МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОЛОГДА 1975

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОЛОГДА 1975

Редактор Ю. В. Ломакин.

© Вологодский государственный педагогический институт, 1975.

Настоящий сборник — коллективный труд работников математических кафедр педагогических институтов, посвященный проблеме подготовки студентов пединститутов к проведению внеурочной работы по математике.

Сборник рассчитан на преподавателей и студентов педагогических институтов. Содержащиеся в нем материалы могут быть использованы в период педпрактики студентов, при работе в школах юных математиков и летних математических школах. Мы надеемся, что и учителя школ также найдут здесь много полезного для проведения различных внеурочных занятий по математике.

Известно, что состав учащихся, охваченных внеурочной работой, далеко неоднороден. Наряду с постоянными участниками областных, республиканских и всесоюзных олимпиад здесь мы встретим также значительно более многочисленную группу учащихся, которые в своих успехах не пошли дальше городских или районных олимпиад, но тем не менее предпочитают математику всем другим предметам. Следовательно, имеется необходимость в таких материалах для внеурочной работы, которые были бы доступны для широкой аудитории учащихся.

В публикуемых статьях рассмотрены некоторые теоретические вопросы, а также обобщен опыт работы математических кафедр ряда вузов страны по указанной проблеме.

В сборнике четыре раздела : научно-популярный ; обмен опытом по подготовке студентов педвузов к проведению внеурочной работы, виды внеурочной работы; подборка материалов по истории математики; математическая смесь.

В первый раздел включены статьи, в которых дается разработка сравнительно больших тем внепрограммного математического материала в помощь руководителям математических кружков. Особый интерес представляет статья А. И. Орлова «Про управление запасами», в которой сделана попытка популярно рассказать о классических моделях теории управления запасами — одном из применений математики в экономике.

Во втором разделе даны статьи, в которых рассказывается об организационных формах и методах подготовки будущих учителей к проведению внеурочной работы по математике в Вологодском, Ленинградском, Саратовском, Ярославском и Южно-Сахалинском педагогических институтах.

В третьем разделе помещены сообщения о проведенных математических викторинах конкурсах и олимпиадах, рассказано об учебной работе в летней математической школе.

В разделе «Математическая смесь» собраны занимательные задачи и головоломки, которые могут быть использованы учителями в математических стенных газетах, на математических вечерах и т. п.

Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: 160000, г. Вологда, ул. Маяковского, 6, пединститут, кафедра математики.

Ю. В. Ломакин.

(г. Вологда)

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА К ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

XXIV съезд Коммунистической партии Советского Союза выработал обширную научно обоснованную программу экономического, социально-политического и духовного развития советского общества на длительный период. Одним из необходимых условий осуществления этой программы является всестороннее улучшение качества подготовки специалистов для народного хозяйства, науки, культуры и просвещения.

Опыт преподавания математики по новым программам и учебникам показывает, что повысился научный уровень изложения учебного материала, улучшилось качество знаний учащихся и возросло их сознательное отношение к труду, более полно стали раскрываться воспитательные возможности математики как учебного предмета, учителя стали больше уделять внимания коммунистическому воспитанию учащихся. Воспитательные задачи в школе решаются не только на уроках, но и в разносторонней внеурочной работе.

В «Обращении делегатов Всесоюзного съезда учителей ко всем учителям, работникам народного образования, родителям и общественности СССР» сказано: «Съезд считает одной из основных задач школы — дальнейшее улучшение всей внеклассной и внешкольной работы, расширение различных кружков, обществ, объединений учащихся по интересам, создание максимально благоприятных условий для проявления инициативы и творческих замыслов, развитие юных дарований и способностей».

Многие учащиеся стремятся дополнить объем своих знаний по математике и ее приложениям, участвуя во внеурочной работе. Такое стремление учащихся к расширению знаний наблюдается в каждой школе, и долг учителя математики не погасить, а развивать и поддерживать его путем организации кружков, проведения математических боев, вечеров и викторин, подготовки к олимпиадам и т. д., т. е. сделать все то, что будет способствовать повышению интереса учащихся к математике, будет помогать решению учебно-воспитательных задач школы.

Главным направлением совершенствования внеурочной работы является усиление идейной направленности всех внеклассных мероприятий. Стержень всего, что делает школа,— коммунистическое воспитание, формирование целостной человеческой личности будущего строителя коммунизма. Чем глубже и всестороннее в классной и внеурочной работе будут закладываться основы марксистско-ленинского мировоззрения, тем полнее школа может решать задачи, поставленные партией и народом.

В стенах педагогического института будущего учителя необходимо готовить к проведению внеурочной работы по математике.

Модернизация школьного математического образования порождает массу проблем, связанных с внеурочными занятиями по математике. Это и поиски новой тематики внеклассных занятий, и утверждение новых, более активных форм работы с учащимися. Рассмотреть все эти проблемы на занятиях по методике преподавания математики не представляется возможным из-за небольшого количества часов, отводимых на этот курс. Между тем начинающий учитель сталкивается с немалыми трудностями при организации внеурочной работы в школе.

Теоретическая подготовка студентов к проведению этой работы осуществляется согласно учебному плану: лекции и практические занятия по математическим дисциплинам и по методике преподавания математики, спецкурсы и спецсеминары по внекласссной работе, по истории математики и по школьным факультативным курсам, курсовые работы. Кроме того, студенты получают теоретическую подготовку и приобретают определенные практические навыки, участвуя в кружках НСО, в факультетских олимпиадах и коя-

курсах, в математических боях и вечерах, в ходе педпрактики и т. д.

Однако в стенах педагогического института будущему учителю необходимо дать не только теоретические знания, но и привить профессиональные навыки, а главное пробудить у него творческий подход к работе. Делать это целесообразно не только на лекциях, практических и семинарских занятиях, но и через продуманную систему общественной работы студентов.

Необходимо, чтобы соответствующая теоретическая и методическая подготовка сопровождалась приобретением студентами практических навыков проведения разнообразных внеурочных занятий с учащимися. Студент, который испытал удовлетворение от результатов своей внеурочной работы еще в стенах института, захочет проводить ее и тогда, когда станет учителем.

Кафедра математики Вологодского педагогического института разработала и проводит в жизнь систему мер для подготовки студентов отделения математики к внеурочной работе по предмету. В эту систему входят: подготовка и проведение летних математических лагерей (ЛМШ) для учащихся сельских школ Вологодской области, активное участие в работе школы юных математиков (ЮМШ) для учащихся города Вологды, математические олимпиады разных рангов, студенческий математический лекторий

Ежегодно, начиная с 1971 года, мы организуем областной оздоровительный лагерь «Математик» для учащихся сельских школ. В лагере отдыхают и занимаются по 120 ребят, окончивших 6—9-е классы. В каждом лагере работает 18—20 студентов-математиков нашего института. Такая честь предоставляется лучшим из лучших. Они составляют то ядро на отделении математики, которое помогает кафедре проводить в жизнь всю работу со школьниками.

В 1971/72 учебном году была создана школа юных математиков. В первый год в школе работала 21 группа 7—8-х классов в 12 школах города, с общим числом 250 учащихся. В прошлом учебном году работало 43 класса с охватом до 500 учащихся. Учителями ЮМШ являются студенты II—III курсов. В каждом классе занятия ведут два студента, т. е. работой в ЮМШ ежегодно занято 80—90 студентов.

Четвертый год при кафедре математики работает студенческая лекторская группа. Основными задачами лектория являются: помощь школе в пропаганде математических знаний и подготовка студентов к политико-воспитательной работе среди населения. Лекторская группа состоит из 40 студентов I—IV курсов. Все члены лекторской группы посещают школу молодого лектора.

Заключительным этапом целого комплекса внеурочных занятий по математике являются олимпиады. Большую работу в подготовке и проведении олимпиад выполняют студенты-математики. Они участвуют в составлении задач для школьных и районных олимпиад, выезжают представителями областного оргкомитета на районные олимпиады, где проводят разбор задач, выступают с лекциями перед учащимися.

Во всех перечисленных формах работы со школьниками ежегодно участвует около 150 студентов отделения математики, т. е. практически каждый второй студент-математик ежегодно принимает активное участие в работе со школьниками, интересующимися математикой. Студенты отделения математики за время учебы в институте обязательно принимают участие в одной или двух из вышеперечисленных форм работы со школьниками. При этом студенты получают и навыки научной работы.

В последние годы на внутривузовских научных студенческих конференциях студенты выступают с результатами своих исследований по тематике, связанной с работой со школьниками. В прошлом учебном году исследования двух студентов, связанные с работой ЮМШ, переросли в выпускные работы, которые они успешно защитили в ГЭК нашего института вместо государственного экзамена «Педагогика с методикой преподавания математики». 7 студентов отделения математики в феврале 1974 года приняли участие во Всесоюзной конференции по вопросам работы со школьниками, которую проводил Ленинградский государственный университет имени А. А. Жданова, они сделали там 4 научных доклада.

Кафедра математики старается поддерживать контакты со своими выпускниками. Кроме традиционной работы с учителями по линии ИУУ, совместно с облоно и ИУУ в январе 1971, 1972, 1974 годов были проведены семинары учителей математики области, на которых присутствовало по

150—180 лучших учителей области и города. На этих семинарах обсуждались вопросы, связанные с постановкой и методикой проведения внеурочных занятий и факультативов по математике, а также вопросы, связанные с методикой работы по новым программам. В чтении лекций на семинарах принимали участие как преподаватели кафедры, так и приглашенные преподаватели из других вузов. Учителя школ области рассказывали о своем опыте проведения внеурочных занятий по математике и о работе по новым программам.

Сейчас готовится совместно с OK ВЛКСМ первая встреча с молодыми учителями математики, которая намечена на март 1975 года.

Кафедра оказывает шефскую помощь учителям школ Сокольского, Вологодского и Грязовецкого районов нашей области. Эта помощь заключается в организации научно-методических консультаций, в проведении районных семинаров учителей математики, в чтении в школах лекций. В школах этих районов проходят практику студенты выпускного курса, в период практики они оказывают практическую помощь школам по внеклассной работе с учащимися, в оборудовании школьных математических кабинетов.

Руководствуясь Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему улучшению условий работы сельской общеобразовательной школы» и опираясь на уже имеющийся опыт, мы намечаем систему мер по дальнейшему совершенствованию подготовки студентов отделения математики к внеурочной работе по предмету.

А. И. Орлов. (г. Москва)

ПРО УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

На складах и в кладовых хранятся самые разные запасы — кирпичи и духи, тракторы и сахар, книги и хлеб. А директор магазина Д запасает... цыплят. Однажды он пришел к математику M и его ученику У.

I Основная модель

Д : — В зоомагазине продают цыплят. Точно в назначенные мною сроки привозят новые партии. Держать в магазине слишком много цыплят невыгодно — за ними надо тщательно ухаживать. И кормить, конечно. За доставку каждого заказа приходится платить, так что требовать только одно цыпленка не стоит. Посоветуйте, какой размер партии выгоднее всего?

M : — Сначала надо построить математическую модель. Сильно ли колеблется день ото дня число проданных цыплят?

Д: — Будем считать, что нет.

M : — Обозначим буквой г ежедневный спрос. А что вы делаете, если покупатель есть, а цыплят нет?

Д : — Такого не может быть, мы дорожим честью магазина!

М:—Значит, изменение запаса 5 цыплят в магазине можно изобразить ломаной (рис. 1). Вы получаете партии из Qo, Qu Ö2,.- цыплят (вертикальные отрезки) в моменты времени t0 = 0, tu ^2,..., наклон остальных звеньев равен ежедневному спросу г (ВС/AB = г). Ломаная лежит выше оси времени, опускаясь до нее в некоторых точках. Во что обходится содержание цыплят?

Д : — Затраты за день пропорциональны их числу.

М: — А на одного идет F рублей в день. За время Т все

Рис. 1

цыплята вместе пробудут в магазине столько дней, какова заштрихованная площадь под графиком (рис. 1). А затраты будут в F раз больше. Сколько платите за доставку?

Д : — Каков бы ни был размер партии, G рублей.

M : — Значит, за время Т затраты в день равны

и вы хотите сделать их как можно меньше, выбрав оптимальный план поставок, т. е. размеры партий Qo, Qi, 02, .. и моменты прихода заказов t\9 t2,... Согласны вы с такой моделью? Д: —Да.

1.* Почему не упоминается цена цыпленка?

II. Как устроен оптимальный план?

M : — Возьмем какой-нибудь план и попробуем улучшить. Сначала будем его менять только до момента, скажем, Т = /3.

У: — Невыгодно иметь запас, когда приходит очередная партия. Стоит заменить черный график на пунктирный (рис 2). Число заказов и моменты их доставки останутся прежними, а площадь под графиком уменьшится на заштрихованную. Для пунктирной ломаной

а площадь под графиком

* Здесь и далее арабские цифры используются для нумерации задач, а римские — для нумерации разделов статьи.

Рис. 2.

M : — Может быть, площадь будет меньше всего, когда цыплят доставляют через одинаковые промежутки времени?

У: — Пусть

2. Проверьте!

Второе слагаемое равно 0.

3. Почему?

А сумма квадратов

меньше всего при ai = (х2 = аз = 0. Вы правы!

M : — Что изменится в рассуждениях, если менять план до получения не третьего, а п-то заказа?

У : — Только число слагаемых в формулах будет другим, и все!

4. Проведите рассуждения в общем случае (Т = /п). М: — Итак, выгодно все время требовать партии одного и того же размера Q (рис. 3).

Рис. 3.

III Самый выгодный размер партии

M : — Пусть в момент Т доставлен заказ. Уже куплены Т цыплят--партий* (рис. 3). Под графиком треугольников, площадь каждого — Q2/2r. Истрачено Т, и на день приходится

(2)

Какое Q самое выгодное? Ответь сначала, при каком положительном у величина у+Чу меньше всего?

У:

5. Проверьте!

Правая часть меньше всего при

М:—А когда достигает минимума

У : —Заменой

сводим дело к предыдущей задаче, так как

Минимум равен

и достигается при х =

формуле (2) А = G г, В — F/2. Значит, наивыгоднейший размер партии

минимальные затраты

(в день), между поставками проходит

а расходы за это время 2 G.

6. Проверьте вычисления и размерность.

М: — Эти формулы носят имя американского ученого Р. Вильсона и получены еще в первой четверти нашего века.

7. Если X и у неотрицательны, то

* Доставленную в момент Т не считаем.

IV. Влияние отклонения от оптимальности

Д : — По вашим формулам может получиться, что надо заказывать 117,34 цыпленка! Бессмыслица!

М:—Если требовать Q, а не Qom, то расходы возрастут:

8. Докажите эту формулу.

Но если размер партии отличается от оптимального нз более чем на 10 процентов, то затраты увеличиваются лишь на 0,6 процента или даже еще меньше.

9. Проведите вычисления.

V. Более точное понимание оптимальности

У: — Мы доказали, что затраты за время Т меньше всего при плане с Q = Qom (рис. 3), но это верно, если в момент Т доставляется очередная партия. Значит, только для Т кратных Q0m (г) !

М: — Ты прав. Обозначим и^опт (Т) затраты за время Т при плане (рис. 3) с Q = Qom-, а Щ(Т) — при каком-нибудь другом плане. Если Т кратно Qom/r, то обязательно щ(Т) > Щоич (Г), а если нет, то найдется план с щ(Т) < < Щоп? (Т).

10. Постройте такой план.

Пусть

Всегда

11. Докажите!

Чем больше 2\ тем меньше V(n+i)> тем лучше план с Q = QonT. А мы планируем поставки надолго. Значит, формулы Вильсона определяют действительно оптимальный план!

VI. Обобщения основной задачи

У : — У нас затраты на содержание 5 цыплят равны FS в день. Но ведь каков бы запас ни был, нужны склад (S — x и сторож! Разумнее считать, что расходы A+FS в день (А — постоянный член).

M : — Оптимальный план не изменится при таком обобщении!

12. Почему?

У : — Директор считал, что цыплята всегда есть. Но, может быть, выгоднее сэкономить на содержании, допустив небольшой дефицит — несколько покупателей уйдут с пустыми руками?

М: — Как подсчитать убытки от потери доверия покупателей? Модель с дефицитом лучше строить не для магазина, а для склада. Если нет продукта, склад платит штраф — каждый день пропорционально нехватке. Сохраним все предположения основной модели, кроме отсутствия дефицита. Неудовлетворенный спрос будем рассматривать как отрицательный запас. График изменения запаса изображен на рис. 4. Формулу (1) надо заменить на

(1)'

Здесь H — плата за нехватку единицы продукта в день.

13. Выясните структуру оптимального плана поставок и найдите самый выгодный размер заказа.

14. Как изменится решение предыдущей задачи, если плата в день за нехватку s равна не Hs, a Hs -f I (I—штраф за наличие дефицита)?

15. А если есть еще, как в задаче 12, постоянный член в плате за хранение?

У: — Чем больше Н, тем ближе модель с дефицитом к основной модели.

Рис. 4.

M : — Другое обобщение — заказ поступает не весь сразу, а постепенно, q единиц в день.

16. Постройте теорию для модели без дефицита. Что будет при q = г?

17. Допускается дефицит.

18. Есть постоянные члены в платах за хранение и дефицит.

У: — Если число q очень велико, то весь заказ поступает практически одновременно, и опять получаем основную модель.

М:—Может существовать скидка на размер заказа. Или, наоборот, надбавка.

19. Пусть в основной модели плата за доставку равна G+G{Q-{-G2Q2. Что изменится?

20. Попытайтесь обобщить основную модель во всех четырех направлениях сразу — а) допускается дефицит ; б) заказ поступает с конечной скоростью; в) есть постоянные члены в платах за хранение и дефицит; г) учитывается скидка на размер заказа.

VII. Модели и действительность

Д : — Любая модель описывает явления лишь приблизительно. Как проверить пригодность ваших формул? Вдруг вы чего-нибудь не учли, а я буду пользоваться вашими рекомендациями, и магазин понесет большие убытки?

М: — У вас есть записи, как шла торговля в прошлом году. Предположите, что модель была введена уже тогда. Сравните, какие расходы сделаны в действительности, а какие получаются по теории, если спрос такой, какой был. И решайте, полезна модель или нет!

Д: —А зачем вы разработали так много моделей?

M : — Считать легче по более простой, а с помощью сложных можно исследовать, как влияют факторы, не учтенные в простой. Например, во всех обобщениях основной модели величина оптимального запаса либо больше, чем получается по формуле Вильсона, либо такая же, но никогда —меньше. Поэтому, пользуясь основной моделью, стоит «округлять» Qoiit в сторону увеличения, но не уменьшения.

21. Исследуйте, как возрастут затраты в сформулированных выше моделях, если заказывать Q вместо Qodt.

22. Обычно коэффициенты F, G, Я, ... известны лишь с

какой-то степенью точности. Вычисления ведутся с искаженными Z7*, G*, Я*,..., которые, однако, достаточно близки к настоящим. Какова при этом погрешность оптимального размера партии и затрат?

23. Для решения задачи 22 полезны неравенства

Докажите их.

Научное управление запасами

Д : — Обычно на складе хранится много разных продуктов.

M : — Если заказывание и доставка каждого из них не зависит от остальных, то можно пользоваться моделями для одного продукта.

Математическая теория управления запасами сейчас быстро развивается. Напечатаны тысячи книг и статей, созданы и используются самые разные модели. Мы разобрали лишь простейшие. Формулы Вильсона получены элементарными средствами, но они широко применяются и приносят большую пользу. Конечно, в теории запасов есть и весьма трудоемкие области, и даже у БЭСМ-6 не хватает сил досчитать часть программ до конца.

ЛИТЕРАТУРА

Дж. Букан, Э. Кенигсберг. Научное управление запасами, М., «Наука», 1967.

Ю. И. Рыжиков. Управление запасами, М., «Наука», 1969.

Дж. Хедли, Т. Уайтин. Анализ систем управления запасами, М., «Наука», 1969.

Ф. Хэнсмен. Применение математических методов в управлении производством и запасами, М., «Прогресс», 1966.

Указания

1. Если цена изменится, а спрос будет прежним, то затраты на доставку и содержание цыплят тоже сохранятся.

3. Потому, что

7.

8. Воспользуйтесь формулой 2, формулой Вильсона и тождеством

12. В формуле 1 добавится постоянный член А, но положение минимума функции не изменится от его прибавления.

13. Возьмем какой-нибудь план поставок и попробуем его улучшить. Пусть S — запас в момент доставки, а до следующей пройдет А дней. При каком 5 меньше всего затраты FPi~\-HP2 (см. рис. 5) за время между поставками?

Выразив Pi и Р2 через А, получим квадратный трехчлен, который достигает минимума, равного

Как и в модели без дефицита, оптимальным является один из планов с равными интервалами между поставками. Роль F в формуле (2) играет

Оптимальный размер заказа

По сравнению с основной моделью Сопт увеличивается в

Рис. 5.

14—15. Затраты за время А между поставками — квадратный трехчлен от А, поэтому в оптимальном плане одинаковы промежутки между поставками. Наивыгоднейший размер заказа — тот же, что в задаче 13. От постоянных членов в платах за хранение и дефицит зависят только начальный запас Qo и затраты.

16. Как и в основной модели, выгодно, чтобы к началу поступления заказа на складе ничего не было. В оптимальном плане все партии равны,

17. Сначала не будем менять моменты, когда запас, увеличиваясь, проходит через 0. Снова все партии равны,

18. Влияние этих членов такое же, как в задачах 14—15.

19. Расходы в день будут такие:

Учебно-воспитательные цели. В статье сделана попытка популярно рассказать о классических моделях теории управления запасами — одном из применений математики в экономике. Различным аспектам этой теории посвящены тысячи книг и статей, экономический эффект ее применения достаточно высок (подробнее см. литературу, указанную в конце основного текста). Однако развитие теории управления запасами в СССР пока сильно отстает по сравнению с США. Не последнюю роль в этом отставании играет недостаточная популяризация постановок, результатов, методов и проблем, связанных с управлением запасами. А между тем рассказать об одной из основных ее формул — формуле Вильсона, — можно школьнику, знающему лишь неравенства и квадратные корни! Насколько автору известно, настоящая статья является первой попыткой (по крайней мере, на русском языке) изложить результаты Вильсона для школьников.

Построение математической модели реального явления— достаточно сложное дело, которому необходимо специально учить. Поэтому в статье подробно обсуждаются предположения, лежащие в основе моделей.

Методические замечания. Форма беседы выбрана для того, чтобы легче формулировать вопросы, обдумывание ответов на которые необходимо для понимания построения и анализа математической модели. Составной частью статьи являются задачи и упражнения, решение которых необходимо для овладения излагаемым материалом.

Г. Д. Балк (г. Смоленск)

ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ НА ЗАНЯТИЯХ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

Анализ ответов учащихся на школьных выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вуз показывает, что учащиеся сплошь и рядом при определении математических понятий допускают грубые ошибки как логического, так и фактического характера.

Мы провели такой эксперимент: предложили 10 студентам 1 курса физмата пединститута дать определение пирамиды. В девяти ответах содержались ошибки!

Возможности для обсуждения на уроках математических определений сравнительно ограничены, но на кружковых занятиях, при работе с наиболее развитыми учащимися учитель может пойти значительно дальше. Многие школьные учителя уделяют достаточно внимания тому, чтобы снабдить учащихся законченными, четкими определениями используемых в курсе понятий. Однако необходимо отдать себе отчет, что сообщение учащимся «готовых» корректных определений еще недостаточно для решения другой, не менее важной педагогической задачи, а именно — для привития школьникам навыков самостоятельного образования определений новых понятий. Этой задаче — учить определять — средняя школа уделяет мало внимания.

В процессе обучения математике особую роль играет первое знакомство учащегося с теми или иными новыми для него понятиями. «Известно, — пишет А. Я. Хинчин ([1], стр. 98), — какое подчас решающее значение имеет именно обстановка и характер первой встречи с понятием. Уже в зрелом возрасте у человека при упоминании того или другого термина почти всегда всплывают ассоциации,

связанные именно с характером этой первичной встречи. Весь стиль, вся эффективность, практическая действенность понятия, как правило, существенно зависят от того, в какой обстановке, в каком окружении оно впервые вошло в наше сознание». К сожалению, в практике урочных и внеурочных занятий эта «обстановка», это «окружение» еще оставляют желать лучшего. Нередко рассмотрение нового понятия (на уроках или на кружковых занятиях) начинается сразу с определения этого понятия; тем самым ученики лишаются возможности самостоятельно изобрести такое определение. Неудивительно, что, забыв частично словесную формулировку определения, учащиеся зачастую не в состоянии это определение восстановить.

«Учить определять» (а не только «заставить выучить» какие-либо новые определения) и тем самым привить школьникам творческий подход к образованию определений — вот какой должна быть основная цель проведения кружковых занятий по данной теме в школе.

Остановимся более подробно на отдельных моментах, которые заслуживают внимания на таких внеурочных занятиях.

I. Применение индуктивных соображений при построении определений. Речь идет здесь, прежде всего, о рассмотрении с учащимися ряда приемов, сходных с определениями.

В школьном преподавании математики о приемах, сходных с определением (например об описании), либо вовсе не упоминается, либо же обращается внимание на их несовершенство по сравнению с определением. Нередко делается упор на неполноценность отмеченных приемов, на то, что к ним приходится прибегать лишь в тех случаях, когда мы не можем дать полноценного определения. В то же время о положительных сторонах, о педагогической ценности этих приемов в процессе образования определений, обычно умалчивают. Между тем существенно, чтобы процесс формирования понятия, процесс творческого поиска учащимися определения этого понятия не был скомкан, чтобы в нем, в этом процессе, нашел применение богатый арсенал приемов, сходных с определениями, а именно : указание ; сравнение ; противопоставление; объяснение слова или перевод термина, обозначающего понятие; характеристика; описание1. Во многих случаях использование таких приемов при озна-

комлении учащихся с новым понятием должно предшествовать определению (менее существенно здесь то обстоятельство, что те же приемы могут, разумеется, использоваться— и действительно используются—также после введения определения, чтобы оттенить отдельные моменты этого определения).

Например, при введении в кружке понятия простого многогранника вряд ли разумно начать с определения этого понятия. Уместно, чтобы определению здесь предшествовало указание («Вот это — простой многогранник, и это простой, а вот этот — непростой»); затем характеристика («Каждый замкнутый разрез разбивает простой многогранник на две части, а непростой многогранник может и не разбиваться замкнутым разрезом»), и т. п.

II. Применение аналогии при выборе определений новых понятий. Полезно обращать внимание учащихся на то,

что в математике нередко новые понятия вводятся по аналогии с ранее имевшимися понятиями. Так определение сферы дается по аналогии с определением окружности: окружность на плоскости — и сфера в пространстве — это множество всех точек (соответственно плоскости или про-

1 Отметим, в каком смысле понимаются здесь эти термины. Указание имеет целью обратить внимание учащихся на какие-либо единичные объекты, являющиеся представителями данного понятия. Характеристика выражает какое-либо одно свойство, признак, черту интересующего нас понятия. Например, «Медиана — это отрезок», «Все точки медианы принадлежат треугольнику». Сравнение проявляется в том, что мы формулируем какое-либо свойство понятия, одновременно указывая на сходное свойство другого понятия. Например, «У призмы число всех ребер втрое больше числа сторон основания, и у усеченной пирамиды — также число всех ребер втрое больше числа сторон основания». С противопоставлением мы имеем дело, когда, отмечая наличие какого-либо свойства у интересующего нас понятия, сопоставляем его с другим, близким понятием, уже не обладающим этим свойством.

Объяснение слова. Например, «геометрия» означает в переводе на русский язык «землемерие» (но это, конечно, не определение: геометрия не является только наукой об измерении земли и, видимо, никогда такой не была). Описание имеет целью дать учащимся представление о том или ином понятии, причем допустимо использование других, ранее не определенных понятий, если школьники имеют некоторое знакомство, хотя бы интуитивное, с этими понятиями. Описание может включать перечисление ряда свойств интересующего нас понятия, без анализа того, являются ли эти свойства зависимыми между собой или независимыми.

странства), находящихся на данном расстоянии от данной точки.

Аналогия часто является отправным пунктом при построении новых научных теорий. Так, например, исчисление кватернионов было создано Гамильтоном по аналогии с исчислением комплексных чисел. А исчисление матриц возникло в работах А. Кэли по аналогии с исчислением кватернионов.

Нетрудно понять, насколько важно, чтобы учащиеся ясно осознавали наличие аналогии в различных понятиях. На это полезно обратить внимание и на уроках (при изложении нового материала, при повторении) и особенно на внеурочных занятиях. Школьникам может быть предложено: самостоятельно придумать, привлекая соображения аналогии и опираясь на наглядные представления, указания или описания, определения таких понятий, как «шар» (по аналогии с кругом), «параллельные плоскости» (по аналогии с параллельными прямыми), «касательная плоскость к шару» (по аналогии с касательной к окружности), «двугранный угол» {по аналогии с плоским углом), «наклонная к плоскости» (по аналогии с наклонной к прямой), «эквивалентные системы уравнений» (по аналогии с эквивалентными уравнениями) и др. Если учащиеся допускают неточности в определении какого-либо понятия, то иногда полезно предложить им вспомнить определение какого-либо аналогичного понятия, а затем внести исправления с учетом этой аналогии.

III. На занятии кружка при рассмотрении данной темы важно обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что среди бесконечного множества свойств какого-либо математического понятия обычно удается выделить одно свойство (или несколько свойств), из которого (или из которых) уже логически вытекают все без исключения остальные свойства этого понятия («характеристическое свойство»). Смысл определения как раз и состоит в том, чтобы зафиксировать характеристическое свойство понятия.

