Ф. ПАПИ и Ж. ПАПИ

ДЕТИ И ГРАФЫ

Ф. ПАПИ и Ж. ПАПИ

ДЕТИ ГРАФЫ

ОБУЧЕНИЕ ДЕТЕЙ ШЕСТИЛЕТНЕГО ВОЗРАСТА МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПОНЯТИЯМ

МОСКВА «ПЕДАГОГИКА» 1974

51 П17

Ф. Папи и Ж. Папи

П17 Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям. Брюссель — Монреаль— Париж, 1968. Пер. с франц. М., «Педагогика», 1974.

192 с. с ил.

Как помочь ребенку сделать первые шаги в математику? Как доступно, в игровой, занимательной форме ввести его в мир сложных математических понятий, какими путями развивать способность детей, к абстрактному мышлению? Эти и многие другие вопросы исследуются авторами книги.

Книга предназначена для специалистов, занимающихся методикой преподавания математики. Красочно иллюстрированная и написанная в доступной для массового читателя форме, книга будет полезна также учителям начальных классов, воспитателям детских садов и родителям.

© BRUXELLES — MOHTREAL — PARIS, 1968.

© Перевод на русский язык. «Педагогика». 1974.

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О КНИГЕ «ДЕТИ И ГРАФЫ»

Книга предназначена для тех, кто обучает или готовится обучать детей математике. Вряд ли, однако, к ней следует относиться как к практическому руководству, хотя она и возникла как запись уроков воспитательницы одного из бельгийских детских садов — мадам Фредерик, комментированных ее мужем — математиком Жоржем Папи. Ее содержание явно расходится с тем, чем фактически занимаются наши дети в старшей группе детского сада или в подготовительном классе школы.

И все же мы рекомендуем ознакомиться с этой книгой тем из учителей начальных классов или воспитателей детских садов, кто всерьез интересуется возможностями и перспективами обучения математике детей дошкольного возраста. Читателей, не получивших специального математического образования, следует предупредить, что имеющихся у них математических знаний в объеме прежней школьной программы может не хватить для полного понимания комментариев Папи. Соответствующую консультацию они могут получить, например, на страницах книги Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах» (М., «Наука», 1969).

Что же сможет извлечь из книги супругов Папи подготовленный читатель?

Прежде всего и главным образом методические приемы и советы, полезные всякий раз, когда мы хотим облегчить первые опыты ребят в математическом мышлении. Конечно, эти советы можно применять и там, где речь идет не о графах. Задумайтесь, например, над советом изображать те или иные однородные объекты — игрушки или самих детей — просто точками, вместо того чтобы пытаться рисовать одну за другой маленькие однотипные фигурки (стр. 15) или использовать разноцветные стрелки для наглядного представления разного рода соотношений между объектами, скажем отношений родства или порядка (стр. 23 и сл.).

На стр. 61 на примере воображаемого распределения поздравительных открыток между детьми вводится понятие отображения одного множества в другое. Чтобы заинтересовать детей отношениями «меньше» или «больше» между числами, мадам Фредерик заставляет числа «разговаривать» друг с другом, и тогда единица может сказать о себе только то, что она меньше любого другого числа, тогда как, например, пять может сказать, что оно больше двух, но меньше восьми (стр. 160 и сл.). Если такие разговоры уже надоели, то числа пускаются в бег, и тогда нужно уследить, какое из них бежит впереди, а какое — позади (стр. 168 и сл.). Какое число бежит перед единицей, спрашивает мадам Фредерик, а какое перед нулем и здесь, по существу, останавливается?

Что касается собственно ознакомления детей с графами, дающими наглядные средства для освоения таких важнейших математических понятий, как отношения эквивалентности или порядка,

отображения или функции, то их при действующей программе можно было бы отнести к кружковой работе со школьниками IV и V классов. В данном случае методические идеи книги целесообразно использовать для проведения двух-трех вводных занятий.

Вот почему книга «Дети и графы» может быть рекомендована и учителям математики, ищущим простые и поучительные темы для внеклассных занятий. Наконец, мы не исключаем из числа возможных ее читателей и родителей, которые могли бы извлечь из книги занимательные и полезные игры для своих малышей.

Действительный член АПН СССР А. МАРКУШЕВИЧ

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

С давних времен математика используют понятие «отношение». Современное преподавание должно уделять особое внимание этому понятию. За последние 10 лет стало очевидным, что многоцветные графы являются эффективным педагогическим средством объяснения математических понятий и свойств отношений.

С 1 сентября 1967 г. Бельгийский математический педагогический центр проводил эксперимент в двух классах с шестилетними учениками под руководством мадам Фредерик в сотрудничестве с Даниэль Инколь. В этом эксперименте графы играли первоочередную роль вместе с мини-вычислителем*.

В настоящей книге описано десять первых уроков, в ходе которых мадам Фредерик вводит графы. Каждый из этих уроков сопровождается одновременно и математическим и методическим комментарием. В интермеццо между первыми пятью и последними пятью уроками рассматривается математический аспект начального обучения понятиям.

Все иллюстрации, где фигурируют детские имена, в точности воспроизводят рисунки детей, выполненные фламастером.

Красивые многоцветные рисунки, представляющие графы, способствуют формированию математического понятия «отношение» из предварительных, «дошкольных» знаний детей, опираясь на ситуации, хорошо знакомые им с раннего детства.

ПАПИ

Брюссель, 6 мая 1968 г.

* См.: Papy. Minicomputer. IVAC, Bruxelles. (Прим. авторов.)

Мини-вычислитель (minicomputer — мини-компьютер) — это остроумно оформленная в виде детской игры и несколько модифицированная идея счетов. В играх с мини-вычислителем дети быстро осваивают понятия переноса заема, сложения и вычитания многозначных чисел, частные случаи умножения. Идея мини-компьютера принадлежит Фредерик и Жоржу Папи. (Прим. переводчика.)

урок 1

Покажи свою сестру

Граф одного отношения

НЕСКОЛЬКО МИНУТ НЕПРИНУЖДЕННОЙ БЕСЕДЫ НА ТЕМУ «БРАТЬЯ И СЕСТРЫ».

— Сколько у тебя братьев и сколько сестер? Сколько же всего детей в твоей семье?

А как зовут твоих братьев и твоих сестер?

Никола говорит гордо:

— Нас три брата: Ален, Микаэль и я!

Пепито — чемпион. Он из самой многочисленной семьи.

— Сейчас мы все вместе разучим новую игру.

Мадам Фредерик проецирует рисунок на огромный экран.

— Это дети во дворе на перемене, девочки и мальчики. Их много. Кто хочет сосчитать?

Один малыш тянет руку. Мадам Фредерик дает ему указку.

Малыш считает слева направо, забывает две точки:

— Их 13.

— Проверим.

Тянет руку второй. Он считает сначала точки около границы контура, потом внутренние точки, забывает одну точку и говорит:

— 14.

Третий малыш считает на этот раз без ошибок:

— Их 15!

— 15 детей во дворе! Можете вы узнать среди них девочек и мальчиков?

Удивленный смех, ребята пожимают плечами.

— Конечно, нет!

— Почему?

— Они же все точки!

— Дети играли в игру, которая, может быть, поможет вам распознать девочек и мальчиков. Их игра называлась «Покажи свою сестру».

Вот один из детей, а вот его сестра.

(Сестра справа.)

— Как могли бы вы указать, что этот ребенок показывает свою сестру? Быстрый ответ Дидье:

— Стрелкой.

Дидье идет к доске и рисует.

— Очень хорошо! Не можешь ли ты на своем рисунке отметить точнее, на кого показывает стрелка?

Новый рисунок Дидье.

— Очень хорошо! Я предлагаю твою линию продолжить до точки. Рисунок мадам Фредерик.

— О чем говорит нам стрелка?

— Ребенок показывает свою сестру.

Мадам Фредерик проецирует такой рисунок:

— Эти дети играли в нашу игру. Они нарисовали все стрелки. Кто мог бы показать девочку?

Дети дружно поднимают руки.

Один из ребят показывает девочку в самой сложной части графа.

— Верно! Как ты это узнал?

— Потому что сюда приходят стрелки.

Другой уточняет:

— Потому что стрелка говорит, что это девочка.

Другие ученики поднимают руки и показывают последовательно всех девочек этого множества. Один ошибается и показывает начальную точку одной из стрелок.

Класс хором протестует.

— Почему же это не девочка?

— Потому что стрелка идет обратно.

Мадам Фредерик привлекает внимание детей вот к этой части графа:

— Этот ребенок показывает сестру, и этот тоже показывает свою сестру.

— Кто же эти двое детей?

— Они братья.

— Посмотрим на другую часть рисунка.

— Даниэль нам говорила, что у нее есть сестра, которую зовут Мириам. Покажи-ка нам свою сестру на рисунке.

Даниэль показывает себя на рисунке, затем свою сестру Мириам. Даниэль говорит: Вот моя сестра Мириам. Мириам отвечает: Да, а вот моя сестра Даниэль.

Эта маленькая сценка изображается на графе с помощью двух точек и двух стрелок, идущих навстречу из одной точки в другую.

— Кто мог бы показать нам брата и сестру? Один из ребят показывает часть графа:

— Где здесь сестра и где брат?

Ученик последовательно показывает на рисунке конец и начало стрелки.

— Вот четверо детей. Где здесь девочки и мальчики?

Решение найдено достаточно быстро, несмотря на сложность графа. Некоторые дети ошибаются, но каждый раз класс дружно протестует.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 1

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 25 минут ДАТА: 7 сентября 1967 г.*

Придя первый раз в школу, дети попадают в новую для них среду.

Поэтому необходимо побеседовать с ними об их дошкольном окружении— семье, и в частности об их братьях и сестрах. Это вполне естественная тема первого урока. Рассказ о семье служит своеобразным введением в тему урока, но долго задерживаться на этой реальной ситуации не надо. Следует быстро перейти к мысленно рисуемой, более абстрактной обстановке, проецируя рисунок, данный на стр. 7.

НАС ТРИ БРАТА: АЛЕН, МИКАЭЛЬ и Я.

НИКОЛА

В непринужденной беседе выясняется, что Никола интуитивно воспринимает отношение брат как рефлексивное.

Не помогает ли это выяснить, сколь глубоки корни естественной тенденции идеализировать действительность, воспринимая рефлексивными некоторые отношения, и особенно такие, в которых

РЕФЛЕКСИВНОСТЬ порождает, кроме того, и транзитивность! У нас, конечно, будет возможность вернуться к этому вопросу.

БОЛЬШОЙ ЭКРАН

Важно показать рисунок 1 на очень большом экране, который займет все поле зрения детей. При этом реакция будет такой же, как в зале кинотеатра. Точки, окруженные замкнутой линией, вызывают у ребят восторженное «О!» восхищения и удивления. Можно констатировать глубокую положительную связь между учениками и этим абстрактным рисунком, который лишен пока для ребят содержательного смысла.

* Занятия в начальных школах Франции начинаются не 1 сентября, как у нас, а обычно на неделю позднее. (Прим. переводчика.)

УЧЕНИКИ СОГЛАШАЮТСЯ СРАЗУ, ЧТО ТОЧКАМИ МОЖНО ИЗОБРАЖАТЬ ДЕТЕЙ

Одна из самых распространенных методических ошибок состоит в том, что недооценивается тенденция к абстракции у детей и всякий контакт с абстрактным рассматривается как трудный и весьма нежелательный. На самом деле это не так. Понаблюдайте за непосредственными играми детей. Тенденция к абстрагированию преобладает в их игре. Дети не боятся абстракции.

ОТКАЖЕМСЯ ОТ МАЛЕНЬКИХ УТОЧЕК

Для традиционного преподавания элементов счета требуется большое количество маленьких одинаковых уточек*.

Из урока мадам Фредерик видно — и мы проверяли это много раз,— что шестилетние ученики охотно соглашаются, что точками можно представлять детей, так же как и любые другие «объекты», в частности (если это необходимо) традиционный счетный материал — маленьких уточек.

Рисовать маленьких уточек, вместо того чтобы изображать их точками,— это бесполезный этап, тормозящий развитие детей. Способ представления объектов точками позволяет применить математический язык.

Точки — не дети, но они обозначают детей. Нет никакой опасности говорить «это ребенок», показывая на точку, которая его обозначает, точно так же, как математик говорит точка а вместо точка, обозначаемая буквой а.

* Во французской начальной школе маленькие уточки — столь же часто употребляемый счетный материал, как у нас счетные палочки. Для авторов уточки — символ традиционного образа. (Прим. переводчика.)

Ситуация становится значительно менее ясной, когда принимаются рисовать уточек. Согласованность кажется туманной: дети путают объекты и «образы-рисунки», которые их представляют.

Кто возьмется сказать, что

означают одну и ту же уточку? Может быть, это два утенка-близнеца? Затруднений еще больше, если объекты обозначать игрушками

или маленькими одинаковыми автомобилями.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ

Урок мадам Фредерик проходит в классе, выбранном произвольно. Можно констатировать, что большинство «средних» учеников шести лет умеют считать до пятнадцати (и пересчитать множество, состоящее из пятнадцати объектов).

Следовательно, можно опираться на предварительный опыт учащихся, полученный до поступления в школу.

Большинство шестилетних учеников имеют хорошее представление о начале натурального ряда чисел:

ш0 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...

АКТИВНАЯ И ПАССИВНАЯ ФОРМЫ ... показывает свою сестру ... ... имеет своей сестрой...

Отношение представлено в активной форме.

Пассивная форма ... (есть) сестра (того-то) более трудна.

СТРЕЛКИ

Чтобы нарисовать «показывает свою сестру», ученики сами, стихийно предлагают провести стрелку.

Стрелка, схема, символ, абстрактный знак принадлежат к общеизвестным понятиям.

Играют ведь те же самые стрелки важную роль на указателях уличного и дорожного движения! (Прекрасный пример принятой системы соглашений, базирующейся на общеизвестных фактах.) Мы установили, что ученики охотно используют соглашения, подсказанные системой дорожных знаков.

