Библиотека учителя математики

ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Библиотека учителя математики

ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Составитель В. В. Фирсов

Рекомендовано Главным учебно-методическим управлением общего среднего образования Государственного комитета СССР по народному образованию

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989

ББК 74.262 П37

Авторы: Л. О. Денищева, Л. В. Кузнецова, И. А. Лурье, Н. Б. Мельникова, С. С. Минаева, Н. Н. Решетников, В. В. Фирсов

Рецензенты:

учитель методист школы № 526 Ленинграда А. А. Окунев; член-корреспондент АПН СССР С. И. Шварцбурд; кандидат педагогических наук А. И. Верченко

П37

Планирование обязательных результатов обучения математике/Л. О. Денищева, Л. В. Кузнецова, И. А. Лурье и др.; Сост. В. В. Фирсов.-М.: Просвещение, 1989.-237 с: ил.-(Б-ка учителя математики).

ISBN 5-09-000601-6

В пособии определяются обязательные требования к математической подготовке учащихся и на этой основе разрабатывается тот оптимальный объем знаний и умений, овладеть которым должен каждый ученик. Приводятся задачи обязательного уровня по всем темам курса математики средней школы, даются примеры итоговых и тематических контрольных работ.

ББК 74.262

ISBN 5-09-000601-6 Издательство «Просвещение», 1989

ПРЕДИСЛОВИЕ

Февральский (1988 г.) Пленум ЦК КПСС, Всесоюзный съезд работников народного образования поставили перед школой ряд серьезных проблем, связанных с необходимостью качественной общеобразовательной подготовки всех школьников. К их числу относится проблема совершенствования методической системы обучения.

Сложившаяся в школе методическая система обучения большинству школьных предметов ориентирована на возможно более высокий уровень усвоения школьником содержания любого предмета. Такая ориентация была довольно естественна в условиях, когда среднее образование получала лишь наиболее подготовленная часть школьников. В изменившихся условиях обучения ориентация на максимум усвоения приводит к заметной перегрузке относительно более слабых учащихся. Большая часть школьников постоянно находится в дискомфортном положении несправляющихся с учебой, что приводит к целому ряду негативных последствий: потере интереса к обучению, отрицательному отношению к школе и учебному труду, развитию чувства собственной неполноценности, которое по законам психологии требует вытеснения, поиска источника удовлетворения в других сферах.

Ориентация на максимум усвоения по всем предметам опасна и для сильного учащегося. Стремление учиться отлично по всем предметам в условиях объективного усложнения содержания обучения приводит к интегральной перегрузке школьника, мешает проявлению его способностей и дарований в какой-то одной области. Кроме того, обучению одаренного ученика вредит и то, что мы, подстраиваясь под слабого, все время снижаем уровень требований.

Авторы этой книги убеждены, что традиционная методическая система обучения нуждается в серьезной перестройке. Ориентация процесса обучения и его методического обеспечения на максимальный уровень усвоения безнравственна по отношению ко многим школьникам. Однако неприемлемо и противоположное решение — учить всех с постоянной оглядкой на самого слабого. В этом случае уровень математической подготовки всех выпускников школы оказался бы неоправданно заниженным и

мы потеряли бы сотни тысяч будущих творцов научно-технического прогресса.

Выход из этого противоречия авторы видят в осуществлении дифференцированного подхода к обучению учащихся на основе явного выделения уровня математической подготовки, обязательного для каждого ученика школы. Мы считаем необходимым ясно сформулировать для каждого ученика его обязанность достигнуть этого уровня и его право идти дальше. Нет нужды оговариваться, что это право должно быть подкреплено соответствующими возможностями — их более чем достаточно. Однако для слабого или не интересующегося предметом школьника равно должно быть признано его право не идти дальше того обязательного минимума, который ему известен.

Итак, базисным элементом дифференциации учебных требований призван стать уровень обязательной подготовки. Его достижение школьником — важный позитивный момент учебы. Ученик, выполнивший задания обязательного уровня, достоин уважения. Достижение уровня обязательной подготовки для школьника еще и сигнал о том, что он может продолжать обучение по математике и другим предметам, требующим применения математических знаний.

Нет ничего более естественного для ребенка, достигшего этого уровня, испытавшего удовлетворение от своего успеха и чувствующего уверенность в своих силах, как задаться интригующим вопросом «а что дальше?». Почему бы, действительно, не попробовать, не испытать себя? Так на гребне победного учения и интереса к успешному результату в учебе может возникнуть интерес к предмету. А следовательно, и движение школьника по всевозрастающим уровням овладения математикой.

Сейчас, наверное, важнее всего доказать слабому ученику, что и ему посилен успех в обучении математике. Ведь даже минимально необходимого уровня математической подготовки, как показывает практика, не достигают иногда до 60% школьников! Поэтому первоочередной задачей мы считаем обеспечение уровня обязательной подготовки. Практика двух сельских районов Молдавии, где в порядке эксперимента во всех классах школ этой задаче уделялось приоритетное внимание, показала значительные позитивные сдвиги — весомый прирост качества математической подготовки. Причем, и это естественно, введенное уровнем обязательной подготовки «ограничение снизу» повысило и последующие, более высокие уровни. Четверки и пятерки стали более полновесными, и, несмотря на это, учащихся, претендующих на получение таких оценок, стало значительно больше!

Эта книга посвящена планированию обязательных результатов обучения, т. е. решению первоочередной задачи в деле совершенствования методической системы обучения математике. Книга состоит из четырех глав.

В первой главе раскрываются предпосылки возникновения проблемы планирования обязательных результатов обучения, разъясняются приня-

тые подходы к выявлению и способам задания уровня обязательной математической подготовки.

Вторая и третья главы посвящены собственно обязательным результатам обучения. В них определяется уровень обязательной подготовки по различным предметам школьного математического цикла, приводятся обоснования и мотивировки выбора тех или иных задач в качестве измерителей уровня обязательной подготовки, показывается их роль в усвоении курса математики и смежных дисциплин. Кроме того, для всех математических курсов приводятся списки задач, конкретизирующих итоговый уровень обязательной математической подготовки.

Четвертая глава раскрывает некоторые особенности организации учебного процесса с использованием обязательных результатов обучения. Здесь, в первую очередь, показано соотношение итоговых и тематических результатов обучения, рассказано, как, исходя из итоговых требований, определить обязательные требования к усвоению материала конкретной темы. Кроме того, учитель найдет в главе рекомендации по организации достижения учащимися обязательных результатов обучения. Особое внимание уделено организации контроля достижения обязательных результатов.

В книге приведены конкретные примеры реализации разработанных методических положений. Эти примеры и многие другие материалы книги разработаны в ходе широкого эксперимента в школах Молдавской ССР. Учителя экспериментальных школ оказали авторам неоценимую помощь в разработке обязательных результатов обучения и методики работы с ними.

«Обязательные результаты обучения» были широко обсуждены в педагогических коллективах страны. Лаборатория обучения математике НИИ содержания и методов обучения получила множество писем и отзывов учителей и методистов, научных работников и преподавателей высших учебных заведений, в которых содержались ценные и конкретные замечания и предложения по совершенствованию обязательных результатов. В книгу включен итоговый вариант «Обязательных результатов обучения», подготовленный с учетом этих предложений. Однако, работу над ними вряд ли можно считать законченной. По существу коррекция обязательных результатов, видимо, должна проходить непрерывно. При этом особенно значимы те коррективы и поправки, которые вносит в них непосредственно учитель с учетом особенностей своего класса и используемой методики обучения. В этом смысле приведенные в книге обязательные задачи призваны служить не в качестве эталона или тем более нормативного документа, но как ориентир в работе учителя, решившего применить на практике высказанные в книге методические положения.

Идеи планирования результатов обучения были поддержаны подавляющим большинством учителей математики. Однако некоторые ученые высказывают опасение, что среди учителей может распространиться понимание «обязательных результатов» как той гребенки, под которую надо стричь всех школьников. Нам представляется, что содержание книги до-

статочным образом опровергает эти соображения. Авторам даже трудно представить себе такого педагога, который в организации процесса обучения будет исходить только из обязательных результатов, презрев учебники и методики и используя обязательные задачи в качестве дубинки против ученика, который вознамерился продвинуться чуть выше. Мы считаем, что учителя нужно уважать и ему следует доверять, так как он заинтересован в математическом развитии своих учеников. Тем не менее мы сочли полезным предуведомить читателя о существовании подобной критической позиции, ибо она показывает, куда не надо идти.

Идеи перестройки методической системы обучения на основе использования уровня обязательной подготовки как базиса дифференциации учебных требований —в движении. Настоящая книга, конечно, не сможет дать ответы на все возникающие здесь вопросы. Одна из наших целей — привлечь к их решению более широкий круг учителей математики. Ведь только непосредственно в школе можно убедиться в значимости поставленных целей и определить реальные пути их достижения.

Авторы выражают искреннюю признательность всем участникам обсуждения разработанных нами материалов. Наша особая благодарность всем учителям математики Рышканского и Оргеевского районов Молдавской ССР, работникам народного образования Молдавии А. И. Райляну, Ф. И. Семенюку и Л. И. Степан, заслуженным учителям школ РСФСР Ф. М. Барчуновой и Т. Л. Сытиной, зав. кабинетом математики МГИУУ, заслуженному учителю школы РСФСР С. М. Саакяну, инспектору Главного управления общего среднего образования МП СССР Б. В. Сорокину.

Теоретическая и экспериментальная разработка концепции планирования результатов обучения математике продолжается. Лаборатория обучения математике НИИ содержания и методов обучения АПН СССР готовит сейчас методические рекомендации по организации зачетной системы контроля обязательных результатов обучения, разрабатывает конкретные схемы организации учебного процесса, обеспечивающие достижение этой цели. Одновременно разрабатывается система работы со школьниками, проявляющими способности и дарования в области математики. Мы будем благодарны всем читателям, которые пожелают принять участие в этой работе, выскажут мысли, предложения и замечания.

В. В. Фирсов

Глава 1.

ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1.1. Проблема планирования обязательных результатов обучения

Резкое усиление влияния математики на прогресс науки и производства, расширение сферы применения математических знаний и умений усиливают значение полноценного математического образования для каждого школьника нашей страны. Это требует общего повышения качества математической подготовки учащихся, обеспечения некоторого ее гарантированного уровня, на который может рассчитывать государство, предоставляя всем гражданам нашей страны право на получение среднего образования. В связи с этим возникает необходимость разработки вопроса о требованиях к знаниям и умениям учащихся по математике. Рассмотрим некоторые его аспекты.

Всеобщее образование и перестройка системы обучения

Переход к всеобщему среднему образованию недостаточно сказался на сложившейся в школе системе обучения. Между тем новая ситуация, новые условия требуют пересмотра ряда методических установок.

Раньше в старшие классы общеобразовательной школы шли преимущественно те учащиеся, которые намеревались продолжить свое образование в высших учебных заведениях. Выпускники школы составляли лишь небольшую часть от поступающих в нее. Обучение в старшем звене строилось по следующей схеме: школьникам предлагался большой объем материала, из которого каждый усваивал столько, сколько мог. Система обучения и управляющая ею система контроля были ориентированы на «пятерочный» уровень подготовки; идущие ниже этого уровня чего-то из изучаемого не знали, и в зависимости от объема этого незнания их успехи оценивались более низкими отметками. Ученики, не достигавшие необходимого опорного уровня подготовки, как правило, отсеивались из школы на различных этапах обучения; продолжали учебу лишь наиболее подготовленные. Таким образом, основным побудительным мотивом учения было достижение «пятерочного» уровня, что открывало дорогу к высшему образованию.

Сложности возникли уже в то время, когда увеличилась доля учащихся, идущих в старшие классы, и особенно обострились теперь, когда среднее образование стало всеобщим. Традиционная система обучения не изменилась. Она направлена на то, чтобы пытаться научить каждого на принятом в данный момент максимальном уровне, и по-прежнему рассчитана на подготовленного ученика. Это оказалось непосильным для значительной части нового состава учащихся. А совпадение во времени двух крупных перестроек — перехода на всеобщее среднее образование и реформы содержания школьной математики (начало 70-х гг.) — еще больше увеличило этот разрыв. Традиционные требования, недостаточно отвечающие обновленному содержанию курса, стали стихийно видоизменяться; причем ввиду отсутствия опыта работы по новым программам новые требования часто лежали в стороне от основных, центральных линий развития курса, не отражали опорных для последующего изучения математики и смежных дисциплин вопросов. Возникла перегрузка относительно более слабых школьников, которые не могли усваивать всю информацию на максимальном уровне. Кроме того, прежняя мотивация учения стала не столь эффективной. Из добровольного учение становилось принудительным, причем в объемах, явно непосильных для всех. А это приводило к издержкам воспитательного характера (потеря интереса к обучению и, как следствие, нежелание учиться, порождение безответственности и др.). Педагоги пытались найти решение проблемы в развитии интереса к предметам и к учению вообще. Этот путь срабатывал опять-таки для сильных школьников: неестественно интересоваться всем, а в условиях избыточной нагрузки и невозможно. Развитие же общих познавательных интересов требует определенного уровня общего развития школьника, причем довольно высокого.

Все это говорит о том, что требуется определенная перестройка учебного процесса и изменение системы образования на этой основе.

Опорный характер математической подготовки

Особенно сложным в настоящее время оказалось положение такого предмета, как математика. Для нее характерны сильные внутрипредметные связи: если ученик плохо усвоил предшествующий материал, то он еще хуже усвоит последующий. Известно, что, не получив на каком-либо этапе необходимого фундамента математической подготовки, ученик оказывается не в состоянии продолжать учиться. Дальнейшее изучение математики, а также смежных предметов становится для ученика трудным, а иногда и невозможным из-за существенных пробелов в изучении материала. Например, не овладев в необходимой степени навыками тождественных преобразований, ученик не сможет решать многие виды уравнений, систем уравнений, не усвоит многие вопросы математического анализа. При изучении нового материала для него будет часто смещаться центр трудности: неумение выполнить некоторые технические действия

будет отвлекать ученика от основного вопроса, препятствовать сознательному восприятию нового понятия, приема и т. п. И учителя математики, и учителя физики хорошо знают, как мешают усвоению материала слабые вычислительные навыки учащихся. Приведем такой пример. В проверочные работы по алгебре для VI класса1 были включены специальные задания, в которых ученики должны были выполнять одни и те же действия над числами непосредственно в арифметической ситуации и в задаче, представленной на языке алгебры. Например, вычислить значение числового выражения 0,5 • ( — 3) — 1,3 и найти значение выражения 0,5а — 1,3 при а = — 3; выполнить деление десятичных дробей 2,94:2,8 и решить уравнение 2,8л; = 2,94; найти сумму целых чисел —3 + 7 — 12 + 5и упростить выражение, в котором для приведения подобных слагаемых требовалось проявить те же вычислительные умения и с теми же числами. Результаты выполнения арифметического и соответствующего ему алгебраического задания практически совпали. Иными словами, сумели решить алгебраическую задачу именно те школьники, которые сумели правильно выполнить вычисления.

Часть учащихся от темы к теме, от ступени к ступени не овладевают опорными знаниями и умениями. Это приводит к все нарастающему накоплению пробелов и с какого-то времени (для каждого ученика это время свое) приводит к существенным затруднениям или даже невозможности учиться дальше. Как показывает практика, именно такое положение было и остается основной причиной неудовлетворительного состояния математической подготовки школьников.

Уровень обязательной подготовки

Устранение возникших трудностей во многом зависит от правильного решения проблемы требований к подготовке учащихся. Существующая сейчас система требований складывалась под влиянием традиционной, принятой в то время, когда перед школой не стояла задача обучить всех. В результате она оказалась по-прежнему ориентирована только на один, возможно более высокий уровень усвоения материала, доступный для меньшей части учеников. Так, текущие и итоговые контрольные работы, административные проверки, экзамены и т. д., которые задают определенный эталон требований к знаниям и умениям школьников, в основном строятся таким образом, что все без исключения задания в них по своей сложности соответствуют «пятерочному» уровню.

Приведем пример. Каждый оканчивающий восьмилетнюю школу должен уметь решать квадратные уравнения вида ах2 + Ъх = 0, ах2 + с = 0, ах2 + Ъх + с = 0. Трудно представить, как будет изучать курс анализа, стереометрии, физики ученик, не владеющий этим умением. Однако в экзаменационных работах за курс восьмилетней школы никогда не предлагаются

1 Здесь и далее дается нумерация классов одиннадцатилетней школы.

задания типа «решить уравнение 2л;2 — 5х — 3 = 0». Квадратные уравнения в них всегда представлены гораздо более сложными заданиями. Например: «Найдите множество значений /г, при которых уравнение kx2 — 6х + + к = 0 имеет два корня». Конечно, для решения этой задачи надо знать формулу корней квадратного уравнения. Но ее применение здесь осложнено целым рядом нетривиальных действий (необходимо составить и решить квадратное неравенство, исключить из множества его решений те, которые не служат решениями задачи). А кроме того, само умение проводить исследование уравнения с параметром требует высокого уровня развития и доступно на данной ступени обучения не всем учащимся. Другой пример. Задания на преобразование дробных выражений, используемые при итоговом контроле, требуют от восьмиклассников весьма развитой техники тождественных преобразований, которой обладают заведомо не все. Это примеры типа

По сложности они всегда существенно превосходят обязательный с точки зрения дальнейшего применения уровень овладения соответствующими умениями. И никогда не проверяется умение ученика бегло и уверенно выполнять отдельные операции с алгебраическими дробями (сокращение дроби, сложение, вычитание, умножение и деление дробей). В результате многие учащиеся не справляются самостоятельно с подобными задачами, а для экзаменующих так и остается неясным, владеют ученики указанными умениями в необходимой степени, можно ли будет опереться на эти умения в дальнейшем обучении.

Таким образом, под влиянием традиционно сложившегося опыта в требованиях к математической подготовке учащихся существует значительный пробел: если «пятерочный» уровень овладения материалом задан довольно полно, то явное описание нижней допустимой границы овладения материалом, т. е. того уровня, достижение которого должно считаться обязательным для всех, отсутствует.

Указанное положение становится педагогически неоправданным. Ведь перед школой не ставится задача сделать из всех учащихся математиков. Это не только нереально, но и не нужно. В то же время сложившееся положение вызывает лавину негативных явлений, и прежде всего воспитательного характера. Хорошо известно, что если воспитание не дает положительного эффекта, то оно дает отрицательный. Перегрузка, возникающая у части школьников из-за непосильных для них требований, приводит к тому, что часть школьников теряет веру в свои силы, просто перестает учиться. Несправляющиеся (в большей или меньшей степени) с учебной нагрузкой оказываются в дискомфортном положении. Это порождает обман, списывание, вызывает отрицательное отношение к школе, учебному труду. А это основной труд школьников, как было подчеркнуто на Всесоюзном съезде работников народного образования. Поэтому фактически создаются условия, препятствующие трудовому воспитанию

учащихся, выработке у них чувства долга, чувства ответственности за выполняемую работу. Кроме того, постоянное отставание от уровня требований порождает чувство неполноценности, которое по законам психологии требует вытеснения, поиска источника удовлетворения в других сферах. Необходимо отметить, что процентомания как отрицательное явление возникло именно в условиях, когда учитель не в состоянии обеспечить стопроцентное усвоение всего, что требует от него существующая система обучения, а допустимая нижняя граница подготовки настолько размыта, что может иметь любое произвольное толкование.

Более того, когда постоянно в течение многих лет предлагаемые школой требования не выполняются значительной частью учащихся, уровень этих требований начинает непроизвольно падать. Это ведет уже к снижению качества подготовки сильных школьников.

Отсутствие явного описания уровня обязательной подготовки приводит к тому, что его достижение никак не контролируется. Это существенно снижает информативность контроля. Неизвестно, на какой уровень подготовки выпускника школы можно рассчитывать при организации его последующего (например, профессионального) обучения. Умеет ли выпускник школы решать квадратные уравнения? Может ли он произвести простейший расчет по формуле? Может ли найти элементы прямоугольного треугольника? На эти вопросы можно ответить утвердительно, только если речь идет об отличнике. В остальных случаях известно лишь, что все это школьник изучал, но неизвестно, изучил ли. Сказанное справедливо не только по отношению к школе в целом, но и по отношению к любой ее ступени (так, выпускник начальной школы может не знать таблицы умножения, но перейти в следующий класс).

Педагогически неверно ориентирована и система оценивания. Отсутствуют единые, объективные критерии выставления минимальной положительной отметки: если два школьника имеют оценку «три», это не означает, что они имеют одинаковую подготовку, а лишь то, что у них есть значительные (причем, возможно, разные) пробелы по сравнению с «пятерочным» уровнем. Система оценки работает по принципу «вычитания», тогда как педагогически правильно работать по принципу «сложения»: отметка должна выставляться за достижение определенного уровня подготовки. Только в этом случае обучение окажется цепью непрерывных маленьких побед школьника, а не долгой цепью поражений в борьбе за достижение «пятерочного» уровня.

Из всего сказанного вытекает необходимость явного выделения уровня обязательной подготовки школьников по всем предметам школьного математического цикла и всем ступеням обучения. Постановка вопроса не нова: еще В. И. Ленин в 1920 г. писал о необходимости «разработать детально минимум знаний»1. Этого же требуют документы перестройки школы.

1 Ленин В. И. О политехническом образовании. Заметки на тезисы Надежды Константиновны//Полн. собр. соч.—Т. 42.—С. 230.

Таким образом, речь идет о том, чтобы для каждого школьного математического курса (математика, алгебра, планиметрия, алгебра и начала анализа, стереометрия) выделить те результаты обучения1, которыми должны овладевать все учащиеся в итоге изучения этого курса. Их естественно назвать «обязательными результатами обучения». Они должны быть заданы явно, т. е. зафиксированы и описаны, известны всем участникам учебного процесса. Обучение математике должно строиться так, чтобы достижение обязательных результатов учащимися было безусловным требованием и непременно контролировалось. При этом достижение выделенного уровня обязательной подготовки должно служить ученику гарантией положительной оценки его успехов. Иными словами, возникает проблема планирования обязательных результатов обучения. Термин «планирование» здесь употреблен не случайно. Он подчеркивает, что решение данной задачи связано с любым научно обоснованным планированием, которое включает в себя разработку плана, создание условий для его выполнения и контроль. Такой подход тем более правомерен в условиях планового хозяйства нашей страны в целом.

Какой уровень овладения материалом следует считать уровнем обязательной подготовки? Что в обязательном порядке должно быть усвоено каждым учеником, чтобы ему могла быть выставлена положительная оценка? Для ответа на этот вопрос необходимо учесть, что в богатом и разнообразном материале школьного курса математики существует определенный объем опорных знаний и умений, без которых невозможно дальнейшее продвижение ученика. Это так называемый фундамент, на котором строится все дальнейшее обучение. Например, если ученик не овладел умением решать линейные уравнения некоторых основных типов (ах + Ъ = 0, ах + Ъ = сх + d и т. п.), то всюду в дальнейшем, где линейные уравнения выступают в качестве алгебраического аппарата, он будет испытывать серьезные затруднения и не сможет в должной степени овладеть целым рядом других умений: решением систем линейных уравнений с двумя переменными, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и др. Без такого фундамента нельзя вести речь и о развитии учащихся.

Очевидно, что уровень обязательной подготовки не может быть ниже этого опорного уровня. Изучение состояния знаний и умений учащихся показывает, что опорный уровень не достигается в настоящее время значительной частью учащихся. На разных ступенях обучения многие учащиеся не овладевают важнейшими умениями, которые лежат в основе дальнейшего изучения курса и применяются при изучении смежных дисциплин. Причем число таких учеников от класса к классу возрастает.

1 Конкретные знания, умения и навыки, которые демонстрируют учащиеся в итоге изучения того или иного вопроса, в настоящее время в частных методиках принято называть «результатами обучения».

К этому необходимо добавить, что в школе сейчас все еще наблюдается значительная перегрузка, на необходимость устранения которой неоднократно указывалось в партийных и правительственных документах. Поэтому, учитывая сложившееся в школе положение, уровнем обязательной подготовки в настоящее время и следует считать тот опорный уровень, достижение которого позволяет ученику овладевать последующим курсом, применять полученные умения при изучении смежных дисциплин, в практической деятельности. Этот уровень и должен характеризовать нижнюю допустимую границу подготовки школьников при завершении каждой ступени обучения.

Необходимо подчеркнуть, что достижение обязательных результатов обучения — это не единственная цель обучения математике. Одновременно должны быть созданы условия для максимального математического развития школьников, интересующихся предметом, для совершенствования возможностей и способностей каждого ученика. И назначение обязательных результатов обучения состоит не в том, чтобы заменить существующие требования, а в том, чтобы заполнить имеющийся в них пробел.

К этому следует также добавить, что содержание планируемых обязательных результатов обучения может меняться с течением времени. Они не могут стать ниже опорного уровня подготовки. Однако реальное преодоление школой этого барьера повлечет за собой расширение и развитие планируемых обязательных результатов обучения.

Обязательные результаты обучения в учебном процессе

Явное задание обязательных результатов обучения математике может стать отправной точкой для решения многих важных вопросов. Как уже отмечалось, реализация общего среднего образования требует взять четкий курс на безусловное достижение всеми школьниками уровня обязательной подготовки на каждом этапе обучения. Такая ориентация, как показал опыт1, может дать значительный эффект в практике преподавания.

Полученные в психологии факты убедительно показывают, что каждый человек обладает познавательной потребностью. Удовлетворение ее —это необходимое условие нормального развития человека.

Учителя хорошо знают, что каждый ребенок приходит в школу с желанием учиться. Однако часто это желание быстро или постепенно угасает. Причины падения интереса к учению весьма разнообразны. Но не последней из них является непосильность требований, предъявляемых школьнику. Завышенные требования имеют и еще более парадоксальное след-

1 Опытная работа по достижению обязательных результатов обучения всеми учащимися проводилась в школах Оргеевского и Рышканского районов Молдавской ССР. Приводимые в главе 4 рекомендации в значительной мере основываются на этой работе.

ствие. В исследованиях Н. А. Менчинской установлено, что ученик, испытывая постоянные неудачи, стремится избежать умственной работы. Результатом становится постоянная умственная недогрузка, которая приводит к значительному снижению уровня умственного развития ребенка. Выделение уровня обязательной подготовки вносит серьезный вклад в решение проблемы повышения активности ученика.

Одной из важных побудительных сил учения является мотив достижения успеха. Психологами специально разработан метод обучения, названный «стратегией формирования успеха»1, сущность которого заключается в том, что каждый ученик работает на уровне своих возможностей, позволяющих ему справляться с предъявляемыми к нему требованиями. С этой точки зрения выделение уровня обязательной подготовки имеет важное значение, так как позволяет ограничить уровень требований к тем учащимся, которые по тем или иным причинам плохо усваивают математику.

Это дает возможность создать для таких школьников посильные трудности и выработать у них положительную мотивацию учения. Ученик начинает справляться с работой. Это вызывает у него удовлетворение от ее выполнения. Достигнутый успех рождает у ученика веру в свои силы и побуждает его стремиться дальше. Меняется психологический и эмоциональный климат учения. Снимается постоянное напряжение, страх перед учением, подавляющее чувство невыполненного долга. Создаются ситуации, когда ученик, пусть и на доступном ему уровне, получает возможность почувствовать прелесть познания, у него постепенно появляется потребность постоянного продвижения, совершенствования своих знаний. Иными словами, выделение уровня обязательной подготовки — это тот инструмент, который при правильном применении позволяет превратить учение из принудительного в добровольное, сопровождающееся чувством радости от успешного преодоления трудностей, удовлетворения от сознания того, что справляешься с работой.

Создается основа для существенной разгрузки слабых учащихся путем отказа от предъявления им требований, превышающих обязательный уровень. Этот эффект срабатывает, например, для школьников, низкая обучаемость которых связана с длительными пропусками занятий из-за болезни, быстрой утомляемостью, пониженной работоспособностью. За короткое время многим из них трудно охватить весь пропущенный материал на максимальном уровне. Если же этот ученик имеет возможность опереться на обязательные результаты обучения, то объем работы становится вполне обозримым и он может в короткие сроки догнать товарищей. Таким образом, выделение уровня обязательной подготовки вносит свой вклад и в нормализацию нагрузки школьников.

Следует иметь в виду, что ограничение требований к части учащихся, связанное с ориентацией на обязательные результаты обучения, вовсе не означает ослабления учебной дисциплины или снижения требователь-

1 Юркевич В. С. Светлая радость познания.—М., 1977.

ности. Напротив, четкость и определенность требований в сочетании с их реальностью и посильностью для учащегося становятся основой для усиления требовательности, выработки ответственного отношения к учебному труду. А это необходимое условие для воспитания у школьников чувства долга, ответственности за порученное дело.

Явное выделение обязательных результатов обучения поможет учителю держать в поле зрения опорные умения и вследствие этого организовывать более целенаправленную работу по достижению этих результатов всеми учащимися и созданию необходимого фундамента математической подготовки на каждой ступени обучения, что является важным резервом повышения качества обучения математике.

Обязательные результаты обучения позволяют упорядочить систему контроля знаний и умений учащихся, избавиться от стихийности и произвола в этом важном деле, повысить информативность и объективность контроля. Включение в проверку уровня обязательной подготовки даст учителю возможность получать реальную картину результатов обучения, делать выводы о достижениях каждого ученика, вовремя выявлять пробелы, существенные для дальнейшего усвоения курса, и принимать необходимые меры по их ликвидации.

Выделение уровня обязательной подготовки и совершенствование на этой основе системы контроля позволяют вплотную подойти к проблеме оценивания результатов обучения учащихся, разработать обоснованные критерии оценки и, в первую очередь, установить единый уровень минимальной положительной оценки: выставление положительной отметки ученику может быть оправдано только в том случае, если он достиг обязательных результатов обучения. Необходимо отметить, что именно этот подход нашел свое отражение в программе по математике, в ее разделе «Рекомендации по оценке знаний и умений учащихся». Выполнение этих рекомендаций позволяет добиться такого положения, когда оценка «три» будет действительно означать, что ученик может продолжать свое обучение.

Конечно, выделение обязательных результатов обучения еще не решает проблемы требований к сильным учащимся. Однако необходимо иметь в виду, что вопрос об уровне обязательной подготовки на данном этапе стоит значительно острее, поскольку существующая в школе система требований, как уже отмечалось, учитывает именно сильных учащихся и ориентирована именно на них. Кроме того, обязательные результаты обучения становятся основой для дифференциации требований к учащимся, причем с их введением естественным образом поднимается уровень, соответствующий повышенным оценкам (в последние годы отмечалось его снижение).

Отметим еще один аспект, связанный с выделением обязательных результатов обучения. Перед педагогической наукой поставлена задача обеспечить требования качественной общеобразовательной подготовки в школах и средних специальных учебных заведениях. Это

сложная задача —ее яе решить путем однократных, сиюминутных мероприятий. И реализацию этой задачи естественно начать именно с задания единого обязательного уровня подготовки, которого должен безусловно достигать каждый обучающийся в среднем учебном заведении.

1.2. О форме задания обязательных результатов обучения

Умения — важнейший результат обучения математике.

При определении уровня обязательной подготовки прежде всего возникает вопрос, как охарактеризовать этот уровень, какие способы описания следует принять. Очевидно, что его характеристика должна быть конкретной, соответствовать той учебной деятельности, в ходе которой происходит усвоение материала, допускать возможность контроля.

Отметим еще раз, что, говоря о результатах обучения, мы имеем в виду те конкретные предметные знания, умения и навыки, которыми овладевают учащиеся в процессе изучения математики. Изучаемый материал курса математики (понятия, их свойства и отношения между ними, методы или приемы решения отдельных классов задач) можно «знать» (воспроизводить формулировки, доказательства теорем и т. д.), а также можно уметь применять в конкретной учебной ситуации. Действительно, рассматривая с учащимися, например, решение квадратных уравнений, учитель планомерно добивается от всех учащихся твердого знания формулы корней квадратного уравнения. Однако только этим процесс обучения не ограничивается: учащегося учат еще решать уравнения, добиваясь умения найти корни в каждом конкретном случае.

Специфика методики обучения математике заключается в формировании у учащихся целого ряда математических умений. Например, учащиеся приобретают вычислительные умения, учатся выполнять тождественные преобразования выражений, строить графики функций, находить длины отрезков и величины углов, проводить доказательства.

Именно такие целевые установки обучения, когда усвоение- понятий, теоретических фактов и методов характеризуется уровнем их применения для решения различного рода практических, физических, геометрических и других задач, зафиксированы в программе по математике. Например, программными установками к изучению элементов математического анализа определена такая постановка обучения, когда основное внимание уделяется показу принципиальной возможности применения методов дифференциального и интегрального исчисления для решения важных прикладных задач. К основным целям изучения курса алгебры программа относит развитие вычислительных и формально-оперативных умений до уровня, позволяющего их уверенно использовать при решении задач математики и смежных предметов, и т. д.

Это соотносится с положениями педагогической психологии, в которой под овладением понятием, теоретическим фактом обычно понимается знание свойств этого понятия, условий применения того или иного метода и др., а также умение применить эти знания при решении конкретной задачи.

Знания учащихся, как подчеркивает Н. Ф. Талызина, должны естественным образом включаться в структуру некоторого действия: «Знания как образы предметов, явлений, действий и т. п. материального мира никогда не существуют в голове вне какой-то деятельности, вне отдельных действий»1.

Такое положение подкрепляется традиционно существующим мнением, высказанным многими математиками и методистами: овладеть курсом математики — это значит не просто выучить некоторую совокупность теоретических фактов, но научиться эти факты применять.

Исходя из вышесказанного очевидно, что умения должны быть непременно отнесены к обязательным результатам обучения математике. Причем умения отражают как те способы деятельности, которые усваивают учащиеся, так и применение знаний в подходящей для этого ситуации2. Например, если ученик умеет самостоятельно найти с помощью производной промежутки возрастания и убывания конкретной функции, заданной аналитически, это означает, что он владеет соответствующим методом, а также знает признак возрастания или убывания функции. Поэтому, ориентируясь на итоговые цели усвоения курса, необходимо прежде всего указать те умения, которыми должны владеть все учащиеся.

Однако в усвоении математических знаний можно выделить два аспекта: формально-логический, который предполагает умение сформулировать то или иное определение, теорему, правило — любой математический факт; и оперативный, который выражается в умении применить этот факт для решения конкретной учебной задачи. Как было показано выше, выделение математических умений в качестве обязательных результатов обучения учитывает оперативную сторону усвоения знаний. Что же касается первого аспекта — формально-логического, то здесь необходимо обратить внимание на следующее. Есть математические факты, формулировка которых непосредственно выражает их оперативный смысл и тем самым лежит в основе способа решения определенного класса задач. Например, такими являются краткая формулировка достаточных условий точек максимума или минимума, словесное выражение формул сокращенного умножения и многие другие. Как показывает анализ учебников математики, формулировки большого числа теоретических фактов такого рода несложны и их прямое воспроизведение не вызывает особых трудностей у

1 Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний.—М.: Изд-во Московского университета, 1975-С. 132.

2 См.: Дидактика средней школы/Под ред. М. Н. Скаткина.—М., 1982.

учащихся. Но простого их воспроизведения на этапе итоговой проверки еще недостаточно, чтобы судить об усвоении материала на уровне обязательной подготовки. Действительно, мало, чтобы ученик знал, что сумма углов треугольника равна 180 . Необходимо, чтобы он умел применить эту теорему для вычисления углов треугольника. В то же время умение выполнить действия, в основе которых лежат соответствующие факты, свидетельствует о том, что они усвоены. Например, как может ученик найти гипотенузу прямоугольного треугольника по его катетам, если он не знает теорему Пифагора? Учитывая это, специальное требование воспроизведения соответствующих знаний в итоговые обязательные результаты обучения не включалось.

В другой группе формулировок теоретических фактов в явном виде не фиксируется их оперативный смысл. Учащимся нужно трансформировать такую формулировку в соответствующий способ действий. В качестве примера можно привести определение биссектрисы треугольника: «Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне»1. Аналогичным примером служит классическое определение окружности, формулировка свойств степеней с натуральным показателем (например, «для любого числа й^Ои произвольных натуральных чисел тип, таких, что m > п, ат : ап = ат1 ~ п»2). Как правило, оперативное содержание таких утверждений понятно учащимся, и при решении конкретных задач они пользуются именно им. Например, выполняя действие 218 :210, ученики пользуются правилом деления степеней с одинаковыми основаниями, которое является оперативной переформулировкой соответствующего свойства степени («при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя»3); при решении задач, в которых речь идет о биссектрисе треугольника, применяется, например, ее свойство делить угол пополам. Такого рода формулировки часто имеют сложную логическую структуру, и их осознанное воспроизведение предполагает уже довольно высокий уровень математической культуры школьников. В то же время умение применять их при решении задач характеризует понимание учеником оперативного содержания соответствующего факта и может, на наш взгляд, считаться достаточным на обязательном уровне усвоения курса. Таким образом, говоря об обязательных результатах усвоения знаний, мы останавливаемся на оперативном уровне их усвоения. Подчеркнем, что речь идет об итоговом этапе овладения материалом, а не о текущем, для которого такой подход, конечно, является недостаточным.

1 Погорелов А. В. Геометрия. Учебное пособие для 6—10 классов средней школы.—М.: Просвещение, 1988-С. 32.

2 Алгебра. Учебник для 6 класса средней школы/Под ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1985.- С. 83.

3 Там же.

Поэтому интегральными результатами обучения математике, в которых сфокусировано как владение теоретическим материалом, так и практическими навыками, специальными способами действий, являются умения.

Именно этот взгляд на уровень обязательной подготовки принят в программе по математике, в которой содержится раздел «Требования к математической подготовке учащихся». Этот раздел (содержание которого неоднократно обсуждалось широким кругом лиц и организаций, в ходе работы корректировалось и было утверждено МП СССР как часть программы) включает в себя полный перечень умений, которыми должны в обязательном порядке овладеть все учащиеся в результате изучения каждого математического курса. Например, для курса алгебры и начал анализа этот перечень выглядит таким образом.

«В результате изучения курса все учащиеся должны овладеть следующими умениями, представляющими обязательный минимум:

— строить графики указанных в программе функций, опираясь на изученные свойства этих функций;

— проводить тождественные преобразования тригонометрических, показательных и логарифмических выражений, используя формулы, указанные в программе;

— решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения, простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства; использовать тождественные преобразования для упрощения уравнений и неравенств;

— применять аппарат математического анализа (таблицы производных и первообразных, формулы дифференцирования, указанные в программе, и правила вычисления первообразных) для нахождения производных, первообразных и простейших определенных интегралов;

— исследовать элементарные функции с помощью элементарных приемов и методов математического анализа, строить на основе такого исследования графики функций, вычислять площади криволинейных трапеций и объемы простейших тел вращения при помощи определенных интегралов»1.

Необходимо отметить, что традиционно программа по математике отражала лишь тот объем математического содержания, которым должен овладеть человек, имеющий среднее образование. Содержание образования, зафиксированное в программе, ограничивая известным образом вкусовые представления авторов учебников, в то же время задает в определенной степени минимальный объем содержания предмета, подлежащего усвоению.

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.— М.: Просвещение, 1986.— С. 11, 12. В программе по математике, вышедшей в 1988 г., раздел «Требования к математической подготовке учащихся» совпадает в основном с программой 1986 г. издания.

Иначе обстояло дело с практической подготовкой школьников. До последнего времени каких-либо последовательно доведенных до конца попыток достаточно четко очертить эту сторону обучения математике не предпринималось. Теперь сформулированные в программе требования к математической подготовке учащихся позволяют усилить практическую направленность курса, компактно и обозримо характеризуют объем умений и навыков, которыми должны овладеть учащиеся, и тем самым правильно ориентируют деятельность ученика и учителя, концентрируют внимание на главном, наиболее существенном в курсе. Такое описание позволяет легко проследить преемственность между курсами, выявить опорные для смежных дисциплин умения. Выделение обязательных умений в программе — значительный шаг в регламентации требований к математической подготовке учащихся.

Задачи как способ описания обязательных результатов обучения

Требования, заданные в виде описания умений, допускают довольно широкий спектр интерпретации. Возникает вопрос: каким должен быть уровень этих требований и как проверить, выполнено ли соответствующее программное требование? Например, тождественные преобразования выражений могут выполняться учащимися на различном уровне. Один ученик легко справляется с решением примеров типа

другой никогда не сумеет достичь этого уровня. Иными словами, необходим еще один этап в конкретизации обязательного уровня овладения программными умениями.

Очевидно, что способ их описания должен быть достаточно определенным, чтобы можно было им непосредственно пользоваться в ходе обучения, а также легко проконтролировать достижение уровня обязательной математической подготовки. Наиболее естественным для математики с этих позиций является описание обязательных результатов обучения в виде системы задач. Решение задач является основным полем применения теоретических знаний школьников и основным способом организации их деятельности1. Решение задач составляет существенную часть той работы, которую учащиеся выполняют на уроках математики, и служит одним из средств усвоения курса. Кроме того, формирование умения решать задачи всегда было и остается важнейшей целью обучения математике и является одним из основных результатов, который традиционно подвергается проверке и оцениванию.

1 См.: Колягин Ю. М. и др. Методика преподавания математики в средней школе.-М.: Просвещение, 1977 и Леонтьева М. Р., Суворова СБ. Упражнения в обучении алгебре.—М.: Просвещение, 1985.

Характерно, что даже наиболее высокий уровень проверки достижений школьников, а именно вступительные экзамены в вузы, в значительной степени строится на базе проверки умения абитуриента решать задачи. Это не случайно, так как для решения задачи предполагается владение целым спектром других важных результатов обучения математике: владение математическими понятиями и теоретическими фактами, т. е. теми знаниями и умениями, которые учащиеся усвоили в ходе изучения курса.

Действительно, например, задание на нахождение промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной (X класс) опосредованно включает и проверку знания признака возрастания и убывания функции, умение из полученного конкретного результата сделать вывод о поведении функции. Другой пример. Если ученик при решении линейных уравнений (VII класс) верно переносит члены из одной части уравнения в другую, то это в определенной степени является показателем усвоения свойств уравнений. Кроме того, в решении задач проявляется и целый ряд интеллектуальных умений: умение анализировать ситуацию и применять соответствующий способ деятельности, применять тот или иной прием, рассуждать, делать выводы, планировать свою деятельность и др. Только в ходе решения задач ученик приобретает умения такого рода1. Поэтому проверка умения решать задачи включает в себя проверку перечисленных результатов.

Одно и то же требование, сформулированное на языке умений, может быть конкретизировано задачами различного содержания и уровня сложности. Поэтому именно с помощью конкретных задач можно осуществить дифференциацию уровней усвоения материала и выделить обязательные для всех учащихся результаты обучения. При этом существенным достоинством задания обязательного уровня математической подготовки в виде системы типичных задач, которые должен научиться решать каждый ученик, является ее конкретность и возможность однозначного понимания всеми, кто связан с организацией учебного процесса. Можно без труда составить задачу, по сложности соответствующую типичной. Например, всем понятно, что уравнение х2 — 4х + 3 = 0 аналогично уравнению X2 — 6х + 5 = 0, а уравнение 0,25л;2 — 3,75х + 4 = 0 существенно превосходит два первых по сложности вычислений. В качестве другого примера рассмотрим три геометрические задачи: 1. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на 3 см больше другой, а периметр равен 24 см. 2. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 2 раза больше другой, а периметр равен 24 см. 3. Найдите стороны параллелограмма, если биссектриса тупого угла делит противоположную сторону на две равные части, а периметр параллелограмма равен 24 см. Не вызывает сомнений, что эти три задачи по теме «Параллелограмм и его свойства» требуют

1 См.: Дидактика в средней школе/Под ред. М. Н. Скаткина.-М., 1982.

для своего решения знаний свойств параллелограмма. Но очевидным также является, что первые две из них в целом одинакового уровня сложности, а третья существенно его превосходит и по требуемому уровню умения проводить дедуктивные рассуждения, и по числу применяемых фактов.

Поэтому разработка системы задач, характеризующих уровень обязательной подготовки учащихся, позволит решить такую насущную педагогическую проблему, как обеспечение единообразия в трактовке обязательных требований, а также в проверке и оценке степени достижения учащимися этого уровня.

Собственно систему задач, с помощью которой задается обязательный уровень овладения программными умениями, мы и называем обязательными результатами обучения.

Возникает вопрос: можно ли ограниченным списком задач полностью охарактеризовать обязательный уровень выполнения программных требований? Ответ следует дать положительный. Во-первых, даже достаточно полная система задач, обеспечивающая достижение различных целей обучения, является ограниченной (например, система задач учебника). Во-вторых, каждый учитель ежедневно самостоятельно решает эту проблему: выделяет те задачи, которым надо научить всех учащихся. Речь идет о том, чтобы выделить эти задачи обоснованно и унифицировать список обязательных результатов обучения.

Подчеркнем еще раз, что описание обязательных результатов обучения с помощью системы задач должно пониматься определенным образом: считается, что ученик в итоге изучения курса достиг обязательного уровня подготовки, если он умеет решать задачи указанного типа, применяя те или иные теоретические положения. Например, умение исследовать функцию с помощью производной, в частности находить экстремумы функции (X класс), проверяется задачами типа «Найдите экстремумы функции у = 2х3 — 6х». При этом выявляется понимание определенного теоретического факта (в данном случае — условий точек экстремума), владение его содержанием, а также умение применять для решения конкретной задачи.

Иными словами, описание обязательных реультатов обучения в виде системы задач позволяет очертить и тот круг знаний, который активно применяется при их решении. Тем самым задается, с одной стороны, обязательный уровень программных умений и навыков, с другой стороны, эта система задач фиксирует ту теоретическую базу, которая должна быть обязательно сформирована у каждого ученика.

Итоговые результаты обучения

Отметим здесь еще раз важную особенность «Требований к математической подготовке учащихся» и системы задач, конкретизирующих эти

требования. Они характеризуют содержание обязательной итоговой подготовки школьников. Иными словами, они ориентируют учителя, работников органов народного просвещения на обязательные результаты обучения, которых должны достигать учащиеся в итоге изучения некоторого курса.

В настоящее время текущие требования к усвоению материала учитель может найти в самых различных методических пособиях: в дидактических материалах учителю предлагаются тексты самостоятельных и контрольных работ, которые в определенной степени характеризуют требования к усвоению материала конкретной темы; в методических пособиях для учителя по отношению к каждому пункту учебника дается перечень знаний и умений, подлежащих формированию при изучении материала пункта, и т. д. Однако известно, что итоговые требования не являются простой суммой текущих. Их взаимодействие и взаимоотношение гораздо более сложно. Итоговый результат может отличаться от текущего и степенью обобщенности, и уровнем сложности выполняемых действий. Некоторые важные на этапе изучения материала умения могут не войти составной частью в итоговые результаты ввиду их вспомогательного или промежуточного характера. Например, в начале изучения курса геометрии учащиеся должны усвоить точные формулировки аксиом. Это является текущим требованием по соответствующей теме. Однако неправильно было бы требовать воспроизведения этих аксиом в конце восьмого класса. При изучении квадратных уравнений в курсе алгебры учащихся знакомят с решением квадратных уравнений методом выделения квадрата двучлена. Это умение важно для подготовки учащихся к восприятию вывода формулы корней квадратного уравнения, однако оно не должно входить в итоговые требования, так как является в определенном смысле вспомогательным.

Зачастую имеет место такое положение, что в подробном, перегруженном деталями описании текущих, ежедневных требований важные итоговые результаты теряются и оказываются незамеченными учителем. Некоторые вспомогательные результаты могут быть восприняты наравне с основными, что в итоге приводит к нерациональной трате времени, к перегрузке учащихся, которая может при этом происходить на фоне недостижения основных целей обучения. Поэтому выделение итоговых умений по каждой ступени дает учителю длительную перспективу и помогает правильно направлять учебный процесс, правильно ориентироваться в системе текущих требований.

Кроме того, описание опорной подготовки школьников особенно важно на этапе перехода от одного математического курса к другому (от математики к алгебре и геометрии, от планиметрии к стереометрии и др.).

Выделение содержания итоговой подготовки важно и с других точек зрения. Ориентация на итоговые результаты обучения позволяет реализовать в учебном процессе разные методические системы. Именно такая

ориентация дает возможность по-разному строить изложение, варьировать методику организации усвоения содержания курса, находить разные методические решения. Задание в программе системы умений, которыми должны владеть учащиеся на выходе из какой-либо ступени обучения, оставляет полную свободу учителю в выборе средств и методов достижения этого результата.

1.3. Об отборе задач, представляющих обязательные результаты обучения

Как уже было отмечено, обязательные результаты обучения по каждому предмету математического цикла задаются в виде конктретных учебных задач, которые должен уметь решать каждый учащийся на выходе из ступени обучения. Выбор этих задач отвечает двум важнейшим критериям: умение решать их должно обеспечивать выполнение программных требований, а также и возможность дальнейшего изучения курса математики, применения полученных умений в смежных предметах.

К этому необходимо добавить, что, конечно, содержание задач обязательного уровня должно строго соответствовать разделу программы «Содержание обучения». Среди задач, включенных в обязательные результаты обучения, нет таких, содержание которых выходит за рамки этого раздела. Заметим, что это позволяет четко ограничить круг задач, включаемых в обязательные результаты обучения. Приведем пример. В учебниках алгебры и начал анализа основой для введения центрального понятия курса — понятия производной — служит понятие предела функции, в связи с чем рассматриваются разнообразные задачи на доказательство существования или отсутствия у функции предела в некоторой точке #о> на нахождение пределов функций. Этот материал не входит в раздел программы «Содержание обучения». И хотя он включен в учебники, соответствующие задачи к обязательным результатам обучения не относятся.

Заметим, что указанные выше два критерия для отбора задач обязательного уровня неравнозначны по отношению к разным ступеням обучения. Если для V—IX классов они одинаково важны, то для старшего звена школы при определении итогового уровня обязательной подготовки второй менее значим. В качестве основного выступает критерий минимального выполнения программных требований, но также учитывается необходимость создать основу для применения полученных умений в смежных предметах, в практике.

При отборе обязательных результатов обучения мы учитывали то обстоятельство, что соответствующий список задач должен быть относительно кратким: иначе теряется смысл его выделения, так как в противном случае не будет того организующего влияния на процесс обучения, кото-

рое он призван оказывать. В то же время этот список задач должен быть достаточно полным с точки зрения обеспечения математической подготовки учащихся. Поэтому обязательные результаты обучения представляют собой систему важнейших опорных задач. Это следует понимать таким образом. Во-первых, как уже было указано, умение решать соответствующие задачи создает у ученика некоторую базу знаний, на которую можно опереться при его дальнейшем обучении, которая позволяет ему воспринимать, понимать и усваивать последующий материал. Во-вторых, эти задачи включают в себя достаточное число стандартных ситуаций, требующих применения наиболее распространенных приемов и методов решения. Поэтому если ученик действительно владеет умением решать все эти задачи, то на самом деле он может решить и большое число других.

Например, если ученик умеет решать уравнение типа

и квадратные уравнения общего вида, то вполне вероятно, что он сможет решить и такое уравнение:

(первые два входят в список обязательных результатов обучения, а последнее как производное в данный список не включается). Кроме того, умение решать все обязательные задачи создает базу для углубления и развития математической подготовки ученика.

Понятно, что выбор опорных задач является в определенной мере условным. А именно не столько важно, какие именно задачи взяты в качестве представителей, сколько то, чтобы в своей совокупности они обеспечивали выполнение всех требований и создавали некоторый фундамент, поддерживающий здание знаний и умений школьника, а также были доступны основной массе учащихся. Однако, несмотря на условность выбора задач, полного произвола тут нет. Отбор тех или иных представителей диктует логика курса, его содержание. Большую роль в этом играют существующий опыт, традиции. Условность содержания задач выражается еще и в том, что, конечно, они могут содержать другие числовые данные, включать в свои решения иную последовательность действий. При этом каждое конкретное умение характеризуется не какой-либо одной задачей, а некоторой совокупностью, состоящей из нескольких задач. Но понятно, что предусмотреть в этой совокупности все возможные ситуации трудно. Поэтому следует гибко подходить к конкретным задачам. Например, для проверки умения находить производные с равным успехом можно взять как функцию

Или вместо следующей задачи на нахождение объема конуса «Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45 , радиус основания равен 13 см. Найдите объем конуса» (эта задача включена в «Обязательные результаты обучения») можно в качестве типовой использовать такую: «Образующая

конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 . Найдите объем конуса» (эта задача дана в «Обязательных результатах обучения» для нахождения площади боковой поверхности).

