Опыт работы по математике в средней школе : сб. статей / Акад. пед. наук РСФСР, Отдел пропаганды научно-пед. знаний. — М. : изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1949. — 136 с. : ил. — (Пед. чтения).

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ОТДЕЛ ПРОПАГАНДЫ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ

ОПЫТ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

СБОРНИК СТАТЕЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1949

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий сборник содержит в себе статьи, которые доложены были их авторами на «Педагогических чтениях» Академии педагогических наук.

Темы этих статей не были определены заранее, они выдвинуты самой жизнью — в результате повседневного стремления учителей повысить уровень и качество учебно-воспитательной работы нашей школы.

Статья Ф. Ф. Нагибина «Упражнения на уроках математики» подробно рассматривает встречающиеся в практике преподавания математики виды письменных и устных упражнений по этой дисциплине, выявляет роль и значение каждого из них и сопровождает их описание весьма полезными, в особенности для не имеющего еще достаточного опыта учителя, соображениями и методическими указаниями. При этом автор выдвигает на подобающее им место устные упражнения по математике, в весьма недостаточной мере культивируемые учителями даже в пределах арифметики и почти игнорируемые ими в процессе преподавания алгебры и геометрии.

В статье З. Н. Пикторинской «О наглядном преподавании геометрии и алгебры в VI классе» излагается ценный опыт такого преподавания геометрии и алгебры в VI классе, которое в значительной мере построено на принципе наглядности, разнообразно и осуществляется в живой форме.

Поставленный З. Н. Пикторинской вопрос о повышении удельного веса элемента наглядности в преподавании геометрии и алгебры в VI и VII классах заслуживает самого серьезного внимания.

Одной из важных проблем методики преподавания математики посвящена статья Л. С. Францева «Система и методы повторения в процессе изучения нового программного материала». Целесообразное построение и творческое проведение повторения пройденного курса советская методика рассматривает как один из важнейших факторов, содействующих достижению положительных результатов обучения. Статья борется с применением таких видов повторения, которые апеллируют, в основном, к памяти учащихся и менее всего к их способности мыслить, и, наоборот, призывает всемерно внедрять в преподава-

ние те виды повторения, которые содействуют упрочению знаний, но в то же время систематизируют и обобщают их, требуя от учащихся проявления их инициативы и уменья самостоятельно применять полученные знания к решению теоретических и практических вопросов данного предмета.

Конечно, вся проблема повторения пройденного курса еще не охвачена статьей Л. С. Францева. Эта проблема заслуживает и требует дальнейшей разработки в различных направлениях.

С глубоким убеждением о необходимости преподавания теории математики в неразрывной связи с ее практическими приложениями выступает П. И. Сорокин в своей статье «Организация экскурсий и практических занятий при изучении геометрии в средней школе». Автор с подкупающей теплотой и искренностью шаг за шагом излагает все стадии своего интересного и неоднократно проверявшегося опыта. Выбранная автором форма изложения позволяет ему буквально нарисовать всю картину организации им экскурсий для практического изучения способов измерений на местности и сделать сообщенную им методику легко допускающей перенесение в обстановку любой другой школы. В этом — большая заслуга автора.

Другие виды «практических занятий при изучении геометрии в средней школе» заслуживают того же одобрения, что и экскурсии по изучению способов измерения на местности, и лишь относительно тех «практических занятий», которые состоят в опытной проверке теорем, следует иметь в виду, что их надо выполнять так, чтобы учащийся ни в какой мере не мог принять их за доказательства теорем.

В решении вопроса о целесообразности и пользе опытной проверки теоремы преподаватель должен руководствоваться своим педагогическим чутьем и чувством меры. Мы считаем необходимым сделать эту оговорку в связи с теми возражениями относительно предлагаемого автором метода преподавания геометрии, которые он, по его словам, встречал со стороны некоторых преподавателей.

Большой интерес вызовет у преподавателя статья А. А. Колосова «Математический кабинет и работа в нем». Автор статьи горячий поборник и пропагандист идеи организации и широкого использования — в процессе преподавания — математического кабинета; он с вполне понятной гордостью рассказывает о своем любимом детище, созданном его руками и руками учащихся,—математическом кабинете, пользующемся в Москве заслуженной популярностью и играющем роль методического центра далеко за пределами своего района.

Сборник подготовлен к печати Секторами методики математики и научно-методической консультации Института методов обучения. Основную работу по редактированию рукописи выполнил старший научный сотрудник И. А. Гибш.

Ф. Ф. Нагибин

преподаватель

УПРАЖНЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Значение упражнений

Длительная работа в школе, изучение опыта преподавания лучших учителей и беседа с ними убеждают нас в огромном значении упражнений в процессе обучения математике.

Однако нередко приходится встречаться с отсутствием у преподавателей математики отчетливых представлений о роли упражнений.

Между тем, для правильной организации и успешного проведения упражнений на уроках математики необходимо хорошо знать, какое значение имеет этот вид работы. Поэтому представляется целесообразным, прежде чем решать вопросы методики проведения упражнений, выяснить, какое значение имеют упражнения в преподавании математики.

1. Роль упражнений определяется прежде всего ролью навыков и умений. Нам думается, что к математике в большей степени, чем ко многим другим наукам, применима оценка навыков, данная Ушинским: «Если бы человек не имел способности к навыку, то не мог бы подвинуться ни на одну ступень в своем развитии, задерживаемый беспрестанно бесчисленными трудностями, которые можно преодолеть только навыком, освободив ум и волю для новых работ и для новых побед. Вот почему то воспитание, которое упустило бы из виду сообщение воспитанникам полезных навыков и заботилось единственно об их умственном развитии, лишило бы это самое развитие его сильнейшей опоры»1.

В самом деле, ясно, что без прочного усвоения вычислительных навыков, навыков в тождественных преобразованиях, умении доказывать теоремы, решать задачи, выполнять черте-

1 К. Д. Ушинский, Человек как предмет воспитания, т. I, изд. 10, 1901, стр. 140.

жи и так далее немыслимо сколько-нибудь успешное продвижение вперед в изучении математики.

2. Общепризнано, что упражнения, при условии соблюдения требований методики, способствуют углублению и закреплению математических знаний. При решении разного рода задач и примеров, при выполнении всевозможных графических работ учащиеся дополнительно выясняют многие детали разбираемых вопросов, неоднократно возвращаются к одним и тем же математическим предложениям, рассматривая их уже с иных точек зрения и устанавливая между ними новые связи. Известно также, что упражнения на уроках математики содействуют более сознательному усвоению математических знаний. Когда учащиеся вслед за рассмотрением теоретического вопроса переходят к упражнениям, то при этом теоретические рассуждения конкретизируются.

3. Далее, упражнения незаменимы для установления связи между теорией и практикой. Никакая лекция, никакая беседа не могут дать так много в отношении приобретения практических знаний и навыков, как упражнения.

4. Наконец, упражнения имеют воспитательное значение. При правильной постановке упражнений у учащихся развиваются: наблюдательность, сообразительность, настойчивость, аккуратность и некоторые другие необходимые им качества. Решая задачи и примеры, выполняя другие упражнения, учащиеся приобретают умение логически рассуждать, сознательно пользоваться анализом и синтезом, а самое главное — приобретают навыки самостоятельной работы.

Сказанное нами о значении упражнений в математическом обучении заставляет сделать такой вывод: упражнения — составная, неотъемлемая часть процесса обучения, но не само обучение.

Можно выдвинуть, в качестве основного, следующее положение: необходимым условием глубокого и прочного усвоения математических знаний и навыков является выполнение достаточного числа содержательных, систематически проводимых, расположенных в определенной последовательности упражнений. Действительно, опыт лучших преподавателей математики, добивающихся в своей работе замечательных результатов, убедительно показывает, что одним из наиболее важных способов достижения этих успехов является исключительно внимательное отношение к проведению упражнений.

В последнее время в педагогической литературе интерес к упражнениям сильно возрос. Иначе, впрочем, и не могло быть, так как стремление преодолеть формализм в знаниях учащихся, а также установить органическую связь школьного преподавания с жизненной практикой выдвигает вперед вопросы методики организации и проведения упражнений.

Типы упражнений

Мы не ставим своей задачей дать научно строгую классификацию упражнений математического характера. Наша цель скромней.

Имея в виду лишь характер упражнений, можно говорить о примерах, задачах, графических работах и применении математических приборов. Все эти виды упражнений находят себе место в преподавании математики. Пример, как правило, концентрирует внимание учащихся на технике действий и преобразований, а задача — на установлении необходимых действий и их порядка.

Графические работы на уроках математики в средней школе, не связанные с решением задач на построение, сводятся обычно к построению диаграмм и графиков функций и к составлению немногих схем и таблиц. Указанные графические работы проводятся в недостаточной мере, что следует считать одним из немаловажных недостатков современного преподавания математики. Действительно, составным элементом привития учащимся некоторых практических навыков на уроках математики является вооружение учащихся умением выполнять графические работы и пользоваться ими в готовом виде. Несомненно, учащиеся должны уметь строить и читать диаграммы, а также графики, иллюстрирующие ход изменения величин и помогающие сравнивать различные значения одной и той же величины. Несомненно также, что построение графиков функций должно занимать в преподавании математики значительно большее место, чем оно занимает в настоящее время, так как график функций, делая ход изменения функций особенно наглядным, дает возможность усмотреть многие особенности функций. Упражнения с готовыми чертежами, планами и топографическими картами имеют, главным образом, практическое значение. К ним можно отнести определение действительных размеров расстояний и площадей по планам и картам, деление на определенные части участка земли по его плану и т. д. Выполнение этих упражнений могло бы конкретизировать некоторые положения учения о подобии фигур и о площадях фигур. Что касается составления таблиц и схем, то оно практикуется на уроках алгебры и тригонометрии. Мы имеем в виду таблицы, иллюстрирующие:

1) свойства показательной и логарифмической функций;

2) исследование одного уравнения первой степени с одним неизвестным, системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, квадратного уравнения;

3) изменение тригонометрических функций при изменении аргумента от 0 до 2 те;

4) формулы приведения;

5) основные случаи решения прямоугольных и косоугольных треугольников;

6) свойства обратных тригонометрических функций и т. п.

Заметим, что такие таблицы должны составляться в конце изучения раздела, ибо их основное назначение — систематизация отдельных случаев, упорядочение изучения материала.

В среде преподавателей математики наблюдается, как нам кажется, несколько пренебрежительное отношение к ознакомлению учащихся с математическими приборами; это объясняется, главным образом, недооценкой той роли, которую могут и должны сыграть в деле математической подготовки учащихся математические приборы. Мы считаем необходимым, чтобы учащиеся средней школы практически познакомились с такими приборами и пособиями: 1) торговые счеты, 2) измерительные приборы (линейка, транспортир, рулетка, штанген-циркуль, микрометр), 3) эккер, 4) школьная астролябия, 5) школьная мензула, 6) отвес и уровень, 7) компас, а еще лучше буссоль, 8) разного рода высотомеры, 9) пантограф, 10) логарифмическая линейка. Упражнения с этими приборами, очень интересные сами по себе, будут давать учащимся полезные знания и навыки, а вместе с тем будут служить связующим звеном теории с практикой.

По своему назначению упражнения, выполняемые на уроках математики, могут быть разделены на три вида, а именно на вводные, тренировочные, проверочные.

Вводные упражнения — это, большей частью, задачи с конкретным содержанием, выполняемые до изучения теоретических положений, так как основное назначение вводных упражнений — подвести учащихся к вопросам теории. В ряде случаев вводные упражнения весьма полезны. Попытаемся проиллюстрировать это несколькими примерами.

1. Перед изучением неравенств, например, удобно рассмотреть такую задачу: в сосуде А, емкостью в 2 л, находится 0,8 л воды при температуре 40°, в сосуде В, емкостью в 3 л, — 1,8 л воды при температуре 50°. Какой температуры нужно взять воду, чтобы, долив доверху сосуды А и В, получить в сосуде А температуру, более высокую, чем в сосуде 5?

Решение этой задачи приводит к такому неравенству:

2. Чтобы подвести учащихся к изучению арифметической прогрессии, мы часто брали такую задачу:

Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предшествующую. Камень, опущенный в шахту, достиг дна через 5 сек. Какова глубина шахты?

3. Перед рассмотрением случаев решения косоугольных треугольников мы почти всегда ставили несколько задач на определение расстояний до недоступных целей, расстояний между недоступными пунктами и высот предметов.

Отметим, что при разборе вводных задач мы не всегда доводили решение до конца; порой представлялось более целесообразным отложить решение до выяснения вопросов теории. Разумеется, вводные упражнения надо рассматривать не как самоцель, а как средство постановки теоретических вопросов и возбуждения интереса к ним.

Назначение тренировочных и проверочных упражнений и их место в процессе преподавания математики более или менее ясны, поэтому об этих видах упражнений мы можем не говорить.

По способу выполнения упражнения разделяются на письменные, полуписьменные и устные.

Наши наблюдения показывают, что, если письменных упражнений, т. е. упражнений, сопровождаемых подробными записями, в средней школе выполняется довольно много, то полуписьменных, отличающихся от письменных тем, что некоторые промежуточные этапы опускаются, выполняется явно недостаточно. По нашему убеждению, излишне подробные математические записи, упорно культивируемые многими преподавателями, могут принести вред в отношении овладения техникой вычислений и преобразований. Действительно, злоупотребление подробными записями, вызывая значительные потери времени, порождает у учащихся своеобразную математическую близорукость, состоящую в том, что при продолжительных преобразованиях и выкладках учащиеся не в состоянии охватить этих преобразований в целом, не могут сознательно наметить план наиболее «изящного» выполнения их и предусмотреть конечный результат. Поэтому, если в начале изучения определенной операции записи должны быть полными, то потом отдельные этапы операции должны выполняться устно и тем самым записи могут и должны сокращаться.

Устные упражнения на уроках математики сводятся к двум основным типам: 1) устно выполняемые упражнения в вычислениях и преобразованиях и в применении их к разрешению разнообразных вопросов школьного курса математики и некоторых вопросов практики, 2) упражнения-вопросы (см. ниже) по содержанию того математического материала, который изучается в средней школе. В методической литературе устные занятия на уроках математики оцениваются достаточно высоко; однако, в среде преподавателей математики идея о необходимости устных упражнений все еще не получила широкого распространения.

Устные занятия на уроках математики в массовой средней школе все еще остаются неиспользованным резервом. Почему? Это происходит, надо думать, прежде всего потому, что вопросы методики проведения устных занятий на уроках математики конкретного разрешения еще не получили. Пока не появятся необходимые сборники упражнений для устных занятий

на уроках алгебры, геометрии и тригонометрии, преподавателям математики придется самостоятельно составлять и подбирать материал для устных упражнений. Впрочем, при этом они должны иметь в виду, что многие упражнения стабильных задачников могут и должны выполняться устно.

Перед преподавателями математики с большой остротой продолжает стоять задача предупреждения и преодоления формализма в математических знаниях учащихся. Разрешению этой задачи, наряду с другими средствами, могут и должны помочь вопросы-упражнения. Для этого они должны быть такими, чтобы ответы на них свидетельствовали о понимании сущности изученного теоретического материала, о сознательном усвоении теории. Разбор этих вопросов и должен развивать самостоятельную мысль учащихся, учить их сознательно оперировать известными им математическими фактами. Чтобы яснее было, какие упражнения-вопросы мы имеем в виду, приведем примеры.

Упражнения-вопросы по разделу: «Отрицательные числа». 1. Какое число больше: а или — а? 2. В каком случае а — b есть положительное число? 3. Каковы наименьшие возможные значения выражений: д2, (а—1)2, (a-f-З)2; при каких значениях а они получаются? 4. Какой знак имеет произведение двух взаимно обратных чисел? 5. Как изменится разность, если уменьшаемое сделать вычитаемым, а вычитаемое уменьшаемым? 6. Даны два числа: — 0,2 и — 0,21. Указать: 1) отрицательное число, превосходящее оба эти числа; 2) число, которое меньше обоих этих чисел; 3) число, заключенное между этими числами. 7. Что больше: а или 8. Если И > Щ, то можно ли утверждать, что а>&? 9. Для каких значений а справедливы равенства: 1) \а\ = а, 2) \а\= — а, 3) |а|<0? 10. Если а ¥=0 н b Ф 0, то можно ли утверждать, что: 1) а+Ь^О, 2) ab фО? 11. Какие значения может иметь частное — ? 12. О числе х известно, что |л:| = 2. Где на числовой прямой может лежать точка, изображающая число х? 13. Какое число противоположно самому себе? 14. Какие числа обратны самим себе?

При разборе упражнений, подобных приведенным, и при опросе учащихся надо добиваться, чтобы учащиеся свои ответы на вопросы иллюстрировали конкретными примерами, ибо удачная иллюстрация ответа свидетельствует об усвоении учащимися существа вопроса.

Подбор упражнений

Вопрос подбора упражнений справедливо считается одним из основных вопросов методики математики. Многие преподаватели математики советской средней школы критически под-

ходят к упражнениям, данным в стабильных сборниках задач; они выбирают из этих сборников необходимое, дополняют выбранное многочисленными упражнениями, самостоятельно составленными или взятыми из иных источников, и определенным образом располагают выделенные упражнения. Таким внимательным отношением к подбору упражнений многие преподаватели математики объясняют хорошие результаты своей работы.

Для правильного подбора упражнений по определенному разделу программы прежде всего выделяются основные типы упражнений по этому разделу, образующие как бы скелет всей системы упражнений. «Типизация» упражнений, сводящаяся к объединению их в группы по методам и приемам решения, а иногда и по содержанию, необходима, главным образом, для того, чтобы трудности выполнения упражнений можно было преодолевать последовательно. Выделив основные типы примерев и задач, преподаватель решает вопрос о том, в каком порядке эти типы целесообразнее всего рассматривать на занятиях. При этом не следует, однако, доводить «типизацию» до чрезмерной детализации; главное — выделить основные типы упражнений и добиться отчетливого усвоения этих типов учащимися. Усвоив же основные типы, учащиеся должны переходить к рассмотрению комбинированных упражнений, а также упражнений различных типов, расположенных уже не по типам, а, как говорят, «вперемежку». В этом случае учащиеся будут подходить к выполнению упражнений не механически, а сознательно.

Приведем два конкретных примера на подбор упражнений, заимствованных нами из практики.

1. Учащиеся VIII класса на уроках геометрии должны научиться решать задачи на построение методом подобия. Упражнения, имеющие своей целью усвоение этого метода, могут быть такими: 1) предварительные упражнения, например: а) дана сумма двух отрезков и отношение их; построить эти отрезки; б) построить треугольник, подобный данному; в) построить треугольник по углу и отношению сторон, заключающих этот угол; 2) упражнения на первое ознакомление с методом подобия, например: а) построить треугольник по двум углам А и В и высоте hc , б) построить треугольник, зная угол С, отношение сторон, заключающих этот угол, и высоту hc , в) построить прямоугольник по отношению сторон и диагонали; 3) упражнения на построение треугольников по двум углам и линейному элементу; 4) упражнения на построение треугольников по углу, отношению двух линейных элементов и одному линейному элементу; 5) упражнения на построение треугольников по двум отношениям линейных элементов и данному линейному элементу; 6) упражнения на вписывание в данную фигуру некоторой другой фигуры и на описывание около данной фигуры некоторой

другой, например: а) в данный треугольник вписать прямоугольник, стороны которого относились бы как п: т\ б) вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а вершины противолежащих углов — на дуге; 7) задачи на построение, решаемые прибавлением к данным фигурам подобных им или их частям фигур, например: из данной точки А провести к двум прямым ВС и CD секущую так, чтобы отношение расстояний точки А до точек пересечения равнялось т: п.

2. Учащиеся IX класса в главе о логарифмах знакомятся с приемами решения показательных и логарифмических уравнений. Можно признать достаточно удачным следующий порядок рассмотрения этих приемов: 1) уравнивание оснований при решении показательных уравнений; этим методом решаются многие показательные уравнения, например, 4^*+1 =64-2*/Г-*:+1; 2) вынесение общего множителя за скобку; этот метод применим для решения таких показательных уравнений,

как Iх — 7*~"*=6; 3) прием решения трехчленных показательных уравнений вида Аа + Ба + С = 0; 4) логарифмирование

показательных уравнений типа ах = Ъ\5) применение непосредственного потенцирования при решении логарифмических уравнений; 6) прием решения логарифмических уравнений

вида |g* —b; 7) приемы решения показательно-логарифмических уравнений, например, таких, как х~°'25Ig-* 10 = 0; 8) приведение логарифмов, встречающихся в логарифмических уравнениях, к одному основанию; 9) приемы решения систем логарифмических и показательных уравнений, например, такой, как

2/^+/7=512, \gVxy= 1 — lg2.

Чтобы удачно подобрать упражнения, одной «типизации» их, как бы она ни была хороша, еще недостаточно. Перед каждым преподавателем, подбирающим упражнения по тому или иному разделу, возникает несколько вопросов.

Первый вопрос: каким должен быть удельный вес каждого типа, каково значение и место каждого типа упражнений в их общей системе. Ответ на это преподавателю поможет найти его личный опыт и опыт других. Во всяком случае при установлении каждой системы типичных упражнений преподавателю не должно изменить чувство меры.

Второй вопрос: как располагать упражнения «внутри типа»? На этот вопрос обычно дается такой ответ: упражнения определенного типа должны предлагаться учащимся в порядке последовательного нарастания трудностей. Против такой реко-

мендации едва ли можно возражать. Нам думается только, что иногда от этого общего принципа полезно отступать. Двигаться все время в порядке нарастания трудностей не всегда удобно. Мы считаем, что в конце первой половины урока и в середине его упражнения следует брать более трудные, чем в конце урока. Иногда удобно бывает усвоение какой-либо операции начинать с рассмотрения наиболее трудного общего случая и лишь после этого переходить к более легким частным случаям. Так, главу о квадратных уравнениях можно начать с рассмотрения решения квадратного уравнения вида ал24- Ьх 4 £ = 0и только после этого перейти к решению приведенного и неполных квадратных уравнений. В случаях, аналогичных приведенному, внимание и усилия учащихся сосредоточиваются на преодолении основных трудностей, вслед за которыми ими сравнительно легко преодолеваются дополнительные затруднения.

Третий вопрос: каким требованиям должны удовлетворять сами упражнения? Не ставя своей целью полное разрешение этого серьезного вопроса, ограничимся несколькими руководящими соображениями.

Выполнение упражнений должно совершенствовать математические знания и навыки учащихся, поэтому при подборе упражнений относительно каждого из них необходимо ставить вопрос, что даст учащимся рассматриваемое упражнение, что будет совершенствоваться при его выполнении. Давать учащимся нужно не какие-нибудь упражнения, а те и только те, результатом выполнения которых будет какая-либо степень совершенствования.

Упражнения должны быть достаточно разнообразными как по форме, так и по содержанию. Однако практическая реализация этого положения оставляет желать лучшего.

Опытный учитель систематически пополняет свои запасы упражнений, держит их всегда в хорошем рабочем состоянии. "Приведем несколько примеров такого пополнения запасов.

При изучении действий над целыми одночленами и многочленами, а также над алгебраическими дробями наряду с общепринятыми примерами целесообразны упражнения на доказательство алгебраических тождеств. Упражнения такого рода легко могут быть составлены, если воспользоваться обычными примерами на преобразования алгебраических выражений. Так, упражнение на умножение многочленов:

(х2у - лу2НхУ + хУ)-(х2у + ху2)

можно заменить доказательством следующего тождества:

(х2у - ху2)-(х4у2 + х2у±)-(х2у + ху2) =х*у* — хАу\

Когда учащиеся овладевают навыками составления уравнений по условиям задач, наряду с обычными упражнениями, выполняются иногда упражнения на обратный переход от уравне-

ний к задачам. Упражнения этого типа для учащихся VIII класса могут быть, например, такими: а) для решения задачи о 2 велосипедистах составлено уравнение---тгг= 1- Какое было условие задачи? б) Какая задача о прямоугольнике приводит к системе уравнений: ху= 120, х2 + /2 = 289?

Некоторые упражнения на доказательство тригонометрических тождеств полезно заменить упражнениями на упрощение тригонометрических выражений. Такая замена практически целесообразна, так как она представляет большие возможности для творческой мысли учащихся; в самом деле, при упрощении тригонометрического выражения учащийся не знает результата и должен сообразить, как следует вести упрощение.

На уроках арифметики и на первых уроках алгебры нередко составляются условия задачи по данным числовым формулам. Приведем несколько примеров таких упражнений:

а) составить задачу на движение, которая решалась бы по такой числовой формуле:

240: (45 + 35);

б) составить такую задачу на совместную работу, которая решалась бы по числовой формуле:—j—-—j—;

"8 12

в) составить задачу на проценты, которая решалась бы по формуле: 9(JQ .

Следует отметить, что упражнения на составление числовых формул по условиям задач и особенно упражнения на составление задач по числовым формулам еще не имеют того распространения, какого заслуживают, а между тем они являются одним из серьезных средств преодоления формализма.

Точно такое же требование должно быть высказано относительно интересной группы упражнений-задач с излишними и недостающими данными. В методических руководствах, как правило, такие задачи оцениваются высоко. Почему же решение этих задач так мало распространено? Прежде всего, нам думается, потому, что задач с недостающими и излишними данными в наших стабильных задачниках нет, но выход из положения прост. Стоит только из «полных» задач отбросить некоторые данные или дополнить эти задачи новыми данными. Таким образом, можно получить достаточное число «неопределенных» и «переопределенных» задач, решаемых составлением уравнений, и геометрических задач.

Говоря о задачах, мы не можем обойти молчанием упражнений по «перестройке» условий задач, состоящей в изменении данных, в замене искомых величин данными и наоборот. Такие «переделки» условий задач, сопровождаемые преднамеренными

упрощениями или усложнениями задач, представляют собой поле для полезной деятельности учащихся и преподавателей Проиллюстрируем это двумя примерами.

1) Возьмем задачу на смешение. Из березовых дров стоимостью по 24 руб. за кубометр и сосновых стоимостью по 18 руб. за кубометр составлено 30 кубометров смеси. Стоимость одного кубометра этой смеси оказалась равной 20 руб. Сколько отдельно березовых и сосновых дров вошло в смесь? Вот некоторые «перестройки» этой задачи: а) Из 10 м3 березовых дров стоимостью по 24 руб. за кубометр и 20 м3 сосновых стоимостью по 18 руб. за кубометр составлена смесь. Какова стоимость одного кубометра этой смеси? б) Из 10 м3 березовых дров и 20 м3 сосновых составлена смесь. Стоимость одного кубометра этой смеси оказалась равной 20 руб. Сколько стоил кубометр березовых дров, если кубометр сосновых дров стоил 18 руб.? в) Из 10 м3 березовых дров стоимостью по 24 руб. за кубометр и нескольких кубометров сосновых стоимостью по 10 руб. за кубометр составили смесь. Стоимость одного кубометра этой смеси оказалась равной 20 руб. Сколько сосновых дров вошло в смесь? г) Из березовых дров стоимостью по 24 руб. за кубометр и сосновых стоимостью по 18 руб. за кубометр составлена смесь. Стоимость одного кубометра этой смеси оказалась равной 20 руб. В каком отношении были взяты березовые и сосновые дрова?

2) Приведем интересный пример «вынужденной перестановки». Учащимся V класса дана была такая задача: «Три хозяйки, живущие в одной квартире, сговорились вместе истопить кухонную печь. Первая хозяйка дала для этого 8 поленьев, вторая — 12, а третья, вместо своей доли дров, внесла 2 руб. Как должны разделить эти 2 руб. между собой первая и вторая хозяйка?» Учащиеся, недолго думая, решили задачу так: первая хозяйка должна взять себе 80 коп., а вторая — 1 руб. 20 коп. Как это нередко бывает, учащиеся к предложенной им задаче отнеслись недостаточно вдумчиво. Чтобы выяснить существо дела, преподаватель перестроил задачу, изменив данные. Вопрос новой задачи был сформулирован так: «А как должны разделить эти 2 руб. между собой первая и вторая хозяйки, если бы первая дала 1 полено, а вторая 19?» Ответ, полученный с помощью испытанного уже приема: 10 коп. и 1 руб. 90 коп., сразу же смутил учащихся. Первая хозяйка не внесла даже своей части дров и все же получила еще 10 коп. Вернувшись к первой задаче, учащиеся заметили, что все поленья стоят 6 руб. и значит, одно полено стоит 30 коп. Первая хозяйка дала 8 поленьев, которые стоят 2 руб. 40 коп., а вторая 12 поленьев, стоимость которых 3 руб. 60 коп. Следовательно, первая хозяйка из двух рублей, внесенных третьей, должна взять себе 40 коп., а вторая 1 руб. 60 коп. Затем решена была и вторая задача, после чего учитель дал еще одну «перестройку».

