Мостовой А. И. Повышение эффективности преподавания математики. — М. : Учпедгиз, 1962. — 88 с.

ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

А. И. МОСТОВОЙ

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

УЧПЕДГИЗ - 1962

А. И. МОСТОВОЙ

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1962

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе автор ставил своей целью осветить некоторые методы и приемы, способствующие активизации учебного процесса по математике, найти посильные ответы на волнующие педагогическую общественность вопросы повышения эффективности преподавания.

Все, о чем будет рассказано, применялось автором в течение многих лет работы в школе. Частично использован опыт других учителей, с которыми автор общался в педагогической работе. Большая часть выдвигаемых положений была подвергнута дополнительной проверке в процессе руководства педагогической практикой студентов.

В брошюре охвачены следующие стороны учебного процесса: подготовка к уроку и его проведение; методика решения задач; привитие интереса к математике; развитие творческой инициативы и логического мышления учащихся; самостоятельная работа учащихся; и, наконец, актуальные вопросы связи обучения математике с жизнью.

I. ПОДГОТОВКА К УРОКУ И ЕГО ПРОВЕДЕНИЕ

§ 1. Условия эффективности урока

Урок, как известно, является основной формой учебной работы, при помощи которой реализуются воспитательные и образовательные цели советской школы; поэтому от качества урока главным образом и зависят знания учащихся. Очень важное значение имеет хорошо подготовленный и четко проведенный урок. Он мобилизует учащихся на работу, повышает у них интерес к предмету, организует их, положительно влияет на дисциплину класса.

Особенно сейчас, в связи с осуществлением закона об укреплении связи школы с жизнью, когда учебный процесс в школе переживает период серьезного совершенствования, когда изменяется не только содержание, но и методы обучения, всемерное повышение эффективности урока должно стать первоочередной задачей учительства.

Эффективным уроком следует считать урок, насыщенный учебным материалом, когда он обеспечивает активизацию мыслительной деятельности всех учащихся, пробуждает у них потребность в знаниях, получаемых в процессе обучения, прививает практические навыки и умения.

Готовясь к такому уроку, необходимо заранее все продумать: объем материала, который должен быть изучен на уроке, форму изложения, необходимые наглядные пособия, систему опроса, объем домашнего задания и многие другие вопросы, удачное разрешение которых способствует успешному обучению школьников.

Готовясь к такому уроку, учитель не должен изолировать его от прошлых уроков данной или связанной с нею

тем, от уроков последующих, а думать о стройной системе уроков, охватывающих целую тему, раздел, постоянно имея в виду при этом весь учебный курс. Только такая подготовка позволит учителю увязать тему урока с целенаправленной деятельностью учащихся, поможет наметить план, глубоко раскрывающий данную тему, всесторонне осветить теоретические и практические стороны ее.

Когда учитель так готовится к уроку, он как бы взвешивает каждый раз все то, что необходимо преподнести учащимся, в какой форме и какие поставить вопросы, чтобы повторить пройденный материал, как на основе ранее полученных знаний сообщить новые, какие перспективы и планы наметить на будущее.

Обучая параллельные классы, мы замечаем, что учащиеся обладают неодинаковой способностью воспринимать новые понятия. Да и в отдельно взятом классе далеко не все учащиеся с равным успехом усваивают новый материал. Поэтому, готовясь к уроку, следует думать не вообще о классе (пятом, восьмом,...), а конкретно об учащихся, занимающихся именно в этом классе, об индивидуальных способностях каждого из них воспринимать новые понятия.

Это не значит, что при подготовке к уроку следует держать курс на слабых учащихся: если они усвоят материал, то сильные —тем более. Обдумывая методы изложения нового материала, подбирая соответствующие упражнения, учитель всегда обязан готовить такой урок, в течение которого каждый учащийся работал бы над посильной и в то же время интересной для него проблемой, чтобы никто из них не бездельничал, чтобы на уроке господствовала атмосфера свободного творческого труда, которая, как правило, порождает активный мыслительный процесс. А это в свою очередь достигается в том случае, когда учащиеся видят перед собой определенную цель, когда они испытывают потребность в решении того или иного вопроса.

§ 2. Пример эффективного урока на тему «Сегмент, вмещающий данный угол»

Этому уроку предшествовала продуманная подготовительная работа. На предыдущих уроках, повторяя пройденный материал за VI и начало VII класса, с учащимися были подробно рассмотрены следующие задачи.

Задача 1. Если в треугольнике медиана, проведенная к большей стороне, равна ее половине, то треугольник прямоугольный. Доказать.

После решения учащимися этой задачи, учитель потребовал от них сформулировать и доказать обратную теорему.

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по катету а и противоположному углу А.

Задача 3. Найти точку, равноудаленную от вершин данного треугольника.

Задача 4. Доказать, что из точки пересечения диагоналей прямоугольника, как из центра, можно провести окружность, которая пройдет через все его вершины. Чему равен радиус этой окружности?

Предлагая эти задачи, учитель рассчитывал, что они будут способствовать успешному усвоению основной задачи; причем учащиеся додумаются до решения самостоятельно. Так оно и получилось.

Вот как прошел этот урок. Жизнерадостный, веселый входит учитель в класс. Осведомившись, что на уроке отсутствуют двое учащихся, он заметил:

— Жаль. Сегодня такая интересная тема урока. Надеюсь, вы ознакомите отсутствующих с ее содержанием.

Учащиеся обратили внимание на учителя, а тот продолжал:

— Многие из вас мечтают стать моряками. А знаете ли вы, что ни один штурман не обходится без важной геометрической задачи, которую мы сегодня с вами решим? Штурман, ведущий корабль в море, обязан все время знать, в какой точке моря (по карте) находится его корабль, чтобы обходить мели и подводные скалы. Для определения места нахождения корабля штурман решает задачу на построение.

Интерес к задаче возрос еще больше, когда учитель рассказал эпизод из партизанской жизни.

Отважная тройка партизан получила задание пустить под откос фашистский эшелон. Всю ночь шли три друга. Рассвет их застал на опушке леса. Взобравшись на высокое ветвистое дерево, они решили дождаться вечера, чтобы с сумерками снова двинуться к цели. Где-то неподалеку находился тот участок железнодорожного пути, который предстояло им заминировать. Но где он?

Перед ними была карта данного района местности. Для того чтобы узнать, как далеко они находятся от места, в ко-

тором должны поставить мины, надо знать место своего расположения. Как его указать на карте?

Эту задачу решил успешно один из трех.

— Посмотрите вон туда, — сказал он своим товарищам, — что вы там видите?

Друзья стали смотреть и ничего, кроме отдельной возвышенности, не увидели.

— Эту высоту я и имею в виду,— продолжал первый.— На карте, надеюсь, вы ее укажете? Теперь посмотрите вон туда. Что там видно? Правильно, водокачку. И ее мы найдем на карте. А теперь повернитесь налево. Какой ориентир на местности вы облюбуете там? Геодезическую вышку? Можно и ее отметить на карте. По этим трем ориентирам укажем на карте точку, где мы сейчас находимся.

Втроем стали решать задачу. С помощью двух прутиков измеряли углы, под которыми была видна каждая пара соседних ориентиров, перенесли эти углы на бумагу, а затем, смастерив из карандаша и прутика примитивный циркуль, дважды (на карте) решили задачу за седьмой класс: на данных отрезках А В и ВС построили сегменты, вмещающие данные углы. Точка пересечения сегментов на карте (точка D) — место расположения партизан (рис. 1).

Затаив дыхание, слушали учащиеся рассказ учителя. По ходу рассказа учитель отметил на доске три ориентира (точки) и начертил два угла, которые так и остались до конца урока.

Закончив рассказ, учитель сообщил:

— Вот эту задачу мы и будем с вами решать сегодня. Тема урока: «Построение сегмента, вмещающего данный угол».

Затем учитель сформулировал задачу. Далее был выяснен смысл задачи. На доске появился эскиз сегмента, вмещающего равные углы.

Учащимся ясна цель, и они охотно отправились в поиски решений. Надо было видеть, с каким упоением работал класс. То один, то другой учащийся подходил к доске

Рис. 1.

и предлагал решения. Вначале предложения были неудачными, и они отвергались. Учитель ходил по классу и то поощрял отдельные предложения, то опровергал их, то советовал некоторым (особенно слабым) учащимся посмотреть в тетрадях решения других задач, которые могли натолкнуть их на верный путь. Отличникам он разрешил думать над задачей «трех партизан».

И вот появились первые решения. Они рассматривались у доски, обсуждались и, после того как признавались верными, заносились в тетради.

Приведу некоторые решения, предложенные учащимися.

1. Строится прямоугольный треугольник по катету и противолежащему углу (задача 2). Из середины гипотенузы, как из центра, радиусом, равным половине гипотенузы, описывается окружность (задача 1).

2. Проводится луч АЕ (рис. 2). Строится угол AED, равный заданному, и прямая СВ II ED (AB — данный отрезок). Около треугольника АС В (задача 3) описывается окружность.

Рис. 2.

3. Данный отрезок откладывается внутри данного угла Л так, чтобы концы его лежали на сторонах угла. Около полученного треугольника описывается окружность.

В конце урока учащиеся ознакомились с решением, которое предлагается в учебнике. От них требовалось оценить решения.

Не следует думать, что все учащиеся самостоятельно справились с задачей. Да этого и не предполагал учитель, начиная урок. В то же время работа над задачей, даже не увенчавшаяся успехом для отдельных учащихся, не была бесполезной: на уроке господствовала атмосфера свободного творческого труда; учащиеся, думая над задачей, прежде всего сознательно осмыслили ее содержание; многие, если так можно выразиться, кружились вокруг решения, и, когда предлагались другие решения, им казалось, что и они видели их, а это способствовало сознательному усвоению.

На дом, кроме соответствующего параграфа учебника

и задач № 660, 662 стабильного сборника, задавалось продолжить поиски новых решений.

Данный пример наглядно иллюстрирует такое построение урока, при котором реализуются многие учебные и воспитательные цели.

Учитель предложил учащимся заманчивый путь к познанию, проблемную задачу, которая не только раскрывала перед ними дверь в неизведанную ими область знаний, но и увлекала их. Притом эта задача была предложена в такой форме, как будто ее перед ними поставила сама жизнь. Учащиеся с интересом восприняли этот путь и поэтому успешно справились с поставленной перед ними задачей.

§ 3. Пример малоэффективного урока (тема урока та же)

А вот другой урок, который мне приходилось наблюдать. Он прошел, как говорится, гладко: учитель ставил перед учащимися вопросы, учащиеся бойко отвечали на них, необходимые построения они выполняли сами, и, несмотря на относительную трудность темы, учитель за весь урок почти не брал в руки ни мела, ни чертежного инструмента. Учащиеся все выполняли сами. Бойко они отвечали и при закреплении. Студенты-третьекурсники, присутствовавшие на этом уроке, были от него в восторге. И все же урок был малоэффективным.

Почему?

Остановимся на этом уроке несколько подробнее, тем более, что его удобно сопоставить с описанным выше уроком, поскольку тема обоих уроков — «Построение сегмента, вмещающего данный угол».

Обратив внимание учащихся на важность изучаемого вопроса, учитель сформулировал задачу и начертил на доске заданный отрезок, заданный угол и произвольную прямую MN. Затем он взял на этой прямой произвольную точку Л и обратился к классу с вопросом: «Можно ли от точки А на прямой MN отложить данный отрезок?»

Понятно, поднялся лес рук и последовал ответ: «Можно». Тогда учитель попросил одного учащегося у доски, а всех остальных в тетрадях выполнить построение.

Учитель. Для решения нашей задачи следует из концов построенного отрезка восстановить перпендикуляры к прямой MN. Кто выполнит это построение?

И здесь, ясно, — лес рук. Вызванный ученик успешно справился с требованием, причем выполнял он построения с помощью циркуля и линейки (по всем правилам), объяснял каждый шаг построения. Учитель потребовал доказать перпендикулярность построенных лучей к прямой MN. И с этим требованием ученик после небольшой паузы справился.

Учитель. А теперь я попрошу вас, приняв луч А за сторону угла, а точку А за вершину, построить угол, равный данному, и т.д.

Ученики выполняли все сами. Все, казалось, шло гладко, если не считать заминки, которая получилась в конце построения, когда точку пересечения диагоналей прямоугольника следовало принять за центр описанной окружности. И все же на уроке отсутствовал дух самостоятельности, творчества и инициативы. Учащиеся вслепую следовали за учителем, не видя перед собой цели, к которой шли. Их мышление не проявляло активности в процессе познания.

На этом уроке не было ни ярких внешних впечатлений, ни вдумчивой самостоятельной работы. Здесь формально (к тому же еще неумело) решался принцип доступности, в то время как на уроке, описанном ранее, куда эффективнее осуществлен процесс познания.

§ 4. Подготовка учащихся к восприятию нового материала

Успешное понимание того, что объясняется на уроках, зависит не только от хорошей предварительной подготовки учителя к уроку, его методической вооруженности и мастерства, но и от того, как подготовлены учащиеся к восприятию нового материала.

Умелая подготовка учащихся к восприятию учебного материала во многом обеспечивает успех учебного процесса, поэтому каждый урок должен строиться так, чтобы на нем не только закреплялся и углублялся пройденный материал и на его базе изучался новый, но и создавался «плацдарм» для успешного изучения будущих уроков.

Нам часто приходится слышать, что учащиеся VI класса плохо решают примеры на вычисление с помощью формул сокращенного умножения. Некоторые шестиклассники с трудом возводят в квадрат такой двучлен: 5а26+4с4, хотя

словесную формулировку квадрата суммы двух чисел они дают четко и правильно. В чем причина такого расхождения теоретических знаний с практическими навыками? Мы считаем, что основной причиной такого разрыва является недостаточная работа учителя при изложении этой темы, над подготовкой к восприятию учащимися нового материала.

В практике своей работы перед изучением данной темы я предлагал учащимся ряд предварительных упражнений, способствующих более успешному усвоению ими формул умножения. Продумывая данную тему, я пришел к убеждению, что для ее глубокого понимания от учащихся требуется:

1) четкое знание алгебраического выражения, понимание его математического смысла;

2) умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в словесной форме (записать фразу математическими символами);

3) умение дать словесную формулировку алгебраическому выражению, записанному с помощью математической символики;

4) четкое знание порядка действий;

5) знание определения подобных членов многочлена;

6) умение свободно выполнять приведение подобных членов;

7) знание правила умножения многочлена на многочлен.

На одном из уроков была проведена беседа по этим вопросам. Эта беседа показала, что если три последних вопроса учащиеся понимают хорошо, так как встречались с ними недавно, то первые четыре затрудняли многих. Стало ясно, что излагать новый материал без предварительной подготовки нельзя.

С этой целью на предшествующих уроках учащимся предлагались такие упражнения:

1. Написать сумму чисел а и Ь.

2. Написать разность чисел тип.

3. Написать произведение чисел а и Ь.

4. Написать частное от деления числа m на число п.

5. Написать удвоенное произведение двух чисел а и Ь.

6. Написать квадрат суммы двух чисел.

7. Написать квадрат разности двух чисел.

8. Написать сумму квадратов двух чисел.

9. Написать разность квадратов двух чисел.

Когда повторять этот материал? Я считаю, это надо сделать в последние 5—7 минут урока. Мы сделали это так. Решая на уроке уравнения первой степени с одним неизвестным на основании определений и свойств арифметических действий, я заметил в конце урока усталость учащихся. Тогда я обратился к ним с вопросом:

— Устали?

Зная, что за этим вопросом последует что-то особенное (я часто в таких случаях предлагал учащимся занимательное), они не без удовольствия утвердительно ответили на мой вопрос.

— Хотели бы вы знать, как быстро в уме возводить в квадрат числа, близкие к 50? —спросил я, затем написал на доске 542 и спросил, чему равна эта степень?

Учащиеся ответили не сразу. Некоторые потянулись за карандашом.

— А ведь этот пример решается почти мгновенно,— заметил я, — для этого следует к 25 прибавить цифру единиц 4, приписать к полученному числу 42= 16 и результат готов: 2916.

Это удивило всех. Учащиеся попросили решить другой пример. Мы возвели в квадрат 58. Затем я предложил учащимся возвести в квадрат числа 51, 56, 59. Они нашли соответствующие степени и были удивлены необычайной быстротой, с которой выполнили эти действия.

Последовал вопрос: почему так?

— Этому успеху способствует формула сокращенного умножения: квадрат суммы двух чисел, которую скоро мы будем изучать. Формулы сокращенного умножения помогут вам производить и другие ускоренные вычисления.

Такой намек заинтересовал учащихся, и они с нетерпением стали ждать «волшебную» тему, которая так быстро производит вычисления. Учащиеся были предупреждены, что для успешного усвоения формул сокращенного умножения надо к этой теме подготовиться. Вот тут-то и были предложены им вопросы, рассчитанные на умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в форме словесной.

На очередном занятии мы по-прежнему в конце урока занимались записью и чтением алгебраических выражений. На этот раз учащиеся должны были прочесть следующие выражения: а+Ь] х—у; (т-\-п)2; (с—d)2; 2ху\ а2; а2+ -\-2ab-\-b2. Последнее выражение учащиеся читали так:

квадрат числа а, плюс удвоенное произведение числа а на число Ь и плюс квадрат числа Ь. Затем учитель назвал число а первым, а число Ь вторым и потребовал от учащихся прочитать выражение a2-\-2ab-\-b2 по-другому.

