие обратного числа из школьного курса алгебры. Для любого числа а Ф О существует обратное число b Ф О, такое, что ab = l. Обратное число обозначается через а-1. По аналогии в матричном исчислении введено понятие обратной матрицы.

Пусть А — квадратная матрица. Если существует такая матрица £, что AB = ВА = Е, где Е — единичная матрица, то говорят, что матрица А обратима, а матрицу В называют обратной и обозначают В = А-1. Следовательно, равенство АВ=ВА=Е можно переписать в виде

АА-1 = А-^А = Е.

Заметим, что А-1 — это лишь обозначение обратной матрицы, но не возведение матрицы А в минус первую степень.

Например, если

Следовательно, А обратима и обратной для нее является матрица £, т. е. В = А“1. Однако не всякая квадратная матрица обратима. Матрица, имеющая обратную матрицу, называется неособенной или невыраженной.

§ 4. Приложение матриц к решению систем линейных уравнений

Пусть мы имеем систему (1.1) m линейных уравнений с п неизвестными. Воспользовавшись операциями над матрицами, эту систему можно записать в виде одного матричного уравнения

(4.1)

Здесь

Так, система (1.2) в матричной форме запишется в виде

Назовем матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, матрицей системы.

Рассмотрим сначала частный случай, когда матрица системы (4.1) является квадратной и невырожденной. Допустим, что мы нашли обратную матрицу А-1. Если теперь умножить обе части матричного уравнения (4.1) на матрицу А-1 слева, то получим равенство

Но по определению обратной матрицы А_1А = Е. А так как ЕХ = X, то решение системы (4.1) можно записать в виде формулы

(4.2)

Пример: Найти решение системы

(4.3)

Согласно формуле (4.2), решение системы (4.3) можно получить путем умножения матрицы, обратной матрице системы, на столбец свободных членов. Из пункта 6 § 3 видно, что

Таким образом, решением системы (4.3) является

По правилу равенства матриц получаем

(4.4)

Важно подчеркнуть, что мы нашли решение для свободных членов, заданных в общем виде. Задавая конкретные числовые значения свободных членов, мы будем получать различные системы линейных уравнений с одной и той же матрицей системы, решения которых вычисляются по формулам (4.4). Например, если bi = 3, b2 = 9, Ь3 = 6, то

Если же fei = 6, b = 2, b3 = 3, то теперь

Итак, решение системы m линейных уравнений с m неизвестными при невырожденной матрице системы по формуле (4.2) сводится к нахождению матрицы, обратной матрице системы, и к перемножению ее затем на столбец свободных членов.

Покажем один из способов вычисления обратной матрицы.

Пусть дана квадратная невырожденная матрица А. Требуется вычислить обратную матрицу А~{. Припишем к матрице А справа единичную матрицу Е того же порядка, тогда получим расширенную матрицу В = (А\Е). Если теперь умножить обе части матрицы В на А~{ слева, то получим А~{ А\А~1Е или Е\А~{. Тем самым мы провели преобразование вида

А\Е -> А-'А\А-'Е -> Е\А-К

Следовательно, если преобразовать матрицу В таким образом, чтобы на месте исходной матрицы А получалась единичная матрица Е, то на месте приписанной справа единичной матрицы получится искомая обратная матрица А“1. Преобразовать же матрицу В можно при помощи следующих элементарных преобразований:

1° перемена местами любых двух строк матрицы,

2° умножение каждого элемента любой строки матрицы на один и тот же отличный от нуля множитель,

3° прибавление к элементам какой-либо матрицы соответствующих элементов любой другой строки, умноженных на произвольное число.

Продемонстрируем изложенный способ вычисления обратной матрицы на примере матрицы системы (4.3), обратная матрица для которой нами уже приводилась и использовалась для нахождения решения системы (4.3).

расширенная матрица В.

Вид матрицы В после преобразований

1) поменяли строки 1 и 3 местами;

2) строка 2 минус 3 X (элементы строжи 1), строка 3 минус 2Х (элементы строки 1);

3) минус 2Х (элементы строки 3), строка 34-+ строка 2, минус 1/6Х (элементы строки 2), строка 1 + 5/6 (элементы строки 2);

4) строка 2 —5/6 X (элементы строки 3), строка 1 + 7/6Х (элементы строки 3).

По определению обратной матрицы АА~{ = А~{А = Е. Проверим, действительно ли мы получили обратную матрицу

Аналогично легко убедиться, что

Изложенный метод нахождения решения системы линейных уравнений по формуле (4.2) применим только для случая квадратной невырожденной матрицы системы. Поэтому, прежде чем приступить к решению системы линейных уравнений, было бы желательно установить, является ли матрица данной системы невырожденной. Способы опознания невырожденной матрицы в математике разработаны, но они требуют дополнительных расчетов. К тому же, если матрица системы окажется вырожденной, то мы лишь установим, что применять изложенный выше метод для нахождения решения системы уравнений нельзя. Как же найти решение системы уравнений в этом случае? Наконец, при решении практических инженерных и научных задач часто встречаются системы, когда число неизвестных не равно числу уравнений, т. е. матрица системы является не квадратной, а прямоугольной. В этом случае введенное выше определение обратной матрицы неприменимо вообще. Но мы можем расширить это понятие, так, чтобы оно подходило для любой матрицы.

Определение:

Назовем обобщенной обратной матрицу А+, удовлетворяющую соотношению

АА+А = А (4.5)

Очевидно, что введенная ранее обратная матрица удовлетворяет этому соотношению. Действительно:

АА~1А = ЕА=А.

Но если обратная матрица А~{ существует только для квадратных невырожденных матриц, то обобщенную обратную можно найти для любой матрицы.

Введенную таким образом матрицу можно использовать для решения любой системы линейных уравнений.

Теорема 1. Система АХ = В (4.1) будет совместна, тогда и только тогда, когда

АА+В = В (4.6)

Доказательство.

Достаточность очевидна, т. к. если АА+В = В, то А+В есть решение системы (4.1).

Пусть Хо—какое-либо решение системы. Тогда АХ0 = В. Заменим А на АА+А из (4.5). Равенство перепишется: АА+АХ0=В. Теперь подставим в левую часть равенства В вместо АХо получаем АА+В = В, тем самым доказана и необходимость.

Теорема 2. Пусть система (4.1) совместна, т. е. АА+В=В, то решение такой системы будет иметь вид:

X = А+В+(Е—А+А) У (4.7)

где У — любая матрица столбец той же размерности, что и X.

Доказательство.

Подставим выражение (4.7) в уравнение (4.1) и получим.

А [А+В+ (Е—А+А) У] =В

Раскроем скобки в левой части

АА+В + АЕУ—АА+АУ=В

Учитывая соотношения АА+В = В, ЕУ=У и АА+А=А равенство перепишется

В + АУ—АУ = В

Мы получаем тождество В^В. Следовательно, Х = А+В + + (Е—А+А)У будет решением системы (4.1).

Покажем теперь, что любое решение Я системы (4.1) можно представить в виде (4.7).

Положим в формуле (4.7) У = Х. Тогда получаем выражение

X = А+В + {Е—А+А) X (4.8)

Раскроем скобки и учтем соотношения ЕЯ = Х и АЯ = В в (4.8).

А+В + ЕХ—А+АК = А+В + Х—А+В = X. Тем самым теорема доказана.

Таким образом, зная обобщенную обратную матрицу А+, мы можем исследовать на совместность с помощью формулы (4.6) и найти все решения с помощью формулы (4.7) системы линейных уравнений (4.1). Тем самым решение основной задачи теории систем линейных уравнений сводится к нахождению обобщенной обратной матрицы системы.

Покажем один из способов вычисления обобщенной обратной матрицы. Пусть дана квадратная матрица А. Припишем к ней справа и слева по единичной матрице того же порядка и обозначим такую расширенную матрицу через В = (Е\А\Е). С помощью элементарных преобразований со строками и столбцами матрицы В преобразуем матрицу А к диагональному виду. При этом, если мы производим операцию преобразования со строками матрицы А, то следует выполнить такую же операцию и со строками приписанной справа от А матрицы, а если же преобразуем столбцы матрицы А, то должны выполнить аналогичное преобразование и со столбцами приписанной слева от А матрицы. В результате многократного применения к матрице В элементарных преобразований изложенным образом мы перейдем от матрицы В к матрице (P|I|Q), где I —диагональная матрица вида

то есть главная диагональ состоит из ряда единиц и следующих за ними нулей. Р — матрица, полученная в результате преобразования приписанной слева от A, a Q—справа от А единичных матриц. Обобщенная обратная матрица А+ равна произведению матриц P/Q,t. е.

A+ = PIQ (4.9)

Если же А — прямоугольная матрица, то сначала надо приписать к ней столько нулевых строк или столбцов, чтобы сделать ее квадратной. Полученную таким образом квадратную матрицу обозначим через А. Выполняя описанные выше операции над квадратной матрицей, получим матрицу Л+. Если в матрице А+ вычеркнуть теперь столько столбцов (строк), сколько нулевых строк (столбцов) было приписано к исходной матрице А, то оставшиеся элементы матрицы Л+ и составят искомую обобщенную обратную матрицу Л+.

Пример: пусть дана система:

Запишем ее в матричном виде

Найдем обобщенную обратную матрицу для матрицы системы А.

1) Дополнили матрицу А до квадратной строкой нулей и приписали справа и слева единичные матрицы;

2) из второй строки матрицы А вычли первую, сделав аналогичное преобразование правой матрицы;

3) из второго и третьего столбца средней матрицы вычли первый, аналогично преобразовав левую матрицу;

4) из третьего столбца средней матрицы вычли второй, проделав аналогичную операцию с левой матрицей.

В результате преобразований получен искомый вид (P|I|Q). Согласно (4.10), для вычисления Л+ перемножим матрицы PI-Q

Вычеркнув в А+ последний столбец, получаем

Зная Л+, исследуем систему на совместность, т. е. проверим выполнение равенства АА+В=В.

Проверка показывает, что система совместна. Напишем решение нашей системы по формуле (4.9)

Распишем X и У и подставим численные значения.

По правилу равенства матриц получаем:

*1=Уз, х2 = 1—2уз, х3=у3,

где уз — принимает любые численные значения.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Карандаев И. С, Мелентьев Е. К., Усов Л. В. Математическое программирование. Куйбышевский плановый институт, Куйбышев, 1966 г.

2. С. А. Солодовников. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. «Просвещение», М., 1966 г.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. «Наука», М., 1967 г.

4. Bjerhammar A. A generalized matrix algebra. Göteborg, 1958.

5. Bjerhammar A. Theory of errors and generalized matrix inverses, Amsterdam, Elsevier. 1973, XII.

А. И. Зейфман

(г. Вологда)

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СЕРЬЕЗНЫХ ЗАДАЧ

Попробуйте предложить вашим ученикам следующие две задачи.

Первая. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. В каком отношении эта плоскость делит объем конуса?

Вторая. Доктор налил мальчику лекарство в мензурку, имеющую форму конуса. Лекарство было горьким, а мальчик — маленьким. Ребенок закапризничал. «Я выпью только половину, вот столько!»,— и он указал до середины высоты. «Хорошо,— сказал доктор,— разрешаю тебе выпить «половину». Почему доктор разрешил мальчику выпить не все лекарство?

Нетрудно подсчитать, что мальчик выпил полагающегося ему лекарства, а это доктора тоже устраивало.

Можно не сомневаться, что почти все ученики найдут более интересной вторую задачу, хотя с чисто математической точки зрения решения обеих задач совпадают.

Но есть у этих задач и различия. Например, у первой— строгая математическая формулировка, у второй — нет. Первая задача, как показывает опыт, не производит на учащихся особого впечатления, воспринимается ими как нечто рядовое, привычное, тогда как вторая вызывает ряд приятных эмоций. (Формулировка второй задачи заимствована из статьи [2]).

Нельзя не согласиться со словами известного французского математика Б. Паскаля:

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его занимательным».

Это положение полностью подтверждается пятилетним опытом проведения Вологодским педагогическим институтом через газету «Вологодский комсомолец» областных конкурсов по решению задач. Более всего учащиеся интересуются задачами с броской, привлекательной формулировкой. Вот одна из таких задач:

В пруд пустили 30 щук, которые могут поедать друг друга. Щука считается сытой, если она съест трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться? (Решение этой задачи приведено в работе [1]).

Заметим, что «оживить» можно практически любую задачу. Сравнительно легко это получается с задачами геометрического характера.

Рассмотрим несколько примеров.

1а. В данном треугольнике нужно выбрать точку M так, чтобы отношение площадей двух частей треугольника, на которые его делит проходящая через точку M прямая, заключалось в возможно более тесных пределах. Какими будут эти пределы при наиболее удачном выборе точки М?

Как известно, дети весьма не равнодушны к кондитерским изделиям. Отправляясь от этого факта, задачу 1а можно переформулировать так:

16. Витя и Славик делят треугольный торт. Витя указывает точку на торте, а Славик разрезает торт по произвольной прямой, проходящей через эту точку, и берет себе любой из двух образовавшихся кусков. Каждый хочет получить как можно больше. Какую точку должен выбрать Витя и какая часть торта достанется ему наверняка при правильном выборе точки?

Рис. 1.

Приведем решение этой задачи. Пусть ABC — треугольный торт (рис. 1). Нетрудно заметить, что самой выгодной для Вити точкой является точка M пересечения медиан. В этом случае в зависимости от сделанного Славиком разреза Витя получит от ~ до ~ торта. Очевидно, что торта он получит, если разрез пройдет по любой из медиан. Если же торт будет разрезан по одной из прямых А\В\9 ЩС2, С3А3, параллельных соответственно сторонам AB, ВС, CA, то легко подсчитать, что Витя получит “g“ торта. Во всех остальных случаях ему достанется часть торта, большая -g-, но меньшая —

Докажем теперь, что всякая точка Р, отличная от точки М, будет менее выгодной для Вити. Действительно, точка Р обязательно попадет хотя бы в один из треугольников А\В\С, В2С2А, С3А3Б. Допустим, что она окажется внутри треугольника А\В{С. Тогда разрез по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой А\В\, даст Вите часть торта, меньшую •

А вот еще одна задача на торт:

2. Можно ли разместить на круглой тарелке радиуса 10 ом прямоугольный кусок торта размером 8 смХ'28 ом, предварительно разрезав его по прямой на два куска?

Правильно подсчитав, что для этого торт нужно разрезать на две конгруэнтные прямоугольные трапеции с основаниями 12 см и 16 см, некоторые учащиеся опрометчиво размещают затем на тарелке части торта так, как это показано на рисунке 2. Однако такое расположение неправильно, так как в этом случае половина торта оказывается на тарелке кремом вниз (!). Правильное решение приведено на рисунке 3.

Опыт показывает, что для большинства учащихся наиболее привлекательными являются сказочные и шуточные формулировки, а также на темы, чем-то близкие ребятам. Задачи с использованием сказочной тематики распространены в настоящее время достаточно широко (ом., например, материалы вечерней математической школы при Московском математическом обществе), поэтому на них мы здесь останавливаться не будем.

Рис. 2. Рис. 3,

Разберем еще одну геометрическую задачу, стараясь «оживить» ее формулировку.

За. На плоскости даны 30 точек. Каждой из них поставлено в соответствии ровно k точек, взятых из оставшихся. При каком наименьшем k можно утверждать, что наверняка найдутся две точки, находящиеся в обоюдном соответствии?

Эта задача выглядит довольно абстрактной. Однако ее лег;ко можно сделать достаточно конкретной, если «точки» заменить «учениками», а слова «поставлено в соответствие»— словом «нравится». Новая формулировка будет выглядеть так:

36. В классе 30 учеников. Каждому из них нравится ровно k учеников из этого же класса. При каком наименьшем k можно наверняка утверждать, что найдутся два ученика, которые нравятся друг другу?

Приведем краткое решение этой задачи. Число различных пар, которые возможны при 30 учащихся, равно = 15-29. Так как каждому ученику нравятся ровно k учащихся, то общее число случаев, когда один ученик нравится другому, равно 30&. Требование задачи будет выполнено, если число этих случаев будет больше числа возможных пар учащихся, т. е. 30&>15-29. Наименьшее значение k, при котором выполняется полученное неравенство, равно 15.

Рассмотрим теперь пример алгебраической задачи.

4а. Имеется 7 натуральных чисел au а2, а3, ... , а7 таких, что ai<a2<a3<...<a7 и а1+а2 + аз + ... + а7 = 100. Докажите, что а5 + а6 + а7 > 50.

Хотя формулировка этой задачи и так достаточно простая, некоторое «оживление» ей не помешает. Можно остановиться, например, на таком ее варианте:

46. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем у каждого было разное число грибов. Докажите, что найдутся трое грибников, которые вместе собрали не меньше 50 грибов.

Решение.

Расположим грибников в порядке возрастания числа найденных ими грибов. Если четвертый набрал не меньше 15 грибов, то последние трое собрали не менее 16 + 17 + 18 = =51 грибов. Если же четвертый набрал не более 14 грибов, то первые четыре грибника вместе набрали не более 11 + 12 + 13 + 14=50 грибов.

Следовательно, и в этом случае последние трое набрали не менее 50 грибов.

Не всякую отвлеченную задачу легко «оживить». Да этого и не нужно добиваться любой ценой. И все же некоторая доля фантазии может выручить в самых, казалось бы, невозможных случаях. Предположим, требуется решить задачу:

5а. При каких натуральных п число 2п + 65 является квадратом натурального числа?

Прежде чем придать этой задаче более занимательный вид, приведем ее решение. Требуется найти все натуральные п такие, что 2п + 65=лс2, где х — натуральное число.

При п нечетном 2п = 22к=<2к)2. Тогда х2—(2К)2=65 или 2п + 65 оканчивается на 7 или на 3. Известно, однако, что квадрат натурального числа ни на 7, ни на 3 оканчиваться не может.

При п четном 2П оканчивается на 2 или на 8, а тогда (х + 2к)(х—2К) = 65. Возможны всего лишь два случая:

В первом случае к=5, т. е. тг = 10, а во втором

Теперь приведем один из возможных занимательных вариантов этой задачи.

56. Архитектору Двуэнкину поручили выполнить проект кинотеатра, поставив при этом обязательное условие, чтобы число рядов в зрительном зале равнялось числу мест в каждом ряду. Двуэнкин, желая отметить свой юбилей (ему исполнилось 65 лет), предложил проект, по которому зрительный зал должен вмещать 2п + 65 человек. Какое наибольшее количество зрителей можно будет обслужить за сеанс, осуществив проект Двуэнкина?

Очевидно, из двух значений /г, найденных при решении задачи 5а, нужно взять п=10. В этом случае зрительный зал будет иметь 33 ряда по 33 места в каждом ряду и вместит 1089 человек.

В заключение укажем еще на одно важное применение занимательных формулировок. В некоторых случаях, прежде чем решать сложную задачу, бывает уместно рассмотреть один—два частных случая, облеченных в форму занимательных задач.

Пусть, например, требуется доказать, что число возможных последователей из нулей и единиц длины k равно 2Ь. Решению этой задачи в общем случае можно предпослать следующие частные случаи.

6. Учащиеся сдают зачет по бегу. Считается, что зачет сдан, если ученику удалось пробежать 1000 метров. Если же он сойдет с дистанции (например, внезапно вспомнив о невыученных уроках), то зачет считается не состоявшимся. Сколько возможно различных исходов сдачи зачета у четверки стартовавших учащихся?

7. В некотором царстве каждые два человека отличаются набором сохранившихся зубов (скажем, у Анны Ивановны остался один лишь второй от конца верхний зуб справа, а у Ивана Ивановича — такой же нижний зуб). Какова может быть наибольшая численность жителей этого царства, если известно, что у одного человека не может быть больше 32 зубов?

Занимательные задачи, какой бы фантастической ни была их фабула, служат не только поддержанию у учащихся интереса к математике, но и учат их математизации конкретных ситуаций, т. е. практическим положениям математики.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Богословский Б. П., Каминский Т. Э., Потоскуев Е. В. Сборник задач математических олимпиад Вологодской области. Вологда, 1972.

2. Дышинский Б. А. Математические этюды в задачах. Из сборника «Роль и место задач в обучении математике». Выпуск 2, Москва, 1973.

3. Шклярский Д. О. и др. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. Москва, 1974.

С. Г. Губа

(г. Вологда)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ НА ЗАНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

Для развития познавательной самостоятельности учащимся необходим некоторый опыт по выполнению такой математической деятельности, конечные результаты которой не являлись бы полностью детерминированными. Практика показывает, что доказательство неравенств как нельзя лучше подходит для этих целей. Наблюдение различных способов получения новых неравенств на основе ранее известных может стать для учащихся хорошей побудительной причиной к аналогичному самостоятельному поиску.

Предлагаемый ниже материал рассматривался на кружковых занятиях в начале девятого класса. Изучение начиналось с перечисления нескольких простейших способов получения новых неравенств:

1. Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа или выражения.

2. Почленное сложение или умножение нескольких неравенств.

3. Использование транзитивности отношения «больше» («меньше»).

4. Замена букв, входящих в неравенство, некоторыми выражениями.

5. Обобщение неравенства.

6. Геометрическое истолкование неравенства.

Далее все эти способы иллюстрировались достаточным количеством примеров. Приведем некоторые из них.

Известно, что для любых положительных чисел х, у, z имеют место неравенства:

(1)

Складывая почленно неравенства (1), получим

(2)

Прибавив к обеим частям неравенства (2) число 3, будем иметь:

или

(3)

Если же в неравенстве (2) положить х^а + в, г = в + с и у=с + а9 то получим:

откуда

(4)

От очевидного неравенства (2) путем нескольких простейших приемов мы пришли к неравенствам (3) и (4), которые уже никак нельзя назвать очевидными. Отметим, что неравенство (3) нетрудно обобщить на любое число слагаемых. Так, например, если Х\9 х2, лг3, х± — положительные числа, то

(5)

Возьмем теперь в качестве исходных следующие неравенства:

(6)

где X, у, z — любые положительные числа. Перемножив почленно неравенства (6), получим:

(x + y)(y + z)(z + x); 8xyz. (7)

Положим х = а + в—с, у = в + с—a, z=c + a—в. Если считать а, в, с длинами сторон некоторого треугольника, то числа а + в—с, в + с—а, с + а—в будут положительными. Следовательно, для них выполняется неравенство (7), которое при этом примет вид:

2в-2с2а 8 (а + в—с) (в + с—а) (с + а—в)

или

(а + в—с) (в + с—а) (с+а—в) авс. (8)

Условимся далее о следующих обозначениях для треугольника: р — полупериметр, S — площадь, R и г — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей. Будем считать также известными следующие формулы:

a) S = pr; б) aec = 4RS; в) S=Vp(p—a)(p—в) (р—с).

Приняв во внимание, что

а + в—с=а + в + с—2с = 2р— —2с=2(р—с), в + с—а = 2(р—а), с + а—в = 2(р—в),

перепишем неравенство (8) следующим образом:

8 (р—а) (р—в) (р—с) 4RS

или

2р (р—а) (р—в) (р—с) pRS,

т. е. 2S2 < pRS, откуда 2pr pR или окончательно 2r R.

Доказанное неравенство является одним из важнейших неравенств треугольника. Оно получено в основном алгебраическим путем. Чисто геометрический вывод этого нера-

венства также не является слишком сложным. Можно, однако, привести примеры, когда геометрический вывод неравенства, относящегося к треугольнику, оказывается значительно сложнее алгебраического. Докажем, например, так называемое неравенство Финслера-Хадвигера. Будем исходить из очевидных неравенств, справедливых для любых действительных х, у, z:

х2 + у2 >2ху, y2 + z2>2yz, z2 + x2 > 2zx. (9)

Складывая неравенства (9) почленно, будем иметь (после сокращения всех членов на 2):

X2 + у2 + z2 >jez/ + yz + zx. (10)

Прибавив к обеим частям неравенства (10) выражение 2xy + 2yz + 2zx, получим:

X2 + у2 + z2 + 2ху + 2yz + 2zx > 3 (ху + yz + zx)

или

(x + y + z)2 >3 (xy + yz + zx).

Полученное неравенство справедливо при любых действительных х, у, z. При х>0, z/>0, z>0 из него следует неравенство:

x + y + z^Vs (xy + yz + zx). (11)

Известно, что во всяком треугольнике полупериметр больше каждой из сторон, иными словами, разности р—а, р—в, р—с положительны. Полагая в неравенстве (11).

х=(р—а) (р—в), у = (р—в) (р—с), z = (p—c) (F—а),

после несложных преобразований будем иметь:

или

Умножим обе части полученного неравенства на 4. Тогда

4{ав + вс + са)—(а + в + с)2 4SJ/3.

Прибавив к обеим частям последнего неравенства выражение 2а2 + 2б,2 + 2с2 и выполнив некоторые несложные преобразования, придем к неравенству

а2-Ьв2 + с2 4S К~3~+2а2 + 2в2 + 2с2—2ав—2вс—2са

или окончательно

a2 + e2 + c2 4S I “3 + (а—в)2 + (б—с)2 + (с—а)2. (12)

Нетрудно убедиться, что знак равенства имеет место при а=в = с.

Неравенство (12) и есть неравенство Финслера—Хадвигера. Примечательно, что для вывода этого геометрического неравенства почти не потребовалось никаких геометрических сведений. Была использована лишь формула Герона, а также тот факт, что во всяком треугольнике полупериметр больше любой из сторон.

В заключение остановимся на известном соотношении между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких положительных чисел:

xi+*2+ ». +xn^>nVrx\-x2...Xn. (13)

В школе неравенство (13) доказывается лишь для случая п = 2. Непосредственный вывод этого неравенства в общем виде методом математической индукции выглядит довольно громоздким (см., например, Г. Л. Невяжский, «Неравенства», Учпедгиз, 1947). Поэтому лучше поступить следующим образом: предварительно доказать некоторое промежуточное неравенство, а затем с его помощью убедиться в справедливости неравенства (13). В качестве промежуточного докажем следующее неравенство:

Х\+Х2 + Х3... +хп>п, (14)

где Х\, Хо, Хг$ ... , хп — положительные числа, причем такие, ЧТО Х\-Х2г.-Хз ... JCn=l.

Доказательство неравенства (14) проведем методом математической индукции. Сначала проверим это неравенство при п=2. Пусть для положительных чисел Х\ и х2 выполняется равенство Х\-х2 = 1. Тогда из очевидного неравенства ( VХ\— V х2)2 > 0 следует, что х{ + х2 >2.