Первая хозяйка дала 8 поленьев, вторая—12, а третья сказала, что она, не зная цены на дрова, дает первым двум 2 руб. Как эти 2 руб. должны распределить между собой первая и вторая хозяйки? Решение этой третьей задачи проходило сложней, так как стоимость 20 поленьев дров была неизвестна, но и с этой задачей учащиеся все-таки справились.

Рассмотрим, далее, вопрос о так называемых комбинированных упражнениях, т. е. таких упражнениях, для выполнения которых приходится обращаться к различным разделам школьного курса математики. Вот примеры такого рода задач:

1) Магазин продал крупу трех сортов: 170 кг первого, 200 кг второго и 120 кг третьего. За все количество проданной крупы он получил такую сумму денег, которая, будучи отдана по 8%, дала бы в месяц 6,7 руб. процентных денег. Сколько стоит килограмм каждого сорта крупы, если стоимости их относятся, как 15: 12:9?

2) Первый член арифметической прогрессии равен числу перестановок из 5 элементов, а разность прогрессии равна сумме коэффициентов разложения степени (лг-f-a)6. Сколько надо взять последовательных членов прогрессии, начиная с первого, чтобы их сумма была равна 1680?

По вопросу о комбинированных упражнениях в прошлом было довольно много споров.

Нам думается, что комбинированные упражнения полезны, особенно для повторений, которые так необходимы. Предубеждение, испытываемое некоторыми, особенно молодыми, преподавателями, по отношению к комбинированным упражнениям, объясняется, на наш взгляд, тем, что в этих упражнениях видят самоцель. В действительности, это — средство, обеспечивающее, в совокупности с другими средствами, необходимый уровень математических знаний и навыков.

Одним из наиболее существенных и движущих элементов дидактики является умение преподавателя самому видеть и уметь другим показывать не только различие, но и сходство, связи, взаимопереходы. В соответствии с этим представляются крайне нужными специальные систематизирующие упражнения. Чтобы яснее было, какие упражнения мы имеем в виду, приведем один пример.

В VII классе после изучения измерения углов, связанных с окружностью, и после выполнения ряда упражнений на измерение таких углов весьма желательно коллективное составление следующей таблицы (см. стр. 17).

При составлении этой таблицы должны быть обстоятельно выяснены связи между различными случаями. Следует, например, указать на то, что 4-й случай можно рассматривать как предельный по отношению к 3-му. Надо также выяснить связи между 7, 8 и 9, 4 и 8, 1 и 6-м и некоторыми другими случаями.

Наша средняя школа должна добиваться действенности математических знаний и навыков. Это бесспорное положение имеет непосредственное отношение к подбору упражнений по математике. Научиться применять математические знания к разрешению разнообразных практических вопросов можно лишь в процессе практических применений математики. Это значит, что среди упражнений, выполняемых на уроках математики, обязательно должны быть упражнения в практических приложениях математики (различные расчетные работы, измерение расстояний, площадей, объемов, простейшие геодезические работы и т. д.). К сожалению, эти «вечно юные» упражнения за последние годы во многих школах были оттеснены на задворки.

Таких упражнений, преимущественно задач с жизненными ситуациями, можно подобрать довольно много. С этой целью можно воспользоваться стабильными задачниками, дополнительными, особенно «реформистскими» задачниками, и, мы добавим, забытыми рабочими книгами по математике, в которых нередко попадаются интересные и поучительные жизненные задачи.

Хороший учитель должен быть заботливым, предусмотрительным и дальновидным. Упражнения, которые выполняются сегодня, часто должны расчищать дорогу для упражнений, которые будут выполняться завтра. Это положение часто забывается. Погоня за системой математических знаний ради самой

этой системы приводит к выделению в особые разделы таких вопросов, которые ранее распределялись по разным разделам программы. Такая участь постигла уравнения 1 степени и их исследование, неравенства, функции и некоторые другие вопросы. В результате такой перестройки программы у многих преподавателей сложилось впечатление о ненужности заблаговременной подготовительной работы к усвоению указанных вопросов при изучении других разделов. Это особенно сказалось на подборе упражнений. Подготовительные упражнения «дальнего прицела» перестали интересовать значительную часть учителей математики.

Мы, конечно, не против систематизирующих разделов по указанным выше вопросам, но мы убеждены в том, что изучению этих разделов должна предшествовать большая, содержательная и разнообразная подготовительная работа при изучении других разделов. Вот эта подготовительная работа и должна быть проведена при помощи упражнений. Таким образом, подбирая упражнения по определенному разделу программы, преподаватель должен включать в них и подготовительные упражнения «дальнего прицела». Это и значит быть предусмотрительным и дальновидным.

Общие требования к проведению упражнений

К. Д. Ушинский неоднократно указывал на то, что факты в уме педагога должны обобщаться, делаться мыслью. В полном согласии с этим указанием, попытаемся на основании тех наблюдений, которыми мы располагаем, сформулировать несколько общеметодических положений, относящихся к проведению упражнений. Формулируя эти положения, попытаемся учесть и те выводы, к которым по интересующим нас вопросам пришла педагогическая психология.

1. Математические навыки, как и всякие другие, вырабатываются под контролем мышления; поэтому в процессе формирования навыков важную роль должно играть сознание. Прежде всего, в самом начале усвоения того или иного математического навыка необходимо осознание учащимися стоящей перед ними задачи. Ясно, что, пока мыслительная деятельность учащихся не будет концентрироваться в одном направлении, усвоение навыка будет проходить медленно. Медленно будет усваиваться навык и в том случае, если задача будет поставлена слишком общая, мало определенная. Каждый раз перед изучением некоторой операции должна ставиться совершенно определенная, не общая, а конкретная задача. Точно так же на уроках арифметики в V классе при решении задач нельзя ограничиться указанием на общую цель работы — научиться решать арифметические задачи, а надо каждый раз конкретно указывать, какого характера задачи предстоит научиться решать.

Помимо осознания задачи, стоящей перед учеником, необходимо еще осознание цели предстоящей работы. Учащемуся мало знать, какие операции он должен усвоить; ему должно быть известно также, почему необходимо усвоение этих операций, какое имеют значение эти операции. Только в этом случае возможно сознательное отношение к разрешению поставленных задач. Во многих случаях осознание цели сводится к выяснению непосредственного значения для практической деятельности навыка, который должен быть усвоен, но чаще необходимость усвоения навыка мотивируется внутренними потребностями самой математики. Конечно, и в том и в другом случаях цели предстоящей работы, или, точнее, значение ее, должны быть доступными для понимания и достаточно определенными.

2. Как известно, имеются два основных пути для выработки у учащихся навыков. Первый из них характеризуется тем, что в процессе усвоения навыка сознание учащегося «полувыключается», т. е. отсутствует осмысливание того, почему именно надлежит поступать так, а не иначе. Этот путь можно было бы назвать догматическим, но его обычно называют механическим. Второй путь, наоборот, предполагает максимальное использование сознания в процессе формирования навыка. Он характеризуется осознанием не только того, как следует действовать, но и почему именно так; иными словами, при усвоении учащимися навыка этим путем фактически имеет место переход от знания к навыку.

По сравнению с механическим сознательное усвоение математических навыков, несомненно, значительно интереснее и продуктивнее. Сам навык, при сознательном его усвоении, оказывается более стойким и легче применимым в изменившихся условиях. Следовательно, из двух путей усвоения навыков предпочтение должно быть отдано второму. Практически это значит, что в начале усвоения навыка должно быть осознано его теоретическое обоснование — то, почему именно операцию следует производить так, а не иначе.

При выполнении первых упражнений определенного типа следует требовать от учащихся подробных объяснений. К формулированию правил и к выполнению упражнений механическим применением этих правил можно переходить лишь после того, как преподаватель убедится, что учащиеся сознательно выполняют все последовательные этапы операции. В случае возникновения затруднений при усложнении усваиваемой операции надлежит, как правило, обращаться к сознательному, осмысленному ее выполнению. Если забылась формула или правило и если логический вывод забытого несложен, естественно восстановить этот вывод.

Особенно важное значение при выполнении упражнений имеет умение учителя ставить работу так, чтобы вызвать мы-

слительную активность учащихся. Это значит, что заданиям следует придавать такой характер, чтобы вся работа действительно способствовала развитию мышления учащихся. Нельзя забывать, что упражнение — это не только повторение и закрепление, но это и совершенствование. «Всякое новое упражнение должно находиться в связи с предыдущими, опираться на них и делать шаг вперед. Идя все дальше и дальше, вы не должны оставлять бесполезно позади себя то, что уже приобретено» (Ушинский)1.

3. «Все наши педагогические усилия должны быть направлены на то, чтобы, по возможности, заставить школьника усваивать материал в порядке активной работы над ним, всеми средствами насыщать его работу элементами самостоятельности и хотя бы самого скромного творчества, твердо памятуя, что самая усердная, самая усидчивая и напряженная работа учащегося не дает ему ничего, кроме мертвого, формального знания, если она будет состоять в одном только пассивном восприятии» (А. Я. Хинчин)2.

Это общее руководящее положение, применительно к проведению упражнений, нуждается в конкретизации; из него можно вывести следующие частные положения:

а) Упражнения по своему характеру в той или иной степени должны стимулировать самостоятельную творческую мысль учащихся. В этом отношении заманчивы упражнения в практических приложениях математических знаний и так называемые жизненные задачи.

б) Как правило, выполнение упражнений должно быть самостоятельным; в частности, выполнение упражнений на уроках повышает удельный вес самостоятельной работы.

в) Значительный интерес в отношении активизации упражнений на уроках математики представляет самостоятельное составление упражнений. Конструирование упражнений, аналогичных рассмотренным, придумывание задач разобранных типов, составление алгебраических и тригонометрических тождеств, уравнений по корням, усложнение разобранных задач и иных упражнений, постановка задач практического характера, придумывание задач по числовым формулам и уравнениям, перестройка задач и т. д. — как все это интересно, а главное — полезно!

г) Обоснование учащимися процесса выполнения упражнений обеспечивает самостоятельное осознание теоретических основ упражнений. Мысль, формулируясь, формируется.

д) Следует всемерно поощрять рационализаторскую работу учащихся при выполнении упражнений. Несомненно, дело не в том, чтобы любой ценой выполнить упражнение, а в том, чтобы

1 К. Д. Ушинский, Собр. соч., т. II, стр. 146.

2 "Советская педагогика", № 11—12, 1944, стр. 26.

выполнение было рациональным, как говорят математики, — изящным. Типичные вопросы, сопровождающие работу: как можно было бы получить тот же результат иначе? Какой из найденных приемов целесообразнее и почему? Рационализация особенно необходима в приемах выполнения упражнений. Записи, вычислительная сторона, приемы проверки также нуждаются в рационализации.

В школьной практике встречаются «чрезмерно заботливые» преподаватели, которые старательно оберегают учащихся от возможных неверных шагов, от ошибок, указывая ученику каждую ямку на пути. Каков же результат такой опеки? Потеря учащимися самостоятельности, боязнь даже незначительных затруднений. Между тем, на ошибках очень многому можно научиться. Ошибки учащихся, в том случае, если они тщательно разбираются,—один из приемов активизации упражнений. Недаром академик Павлов говорил: «Правильно понятая ошибка — это путь к открытию».

е) Необходимым спутником самостоятельной работы по выполнению упражнений и обязательным условием ее должно быть внимание. Мысль учащегося должна сосредоточенно работать, какое бы упражнение ни выполнялось.

4. Классики педагогики всегда придавали исключительное значение воспитанию внимания, считая, что внимание учащихся к выполняемой работе служит необходимой предпосылкой успешного обучения. Как возбуждать и удерживать внимание учащихся к выполняемым упражнениям?

В арсенале педагогических средств имеется довольно много различных приемов повышения внимания у учащихся. Первым таким приемом можно считать возбуждение интереса к работе. Как известно, Дистервег и Ушинский высоко ценили значение интереса: Ушинский подчеркивал, что, делая учение занимательным для ребенка, надо в то же время требовать от детей точного исполнения и незанимательных для них задач, давая, таким образом, пищу пассивному вниманию и упражняя вместе с тем активное.

В практике преподавания математики довольно часто интерес к упражнениям возбуждается показом практического и теоретического значения усваиваемых навыков. Приведем несколько примеров:

а) При изучении пропорции в курсе арифметики некоторые преподаватели показывают применение пропорций для составления разного рода растворов, смесей, сплавов.

б) Чтобы возбудить интерес к довольно однообразным упражнениям на разложение алгебраических выражений на множители, иногда поступают так: записывают на доске многочлен.

х* + 3х2у + 3ху2 + у\

предлагают учащимся задать значение х и у и проводят соревнование на более быстрое нахождение числового значения этого многочлена; какие бы значения х и у ни задали учащиеся, преподаватель, рассматривая многочлен как куб суммы, вычисление выполнит в несколько раз быстрее, чем учащиеся. Выяснение причин сильного отставания учащихся от преподавателя, несомненно, возбудит интерес к разложению многочленов на множители.

Второй прием обеспечения внимания учащихся—соблюдение строгой системы в выполнении упражнений. Различные примеры и задачи должны решаться учащимися в логически оправданной последовательности. Эта логичность развертывания материала должна осознаваться и учащимися.

Третий прием — показ учащимся недостаточности приобретенных ранее знаний для разрешения вновь возникающих теоретических и практических вопросов. Обычно в начале усвоения нового материала устанавливаются связи с ранее изученным. Именно на этой ступени изучения нового и должна быть показана учащимся недостаточная вооруженность их знаниями для разрешения новых задач. Так, в начале изучения уравнений полезно показать учащимся неудовлетворительность способа нахождения корней путем подбора их.

Следует отметить, что довольно часто перед рассмотрением нового типа упражнений приходится говорить не о недостаточности имеющихся навыков, а о практической нецелесообразности, о нерациональности разрешения новых вопросов старыми приемами. При изучении прогрессий, например, явно нецелесообразно непосредственно суммировать члены их. Точно так же весьма нерационально непосредственно подсчитывать число соединений определенного типа или путем непосредственного перемножения находить целую положительную степень бинома. В указанных случаях и во всех, аналогичных им, у учащихся необходимо возбуждать горячее желание найти более экономное, более рациональное решение вопроса. Это желание вызовет, несомненно, нетерпение и жажду усвоения нового математического материала.

Четвертый прием возбуждения и поддержания внимания — наглядность при выполнении упражнений. Мы имеем в виду не столько использование специальных наглядных пособий, сколько рассмотрение разнообразных графических иллюстраций, чертежей, простых, конкретных и близких учащимся примеров, наглядных сравнений и сопоставлений.

Конечно, роль наглядности при выполнении упражнений далеко не исчерпывается тем, что она способствует концентрированию внимания учащихся на упражнениях. Основное в другом. Наглядность — хорошее средство для более глубокого осознания упражнений. Особенно значительна роль наглядности при решении арифметических задач, геометрических задач на вы-

числение и построение, задач на составление уравнений и др. Дело в том, что при решении таких задач должны быть отчетливо представлены ситуации, описанные в задачах, и рельефно выявлены на простых, типичных и жизненных примерах те операции, выполнение которых приведет к цели. Разнообразные «во столько-то раз больше», «на столько-то меньше», «такая-то часть от числа», «число по известной дроби его», «несколько процентов числа» и так далее входят в сознание учащихся достаточно основательно лишь после многочисленных простых и наглядных иллюстраций и аналогий. Вот как поступила, например, одна учительница, чтобы добиться осознания ученицей V класса довольно типичной ошибки. Ученице нужно было по ходу выполнения упражнения 32 разделить на 32. В ответе у нее получился нуль. Преподавательница предложила этой ученице решить такую задачу: «В нашем классе 32 ученицы. Я принесла для раздачи вам поровну 32 тетради. Как узнать, сколько тетрадей я должна дать каждой из вас?» Ученица отвечает: «Надо разделить 32 на 32». «Верно. Нужно 32 разделить на 32. Ты как раз сейчас делила 32 на 32 и у тебя в ответе получился нуль. Значит, никто из вас тетрадей не получил. Я должна буду унести их обратно». В классе смех. Покрасневшая ученица говорит: «Я ошиблась. В ответе получается не нуль, а единица». Можно не сомневаться в том, что после такой наглядной иллюстрации ни ошибившаяся ученица, ни другие из этого класса не повторят этой ошибки.

Несомненно, один из могучих стимулов умственной деятельности — это удовлетворение от проделанной работы. Не пользоваться этим стимулом при проведении упражнений было бы поэтому большой ошибкой. Но каковы те условия, которые вызывают удовлетворение? Основные из этих условий таковы: а) осознание учащимися своего продвижения вперед, своего роста, б) понимание практического значения усвоенных знаний и навыков, в) преодоление трудностей, возникавших во время работы, г) необходимое, но не чрезмерное разнообразие в содержании упражнений, их формах и приемах выполнения. Эти условия и следует создавать при проведении упражнений. Особенно важно настойчиво показывать учащимся их успехи, удачи, пополнение их знаний и навыков, приобретение умения преодолевать разнообразные затруднения.

Конечно, говоря об успехах учащихся, нельзя замалчивать неудачи в усвоении математических знаний и навыков. Часто бывает так, что умелое указание на неудачи помогает учащемуся направить свои усилия на исправление положения и добиться успехов.

Необходимое условие всякого труда и особенно умственного — сосредоточенность. Для укрепления и развития способности сосредоточиваться нужна тренировка. Эффективной же эта тренировка будет в том случае, если со стороны учащихся бу-

дет проявлено внимание. Это общее положение для преподавателя должно быть руководящим в том круге вопросов, о которых мы только что говорили.

5. Серьезное значение имеет первое ознакомление, первая встреча учащихся с новым содержанием занятий. Объясняется это тем, что первые впечатления наиболее сильны. Поэтому с особой осторожностью надлежит относиться к началу упражнений по каждой операции, преобразованию и приему. Естественно с этой точки зрения желание сделать начало, по возможности, ярким, запечатлевающимся, эмоционально приподнятым. Реализации этого желания помогает особенно тщательный подбор первых упражнений, серьезная подготовка к выполнению их, приподнятое настроение самого преподавателя. Выполнение первых упражнений каждого типа должно быть во всех отношениях безукоризненным, правильным. Записи, которыми сопровождается это выполнение, должны быть тщательно продуманными с точки зрения их целесообразности и удачного отображения хода мысли.

6. Существенным вопросом методики упражнений справедливо считается вопрос о «дозировании» упражнений, о распределении их во времени. Этот вопрос, на основе использования данных психологии, высказываний лучших преподавателей и нашего личного опыта, мы решаем следующим образом:

а) Не следует отводить на упражнения одного и того же типа, выполняемые посредством одного какого-нибудь приема, слишком продолжительное время. Иными словами, упражнения во времени не должны быть слишком длинными. Процесс упражнений должен быть спокойным, с «остановками» и «передышками».

б) Упражнения в усвоении любого математического навыка, вообще говоря, не должны обрываться сразу. К навыкам, которые более или менее усвоены, впоследствии необходимо возвращаться. Но простого повторения упражнений следует избегать. Повторные упражнения должны быть «развивающими», т. е. поднимающими учащихся на более высокую ступень. Усложнение упражнений, обнаружение связей между ними, установление сходств и различий помогает упрочению навыков и применению их в другой обстановке.

в) Весьма полезно систематическое проведение упражнений по фундаментальным разделам программы, а также по таким вопросам программы, по которым обычно делается много ошибок. В V классе, например, в течение всего учебного года должны решаться арифметические задачи разных типов. В VII классе следует чаще упражнять учащихся в составлении и решении уравнений по условиям задач. В X классе нужно систематически упражнять учащихся в решении геометрических задач на вычисление с применением тригонометрии.

г) Имея в виду необходимость значительного повышения удельного веса самостоятельного выполнения упражнений, полезно практиковать непродолжительные, но частые самостоятельные работы.

7. Необходимым условием эффективности упражнений является их законченность. Ясно, что упражнения будут воспитывать у учащихся настойчивость, аккуратность, будут вызывать удовлетворенность лишь в том случае, если упражнения будут доводиться до конца. Поэтому решение задач и примеров, а также графические работы, как правило, должны быть законченными. Вообще говоря, нельзя опускать вычислительную часть, решение полученных уравнений, исследование полученных результатов, геометрические построения, исследования и доказательства их справедливости. Эту рекомендацию, конечно, нельзя понимать как совершенно обязательную во всех без исключения случаях. Иногда отдельные этапы выполнения упражнений могут быть опущены; так, например, при решении задач составлением уравнений можно по временам опускать решение полученного уравнения. При решении геометрических задач на построение возможно опускание построения, доказательства и даже исследования. При решении некоторых геометрических задач на вычисление, преимущественно стереометрических, иногда допустимо ограничиться получением буквенной формулы решения.

Во всех этих случаях нужны предварительные указания преподавателя учащимся, уточняющие характер предстоящих упражнений, например: составить уравнение для решения такой-то задачи, решить в общем виде такую-то геометрическую задачу, провести анализ и выполнить построение для такой-то геометрической задачи.

Далее, безусловно необходима проверка возможности и реальности ответов, находимых при решении задач и примеров.

Получив тот или иной ответ, учащийся должен проверить, соответствует ли он условию задачи.

Проверка правильности выполнения упражнений — это часть более общей задачи — задачи осознания полученного результата. Экспериментально установлено, что сознание итога, результата каждого упражнения — необходимое условие развития навыка. Это значит, что после выполнения упражнений неправильно было бы отказаться от разбора его или отложить этот разбор на неопределенное время. Мы считаем необходимым: после выполненного упражнения, особенно самостоятельного, выяснять, что оказалось недостаточно усвоенным, какие выводы должны быть сделаны.

В тесной связи с разбором упражнений стоит вопрос об осознании учащимися своих ошибок. Разными преподавателями этот вопрос разрешается по-разному. Одни считают, что не следует фиксировать внимание учеников на ошибках, так как в

этом случае ошибочные приемы могут закрепиться в сознании учащихся. Другие, наоборот, настаивают на всемерном осознании ошибок, утверждая, что основательный разбор ошибок создает базу для глубокого понимания усваиваемой математической операции, математических соотношений. И те, и другие забывают, что, как говорили старые методисты, «ошибки надо не считать, а взвешивать», что ошибки различны по своему характеру, возникают в силу различных причин и на разных ступенях формирования навыка. Следовательно, односторонний подход в данном случае, как и вообще, недопустим.

Ошибки, характерные для данного навыка, ошибки, разбор которых существенно облегчит понимание операции или соотношения, необходимо разбирать. «Случайные» же ошибки, возникающие по второстепенным поводам, разбирать не следует. В таких случаях лучше ограничиться показом того, как нужно поступать.

8. Выполнение упражнений обычно сопровождается записями. Перед преподавателем, размышляющим о таких записях, встает несколько вопросов:

а) Что записывать? Ответ на этот вопрос должен быть конкретным, в зависимости от того, какие упражнения выполняются и какие цели должны быть при этом достигнуты. В одних случаях (при выполнении первых упражнений определенного типа, сложных упражнений, представляющих особый интерес, и т. д.) записи должны последовательно фиксировать процесс выполнения упражнения. В других случаях (повторные упражнения, «односложные» и т. д.) записи должны фиксировать лишь основные этапы работы, а иногда и совсем опускаться. По мере продвижения вперед в усвоении навыка, записи следует все более и более сокращать; такова общая рекомендация по вопросу — что записывать.

б) Как записывать? Далеко не безразлична форма записи; она должна соответствовать содержанию записываемого. Преподаватель, забывающий обдумывать форму записей, лишает себя и учащихся одной из возможностей дисциплинирующего и направляющего воздействия. Люди, вынужденные много вычислять, хорошо знают, насколько полезны различные вычислительные схемы. Учащихся тоже следует приучать к определенным схемам в записях, только не следует превращать эти схемы в фетиши и чрезмерно детализировать их. Схемы записей нужны по основным, а не по второстепенным, мелким операциям.

В последние годы при проведении письменных испытаний и экзаменов от учащихся начали требовать достаточно подробных объяснений решений. Это требование вполне законно, так как ясное выражение — постоянный спутник хорошего понимания. Кроме того, практика упражнений заставляет наблюдательного преподавателя сделать вывод о полезности объяснений для осознания теоретических оснований упражнений.

Объяснения решений, большей частью, бывают устными, но одних устных объяснений недостаточно, нужны и письменные. Следовательно, оказывается необходимым практиковать письменное объяснение процесса выполнения типичных упражнений.

Думается, что в таких случаях едва ли целесообразны обязательные рецепты, ибо ценность объяснения при выполнении упражнений определяется умением учащихся в каждом отдельном случае выбрать наиболее удачное. Мелочная шаблонность здесь оказалась бы не только бесполезной, но порой и вредной.

9. В процессе выполнения упражнений особую роль играют устные вычисления и преобразования. Преподавание математики в нашей средней школе должно проходить так, чтобы устное выполнение различных упражнений или отдельных этапов их было составной частью работы. Практически это означает, что во всех тех случаях, когда сказываются возможными и целесообразными устные вычисления и преобразования, преподавателю следует настаивать на устной работе, всеми способами поощряя учащихся в этом отношении. В частности, выполнение многих упражнений должно быть полуписьменным. Различные этапы выполнения многих упражнений не должны записываться; соответствующие вычисления и преобразования следует выполнять устно. Сами записи должны стимулировать устную работу. Так, при записи арифметических примеров полезно сразу же после записи примера ставить знак равенства, а затем писать ответ. Вычисления, если их нецелесообразно выполнять устно, записываются ниже записи примера или на полях. Точно так же следует поступать при записи примеров на действия над отрицательными числами, примеров на нахождение числовых значений алгебраических выражений, на действия над одночленами и многочленами, при разложении на множители и в других случаях.

Во многих случаях сами записи будут стимулировать устное выполнение отдельных этапов упражнений. Мало-помалу учащиеся начнут предпочитать всюду, где это возможно, ограничиваться записями ответов, выполняя упражнения или отдельные этапы их устно.

10. Важное значение в организации и проведении упражнений на уроках математики имеет индивидуализация работы. Одной из наиболее эффективных мер ликвидации пробелов в знаниях учащихся является выполнение специальных упражнений. Так как пробелы в знаниях разных учащихся различны, то и упражнения для устранения этих пробелов должны быть различными. Это значит, что довольно часто отдельным учащимся надо давать индивидуальные упражнения, специально подобранные. Мы знаем немало таких учителей математики, которые по наиболее важным разделам школьного курса математики имеют очень интересные и полные подборы упражнений, записанных на отдельных карточках. Эти карточки, по мере

надобности, выдаются учащимся для самостоятельного выполнения в классе и особенно в порядке домашней работы. Такой прием индивидуальной работы заслуживает самого широкого распространения.

11. Наблюдения за организацией и выполнением упражнений на уроках математики, проведенные нами в средних школах города Кирова и Кировской области, убеждают нас в наличии факта недостаточно экономного использования времени, отводимого на упражнения. Прежде всего, сравнительно часто непроизводительно расходуется время на организацию упражнений. Происходит это обычно из-за неподготовленности необходимого оборудования (классная доска, мел, чертежные инструменты, чернила, ручки, карандаши, тетради, сборники задач и т. д.), а также из-за неподготовленности к работе учащихся и даже самого преподавателя. Это — организационные потери времени. Помимо них, весьма распространены случаи потери времени, вызываемые выполнением ненужных упражнений и бесполезными записями.

Часто можно наблюдать дословное переписывание задач из задачников в тетради или на классную доску. Немало времени отнимают также излишне подробные и слишком медленные записи. Для того чтобы избежать потери времени при проведении упражнений, следует руководствоваться, например, такими правилами:

а) заблаговременно подготовлять все необходимое для упражнений оборудование;

б) не задерживаться на таких упражнениях, выполнение которых учащимися уже достаточно усвоено;

в) не решать примеров и задач, которые заведомо легки для учащихся;

г) предлагать упражнения, к выполнению которых учащиеся подготовлены предыдущей работой;

д) выполнять только необходимые упражнения, т. е. упражнения, способствующие достижению намеченной цели;

е) условия задач, взятых из стабильных задачников, а подчас и примеры (в их первоначальной форме) не записывать в тетради или на классной доске; достаточно поставить лишь номер задачи или примера; возможны схематические записи условий задач, т. е. записи данных и вопросов; в частности, при решении геометрических задач запись условия может быть заменена выполнением чертежа и схематической записью того, что дано и что должно быть найдено;

ж) многие арифметические, алгебраические, геометрические и даже тригонометрические задачи и примеры решать устно без всяких записей или с минимальными записями;

з) для ускорения решений примеров и задач пользоваться различными математическими таблицами (простых чисел, ква-

дратов и кубов чисел, корней второй и третьей степени, обратных чисел, длин окружностей, площадей кругов и т. д.);

и) из различных возможных способов решения задач и примеров выбирать более экономные в отношении времени;

к) настойчиво приучать учащихся работать быстро, но, конечно, так, чтобы правильность не страдала.