После того, как учащиеся на занятиях кружка получили представление об образовании определения путем указания рода и видового отличия, естественно рассмотреть те требования, которые следует предъявлять к определениям. Нужно четко разграничить обязательные требования, которые следует предъявлять к определениям математических

понятий, и пожелания, причем в рамках кружковых занятий целесообразно ограничиться фиксированием внимания только на двух обязательных требованиях (подробнее см. [2], стр. 266):

А) Нельзя определять новое понятие через неизвестное ранее понятие.

Б) Определяемое понятие должно существовать.

Помимо этих двух обязательных требований, имеются еще несколько пожеланий, которые должны быть учтены лишь по мере возможности при формулировке определений; отступление от этих пожеланий в школьном преподавании математики не должно рассматриваться как ошибка и в ряде случаев даже целесообразно по тем или иным конкретным причинам.

Приведем эти пожелания (подробнее см. [2], стр. 266):

а) по возможности предпочесть «более близкий» род;

б) строить определения экономно ;

в) предпочитать неотрицательные определения.

IV. Эквивалентные определения. На кружковых занятиях полезно обратить внимание учащихся на то, что у каждого понятия обычно имеется не одно, а много различных характеристических свойств. При различных выборах такого свойства мы получаем различные определения одного и того же понятия. При этом определения оказываются эквивалентными. Сравнивая два предложения: «Квадрат — это равносторонний прямоугольник», «Квадрат — это равноугольный ромб», убеждаемся, что любое из этих предложений можно рассматривать как определение квадрата: ведь в каждом из них указан род и видовое отличие. Эти два определения эквивалентны,, т. к. выделяют один и тот же класс фигур. В общем случае: два определения одного и того же понятия называются эквивалентными, если каждый объект, который подходит под первое определение, обладает также всеми свойствами, о которых говорится во втором определении, и наоборот.

V. Разъяснение того, в каком смысле можно говорить, что определение правильно (или неправильно). Ознакомление учащихся лишь с определениями, приводимыми в школьном учебнике, недостаточно для того, чтобы научить школьников самостоятельно определять. На внеурочных занятиях необходимо остановиться еще на том, по какой причине должны мы одни предложения-определения считать

правильными, а другие — отвергнуть как неправильные. Характерной в этом отношении ситуацией является та, которая возникает, когда учащимся X класса напоминают определение призмы «по А. П. Киселеву» (см. [4], стр. 37): «Призмой называется многогранник, у которого две грани— равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани — параллелограммы» ; затем показывают им ромбический додекаэдр (см. подробней о нем [2], стр. 270, или [4], стр. 95) (который, как известно, подходит под «киселевское» определение призмы) и говорят: «Определение призмы по А. П. Киселеву — неправильное, потому что вот этот многогранник (ромбический додекаэдр) — не призма». Вряд ли можно считать такой (весьма распространенный) довод безупречным. Ученик вправе возразить: «Почему же этот многогранник (ромбический додекаэдр) — не призма, если он подходит под определение призмы?». Ограничиться лишь ссылкой на наши интуитивные представления — это скользкий путь2.

Вопрос о правильных и неправильных определениях заслуживает тщательного рассмотрения на кружковых занятиях. Понятно, что определение должно быть отвергнуто как неправильное, если не соблюдены те два обязательных требования, которые были указаны выше; или, если пропущено указание на род или видовое отличие. В таких случаях можно говорить, что определение содержит логическую ошибку. Например, определение: «Окружность — это, когда все точки равноудалены от центра» неправильно уже пото-

2 В математике нередко оказывается, что введенное определение какого-либо понятия не полностью соответствует нашим «интуитивным» представлениям об этом понятии, охватывает «лишние» случаи (или, наоборот «пропускает» какие-либо случаи). Однако такое обстоятельство само по себе еще не может служить основанием для отказа от того или иного определения. Для примера достаточно вспомнить определение пирамиды в школьном курсе геометрии (в методической литературе уже отмечалось, что школьник, встречавшийся ранее с пирамидой лишь при изучении истории Египта, «интуитивно» относит к «пирамидам» только правильные четырехугольные пирамиды), или определение усеченной пирамиды (интуитивному представлению школьника об усеченной пирамиде соответствует любой многогранник, образованный при пересечении пирамиды произвольной плоскостью, а не обязательно плоскостью, параллельной основанию пирамиды). Аналогично обстоит дело с некоторыми понятиями «высшей» математики. Так, например, под определение непрерывной кривой, по Жордану, подходят так называемые «кривые Пеано», которые вряд ли согласуются с нашими «интуитивными» представлениями о «непрерывной кривой».

му, что пропущено указание на родовое понятие. Определение: «Окружность — это плоская фигура, все точки которой равноудалены от центра»—также содержит логическую ошибку (понятие «окружность» определяется через другое понятие — центр окружности, которое само не определяется независимо от понятия окружности).

Но может случиться, что определение не страдает указанными выше дефектами и тем не менее не может считаться правильным. Так обстоит дело, если для определяемого понятия существует уже общепринятое определение, а предложенное нами определение не равносильно этому общепринятому; определение мы не должны считать правильным, если из него логически не вытекают все те свойства определяемого понятия, которыми это понятие, по нашему же мнению, должно обладать. В таких случаях можно сказать, что определение содержит фактическую ошибку. Так, например, определение: «Окружность — это фигура, лежащая на плоскости и обладающая тем свойством, что все ее точки находятся на данном расстоянии от одной и той же точки, лежащей в той же плоскости», содержит фактическую ошибку, оно неэквивалентно общепринятому. Определение: «Ромб — это четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями» —также не содержит логической ошибки, но в нем будет фактическая ошибка : из этого определения не следует, например, что ромб является параллелограммом. Определение призмы, данное в учебнике А. П. Киселева, должно быть отвергнуто как недоброкачественное потому, что из него не вытекают все те свойства понятия «призма», о которых говорится в том же учебнике (именно этот факт и демонстрируется, когда мы указываем на ромбический додекаэдр или на другие многогранники, которые подходят под определение призмы (см. [4], стр. 95); например, утверждение «Объем призмы равен произведению площади ее основания на его высоту» несправедливо для ромбического додекаэдра3.

Приведем несколько упражнений для математических кружков. В чем недостатки следующих определений:

1) Прямая линия, все точки которой лежат по одну сто-

3 Отметим, что определение призмы, приведенное в учебнике А. П. Киселева, легко исправить так, чтобы оно уже стало вполне корректным (см., например, [2], гл. VII, § 3, стр. 270).

рону от данной на ней точки, включая и саму точку, называется лучом.

2) Диаметром окружности называется прямая, соединяющая две точки окружности и проходящая через ее центр.

3) Медиана есть прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны.

4) Окружность есть кривая, образованная движением на плоскости точки, сохраняющей равное расстояние от центра.

5) Треугольник — это фигура, образованная пересечением трех прямых линий, лежащих в одной плоскости.

6) Прямоугольный треугольник есть плоская, прямолинейная, замкнутая фигура, обладающая тремя углами, из которых один прямой.

7) Круг — это фигура, получающаяся в результате вращения отрезка прямой вокруг одного из его концов.

8) Параллелограмм — геометрическая фигура, плоская, замкнутая, ограниченная четырьмя прямыми, имеющая взаимно параллельные стороны.

9) Двугранный угол — это угол, образованный двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

10) Параллелепипед — многогранник, у которого все грани — параллелограммы.

11) Пирамидой называется фигура, основанием которой является многоугольник, а боковые грани — треугольники.

12) Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания — подобные многоугольники, а боковые грани — трапеции.

13) Многогранник называется правильным, если он выпуклый и все его грани — правильные одноименные многоугольники.

VI. На занятиях математического кружка должны найти себе место такие неформальные упражнения на осмысление различных математических определений, которые стимулируют самостоятельное мышление школьников. Вместо требований формального воспроизведения определения того или иного понятия по школьному учебнику (вроде: «Сформулируйте определение усеченной пирамиды»; «Дайте определение сходящейся последовательности») полезны упражнения следующего вида :

1) Из расположенных на столе фигур выберите все те,

которые являются усеченными пирамидами. Убедите присутствующих, что они подходят под определение усеченной пирамиды.

2) Приведите пример сходящейся последовательности и пример расходящейся последовательности. Объясните, почему первая подходит под определение сходящейся последовательности, а вторая не подходит под это определение.

3) Отберите из фигур, изображенных на карточках, те, которые являются а) простыми ломаными, б) простыми многоугольниками (см. [4], стр. 18—19).

4) «Длиной окружности называется предел, к которому стремится периметр вписанного правильного многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон». Какое понятие в этом определении является родовым?

5) Один ученик спросил другого: «Какая пирамида называется усеченной?». Какой мог бы быть правильный ответ на этот вопрос?

(Ответ: «Никакая, ибо усеченная пирамида не есть пирамида»).

ЛИТЕРАТУРА

[1] А. Я. Хинчин. Педагогические статьи, М., изд-во АПН РСФСР, 1963.

[2] М. Б. Балк и Г. Д. Балк. Математика после уроков, М., «Просвещение», 1971.

[3] А. П. Киселев. Геометрия, ч. II, М., «Просвещение», 1970.

[4] Б. И. Аргунов и М. Б. Балк. Элементарная геометрия, М., «Просвещение», 1966.

С. Г. Губа (г. Вологда)

О ЗНАЧЕНИИ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ ВО ВНЕУРОЧНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

Сейчас уже можно утверждать, что переход на новую программу по математике повышает у учащихся интерес к познавательной деятельности, благотворно сказывается на развитии их любознательности и пытливости. В связи с этим возникает необходимость в усилении элементов индивидуализации и дифференциации обучения, что в свою очередь влечет за собой возрастание роли внеурочной работы по математике. Несомненно, внеурочная работа представляет из себя один из наиболее простых и проверенных способов удовлетворения повышенных запросов значительной части учащихся массовой школы к математическим знаниям.

Важнейшей составной частью внеурочной работы по математике является решение нестандартных задач. Известно, что решение различного рода задач представляет одну из наиболее привлекательных сторон математики. У многих людей увлечение математикой началось именно с решения оригинальных задач. Опыт, однако, показывает, что нельзя рассчитывать на поддержание у учащихся устойчивого интереса к математике, если учитель не обладает достаточным вкусом к математической задаче, если он не идет дальше бессистемного решения задач, почерпнутых из случайных источников. Занятия по решению задач дают ощутимые результаты только в том случае, если учитель имеет в своем распоряжении гибкую систему задач, где по мере надобности он может видоизменить ту или иную задачу, сделать ее более простой или более сложной, сопоставить с другими задачами, переделать задачу на вычисление в задачу на до-

казательство или в задачу на построение (и наоборот), получить обобщение решенной задачи и т. п. Очень важно, чтобы некоторые задачи «рождались» на глазах у учащихся, чтобы сами учащиеся принимали участие в составлении задач. Иногда рассмотрение цепочки родственных задач целесообразно превратить в своего рода небольшое математическое исследование.

Очевидно, что понимание роли системы задач в обучении, творческий подход к ней будущие учителя математики должны приобрести еще в стенах педагогического института. Прежде всего необходимо, чтобы этой цели служили практикумы по решению задач. Многое можно сделать на спецсеминаре, предоставив студентам возможность упражняться в компоновке системы задач на ту или иную тему, в рассмотрении перефразировок, следствий и обобщений отдельных задач, входящих в эту систему. Приобретенные таким образом навыки творческого обращения с задачным материалом в дальнейшем сослужат учителю неоценимую услугу и на уроках, и во внеурочной работе. Учитель вправе требовать от учащихся проявления творческой активности лишь в том случае, если он сам в своей работе не ограничивается скрупулезным копированием готовых образцов.

Известно, что в процессе решения задач ученик может потерять интерес к выполняемой работе как в том случае, когда он не может решить несколько задач подряд, так и тогда, когда решение задач не требует от него никакого мыслительного напряжения. К сожалению, еще нередко бывает так, что учитель, уделяя на уроке главное внимание слабым учащимся, заставляет вместе с ними и сильных учащихся многократно проделывать то, что они давно уже усвоили, что успело им изрядно наскучить. При таком положении дела сильные учащиеся вряд ли могут увлечься математикой. Однако, если учитель имеет в своем распоряжении достаточное количество задач самой различной трудности, он всегда может добиться того, чтобы каждый ученик работал на уроке в меру своих сил, не отклоняясь от темы урока. Более того, во многих случаях используемые на уроке задачи допускают интересные усложнения, как нельзя лучше подходящие для кружковых занятий. Умело переброшенный «мостик» между уроком и кружком является надежным средством поддержания устойчивого интереса к математике у подавляющего большинства учащихся, занимаю-

щихся в математических кружках. Разумеется, при этом нельзя упускать из виду, что с различным по уровню математического развития составом учащихся приходится иметь дело не только на уроках, но и на занятиях кружка.

Проиллюстрируем все сказанное несколькими примерами. Так, например, в конце шестого и в начале седьмого класса тематика задач на кружковых занятиях может быть основана на использовании тождеств сокращенного умножения и на решении систем линейных уравнений. При разложении выражений на множители более сильным учащимся еще на уроке уместно предложить, например, следующие выражения :

Здесь учитель может быть вполне удовлетворен, если получит следующие решения:

(1)

(2)

На занятиях кружка задача может быть дана в более усложненном виде, а именно:

Доказать, что при любом натуральном /г>1 значения выражений м4+п2+1 и л4+4 являются составными числами.

Чтобы последняя задача имела смысл, прежде всего нужно убедиться, что значения данных выражений при любом натуральном п являются натуральными числами. Представив затем эти выражения соответственно в виде (1) и (2), нужно далее доказать, что при любом натуральном п>1 значения выражений в скобках также будут натуральными числами, отличными от единицы.

Вот еще несколько задач для кружковых занятий на указанную выше тематику:

Задача 1. Доказать, что число вида 999...91, содержащее нечетное число девяток, является составным.

Решение. Пусть данное число содержит 2п—1 девяток (п = 1,2,3,...). Тогда

Задача 2. Некоторое число представляет из себя сумму квадратов двух неравных натуральных чисел. Доказать, что и удвоенное число также может быть представлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Решение. По условию задачи данное натуральное число имеет вид k2+n2, где k и п — любые неравные натуральные числа. Тогда для удвоенного числа будем иметь:

что и доказывает утверждение задачи.

В данной задаче и в последующих четырех задачах нужно обратить внимание учащихся на важность содержащегося в условии задачи слова «неравных».

Задача 3. Некоторое число представляет из себя сумму квадратов двух неравных натуральных чисел. Доказать, что квадрат этого числа также может быть представлен в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Решение. Имеем:

Следует отметить, что полученное равенство доказывает существование бесконечного множества так называемых пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами. Действительно, при k ф п нетрудно убедиться в справедливости неравенства

Следовательно, приняв во внимание полученное выше равенство, на основании обратной теоремы Пифагора заключаем, что числа \k2—м2|, 2kn и k2+n2 можно взять в качестве длин катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Например, полагая k = 3 и п = 2, получим прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12, 13, т. к. 52+122 = 132. Разумеется, обо всем этом с учащимися можно говорить только после изучения теоремы Пифагора и обратной ей теоремы.

Задача 4. Доказать, что полусумма квадратов двух неравных натуральных чисел одинаковой четности может быть представлена в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Решение. Утверждение задачи вытекает из равенства

Очевидно, что при неравных, но имеющих одинаковую четность натуральных k и п числа

также будут натуральными.

Задача 5. Доказать, что при любых натуральных k и п (k ф п) число вида

может быть представлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Решение.

Задача 6. Пусть k и n, р и q — две пары натуральных чисел, при этом числа хотя бы одной пары не равны между собой. Доказать, что произведение (k2+n2) (p2+q2) может быть представлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Решение. Имеем :

Нетрудно доказать, что при тех ограничениях, которые оговорены в условии задачи относительно пар чисел k и п, р и q, хотя бы одно из чисел kp—nq или kq—пр будет отлично от нуля, после чего можно считать доказанным и утверждение задачи.

Задача 7. Доказать, что квадрат нечетного числа, отличного от единицы, может быть представлен в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Решение. Требуется найти натуральные х и у такие, чтобы п2 = X2—г/2, где п — данное нечетное число. Очевидно, что решение системы

будет и решением полученного уравнения. Решив систему, будем иметь:

Так как п нечетно, то х и у будут натуральными числами, причем

Задача 8. Доказать, что куб натурального числа, отличного от единицы, может быть представлен в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Решение. Рассуждая, как и в предыдущей задаче, придем к выводу, что решение системы

состоящее из пары натуральных чисел х =-—— и у = является и решением уравнения

Таким образом,

(3)

Учащиеся должны понимать, что в задачах 7 и 8 не ставилось требования находить все возможные представления для п2 и п3 в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Нужно было лишь доказать существование хотя бы одного такого представления. Так, например, для б3, кроме представления б3 = 212—152, получающегося по формуле (3), имеют место также представления: б3 =152—З2 = = 292—252 = 552—532. Очевидно, что все эти представления могут быть получены путем решения систем вида

где а и Ь — натуральные числа одинаковой четности, произведение которых равно б3, причем а>Ь.

Задача 9. Вычислить сумму

Решение. По формуле (3) имеем :

Тогда

Отметим, что прежде чем решать задачу 9 в общем виде, целесообразно рассмотреть какой-нибудь частный случай, например, вычислить сумму 13+23+33+ ... +203.

В восьмом классе после изучения геометрической прогрессии можно рассмотреть следующую задачу :

Задача 10. Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма квадратов этих чисел делится на их сумму.

Решение. Пусть целые числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию со знаменателем д. Тогда

Из полученного соотношения следует, что а2+Ь2+с2 делится на а+Ь+с.

При решении задачи 10 мы снова воспользовались разложением на множители выражения, которое было рассмотрено перед задачей 1. Использование в процессе обучения цепочек задач, основанных на общей математической закономерности, преследует разноплановые цели. Во-первых, многократно наблюдая, каким образом одна и та же закономерность может проявляться в различных ситуациях, школьники учатся распознавать эту закономерность и в новых, ранее не встречавшихся им ситуациях, совершенствуя тем самым свои эвристические навыки. Во-вторых, поскольку в цепочке родственных задач многие задачи сравнительно легко решаются путем ссылок на предыдущие, то создаются хорошие условия для устного решения задач, для вовлечения в активную работу более слабых учащихся. Наконец, в-третьих, наиболее подготовленные учащиеся получают возможность проявлять творческую инициативу посредством самостоятельного составления задач, используя для этого рассматриваемую математическую закономерность.

В качестве примера приведем цепочку задач, основанных на следующей математической закономерности: квадрат натурального числа либо делится на три без остатка, либо дает в остатке единицу.

Задача 11. Доказать, что сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.

Решение. Из трех последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на 3. Его квадрат также разделится на 3, тогда как квадрат каждого из двух других чисел при делении на 3 даст в остатке 1. Следовательно, сумма квадратов всех трех чисел при делении на 3 даст в остатке 2.

Задача 12. Доказать, что ни при каком натуральном п число вида n2+1 не делится на 3.

Решение. Так как число п2 при делении на 3 дает в остатке 0 или 1, то число м2+1 при делении на 3 будет иметь в остатке 1 или 2, т. е. оно не может делиться на 3.

Задача 13. Доказать, что ни при каком натуральном п число вида Зп—1 не может быть точным квадратом.

Решение. Данное число может быть представлено в виде 3(п—1) + 2. Очевидно, что при любом натуральном п остаток от деления этого числа на 3 равен 2, тогда как точный квадрат либо делится на 3 без остатка, либо дает в остатке 1.

Задача 14. Доказать, что сумма квадратов двух натуральных чисел только тогда делится на 3, когда каждое из этих чисел делится на 3.

Решение. Очевидно, если каждое из двух натуральных чисел делится на 3, то и сумма квадратов этих чисел делится на 3. Если же одно или оба натуральных числа не делятся на 3, то сумма их квадратов при делении на 3 будет давать остаток, равный соответственно 1 или 2, т. е. не будет делиться на 3.

Задача 15. Доказать, что ни одно из чисел, получающихся при всевозможных перестановках цифр в числе 23456789, не является точным квадратом.

Решение. При любой перестановке цифр в данном числе получаются числа с суммой цифр, равной 44. Следовательно, каждое такое число при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. оно не может быть точным квадратом.

В заключение рассмотрим подборку геометрических задач, основанных на использовании того факта, что если в треугольниках ABC и ABD, лежащих в одной плоскости, углы при вершинах С и D прямые, то точки А, В, С, и D лежат на одной окружности. Задачи могут быть рассмотрены в 8 классе после изучения темы «Вписанные и описанные многоугольники». Первые две задачи можно решить в классе, а остальные — на кружке.

Задача 16. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB построен во внешнюю сторону квадрат с центром О. Доказать, что луч СО является биссектрисой угла АСВ.

Указание. Описав около четырехугольника АВСО окружность (т. к. углы АСВ и АОВ прямые), принять во внимание, что дуги АО и ВО конгруэнтны, так как они стягиваются конгруэнтными хордами (рис. 1).

Задача 17. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF. Точки Е и F соединены с точкой D. Доказать, что /-ADE =/LADF.

Указание. Описав около четырехугольников DCEH и BDHF окружности (Я — точка пересечения высот треугольника ABC), воспользоваться конгруэнтностью углов СНЕ и BHF для доказательства конгруэнтности углов CDE и BDF, после чего легко приходим к утверждению задачи (рис. 2).

Рис. 1. Рис. 2.

Случай тупоугольного треугольника можно предложить членам кружка для самостоятельного рассмотрения.

Задача 18. В треугольнике ABC из точки М, взятой на стороне AB, проведены перпендикуляры к прямым АС и ВС. При каком положении точки M на стороне AB расстояние между основаниями этих перпендикуляров будет наименьшим? Наибольшим?

Решение. Обозначим через Р и Q основания перпендикуляров, проведенных из точки M к прямым АС и ВС (рис. 3). Очевидно, точки С, М, Р, Q лежат на окружности с диаметром СМ. Тогда

(4)

где а = АСВ (см. Геометрия, пробный учебник для 8 класса, 1974, § 112). Из соотношения (4) заключаем, что расстояние между точками Р и Q будет наименьшим, если M совпадает с основанием высоты, проведенной в треугольнике ABC из вершины С, и наибольшим, если M совпадает с концом большей из сторон АС и ВС.

Исследуя дальше соотношение (4), нетрудно заметить, что расстояние PQ при заданном а не будет изменяться, если будет постоянным расстояние СМ, т. е. при движении точки M по дуге окружности с центром в точке С. Отсюда легко приходим к задаче:

Рис. 3.

Задача 19. Из точки М, взятой на дуге сектора, проведены перпендикуляры к радиусам, ограничивающим сектор. Доказать, что расстояние между основаниями этих перпендикуляров не зависит от положения точки M на дуге (рис. 4).

Как видим, условие задачи 19 появилось после того, когда она по существу была решена. Именно такого рода путь, каким была получена задача 19, и следует иметь в виду, когда речь идет о самостоятельном составлении задач учащимися.

Рассмотрим еще одно следствие из соотношения (4). Пусть M — основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины С (рис. 5). Обозначив через S площадь треугольника ABC и приняв во внимание, что

из соотношения (4) получим :

Рис. 4 Рис. 5.

Отсюда видим, что для данного треугольника ABC расстояние PQ не зависит от того, из основания какой высоты были опущены перпендикуляры на стороны треугольника. Полученный результат можно сформулировать в виде следующей задачи:

Задача 20. Доказать, что расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных на две стороны треугольника из основания высоты, проведенной к третьей стороне, не зависит от выбора высоты.

Так, на рисунке 5

В заключение рассмотрим еще одну задачу на ту же тему.

Задача 21. Во вписанном четырехугольнике из точки пересечения диагоналей проведены перпендикуляры к его сторонам. Доказать, что основания этих перпендикуляров служат вершинами четырехугольника, в который можно вписать окружность.

Первое решение. Пусть во вписанном четырехугольнике ABCD точки К, М, Р, Q являются основаниями перпендикуляров, проведенных из точки О пересечения диагоналей соответственно к сторонам AB, ВС, CD и DA (рис. 6). Очевидно, что около каждого из четырехугольников AQOK,

Рис. 6

ВКОМ, СМОР и DPOQ можно описать окружность. Из четырехугольников AQOK и СМОР имеем:

Приняв во внимание, что sin А = sîn С, получим:

где R — радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Аналогично доказываем, что

Следовательно,

т. е. в четы-

рехугольник KMPQ можно вписать окружность. Второе решение. Имеем :

Но

Тогда

т. е. точка О.

равноудалена от сторон KQ и КМ. Аналогично доказываем, что точка О равноудалена от всех сторон четырехугольника KMPQ. Следовательно, в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Л. Г. Ярославцева. (г. Киров)

ОПЫТ ИЗУЧЕНИЯ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Наша статья посвящена опыту изучения элементов теории бинарных отношений на занятиях математического кружка с учащимися шестых классов. Такие занятия мы проводили в некоторых школах г. Кирова и г. Перми.

Понятие «отношение» до сих пор в школе связывают с частным двух чисел. В современной математике под этим термином, вообще говоря, понимают какое-либо свойство, связывающее элементы из группы объектов. Известно, что особенно важную роль в математике играют отношения, связывающие два объекта того или иного рода, так называемые бинарные отношения. Разными видами бинарных отношений всегда был насыщен школьный курс математики, но ранее обращалось внимание, главным образом, на объекты, которые находились в данном отношении, и свойства этих объектов, а не на сами отношения. Новые программы предусматривают изучение общих свойств бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность и др.). Элементы теории отношений содержатся в новых школьных учебниках по математике, но они не выступают в качестве самостоятельного объекта изучения. Почему же такое неявное изучение этих элементов не сделать явным? Ведь знакомство учащихся с элементами теории бинарных отношений несомненно придает большую завершенность теоретико-множественной линии школьного курса математики и создает более благоприятные возможности для новых теоретико-множественных трактовок традиционных вопросов. К тому же, как показывает наше наблюдение, по своему характеру вопросы, отно-

сящиеся к бинарным отношениям, возбуждают интерес у многих учащихся и обеспечивают более высокий уровень самостоятельной поисковой деятельности.

В результате соответствующих педагогических экспериментов мы пришли к выводу о том, что простейшие элементы теории бинарных отношений вполне доступны учащимся 5—6-х классов. Однако именно в 6-м классе содержание новой программы наиболее благоприятно для изучения этой теории: в 6-м классе на уроках алгебры и геометрии учащиеся часто встречаются с различными видами бинарных отношений.

Ниже приводим план занятий математического кружка шестиклассников по теме «Бинарные отношения» и соответствующие методические комментарии.

План занятий

1. Понятие упорядоченной пары. Формирование понятия бинарного отношения как свойства, связывающего элементы пары. Примеры бинарных отношений — 2 ч.

2. Прямое произведение множеств. Декартов квадрат — 1 ч.

3. Теоретико-множественная трактовка понятия отношения. Способы задания бинарных отношений — 2 ч.

4. Свойства отношений. Типы отношений — 3 ч.

5. Определение некоторых понятий в курсе математики на основе бинарных отношений — 3 ч.

6. Контрольная работа — 1ч.

Особый интерес в математике представляют отношения в одном множестве, они же имеют наибольшее применение и в школьном курсе. Поэтому мы ограничились изложением элементов теории бинарных отношений этого вида.

Учитывая познавательные возможности учащихся шестого класса, мы изложение данной темы строили на конкретно-индуктивной основе. Разного рода обобщения и выводы учащиеся выполняли самостоятельно после рассмотрения примеров из математики и окружающей жизни. Особое значение при проведении занятий мы придавали обучающим задачам, поэтому основное содержание этой статьи — такие задачи.

Для большей наглядности рассматриваемых вопросов и активизации познавательной деятельности учащихся мы обращались, в первую очередь, к примерам отношений на ко-

нечных множествах. Такие примеры позволяют лучше раскрыть содержательный смысл понятий этой теории, делают более доступными проводимые обоснования и выводы, обеспечивают сознательные и прочные знания по данной теме. Наглядно-дидактический материал (таблицы, обобщающие схемы, графы, графики и т. д.) помогали организовать самостоятельную работу учащихся на занятиях кружка и дома.

Упорядоченная пара. Понятие бинарного отношения

1. Рассмотрим множество людей: Татьяна, Александр, Михаил. Пусть эти люди связаны между собой следующим образом: Александр — брат Татьяны, Александр — брат Михаила. Эту связь можно записать короче, в виде упорядоченных пар: (Александр, Татьяна), (Александр, Михаил), т. е. в виде пары (х, у). В каждой такой паре первый (х) — брат второго (у), а) Составьте еще пару, удовлетворяющую этому условию. Сколько всего таких пар? б) Какая связь имеется для упорядоченных пар: (Татьяна, Александр), (Татьяна, Михаил)? (Ответ: «х сестра г/»), в) Следующий перечень упорядоченных пар является сокращенным выражением связи — «х старше г/» : (Татьяна, Александр), (Татьяна, Михаил). Кто самый старший? Кто самый младший?

Проделанная работа обсуждалась и подводился итог: в каждом из случаев а), б), в) этого упражнения слова «брат», «сестра», «старше» указывают на определенные связи между двумя объектами, иначе, выражают отношение между двумя объектами; во всех подобных случаях, т. е. когда речь идет об отношении между двумя элементами, отношение называют бинарным (от латинского слова! binarius — двойной, двойственный).

2. Дано множество чисел M = {2, —1, —3, —5, 4). Изобразите точками числовой прямой числа этого множества. Составьте все пары (х, у) такие, что «точка х лежит левее точки г/». Какое бинарное отношение для точек числовой прямой здесь рассматривается?

3. Пусть M = {2,512; 3,0011; 2,513; 2,5128}. Назовите все пары чисел, которые связаны отношением: «х больше у*.

