Новое образование

ОКУНЕВ А.А.

СПАСИБО ЗА УРОК, ДЕТИ

От традиционного урока - к мастерской, к технологии Нового образования.

А.А. ОКУНЕВ

СПАСИБО ЗА УРОК, ДЕТИ! /От урока - к мастерской/

Санкт-Петербург 2010

Рецензенты:

Сотрудник лаборатории обучения математике НИИ СиМо, к.п. н. Л.В. Кузнецова; Заведующая лаборатории психологии обучения НИИ ОНИ АПН СССР, доктор психологических наук И.С. Якиманская

Окунев Анатолий Арсеньевич.

Спасибо за урок, дети! /от урока к мастерской/, из серии: Новое образование.

Издание второе, переработанное

ISBN 5-09-000830-2

ББК 74.262

0-52

О Окукев А.А. 2010, автор

Типография ”Гранит”, СПб, Лиговский пр.50 Тираж 200 экз.

Книга заслуженного учителя РСФСР, кандидата педагогических наук, учителя практика, с большим педагогическим стажем, автора книг ”Как учить не уча”, ”Уроки, уроки, уроки...”, ”Урок, мастерская, или...”, ”Речевое взаимодействие учителя и ученика в структуре Нового образования”, и др. исследует путь, которым педагог прошёл от традиционного урока к мастерской - основной образовательной форме в структуре Нового образования. Подробно исследуя методику построения разнообразных уроков, автор постепенно отказывается от традиционной педагогической философии, ставящей в центр учебного процесса программу, и переходит к насыщению форм общения учителя и ученика философией Нового образования, в центре внимания которой, - личность ребёнка. Автор видит своим читателем, в первую очередь своих коллег, неутомимо ищущих пути, которые могут привести учеников к познанию, пробудить в них вкус к поиску истины.

Содержание

Уроки моих уроков......................................................................................... 3

Условия поддержания послепроизвольного внимания............................... 23

Современный урок..................................................................................... 36

Урок без темы, но с целью.......................................................................... 38

Урок алгебры в 7 классе............................................................................ 41

Конструирование эффективного начала урока........................................................... 42

Условия поддержания интереса.................................................................. 44

Приемы организации начала урока............................................................. 45

Многообразие способов построения урока на одну тему.................................... 58

Два урока на одну тему............................................................................................ 68

Урок в 8а: ”Корень из произведения и частного”................................................. 69

Урок в 86: ”Умножение квадратных корней”........................................................ 71

Анализ урока, который не помучился.................................................................... 76

Уроки исследования смыслов одного слова, понятия, образа..................................... 80

Исследование понятия ”предел последовательности” :

Мастерская ”Предел последовательности”. Вариант 1............................ 81

Мастерская ”Предел последовательности”. Вариант 2............................. 84

Исследование понятия ”объём пирамиды”.................................................. 86

Урок одной задачи.:.................................................................................................. 89

Урок в 7 класса. Тема: ”Теорема Пифагора”............................................................ 90

Урок в 10 классе. Тема: ”Расстояние от точки до фигуры”................................. 92

Уроке 11 классе. Тема: ”Нахождение объёма пирамиды”............................... 95

Урок1.................................................................................................... 95

Урок 2.................................................................................................... 97

Устные контрольные работы................................................................................... 99

Уроки с акцентом на проявление потенциальных возможностей ученика................ 109

Урок 1. Тема: ”Четырёхугольники”, 7 класс.................................................................. 109

Урок 2. Тема: ”Медиана треугольника”. 7 класс.......................................................... 111

Урок 3. Тема: ”Медиана треугольника”. 7 класс.......................................................... 113

Урок 4.Тема: ”Площадь треугольника” 8 класс............................................................ 115

Уроки - ”Бенефисы”........................................................................................... 117

Изучение действий с обыкновенными дробями методом экспериментального нащупывания 121

Сложение дробей....................................................................................... 122

Деление дроби на целое число................................................................... 132

Умножение дробей..................................................................................... 136

Деление целого числа на дробь................................................................. 138

Деление дроби на дробь............................................................................ 140

Методика работы с задачей на процессы в 5 классе.............................................. 143

Мастерская ”Я задач не боюсь”...................................................................... 147

Структура и методика проведения зачёта по изученной теме................................ 148

Мастерская ”Я делаю домашнее задание”......................................................... 150

Сверхзадача домашнего задания....................................................................... 152

Педагогическая позиция и профессионализм учителя............................................ 154

Мастерская ”Построение мастерской в начальной школе ” (для учителей)......... 158

Заключение............................................................................................................................. 163

«... Звуки умертвив, Музыку я разъял как труп. Проверил Я алгеброй гармонию».

A.C. Пушкин

Уроки моих уроков

/вместо предисловия/

Профессия учителя, как и любая другая творческая профессия, сложна, несказанно сложна Сложной её делает непрерывно меняющееся время, которое осторожно, но со свойственной ему настойчивостью, вносит существенные коррективы в приоритеты, ценности, в самих людей, в их взаимодействие с миром, друг другом, и, наконец, со своим ”Я”. По-

этому учитель, трепетно относящийся к детям, школе, таинству, которым всегда являлся и является процесс познания мира, воспринимает каждый новый учебный год как первый. Атмосфера школы вообще пропитана новизной, какой бы консервативной не была царствующая в ней система обучения. Ежедневно, как порыв ветра, вместе с каждым учеником, входящим ранним утром в школу, в неё врывается и новое восприятие мира, родившееся гам, за школьным порогом. Незыблемые школьные традиции, не в силах остановить вхождение его в школьные классы. Конфликтуя с ним, они медленно, очень медленно, сдают свои некоторые позиции. Поэтому, для любого неравнодушного человека, гак или иначе соприкасающегося со школой, естественно желание изменить школу, причём не только адекватно своему миру, но и жизни вообще.

Молодой человек, впервые в статусе учителя переступающий школьный порог, осматривая не затёртым взглядом уникальное жизненное пространство, в котором на протяжении десяти лет жизнь детей соприкасается с жизнью чужих взрослых, многое видит по-другому. Будучи по своей сути ближе к ученикам, он многим, отличается от учителей, работающих в школе долгие годы. Хорошо, если он, как и учитель учителей, Сократ, понимает, что его дело не учить, а учиться, «что учитель отличается от ученика только большей втянутостью в тяг сущности, большим отсутствием внешних учению целей. Учитель есть больше ученик, чем сам ученик». /М. Хайдеггер ”Что зовётся мышлением?”, с.26,М.:Академический проект, 2007, 351/

Смысл, притаившийся в загадочных словах Сократа, притягивает и долго не отпускает. Процесс его познания сопровождает поток ассоциаций, который, не останавливая размышления, придаёт ему глубину. Растревоженная мысль, подчиняясь тебе и в тоже время, не слушая тебя, вьётся, вокруг каждого слова, сама, выбирая направление своего развития. Слова, догоняя развивающуюся мысль, лишь на мгновение приостанавливают её, пытаясь проявить, зафиксировать и сохранить то, что удалось понять. Затем осмысление переходит на новый этап. Постепенно проясняется истина, притаившаяся в словах: «Учитель есть больше ученик, чем сам ученик», в результате открывается иное педагогическое пространство, в котором слова ”учитель”, ”ученик”, ”урок”, ”учение” наполнены трепетным уважением к детям, людям и жизни вообще.

В первые годы работы в школе, годы вхождения в тайны профессионального мастерства, у молодого педагога мало что получается. Устоять, не потеряться, не опустить руки, найти силы для продвижения вперёд, - трудно, но необходимо. Спокойный анализ преследующих неудач, может позволить найти, как новое понимание своей роли в школе, так и наметить иные пути развития педагогической мысли. В профессиональном продвижении вперёд помогает молодость, открытость молодого человека миру, оптимизм, хорошее настроение и радость от каждого нового дня вообще, и особенно от того, который прожит в школе сегодня.

В первый год я вел математику в десятом, двух пятых классах и черчение везде, где оно изучалось по программе. Учил сразу 300 учеников одной из школ Ленинградской области. В десятом классе из 12 учеников— 9 девочек. Я был немного их старше. Урок проводил в быстром темпе. Стремясь многое успеть, всё делал сам: объяснял, разбирал, проверял, повторял, читал, заинтересовывал, выдвигал, выстраивал, спрашивал. Методисты в институте говорили нам: «Запомните, урок вам удался, если вы почувствовали, что ваша спина от напряжения вспотела». Их наказ старался выполнять достойно. С урока уходил в хорошем настроении. Да и от чего грустить, всё шло, как положено: объяснял я хорошо, доступно, ребята смотрели на меня, слушали, не отвлекались, что-то отвечали на мои вопросы, переписывали с доски в тетрадь всё то, что там писал я. В общем, я учил (вернее, я думал, что я учил) - они учились (вернее, я думал, что они учились).

В школе было хорошо. Радовало общение с детьми, коллегами. Проблемы психологии, дидактики тогда ещё не волновали, вернее почти не волновали. Я просто наслаждался самим процессом преподавания, а, уходя с урока, долго вспоминал заинтересованные, внимательные глаза ребят.

Из эйфории, несказанной радости от сознания того, что ”я - учитель”, из собственной успокоенности, вывела меня первая же контрольная работа по теме, которую я целый месяц изучал с десятиклассниками. На том уроке, класс сорок пять минут тихо-тихо что-то писал, но когда в конце урока в ответ на мое предложение сдать работы, девчонки заревели и быстро спрятали их в портфели, я растерялся. Просто не знал, что делать. Ревом сопровождался финал и каждой следующей контрольной работы.

Деятельность учителя, далеко не всегда является деятельностью учеников, а метод объяснения не так уж хорош, особенно, если он не востребован классом. /Урок первый./

Искусство построения школьного занятия адекватного времени - одна из основных проблем дидактики, предстала передо мной со всей очевидностью. Но как расстаться с традиционной схемой урока, царствующей в школе многие столетия: проверка домашнего задания, объяснение нового материала, закрепление, и сообщения нового домашнего задания? Её гипнотизирующая простота, позволяет учителю без особых размышлений, как, впрочем, и без особых успехов, штамповать одинаковые по конструкции уроки, в центре которых находится не ученик, а школьная программа. Поиск новой структуры занятия проходил мучительно. Профессиональная слепота не позволяла отличить плохой урок от хорошего. Многие плохие уроки, воспринимались мной как хорошие. Их хотелось быстро забыть, но они почему-то сохранились в моей памяти.

Визит завуча был назначен на завтра. Желание удивить коллегу, показать новую структуру урока, которую не видел раньше не только завуч, но и коллеги, захлестнуло, сыграв со мной злую шутку. Но, как нарушить традиционный ход урока? Начать его по-другому? Необычно выстроить его пространство и жизнь ребят на протяжении всех 45 минут? Как пробудить хорошую, плодотворную активность учеников, с победным шествием их мысли к самостоятельному познанию новой темы? Молодость - самое подходящее время для ежедневных изменений в самом себе, для открытия себя себе и всему миру

Образа завуча, нарисованный моим волнением, незаметно вытеснил детей, ради которых я и выстраивал всё действо. Хотелось обновления самого себя, других, окружающего мира. В итоге, поиск того, что через моих учеников, могло бы его поразить, новая, необычная, невиданная никем конструкция занятия, у меня тогда так и не появилась. Перегорел, перестарался, перемудрил.

Не пережитое, не прочувствованное, непознанное, и оттого неизвестное, тебе не принадлежит. Наполненное манящей новизной, оно готово обновить тебя, твой взгляд на мир, превратить обыденность начинающегося школьного дня, в жизнь, завораживающую своею привлекательностью. Приход нового знания, понимания - всегда неожидан, и обычно несёт с собою массу хлопот, требуя многих перемен, на которые не так то просто решиться. К тому же за новым таит-

ся старое, готовое в любой момент занять своё прежнее место, под аплодисменты тех, кто не желает суеты, вызванной его приходом.

Новизна урока! В чём же она заключается для меня, для учеников, для ”Другого”?

Утром, войдя в класс, я, сгорая от стыда, повторил старое, уже знакомое ребятам, начало урока. В атмосферу занятия потихоньку вошла и притулилась где-то у доски, какая-то неуверенность, нервозность, моя неуверенность, моя нервозность. Дети, ощутив это, засуетились, как-то пытаясь мне помочь. Я же, неутомимо творя всё новые и новые тактические, методические, психологические ошибки, утопал в бесконечно длинном, вязком традиционном уроке, от которого ещё вчера так хотел убежать.

Завуч разбирала урок строго, стремясь поставить на место молодого всезнайку, искренне желая помочь мне стать таким как все. Я слушал, переживал, но с каждым её словом рождалось непреодолимое желание устоять, непременно устоять, чтобы найти что-то своё, найти себя в этом удивительном, творческом пространстве, которое называется - школа.

Уроки шли и шли, один за другим, один за другим. Для меня было несказанно радостно думать вместе с классом, вместе с ребятами находить новые пути, ведущие к разгадке проблем, огорчаться, когда совместные размышления заходили в тупик, восторгаться вдруг найденному решению. Придумывал много и тут же воплощал придумки на следующем уроке. Появилось даже удовлетворение от того, как я преподаю.

Рядом трудились опытные педагоги, восхищавшие меня спокойствием, мудростью и умением постоянно добросовестно выполнять свою работу. Не смущаясь временными неудачами, они просто давали урок за уроком, не ставя непосильных задач ни себе, ни детям. Погружённые в многочисленные проблемы бытия, они жили своей жизнью и не мешали жить детям. Их простая ясная и мудрая жизненная позиция: не мешать жить детям (да и вообще никому), давать им жить, давать - учиться /Урок второй, могла бы стать приоритетной не только в профессии учителя. А, что, она не так уж и плоха.

Интуитивное познание смыслов слов ”давать учиться” нашло дальнейшее развитие через несколько лет, при чтении текстов М. Хайдеггера. Давать учиться. Давать учиться самому себе. Давать учиться самому ученику. Позволять ему проявлять инициативу в от-

боре содержания и определении необходимого ему качества познания.

Давать учиться, то есть - не тормозить процесс учения своим ”Я”, предъявлением своих установок, своих ценностей, хотя на определенном этапе их раскрытие может сыграть в процессе познания существенную роль. Мир учителя, соприкасаясь с миром ученика, предоставляет ему возможность учиться самостоятельно выстраивать новое пространство, как в интеллектуальном, так и в эмоциональном плане.

Однажды отец, отпуская руку сына у двери школы, сказал ему: ”Не потеряйся!” Какие ёмкие слова, какие значимые! Не потеряй себя при общении со сверстниками и преподавателями. Не потеряй себя, подчиняясь школьному порядку, миру одноклассников. Не потеряй себя, воспринимая истины, которые противоречат твоей сути. Не потеряйся, останься самим собой, потому что ты и твой мир мне дороги.

Инспектор. Его приезд в школу переполошил всех. Учителя волновались, хотя знали его как опытного, серьезного, чрезвычайно требовательного человека. Я же, убеждённый в своём умении хорошо давать уроки, совсем не волновался. Мне даже хотелось, чтобы он пришел на мой урок.

Несколько дней инспектор ходил на уроки. Казалось, что про меня он просто не знает и никогда ко мне не придёт. Наконец он пришел и не один, вместе с учительницей математики, которую я боготворил.

Урок в присутствии инспектора прошел быстро и, как мне показалось, хо-ро-шо. Такой же оценки я, как ученик, ждал и от инспектора, но он всё не вызывал меня на разговор, наверное был занят более важными делами. Ни одного слова о моём уроке не было сказано им на протяжении целой недели.

Ожидание разговора, порой более ценно, более богато раздумьями, размышлениями, чем сам разговор. Многое осмысливается заново. Сиюминутное, значимое сейчас, со временем тускнеет, превращаясь порой в ничто. В то время как рождённое случайно, незаметно в процессе общения с ”Другим”, тихо выходит на первый план, требуя своего осознания. Разговор может превратиться в скрытую форму предъявления, а порой и навязывания, оппонентом своей позиции. Так происходит в том случае, если анализ педагогической позиции учителя, педагогических приоритетов, ценностей, выбора структуры занятия, способов и методов преподавания, стиля его общения с ученика-

ми выстраивается лишь из привычного ему мира, когда оппонент не воспринимает не свойственную ему позицию. Основой разговора монологического плана служит противопоставление двух методов преподавания, двух педагогических систем, достоинства и недостатки которых часто лишены очевидности.

Учитель мечтает о спокойном диалоге с коллегой. Диалоге, основанном на тихом прикосновение к тайнам теории обучения и воспитания. Вечная неизвестность действий учителя и ученика, порождённых соприкосновением их разновременных миров, таинство превращения сказа учителя в действия ученика - достойна длительного, глубокого анализа и философского обобщения.

Учитель ждёт нормального человеческого разговора, чтобы не только послушать, но и поведать собеседнику о том, что он пережил, что увидел, что получилось вдруг, неожиданно для него самого, что родилось в мучительных сомнениях. Кто способен явить в слове размышления педагога, воплотившиеся в уроке? В какой момент школьной жизни состоится сопоставление взгляда автора, режиссёра, исполнителя партитуры урока, взгляда от учительского стола, со сторонним взглядом с последней парты?

Два разных восприятия сути происшедших в классе событий. Встретившись в диалоге, они могут позволить распознать урок как некое действие, значимое для каждого ученика в отдельности и для класса в целом, увидеть учителя как режиссёра целой цепи уроков. О, это ожидание диалога с профессионалом! О, это ожидание его слова! О, эта тоска по разговору с понимающим коллегой!

После нескольких дней мысленных, молчаливых диалогов с инспектором, я решился пойти к нему сам, без приглашения. Инспектор писал какие-то бумаги, видимо готовил отчёт для начальства о проверке школы, времени для меня у него не было. Наш разговор был короткий, очень короткий. Математику он, наверное, никогда не преподавал, поэтому и не собирался пускаться в обсуждение деталей методики построения урока. Да и хвалить меня он не торопился. Но каково же было мое удивление, когда я услышал слова учительницы математики, которые он мне передал: «Не трогайте его сейчас, не ругайте. У него все потом получится». «Вот те раз», - подумал я, - «вместо похвалы меня, оказывается, надо защищать, и от чего - от серьёзного профессионального разговора, которого мне так не хватало». Видимо, я опять завалил урок, и опять, в который раз своё поражение воспринял

как победу. Не увидел, не распознал то, что составляло тайну профессии, сосредоточился не на главном.

Плохо, плохо, плохо. Это слово не оставляло меня. Было плохо? Но что плохо? В тот раз мне никто об этом так и не сказал, и я не узнал тогда о своих промахах в построении и проведении урока. Уверен, что темп урока соответствовал моему характеру, контакт с классом поддерживался моим природным даром чувствовать детей, желанием принести им радость.

Инспектор отметил моё умение объяснять новый материал с помощью любимого всеми коллегами вопросно-ответного способа. Не похвалил меня за него, а просто указал на моё умение хорошо им владеть. Но я заметил, что в его устах это достоинство моего урока прозвучало как-то печально. Да возможно он и не отнёс его к удачам построения урока, просто констатировал его использование при объяснении.

Слово ”плохо”! Какое оно? Если к нему прислушаться, то проявиться нечто тревожное, зыбкое, не совсем определённое. Смысл его, ускользая, расплывается, исчезает, и появляется вновь другим, чем прежде, разрушая прежнее размышление и выстраивая новое. Слово ”плохо” (”плохой”, ”плохая”, ”плохие”), обретает большую определённость с присоединением к нему другого слова обозначающего что-то или кого-то. Для примера можно мысленно добавить к нему хотя бы такие слова: ”урок”, ”жизнь”, ”ученик”, ”учитель”. Однако, некоторая определённость нового словосочетания исчезает при рассмотрении его разными людьми. К примеру, смысл слов ”плохо работающий учитель” всецело зависит от воспринимающей их личности, и от того, чьи уста их произносят. К этой категории может быть отнесён учитель, работа которого преграда на пути учения ребёнка, как и учитель, сторонник активных методов обучения, не работающий в традиционной манере и потому не спешащий предъявлять классу своё слово, свою позицию, свою точку зрения, предоставляя школьникам возможность проявить свою инициативу. ”Как же можно у него учиться, ведь он ничего не объясняет, в традиционном понимании, не говорит, что истинно, что ложно, предлагая решить проблему самим ученикам? ” -воскликнут те, кто привык к традиционной системе обучения.

Плавно слово ”плохо” переходит в свою противоположность ”хорошо”. Так и хочется написать их рядышком ”плохорошо”. Слишком тонкая, порой даже прозрачная между ними граница.

Самодостаточный человек, воспринимая доводы своего критика, стремится понять их основу. Если позиция оппонента в корне противоречит его принципам, то всё ”плохо” звучит для него как ”хорошо ”. Слово, теряя своё основание, лишается не только смысла, но и значения.

Словосочетания ”ваш урок плохой”, ”мой урок плохой” знакомо учителю. Он и сам употребляет их несколько в иной интерпретации: ”твой ответ плохой”, ”твоя работа плохая”. Слова, наполненные негативным смыслом, независимо от их источника, настораживают. Первоначально не так то легко отделить автора оценки от реально происшедшего события - урока, моего урока. Со временем оценочные слова либо вообще теряются, никак не повлияв на твою педагогическую позицию, либо становятся ещё более значимыми, проявив для тебя не только один конкретный урок, предмет состоявшегося разговора, но и цель твоего пребывания в школе как учителя.

Какой бы урок ты не проводил, он в первую очередь всегда урок для тебя, а потом уже - для твоих учеников. Поистине - ”мой урок”. Он позволяет либо устоять, либо, оттолкнувшись от прежнего, наработанного, подняться на новую ступень профессионального мастерства.

Решение инспектора не обсуждать мой урок послужило причиной моих длительных размышлений. Вопросы возникали в голове один за другим: ”Что же плохого увидел в моём уроке инспектор и строгая коллега?”, ”Какие дефекты имела структура моего урока для ”Я” инспектора и для ”Я” коллеги?”, ”Был ли мой урок полезен детям?”, ”Стал бы их урок полезнее моим детям, чем мой?”.

Уверен, что для моего ”Я” недочётов в уроке было значительно меньше, причём по своему характеру они были совсем другие, чем у моих гостей. Видимо, наши педагогические позиции нашли мало точек соприкосновения, отсюда и их уверенность, что моя работа в классе была - ошибкой. Возможно, их знания, их педагогическая философия позволили бы иначе сориентироваться в пространстве урока, выстроить другую модель общения учителя с учениками, учеников с математикой. Кто знает? Кто знает?

Вопросы, вопросы, вопросы. Они разнятся по своему содержанию, не только в зависимости от профессиональных приоритетов, но и от того, является ли их автор участником действа, которое обозначено словом урок, или наблюдает за его течением со стороны. Вопросы

учителя и ученика, субъектов, находящихся ”внутри” урока, внутри познавательного процесса, выстроенного их личностными победами и неудачами, направлены на проявление сути изучаемых понятий, проблем, которые рассматриваются на уроке. Присутствующие на уроке коллеги часто сосредоточены в основном на личности учителя, его педагогическом кредо. Процесс же познания на уроке развёртывается по воле всех его участников и, в тоже время, независимо ни от кого. Разглядеть урок, распознать драматургию разворачивающихся на нём событий нельзя, взирая на него лишь снаружи, следя за эмоционально яркими, зрелищными, бросающимися в глаза событиями. Более тихие моменты урока, возникающие незаметно, заявляющие о себе беззвучно, и потому часто остающиеся невидимыми непосвящённым, разворачиваются за каждой партой. Урок делают уроком события, имеющие личностную окраску, касающиеся каждой индивидуальности ученика: услышал - не услышал, понял - не понял, смог - не смог, ответил -не ответил, он увидел - я нет, он умный - я у меня получилось - нет, опять неудача. Именно они оказываются несказанно значимыми для взрослых, трепетно воспринимающих ребёнка, его процесс вхождения в мир познания и, вообще, во взрослый мир. Тихое переживание громкой радости одного ребёнка (”Ребята, я понял. ПОНЯЛ, ПОНЯЛ, ПОНЯЛ!”), радости познания входящего в мир человека, меняет эмоциональную окраску урока. Победа одного! Она открывает многообразие мотив деятельности для каждого. Какой момент урока! Какой момент жизни ребёнка, ученика, человека! УРОК СОСТОЯЛСЯ! УРОК СОСТОЯЛСЯ ДЛЯ РЕБЁНКА!

”Учиться - значит раздвигать границы своего ума” - сказал пятиклассник Стёпа Малашин.

В тот раз инспектор, как и обещан моей хранительнице, не стал меня ругать. Он был несказанно мудрым человеком и потому сказан слова, запомнившиеся мне навсегда: «Много инспекторов будет посещать ваши уроки. Каждый будет выдвигать свои требования к вам. Вы всех слушайте, все записывайте, обдумывайте, но к действию принимайте только то, что не противоречит вашим принципам, вашей системе преподавания».

Жизнь и дальше дарила мне встречи с людьми, которые не спешили корить меня за мои ”хорошие” уроки. Они вели разговор так, что, прозревая, я сам с невиданной прежде строгостью разбирал свой урок, давно уже ушедший для всех в прошлое. Для всех, но не для меня. Мои неудачи - ступеньки, по которым я мучительно трудно совершал своё восхождение к педагогическому мастерству. Сколь же мудры

были люди, которые способствовали моему восхождению. Они хорошо понимали бессмысленность жёсткой опеки, твёрдой руки в таком сложном процессе, каким является профессиональное становление личности. Как бы ни были хорошо протоптаны ими тропинки к вершинам их мастерства, они не годились для меня. Они могли не вести к моей вершине, которая, к тому же, возможно, находилась на другой горе. Они просто способствовали выстраиванию поискового пространства, которое позволило бы мне самому определить и вершину, и сам путь восхождения. Инспектор, лица которого я уже не помню, из их числа. Как же я должен благодарить судьбу за встречу с этим мудрым, несказанно прекрасным, несколько уставшим и, возможно от этого, казавшимся очень строгим человеком. Его слова помогли меня надолго задуматься о том, что в школе нельзя работать, не определив для себя принципы педагогической деятельности, не выстроив свою систему преподавания. Хотя в тот момент у меня не было никакой системы преподавания, я не мог чётко сформулировать свои педагогические принципы.

Просто надо слушать всех своих коллег, дотошно обсуждать с ними педагогические проблемы, и при этом постоянно искать свой путь, который поможет тебе, а, главное, твоим ученикам найти дорогу к познанию самого себя, к познанию мира. /Урок третий/

Ошибки ученика и неудачи учителя. Как-то повелось говорить об ошибках учеников, детей, и о неудачах взрослых, неудачах учителей. Интересно, почему учителя преследуют неудачи, и за них его ученики не карают, а ученики делают ошибки, которые призваны распознавать учителя, взрослые? Получается так, что дети делают ошибки будто бы нарочно, чуть ли не из вредности. Выявляя ошибки, учителя подчёркивают их красным цветом, как бы выводя неправильности из тени всего текста, в котором они прятались за правильными умозаключениями. Когда с помощью учителя ошибки выходят на авансцену, остальной текст сразу как-то становятся никому не интересными, не нужным, блёклым. Та часть работы, которая выполнена верно, просто теряется в ”покрасневших” от всеобщего внимания ошибках. Однако стоит ли ”краснеть” ошибкам за то, что именно они открывают непознанное, позволяя сделать ещё один шаг по дороге познания?

Ошибки, допущенные учеником, чуть ли не постоянно помещают

его личность в поле критики учителя. Порой кажется, что учитель с большей радостью общается не с учеником, а с его ошибками.

М. Хайдеггер считал, что ”...критика всегда исходит извне, значит, она проводит границу между собой и предметом как чуждым ей, она стремится уничтожить его чуждость, которая для нее невыносима, как всё, что не проистекает из нее1с.26/. Но, если слово ”критиковать” толковать как ”распознавать”, то откроются более широкие, более плодотворные возможности для взаимодействия двух субъектов критического процесса. Распознать чужое сложнее, чем противопоставить своё - не моему, которое тоже своё, но принадлежит ”Другому”. Дети ждут от учителя именно распознания и их самих, и их действий, и их взаимоотношений с миром, причин, по которым они допускают свои ошибки. Они не ведают о том, что процесс познания немыслим без ошибок, что именно ошибки служат трамплином к его новым этапам. Дети тоже подвергают экспертной оценке истины, исповедуемые учителями и вообще взрослыми, только они не торопятся исправлять их, тем более красным карандашом, а делают это деликатно, щадя самолюбие взрослых.

Ошибки, в которых живут взрослые, принимая их за истину, многое определяют в их взаимоотношении с детьми. Выбор учителем педагогической философии, своих приоритетов, ценностей, методов преподавания, тактики и стратегии обучения, - основа удач и неудач не только учителя, но и его ученика. Понимание учителем смыслов и ценностей своей педагогической деятельности в школе приходит с опытом его работы, приобретение которого немыслимо без неудач, без разочарований. Постижение тайн педагогического мастерства непременно связано со становлением процессов самопознания, самовыражения, с совершенствованием личности педагога, с сохранением трепетного отношения к профессии, к детям, к школе.

Время, должно пройти время, в которое ты с мукой пробьёшься к себе, как личности, как индивидуальности. Для эффективности самосовершенствования просто необходимо периодически проводить диагностику своих педагогических неудач. /Урок четвёртый./

Ошибки учителя в основном касаются тактики и стратегии образовательного процесса. Именно об этом я говорил с учительницей, которая тогда защитила меня от инспектора. Изящно строя свои уроки она, как настоящий профессионал, понимала сверхзадачу своей работы и шаг

за шагом, ежедневно добивалась её достижения. Как хороший стратег она видела и главную педагогическую задачу, которую необходимо решить в очередном учебном году.

Мастер он и отличается от дилетанта умением предвидеть. Желание стать мастером потребовало от меня начинать подготовку к новому учебному году с определения главных задач, которые станут стержнем всей моей работы с ребятами./Урок пятый./

Ремесленник, мастер и дилетант. Ремесленник у школьного стола знает: что и как сказать, о чём промолчать, о чём говорить долго и страстно, что обозначить лишь одним словом, намёком, что станет поводом для раздумий, сомнений, рождения новой мысли. Педагог-ремесленник, впрочем, как и ремесленник-скульптор, ремесленник-художник, многое делает правильно, старательно, отдавая всего себя делу, которое он выбрал, но которое, к великому сожалению, не выбрало его. Возможно, для отражения сути деятельности человека, ежедневно входящего в класс, открывающего классный журнал и рассказывающего азы школьной программы, слово ”учитель часто заменяют словом преподаватель. Не принося радости ни себе, ни ученикам, педагог-ремесленник порой долгие годы работы в школе не замечает своего несоответствия профессии, которой он занимается. Со временем он даже научается получать наслаждения от своего ремесла и требовать признания своих, как ему кажется, успехов и от учеников, и от своего начальства. Его жизнь постепенно заполняется стараниями, порой усердными и самоотверженными, но не одухотворёнными трепетом детской души, ее ожиданиями, надеждами. Но вхождения в школу, в мир детей не происходит без решимости подняться над житейской суетой, без желания разделить горести и радости ребёнка. В этом случае классный журнал постепенно по своей значимости подменяет класс, хорошо успевающий ученик воспринимается как хороший человек. Основным способом прохождения программы, не изучения, а именно про-хождения, становится пересказ текста школьного учебника, а способом активизации внимания школьников - напоминание, граничащее с угрозой, о грядущей проверке на следующем уроке правильности запоминания текста учебника. Соответственно, опрос учеников в классе превращается в негласное сопоставление слов ученика с текстом учебника (со

словом учителя). Опрос, напоминая допрос, не становится разговором, диалогом взрослого и школьника, двух современников, по интересующей их теме. Он не углубляет понимание выученного, не стимулирует стремление ребёнка выйти на новый виток познания.

Успех урока, логика его построения в значительной мере зависит от той педагогической философии, которую исповедует учитель. /Урок шестой./

Владение ремеслом - это основа профессионализма. Однако ремесло не тождественно мастерству. Хотя становление индивидуальности педагога немыслимо без хорошего, грамотного, виртуозного овладения педагогическим ремеслом, которое держится на знании содержания учебного предмета, методики его преподавания, педагогической философии, психологии обучения и воспитания.

Становление учителя в мастера своего дела равносильно превращению ремесленника в скульптора, в художника, каждое из них немыслимо без старания, увлечённости своим делом, отрешённости от суеты. Ремесленник и мастер преследуют разные цели, по-разному расставляют акценты, как при подготовке, так и при проведении урока.

Деятельность мастера-учителя концентрируется вокруг ребёнка, школьника, человека, с которым он повстречался в школе, в этой жизни. Мастер через процесс познания терпеливо выстраивает отношения со своими учениками, способствует вступлению учеников в диалог друг с другом. Мастер озабочен тревогами своих учеников. Поэтому он мудрым, спокойным взглядом следит за их восхождением по тропе познания. При этом не столь усердно помогает преодолевать возникающие познавательные проблемы, сколь активно их создаёт, зная, что их самостоятельное преодоление способствует более интенсивному интеллектуальному и нравственному росту ребят. И, если сложность и новизна - тайные враги ремесленника, то мастер, конструируя учебное занятие, наоборот, отдаёт приоритет сложности и новизне. Поэтому, периодически оценивая этапы взросление своего питомца, его умения справляться с трудностями познания, мастер придумывает новые, более неожиданные, более изощрённые, творческие ситуации.

В центре деятельности ремесленника - программа, время, отпущенное на её прохождение, оценка начальством его усилий по выполнению инструкций. Привычная по форме и содержанию структура

действий ученика на уроке, лёгкость и простота заданий порой не только не способствуют успешности самого познавательного процесса, а, напротив, создаёт массу педагогических проблем.

Отметим, что в каждом деле помимо мастера, ремесленника существуют и дилетанты, из которых может родиться как ремесленник, так и мастер. Дилетант свободнее ремесленника, в силу своего незнания всех установок, всех алгоритмов дела, которым вынужден заниматься. Он честно трудится, ведёт самостоятельный поиск, проявляет инициативу по решению проблем, многие из которых уже давно были решены до него. Открывая открытое, изучает и разрабатывает те области, которые оставались без внимания других, за которые мастер не брался, считая, что ещё не пришло время, что ещё эта проблема недостаточно изучена, мало накоплено знаний по этому вопросу.

Из дилетанта, через череду прозрений, может родиться мастер.

Импровизация. Хорошо продуманный урок, с серий заготовленных вопросов, часто таит в себе желание манипулировать мыслями ребёнка, гнать их в нужном учителю направлении к запланированному результату. Манипулирование личностью - самый изощрённый способ её порабощения. Урок-импровизация - во многом противоположность традиционному уроку.

В момент импровизации от учителя прячутся все заготовленные заранее слова, фразы, вопросы, а иногда и заранее подготовленные задания. Поэтому поиск решения проблем выстраивается через диалог, в котором учитель во многом равен ученику. Он вместе с ребятами придумывает что-то, ошибается, задумывается, часто отдаёт инициативу конструирования познавательного процесса своим ученикам. Открытия - результат исследования, возникают неожиданно, после длительной, порой сложной работы, в которой нет поводыря. Учитель, сам погружённый в процесс исследования, поэтому он не гонит мысль ученика по хорошо известному, заранее продуманному им пути. Коллективное творчество позволяет окрепнуть уверенности каждого ребенка в своих силах, творческих способностях. Импровизацией учителя создаётся ситуация, в которой ребята не только приобретают какие-то специальные знания, но и прозревают, раскрывая для себя и для других свои способности. Создается атмосфера радости.

Основой импровизации учителя на уроке является серьёзная работа с методической, психологической, педагогической литературой, желание сформировать свою систему преподавания.

Творит ли импровизация урок, или его разрушает, создавая нечто новое?

Расскажу об одном из таких уроков, инициаторами которого стали сами ученики.

Субботний осенний день. День, заставивший меня задуматься и внести значительные коррективы в привычный стиль преподавания. Сделали это незаметно для себя мои восьмиклассники. Расскажу все по порядку.

Шел второй месяц нового учебного года. В ту субботу я со своим 8 Б классом собирался в поход с ночевкой в лесу. С утра они говорили только о походе, мысленно поторапливали так медленно движущиеся стрелки школьных часов в ожидании конца пятого урока, после которого у нас была назначена встреча. Занятия восьмиклассников заканчивались раньше. За это время походной группе предстояло обсудить некоторые организационные вопросы и, кроме того, взять у завхоза спальники.

Пятый урок я проводил в пятом классе. Работать с пятиклассниками трудно, но всегда несказанно радостно от их доброжелательности, открытых и в то же время лукавых лиц. А трудно потому, что малыши, потому, что прошел всего месяц со дня нашей встречи, потому, что суббота, последний урок, да к тому же день был нестерпимо душный.

Я провел уже половину занятия, когда в кабинет заглянул Игорь — начальник походной группы, а за ним стояли и все восьмиклассники.

— Анатолий Арсеньевич, разрешите посидеть у вас на уроке? — попросил он и быстро добавил, предвидя мой вопрос: — Мы все уже сделали. Пожалуйста, мы тихонько.

Их просьба меня не удивила, скорее обрадовала. И раньше бывали случаи, когда ученики приходили в свой свободный час понаблюдать за процессом обучения малышей.

Игорь ждал. Я посмотрел на лица столпившихся в дверях кабинета ребят: в каждом жила улыбка. Я понял, что им не просто хотелось на урок математики, они шли на встречу с детством, которое так не давно от них ушло. Но, кроме того, наверное, приятно посидеть на уроке своего учителя и не волноваться: вызовут, не вызовут. К тому же любопытно взглянуть, как теперешние пятиклассники справляются с задачами, которые для них когда-то представляли неимоверную сложность.

— Конечно, заходите. Только не знаю, куда же вы сядете, ведь вас так много, а все места заняты,— сказал я, окинув взглядом класс. Мои пятиклашки как-то преобразились. Заинтересованные необычной, неожиданно возникшей на уроке ситуацией, они с нетерпением ждали, дальнейшего развития событий. И наверняка с приходом гостей у них появилась надежда на встречу с радостью, с чудом. Поэтому-то так быстро двое мальчишек сели на один стул, а когда их примеру последовали и другие, то освободилось несколько мест для восьмиклассниц.

Парни из восьмого мгновенно нашли выход: бросили спальники на пол в конце класса и уселись на них, всем своим видом изъявляя готовность внимательнейшим образом следить за тем, что будет происходить на занятии. «Ну, просто как в театре»,— подумал я, наслаждаясь праздником лиц и уютным расположением ребятишек в обычном школьном кабинете. Пока они рассаживались, у меня было немного времени, чтобы подумать о тех изменениях, которые необходимо было внести в конструкцию урока в связи с изменившимися обстоятельствами. Ребята, сами того не подозревая, ждали от меня импровизации, причем мои действия они не ограничивали какой-то определенной темой, как это обычно бывает на концерте импровизатора. Негласно звучало только одно непременное условие: не должно быть скуки. Мне непременно надо было чем-то удивить восьмиклассников, показать, что в нашей школе растет им хорошая смена.

Мысленно я сопоставил курсы восьмого и пятого классов, пытаясь найти точки соприкосновения. Восьмиклассники в это время изучали теорему Пифагора, пятиклассники получали первые знания по теме «Площадь». Выбор свой я остановил, как это ни рискованно было, на теореме Пифагора. Итогом урока должна быть ее формулировка, открытая самими малышами. В этом заключалось запрограммированное мною чудо. Как его организовать, я знал лишь в общих чертах: дать дело рукам, а потом подключить голову.

— Дети,— сказал я,— сейчас мы с вами нарисуем чрезвычайно любопытную геометрическую фигуру. Кто выполнит построение аккуратно, точно — несказанно порадует меня. Итак, начали.

Мы стали рисовать фигуру, хорошо знакомую с детства каждому взрослому под названием «пифагоровы штаны». Я руководил их действиями, а малыши все выполняли увлеченно, старательно. Когда работа была закончена, прозвучала моя команда:

Кто справился с заданием, поднимите тетради и покажите чертеж.