Особо следует остановиться на тех потерях времени, которые происходят при вызове к доске для выполнения упражнений слабых или медленно соображающих учащихся. В таких случаях более сильные учащиеся справляются с работой значительно быстрей, а потом они некоторое время остаются без дела. Эти периоды «безделья» оказываются особенно продолжительными в тех случаях, когда преподаватель настойчиво добивается выполнения упражнения учащимся, вызванным к доске, не привлекая других учащихся. Сказанного нельзя понимать так, что слабых учащихся не следует вызывать к доске. Вызывать к доске нужно и слабых учащихся, но не чаще, чем других. Однако индивидуальная работа с недостаточно успевающими учащимися должна проводиться, большей частью, не во время выполнения упражнений у классной доски, а в другое время, например, во время самостоятельной работы или во внеурочное время.

Организация и проведение упражнений

Процесс выполнения упражнений на уроках математики может быть подразделен на три основных этапа. Первый этап — усвоение содержания упражнений, т. е. выяснение того, что должно быть сделано. Второй этап — выполнение упражнения, и, наконец, третий этап — проверка правильности выполнения упражнения и подведение итогов работы.

Ознакомление учащихся с содержанием упражнений может проводиться различными способами.

1) Упражнение усваивается со слов преподавателя. Преподаватель достаточно обстоятельно и четко рассказывает учащимся, в чем состоит упражнение и что должно быть сделано. Такой рассказ преподаватель нередко заменяет чтением условий задач, примеров по сборникам задач и учебникам. Иногда вместо преподавателя упражнения читают учащиеся, вызванные к доске.

2) С содержанием упражнения учащиеся знакомятся по записям, предусмотрительно выполненным на классной доске. Предварительно преподаватель или кто-либо из учащихся по указанию преподавателя записывает на доске те примеры и задачи, которые должны быть решены. Эти записи прочитываются учащимися, а кроме того, часто воспроизводятся в тетрадях.

3) Содержание упражнения усваивается путем самостоятельного чтения учащимися сборников упражнений или учебников. В таких случаях преподаватель указывает учащимся

страницы и номера упражнении; учащиеся самостоятельно прочитывают указанные им примеры и условия задач и разбираются в них.

4) Для ознакомления учащихся с содержанием упражнений используются специальные индивидуальные карточки или классные таблицы. Индивидуальные карточки представляют собой небольшие листочки плотной бумаги, на которых записаны примеры и задачи. Такие карточки используются, главным образом, для упражнений в устных вычислениях и преобразованиях, а также при проведении самостоятельной работы. Приведем примеры индивидуальных карточек с упражнениями для устного выполнения по некоторым разделам программы алгебры.

а) Понятие о степени.

Вычислить:

Вычислить:

Найти числовое значение выражений:

б)Уравнения первой степени с одним неизвестным.

Решить уравнения:

Составить уравнения по корням:

Техника использования индивидуальных карточек проста. Учащийся, получив от учителя карточку, должен прочитать одно за другим упражнения, записанные на этой карточке, и, либо

устно, либо письменно, в соответствии с предварительным указанием преподавателя, выполнить их.

Классные таблицы, в отличие от индивидуальных карточек, — большие листы бумаги, на которых достаточно крупно (чтобы видно было всем учащимся) записаны примеры или данные для различных операций. Такие таблицы, как и индивидуальные карточки, используются, главным образом, при устном выполнении упражнений. Хорошо известны, например, различные таблицы для устных вычислений с целыми числами. Подобно этим распространенным таблицам могут быть составлены и с успехом использованы таблицы для устных вычислении и преобразований по таким вопросам, как преобразование обыкновенных дробей и действия над ними, действия над десятичными дробями, процентные вычисления, нахождение числовых значений буквенных выражений, действия над положительными и отрицательными числами, действия над одночленами, формулы сокращенного умножения и деления, тождественные преобразования алгебраических дробей, действия над иррациональными одночленами, извлечение корней и т. д.

Приведем два примера классных таблиц:

а) Таблица для упражнений в действиях над положительными и отрицательными числами:

б) Таблица для упражнения в действиях над одночленами и многочленами:

Используются такие таблицы довольно просто. Перед началом устных занятий соответствующая таблица вывешивается в классе. Преподаватель, вооружившись указкой, показывает учащимся определенные числа или алгебраические выражения и сообщает, какие операции должны быть выполнены над ними. Учащиеся читают указанное преподавателем по таблице и выполняют заданные операции.

При проведении устных занятий могут быть использованы также различные счетные фигуры, так называемые волшебные квадраты и т. д.

5) Практически для ознакомления учащихся с содержанием упражнений используются, большей частью, не отдельные приемы, а различные сочетания их. Довольно часто объединяются, например, первый и третий, а также первый и второй приемы.

Каким приемом и когда следует воспользоваться — зависит больше всего от характера упражнений. Так, первый прием может быть использован, когда упражнения несложны и негромоздки, когда данные просты и легко запоминаются. Второй

прием целесообразен по отношению к таким упражнениям, которые заимствуются из мало распространенных пособий или составляются самим преподавателем. Что касается третьего и четвертого приемов, то они используются, большей частью, при проведении самостоятельной работы и устных вычислений.

При использовании тех или иных приемов ознакомления учащихся с содержанием упражнений нам представляется целесообразным руководствоваться следующими положениями:

а) Перед рассмотрением некоторых упражнений учителю следует разъяснить учащимся встречающиеся в формулировках упражнений термины и выражения, неизвестные учащимся.

б) «Чистым» приемам во многих случаях надлежит предпочесть комбинированные, так как комбинированные приемы дают более основательное уяснение упражнений.

в) Если пример или условие задачи усваиваются со слов преподавателя, то не следует повторять их несколько раз, так как многократные повторения порождают обычно невнимательность.

г) Прежде чем переходить к выполнению упражнения, необходимо проверить, достаточно ли оно усвоено учащимися. Можно задать учащимся несколько вопросов, имеющих целью выяснить, понято ли учащимися упражнение. Можно также заставить одного или нескольких учащихся повторить условие задачи, пример, вообще упражнение, намеченное к выполнению. Возможно также повторение некоторых упражнений, особенно задач, по вопросам; причем вопросы могут быть двух типов: 1) что известно в задаче о том-то, 2) что выражает такое-то число?

д) Повторное чтение упражнения по учебнику, особенно условия задачи, справедливо считается нецелесообразным, так как оно часто оказывается «механическим» повторением.

В практике преподавания математики используются разнообразные приемы проведения упражнений. Особенно распространены такие:

1. Упражнение выполняется на классной доске самим преподавателем. При этом математические операции, действия, различные построения основательно объясняются. К объяснению решений примеров и задач часто привлекаются учащиеся, для чего преподаватель задает обычно вопросы и предлагает учащимся отвечать на них с места. Записи в тетрадях при таком способе выполнения упражнений могут совсем отсутствовать, либо проводиться после того, как решение на классной доске будет закончено, либо они могут вестись параллельно с записями на классной доске. В младших классах обычно записи в тетрадях при таком приеме выполнения упражнений не производятся совсем или производятся после выполнения их на классной доске. Это делается для того, чтобы не «раздваивать» еще неустойчивого внимания учащихся. Начиная с VII класса,

возможны и, пожалуй, целесообразны, в отношении более экономного использования времени, параллельные записи на классной доске и в тетрадях.

2. Второй прием выполнения упражнений отличается от первого тем, что пример или задача решаются на доске не преподавателем, а вызванным для этого к доске учеником. Остальные учащиеся те же самые упражнения выполняют в своих тетрадях. Чтобы этот, имеющий широкое распространение, прием давал хорошие результаты, нужно: а) Умело помогать учащемуся, вызванному к доске, привлекать к работе и других учащихся, не увлекаться наводящими вопросами, б) Добиваться, чтобы учащиеся не списывали механически решения примеров и задач с доски, а выполняли эти упражнения самостоятельно Преподавателю, следовательно, нужно работать не только с учащимся, вызванным к доске, но и с другими учениками. По той же причине записи, выполняемые на классной доске, должны служить, главным образом, каждому учащемуся для проверки самостоятельно выполняемой работы, в) В большинстве случаев целесообразно, чтобы упражнение на доске выполнял один учащийся. Если же упражнение сложно или разбивается на несколько самостоятельных этапов, то для его выполнения можно вызвать к доске последовательно несколько учащихся, г) Объяснения решений примеров и задач обязательны не во всех случаях. В целях экономии времени, если сущность операции учащимся ясна, объяснения могут быть либо совсем опущены, либо значительно сокращены, д) Учащимся, вызванным к доске, следует предоставлять больше самостоятельности, е) Руководя работой ученика, вызванного к доске, надо заботиться об активной работе всего класса.

3. Третий прием состоит в том, что сначала всем классом коллективно составляется план выполнения упражнения, а затем этот план реализуется учащимися самостоятельно. План выполнения упражнения может составляться также отдельными учащимися, вызываемыми для этого учителем, а иногда он сообщается учащимся самим преподавателем. Чаще всего план решения примера или задачи намечается путем классной беседы, при этом иногда выясняются не все вопросы, а лишь наиболее трудные.

4. Четвертый прием — упражнение от начала и до конца выполняется самостоятельно. Этот прием, дающий отличные результаты при вдумчивом отношении к нему, должен найти значительно большее распространение в практике проведения упражнений, чем это есть на самом деле. Нужно смелей и настойчивей практиковать самостоятельное выполнение упражнений.

Самостоятельное выполнение упражнений открывает широкий простор для крайне необходимой индивидуализации работы. Различным учащимся сравнительно часто следует давать

разнообразные упражнения, подбирая их так, чтобы они помогали учащимся устранять пробелы в их математических знаниях и навыках.

Практикуя самостоятельное выполнение упражнений в классе, следует заботиться о том, чтобы содержание упражнений было понято учащимися, оказывать учащимся помощь в преодолении возникающих затруднений, тщательно и своевременно проверять самостоятельное решение примеров и задач.

5. Самостоятельное выполнение упражнений может быть соединено с работой у классной доски. В то время как учащиеся работают самостоятельно, к доске вызываются 2—3 ученика. Упражнения, даваемые для выполнения этим ученикам, могут отличаться от выполняемых самостоятельно, но чаще всего это те же самые упражнения. Выполнение упражнений у доски при этом, как правило, не сопровождается объяснениями, так что получаются как бы два потока работы со слабыми связями между собой. Применяется этот прием чаще всего для проверки знаний и навыков учащихся, а также для оказания помощи недостаточно успевающим учащимся.

Последний этап проведения упражнений — проверка решений. Довольно часто этот этап, как показывают наблюдения, недооценивается, между тем без проверки решений упражнения являются часто бесполезными.

Проверка решений проводится обычно: 1) с помощью решений, записанных на доске; 2) со слов преподавателя, который сообщает, как должно было проходить решение и какой результат должен был получиться; 3) путем просмотра тетрадей учащихся преподавателем; 4) путем коллективной классной беседы; 5) сличением полученных результатов с ответами, данными в задачниках.

Необходимое завершение проверки выполнения упражнений — исправление ошибок и подведение итогов. Следует признать целесообразным после нескольких упражнений определенного вида делать выводы о том продвижении вперед, которое имело место, и о тех недостатках, которые обнаруживались при выполнении этих упражнений.

В заключение хочется особо подчеркнуть острую необходимость повседневного совершенствования наших учительских кадров в области методики упражнений. Как бы хорошо ни был подготовлен учитель, как бы он ни был опытен, ему нужно расти и совершенствоваться, ибо одно из основных качеств советского человека — способность расти и совершенствоваться в избранной им специальности.

З. Н. Пикторинская,

преподавательница средней школы города Чебоксары Чувашской АССР

О НАГЛЯДНОМ ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ В VI КЛАССЕ

Кто из преподавателей математики не знает трудностей преподавания геометрии в VI классе? Кто не терялся в поисках путей и средств, облегчающих совместный тяжелый труд учителя и ученика?

Помню, как в первые годы своей долгой работы я изощрялась в изменении поурочных планов, изобретала новые формы изложения, наивно думая, что хороший рассказ учителя—единственное средство успеха обучения. Порою мне казалось, что мое объяснение является совершенством по доступности и в методическом отношении, но впоследствии я убедилась, что один рассказ учителя не решает дела. Рассказ только шлифует уже выполненную работу. Главное состоит в умении приспособиться к уровню развития шестиклассника, спуститься до него так, чтобы начать говорить и временно, может быть, мыслить, как он, а потом постепенно поднимать его все выше и выше.

Зачастую мы забываем о возрасте учащегося, подходим к нему так же, как к старшим: даем длинные объяснения, не упрощаем речи, торопимся. Между тем, шестиклассник во многом еще остается ребенком и в течение начального периода изучения математики — по крайней мере, около полугода — находится, примерно, в тех же условиях, что и первоклассник на уроках арифметики. Там преподавание арифметики не мыслится без наглядных пособий, и, чем опытнее учитель, тем богаче их ассортимент. Трудно представить себе, как стали бы дети овладевать математическими понятиями без красочных плакатов, счетов, кубиков, палочек и прочего дидактического материала. Там и методы проведения урока особенные, а речь учителя близка к детской.

Шестиклассник изучает две совершенно новые дисциплины, в некоторых случаях ни с чем ранее изучавшимся не ассоциирующиеся. Ему приходится не только заучивать наизусть до

вольно объемистый, сложный для него материал в виде определений, теорем, правил, формул, но и учиться мыслить по-другому. Сразу перескочить на путь отвлеченного мышления шестиклассник не в состоянии. Этого этапа он достигает ценой большого труда и подчас огорчений. Надо всевозможными способами помогать шестикласснику перестраивать свое мышление. Мне кажется, что в некоторых случаях не мешало бы даже пользоваться методами работы с первым классом.

Что же необходимо для успешного прохождения математики в VI классе? Прежде всего нужно помнить, что учитель должен строго соблюдать основные правила дидактики: ничего не давать в готовом виде, максимально развивать самодеятельность учащихся; везде, где только есть возможность, предварять теорию наблюдением и экспериментом.

Второе требование относится к речи учителя: она должна быть безукоризненно ясной в формулировке вопросов, обращенных к учащимся; объяснения должны быть возможно более краткими, простыми и доступными; при этом преподаватель должен проявить достаточно выдержки, терпения, не торопясь выяснить каждый шаг рассуждения.

Темп продвижения вперед в первую половину года требуется значительно снизить отчасти за счет сокращения объема поурочного материала, а отчасти за счет увеличения числа часов, отводимых на первые темы плана; при ином темпе учащиеся не успевают вдумываться, улавливать суть прорабатываемого, не замечают существующих зависимостей, а потому и не умеют их вскрывать. Вызванный этой замедленностью темпа перерасход часов вполне окупится в конце года, когда учащиеся сознательно овладевают основами предмета.

У шестиклассника нет еще достаточного навыка в работе с книгой; поэтому объяснение хорошо сочетать с чтением учебника. Здесь возможны разные вариации: иногда один и тот же учащийся читает от начала до конца весь параграф, а остальные следят за ним по книге, после чего учащиеся отвечают на вопросы учителя; в другой раз они по очереди читают каждую часть и тут же обсуждают ее. Целесообразно также, чтобы учащийся вслед за объяснением медленно и вдумчиво прочитал соответствующее место по учебнику. Иногда бывает полезно составить совместно с учащимися план проведенного урока в виде перечня узловых вопросов темы, как это показано ниже, который поможет ученику дома хорошенько разобраться в задании, сосредоточить внимание на главном, рассказать связно, без наводящих вопросов, выученный материал. Таким образом, у ученика постепенно и незаметно вырабатывается умение работать с книгой, пользоваться учебником разумно, не заучивая текста механически.

Но особенно важное значение на этом этапе обучения математике имеют наглядные пособия. Пособий фабричного произ-

водства в школах нет, но многие из них нетрудно изготовить самим. Материал для них — краски, бумага, обложки от старых тетрадей — всегда под руками. Начертить и вырезать геометрические фигуры каждый учитель способен.

Модели, которыми я пользуюсь, очень просты. Простота их привлекает учащихся, вызывая на подражание. Иногда мне удается в течение одного урока продемонстрировать несколько моделей и, когда в процессе объяснения я развертываю их одну за другой, класс с большим оживлением следит за мной, а я мысленно благодарю свои бумажки за услугу, оказанную при объяснении. Вот, например, дается понятие о равенстве и неравенстве углов. У меня два равных угла, вырезанных из разноцветной бумаги, и третий угол, неравный им. С их помощью очень легко объяснить, как вообще можно налагать углы друг на друга и как нужно налагать их, чтобы судить об их величине, где может расположиться вторая сторона в различных случаях. От модели мы тотчас переходим к чертежу — от конкретного к абстрактному.

Две разноцветные полоски бумаги шириною в 1 см, для прочности свернутые вдоль листочка вдвое, могут служить весьма полезным наглядным пособием при ознакомлении с видами углов: развернутым, полным, острым, прямым, тупым, смежными и вертикальными углами. Я держу эти полоски в руках, а у каждого учащегося на парте, как у первоклассника, имеется свой дидактический материал: он собственноручно строит, что требуется, а после этого бережно закладывает свои листочки в тетрадь; они понадобятся еще, когда будет даваться понятие о перпендикуляре и наклонной.

К предложению о том, что из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на нее перепендикуляр и притом только один (Киселев, стр. 15, § 24), учащиеся — в результате их работы, проделанной на листочках по указаниям учителя,—приходят самостоятельно.

Удачно сконструированы у меня пособия, иллюстрирующие темы: «Осевая симметрия» и «Свойства равнобедренного треугольника». Об уроках на эти темы я скажу ниже.

Для доказательства первого и второго признака равенства треугольников я беру, в качестве иллюстрации, два вырезанных из цветной бумаги треугольника с отмеченными на них черной краской данными элементами; для иллюстрации первого признака берутся два треугольника одного цвета, для иллюстрации второго признака — другого цвета; эта деталь тоже имеет свое положительное значение.

У модели, иллюстрирующей доказательство третьего признака равенства треугольников, эксплоатируются обе стороны. Лицевая сторона—белая; ее я обращаю к учащимся, когда даю понятие о способе доказательства приложением. Затем я делаю на доске чертеж, который учащиеся копируют, соединяю вер-

шины треугольников отрезком прямой; пока учащиеся отвлекают свое внимание на выполнение чертежа в своих тетрадях, я прикалываю к доске модели треугольников в приложенном положении, но обратной стороной, причем нижний треугольник помещаю на место верхнего, чтобы модель имела точно такой же вид, как и чертеж; последний я стараюсь сделать одинакового с моделью размера. На обратной стороне вновь полученные равнобедренные треугольники окрашены у меня в два цвета.

После того как изучена эта теорема, ощущается некоторое облегчение в работе. В дальнейшем можно уже обходиться без моделей, потому что к этому времени ученики успевают до известной степени освоиться с предметом. Из всего последующего материала я иллюстрирую моделями лишь две темы: а) треугольники с двумя соответственно равными сторонами и б) сумма внутренних углов треугольника, но делаю это больше для оживления урока, чем для облегчения понимания учащимися материала.

При изучении алгебры наглядными пособиями являются: 1) изображение числовой оси, вывешиваемое над классной доской на все время прохождения темы: «Относительные числа»; положительные числа отмечены на ней красным цветом, отрицательные — черным, а нуль — зеленым, что постоянно напоминает учащимся, что нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам; 2) стенные таблицы: а) коэффициент и степень, б) формулы сокращенного умножения. Они вывешиваются после окончания темы и служат, главным образом, для повторения. При повторении формул мы читаем их то справа, то слева. Когда убеждаюсь, что ученики свободно оперируют с формулами, я убираю таблицы.

Тему «Целые одночленные и многочленные выражения» я иллюстрирую так: в особой коробочке собраны у меня в разрезанном виде многочлены и одночлены, плюсы, минусы, скобки (по типу разрезной азбуки). Я беру из коробочки нужные элементы и составляю из них примеры или предлагаю сделать это учащимся. С помощью этого пособия можно наглядно показать сложение и вычитание одночленов и многочленов, раскрытие скобок и заключение в скобки. Сухие слова правила получают как бы реальный смысл.

Известно, какое значение имеет запись на классной доске, сделанная своевременно в процессе объяснения, подчеркнутые слова в предложении, штрихи на чертежах. С еще большим эффектом можно использовать для этой цели цветной мел.

Допустим, что вы даете понятие об окружности. Одним мелком вы вычерчиваете радиус, другим — диаметр, третьим — хорду и т. д. Благодаря этой красочности чертеж как бы оживает; настроение класса заметно поднимается. Даете ли вы понятие

о главнейших линиях в треугольнике, о внешнем угле и т. д., — везде цветной мел окажет вам немалую услугу.

В алгебре цветным мелом выгодно выделять знаки при выводе правил действий над относительными числами, подобные члены; им можно пользоваться при выводе формул сокращенного умножения и деления.

В заключение приведем примеры конспективной разработки уроков по геометрии.

Тема урока: «Осевая симметрия»

Из тем шестого класса эта тема принадлежит к числу наиболее трудных в отношении изложения ее учащимся. В стабильном учебнике ей отводится лишь один параграф, изложенный, надо сказать, довольно неудачно: сухо и отвлеченно, предложениями, из которых шестиклассник не способен извлечь смысла.

Между тем, уроки по ознакомлению учащихся с осевой симметрией можно сделать не только доступными, но и увлекательными. Стоит лишь подобрать простой дидактический материал.

На освещение всей темы предусматривается два часа. Первый начинается с повторения пройденного, имеющего связь с последующим. Повторяется определение перпендикуляра и основания перпендикуляра, построение перпендикуляра с помощью чертежного треугольника; напоминается о различии выражений «восставить» и «опустить» перпендикуляр.

Приступая к новой теме, учитель говорит:

— Возьмите листок бумаги и чернилами поставьте на нем слева точку. Теперь, не промакая, перегните листок пополам, и ваша точка оставит след на противоположной стороне (ученики выполняют предложение).

После небольшой паузы учитель продолжает:

— Первую точку обозначьте буквой А, вторую — буквой Ах (ученики обозначают). Соедините точки прямой. По месту перегиба листочка проведите прямую, как у меня здесь [показывает выполненный на отдельном листке чертеж 1). Точку пересечения прямой MN и отрезка ААг обозначьте буквой О, а углы при точке О - цифрами 1 и 2 (ученики, смотря на чертеж в руках учителя, копируют его (см. черт. 1).

— Теперь еще раз перегните листок по прямой (показывает) и обратите внимание на отрезки OA и ОА\. Что вы заметили?

Ученик: Отрезок OA совпал с отрезком ОАх.

Черт. 1

Учитель: Какой отсюда можно сделать вывод относительно углов 1 и 2?

Ученик: Эти углы равны между собою.

Учитель: А какие это углы?

Ученик: Углы 1 и 2 смежные.

Учитель: Если эти углы смежные и, кроме того, равные, то как называются эти углы?

Ученик: Углы 1 и 2 как смежные и равные между собой — прямые.

Учитель: Значит, как расположен отрезок АА\ по отношению к прямой MN?

Ученик: Отрезок ААг перпендикулярен к прямой MN.

Учитель: Итак, точки Л и Л, расположены на перпендикуляре к прямой MN. На каком же расстоянии от основания О перпендикуляра находятся эти точки?

Ученик: На одном и том же расстоянии, так как отрезки OA и ОА\ равны.

Учитель: Повторите, как расположены точки А и Ах?

Ученик: Точки А и А{ расположены на одном и том же перпендикуляре к прямой MNuo разные стороны от нее и при этом на одном и том же расстоянии от основания перпендикуляра.

Учитель: Если какие-нибудь две точки расположены по разные стороны от прямой на одном и том же перпендикуляре к этой прямой и на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра, то такие точки называются симметричными относительно прямой (прикалывает к доске чертеж 1 и под ним подписывает: «Симметричные точки»). Прочитайте о симметричных точках по учебнику — на стр. 21, второе предложение (ученики читают 1—2 раза). — Итак, какие точки называются симметричными относительно прямой?

Ученик дает определение. Учитель предупреждает, что это определение надо будет выучить наизусть. Затем чертит на доске прямую, берет по одну сторону от нее точку и обращается к ученикам:

— Дана прямая MN и по одну сторону от нее точка А. Как построить другую точку, симметричную точке А относительно прямой MN?

Ученик: Надо из данной точки А опустить перпендикуляр на прямую MN и продолжить его за прямую MN на такое же расстояние.

Учитель предлагает выполнить на доске построение точек, симметричных относительно данной прямой, причем прямая берется в различных положениях. То же самое ученики вычерчивают в своих тетрадях.

Затем ученики приступают к практическому ознакомлению с отрезками, симметричными относительно данной прямой.

— Возьмите снова ваши листки; на той же стороне, где у вас точка Л, начертите вторую точку В. Постройте симметричную ей точку Вг (показывает листочек с чертежом 2. Ученики делают построение). Соедините точку А с точкой В, а точку А\ с точкой В\. Что вы получили?

Ученик: Мы получили два отрезка: АР и Л,/?,.

Учитель: В каком положении окажутся эти отрезки, если перегнуть листок по прямой МЫ?

Ученик: Отрезок АВ совпадет с отрезком АгВи

Учитель: Стало быть, для каждой точки отрезка АВ какая точка найдется на отрезке А[В\?

Черт. 2

Ученик: Для каждой точки отрезка АВ на отрезке А\ВХ найдется точка, симметричная ей относительно прямой MN.

Учитель: Если все точки одного отрезка симметричны точкам другого отрезка относительно некоторой прямой MN, то эти отрезки называются симметричными относительно этой прямой MN. Прямая MN на зывается осью симметрии (прикалывает к доске листок со вторым чертежом, подписывает под ним: «АВ и А\В\ — симметричные отрезки; MN — ось симметрии»). Как, по-вашему, можно построить отрезок, симметричный данному относительно оси?

Ученик: Чтобы построить отрезок, симметричный данному, надо построить точки, симметричные концам данного отрезка относительно оси, и полученные точки соединить отрезком прямой.

Учитель чертит три прямые в различных положениях: в горизонтальном, вертикальном, наклонном и по отрезку около каждой. Вызванные к доске ученики строят симметричные отрезки; остальные делают построение в тетрадях. Потом учитель чертит треугольник по одну сторону оси и предлагает начертить второй треугольник, симметричный первому относительно данной оси. Обычно это задание не затрудняет учащихся. Когда требуемый треугольник готов, учитель берет на нем произвольные точки и предлагает указать симметричные им точки на другом треугольнике, после чего дает определение симметричных фигур. Под чертежом делается подпись: «Симметричные фигуры». Ученики копируют. Потом снова берутся за книгу: из параграфа 37 читают до половины второй абзац и, подготов-

ленные предшествующими этапами работы, вполне осмысленно воспринимают прочитанное.

В заключение учитель ставит вопрос:

— В каком положении окажутся наши треугольники, если чертеж перегнуть по оси?

Ученик: Треугольники совместятся.

Учитель: Как называются треугольники, которые могут быть совмещены?

Ученик: Такие треугольники называются равными.

Учитель: Итак, всякие две фигуры, симметричные относительно какой-нибудь оси, равны между собою. Повторите.

Урок заканчивается пояснением к заданию:

— К следующему уроку вы должны: а) суметь рассказать, какие точки, отрезки и фигуры называются симметричными относительно оси, и объяснить, как они строятся; материал найдете в своих тетрадях и в § 37 (до замечания); б) решить из задачника Рыбкина задачу № 50 на стр. 12; в) начертить и вырезать из бумаги два равных треугольника такого вида, как на чертеже 40 (из учебника).

Второй урок начинается с проверки задания. Вызываются к доске одновременно два учащихся: один приготовляет чертеж к заданной задаче, другой рассказывает урок. За это время учитель, обходя класс, проверяет решение задачи на местах. Опросив вызванных, учитель приступает к выяснению особенностей осевой симметрии:

— Достаньте ваши треугольники и расположите их на парте симметрично воображаемой оси. Ваши треугольники находятся в одной плоскости. Один треугольник оставьте неподвижным, а другой, повернув вокруг оси, наложите на первый так, чтобы он с ним совместился. Какой стороной обращен к вам второй треугольник?

Ученик: Второй треугольник теперь обращен к нам своей другой стороной.

Учитель: Остается ли он в прежней плоскости, когда вы вращаете его?

Ученик: Нет, во время вращения он уже не находится в прежней плоскости.

Учитель: Теперь верните второй треугольник в первоначальное положение. Попробуйте совместить второй треугольник с первым, не выводя его из плоскости, т. е. только перемещая его в плоскости.

После неудачных попыток ученики приходят к выводу, что фигуры, симметричные относительно оси, никаким перемещением на плоскости совместить невозможно; чтобы совместить их,

приходится одну из них временно вывести из ее плоскости и перевернуть другой стороной. Этот факт закрепляется чтением соответствующих строк из учебника и пересказом.