Предположим теперь, что неравенство (14) верно при п = к > 2, т. е. х\+х2 + ... +Хк>-& при Х\ • х2... #к=1. Докажем, что тогда оно будет верным и при п = к+1, т. е. будет выполняться неравенство Х\+х2-}- ... -ЬХк + Хк-и > + если только Х\ -х2... Хк- Хк+\ = 1.

Возможны три случая относительно Хк+г» 1) Xk+\=lj 2) Xk+i>l; 3) Xk+i<l.

Если JCk+i=l, то из неравенства Х\ + х2 + ... + Хк “> £ сразу же следует неравенство Х\ + х2 + ... + Xk + Xk+i >-k + l.

Пусть теперь Xk+i^>l (случай Xk+i<Cl совершенно аналогичен). Так как х\ -х2... JCk'JCk+i=l, то среди чисел Xi, х2, Хк найдется хотя бы одно, меньшее 1 (в противном случае при хь+\^>1 произведение Х\*Х2...#k*Xk+i было бы также больше 1). Без ограничения общности можем считать, что Xk<0. Рассматривая произведение хь-Хк+\ как одно число и учитывая, что Х\«д^...#k'#k+i=li на основании предположения при тг=& будем иметь:

*1 + *2 + ... +ХЪ-1 + Хк ' *к+1 > ft

Отсюда вытекает справедливость следующего неравенства:

Х1+Х2+ ••• + *k + *k+i >& + l+#k + Xk+i—*к Хк+1—1.

Полученное неравенство можно записать в следующем виде:

х{ + х2 + ... +*k + *k+i > /c + l+.(Xk+i—1)(1—хк). (15)

Поскольку Xk+i>l и Хк<1, то (JCk+i—1) (1—Хк) > 0. Тогда из неравенства (15) следует:

Итак, для любого натурального п справедливо неравенство:

Х{+Х2 + Х3 + ... +Хп >П,

где Х\, x2i #з, ... , хп — положительные числа, удовлетворяющие условию Х[-х2-Хз ...хп = 1. Знак равенства имеет место При Х\ = Х>2 = Хз = ... = Хц = 1.

Для доказательства неравенства (13) положим:

Тогда

Следовательно, к числам У и У2»... > Уп применимо неравенство (14):

откуда и следует неравенство (13).

Рассмотрим теперь несколько примеров на применение неравенства (13). Пусть, например, Х\9 х2, ... , хп — положительные числа. На основе неравенства (13) имеем:

(16)

Перемножая почленно неравенства (13) и (16), будем иметь:

(17)

Мы получили обобщение неравенства (3) для любого натурального п.

Нередко формула (13) применяется при некотором конкретном значении п. Докажем, например, неравенство

(18)

где X, у, z— положительные числа. Имеем:

Аналогично:

Складывая почленно последние три неравенства, получим:

откуда и следует неравенство (18).

В заключение воспользуемся неравенством (13) для нахождения наименьшего значения функции. Пусть

Тогда

Очевидно, знак равенства имеет место в том случае, когда

Отсюда

Таким образом, наименьшее значение данной функции

равно 20 и достигается оно при х = ±3^7.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что в процессе изучения предлагаемой темы нужно постоянно настраивать учащихся на самостоятельный поиск различных неравенств.

Е. Н. Перевощикова

(г. Горький)

ИЗУЧЕНИЕ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С СЕМИКЛАССНИКАМИ

В 1974/75 учебном году в школе № 53 г. Горького и № 10 г. Дзержинска был проведен опыт изучения бинарных отношений с учащимися 7-х классов. Об этом опыте вкратце рассказано в данной статье.

Ставилась цель не только познакомить с понятием бинарного отношения и его свойствами, но и побудить учеников увидеть отношения в ранее изученном на уроках математическом материале, показать «вездесущность» бинарных отношений.

Программа (она видна из заголовков параграфов) была рассчитана на пятнадцать (часовых) занятий, в конце проведена контрольная работа. Поскольку статья носит обзорный характер, то приводим лишь некоторые упражнения, не описывая методику занятий.

§ 1. Понятие бинарного отношения. Обратное отношение

Предлагалась задача: ученик помнит первые три цифры телефонного номера 4-17-** и то, что последние две составлены из цифр множества X, X = (6, 7, 8}. Сколько вариантов придется перебрать ученику?

Решая задачу, ввели понятие упорядоченной пары, прямого произведения множества на себя и соответствующие обозначения.

В упражнениях получили различные подмножества прямого произведения.

Составляя M ХМ, если M = {РСФСР, УССР, Казах. ССР, БССР для краткости М = {Р; У; К; Б}, ученики получи-

ли: МХМ = {(Р, Р); (Р, У); (Р, ff); (Р, Б); (У, Р); (У, У); (У, ff); (У, Б); (ff, Р); (ff, У); (ff, ff); (ff, Б); {Б,Р); (Б, У); (Б, К); (Б, Б)}.

Выделим такое подмножество множества Му^М, чтобы в паре на первом месте была республика с большей по площади территорией. Обозначим это множество qi.

q, = (Р, К); (Р, У); (Р, Б); (üf, У); (Я, Б); (У, Б).

— Можно ли поменять местами республики в парах?

— Нет, в противном случае нарушим правило образования Qi«

Подмножество q\ множества МХМ назовем отношением «иметь большую площадь» в множестве М.

Определение. Любое непустое подмножество q прямого произведения ху(х называется бинарным отношением или проще: отношением) в множестве x.

Если (х, у) е q, то говорят, что пара находится в отношении q и записывают: XQy. Читают: объект х находится в отношении q к объекту у.

Например, Pq\K читается: РСФСР имеет большую площадь, чем Казахская ССР.

Отношение q можно записывать так:

По определению: q С ху^х

Перечисляются известные отношения: а) равенства = б) принадлежности б в) включения С г) конгруэнтности = и т. д.

Например, если х и у натуральные числа, то отношение их равенства в N можно записать так:

а) (х, у)е q, это означает, что пара (х, у) принадлежит множеству пар равных натуральных чисел;

б) х=у, что означает: “х находится в отношении равно с у“ или “х равно у“.

В школе обычно практикуется последняя запись. Ученикам предлагалось символически записать отношение равенства в множестве N

(Z ={(х,У) I x9yeN и X = у}).

На втором занятии в ходе повторения решили задачу.

Задайте в множестве M отношение Q2 «иметь меньшую площадь», если M = {РСФСР, УССР, БССР, Казах. ССР}

Сравним полученное множество q2 с множеством о,. Замечаем, что пары множества q2 отличаются от пар множества Qi лишь порядком элементов.

Говорят в таком случае, что для отношения Qi в множестве M имеется обратное отношение которое обозначают Q-1bQ2 = затем упражнялись в составлении отношений, обратных данным, в частности, выяснили, какое отношение будет обратным отношению параллельности в множестве прямых на плоскости.

Ученики заметили, что понятие отношения может быть проиллюстрировано примерами из школьного курса. На следующих занятиях старались найти как можно больше таких примеров, чтобы глубже изучить новое понятие и применить его для лучшего понимания «обычной» математики.

§ 2. Область определения и множество значений отношения. График отношения

Понятия области определения и множества значений отношения ввели на третьем занятии. С помощью упражнений выяснили, что область определения отношения Dq— это множество первых элементов его пар, а множество значений Fq множество вторых элементов пар.

Среди других, рассмотрели упражнения:

а) R—множество действительных чисел. Задано отношение q = {(х, у) I X, у е R и у = —}. Найдите область определения и множество значений данного отношения;

б) Найдите область определения и множество значений отношения «делится нацело» в множестве М, где M = = {3; 4; -2; 7}.

Получили: Q ={(3,3); (4,4); (4 —2); (-2, —2); (7, 7)}, Dq = {3; 4; —2; 7}. FQ = {3; 4; -2; 7}.

Начертим оси координат. Изобразим элементы области определения заданного отношения точками горизонтальной оси, а элементы множества значений — точками вертикальной оси. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых служат пары чисел из множе-

Рис. 1.

ства о (рис. 1). Множество построенных точек называют графиком отношения «делится нацело». Приняли следующее определение.

Множество точек координатной плоскости, соответствующих элементам отношения, называют графиком этого отношения.

Было подчеркнуто, что график можно рассматривать как способ задания отношения.

Ученики обратили внимание на аналогию графиков соответствий, известных из 6 класса, и графиков отношений.

§ 3. Задание отношения таблицей и графом

Из определения отношения следовало, что оно задается множеством пар.

На предыдущем занятии выяснили, что отношение можно задать графиком.

На занятиях 4 и 5 были рассмотрены еще два способа задания отношений.

Расскажем, как был введен способ графов.

Вернулись к отношению Q\ «иметь большую площадь в множестве M советских республик» (занятие 1).

Изобразим каждый элемент множества M точкой и проведем от каждой точки стрелку к той точке, которая изображает республику с меньшей площадью. Стрелка заменяет слова «имеет большую площадь». Ясно, что направление стрелки имеет точный смысл. Такую схему со стрел-

Рис. 2.

ками назовем графом отношения «иметь большую площадь» (в известном нам множестве) (рис. 2).

Затем ученики должны были указать область определения и множество значений отношения Qi, заданного графом, и получить граф обратного отношения Qi-1.

Рассмотрим упражнение:

Имеется множество M = {0,1,2,3}. Задайте в нем отношение равенства с помощью графа.

Выясняем, что в множестве M каждый элемент находится в отношении равенства только сам с собой: 0 = 0;

Рис. 3. Рис. 4.

1 = 1; 2 = 2; 3=3. Стрелки на графе теперь называются петлями (рис. 3).

Учеников заинтересовала задача:

В множестве А = {4, х, 7, у} графом задано отношение «больше» (рис. 4). Найдите числа х и у, если они натуральные.

§ 4. Свойства отношений: рефлективность, антирефлективность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, антитранзитивность

На занятиях 6, 7, 8 выяснили, что бинарные отношения могут обладать различными свойствами. Сначала рассмотрим такой пример: пусть в M = {—1, 0, у,2) задано отношение q, q = {(*> у) \ x, у е M и x < у). Составить q. Построить граф этого отношения.

Замечаем, что каждый элемент множества M не больше самого себя. Говорят, что отношение «не больше» обладает свойством рефлексивности.

Определение. Отношение в множестве M называется рефлексивным, если каждый элемент х из M находится в отношении q к самому себе, т. е. хqx или (jc,х) г q. Затем упражнялись в отыскании рефлексивных отношений.

Среди упражнений, решаемых на том занятии, выделим следующие:

1. В множестве прямых M = {а, Ъ, с, d, m, п} задано отношение параллельности q (рис. 5). Показать, что q рефлексивно. Построить граф, таблицу и график этого отношения в M.

Рис. 5.

Рис. 6.

Учитель обращает внимание учеников на то, что граф рефлексивного отношения обязательно содержит петли (рис. 6).

2. В множестве прямых на плоскости задано отношение перпендикулярности. Будет ли оно рефлексивным?

Поскольку не существует на плоскости прямой, перпендикулярной себе, то отношение перпендикулярности в множестве прямых на плоскости не рефлексивно.

Определение. Если ни для какого элемента х множества M не выполняется условие xqx, где q отношение в М, то отношение называют антирефлексивным. Из определения следует, что отношение перпендикулярности в множестве прямых на плоскости антирефлексивно.

Далее выяснили, что отображение, в частности осевую симметрию, можно рассматривать как отношение q в множестве точек плоскости, исключая точки, принадлежащие оси симметрии, q = {(х, Х\)\х\ = Sz(jc), х е /}. Показали, что q антирефлексивно.

Рассмотрим множество M треугольников на плоскости и отношение q конгруэнтности в этом множестве, т. е. такое множество пар (х, у) треугольников х е M, у £ M, что треугольник х конгруэнтен треугольнику у, (х,у)ед.

По определению конгруэнтности из условия х = у следует, что и у =х, т. е. и (y,x)eQ. Вот почему говорят, что треугольники х и у конгруэнтны. Сказанное имеет место

для любых двух конгруэнтных треугольников. Говорят еще, что отношение q конгруэнтности симметрично.

После соответствующих примеров было принято определение.

Отношение q, заданное в М, называется симметричным, если для любых элементов х е M, у е M из условия {X, у) е q следует (у, х) е q.

Например: отношение параллельности в множестве прямых на плоскости симметрично.

По рис. 6 замечаем, что на графе симметричного отношения компоненты пар соединены двойными стрелками. Из таблицы отношения q видим, что оно является диагональным, т. е. рефлексивным. Симметричность проявляется в особом расположении единиц относительно диагонали.

Рассматривая отношение q «делится нацело» в множестве М, где M = {2, 3, 4, 6), убеждаемся, что q не симметрично.

Определение. Отношение, заданное в множестве М, называется антисимметричным, если для любых х, у е M из условия (х, у) е q следует (у, х) е q.

Следовательно, отношение «делится нацело» в множестве M антитранзитивно.

Решая с учениками задачу № 2 (в) стр. 71 из учебного пособия [1], вспомнили, как называлось такое свойство параллельных прямых.

Определение. Отношение в множестве M называется транзитивным, если для любых элементов х, у?еМ из условия (х, у) е q и (у, z) е q следует {Ху z) е q. Таким образом, отношение параллельности транзитивно. По графу на рис. 6 замечаем, что стрелки от а к b и от b к с можно заменить стрелкой от а к с, тогда к только тогда, когда а\\Ь и Ь\\с.

Будет ли транзитивным отношение перпендикулярности (см. задачу № 3 стр. 71 из учебного пособия [1].

Отношение перпендикулярности не транзитивно, т. к. для любой тройки прямых a, b и с если а^-Ь и b-Lc, то (а, с) е J_.

Определение. Отношение q в множестве M называется антитранзитивным, если для любых элементов X, у, z е M из условий (х, у) е q и (у, z) е q следует (х, z) е q.

Рис. 7.

Следовательно, отношение перпендикулярности антитранзитивно. Затем ученикам предлагалось:

а) по рис. 7 составить и решить систему уравнений, выяснить, является ли отношение равносильности транзитивным:

б) рассмотреть отношение “а пересекает Ь“ в множестве прямых на плоскости. Транзитивно ли заданное отношение?

§ 5. Классификация отношений по их свойствам

Решение задач

На девятом занятии была закончена работа по оформлению классификационной таблицы отношений по их ствойствам. Эта таблица появлялась у учеников в тетрадях по мере изучения свойств отношений, при выполнении упражнений.

Таблица может быть дополнена, и это будет хорошим упражнением. После ее составления учащиеся выполнили следующие упражнения:

1) приведите примеры бинарных отношений, чтобы они обладали тремя свойствами:

а) рефлексивности, антисимметричности, транзитивности;

б) антирефлексивности, антисимметричности, транзитивности;

Отношение

В каком множест.

Обозначения

Рефлексив.

Антирефлексив.

Симметрич.

Антисимметрич.

Транзитив.

Антитранзит.

1. Меньше или равно (больше или равно)

N, Z, R

(>)

+

+

+

2. Больше (меньше)

N, Z, R

> ГО

+

+

3. Делится нацело

Nf Z, R

+

+

4. Равенства

N, Z, R

=

+

+

+

5. Тождества

N, Z, R

+

+

+

6. Следования

Уравнений

=>

+

+

+

7. Равносильность

Уравнений

<=>

+

+

+

8. Параллельность

Прямых на плоскости

II

+

+

+

9. Перпендикулярность

»

J_

+

+

10. Конгруэнтность

Фигур

=

4-

+

+

11. Равновеликость

Фигур

+

+

12. Осевая симметрия

Точек плоскости, xql

Se

+

+

2) в множестве натуральных чисел задано отношение q такое, что q = {(#, у) \ х, у е N и (х—у) делится на m, m>0}.

Доказать, что q рефлексивно, симметрично и транзитивно.

§ 6. Отношение эквивалентности. Разбиение множеств. Разбиение на классы эквивалентности

Определение. Отношение q в множестве х9 обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называют отношением эквивалентности. Пользуясь таблицей на стр. 9, ученики упражнялись в нахождении отношений эквивалентности.

Следующие упражнения способствовали усвоению понятия отношения эквивалентности:

1) в множестве R действительных чисел задано отношение q = {(х,у) \ x,yeR и (х—у)—рациональное число}. Докажите, что q отношение эквивалентности.

2) Z множество целых чисел. В этом множестве задано отношение «имеет тот же остаток при делении на целое число, отличное от нуля». Выясните, какими свойствами обладает это отношение. Назовем его отношением равноостаточности.

Перед изучением темы «Разбиение множества» в порядке самостоятельной работы ученики повторили основной материал о множествах, операциях над ними, о подмножествах (см. [4], п. 32, упр. 617, 619).

Пусть x множество главных рек Советского Союза. Зададим в этом множестве отношение «принадлежать к бассейну океана». Используем граф.

Ученики работают над географическими атласами, заранее подготовленными к этому занятию.

Выписывая главные реки СССР и обозначая их точками на чертеже, строим граф отношения «принадлежать к бассейну океана». На доске и в тетрадях учеников появляются рис. 8, 9, 10.

Замечаем, что отношение «принадлежать к бассейну океана» обладает свойством симметричности. Условимся, двойных стрелок на графе не рисовать, поэтому и направление на криволинейных отрезках не указывать.

Выпишем все те и только те реки СССР, которые принадлежат бассейну Северного .Недопитого океана. Получили множество Хсл. ХСл.={Сев. Двина, Печора, Обь, Енисей, Лена, Яна, Индигирка, Колыма, Хатанга, Оленек}.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Аналогично записываем множества главных рек бассейнов Атлантического, Тихого океанов и Арало Каспийского бессточного бассейна, соответственно обозначив Ха, Xj, Хс).

Итак, Хсл С X, Ха С X, Хт С X, Хв С X, причем каждая река Советского Союза попадает в один и только один бассейн океана. Замечаем, что Хсл Ф0 , Х& Ф0 , Хт =^=0, Хб =^0 и пересечение двух различных множеств пусто.

Кроме того, множество рек СССР можно представить в виде объединения всех бассейнов.

х=-.хсли XaUXT U Хб.

Говорят, что с помощью отношения «принадлежать к бассейну океана» выполнено разбиение множества главных рек Советского Союза.

Примем следующее определение.

Множества Ху и Х2 называются разбиением множеств X если выполнены следующие условия:

1) Х\ и Х2— не пустые множества,

2) ХхПХ2=09

3) хги Х2 = Х.

Ученикам предлагалось вспомнить аксиомы о разбиении прямой ее точкой и о разбиении плоскости ее прямой.

Разбиение на подмножества часто используется для классификации объектов. При этом разбиение производится каждый раз по какому-то определенному признаку.

На занятии была проведена классификация треугольников, четырехугольников.

Выясним, какими свойствами должно обладать отношение, заданное в этом множестве. В рассмотренном выше примере отношение «принадлежать к бассейну океана» является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Такие отношения были названы отношениями эквивалентности.

Подмножества, на которые отношение эквивалентности разбивает данное множество, называются классами эквивалентности.

На занятии была сообщена теорема, которая является критерием разбиения множества на классы эквивалентности.

Теорема. Отношение в множестве X разбивает множество X на классы эквивалентности тогда и только тогда, когда является отношением эквивалентности. Приняли эту теорему без доказательства.

Пользуясь теоремой, рассмотрели некоторые примеры.

1. Зададим отношение параллельности в множестве X прямых на плоскости. Это отношение есть отношение эк-

вивалентности. Каждый класс есть множество прямых, параллельных некоторой прямой (пучок параллельных прямых). Класс эквивалентности можно задать, указав одну прямую этого класса.

2. Пусть L множество лучей на плоскости. Зададим отношение «быть сонаправленными». В 6-м классе выяснили, что сонаправленность 1) рефлексивна, 2) симметрична, 3) транзитивна, поэтому отношение сонаправленности есть отношение эквивалентности. Следовательно, L разбивается на классы эквивалентности, и каждый класс есть множество лучей, сонаправленных на плоскости. Направление задается построением одного из его лучей.

3. На множестве X = {x\xeN, х , 11) задано отношение р «х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3» (х, уеХ). Какие из чисел множества X удовлетворяют условиям дср4, 8рг/, хрЗ? Покажите, что р отношение эквивалентности. Запишите все классы эквивалентности, на которые разбивается множество.

4. В множестве # = {0, 1, 2, 3, 4} задано отношение р «число X больше или равно числу у», (х, уеК).

Можно ли произвести разбиение множества M на классы эквивалентности? Если можно, то выполните это разбиение.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Колмогоров А. Н. и др. Геометрия 6. Учебное пособие для 6 класса, М., «Просвещение», 1974 г.

2. Колмогоров А. Н. и др. Геометрия 7. Учебное пособие для 7 класса, М., «Просвещение», 1974 г.

3. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 6. Учебное пособие для 6 класса. Под ред. А. И. Маркушевича, М., «Просвещение», 1974 г.

4. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 7. Учебное пособие для 7 класса, под ред. А. И. Маркушевича, М., «Просвещение», 1974 г.

5. Теоретические основы начального курса математики. Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ. М., «Просвещение», 1974 г.

6. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории Перевод с английского. Изд-во «Просвещение», М., 1968 г.

7. Тоненкова М. М. Отношения в школьной математике. В книге «В помощь учителю математики», ч. I. Изд-во Горьковского государственного пединститута, 1975 г.

8. Тоненкова М. М. Множества (материал для факультативного курса IX класса). В книге «В помощь учителю математики, работающему по новой программе». Горьковский государственный пединститут им. М. Горького, 1975 г.

9. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., «Наука», 1965 г.

10. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971 г.

11. Макарычев Ю. Н., Нешков К. И., Пышкало А. М. Математика в начальных классах, ч. III, М., «Педагогика», 1971 г.

12. Лавров Н. Л., Максимова Л. П. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М., «Наука», 1975 г.

Т. А. Иванова, Л. И. Кузнецова

(г. Горький)

ПОВОРОТ ПРОСТРАНСТВА ВОКРУГ ОСИ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА

При изучении стереометрии учащиеся знакомятся с такими преобразованиями пространства, как перенос, симметрии (центральная, осевая и плоскостная) и гомотетия. Поворот пространства вокруг оси излагается в приложении к учебному пособию «Геометрия 10» и не является обязательным для изучения всеми учащимися.

Между тем, поворот вокруг оси играет важную роль при изучении многих вопросов механики и астрономии. Поэтому знакомство с преобразованием поворота пространства вокруг оси мы считаем полезным для учащихся.

Для изучения поворота, так же, как и других перемещений, можно использовать различные методы: конструктивный, векторный, координатный, аксиоматический и т. д.

В образовательном и воспитательном планах важно показывать учащимся взаимосвязь всех этих методов как в процессе изучения теоретического материала, так и при решении задач. Владение учащимися несколькими методами, умение видеть связь между ними приучает их из разнообразия имеющихся средств выбирать наиболее эффективное для решения той или иной задачи.

Изложенные выше причины побудили нас к рассмотрению поворота пространства вокруг оси с различных точек зрения.

Материал статьи доступен учащимся 10-го класса и может быть рассмотрен на внеклассных занятиях.

Определение и свойства поворота

При изучении премещений плоскости учащиеся рассматривали поворот около точки. Как известно, это пере-

мещение плоскости, при котором одна и только одна точка отображается на себя или же каждая точка плоскости отображается на себя. Перемещением пространства, аналогичным повороту плоскости около точки, является поворот вокруг оси.

Определение. Поворотом пространства вокруг оси называется перемещение, которое отображает на себя каждую точку оси и только их или же каждую точку пространства.

Примером такого перемещения является осевая симметрия. Следовательно, поворот вокруг оси существует.

Перемещение, отображающее каждую точку пространства на себя, есть тождественное преобразование. Свойства его очевидны.

Рассмотрим некоторые свойства поворота, не являющегося тождественным преобразованием.

1. Каждая плоскость, перпендикулярная оси, отображается на себя.

Пусть плоскость а перпендикулярна оси /, а*] I = Z. При перемещении перпендикулярность прямой и плоскости сохраняется. Тогда образом плоскости а является плоскость, перпендикулярная оси f и проходящая через точку L, т. е. сама плоскость а.

2. Отображение каждой плоскости, перпендикулярной оси, на себя есть поворот плоскости, т. к. при этом перемещении существует одна и только одна неподвижная точка — точка пересечения плоскости с осью. Поэтому, если X — произвольная точка плоскости a, a Х\ — ее образ при повороте пространства, то Х{еа и величина угла XLX\ постоянна для данного поворота и плоскости а (рис. 1).

3. Произвольная полуплоскость о с границей f отображается при повороте на полуплоскость о\ с той же границей (рис. 1). Если а — плоскость, перпендикулярная /, и аПо = [LX), aClöi = [LX\ ), то угол XLX\ — линейный угол двугранного угла о1а\. В то же время, луч LX\ является образом луча LX при повороте пространства вокруг оси f и при повороте плоскости а вокруг точки L.

Плоскость у, перпендикулярная к /, пересекает а и ai по лучам СУ и СУ\. Луч СУ\ — образ луча СУ и при повороте пространства около оси /, и при повороте плоскости у около точки С. Но УСУ\ = XLX\. Таким образом, величина

Рис. 1.

двугранного угла полуплоскости с границей I и ее образа при повороте постоянна и равна углу поворота плоскости, перпендикулярной оси.

Следовательно, поворот пространства характеризуется осью и углом поворота плоскости, перпендикулярной к оси. Но поворот плоскости можно рассматривать только для ориентированной плоскости. Ориентация же плоскости в пространстве зависит от того, из какого полупространства относительно этой плоскости на нее смотреть. Например, если угол с начальной стороной LX и конечной стороной LX\ на рисунке 1 рассматривать со стороны полупространства, содержащего точку С, то он кажется отсчитанным против часовой стрелки. Если же посмотреть на этот угол со стороны второго полупространства, то он кажется отсчитанным по часовой стрелке.

Чтобы избежать такой двузначности, мы будем считать ось поворота направленной и рассматривать плоскость со стороны того полупространства, которое содержит луч, задающий направление оси.

Двугранный угол называется направленным, если его грани упорядочены, т. е. указано, какая грань является первой и какая второй.

Двугранный угол с начальной гранью а, конечной гранью ai и внутренней областью, отмеченной на рисунке дугой, может быть ориентирован как положительно, так и

отрицательно. Пусть угол XLX{ — линейный угол двугранного угла ст/оь тогда у него луч LX — начальная сторона, [LXi) — конечная сторона, направление отсчета от начальной стороны к конечной указано стрелкой. Далее необходимо выбрать направление ребра. Если заданный угол ориентирован положительно, то направление необходимо выбрать так, как указано на рисунке 1. Если угол olo\ ориентирован отрицательно, то на ребре необходимо выбрать направление, противоположное изображенному на рисунке.