ВСЕ МНОЖЕСТВА (ЕЩЕ) НЕ УПОРЯДОЧЕНЫ И ОДНОРОДНЫ

Это понятие вводится любопытным образом. Невозможно различить девочек и мальчиков, так как «все они точки!»

Они и далее будут оставаться точками.

Отношение «покажи свою сестру» упорядочивает множество, которое теряет свою однородность. Можно распознать некоторых девочек и даже некоторых мальчиков.

С формальной точки зрения рассуждение «от противного» помогает распознать мальчиков. Но шестилетние ученики, вообще говоря, не пользуются таким рассуждением. И тем не менее оно лежит в основе их объяснений. В той же самой ситуации двенадцатилетние ученики проводят рассуждения «от противного».

Неверно судить об отношении учеников к некоторым формам рассуждений, ограничиваясь рассмотрением их поведения в нечетко определенных математических ситуациях, которые дети не осмыслили.

В ситуации

множество детей, упорядоченное отношением «имеет своей сестрой»,

представленной в виде цветного графа, шестилетние ученики делают верные умозаключения, а двенадцатилетние проводят рассуждения в правильной форме.

ЕСЛИ БЫ У МОЕЙ ТЕТИ БЫЛИ КОЛЕСИКИ, ОНА БЫЛА БЫ АВТОБУСОМ

И если бы мы участвовали в абстрактной игре ... Если бы Мириам была одной из точек рисунка... Тогда...

Ситуация уже была конкретизирована заданием отношения «.. .сестра . ..». Она остается открытой для любых других последующих конкретизации.

И почему бы учителю не воспользоваться этой свободой, представив, что Мириам — это одна из девочек множества? Эта чудесная замена иллюстрирует процесс последовательной конкретизации.

На первом уроке дети рассказывали, разглядывали, размышляли; разглядывая, изображали ответы движениями рук, но ... не рисовали, за исключением Дидье: он один нашел нужное решение — стрелки!

урок 2

Братья и сестры

Два отношения и их объединение

И вот снова дети во дворе на перемене.

Их опять считают те же ученики, которые на первом уроке ошибались или молчали.

Несколько попыток, несколько ошибок, и мы вновь находим наших 15 детей.

— Закройте глаза.

Мадам Фредерик закрывает листом бумаги 3 точки.

— Откройте глаза. Несколько детей спрятались. Сколько их осталось?

Новое упражнение в счете. ... 13 и, наконец, 12.

— Сколько детей спряталось?

— Трое.

(Ответ немедленный.) Повторяют это же упражнение, спрятав 5 детей.

— Помните ли вы игру, в которую мы играли вчера?

— «Покажи свою сестру».

Спроецировав граф (см. стр. 10) на экран, мадам Фредерик просит показать девочек и мальчиков. Ошибок очень мало.

— Дети придумали новую игру. Как вы думаете, какую?

— «Покажи своего брата».

— В эту игру дети играли зеленым цветом. Кто мог бы показать зеленую стрелку?

Один из учеников показывает, как должна пройти зеленая стрелка.

Другой ребенок рисует вторую зеленую стрелку.

Потом еще.

Две новые стрелки нарисованы последовательно одним и тем же учеником.

Игра продолжается, дети показывают все зеленые стрелки одну за другой.

В самой сложной части рисунка некоторые дети ошибаются, забывают, где братья, где сестры, проводят стрелки в противоположном направлении.

Мадам Фредерик проецирует на экран следующий граф.

— Дети играли во вторую игру. Какие зеленые стрелки мы с вами не нашли?

Девочка показывает часть спроецированного рисунка.

— О чем говорят эти стрелки?

— Обе они говорят: я показываю моего брата. Эти двое детей — мальчики.

— А что вы думаете вот об этом ребенке?

Мадам Фредерик показывает изолированную точку.

— Он одинокий.

— У него нет ни брата, ни сестры.

Мадам Фредерик уточняет:

— Нет ни брата, ни сестры здесь, во дворе, во время перемены: Жан-Жак добавляет, показывая на две изолированные точки:

— Это я и Юбер.

(Ученики Жан-Жак и Юбер — единственные дети в своих семьях.)

Последняя игра.

Мадам Фредерик молча проецирует последовательно красный граф, зеленый граф, красный и зеленый графы одновременно, желтый граф, что изображен ниже, графы красный, зеленый и желтый одновременно и, наконец, один желтый граф.

— Я выбираю желтый, — говорит Жан-Жак.

— Дети играют в третью игру желтым цветом. Что это за игра?

— Они показывают своих братьев и сестер.

Мадам Фредерик уточняет:

— Да, желтая стрелка говорит нам: вот мой брат или вот моя сестра. Урок заканчивается упражнением.

— Я думаю сейчас о двух ребятах, которые мне очень нравятся.

Я вам не называю их имен и не говорю, из одной они семьи или нет.

— Это Жан-Жак и Юбер, — комментирует очень взволнованный уроком Жан-Жак.

— Я не сказала, что они из нашего класса. Кем они могут быть?

— Они оба могут быть братьями.

— Или сестрами.

— Или они брат и сестра.

— Они могут быть даже не из одной семьи.

— ... как Юбер и я, — продолжает Жан-Жак.

— Они могут быть близнецами.

(Отвлечение по поводу близнецов.)

— Давайте поиграем у доски. Вот два брата.

— Здесь брат и сестра.

— Две сестры.

— И наконец, двое ребят из разных семей, как Жан-Жак и Юбер.

— Поиграйте-ка зеленым и красным цветом на каждой картинке.

Вероника поднимает руку и выбирает рисунок с братом и сестрой. Она рисует такую стрелку.

— Хорошо. Чтобы твой рисунок был еще красивее, нарисуем твою стрелку лучше вот так:

— О чем говорит красная стрелка?

— Она показывает сестру.

— Поиграй зеленым цветом и покажи брата.

— Правильно ли?

— Нет, нет, обе стрелки показывают сестру.

Вероника стирает, повторяет ту же ошибку, начинает снова и снова ошибается. Несмотря на старание, ей никак не удается нарисовать стрелку в правильном направлении!

Мадам Фредерик рисует точки на полу, просит Веронику показать руками, как должны быть нарисованы красная и зеленая стрелки, потом наметить их на полу. Рисунок точен.

Ободренная учительницей, Вероника снова начинает рисовать на доске, на этот раз правильно.

Двое ребят верно рисуют стрелки в обоих направлениях, сначала красные— для двух сестер, затем зеленые — для двух братьев.

— Остался последний рисунок. Хочет ответить Седрик.

— Много ли тут работы? Если мы нарисуем красную стрелку, что она нам скажет?

— Вот моя сестра.

— А зеленую?

— Вот мой брат.

— А сколько стрелок надо нарисовать здесь?

— Ни одной.

Мадам Фредерик просит детей прокомментировать по очереди каждый из четырех графов.

— Что вы думаете о последней картинке?

— Эти двое ребят из разных семей.

— Почему?

— Потому что на этой картинке нет ни красной, ни зеленой стрелки.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 2

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 30 минут ДАТА: 8 сентября 1967 г.

В начале урока мадам Фредерик тактично выясняет знания менее активных учеников. По ее просьбе дети выполняют простейшие вычисления. Такие элементы урока, хотя и не являются логически необходимыми, психологически весьма полезны. У учеников создается впечатление, что они находятся в хорошо знакомой им обстановке. Математический курс, ограниченный лишь формально-логическими элементами, напоминает упражнения эквилибристов и не облегчает усвоения.

ЕСТЕСТВЕННОЕ НАЧАЛО УРОКА

Учеников легко заставить это почувствовать, попросив их угадать новую игру «...брат...».

УПРАЖНЕНИЯ НА ДОСКЕ

Графы помогают сформулировать ответ, ясно указывая на то, о чем они говорят или что объясняют. Поэтому они могут быть использованы детьми, которые не умеют ни читать, ни писать и еще плохо выражают свои мысли.

ЖЕСТЫ ИСЧЕЗАЮТ, РИСУНКИ ОСТАЮТСЯ

Для того, чтобы не допустить неверный рисунок, искажающий граф и затрудняющий правильное его восприятие, дети должны сначала изобразить стрелку жестами. В случае неудачного ответа ученик может подумать и, легко исправив ошибку, сделать правильный рисунок.

Говорить руками.

ДУМАТЬ РУКАМИ (Ален)

На протяжении всей беседы жест помогает слову. Сделаем же наш язык жестов более выразительным, начиная с первых шагов в математике!

ИЗОБРАЖАТЬ СТРЕЛКУ ВЫРАЗИТЕЛЬНЫМИ ЖЕСТАМИ

Левая рука указывает начало стрелки. Правая рука, изобразив движение по стрелке от начальной ее точки до конечной, останавливается. Обе руки некоторое время остаются неподвижными, чтобы позволить всем внимательно рассмотреть

ПАРУ (НАЧАЛЬНАЯ точка, КОНЕЧНАЯ точка),

в случае правильного ответа подумать, как нарисовать стрелку и выполнить рисунок.

СНАЧАЛА ЖЕСТ, ПОТОМ РИСУНОК

Если ответ неточен, очень важно вовремя заметить и исправить ошибку. Бывает, что все попытки верны, за исключением последнего выражения в ответе.

Некоторые ученики верно представляют себе направление стрелки, но рисуют неправильно.

Сначала жест, потом рисунок — вот тогда и можно обнаружить это явление и вмешаться в нужный момент.

Мы видели, как мадам Фредерик обучает ребенка правильно рисовать стрелку, верно показанную руками.

ВЕЛИКОЛЕПНАЯ ДЕТСКАЯ ЗАМЕНА ПОНЯТИЯ «ОДИНОКИЙ»*

Для взрослых: одинокий = ни мужа, ни жены. Для детей: одинокий = ни брата, ни сестры. Забавный пример самопроизвольного перехода понятия. Мадам Фредерик не нарушает хода урока, не отвлекается на объяснение точного значения слова одинокий.

Ответ «одинокий» — неверный в буквальном смысле этого слова — тем не менее положительный и обеспечивает переход к более правильному ответу:

— У него нет ни брата, ни сестры,

который мадам Фредерик уточняет:

— Нет ни брата, ни сестры здесь, во дворе, во время перемены.

* Игра слов во французском языке. (Прим. переводчика.)

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ВСЕХ ДОПУСТИМЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

очень важно во всякой области, где действует рациональное мышление. Ситуация, возникшая в конце игры, ставит

ЗАДАЧУ:

Для отношений брат, сестра перечислить все допустимые возможности на множестве 2 детей.

Рассмотрение предложенной детьми ситуации «близнецы» привело бы к излишним в данном случае тонкостям классификации.

На этом уроке ученики смотрели, разглядывали, думали, размышляли, жестикулировали и очень немного рисовали. Несколько учеников нарисовали небольшое число стрелок на доске. Наблюдать, потом думать, потом пробовать, лотом действовать. Не начинать действовать слишком рано. Чтобы не запутаться в рисунке — нужно быть очень сосредоточенным.

урок 3

Ботинки левые и ботинки правые

Взаимные функции

В одной маленькой деревенской школе, где учеников совсем немного, дети первого и второго классов собрались в одной классной комнате. В этот день у наших маленьких учеников должен быть урок физкультуры.

— А у вас тоже бывают уроки физкультуры?

— Да, сегодня.

— Вы занимаетесь физкультурой в ботинках?

— Нет, надеваем спортивные тапочки.

— Где же они?

— В шкафу для обуви.

— Дети нашей маленькой школы тоже надевают на физкультуру тапочки. Обычно они ставят свои ботинки по порядку, пара за парой, вдоль стенки. Но когда детей не было, какой-то озорник из третьего класса вошел в их классную комнату и перепутал все ботинки. Вот они в беспорядке.

Белым мелом на черной доске* мадам Фредерик рисует эту огромную диаграмму.

— Сколько здесь ботинок?

Ответы, ошибки, проверки. Карина насчитала наконец 13.

— Хорошо: 13 туфель в беспорядке. Нарисуйте-ка их на большом белом листе.

— Черными кружочками!

— Да, красивыми большими точками в большом-большом круге, какой только получится.

Дети рисуют своими фламастерами и ждут одобрения. Мадам Фредерик не вмешивается, не исправляет неточные рисунки.

* Во многих французских школах, в том числе и начальных, широко используются цветные мелки и удобные белые доски наряду с черными или иногда вместо них. На белых пластиковых досках пишут фламастерами. (Прим. переводчика.)

— Вы уже большие. Пусть каждый проверит сам свой рисунок.

— Что сделали дети, когда они вернулись в класс?

— Они очень рассердились.

— Но это не очень помогает.

— Они померили все туфли.

— На это ушло бы много времени.

— Они разобрали бы туфли по парам.

— Вот это уже хорошая мысль. Дидье, у тебя высокие ботинки; покажи-ка свой левый ботинок.

Дидье показывает свой левый ботинок.

— Никола, не покажешь ли ты свою правую сандалию?

Большинство детей различают левые и правые ботинки. Мадам Фредерик показывает точку на диаграмме.

— Вот левый ботинок. Что он собирается делать?

— Он пытается найти правый.

— Вот, он его нашел.

Мадам Фредерик показывает вторую точку.

— А теперь?

— Он сейчас нарисует стрелку.

Малыш рисует на доске зеленую стрелку.

— О чем говорит нам эта зеленая стрелка?

— Она показывает правый ботинок.

Мадам Фредерик показывает новую точку.

— Вот маленький правый сабо*. В деревне иногда бывает грязно, и некоторые дети еще и сегодня носят сабо. Что сейчас будет делать этот маленький сабо?

— Искать свой левый сабо.

— Вот он. Как показать, что он его нашел?

— Стрелкой.

— Зеленая стрелка нам говорит: вот мой правый ботинок.

— А здесь можно нарисовать оранжевую стрелку.

Ученик рисует оранжевую стрелку.

— Кто хочет показать нам левый сабо?

Ученик показывает конечную точку оранжевой стрелки.

— Что говорит левый сабо?

— Я показываю мой правый сабо.

* Сабо — деревянная обувь, обычная в старинном французском крестьянском обиходе. В некоторых сельских местностях сабо еще сохранились и сегодня используются как повседневная рабочая обувь. (Прим. переводчика.)

