ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

Т. А. ПЕСКОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ В V—VIII КЛАССАХ

УЧПЕДГИЗ 1962

Т. А. ПЕСКОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ В V—VIII КЛАССАХ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1962

ВВЕДЕНИЕ

В основу настоящей работы положен прежде всего личный опыт автора, в течение многих лет преподававшего математику в различных средних учебных заведениях и руководившего педагогической практикой студентов Башкирского педагогического института. Использованы также указания из методической литературы и из бесед с учителями средней школы. Кроме того, в книге отражены результаты специальных опытов, поставленных некоторыми учителями г. Уфы и сельской местности по самостоятельному изучению на уроках различных программных вопросов.

Автор рассматривает самостоятельную работу учащихся в связи со всем процессом обучения. Это значит, что учитель должен вести преподавание так, чтобы учащиеся на каждом шагу обучения получали подготовку к самостоятельной работе. Такая подготовка выражается в максимальной активизации учащихся при объяснении учителем теоретических вопросов и решении задач в классе с помощью учителя. Малейшая возможность побудить учеников самостоятельно мыслить должна быть использована учителем. Разнообразие методов и приемов обучения является одним из условий интереса учащихся к изучению математики, и поэтому автор указывает, как можно разнообразить самостоятельную работу. В отличие от методических руководств, в которых аналитическому методу доказательства геометрических теорем уделяется мало внимания и обычно приводится только один конкретный пример, автор подробно рассмотрел этот вопрос с иллюстрацией аналитического метода большим количеством примеров.

Под самостоятельной работой по математике разумеется такая форма организации работы учащихся, при которой от каждого ученика требуется выполнение задания учителя теоретического или практического характера без помощи учителя или при минимальной его помощи главным образом слабым учащимся. Минимальная помощь заключается в том, что учитель дает только некоторые намеки на решение вопросов, затрудняющих отдельных учеников. При выполнении контрольных работ исключается даже минимальная помощь.

Ученики выполняют самостоятельную работу, в большинстве случаев пользуясь учебниками, сборниками задач, различными таблицами и наглядными пособиями. В отдельных случаях ученики ничего не имеют перед собой, кроме тетрадей, как например при решении геометрических задач на доказательство, условие которых, написанное на большом листе бумаги, вывешивается на классной доске.

Таким образом, понятие «самостоятельная работа» является главной по ее значению составной частью понятия «активизация учащихся».

При самостоятельной работе от учащихся требуется более сильное напряжение мысли, чем при объяснении материала учителем, хотя бы и эвристическим методом. Этим объясняется тот факт, что теоретические знания, приобретенные самостоятельно, бывают более сознательно усвоенными и более прочными. Самостоятельная работа по математике, будучи крупным фактором, обусловливающим высокое качество теоретических знаний и практических умений, имеет большое значение и с воспитательной точки зрения. В процессе самостоятельной работы развиваются такие ценные способности и качества, как внимание, настойчивость, привычка к точности и аккуратности. Преодоление трудностей, сопряженных с самостоятельной работой, способствует подготовке деятельных и инициативных участников социалистического строительства.

Необходимо также учитывать то обстоятельство, что успешное выполнение самостоятельной работы вызывает у учащихся положительные эмоции, аналогичные положительным эмоциям работников разных специальностей при успешном выполнении ими своих профес-

сиональных обязанностей. Ученики, выполнившие с хорошими результатами какую-либо самостоятельную работу, испытывают желание еще и еще испробовать свои силы.

В нашей педагогической и методической литературе самостоятельной работе учащихся вообще и самостоятельной работе при изучении математики в частности придается огромное значение.

Великий русский педагог К. Д. Ушинский неоднократно подчеркивал в своих трудах, что задача обучения — это не только сообщение возможно большего запаса знаний, но и выработка методов самостоятельного приобретения знаний1. К. Д. Ушинский писал, что преподавание всякого предмета должно непременно идти таким путем, чтобы на долю воспитанника оставаясь ровно столько трудов, сколько могут одолеть его молодые силы. Изложенные соображения Ушинского необходимо учитырать при организации самостоятельной работы учащихся.

Весьма высоко ценил самостоятельную работу учащихся великий русский революционный демократ Н. Г. Чернышевский, который считал одной из задач школы научить детей самостоятельно заниматься, вызывать у них внутреннее желание работать, учиться2.

Выдающийся русский критик и публицист Д. И. Писарев в своих педагогических трудах много внимания уделяет преподаванию математики. «Надо, чтобы каждый шаг вперед доставался ученику после тяжелой борьбы и чтобы в то же время эта тяжелая борьба не превышала размеров его наличных сил. При таких условиях математические занятия будут давать ученикам все обаятельные ощущения настоящей борьбы. Ученик будет смело подходить к каждой новой трудности, будет с воодушевлением работать над ее усвоением и, одержавши над ней победу, будет выносить из этой победы новый запас силы и энергии. Поступая таким образом, ученик с молодых лет выучится понимать и чувствовать ту великую истину, что суровый

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. 1 и 2, Учпедгиз, 1953.

2 Н. Н. Разумовский, Педагогические идеи Н. Г. Чернышевского, Учпедгиз, 1948, стр. 158.

утомительный труд доставляет человеку высокое наслаждение, если только он не доходит до таких крайних размеров, при которых он может подрывать физические и умственные силы человеческого организма»1. Нельзя не признать, что суждения Д. И. Писарева о воспитательном значении правильно организованного ученического труда при изучении математики неоспоримы и вполне созвучны с высокой оценкой трудового воспитания вообще в нашем государстве.

Известный методист дореволюционного времени Шохор-Троцкий утверждал, что ученикам недостаточно только учиться, надо научиться учиться.

В современной методической литературе задача учителей в этом отношении формулируется так: «Нужно школьников научить учиться». В постановлении ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 года подчеркивается необходимость самостоятельной работы учащихся при изучении различных предметов. В тезисах ЦК КПСС и Совета Министров СССР о перестройке школы указывается на необходимость изменения методов обучения з сторону всемерного развития самостоятельности и инициативы учащихся.

Таким образом, директивы партии и правительства и рекомендации передовой педагогики обязывают учителей средней школы в максимальной степени стимулировать самостоятельную работу учащихся как в классной, так и в домашней обстановке.

В этом отношении перед учителями математики стоит весьма трудная задача. Научить школьников самостоятельно извлекать знания из книг и решать задачи можно только при условии проведения большой, методически правильно организованной подготовительной работы. Если в школе не принимаются надлежащие меры для выработки у учащихся умения работать с книгой, то учащиеся не овладеют таким умением за все время обучения, будут крайне затрудняться при самостоятельной работе в вузах, особенно в вечерних и заочных. Отсутствие умения работать с книгой отрицательно отразится впоследствии на изучении литературы по той или иной специальности.

1 Д. И. Писарев, Избранные педагогические сочинения, Учпедгиз, 1951, стр. 269.

Подготовка учащихся к самостоятельной работе не может быть ограничена только специальными упражнениями в работе с книгой с помощью учителя. Специальной подготовке должна предшествовать общая подготовка, т. е. активизация учащихся при объяснении учителем теоретических вопросов и решении задач с помощью учителя. Здесь имеется в виду такая активизация, целью которой является не только развитие логического мышления, внимания, пространственного воображения и инициативы учащихся, но и открытие ими новых для них математических фактов.

Приводимые в настоящей работе задачи взяты из школьных стабильных задачников, а некоторые составлены автором.

§ 1. АКТИВИЗАЦИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОЗНАКОМЛЕНИИ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ

Из логики известно, что из понятий составляются суждения, а из суждений — умозаключения. Цепь умозаключений представляет собой рассуждение, например при доказательстве теорем, при решении задач.

Вполне естественно поэтому, что всякие неясности и неточности при усвоении математических понятий крайне вредно отражаются на усвоении содержания математических фактов и их логического обоснования. Если в VI классе, например, ученики плохо разбираются в понятиях о прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величинах, то они будут допускать ошибки при составлении пропорций при решении задач, что довольно часто наблюдается в школьной практике.

Если ученик имеет не вполне ясное представление о подобных одночленах, он будет затрудняться при приведении таких одночленов. Если ученик VI класса не имеет отчетливого понятия о проекции отрезка на прямую, он не может сознательно усвоить теоремы, в которых фигурирует такая проекция, а также не может решать задачи, в которых проекция отрезка дается в различных положениях. Отсутствие ясности в понятиях о тригонометрических функциях в VIII классе затрудняет решение соответствующих задач и делает невозможным решение таких задач в качестве домашней работы.

Всякие недостатки в усвоении понятий крайне тяжело отражаются на самостоятельной работе учащихся. Одним из условий сознательного и прочного усвоения математических понятий является активизация учащихся при ознакомлении их с такими понятиями. Прежде чем конкретизировать это утверждение, необходимо рассмотреть кратко вопрос о формировании понятий вообще в нашем сознании. Из логики известно, что понятием называется мысль о предмете, выделяющая существенные признаки этого предмета. Каждый предмет характеризуется огромным количеством признаков, запомнить которые не представляется возможным, да и нет в этом необходимости. Для решения практических задач и в целях научного познания достаточно знать только существенные признаки предметов, т. е. такие признаки, при помощи которых предмет легко можно отличить не только от явно несходных с ним предметов, но и от предметов сходных, но не точно совпадающих с тем, о котором идет речь.

При установлении существенных признаков различных объектов мы рассматриваем некоторую совокупность объектов, обладающих какими-либо важными общими признаками. Затем абстрагируемся от несущественных признаков, т. е. признаков, характеризующих отдельные объекты из данной совокупности, удерживаем в сознании общие признаки, т. е. такие признаки, которые принадлежат всем объектам данной совокупности, и вносим их в определение понятия.

Таким образом, процесс образования понятий слагается из следующих основных логических операций:

1. Анализ, выражающийся в разделении признаков различных объектов на существенные и несущественные.

2. Абстракция, выражающаяся в отбрасывании несущественных признаков и выделении существенных.

Аналогично происходит процесс образования и математических понятий. Основоположник научного социализма Ф. Энгельс, касаясь вопроса о возникновении в сознании людей математических понятий, писал: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества

разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира»1.

Данная Энгельсом материалистическая трактовка вопроса о происхождении математических понятий обязывает нас к широкому применению при ознакомлении учащихся с математическими понятиями конкретного материала практических задач, предметов обихода, моделей, чертежей и т. д.

Путем решения задач практического характера выясняются многие понятия арифметики, как например понятие об умножении на дробь, о пропорциональных величинах, о процентном отношении, о пропорциональном делении и др. При выяснении понятий о положительных и отрицательных числах, о функциональной зависимости, о возведении в степень и др. следует идти от практических задач. Предметами обихода нужно пользоваться при выяснении понятий о прямоугольном параллелепипеде, кубе, цилиндре, круге и др. Очень полезно иметь в математическом кабинете кирпич, маленькие ящики, консервные банки и др.

Базируясь на конкретном материале и пользуясь указанными выше логическими операциями, мы устанавливаем существенные признаки различных математических объектов и включаем их в определение понятий.

В школьной практике процесс установления существенных признаков различных математических объектов

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1957, стр. 37.

часто значительно сокращается. Так, например, для выяснения понятия о правильном многоугольнике нет необходимости рассматривать несколько многоугольников с равными углами и сторонами, а достаточно взять один многоугольник. Очень часто для установления существенных признаков какого-либо объекта возможно и необходимо сопоставить данный объект с известными уже объектами.

Математические понятия, за редкими исключениями, определяются по законам логики. Определить то или иное понятие — это значит установить, к какому роду относится это понятие, и указать его существенные признаки (видовые отличия). Так, например, в учебниках геометрии квадрат определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны. Устанавливается, что квадрат относится к роду прямоугольников, и указывается его существенный признак: равенство всех сторон.

Рассмотрим, как можно активизировать учащихся в процессе ознакомления их с математическими понятиями, определяемыми по законам логики. Активность учащихся должна выражаться в установлении существенных признаков нового понятия, в его определении с помощью учителя и в иллюстрации нового понятия соответствующими примерами.

Само собой разумеется, что выполнить такую работу ученики могут только при умелом руководстве со стороны учителя, каждый шаг которого должен быть тщательно продуман. Учителю необходимо устанавливать, в каких случаях можно предлагать ученикам вопросы, требующие усиленной работы мысли, и в каких — более легкие.

Поясним сказанное примерами.

Разработку вопроса о прямо пропорциональных величинах нужно начать с какой-либо задачи. Например, поезд проходит в час в среднем 30 км. Какое расстояние он пройдет за 2 часа; за 6 часов; за 12 часов; за 3 часа? Решение записывается в виде таблицы.

Время в часах

1

2

6

12

3

Расстояние в километрах

30

6

180

360

90

Далее учащимся предлагается такое задание: посмотрите внимательно на таблицу и установите, как изменялось время и как изменялось расстояние. Установив характер зависимости между временем и расстоянием, учитель знакомит учащихся с термином «прямо пропорциональные величины» и дает определение. Ученики приводят примеры таких величин. Весьма полезно выяснить, что существуют величины, зависящие одна от другой так, что с увеличением одной во сколько-нибудь раз. другая величина тоже увеличивается, но не во столько раз. В качестве примера таких величин можно указать возраст какого-нибудь ученика VI класса и его рост. Положим, ученик VI класса в возрасте 13 лет имеет рост в 1,5 ж. Ставится вопрос: с увеличением возраста в 2 раза увеличится ли рост человека в 2 раза, т. е. в возрасте 26 лет будет ли рост бывшего ученика равен 3 м? Нужно отметить на стене высоту в 3 ж. Для учеников становится совершенно очевидно, что с увеличением возраста в два раза рост не увеличивается в 2 раза и, следовательно, эти величины не будут прямо пропорциональными. Этот пример, способствуя твердому усвоению признака прямо пропорциональных величин, предупредит часто наблюдаемую в школах ошибку в определении указанных величин, заключающуюся в пропуске слов «во сколько же раз».

Еще пример из геометрии. Начертив на доске три трапеции разных видов (черт. 1) или вывесив на доске три соответствующие модели, учитель ставит вопросы: чем отличается вторая трапеция от первой; чем отличается третья трапеция от первой и второй? Ученики устанавливают общие признаки всех трех трапеций. Они должны подметить, что на всех чертежах у трапеций параллельны две стороны и две другие стороны непараллельны. Учащимся предлагается подумать, как дать определение трапеции. Выясняется, что наличие равных сторон и прямых углов нельзя считать существенными признаками трапеции.

Черт. 1.

Новое понятие обязательно нужно иллюстрировать примерами из окружающей нас действительности: подоконник, часть крыш домов, земельные участки, поперечный разрез железнодорожной насыпи и др.

Пример из алгебры. Написав на левой части доски одночлены 7а3Ь2 и 9а362, а на правой — одночлены ва4^3 и \8аАЬъс, учитель предлагает установить, в чем выражается сходство и различие одночленов, написанных на левой части доски. Затем учащиеся сравнивают одночлены, написанные на правой части доски, и устанавливают их сходство и различие, после чего сообщаются соответствующие термины. Учащиеся привлекаются к формулированию определения подобных одночленов. Придумывают соответствующие примеры. Нужно обратить внимание учащихся на одночлены, отличающиеся только показателями степени при одной какой-нибудь букве. Например, предложить объяснить, почему одночлены 6а463с2 и 6а4Ь3с5 нельзя назвать подобными.

Большим количеством конкретных примеров нужно иллюстрировать понятие о функциональной зависимости. Если ознакомление с этим понятием не сопровождается достаточным количеством примеров, указанных как учителем, так и учениками, может получиться так, что абитуриент средней школы ответит на вопрос, какая зависимость называется функциональной зависимостью между величинами, но не приведет ни одного примера. Так, например, было на приемных экзаменах в Башкирский педагогический институт. Некоторые поступающие дали правильное определение функции по учебнику Киселева, но не могли указать примеры функций.

Полезно записать примеры так1:

Аргументы

Функции

Время

Расстояние

Скорость

Расстояние

Количество товара

Стоимость

1 «Математика в школе», 1951, № 5.

Аргументы

Функции

Цена товара

Стоимость

Основание прямоугольника

Площадь

Высота прямоугольника

Площадь

Температура

Длина металлического прута

Радиус

Длина окружности

Радиус

Площадь круга

Радиус основания цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра

Сторона квадрата

Площадь квадрата

Числитель дроби

Величина дроби

Знаменатель дроби

Величина дроби

Давление на газ

Объем газа

Степень участия учеников в построении определений должна быть различной в зависимости от характера определений.

Если учитель признает то или иное определение по его логической структуре и словесному выражению сложным и трудным, так что предварительная подготовка для формулировки его ученикам не даст нужных результатов, учитель сам должен дать такое определение, как например определение периодической дроби, проекции отрезка на прямую, функции и др.

В первое время нельзя требовать от учащихся формулировки определений в такой форме: «Длите определение биссектрисы угла треугольника» или «Дайте определение коэффициента». При такой постановке вопросов ученики часто не в состоянии будут указать род, к которому относится новое понятие, а поэтому вообще не дадут правильный ответ. Требование дать определение математического понятия должно быть формулировано так, чтобы в нем содержалось указание на род. к которому относится новое понятие, например, какой отрезок называется биссектрисой угла треугольника, какой множитель называется коэффициентом. При такой формулировке ученики не затрудняются давать правильные определения. Это не значит, что всегда нужно избегать в вопросах термина «определение». При учете знаний, начиная с VI класса, учитель должен

постепенно приучать учащихся пользоваться этим термином, а также термином «формулировка».

Не все математические понятия можно определить указанным выше способом. В некоторых случаях логические определения заменяются поясняющим описанием. Так, например, в учебнике арифметики И. Н. Шевченко дано поясняющее описание действия сложения дроби. В учебнике геометрии Н. Н. Никитина дано поясняющее описание таких понятий, как геометрическое тело, поверхность, линия, точка. В поясняющих описаниях понятия иллюстрируются при помощи тех представлений, которые известны учащимся из их жизненного опыта, как например прибавление, собрание одинаковых долей, граница и т. д. Активное участие учеников в составлении поясняющих описаний является так же обязательным, как и при логических определениях математических понятий.

Заслуживают внимания так называемые генетические определения некоторых геометрических понятий. Такие определения основаны на наблюдении учениками процесса возникновения различных геометрических образов. Так, например, в учебнике Никитина определения высоты, медианы внешнего угла треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата являются генетическими. Весьма полезно, чтобы ученики не только наблюдали процесс возникновения геометрических образов, но и сами осуществляли бы этот процесс путем выполнения соответствующих чертежей в своих тетрадях параллельно с такой работой учителя на классной доске. В этом случае они быстрее могут установить существенные признаки новых понятий и более прочно усвоить их определение.

§ 2. АКТИВИЗАЦИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ УСВОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКТОВ

Активизация учащихся как при ознакомлении их с математическими понятиями, так и при изучении математических фактов имеет огромное значение в их подготовке к самостоятельной работе.

В методических руководствах отсутствует более или менее подробная трактовка вопроса об активизации

учащихся в процессе обучения математике, особенно в части, касающейся конкретных примеров, но встречаются отдельные указания, относящиеся к этому вопросу. Объединяя такие указания, можно рекомендовать следующие основные способы активизации учащихся при усвоении ими математических фактов:

1) Выяснение учащимися цели изучения различных разделов математики с практической точки зрения.

2) Открытие учащимися новых для них математических фактов.

3) Активизация учащихся при обосновании математических фактов.

1. Выяснение учащимися цели изучения различных разделов математики с практической точки зрения. Интерес к изучению математики и сознательность ее усвоения повышаются, если учащиеся понимают цель изучения математики вообще и цель изучения различных ее разделов в частности. В свою очередь повышение интереса к математике является благоприятным фактором для развития активности учащихся в процессе ее усвоения.

В этом большом вопросе следует различать две стороны в зависимости от того, когда выясняется цель изучения различных математических фактов: до изучения этих фактов или после изучения их.

Решение указанной проблемы после ознакомления учащихся с содержанием математических фактов не представляет особой трудности. Делается это, с одной стороны, путем указания примеров применения различных теоретических вопросов на практике, с другой стороны, путем решения задач разного рода и в первую очередь жизненно практических.