Ребята подняли над головой тетради в открытом виде. Мне было довольно легко проверить правильность построений у каждого.

— Прекрасно, прекрасно, молодец, а у тебя немножко вот тут не получилось,— оценивал я их труд. — Ну вот, дети, это была присказка, а сказка будет впереди,— подытожил я первый этап работы.— Слушайте меня внимательно, на вопросы отвечайте, все подмечайте, ничего не забывайте. А тот добрый молодец или, может, красна девица, которые все, что я сказал, исполнят, сумеют прочесть великую тайну, сокрытую в этом рисунке, До сего дня она открывалась в нашем школьном тереме только восьмиклассникам.— Восьмиклассники обменялись со мной всёпонимающей улыбкой.

Класс стал рассматривать рисунок. Время от времени я неназойливо направлял их внимание:

— Посмотрите на эту фигуру и быстро перечислите все, что заметили. А теперь исследуйте верхнюю часть чертежа и сформулируйте свой вывод.

— Догадайтесь, каким условием связаны величины, характеризующие фигуры на рисунке. На глазок, оцените значения выделенных величин и сопоставьте их.

Восьмиклассники с интересом следили за тем, как простые, незамысловатые наблюдения перерастали в поиск сложной закономерности, которую когда-то подметил сам Пифагор.

Ребята задумались надолго.

— Ну что, не одолеть, видно, вам самим этой проблемы? — сказал я, когда размышление их затянулось. И предложил:

— Давайте попросим помощи у восьмиклассников.

— Нет,— дружно ответили пятиклашки.

Поиск продолжался. И вдруг откуда-то прозвучало: «Можно я попробую»,— это робко сказал Стасик. Все облегченно вздохнули и с надеждой посмотрели на него. И он действительно выручил, но, к великой своей досаде, дал лишь идею решения, а привести соответствующие обоснования не смог. И опять пауза, опять ти-ши-на. Сосредоточенные лица ребят, забыли все — и про субботу, последний школьный день недели, и про духоту. Прекрасное мгновение — класс думает! Кто-то из восьмиклассников поднял руку, желая ответить, за ним еще несколько. Они, видимо, забыли, что сидят в гостях и, как в «детстве», нетерпели-

во подпрыгивали, правда, не на парте, а на спальниках и тянули руку все выше и выше, думая, что учитель не вызывает только лишь потому, что не видит их готовности отвечать. В первую минуту я чуть не обманулся и не откликнулся на традиционный вопрос кого-то из восьмиклассников: «Можно я?» А пятиклассники забеспокоились. Чувство гордости проснулось в их душах, и класс стал тихонько говорить:

— Витя, давай!

— Ну, Витя!

— Спросите Витю!

Витя - последняя надежда пятиклашек. Он неоднократно радовал всех своими открытиями. Следуя его примеру, ребята смелее подходили к решению задач. Его творчество стимулировало их фантазию, воображение. Так еще совсем недавно класс придумал семь различных способов сравнения двух дробей. Но сейчас про самих себя они как бы забыли, надежда была только на Витю. И Витя не подкачал. Он сформулировал ту фразу, которая была закодирована в рисунке, и дал убедительное для всех обоснование. Был найден квадрат, площадь которого равнялась сумме площадей двух других квадратов. Прозвучала теорема Пифагора. Чудо свершилось! Я радовался вместе с ребятами. Но мне показалось, что такая реакция была не у всех малышей, многим очень хотелось быть на месте Вити. Один мальчишка, стукнув себя по лбу, с огорчением сказал: «Эх, я, дуралей, не догадался. Это ведь так просто!»

Витя же, весь погружённый в своё открытие, с волнением объяснял соседу, как он случайно до этого додумался, совсем неожиданно для себя.

Но тут раздался тихий голос Толи — ученика восьмого класса:

— Позвольте спросить?

— Пожалуйста, Толя,— разрешил я.

Когда он кончил говорить, гости поняли: пятиклассники сейчас должны убедить всех, что их действия были осознанными, что они глубоко вникли в смысл обнаруженной закономерности.

Толе и самому довольно часто приходилось находить выход из подобных ситуаций. Он привык на уроке быть как бы в состоянии дуэли с учителем, «сражаясь» на вопросах.

Сначала он попадался на том, что не умел увидеть всех тонкостей рассматриваемой проблемы. Затем, когда появилась глубина понимания, тогда возросла требовательность его ко всему, что он слышал на

уроке. Он уже органически не мог переносить ни одного недоказанного момента.

И вот сейчас класс опять замер. Но ненадолго. Сразу взвилось несколько рук малышей. И ответ был найден.

Раздались аплодисменты восьмиклассников. А Толя, обдумав ответы ребят, нашел другое, более красивое обоснование. Теперь уже аплодировали гостям. Витя с уважением смотрел на Толю. А я понял, что Толе растет достойная смена и скоро в пятом, а может быть, в шестом классе появится ученик, который также пристально будет следить за четкостью всех логических переходов.

— Урок окончен. Всего вам доброго, дети. Желаю хорошо провести воскресенье,— сказал я.

К учительскому столу подошли восьмиклассники.

— Спасибо за урок, Анатолий Арсеньевич,— сказали они.

— Вам, ребята, спасибо за праздник, за наслаждение, которое вы доставили пятиклассникам и мне.

Закончился урок — урок-импровизация. Такой урок рождается тут же, в классе, правда, для ребят он отличается от всех обычных лишь особой приподнятостью настроения учителя, его воодушевлением и некоторым азартом, когда каскад его вопросов высекает каскад неожиданных, нешаблонных ответов школьников. После этого дня стал строить уроки с опорой на принцип, о котором писал известный психолог Л. С. Выготский. Он считал, что обучение должно подталкивать, вести за собой развитие ученика, несколько опережать его и прокладывать ему дорогу. Задание, которое рассматривали на уроке пятиклассники, может быть, не совсем соответствовало уровню развития умственных способностей каждого ребёнка в классе, но лежало в зоне их ближайшего развития. Оно было дано как бы на вырост. Цель его состояла в том, чтобы пробудить в ребенке новые творческие силы, о которых он и сам ранее не подозревал.

Дети, выполняя неожиданные задания учителя, вынуждены импровизировать. Учитель импровизирует на тему, подсказанную детьми. /Урок седьмой./

Выиграть стратегически и тактически каждый урок позволяет постоянная работа над развитием и совершенствованием интеллектуальных умений ребят. /Урок восьмой/

Уроки, которые мне преподали дети, распознать которые мне было позволено после сколь мучительного, столь и радостного по-

гружения в бытие школы. Познавая их смыслы, приходишь в смятение от невозможности это сделать в структуре школьного занятия, которая называется у-рок. ”Настоящий учитель ничему другому и не дает учиться, кроме как учиться учению. Поэтому часто его действия вызывают впечатление, что у него, собственно, ничему не учатся, коль скоро под ”учиться” вдруг понимают теперь только снабжение полезными сведениями. Учитель впереди учеников единственно в том, что ему нужно учиться еще гораздо больше, чем им, а именно: даванию-учиться”. /с.40./ Тогда закрадывается крамольная мысль о необходимости создания более свободной, более современней, адекватней времени структуры школьного занятия, чем та, которую мы называем ”урок”.

В 1990 году я познакомился с французской группой GFEN, с философией Нового образования, которые во многом обогатили и преобразовали мою систему преподавания. Идеи Нового образования нашли в российском образовании благодатную почву. Наши педагоги приняли и развили идеи французских коллег. Об этом читатель узнает, если дочитает эту книгу до конца. Подробно изучить технологию Нового образования можно с помощью моей работы ”Речевое взаимодействие учителя и ученика в структуре Нового образования''/СПб.: Издательство ”Скифия”, 2006 год/

-Я знаю, как тебя зовут, - сказала она -Не знаешь: у меня нет имени. -Я знаю, откуда ты идёшь, - сказала она. -Не знаешь: я иду не оттуда, где я был.

Ив Бонфуа

Условия поддержания послепроизвольного внимания

Не раз в учительской аудитории я спрашивал коллег, какие действия должен предпринять ученик, услышав требование педагога: ”Будь внимателен”. Обычно кто-нибудь быстро говорил: ”Ну, он должен сконцентрироваться на изучаемом материале”. После знакомства с основными принципами концентрации внимания:

1. развивать внимание к существенному: пытаться выделить в изучаемом предмете всё новые и новые стороны, признаки, свойства, связи;

2. не закреплять информацию, которая не является необходимой для познания изучаемого понятия;

3. самый простой способ вытеснения несущественной информации -восприятие новой сразу же вслед за несущественной,

аудитория осознавала, что требование ”сконцентрироваться” нис-

колько не понятнее традиционного призыва: ”Будь внимательным”. Тогда предлагались другие варианты слов, с помощью которых учитель мог бы овладеть вниманием класса. После ряда безнадёжных попыток под смех зала властный голос опытного коллеги строго произносил: ”Все смотрят на меня!”.

Сколь же много учеников привыкает смотреть на учителя, не видя его и не слыша ни одного его слова!

Учитель-профессионал владеет приемами, которые позволяют ему справиться с неумением некоторой части класса произвольно управлять своим вниманием, и неумением, а порой и нежеланием, приложить усилия для его концентрации.

Известно, что существует три вида внимания: произвольное, непроизвольное и послепроизвольное.

Произвольное внимание поддерживается сознательно поставленной целью и волевыми усилиями.

Непроизвольное внимание - работает без сознательно поставленной цели и без волевых усилий. Учителю не следует возлагать особых надежд ни на одно из них, так как эксплуатация первого внимания ведёт к быстрому переутомлению, а вторым обладают школьники, искренне заинтересованные в изучении данной науки, которых обычно не так уж и много.

Послепроизвольное внимание требует постановки цели, но не требует особых волевых усилий для её достижения. Такое внимание может поддерживаться учителем длительное время. Для ”включения” его необходимо, во-первых, продумать и организовать начало урока, сам момент вступления в процесс познания. Конечно, необходимо поработать с классом над постановкой цели, для достижения которой будет направлена вся работа на уроке. А дальше послепроизвольное внимание поддерживается без особых усилий ребят, если учитель.... Раскроем тайну способов поддержания послепроизвольного внимания.

Шесть условий поддержания послепроизвольного внимания.

Условие 1. Относительная интенсивность раздражителя.

Традиционно учитель использует на уроке б основном звуковой раздражитель, усиливая звучание отдельных слов, пытаясь тем самым привлечь внимание ребят, ушедших в свои мысли, занятых своим более для них интересным, более важным делом. Гораздо реже для привлечения внимания учитель понижает

громкость звучания слова, обращенного к классу. Учитель, говорящий шепотом, привлекает гораздо больший круг учеников, по крайней мере, в первое мгновение. Необычность ситуации пробуждает у учеников желание услышать педагога, не пропустить его слово, вникнуть в содержание сказанного, и тридцать пар глаз пристально, сосредоточенным взглядом следят за каждым движением его губ.

Зрительные раздражители перестают работать, когда пространства класса выстроено раз и навсегда:

парты стоят всё так же в три колонки;

дети - как всегда смотрят в затылок впереди сидящего одноклассника;

учитель стоит за своим столом перед классом, строг и подтянут;

на учительском столе классный журнал, на доске написано число и тема урока;

звонок - все стоят у своих нарт, приветствуя педагога, и по его разрешению занимают определённые им места.

Но вспомните учителя из фильма ”Общество мёртвых поэтов”. Его первую встречу с классом в зале у фотографий выпускников, когда ребята смотрели в глаза тем, кто учился до них, думали о своей жизни. Выбранный учителем для его первого урока, зрительный ряд не был привычным, не был ранее знаком ученикам, а, главное, не был ими ожидаем, поэтому он прозвучал с силой, адекватной внутреннему миру каждого. Логика действий учителя (насвистывая мелодию, движением головы он пригласил ребят выйти из класса), его слово, небольшое по объёму, простое, нужное и потому востребованное ребятами, его взгляд, интонация, выбор уровня силы звучания звукового ряда - всё вместе оказало воздействие на личности ребят, расположило их к педагогу, позволило им безоговорочно принять его, поверить ему.

А его же урок литературы в школьном дворе, который уничтожил незыблемый атрибут урока - классное помещение. Оно исчезло. Его заменил школьный двор, принёсший с собой свою ауру, снявший многие запреты, живущие в школьных кабинетах. Он позволил проявить каждому из ребят те черты характера, ту манеру общения с одноклассниками, с учителем, которые с большей силой зазвучали именно здесь, в пространстве, насыщенном иными

эмоциями. Учитель словесности задействовал в своём уроке на футбольном поле звуковые, механические, зрительные раздражители, предложив каждому ученику прочесть четверостишье и под звучание музыки, в заданном ею ритме, ударить ногой по мячу, сочетая силу удара со смысловой, эмоциональной окраской слова поэта. Интенсивность раздражителей сочеталась со смысловой значимостью действия, в которое были включены ученики. Параллельно они познавали важность, необходимость выбора своего ритма жизни, своего темпа продвижения по дороге познания.

Предъявление любого раздражителя связано с индивидуальным, избирательным ответным реагированием ребёнка, в соответствии с особенностями его типа характера, жизненного опыта, знаний, склонностей и интересов и т. д. Кроме того, интенсивность реакции на тот или иной раздражитель зависит от широты его направленности, от возможностей соприкоснуться с личностью каждого ребёнка.

Условие 2. Относительная новизна раздражителей

Новизна раздражителей часто сопровождается усилением интенсивности их звучания, их проявления, их воздействия на личность. Выбор раздражителей: механических, вкусовых, слуховых, зрительных,..., выбор силы, с которой их следует подать, для получения наибольшего эффекта, необходимо сочетать не только с задачами, стоящими перед преподавателем, но и с индивидуумом, которому они предназначены. Раздражители, адекватные личности ученика, времени, месту, обстоятельствам, вызывают плодотворную реакцию, действуют в его благо. Новизна раздражителей, предъявленных в начале занятия, на этапе структурирования стиля общения учителя с классом, даёт импульс всему дальнейшему ходу занятия.

Условие 3. Неожиданность появления раздражителя

Неожиданность появления раздражителей может проявиться в выборе методов преподавания предмета; отборе содержания учебного материала для урока; структурировании пространства кабинета, в котором происходит занятие, и т. д....

Включение элементов неожиданности в традиционные методы преподавания ведёт к потере их ложной строгости, закостенелости, академичности, они становятся более обращенными к детям. Неожиданность часто связана с соприкосновения школьника с

новизной, способствующей обновлению его личности. Восприятие происходящего в классе становится более осознанным. Внимание сосредотачивается на том, что ранее не воспринималось, было для ребёнка невидимым. Желание познать пробуждает интерес, приводит к проявлению инициативы ученика, он сам начинает выстраивать процесс своего познания, приглашая учителя к диалогу, особенно в те моменты, когда процесс его размышления заходит в тупик.

Неожиданность появления раздражителей в методах преподавания требует и иной расстановкой акцентов в учебном процессе. При этом меняется:

структура (так, изучение новой темы может начинаться не с объяснением учителя, а с диалога учителя и учеников),

ритм (так, примеры, которые ранее учитель предлагал классу на длительное размышление, включены в устный счёт).

роль учителя и ученика в учебном процессе (так, один - два ученика рассказывают тему, не вошедшую в школьную программу, а учитель, вместе с классом, постигают все её тонкости).

владелец инициативы в выборе способов построения занятия, она может быть передана от учителя к школьникам (так, план занятия разработали и предложили сами школьники),

власть субъектов образовательного процесса над царящем в пространстве класса словом, над процессами говорения и молчания на уроке: учитель, раньше владевший громким словом в классе, вдруг обретает молчание, и тихо следит за громким говорением учеников, традиционно молчавших на уроке (так: ребята с помощью учителя вышли на некоторую проблему, требующую решения обсуждают её; погружённые в её исследование, предлагают различные варианты решения, задают вопросы, вносят коррективы, учитель слушает, мысленно анализирует, размышляя о новом направлении деятельности класса, способном расчистить образовавшиеся психологические и интеллектуальные тупики, в которые она зашла).

Однажды на последнем уроке первого полугодия перед Новым годом по программе надо было строить графики различных уравнений. Вместо обычного, традиционного построения графиков на оценку у доски или в виде самостоятельной работы, мы начали построение на отдельном листе миллиметровки. В начале всё шло как всегда, один график появлялся за другим. Построение велось в одной системе координат. С седьмого графика сложность стала возрастать, да к тому же кто-то из ребят заметил появление какой

то необычной картинки. Возникли разные предположения о появляющемся на рисунке объекте. Сложность графиков перестала пугать, так как все с азартом ожидали окончательного появления закодированного графиками образа. Итог работы- портрет порося Нуф-Нуф - обрадовал всех. Конечно, на перемене о нашем рисунке узнали ребята из соседнего класса. Они сразу же побежали к своей учительнице с вопросом: ”А мы будем рисовать графиками поросёнка?”

”Милые мои, - осуждающе, как с несмышлёнышами, заговорила с ними учительница, - вы дроби складывать не умеете, а я с вами буду свиней рисовать, да?”

Приведём эти четырнадцать графиков и портрет Нуф - Нуфа

(рис.1).

Рис. 1.

Условие 4. Контраст между раздражителями.

Приведу пример контраста между образом геометрической фигуры, который когда-то был сформирован на основе ограниченного опыта, ограниченных знаний, хранящегося в памяти и геометрической фигурой, заданной свойствами, противоречащими этому образу, а потому - воспринятой как невозможной, как не существующей.

Урок в одиннадцатом классе начался с предложения учителя нарисовать пирамиду, в основании которой лежит четырехугольник, а две боковые грани её, проходящие через противоположные стороны четырёхугольника, перпендикулярны основанию пирамиды.

Первое единодушное мнение класса: такой пирамиды не существует. Велик был контраст со сложившимся стереотипом: в основании пирамиды может лежать только параллелограмм. Настойчивая просьба учителя нарисовать такую пирамиду заставила класс задуматься. Внимание ребят было приковано к условию задачи, но всё же они читали про пирамиду в основании, которой -параллелограмм. Задача не поддавалась, при этом росла уверенность, что такой пирамиды не существует. Не стала толчком к решению и развёрнутая книга, поставленная на стол перпендикулярно её корешку (рис.2). Задача читалась несколько раз и казалось, что каждое её слово было понятно.

Невозможность существования пирамиды объяснялось тем, что две плоскости, перпендикулярные основанию и проходящие через противоположные стороны четырёхугольника основания (а им может быть лишь параллелограмм, думали они) - параллельны.

Учащимся было предложено объединиться в группы и проверить их рассуждение, рассмотреть смыслы каждого слова задачи и сопоставить их со сделанными выводами.

Так как результата опять не было, учитель попросил группы рассмотреть угол классной комнаты, образованный двумя плоскостями смежных стен и плоскостью пола, и встроить пирамиду, о которой идёт речь в задаче в этот угол (рис. 3). После серьёзных споров, неоднократного чтения задачи, рассмотрения угла классной комнаты, пришло решение. Восторг тех, кто её решил, омрачала досада неудачников, увидевших в условии задачи то, чего там не было. Но на уроке было внимание, послепроизвольное внимание, когда цель поставлена, но никаких призывов сосредоточиться не было. Держала внимание сама ситуация, в которой столкнулись, казалось бы, невозможное, с реально возможным, привычное с невиданным ранее.

Условие 5. Ожидание определённых событий и впечатлений.

Событие для школьника - то, что происходит или должно произойти лично с ним в точке пространства, называемой школа. Событие - проявление его личности для всех, как человека, с ко-

торым ещё вчера никто из одноклассников, в том числе и он сам, не был знаком. Значение такого события для личности огромно, так как оно сопровождается обновлением внутренним и внешним, пробуждением веры в себя, открытием собственных способностей и возможностей. События касаются как необыкновенной роли, которую им предстоит сегодня исполнить, так и некоторого действия, отличного от привычного урока, придуманного для них учителем. Поэтому, порой ожидание события, его подготовка к нему, его вхождение в то, что ещё не произошло, но вот-вот произойдёт, - более значимо для ребёнка, чем само событие.

Событие позволяет ощутить «...что я для себя самого обнаруживаюсь и обнаружен в таких телесно устроенных отношениях, которые априори имеют смысл бытия-разделенными с другим вот-бытием», «Событие означает быть с Другим... с другим вот-бытием...» (Ф. - В. фон Херрманн, «Фундаментальная онтология языка», с. 89, 91).

События

Я- солист

Однажды учительница литературы поведала мне: ”Вы знаете, я сегодня хотела на минутку задержать после урока Лену из десятого класса, а она мне говорит: ” Ой, что Вы, я должна бежать, я

Рис. 2

рис.3.

”солирую” на математике”. Действительно, на дом по геометрии было задано четыре задачи и по каждой назначен ”солист”. Именно он начинал рассказывать решение задачи, которую он обдумывал дома с особой тщательностью, он старался найти самое красивое решение, он отвечал на вопросы, возникавшие при обсуждении решения. Казалось бы, что всё как всегда: ученик готовится к уроку, выполняет домашнее задание, а на уроке учитель предлагает ему представить то, что он подготовил дома. Но в данном случае обычная урочная ситуация: ”Ты учишь - я спрашиваю - ты отвечаешь - я оцениваю твой ответ” - превращается в событие. Роль ученика, солиста на уроке приобретает иное звучание, он в центре внимания всех, его голос сегодня - значим, его готовы слушать все, он интересен.

Я- консультант

Без консультантов трудно обойтись, когда класс самостоятельно, без активного вмешательства учителя, изучает в качестве домашнего задания, новый теоретический материала. Обычно на дом задаётся не самая простая тема. Чтение текста в классе вслух сопровождается массой вопросов, как учеников, так и учителя. В затруднительных ситуациях, когда никто в классе не может дать ответа, отвечают консультанты. Они пытаются найти ответ и в тех случаях, когда им при домашнем чтении это место казалось понятным.

Консультант как бы подменяет учителя, выполняя его функции на уроке. Однако, консультант ближе к своим одноклассникам, говорит на их языке, с ним проще вступать в диалог, ему интереснее задавать вопросы.

Мы сдаём зачёт.

О методике проведения зачета будет подробно рассказано далее. Здесь же отметим, что зачет в старших классах проводится раз в четверть. Ребята готовятся к нему на протяжении двух недель по вопросам, которые им даёт учитель. Когда одна часть ребят отвечает теорию у доски, другая пишет контрольную работу. На зачете ребята всегда более собраны, внимательны, у них гораздо больше получается, чем на обычном уроке. Зачёт - это событие.

Сегодня у нас мастерская.

На мастерской инициативой построения своего знания владеют ребята. Они выдвигают гипотезы, встраивают новое знание, пред-

ставляют его классу, вносят коррективы, фиксируют наработанное, сравнивают результаты своего исследования с тем вариантом, который представлен авторами учебника. Структура мастерской и способы её конструирования, благодаря свойственной им новизне, необычности, вступают в противоречие с привычными для учителя структурами учебного процесса.

Перечислим структурные этапы мастерской - индуктор, его задания выстраивают вхождение школьников в пространство исследуемой проблемы; этап «схвачивания», его задания обращены к опыту, к знаниям ученика, к его подсознанию; этап деконструкции, выполнение заданий которого сопровождается прозрением учеников, осознанием ими неполноты имеющихся у них знаний, и - разрыв с прежними установками, утверждениями позициями; этап созидания, обращенного в основном к внутренней культуре личности, самостоятельно творящей новое знание, и этап рефлексии на уровне мысли -завершающего этапа мастерской.

Математический бой.

Игра, в которой учитель выступает ”против” класса. Приведём пример. Изучены действия с обыкновенными дробями, но умение выполнять все действия ещё не переросли в навык. Познавательные проблемы по этой теме ещё остались. На доске написано много, много разнообразных примеров на действия с обыкновенными дробями, и табличка из двух столбиков. Один столбик озаглавлен буквой ”Я”, другой - 5Б класс. В этой табличке идёт фиксация заработанных очков. Учитель говорит, сколько баллов стоит тот или иной пример. Если ученик, вызванный учителем, даёт верный ответ, то это количество баллов ставится в графу 5Б, если пример решён неверно - в графу ”Я ” В конце урока подводится итог. Конечно, к всеобщей радости обычно побеждают дети. Это радостное событие.

Математический бой в 5 классе по теме ”Сложение дробей”

1. Показать на пальцах общий знаменатель дробей (на правой руке - десятки, на левой - единицы, если знаменатель двузначное число)

2.Определитъ истинность равенство (да - покачивание головы сверху вниз, нет - справа налево).

3.Решить уравнения:

Мы в круге познания (разговор по изученной теме).

В центре класса построен круг из стульев, которые и заняли ребята. Некоторые из них пожелали сменить своего соседа.

Разговор выстраивался по инициативе ребят, каждый самостоятельно выбирал время своего выступления и вопрос, по которому он хотел высказаться. Вопросы выбирали сами ребята, но если желающих дать ответ на какой-нибудь вопрос не находилось, то отвечающего ученика называл учитель. Ребята имели право дополнять и исправлять ответ одноклассника. Круг познания предоставляет возможность каждому выбрать вопрос, который он сможет представить достойно. Круг познания учит слушать, слышать, говорить, развивать мысль ”Другого”.

Такой прием был использован в 10 классе при изучении темы ”Тела”.

Панель (представление понимания самостоятельно изученной темы).

Панель ставит массу психологических задач, связанных с выбором учеником времени выступления и материала, который будет им представлен классу. Интрига заключена и в том, что ученика никто не вызывает к доске, ему приходится отважиться встать, выйти к доске и держать перед всеми слово.

Десятиклассники математического класса месяц самостоятельно, в процессе выполнения домашних заданий, изучали тему ”Производная”. На данном занятии был объявлен разговор по этой теме. Перед доской стояло около десятка стульев, каждый по сво-

ей воли выходил к доске, садился на стул и говорил о ''производной”, о том, что он понял, о том, что его заинтересовало этой теме, что особенно понравилось, о том, что познать было не легко, о том, что так и осталось загадкой. Выступающий говорил столько, сколько хотел, никто его не перебивал, но в следующем выступлении ребята задавали вопросы и останавливались на тех моментах, которые, с их позиции, были изложены не точно. В конце двух часов разговора на один из стульев сел учитель и представил классу свою позицию по данной теме. После этого разговора началось спокойное фундаментальное изучение темы ”Производная”.

Лаборатория (”изготовление правильных многогранников)

Такая лаборатория открылась у пятиклассников в канун Нового года. Все сели в кружок за свои столы и начали из спичек с помощью пластилина изготовлять правильные многогранники. Модели многогранников: тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра стояли на виду у всех. Можно было подойти потрогать модели, рассмотреть со всех сторон. В процессе работы ребята общались друг с другом и с учителем. Работа в лаборатории — событие, радостное, интересное, увлекательное, в меру трудное.

Условие 6. Ожидание положительных эмоций.

Есть теория, которая утверждает, что сознание занято удовлетворением потребностей. Из неё следует, что ни сознание, ни воля сами по себе не могут перестроить иерархию мотивов, но любой потребности, в конечном счете, может противостоять только другая потребность. Непосредственным же генератором структуры потребностей являются положительные эмоции, которые в свою очередь связаны с успешным удовлетворением этих потребностей.

Мудрые педагоги всегда делали и делают опору на положительные эмоции. Дети просто не могут жить без положительных эмоций, хотя порой удивляешься их терпению, когда успех в учебной работе к ним никак не приходит.

Помню девочку Иру из пятого класса. Когда заканчивались уроки и все мои ученики уходили домой, я оставался проверять их тетради. И каждый день ритм моей работы нарушал стук в дверь. В кабинет заглядывали два черных глаза, и затем появлялась огромная улыбка. В класс входила она. Лицо её было таинственно, как у человека, который хочет сделать сюрприз и заранее весь пе-

реполнен счастьем от той радости, которую вы испытаете через мгновение.

- Ой, Вы ещё не ушли, - начинала она. - Проверьте моё домашнее задание, я его на продлёнке сделала.

Я брал красный карандаш и начал проверять. Но, как только я пытался им что-то исправить в работе, она мгновенно налетана, защищая свой труд, тут же скороговоркой выпаливала:

- Не черкайте, не черкайте красным. Не люблю, когда черкают красным.

И я понимал, что с каждым исправлением таяла её надежда на хорошую отметку, которая ей в данный момент была так необходима. Ей хотелось успеха. Но математика ей не давалась, и поэтому наш разговор заканчивался обычно так:

- Ну что? - спрашивала она, когда работа была проверена. -С плюсом, - говорил я.

- Что с плюсом, опять тройка? - и две слезинки выкатывались из её глаз.

Да, порой мы недооцениваем важность успеха для ребёнка. Однажды один десятилетний мальчик сказал мне: ”Сегодня меня тренер похвалил”, и после моего молчаливого вопроса: «За что?», добавил: «Ну, просто, не ругал»

Одна мама рассказывала, как она с сыном в первом классе покупала дневник. Вы скажете, что ни дневников, ни отметок в первом классе нет. Да, не должно быть, но из школы с трудом уходит то, что там жило веками, и поэтому, видимо, и в этом случае учительница не могла обойтись без традиционного кнута, коим порой являются дневник и отметка.

Мальчик выбрал для своего дневника самую красивую обложку.

- Ой, мамочка, спасибо тебе. Я завтра принесу тебе сто тысяч пятёрок.

Придя из школы, он показал четвёрку в тетради по математике, пятёрку в тетради по русскому языку, а о дневнике ничего не сказал.

Мама была женщина мудрая и тоже ничего не спросила про дневник. Но когда сын заснул, открыла его.

В первом в жизни малыша дневнике первая любимая учительница вывела первую отметку. Это была двойка! Наверное, он сам и вызвался отвечать к доске (”Спросите меня!”), сам и дневник принёс

(”Поставьте мне отметку!”)

Я подумал: где малыш нашёл силы идти на следующий день в школу, да ещё и по-прежнему любить свою учительницу оставаться ей преданным?

«Познанья нету без свободы, Труда - без творческой мечты” Яков Полонский

Современный урок

Урок в традиционном образовании - основная форма структуры учебного процесса, движущей силой которою является противоречие между теми задачами, которые ставит учитель перед классом и знаниями, умениями, желаниями самого ученика. Современный урок своей философской направленностью осторожно поворачивается в сторону личности ученика, хотя приемы, методы конструирования структуры урока в центр его действия всё ещё помещают программу. Программа, её успешное освоение - основа главного волнения и школы, и семьи. Однако время требует передачи инициативы выстраивания процесса познания на уроке от учителя - школьнику. Традиционная педагогическая философия не позволяет взрослому ”отпустить руку ребёнка”, за которую на протяжении всего процесса обучения, в школе ведёт его учитель, а дома - родители. Выполняя свою миссию, каждый исходит из самых лучших побуждений, но страх перед неожиданной встречей ребёнка с жизнью не позволяет взрослым хотя бы на мгновение отпустить руку своего ребёнка.

Наметим несколько особенностей современного урока, приближающих структуру образовательного процесса к ученику. Их реализация направлена на то, чтобы ребёнок стал центром школьного занятия, в котором его мир соприкасается с миром учителя.

Особенности современного урока.

1. Направленность на реализацию возможностей ученика, на его самопонимание и творение им собственного мира.

Учитель выбирает такую конструкцию урока, которая направлена на формирование определённой системы самопознания ученика, структуры его мыслительной деятельности, способствующей быстрому и глубокому самостоятельному изучению учебного материала, а в дальнейшем и любых вопросов науки. Учитель, выбрав дорогу познания, пропускает по неё вперед себя ученика, не мешая ему идти своим путём, но оставаясь рядом с ним.

2.Логика учителя - стержень урока, открыта для взаимодействия с логикой ученика, услышавшего учителя, откликнувшегося на его действия.

3. Наполнен мыслью, сомнениями, вопросами, заблуждениями, открытиями, выстроен на полилоге всех его участников..

Казалось бы, каких открытой может ожидать учитель на уроке, содержание которого ему известно? Но встреча с человеком всегда наполнена открытиями, а тем более встреча с людьми, входящими в этот мир. Слово ученика, рождённое в диалоге с учителем, слово учителя, произнесённое вслед за словом ученика - неповторимы. Лица ребят в минуты познания, недоумения, сомнения, озарения достойны кисти великих живописцев.

4. Весь ход выстраиваемого учителем процесса познания пронизан его импровизацией, живым откликом на сегодняшний день, на решение проблем сегодняшнего ребёнка.

Для ученика любой урок - импровизация, он импровизирует на тему, заданную учителем. Для учителя, жестко работающего в определённой системе, урок - исполнение действий, заготовленных дома при обдумывании его. Урок импровизации - действие, в котором учитель чутко воспринимает ученика, импровизирует, откликаясь на его запросы, порывы души, а ученик импровизирует вслед за учителем, вместе с учителем.

5. Познание науки органично сочетается с продвижением личности ученика к самому себе, с возвышением её значимости, её возможностей познания мира.

Урок своим содержанием, эмоциональным фоном, конструкцией, выбранными методами преподавания, педагогической философией учителя не должен останавливать процесс обучения ученика. Процесс обучения может остановиться, когда у ребёнка теряется надежда быть в нём успешным. Причин для возможности возникновения такой ситуации много. Они порождаются как школой, так и семьёй, обществом.

В учительской аудитории я часто привожу следующее высказывание: ”Наилучший учитель тот, который разъяснит все то, что остановило учение. Уже эти разъяснения разовьют способности придумывать новые методы. Наилучшая метода та, которая отвечает на все возможные затруднения, встречаемые учеником”. Как правило, аудитория сначала отвергает эту мысль. Первую фразу понимают, как требование исключить для ребёнка все трудности встречаемые им в процессе обу-

чения. После того, как выясняется, что автор этих строк Л. Н. Толстой, начинается более пристальное познание их смыслов. Выделяется самое главное ”не остановить процесс обучения”. Современные дидакты, как бы вторя Л.Н. Толстому, требуют от школы, ”не закрывать ученику путь к успеху”. Часто без успеха нет желания учиться.

Порой тормозом в процессе обучения является: неверно выбранная стратегия и тактика преподавания: мало времени было уделено изучению теории или, наоборот, затянул изучение темы; долго не было опроса, учитель всё объяснял, объяснял; тема была раздроблена на изучение её фрагментов, но цельного впечатления у ребят так и не сложилось.

6. Знание выстраивается в сотворчестве учителя и ученика, которые, попеременно владея инициативой, трепетно прислушиваясь друг к другу, прокладывают свой путь познания.

7. Развитие интеллектуальных умений школьника является приоритетным при выборе целей и задач.

Интеллектуальные умения школьника в той или иной степени формируются изучением любого школьного предмета, а при изучении математики их становление - сверхзадача каждого урока. Этому способствует содержание курса, без их развития изучение математики просто невозможно.

8. Каждый урок - звено в целостной цепи уроков, образующих систему, выстроенную с учётом существующих способов и методов обучения в их многообразии и единстве.

Для продвижения мысли читателя по пути творения собственных требований к современному уроку, приведу пример урока, который проводился в 5 классе.

Научить ребёнка чему-либо, в том числе и способности самостоятельно мыслить, можно только при внимательнейшем отношении к его индивидуальности. Старая философия и педагогика называли такое отношение ”любовью”.

Э. Ильенков

Урок без темы, но с целью

Читаю кусочек из ”Алисы в стране чудес» Л. Кэрролла: ”В нескольких шагах от неё сидел нам ветке Чеширский Кот.

-Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?

- А куда ты хочешь попасть? - ответил Кот.

- Мне всё равно... - сказала Алиса.

- Тогда все равно, куда и идти, - заметил Кот”

Поведайте, о чем хочет сказать Кот этими словами Алисе, и зачем я вам их прочитал в самом начале урока?

Да, надо знать цель своей работы. Сегодня мы будем учиться наблюдать. Для нас наблюдать - просто замечать. Это умение необходимо в жизни любому человеку. Ученые свою исследовательскую работу обычно начинают с наблюдения. Наблюдение - главный метод исследования на ранних этапах развития науки. Поэтому постарайтесь сегодня на уроке хотя бы мысленно, а иногда и вслух, начинать свой ответ со слов: ”А вот я заметил...”

1.Устно вычислите:

2. Обсудите с соседом по парте ход решения этих примеров. 3.Расскажите способ решения примеров, слушая, обратите особое внимание на нетрадиционные способы, основанные на наблюдении. 4.Нарисуйте квадрат 4x4 клетки. 5. Заштрихуйте:

a) половину квадрата;

b) ещё одну четверть его /другим цветом/;

c) ещё одну шестнадцатую его / другим цветом/; d) посмотрите на рисунок и дайте ответы в следующих примерах:

рис.4

6.Решите уравнения:

7. Вычислите:

Разговор с коллегой

Вопрос 1. Говорят, что потребности ученика и его интересы выступают важнейшим мотивом учебной деятельности и влияют на доступность обучения. Был ли учтён этот момент в плане урока?

Если говорить об удовлетворении потребностей подростков в активности, ярких впечатлениях, в коллективной деятельности, то они здесь учтены. Действительно, улыбка Чеширского Кота в начале урока, приближение школьников к способам работы учёных - наблюдение, - все это создаёт хороший эмоциональный настрой на занятие. Реализовать потребность в активности позволяет структура каждого этапа урока, один пример как бы цеплялся за другой, связан с ним невидимой нитью. Пример не отпускает ученика даже после того, как он решён. Кроме того, ряд заданий урока требует поиска наиболее коротких, экономных путей, что формирует положительные мотивы учения.

Вопрос 2. Стремились ли вы на протяжении всего урока поддерживать у

ребят высокий уровень интенсивности их умственной деятельности?

Дело в том, что этот урок не содержит материала, которым обязательно должен овладеть каждый ребенок. Урок появился как бы случайно, как подарок детям. Хочешь -случай, хочешь - нет, хочешь - запоминай всё, что происходит на уроке, хочешь - нет. Однако это свобода видимая. Последовательность упражнений цепко держит внимание ребят и ни на мгновение не отпускает его. Негласное соревнование под девизом: ”А, я заметил...” - тоже работает на поддержание интенсивной мыслительной деятельности. Помогает и зрительный раздражитель - квадрат. Ведь фактически все примеры пятого этапа урока решаются с помощью пристального разглядывания квадрата. Квадрат - это наглядное пособие удивительное по своей простоте и эффективности воздействия.

Вопрос 3. В чём школьники испытывали трудности на уроке и какова их причина?

Главная трудность, она же и самая ценная находка урока, в том, что никакими правилами действий с дробями ребята ещё не владели, поэтому они вынуждены были включиться в ритм поиска, наблюдения.

Вопрос 4. Какая работа предшествовала этому уроку?

с первого сентября 10 минут на каждом уроке мы уделяли вхождению в тему ”Обыкновенные дроби”. Рисовали прямоугольник, заштриховывали его часть, рассматривали, заштриховывали ещё часть, думали, как можно сосчитать какую же часть прямоугольника мы теперь заштриховали и т.д. (подробно такая работа с дробями описана стр. 96-113 этой книги).

Вопрос 5. Трудно ли было сконструировать такой урок, если да, то с чем связаны трудности?

Урок настолько прост по конструкции, что создаётся впечатление о необычной лёгкости его построения. Только надо было учесть и реализовать через материал урока некоторые его особенности:

необычное начало, работа над целью, включение послепроизвольного внимания;

активная опора на работающую наглядность;

посильность заданий, сочетание простоты и доступной сложности.

Вопрос 6. Трудно ли провести такой урок?

При наличии хорошего настроения, заинтересованности в успехе каждого ученика, погружении их в урок всеми своими мыслями, интересами - не очень трудно. Радостно. Прекрасные находки ребят, возможности, для появления которых щедро рассыпаны по всему уроку - снимали всю усталость.

Вопрос 7. Чему педагог учил и чему учились школьники?

Поистине ”нам не дано предугадать...”, часто не дано ни угадать, ни понять, ни узнать: чему же на наших уроках учатся дети. Дай Бог им разума учиться не тому, чему их учит учитель. Думаю, что наиболее мудрые и далёкие от премудростей математики ребята учились общению с людьми, работе с проблемой, увлечённо работать, познавать, радоваться успеху другого человека, понимать и принимать его. А, может совсем другому, тому, что ему необходимо сделать в жизни именно сегодня и именно ему,

Вопрос 8. Состоялся ли урок в общепризнанном смысле этого слова?