— Каким цветом надо нарисовать?

— Зеленым.

— Поговорим вместо сабо. Зеленым цветом сабо говорит...

— Я показываю мой правый сабо.

— А тот, который отвечает оранжевым...

— Я показываю мой левый сабо.

Беседа продолжается, и граф постепенно дополняется.

— Вот уже две пары обуви очень довольны. Продолжайте сами подбирать подходящие пары обуви.

Мадам Фредерик дает только несколько советов по оформлению рисунков.

— Хорошо нарисованные стрелки складываются, как заячьи ушки.

Рисуйте стрелки, начиная с того ботинка, который показывает на свою пару.

Большинство детей заканчивают рисовать граф достаточно быстро.

Барбара. Возраст: 6 лет 4 месяца

Рисунок красивый. Для тринадцати это многовато. Барбара имеет понятие о направлении стрелок. Некоторые пары различимы, но не все.

Филипп. Возраст: 6 лет 2 месяца

Филипп правильно понял задание, но его работа прервана неудачей — нечаянным слиянием двух точек.

Анита.

Возраст: 6 лет 11 месяцев

Очень хорошо.

Стрелки еще неуверенные.

Анита так старается красиво нарисовать изображения самих линий, что забывает смысл рисунка и делает единственную ошибку.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Рисунок теоретически совершенен.

Но Никола остался недоволен и не подписал его. Постепенно поворачивая лист бумаги, он вновь тщательно рисует.

Никола.

Возраст: 5 лет 10 месяцев

Четко, понятно. Подписано.

Мадам Фредерик просит дополнить нарисованный, на доске граф.

— Еще один остался. Надо бы еще один, — говорит Седрик, рассматривая граф.

— Так, может быть, это озорник из третьего класса его спрятал и, может быть, сам спрятался тоже, — добавляет Жан-Жак.

— Сколько детей в этом маленьком классе?

— 13.

— 7.

— Почему 7, Ариана?

— Потому что по два ботинка на одного ребенка, две стрелки — это один ученик.

Ариана показывает на доске семерых детей, считая последовательно шесть пар стрелок, а затем тринадцатую точку.

— Дидье, почему ты нам сказал, что детей 13?

— Я считал ботинки, а не детей.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 3

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 35 минут ДАТА: 12 сентября 1967 г.

{F, R, Е, D, Е, R, I, Q, U, E}=>(F, Е, Е, R, I, Q, U.E)*.

Как прекрасно оформлен урок мадам Фредерик.

Современная математика и многоцветные графы очень пришлись по душе малышам.

О ВАЖНОСТИ ВСТУПЛЕНИИ

Урок начинается как красивая волшебная сказка. Как хитры эти вступления в детские сказки, изобилующие деталями, которые совершенно не нужны для последующего развития событий, но которые украшают сказку, создают атмосферу и возбуждают интерес благодаря ситуации, открытой для всего непредвидимого.

Прелестная маленькая деревенская школа как ожившая сказка про козочку: любопытную и красивую, созерцающую с вершин гор лужайку с домиком доброго дядюшки Сегена**.

Постепенно интерес концентрируется на ситуации, которая будет предметом нашего изучения.

Это множество башмаков, оставленных учениками младшего класса во время урока физкультуры, в то время как рядом бродит озорник из третьего класса.

Здорово! Посмотрим-ка на нашу обувь! Какая история!

* Совершенно невозможно столь же ярко перевести на русский язык ту игру слов, которая так замечательно выглядит во французском. FREDERIQUE— буквы, составляющие имя педагога — мадам Фредерик; FEERIQUE — буквы, составляющие слово féerique—сказочный, волшебный, восхитительный. (Прим. переводчика.)

** Дядюшка Сеген и его козочка — персонажи новеллы-сказки Альфонса Доде. (Прим. переводчика.)

ИЗУЧАЕМАЯ СИТУАЦИЯ ДОЛЖНА ИНТЕРЕСОВАТЬ УЧЕНИКОВ И БЫТЬ ИМ ПОДВЛАСТНОЙ

Когда юные ученики хорошо знают ситуацию, когда она их интересует, когда их мысль может опереться на четкую, хорошо ощутимую основу, они рассуждают вопреки установившемуся мнению удивительно верно.

Множество башмаков — ситуация хорошо знакомая. Ребят легко убедить, что она им подчинена, попросив учеников показать их левый и правый ботинки. Ученики мадам Фредерик замечают волнующее место в рассказе— малыши всерьез обеспокоены беспорядком башмаков, тем более что было обнаружено присутствие маленького озорника, третьеклассника.

Ученики мадам Фредерик более чем заинтересованы этой простой ситуацией. Но одного этого мало.

УЧЕНИКИ ДОЛЖНЫ С УЧАСТИЕМ И ВНИМАНИЕМ СЛУШАТЬ ПРОДОЛЖЕНИЕ ИСТОРИИ

Знакомые детали ситуации и живая связь с детьми из этой истории вызывают резонанс в классе, оживляют воспоминания, пробуждают воображение учеников мадам Фредерик. Их сознание полностью занято рассказываемыми историями. Истории личные или коллективные, правдивые, реальные или выдуманные, но главное, чтобы они были интересные.

Нужно перенести мысли детей в другую обстановку, предложить рассказать свои истории и тем самым подготовить их внимание к продолжению рассказа.

АБСТРАКТНЫЙ РИСУНОК —ЗНАКОМАЯ АБСТРАКЦИЯ

Первый рисунок наших детей — это диаграмма Венна* множества

13 точек, абстрактная схема хорошо знакомой ситуации.

Гораздо легче нарисовать точку, чем маленькую уточку или пару ботинок.

Технически простой рисунок обоснован. Обоснован и абстрактный рисунок.

* Диаграммы Венна — один из способов графического изображения структуры множеств. Этому термину равнозначен более употребительный в советской литературе — круги Эйлера. (Прим. переводчика.)

ОНИ БЫЛИ ОЧЕНЬ СЕРДИТЫЕ

Поддержан эмоциональный контакт, способствующий пониманию ситуации.

РАЗОБРАТЬ ТУФЛИ ПО ПАРАМ

Это сюжет урока. Этот важный шаг в практическую жизнь готовится постепенно и серьезно мотивирован.

Современная математика — математика принятия решений, важных для повседневной жизни.

ОДУШЕВЛЕНИЕ

Первый этап, как в сказках, которые любят дети: туфли живут и действуют. Они проходят через весь урок мадам Фредерик, и, как самое естественное на свете, маленький ботинок сейчас нарисует зеленую стрелку.

В ТЕ ВРЕМЕНА, КОГДА СТРЕЛКИ УМЕЛИ ГОВОРИТЬ...

Мадам Фредерик активно участвует в игре детей.

О чем говорит нам эта стрелка?

Этот второй этап «одушевления» позволяет делать ссылки на различные элементы графов.

Стрелки говорят зеленым языком.

Стрелки говорят оранжевым языком.

Способ говорить кратко и быстро позволяет вообще избежать педантизма.

Показывает свой правый ботинок (зеленым). Показывает свой левый ботинок (оранжевым).

Взаимные функции.

ОДНОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ НА НЕСКОЛЬКИХ УРОВНЯХ

Некоторые части урока проходят на уровне абстрактной схемы. Но контакт с реальностью поддерживается с начала до конца:

— Так, может быть, это озорник из третьего класса его спрятал и, может быть, сам спрятался тоже!

Ученики рассуждают и усваивают материал параллельно на нескольких уровнях, переходя от одного к другому, — главное положение в прикладной математике.

РИСУНОК

В течение эксперимента уже с первого урока мы просили рисовать стрелки-ответы на черной доске.

Мадам Фредерик, изменив методику, значительно улучшила качество выполняемых детьми рисунков.

Первые графы, которые увидели ученики мадам Фредерик, — это чудесные картинки, очень ярко спроецированные на большой экран. Ученики сразу же оказываются среди очень хороших моделей, качество которых заведомо превосходит все, что можно нарисовать мелом на черной доске.

Мадам Фредерик остерегается немедленно просить детей воспроизвести эти картинки. Она сначала подводит учеников к использованию графов и заставляет их почувствовать преимущества, с которыми граф изображает некоторые ситуации.

Шаг за шагом дети очень хорошо осваивают графы.

Прежде чем рисовать, они жестикулируют, что подчеркивает некоторые кинематические аспекты, и допускают многочисленные пробы.

Первые линии нарисованы на доске на глазах всего класса, который имеет возможность наблюдать за возникающими трудностями. И только после этого ознакомления с новым для них материалом ученики рисуют первые графы своими «волшебными» фламастерами.

урок 4

Братья и сестры

Исчерпывающее перечисление возможностей

Снова братья и сестры

— Каким цветом показывали ребята своих сестер?

— Красным.

— А братьев?

— Зеленым.

— У меня есть трое маленьких друзей из одной семьи. Я не скажу вам их имена. Кем могли бы быть мои друзья?

— Братьями.

— Или один брат и две сестры.

— Два брата и одна сестра.

— Трое сестер.

— Сколько всего возможностей?

— Три.

— Давайте все вместе посчитаем их.

Класс хором перечисляет различные возможности и считает ах на пальцах.

— Получается четыре возможности.

Мадам Фредерик рисует на доске. Здесь три брата. Здесь три сестры.

Две сестры и один брат. Два брата и одна сестра.

— Вы нарисовали ротик и два глаза.

— Действительно похоже. Но нас сейчас это не должно интересовать.

Дети воспроизводят четыре диаграммы на листах белой бумаги.

Возраст: 6 лет 5 месяцев

Первая попытка Дидье.

— Посмотри-ка, Юбер. Вся большущая доска занята четырьмя схемами. На твоем же листе бумаги много места. Не хочешь ли ты сделать новый рисунок?

— А я закончила!

— И я тоже!

— Посмотрим на доску. Вот три брата. Что говорит этот брат?

— Я показываю моего брата.

Изображает стрелку сначала жестом, потом мелом на доске.

— Что отвечает брат?

— Я показываю моего брата.

— Все трое братьев поговорили?

— Нет.

— Заставь их всех поговорить и покажи указкой.

Один из детей изображает полную беседу между тремя братьями, но не рисует на доске. Ученики рисуют или пытаются нарисовать граф на листе бумаги.

Мадам Фредерик рассматривает рисунки, не исправляя их и ограничиваясь только замечаниями.

— У тебя хороший рисунок, Эммануэль, но тебе трудно выполнить задание, потому что он слишком маленький.

— Заставьте поговорить трех сестер. Одна девочка ошибается.

— Вот три сестры. Почему же одна сестра отвечает: «Я показываю моего брата»?

— Я ошиблась.

Дети дополняют второй рисунок на доске.

— Одна сестра не ответила.

— Нет еще, но Сильвия сейчас попросит ее поговорить.

— Рассмотрим теперь третий рисунок. Что он нам говорит?

— Две сестры и один брат.

— Попросите этих детей поговорить красным и зеленым цветом.

Изображают жестами, рисуют сами, потом делают рисунок на доске. То же делают и для четвертой диаграммы.

Катрин.

Возраст: 6 лет 6 месяцев

Ошибочных стрелок нет (одна зеленая стрелка исправлена). Стрелок достаточно, чтобы охарактеризовать каждую ситуацию. Из многочисленных стрелок несколько случайно забыты. Катрин добавляет маленькие условности: она дает более грубую классификацию — все зеленое, все красное и двухцветное.

Анна.

Возраст: 5 лет 10 месяцев

Все стрелки правильные.

Кажется, Анна усвоила красно-зеленый дуализм.

Не хватает двух возвратных красных стрелок на красно-зеленой диаграмме.

Соответствующих зеленых возвратных стрелок нет на зелено-красной диаграмме.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Отлично.

Никола расположил нарисованные графы в ином порядке.

От зеленого к красному, постепенно увеличивая красный цвет на диаграммах.

И Никола не заставляет мальчиков говорить: «Я — мой брат».

Каждый ребенок получает новый белый лист.

— Вот четверо детей.

— Зелеными и красными стрелками я вам расскажу одну историю.

— Это две сестры!

— История продолжается.

— Одна из сестер показывает своего брата.

— А он, что сказал он?

— Я показываю моего брата.

— Сколько же всего детей в этой семье?

— Четверо детей: две сестры и два брата.

— Все они достаточно рассказали о себе?

— Нет.

Дополните рисунок.

А Даниэль нарисовал зайчика! А рядом с зайчиком салют!

Возраст: 6 лет 7 месяцев

— Даниэль еще маленький; он играет с маленькими зайчиками. А большие рисуют стрелки. Надо выбирать.

Но мадам Фредерик снисходительна.

Разве ее сын не рисовал странных птиц в самые неподходящие моменты?

Дидье.

Возраст: 6 лет 5 месяцев

Одна зеленая стрелка неточна.

Не хватает двух возвратных красных стрелок и стрелок диагональных.

Верно и то, что до сих пор мы не встречались с пересекающимися стрелками.

Решиться нарисовать их — это настоящая смелость, и это равнозначно маленькому открытию.

Никола, Возраст: 5 лет 10 месяцев

Честь первого применения пересекающихся стрелок принадлежит Никола.

Как это часто случается в подобных ситуациях, увлекшись, он забыл нарисовать возвратные стрелки.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 4

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 40 минут ДАТА: 15 сентября 1967 г.

ИСЧЕРПЫВАЮЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВСЕХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Первая часть урока состоит из полного исследования имеющихся возможностей. Мадам Фредерик не предопределяет способ классификации и ставит вопросы в самой общей форме.

— Кем могли бы быть наши друзья?

Ученики выбирают самую естественную, с их точки зрения, классификацию. Четыре случая: три мальчика; три девочки; два мальчика и одна девочка; две девочки и мальчик.

Рисунки показывают, что некоторые ребята выбрали более общую классификацию.

Три случая: три мальчика; три девочки; девочки и мальчики.

Ни один из учеников не подумал ввести в игру различие по возрасту в семье, что дает классификацию из восьми случаев, четко различаемых в реальной жизни.

ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЗИРОВАННОЙ МОДЕЛИ

Множество четырех точек порождает отношения «брат и сестра».