Дальше учитель демонстрирует фигуры, имеющие оси симметрии: квадрат, прямоугольник, круг, равнобедренный треугольник. Эти фигуры известны учащимся; но сегодня учащиеся открывают в них новое свойство. Оси симметрии выделены на каждой из них цветными линиями. Ученики чертят показанные фигуры, ставят обозначения, подписывают названия.

Затем учитель рассказывает о симметрии в быту, которую люди соблюдают иногда даже бессознательно, так как симметрия приятна для глаз. Обращает внимание на вышивку, расцветку тканей на костюмах учащихся. Потом, показывая рисунок здания со шпилем на середине, с колонками и симметрично расположенными лепными украшениями, говорит о симметрии в архитектуре.

Рисунок очень нравится учащимся; они сразу указывают положение оси симметрии. Можно показать фотоснимок с одного из городских зданий, характерного с точки зрения симметрии, или, если его нет, просто напомнить об общеизвестном здании. Я обычно показываю фотоснимок с чебоксарского Дома Советов. Интерес еще более усиливается, когда учитель рассказывает о симметрии в природе и в подтверждение показывает засушенный лист клена и обыкновенную бабочку (черт. 3).

В конце урока в классе решается задача № 49 на стр. 12.

На дом задается весь § 37 и задача № 48 на той же странице. Можно предложить подыскать примеры симметрии в жизни.

Указанная планировка урока дает возможность осуществления принципов: «От простого — к сложному, от легкого — к трудному». В знакомый учащимся материал постепенно, почти незаметно вводится новый. Разнообразие приемов, в свою очередь, играет положительную роль. Ученики и наблюдают, и экспериментируют, и делают выводы, и чертят, и слушают рассказ учителя, и сами рассказывают, и читают, и решают задачи — словом, привлекаются методы восприятия и слухового, и моторного, и зрительного порядка. Дидактический материал возбуждает эмоции, сглаживает сухость и трудность темы. Благодаря всему этому достигается четкое понимание учащимися пройденного материала.

Набор наглядных пособий к теме «Осевая симметрия» первоначально приносится в виде отдельных частей, которые в процессе объяснения показываются отдельно одна за другой. По окончании темы можно, наклеив эти части на большой лист бумаги, приготовить стенную таблицу и вывесить ее на некоторое время в классе.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Симметричные точки и отрезки

Фигуры, имеющие оси симметрии

Симметрия в природе

Черт. 3

Симметрия в архитектуре

II. Тема урока: «Свойства равнобедренного треугольника»

Теоремы о свойствах равнобедренного треугольника — первые теоремы из курса VI класса. На них учащиеся впервые учатся расчленять теорему на составные части и записывать эти части; впервые учатся строить строго логическое доказательство, рассуждать. Они должны одновременно преодолеть несколько трудностей, и это дается нелегко.

Существенную помощь при изучении этой темы оказывает вырезанная из белой бумаги модель треугольника; размер его приблизительно такой же, как у демонстрационного чертежа. На лицевой стороне резко очерчена биссектриса угла при вершине; окраска двухцветная; крупными цифрами отмечены углы, подлежащие рассмотрению. Обратная сторона оставляется чистой. Лицевая привлекается для доказательства теорем, обратной можно пользоваться при повторении, предваряющем начало урока.

Подготовляя почву для объяснения, учитель показывает модель треугольника, обращенную к классу чистой стороной, и спрашивает, какой это треугольник. Повторяют определение равнобедренного треугольника. Вызванные к столу учащиеся показывают на модели равные стороны, основание, вершину, углы при основании. Вспоминают определения биссектрисы, медианы, высоты и способы их проведения. Показывают, которая из биссектрис называется биссектрисой угла при вершине. Повторяют определение смежных углов и прямого угла.

После этого учитель пишет на доске название темы и делает чертеж равнобедренного треугольника. Дождавшись того момента, когда учащиеся закончат чертить в своих тетрадях, учитель медленно формулирует обе теоремы; затем формулировку теоремы читают по книге. Учитель предлагает выделить условие и заключение. Не находя характерных для начала условия и заключения слов, ученики обычно не знают, как выйти из затруднения. Тогда учитель посредством наводящих вопросов заставляет изменить обычную краткую формулировку теоремы так, чтобы она включала слова: «если» и «то». Шероховатости слога отшлифовываются учителем, и теорема получает новую формулировку: «Если треугольник равнобедренный, то биссектриса его угла при вершине одновременно есть медиана и высота». Теперь уже легко расчленить ее на составные части. Следующий этап — перевод устной речи на язык математической записи; его надо пройти особенно осторожно, не спеша. Пусть ученики хорошенько уяснят равнозначимость таких записей, как «ДЛбС—равнобедренный» и «в ДАВС: АВ = = ВС\ ЯО —биссектриса угла В и ^.ABD = ^.CBD* и убедятся в рациональности записи с помощью символов.

При активном участии класса учитель делает соответствующую запись условия и заключения и предупреждает, что такого порядка будем придерживаться всегда, а потому надо обратить на него серьезное внимание. Не мешает лишний раз переспросить учеников, какой смысл имеет сделанная запись; при этом вопросы надо ставить двояко: в одном случае исходить из текста теоремы, а в другом, наоборот, начинать с записи и переходить к тексту теоремы.

Убедившись, что расшифровка теоремы внесла ясность в сознание учеников, учитель вновь берет модель и на этот раз обращает ее к классу лицевой стороной. На модели появляются два новых треугольника, образованные построенной на ней биссектрисой угла при вершине. Букв на модели нет, но обозначения вводятся те же, что и на чертеже (черт. 4).

Учитель говорит, что один из этих треугольников он будет держать неподвижно, а Черт. 4 другой будет вращать вокруг биссектрисы, как вокруг оси, пока он не упадет на первый. Затем он медленно проделывает это; ученики с вниманием следят за ним. Потом совместно разрешают вопросы:

— Где окажется сторона АВ? Вследствие чего?

— Куда упадет точка А? Почему?

— Какое положение займет отрезок DA? Почему? Какой можно сделать из этого вывод? Значит, чем служит биссектриса BD?

— Какое заключение можно сделать относительно углов Л и С?

По окончании этой беседы учитель воспроизводит все доказательство сначала на модели, а затем вторично по чертежу, но пока еще по вопросам. После этого он опять берет треугольник из бумаги и вызывает разных учащихся:

— Покажи биссектрису угла при вершине.

— Покажи медиану угла при вершине.

— Покажи высоту угла при вершине.

И все вызванные указывают на одну и ту же линию. Учитель резюмирует:

— Итак, в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, медиана и высота сливаются в одну линию. Теперь рассмотрим, обладают ли тем же свойством биссектрисы других углов.

Хорошо было бы предложить учащимся самим провести эти линии, но чертежи отнимают много времени, поэтому учитель быстро проводит их на белой стороне своей модели, где положение каждой заранее намечено точками. Для большей наглядности можно воспользоваться цветными карандашами.

Ученики воочию убеждаются, что рассмотренное свойство присуще только одной биссектрисе — биссектрисе угла при вершине.

Тут же в порядке домашнего задания учитель предлагает ученикам приготовить неравнобедренный треугольник и произвести аналогичное исследование.

В заключение учитель дает связное доказательство всей теоремы. Оставшиеся до конца урока несколько минут посвящаются работе с книгой.

Так проделывается на уроке основная, максимальная часть работы; дома ученику остается лишь завершить ее. Просмотрите на следующем уроке ученические тетради, — и во многих вы найдете вырезанные треугольники, копии с вашего, хотя задания на их изготовление вы и не давали. Это является доказательством того, что выбранный метод оправдал себя.

Л. С. Францев

преподаватель Канского педагогического училища (Красноярский край)

СИСТЕМА И МЕТОДЫ ПОВТОРЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА

(Опыт работы по повторению арифметики в процессе изучения математики в семилетней школе)

I

Организация планирования и методика повторения, практикуемые в настоящее время в школе, имеют много недочетов; особенно слабо внедряются приемы повторения пройденного в процессе изучения нового материала.

Очень часто наблюдается, что учитель знаком с педагогическими принципами повторения, но не умеет применять их в практической работе, у себя в школе.

За последние два года в работе наших школ уделялось большое внимание вопросам повторения изученного материала. Это повторение стало обязательным элементом педагогического процесса в школе. Во всех классах повторялся материал, изученный в текущем году, а в выпускных классах повторением охватывался также и учебный материал предыдущих классов,— по крайней мере, в объеме, предусмотренном билетами, составленными Министерством просвещения. Такое повторение несколько помогало учащимся восстановить в памяти кое-что из забытого ими, закрепить знания и отчасти привести их в систему.

Этим сделан значительный шаг вперед по сравнению с тем, что мы имели 2—3 года назад, когда повторение в большинстве школ было случайным, мало организованным.

Но и в этой организованной сейчас системе повторения имеются серьезные недочеты. Из них основные: 1) преобладание повторения как самостоятельного процесса, не связанного с изучением нового материала; 2) однообразие методов повто-

рения, состоящих лишь в задавании по учебнику и скучном пересказе учениками повторенного ими материала.

Такая организация и методика повторения снижают его эффективность и подавляют интерес и творческую мысль учащихся. Многие из учителей стали на другой путь повторения. Они исходят из следующих положений.

Повторение должно быть так организовано, чтобы в процессе его устанавливались и укреплялись разносторонние связи в приобретаемых учащимися знаниях и умениях, чтобы эти знания приводились в систему и чтобы вместе с тем возникали новые связи и обобщения.

Приступая к преподаванию какого-либо нового учебного предмета или нового вопроса в пределах этой дисциплины, надо помнить, что новые знания будут тем более прочными, глубокими и осознанными учащимися, чем больше мы установим связей между вновь изучаемым материалом и материалом, изученным раньше.

Особенное внимание надо обратить на приведение в связь первоначальных знаний по вновь изучаемому предмету с имеющимися знаниями из других учебных предметов и из практического опыта учащихся.

Величайший русский педагог Ушинский рассматривал повторение как важнейшее требование дидактики. Ушинский говорил: «Понимая всю важность прочности первых ассоциаций, воспитатель будет возвращаться к ним при каждом удобном случае и не для того только, чтобы испытать, прочен ли фундамент, но и для того, чтобы повторением делать его все прочнее и прочнее, так как по мере учения он выдерживает все большую и большую тяжесть»1. Ушинский, придавая большое значение повторению на первых порах обучения, утверждал, что нельзя забывать о повторении на протяжении всего обучения в школе: «Всякий шаг вперед должен опираться на повторение».

Чтобы в процессе повторения устанавливались связи между изученным ранее и новым материалом, чтобы знания приводились в систему, надо организовать повторение двух видов: 1) повторение пройденного ранее в процессе изучения нового программного материала и 2) самостоятельное повторение.

При планировании учебного материала учитель устанавливает, что из намеченного к изучению материала тесно связано с пройденным раньше и что необходимо повторить из прошлого для лучшего понимания и усвоения нового материала. При этом планировании надо установить, с каким учебным материалом, уже известным учащимся, можно сравнить вновь изучаемый, какие факты, явления и правила из нового материала можно сопоставить с известными учащимся, какое сходство или раз-

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, Учпедгиз, 1945.

личие между ними можно установить и какие при этом могут быть сделаны выводы и обобщения.

Само собой разумеется, что не следует изобретать надуманные и искусственные связи. Там, где отсутствует естественная связь между вновь изучаемым материалом и вопросами, которые необходимо повторить, надо проводить так называемое самостоятельное повторение, не связанное с изучаемым материалом, выделяя для этого особое время на уроке, а иногда отводя целый урок или даже несколько уроков.

При организации повторения учитель должен помнить об основном требовании дидактики: о необходимости применения разнообразных форм повторения. Забывая об этом требовании, учитель превращает уроки повторения в скучное, надоедливое пережевывание изученного материала.

При проведении повторения, так же, как и при изучении нового материала, могут и должны иметь место беседы, лабораторные занятия, экскурсии, разного рода упражнения, решение задач, работа с книгой, графические работы, а в старших классах — доклады учащихся и обобщающего характера лекции преподавателей.

II

Приведенные положения об организации и методике повторения являются одинаково применимыми в процессе преподавания любого учебного предмета как в начальной, так и в средней школе с учетом, само собой разумеется, возраста учащихся и специфических особенностей преподаваемого учебного предмета.

Цель настоящей статьи — изложить практический опыт школьной работы и показать, как высказанные положения о повторении могут быть применены в семилетней школе на уроках математики с тем, чтобы в процессе изучения математики в этой школе повторить изученный ранее курс арифметики.

Надо сказать, что вопросам повторения арифметики в процессе изучения алгебры и геометрии уделяется весьма мало внимания как в существующих методических руководствах и журнальной методической литературе, так и в практической работе школы.

В процессе преподавания математики в шестых и седьмых классах учитель редко привлекает арифметические знания и навыки учащихся. В средней школе ученик на уроках математики весьма мало тренируется в выполнении арифметических вычислений, в решении текстовых арифметических задач, в устном счете. Преподаватель средней школы недостаточно использует арифметический материал при изложении новых для учащихся сведений из алгебры.

А отсюда естественные результаты: знания и навыки учащихся по арифметике за время обучения в средней школе по-

степенно теряются, знания по алгебре, оторванные от арифметики, не столь глубоки, а навыки — недостаточно тверды.

Недочеты в знаниях и навыках по арифметике у лиц, окончивших семилетнюю школу, ярко вскрываются на приемных испытаниях этих лиц при поступлении их в техникумы, а в особенности в педагогические училища, где требуется сдача испытаний по арифметике. Испытания по этому предмету особенно затрудняют учащихся.

Ученик, окончивший семилетку, может доказать теорему, часто безошибочно производит тождественные алгебраические преобразования, решает систему уравнений и вместе с тем затрудняется ответить на вопрос о конкретном смысле умножения или деления числа на дробь, найти дробь числа или число по данной его дроби, не всегда различает понятия «на столько-то единиц больше» и «во столько-то раз больше», не может обосновать приемы выполнения арифметических действий над целыми и дробными числами.

Общеизвестны случаи, когда ученик, окончивший семилетнюю школу, вполне справляется с составлением уравнений по данным условиям задачи, но затрудняется в решении задачи арифметическим приемом.

В последние годы повторению арифметики в VII классе стали отводить дополнительный час в неделю.

Конечно, утерянные за время учебы в VI классе знания и навыки по арифметике трудно восстановить этим способом. Надо итти не по линии восстановления забытого. Надо помнить слова Ушинского о том, что повторение нужно не столько, чтобы «восстановить забытое (это уже плохо, если что-нибудь забыто), но для того, чтобы предупредить возможность забвения».

Этого можно достичь, если построить уроки математики в шестых и седьмых классах так, чтобы в процессе изучения алгебраического материала учащиеся много раз возвращались к арифметике. Такое систематическое возвращение к арифметике, использование арифметических знаний и навыков учащихся как фундамента, на котором строится здание из приобретаемых алгебраических знаний и навыков, оживляет уроки алгебры, делает понятными и конкретными для учащихся отвлеченные алгебраические положения, будит творческую мысль учащегося. С другой стороны, при такой организации изучения алгебраического материала не только не забывается арифметика, но арифметические знания и навыки учащихся укрепляются, совершенствуются и расширяются.

III

При составлении плана изучения математики, сопровождаемого повторением арифметического материала, надо принять во внимание: 1) какие вопросы алгебры должны быть изучены на

базе имеющихся у учащихся арифметических знаний и навыков и 2) какие из имеющихся у учащихся арифметических знаний и навыков надо в процессе учебы в средней школе ввести в употребление, закрепить и частично расширить.

Как показывает практика, эти две задачи почти совпадают: выполнение второй неизменно помогает осуществлению первой.

Учащиеся должны ввести в употребление и закрепить навыки в выполнении арифметических действий над целыми числами, над обыкновенными и десятичными дробями, должны ввести в употребление и расширить свои знания о свойствах арифметических действий, о правилах выполнения этих действий, о зависимости между компонентами и результатами действий, об изменении результатов действий при изменении данных чисел. Бесспорно, должны быть закреплены навыки учащихся в решении текстовых задач и в устном счете.

Большинство вопросов алгебры излагается на основе применения перечисленных арифметических знаний учащихся. При изучении алгебры широко используются навыки учащихся в выполнении арифметических действий, в устном счете и в решении текстовых задач.

Буквенная символика и алгебраические формулы могут быть вполне поняты учащимися в том случае, если при изучении этих вопросов используется арифметический материал. Нахождение числового значения алгебраических выражений открывает широкие возможности для упражнений в выполнении действий над целыми числами и дробями. Свойства четырех арифметических действий являются весьма ценным материалом для упражнений в применении буквенной символики; они нужны также для перехода к относительным числам. Изучение таких вопросов, как порядок действий и употребление скобок в алгебре, сводится к применению на буквах положений, известных учащимся из арифметики. Вывод правил выполнения действий над одночленами и многочленами, разложение многочлена на множители, вывод правил о нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного одночленов и многочленов должны иметь своим исходным моментом соответствующие определения и правила, известные учащимся из арифметики. Алгебраические дроби являются обобщенными арифметическими дробями и обладают всеми свойствами этих дробей.

Составление общих формул решения однотипных задач, решение задач на составление уравнений восстанавливают в памяти учащихся приемы решения типовых арифметических задач.

Если уделять по 5—6 минут в час на устный счет и этот устный счет проводить на изучаемом или изученном алгебраическом и геометрическом материале, используя известные учащимся из арифметики приемы счета, то мы: 1) закрепим навы-

ки устного счета, весьма полезные в практической жизни и имеющие образовательную ценность, и 2) организуем еще одно мероприятие, направленное к закреплению изученного алгебраического и геометрического материала в его тесной связи с арифметикой.

Таковы пути повторения и закрепления арифметики в процессе изучения математики в семилетней школе.

IV

Остановимся на каждом из перечисленных разделов программы по алгебре и рассмотрим, как в процессе изучения этих разделов можно использовать и повторить соответствующий ему арифметический материал.

На первых уроках алгебры учащиеся знакомятся с буквенной символикой. На этих уроках учащиеся упражняются в составлении общих формул решения однотипных задач, в записи буквенных выражений по данным условиям задачи, в нахождении числового значения буквенного выражения.

Изучение темы начинается с решения однотипных задач.

Может быть взята, например, арифметическая задача на смешение первого рода. Задача решается, и запись решения ее дается в виде формулы. Затем решаются еще несколько задач этого же рода. После выяснения общности формул решения задач этого типа учитель переходит к обозначению данных в условии задач чисел буквами. Таким же путем в процессе упражнений учащихся в употреблении букв могут быть восстановлены приемы решения задач на смешение второго рода, на движение встречное и в одном направлении и на нахождение среднего арифметического нескольких чисел.

Для упражнения в применении буквенной символики следует использовать известные учащимся законы и правила арифметических действий. Учащиеся вспоминают эти законы и правила, иллюстрируют их на числах, а затем, применяя буквы, — записывают их в общем виде.

При ознакомлении учащихся с первоначальными положениями алгебры необходимо проделать достаточное число упражнений на применение правил порядка действий и употребления скобок. Работа начинается с повторения известных учащимся из арифметики сведений о действиях первой и второй ступеней. Проделывается ряд примеров с числовыми данными, в которых имеется ряд последовательных сложений и вычитаний или ряд последовательных умножений и делений, затем решаются примеры на все четыре действия без скобок и со скобками, восстанавливаются в памяти учащихся формулировки правил порядка действий и применения скобок. После такой повторительной работы восстановленные в памяти учащихся правила используются в применении к буквенным выражениям.

В целях приобретения учащимися твердых навыков в употреблении правил о порядке действий проводятся упражнения на нахождение числового значения буквенных выражений. Эти упражнения определяются целями изучения нового алгебраического материала, но они должны быть использованы также и для повторения и закрепления навыков учащихся в выполнении действий над целыми числами и дробями. Если вычисление алгебраического выражения проводится при рассмотрении какого-либо нового для учащихся алгебраического вопроса, например, при первоначальном ознакомлении с коэффициентом или степенью, то значения букв даются в виде небольших целых чисел. Затем постепенно в процессе этих упражнений вводятся дробные значения букв. Сначала числовые значения букв выражаются обыкновенными дробями, затем десятичными, а потом даются примеры, в которых надо применить совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями.

Проводя упражнения по нахождению числового значения алгебраических выражений, учитель должен систематически и настойчиво требовать от учащихся аккуратных записей, последовательного расположения этих записей и рациональных приемов вычисления.

Мы подчеркиваем необходимость таких требований, так как неоднократно наблюдали на практике разрыв между системой требований к внешнему оформлению письменных работ в начальной школе и на уроках математики в средней школе. На уроках арифметики, особенно в начальной школе, уделяется серьезное внимание вопросам правильного проставления учащимися наименований, аккуратной записи вычислений, рациональных приемов этих вычислений; у учащихся вырабатываются навыки тщательного и аккуратного оформления письменных работ. Но в старших классах, при недостаточной требовательности в этом направлении со стороны преподавателей, ученики теряют эти крайне необходимые в жизни навыки. Записи учащихся по алгебре и геометрии очень часто становятся небрежными и неряшливыми. Не всегда на уроках алгебры учитель проявляет необходимую заботу о воспитании у учащихся навыков рациональных приемов вычислений. Так, при умножении и делении обыкновенных дробей ученики нередко перемножают числители и знаменатели без предварительного их сокращения, при делении десятичных дробей выражают делимое и делитель в целых числах, иногда при сложении и вычитании смешанных чисел заменяют их неправильными дробями. Так как ответы получаются верные, то учитель удовлетворяется этим результатом и не проверяет, какие вычислительные приемы были использованы в процессе решения задачи. Ввиду этого у учащихся культивируются нерациональные приемы вычислений.

Надо уже при первых вычислениях на нахождение число-

вых значений алгебраических выражений показать учащимся порядок и систему расположения записей и в дальнейшем на всех уроках математики последовательно и настойчиво требовать от них соблюдения порядка и аккуратности в записях и обязательного применения наиболее рациональных приемов вычислений.

Уже в процессе изучения первой темы по алгебре приходится записывать общий вид четного числа, нечетного числа или, скажем, писать число, в котором а десятков иЬ единиц и т. п. Решению каждой такой задачи должны предшествовать соответствующего типа арифметические упражнения. Прежде чем предложить учащимся написать общий вид нечетного числа, следует написать ряд конкретных нечетных чисел, рассмотреть, как образуется каждое последующее нечетное число из предыдущего, а затем уже перейти к выполнению записи нечетного числа в общем виде.

Перед тем как записать в общем виде число, состоящее из нескольких десятков и нескольких единиц, разбирается состав двузначного числа, это число разбивается на разрядные единицы и представляется в виде суммы его разрядных единиц; и только после таких предварительных упражнений над арифметическими числами переходят к записи двузначного числа в общем виде.

После того как учащиеся, проделав ряд упражнений, привыкнут применять буквы и оперировать над ними, мы возвращаемся к составлению общих формул решения задач.

При этом используются рассмотренные раньше типы арифметических задач на движение, на смешение первого и второго рода, на нахождение среднего арифметического чисел и восстанавливаются в памяти учащихся приемы решения задач на совместную работу и на нахождение нескольких процентов от числа.

В сборнике алгебраических задач Шапошникова и Вальцова (часть 1-я, гл. I, § 8) дается несколько большее (по сравнению с намечаемым планом) число различных типов задач. Однако школьная практика говорит о нецелесообразности использования в короткий период, при изучении одного алгебраического вопроса, многих новых типов арифметических задач.

Поэтому мы на данном этапе изучения алгебры ограничиваемся составлением общих формул только по двум новым типам задач и используем для этой же цели несколько типов задач, разобранных раньше, и лишь затем, в процессе дальнейшего прохождения курса алгебры, постепенно вводим новые типы задач, решая, в порядке выполнения самостоятельных классных работ и домашних заданий, по 3—4 задачи каждого типа. Вначале решаются задачи с числовыми данными, затем с буквенными, при этом составляются общие формулы решения.

Через определенные промежутки времени мы обязательно возвращаемся к решению рассмотренных ранее типовых задач и используем их уже при изучении алгебраического материала последующих тем школьной программы.

V

Обратимся к разделу, посвященному введению отрицательных чисел. При сравнении по величине положительных и отрицательных чисел в памяти учащихся восстанавливаются правила о сравнении между собой по величине, с одной стороны, обыкновенных дробей, а с другой — десятичных дробей.

В целях обоснования правил выполнения вычитания, умножения и деления чисел с произвольными знаками приходится ссылаться на определения этих действий, известные учащимся из арифметики.

В процессе изучения вопроса о сложении относительных чисел повторяются свойства суммы и устанавливается, что сумма относительных чисел, как и сумма арифметических чисел, обладает переместительным и сочетательным свойствами. При изучении умножения учащиеся путем вычислений убеждаются, что переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения распространяются и на относительные числа.

В примеры, решаемые учащимися на все действия, в качестве компонентов действий полезно вводить нули. Учащиеся вспомнят о значении произведения, когда одним из сомножителей является нуль, о невыполнимости деления на нуль и о неопределенности частного при делении нуля на нуль, а также о том, что нуль в качестве слагаемого не влияет на значение суммы, а нуль в качестве вычитаемого не изменяет уменьшаемого.

В целях прочного закрепления навыков в выполнении действий над относительными числами проделывается достаточное число упражнений, причем следует подбирать такие примеры, чтобы в них входили наравне с целыми числами также и дробные и чтобы учащиеся, решая такие примеры, могли применять правила о порядке действий и употреблении скобок.

Эти упражнения будут в одинаковой мере полезными для закрепления приемов арифметических вычислений и для лучшего усвоения операций над новыми для учащихся отрицательными числами.

VI

В разделе о действиях над алгебраическими одночленами и многочленами правила выполнения этих действий выводятся на основе известных учащимся операций над числами.

После этого проделывается достаточное число примеров на каждое действие в отдельности, на совместные действия и на нахождение числового значения алгебраических выражений; за

числовые значения букв принимаются целые, дробные, положительные и отрицательные числа.

В результате этих упражнений учащиеся приобретают твердые навыки в тождественных преобразованиях целых алгебраических выражений и одновременно продолжают работу по закреплению навыков в арифметических вычислениях. Они возвращаются к определениям арифметических действий, к правилам сложения и вычитания суммы и разности, умножения произведений, умножения и деления суммы и разности чисел на какое-нибудь число.

При изучении сложения одночленов и многочленов устанавливаем, что и здесь сумма слагаемых обладает переместительным и сочетательным свойствами при любых значениях букв и любом числе слагаемых. Находя числовые значения различных буквенных произведений, учащиеся убеждаются, что переместительное, сочетательное и распределительное свойства произведения остаются верными для произведения любого числа одночленных и многочленных буквенных сомножителей.

Полезно отметить, что сложение и вычитание многозначных чисел можно рассматривать как частные случаи сложения и вычитания многочленов.

Подчеркивается сходство между операцией умножения многозначного числа на однозначное или многозначное с операцией умножения многочлена на одночлен или многочлен. Деление многочлена на одночлен или многочлен сопоставляется с делением многозначных чисел. Разбирая вопрос о числе членов в произведении, полученном в результате умножения многочлена на одночлен или многочлен, вспоминаем о числе цифр в произведении, получаемом при умножении многозначных чисел.

После изучения формул сокращенного умножения следует показать, как можно использовать формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов при устном перемножении таких чисел, как 92-92, 87-87 и 93-87.

Переходя к изучению разложения алгебраических выражений на множители, восстанавливаем известный учащимся из арифметики материал о разложении чисел на множители: понятия о простом и составном числе, определение понятия разложения числа на простые множители, единственность этого разложения и технику канонического разложения чисел на простые множители.

Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного алгебраических выражений опирается на определения делителя, общего делителя, наибольшего общего делителя, кратного, общего кратного и наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел. Повторяется правило нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел; проделывается несколько примеров, и затем это правило применяется

к нахождению наибольшего общего делителя алгебраических выражений, сначала одночленных, а затем многочленных. Таким же путем приходят к правилу о нахождении общего кратного и наименьшего общего кратного алгебраических выражений.

При изучении алгебраических дробей последовательно подчеркивается, что все правила преобразований числовых дробей и действий над ними применимы и к буквенным дробям.

Находя числовые значения алгебраических дробей при различных значениях букв, входящих в их числитель и знаменатель, учащиеся придут к заключению, что числитель и знаменатель алгебраической дроби могут иметь положительные, отрицательные, целые и дробные числовые значения.

Повторяется основное свойство арифметической дроби, прием сокращения дробей, понятие о несократимой дроби, прием деления числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель, и все определения и правила распространяются на алгебраические дроби сначала с одночленными, а затем с многочленными числителями и знаменателями. Такая же последовательность устанавливается при изучении приведения алгебраических дробей к общему знаменателю и при изучении каждого из четырех действий над этими дробями.