Приведем примеры. В учебнике геометрии Н. Н. Никитина после рассмотрения третьего признака равенства треугольников даны примеры использования в строительном деле такого свойства треугольника, как жесткость; после изложения теорем о признаках параллельности прямых указывается на применение теории параллельных прямых в столярном деле при помощи рейсмуса и малки. Следует рекомендовать учителям приносить на урок указанные инструменты и объяснять их применение. Свойство диагоналей параллелограмма можно применить на практике для построения на земле

параллельных прямых. Для этого нужно иметь только две веревки, которые накладываются одна на другую под каким-либо углом так, чтобы середины их совпали. Соединив концы веревок прямой линией, получим две пары параллельных прямых, из которых выбираем ту пару, которая удовлетворяет практической цели построения параллельных прямых.

После выяснения понятия о подобных треугольниках и многоугольниках нужно сообщить учащимся, что подобие треугольников имеет широкое применение при съемке различных планов. Полезно иметь в школе план школьной усадьбы, а если школа находится в сельской местности — план местного колхоза или совхоза. Применение на практике числового масштаба выясняется на географических и топографических картах, планах земельных участков, классных комнат и т. д.

Большую помощь приносит учащимся решение жизненно практических задач.

Приведем примеры таких задач.

1) Каким отрезком на топографической карте изобразится Волго-Донской канал, имеющий длину 101 км, если масштаб карты —,— ?

2) Требуется построить платформу длиной в 22 м и шириной 4,5 м из досок толщиной 6 см. Сколько кубических метров досок потребуется для настила платформы, если на обрезки и прочие потери добавить 2%?

3) Определить расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна.

4) Определить расстояние между двумя доступными, разделенными препятствием, точками.

В учебнике геометрии Н. Н. Никитина приводятся практические задачи, решение которых основано на подобии треугольников и на элементарных сведениях из тригонометрии.

В сборнике задач Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой дано большое количество задач практического характера. Много полезных задач практического характера помещено в журнале «Математика в школе» № 6 за 1953 год. Приведем некоторые из них.

1) На плане нанесен участок земли в масштабе 1 : 1000. Чему равна площадь этого участка на местности, если на плане она равна 12 см2?

2) Сваи, врытые в землю, можно нагрузить до 30 кг/см2. Какой вес может иметь строение, опирающееся на четыре сваи, диаметром 40 см каждая?

3) На 1 га высевают 150 кг пшеницы, 1000 зерен пшеницы весят 38 г. Предполагая, что 5% зерен погибает, вычислить площадь земли, которая приходится в среднем на каждое растение пшеницы.

Весьма интересная задача практического характера дана в статье Лимана: сделать такой центроискатель, в котором использовалось бы свойство диаметра, перпендикулярного к хорде1.

Эту задачу следует предложить учащимся VII класса после доказательства теоремы о касательных, проведенных к данной окружности из данной точки. В классе ученики определяют способ изготовления нового вида центроискателя, а в школьных мастерских или дома изготовляют такой центроискатель.

Огромное значение для практической подготовки учащихся имеют задачи без готовых числовых данных или при минимальном их количестве. На рассмотрении таких задач остановимся позже.

Необходимость предварительного выяснения цели ознакомления учащихся с содержанием математических фактов диктуется прежде всего тем обстоятельством, что применение математики к решению каких-либо задач нередко бывает возможно только после изучения большого раздела математики. На усвоение такого раздела уходит много времени и не делать в течение этого времени никаких попыток выяснить полезность изучаемого раздела было бы неправильно с методической точки зрения, так как отсутствовали бы всякие факторы, возбуждающие интерес и активность учащихся.

Возьмем, например, разложение многочленов на множители. На изучение этой темы отводится 28 часов. В сборнике Ларичева дано несколько элементарных примеров на решение буквенных уравнений и сокращение дробей путем разложения многочленов на множители, но решение этих примеров не уясняет цели изучения названного раздела. Вполне естественно, что решение большого количества примеров на преобразова-

1 «Вопросы преподавания математики в средней школе», сост. П. В. Стратилатов, Учпедгиз, 1961, стр. 213.

ние одного выражения в другое хитроумнейшими, по выражению проф. А. Я. Хинчина, способами не может быть интересным для учеников, если они не понимают цели подобных преобразований.

В качестве второго примера рассмотрим подготовительный курс тригонометрии в VIII классе. Относящийся к этому курсу теоретический материал в учебнике геометрии Н. Н. Никитина расположен так, что решение задач практического характера возможно только после изучения всех теоретических вопросов. Таким образом учащиеся знакомятся с тригонометрическими функциями, изменением их и с формулами, выражающими зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, не понимая, хотя бы в самом общем виде, цели изучения перечисленных вопросов.

Аналогично обстоит дело с уравнениями в VII классе. До решения задач путем составления уравнений учащиеся должны изучить ряд теоретических вопросов, значение которых для учащихся остается непонятным. Наличие в школьной математике таких разделов, применение которых к решению задач возможно только после более или менее длительного изучения теории, надо полагать, было одной из причин возникновения в методике математики идеи о выяснении цели изучения того или иного вопроса до изложения содержания этого вопроса. И в тех случаях, когда практическое значение математических фактов можно выяснить непосредственно после ознакомления с этими фактами, необходимость предварительного выяснения цели изучения этих фактов не отпадает.

Еще в 1911 г. на I Всероссийском съезде преподавателей математики известный методист С. М. Шохор-Троцкий подчеркивал необходимость возбуждения интереса учащихся к предлагаемому им материалу. Шохор-Троцкий говорил о недопустимости взгляда на ученика, как на бездушный сосуд, в который нужно складывать полагающийся по программе учебный математический материал1.

Профессор А. Я. Хинчин писал, что целеустремленность сообщаемых учащимся знаний имела бы огром-

1 «Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики», 1913.

мое значение для сознательного усвоения их учащимися и признавал, что мы слишком мало заботимся о том, чтобы цель производимых математических операций, изучаемых понятий и закономерностей ясно стояла перед учащимися. В частности, проф. Хинчин указывает на то обстоятельство, что учащихся без конца заставляют разлагать многочлены на множители, употребляя для этого хитроумнейшие приемы, но никогда не выясняют, для чего это нужно.

Профессор А. Я. Хинчин пишет по этому поводу: «Знать, что к чему — является солидной прививкой против формализма»1.

В своей книге «Методика преподавания математики» В. М. Брадис уделяет внимание предварительному выяснению цели изучения теоретических вопросов. Приведем его слова: «Опыт преподавания с полной определенностью говорит, что качество усвоения существенно выигрывает, если каждое новое понятие, каждое новое предложение вводить так, чтобы была видна его связь с известными учащимся вещами и чтобы была понятна целесообразность его изучения. Для учащихся убедительнее всего оправдание каждого нового понятия и предложения соображениями, относящимися к практической деятельности, по возможности близкой им. Так, изучение целых чисел в начальной школе полезно связать с делением каких-либо интересных для школьников вещей; составление и решение уравнений на первых порах изучения алгебры с более трудными арифметическими задачами, для решения которых в V классе приходилось изобретать особые приемы и которые теперь решаются одним общим приемом; многие геометрические теоремы с простейшими задачами землемерия и черчения»2.

Из изложенного выше следует, что разработку различных тем, в тех случаях, когда это возможно, целесообразнее начинать с решения разного рода задач. Само собой разумеется, что широкое применение должны иметь задачи практического характера.

Рассмотрим это положение на конкретном примере приведения дробей к общему знаменателю.

1 «Советская педагогика», 1944, № 11 и 12.

2 В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1954, стр. 49.

Учащиеся быстро решают задачу на сравнение дробей ~г~ — I но затрудняются ответить на вопрос, какая дробь больше: — или —. Некоторые утверждают, что первая дробь больше, другие думают, что — больше, находятся иногда и такие ученики, которые считают, что данные дроби равны. Из сопоставления данных дробей устанавливается, что для сравнения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Таким образом, новая операция — приведение дробей к общему знаменателю — получает определенный смысл.

Приступая к разработке темы обращение обыкновенных дробей в десятичные и наоборот, учитель предлагает задачу:

«В V классе за письменную работу по арифметике 0,15 всех учеников получили оценку 5,--получили 4, 0,4—получили 3. Работы остальных трех учеников были оценены баллом 2. Сколько учеников было в классе?»

Ученики убеждаются, что для решения задачи нужно уметь обращать обыкновенные дроби в десятичные и наоборот. При изложении теоретических вопросов, относящихся к действиям над обыкновенными и десятичными дробями, не представляет труда выяснить цель изучения этих вопросов на практических задачах.

В учебнике геометрии Н. Н. Никитина сделан удачный подход к изложению теорем о признаках равенства треугольников от задач на построение треугольников по некоторым данным элементам.

С задач практического характера следует начинать изложение теорем о вычислении площадей и объемов. Так, например, приступая к выводу формулы площади трапеции, учитель предлагает задачу:

«Земельный участок имеет форму трапеции. Сколько семян пшеницы нужно для засева этого участка, если на один гектар требуется 1,2 ц семян?»

Ученики приходят к выводу, что для решения задачи нужно знать, как вычисляется площадь трапеции.

Изложение теоремы Пифагора следует начать с задачи практического характера.

На лесозаводе нужно изготовить брусья шириной 16 см и толщиной 12 см. Каков должен быть поперечник бревен, которые нужно употребить на изготовление брусьев?

С учащимися нужно установить, можно ли брать бревна с любым поперечником. Выяснить, что слишком толстые бревна нельзя брать, так как получится много отходов. Если же взять тонкие бревна, то из них нельзя будет выпилить брусья нужного размера. Следовательно, надо знать величину поперечника тех бревен, которые можно использовать для изготовления брусьев.

Пользуясь чертежом 2, учитель сообщает, что если известны катеты прямоугольного треугольника, то гипотенузу можно вычислить по теореме Пифагора, после чего излагает ученикам эту теорему.

Содержание теоремы Пифагора ученики могут обнаружить на чертежах, построенных по указанию учителя. С этой целью учитель вычерчивает на доске прямоугольный треугольник с катетами 4 дм и 3 дм, а ученики в своих тетрадях чертят прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см. После этого учитель и ученики строят квадраты на катетах и гипотенузе и разбивают их на маленькие квадратики, учитель на квадратные дециметры, а ученики на квадратные сантиметры. Сравнивая сумму площадей квадратов, построенных на катетах, с площадью квадрата, построенного на гипотенузе, учащиеся приходят к предположению о новой для них закономерности. Учитель подтверждает предположение учеников, предлагает им формулировать новую теорему и дает обоснование ее по учебнику Никитина. Решается задача.

Полезно заготовить нужный чертеж (черт. 3) на большом листе бумаги и вывесить его на классной доске. В этом случае учитель будет иметь возможность более тщательно контролировать чертежи учеников.

Возможен такой же подход к изучению тригонометрии в VIII классе. Учитель говорит: «Сегодня мы начинаем изучение тригонометрии. Слушайте задачу.

Черт. 2.

Ученики VIII класса во время туристского похода поднимались на крутую гору с равномерным повышением. Через час они остановились на отдых. Некоторые из них заинтересовались вопросом, на какой высоте они теперь находятся, но никто не знал, можно ли решить такую задачу, а если можно, то что нужно знать для ее решения. Может быть, вы справитесь с этой задачей, если я сообщу вам, что до отдыха ученики прошли 1,8 км, а угол подъема горы равен 50°».

Установив, что для решения предложенной задачи знаний не хватает, учитель переходит к изложению первого урока нового предмета, знание которого даст возможность решить указанную задачу. Впоследствии нужно вернуться к этой задаче и решить ее.

Приведем пример из алгебры. На тему «Разложение многочленов на множители» затрачивается много времени. Ученики решают большое количество примеров на преобразование одного выражения в другое, но им редко объясняют, для чего это нужно. Вполне понятно, что, не понимая цели подобных преобразований, учащиеся не проявляют к ним большого интереса. Чаще всего они тяготятся такими преобразованиями и ждут не дождутся, когда это кончится. Совершенно очевидно, что такие условия не способствуют активизации учащихся. Положение меняется, если они сами убедятся в полезности изучения новой темы. Для этого нужно предложить ученикам следующую задачу:

«Школьный сад разбит на 3 участка. Длина первого участка 80 м, второго 65 м, третьего 58 м, а ширина всех участков 54 м. Определить площадь сада».

На доске записывается порядок решения:

Черт. 3.

Преподаватель предлагает подумать, нельзя ли упростить вычисление. Учащиеся приходят к выводу, что сначала нужно сложить 80, 65, 58, а затем сумму умножить на 54. Запись принимает такой вид:

Учитель предлагает сравнить первый способ вычисления со вторым. Устанавливается, что в первом случае нужно сделать три умножения и одно сложение, а во втором — только одно сложение и одно умножение. Преимущество второго способа вычисления для учащихся становится очевидным. Учителю остается только выяснить, что для ускорения вычисления сумма была преобразована в произведение, что многочлен является суммой и для вычисления числовой величины многочленов нужно многочлены преобразовывать в произведение, т. е. разлагать их на множители.

Полезно рассмотреть пример:

Поставить вопрос: в каком случае легче найти числовую величину многочлена при данном значении букв?

Таким образом, цель изучения новой темы будет доведена до сознания учащихся, и они будут стремиться овладеть новой операцией, а учитель при решении отдельных примеров должен обращать внимание учащихся на полезность разложения многочленов на множители. Впоследствии при изучении алгебраических дробей и решении уравнений следует подчеркивать значение разложения многочленов на множители.

К необходимости изучения уравнений в VII классе можно подвести учащихся, поставив их перед трудностью решения некоторых задач арифметическим способом. Для этой цели можно дать ученикам известную задачу о двух пастухах, изменив ее фабулу. Задачу следует предложить в следующей редакции:

«У двух братьев были яблоки. Старший брат говорит младшему: «Дай мне одно яблоко и тогда у меня будет в два раза больше яблок, чем у тебя». Младший отвечает: «Нет, дай ты мне одно яблоко, и у нас будет яблок поровну». Сколько было яблок у каждого брата?»

Эту задачу можно предложить и на первом уроке

алгебры, чтобы дать некоторое понятие о новом предмете. Можно быть уверенным, что ученики не решат ее. Преподаватель сообщает, что задачу можно решить так: прежде всего установить, что у старшего брата на два яблока больше, чем у младшего, так как если старший передаст одно яблоко младшему, то у них будет яблок поровну. Передача младшим братом одного яблока старшему увеличивает разность между количеством яблок у братьев еще на 2 яблока. В этом случае разность составит 4 яблока. В условии сказано, что после передачи младшим братом одного яблока, у старшего яблок стало в 2 раза больше, следовательно, количество яблок младшего брата можно принять за 1 часть, а у старшего тогда будет две части. На одну часть приходится 4 яблока. Всего частей будет 3. На 3 части приходится 12 яблок, следовательно, у обоих братьев было 12 яблок, причем после передачи от младшего одного яблока у старшего стало 8, а у младшего осталось 4. До передачи у старшего было 7, а у младшего 5.

Обратив внимание на трудность решения этой задачи арифметическим путем, учитель сообщает, что такие задачи легко решаются путем составления уравнений, изучение которых и является очередной темой.

Нужно учитывать то обстоятельство, что не всегда возможно акцентировать внимание учащихся на практическом значении вновь изучаемого программного материала, так как многие темы, не имея непосредственного практического применения, являются подготовительными ступенями к изучению той или иной темы, непосредственно применяемой к решению задач вообще и в первую очередь практических задач.

Возьмем, например, простые и составные числа. Аргументировать знакомство с этими понятиями и их практическим применением не представляется возможным, так как понятие о простых и составных числах является первой ступенью к приведению дробей к общему наименьшему знаменателю, т. е. к вопросу, необходимость изучения которого можно выяснить на задаче. Второй ступенью является разложение составных чисел на простые множители, а третьей ступенью — нахождение наименьшего кратного нескольких чисел. Только после этого можно перейти к нахождению общего наименьшего знаменателя. Возникает вопрос, как должен поступать

учитель в тех случаях, когда ему предстоит разработать тему, не имеющую непосредственного практического применения. В таких случаях нужно поискать способы заинтересовать учащихся новым материалом с теоретической точки зрения. Учитель математики проявил бы узость и односторонность в понимании своей задачи, если бы стал думать, что ученики должны усматривать в изучении математики только практическую сторону. Ученик должен быть заинтересован и той базой, на которой строится практическое применение математики, т. е. должен быть заинтересован математикой и с теоретической стороны. В этом отношении учителю представляются большие возможности проявить свое творчество, так как к разработке многих тем можно подойти различными способами, возбуждающими к ним интерес.

В частности, во многих случаях можно сделать переход к новому материалу от известных уже учащимся сведений, имеющих те или иные черты сходства с вновь изучаемым материалом. Например, перед выяснением понятий о простых и составных числах учащиеся припоминают, какие виды целых чисел они знают. Получив ответ о разбивке чисел на четные и нечетные, однозначные и многозначные, учитель сообщает, что числа делятся еще на простые и составные, и ведет изложение темы примерно в соответствии с разработкой, данной в учебнике.

К вопросу об изменении величины дроби при изменении ее членов следует подойти от аналогичного вопроса об изменении частного при изменении делимого и делителя.

Перед изложением теорем о соотношении между сторонами и углами треугольника нужно припомнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. против равных сторон в треугольнике лежат равные углы, и сообщить, что во всяком треугольнике между сторонами и углами существуют определенные соотношения, к изучению которых они и приступают.

К теоремам о зависимости между дугами и хордами нужно подойти от теорем о зависимости между центральными углами и соответствующими им дугами.

Перед изложением в VIII классе теоремы о пропорциональных отрезках, получаемых при пересечении

двух данных прямых тремя параллельными прямыми, следует припомнить теорему: если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и через концы их провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой, то и на другой прямой отложатся равные отрезки. Эту теорему нужно истолковать в том смысле, что отрезки, образующиеся на второй данной прямой, пропорциональны отрезкам, отложенным на первой прямой. Далее сообщить, что получить пропорциональные отрезки можно и без откладывания равных отрезков на одной из двух данных прямых путем пересечения этих прямых тремя параллельными прямыми.

Необходимость изучения формул сокращенного умножения подсказывается уже самим названием темы, но в целях большей убедительности полезно начать разработку этой темы с краткого повторения таблицы умножения, после чего сообщить, что и в алгебре есть особые таблицы умножения, при помощи которых можно быстро производить умножение многочленов, а затем перейти к выводу первой формулы.

2. Открытие учащимися новых для них математических фактов. Этого вопроса касаются многие методисты. Еще Шохор-Троцкий в предисловии к написанной им методике арифметики для учителей средних учебных заведений утверждал, что современная педагогика математики и педагогическая психология требуют того, чтобы дети участвовали в изобретении арифметики.

Профессор Иовлев, придавая огромное значение ученическим открытиям, подчеркивал необходимость добиваться того, чтобы ученики по возможности своим умом доходили до открытия известной теоремы. Касаясь вопроса о роли индукции в преподавании, проф. Иовлев пишет: «Дедуктивный тип умозаключения является наиболее употребительным в математике и он больше всего употребляется при изложении добытых результатов, но подобно тому, как в математических открытиях главную роль играет индукция, так и в классной работе индуктивный метод наряду с анализом должен быть главным методом преподавания»1.

Профессор В. М. Брадис, касаясь изложения теории

1 Проф. Иовлев, Общие методы математики и ее преподавания, 1925, стр. 56 и 134.

параллельных прямых, пишет: «Многие теоремы этого раздела допускают самостоятельное их открытие учащимися, если их формулировать сперва в виде задач»1. В качестве примера В. М. Брадис приводит теорему о сумме внутренних углов треугольника, причем в отличие от других авторов рекомендует два способа опытного обнаружения содержания теоремы: 1) измерение углов транспортиром; 2) прикладывание углов треугольника, вырезанных из модели треугольника, одного к другому вершинами.

Перед изложением теоремы о свойстве корней квадратного уравнения ученики припоминают, как делается проверка решения квадратного уравнения. Учитель сообщает, что проверить решение квадратного уравнения можно еще другим способом, более быстро приводящим к цели, и что для этого нужно знать свойства корней квадратного уравнения. В соответствии с учебником выводятся свойства приведенного квадратного уравнения. С этой целью ученики решают два квадратных уравнения:

Учитель предлагает внимательно посмотреть на решение первого уравнения и подметить зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.

Автор настоящей работы неоднократно наблюдал уроки на эту тему. В большинстве случаев ученики без наводящих вопросов устанавливали, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Подмеченные учениками свойства корней проверяются на втором уравнении.

Методом неполной индукции делается вывод, что у всякого приведенного квадратного уравнения между корнями и коэффициентами существует установленная зависимость, после чего следует логическое обоснование

1 В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1954, стр. 355.