Задача состоит в пополнении частичного графа этими отношениями. Эти частичные графы не задаются целиком: их стрелки вводятся одна за другой. Такое постепенное изображение графа позволяет избежать лишних условий, вызываемых одновременным и полным заданием сложной ситуации.

Ученики рассуждают по мере получения информации. Предельно простая вначале, ситуация постепенно усложняется.

урок 5

Почтальон

ОТОБРАЖЕНИЕ: С -> Е

— У кого из вас день рождения в сентябре?

— У меня!

— И у меня тоже. Даже сегодня!

— Поздравляем тебя с днем рождения, Седрик! Что бывает в день рождения?

— Приглашают друзей!

— А получаете ли вы поздравительные открытки?

— Да, я уже получил!

— Кто же тебе принес открытки?

— Почтальон!

— Почтальон идет по улице, где живет много детей. Не у всех дни рождения в сентябре. Только некоторые дети получили поздравительные открытки в это утро. Вот множество открыток, адресованных этим детям.

Мадам Фредерик рисует диаграмму белым мелом на черной доске.

— Сколько всего открыток?

— 6.

— Почтальон раскладывает открытки по почтовым ящикам. Вот множество детей, получивших открытки.

Мадам Фредерик рисует вторую диаграмму.

— Сколько детей?

— 7.

— Вот открытка. Седрик живет на этой улице. Как показать, что эта открытка предназначена Седрику?

— Стрелкой.

— И очень длинной.

Мадам Фредерик рисует стрелку.

— Посмотрите, одну ли открытку получил Седрик?

Мадам Фредерик рисует две новые стрелки.

— Нет, три открытки! — это говорит Седрик, глаза которого сверкают от удовольствия.

— История продолжается, потому что у почтальона есть еще открытки, Он идет дальше по улице.

— Сколько детей получили открытки?

— Трое.

— Покажите их.

— Седрик получил три открытки; этот ребенок — одну, а другой — Две, — рассказывает Карина, показывая последовательно точки, к которым направлены три, одна и две стрелки.

— Сколько еще осталось детей?

— Четверо.

— Эти четверо детей не получили открытки, потому что их день рождения не сегодня.

Каждый ученик получает белый лист и по-своему воспроизводит изображенный на доске граф.

Мадам Фредерик подбадривает детей, немного помогает им.

— Обведем зеленым кружком открытки, предназначенные Седрику. Покажи твои три открытки, Седрик.

Седрик ошибается, показывая три стрелки.

— Три открытки, Седрик.

Он показывает начальные точки трех стрелок.

— Обведем зеленым кружочком три открытки, предназначенные Седрику, потом две открытки, предназначенные другому мальчику.

Мадам Фредерик рисует два кружка. Дети заканчивают граф.

Барбара. Возраст: 6 лет 4 месяца

У Барбары явные успехи. Фантазия в красках.

Маленькая неприятность — возвращающаяся стрелка.

Какие аккуратные и красивые точки!

Одна из них заменяет последнее «а» в имени «Барбара».

Карина. Возраст: 6 лет 5 месяцев

Задание выполнено прекрасно, ничего лишнего.

Мириам.

Возраст: 6 лет 2 месяца

Замечательная инициатива Мириам.

1. Никаких оснований для того, чтобы зеленый кружок оставался внутри черного.

2. Мадам Фредерик отступает перед синглетоном*. Мириам ее обводит, прорывается вперед и бьет! Го-о-ол! И вот он, синглетон, и в связи с этим разбиение множества открыток оранжевыми функциями.

* Синглетон — термин карточных игр, обозначающий единственную карту масти в руках у игрока. Здесь синглетон — это одна точка множества открыток, обведенная кружком и, следовательно, выделенная как подмножество. (Прим. переводчика.)

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 5

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 20 минут ДАТА: 18 сентября 1967 г.

ЦЕНТР ИНТЕРЕСОВ

День рождения! Волшебные слова!

Это один из главных интересов шестилетних детей!

Мадам Фредерик выводит ребят из задумчивости вопросом:

«У кого в этом месяце день рождения?» — и обнаруживает героя урока:

Седрик празднует день рождения именно сегодня.

День рождения — день, когда дети получают открытки.

Так появляется хорошо знакомый персонаж — почтальон, и возникает следующая ситуация:

распределение множества писем среди множества детей.

Типичный пример

отображения, или функции, одного множества в другое множество.

ДВА МНОЖЕСТВА

Впервые в изучаемой ситуации появляются сразу два (отдельных) множества:

множество открыток, предназначенных детям с одной улицы, множество детей этой улицы.

ГРАФЫ

Ученики непроизвольно предлагают изображать распределение открыток длинными стрелками.

На схеме можно изобразить, как могло бы происходить распределение. Мадам Фредерик остроумно поддерживает контакт с действительностью, вводя реальные персонажи в выдуманную историю, — дети очень любят такой прием. Они воображают, что их друг Седрик — один из ребят с этой улицы. Как он счастлив и горд, что получил три поздравительные открытки! Дети охотно включаются в воображаемую ситуацию. Она производит на них впечатление часто большее, чем действительность, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ РЕАЛЬНЫМ ДЕТСКИМ МИРОМ.

ИНТЕРМЕЦЦО

ОТНОШЕНИЕ

Фундаментальное в современной математике понятие отношение принадлежит к общеизвестным фактам. Оно употребляется широко и в различных формах.

— У меня хорошие отношения с соседями.

— Не будем осложнять наши отношения!

— У Пьера с Жаном такие же отношения, как у меня с Жозефом.

— Я думаю, что они в каких-то родственных отношениях.

— Наши отношения сложились еще в школьные годы.

— В нашем классе хорошие отношения между ребятами.

Начертить стрелку между двумя точками — это на обычном языке означает «установить отношение между этими двумя точками».

Отметим одно отношение красным цветом, а другое — зеленым.

Мы могли бы с полным основанием сказать, что а и b находятся в красном отношении, с и d находятся в зеленом отношении.

ЕСЛИ а и b находятся в отношении отца к ребенку, ТО b и а не находятся в отношении отца к ребенку.

Порядок, в котором взяты а и Ь, весьма важен.

а и b находятся в красном отношении.

Это то, что математик подчеркивает, говоря об упорядочении.

Пара (а, Ь) находится в красном отношении.

Не останавливаться же на этом?

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Всякое отношение есть некоторое множество пар элементов.

В этом интермеццо мы будем использовать слово отношение в смысле только что сформулированного математического определения.

Не будем, однако, заблуждаться: это определение лишь модифицирует исходную идею, уточняя ее.

Форма математического определения усиливает первоначальную идею — часто повторяющийся процесс в ходе математизации общих понятий.

В некоторые моменты, когда ученики устанут, или они будут рассеянны, или их внимание будет сосредоточено на чем-то другом, или они будут поглощены конкретными аспектами приложений, всплывет прежнее представление и займет место математического понятия.

Судя по обстоятельствам, это возрождение первоначальной идеи является

• безобидным, незаметным, ф катастрофическим.

Такая подмена математического понятия нечетким описанием — это скрытое зло, от которого не защищены даже математики-профессионалы. Конечно, математик в большей степени защищен от этой опасности и может позволить себе употреблять одно и то же слово и в его математическом смысле, и в его обиходном понимании.

В противоположность обычным представлениям строгость и четкость в выражениях более важны для начинающего изучать математику.

ПОГОВОРИМ СО ВЗРОСЛЫМИ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ДЕТЕЙ

В этом интермеццо автор обращается непосредственно к взрослому читателю, у которого уже есть общее представление о понятии отношение.

ПРИМЕРЫ КОНКРЕТНЫХ ОТНОШЕНИЙ

ОБЩАЯ АБСТРАКТНАЯ ИДЕЯ ОТНОШЕНИЯ

Для взрослого читателя мы попытались ввести математическое понятие отношение, исходя из общей идеи.

ПРИМЕРЫ КОНКРЕТНЫХ ОТНОШЕНИЙ

ОБЩАЯ ИДЕЯ ОТНОШЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

Мы уже отмечали, что на этом пути нужно опасаться смещений общей идеи и точно сформулированного математического понятия.

ШЕСТИЛЕТНИЕ УЧЕНИКИ БОЛЕЕ ВОСПРИИМЧИВЫ, ЧЕМ ВЗРОСЛЫЕ

В некотором отношении преподавание шестилетним ученикам проще, в частности, потому, что они еще не достигли этапа осознания общей идеи. Мадам Фредерик, не останавливаясь на этом промежуточном этапе, переходит непосредственно к математическому понятию.

ПРИМЕРЫ КОНКРЕТНЫХ ОТНОШЕНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

Математическое понятие формируется очень быстро на базе конкретных примеров, без употребления самого слова отношение, но с использованием при этом рисунков, называемых графами. Они позволяют мадам Фредерик избежать другой трудности, которую читатель, может быть, уже подметил.

ОТНОШЕНИЕ = МНОЖЕСТВО ПАР

Но что такое пара!

Математики отвечают на этот вопрос более или менее естественно, более или менее удачно, более или менее удобно.

Для нас это не очень важно.

Вот то, что мы должны знать, то, с чем согласятся все математики:

Всякая пара обозначается (а, Ь)

а — это начало пары (а, Ь) b — это конец пары (а, Ь)

с=>— это знак логической эквивалентности, читается: «если, и только если».

ГРАФЫ

Этот граф

представляет отношения:

Каждая красная стрелка графа указывает пару отношения R.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА — МАТЕМАТИКА ОТНОШЕНИЙ

Самые разнообразные отношения играют важнейшую роль в современной математике. Ученики мадам Фредерик представляют конкретные отношения многоцветными схемами, опираясь на свои предварительные знания. Графы упрощают изучение ситуации, допуская абстрактные рассуждения, остающиеся тем не менее близкими к действительности и постепенно способствующие формированию математического понятия отношение.

Посредством графов мадам Фредерик подводит учеников к математическому понятию отношение, используя непосредственно только известные детям сведения.

ЗНАКОМАЯ АБСТРАКЦИЯ

При таком образе действий математические понятия сохраняют знакомый характер порождаемых ими ситуаций. В этой абстракции нет ничего страшного.

ПОНИЗИТЬ УРОВЕНЬ АБСТРАКЦИИ ПОНЯТИЙ

Математика развивается, сооружая часто последовательными абстракциями очень высокое стройное здание с тонкой и хрупкой арматурой. В результате возникает ощущение головокружения, смешанное с постоянным страхом крушения.

Уровень абстракции не присущ тому или иному понятию, а зависит от способа его представления.

Можно ввести основные математические понятия и непосредственным образом.

Введение отношений, функций и т. д., исходя из общеизвестных сведений с помощью графов, — это яркий пример понижения уровня абстракции.

ГРАФ — СРЕДСТВО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ПЕДАГОГИКИ

Мадам Фредерик использовала графы из педагогических соображений. Живая связь между детьми и многоцветными графами видна в каждом детском рисунке, воспроизведенном в этой книге.

Ученики мадам Фредерик, знакомые с абстрактной живописью, совсем по-особенному оценивают эти красивые цветные рисунки.

Графы имеют большое применение в теории информации и в психологии, в лингвистике и в теории электрических цепей.

Впечатляющая демонстрация единства.

ЯЗЫК СТРЕЛОК

Стрелки не представляют пары. Красная стрелка означает, что пара принадлежит красному отношению. Голубая стрелка указывает, что пара принадлежит голубому отношению.

Рассмотрим отдельно эти две стрелки графа.

Красная стрелка означает: (a, b) eR

Голубая стрелка означает: (a, b) eS

Стрелки — не пары. Графы — не отношения. Точки рисунка — не объекты.

Но примененная к отношениям терминология графов и стрелок делает язык более естественным, не уменьшая ни ясности, ни строгости рассуждения.

Реакция некоторых учеников показывает, что они используют слово стрелка для обозначения понятия пары, которое вводится постепенно с помощью стрелок.

Ученик должен провести красную стрелку от а к Ь, и он выполняет такой рисунок,

выразительно и по-детски подчеркивая, что важно знать только точки начала и конца стрелок, т. е. пару.

Другой пример.

Рассуждая о ситуации, изображенной частично таким графом, этот уче-

ник делает вывод, что р и q находятся в красном отношении, и спешит начертить прямую красную стрелку от р к q.

Но класс хором возражает.

— Эта стрелка уже была нарисована!

Наши ученики хорошо знают, что в буквальном смысле слова:

— Эта прямая стрелка не была еще проведена, но уже была нарисована.

— Другая красная стрелка с началом р и концом q.

Называя «той же стрелкой» две стрелки одного цвета с началом р и концом q, наши ученики приходят, наконец, к понятию пары.

ВЗАИМНОСТЬ

Вот отношение R, другими словами — вот некоторый граф. Повернем в обратную сторону все его стрелки.

Получаем новый граф и, следовательно, некоторое новое отношение.

Отношение R _1 —взаимно-обратное отношение R. Короче:

Взаимное отношение = обратное отношение. Что произойдет, если обратить отношение два раза подряд?

(R-i)-i = R.

R и R-1 суть взаимные отношения.

На уроке 3, беседуя друг с другом, башмаки: показывают свой правый ботинок, показывают свой левый ботинок и вводят взаимные отношения.

Рассматривая графы некоторых отношений, замечаем свойство: из всякой точки выходит по крайней мере одна стрелка.

Эти отношения называются функциями или отображениями.

ФУНКЦИЯ ~ ОТОБРАЖЕНИЕ

Из всякой точки выходит по крайней мере одна стрелка.

Отрывок из беседы башмаков:

показываю свой правый башмак, показываю свой левый башмак —

выражает взаимные функции.

ВЫРАЖЕНИЯ = СИНОНИМЫ

ФУНКЦИЯ из Л в В, ОТОБРАЖЕНИЕ из А в В

обозначают, кроме того, что каждая стрелка функции начинается в некоторой точке из А и приходит в некоторую точку из В.

ФУНКЦИЯ из А в В

Мы встречались с конкретной и очень важной ситуацией — почтальон, разносящий открытки.

Обозначим через f функцию из С в Е.