Если для двугранного угла указана начальная и конечная грань и направление ребра, то направление соответствующего ему линейного угла определяется однозначно.

Таким образом, поворот пространства однозначно задается осью — ориентированной прямой и направленным углом.

Поворот, заданный осью f и направленным углом S обычно обозначают /?rs.

Осевая симметрия пространства есть поворот вокруг заданной оси на 180°. Тождественное преобразование есть поворот вокруг любой оси на 0°. Направления оси и угла поворота в этих случаях роли не играют.

При решении задач и, в частности, при выяснении вопроса о композиции двух и более поворотов удобно пользоваться представлением поворота композиций двух плоскостных симметрий или двух осевых симметрий.

Покажем, например, что любой поворот может быть представлен композицией двух плоскостных симметрий. Для этого докажем сначала, что композиция двух плоскостных симметрий с пересекающимися плоскостями есть поворот.

Пусть cxflß = /, причем /—ориентированная прямая. Любая точка прямой f при композиции S3 • Sa неподвижна, так как если Ле/, то Лесс и Aeß и, и, следовательно, Sp -Sa (A) = S;i (А) = А.

Предположим, что, кроме точек прямой I при композиции S,? • Sa , существуют и другие неподвижные точки, например, Si - S* (M) = M, Mel. Очевидно, что M не принадлежит a (в противном случае M принадлежит и плоскости ß). Тогда Sa (М) = М,, Mi Ф M и Sp - S (М)= = Sß (Mi) = М. Различные плоскости а и ß оказываются плоскостями симметрии двух различных точек M и М{.

Но это невозможно. Значит, наше предположение неверно.

При перемещении S3 • Sa все точки прямой f и только они неподвижны. Следовательно, это перемещение есть поворот пространства вокруг оси /.

Чтобы найти величину и направление угла поворота, введем понятие угла двух пересекающихся плоскостей, заданных в определенном порядке.

Даны плоскости а и ß, aflß = /, где сх— первая плоскость, ß — вторая, на прямой f задано направление лучом OL, Oel (рис. 2). Плоскость À, проведенная через точку О перпендикулярно к прямой /, пересекает плоскости a и ß по прямым а и в, а — первая прямая, в — вторая. На прямых айв необходимо выбрать лучи OA и OB так, чтобы при рассмотрении из полупространства с границей I, содержащего луч OL, угол АОВ был положительно ориентиро и имел меру, меньшую 180°. Мера положительно ориентированного угла АОВ и принимается за угол плоскостей и a и ß.

Так как угол двух прямых может быть любым от 0° до 180°, то и угол двух плоскостей заключен в границах от 0° до 180° и (ß?a) = 180° — (aTß).

Для определения величины угла поворота выбираем в пространстве произвольную точку, например, принадлежащую плоскости сх (рис. 3). Тогда Sa (X) = X и S$ (X) =Х\, [ХХ\] f]ß = Х0. Отрезок ХХ\ перпендикулярен к плоскости ß, следовательно, он перпендикулярен к прямой /. Про-

Рис. 2.

Рис. 3.

ведем через (ХХ\) плоскость À, перпендикулярную к прямой /. Угол XLXo — линейный угол двугранного угла при ребре /. В плоскости л луч LX\ является образом луча LX при симметрии относительно оси (LX0), следовательно, XLX\ = 2XLXo. Но величина положительного угла XLXo есть величина положительного угла плоскостей а и ß.

Таким образом, угол поворота всегда положителен или равен нулю (если а = ß) и заключен в границах от 0° до 360 .

Если плоскости а и ß перпендикулярны и а !П ß = /, то композиция S?, • Sot есть симметрия с осью /.

Обратно, если поворот пространства задан осью и углом, то он может быть представлен композицией двух плоскостных симметрий с плоскостями, проходящими через ось поворота. Одна из плоскостей выбирается произвольно. Тогда другая строится так, чтобы угол между первой плоскостью и второй имел величину, равную половине угла данного поворота, а направление совпадало с направлением угла поворота.

Представление поворота вокруг оси композицией двух плоскостных симметрий неоднозначно.

Композиция двух поворотов пространства, вообще говоря, не является поворотом. Однако в случае, когда оси поворотов совпадают или пересекаются, композиция поворотов есть снова поворот. Докажем, это.

Пусть заданы два поворота Rr и Rift , причем оси f и п имеют общую точку. Если f /- п, то прямые f и п определяют единственную плоскость а. Заменим поворот /?г композицией Sa • S? , а поворот /?п* —композицией ST • Sa . имеем:

Rift • R\r = Sj • Sa 'Sa ' S 'i — Sf • St3 .

Плоскости ß и y пресекаются и, следовательно, 5Т • S3 = = Rm11 , где m = ß П у.

По углам 5, if) и (/, п) угол Т] можно найти, пользуясь теоремой косинусов для трехгранного угла.

Если I = п, то a — произвольная плоскость, проходящая через f = п и каждая из плоскостей ß и у также проходит через /, т. е. ß Л у = f и R\? = R\Q . При этом Q = q>+i|?, если направления осей совпадают, и Q=j(f — ф|, если

направления осей противоположны. Направление оси поворота R\Q выбирается так, чтобы угол Q = (ß, y) был положительным.

Так как композиция двух поворотов с пересекающимися осями есть поворот, то нетрудно показать, что композиция любого числа поворотов с осями, проходящими через одну точку, есть также поворот, ось которого проходит через ту же точку.

Из определения следует, что перемещение, обратное повороту, есть поворот с той же осью.

Таким образом, для множества всех поворотов, оси которых проходят через одну и ту же точку, выполняются все требования определения группы преобразований. Следовательно, это множество образует группу.

Координатная форма записи поворота

Теперь покажем, как записать поворот пространства вокруг оси в координатах.

1. Выведем сначала формулы поворота плоскости вокруг начала координат.

Пусть на координатной плоскости задан поворот R0 . R0a(A(x; у)) = А{ (рис. 4). Обозначив величину угла хОА через ai, получаем:

Рис. 4.

Ho xÖA\ = а + ai, значит

Итак,

(1)

2. Перейдем к изучению поворота пространства, когда осью поворота является одна из осей координат.

Пусть Оъ — ось поворота (рис. 5). Выразим координаты точки А\ = i?(oz)a (А) через координаты точки А и угол поворота а. Из свойства поворота следует, что поворот точки А вокруг оси Oz на угол a сводится к повороту точки А вокруг M на угол a в плоскости у такой, что А е у_[_(02), yd(Oz) = М> т. е. R(oz)a(А) = А\ е у. Значит, точка А\ имеет ту же аппликату, что и точка Л, т. е. Zi = Z.

Рис. 5.

Вектор МО отображает плоскость у на плоскость Оху,

Можем считать, что А\ является образом точки Аг при повороте вокруг начала координат на угол а плоскости Оху. Согласно формулам (1) и учитывая, что Z\ = z, получаем:

(2)

Не представляет трудностей получить формулы поворота пространства вокруг осей Ох и Oy.

3. Для вывода формул поворота вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат, предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Если плоскость ß проходит через упорядоченные точки 0(о,о,о), N(k,l,m), N\(kul\,m\), то длина нормального вектора b = (lni\—lxm, mk\—km\, klx—kj) равна произведению длин векторов ON и ON\ и синуса угла между ними.

Доказательство. Отложим от начала координат векторы ON = п и ONi = п\. Уравнение плоскости ß, проходящей через точки О, /V, ЛЛ имеет вид:

(считаем, что учащиеся умеют записывать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки). Нормальный вектор b плоскости ß имеет координаты b = (lm\—1\пг, mk\ — —kmu klx—kxl).

Длина вектора b равна

где а — угол между векторами п и щ.

Если запишем уравнение плоскости ß, проходящей через упорядоченную тройку точек О, Nu N, то соответствующий этому уравнению нормальный вектор будет —Ь. В дальнейшем условимся рассматривать тот нормальный вектор Ь = = OB плоскости ß, который расположен в одном полупространстве с границей ß = (п, OA), что и точка Ai, являющаяся образом точки А при повороте на угол а вокруг оси п.

Итак, пусть задан поворот пространства вокруг оси п, проходящей через начало координат (рис. 6). Единичный направляющий вектор п оси поворота п имеет координаты

Рис. 6.

Найдем сначала координаты вектора АоР, где Ао = ппу, Р — образ точки А при повороте на угол 90° вокруг оси п. Известно, что точка А\ расположена в плоскости у, проходящей через А перпендикулярно к п. Поскольку AqP_[_AqA и АоР1_п, то A0P_Lß, где ß = (п, А). Обозначим координаты

точки А через (jcj, уи Z\). Тогда уравнение плоскости ß запишется так:

Нормальный вектор Ь к этой плоскости имеет координаты

Согласно лемме, получаем:

Но вектор А0Р сонаправлен вектору Ь (оба они перпендикулярны плоскости ß и точки Р и В расположены в одном полупространстве с границей ß) и имеет длину, равную lAoÀI, значит,

Найдем теперь координаты точки

(3)

Для этого нужно знать координаты точки А0. Координаты точек, принадлежащих прямой п, имеют вид:

Уравнение плоскости у записывается так:

Но Ао = пПа, поэтому

Отсюда, [i = kx\ + lyi + mz\, a точка A0 имеет координаты

Вычислим координаты вектора АоА\. Тогда А\ есть образ точки А при повороте плоскости у вокруг точки Aq на угол а.

Нетрудно показать, что

Подставляя последнее равенство в равенство (3), получаем:

(4)

Векторному уравнению (4) соответствует система трех линейных уравнений:

(5)

Примечание. В качестве упражнения предлагаем читателю, используя только векторный метод, показать, что поворот пространства вокруг оси п на угол а можно записать следующим векторным уравнением:

Углы Эйлера

Выше мы показали, что поворот пространства вокруг оси можно задать с помощью четырех параметров — трех координат единичного вектора п = (k; I; т) оси поворота

и угла поворота. Учитывая, что координаты единичного вектора связаны соотношением k2+I2т2 = 1, число независимых параметров, задающих поворот, равно трем. В механике и астрономии при изучении вращения твердого тела вокруг оси в качестве трех существенных параметров, определяющих этот поворот, выбирают так называевые «углы Эйлера».

Пусть задан поворот пространства вокруг оси п, проходящей через начало координат (рис. 7). Оси системы координат при этом повороте займут новое положение Ох\ Оу\ Oz\ . Плоскости Оху и Ох'у' пересекаются по прямой называемой в астрономии осью узлов. Обозначим величину угла между осью Ох и осью узлов через W (угол прецессии), через ф — величину угла между осью узлов и осью Ох' (угол чистого вращения) и через в — величину угла между прямыми Ог и Oz'. Направления ориентированных углов отмечены на рисунке стрелками. Углы xÔk, köx' и zÖz' и называют углами Эйлера.

Оказывается, поворот пространства на угол а вокруг оси п можно представить как композицию трех поворотов и обратно:

Про иллюстрируем сказанное на рисунках. R4>(0z)(Oxyz) = = Ox\y\Z (рис. 8). Поскольку ось поворота Oz перпендику-

Рис. 7.

лярна плоскости Оху, то плоскости Оху и Ох\у\ совпадают и xÖx\ = yöyi = ф.

Аналитическая запись поворота R^^z) следующая:

(6)

Далее, R(0x)H(Oxiy\z) = Ox2y2z2 (рис. 9). Угол между прямыми Oz2 и Oz равен в. Плоскость Ох\у\ отображается на плоскость Ох2у2, проходящую через ось поворота Ох, т. к. ось поворота отображается на себя. Поворот R“ (ох) отображает прямую Ох\ на такую прямую Ох2, что хбх2 = ср.

Рис. 8. Рис. 9.

В координатах /?%х) запишется так:

(7)

Наконец, R*m (Ox2y2z2) = Ox'y'z' (рис. 7). R4\oz) (Oz2) = = (Ozi), причем zÔz2 = zôzi = 0. Плоскость Оху при этом

повороте отобразится на себя, плоскость Ох2у2 отобразится на плоскость Ох'у'. Прямая Ох пересечения плоскостей Оху и Ох2у2 отобразится на прямую k пересечения их образов, такую, что xôk = Ч?9 köx' = <р. Запишем /?ф(02) в координатах:

(8)

Выше было доказано, что композиция любого числа поворотов вокруг осей, проходящих через одну и ту же точку, есть поворот. Поэтому R4\oz) • R“ (ох) ■ /?ф(ог) = Ran- В координатах композиция R4\oz) • R“'(ох) • R^(oz) имеет следующий вид:

(9)

Из уравнений (5) и (9) можно найти зависимость между углом поворота а вокруг оси п и углами Эйлера. Приравнивая суммы коэффициентов при х, у, z соответственно первого, второго и третьего уравнения систем (9) и (5) и принимая во внимание, что k2 + /2 + m2 = 1, имеем:

откуда

Из этих же уравнений можно выразить координаты направляющего единичного вектора п оси через величины углов Эйлера.

В заключение отметим, что изучение рассмотренных вопросов не требует от учащихся дополнительных знаний, выходящих за пределы школьной программы. Поэтому изложенный материал может быть изучен с ними на факультативных занятиях.

М. Х. Приеде

(г. Ярославль)

К ВОПРОСУ ИЗУЧЕНИЯ АФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ

В школьном курсе геометрии одной из центральных является идея геометрических преобразований. Согласно программам, на уроках рассматриваются только перемещения и подобия плоскости и пространства. С аффинными преобразованиями учащиеся знакомятся на факультативных занятиях в 9-м классе. В программе факультативного курса по теме «Геометрические преобразования» читаем: «Проекции и аффинные преобразования плоскости» ([4]). Следует предполагать, что понятие аффинного преобразования плоскости вводится при помощи параллельного проектирования, хотя указание на это отсутствует даже в пояснении к теме.

Параллельное проектирование есть отображение пространства на плоскость. Оно не является обратимым. Однако чаще всего мы имеем дело с параллельным проектированием плоскости а на плоскость ai, где прямая /, задающая проектирование, не параллельна ни плоскости а, ни плоскости ai. Мы под параллельным проектированием будем понимать именно такое отображение и обозначать символом П[а—Чх. В работах [2] и [3] параллельное проектирование также понимается во втором, т. е. более узком смысле этого термина.

Прежде чем говорить об аффинных преобразованиях, рассмотрим следующую задачу.

Задача. Даны два произвольных треугольника ABC и A'BfC. Можно ли последовательным выполнением параллельных проектирований треугольник ABC отобразить на треугольник A'B'C'l В случае положительного ответа указать минимальное число таких параллельных проектирований.

Решение. Пусть плоскости а и а', определяемые соответственно треугольниками ABC и А'В'С, различны. В зависимости от расположения данных треугольников возможны следующие случаи: 1) АА', ВВ', СС— коллинеарные векторы; 2) векторы АА', ВВ', СС компланарны; 3) векторы АА', ВВ', СС некомпланарны. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

1. Если АА', ВВ', СС — коллинеарные векторы, то треугольник ABC отображается на треугольник А'В'С одним параллельным проектированием.

2. Пусть АА', ВВ', СС — компланарные векторы, причем никакие два из них неколлинеарны. В этом случае через прямые АА', ВВ', СС можно провести параллельные между собой плоскости а, ß, у (рис. 1). (На рисунке изображены только линии пересечения плоскостей а, ß, у с данными плоскостями а и о'). Через точку В параллельно прямой А А' проведем прямую f и возьмем на ней произвольную точку В0, не принадлежащую ни одной из данных плоскостей а, а'. Ясно, что f Cß. В плоскости y через точки С и С параллельно прямым ВВ0 и ВоВ' проведем прямые ССо и СоС, где Со = (ССо) п (СоС). Точки А', В0> С0 не принадлежат одной прямой, ибо в противном случае и точки А, В, С принадлежали бы одной прямой. Поэтому точки А', Во, Со определяют некоторую плоскость сг0.

Рис. 1.

Итак, цри параллельном проектировании ШАА,^о—*сго треугольник ABC отображается на треугольник А'В0Со, а при параллельном проектировании Zlif°B } —* о' треугольник А'ВоСо, отображается на треугольник А'В'С. Следовательно, при композиции 77аВ в ) —► а • #<АА'>а — а0 треугольник АБС отображается на треугольник А'В'С

Из проведенных рассуждений видно, что существует бесчисленное множество композиций двух параллельных проектирований, при которых треугольник ABC отображается на треугольник А'В'С.

В случае, если два из векторов АА', ВВ', СС коллинеарны (в частности, если один вектор нулевой), рассуждения упрощаются, но для отображения точек А, В, С на точки А', В', С также необходимы два параллельных проектирования.

3. Пусть данные треугольники таковы, что векторы АА', ВВ' и СС некомпланарны. В этом случае отобразить А, В, С, на точки А', В', С только двумя параллельными проектированиями невозможно. Действительно, если существует параллельное проектирование, при котором треугольник ABC отображается на треугольник AqBqCq, и параллельное проектирование, при котором треугольник А0В0С0 отображается на треугольник А'В'С, то, согласно признаку параллельности плоскостей, из (АА0) 11 (ВВ0) | | (СС0) и (АоА') \ \ IJ (В0В') 11 (СоС) имеем, что плоскости АА0А', ВВ0В', СС0С параллельны. Следовательно, векторы АА', ВВ', СС компланарны, что противоречит данному.

Так как прямые А А' и ВВ' либо скрещиваются, либо пересекаются, то через них проходит единственная пара параллельных между собой плоскостей а, ß (рис. 2). Проведем через точку С плоскость у* параллельно плоскости а и возьмем на ней произвольную точку С*, не принадлежащую данным плоскостям о и о'. Ясно, что С е у*, так как в противном случае векторы АА', ВВ', СС были бы компланарны. Точки А, В, С* определяют некоторую плоскость Go. При параллельном проектировании Я(СС*)а —а0 точки А, В, С, отображаются на точки А, В, С*. Так как АА', ВВ', СС* — компланарные векторы, то, согласно случаю 2, тре-

угольник ABC* отображается на треугольник А'В'С двумя параллельными проектированиями.

Значит, для отображения треугольника ABC на треугольник А'В'С необходима композиция трех параллельных проектирований. Так же, как в случае 2, следует обратить внимание на существование бесчисленного множества таких композиций.

Осталось рассмотреть случай, когда треугольники ABC и А'В'С лежат в одной плоскости а. Допустим, что ни одна из вершин А, Б, С не совпадает с соответственной вершиной второго треугольника. Через точки А', В', С проведем параллельные между собой плоскости а, ß, \\ не проходящие соответственно через точки А, В, С (рис. 3). (Можно доказать, что такие плоскости всегда существуют). На плоскости а возьмем произвольную точку А0, не принадлежащую плоскости а. Прямые, проведенные через точки В и С параллельно прямой АА0, пересекают плоскости ß и \ в точках В0 и С0. Точки А0, Во, Со не принадлежат одной прямой, так как в противном случае и точки А, Б, С принадлежали бы одной прямой. Пусть Оо — плоскость, определяемая точками А0, В0, Со. При параллельном проектировании П[к о) — gq треугольник ABC отображается на треугольник AqBqCq.

Остается выяснить, сколько параллельных проектирований потребуется, чтобы треугольник АоВоСо отобразить на треугольник А'В'С. Так как прямые А0А', BqB\ СоС' лежат в параллельных плоскостях, то согласно ранее доказанному треугольник А0В0С0 отображается на треугольник А'В'С

Рис. 2.

Рис. 3.

одним проектированием, если (А0А') | | (В0В') \ \ (СоС), в остальных же случаях — двумя параллельными проектированиями.

Легко доказать, что необходимым и достаточным условием параллельности прямых AqA\ BqB', CqC является параллельность прямых АА\ ВВ\ СС. Действительно, если (АА') II (ВВ') II (СС) и (ААо)\\(ВВ0) II (СС0), то плоскости (АА0А')> (ВВ0В')9 ССоС) параллельны и пересекают параллельные плоскости а, ß, у по параллельным прямым АоА\ BqB\ С0С. Аналогично из параллельности прямых А0А\ В0В\ С0С следует параллельности прямых АА', BQB', С0С следует параллельность прямых АА', ВВ', СС.

Итак, если (АА') \\ (ВВ') || (СС), то треугольник ABC отображается на треугольник А'В'С композицией двух параллельных проектирований, в остальных случаях — композицией трех параллельных проектирований.

Такой же ответ получается и в случае, если хотя бы одна из точек А, В, С совпадает с соответственной точкой, например, если А = А'; рассуждения при этом упрощаются.

Задача решена полностью. Полученный ответ можно использовать при изучении аффинных отображений, тем более что аффинное отображение мы будем определять как композицию параллельных проектирований.

Последовательное выполнение п параллельных проектирований, т. е. композиция вида П1опп_{—► а' • ... • ZT^ßi—^2 • 77'ia_►ßi, (n = 2, 3, ...) есть отображение плоскости а на плоскость а', причем обратимое. Называется оно аффинным отображением плоскости а на плоскость а'. Параллельное проектирование тоже считаем аффинным отображением.

При а = а' это отображение называется аффинным отображением плоскости на себя или аффинным преобразованием плоскости а.

Из свойств параллельного проектирования (см. учебное пособие по геометрии для 9-го класса) непосредственно получаем основные свойства аффинного отображения (преобразования):

1) прямая отображается на прямую;

2) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые;

3) сохраняется отношение длин параллельных отрезков.

Аффинное отображение не сохраняет, вообще говоря, ни длину отрезка, ни величину угла, ни отношение длин непараллельных отрезков.

Для каждого вида отображений важно знать, сколько пар соответственных точек необходимо для его задания. Так, например, из школьного курса планиметрии знаем, что параллельный перенос задается одной парой (А, А') соответственных точек, осевая симметрия однозначно определяется парой симметричных точек, поворот — двумя парами соответственных точек. Выясним, сколько пар соответственных точек необходимо для задания аффинного отображения.

На конкретном примере покажем, что бесчисленное множество аффинных отображений плоскости а на плоскость и может иметь две общие пары (А, А'), (В, В') соответственных точек, т. е. что две пары соответственных точек не задают аффинного отображения однозначно. Пусть при Ша_+а' точки А, £, С, не принадлежащие одной прямой, отображаются на точки А', В\ С (рис. 4). Через некоторую точку Сое(СС') и прямую А'В' проведем плоскость ß. При аффинном отображении q = П*—» а'• П1а—+ ß плоскости а на плоскость а' точки А, В отображаются также на точки А', В\ но точка С в зависимости от прямой х может быть отображена на любую точку M е(А/Б/).

Оказывается, что три точки, не принадлежащие одной прямой, и их образы определяют единственное аффинное отображение. Докажем следующую теорему.

Рис. 4.

Теорема. Пусть А, В, С — три произвольные точки плоскости а, не принадлежащие одной прямой, а А', В', С— три произвольные точки плоскости а', не принадлежащие одной прямой. Тогда существует и притом только одно аффинное отображение плоскости а на плоскость а', при котором точки А, В, С отображаются соответственно на точки А', В', С.

Эту теорему иногда называют основной теоремой теории аффинных отображений.

Доказательство. Доказать существование искомого аффинного отображения плоскости а на плоскость о! значит доказать, что существуют параллельные проектирования, при композиции которых точки А, В, С отображаются на точки А', В', С. Решив задачу, мы выяснили, что такие композиции существуют, причем бесчисленное множество.

Докажем, что аффинное отображение плоскости а на плоскость а', при котором точки А, В, С отображаются на точки А', В', С единственно, хотя является разными композициями параллельных проектирований. Для этого достаточно доказать, что, зная точки А, Б, С и их образы А', В', С, можно однозначно, причем независимо от композиции, определить образ М' любой точки Me а.

Пусть точка M принадлежит одной из прямых AB, ВС, CA, например, Me (AB) и AM = kMB. Так как при любой композиции параллельных проектирований, отображающей точки А, В, С на точки А', В', С, отрезок отображается на отрезок и сохраняется отношение длин параллельных отрезков, то точка M отображается на такую точку М' прямой А'В', что А'М' = kM'B'\ Этим равенство ММ7 определяется однозначно.

Если Me (AB) и Me (АС), то проведем через точку M прямые р II (AB) и q И (АС); р П (AB) = Р, q П (АС) = Q (рис. 5). Образы Р' и Q' точек Р и Q, согласно вышедоказанному, определяются однозначно. Образы р' и q' прямых р и q проходят соответственно через точки Р' и Q'. В силу сохранения параллельности при аффинном отображении р' || (ArВ') и <7'|| (А'С). М' = р' [\q' определяется однозначно. Теорема доказана.

Ясно, что проведенное доказательство имеет место и при а = а'.

Другие варианты введения и изучения аффинных преобразований с использованием параллельных проектирований имеются в работах [1], [2], [3].

Рис. 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Комиссарук А. М. Основы аффинной геометрии на плоскости. Минск, «Вышейшая школа», 1967.

2. Моденов П. С, Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М., Изд-во МГУ, 1961.

3. Яглом И. М., Ашкинузе В. Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии, ч. I. М., Учпедгиз, 1962.

4. Фирсов В. В., Шалимова К. И., Шварцбурд С. И. О факультативных занятиях по математике в 1975/76 учебном году в школах РСФСР. «Математика в школе», 1975, № 4.

Т. М. Корикова

(г. Ярославль)

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ АФИННЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

В школьном курсе геометрии изучению элементов векторной алгебры отводится значительное место. В дальнейшем полученные знания используются для доказательства отдельных теорем. Например, для доказательства свойств гомотетии в седьмом классе, признака перпендикулярности прямой и плоскости в девятом классе. Однако векторы также успешно можно применять и для решения разнообразных геометрических задач. При этом векторное решение задачи нередко оказывается более простым и изящным, чем традиционное, требующее применения различных искусственных приемов. Особенно эффективно решаются с помощью векторов стереометрические задачи.

В данной статье речь пойдет о решении аффинных стереометрических задач, т. е. таких задач, в которых рассматривается параллельность и отношение длин параллельных отрезков и не рассматривается вычисление длин отрезков и величин углов. Эта статья написана по материалам занятий, проведенных с учащимися 9-х классов ЮМШ при Ярославском пединституте. В ней мы рассмотрим доказательство теоремы о компланарности четырех точек и покажем ее применение для решения довольно сложных задач элементарной геометрии. Для доказательства этой теоремы требуется знание основных законов векторной алгебры и теорем о единственности разложения вектора по двум неколлинеарным в двумерном пространстве и трем некомпланарным в трехмерном. Все эти сведения хорошо известны девятикласснику.