Ученические открытия, подобные изложенному, возможны в большом количестве, и хотя ученики, за весьма редкими исключениями, открывают новые только для них, но давно известные людям факты, тем не менее их открытия вызывают такие же положительные эмоции, какие свойственны людям разных профессий, создающим что-либо новое. Ученики с повышенным интересом относятся к работе, связанной с открытием ими какого-либо математического факта, и испытывают чувство удовлетворения от успешного выполнения такой работы. В классе в таких случаях наблюдается приподнятое настроение, положительным образом отражающееся на дальнейшем ходе урока.

Весьма интересным бывает открытие учениками того факта, что система уравнений первой степени с двумя неизвестными может иметь бесконечное множество решений и может совсем не иметь решений. После решения в достаточном количестве систем, имеющих единственное решение, и ознакомления учащихся с графическим решением таких систем нужно предложить ученикам на уроке решить графическим способом такую систему:

Ученики вычерчивают прямые по тому и другому уравнению и обнаруживают, что прямые совпадают. У них возникает вопрос, что это значит. Выясняется, что совпадение прямых означает, что данная система имеет бесчисленное множество решений. Путем умножения первого уравнения на 3 устанавливается, что данные два уравнения фактически представляют одно уравнение с двумя неизвестными, а такое уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Наиболее пытливые ученики не удовлетворяются таким объяснением и пытаются решить данную систему способом алгебраического сложения. Препятствовать этому не следует.

На дом нужно предложить систему, не имеющую решений, например:

Получив две параллельные прямые, ученики приходят к выводу, что данная система не имеет решений.

Само собой разумеется, что, привлекая учащихся к открытию математических фактов, нужно ставить вопросы, рассчитанные на максимальную активность учащихся, и только в случае необходимости предлагать наводящие вопросы.

Рассмотрим ряд примеров из арифметики.

Положим, учитель подводит учащихся к ответу на вопрос, на какие множители разлагаются числа: 10, 100, 1000 и т. д. Первый вопрос, естественно, должен быть таким: на какие множители разлагается число 10?

Второй вопрос должен быть поставлен так, чтобы для ответа на него требовалась интенсивная работа мысли: подумайте, на какие простые множители разлагается 100?

Такой же вопрос нужно поставить относительно чисел 1000 и 10 000. После этого ученикам предлагается сделать обобщающий вывод о разложении на простые множители чисел, изображенных единицей с нулями.

Еще пример на зависимость между компонентами и результатом при выполнении деления.

Имеем: 32:8 = 4.

При увеличении делимого в 2 раза ставятся обычные вопросы: как изменилось частное? какой отсюда делаем вывод?

Затем ученики уменьшают делимое в 4 раза и сразу делают соответствующий вывод. После этого увеличивают делитель и без вопроса о том, как изменилось частное, делают вывод. Аналогично делается следующий вывод. Переходя к одновременному изменению делимого и делителя, нужно стремиться еще больше активизировать учащихся. В исходном примере делимое увеличивается в 2 раза, предлагается вопрос: подумайте, что нужно сделать с делителем, чтобы частное не изменилось? Такой же вопрос ставится после уменьшения делимого, положим, в 4 раза и т. д.

Весьма полезно предлагать учащимся объединить в одной формулировке отдельные выводы. Например, выводы, связанные с изменением делимого, объединить с выводами, вытекающими из уменьшения делимого и делителя в одинаковое число раз.

Ученические открытия особенно часто могут быть

осуществлены в преподавании геометрии. Геометрические чертежи во многих случаях наводят учащихся на предположение о какой-то закономерности, поэтому следует обращать внимание учащихся на чертеж и предлагать им подметить соотношение между геометрическими образами. Так можно делать уже при изучении первых теорем, т. е. теорем о вертикальных углах, о зависимости между хордами и дугами, о равенстве дуг, соответствующих равным центральным углам. Иногда полезно не ограничиваться только наблюдением чертежа, но и изменять его или, еще лучше, пользоваться моделями, чтобы натолкнуть учащихся на какое-то предположение. Так, например, для возникновения предположения о параллельности прямых при равенстве внутренних накрест лежащих углов нужно на модели показать, что если внутренние накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны, но чем меньше разница между этими углами, тем дальше помещается точка пересечения прямых, а при равенстве названных углов линии кажутся параллельными. Ученики подмечают это обстоятельство и делают предположение, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Учитель подтверждает предположение учеников, предлагает им формулировать первый признак параллельности прямых, уточняет формулировку и дает доказательство.

При рассмотрении свойств равнобедренного треугольника ученики вначале припоминают виды треугольников; их внимание обращается на особый вид треугольников — равнобедренный треугольник. Сообщается, что равнобедренный треугольник имеет особые свойства, отличающие его от других треугольников, и что эти свойства ученики сами могут обнаружить.

При изложении этой теоремы нельзя не воспользоваться возможностью натолкнуть учащихся на предположение о какой-то новой закономерности. Начертив тупоугольный неравнобедренный треугольник, нужно предложить вызванному ученику провести из вершины треугольника биссектрису, затем медиану и высоту. Другой ученик проводит биссектрису из вершины равнобедренного треугольника. На предложение провести медиану из этой же вершины ученик отвечает, что биссектриса является в то же время и медианой. Затем

устанавливается, что биссектриса будет высотой равнобедренного треугольника. В сознании учеников возникает мысль о каком-то свойстве равнобедренного треугольника. Это свойство, подмеченное на одном треугольнике, учащиеся, никогда не слышавшие об индуктивном методе построения выводов именно этим методом, переносят на все равнобедренные треугольники. Учитель утверждает предположение учеников о свойстве равнобедренного треугольника, предлагает формулировать теорему и переходит к ее доказательству. Во избежание узости понимания теоремы нужно показать, что в прямоугольном и тупоугольном равнобедренных треугольниках биссектриса тоже совпадает с медианой и высотой.

Автор наблюдал несколько уроков на эту тему, проведенных студентами-практикантами и учителями. Прекрасное впечатление произвел урок одного учителя, разработавшего названную теорему при активном участии учеников, которые из наблюдения двух чертежей пришли к предположению о свойстве биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника и на вопрос учителя, какое свойство равнобедренного треугольника подсказывается чертежом, почти все подняли руки. Каждому хотелось сказать, к какому выводу он пришел, наблюдая чертеж. Следует заметить, что при изложении нового материала учителем учебники не должны быть на партах, в противном случае некоторые ученики будут «открывать» новые факты из учебника. Кроме того, при коллективной разработке нового материала учебники, находящиеся на партах, отвлекают внимание учеников от хода урока. Учебники должны быть перед учениками при самостоятельном изучении различных математических вопросов по заданию учителя.

Содержание некоторых теорем учащиеся могут обнаружить опытным путем. Возьмем, например, теорему о соотношении между сторонами треугольника. Обычная разработка этой теоремы в соответствии с учебником не вызывает большого интереса учащихся. Положение резко меняется, если предоставить учащимся возможность убедиться опытным путем в существовании определенного соотношения между сторонами треугольника. Автор неоднократно наблюдал уроки практикантов

на указанную тему, построенные с точки зрения ученических открытий, и всегда ученики проявляли повышенный интерес к таким урокам.

Изложение теоремы нужно вести примерно так: учитель приносит в класс три палочки, подобранные так, что построить треугольник из них нельзя, и предлагает ученикам построить такой треугольник, чтобы сторонами его были принесенные палочки. Охотников построить треугольник бывает много, все уверены, что могут решить такую легкую задачу. Вызванный ученик начинает строить треугольник на столе учителя, приставляет палочки друг к другу, но треугольник не получается. Учитель вызывает другого ученика, у которого тоже ничего не выходит. Остальные ученики удивляются, что их товарищи не могут решить такую легкую задачу. Многие из них приподнимаются с мест, чтобы увидеть, что делается на столе. Через некоторое время учитель устанавливает безуспешность попыток вызванных учеников решить задачу и добавляет, что и он не может решить эту задачу.

После замены длинной палочки более короткой, вызванный ученик быстро составляет треугольник. У учеников возникает мысль, что все зависит от длинной палочки, и они, глядя на прикрепленные к доске три палочки, из которых нельзя было составить треугольник, и учитывая замену длинной палочки более короткой, открывают новую для них закономерность: самая большая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В качестве второго примера рассмотрим теорему о сумме углов треугольника. Приступая к изложению названной теоремы, учитель повторяет из пройденного материала те вопросы, которые нужны для обоснования новой теоремы и от которых можно сделать методический правильный переход к новой теме. Ученики припоминают, чему равна сумма смежных углов; сумма углов, имеющих общую вершину и расположенных по одну сторону прямой; сумма углов, расположенных вокруг общей вершины. Учитель ставит вопрос о сумме углов треугольника и предлагает решить этот вопрос путем измерения. Вызванный ученик на доске, а остальные в своих тетрадях измеряют углы произвольных треугольников и находят их сумму. Результаты

получаются примерно такие: 182°, 179°, 176°, 184°, 180°. Объясняется расхождение результатов измерения и ставится вопрос: близко к какому числу получились результаты? Затем теорема формулируется и доказывается.

Укажем еще примеры. Теорема о свойстве сторон описанного четырехугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника.

Разнообразием программных тем, изучаемых в средней школе, обусловливается и разнообразие форм конкретизации указанных выше методических идей: понимание учениками цели изучения различных математических фактов и открытие ими этих фактов.

В некоторых случаях возможен подход к теме от практических задач, например при изложении темы «Разложение многочленов на множители». В других случаях учеников можно заинтересовать новой темой с теоретической точки зрения, например при изучении свойства корней квадратного уравнения. Иногда подход к теме от практических задач сочетается с ученическими открытиями, например при изложении теоремы Пифагора. Такая разработка является наиболее совершенной с методической точки зрения.

Нужно учитывать, что имеются темы, заинтересовать которыми не представляется возможным ни с практической, ни с теоретической точки зрения. Например, наименьшее кратное, взаимно обратные числа, действия над одночленами и многочленами, алгебраические дроби, некоторые теоремы геометрии и др. Перечисленные темы не имеют непосредственного практического применения, а являются необходимыми ступенями к изучению вопросов, которые тем или иным способом можно связать с практикой.

При изложении таких тем учитель должен помнить указания великого русского педагога К. Д. Ушинского, который, предостерегая учителей от крайностей, писал: «Воспитатель не должен забывать, что ученье, лишенное всякого интереса и взятое только силой принуждения, хотя бы оно почерпалось из лучшего источника — из любви к воспитателю, — убивает в ученике охоту к ученью, без которой он далеко не уйдет, а ученье, основанное только на интересе, не дает возможности окрепнуть самообладанию и воле ученика, так как не все

в учении интересно, и придает многое, что надобно будет взять силой воли»1.

Возможности активизации учащихся путем привлечения их к открытию новых для них математических фактов чрезвычайно велики. В этом отношении каждый учитель может внести свой вклад в методику математики, так как многие программные вопросы с точки зрения активизации учащихся еще слабо разработаны в методической литературе.

3. Активизация учащихся при обосновании математических фактов. Вопрос о логическом обосновании математических фактов, особенно остро стоит по отношению к преподаванию геометрии, поэтому в настоящем параграфе речь пойдет о доказательстве геометрических теорем.

Школьная геометрия не является строго научным курсом, тем не менее теоремы школьной геометрии, за редкими исключениями, логически обосновываются. Доказательство геометрических теорем осуществляется дедуктивным методом, т. е. теоремы выводятся как следствия из известных уже положений, которые по отношению к доказываемым теоремам носят более общий характер.

В роли известных положений выступают ранее пройденные теоремы, аксиомы и определения, а в некоторых случаях — один из законов логики, так называемый закон исключенного третьего. Этот закон применяется в тех случаях, когда теоремы доказываются апагогическим методом, или, как его называют в современных учебниках, способом от противного. В большинстве случаев новая теорема выводится, как следствие, из известной теоремы. Будем называть вспомогательной теоремой ту теорему, из которой вытекает доказываемая. Такое название является вполне правомерным, так как в геометрии рассматриваются перед доказательством некоторых теорем специально вводимые вспомогательные теоремы (леммы).

Рассмотрим подробнее доказательство теоремы о диагоналях параллелограмма. Это доказательство расчленяется на 5 силлогистических умозаключений.

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. II, 1939, стр. 210.

Черт. 4.

Дано: ABCD—параллелограмм; АС и BD — диагонали (черт. 4).

Доказать: АО = ОС; BO = OD.

Доказательство:

В первых трех умозаключениях устанавливается равенство сторон ВС и AD и равенство углов: 1 и 4, 2 и 3. Четвертое умозаключение приводит к равенству треугольников ВОС и AOD. В последнем умозаключении устанавливаются равенства: АО = ОС; BO = OD.

Прежде чем сделать окончательный вывод, нужно было доказать равенство треугольников ВОС и Л OD, т. е. доказать вспомогательную теорему.

Основную часть доказательства всякой теоремы составляет доказательство вспомогательной теоремы. После доказательства вспомогательной теоремы остается построить только одно умозаключение, чтобы вывести доказываемую теорему.

В книге Милля «Система логики» утверждается, что всю евклидову геометрию можно было бы изложить в виде цепи силлогизмов, но мы знаем, что ни в учебниках геометрии, ни в школьной практике так не делается по соображениям экономии времени. Действительно, построение пяти силлогизмов при доказательстве указанной выше теоремы потребовало бы много времени. В этом легко убедиться, построив по всем правилам логики четвертое и пятое умозаключения.

Первая посылка. Все треугольники, имеющие по равной стороне и по два равных прилежащих к ней угла, равны.

Вторая посылка. Треугольники ВОС и AOD имеют по равной стороне и по два равных прилежащих угла.

Вывод: Треугольники ВОС и AOD равны.

Для получения окончательного вывода нужно построить еще один силлогизм.

Первая посылка. Во всех равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Вторая посылка. Треугольники ВОС и AOD равны.

Вывод: АО = ОС\ BO = OD.

В школьной практике все дедуктивные выводы строятся гораздо короче. При доказательстве теоремы о диагоналях параллелограмма, после того, как учащиеся нашли в треугольниках ВОС и AOD равные стороны и углы, учитель ставит вопрос: какой вывод можно сделать о треугольниках ВОС и AOD? Ученики отвечают, что эти треугольники равны. На вопрос, на каком основании эти треугольники равны, учащиеся отвечают, что треугольники ВОС и AOD равны по первому признаку равенства треугольников, т. е. учащиеся указывают, из какой теоремы вытекает вывод о равенстве треугольников ВОС и AOD. Если же указана теорема, из которой делается необходимый вывод, — это и значит, что была осуществлена дедукция. Для учителя отсюда вытекает определенное методическое правило. Он всегда должен требовать от учащихся обоснования тех утверждений, которые они высказывают при доказательстве теорем и решении задач. Это требование имеет огромное значение для развития математического мышления учащихся, так как приучает их утверждать только такие математические положения, которые они могут обосновать.

Переходим теперь к характеристике синтетического и аналитического методов и о связи их с дедуктивным методом. Отсутствие у учителя ясного понимания сущности синтетического и аналитического методов и той связи, которая существует между дедуктивным методом, с одной стороны, и синтетическим и аналитическим методами, с другой стороны, а также между аналитическим и синтетическим методами, в значительной степени снижает методическую вооруженность учителя и неблагоприятно отражается на математическом развитии учащихся. Одним из проявлений формализма ученических знаний является заучивание доказательств теорем без понимания их сущности. Для предупреждения такого вида формализма учитель должен прекрасно ориентироваться в вопросе о методах доказательства теорем. Выше уже было установлено, что для построения окончательного дедуктивного вывода, являющегося содержанием новой теоремы, необходима какая-то вспомогательная теорема. Синтетический и аналитический методы различаются в зависимости от того, каким

путем мы идем к вспомогательной теореме, из которой дедуктивным методом выводится новая теорема. В этом и заключается связь между дедуктивным методом, с одной стороны, и синтетическим и аналитическим методами, с другой стороны.

При построении рассуждения синтетическим методом мы идем от известного к неизвестному, или, иначе говоря, от условия теоремы к ее заключению, т. е., пользуясь условием теоремы и вытекающими из него следствиями, приходим к необходимой вспомогательной теореме и, следовательно, к доказываемой теореме.

Рассмотрим в качестве примера ту же теорему о диагоналях параллелограмма. Из условия теоремы вытекают три следствия: равенство сторон ВС и AD, равенство углов 1 и 4 и равенство углов 2 и 3. Этих следствий достаточно для обоснования теоремы о равенстве треугольников ВОС и AOD, а из их равенства вытекает доказываемая теорема.

Рассмотрим подробнее синтетическое доказательство теоремы о первом признаке параллельности прямых, изложенное в учебнике геометрии Н. Н. Никитина. Пусть прямые AB и CD пересечены прямой EF, (черт. 5). Возьмем точку О — середину отрезка L/C секущей EF. Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую AB и продолжим его до пересечения с прямой CD. Докажем, что и CD1MN.

Для этого рассмотрим два треугольника MOL и NOK. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: Z\ = Z2 по условию теоремы, OK=OL по построению, ZMOL= ZNOK, как вертикальные. Таким образом, сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника; следовательно, AMOL = ANÖK, а отсюда и ZLMO = = ZKNO, но ZLMO прямой, значит, и ZKNO = тоже прямой. Таким образом, прямые AB и CD перпендикулярны к одной и той же прямой MN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Черт. 5.

Из приведенного примера видно, что при синтетическом доказательстве ученики не понимают, почему вспомогательное построение выполняется именно так, а не иначе, с какой целью рассматриваются определенные треугольники, почему обращается внимание на определенные углы. Они признают, что полученный в результате доказательства вывод совпадает с заключением теоремы, но для них остается неизвестным, с чего следует начинать доказательство теоремы и, следовательно, как построить доказательство самому.

Таким образом, синтетический метод не обеспечивает глубокого понимания доказательства теорем, естественным последствием чего является формализм знаний учеников.

Вполне понятно, что в этом случае почти отсутствует подготовка учащихся к решению задач на доказательство. Активность учащихся при построении синтетических доказательств весьма незначительна.

В отличие от синтетического аналитический метод характеризуется тем, что при построении доказательства теоремы мы идем от неизвестного к известному, т. е. начинаем доказательство с постановки вопроса, который нужно решить, а затем устанавливаем, из какой теоремы можно вывести доказываемую теорему. Найдя эту вспомогательную теорему и пытаясь доказать ее, устанавливаем, в свою очередь, из каких известных уже предложений она вытекает, как следствие, пока не дойдем до такого положения, которое можно доказать, пользуясь условием и вспомогательным построением, сделанным при попытках доказать то или иное необходимое нам предложение. Доказательство последнего предложения будет являться в то же время доказательством данной теоремы.

Разница между синтетическим и аналитическим методами заключается в том, что при синтетическом доказательстве теоремы мы постепенно подходим к основной вспомогательной теореме, исходя из условия теоремы, а при анализе сразу устанавливаем основную вспомогательную теорему, исходя из заключений теоремы.

Иллюстрируем аналитический метод конкретными примерами.

Рассмотрим аналитическое доказательство теоремы:

если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Zi=ZJ? (черт. 5).

Доказать: AB\\CD.

Доказательство. Припомните теорему о двух прямых, перпендикулярных к одной и той же третьей прямой. Подумайте, как воспользоваться этой теоремой для доказательства параллельности прямых AB и CD. Что нужно установить, чтобы доказать, параллельность прямых AB и CD?

Ответ. Нужно доказать, что AB и CD перпендикулярны к одной и той же прямой. Проведем нужную нам прямую. Для этого разделим отрезок L/C пополам, опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую AB и продолжим его до пересечения с прямой CD в точке N.

По построению, AB перпендикулярна к MN, т. е. Z3—прямой. Что еще осталось доказать?

Ответ. Нужно доказать, что CD перпендикулярна к MN. Говоря другими словами, нужно доказать, что Z4 тоже прямой, т. е. Z4=Z3. А для доказательства равенства Z4 и Z3 что нужно доказать?

Ответ. Нужно доказать равенство треугольников MOL и KON.

Какие равные элементы имеются в этих треугольниках?

Ответ. Если мы доказали, что AMOL = AKON, значит, доказали, что AB\\CD.

На этом аналитическое доказательство заканчивается. Утверждение о том, что, доказав равенство треугольников MOL и KON, мы доказали параллельность прямых AB и CD, следует из того, что можно провести приведенное рассуждение в обратном порядке, т. е. дать синтетическое доказательство. Это нужно осуществлять в VI, VII, VIII классах.