На этот раз всякая точка из С есть начало одной (и только одной) стрелки из f. Заметим, что этот факт, записываемый как f есть функция из С в Е, f есть отображение С в Е, обозначается еще

f:C -* Е.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРОТОТИПЫ

Для традиционного преподавания математики необходимо большое количество типовых задач. Типовые задачи, касающиеся покупок, приводят к линейным уравнениям до открытия адекватных алгоритмов для их выражения и способствуют развитию понятия векторного пространства.

В своем преподавании мадам Фредерик вводит и использует некоторые педагогические прототипы понятий, которые будут развиты в дальнейшем.

Распределение множества писем множеству адресатов — это педагогический прототип, используемый мадам Фредерик для понятия функции, или понятия отображения одного множества в другое. Распределение писем полностью соответствует такому отображению À -> В даже на языке математиков-профессионалов, когда они говорят, что функция f отправляет а в f(a)*.

Более того, естественные действия почтальона — сначала распределить письма между адресатами, а затем вручать их сформированными «пакетами» — это в точности то, что станет известно позднее в теоремах морфизма.

* Следует признать, что в русском языке в этих случаях употребляют слово «отображает», а не «отправляет» — точный перевод французского envoi, и, таким образом, в русском языке описание математической модели распределения писем соответствует, конечно, математическому понятию отображения по существу, но не буквально. (Прим. переводчика.)

урок 6

Проблемы

Задачи в математических моделях

Каждый ученик получает лист бумаги размером 20x30 см с рисунком:

— Вот наша игра «Братья и сестры». На этот раз в множестве трое детей. Распознаете вы девочек и мальчиков?

Один из малышей показывает мальчика и двух девочек.

— Как показать на рисунке, что здесь мальчик, а там девочка?

— Красной и зеленой точками.

Мысль интересная, но ведь у нас уже есть красные и зеленые стрелки.

— Можно ли изобразить маленького мальчика и маленькую девочку!

— Да, но это трудно!

— Совсем нет! Это легко!

— Ну, иди, нарисуй на доске.

Ученик начинает рисовать мальчика.

Мадам Фредерик останавливает его. — Не нарисуешь ли ты теперь девочку?

— Очень хорошо! Но нужно ли рисовать глаза? Кружок и маленький ежик вокруг него — для мальчика; кружок и две косички — для девочки; не достаточно ли этого для обозначения детей?

— Укажите девочек и мальчиков на вашем рисунке.

— Все ли стрелки были нарисованы?

— Какие стрелки были забыты?

— Нарисуйте их!

Ученики пытаются самостоятельно решить предложенную задачу.

Даниэль. Возраст: 6 лет 7 месяцев

Даниэль нарисовал все стрелки правильно.

Он повторил одну заданную стрелку и две опустил.

Он хорошо расположил девочек и мальчиков.

Его тяга рисовать помешала ему выдержать условие о схемах для изображения девочек и мальчиков.

Одна из стрелок, нарисованных Даниэлем, неточно отражает первичную идею пары.

Анна. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Рисунок правильный.

Красная стрелка-зигзаг ясно подчеркивает понятие пары. Анна украшает обусловленные схемы, дорисовывает глаза и раскрашивает.

Карина. Возраст: 6 лет 5 месяцев

Рисунок правильный.

Но ее условные схемы несколько лиричны и отражают склонность к фантазированию.

— Вот вторая работа.

Каждый ребенок получает такой граф:

— Отметьте девочек и мальчиков. Помните: волосы ежиком и косички? И нарисуйте все стрелки, которых не хватает.

Сильвия. Возраст: 6 лет

Открытие Никола еще не постигнуто Сильвией, но, за исключением забытых скрещивающихся стрелок, ее рисунок верный. Условные схемы восприняты, но нарисованы они так, что их можно принять за точки.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Кажется, Никола оценил лаконизм условных схем.

Он любит, однако, украшать рисунок, как об этом свидетельствует цветочек в его подписи.

Он использует свое открытие пересекающихся стрелок, но по-прежнему забывает обратные стрелки.

— Последняя игра: вы будете почтальонами. Вот семь поздравительных открыток, которые надо раздать этим пяти детям.

— У четырех из них сегодня день рождения, и они получают открытки. А пятый не получает.

— А можно дать три открытки одному!

— Можно, если вы хотите.

— Это Седрик.

— Это не та же самая история, что была рассказана в прошлый раз.

— Это история, которую я сам должен придумать!

— Нельзя давать все открытки одному!

— Все открытки надо раздать, и только один малыш не получит ни одной.

Ученики рисуют. Мадам Фредерик наблюдает за ними.

— Жан-Жак — хороший почтальон, но он роздал не все открытки. Кристиан слишком щедрый. Он дал открытки каждому ребенку. А ведь у одного из них день рождения не сегодня.

Пепито роздал больше семи открыток.

Эрве. Возраст: 5 лет 9 месяцев

Эрве один раз ошибся.

Он принялся рисовать свою последнюю стрелку, но путь был слишком длинным, настолько длинным, что Эрве забыл точку назначения. В последний момент он изменил решение, задумался и ошибся.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 6

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 40 минут. ДАТА: 20 сентября 1967 г.

ПРОГРЕССИЯ

Уроки

Отношения брат и сестра

1 и 2

4

Математизация* выполняется коллективно.

Упражнения полуиндивидуальные.

Стрелки частичных графов задаются одна за другой.

Решение предложенной программы коллективное.

6

Индивидуальные упражнения.

Каждый ученик имеет дело с частичными графами, заданными на всем множестве.

ЗАДАЧИ

Поскольку ученики мадам Фредерик не умеют ни читать, ни писать, невозможно предлагать им задачи в письменном виде.

Графы же позволяют предложить детям задачи, заставляющие их рассуждать.

Каждый ученик может попытаться решить их индивидуально и представить свой ответ, рисуя новые стрелки.

ПОЭТАПНАЯ ЗАДАЧА

Для шестилетних детей две первые предложенные ситуации — это маленькие поэтапные задачи.

Первая цель: распознать девочек и мальчиков. Заданные частичные графы позволяют их определить.

* Употребляемый авторами термин «математизация» хотя и вполне понятен, но часто заменяется терминами «формализация» или «построение математической модели», что, в частности, сделано и в отдельных местах настоящей книги. (Прим. переводчика.)

СХЕМЫ И УСЛОВНЫЕ ЗНАКИ

— Как указать на рисунке, что здесь мальчик, а там девочка?

— Красной и зеленой точками.

Остроумный ответ!

Красные стрелки показывают сестер, значит, красный цвет обозначает девочек.

Зеленые стрелки показывают братьев, значит, зеленый цвет обозначает мальчиков.

Красные стрелки окрашивают красным цветом конечные точки. Зеленые стрелки их окрашивают зеленым.

Удивленная советами учеников, мадам Фредерик боится наложения двух условностей, касающихся одна — стрелок, другая — точек.

— Неплохая мысль, но ведь стрелки уже красные и зеленые.

— Можно было бы нарисовать маленького мальчика и маленькую девочку.

Возврат к конкретному после совершенного «схемного» совета о красных и зеленых точках.

Дети нисколько не сомневаются:—Это легко!

Чтобы облегчить ученикам задачу, мадам Фредерик предлагает им принять термин, средний между чистой условностью и конкретной репродукцией, — «схема».

Чистая условность

Схема

Конкретная репродукция

В классе стихийно рождаются крайние предложения.

Среднее из них, термин более точный, предложенный мадам Фредерик, постепенно было принято (но пока лишь на словах!) учениками.

Некоторые дети не придерживаются схемы строго. Для них схемы — это «приманка» к репродукции.

Схемы украшаются, дополняются, раскрашиваются. Мало кто из детей способен вынести эти безглазые фигурки. Схема постепенно превращается в репродукцию.

Подчеркнем, что всякое первое предложение, неожиданно исходящее из класса, было чистой абстракцией, изобретательно привитой на уже принятую абстракцию стрелок.

Ребенок естественно идет к символу и охотно предлагает чистые абстракции.

Эрве. Возраст: 5 лет 9 месяцев

Рисунок очень оригинальный и красивый.

Форма схем, обозначающих девочек и мальчиков, стилизуется в точку, становясь условным соглашением.

В схемы, предложенные мадам Фредерик, Эрве добавил суперпозицию двух условных соглашений — одного, касающегося фор мы, другого — цвета.

ИГРА В ПОЧТАЛЬОНА

Две задачи о брате и сестре потребовали большой сосредоточенности учеников.

Полностью сменив тематику, мадам Фредерик удается заинтересовать учеников третьей задачей.

— Последняя игра: вы будете почтальонами!

Дети устали. Последняя задача полегче и требует от них изменения типа деятельности, что позволяет успешно закончить урок.

урок 7

Распределение конфет

ОТОБРАЖЕНИЕ ИНЪЕКЦИЯ БИЕКЦИЯ*

— Сегодня мы будем раздавать детям конфеты. Вот множество конфет.

— Нарисуйте столько конфет, сколько на доске, ни больше, ни меньше.

* Термины «инъекция», «сюрьекция» и «биекция» появились в советской математической литературе после перевода книги Н. Бурбаки «Теория множеств». В настоящей книге терминология специальных видов отображений разъясняется в комментарии к уроку 7. Непосредственно в ходе урока эта достаточно сложная терминология не употребляется. (Прим. переводчика.)

Рядом с множеством конфет нарисуем множество детей.

— Сколько конфет?

— 7!

— Сколько детей?

— 5!

— Двое ребят непослушные. Они не получат конфет. Речь идет не о вас, разумеется. Распределите конфеты.

— Зеленым!

— Как хотите, но все конфеты должны быть распределены, и не забывайте, что двое ребят наказаны.

Дети рисуют.

— Дидье, не расскажешь ли ты нам о своем распределении?

— Один малыш очень хороший, и он получил 4 конфеты, другой получил 2, и еще один — 1.

— Посмотрим рисунок Клэр. У нее такое же распределение, как у Дидье. А Сильвия?

— 3 конфеты одному, 2 конфеты другому и еще 2 конфеты третьему.

Сильвия.

Возраст: 6 лет

Красиво и правильно.

Современная математика — эстетическая математика.

— Еще одно распределение конфет. На этот раз никто из ребят не получит больше, чем по одной конфете. Не больше одной конфеты на одного!

Вот множество конфет и множество детей.

— Сколько конфет?

— 5!

— А сколько детей?

— 6!

— Одному не достанется.

— Распределите конфеты.

Дети рисуют.

— Что вы заметили?

— Один ничего не получил.

— Почему?

— Он был непослушным!

— Вы умеете писать 5 и 6?

— Да!

— Это легко!

— Какое из этих двух чисел меньше?

— 5!

— Напишите: 5 меньше, чем 6. Помните ли вы, как это надо сделать?*

— Да, стрелочкой.

— Внизу рисунка напишите: 5<6. Кристина написала наоборот. Что меньше, 5 или 6?

— 5!

— Стрелка направлена на меньшее число!

* Дети познакомились со знаком < на одном из предыдущих уроков, когда этот знак помогал им сравнивать длины палочек. Ссылки на эти уроки есть и ниже (см. урок 8). (Прим. переводчика.)

Юбер. Возраст: 6 лет 7 месяцев

Юбер сначала ошибся и нарисовал два множества из 6 объектов. Он перевернул лист и сделал этот красивый рисунок, который показывает, что Юбер усвоил связь между инъекцией и отношением <.

Числа 5 и 6 размещены на непредусмотренных местах, и Юбер позволил себе некоторую вольность со знаком <, нарисовал его голубым цветом. Но не делаем ли мы сами иногда так, как он?

Карина. Возраст: 6 лет 5 месяцев

Рисунок простой, четкий, правильный.

— Новая история с конфетами. Не говорите ничего. Сосчитайте конфеты и детей.

— О!

— А я знаю!

— Тише!

— Можно нарисовать!

— Да. Распределите конфеты не больше чем по одной каждому и сделайте это распределение цветным, это красивее. Что получилось?

— 8 детей и 8 конфет!

— Никто из детей не наказан!

— Внизу рисунка напишите большое красивое число 8.

— Это просто!

Кристиан. Возраст: 6 лет 8 месяцев

Кристиану трудно изобразить две стрелки, начерченные мадам Фредерик. Однако он понял главную идею, несмотря на забытую стрелку.

Филипп. Возраст: 6 лет 2 месяца

Как и большинство его товарищей, Филипп дважды отметил 8. Он подчеркивает этим, что биекция обеспечивает равенство числа объектов в обоих множествах. Филипп нарисовал пересекающиеся стрелки, но каждое из его множеств содержит 9 элементов!

Последнее упражнение на инъективное распределение конфет: 5<7.

— С конфетами уже не интересно: все время одно и то же, — комментирует Юбер, для которого эта работа больше не представляет трудностей. Пепито и Даниэль, напротив, трудятся усердно и горды своими первыми удачными графами.

Катрин. Возраст: 6 лет 6 месяцев

Забавное исправление маленькой технической оплошности. Рисунок правильный, хотя и наивный. Катрин поняла связь между < и несюрьективной инъекцией, но эта связь еще не показана на рисунке. Приступая к работе, Катрин не представляла себе вид множества, который позволил бы нарисовать граф более четко, без пересекающихся стрелок.

Николо Возраст: 5 лет 10 месяцев

Никола, недовольный своим изображением формулы 5<7, видоизменяет его. Никола заранее знает, что он будет делать, и создает в некотором роде рекламную картинку, демонстрирующую связь между < и несюрьективной инъекцией.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 7

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 40 минут ДАТА: 22 сентября 1967 г.

УТОЧНЕНИЕ РЕКОМЕНДАЦИЙ

Воспроизвести рисунок, содержащий большое число точек, не значит, что нужно обязательно нарисовать точно такое же число точек. Мадам Фредерик это уточняет.

— Нарисуйте столько конфет, сколько на доске, ни больше, ни меньше.

ДЕТИ НАХОДЯТСЯ ПОЛНОСТЬЮ ВО ВЛАСТИ АБСТРАКТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Мадам Фредерик с помощью рисунка показывает множество конфет и множество детей.