Но все же совокупность задач, отвечающих тому или иному умению, довольно ясно характеризует требуемый уровень сложности, которого и следует придерживаться, когда речь идет, например, о контроле за достижением учащимися обязательных результатов обучения.

Еще одна особенность системы обязательных результатов обучения может быть обозначена как преемственность.

Умение решать эти задачи обеспечивает возможность дальнейшего изучения курса математики, и в первую очередь овладения уровнем обязательной подготовки, предусмотренным на последующих ступенях обучения. Из этого вытекает два следствия. Первое состоит в том, что часть учащихся, не проявляющих по тем или иным причинам большой склонности к математике, может усваивать курс от начала до конца на уровне обязательной подготовки. Второе означает, что по каждому из математических циклов (алгебраический, аналитический, геометрический и др.) задачи от одной ступени обучения к другой находятся в определенном соподчинении. Например, если на уроках по планиметрии ученик не научился решать задачи типа «Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна 5 см, а другой катет равен 3 см», то при изучении стереометрии ему будут труднодоступными задачи типа «Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 7 см, а боковое ребро равно 10 см».

Выше были указаны те общие положения, которых мы придерживались при планировании обязательных результатов обучения по различным математическим дисциплинам. В то же время для каждой из этих дисциплин оно имеет свои особенности, которые отражают специфику этих курсов, их место в общей системе математического образования, цели и задачи, стоящие при обучении им. При этом невозможно установить некоторые формальные требования к уровню сложности задачи обязательного уровня вообще. Их содержание и сложность существенно зависят не только от курса, но и от каждой конкретной темы, относительно которой проводится анализ программных умений, от ее места в курсе, от основных целей ее изучения. Для одной темы обязательным результатом обучения может служить задача на прямое, непосредственное применение того или иного правила, факта. Для другой такой уровень может оказаться недостаточным, так как ее дальнейшее применение требует более развитой техники выполнения ряда элементарных умений в некоторой комбинации. Поэтому определить систему обязательных задач можно только исходя из тщательного анализа содержания каждого курса, его связей с другими математическими курсами и смежными предметами, большого задачного материала. Реализация такого анализа неодинакова для различных математических предметов. Так, например, основное, что дает курс алгебры для других

математических дисциплин, а также смежных предметов,— это формально-оперативные умения. Что же касается курса геометрии, то здесь на один из первых планов выдвигается задача логической подготовки учащихся, формирования у них умения логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. И необходимый для других предметов уровень такой подготовки, несомненно, является объектом анализа при определении обязательных результатов обучения по этому курсу.

Определению обязательных результатов обучения по каждому предмету и посвящена следующая глава, где дана мотивировка их отбора, учитывающая специфику каждого из курсов математики, его положение в системе школьных математических дисциплин.

Глава 2.

РАЗРАБОТКА ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ПРЕДМЕТАМ

2.1. Математика, V—VI классы

Особенности планирования обязательных результатов обучения по курсу математики для V—VI классов

В качестве основных целей курса математики для V—VI классов в программе по математике указываются: систематическое развитие понятия числа и выработка умений выполнять устно и письменно арифметические операции над числами, формирование умений переводить практические задачи на язык математики, подготовка учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. Вопросы, изучаемые в курсе, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение математике и смежным предметам (физике, химии, географии, черчению), а также трудовому обучению. Специфика курса, заключающаяся в ярко выраженной прикладной и практической направленности, требует четкого и последовательного выделения не только умений, которые нужны для дальнейшего обучения, но и важнейших практических умений, которые понадобятся учащимся в жизни.

Первоочередное внимание, как и прежде на данной ступени обучения, уделяется вычислительной подготовке. Однако в отличие от прежних лет в программу наряду с требованием уметь производить письменные арифметические действия включено требование уметь «производить в уме арифметические действия в пределах сложности примеров на сложение и вычитание двузначных чисел, умножение и деление нацело двузначного числа на однозначное»1. Действительно, хотя в области вычислительной деятельности возрастающее значение приобретает вычислительная техника, обучение вычислениям остается необходимым этапом интеллектуального развития, основой математической культуры. Вряд ли можно представить себе ученика, не имеющего прочных вычислительных навыков, но успешно овладевающего общеобразовательной подготовкой. Так,

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.-С. 8.

именно к вычислениям в уме обращаются при выполнении алгебраических преобразований, при решении уравнений и их систем, в расчетах по формулам и в прочих ситуациях, так или иначе связанных с вычислениями. Учащиеся, хорошо владеющие вычислительными навыками, не отвлекаются на их письменное воспроизведение, что способствует сосредоточению внимания на овладении изучаемыми вопросами. Задания, в которых вычисления могут быть выполнены устно, привлекаются для иллюстрации математических утверждений и важны для организации закрепления и повторения изучаемого. То есть вычисления в уме необходимо присутствуют в работе, направленной на овладение программным материалом. Поэтому формирование достаточно устойчивых вычислительных навыков должно находиться в центре внимания учителя. При планировании обязательных результатов обучения, касающихся умений выполнять арифметические действия над целыми и дробными, положительными и отрицательными числами, следует иметь в виду уровень сложности вычислений, выполняемых в уме, а также письменных вычислений, которые ученики должны научиться выполнять на данной ступени обучения.

Серьезное значение в курсе математики V—VI классов придается решению текстовых задач. Здесь они активно используются и как цель, и как средство обучения, математического развития учеников. Использование текстовых задач обеспечивает лучшее усвоение включенных в программу теоретических вопросов, формирование умений применять теоретические знания на практике. Еще в начальной школе сюжетные задачи, отражающие конкретные, понятные учащимся жизненные ситуации, использовались в качестве опоры при введении новых понятий. В V—VI классах текстовые задачи помогают усвоению смысла таких понятий, как дроби, проценты, пропорции и пр. Важна роль текстовых задач при формировании у учащихся представлений о величинах и их измерении. С помощью задач вырабатываются умения выразить одни единицы измерения через другие в соответствии с условием задачи. Решение текстовых задач играет значительную роль в подготовке учащихся к изучению функций. Здесь усваиваются практически важные зависимости между такими величинами, как цена, количество и стоимость товаров, скорость, время и пройденный путь и др. При решении задач развивается мышление учащихся, пробуждается их интерес к предмету, воспитывается терпение, настойчивость, самостоятельность. И наконец, через задачи учащиеся видят в окружающей действительности факты и закономерности, которые могут быть описаны математически; они учатся реальную жизненную ситуацию переводить в символическую математическую форму. Это помогает созданию представлений о существе прикладной арифметики, что составит начальный этап в формировании у учащихся подходов к построению математической модели, позволит применить известные алгоритмы, интерпретировать результаты.

Сказанное подтверждает значимость выполнения программного требования, включенного в обязательный минимум и состоящего в том, что уча-

щиеся должны овладеть умениями «решать текстовые задачи с помощью арифметических приемов (включая основные задачи на дроби и на проценты) и уравнений»1. Однако при планировании обязательных результатов обучения надо, несмотря на многоаспектность назначения текстовых задач, ограничиться представителями основных их типов, встречающихся на данной ступени обучения и достаточно полно характеризующих умение «составлять числовые и буквенные выражения, пропорции и линейные уравнения по условиям текстовых задач»2.

Изучение элементов алгебры, предусмотренных программой, способствует созданию у учащихся пропедевтических представлений о назначении буквенной символики для развития математики и ее применений, а также служит формированию элементарных алгебраических навыков, которые в дальнейшем станут опорой наряду с вычислительными навыками при отработке формально-оперативного алгебраического аппарата, при построении и чтении графиков, при решении текстовых задач. Поэтому при планировании обязательных результатов обучения следует с учетом оперативной направленности подготовки к изучению систематического курса алгебры выделить такие задачи, решать которые должен каждый, чтобы обеспечить опорные для дальнейшего обучения умения.

Основной задачей изучения элементов геометрии является подготовка учащихся к успешному изучению систематического курса геометрии, к активному применению элементарных геометрических навыков при изучении других учебных предметов, в трудовом обучении, в жизненной практике. К V классу у учащихся накапливается запас фактов и представлений, связанных с рассмотрением в начальной школе таких геометрических фигур, как точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник. Приобретенные знания станут опорой для дальнейшего обучения, если на данной ступени обучения они будут обобщены, дополнены и при этом учащиеся приобретут определенные геометрические умения.

Характеристика обязательных результатов обучения по курсу математики V—VI классов

Арифметика

Вычисления. Несмотря на то, что в предшествующих классах уделялось серьезное внимание умениям производить вычисления с натуральными числами и нулем, в курсе V—VI классов они по-прежнему остаются в центре внимания, так как алгоритмы арифметических действий над натуральными числами имеют не только самостоятельное значение, но и являются базой для формирования умений производить вычисления с дробями. Заметим, что в соответствии с программным требованием учащиеся

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986-С. 9.

2 Там же.

должны уметь «уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел, в записи которых имеется несколько десятичных разрядов (включая сложные случаи переноса из разряда в разряд и использование нулей в записи числа)»1. Это требует от каждого ученика овладения умением вычислять значения выражений типа 235 + 5967, 2053-164, 7560-302, 5110:146.

Безошибочное выполнение каждого арифметического действия с многозначными числами зависит от осознанного владения алгоритмом и от умений выполнять соответствующую алгоритму группу элементарных вычислительных операций. Так, например, учащиеся смогут правильно умножить одно многозначное число на другое, например 378 на 245, если они знают алгоритм умножения многозначных чисел и умеют шаг за шагом его выполнить, применяя навыки умножения многозначного числа на однозначное, записи промежуточных результатов в соответствии с алгоритмом сложения однозначных чисел. Это свидетельствует о том, что качество вычислительной работы непосредственно зависит от уровня владения вычислительными навыками.

Очевидно, что для выполнения письменных вычислений учащиеся должны иметь навыки сложения двузначного числа с однозначным, вычитания из числа меньшего двадцати однозначного числа, подбора цифр частного при делении и пр. Отработка выделенных вычислительных навыков — задача начальной школы, но их поддержание, а в отдельных случаях их восстановление должны найти место на данной ступени обучения при решении разнообразных упражнений. Обычно отработку устных вычислительных навыков связывают с выполнением разнохарактерных заданий. Действительно, такая форма работы чрезвычайно полезна, так как позволяет рассмотреть все этапы, при которых данное вычислительное умение доводится до автоматизма, т. е. до навыка. При этом происходит, с одной стороны, его отработка в чистом виде в вычислительных заданиях, с другой — в заданиях, требующих сочетания с ранее сформированными математическими навыками. Однако в задачах, входящих в обязательные результаты обучения, достаточно предусмотреть только задачи на устные вычисления, представленные в явном виде. При этом необходимо учитывать случаи, в которых на практике учащиеся испытывают затруднения. В частности, когда при суммировании разрядных слагаемых в соответствующем разряде суммы оказывается нуль, когда при сложении необходимо выполнить переход через десяток, когда при вычитании потребуется «дробление» десятка, когда при умножении в ходе поразрядного выполнения алгоритма применяется навык сложения двузначного и однозначного чисел и пр. (например, вычислите устно: 18 + 8, 17 + 68, 63 — 25, 36-6).

При формировании умений вычислять квадрат и куб натурального числа важно отработать навык возведения в квадрат, в куб однозначных

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.— М.: Просвещение, 1986.-С. 8.

чисел. Активное использование этого навыка в курсе алгебры повысит эффективность применения рассматриваемых в курсе формул, а также станет основой для действия обратного к возведению в степень — для извлечения корня. Это возможно, так как вычисления, выполняемые при возведении в квадрат, в куб однозначного числа, не превышают по сложности умножения двузначного числа на однозначное, выполняемого согласно требованиям устно.

Для выполнения арифметических действий над десятичными дробями необходимо знать и уметь применять алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей. Основная трудность в вычислениях с десятичными дробями состоит в определении места запятой в ходе выполнения алгоритма действия. Согласно используемым алгоритмам при сложении и вычитании десятичных дробей надо предварительно уравнять число знаков после запятой, в алгоритме умножения десятичных дробей не обращать внимание на запятые до непосредственного определения места запятой в результате действия, деление на десятичную дробь свести к делению на натуральное число. Поэтому в задачах, характеризующих обязательные результаты обучения, надо учитывать особенности действий с десятичными дробями и в список таких задач включать задачи на сложение и вычитание десятичных дробей, имеющих разное число разрядов после запятой (например: 6,54 + 14,3; 68,17 — 6,245), на умножение десятичных дробей в случае с отбрасыванием либо с приписыванием нулей в ответе (например: 0,15 • 0,124), на деление десятичных дробей (например: 73,71:3,5). Аналогичные замечания об учете особенностей применения алгоритмов арифметических действий при планировании обязательных результатов обучения можно отметить относительно арифметических действий над обыкновенными дробями (см. планирование тематических обязательных результатов обучения).

При изучении действий с положительными и отрицательными числами особого внимания заслуживают вычисления с целыми числами. Надо заметить, что, во-первых, на примерах действий с целыми числами отрабатываются алгоритмы вычислений с положительными и отрицательными числами, а, во-вторых, именно действия с целыми числами в дальнейшем находят широкое применение (например, в курсе алгебры при выполнении действий над степенями с целым показателем). Поэтому каждый учащийся должен свободно справляться с вычислениями типа —18 + 42, 27 — 51, -35-4, -42:(-6).

Согласно программным требованиям в результате обучения учащиеся овладевают умениями «вычислять значения числовых выражений, включающих в себя целые числа, обыкновенные и десятичные дроби»1. При этом следует выделить числовые выражения, значения которых приходится часто вычислять. Например, при отыскании значений линейной

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.— М.: Просвещение, 1986.—С. 8.

функции выполняются вычисления вида 0,5 • (—3) + 2,3, при приведении подобных членов в многочлене — вида —2 + 2—11 + 8 — 5, при вычислении числового значения дробнорационального выражения — вида

При отборе заданий, обязательных для выполнения каждым учащимся, необходимо исходить из требований, предъявляемых дальнейшей вычислительной практикой. Анализ формул, встречающихся при изучении математики, физики и других учебных предметов, в трудовом обучении, показывает, что чаще других вычисляются значения выражений, содержащих 2—3 действия, причем с числами, имеющими до трех значащих цифр. Заметим, что непосредственному вычислению значения рационального числового выражения предшествует установление порядка действий. А двух-трех действий достаточно для проверки умений применять правила определения порядка действий в выражениях со скобками и без них. Отбор заданий производится также с учетом требований к проверке умений применять письменные алгоритмы арифметических действий над целыми и дробными числами. Поэтому, например, числовые выражения подбираются таким образом, чтобы учащиеся могли продемонстрировать свои умения при вычислении суммы и разности натуральных чисел, имеющих разное число разрядов, при умножении натурального числа на число, в записи которого содержатся нули, и в других сложных случаях действий с натуральными числами. Таким образом, в качестве заданий, которые включаются в список обязательных результатов обучения, отбираются такие числовые выражения, в которых отражаются следующие ситуации: 1) выполнение действий в той последовательности, как они записаны в выражениях типа 48 • 135 :30 — 25; 6,72 :2,4 • 0,15 + 0,38; 2) порядок действий не совпадает с последовательностью, в которой они записаны в выражении, и определяется в зависимости от старшинства операций, как в примерах типа , или от скобок, как в примерах типа (69,2 — 65,7) • (0,84 + 0,7), или в зависимости от старшинства операций и от скобок, как в примерах типа 5 • (89,1 — 83,7 :2,7).

При изучении курса учащиеся знакомятся с выражениями, получающимися при употреблении дробной черты как знака действия деления. Из заданий на вычисление значений дробных выражений целесообразно рассматривать такие, сложность которых определяется уровнем, необходимым для дальнейшего изучения математики и других учебных предметов. Так, например, при решении задач с помощью пропорций на уроках математики и химии, с использованием теоремы синусов в геометрии и физике, в вычислениях по формулам в алгебре, физике и других учебных предметах отыскиваются числовые значения выражений вида ——. Поэтому каждый учащийся, оканчивающий курс математики V—VI классов, не дол-

жен испытывать трудности при вычислениии значения выражения типа

Анализ практических потребностей в устном выполнении вычислительных операций при обучении в средней школе позволяет выделить наиболее часто встречающиеся вычислительные навыки, устное выполнение которых в значительной мере будет способствовать применению математических знаний. Поэтому перечень устных вычислительных навыков, выделенных для действий с целыми и дробными числами, должен быть дополнен. В него включаются навыки умножения и деления целых чисел и десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. п., умножения и деления дроби на однозначное целое число (в простейших случаях для обыкновенной дроби и для десятичной дроби, имеющей одну-две значащие цифры), например, при вычислении следующих выражений: 2,8 • 10; (--М-в; 1,4 • 4, при возведении в квадрат, в куб однозначных целых чисел, а также десятичных дробей, имеющих одну значащую цифру, и пр.

Текстовые задачи. Реформа школьного математического образования (70-е гг.) внесла существенные коррективы в обучение решению текстовых задач. Более раннее изучение алгебраических уравнений позволило наряду с арифметическим способом решать задачи способом составления уравнений. Это, с одной стороны, облегчило решение задач, ранее решаемых нетривиальными методами (методом приведения к единице, методом предположения), с другой стороны, потребовало формирования у учащихся более четких самостоятельных умений выявить неизвестные и известные величины, установить и выразить связи между ними.

Основу уже знакомого учащимся арифметического способа решения текстовых задач составляет выполнение определенной цепочки арифметических действий с известными величинами, ведущей к отысканию неизвестной величины, либо представление неизвестной величины через известные с помощью числового выражения и вычисление его значения. Из начальной школы учащиеся знают, как решаются простые текстовые арифметические задачи, связанные с пониманием смысла арифметических действий и отношений («больше на (в)», «меньше на (в)»), а также составные задачи, сводящиеся к решению нескольких простых задач. Расширение понятия числа заметно увеличивает круг вопросов и задач, допускающих решение средствами арифметики. Поэтому сформированные в начальной школе умения решать текстовые арифметические задачи получат в курсе V—VI классов закрепление и развитие на новом числовом материале. Здесь определенное внимание должно быть уделено решению рассматриваемых в курсе новых видов задач на дроби, проценты, пропорции.

Задачи на дроби: нахождение у, у, у и пр. части величины или всей величины по известной такой части — рассматривались в начальной школе.

Они связаны с пониманием смысла дроби. При обучении в V—VI классах соответствующие умения развиваются. В итоге обучения каждый учащийся сможет решать основные задачи на дроби, в которых потребуется: а) определить, какую дробь одного числа составляет другое; б) найти дробь от числа; в) найти число, если известна его дробь (например:

«Засеяли 24 га, что составило у участка земли. Какова площадь всего участка?»).

Проценты применяются в самых разных областях человеческой практики. Чтобы сформировать необходимые практические навыки, связанные с вычислением процентов, у учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент», на котором основывается решение трех простейших задач на проценты: а) задач, в которых надо найти несколько процентов от данного числа; 6) задач на нахождение числа, если известна его часть, составляющая данное число процентов; в) задач, в которых требуется выразить процентное отношение (например: «В цехе работают 60 рабочих, из них 36 комсомольцев. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют комсомольцы?»). Включение двухшаговых задач вида «Один метр ткани стоил 15 руб. Цену ткани снизили на 20%. Какова новая цена ткани?» позволит учащимся проявить понимание часто встречающихся выражений «понизили на 10%», «перевыполнили на 10%» и т. п.

Успех решения текстовых задач с помощью уравнения во многом определяется умением составить буквенное выражение по условию задачи. Надо заметить, что подготовкой к формированию такого умения служит составление числовых выражений. Поэтому в работе над текстовой задачей существенное внимание (с целью логической пропедевтики) уделяется решению задач по действиям. Необходимо также следить и за отработкой умения составить числовое выражение по условию задачи. Здесь рассматриваются задачи, в ходе которых раскрываются различные отношения между числами («равно», «меньше на (в)», «больше на (в)»). При этом составляются числовые выражения по структуре, схожие с выражениями, получающимися при рассмотрении задач, решаемых составлением уравнения в курсах алгебры и геометрии. К подобным задачам относятся, в частности, такие, в которых по известной величине (в формулировке задачи, решаемой алгебраическим способом, она неизвестна и для нее вводится обозначение) и известным отношениям этой величины с другими надо найти сумму величин (в формулировке задачи, решаемой алгебраическим способом, сумма величин известна, что используется для составления уравнения). Например, при решении распространенных в обучении задач вида «В первый день на базу привезли 6,5 т лимонов, во второй день — в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — на 2 т лимонов меньше, чем в первый. Сколько лимонов доставили на базу за три дня?» получится числовое выражение вида 6,5 + 2 • 6,5 + (6,5 — 2), а в ответе — 24 т лимонов. При решении же задачи «За три дня на базу доставили 24 т лимонов. Сколько

лимонов доставили в первый день, если известно, что во второй день доставили в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — на 2 т лимонов меньше, чем в первый?» составлением уравнения получится уравнение вида X + 2х + (х — 2) = 24, левая часть которого составлена аналогично рассмотренному числовому выражению.

Когда достаточно хорошо отработан алгоритм решения линейного уравнения, то метод составления уравнения становится одним из основных методов решения текстовых задач. Каждый учащийся в результате обучения должен уметь выделить неизвестную величину, составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, исходя из условия задачи, и решить уравнение относительно неизвестной величины. Такие умения учащиеся смогут проявить при решении текстовых задач, требующих составления уравнений вида х + ах = Ь, х + х + а = Ь, столь распространенных уже в начале курсов алгебры и геометрии. Например, решение следующей задачи обязательного уровня из курса геометрии «Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Чему равны эти углы?» аналогично решению задачи, рассматриваемой в арифметике: «В двух корзинах 120 кг яблок, причем в одной из них в 2 раза больше, чем в другой. Сколько яблок в каждой корзине?».

Изучение сведений о пропорциях включает рассмотрение понятия пропорции, понятий прямой и обратной пропорциональности величин. Эти знания понадобятся в дальнейшем при рассмотрении пропорциональных величин в курсах алгебры и геометрии (функции прямой и обратной пропорциональности, подобие, масштаб и пр.), при решении задач с помощью пропорций. Пропорцию можно рассматривать как новый вид уравнения с одним неизвестным. Задачи, приводящие к уравнению, имеющему вид пропорции, встречаются довольно часто. Заметим, что в быту и в дальнейшем обучении математике, физике, химии учащимся придется решать с помощью пропорций задачи на проценты. Поэтому имеет смысл уделить достаточное внимание приему составления и решения пропорции. При решении задач составлением пропорции от учащихся требуются умения выделить однородные величины, составить их отношения с учетом вида пропорциональности величин, записать равенство отношений — пропорцию, решить ее. Эти умения учащиеся смогут проявить при решении задач, содержащих прямо пропорциональные величины (например: «8 календарей стоят 18 р. Сколько стоят 12 таких календарей?»), а также при решении задач, содержащих обратно пропорциональные величины (например: «4 тракториста могут вспахать совхозные поля за 45 ч. За какое время вспашут эти поля 6 трактористов?»).

Элементы алгебры

Буквенные выражения, формулы. С использованием буквенных выражений и с правилами вычисления значений буквенных выражений учащиеся знакомы из курса начальной школы. На данной же ступени обучения соответствующие умения отрабатываются и дополняются умениями составлять

буквенные выражения, выполнять их простейшие преобразования. Заметим, что знакомство с буквенными выражениями и формулами представляет интерес не только по отношению к изучению курса алгебры, но и с точки зрения геометрии. В виде формул записываются правила нахождения таких величин, как площадь, объем и пр. При выделении обязательного результата обучения надо иметь в виду, что в вычислениях по формулам необходимо уметь прочитать (записать под диктовку) данное буквенное выражение, вместо входящих в него букв подставить соответствующие числовые значения и выполнить вычисления. Эти умения учащиеся смогут проявить в работе с известными формулами, например, при выполнении задания: «Используя формулу для нахождения пройденного пути по скорости и времени движения s = v -t, найдите s при V = 6 км/ч, t = 20 мин», а также в вычислениях по формулам, указанным в программе.

В курсе математики упражнениям на вычисление числовых значений буквенных выражений придается серьезное значение. Их выполнение предупреждает формальное использование букв; кроме того, определение числового значения буквенного выражения для нескольких числовых значений букв способствует функциональной пропедевтике. К концу изучения курса обязательным для всех является умение вычислять числовое значение буквенных выражений следующего уровня сложности: 0,8а — 7 при а = -5, а = 0, а — 6,5.

В связи с рассмотрением отрицательных чисел в курсе вводятся понятия противоположного числа и модуля числа. Владение этими понятиями проявляется в работе с положительными и отрицательными числами при сравнении чисел, арифметических действиях над ними и пр. Важным для дальнейшего обучения является умение вычислять значения выражений вида \а\ при а = 0, а = -8, а = 2,5; — Ъ при & = 0, Ь = —9, Ъ = 0,7.

Несмотря на то что в обучении встречаются буквенные выражения с одной или несколькими буквами (в частности, в вычислениях по формулам, при записи свойств арифметических действий), в задачах, направленных на отработку навыков преобразования буквенных выражений, как правило, рассматриваются выражения лишь с одной буквой. Это способствует доступности в формировании умений, так как позволяет сосредоточить внимание учащихся на отработке навыков действия с коэффициентами в соответствии с алгоритмами изучаемых преобразований. Сформированных умений будет достаточно для выполнения необходимых преобразований в ходе решения уравнений при разборе рассматриваемых в курсе текстовых задач, если в списке обязательных результатов обучения предусмотреть следующие задачи: «Приведите подобные члены в выражении — 5а + 7 + 4- За — 2; раскройте скобки в выражении 3(2х — 3) + 10#, упростите выражение lb — (2b — 1)». В задачах на преобразование буквенных выражений используются новые термины, в частности термин «упростите». Важно добиваться от учащихся, чтобы они хорошо понимали, что смысл этого термина заключается в требовании заменить данное выражение другим, более простым выражением, что такая замена одного выражения другим

возможна в результате выполнения преобразований, основанных на свойствах арифметических действий. Следует заметить, что, хотя соответствующие умения отрабатываются в упражнениях на преобразование выражений, имеющих целые и дробные коэффициенты, в проверке результатов обучения достаточно предусмотреть проверку умений преобразовывать выражения лишь с целыми коэффициентами, что также ограничивает сложность задач, которые обязательно должны уметь выполнять все учащиеся.

Содержание задач на составление буквенных выражений определяется уровнем сложности текстовых задач, решаемых с помощью уравнений, где прежде всего понадобится умение выразить различные отношения между неизвестной и известными величинами, рассматриваемыми в задаче. Простой пример. Для решения задачи обязательного уровня сложности «В двух коробках 32 карандаша, причем в одной из них в 3 раза больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке?» с помощью составления уравнения надо уметь записать буквенное выражение х + 3#, подобное выражению, составленному по условию задачи: «В одной коробке а карандашей, а в другой в 3 раза больше. Сколько карандашей в двух коробках?». Причем при составлении буквенного выражения учащиеся демонстрируют умение с помощью чисел и букв выражать сумму двух величин, находящихся в отношении «больше в 3 раза», а ведь для дальнейшего обучения алгебре и геометрии важно правильное употребление таких оборотов речи, как «во столько-то раз больше», «на столько-то больше».

Уравнения, Составлению и решению уравнений простейшего вида, где левая часть уравнения — арифметическое действие, один из компонентов которого неизвестен, а правая часть — число, уделялось определенное внимание в начальной школе. Уравнения решались на основании связи между компонентами и результатами действий. На данной ступени обучения навыки отыскания неизвестного компонента действия используются в работе с новыми видами чисел — с десятичными и обыкновенными дробями.

При введении отрицательных чисел рассматривается общий прием решения линейного уравнения с одним неизвестным путем переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, приведения подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, деления обеих частей на коэффициент при неизвестном. Поскольку умение решать уравнения открывает путь для использования алгебраического аппарата при постановке и решении многих практических вопросов и задач уже в начале изучения курсов алгебры и геометрии в VI классе, то нужно добиться, чтобы учащиеся уверенно справлялись с решением уравнений в случаях, весьма распространенных на практике. Должны быть отработаны и проверены все наиболее типичные ситуации задания уравнений, с тем чтобы впредь не было массовых ошибок в задачах, сводящихся к решению подобных уравнений.

Прежде всего целесообразно выделить уравнение вида ах = Ь, которое надо уметь решать для любых целых и дробных значений а и Ъ {a =j= 0),

например уравнение типа — у х = 6. К решению уравнения вида ах + Ъ = О (а ^ 0) сводится решение линейных уравнений и неравенств, решение неполных квадратных уравнений, отыскание точки пересечения графика линейной функции с осью абсцисс и другие вопросы, требующие соответствующего навыка. Поэтому обязательным для всех учащихся должно явиться умение решить уравнение типа 2х + 5 = 0. При решении уравнений типа —X + 9 = Ъх + 1 учащиеся смогут продемонстрировать умение применять основной алгоритм решения любых линейных уравнений, не содержащих скобки.

Анализ текстовых задач и практических вопросов, решаемых с помощью составления уравнения в курсе математики V—VI классов и в начале изучения курсов алгебры и геометрии в VII классе, показывает необходимость решения уравнений, содержащих скобки и подобные члены. Учитывая это, а также принимая во внимание реальность требований, в обязательных результатах обучения имеет смысл ограничить уровень сложности таких уравнений примерами типа х + (х — 12) = 20, X + 5х = 12. Умение решать подобные уравнения должно быть обязательным для всех учащихся.

Координатная прямая, координатная плоскость. Важным моментом в алгебраической подготовке учащихся является отработка умения устанавливать соответствие между числами и их положением на координатной прямой. Обязательным результатом обучения должно явиться умение начертить координатную прямую, отметить на ней данные числа, а также умение находить, какому числу соответствует точка, отмеченная на координатной прямой. Учащиеся должны настолько хорошо представлять взаимное расположение чисел на координатной прямой, чтобы координатная прямая могла служить средством сравнения чисел, наглядной основой для правил сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. В дальнейшем обучении, например при формировании умений решать неравенства в курсе алгебры, важно, чтобы учащиеся могли свободно ориентироваться во взаимном расположении точек на координатной прямой, имели представление о геометрическом смысле модуля числа, то есть могли безошибочно выполнять задания типа «Определите, какое из двух чисел: —7 или —10— расположено на координатной прямой правее; определите, какие целые числа расположены между числами —8,5 и 2; на координатной прямой отметьте числа, модуль которых равен 2».

При изучении вопросов, связанных с координатной плоскостью, надо добиться, чтобы к началу обучения в VI классе каждый учащийся свободно, быстро ориентировался на ней, так как владение соответствующими умениями является необходимым условием успешного изучения многих вопросов дальнейшего курса математики. Основным результатом знакомства учащихся с координатной плоскостью должны явиться знания порядка записи координат точки плоскости и их названий, умения строить координатные оси и называть их, определять координаты отмеченной в

координатной плоскости точки и изображать точку по заданным ее координатам.

Элементы геометрии

Геометрические фигуры. Изучение любого учебного материала организуется по возможности с опорой на жизненный опыт учеников, их практические умения. Это особенно важно при формировании понятия о геометрической фигуре. Рассматривая различные предметы из окружающей среды, школьники учатся выяснять их форму и размеры, отвлекаясь от цвета, материала и других свойств этих предметов. Эта работа служит формированию представлений о геометрических фигурах как абстрактных образах реальных тел.

Согласно программным требованиям у каждого учащегося обязательно должны быть сформированы умения «распознавать и изображать геометрические фигуры, указанные в программе»1. В курсе изучаются плоские фигуры — отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, прямоугольник, окружность, круг —и пространственные фигуры —куб, прямоугольный параллелепипед, шар. Умение распознавать геометрическую фигуру состоит в определении формы рассматриваемого предмета в различных его расположениях, а также в выделении среди данных предметов (или их элементов) тех, которые имеют форму заданной геометрической фигуры. Например, каждый учащийся должен суметь назвать (либо указать среди данных) несколько предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Для успешного изучения геометрии в последующих классах необходимо умение видеть геометрические фигуры на готовом чертеже (иногда это умение называют геометрической зоркостью). Так, на рисунке 1 учащиеся должны суметь увидеть отрезки, углы, треугольники. Важно также умение изобразить плоскую геометрическую фигуру. Такое умение формируется по образцу, предложенному учителем, а также в результате выполнения построений с помощью чертежных инструментов. В ходе таких построений подмечаются характерные для изображения свойства геометрических фигур. Умение изображать геометрические фигуры целесообразно проверять через умение «производить простейшие измерения и построения при помощи линейки, угольника, транспортира, циркуля»2, предусмотренные программными требованиями.

Измерения и построения. В работе с основными чертежными инструментами от учащихся необходимо добиваться хорошего качества выполнения измерений и построений.

Рис. 1

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.— М.: Просвещение, 1986.-С. 9.

2 Там же.

Проводимые линии должны быть четкими, аккуратными, соответствовать заданию. В совокупности задач, направленных на проверку программных требований, прежде всего предусматриваются задачи на проверку умений измерять отрезки и углы. В те же задачи целесообразно включить проверку умений начертить прямую, треугольник. Например: «Начертите треугольник, измерьте один из его углов», «Начертите прямую, отметьте на ней точки Л и В, измерьте отрезок AB».

Особое внимание уделяется проверке умения провести перпендикуляр к прямой с помощью угольника. Оно используется при построении прямоугольника, прямоугольной системы координат, параллельных прямых. При формулировке задач необходимо учитывать, что перпендикуляр часто приходится проводить к прямой через заданную точку. Точка может принадлежать прямой (например, при построении точки в координатной плоскости по заданным координатам), а может и не принадлежать прямой (например, при отыскании координат точек координатной плоскости). В список задач включаются задачи на построение параллельных прямых с помощью линейки и угольника, на построение окружности данного радиуса. Применение навыков простейших построений в сочетании на данном этапе чаще проявляется при построении прямоугольника по данным величинам его сторон. Соответствующее задание включается в список обязательных, например: «Постройте прямоугольник ABCD, у которого AB = 2,3 см, AD = 4,7 см».

Важный результат обучения математике в V—VI классах представляет умение решать геометрические задачи на вычисление длин, площадей и объемов с использованием соответствующих формул. В соответствии с программой рассматривается вычисление площади прямоугольника, объема прямоугольного параллелепипеда, длины окружности и площади крута. В списке обязательных результатов обучения такие задачи целесообразно представить в явном виде, так как они являются самостоятельными геометрическими задачами, к решению которых сводятся практические вопросы. Например: «Запишите формулу длины окружности. Найдите длину окружности, радиус которой 2,5 см, считая я « 3,14 (результат округлите до единиц)».

2.2. Алгебра, VII—IX классы

Особенности планирования обязательных результатов обучения по курсу алгебры

Положение школьного курса алгебры (так же как и любого другого математического курса) в системе школьных математических предметов имеет свою специфику. Прежде всего курс алгебры девятилетней школы по своему содержанию носит преимущественно прикладной и практический характер. При его изучении учащиеся овладевают оперативными умениями и навыками, составляющими существенное звено математического

аппарата, который активно применяется при решении как разнообразных математических, так и нематематических задач (в первую очередь, задач из смежных школьных дисциплин). Это и навыки решения уравнений, выполнения тождественных преобразований выражений, построения и чтения графиков функций, вычислительные навыки, в том числе приемы действий с приближенными значениями величин, и т. д. От того, насколько свободно и уверенно будут владеть учащиеся умениями, сформированными у них в курсе алгебры, зависит успешность дальнейшего применения этих умений, успешность усвоения широкого круга вопросов всех предметов естественно-математического цикла. Поэтому в качестве одной из основных целей курса алгебры VII—IX классов программа по математике указывает «развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно их использовать при решении задач математики и смежных предметов»1.

Таким образом, одна из особенностей планирования обязательных результатов обучения алгебре состоит в том, чтобы учитывать оперативную направленность этого курса.

Хорошо известно, что задача формирования алгебраических умений и навыков чрезвычайно сложна и встречает в практике значительные трудности. Требуя много сил и времени учащихся и учителя, эта работа не всегда приносит высокие результаты. Данные многочисленных проверок математической подготовки учащихся, регулярно появляющиеся на страницах журнала «Математика в школе», красноречиво свидетельствуют об этом. Это говорит о том, что лучше добиться прочных умений и навыков на простых примерах (в тех случаях, когда они обеспечивают необходимый для дальнейшего применения уровень), чем без достаточного успеха пытаться сформировать у всех учащихся высокоразвитую технику.

Для того чтобы определить тот реальный необходимый уровень овладения умениями, который требуется для последующего их применения, необходимо тщательно проанализировать, где, в каком виде и как они используются в дальнейшем. При этом следует ориентироваться на то, что обучение в VII—IX классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе полученной учеником математической подготовки строится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения необходимого уровня сформированности умений по каждому вопросу курса алгебры восьмилетней школы анализировался характер и уровень их применения как внутри курса математики VII—IX классов, так и на следующих ступенях обучения. Естественным продолжением курса алгебры в старшем звене школы является курс алгебры и начал анализа. Кроме того, важное значение имеет также характер использования алгебраических знаний в геометрии, в смежных предметах, в первую очередь в физике.

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.-С. 9.

Заметим, что рассматривалось не только применение алгебраических умений при изложении теоретического материала указанных курсов, но, и даже в большей степени, при решении задач. Однако обилие и разнообразие решаемых в школе математических задач требует самого различного уровня подготовки учащихся — от владения элементарными умениями до достаточно высокого уровня владения материалом. Мы ориентировались далеко не на все задачи. Дело в том, что в системе упражнений учебников, направленной на формирование умений учащихся, действуют (в грубом приближении) два типа внутрипредметных связей. Первому типу отвечает последовательное формирование через систему задач знаний и умений, опорных для введения последующих вопросов. Например, умение умножать одночлены является опорным для формирования умения умножать многочлены; умножение многочленов в свою очередь находит широкое применение при решении огромного числа задач, требующих тождественных преобразований выражений; многие из этих задач (в частности, задачи на нахождение производных) также составляют основу целого ряда приемов решения и т. д. Иными словами, выстраиваются «цепочки» задач, в которых решение последующих основано на умении решать предыдущие.

Вместе с тем сильные внутрипредметные связи курса алгебры позволяют использовать и связи другого типа. Поясним, что имеется в виду. В действующих учебниках алгебры понятие линейного уравнения и прием решения несложных уравнений, приводимых к линейным, вводятся в начале VII класса. Впоследствии при изучении тождественных преобразований целых выражений рассматриваются уравнения, решение которых включает в себя соответсвующее преобразование. Так, при изучении умножения многочлена на многочлен учащиеся решают уравнения типа (х + 4) {х + 1) = X — (х — 2) (3 — х), при изучении формул сокращенного умножения — уравнения типа 9х (х + 6) — (Ъх + I)2 = 1, х — Ъх (1 — \2х) = = 11 — (5 — 6х) (бх + 5). Эти задачи преследуют цель отработки навыков изучаемых тождественных преобразований, иллюстрации применения этих преобразований к решению содержательных задач, а также повторения и закрепления навыков решения линейных уравнений. Таким образом, здесь при изучении тождественных преобразований привлекается предшествующий материал, не являющийся опорным для темы «Формулы сокращенного умножения». Через решение задач мы как бы возвращаемся к сформированным ранее умениям, но уже в комбинации с новыми. Здесь вступают в силу связи, которые можно условно назвать «обратными».

Описанный принцип является одним из существенных в построении системы упражнений как действующих учебников, так, впрочем, и задачников, использовавшихся в школе до них. Понятно, что такое деление во многом условно: в подавляющем большинстве задач можно указать как те, так и другие связи. Вместе с тем анализ школьных задачников по алгебре позволяет выделить большое число задач, оправданных с точки зрения второго типа связей, но не оправданных с точки зрения первого типа.

В качестве примера можно привести следующий. Изучение свойств степеней с дробными показателями во всех задачниках сопровождается рассмотрением большого числа примеров на тождественные преобразования более или менее сложных выражений вида

Здесь, кроме свойств степени, комплексно повторяются практически все умения, связанные с тождественными преобразованиями рациональных выражений: алгоритмы сложения и умножения многочленов, вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращеннного умножения, действия с алгебраическими дробями. Однако с такого рода преобразованиями ученик не встретится не только ни в одной практической ситуации, но и ни в одной учебной задаче в дальнейшем курсе. В указанной ситуации срабатывают исключительно связи второго типа, и соответствующие задачи являются в этом смысле «тупиковыми», не получающими дальнейшего развития. Играя важную роль в обучении, они в то же время никак не могут характеризовать обязательные для всех требования. Поэтому задачи, отвечающие исключительно второму типу связи, в обязательные результаты не включались.

Понятно, что итоговыми результатами обучения являются часто не отдельные элементарные умения, а комплексные, включающие в себя несколько элементарных. Действительно, например, решение несложного уравнения 2х — 3(х + 5) = 6 требует умения выполнить умножение одночлена на многочлен, раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, привести подобные члены, решить полученное уравнение вида ах = &. Характер этих комплексных умений (какие именно элементарные умения здесь присутствуют, в каком сочетании и соподчинении, какого уровня сложности и т. д.) и определялся исходя из анализа именно связей первого типа.

Еще одной особенностью курса алгебры восьмилетней школы является то, что он строится вокруг четырех содержательных линий: линии понятия числа и вычислительных навыков учащихся, тождественных преобразований, уравнений и неравенств, функций. Все эти линии развиваются в курсе не изолированно, а тесно переплетаются и взаимодействуют. Например, тождественные преобразования используются для решения уравнений и неравенств, решение уравнений и неравенств служит аппаратом для исследования функций и т. д. Однако все же каждая из этих линий имеет свое доминирующее содержание. Более того, их наполнение различно и в идейном отношении. Если, например, для линии тождественных преобразований основной является формально-оперативная сторона, то для линии функций наряду с оперативными умениями (например, отработка приемов построения графиков основных функций) важным является л понятийный аспект (овладение такими понятиями, как область определения функции,

возрастание и убывание функций и пр.). Поэтому для определения уровня обязательной подготовки по курсу алгебры проводился анализ каждой из его содержательных линий в отдельности. Ниже и приводится такой анализ, а в главе 3 приведен список задач, представляющих собой обязательные результаты обучения алгебре.

Характеристика обязательных результатов обучения по курсу алгебры

Действительные числа

Изучение курса математики и других учебных предметов, трудовое обучение требуют прочных вычислительных умений. От их уровня зависят скорость и качество вычислений, встречающихся в теоретических выкладках, в упражнениях, направленных на отработку умений, предусмотренных при изучении того или иного учебного предмета, в расчетах, связанных с выполнением практических заданий.

В программе по математике для VII—IX классов поставлена задача развития и закрепления умений, сформированных к началу обучения в VII классе, а также формирования новых вычислительных умений. Решение этой задачи занимает существенное место в курсе алгебры, где не обойтись без вычислений при отработке выполнения алгоритмов тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств, и прочих умений.

Отметим, что к VII классу учащиеся овладевают письменными алгоритмами вычисления с рациональными числами и умениями производить в уме арифметические действия над натуральными числами в пределах сложности примеров на сложение и вычитание двузначных чисел и на умножение и деление двузначного числа на однозначное. Умения возводить в степень с целым показателем и извлекать квадратные корни, выполнять действия со степенями, приближенные вычисления формируются в VII—IX классах. Здесь же закладываются умения рационально организовывать вычислительный процесс, пользоваться калькулятором, оценивать точность числового ответа, проверять правильность вычислений, производить прикидку результата. Поэтому при определении обязательного уровня вычислительной подготовки учащихся, оканчивающих неполную среднюю школу, целесообразно исходить из следующего.

Согласно содержанию обучения учащиеся овладевают новыми вычислительными операциями. В связи с изучением степени с натуральным показателем происходит знакомство с новым действием — возведением в степень. Надо отметить, что при отработке умений находить значение степени числа желательно закрепить навык устного возведения в квадрат, в куб однозначных чисел. По уровню сложности овладение этим навыком не превосходит навыка умножения однозначного числа на двузначное, предусмотренного в V—VI классах. А его уверенное использование будет способствовать активному усвоению и применению рассматриваемых в курсе

алгебраических формул, а также станет основой для формирования навыка действия, обратного к возведению в степень — извлечения квадратного корня.

С введением действия возведения в степень появляются новые выражения, содержащие степени. Необходимо уметь находить значения таких выражений, выбирая правильный порядок выполнения действий. Учащиеся должны научиться применять новое правило: сначала заменить степени их значениями, а потом выполнить другие указанные действия (при этом учесть, что роль скобок остается прежней). Это умение проявляется, например, в таких заданиях: «Вычислить значения выражений 3 • б2,

При изучении степени формируются также навыки записи положительного числа в стандартном виде, умение выполнять умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде. Такие умения имеют политехнический характер: они широко используются при изучении предметов естественного цикла, потребуются при выполнении как письменных, так и инструментальных расчетов. Поэтому важно, чтобы каждый учащийся мог перейти от обычной записи числа к его стандартному виду (например, для чисел 3700, 0,0085) и обратно, вычислить значение выражения вида

(при этом может оказаться, что результат действий потребуется привести в соответствие со стандартной записью, например

Заметим, что при выполнении подобных заданий потребуются умения применять свойства степеней с целыми показателями.

При изучении квадратных корней формируются умения извлекать квадратные корни, выполнять преобразования корней, которые используются, например, при вычислении значений выражений вида

Ввиду того что не всегда существует возможность точного извлечения квадратного корня из данного положительного числа, рассматривается задача о приближенном извлечении корня, формируется умение находить приближенное значение квадратного корня с помощью калькулятора.

В связи с изучением квадратных корней дается понятие иррационального числа, введение которого в VII—IX классах становится очередным шагом в расширении понятия числа. На этом этапе рассматривается совокупность всех действительных чисел. Материал, связанный с действительными числами, как правило, сложен для учащихся, требует хорошего понимания, и было бы нереально включать в обязательные результаты обучения многие связанные с ним умения (например, представление рацио-

нальных чисел в виде бесконечной периодической дроби или умение доказать иррациональность /з). Вместе с тем некоторыми элементарными умениями учащиеся должны владеть. К ним относятся умение сравнить два числа, записанные с помощью радикалов, оценить приближенно значение арифметического квадратного корня, показать его примерное расположение на координатной прямой.

В связи с использованием инструментальных вычислительных средств возрастает роль умений выполнять приближенные вычисления. Несмотря на то что приближенные вычисления вызывают у учащихся значительные трудности, овладение умениями находить сумму, разность, произведение и частное приближенных значений величин, как показывает практика обучения, доступно для каждого учащегося и должно являться обязательным, так как эти умения являются базисными при формировании умений находить приближенные значения более сложных выражений.

Выполнение практических заданий (например, в курсе физики) требует умений вычислять со строгим учетом погрешностей. Для этого учащиеся должны владеть, например записью вида а = 7,3 ±0,1, т. е. суметь объяснить, что эта запись означает то же самое, что и двойное неравенство 7,2 < ü <; 7,4. Понимание способа оценки результата вычисления методом границ учащиеся смогут проявить при выполнении одношаговых заданий (например, при оценке площади прямоугольника, периметра квадрата и т. п.).

Для решения практических задач важно уметь выполнять прикидку результатов вычисления: либо на уровне определения знака результата, либо на уровне предварительной грубой оценки ответа на основании округления исходных данных и вычисления с округлением промежуточных результатов. Так, например, при вычислении значения выражения

прикидка показывает, что значение результата

примерно равно 3; действительно вычисления с использованием калькулятора дадут: 3,23733417 « 3.

Специальное внимание должно быть уделено формированию умений вычислять с калькулятором. Согласно программным требованиям учащиеся должны уметь «применять калькулятор для того, чтобы выполнять арифметические действия над точными и приближенными значениями, находить приближенное значение квадратного корня, вычислять значения синуса, косинуса, тангенса, вычислять по формулам»1. Эффективность работы с любым вычислительным прибором зависит от навыков обращения с ним в ходе выполнения вычислений. Поэтому учащиеся должны свободно владеть теми функциональными возможностями калькулятора, которые обеспечат безошибочное выполнение вычислений, распространенных в школе.

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.—С. 9, 10.

Умение выполнять отдельные арифметические действия учащиеся приобретают в предыдущих классах. Теперь с помощью калькулятора они должны суметь найти значение числового выражения, включающего несколько арифметических действий, а кроме того, вычисление степени или квадратного корня. Для обязательного уровня неважно, каким образом будут выполнены вычисления: непрерывной цепочкой операций (с включением памяти) или с записью в тетради результатов промежуточных действий. Но при отборе выражений следует предусмотреть различные по трудности, наиболее значимые типичные виды. Так, требует достаточного внимания рассмотрение выражений вида

так как учащиеся часто допускают ошибки (забывая о том, что вычитание и деление не обладают свойством переместительности) при вычислении значений таких выражений непрерывной цепочкой арифметических действий, не заботясь о распределении компонентов действия по местам, отведенным им устройством калькулятора.

Все перечисленные выше новые вычислительные умения получают развитие при изучении соответствующих тем курса алгебры, а затем находят применение как в математике, так и при изучении других учебных предметов, в трудовом обучении. Учащиеся встречаются с заданиями, составной частью которых являются вычисления, различные по содержанию и уровню сложности. Работа над ними требует внимания, аккуратности и четкости в оформлении записи.

Тождественные преобразования

Тождественные преобразования выражений, изучаемые в восьмилетней школе, используются как рабочий аппарат в самых различных разделах школьного курса математики и смежных дисциплин. Трудно назвать какой-либо раздел курса алгебры или алгебры и начал анализа, в котором не применялись бы преобразования. Решение задач из многих разделов геометрии требует применения хотя бы и самых элементарных преобразований выражений. В курсе физики учащимся постоянно приходится выполнять действия над степенями, сокращение алгебраических дробей, сложение дробей и др. Поэтому у учащихся должны быть выработаны твердые навыки в выполнении определенных видов тождественных преобразований.

В методике сформировался следующий подход к отработке навыков тождественных преобразований. На первом этапе учащиеся выполняют набор простейших упражнений на прямое применение изучаемого алгоритма (например, применение формул сокращенного умножения в случаях типа (а — З)2, (х — 5) (х + 5), сложение двух алгебраических дробей, отдельные действия со степенями и др.). Далее непосредственное применение несколько осложняется или введением более сложных числовых коэффициентов, показателей степеней, или необходимостью выполнить

некоторое дополнительное действие (например, для нахождения общего знаменателя алгебраических дробей выполнить разложение на множители) и др. Следующий этап характеризуется усложнением преобразований за счет комбинирования в одном задании сразу нескольких действий, причем как тех, которые изучаются в данный момент, так и других, уже изученных (например, упражнения на преобразование дробных выражений, содержащих степени с дробными показателями). И наконец, присутствует еще один этап, в ходе которого изученные преобразования применяются как аппарат для решения самых разнообразных задач (например, преобразование целых выражений используется для решения задач на доказательство делимости). Невозможно установить какой-либо один из этих этапов в качестве обязательного уровня в овладении всеми изученными видами тождественных преобразований. Для каждого вида он свой, зависящий от степени и характера его применения в дальнейшем. (Здесь речь идет не об организации усвоения материала, а об установлении минимального уровня овладения умениями, которого должен достичь каждый учащийся. А методика его достижения должна разрабатываться особо.)

Начнем с понятия степени. Разнообразные задачи, включающие в себя преобразования степеней, неравнозначны с точки зрения их последующего применения. Среди этих задач выделяется группа так называемых тупиковых задач, не получающих дальнейшего развития. Это комбинированные упражнения на преобразование выражений, содержащих степень с дробным показателем, о которых уже говорилось выше, а также аналогичных им выражений, со степенью с отрицательным показателем. Они, как уже отмечалось, не могут отражать уровня обязательной подготовки.

Если проанализировать связи темы «Степень» с другим материалом курса, то становится ясно, что в обязательном порядке требуется прочное усвоение определения степени с рациональным показателем и свойств степеней. Причем решение достаточно сложных задач на действия с одночленами (например, 9#3(0,3дя2)3), а также аналогичными выражениями, содержащими степени с целыми отрицательными или дробными показателями (например,

не должно доводиться до навыка у всех учащихся. В то же время прямое, непосредственное применение определения и свойств степени (а также их несложных комбинаций) следует доводить до автоматизма. Так, например, полученные в восьмилетке навыки должны стать основой для выполнения учащимися преобразований вида

(в ходе решения показательных уравнений и неравенств, при изучении степенной, показательной функций, логарифмов). Необходимо также предусмотреть довольно распространенную ситуацию при решении примеров вида

возникающую как в курсе анализа, так и при проведении расчетов в курсе физики. Особое внимание при этом должно быть обращено на степени с основанием 10, так

как выражения, в которых они присутствуют, широко используются. Например, вычисления с числами, записанными в стандартном виде (типа и т. д.), часто возникают в курсе физики и требуют от учащихся умения свободно справляться с ними.