На этот вопрос ответить должны дети, и только дети. Вы скажете: «А как же мнение специалистов, профессионалов?» Не знаю.

Вопрос 9. Почему Вы решили, что ваш урок учил ребят наблюдать?

Дело в том, что уравнения, предложенные ребятам на пятом этапе урока, знакомы им лишь по конструкции. Да и то каждому учителю известно, сколько ошибок они делают, находя неизвестный компонент при сложении, вычитании, умножении и делении.

Никогда ещё на уроке ребята не вычитали из одной второй одну четвёртую, из одной четвёртой - одну шестнадцатую, не умножали дробь на целое число. Отсутствие правил действий с дробями выдвинуло на первый план работы - наблюдение. Наблюде-

ние немыслимо без определённой цели. Цель - вглядеться в квадрат и выведать из него нужный результат, на уроке не звучала, но её выполнения требовало каждое уравнение пятого этапа урока. Научное наблюдение подразумевает и контроль полученного результата. На данном уроке контроль выстроен подбором сдвоенных примеров и постоянным сопоставлением абстрактных вычислений с образом, который можно высмотреть в квадрате.

Урок алгебры. «Модуль. Неравенство с модулем» 7 класс. На уроке будем рассматривать два утверждения: 1.Модуль — число неотрицательное. 2. Модуль — расстояние между двумя точками числовой оси. / Геометрический смысл модуля./

Сверхзадача урока: учиться наблюдать, анализировать.

1.Не проводя вычислений, найдите решения систем:

Наблюдение. В каждой системе есть одно неравенство, в котором справа стоит нуль, а слева — неотрицательное выражение. Решением его является число нуль. Остается лишь проверить, будет ли нуль решением и другого неравенства.

2.На доске написано: Модуль числа — число неотрицательное.

Решите системы неравенств (а — д), пользуясь таким планом:

1) Установить знак числа, стоящего в правой части. 2) Определить знак выражения левой части. 3) Сделать вывод о решении первого неравенства. 4) Аналогично поступить со вторым неравенством (если нет более простого способа).

Наблюдение. При решении системы (б) ученик невольно возвращается к решению системы (а) сравнивает их. Решение системы (в) требует некоторого обобщения полученных знаний, применения их в необычной ситуации.

3. На доске написано: Модуль — расстояние, la — Ы — расстояние от точки, а до Ь (или от Ь до a); lb — al— расстояние от точки, а до Ь (или от Ь до а)

Отметьте на оси х точки, удовлетворяющие:

Обсудите с соседом по парте ваши решения. Запишите на доске решение неравенства:

Ещё раз рассмотрите решение неравенства и найдите допущенную неточность.

4.Прочтите хором равенства и неравенства, написанные на доске ПО схеме: «Расстояние от х до ... равно (меньше, больше)...»: - 2| - 2 ;

5.Решите устно:

6.Рассмотрите ряд систем, уравнений и неравенств:

Разделите их на три группы. Наблюдение: 1, 4, 5 имеют одно и то же решение х = 0, уравнения 2 и 6 имеют одно и то же множество решений, аналогично 3 и 7.

7.Изучите план решения неравенств: 1). Прочесть словами неравенство (расстояние от точки... меньше (больше)...). 2). Найти соответствующую точку на оси. 3). Отсчитать от нее по оси нужное число шагов. 4). Указать точки, удаленные от данной точки на заданное расстояние.

Решите устно, на числовой оси:

Слово к коллеге. Материал урока легко обозрим для учеников. Он сосредоточен вокруг двух вопросов, которые были объявлены классу в самом начале урока. Надо сказать, что до этого занятия с ребятами уже отрабатывалось понятие модуля, поэтому они были готовы к восприятию материала.

Известно, что наблюдение от простого восприятия отличается активным и целевым характером. Сама тема задавала целевую установку наблюдения. Ускорение же этого процесса происходило при решении цепочки примеров, каждый из которых был развитием предыдущего. Процесс наблюдения протекал активно, чему способствовал интерес ребят, вызванный необычным по форме и содержанию заданием. Интерес к наблюдаемому объекту — непременное условие формирования умения наблюдать.

«Вам не удастся никогда создать мудрецов, если вы не создадите сначала шалунов» Ж.- Ж. Руссо

Конструирование эффективного начала урока

Начало урока - один из важнейших этапов урока. Традиционный урок обычно начинается с говорения учителя, со слова, стремящегося погрузить класс в молчаливую, послушную учителю сосредоточенность. Ребята, мысленно находясь ещё в пространстве только что закончившейся перемены, слыша лишь некоторые его слова, автоматически сопоставляют свои ожидания с планами, желаниями, требованиями учителя.

Начало урока, как хороший камертон, задаёт тональность всего действия. Первое слово учителя, как первый взмах дирижерской палочки.

его ждут, оно определит ритм всего дальнейшего действа.

Начало урока - момент ожидания действий учителя, момент распознания учителем состояния класса, момент, когда глаза в глаза смотрят дети и взрослый. Учитель определяет необходимый темп занятия, который воспримет класс, который будет эффективен.

Начало урока - увертюра, предвкушение последующих событий. Первое соприкосновение мира учителя и мира ученика. Оно определит эмоциональную и интеллектуальную окраску занятия. При удачном выборе его, класс незаметно для себя включается в решение познавательных проблем, отобранных педагогом для урока.

Бывают уроки, начало которых как будто бы традиционно, без всяких придумок. Учитель сообщает тему урока, и класс мгновенно откликается на все его предложения. Все трудятся с интересом, с желанием. Дети на удивление предельно внимательны, с готовностью включаются в работу, ловят каждое слово учителя. В такие мгновения ощущается наличие непрерывного, непрекращающегося диалога учителя с каждым учеником. Если бы в этот момент озвучить молчание учеников, то можно было бы услышать массу вопросов, обращенных к учителю и к самому себе. При этом кто-то из них судорожно, боясь не успеть проявить смысл, повторял бы последние слова учителя, кто-то, опережая слово учителя, давал бы свою версию решения, доказательства. Насыщенное молчание, в котором собеседник, воспринимает каждое слово, ожидает его слова, это -полилог, участниками которого являются все присутствующие в классе. Молчаливый полилог. В нём голоса детей, вторя слову учителя, спорят с ним, соглашаются, удивляются, радуются, а то и грустят.

Удивительно, но молчание учителя, особенно на первых минутах занятия, часто протекает параллельно со звучанием его слова в классе. Пристально вглядываясь в лица своих учеников, рассматривая каждое движение их глаз, он стремится распознать их молчаливый говор, угадать направление, в котором познание науки на сегодняшнем уроке для них наиболее плодотворно. Задания, которые он предлагает в эти минуты классу, часто направлены на развитие вкуса ребят к поиску, познанию, на пробуждение внимания к слову ”Другого”. Цель их пробудить у учеников желание выстроить общение друг с другом, слышать слово, сказанное одноклассником, вникать в его смыслы, развивать мысль, рождённую случайно здесь и сейчас. И если класс, забыв обо всё на свете, в полилоге с учителем погружён в изучаемый предмет, если ”Я” каждого ребёнка пробудилось, то дети уже не идут за учителем след в

след, а, проявляя свою инициативу, вырываются вперёд, выбирая свою дорогу познания изучаемой науки.

Чаще всего начало урока надо серьёзно выстраивать. Особенно важно владеть искусством построения начала урока в классе, который не проявляет должного интереса к изучаемому предмету. Придумки, рассчитанные на ответное удивление учеников, отвлечение их от сиюминутных забот, волнений, переживаний, позволяют некоторое время удерживать внимание класса. Следующие действия учителя направлены на поддержание состояния, в которое погрузился класс.

Как научить быстро ребят включиться в урок, проявлять волю, сосредотачиваться на изучении предложенного учебного материала, поддерживать заданный педагогом темп, выбирать свой ритм познания? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем самое начало, само вхождение в урок, способы пробуждающее послепроизвольное внимание.

Известно, что учение без препятствий, без трудностей вызывает мало интереса у школьников, ослабляет переживания положительных эмоций, лишает чувства радости от преодоления трудностей. Поэтому будем конструировать начало урока с опорой на три условия: оно должны быть наполнено новизной, радостью и сложностью, добавим, доступной сложностью, с которой ребята могли бы справиться, если не поодиночке, то вместе.

Условия поддержания интереса.

Условие 1. Новизна. Она, как своеобразный раздражитель, вызывает рассогласование с тем, что известно, с тем, что познано ранее, включая механизмы познавательной деятельности по ориентировке. Новизна в учебном процессе в первую очередь связана с содержанием информации и способами ее подачи.

Содержание. Стерильное изложение учебника становится живым, понятным детям после того, как ребята узнают об ошибках ученых, о том, что и их процесс познания истины проходит через ошибки, неудачи, что и у них удачи совсем не так уж и часты, как хотелось бы. История открытий науки, немыслима без рассказов о том, как тяжел путь познания нового, сколь много сил, упорства, преданности науки он требует. Особенно поучительно знакомство с неудачными попытками познания истины, об ошибках, разочарованиях, о прозрении, моменте предъявления миру своих открытий и о частом отсутствии понимания нового современниками. Способы подача информации. Интригуют, завораживают обычно самые

простые способы, не огягощённые громоздкими приготовлениями. Приведём один из них. Учитель после объявления темы задаёт ученикам серию вопросов. Вопрос содержит в себе описание некоторой проблемы и желание учителя узнать у ребят её решение: ”А не таете ли вы, как выполнить действие... ?”, ”А не знаете ли вы, сколько будет, если... ”? Удивлению ребят нет предела, когда вопросы такого плана звучат ещё до изучения соответствующей темы. И сколь же ожидаем и радостен ответ кого-нибудь из учеников. В этот момент учителем становится тот, кто придумал отве~ на вопрос. Учитель же превращается з заинтересованного, несколько занудливого ученика, сгорающего от любопытства. Он всё спрашивает и спрашивает, пока не поймёт. Так ученики на равных с учителем исследуют новую гему. На уроке в этог момент нет всезнайки, излагащего готовые, хорошо усвоенные им истины, нет тех, кто призван лишь запоминать информацию, хоть и правильную, но не выстраданную. Об этих способах подачи информации мы далее поговорим особенно подробно.

Условие 2. Радость. Её основой служат собственные успехи ребёнка в познании, в умении справиться со своим незнанием, невниманием, ненужным трепетом перед задачей, неверием в собственные силы, страхом перед потенциальной ошибкой.

Радость от наступившего наконец-то понимания смыслов слова, текста, действия. Радость от самого процесса самостоятельного поиска решения, радость от выполнения действия без сторонней помощи. Радость от придумки более короткого, более простого способа получения некоего результата.

Условие 3. Сложность. Она таится в постановке проблемы и поиске её решения в начале урока математики, и связана с новизной способов её решения. Требуется не только применить некоторый приём, но и придумать его. Точнее не придумать, а обнаружить с помощью наблюдения, анализа слова, образа, действий, с опорой на интуицию, жизненный опыт, фантазию и смекалку.

Как часто дети перед началом урока спрашивают учителя: «Что у нас будет сегодня на уроке?» При этом их больше интересует не тема, а тот вид деятельности, который придумал для них учитель.

Приёмы организации начала урока.

Прием 1. Даётся задача, не требующая для своего решения знания школьной программы.

Цель: задействовать жизненный опыт ребят, смекалку с первых минут урока.

Ребята только что вошли в класс после перемены, на которой они обменивались событиями, возились, стремились сделать минуты отдыха весёлыми. Учитель, как бы входит в их круг и предлагает весёлое состязание, основанное на свободном полёте фантазии, сообразительности, не скованное знанием изучаемого школьного предмета.

Примеры. 1). Учитель раскладывает на полу, на шкафу, на столах газеты и двум ученикам предлагает встать на неё так, чтобы один не мог достать другого.

Ребятам разрешается ходить по классу и даже выходить из него. Условие ходить по классу принимается, хотя и через некоторое время, но выходить из класса долго никто не решается, страшно нарушить один из школьных запретов. Однако именно на нарушении этого запрета и основано решение задачи. Когда поиск решения затягивается, учитель как бы невзначай открывает дверь класса. Ученики сначала недоумевают, а потом сразу несколько пар бросаются с газетой к двери и первая из них подкладывает газету под дверь, быстро встают на неё с разных сторон двери. Задача решена. В поиске участвовали все. Дома ребята обязательно предложат её решить своим домочадцам. Они будут там исполнять роль человека, владеющего секретом решения.

2). 7 класс. Урок геометрии. Тема: ”Определение равенства углов”

Два угла с вершинами О и 01 и сторонами a,buahb1 называются равными, если на их сторонах найдутся такие точки А, В и Ah Bh что отрезки OA, OB. AB, соответственно равны отрезкам (рис. 5) OiAi, AiBi т. е. OA = О1А1, OB = OiB, AB. =AiBi

Рис.5

Тема урока сразу не объявляется. Ребятам предлагается представить, что некий волшебник перенес их на берег Нила, в Египет. На берегу никого нет, только на песке нарисованы два угла. Дальше учитель говорит примерно так: «От нечего делать, вы решаете сравнить углы, узнать, равны они или нет. Но вот досада: у вас нет никаких инструментов, впрочем, в вашем кармане нашелся кусочек веревочки и только. Какой способ сравнения углов вы могли бы предложить?»

Последовало первое предложение, но прежде ученик уточнил, есть ли

на берегу прутики или какие-либо палочки. Условились, что есть. Тогда он решил сделать так: расположить два прутика по сторонам первого угла и связать их в вершине, а затем осторожно перенести и наложить его на второй угол. Если они совпадут, то, значит, равны. Ему возразили: пока он несет модель угла, она может сбиться, ведь конструкция-то получится не жесткая. Возникло предложение; отложить на сторонах каждого угла от вершины при помощи веревочки равные отрезки, затем сделать такую же конструкцию, только к концам отложенных отрезков привязать ”поперечину” для чего необходимо разорвать веревочку на две части. Полученную жесткую конструкцию наложить на второй угол. Решение было принято.

И тут же преподаватель выдвигает новое ограничение: нельзя рвать веревку. И опять выход был найден: 1) отмерить веревкой на сторонах углов от их вершин соответственно равные отрезки. Получим точки А, В и А , В . 2) Отмерить кусок веревки, равный расстоянию от точки А до В, и если расстояние А,В, будет равно ему, то и углы будут равны.

Конечно, после этого рассуждения возник разговор, почему же эти углы все-таки будут равны, а затем уже было дано определение.

Комментарий. С самых первых минут ребята были погружены в геометрию, в поиск решения практической задачи, да ещё на берегу Нила. Состоялась обычная житейская беседа, в которой взрослые проверяют практическую смекалку детей. Итак, для изучения нового понятия был подключен жизненный опыт учеников, их находчивость, смекалка.

Прием 2. С помощью маленьких задач, примеров выстраивается путешествие в глубины познания изучаемой темы.

Цель: тренировка памяти, наблюдательности, умения находить закономерности.

Основой заданий служит учебный материал, хорошо усвоенный школьниками. Предложенные ребятам задания должны подчеркнуть необходимость глубинного проникновения в смыслы изучаемого материала Задания просты, знакомы по форме, но требуют серьёзного анализа, пристального внимания к каждому слову, к каждому знаку.

Пример. На доске написаны простейшие тригонометрические уравнения и неравенства:

Взаимосвязь их друг с другом, нарастание сложности, новизна конструкции поддерживают внимание и интерес школьников. С решением каждого нового уравнения возрастает вера ученика в свои силы, в ус-

пех самого процесса познания, в который они незаметно включаются.

Прием 3. Предлагается провести экспертную проверку выполненной работы с опорой на интуицию и логику.

Цель: развитие внимания к смыслам, терминам, знакам. Осознание значимости их места и смысловой нагрузки.

На доске записаны уравнения и ответы к ним, среди которых есть как истинные, так и ложные. Предлагается подтвердить или опровергнуть достоверность предложенных ответов. Приветствуются способы проверки с опорой на здравый смысл, использующие сопоставление значений левой и правой частей уравнения и т.д.

Прием 4. Ученикам раздаются выполненные на предыдущем урок, контрольные работы. Работы учителем оценены, но ошибки не отмечены. Надо найти все ошибки и поговорить с автором.

Цель: Показать, что ошибка - начало нового процесса познания. Учащиеся довольно редко проверяют свое решение задачи, а тем более рассуждения другого человека. Тут же им предоставляется такая возможность.

На доске записано решение какого-либо примера или задачи с традиционными, наиболее часто встречающимися у ребят ошибками. Предлагается осуществить проверку каждого логического хода решения, и привести наиболее полное обоснование критических замечаний.

Пример. 7 класс. Проверить решения неравенств:

Прием 5. Классу даётся обычная задача, но учитель просит решить её необычно, красиво, быстро и просто. Цель: включить весь всех в поиск решения проблемы.

Дается обычная традиционная задача с традиционным решением. Предлагается найти более короткое и простое её решение.

Прием 6. После приветствия учитель, ”забывая” предложить ученикам сесть, сразу же рассказывает условие сложной задачи по рисунку, на доске, и предлагает её решить.

Цель: показать генерирование идей методом ”мозгового штурма”

Пример. В треугольнике ЛВС (рис.6) медианы АК и AL равны. Доказать, что треугольник ABC - равнобедренный

Ребята перечисляют то, что видят на чертеже и пытаются осмыслить данные задачи, сблизить условие и то, что требуется доказать. Предложение провести отрезок KL, открывает для рассмотрения новые геометрические фигуры: aOKL и дАОС. Быстро кто-нибудь из равенства медиан доказывает, что они равнобедренные и значит углы LAC и КСА, углы KLO и LKO - равны. Предложение учителя шире посмотреть на рисунок, увидеть и те его элементы, которые ещё не попадали в поле зрения, но которые необходимо рассмотреть, чтобы решить задачу, помогает увидеть треугольники KLA и KLC.

Их равенство по двум сторонам и углу между ними быстро доказывается, а значит, доказывается и равенство как отрезков АК и LC, как и отрезков AB и ВС. Задача решена, благодаря тому, что ребята слышали друг друга, подхватывали идеи, высказанные случайно, как бы невзначай, развивали их и давали им новую жизнь. Учитель следил лишь за тем, чтобы обсуждение не разъединяло данные задачи, её условие и то, что следует доказать, а всё время приближало их друг к другу.

Прием 7. Предлагается осуществить вхождение в текст, рассмотреть одно или несколько его слов, предложений распознать их смыслы насладиться их звучанием.

Рис.6

Цель: детально проанализировать смысл текста.

Урок начинается с чтения по фразам параграфа, заданного для самостоятельного изучения, сопровождающегося коллективным обсуждением их смысла. Ученики ответами на вопросы учителя доказывают глубину изучения темы. Если класс оказывается в затруднительном положении, то отвечают консультанты по этой теме. Консультантов, как правило, двух учеников, учитель назначает на предыдущем уроке.

Прием 7. Ученики читают текст учебника и, используя написанные на доске вопросы, выстраивают своё вхождение новую в тему.

Цель: самостоятельно изучить новую тему.

Вопросы на доске, помогают осмыслить ключевые моменты доказательства наиболее грудной для учащихся теоремы и лучше его запомнить. Ученикам, сидящим за одной партой, предлагается на отдельном листочке сделать чертеж к теореме и разобрать ее доказательство, последовательно отвечая на каждый вопрос.

Прием 8. Раздаются геометрические фигуры, их надо рассмотреть, нарисовать образ, распознать их свойства и представить в слове.

Цель: по рисунку образа геометрической фигуры исследовать её свойства

Ребята рисуют некоторую геометрическую фигуру и проводят небольшую исследовательскую работу по определенному плану.

Пример. Шестиклассники с помощью линейки и чертёжного угольника рисуют четырёхугольник с попарно параллельными сторонами. Учитель говорит, что такой четырёхугольник называют параллелограммом. Затем ребята сравнивают его углы (измеряя транспортиром) и выясняют свойство углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и его противоположных углов. Такая же работа проводится по изучению свойств диагоналей параллелограмма. Таким образом, мы от рассмотрения образа геометрической фигуры переходим к слову, которое проявило её свойства.

Прием 9. Классу предъявляется некий объект, понятие, слово, образ, предлагается сосредоточиться и проявить как можно больше свойств.

Цель: узнать многое о немногом, с помощью всматривания, вживания в суть, логику, детали какой-то одной проблемы, с непрерывным поиском путей её развития и решения.

Сосредоточиться на одном понятии и узнать о нём всё, рассматривая его в различных сочетаниях. Такую работу можно проделать с определением любого понятия, если поработать с его характерными свойствами. Выполняя работу подведения под понятие, ребята рассматривают различные примеры, в которых обнаруживается наличие всех перечисленных в определении понятия свойств. Положительный вывод делается только при наличии всех свойств. Вспомните хотя бы такую работу с определением предела последовательности, когда мы утверждаем, что это число - предел последовательности, а вот это -нет.

Прием 10. Ребята читают математические сказки, которые они написали дома.

Цель: представить классу авторов - сказителей

Представления сказок сказители ждут с нетерпением. Известный ученый-педагог А. И. Маркушевич писал, что человек, не воспитывающийся на сказках, труднее воспринимает мир идеальных стремлений, что благодаря сказкам ребенок начинает отличать реальное от необычного, что нельзя развить, минуя стихию сказки, не только воображение, но и первые навыки критического мышления. Приведём несколько сказок, написанных ребятами.

СКАЗКИ. ЛУЧ

— Я очень важен, потому что бесконечен! — хвалился Луч.

— Не важничай! — сказала Точка.— Ведь это я даю тебе начало, без меня тебе не обойтись. Да если я еще раз встану на твоем пути, то отрежу от тебя отрезок.

— Чем же я хуже? — обиделась Прямая. — Каждый должен идти к цели по прямой, иначе его ждут беды! Да к тому же по мне можно двигаться в обе стороны, чего ты, луч, не можешь себе позволить.

Смутился луч и отправился дальше, признав правоту своих родственников.

СЫНОК

У прямой был сынок-отрезок. Всем хорош, но ограничен. Очень хотелось ему знать, что там, за горизонтом. И вот стал он тянуться, чтобы заглянуть вдаль. Тянулся, тянулся и лопнул. Теперь у прямой два сыночка-луча. Они постоянно убегают и приносят в дом интересные новости о жизни отдельных точек.

ДВЕ ПРЯМЫЕ

Жили-были две прямые. Поспорили они, кто первый добежит до бесконечности. И побежали. Бегут-бегут, и никак добежать не могут. Вдруг столкнулись, пересеклись и побежали в разные стороны искры-лучи из точек пересечения.

ДЕТИ

В некотором царстве, в некотором государстве жило положительное Число, а у этого Числа были очень положительная дочь — Дробь и совсем отрицательный сын — Процент.

Сын и дочь всегда спорили между собой, кто из них главнее, кто дороже Числу. Но хоть они и жили в Математическом городе, они совсем не знали математики, им было невдомек, что Процент и Дробь — это часть Числа, а поэтому для Числа они одинаково дороги.

ДЕД РАВНЯЛО

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внучка, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается, и радуется: хорошая ему смена растет.

ОЦЕНКА

На аккуратно нарисованной числовой прямой собрались на совещание разные числа: положительные, отрицательные и нуль. Председателем единогласно был избран нуль. Он и стал первым держать речь: «Уважаемые числа, мы собрались здесь для того, чтобы произвести оценку нашим действиям. Я должен отметить, хотя, может, это и нескромно, что от меня ведется отсчет всех чисел, поэтому я и буду давать вам оценку. Справа от меня расположены числа положительные, ничего отрицательного о них не скажешь. Слева — числа отрицательные, в жизни очень плохо быть отрицательным, но нам в математике часто без них не получить положительный ответ. Всяческого одобрения заслуживает модуль, который асегда неотрицательный.

Сидят числа и раздумывают: что стоит оценка нуля?

ПРЕКРАСНАЯ ФИГУРА

Где-то, когда-то в математическом царстве, геометрическом государстве существовала прекрасная, стройная фигура. Многие восхищались и преклонялись перед нею, но были и такие, которые ей завидовали и ненавидели ее. Среди последних было и отображение. Оно взяло и отобразило фигуру, ее образом стала клякса. И вот тогда все стали потешаться над фигурой. «Какая же ты прекрасная, если твое собственное отображение так ужасно?» Удивилась фигура и сказала: «Самое прекрасное можно отобразить ужасным, но прекрасное всегда останется прекрасным».

Прием 11. Предъявляется некоторая проблема, которую необходимо ”размять”, подготовить для поиска её решения.

Цель: разработка плана поиска решения некоторой проблемы. Рассматривается некоторая математическая проблема, которая еще не обсуждалась в классе. Ученики намечают план поиска ее решения.

Пример. Ещё до изучения темы ”Предел последовательности” в классе обсуждается способ вычисления площади эллипса, определение длины кривой линии, определение скорости движущегося тела в какой-то момент времени. Рассуждения свободны от правильного знания по каждому из этих вопросов, поэтому легко выдвигаются самые рискованные, кажущиеся даже не разумными идеи. В результате рассмотрения этих трëх задач, обсуждения проблем, связанных с их решением, приходим к необходимости введения понятия предела.

Прием 12. Полилог, который выстраивает учитель

по схеме: моё решение, твоё решение, наше решение.

Цель: поместить проблему в центр внимания всех, направить внимание ребят на поиск закономерностей, способных проявить целое.

На доске выполнены чертежи к домашним задачам (обычно перед уроком геометрии). По готовым чертежам обсуждаются их решения. Чертежи задач, отмеченные на них данные условия, убирают на время письменное слово, сосредотачивают внимание класса на геометрических фигурах. Слово не мешает творить образ. Дети мыслят образами.

Прием 13. Учитель приветствует класс и представляет главные лица сегодняшнего действия учеников, ”исполняющих сольную партию ”, - солистов.

Цель: помочь классу разглядеть индивидуальность тихого, скромного, спокойного, обычно незаметного на уроке ученика.

Солисты представляет классу решение серьёзной проблемы, которая была задана на дом. Им предстоит «защищать» решения домашних задач, решения которых они оформили на доске до урока. При назначении «солистов» учитывается сложность задач. Иногда по одной задаче «солирует» несколько ребят. Класс же следит за грамотностью изложения решения домашних задач, думает над различными способами, выбирает наилучший.

Прием 14. Вводится запрет на право пользоваться при ответе на вопросы словом. Разрешается: слушать, рассматривать, думать, показывать.

Цель: научить отвечать на вопросы учителя без использования громкого ахова.

Пример. 6 класс. Урок обобщения изученного геометрического материала. На столе у ребят прямоугольный равнобедренный угольник и прямоугольный угольник с углом 30°

Дается задание:

1. Молча подтвердить мысль:

1) Существует треугольник, в котором есть прямой угол. (Ученики поднимают один из угольников, лежащих у них на парте.)

2) Существует треугольник, в котором две стороны перпендикулярны. (Ученики поднимают один из угольников и пальцем показывают эти стороны.)

2. Молча опровергнуть утверждение:

1) Не найдется треугольника, в котором есть острый угол. (Ученики под-

нимают угольник с углом 30°, но держат его за острый угол.)

2) Не найдется треугольника, в котором сумма двух углов равна третьему. (Ученики поднимают один из двух угольников.)

Комментарий. Новизна здесь в подаче материала. Учащиеся без слов должны суметь аргументировать свою позицию, приведя примеры и контрпримеры, что, казалось бы, совсем не отвечает так часто звучащим на уроке требованиям учителя: «На мой вопрос отвечайте громко, четко, чтобы все слышали». Кроме того, такая организация работы позволяет сразу проверить правильность ответов каждого ученика.

Прием 15. Классу предлагаются доступные задания, отрабатывающие некоторые интеллектуальные умения, которые будут задействованы во второй части урока.

Целы показать, что поиск закономерности, лежащей в основе построения геометрической фигуры, в тексте задачи, примера, может позволить найти правильное решение проблемы, быстро и безошибочно запоминать большой объём информации.

Пример. 5 класс. Действия с обыкновенными дробями уже изучены. Учитель предлагает начертить в тетради квадрат 3 х 3 клетки. Такой же квадрат нарисован на доске.

Учитель говорит, что за одну минуту надо запомнить все числа квадрата и затем по команде записать их в своем квадрате. Учащимся сообщается, что запомнить все числа квадрата проще, если обнаружить закономерность его составления.

Затем показывается квадрат. Ученики обнаружили такие интересные закономерности составления квадрата:

1) по углам квадрата стоят последовательно числа, кратные 9, начиная с нуля, а между ними их среднее арифметическое;

2) по периметру квадрата стоят числа, первое из которых 0; а каждое следующее на 4^ больше предыдущего, и так до 27. Потому надо запомнить всего два числа: 0; 4-. Автор этой закономерности фактически открыл для себя арифметическую профессию:

Комментарий. Появление на уроках игры, которая обычно предлагалась на внеклассных занятиях, — неожиданность. Такое начало урока позволяет включить в работу весь класс, кроме того, способствует тренировке зрительной памяти, наблюдательности, учит поиску закономерностей составления

таблицы, а также помогает отрабатывать действия с дробями.

Приведём примеры других квадратов этой серии:

Числа 10,15, 20, 25 - кратные 5 (оно в центре);

Числа '^2>> 22— - среднее арифметическое двух соседних чисел.

Числа 5, -10, 20, -40, 80, - 160, 320, -640 — геометрическая прогрессия со знаменателем, равным — 2. Дети, незнакомые с этим понятием, обычно говорят, что каждое следующее число, начиная с 5, есть произведение предыдущего и числа —2.

Числа -3 и 3, 5 и -5, -8 и 8, 2 и -2 противоположные. Среднее число является суммой крайних. Запомнить надо два числа: -3 и 5: 2 = 5 + (-3) и т. д.

Следует запомнить два числа: -i и 2. Каждое следующее получается умножением двух предыдущих:

Прием 16. Рассматриваются нескольких частных проблем и осуществляется поиск их общего решения. Цель; показать возможность решения одной общей проблемы вместо нескольких частных.

Примеры. 1). 6 класс. Устное решение несколько уравнений / Задание дается, если ученики умеют раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить члены уравнения из одной части в другую/.

Первое уравнение решают обычным способом. После подтверждения правильности ответа предлагается дать другое решение, причем запрещается выполнять какие-либо действия, кроме анализа обеих частей уравнения.

Неожиданное требование: дать решение уравнения, не выполняя никаких преобразований. Из анализа правой и левой частей появляется такая цепочка рассуждения: уменьшаемое в правой части на единицу больше уменьшаемого левой части, а вычитаемое на единицу меньше. Следовательно, правая часть при любом х на две единицы больше левой части.

Второе уравнение закрепляет метод решения, найденный в первом случае, причем оно проще первого, поэтому успешное решение его учащимися обеспечено.

Третье уравнение решается быстро, если его преобразовать так:

Имеем два равных противоположных числа, следовательно,

Четвертый пример внешне похож на третий, но решаем его опять с помощью анализа левой и правой частей уравнения: левая часть неположительная, а правая не отрицательная, откуда х = 0.

2). 7класс. Дома надо было доказать неравенства:

Проверяется домашнее задание. Но привычное требование: «Расскажи, как ты решал первый пример» — не звучит в начале урока, Ребятам предлагается найти одно неравенство, которое можно легко доказать, исходя из заданных условий, и из которого сразу следует истинность всех данных неравенств. Таким неравенством является: а+1</>. Оно следует из неравенств: <з+1<3 и 6>3.

Комментарий. Неожиданность, новизна заключается в самом подходе к решению задачи, в поиске общего утверждения, из доказательства которого следует справедливость всех остальных.

Прием 17. Сложное - не сложно, простое, порой, гораздо сложнее, таков принцип конструирования этого приёма.

Цель: снять страх перед решением сложных задач.

Сложная проблема дается классу для решения на первых минутах урока, заставая класс врасплох. Опыт обучения, ожидания лёгких, организационных первых минут урока, и неожиданность появления проблемы, не позволяют появиться у ребят неуверенности в своих силах.

Пример. 8 класс. Урок повторения курса геометрии. На доске изображен равносторонний треугольник (рис. 7). Учитель читает задачу: Треугольник ABC равносторонний. Из точки А проведен луч и на нем взята точка M так, что lBMA - 20°, _ AMC = 30°. Найдите угол ВАМ.

Рис.7

Первые минуты класс сосредоточенно разглядывает чертеж. Условие читается несколько раз, чтобы ни одно из данных не ускользнуло.

Для создания атмосферы успеха необходимо убедить ребят, что эта задача им доступна, что решение ее простое и красивое. Учитель просит называть любые зависимости между данными, между данными и искомым, которые удалось подметить. Отбирает те, которые быстрее приведут к цели. А решение действительно простое и красивое. Достаточно провести окружность с центром в точке В и радиусом AB, а затем доказать, что точка M лежит на ней. Тогда-то становится ясно, что z ВАМ =20°.

Перечислю те моменты, которые способствуют быстрому включению ребят в работу:

1) приготовленный заранее на доске чертеж, его простота;

2) легко воспринимаемое условие задачи;

3) коллективный поиск решения задачи;

4) четкая последовательность действий, направленных на поиск решения: рассмотреть чертеж, раскрыть смысл каждого изображенного объекта, увидеть его различные функции и, наконец, найти закономерность между ними.

Таким образом, в самом начале урока, когда ученики обычно не ждут от учителя особо сложных упражнений, была дана серьезная задача. Коллективное обсуждение ее снимает страх, что позволяет быстро найти решение, и создает положительный настрой на всю дальнейшую работу.

Роль учителя в этом эпизоде урока значительна. Необходимо слышать все предложения ребят и способствовать тому, чтобы их услышал класс, правильно реагировать на все предложения учеников, обоснованно отвергать те, которые уводят от решения. Идея дополнительного

построения возникает сразу после того, как кто-нибудь из ребят обратит внимание на то, что отрезок АС из точки A4 виден под утлом в два раза меньшим, чем из точки В.

Комментарий. Общим во всех приведенных примерах является стремление вызвать противоречие между теми установками, шаблонами, которые у ученика сформировались в процессе обучения, и той ситуацией, рассмотреть которую ему предлагалось.

Используя способы организации первых минут урока, содержащие в качестве элемента новизны необычную форму подачи материала, учитель стимулирует познавательную активность школьников. «Физиологической основой познавательной активности является рассогласование между наличной ситуацией и прошлым опытом. Особое значение на этапе включения ученика в активную познавательную деятельность имеет ориентировочно-исследовательский рефлекс, представляющий собой реакцию организма на необычные изменения во внешней среде» / Шамова Т. И. Активизация учения школьников.— М.: Педагогика. 1982.—С. 49./.

”Не снабжайте детей готовыми формулами, формулы - пустота, обогатите их образам и картинами, на которых видны связующие нити”.

Антуан де Сент-Экзюпери

Многообразие способов построения урока на одну тему

Жизнь - это сплошное вопрошание. Но почему же так мало звучит вопросов детей в школе, почему школа - это место, куда приходят со своими вопросами взрослые, которых называют учителями. Учитель - это человек, которого кто-то выбрал для того, чтобы у него учиться. Учиться - быть рядом с учителем, находиться в той атмосфере, которую мастер создает вокруг себя своим творчеством, своим отношением к жизни. Учиться - постоянно открывать себя себе, открывать себя людям, миру. Учиться - вырастать из себя в себя, в себя настоящего. Учиться, как сказал ученик пятого класса из Санкт- Петербурга Стёпа Малашин: ”Раздвигать границы своего ума”. Думаю, что не только ”границы ума”, ожидают своего изменения в процессе учения, но и все другие границы, которыми за время взросления человека общество успело сковать личность ребёнка. Вспомните учителей, которых нашли себе великие художники эпохи возрождения Рафаэль, Микеланджело, Леонардо. Находясь рядом со своими учителями, они сумели уберечь свободу, свободу своего творчества, мысли, взгляда на окружавшую их жизнь, смогли пойти в творчестве дорогой, известной только лишь им.

Учителя великих мастеров возрождения работали рядом, вместе со своими учениками. Ученики участвовали в работе, которую создавал их учитель, именно создавал на их глазах, создавал вместе с ними. Ученики становились свидетелями всех удач и провалов своего учителя, при этом учитель обладал огромным авторитетом, хотя и не был безгрешен. Хорошая психологическая атмосфера мастерской художника порождала у учеников желание творить.

Урок в школе поможет ученику стать успешной личностью, если в нём присутствует аура творчества, наполненная постоянными сомнениями, живущими рядом с удачами и поражениями. Урок, на котором ученик на равных с учителем ищет свою дорогу познания, как науки, так и жизни; заметим, что учитель начал этот поиск намного раньше.

Выиграть урок, отвоевать его от скуки, лени, безынициативности, школярства, психологически расположить процесс познания в пространстве внимания ученика, - одна из сложнейших задач, которая стоит перед входящим в класс учителем. Порой все попытки его вовлечь ученика в работу на уроке тормозит неудачный опыт учения в предыдущие годы. Он привык к другому темпу урока, ритму, иной манере преподавания, у него сформировался определенный стиль работы на уроке, далеко не всегда эффективный, полезный для него, как для развивающейся личности. Причиной неприятия не только позиции учителя, но и учения вообще может стать несоответствие образа учителя тому, который создали в своём сознании родители, во время своего учения в школе. Ребёнку передаётся образ хорошего учителя, которого надо уважать, и хорошего ученика, примеру которого стоит подражать. Однажды на школьном пороге отец дал такое напутствие сыну: ”””Не потеряйся!” По-моему хорошо, если это напутствие отца ребёнок запомнит на всю жизнь. ”Не потеряйся!” - не потеряй себя, общаясь с другими, не потеряй себя, учась у других, не потеряйся среди других, проявляй свою самость, свою индивидуальность.

Атмосфера на уроке определяется личностями учителя и ученика, логикой построения их взаимодействия друг с другом и с изучаемым предметом. Учитель придумщик, автор действий школьника на уроке. Когда он сидит дома перед чистым листом бумаги и сочиняет завтрашний урок, его состояние сродни состоянию художника, приступающего к новой картине. Он стремится не только отразить в своем уроке учебный материал, но, главное, старается выстроить час жизни ребёнка с пользой для него, без занудства и скуки. Он видит глаза

своих учеников, участников всех своих придумок. Они могут поддержать его начинания, если действие, придуманное для них учителем необычно, увлекательно, интересно, трудно, но посильно. Они молча заблокируют план урока, который требует от них лишь покорности и повиновения, тогда учитель будет говорить, а дети в это время отправятся в путешествие по своему молчанию. Эффективность плана урока определяется, с одной стороны, запланированной в нём деятельностью ребят, не сковывающей их мысль, инициативу, творчество, с другой - разумной направленностью их самостоятельного исследования проблем, очерченных школьной программой.

Рассмотрим структуру и содержание некоторых планов урока. Поговорим о их достоинствах и недостатках

Планы уроков по теме: «Функция у = ах2 и ее график».

Вариант 1.

I. Устно:

4 Представьте данное выражение в виде степени с основанием Ъ: Ь2 • b- Ь4 ; Ьб -

Представьте данное выражение в виде квадрата или куба:

Вычислите:

Сравните:

2. На доске дана таблица значений функции у = дг при х, равных:

и нарисован ее график.

Сообщается тема урока.

3.Учитель вместе с классом рассматривает таблицу и этапы построения графика у=Х~.

4. Один ученик, под руководством учителя, строит график функции у = х~ на доске, остальные ученики — в тетрадях.

5. Аналогично строятся графики функций:

6. Выясняется сходство графиков ;

(каждый из них расположен в верхней полуплоскости, проходит через начало координат и симметричен относительно оси у) и их отличие (точки второго графика с теми же абсциссами имеют ординаты в 3 раза меньше).

7. Сравниваются расположения графиков функций относительно осей координат (равным абсциссам соответствуют противоположные

ординаты, графики симметричны относительно оси х, каждый из графиков симметричен относительно оси у).