Без этого аналитическое доказательство не будет убедительным для учащихся, даже если оно будет записано кратко на доске. Например, доказательство теоремы о первом признаке параллельных прямых можно было бы оформить так:

Последнее равенство можно доказать, следовательно, можно доказать и все предыдущие соотношения. Такое оформление аналитического доказательства не сделает его более понятным для учащихся.

Аналитическое доказательство будет вполне доступным учащимся только при условии сочетания его с синтетическим доказательством. Это значит, что аналитическим доказательством выясняется необходимость определенных звеньев в рассуждении и, таким образом, устанавливается план доказательства, а как только план будет уяснен, проводится синтетическое доказательство.

Рассмотрим аналитическое доказательство теоремы: если на одной стороне угла отложить от его вершины равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой стороной угла, тс и на этой стороне отложатся равные между собой отрезки (черт. 6).

— Из равенства каких фигур чаще всего выводится равенство отрезков?

— Равенство отрезков часто доказывается на основании равенства треугольников.

— Один треугольник на чертеже есть. Подумайте, какие вспомогательные прямые нужно провести, чтобы получить другие, нужные для доказательства теоремы, треугольники?

— Из точек М' и К' провести прямые, параллельные AB.

— Что нужно установить для доказательства теоремы?

— Нужно доказать равенство треугольников ВММ\ М'ЕК и К'РС

— Чтобы доказать равенство указанных треугольников, нужно применить один из признаков равенства треугольников. Поищите в этих треугольниках равные элементы.

Запись: ZMBM'= ZEM'K'; ZMM'B= ZEK'M' и т. д.

— Что осталось установить, чтобы доказать равенство треугольников?

Черт. 6.

— Нужно доказать равенство сторон ВМ и М'Е и т. д.

Приведенные примеры с достаточной убедительностью говорят о больших преимуществах аналитического метода в сравнении с синтетическим методом.

При аналитическом доказательстве все действия учителя понятны для учащихся; учащиеся ясно видят цель, к которой они идут под руководством учителя. Таким образом, аналитический метод дает возможность понять сущность доказательства теорем, а это играет огромную роль в математическом развитии учащихся.

Не подлежит сомнению необходимость ознакомления учащихся с сущностью аналитического метода. Прежде всего учащиеся должны усвоить положение, что каждая новая теорема вытекает из какой-то известной уже теоремы. Усвоив это положение, ученики поймут, что доказательство каждой теоремы начинается с поисков такой известной уже теоремы, из которой доказываемая теорема вытекала бы, как следствие, Вопрос о нахождении вспомогательных теорем достаточно подробно разработан в методической литературе.

Активность учащихся в построении аналитического доказательства определяется степенью трудности доказательств. В некоторых случаях учащиеся могут самостоятельно установить, из какой вспомогательной теоремы вытекает, как следствие, данная теорема, и принять активное участие в ее доказательстве. К числу таких теорем относятся теоремы о равенстве проекций равных наклонных, проведенных из одной точки; о свойстве биссектрисы угла; о свойстве диагоналей ромба; прямая теорема о зависимости между дугами и хордами.

При доказательстве других теорем учащиеся привлекаются к аналитическому доказательству в зависимости от трудности доказательства. Во всяком случае, применение аналитического метода вызывает гораздо большую активность учащихся в сравнении с синтетическим методом.

Некоторые учащиеся иногда предлагают свои способы доказательства теорем, отличные от способов, изложенных в учебнике. Поощрение таких учащихся является обязательным, особенно если ученик предложил

более рациональное в сравнении с учебником доказательство.

Не нужно ждать, когда кто-либо из учеников предложит свое доказательство, а следует при удобном случае сообщить им о возможности различных способов доказательства некоторых теорем. К числу таких теорем относятся следующие: о сумме углов треугольника; о сумме внешних углов многоугольника, о катете, лежащем против угла в 30е; о свойстве перпендикуляра проведенного через середину отрезка; об измерении углов с вершиной внутри круга и вне круга; о диаметре, перпендикулярном к хорде; о пересечении медиан треугольника, теорема Пифагора и др.

Рассмотрим вопрос о доказательстве теорем способом приведения к нелепости или о доказательствах от противного. Сущность этого способа заключается в том, что доказываемая теорема выводится, как следствие, из закона исключенного третьего.

Возьмем теорему: во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ZC>ZB (черт. 7).

Доказать: АВ>АС.

Доказательство. Стороны AB и АС могут быть равны или неравны, третье соотношение исключается.

Предположим, что АВ = АС, тогда на основании свойства равнобедренного треугольника угол С должен быть равен углу ß, что противоречит условию. Следовательно, стороны AB и ЛС не могут быть равны. Если стороны AB и АС не равны, возможны два положения: или АВ<АС, или АВ>АС. Третьего соотношения быть не может.

Предположим, что АВ<АС, тогда на основании прямой теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника угол С должен быть меньше угла 5, что противоречит условию. Следовательно, АВ>АС.

Доказательства способом от противного, или, как их называют, косвенные доказательства, с гораздо большим трудом усваиваются учащимися, чем прямые доказательства, поэтому от учителя требуется тщатель-

Черт. 7.

но продуманная в ходе рассуждения постановка вопросов.

Трудности усвоения косвенных доказательств усугубляются отсутствием записей таких доказательств на доске и в тетрадях, тогда как прямые доказательства сопровождаются соответствующими записями. Это дает возможность повторить ход рассуждений, который осуществляется при доказательстве. Между тем оформление косвенных доказательств на доске и в тетрадях вполне возможно.

Приведем оформление теоремы: против большего угла во всяком треугольнике лежит большая сторона.

Дано: ZC>Zß (черт. 7).

Доказать: АВ>АС.

Доказательство. Допустим, что АВ = АС, тогда ZC=Zß, что противоречит условию. Допустим АВ<АС, тогда ZC<ZB, что противоречит условию. Следовательно, АВ>АС.

§ 3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С УЧЕБНИКАМИ В КЛАССЕ

Установим, прежде всего, что как чрезмерно большой, так и чрезмерно малый удельный вес работы с книгой на уроках не может быть одобрен. На первую крайность указывает в своей статье т. Манзон, утверждая, что многие учителя, стремясь к усвоению учениками математической теории, затрачивают некоторую часть урока на заучивание по учебнику объясненного учителем материала1. Вполне прав автор статьи, полагая, что такое построение уроков снижает в значительной степени их эффективность, так как не оставляет времени для закрепления путем решения задач даже средней трудности. К этому можно добавить, что частое повторение работы с книгой в классе будет напоминать в известной степени применение в преподавании математики так называемого бригадно-лабораторного метода, осужденного Постановлением ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 года. Сам Манзон впадает в другую крайность, рекомендуя минимальную работу с книгой

1 «Математика в школе», 1959, № 2.

на уроках, главным образом для повторения трудного материала.

Кроме самостоятельного решения примеров и задач, на уроках нужно практиковать в определенных границах как повторение по учебнику объясненного учителем материала, так и изучение новых вопросов. Приказ министра просвещения РСФСР от 12 декабря 1951 года, предусматривающий усвоение нового материала в основном на уроках, не ограничивает учителей в выборе методов такого усвоения.

Ученики с интересом работают по книге над новыми вопросами, так как им свойственно стремление к самостоятельности. Кроме того, изучение по книге новых вопросов вносит разнообразие в преподавание.

Из журнальных статей и бесед с учителями можно сделать заключение, что многие учителя пытаются в том или ином виде организовать на уроках самостоятельное изучение по учебнику новых теоретических вопросов, причем время отводится на такие занятия самое различное. Из бесед с опытными учителями можно заключить, что работу с учебниками целесообразнее проводить в среднем 2—3 раза в месяц по каждой отрасли математики, в VII и VIII классах можно чаще. Продолжительность разных видов работы с книгой может колебаться от 3 до 15 минут.

Переходя к вопросу об организации работы по учебнику в классе, остановимся сначала на ошибках, допускаемых учащимися в работе с книгой дома и на уроках. В методическом письме Управления школ Министерства просвещения РСФСР о домашних заданиях по математике перечислены такие ошибки: ученики не умеют отделить главное от второстепенного, часто начинают решение задач и упражнений, не усвоив теоретический материал; заучивают наизусть приводимые в тексте учебника примеры. Заслуженная учительница школы РСФСР М. Н. Покровская так характеризует ошибки учеников: «И если внимательно понаблюдать за школьниками, то обнаруживаются ошибки и особенности каждого: один при изучении теоремы по геометрии заучивает текст, не обращая внимания на чертеж; другой тратит силы на то, чтобы запомнить все обозначения на чертеже; третий при разборе вывода старается непременно запомнить все имеющиеся в тексте при-

меры; четвертый вообще не умеет отличить главного от второстепенного.

Из бесед с учениками выявляются особенности их работы дома: одни сначала решают задачи или примеры, а потом берутся за теоретический материал, допуская явную ошибку; другие вообще не знают, на что обратить внимание, что запомнить, что просто прочитать»1.

Учитель должен учесть перечисленные выше ошибки и принимать все меры к предупреждению и искоренению их.

1. Специальная подготовка к самостоятельной работе учащихся с учебниками. Усвоение теоретических вопросов по учебникам математики весьма трудное дело для учащихся. Отсюда вытекает необходимость осуществления со стороны учителя ряда мероприятий, имеющих своей целью успешное выполнение учащимися самостоятельной работы с учебниками. Совокупность таких мероприятий составляет специальную подготовку к работе с учебниками.

Прежде всего установим, что выработка умения пользоваться учебниками должна начинаться с классных упражнений в чтении учебников, другими словами: нужно проводить объяснительное чтение учебников.

Организация чтения учебника должна быть примерно такова. Вызванный ученик читает, а остальные следят за чтением по своим учебникам. По прочтении первого абзаца учитель путем постановки вопросов проверяет степень усвоения и выясняет смысл непонятных слов и предложений, привлекая к этому учеников. В таком же порядке разбирается следующий абзац, который читает уже другой ученик. По окончании чтения следует повторение по вопросам.

Рассмотрим пример. Положим, в классе читается третий параграф учебника по геометрии Н. Н. Никитина «Действия над углами. Биссектриса угла». Вызванный ученик читает: «Если один угол приложить к другому, так что они будут иметь общую вершину и сторону, а две другие стороны расположатся по разные стороны от их общего луча, то полученный таким образом угол будет называться суммой этих углов».

1 «Математика в школе», 1954, № 5.

Учитель. Смотрите на чертеж (черт. 8). Какие углы даны?

Ответ. Даны углы АВК и КВС.

— Назовите общую сторону этих углов. Как приложен Z2 к Z1? Какой угол называется суммой углов 1 и 2?

На каждый вопрос следует ответ.

— Сделайте чертеж в тетрадях и запишите под ним:

ZABC=Zl + Z2 или ZABC=ZKBC+ZABK. Следующий ученик читает: «ZKBC является разностью углов ABC и АВК».

Запись на доске и в тетрадях.

Ученик продолжает: «Точно так же ZABK= = ZABC—ZKBC».

Следующий ученик читает: «Можно получить сумму не только двух, но и нескольких углов». Учитель обращает внимание учащихся на чертеж 49 учебника. Ученики делают этот чертеж в своих тетрадях и записывают:

В таком же порядке разбирается содержание остальных абзацев.

Данные выше указания относятся и к тем темам, которые предлагаются для самостоятельной работы. Нельзя представлять себе дело так, что учитель ведет разработку теоретических вопросов на высоком методическом уровне, а при самостоятельном изучении новых вопросов игнорировались бы указания методики.

Было бы грубой ошибкой со стороны учителя, если бы он, положим, объявил ученикам, что они будут сегодня самостоятельно изучать теорему о внешнем угле треугольника, написал бы план изучения этой темы, но не повторил из пройденного те вопросы, на которых базируется доказательство новой теоремы, и не сделал бы никакого подхода к этой теореме. Перед объявлением учащимся названной теоремы для самостоятельного изучения нужно повторить, как найти один из смежных углов, если известен другой. После этого нуж-

Черт. 8.

но начертить на доске три треугольника с внешними углами (черт. 9) и установить, что в первом треугольнике внешний угол больше внутреннего, смежного с ним; во втором треугольнике внешний угол меньше внутреннего, смежного с ним, а в третьем треугольнике внешний угол равен внутреннему углу, смежному с ним. Делается вывод, что нет никакого общего для всех треугольников соотношения между внешним углом и смежным с ним внутренним углом треугольника. Далее учитель сообщает, что между внешним углом всякого треугольника и суммой внутренних углов, не смежных с ним, существует вполне определенное соотношение, которое ученики должны изучить самостоятельно.

Перед выполнением учащимися седьмых классов самостоятельной работы на тему «Квадрат и его свойства» нужно предложить вопросы о свойстве диагоналей параллелограмма, прямоугольника и ромба, а также о числе осей симметрии в равнобедренном треугольнике, прямоугольнике и ромбе, а дальше предложить самим самостоятельно разобраться в вопросе о свойстве диагоналей квадрата и о числе осей симметрии в квадрате.

Если на самостоятельную работу дается теорема о свойстве касательных к данной окружности, проведенных из одной точки, следует рекомендовать подход к этой теореме от практической задачи: найти центр круга на какой-нибудь детали (деталь должна быть принесена в класс). Учитель сообщает, что задача может быть решена на основании теоремы о свойстве касательных, проведенных к окружности из одной точки, и предлагает самостоятельно разобраться в этой теореме и в решении предложенной задачи. Весьма полезно принести на урок центроискатель. При самостоятельном изучении

Черт. 9.

теоремы о катете против угла в 30° целесообразно провести такую подготовительную работу. Начертить прямоугольный треугольник с острым углом, значительно меньшим 30°. Ученики подмечают, что катет, лежащий против этого острого угла, составляет или — гипотенузы и что с увеличением угла увеличивается и катет, лежащий против этого угла. Увеличив угол до 30°, учитель предлагает определить на глаз и измерением, какую часть гипотенузы составляет катет, лежащий против угла в 30е. Предположение учеников, относящееся к такому катету, утверждается, после чего учащиеся самостоятельно усваивают доказательство теоремы.

Организуя в классе самостоятельную работу, нельзя забывать о наличии учеников с различной успеваемостью и вытекающей отсюда различной затратой времени на выполнение того или иного задания. Во избежание возможного нарушения дисциплины учениками, быстрее других выполнившими задание, нужно написать для них на доске дополнительное задание. Такое задание может заключаться в ознакомлении с вопросом, который в учебнике изложен после задания, или в решении небольших задач и примеров.

Крайне необходимо предупредить учеников, что до усвоения того или иного вопроса плана нельзя переходить к следующему вопросу. Сделать это нужно во избежание формального усвоения учениками предложенного им материала. Нужно также предупредить их, что они могут считать себя готовыми к ответу только после того, как, закрыв книгу и тетради, могут воспроизвести по памяти усвоенный материал, с оформлением его на отдельном листочке. Таким критерием готовности к ответу следует пользоваться в повседневной домашней работе и при подготовке к экзаменам в различные учебные заведения.

Давая в первый раз самостоятельную работу по изучению нового материала, весьма полезно подчеркнуть, в качестве особого стимула к выполнению такой работы, уверенность учителя в том, что ученики успешно справятся с заданием. Нужно сказать учащимся, что до настоящего времени они овладевали математическими знаниями с помощью учителя, а теперь пусть попробуют самостоятельно усвоить по книге предлагае-

мую им тему и что он, учитель, надеется на успешное выполнение ими самостоятельной работы. Ученики сами должны находить те страницы учебника, на которых изложена данная им тема.

2. Виды самостоятельной работы с учебниками. Укажем следующие виды такой работы:

1) Повторение вопросов, изложенных учителем.

2) Изучение новых тем по планам, составленным учителем.

3) Изучение новых тем без планов учителя.

4) Нахождение в учебнике теорем, имеющих при одном условии несколько заключений и наоборот.

5) Составление родословной отдельных теорем.

Учитель может по своему усмотрению сокращать эту схему. Чаще всего такое сокращение приходится делать за счет повторения, так как повторение вопросов, разобранных в классе учителем, входит в домашнее задание, и поэтому учащиеся имеют достаточную практику в такого вида работе с книгой.

Возможны и другие отступления от данной схемы. В частности, чтение учебников под руководством учителя полезно проводить после объяснения учителем трудных тем. Например, в V классе непосредственно за изложением вопроса об умножении целого числа на дробь целесообразно провести чтение соответствующего параграфа учебника, после чего повторить содержание параграфа по вопросам.

Аналогично следует поступить при разработке вопроса об абсолютной величине числа.

Переходим к первому этапу самостоятельной работы с учебниками — к повторению вопросов, объясненных учителем на уроке. Для такого повторения во всех классах, кроме пятого, следует давать темы достаточной трудности. В противном случае многие ученики, хорошо понявшие объяснение учителя, не будут заинтересованы работой и не получат от нее морального удовлетворения.

В V и VI классах в первое время полезно проводить повторение пройденного материала по плану, написанному учителем на доске. По этому же плану учитель проверяет степень усвоения задания. В целях экономии времени ученики не переписывают планы в свои тетради.

С наибольшими трудностями бывает сопряжено самостоятельное изучение новых вопросов. Исходя из теоретических соображений и основываясь на некотором опыте, автор считает планы изучения новых тем по учебникам необходимыми для выработки у учащихся умения извлекать знания из учебников и других книг математического содержания. При наличии плана перед учащимися будет более конкретно стоять цель их работы и вполне определяться последовательность действия. Планы в известной степени гарантируют учащихся от формального усвоения заданного материала.

Учителя математики школ № 10 и 18 г. Уфы и Черниговской средней школы Чишминского района БАССР, пользовавшиеся составленными автором планами при организации самостоятельной работы по изучению нового материала, отмечают успешную работу учащихся V, VI и VII классов. По их отзывам планы не только помогают ученикам хорошо ориентироваться в изучаемом материале, но дают учителю возможность рационально проводить проверку результатов самостоятельной работы.

Особенно полезны планы при самостоятельном изучении геометрических тем. В результате самостоятельного усвоения в определенном порядке тех логических операций, из которых слагается изложение геометрических теорем, и фиксации этих операций в своих тетрадях, ученики убеждаются в необходимости выполнения работы с учебниками в строго определенном порядке.

Можно быть уверенным, что после работы с учебниками по планам ученики не допустят тех ошибок, о которых писала заслуженная учительница школы РСФСР М. Н. Покровская.

С большой осторожностью нужно подходить к выбору тем для самостоятельного изучения без планов. Если будут предлагаться трудные темы, многие ученики в результате безуспешных попыток разобраться в данном материале могут потерять уверенность в своих силах и станут отрицательно относиться к самостоятельной работе с книгой. В данном случае и во всей работе учителя следует держаться принципа перехода от легкого к трудному.

В первый раз следует дать легкую тему, чтобы ученики почувствовали уверенность в своих силах, и затем перейти к темам средней трудности. В зависимости от состава класса возможны и трудные темы.

В большинстве случаев следует предлагать для самостоятельной работы вопросы, являющиеся продолжением разобранных в классе.

Совершенно новая тема часто содержит в себе ознакомление с новыми понятиями и с относящимися к этим понятиям утверждениями, что может оказаться слишком трудным для учеников. Отступления от такого порядка могут быть, например, при изучении темы об углах с взаимно параллельными сторонами.

Кроме того, при выборе тем для самостоятельной работы необходимо иметь в виду ее доступность с логической стороны.

Рассмотрим примеры.

Если в V классе изменение разности от изменения уменьшаемого объяснено учителем, то над вопросом об изменении разности от изменения вычитаемого ученики работают самостоятельно по плану учителя. Признак делимости на 2 выводится учителем, а признак делимости на 5 ученики усваивают по учебнику.

В VI классе в таком же порядке разрабатываются вопросы об умножении одночлена на одночлен и умножения многочлена на одночлен, о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника.

В VII классе — ромб и квадрат, сложение и вычитание алгебраических дробей.

В VIII классе вынесение множителей за знак квадратного корня и внесение множителей под знак квадратного корня.

Вполне целесообразно, особенно в V и VI классах, применять еще один прием, вносящий разнообразие в самостоятельную работу учащегося и способствующий, по отзывам учителей, достижению наибольшего успеха. Этот прием заключается в своеобразном разделении труда между учителем и учениками. Учитель излагает некоторую часть содержания темы, а остальную часть ученики усваивают по учебнику. Например, в VII классе учитель начинает доказательство теоремы о первом признаке параллелограмма и предлагаот ученикам закончить его. В V классе начало темы «Признак де-

лимости на 5» излагает учитель, а ученики заканчивают разработку по плану.