При решении логарифмических уравнений и неравенств нередко приходится вычислять значения степеней типа 9 2 , что может быть сделано с помощью простейших преобразований, а также на основе соответствующего определения степени. Определения степени с отрицательным и дробным показателями используются также в преобразованиях выражений. Простой пример. Посмотрим на цепочку действий, выполняемых при нахождении производной функции у = }[х\

Нахождение производных функций

сопровождается такими же действиями. Аналогичная ситуация встречается при решении, например, задачи типа «Докажите, что функция является первообразной для функции #œ(0; + œ)» и т. д. Иными словами, выполнение такого рода упражнений требует свободного умения перенести какое-либо число (букву) из числителя дроби в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменив знак показателя степени, заменить корень степенью с дробным показателем и обратно.

Таким образом, обязательный уровень овладения умениями, связанными с темой «Степень», определяется фактически задачами на непосредственное применение (или в несложных комбинациях) определений степени и свойств степени.

Не проводя подробного анализа, укажем, что примерно такая же ситуация с алгебраическими дробями. Многие задачи на преобразование дробных выражений, решаемые при изучении соответствующего материала, являются тупиковыми в описанном выше смысле и значительно превосходят реально применяемый в дальнейшем уровень. С этой точки зрения достаточно, чтобы ученик умел бегло и уверенно выполнять отдельные операции с алгебраическими дробями. Это прежде всего сокращение алгебраических дробей. В дальнейшем применении эта операция является одной из наиболее распространенных, и ее часто необходимо выполнить независимо от других операций, в изолированном виде. Причем одинаково часто встречаются случаи, когда числитель и знаменатель дроби —

произведения чисел, букв и их степеней и когда в числителе или знаменателе — некоторый многочлен, требующий предварительного разложения на множители.

Необходимо обратить внимание на то, что обязательный уровень сформированности того или иного умения описывается, как правило, не одним, а несколькими заданиями. В них закладываются различные ситуации, которые, как показывает практика, не являются для учащихся равнозначными по трудности. И если каждая из них не будет отработана специально, то это может привести к появлению ошибок, носящих массовый характер (например, сокращение дроби на слагаемое). Поэтому важно, чтобы у учащихся были отработаны и проверены все наиболее значимые типичные ситуации. Например, при сокращении дробей следует добиваться умения сокращать дробь на одночленный множитель, на двучленный множитель. Важен и широко применяется в дальнейшем также случай, когда двучлен, на который сокращается дробь, содержится в числителе или знаменателе не в первой степени. Практически до автоматизма должно быть доведено применение свойства

Рассмотрим теперь сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Среди этих операций наряду со стандартными ситуациями, в которых требуется непосредственное применение того или иного алгоритма, необходимо обратить специальное внимание на формирование умения применить эти алгоритмы в случаях, когда одно из выражений — дробь, а другое—целое. В практике работы с алгебраическими дробями учащимся часто придется выполнять сложение (или умножение и т. п.) дроби и целого выражения, и эти случаи не должны вызывать у учеников затруднения. Например, при изучении анализа довольно часто появляется необходимость выполнить такого рода действия:

Что касается комбинированных примеров, то они встречаются в дальнейшем достаточно редко, причем в чрезвычайно упрощенных ситуациях (среди них, кстати, часто присутствуют так называемые сложные дроби, которые в последние годы исчезли из учебников алгебры).

Иное положение с преобразованиями целых выражений. Действия над многочленами, формулы сокращенного умножения чрезвычайно широко применяются при изучении практически любого раздела курса математики. Анализ ситуаций, требующих применения тождественных преобразований многочленов, показывает, что наряду с прочным владением каждым из основных умений (умножение одночлена на многочлен, умножение многочленов, формулы сокращенного умножения, основные способы разложения многочленов на множители) учащиеся должны иметь опыт применения их в некоторых комбинациях. Характер этих комбинаций и уровень их сложности настолько разнообразны, что выделить некоторые совершенно типичные ситуации трудно. Поэтому как минимум обязатель-

ным является умение выполнить, условно говоря, «двухблочное» задание: преобразовать целое выражение, в котором два стандартных блока (умножение одночлена на многочлен, умножение двучлена на двучлен, возведение в квадрат двучлена и т. д.) соединены знаком « + » или « — ». Вообще говоря, это ограничение условно. Но практика показывает, что умение выполнить такого рода преобразование свидетельствует о прочном владении основными алгоритмами и умением применить их последовательно один за другим. И если ученик встретится с необходимостью выполнить более длинное преобразование, то у него будет для этого достаточная база. Поэтому при планировании обязательного уровня овладения соответствующими умениями на выходе из восьмилетки необходимо предусмотреть задания, включающие в себя различные комплексы основных действий, например упрощение выражений Зх (х — 2у) + 2у (Зх — у), а {а + 3) — {а — Ъ) {а + Ъ), (х + 1) (х — 5) — (4 — х)2 и т. п. При этом коэффициенты не должны существенно осложнять работу, достаточно ограничиться целыми числами.

Что касается тождественных преобразований тригонометрических выражений, то необходимо отметить, что традиционно этот материал изучается как продолжение линии тождественных преобразований алгебраических выражений. Его рассмотрение преследует две цели: во-первых, оно служит средством поддержания и развития полученных навыков в тождественных преобразованиях, во-вторых, для усвоения и закрепления знаний основных формул тригонометрии. Возможности рассматриваемого материала с точки зрения первой цели чрезвычайно широки, и традиционно выполняемые упражнения доходят до очень высокого уровня сложности, требующего виртуозного применения многочисленных формул и уже изученных алгоритмов тождественных преобразований выражений. Однако с точки зрения дальнейшего применения рассматриваемого материала превалирующим является второй аспект, т. е. усвоение формул, которые используются впоследствии при решении тригонометрических уравнений, неравенств и т. д. И как правило, уровень встречающихся в них тождественных преобразований ограничен (даже для уравнений и неравенств повышенной сложности). Поэтому обязательным результатом обучения по данной теме следует считать усвоение предусмотренных программой формул, для чего достаточно предусмотреть простейшие задания, которые требовали бы от учащихся умения распознать нужную формулу и впрямую применить ее. Это реализуется, например, в заданиях типа «Упростите выражение

«Докажите тождество

Учитывая, что в усовершенствованной программе значительно ограничен объем изучаемых формул, такой уровень, как показывает практика, является вполне реальным.

Уравнения и неравенства

Изучение уравнений и неравенств традиционно составляет значительную часть школьного курса алгебры. Это соответствует как исторически сложившемуся ходу развития науки алгебры, основным предметом изучения которой долгое время было развитие методов решения уравнений, так и той роли, которую аппарат уравнений и неравенств играет в исследовании большинства практических и научных задач.

Одна из основных целей изучения школьного курса алгебры, которая ставится перед учащимся программой по математике, заключается в усвоении им «аппарата уравнений и неравенств как основного средства моделирования прикладных задач»1. Это включает в себя овладение способами решения алгебраических уравнений и неравенств первой и второй степени и приводимых к ним уравнений, неравенств и систем, овладение приемами решения текстовых задач методом уравнений.

Уравнения и системы уравнений. В программе по математике предусматривается ознакомление учащихся с широким кругом вопросов, связанных с уравнениями. Учащиеся знакомятся с понятиями уравнения и корня уравнения, линейного и квадратного уравнений, формулой корней квадратного уравнения, исследованием квадратного уравнения по дискриминанту, понятием системы уравнений и решения системы. Основной упор делается на овладение учащимися практическими приемами решения уравнений и систем уравнений.

С линейными уравнениями и методом их решения учащиеся знакомы еще из курса V—VI классов, где формируется умение решать уравнения вида ах = Ь при различных значениях а и Ъ. Фактически умение решать уравнения такого вида при любых а и Ь — целых, выраженных в виде десятичных или обыкновенных дробей должно быть доведено к концу VI класса до навыка. Кроме того, учащиеся овладевают умением решать уравнения, требующие несложных преобразований такого уровня, который обеспечивает возможность применения уравнений для решения текстовых задач на данной ступени обучения. Это, например, уравнения вида 2х + X = 8, 3 + (х - 5) = 7, 5* - 2 = 3* + 7 и т. д.

В VII—IX классах происходит дальнейшее развитие соответствующих умений. Указанного выше уровня уже недостаточно для потребностей и курсов алгебры и геометрии, и курсов смежных дисциплин. Прежде всего решение текстовых задач требует более развитой техники преобразований уравнений. Традиционно отработка этого навыка происходит параллельно с отработкой навыков соответствующих преобразований целых выражений (или чуть позже). Учащиеся решают уравнения, в которых требуется применить то или иное изучаемое преобразование. Например: «Решите уравнение 12 - 2{х - l)2 = 4(* - 2) - (х - 3)(2я - 5)».

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.-С. 9.

Однако анализ наиболее типичных ситуаций применения линейных уравнений (при решении задач, например) показывает, что для этого необходимо овладеть умением решать уравнения, где, кроме приведения подобных и раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « + » или « — », требуется выполнить умножение одночлена на многочлен. Это уравнения вида Ъх - 5 (х + 6) = 18.

Важным моментом при обучении решению линейных уравнений является также то, что ученики должны освоить один из основных общих приемов приведения уравнения к простейшему виду (способ решения которого им известен), применяемый при решении различных классов уравнений. Поэтому при проверке умения решать линейные уравнения необходимо также предусмотреть случаи, когда ученику требуется, кроме указанных тождественных преобразований, выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую (как членов, содержащих неизвестную, так и без неизвестной). В связи с этим в число обязательных задач должно быть включено решение уравнения типа Ъх — 1,5 (х + 6) = 2х 4- 1, которое отражает как первую ситуацию, так и предусматривает стандартный комплекс действий, выполняемых при решении уравнений.

Кроме того, при решении уравнений самого разного вида часто возникает необходимость применения так называемого приема приведения уравнения к целому виду. Эта потребность появляется уже при решении линейных уравнений. Так, текстовые задачи часто приводят к уравнениям вида — — — = 2; решение систем линейных уравнении методом подставновки требует умения решить уравнение типа 2х 3 ~- ^ = 7. Впоследствии усвоенный на линейных уравнениях прием приведения к целому виду распространяется и на квадратные уравнения, и на неравенства, и т. д. Уравнения, требующие этого преобразования, часто возникают при решении геометрических, физических задач, в курсе алгебры и начал анализа.

Таким образом, еще одним умением, которым должны овладеть все учащиеся, оканчивающие восьмилетнюю школу, является умение решать уравнения приведением их к целому виду. Здесь в плане обязательных требований важно, чтобы ученик овладел принципиальной идеей: умножением обеих частей уравнения на некоторое число. Поэтому не следует усложнять соответствующие примеры дополнительными преобразованиями или вычислениями.

Вернемся теперь к простейшим случаям линейных уравнений. Как уже отмечалось, задача отработки навыков их решения относится к V—VI классам. Однако курсы математики и смежных предметов VII—IX классов и последующего звена требуют их широкого применения. Исследование линейной функции, решение неполных квадратных уравнений, решение неравенств методом интервалов, нахождение экстремумов функций, реше-

иие показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений — вот неполный перечень вопросов курса математики, для которых требуется умение решать линейные уравнения простейшего вида: 2х + 1 = 0; 3,5л; — 5 = Ах + 1,2; 4 — я = 2; 2# = у + 2nk и т. п. Трудно также назвать и какой-либо раздел школьного курса физики IX—XI классов, где бы эти основные виды уравнений не находили применения.

В связи с этим, хотя такого вида уравнения (с соответствующими коэффициентами) и включались в итоговые результаты по курсу математики V— VI классов, их целесообразно включить и в итоговые результаты по курсу неполной средней школы.

В курсе алгебры VII—IX классов учащиеся овладевают умением решать еще два вида уравнений — квадратные и дробно-рациональные, а также системы уравнений — системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Остановимся на квадратных уравнениях и в связи с ними сделаем одно замечание, которое имеет отношение и к остальным видам уравнений или систем уравнений. Дело в том, что при отработке умения решать линейные уравнения фактически отрабатываются общие приемы приведения уравнения вида f(x)=g (я), где f (х) и g {х) — целые выражения, к простейшему виду. И обязательный уровень умения решать линейные уравнения предусматривает владение этими приемами. Поэтому, если ученику требуется решить уравнение, которое имеет вид / (х) = g (я), где / (я) и g (я) — целые выражения, он выполняет все необходимые преобразования, с тем чтобы привести это уравнение к какому-либо простейшему виду. И если в результате получится квадратное уравнение, учащийся должен знать способ его решения (и, конечно, уметь применить этот способ). Поэтому основное, что необходимо потребовать от каждого ученика в результате изучения квадратных уравнений,—это умение решить квадратное уравнение, полное или неполное, записанное в каноническом виде, а именно уравнения вида ах2 = 0, ах2 + Ъх = 0, ах2 + с = 0 и ах2 + Ъх + с = 0. Кроме того, необходимо также предусмотреть умение привести уравнение к каноническому виду в простейших ситуациях типа 2я — Зх = 5х + 2 или X2 — Sx + 5 = 3, в которых нарушается аналогия с ходом решения линейных уравнений. Ученик должен увидеть, что он имеет дело с квадратным уравнением, и привести его к тому виду, в котором он может применить известную ему формулу. Немаловажно при этом, что анализ характера применения квадратных уравнений в дальнейшем курсе, а также в смежных предметах позволяет прийти к выводу, что указанными выше случаями исчерпывается подавляющее большинство ситуаций, требующих использования квадратных уравнений. Например, необходимость в решении квадратных уравнений возникает при решении неравенств методом интервалов, при исследовании функций определенного вида (нахождение нулей функции, точек экстремума, промежутков возрастания и убывания), при решении задач на нахождение наибольших и наименьших значений.

И во всех этих случаях требуется находить, при каких значениях х выражение вида ах2 + Ьх + с обращается в нуль. Такая же ситуация чаще всего возникает в ходе решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, которые путем введения вспомогательной переменной сводятся к квадратным. При вычислении абсцисс точек пересечения графиков функций в задачах на площадь криволинейной трапеции, при вычислении времени по формуле координаты тела, двигающегося под силой тяжести (в курсе физики), и др. мы приходим к уравнению, у которого в одной части — выражение ах2 + Ъх + с, а в другой — или линейная функция, или число.

Практика показывает, что если ученик уверенно решает уравнения указанного уровня сложности и овладел общими приемами сведения уравнений к простейшему виду, то он справится с решением уравнений и в таких, например, случаях: х (х — 3) = 10, х2 +(х + 2)2 = 20.

Все сказанное относится и к рациональным уравнениям, и к системам уравнений. Уровень обязательной подготовки по этим вопросам предполагает умение применить тот основной прием их решений, который отличает их от других видов уравнений и систем уравнений. А это означает, что в соответствующие задания обязательного уровня не следует включать такие, которые требуют предварительных сложных преобразований. Так, например, от всех учащихся следует потребовать умения решить систему уравнений вида

и совершенно необязательно добиваться от всех умения решать такую систему:

Неравенства и системы неравенств. Программа по алгебре предусматривает изучение линейных неравенств с одним неизвестным, системы линейных неравенств с одним неизвестным, неравенств второй степени с одним неизвестным, а также рациональных неравенств и метода интервалов. Основной упор в этих вопросах делается на овладение умениями решать перечисленные выше неравенства. Это объясняется тем, что аппарат неравенств находит широкое применение при решении самых разнообразных задач самого курса алгебры, алгебры и начал анализа, курса геометрии. В первую очередь, это задачи на исследование функций (нахождение области определения степенной, логарифмической и других функций; нахождение промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности и др.). Решение логарифмических уравнений и неравенств, тригонометрических неравенств требует умения решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, квадратные неравенства. Изучение приближенных вычислений, введение важнейших понятий математического анализа—производной и интеграла — существенно опирается на аппарат

неравенств. Кроме того, линия неравенств находится среди тех вопросов, которые получают в курсе алгебры и начал анализа наибольшее развитие. Поэтому определенные умения, связанные с неравенствами, должны быть доведены до автоматизма, должны быть прочно усвоены и отработаны, чтобы на них можно было опираться для развития последующих представлений и умений.

Отметим прежде всего, что, с одной стороны, алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной схож с алгоритмом решения линейных уравнений. И это в определенной мере облегчает работу по формированию умений решать линейные неравенства в той ее части, которая касается применения тех или иных тождественных преобразований, переноса членов неравенств из одной части в другую. Однако есть и существенные отличия, связанные с делением или умножением обеих частей неравенства на отрицательное число, а также с тем, что решением линейного неравенства является не какое-то фиксированное число или несколько чисел, а числовой промежуток. Поэтому, как это ни парадоксально, но имеющаяся схожесть с линейными уравнениями оказывает часто плохую услугу в формировании умения решать линейные неравенства, а следовательно, и их системы. Это в первую очередь необходимо учитывать, задавая обязательный уровень овладения соответствующими умениями. Кроме того, необходимо учитывать, что сложность тождественных преобразований в неравенствах при дальнейшем их применении невысока. Поэтому на обязательном уровне не следует искусственно создавать сложные преобразования. Понятно, что при обучении это делается с целью повторения и закрепления соответствующего материала. Но для определенной части учащихся эти преобразования могут заслонить основной аспект, и важнейшая цель не будет достигнута. Поэтому требовать от всех учащихся умения решить неравенство типа

или систему неравенств

Прежде всего у всех учащихся должен быть отработан навык решения простейших неравенств вида ах^Ь при различных значениях а и b, а также выработаны четкие представления о том, что решением линейного неравенства является не какое-либо число или несколько чисел, а бесконечное множество чисел — числовой промежуток. Иными словами, учащиеся должны свободно справляться с решением, например, таких неравенств:

С точки зрения применения в курсе анализа, как уже отмечалось выше, нет необходимости отрабатывать у всех учащихся умения решать неравенства и их системы, требующие сложных преобразований. В то же время

все учащиеся должны без труда уметь решать линейные неравенства вида 5 — 2х < О, Ъх — 4 > 7х + 2, 2х — 3(5 — х) ^ 6х + 1, а также системы неравенств вида

Необходимо обратить внимание на то, чтобы учащиеся уверенно справлялись с решением системы в различных ситуациях: в случаях, когда она приводится к простейшей системе, состоящей из неравенств одного смысла, состоящей из неравенств противоположного смысла и имеющих общие решения, состоящей из неравенств противоположного смысла и не имеющих общих решений. Хотя во всех трех случаях алгоритм сведения к простейшей системе одинаков, однако последний шаг, заключающийся в том, чтобы сделать вывод о множестве решений системы, в каждом из них различен и требует специального внимания.

Кроме того, с целью дальнейших применений (например, при решении тригонометрических неравенств, неравенств с модулем) необходимо в простейших случаях отработать прием решения системы неравенств, записанной в виде двойного неравенства. Эти простейшие случаи ограничиваются примерно таким уровнем: — 2 <2х + Ъ < 3.

Сказанное выше о сложности преобразований справедливо и по отношению к неравенствам второй степени и рациональным неравенствам с одной переменной. В то же время успешное решение многих задач, связанных с применением производной, овладение способами решения новых видов неравенств (логарифмических, в первую очередь) в большой мере зависят от того, насколько свободно будут справляться учащиеся с решением простейших квадратных и рациональных неравенств. Действительно, указанные выше задачи курса алгебры и начал анализа несут в себе большую смысловую нагрузку, которую необходимо довести до сознания всех учащихся. Решение неравенств является для этих задач подсобным аппаратом, который и сам по себе довольно труден, если еще не владеешь им свободно. И если эти трудности накладываются на новые, то успех вряд ли будет обеспечен. Таким образом, все учащиеся должны уметь решать несложные неравенства второй степени вида ах2 + Ъх + с ^ 0 (где а 0), а также рациональные неравенства вида

В требованиях к умению решать квадратные неравенства, так же как и к системам линейных неравенств с одной переменной, необходимо предусмотреть различные случаи возможных ответов (и когда множеством решений является промежуток а < х < ft, и когда объединение промежутков х > ft, х < а и т. д.), так как все они одинаково часто встречаются в дальнейшем при применении неравенств и в то же время каждый из них требует специальной отработки.

Текстовые задачи. Обучение учащихся решению текстовых задач методом уравнений или систем уравнений занимает в курсе алгебры довольно

большое место. Этому вопросу всегда уделялось серьезное внимание и не случайно. Текстовые задачи — наиболее яркий в школьном курсе практический пример применения аппарата уравнений и систем уравнений. Значение этих задач в том, что это — простейшая, но достаточно четкая модель применения математики к изучению действительности. В ней содержатся три характерных для любых случаев использования математических моделей момента: перевод реальной задачи на математический язык, исследование внутри модели и сопоставление результата с исходной задачей.

Конечно, в курсе математики уравнения применяются и к решению других, самых разнообразных задач (к исследованию функций, нахождению области определения определенных типов выражений и др.). Однако все эти задачи носят сугубо математический характер. При их решении одна математическая модель используется для исследования другой. Здесь же учащиеся имеют едва ли ни единственную для данного этапа обучения возможность применения математики в решении задач, имеющих через свои фабулы связь с реальной действительностью, с практическими ситуациями. Чрезвычайно важно при этом, что при решении текстовых задач для ученика является довольно ясной связь между ситуацией, описанной в задаче, и ее математической моделью, записанной с помощью уравнения.

Метод уравнений, изучаемый в курсе алгебры, широко применяется при решении задач в геометрии, физике, химии. Приобретаемые в VII— IX классах умения получают дальнейшее естественное продолжение и развитие в старших классах, где круг рассматриваемых приложений расширяется. Учащиеся встречаются с оптимизационными задачами, учатся применять аппарат математического анализа к решению практических задач, в частности, на нахождение наибольших и наименьших значений. Во всех этих случаях работают приобретаемые учащимися в курсе алгебры VII—IX классов умения представить практическую ситуацию на языке математической модели, а также интерпретировать полученный результат в соответствии с условием задачи. И приобретают учащиеся эти умения именно при решении текстовых задач с помощью уравнений и систем уравнений. Уже стало общепринятым решение текстовых задач в VII— IX классах рассматривать как один из этапов в обучении учащихся решению прикладных задач.

Немаловажное значение имеют текстовые задачи для развития логического и математического мышления учащихся, для развития смекалки и сообразительности, гибкости мысли, интуиции. Часто от учащегося требуется немало изобретательности, чтобы найти способ выражения одной неизвестной величины через другую, чтобы найти путь к составлению уравнения. Поэтому обучение решению текстовых задач —вопрос непростой. И главной причиной трудностей является именно то, что процесс их решения не поддается алгоритмизации. Каждая новая задача требует рассуждения, осмысливания взаимосвязи рассматриваемых в задаче величин.

Практически любая, даже несложная текстовая задача — это всегда небольшое исследование. Этим текстовые задачи сродни задачам геометрическим.

Поэтому, говоря об отборе задач, характеризующих обязательный уровень умения решать текстовые задачи, естественно ввести некоторые ограничения на их содержание и уровень сложности. Устанавливая эти ограничения, следует учитывать, чтобы, с одной стороны, соответствующие задачи были доступны для самостоятельного решения всеми учащимися, а с другой стороны, отвечали требованиям вооружения учащихся элементарными умениями, связанными с математическим моделированием. Такая, например, задача, как «Найдите два числа, сумма которых равна 127, а разность равна 15», хотя и является несложной, но еще не отвечает указанным требованиям, так как в ней отсутствует необходимость практическую ситуацию представить на математическом языке. Такие задачи еще не обеспечивают достаточного уровня подготовки к решению прикладных задач в старших классах, к решению задач с применением аппарата уравнений в других предметах.

Сложность текстовой задачи зависит от многих параметров: и от числа шагов, которые необходимо произвести для ее решения, и от сложности получаемого уравнения, и от того, как сформулирован текст задачи.

Приведем простой пример. Рассмотрим две задачи:

1. В двух классах 76 учащихся. В одном из них на 4 человека меньше, чем в другом. Сколько учащихся в каждом классе?

2. Электропоезд имеет в своем составе цистерны, платформы и товарные вагоны. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем товарных вагонов. Сколько в составе поезда цистерн, сколько платформ и сколько товарных вагонов, если общее их число равно 60?

Совершенно очевидно, что вторая задача отличается от первой тем, что для ее решения необходимо выполнить больше шагов, чем для решения первой; содержание же этих шагов, а также способ составления уравнения и в первой и во второй задаче принципиально не различаются.

Поэтому ограничение для задач обязательного уровня естественно проводить по линии ограничения числа шагов (введение переменных, обозначение через эти переменные других неизвестных величин, составление уравнения или системы уравнений). Оно должно быть возможно минимальным для данного вида уравнений или систем (линейные, квадратные, рациональные и т. д.).

Конечно, получаемые в ходе решения задач уравнения или системы должны соответствовать уравнениям и системам обязательного уровня (во всяком случае, не превосходить их по сложности).

Существенное значение имеет и формулировка задачи. Одна и та же задача, приводимая к одному и тому же уравнению, может оказаться в одной формулировке доступной ученику, а в немного измененной — нет. Возьмем в качестве примера следующие две задачи:

1. На путь от города А до города В, расстояние между которыми равно

30 км, легковая машина тратит на 15 мин меньше грузовой. Найдите скорость легковой машины, если она на 20 км/ч больше скорости грузовика.

2. Из города А в город В, расстояние между которыми равно 30 км, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость легковой машины, если известно, что она пришла в город на 5 мин раньше грузовой.

Обе они сводятся к одному уравнению, но во второй зависимость между временем, которое затратила на путь легковая машина, и временем, которое потребовалось на этот же путь грузовой, не задана в явном виде — ее нужно заметить, выявить. И это небольшое различие в формулировке, как показывает опыт, приводит к тому, что со второй задачей справляется примерно на 25—30% учащихся меньше, чем с первой. Вместе с тем решение первой задачи включает в себя все необходимые этапы, характерные для решения текстовой задачи, и поэтому отвечает целям, которые ставятся перед обучением их решению.

Таким же образом влияет на успешность решения формулировка вопроса. Гораздо сложнее для учащихся задачи, в которых неизвестная величина, обозначаемая буквой, не содержится в вопросе. Эти задачи требуют более глубокого анализа, часто перебора различных возможностей, пока не будет найден приемлемый ход решения. Поэтому для задач обязательного уровня вполне достаточно ограничиться случаями, когда неизвестная величина, которую удобно обозначить буквой, содержится в вопросе задачи. Если же необходимо проверить умение находить и другие величины, то в задаче можно дать дополнительный вопрос. Иными словами, в этом случае задача может содержать два вопроса, первый из которых ориентирует на введение переменной. Что касается формулировки фабулы задачи, то здесь естественно потребовать (в соответствии со сказанным выше), чтобы в ней использовались хорошо известные учащимся величины и зависимости между ними как из реальной жизни, так и из смежных дисциплин. Формулировка задачи должна прямо указывать на зависимость между величинами и не требовать преобразования данных, переформулирования для того, чтобы выразить одну величину через другие, составить уравнение. Для того чтобы пояснить сказанное, приведем в качестве примера две задачи, первая из которых по своей сложности превышает обязательный, вторая является задачей обязательного уровня.

1. Бригада рабочих должна была по плану изготовить 250 деталей к определенному сроку. Изготовляя в день по 5 деталей сверх нормы, бригада уже за 1 день до срока перевыполнила план на 20 деталей. Сколько деталей изготовила бригада к заданному сроку?

2. Завод должен был изготовить 20 станков к определенному сроку. Изготовляя в день на 1 станок больше нормы, завод затратил на выполнение задания на 1 день меньше. Сколько станков изготовлял завод в день?

Содержание приводимых в списке обязательных текстовых задач в своей совокупности охватывает основной круг величин и зависимостей

между ними, которые заведомо можно использовать в задачах обязательного уровня.

Необходимо также отметить еще одно свойство приводимых ниже задач. Понятно, что, если ученик научится решать указанные в нем задачи, это еще не гарантирует ему умения решать задачи более сложные и интересные. В то же время здесь предусмотрены практически все опорные фабульные ситуации и зависимости между величинами, из которых строится большая часть традиционных текстовых задач, за небольшим исключением1. Таким образом, совокупность приведенных задач представляет собой элементарную базу, на которой можно развивать умение решать более сложные задачи.

Функции

Вопрос о функции в школьном курсе математики — это один из тех вопросов, характер изучения которых в значительной степени определяет прикладную направленность этого курса. Прикладное значение понятия функции огромно. В нем «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата»2,—писал известный советский математик и педагог А. Я. Хинчин. Вот почему такое значение придается изучению этого понятия в школе.

Требования к знаниям и умениям учащихся, связанным с понятием функции, не оставались неизмененными на протяжении развития советской школы. До середины 60-х годов программа по математике содержала лишь очень небольшой объем сведений функционального содержания и ограничивалась ознакомлением школьников с небольшим числом функций и их графиков, изучаемых элементарными средствами. В эпоху бурного развития техники, широкого проникновения математики в самые различные области человеческой деятельности тот скудный запас знаний о функциях, который получали выпускники средней школы, давно уже перестал удовлетворять требованиям времени. Вопрос об изучении функций в средней школе, о необходимости введения понятия производной и интеграла в школьную программу широко обсуждался уже с начала века.

В середине 60-х годов в программу по математике для старших классов были введены некоторые элементы математического анализа; однако программа VI—VIII классов не была изменена, и та подготовка, которую получали ученики в восьмилетней школе при изучении функций, была недостаточна для хорошего усвоения соответствующего материала в старших классах. Поэтому вся работа по совершенствованию школьных программ,

1 Не включены задачи на так называемую «совместную работу». Даже наиболее простые из них, такие, как, например, следующая: «Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из них могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней скорее другой?», являются трудными для учащихся.

2 Хинчин А. Я. Восемь лекции по математическому анализу.—М.: Наука, 1977.— С. 9.

осуществлявшаяся в 70-е годы, шла под лозунгом широкого введения в школу понятия функции. Одним из основных результатов этого явилось включение в школьную программу элементов математического анализа и, как следствие этого, усиление внимания к функциональным вопросам в среднем звене общеобразовательной школы.

Сейчас в VII—IX классах изучается довольно широкий круг вопросов, связанных с функцией. Программа предусматривает знакомство учащихся с понятием числовой функции и способами ее задания, овладение такими общими понятиями, как область определения функции, график функции, возрастание и убывание функций, четность и нечетность. Все это, естественно, сопровождается изучением конкретных числовых функций, их свойств и графиков:

Применительно к функциональному материалу естественным полем приложения полученных в восьмилетней школе знаний является изучение элементов математического анализа. Подготовка к изучению анализа всегда была одной из целей изучения алгебры в школе. «Алгебра», преподающаяся в средней школе,—писал еще в 1938 г. А. Н. Колмогоров,— ...едва ли не в большей степени является первой главой анализа (или введением в анализ), чем собственно чистой алгеброй»1. Линия функций —это одна из линий курса алгебры, которая получает наибольшее развитие в старших классах. Там учащиеся изучают широкий круг новых числовых функций (показательная, логарифмическая, тригонометрические функции), знакомятся с новыми для них свойствами функций (периодичность), рассматривают новые функциональные понятия (функция, обратная данной), и, наконец, функциональные представления учащихся поднимаются на новую качественную ступень: учащиеся знакомятся с такими понятиями, как производная и интеграл, и их применениями.

Таким образом, существенная доля математического материала в старшем звене школы относится к функциям. И от того, насколько прочно ученик овладеет в курсе алгебры функциональными умениями и представлениями, в значительной степени зависит успешность дальнейшего обучения алгебре и началам анализа. Знания учащихся о функциях необходимы и при изучении школьного курса физики. С точки зрения этих двух предметов и попытаемся выявить уровень обязательных требований к знаниям учащихся по теме «Функции».

Как уже было отмечено, в ходе рассмотрения этого вопроса учащиеся овладевают рядом понятий, а также рядом технических умений. Анализ применения всех перечисленных понятии показывает, что все они должны

1 Колмогоров А. Н. Предисловие к кн. А. Лебега «Об измерении величин».—М.: Учпедгиз, 1960.—С. 10.

быть сформированы у учащихся на оперативном уровне, т. е. владение понятиями полностью проявляется в тех или иных умениях, связанных с функциями. Так, например, одним из важных понятий, рассматриваемых в девятилетней школе, является понятие области определения функции. Оно широко применяется в старших классах при построении графиков функций, применении производной к исследованию функций, нахождении первообразной и др. Учащиеся должны знать, что такое область определения функции, а также уметь найти область определения некоторой конкретной функции, проверить, входит ли данное число в область определения функции. Если у ученика не выработаны представления о том, что такое область определения функции, то он не сможет выполнить соответствующие действия. Вместе с тем выполнение задания на нахождение области определения функции в случае, когда она задана формулой, в равной степени характеризует и уровень сформированности умения, и понимание содержания используемого понятия. Это же можно сказать обо всех функциональных понятиях, изучаемых в курсе алгебры,—владение данными понятиями полностью проявляется в формируемых в связи с этим умениях.

Анализ школьного курса математики и курса физики позволяет выделить две группы умений, связанных с понятием функции: аналитические, владение которыми проявляется при работе с формулой, задающей функцию, и графические.

Основным умением при работе с формулой является умение вычислить значение функции по заданному значению аргумента. Оно широко используется в самой разной деятельности учащихся, входит в качестве составного в большое число других умений, таких, например, как построение графика функции, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, вычисление значений производных и определенных интегралов и др. В курсе физики задачи на вычисление значений функций при разных значениях аргумента решаются практически на протяжении всего курса. Это так называемые вычисления по формулам: длины пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движениях и т. д.

При решении задач по физике не менее часто встречается и обратная задача: по известной силе тока определяется сопротивление проводника, вычисляется, в какой момент времени скорость тела имела заданное значение, и др. Таким образом, одним из необходимых требований является умение по формуле найти значение аргумента, которому соответствует заданное значение функции.

Работа с формулами в физике требует и более общего умения учащихся — выразить из данной формулы одну величину через другие. Анализ курса показывает, что это умение применяется преимущественно к тем видам функций, которые изучаются в восьмилетней школе. Например, исходя из формулы пути при равномерном прямолинейном движении s = vt выводятся формулы для расчета времени движения и скорости дви-

жения:

Используя формулу, выражающую закон Ома

где / — сила тока в проводнике, (/ — напряжение на концах проводника, R— сопротивление), выводятся формулы для вычисления напряжения через силу тока и сопротивление, сопротивления через силу тока и напряжение. В курсе математики это умение также является необходимым элементом математической подготовки, владение которым требуется, например, чтобы задать формулой функцию, обратную данной. Указанное умение формируется в курсе алгебры не только при изучении функций, но главным образом при изучении уравнений. Поэтому оно может быть отнесено к системе заданий, описывающих уровень обязательной подготовки по теме «Уравнения». Но поскольку те формулы, при работе с которыми применяется это умение, практически совпадают с изучаемыми функциями, то также естественно связать его с темой «Функции». Указанным трем умениям отвечают две задачи, которые в общем виде формулируются следующим образом: «Функция задана формулой у = / (#). 1) Найдите значение функции при х = а. 2) При каком значении аргумента функция у = f (х) принимает значение, равное с?». Причем в данном случае основной целью этих задач является не вычислительный аспект, а овладение соответствующей терминологией и символикой (функция, значение функции, аргумент, у = / (я)), понимание постановки задачи. Поэтому обязательный уровень соответствующих задач по теме «Функции», во-первых, ограничивается несложными вычислениями, а во-вторых, функциями, изучаемыми в курсе. Если же у учащихся возникает необходимость в более сложных вычислениях, то они могут воспользоваться вычислительными инструментами, а именно калькулятором, и в этом случае именно вычислительный аспект выступит на первый план. Такого рода задачи, характеризующие обязательный уровень выполнения вычислений по формулам с помощью калькулятора, предусмотрены в обязательных результатах обучения алгебре в соответствующем разделе.

В курсе алгебры учащиеся приобретают некоторые умения, связанные с исследованием функций элементарными методами. Это означает, что если функция задана формулой, то ученики должны уметь установить некоторые ее свойства. Обязательный уровень подготовки предполагает неодинаковое владение этими умениями для всех изучаемых в курсе свойств функций. Действительно, в курсе алгебры учащиеся учатся строить графики основных видов элементарных функций. Программа не предполагает ознакомление учащихся с построением графиков каких-либо функций, заданных произвольными формулами. Что касается рассматриваемых в курсе функций, то учащимся известен вид графика каждой из них, и для его построения достаточно применить некоторый стандартный прием. Например, чтобы построить график функции у = 2х — 6, достаточно найти координаты каких-либо двух точек, принадлежащих графику, и провести через эти точки прямую. При этом от учащихся не требуется определить промежутки знакопостоянства или промежутки возрастания и убывания

функции; поэтому, например, умением найти промежутки знакопостоянства аналитически могут обладать не все ученики. В то же время нахождение по формуле области определения функции, нулей функции, проверка функции на четность и нечетность являются элементом исследования функции при построении ее графика. Поэтому для всех изучаемых функций учащиеся должны уметь по формуле указать область определения, найти, в каких точках функция обращается в нуль (если такие точки существуют), проверить, является ли она четной или нечетной. Что же касается промежутков знакопостоянства и возрастания и убывания функции, то на обязательном уровне целесообразно требовать указать их лишь с опорой на график функции.

Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся восьмилетней школы имеет формирование графических умений. График— это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. О том, что в средней школе функция неотделима от ее графического представления, писал известный математик и методист В. Л. Гончаров. Он же назвал график функции средством осмысливания рассматриваемых математических фактов. График функции является основным инструментом при формировании целого ряда понятий: возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функций, понятия экстремума и др. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как производная и интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций. Остановимся более подробно на требованиях к графической подготовке учащихся при изучении функций в восьмилетней школе.

Программа предусматривает в качестве обязательного умение строить графики изученных функций. При этом в старших классах будет продолжаться формирование и развитие представлений учащихся, связанных с функциями. Иными словами, ученики должны овладеть «азбукой графиков».

У всех учащихся необходимо сформировать представление о виде графика любой основной функции и умение построить его при несложных числовых коэффициентах. Конечно, с функциями может быть связана и довольно сложная вычислительная работа — вычисление значений различных функций, построение произвольных графиков по точкам и др. Но это отдельный вопрос, как уже отмечалось, не относящийся к отработке умений строить графики стандартных функций.

Необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся умели схематически, без специального построения по точкам показать расположение графиков некоторых конкретных функций (в простейших случаях) в координатной плоскости, указать, в каких координатных четвертях они проходят. Ска-

занное относится к графикам таких функций, как . Кроме того, что это умение необходимо при изучении элементов анализа, физики, оно еще полезно и важно в дидактическом отношении, являясь опорой для самоконтроля при построении графиков изучаемых функций.

Круг школьных задач, требующих умения читать графики функций, широк и разнообразен. Одно из умений, которым должен владеть каждый ученик, является умение по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции, а также решить обратную задачу. Это умение входит в качестве составного практически во все умения, формируемые и используемые в связи с изучением графиков функций. Многие задачи как курса математики, так и курса физики сводятся к непосредственному применению данного умения. Другие нельзя прямым образом свести к выполнению указанного умения, но содержание этих задач требует его выполнения в комплексной деятельности. Поэтому соответствующие задачи включены в обязательные результаты обучения.

Овладение свойствами изучаемых функций предполагает формирование у учащихся четких представлений о том, какую графическую интерпретацию имеют эти свойства, как они отражаются на графике. Это составляет необходимый элемент графической подготовки учащихся. Умение с помощью графика «прочитать» поведение функции на некотором множестве находит применение не только в курсе математики, но и в школьном курсе физики, в любой практической деятельности человека, в которой ему приходится иметь дело с теми или иными графическими изображениями зависимостей. Поэтому учащиеся должны уметь по графику функции определить некоторые ее свойства. Обязательный уровень характеризуется тем, что с помощью специально поставленных вопросов ученики находят по графику нули функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, определяют четность или нечетность функции. На этих умениях базируются новые приемы и методы исследования функций, которыми учащиеся овладевают в старших классах. Например, при изучении анализа ученики с помощью производной находят промежутки монотонности функций, используют полученные результаты при построении графиков. Поэтому необходимо, чтобы у учащихся были ясные представления о том, как свойство возрастания (убывания) функции выражается графически. Умение «прочесть» по графику свойства функции лежит в основе применения функций к решению различных задач. Например, свойство функции сохранять знак на данном промежутке играет большую роль в понимании и решении многих неравенств, в частности, помогает в понимании сути метода интервалов. Здесь необходимо отметить, что формирование этих умений — сложный и длительный процесс. Для уровня обязательной подготовки целесообразно поэтому предусмотреть умение отвечать на поставленные вопросы, связанные с указанием свойств функции по ее графику, только для изучаемых в курсе конкретных функ-

ций. Этого достаточно для проверки принципиальной сформированности умений и представлений.

Для того чтобы графические представления могли быть использованы при формировании функциональных понятий, при изучении зависимостей между величинами в физике, надо добиться понимания учащимися связи между аналитическим заданием функции и ее графиком, а следовательно между аналитической формулировкой какой-либо задачи и ее графической интерпретацией. В частности, учащиеся должны овладеть понятием графика и понимать, как аналитическим способом выражается принадлежность точки графику функции. Далее, в курсах физики, геометрии, анализа учащимся часто приходится вычислять координаты точек пересечения графиков функции. При формировании этого умения предполагается понимание связи между решением систем уравнений и графической интерпретацией этого решения. Иными словами, следует добиваться, чтобы ученик понимал, что, например, задача «Решите систему уравнений

равносильна задаче «Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = / (х) и у = g (х) ». В связи с этим в обязательные результаты обучения включены задачи, в которых требуется путем решения уравнения или системы уравнений найти координаты точек пересечения графиков функций, а также умение решить графически систему уравнений. Так как программа по математике предусматривает геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то обязательным для каждого учащегося является владение геометрическим методом решения систем для этого случая.

2.3. Геометрия, VII—IX классы

Особенности планирования обязательных результатов обучения по курсу планиметрии

Курс планиметрии традиционно занимает особое место в вопросе логического развития школьников. В программе по математике развитие логического мышления учащихся рассматривается как одна из целей изучения планиметрии, так как здесь по сравнению с другими дисциплинами учащимся предоставляются большие возможности для этого. Действительно, курс геометрии традиционно строится на дедуктивной основе, что само по себе уже способствует развитию логической культуры учащихся. Кроме того, по сравнению с другими математическими курсами он не столь алгоритмичен. Если в курсе алгебры алгоритмы решения являются предметом изучения, то в курсе геометрии большинство задач для своего решения требует составления алгоритма самими учащимися. При этом поиск путей решения задачи или доказательства теоремы зачастую связан с большим числом вариантов возможных соединений известных фактов, поэто-

му в процессе поиска решения задачи велика роль логического мышления.

Общая структура логического вывода заключается в приведении аргументов, подводящих рассматриваемый объект под общее правило, и получении соответствующего заключения об этом объекте. В геометрии это, например, выражается в применении какой-либо теоремы или определения (аргументы: АВ=МК, ВС=КО, Z_ B=jL К, заключение: ААВС=АМКО).

Учащимся при изучении различных дисциплин иногда приходится иметь дело с довольно длинными цепочками подобных рассуждений. В частности, при изучении математики учащиеся должны осознанно воспринимать отдельные шаги при доказательстве теорем, а также логический переход от одного шага доказательства к другому. В решении задач учащиеся также должны вычленять отдельные этапы решения (а для сложных задач хотя бы осознавать такое расчленение задачи) и уметь решать выделенные подзадачи. Аналогичная деятельность требуется при решении задач по любой дисциплине (для выстраивания логической цепочки рассуждений или определения хода решения задачи), а также вообще для проведения любых доказательных рассуждений.

Осуществлению цели развития логического мышления учащихся в процессе изучения геометрии способствует традиционное использование в ходе обучения значительного числа задач на доказательство и проведение обоснований при решении вычислительных геометрических задач. Соответственно этому в требования к математической подготовке учащихся включены следующие.

— уметь решать типичные задачи на доказательство, опираясь на сведения, изученные в курсе;

— уметь проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач.

Одной из особенностей курса планиметрии является то, что его изучение ведется в среднем звене и поэтому является опорным для следующей ступени обучения. Среди целей изучения курса в программе предусмотрена подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии в старших классах.

При анализе потребностей в планиметрической подготовке курсов стереометрии и смежных предметов (главным образом, физики) следует учитывать, что требования к знаниям и умениям учащихся, предъявляемые к изучению теории и решению задач, неодинаковы.

Рассмотрение теоретического материала, как правило, происходит с помощью учителя, и от учащихся требуется понимать общий ход рассуждений и осознанно воспринимать отдельные этапы доказательства. Для тех теорем, которые учащиеся должны уметь воспроизводить, требуется также, чтобы учащиеся запомнили метод и ход доказательства и могли воспроизвести его элементы. Что касается планиметрической подготовки учащихся, то здесь требуется в основном проводить несложные рассуждения, включающие подведение под определение понятия или теорему и

вывод на основании определения или теоремы о выполнении тех или иных свойств.

Таким образом, в ходе анализа теоретического материала курса стереометрии необходимо выявить в каждом доказательстве, какие участвуют в нем понятия и факты, а также характер их применения (например, для распознавания объекта или для вывода о его свойствах).

Анализ программы по курсу стереометрии и различных ее реализаций в учебных пособиях позволяет выделить инвариантные требования к планиметрической подготовке учащихся. Так, для изучения вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве от учащихся в основном требуется владение общими понятиями параллельности и перпендикулярности прямых, знакомство с аксиомами планиметрии. Для изучения многогранников и тел вращения — владение понятиями многоугольника и его частных видов, окружности; умения применять признаки и свойства параллелограмма, равенства и подобия треугольников; знание формул длины окружности, площадей треугольника, прямоугольника, трапеции и круга.

К планиметрической подготовке учащихся, необходимой для решения стереометрических задач, как правило, предъявляются высокие требования к самостоятельности оперирования известными фактами. Это связано с тем, что задачи учащиеся либо должны уметь решать самостоятельно, либо, если задача решается с помощью учителя, сознательно воспринимать решение и уметь выполнять отдельные его элементы. Причем даже во втором случае следует заметить, что планиметрическая часть решения задачи не должна вызывать затруднения у учащихся, т. е. умения решать планиметрические блоки должны быть сформированы заранее —в курсе планиметрии.

Задачный материал к курсу стереометрии в значительной степени зависит от того, на какой основе строится теоретический курс и какие методы используются в изложении теории. Однако даже в рамках одного и того же способа изложения теоретического материала возможен достаточно большой произвол в подборе задач к данному курсу. Понятно, что подготовка решения всех возможных задач для разных вариантов курса стереометрии не только является трудноосуществимой задачей, но это и вряд ли целесообразно. Более естественным представляется подход, при котором выявляются умения, обеспечивающие возможность самостоятельного выполнения планиметрической части решения задач, характеризующих обязательные результаты обучения для курса стереометрии, а также более широкого круга задач, традиционно используемых в разных курсах стереометрии независимо от того, на каких основах построен курс. Такие задачи могут быть в ходе фронтального обсуждения расчленены на отдельные подзадачи, которые учащиеся должны уметь решать самостоятельно, и в частности, самостоятельно выполнять решение тех частей, которые связаны с планиметрией. Анализ стереометрического задачного материала показывает, что и те и другие задачи, как правило, содержат одни и те же

подзадачи, для решения которых необходима одинаковая планиметрическая подготовка. Заметим, что решение стереометрических задач требует не только владения конкретным планиметрическим материалом, но и общего развития логического мышления, поскольку учащимся зачастую приходится иметь дело с решениями, содержащими несколько логических шагов.

Рассмотрим для примера, какая планиметрическая подготовка необходима для решения задач на определение объема и площади поверхности правильных треугольных пирамид по ребру и стороне основания.

Такие задачи (в общем виде или с числовыми данными в полной формулировке, или в виде отдельных подзадач) традиционно используются при изучении стереометрии, входят в систему упражнений практически всех учебных пособий для средней школы. Они имеют самостоятельную значимость, а не являются вспомогательными задачами. Отдельные подзадачи, на которые они разбиваются, входят в планируемые результаты обучения стереометрии.

Разберем задачу: Найдите объем правильной треугольной пирамиды по боковому ребру Ъ и стороне а. Учащиеся должны найти площадь основания и высоту пирамиды и воспользоваться формулой объема пирамиды. Высоту DO пирамиды (рис. 2) можно вычислить по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOD, вычислив предварительно АО. Для того чтобы вычислить АО, учащиеся используют то, что ЛО —радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Значит, для осуществления планиметрической части решения задачи учащиеся должны уметь:

— находить радиус окружности, описанной около правильного треугольника, по стороне треугольника;

— применять теорему Пифагора для вычисления катета прямоугольного треугольника;

— вычислять площадь правильного треугольника по его стороне. Таким образом, к обязательным результатам обучения курсу планиметрии и следует отнести задачи типа:

1) Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 6 см.

2) Найдите площадь правильного треугольника со стороной 6 см.

3) Из точки А на прямую m проведены перпендикуляр AB и наклонная АС. Найдите AB, если АС =10 см и ВС=8 см.

Для вычисления полной или боковой поверхности данной пирамиды необходимо найти еще и площади боковых граней, т. е. учащиеся должны уметь вычислять площадь равнобедренного треугольника,

Рис. 2

Рис. 3

зная его основание и боковые стороны. Это значит, что к первым трем задачам нужно добавить следующую:

4) Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 73 см и основанием 24 см.

Еще одной характерной особенностью курса геометрии является широкий спектр конфигураций, использующихся в задачах. В алгебре, например, отработка умений решать квадратные уравнения примерно одинакового уровня сложности осуществляется в ходе выполнения достаточно однообразных упражнений. В курсе планиметрии ситуации, в которых реализуются определенные умения, весьма разнообразны. Например, на рисунке 3 отражены некоторые конфигурации, связанные с применением первого признака равенства треугольников.

Таким образом, для выделения задач, характеризующих обязательные результаты обучения, необходимо определить не только уровень сложности этих задач, но и отобрать конфигурации, которые должны быть в них отражены. При этом к обязательным целесообразно отнести такие конфигурации, которые встречаются учащимся в дальнейшем, в частности при изучении стереометрии, физики в старших классах.

Характеристика обязательных результатов обучения по курсу планиметрии

Школьный курс планиметрии выстраивается в соответствии с развитием четырех содержательных линий, обозначенных в разделе «Содержание обучения» программы по математике для средней школы. Это следующие линии: геометрические фигуры и их свойства, геометрические величины, элементы тригонометрии, координаты и векторы.

Проанализируем содержание, относящееся к каждой из указанных линий, и посмотрим, в какой степени должен быть усвоен материал, чтобы на минимально необходимом уровне выполнялись требования программы.

Геометрические фигуры и их свойства

В курсе планиметрии в соответствии с этой содержательной линией рассматриваются различные геометрические фигуры (прямые, углы, треугольники, различные виды четырехугольников, многоугольники, окружность и круг); изучаются вопросы, связанные со свойствами смежных и вертикальных углов, равнобедренного треугольника, треугольников и правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности, вопросы, связанные с параллельностью и перпендикулярностью прямых, равенством и подобием треугольников; изучаются теорема Пифагора и теорема о сумме углов треугольника, составляющие основу для проведения вычислений элементов фигур; рассматриваются виды движений, построения с помощью циркуля и линейки.

В соответствии с требованиями к математической подготовке учащиеся должны уметь решать типичные задачи на доказательство, вычисления и построения; при этом свойства геометрических фигур играют опорную роль: служат основой для проведения обоснования и составления алгоритма решения.