Учебное пособие «Геометрия 9» знакомит нас с условием принадлежности трех точек одной прямой. Сформулируем его.

Теорема 1. Для того чтобы точки А, В и С, из которых А и Б различны, принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы ОС=аОА + ßCXB, где а и ß определяются однозначно и их сумма равна единице, точка О — произвольная.

Доказательство этого признака предлагаем провести самостоятельно.

Докажем условие принадлежности четырех точек одной плоскости. Отметим, что в доказательстве этих двух признаков много общего.

Теорема 2. Для того чтобы точки А, В, С и D, из которых А, Б, С не принадлежат одной прямой, принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы OD=aOA + ßOB + уОС, где а, ß, у определяются однозначно, а их сумма равна единице (точка О — произвольная).

Доказательство. 1) Достаточность.

Пусть имеет место равенство OD=aOA + $OB+yOC, а+ ß + Y=l. Из него находим, что OD=aOA-f-ßOß + (l—а — ß)OC = > OD—ОС = a (OA—OC) + ß (OB—ОС). Используя формулу вычитания векторов, запишем

CD=aCA + ßCB.

Из признака компланарности векторов следует, что векторы CD, CA, СВ компланарны. Следовательно, точки А, Б, С, D принадлежат одной плоскости. 2) Необходимость.

Если точки А, Б, С, D принадлежат одной плоскости, то векторы CA, СБ, CD компланарны. Поскольку точки А, Б и С не принадлежат одной прямой, то векторы CA и СБ некомпланарны, а тогда вектор CD компланарный с векторами CA и СБ можно представить в виде СД = аСА + ß • СБ, где а и ß определяются однозначно в силу единственности разложения.

Выбрав произвольную точку О и используя формулу для вычитания векторов, запишем полученное равенство через векторы OA, OB, ОС, OD.

Очевидно, что сумма коэффициентов при векторах OA, OB, ОС равна единице. Обозначим 1—а—ß через у, тогда получим, что OD=aOA+$OB+yOC, a + ß + Y = l, причем a, ß, у определяются однозначно.

Таким образом, требуемое равенство имеет место.

Если в равенстве OD=aOA+ßOB-{-(l—а—ß) ОС точки А, В, С фиксированы, а скаляры а и ß переменные, то имеем векторное уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В и С.

Для закрепления полученного результата рассмотрим несколько простых устных задач.

Задача 1. Выясните, принадлежат ли точки M, N, Р, Q, из которых M, N, Р не принадлежат одной прямой, одной плоскости, если имеет место следующее векторное равенство: OQ=20M+ZON—40Р, точка О — произвольная.

Задача 2. Выясните, при каких значениях переменного скаляра х точка M принадлежит плоскости треугольника ABC, если имеет место векторное равенство ОМ= =х2ОА—(2х + 1) OR—ОС, точка О — произвольная.

Задача 3. Дано векторное равенство ОМ=20А+(х + г/)Ху(ОВ + (х—у)ОС, точка О — произвольная. При каких значениях X и у точки М, А, В, С, из которых А, В, С не принадлежат одной прямой, принадлежат одной плоскости.

Доказанную теорему можно эффективно использовать для решения некоторых аффинных задач стереометрии. Для иллюстрации рассмотрим подробное решение некоторых из них.

Задача 4. Через вершину Ci параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проведена плоскость а, пересекающая прямые АА\, AD и AB соответственно в точках A0,r D0, В(). Докажите, что —- — —; -f —- = 1.

Решение. В условии задачи требуется показать зависимость между отношениями трех пар сонаправленных векторов, отложенных от точки А, поэтому выберем векторы AB, AD, АА\ за основные. Тогда условие задачи можно записать следующим образом, выразив векторы, участвующие в решении, через основные

[ACi] —диагональ параллелепипеда

Итак, мы имеем два разложения вектора АС\ по трем некомпланарным векторам AB, AD, АА\. Учитывая, что AA0=iiAA\, ABo=kAB, AD0 = vAD, второе разложение вектора АС\ можно записать так:

Отсюда имеем

В силу единственности разложения вектора по трем некомпланарным векторам, коэффициенты разложения при векторах AB, AD, АА\ соответственно равны. Отсюда можно записать следующую систему зависимостей между скалярами ß, 7, X, \i, v:

Таким образом,

Решение задачи в данном случае позволяет увидеть обобщение. В рассмотренной задаче плоскость а проведена через вершину С\, принадлежащую диагонали АС\. Если же привести плоскость а, пересекающую прямые AB, AD, А А и через любую точку Со, отличную от А, диагонали АСХ, то сумма отношений пар коллинеарных векторов будет равно отношению-.

Ход рассуждений в решении задачи не изменится. Для иллюстрации возможного обобщения предлагаем самостоятельно найти решение такой задачи.

Задача 5. Дан параллелепипед АВСОА\В\С\0{. Через произвольную Со, отличную от А, прямой АС\ проведена плоскость а, пересекающая прямые AB, AD, АА{ соответственно в точках ßo, D0, А0. Докажите, что

Задача 6. Через центроид G тетраэдра ABCD проведена плоскость а, встречающая прямые DA, DB, DC соответственно в точках Z, M и N. Докажите, что

Замечание. Для решения этой задачи, а также для решения других задач потребуется понятия медианы тетраэдра и центроида тетраэдра.

Определение. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани.

Теорема: Медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины.

Точку пересечения медиан тетраэдра называют его центроидом. Для центроида G тетраэдра ABCD имеет место следующее векторное соотношение OG = ~(OA+OB + OC + OD), где О — произвольная точка.

Доказательство вышеуказанной теоремы можно найти в работе [2]. Учащимся, желающим более подробно ознакомиться с геометрией тетраэдра в векторном изложении, мы настоятельно рекомендуем познакомиться с работой [3].

Решение. Аналогично решению предыдущей задачи выберем некомпланарные векторы, отложенные от точки D, за основные: DA, DB, DC. Тогда условие задачи можно записать в виде следующей системы векторных равенств:

Точка G — центроид тетраэдра

Нетрудно заметить, что в полученной записи условия задачи имеется два разложения вектора DG по основным некомпланарным векторам DA, DB, DC.

Отсюда можно записать следующее векторное равенство:

В силу единственности разложения вектора по трем некомпланарным векторам, запишем соответствующую систему равенств коэффициентов при векторах DA, DB, DC.

Исключая скаляры к и f из полученной системы, окончательно будем иметь

Так же, как и в предыдущей задаче, условие этой задачи можно обобщить.

Задача 7. Через произвольную точку D0, отличную от D, медианы DG тетраэда ABCD проведена плоскость а, пересекающая ребра DA, DB, DC соответственно в точках L, M и N. Докажите, что —~ —- г —- - 4. ——, где и — центроид тетраэдра.

Задачи 4—6 заимствованы из учебного пособия [4] по факультативному курсу для учащихся 10-х классов. В пособии предлагается найти традиционное решение этих задач. В данном случае векторное решение нам кажется более естественным. Анализ условия задачи позволяет выде-

лить основные этапы решения: выделить векторы, принимаемые за основные, записать разложения векторов, участвующих в решении, по основным векторам, записать условие компланарности четырех точек, сравнить коэффициенты двух разложений. Следует также отметить, что векторное решение задачи совершенно не опирается на чертеж.

На традиционном способе решения этих задач мы здесь останавливаться не будем, так как его можно найти в вышеуказанной работе [4]. Отметим только, что при традиционном способе решения надо догадаться, какое дополнительное построение надо сделать. Кроме того, полное решение этих задач требует рассмотрения ряда частных случаев расположения секущей плоскости, а также решения дополнительных планиметрических задач.

Следующая интересная задача является аналогом теоремы Менелая для треугольников. Дадим формулировку этой теоремы.

На сторонах ВС, CA, AB треугольника ABC даны соответственно точки Au В\, Ci. Для того чтобы эти точки принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство этой теоремы предлагаем найти самостоятельно. Здесь мы рассмотрим доказательство аналогичного предложения для произвольной замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев.

Задача 8. На сторонах А\А2, А2А3, А3А4, А$А\ неплоской замкнутой ломаной из четырех звеньев взяты точки Mi, М2, М3, М4, делящие эти стороны в отношениях а, ß, у, ô соответственно. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы a-ß-y •0 = 1.

Решение. По условию точки А\, А2, А3, Ал некомпланарны, а значит векторы А4А{, AiA2, А4А3 также не-

компланарны. Выберем эти векторы за основные. Используя векторную формулу для точки, делящей отрезок в данном отношении, выразим векторы А4М1, А4М2, А4М3, АаМ± через основные:

Согласно теореме 2, для того чтобы точки М\, М2, М3, М4 принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы имело место следующее векторное равенство:

Учитывая соотношения, полученные для векторов AJMLu А4М2, А4М3, выразим А4М4 через основные:

Но с другой стороны,

Отсюда можно записать такое векторное равенство:

В силу единственности разложения, коэффициенты при векторах А4А1, А4А2, А4А3 соответственно равны:

Исключая скаляры X и \х из полученной системы уравнений, окончательно будем иметь сфуб = 1, что и требовалось доказать.

В заключение предлагаем задачи для самостоятельного решения.

Задача 9. Через вершины А\, В, D параллелепипеда ABCDAXB\C\D\ проведена плоскость а. Вычислите отношение, в котором эта плоскость делит отрезок AL, если L — середина ребра В\С\.

Задача 10. Через середины М\ и М2 ребер DA и DB тетраэдра ABCD и точку С проведена плоскость а. Вычислите отношение, в котором эта плоскость делит медиану, проведенную через вершину D.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9. М., «Просвещение», 1975 г.

2. Майоров В. М., Скопец З. А. Векторное решение геометрических задач. М., «Просвещение», 1)968 г.

3. Скопец З. А., Понарин Я. П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974 г.

4. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся X классов. Сборник статей. Составитель 3. А. Скопец. М., «Просвещение», 1974 г.

С. Б. Каток

В МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Математические кружки для школьников принято начинать с пятого—шестого класса. Мне представляется, что внеклассные занятия со школьниками можно начинать уже с первого класса, и мой трехлетний опыт занятий математикой с детьми 7—9 лет в детском клубе «Орленок» Дома культуры МГУ, о котором я собираюсь здесь рассказать, укрепил меня в этом мнении.

Занятия проводились 1 раз в неделю. Продолжительность занятия — полтора часа (два урока с переменой). Количество участников — 8—10 детей.

На первых уроках мы разбирали различные, обычно независимые друг от друга темы. В течение первого года мы занимались последовательно четырьмя темами: «Делимость чисел и остатки», «Позиционные системы счисления», «Геометрия», «Симметрия». В течение второго года мы разбирали, в частности, темы «Многогранники и теорема Эйлера», «Площади многоугольников на клетчатой бумаге». Продолжительность каждой темы — 8—9 занятий. Относительно частая смена тем, во-первых, не дает угаснуть у ребят интересу к занятиям, а во-вторых, позволяет новым участникам включиться в работу в середине года, что также оживляет работу. Занятие происходит в основном в форме моего диалога с ребятами (это хорошо видно из приведенного ниже конспекта). Даже объяснение нового я стараюсь построить в виде серии вопросов к ребятам. После того, как вопрос решен и обсужден, иногда приходится сделать краткое резюме.

То, что происходит после перемены и что я условно называю словом «игры», я буду специально обсуждать ниже. Игры могут перемежаться просто задачами, для фор-

мулировки и решения которых не нужно никаких теорий (типа олимпиадных). При размышлении над такими задачами, как и над играми, дети учатся логически мыслить, рассуждать, начинают понимать, что значит «доказать». В этой связи мне хочется отметить, что мы еще слабо знаем возможности 7—8-летних детей и часто их преуменьшаем.

Первой темой, которая разбиралась на нашем кружке, была тема «Делимость чисел и остатки». Остановлюсь на том, почему была выбрана эта тема. Во-первых, здесь не требуется умения хорошо считать (достаточно уметь складывать и вычитать в пределах 10—20) и поэтому все ребята, и умеющие хорошо считать, и не умеющие, находятся в равном положении. Это особенно важно, если давать эту тему в первом классе. Во-вторых, она позволяет взглянуть с новой точки зрения на основные свойства чисел, с которыми дети знакомятся в школе (десятичный состав числа, четность и так далее), это, конечно, становится актуальным, если давать эту тему во втором или третьем классе. Когда в школе идет речь о делении натуральных чисел (я сейчас не говорю о дробях), то обычно интересуются вычислением частного, а остаток, если таковой имеется, воспринимается как нечто второстепенное, мешающее «настоящему делению». Знакомство с этой темой поможет детям правильно оценить смысл и значение остатков. В-третьих, эту тему легко иллюстрировать наглядными примерами (часы, календари, нумерация квартир в многоэтажных домах), о которых дети уже имеют представление в силу своего общего развития. И, наконец, у этой темы есть неожиданные и эффектные «приложения». Действительно, разве не заманчиво, к примеру, научиться быстро определять, на какой день недели попадает определенное число в любом году, ведь это редкий взрослый умеет!

Сначала обсуждалась нумерация квартир в «(многоэтажных домах ». Мы начали с дома, на каждом этаже которого 10 квартир. Ребятам давалась незаполненная «таблица-дом» (рис. 1), которую надо было заполнять постепенно, по мере нахождения места отдельных квартир. При этом детям задавались вопросы такого типа:

— На каком этаже находится кв. № 48?

— Какие квартиры соседние с кв. № 55?

— Какая квартира находится на 6 этаже над квартирой № 3? Такой дом является хорошей иллюстрацией для повторения нумерации и десятичного состава числа. Далее рассматривался дом, на каждом этаже которого всего по 2 квартиры (см. рис. 2).

Чем отличаются номера квартир, стоящих в двух столбцах? Оказывается, что над кв. № 1 стоят квартиры с нечетными номерами, а над квартирой № 2—квартиры с четными номерами. На этом простом примере (деление на 2) удобно

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

объяснить детям, что такое деление с остатком (или напомнить, если они уже это знают), затем уже перейти к более сложному примеру, изображенному на рис. 3. Дети сначала заполнили несколько первых строчек таблицы, а затем я предложила им выяснить, что общего у чисел, стоящих в одном столбце, и чем отличаются числа, стоящие в разных столбцах. На этом этапе дети поняли, что номера квартир, стоящих друг над другом, дают одинаковые остатки при делении на число, равное числу квартир на каждом этаже.

Далее рассматривались календари. Числа месяцев записывались в виде таблицы с семью столбцами, соответствующими дням недели. Понедельники, вторники и т. д. (конечно, в пределах одного месяца) дают одинаковые остатки при делении на 7.

Предлагаю вниманию читателей запись (конспект) первого урока 5-го занятия с некоторыми комментариями.

На занятии присутствует Лена, Стасик, Денис, Юра, Миша и Наташа. Обсуждается вопрос о закономерностях в календарях. Разбирается домашнее задание.

С. Б. Какой остаток при делении на 7 дают воскресенья декабря 1973 года?

Денис, Лена, Юра. 2.

С. Б. А воскресенья января 1974 года?

Дети*). 6.

С Б. Юра! Какой день 1 января? Юра. Вторник.

С. Б. На чистом листе нарисуйте нашу таблицу-календарь. (Дети рисуют, при этом Лена начинает рисовать таблицу с 11 столбцами).

С. Б. Лена! Ты увлеклась. Сколько должно быть колонок в таблице?

Денис. 7.

С. Б. Какой следующий месяц после января?

Дети. Февраль!

С. Б. Сколько дней в январе?

Дети. 31 день (не очень уверенно).

С. Б. Правильно. Каким образом можно узнать, каким днем недели будет 1 февраля?

Денис. Можно написать все воскресенья.

С. Б. А не проще ли написать все вторники, ведь 1 января — вторник? Заполняйте таблицу!

*) Обычно на простые вопросы отвечают сразу несколько ребят.

(Юра, тем не менее, заполняет таблицу подряд).

С. Б. Юра! Ты напрасно записываешь все числа подряд. Мы ведь решили заполнить столбик вторников. (Пауза.) Какой последний вторник?

Стасик. 29-е.

С. Б. Сколько вы прибавляли? Дети. 7.

С. Б. Каким днем недели будет 1 февраля? Денис. Пятницей.

С. Б. А каким днем недели будет 1 марта? (Небольшая пауза.) С. Б. Какие клеточки нужно дальше заполнять, чтобы удобнее дойти до 1 марта?

Лена. Пятницы! (Дети заполняют столбик пятниц). С. Б. А будет в 1974-м году 29 февраля? Наташа. Нет, ведь это год невисокосный. Лена. 1 марта — пятница!

С. Б. Как вы думаете, почему так получилось? Посмотрите, если в месяце 31 день, то 1 число следующего месяца попадает на другой день недели, а в феврале 28 дней, и 1 марта попадает на тот же день недели, что и 1 февраля. (Все молчат, прямой вопрос оказался слишком трудным.)

С. Б. Сколько дней пройдет между 1 февраля и 1 марта? Денис. 28 дней.

С. Б. А сколько недель в феврале? (Детям неясно, что 28 делится на 7, они ведь еще не знают таблицы умножения. Чтобы это стало понятно, предлагаю посчитать, сколько дней в двух, трех, четырех неделях).

Наташа. В феврале ровно 4 недели, поэтому 1 марта попадает тоже на пятницу.

Денис. Тогда остаток от деления 28 на 7 — 0.

С. Б. Правильно. А какой остаток дает число 31 при делении на 7?

Лена. Остаток 3.

С. Б. А 30 какой дает остаток?

Лена. 2.

С. Б. Теперь уже видно, как двигается первое число по нашей таблице. Так как в январе 31 день, то первое число сдвигается на три клетки со вторника на пятницу. А сколько дней в марте?

Денис. 31 день. (Он единственный твердо помнит, сколько дней в каком месяце).

С. Б. Каким днем недели будет 1 апреля? (Опять пауза, все думают.)

С. Б. 1 марта — пятница, и в марте 31 день. На сколько клеточек нужно сдвинуться, если в месяце 31 день? Посмотрите, в январе тоже 31 день, и первое число сдвинулось со вторника на пятницу.

Лена. На 3 дня!

Денис. Значит и в марте на 3 дня! 1 апреля — понедельник!

С. Б. Как это получилось? Таблица кончилась, как же нам сдвинуться на 3 клеточки вправо? Давайте заполним март. По каким дням будем заполнять таблицу?

Денис. По пятницам и в конце свернуть.

С. Б. 29 марта — пятница, а дальше?

Наташа. 30 марта — суббота.

С. Б. А 31-е?

Дети. Воскресенье!

С. Б. А 1 апреля, как правильно сказал Денис, — понедельник. Задание на дом: какими днями недели будут первые числа всех двенадцати месяцев 1974 года.

На рис. 4 изображены специальные «часы», которые помогают определять, на какие дни недели попадают различные числа. Циферблат поделен на 7 равных частей, а единственная стрелка передвигается за сутки на одно деление по часовой стрелке. Дни недели обозначены римскими цифрами (I — понедельник, II — вторник и т. д.). Можно изготовить модель таких часов, но достаточно просто нарисовать из на доске. Если сегодня вторник (II), и мы хотим узнать, какой день недели будет через 6 дней, передвинем стрелку с деления II на 6 делений по часовой стрелке; мы попадем на понедельник (I). Это можно записать следующим «равенством»: 11+6 = 1, здесь арабская цифра показывает, на сколько делений надо сдвинуться. Если же нам надо сдвинуться на число делений, большее 7,

Рис. 4.

(скажем, 18), достаточно сдвинуться на число делений, равное остатку от деления этого числа на 7 (в данном случае 4), результат будет один и тот же. Это соображение наглядно иллюстрируется «часами» и хорошо понимается детьми. Следующая задача: 1 января — вторник, куда сдвинется стрелка ровно через год (невисокосный). Для решения этой задачи ребята выяснили, куда будет сдвигаться стрелка при прохождении каждого месяца, при этом возникло следующее «равенство»:

11+3+0+3+2 + 3 + 2 + 3 + 3+2+3 + 2 + 3 = 11+29=11+1=111

Итак, за невисокосный год стрелка сдвинется на I деление по часовой стрелке. Вопрос: какое изменение появится в равенстве, приведенном выше, для високосного года, и на сколько делений сдвинется стрелка за високосный год? Аналогично, для прошлых лет надо сдвигаться против часовой стрелки. На дом было дано такое практическое задание: каждый должен определить, в какой день недели он родился и в какой день недели у него будет день рождения в этом году. При обсуждении этого вопроса на нашем кружке возникла следующая любопытная ситуация. Миша родился 7 октября 1967 г. в субботу, а в 1974 году

у него день рождения в понедельник. Люда родилась 21 января 1967 года, а в 1974 году у нее день рождения тоже в понедельник. Приведу выдержку из конспекта соответствующего занятия.

С. Б. Как вы думаете, каким днем недели было 21 января 1967 г.?

Митя. Это была суббота. Раз у Миши в этом году день рождения в понедельник и у Люды в понедельник, и раз им одинаковое число лет, то Люда тоже родилась в субботу.

С. Б. Ответ у тебя получился верный, но рассуждение не совсем верное, тебе повезло, что 1967 год невисокосный. Как вы думаете, у Миши и Люды всегда день рождения в один день? (Мнения расходятся.)

С. Б. Мы с вами уже установили, что в 1973 году у Миши день рождения в воскресенье, а у Люды?

Леня. Тоже в воскресенье.

С. Б. Почему?

Леня. Потому, что 1973 год невисокосный.

С. Б. Правильно, а какие годы были високосные?

Миша. 1972-й и 1968-й.

С. Б. Верно. Лишний день добавляется, если при прохождении года мы проходим через 29 февраля високосного года. Посмотрите, что будет в 1972 году.

Митя. У Миши день рождения в субботу, а у Люды — в пятницу, потому что у Люды мы проходим через 2/9 февраля 1972 года, а у Миши — нет, ведь мы двигаемся назад, и январь получается после 29 февраля, а октябрь — до.

С. Б. Правильно! А в 1971 году?

Миша. У меня в четверг — на 2 дня, и у Люды в четверг — на 1 день.

Митя. В високосные годы у них дни рождения не в один день, а в невисокосные — в один.

«Равенство» 11+6 = 1, получающееся при работе с нашими часами, если его переписать арабскими цифрами 2 + 6=1 становится неверным, но зато верным будет следующее утверждение: 2+6 дает остаток I при делении на 7. В теории чисел (высшей арифметике) для такого утверждения принята запись

2+6 =1 (mod 7),

которую можно считать «исправлением» нашего неверного неравенства. Числа, дающие одинаковые остатки при делении на определенное число, называемое модулем (в нашем случае это число 7), называют сравнимыми по этому модулю. Запись 8=1 (mod 7) можно прочесть и так: «8 сравнимо с 1 по модулю 7». Детям не обязательно давать такую запись, можно предложить упрощенный вариант: 8 = 1 (7) или 8 ост 1 (7).

После перемен характер занятия меняется. Основное содержание вторых уроков составляют «игры». В качестве характерного примера я приведу самую первую игру.

Игра 1. Имеются две кучи орехов. Двое игроков по очереди берут любое количество орехов из какой-либо одной кучи. Выигрывает тот, кто возьмет последний орех.

Эта игра, так же как и все другие игры, которые я предлагала, имеет простое «решение». Это означает, что как бы ни ходил один из участников, другой может так подбирать ходы, что выигрыш останется за ним. В этой игре такое решение состоит в следующем. Если в кучах неравное количество орехов, то выигрывает первый, он сначала должен взять из большей кучи столько орехов, чтобы орехов стало поровну, а затем брать столько же, сколько возьмет противник, но из другой кучи. Таким образом, после каждого хода начинающего игрока остаются две равные кучи орехов, и последний орех останется за ним. Очевидно, что в игре с двумя равными кучами орехов выигрывает второй игрок, если он будет придерживаться описанной выше стратегии.

Сначала дети просто играют в предложенную игру, и это доставляет им массу удовольствия. Потом им удается сделать некоторые частичные наблюдения. Например, в этой игре первое такое наблюдение состояло в том, что участник, перед ходом которого в каждой куче остается по одному ореху, проигрывает. После этого уже было нетрудно догадаться, что игрок, который может одним ходом поставить своего противника в такое положение, выигрывает, т. е. положение, при котором в одной куче 1 орех, а в другой — больше, является выигрышным для игрока, делающего очередной ход. С другой стороны, ход, при котором игрок берет какую-либо кучу целиком, очевидно, будет для него проигрышным. После этого игра была задана на дом. Дома дети играли со своими родителями, друзьями, и на следующем занятии уже многие ребята знали, как надо играть, чтобы выиграть, но не все из умеющих были в состоянии сформулировать «решение» игры. Интересно, что когда игра уже обсуждена и «секрет» ее раскрыт, многие ребята все равно хотят сыграть. А вдруг партнер ошибется? Большинство детей понимает, что в игре, где при правильной стратегии выигрывает первый, в случае

ошибки первого игрока инициатива и выигрыш переходят ко второму игроку. «Игры» пользуются большим успехом у ребят, каждая новая игра встречается с большим энтузиазмом. Я старалась подбирать некоторые игры так, чтобы их решения были связаны с содержанием темы, разбираемой на первых уроках. В этом случае на одном из следующих занятий «теория» игры уже может перекочевать в первую, теоретическую часть занятия, а после перерыва появится новая игра. Вся трудность заключается в подборе игр, однако я очень рекомендую эту форму, особенно в первые месяцы занятий, когда нужно привлечь и заинтересовать ребят. Идея стратегии начинающего игрока в игре 1 состоит в том, что он после первого ключевого хода должен делать ходы, как бы «симметричные» ходам противника. Эта идея встречается в другой игре, совсем не похожей по условию на эту. (Я провожу сейчас игры не в хронологическом порядке).

Игра 2. Двое игроков по очереди кладут на прямоугольный стол одинаковые монеты. Выигрывает тот, кто положит последнюю монету. (Монеты не могут налегать друг на друга и их нельзя сдвигать).

История нахождения детьми алгоритма этой, в общем значительно более трудной, чем предыдущая, игры такова. После некоторого числа неудачных идей (ставить монеты как можно плотнее друг к другу и т. д.) была подана, наконец, верная идея первого хода.

Юра. Надо поставить монету в центр! С. Б. Какова дальнейшая стратегия?

Лена. Надо класть монету так же, как противник, но с другой стороны стола (имеется в виду симметрия относительно вертикальной прямой, проходящей через центр стола).