На этом же уроке было повторено правило порядка действий. Это мы сделали с той целью, чтобы учащиеся помнили о порядке действий при чтении алгебраических выражений.

Не секрет, что некоторые учащиеся путают выражения (а—Ь)2 и а2—Ь2. Часто на просьбу учителя написать разность квадратов двух чисел m и п ученик пишет (т—ri)2. На это необходимо обратить внимание при подготовке к изучению формул сокращенного умножения. С этой целью, написав выражение {а—б)2, мы требуем от учащихся указать порядок действий в данном алгебраическом выражении. Когда учащийся заметит, что первым является действие вычитания, а вторым —возвышение в квадрат, мы говорим:

— Вот всякий раз, когда вы читаете алгебраическое выражение, начинайте чтение его с последнего действия, а затем называйте предшествующие. Вот почему (а—Ь)2 читаем: квадрат (последнее действие) разности двух чисел.

Учащимся предлагается прочесть выражения: с2— d2\ (a—b)3; т3+п3; (a—b)2; (т+п)3; (a—b)2.

Казалось бы, на этом подготовительную работу можно бы и закончить. В практике своей работы мы вначале так и поступали, тем более, что учащиеся после всего этого почти самостоятельно выводили формулу. Учителю оставалось только вызывать учащихся к доске и задавать им вопросы:

«Написать квадрат суммы двух чисел а и Ь». Ученик пишет: (а+Ь)2.

«Можно ли данное выражение представить в виде произведения двух множителей?»

Следует ответ: (a+b)2=(a+b)-(a-\-b). «Как умножить многочлен на многочлен?» Следует соответствующий ответ.

Учитель предлагает произвести умножение двух одинаковых двучленов: а-\-Ь. Один ученик у доски, а все другие в тетрадях без затруднения выполняют требование учителя: (а+ b)•(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. Напоминается, что (a+b)2=(a-\-b) • (a+b). После этого на доске появляется запись: (a+b)2=a2+2ab+b2.

Учитель требует выразить выведенное равенство словесно, называя а первым числом, Ъ — вторым. Ученик читает: «Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа».

Формула получена, причем при выводе ее класс не был пассивным. И все же в последующие годы работы в VI классе мы так быстро не переходили к заключительной формулировке.

Дело в том, что вначале мы все подготовительные этапы подчиняли единственной цели — выводу формулы. Однако перед нами стояла более сложная задача: раскрыть смысл этой формулы, ее прикладное значение, которые сами по себе требуют ее вывода.

Выведя формулу, мы обычно ставим перед собой вопрос: что делать дальше? С этим вопросом нам приходилось обращаться и к отдельным учителям, и — чаще всего — к будущим учителям, студентам старших курсов. Обычно ответ следовал такой: далее необходимо натренировать учащихся в применении формулы для решения задач; обратить их внимание на отдельные трудности, которые могут встретиться в процессе вычислений, проделать упражнения, т. е. как у нас принято говорить, закреплять изложенный материал.

С этой целью обычно вызываем к доске учащихся, которые должны, применяя только что выведенную формулу, вычислять: (m+n)2, (2+а)2, (3+2а)2 и т.д. Если учащийся не сразу сообразит, как решить тот или иной пример, учитель отсылает его к формуле (она, как правило, сохраняется некоторое время на доске). Ученик, глядя на формулу, «применяет» ее к решению своего примера.

Это применение часто сводится к копированию. Происходит это по той причине, что до учащихся не всегда доходит верное представление о содержании нового учебного материала.

§ 5. Другой подход к теме, убеждающий учащихся в необходимости формул

Вот почему в дальнейшем к выводу формулы квадрата суммы двух чисел мы подходили несколько по-другому.

В том, что подготовительная работа, проведенная на предыдущих уроках, сыграла положительную роль в усво-

ении вывода формулы, я не сомневался. Шестиклассникам такая работа крайне необходима. Однако эта работа не была достаточной, так как не приводила учащихся к ощущению необходимости формулы.

Перед учителем встал вопрос: как построить всю дальнейшую подготовительную работу, чтобы у учащихся назрела необходимость принять некоторую формулу возвышения двучленов в квадрат?

С этой целью параллельно изучению тем «Умножение многочленов» и «Возвышение одночленов в целую положительную степень» мы продолжаем задавать учащимся примеры такого содержания.

1. Возвести в квадрат выражения: 2а, За; 4а; 5а; ЗЬ.

2. Найти удвоенное произведение двух чисел: 2а и ЗЬ; За2Ь и 4Ь2; а3Ь и 2ab3; х и у; х* и г/4.

3. Записать в виде степени следующие произведения одинаковых двучленов: (а-\-Ь) • (a-\-b); (2а+ЗЬ) • (2а+36); (ЗаЬ+х2)• (3ab-\-x2); (xy+zt)• (xy+zt).

4. Раскрыть в предыдущем примере скобки и упростить произведения.

5. Сформулировать словесно, чему равны найденные произведения одинаковых двучленов, если первое слагаемое двучлена будем именовать первым числом, а второе — вторым.

На дом следует предложить упражнения, аналогичные 4 и 5, причем обратить внимание учащихся на словесные формулировки всех примеров. Нельзя ли подметить в них общность?

Эта работа предшествует непосредственно уроку на тему «Формула сокращенного умножения квадрата суммы двух чисел».

Урок признания целесообразности введения формулы начинается с проверки домашнего задания. Учащиеся читают примеры на умножение одинаковых двучленов и дают словесную формулировку результатов.

Затем перед учащимися ставится вопрос: стоит ли для нахождения произведения одинаковых двучленов всегда производить умножение двучлена на двучлен обычным путем? Можно решить еще один-два примера. Это приведет шестиклассников к мысли, что лучше принять определенную формулу, например (т+п)-(т+п) = т2 + 2тп+п2. Но так как (т+п) -(т+п)=(т+п)2, учитель приводит их к мысли о принятии формулы квадрата суммы двух чисел.

Вся эта работа приводит учащихся к сознательному выводу. Мало того, они в процессе работы испытают необходимость введения формулы, так как она во многом экономит время. А от этого выиграет и прикладная часть формул сокращенного умножения, и в голове учащихся укрепится сознание полезности ее.

§ 6. Дополнительные рекомендации к теме «Формулы сокращенного умножения»

Учащиеся, как правило, вспоминают прежний разговор о возведении в квадрат чисел, близких к 50, и интересуются, почему учитель в свое время говорил, что этому способствуют формулы сокращенного умножения. Для удовлетворения любознательности учащихся можно заставить их прочесть в учебнике Барсукова то место, где подробно рассматривается способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой, затем рассмотреть способ возведения в квадрат чисел, больших 50, но меньших 75, и ряд других.

Полезную творческую работу можно развернуть, анализируя формулу (/г+1)2=/г2+2я+1.

Прежде всего следует обратить внимание учащихся на то, что эту формулу целесообразно применять для устного возведения в квадрат чисел, немного больших круглых чисел, например:

312=(30+1)2=302+2.30+1=961; 912=(90+1)2=902+2.90+1=8281.

Затем попросить учащихся возвести в квадрат числа 32 и 92. Многие решат эти примеры так:

322=(30+2)2=302+2.2.30+22=1024; 922=(90+2)2=902+2.2.90+22=8464.

Кое-кто возведет эти числа в квадрат следующим образом:

322=(31 + 1)2=312+2.31 + 1=961+62+1-1024; 922=(91 + 1)2=912+2-91 + 1-8281 + 182+1=8464.

Они воспользуются уже известными степенями 312 и 912. Если сами учащиеся до этого не додумаются, их надо натолкнуть на это.

Несколько таких упражнений — и ученики приходят к выводу: для того чтобы возвести какое-то число в квад-

рат, можно взять квадрат предшествующего числа и прибавить к нему нечетное число, следующее за удвоенным числом, квадрат которого известен. Чтобы это в большей степени довести до сознания учащихся, учитель просит возвести какое-нибудь число в квадрат. Когда учащиеся сделают это, учитель тут же назовет квадрат следующего числа.

Например, ученик сообщает учителю, что квадрат числа 78 равен 6084. Учитель рассуждает (причем обязательно вслух) примерно так: «Нечетное число, следующее за числом, в два раза большим 78, равно 157, значит, 792=6084+ + 157=6241. Вот что дает нам равенство п2+2п+1 = = (п+1)2».

Для закрепления метода можно составить таблицу квадратов чисел от 1 до 99*. Чтобы облегчить вычисление, целесообразно подписывать под степенями соответствующие нечетные числа, например: под числом 100 —нечетное число 21; складываем: 100+21 = 121, 112= 121 ; под 121 подписываем 23; складываем; 121+23=144, 122=144ит. д.

В VIII классе этот способ составления таблицы квадратов чисел следует повторить. Там же можно поручить составить таблицу кубов чисел по формуле

(п+1)3=(п+П2+П*)+[п2 + (п+1)2]* (1)

При составлении этой таблицы учащимся можно разрешить пользоваться счетами. Равенство (1) указывает путь нахождения кубов чисел. Например, при п=2 получается: tt+Az2+A*3=l + l + l=3 и п2+(л+1)2=1+4=5, 3+5=8; 33=(2+4+8)+(4+9)=27 и т. д.

Предлагая учащимся составить таблицу кубов чисел, учитель может сообщить, что гениальный математик XVIII века, член Петербургской академии наук Л. Эйлер в одну из бессонных ночей вычислил устно все кубы чисел от 1 до 18 и утром помнил все эти числа. Это заинтересует учащихся, и они с интересом примутся за выполнение задания.

Вообще элементы историзма во многом оживляют преподавание, поэтому при подготовке и проведении уроков следует всегда, где есть возможность, приводить справки из истории математики. Так, учащимся интересно будет узнать, что формулы сокращенного умножения были из-

* Составление таблицы учитель может по своему усмотрению перенести на внеклассные занятия.

вестны задолго до нашей эры китайцам и грекам. Евклид, например, изображал формулу квадрата суммы двух чисел в такой геометрической форме (рис. 3).

Изображение формул сокращенного умножения в геометрической форме полезно также для увязки алгебры с геометрией. Эта работа оказывается особенно плодотворной, когда учащиеся, строя ту или иную формулу в геометрической форме, не только чертят, но и разрезают квадраты и прямоугольники на части и складывают из них равновеликие фигуры. Это приводит их к творческим находкам.

Когда учащимся было предложено равенство

а2=(а—b).(a+b)+b2

для возведения в квадрат чисел, близких 10, 100, 1000 и т. д., от них потребовали прежде всего проверить это равенство. Некоторым было поручено выполнить требование алгебраическим путем, другим—геометрическим. Один из учащихся, построив эту формулу геометрически, обнаружил следующий способ возведения в квадрат двузначных чисел, меньших 20: учетверенную цифру единиц умножить на 10 и прибавить квадрат дополнения цифры единиц до 10.

Например: 172=4-7.10+9=289; 192=4 9-10+1=361.

Ученик пришел к такому выводу, разрезая квадраты со сторонами 11, 12, 13 и т. д. и складывая из них ступенчатые фигуры. На чертеже это решение представлено нами в общем виде. От квадрата A BCD со стороной а отрезается полоса (заштрихованная) шириной 20—а и прикладывается к основанию AD (рис. 4). Таким образом, квадрат ABCD преобразован в ступенчатую фигуру A1BMNDDV состоящую из прямоугольника AlBMN1 со сторонами ВМ=а—(20—а)=2а—20; ВА1=а+20—а=20 и квадрата DDfliN со стороной 20—а. Таким образом,

а2=(2а—20).20+(20—а)2=Ца—10)-10+(20—а)2.

Отсюда ясен способ возведения в квадрат чисел, меньших 20.

Рис. 3.

Геометрическое изображение формул, как видим, наталкивает учащихся на отыскание дополнительных способов сокращенного умножения чисел и возведения их в квадрат. На ряде примеров они замечают некоторую закономерность, затем делают вывод. Так, например, другой ученик предложил следующий способ возведения в квадрат чисел, меньших 20: к числу, возводимому в квадрат, прибавить его цифру единиц и приписать к полученной сумме квадрат цифры его единиц.

Примеры:

112=(11 1-1). 10 +1 = 121; 122=(12+2). 10+4=144; 172=(17+7). 10+49=289.

Устно это получается легко и быстро.

Рис. 4.

Рис. 5.

Не беда, что ученик сразу не мог обосновать подмеченную закономерность. Это было сделано потом в классе при участии всех учащихся, с помощью учителя.

Данный способ следует из того, что

(10+а)2=[(10+а)+аЫ0+а2.

Особенно наглядно он выражается в геометрической форме (рис. 5).

Итак, при подготовке к уроку и его проведении следует строить работу так, чтобы она всеми формами и методами способствовала более эффективному восприятию учебного материала.

Под эффективным восприятием мы подразумеваем такой процесс отражения в сознании учащихся всей совокупности свойств изучаемого понятия или суждения, который наиболее ярко и устойчиво запечатлевает в памяти учащихся представления об изучаемом понятии или предмете в целом.

В свою очередь устойчивость представлений зависит от силы ощущений и восприятий, а последние проявляются наиболее сильно тогда, когда на наши органы чувств действуют не только яркие впечатления извне (хотя это и является важным стимулом, активизирующим указанные процессы), но вместе с тем к процессу познания активно подключается мышление учащихся, направленное к раскрытию свойств и качеств изучаемого явления.

Вот почему следует строить уроки так, чтобы они были внешне яркими, впечатляющими и в то же время требовали от учащихся творческих усилий к овладению знаниями. Одностороннее решение этого вопроса, связанное с осуществлением первой части вышеизложенного тезиса, приводит к формальному осуществлению в процессе обучения важного дидактического принципа —доступности.

Труд учителя —творческий труд. Он требует постоянного совершенствования, непрерывного движения вперед, настойчивой работы по усовершенствованию педагогического мастерства, любви к детям, глубокого знания психологических особенностей учащихся. Все это необходимо учителю, чтобы эффективно строить уроки, разнообразить их, чтобы привить учащимся глубокие и прочные знания. Все эти качества, как в зеркале, отражаются в самом ходе урока.

II. К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

А. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ

§ 1. Подготовка к новому типу задач

Успешное усвоение математики во многом зависит от того, насколько учащиеся обучены умению решать задачи. Поэтому на решение задач учитель должен обращать особое внимание. В этих целях полезно иногда знакомить учащихся с природой некоторых задач. Если учащиеся пой-

мут, как получается та или иная группа задач, и сами составят несколько таких задач, они более успешно научатся и решать их.

Поговорим несколько подробнее о решении задач на пропорциональное деление.

Прежде всего учитель не должен забывать, что простейшие задачи на пропорциональное деление —так называемые задачи «на части» или «деление чисел на части, кратно неравные»—решались учащимися при прохождении целых и дробных чисел. Поэтому до того, как приступить к знакомству с указанным видом задач, следует в качестве повторения предлагать учащимся на дом, а иногда и в классе решать известные им задачи «на части». Эти задачи не следует при повторении называть задачами на пропорциональное деление, однако разговор о делении в данном отношении полезно начать несколько раньше, а именно при повторении в VI классе темы «Отношение». Такая увязка задач «на части» с отношением позволит придать последнему более практическое направление.

На одном из уроков, после того как шестиклассники выработают навыки в нахождении отношений и замене отношений простейшими, полезно предложить им решить задачи № 126 (1, 2)*.

Задача 126 (1). В двух пачках вместе 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если известно, что в одной из них в 4 раза больше, чем в другой?

Задача 126 (2). На трех полках расположены книги так, что на второй полке вдвое больше, чем на первой, а на третьей втрое больше, чем на второй. Определить, сколько книг на каждой полке, если известно, что на всех трех полках находится 171 книга.

В свое время, в V классе, при повторении арифметики за начальную школу учащиеся эти задачи решали, поэтому справятся с ними быстро.

Какую же цель должен преследовать учитель, возвращаясь к этому виду задач? Во-первых, вспомнить (повторить) ранее изученный материал; во-вторых, увязать их с отношением, перейдя от названия «задачи на части» к «задачам на деление в данном отношении», и, в-третьих, самое главное, на ряде известных задач, сравнивая их друг

* С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник задач и упражнений по арифметике, Учпедгиз, 1962.

с другом, перейти от аналогии к обобщению: «Задачи на пропорциональное деление».

Так, решив указанные задачи, учащиеся убедятся, что числами, удовлетворяющими решения задач, будут: для первой 56 и 214 и для второй 19, 38 и 114. Действительно:

1) 56+214=270, 2) 214 : 56=4, и 1) 19+38+114=171,

2) 38 : 19=2, 3) 114 : 38=3.

Разговор о данных задачах на этом заканчивать не следует. Полезно еще раз вернуться к ним и выяснить, что требуют условия задач и в какой взаимосвязи находятся в них искомые величины с заданными.

Учитель предлагает рассмотреть первую часть первой задачи: «В двух пачках вместе 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке...?» —и выяснить смысл этих двух предложений. Учащиеся отмечают, что в данном случае задача требует число 270 «разбить» (разделить) на два числа так, чтобы первое из них указывало на количество тетрадей, находящихся в первой пачке, а второе — во второй. Иначе говоря, по данной сумме найти два слагаемых.