Следует требовать от учащихся, чтобы они путем нахождения числовых значений компонентов и результатов действий проверяли для каждого отдельного действия справедливость того, что данное действие над алгебраическими дробями производится по тем же правилам, которые были установлены для соответствующего действия в арифметике.

VII

Мы рассмотрели на отдельных примерах, как в процессе изучения алгебры повторяется пройденный ранее арифметический материал. Но вместе с повторением определений, свойств арифметических действий и правил их выполнения надо закрепить также и навыки учащихся в решении текстовых задач и в устном счете.

В разделе введения в алгебру нами использовались арифметические задачи для составления общих формул. Переходя к изучению действий над одночленами и многочленами, мы не прекращаем практиковать решение текстовых арифметических задач и составление формул решения этих задач. Решаются задачи на применение четырех арифметических действий, а также типовые задачи, — в частности, задачи на процентные вычисления и на пропорциональное деление. Сначала рассматриваются задачи с числовыми данными, а затем эти числовые данные частично и полностью заменяются буквенными. Такие арифметические задачи решаются на протяжении изучения всего курса алгебры в VI и VII классах.

Тексты задач подбираются такие, чтобы в получаемые формулы входили или изученные уже преобразования или преобразования, изучаемые на данном этапе.

Например, решается задача на смешение первого рода:

«Смешано два сорта муки: а кг по b руб. за килограмм и с кг по d руб. за килограмм; определить стоимость одного килограмма смеси».

Составляется формула, записываемая в виде

х = (ab 4- cd): (а + с) или в виде х = °f «

Здесь учащиеся снова встречаются с возможностью двоякого обозначения деления и с применением скобок.

Взяв этот же тип задач, но обозначив вес и цену одного килограмма муки первого сорта через а, вес и цену одного килограмма муки второго сорта через Ь, получим формулу:

х = (а2 + Ь2): (а + Ь) или х = ,

в которой учащиеся встречаются со степенью числа и которую мы используем в целях упражнения в чтении формул: «цена одного килограмма смеси равна частному от деления суммы квадратов чисел а и b на сумму первых степеней этих чисел».

Решая задачи на движение в одном направлении, можно притти к формуле, в которой требуется умножить двучлен на одночлен. Решение задач на совместную работу, а также второго и третьего типа задач на процентные вычисления, потребует выполнения действий над алгебраическими дробями.

Учащиеся видят, как в результате решения задач получаются алгебраические выражения, и убеждаются в практической необходимости выполнения операций над алгебраическими выражениями. Навыки в тождественных преобразованиях алгебраических выражений учащиеся приобретают путем систематических упражнений в решении примеров, взятых и* стабильного задачника.

Арифметические задачи также широко используются при изучении вопроса о составлении уравнений. В этом разделе открываются особенно широкие возможности, если систематическому курсу уравнений, изучаемому в седьмых классах средней школы, предпослать пропедевтический курс в VI и VII классах.

В качестве первых задач на составление уравнений мы берем такие, в которых зависимость между величинами выражается наиболее просто, а затем переходим к задачам с более сложными зависимостями. При подборе задач на составление уравнений мы стремимся, чтобы составляемые учащимися уравнения приводили к изучаемым в данный период операциям над алгебраическими выражениями. В пропедевтическом курсе урав-

нения решаются путем использования зависимости между компонентами и результатами действий.

Начинаем составление уравнений с задач, в которых требуется выразить зависимость между компонентами действий и результатами, т. е. с упражнений, известных учащимся из курса арифметики.

«Если к задуманному числу прибавить 15, то получится 70; найти задуманное число».

В дальнейшем этот тип усложняется:

«Если задуманное число увеличить в три раза и от результата отнять 20, то получится 100; найти задуманное число».

После упражнений на составление уравнений по задачам указанного типа переходим к решению известных учащимся арифметических типовых задач.

При изучении таких вопросов, как приведение подобных членов, сложение и вычитание одночленов, составляем уравнения по задачам, решаемым способом замены, на нахождение чисел по их сумме и отношению, по их разности и отношению, на движение в одном направлении или в противоположных направлениях.

В виде примера приводим несколько задач.

«В совхозе 240 голов крупного скота; коров вдвое больше, чем лошадей. Сколько коров и сколько лошадей?»

«В 4 классах школы 96 учащихся; в третьем вдвое больше, чем в четвертом, во втором вдвое больше, чем в третьем, а в первом столько, сколько во втором и четвертом вместе. Сколько учащихся в каждом классе?»

«Володя купил задачник и тетрадь; задачник в четыре раза дороже тетради и за него пришлось заплатить на 30 коп. больше, чем за тетрадь. Сколько стоит задачник и сколько стоит тетрадь?»

«Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов, находящихся один от другого на расстоянии в 300 километров, и едут навстречу друг другу. Первый проезжает в среднем 12 километров, второй— 13 километров в час. Через сколько часов велосипедисты встретятся?»

«С двух станций железной дороги, находящихся на расстоянии 76,5 километра, выходят одновременно два товарных поезда и идут по одному направлению со скоростями 31,5 километра и 18,75 километра в час, причем первый идет за вторым. Когда первый поезд догонит второй?»

«За 3 ручки и 4 карандаша уплачено 1 руб. Карандаш дешевле ручки вдвое. Сколько стоит ручка и сколько карандаш?»

При изучении сложения многочленов составляются уравнения по задачам на нахождение чисел по их сумме и разности:

«В двух МТС 75 тракторов, в одной МТС на 15 тракторов меньше, чем в другой. Сколько тракторов в каждой МТС?»

При изучении умножения многочлена на одночлен составляется уравнение по задаче на смешение второго рода.

В процессе изучения дробей составляются уравнения на зависимость между компонентами действий и их результатами, на процентные вычисления и на совместную работу.

В VII классе, при переходе к изучению систематического курса уравнений, мы частично используем известные учащимся приемы решения арифметических задач. Правда, в школьной практике при изучении систематического курса уравнений не принято сочетать составление уравнений с применением арифметических приемов решения задач. Обычно здесь все внимание учащихся сосредоточивается на выборе неизвестной величины, на решении вопроса, какие две величины могут быть согласно условиям задачи приравнены одна к другой, и на составлении уравнений. Однако практика показала, что в некоторых случаях весьма полезно предварительное арифметическое решение задачи. Такое предварительное решение задачи закрепляет полезные в практическом и образовательном отношении навыки логических рассуждений, применяемых при арифметическом решении задач, и помогает учащимся, особенно на первых порах, уяснить содержание задачи, зависимость между данными и искомыми величинами, а иногда даже наталкивает мысль учащихся на наиболее выгодный путь составления уравнений.

Конечно, не каждая из предлагаемых задач на составление уравнений может быть решена арифметическим приемом. А если и может быть решена, то не всегда имеется необходимость в таком решении. К арифметическому приему решения задач прибегают в тех случаях, когда или разбираемая задача является по своему приему решения характерным представителем данного типа арифметических задач или предварительное арифметическое решение помогает учащемуся найти путь для составления уравнения.

Перед решением задач на составление уравнений за Лг« 399, 400, 401, 409, 410 из части I «Сборника алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова восстанавливаются в памяти учащихся арифметические приемы. Перед решением задач за № 402, 403, 421, 447, 466, 474, 486, 497 из того же сборника задач следует вспомнить, как решаются задачи на процентные вычисления. Учащиеся без затруднения составят уравнения по условиям задач № 404, 405, 406, 407, 408, если предварительно вспомнят, как решались арифметические задачи на совместную работу. Чтобы решить такие задачи, как № 518, 521, 522, надо иметь сведения об арифметической пропорции и о среднем арифметическом нескольких чисел.

Известные учащимся приемы решения текстовых арифметических задач используются также при решении геометрических задач на вычисление.

Так, например, в сборнике геометрических задач Минина, в разделах, охватывающих программный материал VI—VII классов средней школы, представлены задачи, для решения которых необходимо применить известные учащимся приемы решения таких задач, как деление числа на части пропорционально ряду чисел, деления числа на части, отношения которых даны, нахождение дроби числа и нахождение числа по известной его дроби, задачи на простое тройное правило, задачи на вычисление среднего арифметического, нахождение чисел по их сумме и разности, нахождение чисел по их сумме (или разности) и отношению.

Отсутствуют в этом разделе процентные вычисления и недостаточно разнообразны по их словесному выражению и по применяемым приемам решения задачи на пропорциональное деление.

В целях пополнения этих пробелов мы иногда, не меняя геометрического содержания задач, изменяем вопрос задачи или некоторые из условий задачи.

Например, вопрос — какова длина радиуса — мы формулируем: «найти процентное отношение длины радиуса к хорде».

В задаче: «В равнобедренной трапеции угол при основании равен 50°, а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, равен 40°», второе условие заменяем: «а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, составляет 80% угла при основании трапеции».

Вместо приведенных в задачнике однообразных выражений: «делит в отношении» и «разделена на части так, что они находятся в отношении», мы применяем разнообразные выражения:

1. Отрезок прямой в 3,36 м разделить пропорционально числам-, х, -т.

2. Четыре дуги окружности пропорциональны числам 3,2,13 и 7, а сумма двух последних дуг равна 130°; найти величину каждой из дуг.

3. Окружность разделена точками Л, В, С, D так, что дуга A R вдвое больше дуги ВС, дуга ВС в четыре раза больше дуги CD, а дуга CD втрое больше дуги DA; проведены хорды С А и BD, пересекающиеся в точке М. Определить /_AMD.

4. Отрезок разделен на три части так, что первая часть относится ко второй, как 3,5 : 4, а вторая к третьей, как 1 : 0,5; найти длину всего отрезка, если первая часть на 27 см длиннее третьей.

5. Определить углы треугольника, если отношение первого ко второму равно 0,75, а отношение второго к третьему равно 0,5.

6. Окружность колеса разделена на три части так. что первая часть составляет — второй части, а третья часть — 33-^- % второй; сколько градусов содержит каждая часть?

Такие формулировки не являются надуманными или искусственно пристегнутыми к задачам. Они нередко встречаются в практической жизни, не изменяют системы задач со стороны их геометрического содержания и содействуют укреплению навыков учащихся в процентных вычислениях и в делении чисел в данном отношении.

VIII

При рассмотрении вопроса о системе повторения арифметики в процессе изучения математики в семилетней школе нельзя обойти молчанием такой вид работы, как упражнения в устном счете.

Устный счет на уроках арифметики в V классе — весьма редкое явление, а на уроках математики в VI и VII классах в большинстве случаев совсем не проводится. Многие учащиеся, имевшие при поступлении в V класс прочные навыки в устном счете, в средней школе разучиваются считать устно и при простейших вычислениях обязательно прибегают к письменным приемам.

Большинство преподавателей средней школы явно недооценивает устный счет. Между тем, навыки в выполнении устных вычислений имеют важное практическое значение. Помимо их роли для жизненных приложений счета, упражнения в устном счете развивают сообразительность и комбинационные способности учащихся. В процессе устного счета учащиеся видят применение различных свойств и правил выполнения арифметических действий. Путем устного счета может закрепляться и повторяться изученный раньше и изучаемый в данный момент учебный материал по алгебре и геометрии. Приведенные соображения побудили нас проводить систематически устный счет на уроках математики в VI и VII классах.

Устный счет проводится в процессе изучения, закрепления и повторения учебного материала по математике, а также в процессе решения текстовых задач. Наравне с этими упражнениями мы считаем необходимым проводить специальные тренировочные упражнения в устном счете, на которые мы отводим по 5—6 мин. в урок.

Если в алгебраической или геометрической задачах, намеченных к разбору на уроке, имеются вопросы, требующие процентных вычислений, мы предварительно решаем несколько устных задач на соответствующие процентные вычисления. Если по содержанию задачи надо знать, как разделить какое-нибудь число в данном отношении, найти число по известной его дроби, найти среднее арифметическое нескольких чисел, мы предвари-

тельно, путем решения соответствующих простых устных задач, восстанавливаем в памяти учащихся приемы решения этих вопросов.

Если в процессе решения сложной задачи надо проделать над числами вычисления, результаты которых легко найти приемом устного счета, запись вычислений делается в строчку, а сами вычисления выполняются обязательно устно.

В порядке специальных тренировочных упражнений учащиеся вырабатывают или закрепляют навыки в общих приемах вычислений, а также овладевают навыками особых приемов устных вычислений. При устных вычислениях используются свойства суммы, разности, произведения и частного, применяются приемы округления компонентов арифметических действий, приемы последовательного умножения и последовательного деления, быстрого умножения чисел на 25, 11 и 9, умножения чисел, близких к 50, 100, 1000 и т. д. Эти тренировочные упражнения, имея своей прямой целью выработку навыков устного счета, не замыкаются в узкий круг арифметических вопросов; при их выполнении привлекается также изучаемый алгебраический и геометрический материал.

При изучении отрицательных чисел результаты действий над этими числами находятся устно с применением перечисленных приемов устного счета. При изучении свойств степени и корня в порядке устного счета решаются примеры на вычисления степеней целых и дробных чисел и на извлечение корня из чисел. Устно находятся числовые значения алгебраических выражений, соответствующие небольшим числовым значениям букв, устно решаются простейшие уравнения.

В целях закрепления необходимых навыков в устных операциях над составными именованными числами время от времени вводятся, в порядке устного счета, упражнения на раздробление или превращение именованных чисел, выполняются арифметические действия над ними; при этом иногда числа задаются с помощью букв — например, раздробить а метров в сантиметры или превратить b килограммов в тонны.

Проводится параллель между действиями над именованными числами, выраженными в метрической системе мер или в мерах времени, и действиями над углами, выраженными в градусах, минутах и секундах. Учащимся предлагаются такие примеры: найти сумму или разность углов, увеличить данный угол в несколько раз, разделить угол в 94° 15х на 3 равные части, найти отношение угла в 10°30' к углу в 3°30'.

На уроках геометрии решаются устно простейшие задачи.

Приводим несколько примеров таких задач, взятых из различных задачников и предлагавшихся учащимся для устного решения при прохождении соответствующих разделов программы по геометрии в VI и VII классах.

1. Один из двух смежных углов в 7 раз меньше другого; чему равен каждый из смежных углов?

2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 4 дм и 8 дм\ найти третью сторону этого треугольника.

3. Отношение двух сторон равнобедренного треугольника равно 0,3, а периметр треугольника равняется 72 см; вычислить длины сторон треугольника.

4. Сумма внутренних углов многоугольника равна 10*/; определить число сторон многоугольника.

5. Два угла равнобедренного треугольника находятся в отношении 2: 5; найти углы треугольника.

6. Диагональ ромба разбивает его на два треугольника; найти длину диагонали ромба, если известно, что сумма периметров обоих треугольников на 15 см больше периметра ромба.

7. Один из углов, образуемых стороной ромба с его диагональю, составляет 80% другого угла; определить углы ромба.

8. Основания трапеции пропорциональны числам 7 и 3 и разнятся на 3,2 дм; найти длину средней линии трапеции.

9. В параллелограмме одна сторона равна 9 см и составляет 0,3 всего периметра; определить другие стороны параллелограмма.

10. Из точки вне окружности, расстояние которой до окружности равно радиусу окружности, проведены касательные; найти угол между ними.

11. Угол, описанный около окружности, содержит 82°40'; определить дуги окружности, заключенные между сторонами угла.

Решение такого рода задач закрепляет как геометрические знания учащихся, так и арифметические приемы вычисления.

IX

Изложенная система повторения арифметического материала в процессе изучения алгебры и частично геометрии в значительной мере определяет методы учебной работы по математике.

При изучении нового алгебраического материала мы обычно придерживаемся следующих этапов: организуем повторение вопросов арифметики, необходимых для изучения очередной алгебраической темы или раздела темы; если возможно, распространяем определения, свойства или правила, известные из арифметики, на соответствующие операции над буквенными выражениями; обосновываем и выводим правила; проводим упражнения по закреплению выведенного алгебаического правила.

Рассмотрим на материале какой-либо алгебраической темы, как проводится указанная последовательность этапов изучения его.

Возьмем тему: «Вычитание целых алгебраических выражений».

Повторяем следующие вопросы: 1) определение вычитания как действия, обратного сложению, 2) правило вычитания относительных чисел, 3) известные учащимся из арифметики правила вычитания из числа суммы нескольких слагаемых, вычитания числа из разности и из числа разности двух чисел.

Эти определения и правила являются исходным моментом для вывода правила вычитания из одночлена одночлена, из одночлена многочлена, из многочлена многочлена. Исходя из определения вычитания и из правила вычитания относительных чисел, согласно которому нужно к уменьшаемому прибавить вычитаемое с обратным знаком, выводим правило, указывающее, как надо поступить при вычитании одночлена.

Рассмотрев известные из арифметики положения о вычитании из числа суммы нескольких слагаемых

20 — (5 + 4 + 3) = 20 — 5 — 4 — 3

и вычитание из числа разности двух чисел

20 —(10 —3)= 20— 10 + 3,

распространяем их на буквенные выражения:

а — (Ь + с) = а — b — с; а — (Ь — с) = а — b + с. (*)

Сопоставляем и находим правило вычитания алгебраического многочлена из какого-либо алгебраического выражения. Найденное таким путем правило проверяется, для чего применяется определение вычитания как действия, обратного сложению1. Правило окончательно формулируется и используется при решении различных примеров на вычитание многочленов, а также при раскрытии скобок и заключении в скобки.

Исходным моментом при изучении какого-либо алгебраического вопроса может быть также арифметическая задача или составленное учащимися уравнение, которые укажут на необходимость изучения соответствующей операции над буквенными выражениями или на целесообразность предварительного повторения того, как соответствующая операция выполнялась в арифметике.

Сам процесс повторения может быть построен по-разному, в зависимости от целей повторения, особенностей повторяемого материала, большей или меньшей давности изучения материала, намеченного к повторению.

Целью повторения может быть восстановление в памяти учащихся какого-либо определения или формулировки правила, необходимых для вывода новых положений; повторение может

1 Устанавливается, что равенства (*) верны при любых значениях входящих в них букв. — Ред.

быть организовано также в целях закрепления навыков в выполнении какого-либо арифметического действия или в решении текстовой задачи. В зависимости от этих целей и в зависимости от содержания повторяемого материала, повторение организуется по-разному.

Иногда учитель, не давая предварительных домашних заданий, организует повторение в классе и на уроке. Учащимся предлагаются вопросы по учебному материалу, пройденному ранее и необходимому сейчас для изучения очередных вопросов алгебры. Путем опроса учащихся учитель определяет, насколько учащиеся помнят материал по повторяемому разделу арифметики или алгебры; что забыто; какие имеются недочеты в знаниях и навыках учащихся по повторяемому материалу. Делаются исправления, дополнения; иногда проводятся упражнения в классе, после чего дается задание на дом, состоящее из повторения по учебнику и из упражнений на применение повторенного. В других случаях достаточно дать домашнее задание без предварительной классной проработки.

Исходным моментом повторения может быть также организация самостоятельной классной работы учащихся. После краткого повторения основных положений, а иногда и без такого предварительного повторения, учащимся предлагается самостоятельная работа. Учитель наблюдает, как выполняется учащимися данная работа, проверяет путем опроса полученные ответы и ход выполнения работы. Если требуется, делает поправки и дополнения, после чего дается соответствующее домашнее задание.

К повторенному однажды материалу надо обязательно время от времени возвращаться. Планируя это последующее закрепление ранее повторенного материала, надо учитывать, что имеются такие арифметические вопросы, к повторению которых в процессе изучения алгебры необходимо возвращаться по нескольку раз. Так, например, мы видели, что правила выполнения арифметических действий и свойства этих действий используются на первых уроках алгебры, затем при изучении относительных чисел и при изучении действий над целыми алгебраическими выражениями. В этом случае учебный план по алгебре обеспечивает неоднократное повторение и закрепление знаний и навыков учащихся по этим вопросам арифметики.

Но наряду с этими вопросами имеются и такие, которые понадобились лишь один раз и к повторению которых вновь возвращаться не придется. В подобных случаях закрепление знаний и навыков достигается разными путями: вводятся соответствующие вопросы в домашние задания или в самостоятельные классные работы учащихся; организуется фронтальный опрос учащихся; проводятся соответствующие упражнения в процессе устного счета.

На некоторых уроках математики мы практикуем фронтальный опрос учащихся. Для этого отводим в течение урока 5—10 мин. Заранее, до урока, составляются вопросы, в которые входят предложения дать формулировки определений и правил, а также примеры на устные вычисления и устные текстовые задачи. Вопросы ставятся перед всем классом, для ответов на каждый из этих вопросов вызываются отдельные ученики. Эти вопросы относятся как к изучаемому или изученному ранее алгебраическому или геометрическому материалу, так и к материалу, повторенному из области арифметики.

Пусть, например, после изучения темы «Умножение одночленов и многочленов» требуется повторить и закрепить пройденный по данной теме учебный материал.

Учитель в порядке фронтального опроса может поставить следующие вопросы:

1. Изложите правило умножения степеней одного и того же основания.

2. Какие правила умножения, известные вам из арифметики, применялись при выводе правила умножения одночленов?

3. Как нужно поступить при умножении двух одночленов?

4. Умножьте— а2й на 8агЬ2с.

5. Какие свойства произведения нескольких чисел используются при выводе правила умножения одночленов?

6. Какие еще известны вам свойства произведения чисел?

7. Как поступают при умножении многочлена на одночлен?

8. Какое свойство умножения применяется при выводе правила умножения многочлена на одночлен?

9. Как поступают при умножении многочлена на многочлен?

10. Как поступают в арифметике при умножении суммы нескольких слагаемых на другую сумму нескольких слагаемых?

11. Что произойдет с произведением, если один сомножитель увеличить в 10 раз, а другой в 100 раз?

12. Как составить произведение многочлена на (—1)? После такого фронтального опроса организуется самостоятельная работа для упражнения в умножении одночленов и многочленов.

Мы привели пример фронтального опроса на уроке, целью которого являлось закрепление изученного вопроса об умножении одночленов и многочленов. Но фронтальный опрос учащихся может проводиться также в целях подготовки учащихся к изучению нового материала, в целях восстановления в их памяти тех положений, на которых будет строиться изучение нового материала.

Например, приступая к изучению деления одночленов, мы организуем предварительное, повторение известных учащимся положений о делении:

1. Что значит разделить одно число на другое?

2. Вспомните из арифметики, как поступают при делении произведения на какое-нибудь число.

3. Придумайте пример на применение этого правила.

4. Вспомните, как нужно поступать со знаками при делении чисел.

5. Найдите следующие частные:

(- 20) : (+ 4); (- 24) : (- 6); (+ 15) : (- 3).

6. Вспомните правило деления обыкновенных дробей.

7. Разделите 72 на 35 •

8. Как поступают при делении смешанных чисел?

9. Разделите 1 на 1 .

10. Как поступают при делении десятичной дроби на целое число?

11. Разделите 2,4 на. 16.

12. Вспомните, как поступают при делении десятичной дроби на десятичную.

13. Разделите 1,2 на 0,05.

14. Как найти делимое, когда известны частное и делитель. После такого повторения приступают к изучению деления одночлена на одночлен.

Фронтальный опрос учащихся содействует закреплению изученного материала и помогает учителю бегло выяснить уровень знаний, степень понимания изучаемого и имеющиеся недочеты в знаниях и навыках учащихся. Учтя данные такого фронтального опроса, учитель проводит по изучаемому и повторяемому материалу самостоятельные классные работы, дает домашние задания и, если это требуется, вызывает отдельных учащихся к доске для систематического изложения какого-либо правила и для решения задач.

X

Как видно из всего изложенного в данной статье, изучение алгебры на арифметической основе повышает качество математических знаний и умений учащихся.

Знания учащихся по алгебре становятся более прочными, совершенными и полноценными. Ученики приобретают четкие навыки в преобразовании алгебраических выражений. Облегчается достижение одной из основных целей изучения математики в средней школе — научить составлять уравнения по тексту задач.

Систематическое повторение арифметики в связи с изучением алгебры расширяет рамки арифметических знаний и умений учащихся, укрепляет их вычислительные навыки. В совместном процессе изучения алгебры и повторения арифметики в

сознании учащихся тесно увязываются знания и навыки из области двух ветвей математики.

Этим путем осуществляется основное требование дидактики — к первоначальным элементам знаний постепенно и понемногу присоединять все новые и новые знания. При проводимой системе повторения крепнет творческая мысль учащегося, развивается его математическое мышление.

Положения, приведенные в данной статье, не являются каким-либо «новым словом» в методике математики и в школьной практике. Многие из учителей дают прекрасные образцы организованной системы работы в указанном направлении.

Надо шире развернуть работу по ознакомлению наших учителей с практическим опытом школы в деле повторения пройденного материала. Такое ознакомление учителей с существующей практикой повторения, систематизация и обобщение этого практического опыта обеспечат переход нашей школы к более правильной организации повторения, помогут улучшить в массовой школе методику повторения.

Только при правильной организации повторения возможно повышение качества обучения. Следовательно, правильная организация повторения является одним из важных условий разрешения основной задачи школы — дать ее воспитанникам подготовку, необходимую для обучения в высшей школе и для непосредственной практической работы в народном хозяйстве нашей Родины.

П. И. Сорокин

преподаватель

ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСКУРСИЙ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

I. Прямая линия

На первом уроке по геометрии в VI классе я начал с того, что вызвал ученика и попросил его определить на-глаз длину класса. Он очень удивился, растерялся и сказал, что он не сумеет этого сделать. Когда же я уговорил его «прикинуть» приблизительно в метрах эту длину, то он грубо ошибся. Так же грубо ошибся он в определении длины классной доски, стола, книги (в сантиметрах).

Я вызвал еще ученицу и предложил им обоим промерить по плинтусу длину класса рулеткой, а затем между нами произошел следующий диалог:

— Что вы измерили?

— Длину класса.

— По какой же линии вы измерили длину?

— По прямой линии.

— Но всю ли прямую линию вы перемерили или только часть ее? Можно ли продолжить ту линию (плинтус), которую вы промерили, в ту или иную сторону?

— Можно продолжить.

— Но как далеко можно ее продолжить, если устранить препятствия?

— Можно продолжить без конца.

— Как же назвать ту часть прямой, которую мы измерили, определяя длину класса?

Молчание.

— Часть прямой, ограниченную (отрезанную) с двух сторон, называют обычно отрезком прямой. А какой длины оказался тот отрезок, который вы измерили?

— Этот отрезок равен 8 м 20 см.

— Итак, мы получили число, измеряющее отрезок прямой, т. е. мы определили длину нашего отрезка прямой, длину клас-

са. Скажите, можно ли по этому же плинтусу натянуть еще прямую, чтобы она была неравна первой?

— Нет.

Так в нашем классе началось знакомство с прямой линией. Ученикам не хотелось выпускать из рук рулетки, когда я попросил их сесть на места. Они готовы были теперь все измерить, что им попадалось под руку. Но не меньшее тяготение к этому проявилось и у остальных 28 человек, которые во время моей беседы с их товарищами и во время измерения были далеко небезучастными зрителями. Всем им хотелось быть вызванными и делать то же, что делают их товарищи. Я воспользовался их желанием и еще многих вызвал для измерения.

Урок закончился незаметно. Учащиеся не только не утомились, они не хотели уходить из класса. Им впервые, как они потом мне рассказывали, пришлось на уроке математики заниматься «делом», физическим делом, а не вычислениями «Это же совсем легко и интересно. Так и не устанешь», — говорили они.

Когда на следующем уроке я объявил о том, что через неделю будет проведена экскурсия за город с целью развития линейного глазомера и практики измерения прямых на местности, то учащиеся восприняли мое сообщение с большой радостью. Они просили не откладывать экскурсии на такой большой срок, как неделя, а сделать ее через день, на следующем уроке геометрии, пока стоит хорошая и теплая погода.

Я согласился с тем, что экскурсию не надо откладывать в долгий ящик, но сказал, что она требует такой подготовки, которую они не сумеют закончить в один-два дня

— Но что же тут готовить? — сказал С. — Уж мы-то теперь знаем, что надо делать!

— А умеешь ли ты ходить равномерно? Умеешь ли считать свои шаги? Знаешь ли длину шага и умеешь ли эту длину высчитать? Умеешь ли ты измерять длину больших линий на местности? Подготовил ли ты формы для записи работы и знаешь ли, какие это формы?

Я намеренно забросал их вопросами. Эти вопросы приковали внимание учащихся к моим последующим разъяснениям о подготовке к экскурсии.

Цель экскурсии была ясна: надо было научиться определять на-глаз длину прямой линии и уметь проверить глазомер измерением. Для измерения, следовательно, надо иметь какие-то измерительные инструменты или знать какие-то методы измерения. В школе имелась одна двадцатиметровая рулетка. Очевидно было, что одной рулеткой 30 участникам экскурсии нельзя было удовлетвориться, и надо было, значит, или добыть или сделать еще рулетку. Но сколько их надо сделать? Здесь

сами учащиеся выдвинули вопрос о разбивке класса на группы. Решили разделить класс на 4 группы и для каждой из них избрать старшего. Организацию этого дела отложили на послеурочное время. Теперь стало ясно, что надо добыть или сделать еще три рулетки. Кто-то сказал, что он попросит рулетку у отца, некоторые предложили заменить рулетки веревками, веревки обещали добыть двадцатиметровые. Так и было решено.