Кроме усвоения по учебнику теорем, формул, правил, ученики могут выполнять еще некоторые виды работы с учебником, весьма полезные для их математического развития.

Остановимся сначала на такой работе, как отыскание теорем, которые при одном условии имеют несколько заключений и, наоборот, при нескольких условиях имеют одно заключение.

Познакомить учащихся с теоремами первой категории можно при изучении теоремы об углах, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, и теоремы о сумме углов треугольника путем сопоставления условий и заключений этих теорем.

Несколько позднее предоставляется возможность указать пример теорем, имеющих при нескольких условиях одно заключение. В качестве примера такой теоремы можно использовать теорему о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами.

Прежде чем ученики будут самостоятельно находить теоремы той и другой категории, нужны хотя бы небольшие упражнения. Например, при изучении теорем об углах с соответственно перпендикулярными сторонами следует поставить вопрос: сколько условий и заключений имеют первая и вторая теоремы? После этого на одном из занятий с учебником ученики отыскивают теоремы первой и второй категории в изложении таких больших тем, как «Треугольники» и «Параллельные прямые». Аналогичная работа дается примерно два раза в год в VII и VIII классах. Могут быть даны и такие темы, в которых нет ни одной теоремы, соответствующей заданию. В этом случае ученики, просмотрев все теоремы указанного им раздела, приходят к выводу об отсутствии в данном разделе теорем, имеющих при одном условии несколько заключений, и наоборот.

В целях разнообразия работы с учебником геометрии, начиная с VII класса, можно предлагать ученикам составление родословной какой-нибудь теоремы, т. е. перечисление всех предложений, на которых строится доказательство данной теоремы. На одном из уроков в связи с аналитическим доказательством какой-нибудь теоремы нужно составить родословную этой

теоремы, после чего можно дать аналогичную самостоятельную работу в классе. Для выяснения сути дела весьма подходящей теоремой является теорема о пересечении диагоналей параллелограмма.

Доказательство этой теоремы базируется на следующих предложениях:

1) Противоположные стороны параллелограмма равны.

2) Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

3) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

В качестве тем для составления родословной можно рекомендовать: теорему о первом признаке параллелограмма, теорему о равных отрезках на сторонах угла.

Некоторые учителя, знающие о такой разновидности самостоятельной работы, начинают ее с VI класса, причем дают ученикам теоремы с трудным доказательством, как, например, теорему о том, что в треугольнике против большей стороны лежит и больший угол. Поэтому предложение автора начинать составление родословной теоремы в VII классе отражает только его личную точку зрения и не является обязательным. Если учитель находит возможным предлагать ученикам такую работу начиная с VI класса, то сущность ее можно выяснить на первой части теоремы о свойстве перпендикуляра, проведенного через середину отрезка.

Необходимо помнить, что всякая ученическая работа должна быть проверена. При проверке самостоятельной работы по учебнику весьма полезно использовать планы, по которым работали учащиеся. Проверкой нужно охватывать возможно большее количество учеников, но время от времени полезно требовать изложения всего усвоенного материала от одного ученика, привлекая весь класс к исправлению ошибок в ответе вызванного ученика. Если из ответа ученика можно заключить о достаточном усвоении предложенного материала, нужно ответ оценить. Слабый ответ не следует оценивать, так как не всякий ученик может так изучить само-

стоятельно на уроке заданный материал, чтобы изложить его в форме связного рассказа или ответить на все вопросы учителя. Необходим индивидуальный подход к ученикам при оценке самостоятельной работы. Следует поощрять всякое продвижение вперед в изучении по книге задаваемого им материала.

Некоторые учителя, начиная проверку самостоятельной работы, спрашивают, кто из учеников не понял что-либо в учебнике, и предлагают желающим разъяснять эти вопросы. Такая беседа учеников под руководством учителя фактически означает особый способ проверки задания и вполне может быть рекомендована.

По предложению учителя для получения ответа на некоторые вопросы по поводу самостоятельно изученного материала ученики в отдельных случаях снова обращаются к учебнику. Такой методический прием убеждает их в более внимательном отношении к учебнику.

3. Самостоятельная работа с учебниками в отдельных классах В V классе

Положим, в V классе для первого урока самостоятельной работы взяли параграф о римских цифрах. Ученик читает первый абзац. Учитель ставит вопросы: где возникла десятичная система счисления, почему ее называют арабской; как называются цифры, которыми мы пользуемся? По прочтении второго абзаца ставится вопрос: какие еще цифры употребляются и для чего? В таком же порядке чтение продолжается до конца. Для следующих уроков можно взять сочетательный закон умножения, разложение чисел на простые множители, сравнение десятичных дробей по величине.

Второй ступенью является повторение по учебнику разработанного с учителем материала. В первое время полезно давать для повторения только определения и формулировки математических понятий и фактов. Например, правило прибавления какого-нибудь числа к сумме нескольких чисел, определение вычитания, правило нахождения общего наименьшего кратного, правило сложения дробей с разными знаменателями, правило умножения десятичных дробей и др.

Приведем примерные темы для самостоятельного повторения: наименьшее общее кратное, исключение целого числа из неправильной дроби, вычитание смешанных чисел, взаимо обратные числа, округление десятичных дробей.

Наиболее трудная работа заключается в изучении вопросов, неразобранных в классе. Примерный перечень тем для такой работы: признак делимости на 5, обращение целого числа в неправильную дробь, сложение смешанных чисел, умножение дроби на целое число, вычитание десятичных дробей.

Указанная выше последовательность в работе с учебниками в V классе должна соблюдаться без всяких отступлений. Не менее четырех раз нужно проводить объяснительное чтение выбранных учителем параграфов. Перед самостоятельным изучением новых в V и VI классах тем нужно самому учителю в некоторых случаях объяснять начало темы, особенно если дается первая работа по изучению нового материала.

План изучения темы «Признак делимости на 5»

Начало темы излагает учитель. Устанавливается, что на 5 делится всякое число, состоящее из десятков. На примерах повторяется, что всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц. Далее ученики выводят признак делимости на 5 по такому плану:

1) Число 245 представьте в виде суммы десятков и единиц. Почему первое слагаемое делится на 5. Что необходимо, чтобы 245 разделилось на 5.

2) Почему 2347 не разделится на 5?

3) Как формулируется признак делимости на 5?

План изучения темы «Обращение целого числа в неправильную дробь»

1) В каких долях единицы нужно выразить число 5?

2) Сколько шестых долей содержится в одной единице?

3) Как узнать, сколько шестых долей содержится в 5 единицах?

4) Как представить 10 в виде неправильной дроби со знаменателями 2, 3, 5?

5) Как формулируется правило обращения целого числа в неправильную дробь?

План изучения те м ы «Умножение дроби на целое число»

1) Что значит умножить дробь на целое число?

2) Записать в тетради подробно умножение на 7.

3) Записать умножение “у на 7 кратко.

4) Как изменяется дробь от умножения на целое число?

5) Как формулируется правило умножения дроби на целое число?

6) Как производится сокращение при умножении дроби на целое число?

Решить примеры, написанные на доске.

План изучения темы «Вычитание десятичных дробей»

Ученики должны прочитать весь § 108, записать решение всех примеров из этого параграфа и ответить на следующие вопросы:

1) Как подписываются при вычитании дроби?

2) С каких долей начинается вычитание? Решить примеры из сборника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева: № 633 (3, 7), 634 (3, 4), 635 (1, 6).

План повторения темы «Обращение обыкновенной дроби в десятичную (первый способ)

1) Какие два случая рассматриваются при обращении обыкновенных дробей в десятичные?

2) Как обратить дроби —и —в десятичные?

3) Какие обыкновенные дроби обращаются точно в десятичные?

4) Что сначала нужно сделать, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную? Что потом нужно сделать?

5) Обратить дробь — в десятичную.

6) Как определить число десятичных знаков в десятичной дроби, полученной из обыкновенной дроби?

Целесообразно проверить по этому плану, как справились ученики с предложенной им работой.

В VI классе по алгебре

Для объяснительного чтения на уроках алгебры можно рекомендовать § 4 (порядок действий). Вызванный ученик читает текст до правила. Предлагаются вопросы: какие действия называются действиями первой ступени; действиями второй ступени? Второй ученик читает формулировку правила 1. Один из учеников повторяет формулировку, после чего на доске и в тетрадях решаются примеры, данные в учебнике. Следующий ученик читает формулировку правила 2. Формулировка повторяется и поясняется на примерах. Отдельные ученики обосновывают порядок решения примеров. Что касается вопроса об отступлении от порядка выполнения действий, указанного в правиле 2, учитель излагает его сам.

Для повторения вполне подходит тема возведение в степень (§ 22).

Переходим к изучению новых тем по учебнику.

По учебнику арифметики для указанной работы можно предложить вопрос о вычислении неизвестного среднего члена пропорции. По алгебре: умножение нескольких чисел, расположенные многочлены, умножение многочлена на одночлен, вторая и пятая формулы сокращенного умножения, деление многочлена на одночлен.

План изучения темы «Расположенные многочлены»

Дан многочлен 8а—За3 + 5а4—1.

1) Как записать этот многочлен, если расположить его по убывающим степеням буквы а; по возрастающим степеням буквы а?

2) Какая буква называется главной буквой многочлена?

3) Какой член многочлена называется старшим членом, низшим членом; что называется степенью многочлена?

4) Какой член многочлена называется свободным членом?

5) Что считается коэффициентом при главной букве?

План изучения темы «Умножение многочлена на одночлен»

1) Записать в тетрадях тему.

2) Записать данный в учебнике пример.

3) На основании какого закона можно записать:

4) Произвести умножение по правилу умножения одночленов.

5) Заучить правило умножения многочлена на одночлен.

6) Решить примеры из задачника: № 472 (1, 5, 7), 474 (2, 3).

План вывода формулы « Куб разности двух чисел»

1) Выписать из учебника: (а—6)3=(а—6)2(а—6) = = (а2—2ab + b2){a—b) и объяснить, на каком основании поставлен первый знак равенства и на каком основании поставлен второй знак равенства?

2) Выполнить умножение многочленов а2—2ab + b и а—6, сделать приведение подобных членов и запи* сать окончательно, чему равняется (а—б)3.

3) Заключить полученную формулу в рамочку, сравнить ее с формулой куба суммы двух чисел. Усвоить словесную формулировку.

4) Решить по формуле пример: (с—d)z.

По заданию автора в нескольких школах были даны на самостоятельную работу по алгебре в VI классе такие темы: умножение многочлена на одночлен, вторая и пятая формула сокращенного умножения. Первая тема в одной из школ прошла не вполне успешно, что объясняется отсутствием повторения распределительного закона умножения.

Вторая и пятая формулы сокращенного умножения были усвоены очень хорошо во всех школах, так как была проведена необходимая подготовка: сравнение второй формулы с первой, проведение предварительных упражнений такого вида: даны два числа а и Ь, на-

писать куб первого числа, произведение квадрата первого числа на второе, утроенное произведение квадрата первого числа на второе, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и т. д.

В VI классе по геометрии

Для чтения на уроке взять вопрос о сложении и вычитании отрезков (§ 5).

Ученик читает: «Чтобы найти сумму двух отрезков, например AB и CD...» Учитель останавливает его и обращает внимание всех на отрезки AB и CD. Ученик читает дальше: «...надо взять прямую линию и на ней некоторую точку, например точку N». Учитель обращает внимание всех на прямую и точку N на ней. Ученик читает: «...затем с помощью циркуля отложить на этой прямой от точки N сначала отрезок NP, равный отрезку AB». Все ученики, в том числе и вызванный к доске, делают то, что указано. Ученик читает: «...потом от его конца в том же направлении отложить отрезок РМГ равный отрезку CD». Все делают это, ученик читает: «...отрезок NM будет называться суммой отрезков AB и CD». Это записывается так: NM = AB-\-CD.

В таком же порядке пункт 3 читается до конца, после чего все прочитанное повторяется по вопросам.

План повторения теоремы о свойствах равнобедренного треугольника

1) Какую линию нужно провести в равнобедренном треугольнике ABC?

2) Какие два треугольника получатся?

3) Почему сторона ВС пойдет по стороне AB?

4) Почему точка С совпадает с точкой Л?

5) Из чего следует, что BD является осью симметрии, медианой и высотой треугольника ABC?

6) Какое еще свойство имеет равнобедренный треугольник?

План повторения теоремы о равенстве соответственных углов, образованных двумя параллельными и секущей

1) Усвоить содержание теоремы путем чтения формулировки и наблюдения чертежа.

2) Записать, что дано и что нужно доказать.

3) Какое допущение сделаем относительно углов 1 и 2?

4) Какой угол построен при точке О?

5) Какому углу будет равен /.МОЮ

6) Какой вывод сделаем из равенства Z2 и /МОК?

7) Почему прямая OK не может быть параллельной прямой CD?

8) Какой вывод сделаем из предыдущего рассуждения?

Примечание. Если повторение проводится не в порядке самостоятельной работы, приведенным планом целесообразно воспользоваться для коллективного повторения.

В VI классе в качестве первой темы для самостоятельного изучения на уроке можно рекомендовать две первые теоремы о равенстве прямоугольных треугольников (§ 27).

Тема записывается на доске. По вопросам учителя ученики припоминают, что для равенства треугольников достаточно, чтобы три элемента одного треугольника были равны трем соответствующим элементам другого треугольника, и что в число этих элементов должна входить хотя бы одна сторона.

Затем ученикам сообщается, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно, чтобы два элемента одного треугольника были соответственно равны двум элементам другого треугольника. Далее предлагается усвоить два признака равенства прямоугольных треугольников по следующему плану:

1) Какие равные элементы имеются всегда в прямоугольных треугольниках?

2) Доказать, что прямоугольные треугольники равны, если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника.

3) Доказать, что прямоугольные треугольники равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.

Без плана ученики могут самостоятельно усвоить теорему о равенстве наклонных, проведенных из одной

точки и имеющих равные проекции; о свойстве биссектрисы угла; о равенстве накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей; о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами; о свойстве внешнего угла треугольника.

План изучения теоремы о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами

Учащиеся припоминают теоремы о вертикальных углах; о центральных углах, соответствующих равным дугам; о равных углах в равнобедренном треугольнике; о равенстве соответственных и накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Учитель чертит углы с соответственно параллельными сторонами и предлагает сравнить их на глаз. Ученики приходят к предположению о равенстве таких углов, после чего самостоятельно усваивают теорему по следующему плану:

1) Сделать чертеж так, как указано в учебнике.

2) Записать, что дано и что нужно доказать.

3) Установить равенство углов АСВ и MDB, записать это равенство.

4) Установить равенство углов MDB и MON и записать это равенство. Сделать вывод из этих двух равенств и записать его.

5) В таком же порядке доказать, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба они тупые.

6) Выучить формулировку теоремы.

В отличие от учебника в плане следует предусмотреть сначала усвоение первой части теоремы о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами, а затем — второй части.

План самостоятельной разработки темы о свойстве внешнего угла треугольника

1) Сделать чертеж и усвоить формулировку теоремы.

2) Записать, что дано и что нужно доказать.

3) Почему Zl + Z2 = 2d-Z3?

4) Почему внешний угол, т. е. ZBCD = 2d—Z3?

5) Записать эти два равенства одно под другим:

Сравнить эти равенства и сделать вывод, сформулировать и записать этот вывод.

6) Почему внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним?

Эта тема была предложена автором в одном из шестых классов. Тема оказалась трудной для многих учеников. По истечении отведенного времени (8 мин.) на предложение учителя спрашивать о непонятных местах некоторые учащиеся заявили, что они не понимают, почему Zl + Z2 = 2d—Z3; отдельные ученики не поняли, почему ZBCD = 2d—Z3. В учебнике эти равенства даны без обоснования, но далеко не все ученики обладают еще таким развитием, чтобы самостоятельно найти в предыдущем материале основание для указанных равенств. Непонятным также оказалось для учеников построение окончательного вывода, который в учебнике дан тоже без обоснования. Все это должен учесть учитель, если предложить указанную тему в качестве самостоятельного изучения.

В VII классе по алгебре

В VII классе по усмотрению учителя можно не проводить упражнений подготовительного характера. В программе по алгебре для VII класса мало тем, подходящих для работы с учебником.

Большое место занимают в программе такие вопросы, как уравнения первой степени с одним неизвестным, координаты и простейшие графики, система уравнений первой степени с двумя неизвестными, геометрическое истолкование решения таких систем. С теоретической стороны перечисленные вопросы достаточно трудны и для сознательного их усвоения от учителя требуется весьма тщательная подготовка к их изложению. Кроме того, названные темы характеризуются обилием терминов: уравнение, корень уравнения, равносильные урав-

нения, неравенства, координаты, абсцисса, ордината и др. Вполне естественно поэтому, что выбор тем для изучения новых вопросов ограничен.

Укажем прежде всего темы для самостоятельного повторения. Учитывая изложенные выше соображения о трудности многих вопросов, относящихся к уравнениям, и насыщенности их новыми терминами, следует обратить внимание на повторение некоторых вопросов по учебнику. В частности, весьма полезно будет дать для повторения § 48 — два основных свойства уравнений и § 72 — координаты точки на плоскости. Повторение вопроса о координатах точки на плоскости помогло ученикам одной из школ хорошо разобраться в новых трудных для них терминах.

Что касается усвоения по учебнику нового материала, можно предложить учащимся самостоятельно усвоить разложение многочленов на множители при помощи формул сокращенного умножения. На первом уроке при помощи формулы (а + Ь)(а—Ь)=а2—ft2, на другом уроке по формулам (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (а—6) 2 = а2—2ab + b2.

Можно рекомендовать еще такие темы: вычитание алгебраических дробей и деление алгебраических дробей.

В VII классе по геометрии

На уроках геометрии в VII классе нет необходимости заниматься чтением учебника и повторением материала, изложенного учителем. Для первой самостоятельной работы следует дать теоремы о свойствах диагоналей параллелограмма и о сумме углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма. По поводу последней теоремы в учебнике сказано, что учащиеся должны доказать ее самостоятельно.

Остановимся на теоремах о признаках параллелограмма.

Дано: AB = CD (черт. 10).

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Черт. 10.

— Какой четырехугольник называется параллелограммом?

— Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

— Значит, если нам нужно доказать, что четырехугольник ABCD параллелограмм, что мы должны доказать?

— Нужно доказать, что AB\\CD и AC\\BD.

— В VI классе вы узнали о признаках параллельности двух прямых. Припомните эти теоремы.

— Если мы докажем, что при пересечении противоположных сторон данного четырехугольника прямой получатся равные накрест лежащие углы, то эти прямые будут параллельны.

— Подумайте, как провести вспомогательную прямую, чтобы получить накрест лежащие углы.

— Нужно в параллелограмме провести диагональ. Проводится диагональ и отмечаются полученные углы.

— Чтобы убедиться в параллельности прямых AB и CD, что нужно доказать?

— Нужно доказать, что Z1 = Z2.

— А чтобы убедиться, что Z1 = Z2, что нужно доказать?

— Для этого нужно доказать равенство треугольников ABD и ADC.

Ученики устанавливают равенство названных треугольников и заканчивают доказательство. Так же доказывается, что AC\\BD.

Дальнейшие темы для самостоятельной работы: квадрат и его свойства; вторая теорема о свойствах отрезков, отсекаемых параллельными прямыми (§ 47), включая задачу о делении отрезка на п равных частей; обратная теорема о зависимости между хордами и дугами; теоремы о вычислении площади параллелограмма и трапеции; прямая теорема о диаметре, перпендикулярном к хорде; теоремы о дугах, заключенных между параллельными хордами и между параллельными хордой и касательной; о взаимном расположении двух окружностей; о равенстве касательных, проведенных из одной точки; об измерении вписанного угла (3-й

случай и следствия); об измерении угла, составленного хордой и касательной.

План самостоятельного изучения теоремы о равных отрезках на двух прямых при пересечении их тремя параллельными прямыми

(Учебник по геометрии Н. Н. Никитина изд. 1961 г., стр. 103.)

После доказательства теоремы «Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то и на этой стороне отложатся равные между собой отрезки» учитель сообщает, что доказанная теорема справедлива и для того случая, когда отрезки откладываются не от вершины угла, а от любой точки его стороны. Внимание учащихся обращается на чертеж в учебнике (черт. 249). Предлагается сформулировать теорему, после чего учащиеся работают по такому плану:

1) Записать, что дано и что нужно доказать.

2) Провести вспомогательные отрезки из точек M и С и обозначить их концы буквами D и Е.