Рис. б.

С. Б. В рассуждении Лены есть слабое место: если монета противника будет заходить за полосу, нарисованную на рис. 5, то начинающий не сможет воспользоваться методом Лены. Но на этом пути можно получить правильную стратегию. (Молчание. Через две минуты выходит к доске Юра и показывает:

(симметрия относительно центра!) Секрет игры разгадан! Кого после этого считать автором решения?)

Хочу отметить, что тема «Симметрия» еще не начиналась на основной части занятий.

Следующая игра близко примыкает к теме «Делимость чисел и остатки», которую мы разбирали в это же время.

Игра 3. Первый игрок называет число от 1 до 9, второй прибавляет к нему число от 1 до 9 и называет сумму, первый снова прибавляет к этой сумме число от 1 до 9 и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 96.

Через два занятия Денис, Лена и Юра уже поняли, как играть в такие игры.

Лена. Для того, чтобы назвать выигрыш, надо назвать число, на 10 меньшее, чем выигрыш, а перед этим — число, на 10 меньшее этого числа. Значит сначала надо назвать число, равное числу единиц выигрыша (если играть до 96, то 6), а затем дополнять число, которое прибавляет противник, до 10.

Усложненный вариант этой игры состоит в том, что можно прибавлять числа не от 1 до 9, а, скажем, от 1 до 5. Здесь решение формулируется с помощью остатков, но с такими вещами дети тоже справляются. Разбирается такая игра до 37.

Рис. 6.

С. Б. С какого числа нужно начинать игру? Дети. С 1!

С. Б. Как объяснить?

Юра. Найти остаток от деления 37 на...6.

С. Б. А если выигрыш делится на 6, то кто выигрывает?

Дети. Второй.

С. Б. Как ему играть?

Юра. Дополнять до 6.

Ю. В. Ломакин, С. А. Козырева, Г. А. Соколова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОГОНЬКИ

Формирование личности школьника происходит в различных видах деятельности: учебной, трудовой, общественной и игровой. Каждая из них имеет свои особенности и возможности, причем на разных этапах обучения, для различных возрастов различные.

Игры — один из основных видов деятельности и важнейшее средство воспитания детей.

Игра — это осмысленная деятельность, мотив которой лежит в самой деятельности. Она не связана с необходимостью, участие в ней определяется желанием.

Дидактические игры являются одним из действенных средств умственного воспитания детей. Они уточняют знания детей о предметах и явлениях окружающей жизни, развивают сообразительность, смекалку, речь. «В детском возрасте игра — это норма. И ребенок должен всегда играть, даже когда делает серьезное дело» [6].

Основные положения теории игровой деятельности были сформулированы и разработаны классиками русской и советской педагогики К. Д. Ушинским, Д. И. Писаревым, Н. К. Крупской, А. С. Макаренко. Большое значение придавали играм Крупская Н. К. и Макаренко А. С.

А. С. Макаренко писал: «Игра обязательно должна присутствовать в детском коллективе. Детский коллектив не играющий не будет настоящим детским коллективом... Игру в серьезной школьной организации не всегда применяем. Мы считаем, что ребенок должен поиграть и игрушек у нас сколько угодно, но в то же время мы почему-то убеждены, что для игры должно быть какое-то отдельное место, и этим все участие игры в воспитании ограничива-

ется. А я утверждаю, что детская организация должна быть пропитана игрой. Учтите, что речь идет о детском возрасте, у него есть потребность в игре и ее нужно удовлетворить, и не потому, что делу время, потехе час, а потому, что как ребенок играет, так он будет и работать. И я был сторонником того, что вся организация детского коллектива должна быть проникнута этой игрой, а мы, педагоги, должны в этой игре принимать участие» [6].

Все его высказывания относительно игры пронизаны основной идеей о том, что игра является важным средством коммунистического воспитания.

На игру нужно смотреть, как на вид преобразующей деятельности. И только при таком подходе к пониманию игры можно правильно оценить ее значение и роль, говорить о возможности использования ее в образовательной деятельности.

Под игровым понимается занятие, включающее элементы игры или содержащее игровую ситуацию.

Известно, что дети проявляют большой интерес к проводимым играм. Даже самые пассивные из них включаются в игру с особым желанием, прилагая все свои силы, чтобы не подвести товарищей по игре. Непоседливые и озорные замирают и следят за игрой, переживая все неудачи своей команды и приходят в восторг от удач игроков.

Во время любой игры дети очень внимательны, сосредоточенны и дисциплинированны, так как, во-первых, им необходимо четко соблюдать правила игры, во-вторых, малейший шум может помешать дать игроку правильный ответ. В 4—5-х классах успехом пользуются такие дидактические игры, как эстафеты, викторины, различные путешествия. Все эти игры мы проводим на занятиях клуба «Математический огонек».

Этот клуб при нашем институте работает уже второй год. Цель его занятий — развитие интереса к математике, организация полезного досуга ребят, расширение их математического кругозора.

Занятия клуба «Математический огонек» проводятся 2 раза в месяц. По каждой теме первое занятие проводится в институте для ребят близлежащих школ, а затем эти занятия проводятся в остальных школах. При такой си-

стеме проведения занятий мы видим все свои недочеты и перед выходом в школы стараемся их исправить.

В 1974/75 учебном году занятия проводились в 29 классах 15 школ города. В работе клуба было занято 30 студентов отделения математики. В этом учебном году занятия проводятся в 32 классах 18 школ города. А в работе клуба в этом году уже занято 47 студентов. Игровой элемент присутствует на каждом занятии нашего клуба. Разработано в 1974/75 учебном году 14, проведено 210 занятий клуба «Математический огонек», а в 1975/76 учебном году разработано 28, проведено 252 занятия клуба, а планируется провести за этот год 500 занятий.

Большинство игр, которые мы используем в «Математических огоньках», носит обучающий характер. Цель каждого набора задач для игры — закрепление школьного материала, углубление и расширение математического кругозора, развитие интереса к математике.

С другой стороны, мы всегда должны помнить, что на занятиях «огоньков» сидят и любители математики и «троечники». Это нас радует, и, чтобы «сохранить» всех Желающих, приходится тщательно составлять наборы заданий, учитывая индивидуальные особенности детей. Студентам приходится по несколько раз перелистывать страницы школьного учебника и других методических пособий, просматривать журналы «Пионер», «Квант», «Математика в школе» и другие.

Студенты совершенствуют имеющиеся дидактические игры и создают новые, готовят раздаточный материал, продумывают оформление аудитории и т. д.

После проведения занятия со школьниками идет его методический разбор. Еще раз анализируется проделанная работа, отмечаются методические удачи и неудачи. Такая система подготовки студентов дает возможность проводить занятия на достаточно высоком методическом уровне, осуществлять экспериментальную проверку их собственных методических разработок.

Следует отметить увлеченность работой и творческую активность студентов. Желающих вести «Математические огоньки» не приходится искать.

Анализ работы нашего клуба позволяет сделать вывод о жизненности выбранной внеаудиторной формы подготов-

ки студентов к практической деятельности и доступности ее для педагогических институтов. Она не только готовит студентов к работе с учащимися всех категорий, но и способствует воспитанию личности будущего учителя.

Работа в таком клубе является одной из форм профессиональной подготовки студентов:

1. Студенты учатся владеть школьной аудиторией, ставить вопросы, организовывать детей.

2. Работая с различной литературой, учатся отбирать теоретический материал на 45 минут, составлять наборы заданий развивающего и обучающего характера, что так необходимо для дополнительных занятий в школе.

3. Приобретают навыки индивидуальной работы с учениками.

4. Клуб является большим подспорьем в научно-педагогической работе студентов, в развитии их творческого методического мышления.

Разработано по 14 тем «огоньков» для учащихся 4 и 5 классов. Приведем тематику занятий клуба «Математический огонек», проводимых студентами Вологодского пединститута.

4-й класс

1. Как люди научились считать. История возникновения устной и письменной нумерации. Игра «Лото».

Решение задач по макету месов.

2. Римская и славянская нумерация. Игра «Лото». Диаграмма. Решение задач с помощью диаграмм.

3. Игра «Математические следопыты».

4. Числа-малютки и числа-великаны. Математические барьеры.

5. Магницкий и его арифметика. Игра «Математическая охота».

6. Игра «Математический поезд».

7. Игра «Лабиринт чисел».

8. «Без воды ни туды и ни сюды» (Задача на переливание).

«Кто ушел без шляпы?» (Бесконечные множества).

9. «Весы и монеты».

10. Пеппи на уроке. Игра «Математическое домино».

11. Арифметические ребусы.

12. Простейшие графы.

13. Десятичная и двоичная системы счисления.

14. Решение задач из журнала «Пионер».

5-й класс

1. Математическая библиотека. Арифметические ребусы. Игра «Математические тяжеловесы».

2. История возникновения дробей. Решение исторических задач. Игра «Математическая рыбалка».

3. Старинные русские меры длины, площади, веса. Игра «Лабиринт фигур».

4. Путешествие в царство «Смекалки».

5. Математика туриста. Решение задач повышенной трудности.

6. Математические тяжеловесы. «В мире птиц и животных».

7. Измерение площадей и объемов. Игра «Математик измеряет».

8. Путешествие в сказку.

9. Геометрические головоломки со спичками.

10. Софизмы.

11. Разбиение фигур на части.

12. Делимость чисел.

13. Геометрия на каждом шагу. Экскурс в природу. «Одним росчерком».

14. Экскурсия в музей «Системы счисления».

Приведем разработки нескольких математических огоньков.

1. Пеппи на уроке. Игра «арифметическое домино».

Многие из вас, ребята, уже знакомы с девятилетней девочкой Пеппи, героиней повести шведской писательницы Астрид Линдгрен «Пеппи — Длинный Чулок». Вот Пеппи впервые пришла в школу, вернее, не пришла, а приехала на своей лошади.

«Давай посмотрим, что ты знаешь»,— сказала ей учительница. «Ты уже большая девочка и, наверное, многое умеешь. Начнем с арифметики. Скажи, пожалуйста, Пеппи, сколько будет, если к 6 прибавить 5?»

— 10, так как 6=5.

— Почему 6 = 5?

и Пеппи написала на доске следующее доказательство:

35—20—15 = 42—24—18 5 (7—4—3)=6 (7—4—3)

Разделим обе части на (7—4—3). И получим 5 = 6,

— А сколько будет, если 2:2?

— Получится 2.

2:2=2(1:1)=21=2

— А что ты еще знаешь?

— Я знаю, что каждое число равно своей удвоенной величине. Например, 5=10.

52—52 = 52—52

5(5—5)=(5—5).(5+5)

Разделим обе части на (5—5). Получим 5=5+5, 5=10.

Ребята, как вы считаете, Пеппи на самом деле права? Конечно нет. Но где тогда ошибки в ее доказательствах? Давайте попробуем найти их.

В двух случаях мы делим на нуль: (7—4—3) и (5—5) А нуль делить нельзя. В задаче 2:2=2 неправильно применен распределительный закон относительно деления.

Ну вот, ошибки в доказательствах Пеппи мы нашли. А ведь на первый взгляд может показаться, что эти доказательства были совершенно правильными. А заставляет задуматься над этими доказательствами только то, что доказывала Пеппи невозможные вещи. И вот такие, заведомо неверные утверждения, формально кажущиеся правильными, называются софизмами. Решить софизм — значит разыскать ошибку, допущенную в доказательстве. А нахождение ошибки основано на знании основных правил математики.

Давайте решим еще несколько софизмов. Я докажу, что любое число равно любому другому числу, например,. 11=21, а ваша задача — найти ошибку.

11 — 11=21—21; 11(1—1)=21(1—1)

Разделим обе части на (1—1) и получим 11=21. А сейчас я вам докажу, что в течение целого года вам почти некогда учиться в школе. В году 365 дней, из них

52 воскресных и около 10 других дней отдыха. Летние и зимние каникулы продолжаются не менее 100 дней. Ночью в школу не ходят, а ночи составляют половину года, следовательно, еще 183 дня отпадают. Остается 20 дней. Но ведь не весь день проводятся занятия, а не больше четверти дня, поэтому еще 15 дней отпадают. Остается всего-навсего 5 учебных дней. Многому ли тут можно научиться? Где же здесь допущена ошибка? Ведь не может же быть, чтобы вы на самом деле учились в году только 5 дней?

(Ночи, воскресенья и др. мы сосчитали несколько раз).

Для наглядности доказательства, которые приводила Пеппи, можно оформить на отдельных плакатах.

Игра «Арифметическое домино».

Карточки для арифметического домино делаются из плотного картона. Размеры карточки: длина четыре сантиметра, ширина полтора — два сантиметра. Правила игры почти такие же, как и в обычном домино. Играют четверо. Первый раз начинает игру тот, у кого окажется карточка с самым большим числом (рис. 1).

Рис. 1.

Рис. 2.

К выставленной карточке очередной игрок может приставить свою карточку или справа, или слева—по своему желанию. Если у игрока нет карточки, которую он мог бы приставить к цепочке карточек справа или слева, то он уступает очередь следующему игроку. Выигрывает тот, кто первым выставит все свои карточки. Второй раз игру начинает победитель. Число карточек может быть любым. В качестве примера приводим шесть карточек (рис. 2).

2. Экскурсия в музей «Системы счисления»

Сегодня мы с вами на занятии побываем в музее «Систем счисления». Это необычный музей. Сегодня мы посетим только два зала этого музея. В первом зале нашим экскурсоводом будет число 10. Давайте послушаем его рассказ о том, что помещено в этом зале.

Здесь находится позиционная система счисления. Это та система счисления, которой мы обычно пользуемся. Ее называют позиционной потому, что каждый из знаков, обозначающих каждое натуральное число, имеет различное значение в зависимости от того места, какое оно занимает— его позиция. Например, каждая цифра в числе 222 имеет различное числовое значение: первая слева обозначает 2 сотни, вторая — 2 десятка, третья — 2 единицы, т. е. 222=2 100+2 10+2.

Для сравнения приведем число в непозиционной системе счисления, например, XXVIII.

За основание нашей системы принято число 10. В ней для написания всех чисел употребляются только десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

На стендах зала висят плакаты с примерами на разложение по разрядам. Давайте решим один из них:

3899=3-1000+8- 100+9 10 + 9

А сейчас мы с вами перейдем в следующий зал. Экскурсоводом в этом зале является цифра пять. Свой рассказ она начала автобиографией одного математика:

«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год 100-летним молодым человеком я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте, всего 11 лет способствовала тому, что мы жили общими

интересами и мечтами. Спустя уже немного лет у меня была и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц».

Давайте попытаемся разобраться в этой странной автобиографии. Секрет ее выдается фразой: «Спустя год (после 44 лет) 100-летним молодым человеком». Если от прибавления одной единицы число 44 превратилось в 100, то значит цифра 4 — наибольшая в этой системе, как 9 в десятичной. Следовательно, основанием этой системы является цифра пять. В ней единица высшего разряда не в десять, а в пять раз больше единицы низшего разряда. На первом справа месте стоят в ней простые единицы, не больше четырех, на втором месте не десятки, а пятерки, на третьем не сотни, а двадцатипятерки. Эта удивительная система называется пятеричной, так как в этой системе пользуются пятью цифрами. Оказывается, можно считать не только десятками, но и двойками, тройками и т. д. Если считать двойками, то система будет называться двоичной.

Пусть нужно число 11, написанное в десятичной системе, перевести в пятеричную. Для этого надо 11 разделить на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда. 11:5=2 (ост. 1). Значит число простых единиц — 1. Двойка, стоящая в частном, будет стоять во втором разряде, значит число 11 в пятеричной системе запишется следующим образом: 21.

Теперь изобразим число 119 в пятеричной системе: 119:5 = 23 (ост. 4). Число простых единиц равно 4. Далее 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, т. к. высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц стоять в одном разряде не должно.

23:5=4 (ост. 3).

Это показывает, что во втором разряде пятерок будет цифра 3, а в третьем двадцатипятерок — 4.

119=4-25+3-5+4, т. е. 119=4345.

Давайте потренируемся в переводе чисел из десятичной системы в пятеричную:

361, 36, 125.

А теперь попробуем перевести цифры, написанные в пятеричной системе, в десятичную:

135 = 1-5+3=8.

Цифры, находящиеся в автобиографии, давайте переведем в десятичную систему:

445=4-5+4=24,

1005=1-25 + 0-5 + 0=25,

345=3-5+4=19,

115 = 1-5 + 1=6,

Ю5=1-5+0=5,

2005 = 2-25 + 0-5+0 = 50,

1305=1-25 +3-5 + 0 = 40.

3. Путешествие в сказку

Сегодня к нам пришло приглашение от старика Хоттабыча, в котором он приглашает совершить нас путешествие в страну сказки. Письмо:

«Дорогие ребята!

Сегодня я приглашаю всех тех, кто в одинаковой мере любит сказку и математику, совершить увлекательное путешествие. На вашем пути будут, конечно, встречаться трудности и преграды, которые вы должны преодолеть. За вами я посылаю ковер-самолет, который сможет подняться лишь в том случае, если вы ответите на следующий вопрос: как записать число 1000: тремя десятками, семью единицами; пятью девятками? Желаю вам приятного путешествия! С нетерпением жду встречи с вами.

Ваш старик Хоттабыч.»

(Задачу решают все вместе).

Ну вот, посадка на ковер-самолет закончилась. Ковер поднимается вверх, и мы летим с вами в царство Сказки. Под нами тридевятое царство. Ковер опускается вниз, и

мы с вами вступаем на сказочную землю. Ковер опустился около небольшого домика. На дверях его висит большое объявление:

«Прежде чем переступить порог этого дома, сосчитай, сколько и каких обитателей находится там. Там всего 10 человек, собак и мух. У каждого человека две ноги, у каждой собаки — четыре, и у мухи — шесть. У всех, кто там есть, 46 ног. Не решив этой задачи, не открывай двери дома, иначе тебе не избежать многих неприятностей, которые встретятся там».

Задача решена, значит можно зайти в дом. Посмотрите внимательно: в самом дальнем углу комнаты сидит наш друг старик Хоттабыч. Он чем-то расстроен. Оказывается, в наводнении затопило шкафы с его рукописями и ужасно их испортило. Старик Хоттабыч, сколько ни мучается с ними, никак не может их восстановить. Может быть мы сможем ему помочь?

(Один-два примера решаются всем классом на доске. Затем испорченные листы из рукописей даются ребятам. Они помогают Хоттабычу восстановить цифры самостоятельно).

Старик Хоттабыч благодарит вас за то, что вы помогли ему, и предлагает сводить вас к одному очень интересному мудрецу. Пойдем мы к нему по тропинке, проходящей через лес. В этом лесу живут очень хорошие мыши. Но вот уже несколько лет прошло с тех пор, как злой волшебник посадил их внутрь лабиринта (рис. 3), который находится также в лесу. Мечутся они в закупоренном лабиринте, никак не могут найти дорогу на волю. Этот лабиринт отделяет мышей от внешнего мира, но выбраться из него очень трудно. Не в любой точке выход на волю, и не все мыши могут выбраться, некоторые обречены на вечное поселение там. Давайте определим, каким мышам мы можем помочь, а каким нет. Посмотрите, лабиринт составляют не прямые линии, а ломаные. Они образуют бесчисленные переулочки и закоулки, где заблудились мы-

ши. Ломаные линии бывают замкнутыми, когда начальная точка совпадает с конечной. Замкнутую линию ABCD можно вычертить следующим образом (рис. 4). Такая ломаная нигде сама себя не пересекает. А можно начертить и такую линию, как ABCDA (рис. 5), если пересечь ее из угла в угол дважды. Но между этими 2 ломаными есть очень важное различие: одна замкнутая себя пересекает, а другая тоже

замкнутая, не пересекает себя, и поэтому делит всю плоскость только на две части: внутреннюю и внешнюю. На этих рисунках легко разобраться, стоите ли вы внутри многоугольника или вне его. А вот разберитесь-ка вот в этом запутанном клубке линий. Какая мышь находится внутри его, а какая вне? Разберетесь в линиях, и мышам поможете выбраться из лабиринта. Определите, какие мыши смогут это сделать, а какие навсегда замурованы в его

Рис. 3. Рис 4.

Рис. 5.

стенах. Не забудьте: пересекать ломаную не разрешается.

Ну, что ж, что мы смогли, мы сделали для мышей. А теперь идем к мудрецу, до его дома осталось совсем немного, вот мы и добрались до него. Но чем это он занят? Он что-то переливает из сосуда в сосуд. Оказывается, он решает задачу Пуассона. Когда знаменитый французский математик был еще очень маленьким, ему попалась в руки следующая задача: некто имеет 12 пинт вина (пинта — старинная мера жидкости, равная приблизительно 0,568 литра) и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт; у него 2 сосуда, один в 8, а другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд 8 пинт. Мало сказать, что задача ему понравилась, она произвела на него сильное впечатление. Потом, на склоне лет, он говорил друзьям, что эта задача определила его судьбу. «Я решил, что непременно буду математиком». Кто знает, может быть, если бы не эта задача, во Франции было бы одним великим математиком меньше. А ведь задачи, подобные задаче Пуассона, встречались людям издавна. Каждому из нас приходится отмерять определенное количество жидкости, когда под рукой нет сосуда нужного размера.

До того, как решить задачу Пуассона, давайте решим несколько более простых задач такого же типа.

У нас 2 сосуда — 3-литровый и 5-литровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить один литр воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно сливать воду. Это совсем легкая задача. Но нельзя ли придумать такую же задачу, но потруднее? Скажем, получить, действуя подобным же образом, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 литров воды?

Эти задачи могут быть решены довольно быстро.

А теперь давайте пойдем к реке. Посмотрите, у самой воды сидит Чебурашка и перекидывает разноцветные камешки из одной кучки в другую. Давайте спросим у него, что он делает. Он, оказывается, играет и нам предлагает поиграть с ним. Ну что ж, давайте тоже поиграем в камешки.

1. 49 камешков раскладываются на 2 кучки. Играют двое. Каждый по очереди берет любое число камешков, но всякий раз из одной и той же кучки. Выигрывает тот,

кто берет последним. Как должен играть начинающий, чтобы всегда выигрывать?

2. 10 камешков раскладываются на 3 кучки: в 1-й 6 камешков, во 2-й — 3, а в 3-й — один камешек. Условия игры те же.

3. 49 камешков в одной кучке. Из кучки берется любое число камешков от 1 до 5. Выигрывает тот, кто берет последним.

Посмотрите, к нам бежит заяц. Он кажется что-то говорит нам. Давайте послушаем его. Заяц просит помочь Ивану-царевичу, которого Кащей Бессмертный посадил в подземелье.

«И сказал Кащей Ивану Царевичу. «Жить тебе до завтрашнего утра. А утром, как явишься перед мои очи, задумаю 3 цифры — a, ft, с. Ты же мне скажешь 3 целых числа — X, у, z. Выслушаю я тебя и отвечу, чему равно ax+by+cz. Ты отгадывай тогда, какие я цифры задумал. Отгадаешь — полцарства подарю; не отгадаешь — голову с плеч долой».

Вы не обратили внимание, что на стене комнаты, в которой мы находимся, висит двое часов? Они начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 сек., вторые через каждые 3 сек. Всего насчитали 13 ударов (совпавшие удары воспринимаются как один). Какое время показывали 1 часы?

Часы показывают, что нам пора покидать страну сказок и возвращаться домой. Отвезти нас из страны сказок обещал Конек-Горбунок. Он уже давно ждет нас. Давайте попрощаемся со страной сказок и поблагодарим старика Хоттабыча за приятное путешествие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Брадис В. М., Минковский В. А., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. М., Учпедгиз, 1959 г.

2. Дышинский Е. А. Игротека математического кружка. М., «Просвещение», 1972 г.

З.Широков Ф. Ф. Арифметические задачи на соображение М.„ Учпедгиз, 1949 г.

4. Подашов А. П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. М., Учпедгиз, 1962.

5. Журнал «Пионер». «Встречи с тремя неизвестными» с № 9 1966 года по настоящее время.

6. Макаренко А. С. т. 5, Собрание сочинений, 1958 г.

А. М. Иванова

(г. Ленинград)

МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЕ ЭПИЗОДИЧЕСКИХ ФОРМ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА ЛГПИ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Одной из форм эпизодической внеклассной работы по математике является проведение в школе читательской математической конференции учащихся.

В настоящее время обучение студентов этой форме внеклассной работы не только желательно, но и необходимо, так как эта форма им почти не знакома. Трудно переоценить значение математической конференции, так как она является базой для воспитания интереса учащихся к математике, расширяет кругозор учащихся, развивает математическое мышление, повышает общую культуру учащихся, а, главное, приобщает учащихся к чтению научно-популярной литературы по математике, приучает учащихся к самостоятельной работе с книгой. Все это способствует лучшему пониманию предмета математики.

В период педагогической практики студенты математического факультета ЛГПИ им. А. И. Герцена охотно организуют и проводят такие конференции.

Чаще всего более эффективно проходит это внеклассное мероприятие у студентов IV (выпускного) — V курсов, так как на вторую стажерскую предпрактику они приходят с запасом необходимых организаторских навыков проведения внеклассной работы со школьниками. Но и на первой методической педпрактике вполне возможно проведение студентами математических конференций.

Рассмотрим методику организации и проведения читательской математической конференции с учащимися средней школы. Остановимся на некоторых этапах ее организации и проведения.

I. Ознакомление студентов и учащихся с научно-попу-

лярной литературой по математике, имеющейся в библиотеке школы, где студенты проходят практику.

II. Выбор студентами тематики конференции. Тематика конференции зависит от вида конференции: а) конференция, проводимая в результате изучения литературы; б) конференция, проведению которой предшествует математическая экскурсия на производство.

III. Проведение студентами математических бесед по классам.

IV. Составление студентами и учащимися программы проведения конференции.

V. Математические сочинения учащихся на заданную тему.

VI. Оформление учащимися стендов, фотомонтажей и математических газет по классам.

VII. Оформление помещения для проведения конференции.

VIII. Проведение конференции.

IX. Составление отчета о проведенной конференции.

Этап I. Знакомство студентов с научно-популярной литературой по математике, имеющейся не только в библиотеке данной школы, но и учителя математики, у учащихся, у студентов-практикантов данной школы.