Никто из детей не возражает, не протестует. Они чувствуют себя свободно в этом мире абстрактных схем, выражающих знакомые ситуации. Поэтому нет необходимости конкретизировать ситуацию с помощью настоящих конфет. Никто из учеников не удивляется, что изображения детей и конфет очень похожи!

Ученики на этом уровне усвоили условные соглашения. И мадам Фредерик убеждается в этом непосредственно.

— Сколько конфет?

— Сколько детей?

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОНФЕТ

Мадам Фредерик ставит перед учениками задачу определить возможные способы распределения конфет. Двое непослушных ребят не получат конфет.

— Распределите конфеты.

Не вызовет ли привлекательность конфет затруднений? Вопрос из класса снимает это сомнение.

— Зеленым!

Дети отвлекаются от внешней формы распределения конфет, сохраняя только граф-рисунок приводимого ниже математического понятия в конкретной ситуации, заданной мадам Фредерик.

ОТОБРАЖЕНИЕ

ФУНКЦИЯ

МНОЖЕСТВО КОНФЕТ ВО МНОЖЕСТВО ДЕТЕЙ

Каждая стрелка исходит из некоторого элемента множества конфет и заканчивается в некотором элементе множества детей. Из каждой точки множества конфет исходит одна, и только одна, стрелка.

ОТОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ

ИНЪЕКЦИЯ

Это описываемое ниже математическое понятие встречается во втором распределении конфет.

ИНЪЕКЦИЯ AB

= ОТОБРАЖЕНИЕ А В такое, что во всякой точке из В заканчивается не более одной стрелки.

Каждая стрелка исходит из некоторой точки множества А и заканчивается в некоторой точке множества В.

Из всякой точки множества А исходит одна, и только одна, стрелка. Во всякой точке множества В заканчивается не более одной стрелки.

ИНЪЕКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ИНЪЕКЦИЯ

НАУЧИТЬ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЛОГИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

При определении инъекции используется логическое выражение не больше, которое дети, возможно, плохо понимают.

Мадам Фредерик объясняет новое задание на распределение так, чтобы оно было понятно детям.

— Каждый из детей получит не больше одной конфеты. Мысль тут же подкрепляется краткой формулой:

— Не больше одной конфеты на одного,

которая вводит логический квантор (математический термин. — Ред.) не больше.

СИТУАЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КОНФЕТАМИ, ПРОБУЖДАЮТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СПОСОБНОСТИ ДЕТЕЙ

Пять конфет и шесть ребят. Немедленная реакция:

— Одному не достанется!

НАПИСАНИЕ ЦИФР

Каждый день отрывают листок календаря. Дома, автомобили, трамваи имеют номера. Начертание цифр ...5, 6, ... знакомо шестилетним детям; они не только пишут цифры, но и украшают их. Дети научились писать цифры и числа

ДО УРОКОВ МАДАМ ФРЕДЕРИК.

ПЕДАГОГИКА СИТУАЦИЙ

состоит в том, чтобы ставить учеников в ситуации, которые приводят их к естественному и активному обучению.

СЮРЬЕКЦИЯ А -В

=ОТОБРАЖЕНИЕ А-> В такое, что во всяком элементе из В заканчивается не менее одной стрелки.

Каждая стрелка выходит из некоторой точки множества А и заканчивается в некоторой точке множества В.

Из каждой точки множества А выходит одна, и только одна, стрелка. В каждой точке множества В заканчивается по крайней мере одна стрелка.

СЮРЬЕКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ = СЮРЬЕКЦИЯ

КОНТРПРИМЕРЫ

Мадам Фредерик не вводит специально ситуацию, раскрывающую смысл понятия сюрьекция.

Тем не менее это понятие появляется в примерах несюрьективных отображений.

Распределение писем почтальоном несюрьективно, потому что некоторые дети не получили писем. Распределение конфет детям несюрьективно, потому что двое детей не получили конфет.

В этом последнем случае несюрьективность подчеркнута жестоко: двое детей наказаны!

Отображение А -> В несюрьективно

В включает «наказанные» точки, т. е. те, в которых не оканчивается ни одна стрелка!

ВЫБОР СИТУАЦИИ

Конфеты распределяются не так, как письма. После волнующих распределений в первом примере все успокаиваются, и новые распределения проводятся по правилу: по одной конфете, т. е. способом инъекции — каждый раз, когда это возможно. Распределения конфет поясняют понятие инъекции.

СТРОГИЙ ПОРЯДОК: МЕНЬШЕ ЧЕМ

Некоторые инъективные распределения, к сожалению, несюрьективны, если число конфет меньше числа детей. Ученики мадам Фредерик познакомились с выражением меньше чем на предыдущих уроках на примере разноцветных палочек, где в игру вводились длины, а не числа. Дети даже записали тогда свои наблюдения над длинами палочек с помощью буквенных формул.

Вот первые формулы, написанные НИКОЛА:

Каждая буква означает длину одной палочки.

голубая желтая черная красная бледно-зеленая

белая каштановая оранжевая розовая темно-зеленая

На седьмом уроке ученики мадам Фредерик пользуются выражением меньше чем без особых затруднений.

БИЕКЦИЯ

Восемь конфет и восемь детей.

— Не больше одной конфеты каждому!

Это можно было бы назвать инъекцией, но на этот раз все очень хорошо — никто не останется без конфет. Это биекция.

БИЕКЦИЯ А -> В

=ОТОБРАЖЕНИЕ А-> В инъективно и сюрьективно.

Каждая стрелка выходит из некоторой точки множества А и заканчивается в некоторой точке множества В.

Из всякой точки множества А исходит одна, и только одна, стрелка. Во всякой точке множества В заканчивается одна, и только одна, стрелка.

БИЕКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ = БИЕКЦИЯ

БИЕКЦИЯ И ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ

Для учеников мадам Фредерик абсолютно очевидно, что множества А и В имеют одинаковое число элементов тогда, и только тогда, когда существует какая-либо биекция À -> В.

В частности, биекции сохраняют число.

Вопреки опасениям некоторых педагогов шестилетние ребята совершенно убеждены в сохранении числа элементов при биекции.

ЧИСЛО 8

Мадам Фредерик просит учеников поставить под рисунком большую цифру 8, желая ввести понятие о категории множеств из восьми объектов на основе биекции.

Большинство учеников идут дальше этого обозначения и чертят восьмерки около каждого из множеств.

Класс всех множеств из восьми элементов не имеет ничего общего с конкретной природой элементов.

Изображая цифру 8 около каждого множества, ученики рассматривают биекцию как частный случай инъекции.

СЮРЬЕКТИВНОСТЬ = ОТСУТСТВИЕ НАКАЗАННЫХ

Замечание:

— Никто из детей не наказан!

Этими словами выражена сюръективность.

урок 8

Задачи, которые вводятся с помощью графов

Брат и сестра

Каждый ученик получает листок размером 20X30 см, воспроизводящий этот рисунок.

— Четверо детей играли в брата и сестру. Что говорят красные стрелки?

— Вот моя сестра.

— Что говорят зеленые стрелки?

— Вот мой брат.

— Где здесь девочки и мальчики? (Дети показывают.)

— Как мы обозначаем девочек?

— Двумя длинными косичками.

— А мальчиков?

— Маленьким ежиком!

— Отметьте девочек и мальчиков и, если некоторые малыши не закончили игру или не все сказали, сделайте это за них, нарисовав стрелки, которых не хватает!

Дети рисуют. Мадам Фредерик не вмешивается. Никаких исправлений, ни индивидуальных, ни коллективных.

Катрин. Возраст: 6 лет 6 месяцев

Все стрелки правильные.

Но добившись успеха, Катрин быстро перестает играть. Пересекающихся стрелок, как и раньше, не хватает.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Рисунок совершенен.

Перекрещивающиеся возвратные стрелки!

Вдохновленный моделью, Никола положил начало новой технике изображения стрелок.

Полюбуемся аккуратным разрывом линий там, где стрелки пересекаются!

Никола хорошо понимает, что такое символ.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Каждый ученик получает лист бумаги, на котором воспроизведен этот граф.

— Рассмотрите внимательно рисунок. Что за история на нем изображена? Дидье говорит:

— Один из ребят получил их три!

— Что получил — конфеты?

— Или открытки.

— Это как ты хочешь!

— Конфеты!

— Сколько конфет в истории Дидье?

— 7.

— А сколько ребят?

— 6.

— И двое ребят, которые ничего не получили.

— И один, который получил две конфеты.

— И двое, которые получили по одной.

— А теперь очередь Сильвии.

Сильвия рассказывает ту же историю с леденцами.

— А у меня хорошая история! Семь автомобилей и шестеро детей.

— А кто раздавал автомобили?

— Почтальон.

— Почтальон раздавал автомобили?

— Нет, это Дед Мороз. Один из ребят получил три машины, другой — две и еще двое — по одной.

— Хорошо! Кто нам расскажет другую историю?

— Это семь шоколадок и...

— Еще одну, последнюю.

— Имеется семь писем... и т. д.

— Очень хорошо! Сейчас мы нарисуем новую историю. Эта история для больших детей.

— Ах!

ЧИСЛА ГОВОРЯТ

Отношение строгого порядка < в множестве œ натуральных чисел.

— Жили-были четыре числа.

Первое было 1, второе — 5 и два других — 7 и 9.

Мадам Фредерик рисует на черной доске эту огромную диаграмму.

И числа разговаривали.

Число 1 посмотрело сначала на число 5 и сказало:

«Я меньше, чем ты!»

или

«Я больше, чем ты!»?

— Я меньше, чем ты!

— А каким цветом говорит?

— Оранжевым.

— А мне больше нравится желтым!

— Могло бы число 1 поговорить с другими числами?

— 1 меньше, чем 7.

— И все?

— Нет! Оно могло бы еще сказать: «Я меньше, чем 9».

— Ну вот теперь все!

Один из учеников у доски показывает жестами одну за другой три стрелки, о которых идет речь, и, в то время как мадам Фредерик рисует мелом, дети воспроизводят их на листах бумаги.

— Вот теперь для числа 1 все. Но ведь другие числа тоже умели говорить?

— Да! 5 меньше, чем 7.

— 5 меньше, чем 9.

— Все ли числа поговорили?

— Нет! 7!

— Что могло бы сказать число 7?

— Я меньше, чем 9.

— Все?

— 9 меньше, чем 20.

— Это верно! Но разве мы нарисовали 20 на доске?

— Нет! 20 там нет!

— Можно было бы еще сказать: «9 больше, чем 7».

— Хорошая мысль, но ведь мы рассказывали историю о «меньше чем». Нарисуем сбоку рисунка оранжевый значок <.

Дидье. Возраст: 6 лет 5 месяцев

Воспроизводя модель, нарисованную мадам Фредерик, Дидье ее полностью исказил. Он сохранил от оригинала только множество, состоящее из четырех точек.

Дидье правильно начертил стрелки, но случилось несчастье: он плохо нарисовал число 1, которое превратилось в 7.

У Дидье получился рисунок, где число 7 фигурирует два раза. Дидье уточняет условие: две точки, изображающие семерки, связаны линией ... без стрелки!

Карина.

Возраст: 6 лет 2 месяца

Карина подчеркивает строгий порядок тремя способами: стрелками, размером цифр, величиной точек!

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Никола пользуется свободой действий, которую предоставляет ему копия модели мадам Фредерик, искусно располагая числа так, чтобы получился красивый и понятный граф.

КАКИМИ МОГУТ БЫТЬ ЭТИ ГОВОРЯЩИЕ ЧИСЛА!

Мадам Фредерик рисует на доске:

— Это еще одна история про говорящие числа.

И мадам Фредерик рисует эти две красные стрелки и знак <:

— Что говорят эти стрелки?

— Я меньше, чем ты!

— Какими могут быть эти числа?

Дети рисуют и ставят цифры на листах бумаги.

— А теперь ответим у доски!

Мадам Фредерик указывает на крайнюю левую точку на доске.

— Что написать здесь?

— 1.

— Что говорит эта единица?

— Я меньше, чем 2.

— А 2 продолжает ...

— Я меньше, чем 4.

— Кто хочет рассказать нам другую историю?

— 1 меньше, чем 3, а 3 говорит: «Я меньше, чем 4».

— Не забыло ли в этой истории одно число поговорить?

— Да, 1 и 4!

— Кто говорит?

— 1 говорит: «Я меньше, чем 4!»

Филипп.

Возраст: 6 лет 2 месяца

Филипп неточно выполнил задание, и возникла ... новая проблема. Он решил ее.

Карина. Возраст: 6 лет 2 месяца

Хороший ответ. Но вместо 7 нарисовано ее зеркальное отражение. Крупные точки получились при исправлении сделанной вначале ошибки.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 8

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 40 минут ДАТА: 28 сентября 1967 г.

СИМПАТИЧНЫЙ КВАРТЕТ

Один и тот же квартет братьев и сестер был изображен мадам Фредерик различными способами:

Уроки Задание Девочки и мальчики

ВЕТОЧКА ЗА ВЕТОЧКОЙ СТРОИТ ПТИЧКА СВОЕ ГНЕЗДО

УРОК 4

Мадам Фредерик рисует одну за другой четыре стрелки на черной доске. Ученики делают комментарии и выводы по мере постепенного усложнения ситуации. Дети самостоятельно занимаются усложнениями графов сестры и братья.

Законченный рисунок

сложен и технически труден шестилетним ученикам. Метод мадам Фредерик характеризуется постепенностью и индивидуальным подходом. Каждый ребенок понемногу усложняет свой рисунок в соответствии с собственным пониманием ситуации. Вообще говоря, начерченные стрелки верны, но их не хватает.

УРОК 6

Мадам Фредерик знакомит учеников с тремя разновидностями симпатичного квартета:

1. Информация дается (на листках).

Дополнительная трудность: на этот раз речь идет о том, чтобы разобраться в данных.

2. Сестры по-прежнему находятся по соседству, но в верхней части рисунка, а не слева, как в первом варианте.

Мадам Фредерик обходит таким образом столь опасные подводные камни стабильных ситуаций.

3. Одна из заданных стрелок изменена, что слегка видоизменяет задачу.