4. Для множества чисел M = {3, 4, 8, 13, 26} составьте все пары (х, у) такие, что х и у связаны отношением: а) X меньше у ; б) х равно у ; в) х не меньше у ; г) х — делитель у ; д) X кратно у ; е) х взаимно просто с у.

5. Рассмотрите множество прямых (рис. 1). Выпишите все пары прямых, которые находятся в отношении: а) параллельности; б) перпендикулярности.

При выполнении этих упражнений все время обращалось внимание на тот факт, что для выражения бинарного отношения в данном множестве M мы пользуемся упорядоченными парами. Упорядоченная пара — это объект (х, у), состоящий из двух, не обязательно различных элементов, принадлежащих рассматриваемому множеству. В круглых скобках записывается первым элемент, который находится в указанном отношении ко второму, т. е. порядок элемента х и у в записи (х, у) существенен. При этом (х9 у) = (m, п) в том и только том случае, когда х = m, у = п.

Определите, какие высказывания являются истинными и какие ложными: а) {а, Ь} = {Ь, а); б) (а, в) = (Ь, а); в) {(5;3), (5;2), (5;1)} = {(5; 1),(5; 2), (5; 3)}; г){(3; 5),(2; 5), (1;5)} = {(5;3), (5; 2), (5; 1)}.

Учащимся было сообщено, что в математике известны специальные знаки для обозначения некоторых бинарных отношений: <;,>,=, || и др. Для обозначения отношений в общем виде часто используется знак «А» и запись X А у, если элемент х находится в отношении А к элементу у.

Прямое произведение. Декартов квадрат

7. Между двумя шестыми классами были проведены соревнования по шашкам. 6а класс выставил команду в четыре человека, команда 66 класса состояла из трех человек. Каждый участник команды 6а класса сыграл с каждым участником команды 66 класса один раз. Сколько партий было сыграно?

8. Для изготовления авторучек заданной модели, колпачок и корпус которых могут иметь один или разные цвета, были использованы пластмассы четырех цветов: белого, зеленого, красного, синего. Найдите все возможные сочетания цветов для колпачка и корпуса авторучки. Сколько их?

Приведенные задачи и некоторые другие были решены

Рас. 1

при введении понятия прямого произведения и декартова квадрата. Определение прямого произведения двух множеств X и Y и декартова квадрата множества X записывались символически так:

XXУ = {(х, у)\хеХ, ye У} — прямое произведение множеств X и Y,

Ху^Х = X2 = {(х, у)\X е X, у е X} — декартов квадрат множества X.

Рассмотрены были представления прямого произведения с помощью стрелок и точечной схемы (графиком). Так, решение задачи 7 было проиллюстрировано рисунками 2 и 3.

Рис. 2 Рис.3

Представление прямого произведения в виде графика не требовало больших разъяснений, т. к. учащимся известно изображение пар чисел в координатной плоскости. Чтобы предупредить ошибки, мы выделили одну из главных особенностей построения таких графиков: на каждом из лучей ох и оу строят равномерную шкалу, затем ставят элементы данного множества против деления этих шкал (по порядку и обычно в одинаковой последовательности); далее жирными точками на плоскости отмечают те, которые изображают пару (х, у), входящую в прямое произведение.

9. Пусть X = {4,7}, У = {2, 3, 5}. Найдите XX Y и Y\X. Сравните эти произведения. Постройте графики этих произведений. Верно ли, что XX У = YXX"?

10. Запишите все двузначные числа, которые можно обозначить с помощью цифр из множества M = {1,2,3}. Представьте решение в виде графика. Сколько всего можно записать таких чисел?

11. Представьте в виде графика декартов квадрат:

где N — множество натуральных чисел ; где С — множество целых чисел.

12. Построили пятиэтажный дом. На каждом этаже по девять квартир. Условились обозначать номер каждой квартиры двузначным числом так, что первая цифра числа берется из множества А = {1; 2; 3; 4; 5} и обозначает номер этажа, вторая — из множества В = {1, 2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9} и обозначает номер квартиры на соответствующем этаже. Перечислите все номера квартир. Представьте решение в виде графика.

Способы задания бинарных отношений. Определение бинарного отношения

После усвоения учащимися, что бинарные отношения в множестве M «связывает» два элемента этого множества X и у, которые образуют упорядоченную пару (х, у), начались поиски способов задания отношений. Мы рассмотрели с учащимися следующие способы: а) перечисление всех упорядоченных пар (х, у) таких, что х А у и х,у е M ; б) граф; в) график.

Анализ упражнений 1—5 позволил сделать вывод — перечисление упорядоченных пар (х, у) таких, что х А у (в случае конечного числа их) полностью определяет отношение. Множество таких пар обычно обозначается символом Га, т. е. ГА = {(х,у)\хАу), где х, уеМ.

На множестве N = {2,4,6,12,16} нужно задать отношение «х — делитель у». Изобразим элементы этого множества точками плоскости и проведем стрелку от х к у, ее л а X является делителем у. Так как «х есть делитель х», то у точки X нарисуем петлю со стрелкой (рис. 4). Например, стрелка, которая идет от 2 к 6, заменяет слова «есть делитель» и означает — «2 есть делитель 6». Почему на этом рисунке проведена стрелка от 4 к 12 и не проведена от 4 к 6? Почему у точек 2,4,6,12,16 нарисованы петли со стрелками?

Полученный рисунок был назван графом, сами точки—вершинами, а стрелки — ребрами графа. Если пара точек соединяется двумя противоположными стрелками (рис. 5а), то их часто заменяют одной линией без стрелок (рис. 56).

Рис.4

Рис. 5

14. Построен граф отношения в множестве детей «х ровесник (дети обозначены точками А, Б, В, Г, Д, Ж). Прочитайте этот граф (рис 56), назовите элементы множества, в котором рассматривается данное отношение; назовите пары, для которых выполнено это отношение.

К заданию отношения в виде точечной схемы (графика) учащиеся уже подготовились при изучении прямого произведения. В отличие от графика прямого произведения здесь точками изображают только пары (х, у), для которых хАущ Такое задание отношений «х делитель у» в множестве N = {2, 4, 6, 12, 16) и «л: ровесник у» в множестве M = {Алексей, Борис, Вера, Галя, Дмитрий, Жанна } показано на рисунках 6 и 7. Полученные рисунки обычно называют графиками отношений.

15. Постройте графы и графики отношений по упражнениям 4 и 5.

16. Пусть M = {—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 9, 16}. Задайте перечислением упорядоченных пар и графиком следующие отношения :

Рис. 6 Рис.7

17. Сколько треугольников на чертеже (рис 8). В множестве всех этих треугольников рассмотрите отношение конгруэнтности. Постройте график этого отношения.

18. Пусть А,В,С,М,К,АиВ[, С\ точки плоскости (рис. 9). Рассмотрите в множестве этих точек отношение: «точка х симметрична точке у относительно прямой а». Постройте график этого отношения.

19. Известно, что натуральные числа при делении на 4 дают следующие остатки: 0, 1, 2, 3. В множестве N = {1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10} рассмотрите отношение — «х и у дают одинаковые остатки при делении на 4». Постройте граф этого отношения.

20. Пусть Андрей, Владимир, Светлана, Дмитрий, Мария— дети одних родителей. Отношение «х старше у» определено в этом множестве графиком (рис. 10). Составьте список детей по возрасту, начиная с самого старшего.

21. В множестве M = {А, Б, Г, Д,Е,К,Л,0} установлено графом (рис. 11) отношение «# отец у*. (Буквами А, 5, Г, Д,

Рис. 8 Рис 9

Рис. 10 Рис. 11

Е,К,Л,0 обозначены мужские имена). Найдите внуков, правнуков, дедушек, прадедушек, братьев, двоюродных братьев.

При выполнении этих упражнений (13—21) каждый раз выяснялись вопросы: какие и сколько упорядоченных пар можно составить из элементов рассматриваемого множества; в каких из них элементы связаны отношением А. Такой анализ упражнений позволял подметить, что в жизненной практике и в математике часто возникают ситуации, приводящие к некоторым подмножествам декартова квадрата М2 множества М. Поэтому вместо того, чтобы говорить о свойстве пар элементов, можно говорить о множестве Га упорядоченных пар, обладающих этим свойством. Множество ГА = {(х, у)\х А у} обычно называют графиком бинарного отношения А. Рисунки 6, 7, 9 дают точечное изображение таких множеств. Таким образом, графиком называют как множество пар, так и точечное изображение этого множества. Далее давалось формальное определение бинарного отношения, которым иногда пользуются в математике: бинарным отношением А в множестве M называется всякое подмножество Га декартова квадрата М2 (ГЛ £г М)2. Это значит, что бинарное отношение А отождествляется с его графиком. Содержательный смысл этого определения был учащимся уже достаточно понятен.

Свойства отношений. Типы отношений

Рассматривая различные примеры отношений и сравнивая их графы и графики, учащиеся получают конкретные представления о некоторых свойствах отношений: рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности. Затем давались определения свойствам отношений.

1. Отношение А называют рефлексивным, если всегда X А X, т. е. каждый элемент данного множества сам с собой состоит в отношении А.

Подчеркивалось, что в случае рефлексивности все пары (х, х) принадлежат множеству ГА. В графе, изображающем рефлексивное отношение, каждая вершина имеет петлю, а в графике такого отношения все точки (х, х) принадлежат «диагонали» графика.

2. Отношение А называют симметричным, если из X А у следует у Ах. Другими словами, если (х, у) е ГА, то (у, х) е ГА.

В соответствующем графе — всякая пара связанных точек соединяется двумя противоположными стрелками. График такого отношения симметричен относительно диагонали.

3. Отношение А называют антисимметричным, если из хф у и X А у следует у Ах (у не связано с х отношением А). Другими словами, для любых двух элементов^ х и у, для которых X Фу и (х, у) еГ А, имеет место (у, х) еГА.

4. Отношение А называют транзитивным, если из х А у и у Az следует х Az; иначе говоря, если (х, у) е ГА л (у,2)еГА, то (х,г)еГА.

Структура графа транзитивного отношения для всякой тройки точек показана на рис. 12.

Рис 12

Свойства отношений мы разъяснили и отрабатывали на накопленных ранее примерах отношений из окружающей жизни и на математическом материале. Использовались и другие примеры. После этого были даны определения отношений эквивалентности и порядка.

Отношением эквивалентности назы-

вают всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение.

Отношение А в множестве M называют отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно.

Примеры упражнений для усвоения типов отношений

22. Дано множество M = {а, Ьу с, d, еу /}. Бинарное отношение А между элементами этого множества задано множеством пар: {(а; Ь), (a\d), (а;/), (с; в)}. Постройте граф и график этого отношения. Дополните его так, чтобы отношение было: а) рефлексивным; б) симметричным; в) рефлексивным и симметричным.

23. Рассмотрите примеры бинарных отношений в упражнениях 2—5, 16—20. Какими свойствами обладают эти отношения? Какие из них являются отношениями эквивалентности? Какие — отношениями порядка?

24. Рассмотрим множество Е = {Вашингтон, Горький, Ленинград, Марсель, Ницца, Свердловск, Пекин, Чикаго}. В этом множестве отношение — «города х и у принадлежит

одной стране» — задано графом (рис. 13) и графиком (рис. 14). Какими свойствами обладает это отношение? Какого типа данное отношение?

25. Пусть А = {1; 2}, В = {1,2,3}, С = {1,2, 3,4}, Д = = {1,2,3,4,5}, Е = {1,2,3,4,5,6}. Рассмотрите для элементов А, ß, С, Д, Е отношение «х подмножество i/». Задайте это отношение графиком и графом. Какими из основных свойств обладает это отношение? Определите тип отношения.

26. Пусть M = (Oi, 02, 03, 04, 05} — множество концентрических окружностей. Определим на этом множестве отношение: «окружность Ок лежит внутри окружности Ор» (тс<р). Какими свойствами обладает это отношение? Определите тип отношения.

Определение некоторых понятий в курсе математики на основе бинарных отношений

При изучении этого вопроса учащиеся получили представление о некоторых приложениях теории бинарных отношений в математике. Рассматривались примеры использования отношения эквивалентности и определение функции на основе бинарного отношения.

Прежде всего, учащиеся, обсуждая соответствующие примеры, смогли сделать следующий вывод: «Если в множестве M задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение множества М». Мы говорим, что M разбито на непустые подмножества, если:

1) объединение всех подмножеств совпадает со всем множеством М;

2) любые два подмножества имеют пустое пересечение. Сами подмножества называли при этом классами данного разбиения или классами эквивалентности.

Сущность этого свойства отношения эквивалентности наглядно раскрывалась при рассмотрении графов. (Графы, представляющие эквивалентности, состоят из некоторого числа изолированных друг от друга полных графов; кроме того, в каждой вершине такого графа имеется петля. Эти полные графы соответствуют как раз классам эквивалентности).

Далее на конкретных примерах было показано, как классы эквивалентности, порождаемые в некотором множестве введением отношения эквивалентности, могут служить источником для образования новых понятий в математике.

Упражнения

27. В множестве M всех ребер куба (рис. 15) АВСДА\В\С\Д\ определено отношение параллельности. Это отношение является эквивалентностью (объясните почему). На сколько классов эквивалентности разбивается множество M этим отношением? Постройте граф этого отношения.

28. В множестве треугольников M={a,e,c,d,e,f} графами задано отношение конгруэнтности (рис. 16) и отношение равновеликости (рис. 17). Являются ли эти отно-

Рис. 15

Рис 16 Рис. 17

шения эквивалентностями? Если да, то на сколько классов эквивалентности разбивается данное множество? Сколько элементов в каждом классе?

29. В множестве натуральных чисел рассмотрим отношение *х и у дают одинаковые остатки при делении на 2». Докажите, что это отношение является эквивалентностью. Оно делит множество натуральных чисел на два класса эквивалентности: четные числа — N0 = {2, 4, 6, 8,...} и нечетные числа — N{ = {1, 3, 5,7,9,..}.

30. Отношение параллельности в множестве прямых (рис. 1) является отношением эквивалентности. Сно делит множество данных прямых на три класса эквивалентности: Mi ={ai,a2,a3}, M2 = {a4, a5}, M3 = {a6}. Класс эквивалентности, состоящий из параллельных прямых, называется пучком параллельных. Любая прямая пучка определяет этот пучок. Сколько классов эквивалентности (пучков параллельных) образуют отношение параллельности в множестве всех прямых плоскости?

31. Отношение сонаправленности на множестве всех лучей плоскости является отношением эквивалентности (объясните почему) и разбивает множество всех лучей на классы эквивалентности. Класс эквивалентности, состоящий из сонаправленных лучей, называется направлением. Любой луч данного класса определяет это направление. На рис. 18 показаны некоторые из классов эквивалентности (направления), на которые разбивается множество лучей плоскости.

На примерах (из биологии, географии и т. д.) было показано, что вне математики отношения эквивалентности также играют большую роль.

В конце занятий было введено понятие функции на основе бинарных отношений. Среди рассматриваемых примеров отношений (упр. 16) учащиеся выделили такие, в которых нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми координатами. Такие отношения были названы функциональными или просто функциями. Особенности

Рис. 18

граф и графиков функциональных отошений были подмечены при решении задач.

32. Дано множество M = {1, 2,3,4, 5,6}. В этом множестве разными способами (рис. 19) заданы некоторые отношения. Какие из них являются функциональными?

Рис. 19

Опыт изучения данной темы убедил нас в возможности ее усвоения учащимися 6 класса. Изучение некоторых вопросов теории бинарных отношений и применение их в различных разделах алгебры и геометрии вызвал интерес у учащихся, их творческую активность, самостоятельность в выполнении многих упражнений. Знакомство с элементами этой теории способствовало более глубокому пониманию отдельных тем школьного курса математики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н. Я. Математика, 4—5 классы. Теоретические основы. М., «Просвещение», 1974.

2. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций. Изд. 2-е, перераб. и доп. Минск, «Вышейшая школа», 1974.

3. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок, М., «Наука», 1974.

Д. Ф. Изаак.

(г. Орск)

ЗАДАЧИ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В данной заметке приводится небольшой набор задач на геометрические преобразования (центральная и осевая симметрия, гомотетия, подобие), соответствующие программе 7-х и 8-х классов.

Задачи 1—8, в которых требуется найти различные множества точек, решаются с помощью гомотетии. Считается известным, что в гомотетии образом прямой является прямая, образом окружности — окружность.

В задачах 9—10 обнаруживаются интересные свойства подобных треугольников с общей вершиной, вписанных в данный угол.

В задачах 11 — 20 учащиеся на конкретных примерах убеждаются в справедливости двух известных свойств подобия :

1. Подобие первого рода можно представить в виде композиции поворота и гомотетии с общим центром.

2. Подобие второго рода можно представить в виде композиции осевой симметрии и гомотетии, центр которой принадлежит оси симметрии.

Приведенные в заметке задачи могут быть использованы на факультативных занятиях по теме: «Геометрические преобразования».

Принятые обозначения:

Sa — отражение от прямой а;

R 0а — поворот вокруг точки О на угол а ;

Н0к — гомотетия с центром О и коэффициентом k ;

Задача 1. На данном отрезке АС построены всевозможные треугольники ABC с одной и той же площадью.

Найти множество точек пересечения медиан этих треугольников.

Указание. Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, D—середина стороны АС, то Hd3 (В) = М.

Задача 2. На данном отрезке АС построены всевозможные треугольники ABC, в которых [ВС]JL[АС], Найти множество точек пересечения медиан этих треугольников.

Указание. Если M — точка пересечения медиан, D — середина стороны ВС, то НА3 (D) = М.

Задача 3. На данном отрезке АС построены всевозможные треугольники ABC, в которых медианы A F и СЕ взаимно перпендикулярны.

1. Найти множество точек пересечения медиан этих треугольников.

2. Найти множество вершин В.

3. Найти множество точек Е, точек F.

Задача 4. На данном отрезке АС построены всевозможные треугольники ABC, обладающие тем свойством, что

\DF\ = \DB\ = _L||Aß||, где F — середина [ВС], a De [АВ].

Найти множества точек F и В.

Указание. Проведем [DN]A_[BC], [FE] _1_ [ВС], [АМ]±[ВС] (рис. 1).

Доказать, что \BD\ = \DE\ = \ЕА |, \BN\ = \NF\ = \FM\ = \МС\, \AF\ = \АС.\. Учесть, что Яс2 (F)=B.

Задача 5. На, данном отрезке AD построены всевозможные параллелограммы ABCD так, что \AD\ = 8, \АВ\ =3. Найти множество точек пересечения диагоналей этих параллелограммов.

Указание. Если точка О — точка пересечения диагоналей одного из параллелограммов, то Hd2 (В) = 0.

Задача 6. Стороны паралеллограмма ABCD продолжены так:

Доказать, что MNKL — параллелограмм, центр которого совпадает с центром данного параллелограмма.

Доказать, что если на отрезке AD построить всевозмож-

ные параллелограммы ABCD с постоянной по длине стороной AB и для каждого из них построить указанным выше способом четырехугольник MNKL, то вершины N и К опишут окружности.

Задача 7. Дан параллелограмм ABCD (не прямоугольник). Построен четырехугольник MNKL таким образом:

1. Доказать, что MNKL — параллелограмм, центр которого совпадает с центром О данного параллелограмма.

2. Доказать: параллелограмм NKLM подобен данному параллелограмму ABCD тогда и только тогда, когда ВАС= ±= BDA.

3. Доказать: если на данном отрезке AD построены всевозможные параллелограммы ABCD, в которых ВАС = = BD А, то точки О, В, С описывают окружности. Найти центры и радиусы этих окружностей.

Решение. 1. Прямые (AM) и (CK), (ВМ) и (DK) симметричны относительно центра О параллелограмма ABCD, поэтому точка M = (AM) П. (ВМ) симметрична точке К = = (CK) П (DK), точка N = (ВМ) П (CK) симметрична точке L = (DK) П (AM) относительно точки О. Отсюда следует, что MNKL — параллелограмм с центром в точке О.

2. Ограничимся случаем, когда А < 90° (рис. 2). При À > 90° задача решается аналогично.

Углы данного параллелограмма ABCD конгруэнтны углам параллелограмма NKLM как углы с перпендикулярными сторонами. Поэтому для подобия этих параллелограммов необходимо и достаточно, чтобы были конгруэнтны, например, углы ВАО и MLO.

а) Пусть ВАО = ADO. Тогда AÖB = ВАЕК По доказанному выше BAD = MLD. Поэтому AÖD + ALD = 180° и четырехугольник AODL — вписанный, откуда следует, что ALO = ADO = ВАО, т. е. ВАО = MLO.

б) Допустим теперь, что ABCD — NKLM. Тогда ОАО = = OLK, четырехугольник AODL — вписанный, откуда следует, что ADO = ALO = MLO. Из подобия параллелограм-

Рис. 1. Рис. 2.

мов ABCD и NKLM, следует, что BÂO = MLO. Окончательно: BÂO = ADO.

3. Пусть BÄO = BDA. Тогда имеем: BÄO = BDA=>

По условию [AD] — общее основание всех параллелограммов, поэтому точка О описывает окружность с центром А и радиусом

Так как

то точки С и В тоже описывают окружности.

Методические замечания

Сделаем несколько замечаний методического характера по поводу решения задач 1—8.

Решив задачи 1 и 2, стоит обратить внимание учащихся на силу применяемого метода, посоветовав им решить их без применения гомотетии.

Решение некоторых задач можно развернуть в виде небольшого исследования. Покажем это на примерах.

Задачу 3 вначале не стоит формулировать целиком. Говорим учащимся, что нас будут интересовать треугольники ABC с общим основанием АС, в которых медианы, проведенные из вершин А и С, взаимно перпендикулярны. Убеждаемся в существовании таких треугольников: строим на данном отрезке АС несколько треугольников ABC, удовлетворяющих условию задачи. Естественно возникает ряд вопросов : как будут расположены точки пересечения медиан этих треугольников, вершины В и т. д. Формулируем в целом задачу 3.

В задаче 4 трудно на данном отрезке АС построить треугольник ABC, удовлетворяющий условию задачи, не зная, что \AF\ = \АС\. Поэтому при анализе можно построить произвольный треугольник, в котором выполнялись бы равенства, указанные в задаче. Решив задачу 4, обращаем внимание учащихся на то, что теперь легко построить треугольник ABC на данном отрезке АС, удовлетворяющий условию задачи. Задачи 3 и 4 интересны еще тем, что дают исходные данные для составления ряда конструктивных задач, имеющих единственное решение. Например:

1) Построить треугольник ABC, в котором медианы A F и СЕ взаимно перпендикулярны, если даны стороны АС и AB.

2) Построить треугольник ABC, в котором \BD\ = \DF\ = — \АВ\, где F — середина [ВС], a De [AB], если даны стороны АС и ВС.

При решении задачи 7 в классе по усмотрению учителя можно ограничиться выполнением первого задания, а задания 2 и 3 предложить учащимся на факультативных занятиях. При этом второе и третье задания разумно формулировать не сразу, а прийти к ним в результате сравнения параллелограммов ABCD и NKLM. Легко заметить,

что углы одного соответственно равны углам другого. Тогда возникает вопрос: не подобны ли они? Убеждаемся в том, что они могут быть не подобны, но форма одного как-то влияет на форму другого. Возникает вопрос : нельзя ли выбрать параллелограмм ABCD так, чтобы он был подобен параллелограмму NKLM1

Разыскиваем соответствующее условие. Возможно, что указанное во втором задании условие равенства углов будет получено в результате поисков ответа на поставленный вопрос.

Выполнение второго задания выдвигает вопрос об изучении свойств параллелограмма ABCD, в котором ВАС = BDA. Так может возникнуть третье задание. Результат \АС\ = \AD \ • У 2 позволяет легко построить сколько угодно различных^по форме параллелограммов ABCD, в которых ВАС = BD А. Легко составить ряд задач на построение параллелограмма ABCD, в котором ВАС = BD А, имеющих уже единственное решение. Например :

Построить параллелограмм ABCD, в котором ВАС = = BD А и даны \АВ\ и \AD\.

При выполнении задания 3 можно обратить внимание учащихся на окружность, которую описывает вершина В, если на данном основании AD построить всевозможные параллелограммы ABCD, в которых ВАС = BD А. Из подобия треугольников АОВ и DAB следует, что

Это значит, что окружность, описываемая вершиной В, есть множество точек, отношение расстояний которых до двух данных точек А и D постоянно и равно -у . Возникает вопрос, обладает ли полученный результат общностью. Полу чив самостоятельно или с помощью учителя положительный ответ на поставленный вопрос, учащиеся естественно познакомятся с окружностью Аполлония.

Задача 8. Даны прямая а и точка С'еа. Вершина А треугольника ABC лежит на прямой а. Треугольник вращается вокруг точки С с сохранением формы так, что вершина А скользит по прямой а. Какую линию при этом описывает вершина В?

Решение (рис. 3). Так как

если

то вершина В описывает прямую

Задача 8 может служить источником новых задач. Напрашиваются такие вопросы:

1. Определен ли угол, образованный прямыми а и ft из задачи 8?

2. Если задать угол MON и внутри него точку С, то в этот угол, видимо, всегда можно вписать два подобных треугольника с общей вершиной С. Интересно узнать, какова связь между данным углом, точкой С и формой этих треугольников?

3. В решении задачи 8 рассматривалась композиция поворота и гомотетии с общим центром в точке С, т. е. подобие. Возникает вопрос: всегда ли подобное преобразование плоскости можно представить в виде такой композиции?

Постараемся ответить на поставленные вопросы. Задача 9. Найти угол, образованный прямыми а и ft из задачи 8.

Указание. Пусть ABC и А\В\С — два положения треугольника ABC, ААВС — АА{В\С (рис. 3),

Тогда

Рис. 3.

— 180°= > четырехугольник ОАСВ—вписанный = >AÔB~\-+ АСВ = 180°=>АОЯ = 180° — АСВ= >â{b = АСВ.

Следствие. Если R0a (о) = Ь9 то â\b = а.

Задача 10. Дан угол MON и точка С внутри угла. Построить два подобных между собою и одинаково ориентированных треугольника ABC и А\В\С так, чтобы Ае[ОМ], А,е[ОМ]), Se[OiV], £ie[CW].

Решение. Если треугольник ABC и AiZ?iC удовлетворяют условию задачи, то AACAi— АВСВ\. Отсюда следует, что Ai ЛС = В{ВС, О АС + ОВС = 180°=>ОАСВ — вписанный = >АСВ = 180° — MON (рис. 3).

Легко доказать, что если построить два треугольника ABC и А\В\С так, что точки А и Ai лежат на луче ОМ9 точки В и Bi — на луче CW, ACß = AlCBl = 180° —MON, то Л АБС ~Л AißiC.

Заметим, что ВАС = ВОС, ABC = А ОС.

Теперь ответ на поставленный выше вопрос № 2 можно сформулировать в виде признака, необходимого и достаточного для того, чтобы в данный угол можно было вписать бесконечное множество подобных между собою и одинаково ориентированных треугольников с общей вершиной внутри угла.

Чтобы получить ответ на вопрос 3, решим несколько задач (№ 11 —14).

Задача 11. В прямоугольнике ABC (С = 90°) проведена высота CD. Найти поворот и гомотетию, композиция которых отображает треугольник CDB на треугольник ADC.

Ответ:

Задача 12. В треугольнике ABC проведены медианы АА], ВВ\, СС\, M — точка их пересечения. Найти поворот и гомотетию с общим центром, композиция которых отображает треугольник А\В\С\ на треугольник ABC.

Задача 13. Дан прямоугольник ABCD. ТочкиЕе[АО] и Fe[BC] взяты так, что [FE] J_[AD] и прямоугольник ABFE подобен данному. Найти Roa и Н0К так, чтобы Я0к°/?оа (AEFB) = BADC.

Указание. Oe[AD], [BO]±[AD].

В задаче 13 не так легко догадаться, как найти точ-

ку О. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли найти общий метод построения ее. Мы этот вопрос здесь рассматривать не будем. Укажем только, что точку О можно в общем случае построить как точку, из которой отрезки ААГ и ВВ' видны под углом поворота а,если Н0К°R0a {[AB]) = [А'В'\.

Задача 14. В равнобедренном треугольнике ABC (\АВ\ = \ВС\) на стороне AB выбрана точка D так, что \АС\ = \CD\. Найти точку О, угол ф и коффициент К так, чтобы

Сообщаем учащимся, что подобие первого рода, при котором ориентация любого треугольника совпадает с ориентацией образа его, всегда можно представить в виде композиции поворота и гомотетии с общим центром.

В задачах 15—20 учащиеся на конкретных примерах убеждаются в том, что подобие второго рода всегда можно представить в виде композиции осевой симметрии и гомотетии, центр которой лежит на оси симметрии.

Задача 15. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD из вершины прямого угла. Найти прямую а, точку Оеа и коэффициент k так, чтобы

Указание. В качестве прямой а взять биссектрису угла В,0=В.

Задача 16. В равнобедренном треугольнике ABC (\АВ\ = \ВС\) проведены медианы АА\9 ВВ[у СС\. Найти прямую а, точку Меа и коэффициент k так, чтобы

Указание, а = (ВВ\), M — точка пересечения медиан, k = — 2.

Задача 17. На стороне АС треугольника ABC взята точка D так, что DBC = ВАС. Найти k, а и точку Оеа так, чтобы

Задача 18. В равнобедренном треугольнике ABC (\АВ\ = \ВС\) на стороне AB выбрана точка D так, что |АС| = \CD\. Найти прямую а, точку Оеа и коэффициент k так, чтобы

Задача 19. Дан прямоугольник ABCD. Точки Ее [AD | и Fe[BC] взяты так, что [FE]J_[AD] и прямоугольник ABFE подобен данному.