Описания требований к умениям учащихся решать задачи, как правило, связаны с указанием уровня сложности задач, определяемого по количеству логических шагов решения. В связи с этим следует сделать два замечания. Во-первых, понятие «шаг доказательства» не всеми понимается однозначно. Это связано с тем, что элементарные логические шаги решения геометрических задач далеко не равноценны. Так, например, указать, равенство вертикальных углов или равенство углов, вытекающее из определения биссектрисы, для учащихся легче, чем равенство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей. Во-вторых, указывать единый обязательный уровень сложности задач представляется неправильным. Так, если задача характеризует некоторый набор умений, входящий в аппарат изучения стереометрии или физики, то, очевидно, должен быть достигнут уровень, соответствующий уровню использования этого аппарата. Он может колебаться от непосредственного применения некоторого факта или формулы до 3—4 шаговых задач, отражающих некоторые стандартные ситуации. Если же речь идет о материале, имеющем общеобразовательное значение, или о формировании общих умений проводить логические рассуждения, то здесь можно попытаться установить некий определенный обязательный уровень сложности. Так, для задач на применение некоторого материала, имеющего общеобразовательное значение, но не играющего аппаратной роли, за обязательный можно принять уровень непосредственного применения рассматриваемого факта. Минимальным уровнем проведения логических рассуждений, по-видимому, является умение строить цепочку из двух логических шагов. Причем под такими шагами мы будем понимать некоторые подзадачи, которые должны быть просты, но не обязательно состоять из одного элементарного умозаключения (в этом смысле мы и говорим об «основных» шагах).

Рассмотрим возможные двухшаговые задачи на примере задач на при-

знаки равенства треугольников. Здесь следует заметить, что, хотя они не находят особенно широкого применения при обучении в старшем звене, все же в курсе планиметрии они играют заметную роль. В частности, решение задач на применение признаков равенства треугольников создает богатые возможности для развития логического мышления учащихся, а также для проверки сформированности умений проводить доказательные рассуждения.

В решении комплексных задач на признаки равенства треугольников центральным логическим шагом является заключение о равенстве треугольников на основании трех равенств соответствующих элементов треугольников. Этот шаг может предваряться доказательством равенств элементов, необходимых для применения признака. После же центрального шага может быть сделан следующий — вывод о равенстве каких-то других соответствующих элементов треугольников.

Значит, двухшаговые задачи будут состоять из центрального и предваряющего или центрального и последующего шагов. Примером минимальной двухшаговой задачи могла бы служить такая задача, в которой три необходимых равенства элементов даны в условии и требуется доказать равенство соответствующих элементов, не данных в условии. Однако первый шаг может быть и несколько усложнен за счет выявления у данных треугольников общей стороны, использования понятия середины отрезка или биссектрисы угла, т. е. можно создать ситуацию, которая не требует специального доказательства равенства отрезков или углов. Приведем пример такой задачи:

1) На сторонах угла А отложены равные отрезки AB и АС, а на биссектрисе угла отмечена точка D. Докажите, что BD = CD.

К этому же уровню сложности можно отнести и следующую задачу:

2) Отрезки AB и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой каждого из них. Докажите, что АС = BD.

Здесь равенство вертикальных углов является хорошо знакомым фактом, к тому же наглядно видным на рисунке. Кроме того, и сама конфигурация должна быть знакома учащимся (центральная симметрия). Таким образом, введенное усложнение ситуации не столь значительно, чтобы считать доказательство равенства углов самостоятельным логическим шагом.

Другая ситуация возникает, когда, например, дан равнобедренный треугольник ABC и на его основании АС отложены равные отрезки AD и СЕ. Здесь для доказательства равенства треугольников ABD и СВЕ нужно обосновать равенство сторон AB и ВС я углов Л и С (рис. 4). Такие обоснования мы относим к первому логическому шагу, а значит, требование должно ограничиваться доказательством равенства треугольников.

Рис 4

Это значит, что как обязательный результат обучения можно рассматривать умение решить следующую задачу:

3) На основании АС равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AD и СЕ. Докажите, что AABD = АСВЕ.

При решении задач на подобие треугольников центральный шаг (применение признака подобия), как правило, предваряется обоснованием равенства соответствующих углов. В таком случае требование задачи должно заключаться в доказательстве подобия треугольников. Однако задачи на подобие треугольников являются важными и с точки зрения применения алгебраического метода. Задача же вычисления неизвестных элементов подобных треугольников сама состоит из двух основных шагов: составления пропорции из условия подобия треугольников и решения пропорции. Поэтому, если задача включается в обязательные результаты обучения, она должна быть в самой своей формулировке разбита на две подзадачи, т. е. содержать два требования: доказать подобие треугольников и вычислить неизвестные элементы.

До сих пор, обсуждая обязательные результаты обучения, мы говорили о том, какие задачи должны уметь решать все учащиеся. Однако описание обязательного уровня подготовки учащихся будет неполным, если не уточнить, что значит, что учащийся решил задачу. Известно, что разные учащиеся могут выполнить решение одной и той же задачи на разных уровнях. Значит, для того чтобы решать вопрос, достиг или не достиг учащийся обязательных результатов обучения, умеет или не умеет он решать определенные задачи, нужно задать и минимально обязательный уровень выполнения их решения.

Естественным обязательным требованием является то, что учащиеся должны уметь определить ход решения задачи, т. е. разбить ее на простые подзадачи и применить необходимые геометрические факты. Заметим, что применение некоторого факта не означает, что на этот факт обязательно дается формальная ссылка: главное, что он используется в решении.

Видимо, уровень выполнения решения, при котором формальные ссылки не приводятся, но все необходимые факты используются, можно считать достаточным для обеспечения последующего обучения. Рассмотрим варианты такого решения указанной выше задачи № 2 о пересекающихся отрезках. Пусть, например, при ее решении учащиеся приведут следующие рассуждения: «Так как СЕ = DE, АЕ = BE, L_ АБС =/_BED, то ААСЕ = ABDE. Значит, АС = BD». Здесь верно определен ход решения задачи и использованы все необходимые факты: равенство вертикальных углов, признак равенства треугольников, определение равных треугольников. При этом на свойство вертикальных углов ссылка не дана, на признак равенства треугольников и определение равных треугольников ссылки даны не в формальном виде, а в содержательном («так как то ...», «..., значит, ...»).

Возможно и другое выполнение решения, которое также можно отнести к обязательному уровню: учащиеся на рисунке помечают равные

отрезки и равные вертикальные углы, а в решении записывают: «ЛЛСЕ = ABDE (по двум сторонам и углу между ними). Значит, АС = BD».

В обоих приведенных вариантах решения задачи на доказательство обоснования, хотя и неполные, приведены. В решении же вычислительных задач допустимая степень аргументированности решения может быть еще ниже. Здесь применение геометрических фактов во многих случаях может сводиться к их использованию для составления алгоритма вычислений. Покажем это на примере вычислительных задач на применение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора находит очень широкое применение для вычислений в курсах планиметрии и стереометрии, физики. Применение теоремы Пифагора наиболее часто связано с такими геометрическими конфигурациями, как прямоугольник и квадрат, высота, проведенная в равнобедренном или правильном треугольнике, касательная к окружности, радиус, перпендикулярный хорде. Для этих конфигураций должны быть отработаны прочные навыки применения теоремы.

Рассмотрим две задачи:

4) Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а высота, проведенная к основанию, равна 4 см. Найдите боковую сторону.

5) Стороны прямоугольника равны 6 сми 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.

Обе задачи двухшаговые. Кроме выявления прямоугольного треугольника и применения теоремы Пифагора, в решении первой задачи используется свойство высоты равнобедренного треугольника, а в решении второй—тот факт, что центр окружности, описанной около прямоугольника, есть точка пересечения его диагоналей и что диагонали прямоугольника делятся в этой точке пополам. Если при решении первой задачи учащиеся, выполнив рисунок 5, вычислят отрезок AD (AD = 6:2 = 3), запишут для треугольника ABD теорему Пифагора (AB2 = BD2 + AD2) и вычислят сторону AB, то тем самым они покажут знание теоремы Пифагора, свойства высоты равнобедренного треугольника и умение применить их в конкретной ситуации. Такое решение можно считать выполненным на достаточном уровне. В то же время это минимальный уровень, обязательный для всех учащихся.

Аналогично решение второй задачи учащиеся могут выполнить без ссылок на используемые теоретические факты. Однако заметим, что для такого решения учащиеся должны знать как факт, что диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, а точка пересечения диагоналей — ее центром.

Приведенные выше варианты выполнения решения задач дают примеры решения на минимальном

Рис. 5

обязательном уровне, которого должны достигнуть все учащиеся. Естественно, что в процессе обучения необходимо на определенных этапах приводить более полные обоснования и поощрять учащихся обосновывать свои действия.

Теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора составляют основу решения многих разнообразных задач (в том числе и задач обязательного уровня) и в то же время имеющих самостоятельное значение, так как достаточно часто их использование происходит в неопосредованном виде. Поэтому наряду с комбинированными задачами, включающими применение этих фактов, в обязательные результаты обучения мы включаем задачи на их непосредственное применение.

6) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а один из катетов— 12 см. Найдите второй катет.

7) Два угла треугольника равны 37° и 50°. Чему равен третий угол?

К рассматриваемой содержательной линии относится материал, связанный с проведением построений при помощи циркуля и линейки, и с изучением видов движений — центральной и осевой симметрий, поворота и параллельного переноса.

В зафиксированных в программе требованиях к математической подготовке учащихся по курсу планиметрии указано, что учащиеся должны уметь выполнять основные построения циркулем и линейкой и решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений. Умения выполнять построения циркулем и линейкой, формируемые в курсе планиметрии вместе с навыками выполнения чертежей, полученными при изучении курса черчения, развивают графическую культуру учащихся, необходимую как для изучения математики, так и для различного рода практической деятельности, в том числе для трудового обучения в школе. К основным построениям, выполняемым циркулем и линейкой, можно отнести построения отрезка, равного данному; угла, равного данному; треугольника, равного данному; деление отрезка и угла пополам; проведение перпендикуляра к данной прямой.

Задачи, сводящиеся к выполнению основных построений, способствуют развитию геометрического видения и логического мышления учащихся, поскольку их решение связано с выделением в конфигурации, которую требуется построить, простейших конструкций, выполняемых по изученным алгоритмам. Таким образом, при решении учащиеся должны проанализировать задание с целью выделения подзадач, которые относятся к основным задачам на построение. Однако подобная аналитическая деятельность может быть доступной для основной массы учащихся только на достаточном низком уровне, то есть комбинированные задачи, характеризующие обязательные результаты обучения, должны быть достаточно просты. К таким простым задачам относятся: задачи, при решении которых дублируется некоторое основное построение (например, деление отрезка или угла на четыре равные части), используются два основных построения (например, построение прямоугольного треугольника по двум

катетам) или при анализе используется один геометрический факт, позволяющий выйти на основное построение (например, построение основных изучаемых в курсе конфигураций — параллельных прямых, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата или таких построений, как построение равнобедренного треугольника по основанию и углу при основании). При решении указанных задач анализ минимален и выполняется устно без выделения в специальный раздел решения.

Основные задачи на построение учащиеся должны выполнять, делая непосредственные построения с циркулем и линейкой. В решении же комбинированных задач достаточно указать последовательность основных построений, необходимых для получения искомой фигуры.

Доказательство того, что построенная фигура является искомой, значительно повышает уровень сложности задач на построение; поэтому от всех учащихся в обязательном порядке его можно не требовать (хотя в обучающих задачах такие доказательства нужны). Исследование, направленное на выяснение условий существования и количества решений задачи на построение, также не относится к обязательным требованиям, так как представляет еще большую трудность для учащихся.

При изучении преобразований фигур на плоскости преобразования гомотетии и параллельного переноса, как правило, имеют вспомогательное значение. Они используются соответственно для введения преобразования подобия и понятия вектора. Таким образом, результаты изучения этих вопросов имеют не итоговый, а промежуточный характер. К итоговым же результатам будут относиться знания и умения, связанные с подобием треугольников и векторами.

Центральная и осевая симметрии, поворот являются самостоятельными объектами изучения и иллюстративным материалом, на котором можно конкретизировать свойства движений. При этом больший интерес с точки зрения обязательных результатов обучения представляют преобразования симметрии, поскольку они более доступны для усвоения и, кроме того, с примерами симметрий учащиеся встречаются при изучении стереометрии, алгебры и начал анализа, физики. Определения симметрий относительно точки и прямой учащиеся должны усвоить на конструктивном уровне, т. е. строить точки, симметричные данным. Свойства движений они могут также использовать на конструктивном уровне —при построении симметричных фигур. Следует иметь в виду, что в курсе алгебры и начал анализа при изучении четных и нечетных функций использование симметрий связано с координатами. Поэтому целесообразно включить в обязательные результаты обучения построение точек, симметричных данным относительно осей координат или начала координат, и определение координат этих точек.

Геометрические величины

В разделе программы по математике «Содержание обучения» к этой содержательной линии отнесены вопросы, связанные с изучением длин,

величин углов и площади. Некоторые из этих вопросов, такие, как длина отрезка, величина угла и их свойства, рассматриваются на начальных этапах изучения курса планиметрии. Умения учащихся, характеризующие уровень усвоения этих вопросов, являются элементарными умениями оперирования с длинами отрезков и мерами углов, необходимыми для решения задач на вычисление сторон, углов (а также других элементов) и периметров треугольников, четырехугольников, правильных многоугольников. К итоговым обязательным результатам обучения следует отнести не элементарные умения, а именно умение решать комбинированные задачи.

Понятие расстояния от точки до прямой непосредственным образом связано с понятием перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, использование которого как в планиметрии, так и в стереометрии влечет за собой рассмотрение прямоугольного треугольника. Уровень усвоения понятия о расстоянии от точки до прямой характеризуется умением перейти от формулировки, использующей это название, к конфигурации с прямоугольным треугольником. Затем применяются знания и умения учащихся, относящиеся к другому материалу, например к использованию теоремы Пифагора или доказательству равенства прямоугольных треугольников.

Так, например, задача обязательного уровня на признаки равенства прямоугольных треугольников может быть дана в следующей формулировке:

8) Прямая m пересекает отрезок AB в точке О, являющейся серединой отрезка AB. Докажите, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой т.

Изучение площадей плоских фигур имеет общеобразовательное и прикладное значение. Общие представления о площади как величине, характеризующей плоские фигуры, об основных свойствах площади и умения вычислять площади простейших фигур широко используются в жизни, в различных областях науки, технической и другой профессиональной деятельности. В школьном обучении знания учащихся о площадях применяются в курсе физики. При решении задач на вычисление объемов и поверхностей тел в курсе стереометрии учащиеся должны уметь вычислять площади оснований и боковых граней пирамид, призм, параллелепипедов, конусов и цилиндров. Причем для задач на многогранники наиболее типичными являются случаи, когда в основании лежат правильные или прямоугольные треугольники, квадраты и прямоугольники, а боковыми гранями являются равнобедренные треугольники. Значит, в курсе планиметрии умения вычислять площади этих фигур должны быть отработаны. При этом уровень сложности задач, описывающих обязательные результаты обучения, относящихся к этим типичным случаям, должен быть выше непосредственного применения соответствующей формулы. Решение указанных задач должно включать еще и предварительное вычисление некоторых величин элементов данных фигур, входящих в эту формулу.

Умения вычислять длину окружности и дуги окружности, площадь

круга и кругового сектора с точки зрения последующего обучения и потребностей практики можно ограничить применением соответствующей формулы.

Для задач на отношение площадей подобных фигур (даже в самой их простой постановке) решение содержит не менее двух шагов. Это могут быть задачи, где в условии задается подобие треугольников и коэффициент подобия (или длины сходственных сторон); требуется же вычислить отношение площадей треугольников или площадь одного из них, когда дана площадь другого. Если же в задаче требуется доказать подобие треугольников, то это требование должно быть сформулировано в виде отдельного подпункта. Приведем пример такой задачи:

9) Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC , пересекает стороны AB и ВС соответственно в точках M и К.

а) Докажите, что АВМК со ABAC.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если Smbk = 12 см2, AB = 3 см, MB = 2 см.

Элементы тригонометрии

Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника вместе с теоремой Пифагора образуют аппарат вычисления элементов прямоугольных треугольников. В свою очередь, решение прямоугольных треугольников имеет широкое применение в решении большого количества задач, в которых возникают конфигурации, связанные с прямоугольными треугольниками. В курсе планиметрии это ситуации, возникающие при проведении высоты в треугольнике, перпендикуляра и наклонной к прямой, радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника или многоугольника и т. п. В курсе стереометрии это ситуации, связанные с проведением перпендикуляра и наклонной к плоскости, высоты в пирамиде и призме и т. п. Используется этот аппарат и в курсе физики.

От учащихся требуется активное владение аппаратом решения прямоугольных треугольников. Они должны уметь вычислять все неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника. Таким образом, к обязательным результатам обучения следует отнести умения решать задачи типа

10) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 8 см,/_А= 48°. Найдите остальные элементы треугольника.

Для решения учащиеся могут использовать готовые правила для вычисления элементов прямоугольного треугольника (такие, как «Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего к нему угла») либо непосредственно применять определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Одним из элементов решения прямоугольных треугольников является нахождение значений синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Таким образом, от учащихся требуются умения работать либо с тригонометрическими таблицами, либо с электронным калькулятором. При работе с табли-

нами в качестве обязательного требования можно ограничиться умениями находить значения синуса, косинуса, тангенсов для углов, величина которых задается целым числом градусов.

Владение аппаратом решения прямоугольных треугольников подразумевает также умение использовать его в решении комбинированных задач. Так, например, к обязательному уровню отнесена следующая задача:

11) Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а угол приосновании равен 40°. Чему равна высота треугольника, проведенная к основанию?

Здесь для составления алгоритма решения учащиеся должны помимо применения элементов тригонометрии использовать свойство высоты равнобедренного треугольника.

Применение элементов тригонометрии часто дает более экономное решение ряда задач по сравнению с применением других методов. Это относится в первую очередь к конфигурациям, где естественно возникают углы в 30 , 45 , 60 (например, к конфигурациям, содержащим равнобедренный прямоугольный треугольник или правильный треугольник с проведенной в нем высотой). Так, вычисление высоты правильного треугольника можно проводить с опорой на теорему Пифагора либо рассматривая эту высоту как катет в прямоугольном треугольнике с углом 60 .

Второй путь позволяет сразу получить результат, который при первом способе решения получается при помощи алгебраических преобразований.

Наряду с задачами обязательного уровня, решение которых возможно как с применением элементов тригонометрии, так и без* него, мы отнесли к обязательным результатам обучения задачи на непосредственное вычисление элементов прямоугольного треугольника.

12) Катет АС прямоугольного треугольника равен 10 см. Найдите второй катет и гипотенузу, если угол А равен: а) 30°; б) 60°; в) 45°.

Заметим, что учащиеся могут при решении таких задач находить значения синуса, косинуса, тангенса углов в 30 , 60 , 45 по таблицам, справочникам, а могут знать их наизусть. Неоднократное решение подобных задач в процессе обучения способствует запоминанию данных значений, что будет весьма полезным для решения задач; однако знание этих значений наизусть, видимо, не следует относить к обязательным результатам обучения планиметрии.

Решение косоугольных треугольников в школьном курсе геометрии как аппарат активно не используется. Однако рассматриваемый материал имеет общеобразовательное значение: в ходе его изучения у учащихся должны быть сформированы представления о методах решения косоугольных треугольников (применение теорем синусов и косинусов). В процессе обучения при решении задач необходимо, чтобы учащиеся осознанно воспринимали отдельные шаги решения. Поэтому достаточным требованием к усвоению данного материала можно считать следующее: учащиеся должны уметь находить один из неизвестных элементов треугольника, применяя теорему синусов или теорему косинусов в наиболее простых ситуациях.

Так, например, к обязательному уровню отнесены задачи типа 13) В треугольнике ABC АС = 10см,/_С = 36°, L. В = 48°. Определите сторону AB.

При решении ряда задач учащиеся должны уметь найти значения синуса или косинуса тупого угла (воспользовавшись формулами sin (180 — а) = sin tr, cos (180 — а) = — cos а). Таким образом, задачи, связанные с нахождением синуса и косинуса тупого угла, также включены в список обязательных задач.

Координаты и векторы

Векторы. Векторный аппарат активно применяется в курсе физики. При этом используются действия над векторами и в геометрической, и в координатной формах. Так, при изложении материала, связанного с перемещением тела, вектор рассматривается как направленный отрезок; вводится понятие о проекциях вектора на координатные оси (а курсе геометрии это — координаты вектора); показывается, что проекция вектора равна изменению соответствующей координаты положения тела (в геометрии — координата вектора равна разности соответствующих координаты конца и координаты начала). Операция сложения векторов сначала рассматривается в геометрической форме, после чего показывается, что проекция суммы векторов на заданную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (в геометрии — каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов).

Необходимый уровень овладения векторным аппаратом определяется характером использования введенных понятий и операций при изучении последующего материала. Так, для усвоения теоретического материала и решения задач при изучении основ кинематики и динамики учащиеся должны уметь находить координаты вектора, если заданы координаты его начала и конца; абсолютную величину вектора, заданного его координатами начала и конца; сумму двух векторов и их простейшие линейные комбинации—в геометрической и координатной формах. Кроме того, учащиеся должны иметь представление о коллинеарных и неколлинеарных векторах и о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Изучение работы под действием силы связано с понятием скалярного произведения векторов; при этом используется формула А = FS cos а, где F —модуль вектора силы; S— модуль вектора перемещения; а —угол между векторами силы и перемещения. Для этой формулы рассматриваются частные случаи, когда сила и перемещение перпендикулярны и противоположно направлены. Обучение по этому материалу будет более эффективным, если в результате изучения векторов в курсе планиметрии учащиеся будут знать формулу а -5— I ä I • 161 cos а и условие равенства нулю скалярного произведения двух векторов (их перпендикулярность), уметь вычислять скалярное произведение двух векторов через их абсолютные величины и угол между ними.

Координаты. Изучение координат в планиметрии характеризуется тес-

ними связями с другими предметами математического цикла. Первые представления о декартовой системе координат учащиеся получают при изучении математики в V—VI классах. Там формируются умения, связанные с определением координат точек в координатной плоскости и построением точек по заданным координатам. Эти умения развиваются при изучении в курсе алгебры графиков функций. Таким образом, изучение координат в планиметрии может базироваться на сформированных ранее умениях. В свою очередь, формируемые здесь знания и умения учащихся, связанные с координатами, используются как в самом курсе планиметрии, так и в курсах алгебры и начал анализа, стереометрии и физики. Кроме того, следует отметить большую общеобразовательную и прикладную ценность координатного метода, который находит широкое применение в различных областях практической деятельности.

Каковы же те основные результаты обучения, которых следует добиваться при изучении координат? В первую очередь, это практические умения, связанные с применением известных формул и уравнений. Естественно, что при этом к обязательным результатам относится и знание самих этих формул и уравнений. Так, например, учащиеся должны знать формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками и уметь применять их для проведения конкретных вычислений. При этом использование указанных формул должно носить не только чисто аналитический характер: нужно, чтобы учащиеся могли применить их и в некоторой геометрической ситуации (например, при изучении параллельного переноса в теме «Векторы на плоскости» формула координат середины отрезка применяется для определения координат точки пересечения диагоналей).

С уравнением прямой учащиеся знакомы из курса алгебры. При изучении планиметрии рассматривается также общее понятие уравнения фигуры, которое конкретизируется уравнениями прямой и окружности. Уровень усвоения общего понятия уравнения фигуры может быть ограничен наглядными представлениями учащихся, а также пониманием связи между принадлежностью точки данной фигуре и тем, что ее координаты удовлетворяют уравнению фигуры. Это понимание проверяется выполнением заданий типа

14) Проверьте, лежит ли точка (5, —1) на окружности, заданной уравнением (х - 3) + (у + /)2 = 4.

Знания учащихся об уравнении окружности могут в дальнейшем использоваться в курсе алгебры в качестве примеров графиков нелинейных уравнений. Простейшими заданиями обязательного уровня являются определение радиуса и координат центра окружности по ее уравнению (что является предпосылкой для практического построения окружности, заданной уравнением), а также обратная задача: составление уравнения окружности, если известны координаты ее центра и радиус.

Умение строить прямую, заданную уравнением, формируется в курсе алгебры. Однако при изучении алгебры учащиеся больше имеют дело с

уравнениями вида у = kx + т. При изучении координат в курсе планиметрии должны отрабатываться навыки построения прямой, когда она задана уравнением типа ах + by + С = 0. При этом учащиеся могут находить координаты любых двух точек прямой или точек ее пересечения с осями координат.

2.4. Алгебра и начала анализа, X—XI классы

Особенности планирования обязательных результатов обучения по курсу алгебры и начал анализа

Содержание курса алгебры и начал анализа, его место в системе школьных математических предметов определяют особенности планирования результатов обучения по данному курсу.

Во-первых, следует отметить, что в программе по математике относительно алгебры и начал анализа достаточно четко подчеркивается содержательный аспект изучения элементов математического анализа, ярко выраженная практическая направленность обучения. Так, например, отмечается, что «курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости»1.

В задачи обучения прежде всего входит показ принципиальной возможности применения элементов математического анализа к решению различного рода геометрических, физических и других практических задач. При этом специально оговаривается, что в задачи общеобразовательной школы не входит формирование специальных умений и навыков, связанных с техникой дифференцирования и интегрирования.

Исходя из вышесказанного при выделении уровня обязательной подготовки учащихся в первую очередь учитывались задачи содержательного раскрытия основных понятий и методов элементов математического анализа и овладения их применением при решении прикладных и практических задач.

Во-вторых, необходимо особо учитывать то обстоятельство, что курсом алгебры и начал анализа завершается изучение алгебры в средней школе. Иными словами, формирование всех умений и навыков, которые указываются в программе по математике для средней школы (навыки вычислений, умения производить тождественные преобразования, умения решать уравнения и неравенства), должно быть завершено на этой ступени обучения. У преподавателя уже не будет возможности вернуться к этому вопросу в ходе дальнейшего обучения (как это имеет место в восьмилетней школе). Таким образом, планирование результатов обучения по мно-

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986 — С. 11.

гим темам, которые не получают дальнейшего развития в последующих разделах рассматриваемого нами курса, во многом носит итоговый характер.

В-третьих, при планировании уровня обязательной подготовки учащихся необходимо учитывать то обстоятельство, что выделенные в программе умения по курсу алгебры и начал анализа имеют ярко выраженный комплексный (комбинированный) характер. Действительно, например, умение находить промежутки возрастания (или убывания) функции предполагает овладение умением находить производную функции, умение решать соответствующие виды неравенств, умение сделать вывод из полученных данных. Поэтому при определении уровня обязательной подготовки учащихся нужно ориентироваться на оптимальное число элементарных операций (элементарных умений), входящих в задачи, характеризующие обязательные результаты обучения.

И последнее, что нужно иметь в виду,—это потребности в соответствующем математическом обеспечении таких школьных предметов, как физика, химия, экономическая география. Так, в курсе физики активно используются умения проводить различные тождественные преобразования, связанные с выражением одного из параметров, входящих в формулу, через другие. Или при изложении теоретического материала требуется сформированность умения построить графики, например, гармонических колебаний. Таким образом, планируя уровень обязательной подготовки, необходимо учитывать потребности тех школьных предметов, при изучении которых используется математический аппарат курса алгебры и начал анализа.

Характеристика обязательных результатов обучения

Покажем, как указанные особенности определения уровня обязательной подготовки учащихся учитывались при разработке планируемых результатов обучения по различным разделам курса алгебры и начал анализа.

Начнем с содержательных линий, которые относятся к элементам математического анализа: «Элементы математического анализа» и «Приложения математического анализа»1.

Таблица производных

Владение таблицей производных предполагает собственно знание формул производных элементарных функций, а также умение распознавать вид функции по задающей ее формуле. Например, для нахождения производной функции / (х) = Xs ученик должен сначала в заданной формуле распознать степенную функцию, а затем применить формулу для про-

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.-С. 18, 19.

изводной степенной функции. Заметим, что умение по данным формулам распознавать различные функции (линейную, квадратичную и др.) формируется в восьмилетней школе; поэтому основой успешного решения подобных заданий является только знание формул производных.

Производная суммы, произведения, частного

Успешное применение правил нахождения производной суммы, произведения и частного при решении конкретных задач обеспечивается знанием их содержания, а также знанием формул таблицы производных изучаемых функций. Кроме этого, у учащихся должно быть сформировано умение находить производные функций с использованием таблицы производных.

Нужно отметить, что для получения окончательного ответа (в стандартном виде) при решении задач на нахождение производной суммы, произведения, частного необходимо еще и проведение различных тождественных преобразований (например, умножение многочленов, приведение подобных членов, раскрытие скобок и пр.)1. Таким образом, для успешного нахождения производной суммы, произведения, частного, кроме знания соответствующих теорем и таблицы производных элементарных функций, у учащихся должно быть сформировано умение дифференцировать изученные функции (различные частные случаи элементарных функций). Так, например, учащиеся должны свободно находить производные

Эти частные случаи нужно отразить в планируемых результатах.

Признаки возрастания и убывания функции

Применение достаточного условия возрастания и убывания функции для решения конкретного задания складывается из овладения следующими элементами усвоения: умения находить производную (с использованием таблицы производных, теорем о производной суммы, произведения, частного), умения решать неравенства (для нахождения тех числовых про-

1 Умения, связанные с такими тождественными преобразованиями, которые формируются в восьмилетней школе, в планируемых результатах по алгебре и началам анализа указывать не будем.

межутков, где производная принимает положительные и отрицательные значения), собственно знание зависимости между знаком производной и характером монотонности функции. В перечень приведенных элементов можно было бы включить определение понятий возрастающей и убывающей функций. Однако заметим, что при решении заданий на нахождение промежутков возрастания и убывания функции это определение не является рабочим, т. е. оно не входит как составляющий элемент, не является основой для способа нахождения промежутков возрастания и убывания. При решении данной задачи учащиеся пользуются только терминами «возрастающая» и «убывающая» функции и геометрическими представлениями о возрастании и убывании функций. Кроме того, нужно отметить, что эти понятия изучаются в курсе алгебры восьмилетней школы, т. е. не являются собственно предметом изучения в курсе X— XI классов.

Умение решать неравенства с одной переменной (линейные, квадратные) входит в курс VII—IX классов. Для старших классов нужно зафиксировать умения решать показательные и логарифмические неравенства (что сделано при планировании результатов обучения по соответствующей линии программы).

Достаточные условия точек максимума и минимума функции

Применение теоремы о достаточных условиях точек максимума и минимума функции предполагает нахождение производной функции (с использованием таблицы, теорем о производных суммы, произведения, частного), нахождение критических точек функции (в связи с этим решение различных видов уравнений), собственно знание достаточных условий точек максимума и минимума.

Анализ выделенных элементов показывает, что для нахождения критических точек необходимо знание их определения. Заметим, что это определение является рабочим, т. е. оно дает руководство к способу нахождения точек. Таким образом, в список понятий курса, которые в обязательном порядке должен усвоить учащийся, должно быть включено понятие «критическая точка функции».

Исследование функций и построение графиков

Умение построить график функции предполагает овладение следующими умениями:

Проанализируем каждое из выделенных умений. Для решения задачи на нахождение области определения функции необходимо усвоить определение области определения функции. Оно является рабочим, так как дает руководство к действию по нахождению области определения. Но здесь нужно отметить, что это определение «приходит» в курс X—XI классов из девятилетней школы, где оно также активно используется при решении задач, поэтому должно быть уже усвоено учащимися. Кроме того, для успешного нахождения области определения учащимся необходимо уметь решать уравнения и неравенства различных видов.

О нахождении промежутков возрастания и убывания функции упоминалось выше. Здесь ученикам не нужно владеть определением понятий возрастающей и убывающей функций. Для успешного исследования функции и последующего изображения найденных ее свойств на координатной плоскости, т. е. для построения графика, необходимо овладение геометрическим образом возрастающей и убывающей функции, функции, имеющей в точке Xq максимум или минимум. В планируемые результаты обучения необязательно вносить отдельные элементы изображения графика функции (например, уметь изображать экстремумы), так как уже зафиксировано

общее требование, а именно: уметь строить график функции на основании проведенного исследования.

Нахождение экстремумов связано с отысканием точек экстремума, а также с определением собственно максимума или минимума функции, которое является рабочим (в указанном нами смысле).

Таким образом, анализ выделенных в программе «результатов» и «методов» математического анализа показывает, что умения по данным пяти содержательным линиям программы зафиксированы полностью, а в число понятий, подлежащих усвоению, необходимо включить еще два рабочих понятия: критическая точка и максимум (минимум) функции.

Важным этапом планирования результатов обучения является разработка системы задач, конкретизирующих каждое из выделенных умений или проверяющих владение основными понятиями и методами. Наличие в планировании этого этапа позволяет исключить неизбежно возникающие разночтения в обобщенном описании умений. Разработка списка задач позволит более точно охарактеризовать уровень сложности тех заданий, на которых должна проводиться проверка достижения обязательной подготовки. Действительно, ограничившись только описанием типа «уметь найти производную суммы, произведения, частного», мы не ответили, по крайней мере, на два вопроса. Во-первых, сколько представителей нужно брать, например, в сумме? Во-вторых, какие могут быть представители? Поясним это примером. Необходимо ли добиваться от всех учащихся, чтобы они умели находить производную произведения трех или четырех множителей в задании типа «Найдите производную функции / (х) = X3 (х + 1) (4 — х) »? Может быть, достаточно ограничиться произведением только двух функций? Например: «Найдите производную функции / (х) = я3 ех». Этот вопрос может быть отчасти решен, если в планируемых результатах мы укажем, что учащиеся должны находить производную произведения только двух функций. Однако второй вопрос опять же остается открытым: какие функции нужно брать для представителей суммы, произведения или частного? Например: «Найдите производную функции / (х) = (4х + З)3 sin X или функции / (х) = х • ех».

Таким образом, на данном этапе планирования ставится задача определить уровень сложности заданий, представляющих конкретные требования к математической подготовке учащихся и являющихся эталоном проверки достижения обязательных результатов.

Именно на этом этапе определения и описания планируемых результатов обучения для курса алгебры и начал анализа возникают значительные трудности. Для описания системы задач, например, для курса алгебры VII—IX классов есть «заявки» из курсов алгебры и начал анализа, геометрии и других предметов. Но поскольку курс алгебры и начал анализа является завершающим курсом математики, то для планирования результатов обучения у него нет «заявок» сверху; поэтому необходимо, во-первых, учитывать запросы смежных курсов. Решению этой сложной проблемы помогает также анализ требований, обеспечивающих успешное

усвоение последующих тем самого же курса алгебры и начал анализа. Например, планируя результаты обучения по содержательной линии программы «Элементарные функции», необходимо зафиксировать умение схематично изображать графики всех элементарных функций, в том числе уметь изображать и для различных частных случаев. Для квадратичной функции, например, изображать не только у = я2, но и у = я2 — 1, у = X2 + 1, у = 4 — X2, у = (х — I)2. Это требование обусловлено «запросами» темы, в которой изучаются интеграл и его приложения, где зафиксировано, что учащиеся должны уметь с помощью интеграла вычислять площади фигур, ограниченных заданными линиями. Одним из элементов решения подобной задачи является изображение графиков заданных в условии функций.

Наряду с этим принципом при подборе задач обязательного уровня мы четко соблюдали следующее правило: включались только те задачи, для решения которых у учащихся не формально, а фактически хватало запаса знаний и умений для получения верного ответа. Поясним это примером. Во многих пособиях по алгебре и началам анализа при исследовании функций с помощью производной и построении графиков приводятся задачи типа «Исследуйте функцию с помощью, производной и постройте ее график». Следуя схеме исследования, учащийся заполняет таблицу, в которой отражаются свойства функции в зависимости от поведения производной. В указанном выше примере такая таблица имеет вид:

Изображая на координатной плоскости данные своего исследования, ученик получает график (рис. 6), хотя очевидно, что на рисунке график совсем иной функции, а верным для рассматриваемого задания будет график функции, данный на рисунке 7, на котором имеется горизонтальная асимптота.

Таким образом, в обязательные результаты включены только те задачи, верное решение которых предполагает лишь знание теории и практических методов исследования и не требует привлечения еще каких-либо соображений.

Но к сожалению, не для всех задач, включенных в обязательные результаты, удалось найти объективные критерии, показывающие на необходи-

мость включения некоторой задачи или, наоборот, исключения ее из обязательных заданий. В силу этого на данном этапе планирования результатов обучения (наряду с анализом потребностей смежных дисциплин, учетом возможных взаимосвязей между различными темами внутри самого курса) на один из первых планов выступает экспертная оценка материалов. Для удобства проведения экспертизы предлагались специальные вопросы, в которых выявлялись мнения экспертов относительно уровня сложности задач, содержания, формы их предъявления.

Несколько иначе обстоят дела с содержательными линиями «уравнения и неравенства» и «тождественные преобразования». Относительно, например, линии «уравнения и неравенства» в требованиях к математической подготовке обозначено, что учащиеся должны «решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения, простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства; использовать тождественные преобразования для упрощения уравнений и неравенств»1. Поэтому при планировании результатов обучения нужно было привести примеры задач, характеризующих уровень обязательной подготовки. При отсутствии таких типовых задач могут возникнуть вопросы относительно, например, того, какие тождественные преобразования использовать, сколько формул можно включать в те уравнения или неравенства, упрощение которых будет предварительно проводиться. Все эти вопросы и сомне-

Рис. 6

Рис. 7

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.-» М.: Просвещение, 1986.-С. 12.

ния можно проиллюстрировать, например, двумя неравенствами различного уровня сложности, относящимися к решению логарифмических неравенств:

Не вызывает сомнений, что в систему задач должны войти простейшие виды тригонометрических, показательных и других уравнений, так как именно они обозначены в программе. Так, например, из тригонометрических уравнений включены наиболее значимые (с точки зрения отыскания свойств тригонометрических функций) частные случаи: sin# = l, cos X = — 1, tgx = 0. Выделение в обязательных результатах этих простейших уравнений важно в содержательном аспекте усвоения математики. Именно при решении простейших уравнений можно проверить понимание изучаемого материала, не отвлекаясь при этом на выполнение затушевывающих содержание различных технических выкладок. Так, важным скачком в сознании учащихся является решение тригонометрических уравнений. Действительно, в ответе, в том случае, когда уравнение имеет решение, всегда получается бесконечное множество решений.

Но случаями решения простейших уравнений и неравенств система задач не ограничена. Следуя представленным в программе требованиям, в нее должны быть включены задачи, решение которых предполагает проведение различных тождественных преобразований с целью упрощения уравнений и неравенств, сведения их к простейшим.

В программе указаны основные показательные и логарифмические тождества, преобразования показательных и логарифмических выражений, тождественные преобразования тригонометрических выражений и их применение к решению тригонометрических уравнений. В системе задач должны быть представлены такие уравнения и неравенства, которые сводятся к простейшим на основе указанных в программе теоретических фактов. Однако ясно, что указание только формул, которые могут участвовать в упрощающих преобразованиях, еще недостаточно для описания уровня сложности задания. Сравним, например, два уравнения:

Оба эти уравнения логарифмические. Для их решения нужно предварительно выполнить преобразования с использованием известных учащимся формул логарифмирования. Но в первом уравнении мы имеем стандартную ситуацию, много раз рассмотренную с учащимися, а во втором случае выражение переменной х не совсем очевидно, так как X является множителем числа, стоящего в левой части уравнения, и х — показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма в его правой части.

Рассмотренные примеры показывают, что для дальнейшего отбора задач нужен определенный руководящий принцип. За основу были приняты следующие соображения. Поскольку в программе не требуется фор-

мирования навыков решения различных уравнений и неравенств, то было решено в систему задач включить наиболее типичные случаи тождественных преобразований, упрощающих уравнения и неравенства, содержащиеся в уравнении в явном виде. Иными словами, условия заданий должны быть такими, чтобы для применения нужной формулы не требовалось никаких дополнительных перестроек условия. Примером может служить показательное уравнение 5 • 5 2 " 4х = 25* + 3, сводящееся к простейшему в результате непосредственного применения свойств степеней с одинаковыми основаниями.

Таким образом, в систему задач, характеризующих уровень обязательной подготовки, наряду с простейшими вошли уравнения и неравенства, сводящиеся к ним в результате явного и прямого применения обозначенных в программе преобразований. Кроме указанных, в систему задач включены также те уравнения, в решении которых используются изученные в девятилетней школе методы решения. Например, содержатся показательные и логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным (log2; X — 6 log2 X + 8 = 0), а также уравнения, решаемые с помощью разложения на множители, в том числе вынесением общего множителя за скобки (4х + 1 + 4х = 320). Включение таких уравнений обусловлено реализацией внутрипредметных связей курса математики, применением изученного ранее материала на новом массиве задач. Но подчеркнем еще раз, что на данном этапе планирования важная роль отводится экспертной оценке полученной системы задач.

2.5. Геометрия, X—XI классы

Особенности планирования обязательных результатов обучения по курсу стереометрии

Курс стереометрии формирует у учащихся средней школы знания о пространственных формах и отношениях между ними, с которыми человек постоянно имеет дело в жизненной и производственной практике, об их свойствах, измерениях, взаимосвязях. Этот курс является завершающим в системе среднего геометрического образования, в силу чего он не только рассматривает стереометрические факты, но и систематизирует, обобщает и включает в систему общегеометрического образования все ранее полученные планиметрические знания и умения.

Поэтому при планировании обязательных результатов обучения стереометрии надо учитывать, что в задачи данного курса входит: формирование системы знаний об основных стереометрических фактах и методах, которые могут и должны быть использованы в будущей практической деятельности выпускника средней школы; развитие пространственных представлений; систематизация всех изученных планиметрических и стереометрических знаний и умений.

Следует также учитывать, что при изучении данного курса происходит

дальнейшее развитие логического мышления учащихся: формируются умения проводить дедуктивные рассуждения на новом содержательном материале.

Проанализируем эти задачи с точки зрения программных требований к математической подготовке учащихся. В программе записано, что в результате изучения курса все учащихся должны уметь:

«изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные тела на чертежах и моделях;

решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные учащимися при изучении планиметрии и стереометрии;

вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применяя изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;

применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;

использовать векторы и координаты для решения несложных стандартных задач»1.

Согласно этим требованиям обязательный уровень сформированности пространственных представлений учащихся проявляется в умениях распознавать изученные тела на моделях, чертежах, в окружающих предметах, а также в умении изображать их на чертежах согласно условию задачи или теоремы. Последнее требование является определяющим: если ученик в соответствии с условием задачи сможет мысленно представить описанную конфигурацию и изобразить ее, то тем самым он покажет владение пространственным образом. Как свидетельствуют работы психологов, умение мысленно представить пространственный образ стоит на более высоком уровне формирования пространственных представлений, чем умение распознавать образ на модели. Поэтому в итоговые обязательные результаты обучения стереометрии не включаются в виде отдельных заданий задачи типа «Укажите среди предъявленных моделей прямоугольный параллелепипед». Такие задачи носят дидактический характер и предназначены для формирования необходимых пространственных представлений. Итогом обучения является более высокое умение: по описанию дать графическую иллюстрацию — проекционный эскиз. Он должен быть сделан в соответствии с основными правилами проекционного черчения, изученными как в курсе черчения, так и в курсе геометрии; например, с такими: «параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками», «отношение отрезков параллельных прямых при параллельном проецировании сохраняется».

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.— С. 12.

В итоговых обязательных результатах обучения первое требование к математической подготовке учащихся конкретизируется тем, что учащиеся должны уметь сделать чертеж к любой задаче из «Обязательных результатов обучения», заданной словесной формулировкой, а также уметь на готовом чертеже распознать или вычленить заданное словесной формулировкой тело. Поэтому большинство задач здесь дано в виде текста без чертежа, причем отбор их в систему проведен таким образом, чтобы эти задачи охватывали весь набор пространственных тел, которые учащиеся должны уметь изображать. С чертежами в итоговые результаты обучения вынесен только ряд задач на сечения, так как умение строить сечения пространственных тел программа в качестве обязательного умения не предусматривает. Конфигурации, заданные в задачах, предназначены не для проверки сформированности умения строить сечения, а для проверки усвоения определенных геометрических фактов (например, что линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны).

Второе программное требование является очень важным. Как известно, основными задачами в курсе геометрии (как в планиметрии, так и в стереометрии) являются задачи на доказательство и на вычисление. Умение решать задачи на доказательство подразумевает умение проводить в ходе решения задач различного типа аргументацию: аргументировать выдвигаемые тезисы (чаще всего «подведением под определение» или «подведением под теорему»), получать следствия из двух посылок, выделять условие и заключение предлагаемого утверждения и т. д. Формирование этих умений начато в курсе планиметрии, а в курсе стереометрии они получают дальнейшее развитие и применяются к новому материалу — стереометрическим фигурам, их свойствам и отношениям. Поэтому в обязательные результаты обучения задачи на доказательство включаются как задачи на владение тем или иным стереометрическим фактом, когда надо распознать некоторый объект и аргументировать это распознавание, доказать выполнимость того или иного факта, сконструировать описываемую ситуацию и доказать правильность полученной конструкции и т. д. Доказательные умения входят составной частью в решение практически любой стереометрической задачи: выявить, что речь идет о данном понятии, и привести соответствующую аргументацию, проверить выполнимость теоремы в описываемой задачей ситуации и дать обоснованный вывод, создать план построения и аргументировать его и т. д. Это служит выполнению и третьего программного требования.

Итак, доказательные умения в итоговых обязательных результатах обучения должны быть отражены набором задач на доказательство, а также рядом других задач, в которых доказательство является составной частью решения.

Вычислительные умения являются важнейшими, формируемыми в школьном курсе и применяемыми затем в общественном производстве. Важной составной частью этих умений является умение выбрать нужную в конкретном случае формулу и провести вычисление по ней. Умение про-

водить вычисления по формулам формируется в курсе алгебры. В курсе геометрии роль задач на вычисление иная. Они прежде всего являются задачами геометрическими, т. е. в них решается некоторая проблема относительно пространственных конфигураций, а измерения, проводимые в ходе решения,—один из методов исследования таких конфигураций. Решая вычислительную задачу, ученик должен прежде всего выяснить, о какой формуле идет речь, т. е. соотнести геометрическую фигуру с ее измерением. Затем из условия задачи или решая некоторые подзадачи он должен найти значение всех входящих в нужную формулу параметров, т. е. провести некоторое геометрическое исследование. Например, для вычисления объема призмы необходимо найти длину ее высоты и площадь основания, что в большинстве случаев требует решения ряда планиметрических или стереометрических подзадач. И только завершающим шагом является вычисление по формуле. Обратим внимание на то, что при решении задач на вычисление довольно часто приходится проводить серьезную аргументацию (т. е. решать ряд подзадач на доказательство), а также для нахождения нужных параметров использовать факты, изученные в курсе планиметрии. Таким образом реализуются третье и четвертое программные требования к математической подготовке учащихся по курсу стереометрии.

Итак, реализовать программные требования к математической подготовке учащихся целесообразно через задачи на вычисление и на доказательство.

Для отбора задач в обязательные итоговые результаты обучения нужно выявить, знания каких геометрических фигур необходимы выпускнику средней школы, какие свойства этих фигур он должен знать и уметь использовать для аргументации, какие вычисления и для каких фигур учащийся должен уметь проводить.

При решении этой проблемы мы опирались не только на программные требования к математической подготовке учащихся, но и на те требования, которые предъявляют современные условия производства к квалифицированным рабочим, т. е. на требования, сформулированные в их квалификационных характеристиках. Анализ этих характеристик позволил выявить, что для очень широкой группы профессий (строители, металлообработчики, модельеры и конструкторы, лаборанты и т. д.) обязательным в профессиональной деятельности является умение распознавать основные геометрические тела (кубы, прямоугольные и наклонные параллелепипеды, прямые и наклонные призмы, правильные пирамиды трех- и четырехугольные, цилиндры, конусы, шары), уметь на их поверхностях или внутри их находить параллельные прямые, параллельные прямую и плоскость, линейный угол двугранного угла. Для некоторых из этих фигур они должны уметь вычислять объемы. Что же касается вычисления площадей поверхностей, то по формулам оно производится у фигур вращения, в то время как для многогранников чаще всего суммируются площади граней. Этот анализ показывает, что в первую очередь геометрические сведения

используются применительно к конкретным телам (призмы, пирамиды, шары и т. д.). Конфигурации взаимного расположения прямых и плоскостей (точка и плоскость, параллельные плоскости, перпендикуляр к плоскости) — так называемые «абстрактные» конфигурации — обычно также конкретизируются в этих фигурах (вершина и основание пирамиды, противоположные грани параллелепипеда, высота конуса). Поэтому сформированные в курсе геометрии знания и умения целесообразно проверять у выпускников средней школы применительно к конкретным фигурам. В силу этого в итоговые результаты обучения геометрии не включают абстрактные или искусственно созданные конфигурации, а рассматривают только геометрические тела — многогранники и фигуры вращения. Свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве рассматриваются на них.

Это последнее требование не означает, что при изучении курса не следует обращать внимание на «абстрактные» конфигурации. Действительно, ученик не сможет решить задачу типа «В параллелепипеде ABCDA\BiC\Di проведено сечение через сторону AB и точку M на ребре DD\. Докажите, что полученное сечение — параллелограмм», если предварительно им не была изучена конфигурация пересечения двух плоскостей третьей, параллельной линии пересечения этих плоскостей, а также свойства параллельности прямых в пространстве. Однако в итоге мы будем требовать от учащихся применения этих свойств к перечисленным выше геометрическим телам. Поэтому итоговые результаты обучения стереометрии сгруппированы вокруг отдельных тел, на конфигурации которых будут рассмотрены как свойства остальных геометрических понятий и отношений, так и подсоединяемые к стереометрии элементы планиметрии.

Требования к итоговому овладению различными стереометрическими фигурами различны. Для ряда фигур обязательным условием является сформированность вместе с термином соответствующего пространственного образа со всеми его свойствами. Так, например, термин «правильная четырехугольная пирамида» должен вызывать в представлении учащегося фигуру, основанием которой служит квадрат, высота восставлена из центра квадрата, все боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под одним углом, апофемы боковых граней перпендикулярны сторонам оснований и проходят через их середины. Аналогичное положение с правильными треугольными и четырехугольными призмами, кубом, прямым параллелепипедом, цилиндром, конусом, шаром. Все эти тела должны в процессе обучения стать настолько привычными для учащихся, что в итоге обучения от них можно не требовать аргументацию соответствующих свойств. Достаточно, если ученик знает, что сечение шара плоскостью всегда есть круг, а сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию,—круг, равный основанию. Поэтому при решении соответствующих задач из итоговых обязательных результатов обучения ученик не должен давать подробную аргументацию. Именно на таких конфигурациях целесообразно проверять сформированность вычислительных уме-

нии, т. е. использовать их в задачах на нахождение объемов и площадей поверхностей. Дело в том, что задачи на вычисление требуют включения элементов планиметрии и становятся очень громоздкими, если в них надо еще проводить и аргументацию стереометрических положений (например, если для вычисления объема пирамиды придется, кроме двух планиметрических задач на решение прямоугольных треугольников, обосновывать еще и расположение высоты пирамиды на основе некоторой стереометрической теоремы).

Наоборот, развитие пространственных представлений, умения распознавать геометрические фигуры, проводить доказательства и пространственные построения полезно проверять на конфигурациях, не ставших для учащихся привычными. К ним, например, относятся неправильные пирамиды, наклонные призмы, сечения многогранников. На таких конфигурациях в обязательных результатах обучения удобно рассматривать знание свойств взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве с проведением соответствующих построений и доказательств.

Решение стереометрической задачи обычно распадается на решение нескольких подзадач. Например, задача «Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 8 см, а сторона основания 6 см» распадается (в силу того, что все факты о правильной пирамиде считаются известными) на две подзадачи: 1) нахождение высоты пирамиды; 2) нахождение объема пирамиды. Вторая задача требует знания формулы для вычисления объема соответствующего пространственного тела, а первая — решения двух планиметрических задач: нахождения половины диагонали квадрата и нахождения катета в прямоугольном треугольнике по известной гипотенузе и второму катету. Таким образом, данная задача распалась на три, из которых две — планиметрические и одна —стереометрическая (умение вычислять площадь квадрата по его стороне мы не выносим в отдельную подзадачу).

Чем большее число подзадач подразумевает решение задачи, тем она сложнее для ученика. Кроме того, очень важно, знает ли ученик, как разделить данную задачу на подзадачи. Если знает, то задача легче, если не знает, то труднее.

Анализ учебников и задачников, рекомендаций для итоговых проверок знаний учащихся, текстов контрольных работ, проводимых различными органами народного образования, показывает, что от всех учащихся в итоге обучения в средней школе целесообразно требовать умения самостоятельно решать задачи, распадающиеся на 3—4 подзадачи и такие, что способ соединения подзадач или разложения данной задачи на подзадачи ученику известен, т. е. либо этот способ задан условием, либо отработан в процессе обучения. Только что рассмотренная задача удовлетворяет этому условию. Итак, в обязательные результаты обучения включаются задачи, решение которых по известному ученикам способу распадается на решение 3—4 подзадач, одна из которых стереометрическая.