Итогом знакомства с наличием книг может быть организация в школьной библиотеке и в кабинете математики витрины под названием «За страницами учебников математики», в которой могут быть помещены списки имеющихся книг, краткие аннотации к ним, списки новинок, вышедших из печати, а также новые поступления книг по математике в школьную библиотеку. Кроме витрин, весьма эффективны стенды, пропагандирующие наиболее полезные для учащихся книги по математике. Например, стенд «Готовьтесь к математической конференции». Прочтите эти книги: Депман И. Я. «Мир чисел», Я. И. Перельман «Занимательная арифметика» и др. или стенд «Это интересно», где представлены титульные листы такой замечательной книги, как «Игра с бесконечностью» Розы Петер (для учащихся старших классов), изд-во ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1967, а также ряд книг В. Левшина «Три

дня в карликании», «Черная маска нз альджебры», «Путешествие в письмах с прологом» и другие.

Как витрины в школьной библиотеке, так и стенды в классах должны популяризировать научно-популярную литературу по математике.

На стенде можно поместить краткую рекламу о книге, например, Я. И. Перельман «Занимательная арифметика»:

«Если тебе интересно научиться делить или умножать на счетах, узнать, чем знамениты числа 12, 365, 1001, суметь написать сумму раньше, чем тебе назовут все слагаемые, познакомиться с числами-великанами и числами-карликами, овладеть секретом угадывания даты рождения своего товарища, то прочти «Занимательную арифметику» Я. И. Перельмана».

Этап II. Выбор темы математической конференции — факт немаловажный. Следует иметь в виду вкусы не только участников конференции, но и ее устроителей. Так, студенты чаще всего выбирают тематику конференции, отвечающую их интересам.

На протяжении ряда лет нам приходилось организовывать и наблюдать за проведением различной тематики математических конференций. Приведем, к примеру, несколько тематик конференций вида а), которые являлись результатом изучения литературы.

Тема 1. «Жизнь замечательных людей».

Биографии математиков, их основные математические работы, значение проблем, решенных этими математиками, для развития науки и техники (в популярной форме).

а) Великие учителя-математики — Леонтий Магницкий, Леонард Эйлер и другие.

б) Великие математики — Н. И. Лобачевский, С. В. Ковалевская и др.

в) Авторские коллективы по написанию современных учебников по математике для средней школы под руководством А. Н. Колмогорова, А. И. Маркушевича, 3. А. Скопеца, Н. Я. Виленкина.

г) Выдающиеся советские математики — Ю. В. Матиясевич (журнал «Квант» № 7, 1970), С Н. Мергелян, отличившиеся еще в студенческие годы.

Тема 2. «Расширение и углубление вопросов программного материала».

1. Совершенные числа (журнал «Квант», 1971, № 8).

2. Теорема Ферма.

3. Теорема Пифагора и связанные с нею вопросы.

4. Расчет и изготовление лекал (у=х2, у=2х, где —2<х < + 2) с помощью логарифмической линейки, таблиц Брадиса, таблиц О' Рурка с последующим применением их в графических вычислениях (при построении графиков, для приближенного решения уравнения, систем уравнений).

Тема 3. «Исторические сведения, привлекаемые при изучении отдельных вопросов школьного курса математики».

Пример тематики конференции вида б), проведению которой предшествовали математические экскурсии на ряд производств.

Тема 4. «Математика и жизнь».

Применение математики в различных отраслях науки и техники, связь с профессиями, профориентация.

а) Математика у врача (машины-диагностики).

б) Математика у художника (композиционное построение многих картин Рафаэля, Леонардо да Винчи в виде треугольников, кругов).

в) Математика и физика (модели законов).

г) Математика и химия (математический анализ).

д) Математика и шахматы.

е) Математика и музыка.

ж) Математика и сельское хозяйство.

з) Математика и военное дело.

и) Математика и биология, к) Математика и экономика.

Этап III. Студенты — устроители математической конференции — проводят по классам беседы с учащимися о тематике предстоящей математической конференции, выявляют актив учащихся, изъявивших желание выступить с докладом. Вместе с этим назначаются содокладчики, оп-

поненты, библиографы, оформители, ответственные от класса за проведение мероприятия. Специальная беседа проводится с демонстраторами кино, диафильмов, диапозитивов.

Этап IV. Программа конференции составляется Штабом проведения математической конференции. В объявлении о дне, часе и теме математической конференции указывается тема выступления докладчика, кто выступает, кто оппонирует, а также регламент выступления.

Этап V. В период подготовки к проведению математической конференции учащиеся по теме конференции готовят математические сочинения. Например, план математического сочинения в форме математической анкеты по теме «Математика и жизнь»:

1. Нравится ли тебе математика? Если — да, то кто тебе привил интерес к ней?

2. Почему тебе нравится математика?

3. Назови науку, не связанную с математикой?

4. Будущая профессия, которую ты избрал, и связана ли она с математикой?

5. Кого из современных математиков ты знаешь?

6. Назови математиков древности.

7. Что тебе больше нравится на уроке: считать устно, выполнять геометрические построения, разбирать доказательство теорем?

8. Каким бы ты хотел видеть урок математики и что на нем узнать?

9. Читаешь ли ты книги по математике в свободное время? Если да, то по какому разделу математики?

План математического сочинения по теме «Составление отзыва на прочитанную книгу по математике». Например, отзыв на широко известную книгу И. Я. Депмана «Мир чисел»:

1. Когда люди начали учиться считать и кто был их учителем?

2. Как измеряли и считали время?

3. Какие были календари?

4. Какие открытия в науке сделали мореплаватели?

5. Каких великих греческих ученых-математиков можно назвать и чем они знамениты?

Следует иметь в виду, что подготовка к математической конференции — это длительный временной процесс. Лишь систематическая подготовка к ней с первых дней педпрактики может привести к концу практики к успешному проведению конференции, которая даст удовлетворение не только учащимся-участникам, но и студентам — ее устроителям. Ценными моментами следует считать придумывание учащимися тематики и разработку вопросников — планов математических сочинений.

В ходе подготовки математической конференции весьма желательно максимальное творчество учащихся.

Так, например, если тема математического сочинения «Математика и жизнь», то учащиеся самостоятельно прилагают к выполненному сочинению фотоальбом «Математика нужна всем»; в нем учащиеся оформляют различные примеры взаимосвязи математики с физикой, химией, биологией, экономикой, искусством и т. д.

Этап VI. К математической конференции учащиеся по классам выпускают свои математические газеты. Творчество учащихся проявляется в выборе названия газеты, в оформлении. Чаще всего содержанием газеты является набор разнообразных вопросов по математике. Предпочтительнее является определенное целенаправленное содержание тематики, связанной с докладами учащихся.

Этап VII. Специальное оформление помещения, отведенного для проведения математической конференции. Торжественность, праздничность. Учащимся нравятся интересные высказывания о математике. Например: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным» (Блез Паскаль).

«Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы» (Д. И. Писарев).

«Математике должно учить в школе еще и с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточны для обыкновенных потребностей в жизни» (Н. И. Лобачевский).

Этап VIII. Интересен ход проведения конференции в виде передачи докладчиками эстафеты от класса к классу. Конференция проводится в традиционном стиле чередующихся докладов.

Доклады могут сопровождаться демонстрацией кино, фрагментов кино, диафильмов, диапозитивов и т. п. Время проведения конференции желательно не более двух с половиной часов.

Этап IX. Не меньшее воспитательное значение имеет оформление итогов конференции в виде стенной газеты, математического журнала, в которых отражается весь ход проведения конференции и наиболее интересных ее моментов путем кратких информаций. Могут быть помещены планы докладов, лучшее сочинение на заданную тему, лучшая аннотация на прочитанную книгу, фотопортреты и фамилии наиболее отличившихся участников конференции, письменное решение жюри об итогах конференции, информация о премиях среди учащихся, а также о месте, занятом каждым классом.

Н. К. Рузин

(г. Могилев)

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

В данной статье содержатся материалы для внеклассной работы по математике, которые мы использовали в старших классах средней школы, а также на физико-математическом факультете.

Учащиеся старших классов с большим желанием участвуют в таких мероприятиях, где можно проявить свои способности, не столько знание фактического материала, сколько смекалку, сообразительность. Им нравятся различного рода состязания.

Конечно, вечера типа КВН только относительно можно назвать математическими. Однако и эти вечера, в комплексе с другими мероприятиями, способствуют привитию любви к математике, к урокам математики. Несмотря на небольшой объем фактического познавательного материала, к каждому занятию приходится готовиться специально.

Соревнования, к которым привлекается внимание всех старшеклассников (всего факультета) обычно проводятся в три тура: а) «А ну-ка, девушки!», б) «А ну-ка, парни!» (Более корректным было бы «А ну-ка, юноши!»), в) Финальная встреча победителей тех и других соревнований. Подбор команд, оценка результатов осуществляется так же, как и в КВН. Болельщики, участвуя в конкурсах, могут принести командам дополнительные очки.

Ниже приводится фактический материал для двух соревнований.

«А ну-ка, девушки!»

I. Разминка.

Известно, что при подсчете предметов, при измерениях часто приходится пользоваться приближенными вычислениями. Сейчас каждой команде будет предложено: а) опре-

делить число страниц данной книги, б) отстричь нить длиной 1 м, в) определить длительность секунды, г) налить литр воды, д) среди данных предметов найти предмет массой 1 кг.

Побеждает команда, допустившая меньшую погрешность.

II. Конкурс «Детская логика».

Математика развивает логическое мышление. Еще М. В. Ломоносов сказал: «А математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Большое развитие получает математическая логика. Но еще более сложна «детская логика». Никогда не угадаешь, что ответит ребенок на вопрос и какой вопрос он задаст.

— Папа, помоги решить задачу.

— А ты над ней думал?

— Думал.

— Ну, и что же ты придумал?

— Я так и не решил, что лучше: спросить ответ у тебя или завтра списать его.

Команде дается начало такого разговора. Вы должны закончить его «по законам детской логики». Свое предложение может внести и команда-соперница.

а) — Папа, чернила дорогие?

— Нет, а что?

(Тогда я никак не пойму, почему мама так сердилась, когда я пролил их на диван).

б) — Мама, наши соседи очень жадные!

— Почему ты так думаешь?

(Их сын проглотил копейку, и они обязательно хотят ее достать).

в) — Наша учительница никогда не видела лошади.

— С чего это ты взял?

(Я нарисовал лошадь, а она спрашивает: «Это еще что такое?!»).

г) — Наша бабушка страшная трусиха!

— Почему?

(Когда мы переходим улицу, она пугливо смотрит по сторонам и хватается за мою руку).

Аналогичные примеры можно найти в юмористических журналах.

III. Математическая стенная мини-газета.

Командам предлагается выпустить математическую газету. С одной стороны, она должна быть математической, с другой стороны, должна отражать жизнь класса, содержать заметки о команде-сопернице. Для облегчения оформления каждой команде дается по экземпляру «Комсомольской правды», заголовки из которой можно использовать.

В конкурсе участвуют по 2—3 члена команд.

IV. Конкурс.

«Если хочешь быть здоров, закаляйся» — так поется в известной песне. Наш конкурс будет называться «Если хочешь победить, сокращайся!».

Сокращенные слова широко распространены, но их толкование может быть неоднозначным. В нашем конкурсе будут встречаться лишь официальные сокращения. ГАЗ — Горьковский автомобильный завод. СНО — студенческое научное общество. Бывают несколько необычные сокращения: АУ — арифметическое устройство, активизированный уголь, артиллерийское или архивное управление. МУ — монтажное управление. БАК — бомбардировочный авиационный корпус. БИНТ — бюро иностранной науки и техники. ВАТА — всемирная ассоциация туристских агенств. ИКС — инфракрасное стекло. КВН — картофелекопатель вращающийся навесной.

Итак, требуется расшифровать предложение, составленное из сокращений: СНОВА ИДУ ПО МОСТУ; УМОВ ЛАЗИЛ НА ТОТ СУК; АХ, УСАТ КУМ!

V. Занимательное программирование.

На уроках математики вам приходится выполнять задания, которые представляют собой вопросы с четырьмя данными ответами, из которых лишь один верный (програмированные задания). Например:

0,01-0,01=

Ответы: 1) 1; 2) 0,001; 3) 0,0001; 4) 0,0011.

Следует подчеркнуть верный ответ, третий. Сейчас каждой команде будут даны листы с заданиями; надо подчеркнуть верные ответы.

Задание:

АБЕЛЬ — минерал,

— нарост на стволе ели,

— ученый-математик,

— болезненное состояние. ИКОСАЭДР — правильный 8-гранник,

— правильный 12-гранник,

— правильный 20-гранник,

— правильный 24-гранник.

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ

МЕТАМАТЕМАТИКА — элементарная математика,

— сочинение Пифагора,

— теория построения математики, ее методология,

— математика Мессопотамии. АПЛОМБ — пожарный инструмент,

— массовая гибель вредных насекомых,

— фигура высшего пилотажа,

— излишняя самоуверенность в поведении.

Можно составить аналогичные задания математического и нематематического содержания.

V. «На деревню дедушке»

Мы так привыкаем к математической символике, что нередко употребляем символы и сокращения там, где они неуместны. Например, кто-то написал в письме своему другу: «Присланные тобою V~V~ георг. отр. ф мерно»

(Присланные тобою корни георгинов отросли неравномерно). В столовой написано в меню: «Щи из св/к б/м с/с» (Щи из свежей капусты, без мяса, со сметаной).

Сейчас один из членов каждой команды получит письмо, написанное с недопустимыми сокращениями от лица ученика (студента) «на деревню дедушке». Учитывается выразительность чтения и время, затраченное от момента распечатывания конверта до окончания чтения.

«Текст письма: Здр-те, мама и д-ушка! Пр-т из М! У меня А идет хор., наи> S пройден. К. Р. в пор-ке, осталось сдать ф., придется посидеть в биб-ке.

Вспоминаю о вас у День, > не пишите, V приеду. Со-те, что к-ть к пр-ку. Ваша в. и д. Валя.

(Здравствуйте, мама и дедушка! Привет из Могилева! У меня работа идет хорошо, наибольший путь пройден. Контрольные работы в порядке, осталось сдать физику, придется посидеть в библиотеке.

Вспоминаю о вас каждый день, больше не пишите, скоро приеду. Сообщите, что купить к празднику. Ваша внучка и дочь Валя).

VII. Номера художественной самодеятельности

VIII. Выразительное чтение

Чтобы решить задачу, надо понять ее содержание. Сейчас мы проверим, умеете ли вы выразительно читать тексты задач.

ЗадачаввчутраеостанцииАотправилсятоварныйпоездав следзанимвЮчутрастойжестанциибылотправленпассажирскийпоезднас танцииВпассажирскийпоезддогналтоварный поезднайдитерасстояниемеждустанциямиАиВеслискорость товарногопоезда50кмчапассажирского70кмч.

IX. Конкурс капитанов

а) Соревнования на скорость: кто скорее назовет число букв фамилии своей соперницы? Число букв какого-либо математического термина?

б) Объяснить значения слов и сочетаний: пилот и пи-

лон, десять и десть, счетчик и считчик, всеобуч и всевобуч; пятый океан, девятый вал, второй хлеб, тринадцатая зарплата, жить в четырех стенах, с пятого на десятое, между двух огней, играть первую скрипку.

в) Записать и решить пример цифрами, принятыми для обозначения почтовых индексов.

г) Из данных прямоугольников выбрать тот, который по размерам соответствует почтовому конверту.

X. Конкурсы болельщиков

а) За годы обучения в школе вы узнали о многих крупных ученых-математиках, запомнили их фамилии. А запомнили ли вы их имена? Об этом мы сейчас узнаем.

Называются фамилии ученых (Виет, Галуа, Гаусс, Декарт, Кеплер, Лобачевский, Магницкий, Эйлер и другие), фиксируются правильные ответы болельщиков.

б) На уроках математики приходится слышать так называемые фразеологические обороты, сочетания слов, взаимосвязанных с фамилиями крупных ученых. Ведущий будет произносить первое слово, а болельщики — второе. Например: бином — Ньютона.

Сочетания: спираль Архимеда, улитка Паскаля, великая теорема Ферма, решето Эратосфена, теорема Пифагора (Фалеса), «Начала» Эвклида, лунки Гиппократа, аксиома Архимеда (Лобачевского), формула Герона, треугольник Паскаля, координаты декартовы.

в) На сцену вызываются по три болельщика. Ведущий произносит слово с приставкой много или мало, болельщики стараются дружно закончить фразеологический оборот, не сговариваясь.

Многоквартирный дом, многоклеточный организм, многоковшовый экскаватор, многократное эхо, многолемешный плуг, многолепестковая роза, многолетнее растение, многоликая толпа, многолюдный базар, многомоторный бомбардировщик, многонациональное государство.

Малограмотный человек, малозаселенная местность, малокалиберная винтовка, малокалорийная пища, малоквалифицированный рабочий, малооблачное небо, малосольный огурец, малоупотребительное слово, малочисленный отряд.

«А ну-ка, парни!»

Сегодня встречаются мужские команды. Еще в средние века были широко распространены соревнования-турниры рыцарей. А ведь вы тоже рыцари... И вам так же, как в средневековье, можно показать свои способности в разных видах борьбы и искусства.

1. Наше первое соревнование—«фехтование на шпагах». Но вы будете отвечать не на удары настоящих шпаг, а на... вопросы своих соперников и ведущих. Итак, разминка.

а) Какая команда скорее назовет сумму цифр, изображенных на циферблате часов, при условии, что все цифры изображены без пропусков? Скорее определит число людей, присутствующих на вечере? Назовет номер здания, в котором проходит соревнование?

б) Нарисовать вид школьного здания (вид школьного участка) сверху.

в) Одному из членов команды заучить стихотворение и рассказать его. На заучивание дается 5—7 минут, записями пользоваться нельзя. Возможен вариант: стихотворение хором рассказывают все члены команды.

Четыре (С. Маршак)

Четыре в комнате угла. Четыре ножки у стола, И по четыре ножки У мышки и у кошки.

Бегут четыре колеса, Резиною обуты. Что мы пройдем за два часа, Они — за две минуты.

11. Рыцарь должен был уметь рисовать, разбираться в живописи. Сейчас и вы получите несколько соответствующих заданий,

а) Рыцарь имел свой герб. Попробуйте нарисовать герб... алгебры, геометрии, математики.

б)-Нарисовать дружеский шарж на ученика, получившего «2» или «5» по математике.

в) Придумать наиболее остроумный текст для карикатуры «из жизни роботов» (Можно взять и другие карикатуры из технических журналов).

III. Обучение средневекового рыцаря было таково, что каждый умел сочинять стихи, хотя бы для того, чтобы изъясняться своей возлюбленной.

Сейчас мы будем изъясняться в любви... математике. Правда мы облегчим вам эту задачу: избавим от необходимости рифмовать строки. Остальной текст, имеющий отношение к математике, вы сочините сами.

...отряд ...дел

...ребят ....велел

...другим ...урок

...своим ...помог

(Слова из «Песни юных ленинцев» Л. Некрасовой).

IV. На соревнованиях «А ну-ка, парни!» обычно проводят гонки на мотоциклах. Мы тоже придерживаемся этой традиции. Допустим, что вы едете на мотоцикле. Вам встречаются различные дорожные знаки, так называемые пиктографические рисунки, символически изображающие целые фразы. (Привести примеры).

Объясните теперь пиктографические знаки, не относящиеся к правилам дорожного движения.

Вот, например, знаки встречающиеся на международных выставках (рис 1).

Рис 1.

Объясните смысл жестов, при помощи которых «разговаривают» индейцы некоторых племен (рис. 2).

Изобразите пиктографически: «Здесь школа юных математиков», «Тише, идут экзамены!», «Идет занятие математического кружка», «Здесь общежитие института», «Пить сырую воду вредно», «Руки мой перед едой», «На нуль делить нельзя!»

Рис. 2.

V. Современный молодой человек должен знать хотя бы один иностранный язык. Многие математические термины пришли к нам из греческого, латинского языков. Каждой команде будет дан список терминов, которые надо перевести на русский язык.

Список: конус (сосновая шишка), цилиндр (валик, каток), призма (опиленная, т. е. опиленное бревно), сфера (мяч), трапеция (столик), линия (льняная нить), хорда (струна, тетива лука), радиус (луч, спица в колесе), диаметр (поперечник, сквозь проходящий), ромб (веретено, юла).

VI. Номера художественной самодеятельности

VII. Выбрать себе настоящего друга не так-то просто. Мы предъявляем к друзьям определенные требования, хотим видеть у них определенные качества. В математике такие качества называют признаками. Сейчас, установив закономерность признаков, вы должны выбрать друга своей команды (рис. 3) из 4 личностей под чертой.

VIII. Важное качество юноши — умение признать свои недостатки, исправить ошибки. Сейчас мы «проверим», обладают ли члены команд этим качеством.

Даются символические записи математических предложений, решения задач и примеров, среди которых есть ошибочные. Особенно полезны задания вида Сп°=1; sin(a+

Рис. 3.

IX. В заключение будут проведены соревнования капитанов команд. Это будет «бег с препятствиями». На пути бегунов будут различные «барьеры», преодолев которые можно продолжать бег:

а) Записать объем налитой в мензурку воды.

б) Определить диаметр валика штангенциркулем.

в) Выполнить действие на логарифмической линейке.

г) Измерить и записать температуру воды.

д) Сложить несколько чисел, применяя счеты или арифмометр.

X. Конкурсы болельщиков.

а) Назвать измерительные приборы (эклиметр, алидада, эккер, мензула и другие).

б) Кто скорее и точнее измерит длину зала, в котором проходят соревнования, 20-сантиметровой линейкой?

в) Каким числам соответствуют слова трио, соло,

октет, квинтет, дуэт, квартет, диод, пентод, квадрига (коней), тетрадь, бином, пентагон?

г) «Откуда дровишки?» — спросил поэт, когда ему встретился мужичок-с-ноготок, сопровождавший хвороста воз. А откуда машины, имеющие такие марки: ГАЗ, ЗИЛ, МАЗ, ПАЗ, ЛАЗ, КамАЗ, ВАЗ?

Ответы. Стр 157. IV: студенческое научное общество — военная автоинспекция — дистанционное управление — пожарная охрана — международная организация по стандартизации — техническое училище. Управление милиции — отравляющие вещества — Львовский автозавод — иностранная литература (издательство)— НАТО — название империалистического блока — трест столовых — ультракороткий. Академия художеств — узел связи — автотранспортная контора — управление милиции.

Стр. 157. V: номера верных ответов—Абель—3, икосаэдр — 3, гармоническое — 2, метаматематика — 3, апломб — 4.

Стр. 159. IX: пилон — массивный устой или столб прямоугольного сечения, десть — мера бумаги, 24 листа, считчик — работник издательства или типографии, читающий текст после набора, всевобуч — всеобщее военное обучение.

Стр. 160. X: Виет Франсуа, Галуа Эварист, Гаусс Карл, Декарт Рене, Кеплер Иоганн, Лобачевский Николай Иванович, Магницкий Леонтий Филиппович, Эйлер Леонард.

Стр. 162. Рис. 1: вход, руками не трогать, не стоять.

Стр. 163. Рис. 2. привет, дай мне, дождь идет.

Стр. 164. Рис. 3: верный ответ на третьем месте.

Стр. 164. X в: 3, 1, 8, 5, 2, 4, 2, 5, 4, 4, 2, 5.

Э. Л. Каминская, Т. Э. Каминский.

(г. Вологда)

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНДУКТИВНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Элементы логического языка и логической символики все настойчивее проникают в среднюю школу. Это обстоятельство делает возможным расширить круг традиционно рассматриваемых в школе задач, включив в него, например, задачи из теории релейно-контактных схем. Не менее важной, на наш взгляд, является возможность использовать элементы логического языка для формирования общего понятия доказательства и анализа некоторых широко, используемых в математике способов доказательства теорем. Найти время для реализации этой возможности позволяют факультативные курсы и кружковые занятия.

Мы рассмотрим в настоящей заметке вопрос о логической структуре доказательств, проводимых методом математической индукции. Хорошо известно, что он принадлежит к числу наиболее универсальных и изящных способов доказательства математических предложений. В то же время логическая основа его довольно сложна, и этим в значительной мере объясняется тот факт, что часто учителя и студенты педагогического института, даже хорошо владеющие техникой индуктивных доказательств, смутно представляют себе смысл проводящихся при этом рассуждений.

Ниже мы будем пользоваться обычной символикой алгебры предикатов. Знак |= будет применяться для обозначения логического следования: запись Au ••• , \= В обозначает, что формула В логически следует из набора формул А\9 ... > ^п> т. е. становится истинной, как только все формулы Au ... , Ап принимают значение «истина». В частности, запись |= В выражает, что В — истинная формула.

Доказуемость формулы мы будем отождествлять с ее истинностью.

Напомним обычную (словесную) формулировку принципа математической индукции.

Если некоторое предложение справедливо (истинно) для натурального числа 1 и из его справедливости для произвольного натурального числа х следует его истинность для непосредственно следующего за х числа х+1, то это предложение истинно для любого натурального числа.

Рассмотрим типичный пример доказательства, основанного на этом принципе. Пусть требуется доказать, что сумма первых п натуральных чисел (обозначим ее S(n)) равна— м(м+1). Доказательство складывается из следующих пунктов.

1 шаг (базис индукции). При п=1 утверждение верно, т. к. S(l) = 1 и-j 1-2 = 1.

2 шаг (индуктивный переход). Пусть для произвольного натурального n S(n) = — п(п + ). Тогда S(n + 1) =

3 шаг (заключение). На основании принципа математической индукции для любого натурального nS(n) =

Мы специально разобрали в подробностях этот довольно тривиальный пример, чтобы выявить слабые и сомнительные места подобного рассуждения. Прежде чем перейти, однако, к этому анализу, придадим принципу математической индукции более удобную для дальнейшего форму.

Пусть Р(х) — произвольный предикат на натуральном ряду. Для наших целей достаточно считать, что он задан некоторой высказывательной формой, более того, мы даже можем отождествить его с этой формой. Принцип математической индукции можно тогда записать в виде следующей формулы

(1)

Заметим, что она представляет собой импликацию, посылкой которой служит формула P(l)&(Vx) (P(jt)=>P(jt+l)), а заключением (Уу)Р(у). Формулу (1) мы будем далее называть аксиомой математической индукции. Как и всякая аксиома, она должна обладать тем свойством, что при подстановке в нее вместо Р(х) любого конкретного (индивидуального) предиката (высказывательной формы) PJ(x), заданного на натуральном ряду, она превращается в истинное высказывание. Таким образом, можно записать

I ^Рэ(1) &(Ух)(Р°(х)=>Рэ(х + 1)) = >(У у)Р°(у). (2)

Возвратимся теперь к рассмотренному выше примеру. По поводу проведенного в нем рассуждения естественно задать следующие вопросы. Почему индуктивное доказательство должно состоять из трех проделанных шагов? Иными словами: чем диктуется необходимость каждого из этих шагов и достаточно ли их? Далее, почему во втором шаге допускается только, что высказывание S(n) = —n(n + 1) истинно? Ведь если сделано такое допущение, следует рассмотреть и случай, когда это высказывание ложно. Наконец, каким образом заключение (S(n) = — n (п + 1) — истинно для любого п) следует из принципа математической индукции и первых двух шагов доказательства?