Попытки учеников дополнить эти графы естественны. Как и в жизни, они сначала ищут связи между соседями. Отсутствие пересекающихся стрелок можно объяснить боязнью осложнить свою работу.

Сравнение двух графов Никола (урок 4, стр. 51 и урок 6, стр. 89) показывает, что затруднения в рассуждениях возникают иной раз не из-за отсутствия стрелок, а из-за неверного понимания их назначения.

Действительно, одна из пересекающихся стрелок, отсутствующая на рисунке урока 6, фигурирует как непересекающаяся на рисунке урока 4.

УРОК 8

Чтобы подвести детей к пониманию назначения пересекающихся стрелок, мадам Фредерик снова изменяет расположение детей в семье, указывая сразу стрелку, которая должна пересечься с другой (для того, чтобы путь был кратчайшим).

Третий граф Никола (урок 8, стр. 131) показывает, что метод мадам Фредерик позволил ему самому научиться свободно отвечать на поставленный вопрос.

БОЯЗНЬ НЕПРИЯТНЫХ ВСТРЕЧ

Через две или три недели после урока 8 некоторые дети нарисовали большие панно, чтобы украсить класс. Дидье первым представил эту работу.

Дидье. Возраст: 6 лет 5 месяцев

— Все ли дети всё сказали?

— Нет!

Вот эта (он показывает на рисунок)

может еще сказать этому (указывает на диаметрально противоположную точку):

— Вот мой брат.

А этот может ей ответить:

— Вот моя сестра.

Но на рисунке это не получается из-за этих стрелок (показывает две уже начерченные диагональные стрелки).

Потом, подумав:

— Но я могу по-другому все сделать.

И делает этот рисунок, показывающий, до чего может довести боязнь неприятных встреч:

Дидье предпочитает

длинные кривые стрелки, не пересекающиеся с другими стрелками, коротким прямым пересекающимся.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Всякое приложение математики может быть рассмотрено как процесс, состоящий из трех этапов:

Этап 1: построение математической модели — формальное описание ситуации посредством соответствующих идеализации.

Этап 2: исследования — рассуждения и оценки — в математической модели.

Этап 3: конкретная интерпретация результатов, полученных в конце второго этапа.

Очень часто исследование физической задачи, частично аксиоматизированной, идет по пути установления некоторых строгих ограничений и отбрасывания гипотез и предположений и сводится к представлению структурной формы из того, что остается дозволенным.

Главное — суметь представить многочисленные конкретные ситуации, сравнимые с разрешенной абстрактной схемой.

Прототип распределения, конечно, влияет на учеников. Однако постепенно, по мере изучения отображения и функций, дети освободятся от этого влияния.

ФОРМИРОВАНИЕ ИНТУИТИВНЫХ ПРОТОТИПОВ

Упражнения на интерпретацию типа тех, которые были предложены мадам Фредерик своим ученикам, очень важны для понимания математических отношений.

Всегда считалось, что доминирующая роль математической ситуации — давать математические примеры.

Составление и изучение примеров — важный шаг в преподавании и изучении математики.

Способность придумывать совершенные интуитивные модели некоторых абстрактных ситуаций означает, что каждый ученик может составлять для себя набор интуитивных прототипов в соответствии со своим развитием интеллекта, творческим воображением и фантазией.

ОБЪЕКТЫ

Примем это

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Объект = элемент некоторого множества

ОБЪЕКТЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ ДО СИХ ПОР УЧЕНИКАМ МАДАМ ФРЕДЕРИК:

дети, девочки, мальчики; ботинки, сабо, открытки;

ученики класса: Седрик, Даниэль, Юбер, Жан-Жак, Мириам; конфеты, леденцы, шоколадки; логические блоки Дьенеша*.

Набор этих объектов весьма разнообразен:

ОБЪЕКТЫ

одушевленные

неодушевленные

действительные

ученики нашего класса

логические блоки ДЬЕНЕША

воображаемые

ученики маленького класса

ботинки, конфеты, открытки, автомобили

На уроке 8 этот набор обогащается появлением первых абстрактных объектов — это числа 1, 5, 7, 9.

* Дьенеш — педагог-математик, известный экспериментами с разнообразным дидактическим материалом. В частности, детские рисунки и диаграммы могут быть рассмотрены как логические блоки Дьенеша. (Прим. переводчика.)

Мадам Фредерик, одушевляя числа, подводит учеников к пониманию того, что существует только одно-единственное число 1, одно-единственное число 5, одно-единственное число 9, и множество

1, 5, 7, 9

четырех разговаривающих между собой чисел воспринимается без малейших трудностей.

— И они разговаривают!

СТРОГИЙ ПОРЯДОК

Чтобы заставить говорить числа 1, 5, 7 и 9, дети обращаются к интуитивному понятию строгого порядка.

Правда, оно было несколько подготовлено уроками с использованием метода КЮИЗИНЕРА*.

Чтобы организовать беседу своих друзей-чисел 1, 5, 7 и 9, детям достаточно вспомнить натуральный ряд 1, 2, 3....

ПАССИВНАЯ ФОРМА

Хорошо знакомое отношение строгого порядка служит основанием для того, чтобы ввести граф представленного в пассивной форме отношения меньше чем, хотя такое представление создает некоторые трудности.

Но в этом случае предлагаемая ситуация благоприятна, поскольку она ближе ученикам, предпочитающим форму я меньше, чем ты форме

ты больше, чем я. Стрелка идет, естественно, от меньшего к большему.

ЭТО ВСЕ!

Интересно различие между точкой зрения взрослого и живым воображением ребенка.

* Кюизинер — педагог-экспериментатор, предложивший систему счетных палочек разной длины для объяснения элементов счета и сравнения чисел. За каждой палочкой-числом закреплен свой цвет. (Прим. переводчика.)

Когда мадам Фредерик ставит столь пространный вопрос: — Это всё? —

она ограничивает себя условиями игры:

числа 1, 5, 7, 9 беседуют между собой.

Точка зрения взрослого

— Это всё?

Так как ребенку не хочется кончать игру, он гибко модифицирует правило, определяющее конец игры:

Числа 1, 5, 7, 9 беседуют между собой

с помощью выражения:

Числа 1, 5, 7, 9 разговаривают,

что позволяет ему продолжать игру:

— 9 меньше, чем 20.

Точка зрения ребенка

урок 9

Строгий порядок

— Давайте поиграем нашими пальцами! Покажите 3 пальца!

Каждый ученик показывает 3 пальца.

— 5 пальцев, 6 пальцев, 8 пальцев, 10 пальцев.

— Это легко!

— 9 пальцев.

Внимание, у многих детей я вижу 6 пальцев, а не 9. ... 7 пальцев ... 4 пальца.

— Это легко!

— Сядьте по двое. Теперь я буду просить вас показать больше 10 пальцев.

11 пальцев.

Смущение некоторых пар, в которых каждый хочет показать 10 пальцев.

— Вы должны договориться между собой, кто из вас будет показывать 10 пальцев.

Так! Чтобы показать 11 пальцев...

— Показывают 10 и еще 1.

— А 12?

— Это 10 плюс 2.

— А 14?

— Это 10 плюс 4.

— Покажите 15! Сколько рук?

— 3!

— А теперь другая игра. Внимание! Я начинаю. 1 меньше, чем ...

Мадам Фредерик предлагает ответить одному из учеников.

— 2!

— 2 меньше, чем ...

— 4!

— 4 меньше, чем ...

— 5!

— 5 меньше, чем ...

— 6!

— 6 меньше ...

— Оранжевой!

— Оранжевый — это цвет палочки. Назови число.

— 10!

— 10 меньше, чем ...

— 12!

— 12 меньше, чем ...

— 14!

— 14 меньше, чем ...

— 13!

— Это верно?

— Нет. 13 меньше 14!

— 14 меньше, чем ...

— 20!

— Покажите 20 пальцев.

— Это 4 руки!

— Продолжаем!

Никола, 20 меньше, чем ...

— 22!

— 22 меньше, чем ...

— 23!

— 23 меньше, чем ...

— 24!

— 24 меньше, чем ...

— 26!

— 26 меньше, чем ...

— 25!

Смех в классе.

— Седрик сказал, что 26 меньше 25! Он просто хотел над нами подшутить.

— 26 меньше, чем 30!

— Сколько нужно детей, чтобы показать 30 пальцев?

— 3!

— 30 меньше, чем ...

— 40!

— 40 меньше, чем ...

— 50!

— Сколько нужно детей, чтобы показать 50 пальцев?

— 5!

Мадам Фредерик останавливает игру и рисует на доске граф.

— Перерисуйте с доски этот рисунок.

Сосчитайте хорошенько точки, потому что их нужно нарисовать столько же, сколько у меня, ни больше, ни меньше.

Послушайте все историю.

Эти числа разговаривали между собой. Каждое из них говорило, показывая красной стрелкой: «Я меньше, чем ты!»

— Покажи первое число, Седрик.

Седрик показывает первую точку.

— Что оно говорит второму?

— Я меньше, чем ты!

Седрик показывает первую стрелку.

Снова начинают ту же игру для других стрелок.

— А теперь придумайте сами числа, которые здесь разговаривали!

— Надо нарисовать цифры?

— Да, числа. И заставить правильно разговаривать!

— Начинать с 1?

— Как хочешь, это не обязательно.

Мадам Фредерик наблюдает за рисунками детей.

— У Филиппа числа говорят очень хорошо.

— А у Доминика числа рассказывают какую-то забавную историю!

МОНТАЖ

Марина.

Возраст: 6 лет 5 месяцев

В желтом кружке первый рисунок Марины.

Она сама понимает свою ошибку, переворачивает листок и, чтобы выиграть время, рисует все одним цветом — красным. Теперь верно.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Рисунок правильный. Чтобы нарисовать цифры лучше, Никола постепенно поворачивает лист.

— Давайте все вместе попросим поговорить числа на доске.

Дидье предлагает:

— У меня первое число, которое начинает говорить,— это 3.

— Что же оно говорит?

— Я меньше, чем 6!

Вмешивается Жан-Жак:

— 6 говорит: «Я меньше, чем 7!»

— А число 7, Анна?

— Я меньше, чем 9!

— А 9, Сильвия?

— Я меньше, чем 11!

— Ты умеешь писать 11!

— Да, это две 1 !

— А что говорит 11, Жан-Филипп?

— Я меньше, чем 13!

— Да, но я просила ответить не Сильвию, а Жан-Филиппа. Продолжай, Жан-Филипп.

— 13 меньше, чем 20!

— Как написать 20!

— 2 и 0!

По мере того как дети называют числа, мадам Фредерик записывает их и граф пополняется.

— Марина, не прочитаешь ли ты написанную на доске историю?

Марина не умеет или не хочет прочитать. Жан-Филипп читает с места.

— Вот новый рисунок.

— Эти числа говорят красными стрелками: «Я меньше, чем ты!» Вам надо выбрать третье число.

— Какое хотим?

— Да, но обратите внимание на то, что говорят ему два других числа!

Мадам Фредерик наблюдает за работой детей над рисунками.

— Никола выбрал 10f Дидье — 8, Жан-Жак — 20, а Анна?

— Анна забыла поговорить.

Карина. Возраст: 6 лет 5 месяцев

Отлично.

Рисунок правильный и достаточно точно воспроизведен с доски. Но Карина деликатно показывает, что ей больше нравится число 10.

Карина. Возраст: 6 лет 2 месяца

На этом рисунке Карина отказалась от увеличения цифр, но значительно увеличила точки.

Стрелки на доске поднимаются, а на рисунке Карины они опускаются.

Но это вполне допустимо.

— Еще одна история о числах, говорящих красными стрелками: «Я меньше, чем ты!»

— Теперь вам надо выбрать два числа.

Дети работают самостоятельно.

— Хорошо, Сильвия, все верно. А Никола?

— 6 меньше, чем 7, а 7 меньше, чем 8!

— А Жан-Филипп?

— 9 для первого ...

— Разве это возможно?

— Нет, 9 больше, чем 8!

— А Карина?

— 5 меньше, чем 6, а 6 меньше, чем 8!

— Правильно!

— А у Кристиан?

Он нам говорит: «7 меньше, чем 11!»

— Это верно!

— А 11 меньше, чем 8!

— Нет!!

Проверяют еще несколько ответов, затем переходят к последней задаче.

Пепито. Возраст: 6 лет 1 месяц

Все правильно.

— Последняя история, самая трудная.

— Эти числа говорят красными стрелками: «Я меньше, чем ты!» И вам надо выбрать два числа.

Мадам Фредерик просит одного из учеников жестами показать условие этой задачи.

Затем самостоятельная работа. Урок заканчивается проверкой некоторых ответов.

МОНТАЖ

Разные ответы в равной степени правильные.

Карина.

Возраст: 6 лет 5 месяцев

Никола

Возраст: 5 лет 10 месяцев

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 9

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 40 минут ДАТА: 4 октября 1967 г.

УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Ученики мадам Фредерик знают начало натурального ряда

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.....

столь необходимого им для счета и вычислений, и охотно перебирают его элементы, комментируя свои случайные ошибки.

Некоторые ребята были увлечены в этом упражнении тем, как они взбирались вверх по числовой лестнице.

Первые упражнения этого урока позволяют мадам Фредерик узнать и учесть предварительные знания своих учеников.

ПАЛЬЦЫ

Десятичная система своим происхождением обязана тому факту, что человек имеет 10 пальцев. Руки и пальцы всегда служат первой вычислительной машиной, в совершенстве приспособленной к десятичной системе.

НУМЕРАЦИЯ ПОЗИЦИЙ

Ответы на вопросы мадам Фредерик показывают, что некоторые из ее учеников владеют достаточно точной идеей нумерации позиций в десятичной системе.

ПОИГРАЕМ НАШИМИ ПАЛЬЦАМИ ВДВОЕМ

Мадам Фредерик раскладывает по десяткам числа от 10 до 20, используя пальцы двух учеников.

Эта ситуация способствует естественному восприятию первых понятий десятичной нумерации.

Коллективное построение возрастающей последовательности целых чисел— это конкретная реальность, где каждый ученик играет свою определенную роль.