Найти Sa и Н0К так, чтобы Оеа и

Задача 20. Дан параллелограмм ABCD. Точки Ее [AD] и Fe [ВС] выбраны так, что (EF) \\ (AB) и параллелограмм ABFE подобен данному параллелограмму. Найти прямую а, точку Оеа и коэффициент k так, чтобы

Г. В. Лютомский (г. Вологда)

ЭКСТРАПОЛЯЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

Общеизвестно, что обучение математике должно состоять из решения ряда задач. Я не открою секрет, если скажу, что как раз умение решать задачи находится в настоящее время на весьма невысоком уровне. Например, ежегодно на письменном вступительном экзамене на математическое

I

отделение Вологодского пединститута примерно абитуриентов получает неудовлетворительные оценки. В чем же дело? Почему выпускники средних школ так плохо умеют решать задачи? Может быть, учащиеся мало решают задач и поэтому не умеют делать это хорошо? Нет, это не так. Даже самый грубый подсчет показывает, что число задач и упражнений, решаемых за период обучения в школе, исчисляется тысячами. В самом деле, если допустить, что на уроке учащиеся решают в среднем 5 задач (здесь под термином «задача» мы понимаем и текстовую задачу, и уравнение, и вычислительный пример, и т. д.), а дома по заданию учителя — 3 задачи, то в год учащиеся решают в среднем 8 X 200 = 1600 задач. Следовательно, за 10 лет обучения в школе учащиеся перерешали 1600 X 10 = 16000 задач. Вычтем из этого числа 3—4 тысячи задач, имея в виду праздники или случаи, когда учащиеся не выполнили домашнего задания. Останется 12—13 тысяч задач. Итак, за время пребывания в средней школе ученик решил 12—13 тысяч задач! А результат ничтожный. Безусловно верно высказывание о том, что «для того, чтобы научиться решать задачи, нужно решать их». Вместе с тем, совершенно не безразлично, на каких задачах и как школьник учит-

ся их решать. Значит, дело не только в количестве задач, но и в том, какие и как решает школьник задачи.

Таким образом, вся наша проблема сводится к следующим трем пунктам :

а) Сколько решать задач?

б) Какие решать задачи?

в) Как решать задачи?

Каждый из этих вопросов требует особого разговора. В настоящей статье мы затронем лишь пункт б) — какие следует решать задачи.

В традиционном обучении математике процесс приобретения знаний учащимися обычно сводился, в основном, к пониманию изложенного учителем учебного материала, к запоминанию этого материала, а также применению его к решению задач тренировочного характера. Это привело к тому, что учащиеся, часто даже отличники, не могли решить задачу, в которой требовалось проявить догадку и сообразительность. Естественно, что при такой постановке обучения математике, когда надо лишь что-то запомнить, понять, выучить, решить шаблонную задачу и т. д., у учащихся снижался интерес к предмету, а тем более не возникала потребность научиться мыслить самостоятельно.

В связи с переходом школы на новые программы по математике особое внимание стало уделяться развитию познавательных интересов учащихся к предмету, развитию их умственных способностей и особенно — способностей к самостоятельной творческой работе в процессе обучения. Теперь вопрос состоит в том, как превратить школьника из пассивного слушателя учителя в активного участника учебного процесса? Какие задачи развивают творческие способности школьника?

На эти вопросы помогают ответить результаты исследований некоторых современных психологов.

Интересны в этом отношении исследования голландского психолога ван де Гера.

Гер считает, что «весь процесс решения задач является потоком постоянно меняющихся феноменальных ситуаций» (см. (1), стр. 267). По мнению Гера, мыслительная деятельность состоит в постоянном выявлении скрытых, имплицитных аспектов проблемной ситуации. Человек, согласно выражению Гера, как бы «развертывает» ситуацию задачи. Новые аспекты ситуации не появляются сами собой, гово-

рит Гер. Для этого требуются определенные действия субъекта, превращающие имплицитные аспекты в эксплицитные. При этом исходная ситуация задачи не может быть сразу переведена в ситуацию цели — для этого необходимо произвести несколько «развертываний» исходной ситуации. Не имея возможности сразу перевести исходную ситуацию в целевую, человек ставит ряд промежуточных целей и пытается сначала к ним свести первоначальную проблему.

В зависимости от того, откуда начинается процесс развертывания, Гер различает экстраполяционные и интерполяционные задачи. Последние характеризуются ясно определенными исходными данными и четко определенной целью. Решение достигается, когда человек находит связь между данными и требованием задачи. Такое решение может достигаться постепенным развертыванием либо условий задачи (прогрессивная интерполяция), либо ее цели (регрессивная интерполяция), либо, наконец, развертыванием и условий и цели — как бы их движением друг к другу. В отличие от этого проблемная ситуация, в которой четко определены либо цель, либо условие задачи, решается при помощи экстраполяции.

К аналогичным результатам пришел и английский психолог Бартлетт. При решении задачи, по мнению Бартлетта, мыслительная деятельность регулируется целями, которые стремится достичь решающий задачу. При реализации практических умений наличный и антиципируемый признаки отделены друг от друга пространством, которое преодолевается движением, как бы связывающим оба признака в одну систему. В области умственной деятельности также существуют подобные «пространства». Их Бартлетт называет пробелами. В отличие от пространств заполнить пробелы в умственной деятельности не так-то легко. Процесс их заполнения, собственно, и есть процесс мышления.

Основными способами заполнения пробелов Бартлетт считает интерполяцию и экстраполяцию. В этих способах, по мнению Бартлетта, проявляется основная черта мышления — использование данной информации для выхода за ее пределы, и достижение определенной цели (см. (1), стр. 260).

Таким образом, если следовать рекомендациям психологов, мы должны решать задачи двух видов:

1) интерполяционные — это задачи, в которых четко

сформулировано, что дано и четко сказано, что найти (таких задач в традиционном школьном обучении было много) ; 2) экстраполяционные—задачи, в которых либо а) известно, что дано, и больше ничего, либо б) известно, что найти, и больше ничего (такие задачи в традиционном обучении решались крайне редко, несмотря на то, что в жизни мы встречаемся чаще с задачами именно этого вида). Очевидно, полноценное мышление есть умение решать как экстраполяционные, так и интерполяционные задачи в их единстве.

Следовательно, школьник должен решать, кроме интерполяционных задач, также и экстраполяционные. Если это так, то возникает потребность включать экстраполяционные задачи в школьные стабильные учебники и задачники. Но пока таких пособий у учителя нет. Где же взять экстраполяционные задачи? Практически текст почти каждой задачи школьного курса математики можно перефразировать так, чтобы получилась экстраполяционная задача. Поэтому учитель должен по возможности чаще превращать интерполяционные задачи в экстраполяционные. Например, чтобы получить экстраполяционную задачу типа а) достаточно известные данные интерполяционной задачи оставить без изменений, а неизвестную величину не формулировать. Тогда мы получим задачу, в которой требуется вывести следствия из данной посылки. И, наоборот, мы можем сформулировать неизвестную величину и потребовать найти посылки, из которых следует это неизвестное. Так мы получим экстраполяционную задачу типа б).

Рассмотрим конкретный пример.

Интерполяционная задача.

Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой два противоположных ребра 4 м и 12 м, а каждое из остальных ребер равно 7 м.

Перепишем эту задачу по следующей схеме, выделяя условие и требование:

Дано: В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 4 м и 12 м, а каждое из остальных ребер равно 7 м.

Требуется : вычислить объем данной пирамиды. Теперь сформулируем экстраполяционную задачу.

Экстраполяционная задача.

Дано: В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 4 м и 12 м, а каждое из остальных ребер равно 7 м.

Требуется : что можно вычислить?

Ясно, что в такой постановке задача несет в себе творческий элемент. Учащийся вынужден прежде всего обратить внимание на то, что данные ребра полностью определяют треугольную пирамиду, а, следовательно, и все ее элементы. Поэтому здесь возникает целый ряд задач. Можно найти объем данной пирамиды. Как? Затем можно вычислить поверхность пирамиды. Опять вопрос: как? Возникает вопрос и о вычислении величины угла между ребром и гранью, между соседними гранями, между ребрами и т. д. На одной такой задаче можно повторить чуть ли не всю стереометрию.

А вот пример экстраполяционной задачи для учащихся 6-го класса :

Дано: см. чертеж.

Требуется : что можно доказать

или что можно сказать?

Очевидно, что почти каждую теорему школьного курса можно сформулировать в виде экстраполяционной задачи. Но и самые шаблонные, трафаретные упражнения можно также превратить в прекрасные задачи-проблемы (по этому поводу см. интересную работу /2/, стр. 78).

Таким образом, не дожидаясь того времени, когда выйдут новые пособия, учитель уже теперь может решать со школьниками экстраполяционные задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Основные направления исследований психологии мышления в капиталистических странах (Отв. редактор Е. В. Шорохова),М., «Наука», 1966.

2. Колягин, Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи. Экспериментальное учебное пособие для внеклассных занятий по математике учащихся VII—IX классов средней школы. М., 1972.

В. А. Горбунова, Т. Е. Савелова (г. Вологда)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (Из опыта работы ЛМШ)

Есть поговорка: «Богат не тот, кто много получает, а тот, кто умело тратит». Ее необходимо помнить при ведении народного хозяйства нашей страны: мало производить большой объем новой продукции, мало открывать новые несметные богатства в недрах земли, но надо уметь экономно и рационально расходовать их. Математика с давних времен помогала производить учет приведении любого хозяйства, а в настоящее время она незаменима при управлении экономикой страны. Для того, чтобы осуществить это, потребовалось искать новые математические методы решения экономических задач, изобретать ЭВМ.

Мы знакомили учащихся с одним из новых методов, который называется линейным программированием.

Впервые этот метод был открыт в нашей стране. Систематическое исследование задач дальнейшего программирования, разработка общих методов их решения начаты были в 1939 году в работах советского математика академика Л. В. Канторовича и его учеников.

Постановка задачи и ее решение

Ни один человек не может ни дня обойтись без обуви. Ее в огромных количествах выпускают обувные фабрики. При минимальных затратах сырья им нужно выпустить как можно больше продукции лучшего качества с получением максимальной прибыли. Перед экономистами встает задача: спланировать выпуск продукции, так, чтобы все предъявленные условия были удовлетворены. В такой рас-

плывчатой форме возникают задачи в планировании. Следующая стадия — точная математическая формулировка задачи, а затем и решение ее — есть уже обязанность математики.

Для простоты рассмотрим постановку задачи и ее решение на частном примере. Пусть имеется определенное количество сырья и определены виды выпускаемой продукции, причем известны затраты сырья на каждый вид и доход, который получается в результате ее реализации.

Сформулируем задачу.

Фабрика по выпуску туфель для мальчиков и девочек применяет сырье двух видов, запасы которого ограничены и составляют 100 единиц 1-го вида и 60 единиц — 2-го. Для изготовления пары туфель для мальчиков необходимо 3 единицы сырья 1-го вида и 2 — 2-го; для изготовления пары туфель для девочек расходуется только 2 единицы сырья 1-го вида. Известно, что каждая пара туфель для мальчиков дает при продаже 5 денежных единиц дохода, а пара туфель для девочек — 3 единицы.

Пусть для того, чтобы фабрика получила наибольшую прибыль, надо изготовить х пар туфель для мальчиков и у пар туфель для девочек. На изготовление туфель для мальчиков и девочек тогда пойдет (Sx + 2у) единиц сырья 1 вида и (2х + Oy) единиц сырья 2-го вида. Так как количество сырья ограничено, а число туфель не может быть отрицательным, то получаем систему ограничений :

А общая прибыль будет равна (5х + Зу) денежных единиц. Обозначим прибыль через F, тогда F = 5х + Зу.

Таким образом приходим к чисто математической задаче.

Дана система ограничений

(1)

и линейная функция F = Ъх + Зг/, которую будем называть целевой. Требуется среди всех решений системы (1) выбрать такое, при котором функция F достигает наибольшего значения.

Задачу, в которой два неизвестных, удобно решать графическим способом. (Перед этим необходимо повторить графическое решение систем линейных неравенств).

Построим прямые

и найдем на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (1). Этим множеством является множество точек четырехугольника О ABC. Назовем его многоугольником решений системы (1). Осталось найти среди точек четырехугольника ОАВС такую, в которой функция F = Ъх + Ъу принимает наибольшее значение.

В линейном программировании доказывается, что целевая функция достигает наименьшего и наибольшего своих значений в вершинах этого многоугольника.

Рассмотрим график целевой функции F = Ъх + Зг/. При любом значении F эта прямая параллельна прямой Ъх + + Зу = О и с возрастанием параметра F она будет перемещаться «вверх». Впервые эта прямая встретит многоугольник решений в точке О, назовем эту точку точкой

Рис. 1.

входа. Найдется и последняя точка, когда данная прямая расстанется с многоугольником ОАВС, это точка выхода. Очевидно, что функция F имеет наибольшее значение в точке выхода и наименьшее в точке входа. (Может быть случай, когда точек входа множество, тогда задача на максимум не имеет определенного решения; при наличии множества точек входа не будет определенного решения в задаче на минимум).

В данной задаче точкой выхода является точка В, значит, координаты этой точки являются оптимальным реше нием задачи. Т. к. В (10; 30), то х = 10, у = 30.

Подсчитаем прибыль F = 5х + Зг/ = 5 • 10 + 3 • 30 = 140.

Итак, фабрика получит наибольшую прибыль, которая составит 140 денежных единиц, если будет выпускать 10 пар туфель для мальчиков и 30 пар туфель для девочек.

Всем понятно, что ни одна фабрика сейчас не выпускает столь малое количество продукции и использует для выпуска большее количество сырья. «Настоящие» задачи с большим количеством неизвестных помогают решать ЭВМ.

Рассмотренный выше графический способ неудобен для решения систем с тремя неизвестными и неприменим, если неизвестных 4 и больше. Поэтому для решения систем уравнений (неравенств) с 3 и более неизвестными применяются другие способы. Мы рассматривали на занятиях один из них, который называли «преобразованием таблиц с разрешающим элементом».

Видоизменим рассмотренную выше задачу. Для конкретности возьмем 3 вида сырья и оставим 2 вида продукции. И попробуем решить ее предложенным выше способом.

Фабрика по выпуску туфель для девочек и мальчиков применяет сырье трех видов. Запасы сырья, расход на единицу продукции, прибыль от реализации единицы продукции даны в таблице.

Для мальчиков на 1 пару

Для девочек на 1 пару

Запасы сырья

I

3

2

100

II

2

0

60

III

1

1

40

Прибыль

5

3

Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Введя те же неизвестные, проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям в задаче, разобранной выше, получим систему ограничений

(2)

и линейную функцию F = Ъх + Зу. Требуется среди всех неотрицательных решений системы (2) (для краткости неравенства X > 0, у > 0 будем опускать, помня, что нас интересуют неотрицательные решения), которые назовем допустимыми, найти такое решение, при котором целевая функция F принимала наибольшее значение. Это решение уже назовем оптимальным.

Мы будем пользоваться алгоритмом решения задачи, когда надо найти не наибольшее, а наименьшее значение функции, далее также используемый алгоритм позволит нам решать системы уравнений, а не неравенств. Поэтому перед нами стоят три задачи :

1. Научиться переходить от максимизации функции к минимизации и наоборот.

2. Научиться переходить от системы неравенств к системе уравнений.

3. Познакомиться с преобразованием таблиц.

1. В вышеприведенных задачах нам требовалось найти максимум функции F. Как перейти к отысканию минимума? Очевидно, что целевая функция F достигает наибольшей величины при всех тех значениях неизвестного, при которых функция F\ = — F достигает наименьшей величины. Следовательно, максимизация функции F равносильна минимизации функции F\ = — F. Тем самым задача максимизации сводится к задаче минимизации.

Ясно, что наибольшее значение функции F равно наименьшему значению Fi, взятому с обратным знаком.

2. Итак, как перейти от системы неравенств к системе уравнений? Имеем из задачи систему неравенств

(3)

Преобразуем ее в систему неравенств

(4)

Введем новые, так называемые добавочные неизвестные связанные с неизвестными х, у уравнениями

(5)

Очевидно, что условие неотрицательности величин z/i, уз эквивалентно выполнимости неравенств (4). Ограничение-неравенство (4) эквивалентно ограничению-равенству (5) при условии, что у и Уъ уз неотрицательны.

Следовательно, ценою введения в задачу добавочных неизвестных удается все ограничения-неравенства заменить ограничениями-равенствами. При этом число добавочных, неизвестных равно числу ограничений — неравенств в исходной задаче.

Итак, мы имеем теперь уже систему уравнений

(6)

и функцию Fi = — F = — 5jc — Зу, надо найти неотрицательные решения (6), при которых функция F\ принимала бы наименьшее значение. Составим таблицу.

(1)

Будем искать допустимое решение, для этого надо добиться, чтобы в столбце свободных членов не было отрицательных чисел.

Но прежде чем говорить о допустимых решениях, мы должны научиться преобразовывать таблицы.

Зафиксируем один элемент этой таблицы, пусть он будет стоять в первом столбце второй строки, обведем его в кружок и назовем разрешающим элементом. В таблице поменяем местами х и у 2 и совершим пять преобразований:

1. Разрешающий элемент заменим единицей. Столбец, содержащий разрешающий элемент, назовем разрешающим, а строку — разрешающей строкой.

2. Остальные элементы разрешающего столбца оставим без изменения.

3. У остальных элементов разрешающей строки сменим знаки.

4. Все элементы таблицы, не принадлежащие разрешающей строке и столбцу, пересчитаем по «правилу прямоугольника».

«Правило прямоугольника».

Элемент, подлежащий пересчету, умножается на разрешающий элемент, из этого произведения вычитается произведение двух других элементов, которые образуют вторую диагональ образующего прямоугольника, у которого 1-я пара элементов является первой диагональю.

Полученное число записывается в новую таблицу, на место этого элемента.

5. Все элементы новой таблицы разделим на разрешающий элемент и в результате получим таблицу (5).

Произведем все эти преобразования с таблицей (1).

Разрешающим элементом выбрали — 2, стоящего в 1 столбце 2 строки. После 1—3 преобразований получим таблицу (2).

(2)

Покажем, как пересчитать, например, элемент, стоящий во 2 столбце 3 строки:

Двойку ставим во второй столбец и третью строку. Так пересчитаем все остальные элементы, получаем таблицу (3).

(3)

После пятого преобразования получаем таблицу (4).

(4)

Вообще, при преобразовании таблиц с разрешающим элементом, можно использовать следующие свойства преобразований :

1. В качестве разрешающего элемента можно брать любой, отличный от нуля, элемент. (Как можно чаще брать единицу).

2. Если разрешающий элемент положителен, то в разрешающем столбце сохраняются знаки, а в разрешающей строке знаки меняются.

3. Если разрешающий элемент отрицательный, то в разрешающей строке знаки сохраняются, а в столбце — меняются.

4. Строки, имеющие нули в разрешающем столбце, при преобразовании таблиц остаются без изменения.

5. Столбцы, имеющие нули в разрешающей строке, остаются без изменения.

При первом преобразовании мы добились допустимого решения, так как в столбце свободных членов нет отри цательных чисел.

Но если бы в строке свободных членов появились бы отрицательные члены, то как от них избавиться?

Будем пользоваться признаком неотрицательных решений: если в строке с отрицательным свободным членом нет положительных членов, то нет положительных решений. Это объясняется тем, что, беря за разрешающий любой элемент этой строки и производя преобразования, получим снова отрицательный свободный член (смотри свойство 3 таблицы преобразований). Поэтому нарушается условие существования допустимого решения.

Если же в строке с отрицательным свободным членом имеется положительный член, то мы можем сменить знак.

Чтобы правильно выбрать разрешающий элемент для смены знака у отрицательного элемента столбца свободных членов, будем пользоваться правилом: надо составить все отрицательные отношения свободных членов к элементам из их строк. Элемент, дающий наименьшее, из них выбирается за разрешающий элемент.

Из таблицы (4) можем получить допустимое решение [/2 = 0, у = 0, X = 30, 1/1 = 10, уз = 10. Нас интересуют значения х = 30, у = 0.

Но это решение не будет оптимальным, так как в F\ — строке имеются отрицательные члены, а у может принимать любые неотрицательные значения, с увеличением у значение F\ будет неограниченно уменьшаться. Чтобы получить оптимальное решение, нам следует добиться, чтобы в Fi — строке были положительные члены, тогда, придав неизвестным, стоящим наверху таблицы, нулевые значения, мы получим наименьшее значение Fi, так как из всех неотрицательных чисел самое наименьшее — нуль.

Перед нами встает следующая задача — нахождение оптимального решения.

Допустимое решение будет оптимальным, если в Fi — строке нет отрицательных элементов. Для смены знака Fi — строки должен быть хотя бы один отрицательный эле-

мент в его столбце. Если его нет, то задача не имеет конечного решения.

В этом случае при выборе разрешающего элемента будем пользоваться правилом:

Составить все отрицательные отношения свободных членов к отрицательным элементам этого столбца. Элемент, давший наибольшее отношение, выбирается в качестве разрешающего.

Применим это правило к нашей таблице. Нам надо сменить знак у(—3), в столбце имеются отрицательные члены, составим отношения

элемент — выберем в качестве разрешающего, так как он дал наибольшее отношение.

Пересчитаем снова таблицу по вышеуказанным правилам, получим таблицу (5).

(5)

В таблице (5) в Fi — строке получим только положительные члены. Получили решение z/2 = 0, у\ = 0, у = 5, X = 30, 1/з=5 и Л = — 165. Нас в задаче интересует F = — Fx = 165.

Итак, ответ задачи. Фабрика получит максимальную прибыль в размере 165 денежных единиц при выпуске 30 пар туфель для мальчиков и 5 пар туфель для девочек.

Рассмотренную задачу можно составить и с большим числом неизвестных, метод таблиц с разрешающим элементом позволяет решать с тремя и более неизвестными. С теоретическим обоснованием методов решения задач линейно-

го программирования можно ознакомиться в литературе, приведенной в статье.

Далее приведем примеры задач линейного программирования.

Примеры задач линейного программирования

1. Из двух сортов бензина составляют для различных целей две смеси А и В. Смесь А содержит 60% бензина первого и 40% второго сорта. Смесь В содержит 80% бензина первого сорта и 20% второго сорта. Продажная цена 1 кг смеси А — 10 копеек, смеси В — 12 копеек. Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется 50 т бензина первого сорта и 30 т второго сорта.

Ответ : Fmax = 8200 рублей при плане 70000, 10000.

2. В животноводческом совхозе на производство 1 центнера молока затрачивается 25 рублей, среди них на трудовые затраты приходится 10, а на материальные — 15 рублей. Производство 1 центнера мяса обходится в 180 рублей, из которых стоимость трудовых затрат составляет 100, а материальных — 80 рублей. Государственные закупочные цены за 1 центнер молока 25 рублей, а за 1 центнер мяса — 200 рублей. Определить оптимальный план производства продукции животноводческого хозяйства совхоза, если по плану на животноводство выделено 190 000 рублей. Фонд заработной платы должен составить 100 000 рублей, остальное идет на техническое оборудование ферм.

Ответ: Fmax = 207 150 рублей при плане 1430,857.

3. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ: белков, жиров, углеводов, воды, витаминов. Запасы их в различных видах пищи неодинаковы. Ограничимся, например, двумя видами пищи, в которой количество каждого вещества в единице пищи представлено в следующей таблице.

Стоимость единицы пищи вида 771 — 20 копеек, вида П2 — 30 копеек. Требуется так организовать питание, что бы стоимость его была наименьшей, но организм получал

Питательные вещества

Минимальная норма

Вид пищи

п, п2

Bi — жиры

10

1

5

В2 — белки

12

3

2

Вз — углеводы

16

2

4

В4 — вода

10

2

2

В5 — витамины

1

1

0

не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов.

Ответ : Fmin = 1 рубль 30 копеек при плане 2 ед. пищи П\ и 3 ед. пищи П2.

5. Для изготовления шкафов, буфетов деревообделочный завод применяет древесину 4-х видов. Запасы древесины по каждому виду ограничены и составляют соответственно 12, 16, 12, 8 условных единиц. Количество единиц древесины каждого вида, необходимое для изготовления одного шкафа и одного буфета, а также прибыль, получаемая заводом от реализации одной единицы продукции, даны в справочной таблице :

Вид древесины

Запасы древесины

Количество единиц древесины, необходимое для производства продукции

шкафы

буфеты

I

12

0

0,4

II

16

0,4

0

III

12

0,2

0,2

IV

8

од

0,2

Прибыль

2

3

Надо составить такой план выпуска продукции, который бы обеспечил предприятию наибольший доход от реализации всей продукции.

Ответ: Fmax = 140, завод должен выпустить шкафов в 2 раза больше, чем буфетов (40 и 20).

6. На свиноферме проводится откорм свиней. Пусть известно, что каждой свинье требуется выдать ежемесячно не менее 6 единиц жиров, 8 единиц белков и 12 единиц углеводов. Для откорма свиней можно закупить три вида кормов: жмых, картофель и комбикорм. Известно содержание каждого вещества в различных видах корма и стоимость единицы по видам корма. Требуется так организовать кормление, чтобы обеспечить наиболее дешевый рацион питания.

Виды корма

жиры

Вещества белки

углеводы

Стоимость единицы корма

Жмых

2

1

3

2

Картофель

1

2

4

3

Комбикорм

3

1,5

2

2,5

Ответ: Fmin = 12,22 (0; 3,3; 0,89) картофеля нужно в 4 раза больше, чем комбикорма, а жмых совсем не покупать.

7. Предприятие для производства двух видов продукции должно использовать последовательно три различных группы оборудования, имеющегося на предприятии в следующих количествах: 17 единиц группы К, 9 единиц группы Я, 8 единиц группы М, По техническим условиям и по данной технологии на выработку одной единицы первого вида продукции требуется занять 2, 0, 2 единиц указанных групп оборудования. Такими показателями для второго вида продукции будут 2, 3, 0. Известно также, что прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы продукции первого вида, равна 3, а от второго — 4 рубля. Требуется так спланировать работу, чтобы обеспечить наибольшую прибыль.

Ответ : Fmax = 24 (надо на 4 единицы продукции первого вида выпускать 3 единицы продукции второго вида).

9. Для изготовления парт и столов завод употребляет 3 вида (I, II, III) древесины. Расход ее на каждое изделие указан в следующей таблице :

Изделие

Древесина

I

II

III

Парты

0,4

0,2

0.1

Столы

0,2

од

0,1

Доход от производства одной парты составляет 6 рублей, а от одного стола — 9 рублей. Определить, сколько парт и столов должен изготовить завод, чтобы обеспечить наивысшую рентабельность, если в его распоряжении имеется 90 м3 древесины I вида, 40 м3 древесины II вида и 30 м3 — III вида.

Ответ: fmax = 1600 рублей.

10. Из Москвы в Сочи ежедневно отправляются скорые и курьерские поезда. Наличный парк вагонов и количество мест в каждом вагоне указаны в следующей таблице:

Багажные

Почтовые

Жесткие плацк.

Купейные

Мягкие

Число вагонов в поезде

курьерский

1

_

5

6

3

скорый

1

1

8

4

1

Вагон вмещает пассажиров

58

40

32

Наличный парк вагонов

12

8

81

70

27

Требуется выбрать такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы ежедневно перевозить максимальное число пассажиров.

Ответ: Fmax = 7722.

1. Цех по выпуску 2-х видов детских ботинок применяет сырье 3-х видов, запасы которого ограничены и составляют 100, 60 и 40 единиц сырья, необходимого для изготовления пары ботинок 1 вида 3, 2, 1 соответственно I, II, III видов; для изготовления ботинок 2-го вида — 2,0,1. Известно, что каждая пара ботинок первого вида при реализации дает до-

ход в 5 денежных единиц, а второго вида — 3 единицы. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный доход.

Ответ: Fmax = 165 денежных единиц.

12. Колхоз производит 2 кормовые культуры: сахарную свеклу и ячмень. Для этих культур отведена посевная площадь в 1000 га. Для производства этих культур колхоз может выделить 1000 тракторо-смен механизированно-ручного труда и 3000 человеко-дней конно-ручного труда. Сколько нужно произвести ячменя и сколько сахарной свеклы для наибольшего выхода кормовых единиц при данных условиях. Нормативные данные:

Виды культур

Запланированная урожайность, ц/га

Норма затраты труда на Г га

Содержание кормовых единиц с 1 га, ц

Выход кормовых единиц с 1 га, ц

тракторо-смен | человекодней

Сахарная свекла 200 2,6 2,6 0,25 50 Ячмень 20 0,6 2 1,2 24

Ответ: Fmax = 29200, 40000 центнеров сахарной свеклы, 16000 центнеров ячменя.

13. На 100 рублей решено купить елочных игрушек, которые продаются наборами. Набор, состоящий из 20 игрушек, стоит 4 рубля, набор из 35 игрушек стоит 6 рублей и набор из 50 игрушек — 9 рублей. Сколько и каких наборов нужно купить, чтобы было куплено наибольшее количество игрушек.

Ответ: Fmax = 580 (1 набор за 4 рубля и 16 наборов за 6 рублей).

Методические замечания

Элементы линейного программирования излагались в предложенном виде для учащихся, окончивших 8 классов, в летнем математическом лагере. На это отводилось 3 учебных дня, т. е. 8—9 часов. Материал разбирался с учетом того, что у ребят есть основные навыки в решении систем линейных уравнений и неравенств. Предлагаем решить с

учащимися 3—4 задачи из предложенных, желательно рассмотреть среди них разные типы; задачу на раскрой, транспортную задачу, задачу о наборах и смесях. Необходимо в заключении предложить учащимся самим составить задачи, используя при этом личные жизненные наблюдения, а потом решить их. Можно даже объявить конкурс на составление самой оригинальной и нужной для лагеря задачи и т. п.