После этого вместе с учащимися следует снова возвратиться к задаче, уже к полному тексту ее. Выяснить, что одно из искомых чисел больше другого в 4 раза, т. е. дано их отношение.

Итак, в рассматриваемой задаче требовалось данное число 270 разделить на два числа в отношении 4:1. Это требование было выполнено: 270 тетрадей находились в двух пачках в отношении 4 : 1 (214 : 56=4 : 1). К аналогичному выводу приходим и при анализе второй задачи.

Теперь, когда учащиеся уяснили, что в данных задачах речь идет о делении чисел в заданном отношении, перед ними ставится требование сформулировать условия задач по-другому, вводя термин «отношение». После обсуждения ряда текстов появляются примерно такие формулировки:

1. В двух пачках вместе 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если числа, выражающие количество тетрадей в пачках, относятся, как 4:1?

2. Имеется 171 книга. Расположить их на трех полках в отношении 1 : 2 : 6. Сколько книг следует положить на каждую полку?

Интересно отметить следующую особенность. Вторую задачу учащиеся сформулировали так, что она требовала от них расположить имеющиеся книги определенным обра-

зом, а не просто узнать, в каком отношении они расположены кем-то. Эта формулировка для них была более естественной и требовала (хотя и в неявной форме) практического осуществления задачи.

Шестиклассник, предложивший задачу в такой редакции, аргументировал следующими доводами: «Зачем решать решенную задачу? Кто-то книги расположил, и они лежат на полках. Посчитай их и все. А вот как самому расположить их на полках? —Это другое дело.»

Меня эта реплика навела на размышление. Действительно, не слишком ли часто мы решаем решенные задачи? Не создают ли эти задачи в сознании учащихся впечатление бесцельного труда?

Наша задача — обучать детей так, чтобы учащийся как можно меньше ощущал на себе внешнее давление учебного процесса и как можно больше участвовал в осуществлении его, выступая в нем в роли активного деятеля. Вот почему и задачи по возможности следует предлагать такие, которые ставили бы перед учащимися жизненные, по их мнению, до этого нерешенные вопросы, чтобы у них создавалось впечатление, якобы они полностью участвуют в осуществлении процесса требования задачи.

Но вернемся к разговору о задачах на деление в данном отношении. Задачи 126 (1, 2) были предложены учащимся при прохождении «отношений». Следующий урок планировался так, что в конце его было оставлено 10—12 минут для последующего анализа этих задач. На дом снова были заданы аналогичные задачи. Теперь от учащихся требовалось не только их решить, но и перефразировать, вводя в условие отношение. Учащиеся, отмечая задание в дневнике, писали номер задачи и рядом помечали: «Решить задачу и составить».

Дома они так и поступали: сначала решали задачу в той редакции, в какой она предлагалась в сборнике, затем составляли новый текст условия. В классе задачи проверялись, причем сначала читалось новое условие задачи, а затем ее решение. В дальнейшем учитель требовал от учащихся и дома поступать так же: сначала перефразировать задачу, а затем уже решать ее. Это прежде всего знакомило учащихся с методом решения задач на деление в данном отношении и до некоторой степени способствовало выработке у них умений в составлении задач. Чтобы эти навыки усовершенствовать, учащимся предлагалось со-

ставить ряд задач самостоятельно: по данным, предложенным учителем, а также по данным, добытым учащимися самостоятельно.

Когда простейшие задачи, в которых данное число делится в данном отношении, учащиеся усвоили, им предлагались задачи, в которых даны отношения искомых чисел и их разность. И здесь работа начиналась с повторения. Учащимся были предложены задачи 127 (1, 2), 158 (1, 2) с требованием пересоставить их и решить. Затем осуществлялась работа, аналогичная той, которая нами описана выше. Она велась параллельно с изучением темы «Отношение. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональность величин».

§ 2. Постепенное совершенствование методов решения

В предлагаемых выше задачах, всюду простейшие отношения содержали единицу: 1:4, 1:2:6. Однако надо было предполагать, да оно так и получилось, что, составляя самостоятельно задачи, учащиеся могут встретиться с отношением, наименьший член которого отличен от единицы. Чтобы ознакомить учащихся с решением таких задач, в классе была рассмотрена задача 529 (1).

«В двух гаражах 110 машин, причем в одном из них в 1~ раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?»

После того как задача была решена обычным путем, учащиеся сделали проверку: 1) 60+50=110, 2) 60 : 50=6 : 5. В условии задачи они имели то же: 110 и 1~ : 1 = 6 : 5. Затем перед ними был поставлен вопрос: «Как решить данную задачу, если отношение дробных чисел в условии заменить отношением целых?»

Ответ последовал быстро: «Найти сумму частей и т.д.». Ясно, что к такому выводу учащиеся пришли по аналогии. Однако они предупреждаются, что аналогии не всегда следует доверять. Следует попытка обосновать догадку. Отношение 6 : 5 получилось в результате деления обоих членов отношения на одно и то же число. Обозначим этот общий делитель через х, тогда в первом гараже будет 6х машин, а во втором —5л:. Значит, в двух гаражах число машин

составит 6jc4-5jc= 110. Отсюда 1 1jc= 110; л:= 110 : 11 = 10. Следовательно, решение осуществлялось по формуле: х= ^^=10; откуда искомые числа: 6-10=60; 5-10=50.

Рассмотренное решение обобщало все предшествующие решения задач, в которых данное число делилось в данном отношении.

Решенная аналогичным образом задача 885 обобщала решение задач, в которых даны отношение искомых чисел и их разность.

Урок на тему «Деление числа на части прямо пропорционально данным числам» начался с проверки домашнего задания. После проверки учитель обращается к классу: «Как называются задачи, которые вы решали дома?» Последовал ответ: «Они называются задачами на деление в данном отношении».

Учитель. А не обратили вы внимание на то, как эти задачи названы в сборнике задач?

Ответа не последовало. Некоторые учащиеся начали листать задачник. Учитель не запретил им этого. Он разрешил всем посмотреть в книгу.

Может случиться, что отдельные учащиеся, решая дома эти задачи, обратят внимание на заголовок соответствующего параграфа: «Пропорциональное деление». Тогда они положительно ответят на последний вопрос учителя. Мало того, они могут сами обратиться к учителю с вопросом (когда задачи будут отнесены к типу задач на деление в данном отношении): «Почему в задачнике эти задачи называются по-другому?»

Во всех случаях учитель должен поставить этот же вопрос и перед учащимися. Придется снова возвратиться по меньшей мере, хотя бы к одной из задач, решенных дома, например: «В классном журнале 62 страницы. Сколько страниц следует отвести для каждого предмета, если в неделю по каждому из предметов бывает следующее число уроков: русского языка 10, математики 7, иностранного языка 4, истории 3, географии, естествознания и физкультуры по 2, рисования 1?»*

Учащимся предлагается составить таблицу, в которой указать число страниц, соответствующее каждому предмету.

* Эту задачу автор взял из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарева, Н. И. Сырнева, изд. 1955 г.

Недельное число часов по предметам:

1

2

2

2

3

4

7

10

Количество страниц:

2

4

4

4

6

8

14

20

Таблица дает возможность сопоставить эти два ряда значений чисел и убедиться в том, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью. В данном случае число страниц журнала разделено пропорционально числу часов каждого из перечисленных в условии предметов. Следовательно, это одна из задач на пропорциональное деление, где число 62 разделено на части пропорционально 1, 2, 2, 2, 3, 4, 7, 10.

После такого разбора учащиеся самостоятельно ответят на ранее поставленный вопрос учителя, а сообщенная затем учителем тема урока воспримется ими сознательно. Мало того, они вспомнят другие задачи, которые также относятся к этому разделу, и будут довольны, что уже умеют решать их.

Не следует на этом уроке решать задачи только с отвлеченными числами. Наблюдения подсказывают, что достаточно задачу 1200 решить у доски, а 1201 дать для самостоятельного решения здесь же в классе (потому что аналогичных задач в классе и дома решалось до этого немало), как учащиеся выработают навыки в их решении. Дальнейшее решение таких задач может снизить у них познавательный интерес.

§ 3. Конкретизация задач и закрепление методов

В дальнейшем следует особое внимание обратить на задачи более конкретного содержания. Причем условие задачи должно быть таким, которое напоминало бы им ранее известные задачи и в то же время требовало особого подхода к решению. Такой задачей может быть 1215 (1). «5 колхозе с двух участков в 8,25 га и 10,5 га собрала урожай. Нужно было собрать с этих участков оставшиеся колосья. 50 пионеров взялась выполнить эту работу и разбилась на две группы пропорционально площади участков, Сколько пионеров было в каждой группе?»

Обычно учащиеся начинают решать ее следующим образом: определяют площадь обоих участков, а затем узнают, сколько пионеров приходится на 1 га. И тут они встречаются с преградой: число 50 не делится на 18,75. В чем дело? Задача по идее такая простая, а не решается. Начинаются поиски иного пути.

Роль учителя в этой работе заключается в том, чтобы направить учащихся на раскрытие смысла, заключенного в словах: «50 пионеров разбились на две группы пропорционально площади участков». Учащиеся сознательно должны проанализировать условие задачи: 1) прежде всего установить, что в задаче фигурируют две величины: площадь участков и число учащихся; 2) эти величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, т. е. отношение двух значений одной из них равно отношению соответствующих значений другой. Иными словами, учащиеся должны прийти к выводу, что 50 пионеров следует разделить на две группы в отношении 8,25 : 10,5=11 : 14.

А это уже известная им задача.

Дальнейшая работа должна сводиться к закреплению рассматриваемого вопроса и постепенному расширению круга задач на пропорциональное деление, причем перед каждой новой группой задач должны быть рассмотрены примеры того, как эти задачи конструируются. Так, решению задач, в которых даны отношения искомых чисел и одно из них или сумма двух или нескольких, или разность их, должна предшествовать примерно такая работа, содержащая в себе элемент игры.

Класс разбить на 4 группы. Каждой группе предложить по четыре-пять чисел. Потребовать от учащихся найти отношения чисел. После этого вызвать к доске одного из учащихся первой группы и попросить его написать отношение чисел и одно из этих чисел (указать какое). Затем всем учащимся, кроме первой группы, предложить угадать, какие числа были предложены первой группе. (Учеников первой группы предупредить: не разглашать тайны.)

Имея отношение искомых чисел и одно из них, учащиеся без особого затруднения находят остальные. Некоторым помогают аналогичные рассуждения над своими числами.

После того как учащиеся нашли числа, им предлагается четко сформулировать условие задачи, которую они фактически решили.

Аналогичный разговор следует продолжить и по угадыванию следующих групп чисел, причем вызванные к доске учащиеся пишут отношения, а также сумму двух чисел (вторая группа), сумму трех (третья) и разность между суммой двух и одним из искомых чисел (четвертая).

Кроме составления задач с отвлеченными числами, полезно с учащимися составить задачи жизненного содержания.

Дальше рассматриваются задачи на пропорциональное деление, в которых даются отношения отдельных частей. Работа проводится аналогично изложенному.

Изучение темы следует завершить контрольной или самостоятельной работой, причем в этих работах предложить учащимся не только решать составленные кем-то задачи, но и составить одну-две задачи самостоятельно и затем уж решать их. Это позволит судить о сознательности знаний учащихся. Данные для составления задач предложить в тексте контрольной работы, причем эти данные должны быть предложены с учетом индивидуальных способностей учащихся.

Вся эта работа будет способствовать активному участию учащихся в решении рассмотренного вида задач. Мало того, она раскроет перед ними общее содержание этих задач, их структуру и способы решения, а это в свою очередь оградит учебный процесс от формализма, начетничества и зубрежки, позволит приблизить преподавание к практике, в которой учащиеся выступят деятельно и сознательно.

Б. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

§ 4. Подготовку к задачам на построение начинать в предыдущих темах

Для успешного усвоения учащимися учебного материала не следует перегружать урок большим числом новых понятий. Это рассеивает внимание учащихся и затрудняет усвоение.

Некоторые преподаватели, особенно молодые, приступая к задачам на построение, стараются на одном уроке ознакомить учащихся со всеми этапами решения. Для этой цели они берут более подходящую задачу и по ходу ее решения характеризуют этапы: анализ, построение, доказа-

тельство, исследование. Иногда заставляют учащихся записывать в тетрадях характеристику каждого этапа.

Получается довольно неприглядная картина. С двумя этапами (построением и доказательством) они до этого встречались, но еще не закрепили их в сознании. Теперь им необходимо усвоить еще два самых ответственных (и трудных) вида логических рассуждений. Одновременно приходится думать над решением задачи, причем нелегкой, раз потребовался анализ. В сознании учащихся все это сразу не укладывается. Во-первых, и это порочнее всего, им некогда осмыслить, для чего нужны эти два этапа, и по этой причине отрывают их от своей природы —связи с ходом решения задачи.

Подтверждено опытом, что всю работу целесообразно провести в более медленном темпе: сначала ознакомить учащихся с каждым этапом в отдельности, а затем уже объединить их в одном уроке, чтобы раскрыть их внутренние и внешние связи и показать, что в задачах на построение эти этапы обязательны. Мало того, они позволяют более успешно решать этот вид задач.

Обучая задачам на построение, мы вводим отдельные этапы не в том порядке, в каком они следуют при развернутой проработке задачи, а в порядке нарастающей их сложности. Первое построение мы вводим исподволь, еще в пределах предшествующих тем. Уже при ознакомлении с признаками равенства треугольников мы рассуждаем так. Пусть дан некоторый треугольник ABC. Измеряем длину его сторон АС и AB и ^iBAC. По этим элементам построим треугольник АХВЛСХ. Теперь имеем два треугольника, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1 и ^ВАС= ^iBxAxCx. Докажем, что они равны и т. д.

Строим по тем же данным еще один треугольник — А2В2С2 и повторяем доказательство. Приводим учащихся к выводу, что, сколько бы мы ни строили таким образом треугольников, можно доказать их равенство. Следовательно, любые два треугольника с указанными выше равными элементами равны.

Полезно решить задачу: «Построить треугольник по двум сторонам, равным 2 см и 6 см, и углу между ними, равному 60°». Когда учащиеся построят треугольник, надо потребовать от них проверить, что построенный треугольник отвечает условию задачи. Обычно учащиеся проверяют это непосредственным измерением элементов построенного

треугольника. Запрещать им это не следует, поскольку на данной стадии нам важно привести их к необходимости проверки. Полное же освоение этапа логической проверки последует в дальнейшем.

§ 5. Введение этапов: проверка-доказательство, исследование

Если каждый учащийся решает задачу в своей тетради, то естественно проверить, все ли эти треугольники одинаковы. Аналогичную работу можно провести при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Учащиеся сживаются с мыслью, что при решении задач на построение треугольников следует не только непосредственно осуществлять процесс построения, но и проверять (доказывать) правильность такого построения. После разговора о признаках равенства треугольников можно решить задачу на деление угла пополам. Здесь уже явно выражено задание на построение и на проверку.

Уже при решении подобных задач необходимо отмечать, при каких условиях задачи имеют решения (одно или несколько) и в каких случаях они не имеют решения. Однако при этом мы еще не вводим термин «исследование». Это понятие удобнее оформить при решении более характерной для данного этапа задачи, например «Найти точку, удаленную от данной точки на расстояние а, а от другой данной точки на расстояние Ь». Наметим план решения. О расположении данных точек ничего не говорится; следовательно, точки А и В (рис. 6) можно выбрать произвольно. Искомая точка находится на расстоянии а от точки Л, следовательно, она лежит на окружности с центром в точке Л, радиус которой равен а. С другой стороны, искомая точка находится на расстоянии Ъ от другой заданной точки В\ следовательно, она расположена также на

Рис. 6.

окружности с центром в точке ß, радиус которой равен Ь. Таким образом, точка, которую надо построить, находится на пересечении двух указанных окружностей. Теперь решение очевидно.

Фактически, составляя этот план, мы уже произвели анализ задачи; однако на данном уроке это понятие не следует вводить. С планом решения они сталкиваются еще с начальных классов, поэтому для них такое наименование будет пока доходчивее. Задача данного урока — все внимание обратить на исследование. Для этого, когда построение выполнено и доказано, можно обратиться к учащимся с вопросом: сколько точек таким образом построено?

Затем берем другие две точки А и В с таким расчетом, что АВ>а+Ь, и требуем выполнить построение (первое построение стирать не надо). Уже здесь учащиеся столкнутся с тем, что при данных условиях найти искомую точку нельзя. Следовательно, не при всяких значениях заданных величин задача имеет решение.

Рис. 7. Рис. 8.

Обычно после этого учащиеся отмечают, что при Л5> >а+& задача не имеет решения, а при АВ<а+Ь задача имеет два решения. Учитель обязан согласиться с первым выводом и поставить под сомнение второй: «всегда ли при таком условии задача имеет два решения?» Если учащиеся не дадут желаемого ответа, следует заставить их выполнить построение при АВ<а+Ь, причем а>АВ+Ь (рис. 7) или ЬуАВ+а (рис. 8). Здесь вновь они окажутся перед фактом невозможности построения. Далее рассматриваем случаи единственного решения—при АВ=а+Ь (рис. 9) и при Ь—АВ-\-а (рис. 10) или при а=АВ+Ь. Рассматривать

случаи, когда точки А и В совпадают, нецелесообразно, так как учащиеся воспримут это как искусственное ухищрение.