3) Как доказать равенство треугольников MDC и СЕР?

4) Какой вывод вытекает из равенства треугольников MDC и СЕР?

Если останется время, ученики самостоятельно решают задачу о делении отрезка на п равных частей.

В VIII классе по алгебре

В VIII классе нет необходимости повторять в классе по учебнику какие-либо разделы программы. Для самостоятельного изучения можно рекомендовать следующие темы:

1) Квадратный корень из дроби.

2) Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителей под знак корня.

3) Вывод формулы решения общего квадратного уравнения.

4) Свойство корней приведенного квадратного уравнения.

В VIII классе по геометрии

Темы для самостоятельного изучения.

1) Второй случай подобия треугольников.

2) Теорема об отношении периметров подобных многоугольников.

3) Теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Содержание теоремы о сумме внешних углов многоугольника учащиеся обнаруживают опытным путем согласно указаниям, данным в пятом параграфе (стр. 87).

4) Свойство сторон описанного многоугольника.

5) Выражение стороны правильного вписанного четырехугольника через радиус.

6) Выражение стороны правильного вписанного треугольника через радиус.

§ 4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ

Самостоятельное решение задач в классной и домашней обстановке имеет огромное значение для развития мышления учащихся.

По своей эффективности такой вид самостоятельной работы стоит значительно выше самостоятельного изучения теоретических вопросов по книге, так как в последнем случае ученики усваивают чужие рассуждения, а при решении задач они должны строить свое собственное рассуждение. Удачные результаты самостоятельного решения задач всегда бывают сопряжены с положительными эмоциями, усиливающими вполне естественное стремление учащихся самостоятельно справляться с трудностями при решении задач. Опыт говорит, что интерес учащихся к самостоятельному решению задач ослабевает, если им предлагают задачи только тех типов, которые уже разбирались в классе, поэтому нужно давать для самостоятельного решения и новые задачи и примеры.

Прежде чем предлагать учащимся самостоятельно решать на уроках и дома примеры и задачи, необходима большая подготовительная работа. Эта работа, заключающаяся в коллективном решении примеров и за-

дач под руководством учителя, должна выполняться с соблюдением определенных методических правил. В подготовительной работе должно быть предусмотрено постепенное вовлечение всех учащихся в самостоятельную работу. Правильная организация работы по решению примеров и задач несовместима с традиционным вызовом ученика к доске для решения каждой задачи и каждого примера. В классе всегда найдутся такие ученики, которые вместо самостоятельного решения примеров и задач будут все списывать с доски. Работа класса без ученика у доски является самостоятельной работой различного объема. Иногда ученики полностью решают самостоятельно указанную им задачу или пример, иногда делается самый краткий анализ решения, а ученики сами выполняют решение. В некоторых случаях анализ доводится приблизительно до середины с записью части решения на доске, а потом ученики самостоятельно заканчивают решение.

После вывода правил действий и формул два-три примера ученики решают самостоятельно с проверкой их на доске. Полезно давать два одинаковой трудности варианта. Учитель должен подходить к отдельным ученикам (преимущественно к слабым) и оказывать им только некоторую помощь, а не решать за них задачи и примеры.

Для самостоятельного решения задач ученики должны хорошо усваивать условие задачи и иметь хотя бы некоторые представления о методах решения задач. Лучше не пользоваться традиционным приемом усвоения условия задачи, согласно которому условие читается полностью и затем несколько учеников повторяют его тоже полностью. Такой порядок не обеспечивает понимания задачи всеми учениками, особенно на уроках геометрии. Чтение задачи полностью допустимо только при решении задач с кратким условием. Если же условия содержат много данных, задачу нужно читать по частям и параллельно с чтением кратко записывать условие на доске, постепенно делая чертеж. По прочтении задачи по частям нужно повторить условие по вопросам. В процессе такого повторения, с одной стороны, достигается усвоение условия задачи учениками, с другой стороны, учитель, получивший верные ответы на предложенные вопросы от нескольких учеников, может

быть уверен, что задача понята учениками. Указанный прием активизирует класс, так как позволяет охватить повторением нескольких учеников. В случае необходимости можно дважды повторить задачу по вопросам.

После решения задачи некоторые учителя сразу же переходят к следующей задаче, тогда как в зависимости от трудности задачи нередко бывает нужно повторить ее решение. Если отдельные ученики не разобрались в той или иной части решения, при повторении эти неясности устраняются. Не следует опасаться затраты времени на повторение решения. Лучше решить одну-две задачи с полным пониманием их учениками, чем решать несколько задач так, что половина учащихся не ориентируется в ходе решения. Повторением следует охватывать возможно большее количество учащихся. Заслуживает полного одобрения практикуемая некоторыми учителями проверка самостоятельной работы в дополнение к проверке контрольных работ. Собрав тетради или отдельные листочки, на которых решалась задача, учитель тщательно просматривает их дома. Такая проверка побуждает учеников к более внимательному отношению к выполнению заданий учителя и дает в руки учителя дополнительные данные об успеваемости учащихся.

1. Арифметические задачи. Преобладающим методом решения арифметических задач в настоящее время является синтетический метод. В методической литературе отмечается ненадежность синтетического метода для решения более или менее сложных задач. Ученики часто, используя данные в задаче величины, находят одну или две неизвестные величины и ничего не могут сделать дальше. Отсюда следует, что синтетическим методом можно решать только легкие задачи, а такие, например, задачи, как № 561, 825, 911 и др., из стабильного сборника ученики самостоятельно не решат или по крайней мере эти задачи не решит большинство учащихся. Трудные задачи решаются аналитическим методом. При построении рассуждения аналитическим методом мы идем от неизвестного к известному, т. е. начинаем рассуждение с постановки вопроса задачи и устанавливаем, что нужно знать, чтобы решить этот вопрос. Положим, необходимы две величины, одна из которых дана в условии задачи, тогда устанавливает-

ся, что нужно знать, чтобы определить вторую величину. Если для нахождения этой величины нужны две величины, одна из которых известна, устанавливают, что нужно знать для нахождения другой величины, и рассуждают так до тех пор, пока не дойдут до такой неизвестной величины, которую при помощи данных в условии величин найти можно, находят ее, а также и предыдущие неизвестные величины и таким путем решают задачу.

Следует предостеречь молодых учителей от чрезмерного увлечения аналитическим методом решения арифметических задач. Если задача легко решается синтетическим методом, не следует применять анализ.

Решая задачи, не всегда нужно проводить полный анализ, так как полный анализ утомителен для учеников. Им хочется в соответствии со своей психологией скорее действовать, т. е. производить вычисления, а учитель заставляет их рассуждать, определяя, какие величины нужны для нахождения величин, необходимых для решения задачи, и т. д. Если полный анализ часто проводить на уроках, ученики могут вообще утратить интерес к решению задач, поэтому в большинстве случаев нужно проводить краткий анализ. К такому выводу ученики часто приходят и сами.

Степень краткости анализа может быть различной. Иногда бывает достаточно установить только, какие величины нужны для решения вопроса задачи, и затем предложить учащимся припомнить условие задачи и найти пути отыскания необходимых величин. Иногда приходится доводить анализ приблизительно до середины и только при решении очень трудных задач анализировать решение полностью.

Приступая первый раз к решению задач аналитическим методом, весьма полезно предложить ученикам решить ряд вопросов, основанных на функциональной зависимости, примерно такого содержания: что нужно знать, чтобы определить стоимость какого-либо товара. Полезно привести конкретный пример. Что нужно знать, чтобы определить цену, положим, одного килограмма товара? Что нужно знать, чтобы определить путем вычисления количество товара? Такие же вопросы предлагаются относительно расстояния, времени и скорости, относительно объема работы, дневной нормы

выполнения работы и времени. Эти вопросы не будут особенно трудными для учащихся. Они неоднократно при решении задач пользовались зависимостью между указанными величинами.

В целях подготовки учеников к аналитическому решению задач нужно раза два-три провести анализ решения задач сравнительно легких, как например задач № 507, 513 (1 и 2).

Дадим образцы решения задач с соблюдением всех указанных выше правил. Возьмем задачу № 552 из стабильного сборника, для решения которой необходим полный анализ.

Задача. Расстояние между городами по реке 264 км. Это расстояние пароход прошел по течению за 18 часов, затратив этого времени на остановки.

Скорость течения реки 1— км в час. За сколько времени прошел бы пароход без остановки 87 км в стоячей воде?

Во избежание потери времени нужно сразу читать задачу по частям и параллельно с чтением кратко записывать условие на доске. Затем условие задачи повторяется по вопросам примерно так: как велико расстояние между городами; сколько времени затратил пароход по течению на это расстояние вместе с остановками; какая часть указанного времени затрачена на остановки; как велика скорость течения реки?

Полный анализ

— Что нужно узнать в задаче?

— Нужно узнать, сколько времени затратил бы пароход без остановок на прохождение расстояния в 87 км в стоячей воде.

— Что еще нужно знать для нахождения ответа на вопрос задачи?

— Нужно знать скорость парохода в стоячей воде.

Не следует стоять на формальной точке зрения и требовать в ответе на предыдущий вопрос указания двух величин: расстояния и скорости, так как расстояние известно и ученик указывает в ответе одну величину, исходя именно из той предпосылки, что расстояние дано. Во всяком случае даже самый слабый ученик не

думает, что можно что-то найти, пользуясь только одной какой-то величиной.

— Припомните условие задачи и подумайте, что нужно знать для определения скорости в стоячей воде.

— Для этого нужно знать скорость по течению и скорость течения. (В данном случае целесообразно требовать указания двух величин ввиду трудности вопроса.)

— Скорость течения известна. Две какие величины нужно знать, чтобы определить скорость по течению?

— Нужно знать расстояние, пройденное пароходом по течению, и время, затраченное на это расстояние.

— Какая из этих величин известна.

— Расстояние.

— А как найти время?

— После нахождения времени что узнаем?

— Скорость по течению.

— Дальше что узнаем?

— Скорость в стоячей воде.

— Наконец, что узнаем?

— Сколько времени затратил бы пароход на расстояние в 87 км в стоячей воде.

Решение записывает на доске вызванный для этого ученик, после чего следует повторение решения.

Задачу 820 из стабильного сборника можно признать подходящей для краткого анализа.

Задача. Два парохода вышли одновременно из одного порта и идут в одном направлении. Первый пароход за каждые 1,5 часа проходит 37,5 км, а второй за каждые 2 часа проходит 45 км. Через сколько времени первый пароход будет находиться от второго на расстоянии 10 км?

Анализ.

— Что нужно узнать в задаче?

— Через сколько времени первый пароход будет находиться от второго на расстоянии 10 км.

— Подумайте, что нужно знать для решения вопроса задачи.

— Какое расстояние будет между пароходами через один час?

— Припомните условие задачи и подумайте, как это узнать, и решайте задачу.

Ученик для решения задачи не вызывается.

При решении задачи 825 нужен более подробный анализ.

Задача. От колхоза до города 23 км. Из города в колхоз выехал на велосипеде почтальон со скоростью 12,5 км в час. Через 0,4 часа после этого из колхоза в город выехал на лошади колхозник со скоростью, равной 0,6 скорости почтальона. Через сколько времени после своего выезда колхозник встретит почтальона?

Повторив условие задачи по вопросам, учитель начинает анализ.

— Что нужно узнать в задаче?

— Через сколько времени колхозник встретит почтальона?

— Вы уже решали задачи на встречу, подумайте, что нужно знать для решения задачи?

— Нужно знать, какое расстояние разделяло колхозника и почтальона в момент выезда колхозника и скорость их обоих вместе.

— А что нужно знать, чтобы определить, какое расстояние проехали почтальон и колхозник одновременно?

— Для этого нужно знать, какое расстояние проехал почтальон до выезда колхозника.

— Подумайте, как это узнать, и решайте задачу.

В целях наибольшей активизации учащихся при решении арифметических задач полезно предлагать им самостоятельно иллюстрировать условие некоторых задач графически. Большие возможности применения такого приема имеются при решении задач на движение.

Условие задачи 144 (1) иллюстрируется чертежом с участием всего класса (черт. 11).

Чертежи к условиям задач 144 (2) и 145 ученики выполняют самостоятельно.

Черт. 11.

Нужно предупредить учащихся, что расстояние между двумя пунктами изображается отрезком произвольной длины, а при изображении других расстояний, указанных в задаче, принимается во внимание их сравнительная величина. Графическая иллюстрация условия задач часто помогает учащимся в решении задач.

Весьма интересной самостоятельной работой следует признать графическую иллюстрацию задачи 133.

Несколько слов о составлении планов решения арифметических задач. Ученики должны понять, что после усвоения условия задачи надо подумать об ее решении, и когда ход решения будет определен, составить план решения и только после этого приступить к вычислениям разного рода. Соблюдение этого требования обеспечивает успех самостоятельной работы по решению задач. В противном случае ученики привыкнут решать задачи наугад, допуская ненужные вычисления, и во многих случаях не будут справляться с решением задачи.

Если задача решается на уроке под руководством учителя, планы решения излагаются в большинстве случаев устно, но в целях подготовки к самостоятельному решению задачи на уроках и дома время от времени планы нужно писать на классной доске и в тетрадях.

2. Геометрические задачи на вычисление. До последнего времени в методической литературе можно было найти весьма мало указаний о решении геометрических задач на вычисление.

В настоящее время в связи с появлением книги Е. Ф. Даниловой1 положение улучшилось, но весьма незначительно, так как в названной книге рассматриваются главным образом задачи на построение и доказательство. Утверждение автора о необходимости пользоваться аналитическим методом при решении геометрических задач не подлежит никакому сомнению, но это утверждение совершенно недостаточно конкретизировано по отношению к задачам на вычисление. С другой стороны, в книге не сделана попытка изложить сущность аналитического метода в доступной для ученика форме. Для этого нужно было на нескольких задачах

1 Е. Ф. Данилова, Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач, Учпедгиз, 1961.

указать последовательность действий при решении задач на вычисление и, таким образом, привести учеников к самому общему пониманию аналитического метода решения геометрических задач.

Учащиеся должны усвоить следующий порядок решения геометрических задач: для нахождения искомой величины нужно выразить ее через известные величины, а для этого установить зависимость между данными и искомыми величинами на основании теорем. Правило получилось громоздкое, но это неизбежно, так как именно в указанном порядке осуществляется решение геометрических задач. Само собой разумеется, что приведенная выше формулировка должна вытекать из решения нескольких задач в классе под руководством учителя. При умелом подборе задач учителем учащиеся постепенно усваивают указанную последовательность действий.

Приступая к решению какой-либо задачи, необходимо прежде всего позаботиться об усвоении условия задачи учащимися. Будет ли прочитано условие задачи полностью — это дело учителя, но оно обязательно должно быть прочитано по частям. Порядок работы может быть таким:

1) Чтение условия задачи по частям и параллельно с чтением выполнение чертежа на доске и в тетрадях; краткая запись условия.

2) Повторение условия по вопросам.

3) Решение задачи.

4) Краткое повторение решения.

Возьмем, например, задачу № 195 из «Сборника задач по геометрии» Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой.

Задача. В треугольнике ABC АВ = ВС=\4 см, перпендикуляр, проведенный к боковой стороне AB через ее середину, пересекает основание треугольника в точке Е. Точка Е соединена с точкой В. Найти основание АС треугольника ABC, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

Читать условие задачи нужно по частям, параллельно с чтением делать чертеж (черт. 12) и записывать условие.

Черт. 12.

Вызванный к доске ученик читает: «В треугольнике ABC АВ = ВС=\4 ст. На доске и в тетрадях учеников появляется чертеж и запись. Дано: ААВС, АВ = ВС=\\ см. Второй ученик читает дальше: «...перпендикуляр, проведенный к боковой стороне через ее середину, пересекает основание в точке Е». На чертеже появляется DE LAB и соответствующая запись. Третий ученик читает: «Точка Е соединена с точкой Я». Проводится прямая ВЕ». Четвертый ученик читает: «Найти основание АС треугольника ABC, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см».

Повторение условия задачи по вопросам: что известно о ААВС; как проведен перпендикуляр к боковой стороне АВ\ как велик периметр треугольника ВЕС, что нужно найти?

Решение.

— Подумайте, как выразить основание или часть основания через известные величины. Припомните для этого условие задачи:

— Подумайте, каким отрезком можно заменить отрезок BE? Почему ВЕ=АЕ? Как тогда выразится сумма отрезков ЕС+АЕ?

3. Геометрические задачи на доказательство. В настоящее время в школах в достаточном количестве решаются задачи на вычисление, меньше решается задач на построение и еще в меньшем количестве решаются задачи на доказательство. Последнее обстоятельство объясняется главным образом перегрузкой программы учебным материалом.

Решить задачу на доказательство — это значит доказать такую теорему, которая не рассматривалась в классе и которой нет в учебнике. Задачи на доказательство имеют огромное значение для развития логического мышления, для развития самостоятельности в работе.

Включая в преподавание геометрии решение задач на доказательство, учитель должен проводить эту работу в соответствии с методическими требованиями. Прежде всего нужно установить, что задачи на доказательство возможно практиковать в самом начале изу-

чения геометрии. После рассмотрения теоремы о вертикальных углах в отношении углов 1 и 3 нужно предложить учащимся самостоятельно доказать равенство углов 2 и 4 (черт. 13), подсказав им, что и в этом случае нужно рассматривать две пары смежных углов.

Вполне возможно, что первую задачу на доказательство решат немногие ученики, но смущаться таким обстоятельством не следует. Чем дальше, тем большее и большее количество учеников будет справляться с решением задач на доказательство.

В самом начале нужно предлагать для самостоятельного доказательства такие теоремы, содержание которых уже известно учащимся, но которые отличаются от доказанных уже теорем расположением на чертеже объектов, фигурирующих в теореме и удовлетворяющих указанному условию. Например, прямые и обратные теоремы о параллельных прямых, о сумме углов треугольника, о внешнем угле треугольника, о диагоналях параллелограмма, прямоугольника и ромба, о подобии треугольников и др.

Остановимся подробнее на некоторых задачах. После доказательства теоремы о сумме углов треугольника по чертежу, данному в стабильном учебнике, нужно предложить учащимся доказать эту теорему по другому чертежу (черт. 14). После доказательства теоремы о диагоналях параллелограмма по учебнику предложить доказать эту теорему, пользуясь треугольниками АО В и COD (черт. 15).

Закончив решение задач, являющихся по содержанию видоизменением известных уже учащимся теорем, нужно переходить к таким задачам, в которых требует-

Черт. 13.

Черт. 14. Черт. 15.

ся обосновать неизвестные учащимся соотношения и свойства. Задачи первой категории следует решать непосредственно за изучением теорем, видоизменением которых являются эти задачи, а задачи второй категории нужно относить к концу изучения определенных разделов программы. Разберем ряд таких задач.

Задача 215. Доказать, что биссектрисы двух внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными и секущей, составляют прямой угол (черт. 16). Решение.

— Припомните теорему о сумме углов треугольника и подумайте, сколько градусов должна составлять сумма 1 и 3 углов, чтобы угол 5 был равен 90°. Следует ответ.

— Припомните условие задачи и подумайте, как доказать, что

Задача 223. Доказать, что биссектрисы двух соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых третьей, параллельны (черт. 17),

Дано: Z1 = Z2; Z3=Z4.

Доказать: EF\\KP.

— Что нужно доказать? Следует ответ.

— Посмотрите внимательно на чертеж. Припомните признаки параллельности прямых и подумайте, не подходят ли прямые EF и KP под один из этих признаков.

— EF\\KP, так как соответственные углы 1 и 3 равны.

В соответствии с построением учебника в качестве задач на доказательство нужно предлагать доказатель-

Черт. 16.

Черт. 17

ство теорем, предусмотренных программой, но не изложенных в учебнике. Например, теорем о сумме углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма (стр. 93 учебника), вторую теорему о равных отрезках на прямых при пересечении их параллельными прямыми (стр. 103 и 104 учебника).

Далее следует рассмотреть вопрос о самостоятельном изучении без помощи учебника таких теорем, которые изложены в учебнике. Указанный вид самостоятельной работы подобно задачам на доказательство требует максимального напряжения мысли, но в сравнении с обычными задачами на доказательство имеет одно весьма важное преимущество, заключающееся в усвоении вопросов, предусмотренных программой. Об организации такой работы, с успехом практикуемой опытными учителями, даны подробные указания в книге В. В. Репьева1.

Эти указания, несколько измененные автором, представляются в следующем виде. Возьмем теорему о равенстве наклонных, проведенных из одной точки, при условии равенства их проекций.