При проведении факультативного курса по этой теме рекомендуем «симплекс» — метод рассматривать более подробно, опираясь на теоретическое обоснование узловых вопросов, используя при этом пособие 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. Физматгиз, 1963.

2. Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., «Просвещение», 1966.

3. Ермолаев Л. А. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. Алма-Ата, «Наука», 1966.

4. Кузнецов В. Г. Основы линейной алгебры и линейного программирования. Пермь, 1971.

5. Холод Н. И. Пособие к решению задач по линейной алгебре и линейному программированию. Мн., изд. БГУ, 1971.

6. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. М., «Высшая школа», 1967.

7. Детская энциклопедия, т. 2, изд. 3, М., «Педагогика», 1972 (См.: Монахов В. М. Чем занимается теория линейного программирования).

8. Маргулис А. Я., Радунский Б. А. Познакомимся с линейным программированием. «Математика в школе», № 4, 1971.

9. Рейтман М. И. Транспортная задача. — Журнал «Квант», № 7, 1974.

О. П. Шарова

(г. Ярославль)

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К ПРОВЕДЕНИЮ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

(Из опыта работы)

Современные тенденции в преподавании математики повышают требования к уровню профессиональной подготовленности в педагогическом институте. В связи с этим возникает необходимость установить пути теоретической, методической и практической подготовки студентов к проведению внеклассной работы в школе.

Большую роль в деле становления учителя математики, способного руководить всеми видами внеклассной работы по математике, играет профессиональная направленность предусмотренных учебным планом математических курсов. Через них студент получает достаточную теоретическую подготовку — необходимое условие для осуществления руководства внеклассной работой в школе. Однако, как показывают опыт работы со студентами, встречи с учителями школ области, этого явно недостаточно.

По существующим учебным программам основную методическую подготовку к проведению внеклассной работы студенты должны получить при изучении курса методики преподавания математики. В разделе программы «Общая методика» имеется пункт: «Внеклассная работа по математике. Цели, содержание и методы проведения». Одна-две лекции, одно-два практических занятия, которые можно выделить на изучение указанных вопросов, смогут дать лишь общее представление о методике проведения внеклассной работы в школе. Поэтому и курс методики преподавания математики также не дает всесторонней подготовки студентов к проведению этой работы в школе.

Все это потребовало дополнить традиционные разделы курса методики преподавания математики введением на четвертом курсе (8 семестр) специального математического практикума, который позволил нам углубить и расширить знания будущих учителей по вопросам внеклассной работы. Приведем план этого практикума.

На лекционный курс отводится 6 часов, которые распределяются следующим образом:

1. Организация и содержание внеклассной работы по математике. Обзор основной литературы по внеклассным занятиям — 2 ч.

2. Математический кружок, его организация и содержание занятий. Школьные математические лекции — 2 ч.

3. Организация и проведение математических вечеров. Математические состязания — 2 ч.

Излагая указанные вопросы, мы использовали личный опыт, опыт учителей школ области, обширную литературу по вопросам внеклассной работы.

На семинарские занятия отводится 28 часов.

1. Примерная программа внеклассных мероприятий для учащихся 4—8 классов — 2 ч.

2. Составление и обсуждение конспектов занятий математических кружков 4—8 классов — 12 ч.

3. Разработка и обсуждение сценария математического пионерского сбора для учащихся 4—7 классов — 2 ч.

4. Математический лекторий для учащихся 9—10 классов — 2 ч.

5. Математическая неделя в школе — 4 ч.

6. Математические состязания — 2 ч.

7. Внеклассное чтение математической литературы — 2 час.

8. Школьная математическая печать — 2 ч.

Мы не включили в программу данного практикума вопросов подготовки студентов к проведению факультативных занятий по математике, так как методическая подготовка студентов к их проведению осуществляется в курсе методики математики, а теоретическая — в спецкурсах и спецсеминарах, проводимых преподавателями всех математических кафедр.

На первом семинарском занятии практикума со студентами обсуждается примерная программа всего комплекса внеклассной работы по математике с учащимися вось-

милетней школы (см. приложение). Программа разработана на кафедре при активном участии студентов — слушателей практикума. При ее составлении мы старались по возможности учитывать взаимосвязь классных и внеклассных занятий. Так, после проведения в 4-м классе уроков на тему «Множества» в программе стоит занятие кружка «Рассказы о множествах», а первые уроки геометрии в 7-м классе по теме «Необходимые и достаточные условия» дополняются занятием кружка на ту же тему. Кроме того, в программе даются не только занятия кружков, но и учитываются другие виды внеклассных мероприятий, возможности их проведения в том или ином классе.

Большое значение для воспитания учащихся имеют традиции школы. Поэтому мы предложили сделать традиционными некоторые общешкольные мероприятия по математике. Так, например, полезно ежегодно в весенние каникулы проводить конференции по внеклассному чтению математической литературы. Планы таких конференций и их сценарии разрабатываются и обсуждаются на занятиях практикума. Полезно сделать традицией и проведение в определенное время года (у нас вторая неделя февраля) общешкольной математической недели. Чтобы каждый год ученик имел возможность принять участие в общешкольной математической неделе, отличающейся по содержанию от прошлогодней, мы предлагаем и разрабатываем со студентами цикл математических недель на следующие темы:

1. Математика вокруг нас.

2. От счета на пальцах до современных вычислительных машин.

3. От Евклида до наших дней.

4. Жизнь замечательных математиков.

5. Загадки и диковинки в мире чисел.

6. Математика на службе человечеству.

7. О профессии математика.

Таким образом, ученик, начиная с четвертого класса и до окончания школы, является участником каждой из предложенных математических недель.

Исходя из указанной программы внеклассных занятий (ом. приложение), каждому студенту дается индивидуальное практическое задание по разработке одного из мероприятий плана: конспекта занятия кружка, сценария математического вечера, КВНа, какого-либо вида математи-

ческого состязания, составления эскиза математической газеты и другие задания. Эти конспекты обсуждаются на занятиях практикума и утверждаются для проведения в школе. Красочно оформленные конспекты студенты сдают в кабинет методики математики, часть из них мы направляем в кабинет математики подшефной сельской школы.

При подготовке к занятиям, разработке конспектов студенты знакомятся с большим количеством методических пособий по внеклассной работе, с научно-популярной литературой по математике. Они наглядно убеждаются, что для внеклассной работы можно использовать не только готовые методические разработки, но и создавать свои. Все это поможет будущему учителю ввести в практику своей дальнейшей работы элементы исследования, творчества. Кроме того, методические разработки различных внеклассных мероприятий, созданные студентами, значительно пополнили раздел внеклассной работы кабинета методики математики. Накопленные в нем за 8 лет проведения практикума материалы пользуются популярностью у студентов и учителей города.

Регулярно на занятиях практикума специально выбранный информатор проводит информации о новинках методической литературы по математике; раз в месяц информаторы всех групп оформляют стенд «Новые книги».

К каждому занятию все студенты получают задание подготовить небольшой этюд о жизни и деятельности одного-двух ученых-математиков. Таким образом, в течение семестра «методическая копилка» каждого студента пополняется еще и этюдами о зарубежных, русских и советских ученых-математиках (Евклиде, Архимеде, Пифагоре, Б. Паскале, Л. Эйлере, К. Гауссе, Н. И. Лобачевском, С. В. Ковалевской, Л. С. Понтрягине и др.).

Стало традицией факультета ежегодно проводить студенческий учебно-методический математический вечер. Особенно интересными были вечера на темы: «Математика и коммунизм», «Из истории математики», а также вечер, посвященный популяризатору математических и физических знаний Я. И. Перельману.

Навыки, полученные на занятиях практикума, закрепляются при проведении разработанных мероприятий в школе. Большой интерес у учащихся и учителей вызвал, например, проведенный в апреле 1974 года в Дмитровской

школе Даниловского района математический пионерский сбор на тему: «Очень важная наука математика».

При организации педагогической практики мы также вменяем в обязанности каждому студенту обязательное проведение внеклассных мероприятий по математике. Таким образом, педагогическая практика дает возможность практического применения студентами знаний, полученных на занятиях практикума, закрепления приобретенных ими умений и навыков. Она ставит каждого из студентов перед необходимостью выбора наиболее эффективных форм внеклассной работы из предложенной нами программы.

Нам кажется, что организованная таким образом система подготовки студентов к проведению внеклассной работы по математике (теоретические курсы, предусмотренные учебным планом, лекции по методике математики, специальный математический практикум по внеклассной работе, педагогическая практика) даст будущим учителям математики достаточную подготовку для осуществления этой работы в школе.

Приложение

Примерная программа внеклассной работы по математике в восьмилетней школы

4 класс — «Клуб веселых математиков»

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

IX

1

2

Великаны и карлики в мире чисел

3 4

Матем. листок № 1, внеклассное чтение одной из книг В. Левшина

X

1

2

Рассказы о множествах

3 4

Матем. листок № 2, внеклассное чтение

XI

1

2

3 4

Исторические задачи на составление уравнений

Матем. олимпиада (1 тур), внеклассное чтение

Продолжение

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

XII

1

2

Как считали на Руси в старину и как писали цифры

3 4

Матем. олимпиада (2 тур)

I

1

2

Геометрические головоломки со спичками

3 4

Матем. «огонек», матем. листок № 3, внеклассное чтение

II

1

2

По тематике математической недели

3 4

Матем. листок № 4

III

1

2

Занимательные квадраты

3 4

Внеклассное чтение, конференция по внеклассному чтению

IV

1

2

Старинные меры и метрическая система

3 4

Матем. листок № 5, внеклассное чтение

V

1

2

Заключительное занятие. Подготовка к сбору

3 4

Матем. пионерский сбор

5 класс — «Клуб веселых математиков»

IX

1

2

Загадки и диковинки в мире чисел

3 4

Загадки и диковинки в мире чисел

Матем. газета № 1

X

1

2

3

История развития арифметических и алгебраических символов

4

Одним росчерком

Матем. газета № 2

Продолжение

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

XI

1

2

Л. Ф. Магницкий и его «Арифметика»

3 4

Решение логических задач

Матем. олимпиада (1 тур)

XII

1

2

Множества и алгоритмы

3 4

Матем. олимпиада (2 тур)

I

1

2

Задачи на делимость. Проверка действий 9-й

Турнир смекалистых

3 4

Задачи на разрезание и перекраивание фигур

II

1

2

По тематике математической недели

Матем. газета № 3

3 4

Системы счисления

III

1

2

Системы счисления (продолж.)

3 4

Конференция по внеклассному чтению мат. литературы

IV

1

2

От абака к счетной машине

Экскурсия в выч. бюро (завода, банка)

3 4

Из истории возникновения дробей

V

1

2

3 4

Геометрия на каждом шагу

Экскурсия в природу Матем. пионерский сбор

Десятиминутки — этюды об ученых, математические дарования которых проявились в детстве.

6 класс — «Клуб веселых математиков

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

IX

1

2

Как возникла геометрия?

3 4

Математика в живой природе

Экскурсия в природу

X

1

2

Тайна магических квадратов

Матем. газета № 1

3 4

Алгебраические софизмы

XI

1

2

Чтение графиков

Матем. олимпиада (1 тур)

3 4

Симметрия на плоскости

XII

1

2

Симметрия на плоскости (продолж.)

Матем. газета № 2

3 4

Матем. олимпиада (2 тур)

I

1

2

3

Геометрические упражнения с листком бумаги

Турнир смекалистых

4

Геометрические упражнения с листком бумаги (продолж.)

II

1 2

По тематике математической недели

Матем. газета № 3

3 4

Геометрические софизмы

III

1

2

Как измеряют на практике длины и углы

3 4

Конференция по внеклассному чтению матем. литературы

Продолжение

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

IV

1

2

3

Историческое развитие учения об уравнениях

4

Решение неопределенных уравнений в целых числах

Матем. газета № 4

V

1

2

Решение занимательных исторических задач

3 4

Математ. пионерский сбор

Десятиминутки — рассказы о математиках древности.

7 класс — «Клуб разведчиков науки»

Примечание: В 7-м и 8-м классах в связи с введением факультативных занятий занятия кружка рекомендуется проводить один раз в месяц

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

IX

1

2

о

Необходимые и достаточные условия в математике

6

4

Лекторий № 1 : Предикаты и кванторы

X

1

2

3

Интересные свойства чисел и математических действий

4

Матем. газета № 1

XI

1

2

Равновеликие и равносоставленные фигуры

3

4

Матем. олимпиада (1 тур)

Продолжение

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внекласных занятий

XII

1

2

4

3

Алгебра графиков

Матем. газета № 2, матем. олимпиада (2 тур)

I

1

2

3 4

Алгебра графиков (продолж.)

Математический хоккей, лекторий № 2: Применение векторного метода к решению геом. задач

II

1

2

3

По тематике математической недели

Матем. газета № 3

III

4

1

2

3 4

Различные приемы доказательства теоремы Пифагора

Конференция по внеклассному чтению матем. литературы

IV

1

2

3

Определение расстояний до недоступных точек методом подобия

4

Матем. газета № 4

V

1

2

3 4

Как извлекали квадратные корни в древнем мире

Вечер занимательной математики

Десятиминутки — этюды о женщинах-математиках.

8 класс — «Клуб разведчиков науки»

IX

1

2

Прогрессии. Суммирование

3 4

Лекторий № 1: Предшественники эл.-выч. машин

X

1

Что такое графы?

2

3

4

Математическая газета № 1

Продолжение

Месяц

Неделя

Тематика занятий кружка

Другие виды внеклассных занятий

XI

1

2

3

Применение координатного метода к решению геометрич. задач

4

Матем. олимпиада (1 тур)

XII

1

2

3 4

Применение координатного метода к решению геометрич. задач (продолж.)

Матем. газета № 2

Матем. олимпиада (2 тур)

I

1

2

Преобразования графиков

Математический КВН

3 4

Лекторий № 2: Современные эл.-выч. машины и их применение

II

1

2

По тематике математической недели

Матем. газета № 3

3 4

Экскурсия в вычислительный центр

III

1

2

Q

Решение показательных и логарифмических уравнений

О

4

Конференция по внеклассному чтению матем. литературы

VI

1

2

Графическое решение уравнений и неравенств

3 4

Матем. газета № 4, матем. лекторий № 3: Понятие о программировании на эл.-выч. машинах

V

1

2

Логическое строение геометрии

3 4

Устный матем. журнал

Десятиминутки — обзор математических статей журнала «Квант».

И. П. Ваганова, В. Ф. Дудова, В. И. Пономарева (г. Саратов)

СИСТЕМА РАБОТЫ САРАТОВСКОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА СО ШКОЛЬНИКАМИ, ПРОЯВЛЯЮЩИМИ ИНТЕРЕС К МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

В предлагаемой статье освещается система работы с учащимися старших классов сельских и городских школ, проводимой отделением математики и физики школы юного педагога (ШЮП) Саратовского педагогического института в течение 6 лет.

Цели этой работы состоят, во-первых, в пропаганде математических и физических знаний среди учащихся, в повышении уровня знаний школьников, в расширении их кругозора. Во-вторых, в оказании помощи учащимся 9—10-х классов, особенно сельских школ, желающим получить дополнительную подготовку по математике и физике с целью поступления на физико-математический факультет пединститута. В-третьих, в профориентации учащихся, в популяризации учительской профессии. В-четвертых, в приобщении студентов пединститута к общественно-педагогической деятельности как дополнительному средству профессиональной подготовки.

Работа с сельскими школьниками проводится, в основном, по заочной системе. В октябре всем зачисленным в ШЮП учащимся 9—10-х классов высылается письмо, содержащее общие рекомендации на весь учебный год, 6 заданий по математике, 6 заданий по физике (с указанием графика выполнения) и одно задание общепедагогического характера. В заданиях указано, какой теоретический материал надо изучать, что повторить, на какие вопросы следует обратить особое внимание, содержатся также некоторые методические рекомендации по решению задач. Прак-

тическая часть заданий содержит определенное количество задач на материал данной темы и на повторение. В 10-м классе повторение ведется систематически. Например, по физике в каждом задании предлагается выполнить 12 задач, из них 8 задач охватывают материал изучаемой темы, а 4 задачи даются на повторение пройденного в 6—9-х классах. Таким образом, в заданиях ШЮП находит свое отражение весь основной программный материал по физике и математике за курс средней школы. В каждом задании содержатся задачи трудные, средней трудности и сравнительно легкие. Такое сочетание дает возможность выявить среди учащихся наиболее способных, средние же ученики справляются хотя бы с частью задания, что укрепляет их уверенность в своих силах и желание продолжать обучение. Это способствует уменьшению отсева. В целом же степень трудности заданий выше средней. В заданиях по физике, помимо количественных задач, которые преобладают, представлены графические, качественные и несколько экспериментальных задач.

Объединение отделений физики и математики, которые сначала работали раздельно, оказалось необходимым, так как выяснилось, что некоторые математики не поступают в институт из-за слабой подготовки по физике, а физики— из-за математической неподготовленности. Такое объединение оказалось тем более оправданным, что в настоящее время наш пединститут готовит специалистов широкого профиля (учитель математики с правом преподавания фифики и учитель физики с правом преподавания математики).

Содержание заданий ежегодно пересматривается с учетом результатов работы и изменения школьных программ, а также с целью предупреждения возможности списывания со старых работ (тетради с выполненными работами мы возвращаем учащимся).

Рецензирование присылаемых ответов проводят студенты-шефы. Эта работа рассматривается как важное комсомольское поручение. Запись для работы в ШЮП добровольная. В основном шефами являются студенты 2—3-го курсов, но принимают участие и студенты других курсов. Ежегодное среднее количество учащихся 9—10-х классов. ШЮП на отделении математики и физики — около 300 человек. С ними работают 90—100 студентов-шефов. Каждому уча-

щемуся прикрепляются 2 шефа — математик и физик. Многие студенты работают в качестве шефов 2—3 года. Каждый студент шефствует над 5—10 учениками 9—10-х классов (некоторые студенты изъявляют желание работать в обоих классах). Учащиеся из одной школы, как правило, прикрепляются к одному шефу, что позволяет в определенной степени следить за самостоятельностью присылаемых решений. Если предоставляется возможность, в качестве шефов прикрепляются земляки учащихся, что создает возможность личных контактов.

В рецензиях содержится общая оценка выполненного задания, указываются ошибки в решении той или иной задачи, разъясняется причина допущенных ошибок (незнание определенного раздела школьной программы, невнимательное чтение условия задачи, неумение обращаться с единицами измерения и т. д.), даются указания к решению задач, вызвавших затруднение, иногда приводится само решение с подробным объяснением.

В начале каждого учебного года преподаватели-методисты совместно с комитетом ВЛКСМ проводят собрания студентов-шефов. Наряду с решением организационных вопросов дается подробный инструктаж о порядке и графике работы, о том, как рецензировать ответы учащихся. С целью лучшей организации работы из студентов-шефов выделены бригадиры. Они следят за своевременным рецензированием и отправкой работ. Контроль за качеством работы студентов-шефов осуществляется путем выборочной проверки рецензий, по журналам регистрации получения и отправки писем и по специальной картотеке. Несколько раз в год для студентов-шефов проводятся консультации, на которых анализируются очередные задания, решаются задачи, разбираются различные варианты их решения, указывается на возможные ошибки в работах учащихся, даются ответы на возникающие у студентов вопросы. В остальное время руководство работой студентов-шефов носит, в основном, характер индивидуальных консультаций. В кабинете методики оборудован специальный стенд «Школа юного педагога», на котором помещены списки студентов-шефов, инструкция об обязанностях студентов-шефов, график работы, ответы на задачи очередного задания и другие методические материалы.

В конце учебного года проводятся собрания студентов-

шефов, на которых подводятся итоги работы. Учащиеся 9-го класса переводятся на второй год обучения (им об этом сообщается). Десятиклассники, успешно обучавшиеся в Школе юного педагога, по их желанию, зачисляются в первую очередь на месячные летние подготовительные курсы (прием на эти курсы ограничен). По решению Ученого совета института приемная комиссия при прочих равных условиях учитывает рекомендации Совета ШЮП при зачислении в институт. Независимо от этого, абитуриенты из числа выпускников ШЮП сдают экзамены, как правило, лучше, чем остальные, и при их зачислении обычно не возникает необходимости в использовании указанной льготы.

Среди принятых на физико-математический факультет бывшие учащиеся Школы юного педагога составляют значительную часть. Так, в 1973 г. 31% всех зачисленных по конкурсу прошли через ШЮП. Наблюдение за студентами-выпускниками ШЮП показали, что успеваемость и общественная активность большинства из них выше, чем у других студентов. Это объясняется более продуманным и длительным процессом выбора профессии, большими возможностями дополнительной подготовки, проверки и самопроверки в довузовский период.

Помимо большой общественной пользы ШЮП — оказания помощи сельским школьникам в изучении математики и физики, подготовки к конкурсным экзаменам, — работа в ШЮП приносит несомненную пользу и самим студентам-шефам. Они приобретают важные профессиональные навыки. Эти студенты, как правило, лучше остальных знают школьные учебники, содержание каждой темы, знают, что является трудным и плохо усваивается учащимися, какие типичные ошибки допускаются при решении задач, на что надо обращать особое внимание при изучении материала. У студентов остается запас решенных задач разной степени трудности по всем темам 9—10-го классов, которые они смогут использовать на педагогической практике и в последующей работе. Студенты получают также важные практические навыки рецензирования работ, проведения письменных консультаций. Между шефами и подшефными устанавливаются дружеские связи. Учащиеся часто обращаются к студентам с просьбой рассказать о себе, об институте, дать совет по комсомольской и пионерской ра-

боте, пишут обо всем, что их волнует. Такое общение полезно как учащимся, так и студентам. У студентов-шефов воспитывается ответственность за успеваемость своих подшефных, а также за свою собственную работу — своевременное и качественное рецензирование. Многие выпускники ШЮП, поступив на физико-математический факультет, сами становятся шефами.

Основная форма очной работы — лекционная. Лекторий «На переднем крае науки» работает уже в течение 15 лет. В лектории занимаются учащиеся школ городов Саратова и Энгельса, приезжают и ученики из близких сельских районов. Лекции по математике и физике читаются по воскресеньям и чередуются, так как многие учащиеся стремятся слушать и те и другие. Лекции читают заведующие кафедрами, доценты, опытные преподаватели. Тематика лекций включает как современные проблемы науки, так и наиболее сложные вопросы школьного курса математики и физики (например, вопросы теории вероятностей, математической логики, теории множеств, вопросы спектрального анализа и его применения в науке и технике, физические основы полета космических кораблей, современные представления о природе тяготения, основы теории относительности Эйнштейна и другие). Кроме того, в лектории читаются лекции по педагогике и психологии. Помимо лекций, в институте проводятся областные олимпиады по математике и физике, экскурсии по физическим лабораториям, встречи с преподавателями института, читаются лекции в школах. Интересной формой работы является сотрудничество преподавателей физико-математического факультета со средней школой № 93 г. Саратова, где с 1967 года работает физико-техническое общество «Квант». Это общество объединяет секции: современная физика, экспериментальная радиоэлектроника, астрофизика и другие. С 1972 года и по настоящее время руководство секцией астрофизики осуществляется преподавателями физико-математического факультета.

Мы считаем, что все перечисленные методы работы со школьниками имеют немалое значение в деле подготовки будущих специалистов. Эта работа находит свое отражение в методическом бюллетене и факультетской стенгазете. На ряде заседаний кафедр и совета физико-математического факультета она получила положительную оценку и одобре-

ние. Неоднократно отмечалось, что ШЮП представляет собой важный резерв набора на факультет сельских школьников, достаточно хорошо подготовленных по профилирующим дисциплинам факультета. В настоящее время, когда ряд сельских школ Саратовской области испытывает недостаток в квалифицированных учителях математики и физики, подготовка абитуриентов на физико-математический факультет через систему ШЮП имеет большое значение. Комитет комсомола института и комсомольское бюро факультета немало внимания уделяют вопросам шефской работы. Лучшие студенты-шефы ежегодно награждаются Почетными грамотами и книгами.

Мы считаем также, что работа школы юного педагога косвенным образом влияет на уровень преподавания математики и физики в сельских школах, так как учителя знакомятся с требованиями вуза, обращают большое внимание на некоторые типы задач. Несомненно также, что ШЮП способствует популяризации профессии учителя.

А. М. Иванова (г. Ленинград)

ОПЫТ ПРОВЕДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕСЯЧНИКА НА ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ СТУДЕНТАМИ IV—V КУРСОВ ФАКУЛЬТЕТА МАТЕМАТИКИ ЛГПИ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

В курсе методики преподавания математики тема «Организация внеклассной работы по математике» занимает особое место в силу различной подготовленности студентов. Одни из них со школьной скамьи имеют очень хорошее представление о различных видах внеклассных мероприятий по математике. Однако встречается немало студентов, осведомленность которых об организации внеклассной работы по математике является слабой, а иногда и совсем отсутствует.

Вместе с тем курс методики преподавания математики настолько насыщен вопросами содержания программного материала, что в лекционном курсе не представляется возможным осветить раздел о внеклассной работе по математике.

Чаще всего внеклассную работу не удается рассмотреть и на практических, семинарских занятиях со студентами.

Выход из положения находится в том, что тема «Организация внеклассной работы по математике» предлагается студентам для самостоятельного изучения. Даются вопросы темы и список литературы для самостоятельной работы. Кроме этого, на факультете организован факультатив и проводится спецсеминар для студентов IV—V курсов на тему «Подготовка студентов к проведению внеклассной работы по математике».

Продолжение обучения студентов по этому разделу практически происходит в период как пионерской практики, так и в период методической и стажерской практики в школе. В период методической и стажерской педагогиче-

ских практик студенты знакомятся конкретно с отдельными видами регулярной эпизодической внеклассной работы по математике.

В ряде ленинградских школ, где организовано прохождение педагогической практики, внеклассная работа концентрируется в определенном временном сроке и получает специальное название: «Математическая неделя», «Математическая декада» или «Математический месячник».

Опыт показал, что наиболее удачно можно провести внеклассную работу, если по школе объявляется «Месяц математики».

В период педагогической практики в коллектив школы вливается свежая струя в лице студенческой группы, которая является весьма полнокровной, так как в группу входят 5—8 студентов. Таким образом, если целеустремленно направить силы такого большого студенческого коллектива, то появляется физическая возможность оживить математическую атмосферу учащихся в школе, где осуществляется педагогическая практика студентов путем «Математического месячника». Видимо, одному-двум учителям-предметникам не всегда под силу организовать и провести это насыщенное отдельными видами внеклассной работы мероприятие по математике. При активном же участии группы практикантов «Математический месячник» организуется и проводится в школе сравнительно легко. Причем удается провести большое число совершенно различных видов внеклассной работы по математике.

Следует подчеркнуть и другое обстоятельство. Если сравнивать по времени проведения математическую неделю, математическую декаду и математический месячник, то последний выгодно отличается от первых двух своей длительностью и растянутостью.

Учащиеся получают возможность и успевают примкнуть к работе, втянуться и увлечься мероприятиями математического месячника и, что не менее важно, увидеть результаты своей работы. Сроки же «неделя», «декада» значительно короче месячника, поэтому практически не удается психологически вовлечь многих учащихся во внеклассную работу по математике.

Также следует выделить и то обстоятельство, что организация и проведение студентами математического месяч-

ника с учащимися опирается на максимальную самостоятельную работу учащихся с книгой по математике.

Опыт показал, что многие учащиеся даже старших классов с большим трудом могут самостоятельно читать не только научно-популярную литературу по математике, но и учебные пособия.

Мы здесь не ставим задачу раскрыть причины неумения учащихся самостоятельно работать с книгой по математике, но месячник по математике оказался тем сроком, когда можно было хоть как-то уделить специальное внимание привитию учащимся навыков самостоятельной работы с книгой по математике.

Студенты во время проведения математического месячника имели возможность уделять внимание не только учащимся, интересующимся математикой, но и тем учащимся, которые раньше не любили математику или недостаточно ею интересовались.

Внешним показателем проявления повышенного интереса к математике у учащихся во время проведения математического месячника явился хотя бы тот факт, что полка с книгами по математике в школьной библиотеке оказалась пустой; все книги и журналы по математике были разобраны учащимися. В формулярах многих учащихся появились записи о математических книгах, чего раньше не наблюдалось.

Устный и письменный опрос показал, что личные библиотеки многих учащихся стали пополняться экземплярами книг по математике. Выявились и такие учащиеся, которые в период математического месячника стали обзаводиться собственными библиотеками по математике.

Значение математического месячника состоит также и в том, что учащиеся увидели большое разностороннее применение математики во многих смежных дисциплинах, в различных отраслях народного хозяйства, в жизни, быту, на производстве.

Остановимся на опыте проведения математического месячника студентами IV курса. Педагогическая практика студентов IV курса совпадает со сроком II четверти, т. е. с 10 ноября по 31 декабря. Месячником математики удобнее объявлять по школе декабрь, так как в ноябре происходит знакомство и привыкание коллектива студентов к коллективам учителей и учащихся.

Программа математического месячника обсуждается на заседании педагогического совета школы. В обсуждении программы принимают участие администрация школы, прикрепленные учителя математики, классные руководители, а также все остальные учителя педагогического коллектива школы, так как все мероприятия в школе в этом месяце по согласованию с администрацией подчинены программе математического месячника.

С активом учащихся школы обсуждается вопрос о штабе проведения математического месячника. В штаб проведения месячника от каждого класса (с 4 по 7-е классы) входят по два ученика. Штаб, как правило, состоит из 12—15 человек.

Студенты совместно со штабом учащихся вырабатывают вопросы программы, подготовки и организации проведения математического месячника.