В заключение подводим итоги: при каких условиях задача имеет одно решение, два и когда она не имеет решения. Учащиеся должны словесно обосновывать каждый случай, указывая всякий раз на чертеже соотношение между AB, а и Ь.

Только после этого учитель сообщает, что рассмотрение всех возможных случаев построения называется исследованием и что при решении задач на построение требуется не только выполнить построение и доказать, что построенная фигура является искомой, но надо еще, кроме того, разобрать (исследовать) все возможные случаи, которые могут представится при этом.

В качестве домашнего задания предложим учащимся решить рассмотренную задачу при следующих данных: 1) АВ=3 см, а=2 см, Ь=\ см, 2) АВ=2 см, а=\ см, Ь= =3см, 3) АВ=4 см, а=3 см, Ь=2см, 4) АВ=Зсм, а=\см, Ь=5 см, 5) АВ=4 см, а=2 см, b= 1 см.

Выполняя построение, они всякий раз должны указывать, имеет ли задача одно решение, два или не имеет решения.

Кроме этой задачи, полезно задать на дом задачу: «на данной прямой AB найти точку равноудаленную от концов данного отрезка CD (решить и исследовать)».

Для закрепления этапа «исследование» целесообразно рассмотреть еще одну задачу на следующем уроке.

Рис. 9. Рис. 10.

§ 6. Анализ и его постепенное углубление

Понятие анализа, как самого сложного этапа, мы вводим в последнюю очередь, когда учащиеся научатся выполнять и доказывать простейшие построения, а также ознакомятся с элементарными приемами исследования.

Как уже говорилось выше, подготовительная работа к усвоению анализа заключалась в составлении плана решения, без которого немыслимо сознательное решение большинства задач. Эти предварительные рассуждения особенно необходимы при решении более сложных задач; следовательно, с анализом следует ознакомить учащихся при рассмотрении такой задачи, решение которой далеко не очевидно. Это позволит придать новому понятию практическую направленность и подчеркнуть необходимость его введения.

Для этой цели подходит, например, задача:

«Построить треугольник по стороне, прилежащему углу и разности двух других сторон».

Учащиеся записывают условие задачи в тетрадях. Заметим, что если до этого учащиеся более или менее активно составляли планы решения, то при решении данной задачи они испытывают затруднение. И это не беда. Учитель должен давать отдельные советы учащимся, которые направляли бы их на правильный путь поиска. С этой целью, задав учащимся начертить в тетради произвольный треугольник ABC, мы одного учащегося вызываем к доске и даем ему такое же задание. Когда учащиеся выполнят это требование, учитель говорит: «Представьте, что вы решили задачу и в результате решения получили построенный вами треугольник. Вы его строили по одной из сторон (к примеру АС), прилежащему углу (скажем, С) и разности двух других сторон. Отметим эти данные на чертеже». Учащиеся быстро справляются с указанием двух данных: стороны и угла. Разность же, как правило, указывают не все. Однако многие поясняют, как отметить и разность CD (рис. 11).

Учитель продолжает: «Представьте, что треугольник кто-то построил по указанным выше данным, а вам предстоит разгадать тайну: как его строили?»

* В сборнике задач Никитина и Масловой, издание 1958 г., эта задача (№ 277) предложена в редакции: «Построить треугольник по стороне, прилежащему углу и разности двух сторон».

Учащиеся быстро указывают начало — построить &ADC. Над построением третьей вершины искомого треугольника они обычно задумываются. В это время их не следует торопить. Пусть подумают серьезнее над задачей. Наблюдения подсказывают, что обязательно найдутся такие, которые укажут путь построения вершины В. Обычно предлагают построить ^.BAD = ^lBDA. Находятся и такие, которые проводят перпендикуляр через середину AD. Все это приводит их к плану решения.

В рассмотренном нами случае стороны треугольника ABC таковы, что АВ<СВС. При таком условии разность CD находится наложением меньшей стороны AB на сторону ВС и образовавшийся треугольник ADC построить можно. Но учащиеся могут столкнуться с треугольником, у которого АВ>ВС. И здесь они попытаются найти разность наложением меньшей стороны ВС на большую AB (рис. 12). При таком указании разности сторон треугольник ADC построить нельзя. Учитель должен предвидеть это и своевременно предупредить об этом учащихся.

Рис. 11.

Рис. 12.

Это он может сделать следующим образом. Увидев, что ученик у доски строит треугольник, у которого АВ<СВС, он может построить треугольник, у которого AB>ВС\ заявив при этом: «Раз все вы строите треугольник, то займусь этим и я. Будем вместе искать решение».

Но вот в первом случае план решения составлен. Во втором же случае учитель и учащиеся пришли к затрудне-

нию (рис. 12). Треугольник ADC построить нельзя. Почему? Одно из трех данных (угол С) фактически выбыло. А учащимся известно, что по двум элементам треугольник построить нельзя. Что же делать? Вероятнее всего, не следует лишаться угла. А как это сделать? Придется вспомнить сравнение отрезков. Два отрезка AB к ВС можно сравнить или наложением ВС на AB (меньшего на больший) или, наоборот, AB на ВС. Первый способ для нас не подошел. Применим второй. Оказывается, второй способ приводит нас к цели (черт. 13). Теперь и мы видим ход решения.

Итак, обобщаем результат решения предпринятого поиска: строим треугольник A BD по двум сторонам и углу между ними, равному данному (при условии АВ<СВС), или углу, дополняющему данный до 180°, если A By ВС. Через середину AD проводим перпендикуляр (или строим ^BAD = ^iADB).

Теперь уж учитель может сказать, что все эти рассуждения и поиски плана решения называются анализом. Бегло повторяем все переходы от неизвестного к известному. Подчеркиваем важность этого этапа: благодаря ему мы нащупываем ход решения. Отмечаем, что анализ обычно начинается с предположения, что задача решена. Предупреждаем, что в тех случаях, когда решение очевидно, можно обойтись без анализа.

После того как треугольник будет построен, потребуем от учащихся исследовать решение. Должна быть выявлена возможность построения треугольника при любом угле, меньшем 180°, и что задача имеет два решения:

а) если заданный угол меньше другого, прилежащего к заданной стороне (рис. 11);

б) если заданный угол больше другого, прилежащего (рис. 13).

Рис. 13

На дом предлагаем аналогичную задачу. «Построить треугольник по основанию, равному 6 см, углу при основании, равному 25°, если известно, что разность двух других сторон равна 2 см».

Более подготовленным учащимся можно предложить задачу 277 в той редакции, какая дана в сборнике, чтобы они рассмотрели, кроме разобранных, еще два случая — когда задана разность:

а) между сторонами, заключающими данный угол, и

б) между данной стороной и стороной, противолежащей заданному углу.

В заключение отметим, что вся эта работа приводит учащихся к сознательному восприятию четырех этапов построения, и они потом умело применяют их при решении задач на построение.

III. ПРИВИТИЕ ИНТЕРЕСА К МАТЕМАТИКЕ

§ 1. Красота и полезность математики

Нас, учителей, радуют учащиеся, интересующиеся математикой и с увлечением занимающиеся ею. Это увлечение положительно сказывается на успеваемости. Задача учителя — всеми средствами и способами содействовать пробуждению у учащихся интереса к предмету. Обучая детей математике, надо все время подчеркивать первостепенную важность ее в практической жизни. Нельзя представить себе открытия, сделанные в современной физике, химии, астрономии и многих других науках, без математических расчетов. Постройка, запуск и вывод искусственных спутников на орбиту, полет космических кораблей вокруг нашей планеты — все это результаты строгих математических расчетов. Математика все глубже проникает в такие, казалось бы, отдаленные от нее науки, как биология и медицина. Не зря математику называют языком, на котором говорят науки.

Найдутся, однако, такие, которые скажут, что этот «язык» очень труден и скучен, а потому с таким трудом усваивается учащимися. В первом утверждении есть доля правды; но представление о математике как обители скуки является всего навсего предрассудком. Кто по-настоящему ознакомился с математикой, с ее разнообразнейшими фор-

мами практического приложения, с ее исключительной точностью и строгостью в решении различных проблем, кто испытал радость решения математической задачи,— всякий скажет, что математика — наука живая, интересная, увлекательная.

Но можно ли любить математику? Мы привыкли к тому, что любят красивое, жизнерадостное, интересное. Есть ли эти качества в математике? Великий русский математик С. В. Ковалевская писала: «Многие математику считают наукой сухой... В сущности же, это—наука, требующая наиболее фантазии».

Математика замечательна своей стройностью, точностью и связанностью всех частей. В области искусств (как пластических, так и тонических) математика играет не меньшую роль, чем в науках. Например, художественный эффект архитектурных форм основан на числовых и пространственных соотношениях. Еще более это сказывается в музыке. И не случайно древние греки «гармонию», т. е. теорию музыки, считали составной частью математики.

Поэтому если ученики жалуются, что математика скучна, то, как это нам ни тяжело, надо признать — причина такой реакции скрыта не в предмете, который мы преподаем, а в нас. В таких случаях не следует обрывать учеников репликами вроде: «Сами скучные! Не учите, вот вам и скучно», а спокойно проанализировать всю свою работу и самокритично оценить, не скучен ли в действительности наш метод, да и мы сами.

§ 2. Вдохновляющая роль учителя

Наша профессия требует от нас того, чтобы мы всегда были жизнерадостны, энергичны и веселы. Мы должны любить не только свой предмет, но и учащихся, твердо веря в их силы. Если дети видят, что ты их любишь, радуешься их успехам, уверен в них, всегда с радостью встречаешь их, они полюбят тебя, а также будут более благосклонны к предмету, который ты сам любишь. Талантливый советский педагог H. М. Головин совершенно справедливо утверждал, что, кто не любит детей, тот ни при каких условиях не может быть хорошим учителем.

Это — первое и весьма важное условие в деле привития учащимся интереса к предмету. Оно неотделимо от духовного облика учителя, от его отношения к окружающей

жизни, к событиям прошлым, настоящим и будущим, от его способности радоваться и огорчаться, стремиться, дерзать и торжествовать.

Дети наблюдают за учителем и стараются подражать ему. Но подражают они только тогда, когда видят в нем своего заботливого, «всезнающего» наставника. Если же они замечают, что их учитель не работает над собой, рассказывает на уроке скучно и, что самое страшное, ошибается при выводе или доказательстве того или иного положения,— беда! В них зарождается недоверие к учителю, а вместе с тем и к предмету, который он преподает.

Великий русский критик и публицист Н. А. Добролюбов так писал об этом: «Самое несчастное отношение между учителем и учеником то, когда в них закрадывается сомнение относительно познаний учителя»*.

Как-то, присутствуя на уроке геометрии в IX классе, я был свидетелем такого эпизода. Учительница, закрепляя материал, предложила учащимся подумать над задачей: «Доказать, что апофема правильного вписанного в окружность шестиугольника равна половине стороны правильного вписанного в эту же окружность треугольника» (рис. 14). Вызванный к доске ученик, записав условие и заключение, приступает к доказательству.

— Рассмотрим треугольник АОСу—начинает он.

— Зачем брать весь треугольник Л ОС,— перебивает учительница, — если для доказательства достаточно взять треугольник AOD.

Ученик задумался.

— Ну, в чем дело? —беспокоит ученика учительница.

— Не знаю, зачем вам потребовался треугольник AOD? Я понимал состояние ученика. Его оскорбил тон учительницы и то, что последняя не захотела его слушать.

— Ну, ведь здесь все так просто,— пытается прими-

* Добролюбов, Собрание сочинений, под редакцией проф. Аничкова, т. II, стр. 232.

риться учительница. — Чему равна сторона правильного вписанного треугольника, выраженная через радиус? Ученик молчит.

— Что, не знаешь?

— А зачем все это? — недоумевал юноша.

— Как зачем? Сторона правильного треугольника а=/?]/3, половина у = ^—• А чем является OD?

— Это апофема,— уверенно ответил ученик.

— А чему она равна?

— AB равна половине стороны АЕ.

— Но ведь это надо доказать.

— А что тут доказывать, когда и так ясно: треугольник АОС —правильный...

— Дался же тебе этот треугольник, — стояла на своем учительница.— Ты посмотри на треугольник AOD. Какой он? Прямоугольный. А чему равна гипотенуза этого треугольника? Что, и этого не знаешь? Да тут же очевидно — радиусу. А чему равен катет AD? Понятно, что у. А теперь примени теорему Пифагора. Ну!.. Ученик молчал.

— Ну, это уже совсем непростительно. Садись. Юноша, ворча себе что-то под нос, сел за парту. Не слушая дальнейшего объяснения, он доказывал что-то своему соседу.

Учительница закончила решение задачи сама: «Из прямоугольного треугольника AOD имеем: OD2=A02—AD2=R2—Ç, откуда 0D = ^-9 OD=±AE. Что и требовалось доказать».

И здесь я заметил, что класс не слушает ее. Все ученики были на стороне «пострадавшего».

Когда закончился урок, я, выходя из класса, заметил, как к доске подошла группа учеников во главе с «пострадавшим». До меня донеслись слова ученика.

— И чего она хотела от меня. Ведь тут так просто: треугольник АОС равносторонний и две высоты его OD и AB равны. А что такое OD? —Апофема. А что такое AB? — Половина стороны. А она...

Дальнейших слов я не слышал. Мне было обидно и за ученика, и за учительницу. Какую хорошую мысль пыталась заглушить она! Вряд ли учащиеся могут любить та-

кого учителя. Такой учитель не стремится в преподавании к изяществу, оригинальности, разнообразным методам решения, а это, как правило, ведет к скуке и равнодушию. При таком состоянии интерес у учащихся к предмету не возрастает.

Приведем другой пример.

Урок в VII классе. Решается задача на построение из стабильного сборника задач: «провести окружность, касающуюся данной прямой в данной точке и данной окружности».

Задача для семиклассников нелегкая. После анализа и некоторых поисков класс под руководством учителя пришел к следующему решению. Через данную на прямой точку А провести прямую AB, перпендикулярную заданной прямой (рис. 15). От точки А отложить на перпендикуляре отрезок А В, равный радиусу данной окружности. Соединить точку В с центром О данной окружности. Через середину OB провести перпендикуляр DO^ Точка пересечения перпендикуляров DÔX и AB — центр искомой окружности.

После решения задачи один из учащихся обратился к учителю.

Рис. 15

— А других решений задача не имеет?

— Не знаю, — чистосердечно признался учитель.— Я по крайней мере не нашел.

— Значит, нет, — заметил другой ученик.

— Почему?—поинтересовался учитель.

— Раз вы не нашли, значит, нет.

Учитель с этим не согласился. Мало того, эта реплика ему не понравилась, и он тут же высказал это ученику.

— Если ты, братец, так слепо будешь верить в чужой авторитет, то быстро разучишься мыслить вообще. Я могу и не найти другой способ, мне простительно: годы не те, а тебе вот — нет.

В конце урока один из учеников предложил следующий вариант построения. Через центр данной окружности провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и из

точки А восставить перпендикуляр AD. Точку В (рис. 16) соединить с данной точкой А и через точки О и С провести прямую. Точка пересечения этой прямой с перпендикуляром AD будет центром Ох искомой окружности. Надо было видеть искреннюю радость учителя. Когда ученик рассказал решение задачи у доски и учитель оценил эту находку высшим баллом, трудно было определить, кто больше вознагражден — ученик или учитель. Это настроение передалось всему классу.

И трудно сказать, появилось ли бы это решение, если бы учитель согласился с первым учеником: раз сам учитель не нашел другого решения, значит, другого и нет. Скорее всего, в классе не было бы и попыток к поискам других решений. Нисколько не пострадал от этого и авторитет учителя. А вот находка ученика на этом фоне выступала куда ярче и красочнее. Это вызывало у учащихся интерес, что так важно в учебном процессе. Достоинства этого интереса ценны еще и тем, что он из простой любознательности вначале перерождается затем в творческий, познавательный интерес.

Рис. 16.

§ 3. Прикладная роль математики

Следующим весьма важным условием, повышающим у учащихся интерес к математике, является демонстрация ее практической, прикладной роли. Решается ли задача, выводится ли новая теорема —всегда желательно исходить из жизненного примера. Это способствует более осмысленному и глубокому усвоению учащимися теоретического материала и активизирует их познавательный интерес.

Как-то на уроке алгебры ко мне обратился один из девятиклассников.

— Вот мы изучаем прогрессии. А зачем они нам?

Тогда я ознакомил учащихся со статьей инженера Ю. Степанова «Нет, эти цифры не случайны», напечатанной в журнале «Знание —сила».

В этой статье рассказывалось о коробке скоростей, с помощью которой замедляется и ускоряется движение автомобиля, трактора, шпинделя металлорежущего станка и других машин.

Коробка скоростей —один из главных и сложных механизмов почти каждой машины. Много знаний требуется конструкторам при проектировании коробки скоростей, много кропотливого труда они затрачивают, пока не добьются, чтобы ее детали были прочны, компактны, а весь механизм обеспечивал нужное изменение скоростей движения. В статье говорится о том, что русский академик А. В. Годолин на основании строгих математических расчетов доказал, что коробки скоростей следует строить со ступенями скоростей, расположенными по геометрической прогрессии.