Я пояснил, что рулетками и веревками мы будем измерять только небольшие расстояния, большие же расстояния придется измерять другим способом и что для нас наиболее удобным и доступным способом будет шагомерный способ.

— Как же мы будем измерять длину шага? Ведь, шаги-то неодинаковые!

— Совершенно верно, — сказал я. — Надо уметь это делать. Об этом я сейчас и расскажу. Чтобы можно было шагами измерять расстояние, необходимо знать длину своего шага, а так как длина шагов разная, то надо вычислить среднюю длину своего шага. Чтобы вычислить среднюю длину своего шага, надо, во-первых, научиться «мерно», ритмично ходить, а во-вторых, придется сделать не одно, а много измерений различных, измеренных какими-либо инструментами, расстояний. Таких измерений надо сделать, примерно, 10, но, во всяком случае, не меньше пяти-шести.

Я указал ряд расстояний между двумя материальными точками, которые могли служить для измерения средней длины шага: длину коридора, длину и ширину двора, длину и ширину ближайшего парка, длину уличных кварталов; при этом я сказал, что надо одну и ту же длину измерять несколько раз, записывая каждое измерение как отдельное.

Затем я дал ряд методических указаний о том, как надо ходить, как считать шаги, как записывать сосчитанное и как вычислять среднюю длину шага. Все это было тут же показано на примере. Я стал у стены классной комнаты и, сделав по длине комнаты два шага, сказал «раз», сделав еще два шага, сказал «два» — так, чтобы счет приходился на правую ногу, если начинать ходьбу, как обычно, с левой ноги. При последнем шаге я сказал «шесть», это значит, что я сделал двенадцать шагов. Так как длина комнаты, измеренная рулеткой, оказалась равной 9,4 ж, то длина шага получалась равной 9,4 : 12, т. е. 0,78 н, или 78 см.

При измерении другого расстояния может получиться несколько иная длина шага; поэтому после многократных измерений и вычислений длины шага необходимо будет найти среднее арифметическое из всех полученных частных примеров, которое и даст нам среднюю длину шага. Для этой работы я порекомендовал учащимся заготовить форму № 1.

Форма № 1

Таблица для вычисления средней длины шага

Средняя длина шага:

Далее я сделал указания об измерении шагами больших расстояний на местности. Когда счет шагов доходит до сотни, то обычно эту сотню сбрасывают со счета и начинают снова считать с единицы, но чтобы не забыть отсчитанную сотню, применяют какие-нибудь меты. На ходу самой удобной метой является загибание пальцев руки, а именно: когда идущий насчитывает первую сотню, т. е. делает 200 шагов, то он загибает, скажем, мизинец левой руки и после этого снова считает «раз», «два» и т. д.; когда насчитывает вторую сотню, то загибает безымянный палец левой руки и т. д.; пятая сотня заканчивается большим пальцем левой руки. Начиная с шестой сотни, загибаются пальцы правой руки — также с мизинца. Когда отсчитывается десятая сотня, т. е. две тысячи шагов, то загибается большой палец правой руки. Если счет продолжается и дальше, то все идет снова в таком же порядке, а отсчитанные 2000 шагов просто запоминаются.

Решили, что в ближайшие дни каждый участник экскурсии займется вычислением своего среднего шага, а проверку правильности измерений и вычислений поручили старшим по группам.

В тот же день после уроков произвели выборы старших. В классе было четырнадцать мальчиков и шестнадцать девочек. Разделились на четыре группы: группа 1-я составилась из

7 мальчиков, группа 2-я — из 4 мальчиков и 4 девочек, группа 3-я — из 3 мальчиков и 5 девочек, группа 4-я — из 7 девочек.

8 каждой группе имелся старший.

По инициативе учащихся была выпущена экстренная листовка, посвященная экскурсии, с лозунгом: «Не надейся на других, делай все сам!» В этой листовке авторы статей призывали своих товарищей окончить подготовку к экскурсии как можно скорее и как можно лучше. Одна группа вызвала другую на соревнование по лучшей подготовке к экскурсии. Я поместил статью, в которой разъяснил, какую важную роль играет тщательная и деятельная подготовка к экскурсии, а также учет

Расстояние

Длина шага (в сантиметрах)

(в шагах)

(в метрах)

12

9,4

78

работы по экскурсии. В этой же листовке была помещена форма № 2, которую каждый экскурсант должен был подготовить ко дню экскурсии.

Форма № 2

Таблица для учета работы по развитию глазомера

№ измеряемых расстояний

Определение расстояния

Ошибки

на-глаз

измерением

шагами

метрами

абсолютная (в метрах)

относительная ( в%)

Примечание. Если длина расстояния, найденная на-глаз, оказалась меньше действительной длины, то перед числом метров, выражающим, абсолютную ошибку, ставится знак минус, если больше — знак плюс.

Эта форма, естественно, потребовала последующих разъяснений: пришлось пояснить, как ею пользоваться и как находить абсолютные и относительные погрешности измерений. В самих вычислениях, конечно, ничего нового для учащихся не было, понятие же об абсолютной и относительной погрешности они получали здесь очень кстати, именно тогда, когда этого требовало само дело.

На приведенном примере учащиеся очень хорошо поняли, почему недостаточно знать только абсолютную ошибку, а нужно знать относительную. Была задана следующая задача:

При измерении 50-метрового расстояния на-глаз ученик записал 60, а другой ученик при измерении 200-метрового расстояния записал 180. Чей глаз лучше?

Решаем задачу. Первый ученик сделал абсолютную ошибку в 10 м, которая составляла -gg-, т. е. -g часть измеряемого расстояния, или 20%; это и есть его относительная погрешность. Второй же ошибся на 20 м, что составляло ^ , т. е. jq , или 10% измеряемого расстояния. Отсюда ясно, что относительная погрешность второго ученика вдвое меньше погрешности первого, хотя второй ошибся на большее число метров.

После такого примера учащиеся поняли, что для решения вопроса о том, кто имеет лучший глазомер, надо непременно вычислять относительную погрешность и что, следовательно, тот выиграет первенство по глазомеру, кто будет иметь меньшую среднюю относительную погрешность измерения.

Будущие экскурсанты с энтузиазмом, свойственным этому возрасту, принялись за подготовку к экскурсии. Наблюдение за подготовкой было поручено старшим по группам.

Через три дня они доложили мне, что все готово: средний шаг у каждого измерен и записан на внутренней обложке тетради, форма для учета работы у каждого в тетради имеется, все научились определять относительную погрешность измерения, первая и четвертая группы обладают 20-метровыми рулетками, а вторая и третья сделали веревки по 20 м.

Я заметил, что, хотя мы на этот раз и не будем провешивать линии, но нам все же понадобятся двухметровые вехи для фиксации концов отрезков прямых на местности. Таких вех надо было сделать штук восемь, — во всяком случае, не меньше пяти. Старшие ответили, что вехи будут готовы к завтрашнему дню.

Тщательная подготовка к экскурсии преследовала две цели: во-первых, чтобы учащиеся прониклись сознанием важности предстоящего предприятия и, во-вторых, чтобы экскурсия прошла в полном порядке без всяких затруднений и дала эффективные результаты.

При такой подготовке роль учителя на экскурсии сводилась лишь к назначению объектов измерения, к некоторым дополнительным разъяснениям о практике измерения на местности и к наблюдению за правильностью выполнения его распоряжений.

В частности, я сделал распоряжение определять сначала расстояние между двумя материальными точками, расположенными поблизости (в нескольких десятках метров), а затем — между более отдаленными. На этой первой экскурсии я ограничился 10 измерениями, причем самое далекое было в один километр. Измерялись, примерно, такие расстояния: 30 м, 50 м, SO м, 100 чу 150 Mt 200 м, 600 м, 500 м, 800 м, 1000 м\ при этом я старался устроить так, чтобы между двумя крайними материальными точками измеряемого отрезка прямой не было никаких посторонних предметов, которые могли бы влиять на чистоту глазомера. Это достигалось тем, что я устанавливал в центре открытой со всех стороны равнины «центральную» веху и от нее рассылал одновременно по разным направлениям «звездную эстафету» с вехами (черт. 1), которые устанавливались на желаемом мною расстоянии от центральной вехи, где находились все экскурсанты. Если вех было меньше, чем нужно было измерить расстояний, то эстафету можно было повторить. При этом желаемое расстояние я определял по часам, зная средний шаг посланного, а останавливал его условленным сигналом. Целевые (нумерованные) вехи устанавливались таким образом, чтобы они были на одной прямой с какими-нибудь находящимися за ними естественными ориентирами (ствол дерева, угол здания и т. п.). Если же таких естественных ориентиров не имелось, то за целевыми вехами устанавливались на некотором расстоянии вторые вехи так, чтобы центральная веха, целевая и ориентир стояли на одной прямой.

После того как все вехи были установлены на определенных расстояниях от центральной, все посланные возвращались к центральной вехе, и начиналась работа по глазомеру.

Черт. 1

Эта работа производилась следующим образом. Я указал веху № 1 и предложил записать расстояние до нее, найдя его на-глаз. Запись проверялась старшими по группам. Затем расстояния до 200 м измерялись рулетками или веревками (причем каждая группа выделяла для измерения каждого расстояния пару членов, с тем, чтобы все члены группы приблизительно равномерно участвовали в этом деле). Расстояния же более далекие измерялись шагами, и в этом измерении участвовали все экскурсанты. Чтобы не нарушить прямолинейность ходьбы, учащиеся шли от начальной вехи друг за другом гуськом, строго держась «в затылок» впереди идущему и шопотом отсчитывали шаги. Ведущий же старался итти так, чтобы целевая веха закрывала стоящий впереди ориентир. По достижении конечной вехи каждый из них, умножая последний отсчет на 2, записывал число шагов в соответствующую графу своей таблицы и немедленно возвращался к начальной вехе. Здесь каждый, умножая среднюю длину своего шага на число шагов, находил расстояние в метрах. На основании данных большинства я объявлял среднюю длину расстояния в метрах. Тогда каждый вычислял свою абсолютную погрешность и записывал полученное число в соответствующую графу своей таблицы.

Вычисления относительной погрешности по плану не требовалось производить на месте, чтобы не затягивать работу по

глазомеру, но экскурсанты были так нетерпеливы, что почти все это делали на месте. Таким же образом шло измерение расстояний и до других вех.

После того как были закончены измерения всех намеченных по плану десяти расстояний, я собрал всех учащихся в кружок, усадил их и повел с ними беседу, в которой коснулся вопросов глазомера при различных других обстоятельствах.

— Мы сейчас, — сказал я, — определяли на-глаз и измеряли расстояния между такими материальными точками, между которыми не было никаких промежуточных предметов. А вот, если в промежутке между конечными вехами поставить какие-нибудь предметы, как вы думаете — изменится обстановка для глазомера или не изменится? На таком же расстоянии будет казаться интересующий вас предмет, ближе или дальше? Приходилось ли вам это проверять или нет? Приходилось ли вам испытывать свой глазомер во время дождя или тумана, на берегу реки или моря ночью? Одинаковы ли будут условия для глазомера?

После этого я провел такой опыт: велел одному ученику отбежать на расстояние нескольких сот метров, все «прикинули» на-глаз расстояние, затем я выслал еще несколько учеников, которые заняли промежуточные положения, после чего я предложил всем оценить, так ли близко находится первый ученик, как казалось раньше, или теперь он кажется находящимся дальше.

Большинство учащихся решило вопрос правильно, сказав, что теперь он кажется находящимся дальше.

— Так вот, ребята, — сказал я, — вам надо еще многое проверить: во-первых, надо научиться хорошо определять на-глаз расстояния при одинаковых условиях, а во-вторых—необходимо испытать, как влияют на глазомер те или иные условия, в частности, хорошенько проверить глазомер между одними и теми же предметами днем и ночью, — например, между двумя фонарями. Когда каждый из вас испытает глазомер при разных условиях, то он сообщит об этом мне, и мы сообща выясним влияние различных условий на глазомер. Имейте в виду, что в будущем, особенно на военной службе, глазомерные навыки вам очень понадобятся.

По окончании экскурсии учащиеся дома высчитывали относительные погрешности каждого из своих измерений в процентах и затем среднюю относительную погрешность по всем измерениям. После проверки этой работы старшие по группам доложили мне о лучших показателях, и таким образом выявились победители групп и победители класса по глазомеру. Фамилии учащихся с лучшим глазомером тотчас же записывались в почетный список класса и затем о них написали в стенной газете.

После окончательного подведения итогов этой экскурсии, которые выявили, что некоторые учащиеся обладают прекрас-

ным глазомером (относительная погрешность у многих из них не превышала 10%), интерес учащихся к развитию глазомера еще более возрос.

Воспользовавшись этим, я предложил продолжать начатую работу по развитию линейного глазомера и вне экскурсий. Например, при ходьбе в школу можно «прикинуть» по пути длину квартала и просчитать число сделанных шагов. Неплохо измерить и весь свой путь от дома до школы (длину ломаной линии). При этом я предложил связать эту работу с временем: определить, сколько в среднем своих шагов делает каждый в минуту; тогда можно избавиться от утомительного счета этих шагов, а заметить только время движения и затем высчитать длину пути. Например, весь путь я прошел в 10 мин., а в минуту я делаю 90 шагов; зная, что средняя длина моего шага равна 70 см, я получаю длину пройденного пути в виде произведения 7О-90- i0 — 63000 см — 630ж. Весь вопрос, следовательно, сводится к тому, чтобы знать, сколько в среднем метров я прохожу в одну минуту.

Одновременно решается и обратная интересная задача: зная число шагов, сделанных на данном участке пути, легко определить затраченное на ходьбу время.

Мое предложение настолько заинтересовало учащихся, что они вскоре измерили не только те улицы, по которым совершали свой обычный путь, но и те из улиц города, где они раньше не бывали; измерили длину ограды парков и садов города, расстояния между мостами, длины городских рек и каналов. Работу производили и в одиночку и группами. Сличение результатов их работы с данными городского плана, который имелся у меня, показало, что полученные результаты были не только хорошими, но во многих случаях даже отличными. При проверке этих результатов по плану учащиеся кстати научились читать план и стали в нем хорошо разбираться без моей помощи. Они отлично поняли, что такое план местности и какую роль он играет в жизненной практике. Между прочим, знакомство с масштабом, подобием фигур и съемкой плана местности послужило базой для дальнейшего изучения ими геометрии.

Что касается вопроса о влиянии различных обстоятельств на глазомер (промежуточные предметы, рельеф местности, дождь, работа ночью), то многие и на этот вопрос нашли правильный ответ.

В заключительной беседе с учащимися я подвел окончательные итоги по первой экскурсии и, в частности, разъяснил им, что, если измеряется расстояние между двумя объектами в том случае, когда между ними нет никаких останавливающих внимание предметов, как, например, ширина реки, расстояние от берега до корабля, до вершины горы при измерениях на равнине, то это расстояние кажется меньшим действительного, а если имеются промежуточные предметы или наблю-

дения производятся во время дождя или тумана, то расстояние кажется большим действительного.

И до экскурсии, и после нее учащиеся по моим заданиям проделали ряд практических работ, связанных с изучением отрезков линий, в частности — отрезков прямых линий, а также с испытанием глазомера при оценке длины отрезков на чертежах и рисунках. Эти работы имели следующее содержание:

1. Нахождение отрезков прямых линий на различных предметах классного и домашнего обихода: на парте, столе, ручке и т. п.

2. Составление фигур из трех, четырех, пяти и т. д. спичек.

3. Указание различных способов образования прямых, ломаных и кривых линий: например, полет ракеты образует кривую, движение трамвая (до поворотов) — прямую и т. п.; учащийся должен найти как можно больше таких случаев, в которых линии образуются от движения какой-нибудь материальной точки.

4. Работа с отвесом (вертикальное и горизонтальное направление); где и для чего это нужно.

5. Испытание глазомера для взаимно-перпендикулярных прямых (как известно, мы переоцениваем вертикальные отрезки

прямых по сравнению с горизонтальными такой же длины). На черт. 2 оба отрезка равны, тогда как вертикальный кажется значительно большим.

6. Знакомство с линейным масштабом (изображение в виде линейной диаграммы в определенном масштабе какой-нибудь величины, например, народонаселения города или страны по годам, улова рыбы в различные годы и т. п.).

Черт. 2

7. Действия над отрезками (сложение, вычитание, умножение, деление).

II. Углы

На первом уроке по изучению темы об углах я старался выяснить, как учащиеся понимают «угол» и как они словесно определяют это понятие.

Понятие об угле они получили еще три года назад (в III классе начальной школы); поэтому в большинстве случаев они практически могут указать те или иные встречающиеся в жизни углы. Но добиться от них более или менее подходящего определения угла почти невозможно. Да это и вполне естественно, так как определения утла в начальной школе не дается. Разве только тот из учащихся ответит правильно, кто успеет прочесть об этом в книге.

— Киселев, покажи нам, какие ты видишь в классе углы?

Ученик показывает углы: в первую очередь трехгранные углы комнаты (двугранные обошел), затем углы на классной доске, на крышке стола, на окне, на книге и т. д.

— А что такое угол? Как определить угол?

Молчит.

— Ну, скажи, по-своему, как ты понимаешь?

— Ну, вот, угол бывает в 30°, 90°, острый, прямой.

— Начерти на доске какой-нибудь угол! Где его вершина? Где его стороны? Что такое вершина?

— Точка.

— Что собой представляют стороны угла?

— Прямые линии.

— Откуда исходят эти прямые?

— Из одной и той же точки.

— Как называются такие прямые, которые исходят из одной и той же точки?

— Такие прямые называются лучами.

— Так-вот, фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной и той же точки, мы и будем называть углом. О таких только углах мы с вами и будем вести речь. А такие углы, как углы нашей комнаты, которые образуются несколькими плоскостями, мы будем изучать позже.

Так, примерно, мы начали изучение углов. После определения угла и выяснения внутренней и внешней его области я предложил учащимся начертить окружность (циркульной ножкой) и с помощью вращения подвижного радиуса против часовой стрелки показал изменение угла от нуля градусов до полного угла. Останавливая вращающуюся ножку циркуля в различных точках окружности и соединяя эти точки с центром, мы получили различные виды углов, и учащимся легко было понять, что величина угла зависела исключительно от направления его сторон. Прямой угол мы определяли как угол, составляющий половину развернутого угла или четвертую часть полного.

Учащимся было предложено проследить, когда часовые стрелки образуют углы нулевые, прямые, развернутые и полные. Предложено было также указать, как можно образовать прямой угол. Учащиеся «делали» прямые углы из бумаги (путем перегибания), линеек и т. п.

После этого я познакомил их с эккером, с помощью которого проводят прямые углы на местности, и поручил каждой экскурсионной группе построить по одному эккеру.

Особое внимание мною было уделено измерению углов. В беседе с учащимися я старался выяснить, что, во-первых, измерение углов, как и измерение ряда других величин, выполняется косвенно, а не непосредственно, что, во-вторых, способов такого измерения существует несколько и что, в-третьих, обычное градусное измерение углов является лишь частным случаем такого измерения.

Далее после установления понятия о градусе я переходил к выяснению разницы между дуговым и угловым градусом. Для демонстрации того, что длина дугового градуса есть функция радиуса, учащиеся практически вычисляли приблизительную длину дуги какого-нибудь угла при различных радиусах путем измерения дуги ниткой и последующего откладывания ее на прямой, а затем вычисляли длину дуги земного меридиана в 1 градус, 1 минуту, 1 секунду:

1°= 400з06°0™= 111,1 км,\' = ^^= 1,852 **,

1"= =31*.

Таким образом они узнавали длину одного градуса меридиана Земли и длину морской мили, которая равна одной минуте меридиана, а затем я объяснял, как этими новыми для них единицами длины пользоваться для определения расстояния по карте между какими-нибудь двумя пунктами. Учащиеся с большим интересом проделывали эти упражнения.

Работа эта не сложная: нужно циркулем или линейкой взять расстояние между двумя пунктами по карте, а затем на той же карте наложить полученную длину на меридиан и высчитать, сколько приблизительно градусов и минут меридиана составляет эта длина, после чего число градусов умножить на 111,1, а затем число минут на 1,852 и результаты сложить. Полученная сумма дает приблизительную длину между рассматриваемыми пунктами.

Далее я переходил к демонстрации приборов, с помощью которых производится косвенное измерение углов: транспортира, мензулы и астролябии. После этого нетрудно было добиться от учащихся сознательного отношения к практическим работам — устройству транспортира (из бумаги, наклеенной на картон) и мензулы. С помощью транспортира учащиеся проделывали на уроках и дома ряд измерений углов, при этом я непременно просматривал работу каждого и указывал на примерах, как от неправильного положения прибора можно получить значительные ошибки в измерении и, наоборот, как при правильном пользовании прибором даже при несовершенстве его можно измерять углы довольно точно.

Упражнения с транспортиром связывались с развитием глазомера. Учащиеся определяли на-глаз угол вращения минутной или часовой стрелки за определенный промежуток времени, — например, за время, протекшее от 12 час. дня до 12 час. 20 мин. или до 12 час. 45 мин. (для минутной стрелки) или от 12 час. до 1 часа, 2 час, 3 час, 5 час, 8 час. и т. п. (для часовой стрелки). Эта работа производилась с помощью часового циферблата.

Или задавалась задача на определение угла поворота флюгера: например, на какой угол поворачивается флюгер, если ветер с N переходит на О, с NO на 050, с SW на WNWn т. п. (вращение считалось по часовой стрелке).

Пособием для этой работы является следующий рисунок, который учащиеся изготовляют сами, если его нет в школе.

Черт. 3

По поводу этой работы проводилась предварительная беседа, в которой выяснялась схема устройства общепринятого в СССР флюгера Вильда (в отношении определения направления ветра), а также принятая у моряков терминология для стран света (норд, норд-ост и т. д).

Затем я показал морской компас, на картушке которого был тот же самый рисунок с обозначением стран света, и разъяснил, как при его помощи штурман определяет направление движения судна (курс) и изменение курса. После этого проделывалась практическая работа, примерно, такого порядка.

Задача 1. Корабль имел SO-й курс (шел на SO), а затем изменил курс на /VO-й. На сколько градусов повернул корабль свой нос?

Учащиеся, смотря на рисунок компаса, определяли угол поворота на-глаз, а затем проверяли его по картушке компаса, если компас имелся, или с помощью транспортира. Вообще во всех работах глазомер каким-либо способом проверялся.

Задача 2 (обратная). Корабль изменил курс с Ынъ&7112° (по часовой стрелке). Определить его новый курс.

Задача решалась по рисунку и проверялась по картушке компаса или с помощью транспортира.

Внимание учащихся обращалось на то, что, при оценке углов на-глаз, острые углы кажутся нам большими, чем в действительности, а тупые меньшими.

Все указанные работы проводились учащимися с большим интересом и увлечением; при этом на уроках давались лишь разъяснение и показ, а главная работа выполнялась самостоятельно под руководством старших по группам во внеурочные часы. В результате этих работ учащиеся поняли и научились делать то, о чем не раз раньше слышали или читали.

Дальнейшие практические работы по геометрии были связаны с изучением угла зрения. Выяснялось понятие об угле зрения (черт. 4).

Черт. 4

— Скажите, можно ли малым предметом закрыть от глаз большой предмет? Приходилось ли вам это наблюдать?

— Можно. Приходилось.

Далее производился опыт и приводились примеры, как это можно сделать.

Например, небольшим кружочком на вытянутой руке можно закрыть от глаз Луну или Солнце, забором можно закрыть высокую колокольню и т. д. Далее практически выяснялось, какой величины предмет мы можем охватить глазом сразу, не поворачивая головы.

Учащиеся пришли к выводу, что угол зрения для каждого человека есть величина ограниченная. Я приводил примеры, поясняющие, как во время войны пользовались «маской» (заграждением), чтобы скрыть от наблюдения противника, например, дорогу, батарею и пр.

После вышеописанных работ был проведен второй выход за город с целью развития углового глазомера. Это было в октябре.

Вторая экскурсия за город была совершена через четыре недели после первой. Когда было объявлено о предполагавшейся второй экскурсии и о подготовке к ней, то это объявление было воспринято учащимися как объявление о празднике или посещении театра. На этот раз уже не требовалось «агитации» за то, что к экскурсии необходимо хорошо подготовиться. На опыте предыдущей экскурсии учащиеся поняли, какую огромную роль сыграла детальная и всесторонняя подготовка к ней, поняли, для чего я требовал от них умения ритмично ходить и считать свои шаги, поняли и другие «мелочи», которые потом пригодились.

Подготовка была объявлена за неделю до дня экскурсии, но она фактически была закончена в три дня.

Подготовка заключалась в следующем. В классе было 30 человек, которые были разбиты на 4 группы, а астролябия, необходимая для экскурсии, в школе нашлась только одна. Я сказал, что одной астролябией нам трудно будет обойтись, что хорошо бы добыть где-нибудь еще два-три таких инструмента.

Тогда старший по второй экскурсионной группе сказал, что их группа попробует изготовить еще одну астролябию по образцу школьной.

Я похвалил их группу за инициативу и сказал, что достаточно будет изготовить только самый инструмент, треноги же имеются в школе. При этом я дал указания, как можно изготовить уровень для диска астролябии из стеклянной трубочки и как сделать разметку диска на градусы. Этим и ограничилось мое участие в устройстве астролябии.

Через три дня неожиданно оказалось, что учащиеся принесли на урок геометрии не одну, а четыре астролябии. Инициатива второй группы возбудила к деятельности остальных, и каждая группа решила изготовить для себя собственную астролябию. Самодельные инструменты оказались настолько хорошими, что мне пришлось только порадоваться.

Учащиеся приготовили в своих тетрадях для экскурсии форму наподобие той, какая была изготовлена ими для первой экскурсии.

Форма № 3

Таблица для учета работы по развитию углового глазомера

измеряемых углов

Определение угла

Ошибки

на-глаз

с помощью астролябии

абсолютная (в градусах)

относительная в %

Примечание. Если угол, найденный на-глаз, оказался меньшим, чем в действительности, то перед числом градусов, выражающим абсолютную ошибку, ставится знак минус, если большим — знак плюс.

Много объяснять учащимся, как вычислять абсолютную и относительную погрешность при измерении угла, не пришлось, так как это делалось по аналогии с вычислением таких же погрешностей при упражнениях в развитии линейного глазомера. Но один пример все же был проделан: угол на-глаз был определен в 42°, фактически же он был равен 48°, какова ошибка? Вычисление: 1) абсолютная погрешность равна —6°, относительная погрешность равна—то— % = 12,5 %.

Работа на экскурсии, которая состоялась в назначенный срок, происходила следующем образом. Я указывал, между какими направлениями надо измерить угол. Например, так: измерьте угол, вершина которого в вашем глазу, а стороны направлены на крест колокольни и трубу завода.

Этот угол имел, допустим, номер 4-й. Учащиеся молча определяли его на-глаз и записывали в соответствующую графу формы 3. После этого каждая группа измеряла этот угол с помощью своей астролябии, причем каждый участник экскурсии выполнял ту же проверку сам; когда же старший по группе называл число градусов, то после окончательной выверки все записывали это число в соответствующую графу своей тетради и тут же вычисляли абсолютную погрешность измерения. Относительную погрешность по плану требовалось вычислять после экскурсии дома.

Порядок измеряемых углов был таков: сначала измерялись углы острые, близкие к 45°, затем большие, потом углы тупые. Примерно, так: 45°, 40°, 30°, 20°, 10°, 5°, 2°, 1°, 50°, 60°, 75°, 80°, 90°, 100°, 135°, 150°, 175°, 180°. Конечно, я сам раньше учащихся развил свой глазомер и теперь давал направления сторон углов почти точно по намеченному плану.

Вначале направления сторон углов устанавливались с помощью вех, а затем брались готовые объекты наподобие таких, какие я указал в приведенном выше примере. После этих примеров испробованы были и такие, в которых вершина угла не находилась в глазу наблюдателя; например, требовалось определить направление между дорогой, пересекавшей проходившую невдалеке линию телеграфных столбов, и этой линией.

Такой вид глазомерного определения угла особенно заинтересовал экскурсантов, и они с новыми силами принялись за работу, изыскивая и изобретая свои примеры. Так, например, одна из учениц предложила трем другим разбежаться в разные стороны и остановиться по сигналу на каких-нибудь местах. Все остальные участники экскурсии должны были определять на-глаз образованные этими живыми вехами внутренние углы треугольника (это же должны были проделать и сами «вехи»), после чего углы проверялись астролябией.