Учащиеся уясняют содержание теоремы по чертежу, формулируют ее и записывают условие и заключение, после чего учитель предлагает им самостоятельно доказать теорему в течение 2—3 минут. По истечении указанного срока один из учеников излагает доказательство теоремы. Если доказательство правильно, ученики записывают его в тетрадях, в противном случае устанавливаются ошибки вызванного ученика и с помощью всего класса вносятся в доказательство необходимые исправления.

Изложенный порядок доказательства теорем возможно применять, начиная с теоремы о равенстве наклонных, так как к этому времени учащиеся будут уже знать, что равенство отрезков доказывается из равенства треугольников.

Выбор теорем для самостоятельного доказательства их без учебника определяется степенью доступности их. Нельзя требовать от учеников доказательства труд-

1 В. В. Репьев, Общая методика преподавания математики, Учпедгиз, 1958.

ных для усвоения теорем, так как в этом случае к ученикам были бы предъявлены непосильные требования. Нужно помнить, что ученики самостоятельно изучают теоремы преимущественно по учебнику.

В целях экономии времени некоторые учителя предлагают ученикам решать задачи на доказательство, пользуясь готовыми чертежами, под которыми записано условие теоремы и ее заключение. Применение готовых чертежей заслуживает одобрения. Чертежи заблаговременно выполняются или членами математического кружка, или отдельными учениками по назначению учителя.

Приведем образец готового чертежа для решения задачи на доказательство.

Дано: Z1 = Z2; Z3=Z4 (черт. 18).

Доказать: MP = MN.

Таких чертежей много имеется в школе № 18 г. Уфы. Размер бумаги для чертежей приблизительно 1 жх0,6 м. На одном листе помещается от 2 до 4 чертежей.

4. Геометрические задачи на построение. Задачи на построение имеют большое значение для развития логического мышления и пространственного воображения учащихся. Эти задачи интересуют учащихся во всяком случае не меньше, чем задачи на вычисление и доказательство. К сожалению, учащиеся не приобретают в большинстве случаев достаточного умения успешно решать самостоятельно такие задачи.

В новом сборнике геометрических задач Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой сначала даются задачи на построение с конкретными данными. Такие задачи, будучи переходной ступенью к более трудным задачам, полезны также в том отношении, что решение их связано с различными измерениями. В дальнейшем в сборнике идут задачи, решение которых требует знания методов решения задач на построение. Многие из таких задач относятся к программе VI класса, что заставляет учи-

Черт. 18.

телей уже в VI классе знакомить учащихся с общим методом решения задач на построение.

Одним из критериев для разделения задач на легкие и трудные служит вспомогательное построение в процессе анализа решения. Если при анализе не возникает потребность в вспомогательном построении, задачу в большинстве случаев следует считать нетрудной. В противном случае задача чаще всего является трудной.

Задача 179 из сборника Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой на построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них, решается без вспомогательного построения, так как из предположения, что задача решена, и соответствующего предварительного построения сразу определяется ход решения.

Задачу 376 нельзя решить без проведения вспомогательных прямых.

Задача 376. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился в этой точке пополам (черт. 19).

Предполагаем, что задача решена; имеем отрезок DE, удовлетворяющий условию задачи. Дальнейший ход решения, рассчитанный на повышенную активность учащихся, следующий.

— Какую вспомогательную прямую нужно провести?

— Соединим точку M с точкой В.

— Обратите внимание на то обстоятельство, что точка M является серединой отрезка DE и что в этой точке пересекаются две прямые. Припомните известные вам теоремы и подумайте, какую еще вспомогательную прямую нужно провести.

— Продолжим ВМ на такое же расстояние. Почему нужно продолжить ВМ на такое же расстояние?

Черт. 19.

— Сделав такое построение и соединив точку N с точками D и £, мы получим параллелограмм, одна из диагоналей которого и будет искомым отрезком.

После этого несколько учеников, отвечая на вопросы учителя, устанавливают последовательность действий при построении искомой прямой, т. е. составляют план решения задачи и переходят к построению. Доказательство того факта, что диагональ DE пройдет через точку М, не представляет трудностей. От учащихся нужно требовать, чтобы при самостоятельном решении задач на построение на уроке и дома они перед выполнением построения составляли бы план. Так, при разборе задачи 376 нужно учитывать, что мы имеем угол ABC, который должен быть начерчен, и имеем только одну точку M внутри угла, а точек N, D и Е нет. Эти точки появятся в результате построения. План должен быть таким:

1) Соединим точку M с точкой В; продолжим отрезок ВМ на такое же расстояние.

2) Проведем ND\\AB и NE\\BC.

3) Соединим точки Е и D.

Задачи на построение интересуют учащихся. Нередко они затрачивают много времени на решение какой-либо задачи достаточной трудности. Знание учащимися общего метода решения задач совершенно необходимо для самостоятельного решения задач на построение.

Проводя анализ решения задач на построение, нужно так ставить вопросы, чтобы в наибольшей степени побуждать работать мысль учеников и их пространственное воображение.

5. Задачи на составление уравнений. Вполне естественно, что, прежде чем предлагать школьникам самостоятельно решать задачи на составление уравнений, ученики неоднократно в разное время решают такие задачи под руководством учителя. Нельзя одобрить методику некоторых учителей, предлагающих ученикам при коллективном решении задач в классе слишком легкие вопросы.

Положим, в классе решается задача 1141 из сборника задач по алгебре П. А. Ларичева.

Задача 1141. Чтобы прибыть в назначенный срок из деревни в город, пешеход должен был идти со скоростью 4 км в час. Пройдя половину пути с намечен-

ной скоростью, пешеход остальную часть пути проехал на попутной автомашине со скоростью 20 км в час, а поэтому прибыл в город на 2 часа ранее назначенного срока. Определить расстояние от деревни до города.

Как и при решении арифметических задач, после чтения условия задачи нужно повторить условие по вопросам, затем записывается обозначение неизвестного.

Дальше целесообразно поставить такой вопрос: какую величину выразим теперь через неизвестное и известные величины, а не формулировать вопрос так: как выразится время, затраченное на весь путь.

Дальнейшие вопросы: припомните условие задачи и подумайте, какие величины еще обозначим? Припомните условие задачи и подумайте, как составить уравнение.

Заслуживает внимания оригинальная трактовка вопроса о решении задач на составление уравнений, данная методистом С. С. Бронштейном. По мнению С. С. Бронштейна, первым шагом при решении задач на составление уравнений должен быть выбор соотношения, служащего для составления уравнения. Другими словами, ученики по усвоении условия задачи сразу же должны установить, какая величина войдет в уравнение. Здесь запись анализа тоже необходима, но она будет выполняться более сознательно, так как будет подчинена установленному уже основному соотношению, определяющему уравнение.

Решение задач указанным способом требует усиленной работы ученической мысли и на этом основании его следует внедрять в школьное преподавание, как ценный способ с точки зрения развития самостоятельного мышления учащихся. Учащимся не должна быть чужда идея нахождения без предварительных записей тех величин, которые войдут в уравнение. Подойти к выяснению этой идеи нужно очень осторожно, строго придерживаясь расположения задач в сборнике П. А. Ларичева. Нужно научить школьников писать объяснения способов составления уравнений.

В связи с вопросом о самостоятельном решении задач учениками необходимо остановиться на оригинальных методах решения задач учащимися. В педагогической практике имеют место такие случаи, когда неко-

торые ученики изыскивают свои способы решения задач и предлагают их на рассмотрение учителя. Учитель должен всемерно поощрять такое проявление самостоятельного мышления учащихся, особенно если ученик предлагает более рациональный способ решения задачи.

В качестве примера приведем предложенный одним учеником VIII класса способ решения задачи 20 из «Сборника задач по геометрии (ч. I)» Н. Рыбкина.

Задача 20. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах AB, ВС и АС. Определить отрезки BE и ЕС, если AB =14 см, ВС=\2 см и ЛС= 10 см (черт. 20).

Эта задача была дана для самостоятельного решения. Некоторые ученики заявили, что задачу решить нельзя, так как не дана сторона ромба. Один ученик решил задачу так. Обозначил отрезки ЕС и AD буквами х и у и составил две пропорции:

Выразив у из той и другой пропорции, получил:

отсюда

Одна из учениц заявила, что она решила эту задачу другим способом, проведя в ромбе диагональ АЕ и воспользовавшись теоремой о биссектрисе угла треугольника. У нее получилась пропорция:

Черт. 20.

Преподаватель признал последний способ более рациональным и похвалил ученицу, которая переживала радостное чувство от удачно выполненной самостоятельной работы.

Ученики интересуются и составлением задач как особым видом самостоятельной работы.

В статье Г. Б. Поляка1 даны подробные указания по этому вопросу. Приведем примеры задач, составленных школьниками г. Уфы и сельской местности.

1) В V классе 30 учеников, из них —были летом в пионерском лагере. Сколько учеников было в пионерском лагере?

2) В VI классе 28 учеников, из них девочек 19 человек. Сколько процентов составляют девочки?

3) В VI классе 8 учеников состояли в математическом кружке, а в физическом кружке 12 человек. На сколько процентов больше учеников в физическом кружке, чем в математическом?

4) На фабрике 850 рабочих, из них 589 человекам присвоены звания ударников коммунистического труда. Сколько процентов рабочих фабрики составляют ударники коммунистического труда?

5) Школьный участок имеет в длину 80 м, а ширина составляет 3/4 длины. На 5/8 этого участка посадили картофель. Сколько семян картофеля потребовалось, если на 1 сотку нужно 14 кг?

Ученики охотно составляют также примеры на различные действия и формулы.

Автор настоящей работы присутствовал на пробном уроке студента педагогического института и наблюдал, как ученики реагировали на предложение практиканта придумать примеры на формулу: произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел. Почти все ученики подняли

1 «Математика в школе», 1955, № 6.

руки, и каждый хотел, чтобы его пример был проверен учителем. Некоторые учащиеся придумали очень сложные примеры и вполне правильно находили ответы, как например:

Разумеется, нужно знать меру в составлении учениками примеров и задач. Было бы недопустимой крайностью придумывать и решать устно примеры на формулы куба суммы и куба разности двух чисел, за исключением самых легких.

Интересной работой может быть придумывание равносильных уравнений.

§ 5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Рассмотрим только такие виды практических работ, при осуществлении которых возможна в наибольшем масштабе самостоятельная работа учащихся.

1) Лабораторные работы.

2) Решение задач без готовых числовых данных или при минимальном их количестве.

3) Измерительные работы на местности.

4) Черчение диаграмм и графиков.

5) Работа с различными таблицами.

1. Лабораторные работы. В книге «Политехническое обучение в общеобразовательной школе», изд. АПН, 1953 г., придается огромное значение лабораторным работам по физике, химии и биологии в связи с политехнической подготовкой учащихся, но ничего не сказано о лабораторных работах по математике. Между тем такие работы, безусловно, следует отнести к видам политехнического обучения, так как, выполняя лабораторные работы по математике, ученики производят различные измерения и работают над каким-либо материалом, например картоном, бумагой. Таким образом они получают некоторую подготовку к трудовой деятельности.

В V классе возможно проведение следующих лабораторных работ: изготовление куба и прямоугольного

параллелепипеда, образцов квадратных и кубических мер. Квадратный дециметр и квадратный сантиметр изготовляет каждый ученик, а квадратный метр и кубический метр следует изготовить в школьных мастерских. Кубический метр нужно делать из метровых планочек с крючками на концах так, чтобы в разобранном виде это пособие не занимало много места.

В программе V класса имеются вопросы, имеющие прямое отношение к лабораторным работам, как например нахождение периметра и площади квадрата, прямоугольника, треугольника, поверхности и объема куба и прямоугольного параллелепипеда по данным, полученным путем непосредственного измерения.

В VI классе интересная лабораторная работа должна быть выполнена при решении вопроса о сумме углов треугольника. Подробно об этом сказано во II главе.

В VII классе весьма полезной может быть лабораторная работа для определения отношения длины окружности к диаметру. Эту работу в значительной части ученики могут выполнить самостоятельно. Каждый ученик должен приготовить к уроку на эту тему две проволочные окружности или два картонных круга и принести их в класс, захватив с собой небольшую бечевку или нитку. В классе все измеряют длину окружности и ее диаметр, после чего делят число, выражающее длину окружности, на число, выражающее длину диаметра, и находят частное с точностью до 0,01. Из сопоставления результатов ученики убеждаются, что всякая окружность больше своего диаметра приблизительно в 3,14 раза.

В VII классе возможны и другие лабораторные работы, как например вычисление поверхности и объема цилиндра по данным, полученным непосредственным измерением.

В VIII классе можно рекомендовать лабораторную работу для определения путем измерений суммы внешних углов многоугольника. С этой целью часть учеников находят сумму внешних углов четырехугольника, а другая часть — сумму внешних углов шестиугольника. Обе группы учащихся приходят к предположению о равенстве суммы внешних углов 4d, чем бывают весьма заинтересованы. Учитель утверждает их предположение и дает логическое обоснование теоремы.

При правильной организации лабораторных работ учащиеся могут справиться с ними вполне самостоятельно, но необходимы подробные указания о их проведении. В противном случае ученики все время будут обращаться к учителю за разъяснениями, в результате чего самостоятельная работа будет носить весьма элементарный характер. В частности, предлагая лабораторную работу для определения отношения длины окружности к длине диаметра, нужно сказать учащимся о порядке их действий, а еще лучше написать на доске план выполнения задания.

2. Решение задач без готовых числовых данных или с минимальным количеством числовых данных. Приведем примеры таких задач.

1) Вычисление заработка рабочего при сдельной оплате труда.

2) Составление сметы на окраску полов в школе.

3) Вычисление стоимости доставки посылок, например из Уфы в Москву.

Для решения таких задач сначала приходится устанавливать необходимые числовые данные.

Известно, что задачи, содержание которых взято из близкой для учеников жизни, интересуют их гораздо больше, чем задачи, в которых фигурируют малознакомые ученикам предметы. С учетом этого обстоятельства автор дает следующий примерный перечень практических и близких к ним по содержанию задач.

4) Определить площадь пола в классе и узнать, достаточна ли эта площадь для учеников V класса.

5) Определить вместимость классной комнаты для V класса и узнать, соответствует ли вместимость комнаты количеству учеников.

6) Определить, достаточно ли света в классной комнате, если для нормального освещения класса площадь стекол должна составлять не менее — площади пола.

7) Определение вместимости школьного дровяника.

8) Составление сметы расходов на отопление школы.

9) Определение площади школьного двора, сада, огорода. Черчение соответствующих планов.

10) Вычисление количества яблонь, которые можно посадить на участке, отведенном под школьный сад.

11) Вычисление количества кустов малины, которое можно посадить на участке, отведенном под школьный сад.

12) Определение веса кирпича по удельному весу и объему.

13) Задачи на вычисление площади различных многоугольников, начерченных на доске.

14) Задачи на вычисление длины окружности, площади круга и площади сектора и сегмента, начерченных на классной доске.

15) Задачи на вычисление поверхностей и объема различных предметов известной учащимся формы (моделей геометрических тел, консервных банок, стаканов, деталей машин, коробок, листочков из школьной тетради, различных предметов, встречающихся в школьной мастерской).

16) Задачи на вычисление процента успеваемости учеников VI класса, успеваемости учеников всей школы.

17) Задачи на вычисление объема цистерн для молока, кваса и т. д.

18) Определение диаметра различных труб: газовых, водопроводных, канализационных и др.

19) Задачи на определение площади пола той комнаты, в которой живет ученик, и черчение ее плана.

20) Составленные сметы на поездку в областной город или другой город.

21) Подсчет количества семян кукурузы, необходимого для засева определенной части школьного участка.

22) Сравнение урожая кукурузы и других культур на школьном участке с урожаем в ближайшем колхозе или совхозе.

23) Задачи, связанные с работой школьников в мастерских.

Для решения таких задач учащиеся должны самостоятельно находить числовые данные путем выполнения различных измерений, использования справочников, получения нужных им сведений у лиц и в различных предприятиях и учреждениях. Полезно обращаться с указанной целью в те предприятия и учреждения, в которых проходят практику учащиеся старших классов. Практические задачи имеют огромное значение для политехнической подготовки учащихся. Учащиеся учатся находить необходимые числовые данные, приобретают

навыки в различных измерениях при помощи рулетки, масштабной линейки, штангенциркуля, микрометра и др.

Вычисления, которые должны выполнить учащиеся при решении таких задач, являются прекрасными упражнениями на действия с приближенными числами.

3. Измерительные работы на местности. По вопросу об измерительных работах имеется обширная литература. Нужно отметить тенденцию некоторых авторов к чрезмерно большим масштабам таких работ.

Нельзя забывать, что наши учащиеся в результате производственного обучения овладевают в известной степени той или иной специальностью для работы на заводах, фабриках, колхозах, совхозах и т. д. В программе указывается, какие измерительные работы нужно выполнять в каждом классе. В выполнении этих работ каждый ученик должен принимать непосредственное участие, что возможно только при правильной, тщательно продуманной организации измерительных работ.

Разбивка класса на группы в б—8 человек является обязательной. Каждая группа должна быть обеспечена необходимыми инструментами. Больше двух выходов на открытую местность, как говорит опыт, сделать не удается; поэтому учителю необходимо наметить виды работы для каждого выхода и установить порядок их выполнения.

В V классе в первый выход можно выполнить следующие работы: глазомерная оценка расстояний, обозначение точек и проведение прямых на земле, измерение расстояний на земле. Остальные работы, указанные в программе, нужно отнести на второй выход. В первый выход глазомерную оценку расстояний и измерение расстояний шагами все ученики выполняют одновременно без разбивки их на группы. Учеников нужно практиковать в определении расстояний на глаз до выхода на открытую местность: определение на глаз размеров классной доски, ученических парт, роста учащихся, длины карандаша, размеров ящика, классной комнаты, дровяника, длины и ширины школьной усадьбы и отдельно школьного учебного участка. Весьма интересно отметить, кто из учащихся правильнее отвечает на перечисленные вопросы.

Переходя к глазомерной оценке расстояний на открытой местности, учитель указывает предметы, между которыми нужно определить расстояние, и предлагает всем записать результаты. После этого ученики определяют длину своих шагов, для чего каждый ученик проходит три раза измеренное рулеткой расстояние, находит среднее арифметическое числа шагов и делит его на полученное число шагов. Затем половина учеников (2—3 группы) занимается провешиванием прямых, а другая половина (2—3 группы) измеряет расстояние, которое определяли на глаз, при помощи рулетки, мерной цепи, веревки, шагами. Каждый ученик записывает результаты измерения и устанавливает ошибку, допущенную при глазомерной оценке расстояния. После этого роли меняются: первая половина приступает к измерению расстояний на земле, а вторая — к провешиванию прямых. Учитель переходит от группы к группе и дает необходимые указания.

Во второй раз выполняются остальные работы, перечисленные в программе, при непременном условии вовлечения в них всех учащихся.

По поводу имеющихся в программе указаний о применении числового масштаба к составлению планов нужно подчеркнуть необходимость вычерчивания каждым учеником плана класса и плана одной из комнат своей квартиры, причем ученики самостоятельно устанавливают масштаб для черчения планов.

В VI, VII и VIII классах при проведении практических занятий следует руководствоваться указаниями, данными относительно практических занятий в V классе. Так именно проводит измерительные работы на местности учитель математики школы № 18 г. Уфы Селезнев Александр Тимофеевич. Тов. Селезнев заблаговременно начинает готовиться к измерительным работам путем ознакомления учащихся с различными землемерными инструментами и проведением соответствующих упражнений на классном полигоне. Заранее назначаются бригадиры групп, проводится их инструктаж о предстоящей работе. Ученики т. Селезнева охотно занимаются измерительными работами на местности. К сказанному нужно добавить о хорошей системе контроля, выражающейся в проверке умения отдельных учеников выполнить ту или иную измерительную рабо-

ту и в представлении отчетов о работе, причем отчеты не являются чисто словесным перечнем выполненных работ, из которого нельзя установить, чему научились ученики. Учащиеся представляют начерченные ими планы различных земельных участков. По этим планам можно судить о приобретенных знаниях и умениях.

4. Черчение диаграмм и графиков. К элементам политехнического обучения относится черчение диаграмм и графиков. После ознакомления учащихся со способами черчения диаграмм и графиков следует требовать, чтобы они самостоятельно округляли данные числа и выбирали масштаб, считаясь с размерами того листа бумаги, на котором будет выполнено задание. При черчении диаграмм нужно использовать современные данные из различных областей нашей жизни. Приведем примеры вычерчивания различных диаграмм.