Программа математического месячника — это комплекс различных видов внеклассной работы. Выбор видов внеклассной работы является результатом анализа интересов учащихся — участников математического месячника данной школы и конкретных возможностей студентов — организаторов проведения месячника. Успех проведения математического месячника зависит главным образом от того, насколько удается учесть как интересы учащихся, так и интересы студентов. Как правило, более успешно проводится тот вид внеклассной работы, который студенты знают лучше.

Приведем вариант программы математического месячника, проведенного в школе № 87 г. Ленинграда в декабре 1974 года.

Следует особо выделить тот факт, что при организации и проведении математического месячника участие не только штаба месячника, но и учащихся классов является самым непосредственным. Любая инициатива учащихся всячески поощряется. При подготовке к проведению месячника слабоуспевающие учащиеся, а также неуспевающие получают специальные задания, т. е. они не остаются вне поля зрения студентов. Таким образом, результатом проведения месячника явилось заметное улучшение успеваемости по математике.

Все мероприятия математического месячника встречаются учащимися с интересом, вызывают повышенное вни-

Мероприятия

Классы

Срок

1.

Математические лекции по классам

4—7 кл.

1— 5/XII

2.

Малые математические циклы — олимпиады (по классам)

4—7кл.

6—12/XII

3.

Математические анкеты учащихся

4—7кл.

13—15/XII

4.

Математические сочинения. Конкурс сочинений. Выставка книг по математике.

4—7 кл.

16—20/ХП

5.

Изготовление наглядных пособий по классной и внеклассной работе. Выставка и конкурс пособий.

4—7 кл.

21—23/XII

6.

Выпуск классных математических газет.

4—7 кл.

24—25/ХII

7.

Математический бал.

4 кл.

26/XII

8.

Математический хоккей. Первенство личное и командное.

5—6 кл.

27/ХII

9.

Математический вечер.

5—7 кл.

28/ХII

мание со стороны слабоуспевающих учеников, так как различные игровые элементы (математический хоккей), конкурсы (наглядных пособий, математических газет, математических сочинений), представления (математический бал) и др. изменили их отношение к математике.

Опыт проведения математического месячника показал, что удобнее и целесообразнее начинать месячник не с лекций, а с проведения математической анкеты. Математическая анкета, проведенная в начале математического месячника, позволяет выявить специфические особенности отношения к математике отдельных учащихся и класса в целом, а также вообще анкета показывает, в каком направлении следует работать студентам. Анкета и ответы учащихся являются тем материалом, анализ которого служит базой для планирования, организации и проведения математического месячника.

Из вышеприведенного варианта программы остановимся на п. 3 «Математические анкеты учащихся».

Студенты разрабатывают вопросы математической анкеты для учащихся 4—7-х классов, учитывая индивидуальные и возрастные особенности учащихся, а также успеваемость.

Вопросы математической анкеты для учащихся 7 класса

1. Ваше отношение к математике.

2. Назовите науку, которая обходится без математики.

3. Кого из известных математиков Вы знаете?

4. Кого из авторов ваших учебников по алгебре и геометрии Вы знаете?

5. Какие книги о математике и математиках Вы читали?

6. Ваша будущая профессия и ее связь с математикой.

Студенты проводили подробный анализ анкеты как количественный, так и качественный. Но мы остановимся только на некоторых интересных выводах анализа. В частности, обнаружилась недостаточная взаимосвязь между предметами, потому что в некоторых анкетах ученики пишут, что физика не связана с математикой, шофер машины не связан с математикой, радист на корабле не связан с математикой. Некоторые учащиеся в качестве выбранной профессии указывают на профессию слесаря именно потому, что слесарь не связан с математикой. Известно, что в школах проводится большая работа по профессиональной ориентации, но некоторые ответы на вопросы анкеты показали, что представления о профессиях довольно-таки формальные. На заключительном математическом вечере для учащихся 5—7-х классов был сделан доклад об отдельных профессиях и их связях с математикой.

Проведение математического месячника в школе можно рассматривать как путь развития интереса учащихся к математике.

А. И. Березина (г. Южно-Сахалинск)

ИЗ ОПЫТА ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

В статье изложен опыт проведения внеклассной работы по математике в 1—3-х классах школы № 5 г. Южно-Сахалинска группой студентов Южно-Сахалинского государственного пединститута под руководством автора.

Основная цель проведения внеклассной работы с младшими школьниками — воспитание устойчивого интереса к математике, ибо, как говорил В. А. Сухомлинский: «Все наши замыслы превращаются в прах, если нет у ученика желания учиться».

К сожалению, в рамках небольшой статьи трудно изложить подробно все вопросы, которые рассматривались на занятиях. Остановимся на нескольких основных, на наш взгляд, направлениях внеклассной работы с младшими школьниками.

В настоящее время уже не вызывает сомнений тот факт, что теоретико-множественный подход к изучению математики в школе способствует формированию многих качеств, которые составляют основу не только математической, но и общей культуры человека.

Экспериментальная программа, составленная действительным членом АПН СССР профессором А. И. Маркушевичем для начальной школы, заинтересовала нас. Не имея возможности рассматривать понятия «множество», «операции над множествами», «соответствия» на уроке, мы решили ввести их на математическом кружке.

Все теоретико-множественные понятия вводились через наглядные образы на конкретных примерах. На каждом занятии кружка мы уделяли много внимания рассмотре-

нию отношений типа: «правее», «левее», «следует за», «предшествует», «лежать между», «выше», «ниже».

В качестве примера рассмотрим фрагмент одного из занятий, на котором отрабатывались эти понятия. К данному занятию ребятам было предложено в имеющихся у них альбомах нарисовать на одной странице определенных размеров круги, треугольники, квадраты и флажки в таком порядке :

1 ряд — фигуры красного цвета (круг, треугольник, квадрат и флажок),

2, 3, 4 ряды — в том же порядке фигуры соответственно зеленого, синего и желтого цветов.

Кроме того, нужно было вырезать такие же фигуры (только больших размеров) из плотной бумаги.

Задание 1. Из имеющихся фигур составить множество треугольников. Ребята показывают множество треугольников. Называют на рисунке — это 2-й столбец. Назовем это множество первым множеством.

Вопросы:

1) Перечислите элементы этого множества.

2) Сколько элементов содержит первое множество?

3) Какой элемент лежит ниже красного треугольника?

4) Между какими элементами лежит синий треугольник? А между какими двумя соседними элементами лежит синий треугольник?

5) Какой элемент лежит выше красного треугольника? А ниже желтого треугольника? Как называется множество элементов, расположенных выше красного треугольника и ниже желтого?

6) Какой элемент лежит между красным и синим треугольниками?

7) По какому признаку мы составляем первое множество?

Задание 2. Составить множество синих фигур. Показать его. Пусть это будет второе множество.

Вопросы :

1) Сколько элементов содержит второе множество? Сравните количество элементов второго множества с количеством элементов первого множества.

2) Перечислите элементы второго множества.

3) Между какими элементами лежит квадрат?

4) Какой элемент лежит левее треугольника? Какой элемент предшествует треугольнику?

5) Какой элемент следует за треугольником? Какой элемент лежит правее треугольника?

6) Какой элемент следует за флажком? А как называется множество элементов, следующих за флажком?

7) По какому признаку составлено второе множество?

Задание 3. Найдите среди элементов множества треугольников элемент, обладающий признаком, по которому составлено второе множество. Множество, состоящее из одного элемента — синего треугольника,— является пересечением первого и второго множеств.

Задание 4. Найдите пересечение множества зеленых фигур и множества кругов.

Вопросы :

1) Можно ли назвать в этом множестве элементы, между которыми лежит зеленый круг?

2) Сколько элементов должно содержать множество,, чтобы можно было сказать, что один элемент лежит между двумя другими?

3) Есть ли в этом множестве элемент, лежащий левее зеленого круга? А правее?

Вывод. Если мы имеем множество, состоящее из одного элемента, то нельзя рассматривать отношения «следует за», «лежать между», «правее», «левее».

Аналогичная работа проводилась и с понятиями «соответствия», «объединение множества», «дополнение».

Упражнения такого типа рассматривались на каждом занятии математического кружка.

В своей практической работе мы убедились, что все эти понятия вполне доступны учащимся младшего возраста.

Ребята с большим удовольствием принимают участие в выполнении предлагаемых выше заданий. К концу второго и в третьем классе члены кружка сами составляли довольно интересные, наполненные конкретным содержанием задания-рассказы, иллюстрируя их красочными рисунками.

В третьем классе члены кружка имели целые альбомы по теме «Множества. Соответствия». Яркость, красочность

рисунков помогала усвоению всех вводимых математических понятий.

Кроме того, мы пришли к выводу, что количество примеров на занятии должно быть небольшим, а количество рассматриваемых математических понятий обширным.

Это, на наш взгляд, поможет избежать формального запоминания, которое может возникнуть, если в течение длительного времени работать над одним и тем же понятием.

Формализм в математике представляет серьезную опасность. Мы постоянно помнили об этом и потому не меньшее внимание уделяли задачам, способствующим устранению формального переноса знаний в сходную ситуацию.

В качестве примера приведем следующий математический софизм, составленный учеником 3-го класса.

Где ошиблись в рассуждениях?

Ошибка, допущенная в этом примере, явилась результатом формального переноса закона с одной математической операции на другую.

Задачи такого типа способствуют развитию логического мышления учащихся.

Вопросы воспитания логического мышления учащихся в последнее время особенно привлекают учителей математики. И это не случайно. Сфера приложений математики расширяется, человек должен уметь видеть, что является самым важным в конкретной ситуации, иметь развитую интуицию, уметь рассуждать логически.

Недостаток логических знаний снижает воспитательный эффект курса математики, в результате которого учащиеся должны научиться рассуждать, анализировать, обобщать.

При решении логических задач или, как их иногда еще называют, задач с «хитринкой» учащиеся мобилизуют все свои знания, стремясь разгадать секрет такой задачи. В качестве примера рассмотрим следующие задачи:

1) Груша легче апельсина. А яблоко легче груши. Что тяжелее апельсин или яблоко?

2) Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 1 см, 1 см?

3) Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы площадь его выражалась числом, меньшим 4, но большим 2?

4) Подберите такие числовые значения буквы а, чтобы числовое выражение За+1 оканчивалось цифрой 0.

5) Какими цифрами будет оканчиваться числовое выражение 5а+3? Почему?

6) В 8 часов утра начался сильный ливень. Можно ли ожидать, что через 17 часов будет светить солнце?

Кроме того, постоянно рассматривались задачи, развивающие у учащихся черты исследователя. К таким задачам относятся:

1) Задачи с несформулированным вопросом. Например, Поезд находился в пути 8 часов. Первые 3 часа он шел со скоростью 62 км в час, остальные 5 часов со скоростью 65 км в час.

Задача решается после того, как учащиеся, осмыслив данные в задаче величины, сформулируют вопрос.

2) Задачи с недостающими данными: а) На дереве сидело 9 воробьев. Несколько воробьев улетело. Сколько воробьев осталось на дереве? б) Дан прямоугольник со стороной AB = 2 м. Найти его периметр.

3) Задачи с излишними данными. Например: дан прямоугольник ABC Д. AB = 2 м ; ВС = 4 м ; АД = 4 м ; найти его периметр.

4) Задачи, в условиях которых сознательно включены ошибки. Например. Дан прямоугольник ABC Д. AB = 2 м ; ВС =4 м; АД = 5 м. Найти его периметр.

Решение таких задач ставит учащихся в обстановку, близкую к жизненной, когда приходится отбирать нужные данные для решения задачи или доказывать невозможность ее решения, используя, если есть необходимость, математическую книгу.

Книга — неотъемлемый элемент обучения. Книга помогает учащимся самостоятельно добывать знания. Она способствует воспитанию у детей стремления к знаниям, развивает интерес к предмету. И прививать любовь к книге необходимо с первых дней обучения.

Большую роль в привитии любви к книге играет внеклассная работа. На занятиях кружка, который был организован нами, учащимся предлагались задачи из различных книг. Ребята самостоятельно разбирались в решении этих задач и делали небольшие сообщения на очередном занятии кружка. В третьем классе учащимися самостоятельно были подготовлены сообщения об Архимеде, Евклиде, об истории возникновения римской нумерации. К 8 марта подготовили сообщение о Гипатии. В третьем классе учащиеся могли уже самостоятельно подобрать материал для математической газеты.

Основная цель, которую мы ставили перед стенгазетой,— пропаганда математических знаний среди учащихся, не состоящих в кружке, освещение опыта работы кружка. Газета дополняла кружковые занятия, а потому материалы, помещенные в газете, мы стремились сделать интересными и для членов кружка. Школьникам, выпускающим газету, эта работа принесла большую пользу : они познакомились с различными книгами, научились находить и отбирать нужный материал. В третьем классе уже были газеты, выполненные полностью силами учащихся. Выпуск каждой газеты вызывал у детей большое чувство удовлетворения, поднимал веру в свои силы, вызывал чувство гордости. Газета встречалась в классе как праздник, и все дети с удовольствием читали ее, решали задачи. А ведь это самое главное, что газета привлекла внимание детей, заинтересовала их.

Проведенная работа с учащимися начальных классов позволяет сделать следующие выводы. Учащиеся, посещающие кружок, проявляют большую активность на уроке. У них лучше развита математическая речь, лучше вычислительные навыки ; при решении задач и упражнений они дают более оригинальные и рациональные решения. Наши занятия кружка посещал Ю. А. — мальчик из неблагополучной семьи. Никто никогда не интересовался его учебой. Тетради у него были неаккуратны, задания не выполнялись. На кружке он был совсем другой. Он с недетской серьезностью увлекался задачами, давал оригинальные решения. Изменилось и его общее отношение к учебе, вырос авторитет его в глазах ребят. П. Г. — ребенок из семьи, где не занимались всерьез его воспитанием. Мальчик пришел в школу неподготовленным и с первых дней значительно отстал от своих товарищей, что явилось причиной его излиш-

ней робости. Однако с первых же дней работы нашего кружка он стал посещать его. Ему нравилось считать. Для него специально подбирались простые задачи, чтобы он почувствовал уверенность в себе. Постепенно задания усложнялись. Мальчик окончил начальную школу, перешел в 4-й класс, стал активнее на уроках, у него появился интерес к учению.

По нашему мнению, внеклассную работу по математике с младшими школьниками проводить нужно, так как всегда есть дети, которым явно недостаточно того, что учитель дает на уроке, есть дети с замедленной реакцией, робкие дети.

Проводя внеклассную работу по математике в начальной школе, мы пришли к выводу, что систематической внеклассной работой по математике должно быть охвачено большинство учащихся. С первого класса массовость следует считать необходимым условием эффективности этой работы. Кроме того, убедились практически, что внеклассная работа по математике, являясь неразрывной частью учебно-воспитательной работы с детьми, содействует воспитанию учащихся, расширяет математический кругозор, способствует повышению успеваемости и дисциплины учащихся.

Н. И. Чуглова

(г. Вологда)

СТУДЕНЧЕСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛЕКТОРИЙ

За последнее время кафедра математики Вологодского педагогического института большое внимание уделяет работе студентов-математиков в помощь школе. Например, кафедра широко использует такие формы работы, как летняя математическая школа (ЛМШ), школа юных математиков (ЮМШ), олимпиады. Свое место среди них занимает студенческий математический лекторий. Опыт работы таких математических лекторских групп при педагогических институтах пока невелик. Так, на I конференции математиков по работе со школьниками, которая проходила в феврале 1974 года в Ленинградском государственном университете, были представлены три лекторские группы (в том числе и наша).

Цель нашей статьи — обобщить некоторые итоги и наблюдения, связанные с работой лектория, определить его место среди других форм работы студентов в адрес школы. Эта задача представляется нам актуальной в связи с недавним приказом Министра высшего и среднего образования СССР от 7 февраля 1974 года — «Положением о научно-исследовательской работе студентов высших учебных заведений», а также в связи с почти полным отсутствием в методической литературе сведений о работе таких лекториев.

Лекция как один из эффективных методов преподавания и как форма внеклассной работы должна занять видное место в системе обучения и пропаганде знаний. Дать будущим учителям определенные навыки в работе над лекцией вообще и лекций по математике в частности, возможность получить нужный опыт, подобрать соответствующую методическую и научно-популярную литературу — таковы основные задачи нашего лектория. Одновременно мы ре-

шаем и другие задачи — помощь школе в пропаганде математических знаний, развитие интереса к математике. Лекторий сосредотачивает внимание на одной стороне работы будущего учителя. Другие формы работы студентов в помощь школе (ЛМШ, ЮМШ) ставят несколько иные задачи и не имеют такой специализации. Понятно, что лекторская работа должна рассматриваться как дополнительная по сравнению с другими формами обучения и воспитания будущего учителя.

1. Остановимся на особенностях работы лектория. Если в ЮМШ, ЛМШ существуют программы, студенты-преподаватели получают консультации преподавателей по теме, рекомендации по плану занятий, отбора упражнений, литературы, то лекторий не связан такой жесткой программой. Здесь присутствует самостоятельный выбор темы, литературы, плана. Мы стараемся использовать имеющуюся литературу, рекомендации преподавателей. Но здесь есть и известные преимущества: учитываются интересы и возможности студентов, что помогает им глубже раскрыться, интересы школ в освещении того или иного вопроса. Среди тем лекций, читаемых нашими студентами, такие, как «Математические викторины», «Машины, которые умеют вычислять», «Математические софизмы», «События и вероятность» и другие предложены студентами. Однако следовало бы координировать планы лекций с ЮМШ, так как зачастую у нас одна аудитория — городские школьники.

2. Следующая особенность лекторской работы — массовость аудитории, обычно от 15—20 до 40—50 человек. Ясно, что не все в одинаковой степени увлечены математикой. Это создает определенные трудности в выборе тем лекций. Поэтому наряду с чисто математическими темами мы включаем лекции о красоте математики, о научных открытиях и их авторах, лекции с использованием краеведческого материала и другие. Например, «Удивительная жизнь мер», «Математика и красота», «Математика и жизнь», «Л. Н. Толстой и математика», «Эварист Галуа—революционер и математик», «Вологодская область в 9-й пятилетке», «Льюис Кэрролл — сказочник и профессор математики» и многие другие.

3. Третьей особеностью лекторской работы является подготовка студентов к проведению всей политико-воспитательной работы в селе. С этой целью все участники нашей груп-

пы посещают школу молодого лектора (ШМЛ), где им читается курс лекций для лектора-агитатора (культура речи, работа с периодикой). Лектор должен уметь находить и отбирать нужные цифры, факты, уметь быть принятым незнакомой аудиторией. У нас есть несколько лекций, где используются цифры 9-й пятилетки: «Школа и 9-я пятилетка», «О важнейших стройках области», «О Череповецком металлургическом комбинате», «Числа-великаны и числа-малютки». Интересно, что в анкете выпускников все участники лектория не отмечали трудности привыкания к классу в период педагогической практики (в отличие от большинства остальных).

4. Студенту-лектору, особенно автору лекций, приходится довольно часто за небольшой промежуток времени неоднократно читать лекции на одну тему. Это хорошо, так как неоднократное чтение позволяет постоянно совершенствовать лекции и лекторские навыки студентов. У других форм такой возможности нет. Не случайно те, кто много читает лекций, увлекаются работой. Это актив группы. Все годы учебы в институте работали и работают в лекторской группе Громова 3., Моисеева Т., Золотилова И., Кудряшов Г., Яковлева Т., Паншева Н., Перцева Т., Юнина В., Смирнова В., Пиликова В., Смирнова Е. и другие.

5. Следующая особенность лекторской работы в том, что студент сразу же видит результат работы — это отзыв на лекцию, который дает и записывает в путевку присутствующий на лекции учитель математики. Учителя часто отмечают не только материал лекции (интересен, полезен, доступен учащимся), но и как прочитана лекция, благодарят лектора, высказывают пожелания. А дети очень эмоционально благодарят лектора — хлопают, говорят дружное «спасибо». Пусть отзыв на лекцию — не такой весомый результат, как например, при работе в ЮМШ за год, но он убеждает студента в нужности, полезности, значимости его работы.

6. Наконец, лекторская работа не требует такого аппарата, такой организации, как ЛМШ, ЮМШ. У нас часто так бывает: получили заявку на 5—8 лекций — приехали, прочитали. Например, во многих школах города, а также в наших подшефных сельских школах, Кадниковской и Юровской, стала традиционной неделя математики, которую обслуживает наша лекторская группа. За 1—3 дня мы обычно читаем 6—15 лекций по классам и параллелям.

7. В лекторской работе, как при других формах работы студентов в помощь школе, если не в большей степени, вырабатываются навыки самостоятельной, творческой, научной работы. При подготовке лекций студенты учатся подбирать литературу, составлять библиографию, конспектировать, делать выписки, обрабатывать теоретический материал, выходящий из рамки школьной программы, так, чтобы он был понятен учащимся.

Работа над лекцией у некоторых студентов получила продолжение в работе над близкими по теме курсовыми работами, докладами на спецсеминарах. В анкете выпускников все студенты указывали, что работа в лектории не только не мешает, а даже помогает основной учебной работе. В этом мы видим необходимость продолжения работы лектория.

Несколько слов о структуре лектория. У нас, например, основной состав 35 человек. Это те, кто разрабатывает лекции, читает их, посещает школу молодого лектора, из них 8—10 человек — актив, те, для которых лекторская работа перерастает в учебную, научную работу. Но общий состав студентов-лекторов около 60 человек, к 35 добавляются студенты, пользующиеся периодически материалами лектория. На каждом курсе среди студентов-лекторов есть ответственный студент. Руководитель от кафедры и актив из 3—4 человек возглавляет всю работу лектория. С начала учебного года во все городские и подшефные сельские школы рассылаем письма на имя руководителей методических объединений учителей математики, где сообщаем тематику лекций и просим дать заявки за 5—7 дней до начала каждой лекции. По мере поступления заявок составляем рабочий график. Это работа основного состава группы. Во время педагогических практик (их у нас две — III и IV курса), недель математики, олимпиад привлекаем до 50—60 студентов-лекторов. Наши студенты читают лекции в своих родных школах, когда приезжают на каникулы. Если за год читаем 150—200 лекций, то третья часть читается в сельских школах. Комсомольские организации института и факультета поощряют работу студентов в помощь школе. Многие наши лекторы были отмечены благодарностями, премиями, грамотами горкома ВЛКСМ.

Планы на будущее большие: расширение тематики лекций, попытка скоординировать работу с ЮМШ, лекции-цик-

лы по одной теме, лекции для учащихся ГПТУ, практика организации школьного лектория. Наш студенческий лекторий мы рассматриваем как необходимый опыт при организации школьного лектория будущим учителем математики. Так, структура, формы работы, тематика лекций у нас и в школе в основном совпадают. Лекции составляем, в основном, по следующим разделам:

Из истории математики

1. Удивительная жизнь мер.

2. История возникновения математических символов и терминов.

3. Из истории развития числа.

4. Возникновение и развитие тригонометрии.

Математические открытия и их авторы

1. Великий русский математик П. Л. Чебышев.

2. С. В. Ковалевская.

3. История пятого постулата Евклида. Геометрия Лобачевского.

4. Франсуа Виет — один из основателей новой алгебры.

5. Л. Эйлер.

6. А. Н. Колмогоров.

Лекции по математике, связанные со школьной программой

1. О симметрии.

2. О числе И.

3. Применение современного математического языка в школьном курсе математики.

4. Решение тригонометрических неравенств.

5. Метод математической индукции в алгебре и геометрии.

Лекции по математике для внеклассного часа

1. Числа-великаны и числа-малютки.

2. Машины, которые умеют вычислять.

3. Л. Н. Толстой и математика.

4. Льюис Кэрролл — сказочник и профессор.

5. Математические софизмы.

6. Кибернетика и вычислительные машины.

7. Эварист Галуа — революционер и математик.

8. События и вероятность.

9. Математические викторины. 10—11. Математика и жизнь.

12. Математика и красота.

13. Вологодская область в 9-й пятилетке.

14. Математики-вологжане Д. А. Граве, А. Н. Коркин.

Лекции рассчитаны на 30—45 минут и читаются студентами полностью или частично на занятиях кружков, внеклассных мероприятиях по математике, уроках повторения, дополнительных занятиях.

За четыре года работы у нас есть некоторый опыт, накоплен материал. Мы убедились, что это нужная, интересная и полезная работа.

И. Г. Зенкевич

(г. Брянск)

ЭСТЕТИЧЕСКИЙ ФОН ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Общеизвестны трудности организации систематических внеурочных занятий по математике не с избранным, а с рядовым составом учащихся. Трудности эти вызываются главным образом недостатком интереса к предмету у большинства школьников. Так как в наше время принудить ученика заниматься во внеурочное время невозможно, то его обычно пытаются убедить в пользе таких занятий или уговерить каким-либо иным способом. Но уже мыслители эпохи Просвещения обратили внимание на то, что моральная проповедь бессильна, если она не согласуется с реальными интересами человека. Итак, все начинается с интереса.

Как показывает опыт, этот интерес очень часто является следствием эмоциональности преподавания.

Мы не говорим здесь о важности воспитательной роли эмоций, так как об этом уже сказано достаточно во многих работах по психологии, педагогике, эстетике и эстетическому воспитанию.

Нас занимает практический вопрос: как вызвать у ученика положительные эмоции, необходимые для возникновения и развития у него интереса к математике в процессе ее изучения. Один из возможных путей решения этой задачи мы видим в соответствующей подготовке учащихся к тому, чтобы эстетически воспринимать математику. Эта подготовка предполагает, наряду с методически грамотным преподаванием, по крайней мере три существенных пункта : обеспечение эстетического фона познавательной информации, ознакомление учащихся с эстетическим содержанием мате-

матики и отвечающую цели организацию самостоятельной работы учащихся. В данной статье мы обсудим содержание первого пункта.

Эстетический фон познавательной информации и математический материал к нему

Воспитание способности к эстетическому восприятию математики при ее изучении не сводит математику к эстетике. В частности, и урок математики, и занятие математического кружка остаются самими собой, с обычной для них учебной информацией. Будем, однако, называть эстетическим фоном познавательной информации все то в ней, что способно вызывать эстетические чувства.

Содержательную основу эстетического фона урока математики, а также и внеурочных форм процесса обучения и воспитания, бесспорно, должен составлять математический материал. Кроме обычного программного материала, сюда должны входить особенно эмоционально-яркие вещи: красота геометрических форм, красивые задачи, факты, идеи, образцы изящных решений, рациональных вычислений, элегантности доказательств, примеры общности и силы методов, эффективности разного рода вычислительных средств, неожиданности приложений, связей, удивительных соотношений, предельной компактности формул, блеск искусственных приемов, озадачивающие софизмы и парадоксы. Сюда же следует присоединить все обилие эмоциональной и эстетической информации, которая смотрит на нас с каждой страницы истории математики.

Иллюстрируем сказанное примерами.

1) Образец истинной эстетики геометрической формы представляет собой книга М. Веннинджера «Модели многогранников» (М., «Мир», 1974).

2) В нашей оценке красоты конкретной задачи неизбежен субъективный элемент. Но не это важно, а другое : все согласны, что есть красивые задачи.

В свое время в семинаре И. Я. Депмана по внеклассной работе в Ленинградском пединституте им. Герцена широкой популярностью пользовалась, например, следующая задача :

Марии и Анне сейчас вместе 44 года. Мария в два раза старше, чем была Анна тогда, когда Марии было в два раза меньше лет, чем будет Анне в тот момент, когда Анна бу-

дет в три раза старше, чем была Мария, когда она (Мария) была в три раза старше Анны. Сколько лет Марии?

Эта задача воспринимается учащимися с живейшим интересом.

3) Народ, создавший «Махабарату» и «Рамаяну», эти шедевры художественной фантазии, обладал и чрезвычайно высокой арифметической культурой, в частности, культурой устного счета, известного у индийцев под поэтическим названием «воздушного счета».

Вот одно, идущее от индийцев, очень простое и красивое правило устного умножения чисел десятого десятка. Рассмотрим пример.

Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнения до ста соответственно 4 и 8. Отнимаем от первого сомножителя дополнение второго (96—8 = 88), или от второго сомножителя дополнение первого (92—4 = 88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это — первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4-8 = 32)-32 — это последние цифры произведения. Итак 96-92 = 8832. На схеме это выглядит так:

Правило это нравится и школьникам, и взрослым.

4) Первые шаги в изучении счетной линейки учащиеся делают осторожно и очень медленно. Обычное упражнение на комбинированное умножение и деление, вроде следующего

(1)

они выполняют в среднем за 15—20 минут. Если к тому же потребовать (как это иногда делают некоторые преподаватели) вычисления порядка по длинному правилу: «Порядок дроби вида (1) равен разности между суммой порядков сомножителей, стоящих в числителе, и суммой порядков сомножителей, стоящих в знаменателе, плюс столько единиц,

сколько было перебросок конечного штриха движка на место начального, и минус столько единиц, сколько было перебросок начального штриха движка на место конечного»1, то работа займет едва ли не весь урок. Результат получается приближенный: 4,46.

С удивлением учащиеся узнают, что, округляя сомножители по правилу «прикидки» (Если первая значащая цифра числа единица, то в числе сохраняем две значащие цифры ; если же первая значащая цифра не единица, в числе сохраняем одну значащую цифру), мы упрощаем вид дроби:

2)

и получаем сразу (без линейки!) не только порядок частного, но и само частное почти с той же точностью, что и на линейке: 4, 5.

Достигаемая при этом большая экономия времени и совсем незначительная разница в точности делают учащихся друзьями «прикидки».

5) Полны чарующей прелести теоремы арифметики. Эстетическое значение их подчеркивали многие, в том числе Гаусс, сказавший: «Математика есть царица наук, а арифметика — царица математики».