Надо сказать, что эта работа, заинтересовав учащихся, заставила их быть изобретательными, в чем они соревновались друг с другом, предлагая то тот, то другой пример, многие из которых пришлось использовать. Я с удовольствием увидел, что глазомер учащихся быстро развивается и что они после первых неуверенных и ошибочных определений на этой же экскурсии стали очень точно определять углы на-глаз.

Обработка результатов, полученных на экскурсии, проходила под руководством старших по группам. Каждый участник экскурсии самостоятельно вычислял свою относительную погрешность по каждому измерению и среднюю арифметическую

погрешность всех сделанных им измерений, а затем давал свои вычисления на проверку старшему. Тот в результате всей работы вычислял среднюю относительную погрешность по своей группе, и таким образом можно было выявить победителя-группу и победителя-учащегося.

На этот раз победителем оказалась первая группа, и старший ее достиг лучшего глазомера по определению углов (он имел среднюю относительную погрешность измерения около 8%). По поводу результатов экскурсии класс выпустил экстренный классный листок, в котором отразились итоги соревнования экскурсионных групп, рассказывались интересные эпизоды экскурсии и высказывались замечания и пожелания для будущих экскурсий. Листком этим заинтересовались и учащиеся других классов.

После проведения в классе, дома и за городом работ по измерению углов учащиеся стали более внимательно относиться к изучению углов. А самое главное — у них уже выработалась привычка связывать изучаемое с жизнью, находить применение изучаемого в окружающей обстановке. Так, при изучении смежных и вертикальных углов они находили эти углы самостоятельно в классе, на улице (на перекрестках), строили их с помощью складного метра и т. д.

Большой интерес вызвали у учащихся мои указания относительно обмана зрения при некоторых положениях углов на чертежах. В первую очередь я обратил внимание учащихся на переоценку величины острых и недооценку величины тупых углов, вследствие чего может получаться искажение некоторых фигур.

Например, на чертеже 5-а окружность кажется как бы волнистой, отступая от центра в местах, находящихся между вершинами квадрата, а на чертеже 5-6 стороны квадрата кажутся изогнутыми внутрь. Это происходит потому, что здесь полу-

Черт. 5а Черт. 5б

чаются острые углы между прямыми линиями и дугами окружностей, которые преувеличиваются нашим глазом.

Как при оценке длины заполненного какими-либо предметами отрезка мы ее переоцениваем, так и из двух равных углов нам кажется большим тот, который заполнен другими углами.

Например, углы АОС и BOD кажутся большими угла СОВ, хотя они все равны (черт. 6). На чертежах 7 и 8 углы 1 и 2 равны, но кажется, что угол 1 больше угла 2, так как угол 1 окружен меньшими углами, а угол 2 — большими.

Черт. 6 Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9

На чертеже 9 расстояние между вершинами А и В кажется меньшим, чем расстояние между вершинами В и С, а на самом деле эти расстояния одинаковы.

Такого рода работа убеждала учащихся в необходимости доказательства даже очевидных, на первый взгляд, теорем, между тем как обычно эти доказательства встречают со стороны многих из них противодействие.

III. Треугольники

При изучении треугольников были выполнены следующие практические работы.

1. Определение вида треугольника (по сторонам и углам) сначала на-глаз, а затем с помощью линейки и транспортира. Работа эта проводилась, примерно, в таком порядке. На классной доске вычерчивалось 10—15 треугольников (черт. 10), и каждый из них нумеровался, затем учащиеся определяли вид треугольника на-глаз и записывали в приготовленную заранее таблицу учета работы по определению вида треугольника (форма № 4).

2. Построение различных видов треугольников на бумаге и доске: разносторонних — косоугольного и тупоугольного, равнобедренных — косоугольного и прямоугольного, равностороннего.

3. Опускание всех высот в треугольнике (с помощью циркуля и линейки, линейки и треугольника).

4. Наблюдение за применением в окружающей нас жизни, главным образом, в технике и в природе, «жесткой фигуры»— треугольника.

Черт. 10

Форма № 4

тр-ка

Вид треугольника

по сторонам

по углам

на-глаз

фактически

на-глаз

фактически

1

разносторонний

разносторонний

прямоугольный

прямоугольный

2

равнобедренный

разносторонний

тупоугольный

тупоугольный

5. Опытная проверка возможности построения треугольника по данным трем отрезкам прямых (случаи возможного построения).

6. Опытная проверка возможности построить треугольник:

а) равносторонний прямоугольный,

б) равносторонний тупоугольный,

в) равнобедренный прямоугольный,

г) равнобедренный тупоугольный.

7. Опытная проверка возможности построения треугольника, у которого имелись бы углы:

а) прямой и два острых,

б) два прямых и острый,

в) три острых,

г) прямой, острый и тупой,

д) два тупых и острый,

е) тупой и два острых,

ж) два прямых и тупой.

8. Опытная проверка осевой симметрии равнобедренного треугольника.

9. Изготовление моделей из бумаги для опытной проверки теорем о равенстве косоугольных и прямоугольных треугольников и последующая опытная проверка этих теорем перед доказательством.

10. Опытная проверка теоремы о внешнем угле треугольника (путем отрезывания и наложения каждого внутреннего угла, не смежного с внешним, на внешний и сравнения с ним).

11. Опытная проверка теоремы о свойствах биссектрисы угла (путем перегибания чертежа по биссектрисе).

Все практические работы, за исключением 1-й, 9-й (второй части), 10-й и 11-й, выполнены были учащимися самостоятельно дома или в классе после уроков под руководством старших по группам. Моя роль как учителя сводилась к тому, чтобы разъяснить, как сделать и из чего сделать требуемое, т. е. к методическим указаниям. Контроль за занятиями этого рода осуществлялся посредством докладов старших о работе групп или в порядке текущего опроса на уроках.

Дальнейшие практические работы с треугольниками были намечены на местности, но мешала погода. Мои замечания по поводу того, что экскурсию по треугольникам нужно отложить до более теплого времени, встретили со стороны учащихся большое сопротивление. К счастью, вскоре установилась солнечная безветренная погода, и экскурсию можно было осуществить.

По плану во время экскурсии на местности были намечены следующие работы:

1. Определение расстояния между двумя точками в том случае, когда от одной из них до другой нельзя провешить прямую, т. е. когда между ними имеется какое-нибудь воображаемое препятствие (болото, река, лес, постройки).

2. Проверка этого определения непосредственным измерением.

3. Определение расстояния между двумя точками в том случае, когда между ними имеется действительное препятствие, например, небольшая река.

Для этих косвенных измерений расстояний намечалось использовать первый и второй признаки равенства треугольников. В связи с этим главная часть подготовки к экскурсии заключалась в решении различными способами задач на тему об определении расстояния между двумя точками (на основании теорем о первом и втором признаках равенства треугольников).

На уроке была задана такая задача: как можно узнать расстояние между двумя какими-либо материальными точками, не измеряя его?

Такая задача задавалась, конечно, после того как учащиеся изучили признаки равенства треугольников, и они должны

были решить ее самостоятельно. Вполне естественно, что учащиеся, записав такую задачу, в которой не было никаких данных, в первую минуту стали втупик, а затем начали задавать вопросы о том, какие же здесь можно взять данные.

Я сказал, что данные могут быть здесь различные. Эти данные каждый должен придумать, каждый должен сообразить, что ему нужно измерить, что построить, чтобы на основании их можно было ответить на вопрос задачи, пользуясь равенством треугольников. Так как в этой задаче условия могут быть различными, то и решение ее может быть проведено различными способами.

Чтобы большинству учащихся было доступно решение задачи, я привел в пример другую задачу: что бы вам потребовалось знать, чтобы ответить на вопрос, какова длина периметра квартала, в котором вы живете?

Учащиеся ответили, что им нужно знать длину и ширину квартала и что для этого надо измерить квартал по длине и ширине.

Подобного рода вопросы являлись хорошей подготовкой учащихся к решению данной задачи аналитическим методом. Затем я предложил рассматриваемую задачу решить дома. Большинство учащихся решило задачу правильно. В тетрадях были сделаны чертежи и приведены объяснения решения.

(т. е. ставлю веху М{ на расстоянии ОМ так, чтобы точка О закрывала точку М), а на продолжении луча ОМ ставлю веху N\ так, чтобы отрезок ONi равнялся отрезку ОМ. Тогда мне остается измерить только расстояние M\NU которое равно искомому расстоянию ММ (длине озера), так как треугольник

Вот одно из таких решений, в котором ученица М. воспользовалась первым признаком равенства треугольников: «Мне надо измерить длину озера. Я беру за концы отрезка ММ (черт. 11), который хочу измерить, два дерева, наиболее близко расположенные к берегам озера, и ставлю веху (О) в таком месте, откуда могут быть непосредственно измерены расстояния до этих деревьев. Измерив расстояния ОМ и ON, я на продолжении луча ОМ откладываю отрезок О И,, равный отрезку ОМ

Черт. 11

OMxN\ равен треугольнику OMN по первому признаку равенства треугольников».

Не менее хорошее решение было дано членом 2-й группы, который использовал для решения второй признак равенства треугольников:

«Между данными точками А и В (черт. 12) находится небольшая река; я хочу измерить ширину этой реки, не переходя ее. Для этого я выбираю на своем берегу такую точку А9 из которой хорошо видно находящееся у самой реки дерево В. Далее на своем берегу я выбираю такую точку О, из которой были бы видны обе точки А и В, измеряю расстояние OA и на продолжении отрезка OA провешиваю равный ему отрезок OAv При точке А\ с помощью астролябии я строю угол ОА,Нъ равный углу ОАВ. Теперь остается провешить прямую ОВ\ (продолжение прямой ОВ) и прямую АХВ\ (до пересечения с прямой ОВх). Треугольник ОАгВ1у как видно из чертежа, равен треугольнику ОАВ по вто- ^

рому признаку равенства треугольников, а потому A}B}=AB. Теперь остается аз длины отрезка АВ отнять длину АС, и я буду знать ширину ВС реки. Углы А и В могут быть прямые, тупые и острые».

Решение задачи о вычислении расстояния между двумя недоступными точками с помощью теорем о

Черт. 12

признаках равенства треугольников тщательно было разъяснено в классе, так что, в конце концов, и те из учащихся, которые не решили ее самостоятельно или решили с помощью одного только признака, могли подробно рассказать решение, т. е. что и к а к надо построить, что измерить и что вычислить на основании теоремы.

Так как необходимые вехи и инструменты (астролябии) уже имелись, то на этом подготовка к экскурсии по существу дела закончилась. Однако редколлегия классного листка сочла нужным выпустить по поводу предстоящей экскурсии листок, в котором призывала товарищей получше подготовиться к выходу на свежий воздух, не забыть хорошенько обуться и одеться, захватить перчатки или варежки (дело было зимой). Редколлегия напоминала товарищам, что на экскурсии все должны помогать друг другу, что, хотя проведение ее требует общей работы, но в этой общей работе каждый должен быть вполне самостоятельным и чувствовать себя так, как будто он руководитель всего дела.

Экскурсия за город состоялась. На равнине были поставлены две вехи, примерно, метрах в ста друг от друга, и требовалось определить расстояние между ними, не измеряя его. Задача должна быть решена на основании первого признака равенства треугольников с последующей проверкой непосредственным измерением.

Я сделал распоряжение, чтобы измерение расстояний учащиеся производили шагами и чтобы все они принимали в этом участие, и имел в виду заставить их быть в движении, а старшие по группам должны были стать у конечных вех (при вершинах треугольника), проверять работу и выяснять результаты измерений.

После того как косвенное измерение было закончено и результат записан, каждый своими шагами проверил непосредственно искомое расстояние. Небольшая разница в результатах отдельных измерений, сделанных шагами, конечно, получалась, но подсчитанное среднее арифметическое результатов всех измерений почти точно совпало с тем числом метров, которое получилось при косвенном измерении.

При подсчете среднего арифметического я порекомендовал складывать только единицы и десятки полученных при измерении чисел, так как в сотнях не было расхождения. Кроме того, все участники экскурсии делали подсчет устно, и только двое старших вычисляли письменно (с целью проверки устных вычислений).

После решения первой задачи была — на основании второго признака равенства треугольников — измерена ширина реки (Казачьего ерика).

Обе работы учащимися были проведены с большим интересом. По окончании работы я предложил тем участникам экскурсии, которые пожелают, промерить — шагами или с помощью подсчета времени по часам — расстояния до их квартир или до школы с тем, чтобы в результате экскурсии можно было определить пройденное туда и обратно расстояние и затраченное время. Экскурсанты с удовольствием выполнили это, и результаты этой работы вместе с общим отчетом об экскурсии были опубликованы в листке класса.

IV. Параллельные прямые

— Ш., скажи, как назвать линии, ограничивающие противоположные края классной доски?

— Параллельные линии.

— Правильно. Укажи нам еще параллельные линии в классе.

— Линии, ограничивающие противоположные края крышки стола, пола, потолка, стены.

— Правильно. А какие линии называются параллельными?

— Две линии, которые никогда не пересекаются, называются параллельными.

— Л вот линия пересечения пола со стеной, где висит доска, и линия пересечения потолка со стеной, где окна, пересекаются или не пересекаются?

— Нет, они не могут пересечься.

— Значит, по-твоему они тоже параллельны?

— Нет.

— Следовательно, в твоем определении параллельных линий чего-то нехватает?

— Нехватает.

— Чего же нехватает?

Молчит. — Я не сказала, что эти линии должны лежать в одной и той же плоскости.

Таким образом, класс, который внимательно следил за нашим диалогом, приходил к правильному и точному определению параллельности прямых. Такого рода форма изложения нового определения или понятия, как я не раз убеждался на практике, приводит к более прочному усвоению изучаемого, так как она создает в умах учащихся необходимые ассоциации.

После обычного черчения параллельных прямых при помощи циркуля и линейки или наугольника и линейки я предложил учащимся ряд упражнений глазомерного порядка:

1. Дана прямая; требуется провести другую прямую, параллельную первой, с помощью линейки, с последующей проверкой расстояния между прямыми.

2. То же — без линейки, от руки.

3. Проведение двух или нескольких параллельных прямых от руки.

4. Проведение нескольких прямых, наклоненных к данной прямой под каким-нибудь углом,—сначала с помощью линейки, а затем от руки (здесь одновременно применялся и угловой глазомер).

5. Обратить внимание на зрительное искажение параллельности прямых в некоторых случаях, — например, на чертеже 13 четыре параллельных линии кажутся попарно расходящимися кверху из-за помещенных между ними штрихов; это происходит вследствие переоценки острых углов, образованных этими штрихами с параллельными прямыми.

6. Запись в тетради случаев из окружающей обстановки, в которых встречаются параллельные линии.

После решения задачи о проведении

Черт. 13

через данную точку прямой, параллельной данной прямой, практически выяснилась аксиома о параллельных прямых.

Затем мы приступили к изучению углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, и к опытной проверке связывающих их соотношений. Проверка делалась—перед доказательством теорем — с помощью транспортира.

Далее учащиеся проделали следующие практические работы, связанные с изучением программы:

1. Опытная проверка нарушения равенства углов в случае, если прямые непараллельны.

2. Опытная проверка теорем об углах с параллельными и перпендикулярными сторонами.

3. Опытная проверка теоремы о сумме углов треугольника (путем отрезывания углов и их сложения) (черт. 14).

Черт. 14

4. Опытная проверка теоремы о катете, лежащем против угла в 30°.

5. Опытная проверка теорем о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.

6. Опытная проверка центральной симметрии некоторых фигур.

Для упражнений в проведении параллельных линий на местности совершена была экскурсия. Эта четвертая — завершающая курс VI класса по геометрии — экскурсия была проведена в мае по следующему плану:

1. Проведение на местности ряда параллельных прямых.

2. Проведение на местности прямой, параллельной данной (через любую точку).

3. Измерение расстояния между двумя материальными точками в случае, когда между ними нельзя провешить прямую (на основании признаков равенства треугольников).

4. Упражнения по развитию линейного глазомера.

5. Упражнения по развитию углового глазомера.

Как видно из плана, первые два пункта были новыми для учащихся, а остальные три явились повторением изученного. План этот был опубликован в очередном листке класса вместе с призывом к подготовке.

В период подготовки к экскурсии учащиеся должны были разрешить вопросы, указанные в двух первых пунктах плана.

Я поставил перед ними вопрос: надо земельный участок прямоугольной формы разделить на делянки так, чтобы по ширине эти делянки были отмерены согласно прилагаемому списку— кому Юм, кому 15 м, кому 20 м.

Как провести деление участка?

Ответ был правильный: надо провести параллельные прямые на расстоянии 10 м, 15 м и 20 м друг от друга.

— Как провести эти параллельные прямые на местности?

— Надо восставить перпендикуляры к прямой; в данном случае — к стороне прямоугольного земельного участка.

— Как же мы будем восставлять эти перпендикуляры?

— А мы по эккеру наметим в точках деления прямой прямые углы и провешим прямые. Это и будут искомые параллельные прямые.

Так был намечен план первой работы на местности (черт. 15).

Черт. 15

Для составления плана второй работы была проведена следующая беседа.

— Вы провешили на поле прямую, и требуется через какую-нибудь точку, находящуюся вне ее, провести другую прямую, параллельную данной. Как это сделать?

— Надо опустить из этой точки перпендикуляр на прямую и к этому перпендикуляру через ту же точку провести с помощью эккера другой перпендикуляр; тогда второй перпендикуляр будет параллелен данной прямой.

— Это верно. Но как вы будете опускать перпендикуляр на земле; ведь у вас нет ни треугольника, ни линейки, ни циркуля таких размеров, чтобы вы смогли выполнить это построение?

Этими замечаниями я задал учащимся новую задачу, которая требовала известного времени для разрешения. Я установил время в 10 мин.

Один ученик предложил такое решение: надо, поместившись на данной прямой, установить вдоль этой прямой одну перекладину эккера, а затем двигаться с эккером по этой прямой до тех пор, пока другая перекладина не окажется на одной прямой с данной точкой; тогда провешенная прямая будет перпендикуляром к данной прямой и пройдет непременно через данную точку; теперь останется только провешить через эту

точку по эккеру перпендикуляр к первому перпендикуляру; этот второй перпендикуляр и будет искомой параллельной.

Предложение было принято, так что был намечен план и второй работы (черт. 16).

Все учащиеся должны были проделать обе задачи на чертежах и уметь рассказать, как нужно решить их построением на местности.

Черт. 16

Для выполнения 3-го, 4-го и 5-го пунктов плана экскурсии учащиеся должны были, во-первых, вспомнить, как решалась задача об определении расстояния между двумя точками на местности, и, во-вторых, приготовить форму для записи работы по развитию линейного и углового глазомера.

На старших по группам возлагалось контролирование подготовки подчиненных им членов и сообщение мне об ее результатах.

Эккер, астролябии, вехи и мерные веревки были просмотрены и замеченные недочеты устранены. Я распорядился, чтобы вехами каждая группа обеспечилась в достаточном числе. Окончательный смотр всего экскурсионного имущества вполне удовлетворил меня. Математическую сторону подготовки я уже проверил на уроках.

Экскурсия состоялась в назначенный день. Когда мы пришли на место, я предложил, чтобы группы работали совершенно самостоятельно, так как каждая группа имела полный комплект всех необходимых приборов и инструментов. Для того чтобы участники экскурсии не мешали друг другу, я назначил каждой группе свое место, сам же, просмотрев работу всех групп на местах, выбрал для дальнейшего наблюдения центральное место, чтобы от каждой группы быть приблизительно на одинаковом расстоянии (на случай консультации в работе и наилучшего наблюдения за работой).

Каждая группа под руководством старших по группам должна была выполнить все намеченные по плану работы, причем по глазомеру мною был определен минимум и максимум упражнений. Намеченные по плану 3 часа для выполнения всех работ прошли, а экскурсанты и не думали заканчивать работу: они с увлечением продолжали измерять, вычислять, придумывать фигуры для определения на-глаз углов, расстояний, спорили между собой.

Мне пришлось уговаривать учащихся и, в конце концов, предложить прекратить работу, так как она продолжалась уже более 4 час.

О результатах экскурсии было изложено затем, как обычно, в листке класса, который на этот раз был гораздо обширнее по размерам и содержал много материала с подсчетами, чертежами, списками победителей по глазомеру.

На общем собрании класса было решено все листки класса, изданные по поводу математических экскурсий, сохранить как ценный материал для будущих занятий по геометрии.

V. Заключение

Я изложил здесь свой опыт преподавания геометрии в одной из средних школ города Астрахани, причем, чтобы не увеличивать размера статьи, я ограничился только работой в VI классе.

В таком же плане велись занятия и дальше: на протяжении всего школьного курса геометрии я стремился вопросы теории увязать с практикой путем опытной проверки теорем, изготовления наглядных пособий, приборов и моделей, решения жизненных задач, работ на местности. Словом, в своей работе я стремился геометрические формы и образы изучать на конкретном материале, в большинстве случаев, практически знакомом учащимся, так как на фундаменте конкретного ученик чувствует себя более уверенно и лучше понимает смысл изучаемого.

Дальнейшая программа дает возможность еще в большей степени развернуть работу по этому методу. Особенно интересны практические занятия и экскурсии, связанные с изучением подобия и площадей фигур, что может составить содержание следующей статьи.

Некоторые из моих товарищей-учителей весьма скептически, а некоторые даже отрицательно относились к моему методу, выставляя против него ряд аргументов, а именно: 1) для проведения такого метода недостает времени, 2) многие практические работы, проводимые мною, должны быть выполнены в начальной школе, и они, вероятно, были там выполнены; 3) возникает опасение, что такой метод изложения программы по геометрии не только не привлечет симпатий учащихся, но, наоборот, даст отрицательные результаты, так как он для них является слишком «канительным»; 4) такой метод может оказаться вредным, так как он будто бы заменяет логику практикой.

Уже в течение первого года преподавания этим методом опыт опроверг все выставленные против него аргументы. Лишнего времени на преподавание я нисколько не потратил, так как на уроках мне пришлось, в большинстве случаев, делать

лишь пояснения к практическим работам (методика, организация, иногда показ), сами же работы выполнялись учащимися самостоятельно или дома или группой в школе под руководством старшего по группе. Правда, часть времени, отведенного на изучение программы, уходила, конечно, на эти разъяснения. Но эта потеря времени всецело вознаграждалась более сознательным отношением учащихся к изучению геометрии, их интересом к делу и умением более толково излагать доказательства. В самом деле, не может быть спора о том, кто лучше изложит учебный материал (или, вернее, чье изложение будет иметь большее образовательное значение): тот ли, кто только слушал и читал, или тот, кто сам проделал, затем слушал и читал.

Что касается того, что дети еще в начальной школе усвоили многое из того, что я провожу на своих уроках геометрии, то это опровергается практикой. В соответствии с программой дети должны были усвоить кое-что практически в младших классах, но факты говорят о том, что практические работы по геометрии в начальной школе не проводятся.

Чтобы экскурсии не нарушали обычного хода занятий в школе, мне раз в неделю в расписании занятий устроили сдвоенные часы по математике, причем эти часы были последними. В обычное время они удобны были для практических занятий по геометрии, а в дни экскурсий я с учащимися без всякой «ломки» расписания уходил за город.

Сохранение же организованности учащихся при таком методе занятий всецело находится в руках учителя: учащиеся любят «делать», если только работа организуется правильно, не по шаблону. Учитель должен быть изобретательным и уметь при всяких обстоятельствах организовать дело. При правильной постановке практических занятий можно наблюдать, что интерес учащихся к изучению геометрии тем сильнее возрастает, чем больше она находит практических приложений.

Аргумент о замене логики практикой также является несостоятельным. При применении дедуктивного метода, не связанного с практикой, как это обычно делается, учащиеся стараются только запомнить тот порядок доказательства, который им преподносит учитель или учебник. Где тут развитие логики? Это лишь запоминание изложения. Когда же ученик проделал, например, опытную проверку какой-нибудь теоремы, скажем, путем наложения или измерения, то он затем стремится самостоятельно обосновать то, что проделано. Этим путем мы можем воспитывать логическое мышление учащихся.

Семилетний опыт преподавания геометрии в средней школе убедил меня, что этот предмет школьного курса, связанный с выполнением практических заданий, приносит в дальнейшей жизни учащихся большие плоды.

Совсем недавно, уже по окончании Отечественной войны,

ко мне явился с орденами на груди мой бывший ученик Г. и сказал:

— Как часто я вспоминал Вас, Петр Иванович, когда мне приходилось на передовых позициях в роли артиллерийского наблюдателя пользоваться глазомером. Я тогда же решил, что, если возвращусь в свой родной город, то первый визит нанесу Вам, чтобы выразить глубокую благодарность за те навыки, которые мне пригодились в борьбе с врагом.

Я думаю, что лучшего аргумента в защиту примененного мною метода никто не мог бы привести.

А. А. Колосов

преподаватель школы № 422 Москвы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ И РАБОТА В НЕМ

Введение

Я буду говорить не вообще о математическом кабинете, но о реально существующем математическом кабинете 422-й школы Москвы.

Известно, что в смете школы нет графы расходов на оборудование математического кабинета. Поэтому, задавшись целью создать такой кабинет, нельзя рассчитывать на получение от школы каких-либо средств на это. Нужно из ничего создать что-то. Мне и моим ученикам удалось это сделать. Математический кабинет 422-й школы существует уже четвертый год, постепенно растет, пополняется и все более и более развертывает свою работу.

Реальное существование этого кабинета утверждает и реальную возможность создания такого же кабинета в любой школе и при любых, даже очень малых материальных возможностях.

В этом утверждении и заключается первая из основных мыслей моего сообщения о нем.

Очень трудно без показа всего того, что имеется в этом кабинете, рассказать и о нем, и о работе, которая развернута внутри и вокруг него. Чтобы выйти из этого трудного положения, я вынужден прибегнуть к несколько особой форме сообщения — форме инвентарной описи кабинета, сопровождаемой иллюстрациями, чертежами, методическими замечаниями по поводу той или иной темы курса, вызвавшей к жизни те или иные пособия этого кабинета.

Кабинет возник вследствие желания преподавателей школы дать учащимся, кончающим школу, глубокие теоретические знания, воспринятые ими не формально, знания, крепко сплетенные с практическими приложениями их.

В углублении знаний учащихся, в борьбе с формализмом в преподавании математики, в показе глубокой связи теоретических знаний с практическими приложениями, в стремлении исторически осветить развитие математических идей заключены цель и смысл существования математического кабинета, и это — вторая основная мысль моего сообщения о нем.

Инвентарная опись математического кабинета

I

Первым толчком к созданию кабинета послужили те затруднения, которые обычно испытывают учащиеся при решении задач по стереометрии в курсе X класса. Многие из учащихся не представляют себе реально элементов пространственной фигуры в их взаимном расположении. Единственно, чем можно помочь в данном случае, это — сконструировать модель и дать хороший чертеж, ясно воспринимаемый учащимися при наличии этой модели. В моей практике модель рождалась на глазах учащихся и только позднее принимала тот окончательный вид, который она имеет в настоящее время в кабинете. Это рождение модели, когда весь класс принимает участие в ее создании, есть необходимое условие полного осознания взаимного расположения элементов той фигуры, о которой говорится в задаче.

Не меньшие трудности того же порядка встречают и учащиеся девятых классов при прохождении стройного и для будущего чрезвычайно важного раздела геометрии — начал стереометрии. Здесь, особенно в первое время, учащиеся испытывают затруднения не только при решении задач, но и при доказательстве теорем. Добиться возникновения ясного представления о взаимном положении прямых и плоскостей в сознании каждого учащегося, добиться, чтобы эти пространственные формы были отражены в хорошем чертеже, — благодарная задача для преподавателя, и помочь решению этой задачи опять может конструирование соответствующей модели в присутствии учащихся; дальнейшая работа учащихся — закрепление ее отдельных элементов, ее уточнение, усовершенствование и неоднократное возвращение к ней в будущем в математическом кабинете, безусловно, внесет ясность в пространственные представления учащихся.

Так возникли пособия математического кабинета, отнесенные мною к 1-му разделу описи —именно модели к теоремам и задачам по стереометрии. (Задачник Рыбкина, изд. 1948 г.) Далее я привожу опись, сопровождаемую рисунками.

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3 Черт. 4

Модели, необходимые для выяснения свойств плоскости.

Материал — фанера, линейка и геометрические тела: цилиндр, конус и шар (черт. 1, 2, 3, 4).

Модели к теоремам о параллельности прямой и плоскости.

Материал: деревянная подставка, фанера, палочки, столярный клей или синдетикон, краски и масляный лак (черт. 5 и 6).

Черт. 5 Черт. 6

Черт. 7

Модель к теоремам о параллельности плоскостей.

Материал: деревянная подставка, фанера, палочки, клей, краски и лак (черт. 7)

Модели к теоремам о двух и трех перпендикулярах.