8. По графику функции решаются упражнения типа: по абсциссе точки графика найти ее ординату, установить, принадлежит ли точка графику заданной функции или нет и др.

9. Домашнее задание. Теоретический материал параграфа; построить графики функций г = 2х2, у=0,5х2, у=0,1х2.

Вариант 2.

1)Устно решить уравнения:

2) Решить неравенства:

3) Установить, какие из графиков следующих функций расположены только над осью х: а) у = 2х+ 1; б) у=х2; в) у=х+7; г) у = |х|+ 1;

4) Найти общее в расположении графиков функций:

(Расположены над осью х, не имеют точек пересечения с осью х, симметричны относительно оси у).

5) Учитель вместе с классом рассматривает этапы построения, изображенного на доске, графика функции у = х2.

6) Ученики в одной системе координат строят графики функций выясняют их симметрию относительно оси x (построение ребята осуществляют самостоятельно, но под контролем учителя, используя таблицы значений каждой функции, составленной учителем заранее).

7) Класс вместе с учителем строит графики функций:

8) После анализа построенных графиков выдвигается гипотеза:

а) если а>0, то график функции у = ах2 расположен в верхней полуплоскости, если а <0 — в нижней.

9) Учитель говорит, что график функции у = ах2, где а любое отличное от нуля действительное число, и х- любое действительное число,

называется параболой; если же функция у = ах2, где, задана на некотором множестве действительных чисел, то ее графиком служит часть параболы.

10)Домашнее задание.

Вариант 3.

I. Рассмотрите графики, которые изображены на доске (рис.8)

рис.8

2. Назовите общие свойства функций, графики, которых вы видите.

1. Область определения — вся числовая прямая. 2. Область значений — промежуток [0; ао ). 3. Убывает на промежутке (— оо ; 0]. 4. Возрастает на промежутке [0; ос ). 5. График каждой из них симметричен относительно оси у.

3. Допустим, что на доске изображены графики функций = f(x), у = g(x) и у =(р(х) соответственно. Изобразите графики функций:

у = —f (х), у — —g (х);у =-ф (х) (в то время как учащиеся строят графики в тетрадях, учитель выполняет эту работу на доске).

4. Назовите общие свойства функций, графики которых вы построили.

5. Найдите различные свойства функций =/(х) иу = —f(x).

6. Учитель сообщает: а) все шесть графиков есть графики функций вида у = ах2, а*0, х-любое число, б) график функции у = ах2 при а*0 называется параболой.

7. Ответьте на вопросы и выполните задания: 1) Как проще найти а для функции у = ах2, если график ее известен? 2) Записать каждую из шести функции, график;, которых изображены на доске. 3) Определить расположение графика функции у = ах2 относительно оси х, если: а) а>0; б) а<0?

8. Рассмотрите на доске графики функций

выполните задания: 1) Найти значение каждой функции при х: — 2; —2; 0. 2) По графику функции у ~~ х2 найти все значения, при которых 1 < у £4. 3) Сравнить значения функций:

9. Самостоятельно построить графики функций

10. Домашнее задание. Теоретический материал параграфа;

построить график функции у = х2.

Вариант 4.

1 Учитель обсуждает с классом проблему решения системы уравнений

Выясняется, что метод подстановки приводит к квадратному уравнению, которое пока не решить. Предлагается графический способ решения систем, но график функции у ~ х ещё не строили. Приступаем к анализу равенства^ = х , распознаём некоторые детали расположения графика у = х в системе координат: i). у >о, следовательно, график расположен не ниже оси х. 2). Точка О (0;0) принадлежит этому графику. Выясняем, что она единственная общая точка графика функции у = х2 и оси ж. 3). Значение у существует для любого значения х, причем любым двум противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у, следовательно, график функции у = ж2 симметричен относительно оси у.

Составляется таблица значений функции у = х2, строится ее график и график функции у = 2х+3, ищется приближенное решение системы.

2. Учитель сообщает, что функция у = х2 есть частный случай функции j; = ах2, при а = 1. График функции >> = ах2, где а - любое отличное от нуля действительное число, их- любое действительное число, называется параболой.

3.Решить графически системы: \

(таблица значений функции У=т>х* Дана на доске).

4. Домашнее задание. 1) Прочитать соответствующий параграф и письменно ответить на вопросы: а) Какая кривая является графиком у= ах2, а*0? б) Где, в каких четвертях находится график функции у = ах2 при а>0; а<0? в) Какие по знаку значения принимает функция у = ах2 при а<0 ; а>0? г) Как расположен график у = ах2 относительно оси у? д) Как найти а, если есть график функции у = аг? 2) Построить графики функций у = — х2, у = 2Х2.

Вариант 5.

1 .Класс разделен на группы X и У. Ученикам сообщается, что сегодня будем строить график функции у = at2, где а^О. График этой функции называется параболой; a может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Группа X будет исследовать свойства этой функции при отрицательных значениях ау группа Y — при положительных. Каждая группа составляет таблицу значений х и у.

2. Группа X строит график функции у = —2х2, группа Y — график

функции у = 2х . После того, как большинство учеников закончит построение, учитель изображает графики на доске, чтобы учащиеся проверили свои построения.

3. Каждая группа исследует свой график по плану: 1) область определения функции. 2) Область значений функции. 3) Значение х, при котором у = 0.

4) Оси симметрии графика. 5) Промежутки, на которых большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

4. Представители каждой группы рассказывают о результатах своего исследования, при этом выясняется, какие свойства исследуемых функций совпадают и в чем их отличие.

5. Классу предлагается привести пример функции, которая была бы отлична от функции;; = ах2, но обладала бы такими же свойствами: 1).

График её симметричен относительно оси у. 2). При х = 0 у = 0. 3). При а>0 у> 0, при а <0 у< 0.

6. Класс схематично строит графики функций в одной и той же системе координат (без таблицы значений х и у). Группа X: а) у - х2 ;

7. Выясните зависимость расположения графика функции у = ах от значения а.

8. Строятся графики функций. Группа Х:

если X принимает лишь значения:

Группа Y: у = 2х*, если х принимает лишь значения

Выясняется, что построенные графики представляют собой часть графиков

9. Учитель еще раз перечисляет свойства функции у = ах2 при а>0, и при а<0.

10. Домашнее Задание. Построить графики функций и записать их свойства.

Группа X:

Группа Y:

Вариант 6.

1.Ученикам сообщается, что сегодня перед ними стоит задача построить график функции у = ах2, афО. Выясняются особенности, которыми должен обладать графику = ах2'

Учитель предлагаете) Посмотрите на правую часть равенства и выясните: какой линией график не может быть наверняка. ( Прямой, так как она задается уравнением у = ах + о или X = х0.)

2) Найдите, если они есть, общие точки графиков функций у * ах2 и у = ах.

3) Выясните существование у графика функции у=ах2 точки с ординатой а, отлич-

ной от точки (1; а).

4) Расположение графика функции у = ах2 зависит от коэффициента а. Скажите, как будет располагаться график функции у = ах2 относительно оси х в зависимости от того, положительное число а и; и отрицательное. Перед ответом на вопрос, внимательно посмотрите на обе части равенства у = ах2.

5) Мы с вами уже нашли две точки, имеющие ординату, равную а. Выясните, единственные ли эти точки графика, имеющие равные ординаты.

6) Обобщите сделанное наблюдение.

7) Как будет расположен график у = ах* относительно оси у?

2. Рассматриваются графики (рис.9) и устанавливается, может ли какой-либо из них быть графиком функции у=х2.

На доске перечислены особенностей расположения графика у -ах2, обнаруженные в предыдущей работе:

1). Пересекается в единственной точке с любой прямой, проведенной параллельно оси у. 2). Проходит через начало координат. 3). Не является прямой. 4). При а>0 расположен не ниже оси х; при а<0 не выше оси х. 5). Если точка M (х0; у0) принадлежит графику, то и точка M ( — х0; у J принадлежит графику. 6). Имеет лишь единственную общую точку с осью X.

Учащиеся руководствуются правилом (написано на доске):

1. Если все шесть свойств выполнены, то можно дать положительный ответ.

2. Если хотя бы одно свойство не выполнено, ответ отрицательный.

3. Если про какое-то свойство нельзя дать однозначного ответа, то ничего определенного сказать о графике нельзя.

Около каждого графика составляется таблица, в которой отмечается знаком « +» наличие того или иного свойства, знаком « — » при его отсутствии.

Применяя это правило к каждому графику, учащиеся убеждаются, что всем перечисленным свойствам удовлетворяют графики 2, 8, 10. Затем выясняется, что графики 2, 8 содержат точки, координаты которых не удовлетворяют равенству у = х2, и делается вывод, что, скорее всего графиком функции = х2 является график 10.

3.Строится по точкам график функции у=Х2. (Учитель выполняет построение на доске, дети — на миллиметровой бумаге.)

4. Графики функций

строятся самостоятельно.

5.Домашнее задание. Теоретический материал параграфа; построить графики функций:

Разговор с коллегой. / Комментарий шести планов урока/ .

Вариант 1 План урока рассчитан на использование репродуктивного метода обучения. Методом беседы учитель при помощи серии вопросов помогает школьникам понять способ построения графиков функций у = х2 и у = ^х2. Познавательная активность учащихся пробуждается в тот момент, когда ребята анализируют построенные графики, ищут сходство и различия их свойств. В недостаточной степени используется метод контроля, к тому же самостоятель-

ная деятельность школьников ограничена либо показом учителя, либо демонстрацией решений, выполняемых учениками у доски. Устная работа в начале урока слабо связана со всем следующим материалом, хотя и содержи- ряд примеров, требующих от школьников инициативы и некоторых элементов творчества.

Вариант 2. В устной работе первой части урока запланировано решение творческих задач, направленных на активизацию мысли ребят. Они поставлены в условия, в которых вынуждены постоянно анализировать, сравнивать, делать выводы. Эта часть урока как бы приводит в систему все знания, необходимые для изучения нового материала. Налицо все условия для мотивационной основы творческой деятельности: необычны задания, но доступен уровень их сложности. Все это позволяет сконцентрировать внимание класса на рассматриваемой проблеме.

Графики функций у =-г и у =---строятся учащимися самостоятельно, хотя эта работа для них по сути новая, но подготовлена разбором этапов построения графика функции у = х2. Задания интригуют ребят, каждое следующее упражнение как бы вызывает ученика на «дуэль», предлагая проверить прочность полученных знаний, смекалку, наблюдательность. Мотивационный момент изменил свою традиционную форму: через задачи он вкраплен в каждый этап урока. Спланированный таким образом урок должен пройти как бы на одном дыхании и для учителя, и для учеников. И не беда, если кто-то из ребят не справится с каким-то заданием самостоятельно, зато услышит его разбор, не беда, если не поймет решение какого-то примера, так как обычно одна и та же идея лежит в основе целого цикла упражнений. Практический результат учитель может получить и на следующих уроках. Здесь же важен сам процесс размышления, поиска ответа. Именно эта работа, которую должен будет выполнить ученик в интеллектуальном плане, здесь и продумана.

Вариант 3. На начальном этапе урока запланировано включение школьников в простую, доступную всем созерцательную деятельность — им предлагается рассмотреть несколько рисунков. И так как эта работа носит коллективный характер, то совсем нестрашно ошибиться при ответе на вопрос учителя. Первое задание дает возможность проявить свою наблюдательность сильным, средним ученикам и успокаивает слабых, как бы говоря им: «Не бойся, сегодня ты наверняка все поймешь, все просто, только постарайся вглядеться в рисунки, это ты умеешь делать».

На втором этапе работа более серьезная, почетная, но и это задание не упускает ни одного ученика класса. Ведь даже тот, кто не «позволил» себе с ним справиться, после разбора увидит, что вполне мог его сделать самостоятельно. Урок по форме легко обозрим. Постоянно требуется от детей лишь вглядеться в то, что изображено либо на доске, либо в тетрадях, но именно эта работа незаметно для ребят позволяет им получить необходимые знания. Этот вариант планирует активную самостоятельную исследовательскую деятельность ребят на уроке. Для учителя приготовлена роль дирижера.

Вариант 4. Первое задание ставит своей задачей показать практическую необходимость изучения новой темы и умения строить график функции у = ах2. Ученики сталкиваются с определенной проблемой и ищут путь ее решения. Сформулированные вопросы домашнего задания организуют самостоятельную работу учащихся с текстом учебника; дают возможность учителю проверить осознанность действий школьника.

Вариант 5. В уроке используются игровые элементы. Ребята учатся самостоятельно исследовать некоторую ситуацию, слушать товарищей, анализировать их точку зрения по решению аналогичной проблемы, сравнивать полученные результаты. Формируется умение работать в коллективе.

Вариант 6. Урок, как и в третьем варианте, начинается с анализа. Но если в третьем варианте удачно справиться с этой мыслительной операцией помогают рисунки, то здесь рассматривается каждая часть анализируемого равенство. Такая работа, конечно, сложна для некоторой части класса, но приучать к ней просто необходимо. Система вопросов учителя позволяет глазу ученика остановиться и пристально посмотреть то на выражение, стоящее справа от знака равенства, то слева. Каждый ученик постепенно мысленно рисует график функции у = ах2 , постоянно корректируя свою картинку после ответа одноклассника на новый вопрос учителя.

Второй этап урока предлагает сравнить и в то же время уточнить вид кривой у - X7 с образцами, предложенными на доске. Из десяти графиков подбира-

рис.9

ется тот, который наиболее подходит на роль графика функции у=х2. Но эта работа выполняется не хаотично, а по четкому плану. Перечислены шесть обязательных требований к графику квадратичной функции. Именно они дают возможность выполнить так часто встречаемое в процессе изучения курса математики действие подведения под понятие. Значение его огромно, так как без правильного выполнения этой операции просто невозможно применять на практике ни одно заученное определение. Здесь же эту операцию ученики повторят десять раз. Кроме того, запланировано обучение умению делать прикидки, по некоторым параметрам из большого набора объектов выбирать достойные изучения,

Домашнее задание как бы планирует радость открытия, которое может сделать ученик дома (вместо четырех графиков на самом деле надо построить всего один).

Мне говорили: не надо, не бери, не трогай, обожжешься. Смотри, не вздумай трогать, не бери в руки - надорвёшься, порежешься. Мне говорили: читай, пиши. И я пытался, я выбирал слово, но оно рвалось прочь, вереща, как напуганная, раненная курица в чёрной соломенной клетке, покрытой пятнами засохшей крови. Ив Бонфуа.

Два урока на одну тему

Урок учителя по одной теме в двух восьмых классах. Классы разные по составу, интересу к математике, к жизни в школе и вне её, к самому процессу познания. Отличаются они и по знанию математики, и по степени сформированности их интеллектуальных умений, по тактике своей работы на уроке. Пассивное послушание, молчаливое слушание, покорное повторение слов учителя на уроке одного класса противопоставляется инициативе, активности, творчеству ребят - другого. Одни ученики, при объяснении нового материала, следят за ходом мысли учителя, находятся с ним в постоянном мысленном диалоге, их внимание полностью погружено в математику. Работа других, находящихся в самом начале поиска своего пути познания, тормозится отсутствием необходимых для учебной работы интеллектуальные умения. Их желание быть успешными в учёбе так и остаётся не реализованным, а стиль работы, привитый в начальной школе, - слушать учителя, запоминать его слова, пересказывать их близко к оригиналу, переписывать текст с доски,- часто не приводит к успеху в средней школе. Поэтому план урока должен быть востребован ребятами, отвечать их психологической и интеллектуальной готовности, включать их в работу, требующую от них саморазвития, самопознания. При этом обилие разнообразных методических находок, расчет на быстрое вхождение ребят в тему, на серьёзную мыслительную работу на протяжении всего урока могут

не сработать. Как, впрочем, и в случае, когда план направлен лишь на отработку программных учебных умений, план, в котором не реализовано стремление ребят раскрыть и использовать здесь и сейчас свой творческий потенциал.

Два класса - два урока по одной теме. В каком же случае уроки учителя станут полезными для его учеников? Что должно войти в содержание плана уроков, какая структура урока будет востребована классом? Как ему всё это предугадать?

Возможно, профессионализм учителя и заключается в его умении выбрать и предложить ученикам то содержание занятия, тот стиль совместной работы на уроке, который им необходим. Именно им и только им.

Рассмотрим два урока алгебры в 8а и 86 классах. Попытаемся ответить на поставленные выше вопросы.

Урок в 8а классе: ”Корень из произведения и частного”. I. Мотивационный момент. Цель — настроить на мыслительную деятельность, сосредоточить их внимание на усвоение не только действий с корнями, но и на приемах человеческой мысли. Какие слова говорить в этот момент учителю? Главное, чтобы они примагничивали глаза детей к нему, чтобы ребята поверили и захотели учиться практически, применять приемы человеческой мысли;

II. Запишите в тетрадь выражение

Сократите эту дробь.

Ребята знают, что при а >0

и что интуитивно приходят к такому решению

III. Выпишите главные моменты решения:

Выясните: всегда ли эти равенства верны?

IV. Докажем, что

а) Выделите основные моменты доказательства./1. Подкоренное выра-

жение неотрицательно. 2. Правая часть неотрицательна. 3. Квадрат правой части равен подкоренному выражению, стоящему в левой части./

б) Проведите это доказательство молча.

в) Расскажите доказательство соседу по парте.

г) Сформулируйте словами то, что доказали (корень из квадрата неотрицательного числа равен произведению корней из этого числа, а так как 4~и- а -■ л/я ■ \[а , то корень из произведения двух одинаковых неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел).

д) Прочтите последнюю фразу и подумайте, верно, ли аналогичное утверждение для разных множителей: у/а-Ь =4а • 4b,a>0,è>0. Запишите в тетрадь это равенство и докажите его.

V. Напишите пример, опровергающий утверждение: корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел (л/(~ 2)-(- з) * • \1^~2>). Внесите коррективы в это утверждение, чтобы оно стало верным?

Обобщение:

если

если а и b одного знака.

VI. Итак, доказано, что при

(*). По аналогии с истинностью этого равенства можно предположить, что верно и такое равенство:

(**). Введите ограничения на а, Ь, с и докажите его.

VII. Рассмотрите еще раз доказанные на уроке равенства:

Комментарий: извлечение корня из произведения сначала распространили на случай, когда подкоренное выражение есть произведение двух не обязательно равных неотрицательных множителей, а затем и на случай трех различных неотрицательных множителей.

VIII. Обобщите полученные результаты, распространив их на корни третьей, четвертой, п-й степени из произведения m чисел.

IX. Устно решите:

Запишите свойство корней, которым вы здесь пользовались

X. Определите, верны ли равенства, и если верны, то при каком

условии

XI. Докажите, что

предварительно доказав, что:

XII. Рассмотрите ещё такой способ доказательства равенства:

Запишем его так

/Учащиеся замечают, что равенство оказалось недоказанным/.

Изучите доказательство:

XIII. На обложке тетради запишите:

XIV. На «сладкое» упростите выражение:

Урок в 8б классе. -Умножение квадратных корней” Учитель пересказывает притчу Ричарда Баха о коряге: жители селения расположенного на дне бурной реки из поколения в поколение передавали искусство удержаться, на месте, не быть смытым быстрым течением. Так все и держались: кто за камень, кто за дерево, кто за корягу. Один парнишка не выдержал и сказал:

- Что ж я так и буду всю жизнь держаться за корягу? А, что будет, если я её отпущу? -Что ты! Тебя подбросит. Перевернёт, ударит о камни, и ты разобьешься.

- Будь что будет, не могу я всю жизнь держаться за корягу, скучно, - сказал и отпустил корягу.

Его действительно подбросило, перевернуло, и он полетел куда-то. Когда он летел обратно над своим селением, люди смотрели на него с удивлением и восхищением.

- О, миссия,- говорили они. - Спаси нас.

- Вы что, не видите, это же я. Я, который осмелился оторваться от своей коряги. Хотите лететь со мной - оторвитесь и вы от своих коряг, и у вас начнется новая, полная не-

ожиданностеи и приключении жизнь.

Сказал и улетел, а люди ещё долго смотрели ему вслед, не веря, что это он, житель их селения.

I. Расскажите о чём поведала эта притча. Слушаем. На доске написана тема урока: ”Умножение квадратных корней”. Ученикам предлагается записать в тетрадь тему урока не используя слова. Появляется запись:

II. Вопросы и задания:

1. Запишите без слов тему урока, если бы она звучала так: «Извлечение квадратного корня из произведения двух чисел»? / (л/ab )/.

^Предложите способ извлечения корня из произведения двух чисел. /

Z. Подтвердите разумность этого предположения примером.

4. Опровергните это предположение примером.

III. В равенстве введите ограничения на a и Ъ. Сформулируйте это утверждение. Докажите его устно. Запишите доказательство в тетрадь.

IV. Вопрос: как перемножить два числа, каждое из которых — арифметический квадратный корень?

Выясняется, что для этого необходимо выполнить две операции: 1. перемножить подкоренные выражения. 2. Извлечь корень из полученного произведения.

V. Устно вычислите:

VI. Извлечь корень:

Установите отношение этого примера к изучаемой теме и придумайте способ извлечения корня из числа 2304? Возникает идея разложить подкоренное выражение на множители:

VII. Опираясь на доказанное и на решенный пример

сделайте обобщение теоремы об извлечении корня из произведения.

Даются два приема выполнения обобщения. 1. Заменить постоянные множители переменной. 2. Отбросить ограничения. Первый прием. Заменить постоянные:

переменными:

Второй прием применяем уже к равенству:

Снимаем ограничения: а) первое ограничение: два множителя под знаком корня. Получаем корень из произведения трех неотрицательных множителей;

6) второе ограничение: три множителя. Получаем m неотрицательных множителей; в) третье ограничение: корень квадратный. Получаем корень л-й степени; г) четвертое ограничение: корень извлекается из произведения m неотрицательных множителей.

Выясните и запишите равенством случай, когда множители подкоренного выражения отрицательны, а оно само - неотрицательно.

VIII.Рассмотрим мыслительную операцию: конкретизация. Она осуществляется так: переменные заменяются постоянными.

Пусть равенство Ja-b -4а -л[ь доказано для всех неотрицательных чисел. Рассмотрим его на некоторой части этого множества и применим прием конкретизации. Пример: пусть доказано, что

Если заменить теперь переменную н постоянной, числом 3, то получим:

если затем и переменной m дать конкретное значение 2, то получим

В этом примере первый прием конкретизации использован дважды.

IX. Вычислите:

X. Решите уравнения (устно):

XI. Рассмотрите примеры из учебника, и определите общий метод решения для каждой группы примеров, например:

Общий метод решения:

Общий метод решения:

привести к выражению

и использовать прием предыдущего примера.

Общий метод решения:

Общий метод решения:

Общий метод решения:

Общий метод:

Разговор с коллегой.

Класс А. Первое задание урока (сократить дробь) сразу включило учащихся в знакомую, по сути, работу. Справиться же с теми моментами, которые еще не изучались и явились темой обсуждения, должна были помочь интуиция и понимание смысла определения корня. Но этот пример позволял вплотную подойти к новой теме, выделить, крут вопросов, которые надо решить в первую очередь.

IV этап урока продуман с точки зрения организации деятельности учеников: намечен план, предложено осуществить самостоятельно, предоставлена возможность сравнить доказательство с образцом и сформулировать его словами.

На V этапе продолжалась работа по достижению глубины понимания доказанного факта, его формулировки. Для этого правило формулировалось с умышленным пропуском слов о неотрицательности множителей произведения, стоящего под знаком корня. Для его опровержения необходимо было привести пример. Обобщение, сделанное учащимися, учитывает и тот случай, когда ab > О, и а < О, Ь< О.

На VI этапе делается еще одно обобщение, затем уточняются условия его выполнения, и дается доказательство (этап VII).

Этот этап, как впрочем, и некоторые предыдущие, открывает простор догадке ребят, предлагает им участвовать в работе по поиску свойств квадратных корней и их доказательству. Причем идёт постоянное возвращение к добытым ранее результатам. Так появляется более простой способ доказательства равенства:

VIII этап урока — остановка, осмысление сделанного, закрепление в памяти учеников самых важных результатов.

IX этап — конкретизация. Дается ряд «безобидных» примеров, легких, причем связанных друг с другом одним способом решения. Далее предлагается об-

думать, на основании какой теории решались примеры, формулируется соответствующее теоретическое предложение и затем даётся доказательство. Казалось бы, материал понят, и сомнений в этом не должно быть, но все-таки совершенно оправдано появление следующего этапа, который контролирует понимание, а не простое механическое запоминание условий, при которых равенство имеет смысл.

XI этап возвращает к III этапу урока, обсуждается последняя проблема: будет ли верно равенство

Еще раз рассматривается традиционное доказательство. Появляется возможность убедиться в том, что только что полученные результаты можно сразу пускать в работу, использовать при доказательстве следующих фактов. Но для этого в данном случае требуется увидеть в частном произведение

Момент интересен еще и тем, что ученики не успевают насладиться красотой доказательства, как сразу же им предлагается обнаружить то место, где их «обманули». Такие ситуации учат ребят осмысливать каждый этап при проведении любого доказательства. Действительно, их просто поражает, как это они пропустили момент, когда воспользовались тем, что надо доказать

Класс В, I и II этапы урока позволяют осознать тему, и, кроме того, дают возможность ребятам испытать радость успеха от разгадки вопросов учителя. Тут же появляется равенство, которое будет исследоваться на уроке. Ряд примеров помогает понять его смысл. Затем четко формулируется алгоритм умножения корней и тут же показывается его применение на примерах.

Пример, предложенный на VI этапе, показывает применение рассмотренного теоретического вопроса к новой ситуации, кроме того, он наталкивает на обобщение.

На VII этапе формулируются два приема, которыми выполняется эта мыслительная операция и тут же при помощи их делаются обобщения.

На VIII этапе таким же способом проходит знакомство учеников с приемами выполнения конкретизации. Остальная часть урока отводится решению конкретных уравнений по данной теме. При этом не только отрабатывается алгоритм умножения корней в элементарных ситуациях, но и умение следить за областью определения левой и правой частей.

Последний этап урока учит ребят видеть сразу общий метод решения целого цикла примеров и подготавливает их к выполнению задания.

Итак, на каждом уроке сверхзадачей являлось обучение выполнению приемов обобщения и конкретизации. Но в классе 8б эта работа была более конкретной. Четко выделены приемы выполнения каждой мыслительной операции и показана эта работа на ряде примеров. На первом же уроке были созданы условия для того, чтобы ученик догадался, какое обобщение надо сделать. До способа выполнения его, как и до самого обобщения, он должен был догадаться сам. Учить догадываться — это еще одна из сверхзадач первого

урока. На втором уроке класс в большей мере был подготовлен к выполнению домашнего задания, так как примеры учебника не только разобраны, но и дан общий прием решения каждого номера. Такую же работу 8а класс должен будет выполнить самостоятельно.

«...первый шаг сознания состоит в обращении к интуиции. ...схватывание слова выражается во внезапном появлении объекта.

Но, объект, разумеется, не конструируется реально, он присутствует здесь только «в образе» и, стало быть, сам по себе предстаёт как отсутствующий» Ж.-П. Сар

Анализ урока, который не получился

Урок геометрии в 7 классе. Тема «Перпендикуляр и наклонная» простая, все теоремы, которые надо здесь изучить, очевидны. Действительно, кто не видит, что перпендикуляр, проведенный из некоторой точки к прямой, короче наклонной, проведенной к этой же прямой из той же точки. Не вызывает сомнения и тот факт, что из двух наклонных та больше, у которой проекция больше, если наклонные проведены из одной точки к одной прямой. Очевидность утверждений создавала определенную трудность. Ребята в таких случаях обычно говорят: «Ну, это ерунда, ясно и так» — и перестают слушать. Необходимо было найти тот логический стержень урока, который подводил бы ребят к решению некоторой серьезной проблемы. Выбор был остановлен на понятии расстояния от точки до фигуры, причем как дополнительная трудность рассматривался вопрос об определении расстояния от точки, лежащей вне плоскости фигуры, это явилось обобщением изученного. Рассмотрение понятия «расстояние от точки до фигуры» давало, на мой взгляд, прекрасную возможность убедить ребят в необходимости изучения свойств наклонных и их проекций. Это подтверждает и дидактика, считающая, что умственное напряжение, преодоление затруднений развивают мышление учеников, повышают интерес к учению, создают у учащихся положительный эмоциональный настрой. Представим план этого урока.

Тема: ”Расстояние от точки до фигуры”. 7 класс На доске - рисунок болота. Точкой Р отмечено место нахождения Пети.

I. Нарисуйте отрезок, соединяющий точку Р с некоторой точкой болота, длину которого разумно было бы назвать расстоянием от точки Р до болота. Смотрим, слушаем, обсуждаем.

II. Нарисуйте окружность с центром в точке О /она изображает озеро/. Отметьте точку А вне окружности. Подумайте: что можно назвать расстоянием от некоторой точки А до озера. Сопоставьте своё новое

определение расстояния с определением расстояния от точки до болота. Смотрим, слушаем, обсуждаем.

III. Сформулируйте определение расстояния от точки плоскости до некоторой фигуры, лежащей в этой плоскости. Смотрим, слушаем, обсуждаем.

IV. Нарисуйте отрезок, длину которого назвали расстоянием от точки Р до фигуры, если фигура — прямая линия к.

V. Докажите, что перпендикуляр из точки Р до прямой к — самый короткий отрезок, соединяющий эту точку с точками прямой.

VI. Вводится определение наклонной. Сформулируйте утверждение о сравнительной длине перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки к одной прямой.

VII. Вводится понятие проекции наклонной, сравниваются длины наклонной и её проекции. Выясните истинность следующих утверждений: 1). Перпендикуляр, проведенный к прямой, всегда меньше наклонной, проведенной к этой же прямой. 2). Если из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр всегда меньше наклонной. 3). Наклонная всегда длиннее перпендикуляра, если они проведены из одной точки к некоторой прямой. 4). Из любой точки можно провести перпендикуляр, который будет длиннее наклонной, проведенной из этой же точки.

VIII. Покажите на угольнике: а) перпендикуляр и прямую, к которой он проведен; б) наклонную и прямую, к которой она проведена; в) проекцию наклонной.

IX. Запишите в тетрадь доказательство теоремы о сравнении длин проекций равных наклонных, проведённых из одной точке.

X. Дайте определение расстояния от точки до прямой.

XI. Рассмотрите изображение куба (рис. 10 а), пусть его ребро равно 10 см. Найдите расстояние: а) от точки В, до плоскости а; б) от точки Ai до плоскости а; в) от точки N до плоскости а.

XII. Сформулируйте по аналогии с определением расстояния от точки плоскости до фигуры, лежащей в этой плоскости, определение расстояния от точки, лежащей вне плоскости, до этой плоскости.

Рис. 10

ХШ. Решите задачу: Дана пирамида (рис. 11) Ь). Как найти расстояние: а) от точки С до прямой AB; б) от точки Р до прямой AB?

Разговор с коллегой.

Итак, перед нами план урока. Посмотрим, в какую деятельность планируется включить учеников, и затем, возможно, станет ясно, почему же этот урок не получился.

На первом этапе привлекается жизненный опыт ребят и в результате возникает чисто интуитивное понятие расстояния от точки плоскости до фигуры этой плоскости. На втором этапе это понятие осознается еще на одном примере, взятом из практики. И, наконец, на третьем этапе формулируется само определение расстояния от точки до фигуры.

Следующий этап заставляет перейти от только что сделанного обобщения к конкретной ситуации, и появляется понятие расстояния от точки до прямой. Сначала опять делается расчет на догадку ребят, поэтому и предлагается им провести перпендикуляр из точки Р к прямой и задуматься о том, как доказать, что он самый короткий из всех отрезков, соединяющих точку Р с точками прямой. Естественно возникает необходимость доказать теорему о сравнении длины перпендикуляра и наклонной. Логика урока ясна, и поэтому изучение новой темы начинается как бы само собой.

На IX этапе идет работа по формированию глубины понимания теоремы о перпендикуляре и наклонной. Ребята учатся строго относиться к каждому слову теоремы, еще раз вникая в смысл доказанного утверждения.

Отработка понятий «наклонная» и «ее проекция» идет и на X— XI этапах урока, причем для этой цели используется модель — обычный чертежный угольник.

Надо отметить, что доказательства разобранных теорем (о сравнении длины перпендикуляра и наклонной, наклонных и их проекций) не были записаны в тетради. Они разбирались устно, но все этапы доказательства учитель записывал на доске. И только на XII этапе урока было предложено самостоятельно доказать и записать в тетрадь теорему о проекциях и равных наклонных. При рассмотрении такого построения занятия естественно возникает сомнение, все ли дети впоследствии будут в состоянии доказать изученные на уроке теоремы. Этот вопрос волновал и учителя. Поэтому на следующий день после проведенного занятия на уроке алгебры, урок геометрии был через день, была дана контрольная, в которой требовалось доказать все три теоремы. Ученики не успели еще выучить ее дома. Да к тому же не были психологически готовы к опросу по геометрии. Но, несмотря на это, с работой справились успешно. Так, специальные умения, отработка которых требуется программой, были сформированы в результате деятельности, направленной на изучение сути рассматриваемых понятий, а не путем натаскивания с помощью многократного повторения. Понятия «наклонная», «проекция», «перпендикуляр», «расстояние» изучались в их взаимосвязи. В финале этого процесса был осуществлен очередной выход в пространство: обобщено понятие «расстояние от точки до фигуры» на случай, когда точка не лежит в плоскости фигуры, и показано применение этого определения при решении пространственной задачи.

Казалось бы, успех такого урока гарантирован, тем более что и все нужные по программе теоремы дети сумели доказать уже на следующий день. Такой план урока дал возможность создать условия для творчества ребят, их фантазии, догадки. Урок был насыщен математикой, а именно из-за недостатка самой математики урок математики часто не получается.

Новый материал логично следовал из рассмотрения практических задач. Решена хорошая пространственная задача, которую раньше решали в школе лишь на уроках в IX классе.

И все же чего-то для ребят не хватало. Когда урок был окончен, директор школы случайно услышала разговор двух учеников:

— Ну, как тебе урок? — спросил один.

— Хорошо было, но прошлый раз мне больше понравилось,— сказал другой.

По глазам ребят, по их лицам на занятии было понятно и учителю, что чего-то не хва-

тало для того, чтобы настроение детей было праздничное. А таким оно бывает после преодоления какой-то трудности, от радостного ощущения, что ты смог с ней справиться. Здесь же все виды деятельности, которые были запланированы для ребят, знакомы и по предыдущим урокам, и даже выход в пространство он* тоже осуществляли неоднократно. Урок не удивлял ни конструкцией, ни содержанием. 6 нем не было для них чуда. Урок не содержал интриги, способной заворожить. Таким чудом, но до этого удалось додуматься лишь только после того, как урок прошел, на следующий день, на занятии математического кружка, мог бы стать софизм: катет равен гипотенузе.

Пусть ВО (рис. 11) — биссектриса угла В, О — середина катета AC, DOIAC, ОЕ1.ВС, OF IBA.

Так как точка О расположена на биссектрисе угла В, то Л BFO=\BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому BF=BE (1).

Далее ОА=ОС, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку АС, проходящего через середину АС, равноудалена от А и С. Так как OF = ОЕ, то AAOF=ACOE и поэтому AF=CE (2). Складывая равенства (1) и (2), получим: AB = СВ, т. е. катет равен гипотенузе.

Если ребята догадаются, что точка О не может быть внутри ДАВС, тогда можно показать, что если О вне ААВС или на его стороне, то опять AB = СВ (рис. 12), т. е. показать, что BF = BE, AF=CE. Отсюда AB = СВ.

Ошибка в том, что на самом деле точка F расположена вне отрезка ВА, а Е — на отрезке В.

Это наверняка бы их удивило и в конце урока сработало бы на поддержание активного внимания. Действительно, только что доказали, что наклонная больше перпендикуляра (если они проведены из одной точки к одной прямой), и вдруг этот софизм. Возникшее противоречие явилось бы той пружиной, которая сработала бы на более полное, более глубокое осознание материала. Ребятам было бы, где проявить свою смекалку, посостязаться друг с другом в поиске логической ошибки. Был бы свой герой дня, обнаружившей ее, и весь класс ощутил бы гордость за него и радость победы. Ведь если их сверстник смог одержать победу в единоборстве с такой серьезной проблемой, то и они смогут — не сегодня, так завтра.

Хороший урок обязательно содержит свое чудо, свою тайну, свою интригу, как и любой хороший спектакль.

Какова же структура анализа урока, который не получился:

• сопоставление этапов урока, зафиксированных в плане, с реальным ходом урока;

• определение этапа урока, с которого класс стал терять интерес к действию, выстраиваемому учителем;

• анализ возможных причин психологического и дидактического характера, вызвавших потерю интереса и внимания класса к действиям учителя;

• поиск других вариантов плана урока, замена структуры урока в тех его частях, в которых учитель терял контакт с классом;

• обсуждение нового варианта плана урока с коллегой.

рис.11

рис.12

Уроки исследования смыслов одного понятия, слова, образа

Материала для уроков, посвященных исследованию смыслов понятия, слова, образа, школьная математика предоставляет предостаточно. Разработка технологии распознавания смыслов слов, предложений школьного учебника, научного текста, рассмотрения образа геометрических фигур, понятий, изучаемых в курсе алгебры, геометрии, таких как: число, равенство, тождество, уравнение, предел последовательности, интеграл, площадь, объём, геометрическое тело и многих других - серьёзная педагогическая задача. Довольно часто быстрое сообщение определения понятия тормозит вхождение в его смыслы, а иногда они и совсем надолго скрываются за заученными словами определения, произносимыми автоматически, в нужной последовательности.

Смысл чего-либо трудно передать кому-либо. Раскрытие смысла требует структурирования процесса исследования, в результате которого в трудной работе, состоящий из прозрений, сомнений /куда идти дальше, что необходимо делать/, впадения в глубокое непонимание. Работа с проявлением смыслов требует помимо тихого, внутреннего монолога диалога с человеком, одержимым разгадкой той же проблемы, полилога в группе одноклассников. Формулируя на различных этапах исследования полученные результаты и представляя их в громком слове классу, осознавая их с позиции других, внеся необходимые коррективы, школьник отделяет истину от заблуждения и продолжает строительство понимания исследуемого понятия на новом уровне. На таких занятиях слово учителя неспешно, тихо. По своей значимости оно не должно мешать ученику в его процессе познании мира. Оно не выдаёт готовые истины. Истины рождаются через вопрошание, сомнение, через понимание своё и понимание ”Другого”. Две, а иногда и три позиции, высказанные одноклассниками, порой многословно, постепенно проясняют истину, выстраданную в интересной работе, к открытию которой ребята приступали как дилетанты. Истины, написанные в учебнике, часто чужие, как бы они хорошо не были изложены. Они не прожиты тобой, не твои, а потому - чужие. Приведём примеры таких занятий.

”Глубина - вот цель всякого размышления. Тот, чей ум подлинно глубок, должен научиться улавливать свою легкокрылую мысль и как бы удерживать её перед глазами, чтобы исследовать до конца, а также привести к определённой точке длинную цепь размышлений; тот, кому дарован подобный ум, особенно нуждается в ясности рассудительности”. Вовенарг

Исследование понятия ”Предел последовательности”

Мастерская ”Предел последовательности”. Вариант 1

1. Слово мастера. Первые задания, которые выполнит каждая группе, возможно, будут для вас новы и по содержанию, и по характеру той работы, которую предстоит выполнить. По мнению Норберта Винера, исследователю важно знать, что нужное решение новой проблемы где-то существует, ибо тогда позиция исследователя в корне меняется, у него создается впечатление, что он как бы уже прошёл половину пути к истине. Хочу вам сказать, что решение каждой проблемы, которую вы будете исследовать, существует.