С тех пор, вот уже более полувека, закон о построении ряда скоростей станков является отправным пунктом, от которого конструктор-станкостроитель начинает проектирование нового станка. Геометрический ряд скоростей упростил конструкцию этих механизмов и обслуживание станков в цехе.

Статья была прослушана с большим интересом. Потом мы отправились в механическую мастерскую, где у токарного станка увидели то, о чем прочитали в статье. После этого учащиеся еще с большим уважением стали относиться к математике, стали усерднее решать задачи, тщательнее готовиться к урокам.

Учащихся заинтересовало сообщение учителя о том, что при постройке станков в механическом цехе пользуются уравнениями с несколькими неизвестными, что синус, косинус и тангенс также нашли место в механическом цехе.

Учитель сообщил, что ^10^1,06 нашел себе место в машиностроении. Как ни велико количество деталей в любой машине, между ними существует незримая закономерная связь. И такой связью служит этот корень.

Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в стране требует деятельной подготовки учащихся к участию в общественно полезном и производительном труде. Это требование должно осуществляться не только в период производственной практики и на занятиях в мастерских. Оно должно осуществляться и в процессе обучения, на уроках

математики и на занятиях математического кружка. С этой целью полезно отдельные задачи решать такими методами, которые применяются в повседневной практической деятельности: в промышленности и сельском хозяйстве. Убеждение, что математика и ее законы во многом способствуют успешному решению различных хозяйственных расчетов, укрепляет в сознании учащихся авторитет математики.

§ 4. Использование элементов истории науки

Важную общеобразовательную ценность имеют элементы истории математики в курсе средней школы. При правильном использовании исторического материала выясняется происхождение и развитие основных математических понятий и ценность их практического приложения, а это значительно повышает в глазах учащихся роль математики, положительно сказывается на пробуждении у них интереса к предмету.

Исторические моменты освещаются, как правило, в виде эпизодических сообщений на уроках; иногда же они проникают в систематическое изложение курса, образуя с ним как бы одно целое. Практикуются также специальные уроки по истории математики. Полезной работой в этой части является практика проведения математических вечеров, посвященных истории математики, выпуск стенных газет и рукописных математических журналов, освещающих отдельные вопросы истории. Нам часто приходилось наблюдать, как знакомство учащихся с историей предмета повышало интерес, способствовало успешному пониманию логической сущности и закономерностей математики.

Знакомство с историей науки освобождало школьников от бесплодных напряжений ума в попытках решений известных с древних времен неразрешимых (линейкой и циркулем) задач, например об удвоении куба, квадратуре круга и трисекции угла.

Знакомство с историей математики играет неоценимую воспитательную роль: библиографические справки воздействуют эмоционально на юные сердца, заражают их энтузиазмом к научным занятиям и открытиям; математические истины и конструкции теряют при этом сухой отвлеченный характер, ассоциируясь с живыми человеческими образами и конкретными историческими ситуациями. Привлекая материал из славного прошлого русской и совет-

ской математической школы, учитель содействует углублению патриотического сознания учащихся. Не следует недооценивать и то обстоятельство, что исторические и биографические справки содержат много занимательных моментов (ошибочные искания, анекдотические эпизоды), которые оживляют изложение предмета.

Весьма важным условием, повышающим у учащихся интерес к предмету, является также хорошо налаженная внеклассная работа по математике, о которой мы будем говорить более подробно в дальнейшем.

§ 5. Занимательность и интерес

В заключение укажем на неоценимую роль, которую играет элемент занимательности. То, что интересно, надолго остается в памяти.

Мне запомнился такой эпизод. Это было 30 лет назад. На одном из уроков геометрии шла речь о величине угла. Наш учитель попросил ученика увеличить угол. Ученик удлинил каждую из сторон угла. Преподаватель одобрительно заметил: «Хорошо. А не увеличишь ли ты угол еще?» Ученик продолжил стороны угла. Когда ученика попросили увеличить угол еще, тот со всей серьезностью ответил: «Дальше некуда: доска кончилась».

Учитель старательно вывел на доске единицу и, когда на лице учащегося он прочел недоумение, спросил: «Что, мало? Я могу увеличить еще». И единица на доске удлинилась в несколько раз.

Мы все смеялись. После неоднократного удлинения единицы, сопровождающегося каждый раз взрывом смеха, учитель закончил: «Вот так же, сколько ни удлиняй стороны угла, величина угла от этого не изменится, как не изменит своего значения удлиненная единица».

Я привел этот эпизод к тому, как иногда можно «врезать» в память учащихся то или иное понятие.

Однажды мне в голову пришла мысль: на конкретных примерах убедить учащихся, что на нуль делить «опасно». С этой целью на стене, рядом с математической газетой, появилось приложение к газете под красочно разрисованным загадочным названием «Будь осторожен с...».

Под этим загадочным заголовком были помещены софизмы, где неосторожное обращение с нулем приводило к абсурду. Назовем некоторые из этих софизмов.

1. Любое натуральное число равно единице.

2. Целый отрезок равен любой своей части.

3. В любом треугольнике биссектриса внутреннего угла является одновременно и медианой и высотой.

4. В любом треугольнике обязательно найдется внутренний угол, равный 135°.

Когда ученики находили ошибки в приводимых рассуждениях, они разгадывали заголовок: «Будь осторожен с нулем».

Ученики с интересом воспринимают отдельные суждения, преподносимые в стихотворной форме (например, зарифмованная в методике Лебединцева формула корней квадратного уравнения и др.). Это способствует хорошему запоминанию математических положений и оживляет преподавание.

Итак, одним из важных средств, активизирующих учебный процесс, является пробуждение у детей познавательных интересов. «Интерес к предмету, увлечение им, несомненно, оказывают огромное влияние на качество его усвоения. Если учителю удалось вызвать у учеников интерес к предмету, дать пищу их естественной любознательности, стремлению проявить себя и найти в предлагаемой им деятельности элементы занимательности, соревнования, движение вперед и т.д., то половина дела уже сделана»*.

IV. РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ И ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

§ 1. О красоте и изяществе в логических построениях

В задачу учителя входит обязанность готовить будущих строителей коммунистического общества. Кроме глубоких познаний и практических навыков, они должны обладать и творческими качествами инициатора. Поэтому развитие творческой инициативы и логического мышления является одной из основных задач в деле обучения детей математике. Над выполнением этой задачи необходимо ра-

* И. В. Арнольд, О задачах по арифметике, «Математика в школе», 1946, № 2.

ботать с учащимися много и систематически. Излагая на уроке новый материал, повторяя пройденное или решая задачи, мы всегда должны стремиться к тому, чтобы ученики осмысленно понимали всякое суждение, над которым работают, делали свои выводы и критические замечания.

Навыки самостоятельного логического мышления следует у учащихся вырабатывать как можно раньше. Уже в V классе полезно доводить до сознания учащихся, что даже такой пример, как 40g- : 5, можно выполнить двумя способами: 4о|- : 5=|^f=8 ^- и 40^- : 5=8+^-=8 При этом мы обязаны указать на преимущества второго способа. Надо всегда убеждать учащихся в том, чтобы они, решая задачи, искали различные варианты решений и здесь же оценивали их достоинство.

В VI классе была предложена следующая задача: «У меня десятикопеечных монет в 2 раза больше, чем двадцатикопеечных, а двадцатикопеечных монет в 4 раза меньше, чем пятнадцатикопеечных. Сколько было тех и других монет, если известно, что всего у меня было 2 рубля?»

Эта задача вызвала живой интерес у учащихся. Они дали семь различных решений. Вот одно их этих решений.

Так как 10-копеечных монет в 2 раза больше, чем 20-копеечных, а 15-копеечных в 4 раза больше, чем 20-копеечных, то, приняв число 20-копеечных монет за 1 часть, мы число 10-копеечных монет примем за 2, 15-копеечных за 4 части. Определим отношение денег, представленных 20-копеечными, 10-копеечными и 15-копеечными монетами. Оно равно 20 : 20 : 60=1 : 1 : 3 (20-1-20; 10-2=20; 15-4=60). Далее, сколько всего частей денег? 1 + 1+3=5.

Разделив 2 рубля на 5, мы узнаем, сколько копеек приходилось на одну часть. Но одной частью является сумма денег как 20-копеечных, так и 10-копеечных монет. Значит, эти суммы были равны каждая по 40 копеек (200 : : 5=40). Теперь легко определить как число 20-копеечных, так и число 10-копеечных монет. Первых было 2 (40 : 20= =2), вторых 4 (40 : 10=4). Затем определяем число 15-копеечных монет. Их было 8 (200—80=120; 120: 15=8).

На первый взгляд это решение неплохое. Здесь налицо последовательность логических умозаключений и правильный вывод. Однако логическая сторона мышления учащихся должна содержать в себе и другие качества. Мы

судим об остроумии и изобретательности человека, о фантазии и глубине его мысли не по одним лишь логически безупречным рассуждениям. Строгость, законченность и сила логических рассуждений будут выглядеть тем ярче, чем быстрее эти рассуждения приведут к желаемой цели, чем большее ощущение красоты и эмоций вызывают они.

В свое время в «Учительской газете» была опубликована заметка «Как девочка решала задачу». Содержание ее таково. Учительница III класса предложила ученикам решить дома задачу: «Сахарный завод раньше вырабатывал в год 7095 тонн кускового сахару и 12075 тонн сахарного песку. После установки новых машин завод стал вырабатывать кускового сахара в 2 раза больше, а песка в 3 раза больше. На сколько увеличилась годовая выработка кускового сахара и песка вместе?»

Предлагая эту задачу, учительница ориентировала учеников на решение в пять действий. Но одна девочка решила задачу другим способом. Она поставила только два вопроса и ответила на них двумя действиями. Вот эти вопросы и действия.

1. На сколько тонн выработал завод больше сахарного песка после установки новых машин?

12075 m X 2-24150 т.

2. На сколько тонн увеличилась годовая выработка кускового сахара и песка вместе?

24 150 m+7095 т=31 245 т. Приведу еще два примера.

1. Задача. Разносчик продал яблоки четырем покупателям: первому всего числа яблок и ещ 32 яблока; второму ^ того, что осталось от первого, и еще 32 яблока; третьему 1 того, что осталось после второго покупателя, и еще 32 яблока; четвертому ~ того, что осталось от третьего, и последние 32 яблока. Сколько яблок купил каждый покупатель?

Эта задача, решаемая так называемым методом обратности, обычно выполняется в 12—14 действий. Ученик предложил следующее решение ее.

1) 32 : g =48; 48 яблок купил четвертый покупатель.

2) 48 : j =72; 72 яблока купил третий покупатель.

3) 72: -=Ю8; 108 яблок купил второй покупатель.

4) 108 :т =162; 162 яблока купил первый покупатель.

2. Задача. Хорда, проведенная перпендикулярно к радиусу через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

Часто ее решают вычислением, выражая хорду AB через радиус: AB=R\/3. Девятиклассник же при решении рассуждал так: «АОВС—ромб; следовательно, ^>АпВ в два раза больше ^jAСВ. Отсюда \jACB составляет ~ окружности (черт. 17).

Эти примеры характеризуют не только силу, но главным образом и красоту логического мышления.

Обладает ли приведенное выше решение задачи о монетах этими последними качествами? Нет. Вот почему я в свое время, получив от учащихся аналогичные решения, не выразил восхищения, а когда поступило сокращенное решение, мы все признали его лучшим.

Вот это решение. Если бы у меня была одна 20-копеечная монета, две 10-копеечные (10-копеечных в два раза больше 20-копеечных) и четыре 15-копеечных (15-копеечных в 4 раза больше 20-копеечных), то всего у меня денег было бы 20+10 - 2+15 • 4=20+20+60=100 коп.= 1 руб. А у меня их 2 рубля. Значит, монет каждого достоинства в 2 раза больше: 2, 4 и 8.

§ 2. Самостоятельное составление задач учащимися

Большим подспорьем в деле развития логического мышления и развития творческой инициативы является практика обучения учащихся составлению задач. Мы эту работу практикуем в каждом классе. Начинать это следует

Рис. 17.

с простейших заданий. Решив какую-нибудь задачу, я предлагал учащимся проверить ее способом составления обратной задачи, в которой найденные неизвестные принимались за известные, а некоторые данные считались неизвестными. Постепенно от этих задач мы переходили к таким, где учащимся сообщался краткий сюжет будущей задачи, по которому и требовалось ее составить. В дальнейшем учащимся предлагалось придумывать оригинальные задачи. На первых порах это у них не всегда получалось; но дальше — больше при непосредственном руководстве учителя у них начинали появляться хорошие, содержательные задачи. Приведу для примера несколько таких задач, составленных учениками VI класса.

1. Имеется 2,5 рубля, на которые надо купить 11 лимонов и апельсинов. Сколько куплено лимонов и сколько апельсинов, если стоимость лимона равна стоимости полтора апельсина и на 10 коп. дороже его.

2. Из пункта А в пункт В вышли в разное время один за другим три автомобиля. Первый автомобиль шел со скоростью 30 км в час, скорость второго автомобиля на 6бу% больше скорости первого, а скорость третьего относилась к скорости второго, как 3:2. Сколько времени шел каждый автомобиль до пункта В, если все они прибыли в этот пункт одновременно. Притом время движения каждого автомобиля выражается простыми числами.

3. Из пункта А в пункт В тронулся пароход. Когда он прошел 4% всего пути, за ним был послан катер, который шел вдвое быстрее парохода. После того как катер догнал пароход, он шел до пункта В еще 4 часа 36 минут. Каковы скорости катера и парохода, если катер догнал пароход тогда, когда тот прошел 20 км?

4. Улей пчел за сезон дал меда 50 кг, а воска на 96% меньше. Мед другого улья относится к меду первого улья, как воск этого улья относится к Зу. Сколько «прибыли» взяли с этих ульев, если известно, что 1 кг воска второго улья

составляет 66у% всей прибыли воска этого улья?

Иногда задачи составлялись на уроках почти случайно. Так, в одном из седьмых классов, когда мы решали задачу на доказательство того, что разность острых углов прямо-

угольного треугольника равна углу между высотой и медианой этого треугольника, проведенными из вершины прямого угла, один ученик не без удовольствия сообщил, что данная задача натолкнула его на хорошую мысль. Я поинтересовался. Оказывается, используя выведенное только что свойство острых углов прямоугольного треугольника, можно составить задачу на построение. Так у нас появилась новая задача, которую мы отослали в журнал «Математика в школе». Она появилась там в № 4 за 1952 год в отделе «Задачи», в такой редакции:

«По высоте, проведенной из вершины прямого угла, и разности острых углов построить прямоугольный треугольник».

Интересно вспомнить, как составлялись другие задачи. Задача на движение трех автомобилей составлялась коллективно. Учитель предложил учащимся три числа: 30, 50 и 75, назвав их скоростями движущихся автомобилей. Школьникам следовало увязать эти числа некоторым сюжетом. Стали думать. Было решено «пустить» машины из некоторого пункта в одном направлении, но в разное время. Учащиеся задумались над тем, в каком пункте два последних автомобиля догонят первый. Решено было принять расстояние между пунктами в 150 км. Назревало условие задачи. Оставалось договориться, какие числа принять за данные, какие—за искомые. Посыпались предложения. Решили расстояние между пунктами указать в условии, а за искомое принять время движения каждого автомобиля.

Задача составлена. Но вот учитель предлагает отказаться от одного числового данного — расстояния между пунктами. Снова поиски. Нельзя ли найти число 150 по заданным числам 30, 50 и 75? Можно: число 150 — наименьшее общее кратное данных чисел. Вместо числового данного в условие вводится указание, что время движения каждого автомобиля выражается простыми числами.

Задачу о движении парохода и катера ученик составил самостоятельно. Он принял скорость движения катера вдвое большей скорости парохода и рассуждал, что за то время, пока пароход пройдет некоторый путь, катер пройдет расстояние вдвое большее. Это расстояние равно 20 км, тогда, очевидно, до выхода катера пароход прошел 10 км. Далее автор задачи предположил, что 10 км составляют 4% всего пути, и начал дополнять условие другими данными.

§ 3. О сознательности знаний

Нам уже случалось употреблять термин «сознательные знания», который в последнее время все чаще встречается в методической литературе. Профессор П. А. Компанийц указывает некоторые признаки, определяющие это понятие. Среди них —знания, подготовленные системой предшествующих знаний и входящие, естественно, в последующие, когда они усвоены во взаимной связи одно с другим, причем в процессе активной и творческой учебной деятельности.

В предшествующем описании мы всюду, где вводили этот термин, подразумевали подобную работу и, обратно, там, где описывалась аналогичная деятельность, подразумевали введенное понятие. Остановимся на этом еще.

Большую работу по привитию сознательных знаний можно развернуть на уроках геометрии. Так, например, уже при изучении в VI классе условий параллельности прямых полезно подчеркнуть, что второе и третье условия могут быть доказаны самостоятельно (независимо от первого), и тут же предложить учащимся найти такие доказательства.

Также и с четвертым условием параллельности прямых: следует навести учащихся на мысль, что не обязательно опираться на первое условие, а можно из равенства суммы внутренних односторонних и суммы смежных углов, равных двум прямым, вывести равенство соответственных углов. Полезно предложить учащимся дома подумать над доказательством четвертого признака ссылкой на уже доказанный второй признак.