Материал: деревянная подставка, фанера, деревянные палочки, клей, краска и лак (черт. 8 и 9).

Модели к теореме об угле между прямой и плоскостью и к понятию скрещивающихся прямых и угла между ними.

Материал: деревянная подставка, фанера, палочки, клей, краски и лак (черт. 10 и 11).

В модели 10 /\АВС вращается вокруг оси АВ>.

Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16 Черт. 17

Черт. 18

Модели к задаче о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми и к понятию двухгранного угла и его линейного угла.

Материал: подставка, стекло, фанера, палочки, клей, краски и лак (черт. 12 и 13). Л MSB в модели 13 вынимается.

Модели к задачам § 1, № 20, 21.

Эти модели также подтверждают два следующих положения по отношению к пирамиде (черт. 14 и 15):

а) если вершина пирамиды равно удалена от вершин ее основания, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;

б) если вершина пирамиды равно удалена от сторон ее основания, то высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание.

Модель к задаче § 8, № 28.

Черт. 19

Черт. 20

Модель также подтверждает положение: если боковое ребро призмы, основанием которой служит равнобедренный треугольник, образует с двумя равными сторонами основания равные углы, то боковая грань призмы, противоположная этому ребру, есть прямоугольник (черт. 16).

Модель к задаче § 4, № 12.

Материал: деревянная подставка, фанера, палочки, клей, краски и лак (черт. 17).

Модели к теме «Поверхность пирамиды» и к задачам § 10, № 14 и 20.

Материал: деревянная подставка, палочки, клей, краски и лак (черт. 18 и 19).

Модели к теоремам об объеме прямого и наклонного параллелепипедов.

Материал: стекло, окрашенное стекло, плотная бумага для окантовки, синдетикон, деревянная подставка, краски (черт. 20).

Черт. 21 Черт. 22

Черт. 23 Черт. 24

II

Модель к задаче: геометрическое место точек, равно удаленных от двух данных точек в пространстве.

Материал: подставка, два больших гвоздя, пластмасса, проволока, клей, краски (черт. 21).

Одним из самых трудных, но в то же время самых интересных разделов геометрии, дающих богатейший материал для развития пространственных представлений учащихся, является раздел задач на сечения пространственных фигур. В решении этих задач, как и в решении задач на построение в планиметрии, должно быть отражено несколько моментов: а) анализ и

110

Черт. 25 Черт. 26

Черт.27 Черт. 28

выяснение формы сечения, б) построение сечения, в) доказательство правильности построения. Мы все знаем, какие большие трудности встречают учащиеся при решении этих задач. Поэтому небесполезно, особенно вначале, сопровождать решение подобных задач показом модели, чтобы геометрический вид сечения был правильно воспринят учащимися и реально ощущался ими. Конечно, модель появляется перед глазами учащихся только тогда, когда уже испробованы все пути решения задач без модели, но, если задача даже и решена без модели, последняя должна быть показана. Пусть каждый учащийся реально увидит искомое сечение и правильно воспримет его на чертеже.

Модели к задачам на сечения в большинстве случаев приходится строить из стекла, а самые сечения из окрашенного

Черт. 29 Черт. 30

Черт. 31 Черт. 32

стекла. К этой же группе моделей я отношу и модели на сечения круглых тел: цилиндра, конуса и шара, сделанные в мастерских из дерева. Модели на сечения пространственных фигур составляют 2-й раздел описи кабинета. Далее я продолжаю эту опись, сопровождая ее рисунками и чертежами.

Модели перпендикулярного сечения наклонной призмы и сечения, параллельного основанию пирамиды.

Материал: деревянная подставка, фанера, деревянные палочки, клей, краски и лак (черт. 22 и 23).

Модель сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ куба и параллельной диагонали основания.

Материал: стекло, окрашенное стекло для сечения, плотная бумага для окантовки, синдетикон (черт. 24).

Черт. 33 Черт. 34

Черт. 35а

Модель сечения правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и через центр верхнего (черт. 25).

Модель сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон основания и параллельной боковому ребру (черт. 26).

Материал тот же, что и в модели 24.

Модель сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух сторон основания и параллельной боковому ребру (черт. 27).

Модель сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной к боковому ребру (черт. 28).

Материал: стекло, окрашенное стекло, плотная бумага для окантовки, синдетикон.

При изготовлении моделей сечений многогранников из стекла необходимо предварительно вырезать из бумаги грани многогранника и самое сечение. Для последнего необходимо сделать расчет длины сторон; эту работу очень полезно поручить учащимся. По этим бумажным выкройкам вырезают стекла; стекло для сечения можно покрыть тонким слоем масляной краски; окантовывать лучше всего плотной бумагой и синдетиконом.

Модель для леммы об объеме наклонной призмы (черт. 29). Модель 29, поставленная на перпендикулярное сечение (черт. 30). Эта изменяющаяся на глазах учащихся модель очень полезна для них. Материал — дерево. Модель была куплена в магазине и распилена мною, после чего сечения были окрашены.

Модель сечения цилиндра плоскостью, образующей острый угол с плоскостью основания (черт. 31).

Модель сечения конуса плоскостью, образующей острый угол с плоскостью основания (черт. 32).

Модель сечения конуса плоскостью, параллельной его оси (черт. 33).

Модель сечения шара плоскостью. Материал — дерево (черт. 34).

Модель для теоремы об объеме треугольной пирамиды (черт. 35а).

Та же модель в разобранном виде (черт. 35б).

III

Математический кабинет 422-й школы имеет большой набор (30 штук) многогранников, их разверток и круглых тел. Модели сделаны в мастерской. Эти пособия составляют третий раздел инвентарной описи. Я разрешу себе не воспроизводить их в чертежах.

IV

К четвертому разделу описи математического кабинета я отношу пособия для изучения тригонометрии.

Тригонометрические темы IX класса являются основой дальнейшего изучения математики и в школе, и в высшем учебном заведении. Помимо сообщения учащимся определенного запаса

Черт. 35б

тригонометрических формул, эти темы знакомят их с новым видом функциональной зависимости, а всякая вновь изучаемая функциональная зависимость очень расширяет математический кругозор учащихся и дает возможность глубже почувствовать сущность современной математики. В течение многих лет я определяю тригонометрические функции как отношения координат конца дуги, соответствующей данному центральному углу, к радиусу, или одной координаты к другой. Дав определения первых трех функций с помощью равенств

у XV

sin а = , cosa = -£-,tga = -^-,

я остальные три определяю как величины, обратные им.

Чтобы довести до сознания учащихся определения и свойства тригонометрических функций, я счел необходимым сделать две модели тригонометрического круга с подвижными частями; с первой моделью учащиеся знакомятся в VIII классе, когда они изучают тригонометрические функции острого утла, а со второй — в X классе, когда изучают тригонометрические функции любого угла.

Тригонометрический круг (черт. 36).

Материал: фанера, набитая на подрамник; нижняя часть ее закрыта на расстоянии 1 см от первого другим прямоугольным куском фанеры; это позволяет линии синуса появляться при вращении из-за этого прямоугольника. Линия синуса свободно подвешена на конце радиуса; сам радиус может быть закреплен в любом положении винтом.

Необходимы также клей, краски, лак.

Модель позволяет с точностью до 0,01 определять числовые значения функций.

Тригонометрический круг (черт. 37).

Тригонометрические функции

Черт. 36

Материал тот же, что и в модели 36. Устройство такое же.

Считая, что уже в средней школе учащиеся должны уметь видеть основные свойства функций на их графиках, я несколько углубляю изучение графиков тригонометрических функций, строя их не только для функций:

у = sin х, у = cos х, у = tg х ит. д.,

но и для функций:

у = sin 2х; у = sin ~ ; у = 2sin х;

у = sin х + 1; у = sin (х + 1).

На чертеже, имеющемся в математическом кабинете, последние графики сопоставлены с графиками основных функций. Польза изучения графиков этих функций для изучения законов колебательного движения в физике не подлежит сомнению (черт. 38).

Материал: миллиметровая бумага, рамка, стекло, фанера (под стекло). Размер 60 см X 40 см.

Тригонометрический круг

Черт. 37

Всегда интересно и поучительно отыскивать закономерности, общие для различных функций в математике. Изучение одних облегчает часто изучение других. Так, изучение обратных функций в алгебре вносит большую ясность в изучение обратных круговых функций в тригонометрии. Сопоставление графиков тех и других функций на одном чертеже очень полезно. Кроме того, графики обратных круговых функций еще раз выделяют их основные свойства и нагляднее объясняют целесообразность выбора их главных значений.

Эти графики имеют вид, изображенный на чертеже 39.

Материал и размеры такие же, как и на чертеже 38.

К этому же разделу описи математического кабинета я отношу «Задачи-рисунки» к теме: «Тригонометрия прямоугольного и косоугольного треугольников». «Задачи-рисунки» имеют целью возможно нагляднее рассказать и напомнить учащимся о глубокой связи теоретических знаний по тригонометрии с их практическими приложениями. Этот чрезвычайно важный в педагогическом отношении вопрос с недостаточной полнотой освещен

Графики тригонометрических функций

Черт. 38

в стабильном учебнике. С помощью «задачи-рисунков» я стремлюсь заполнить этот пробел.

Чтобы дать представление об этих «задачах-рисунках», я воспроизвожу некоторые из них (черт. 40а, 40б, 41, 42, 43).

Черт. 39

V

Перехожу к следующему, пятому, разделу описи математического кабинета. В этот раздел я помещаю пособия по алгебре для девятых и десятых классов.

Считая очень важным и полезным выявление свойств алгебраических функций путем изучения их графиков и желая научить учащихся видеть эти свойства прямо на графиках функ-

Черт. 40а

Черт. 40б

К теме: „Косоугольные треугольники". Определение расстояния между двумя недоступными точками.

Дано: С£> = /

ACD = y BCD = а ADC — ^ CDB — Ь

Опред. :АВ = х Решение: 1. Из aACD находим АС:

Из A BCD находим ВС:

3. Из ^АВС находим АВ = х

ций, я уделяю построению графиков достаточно много времени. Вполне понятно, что эта работа также отражена и в математическом кабинете в виде больших настенных чертежей. В кабинете имеются графики линейной зависимости, квадратной функции, показательной и логарифмической функции, графики,

Черт. 41

Геодезический знак.

„Косоугольные треугольники". Определение расстояния методом триангуляции.

Задача. Найти расстояние между двумя точками М и N на поверхности земли.

Решение:

1. Точно измеряется базис МА и углы МАВ и МВА.

2. Из МАВ по теореме синусов определяют MB и АВ.

3. Измеряют углы АСВ и ABC.

4. По теореме синусов определяют длины отрезков АС и ВС.

5. Измеряют углы BCD и ВВС.

6. Из &BCD по теореме синусов определяют длины отрезков BD и CD.

7. Измеряют углы CND и С/Ж

8. Определяют длины отрезков CN и DN.

9. Определяют длину отрезка BN из &DBN по теореме косинусов.

10. Из A определяют по теореме косинусов длину отрезка MN.

Черт. 42

К теме: „Косоугольные треугольники". Определение расстояния Земля—Луна.

Дано:

1. А и В — обсерватории на одном меридиане.

2. 9х и 9а—широты обсерваторий.

3. Z\ и za—зенитные расстояния Луны, определенные на обсерваториях.

4. АО = -ВО = /? — радиус земли.

Определить OOi

1. Из л ЛОБ :

2. Из дЛО^ :

3. Из дЛОО, :

отображающие изменение величины по законам арифметической и геометрической прогрессии, и, наконец, графики функций, выходящих за пределы программы, выполненные учащимися в их кружковой работе.

VI

К VI разделу описи кабинета я отношу большие настенные таблицы. Подобные таблицы абсолютно необходимы в каждом

Черт. 43

К теме: „Тригонометрия косоугольного и прямоугольного треугольников. Найти высоту мачты".

математическом кабинете. Опыт говорит о том, что они прекрасно используются учащимися при решении задач и дают большой выигрыш во времени. В кабинете имеются следующие таблицы:

1. Таблица квадратов чисел.

2. Таблица тригонометрических функций.

3. Таблица степеней числа 2.

Размеры этих таблиц таковы, что позволяют учащемуся, не сходя с парты, прочесть числовое значение той или иной функции. Размеры I таблицы — 40 см X 160 см; II — 80 см X 200 см и III —40 см X 160 см.

VII

В этом разделе отражена методическая работа преподавателей нашего объединения и работа математического кружка. В библиотеке математического кабинета, о которой я буду говорить отдельно, хранится ряд методических разработок препо-

давателей по отдельным темам курса. Но для разработок некоторых, особо выделенных, тем наше объединение сочло нужным сделать отдельные стенды, на которых эти разработки представлены учащимся в развернутом виде. Конечно, были взяты те темы, которые или недостаточно полно, или совсем не освещены в учебниках, а также темы, интересные в историческом отношении.

В настоящее время в кабинете имеются четыре стенда. Стенд 1 — «Правильные многогранники в курсе X класса». Стенд 2 — «Теорема Пифагора. Различные доказательства ее и ее обобщение».

Стенд 3 — «Комбинации тел».

Стенд 4 — «Какие теоремы можно доказать с помощью указанных чертежей».

На стенде 1 тема «Правильные многогранники» развернута шире, чем в стабильном учебнике. Содержание этой разработки таково (черт. 44):

а) Модели правильных многогранников с их названиями.

б) Определение.

в) Теорема Эйлера.

г) Леонард Эйлер. Его биография.

д) Теорема о существовании только пяти видов правильных, многогранников.

е) Определение числа граней многогранников.

ж) Развертки правильных многогранников.

з) Задачи и литература.

По этому плану тема прорабатывается на математическом кружке.

Размеры стенда 140 смX 150 см.

Материал: фанерный щит на подрамнике, окрашенный масляной краской; длинный кусок фанеры, оклеенный цветной бумагой, на котором приклеены одной гранью модели многогранников; многогранники из толстой цветной бумаги; текст написан на полуватмане.

Модели лучше всего склеивать синдетиконом.

Стенд 2 — «Теорема Пифагора. Различные доказательства ее. Обобщение теоремы Пифагора — теорема Евклида».

Чтобы дать некоторое представление об этом стенде, я воспроизведу некоторые чертежи с него.

Чертежи этого стенда были сделаны двумя ученицами для доклада на тему «Теорема Пифагора» на одном из собраний математического кружка. На этом же стенде — две биографических заметки о Пифагоре и Евклиде (черт. 45а, 45б, 46а, 46б, 47, 48, 49).

Стенд 3 посвящен теме «Комбинации тел». Подобно задачам на сечения, задачи на комбинацию тел также с большим трудом решаются учащимися. Если в задачах на сечения основным затруднением для учащихся является обоснование по-

гексаэдр октаэдр тетраэдр икосаэдр додекаэдр

Определение

Теорема Эйлера

Продолжение теоремы Эйлера

Леонард Эйлер

Теорема „Существует только 5 видов правильных многогранников"

Определение числа граней

Развертка правильных многогранников

Задачи и литература

Черт. 44

строения сечения, то в задачах на комбинации тел, помимо этой трудности, появляется новая трудность — построение самого чертежа. Без планомерной работы в этом направлении трудно добиться хороших результатов. Стенд 3, постоянно висящий на стене кабинета, отчасти помогает этой работе. Трудности, возникающие при прохождении этой темы, обусловлены еще тем, что обычно задачи на комбинации тел решаются разрозненно, что не позволяет сделать некоторые теоретические обобщения. Я предпочитаю в определенные моменты прохож-

Теорема Пифагора

Как с помощью этого чертежа доказать теорему ?

Черт. 45а

Теорема Пифагора

Нам с помощью этил чертежей доказать теорему ?

Черт. 45б

Теорема Пифагор о

Доказательство бласкары

/7774 г./ и Китайцев /1000 л. до п. а/

Черт. 46а

Теорема Пифагора

Нам с помощью этого чертенка доказать теорему ?

Черт. 465

Теорема Евклида

Как доказать эти теорему ? Черт. 47

Если на катетах и гипотенузе прямоугольного А-ка построить какие-нибудь подобные фигуры Фф Ф0, Фс, в которых катеты и гипотенуза являются сходственными сторонами, то всегда имеет место равенство: Sa + Sb = Sc.

Теорема Пифагора

Доказательство Эвклида Черт. 48

Луночки Гиппократа

К какому заключению можно притти, рассматривая этот чертеж ?

Черт. 49

Черт. 50

Шар, описанный около пирамиды.

1. Доказать, что если около основания пирамиды можно описать окружность, то около этой пирамиды можно описать шаровую поверхность.

2. Какие следствия можно сделать из этой теоремы?

Черт. 51.

Шар, описанный около правильной четырехугольной пирамиды.

1. Как построить центр шара, описанного около данной правильной четырехугольной пирамиды?

2. Как найти радиус шара, если даны сторона основания пирамиды и ее боковое ребро?

3. Доказать, что около любой правильной пирамиды можно описать шаровую поверхность.

Черт. 53.

Черт. 52.

Шар вписан в пирамиду с основанием в виде ромба и высотой, проходящей через точку пересечения диагоналей ромба,

1. Как построить центр шара?

2. Где лежат точки касания шара с боковыми гранями?

3. Доказать теорему: если в основание пирамиды можно вписать окружность и если высота пирамиды проходит через центр этой окружности, то в эту пирамиду можно вписать шаровую поверхность.

4. Какие следствия можно получить из этой теоремы?

Шар вписан в правильную треугольную призму.

1. Каким условиям должна удовлетворять правильная треугольная призма, чтобы в нее можно было вписать шар?

2. Как построить центр этого шара?

3. Чем будет для основания призмы проекция шара на это основание?

4. В каких точках шар будет касаться боковых граней призмы?

дения этой темы подвести теоретический фундамент, доказав несколько теорем и сделав из них необходимые выводы.

Я не буду в этой работе целиком воспроизводить чертежи и текст этого стенда. Ограничусь небольшой частью материала, относящегося к комбинации пирамиды с шаром и призмы с шаром (черт. 50, 51, 52, 53).

Рисунков, подобных воспроизведенным мною четырем, на стенде 3 всего имеется 14. Изучение этих чертежей-рисунков учащимися, частая встреча с ними в кабинете, стремление ответить на поставленные под каждым чертежом вопросы, — все это, взятое вместе, сделает эту трудную тему и более доступной, и более интересной учащимся.

Чертежей стенда 4 я не воспроизвожу. Заголовок стенда «Какие теоремы можно доказать с помощью указанных чертежей» говорит о том, что с помощью этого стенда, которым я иногда пользуюсь на уроках, я хочу повторить курс планиметрии.

Как я уже говорил, помимо разработок, помещенных на стендах, в библиотеке математического кабинета имеется достаточно большое число разработок, выполненных преподавателями. Объединение математиков нашей школы постановило, чтобы в этих разработках каждый урок сопровождался замечаниями о проведенном уроке, отражающими как хорошие стороны урока, так и плохие, как удачи, так и неудачи. Эти разработки и замечания к ним позволят и тому преподавателю, который составлял разработку, и другим преподавателям в будущем лучше составить план проведения темы и избежать тех ошибок, которые были допущены ранее.

VIII

В восьмом разделе описи кабинета мною помещены три витрины, имеющие очень большое значение в педагогическом процессе.

На 1-й витрине я вывешиваю задачи повышенной трудности по отдельным темам курса IX и X классов. В витрине надпись:

Кто решит эти задачи?

При переходе от одной темы к другой я меняю задачи, назначаю срок подачи решений и, наконец, вместе с учащимися выясняю все вопросы, возникшие у них при решении этих задач, на собрании математического кружка.

На 2-й витрине надпись:

Текущие темы по алгебре, геометрии и тригонометрии в X классе

Здесь вывешиваются календарные планы работы преподавателей с указанием содержания урока, параграфов учебника и номеров задач; даются тексты задач, отсутствующих в задачнике, но необходимых для всех учащихся.

На этой же витрине другая надпись:

Лучшие работы учащихся

Под этой надписью вывешиваются во всех отношениях безукоризненные работы учащихся, на которых другие учащиеся могут научиться.

Третья витрина вывешивается во втором полугодии учебного года. На ней помещен весь материал, необходимый для экзаменов на аттестат зрелости. Прежде всего — большая тетрадь с очень подробным, почасовым планом работы на всю 4-ю четверть, с текстом задач, которых нет в задачниках; затем — многие задачи по алгебре и геометрии, которые были даны учащимся на экзаменах на аттестат зрелости в прошлые годы. Текст задач берется учащимися из этой тетради, а не диктуется — это сильно экономит время на уроках. Наконец, здесь же помещены образцы записи решения задач и советы, полезные учащимся во время подготовки их к экзаменам на аттестат зрелости.

IX

Девятый раздел описи я называю «Разное».

Здесь: 1) Демонстрационная логарифмическая линейка.

2) Таблица правил для пользования логарифмической линейкой.

3) Некоторые подвижные модели из курса геометрии VIII класса.

4) Стереометрический ящик.

5) Шкаф для моделей.

6) Таблица для вычисления т..

7) Модель для площади круга.

X

Моей мечтой было создать при математическом кабинете библиотеку, которой могли бы пользоваться и преподаватели, и учащиеся. И только в этом году мне удалось эту мечту осу-

ществить. В настоящее время библиотека математического кабинета насчитывает 108 различных названий книг по методике математики и ее истории, задачники, книги по занимательной математике, нестабильные учебники, книги по физике, астрономии. В библиотечном шкафу хранятся также разработки преподавателей, образцы контрольных работ, копии письменных работ учащихся-медалистов. Здесь же достаточное число номеров журнала «Математика в школе». Часть книг была передана математическому кабинету библиотекой школы, большая часть их была передана преподавателями школы для общего пользования, и часть книг была подарена кабинету учащимися школы.

XI

К последнему, одиннадцатому, разделу описи кабинета я отношу «Портреты великих математиков».

В настоящей работе, конечно, трудно воспроизвести эти портреты, а читателю трудно судить о степени их совершенства. Но я, будучи членом Московского областного союза художников, как художник, должен отвечать за качество их. Преподаватели, побывавшие в кабинете, часто говорят, что мне как художнику легко оформить кабинет и, в частности, сделать портреты для него. Мнение ошибочное. В этом же кабинете есть несколько портретов не нарисованных, а взятых мною из книг и наклеенных на полуватман. Если эти портреты окантовать под стекло и написать под ними краткие биографические сведения, то все это будет выглядеть достаточно красиво. Остальные портреты нарисованы мною мягким коричневым карандашом и помещены в рамке под стеклом. Размер рамок 40 см X 60 см.

В кабинете имеются портреты следующих математиков:

Евклида, Декарта, Непера, Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Ковалевской, Чебышева и др.

На каждом портрете или в отдельной окантовке под портретом имеются краткие биографические данные. Эти портреты являются не только украшением математического кабинета. В связи с демонстрацией портретов можно организовать ряд докладов, рассказать не только биографии указанных математиков, но и сообщить учащимся языком, доступным для них, о сущности тех новых идей, которыми эти ученые обогатили математику. Эти доклады, если их умело построить, имеют большое и культурное, и воспитательное значение. Изучение биографий великих людей, осознание тех новых идей, которые были внесены ими в науку, показывает учащимся, с какими трудностями приходится встречаться в научной работе, как великие люди преодолевали эти трудности, как они умели

работать, не боясь этих трудностей. Ознакомление с этим имеет, без сомнения, большое воспитательное значение.

Как построить подобные доклады, вопрос трудный, и он может служить отдельной темой для сообщения на «Педагогических чтениях» Академии.

Итак, воспользовавшись демонстрацией портретов, висящих на стенах кабинета, можно многое сделать и в области ознакомления учащихся с историей науки и в области воспитания их.

Работа математического кабинета

Говоря о работе математического кабинета, я опять буду говорить не о работе вообще, которую можно развернуть вокруг математического кабинета, а о работе, которую проводят преподаватели 422-й школы. Этим я хочу подчеркнуть только реальность этой работы, но отнюдь не утверждаю, что она была исчерпывающей.

Математический кабинет помогал работе учащихся, преподавателей школы, преподавателей района, студентов педагогического института и др.

Говоря о работе учащихся в кабинете, я прежде всего должен сказать несколько слов об их участии в создании кабинета. Это участие выразилось в следующем:

а) Учащиеся школы помогали в изготовлении деревянных моделей по стереометрии, и некоторые из них были сделаны исключительно руками учащихся. Может показаться странным, что участие учащихся в конструировании моделей было сравнительно небольшим. Это не так. Учащиеся делали много моделей, но я стою за то, чтобы в кабинете были собраны и выставлены достаточно хорошие модели; моделям, сделанным неряшливо, некрасиво, не место в математическом кабинете. Каждая вещь, выставленная в кабинете, должна пробуждать при ее созерцании чувство удовольствия. Поэтому приходилось делать строгий отбор из тех моделей, которые были сделаны руками учащихся, для оставления их в математическом кабинете. Я всемерно стремился сделать кабинет в целом красивым, чистым и уютным.

б) При изготовлении стеклянных моделей сечений многогранников требуется произвести некоторые предварительные расчеты. Эти расчеты, иногда довольно сложные, как указано выше, я поручал сделать учащимся.

в) Учащиеся участвовали в изготовлении чертежей; например, учащимися сделаны чертежи для стенда «Теорема Пифагора».

г) Учащиеся своими лучшими работами участвовали на выставке «Лучшие работы учащихся».

Собрания математического кружка, конечно, происходят в математическом кабинете. Здесь вся обстановка дает мыслям определенное направление, стимулирует учащихся к более сосредоточенному изучению математики, вызывает большой интерес к ней. За те три года, в течение которых существует математический кабинет, кружок провел значительную работу, поставив ряд докладов. Отмечу наиболее удавшиеся доклады:

1) Декарт и сущность аналитической геометрии.

2) Ньютон и его заслуги в области математики, физики и астрономии.

3) Евклид и Лобачевский.

4) Правильные многогранники.

5) Функции и их графики.

Большой интерес учащиеся проявляют к освоению расчетов с помощью логарифмической линейки.

Математический кружок и математический кабинет, объединяя внутри себя учащихся, наиболее интересующихся математикой, может быть, влияет отчасти и на выбор ими вуза. Во всяком случае, каждый год 2—3 ученицы после окончания школы поступают на механико-математический факультет университета или на математический факультет педагогического института.

Имеющаяся при математическом кабинете библиотека, безусловно, помогает учащимся в их кружковой работе.

Я не говорю уже о том, что наличие математического кабинета позволяет лучше оформить урок, нагляднее, конкретнее представить математический материал учащимся.

Математический кабинет помогает также и учителям школы. В библиотеке математического кабинета имеется значительное число методических разработок различных тем, сопровождаемых замечаниями по поводу проведения уроков. В математическом кабинете имеется набор контрольных работ с решениями; собраны задачи, которые в течение 15 лет давались на выпускных экзаменах в VII и X классах, а также копии работ по математике на аттестат зрелости, выполненные учащимися, получившими аттестат отличника или награжденными медалями, и отзывы о них. Наконец, в библиотеке математического кабинета есть необходимая учебная и методическая литература. Все это, конечно, может помочь преподавателю при подготовке к уроку.

Математический кабинет за время его существования, вернее, за последние два года, — посетили преподаватели математики района, методисты Москвы, студенты педагогических институтов, преподаватели различных областей РСФСР, приезжавшие в московский Институт усовершенствования препода-

вателей. В математическом кабинете с 1947 г. происходят организованные собрания преподавателей математики старших классов близлежащих школ.

Эти посещения говорят о том, что работа кабинета начинает выходить за пределы школы; они указывают, в каком еще направлении может быть в дальнейшем развернута работа кабинета. Если подобный кабинет в Москве играет некоторую роль в методической работе преподавателей, то какую роль мог бы играть такой же кабинет, оборудованный в глухих местах, а ведь подобный кабинет, как я уже говорил, может быть оборудован в любой школе с минимальной затратой денежных средств.

О реальной возможности создания такого же или подобного ему кабинета в любой другой школе говорит факт существования математического кабинета 422-й школы.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие........................... 3

Ф. Ф. Нагибин — Упражнения на уроках математики....... 5

З. Н. Пикторинская — О наглядном преподавании геометрии и алгебры в VI классе..................... 36

Л. С. Францев — Система и методы повторения в процессе изучения нового программного материала............ 49

П. И. Сорокин — Организация экскурсий и практических занятий при изучении геометрии в средней школе.......... 72

А. А. Колосов — Математический кабинет и работа в нем .... 102

Редактор А. В. Зансохов

Техн. редактор П. Г. Ислентьева

А 03346 Сдано в произв. 4/1 1049 г. Подписано к печати 26/1V 1949 г.

Уч.-изд. л. 8 Печ. л. 8,5 В 1 печ.л.37647 зн. Формат 60 X 92 i/ie

Цена 4 руб. Тираж 15 000 экз. Заказ № 4.

Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковский пер, 5/16