Выполнение каждой подзадачи требует от ученика владения одним

геометрическим фактом. Так, для решения подзадач в описанной задаче необходимо знание свойств квадрата и его диагоналей, знание теоремы Пифагора, знание формулы для вычисления объема пирамиды.

Поэтому при планировании результатов обучения для каждой геометрической фигуры определяется система стереометрических фактов, которые обязательны для усвоения всеми учащимися, выявляется система планиметрических фактов, традиционно подсоединяемых к данному стереометрическому, и уже на этой основе конструируются задачи, задающие обязательные результаты обучения.

Проведем анализ содержания программы с точки зрения определения фактов, которыми в результате изучения материала должны владеть учащиеся, и выделения тех конфигураций или ситуаций, к которым применимы эти факты. Предварительно рассмотрим понятие «распознавать», которое мы будем использовать по отношению к различным геометрическим объектам.

Для этого разберем традиционную для школьного курса задачу: «Стороны прямоугольника 4 см и 5 см. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением этого прямоугольника вокруг меньшей стороны». На какие подзадачи разбивается данная задача и какими знаниями при ее решении должен воспользоваться ученик?

Прежде всего необходимо понять, что в данной задаче речь идет о цилиндре и его полной поверхности. Следовательно, решение задачи начинается с распознавания цилиндра. Но так как речь идет о завершающем этапе обучения, то нужно, чтобы ученик не только узнал цилиндр, но и аргументировал это узнавание. Поэтому в дальнейшем, когда мы будем говорить о задачах на распознавание того или иного геометрического объекта, мы будем считать, что речь идет об узнавании и аргументации того, что узнавание было правильным. Приведем еще несколько примеров задач на распознавание.

1. Прямая AB перпендикулярна плоскости а. Точки К, М, Р и Т принадлежат плоскости а. Какие из прямых обязательно взаимно перпендикулярны: AB и ВТ, AB и РГ, ВМ и KP, KP и МТ?

Приведенную в данной задаче конфигурацию удобно связать с некоторой фигурой, например пирамидой. В этом случае эта задача формулируется следующим образом: «В пирамиде с вершиной А и основанием КМРТ AB — высота. Какие из прямых взаимно перпендикулярны: AB и ВТ, AB и РТ, ВМ и KP, KP и Л/Г?».

2. Даны четыре четырехугольные пирамиды MABCD, у каждой из которых основание ABCD — квадрат, а

а) MA — перпендикуляр к плоскости основания;

б) MA = MB = MC = MD\

в) О —точка пересечения прямых АС и BD, МО — перпендикуляр к плоскости основания;

г) плоскости ABCD и MAB перпендикулярны. Выберите среди этих пирамид правильные.

При решении задачи ученик отвергает случаи а) и г) как не подходящие под достаточные условия правильной пирамиды. В случае в) делается ссылка на признак, заложенный в определении, а в случае 6) — на известный учащимся признак (теорему или задачу). Таким образом, задача на распознавание есть задача на доказательство путем подведения под известный факт.

Распознавание геометрических объектов (тел, поверхностей, их взаимного расположения) есть одно из важнейших умений, формируемых в курсе стереометрии. Однако далеко не для всех объектов это умение должно быть в итоге таким полным, как описано выше. Так, например, призмы учащиеся должны узнавать, но требовать от них каждый раз аргументации этого узнавания нецелесообразно. Представление о правильной треугольной пирамиде, как уже было сказано, должно быть доведено до привычности образа со всеми вытекающими отсюда следствиями, например до автоматического указания высоты этой пирамиды. Однако если пирамида неправильная, то выбор ее высоты требует аргументации подведением под признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теперь перейдем к анализу содержания программы по геометрии для X—XI классов средней школы1.

Характеристика обязательных результатов обучения

Геометрические фигуры и их свойства

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Материал этой рубрики предназначен для формирования представлений о логическом строении стереометрии, для проведения систематизации и обобщения изученного. Его использование связано в большинстве случаев с геометрическими конфигурациями и их исследованием (например, при построении сечений, проведении плоскостей, доказательстве единственности построенного объекта). Наиболее полно оно раскрывается применительно к многогранникам (призмам и пирамидам). Поэтому соответствующие задания включаются в итоговые разультаты обучения в разделе «Многогранники».

Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Учащиеся должны усвоить, что возможны три и только три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве, что параллельные прямые всегда принадлежат одной плоскости (задают ее), что через скрещивающиеся прямые плоскость провести нельзя. Они должны уметь узнавать параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые на изученных многогранниках (например, параллельность ребер призмы, скрещивание противоположных ребер треуголь-

1 См.: Программы средней общеобразовательной школы. Математика.—М.: Просвещение, 1986.- С. 19, 20.

ной пирамиды, пересечение непараллельных прямых в одной грани многогранника). Обязательным является знание свойства транзитивности параллельности прямых и аргументация на его основе параллельности соответствующих ребер многогранников или сторон их сечений. Например, в такой задаче: «В треугольной пирамиде МАВС проведено сечение через середины ребер МЛ, АС и СВ. Докажите, что полученное сечение — параллелограмм». Так как данные факты применяются при изучении многогранников и их сечений, то характеризующие их итоговые результаты обучения включены в соответствующий раздел. При этом подсоединяемыми планиметрическими фактами являются свойства средней линии треугольника и параллелограмма.

Взаимное расположение прямой и плоскости: пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак параллельности прямой и плоскости.

Учащиеся должны знать, что возможны два и только два случая взаимного расположения прямой и плоскости, узнавать их в конкретных ситуациях: на моделях и чертежах. Они должны уметь обосновывать параллельность прямой и плоскости ссылкой на признак. Например, уметь обосновать параллельность диагонального сечения призмы ее боковому ребру. В силу этого в итоговые результаты обучения данный материал включается в разделе «Многогранники», в частности в задачи на сечения призм и пирамид.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Учащиеся должны распознавать перпендикулярные прямую и плоскость. Например, если в задаче известно, что «в четырехугольной пирамиде MABCD ребро MA перпендикулярно ребрам AB и AD», то учащиеся должны уметь доказать, что высотой пирамиды является ребро MA, а также аргументировать, что AM перпендикулярно АС. Этот материал также включается в итоговые результаты в разделе «Многогранники».

Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

К таким теоремам относят обычно четыре теоремы: о параллельности двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, и обратная ей, о параллельности двух плоскостей, перпендикулярных одной прямой, и обратная ей. Как показывает анализ учебно-методической литературы, данные теоремы важны в общеобразовательном смысле для логического завершения изучения материала, для обоснования в ходе изучения ряда положений, например возможности проведения плоскости через два перпендикуляра к другой плоскости или перпендикулярности всех боковых ребер призмы данной плоскости, если ей перпендикулярно одно из этих ребер. Вместе с тем в качестве аргументов при решении задач на геометрические тела данные факты практически не используются. Там, где их использование было бы целесообразно (например, в прямых призмах), знание этого факта отрабатывается в процессе обучения до уровня привычности и не требует специальной аргументации. Поэтому они не включены в обязательные итоговые результаты.

В этом же разделе есть теорема, которая является важным результатом обучения,—теорема о трех перпендикулярах. Она традиционно находит широкое применение при обосновании перпендикулярности двух прямых, при нахождении линейных углов двугранных углов. Чаще всего ее использование связано с аргументацией отыскания высот граней пирамид или с обоснованием прямоугольности треугольников, лежащих на гранях или в диагональных сечениях таких парамид. В силу этого проверка теоремы о трех перпендикулярах включается в обязательные результаты обучения в разделе «Многогранники».

Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся и параллельные плоскости. Признак параллельности двух плоскостей.

В итоге изучения этого материала учащиеся должны знать, что существует два возможных случая расположения двух плоскостей, уметь их узнавать. Они должны уметь аргументировать параллельность плоскостей, ссылаясь на признак параллельности при решении такой, например, задачи: «В треугольной пирамиде проведено сечение через середины трех боковых ребер. Докажите, что плоскость сечения параллельна плоскости основания». Этот материал используется при построении сечений призм и пирамид и отнесен в соответствующий раздел итоговых результатов обучения.

Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.

К обязательным знаниям и умениям учащихся по данному разделу относятся умение распознавать перпендикулярные плоскости с помощью признака и знание того, что перпендикуляр к одной плоскости лежит в другой плоскости. Кроме того, учащиеся должны знать, что две параллельные плоскости перпендикулярны одной прямой и наоборот. Две последние теоремы обычно используются только при изучении теоретического материала и редко применяются при решении задач, в силу чего они не выносятся в обязательные результаты обучения. Остальной материал чаще всего используется, когда необходимо обосновать, что двугранный угол прямой, или при доказательстве того, что высота многогранника лежит в его грани. Такие задачи также достаточно редки в процессе обучения и чаще всего имеют искусственный характер. К ним, например, относится задача: «Точка А находится на расстояниях 12 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей». Для описания геометрических тел или вычисления их элементов задачи данного раздела редко используются, в силу чего они не вынесены в итоговые результаты обучения.

Двугранные углы.

Понятие двугранного угла достаточно важно и имеет применение как в самом курсе геометрии при изучении пирамид, так и в приложениях математики. Так как чаще всего двугранные углы рассматриваются применительно к углам наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания, то в итоговых результатах обучения они отнесены к этому разделу.

Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости.

Рассмотрение этих вопросов в курсе стереометрии является некоторым обзором результатов курса черчения, которые применяются в стереометрии. В связи с этим основным при изучении данного материала является сформированность умения изобразить описываемые условиями задач геометрические фигуры, используя некоторые правила проекционного черчения (например, параллельность на чертеже изображений параллельных прямых, а также соответствие середины отрезка середине его изображения). Эти умения в итоговые результаты обучения выносятся не отдельно, а включаются в выполнение каждой рассматриваемой задачи. Кроме того, к умениям этой группы относится умение на чертеже найти или достроить нужный элемент, например, достроить сечение пирамиды. Такие умения также не являются самостоятельным результатом обучения, а включаются в другие разделы (например, в задачи, связанные с сечениями многогранников, которые решаются на основе свойств параллельности плоскостей и прямых). К этим разделам они и отнесены в том объеме, который нужен для решения основных задач. Чаще всего это умение через данную точку провести прямую, параллельную данной, и указать, в какой плоскости эта прямая лежит, т. е. найти ее точки пересечения с другими прямыми в данной плоскости.

Многогранники: призма и пирамида.

В данном разделе программы речь идет о знакомстве с основными видами многогранников в общем случае — о произвольных призмах и пирамидах. Их учащиеся должны узнавать на моделях и чертежах; на моделях уметь показывать высоты призм и пирамид; знать, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и являются равными многоугольниками, а боковые грани — параллелограммы, что все боковые ребра призмы параллельны.

Сюда же включается ряд описанных ранее знаний и умений, которыми должны владеть учащиеся, связанных со свойствами параллельных плоскостей и прямых, с перпендикулярностью прямой и плоскости, с теоремой о трех перпендикулярах, использующихся в задачах с призмой. Так как речь идет о призмах и пирамидах общего вида, т. е. о конфигурациях, не ставших привычными для учащихся, то на них целесообразно проверять сформированность умений проводить доказательства.

Относительно данного раздела в итоговые результаты обучения выносятся задачи на сечения многогранников в случаях, когда в сечении получается треугольник или четырехугольник, с использованием свойств параллельности прямых и плоскостей, а также ряд задач на перпендикулярность прямой и плоскости с использованием определения и признака, задачи, связанные с теоремой о трех перпендикулярах.

Прямая и правильная призмы.

Конфигурация прямой призмы должна стать привычной для учащихся: они должны понимать, что боковые ребра перпендикулярны основаниям,

а боковые грани — прямоугольники. Эти факты в соединении с теоремой Пифагора, решением треугольников и измерениями площадей удобно использовать для вычисления длин отрезков (например, диагоналей призмы), объема и боковой поверхности этой фигуры. В данный раздел итоговых результатов обучения отнесены задачи на вычисление длин отрезков, а задачи на вычисление площадей и объемов отнесены к разделу «Геометрические величины».

Конфигурация правильной призмы должна стать привычной для учащихся в случаях треугольной и четырехугольной призм. Последнюю мы отнесем к параллелепипедам, а для первой учащиеся должны знать, что ее основание — правильный треугольник, что ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, а боковые грани — прямоугольники. Эту конфигурацию удобно использовать в задачах на вычисление, а не в задачах на доказательство. Поэтому задачи с правильной треугольной пирамидой отнесены в раздел «Геометрические величины».

Параллелепипед.

Конфигурация наклонного параллелепипеда должна стать для учащихся привычной: они должны понимать, что все его грани — параллелограммы. С этой точки зрения его удобно использовать для рассмотрения свойств параллельности прямых и плоскостей, в частности сечений, изучаемых на их основе. Такая задача и включена в итоговые результаты обучения.

Прямой параллелепипед, например правильная четырехугольная призма, должен стать привычным для учащихся: они должны знать свойства ребер (перпендикулярность соответствующей плоскости), формулы для вычисления площадей боковых поверхностей. Для прямоугольного параллелепипеда должно стать привычным, что все его грани —прямоугольники. Для всех параллелепипедов должно быть сформировано свойство равенства противоположных граней. В силу сказанного данные конфигурации для задач на доказательство использовать нецелесообразно—их включают в задачи на вычисления площадей и объемов, а также в задачи на вычисление с использованием свойств параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Правильная пирамида.

Эта конфигурация должна стать привычной: учащиеся должны знать равенство ее боковых ребер; то, что высота пирамиды восстановлена из центра основания, которое является правильным многоугольником; равенство боковых граней; то, что высота боковой грани проходит через середину стороны основания; что линейный угол двугранного угла при основании задается апофемой основания и апофемой боковой грани. Основное внимание как при изучении, так и в итоге уделяется треугольным и четырехугольным пирамидам. Эту конфигурацию удобно использовать в задачах на вычисление основных геометрических величин: углов между прямой и плоскостью, линейных углов двугранного угла, площадей поверхностей и объемов.

Понятие о правильных многогранниках.

Поскольку в программе заявлено только о «понятии» о данных геометрических телах, а в требованиях к математической подготовке учащихся о них вообще не упоминается, то изучение этого материала проводится в плане расширения общей культуры учащихся. Поэтому планировать сформированность умений использования данного материала в дальнейшем мы не будем, в силу чего эти вопросы не выносятся в итоговые результаты обучения.

Цилиндр, конус, шар, сфера. Их сечения Понятие о телах и поверхностях вращения.

Ситуация, связанная с итоговыми результатами обучения, в этом разделе аналогична предыдущей.

Эти тела вращения должны стать привычными для учащихся: они должны знать расположение образующих цилиндра и конуса, свойства сечений, перпендикулярных оси вращения (то, что такое сечение — круг; то, что оно равно или гомотетично основанию). Учащиеся должны знать, что любое сечение шара плоскостью есть круг, центр которого лежит на основании перпендикуляра к плоскости сечения, проведенного из центра шара. Они также должны знать форму и параметры сечений цилиндра и конуса плоскостями, проходящими через ось вращения. В силу этого данные конфигурации удобно использовать не для доказательств, а для вычислений.

Касательная плоскость к сфере.

Учащиеся должны знать два основных свойства такой плоскости: единственность общей точки со сферой и перпендикулярность радиусу, проведенному в точку касания. Эту конфигурацию удобно использовать в задачах на вычисление радиусов и соответственно объема шара и площади сферы.

Понятие о движении. Симметрия относительно точки и плоскости. Примеры тел и поверхностей, обладающих симметрией. Параллельный перенос. Понятие о равенстве фигур в пространстве.

Материал данного раздела имеет большое общеобразовательное значение, давая, кроме того, возможность систематизировать и обобщить на трехмерное пространство сведения о движениях на плоскости. Этот материал играет большую роль в формировании пространственных представлений учащихся. Наряду с другими способами его использования возможно проведение доказательств равенства фигур.

Поэтому в итоговые обязательные результаты обучения вынесены только задания на проверку сформированности основных понятий. Например, туда включены задания типа «Укажите плоскости симметрии прямоугольного параллелепипеда», «Постройте фигуру, симметричную прямоугольному параллелепипеду относительно одной из его граней». Эти задачи носят опорный характер, что позволяет ориентироваться на них в процессе формирования основных понятий. Задания на применение мате-

риала этого раздела в решении геометрических задач специально в итоговых результатах обучения не выделяются.

Геометрические величины

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Линейный угол двугранного угла.

Все задачи на геометрические величины относятся к вычислительным. Вычисление угла между параллельными и пересекающимися прямыми является планиметрической задачей. В стереометрии полезно решать задачи на угол между скрещивающимися прямыми. Однако, как показывает анализ учебно-методической литературы, такие задачи носят искусственный характер и не имеют практического смысла. Они становятся содержательными при использовании угла между векторами, т. е. интересны в разделе векторной алгебры, куда и отнесены в итоговых результатах обучения.

Задачи на угол между прямой и плоскостью и линейный угол двугранного угла, как было показано выше, целесообразно рассматривать в конфигурации треугольной или четырехугольной пирамиды. Такие задачи в своем решении предусматривают обязательное решение прямоугольных треугольников, в силу чего подсоединение к ним еще каких-нибудь стереометрических элементов выведет нас за рамки задач обязательного уровня. Поэтому такие задачи даются только на привычных конфигурациях правильных пирамид.

Понятие об объеме. Основные свойства объема.

Этот материал важен в общеобразовательном плане, для доказательства формул объемов отдельных тел, для понимания самого процесса измерения. Однако его изучение не предусматривает формирования каких бы то ни было умений, в силу чего данный материал не включается в итоговые результаты обучения.

Объемы многогранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды.

Изучение этого материала предусматривает знание основных формул и умение вычислять по ним, находя из условия задачи недостающие значения параметров. Если конфигурация, заданная в условии, является непривычной для учащихся, т. е. при решении требуется проведение некоторых доказательств, то, как показывает анализ, задача превышает уровень сложности, определенный нами для итоговых результатов обучения. Поэтому в задачах на вычисление объемов многогранников применяются только стандартные конфигурации, а сами задачи подобраны таким образом, чтобы они распадались на 3—4 подзадачи, из которых 2—3 являются планиметрическими (в основном на решение прямоугольных треугольников).

Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара.

Как уже было отмечено выше, данные конфигурации являются привычными для учащихся. При изучении раздела учащиеся должны овладеть соответствующими формулами (так же, как и для многогранников). В силу

этого требования к задачам итоговых результатов обучения по данному материалу такие же, как и по объемам многогранников, только к подсоединяемым элементам относятся еще и задачи на решение окружностей (например, нахождение длины хорды по радиусу окружности и расстоянию до центра).

Площади боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Площадь сферы.

Для многогранников задача вычисления площади боковой поверхности обычно сводится к суммированию площадей граней. В этом случае часто основной акцент в ее решении переносится с вычислений на доказательство. Такие задачи к обязательным результатам обучения мы не относим. В обязательные результаты обучения включены задачи на вычисление площадей поверхностей многогранников, для которых есть соответствующие формулы: прямых и правильных призм, правильных пирамид. Эти задачи, кроме знания формул, подразумевают необходимость отыскания при решении планиметрических подзадач еще одного-двух параметров.

Аналогичные требования предъявляются и к задачам на вычисление площадей поверхностей тел вращения.

Координаты и векторы

Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Координаты вектора. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Материал данного раздела имеет большое общеобразовательное значение, является обобщением и систематизацией знаний и умений учащихся, сформированных в восьмилетней школе. Вместе с тем применение его проводится при решении задач, которые могут быть решены и другими методами.

Поэтому в обязательные результаты обучения вынесены «одношаговые» задачи, позволяющие проверить сформированность основного векторно-координатного аппарата. Задания на применение этого материала в решении задач отдельно не выделяются. Учащиеся могут использовать данный материал при решении задач всех других разделов там, где это им удобно.

Приведем несколько примеров составления задач обязательного уровня для итоговых результатов обучения.

Пример 1. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Уже было отмечено, что данный материал включается в конфигурацию пирамиды. Учащиеся должны при решении таких задач показать владение определением перпендикуляра к плоскости, признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Соответствующие задачи должны распадаться на 3—4 подзадачи. Это означает, что если в задаче используются оба теоретических факта, то к ним в ее решении можно добавить 1—2 планиметрические вычислительные задачи. В этом случае основной акцент задачи

относится к доказательной части, вследствие чего удобно использовать конфигурацию, не ставшую привычной для учащихся. Этой цели соответствует, например, такая задача: «В пирамиде MABCD боковое ребро MA перпендикулярно ребрам AB и AD основания. Докажите, что угол MAC — прямой. Найдите длину отрезка MC, если AB = 4 см, AD = 3 см, AM = 12 см, a ABCD — прямоугольник».

Если в задаче применяется один из указанных геометрических фактов, то можно подсоединить 2—3 подзадачи планиметрического содержания. В итоговые результаты обучения в этом случае можно вынести, например, следующую задачу на доказательство: «В пирамиде MABCD основание ABCD — квадрат, в котором точка О —точка пересечения диагоналей, ОМ — высота пирамиды. Докажите, что боковые ребра пирамиды равны».

Пример 2. Правильная пирамида.

Как уже было сказано, понятие правильной пирамиды должно стать привычным для учащихся, в силу чего итоговые задачи в основном предусматривают не доказательства, а вычисления. К этой конфигурации (в случае треугольной и четырехугольной пирамид) подсоединяются знания об углах между прямой и плоскостью, о двугранных углах, о вычислении площадей поверхностей и объемов. Так как число подзадач в задачах итоговых результатов обучения ограничено, то каждая задача такого плана содержит один основной стереометрический факт и ряд планиметрических. Так, на тему «Угол между прямой и плоскостью» в итоговые результаты обучения может быть включена задача «В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°. Сторона основания равна 12 см. Найдите высоту пирамиды»; на «Двугранные углы» — задача «Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°»; на тему «Объем пирамиды» — задачи «Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 3 ^2 м, а боковое ребро 5 м. Найдите объем пирамиды» и «В правильной треугольной пирамиде высота равна 8 дм, а боковое ребро 10 дм. Найдите объем пирамиды»; на тему «Площади поверхности фигур»— задача «В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 10 м, высота 12 м. Найдите длину апофемы пирамиды».

Пример 3. Сфера и шар.

Эти конфигурации должны стать привычными для учащихся. Основные свойства, которыми должны владеть ученики,—свойства сечения и касательной плоскости. Привычные ситуации используются в задачах на вычисление, в которых обоснования или не требуются, или требуются в минимальном объеме. Для сферы и шара требуемые обоснования — прямоугольность треугольников за счет перпендикулярности соответствующих радиусов плоскости. Поэтому в итоговые результаты обучения вынесены такие задачи: «В шаре радиусом 26 см на расстоянии 10 см от центра проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения», «Шар с центром в точке О касается плоскости в точке В. Точка А лежит в этой плос-

кости. OA = 25 см, AB = 15 см. Найдите площадь поверхности шара», «Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара».

Из всего сказанного следует, что задачи в итоговых результатах обучения целесообразно группировать в последовательности геометрических тел, на которых целесообразно рассматривать те или иные отношения и свойства: призмы, прямые призмы, параллелепипеды, пирамиды, правильные пирамиды, цилиндры, конусы, шары. В каждом из разделов даются задачи на доказательство с использованием свойств взаимного расположения прямых и плоскостей; задачи на вычисление, решение которых требует проведения некоторой аргументации со ссылкой на свойства геометрических объектов; задачи на вычисление площадей поверхности и объемов привычных конфигураций, не требующие проведения обоснований. В отдельные разделы вынесены задачи на движения и векторно-координатные задачи, в которых проверяется только сформированность основного аппарата, а не умение его применять при решении задач.

Глава 3.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ

3.1. Математика, V—VI классы

В результате изучения курса математики все учащиеся должны овладеть следующими умениями, представляющими обязательный минимум:

1) Производить в уме арифметические действия в пределах сложности примеров на сложение и вычитание двузначных чисел, умножение и деление нацело двузначного числа на однозначное. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Выполните устно сложение (1—3):

Выполните устно вычитание (4—6):

Выполните устно умножение (7—9).

Выполните устно деление (10—12):

Выполните устно возведение в квадрат, в куб (13, 14):

2) Уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел, в записи которых имеется несколько десятичных разрядов (включая сложные случаи переноса из разряда в разряд и использование нулей в записи числа). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Выполните действия (15—18):

Вычислите (19—24):

3) Выполнять арифметические действия над обыкновенными дробями (включая обращение смешанного числа в обыкновенную дробь, нахождение наименьшего общего знаменателя нескольких дробей, сокращение дробей и представление их в виде смешанного числа). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Выполните действия (25—36):

Вычислите (37-41):

4) Выполнять арифметические действия над десятичными дробями. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Выполните действия (42—49):

Вычислите (50—54):

55. Вычислите:

5) Производить округление десятичных дробей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

56. Округлите до сотых числа: 3,7682; 0,82571; 1625,342.

6) Вычислять значения числовых выражений, включающих в себя целые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Найдите значение числового выражения (57—60):

7) Производить вычисления по формулам, указанным в программе. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

61. Запишите формулу площади прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2,5 см и 6 см.

62. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7 см, 4 см, 3 см.

63. Запишите формулу длины окружности. Найдите длину окружности, радиус которой 2,5 см, считая я » 3,14 (результат округлите до единиц).

64. Запишите формулу площади круга. Найдите площадь круга радиусом 5,4 см, считая я «3,14 (результат округлите до единиц).

8) Составлять числовые и буквенные выражения по условиям текстовых задач, вычислять значения буквенных выражений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Составьте числовое выражение по условию задачи:

65. Теплоход шел против течения реки 4 ч. Какое расстояние он прошел, если собственная скорость теплохода 16 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч?

Составьте буквенное выражение по условию задачи (66—68):

66. Сколько карандашей в а коробках, если известно, что в каждой из них лежит 12 карандашей?

67. За 6 часов автомат сделал х деталей. Сколько деталей в час производит автомат?

68. В одной мастерской работают у человек, а в другой на 5 человек меньше. Сколько человек работают в двух мастерских? Найдите значение выражения (69—71):

9) Выполнять простейшие преобразования буквенных выражений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

72. Приведите подобные слагаемые в выражении — 6а + 9 + Ъа — 1.

73. Раскройте скобки в выражении 7 (2х — 3).

74. Упростите выражение 7а — (1 — 2а).

10) Решать несложные линейные уравнения, используя при этом раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

Решите уравнение (75—79):

11) Решать текстовые задачи с помощью арифметических приемов (включая основные задачи на дроби и на проценты). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

80. В первый день на базу доставили 13 т картофеля. Во второй —в 2 раза меньше, чем в первый, а в третий —на 25 ц картофеля больше, чем в первый. Сколько картофеля доставили на базу за три дня?

81. На элеватор привезли 85,7 т пшеницы и ржи, причем пшеницы 42,3 т. Какого зерна привезли меньше и на сколько?

82. Из двух сел одновременно навстречу друг другу выехали автобус и грузовик. Через 0,5 часа они встретились. Какое расстояние между селами, если скорость автобуса равна 60 км/ч, а скорость грузовика 48 км/ч?

83. Из поселка в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14,5 км/ч, а другого 13 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

84. Сколько стоят 12 календарей, если известно, что 8 таких же календарей стоят 18 рублей?

85. Летную полосу аэродрома убирают при одновременном включении четырех снегоочистительных машин за 15 мин. За сколько минут могут выполнить такую же работу шесть машин?

86. Объем аквариума 60 дм3. Найдите объем, занимаемый водой, если известно, что он составляет — объема аквариума.

87. Из 48 кг семян — было отобрано для посева. Сколько семян осталось?

88. В комсомол принято 84 ученика, что составляет у всех учащихся восьмых классов школы. Сколько восьмиклассников в школе?

89. Какую часть суток составляют 18 часов?

90. На базу привезли 96 т капусты. 20% всей капусты отправили в магазины. Сколько капусты осталось?

91. Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что составило 15% площади всего поля. Какова площадь поля?

92. В цехе работают 60 рабочих, из них 30 — комсомольцы. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют комсомольцы?

12) Решать с помощью составления уравнений текстовые задачи. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

93. За два дня вспахано 80 га, причем в первый день вспахано на 18 га больше, чем во второй день. Сколько гектаров земли вспахано во второй день?

94. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в 2 раза. Найдите длину каждой части.

13) Распознавать и изображать геометрические фигуры, указанные в программе. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

95. Назовите несколько предметов, имеющих форму: а) прямоугольника; 6) круга; в) прямоугольного параллелепипеда; г) шара.

96. Назовите геометрические фигуры, изображенные на рисунке 8.

97. Изобразите геометрические фигуры: а) треугольник; 6) прямоугольник; в) окружность.

14) Производить простейшие измерения и построения при помощи линейки,

Рис. 8

Рис. 9 Рис. 10

угольника, транспортира, циркуля. Обязательным для всех должно явиться умение решать задачи следующего уровня сложности.

98. Начертите прямую и отметьте на ней точки Л и ß, измерьте отрезок AB.

99. Начертите угол, градусная мера которого: а) 65°; 6) 115°.

100. Начертите треугольник. Измерьте один из его углов.

101. Постройте прямоугольник ABCD, у которого AB = 2,3 см, ЛО = 4,5 см.

102. Начертите прямую. Отметьте точку, не лежащую на этой прямой, и проведите через нее с помощью чертежного угольника прямую, перпендикулярную к этой прямой.

103. На прямой отметьте точку и проведите через нее с помощью чертежного угольника прямую, перпендикулярную к этой прямой.

104. Начертите прямую. Постройте параллельную ей прямую с помощью линейки и чертежного угольника.

105. Проведите окружность, радиус которой 0,5 дм.

15) Отмечать точки по их координатам, а также называть координаты точек на координатной прямой, в координатной плоскости. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

106. На координатной прямой отметьте числа: 2,5; —3.

107. Запишите числа, соответствующие точкам А и В координатной прямой (рис. 9).

108. Назовите какое-нибудь целое число, расположенное на координатной прямой между числами —8,5 и 2.

109. Определите, какое из двух чисел —7 или —10 расположено на координатной прямой правее.

110. В прямоугольной системе координат отметьте точки: Л(—3; 2), В(0; -2), С(1,5; -1), D(4; 0).

111. Найдите координаты точек, изображенных в координатной плоскости (рис. 10).

3.2. Алгебра, VII—IX классы

В результате изучения курса все учащиеся должны овладеть следующими умениями, представляющими обязательный минимум:

1) Учащиеся должны уметь выполнять арифметические действия над точными и приближенными значениями, находить приближенное значение квадратного корня, вычислять значения синуса, косинуса и тангенса, вычислять по формулам (в том числе с использованием калькулятора), делать прикидку и оценку результатов вычислений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Вычислите устно (1—5):

Найдите значение выражения (6—9):

Выполните действия (14, 15):

Вычислите значение у по формуле (10—13):

Найдите значение выражения с помощью калькулятора (16, 17).

Найдите приближенное значение выражения (18—21):

22. Вычислите с точностью до 0,01:

(с помощью калькулятора).

23. Вычислите с точностью до 0,01:

(с помощью

калькулятора).

24. Найдите радианную меру угла, заданного в градусах: 60

25. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах: Вычислите (26-28):

Сделайте грубую прикидку (с точностью до единиц) результатов вычисления (29—31):

Не производя вычислений, определите знак результата действия (32, 33):

Сравните числа (34, 35):

36. Найдите два последовательных целых числа, между которыми заключено число

37. В каких границах заключено число m, если w = 7,3 ±0,1?

38. Оцените площадь прямоугольника со сторонами Л и & (в см), если 2,1^ а 2,3, 4,4 4$ 4,6.

39. Округлите число 6,25 до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешности округления.

2) Учащиеся должны уметь выполнять тождественные преобразования целых выражений: раскрытие скобок и заключение в скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочленов на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки и формул сокращенного умножения. Учащиеся должны овладеть приемом разложения квадратного трехчлена на множители. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Упростите выражение (40—48):

Разложите на множители (49—56):

Разложите на множители квадратный трехчлен (57—59):

3) Учащиеся должны уметь выполнять тождественные преобразования рациональных выражений: сокращение алгебраических дробей, сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Сократите дробь (60—66):

Выполните действия (67—76):

Упростите выражение (77—79):

4) Учащиеся должны уметь выполнять преобразования несложных выражений, содержащих степени и корни. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

80. Выполните действия:

Упростите выражение (81—87):

88. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей отрицательных показателей:

89. Представьте дробь в виде произведения или степени:

90. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

91. Представьте выражение в виде степени с дробным показателем:

Найдите значение выражения (92—95):

96. Вынесите множитель за знак корня:

97. Внесите множитель под знак корня и сравните:

Упростите выражение (98—101):

5) Учащиеся должны уметь выполнять преобразования несложных тригонометрических выражений, применяя указанные в программе формулы (основные тригонометрические тождества, формулы приведения, синуса и косинуса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Вычислите (102, 103):

Найдите, пользуясь формулами приведения, значение выражения (104— 107):

Упростите выражение (108—113):

Докажите тождество (114—118):

6) Учащиеся должны уметь решать основные виды уравнений, указанных в программе (линейных, квадратных, рациональных), применяя в необходимых случаях соответствующие тождественные преобразования. Учащиеся должны овладеть основными приемами решения систем уравнений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Решите уравнение (119—122):

Найдите корни уравнения (123—136):

137. Решите уравнение:

Решите уравнение (138—140):

Решите систему уравнений (141—145):

146. Постройте прямую, заданную уравнением:

7) Учащиеся должны уметь решать основные виды неравенств, указанных в программе, и их систем (линейных неравенств и систем линейных неравенств, неравенств второй степени, рациональных неравенств), применяя в необходимых случаях соответствующие тождественные преобразования. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Решите неравенство (147—150):

Решите систему неравенств (151—154):

Решите двойное неравенство (155, 156):

Найдите решения неравенства (157—166):

8) Учащиеся должны уметь решать текстовые задачи методом уравнений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности.

167. В трех корзинах 54 кг яблок. В первой корзине —на 12 кг яблок меньше, чем во второй, а в третьей —в 2 раза больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

168. Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно против течения —за 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

169. Пассажирский поезд проходит за 3 ч на 10 км больше, чем товарный за 4 ч. Скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Найдите скорость пассажирского поезда.

170. Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый изготовлял в день на 2 детали больше второго и работал 7 дней, а второй работал 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий?

171. Купили 9 м ткани двух сортов по цене 2 р. за метр и 3 р. за метр. За всю покупку заплатили 22 р. Сколько метров ткани каждого сорта купили?

172. За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 к., а за 2 карандаша и тетрадь заплатили 28 к. Сколько стоит одна тетрадь и сколько стоит один карандаш?

173. Бригада должна была выполнить задание по изготовлению деталей за 5 дней, а выполнила работу за 4 дня, так как изготовляла в день на 12 деталей больше, чем предполагалось по плану. Сколько деталей изготовила бригада?

174. Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найдите эти числа.

175. Найдите числа, сумма которых равна 20, а произведение 75.

176. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см2, а периметр равен 18 см.

177. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов на 7 см больше другого. Найдите катеты прямоугольного треугольника.

178. Турист прошел 3 км по шоссе и 6 км по проселочной дороге, затратив на весь путь 2 ч. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге, если по шоссе он шел со скоростью на 2 км/ч быстрее?

9) Учащиеся должны уметь находить значения функций, заданных формулой, графиком, таблицей; выражать на простых примерах функциональные зависимости между величинами; строить графики изученных функций, а также «читать» их (по заданному значению одной из переменных определять значения другой, указывать промежутки возрастания и убывания, нули функции, промежутки знакопостоянства, указывать координаты точек пересечения графиков). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

179. Найдите значение функции у = х2 — Ъх + 2 при х = —5, х = 0.

180. При каком значении х функция у = 5х — 4 принимает значение, равное 56; равное 0?

181. Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = 2х2 + X — 1 с осью Ох; с осью Oy.

182. Известно, что график функции у = 2х + Ъ проходит через точку А(2; 10). Найдите значение Ъ и запишите формулу, задающую эту функцию.

Определите, является ли функция четной или нечетной (183—185):

Найдите область определения функции, заданной формулой (186, 187):

Постройте график функции (188—202):

С помощью графика функции ответьте на вопросы (203—206):

203. Чему равно значение функции у = ^х при х = — 3, х = 0?

204. При каких значениях х значение фукции у = х2 — 4 равно 1 ; равно 0?

205. При каких значениях х функция у = — — принимает положительные значения; отрицательные значения?

206. При каких значениях х функция у = — 2х2 возрастает; убывает?

207. В одной системе координат постройте графики функций у = —я + 2 и у = X2 укажите координаты точек пересечения графиков.

208. Не выполняя построения, вычислите координаты точек пересечения графиков функций у = х2 — 4 и у = 2 — х.

3.3. Геометрия, VII—IX классы

В результате изучения курса планиметрии учащиеся должны уметь решать типичные задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на изученные в курсе теоретические сведения. При их решении учащиеся должны уметь изображать на рисунках геометрические фигуры, указанные в условиях, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях. Для стандартных ситуаций необходимо уметь проводить нужные для

решения дополнительные построения: высоту в треугольнике, радиус в точку касания и т. п.

1) При решении типичных задач на доказательство учащиеся должны уметь приводить ссылки на теоретические факты из курса, необходимые для доказательства. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

1. Отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = = OB. Докажите, что АС — BD.

2. На биссектрисе угла А отмечена точка D , а на сторонах угла — точки В и С так, что угол BDA равен углу ADC. Докажите, что DB = DC.

3. AB и CD — равные между собой хорды окружности с центром О. Докажите, что L АОВ = L COD.

4. Прямая m пересекает отрезок AB в точке О, являющейся серединой отрезка AB. Докажите, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой т.

5. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла В, опущены перпендикуляры DA и DC на стороны угла. Докажите, что DA = DC.

6. Точка В лежит на луче, проходящем между сторонами угла А; ВК и ВМ — перпендикуляры к сторонам угла, причем ВК — ВМ. Докажите, что AB — биссектриса угла А.

7. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что АС и BD параллельны.

8. Прямые AB и CD параллельны (рис. 11). Докажите, что треугольники ЛОВ и DOC подобны.

9. Из точки D, лежащей на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ЛВС, опущен перпендикуляр DE на катет ВС. Докажите, что треугольники DBE и ЛВС подобны.

10. Прямая МК параллельна стороне АС треугольника ЛВС (М^ЛВ, КееВС). Докажите, что АМВК сл ААВС.

11. В параллелограмме ABCD отмечены точки: M— на стороне ВС и /С — на стороне AD, причем МК || AB. Докажите, что АВМК — параллелограмм.

12. В треугольнике ЛВС отмечены точки: D —середина стороны ЛВ, Е — середина стороны ВС, и F —середина стороны АС. Докажите, что ADEF — параллелограмм.

13. Через точку D, лежащую на гипотенузе прямоугольного треугольника ЛВС, проведены прямые, параллельные катетам. Они пересекают катеты ВС и АС соответственно в точках F и Е. Докажите, что DFCE — прямоугольник.

14. ЛВ CD — равнобокая трапеция с основаниями ВС и AD. ВМ и CK — перпендикуляры, опущенные на основание AD. Докажите, что ЛЛВМ = ADCK.

Рис. 11

2) Учащиеся должны уметь выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

15. Постройте треугольник с данными сторонами я, Ьу с (рис. 12).

Рис. 12

16. Отложите от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

17. Постройте биссектрису данного угла.

18. Даны прямая а и точка О, лежащая на этой прямой. Постройте прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку О.

19. Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Постройте прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку О.

20. Разделите отрезок на два равных отрезка.

3) Учащиеся должны уметь решать несложные комбинированные задачи на построение, то есть задачи, сводящиеся к выполнению основных построений путем применения одного-двух известных им геометрических фактов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

21. Разделите отрезок на четыре равные части.

22. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.

23. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

24. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.

25. Постройте ромб по двум диагоналям.

26. Даны прямая и точка О, не лежащая на ней. Постройте прямую, параллельную данной прямой и проходящую через точку О.

27. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой ВС.

28. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный данному относительно вершины С.

29. Дана точка Л(2; 5). Постройте точки, симметричные точке А относительно: а) оси Ох\ б) оси Оу\ в) начала координат. Какие координаты имеют эти точки?

4) При решении типичных задач на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) учащиеся должны уметь применять изученные свойства фигур и формулы, а также аппарат алгебры и тригонометрии. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Задачи на вычисление элементов треугольников

30. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 4 см.

31. Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдите радиус вписанной окружности.

32. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 12 см.

33. Найдите площадь правильного треугольника со стороной 4 см.

34. Сторона правильного треугольника равна 6 см. Найдите высоту треугольника.

35. Найдите высоту, проведенную к основанию равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 10 см, а угол при основании равен а.

36. Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 17 см и основанием 16 см.

37. Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

38. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов равен 12 см. Найдите второй катет.

39. Из точки Л на прямую m проведены перпендикуляр AB и наклонная АС. Найдите ЛС, если AB = 6 см и ВС = 8 см.

40. Найдите катеты равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

41. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см, а один из катетов 8 см.

42. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см.

43. В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен 48°. Найдите другой катет и гипотенузу.

44. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен 60°.

45. Из точки D, лежащей на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ЛВС, опущен перпендикуляр DE на катет ВС. а) Докажите, что ADBE со ААВС. 6) Найдите ЛС, если ВС = 12, BE = 8, DE = 6.

46. Прямая МК параллельна стороне АС треугольника ЛВС (МеЛВ, К^ВС). а) Докажите, что ÙMBK со ААВС. б) Найдите ВК, если ВС = 12, МК = 8, ЛС = 15.

47. AB CD — трапеция с основаниями ВС и AD. О —точка пересечения диагоналей, а) Докажите, что AAOD со АСОВ, б) Найдите ВС, если AD = 16, АО = 12, СО = 3.

48. Отрезок МК параллелен стороне ЛС треугольника ЛВС (MœAB, К^ВС). а) Докажите, что АМКВ со АЛСВ. б) Найдите площадь треугольника ЛВС, если AB = 3 см, MB = 2 см, а площадь треугольника МВК равна 12 см2.

49. Отрезок МК является средней линией треугольника ЛВС (М^АС, KœAB). Найдите периметр треугольника МАК, если AB = 8 см, ВС = 10 см, ЛС = 12 см.

50. Два угла треугольника равны 20° и 80°. Чему равен третий угол?

51. Даны две стороны треугольника и угол между ними: а = 4, 6=10, у = 140°. Найдите третью сторону треугольника.

52. В треугольнике ЛВС известны стороны: AB = 4 см, ВС = 5 см, АС = 6 см. Найдите угол В треугольника.

53. В треугольнике ABC AB = 3 см, ВС = 6 см, l_ А = 150°. Определите z_c.

54. В треугольнике ABC АС = 10 см, 1_ С = 30°, Z_ В = 45°. Определите сторону AB.

55. Какой из углов треугольника ABC является наибольшим, если AB = 7, ВС = 9, ЛС = 5?

56. Чему равна площадь треугольника ЛВС, если ЛВ = 7 см, ВС = 3 см, Z_B = 45°.

Задачи на вычисление элементов четырехугольников и правильных многоугольников

57. Сторона квадрата равна 10 см. Чему равны радиусы вписанной и описанной окружности?

58. Найдите площадь правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см.

59. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см. Чему равны радиусы вписанной и описанной окружностей?

60. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.

61. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите его стороны.

62. В ромбе ABCD угол Л равен 140°. Определите углы треугольника ЛОВ (О— точка пересечения диагоналей).

63. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 см и 6 см.

64. В параллелограмме ABCD ЛВ = 4 см, AD = 5 см, L-A = 45°. Вычислите длину диагонали BD.

65. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если его стороны равны 3 см и 5 см, а угол В равен 120°.

66. Сторона параллелограмма равна 5 см, а высота, опущенная на эту сторону, равна 6 см. Найдите площадь параллелограмма.

67. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 14 см, а боковая сторона равна 5 см. Найдите высоту трапеции.

68. Найдите площадь трапеции с основаниями 10 см и 12 см и высотой 5 см.

Задачи на вычисления в окружности и круге

69. Найдите расстояние от центра окружности до хорды ЛВ, если радиус окружности равен 10 см, а хорда ЛВ равна 12 см.

70. ЛВ — касательная к окружности с центром О, В — точка касания. Найдите длину отрезка ЛВ, если АО =13 см, радиус окружности равен 5 см.

71. Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной 3 см.

72. В окружность вписан прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см. Чему равна площадь круга?

73. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу в 120°, если радиус окружности равен 6 см.

74. Найдите площадь сектора ЛОВ, где ЛВ —сторона квадрата, вписанного в окружность с центром О и радиусом 4 см.

5) Учащиеся должны использовать координаты и векторы для решения стандартных задач (вычисление длин и углов, сложение векторов и умножение вектора на число). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

75. Даны точки Л(— 1; 2), В(2; 7), С(4; 3). Найдите координаты точек M и К, если МК — средняя линия треугольника ЛВС, МК || АС.

76. Докажите, что треугольник ЛВС, где Л(—2; 2), В(2; 5), С(—1; 9), является равнобедренным с основанием АС.

77. Укажите центр и радиус окружности, заданной уравнением (х — З)2 + (у + 4)2 = 36. Постройте эту окружность.

78. Запишите уравнение окружности с центром С (2; —8) и радиусом 3 см.

79. Найдите точки пересечения прямой 4х + Зу — 6 = 0 с осями координат. Постройте эту прямую.

80. Запишите уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку (2; 5).

81. Даны точки Л(2; 5) и В(—2; 2). а) Найдите координаты вектора AB. 6) Найдите абсолютную величину вектора ЛВ.

82. Дан вектор л (8; 6). Найдите его абсолютную величину.

83. Даны векторы я(3; 1) и Ъ (2; 3). Вычислите координаты вектора с, если: а) с = 2а + Ь\ 6) с = а - Ь.

84. Даны векторы а иЬ (рис. 13). Постройте вектор с, если: а) с = а + 2Ь; б) с = а — Ъ.

85. ABCD — параллелограмм (рис. 14). Назовите: а) вектор, коллинеарный вектору ЛВ; 6) вектор, одинаково направленный с вектором ВС; в) вектор, равный вектору CD.

86. ABCD — параллелограмм (см. рис. 14). Выразите через векторы ЛВ и ЛD: а) вектор ЛС; 6) вектор BD.

Рис. 13 Рис. 14

87. Найдите скалярное произведение векторов а и ft, если их абсолютные величины 2 и 3, а угол между ними равен 45°.

88. Вычислите скалярное произведение векторов а (3; 4) и ft (5; —2).

89. Докажите, что векторы а (—2; 4) и ft (6; 3) перпендикулярны.

3.4. Алгебра и начала анализа, X—XI классы

1) В результате изучения раздела «Элементарные функции» учащиеся должны научиться строить графики элементарных функций, опираясь на изученные свойства этих функций. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Изобразите схематически графики функций. Укажите область определения и область значений этих функций (1—5):

6. Укажите период функции y = cos#.

Определите, четной или нечетной является функция (7, 8):

Найдите область определения функции (9, 10):

Найдите нули функции (11—13):

14. Используя график функции у = cos я, укажите промежутки ее возрастания и убывания.

15. Используя график функции у = sin я, укажите ее экстремумы.

2) Учащиеся должны научиться проводить тождественные преобразования тригонометрических, показательных и логарифмических выражений. Обязательным для всех учащихся является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Вычислите (16—21):

Найдите х (22, 23), если:

Упростите выражение (24—26):

Сократите дробь (27—29):

30. Вычислите cos2ûr, если

31. Не пользуясь таблицами Брадиса, вычислите cos 105°. Докажите тождество (32, 33):

34. Упростите выражение:

3) Учащиеся должны научиться решать простейшие тригонометрические и иррациональные уравнения, простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства, использовать тождественные преобразования для упрощения уравнений и неравенств. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Решите уравнение (35—55):

Решите неравенство (56—61):

4) Учащиеся должны научиться применять формулы дифференцирования и правила вычисления первообразных для нахождения производных, первообразных и простейших определенных интегралов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

Найдите производную функции (62—67):

Найдите первообразную функции (68—70):

71. Для функции / (х) = sin х + 1 найдите первообразную, график которой проходит через точку M (0; —3).

72. Для функции h (х) = Ъх2 + 2х найдите первообразную, принимающую значение, равное 81 при X = 1.

Вычислите интегралы (73—79):

5) В результате изучения приложений математического анализа учащиеся должны научиться исследовать элементарные функции с помощью методов математического анализа, находя, в частности, экстремумы и промежутки монотонности, строить на основе такого исследования графики функций, вычислять площади криволинейных трапеций. Обязательным для

всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

80. Найдите значение производной функции g(#)=4cos# в точке

81. Найдите скорость изменения функции h {х) = У в точке х0 = 2.

82. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции h {х) = Ъх — Хъ в точке с абсциссой х0 = —2.

83. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции <р {х) = 3х в точке с абсциссой х0 = 0.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции (84—88):

Найдите экстремумы функции (89—92):

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график (93-95):

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (96—101):

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке (102-105):

106« Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?

107. Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы периметр был наименьшим?

3.5. Геометрия, X—XI классы

1) При решении типичных задач с произвольными призмами и пирамидами учащиеся должны уметь проводить ссылки на основные свойства призм, на свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

1. Постройте сечение треугольной пирамиры МАВС плоскостью, проходящей через точки D, Е и F, принадлежащие соответственно ребрам AB, ВМ и ВС.

2. Докажите, что сечение пирамиды МАВС плоскостью, параллельной ребру AM и проходящей через точки Е и F — середины ребер AB и ЛС, есть параллелограмм (рис. 15).

3. Докажите, что в сечении треугольной призмы ABCAxBiC\ плоскостью, проходящей через точки D на ребре ЛВ, Е на ребре ВС и F на ребре А\Вх (рис. 16), стороны DE и FK параллельны.

4. Докажите, что сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер, параллельно основанию.

5. В пирамиде MABCD боковое ребро MA перпендикулярно ребрам AB и AD основания. Докажите, что угол MAC — прямой. Найдите длину отрезка MC, если AM = 13 см и ABCD — прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см*

6. В пирамиде МАВС в основании ABC угод С — прямой. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что все грани пирамиды — прямоугольные треугольники.

Рис. 15 Рис. 16

7. В треугольной пирамиде МАВС стороны AB и АС основания равны 20 см, а сторона ВС — 24 см. Ребро AM перпендикулярно основанию и равно 12 см. Найдите площадь грани M ВС.

8. В пирамиде M ABCD основание ABCD — прямоугольник, в котором диагонали пересекаются в точке О. ОМ — высота пирамиды. Докажите, что боковые ребра пирамиды равны.

9. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник ЛВС, а боковое ребро AD перпендикулярно плоскости основания. Постройте линейный угол двугранного угла при ребре ВС.

2) При решении типичных задач с параллелепипедом учащиеся должны уметь при доказательствах использовать свойства параллелепипеда, параллельных прямых и плоскостей в пространстве, при решении задач на вычисление уметь вычислять объем прямоугольного параллелепипеда с использованием элементов планиметрии. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

10. В параллелепипеде ABCDA\BiC\Di проведено сечение через сторону Л В и точку M на ребре DDX . Докажите, что полученное сечение — параллелограмм (рис. 17).

11. В прямоугольном параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из одной вершины, 2 дм, 3 дм, 6 дм. Найдите длины диагоналей параллелепипеда.

12. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 12 см и 5 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем праллелепипеда.

13. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 13 дм, высота 12 дм, а одно из ребер основания 4 дм.

14. В прямом параллелепипеде основание — ромб с острым углом в 60° и стороной 6 см. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите длины его диагоналей.

Рис. 17 Рис. 18

3) При решении типичных задач с прямой и правильной призмами учащиеся должны уметь вычислять элементы призм, площади их поверхностей и объемы.

15. В правильной треугольной призме длина бокового ребра равна 18 см, а стороны основания 24 см. Найдите периметр сечения, проведенного через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания (рис. 18).

16. Основание прямой призмы — треугольник, у которого стороны длиной 5 см и 6 см образуют угол в 30°. Боковое ребро призмы равно 4 см. Найдите объем призмы.

17. В прямой четырехугольной призме основание — прямоугольник со сторонами 7 и 24, а высота 8. Найдите площади диагональных сечений.

18. В правильной четырехугольной призме сторона основания 8]/~2м, а площадь диагонального сечения—120 м2. Найдите объем призмы.