1) Количество жителей в крупнейших городах Советского Союза.

Москва 5032 тысячи

Ленинград 3300 тысяч

Киев 1102 тысячи

Баку 966 тысяч

Горький 942 тысячи

Ташкент 911 тысяч

2) Диаграмма количества населения в городах-героях.

Ленинград 3300 тысяч

Одесса 667 тысяч

Волгоград 591 тысяча

Севастополь 148 тысяч

3) Диаграмма веса искусственных спутников Земли, созданных в СССР.

1-й искусственный спутник Земли 83,5 кг

2-й , 508,3 кг

3-й „ 1327 кг

1-я космическая ракета—спутник Солнца 1472 кг

2-я космическая ракета 1511 кг

3-я космическая ракета 1533 кг

1-й космический корабль 4540 кг

2-й „ , 4600 кг

3-й , „ 6483 кг

4-й „ * 4700 кг

5-й космический корабль „Восток“ 4725 кг с космонавтом Ю. А. Гагариным

6-й космический корабль „Восток-2“ 4731 кг с космонавтом Г. С. Титовым

Членам математического кружка нужно поручить начертить на большом листе диаграмму веса искусственных спутников Земли и Солнца, космических ракет и космических кораблей и вывесить её на видном месте.

4) Территории, занимаемые столицами некоторых государств.

Париж 10,4 тыс. га

Лондон 30,3

Нью-Йорк 81,6

Москва 87,6

5) Диаграмма роста территории Москвы.

1912 г. 17,7 тыс. га

1935 г. 28,5 „

1959 г. 36

1960 г. 87,5 .

5. Работа с различными таблицами. Заканчивая изложение вопроса об элементах политехнического обучения, остановимся кратко на работе учащихся с различными таблицами. В качестве примеров возьмем таблицу квадратов однозначных и двузначных чисел и таблицу для нахождения длины окружности и площади круга по диаметру. Обе таблицы имеются в стабильном сборнике арифметических задач. Ученики должны уметь самостоятельно пользоваться различными таблицами, а это обусловливается пониманием устройства таблиц и соответствующими упражнениями. Понять же как следует устройство таблиц при минимальной затрате времени можно только при умелом объяснении его учителем.

Совершенно недопустимо сразу объяснять все детали той или иной таблицы. Каждую объясненную деталь в таблице нужно немедленно закреплять соответствующими упражнениями. После того как ученики узнают, что во втором столбце даны квадраты однозначных чисел и круглых десятков, они должны закрепить это положение решением нескольких примеров. Например,

выяснив, что в третьем столбце даны квадраты двузначных чисел, оканчивающихся единицей, учитель предлагает решить несколько примеров и т. д.

§ 6. ДОМАШНЯЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ

Вопрос о перегрузке учащихся домашними заданиями по разным предметам не сходит со страниц педагогической литературы, причем находятся сторонники не только сокращения объема домашних работ, но даже полной ликвидации их. По отношению к математике речь может идти не о ликвидации домашних заданий, а только о сокращении их объехма. С одной стороны, учителям математики не нужно увлекаться большим объемом домашних заданий, а с другой — согласно приказу Министерства просвещения РСФСР прилагать все усилия к тому, чтобы учебный материал в основном усваивался на уроках и на практических занятиях.

Во всяком случае более или менее удовлетворительные результаты математики возможны только при сочетании классных заданий с домашними, которые должны быть более разнообразными. Разнообразие домашней работы должно осуществляться не за счет увеличения затраты времени на ее выполнение, а за счет сокращения общего объема. Было бы ошибочным думать, что чем больше примеров и задач дается на дом, тем лучше для дела. Гораздо полезнее бывает для ученика, если он решит одну задачу с полным пониманием, чем наспех решит несколько задач без достаточного их понимания. Ученикам можно давать на дом следующие виды работ.

1) Повторение теоретических вопросов, разобранных в классе.

2) Решение примеров и задач.

3) Изучение теоретических вопросов, не рассмотренных в классе.

4) Черчение диаграмм и графиков и изготовление наглядных пособий.

5) Исправление ошибок, допущенных в контрольных работах.

Все указания о самостоятельной работе в классе относятся и к домашним заданиям. Кроме этого, учитывая особые условия домашней работы, учащимся время

от времени нужно давать указания о выполнении домашних заданий. Работа в классе по учебникам вооружила уже их некоторыми приемами самостоятельной работы, как например чередование чтения текста с наблюдением чертежей в учебнике и выполнением их в тетрадях, чередование чтения текста с записями в тетрадях, обязательное заучивание наизусть определений и формулировок и т. д.

Весьма существенную роль сыграют указания учителя психологического характера. Нужно внушить ученикам необходимость внимания при выполнении домашней работы. При выяснении домашней работы учащиеся не должны отвлекаться посторонними делами.

В беседу о внимании, как необходимом условии успеха самостоятельной работы, нужно включить указания о том, как следует поступать ученикам в случае затруднений, возникающих в процессе самостоятельной работы. Нужно доказать ученикам, что если им окажется непонятным какое-либо место учебника или они не могут решить задачу, не следует считать себя неспособным справиться с трудностями и отказываться от продолжения работы. Нужно еще раз попытаться разобраться в трудном вопросе. Если и вторая попытка будет безрезультатной, следует временно прекратить занятия математикой и вернуться к ним несколько позднее. Если и в этот раз ничего не получится, нужно сделать еще один перерыв, а потом снова взяться за учебник или задачник. Нередко бывает так, что во второй или третий раз ученик преодолевает трудности.

Если ученику удастся хоть раз достигнуть успеха таким путем, можно быть уверенным, что впоследствии он будет стремиться преодолевать каждую трудность самостоятельно и, следовательно, быстро будет продвигаться вперед по пути овладения умением работать с книгой. С другой стороны, у него будет развиваться такое ценное качество, как настойчивость.

Данным в III главе перечнем тем следует руководствоваться и в выборе тем для самостоятельного изучения нового материала в домашней обстановке. Первый вид домашних заданий можно предлагать учащимся только после приобретения ими некоторого умения работать с книгой, о чем подробно сказано в III главе. Дело учителя определить, когда именно целесообраз-

но начать повторение дома по учебнику разработанного в классе материала.

Еще позднее следует приступить к заданию на дом самостоятельного изучения нового материала. Не менее двух раз ученики должны поработать в классе над усвоением новых теоретических вопросов, прежде чем предлагать им такую работу на дом.

Недопустимость перегрузки учащихся особенно строго должна соблюдаться в отношении двух первых видов домашней работы, так как, начиная с некоторого времени, на дом ежедневно дается работа и по учебнику и по задачнику. Опытом установлено, что объем домашнего задания должен быть рассчитан максимум на 40 минут.

Рассмотрим еще один вид домашней работы учащихся, связанный с их ошибками в классных письменных работах. Многие учителя до настоящего времени придерживаются традиционного способа проверки контрольных работ, т. е. исправляют все ошибки учеников, очень редко привлекая их к самостоятельному уяснению сути своих ошибок. Между тем нахождение своих ошибок учениками в гораздо большей степени гарантирует их от повторения этих ошибок, чем исправление ошибки учителем. Отсюда вытекает необходимость приучать учащихся осознавать свои ошибки, для чего учитель должен только подчеркивать ошибки учеников и предлагать им самим определить характер допущенных ошибок и исправить их. Ученик, пытаясь определить, в чем заключается та или иная его ошибка, припоминает относящуюся сюда теорию, заглядывает в учебник и бывает очень доволен, если ему удается установить сущность ошибки. Можно быть уверенным, что эта ошибка не повторится, так как нарушение математической теории было установлено самостоятельно при напряженном внимании. Случается иногда, что, показывая учителю подчеркнутое место, ученик просит его указать, в чем заключается его ошибка. Опытный учитель не дает в таких случаях исчерпывающего объяснения ошибки, а только осторожно наводит ученика на правильный путь.

Собрав тетради во второй раз, учитель определяет, в какой степени ученики справились с работой, и останавливается на типичных ошибках.

§ 7. УЧЕТ УСПЕВАЕМОСТИ УЧАЩИХСЯ

В последнее время в связи с перестройкой средней школы в педагогической литературе часто критикуется установившаяся схема урока математики. Подчеркивается, что уроки математики проводятся крайне однообразно, что учет успеваемости в начале урока отнимает много времени, в течение которого подавляющее большинство учеников находится в пассивном состоянии. Некоторые авторы журнальных и газетных статей полагают, что учет следует проводить главным образом в конце урока после изложения нового материала и закрепления его, а урок начинать с фронтального повторения материала, изученного на предыдущем уроке в связи с устным решением примеров и задач. На такое повторение отводится примерно 8—10 минут. Некоторые авторы пишут о необходимости изменения характера учета, рекомендуя проводить учет по темам, принимать во внимание практические занятия, учитывать знания и навыки учащихся в процессе разработки и закрепления нового материала.

Перенесение учета с начала урока в конец его, несомненно, внесет разнообразие в преподавание математики. Но совершенно очевидно, что делать так можно только в редких случаях, так как вполне естественное стремление учителей лучше разработать новый материал и закрепить его вызовет недостаток времени для обстоятельного учета, тем более, что 8—10 минут затрачено уже на фронтальное повторение пройденного материала. В результате всего этого учет в конце урока будет носить поверхностный, формальный характер. При таких условиях учитель не будет иметь правильного представления об успеваемости учащихся и может допустить ряд ошибок при оценке их знаний. Что касается предложений об учете по темам, об учете на основании практических занятий и участия учеников в разработке и закреплении нового материала, все это учитель должен принимать во внимание как дополнительные аргументы при окончательной оценке знаний, умений и навыков учащихся. Основное же значение при учете имеет тщательно продуманный устный опрос, включающий в себя как материал предыдущего урока, так и некоторые ранее пройденные вопросы. Устный учет до-

полняется контрольными работами на умело составленные темы, охватывающие весь пройденный за тот или иной период времени материал. В настоящее время имеется огромный опыт по организации учета и было бы неразумным игнорировать его.

Указываемые в литературе недостатки в проведении учета: чрезмерная затрата времени, пассивное состояние всех учащихся, кроме вызванных к ответу, свойственны только немногим учителям. Каждый учитель, заботящийся о правильной организации учета и читающий с этой целью методические руководства и журнальные статьи, знает, как избежать большой затраты времени на учет и как активизировать всех учащихся при опросе вызванных учеников. Многолетним опытом учителей математики, в достаточной степени популяризированным в педагогической печати, установлены основные требования, которым должен удовлетворять учет, а именно: учет должен быть уплотненным, учет должен быть обучающим, на учет должно затрачиваться максимум 15 минут.

Весьма полезной для учителей следует признать статью заслуженной учительницы школы РСФСР М. Н. Покровской1. В статье подробно указано, как активизировать весь класс при опросе. М. Н. Покровская пишет: «К доске вызываются 2—3 ученика и когда один отвечает у доски, остальные внимательно слушают, могут даже делать заметки в черновике, замечают недостатки, ошибки в ответе товарища. Затем учитель, обращаясь ко всему классу, предлагает указать ошибки в ответе, внести поправки, дополнения, уточнения, указать недостатки чертежа, недостатки в оформлении записей и т. д. При этом учащиеся должны знать, что преподаватель может спрашивать с мест не только тех, кто поднял руку, но и кто ее не поднял. Подобное требование заставляет весь класс быть активным, способствует воспитанию внимания учащихся, позволяет учителю выставить за урок большее число оценок, принимая во внимание ответы с мест». Итак, вполне возможно устранение того ненормального положения при учете, которое выражается в пассивности большинства учащихся.

1 «Математика в школе», 1955, № 5.

Опыт учителей говорит, что при опросе двух или трех учеников можно и другим путем привлечь остальных учеников к активной работе. Некоторые учителя, в отдельных случаях вызвав к доске для учета трех учащихся, дают остальным ученикам самостоятельную работу по изучению нового материала.

Таким образом, в течение одного и того же отрезка времени выполняются две работы. Следует отметить, что ученики, быстрее других выполнившие задание учителя, могут принимать участие и в учете. Такое сочетание самостоятельной работы с учетом наблюдал автор в одной из школ г. Уфы. Учительница VII класса после доказательства теоремы о равенстве дуг, заключенных между касательной и параллельной ей хордой, и решения задачи на построение касательной к окружности в данной точке вызвала трех учеников к доске и дала каждому билетики для опроса, а остальным ученикам предложила самостоятельно разобраться в вопросе о взаимном положении двух окружностей. Ученики, отвечавшие у доски, получили некоторое представление о взаимном положении двух окружностей при проверке задания, а окончательное усвоение этого вопроса было включено в домашнюю работу. Иногда во время учета остальным ученикам, кроме вызванных к доске, можно предлагать решение примеров и задач.

Все сказанное выше приводит нас к выводу, что критику установившейся формы учета успеваемости следует признать беспочвенной.

Принципиальные установки об организации учета, данные в постановлении ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 г., в настоящее время в достаточной степени конкретизированы в методической литературе и речь может идти только о дальнейшем совершенствовании их выполнения.

Если ученики должны овладеть умением самостоятельно приобретать знания, то они должны овладеть также умением самостоятельно излагать знания, приобретенные ими на уроках и дома. Это значит, что при учете от учащихся нужно требовать ответа в виде связного рассказа без вопросов учителя или при минимальном количестве вопросов. Не так-то легко приучить школьников к таким ответам, но если систематически и настойчиво требовать от них изложения их

знаний в виде связного рассказа, в конце концов можно получить благоприятные результаты.

В школьной практике нередко наблюдается такая проверка заданных на дом задач и примеров, которая несовместима с активизацией учащихся. Многие учителя проверяют задачи и примеры путем опроса с мест, причем не стремятся к охвату проверкой возможно большего количества учеников и упускают возможность поставить оценки одному-двум ученикам. Совершенно бесполезна такая проверка, когда ученик называет только номер примера и ответ.

Опытные учителя при проверке задач и примеров обязательно вызывают к доске одного-двух учеников для показа ими решения указанных учителем примеров и задач. Попутно учитель предлагает вызванным ученикам ряд теоретических вопросов и ставит оценку. Остальные примеры проверяются с мест. Положим, один ученик рассказал примерно половину или третью часть решения задачи или примера с соответствующим объяснением. Учитель вызывает второго ученика для продолжения ответа, затем третьего. При этом обнаруживается, кто из учеников не следит за ответом товарища. Если второй ученик начинает не с того места, на котором остановился первый, или совсем ничего не говорит, это будет означать, что он думал о чем-то другом, а не о задаче или примере, а может быть, вообще не решил их. Бояться затраты времени на такую организацию проверки не следует, так как на дом нельзя давать много задач и примеров, следовательно, основательная проверка их не отнимает много времени и результаты будут гораздо лучше.

В первом параграфе было сказано, что самостоятельная работа учащихся является одним из условий сознательного усвоения математики. Учитель не может мириться с кое-как выполненной самостоятельной работой. Нужно добиваться, чтобы учащиеся приобретали сознательные знания и умения. Учитель должен помнить об этом и не поддаваться первому впечатлению от ответов учеников, которые довольно часто бойко и уверенно излагают тот или иной вопрос, но далеко не всегда в достаточной степени его понимают.

В ходе опроса необходимо устанавливать путем вопросов, насколько сознательно усвоены те знания, ко-

торые излагает ученик, и в случае обнаружения формализма давать соответствующие пояснения.

Приведем примеры. Ученик верно сформулировал правило умножения целого числа на дробь и решил пример, но учитель не удовлетворился этим ответом и спросил, почему при умножении 7 на — ответ получится меньше 7. Ученик не мог ответить. Учитель, установив, что еще некоторые учащиеся не разбираются в данном вопросе, дал соответствующее объяснение.

Ученик верно формулировал правило деления на десятичную дробь, но не мог объяснить, для чего в делителе отбрасывается запятая и почему делимое увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличится делитель через отбрасывание запятой. Совершенно очевидно, что ученик выучил правило, не понимая его сущности.

В VII классе часто бывает формальным усвоение второго свойства уравнений. Ученики правильно формулируют это свойство, но не могут объяснить, почему нельзя обе части уравнения умножать на число, равное нулю. Если же ученик в той или иной формулировке не понимает отдельные слова или отдельные мысли, это и будет одним из проявлений формализма.

Приведенные примеры с достаточной убедительностью говорят о необходимости контролирующих вопросов при опросе учеников.

Остановимся на контрольных работах учащихся. В целях большей самостоятельности учащихся целесообразно проводить контрольные работы, предлагая несколько одинаковых по трудности вариантов. Нет необходимости затрачивать время на составление большего количества вариантов, но вообще каждому учителю математики следует взять за правило проводить контрольные работы по вариантам. Обыкновенно учителя дают по четыре варианта, что вполне достаточно.

§ 8. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКАХ

Привлечение учащихся на занятия в математические кружки повышает интерес учащихся к математике, способствует более твердому усвоению математической

теории и в некоторых случаях определяет жизненный путь учеников в смысле выбора ими профессии.

Одним из основных видов работы математических кружков является решение занимательных задач. Известно, что некоторые крупные математики, как например профессора Г. Ф. Вороной и И. И. Чистяков, проявили особый интерес к математике, после того как они, обучаясь в средней школе, успешно решили занимательные задачи из математических журналов. Они стали больше уделять внимания изучению математики и в конце концов выбрали математику своей специальностью.

Учитель должен взять на учет тех учеников, которые проявляют повышенный интерес к математике как на уроках, так и на кружковых занятиях, и предлагать им дополнительные задания.

При решении занимательных задач недопустима вредная для дела поспешность, несовместимая с развитием самостоятельности учащихся. Пусть будет решено на занятии, положим, три задачи, но при активном участии всех членов кружка, чем 5—6 задач при участии наиболее сильных членов кружка.

В кружке почти всегда находятся такие ученики, которые быстро решают предложенные задачи. Выслушать их тотчас же — значит, лишить возможности остальных учащихся самостоятельно решить ту или иную задачу. Ученикам, быстро справившимся с задачей, следует предложить дополнительные задачи, чтобы они не сидели без дела. Ученикам, затрудняющимся в решении задачи, нужно немного помочь.

Положим, решается задача: написать 31 при помощи пяти троек. Содержание задачи разъясняется так, чтобы все члены кружка поняли, что от них требуется.

Некоторые ученики довольно быстро решили задачу, остальные еще не решили. Через некоторое время учитель указывает на возможность использовать действия возведения в степень. Число решивших увеличивается. Вызванный ученик дает решение:

Предлагается подумать над другим вариантом решения. При некоторой помощи учителя появляется второе решение:

Остановимся еще на двух видах кружковой работы: составление докладов на математические темы и изготовление наглядных пособий.

Начиная с VII класса членам кружка можно поручать приготовить доклады главным образом о выдающихся дореволюционных и советских математиках, как например о Л. Ф. Магницком, Н. И. Лобачевском, С. В. Ковалевской, П. Л. Чебышеве, Н. Н. Боголюбове, А. И. Мальцеве, С. Н. Мергеляне, И. М. Виноградове, Л. С. Понтрягине, А. И. Погорелове и др.

Руководитель кружка указывает литературу для таких докладов, помогает составить планы.

Члены кружка могут оказать большую помощь учителю в изготовлении наглядных пособий как для иллюстрации математических понятий, так и для доказательства теорем и решения задач.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение............3

§ 1. Активизация учащихся при ознакомлении с математическими понятиями ......... 8

§ 2. Активизация учащихся при усвоении математических фактов...........15

§ 3. Самостоятельная работа с учебниками в классе. . . 44

§ 4. Самостоятельная работа учащихся при решении примеров и задач...........67

§ 5. Самостоятельная работа учащихся при проведении практических работ..........86

§ 6. Домашняя работа учащихся.......94

§ 7. Учет успеваемости учащихся.......97

§ 8. Самостоятельная работа учащихся в математических кружках....... 101

ТИМОФЕЙ АНДРЕЕВИЧ ПЕСКОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ В V-VIII КЛАССАХ

Редактор Н. И. Лепешкина Художественный редактор А. В. Максаев Технический редактор Г. Л. Татура

Сдано в набор 9/V 1962 г. Подписано к печати 21/VIIM962 г. 84уЮ8%0 Печ. л. 6,5 (5,33). Уч.-изд. л. 5,32. Тираж 90 000 экз. Цена 14 коп. Заказ 6069.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Типография изд-ва «Горьковская правда, г. Горький, ул. Фигнер, 32.