Есть мнение, что идеи как бы витают в воздухе, и поэтому-то порой одно и то же открытие делают разные ученые одновременно. Вот и сегодня на мастерской прислушивайтесь друг к другу. Вслушивайтесь в тишину пространства класса. Не думайте о результате, за него вы не несёте никакой ответственности, ибо никто не знает истины, но все могут прикоснуться к процессу её поиска. Отбросьте чувство долга, ослабьте ”мысленный зажим”, проявите полное глубокое безразличие к тому, как вы будите выглядеть, насколько понравятся ваши мысли, идеи. Безразличие — к своей персоне и огромный интерес ко всему тому, что будет происходить в классе: к заданиям, к раздумьям ваших друзей.

И последнее: вспомните свой успех (победу в соревнованиях, олимпиадах, удачное выполнение задания), успех, который вам принес радость (и в этот момент ваши друзья смотрели на вас с восторгом). Воскресите в памяти любой из этих эпизодов, постарайтесь представить себе всю картину как можно детальнее. С помощью воображения представьте, как бы вы вели себя и что чувствовали, если бы уже преуспели и сегодня, выполнив все задания мастерской».

I. Каждая четверка получает задание.

№1 Придумайте, что можно было бы принять за касательную к кривой у = f(x) в точке А(рис. 13).

Рис. 13.

№2. Тело движется по закону S=f(x), график движения представлен на рисунке (рис.14). Подумайте, как можно вычислить скорость движения тела в точке А.

рис. 14

№3. Дана кривая AB (рис. 15).Придумайте, что вы приняли бы за ее длину.

Рис.15

№4. Придумайте, что принять за площадь заштрихованной фигуры (рис. 16).

рис.16

№5. Придумайте способ вычисления площади эллипса (рис. 17) (или площади круга).

Рис.17

II. Слушаем группы. (Группы отчитываются у доски.)

III.На доске написаны последовательности

Каждая четверка на листе бумаги перечисляет все вопросы, которые возникают в связи с рассмотрением вопроса: «Предел последовательности».

Вопросы: 1) Что это такое? 2) Всегда ли предел существует? 3) Если предел последовательности существует, то, сколько пределов может иметь последовательность? 4) Могут ли разные последовательности иметь один предел? 5) В связи с чем надо вводить это новое понятие? 6) Как найти предел суммы (произведения) двух последовательностей, если он существует? 7) Существует ли последовательность, каждый член которой совпадает с ее пределом?

IV. Слушаем группы.

V. Сформулируйте всё, что вы могли бы сказать о понятии «предел последовательности». Не отвергайте с ходу не математические, а чисто житейские рассуждения, старайтесь выделить из них то, что может лечь в основу определения предела последовательности.

Используйте интуицию. Интуитивное представление о пределе существовало в математике довольно долго. Математики пользовались результатами, идеями предельного перехода, и они отлично работали.

Я вам предлагаю за несколько минут сделать то, что математики пытались сделать в течение 200 лет. С этим блестяще справились два французских математика Жан Лерон, Д-Аламбер и Огюстен Коши.

Итак, начните с того, что напишите на листе «Предел последовательности». Дальше напишите слова, которые как-то проясняют смысл этого понятия (близкие, сходные), затем, выбрав самые важные и введя математические термины, обозначения, сформулируйте определение предела последовательности.

VI. Слушаем группы.

VII. Дани Дидро писал: «Начинать исследования можно по-разному. Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь который становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути.

Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь...

На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки».

Послушайте первое определение предела последовательности (которое дал Д-Аламбер), я его прочту два раза. Попытайтесь найти огрехи в нем и подкорректируйте определение.

Определение, данное Д-Аламбером: «Одна величина является пределом другой величины; если эта вторая может стать к первой ближе, чем на любую данную величину, как бы ни была мала эта последняя; причем, однако, приближающаяся величина никогда не может превзойти величину, к которой приближается.

Таким образом, разность такого количества и его предела абсолютно неуказуема».

(Это относится лишь к монотонной последовательности; отсутствует оговорка, что предел — постоянная величина (число).)

VIII. Каждая пара получает на карточке одно из возможных определений предела последовательности, взятого из различных учебников по математическому анализу. Обсудите в четверке понимание смысла определения.

IX. Придумайте последовательность (из геометрии, из физики), содержащую бесконечное число членов и имеющую предел.

Х.В парах придумайте пример последовательности, у которой: а) предел — нуль; б) предел, отличный от нуля; в) есть предел, причем в любой окрестности его находятся все члены последовательности; г) нет предела. В каждом случае докажите правильность своих утверждений.

Напишите на доске свой пример последовательности.

XI. Походите по классу, рассмотрите на досках то, что написали ваши товарищи, выберите примеры последовательностей и рассмотрите их пределы.

Мастерская ”Предел последовательности”. Вариант 2

I.На доске написаны последовательности:

В четверке запишите на листе бумаги все вопросы, которые возникают в связи с рассмотрением темы: «Предел последовательности».

Вопросы: Что это такое? Всегда ли он существует? Если предел последовательности существует, то сколько пределов она может иметь? Могут ли разные последовательности иметь один предел? В связи, с чем надо вводить это новое понятие? Как найти предел суммы (произведения) двух последовательностей, если он существует? Существует ли последовательность, каждый член которой совпадает с ее пределом?

II. Слушаем четверки, учитель кратко записывает на доске сформулированные проблемы. Устанавливаем последовательность их изучения, в результате появляется план работы по данной теме. III. Изучите определение предела последовательности. Установите его разумность.

Комментарий. Хотя ребята сидят в четверках (по два человека с каждой стороны стола), но это задание предлагается выполнить каждой паре, сидящей с одной стороны стола. Через пять минут обсуждение продолжается уже в четверках. При таком способе организации работы в четверках проще включить в активное размышление всех ребят. Лидер четверки при работе в парах не является тормозом, каждый получает возможность высказаться.

Определения предела последовательности, взятые из различных курсов математического анализа, которые рассматривали ребята.

1) Предел последовательности действительных чисел зъа2,...,ап — число а, обладающее тем свойством, что все члены аП последовательности с достаточно большим номером л раз разносятся от а как угодно мало (запись lim an = а).

2) Последовательность ап называют бесконечно малой, если для любого с > 0 при всех достаточно больших натуральных значениях п выполняется неравенство

|ап| <.£

Число «Ь» называют пределом последовательности ап, если ап = b + an, где a n — бесконечно малая последовательность, и пишут lim ап = Ь.

3) Число а называется пределом последовательности аь а2, а3,..., а„..., если для любого г >0 найдется такое число N, что для всех членов последовательности с номерами л > N выполняется неравенство: | апИ - ап| < е .

^.Последовательность а„ называется сходящейся к числу а, если для любого с > О найдется такое число N (зависящее от € ), что при n > N выполняется неравенство

Число а, к которому сходится последовательность ап, называется пределом этой последовательности и обозначается lim ап (от латинского слова limes — предел).

5) Число а называется пределом последовательности хп, если почти весь график этой последовательности лежит внутри сколь угодно узкой полоски, окружающей прямую ж = а.

6) Число X называется пределом последовательности хп. если для любого € > О при всех достаточно больших номерах л выполняется неравенство х - х„< S.

V. Слушаем представитель четверки с изложением понимания определения предела последовательности. Прозвучавшие определения учитель кратко записывает на доске.

VI. В парах придумайте пример последовательности, у которой:

а) предел нуль; б) предел, отличен от нуля; в) есть предел, причем в любой его окрестности находятся все члены последовательности; г) нет предела.

Комментарий. Когда пара справилась с заданием, она идет к доске (досок е классе много) и пишет свой пример последовательности, но без обоснования, оно остается на их листочке. Обязательно пишут фамилии авторов. Для того чтобы легче было придумать доказательство, листочки с определением предела последовательности остаются у каждой пары.

VII. Ребята ходят по классу, рассматривают то, что написали на досках их товарищи, обсуждают, выбирают достойный для себя пример и доказывают. Затем подзывают авторов и обсуждают с ними рассмотренное доказательство, оценивают достоинство и самого примера.

VIII. Мастер в это время рассматривает текст, написанный на досках. Все слушают комментарий к примеру, выбранному мастером.

IX. В четверках выбрать какое-либо определение предела и поработать с ним по следующему плану: 1). выявить характерные признаки понятия; 2). применить логическую схему подведения под понятие: если объект обладает всеми перечисленными в определении характерными признаками и они соединены союзом и, то исследуемый объект подходит под данное определение; если у объекта нет хотя бы одного характерного признака, он не удовлетворяет определению; если о наличии некоторых характерных признаков у объекта нет информации, то ничего определенного сказать нельзя. 3). проанализировать определения понятия с помощью вопросов: а) Какие характерные свойства указаны в определении понятия? Ь) Может ли объект, удовлетворяющий данному определению, обладать только одним каким-либо характерным свойством понятия? с) Всеми ли характерными свойствами, перечисленными в определении, обладает данный объект? 4). привести примеры объектов, которые обладают: а) некоторыми характерными свойствами определяемого понятия, а про остальные свойства известно, что данный объект ими не обладает; б) некоторыми характерными свойствами определяемого понятия, а про остальные свойства ничего не известно; в) всеми характерными свойствами определяемого понятия и еще рядом характерных свойств, которыми не обладает определяемый объект. В каждом случае выяснить, удовлетворяет ли данный объект определению. 5). задать себе ряд вопросов на понимание определения.

Исследование понятия ”объём пирамиды”

Тема: ”Объём пирамиды”. 11 класс.

1. Темой данного урока является объем пирамиды, одно из сложнейших понятий курса геометрии. Задачи, которые мы будем решать, приоткроют вам новые смыслы определения объёма. Обсудите вместе с соседом но парте несколько общих советов, которые позволят вам настроиться и выстроить свою работу на мастерской: 1) замечайте всё, что привлекает ваше внимание; 2) не пренебрегайте и фактами, казалось бы, не относящимися к делу, они способны побудить мозг к рождению новых идей; 3) не сковывайте себя стереотипами, привычками, старайтесь придумать нечто новое;4) не повторяйте бездумно заученное; 5) не действуйте механически; для начала сосредоточьте своё внимание на части проблемы и решите ее.

2. Изучите условие задачи и сделайте рисунок.

Задача 1. Две четырёхугольные пирамиды имеют общим основанием квадрат ABCD со стороной, равной 1. Их вершины Т и Р находятся по одну сторону от плоскости основания и удалены от него на расстояние, равное 1. Вычислить объём общей части этих пирамид, если вершины их проецируются на две противоположные вершины квадрата А и С (рис.13).

3. Ответьте на вопросы и проверьте правильность рисунка. Вопросы: Почему TD пересечёт BP? В какой плоскости лежит высота пирамиды OABCD, где О - точка пересечения ТС и АР?

4. Решите задачу.

5. Слушаем решение.

Решение:

6. Найдите общий объём этих двух пирамид, если их вершины Т и Р проецируются в середины двух смежных сторон (рис.19). Сделайте рисунок и ответьте на вопросы: 1) Почему PC пересекается с ТА? 2). В какой плоскости лежит высота пирамиды OABCD? 3). Какой вид имеет трапеция РТАС?

Решение: РТАС - равнобокая трапеция.

7. Найдите общий объём этих двух пирамид, если их вершины Т и Р проецируются: Т в О - центр квадрата, Р в В - вершину квадрата (рис.20).

8. Задания. Устно: а). Сравните рис. 19 с рис. 20. Ь).Найдите отношение OL: TH. с).С какой плоскостью грани пирамиды PABCD пересекается AT.

Задания: 1). Найдите линию пересечения плоскостей граней PAD и TBC, PDC и TDC. 2).Найдите линию пересечения плоскости PDC с общей частью двух пирамид. /Искомый объем равен одной четверти объёма куба (объёма призма с основанием АВК и ребром ВС) и одной двадцать четвёртой объёма куба (объёма пирамиды LDCO).

9. Найдите общий объём этих двух пирамид, если одна вершина проецируется в середину AB, а другая в вершину С (рис.22).

Задания, а).Найдите точку пересечение, диагонали AT куба и плоскости грани PDC пирамиды PABCD, и точку пересечения ребра PC и плоскости грани TAB пирамиды TABCD. /Они лежат на отрезке, соединяющим центры противоположных боковых граней куба./

Ь). Найдите линию пересечения плоскостей PDC и ATD, РОС и TBC, PDC и TAB, АТВ и PBC. /Объём искомой пирамиды:

10. Найдите общий объём этих двух пирамид, если одна вершина проецируется в центр основания, другая - в середину стороны основания (рис.23).

Рис.18

рис.19.

рис.20

рис.21.

Рис. 22

рис.23

«Я не говорю: «Приди ко мне, и Я обрежу лишние ветки, вылеплю тебя, придам форму»; я говорю: «Приди ко мне, и ты породишь сам себя».

Ты протянешь мне свою разноликую дробность - и я верну тебе целостность. Не я буду идти посредством тебя. Ты сам пустишься в путь».

Антуан де Сент-Экзюпери

Урок одной задачи

Чаще всего урок состоит из изложения учителем теории и решения с классом нескольких иллюстрирующих ее задач. Сама задача, приемы ее решения, анализ условия нечасто бывают объектом особого внимания учеников. Учат же решать задачи, формируют навык исследовательской работы уроки, на которых ученик является активным участником поиска решения, когда радость сделанных им открытий чередуется с горечью поражений. Урок такого типа как бы завершает некоторый этап обучения решению задач, поэтому его лучше провести в тот момент, когда учениками усвоены необходимые теоретические понятия и они знакомы с некоторыми частными приемами решения задач. Урок одной задачи концентрирует внимание ребят в основном на анализе приемов, которыми решаются задачи. Работа с одной задачей, интересной по содержанию, богатой идеями, имеющая несколько способов решения, позволяет не тратить силы на знакомство с условиями нескольких задач. Класс имеет возможность сосредоточиться на исследование связей между данными одной задачи, проанализировать подмеченные закономерности, выдвинуть ряд гипотез. Доброжелательное обсуждение гипотез позволяет сосредоточиться на самых неожиданных идеях, не упустить ни одной ценной мысли, даже в тех гипотезах, которые первоначально были отвергнуты классом.

Известно, что большинство учащихся испытывают трудности на первом этапе решения задачи — анализе условия. Можно сказать, что для многих из них этого этапа вообще не существует, ибо учащиеся, прочитав задачу, тут же применяют известные им алгоритмы. Это делается механически. Отсюда и ошибки, и нерациональные решения. Если обычный способ не применим, то задача часто так и остается нерешенной. Одна из причин такого положения в том, что порой работа с задачей заканчивается, как только получен ответ. Накопление опыта решения задач проходит стихийно, без должного осознания.

Вопросы учителя, вопросы автора решения и его одноклассников позволят оценить сделанное, критически посмотреть на найденное решение, закрепить удачные приемы анализа условия задачи и организации самого процесса поиска решения. Приведём пример заданий, с помощью которых можно выстроить разговор с классом после того как задача решена несколькими способами. Задания: 1. Вспомните и перечислите способы, которыми была решена задача. 2. Выделите наиболее рациональный способ. 3. Сформулируйте закономерность между данными задачи, которая была использована в каждом способе. 4. Рассмотрите задачу как частный случай более общей задачи. Сформулируйте её. 5. Проанализируйте свой путь решения задача, выделите наиболее интересные, значимые для вас моменты.

Такой разговор поможет учащимся осознать приемы, которыми обогатился их опыт решения задач.

Уроке 7 классе. Тема: ”Теорема Пифагора”

На дом была задана задача, которую ученики делали на нелинованных листах (рис. 24).

Задача: 1. Начертить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (АС = СВ). На каждом катете его и на гипотенузе вне этого треугольника построить квадраты (АСМР, СВВ,СЬ ABNK). Продумайте рациональный способ построения. 2. Найти центры этих квадратов и обозначить их соответственно буквами О, О2, 0^.

1. Рассмотрите рисунки, которые сделали одноклассники. Поговорите и по деталям рисунка и по обоснованию его. /Ребята ходят по классу, рассматривают рисунки, разговаривают/.

2. Внесите коррективы в свои рисунки, если возникла необходимость.

Комментарий. Точки К, 01f В, , В лежат на одной прямой. Аналогично точки: М, О, А, К; Р, О, С, 02, Bi и Ci 02, В, N. Отсюда основные этапы построения: 1) квадрат АСВ01 2) прямая Otß; 3) прямая AOû 4) PA MOi”OfN на прямой AOû 5) прямая NB; 6) прямая PC; 7) прямые СВ, АС; 8) отрезок СМ * СВ на прямой СВ; 9) отрезок РМ; 10) отрезок CiBi (Ci — точка пересечения NB и AC, Bi — точка пересечения PC и Of в); 11) прямая MA пересечение ее с Of В — точка К; 12) отрезок KN.

3. Рассмотрите в паре со сбоим соседом способ решения двух задач: а). Докажите, что точки Р, А, 0^ лежат на одной прямой. Ь). Докажите, что:

SpMBOI =SaBNK:

4. Представьте классу свой способ решения этих задач. /Слушаем, задаём вопросы, обсуждаем/.

5. Рассмотрите в паре со своим соседом способ решения ещё двух задач: Докажите, что: б) SAbc = \Saknb; в)SAbc = ^Sacmp

6. Представьте классу свой способ решения этих задач. /Слушаем, задаём вопросы, обсуждаем/.

7. Подумайте самостоятельно: как найти Soo,o2?

8. Слушаем и обсуждаем решения.

Комментарий. Условие составлено так, чтобы каждый ученик мог найти для себя посильную работу. Психологический настрой на урок начался с предварительной записи на перемене желающих рассказать решение какого-либо этапа задачи. Они-то и рассказывали свое решение первыми. Класс слушал: соглашался или не соглашался. Тут же, если высказанные идеи не были до конца логически обоснованы, одноклассники развивали их. От учителя требовалось, кроме четкой фиксации на доске и в памяти ребят различных способов решения, направить обсуждение к достижению главной цели урока: найти доказательство частного случая теоремы Пифагора.

9. Докажите в паре с соседом по парте, что Spmbo, = Sabnk • Придумайте несколько способов.

10. Слушаем способы решения задачи.

Комментарий. Приведём несколько способов решения, предложенных ребятами.

I способ. PMBOi— прямоугольник. Spmbo, = O.ß-PO, ; Sabnk = 4-iotßiPOi = Otß- РОь

II способ. PMBOi состоит из четырех треугольников, равных треугольнику ABC; AKNB — из четырех треугольников, равных треугольнику ABC. Поэтому Sabc= 7 Sabnk

Посчитать треугольники равные дАСВ в квадрате AKNB, но можно иначе: обозначить AB = с, АС = а, тогда:

Итак, квадрат гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

11. Рассмотрите различные способы вычисления площади треугольника ОО.О,.

Комментарий. Приведём способы вычисления Soo, о -

I способ: АВ020 — прямоугольник, тогда AB = 002; AOiBC — прямоугольник.

Рис. 24

тогда

II способ

теперь легко получить искомую площадь.

III способ:

(так как ooi— медиана треугольника ро1с) ;

IV способ:

v способ: sao(7,02= 2 s А к о, n (так как основания их равны, а высота Л ОО1О2 в два раза больше высоты Л KO1N), НО 2 S д к о N = S до, ВС = <*2-

VI способ: SAoo,02 =2Saao, в(так к«к основания равные, а высота AOOf02 в два раза больше высоты ùsAOxB).

Обобщение: Sacmp* Sc se, с, = Saknb т. е. площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов построенных на его катетах.

Итак, доказан частный случай теоремы Пифагора - сверхзадача этого урока. Читатель помнит, что впервые с ней познакомились ребята еще на уроке в четвертом классе. Поэтому изучение ее доказательства в седьмом классе идет значительно легче.

Приведём ещё несколько задач из курса восьмого класса, разбору решения которых можно посвятить целый урок.

Задачи: 1. Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти тот, у которого площадь наибольшая.

2. Доказать, что если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

3. Две окружности радиусов г и Зг касаются внешним образом. Определить площадь фигуры, заключенной между окружностями и общей к ним внешней касательной.

4. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

5. Трапеция ABCD с основаниями ВС = 2 и A D = 10 такова, что в нее можно вписать окружность и вокруг нее можно описать окружность. Определить, где находится центр описанной вокруг ABCD окружности. Найти отношение радиусов описанной окружности к радиусу вписанной окружности.

Урок в 10 классе. Тема: ”Расстояние от точки до фигуры”.

1.Сегодня у нас урок одной задачи. Сосредоточим своё внимание на ситуации, описанной в задаче. Чтобы помочь вам настроиться на исследование ситуации описанной в задаче, на поиске её решения, прочту вам несколько советов, которые дали ученики 11 класса на вопрос: ”В чём заключается твой метод работы с задачей?”

Советы школьников:

• Рисую чертёж крупнее, чтобы на нём всё было видно. Вспоминаю теоремы, которые могут понадобиться в этой задаче, особенно только что пройденные.

• Я говорю про себя, что задача лёгкая, что все могут её решить, а значит, и я. После этого начинаю решать, и действительно всё получается.

• Всегда стараюсь решить задачу раньше объяснения учителя.

• Если задача с ”наскоку” не решается, я её оставляю, чтобы она отлежалась в памяти.

• Если задача не выходит, то представляю, что решаю её в первый раз. Читаю ещё раз условие и где-нибудь на черновике делаю новый чертёж.

1.Послушайте условие первой задачи: в основании пирамиды sabc - правильный треугольник abc, а все боковые грани её имеют равные площади. Ребро sa = а. Найти высоту пирамиды.

2. Во время повторного чтения подумайте о рисунке к задаче, (обычно ребята рисуют правильную треугольную пирамиду).

3.Укажите точку, в которую проецируется вершина S пирамиды. Приведите обоснование своего утверждения.

Комментарий, Часто можно услышать, что если площади боковых граней равны и в основании - правильный треугольник, то вершина проецируется в его центр. Не фиксируя внимание на неточностях этого утверждения, предлагается найти высоту пирамиды so. Довольно быстро выясняется, что для нахождения длины высоты задача имеет мало данных.

Рассматриваются различные варианты данных, которые следует добавить в условие задачи.

Затем учитель добавляет новое условие к задаче: АС = Ь. Выработанные стереотипы подсказывают ребятам ложное утверждение: все боковые ребра пирамиды имеют одну и ту же длину а. Из этого ошибочного умозаключения они и находят длину so.

4. Послушайте условие ещё второй задачи: в основании пирамиды sabc лежит правильный треугольник abc, а все боковые грани её имеют равные площади.

Ребро sa равно 2, а ребро sb = л/2 . Найти объём пирамиды.

Комментарий Легко устанавливается сходство с первой задачей. Сопоставление условий двух задач выявляет ряд противоречий, которые невольно включают ребят в анализ правильности предложенного ими решения первой задачи.

5.Сосредоточьтесь на такой части условия задачи: ”все боковые грани имеют равные площади, а в основании - правильный треугольник”.

Комментарий Ответ о равенстве высот боковых граней прошу сформулировать, используя слова ”расстояние от... до...”. После длительного рассмотрения различных формулировок, возникает такой вариант: точка s равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника abc.

6.Нарисуйте точки плоскости равноудалённые от трёх попарно пересекающихся прямых.

Комментарий Выясняется, что это четыре точки - центры вписанной и вневписанных окружностей треугольника, являющиеся пересечением биссектрис внешних и внутренних углов треугольника.

7. Сделайте рисунок к задаче 2 и решите её.

Решение:

8. Рассмотрите ещё раз условие второй задачи, но в обобщённом виде: В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, а все его боковые грани имеют равные площади. Ребро SA = a, SB = SC = с. Найти высоту пирамиды (рис. 25).

Комментарий* Решение задачи состоит из исследования следующих этапов: 1 ). Предполагаем, что а=с, и AB - b. После изображения правильной пирамиды и поиска решения задачи, обсуждаем такой момент: если известно, что а = с, то не будет ли лишним данным ”треугольник ABC- правильный”? В ходе обсуждения выясняем, что нет, так как площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, а из равенства sina = sinß, не следует, что a=ß, возможно a = 180°- ß 2). Рассматриваем случай, когда а ус - пример такой ситуации - задача 2. Устно разбираем, чему равно SO в этом случае.

3). Случай а<с приводит к противоречию с условием задачи, ибо тогда площади боковых граней не будут равны. S

9. Подумайте над решением второй задачи, если концовка её будет звучать так: ”Найти расстояние от точки S до фигуры ABC”. /Обсуждение решения идёт устно./

10. Достройте пирамиду (вторая задача) до призмы с основанием ABC и боковым ребром ВВ,. Найдите расстояние от треугольника с, до треугольника ABC.

Комментарий. Устно обсуждаем расположение точек А, и С, ( рис.27). Действительно: ABCD - ромб; В,О JL ABC; строим А,В, = AB и А.В, || AB, тогда А,В,ОС -параллелограмм и следовательно А, С J.ABC. Уточним местонахождения точки А.

11. Проанализируйте ещё раз все этапы решения сегодняшней задачи. Выделите для себя самое главное процесса анализа условия, структурирования процесса поиска решения, процесса обдумывания найденного решения.

Рис. 25.

Рис.26

Рис.27

Уроки в 11 классе. Тема: ”Нахождение объёма пирамиды”

Урок 1 Тема: ”Объём пирамиды”. На доске написана задача: Основанием пирамиды MABCD служит квадрат. Ребро MB перпендикулярно основанию. Найти объём пирамиды, если её высота равна 1, а двугранный угол при ребре MD равен 120°.

1. Послушайте условие задачи.

2. Проанализируем условие задачи. Анализ условия задачи.

• Так как АС 1 МО, то плоскость АКС перпендикулярная ребру MD, будет перпендикулярна MD.ZAKC - линейный угол двугранного угла с ребром MD.

• Выясняем, что: а) треугольники: AMD, MBD, МВС, AMD и MDC - прямоугольные. Ь) АК = КС (из равенства треугольников АМВ и МВС, AMD и MDC), значит треугольник АКС равнобедренный с углом при вершине 120°,(Ж ± АС. с)АШ/) = &OKD. d) пирамиды MABD и MBDC имеют равные объёмы.

3. Нарисуйте в своих тетрадях данную пирамиду (рис. 28) и сделайте необходимые записи.

4.Перечислите возможные способы вычисления объёма многогранника. Ребята перечисляют:

• применить формулу объёма к пирамиде с основанием ABCD;

• рассмотреть данную пирамиду как часть многогранника, объём которого вычисляется проще, чем объём пирамиды;

• рассмотреть объём пирамиды как сумму объемов составляющих её многогранников;

• вычислить вместо объёма данной пирамиды объём пирамиды, основанием которой является одна из её боковых граней.

5. В паре с соседом по парте обсудите пути решения этой задачи,

основой которых служат какие-либо из перечисленных выше способов вычисления объёма.

6. Слушаем предложения ребят по решению задачи.

Комментарий Приведём некоторые из предложенных способов решения.

Способ 1. Наиболее естественно найти объём пирамиды с основанием ABCD и вершиной М. Для этого требуется найти лишь сторону основания. Используем подобие треугольников MBD и OKD. Пусть AD =х, тогда BD = х Имеем:

откуда

(Полезно обратить внимание учащихся на то, что объём пирамиды МАВСО можно найти и как удвоенный объём пирамиды MABD).

Способ 2. Используем теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Из условия задачи следует, что угол между плоскостями AMD и MBD равен 60°. Проекцией треугольника AMD на плоскость основания является треугольник MOD. Следовательно,

то есть

откуда

Способ 3. В треугольной пирамиде любая грань может быть принята за основание. Если в пирамиде MABD за основание принять треугольник MBD, то

рис.28.

Рис.29

Пусть BD = X. Из подобия AMBD и AOKD находим, что

7.Запишите в своих тетрадях способ решения, который вам хотелось бы запомнить.

8. Выясните в паре с соседом по парте истинность утверждения: в любой пирамиде MABCD, в основании которой лежит квадрат и двугранный угол при ребре MD равен 120°, сторона основания равна высоте.

9. Слушаем размышления пар о истинности рассматриваемого утверждения. Размышляем над подмеченной закономерностью.

10. Домашнее задание: подумать на обоснованием сформулированной закономерности.

Урок 2. Тема: ”Объём пирамиды”.

1.Приведите обоснование истинности утверждения: в любой пирамиде MABCD, в основании, которой лежит квадрат и двугранный угол при ребре MD равен 120°, сторона основания равна высоте.

2. Докажите, что данная пирамида является частью куба, грань которого ABCD и ребро MB.

Комментарий. Представляем эту пирамиду, частью прямоугольного параллелепипеда с основанием ABCD, и вершиной, совпадающей с одной из вершин верхнего основания пирамиды. Доказываем, что этот параллелепипед является кубом.

Для доказательства достаточно показать, что MB = ВС, т.е. MBCN - квадрат. Для этого достаточно доказать, что MC ± BN .

По условию величина двугранного угла, ограниченного полуплоскостями BMD и CMD, равна 60°. Двугранный угол с гранями MDC и MND дополняется двугранным углом с ребром MD и гранями AMD и MCD до 180°. Следовательно, он также равен 60°. Таким образом, полуплоскость MDC является биссектральной для двугранного угла, ограниченного полуплоскостями MBD и MCN, поэтому MCD - их полуплоскость симметрии (1).

Так как MCD 1 ВМС, то MCD - плоскость симметрии ВМС (2). Из (1) и (2) следует, что при симметрии относительно плоскости MCD луч MN отобразится на луч MB и образ точки N лежит на луче MB. Если предположить, что точки В и N не совпадут, то получится, что через точку D к лучу MB проведено два перпендикуляра. Итак, точки В и N симметричны относительно плоскости MCD, отсюда MNCB - квадрат и ВМ = ВС. Нашли ещё один способ решения задачи, причем решение получилось чисто геометрическим, без вычислений.

Второй способ.

Допустим, что в пирамиде MABCD высота MB равна стороне основания AD, тогда как AAMD = AMBD , прямоугольные с общей гипотенузой и равными катетами MB и AD. Отсюда следует необходимость доказательства равенства прямоугольных треугольников AMD и BMD. А два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой равны, если равны высоты, проведенные к гипотенузе.

Для поиска доказательства возвратимся к задаче первого урока (рис.28). Проведём высоту ЯВ] и докажем равенство длин отрезков ВВХ и АК. Так как OK - средняя линия треугольников Bß , D , то ВВХ = 20К и что АК = 20К. Таким образом, имеем: ВВ] = AK, ABMD = AAAfD,MB = AD. Из всех рассмотренных способов решения задачи последний - наиболее простой, наиболее красивый.

3. Запишите в своих тетрадях тот способ решения, который вы не хотели бы потерять.

4. Подумайте вместе соседом по парте над условием такой задачи: Дана пирамида, в основании которой - равнобедренный прямоугольный треугольник, все боковые грани прямоугольные треугольники с прямыми углами, прилегающими к основанию. Один из двугранных углов, образованных боковыми гранями равен 60°. Найти объём пирамиды.

Задача необычна тем, что не ясно, как сделать рисунок.

5. Рассмотрите рисунки сделанные на доске (рис.30 - 34), проанализируйте их, сопоставив с условием задачи, и выберите тот, который ей соответствует. /После обсуждения останавливаемся на рис. 34/.

6. Проанализируйте условие, докажите, что объём данной пирамиды равен половине объёма пирамиды, о которой шла речь в предыдущей задаче.

7. Слушаем желающих высказаться.

8. Домашнее задание. Решить задачи:

а). Дана правильная четырёхугольная пирамида. Высота её равна единице, а двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Найти объём пирамиды.

Комментарий. Заметим, что если в последней задачи урока надо было увидеть, что пирамида M A BD - часть пирамиды MABCD из урока 1, то е этой задаче надо заметить, что данная пирамида состоит из четырёх пирамид той же задачи.

Ь). Основание четырёхугольной пирамиды - квадрат, все боковые грани -прямоугольные треугольники, у которых вершины прямых углов лежат на основании пирамиды. Найти объём пирамиды, если её высота равна 1. а один из двугранных углов, образованных боковыми гранями, равен 120°.

Рис. 30

Рис.31

Рис.32

Рис.33

Рис.34

Комментарий, Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют особенности пирамиды. Приведём один из возможных способов рассуждения.

Пусть ZMAD = 90°.(см. рис. 28). Так как ВА 1 ВМ, то AD1BM. Если при этом ZMDC - 90°, то ZBDC = 90°, а если ZDCM =90°, то MB 1 ABC, то есть одно боковое ребро перпендикулярно основанию. Далее рассматривается пирамида, у которой ребро MB 1 ABC и выясняется, какой из двугранных углов, образованных боковыми гранями, равен 120°. Делается вывод, что только угол при ребре MD может равняться 120°. Следовательно, получаем ситуацию, описанную в задаче первого урока.

Устные контрольные работы.

Представим сначала структуру такого занятия. Учитель говорит, что сегодня урок устной контрольной работы. Все примеры должны быть решены устно, а ответ вместе с порядковым номером примера записывается в тетрадь по команде учителя. После разбора решения каждый ученик отмечает плюсом правильно решённый пример. В конце урока каждый подсчитывает правильно решённые примеры и называет свою отметку. Ставятся лишь четвёрки и пятёрки, причём учитель объявляет какое число примеров надо решить на ”4” и какое - на ”5”.

Итак, на доске написан пример, который предлагается решить устно. Через некоторое время учитель просит поднять руку тех, кто его решил. Если с примером справилась большая часть класса, то ученики в тетрадях ставят номер примера и пишут ответ. В противном случае добавляется время для поиска ответа. Ответ записывают только по команде учителя.

Если цель этой работы не только проверить знания, но и еще раз отработать какие-то вопросы теории, то разбор решения происходит сра-

зу после того, как записан ответ. Тогда следующий пример составляется так, чтобы при его решении можно было использовать те приемы, с которыми ребята услышали при разборе

Поясню сказанное на некоторых устных контрольных работах.

5 класс. Тема: «Действия с дробями»

Разговор с коллегой.

Первый пример подобран так, чтобы его могли быстро решить все ученики. Второй пример дан на применение распределительного закона. Для решения третьего примера требуется заметить, что

а значит, в ответе получается число, противоположное результату второго примера. Ответ четвертого примера следует из первого.

В пятом примере необходимо заметить, что в знаменателе делимое и делитель каждый в 5 раз меньше, чем соответственно делимое и делитель числителя. Отсюда вывод: дробь равна единице.

Шестой и седьмой примеры на применение законов сложения.

В восьмом примере сначала следует найти разность

и заметить, что х — число, обратное этой разности.

Девятый пример — аналогичен восьмому, только, может быть, несколько труднее, а десятый — это то же уравнение, что и девятое, только в левой части его раскрыты скобки.

Таким образом, ученики неоднократно возвращаются к ранее решенным примерам. Часто ученики решают задачи по принципу узнавания ситуации: «А я знаю!» И тогда, выполняя действия по тому же алгоритму, что и в ранее решенной задаче, не видя в ее условии нового элемента, который отличает от предыдущей задачи, они не в состоянии увидеть более простого решения.

Устная контрольная работа несколько отличается от традиционной контрольной. Здесь ученик как бы сам себя контролирует при помощи заданий учителя. Сам он делает выводы и об уровне усвоения. Поэтому устная контрольная работа чаще имеет обучающий характер.

Если устная контрольная работа проводится с целью проверки знаний, то и разбор ее делается после выполнения всей работы. Затем учитель сообщает ученикам, сколько примеров надо было решить на «5», а сколько - на «4» (других отметок не ста-

вится). Ученики говорят свою отметку, которая выставляется в журнал.

Итак, ученик на протяжении всего урока работает в темпе, заданном учителем, контролирует свои знания, используя весь материал темы. Очевидно, что, хотя этот урок и называется устной контрольной работой, - не всегда контроль является главной его целью. Сверхзадача урока — обучение рациональным приемам работы, без которых невозможно творчество. Работа может занимать как часть урока, так и весь урок

(в старших классах).

6 класс. Тема. Решение уравнений.

Нетрудно увидеть, что работа эта проверочная — уравнения составлены так, что среди них нет даже двух аналогичных. За 10 решенных примеров ставятся две пятерки, за 8—9— пять, за 6— 7— четвёрка.

5 класс. Тема. Распределительный закон.

Вычислить:

7 класс. Тема. Действия со степенями.

Упростить:

Комментарий. Подобранные примеры отрабатывают действия со степенями. Так, при решении первого примера повторяется свойство деления степеней с одинаковыми основаниями, следующие примеры предполагают его применить, но в ситуациях, уже измененных. Поэтому исключается возможность бездумного применения алгоритма действий со степенями.

Аналогично составлены следующие две работы.

8 класс. Тема. Решение уравнений.

7класс, Тема. Формулы сокращенного умножения

Упростить:

Разложить на множители:

7 класс. Тема. Решение неравенств.

Решить неравенства:

8 класс. Тема. Определение корня.

Установить условия, при которых равенства верны.

8 класс. Тема. Действия с корнями.

Упростить:

8 класс. Тема. Теорема Виета. 1) Не решая уравнения, найти сумму и произведение их корней:

2) Найти корни уравнения, применяя теорему Виета:

3) Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни:

4) Не решая уравнения найти:

а) сумму его корней; 6) произведение корней; в) квадрат суммы корней;

г) сумму квадратов корней;

5) Один из корней уравнения равен 2. Найти р и другой корень.

6) Один из корней уравнения равен 1, Найти р и другой корень.

7) Один из корней уравнения равен —3. Найти р и другой корень.

8) Один корень уравнения равен 7. Найти р и другой корень.

9) Дано уравнение

а) Можно ли утверждать, что оба его корня положительные?

б) Можно ли утверждать, что модуль отрицательного корня больше?

в) Внесите изменения в данное уравнение, чтобы модуль отрицательного корня был больше.

8 класс. Тема. Теорема Виета.

1) Дано уравнение

а) Найти корни, б) Вычислить

в) Вычислить

г) Вычислить

2) Дано уравнение: X2—рх -5= 0. а) Может ли при положительном р уравнение иметь решение? Если да, то написать такое уравнение, иначе написать — нет. б) Найти р, при котором один из корней равен 10.

3) Решить уравнения:

Комментарий. Контрольная составлена из примеров, аналогичных тем, которые решались на предыдущих уроках в классе и дома. Поэтому она носит, с одной стороны, проверочный характер, с другой стороны, так как содержит ряд примеров, решаемых одним способом, дает возможность ученикам ликвидировать пробелы в знаниях, если они имеются.

9 класс.Тема. Длина окружности и площадь круга.

1) Из вершины квадрата со стороной 4 см проведены дуги окружности радиуса 2 см (рис.35). Определить площадь заштрихованной фигуры.

2) Из вершин правильного треугольника со стороной б см проведены дуги окружностей радиуса 3 см. Определить: а) длину границы заштрихованной фигуры (рис. 36); б) площадь заштрихованной фигуры. 3) Дан прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см. а) С центрами в серединах его меньших сторон проведены дуги окружностей радиуса 1 см.

Определить длину границы заштрихованной фигуры (рис. 37), площадь заштрихованной фигуры.

б) Около данного прямоугольника описана окружность. Найти площадь части круга, расположенного вне прямоугольника. л

в) Внутри прямоугольника расположен круг наибольшего радиуса. Найти площадь той части прямоугольника, которая лежит вне круга.

г) Внутри прямоугольника расположены два круга наибольшего радиуса, касающиеся друг друга. Найти длину границы той части прямоугольника, которая расположена вне этих кругов.

4) Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если она соответствует центральному углу Ь а) 20°; б) 240е.

5) Длина дуги окружности 2тт см. Чему равен радиус окружности, если центральный угол, соответствующий этой дуге, равен:

а) 120°; б) 90°; в) 60°?

9 класс. Тема. Действия с корнями.

11 класс. Тема. Объём пирамиды

Условие каждой задачи читается два раза, ребята делают рисунок, устно находят ответ и по команде учителя записывают его. После обсуждения решения ученики ставят около правильно решённой задачи. Такая же работа проводится со всеми другими задачами. После решения всех задач ребята выставляют себе две пятёрки за решение 13 задач, одну пятёрку за решение 12-10 и четвёрку за решение 6-9 задач.