19. В правильной треугольной призме сторона основания 6 дм, а боковое ребро 7 дм. Найдите объем призмы.

20. В прямой треугольной призме основание — прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

4) При решении задач с правильной пирамидой учащиеся должны уметь вычислять основные элементы таких пирамид (высоты, двугранные углы при ребрах основания, длины ребер), а также площади их поверхностей и объемы. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

21. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°. Сторона основания равна 12 см. Найдите высоту пирамиды.

22. В правильной треугольной пирамиде через середины трех боковых ребер проведено сечение. Найдите его площадь, если длина ребра основания пирамиды равна 24 см.

23. Сторона основания правильной четырехугольной прирамиды равна м, а боковое ребро 5 м. Найдите объем пирамиды.

24. В правильной треугольной пирамиде высота равна 8 дм, боковое ребро 10 дм. Найдите объем пирамиды.

25. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 10 м, высота 12 м. Найдите площадь поверхности пирамиды.

26. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.

5) При решении типичных задач с цилиндром, конусом, шаром, сферой ученики должны уметь решать задачи на вычисление основных элементов данных тел, их объемов и площадей поверхностей, площадей сечений, используя свойства осевых сечений, свойства плоскости, ка-

сательной к сфере, свойства тел вращения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

27. Образующая конуса равна 6 м и наклонена к плоскости основания под уголом 60°. Найдите площадь основания конуса.

28. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, если радиус основания равен 10 см.

29. Стороны прямоугольника 4 см и 5 см. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны.

30. Образующая конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

31. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 12 см и 26 см. Найдите объем цилиндра, если его высота равна меньшей стороне осевого сечения.

32. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40, 40 и 48. Найдите объем конуса.

33. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45°. Радиус основания конуса равен 13 см. Найдите его объем.

34. Прямоугольник с боковой стороной 14 и основанием 10 является разверткой боковой поверхности цилиндра. Найдите объем этого цилиндра.

35. В шаре радиусом 26 см на расстоянии 10 см от центра проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.

36. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке В. Точка А лежит в этой плоскости. OA = 25 см, AB = 15 см.

Найдите площадь поверхности шара.

37. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

6) При решении типичных задач на движения учащиеся должны проявить знание основных видов движений. Кроме того, знание этого материала можно использовать при решении задач предыдущих разделов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

38. Постройте фигуру, симметричную прямоугольному параллелепипеду относительно одной из его граней.

39. Постройте фигуру, симметричную треугольной пирамиде относительно одной из ее вершин.

40. Укажите плоскости симметрии прямоугольного параллелепипеда.

41. Приведите примеры центрально-симметричных фигур.

42. В параллелепипеде ABCDAiBiC\D\ укажите, во что переходит грань АВВХА\ при параллельном переносе, переводящем точку А в точку D.

7) Типичными задачами на координаты и векторы являются задачи операционного характера на использование основных свойств изученных понятий. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности.

43. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, где Л(1; 3; 2), В (0; 2; 4), С(1; 1; 4) и D(2; 2; 2) стороны AB и CD равны.

44. В треугольнике ЛВС, где А (2; 1; 3), В (1; 1; 4), С (0; 1; 3), угол ЛВС-прямой. Докажите.

45. Дан параллелепипед ABCDAxBiCiDx. Найдите: а) AB + ВВХ + BÏCr,

46. Даны векторы а (-3; 1; -2) и Ь (4; 0; 6). Найдите: а) 2 а - Ъ\ 6) длину вектора Ь.

47. Найдите значение выражения (2я —Ь)-(а + Ь), где:

48. Найдите вектор 4AB + ВС, если Л (4; 0; 2), В (0; 0; 1) и С (3; 5; -2).

Глава 4.

ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА С УЧЕТОМ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ

4.1. Планирование тематических обязательных результатов обучения

Как было показано в предыдущих главах, достижение итоговых результатов обучения должно гарантировать выполнение целей изучения соответствующего курса данной ступени обучения и требований к математической подготовке учащихся на минимально обязательном уровне. Однако, для того чтобы обеспечить достижение итоговых результатов обучения, необходимо, чтобы учащиеся при изучении каждой конкретной темы курса также достигли определенного уровня подготовки.

Кроме того, для усвоения какого-либо математического курса, представляющего систематически изложенный материал, на определенных этапах формируются такие знания и умения учащихся, которые являются опорными для изучения последующих разделов данного курса и смежных дисциплин внутри ступени обучения. Другими словами, аналогично тому, как с помощью результатов обучения итоговых для определенной ступени обеспечивается база для изучения математики и смежных предметов на последующих ступенях, так же с помощью результатов обучения по отдельным темам должна обеспечиваться база для изучения последующих тем.

Итак, две основные задачи планирования обязательных результатов обучения по каждой конкретной теме курса — это обеспечение достижения итоговых результатов обучения по данному курсу и обеспечение потребностей изучения самого курса и смежных дисциплин данной ступени обучения. Следует заметить, что эти две задачи решаются не изолированно: решение одной из них в значительной мере влияет и на другую.

Из сказанного выше следует, что планирование тематических обязательных результатов обучения тесно связано с разделом программы «Тематическое планирование учебного материала», в котором определена последовательность изучения материала, а значит, и с конкретным учебником, по которому ведется преподавание.

Тематические обязательные результаты обучения обладают по сравнению с итоговыми некоторыми особенностями.

а) Определенная часть задач, характеризующих тематические результаты, совпадает с задачами итогового обязательного списка. Это связано с тем, что достижение некоторых итоговых результатов предполагается в ходе изучения конкретной темы. Здесь речь идет не только о конечных темах ступеней обучения, но и о таких, где формирование определенных итоговых умений завершается. Так, например, итоговые по курсу планиметрии задачи на подобие треугольников, векторы, решение треугольников являются одновременно обязательными задачами по соответствующим темам. Аналогично в курсе алгебры при изучении темы «Степень с рациональным показателем» завершается формирование умений учащихся оперировать со степенями, и здесь также наблюдается совпадение тематических и итоговых обязательных результатов обучения.

б) Еще одну часть задач, относящихся к тематическим результатам, представляют собой элементарные подзадачи итоговых задач. Например, при изучении курса планиметрии умения решать задачи, связанные с распознаванием и использованием свойств вертикальных углов, углов при параллельных прямых и секущей, должны быть сформированы соответственно в темах «Углы», «Сумма углов треугольника». Однако в итоговых результатах обучения эти умения отражены в задачах комплексного характера в совокупности с другими, например в задачах на равенство и подобие треугольников.

В теме «Обыкновенные дроби» (математика, V класс) изучаются сведения о дробных числах, необходимые для введения десятичных дробей в следующей за ней теме: сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, выделение целой части числа. Соответствующие умения составляют тематические результаты обучения. В итоговые же результаты обучения за курс V— VI классов они войдут в комплексе с другими умениями, формируемыми при изучении последующих тем курса; они проявятся в действиях над рациональными числами.

в) В ряде случаев необходимый итоговый уровень владения некоторым материалом не может быть полностью достигнут при изучении соответствующей темы (как правило, это зависит от особенностей изложения материала в учебнике). В таких случаях достижение итогового уровня должно обеспечиваться развитием соответствующего умения при изучении последующего материала. Покажем это на примерах.

Признаки равенства треугольников изучаются в начале курса планиметрии. При изучении самой темы «Признаки равенства треугольников» трудно рассчитывать на то, что у всех школьников полностью будет достигнут итоговый уровень применения признаков, когда от учащихся требуется самостоятельно выявить треугольники, равенство которых нужно доказать, и использовать равенство треугольников для вывода о равенстве углов или отрезков, являющихся их элементами. На начальном этапе целесообразно поставить как обязательную задачу — добиться умений доказывать равенство треугольников, названных в требовании задачи. Однако по

мере накопления опыта проведения доказательных рассуждений, и в частности, опыта применения признаков равенства треугольников (в темах «Сумма углов треугольника», «Четырехугольники» и др.)» соответствующие умения развиваются.

Рассмотрим теперь изучение функций. В результате изучения курса алгебры восьмилетней школы учащиеся должны уметь строить и «читать» графики заданных в программе функций. Сюда относятся умения с помощью графика по заданному значению одной переменной найти значение другой, определить промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции. Однако все эти свойства функций рассматриваются в разных разделах курса и, например, в VII классе еще незнакомы ученикам. Поэтому в VII классе одним из результатов изучения темы «Линейная функция» может быть только умение с помощью графика по заданному значению X найти значение у, а также решить обратную задачу. В то же время к концу IX класса ученики должны уметь по отношению к линейной функции ответить и на остальные вопросы.

Согласно программным требованиям к математической подготовке учащихся в итоге изучения курса V—VI классов необходимо сформировать умение «решать несложные линейные уравнения, используя при этом раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых»1. Надо заметить, что простейшие преобразования выражений и общие приемы решения линейных уравнений рассматриваются в учебнике в одной и той же теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел» к концу ее изучения. И тот и другой вопросы важны для дальнейшего применения, требуют тщательной отработки и, конечно, являются тематическими обязательными результатами обучения, конкретизировать которые можно задачами.

Упростите выражение:

Решите уравнение:

Использование соответствующих умений в комплексе, начало которому положено в данной теме, развивается далее в теме «Рациональные числа» при преобразовании выражений, составлении и решении линейных уравнений и контролируется через задания, соответствующие итоговому обязательному уровню решения уравнений. Приведем примеры.

Решите уравнение:

Таким образом, из всего сказанного выше вытекает определенный способ планирования обязательных результатов обучения по отдельным темам. Он состоит из двух этапов.

На первом этапе проводится анализ итоговых результатов обучения.

1 Программы средней общеобразовательной школы. Математика.— М.: Просвещение, 1986.-С. 9.

Сами итоговые задачи распределяются по темам, в процессе изучения которых заканчивается формирование соответствующих умений. Затем, анализируя ход решения каждой итоговой задачи, выясняем, какими умениями обеспечивается возможность ее решения. Задачи, характеризующие эти умения, включаются в соответствующие темы.

Рассмотрим этот процесс на конкретном примере из курса планиметрии. К итоговым результатам обучения отнесена задача 1: «Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника (рис. 19)».

Умение решать подобные задачи формируется в теме «Многоугольники». Решение задачи состоит в вычислении гипотенузы АО прямоугольного треугольника АОК по катету АК и углу OAK (AK = , Z.0AK = yZLВАС = 30°, АО = АК: cos 30°). Вообще говоря, можно использовать и другие способы для вычисления радиуса описанной окружности. Заметим, что учащиеся могут при решении такой задачи непосредственно воспользоваться формулой R = -^=*. Однако, для того чтобы сознательно воспринять и усвоить данный в пособии вывод формулы, учащиеся все равно должны знать соответствующие факты и уметь их применять. Таким образом, для решения задачи учащиеся должны:

1) знать, что у правильного треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

2) знать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла;

3) знать, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на серединном перпендикуляре к стороне треугольника;

4) знать (или уметь вычислить), что в равностороннем треугольнике все углы равны 60°;

5) владеть понятием биссектрисы угла;

6) уметь использовать сведения, данные в условии, для того, чтобы вычислить АК как половину стороны АС, вычислить угол OAK как половину угла ВАС;

7) уметь вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу;

8) знать, чему равен cos 30°.

С понятиями вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей и со сведениями о положении их центров учащиеся знакомятся в теме «Геометрические построения» (VII класс); факт совпадения их центров также может быть доказан в этой теме. Однако возможности

Рис. 19

для отработки соответствующих умений в данной теме невелики, поскольку наученный к этому времени материал недостаточен для создания системы содержательных задач, направленных на такую отработку. При изучении же темы «Многоугольники» (IX класс) аналогичные вопросы рассматриваются в связи с различными правильными многоугольниками, что создает большие предпосылки для усвоения указанных фактов. Кроме того, у учащихся уже должны быть сформированы умения применять теорему Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике, которые предполагают решение разнообразных задач, связанных с вписанными и описанными окружностями. Поэтому целесообразно отнести требование уметь применять указанные факты к обязательным результатам обучения по теме «Многоугольники», а не к предваряющим ее другим темам.

Умение найти угол равностороннего треугольника (или просто знание того, что он равен 60°) должно быть сформировано при изучении темы «Сумма углов треугольника» (VII класс), т. е. учащиеся должны уметь отвечать на вопрос: «Чему равны углы равностороннего треугольника?». Поскольку нас интересует умение применить этот факт, то можно в обязательные результаты по теме включить задачу, при решении которой этот факт используется в комплексе с другими сведениями.

Задача 2. «В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана BD. Определите углы треугольника ABD».

В теме «Углы» необходимо предусмотреть умение решать задачу 3: «BD — биссектриса угла ABC. Найдите LABD, если LABC = 80°».

При изучении темы «Теорема Пифагора» необходимо уметь решать задачу 4: «Найдите гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, если АС = 5 см, LA = 30°».

Таким образом, в списки задач, характеризующих тематические обязательные результаты обучения должны быть включены следующие:

VII класс. Тема «Углы» — задача 3.

Тема «Сумма углов треугольника» — задача 2.

VIII класс. Тема «Теорема Пифагора» — задача 4.

IX класс. Тема «Многоугольники» — задача 1.

Второй этап планирования обязательных результатов обучения по отдельным темам подчинен обеспечению внутренних потребностей изучения определенного курса. Этот процесс аналогичен процедуре выделения итоговых результатов, ориентированных на достижение общих целей изучения курса, на потребности изучения математики и смежных дисциплин на следующей ступени обучения. Здесь также необходим анализ теоретического материала и решения типичных задач, целью которого является выделение необходимых знаний и умений и описание выделенных результатов в виде конкретных задач.

Рассмотрим, как реализуются указанные выше принципы планирования тематических результатов обучения на примере конкретных тем.

Тема «Степень с натуральным показателем» изучается в курсе алгебры VII класса. Прежде всего вводится понятие степени. Учащиеся учатся

находить значения степеней и выражений, содержащих степень, знакомятся с правилами определения порядка действий в таких выражениях. И впоследствии эти умения широко применяются как в курсе математики, так и в курсе физики. Соответствующие задания на нахождение значений выражений из итоговых обязательных результатов обучения должны быть включены в тематические результаты. Это задачи следующего типа: «Найдите значение выражения: а) 2аъ при а = — 4; 6) — х2 + Ъх при х = 5».

Далее действия над степенями, которыми ученики должны владеть на выходе из IX класса, здесь отрабатываются для натуральных показателей. Поэтому соответствующие задачи из итоговых обязательных результатов обучения в этой теме могут быть следующего содержания: «Выполните действия:

Можно заметить, что уровень сложности преобразований степеней в IX классе несколько выше (что определяется потребностями старшего звена). К свойствам степеней учащиеся обратятся еще не раз: в VIII классе будут изучаться степени с целым показателем, а в IX —степени с рациональным показателем. Соответствующие умения постепенно отрабатываются в ходе изучения данного материала, который предоставляет для этого возможности (доказательство свойств степеней, требующее многошаговых преобразований, решение содержательных задач). В VII классе у всех, безусловно, необходимо прочно отработать навык прямого применения свойств степеней при решении задач. Для последующего изучения курса свободного владения этим умением достаточно.

В соответствии с тематическим планированием в теме «Степени» рассматриваются действия с одночленами. Умения выполнять умножение одночленов и возводить одночлен в степень являются опорными для действий над многочленами, изучаемыми в следующей теме курса. Поэтому, хотя действия над одночленами как самостоятельные задачи не входят в итоговые результаты по ступени обучения, в итоге изучения темы они должны быть усвоены на уровне, обеспечивающем их применение в действиях с многочленами. А это определяется умением решать задачи вида

«Упростите выражение:

В данной теме изучаются также функции у = х2 и у = хъ. Необходимо отметить, что в учебниках алгебры эти функции и их свойства будут рассматриваться еще раз в IX классе при изучении степенной функции. Поэтому было бы естественно отнести итоговые результаты овладения этим материалом к соответствующей теме IX класса. Однако это можно сделать только для функции у = хъ. Что же касается функции у = я2, то ее график и некоторые свойства активно используются уже в VIII классе при введении понятия арифметического квадратного корня, функции у = V х . Поэтому умение построить график функции у = я2, а также те обязательные элементы чтения графика, которые отрабатываются в данном месте курса, следует считать обязательными результатами изучения данной темы. Учащиеся должны уметь выполнять следующие задания:

а) Постройте график функции у = х2. 6) С помощью графика функции определите, чему равно значение функции при значении аргумента, равном 1,5. в) С помощью графика функции определите, при каких значениях X значение у равно 4.

Тема «Сложение и вычитание обыкновенных дробей» (VI класс) включает изучение следующих вопросов: сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, дополнение дроби до единицы, сложение и вычитание чисел, содержащих целую и дробную части, а также рассмотрение внепрограммного материала на построение треугольников, который в обязательные результаты обучения не включается. Умения выполнять алгоритмы сложения и вычитания обыкновенных дробей, формируемые здесь, являются итоговыми как в данной теме, так и в курсе в целом.

Задания, конкретизирующие обязательный результат обучения, должны быть представлены достаточно полно, включать случаи, в которых потребуется сокращение дробей, представление дробей в виде смешанного числа, обращение смешанного числа в обыкновенную дробь, нахождение наименьшего общего знаменателя нескольких дробей. Кроме того, надо иметь в виду, ограничение сложности вычислений. Потому что, как показывает опыт обучения в школе, вычисления с обыкновенными дробями вызывают у учащихся значительные трудности, причем чаще возникающие не из-за плохого усвоения алгоритма действия, а из-за ошибок в работе с дробями, имеющими громоздкие знаменатели. А для того чтобы сосредоточить внимание на проверке алгоритма действия, достаточно рассматривать задачи, не сложнее встречающихся в дальнейшей учебно-практической деятельности школьников. Так, важно иметь в виду, что учащимся надо обязательно уметь выполнять сложение и вычитание дробей, знаменатели которых однозначные числа, либо двузначные, представимые в виде произведения двух простых множителей. Элементарные вычислительные операции с такими дробями будут аналогичны операциям, выполняемым, например, при преобразовании алгебраических дробей. Таким образом, задания, представляющие обязательный результат обучения сложению и вычитанию обыкновенных дробей, могут быть следующего вида:

«Вычислите:

4.2. Некоторые вопросы методики достижения обязательных результатов обучения

Важнейшая особенность организации учебного процесса в условиях всеобщего среднего образования состоит в ориентации на безусловное достижение всеми учащимися обязательного уровня математической подготовки, что подчерки-

вается в программе по математике. Такая постановка вопроса полностью согласуется с требованиями, поставленными в документах о реформе, где говорится о важности общего повышения качества обучения и воспитания учащихся, реального обеспечения единого уровня подготовки выпускников школы.

Достижение обязательных результатов обучения необходимо рассматривать как первоочередную по своей значимости задачу, которую должен ставить перед собой каждый учитель, организуя усвоение материала учащимися. При этом необходимо понимать, что, несмотря на относительную простоту соответствующих задач и сравнительно небольшой их объем, очень нелегко добиться, чтобы каждый ученик свободно справлялся с их решением.

Недооценка сложности этой проблемы встречается очень часто. Вместе с тем практика показывает, что значительная часть учащихся не владеет опорными умениями и навыками в необходимой степени. Специальные контрольные работы, направленные на проверку обязательных результатов обучения, показывают, что часто до половины (а иногда и более) учащихся не справляются с решением простейших заданий, например с решением линейных и квадратных уравнений, неравенств и их систем, основных тождественных преобразований, несложных геометрических задач. Причем представления учителей, как правило, бывают очень далеки от реального положения дел. Когда они до проведения проверочных работ знакомятся с их содержанием, реакция бывает однозначна: предлагаемые задания оцениваются как простые и выражается уверенность, что с ними легко справится большинство учащихся. Получаемые результаты часто убеждают учителя в обратном и обычно являются для него полной неожиданностью. Учитель с удивлением обнаруживает, что иногда не только слабоуспевающие ученики, но и те, кого он считает сильными, допускают грубейшие ошибки, свидетельствующие о существенных пробелах в их подготовке. У одних учащихся эти пробелы тормозят продвижние вперед, и, может быть, не будь их, эти ученики могли бы добиться больших успехов и в более короткое время. А у других учащихся они могут сказаться не сегодня и не завтра, а позднее. И тогда сегодняшний «сильный» ученик начинает испытывать затруднения и переходит в разряд слабоуспевающих. В этом и заключается механизм хорошо известного всем учителям явления, когда бывший сильный ученик, не вызывающий у учителя каких-либо тревог, вдруг на каком-то этапе начинает учиться хуже, а иногда и вовсе становится «слабым». Имевшиеся у ученика пробелы накопились и достигли критической точки, превратились в тяжелый груз, мешающий двигаться вперед. Таким образом, опыт свидетельствует, что задача достижения всеми учениками уровня обязательной подготовки стихийно, без целенаправленной работы не решается. Необходимы специальные меры, большое внимание учителя этому вопросу.

Здесь уместно затронуть вопрос об отношении к ученику, обучающемуся на обязательном уровне. Нужно решительно преодолеть стереотип-

ный взгляд на слабого ученика. Если школьник по каким-либо причинам не проявляет интереса к математике, то мы не вправе высказывать ему за это свое неуважение. Он может интересоваться литературой или историей, трудом или физкультурой и углублять свою подготовку в этих областях. Занимаясь же математикой, он должен выполнять заданную ему «норму», иными словами, достигать обязательных результатов обучения. И в этом случае учителю следует выражать искреннее удовлетворение результатами его работы. Если ученику этот уровень дается с трудом, то надо поощрять его похвалой, одобрять всякое продвижение. Если же учитель видит, что ученик может овладеть большим, то он должен стремиться развить у этого ученика интерес к предмету, стимулировать его успехи.

Не следует думать, что обеспечение уровня обязательной подготовки может осуществляться только в ущерб более глубокому усвоению материала, в ущерб интересам сильных учащихся, способных достичь значительно большего в овладении школьным курсом математики. Действительно, необходимость овладения опорными умениями и навыками важна для всех категорий учащихся. Никакая творческая инициатива, никакая познавательная самостоятельность не могут быть успешными, если у ученика отсутствует база элементарных умений и навыков. Прочные основы, полученные школьниками, могут только помочь в расширении и углублении познаний, но никак не помешать этому. Заметим, что выделение обязательного уровня подготовки не заменяет системы упражнений учебника, которая гораздо богаче и разнообразнее; в ней предусмотрено методически организованное включение задач самого разного назначения: подготовительных, тренировочных, развивающих, задач повышенной сложности и т. д. Во-вторых, повышение качества математической подготовки основной массы учеников принесет ощутимую пользу именно сильным учащимся. Ведь для сильного ученика очень важны состав и подготовка класса, в котором он учится,—так называемый фон. Слабый класс и способного ученика тянет вниз, не дает в полной мере проявиться его возможностям. Учителя хорошо знают, насколько велика бывает разница в подготовке, в развитии между учениками, имеющими явную склонность и итерес к математике, но обучающимися в разных по силе состава классах.

Важное обстоятельство, которое необходимо учитывать в работе, состоит в том, что обязательные результаты обучения должны стать основой дифференциации требований к учащимся. Обязательные результаты обучения—это безусловные требования к каждому ученику. Их предъявление непосредственно связывается с оцениванием. А именно, как отмечается в программе по математике, если ученик достиг уровня обязательной подготовки, то это уже обеспечивает ему получение минимальной положительной отметки, т. е. тройки. К тем же ученикам, которые проявляют интерес к математике и претендуют на более высокие отметки, следует предъявлять более высокие по сравнению с обязательными требования: они должны демонстрировать более высокие результаты в овладении материалом.

Из сказанного вытекает два важных вывода. В ходе обучения математике необходимо создавать условия для более глубокого усвоения материала, для максимального развития учащихся, проявляющих интерес к предмету. При этом очевидно, что возможности работы с сильными учащимися существенно расширяются. Поскольку нижний уровень, обеспечивающий выставление положительной отметки, зафиксирован, то учитель может свободнее обращаться с более сложным материалом, понимая, что не потребуется обеспечить усвоение этого материала всеми учениками.

Таким образом, требование безусловного достижения всеми учащимися уровня обязательной подготовки ориентирует учителя на необходимость работы со всеми учащимися, на эффективную реализацию принципа «учить каждого». Многое здесь зависит от мастерства учителя, от его умения эффективно применить богатый арсенал имеющихся приемов и методов обучения. Вместе с тем имеется ряд требований к организации усвоения материала учащимися, недооценка которых или пренебрежение ими неизбежно приводят к тому, что даже при большой затрате сил и времени трудно будет обеспечить овладение опорным уровнем всех учащихся.

Отметим сразу, что приводимые ниже рекомендации в большей степени направлены на достижение обеспечения обязательных результатов обучения, хотя в определенной мере они, естественно, затрагивают и вторую сторону вопроса. Остановимся на некоторых из них.

В списке обязательных результатов обучения нет задач, постановка которых впрямую требовала бы воспроизведения теоретических знаний — формулировок определений, теорем и других математических фактов. Однако это не означает, что в ходе изучения материала они не должны усваиваться учащимися.

Овладение основными теоретическими фактами является необходимым условием для формирования умения решать задачи обязательного уровня. Например, преобразование буквенных выражений путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых требует знания соответствующих правил; выполнение действий со степенями базируется на знании свойств степеней; процесс решения геометрических задач невозможен без осмысленного применения тех или иных определений, теорем. Поэтому в текущем процессе обучения учитель, несомненно, должен требовать от учащихся овладения соответствующей терминологией, усвоения правил, важнейших формулировок и т. п. Усвоение теоретических фактов делает осознанным выполнение различных действий, поэтому повышает эффективность работы по формированию умений, помогает предупреждению типичных ошибок, способствует прочности умений и навыков. Например, решению показательных и логарифмических неравенств помогает сознательное усвоение учащимися свойств показательных и логарифмических функций, так как здесь основные ошибки могут возникнуть из-за неверного определения характера монотонности соответствующей функции на некотором множестве. При построении графиков ошибки часто возникают из-за незнания того, что является графиком функции того или иного вида: прямая,

парабола и т. д. Подобных примеров можно привести много. Поэтому в ходе учебного процесса важно придерживаться такой методики обучения, когда процесс отработки важнейших умений не ограничивается чисто тренировочными упражнениями, а определенное внимание уделяется усвоению теоретических фактов и их проверке. Система задач, характеризующая обязательные результаты обучения, задает минимально необходимый уровень сформированности программных умений и навыков. Одновременно своим содержанием она очерчивает и тот круг знаний, которые активно применяются при решении этих задач и поэтому должны быть сформированы у каждого учащегося.

В то же время необходимо отличать итоговые требования от текущих. В итоговой проверке достижение обязательного уровня подготовки характеризуется умением применять полученные знания при решении задач. Именно в ходе их решения проверяется владение учеником необходимыми теоретическими знаниями. Например, овладение умением находить экстремумы функции проверяется при решении задач типа «Найдите экстремумы функции у = хъ — 2#». При этом выявляется знание достаточных условий существования точек экстремума, а также умение применить это знание для решения конкретной задачи. Умение дать формулировку того или иного математического факта, с одной стороны, недостаточно, а с другой стороны, может оказаться трудным для части учащихся. Так, нахождение среднего арифметического нескольких чисел базируется на определении: «Средним арифметическим нескольких чисел называется частное, получающееся при делении суммы этих чисел на число слагаемых»1. Если ученик справился с заданием на его применение, то естественно считать, что он овладел понятием среднего арифметического нескольких чисел, даже если он не может воспроизвести точную формулировку определения.

Таким образом, на обязательном уровне в итоговой проверке необходимо выявить умение применить тот или иной факт при решении определенных задач, точную же и полную формулировку этого факта спрашивать не следует. В текущем учебном процессе необходимо иметь в виду, что усвоение знаний — процесс длительный и сложный, проявляющийся в умении применить знания, что невозможно без осмысления и запоминания теоретических фактов.

В настоящее время учителя уделяют большое внимание формированию мотивации учения, активизации познавательной деятельности учащихся. И это справедливо. От того, насколько удастся повысить активность учащихся в процессе обучения, стимулировать их работу, в значительной степени зависит не только успешность обучения, но и подход к другим жизненным проблемам, их активность в будущем. И одним из наиболее действенных средств в этом отношении является ясное понимание учащимися

1 Виленкин Н. Я., Чесноков А. С, Шварцбурд С. И. Математика. Учебник для 4 класса средней школы.—М.: Просвещение, 1984.—С. 266.

предъявляемых к ним требований. Каждый работающий человек знает, что от него потребуют в результате его работы, какие планы он должен выполнить, каких показателей достичь. И только ученики, как правило, не знают конечных конкретных целей. Обучение по принципу «учи все, а что-то из этого будет проверено» для многих учеников нереально. Оно создает для них непосильные требования, убивает всякий интерес к работе» мешает активному, сознательному учению. Поэтому важнейшим условием организации достижения обязательных результатов обучения должна стать их открытость» сообщение учащимся соответствующих задач.

Это можно делать в разной форме. Наибольшее распространение получила следующая; на стенде в классе в начале изучения темы вывешивается список обязательных задач. Учащимся сообщается, что это те задачи, которые должен научиться решать каждый, чтобы получить положительную оценку; в конце изучения темы они обязательно будут проверены. Такой подход делает работу учащихся более целенаправленной, позволяет им самим оценить степень овладения материалом, создает в классе спокойный, деловой настрой, который способствует эффективности работы.

Основная организационная форма обучения в нашей школе — это урок. Все содержание обучения, его направленность, все основные принципы обучения находят свое конкретное решение, реальное воплощение именно в уроке. На какие же моменты при организации урока следует в первую очередь обращать внимание для обеспечения достижения всеми учениками обязательных результатов обучения?

Анализ уроков показывает, что мало внимания стали уделять учителя такой традиционной форме работы, как закрепление материала на достаточно простых, типичных задачах. Часто на практике этот этап минуют очень быстро, слишком поспешно переходят к решению со всем классом более сложных задач. Приведем достаточно характерный пример с урока. Идет объяснение темы «Внесение множителя под знак корня». Учитель разбирает с классом сразу все примеры, имеющиеся в тексте учебника.

Они идут примерно в такой последовательности: 2 ]f~3\ —3 /5 ; а /2 ; а ^ 0; а /У, а < 0. После этого класс приступает к выполнению упражнений, из которых только два аналогичны первому. Урок был начат активно. Ученики живо и энергично участвовали в повторении необходимого материала, активно включились в работу по усвоению нового приема, но эта активность быстро погасла. В работе (она велась фронтально) участвовали только немногие ученики, быстро ухватившие суть вопроса. В конце урока была проведена самостоятельная работа. Класс в целом с ней не справился, хотя в нее были включены и наиболее простые из приведенных выше примеров. Это произошло из-за того, что многие учащиеся еще не осознали до конца способ решения задачи, не закрепили первичный навык, а им уже были предложены более сложные случаи. Таким образом, нельзя допускать быстрого, необоснованного перехода к сложным задачам. Например, при изучении сложения и вычитания обыкновенных дробей не следует спешить с переходом к рассмотрению случаев* когда какие-либо из компо-

нентов действий — отрицательные числа. Прежде всего необходимо тщательно отработать алгоритмы действий с положительными дробями. И только когда учащиеся перестанут испытывать серьезные затруднения в этих основных случаях, с ними можно переходить к действиям с рациональными числами.

Существует мнение, что если учить на задачах высокого уровня сложности, то более низкий наверняка будет достигнут. Иногда даже приходится видеть, как целые уроки посвящаются решению олимпиадных задач или разбору разнообразных «тонких» случаев, требующих хорошего уровня понимания, в то время как еще значительная часть класса не овладела основными умениями, основными приемами и многие еще не могут самостоятельно справиться с решением важнейших опорных задач. Это неправильный подход. При такой методике ученик, еще не овладевший формируемыми у него умениями и не осознавший рассматриваемого приема решения задачи, сталкивается с более трудной задачей, в которой он не может выполнить самостоятельно ни одного шага. В лучшем случае он бессознательно переписывает ее решение с доски, и если его мысль не имеет опоры достаточно длительное время, то он просто отключается от работы. Поэтому решать более простую задачу этот ученик не научится. Если обратиться к предыдущему примеру, то можно заметить, что включение в упражнения отрицательных дробей до тех пор, пока основной алгоритм не усвоен, может препятствовать появлению в действиях учащихся необходимого автоматизма.

Поэтому одно из важнейших условий успеха в работе по обеспечению у всех учащихся опорной подготовки заключается в том, что на уроках должно отводиться специальное время отработке умения решать задачи обязательного уровня. Понятно, что при этом не следует все сводить только к решению подобных задач. Ученику необходимо пройти через полноценную систему обучающих упражнений (и подготовительных, и на применение формируемого умения для решения тех или иных задач, и более сложных). Вместе с тем в ходе изучения темы ученики должны приобрести опыт в решении задач обязательного уровня. Их следует специально включать в уроки, определенное внимание этим задачам должно быть уделено на заключительном этапе изучения темы —на уроке подготовки к контрольной работе, зачету и др.

Решение задач обязательного уровня непременно записывается учащимися в тетрадь. Наблюдения на уроках показывают, что нередко при разборе важнейших опорных задач в классе записи ведутся только на доске (причем часто это делает сам учитель), ученики дают устные пояснения, не делая никаких записей в тетрадях. К письменному оформлению решения переходят только в сложных случаях. В связи с этим необходимо заметить, что письменная фиксация важнейших моментов решения помогает учащимся лучше и быстрее запомнить правило, формулу, теорему, усвоить правильную последовательность действий, выработать прочный язык. Поэтому, например, при изучении формул сокращенного умножения следует

самые первые примеры на применение формул, а именно задания типа «Представьте в виде многочлена (х — З)2, (а + 7)2, (2а — с)2», оформить в тетрадях письменно. Понятно, что со временем можно перейти к устному выполнению такого рода упражнений, однако на первоначальных этапах их письменное решение необходимо. Запись решения опорных задач в тетрадях послужит ученикам образцом, к которому они могут обратиться при выполнении домашнего задания, при повторении материала, при подготовке к проверке знаний.

При организации работы по овладению учащимися основными умениями крайне важную роль играет самостоятельная работа школьников. Самостоятельная деятельность учащихся, выполнение ими самостоятельных работ — «единственно прочное основание всякого плодовитого учения»1. Но для того чтобы самостоятельная работа приносила должный эффект, необходимо соблюдение ряда условий. Содержание самостоятельных работ в первую очередь определяется содержанием основных опорных умений, подлежащих усвоению в каждой конкретной теме. Несоблюдение этого условия приводит к нерациональным затратам времени, к неэффективности самостоятельной работы как для ученика, так и для учителя.

На практике иногда приходится наблюдать, что в самостоятельные работы включается второстепенный материал или всем учащимся предлагаются задания развивающего характера, для многих непосильные. Время тратится непродуктивно.

Приведем пример. Приходилось наблюдать, что в качестве первой самостоятельной работы при изучении темы «Угловой коэффициент прямой» ученикам предлагается самостоятельно по готовому графику линейной функции определить значение коэффициента k. Это задание не отражает обязательного уровня овладения материалом. Конечно, как и всякая самостоятельная работа, выполнение подобного задания может принести определенную пользу преимущественно сильным учащимся, но вряд ли целесообразно предлагать его для самостоятельного выполнения всеми учениками. Многие ученики, потеряв время на выполнение этого задания, и может быть, так и не решив его, теряют возможность закрепить обязательное умение, самостоятельно выполнить обязательное для них задание. Учитель же, проверив работы учащихся, так и не будет знать, какая часть учащихся его класса достигла обязательного уровня умений. В данном случае обязательным является усвоение учащимися смысла углового коэффициента прямой, понимание того, что от его значения зависит угол наклона прямой к оси ОХ: при k > О этот угол острый, а при k< О — тупой. Для закрепления этих знаний, а также для их проверки можно использовать разные задания. Например, с помощью готового рисунка предложить учащимся определить знак углового коэффициента каждой из изображенных на нем прямых. Другим видом задания может служить задача на построе-

1 Ушинский К. Д. Собр. соч-М.; Л., 1948-1952.-Т. 2.-С. 226.

ние графика функции у = kx + Ъ при конкретных значениях k — положительных и отрицательных.

Таким образом, при разработке содержания самостоятельных работ следует тщательно дифференцировать материал, фиксируя основные знания и умения, подлежащие усвоению всеми учащимися. В первую очередь необходимо включать в самостоятельные работы задания, направленные на отработку обязательных результатов обучения.

Можно, безусловно, использовать в самостоятельных работах и более сложные задания, но только наряду с обязательными или после того, как учитель убедится, что учащиеся овладели умением решать основную задачу.

Одним из традиционных этапов организации усвоения материала является повторение, которое проводится как с целью подготовки к изучению нового материала, так и для поддержания приобретенных учащимися умений и навыков. И в том и в другом случае обязательные результаты обучения — это один из основных объектов повторения. Так, при подготовке к изучению нового вопроса необходимый материал должен быть восстановлен в памяти учащихся, причем в таком виде, в котором он будет применяться, т. е. на уровне обязательных результатов обучения. Это поможет провести повторение оперативно, не отвлекаться от основной цели урока, не тратить лишние силы и внимание учащихся и одновременно восстановить необходимые для урока знания и умения.

Текущее повторение также следует проводить не стихийно, включая случайные задачи, как это часто случается в практике, а ориентируясь на те обязательные умения, овладение которыми предусмотрено программой. Причем часть задач (в зависимости от уровня подготовленности класса) может и должна соответствовать обязательным результатам обучения.

Хорошо известно, что для учащихся существует различная потребность в упражнениях на закрепление материала. Некоторым ученикам для получения прочных умений и навыков достаточно интенсивной работы на первоначальном этапе, небольшого количества упражнений на непосредственное применение материала. Однако значительная часть учеников могут достигнуть этого же только в том случае, если за введением нового материала следует этап специального запоминания правила, этап многократных повторений и упражнений. При этом количество и объем необходимых упражнений для каждого ученика различны. Поэтому учет индивидуального темпа продвижения учащихся становится еще одним непременным условием достижения обязательных результатов обучения. Реализовать это условие можно только, если уделять серьезное внимание дифференцированному подходу к учащимся, организации индивидуальной работы. При этом часть учащиеся будут достигать нижней обязательной границы подготовки, а другая часть в силу своих интересов и способностей овладевать большим.

Если обратиться к практике, то можно заметить, что в последнее время на уроках стала преобладать фронтальная работа со всем классом. Причем

часто у доски работает не ученик, а сам учитель. Ученики отвечают с места на вопросы учителя, который в случае неверного ответа или неточности сам поправляет, дополняет ученика, записывает решение задачи на доске. Урок, как правило, опирается на сильных учащихся: активно при такой организации работают 5—8 человек. Создается видимость продуктивной работы, и это нередко вводит учителя в заблуждение относительно подготовленности класса по тому или иному вопросу. Конечно, фронтальная работа с классом имеет свои задачи, и она должна находить место на уроках математики, однако замена ею других форм работы, и в частности таких, которые позволяют осуществлять индивидуальный подход к учащимся, недопустима.

Очевидно, что в условиях урочной системы возможности индивидуально подойти к каждому ученику ограничены, но все же они имеются. И учет обязательных результатов обучения, с одной стороны, требует, а с другой — позволяет существенно расширить границы этих возможностей.

В настоящее время организация индивидуальной работы на уроках практически исчерпывается двумя случаями. Один из распространенных приемов используется на уроках, посвященных решению задач: сильные ученики (как правило, очень небольшая часть класса) решают индивидуально по карточкам (или по учебнику) более сложные задачи и не участвуют в общей работе класса. В другом случае дифференцированный подход касается всех учеников и применяется при проведении письменных самостоятельных работ, когда учащимся предлагаются варианты различного уровня сложности. Как правило, и в том и в другом случае эта работа осуществляется достаточно стихийно, без твердых оснований в необходимости предложить ученику ту или иную задачу. Поэтому она не имеет логического завершения, не приносит зачастую желаемого эффекта. Есть и еще один недостаток в таком ограниченном учете индивидуальных возможностей учащихся. Если сильный ученик занимается решением сложных задач исключительно индивидуально, то это снижает эффективность его деятельности. Прежде всего он не имеет возможности обсудить свое решение с другими, вслух обосновать свои подходы, сравнить их с подходами и решением других учащихся. Немаловажно также, что, решив сложную задачу, он не может получить одобрение своих товарищей, так как их интересы на данном этапе урока никак не пересекаются. Для многих учеников тоже было бы небесполезно попробовать свои силы в решении трудных задач или в случае их личной неудачи услышать выполненное кем-либо из ребят решение, разобрать его вместе с учителем. Это была бы хорошая школа, которая пробудила бы интерес к предмету учащихся и со временем позволила бы углубить свою подготовку.

Таким образом, следует более гибко подходить к организации индивидуальной работы учащихся, варьировать ее направленность в зависимости от степени достижения учениками уровня обязательной подготовки. Для этого необходимо иметь своевременную и точную информацию о том, кто из учеников овладел опорными умениями, а кто еще нет. Опираясь на эту

информацию, и следует осуществлять на уроках дифференцированный подход к учащимся.

Если на первых этапах изучения какого-либо вопроса, когда идет работа по формированию основных приемов, часть учащихся не нуждаются в большом числе типовых упражнений, то к ним вполне возможен описанный выше подход. Внимание же учителя в это время должно быть направлено на остальную часть класса, с которой ведется отработка обязательных результатов обучения. При этом учитель имеет возможность проводить с данными учащимися как фронтальную, так и самостоятельную работу, оказывая в последнем случае всем этим учащимся дифференцированную помощь. У опытных учителей на уроках можно видеть, как они одному ученику делают указания о способе решения, другому могут ограничиться намеком, третьему предлагают проверить решение, чтобы найти ошибку, и т. д.

Однако через определенное время ситуация может измениться: останется небольшое число учеников, не овладевших обязательными результатами обучения. Если при этом была проведена достаточная предварительная работа, то эти ученики нуждаются лишь в тренировке и поэтому они могут работать индивидуально, выполняя требующиеся именно им упражнения. Причем индивидуальные задания должны составляться с учетом пробелов, имеющихся у данного ученика. Основное же внимание учителя может быть направлено в это время на сильных и средних учащихся. С ними он ведет работу по решению более сложных задач, по углублению и развитию их подготовки. В результате для части учащихся этап отработки умения решать опорные задачи оказывается продленным не в ущерб подготовке более сильных учеников. Таким образом, на каждом этапе изучения темы основное внимание учителя должно быть обращено на ту группу учащихся, которая в это время в большей степени нуждается в его помощи и руководстве.

4.3. Контроль за достижением обязательных результатов обучения

Одним из существенных моментов в организации обучения является контроль за знаниями и умениями учащихся. Контроль — фактор, наиболее сильно влияющий на все стороны учебного процесса. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит содержание работы на уроке как всего класса в целом, так и отдельных учащихся. Работа ученика в значительной мере определяется тем, какие требования в ходе контроля предъявляет к нему учитель. Поэтому достижение всеми школьниками обязательных результатов обучения невозможно без их отражения в системе контроля. Важно предусмотреть проверку достижения каждым учеником обязательного уровня математической подготовки, а также своевременное выявление и ликвидацию возможных пробелов. Вся система контроля знаний и умений учащихся должна планироваться таким образом, чтобы охватыва-

лись все обязательные результаты обучения для каждого ученика. Одновременно в ходе контроля надо дать учащимся возможность проверить себя на более высоком уровне, проверить глубину усвоения материала.

Привлечение внимания учащихся к заданиям, выполнение которых будет обязательно проверено, побуждает каждого из них к тщательной отработке соответствующих умений и навыков. А обозримость и доступность обязательных результатов обучения создают реальные условия успеха в работе даже слабоуспевающих учеников и вселяют в них уверенность, способствующую овладению общеобразовательной математической подготовкой. Таким образом, контроль, нацеленный на проверку обязательных результатов обучения, является и средством их достижения.

Необходимо заметить, что в ходе изучения темы учитель проверяет результаты обучения путем проведения текущих самостоятельных работ, устного опроса, контрольных работ и других форм контроля. Однако такой дробный контроль не может дать учителю достаточно объективную информацию об усвоении программного материала в рамках изучения целой темы, о подготовленности ученика к овладению теми вопросами, которые базируются на материале данной темы. Поэтому в итоге изучения темы учитель должен иметь определенную и точную информацию о том, овладел конкретный ученик обязательными результатами обучения или нет. Это важно по отношению к каждому ученику. При этом условии ученики находятся в равном положении, повышается значимость овладения обязательной математической подготовкой. Такой индивидуальный тематический учет позволит учителю вовремя принимать меры по ликвидации пробелов, правильно осуществлять дифференцированный подход кучащимся. Практика показывает, что одной из наиболее целесообразных форм контроля и учета достижений обязательных результатов обучения является проведение тематических зачетов.

Тематический зачет как форма проверки обязательных результатов обучения. В последние годы проведение зачетов стало получать у учителей математики все большее распространение. Однако если рассматривать их как средство ориентации учебного процесса, как один из путей достижения учащимися уровня обязательной подготовки, то их организация имеет ряд особенностей.

Основная цель такого зачета состоит в проверке овладения учащимися обязательными результатами обучения. Его целесообразно проводить в конце изучения темы, причем сдавать зачет должен каждый ученик независимо от своих успехов.

В начале изучения темы учитель дает учащимся список задач, которые они должны научиться решать к концу изучения темы. В него входят задачи из «Обязательных результатов обучения». Список таких задач вывешивается в классе и остается до тех пор, пока все ученики не сдадут зачет по данной теме. Учитель также сообщает учащимся, что к концу изучения темы будет проведен зачет, на котором каждый ученик будет решать задачи из приведенного списка или аналогичные им. Кроме того, ученики

должны знать, что положительная оценка за четверть (полугодие, год) им будет выставлена при условии успешной сдачи всех зачетов, которые будут проходить в этот период.

В конце изучения темы выделяется время на проведение зачета — один или два урока в зависимости от характера и объема проверяемого материала. Учитель фиксирует результаты выполнения каждым учеником выделенного для проверки задания. Итогом проведения зачета может быть одна из двух отметок: «зачтено» или «не зачтено». Зачет считается сданным, если ученик выполнил верно все предложенные ему задания. Поэтому, если ученик, сдавая зачет по теме, показал неумение решить какой-либо вид обязательных задач, он вынужден вновь и вновь обратиться к подобным задачам и в итоге пересдать их. Если все зачеты сданы, ученик имеет право независимо ни от каких условий на положительную оценку за четверть (полугодие). Это позволит ликвидировать существующую иногда ситуацию, когда двойка за материал какой-то темы «закрывается» положительной оценкой за материал другой темы.

При проведении тематической проверки обязательных результатов учителю необходимо вести четкий и строгий учет знаний и умений учащихся, совершенно определенно выявлять пробелы в подготовке тех или иных учеников и соответствующим образом организовывать работу по их устранению. При проверке заданий обязательного уровня внимательно выясняется и учитывается, по какой причине ученик не справляется с тем или иным заданием, в чем заключаются его затруднения. Вполне понятно, что в классе есть учащиеся, имеющие пробелы в предшествующей подготовке, и если ученик, например, при решении геометрических задач допускает те или иные ошибки лишь в вычислениях, но при этом видно, что он усвоил способы решения проверяемых задач, то с ним организуется работа по доведению вычислительных навыков до нужного уровня. Для этого можно использовать задания из «Обязательных результатов обучения» для V—VI классов.

Для организации зачета пригодны различные формы: фронтальный опрос, письменные и устные ответы по карточкам-заданиям, «перепроверка» ответов самими учащимися, использование готовых текстов с пропусками и др. Формы такой работы не могут быть регламентированы и зависят как от конкретных условий (состава класса, активности учащихся, уровня их подготовки, индивидуальных качеств учащегося и пр.), так и от мастерства и личных особенностей учителя.

Тематические зачеты проводятся на уроке в часы, отведенные в качестве резерва времени для письменного и устного контроля за тематическим планированием курса математики. На зачете присутствуют все учащиеся. Для того чтобы каждый учащийся мог работать в индивидуальном для него темпе, содержание зачета подразделяют на две части: собственно задания зачета (условно названные «обязательная часть») и дополнительные задания.

Обязательная часть содержит задания из списка обязательных результа-

тов обучения или аналогичные им. Предварительно из списка обязательных результатов обучения выделяются задания, умения выполнять которые отрабатываются в данной теме. На необходимости владения такими умениями фиксируется внимание учащихся по ходу изучения материала в классной и домашней работе. Проверка качества усвоения опорного для дальнейшего обучения материала регулярно включается в текущий контроль, а к концу изучения темы — в зачет. Вариативность проверки обеспечивается составлением либо разных по содержанию обязательных заданий, характеризующих то или иное умение, либо аналогичных наиболее значимым из них.

В дополнительных заданиях предполагаются или более сложные задачи, требующие относительно высокого уровня сформированности тех или иных умений, или задачи, решение которых показывает степень понимания изучавшегося теоретического материала, умение применить полученные знания в несколько отличной от имеющихся в обязательных результатах обучения ситуаций. В ряде случаев это задачи, требующие применения системы знаний, охватывающих различные разделы курса.

Включение в тематические зачеты дополнительных заданий позволяет при желании учителя, кроме выставления отметки «зачтено», оценивать работу учащихся. Однако при любом подходе к оцениванию работы необходимо иметь в виду, что основной целью проведения зачетов является проверка достижения учениками уровня обязательной математической подготовки. Поэтому «зачтено» выставляется только при условии верного выполнения обязательной части работы. Если ученик не справился с обязательными заданиями, то он должен эти задания пересдать. Время на такую пересдачу нетрудно выделить непосредственно на уроках. Например, ученику, не сдавшему зачет, на последующих уроках во время проведения опроса или во время самостоятельной работы может быть предложена индивидуальная карточка-задание, содержащая задачи, в которых были допущены ошибки. В другом случае при устном опросе такой ученик получает задачу из зачета в качестве дополнительного вопроса.

Следует отметить, что проведение тематических зачетов достаточно легко вписывается в учебный процесс. Задачи обязательного уровня, как правило, нетрудоемки; поэтому если у ученика сформировано умение решать их, то выполнение заданий не займет у него много времени. Кроме того, они быстро проверяются — учитель может сделать это непосредственно на уроке.

Практика показывает, что зачетная система дает наибольший эффект, если ученик уже в ходе зачета узнает, успешно ли он справился с работой и какие задачи ему необходимо пересдать в случае неудачи. Поэтому заслуживает внимания опыт отдельных учителей, применяющих следующую методику работы. Основным в ней является то, что проверка выполнения учащимся обязательных заданий проводится непосредственно в ходе зачета. Учитель, проходя по классу, заглядывает в работу то одного, то другого учащегося и отмечает правильное выполнение задания зна-

ком «+». Учащийся, у которого все задания обязательной части выполнены верно, с разрешения учителя приступает к выполнению дополнительных заданий. При такой методике организации зачета можно не требовать от учащихся полного письменного решения заданий. При решении задач ученику позволяется делать только необходимые ему записи, в частности вспомогательные вычисления, а часть пояснений, которые ученик может сделать устно, он может опустить. Например, при решении задачи на составление уравнения ученик может сразу же записать составленное уравнение или сделать минимальные пояснения (записать, какая величина в задаче обозначена буквой, а также выразить через эту букву необходимые величины). Минимальными записями можно ограничиться и при решении геометрических задач.

Очень важен организационный момент проведения зачета. Учащимся еще раз напоминается цель зачета: проверка овладения умением решать опорные задачи, правила работы. При необходимости учащиеся пересаживаются. Все это не должно занимать более двух-трех минут и будет способствовать созданию рабочей атмосферы, дисциплины. Главное — настроить учащихся на безусловное выполнение обязательной части зачета. Как правило, к середине урока хорошо успевающие учащиеся приступают к выполнению дополнительной части. Слабые учащиеся имеют резерв времени для решения задач обязательного уровня, для исправления ошибок. При необходимости учитель может сразу же предложить такому ученику другое, аналогичное задание и проверить его выполнение. Основное внимание учителя на уроке должно быть сосредоточено на обязательной части зачета, дополнительные задания могут быть проверены уже после уроков (для этого учащиеся сдают свои работы).

Заслуживает внимания опыт учителей, применяющих в своей работе так называемые открытые листы учета знаний, вывешиваемые в классе; в них можно отражать результаты сдачи зачетов. Практика показывает, что такая организация зачетов служит для учеников мобилизующим стимулом, позволяет им работать целенаправленно, следить за своим продвижением, четко знать, что из изученного еще требует доработки.