Еще пример. Доказав теорему о свойстве средней линии треугольника: «Средняя линия равна половине основания», преподаватель должен отметить, что существуют и другие способы доказательства этого положения. Некоторые из них можно отыскать с учащимися при закреплении материала, а некоторые оставить в качестве домашнего задания, раздав учащимся карточки, на которых даны чертежи, записано условие, заключение и дополнительное построение. Учащиеся должны:

1. Доказать предложение по данному чертежу, учитывая дополнительные построения.

2. Перечислить теоремы, определения, признаки и свойства, на которые опирается доказательство.

3. Сравнить полученное доказательство с тем, которое дано в учебнике. (Какое лучше? Почему?)

Ниже приводим образцы таких карточек к доказательству указанного свойства средней линии треугольника*.

Вариант 1 (рис. 18).

Рис. 18. Рис. 19.

Указание. Разделить сторону АС пополам и середину ее соединить с точкой Е. Вариант 2 (рис. 18).

Указание. На стороне Л С от точки А отложить отрезок АКу равный средней линии DE. Вариант 3 (рис. 19).

Указание. Точку К — середину стороны АС соединить с точками D и Е. Вариант 4 (рис. 20).

Рис. 20.

Указание. Продолжить DE и через вершину С провести CF \\АВ.

Вариант 5 (рис. 20).

* Имеется в виду, что свойство параллельности средней линии основанию учащимся известно.

Указание. На продолжении DE отложим EF=DE. Вариант 6 (рис. 21). Указание. СМ || AB; ВМ \\ АС. Вариант 7 (рис. 21).

Рис. 21.

Указание. ВМ || ЛС; BM=2DE. Вариант 8 (рис. 22).

Рис. 22.

Указание. MN \\ АС\ KM \\ FN.

Такую же работу можно проделать с учащимися при доказательстве свойства средней линии трапеции.

Если учащиеся справятся с подобными доказательствами на дому, учитель предлагает им самостоятельно доказывать некоторые теоремы. Выполнять первое такое задание следует в классе. Учитель наблюдает за самостоятельностью учащихся и в нужных случаях дает указания. Рассмотрим, например, урок, проведенный в VII классе, на тему «Вписанный угол».

Начертив на доске вписанный угол, учитель дает определение этого угла. Затем формулируется теорема.

Учитель указывает, что при доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая:

1. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (следует чертеж).

2. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла.

3. Центр круга лежит вне вписанного угла. Учащимся предлагается доказать теорему для первого случая.

Привожу два доказательства из найденных на указанном уроке семиклассниками.

Рис. 23.

Рис. 24.

Первое доказательство (рис. 23). Из центра О круга проводим OD \\ AB. Дальнейшее очевидно.

Второе доказательство (рис. 24).

Проводим BD II ОС и CD || AB. Четырехугольник OBDC — ромб. ^ABD = ^AOC; ^OBC=^CBD и т.д.

Готовясь ознакомить учащихся с той или иной теоремой, мы должны прежде всего подумать о том, как довести доказываемую теорему до сознания учащихся, как убедить их в справедливости ее. В первом из рассмотренных случаев мы с этой целью предложили учащимся несколько вариантов доказательств одной теоремы с необходимыми указаниями, во втором — доверили учащимся самостоятельно доказать теорему. И в том и в другом случае работа способствовала творческому развитию сознательности учащихся.

§ 4. Об облегченных доказательствах

Однако не все теоремы или другие математические предложения учащиеся в состоянии осмыслить, если применять только эти пути изучения. В иных случаях необходимо облегчить ход доказательства, чтобы довести его до сознания учащихся. Это относится в особенности к младшим классам.

Всем известно, с каким трудом усваивается шестиклассниками теорема о треугольниках с двумя соответственно равными сторонами. Чтобы довести ее до сознания учащихся, опытные учителя предварительно проводят большую подготовительную работу. В небольшой, но содержательной брошюре С. А. Кузьминой «О доказательстве теорем в курсе геометрии VI класса»* дается система таких подготовительных упражнений. Однако если подобные упражнения и помогают усвоению других теорем, то при доказательстве данной теоремы они не дают полного эффекта. Эти упражнения сводятся к расчленению общего содержания теоремы на составите части и предварительному доказательству этих частей. Но для данной теоремы, как и во многих других случаях, этого недостаточно. Подготовительная работа преследует цель —всей своей формой, содержанием и методами постепенно раскрывать содержание предстоящей темы, готовить учащихся к сознательному усвоению ее теоретической и прикладной части. Такую работу в подготовке данной теоремы (если ее доказывать распространенным способом) организовать очень трудно. Отсюда напрашивается вывод: сообщить учащимся другой, более легкий способ доказательства теоремы.

А. А. Гемуев в статье «Об одной теореме геометрии»** предлагает доказательство этой теоремы способом приложения. Мы считаем, что доказывать следует теорему наложением, только опираться при доказательстве не на признак равенства треугольников, а на более родственную по содержанию теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Приведем это доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и АгВгС19 у которых

* С. А. Кузьмина, О доказательстве теорем в курсе геометрии VI класса, изд. АПН РСФСР, 1960.

** Сборник статей по вопросам преподавания геометрии в средней школе, Учпедгиз, 1958.

AB=A1Blf AC=A1C1 и ^BAC<^BxA£i. Требуется доказать, что ВС<В1С1 (рис. 25).

Наложим треугольник ABC на треугольник A1R1C1 так, чтобы АС совместилась с АгСг. В силу того что ^А< ^Аъ сторона AB пойдет внутри угла /Ij и вершина В совместится с некоторой точкой D.

Рис. 25.

Выясним, где может лежать точка D. Вообще она может расположиться вне треугольника AxBxCl9 или внутри него, или на стороне В1С1. Это предположение может высказать учитель; однако его следует обосновать, рассматривая различные пары треугольников с двумя соответственно равными сторонами.

После этого докажем теорему для первого случая.

Пусть треугольник ABC займет положение AlDC1 (рис. 25).

Рис. 26.

Соединим точку Вх с D. Докажем, что в треугольнике BXDCX ^ß1DC1>-^C1ß1D. Это выполнить легко.

Во-первых, ^АхВгО= ^:A1DB1 (как углы при основании равнобедренного треугольника), во-вторых, ^Л1ОБ1> >^:C1ß1D (очевидно), тогда ^:BlDC1 и подавно больше угла CyBJ). Следовательно, B1ClyDCl (против большего угла в треугольнике лежит большая сторона), т. е. ß1C1>ßC.

Случай, когда вершина накладываемого треугольника расположится внутри треугольника А1В1С1 (рис. 26), также не вызывает затруднения, хотя он не совсем аналогичен первому, ^il >-^2 (свойство внешнего угла треугольника), ^3>^7 (^l1 —острый, так как он является частью угла при основании равнобедренного треугольника, а ^.3—смежный с ним), значит, ^<3>^2, а раз так, то DC1<ß1C1. Доказательство третьего случая очевидно.

V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ

§ 1. Домашние задания

Виды и формы самостоятельной работы учащихся различны. Один из основных видов самостоятельной работы — домашние задания. Изучение математики немыслимо без самостоятельного закрепления пройденного на уроках материала домашними упражнениями и задачами.

В первые годы своей работы я стремился давать учащимся на дом как можно больше задач, полагая, что все задачи из стабильного задачника обязательны. Впоследствии стал заранее планировать, какие задачи будут решены в классе, какие дома; некоторые же задачи откладывал на конец учебного года, и мы решали их при повторении курса данного класса. Отдельные задачи ввиду малой их значимости мы не решали совсем. Задачи повышенной трудности переносились на кружковые занятия или предлагались более способным учащимся.

Всякий раз, давая домашние задания, я обращал особое внимание на тех учащихся, которые самостоятельно не смогут справиться с заданием полностью. Для них я указывал отдельные моменты, на которые надо обратить внимание, заставлял их, если это требовалось, вспомнить теорему или другое суждение, которые помогут в выполнении задания. Если я видел, что с заданием в состоянии справиться все учащиеся, за исключением одного-двух, то давал лично им соответствующие дополнительные указания.

Всегда должно соблюдаться следующее правило: если на уроке объяснена новая тема, то ее необходимо здесь же закрепить задачей или упражнением. На дом в таких случаях необходимо давать задачи, сходственные с теми, которые были решены в классе. И только на последующих

уроках, когда данный теоретический материал усвоен учащимися прочно, его следует закреплять более сложными задачами. Например, ознакомив учащихся с леммой о подобии треугольников, мы предлагаем такую задачу для устного решения: «Доказать, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному». Учащиеся с этой задачей справляются легко. В параллельном классе была предложена другая задача. «В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продолжены до взаимного пересечения в точке F. Доказать, что образовавшиеся таким образом треугольники AFD и BFC подобны».

Эти несложные задачи закрепляют теоретический материал. Они, на наш взгляд, необходимы еще и потому, что в задачнике Н. Рыбкина специальных задач на эту теорему нет, и учителю часто приходится, объяснив доказательство, довольствоваться лишь требованием к ученику— повторить его, а затем дать задание на дом —эту же теорему выучить. Такой метод порочен: опытом проверено, что только тот теоретический материал усваивается учащимися осмысленно и прочно, который как в классе, так и дома закреплен практическими примерами; в противном случае домашняя работа ученика сводится к зубрежке.

Я в этом случае задавал на дом не только выучить доказательство леммы, но и решить следующие две задачи:

1. На одной из сторон треугольника ABC дана точка М; провести через точку M прямые, отсекающие от этого треугольника треугольники, подобные данному.

2. Точка M находится внутри контура треугольника ABC. Через эту точку провести прямые, отсекающие от треугольника ABC треугольники, ему подобные.

На следующем уроке, когда учащиеся закрепили теорему новыми примерами, мы предложили на дом уже усложненную задачу:

«Через вершину В вписанного в данный круг треугольника ABC (-^Л>^С) проведена касательная, пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Отложена дуга BF, равная дуге AB. Доказать, что хорда AF отсекает от треугольника DBC подобный треугольник».

После изучения первого признака подобия треугольников мы решаем для закрепления такую задачу. «В треугольнике ABC ^iBy^iC. Через вершину В провели прямую BD (точка D на стороне АС) так, что ^iABD = ^.C (рис. 27). Доказать, что /\ABD оо /\АВС».

Задача эта решается учащимися быстро. На этом же уроке мы решаем из Н. Рыбкина задачу № 4 (1), § 9.

Дома мы предлагаем повторить лемму, выучить первый признак и решить три задачи. К задаче № 4 (2), § 9, Н. Рыбкин даем пояснение.

Две другие задачи учащимся частично знакомы. Это — варианты тех задач, которые задавались им на дом после доказательства леммы.

Теперь условия их выглядят так:

1. На одной из сторон треугольника ABC дана точка М\ провести через точку M прямые, отсекающие от этого треугольника треугольники, подобные данному. Указать число решений.

Рис. 27. Рис. 28.

2. Точка находится внутри контура треугольника ABC. Через эту точку провести прямые, отсекающие от треугольника ABC треугольники, ему подобные. Сколько таких прямых можно провести?

Ценность этих задач очевидна. Решая их, учащиеся не только закрепляют первый признак подобия треугольников, но и повторяют лемму.

Не следует опасаться, что на комментирование и запись домашнего задания уйдет много времени: эти задачи в тетрадях записаны ранее. Предвидя, что к этим задачам мы еще вернемся, я предупредил, чтобы учащиеся оставили после каждой из них по чистой строке. Теперь оставалось к условию первой приписать: «Узнать число решений», а ко второй: «Сколько таких прямых можно провести?».

Можно не требовать от учащихся письменного объяснения этих двух задач; достаточно сделать чертежи. Чтобы облегчить им подход к делу, я на уроке выполняю чертеж одного из решений (рис. 28). В беседе с учащимися

выяснили, почему АВMD со A ABC. Когда это сделано, учитель говорит: «Вот так будете делать и дома: сделаете чертеж и устно объясните; для каждого решения дайте отдельный чертеж».

К следующему уроку все учащиеся выполнили домашнее задание. Правда, несколько человек в последних двух задачах отыскали не все решения. Нашлись и такие, которые не рассмотрели частные случаи: когда данный треугольник прямоугольный, равнобедренный или равносторонний. Это нами было восполнено на очередном уроке при проверке домашнего задания. Отрадным было, что отдельные учащиеся нашли все возможные решения и рассмотрели частные случаи.

Я уже говорил о том, что при даче домашнего задания следует помнить о более слабых учениках; но будет неправильно забывать при этом и более способных. Для них мы заготовляем задачи повышенной трудности. Когда они приучены к этому, то и сами не будут давать вам покоя. При правильной постановке дела число желающих получить более сложные задачи постоянно возрастает: это является хорошим признаком в привитии глубоких и прочных знаний по математике.

§ 2. Проблемные задачи

В стабильном учебнике задач по геометрии практикуется повторение отдельных задач. Неоднократное решение таких задач —полезная работа для учащихся. Но этот труд тем плодотворнее, чем разнообразнее способы решений. Полезно заставить учащихся вести учет решениям, указывая всякий раз на теоретический материал, который они применяли при решении. Это будет хорошим повторением пройденного материала.

Целесообразно такие задачи не только повторять в сборниках, относя их к различным разделам программы или в общий отдел, но и ставить перед учащимися в виде проблемных. В учебном году учащимся предлагается ряд задач. Эти задачи, написанные на листе ватмана, вывешиваются в классе. Учащиеся предупреждаются, что каждая задача насчитывает немало решений. Задачи должны решать все, причем как только пройден какой-либо новый раздел программы, так необходимо применить его положения к решению: испытать, нельзя ли решить какую из них, опираясь

на изученный материал? Кто решит, тот будет вести счет решениям. Можно объявить соревнование.

Много таких задач подбирать нецелесообразно. Они должны обладать ярко выраженным и запоминающимся тезисом и представлять интерес для учащихся. Приведем несколько таких задач по геометрии, которые учащиеся могут решать в течение VI и VII классов.

1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

2. Угол, вершина которого не помещается на чертеже, разделить пополам.

3. Данный отрезок разделить на три равные части.

4. На окружности, описанной около равностороннего А АВС, взята произвольная точка М. Доказать, что наибольший из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух остальных.

5. Через данную внутри угла точку провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился в этой точке пополам.

6. Через данную точку и недоступную вершину заданного угла провести прямую.

Следует заметить, что учащиеся охотно работают над такими задачами. Этот труд для них является творческим и нередко приводит к хорошим результатам. Приведу некоторые решения предпоследней задачи, данные учащимися.

1. Через вершину угла А и точку В проводим прямую (рис. 29). Откладываем ВС=АВ и проводим.Со || АЕ, тогда DBE — искомая прямая.

Рис. 29.

2. Проводим BD II АЕ, откладываем DC=AD, СБЕ — искомая прямая (рис 30),

3. Проводим произвольную прямую СВ и откладываем BD=CB (рис. 31); строим DE ц ЛС, FBE — искомая.

Рис. 30.

Рис. 31.

Рис. 32.

4. BE II AD; BF \\ AC; CBD \\ EF. Откуда CB=FE=BD (рис. 32). Следовательно, CBD — искомая прямая.

§ 3. Классные «самостоятельные работы»

Вызвав одного учащегося к доске для решения задачи, мы обычно следим за тем, чтобы весь класс принимал участие в этой работе. Для того, чтобы остальные учащиеся не бездельничали, мы проходим между партами или задаем вопросы по ходу решения. Но ни то, ни другое не может нас гарантировать, что все учащиеся без исключения решают задачу самостоятельно. Найдутся, конечно, такие, которые добросовестно следят за ходом решения на доске и столь же «добросовестно» списывают. Трудно в таких случаях угадать, что заставило того или иного ученика следовать этим путем. Здесь нам на выручку могут прийти самостоятельные классные работы.

Когда на ту или иную тему решено уже несколько задач и есть уверенность в том, что основная масса учащихся справляется с задачами этого типа, классу предлагается «самостоятельная работа». Предварительно учащимся следует уяснить отличие такой работы от контрольной: 1) оценки выставляться не будут; 2) можно обращаться к учителю с любыми вопросами; 3) работа преследует одну только цель — помочь тем учащимся, которые затрудняются в решении задач по данной теме; 4) те учащиеся, которые без стеснения будут задавать учителю вопросы и разберутся в них, легче справятся с контрольной.

И все же охотников задавать вопросы бывает мало. Приходится ходить между партами и предлагать свои услуги. Но и тут раздаются предупредительные возгласы: «Не надо, не надо, я сам».

Такое стремление к самостоятельности похвально, и мы никогда не должны навязывать свою помощь тем, кто действительно способен решить задачу сам. Но как быть с теми, кто, лелея мечту о «пятерке» или «четверке», невольно обманывает и себя и учителя? Не решив задачу, эти учащиеся задним числом винят себя за то, что не просили помощи учителя. Во избежание таких случаев следует довести до учащихся: «Если кто обращается с вопросом, а затем, после выяснения, решит задачи, то такой результат можно считать положительным».