1.В основании пирамиды РАВС - равносторонний треугольник ABC, со стороной, равной 1. Плоскости РАВ и ABC перпендикулярны. Найти объём пирамиды (рис.38) 2. Боковая грань РАВ пирамиды РАВС перпендикулярна плоскости основания ABC. ABC и РАВ - равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AB,

Рис 35

рис.36

рис.37

равной 1. Найти объём пирамиды (рис.39).

Решение:

Решение:

3.. PABCD - пирамида, её основание ABCD - квадрат со стороной равной 1, а грань РВС - прямоугольный треугольник перпендикулярный основанию. Найти объём, если АР = PD (рис.40).

Решение:

4.PABCD - четырёхугольная пирамида, ABCD - параллелограмм, высота пирамиды лежит в плоскости BPD, AB = PB = 1, PD = 2. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найти объем пирамиды, если угол APD - прямой (рис. 41) и BP : PD. Решение: так как ABC 1 BPD, то AB _L BPD и Z ABP=900, а так как AB 1 BD, AP 1 PD, то проекция AP на плоскость BPD перпендикулярна PD: BP1PD. Следовательно, Л BPD - прямоугольный,

5. В основании пирамиды PABCD - ромб ABCD. АС = d , BD = BP = d , BPD I ABC. Найти объём пирамиды. Решение:

6. В основании четырёхугольной пирамиды квадрат со стороной d. Три её

рис.38 рис.39

рис.40

рис.41

боковых ребра равны d. Найти объём пирамиды. Решение:

7. Стороны основания пирамиды равны а, Ь, с. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом <р. Найти объём пирамиды. Решение:

где R - радиус окружности описанной около основания пирамиды.

8. ABCD - квадрат со стороной равной 1. РА 1 ABC, РА = 2, ЦС = 2, <^С± ABC. Точки Р и О. лежат по одну сторону от плоскости ABC. Вычислить объём ABCDPQ. Решение:

9 .Дан правильный тетраэдр с объёмом V. От него отрезали один угол плоскостью так, что боковые грани полученного многогранника стали трапециями, основания которых относятся как 1:3. Найти объем оставшегося многогранника. Решение:

10. Правильный тетраэдр РАВС с объёмом V срезан по углам плоскостями так, что на каждой грани образовался правильный многоугольник. Найти объём оставшегося многогранника (рис.42).

11. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 10, 14. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 . Вычислить объём пирамиды. Решение: см. задачу 7. Ответ: 70 см .

12. В треугольной пирамиде два непересекающихся ребра равны 4, а каждое из остальных ребер равно 3. Вычислить объём пирамиды. Решение: V = - 2.

13.Основанием пирамиды - прямоугольник, одна боковая грань её перпендикулярна к основанию, а остальные боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота пирамиды З. Вычислить её объём. /Ответ а = 6 /

Решение:

рис. 42

Разговор с коллегой.

Вопрос. Можно ли эту работу назвать контрольной? Да, конечно, так как она проверяет ранее усвоенные знания. Но эта проверка отличается от традиционной, так как оценку глубины усвоения даёт каждый ученик самостоятельно, сравнивая своё решение с решением учителя и одноклассников.

Отметки дети сообщают сами (две пятёрки, пять, четыре, ничего), учитель ставит их в журнал. Вместе с контролем, в комфортной обстановке, идёт обучение, происходит молчаливая корректировка знаний каждого. Л. М. Фридман в своей работе ”Педагогический опыт глазами психолога» (Москва., 1987) отмечает, что надо различать два вида контрольно-оценочной деятельности: внешнюю и внутреннюю. Первая осуществляется учителем, вторая -самим учеником. Конечно, они взаимосвязаны, на устной контрольной работе учитель, осуществляя контроль за правильностью решения, одновременно руководит и внутренней контрольно-оценочной деятельностью. Ученик не только сравнивает свое решение с тем, что разбирается в классе, но одновременно оценивает свою деятельность по многим параметрам: сообразительность, внимание, знания, интерес, быстрота реакции на новизну, необычную формулировку, оригинальное решение. Ориентиром в этом процессе служат одноклассники.

Вопрос. Чем эта работа, кроме того, что она выполняется устно, отличается от обычной контрольной работы?

Ряд особенностей отмечен в ответе на первый вопрос, кроме того, она несёт на себе воспитательные функции - учит проводить строгую оценку своей работы, работать в необходимом темпе, проверять результат своей работы, тренирует быстроту реакции, внимание, память, ибо задача читается учителем лишь два раза.

Вопрос. Какие принципы лежат е основе подбора задач?

Задачи должны:

• быть доступны (принцип преодоления посильных трудностей);

• требовать хорошей мыслительной работы и очень коротких вычислений;

• находиться во внутренней взаимосвязи (при возможности осуществлять переход от рассмотрения частных случаев, к решению проблемы в целом);

• отрабатывать алгоритмы и способствовать осмысленному применению знаний.

Вопрос. Какова сложность задач?

Если не было предварительной работы по этой теме, то каждая задача сразу же превращается в сложную, творческую и объём такой работы кажется невыполнимым для ребят.

Вопрос. Способствовал ли сам подбор задач снятию некоторых психологических барьеров, связанных с их решением?

В вопросе сформулирована одна из основных задач составления устной контрольной работы.

Вопрос. Была ли на этом уроке работа по формированию, каких - либо специальных учебных умений? А как Вы думаете?

Вопрос. Каким образом организовывалось внимание всех учеников класса на этом уроке?

Во-первых, четкостью требований, порядком выполнения операций:

• выслушать условие задачи, понять о каком многограннике идёт речь;

• изобразить этот многогранник;

• нанести данные задачи на чертёж, после второго её чтения;

• решить задачу устно;

« записать ответ по команде учителя;

• выслушать разбор решения, оценить правильность своего решения и полученного ответа;

• отметить плюсом верно решённую задачу;

• подсчитать в конце работы количество верно решённых задач и по расценкам учителя выставить себе отметку.

Во - вторых - подбором задач.

В - третьих - заинтересованностью учителя процессом решения задач, в который включаются его ученики. Он обязательно мысленно сам решает все задачи, утраивает время, потраченное им на решение, и затем задаёт вопрос классу: «Кто решил?” Учитель держит внимание ребят глазами, мимикой, жестом. Порой, замирает, чтобы лишним движением не спугнуть мысль ребёнка.

Вопрос. Хватало ли наглядной основы для решения задач, и не была ли она в некоторых случаях лишней?

Наглядность состояла из мысленного образа, который проявлялся в сознании каждого ученика, его рисунка, и рисунка учителя сделанного на доске. И самое главное -проявление образа во время обсуждения решения, когда не только глазами, но и мыслью школьники пробегали по каждой детали рисунка.

Вопрос. Имеет ли смысл проводить уроки устной контрольной работы по геометрии, или это разумно делать лишь на уроках алгебры и тригонометрии, в разделах требующих отработки умений выполнения тех или иных операций?

В большинстве случаев такие уроки проводятся по темам: действия с радикалами, прогрессия, логарифмы, тригонометрические преобразования. При изучении геометрии они проводятся реже, хотя именно изучение геометрии в них нуждается. Обычно геометрических задач дети боятся больше, стараются их избегать. Тут же они поставлены перед необходимостью включиться в решение, при этом не до страха.

Вопрос. Какая роль учителя на этом уроке?

Вопрос. Не было ли на уроке ненужных пауз и наоборот - не ощущался ли их избыток?

Вопрос. Достаточно ли было дано времени для обдумывания решения?

Вопрос. Все ли задачи объяснялись достаточно подробно? Всегда ли это делалось, всегда ли это надо было делать?

Вопрос. Был ли урок эмоционально грамотно выстроен?

Вопрос. Можно ли этот урок назвать уроком активной познавательной деятельности ?

Вопрос. Какой порядок работы с задачей выбирают ваши ученики?

Ответы ребят: Решаю все примеры подряд. Если одна задача не получается -перехожу к следующей, но не забываю про нерешенную. Я заметил, что часто в процессе решения другой задачи приходят мысли о способах решения той, которую пока не удалось решить.

- Стараюсь не торопиться, проверяю по несколько раз решение одной задачи. Решив все задачи, которые могу, возвращаюсь к нерешенной и сижу с ней до конца урока.

• Стараюсь писать чётко и обосновываю все этапы решения в уме.

- Никогда не нервничаю. Работаю ритмично, не торопясь. Если задача не выходит, то через 15 минут принимаюсь за решение другой. Обязательно слежу за временем.

- Важно настроиться на работу и иметь желание выполнить её.

- Мысленно провожу параллели между задачами, которые мы решали в классе, и задачами контрольной работы.

Уроки с акцентом на потенциальные возможности ученика.

«...Система современного урока — это педагогика возможностей, а не только реальности. Если исходить из реальности, то нужно объяснить лишь то, что ученик может и должен понять. Если исходить из возможностей, то можно объяснять то, что ученик на данном уроке может не понять, но будут созданы условия для понимания излагаемых мыслей». Это утверждение заставляет по-новому взглянуть на организацию учебного процесса. Учителю, оказывается, необходимо почувствовать потенциальные возможности своих учеников, и, с расчетом на их использование, строить занятие, предлагая задания, рассчитанные на зону ближайшего развития ученика.

Вспоминается случай, который произошел на уроке геометрии в седьмом классе при изучении темы «Четырехугольники». На доске был нарисован четырехугольник ABCD с диагоналями АС и BD. И вдруг один ученик воскликнул: «Так ведь это не четырехугольник, а пирамида». На урок геометрии к семиклассникам, по их воле, вошла стереометрия. Казалось бы, и в планиметрии для семиклассников достаточно трудностей. Куда уж тут до стереометрии, но с этого момента шестиклассники стали совершать «выходы» в пространство. Обыгрывалось это так. Звучала команда: «Приготовиться к выходу в пространство, проверить герметичность скафандров. Три, два, один,— считал учитель,— старт». Семиклассники рисовали куб, тетраэдр, параллелепипед и в плоскостях их граней старались рассмотреть объекты курса планиметрии.

Рассмотрим примеры уроков, на которых при изучении планиметрического материала использовались пространственные фигуры.

Урок 1. Тема. Четырехугольники. 7 класс.

Дома вы рисовали четырехугольную пирамиду PABCD, с равными ребрами, высотой РО в треугольниках АРС и ВРО (рис. 43). Изобразите на её поверхности еще один треугольник так, чтобы отрезок РО был его высотой.

Комментарий. Для выполнения задания достаточно провести отрезок KL через какую-то течку К отрезка AB и О — центр симметрии квадрата ABCD— до пересечения с DC в точке L

Получили: PO±BD, POL АС, POILK, POINM, где MN — любая прямая плоскости квадрата, проходящая через точку О. После этого предлагается придумать новое имя отрезку РО (РО — перпендикуляр к плоскости).

2. Задача: Построить четырехугольник по четырем сторонам и одной из диагонали.

Комментарий. И сразу ставится вопрос о реальности выполнения. Ответ на него ищем, руководствуясь словами академика А. Д. Александрова. Он говорил, что во всяком геометрическом предложении неразрывно присутствуют наглядная картинка и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, а строгая логика привилегия науки. рис 43

Значит, сначала учащиеся должны нарисовать картинку, которая возникает в голове после прочтения этой фразы.

4. Мысленно попробуйте «нарисовать» четырехугольник, который нам надо построить. Представьте, что отрезки это - рейки (5 палочек). Оцените, можно ли из них сколотить такой четырехугольник. Если да, то продумайте последовательность своих действий.

Ребята предлагают два способа: 1. способ (рис. 44). Сколотить четыре рейки четырьмя гвоздями в точках А, В, С, D и затем поставить еще одну рейку — распорку по диагонали АС, прибив ее в точках А и С. 2. способ (более надежный, рис. 45). Сколотить треугольник ABC Затем приколотить еще две рейки CD и AD в точках Л, С и D.

4. Поразмышляйте о реальности построения четырёхугольника по данным отрезкам. Придумайте обоснование своей версии.

5. Задача: постройте четырёхугольник по сторонам 2, 3, 3,4 и диагонали 5.

Комментарий. Отрезки подобраны так, чтобы ребята задумались о возможности построения четырехугольника по заданным его элементам (рис. 46).

Выясняется, что в данном случае задача невыполнима. Делается вывод: диагональ АС должна быть меньше каждой из сумм: а+Ь и c+d.

6. Замените отрезок длины 2см. на отрезок 4см. Проверьте, возможен ли такой четырехугольник. Выполните построение, если оно возможно.

Комментарий. Построенный четырехугольник — прямоугольник. Для ребят это фокус. То, что это параллелограмм, ясно (AB » CD, ВС = AD). А вот то, что это прямоугольник, мы устанавливаем, как физики, чисто опытным путем, применяя транспортир, или чертежный угольник, так как подкрепить логикой свое открытие учащиеся пока ещё не могут.

7. Задача: постройте четырехугольник по двум диагоналям и трем сторонам.

Комментарий, Ребята б парах пытаются нарисовать такой четырёхугольник (рис. 47). Определяют условие, при котором построение возможно. Строят четырёхугольник.

8. Задача: постройте четырехугольник по трем сторонам и одной диагонали.

Рис. 44 рис.45. Рис.47 рис.46

Комментарий. Учащиеся устанавливают и логически обосновывают, что данные не определяют единственной фигуры.

9. Проанализируйте способы решения задач, которые мы сегодня применяли и дайте ряд советов человеку, приступающему к решению задач на построение.

Советы: 1) начинай с картинки; 2) смелее выдвигай различные предложения; 3) логически обосновывай свои выводы.

Урок 2. Тема урока: «Медиана треугольника». 7 класс.

Слово к коллеге. Этот урок, если его выстроить традиционно - не прост. Трудно удержать внимание ребят при изучении скучной темы, отрабатывая понимание простого понятия. Поэтому требовалась сверхзадача урока, включающая в себя как часть, изучение маленького частного вопроса, каким и является понятие медианы. Такой сверхзадачей и стал ”выход в пространство” - медиана была помещена не в одну, а в различные плоскости, в которых лежат грани многогранников и плоскости, проходящие через их внутренние точки. В качестве такого многогранника была выбрана пирамида. Мысленно ползая по граням пирамиды в поисках отрезка, который бы подходил под определение медианы, ученики, незаметно для себя, развивали пространственное мышление, учились концентрировать внимание на изучаемом понятии. Сложность и новизна держали внимание учеников на протяжении всего урока.

Предложенная последовательность заданий, требовала поиска, основой которого был анализ и обобщение.

1. Изобразите правильный тетраэдр РАВС (рис. 50).

2. Проведите медиану треугольника A PB из вершины Р. Ребята применили указанный ранее алгоритм: а) разделить отрезок AB пополам точкой К; б) соединить точки К и Р отрезком PK (медиана).

3. Проведите медиану треугольника ABC из вершины С.

Комментарий. Опять используется определение медианы, но ситуация несколько изменена. Это поддерживает интерес учеников. Теперь уже подключено к работе их воображение, они как бы «влезают» в пространство: рассматривают расположение плоскостей треугольников АВР и ACB, хотя специально такая задача перед ними не ставится.

4. Посмотрите на рисунок и перечислите новые фигуры появившиеся на чертеже.

Комментарий. Такие вопросы школьники впоследствии могут задавать себе при ре-

шении задачи, когда выполнено некоторое дополнительное построение. Ребята доказывают, что треугольник РКС равнобедренный (из равенства треугольников АРК и АКС). Вторично, как бы на втором плане, создается ситуация, когда ученики рассматривают расположение плоскостей *ВР и ACB.

5. Проведите медиану треугольника РКС из вершины К.

Комментарий. Третий раз надо применить алгоритмы построения медианы, и опять для равнобедренного треугольника. Известно, что без повторений невозможно сформировать то или иное специальное умение, но если бы эти треугольники находились в одной плоскости, то однообразие заданий не позволило бы учителю удержать внимание сильной части класса. «Пространственный» же вариант дает посильную работу всему классу: одни повторяют алгоритм построения медианы., другие имеют возможность присоединить к объектам своего внимания еще и плоскость РКС. Кроме того, у них появляется возможность для анализа построений, наблюдений и для обобщения информации, полученной опытным путём.

6. Постройте медианы треугольников РВС и А PC из вершин В и А соответственно.

Комментарий. Еще на две плоскости обращается внимание ребят. Класс как бы находится на экскурсии по пространству. Алгоритм же построения медианы уже повторен, пять раз.

7. Расскажите о том, что вы заметили.

Комментарий. А заметить есть что и удивиться есть чему: треугольники АРВ, ANB,, АСВ равнобедренные, а значит, PK, NK, CK — их высоты. Получилось, что из одной точки К к прямой AB проведено сразу три перпендикуляра. Для ребят это удивительный факт. Ведь всего несколько уроков назад, было доказано, что на плоскости из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один. А в пространстве, значит, это не так? Учащиеся начинают понимать, что пространство подчинено другим закономерностям, нежели плоскость.

8. Возьмите на отрезке PC такую точку X, чтобы ХК был перпендикулярен Aß.

Комментарий. Появляется первое обобщение: какую бы мы точку X отрезка PC ни взяли, отрезок ХК будет перпендикулярен AB. Обобщение это подготовлено предыдущими заданиями.

9. Вне пирамиды найдите точки такие, чтобы отрезок ХК был перпендикулярен AB.

Комментарий. Теперь взгляд ребят направляется на пространство вне пирамиды. Это задание требует смелости мь:сли, оно дает возможность сделать еще одно маленькое «открытие»: все точки прямой PC обладают этим свойством.

10. Определите где в пространстве находятся все перпендикуляры к прямой AB, проведенные из точки К.

Комментарий. Это последний вопрос. Хотя он правомерен, но, конечно, большинству учеников ответить на него трудно, опыта еще мало. Он рассчитан на ребят с хорошо развитой интуицией. Возможность дать правильный ответ на него есть, так как искомый объект, плоскость РКС, представлен на рисунке, и вся необходимая работа для этого уже проделана. Удивление, радость поиска, знакомство с новым геометрическим объектом - причина хорошего настроения, с которым ребята работают на уроке. Их внимание сосредоточено на рассмотрении пирамиды. Однообразная работа по построению медианы сочеталась с работой мысли, радостью от открытий.

Рис.50

Урок 3. Тема урока: ”Медиана треугольника”. 7 класс.

Отрабатывались свойства равнобедренного треугольника. Работа проходила устно, по заранее заготовленным на доске чертежам. На первом чертеже был изображен правильный тетраэдр РАВС (рис. 50).

Прогулка в пространство началась, как всегда, с «проверки» герметичности скафандров. Это игровое начало создавало у класса хорошее настроение.

1. Придумайте способ построения перпендикуляра из вершины Р треугольника АРВ на сторону AB?

2. Придумайте способ построения биссектрисы угла ВРС треугольника РАВ.

3. Придумайте способ построения перпендикуляра из точки N на PC в треугольнике BNA.

Комментарий. Класс обсуждал вопросы устно, а затем учитель делал соответствующие построения на доске. Поиск ответ на третий вопрос следовал из первых двух, но работа тут посложнее: надо доказать равенство треугольников PNA и PNB и использовать первые два ответа. Но почти это же доказательство проводилось на предыдущем уроке, только тогда треугольники были иначе расположены. Обсуждение третьего вопроса позволило ученикам увидеть расположение плоскостей РВС и РАС.

4.Найдите еще один равнобедренный треугольник с высотой NK (рис 50).

Комментарий, в поле зрения ребят появляется треугольник РКС. Обосновывается ответ аналогично. Можно попросить класс иначе доказать, что треугольник РКС равнобедренный.

5. Нарисуйте еще равнобедренные треугольники, в которых отрезок NK его высота.

Комментарий. Ребята заметили, что таких треугольников много, их вершины X и У лежат на отрезке PC на равном расстоянии от точки N. И тут же была сделана поправка: не на отрезке, а на прямой PC (рис. 51). После этого у школьников сложилось впечатление, что вопрос исследован полностью. Тогда учитель опять сосредоточил внимание на его формулировке. Установили, что классом было произвольно наложено дополнительное условие: К— вершина равнобедренного треугольника. И вот тогда появилась возможность увидеть еще равнобедренные треугольники с вершиной N и двумя вершинами X и Y, лежащими на прямой ВА на равных расстояниях из точки К. Этот момент исключительно важен, так как учит досконально проверить найденное решение даже тогда, когда есть полная уверенность в его полноте и достоверности.

6. Придумайте быстрый способ построения отрезка перпендикулярного отрезкам PC и AB.

Комментарий. Этот вопрос помог обобщить все результаты, полученные при предыдущих исследованиях. Для этого достаточно было соединить середины отрезков PC и AB.

Каждое из заданий рассчитано на умение учеников строить догадки, делать различные предположения. Весь класс при этом был сопричастен к поиску истины, их опыт обогатился и приемами поиска, и результатами его.

7. Решите задачу: дан правильный тетраэдр РАВС. Нарисуйте прямую, которая проходит: 1) через точку Р перпендикулярно прямой АС; 2) через точку С перпендикулярно прямой PB; 3) через точку К — середину ВС — перпендикулярно прямой РА

Комментарий. Такие задания не новы для учащихся 7 класса, но практика показывает, что иногда полезно еще раз вернуться к рассмотрению уже изученного: появляется новое видение знакомых объектов, а порой возникает интересное, необычное решение. И в этом случае было предложено интересное доказательство того, что треугольник РКА равнобедренный.

Разрезать пирамиду по ребрам PC и PB, а треугольник РВС отогнуть и положить на плоскость ABC, тогда получится фигура АВР{ С, у которой все стороны равны, т. е. ромб. То, что точки А, К, Р, лежат на одной прямой, ясно, так как сумма углов АКВ и Р KB равна 180°, учитывая, что углы АКВ и Р, KB прямые. Тогда ВС и А Р{1 — диагонали ромба и точкой пересечения К делятся пополам. Таким образом, РК=АК и треугольник АРК равнобедренный.

8. Нарисуйте в этом правильном тетраэдре прямую, перпендикулярную прямым PC и AB (выполнить самыми экономными средствами).

Комментарий. Было предложено изобразить эту пирамиду так, чтобы на рисунке середины отрезков PC и AB совпадали, тогда общий перпендикуляр к ним изобразится точкой — их общей серединой. Прозвучавший ответ в первую минуту даже ошеломил, настолько он был неожиданным.

Послесловие. В курсе геометрии 7 класса с успехом можно использовать для отработки изучаемых понятий и пирамиду, и параллелепипед. Рассмотрим задачу: Все углы граней пирамиды РАВС при вершине В прямые. Ребро PB равно 4, каждое из ребер AB и ВС равно 3. Найти площадь треугольника РАС.

Представьте такую пирамиду ребятам довольно просто — это знакомый угол классной комнаты (рис. 52). При решении задачи доказывается, что треугольник АРС равнобедренный. Для этого по теореме Пифагора находятся длины АР, PC, АС. Еще раз георема Пифагора применяется для нахождения высоты ВК (К— середина АС).

Любопытное продолжение получила следующая задача: Доказать, что сумма площадей равносторонних треугольников, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе.

Ее решение позволило рассмотреть такую задачу: Дана пирамида РАВС, основание ABC — прямоугольный треугольник, угол С прямой, РАС, PCB,

РАВ — равносторонние треугольники. Доказать, что площадь треугольника АРВ равна сумме площадей треугольников РАС и PCB.

После того как условие было прочитано, выполнен чертеж, послышались сначала робкие голоса, что такой пирамиды не существует, потом это утверждение зазвучало увереннее. С ситуацией, когда заданного в условии многогранника не существует, ребята встретились впервые. Опыт показывает, что несложные задачи с «выходом в пространство» дают большие возможности для творчества учащихся. Они решаются более свободно, так материал дается «на вырост», он не обязателен. Необязательность приковывает внимание учеников, ведь для каждого из них дело чести справиться со сложной задачей.

Рис.51

Рис. 52

Урок 4. Тема. Площадь треугольника. 8 класс

Слово учителя. Какую бы вы работу ни выполняли, вы всегда преследуете определенную цель. Если цель ее для вас неясна, то даже игра превращается в скуку.

От цели, с которой вы будет выполнять задания на сегодняшнем уроке, во многом зависит результат вашей работы. Какой она может быть? Можно просто поупражняться в применении формулы площади треугольника. А можно поразмышлять о площади вообще, или о площади многоугольников. Достойной будет и цель рассмотреть на плоскости, да и в пространстве тоже, равновеликие фигуры, то есть фигуры, имеющие р?вные площади. Все перечисленные мною цели явные, цели первого плана. Однако не менее важны цели, сопровождающие основную, главную цель, цели, которые не осуществляются быстро, они живут во времени. Обычно такие цели связаны с личностью человека, с его ”Я”.

Минутку подумайте о себе, о теме урока и определите свою цель, к достижению которой вы будете стремиться. Наибольшей радостью для меня будут ваши открытия. Итак, в путь!

1.Посмотрите внимательно на рисунки на доске (рис.48) и найдите в каждом случае площадь треугольника (задачи разбираются устно).

2. Начертите: а) Прямоугольный треугольник с катетом, равным 2 см и площадью 1 см2. Сколько таких треугольников с катетом AB, равным 2, можно построить?

Помните, что точно обосновать правила для построения фигуру с заданными свойствами — самая первая задача геометрии.

б) Равнобедренный треугольник с основанием АВ-2см и площадью 1 см2. Сколько таких равнобедренных треугольников с основанием AB можно построить?

Ход обсуждения решения. Посмотрите на чертеж и подумайте, какую еще информацию о треугольнике ABC вы могли бы получить, (à ABC прямоугольный).

Выясните сколько таких треугольников на плоскости с основанием AB можно получить? А в пространстве? Где будут находиться все вершины С таких треугольников?

в) Остроугольный, неравнобедренный треугольник с основанием 2 см и площадью 1 см2. Ход обсуждения решения. Какие вопросы по решению задачи логично сейчас задать? (Сколько таких треугольников с основанием AB можно построить? Где будут находиться вершины С всех таких треугольников?). Попробуйте обосновать, почему у всех этих треугольников площадь равна 1 см2. Подумайте, где в пространстве будут находиться вершины всех прямоугольных треугольников с площадью, равной 1 см2, и основанием AB. (На цилиндрической поверхности.)

г) Тупоугольный треугольник ABC с основанием AB = 2 см и S=1 см2, установите, где будут находиться вершины С всех таких треугольников. А в пространстве.

3. Постройте: а) квадрат со стороной, равной 2 см; б) четыре равнобедренных треугольника на сторонах квадрата (ко вне его), так чтобы площадь каждого из них была равна площади квадрата.

4. Нарисуйте фигуру, которую можно склеить из той развертки (рис.49), и найдите площадь ее поверхность (Рисуют правильную четырехугольную пирамиду).

Слово к коллеге. При сравнении двух планов уроков по геометрии, изложенных выше, легко заметить общее: задачи простые, доступные, как бы взяты из практики, из жизни. Они требуют от ребят активной работы мысли, «провоцируют» их на поиск, поэтому их нескучно решать ученикам с разным объёмом знаний по математике, с разным к ней отношением. Расставленные логические «ловушки», создают познавательные препятствия, дают им пищу для размышления. И как весело смеются дети, когда попадают в такую «ловушку»! Почти ни одна из них не ускользает из памяти школьников сразу же после решения. И если на первом уроке главным моментом было исследование возможности построения, поиск способа построения, то на втором уроке — сопоставление результатов плоскостного и пространственного варианта задачи. Плоскостной вариант представлял собой начальных этап поиска решения пространственного варианта. Перед учителем стояла задача помочь каждому школьнику представить рассматриваемые фигуры.

рис.48

рис.49

Уроки-«Бенефисы»

Так называются уроки-отчеты о домашних исследованиях. Одинаковые по своей конструкции уроки, на которых за каждым учеником закреплен определенный индекс успешности изучения школьного предмета, могут привести к потере его интереса к самому процессу познания.

Задача учителя состоит в том, чтобы соответствующим образом организовать деятельность такого ученика, настроить его на более уверенную работу по изучению предмета. Вот этой цели и служат уроки-«бенефисы».

Двум ученикам, обычно среднему и чуть-чуть посильнее, на карточках дается одна и та же задача. Им предлагается в течение двух недель представить учителю решение и затем изложить его на уроке. Практика показала, что это хороший способ стимулирования творческой деятельности ученика. Обычно тихий, незаметный, на уроке-«бенефисе» он находится в центре внимания своих товарищей. Чувство ответственности, которое, как правило, хорошо развито у таких ребят, и огромное желание оправдать надежды учителя, не уронить, а поднять свой авторитет среди друзей помогают ему мобилизовать все свои мыслительные способности. Он знает, что от него ждут красивого решения, а добиться его можно только в результате огромной, кропотливой, исследовательской работы над условием задачи. Вот этот эмоциональный настрой окрыляет ученика. Может быть, поэтому решение, причем красивое, он обычно приносит учителю на проверку уже на следующий день.

Для творческого применения знаний необходима готовность ученика к быстрому поиску многообразных вариантов решения проблемы. Красивое решение находится после нескольких вариантов, не самых удачных. Поэтому, чтобы подключить класс к активной работе на уроке - «бенефисе», им также заранее сообщается бенефисная задача и фамилии учеников, которым поручено ее решить. Класс стихийно разделяется на две сочувствующие группы. Дух соревнования позволяет «соперникам» работать более продуктивно. Болельщики готовят вопросы, оценивают, кто дал более оригинальное, интересное решение, участвует в рецензировании работы своих товарищей.

Одним из требований к «бенефисной» задаче является возможность увидеть несколько способов ее решения, ведь цель таких уроков —

стимулировать творческую деятельность ребят.

Чаще всего для «бенефиса» отбирается задача по курсу геометрии. Приведём примеры «бенефисных» задач.

7 класс. Тема ” Равнобедренный треугольник и его свойства”

Задача. На высоте равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) BB1f взята точка D. Доказать, что: 1) AABD= ABDC; 2) \ADB1 = ADßjC.

Первая часть — равенство треугольников ADB и BDC — доказывается легко. Рассмотрим способы доказательства второго равенства:

I способ. AADBj = ADB .С, так как: 1) AD = DC; 2) £>Я7 = D5y (общая); 3) AADBj = ABjDC (так как смежные с ними углы ADB и ÄDC равны).

II способ. AADC равнобедренный, так как AD = DC; DBj — его высота, значит, и биссектриса угла ADC, тогда AADBj = ADBjC по двум сторонам и углу между ними.

III способ. В Д ABC BBj — высота, а значит, и медиана. Следовательно, ABj=BjC и zABjD =zDBiC = 90°, a DBj в треугольниках ADBi и DBjC общая. Значит AADB} = ADBjC.

IV способ ААОС — равнобедренный, AD = DC; DBl — его медиана, значит, ABj=BiC и zDAC =z DCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит AADBj = ADBjC

8 класс. Тема. Теорема Пифагора.

Задача. Дано: ALKC — квадрат, ABCD— квадрат. Доказать SKcal = 2Sabcoî Доказательство. Пусть АС = с, AD = CD = а, тогда Sabcd = a2, Skcal = с2

I способ (рис.53). AACD — прямоугольный, значит, по теореме Пифагора с2 = 2а2 и5Мс = 2Sabcd -

II способ. В квадрате ACKL содержится четыре треугольника ABC, а в квадрате ABCD их два. Отсюда — требуемый вывод.

III способ. S длят — половина площади квадрата ACKL, но SAKC=SABCD-

IV способ. Так как на его гипотенузе АС прямоугольного тре-

рис.53

рис.54

угольника ACD построен квадрат ACKL, на катете CD — квадрат ABCD, на катете AD — квадрат ABCD, то остается лишь применить теорему Пифагора.

9 класс Тема. Обобщающий урок по курсу геометрии

Задача 1. Стороны треугольника af Ь, с. Найдите радиус окружности, имеющей свой центр на с и касающейся двух других сторон а и Ь (рис. 54).

II способ. 1 ) Углы А и В находим по теореме косинусов. 2) Из aADC:

3) Из аОЕВ:

4) г находим из уравнения:

2 способ. 1) Пусть AD = х. 2) a AOD:

3) aCOD:

4) СЕ = CD = b — X (по свойству касательных, проведенных из одной точки).

5) BE = а — b + х.

6) аОВЕ:

7) Решаем уравнение:

III способ. 1) Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона. С другой стороны,

Отсюда:

IV способ. 1 ) ОС — биссектриса угла DCB, так как О равноудалена от его сторон, тогда

2)cos А находим из аАВС по геореме косинусов. 3) По косинусу находим синус угла Л, используя формулу:

V способ. Дополним треугольник ABC симметричным ему треугольником относительно AB до четырехугольника АСВСХ. Тогда получим

четырехугольник, описанный около окружности. Равсс, = 2 (а+Ь), Sabcc, = лвс . a .S'a abc найдём но формуле Герона, и г = —. Затем наметим план нахождения радиуса окружности.

Задача 2. В равносторонний треугольник вписаны три равных круга так, что каждый касается двух сторон треугольника и двух других кругов. Определить радиус кругов, если сторона треугольника равна а (рис.55).

Рис.55

I способ. aAOiP:

II способ. А ВОК со ANBC, отсюда

Находим г.

III способ. 1) 2) BN = BO + 003+03N

3)

IV способ. Рассмотрим четырехугольник AFtFN. Вычислим его площадь по формуле:

V способ. Рассмотрим AAN, С. В него вписана окружность, радиус которой надо найти. Стороны AAN/C известны, площадь найти легко по формуле

VI способ. Рассмотрим треугольник AFN. Вычислив его стороны, найдем радиус окружности, с центром на гипотенузе AF и касающейся двух других сторон. Но это - предыдущая задача, которая уже решена.

«...смысл всякого знания состоит в устанавливаемом им отношении между предметом и содержанием»

С.Л. Франк

Изучение действий с обыкновенными дробями методом экспериментального нащупывания

Изучение действий сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей было начато за полгода до того, как эта тема должна была изучаться по программе. Не в ущерб программному материалу на каждом уроке первого полугодия обучению действиям с обыкновенными дробями отводилось 5—7 минут. Обычно с этой работы начинался урок. Дети рисовали прямоугольник, заштриховывали какие-то его части и выполняли одно - два упражнения, которых рассказано ниже. Работа велась неторопливо, каждый ученик имел возможность открыть для себя смысл операций, производимых над дробями, и усвоить их. Подчеркнём, что все усилия были направлены на познание смысла действий с дробями. По этой теме не проводились контрольные работы, она не включалась в домашние задания. Просто делались «заготовки» для последующего успешного усвоения действий с дробями. Необязательность усвоения всего того, что было исследовано и открыто на уроке, разрешала ученику самому определять, что надо усвоить и какими умениями стоит овладеть. Школьник в процессе познания новой темы шёл не за учителем, а впереди его, проявляя инициативу в выборе путей познания. Его слово, не скованное словом., строгими инструкциями учителя, проникало в суть, в смыслы новых понятий, позволяя открывать алгоритмы новых действий с дробями.

К моменту официального прохождения темы по программе ребята хорошо ориентировались в действиях с дробями, сопоставляя их смысл с теми образами, которые они использовали при их открытии. На втором этапе изучения действий с дробями, при чтении параграфов учебника, при решении предложенных там примеров и задач, возникающий в их сознании ассоциативный ряд, оказывал добрую услугу, снимал страх, как и многие трудности, которые часто оказывались непреодолимыми при традиционном способе познания этой темы. У ребят появилась возможность еще раз, на другом уровне, вникнуть в смысл каждой операции, ликвидировать обнаруженные пробелы в знаниях. В результате на уроке освободилось время для решения

творческих задач по этой теме.

Перечислим этапы, которые входят в метод экспериментального нащупывания алгоритмов действий с дробями: 1) нарисовать некоторый прямоугольник и заштриховать заданную его часть; 2) проанализировать изображенную ситуацию; 3) подметить закономерность; 4) обобщить полученные результаты.

Сложение обыкновенных дробей.

Занятие первое. От абстрактной дроби к её реальному образу.

Нарисуйте прямоугольник, ширина которого 1 клетка, а длина 15 клеток.

Заштрихуйте ~ его долю. Заштрихуйте еще ^ его долю.

Определите, какие доли мельче: пятнадцатые или пятые?

Определите сколько пятнадцатых долей содержится в <- и запишите: ^ «...

• Запишите две дроби рядом и поставьте между ними знак, обозначающий действие, с помощью которого можно определить, заштрихованную часть прямоугольника и напишите его:

Комментарий. Дроби, являясь абстрактными объектами, приняв реальный образ - части прямоугольника, легко воспринимаются школьниками, позволяют им проанализировать происходящие с ними метаморфозы: дробление в более мелкие доли, увеличение или уменьшение в одно и то же число раз, сложение дробей. Любой школьник может пальчиком сосчитать сначала число заштрихованных клеток прямоугольника, приходящихся на одну пятнадцатую, а затем - на одну пятую, и определить результат сложения дробей. Заметим, что сначала одна клеточка прямоугольника была выделена цветом и рядом с ней приписана часть, которую она составляет от всего прямоугольника.

Занятие второе. Выглядываем е суть действия сложения дробей.

• Установите, сколько клеточек должен содержать прямоугольник, чтобы было легко заштриховать в нем сначала ~ , а затем ^ его часть.

• Нарисуйте этот прямоугольник размером 5x4 клетки и заштрихуйте часть его.

• Заштрихуйте ^ часть прямоугольника.

• Рассмотрите прямоугольник и скажите, какие доли более мелкие: двадцатые или четвертые.

• Рассмотрите прямоугольник и скажите, сколько двадцатых долей содержится в ^ . Запишите результат в тетради.

• Запишите числовым выражением, какую часть прямоугольника вы заштриховали, и попытайтесь найти ее, при этом учтите, что вы умеете складывать дроби с одинаковыми знаменателями

Комментарий, Учитель направляет взгляд ученика на рассмотрение то одного, то другого объекта, тем самым, поддерживая его творческую, поисковую деятельность. Освобождённый от привычной обязанности повторять слова учителя, школьник самостоятельно творит своё слово, свои действия, сопоставляя их с результатом полученным одноклассниками, так же находящимися в начале пути познания. После паузы учитель записывает на доске ответ, который дало большинство ребят класса.

Время, которое надо выделить для поиска ответа на то или другое задание, подсказывает учителю интуиция, профессиональный опыт.

Занятие третье. Продвижение к открытию правила сложения дробей.

• Нарисуйте прямоугольник 5x3 клетки.

• Заштрихуйте одну пятую часть его.

• Заштрихуйте ещё третью часть его.

• Запишите числовым выражением заштрихованную часть прямоугольника.

• Рассмотрите записанную вами сумму дробей:

• Посмотрите на прямоугольник и высмотрите из него дробь, которая равна сумме одной пятой и одной третьей, запишите её.

• Заштрихуйте одну клетку в прямоугольнике и напишите рядом, соответствующую её дробь.

• Всмотритесь ещё раз в сумму дробей одной пятой и одной третьей, в часть прямоугольника соответствующую им, и, не выпуская из внимания одну клеточку, проверьте правильность записи суммы этих дробей.

• Напишите рядом с прямоугольником 1, целая - это весь прямоугольник, посмотрите на прямоугольник и запишите число пятнадцатых долей в одной целой;

• Узнайте и запишите: какую часть прямоугольника мы не заштриховали.

Комментарий. Ребята привыкают к выполнению алгоритма сложения дробей, который на следующем этапе они будут применять устно, без рисунка прямоугольника. Известный наш психолог П. Я. Гальперин разработал теорию управления мыслительной деятельностью учащихся. Начинается она со знакомство с алгоритмом, представленным в письменном виде, затем следует работа с ним с помощью громкого проговаривания, после чего письменный текст алгоритма убирается и ученик использует его по памяти, проговаривая его тихо в мысленном плане. В нашем варианте алгоритм сложения дробей открывается, осознаётся, придумывается самими учениками в процессе штриховки долей прямоугольника, в процессе подсчета его заштрихованной части. Затем при следующей работе он восстанавливается каждым учеником самостоятельно, приобретая новые черты, уточняющие и упрощающие выполняемое

им действие.

Занятие четвёртое. Разные записи одной и той же дроби.

• Нарисуйте квадрат 6*6 клеток.