Приведем в качестве примера тематические зачеты по геометрии для VII класса и по алгебре и началам анализа для X класса. Зачет № 3. Тема «Признаки равенства треугольников»

Вариант 1

Обязательная часть

Докажите, что ЛЛВМ = ДСВК, если треугольник ABC — равнобедренный с основанием АС и известно, что AM = CK (рис. 20). Дополнительное задание

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M так, что AM = ВМ. Докажите, что СМ — биссектриса угла АСВ.

Рис. 20 Рис. 21

Вариант 2

Обязательная часть

В равнобедренном треугольнике ABC к основанию АС проведена медиана ВМ. Известно, что /-ЛВМ = 40°, L. ВАС = 50°. Найдите углы треугольника МВС. Дополнительное задание

Луч ЛО является биссектрисой угла ВАС', /^АОВ = /_АОС (рис. 21). Докажите, что OB = ОС.

Зачет № 1. Тема «Производная и ее применения»

Вариант 1

Обязательная часть

1. Найдите скорость изменения функции h (х) = ]/х + 12 в точке #о = 4.

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции / (х) = X5 — X4 + 9 в точке с абсциссой х0 = — 1.

3. Исследуйте функцию / (х) = X4 — 2х2 — 3 с помощью производной и постройте график.

Дополнительные задания

1. На рисунке 22 изображен график производной функции y = f'{x). Определите точки максимума и минимума функции / (х).

Рис. 22

2. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции g (#) = хА + 2х + х равен 1.

Вариант 2

Обязательная часть

1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции / (#) = -J хъ — Ах + 1 в точке с абсциссой Xq = — 3.

2. Вращение тела вокруг оси совершается по закону <р (t) = 2t3 + 3t — - 1 (рад).

Найдите угловую скорость (о (t) при t = 2 с.

3. Исследуйте функцию g (#) = Ах — X4 с помощью производной и постройте ее график.

Дополнительные задания

1. На рисунке 23 изображен график функции y=f(x). Определите, при каких значениях переменной х производная функции принимает положительные значения, а при каких —отрицательные.

2. Определите координаты точек, в которых касательная к графику функции у = хъ — Зх параллельна оси абсцисс.

Контрольные работы (цели и содержание). Наиболее значимыми с точки зрения контроля математической подготовки школьников в ходе учебного процесса считаются традиционно проводимые письменные контрольные работы. Каждая контрольная работа является некоторым рубежом в обучении: к ней специально готовятся, по ее результатам чаще всего судят об овладении некоторым разделом учебного материала; отметки, которые учащийся получает за контрольные работы, существенно влияют на итоговую оценку за четверть (полугодие). Существующие требования к контрольным работам сформировались в результате длительного опыта, обусловленного практикой обучения в школе, и этого нельзя не учитывать при их проведении. Тем не менее в связи с осуществлением проверки различ-

Рис. 23

ных уровней подготовки школьников необходимо уточнить требования к определению содержания контрольной работы в соответствии с ее целью.

Для выявления достижения учащимися обязательного уровня математической подготовки в содержание работ включаются задачи, соответствующие уровню обязательной подготовки. Необходимо иметь в виду, что если важнейшие умения проверять только через задачи, уровень сложности которых превосходит обязательный, то многие из них могут оказаться непосильными для ряда учеников. Результаты контрольной работы не дадут сведений о том, какие вопросы программы усвоены каждым учеником, а какие — нет. Вместе с тем наряду с задачами, отражающими обязательный уровень математической подготовки, целесообразно включать задания, позволяющие проверить усвоение материала на более глубоком уровне.

Иногда содержание всей проверочной работы могут составить только задания обязательного уровня. Это, как правило, имеет смысл в тех случаях, когда учитель ставит цель проверить большой по объему учебный материал (например, за год). При этом важно выяснить, готовы ли все ученики к продолжению обучения. Такие работы можно провести в конце учебного года в ходе повторения. Их итоги могут не оцениваться в баллах. Ведь главное, что надо выяснить,— это достигнут ли уровень обязательной математической подготовки в целом и какие вопросы требуют активной доработки. Такие проверочные работы стоит провести в начале учебного года, с тем чтобы посмотреть, что ученики забыли, какие умения требуется восстановить, на что надо обратить первоочередное внимание на первых уроках математики в новом учебном году. Можно организовать проверку достижения обязательных результатов обучения с помощью подобных проверочных работ по некоторой учебной теме. Это позволит в работе, рассчитанной на 15—20 минут, охватить проверкой узловые моменты всей темы. Результаты такой проверки позволят дифференцировать подготовку учащихся к тематической контрольной работе. Приведем примеры таких работ.

Проверочная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (VII класс), оценивающая усвоение материала только на обязательном уровне может быть представлена в виде

Вариант 1 1. Выполните действия:

2. Разложите на множители

Вариант 2 1. Выполните действия:

2. Разложите на множители:

Из текста работы видно, что она составлена из аналогичных вариантов, с помощью которых у каждого ученика выявляется степень овладения всеми основными умениями, формируемыми в теме: знание формул и умение применять их в используемых в дальнейшем ситуациях.

Проверочные работы могут быть составлены в неаналогичных вариантах, но проверяющих в совокупности формирование всех выделенных для проверки обязательных знаний и умений. Вот как это выглядит в контроле знаний по теме «Первообразная и интеграл»:

Вариант 1

1. Вычислите

2. Найдите первообразную функции

проходящую через точку

(1;4).

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант 2

1. Найдите общий вид первообразных функции

2. Найдите первообразную функции / (х) = sin я, которая обладает свойством = —7.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 — X2 и у = 0.

Составление работы в неаналогичных вариантах особенно оправдывает себя в итоговой проверке усвоения курса в целом, когда даже выделение некоторых основных заданий из обязательных результатов обучения не могут вместить рамки одной контрольной работы. Кроме того, это способствует обеспечению большей самостоятельности учащихся при выполнении работы. В приложении 2 приводятся варианты итоговых проверочных работ по курсу V—XI классов, направленных на проверку достижения обязательных результатов обучения. Некоторые итоговые работы по геометрии могут показаться очень объемными. Но при этом необходимо иметь в виду, что требования к оформлению письменного решения задач обязательного уровня существенно ограничены. И правильным оформлением следует считать то, которое соответствует рекомендациям, приведенным в параграфах 2.3 и 2.5.

Как уже отмечалось, в ходе контроля необходимо проверить разный уровень овладения учебным материалом. Поэтому в контрольные работы включают часть заданий, отвечающих уровню обязательной подготовки, так чтобы за их верное решение можно было бы выставить отметку «3». В то же время другую ее часть составляют задания, нацеленные на проверку более глубокого понимания изученного материала, на применение

знаний и умений в более сложных ситуациях. Это дает возможность каждому ученику со всей полнотой проявить свои знания, а учителю объективно оценить их.

Нужно заметить, однако, что в контрольную работу не должны включаться задания на проверку второстепенных вопросов, имеющих чисто дидактическое значение, используемых в курсе при объяснении нового материала. Например, ничем не оправдано включение в контрольную работу по теме «Правила вычисления производных» задания: «Найдите с помощью определения производную функции у = kx + fe», хотя нельзя отрицать безусловную необходимость упражнений данного вида при введении и разъяснении смысла понятия производной. Однако вполне очевидно, что нецелесообразно требовать от учащихся овладения данным материалом. В приложении 3 приводятся примеры тематических котрольных работ по курсу математики V—XI классов, отвечающих этим требованиям.

Приложения

1. Тематические обязательные результаты обучения

Данные в приложении обязательные результаты обучения составлены в соответствии с действующим «Тематическим планированием учебного материала»1.

Математика, V класс (IV класс)2

1. Натуральные числа

Натуральные числа и нуль. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел.

При рассмотрении данного материала восстанавливаются навыки чтения, записи и сравнения натуральных чисел; развиваются умения решать текстовые задачи, требующие понимания смысла отношений «меньше на (&)», «больше на (&)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью товара и пр.). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. Прочитайте число: 20106 540.

2. Запишите число: три миллиона двести двенадцать тысяч сто пять.

3. Сравните числа: 37 521 и 37 491.

4. На элеватор привезли 857 ц пшеницы и ржи, причем пшеницы 423 ц. Какого зерна привезли меньше и на сколько?

5. За один день вспахано 34 га земли, за второй —на 27 га больше. Сколько гектаров земли вспахано за два дня?

6. За 4 ч поезд прошел 140 км. Какое расстояние поезд пройдет за 7 ч? Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, треугольник. Линейка, циркуль. Измерение отрезков. Построение отрезков заданной величины.

Начиная с этой темы, формируются умения распознавать и изображать геометрические фигуры, производить простейшие построения и измерения при помощи чертежных инструментов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1 Математика в школе.- 1986.-№ 2, 3, 1987.-№ 3.

2 В скобках указана нумерация классов для десятилетней школы.

Рис. 24

7. Начертите прямую, отметьте на ней точки Л и В, измерьте отрезок ЛВ.

8. Постройте отрезок ЛВ, равный 3 см 5 мм.

9. Начертите координатный луч, отметьте на нем точки Л (1), В (7), С (3).

10. Запишите числа, соответствующие точкам Л и В координатного луча (рис. 24).

2. Сложение и вычитание натуральных чисел

Сложение и вычитание натуральных чисел. Свойства сложения.

Числовые выражения. Применение букв для записи выражений. Числовое значение буквенного выражения. Буквенная запись свойств сложения.

Понятие об уравнении. Составление и решение линейных уравнений.

При изучении данной темы отрабатываются умения складывать и вычитать многозначные числа (включая сложные случаи переноса из разряда в разряд), навыки арифметических действий с одно- и двузначными числами, действия с нулем. Формируется умение составлять числовые и буквенные выражения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Вычислите (11—13):

Вычислите устно (14—21):

Составьте буквенное выражение по условию задачи (22—24):

22. На 5 полках расставили поровну а книг. Сколько книг на каждой полке?

23. На изготовление одной тетради идет 12 листов бумаги. Сколько листов бумаги идет для изготовления m тетрадей? Решите задачу при m = 5; m = 20.

24. На мельнице п кг зерна. В течение дня на мельницу привезли еще 140 кг зерна. Сколько килограммов зерна стало на мельнице? Решите задачу при п = 100; п = 160.

3. Умножение и деление натуральных чисел

Умножение и деление натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения. Распределительное свойство умножения.

При изучении данной темы отрабатываются умения умножать и делить многозначные числа (включая сложные случаи использования нулей в записи числа), умение вычислять значение числового выражения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

35. Из города в противоположных направлениях одновременно отошли два поезда. Скорость одного поезда 33 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Каким будет расстояние между поездами через 3 ч?

36. Из поселка в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14 км/ч, другого—13 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

37. Из двух сел навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода и через 3 ч встретились. Какое расстояние между селами, если известно, что скорость одного пешехода равна 4 км/ч, а другого — 3 км/ч?

38. Один рабочий в час делает 5 деталей, а другой —на 3 детали больше. Сколько деталей сделают рабочие за 8 ч, работая вместе?

39. Один автомат в минуту закрывает 65 банок, а другой —на 5 банок меньше. За сколько минут оба автомата при их одновременном включении закроют 2500 банок?

Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Деление с остатком.

Буквенная запись свойств умножения.

При изучении данного материала формируются умения определять, является ли одно число кратным другому или делителем другого числа, является ли число четным или нечетным. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

40. Выберите из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 те, которые являются делителями числа 84.

41. Выберите из чисел 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 те, которые являются кратными числу 4.

42. Какие из чисел 19, 43, 72, 116, 207 четные?

43. Назовите какое-нибудь нечетное число.

44. Какие из чисел 310, 502, 1115 делятся на 2?

45. Какие из чисел 215, 170, 523 делятся на 5? Ответ объясните.

46. Запишите трехзначное число, кратное 10.

47. Является ли число 3 делителем числа 22 143?

48. Кратно ли число 471 150 числу 9?

49. Назовите частное и остаток, получающиеся при делении 137 на 11.

4. Измерение геометрических величин

Вычисление по формулам.

Примеры величин: длина, площадь, объем.

Вычислите (25—31):

Вычислите, выбирая удобный порядок действий (32—34):

Единицы измерения длин: метр, дециметр, сантиметр, миллиметр, километр.

Прямоугольник. Площадь прямоугольника. Единицы измерения площадей: квадратный метр, квадратный дециметр, квадратный сантиметр, квадратный миллиметр, квадратный километр, гектар, ар.

Куб. Прямоугольный параллелепипед. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда. Единицы измерения объемов: кубический метр, кубический дециметр, кубический сантиметр, кубический миллиметр, кубический километр, литр.

Единицы массы: килограмм, грамм, миллиграмм, тонна, центнер.

В этой теме отрабатываются навыки вычисления значений величин по формулам, решения геометрических задач. Значительное внимание уделяется формированию знаний основных единиц измерения и умения перейти от одних единиц к другим. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

50. Запишите формулу площади прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 7 см.

51. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7 см, 4 см, 3 см.

52. Выразите в метрах 5 км 99 м.

53. Выразите в квадратных метрах 7 га.

54. Выразите в кубических сантиметрах 5 дм3.

55. Найдите длину прямоугольника, ширина которого 14 мм, а его площадь 7 см2.

5. Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь. Числитель и знаменатель дроби. Чтение и запись дробных чисел. Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная части числа. Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

При изучении данного материала основное внимание привлекается к сравнению обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, к выделению целой части числа, к решению трех основных задач на дроби. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

56. Прочитайте числа:

57. Запишите числа: семь двадцатых, три целых четыре пятых.

58. Из неправильной дроби — выделите целую часть.

59. Запишите число 4— в виде неправильной дроби.

60. Сравните числа:

Ответ объясните.

63* Автомат за 15 мин может выполнить все задание. Какую часть задания он сможет выполнить за 1 мин?

64. Для ремонта привезли 45 кг краски. Израсходовано ~ всей краски. Сколько килограммов краски израсходовано?

Окружность и круг. Угол, треугольник. Величина (градусная мера) угла. Транспортир. Измерение углов. Построение угла заданной величины. Прямой угол. Угольник.

В этой теме продолжается работа по распознанию и изображению геометрических фигур. Важное место занимает формирование умений проводить измерение и построение углов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

65. Назовите несколько предметов, имеющих форму: а) прямоугольника; б) круга; в) прямоугольного параллелепипеда.

66. Назовите и покажите геометрические фигуры на рисунке 25.

67. Изобразите геометрические фигуры: а) треугольник; 6) прямоугольник; в) окружность.

68. Проведите окружность, радиус которой 2 см.

69. Начертите треугольник, измерьте один из его углов.

70. Начертите угол, градусная мера которого 115 .

71. Начертите прямоугольный треугольник.

72. Начертите тупоугольный треугольник.

6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сравнение десятичных дробей. Приближенное значение числа. Округление десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей.

При изучении данной темы формируются умения читать, записывать, сравнивать и округлять десятичные дроби, выполнять сложение и вычитание десятичных дробей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

73. Прочитайте числа: 2,08; 0,105.

74. Запишите число: пять целых четырнадцать тысячных.

75. Сравните числа: 1,2593 и 1,23.

76. Округлите числа: 3,7682; 0,82371; 124,345 до сотых.

77. Отметьте на координатном луче точки А (0;7), В (1;5). Вычислите (78-80):

78. 5,87 + 22,193. 79. 68,17-6,245. 80. 11,08 + 42 - (30,6 - 7,8).

81. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 0,4 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки и скорость катера против течения реки.

Рис. 25

7. Умножение и деление десятичных дробей

Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000, ... Умножение и деление десятичных дробей. Масштаб. Среднее арифметическое нескольких чисел.

При изучении данного материала отрабатываются алгоритмы арифметических действий над десятичными дробями. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Вычислите (82-88):

Вычислите устно (89—98):

99. Сколько метров в 1,5 км?

100. Выразите в километрах высоту пика Коммунизма, равную 7495 м над уровнем моря.

101. 13 дм2 выразите в квадратных сантиметрах.

102. 5 дм3 выразите в кубических сантиметрах.

103. 1 700 000 см3 выразите в кубических метрах.

104. В первый день на базу доставили 13 т картофеля. Во второй — в 2 раза меньше, чем в первый, а в третий —на 1,5 т картофеля больше, чем в первый. Сколько картофеля доставили на базу за три дня?

105. Теплоход шел против течения реки 4 ч. Какое расстояние он прошел, если собственная скорость теплохода 16 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч?

106. Найдите среднее арифметическое чисел 2,4, 2,5, и 2,9.

107. На карте расстояние между двумя пунктами равно 20 см. Найдите расстояние между этими пунктами на местности, если масштаб карты 1:10 000.

108. Каким отрезком на карте изобразится канал, имеющий длину 60 км, если масштаб карты 1 : 1 000 000?

В этой же теме отрабатываются умения сопоставлять и вычислять значения буквенных выражений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Составьте буквенное выражение по условию задачи (109—110):

109. В одной мастерской работают х человек, а в другой —на 5 человек меньше. Сколько человек работают в двух мастерских? Решите задачу при х = 10; х = 14.

110. В одной корзине а кг винограда, а в другой —в 3 раза больше. Сколько винограда в двух корзинах? Решите задачу при а = 7; а= 11.

111. Найдите значение выражения 0,5я + 3 при х = 5.

112. Используя формулу для нахождения пройденного пути по скорости и времени движения s = vt, найдите s при v = 5,8 км/ч, t = 1,5 ч.

8. Проценты

Проценты. Основные задачи на проценты. Примеры таблиц и диаграмм.

При изучении данного материала основное внимание уделяется решению трех основных задач на проценты. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

113. Для детского сада купили 120 разноцветных шаров. Из них 25% оказались красными. Сколько всего красных шаров?

114. Пионеры помогли убрать урожай с 24 га земли, что составило 25% площади всего поля. Какова площадь поля?

115. В восьмых классах 60 учеников, из них 30 комсомольцев. Сколько процентов от всего числа учащихся составляют комсомольцы?

Математика, VI класс (V класс)

1. Положительные и отрицательные числа.

Положительные и отрицательные числа. Целые числа. Противоположные числа. Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение чисел. Изображение чисел на прямой. Координата точки.

Усвоение выделенных элементов содержания тесно взаимосвязано и является необходимым условием для усвоения последующего материала. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. Сравните числа:

2. Назовите число, противоположное числу:

3. Запишите, чему равен модуль:

4. Какое из чисел имеет больший модуль: а) — 7 или — 9; б) — 2,78 или 2,7?

5. Найдите значение выражения I Ъ I при Ь = — 6; при Ъ = 15.

6. Найдите значение выражения — а при а = — 4,7; при а = 8.

7. На координатной прямой отметьте числа

8. Запишите числа, соответствующие точкам Ayl В координатной прямой (рис. 26).

Рис. 26

9. Определите, какие целые числа расположены на координатной прямой между числами —8,5 и 2.

10. На координатной прямой отметьте числа, модуль которых равен 2.

11. Определите, какое из двух чисел —7 и —10 расположено на координатной прямой правее.

12. Назовите какое-нибудь целое число, которое расположено на координатной прямой: а) правее числа —8; 6) левее числа —8.

13. Назовите любые два целых числа, между которыми на координатной прямой расположено число: а) —2; 6) 4,3.

Перпендикуляр к прямой. Параллельные прямые. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки.

Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки.

При изучении данного материала формируется умение распознавать и изображать перпендикулярные и параллельные прямые. Обязательно для всех умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

14. Начертите прямую. Отметьте точку, не лежащую на этой прямой, и проведите через нее с помощью чертежного угольника прямую, перпендикулярную к этой прямой.

15. На прямой отметьте точку и проведите через нее с помощью чертежного угольника прямую, перпендикулярную этой прямой.

16. Начертите прямую. Постройте параллельную ей прямую с помощью линейки и чертежного угольника.

17. Установите, какие прямые на чертеже (рис. 27) перпендикулярны, а какие параллельны.

2. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Сложение отрицательных чисел. Сложение чисел с разными знаками. Вычитание положительных и отрицательных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения. Формула расстояния между двумя точками с заданными координатами.

При изучении данного материала отрабатываются алгоритмы сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Обязательно для всех — умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Вычислите устно (18—22):

18. -19 + 4. 19. (-6) + (-13). 20. 8- 16. 21. -9-9. 22. -11-(-5).

Найдите значение выражения (23—25):

23. X + 14 при X = -5,7; -20.

Рис. 27

26. Найдите расстояние между точками А (—7) и В (3) координатной прямой.

3. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения. Распределительное свойство умножения. Квадрат и куб числа.

При изучении данного материала отрабатываются алгоритмы умножения и деления положительных и отрицательных чисел. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Вычислите устно (27 — 32):

Вычислите (33 — 35) :

Найдите значение выражения (36 — 38):

Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.

Составление и решение линейных уравнений. Столбчатые диаграммы. Примеры графиков.

При изучении данного материала формируются умения выполнять раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых при преобразовании выражений и решении линейных уравнений. При построении и чтении графиков закрепляются умения определять координаты отмеченных на координатной плоскости точек и изображать точки по заданным координатам. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

39. Приведите подобные слагаемые в выражении

40. Раскройте скобки в выражении

Решите уравнение и проверьте ответ (43—47):

Решите с помощью уравнения задачу (48, 49):

Рис. 28

Решите с помощью уравнения задачу (48, 49):

48. За два дня вспахано 80 га, причем в первый день вспахано на 18 га больше, чем во второй. Сколько гектаров вспахано за второй день?

49. За два месяца израсходовано 48 т угля, причем в первый месяц израсходовано в 3 раза меньше, чем во второй. Сколько угля израсходовано в первый месяц?

50. В прямоугольной системе координат отметьте точки Л(—3; 2), В(0; -2), С (1,5; -1), D(4; 0).

51. Найдите координаты точек, изображенных на рисунке 28.

4. Основное свойство дроби

Простые и составные числа. Таблица простых чисел. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное двух натуральных чисел.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение двух дробей к наименьшему общему знаменателю. Сравнение дробей. Рациональные числа.

При изучении данного материала осуществляется подготовка учащихся к выполнению арифметических действий над рациональными числами. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

52. Простое или составное число 21?

53. Разложите на простые множители число 60.

54. Найдите наибольший общий делитель чисел 28 и 70.

55. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12 и 18.

56. Сократите дробь . Ответ объясните.

57. Приведите к общему знаменателю дроби:

58. Сравните числа:

59. Запишите число 3— в виде неправильной дроби.

60. Выделите целую часть из дроби

Вычислите (61—64):

5. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Сложение и вычитание дробей с произвольными знаменателями.

При изучении данной темы формируются навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Выполните действия (65—70):

Вычислите устно (71—77):

78. Представьте в виде десятичных дробей обыкновенные дроби:

79. Представьте в виде обыкновенных дробей десятичные дроби: 0,5; 0,25; 0,2; 0,1.

6. Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение дробей. Взаимно обратные числа. Деление дробей. Вычисление значений числовых выражений, включающих дроби.

При изучении данной темы формируются навыки умножения и деления обыкновенных дробей, закрепляются умения вычислять числовые значения рациональных выражений и решать текстовые задачи и уравнения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Выполните действия (80—87):

Вычислите устно (88—93)

Найдите значение выражения (94—99):

100. Скорость работы автомата 120 деталей в час. Какое время потребуется для изготовления 80 деталей?

101. В кинотеатре 700 мест. Во время сеанса было занято — всех мест. Сколько зрителей в зале?

102. Из 66 посаженных семян взошло —. Сколько семян оказались непригодными для посева?

103. Рабочий, сделав 17 деталей, выполнил у планового задания. Сколько деталей должен сделать рабочий?

104. Какую часть суток составляют 18 часов?

105. 40 минут выразите в часах.

106. Сколько минут в часа? Решите уравнение (107—110):

Решите с помощью уравнения задачу (111, 112):

111. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в 2 раза. Найдите длину каждой части.

112. За два дня турист прошел 29 км, причем в первый день на 5 км меньше, чем во второй. Сколько километров проходил турист в каждый из этих дней?

113. В библиотеку привезли ft книг. Из них у составили учебники. Сколько учебников привезли в библиотеку? Составьте буквенное выражение по условию задачи. Решите задачу при ft = 300; ft = 450.

Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с помощью пропорций.

Формулы длины окружности и площади круга. Шар. При изучении данного материала формируются умения применять пропорцию к решению задач (в том числе задач на проценты), вычислять с

помощью формул длину окружности и площади круга. Обязательным результатом обучения является умение решать задачи типа:

114. Найдите неизвестный член пропорции у]" = ~-

Решите с помощью пропорции задачу (115, 116):

115. За 12 альбомов заплатили 8 рублей. Сколько стоят 9 таких же альбомов?

116. При включении шести станков-автоматов партию деталей изготовили за 30 минут. За сколько минут можно изготовить такую же партию деталей при включении четырех таких же станков-автоматов?

117. Общая площадь двух комнат 30 м2. Площадь одной комнаты составляет 40% общей площади. Найдите площадь другой комнаты.

118. Один метр ткани стоил 15 рублей. Цену ткани снизили на 10%. Найдите стоимость метра ткани после снижения цены.

119. Поезд прошел 300 км, что составило 15% всего пути. Какое расстояние ему осталось пройти?

120. Запишите формулу длины окружности. Найдите длину окружности, радиус которой 2,5 см, считая я « 3,14 (результат округлите до единиц).

121. Запишите формулу площади круга. Найдите площадь круга, радиус которого 5,4 см, считая я « 3,14 (результат округлите до единиц).

Алгебра, VII класс (VI класс)

1. Выражения и их преобразования. Уравнения Тождественные преобразования выражений.

В ходе изучения материала закрепляются вычислительные навыки, систематизируются и обобщаются сведения о преобразованиях выражений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Найдите значение выражения (1, 2):

Упростите выражение (3—5):

Уравнение. Корень уравнения. Линейное уравнение с одной неизвестной. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

При изучении темы продолжается работа по формированию у учащихся умения использовать аппарат уравнений для решения текстовых задач. Уровень сложности обязательных задач остается здесь таким же, как в VI классе.

В результате изучения материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: 6. Является ли корнем уравнения 2х + 3 = 7 число 2; число 5?

Решите уравнение (7—10):

11. Участок площадью 430 га разделен на два поля так, что одно из них на 130 га больше другого. Найдите площадь каждого поля.

12. Веревку длиной 84 м разрезали на две части, одна из которых в 3 раза длиннее другой. Найдите длину каждой части.

2. Функция

Понятие прямой и обратной пропорциональности величин.

В результате изучения материала все учащиеся должны научиться применять свойства прямой и обратной пропорциональности при решении задач. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

13. Найдите величину каждого из смежных углов, если они пропорциональны числам 5 и 3.

14. Отрезок АВ разделен точкой С на две части, пропорциональные числам 7 и 3. Найдите длину отрезка ВС, если больший отрезок АС равен 28 см.

15. Убрать урожай пшеницы с совхозного поля 3 комбайна могут за 30 ч. За какое время уберут урожай с этого поля 10 комбайнов? Функция. Область определения функции. Способы задания функций. График функции. Функция у = kx, ее график. Функция у = kx + Ь, ее график.

В результате изучения материала все учащиеся должны уметь находить значения функций, строить и читать графики функций y = kx и y = kx + b при различных значениях k и Ь, определять принадлежность точек графику. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

16. Найдите значение функции у = Ъх + 6 при х = — 8.

17. При каком значении аргумента функция у = 5х — 4 принимает значение, равное 40?

Постройте график функции (18—22):

23. С помощью графика функции у = 0,5л: определите, чему равно значение у при X = 4; при X = 0.

24. С помощью графика функции у = 2х — 4 определите, при каком значении аргумента значение функции равно 0; равно 2.

25. Определите, в каких точках график функции у = Ах — 8 пересекает ось Ох, ось Oy.

26. Проходит ли график функции у = 3# — 1 через точку А (7; 20)?

2. Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлен.

В результате изучения материала учащиеся должны уметь находить значения выражений, содержащих степень с натуральным показателем, применять свойства степеней, выполнять умножение одночленов и возведение одночлена в степень. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Найдите значение выражения (27, 28):

29. Выполните действия:

Упростите выражение (30—33):

Измерение величин. Абсолютная погрешность приближенного значения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

34. Округлите число 36,72 до единиц и найдите абсолютную погрешность приближения.

Функции у = X2 и у = хъ, их графики.

В результате изучения материала все учащиеся должны уметь строить и читать график функции у = х . Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

35. Постройте график функции у = х2.

36. С помощью графика функции у = х2 найдите приближенное значение у при X = 1,5.

37. С помощью графика функции у = х2 определите, при каких значениях X значение у равно 4.

3. Многочлены

Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов.

В результате изучения материала все учащиеся должны овладеть основными алгоритмами действий с многочленами (раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или «—»; приведение подобных; умножение одночлена на многочлен; умножение многочленов), а также применять эти алгоритмы в несложных комбинациях. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Выполните действия (38—42):

Упростите выражение (43, 44):

Разложение многочленов на множители.

Все учащиеся должны владеть способом вынесения общего множителя за скобки в ходе решения задач следующего содержания и уровня сложности:

Разложите на множители (45—47):

При изучении данной темы продолжается работа по формированию умений решать уравнения, а также задачи методом составления уравнений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Решите уравнение (48, 49):

Решите задачу (50—52):

50. За книгу, альбом и карандаш заплатили 80 к. Книга в 2 раза дороже альбома, а карандаш на 20 к. дешевле альбома. Сколько стоит альбом?

51. Колхоз должен был провести сев за 12 дней, а выполнил работу за 10 дней, так как засевал в день на 4 га больше, чем предполагалось по плану. Сколько гектаров в день должен был засевать колхоз по плану?

52. От станции до турбазы туристы шли со скоростью 4 км/ч, а обратно — со скоростью 5 км/ч, поэтому на тот же путь они затратили на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от станции до турбазы?

4. Формулы сокращенного умножения

Формулы: (а — Ь) (а + Ь) =а2 — Ь2\ (а + Ь)2 = а2 ± 2аЬ + Ъ2. Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях выражений.

Учащиеся должны уметь применять указанные формулы для преобразования целых выражений в многочлены, а также для разложения многочленов на множители. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Выполните действия (53—56):

Упростите выражение (57—60):

Разложите на множители (61—67):

5. Системы линейных уравнений

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и его геометрическая интерпретация.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Решите систему уравнений (68, 69):

70. Является ли пара чисел х = 2, у = 1 решением системы уравнений

71. Решите графически систему уравнений:

72. Постройте прямую: х = 4; х = — 3.

73. Вычислите координаты точки пересечения прямых у = 2х + 4 и X — у = 1.

Решение текстовых задач методом составления систем уравнений. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего уровня сложности:

74. За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 к., а за 2 таких же карандаша и 1 тетрадь заплатили 28 к. Сколько стоит одна тетрадь и сколько стоит один карандаш?

75. Велосипедист ехал 2 ч по проселочной дороге и 1 ч по шоссе —всего он проехал 28 км. Какова была его скорость на каждом участке пути, если известно, что по шоссе он ехал со скоростью на 4 км/ч больше, чем по проселочной дороге?

Алгебра, VIII класс (VII класс)

1. Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. В результате изучения материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Сократите дробь (1—8):

Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Выполните действия (9—18):

Упростите выражение (19—21):

22. При каких значениях m имеет смысл выражение:

Найдите значение выражения (23, 24):

2. Квадратные корни

Квадратный корень. Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Нахождение приближенного значения квадратного корня. Вычисления с помощью калькулятора.

В результате изучения этого материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

25. Вычислите:

26. Найдите значение выражения:

27. Найдите два последовательных целых числа, между которыми заключено число /91.

28. Сравните числа:

29. Вычислите с помощью калькулятора с точностью до 0,01:

Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Найдите значение выражения (30—32):

33. Вынесите множитель за знак корня:

34. Внесите множитель под знак корня и сравните числа: Упростите выражение (35—38):

Функция у = fx, ее свойства и график. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

39. Укажите область определения функции у = fx. Постройте график этой функции.

40. С помощью графика функции у = fx найдите ее приближенное значение при X = 3.

41. По графику функции у = fx найдите приближенное значение X, при котором у = 1,5.

3. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения.

В результате изучения материала все учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения и квадратные уравнения вида ах2 + Ъх + с = 0 {а 0, Ъ =j= 0, с 0), по знаку дискриминанта определять число корней квадратного уравнения. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Решите уравнение (42—55):

56. Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите, сколько корней оно имеет: Ъх2 + 4х — 2 = 0.

Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Решите уравнение (57—59):

60. Площадь прямоугольника 112 см2. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 6 см меньше другой.

61. Моторная лодка прошла 6 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

62. Бригада должна была изготовить к определенному сроку 40 станков. Ежедневно она изготовляла на 1 станок больше и затратила на работу на 2 дня меньше, чем предполагалось по плану. Сколько станков в день изготовляла бригада?

4. Неравенства

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств.

В результате изучения материала учащиеся должны уметь выполнять оценку несложных выражений по методу границ. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Оцените значение выражения (63—66):

Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

67. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: 0,6л ^ 12; — Ъх > 10. Решите неравенство (68—70):

Решите систему неравенств (71—74):

75. Решите двойное неравенство: 1 < 2х + Ъ < 7.

Возрастание и убывание функций. Функция у = —, ее свойства и график.

Функция у = I X I и ее график.

В результате изучения материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

76. Функция задана формулой у = — 4х + 2. а) Возрастающей или убываю-

щей является данная функция? (При ответе можно воспользоваться графиком.) 6) Определите, при каких значениях х функция принимает положительные (отрицательные) значения.

Постройте график функции и укажите область ее определения (77, 78):

79. С помощью графика функции у = — определите:

1) чему равно значение у при # = —1,5.

2) при каком значении х значение у равно 4.

80. С помощью графика функции у = — — укажите промежуток, на котором функция принимает положительные (отрицательные) значения.

5. Степень с целым показателем Степень с целым показателем.

В результате изучения материала учащиеся должны уметь применять определение степени с отрицательным целым показателем для вычисления значений выражений; использовать свойства степени с целым показателем для преобразования выражений, содержащих степень. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

81. Вычислите:

82. Представьте выражения в виде дроби, не содержащей отрицательных показателей:

83. Представьте дробь в виде произведения или степени:

84. Выполните действия:

Упростите выражение (85—88):

Запись чисел в стандартном виде. Относительная погрешность приближенного значения.

В результате изучения материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

89. Запишите число в стандартном виде: 3700; 0,0085.

90. Запишите число в виде десятичной дроби: 5,6 • 10~2.

Выполните действия (91—93):

94. В каких границах заключено число m, если m = 7,3 ±0,1?

95. Округлите число 6,25 до единиц и найдите относительную погрешность приближения.

Алгебра, IX класс (VIII класс)

1. Квадратичная функция

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Разложите на множители (1, 2):

Функция у = ах л- Ъх л- Су ее свойства и график. Простейшие преобразования графиков.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Постройте график функции (3—8):

9. С помощью графика функции у = х2 — 6х + 5 найдите, чему равно значение функции при х = 4; значения аргумента, при которых у = 3.

10. Пользуясь графиком функции у = х2 — 1, найдите те значения х, при которых у = 0; у > 0; у < 0.

11. Пользуясь графиком функции у = 2х2, определите, при каких значениях X функция возрастает; убывает.

12. Функция задана формулой у = 2х2 + X — 1. Определите, в каких точках график функции пересекает ось Ох, ось Oy.

Неравенство второй степени с одним неизвестным. Рациональные неравенства, метод интервалов.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Решите неравенство (13—19):

Найдите решения неравенства (20—23):

2. Уравнения и системы уравнений

Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: 24. Решите уравнение: З*3 - 12* = 0.

Решите систему уравнений (25—27):

Решение текстовых задач методом составления уравнений и систем уравнений.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

28. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций у = х2 — 4 и у = 2 - я.

29. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 м2, а периметр 44 м.

30. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 13 см.

3. Прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена и суммы п первых членов прогрессии. Формула

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

31. Дана арифметическая прогрессия (ап) : 8; 4; ... . Найдите разность и восемнадцатый член этой прогрессии.

32. В арифметической прогрессии (хп) хх = — 5, d = 4. Найдите сумму двадцати первых членов этой арифметической прогрессии.

33. В арифметической прогрессии (Ьп) Ью = 23, Ь\ = 5. Найдите разность этой прогрессии.

34. В геометрической прогрессии (Ьп) Ъ\ = 64, q = —. Найдите Ь%.

35. Дана геометрическая прогрессия (хп) : 6; 2; ... . Найдите знаменатель и сумму первых шести ее членов.

4. Степень с рациональным показателем

Четность и нечетность функций. Функция у = хп, ее свойства и график. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Определите, является ли функция четной или нечетной (36—39):

40. Укажите область определения и область значений функции у = я3. Постройте ее график.

41. Укажите область определения и область значений функции у = я2. Постройте ее график.

42. Пользуясь графиком функции у = я3, определите:

1) чему равно значение у при #=1,5; х = — 1,5;

2) при каком значении X значение функции равно — 1.

43. Пользуясь графиком функции у = я3, определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные (отрицательные, равные 0) значения.

44. Пользуясь графиком функции у = я2, определите, при каких значениях X функция возрастает; убывает.

Корень п-ой степени и его свойства.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Найдите значение выражения (45—48):

49. При каких значениях х имеет смысл выражение Степень с рациональным показателем и ее свойства.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

50. Найдите значение выражения:

51. Замените степень с дробным показателем корнем:

52. Представьте выражение в виде степени с дробным показателем:

53. Выполните действия:

Упростите выражение (54—57):

5. Тригонометрические выражения и их преобразования

Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс произвольного угла. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

58. Найдите радианную меру угла, заданного в градусах:

59. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:

60. Существует ли значение выражения tg а, если Вычислите (61, 62):

Основные тригонометрические тождества: sin2 а + cos2 а = 1 ; tg а = .

Формулы приведения. Синус и косинус суммы и разности двух углов, синус и косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Упростите выражение (63, 64):

Докажите тождество (65, 66):

Вычислите (67, 68):

Найдите значение выражения, применяя формулы приведения (69—72):

Упростите выражение (73—78):

Докажите тождество (79—83):

Геометрия, VII класс (VI класс)

1. Начальные понятия геометрии

Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Длина отрезка и ее свойства. Величина угла и ее свойства. Треугольник. Равенство треугольников. Пересекающиеся и параллельные прямые. Понятие об аксиомах и теоремах.

Материал данной темы является основой для введения всего курса геометрии. Здесь приводится полный список аксиом планиметрии, на базе которых строится все дальнейшее изложение теории. Введение основных свойств простейших геометрических фигур проводится на наглядной основе путем обобщения очевидных или знакомых учащимся из курса математики I—VI классов геометрических фактов.

В ходе изучения данной темы вводится геометрическая терминология; у учащихся развиваются наглядные геометрические представления и навыки изображения плоских фигур, устная математическая речь учащихся, что необходимо для дальнейшего обучения геометрии.

Обязательным результатом изучения темы является умение учащихся понимать терминологию, применять аксиомы измерения отрезков и углов и определение равенства треугольников в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

1. Точка Л лежит на прямой ВС между точками В и С. Найдите длину отрезка ЛВ, если ВС= 15 см, а отрезок Л С на 3 см меньше отрезка ЛВ.

2. Луч с проходит между сторонами угла {ab). Найдите Z_ (eft), если L.(ac) = 34°\ L(ab) = 75°.

3. Треугольник ЛВС равен треугольнику DEF. Известно, что ЛВ = 5 см, ВС = 7 см, ЛС = 9 см. Найдите стороны треугольника DEF.

4. Треугольник ЛВС равен треугольнику DEF. Известно, что /_Л = 42°, Z_B = 50°, L. С = 88°. Найдите углы треугольника DEF.

2. Равенство треугольников

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Перпендикулярные прямые. Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Понятие об обратных теоремах.

К обязательным результатам изучения углов относятся умения применять свойства вертикальных и смежных углов, биссектрисы угла в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

5. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Чему равны эти углы?

6. Один из углов, получающихся при пересечении двух прямых, равен 42°. Чему равны остальные углы?

7. BD — биссектриса угла ЛВС. а) Найдите l_ABDy если /_ЛВС = 140°. б) Найдите /_ЛВС, если /LCBD = 35°. в) Найдите /_CBD, если l_ABD = 67°.

При изучении материала, связанного с признаками равенства треугольников, формируются умения их использования в различных конфигурациях (пересекающиеся отрезки, равнобедренный треугольник, угол с про-

Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31

веденной биссектрисой). К задачам на доказательство равенства треугольников обязательного уровня относятся такие, в требовании которых явно сформулировано, какое равенство треугольников нужно доказать.

8. BD — биссектриса угла ABC, AB = ВС (рис. 29). Докажите, что AABD = ACBD.

9. На рисунке 30 СО = OB и АО = OD. Докажите, что ААСО = ADBO.

10. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Известно, что О —середина отрезка AB и LCAO = LDBO (рис. 31). Докажите, что ААОС = ABOD.

11. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, LABD = = АСВЕ (рис. 32). Докажите, что AABD = АСВЕ.

12. В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием АС проведена медиана BD. Докажите, что AABD = ACBD.

13. На рисунке 33 AI = А2. Докажите, что ААВС — равнобедренный. Кроме того, учащиеся должны уметь применять свойства равнобедренного треугольника в решении вычислительных задач следующего содержания и уровня сложности:

14. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 2 см больше основания, а его периметр 10 см. Найдите стороны треугольника.

3. Сумма углов треугольника

Признаки параллельности прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Сумма углов треугольника. Расстояние от точки до прямой.

Рис. 32 Рис. 33

Рис. 34 Рис. 35

В результате изучения темы учащиеся должны уметь применять признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

15. На рисунке 31 треугольник ЛОС равен треугольнику BOD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

16. Прямые а и Ъ пересечены прямой с. Известно, что L. 1 = Z_2 (рис. 34). Докажите, что прямые а и b параллельны.

17. Прямая МК параллельна стороне АС треугольника ABC (рис. 35). Докажите, что Z_ 1 = Z_2.

18. Параллельные прямые а и b пересечены прямой с (см. рис. 34). Известно, что Z_ 1 = 130°. Найдите Z-2.

19. Отрезки АС и BD параллельны и равны (см. рис. 31). Докажите, что ААСО = ABDO.

20. На рисунке 36 прямые AD и ВС перпендикулярны прямой AB. Найдите Z- С, если Z» D = 40°.

21. Параллельны ли прямые а и &, если Z-1 = 48°, Z_2 = 50° (рис. 37)? Теорему о сумме углов треугольника учащиеся должны уметь применять непосредственно для вычисления углов, а также в конфигурациях, связанных с равнобедренным или прямоугольным треугольником (в последнем случае учащиеся могут применять либо теорему о сумме углов треугольника, либо ее следствие о сумме острых углов прямоугольного треугольника).

Рис. 36 Рис. 37

При использовании понятия внешнего угла в решении задач учащиеся могут пользоваться либо его свойством, либо его определением и свойством смежных углов.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

22. Два угла треугольника равны 50° и 35°. Чему равен третий угол?

23. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол между его боковыми сторонами равен 80°.

24. В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием АС внешний угол при вершине Л равен 140°. Найдите углы треугольника ABC.

25. Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

26. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 20° больше другого.

27. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высота CD. Найдите Z_BCD, если /_Л = 60°.

28. В равностороннем треугольнике ABC проведена высота BD. Определите углы треугольника ABD.

Учащиеся должны также уметь доказывать равенство прямоугольных треугольников, опираясь на специальные признаки в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

29. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла В, опущены перпендикуляры DA и DC на стороны угла. Докажите, что DA = DC.

4. Геометрические построения

Окружность. Касательная к окружности и ее свойства. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная около треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность, вписанная в треугольник. Измерение вписанных углов.

Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

При изучении материала, связанного с окружностью, необходимо усвоить такие вопросы, как равенство радиусов одной окружности и перпендикулярность касательной и радиуса, проведенного в точку касания. При этом должен быть достигнут такой уровень, на котором решаются задачи на доказательство равенства треугольников, вычисляются углы равнобедренного треугольника, т. е. всем необходимо решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

30. В окружности с центром О проведены две равные хорды AB и CD. Докажите, что AAOB = ACOD.

31. В окружности с центром О проведена хорда ЛВ, равная радиусу окружности. Найдите углы треугольника ЛОВ.

32. ЛВ и CD — диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что хорды ЛС и BD равны.

33. ЛВ — диаметр окружности с центром в точке О, ВС — хорда. Известно, что z_ Л ОС = 130°. Определите углы треугольника ВОС.

34. Из точки Л к окружности с центром в точке О проведены две каса-

тельные, В и С —точки касания (рис. 38). Докажите, что АЛОВ = АЛОС.

Обязательным для всех является также умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

35. Определите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см.

36. На рисунке 39 ААСВ = 75е. Определите угол ЛОВ, если О —центр

окружности.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки.

37. Постройте треугольник с данными сторонами а, Ь, с (рис. 40).

38. Отложите от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

39. Постройте биссектрису данного угла.

40. Разделите отрезок пополам.

41. Даны прямая а и точка О, лежащая на этой прямой. Постройте прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку О.

42. Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Постройте прямую, перпендикулярную а и проходящую через точку О.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать несложные комбинированные задачи на построение, сводящиеся к выполнению основных построений путем применения одного-двух известных им геометрических фактов или решение которых состоит из двух основных построений. Таким образом, обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

43. Разделите отрезок на четыре равные части.

44. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию.

45. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане к основанию.

46. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

47. Дан отрезок AB. Постройте окружность, для которой отрезок AB является диаметром.

48. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Постройте прямую, параллельную прямой а и проходящую через точку А.

Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40

Геометрия, VIII класс (VII класс)

1. Четырехугольники

Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Трапеция.

При изучении данной темы должны быть отработаны умения применять свойства и признаки параллелограмма и его частных видов, трапеции, необходимые для распознавания конкретных видов четырехугольников и вычисления их элементов. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что АС = 10 см, BD = 6 см, AB = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.

2. Один из углов параллелограмма равен 70°. Вычислите углы параллелограмма.

3. Одна из сторон параллелограмма на 2 см больше другой, а его периметр равен 24 см. Определите стороны параллелограмма.

4. В треугольнике ABC на продолжении медианы BD за точку D отложен отрезок D£, равный отрезку BD. Докажите, что АВСЕ — параллелограмм.

5. В параллелограмме ABCD отмечены точки: M— на стороне ВС и К — на стороне AD, причем МК\\АВ. Докажите, что АВМК — параллелограмм.

6. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

7. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что А АОВ = Л COD.

8. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что Л AOD — равнобедренный.

9. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Определите углы ромба.

10. В ромбе ABCD угол А равен 160°. Определите углы треугольника АОВ (О— точка пересечения диагоналей).

11. В квадрате ABCD диагонали пересекаются в точке О. Определите углы треугольника AOD.

12. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD проведены диагонали. Известно, что /_BDA = 32° и ACAD = 42°. Определите L.DBC и L-ACB.

13. Из вершин Б и С равнобокой трапеции ABCD опущены на большее основание AD перпендикуляры ВК и СМ. Докажите, что AABK = ADCM.

14. В треугольнике ABC AB = 14 см, ВС = 12 см, АС = 10 см, МК —средняя линия треугольника, причем точки M и К лежат на сторонах AB и АС. Определите периметр треугольника АМК.

15. На рисунке 41 точки M, К и Р являются серединами сторон треугольника ABC. Докажите, что AM KP — параллелограмм. Кроме того, учащиеся должны уметь решать задачи на построение четырехугольников. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

16. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.

17. Постройте ромб по двум диагоналям.

2. Теорема Пифагора

Синус, косинус и тангенс угла. Теорема Пифагора. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В результате изучения темы у учащихся должны быть сформированы навыки применения теоремы Пифагора и понятий «синус», «косинус» и «тангенс» угла для вычисления элементов прямоугольных треугольников. В заданиях, связанных с другими фигурами, учащиеся должны уметь вычленять прямоугольные треугольники. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

18. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 13 см, а один из катетов равен 12 см. Найдите второй катет.

19. Из точки А на прямую m проведены перпендикуляр AB и наклонная АС. Найдите AB, если АС = 10 см, ВС = 8 см.

20. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а высота, опущенная на основание, равна 15 см. Найдите основание треугольника.

21. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите сторону ромба.

22. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 13 см, меньшее основание—7 см, высота—12 см. Вычислите большее основание.

23. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон —5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.

24. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см. Определите радиус описанной окружности.

25. Из точки А к окружности с центром О проведена касательная, В — точка касания. Известно, что АО =10 см, а радиус окружности равен 6 см. Найдите длину отрезка AB.

26. В окружности радиуса 5 см проведена хорда, равная 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середину хорды с центром окружности.

27. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 8 см, Z. А = 40°. Найдите катеты и второй острый угол.

28. В прямоугольном треугольнике даны катет 8 см и прилежащий к нему угол 54°. Найдите второй катет и гипотенузу.

Рис. 41

29. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и углы треугольника.

30. Катет АС прямоугольного треугольника ABC равен 10 см. Найдите второй катет и гипотенузу, если угол А равен: а) 30°; 6) 45°; в) 60°.

3. Декартовы координаты на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнения прямой и окружности. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180?

В результате изучения темы учащиеся должны знать формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками и уметь применять их для проведения конкретных вычислений в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

31. Даны точки А (8; 2) и В (2; 10). Найдите: а) координаты точки С, являющейся серединой отрезка ЛВ; 6) длину отрезка AB.

32. В треугольнике с вершинами Л (— 1; 2), В (2; 7), С (4; 3) проведена медиана AD. Найдите координаты точки D и длину медианы AD.

33. Докажите, что треугольник ЛВС, где Л (—2; 2), В (2; 5), С(—1; 9), является равнобедренным с основанием АС.

Учащиеся должны знать уравнения прямой и окружности, уметь строить прямую и окружность, заданные уравнениями, определяя для прямой две ее точки, а для окружности — ее радиус и координаты центра. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

34. Запишите уравнение окружности с центром С (2; —8) и радиусом 3.

35. Укажите центр и радиус окружности, заданной уравнением (х — З)2 + (у + 4)2 = 36. Постройте эту окружность.

36. Проверьте, лежит ли на окружности (х — 2)2 + (у + З)2 = 4 точка (2; -1).

37. Проверьте, лежит ли точка (1; 4) на прямой 4х + Зу — 16 = 0.

38. Найдите точки пересечения прямой 4х + Зу — 6 = 0 с осями координат. Постройте эту прямую.

39. Запишите уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (2; 5).

К обязательным результатам относятся также умения применять формулу приведения для определения значений синусов, косинусов и тангенсов тупых углов.

40. Найдите: a) sin 110°; б) cos 110°; в) tgll0°;

г) sin 120°; д) cos 135°; е) tg 150°;

4. Преобразования фигур на плоскости

Движения: осевая и центральная симметрии, поворот. Примеры фигур, обладающих симметрией. Понятие о равенстве фигур. Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.

В результате изучения движений учащиеся должны уметь строить

Рис. 42

точки, отрезки, простейшие изученные фигуры, симметричные данным относительно точки или прямой. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

41. Дана точка А (2; 5). Какие координаты имеет точка Л, симметричная точке Л относительно: а) оси Ох\ 6) оси Оу\ в) начала координат?

42. Даны отрезок AB и точка С, не лежащая на прямой AB. Постройте отрезок, симметричный отрезку AB относительно точки С.

43. Начертите треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой ВС.

При изучении темы должны быть сформированы умения доказывать подобие треугольников с опорой на признаки и вычислять элементы подобных треугольников в типичных конфигурациях.

44. Прямые AB и CD параллельны (рис. 42). а) Докажите, что ААОВ en ADOC. 6) Найдите отрезки АО и ВО, если AB = 8 см, CD = 15 см, СО = 12 см, DO = 9 см.

45. ABCD — трапеция с основаниями ВС и ЛD, О —точка пересечения диагоналей. 1) Докажите, что AADO сл ЛСВО. 2) Найдите основание ВС, если AD = 15 см, ВО = 4 см, DO = 5 см.

46. Из точки D, лежащей на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, опущен перпендикуляр DE на ВС. 1) Докажите, что AABCv>ADBE. 2) Найдите АС, если ВС = 12 см, BE = 8 см, DE = 6 см.

47. Прямая МК параллельна стороне АС треугольника ЛВС (рис. 35). Известно, что ВМ = 12 см, ВК = 9 см, МК = 8 см, АС = 15 см. 1) Докажите, что ААВСсоАМВК. 2) Найдите ЛВ и ВС.

Геометрия, IX класс (VIII класс)

1. Векторы на плоскости

Параллельный перенос. Вектор. Абсолютная величина и направление вектора. Координаты вектора. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Коллинеарные векторы. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по осям координат.