Некоторое ощущение красоты именно арифметических соотношений позволяет почувствовать известный пример вычисления суммы п первых нечетных чисел натурального ряда. Вряд ли можно вне арифметики найти такой хрустально прозрачный материал для иллюстрации красоты метода математической индукции.

6) Вот изящный прием решения системы уравнений.

Первое впечатление («неудобные» коэффициенты) не предвещает короткого решения. В следующий момент замечаем определенную симметрию. Пытаемся выполнить операции, обладающие симметрией, соответствующей симметрии системы : складываем уравнения почленно и из второго вычитаем первое:

1 Гурнов В. К. Счетная линейка и ее применение. Вычисление комплексных величин на счетной линейке. М., Учпедгиз, 1958, стр. 19.

откуда: х = 2, у = 1.

Итак, система решается «в уме»!

А. П. Чехов писал однажды: «Когда на какое-нибудь определенное действие человек затрачивает наименьшее количество движений, то это грация»2.

Согласимся, что приведенное решение — грация.

7) Никого не оставляет равнодушным известный геометрический софизм «64 = 65». Его иногда передают в такой редакции: Оракул предсказал шаху, что он проживет столько лет, сколько квадратных плиток в квадратной площади перед его дворцом: 8X8 = 64. Шах приказал изменить форму площади. Получилось 65 плиток. Откуда взялась одна лишняя?

8) Большое впечатление неизменно производят на старшеклассников сведения о формуле Эйлера и ее истории, с которыми их можно ознакомить на внеурочном занятии.

Самый талантливый из учеников Ньютона Р. Коутс (1682—1716), на могиле которого Ньютон сказал: «Не умри Коутс, мы узнали бы еще многое», в 1714 году, и петербургский академик Л. Эйлер в 1748 году дали формулу exl = cos x+i sin x, которая ввела в математику понятие мнимого логарифма. После этого стало возможным говорить, что не только положительные действительные числа, но и отрицательные, и мнимые числа имеют логарифмы. В частности

откуда

Далее

2 Чехов — Горькому, 1889. В кн.: Чехов А. П. Полное собрание сочинений и писем. Т. 18, М., Гослитиздат, 1949, стр. 11.

Эйлер в 1746 г. вычислил

и заметил, что результат, то есть мнимая степень мнимого числа, есть число действительное, ему «кажется весьма примечательным ».

В 1921 году число i[ было найдено с 50-десятичными знаками.

В 1934 году при сравнении стоимости денежных единиц США и Англии было установлено, что 1 доллар равен il фунтам стерлингов, или 1 доллар равен 0,2079 фунтам стерлингов, или 1 доллар равен 4 шиллингам 2 пенсам. Исключительной красотой отличается соотношение,

представляющее собой следствие формулы Эйлера.

Известно, что в Швейцарии была выпущена почтовая марка, на которой изображено это соотношение.

Марка замечательна тем, что содержит пять самых «знатных» в математике чисел: 0, i9 е, л.

Приведенные примеры показывают, что в математике есть очень яркий материал, способный вызывать положительные эмоции и приносить эстетическое удовлетворение.

Заметим, однако, что, пользуясь этим материалом, нужно строго соблюдать разумную меру и такт. Мы против того, чтобы на занятии от звонка до звонка бил фонтан фактов, пусть даже самых ценных в эстетико-воспитательном отношении. Но мы за то, чтобы в распоряжении учителя всегда была уйма таких фактов. Наличие их придаст гибкость его воспитательной тактике и обеспечит ее целенаправленность.

Внематематическое содержание эстетического фона

Содержание эстетического фона не следует ограничивать исключительно только математикой. Не следует потому, что ее эстетика специфична: это эстетика мысли. С ней должна органически слиться эстетика чувств. Для этого в содержание фона должен входить и некоторый внематематический материал. Под последним понимаются :

мысли о величии и красоте математики; краткие содержательные биографические справки о математиках (биографические миниатюры) ; художественное слово ; изобразительные средства и другие материалы.

а) Мысли о величии и красоте математики.

Эти мысли, принадлежащие истинным математикам, предельно постигшим дух своей науки, воспринимаются нами как откровение. Вот несколько таких мыслей.

«То, что может превышать геометрию, превышает нас».

Б. Паскаль.

«Кроме математики, не существует надежной отрасли знания, за исключением той, которая выводится из математики».

Р. Рекорд.

«Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе».

К. Якоби.

«Жизнь красна двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью преподавать ее»,

С. Д. Пуассон.

Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. И если эти узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика, так же как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики.

б) Биографические миниатюры.

Речь идет о кратких биографиях, составленных подобно следующей.

Пелагея Яковлевна Кочина (род. 13 мая 1899 г.) — единственная советская женщина-математик, специалист в области гидродинамики, удостоенная высокого звания действительного члена Академии наук СССР.

Исследования Пелагеи Яковлевны по движению жидкостей в пористых средах сделали ее главой современной шко-

лы гидродинамической теории фильтрации жидкостей и газов. Результаты, полученные ею, нашли большое применение в строительстве гидросооружений, а также при проектировании разработок нефтяных и газовых месторождений.

Исследования П. Я. Кочиной в области истории математики, которыми она занимается со студенческих лет, связаны с именем С. В. Ковалевской. Своими трудами Пелагея Яковлевна создала Ковалевской замечательный памятник, с пьедестала которого на нас смотрит не канонизированное чугунное изваяние, а живая женщина.

Обе бабушки академика П. Я. Кочиной были неграмотны, а мать научилась читать только после замужества.

в) Художественное слово.

В художественной литературе можно встретить любопытные места, относящиеся к математике и математикам.

В своем «Дневнике путешествий» Джером Джером пишет:

«Из Гента мы отправились в Брюгге, где я имел удовольствие бросить камень в статую Симона Стевина, который немало помучил меня в школе, так как изобрел десятичные дроби».

А вот место из «Ивового манекена» А. Франса:

«В Париже появилась прорицательница, которая от имени святой Радегунды отвечала на вопросы публики. Ответы на такие вопросы: выздоровеет ли папа? Будет ли принят закон о подоходном налоге? Что выйдет из франко-русского союза? и так далее — не вызывали у прорицательницы ни затруднений, ни возражений слушателей. Но на вопрос: чему равен логарифм девяти? — прорицательница не сумела ничего ответить».

Нигде не сказано, что литературное творчество — монополия литераторов. Настоящим украшением поэзии и прозы служат некоторые шедевры, авторы которых — математики. Наиболее яркими из них являются О. Хайям и Ч. Л. Доджсон, с именами которых учащиеся должны быть знакомы.

г) Изобразительные средства.

Учителю надо иметь набор портретов математиков и запас разнообразных иллюстраций, относящихся к предмету и его истории.

В кабинете математики хорошо иметь специальный «Уголок красоты», в котором должны быть иллюстрации, показывающие красоту математики и ее связь с миром красоты в технике, искусстве и природе.

д) Другие материалы.

Имеются в виду фильмы: «Начинается с точки», «Графы», «Жар холодных чисел» и другие, а также старинные и редкие математические книги (если они есть у учителя)-

Ю. В. Ломакин, М. А. Лифшиц (г. Вологда, Ленинград)

ЛЕТНЯЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА

Начиная с 1971 года, кафедра математики Вологодского пединститута совместно с облоно и облсовпрофом ежегодно организуют летние математические школы (ЛМШ) для учащихся сельских школ нашей области. Об опыте работы первых двух ЛМШ рассказано в [1].

В течение четырех лет учебные программы ЛМШ совершенствовались с учетом новых школьных программ и опыта нашей работы.

В настоящей статье мы расскажем о постановке учебной работы в ЛМШ, приведем вариант учебной программы, рассмотрим содержание темы «Применение раскрасок в математике», которую мы разбирали с учащимися 9-х классов ЛМШ.

В летних математических лагерях у нас отдыхают 120 учащихся, окончивших 6, 7, 8 и 9-е классы. Отбор ребят в лагерь производится на математических районных и областной олимпиадах, и приглашаются победители областного математического конкурса, который проводят редакция газеты «Вологодский комсомолец», кафедра математики Вологодского пединститута и обком ВЛКСМ. Кроме того, в конце лагерной смены воспитатели и учителя, анализируя работу ребят в лагере, составляют список тех ребят, кому целесообразно продолжить занятия в ЛМШ в следующем году. Им посылаются приглашения индивидуально. Таким образом, процентов 25 в новом коллективе лагеря составляют «старички». Они знакомы с традициями лагеря, спецификой работы. На них опираются в своей работе воспитатели.

В лагере обычно 4 отряда, каждый из которых объединяет школьников по параллелям.

Для учебных занятий в ЛМШ организуются классы из расчета 10—12 учеников на одного учителя.

Учителями в лагере работают студенты 3—4-х курсов отделения математики, а старшими учителями по параллельным классам-выпускники Вологодского педагогического института.

Ребята занимаются четыре-пять раз в неделю по 4,5 часа: утром с 9 до 12 часов и вечером с 16 час. 30 мин. до 18 часов. Уроки идут по 30—40 минут, затем следуют перерывы, в которые ребята разминаются на спортивной площадке или выходят гулять в парк.

На занятиях решаются, в основном, нестандартные задачи, которые требуют творческого подхода. Домашних заданий ребятам не задается, но занятия вызывают у них такой интерес к математике, что в свободное время они сами охотно решают задачи или читают математическую литературу. В лагерях мы организуем математическую библиотеку, составленную из личных книг студентов-учителей.

Учебные классы по количеству ребят небольшие. Это создает условия для индивидуальной работы на уроках, в частности, в вопросе самостоятельного решения задач. Мы стараемся так продумать и методически построить занятия, чтобы все ребята активно работали на уроке, испытывали чувство радости и удовлетворения от занятий математикой. Вместе с тем мы стараемся раскрыть перед учащимися эстетические стороны науки : привлекательность поиска, изящество формул, стройность доказательств.

Учебная работа в ЛМШ состоит из трех основных направлений. К первому относится решение математических задач олимпиадного типа, знакомство с новым теоретическим материалом, позволяющим систематизировать различные логические приемы и создать необходимую базу для дальнейшего изучения математики. В программу учебных занятий включаем следующие вопросы: элементы теории множеств, метод математической индукции, теория сравнений, уравнения, функции и графики, элементы комбинаторики, задачи на построение и доказательство, геометрические преобразования, логические задачи и др.

Второе направление включает в себя проведение бесед и чтение лекций. Их целью является расширение кругозора

ребят в области математики и в смежных науках, знакомство с историей математики, с современными направлениями математики. Лекции дают возможность познакомить ребят с богатством математических идей и широкими возможностями применения математики, а также подготовить их для самостоятельной работы над математической литературой. Лекции и беседы проводятся во второй половине дня.

Так в лагере «Математик-73» было прочитано 6 лекций для учащихся 7—8-х классов: диофантовы уравнения, современная геометрия, ЭВМ, простые числа, элементы теории вероятностей, графы и их применение и 7 лекций для учащихся 9—10-х классов: математическая логика, о понятии площади, иррациональные числа, неевклидова геометрия (2 лекции), высшая арифметика, понятие функции.

К третьему направлению учебной работы относится проведение математических соревнований. Математические соревнования необходимы, чтобы увеличить творческий накал в лагере, привлечь наибольшее количество ребят к активному решению задач. Именно во время соревнований ребята больше всего обсуждают задачи между собой, беседуют, спорят, доказывают.

Стало традицией проводить две лагерные олимпиады по математике: в начале смены и в конце. Это позволяет увидеть первые результаты работы. После олимпиад проводится разбор задач. Каждый год в ЛМШ организуется конкурс на лучшее решение задач. Он объявляется в первые дни работы лагеря. И хотя участие в нем не является обязательным, ребята с интересом решают предложенные задачи. Итоги конкурса подводятся за 1—2 дня до окончания работы ЛМШ. В одном из лагерей «Математик-74» было проведено 7 математических боев. Они проходили по следующей схеме: сначала в каждой из четырех параллелей был проведен бой, затем среди 7—8-х и 9—10-х классов и финальный. Таким образом, каждый школьник участвует в математическом бое, что повышает познавательную и эстетическую активность ребят.

Появляются новые формы работы, например, в лагере «Математик-74» был проведен день математических игр.

Большое внимание уделяется также развитию математической культуры ребят, умению правильно излагать свои мысли, строго доказывать полученные результаты. В ЛМШ выпускаются математические газеты и бюллетени с зада-

чами конкурсов и олимпиад, оформляется математический зал.

Приведем примерную программу учебных занятий, которую мы планируем провести в лагере «Математйк-75».

7 класс

1. Множества (задачи по алгебре множеств).

2. Комбинаторные задачи (несложные задачи, без использования формул).

3. Задачи на принцип Дирихле.

4. Делимость (без теории, используются признаки делимости, разложение на множители).

5. Геометрические задачи на построение (используются параллельный перенос, симметрия).

6. Занимательная топология (математические фокусы и задачи).

7. Графы (задачи).

8. Функции и графики (использовать модули и различные способы задания функций).

Для изучения тем 4 и 8 планируем по два учебных дня, а на остальные по одному.

8 класс

1. Теория чисел (теория сравнений, решение задач на делимость).

2. Математическая индукция (теория, задачи).

3. Комбинаторика (вывод формул по индукции, решение задач).

4. Линейное программирование (общая постановка задачи, некоторые способы решения задач линейного программирования).

Для изучения первой темы планируем четыре учебных дня, а на остальные по два.

9 класс

1. Множества (мощность множества, задача на взаимнооднозначное соответствие).

2. Линейное программирование (постановка задачи и решение двумя способами).

3. Элементы теории вероятностей (задачи на классическую и геометрическую вероятность).

4. Решение задач на раскраску.

5. Задачи на нахождение геометрических фигур, обладающих заданным свойством.

6. Решение уравнений высших степеней (рассмотреть на примерах частные случаи).

Для изучения тем 1, 4 и 6-й планируем по одному учебному дню, а на остальные по два.

10 класс

1. Линейное программирование (см. 9-й класс).

2. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств высших степеней (рассмотреть решение частных примеров).

3. Функции и графики (преобразование графиков).

4. Решение геометрических задач (задачи по планиметрии с применением тригонометрии и задачи на сечения).

Для изучения первой темы планируем три учебных дня, а на остальные по два.

В остальные учебные дни, которых за смену бывает 15—16, проводим олимпиады, математические бои, решаем олимпиадные задачи, читаем лекции.

Применение раскрасок в математике

Применение раскрашивания особенно выгодно в тех задачах, где оно заменяет длинный (часто невозможный) перебор, делая ясными интуитивно очевидные, но трудно доказуемые утверждения.

Выделим два типа задач на раскрашивание.

1. Задачи, в которых раскрашивание не содержится в условии задачи и способ раскраски зависит от решающего. Поэтому нужно знакомить учащихся с преимуществами разнообразных типов раскраски.

2. Задачи, в которых раскрашивание не содержится в условии явно, но легко извлекается из него. Здесь важно научить сразу извлекать способ раскраски из условия и оперировать раскрашенными картинками.

К первому типу относятся задачи о паркетах и маршрутах.

Ко второму типу — задачи о цветных графах. Каждый из следующих параграфов можно рассматривать как отдельное занятие.

§ 1. Задачи о плоских паркетах.

В общем виде задача формулируется так: дан «большой многоугольник и несколько «маленьких». Спрашивается: можно ли покрыть без пропусков и пересечений большой многоугольник маленькими? Положительный ответ на этот вопрос дается прямым построением покрытия, отрицательный часто можно вывести с помощью раскрашивания.

Считаем, что задачу 1 целесообразно разобрать вместе с учащимися, задачи 2—4 рекомендуем для самостоятельного решения в классе, а задачи 5—7 домой.

Задача 1. Дан квадрат 8X8, из которого вырезаны 2 клетки: левая нижняя и правая верхняя. Доказать, что полученную фигуру нельзя покрыть прямоугольными блоками 2X1 (домино).

Решение. Введем шахматную раскраску (рис. 1). Как ни клади блок домино, он закроет одну белую клетку и одну черную. Если бы наша фигура была покрыта блоками домино, то в ней черных и белых клеток было бы поровну. Но на самом деле черных клеток на 2 меньше. Полученное противоречие показывает, что покрытие блоками домино невозможно.

Рис. 1.

Задача 2. Доказать невозможность покрытия 8X8 квадратной доски — 15-ю блоками вида рис. 26 и одним квадратным блоком 2X2.

Рис. 2а. 2б

Указание. Раскрыть доску как на рис. 2а, воспользоваться соображениями четности.

Задача 3. Из доски 9X9 выкинуты центральная клетка, левая нижняя и левая верхняя. Можно ли оставшуюся фигуру покрыть блоками 3X1 (тримино)?

Указание. Ввести трехцветную раскраску, аналогичную двухцветной из задачи 1.

Задача 4. Доказать, что квадрат 1974X1974 нельзя разбить на блоки 3X4.

Указание. Ввести раскраску как на рис. 3, воспользоваться тем, что черных клеток нечетное число.

Указания к классным задачам нужно сообщать вместе с условиями задач, так как они расширяют имеющийся арсенал раскрасок. Классные задачи лучше разобрать с учащимися в тот же день, чтобы не осталось неясностей.

К домашним задачам указания нужно давать только после того, как их не удалось решить дома. Цель домашнего задания — привить навык самостоятельного выбора раскраски.

Задача 5. Доска 8X8 покрыта 21 блоком 3X1 (тримино) и одним блоком 1X1. Где может лежать последний?

Рис. 3.

Указание. Ввести раскраску, как в задаче 3, и повернуть ее трижды на 90°. Тогда подозреваемых точек останется всего 4. Для них придумать соответствующее покрытие.

Задача 6. Кирпич состоит из двух склеенных единичных кубиков. Какой единичный кубик надо выкинуть из куба 3X3X3, чтобы оставшуюся часть можно было заполнить тринадцатью кирпичами?

Ответ. 14 возможностей.

Задача 7. Можно ли доску 36X36 разбить на 144 пятиклеточных креста и 144 буквы «Г» (рис. 26). Ответ: Да, можно.

Указание. Надо заполнять квадраты 6X6. Эта задача не на раскраску, но нужно, чтобы учащиеся не забывали о возможности положительного ответа.

§ 2. Задачи о маршрутах.

Здесь метод подходящей раскраски тоже позволяет дать простое и красивое решение задачи.

Задачи 1—4 предлагаются для решения в классе, а задачи 5—7 домой.

Задача 1. Можно ли конем обойти всю доску 7X7 и последним 49 ходом вернуться на исходное поле?

Решение. Воспользуемся стандартной шахматной раскраской. Конь при каждом ходе меняет цвет клетки, на которой стоит, следовательно, после 49-го хода он окажется на клетке другого цвета, чем находился. Значит, искомый маршрут невозможен.

Задача 2. Обобщить задачу 1 на случай прямоугольной доски с нечетными сторонами.

Задача 3. Фигура «слонопотам» ходит на 3 клетки в какую-то сторону и потом на одну вбок (а конь—на 2 клетки в сторону и одну вбок). Спрашивается: а) В какие клетки может попасть слонопотам на бесконечной шахматной доске, исходя из черной клетки, б) В какие клетки он может попасть за четное число ходов?

Указание к случаю б). Если рассматривать только черные клетки и повернуть доску мысленно на 45°, то слонопотам превратится в обычного коня.

Задача 4. Большой правильный треугольник разбит на несколько маленьких так (рис. 4), что к горизонтальных полосок (на рисунке к = 3). Два маленьких треугольника назовем соседними, если они имеют общую сторону. Какова длина наибольшей цепочки неповторяющихся треугольников, каждые последовательные 2 из которых — соседние.

Решение. Надо использовать то, что соседние треугольники имеют разный цвет, и то, что белых треугольников только

Вывести отсюда, что ответ

Придумать же цепочку из такого числа треугольников нетрудно. Можно делить треугольники не на черные и белые, а на треугольники с вершиной, смотрящей вверх, и вершиной, смотрящей вниз.

Задача 5. Муха ползет по ребрам куба, продвигаясь по любому из 3 возможных направлений на 1 ребро в минуту. Доказать, что за 1974 минуты она не могла переползти из левого нижнего угла в правый верхний, не останавливаясь.

Указание. Раскрасить вершины куба в два цвета.

Задача 6. В условиях предыдущей задачи две мухи выползают из противоположных вершин куба. Доказать, что они никогда не встретятся в какой-либо вершине куба.

Задача 7. Термит прогрызает в кубике 3X3X3 туннель от центра одного кубика к центру другого. Начинает он из центра какого-то периферического кубика. Может ли он пройти через центры всех кубиков по одному разу, двигаясь параллельно ребрам куба, и закончить путь в центре куба?

Ответ. Нет,

§ 3. Задачи о раскрашенных графах.

Цветные графы очень хороши тем, что к ним легко сводятся самые разнообразные по виду задачи.

Задачи 1—4 решаются в классе, а 5—8 дома.

Рис. 4.

Задача 1. Доказать, что среди 6 человек Ai,...,Ae найдется либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых.

Решение. Каждому из Аь А6 сопоставим по точке на плоскости Ви••• #6. Две точки соединим синей линией, если соответствующие люди знакомы друг с другом, в противоположном случае соединим их черной линией. Тогда на языке чертежа (графа) задача выглядит так: найдется одноцветный треугольник. Теперь решение становится наглядным: из 5 линий, выходящих из Bi, найдутся 3 одинаковые. Пусть например это линии В\В2, В\ВЪ, В{В^ а их общий цвет — синий. Тогда рассмотрим 2 случая :

1) В2В6ВА черный — тогда он искомый.

2) В треугольниках В2ВЪВ^ нашлась синяя сторона. Тогда ее концы вместе с В{ дадут искомый синий треугольник.

Задача 2. 6 школьников участвуют в турнире, который проводится в один круг. Доказать, что всегда найдутся 3 участника, которые провели между собой все игры, либо не сыграли друг с другом ни одной партии.

Указание. Это та же самая задача, что и задача 1. Как теперь строить граф?

Задача 3. Каждые 2 из 17 городов соединены линией: авиационной, железнодорожной или автобусной. Доказать, что найдутся 3 города таких, что они попарно соединены одним и тем же видом транспорта.

Указание. Составить трехцветный граф и свести дело к разобранной задаче.

Задача 4. В турнире п рыцарей, из каждых четырех можно выбрать такого, который враждует с остальными тремя. Доказать, что найдется рыцарь, который враждует с остальными всеми..

Указание. Решать методом «от противного».

Задача 5. Доказать, что из 18 человек можно выбрать либо 4-х попарно знакомых, либо 4-х попарно незнакомых. Всегда ли можно утверждать то же для 17 человек?

Указание. Составить двухцветный граф, выделить 9 одноцветных сторон, лежащих так, что они исходят из одной вершины. Дальше рассматривать только 9 их других концов. Выбрать любой из этих концов и рассмотреть, сколь-

ко ребер какого цвета исходят из выбранного конца в остальные 8.

Задача 6. Найти все полные (т. е. со всеми ребрами) графы (двухцветные) без одноцветных треугольников.

Задача 7. В задаче 4 найти наименьшее число рыцарей, враждующих со всеми остальными.

Задача 8. Из 9 бандитов каждому случалось грабить ровно 4-х других. Доказать, что найдутся 3 бандита, каждый из которых грабил каждого. (Бандиты никогда не остаются в долгу: если В ограбил А, то и А ограбил В).

Рекомендуем почитать [2] — [4], откуда и взяты многие задачи.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Артемьева Г. П., Горбунова В. А., Ломакин Ю. В.. Лифшиц Б. А., Паничева Г. М., Савелова Т. Е. Летний математический лагерь в Юрово, Вологда, 1976.

[2] Кордемский Б. А. «Красочная комбинаторика». — Журнал «Квант», 1973, № 9.

[3] Березина Л. Ю. «О графах с цветными ребрами». — Журнал «Квант», 1973, № 8.

[4] Гарднер М. Математические новеллы.

С. Г. Губа, Т. К. Бабкина (г. Вологда)

УСТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВИКТОРИНЫ

При проведении внеурочной работы в 4—7-х классах приходится считаться с тем, что учащиеся в этом возрасте еще не обладают такой усидчивостью, которая позволяла бы им в течение длительного времени терпеливо отыскивать пути решения трудных задач. Поэтому для учащихся указанных классов из всех видов математических соревнований (олимпиады, викторины, конкурсы, математические бои) больше всего подходят викторины.

Викторины должны широко использоваться студентами пединститута при прохождении педагогической практики. Очень важно поставить дело так, чтобы студенты при проведении викторин, как, впрочем, и других мероприятий, не только приобретали опыт внеурочной работы, но и практиковались попутно в постановке простейших педагогических экспериментов. Это нетрудно сделать посредством целенаправленного варьирования форм и методов проведения внеурочных мероприятий в параллельных классах и последующего сопоставления полученных результатов.

Как показал опыт, наиболее активно и увлекательно проходят устные математические викторины с участием всего класса. Предлагаемые задачи в этом случае не должны быть слишком трудными, хотя и могут требовать для своего решения как небольшой смекалки, так и некоторых навыков устного счета. При трудных задачах активность учащихся резко падает, легко могут быть предсказаны победители. Известно, однако, что то соревнование, в котором предопределены победители, не вызывает большого интереса.

Ведущий викторину при оглашении условия очередной задачи называет одновременно и количество очков, причитающихся за правильное решение этой задачи. Тот ученик, который первым даст верный и обоснованный ответ, получает полное количество названных очков. Если же ответ оказывается не совсем точным или полным, то часть очков передается учащимся, сделавшим соответствующие исправления или дополнения. Иногда бывает и так, что за отведенное время ни один из участников не справится с решением предложенной задачи. В этом случае ведущий викторину или его помощники (обычно учащиеся старших классов) тут же приводят ее решение, и только после этого предлагается новая задача. Относить на конец викторины разбор задач, оказавшихся трудными, не рекомендуется. К этому времени учащиеся уже устанут, и их больше будет интересовать не решение задач, а подсчет очков. Разумеется, победителями объявляются те учащиеся, которые набрали больше очков.

Отметим, что оглашение условия некоторых задач целесообразно сопровождать записью на доске относящихся к условию числовых данных, алгебраических выражений, чертежей и т. п. И хотя само решение учащиеся обязательно выполняют устно, однако при объяснении решения ученик также имеет право выйти к доске и написать полученный им ответ или привести поясняющий чертеж.

Обычно викторина проводится на личное первенство класса, но при желании ее можно проводить также и на лично-командное первенство (между пионерскими звеньями, параллельными классами и т. п.).

Ниже приводятся две подборки задач для устной математической викторины. Первые 25 задач могут быть использованы в конце пятого класса или в начале шестого. Следующие 25 задач рассчитаны на конец шестого класса или начало седьмого.

5—6 классы

1. Произведение трех последовательных натуральных чисел равно 990. Назвать эти числа.

Ответ. 9, 10, 11.

2. Найти четыре последовательных натуральных числа, сумма которых равна 98.

Ответ. 23, 24, 25, 26.

3. Сколько шестизначных чисел можно записать двумя двойками и четырьмя нулями.

Ответ. 5

4. Три кошки съедают трех мышей за три минуты. За сколько минут девять кошек съедят девять мышей?

Ответ. За три минуты.

5. Найти 12,5% от числа 92.

Ответ. 11,5.

6. Найти сумму наибольших четырехзначного, трехзначного, двузначного и однозначного чисел.

Ответ. 11106.

7. В выходной день музей посетили 25 учащихся из трех пятых классов. Найдутся ли среди них хотя бы 9 учащихся из одного класса?

Ответ. Найдутся.

8. Сумма двух натуральных чисел равна 252. Если у одного из них зачеркнуть цифру десятков, равную трем, то получится второе число. Найти эти числа.

Ответ. 231 и 21.

9. Назвать дробь, большую но меньшую

Ответ. Например,

10. Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби чтобы она обратилась в -~ ?

Ответ. 7.

11. Какая дробь больше:

Ответ.

12. Найти пересечение множества нечетных чисел с множеством чисел, делящихся на 5.

Ответ. Множество целых чисел, оканчивающихся на 5.

13. Найти объединение множества нечетных чисел с множеством простых чисел.

Ответ. Множество нечетных чисел и число 2.

14. Сколько раз встретится цифра 2 в написании всех целых чисел от 1 до 100?

Ответ. 20.

15. Нарисованы два квадрата. Когда мальчик отметил 6 точек, то 4 из них оказались внутри одного квадрата и 5 внутри другого. Как это могло случиться?

Ответ. Три точки принадлежат пересечению квадратов.

16. Сколько будет десятков, если 6 десятков умножить на 7 десятков?

Ответ. 420 десятков.

17. Найти наименьшее число, которое, будучи увеличенным на единицу, делилось бы на 2, 6, 10.

Ответ. 29.

18. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, если известно, что наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению?

Ответ. Единице.

19. Чему равно произведение (|а| —а) (а+|а|)?

Ответ. 0.

20. Найти значение выражения 99р+1 при р = 101.

Ответ. 10000.

21. Сколько было бревен, если после семи разрезов пилой получилось 11 кусков?

Ответ. 4.

22. На стадионе вдоль беговой дорожки расставлены флажки на одинаковом расстоянии один от другого. Бегун, приняв старт у первого флажка, через 6 секунд был у шестого. Через сколько секунд после старта бегун будет у шестнадцатого флажка, если скорость его все время остается постоянной?

Ответ. Через 18 секунд.

23. Какие цифры зашифрованы под буквой А, В, С, если известно, что АА+АВ = ССС?

Ответ. 55 + 56 - 111.

24. В урне имеется 12 шариков синего, зеленого и желтого цвета. Какое наименьшее количество шаров нужно извлечь наугад из урны, чтобы среди вынутых шаров наверняка были шары всех трех цветов?

Ответ. 12.