Эти вопросы и вызывают зачастую у студентов и учителей те трудности, о которых говорилось в начале заметки. Начнем с последнего из них.

Роль Р°(х) в рассматриваемом примере играет высказывательная форма S(x) = — х(х + 1). В третьем шаге индуктивного доказательства мы приходим к утверждению

представляющему собой заключение формулы (2). Мы, таким образом, отрываем заключение от всей формулы. Повидимому, для того, чтобы это можно было сделать, требуется некоторый не сформулированный явно логический принцип. В самом деле, такой принцип существует. Он но-

сит название правила modus ponens (или правила заключения) и состоит в том, что логическим следствием высказываний р и p = ^>q является высказывание q:

Ps p=>q \=q.

Из него получается следующее правило вывода: если истинны высказывания р и p = ^>q, то истинно высказывание q. Роль импликации p = ^>q в нашем примере играет формула (2). Она истинна, так как получается из аксиомы математической индукции путем подстановки в нее конкретного предиката Р°(х). Для того, чтобы использовать теперь правило modus ponens, нужно убедиться в истинности высказывания р, т. е. посылки аксиомы индукции

P°(\)&(Vx) (Р°(х) =>Р*(х+Ц). (3)

Таким образом, третьему шагу индуктивного доказательства должно предшествовать доказательство истинности формулы (3). Эта формула является конъюнкцией высказываний Р°(1) и (Ух) (Р°(х)=>Р°(х+\)). Их истинность устанавливается в первом и втором шагах доказательства. Для построения же из них посылки аксиомы индукции и установления ее истинности требуется еще один логический принцип, утверждающий, что конъюнкция p&q есть логическое следствие высказываний р, q:

р, q \= p&q

и приводящий к правилу вывода: если истинны высказывания р, q, то истинна и их конъюнкция p&q. Пользуясь этим правилом, мы получаем утверждение

|=Pd(1)&(Vjc) (Р°(х) =>Р°(х+1)).

Мы получили ответы на первый и третий из поставленных выше вопросов, установив, что индуктивное доказательство с необходимостью распадается на три пункта: базис индукции, индуктивный переход и заключение, и показав, каким образом заключение выводится из принципа математической индукции и первых двух пунктов доказательства.

Рассмотрим теперь второй вопрос: почему в индукционном переходе мы предполагаем истинность высказывания Р°{х) и игнорируем случай его ложности? Как мы уже видели, на втором шаге индуктивного доказательства должна быть установлена истинность импликации (Ух)(Р°(х)=^>Р°(х +1)). Предполагая, что ее посылка Р°(х) истинна для некоторого (произвольного) X и показывая, что тогда будет истинным и заключение Р°(х+1), мы, разумеется, установим истинность для произвольного X формулы Р°(х) = > Р° (х + 1)» а значит и высказывания (Ух) (Р°(х)= >Р° (х + 1)). Случай же, когда Р°(х) ложно, специального рассмотрения не требует. Формула Р°(х)=^>Р°(х + 1) истинна в этом случае тривиально как импликация с ложной посылкой.

Подведем итоги. Обычная схема индуктивного доказательства основывается, кроме принципа математической индукции, еще на некоторых логических принципах (правило modus ponens, правило р, q\^= р & q). При проведении индуктивных доказательств эти принципы обычно подразумеваются, но не формулируются в явном виде. Точно так же при выполнении индуктивного перехода подразумевается тривиальность случая ложности посылки Р°(х). Нам представляется, однако, необходимым каждый раз подчеркивать, что в этом месте мы устанавливаем истинность импликации Р°(х)=У>Р°(х+1): при традиционном способе проведения доказательства это обстоятельство ускользает от внимания учащихся.

Разумеется, нет необходимости настаивать на том, чтобы каждый раз индуктивное доказательство сопровождалось четким выделением всех рассмотренных выше принципов. Однако не менее несомненным представляется, что полностью отдавать себе отчет в их необходимости, иными словами — ясно видеть логическую схему индуктивного доказательства, должен каждый студент и учитель математики.

А. Н. Данилов

(г. Череповец)

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА

Далее рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Четырехугольник называется выпуклым, если о» расположен в одной полуплоскости относительно каждой из четырех прямых, содержащих его стороны.

Выпуклые четырехугольники, вписанные в окружность, обладают рядом интересных свойств.

Теорема 1. Если выпуклый четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна двум прямым (т. е., в радианной мере, я) ([1], стр. 80; [5], стр. 192—193).

Справедлива теорема, обратная теореме 1:

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма каких-нибудь противоположных углов равна двум прямым, то четырехугольник может быть вписан в окружность ([1], стр 80; [б], стр. 193—194).

Теорема 3. (Теорема Птоломея). Если выпуклый четырехугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон: ef = ac+bd ([1], стр. 215; [3], стр. 49, 104; [6], стр. 56, 312; [8], стр 37, 282—283) (рис. 1).

Свойство, указанное в теореме Птоломея,— характеристическое свойство вписанного четырехугольника. Это видно из следующей теоремы.

Теорема 4. Если выпуклый четырехугольник не может быть вписан в окружность, то произведение его диагоналей меньше суммы произведений его противоположных сторон (и больше их разности) ([1], стр. 216).

Рис. 1.

Теорема 5. Если выпуклый четырехугольник вписан в окружность, то отношение его диагоналей равно отношению сумм произведений сторон, сходящихся на концах диагоналей:

(1)

([1], стр. 217—219; [4], стр. 63, 277).

Выше для каждой теоремы указана литература, в которой есть ее доказательство. Разумеется, перечисленные теоремы не исчерпывают свойства вписанных четырехугольников. Другие результаты на эту тему имеются, например, в [2], [3], [7].

Цель настоящей заметки состоит в том, чтобы дать еще одно доказательство теоремы 5, а также показать, что свойство, приведенное в теореме 5, является характеристическим свойством вписанного четырехугольника.

Доказательство теоремы 5. При доказательстве мы используем формулу:

(2)

где 5 — площадь треугольника; р, q, г — его стороны; R— радиус описанной окружности ([1], стр. 229; [2], стр. 37, 102).

Пусть четырехугольник ABCD со сторонами \АВ\=а9 \BC\=b, \CD\ = с, \DA\=d и диагоналями \BD\=f, \АС\=е вписан в окружность радиуса R, причем Saabc, Sacda, Sadab, Sabcd— площади соответствующих треугольников.

Так как

то, применяя формулу (2) к каждому из треугольников ABC, CDA, DAB, BCD, имеем равенство:

откуда

Из последнего равенства легко получается, что

Теперь покажем, что свойство, выраженное равенством (1), есть характеристическое свойство вписанного четырехугольника. Справедлива следующая

Теорема 6. Пусть выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами \АВ\=а, \BC\—b, \CD\=c, \DA\ =d и диагоналями \BD\ = f, I AC I = e не может быть вписан в окружность. Тогда,

Доказательство теоремы 6. Поскольку четырехугольник не может быть вписан в окружность, то e/<ac-)-ftd по теореме 4. А тогда

т. е. получается неравенство

(3)

По теореме косинусов

Определив из этих равенств a2+d2 и Ь2+с2 и подставив полученные значения в (3), установим, что

(4)

Если учесть, что

то неравенство (4) принимает следующий вид:

(5)

Так как А и С — углы выпуклого четырехугольника, то

(6) (7)

Вычитая из неравенства (6) неравенство (7) и деля полученное таким образом неравенство на 2, имеем:

Таким образом в выражении

косинус полуразности углов Л и С положителен;

Сумма Л+С отлична от л (в противном случае, как показывает теорема 2, четырехугольник можно было бы вписать в окружность). Поэтому Л + С либо больше я, либо меньше я.

Если Л+С>л, то

Так как, кроме того,

(это следует из неравенств Л<л, С<л), то

Поэтому неравенство (5) дает неравенство

(8)

Следовательно,

что доказывает первый случай теоремы 6.

Если же углы А и С удовлетворяют неравенству Л + С<я, то тогда 5+25>л, как это следует из равенства

имеющего место для углов четырехугольника. Теперь доказательство второго случая теоремы 6 может быть проведено двумя способами.

Можно получить неравенство

рассуждениями, аналогичными тем, которые привели к не-

равенству (8). Однако проще применить доказанный первый случай теоремы 6 к углам В и D. Тогда находим, что

откуда

Теорема 6 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз, М., 1957.

[2} Барыбин К. С. Сборник геометрических задач на доказательство, Учпедгиз, М., 1954.

[3] Готман Э. Г. Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач, «Просвещение», М., 1905.

[4] Лидский В. Б. и др. Задачи по элементарной математике, «Наука», М., 1968.

[5] Никитин Н. Н. Геометрия. Учебник для 6—8 классов. «Просвещение», М., 1969.

[6] Сивашинский И. Х. Задачник по элементарной математике. «Наука», М., 1966.

[7] Скопец З. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по геометрии (планиметрия), Учпедгиз, М., 1962.

[8] Шклярский Д. О. и др. Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 2, ГТТИ, М., 1952.

Г. В. Лютомский

(г. Вологда)

О САМОКОНТРОЛЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Одним из распространенных недостатков в математической подготовке выпускников средних школ в последние годы является низкий уровень техники вычислений. Видимо, приемам устного счета, умению делать устно простейшие тождественные преобразования в настоящее время в школах уделяется недостаточное внимание. В результате этого на письменных вступительных экзаменах в вуз абитуриенты часто допускают в решении арифметические ошибки, путают знаки и т. п.

Казалось бы, зная за собой такой «грех», абитуриент будет тщательно контролировать себя, внимательно проверять свои выкладки. Однако в действительности мы часто наблюдаем другую картину: абитуриенты, значительно раньше закончив выполнение письменной работы по математике, сдавали неверно решенные задачи.

У них даже не возникало потребности не только проверять свои решения, но хотя бы попытаться установить возможность полученного результата. При этом они не смущались тем, что в их решениях объем оказывался выраженным в квадратных мерах, в мерах четвертой степени, что разность они находили между величинами разной размерности, и тому подобными нелепыми ошибками.

Чем это объяснить? Очевидно, учащиеся не приучены проверять свои ответы, не владеют различными приемами самоконтроля. Причин этому много.

Одной из таких причин, видимо, является то положение, что в ряде школ проверка решений учащимися делается формально как дополнительная работа, не имеющая отношение к самоконтролю. А если проверка не является самоконтролем, то учащиеся ее просто не учитывают.

С другой стороны, многие учителя считают, что за время, потраченное на привитие навыков самоконтроля, лучше решить лишний десяток примеров и задач. Конечно, это заблуждение. Не «натаскивание» учащихся, а развитие их умственных способностей должно преследовать изучение математики. Без привития навыков самоконтроля нельзя достигнуть повышения качества усвоения математических знаний и привития навыков эффективного их применения. К сожалению, многие учителя из-за отсутствия соответствующей литературы незнакомы с различными приемами самоконтроля.

В настоящей заметке рассмотрены некоторые приемы самоконтроля при решении примеров и задач в средней школе: а) контроль при решении тригонометрических уравнений; б) контроль при решении задач, содержащих параметры; в) контроль при помощи составления и решения обратных задач.

Эти приемы вполне доступны учащимся средней школы. Каждый учитель на уроках математики должен уделять большое внимание вопросам самоконтроля. Продолжение этой работы (особенно в отработке самоконтроля) целесообразно выносить на кружковые занятия.

Самоконтроль при решении тригонометрических уравнений

1-й способ самоконтроля

Предварительно полезно закрепить вычисление следующих выражений:

sin (arctgx), cos (arctg х), tg (aresin х) и т. д.

Здесь целесообразно в целях быстрого (почти устного) вычисления пользоваться правилом «прямоугольного треугольника».

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить sirt (2 arctg 5).

Пусть а = arctg 5. Тогда длины катетов треугольника с углом а можно принять равными 5 и 1. Следовательно, длина гипотенузы равна у 26 (рис. 1). Значит,

Поэтому

Рис. 1.

Пример 2. Вычислить

Рис 2.

Пример 3. Вычислить

Рис. 3.

Теперь рассмотрим 1-й способ самоконтроля при решении тригонометрических уравнений. Он состоит в следующем.

Сначала находим период тригонометрического уравнения. Тогда ясно, что для того, чтобы убедиться в пригодности найденных корней, достаточно проверить пригод-

ность лишь тех из них, которые находятся в пределах одного периода.

Поясним это следующими двумя примерами:

Пример 4. Пусть дано тригонометрическое уравнение.

sin2 2x+sin2 х=1.

Допустим, что при решении его мы получим следующие серии корней

Для контроля найдем период данного тригонометрического уравнения. Здесь Г=л. Следовательно, нам достаточно проверить только три корня: —, ± — . Непосредственной подстановкой мы убеждаемся, что эти числа являются корнями данного уравнения.

Пример 5. 3 sin 5х — 2cos5x=3.

Здесь

Период уравнения равен Т = — . Следовательно, достаточно проверить два корня — и arctg 5.

Пусть Х\= — . Тогда

Итак, х\ — корень данного уравнения.

Возьмем Х2— — aretgö. При этом значении х, учитывая решение примера 1, левая часть данного уравнения равна:

Следовательно, х2 также удовлетворяет исходному уравнению.

2-й способ самоконтроля при решении тригонометрических уравнений

Предварительно полезно вывести следующие формулы (здесь всюду к е Z):

Теперь поясним второй способ самоконтроля примером:

Пример 6. Дано уравнение

Допустим, что мы получили следующие серии корней:

Контроль

Возьмем Х\ = —. При этом значении х левая часть данного уравнения равна sin Злтс — 2 sin л/с = 0.

Следовательно, Х\ удовлетворяет данному уравнению.

Проверим Х2 = + — г — , подставив его в исходное уравнение. Имеем:

Значит, х2 также удовлетворяет данному уравнению.

Самоконтроль при решении задач с параметрами

Первый способ самоконтроля заключается в том, что мы даем некоторым (или всем) параметрам, входящим в условие задачи, определенные допустимые значения. Тогда из общего случая мы получаем частный. Решая частную задачу (которая, как правило, представляет собой более легкую задачу), мы сверяем полученный частный ответ с ответом общей задачи.

Конечно, надо иметь в виду, что выбор частных значений параметров может и не обнаружить ошибки (хотя вероятность этого невелика). Поэтому разумно знать несколько приемов самоконтроля и проконтролировать полученный ответ хотя бы двумя способами.

Кстати, часто бывает так, что не удается решить задачу в том виде, в каком она дана. А вот рассмотрев частный случай, учащийся находит отличный план решения, который пригоден и для общего случая. Поэтому рассмотрение частных случаев — вещь весьма полезная не только при самоконтроле, но и решении самой задачи.

Пример 7. В четырехугольнике A BCD острый угол между диагоналями равен а. Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Определить отношение площади четырехугольника, ограниченного этими прямыми, к площади четырехугольника ABCD (рис. 4).

Ответ: 2ctg2a.

Рис. 4

Контроль.

Пусть а = —. Тогда при этом значении параметра ответ примет вид 2ctg2 — =2.

Теперь частная задача решается просто. В самом деле, треугольники А\ВК и В\ДК — равнобедренные прямоугольные. Следовательно, \ВК\ = \A\K\ и \B\K\ = \ДК\. Поэтому \ВД = |ABi|. Аналогично показывается, что \АС\ = = \BiCi .

Таким образом, мы доказали, что диагонали данного четырехугольника ABCD конгруэнтны соответствующим сторонам полученного четырехугольника. Учитывая, что полученный четырехугольник является параллелограммом с острым углом а= —, мы получим

d u d2 — длины диагоналей четырехугольника ABCD.

Поэтому Sa.BjC.d, - 5abcd=2, что согласуется с ранее полученным ответом.

Второй способ самоконтроля решения задач с параметрами заключается в том, что мы исследуем ответ задачи при некоторых предельных значениях параметров.

Так, например, в предыдущей задаче согласно условию параметр а находится в пределах 0<^а<^~.

Пусть а -> -у . Тогда 2 ctg2 а -> 0. Таким образом, в этом предельном случае отношение площадей равно нулю. Но ведь легко видеть, что в случае, когда диагонали исходного четырехугольника взаимно перпендикулярны, полученный четырехугольник вырождается в точку. Следовательно, его площадь равна нулю. Этим самым мы проконтролировали ответ.

Отметим попутно, что если бы ученик при решении этой задачи допустил ошибку и вместо 2 ctg2 а получил в ответе, например, 2 tg2a, то при значении параметра а= — он не обнаружил бы ошибки. Однако исследование ответа при условии а->— в этом случае сразу же подсказало, что где-то допущена ошибка (ведь 2 tg2 а —► + со при а-> -^-).

Самоконтроль с помощью обратной задачи

Известно, что задачей, обратной данной, является новая задача, в которой некоторое данное исходной задачи принимается в качестве неизвестного, а прежнее неизвестное считается известным. Составление и решение обратной задачи может оказать существенную помощь в контроле проведенных вычислений и рассуждений.

Возьмем в качестве примера следующую задачу:

Пример 8. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки длиной 1 см и 2 см; а длина высоты, опущенной на эту сторону, больше 1 см. Найти длины двух других сторон треугольника, если известно, что они выражаются целыми числами.

Допустим, ученик получил ответ: 2 см и 4 см. Как проконтролировать себя? Не допустил ли он где-нибудь ошибки? Естественным таким контролем будет составление и решение обратной задачи: стороны треугольника имеют длины 2 см, 3 см и 4 см. Доказать, что длина высоты, опущенной на сторону длиной 3 см, больше 1 см. Решение этой задачи сводится к вычислению длины высоты по трем известным сторонам:

Надо иметь в виду, что составление и решение обратной задачи, вообще говоря, не дает стопроцентной гарантии в правильности решения исходной задачи. Так, например, при наличии нескольких решений исходной задачи некоторые из них могут потеряться. Кроме того, может оказаться, что правильный ответ получен из неверных вычислений и рассуждений.

Однако самоконтроль, как мы уже говорили, ставит перед собой иную задачу: проверить с той или иной вероятностью правильность полученного ответа. Это значит, что самоконтроль не является проверкой решения как неотъемлемой части самого решения. Поэтому самоконтроль — это личное дело каждого решающего; его можно проводить или не проводить в зависимости от своей техники вычислений, от уверенности в себе. Конечно, на экзамене лучше контролировать себя всегда. Но делать это надо на черновике, и включать такой контроль в решение незачем.

Вместе с тем самоконтроль развивает творческую инициативу у учащихся, сообразительность. Ведь им самим приходится решать, какое, например, частное значение параметра необходимо выбрать, чтобы решение задачи и вычисление ответа при этом выполнялось как можно проще. При контроле решений появляются элементы поисков, рассуждений, привлечение ранее изученного материала и т. д.

Л. Ф. Пичурин

(г. Томск)

«ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ» КАШИ КАК МАТЕРИАЛ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Роль исторического материала в обучении математике общеизвестна. Однако используемые в школе исторические сведения обычно сводятся к биографиям отдельных ученых, к задачам из старинных книг, иногда — к небольшим обзорам. Очень немногие учителя пытаются познакомить школьников не только с жизнью того или иного ученого, но и с содержанием его трудов. С одной стороны, это естественно, так как математические (да и не только математические) открытия излагаются первооткрывателями, как правило, далеко не лучшим образом, и самые простые вещи могут оказаться для современного читателя труднодоступными. И в то же время это очень досадно, ибо воспитательное (в самом широком смысле слова!) значение «прикосновения» учащегося к идее в момент ее зарождения огромно, и упускать имеющиеся здесь возможности непростительно. Видимо, надо так излагать труды классиков, чтобы, сохранив яркость и глубину идей, содержащихся в первоисточнике, сделать их доступными по языку. Конечно, вопрос о допустимых границах модернизации весьма спорен, но, скорее всего, целесообразно смело модернизировать все частное, сохраняя в неприкосновенности главные мысли изучаемого автора.

В качестве примера рассмотрим вопрос об изучении на занятиях кружка (IX класс) работы известного самаркандского ученого Джемшида Гиясэддина Каши «Трактат об окружности» (XV век). С целью экономии места мы опустим вводную беседу о математической школе Улугбека и о различных попытках вычисления отношения длины окружности к диаметру, предпринятых предшественниками Каши, и перейдем к самой работе.

Уже первые строчки «Трактата об окружности» весьма

любопытны. «Хвала аллаху, обладающему знанием диаметра к окружности,— пишет Каши, и здесь надо видеть не только принятую всеми арабскими учеными форму начала научного труда, но и глубокий истинный смысл. Последовательность цифр числа я бесконечна, и человеческий ум не в состоянии охватить ее полностью, но это число существует, и мы можем вычислить необходимое количество его десятичных знаков (или шестидесятиричных — так делали в астрономических вычислениях еще древние вавилоняне, и так делаем мы, деля градус и минуту на шестьдесят, а не на десять частей).

Далее Каши цитирует Архимеда («Измерение круга», предложение третье): «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых» (под «периметром круга» Архимед понимает длину его окружности), и замечает, что так как

то для круга, имеющего диаметр, равный 497 единицам, длина окружности сомнительна в пределах одной единицы. Значит при больших диаметрах ошибка может стать очень большой.

Но что значит «большой диаметр»? Каши, как и многие астрономы, жившие до Коперника, Бруно и Галилея, считал, что диаметр сферы, на которой расположены звезды, примерно в 70 000 раз больше диаметра Земли, и это и есть самый большой диаметр, о котором имеет смысл говорить. Отсюда задача: надо так вычислить отношение длины окружности к диаметру, «чтобы мы были уверены, что в круге, диаметр которого равен 600 000 диаметрам Земли, разница между полученной величиной окружности и истинной была не больше волоса, так что разность для круга, меньшего, чем этот, была бы еще меньше».

Здесь необходимы следующие пояснения. Каши берет диаметр, больший наибольшего возможного (это уменьшит ошибку!) и удобный для вычислений в шестидесятиричной системе (600 000 = 60 • 104). Волос — наименьшая единица длины, принятая учеными того времени, он примерно равен 0,06 см. Окружность Земли считалась равной

8 000 фарсангов. В каждом фарсанге — 12 000 локтей, в каждом локте — 24 пальца, в каждом пальце — 36 волос, т. е. длина интересующей Каши окружности составляет

600 000 • 8 000 • 12 000 - 24 • 36 = 497 664 • 1011 « 5 ■ 1016 (волос)

Разность ^ получена из сравнения периметров описанного и вписанного 96-угольников. Ясно, что для решения задачи, поставленной Каши, надо получить разность, не превышающую - — . Какие же многоугольники придется для этого взять?

Известно, что периметры описанного и вписанного многоугольников относятся как их апофемы, т. е., если считать, что апофема описанного многоугольника равна единице, то

Для того, чтобы в эту пропорцию включить интересующую нас разность периметров Рп — Рп, вычтем из обеих частей равенства по единице и, выполнив простейшие преобразования, получим (предполагается, что учащиеся не знают производных пропорций):

Заметим слева в знаменателе периметр вписанного /г-угольника на периметр шестиугольника, тогда предыдущее равенство превратится в неравенство:

Заменим теперь разность Рп—Рп на -= 2-10~17 (увеличим числитель)—неравенство еще более усилится:

Геометрический смысл выражения 1—ап очевиден — это стрелка хорды, являющейся стороной вписанного тг-угольника. Решим неравенство относительно этого выражения:

Число ап есть правильная дробь, и если ее отбросить в числителе дроби, стоящей справа, то неравенство усилится еще более:

Имея оценку разности апофем, мы можем оценить и сторону правильного вписанного многоугольника, т. к. она может быть вычислена по формуле (мы не приводим совершенно очевидного рисунка):

Если в этом равенстве отбросить вычитаемое (1—ап)2 и вместо разности апофем подставить ее границу 3,4 10~18, то мы получим оценку для стороны /г-угольника:

Итак, надо построить такой вписанный многоугольник, стороны которого будут меньше полученной границы.

Каши шел несколько более тонким путем, и это позволило ему указать несколько большую границу значения длины стороны л-утольника:

Теперь надо установить, какое число сторон должен иметь правильный вписанный многоугольник, чтобы выполнялось предыдущее неравенство. Каши составляет таблицу, которая в десятичной системе счисления выглядит так:

№ шага

Число сторон

Доля дуги шестиугольника

1

6

1

2

12

0,5

3

24

0,25

4

48

0,125

5

96

0,0625

6

192

0,03125

7

384

0,015625

8

768

0,0078125

9

1 536

0,00390625

10

3 072

0,001953125

11

6 144

0,0009765625

12

12 288

0,00048828125

13

24 576

0,000244140625

14

49 152

0,0001220703125

15

98 304

0,00006103515625

16

196 608

0,000030517578125

17

393 216

0,0000152587890625

18

786 432

0,00000762939453125

19

1 572 864

0,000003814697265625

20

3 145 728

0,0000019073486328125

21

6 291 456

0,00000095367431640625

22

12 582 912

0,000000476837158203125

23

25 165 284

0,0000002384185791015625

24

50 331 648

0,00000011920928955078125

25

100 663 296

0,000000059604644775390625

26

201 326 592

0,0000000298023223876953125

27

402 653 184

0,00000001490116119384765625

28

805 306 368

0,000000007450580596923828125

Выполнив двадцать восьмой шаг, Каши останавливается — доля дуги, полученная на этом шаге, меньше указанной выше границы. Правда, это доля дуги, а нам надо дли-

ну стороны, но ведь сторона меньше дуги! Значит, чтобы решить задачу, поставленную Каши, надо вычислить стороны вписанного и описанного 6-228 = 805 306 368 — угольника. С какой точностью вести вычисления? На этот вопрос Каши отвечает так. «Так как первый разряд этого числа (805 306 368)— сотни миллионов, нам нужно найти величину одной стороны таким образом, чтобы пренебрегаемая часть дроби не выходила бы за пределы единицы двадцать пятого десятичного разряда, потому что, если мы умножим сторону на это число, пренебрегаемая часть дроби в периметре не выйдет за пределы 10~17, ибо если умножить 108 на Ю-25, получится 10~17». Это почти дословная цитата, мы лишь заменили шестидесятиричные дроби на десятичные и применили современную запись показателей степеней.