Изучение данной темы должно быть направлено на формирование практических умений учащихся, связанных с выполнением сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, вычислением координат вектора, его абсолютной величины, скалярного произведения векторов. Причем наряду с операциями в координатной форме следует уделять большое внимание операциям над векторами в геометрической форме. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. Даны точки Л (2; 5) и ß (—2; 2). Найдите: 1) координаты вектора ЛВ;

2) абсолютную величину вектора ЛВ.

2. Дан вектор а (8; 6). Найдите его абсолютную величину.

3. Коллинеарны ли векторы: 1) а (4; 2) и Ъ (-8; -4); 2) а (4; 2) и с (12; 4)?

4. Даны векторы а (3; 1) и 6 (2; 3). Вычислите координаты вектора с, если:

1) с = 2а + Ъ\ 2) с = а-Ъ.

5. Даны векторы ûT и Ъ (см. рис. 13). Постройте вектор с, если 1) с = а + 2Ъ;

2) c = ä-b.

6. Дан параллелограмм ABCD. Назовите: 1) вектор, коллинеарный вектору ЛВ; 2) вектор, одинаково направленный с вектором ВС; 3) вектор, равный вектору CD.

7. Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если их абсолютные величины равны 2 и 3, а угол между ними равен 45°.

8. Дан параллелограмм ABCD. Выразите через ЛВ и AD: а) вектор АС; 6) вектор BD.

9. Вычислите скалярное произведение векторов а (3; 4) и &(8; 6).

10. Докажите, что векторы а (—2; 4) и & (6; 3) перпендикулярны.

2. Решение треугольников

Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников.

В процессе изучения данной темы знания учащихся о признаках равенства треугольников, о построении треугольника по трем элементам дополняются сведениями о методах вычисления всех элементов треугольника, если заданы три его определенных элемента. Таким образом обобщаются представления учащихся о том, что любой треугольник может быть задан тремя независимыми элементами. Обязательным для всех является умение вычислять один из элементов треугольника, применяя теорему синусов или косинусов при решении задач следующего содержания и уровня сложности:

11. В треугольнике ЛВС ЛВ = 4 см, ВС = 5 см, ЛС = 7 см. Найдите L.A.

12. Даны две стороны треугольника а = 7, Ъ = 23 и угол между ними у = 140°. Определите третью сторону треугольника.

13. В треугольнике ЛВС Лß = 5 см, ßC = 6 см, /_Л = 102°. Определите Z_C.

14. В треугольнике ЛВС АС = 10 см, Z-C = 30°, Z_ß = 45°. Определите сторону AB.

Кроме того, учащиеся должны уметь применять аналогичные умения для конфигураций, содержащих треугольник, в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

15. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 5, /_Л = 42°. Вычислите длину диагонали BD.

К обязательным результатам относится также знание того, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей—меньший угол и обратно. Другими словами обязательным является умение отвечать на вопросы следующего содержания.

16. Дан треугольник ЛВС со сторонами AB = 7, ВС = 9, АС = 5. Какой из углов треугольника является наименьшим и какой наибольшим?

3. Многоугольники

Правильные многоугольники. Длина окружности. Длина дуги. Число я.

Основная цель изучения темы — расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружности, развить умения вычислять значения геометрических величин (элементов многоугольников, длины окружности, ее дуг).

В ходе изучения темы учащимися должны быть усвоены важные факты: центры вписанной и описанной окружностей у правильных многоугольников совпадают, радиус описанной окружности лежит на биссектрисе угла, а радиус вписанной окружности — на серединном перпендикуляре к стороне многоугольника. Учащиеся должны уметь вычислять углы правильных многоугольников, находить сторону по радиусу вписанной или радиусу описанной окружности и решать обратные задачи (при этом они могут пользоваться выведенными формулами, тригонометрическим или алгебраическим аппаратом). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

17. Чему равен угол правильного двенадцатиугольника?

18. В окружность с центром О вписан правильный восьмиугольник со стороной AB. Вычислите 1_АОВ.

19. Вычислите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см.

20. Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдите радиус вписанной окружности.

21. Сторона квадрата равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности.

22. Сторона правильного шестиугольника равна 5 см. Найдите радиус вписанной окружности.

23. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Обязательным результатом изучения темы является также знание формулы длины окружности и умение вычислять длину окружности и длину дуги в решении задач следующего содержания и уровня сложности:

24. Найдите длину окружности радиуса 5 см.

25. Найдите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в 36°, если радиус окружности равен 3 см.

26. В окружность с центром О вписан квадрат ABCD. Найдите длину дуги окружности, соответствующей углу АОВ.

4. Площади фигур

Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.

В результате изучения темы учащиеся должны знать формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, круга и уметь вычислять площади плоских фигур. Для типичных конфигураций, связанных с правильными, равнобедренными, прямоугольными треугольниками, прямоугольником и квадратом, учащиеся должны уметь вычислять необходимые для применения формулы величины. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

27. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20 см, а один из катетов—12 см.

28. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.

29. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 4 см, а прилежащий к нему угол 48°.

30. Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 17 см и основанием 16 см.

31. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 5 см и 6 см, а угол между ними равен 30°.

32. Найдите площадь правильного треугольника со стороной 8 см.

33. Определите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса 12 см.

34. Найдите площадь квадрата, вписанного в круг радиуса 10 см.

35. Вычислите площадь прямоугольника, у которого сторона равна 8 см, а диагональ равна 10 см.

36. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 см и 12 см. 37« Найдите площадь параллелограмма по двум сторонам 24 см и 32 см и углу между ними 15°.

38. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а высота равна 8 см. Вычислите площадь трапеции.

39. Треугольники ЛВС и DEF подобны. Найдите площадь треугольника DEF, если AB = 2 см, DE = 6 см, а площадь треугольника ABC равна 4 см2.

40. Чему равна площадь круга радиуса 5 см?

41. Чему равна площадь кругового сектора, если его радиус равен 5 см, а центральный угол 18°?

Алгебра и начала анализа, X класс (IX класс)

1. Тригонометрические функции

Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

В ходе повторения материала девятилетней школы, связанного с преобразованием тригонометрических выражений, обязательным является формирование умений решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Вычислите (1, 2):

Упростите (3—5):

Докажите тождество (6—11):

Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс. Периодические функции; экстремумы функции. Свойства и графики тригонометрических функций.

В результате изучения материала обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

12. Изобразите схематически график функции y = sin# и укажите ее область определения и область значений.

13. Укажите период функции: a) y = cos#; 6) y = tgx.

14. Определите, является четной или нечетной функция y = tg2x.

15. Изобразите схематически график функции y = cos#, укажите ее промежутки возрастания, убывания и нули функции.

16. Укажите экстремумы функции у = sin х.

2. Тригонометрические уравнения Арксинус, аркконсинус и арктангенс числа.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств и систем, содержащих тригонометрические уравнения.

Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Вычислите (17-19):

Решите уравнение (20—26):

3. Производная

Производная. Производная суммы, произведения и частного. Производная степенной функции с целым показателем. Производная синуса и косинуса.

В результате изучения темы обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

Найдите производную функции (27—34):

35. Найдите значение производной функции g (х) = 1хъ — 2х в точке

36. Найдите значение производной функции

4. Применения производной

Геометрический и механический смысл производной. Признак возрастания и убывания функций. Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений. Примеры дифференциальных уравнений гармонических колебаний.

При рассмотрении данных вопросов обязательным является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

37. Найдите скорость изменения функции g (х) = ]Гх — 1 в точке я<> = 9.

38. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции / (х) = cos X в точке с абсциссой х0 = — .

39. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции <р (х) = Ъх — хъ в точке с абсциссой х0 = —2.

40. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции / (х) = X4 — хъ — 2 в точке с абсциссой х0 = 4.

41. Точка движется прямолинейно по закону (р (t) = 2t3 + t — 1. Найдите: а) скорость движения точки при t = 2 с; 6) ускорение в момент времени t.

42. Вращение тела вокруг оси совершается по закону (р (t) = 2t2 — 4* + 3. Найдите угловую скорость (ù(t) вращения тела в момент времени / = 4с.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции (43—45):

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график (46-49):

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (50, 51):

52. Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

53. Площадь прямоугольного участка земли составляет 100 м2. Какими должны быть размеры участка, чтобы длина изгороди, его огораживающей, была наименьшей?

Решите неравенство методом интервалов (54—58):

Алгебра и начала анализа, XI класс (X класс)

1. Первообразная и интеграл

Первообразная. Первообразные степенной функции у = х" с целым показателем (п —1) синуса и косинуса. Простейшие правила нахождения первообразных.

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Приближенное вычисление интеграла. Формула Ньютона — Лейбница. Применение интеграла к решению простейших геометрических и практических задач.

При изучении этого материала все учащиеся должны уметь решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Найдите первообразные функции (1—4):

5. Для функции / (х) = X2 — 1 найдите первообразную, график которой проходит через заданную точку M (1; —9).

6. Для функции g (х) = —4sin х найдите первообразную, значение которой равно 8 при X = л.

Вычислите интеграл (7—10):

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (11—14):

2. Показательная, логарифмическая и степенная функции

Показательная функция, ее свойства и график. Производная показательной функции. Число е.

Примеры дифференциальных уравнений радиоактивного распада. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Основные показательные и логарифмические тождества

Натуральные логарифмы.

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений. Решение простейших и сводящихся к ним показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Решение простейших иррациональных уравнений.

В результате изучения темы обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности: Найдите область определения функции (15—19):

20. Изобразите схематически график функции у = ( yj и укажите область' определения и область значений этой функции.

21. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции y = |^-J .

22. Укажите нули функции у = 1п#.

Вычислите (23-30):

Решите уравнение (31—37):

Решите неравенство (38—42):

Решите уравнение (43—49):

Решите неравенство (50—54):

Решите уравнение (55—58):

Найдите производную функции (59—63):

Геометрия, X класс (IX класс)

1. Введение в стереометрию

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Примеры пространственных геометрических фигур. Сечения.

При изучении данной темы учащиеся должны уметь применять известные аксиомы для обоснования построения сечений. Обязательно для всех умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

1. Постройте сечение куба ABCDAiBiC\Di плоскостью, проходящей через точки Е, F, //, принадлежащие ребрам AB, AD и АЛ.

2. Параллельность прямых и плоскостей

Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые.

Взаимное расположение прямой и плоскости: пересекающиеся и параллельные прямая и плоскость. Признак параллельности прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся и параллельные плоскости. Признак параллельности двух плоскостей.

Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости.

При решении типичных задач на доказательство и вычисление в данном разделе учащиеся должны уметь проводить ссылки на основные свойства параллельности прямых и плоскостей, использовать свойства и признаки параллелограмма, свойства средней линии треугольника, свойства подобия треугольников. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

2. Через конец А отрезка AB проведена плоскость. Через конец В и середину С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках ßi и Ci. Найдите длину отрезка С С и если длина отрезка ВВ\ равна 12 см.

3. Треугольники ABC и ABD лежат в разных плоскостях. Точки А\ и В\ — середины отрезков АС и ВС. Докажите, что прямая А\В\ параллельна плоскости ABD.

4. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону АС в точке К, а сторону ВС —в точке М. Докажите, что прямая КМ параллельна прямой AB. Найдите длину отрезка AB, если длина КС равна 12 м, АС = 24 м, КМ = 9 м.

5. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Точки Е, F, H — соответственно середины отрезков AB, АС и AD. Докажите, что плоскости BCD и EFH параллельны.

6. Две параллельные плоскости а и ß пересекают сторону AB угла ABC в точках D и Di, а сторону ВС — соответственно в точках Е и Е\. Найдите длину отрезка DE, если BD = 12 см, BD\ = 18 см, DiE\ = 54 см.

7. Даны параллельные плоскости. Через точки А и В одной из них проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Ai и Bf. Докажите, что четырехугольник ABB\Ai — параллелограмм.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.

При решении типичных задач на доказательство учащиеся в атом разделе должны уметь проводить ссылки на признак и свойства перпендикуляра к плоскости, на свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей; при решении задач на вычисление они должны уметь использовать теорему Пифагора, решение прямоугольных треугольников. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

8. Дан прямоугольник ABCD и точка Е вне его плоскости. Прямая ЕА перпендикулярна прямым AB и AD. Докажите, что АЕ перпендикулярна прямой АС. Найдите длину отрезка ЕС, если AB = 4 см, AD = 3 см, АЕ = 6 см.

9. Через конец А отрезка AB проходит плоскость. Точка В находится от нее на расстоянии 16 см. Найдите расстояние от середины отрезка AB до этой плоскости.

10. Точка О —центр квадрата ABCD, прямая ОМ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что отрезки МЛ, Mß, MC и MD равны.

11. Из центра О правильного треугольника ABC со стороной Ъ]Гъ м проведен перпендикуляр OD к его плоскости длиной 4 м. Найдите расстояние от точки D до вершин треугольника.

12. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 8 дм. Найдите проекции отрезка на эти плоскости.

13. Угол С треугольника ABC прямой, AD — перпендикуляр к плоскости ABC. Докажите, что треугольник BCD прямоугольный.

14. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости проведен перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника АВМ.

15. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 12 см. Найдите расстояние от точки M до прямой ВС, если AB = АС = 20 см, ВС = 24 см.

16. Точка Л находится на расстояниях 12 см и 5 см от двух перпендику-

лярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.

4. Координаты и векторы

Прямоугольная система координат в пространстве.

Понятие о движении. Понятие о равенстве фигур в пространстве.

Параллельный перенос. Симметрия относительно точки и плоскости. Примеры тел и поверхностей, обладающих симметрией.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Векторы в пространстве. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Координаты вектора. Угол между векторами. Скалярное умножение векторов.

При решении типичных задач данного раздела учащиеся должны проявить знание основных видов движений, свойств координат точек и векторов, умение проводить действия над векторами, заданными в векторной и координатной форме, знание понятия угла между прямой и плоскостью и умение использовать его при решении геометрических задач. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

17. Постройте фигуру, симметричную прямоугольному параллелепипеду относительно одной из его граней.

18. Постройте фигуру, симметричную треугольной пирамиде относительно одной из ее вершин.

19. Укажите плоскости симметрии прямоугольного параллелепипеда, шара.

20. В параллелепипеде y4ßCD/41B1C1D1 укажите, во что переходит грань ABBiAi при параллельном переносе, переводящем точку А в точку D.

21. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, где А (1; 3; 2), В (0; 2; 4), С(1; 1: 4) и D(2; 2; 2), стороны AB и CD равны.

22. В треугольнике ABC, где А (2; 1; 3), ß (1; 1; 4), С (0; 1; 3), угол ABC прямой. Докажите.

23. Дан параллелепипед ABCDAxBiCiD\. Найдите:

24. Даны векторы а (—3; 1; —2) и Ь (4; 0; 6). Найдите: а) 2 а — Ъ\ 6) длину вектора Ь\ в) а - В.

25. Из центра О правильного треугольника ABC со стороной 12/з~ дм восстановлен перпендикуляр ОМ. Угол наклона прямой AM к плоскости треугольника равен 60°. Найдите длину отрезка AM.

26. ABCD — прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см, АМ — перпендикуляр к его плоскости. Прямая MC наклонена к плоскости прямоугольника под углом 30°. Найдите длину перпендикуляра AM.

Геометрия, XI класс (X класс)

1. Многогранники Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла.

Параллелепипед. Призма и пирамида. Прямая и правильная призмы, правильная пирамида. Сечения многогранников.

Площадь боковой поверхности призмы, пирамиды. Понятие о правильных многогранниках.

При решении типичных задач на доказательство в данном разделе учащиеся должны уметь проводить ссылки на основные свойства призм, на свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

27. Докажите, что сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки Е и F — середины ребер AB и АС, есть параллелограмм (рис. 43).

28. Докажите, что в сечении треугольной призмы АВСА\В\С\ плоскостью, проходящей через точки D на ребре AB, Е на ребре ВС и F на ребре А\В\, две стороны параллельны (рис. 44).

29. Докажите, что сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер, параллельно основанию.

30. В параллелепипеде ABCDA\BiC\D\ проведено сечение через сторону AB и точку M на ребре DD\. Докажите, что полученное сечение — параллелограмм.

При решении типичных задач на вычисление учащиеся должны уметь использовать свойства прямых и правильных призм, правильных пирамид для нахождения их элементов (высот, двугранных углов при ребрах основания, площадей боковых поверхностей, диагоналей и т. п.), используя элементы планиметрии, такие, как решение прямоугольных треугольников, свойства прямоугольников и параллелограммов. Обязательным для всех

Рис. 43 Рис. 44

является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

31. В прямоугольном параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из одной вершины, равны 2 дм, 3 дм, 6 дм. Найдите длины диагоналей параллелепипеда.

32. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 5 м и 12 м, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°.

33. Основание прямого параллелепипеда —ромб со стороной 6 см и углом 60°. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите длину меньшей диагонали параллелепипеда.

34. В прямой треугольной призме основание — прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

35. В правильной треугольной призме длина бокового ребра равна 18 см, а стороны основания — 24 см. Найдите периметр сечения, проведенного через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания.

36. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°. Сторона основания равна 12 см. Найдите высоту пирамиды.

37. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 10 м, высота 12 м. Найдите площадь поверхности пирамиды.

38. В правильной треугольной пирамиде через середины трех боковых ребер проведено сечение. Найдите его площадь, если длины сторон основания пирамиды 24 см.

39. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2. Тела вращения

Понятие о телах и поверхностях вращения. Цилиндр и конус. Осевые сечения цилиндра и конуса.

Шар и сфера. Сечение шара плоскостью. Касательная плоскость к сфере.

При решении типичных задач этого раздела ученики должны уметь вычислять основные элементы данных тел (радиусы, площади сечений, длины образующих), используя свойства тел вращения, свойства осевых сечений и сечений шара, свойства касательной к сфере плоскости. Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

40. Образующая конуса равна 6 м, а угол между нею и плоскостью основания равен 60°. Найдите площадь основания конуса.

41. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, если радиус основания равен 10 см.

42. Высота цилиндра равна 6 см, а радиус его основания 5 см. Найдите площадь осевого сечения.

43. В шаре радиуса 26 см на расстоянии 10 см от центра проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.

44. Шар радиуса 20 см касается плоскости. Точка Л лежит в этой плоскости и находится на расстоянии 25 см от центра шара. Найдите расстояние от этой точки до точки касания.

3. Объемы тел

Понятие об объеме. Основные свойства объемов. Объемы многогранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды. Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара.

Типичными задачами этого раздела являются задачи на вычисление объемов прямоугольных параллелепипедов, прямых призм, правильных пирамид и тел вращения. При их решении учащиеся должны уметь использовать свойства этих тел, а также элементы планиметрии для нахождения входящих в формулы параметров (площади правильных треугольника и четырехугольника, площадь круга, элементы прямоугольных треугольников). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

45. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 13 дм, высота 12 дм, а одно из ребер основания 4 дм.

46. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 24 см и гипотенузой 25 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите объем призмы.

47. В правильной четырехугольной призме сторона основания 8 ][2 см, а площадь диагонального сечения 120 см2. Найдите объем призмы.

48. В правильной треугольной призме сторона основания 6 дм, а боковое ребро 7 дм. Найдите объем призмы.

49. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 3^2 м, а боковое ребро 5 м. Найдите объем пирамиды.

50. В правильной треугольной пирамиде высота равна 8 дм, а боковое ребро 10 дм. Найдите объем пирамиды.

51. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.

52. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°.

53. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 12 см и 26 см. Найдите объем цилиндра, если его высота равна меньшей стороне осевого сечения.

54. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40 см, 40 см и 48 см. Найдите объем конуса.

55. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 45°. Радиус основания равен 13 см. Найдите объем конуса.

56. Прямоугольник с боковой стороной 14 и основанием 10 является разверткой боковой поверхности цилиндра. Найдите объем этого цилиндра.

57. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

4. Площади поверхностей тел

Понятие площади поверхности. Площадь сферы. Боковая поверхность цилиндра и конуса.

При решении типичных задач на вычисление площадей сферы, поверхностей цилиндра и конуса учащиеся должны уметь использовать свойства этих фигур и элементы планиметрии (решение прямоугольных треугольников). Обязательным для всех является умение решать задачи следующего содержания и уровня сложности:

58. Стороны прямоугольника 14 см и 28 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением этого прямоугольника вокруг меньшей стороны.

59. Образующая конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

60. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке В. Точка А лежит в этой плоскости. OA = 26 см, AB = 24 см. Найдите площадь шаровой поверхности.

2. Примеры итоговых контрольных работ

В данном приложении приводятся примеры итоговых контрольных работ по каждому классу и предмету, составленных из задач обязательного уровня. Их цель — с возможно большей полнотой проверить в конце учебного года достижение учащимися обязательных результатов обучения по данному курсу.

Математика, V класс (IV класс)

1 вариант

1. Вычислите: а) 68,3 - 6,17; 6) 5,22 :3,6; в) (69,2 - 65,7) • (0,84 + 0,7).

2. По плану рабочий должен изготовить 120 деталей. Он выполнил 30% плана. Сколько деталей изготовил рабочий?

3. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого 5 дм, 7 дм, 2,4 дм.

4. Составьте буквенное выражение по условию задачи: «В одном классе X учащихся, в другом —на 5 учащихся меньше. Сколько учащихся в двух классах?»

2 вариант

1. Вычислите: а) 18,6 + 9,54; б) 12,586:3,1; в) 86,52 —(84,56 + 1,68) : 2,8.

2. В кинотеатре 700 мест. Во время сеанса было занято 80% всех мест. Сколько зрителей было в зале?

3. Запишите формулу площади прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2,5 см и 8 см.

4. Составьте буквенное выражение по условию задачи: «В одном шкафу а книг, а в другом — в три раза больше. Сколько книг в двух шкафах?»

Математика, VI класс (V класс)

1 вариант

1. Вычислите:

2. Решите уравнение:

3. Упростите выражение:

4. Из 60 кг семян у были отобраны для посева. Сколько семян осталось?

5. Отметьте на координатной плоскости точки: Л(—3; 2), В (0; — 1), С (1,5; 3).

2 вариант

1. Вычислите:

2. Решите уравнение: х + 3 = 4я + 9.

3. Упростите выражение: 9а — {5а — 3).

4. Для покраски 6 окон израсходовали 1,6 кг краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить 9 таких же окон?

5. Отметьте на координатной плоскости точки: Л (2; —3), В (—4; 0), С(3; 1,5).

Алгебра, VII класс (VI класс)

1 вариант

1. Упростите выражение: {а — З)2 + {а — 1) {а + 9).

2. Решите уравнение: Зх — {2х + 16) = 5л; — 4.

3. Разложите на множители: а) ЗаЪ + 6а2; 6) 9*2 - 25.

4. а) Постройте график функции у = 2х — 4. б) Найдите по графику значение функции при X = 2.

5. Решите систему уравнений:

2 вариант

1. Упростите выражение:

2. Решите уравнение:

3. Разложите на множители:

4. а) Постройте график функции у = —2х + 4. б) Найдите по графику значение ху при котором значение функции равно —2.

5. Решите систему уравнений:

Алгебра, VIII класс (VII класс)

1 вариант

1. Решите уравнение:

2. Упростите выражение:

3. Решите систему неравенств:

4. Упростите выражение:

2 вариант

1. Решите уравнение:

2. Упростите выражение:

3. Решите систему неравенств:

4. Упростите выражение:

Алгебра, IX класс (VIII класс)

1 вариант

1. Решите систему уравнений:

2. Постройте график функции у = х2 + 2х — 3. Укажите, при каких значениях X функция принимает положительные значения.

3. Найдите корни уравнения

4. Упростите выражение:

5. Решите неравенство:

2 вариант

1. Решите систему уравнений:

2. Постройте график функции у = —де2 + 4. Укажите промежуток, на котором функция убывает.

3. Найдите корни уравнения хъ — 25л:2 = 0.

4. Упростите выражение:

5. Решите неравенство:

Алгебра, VII—IX классы (VI—VIII классы) (2 урока)

1 вариант

1. Решите уравнение:

2. Решите систему уравнений:

3« Решите систему неравенств:

4. Упростите выражение:

5. Постройте график функции у = х2 — 6х + 8.

Определите: а) чему равно значение у, если х = 2,5;

б) при каких значениях х функция положительна;

в) при каких значениях х функция убывает.

6. Решите неравенство: х

7. Упростите выражение:

8. Турист прошел по шоссе 3 км, а по проселочной дороге —6 км, затратив на весь путь 2 ч. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге, если известно, что по шоссе он шел со скоростью на 2 км в час больше?

1. Решите уравнение:

2 вариант

2. Решите систему уравнений:

3, Решите систему неравенств:

4. Упростите выражение:

5. Постройте график функции у = х2 — 4х + 3. Определите: а) чему равно значение у, если х = 1,6;

б) при каких значениях х функция отрицательна;

в) при каких значениях х функция возрастает.

6. Решите неравенство: (х — 10) (х + 1) ^ 0.

7. Упростите выражение: cos 2х + sin2 #.

8. Лодка прошла 5 км по течению реки и 3 км — против течения, затратив на весь путь 1 час. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?

Геометрия, VII класс (VI класс)

1 вариант

1. В окружности с центром О проведена хорда AB, угол ЛОВ равен 70°. Найдите углы О AB и OB А.

2. Точка M лежит на медиане ВК равнобедренного треугольника ABC (ЛС —основание). Доказать, что ААВМ = АСВМ.

2 вариант

1. Треугольник ЛВС — равнобедренный с основанием АС. Внешний угол при вершине В равен 150°. Найдите углы треугольника.

2, На основании АС равнобедренного треугольника ЛВС отмечены точки D и Е так, что LABD = Z.CBE. Докажите, что AABD = АСВЕ.

Геометрия, VIII класс (VII класс)

1 вариант

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, СО = 8 см, CD = 6 см, С В =12 см. Определите: а) периметр параллелограмма; 6) периметр треугольника ACD.

2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а высота, проведенная к основанию, равна 15 см. Найдите основание треугольника.

2 вариант

1. В прямоугольном треугольнике ЛВС гипотенуза AB равна 12 см, Z_A = 65°. Определите, чему равен катет ВС.

2. Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD> О — точка пересечения ее диагоналей: а) докажите, что AAOD со АСОВ) 6) найдите сторону AD, если АО = 10 см, СО = 4 см, ВС = 8 см.

Геометрия, IX класс (VIII класс)

1 вариант

1. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь:

а) постройте векторы с = 2а и d = 2 я + &;

б) найдите координаты вектора m = а — 3 &, если д (1; 2), ö (3; 1).

2. Найдите площадь равнобедренного треугольника по высоте 15 см и боковой стороне 17 см.

2 вариант

1. Найдите площадь правильного треугольника со стороной 8 см.

2. Даны две стороны треугольника а = 4, Ь = 10 и угол между ними у = 140°. Найдите третью сторону треугольника.

Алгебра и начала анализа, X класс (IX класс)

1 вариант

1. Найдите производную функции / (х) = X • sin X.

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

f(x) = 2Vx в точке с абсциссой Xq = 1.

3. Исследуйте функцию g (х) = Зя2 — 2#3 + 4 с помощью производной и постройте ее график.

2 вариант

1. Найдите производную функции g (х) = л; + cos х.

2. Точка движется прямолинейно по закону s (г) = г3 + 2г. Найдите: а) скорость движения точки при t = 3 с;

б) ускорение движения в момент времени tc.

3. Исследуйте функцию / (х) = хА — 2х2 — 3 с помощью производной и постройте ее график.

Алгебра и начала анализа, XI класс (X класс) (2 урока)

1. Решите уравнение:

1 вариант

2. Решите неравенство:

3. Вычислите интегралы:

4. Вычислите площади фигуры, ограниченной линиями:

2 вариант

1. Решите уравнение:

2. Решите неравенство:

3. Вычислите интегралы:

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Геометрия, X класс (IX класс) (2 урока)

1 вариант

1. В тетраэдре ЛВС M точки £, К и // — соответственно середины ребер МЛ, MB и MC. Докажите, что плоскости ЛВС и ЕКН параллельны.

2. Точка О — центр квадрата со стороной 8 см. ОМ — перпендикуляр к плоскости квадрата длиной 3 см. Найдите расстояние от точки M до стороны квадрата.

3. В треугольнике ЛВС ЛВ = ЛС. Отрезок АР перпендикулярен плоскости ЛВС. Докажите, что прямые PB и PC наклонены к этой плоскости под одним углом.

2 вариант

1. В пирамиде ABCD точки /С, M, Р и О —середины ребер ЛВ, CD, ЛС и BD. Докажите, что КРМО — параллелограмм.

2. Угол С треугольника ЛВС прямой, ЛD — перпендикуляр к плоскости ЛВС. Докажите, что треугольник DBC прямоугольный.

3. ЛßCD —прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см. ЛМ — перпендику-

ляр к его плоскости. Прямая MC наклонена к плоскости прямоугольника под углом 30°. Найдите длину перпендикуляра AM.

Геометрия, XI класс (X класс) (2 урока)

1 вариант

1. В прямой треугольной призме основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Боковое ребро призмы 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см, а боковое ребро 5 см. Найдите объем пирамиды.

3. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, в котором диагональ равна 24 см и наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4. Сечение шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстоянии 5 см, имеет радиус 12 см. Найдите объем шара.

2 вариант

1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 10 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите длину высоты пирамиды.

2. Основание прямой призмы — треугольник, у которого стороны длиной 12 см и 8 см образуют прямой угол. Боковое ребро призмы 5 см. Найдите объем призмы.

3. В шаре радиуса 26 см на расстоянии 10 см от центра проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.

4. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Найдите объем конуса.

3. Примеры тематических контрольных работ

Десятичные дроби, V класс (VI класс)

В контрольную работу включены задания на выполнение отдельных арифметических действий над десятичными дробями, на вычисление значения числового выражения и решение текстовой задачи с данными, выраженными десятичными дробями. Эти задания (№ 1, 2, 3) соответствуют обязательным результатам обучения. В работу включены также задания более высокого уровня сложности: на вычисление значения буквенного выражения (№ 4), на вычисление объема (№ 5).

1 вариант

1. Выполните действия:

а) 23,185 + 4,87; 6) 43,5-1,06.

2. Решите задачу: «С одного луга собрали 9,8 т сена, с другого —в 2 раза меньше, чем с первого, а с третьего —на 1,4 т сена больше, чем с первого. Сколько сена собрали с трех лугов вместе?»

3. Вычислите: 5(122,64-86,24:2,8).

4. Составьте буквенное выражение по условию задачи: «Туристский маршрут составляет 120 км. Туристы наметили проходить в день X км. Сколько километров им останется пройти спустя 3 дня похода?» Решите задачу при х = 14; х = 18.

5. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2,4 дм, 3,5 дм, 2,7 дм. Округлите результат до единиц.

2 вариант

1. Выполните действия:

2. Решите задачу: «В одной коробке —5,6 кг конфет, в другой —в 2 раза больше, чем в первой, а в третьей коробке —на 1,7 кг конфет меньше, чем в первой. Сколько конфет в трех коробках вместе?»

3. Вычислите: (6,75 + 3,8 • 10,5) : 5.

4. Составьте буквенное выражение по условию задачи. «Пятиклассники собрали 160 кг макулатуры. Сколько макулатуры они соберут за 6 месяцев, если им удастся собрать еще по х кг макулатуры в каждый месяц?» Решите эту задачу при х = 30; х = 40.

5. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3,8 см, 2,5 см, 2,3 см. Округлите результат до единиц.

Положительные и отрицательные числа, VI класс (V класс)

В контрольную работу включены задания на сравнение положительных и отрицательных чисел, выполнение действий над ними, преобразование алгебраического выражения, решение линейного уравнения, определение координат точек в координатной плоскости. Задания № 1, 2, 3 соответствуют обязательным результатам обучения. Задания № 4, 5 — более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Сравните числа: —3,1 и —3,8; 1,5 и —10.

2. Вычислите:

а) -17 - (-5) + 14; 6) (-7) • (-3) - 8; в) 8 • (-0,5) + 3 • 1,4.

3. Решите уравнение: 7х + 3 = Ъх — 13.

4. Упростите выражение: 3 {а + 2) + (а — 5) — и найдите его значение при а = -0,3.

5. Отметьте в координатной плоскости точки: M (—1; 6) и К(Ъ; — 3). Найдите координаты точек пересечения прямой МК с осями координат.

2 вариант

1. Сравните числа: —4,1 и —4,9; —3,8 и 0.

2. Вычислите:

а) 16-21+ (-18); 6) (-9)-4 + 7; в) (-5) - (-0,4) - 4.1,3.

3. Решите уравнение: 4х — 7 = 7х+ 19.

4. Упростите выражение 4 {а — 2) — (а — 7) — и найдите его значение при а = -0,4.

5. Отметьте в координатной плоскости точки: А (—6; — 1) и В (2; 3). Найдите координаты точек пересечения прямой AB с осями координат.

Обыкновенные дроби, VI класс (V класс)

В контрольную работу включены задания на выполнение действий над обыкновенными дробями, решение линейных уравнений, требующих представления результата в виде дроби. Эти задания (№ 1,2, 3) соответствуют

обязательным результатам обучения. В работу включены также задания более высокого, чем обязательный, уровня сложности: № 4 —на решение текстовой задачи с дробями и № 5 — на вычисление значения буквенного выражения.

1 вариант

1. Выполните действия:

2. Вычислите:

3. Решите уравнение:

4» Решите задачу: «В магазине в первый день продали 48 кг печенья, что составило у всего имеющегося в магазине печенья. Во второй день продали у оставшегося печенья. Сколько килограммов печенья осталось продать после двух дней торговли?»

5. Упростите выражение: о — уД — уа + 1 — и найдите его значение при а = -7.

2 вариант

1.• Выполните действия:

2. Вычислите:

3. Решите уравнение:

4. Решите задачу: «В первый день рабочий изготовил 65 деталей, что составило у всего задания. Во второй день он изготовил у оставшегося количества деталей. Сколько деталей осталось сделать после двух дней работы?»

5. Упростите выражение а + -^а —\-й + 1 —и найдите его значение при

Многочлены, VII класс (VI класс)

В контрольную работу включены задания на проверку основных алгоритмов действий с многочленами (раскрытие скобок, умножение одночлена на многочлен, умножение многочленов), умение выполнять преобразования целых выражений, разложение многочленов на множители — вынесение за скобки общего множителя, использование формулы разности квадратов, применение тождественных преобразований в решении уравнения первой степени с одним неизвестным.

Задания № 1, 2, 3 соответствуют обязательным результатам обучения. Задания № 4, 5 —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

2. Упростите выражение:

3. Разложите на множители:

4. Решите уравнение:

5. Разложите на множители:

2 вариант

1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

2. Упростите выражение:

3. Разложите на множители:

4. Решите уравнение:

5. Разложите на множители:

Алгебраические дроби, VIII класс (VII класс)

В контрольную работу включены задания на сокращение дробей, выполнение отдельных действий с алгебраическими дробями и двух-трех совместных действий. Задания № 1, № 2 соответствуют обязательному уровню. Задание № 3 —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Сократите дробь:

2. Выполните действия:

3. Упростите выражение:

2 вариант

1. Сократите дробь:

2. Выполните действия:

3. Упростите выражение:

Квадратные уравнения, VIII класс (VII класс)

В контрольную работу включены задания на решение неполных квадратных уравнений, приведенного (с иррациональными корнями) и неприведенного (с отрицательным коэффициентом при х2) квадратных уравнений, рационального уравнения. Задание № 1 соответствует обязательному уровню. Задания № 2, № 3 —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. При каком значении k уравнение х2 + kx + 15 = 0 будет иметь корень, равный —3?

2 вариант

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. При каком значении k уравнение х2 + кх — 24 = 0 будет иметь корень, равный —2?

Неравенства, VIII класс (VII класс)

В контрольную работу включены задания на решение простейших линейных неравенств, неравенств, требующих несложных преобразований, систем.

Задания № 1, № 2 соответствуют обязательному уровню. Задания № 3, № 4 —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Решите неравенство:

2. Решите систему неравенств:

3. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

4. Решите двойное неравенство:

2 вариант

1. Решите неравенство:

2. Решите систему неравенств:

3« Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

4. Решите двойное неравенство:

Квадратный трехчлен, IX класс (VIII класс)

В контрольную работу включены задания на построение графика функции и его чтение (определение по заданному значению одной из переменных значения другой, определение промежутков возрастания, убывания), решение неравенств второй степени, разложение квадратного трехчлена на множители, задача на расположение графика квадратичной функции в координатной плоскости. Задания № 1, № 2 соответствуют обязательному уровню. Задания № 3, № 4 — более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Постройте график функции у = — х2 + 2х + 3. Пользуясь графиком, определите:

а) чему равно значение функции при х = 5;

б) при каких значениях х функция принимает положительные значения;

в) промежуток, на котором функция убывает.

2. Решите неравенство: (я — 6) {х — 1) > 0.

3. Сократите дробь:

4. При каких значениях k график функции у = х2 — Sx + k не пересекает ось Ох?

2 вариант

1. Постройте график функции у = х2 + 2х — 3. Пользуясь графиком, определите:

а) чему равно значение функции при х = —5;

б) при каких значениях х функция принимает отрицательные значения;

в) промежуток, на котором функция возрастает.

2. Решите неравенство

3. Сократите дробь

4. При каких значениях с график функции у = —2л:2 + Ах + с не пересекает ось Ох?

Равенство треугольников, VII класс (VI класс)

Цель данной работы — проверить умение учащихся проводить доказательство равенства треугольников и их элементов. В работе предлагаются две задачи на доказательство, выполнение которых обеспечивает проверку овладения выделенным умением на двух уровнях. В первой задаче учащемуся нужно по готовому чертежу доказать равенство треугольников (обязательный уровень).

Вторая задача требует от учащихся активного владения признаками равенства треугольников и свойствами равнобедренного треугольника. При ее решении учащийся должен самостоятельно выполнить чертеж, получив заданные в условии треугольники; сослаться на свойство углов

при основании равнобедренного треугольника или на свойство медианы, опущенной к его основанию, для использования признаков равенства треугольников.

1 вариант

1. Луч AM — биссектриса угла Л, угол BMA равен углу СМА. Докажите, что ААВМ = А АС M (рис. 45).

2. В равнобедренном треугольнике ABC на основании ЛС отложены равные отрезки АК и CD. Докажите, что отрезки ВК и BD равны.

2 вариант

1. Отрезок CD перпендикулярен прямой AB, AACD = ABCD (рис. 46). Докажите, что AACD = ABCD.

2. В равнобедренном треугольнике ABC к основанию АС проведена медиана BD. На медиане отмечена точка М. Докажите, что А ВАМ = АВСМ.

Геометрические построения, VII класс (VI класс)

В работе проверяется владение умениями: а) проводить типовые построения с помощью циркуля и линейки (строить середину отрезка и биссектрису угла);

б) выполнять несложные задачи на построение треугольников (с использованием свойства равнобедренного треугольника);

в) решать задачи на построение, которые требуют применения двух свойств геометрических фигур.

Первые две задачи соответствуют обязательному уровню, третья — более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Начертите произвольный отрезок BD. С помощью циркуля и линейки постройте его середину.

2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

3. Даны прямая р и точки Л и Б, не лежащие на прямой (рис. 47). С помощью циркуля и линейки постройте точку, лежащую на прямой р и равноудаленную от точек Л и Б.

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

2 вариант

1. Начертите тупой угол КСМ. С помощью циркуля и линейки постройте его биссектрису.

2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.

3. Даны окружность и точки К и M, не лежащие на ней (рис. 48). Постройте с помощью циркуля и линейки точки, лежащие на данной окружности, и равноудаленные от точек К и М.

Сумма углов треугольника, VII класс (VI класс)

В первой задаче проверяется умение найти углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых и секущей, по известному углу.

Во второй задаче проверяется умение найти углы треугольника с использованием теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

При решении третьей задачи учащемуся так же, как и в первой, нужно сослаться на свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных секущей и прямой. Однако названный факт является только одним из элементов решения, включенным в доказательство равенства треугольников с выводом о равенстве соответствующих элементов.

Задачи № 1, № 2 соответствуют обязательному уровню, третья задача —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Секущая с пересекает параллельные прямые а и Ъ (рис. 49). Известно, что Z_l = 80°. Найдите JL2.

2. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высота CD. Найдите Z_ßCD, если /_Л = 60°.

3. Прямые AB и CD параллельны. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, причем О — середина ВС. Докажите, что О — середина отрезка AD.

2 вариант

1. Секущая с пересекает параллельные прямые а и Ъ (рис. 50). Известно, что ^.1 = 110°. Найдите L.2.

Рис. 49 Рис. 50

2. В равностороннем треугольнике ЛВС проведена медиана BD. Определите углы треугольника ABD.

3. Прямые MC и DF параллельны. Отрезки MF и CD пересекаются в точке О, причем О — середина отрезка MF. Докажите, что отрезки MC и DF равны.

Четырехугольники, VIII класс (VII класс)

Данная тематическая работа охватывает следующие вопросы: определение, свойства и признаки параллелограмма; свойства ромба и трапеции.

При решении первой задачи проверяется умение найти элементы параллелограмма с использованием его свойств.

Во второй задаче учащиеся должны показать умение применить свойства ромба для нахождения углов одного из треугольников, образовавшихся при пересечении диагоналей ромба.

В третьей задаче необходимо использовать свойства равнобокой трапеции и свойства сторон или углов параллелограмма (или углов при параллельных прямых и секущей).

Задачи № 1, № 2 соответствуют обязательному уровню, третья задача—более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Один из углов параллелограмма в 2 раза меньше другого. Вычислите все углы параллелограмма.

2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что AAOD равнобедренный.

3. В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и ВС из вершины тупого угла ß проведена прямая, параллельная боковой стороне CD и пересекающая сторону AD в точке М. Найдите углы треугольника АВМ, если ZLD = 50°.

2 вариант

1. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 12 см, а одна из сторон в 3 раза больше другой?

2. В ромбе ABCD угол Л равен 140°. Определите углы треугольника ЛОВ (О —точка пересечения диагоналей).

3. В равнобокой трапеции ABCD (AD —большее основание) из вершины угла С проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая основание AD в точке К. Найдите периметр треугольника DC/C, если AB = 3 см, ВС = 5 см, AD = 7 см.

Подобие треугольников, VIII класс (VII класс)

Контрольная работа проверяет умения учащихся применять признаки и свойства подобия треугольников при решении задач.

В первой задаче учащиеся должны доказать подобие тругольников в типичной ситуации и вычислить их неизвестные стороны.

Во второй задаче для доказательства подобия треугольников привлекаются знания о расстоянии от точки до прямой.

Первая задача соответствует обязательному уровню, вторая—более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, AC\\BD. Докажите, что AAOC<s>ABOD. Найдите BD, если ЛС=15 см, ВО = 4 см, АО = 5 см.

2« Отрезок AB пересекает прямую m в точке О и делится точкой О на отрезки АО = 12 см и OB = 16 см. Найдите расстояние от точки А до прямой m, если расстояние от точки В до прямой m равно 9 см.

2 вариант

1. ABCD — трапеция с основаниями ВС = 6 см, AD = 20 см, О — точка пересечения диагоналей, АО = 12 см. Найдите длину отрезка СО.

2. Прямая а пересекает отрезок МК в точке В. Известно, что расстояние от точки К до прямой а равно 8 см, MB = 9 см, KB =12 см. Найдите расстояние от точки M до прямой а.

Тригонометрические уравнения и неравенства, X класс (IX класс)

В данной работе проверяются умения решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, а также умения решать однородные тригонометрические уравнения.

Задания № 1, 2, 3 соответствуют обязательному уровню. Задания № 4. № 5 —более высокого уровня сложности.

1 вариант

1. Вычислите:

2. Решите уравнение:

3. Решите неравенство:

4. Вычислите:

5. Решите уравнение:

2 вариант

1. Вычислите:

2. Решите уравнение:

3. Решите неравенство:

4. Вычислите:

5. Решите уравнение:

Перпендикулярность прямых и плоскостей, X класс (IX класс) (2 урока)

В контрольной работе проверяется владение основными свойствами перпендикуляра к плоскости, параллельности и перпендикулярности плоскостей. При решении задач на вычисление проверяется умение использовать решение прямоугольных треугольников, вычленяя их из пространственных конфигураций.

Первое задание контрольной работы проверяет владение определением перпендикулярности прямой и плоскости и свойствами перпендикуляра к плоскости.

Второе задание проверяет владение одной из важнейших теорем — теоремой о трех перпендикулярах.

Первое и второе задания являются заданиями обязательного уровня сложности и образуют вместе обязательную часть контрольной работы.

Третье задание является заданием несколько более высокого уровня сложности и не является обязательным для всех учащихся. В нем предлагается провести доказательство типа доказательства теоремы.

1 вариант

1. Точка О —центр квадрата ABCD. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости ABCD. Докажите, что отрезки AM, ВМ, СМ и DM равны.

2. В треугольнике ABC AB = AC = 20 см, ВС = 24 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости ABC и имеет длину 12 см. Найдите расстояние от точки M до прямой ВС.

3. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости.

2 вариант

1. Даны прямоугольник ABCD и точка Е вне его плоскости. Прямая AB перпендикулярна прямым AB и AD. Найдите длину отрезка £С, если AB = 4 см, AD = 3 см, АЕ = 12 см.

2. В треугольнике ABC угол С — прямой, AD — перпендикуляр к плоскости ABC. Докажите, что треугольник DBC прямоугольный.

3. Докажите, что если точка M удалена от вершин плоского многоугольника на одинаковое расстояние, то ее проекция на плоскость многоугольника есть центр описанной вокруг него окружности.

Декартовы координаты и векторы в пространстве, X класс (IX класс) (1 урок)

В данной работе проверяется знание основных видов движений в пространстве, свойств координат точек и векторов, умение проводить действия над векторами, заданными в координатной форме, знание угла между прямой и плоскостью.

Первое задание проверяет владение векторно-координатным аппаратом. Второе задание проверяет знание угла между прямой и плоскостью и умение использовать его в сочетании с решением прямоугольных треугольников. Эти два задания образуют обязательную часть работы. Третье задание несколько более высокого уровня сложности и проверяет умение использовать векторы и координаты для получения геометрических фактов. Это задание не является обязательным для всех учащихся.

1 вариант

1. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, где 3; 2), В (0; 2; 4) С(1; 1; 4) и D(2; 2; 2) стороны AB и CD равны.

2. ABCD — прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см; AM — перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Прямая MC наклонена к этой плоскости под углом 45°. Найдите длину перпендикуляра AM.

3. Найдите точки, равноотстоящие от точек (0; 0; 1), (0; 1; 0), (Г, 0; 0) и отстоящие от плоскости yz на расстоянии 2.

2 вариант

1. В треугольнике ABC, где Л (2; 1; 3), В (1; 1; 4), С (0; 1; 3), угол ABC прямой. Докажите.

2. Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 18 см. Найдите длину наклонной, проведенной из этой точки под углом 60° к плоскости.

3. Прямая является линией пересечения плоскостей 2х + Зу + z = 1 и X + у + z = 1. Укажите какой-нибудь вектор, параллельный этой прямой.

Объем фигур, XI класс (X класс) (2 урока)

В контрольной работе проверяется знание формул для вычисления объемов основных геометрических тел и умение вычислять по ним объемы прямых призм, правильных пирамид и тел вращения, используя элементы планиметрии для нахождения входящих в формулы параметров.

Первое задание посвящается объемам многогранников, задание № 2 — объемам тел вращения. Эти задания образуют обязательную часть работы. Задание № 3 посвящено вписанным и описанным многогранникам в их простейшем случае. Так как этот материал не входит в обязательные результаты обучения, то данное задание не является обязательным для всех учащихся.

1 вариант

1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро длиной 18 см наклонено к плоскости основания под углом 45°.

2. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

3. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объем которой равен V. Найдите объем цилиндра.

2 вариант

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 13 см, высота 12 см, а одно из ребер основания 4 см.

2. Образующая конуса равна 6 м, а угол между нею и плоскостью основания равен 60°. Найдите объем конуса.

3. Шар касается всех граней куба. Найдите отношение объемов этих тел.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1. Планирование обязательных результатов обучения как методическая задача ................... 7

1.1. Проблема планирования обязательных результатов обучения .................. —

1.2. О форме задания обязательных результатов обучения ...................... 16

1.3. Об отборе задач, представляющих обязательные результаты обучения ............. 24

Глава 2. Разработка обязательных результатов обучения по отдельным предметам 28

2.1 Математика, V—VI классы ......... —

2.2. Алгебра, VII—IX классы ........... 41

2.3. Геометрия, VII—IX классы ......... 68

2.4. Алгебра и начала анализа, X—XI классы . 84

2.5. Геометрия, X—XI классы .......... 93

Глава 3. Обязательные результаты обучения 110

3.1. Математика, V—VI классы ........ —

3.2. Алгебра, VII-IX классы ........... 116

3.3. Геометрия, VII—IX классы ......... 124

3.4. Алгебра и начала анализа, X—XI классы 130

3.5. Геометрия, X—XI классы .......... 134

Глава 4. Организация учебного процесса с учетом обязательных результатов обучения .................... 139

4.1. Планирование тематических обязательных результатов обучения ............... —

4.2. Некоторые вопросы методики достижения обязательных результатов обучения ....... 145

4.3. Контроль за достижением обязательных результатов обучения ................ 155

Приложения

1. Тематические обязательные результаты обучения .......................... 165

2. Примеры итоговых контрольных работ ... 214

3. Примеры тематических контрольных работ 222

Библиотека учителя математики

Учебное издание

ДЕНИЩЕВА ЛАРИСА ОЛЕГОВНА КУЗНЕЦОВА ЛЮДМИЛА ВИКТОРОВНА ЛУРЬЕ ИННА АРОНОВНА и др.

Составитель ФИРСОВ ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ

ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Зав. редакцией Р. А. ХАБИБ

Редактор Т. Ю. АКИМОВА

Младший редактор Л. И. ЗАСЕДАТЕЛЕВА

Художественный редактор Е. Р. ДАШУК

Технический редактор Е. С. ЮРОВА

Корректоры И. А. КОРОГОДИНА, Т. С. КРЫЛОВА, Е. Г. ЧАПЮК, С. Ю. ЯКОВЛЕВА

Сдано в набор 27.01.88. Подписано к печати 26.01.89. Формат 60X90'/16- Бум. типогр. № 2. Гарнит. Баскервиль. Печать высокая. Усл. печ. л. 15+ фор. 0,25. Усл. кр.-отт. 15,69. Уч-изд. л. 14,70+фор. 0,42. Тираж 205 500 экз. Заказ № 494. Цена 60 коп.

ИБ № 12086

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано с диапозитивов ордена Трудового Красного Знамени ПО «Детская книга» Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 127018, Москва, Сущевский вал, 49 на Саратовском ордена Трудового Красного Знамени полиграфическом комбинате Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Вниманию читателей

К 1990/91 учебному году издательством «Просвещение» будут выпущены в свет параллельные учебники по геометрии, получившие соответственно I и II премию Всесоюзного конкурса школьных учебников математики авторов: 1) Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной «Геометрия, 7—9»; 2) А. В. Погорелова — «Геометрия, 7—11», переработанные в соответствии с новой программой по математике и конкурсным требованиям к учебникам.

Вниманию читателей!

Научно-педагогическое объединение «ПЕРСПЕКТИВА» Центра научно-технической деятельности, исследований и социальных инициатив при Академии наук СССР

— осуществляет программы социологических, экономических, экологических и психолого-педагогических исследований;

— разрабатывает учебные и методические материлы (учебные планы, программы, учебные и методические пособия, аудиовизуальные и компьютерные обучающие средства);

— внедряет в практику системы дифференцированного обучения;

— проводит переподготовку и повышение квалификации преподавателей различных предметов;

— оказывает консультативную помощь учреждениям системы народного образования в формировании государственно-общественной системы управления, способствует переводу предприятий и учреждений на новые условия финансово-экономической деятельности (подготовка документов, обучение специалистов).

Исследования по заказам предприятий и учреждений выполняются высококвалифицированными специалистами Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР, ведущих вузов страны.

В составе НПО «Перспектива» действуют Всесоюзные заочные подготовительные курсы (подготовка к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения) и Всесоюзные заочные курсы «Педагогическая помощь» (занятия с отстающими).

Обращайтесь в НПО «Перспектива» по адресу: Москва, 129243, ул. Космонавтов, д. 18, корп. 1 Телефоны-286-34-44, 282-62-42