25. Доказать, что если произведение двух натуральных чисел нечетно, то сумма их четна.

6—7 классы

1. Взрослому человеку для употребления в пище на 2 года 8 месяцев требуется 16 кг соли. Сколько соли нужно взрослому человеку на 1 год?

Ответ. 6 кг.

2. Дополнить выражение х2+4 третьим слагаемым так, чтобы получился квадрат двучлена.

Ответ.

3. У одного мальчика имеется несколько копеечных монет, у другого — столько же двухкопеечных, у третьего — трехкопеечных, а всех денег у них 1 р. 50 коп. Сколько монет у каждого мальчика?

Ответ. 25 монет.

4. Может ли квадрат целого числа при делении на 5 давать в остатке 2?

Ответ. Не может.

5. Может ли в пропорции каждый из средних членов быть меньше каждого из крайних?

Ответ . Может. Например : 2 : — 1 = — 4:2

6. Что больше:

Ответ.

7. Вычислить:

Ответ.

8. Найти двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

Ответ. 45.

9. Как разменять 5 р. монетами по 20 коп. и по 5 коп. так, чтобы было поровну тех и других монет?

Ответ. Взять по 20 монет.

10. Существует ли такой треугольник, который можно было бы разрезать на два остроугольных?

Ответ. Не существует.

11. Существует ли такой треугольник, который можно разрезать на два тупоугольных?

Ответ. Существует (рис. 1).

Рис. 1.

12. Существует ли такой треугольник, который можно разрезать на два равнобедренных?

Ответ. Существует (рис. 2).

13. Найти значение выражения а2—86а+НЗ, если а = 87.

Ответ. 200.

14. Решить уравнение

Ответ. —4 и —10.

15. Решить неравенство

Ответ. x = — 8.

Рис. 2.

16. Решить неравенство

О т в ет .

17. Дед втрое старше старшего внука и вчетверо старше младшего. Обоим внукам вместе 49 лет. Сколько лет деду?

Ответ. 84.

18. Найти значение выражения

Ответ. 32.

19. Периметр равнобедренного треугольника равен 3 дм. Найти его стороны, если одна из них равна 14 см.

Ответ. 14, 14, 2 или 14, 8, 8.

20. На плоскости даны 5 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки, соединяя их попарно?

Ответ. 10.

21. Найти значение выражения

Ответ. 0.

22. Какой вид имеет треугольник, если сумма двух любых его углов больше 90°?

Ответ. Остроугольный.

23. Разность между трехзначным числом и четным двузначным числом равна 3. Найти эти числа.

Ответ. 101 и 98.

24. Доказать, что при любом натуральном п число вида

является нечетным.

25. Вычислить:

Ответ. 256.

Чтобы получить полное количество очков, причитающихся за ту или иную задачу, ученик, назвав правильный ответ, должен объяснить, каким образом он пришел к этому ответу, поскольку сам по себе правильный ответ еще не гарантирует правильности решения (в некоторых задачах ответ можно попросту угадать).

А. И. Зейфман

(г. Вологда)

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНКУРСАХ

С 1971 года кафедра математики Вологодского педагогического института и ОК ВЛКСМ через газету «Вологодский комсомолец» проводят среди школьников Вологодской области конкурсы по решению задач. Первоначально эта работа проводилась в виде ежегодной заочной математической олимпиады в три тура (победители первого тура становились участниками второго и т. д.). Однако, как показал опыт, в этом случае активно проходил лишь первый тур, а два последующих тура для подавляющего большинства учащихся уже не представляли интереса.

Более эффективной формой работы оказались заочные математические конкурсы. В течение каждого учебного года на одинаковых началах проводятся два конкурса (первый — с октября по декабрь, второй — с января по март). Начинается конкурс с опубликования в газете «Вологодский комсомолец» двадцати задач самой различной трудности и указания времени окончания конкурса. Участниками конкурса могут быть как отдельные учащиеся, так и целые коллективы : математические кружки, пионерские звенья, классы и т. д. Решения задач к указанному сроку высылаются по почте. По окончании каждого конкурса всем участникам высылаются письма с разбором предложенных задач. Победители награждаются грамотами, их фамилии публикуются в газете, а учащиеся, показавшие лучшие результаты по итогам обоих конкурсов данного учебного года, персонально приглашаются для участия з третьем туре областной математической олимпиады. Приятно отметить, что в последние годы большинство призеров областной математической олимпиады состояло из победите-

лей конкурсов по решению задач, а в 1973/74 учебном году вся команда Вологодской области на Всесоюзной математической олимпиаде состояла из учащихся, отличившихся своими успехами на областных математических конкурсах.

Чем вызвано проведение областных математических конкурсов? В чем их отличие от очных олимпиад? Прежде всего, если на олимпиадах время для отыскания решения задачи строго ограничено, то на конкурсах учащиеся могут многократно возвращаться к неподдающейся задаче на протяжении довольно длительного времени, им предоставляется возможность пользоваться различной математической литературой. Тем самым решение конкурсных задач в какой-то мере приближает учащихся к действительным условиям работы ученого-математика.

Нельзя, однако, не отметить, что заочные математические соревнования имеют и довольно серьезный недостаток, так как не исключают возможности несамостоятельного решения задач. И все же в целом такие конкурсы приносят несомненную пользу. Особенно отрадным фактом является активное участие в конкурсах учащихся сельских школы.

При подборе конкурсных задач желательно по возможности соблюдать следующие требования :

а) задачи должны быть оригинальными, предпочтительно с простой и увлекательной формулировкой ;

б) решения задач не должны требовать громоздких преобразований и утомительных вычислений;

в) среди задач должны быть как сравнительно легкие, так и довольно трудные, требующие обращения к внепрограммной литературе;

г) желательно, чтобы часть задач допускала несколько решений.

Ниже приводится несколько примерных задач, использованных на математических конкурсах нашей области.

Задача 1. На каждой клетке шахматной доски размером 5X5 стоит конь. Можно ли сделать ход всеми конями одновременно?

Указание. Принять во внимание, что доска имеет нечетное число клеток, следовательно, что число одного цвета клеток не может быть равно числу клеток другого ; конь же при каждом ходе становится на поле другого цвета, чем то, на котором он стоял.

Задача 2. В пруду 30 щук, которые могут поедать одна другую. Щука считается сытой, если она съест трех щук (сытых или голодных).

а) какое наибольшее число щук может насытиться?

б) какое наибольшее число щук может насытиться, оставшись при этом в живых?

Указание, а) Очевидно, что 10 щук не могут насытиться, так как для этого должны быть съедены все 30 щук, что невозможно. Показать, что 9 щук могут насытиться.

б) 8 щук насытиться не могут, оставшись при этом в живых, так как для этого в пруду первоначально должны находиться 32 щуки. Показать, что 7 щук могут насытиться, оставшись при этом в живых.

Задача 3. Дан выпуклый четырехугольник ABC Д. На его сторонах как на диаметрах построены круги. Доказать, что эти круги полностью покрывают четырехугольник.

Указание 1. В четырехугольнике АВСД к одной из диагоналей (или к ее продолжению) провести перпендикуляры из двух противоположных вершин четырехугольника. Рассмотреть образовавшиеся при этом 4 прямоугольных треугольника и принять во внимание, что окружность, описанная на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, проходит через вершину прямого угла.

Указание 2. Взять внутри четырехугольника АВСД произвольную точку О и показать, что она обязательно будет покрыта. Для этого соединить точку О со всеми вершинами четырехугольника и убедиться, что хотя бы один из углов АОВ, ВОС, СОД, ДО А не будет острым.

Задача 4. Из белой бумаги вырезали круг радиуса 1200. Случайно на него капнули красных чернил, в результате чего круг разбился на две области: белую и красную. Можно ли утверждать, что существуют две точки одного цвета, расстояние между которыми не меньше 1975? А две точки разных цветов?

Указание. В данный круг вписать равносторонний треугольник, оценить длины его сторон и рассмотреть возможные случаи цветов его вершин. Во втором случае рассмотреть возможность того, что красная область находится в центре круга и имеет достаточно малые размеры.

Следующие 4 задачи предназначены для старшеклассников и являются более сложными. Для их решения тре-

буется знание некоторой дополнительной математической литературы, перечень которой следует проводить вместе с текстом задач.

Задача 5. На какую наибольшую степень двойки делится число ? (квадратными скобками обозначена целая часть числа, заключенного в эти скобки. Например [4,7] = 4).

Решение. Рассмотрим сумму

Очевидно, что при суммировании разложений данных биномов члены, содержащие радикалы, взаимно уничтожатся, т. е. рассматриваемая сумма является целым числом. Далее, так как

Следовательно,

Выражение

может быть преобразовано следующим образом:

где а и Ъ — натуральные числа.

Поскольку выражение

отличается от предыдущего только знаком при

Таким образом,

Очевидно, что при любом натуральном п выражение в фигурных скобках делится на 2, но не делится на 4. Поэтому окончательно имеем:

где M — нечетное число.

Ответ. Наибольшая степень двойки равна

Задача 6. Дано число

Для каких натуральных k первые 2п + 1 цифр после запятой будут нулями?

Указание. Так как сумма

есть число целое (см. предыдущую задачу) и

то дробная часть числа

равна

Следовательно, требование задачи будет выполнено, если

Отсюда находим, что

Задача 7. Доказать, что в числе

первые 999 знаков после запятой — нули.

Указание. Утверждение задачи непосредственно следует из предыдущей задачи.

Задача 8. Имеются две карты Вологодской области. Масштаб одной из них вдвое больше, чем другой. Меньшая карта случайным образом брошена на большую так, что полностью лежит на ней. Доказать, что существует единственная точка Вологодской области, изображение которой совпало на обеих картах.

Указание. Элементарное решение см. Гуго Штейнагауз, «Задачи и размышления», М., 1974, № 70 (решение на стр 186—188). Более изящным является такой путь решения. Вырезать из большей карты часть, на которой лежит меньшая, затем из меньшей — часть, соответствующую вырезанному куску большей и т. д. Затем воспользоваться леммой о вложенных областях.

В настоящее время во многих местах нашей страны организуются летние математические школы (ЛМШ). В нашей области ЛМШ существует с 1971 года. Проводимые в ЛМШ математические конкурсы пользуются неизменным успехом.

Одним из интересных видов внеурочной работы являются и внутришкольные математические конкурсы. Каждый такой конкурс рассчитан примерно на одну учебную чет-

верть, так что всего за год целесообразно провести 3—4 конкурса. В начале первой четверти в специальном выпуске школьной математической газеты публикуются условия конкурса и тексты конкурсных задач. В начале второй четверти подводятся итоги первого конкурса, помещаются фотографии его победителей, даются краткие решения задач и публикуются тексты задач второго конкурса и т. д. Задачи могут предлагаться отдельно по каждому классу, однако, как известно, существует немало и таких задач, которые одинаково посильны и интересны всем учащимся 7—10-х классов. Примерами таких задач являются рассмотренные выше задачи 1 и 2. Приведем еще несколько таких задач:

Задача 9. Двое играют в следующую игру: первый называет любое число от 1 до 10, второй прибавляет к нему снова любое число от 1 до 10 и называет сумму, затем это же делает первый и т. д. Выигрывает тот, кто первым дойдет до числа 100. Доказать, что при правильной игре первый обязательно выиграет.

Указание. Назвав сначала число 1, первый должен прибавлять такие числа, чтобы получались последовательно суммы, равные 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

Задача 10. В некотором царстве каждые два человека отличаются набором имеющихся у них зубов. Какова может быть наибольшая численность населения этого царства? (У человека не более 32 зубов)

Решение. Перенумеруем по порядку каждое место, где может быть зуб: 1-е, 2-е, 3-е,..., 32-е. На каждом месте зуб либо есть (1), либо его нет (0). Следовательно, для каждого человека получаем некоторую комбинацию из 32 единиц и нулей. Нетрудно видеть, что число всех таких комбинаций равно 232.

Задача 11. Написать 25 последовательных натуральных чисел, чтобы все они были составными.

Решение. Задача имеет бесконечно много решений. Приведем три из них

а) 26! + 2, 26! + 3,... , 26! + 26;

б) 26! — 2, 26! — 3, 26! — 4,... , 26! —26;

в) Р+2, Р + 3,..., Р + 26, где

Р — произведение всех простых чисел, не превосходящих 26.

Задача 12. В вершинах правильного семиугольника расположены черные и белые фишки. Очевидно, что каждые три фишки определяют треугольник. Доказать, что найдутся три фишки одинакового цвета, стоящие в вершинах равнобедренного треугольника.

Решение. Очевидно, что найдутся две фишки одинакового цвета, стоящие рядом. Пусть, например, белыми будут фишки, стоящие в вершинах А и В (рис. 1). Рассмотрим фишки С и G.

Если хотя бы одна из них белая, то утверждение задачи выполнено. Если же обе черные, то берем далее фишку Е. В случае, если она белая, равнобедренным будет треугольник ABE. В противном случае равнобедренным будет треугольник CGE.

Опыт показал, что время и труд, затраченные учителем на проведение конкурсов, с лихвой окупаются. У многих учащихся повышается интерес к математике, который нередко переходит в серьезное увлечение предметом. Следует также отметить, что итоги конкурсов позволяют школе более правильно определить состав команды на городскую (районную) олимпиаду.

Рис. 1.

М. И. Серов, Л. А. Эпштейн

(г. Петрозаводск)

О ЗАОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАДАХ ШКОЛЬНИКОВ КАРЕЛИИ

С 1966 года нами совместно с отделом учащейся молодежи республиканской газеты «Комсомолец» проводится заочная математическая олимпиада для старшеклассников. Задачи публикуются обычно в январе-феврале, и для их решения дается месяц.

В заочной олимпиаде, кроме старшеклассников (7—10 к л.), могут принимать участие и учащиеся средник специальных учебных заведений, и те, кто учится в вечерних и заочных школах. Задачи предлагаются дифференцированно по классам. Каждый может прислать решения любого количества задач и в письме указывает название учебного заведения, класс или курс. В середине марта на страницах газеты мы даем полный разбор всех предложенных задач с указанием фамилий победителей, а иногда и с публикацией их фотографий. Победители заочной олимпиады награждаются дипломами редакции газеты «Комсомолец» и приглашаются на III тур республиканской математической олимпиады.

В подборе задач для заочной олимпиады обычно участвуют несколько студентов 3—4-х курсов. Они под руководством преподавателей кафедры иностранных языков переводят задачи из различных зарубежных журналов. Они же проверяют решения участников олимпиады. По этой теме выполняется курсовая работа.

За прошедшее время было опубликовано более 80 задач. Часть из них предложена авторами, другие заимствованы из списков задач, рекомендованных для областных математических олимпиад, из математических изданий со-

циалистических стран, среди которых мы наиболее часто обращаемся к журналу «Альфа» (ГДР).

Приводим несколько задач из тех, которые предлагались учащимся для домашнего самостоятельного решения.

1. На каждой из шести граней двух кубиков написано по одной цифре. Все шесть цифр на кубике разные. Прикладывая различным способом кубики друг к другу, можно на двух верхних гранях получить различные двузначные или однозначные числа.

Укажите наибольшее и наименьшее число получающихся таким образом различных между собой двузначных и однозначных чисел.

2. Замените каждую букву соответствующей цифрой, чтобы равенство сохранилось

3. Можно ли из этих фигур сложить шахматную доску размером 10X10?

Рис. 1.

4. Группу туристов из 6 человек в 52 километрах от железнодорожной станции, куда туристы должны были попасть как можно скорее, догнал знакомый шофер на машине «Запорожец» и предложил их подвезти. «Запорожец» вмещает только трех человек. Вычислить наименьшее время, необходимое для прибытия на станцию всей группы туристов, если скорость движения туристов 4 км/час, а скорость «Запорожца» 40 км/час.

5. В квадратном трехчлене ax2+bx+ç все коэффициенты положительны. Доказать, что их можно поменять местами

так, что получившийся после перестановки коэффициентов квадратный трехчлен не будет иметь действительных корней.

6. Доказать, что если функция sin x+cos ах периодическая, то а — рациональное число.

7. Девять грибников собрали всего 220 белых грибов, причем каждые два — разное число. Доказать, что найдется пятеро из них, собравших не более половины всех грибов.

8. Два конгруэнтных ромба расположены так, что диагонали одного лежат на диагоналях другого. Диагонали ромба относятся, как 2 : 1. Найти отношение площади объединения этих ромбов к площади их пересечения.

9. Определить объем тетраэдра, если известно, что два его непересекающихся ребра взаимно перпендикулярны, имеют длины а и Ь, а расстояние между ними h.

10. Построить прямоугольный треугольник по периметру 2Р и биссектрисе прямого угла Ь.

11. Дана плоскость Р и две точки А и В вне ее. Найти на плоскости Р множество точек М, в которых отрезки AM и ВМ образуют с плоскостью Р равные углы.

12. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершины равностороннего треугольника до прямой, проходящей через его центр, есть величина постоянная.

13. По двум скрещивающимся прямым скользят отрезки AB и С Д. Доказать, что объем пирамиды АВСД при этом не меняется.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СМЕСЬ

1. При делении числа Р на 2 в остатке получается 1, при делении на три — 2, Какой остаток получится при делении числа Р на 6?

2. В вашем распоряжении 40 м веревки, три колышка, металлическое кольцо и ножницы для разрезания веревки. Попробуйте, используя эти вещи, привязать козу так, чтобы она могла пастись на лужайке, представляющей собой полукруг радиусом 10 м, а вне этой лужайки есть траву не могла.

3. Человек стоит в точке А и хочет кратчайшим путем пройти в точку Б, где находится телефонная будка. Через улицу он может переходить только по прямым, перпендикулярным к оси улицы, а по тротуарам — в любом направлении. Найти такой кратчайший путь. (рис. 1).

Рис. 1.

4. Прямоугольную плитку шоколода размером тУ\П требуется разделить на единичные квадратные дольки. Сколько изломов придется сделать, чтобы получить тп долек (ломать одновременно 2 и более кусков не разрешается)?

5. Проводится перепись населения в доме, который населен только супружескими парами с детьми. Перепись проводил очень веселый человек (но не очень сильный в математике). Его отчет звучал примерно так: «Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет». Этот отчет был забракован, так как он не мог быть верным. Почему?

6. В одном городе жили два брата-близнеца: Костя и Сережа. У них была одна странность: они были схожи во всем, кроме того, что Костя был не в состоянии говорить правду по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни говорил правду, а Сережа врал по вторникам, четвергам и субботам (а в остальные дни говорил правду). Однажды я повстречал их на улице и спросил одного из них: «Как тебя зовут?». «Костя» —ответил он.

«А какой сегодня день?»—спросил я. — «Вчера было воскресенье», — ответил он. «А завтра будет пятница» — ответил его брат. — «Ты уверен, что говоришь правду?» — спросил я. «Я всегда говорю правду по средам» — ответил он (брат). Кто есть кто и какой сегодня день недели?

7. Играем в «сосчитайку».

а) Задумано число. Нужно отгадать какое. Если его увеличить в 2,5 раза, к результату прибавить 1,75 и полученную сумму разделить на 0,8, то получится 37,5.

б) В издательстве печатали словарь. Чтобы перенумеровать страницы, наборщику понадобилось 2322 цифры. Сколько страниц в словаре?

в) Как записать число 1000, пользуясь знаками арифметических действий и пятью девятками? или шестью тройками? или семью единицами? или восемью восьмерками? или тремя десятками?

г) На доске написано 100 плюсов и 99 минусов. Разрешается стирать любые два знака, записывая вместо одинаковых знаков плюс, а вместо разных минус. Каким будет последний оставшийся на доске знак — плюс или минус? Почему?

8. Интересная новость.

Некто приезжает в город с очень интересной новостью и через десять минут сообщает ее двум знакомым. Каждый из этих двух через десять минут сообщает ее еще двоим

и т. д. Через сколько времени эту новость будут знать все в городе, если в нем три миллиона жителей?

9. Найдите хотя бы одно трехзначное число, которое при делении на 11 давало бы частное, равное сумме квадратов цифр первоначального числа.

10. Найдите наименьшее целое число, половина которого есть полный квадрат, а треть — полный куб.

11. На классной доске написано уравнение х20—20х19+ + ... + 1 = 0. Попробуйте найти корни этого уравнения, если известно, что все они положительны.

12. Число с тридцатью единицами.

Почему число, тридцать цифр которого — единицы, а остальные — нули, не может быть точным квадратом?

13. Можно ли разрезать семнадцатиугольник на четырнадцать треугольников?

14. Докажите, что нет таких целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец числа увеличились бы ровно в пять раз.

15. Требуется от слова «туча» добраться через промежуточные слова до слова «день», всякий раз заменяя лишь по одной букве. Сколько промежуточных слов вам понадобится?

16. Передние покрышки автомобиля стираются через 25 тысяч километров пути, а задние — через 15 тысяч километров. Когда покрышки нужно поменять местами, чтобы автомобиль прошел возможно большее расстояние с одними и теми же покрышками?

17. Представьте себе, что в лесу 800 000 елок. На каждой елке не более 600 000 тысяч иголок. Попробуйте доказать теперь, что найдется среди этих елок по крайней мере 2, на которых иголок одинаковое количество.

18. У тебя 5 пятаков, 9 трехкопеечных монет и 25 однокопеечных. Надо выбрать ровно 10 монет так, чтобы в сумме они составляли 25 копеек.

19. Семеро ребят отправились в лес за грибами. Одним повезло меньше, другим больше. Дома грибники подсчитали «трофеи» — всего было собрано 98 грибов. Докажите, что среди семерых было четверо, которые вместе собрали не менее 56 грибов.

20. Не производя деления, докажите, что 27-значное число 111 111 111 111 111 111 111 111 111 делится на 27.

21. Жизнь за час.

Бактерии имеют такой закон развития: бактерия живет один час и каждые полчаса порождает новую (всего две за свою жизнь). Сколько бактерий будет через п часов?

22. Загадка бельевой веревки.

На двух деревьях вблизи дома на разной высоте вбиты два крюка. Концы бельевой веревки закреплены на этих крюках, и веревка должна проходить через третий крюк, вбитый в угол дома. На какой высоте нужно вбить этот третий крюк, чтобы длина веревки была наименьшей?

23. В некотором царстве.

В некотором царстве, в некотором государстве был остров. Попал на этот остров чужеземец. И было ему известно, что на острове живут два удивительных племени: представители одного всегда говорят только правду, представители другого всегда лгут. Чужеземец подошел к развилке дороги и у первого встречного спросил, какая дорога ведет в деревню. Он не знал, к какому племени принадлежит путник, но, задумавшись на минуту, задал тот единственный вопрос, ответ на который указывал ему верную дорогу. Какой это был вопрос?

24. Когда остановились часы.

У меня остановились стенные часы. Не имея карманных, я не мог поставить их правильно и пошел к знакомому, у которого, как знал, часы идут верно. Побыв у него ровно час, я вернулся домой и поставил свои часы. Как мне удалось это сделать?

25. Перепутанные таблички.

Один серьезный и очень занятый человек, готовясь к какому-то важному делу, принес три урны. В одной было два белых шара, в другой — два черных, в третьей — один белый шар и один черный. На каждой урне висела аккуратная табличка с обозначением цветов шаров: ББ, ЧЧ, БЧ. Какой-то шутник, улучив минутку, взял и перевесил таблички. Теперь надписи не соответствуют тому, что в урнах. Как теперь узнать, какие шары в какой урне? Учти, что ты можешь вынуть только один шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число «извлечений» потребуется тебе?

26. Математики за шахматами.

Сколькими способами можно обойти конем шахматную доску размером 3X4 так, чтобы побывать по одному разу

на каждом поле? Конечно, если найден один способ обхода доски, из него легко получить второй, если делать те же ходы, но в обратном направлении. Такие два способа считаются одинаковыми.

27. «Счастливые» билеты.

В Швамбрании автобусные билеты имеют номера от ООО 001 до 999 999. Швамбраны считают, что среди них есть «счастливые» номера: это те, у которых сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма всех таких «счастливых» номеров делится на 13.

Помещаем рассказ из серии «Необычайные математические приключения», который можно использовать на математическом вечере, желательно с иллюстрациями.

Математик на острове

Известный математик Жан Карре отправился в кругосветное путешествие на корабле «Признак». Командиром экспедиции был отважный мореплаватель Джон Сейлор. Сначала все шло, как в обычном кругосветном путешествии. Однако близ мыса Острого Угла корабль попал в жестокий шторм и пошел на дно. Из всего экипажа в живых остались только Жан и Джон. Держась за случайно попавшийся им обломок корабля, они плыли неизвестно куда. Вдруг вдали показалась земля. «Остров Треугольника! — вскричал капитан Джон. — Мы спасены!»

Однако капитан радовался несколько преждевременно.. Высадившись на остров, друзья увидели трех огромных и страшных черепах. «Куда вы ползете?» — спросил любопытный Жан. «Мы ищем еду, — ответила первая черепаха, — впереди ползу я, а за мной еще две черепахи». «А что скажешь ты?» — обратился Жан ко второй. «Впереди ползу я, а за мной еще две черепахи», — ответила с достоинством вторая черепаха. «Ну, а ты?» — спросил удивленно Жан у третьей. «Впереди ползу я, а за мной еще две черепахи, — строго сказала третья черепаха. — Угадайте, как это может быть (нужно найти все решения) или мы вас съедим». Жан, обхватив голову руками, погрузился на час в размышления. Наконец, радостно вскрикнув, он вскочил и рассказал оба решения предложенной задачи, после чего черепахи их отпустили.

Друзья отправились дальше. «На острове Треугольника есть город, — сообщил капитан Джон. — Нам необходимо добраться до него, но я не знаю туда дороги. Хорошо бы спросить у кого-нибудь. Следует однако иметь в виду, что на острове живут два племени: одни всегда лгут, другие всегда говорят правду». Вскоре они подошли к развилке двух дорог, одна из которых должна была вести в город. Увидав невдалеке туземца, друзья подошли к нему. Жан подумал и, задав туземцу один единственный вопрос, узнал, какая из двух дорог вела в город.

Через четыре часа усталые путешественники доплелись до города. Немного отдохнув, друзья решили постричься. Им удалось узнать, что в городе всего два парикмахера. Прежде чем приводить свои прически в порядок, Жан и Джон решили выяснить, какой из парикмахеров лучше. Придя в салон к первому, они увидели чистое помещение, красиво одетого и аккуратно постриженного мастера. Тем не менее друзья решили заглянуть и к другому парикмахеру. Там они увидели совсем другую картину: пол в салоне грязен и покрыт волосами, сам мастер неряшливо одет и плохо пострижен. Все же по совету Жана друзья постриглись именно у этого мастера.

После того как путешественники нагулялись по городу, их потянуло домой. У капитана было припрятано 80 золотых монет. Опытный Джон уверенно заявил: «На эти деньги мы сможем купить небольшой корабль и отправиться домой». Друзья пришли в гавань, выбрали там небольшой парусник и предложили все свои деньги его владельцу. Тот оказался недоверчивым и стал пробовать монеты на зуб. Испытав таким образом все монеты, он сказал: «Одна монета фальшивая, она из меди, а значит, легче по весу. Я дам вам чашечные весы без гирь. Найдите фальшивую монету не более, чем четырьмя взвешиваниями — и корабль ваш!». Отважный капитан сразу приуныл, однако Жан вскоре решил и эту задачу. Друзья приобрели парусник и отправились домой.

В рассказе четыре задачи (черепахи, туземец, парикмахеры, монеты). Если вам удастся их решить, смело можете отправляться в кругосветное путешествие на корабле «Признак — 2». Капитан Джон Сейлор собирает новый экипаж. Спешите!

СОДЕРЖАНИЕ

Ломакин Ю. В. Подготовка студентов педагогического института к внеурочной работе по математике ..... 5

Орлов А. И. Про управление запасами . . . . . 10

Балк Г. Д. Определения математических понятий на занятиях школьных математических кружков ..... 21

Губа С. Г. О значении системы задач во внеурочной работе по математике .......... 30

Ярославлеца Л. Г. Опыт изучения бинарных отношений . 43

Изаак Д. Ф. Задачи на геометрические преобразования . . 57

Лютомский Г. В. Экстраполяционные задачи на внеурочных занятиях по математике ........ 67

Горбунова В. А., Савелова Т. Е. Элементы линейного программирования. (Из опыта работы ЛМШ). ..... 72

Шарова О. П. Некоторые вопросы совершенствования системы подготовки студентов к проведению внеклассной работы по математике. (Из опыта работы) ....... 88

Ваганова И. П., Дудова В. Ф., Пономарева В. И. Система работы Саратовского педагогического института со школьниками, проявляющими интерес к математике и физике. ... 99

Иванова А. М. Опыт проведения математического месячника на педагогической практике студентами IV—V курсов факультета математики ЛГПИ имени А. И. Герцена .... 105

Березина А. И. Из опыта внеклассной работы в начальных классах . . . . . . . . . . .111

Чуглова Н. И. Студенческий математический лекторий . 118

Зенкевич И. Г. Эстетический фон познавательной информации внеурочных занятий по математике . . . . .124

Ломакин Ю. В., Лифшиц М. А. Летняя математическая школа . . . . . . . . . . . .133

Губа С. Г., Бабкина Т. К. Устные математические викторины . . . . . . . . . . . .144

Зейфман А. И. О математических конкурсах . . . .152

Серов М. И., Эпштейн Л. А. О заочных математических олимпиадах школьников Карелии ....... 159

Математическая смесь. ........ 169

Подп. к печати 1.1(2.1976 г. ГЕ01449. Формат 60Хв4/|б.

Печ. л. 10,6. Усл. печ. л. 9,7. Уч.-изд. л. 7,92.

Тираж 1000. Цена 70 коп. Заказ 3500.

Областная типография, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.