Это меняет дело. Учащиеся станут чаще беспокоить учителя. Помогая тому или иному ученику, мы не прямо подсказываем, а постепенно наталкиваем его на путь решения. Если же пробелы в знаниях ученика значительны

и отдельные теоретические выводы у него не сохранились в памяти, их надо воспроизвести ему.

После такого урока учитель должен подытожить свои впечатления и учесть все при построении следующего урока.

Самостоятельные работы в классе обычно длятся 15— 20 минут. Иногда же на это отводится целый урок, чаще всего перед контрольной. Это своего рода репетиция контрольной работы. Однако проводить ее надо не перед каждой контрольной, а только в том случае, если отдельные вопросы темы усвоены учащимися непрочно. Если часовая «самостоятельная работа» обнаружит значительные пробелы в знаниях учащихся, то приходится откладывать на урок, а иногда и на два контрольную работу. Это сигнализирует учителю о каких-то дефектах в методике его преподавания.

§ 4. Экспериментальные работы

Делу сближения обучения с практикой и привития практических навыков большую пользу приносят экспериментальные самостоятельные работы учащихся. Например, после изучения темы «Пропорциональные линии в круге» мы заготовили на каждого ученика сегменты из картона; затем раздали их учащимся и предложили произвести измерения и расчеты для определения радиуса дуги сегмента. Эту работу учащиеся выполняли охотно. В IX классе учащиеся производили разметку флянца. Там же я практиковал задачу на рациональный раскрой листа жести при изготовлении крышек к цилиндрам. С X классом мы определяли объемы многогранников и тел вращения, изготовленных учащимися из картона, дерева и стекла.

Немалым подспорьем в деле развития пространственных представлений является решение задач на вычисление поверхностей и объемов геометрических тел по их разверткам. Такая работа практиковалась нами в X классе. Вначале задачи были простые, затем усложнялись.

Для проведения фронтальных практических работ необходимо иметь много разверток многогранника, чтобы обеспечить ими всех учащихся класса. С этой целью учащимся поручалось самим изготовить ту или иную развертку в соответствии с условиями задачи. Затем эти развертки в классе перераспределялись между учащимися так, чтобы для каждого из них задание было новым.

Задания по разверткам практиковались следующих видов:

1. По данной развертке определить вид многогранника.

2. По данной развертке геометрического тела, самостоятельно измерив необходимые элементы, определить поверхность или объем тела.

3. Начертить в определенном масштабе развертку данного многогранника (ученику дается модель многогранника, измерительные и чертежные принадлежности).

4. По данной развертке и заданным размерам ее элементов составить задачу и решить ее.

5. Решить задачу из сборника задач, а затем начертить развертку тела, рассматриваемого в задаче, и измерениями проверить правильность решения.

Ниже приведены конкретные примеры таких заданий.

1. Развертка какого многогранника изображена на рисунке 33?

2. По данной развертке определить:

а) полную поверхность многогранника,

б) объем многогранника,

в) угол наклона боковой грани к основанию,

г) плоские углы многогранника,

д) угол наклона бокового ребра к основанию,

е) двугранный угол между боковыми гранями.

Второе задание предлагалось не полностью, а частями. Приведу два решения из найденных учащимися. Одно представлено полностью на рисунке 34.

Рис. 33.

Рис. 34

Результаты измерения. 1) SABCDEF —правильная пирамида

1) все плоские углы;

2) двугранные углы;

Решение.

1) Углы основания равны:

2) cosa (a—линейный угол двугранного угла при основании) = ~ - = -2-^0,7222; a = 43° 46'. SL 36 р — линейный угол двугранного угла между боковыми гранями; —угол наклона бокового ребра к основанию.

Второе решение изображено на рисунке 35, где показаны все необходимые дополнительные построения, затем произведены нужные вычисления. При этом учащиеся измеряли элементы развертки при помощи масштабной линейки, циркуля и транспортира.

3. По данным развертки составить задачу на определение полной поверхности многогранника (рис. 36).

Рис. 35.

Рис. 36.

Когда учащимся был предложен рисунок 36, они без затруднения сформулировали задачу: «Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Из боковых граней две перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним угол а. Определить полную поверхность этой пирамиды». Десятиклассники узнали в ней задачу № 34 из § 19 сборника Рыбкина. Пользуясь разверткой, они решили задачу сперва в общем виде; затем придали числовые значения и вычислили поверхность (по формуле и с помощью таблиц), после этого они проверили результат, произведя необходимые измерения на развертке. Учащиеся были обрадованы незначительностью погрешности.

Вообще решение задач по разверткам очень понравилось учащимся и в дальнейшем они не раз прибегали к ним. Так, на контрольных работах, когда решались задачи по геометрии с применением тригонометрии, отдельные ученики, решив задачу общепринятым способом, проверяли результаты вычисления на развертке.

§ 5. «Посмотри, разберись и запомни»

Строя урок, мы прежде всего должны думать о том, чтобы он был живым, доходчивым и наглядным. Хороший урок требует от нас и того, чтобы на нем мы заставили учащихся мыслить творчески, конструировать, широко применять графические методы. Если мы чертим правильную пирамиду, то учащиеся должны хорошо ее представлять и даже, глядя на чертеж, «видеть» ее в своем воображении. Для этого мы должны достаточное число раз сопоставить модели геометрических тел с соответствующими чертежами. Поэтому изготовление наглядных пособий и применение их на уроках математики — незаменимое подспорье в деле повышения качества знаний.

Изготовленные учащимися макеты к задачам, чертежи и решения задач мы вывешивали в математическом уголке школы под плакатом «Посмотри, разберись и запомни».

Как был оформлен этот уголок? Рассмотрим это на примере экспоната «Правильная треугольная пирамида». На специально сделанной подставке поместили изготовленную учеником модель (из стекла) правильной треугольной пирамиды. На этой модели разными красками были выделены плоский угол при вершине, линейный угол двухгранного угла и угол бокового ребра с плоскостью основания;

Рис. 37.

кроме того, были наглядно представлены апофема и высота. Рядом с моделью был помещен чертеж пирамиды и табличка, на которой были указаны элементы пирамиды с их обозначениями (рис. 37).

SABC — правильная треугольная пирамида:

АВ=ВС= АС=а —стороны основания;

SA =SB=SC =b — боковые ребра;

SO=H — высота пирамиды;

SK=k — апофема;

^SKA=a — линейный угол двугранного угла при основании (угол наклона боковой грани к плоскости основания);

^SAO =ß —угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

^ASC=4—плоский угол при вершине пирамиды;

АО = R —радиус окружности, описанной около основания;

ОК=г — радиус вписанной окружности (апофема основания);

СМ LAS, ВМ ±AS;

^СМВ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре.

Здесь же приведены основные соотношения между элементами пирамиды: H = ksim =rtga; s= zY3\ b = ksxm и т. д.

Таким образом, глядя на модель и чертеж, учащиеся одновременно восстанавливали в памяти определения отдельных элементов и зависимость между ними.

В уголке имелись также образцы письменного оформления задач по геометрии с применением тригонометрии. Рядом с ними помещались изготовленные учащимися макеты и чертежи к задачам. Такие же макеты иллюстрировали доказательство теорем.

Выставка пользовалась большим успехом. Воздействие ее сказывалось в особенности на тех учащихся, которые до того слабо представляли себе конструкцию и соотношения между частями геометрических фигур. В нашем уголке они приучались не только разглядывать, но разбираться в геометрических телах и запечатлевать в памяти геометрические образы.

Мы остановились только на главных видах самостоятельной работы; в практике отдельных учителей их значительно больше. Важно помнить, что разнообразие методов обучения не только оживляет процесс преподавания, но и способствует повышению успеваемости учащихся.

VI. ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА

§ 1. С чего начинать

Общепризнано, что работа математических кружков, проведение математических вечеров и математических пионерских сборов, выпуск стенных математических газет и рукописных математических журналов, математические турниры и олимпиады, математические экскурсии, а равно и другие формы внеклассной работы весьма эффективно воздействуют на уровень знаний учащихся. Чтобы подготовить людей сообразительных, знающих и умеющих применить свои знания на практике, необходимо вовлечь своих воспитанников во внеклассную работу.

С чего же следует начинать внеклассную работу?

Многие считают, что организацию математического кружка нужно начинать с вывешивания на видном месте красочно оформленного объявления, извещающего о начале работы кружка. Это не совсем так. Как бы ни трудились художники над объявлением (хотя без него и не обойтись), они только внешним образом привлекут внимание учащихся, но не в силах создать у них органическую потребность участия в математическом кружке. Подготовительную работу надо ставить так, чтобы учащиеся заранее с нетерпением ожидали начала занятий кружка, открывающего путь во что-то интересное и загадочное. Объявление же будет для них радостным сигналом начала.

Каким же образом добиться этого? Лучше всего, если математический кружок органически вырастет из классной

работы. На одном из занятий по арифметике в V классе, после того как был выведен признак делимости чисел на 9 и решены отдельные примеры, я заметил, что учащиеся устали. До звонка оставалось 5—7 минут. Вот тогда-то я и предложил учащимся:

— Отдохнем?

Возражений не последовало.

— Тогда покажу вам фокус, в котором используется признак делимости. Возьмите карандаш и бумагу, задумайте какое-нибудь многозначное число и запишите его на бумаге. Переставьте в задуманном числе цифры в любом порядке. Вычтите меньшее число из большего. Одну из цифр разности (кроме нуля) зачеркните. Остальные цифры сообщите мне в каком угодно порядке, и я узнаю зачеркнутую цифру.

Потянулось множество рук. Каждому хотелось, чтобы учитель узнал зачеркнутую им цифру. И когда преподаватель отгадывал безошибочно, восторгам не было конца.

Всех это удивило. Я сообщил, что могу отгадать возраст любого из них, мало того, угадать число, месяц рождения и даже состав семьи каждого. Это уже было сверх ожидания. Всем захотелось побыстрее убедиться в справедливости моих слов, но тут раздался звонок. Никому не хотелось уходить из класса. Вот тогда-то я и объявил, что все эти «чудеса» будут разъяснены в кружке «Математической смекалки», занятия которого начнутся в скором времени. На следующем уроке я еще подогрел интерес учащихся, рассказав им в занимательной форме о двух особенностях числа 37. После такой подготовки все с нетерпением ждали открытия математического кружка и красочное объявление собрало много желающих.

Подобным же образом я поступал и в старших классах. Там роль магнита, притягивающего учащихся к внеклассным занятиям, сыграли, с одной стороны, софизмы, а с другой —практические задачи.

Остановлюсь на одном из софизмов, так как работа над ним оказалась поучительной не только для кружковцев, а и для руководителя. В треугольнике А ВС (рис. 38) ^ß>^C. Построим ^ABD (D—точка на Л С), равный углу С. «Докажем», что AD=AC. Решение. Имеем:

откуда

Если —острый, то

(можно рассмотреть и для случая, когда —тупой).

Рис. 38.

Далее получим

Прибавим к обеим частям равенства выражение: 2АЕ—AD— —АС (для тупоугольного треугольника:—2АЕ—AD—АС). После небольших преобразований получим:

Из последнего равенства следует: AD = АС.

Учащиеся удивлены. Им предлагается найти ошибку в рассуждении. Сообщается также, что разгадавшие могут прийти на занятие математического кружка. Приглашаются другие учащиеся.

§ 2. Первые занятия

Знакомясь с литературой о математических кружках, я обратил внимание на то, что первое занятие часто бывает чрезвычайно официальным и скучным. Во-первых, много

времени тратится на выборы старосты, редколлегии, членов комитета или бюро (смотря по тому, как руководитель именует возглавляющий центр кружка). Во-вторых, солидная доза времени уходит на обсуждение плана работы, составленного руководителем кружка. Только под конец заседания кружковцев знакомят с общим содержанием и методами работы кружка. Для непосредственного решения задач или разбора других математических вопросов остается мало времени.

Веские соображения заставили меня отказаться от такого, на первый взгляд естественного, начала. Как правило, на первое занятие приходит много учащихся. Одни действительно хотят серьезно заняться математикой, другие приходят «на разведку» — попытать свои силы, а многие — ради любопытства. Одно-два серьезных занятия—и часть учащихся покидает кружок. Так стоит ли на первом занятии выбирать руководство кружка? У меня, например, был случай, что староста после двух-трех занятий перешел в другой кружок. Далее, план работы, составленный учителем без творческого участия кружковцев, не будет полноценным. Выборы старосты, редколлегии, а также составление плана лучше провести после того, как состав кружка относительно стабилизируется.

Первое занятие должно явиться продолжением разговора, начатого на уроках. Ведь мы ради привлечения учащихся в кружок предложили какую-то головоломку или софизм: понятно, тем, кто отыскал решение, не терпится поделиться своей находкой. Вот и начинайте с ними прямо разговор об этой задаче, а не навязывайте официальную часть. После того как одна задача разобрана, предлагайте другую, не менее интересную. Притом задачи на первом занятии должны быть увлекательными, но не трудными. Как непосильный груз может подорвать здоровье, так и трудная задача может подорвать веру в математические способности.

После нескольких занятий, когда выявится относительно постоянный состав посещающих, можно заговорить о выборе оргкомитета. Только после этого руководитель знакомит учеников с содержанием работы кружка, делится своими соображениями на будущее, рекомендует литературу, выслушивает пожелания и вместе с кружковцами намечает план.

§ 3. Что дал разбор софизма?

Много поучительного для меня, как руководителя, дал разбор софизма. После ознакомления с ним в классе разговор, естественно, продолжался в кружке. Один из учащихся догадался: из того, что--=--, не всегда следует Аи=АС, и он написал: —=—.

Это навело на мысль, что AB2—АО-АС =0. Далее разгадывали легко: AB2 = AD-AC, -jQ==jg- Последнее равенство вытекает из подобия треугольников A BD и ABC (рис. 38). Другой ученик догадался: из равенства АВ2= =AD • АС может следовать: AB —касательная, АС — —секущая, AD—внешняя ее часть. Тут же около треугольника BCD была описана окружность и из того, что угол С равен углу A BD, предположение было подтверждено.

Рис. 39. Рис. 40.

Но работа над софизмом этим не была исчерпана. Кружковцы не раз еще возвращались к нему.

Одному из учащихся не понравилась формулировка софизма. «Какой-то он чересчур повествовательный», — говорил ученик. «Вот другие софизмы: «Окружность имеет два центра», «тупой угол равен прямому» —все они поражают своей краткостью».

В ответ на это замечание посыпались новые формулировки софизма. Остановились на такой: «Целый отрезок равен любой своей части». Новая редакция потребовала нового доказательства, и оно было предложено. Привожу

его. Пусть дан отрезок АС и точка D, лежащая между А и С. «Докажем», что АС равняется AD (рис. 39). Проведем луч СХ так, чтобы угол АСХ был острым. Далее на отрезке AD строим сегмент, вмещающий угол, равный АСХ. Одну из точек пересечения луча с дугой сегмента обозначим через В. Точку В соединим с точками А и D. Задача сведена к рассмотренному уже случаю.

В дальнейшем творческая работа над софизмом натолкнула одного из кружковцев на оригинальный способ построения среднего геометрического (рис. 40). Откладываем на произвольной прямой заданные отрезки АС и AD. Через точки С и D проводим окружность произвольного радиуса с центром О. На отрезке АО, как на диаметре, строим окружность, которая пересечет первую окружность в точке В. Отрезок AB и будет искомым средним пропорциональным.

§ 4. Математическая газета

Математические кружки охватывают, как правило, меньшую часть учащихся. Остановимся на тех видах внеклассной работы, которые рассчитаны на более широкий круг школьников. Сюда относятся, в частности, математическая стенная газета, математический журнал и другие рукописные математические пособия.

В свое время кружок, руководимый мною, выпускал математическую газету «Золотой ключик». Особенной популярностью пользовались два последних отдела газеты под названием «Давайте поспорим» и «Кто решит».

Наша газета выходила раз в месяц; поэтому мы помещали в номере 8—10 задач с таким расчетом, чтобы они были решены в течение месяца. Приведем три задачи из отдела «Кто решит»: арифметическую, алгебраическую и геометрическую.

1. Как разделить 7 яблок на 12 человек поровну, не разрезая ни одного яблока на 12 равных частей?

2. Доказать, что при целом п>1 выражение 24п+2+1 не может быть простым числом.

3. На окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка М. Доказать, что наибольший из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух остальных.

На каждый номер «Ключика» мы получали до ста решений и больше. Некоторые учащиеся присылали 2—4 зада-

чи, и всегда находилось несколько человек, которые решали все задачи. Бывало и так, что один человек решил задачу несколькими способами. Например, последнюю из приведенных задач ученица решила тремя способами. Доказательство 1 (рис. 41).

Проведем DC параллельно MB и точку D соединим с с Л. ^DAB=^MAC (вписанные, опирающиеся на равные дуги), но ^ВАС=60° (по условию), значит, и угол MAD равен 60°, к тому же ^ADN=60°, следовательно, треугольник ADN равносторонний. Треугольник MNC также равносторонний (^MNC=^NMC=60°). Далее, kjAD=^BM (они дополняются каждая дугой DB до 120°), т. е. AD=BM. Из всего сказанного следует: MC+MB=MN+AD=MN+ +AN=MA.

Доказательство 2 (рис. 42).