Ученики строят строго возрастающую последовательность, сооружаемую из чередующихся детских ответов. Это сооружение приводит совершенно естественно к идее, что каждое число последовательности само указывает следующее за ним, откуда и рождается понятие кортежа, граф которого изображен на рисунке.

Этот граф позволяет мадам Фредерик дать каждому ученику индивидуальное упражнение, продолжающее коллективно начатую работу.

ТРАНЗИТИВНОСТЬ

Чтобы выполнить это второе упражнение,

ученики выбирают число, превосходящее 5, и проверяют, больше ли оно 7. Так, некоторые отбрасывают 6 после предварительной проверки. Другие объясняют, что, поскольку 7 больше, чем 5, достаточно выбрать число, превосходящее 7, используя, таким образом, транзитивность строгого порядка.

урок 10

Кортежи

Не говоря ни слова, мадам Фредерик рисует на доске.

— Завитушка!*

— Да, завитушка!

* В оригинале восклицание детей: «Une crolle!» Это слово не литературного французского языка, а элемент диалекта бельгийцев, говорящих на французском, означающий, в частности, «локон», «завиток», «завитушка». Толкованию этого слова авторы уделяют большое внимание в комментарии к уроку 10. (Прим. переводчика.)

— Нарисуйте спираль: точки черные, стрелки цветные.

— А завитушку — красным!

— Выбирайте цвет, какой вам нравится.

— Я сделала спираль слишком маленькой.

— Ничего страшного. Начни снова. Посмотри хорошенько на стрелки. Точки бегут одна за другой.

Смех в классе.

— Это числа.

Вот 1. Кто бежит вслед за 1!

— 2!

— А за 2?

— 3! И т. д.

— 7!

— Продолжайте сами. Рисуйте цифры красивые, но не слишком большие.

— После 7, Эммануэль?

— 8!

— Затем?

— 9!

И т. д.

Каждый ученик пишет число на доске. Игра продолжается до числа 27.

— На доске у меня больше нет места. Может быть, на ваших листках все уместится. Продолжайте, пока это возможно.

Седрик. Возраст: 6 лет

Свобода выбора цвета позволила выполнить этот волнующий воображение рисунок, поглотивший всю энергию его автора. Седрик не написал ни одного числа, но он создал рисунок в соответствии со своими интересами и своими возможностями.

Юбер.

Возраст: 6 лет 7 месяцев

Юбер очень старался, но слишком сгустившиеся точки запутали рисунок. Как мы увидим позднее, Юбер это поймет.

Карина.

Возраст: 6 лет 5 месяцев

Карина выполнила задание по-своему: вместо черных точек она нарисовала цветные.

На доске мадам Фредерик остановилась на 27. Без ее помощи Карина верно продолжает писать натуральный ряд до 70.

Мадам Фредерик рисует на доске.

— Снова числа бегут одно за другим. Поглядите внимательно, где находится 4. Кто бежит вслед за 4!

— 5!

— А за 5?

— 6!

— А перед 4?

— 3!

— Продолжайте сами.

— Кто бежит перед 3?

— 2!

— А перед 2!

— 1!

— А перед 1!

— 0!

— А перед 0?

— Шарло!

— Да, Шарло!*

Смех в классе.

— Нет, это первый нуль.

— И второй нуль!

— И нулевой нуль!

— Нулевой нуль — это всегда нуль!

— Вы, наверно, слушаете сообщения о погоде по радио или телевизору?

— Да, слушаем.

— Что говорят, когда холодно?

— Ветер!

Мадам Фредерик не поправляет. Дети заканчивают рисунок.

* Шарло — персонаж французской народной песенки, в которой есть слова:

Нулижды нуль —

Это два глаза Шарло.

(Прим. переводчика.)

Пепито. Возраст: 6 лет 1 месяц

Рисунок красивый, хотя биекция «желтые точки — черные числа» несовершенна.

Отношение порядка соблюдено,

Юбер. Возраст: 6 лет 7 месяцев

— Хорошо, Юбер! Предыдущий рисунок многому научил тебя. Теперь ты его достаточно рассредоточил и постарался изменить краски.

Никола. Возраст: 5 лет 10 месяцев

Хорошие краски, красивая спираль, четкие цифры. После стрелок-треугольников Никола нарисовал грациозные стрелки-ласточки.

Мадам Фредерик рисует третью спираль и нумерует первые три точки: 0, 2, 4.

— Что происходит на этот раз?

— Числа не бегут!

— Отметим 0, а затем...

— 2!

— Не взяли 1.

— 2, а затем...

— 3!

— Нет, взяли 4.

— А потом...

— 6!

— А потом...

— 8!

— А потом...

— 10!

Мадам Фредерик пишет последовательно 6, 8, 10.

— Продолжайте сами.

Жан-Жак. Возраст: 6 лет 1 месяц

Хорошее начало, но Жан-Жак поставил слишком много точек и, кроме того, повернул стрелки в направлении, противоположном бегу чисел.

Филипп. Возраст: 6 лет 2 месяца

Позднее Филипп исправит свою маленькую ошибку в конце рисунка.

Филипп. Возраст: 6 лет 2 месяца

Десять дней спустя мадам Фредерик попросила Филиппа и троих его одноклассников нарисовать математические панно, чтобы украсить класс.

Ребята получили бумагу форматом 55X73 см, широкие разноцветные фламастеры.

Усевшись на полу, они принялись за работу.

Филипп особенно был увлечен выполнением огромного графа — спирали функции + 2. Как настоящий художник, он время от времени останавливался, чтобы перевести дыхание, внимательно созерцая свое творение.

Панно было создано за тридцать минут, без всякой помощи и советов. Никто в школе не знал, что Филиппу известен ряд натуральных целых чисел до 100, и вот он их четко выводит одно за другим — все четные. Добравшись до 102, он спрашивает мадам Фредерик, где поставить нуль, потому что он очень боится сделать ошибку на последнем этапе.

Это панно говорит о значительном успехе Филиппа по сравнению с его предыдущим рисунком.

А между тем в соответствии с методикой мадам Фредерик никакие дополнительные упражнения между уроками ученикам не предлагались.

КОММЕНТАРИЙ К УРОКУ 10

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ: 45 минут ДАТА: 9 октября 1967 г.

СВЕРТЫВАНИЕ. СПИРАЛЬ

— Что делают с ленточкой метра, когда ею не пользуются?

— Ее свертывают.

Спираль, так часто используемая в украшениях, заинтересовывает детей. Эту связь «ребенок — спираль» дети выражают непроизвольными восклицаниями:

— Завитушка!

— Да, завитушка!

Бельгицизм une crolle означает обычно «завитушка», «завиток», «локон» и в более общем значении — «спираль». У сказочной Золушки, конечно, красивые локоны, такие же, как чудесная спираль на часах французского телевидения*,— эти сведения, несомненно, известны французским, швейцарским и бельгийским малышам.

На циферблате бегущая стрелка отмечает непрерывное течение времени, яркие звездочки на месте чисел от 1 до 12 являются началом натурального ряда.

ЧИСТОТА ЯЗЫКА

Непроизвольно дети говорят «завитушка».

Мадам Фредерик не поправляет их. Без комментариев она называет завитушку спиралью.

Логическая стройность языка — предмет особых забот в математике.

* Циферблат часов, которые ежедневно и неоднократно появляются на экранах французского телевидения, представляет собой очень красивую спираль. Французское телевидение ведет свои передачи и для соседних стран — Бельгии, Швейцарии, Люксембурга. (Прим. переводчика.)

Чтобы научиться хорошо говорить, надо знать, о чем говорить, и иметь желание высказаться.

Нельзя постоянно делать детям замечания, исправляя неточности выражений. Это вызывает боязнь высказать свои мысли, сковывает инициативу.

Давайте же избегать дополнительных трудностей!

На этапе рождения нового понятия согласимся с неловкими (а значит, неправильными) выражениями верных утверждений. В этот период, когда детям так нужны поддержка и вера в собственные силы, отдадим предпочтение их желаниям свободно высказываться.

Когда дети четко усвоят ситуацию, всегда найдется время поправить ошибки в их речи.

Современная математика —математика чистого языка

СТРЕЛКИ КРИВЫЕ И ПРЯМЫЕ

Во время одного из уроков в классе с математическим направлением* мне пришлось убедиться в том, что 16-летние юноши так же, как и малыши мадам Фредерик, предложили для изображения некоторого отношения стрелки, но более строгие и прямые.

* Старшие классы французской средней школы имеют специализации по различным направлениям: гуманитарное, математическое, техническое и т. д. (Прим. переводчика.)

И вот а должно показывать Ь. Ответ класса:

— Невозможно!

И когда я подсказал:

— А что, разве в природе существуют только прямые линии?— я получил конструктивный ответ:

Окружности и полуокружности имели такое же право быть упомянутыми в мире традиционного преподавания математики.

ДУГИ

Мадам Фредерик не ограничивает класс кривых, и ее ученики рисуют самые разнообразные множества.

Для математика дуга — это гомеоморфный образ отрезка. Но мы не будем пугаться этого определения, так как оно формирует математическую модель ситуации, которую представляет бесконечно растягиваемая деформируемая нить.

ОТНОШЕНИЯ СТРОГОГО ПОРЯДКА НА ПРЯМОЙ

Вот прямая D

и две пары различных точек на D (а, Ь) и (X, у).

Если мадам Фредерик знает, что а<Ь, то следует ответить: х<у.

Если мадам Фредерик определяет Ь<а, то у<х.

Отношения < и< определенные на D, есть отношения строгого порядка, взаимно-обратные одно к другому и называемые отношениями строгого порядка на прямой D.

ОТНОШЕНИЯ СТРОГОГО ПОРЯДКА НА ДУГЕ

Прямая эластичная нить

имеет два взаимно-обратных отношения строгого порядка и сохраняет их при всех допустимых деформациях.

На этот раз:

ф Если мадам Фредерик решает, что а<Ь, то, следовательно, х<у.

ф Если мадам Фредерик задает Ь<а,

то у<х.

Взаимные отношения строгого порядка < и <—это отношения строгого порядка на дуге J.

Отношения порядка на полудуге

Вот полупрямая (луч) Е с началом в точке а:

а — это первый элемент Е для одного из отношений строгого порядка на прямой, содержащей Е. Это отношение называется отношением строгого порядка на полупрямой Е.

В данном случае совершенно очевидно,

что х<у.

ПОЛУДУГИ

Полудуги получаются из полупрямых, точно так же как дуги — из прямых.

Исходя из отношения строгого порядка на полдуге К: u<v.

СПИРАЛИ

Спирали мадам Фредерик — это полудуги, и благодаря определенному на них отношению строгого порядка они могут быть использованы для размещения на них шкалы целых натуральных чисел { 0, 1, 2, 3, ... ).

Приведенное рассуждение обосновано как психологически и эмоционально, так и математически.

Спираль используется здесь только в целях наглядности.

С самого начала мадам Фредерик заменяет указатель-стрелку между двумя точками на еще не определенную полудугу-спираль.

ФУНКЦИИ +1 и +2

Нарисованные учениками мадам Фредерик графы-спирали представляют функции:

+ 1:х х + 1; + 2:х х + 2.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ШАРЛО

Основываясь на предшествующем опыте, мадам Фредерик пытается ввести понятие отрицательного числа.

Нуль ассоциируется у детей с народной французской песенкой:

Нулижды нуль —

Это два глаза Шарло.

Вместо того чтобы найти отрицательные числа, некоторые ученики вводят их в оригинальной форме.

Нуль — символ невозможности, и дети часто пишут:

2 — 7 = 0.

Ситуация тут же уточняется указанием степеней невозможности:

первый нуль — для —1, второй нуль — для —2, третий нуль — для — 3.

Мадам Фредерик находит эту идею неплохой, но углубить ее не решается: ее смущает путаница обозначений. Вспоминая другие уроки, где дети говорили о числах от —2 до —5 как о градусах холода, мадам Фредерик использует сообщения о погоде.

Но желаемого результата она не получает.

— Что ты чувствуешь зимой?

— Ветер!

Мадам Фредерик опускает руки.

Целые отрицательные числа — это на завтра.

СОДЕРЖАНИЕ

Несколько слов о книге «Дети и графы» . . 3

Предисловие авторов......... 6

УРОК 1. Покажи свою сестру...... 7

Комментарий к уроку 1......- - 13

УРОК 2. Братья и сестры........ 18

Комментарий к уроку 2........ 27

УРОК 3. Ботинки левые и ботинки правые . . 30

Комментарий к уроку 3........ 41

УРОК 4. Братья и сестры........ 45

Комментарий к уроку 4........ 58

УРОК 5. Почтальон.......... 59

Комментарий к уроку 5........ 66

Интермеццо......... 67

УРОК 6. Проблемы.......... 82

Комментарий к уроку 6........ 92

УРОК 7. Распределение конфет..... 97

Комментарий к уроку 7........ 109

УРОК 8. Задачи, которые вводятся с помощью графов .............. 121

Комментарий к уроку 8........ 136

УРОК 9. Строгий порядок........ 145

Комментарий к уроку 9........ 161

УРОК 10. Кортежи.......... 164

Комментарий к уроку 10........ 180

ФРЕДЕРИК ПАПИ и ЖОРЖ ПАПИ

ДЕТИ и ГРАФЫ

ОБУЧЕНИЕ ДЕТЕЙ ШЕСТИЛЕТНЕГО ВОЗРАСТА МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПОНЯТИЯМ

Заведующая редакцией И. Н. Цекова Редактор М. И. Ежова Художественный редактор Е. Э. Дятлова Технические редакторы Г. И. Качалова и И. Н. Ищеева Корректор В. Н. Рейбекель

Сдано в набор 24/Х 1973 г. Подписано к печати 24/IV 1974 г. 70X90Vi6.

Печ. л. 12 (14,04). Уч.-изд. л. 10,02. Бумага офсетная. Тираж 75 ООО экз. (План 1974 г. № 23). Заказ № 940. Цена 1 р. 01 к.

Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 107066, Лефортовский пер., д. 8.

Ордена Трудового Красного Знамени Калининский полиграфический комбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Калинин, проспект Ленина, 5.