Но как вычислять стороны тг-угольников? Еще в первом разделе трактата Каши доказывает важное метрическое соотношение в круге. Его доказательство (оно может быть рассмотрено и независимо от всего остального материала как интересная историческая задача) на современном языке выглядит так.

Пусть в полукруге с центром Е и радиусом, равным единице, проведена хорда АС. Если D — середина дуги ВС, то хорды AD и АС связаны следующим соотношением (рис. 1):

Для доказательства проведем [DG]-L [AB] и, соединив D с В, получим AADB~AAGD, откуда

Рис. 1

Проведем теперь [EH]-L[AC]. По известной из курса геометрии VI класса теореме \АН\ = \НС\ гипотенузы прямоугольных треугольников DE G и ЕАН есть радиусы круга, а углы ЕАН и GED измеряются половиной одной и той же дуги СВ. Следовательно, эти треугольники конгруэнтны и

Преобразуем правую часть равенства

Отсюда, так как — =1, окончательно получим:

А дальше — очень простая мысль. Если АС —сторона правильного вписанного шестиугольника (рис. 2), то она равна единице и мы можем вычислить |ADi|. Зная можно по полученной формуле вычислить |ÂD2| и т. д. до любого К. Остается по теореме Пифагора вычислить длину хорды \BDk\, являющейся стороной вписанного 6^-угольника, определить его периметр, подсчитать периметр подобного вписанному описанного многоугольника и задача будет решена полностью.

Большая часть трактата как раз и состоит из 28 тщательным образом составленных таблиц вычислений, «приведенных, чтобы они были образцами для вычислителей и дорогой для того, кто пожелает убедиться в правильности

Рис. 2

этого». Выполнив вычисления с точностью до двадцати шестидесятиричных знаков, Каши добивается совершенно невероятной для своего времени точности результата, который записывает в шестидесятиричной и десятичной системах, да еще и в стихах на двух языках (арабском и персидском)! Итог его вычислений —

я = 3,1415926535897932

Трудно себе даже представить, какой колоссальный труд стоит за этими 17 знаками!

Конечно, мы не сможем повторить вычислений нашего соотечественника — для этого надо иметь очень много времени (или воспользоваться вычислительной машиной). Но мы можем следовать Каши, решая более скромную задачу. Пусть окружности будут не в 600 000 раз больше земной, а примерно равны ей, и вычислять их длины мы будем не с точностью до толщины волоса (у Каши — «волоса из гривы рабочей лошади»), а, например, так, чтобы разность периметров вписанного и описанного многоугольников не превосходила 100 км. На первый взгляд такое резкое ослабление требований может показаться несколько легкомысленным, но это только на первый взгляд— до того, как придется заняться вычислениями.

Следуя Каши (здесь мы опускаем вычисления — учащиеся легко могут выполнить их самостоятельно), установим прежде всего границу для стороны многоугольника, с помощью которого можно решить поставленную задачу. Так как сторона вписанного многоугольника должна быть меньше 0,041 радиуса, то нас может удовлетворить 192-угольник (это видно из таблицы). Нетрудно прикинуть, что сторона должна быть вычислена минимум с четырьмя верными знаками, поэтому промежуточные вычисления (в них есть квадраты, квадратные корни и разности близких друг к другу чисел) придется вести, как правило, с восемью десятичными знаками.

Сделаем еще одно несущественное отступление от трактата Каши. Мы не будем специально изучать его метод извлечения квадратных корней, а воспользуемся методом последовательных приближений, описанным в учебнике алгебры для VII класса.

Итак, первый шаг — вычисление длины хорды |ADi| = II 1^2+ Y 3. Первое приближение с четырьмя знаками после запятой возьмем из таблиц (это тоже несущественное отступление — Каши показывает в своих таблицах все вычисления, а мы будем пользоваться готовыми результатами). По таблицам м« 1,7321. Второе приближение найдем по формуле

Известно, что при пользовании этой формулой число верных знаков на каждом шаге практически удваивается, значит, нам достаточно воспользоваться этой формулой только один раз. Покажем подробно все вычисления так, как их целесообразно записать на классной доске.

Деление выполнено обычным «уголком», сложение и деление на два — в уме с записью результата под слагаемыми (делителем и частным).

Теперь предстоит вычислить длину хорды \AD2\ = 1^2+ 1^3. Мы опустим здесь вычисления, записав только значения этой и последующих хорд:

Обычно в классе учащиеся «выдерживают» лишь вычисление хорды |A£>i|, в лучшем случае — еще и |AD2|, а остальные результаты приходится сообщать им в готовом виде, так как к столь громоздким вычислениям они в большинстве случаев не подготовлены. Но записав (или вычислив) последний результат, необходимо достаточно тщательно проделать в классе все остальные вычисления. Зная |AD6|2 = 3,99892918, находим по теореме Пифагора квадрат стороны 192-угольника:

4,00000000—3,99892918 = 0,00107082

(вот почему пришлось брать так много десятичных знаков — при вычитании первые разрядные цифры заменились нулями!). Теперь, вновь обратившись к таблицам и методу последовательных приближений, найдем саму сторону:

V 0,00107082-0,0327234.

Наконец, самая интересная часть — вычисление периметра правильного вписанного многоугольника со 192 сторонами:

р192 = 0,0327234 -192 = 6,28289

и мы получили для числа я нижнюю границу, равную 3,1414...

Теперь необходимо вычислить периметр правильного описанного 192-угольника (обычно это заявление воспринимается в классе без энтузиазма — учащиеся уже изрядно устали от вычислений и готовы все остальное принять на веру). Но Каши тоже не вычисляет длину стороны такого многоугольника, а применяет остроумный обходный маневр, который повторим и мы.

Вновь обратимся к пропорции

рп уже вычислено (у Каши — р28, У нас — Р192). Заметим, что при достаточно больших k ап= —-— (апофема вписанного многоугольника приблизительно равна половине соответствующей хорды). Отсюда

При k = 6

Разумеется, деление в круглых скобках можно выполнить в уме, если знать простейшие правила приближенных вычислений, во всяком случае, достаточно найти две цифры, следующие за нулями в частном. Произведние (это своего рода «поправка») тоже следует вычислять с весьма ограниченной точностью (можно воспользоваться логарифмической линейкой).

Следовательно, для я получена верхняя граница 3,1419 и мы можем утверждать теперь, что

3,1414<я<3,1419.

Конечно, по сравнению с тем результатом, который получил Каши, наши 5 знаков выглядят очень скормно, но зато мы получили их самостоятельно!

Н. В. Александрова

(г. Вологда)

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В 5—6-х КЛАССАХ

В предлагаемой статье рассматриваются вопросы, относящиеся к возникновению нумерации, систем счисления, математической символики и т. п. Эти материалы неоднократно использовались во внеклассной работе по математике студентами Вологодского пединститута при прохождении ими педагогической практики. Опыт показал, что исторический материал такого рода в одинаковой мере подходит как для занятий математического кружка, так и для проведения математических вечеров. Учащиеся должны знать, каким нелегким и длительным был путь человечества к современной нумерации и позиционной системе счисления. Все это имеет немаловажное воспитательное значение.

I. О ПРОИСХОЖДЕНИИ ПИСЬМЕННОЙ НУМЕРАЦИИ

ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ В ДРНЕВНЕМ ЕГИПТЕ, РИМЕ, ГРЕЦИИ, НА РУСИ.

Сейчас почти всюду люди пользуются десятичной системой счисления. Числа 1, 2, 3, ... называются натуральными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский автор Боэций (475—524 гг.). В десятичной системе счисления любое число можно записать с помощью десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Эти цифры появились не сразу. Было время, когда совсем не было письменности. Тогда для запоминания чисел пользовались зарубками на деревьях и палках, узлами на веревках. С появлением письменности стали изображать число 1 одной черточкой, 2 — двумя и т. д. Следы таких цифр имеются в римской нумерации (I, II, III). Но черточки неудобны для записи

больших чисел. Поэтому для каждого числа стали употреблять особые значки — иероглифы. И в каком бы месте числа ни стоял такой значок, он всегда обозначал одно и то же число.

Египетские иероглифические цифры

4000 лет тому назад в Египте записывали числа до 99 с помощью двух значков 1 и П. Первый обозначает 1, второй —10. Для записи чисел от 1 до 9 писали столько черточек, сколько единиц содержало число.

Например, 6 записывали так: III. Для записи круглых десятков от 10 до 90 писали нужное число раз значение П. Например, число 30 записывали как ППП. Чтобы записать число 23, используем эти 2 значка, получим ППШ. Для чисел 100, 1000, ... были введены другие значки. ([2], стр. 52).

Римская нумерация

В римской нумерации 7 узловых чисел, с помощью которых можно записать любое число. Это числа:

При записи чисел в римской нумерации пользуются сложением или вычитанием узловых чисел.

Например, 4—IV, 6—VI, 7—VII, 9—IX, 40—XL, 60—LX, 980—CMLXXX, 1976—MCMLXXVI, 17842— —XVIImDCCCXLII (буква «m» означает, что записаны тысячи).

Из этих примеров видно, что римская нумерация неудобна, записи длинные, действия над числами письменно производить невозможно. Даже при чтении чисел надо устно складывать или вычитать.

Греческая нумерация

В некоторых странах (в Греции, на Руси, в Сирии, Грузии,...) существовала в свое время алфавитная нумерация. Числа записывали с помощью букв алфавита. Первая буква алфавита с черточкой над ней означала число 1, вторая — 2 и jr. д.

В Греции а означало 1, ß—2, у—3, ô—4, е—5, i—10, л—80, ф—500. Букв греческого алфавита хватило для записи единиц, круглых десятков и круглых сотен. Для записи круглых тысяч использовали опять буквы алфавита в том же порядке, ставя перед буквой штрих. Например,

Запишем некоторые числа в греческой нумерации. 1085—дхлё, 9504—,ёфо.

Славянская нумерация

Славяне заимствовали идею записи чисел с помощью букв алфавита у греков. ([2], стр. 56). Славянская нумерация употреблялась в России до XVIII века. Для обозначения больших чисел славяне изобрели способ, который не встречается у других народов. Они окружали одну и ту же букву различными рисунками и получали различные числовые единицы. (См. там же).

Десятичная система счисления

Десятичная нумерация и современные цифры возникли в Индии 1500 лет назад. Арабы заимствовали их у индусов, а от арабов десятичная система счисления перешла к европейцам. Поэтому цифры, которыми мы пользуемся, называются арабскими, хотя было бы правильнее назвать их индийскими. В десятичной системе счисления значение цифры зависит от места этой цифры в числе. Так, цифра 2 в числе 2512, стоящая на первом месте, означает 2000, а

на последнем — 2 единицы. Такие системы счисления называются позиционными.

Рассмотренные ранее системы являются непозиционными. В непозиционных системах счисления не было цифры 0, она просто не требовалась, так как 0 означает отсутствие некоторого разряда в числе. А если в числе не было какого-то разряда, то в непозиционных системах счисления просто не писали соответствующего значка.

Примеры для решения

1. Записать год своего рождения в римской нумерации.

2. Записать в римской нумерации даты жизни известных ученикам великих русских писателей.

3. Найти сумму и разность чисел, записанных в греческой нумерации:

ßqny и ала. Ответ: 3594; 1432

4. Решить примеры.

а) [mccxxv — (mcdxxxix—ccxxvi)]: iv

б) lxxiv—(ххшссхх:хх+С1Х):п п.

Ответ: а) 28, б) 18

II. ИЗ ИСТОРИИ ДРОБЕЙ. ДРОБИ В ЕГИПТЕ, ГРЕЦИИ, НА РУСИ

С глубокой древности людям приходилось не только считать предметы, но и измерять длину, площадь, время и другие величины. При этом результат измерения не всегда выражался целым числом. Так появляются дроби.

Самой древней дробью была-^-, затем появляются-*-, — » —, — • Дроби с 1 в числителе появились раньше дробей с другими числителями. Египтяне любую дробь старались выразить в виде суммы дробей с 1 в числителе. Для этого были составлены специальные таблицы.

О развитии математики в древнем Египте мы узнаем из дошедших до нас папирусов, один из них — «Московский», длина его 5,5 м; ширина 8 см, написан около 1850 года до н. э., он хранится в Москве. Другой — папи-

рус Ахмеса (длина 5,44 м; ширина 33 см) хранится в Лондоне. В этих папирусах есть таблицы представления дробей вида — в виде суммы дробей с 1 в числителе, когда п меняется от 3 до 101.

Например:

Дроби в древней Греции

Греки употребляли дроби не только с 1 в числителе, но с любыми числителем и знаменателем. При этом они писали числитель дроби под знаменателем. Например, дробь — записывали как —

В 6—5 веках до н. э. греки умели выполнять арифметические действия с дробями.

Дроби на Руси

До XVI века на Руси употреблялась алфавитная нумерация, а с XVI в. проникает десятичная система записи чисел, которая при Петре I вытесняет алфавитную. На Руси пользовались и дробями, которые называли так:

половина,

четь,

полчети,

пол-полчети,

пол-пол-полчети,

треть, полтрети, пол-полтрети, пол-пол-полтрети,

пятина,

седьмина.

Дроби на Руси называли долями, позднее — ломаными числами. Смешанные числа называли на Руси так:

полтора,

полтретья,

полчетверта,

полпята,

полшеста и т. д.

Примеры для решения

1) Найти число, если известно, что от прибавления к нему — его и вычитания от полученной суммы — ее получается число ПП1111. Ответ: 24.

2) Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

Один человек выпьет кадь питья в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь? Ответ. В 35 дней.

3) Из старинного русского учебника.

У приезжего гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в 3 алтына без полушки, но фрак в полтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

Указание. Алтын = 3 копейки, полушка = -7- копейки.

Ответ. Жилет стоил — алтына (2 — коп.), фрак 2 — алтына (6— коп.).

III. СТАРИННЫЕ РУССКИЕ МЕРЫ, ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МЕР

При измерении расстояний, как и при счете, человек пользовался вначале частями своего тела. Поэтому в прошлом мерами длины служили шаг, ладонь — ширина кисти руки (4 пальца), локоть — расстояние от локтя до конца среднего пальца. Но длина локтя, или шага у разных людей различна, а мера длины должна быть постоянной. Поэтому стали изготовлять образцы мер из деревянных линеек и металлических стержней. В разных странах были различные меры длины, площади, объема, веса, различные денежные меры.

Например, старинными русскими мерами являлись следующие: верста = 500 саженям (~ 1,067 км); аршин = 4 четвертям = 16 вершкам=28 дюймам ( — 71 см); четверть= = 4 вершкам ( — 17,77 см), фут = 12 дюймам (а30,48 см); сажень=3 аршинам = 7 футам (а2,13 м).

Меры веса на Руси

Пуд = 40 фунтам (а 16,38 кг), фунт (а410 г).

Денежные меры

Рубль = 100 коп. Полтинник = 50 коп. Пятиалтынный = 15 коп. Алтын = 3 коп. Гривенник = 10 коп. Грош = 1/2 коп. Полушка = lU коп.

Эти меры были неудобны тем, что более крупные единицы (длины, веса,...) были в разное число раз больше следующих за ними более мелких единиц. Гораздо проще и удобнее меры, у которых отношение двух ближайших единиц длины, веса и т. д. было бы одним и тем же, равным 10. Этим требованиям отвечает метрическая система мер. Ее родиной была Франция, где в конце XVIII в. произошла буржуазная революция, которая способствовала созданию новой системы мер. Французские ученые определили длину lU земного меридиана и разделили ее на

10 000 000 частей. Полученную длину и назвали метром (от греческого слова «метрон» — мера). Был изготовлен платиновый эталон метра.

Десятая часть метра равна следующей более мелкой единице длины — дециметру, сотая часть — сантиметру и т. д. Основной мерой вместимости стал 1 литр = 1 дм3. За основную меру веса был принят 1 кг — вес 1 дм3 воды при 4° С

В России метрическая система мер стала обязательной после Октябрьской революции.

Примеры для решения

1) Сколько верст в 10 км (с точностью до версты)? Ответ: 9 верст.

2) Сколько получится метров, если к полчетверта сажени прибавить полчетверти версты да еще полпята аршина (с точностью до 1 м). Ответ: 3745 м.

3) Старинная русская задача.

Четыре путешественника: купец с дочерью да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из которых крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец в полтретья больше крестьянина. Спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянке *Д коп; крестьянину 5—коп; купеческой дочери 8— коп.; купцу 13—коп.

4) Из русской рукописи XVII века.

«Юноша некий пошел из Москвы к Вологде и идет он всякий день по 40 верст. А другой пошел после него на следующий день, а на всякий день идет по 45 верст. Ино в сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти ми?»

Ответ: «На восьмой день на один ночлег сошлися».

IV. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.

Учение о десятичных дробях впервые рассматривает в XV веке среднеазиатский ученый Гияседдин Джемшид Ал-Каши.

В 1427 г. он написал труд «Ключ арифметики», где излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Ал-Каши записывал целую и дробную часть числа в одной строке, целую часть — черными чернилами, а дробную — красными. Или же отделял целую часть от дробной вертикальной чертой.

Независимо от Ал-Каши в XVI в. к десятичным дробям пришел в Европе нидерландский инженер и ученый Симон Стевин (1548—1620). Он написал небольшую книжку ив 7 страниц под названием «Десятая», в которой изложена вся теория десятичных дробей. Стевин записывал десятичные дроби двумя способами. Например, число 34,904 он записывал, как 34904 или 34о 9i О2 4з. Стевин всячески пропагандировал десятичные дроби, как имеющие большое практическое значение. Он первым потребовал введение десятичной системы мер и весов. Эта его мечта осуществилась спустя 200 лет, когда была принята метрическая система мер.

Десятичные дроби стали широко применяться с XVII в. В Англии стали отделять целую часть числа от дробной с помощью точки (18.515), которая и сейчас сохранилась для этих целей в США, Англии и некоторых других странах.

В 1616—1617 гг. английский математик Джон Непер предложил отделять целую часть от дробной запятой или точкой. Запятая употребляется еще раньше в трудах итальянского астронома Маджини (в 1592 г.), а точка в трудах немецкого математика Клавиуса (в 1593 г.).

В России учение о десятичных дробях впервые было изложено в «Арифметике» Магницкого.

Особенно широко десятичные дроби стали применяться в XIX в. после введения метрической системы мер и весов.

Сейчас десятичные дроби и их частный вид, проценты, применяются гораздо чаще, чем обыкновенные дроби.

V. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАКОВ

Математические знаки, которые сейчас употребляются, появились в результате длительного развития математики. В древности условия задач и ответы выражались словами, без каких-либо условных знаков для величин и действий.

Решение задач также записывалось подробно словами, что было очень громоздко и неудобно.

С конца XV века стали широко применять буквы и различные знаки действий. В XV в. итальянец Лука Пачоли употребляет буквы р и m для обозначения плюс и минус, а другие итальянские математики (Кардано, Тарталья, Бомбелли) еще и в XVI в. придерживаются таких обозначений. Но в конце XV в. в математических книгах других стран широко применяются знаки + и —. Эти знаки переняты из торговой практики, где они обозначали перевес и недовес. Чтобы не смешивать знак — с тире, в XVII в. стали минус обозначать -ь. Так поступает и Магницкий в своей «Арифметике».

Стевин употреблял для обозначения умножения и деления буквы M и Д. Косой крест X как знак умножения ввёл Аутрид (1631 г.). Точку в качестве знака умножения употреблял Региомонтан в XV в. Особенно подчеркивал значение точки, как знака умножения, Лейбниц (XVII в.).

Горизонтальную черту в качестве знака деления позаимствовал у арабов и применял Леонардо Пизанский (XIII в.). Знак деления: впервые встречается у Джонсона (1633 г.).

Скобки. В 1556 г. Тарталья употребляет круглые скобки. Начало употреблению квадратных скобок положил итальянский математик Бомбелли. Он употребляет перед выражением, которое нужно заключить в скобки, букву L, а в конце его эту же перевернутую букву. Фигурные скобки впервые употребляет Виет (1593) г.).

Термин «скобки» ввел Эйлер (1700 г.).

Широкое употребление скобки получили лишь в середине XVIII в. благодаря Эйлеру.

Знак равенства = ввел английский врач Роберт Рекорд в 1557 г. Этот знак не сразу был признан.

В 1631 г. Харриот предложил знаки неравенства > и <. Они быстро вошли в употребление, хотя были предложены позже знака = . Дело в том, что в то время в типографиях не было наборного знака = , а изготовление новых знаков требовало времени. А для знаков > и < можно было использовать латинскую букву У, стоило только повернуть ее на бок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глейзер. Г. И. История математики в школе.

2. Депман И. Я. История арифметики.

3. Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике.

4. Дышинский Е. А. Игротека математического кружка.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СМЕСЬ

Следующие задачи могут быть помещены в школьной «Математической газете» или же использованы на математическом вечере.

№ 1. Перед вами шесть квадратов из спичек. Попробуйте убрать три спички так, чтобы осталось четыре квадрата. Сколькими способами это можно сделать? Достаточно ли для этой цели убрать лишь две спички (Рис. 1).

№ 2. Четырех щенков разделите между тремя ребятами так, чтобы никто не получил щенков больше, чем остальные.

№ 3. На трех часах разное время: 7 часов 50 минут, 7 часов 53 минуты и 8 часов 6 минут. Можно ли определить точное время, если известно, что какие-то часы грешат на 4 минуты, какие-то — на 7, наконец, какие-то — на 9?

№ 4. В вашем распоряжении 12 спичек. Попробуйте составить из них 2 квадрата, 3 квадрата, 5 квадратов, 6 квадратов. Спички ломать нельзя. Сторона каждого квадрата должна быть равна целому числу спичек.

№ 5. Отыщите 17 треугольников на рисунке 2.

Рис. 1

Рис. 2.

№ 6. Прямоугольный лист картона имеет размеры 546 см X 138 ом. От него отрезают несколько квадратов со стороною 138 см до тех пор, пока это возможно, а затем от оставшегося прямоугольника отрезают квадраты со стороной, равной меньшей из сторон этого прямоугольника до тех пор, пока это возможно, и т. д. Сколько и каких квадратов всего получится?

№ 7. Предположим, что:

а) среди людей, имеющих телевизоры, не все являются малярами;

б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли из предположений а и б, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

№ 8. В старших классах одной из школ есть «ИИ-секция», т. е. «секция интеллектуальных игр». Известно, что 13 ее членов участвовали в шахматном турнире, 13 — в турнире по домино и 9 — в турнире по шашкам. Четверо увлекаются и шахматами и домино; двое умеют играть и в домино и в шашки; а трое — ив шашки, и в шахматы, и в домино. Сколько человек в «ИИ-секции» и сколько из них увлекаются одновременно шахматами и шашками?

№ 9. В примере на деление неизвестны все цифры, однако расшифровать его можно. Попробуйте это сделать.

№ 10. Сколько лет Фоме Фомичу, заведующему птицефермой, неизвестно. Неизвестно также, сколько лет его брату Фролу Фомичу, который на 17 лет старше Фомы Фо-

мича. Неиавестно, к сожалению, и сколько лет сыну Фомы Фомича, маленькому Фомке, который в 9 раз моложе своего дяди Фрола Фомича. Но если бы читатель догадался к числу лет Фомы Фомича прибавить первую, вторую, третью и четвертую степени этого же числа, то он получил бы число, которое в 1000 раз больше числа кур на птицеферме, которой заведует Фома Фомич. Сколько кур на птицеферме?

ХОРОШИЙ ПОМОЩНИК ПО ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ

В издательстве «Детская литература» вторым изданием вышла книга В. Н. Болховитинова, Б. И. Колтового и И. К. Лаговского «Твое свободное время» (Москва, 1975). В книге собраны различные занимательные задачи, опыты, игры.

Особого внимания преподавателей математики заслуживают разделы «Математические досуги» и «Логические задачи». Значительная часть содержащихся здесь задач вполне посильна для учащихся 4—5-х классов, что делает книгу особенно ценной. Почти ко всем задачам даны решения или ответы.

СОДЕРЖАНИЕ

Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С, Килина Н. Г., Лускина М. Г., Шутова Б. И. Система подготовки студентов Кировского пединститута к проведению внеклассной работы по математике ........... 3

Орлов А. И. Вероятностное пространство, неравенство Чебышева и закон больших чисел — основа курса теории вероятностей для школьников . . . . . . 13

Лифшиц М. А., Савелова Т. Е. Приближение иррациональных чисел рациональными ...... 30

Усова Р. А., Усов Л. В., Бланк А, Д. Решение систем линейных уравнений и обобщенная матрица ... .40

Зейфман А. И. Занимательная формулировка серьезных задач...........57

Губа С. Г. Доказательство неравенств на занятиях математического кружка ........ 64

Перевощикова Е. Н. Изучение бинарных отношений с семиклассниками ......... 73

Иванова Т. А., Кузнецова Л. И. Поворот пространства вокруг оси и углы Эйлера ....... 88

Приеде М. X. К вопросу изучения аффинных преобразований плоскости . . . . . . . . .104

Корикова Т. М. Применение векторов к решению аффинных задач в курсе стереометрии . . . . . .112

Каток С. Б. В математическом кружке для младших школьников . . . . . . . . . .122

Ломакин Ю. В., Козырева С. А., Соколова Г. А. Математические огоньки . . . . . . . .134

Иванова А. М. Методика организации и проведения эпизодических форм внеклассной работы студентами математического факультета ЛГПИ имени А. И. Герцена . . .148

Рузин Н. К. Материалы для внеклассной работы по математике .... ......155

Каминская Э. Л., Каминский Т. Э. Логические основы индуктивных доказательств . . . . . .166

Данилов А. Н. Об одном свойстве вписанного четырехугольника . . . . . . . . . .171

Лютомский Г. В. О самоконтроле при решении задач по математике . . . . . . . . . .177

Пичурин Л. Ф. «Трактат об окружности» Каши как материал для внеклассной работы по математике . . .186

Александрова Я. В. Материалы для внеклассных занятий по истории математики в 5—6-х классах . . .197

Математическая смесь ....... 208

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

Сдано в набор 25 .5 . 1976 г. Подписано к печати 7.12. 1976 г.

ГЕ01677. Формат 60Х84/,б. Усл. печ. л. 12,32. Уч.-изд. л. 9,77. Тираж 1000 экз. Цена 90 коп. Заказ 3660.

Вологодский государственный педагогический институт Областная типография, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.