• Заштрихуйте его половину

• Заштрихуйте ещё одну шестую часть всего квадрата.

• Определите ту часть квадрата, которую вы заштриховали; /получили шестнадцать двадцать четвёртых, восемь двенадцатых, четыре шестых/

• Сопоставьте полученные результаты; /после сопоставления вариантов пришли к выводу, что все три дроби равны. Но, один мальчик сказал, что у него, непонятно для него самого как-то получилась дробь две трети, просто пришла в его голову, а он её записал. Разобрали и этот вариант. Впервые у пятиклассников получилось четыре правильных ответа одного примера записанных по-разному, но имеющих один и тот же смысл/.

Комментарий. Маленькая работа в начале урока. Казалось бы, как всё просто, может и проводить её не стоит. Однако в процессе преподавания учитель не имеет права игнорировать ”простые” объекты, идеи, термины, слова, образы, предполагая, что их смыслы проявятся для ребёнка сами собой и не требуя вмешательства педагога. Увидеть в шестнадцати двадцать четвёртых, восьми двенадцатых, четырёх шестых - одну и ту же дробь, увидеть самим, а не потому, что так сказал учитель, или так написано в учебнике - это серьёзный труд, серьёзная работа. Это - повод для насыщенного разговора учеников-исследователей, проделавших определённую работу и проанализировавших её результат. Сопоставление результатов, сопровождающихся вопрошанием, сомнениями, отстаиванием своей истины, принятие результата одноклассника, - происходит в полилоге, незаметно направляемым учителем. Предмет познания ребят - математика, становится для них осязаемым, реально проявленным в рисунках, в создаваемых ими образах.

Занятие пятое. Вхождение в смысл слов ”целая, одна целая, единица”.

• Начертите два прямоугольника 3^5, 6*6, каждый из них примем за одну целую. Напишите около каждого прямоугольника 1

• Определите, какую часть каждого прямоугольника занимает одна клетка, и запишите, сколько этих долей содержится в одной целой первого прямоугольника и в одной целой - второго; сравните дробь тридцать шесть тридцать шестых с дробью пятнадцать пятнадцатых; /Приведём объяснение, которое дала ученица пятого класса. Наташа: «В мире много, много разных предметов, и любой из них принимается за одну целую, за единицу. Число 1 - одна целая приписывается каждому из них. При этом мы забываем о том, какими свойствами обладают эти предметы: тёплые они или холодные, красные или зелёные. Каждый из них - одна целая. А когда мы начинаем их делить на части, то получаем часть целого, часть одной целой”. Учитель: ”Одна целая - абстрактный образ какого-либо реального предмета”/.

Комментарий. Включения в очень трудную мыслительную работу потребовали от ребят первые минуты урока. Им пришлось осмыслить абстрактные объекты: целая и её доли, дроби, сопоставить их с реальными объектами, осознать как моменты их тождественности, так их различия. Не просто для пятиклассника, но доступно. Психологи утверждают. Что внимание держится на сложности и новизне. И то и другое присутствует на данном занятии.

Занятие шестое. Нахождение части от пространственной фигуры.

Посмотрите на мои руки. В них ничего нет, кроме кусочка мела. А сейчас на доске они нарисуют куб. Рассмотрите способ проявления куба, с помощью кусочка мела. Видите? Тонкие линии проявляют на доске четырёхугольник, изображающий квадрат в трёхмерном

пространстве - верхнее основание куба. Четыре отрезка, проходящие через его вершины, равной длины как бы подпирают его снизу - боковые рёбра куба. Отрезки, соединяющие их свободные концы, проявляют ещё один четырёхугольник - нижнее основание куба.

• Нарисуйте в своих тетрадях кубик.

• Разделите его разными способами на две равные части.

• Заштрихуйте половину куба и напишите рядышком дробь: одна вторая.

Комментарий. Произошёл самостоятельный выход в пространств. Его сложность и в том, что по нему не ведёт школьника за ручку взрослый. Полёт мысли ребят - момент придумывания способов деления куба на две равные части, не прост, совсем не прост. Ведь не введено учителем ни понятия плоскости, ни понятия сечения многогранника. И хотя ребята всю свою жизнь пристально вглядываются в пространство, в котором они оказались вдруг, поиск, в который они включены, может завершиться благополучно лишь при надежде на безграничные возможности интуиции ребят. Простор для проявления их интуиции создан самыми простыми и немногочисленными средствами.

Занятие седьмое. Восстановление целого по его части, на примере пространственных фигур.

Последите за тем, как я буду рисовать четырёхугольную пирамиду, у которой одно ребро перпендикулярно к основанию, то есть, расположено к нему под прямым углом.

• Нарисуйте в тетрадях такую четырёхугольную пирамиду (рис. 56).

• Обозначьте четырёхугольник основания - ABCD.

• Постройте на основании ABCD куб, одним из боковых рёбер которого, является отрезок PB.

• Найдите в построенном кубе пирамиды равные данной.

• Установите, какую часть четырёхугольная пирамида составляет от куба.

Комментарий, Перед ребятами ставится, в каком-то смысле, обратная задача: от части куба перейти к кубу. Если с этой проблемой класс справиться, то можно считать, что работа прошла успешно. Найти в кубе пирамиды равные данной, значит осмелиться повернуть куб, что редко позволят себе сделать школьники. Однако им предоставлена такая возможность. Они могут принять за основание куба либо переднюю его грань, построенную на ребре AD, либо боковую с ребром DC, оставив вершину прежней - точку Р, и увидеть пирамиды равные данной. Заметим, что многие понятия (такие как перпендикуляр к плоскости, равные пирамиды) воспринимаются ребятами на интуитивном уровне. Занятие восьмое. Применение в умственном плане алгоритма сложения дробей.

• Устно. Вычесть из одной целой: одну восьмую, три пятнадцатые, семь восьмых;

• Сложить: одну вторую и одну треть. Решить, какой прямоугольник нам надо нарисовать, чтобы легко увидеть в нём каждую из долей; /2><5/;

• Мысленно заштрихуйте одну его клеточку и выясните, какую часть она составляет от всего прямоугольника.

• Мысленно постарайтесь увидеть одну вторую часть этого прямоугольника и

Рис. 56

определите число пятнадцатых долей входящих в неё, запомните это число.

• Мысленно постарайтесь увидеть одну пятую часть этого прямоугольника и определите число пятнадцатых долей входящих в неё, запомните это число.

• Сложите теперь одну вторую и одну пятую, запишите результат.

Комментарий, Первое задание - простор для представления образа целой. Оно не сложно и поэтому позволит большинству класса включиться в работу. Следующие задания предлагают тихо вспомнить алгоритм сложения дробей, но не требует этого прямо, оставляя школьникам инициативу выбора его применения. На заднем плане всей работы, идёт формирования в умственном плане действия сложения дробей без заучивания правил, без знакомства со смыслами массы терминов сопровождающих алгоритм этой операции (наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, и т. д.).

Занятия девятое, десятое.

От образа дроби и суммы дробей к результату их сложения. Работа та же, что и на восьмом занятии, только с другими дробями: одна пятая, одна четвёртая, одна шестая и одна третья. Комментарий Три урока подряд ребята, казалось бы, выполняли похожую работу. На самом деле работа каждого нового дня приносила осмысление моментов, которые по каким либо причинам выпали из поля зрения учеников. Новая ситуация наполнила знакомые действия иным осмыслением.

Занятие одиннадцатое. Представление дроби в других долях. На доске нарисован прямоугольник 6^8 клеток. Работа идёт устно. 4- Определите, какую часть прямоугольника составляет одна клетка. 4- Установите число клеток, приходящееся на: одну шестую, одну восьмую, одну четвёртую, одну двенадцатую, одну двадцать четвёртую. 1 Установите число сорок восьмых долей содержащихся в: одной шестой, одной восьмой, одной четвёртой, одной двенадцатой, одной двадцать четвёртой, одной третьей, одной второй. 4- Запишите свои ответы.

Комментарий Несколько занятий назад, на необязательном уровне, в классе уже рассматривались схожие вопросы. Материал успел отлежаться в памяти ребят, проявив смыслы превращения одной дроби в другую.

Занятие двенадцатое. Работа по алгоритму сложения дробей.

На доске написаны примеры:

и дан алгоритм их решения.

Алгоритм сложения дробей:

• Посмотрите на знаменатели обеих дробей и подберите наименьшее число, которое делится на каждый из них.

• Постройте прямоугольник, количество клеточек которого равно этому наименьшему числу.

• Заштрихуйте часть прямоугольника, равную одной дроби, затем заштрихуйте еще часть прямоугольника, равную другой дроби.

• Посмотрите на рисунок и выясните, какие доли мельче.

• Узнайте, сколько более мелких долей содержат доли, которые больше. Запишите результат, приравняв большую долю к количеству более мелких долей, содержащихся в ней.

• Подсчитайте (на рисунке), какая часть всего прямоугольника заштрихована, и запишите результат сложения заданных дробей.

Комментарий. Впервые алгоритм сложения дробей представлен в явном виде, в

виде текста, предписания, над которым работали и по которому работали ребята предыдущие две недели. Тихая, самостоятельная работа сложения дробей по алгоритму, выстраивается каждым учеником неслышно ни для одноклассников, ни для учителя. Поэтому некоторые из ребят могут пренебречь алгоритмом. Причины отхода от алгоритма - разные. Кто-то так и не понял, что надо делать на каком-то этапе алгоритма и поэтому либо заменяет его другим, более ему понятным, либо вовсе его обходит, как бы не замечая его. Есть и такие ребята в классе, которые следуют при сложении дробей своим, как им кажется, более простым, способом. Некоторые ученики уже приноровились складывать дроби как-то по-своему, не отдавая отчёта о каждом своём шаге. Операции необходимые для сложения дробей, приняли у них свёрнутую форму, и они одновременно выполняли нескольких операций.

Занятие тринадцатое. Сложение трёх дробей.

• Нарисуйте прямоугольник, g которого содержит 3 клетки.

• Заштрихуйте ещё ~г часть прямоугольника.

• Заштрихуйте ещё g часть его.

• Определите дробь соответствующую каждой части прямоугольника.

• Заштрихуйте ещё , часть прямоугольника.

• Посмотрите на рисунок и сравните сумму с дробью

• Найдите по рисунку сумму

предварительно определив среди данных трёх дробей самые мелкие доли; Пользуясь этими рисунками, найдите суммы, предварительно раздробив каждую дробь в самые мелкие доли:

Комментарии. В первом примере: |$ + 9 + 3 требуется сложить три дроби, причём одна из дробей подсказывает доли, в которые следует раздробить другие две дроби. Во втором примере Л + , , будто бы и нет подсказки на наименьший общий знаменатель (этот термин в классе пока ещё не произносился), но память ребят сохранила доли, в которые они дробили и ^ , и g в первом примере, поэтому им догадаться не сложно Третий пример — + - ; + ~, решается по аналогии с первыми двумя. Сколько бывает радости у ребят, когда они подмечают законо-

мерность и кричат от восторга: ”А, я заметил!”

Занятие четырнадцатое. Действие - образ - слово.

• Рассмотрите полоску бумаги, которая лежит у вас на столе. Напишите на ней единицу. Полоска бумаги - образ одной целой. Разделите без всяких инструментов, без карандаша эту полоску на четыре равные части.

• Подпишите каждую получившуюся дольку.

• Оторвите % часть полоски.

• Разделите мысленно 1Л часть полоски на две части и оторвите эту часть от одной четвёртой.

• Напишите на половине У* полоски дробь, показывающую часть, которую эта частичка составляет от целой полоски.

• Запишите число восьмых долей содержащихся в 1.

Решите примеры:

Комментарий. На парте у каждого ученика лежит полоска бумаги, с которой и выполняются все действия. Полоска бумаги - модель одной целой. Когда ребята отрывают её ”~ часть, они держат одну четвёртую целой в своей руке и это важно: абстрактное понятие становится осязаемым. Затем - отделяют половину ^ иу них в руке - g доля целой - результат деления дроби ^ на целое число 2 / Правило деления дроби на целое число ещё неизвестно/.

Решение примеров ■ ^ ? ^ 8 ' 4 8 4 ” 8 позволяет осмыслить операции, проделанные с моделью одной целой. Можно попросить молча доказать, что ребята поднимают две полоски по « и прикладывают их друг к другу. Набор примеров позволяет школьникам поручить первый интуитивный опыт умножения дроби на целое число, деления дроби на целое число, деление дроби на дробь.

Занятие пятнадцатое. Дробление дроби е другие доли. На доске нарисован прямоугольник 1x8, разделённый на восемь частей. Рассмотрите прямоугольник и определите число: а) четвёртых долей в Л/г\ Ь) восьмых долей в одной: Уд, л/г\ с) двадцать четвёртых долей в: Уг, 1.

Комментарий. Пятнадцатое задание перекликается с заданием четырнадцатым, только теперь работа идёт с помощью вглядывания в рисунок прямоугольника. Фактически ребята выполняют действия деления дроби на целое число. Заметим, что с дробями, которые они делят, и дробями, которые получаются в частном, велась работа на предыдущем занятии.

Занятие шестнадцатое.

Представление в мысленном плане дроби в более мелких долях. Мысленно нарисуйте прямоугольник 1x48 клеток и определите число сорок восьмых долей в: а)одной двадцать четвёртой; Ь)одной двенадцатой; с)одной шестой; d) одной четвёртой; е) од ной третьей; родной второй.

Комментарий. Задание требует от ребят сделать ряд самостоятельных шагов по овладению исскуством представления дроби в более мелких долях. Прямоугольник подобран так. что число его клеток делится на: 24, 12, 6, 4, 3, 2. Ребята это быстро подмечают и используют при выполнении задания.

Занятие семнадцатое. Привязка дроби к её образу. Мысленно нарисуйте прямоугольник 1х48 клеток и найдите результат деления: а) одной целой на 48; Ь) одной целой на 24; с) одной двадцать четвёртой на 2; d) одной целой на 12; е) одной двенадцатой на 2; на 4; f) одной целой на 6; g) одной шестой на 2; на 4; на 8.

Комментарий. Занятия рассчитано на работу подсознания, направлено на отработку умений, которые были представлены на предыдущих уроках. Но одно дело открыть что-то, другое - овладеть умением его применять. Дроби, с которыми работает класс, знакомы, задания предлагают посмотреть на них иначе, распознать то, что так и осталось не познанным

Занятие восемнадцатое.

Обсудите с соседом по парте путь решения примеров, вычислите и запишите ответы:

Комментарий. Работа в паре - всегда повод сопоставить понятое тобой, распознать то, что поняли другие. К этому моменту у ребят есть все необходимые знания для правильного решения предложенных им примеров. Однако какие-то моменты могли забыться. Диалог, направленный диалог, организованный самим подбором примеров пройдёт эффективно и положит хорошее эмоциональное начало всей дальнейшей работы на уроке.

Занятие девятнадцатое. Совместные действия с дробями.

Устно с соседом по парте решите примеры:

Слушаем решения примеров. Комментарий. Отрабатывается понимание дроби как результата деления числителя на знаменатель. Кроме этого, задание включает в себя моменты деления дроби на целое число, умножение дроби на целое число, которые встречались ранее и выполнялись на моделях.

Занятие двадцатое. Сложение дробей без явного текста алгоритма.

• Мысленно запишите число четвёртых долей в одной целой, в одной второй, в одной четвёртой. Сравни с соседом по парте полученные варианты.

Определите число восьмых долей в: 1; У»; %.

Найдите суммы:

Комментарий. Операция сложения дробей проходит в мысленном плане, нет ни текста алгоритма этого действия, нет ни моделей, ни рисунков. Дроби r примерах просты и хорошо знакомы, поэтому поиск результата должен быть успешным. Ощущение успеха необходимо школьнику, включённому в планомерную творческую работу.

Занятие двадцать первое. Образ- наблюдение- мысль - действие.

• На доске нарисован: прямоугольник 2><5 клеток, и в нём заштрихована одна десятая и одна вторая часть его;

• прямоугольник 2x3 клеток, и в нём заштрихована одна шестая и одна третья часть его;

• прямоугольник 3x4 клетки, и в нём заштрихована одна двенадцатая и одна четвёртая часть его;

• прямоугольник 6x6 клеток, и в нём заштрихована одна шестая и одна четвёртая часть его;

Сложить дроби:

Комментарий. Дан образ, необходимый для поддержки самостоятельного наблюдения, вглядывания в образ сложения дробей. Возможно, что этот этап будет пропущен некоторыми ребятами. Мысль о подборе самого маленького числа, которое делится на каждый знаменатель, может появиться при разглядывании прямоугольника. Действия: рассмотреть в прямоугольнике каждую долю, определить число, содержащихся в каждой их них, более мелких долей, повторено на уроке восемь раз, значит, есть огромная надежда, что оно будет усвоено. В последних четырёх примерах представлена ситуация более сложная, так как нет прямой опоры на конкретный прямоугольник.

Занятие двадцать второе. От осмысления образа дроби к действию с дробями.

На доске рисунки (рис. 57):

Рис.57

• Рассмотрите рисунки и придумайте несколько примеров на сложение дробей и деление дроби на целое число.

• Решите вместе со своим соседом примеры, которые сочинили ваши одноклассники.

• Расскажите всем, как вы их решали.

• Решите примеры, которые для вас сочинил я:

Комментарий. Рисунки молчаливо подсказывают результат и смысл деления дроби на целое число. Составление примеров по рисунку требует более сосредоточенного внимание ученика к деталям рисунка. Поэтому в поле внимания попадут: одна вторая, одна треть, одна четверть и их деление на равные части. Есть надежда, что

будут замечены: g , ^ и другие доли. На рис.57, представлен пример молчащего, но говорящего наглядного пособия. Говорит оно для тех, кто хочет проникнуть в его тайну. Причём говорит на равных, с уважением не оболванивая того, кто лишь в начале пути познания этой темы.

Занятие двадцать третье.

Проявление фигуры по её части. Построить фигуру по её части. 1 ) Дано: Уг часть всей фигуры (рис.58) 2) Дано: V* часть всей фигуры (рис.59).

Рис.58

Рис.59

Нарисовать всю фигуру.

3) Дано: 3Л всей фигуры (рис. 60) 4) Дано: Уз всей фигуры (рис. 61)

Рис.60

рис.61

Нарисовать всю фигуру.

Комментарий. На отдельных листах ребята рисуют фигуры. Когда задание выполнено рисунки показываются всему классу. Во время показа, происходит критическая оценка выполненного задания. Тут же возникает разговор по деталям, отличающим одну построенную фигуру от другой. Не секрет, что по доли сама фигура определяется не однозначно, поэтому интересно рассмотреть разные варианты.

Занятие двадцать четвёртое. Самопроверка умения складывать дроби.

Работы выполняются на отдельных листах А - 4. 1 Нарисовать прямоугольник 1x8.

• Заштриховать одну восьмую часть его.

Вычислить:

Заштриховать в прямоугольнике и вычислить

2. Нарисовать прямоугольник 3^4 клетки. Заштриховать одну двенадцатую часть его. Заштриховать ещё одну треть прямоугольника. Определить и записать число двенадцатых долей - в одной третьей. Заштриховать ещё одну четвёртую часть прямоугольника. Определить и записать число двенадцатых долей - в одной четвёртой.

Вычислить:

3. Выполненную работу прикрепите скотчем на классной доске.

4. Походите, посмотрите, сравните, обсудите.

Комментарий. ” Проверь себя” - написано на доске над примерами, к выполнению которых приступают ребята. Те ученики, которым нужна помощь, выполняют работу с соседом на одном листе, обсуждая каждое задание, план его выполнения и результат.

СЛОВО К КОЛЛЕГЕ.

Абстрактное действие сложения дробей после поэтапной отработки на модели, становится для учеников понятным, вполне осязаемым. Коллеги обратили, конечно, внимание, что понятие «наименьший общий знаменатель» не вводилось, хотя при сложении дробей ребята находили его на интуитивном уровне (конечно, в самых простых случаях) и называли его просто самым маленьким числом, которое делится на каждый знаменатель.

Чтобы облегчить им поиск наименьшего общего знаменателя, вначале давался пример с подсказкой типа: ~ + ~ + ~ , где среди знаменателей был тот, который делился на два других. Затем сразу же предлагалось сложить дроби j и g , тем самым ребята приучались обращаться к выводам, которые были сделаны при решении предыдущего примера, в котором один из знаменателей годился на роль наименьшего общего знаменателя. И только после решения целой серии таких примеров предлагалось сложить дроби, среди заменителей которых, не было претендента на роль наименьшего общего знаменателя, например, дроби ^ + ^ . В этом случае в качестве подсказки для нахождения наименьшего общего знаменателя давалось указание: «Подберите самое маленькое число, которое делится и на 7 и на 9». Это было сделать нетрудно (знаменатели этих дробей опять специально были подобраны взаимно простыми числами), и внимание сосредотачивалось на алгоритме обращения дроби в более мелкие доли.

Деление дроби на целое число

Занятие первое. Самостоятельное открытие учеником

своего способа деления дроби на целое число.

• Нарисуйте прямоугольник 1x12 клеток.

• Заштрихуйте ~7 его часть красным цветом, а синим цветом, заштрихуйте половину от заштрихованной вами части прямоугольника.

• Посмотрите на прямоугольник и скажите, какую часть всего прямоугольника, составляет тот прямоугольник, который вы заштриховали, синим цветом.

• Запишите результат деления ^ на 2.

• Запишите с помощью слов, каким образом можно получить частное от деления дроби г на число 2.

Посмотрите на прямоугольник и сравните дроби т и 7Г . Запишите во сколько раз одна шестая часть прямоугольника больше одной двенадцатой его части.

Посмотрите на прямоугольник и выясните: во сколько раз надо уменьшить дробь — , чтобы получить

Посмотрите на дроби: ß и 12, сравните их числители и знаменатели. Дробь— получилась из в результате деления её на 2. Скажите, какую операцию надо проделать с числителем и знаменателем дроби одна шестая, чтобы получить дробь, в 2 раза меньшую.

• Запишите в тетрадь свой способ деления дроби на целое. Комментарий. Смысл операции деления дроби на целое число проявлялся через создание и рассмотрения образа, как самого процесса деления, так и его результата. Путь экспериментального нащупывания тот же: создание модели, схемы или рисунка, представление на них всех компонентов задачи, наблюдение, распознавание действия, которое необходимо выполнить, способа его выполнения, реализация плана -получение результата.

Действие - изготовление модели, простой модели - рисунка прямоугольника. Наблюдение или лучше вглядывание в клеточки прямоугольника, умение увидеть за ними доли, части прямоугольника и, наконец, - дробь. Распознавание способа деления дроби на целое число, представление в слове ученика, который только что выполнил это действие сделано своими руками на модели.

Занятие второе. Уменьшение и увеличение дроби в п раз. На доске представлены две таблицы. Ученикам предлагается обсудить их в паре со своим соседом по парте и заполнить те строки таблицы, которые они уже обсудили. Комментарий. В таблице представлены очень важные умения, на которых в последствии будет опираться: распознавание смыслов деления и умножения дробей.

В первой таблице представлены дроби, числители которых делятся нацело на число, в которое требуется уменьшить дробь. Во второй таблице этот прием повторен. При открытии нового действия нужна сосредоточенность на главном, второстепенные заботы на время должны отойти в сторону.

Занятие третье. Корректировка открытого ранее способа деления дроби на целое число.

Нарисуйте прямоугольник 4x5 клеток. Заштрихуйте красным цветом прямоугольника, зеленым — с его, а синим —

Посмотрите на рисунок и сравните — и с

Посмотрите на рисунок и сравните дроби: ^ и 20 ' 0ПРе^елите во сколько раз одна дробь больше другой.

Рассуждения можно вести так: « — содержит 4 ряда клеток, по 3 клетки в каждом, а три клетки, значит ->Ав 4 раза меньше, чем _>>.

Запишите результат деления

Посмотрите на рисунок и установите: сколько раз — содержатся в

Запишите результат деления

• Сравните в каждом случае числители делимого и частного, а затем - знаменатели.

• Сделайте вывод о двух возможных способах деления дроби на целое число. (В первом случае при делении дроби на 4 числитель ее уменьшили в 4 раза, а доли остались те же; во втором — увеличили знаменатель в 4 раза, т. е. доли сделали в 4 раза меньше, а число долей не изменилось, результат в каждом случае один и тот же).

Комментарий. Рисунок непрерывно представляет образ результата действий с дробями, подсказывает сам процесс, который требуется над ними выполнить, чтобы их сравнить, чтобы разделить дробь на целое. Все ответы на вопросы ребята получают из рассматривания рисунка. Занятие четвёртое.

Вглядывание в действие деления дроби на целое число.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется разделить одну треть на целое число:

• Не вычисляя, расположите частные от наименьшего результата деления одной трети на целое число до наибольшего.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется разделить одну четверть на целое число: 1Л:3; %:24; Уд : 7.

• Не вычисляя, расположите полученные частные по убыванию.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется разделить одну восьмую на целое число: Ув : 54; У. : 34; % : 6.

Не вычисляя, расположите частные по убыванию.

Комментарий. На этом занятии рисунок как бы отсутствует, но ребята мысленно воспроизводят его и постоянно к нему обращаются.

Первое задание несказанно важное: «рассмотреть». Довольно часто школьники, пренебрегая этим действием при решении задачи или не уделяя ему должного внимания, терпят неудачу, задача у них не решается.

Второе задание приучает ребят к тому, что делить дробь на целое - просто. Не выполняя самого действия, они сравнивают результаты деления, опираясь на закономерность: при делении одного и того же числа на число в п раз большее (меньшее), получаешь частное в п раз меньше (больше).

Занятие пятое. Вглядывание в действие умножения дроби на целое число.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется умножить одну треть на целое число: Уз * 4; Уз ■ 2; Уз • 6; Уз • 8. Не вычисляя результата, расположите произведения по возрастанию.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется умножить одну четверть на целое число: Уд • 3; Уд ■ 24; Уд * 7. Не вычисляя, расположите произведения по убыванию.

• Рассмотрите примеры, в которых требуется умножить одну восьмую на целое число: Ув ■ 54; Ув ■ 34; Ув ■ 6. Не вычисляя, расположите произведения по убыванию.

Комментарий. Примеры этого занятия знакомы по форме. Решаются они с опорой на закономерность: при умножении одного и того же числа на число в п раз большее (меньшее), получаешь произеедение в п раз большее (меньшее).

Занятие шестое. Вглядывание в действие умножения дроби на целое число.

Умножьте одну двенадцатую на целое число, не изменяя числа долей:

Умножьте одну восемьдесят первую долю на целое число, не изменяя числа долей:

Комментарий. Формируется умение чрезвычайно необходимое для правильного выполнения действий умножения и деления дробей. Конечно, решать примеры можно путём сопоставления множителей и преобразования полученного ранее результата умножения дроби на целое число. Понятно, что если множитель в п раз больше, то и результат умножения на него одной двенадцатой будет в п раз больше. Особенно эта

закономерность понадобится при вычислении результатов:

Занятие седьмое. Сравнение частных (произведений) от деления (умножения) одной и той же дроби на целое число.

• Не производя деления, высмотрите: во сколько раз следующее частное будет меньше предыдущего: Уз : 2; Уз : 4; Уз : 8; Уз : 16.

• Рассмотрите частные и, не производя деления, определите: во сколько раз следующее частное будет больше предыдущего! Уд : 24; Va : 12; Va : 6.

• Вглядитесь в каждое произведение, и, не производя умножения, определите: во сколько раз следующее произведение будет меньше предыдущего:

Уз-16; Уз-8; Уз-4; Уз-2.

• Сопоставьте множители, и, не производя умножения, определите: во сколько раз следующее произведение будет больше предыдущего:

У*-12; У»-24; 1Л-48.

Комментарий. Любопытно, что во всех примерах не требуется вычислить результат умножения. На первый план выдвигается простое и всем понятное действие ”рассмотреть”, ”вглядеться”, действие, которое обычно ученики в спешке, пытаясь скорее получить результат, часто не выполняют, да многие его и не умеют проделать. При этом вопросы технического плана, отодвигаются в сторону. Идет тренировка умения смотреть и видеть, распознавать, сравнивать и различать, говорить многое о том немногом, о том, что представлено взору.

Занятие восьмое. Умножение и деление дробей на целое число. Выполнить действия:

Комментарий. Хорошо, если эти примеры не стёрты с доски, сохранились с прошлого урока. В этом случае невидимой нитью соединяются событие вчерашнего дня с сегодняшними. Ещё до того как учитель предложит выполнить действия с дробями ученики начнут рассматривать примеры, обсуждать переживания своих удач и неудач прошлого урока. Сама запись примеров на доске может создать прекрасную мотивационную основу занятия.

Умножение дробей

Занятие первое. Умножение смешанного числа на целое. На доске написано два ряда чисел: 7; 5; 8; 3; 6; 9.

Выберите целое число, дробь, составьте и запишите с их помощью смешанное число, у которого есть целая и дробная части; Запишите смешанное число в виде суммы целого числа и дроби. Придумайте способ, которым можно смешанное число умножить на какое-нибудь целое число.

Выберите в первом ряду чисел какое-нибудь целое число и умножьте на него смешанное число.

• Обсудите с соседом по парте полученные вами результаты и способы решения.

• Решите вместе с соседом по парте примеры:

Комментарий. Выбор - всегда тревожит, всегда повод для пробуждения к активным действиям. Действия ребят с одной стороны ограничены предложенным набором чисел, с другой стороны, задание открывает для них массу вариантов. Их выбором определяется и возможная сложность выполнения задания. После решения своих примеров, после обсуждения их решения с соседями по парте, учитель предлагает им для совместного решения набор своих примеров. К их выполнению ребята готовы предыдущими поисками способа умножения смешанного числа на целое, обсуждениями вариантов в паре.

Занятие второе. Умножение дроби на дробь.

Сравнить:

Вычислить:

Сравнить:

Вычислить:

Комментарий. Выполняя первое задание, ученики устанавливают, что каждое следующее число в два раза меньше предыдущего. Полученная информация будет использована ими при поиске способа умножения дроби на дробь.

Для эффективного применения этой информации при решении второго задания надо понимать, что при умножении одного и того же числа на множитель, который в п раз больше, чем предыдущий множитель, результат получается в п раз больше, а при умножении одного и того же числа на множитель, который в л раз меньше, чем предыдущий множитель, результат получается в п раз меньше.

Третье задание позволяет установить во сколько раз целое число больше дроби, с которым оно сравнивается.

Четвёртое задание каждый раз возвращает внимание ученика к решению предыдущего примера, к рассмотрению его множителей.

Занятие третье. Умножение смешанного числа на целое.

4 Решите устно: (7 + Ув)- 5; (5 + %)■ 8; (8 + Уз)- 4; (3 + Ув) ■ 3; (6 + %) - 7.

«- Запишите решения всех примеров в тетрадь, представив каждую сумму смешанным числом. Проговорите действия, которые надо выполнить при умножении смешанного числа на целое число.

4 Сравните с соседом по парте полученные записи и сочинённый вами способ умножения дроби на целое число. Комментарий. Сама запись примеров содержит в себе способ умножения смешанного числа на целое число. Заметим, что многие ученики, плохо осознавшие распределительный закон сложения, часто делают ошибки при умножении суммы на целое число. Второе задание, проявляя смешанное число, предлагает осмыслить само действие умножение его на целое число.

Занятие четвёртое. Умножение дроби на дробь.

Комментарии. Первые две группы примеров подготавливают решения всех остальных. Первым множителем везде взята одна и та же дробь _ , что во многом позволяет сосредоточиться на поиске алгоритма умножения дробей. Конечно же, он несказанно прост и можно было бы его сказать детям, но им приятнее открыть его самостоятельно. Подбор примеров способствует этому.

Занятие пятое. Умножение дроби на смешанное число

Комментарий. К распознанию способа умножения смешанного числа на дробь ребята приходят после выполнения уже знакомого действия - умножения смешанного числа на целое число. Примеры второй группы подобраны так, что легко распознать, как изменится результат, полученный в первой строке при умножении того же смешанного числа на целое число. Возможно, что такого количества примеров будет достаточно для формулирования алгоритма умножения смешанного числа на дробь.

Заметим, что все эти примеры рассчитаны на устную работу класса, но после решения всех примеров полезно предложить ученикам ещё раз самостоятельно решить примеры второй строки

Деление целого числа на дробь.

Занятие первое.

Вычислить:

Записать делитель дробью:

Комментарий. Поиск частного в первом и втором столбце ведётся на основании закономерности отработанной ранее: при делении одного и того же числа на больший делитель частное будет во столько раз меньше, во сколько раз делитель больше. Так как первый делитель 6 - больше следующего делителя ^ в семь раз, то и второе частное будет больше первого в семь раз. Значит для того, чтобы 36 разделить на у достаточно 36 разделить на 6 и умножить на 7. Примеры третьего столбца даны на осознание, что последовательное деление и умножение целого числа на целые числа, равносильно делению целого числа на дробь.

Занятие второе.

Вычислить:

Комментарий. Примеры первого и второго столбца закрепляют открытие тайны деления целого числа на дробь, сделанные на предыдущем уроке. При делении целое число на дробь, применяется ”метод лапы”. Закрывается ”лапой” знаменатель дроби и тогда требуется разделить целое на числитель (например, 14 разделить на 2), выполняется деление. Открывается знаменатель дроби (например, у дроби - число 5) и становится ясно, что целое надо разделить на меньшее число (в нашем случае в 5 раз), значит, результат будет больше (в 5 раз). Значит, при делении целого числа на дробь, достаточно целое число разделить на числитель и полученный результат умножить на знаменатель.

Примеры третьего столбца повторяют фрагменты некоторых решений прошлого урока несколько в иной форме, а последний пример требует применения полученных знаний в новой ситуации.

Занятие третье.

Комментарий. Примеры первого столбца, повторяя действия деления целого числа на дробь прошлых уроков, постепенно приближают к поиску решений примеров второго столбца, где целое уже не делится на числитель дроби на цело. Возникает необходимость вспомнить умножение дроби на целое число.

Вычислить:

Занятие четвёртое.

Вычислить:

Комментарий. Трудность в том, что целое число не делится нацело на числитель некоторых из дробей. Однако раньше уже отрабатывались такие случаи, и ребята знают, что

Данное занятие ещё раз позволяет проникнуть в тайну деления целых чисел.

Деление дроби на дробь.

Занятие первое. Вхождение в смыслы деления дроби на дробь Вычислить:

Комментарий. ”Методом лапы” легко решаются примеры первого столбика. Цепочка действий такова: разделить дробь на числитель, обнаружить, что частное от

деления дроби на дробь должно быть больше, так как теперь надо делить целое на меньшее число, умножить дробь на знаменатель. Пример: 1) ^ ^ 2) ^ V, ^ мень-ше 1 в 2 раза, 3) результат деления ~ • ~ будет больше результата деления _ • 1 в два раза 4).

Занятие второе. Взаимно обратные дроби.

Вычислить:

Вводится понятие взаимно обратных дробей.

Вычислить:

Комментарий. Решая первые три примера, ребята замечают, что получается один и тот же ответ: 1. Учитель говорит, что такие дроби называются взаимно обратными, и просит привести пример дробей, которые не являются взаимно обратными.

Примеры следующих двух столбиков решаются построчно. При построчном решении примеров из одной строки ребята замечают, что в каждой строке получаются одинаковые результаты. Учитель просит рассмотреть всю группу примеров, рассмотреть выполняемые действия, рассмотреть множитель и делитель и вывести закономерность, которая закодирована здесь.

Закономерность: при умножении дроби на дробь и делении этой же дроби на дробь ей обратную результат получается тот же.

Занятие третье. Умножение числа на дробь и деление его на обратную дробь

Комментарий. Последовательно решаются примеры из первой и второй строки. Дети, выполнив умножение числа на дробь, тут же делят это число на обратную дробь. После сравнения полученных результатов выявляют закономерность.

Занятие четвёртое. Деление смешанного числа на дробь

Комментарий. Задания не только подводит ученика к правильному выполнению действия деления дроби на дробь, но и позволяет ему анализировать, сравнивать примеры, придумывать простые способы деления смешанного числа на дробь.

Можно заметить, что в первом столбце делимое - одно и тоже смешанное число, а делители каждый раз уменьшаются в п раз, а значит, результат деления будет в п раз больше.

Во втором столбце делитель - одно и тоже число, а делимое увеличивается в п раз, значит результат деления в сравнении с результатом первого примера, будет в п раз больше.

Занятие пятое. Деление смешанного числа на дробь и на смешанное число.

Вычислить:

Комментарий, Все четыре группы примеров связаны друг с другом. Во втором примере делимое и делитель в четыре раза меньше делимого и делителя первого примера.

В третьей группе примеров делитель сохраняется, а делимое увеличивается сначала в 2 раза, а затем в три раза.

В четвёртой группе примеров тоже меняется в определённое число раз делимое при неизменном делителе.

Занятие шестое. Все действия с обыкновенными дробями.

Послесловие. Представленный метод экспериментального нащупывания алгоритмов действий с дробями, направленный на поиск, позволяет ребятам сделать свои маленькие открытия. Отработке и формирования умений выполнять действия с обыкновенными дробями будет в дальнейшем отведено учебное время. Эта работа идет по программе с последовательным выполнением заданий учебника. Ряд учеников, прожив сам процесс проявления смыслов действий с дробями, приобретают и достаточно устойчивые умения, которые требуют незначительной огранки. Другим же требуется более значительное время для приобретения умений, но и они легче постигают все тонкости алгоритмов действий с дробями, описанных в учебнике.

Методика работы с задачами на процессы. 5 класс

Успех урока в значительной мере зависит от логики его построения, от педагогической философии, которой придерживается учитель. Часто бывает так, урока-то нет, хотя в классе присутствует и учитель, и ученики. Его нет, хотя учитель ни минуты не остается без дела: говорит, решает, спрашивает, и т. д... Урока нет, возможно, потому, что его структура всё та же, что и во времена Яна Амоса Коменского. В его построении не используются находки современных психологов, философов, дидактов, а теоретические находки учёных могут войти в школьный класс лишь с помощью учителя. Теория управления

познавательной деятельностью учащихся П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной позволяет учителю совсем иначе выстроить преподавание своего предмета, с учётом тою, что любое человеческое действие представляет систему, включающую три части: ориентировочную, исполнительскую и контрольную. Первая составная часть действия редко учитывается в разработках методик преподавания. Методы показа, объяснения далеко не всегда приводят к успеху, учитель решает на классной доске пример за примером, одну задачу за другой, а половина класса все равно не может их решить самостоятельно. Анализируя такие неудачи с помощью теории П. Я. Гальперина, приходишь к мысли, что учитель не ставил перед собой задачу сформировать у ребят полную систему ориентиров для правильного выполнения какого-то учебного действия. При объяснении решения того или иного типа примеров, задач учитель упустил какую-то операцию, составляющую суть действия, не отработал её с ребятами. Часто из поля внимания учителя выпадают понятия, операции, смыслы которых как бы должны быть отработаны у ребят в результате житейских наблюдений, жизненного опыта. Так при обучении решению задач на процессы, один из основных его этапов, этап составления уравнения, - остаётся тайной для ученика. Кроме того, традиционно не раскрываются как смыслы левой и правой частей уравнения, так и смысл знака равенства: ?,=”.

Теория П. Я. Гальперина позволяет совсем иначе организовать процесс обучения решению задач на процессы.

Она обращает внимание на то, что в каждой из задач, решаемых с помощью уравнения, описан некий процесс. Представляют его ряд величин, некоторые из которых известны, другие, которые неизвестные, надо найти. Каждая фраза текста задачи таит в себе информацию о величинах, задающих процесс. Поэтому их чтение обязательно завершается либо схематической записью содержания, либо моделью, связывающей известные и неизвестные величины, о которых говорится в них.

Выделим этапы обучения решению задач на процессы:

1. Распознавание процесса, описанного в условии задачи.

2. Распознавание величин, характеризующих процесс.

3. Установление зависимостей между величинами.

4. Запись равенством закономерности связывающей величины.

На первом этапе бегло читается условие задачи и распознаётся процесс, о котором идёт речь (работа, движение, купля - продажа...).

На втором этапе распознаются величины (стоимость, масса, путь, скорость, время и т. д.), с помощью которых, представляется процесс, описанный в задаче. Учитель читает несколько предложений и просит учеников установить, о каких величинах идет речь в каждом предложении.

На третьем этапе ребята всматриваются в слова текста и устанавливают: суммируются величины или сравниваются.

На сравнение величин указывают такие слова: «больше», «меньше», «дешевле», «дороже», «быстрее», «медленнее», «выше», «ниже», «шире», «уже» и т. д. Сравниваются величины с помощью действий вычитания или деления.

На суммирование величин указывают следующие слова: «всего сделали», «всего собрали», «всего прошли», «всего получили», «общая масса» и т. д.

Итак, ученики после определения процесса, описываемого в задаче:

• вслушаются в каждое предложение её текста;

• определяют, величины, о которых идет речь;

• устанавливают: сравниваются величины или суммируются;

• записывают равенство, отражающее зависимость между величинами.

Рассмотрим характер такой работы с фразами, взятых из условий разных задач.

Фразы: 1. Путь, пройденный двумя путешественниками навстречу друг другу за одно и то же время, равен 18 км. Величины. si — путь первого путешественника, s2 — путь второго путешественника.

si+ s2 =1 8.

2. Слоненок и слониха вместе весят 7200 кг.

Величины: т{ — масса слоненка, т2 — масса слонихи, т<* т2-7200

1. Бутылка с виноградным соком стоит 60 коп. Величины: pf — стоимость бутылки, р2— стоимость сокг. pt+ р2= 60

4. За одно и то же время первый турист прошел на 5 км больше, чем второй. Величины: sA — путь, пройденный первым туристом, sr— путь, пройденный вторым туристом.

5. Масса товара на первой чаше весов на 12 кг больше, чем на второй. Величины: ль— масса товаров на первой чаше весов, т2 — масса товаров на второй чаше весов. т1—т2=12.

6. Длина двух сторон прямоугольника 30 см.

Величины: U — длина одной стороны, l2 — длина второй стороны, к. +12= 30

7. Скорость первой машины на 12 км/ч больше скорости второй. Величины: vi — скорость первой машины, v2 — скорость второй машины.

Vi - v2 = 12

Ученикам дается схема решения задач на составление уравнений.

Алгоритмическое Предписание: 1.Определить процесс, описанный в задаче.

2. Перечислить величины, данные в условии задачи.

3. Установить меньшую из неизвестных величин и обозначить её через х.

4. Выяснить, сравниваются или суммируются величины и выразить остальные неизвестные величины через меньшую величину - х.

5. Составить схему уравнения: Схема.

а) Если величины суммируются:

Ь)Если величины сравниваются:

6. В схеме уравнения вместо каждой величины записать ее выражение через х. Схема уравнения, о которой говорит п. 5, позволяет ученикам увидеть зависимость между величинами.

Рассмотрим работу над условием задачи по этому предписанию.

Задача. Школьники собрали всего 1650 кг картофеля, причем до обеда было собрано в 2 раза больше, чем после обеда. Сколько килограммов картофеля собрали школьники после обеда?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи процесс ”работа” представлен величинами: масса картофеля, собранного до обеда, масса картофеля, собранного после обеда, общая масса собранного картофеля.

2. Масса картофеля, собранного после обеда, меньше. Ее и принимают за х. Тогда масса картофеля, собранного до обеда, 2 х кг.

3.1650 — сумма величин, так как в первой фразе говорится: ”всего собрали 1650 кг”.

Затем составляется модель уравнения:

Уравнение: 2х + х= 1650, легко следует из его модели.

Возможны и другие модели уравнения, иначе проявляющие зависимость между данными в задаче величинами в таких уравнен:1ях: 2х = 1650— X, 1650 — 2х = х.

Рассмотренный способ обучения решению задачи на составление уравнений позволяет ученику: увидеть процесс, описанный в условии задачи; определяющие его величины; существующие между ними зависимости; закономерность лежащую в основе уравнения.

Изучение обобщенных видов познавательной деятельности плодотворно влияет на самостоятельное исследование и решение задач другого плана.

МАСТЕРСКАЯ ”Я задач не боюсь”

1 .Напишите на листочке ”Я” и рядом ”задача”. Подумайте о своём взаимоотношении с задачей и напишите несколько слов о ”Я” к ”задаче”. ”.

2. Слушаем слова.

3.Напишите цепочку слов идущую от слова ”задача” к ”Я”.

4.Слушаем слова

5.Группы получают задания.

Задание 1 группы. Рассмотреть процесс ”Движение”. Задание 2 группы. Рассмотреть процесс ”Работа”. Задание 3 группы. Рассмотреть процесс ”Купли - продажи”. Задание 4 группы. Рассмотреть процесс ”Переливания”. Группам получают листы с заданием и заполняют их по ходу исследования.

Листы с заданием.

• Процесс.

• Ввеличины, характеризующие этот процесс.

• Единицы, в которых измеряется каждая величина.

• Формулы, по которым одну величину можно вычислить по двум другим.

6. Группы записывают на досках необходимые формулы и представляют результаты своего исследования.

7.Группы получают фразы, в которых дана информация о некоторых величинах, характеризующих тот или иной процесс.

Фразы для 1 группы.

• Сколько песка и цемента надо взять, чтобы получить 60 кг смеси?

• Муки получилось на 72 ц больше, чем отходов.

• Отец старше сына в 3 раза или на 34 года. План работы с каждой фразой:

• Прочтите фразу.

• Определите, о каком процессе может идти речь.

• Определите величины, о зависимости между которыми говорится в этой фразе.

• Запишите равенство, отражающее зависимость между величинами.

8. Группы записывают на доске равенство, отражающее зависимость между величинами и комментируют их. Остальные группы слушают и задают вопросы.

9. Группы корректируют результаты своего исследования фраз.

10. Группы получают равенства, связывающие некоторые величины. Им предлагается рассмотреть равенства и записать их словами.

Равенства :

План работы с равенствами.

• Рассмотрите каждое равенство.

• Выясните: какому процессу оно может соответствовать.

• Сформулируйте и запишите зависимость между величинами представленную данным равенством.

11.Слушаем группы.

12.Группы меняются наборами равенств и составляют текст задачи, в котором величины связаны в соответствии с ними. 13.Слушаем задачи и задаем вопросы. 14. Группы меняются условиями задач и решают их. 15.Слушаем группы. 16. Рефлексия на тему: ”Я задач не боюсь”.

Структура и методика проведения зачёта по изученной теме

Зачет проводится примерно четыре раза в году либо по алгебре, либо по геометрии, смотря по какому предмету, возникла большая необходимость обобщить изученную часть материала.

Изучение материала по темам, которые завершаются зачетом, строится так:

1. Излагается вся теория: либо читается лекция, либо используются поисково-исследовательские методы.

2. Рассматривается ряд типичных задач, изучаются алгоритмы их решения.

3. Выписываются основные задачи, из которых складывается решение творческих задач.

4. Несколько уроков посвящается решению задач. Задачи предлагаются в определенной последовательности — от вопросов, заставляющих вникнуть в суть каждой детали изучаемой темы, до творческих задач.

5. После нескольких самостоятельных работ проводится зачет.

Такая система работы позволяет более свободно, творчески строить изучение нового материала. Каждый ученик имеет возможность работать над усвоением нового материала в свойственном ему темпе, а у учителя освобождается время для проведения индивидуальной работы. Некоторые ученики еще и еще раз отрабатывают алгоритмы решения типовых задач, а остальные - решают задачи, требующие более обобщенных знаний и нешаблонных методов решения, демонстрирующих пример исследовательской работы.

При изучении учебного материала по частям, без полного представления обо всей теме, прочность его усвоения значительно снижается.

При зачетной системе: ученик успевает обдумать все тонкости изучаемого материала, сделать необходимые сравнения, обобщения, провести работу по классификации и систематизации изученных понятий. Естественно, и знания становятся более глубокими. Теория применяется к обобщенным задачам. Известно же, что одним из важнейших показателей развития является обобщенность знаний, умений и навыков, которыми владеет человек. Именно благодаря этому возможен самостоятельный перенос полученных знаний в незнакомую ситуацию.

Зачет — это сдвоенный урок, на котором работа учеников организована следующим образом. На доске написано два варианта контрольной работы, в которую входят лишь одни задачи по теме зачета. Объем ее рассчитан на один урок, так как другой урок отводится на устный ответ у доски в конце класса. До начала зачетного урока все свободные доски разделены на части и пронумерованы и около каждой из них лежит карточка, содержащая вопросы по теоретическому материалу, с тем же номером, который записан на доске. Обычно готовится отвечать теорию сразу 10—11 учеников, проявляющих интерес к математике. Это делается потому, что, во-первых, они быстрее готовятся к ответу и их четкий, эмоциональный рассказ задает темп всему опросу. Во-вторых, с ними нужно поговорить более обстоятельно. Ведь довольно часто они предлагают свое доказательство, к тому же интересно проверить их понимание всех тонкостей теории.

В число первых входят и те ребята, которые излишне волнуются, им хочется быстрее ответить теорию, чтобы затем спокойно сосредоточиться на выполнении письменной работы. Ученики, испытывающие трудности при изучении предмета, вызываются к доске в последнюю очередь. В итоге они получают больше времени для выполнения контрольной работы. Их опрос часто носит обучающий характер: тренирует память, совершенствует умение строить цепочку умозаключений по образцу, данному в учебнике и на уроке, закрепляет в памяти основные моменты теории, необходимой для решения задач.

Когда ученик ответил теорию, решил один - два примера (данные на той же карточке), проверяющие глубину понимания изложенных вопросов, он выполняет вариант контрольной, учитель вызывает к доске следующего. В результате за два урока опрашивается весь класс. Каждый ученик за зачет получает две отметки: одну по теории, другую по практике. Отметка за теорию объявляется сразу, после окончания зачета. По теории ученику никаких дополнительных вопросов не задается,

лишь фиксируются недочеты его ответа, и оценивается весь ответ целиком, иначе не хватит времени для опроса всех ребят. Бывает и так: ответ ученика целиком не заслушивается — ему задается лишь несколько вопросов по теме зачета.

Подготовка к зачету. За две недели до него вывешиваются все вопросы по теории и номера основных задач, которые обязан уметь решить каждый, иногда образцы их решения. Но чаще всего задачи не вывешиваются вовсе, если учитель уверен, что все ребята основные задачи решать умеют, либо в зачет включаются упражнения из различных домашних заданий, которые выполнялись по данной теме. В течение этих двух недель к каждому уроку задается один - два вопроса с тем расчетом, чтобы за урок до назначенной даты зачета все вопросы были повторены. К доске для ответа на один вопрос по повторению иногда вызываются сразу два школьника, тогда класс имеет возможность сопоставить их изложение.

На последнем уроке перед зачётом класс разбивается на пары, и ребята разговаривают по всем вопросам зачёта.

Мастерская ”Я делаю домашнее задание”

(Мое домашнее задание по геометрии)

1. Напишите слова «Домашнее задание», и рядом свои ощущения, которые вызваны этими словами.

2. Читаем.

3. Подумайте о смысле домашнего задания по геометрии. Запишите свои мысли. Слушаем.

4. Задумайтесь над содержанием домашних заданий по геометрии, о том, что какого плана задания вы люблю делать дома по геометрии. Продолжите фразу: «Я люблю...». Слушаем.

5.Вспомните задания по геометрии, которые вызывают у вас неприятные ощущения. Продолжите фразу: «Я не люблю...» Слушаем.

6. Представьте себе, что вы дома делаете домашнее задание. Выберите из учебника задачу, которую вы будете решать по изучаемой сейчас теме.

7. Прокомментируйте своё понимание ее условия, и того, что требуется выполнить. Оцените возможность выполнения поставленного перед вами задания, исходя из наличия полноты данных и имеющихся у вас знаний.

8. Поменяйтесь местами, прочтите задачу одноклассника и напишите на его листе совет, который позволит ему рационально выполнить задание.

9. Поменяйтесь местами ещё раз, познакомьтесь с содержанием задачи и напишите свой совет.

10. Сядьте на свои места. Прочтите свою задачу и советы по её решению, которые дали вам одноклассники. Решите свою задачу.

11. Запишите решение задача на доске./Досок в классе много, учитель заранее определяет место для каждого ученика./

12. Ходим, смотрим, обсуждаем, вносим коррективы в свое решение. Мастер обращает внимание всего класса на поучительные моменты решения и на путь поиска решения.

13. Нарисуйте на листе очки с добрыми умными глазами профессора. Сформулируйте и запишите свою самую большую трудность, связанную с выполнением домашнего задания. Напишите себе письмо от имени профессора, с его размышлениями над преодолением ваших затруднений.

Трудности выполнения домашнего задания и письма профессора:

1. «Мне трудно давать объяснения» «Мой дорогой юный друг! Если тебе трудно давать объяснения к задаче, то старайся вникнуть в задачу и понять решение задачи. Построй рисунок, чтобы он тебе помог в решении задачи»

2. «Мне трудно перепрыгнуть барьер к деланью сложных задач». «Мой дорогой юный друг! Желаю тебе не болеть и не учиться на двойки. Я подумал над твоей проблемой и решил, что тебе надо вовсе не бояться сложных задач и внушить себе, что делать их совсем просто. Еще хотел сказать, чтобы ты передал привет всем близким и друзьям. До свидания»

3. «Мне трудно вникнуть в суть». «Мой дорогой юный друг, я бы посоветовал тебе перед разбором задачи расслабиться и выкинуть из головы все лишние мысли, чтобы голова была чиста. И после этого еще раз про себя прочитать эту задачу. Медленно читать не надо, тогда как раз ты ничего не запомнишь, а читай нормально, как обычно. После этого выпиши себе все данные задачи, и еще раз прочитай их. Хорошего внимания»

4. «Мне трудно решать сложные задачи». «Мой дорогой юный друг! Я получил твое письмо и, прочитав его, я узнал, что тебе трудно решать сложные задачи. Дам тебе совет, как решать такие задачи. Сначала прочитай параграф (внимательно), обдумай, что там написано. Затек, прочитай задачу, так же внимательно, что дано в задаче. Потом только решай, но сначала все обдумай и взвесь»

5. «Мне трудно выбрать время». «Мой дорогой юный друг! Я желаю тебе всего только самого лучшего. Старайся понять задачу. Впейся в нее глазами, долго смотри на нее и обдумай все этапы. Потом закрой глаза и представь перед собой условие. Если ты поймешь, условие, а это ОЧЕНЬ ТРУДНО, ты сможешь решить задачу и много других интересных задач»

6. «Мне трудно: я отвлекаюсь >. «Мой дорогой юный друг! Постарайся находить во всех задачах интересное для себя, и ты поймешь то, чего не знал. Ньютон из червивого яблока вывел закон физики. Если это тебя не волнует, то вот: блестящий стиль восточных единоборств — ”стиль богомола” был создан в наблюдении за этими насекомыми»

7. «Мне трудно делать домашнее задание, когда меня заставляют». «Мой дорогой юный друг! Ты прав, когда тебя заставляют что-то делать, то ты обязательно сделаешь не то. Поэтому ты должен сам захотеть это, и тогда все получится. Ну, все, прощай. Если будут какие-нибудь трудности, пиши мне. Твой профессор»

8. «Мне трудно понимать некоторые задачи». «Мой дорогой юный друг! Да, очень сложно понять или осмыслить некоторые задачи, но это очень важно сделать, ведь без этого невозможно решить задачу. Попытайся нарисовать картинку, не только на листе бумаги, но и мысленно. Это очень полезно и для мозга, он развивается. Главное — упорно искать решение, и оно найдется. Некоторые задачи решают столетиями. И великие математики не стыдились того, что не могут решить задачу»

9. «Мне трудно сосредоточиться на задаче». «Мой дорогой юный друг! Если ты не можешь сосредоточиться на задаче, то оставь ее и решай другую; потом, когда поймешь, как ее решить, ты получишь такое наслаждение от ее решения и будешь рад, что ты не перетруждал себя!»

10. «Мне трудно выбрать такое количество задач, чтобы учитель был доволен». «Мой дорогой юный друг! Я получил твое письмо с просьбой о помощи и посылаю тебе хороший совет: никогда не отчаивайся! И когда делаешь домашнее задание, не думай о том, сколько сделать. Ты думай только о задаче, тогда ты сделаешь столько, сколько никогда не делал. Читай всегда параграф, заданный на дом, и учитель похвалит тебя! Никогда не болей, учись на пять! Твой профессор Игорь ибн Халив Чаран Хатабыч»

11. «Мне трудно сосредоточиться на задании». «Мой дорогой юный друг! Я хочу научить тебя делать домашнее задание. К урокам лучше приступать со свежей головой. Сначала прочитай задачу, потом мысленно представь ее; если не получается, то начерти на листочке, потом подумай, как можно решить задачу, чем воспользоваться; если ты устал или у тебя не получается и начинаешь нервничать, то встань, помоги по хозяйству маме или бабушке, отдохни, а потом снова приступай к решению этой задачи. И никогда не бойся задач и трудностей. Желаю удачи. Неизвестный профессор».

Сверхзадача домашнего задания

Домашние задания - такой вид учебной деятельности, которому в школе не учат. В младших классах родители пе-

редают свой опыт выполнения домашней работы, причём далеко не всегда удачный. Приведём ряд сверхзадач, которые могут позволить ученику найти свой ритм, свой стиль выполнения домашней работы, познать её смысл.

Учитель, задавая обычное домашнее задание, формулирует цель всей работы ученика дома, ту проблему, которую он дома, решая задачи, читая теорию, сознательно или подсознательно будет её исследовать.

Сверхзадачи и проблемы, решаемые при выполнении домашнего задания:

1. Определяю свой способ организации пространства для эффективного выполнения домашнего задания.

2. Учусь планировать свою работу, без пустой траты времени, качественно с пользой для себя и для изучаемой науки.

3. Учусь комментировать прочитанную теорию, сделанную мной письменную часть домашнего задания. /Мой комментарий.../

4. Отрабатываю способы запоминания текста. /Определяю и формулирую цель своей работы с текстом. Выделяю главное. Пересказываю. Выделяю второстепенное. Пересказываю. Вспоминаю главные моменты текста и наполняю их второстепенными деталями. Читаю текст ещё раз с целью обнаружить упущенные, но важные детали. Пересказываю весь с текст с опорой на его главные мысли/.

5. Ищу свой метод решения проблемы. Даю описание работы с одной из проблем, возникшей при выполнении домашнего задание. /Причины возникновения проблемы. Поиск выхода их логического тупика. Мой ход рассуждений. Эврика! Описание решения проблемы. Взгляд назад (как всё произошло).

6. Тренируюсь в красивом, кратком, логически грамотном оформлении решения задачи. Готовлю текст своего решения задачи для: своего товарища, учителя, для печати в учебнике, в научно-популярном журнале/.

7. Выстраиваю диалог с автором учебника по главным вопросам темы и способу её подачи./ Описание диалога: Я: Правильно ли я понял, что ....

Автор: Мне очень приятно, что вас заинтересовал ...

Я: Хотелось бы уточнить...

Автор: А, как вы сами думаете?

Я: С вашего позволения, я объяснил бы этот момент так....

Автор: Вы совершенно правы, но есть один момент....

Я: Удивительно, теперь я понял, что ...

8. Работаю с толковым словарём, со справочником по математике, раскрываю для себя смыслы всех непонятных слов, всех математических терминов и понятий. /Мой словарик.../

9. Вычерпываю смыслы каждой фразы, каждого слова текста, выстраиваю своё понимание прочитанного./Смыслы некоторых слов, фраз текста:.../

10.Вырабатываю критический взгляд на сделанную мной домашнюю работу. /У меня сегодня получилось... Мне надо поработать над.../

11.Изучаю и применяю способы проверки правильности решения, логичности приведённых мною обоснований, /я обнаружил, что правильно: использовал теоретические выводы... Применил способы решения.../

12.Учусьработать быстро, правильно и качественно.

13.Работаю над своим вариантом текста изучаемого параграфа учебника.

14.Составляю вопросы, которые:

• остались без ответа, вопросы, на которые хотел бы получить ответ,

• хотел бы задать кому-нибудь,

• помогли мне прояснить содержание текста параграфа.

15.Учусь всю изучаемую информацию воспринимать как единое целое. /Составление логической схемы изученной теории, классификация способов решения уравнений, неравенств, задач/

16. Учусь критическому восприятию текста параграфа.

/поиск математических, логических, смысловых неточностей; полное обоснование выводов, данных автором кратко или не полностью, формул, рисунков, чертежей, моделей/.

17 Работаю над составлением краткого, полного и понятного текста параграфа.

«Жить — вот ремесло, которому я хочу учить его»

И. Г. Песталоцци

Педагогическая позиция учителя

А. Д. Александров, рассказывая об истории возникновения геометрии Н. И. Лобачевского, пишет о неудачных попытках доказать пятый постулат Евклида: «Ошибки были психологически обусловлены тем, что автору очень хотелось пятый постулат доказать, отказ от не-

го был невообразим...» Отказ от многих наших педагогических постулатов, которые как бы программируют ошибки педагога, тоже кажется для нас невообразимым. Наверное, мы еще долго будем стремиться доказать свой «пятый постулат педагогики», радоваться, что сумели найти доказательство и опять, в который раз, обнаружив очередную ошибку в своих рассуждениях, оказываться у разбитого корыта.

”Пятых постулатов'' в педагогике много. Один из них: учитель выше ученика. Нам бы признать в ученике творца, равного учителю. Именно признать, и чтобы он знал об этом признании. Возможно, тогда отношение его зависимости от учителя заменится отношением равенства и свободы. Исчезнет униженность ученика. Ученик — творец получит право:

I на свободный поиск, который отнюдь не всегда заканчивается успехом;

à- на самооценку, самое ответственное, самое серьезное, самое трудное право, помните: «Я сам себе свой высший суд»;

4 распоряжаться своим временем, временем, которое всегда отнимала у него школа, временем, которое всегда за него планировали учителя и родители;

± на выбор, но при этом не исчезнет его ответственность за собственный выбор цели деятельности, жизни; без предоставления ученику права выбора, несказанно сложно сформировать у него свойственный ему стиль мышления, развить чутье, позволяющее предвидеть результат научного исследования;

I осознать момент, уловить миг, в который необходимо сменить цели, подвергнуть анализу сделанное, увидеть, осмыслить и освободиться от всего того, что возможно ранее казалось таким значимым, совершенным, но оказалось лишь одной из ступеней на пути познания, этапом жизни.

Поставим несколько риторических вопросов:

• Умеем ли мы общаться с учеником-творцом?

• Хватит ли у нас сил, терпения и мудрости дождаться момента, когда ученик сам захочет в научных, художественных работах показать свой внутренний мир?

• Стерпим ли мы непослушание такого ученика, не взыграет ли в нас гордыня, и не бросимся ли мы опять искать узду, способ наказания, чтобы одержать верх над строптивцем?

• Позволим ли ему, молодому человеку, самоутвердиться?

Надо заметить, что общение с учеником-творцом открывает и новые перспективы для совершенствования самого учителя, ибо, как и для учеников, для нас нет предела совершенства. И мы тоже постоянно стоим перед проблемой выбора. И нам, как и нашим ученикам, предоставляется пространство выбора. Однако наступает момент, когда срабатывают все запреты, сформированные школой, семьей, и мы это пространство сами, по своей воле, суживаем. Но жить - раздвигать границы своего жизненного пространства, допускать в свой мир

то, что совсем недавно казалось не твоим, тех, на общение с которыми ты накладывал табу.

Учителю тоже не всегда легко распорядится своим правом выбора. И, прежде всего, это касается выбора способа общения с учениками на своём занятии и вне него. Выбрать ответы на вопросы, касающиеся его педагогических принципов, его тактики преподавания: Кто ставит проблему на уроке? Кто задает вопросы? Кто решает, насколько полный дан ответ? Кто проверяет, как усвоен материал? Должен ли учитель во время дискуссии отфильтровывать мысли достойные от недостойных? Можно ли позволить обсуждать на уроке вопросы, не относящиеся к рассматриваемой проблеме? Должен ли урок быть интересным? Что значит интересный урок? Как изгнать страх из школы?

Ответы на них хотя и очевидны, но неоднозначны. Учитель выбирает определенную стратегию и тактику преподавания. Но возможности выбранной стратегии в любой момент могут исчерпаться. Думаю, что возможности авторитарной школы с жесткой дисциплиной, с имитацией гуманистических отношений учителя и ученика, с парадами «знаний» на открытых уроках, с хорошо разработанной методикой давления, запретов, страха, разнообразных оценок и классификацией учеников — исчерпаны. Требуется другая стратегия школы, стратегия, созвучная нашему времени.

Методическое обеспечение тактики в рамках этой стратегии довольно часто заслоняет от ученика саму изучаемую науку. Учитель, порой, как защитник традиционной педагогики, на уроке постоянно в деле. Он: объясняет, задаёт вопросы, шутит, высмеивает, играет, спрашивает, радуется и т.п. Внимательный, строгий, переживающий за дело школы взгляд позволит учителю иначе увидеть свою работу, хорошо знакомый традиционный школьный урок.

Ухтомский А. А. — один из крупнейших мыслителей XX века, утверждал, что «... открывание истины происходило не от логичности рассуждения, а сама предвидимая истина была для своих искателей не сцеплением суждений, а пламенною и надлежащей Действительностью и Жизнью!...».

Мастерская — это новый способ организации деятельности учеников. Она состоит из ряда заданий, которые направляют работу ребят в нужное русло, но внутри каждого задания школьники абсолютно свободны: в выборе пути исследования, средств для достижения цели, темпа работы и т. д. Мастерская часто начинается с актуализации знаний каждого ученика по данному вопросу, затем эти знания обогащаются знаниями соседа по парте. На следующем этапе знания

корректируются в разговоре с другой парой, затем в группе, только после этого точка зрения ребят объявляется классу. В этот момент знания еще раз сопоставляются с наработками других групп. Все эти действия подготавливают ребят для изучения научной литературы, учебника по исследуемому вопросу.

Заметьте, что нигде пока не говорится ни об обобщениях, с которыми обычно выступает учитель на уроке, ни об исправлении учителем неверных ответов. Учитель до этого момента слушатель, но теперь, как и все ученики класса, может высказать свою точку зрения, если есть в этом необходимость. В отличие от урока на мастерской знания выстраиваются, но не даются, не передаются, поэтому, возможно, что так до конца занятия и не прозвучит истина, которую знает учитель. Будет создана хорошая посылка для размышлений и приготовлено прекрасное начало следующего занятия.

Итак, система заданий, которые в парах, группах выполняют ученики, позволяет уйти от простой передачи информации. Мастер, включая ребят в поисковую деятельность, расстается со многими методами принуждения, с жестким надзором за каждым шагом ученика. На мастерской точные формулировки, точные знания следуют за ошибками, за приближенными, неточными результатами. Но при терпеливой работе этот путь завершается строгими доказательствами, точными формулировками. Исчезает один из вечных школьных страхов — страх совершить ошибку, страх осуждения за неправильную мысль, страх не угадать то направление размышления, которое угодно учителю, страх вообще показаться глупым, неспособным так же быстро думать, говорить, как думает, говорит учитель, страх не справиться с таким огромным набором материала. Но известно, что приблизительные знания есть ступеньки к истине. Трудно «подниматься» но лестнице без ступенек. Да, если посмотреть на историю становления любой науки, то можно найти массу примеров и заблуждений даже великих ученых, их неспособности понять, и значит принять, открытия своих коллег. Но никто и никогда не зачислял их в разряд неспособных. Будем же милосердными к ученикам. Будем признавать за ними право на ошибку. Не будем никогда силой, силой своей власти, авторитета заставлять их заучивать то, что они не хотят, к чему у них нет потребности (мы ее не пробудили), заучивать то, что они не понимают. Уберем из процесса познания все методы, связанные с унижением достоинства ученика.

На вопрос: ”Как научиться строить мастерские?”, в какой-то степени ответит следующий параграф и вторая глава этой книги.

МАСТЕРСКАЯ ”Построение мастерской в начальной школе” /для учителей/

1. Прочтите темы мастерских: ”Игрушка”, ”Праздник”, ”Букет”, ”Целая и дробь”, ”Дробь одна вторая”, ”Загадка линии” и выберите одну, которую вы сегодня будете разрабатывать.

2. Помолчите вместе с выбранной вами темой, привыкните друг к другу, поведайте тайну своего выбора и вслушайтесь в тайну сокрытую под выбранным вами названием.

3. Напишите на листе бумаги тему вашей мастерской, а ниже слово ”Суть” или ”Содержание мастерской” и в двух трёх фразах проявите то ,что вы сумели распознать в молчании со своей темой.

4. В группах прочитайте, сделанные вами записи, и что-нибудь скажите друг другу.

5. Внесите коррективы.

6. Напишите на листе слово ”Главное” и в двух трёх словах представьте то, вокруг чего будет протекать всё действие на мастерской.

7. Напишите в следующей строке ”Антагонист” то, что противоположно главному, то, что его оттеняет, более четко высвечивает.

8. В группе по кругу прочтите свои записи и обсудите их.

9. Объединитесь в новые группы, основой объединения будет служить тема мастерской, над которой вы работаете.

10. В группах прочтите всё, что у вас написано на листах и обсудите написанное.

11. На новом листе бумаги напишите тему мастерской, и, после обсуждения, запишите её суть, главный стержень, вокруг, которого будет происходить всё действие и то, что противоположно основному объекту исследования.

12. Слушаем группы.

13.Обсудите в группах и запишите 2-3 противоречия, которые будут генерировать мысли участников мастерской и способствовать их продвижению вперёд в познании сути её темы.

14.Слушаем противоречия и классифицируем их как: психологические, педагогические, методические, интеллектуальные, ...

15.Внесите коррективы в запись противоречий вашей мастерской.

16.Действия. Перечислите, какого вида действия ваши ученики обычно выполняют на уроке.

17. Слушаем.

18.Запишите действия, которые предлагаются ученикам выполнять на мастерской.

19.Изучите таблицу активных действий школьников на мастерской.

20. Отберите или придумайте те действия, которые необходимы для вашей мастерской.

21. Обсудите в группе один из простейших алгоритмов мастерской.

22. Составьте первое задание мастерской.

23. Слушаем группы, остальные высказывают своё мнение ”за” и ”против”.

24.Внесите коррективы в первое задание и составьте 2-3 следующих.

25.Слушаем группы.

26. Придумайте задания, в которых школьник впервые встречается с противоречием и задания, которое направляет его поиск.

Активные действия школьников направляющие их познавательный процесс

Материальное действие

Персептивное действие

Речевое действие

Умственное действие

Рассмотрите картинку и дорисуйте её, чтобы:

• она стала радостнее,

• появилось движение,

Мысленно переместитесь во времени в (прошлое, будущее, в древний Египет, в сегодняшнее утро, в завтрашний день)...

Отразите смысл прочитанного, его суть, одним словом или некоторым словосочетанием.

Придумайте способ проверки истинности сделанных выводов.

Из слов написанных на листочках составьте 2-3 предложения:

• весёлое,

• грустное,

• мудрое.

Запишите задачу без слов, используя лишь буквы, знаки, различные обозначения представленных в ней объектов.

Рассмотрите -обсудите - лрокомментируйте скорректируйте.

Проанализируйте текст с позиции автора, с позиции одноклассников, с позиции учителя.

Изучите последовательность ваших действий, расскажите их друг другу и вы-

Рассмотрите картину, мысленно войдите в неё, погуляйте по её пространству, пообщайтесь с представленными на

Перечислите методы, способы выполнения ... и примените, один из них в данном

Переведите текст на язык понятный всем.

полните работу.

ней персонажами.

случае.

Используя палочки (спички) составьте модель решаемого вами примера (задачи) и найдите его ответ.

Составьте схему исследуемого процесса, явления.

Проговорите, обсудите в паре, в группе, опишите...

Сформулируйте задачу (проблему).

Нарисуйте прямоугольник 2 клетки на 3 клетки и заштрихуйте часть его

Разделите данную проблему (задачу) на ряд более мелких, частных проблем (задач) которые позволят её решить.

Сопоставьте тексты, гипотезы, планы, решения и запишите свои выводы.

Изучите план (действия) и. скорректируйте их ...

Используя спички и пластилин, постройте модель какой-нибудь пространственной фигуры.

Вспомните, помечтайте о...

Спойте мелодию этой стихотворной строки, пропойте какую-либо фразу, отражающую ваше настроение.

Изучите вопросы, предложенные мастером, внесите в каждый из них свои изменения и в паре с соседом обсудите возможность поиска их решения.

Рассмотрите рисунки в тексте параграфа, проявите их смысл и запишите на листочке закодированный в них текст.

Выделите структуру вещества, действия, понятия.

Придумайте слова..., образы..., схемы..., модели..., структуры....

Прочтите текст, в разном темпе, с разной интонацией.

Выберите несколько иллюстраций и расположите их на листе так, как вам хочется. Подпишите название картины, которая у вас получилась.

Составьте серию вопросов

Реализуйте в совместной работе в группе намеченный вами план исследования,

Изобразите (представьте аудитории) без слов (образ, понятие, суть текста...).

Рассмотрите картинку и с помощью участников группы изобразите её сюжет.

Выдвиньте гипотезу, не стремитесь сделать её правдоподобной.

Продолжите фразу (автора, мастера, одноклассника, поэта, писателя, учёного).

Выделите проблему.

Вообразите (себе, себя), мысленно нарисуйте увиденное.

Сочините текст на тему..., для журнала (художественного, научного), для соседа, для учебника, ...

Сформулируйте цель своей деятельности, спланируйте поиск,

Придумайте идеальный способ быстрого запоминания информации добытой в процессе вашего исследования.

Прочтите текст соседа и допишите в его стиле, ритме.

Рассмотрите обе части уравнения и расскажите о свойствах функций, представленных в каждой его части.

Представьте (поляну цветов, себя через год, непрерывную функцию, имеющую несколько экстремумов и несколько точек, в которых нет производной, ...)

Сочините миниатюру и исполните её...,

Обобщите (частные случаи, свои наблюдения, результат» своего исследования проблемы, информацию, прочитанную в разных источниках,...).

Нарисуйте своё лицо (руку, глаза гордящиеся вами, тревожащиеся за вас, смеющиеся вместе с вами,...).

Проанализируйте выступление группы и сформулируйте несколько вопросов, которые позволили бы им заметить неточности сделанных ими умозаключений.

Докажите (свои предположения, свои выводы, разумность претворения в жизнь ваших планов,...).

Постарайтесь услышать звучание ... (голоса, инструмента, пения птиц, шума прибоя, весеннего ручья, ...) и поведать об этом соседу по парте.

Проанализируйте свою исследовательскую работу на мастерской и напишите небольшой текст на тему..., Первую фразу начните писать со слов...(”Я думал, что...”, ”У меня сначала ничего не получалось”, ”Работа в группе...”, ”Я понял, что...”...).

Сравните (тексты, слова, образы, смыслы, способы изложения, стиль, ритм, сопоставьте авторские паузы, авторские жизненные позиции, ...).

Всмотритесь в лист белой бумаги и постарайтесь увидеть в нем..., нарисуйте (опишите), то, что вы увидели.

Рассмотрите картинку и запишите все глаголы, которые отражают происходящие на ней

Помолчите, вслушайтесь в ...(тишину мира, себя, в это мгновение, звучание мира, в ритм

действия.

своей жизни, ...).

Оглядите пространство класса, рассмотрите в нём скрещивающиеся, пересекающиеся, параллельные прямые и зарисуйте их.

Используя глаголы, составьте текст.

Вслушайтесь в ...(звучание слова, интонацию, в смысл, в молчание...).

Дайте схематическое изображение изученной вами ситуации.

На стене класса висят портреты великих писателей, представьте в этом ряду и свой портрет. Напишите на листе: ”Я -писатель” и приступите к сочинению своего текста.

Прочтите тексты и (сопоставьте их, найдите общее в них, выясните те моменты, которые противоречат друг другу, ...).

На ваших столах лежат различные предметы (веер, трубка, платочек, пудреница, зонт, ...) представьте образ хозяина каждого из предметов и опишите его внешность и некоторые характерные его черты..

Сопоставьте целое и его части (смыслы всей темы со смыслами её частей, весь текст со смыслами, проявленными в его предложениях, ...)

Вы в древнем Египте. Местный художник рисовал на улице прохожих, солнце, окружающий пейзаж. Сейчас он отошёл на мгновение, оставив мольберт и кисти. Мысленно подойдите к его картине, и порисуйте вместо него.

Рассмотрите данное слово (мысль...) в разных контекстах.

27.Слушаем мастера. Мастер комментирует структуру мастерской, читает варианты мастерских, составленных другими учителями.

Структура мастерской состоит из семи блоков:

Заключение

Если после прочтения этой книги, у вас, коллеги, возникла масса вопросов, то автор будет несказанно рад. Завершим же наше повествование размышлением М. Хайдеггера о вопросе, о спрашивании, о смысле слова ”знать” и о знании вообще:

«...Произнесённое вопросительное предложение, даже с интонацией вопрошающего сказывания, ещё не есть вопрошение. Это видно уже из следующего: если несколько раз подряд повторить вопросительное предложение, то позиция вопроса вовсе не выявится от этого живее, напротив, проговаривание одного и того же может как раз вызвать притупление вопроса.... Ничто не пробуждается ни в содержании вопроса, ни в спрашивающем осмыслении. Осмысление же состоит в волении знать. Воление -это не простое желание или стремление. Кто желает знать, тоже, как бы спрашивает; но он не выходит за пределы сказывания вопроса, он останавливается там, где вопрос начинается. Спрашивание есть воление знать. Кто волит, кто всю свою сиюбытность вкладывает в волю, тот есть принявший решение. Решимость ничего не откладывает, никуда не прячется, а действует исходя из мгновения и непреложно. Решимость есть не просто решение действовать, а решающее, предваряющее и пронизывающее всякое действие начало действия. Воление есть решительность. Но сущность решимости лежит в от-крытости человеческой сиюбытности ради высвечивания бытия, а не в коем случае не в накоплении «действованиях... Но знать означает: мочь стоять в истине. Истина есть явственность сущего. Знать означает, следовательно: мочь стоять в явственности сущего, выстоять в нём. Иметь обычные познания, будь они и обширные, не есть знания,... Кто носится с этими познаниями и к тому же заучил несколько практических трюков и приёмов, тот, столкнувшись с действительностью, которая всегда отличается от той, которую обыватель считает жизненной и настоящей, растеряется и непременно сделается шарлатаном. Почему? Потому что у него нет знания, ибо знание означает: мочь учиться.

Правда, обыденный рассудок полагает, что знанием обладает тот, кто больше не нуждается в учении, потому что он уже выучился. Нет, знающий только тот, кто понимает, что он должен все время учиться, и кто на основании этого понимания постиг, прежде всего, что он всегда может учиться. Это намного труднее, чем обладать знаниями. Умение учиться предполагает умение спрашивать. Спрашивание есть воление-к-знанию. которое рассматривалось выше: решимость мочь стоять в откровенности сущего» (121, с.104-105).

« «Образование» есть вместе и формирование, и руководствование определённым образом. Противоположное ... необразованность. В последней и не пробуждено развертывание основополагающей установки, и не выставлен определяющий про-образ... Подлинное образование, наоборот, захватывает и изменяет саму душу и в целом, перемещая сперва человека место его существа и приучая к нему».

Книга-копилка методических приёмов написана учителем практиком для учителей, которые ежедневно входят в класс, стремясь сделать час общения с учениками радостным для детей.

В книге читатель найдёт:

- массу практических приемов построения учебного занятия;

- разные способы построения урока по одной учебной теме;

- уроки - бенефисы;

- уроки одной задачи;

- структуру проведения зачета по изученной теме;

- методику преподавания темы «Обыкновенные дроби”

- описание многочисленных способов построения начала учебного занятия;

- структуру технологии ”Нового образования” - МАСТЕРСКУЮ