Отложим MD=MB. Равнобедренный треугольник DBM с углом при вершине в 60° будет равносторонним. Треугольник DCE также равносторонний (<^CDE=^:DEC=è0o).

^jAM = ^jCE (доказывается легко). Дальнейшее аналогично первому доказательству.

Доказательство 3 (рис. 43).

Продолжим MB за точку В и отложим ME, равный MC. Соединим Е с С. Равнобедренный треугольник MCE, у которого угол СМЕ равен 60°, будет равносторонним. Проведем BD || СЕ; тогда, соединив точку D с С, получим

Рис. 41. Рис. 42.

параллелограмм ECDB (BD || СЕ и BE || CD, так как BDC= = DBM=60°). Из сказанного следует, что BE=CD. Но СД=АМ (доказывается легко), а поэтому МС=МЕ=МВ+ +BE=MB+DC=MB+MA.

Предлагались также доказательства, основанные на признаках равенства треугольников.

В следующем номере печатался список учащихся, решивших наибольшее число задач, и помещались наиболее оригинальные решения. Такое состязание продолжалось на протяжении учебного года, весной же на математичесских вечерах подводились итоги и победители получали премии.

Практиковался также выпуск математических газет, посвященных какой-либо одной теме. Когда на занятии математического кружка ставился вопрос, требующий всесторонней популяризации его, мы посвящали ему выпуск специального номера газеты. Трем учащимся было поручено подготовить доклад на тему «Третий признак равенства треугольников». Первый из них рассказал о практическом применении признака при измерительных работах на местности и дал два доказательства этой теоремы; второй подготовил еще пять доказательств, а третий оформил доклад в виде рукописной брошюры. Для популяризации их труда было проведено открытое занятие кружка, и очередной номер «Золотого ключика» был целиком посвящен этой теме.

Мы видели, как на переменах учащиеся толпились около газеты, обсуждали и спорили об отдельных доказательствах. На уроке некоторые спрашивали:

— Можно эту теорему доказывать так, как в «Золотом ключике»?

— Можно,— отвечал учитель, радуясь, что усилия, затраченные на кружковую работу, давали желаемые результаты.

Рис. 43.

§ 5. Коллективное составление пособий по математике

Хорошо поставленная внеклассная работа по математике включает выпуск рукописного журнала. Несмотря на то что в течение учебного года мы успевали выпустить только один номер журнала, он оказывал учащимся большую помощь, знакомя их подчас с таким материалом, о котором они на уроках не слышали.

Школьники охотно читали журнал. Пришлось установить очередь для читателей и сократить до минимума сроки пользования.

В дальнейшем возникла необходимость выпускать другие, меньшие по объему, рукописные пособия.

С первых дней работы кружка была развернута работа по составлению задач. Около тридцати таких задач вошли в «Наш задачник».

Развитию математических способностей школьников и популяризации математики содействовали еще два рукописных пособия: 1) «Об одной задаче на построение (десять решений)» и 2) «Десять доказательств двух теорем». Оба пособия являлись результатом творческого труда учащихся.

Наши рукописные издания были в большом спросе при подготовке к экзаменам. И было отрадно, когда на экзаменах учащиеся давали необычные доказательства отдельных теорем. Все это убеждало нас в том, что составлением математических журналов и других рукописных пособий следует заниматься в каждой школе.

Мы открыли в этой работе и много других положительных сторон. В частности, после рукописных пособий учащиеся охотно читали рекомендованную учителем литературу по отдельным вопросам.

§ 6. Математические вечера

Массовым мероприятием, вовлекающим наибольшее число учащихся, являются школьные математические вечера.

В школах чаще всего проводятся вечера по гуманитарным дисциплинам и значительно реже по математике, физике и химии. К сожалению, почти не проводятся синтетические вечера, на которых проявляется творчество детей по многим учебным предметам.

Математические и физико-математические вечера позволяют в более популярной форме вскрывать роль и значение этих двух предметов в практической жизни человека, способствуют более успешному вскрытию взаимосвязи между ними, порождают у учащихся стремление к более глубокому и всестороннему изучению математики, физики и тесно связанной с этими науками современной техники.

Математические вечера приносят максимальную пользу в том случае, когда тематика их соответствует запросам и интересам учащихся и опирается на известные им знания, когда программа вечера не утомляет детей и поставлена в разнообразной и увлекательной форме, когда учащиеся проявляют активность не только в проведении, но и в подготовке вечера.

К вечеру должна вестись усиленная и длительная подготовка: собирание материала для доклада и выступлений, подбор задач и фокусов для викторины, игр и забав, подготовка выставки. Важную роль играет умелая расстановка исполнителей.

Обычно мы начинаем подготовку вечера в первой четверти, а проводим его в конце третьей четверти. К вечерам мы приурочивали итоговые выставки работ математического кружка.

Проводя при Гурьевском педагогическом институте математический вечер для школьников города, посвященный С. В. Ковалевской, мы так оформили зал математики. Одну стену занимал монтаж: «Первая в мире женщина-математик — Софья Ковалевская». Кроме фотографий Ковалевской и ее близких друзей, были выставлены портреты великих ученых, с которыми была связана судьба Ковалевской (Сеченов, Чернышевский, Чебышев, Павлов, Бородин, Нансен и др.).

Кроме монтажа, стены украшались различными таблицами и плакатами под названиями: «Умеешь ли ты читать графики», «Чувства-обманщики», «Из истории счета», «Восстанови пропущенные цифры», «Найди ошибку» и т. п. Посреди зала стоял ряд столов, на которых было разложено около 400 карточек с различными задачами. Здесь же лежали ярко разукрашенные фигуры, которые требовалось начертить одним росчерком, задания по составлению магических квадратов, задачи логического содержания, математические ребусы и многие другие головоломки.

После окончания торжественной части вечера — доклада

и других выступлений —школьники переходили в зал математических развлечений. Там они решали задачи, спорили, доказывали друг другу, и их трудно было оторвать от этого занятия. В другой комнате проводились развлечения и игры.

Вечер заканчивался вручением призов учащимся, решившим наибольшее число задач.

Следует отметить, что подготовительная работа к вечеру и его проведение имеют большую воспитательную и образовательную ценность. В эту работу втягивается большой коллектив учащихся. Все они трудятся над разрешением одной общей задачи. И эта общая цель сближает их, пробуждает у них чуткость и уважение друг к другу, порождает дружбу и товарищество. Так в коллективном труде на базе общих интересов создается крепкий, работоспособный коллектив учащихся.

Мы не ставили себе целью описать все формы и методы внеклассной работы. Важно помнить, что этот вид занятий способствует углублению знаний учащихся и повышению эффективности преподавания предмета; поэтому умелое сочетание классной и внеклассной работы должно стать обязательным атрибутом учебно-воспитательного процесса.

VII. СВЯЗЬ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ С ЖИЗНЬЮ

§ 1. «Пропорции в поле»

В наше время нет необходимости доказывать, что знания, закрепленные практикой, более прочны и осмысленны. Однако перед нами стоит задача убедить учащихся, что знания, приобретаемые в школе, необходимы для будущей практической деятельности.

Ознакомив VI класс с пропорциями, я сказал в конце урока:

— Завтра мы с вами пойдем на экскурсию в полеводческую бригаду колхоза.

— А что мы там будем смотреть? — поинтересовались дети.

— Пропорции!

Ответ был встречен смехом. На другой день класс веселой ватагой направился «смотреть пропорцию». Ребята перекликались:

— Миша, ты не боишься пропорции?

— Она меня не тронет. Это тебя она боднет. Учетчик бригады был предупрежден об экскурсии, поэтому на вопрос: «Дяденька, а где тут у вас проживает пропорция?» —ответил серьезно:

— Пропорция? В поле. Сейчас покажу. Только захватите сажень.

— Вот она какая! —заметила ученица. —Может, она трудодни зарабатывает?

— Ты угадала,— ответил учетчик. —Она не может жить без трудодней.

Дети засмеялись.

Когда мы подошли к массиву поднятого пара, учетчик предложил:

— Ну-ка, определите площадь этого клина. Группа учащихся начала измерять полевым циркулем длину массива. Она оказалась равной 350 м. Ширина была 240 м. Теперь они быстро сосчитали, что площадь участка равна 84000 кв. м.

— А где же ваша пропорция?

— Сейчас увидите. Вот этот участок вспахал тракторист. Норма выработки у нас пять с половиной гектаров. За эту норму причитается 2 трудодня. Вот и подсчитайте, сколько он заработал трудодней.

Дети задумались. Некоторые начали что-то писать. И вдруг радостный возглас:

— Вот она!

— Кто? —в один голос спросили шестиклассники.

— Пропорция, — ответил тот же голос.

Ребята гурьбой бросились к ученику. А он, довольный тем, что первый увидел пропорцию, рассказывал:

— 84 тыс. кв. метров равны 8,4 га. Нам известно, что 5,5 га соответствует 2 трудодня, а 8,4 га—х. Он написал все это так, как делал в классе:

Теперь уже все узнали пропорцию и решили ее.

Учетчик повел нас на полевой стан, где ознакомил детей с практикой начисления трудодней. Возвращались мы довольные, хотя и уставшие.

На очередном уроке о пропорциях учащиеся свободно приводили примеры практического содержания. Собран-

ный в поле материал позволил нам составить ряд интересных задач. По данным, полученным в бригаде, учащиеся составили ведомость начисления трудодней колхозникам.

§ 2. Примеры осуществления двусторонней связи учебного и производственного процессов

Ознакомив учащихся с пропорцией и ее свойствами, я дал им необычное задание: узнать у родителей» сколько они за день выполнили той или иной работы, а также нормы выработки и расценки. Ребята не знали, зачем мне потребовались эти сведения, но задание выполнили добросовестно. Я вызвал одну ученицу и попросил записать на доске данные о дневной выработке ее отца, норму выработки и оплату труда. По этим данным была составлена задача: определить, сколько трудодней за день выработал ее отец. Это детей заинтересовало, и они стали решать задачу по своим данным. Было заметно, что многие гордились высокой выработкой своих родителей; некоторых же она не удовлетворяла. После этого на одном из родительских собраний ко мне подходит улыбающийся тракторист: «Ну, и задал мне сын жару за низкую выработку. Никаких оправданий не слушает». Мать одной ученицы сообщила, что дочь теперь ежедневно подсчитывает ее дневную выработку.

В сельской школе полезно знакомить учеников с хозяйственными расчетами, например определять процент выхода муки из зерна; сколько следует взять проса, чтобы получить нужное количество пшена, и т. д.

Полезны и обратные пересчеты. Ученики с большим интересом решали, например, такую задачу: «Колхознику в течение месяца было выдано 45 кг хлеба. Сколько зерна следует записать ему в счет натурального аванса, если гарнцевый сбор составляет 10%, распыл — 1%, отсев отрубей — 15%, припек — 33% по отношению к затраченной муке?»

Известно, что для предохранения урожая от пожара опахивают скирды. Полезная задача для девятиклассников — вычислить площадь такого кольца. Ученики вместе с учителем могут выйти в поле и произвести необходимые измерения на местности. Такого рода задачи следует предлагать возможно чаще. Материал для них нетрудно найти и в промышленном производстве. Кроме активизации учащихся, они играют существенную роль в педагогическом

процессе, укрепляя связь преподавания математики с производительным трудом.

Если наши воспитанники чаще встречаются на уроках математики с такими задачами, они успешно будут решать их и тогда, когда эти задачи встанут перед ними на производстве. Учитель М. Голяк (г. Запорожье) рассказал в «Пионерской правде» (13 января 1961 г.) о том, как ученику-фрезеровщику математика помогла рашить такую производственную задачу: из болванки диаметром 26 мм отфрезеровать головку шестигранного болта под ключ 24 мм. Вспомнив свойства правильного вписанного шестиугольника, он рассчитал, что диаметр болванки должен быть не меньше 27,7 мм. Через два года этот юноша стал не только мастером своего дела, но и новатором-рационализатором.

Учитель Матковский (г. Кокчетав) предпосылает каждой новой теме задачи из практики. Во время экскурсии на Кокчетавский механический завод учащиеся вычислили процент отхода при разделке листового железа на круги. Когда этот процент оказался завышенным, перед ними встал вопрос: нельзя ли отход уменьшить? Это стимулировало учащихся к активному вмешательству в производственный процесс. Через некоторое время они предложили более экономный способ раскроя. Подобная двусторонняя связь учебного и производственного процессов и есть эффективное осуществление связи обучения с жизнью.

В практике работы мы иногда разговор о задаче, начатый на уроке, переносили на завод. Там учащиеся изготовляли по заданным условиям деталь и практически проверяли на ней решение. Иногда задача «приходила» на урок с завода и, после того как ее разбирали с теоретической стороны, «возвращалась» на производство. Это происходило обычно тогда, когда учащиеся сталкивались в производстве с затруднениями в расчетах.

Много усердия приложили учащиеся к решению таких задач:

1. Из круглого вала диаметром à и высотой h отфрезеровать стержень прямоугольного сечения наибольшего объема.

2. Из квадратного листа жести вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды наибольшего объема, Определить угол наклона боковой грани к плоскости основания.

§ 3. Математические формулы — отображение жизненных закономерностей

Следует иметь в виду, что интерес у учащихся к математике повышается также и в том случае, если они видят в ней не только «голые» цифры и отвлеченные формулы, а узнают в математических соотношениях отображение реальных явлений и их закономерностей. Так, готовясь к уроку в X классе о функциональной зависимости, я поставил себе цель не только обобщить понятие о функциях у=кх, у= -р у=кх+Ь и т.д., с которыми они знакомились в предыдущих классах, но и осветить отражение функциональной зависимостью законов природы и производства. Я убедился в том, что учащихся особенно интересовала прикладная роль функций. Они с удовольствием отмечали, что если в физике формулы: s=^at2, Q=0,24I2R выражают каждая только один определенный процесс, то математическая формула у=ах2 представляет многообразие законов, объединяющих все процессы подобного рода.

Учащиеся с интересом восприняли сообщение учителя о том, что функциональная зависимость у=ах2 используется при конструировании автомобиля.

Это сообщение мы подкрепили таким примером. При подборе конструкции автомобиля важно уменьшить силу сопротивления воздуха, для чего конструкторы стараются придать автомобилю наиболее обтекаемую форму. Им приходит на помощь формула у=ах2. По ней определяется сила сопротивления воздуха, возникающая от движения автомобиля. Создать такую конструкцию автомобиля, чтобы при ускорении движения автомобиля сила сопротивления была как можно меньшей,—постоянная забота конструкторов.

Обозначив эту силу через Р, скорость автомобиля через V, а через w—фактор сопротивления воздуха, зависящий от размеров и формы автомобиля, выражают зависимость между этими величинами в виде формулы: P=wü2, где w*=ks, причем s—площадь лобового сопротивления, а k — коэффициент сопротивления воздуха.

Это сообщение было закреплено графиком силы сопротивления воздуха при движении автомобиля, для которого &^0,1. По графику была найдена сила Р при скорости

движения автомобиля, равной 30 км/час, 60 км/час и 90 км/час.

Итак, эффективную педагогическую деятельность характеризует тесная связь обучения с жизнью, с практикой коммунистического строительства.

Процесс познания немыслим вне связи теории с практикой, поэтому всякое обучение следует начинать с этого важного средства, способствующего успешному и верному отображению в сознании учащихся законов реального мира.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................... 3

I. Подготовка к уроку и его проведение.

§ 1. Условия эффективности урока ........ 4

§ 2. Пример эффективного урока на тему «Сегмент, вмещающий данный гол»............ 5

§ 3. Пример малоэффективного урока (тема урока та же).................... 9

§ 4. Подготовка учащихся к восприятию нового материала ................... 10

§ 5. Другой подход к теме, убеждающий учащихся в необходимости формул ............ 14

§ 6. Дополнительные рекомендации к теме «Формулы сокращенного умножения» .......... 16

II. К методике решения задач.

A. Задачи на пропорциональное деление ....... 20

§ 1. Подготовка к новому типу задач ....... —

§ 2. Постепенное совершенствование методов решения 24

§ 3. Конкретизация задач и закрепление методов . . 26

B. Задачи на построение .............. 28

§ 4. Подготовку к задачам на построение начинать в предыдущих темах ............. —

§ 5. Введение этапов: проверка-доказательство, исследование .................. 30

§ 6. Анализ и его постепенное углубление ..... 33

III. Привитие интереса к математике.

§ 1. Красота и полезность математики ...... 36

§ 2. Вдохновляющая роль учителя ........ 37

§ 3. Прикладная роль математики ........ 41

§ 4. Использование элементов истории науки ... 43

§ 5. Занимательность и интерес .......... 44

IV. Развитие творческой инициативы и логического мышления.

§1.О красоте и изяществе в логических построениях 45

§ 2. Самостоятельное составление задач учащимися 48

§ 3. О сознательности знаний .......... 51

§ 4. Об облегченных доказательствах ....... 55

V. Самостоятельная работа учащихся.

§ 1. Домашние задания.............. 57

§ 2. Проблемные задачи ............. 60

§ 3. Классные «самостоятельные работы» ..... 63

§ 4. Экспериментальные работы ......... 64

§ 5. «Посмотри, разберись и запомни» ....... 68

VI. Внеклассная работа.

§ 1. С чего начать ................ 70

§ 2. Первые занятия .............. 72

§ 3. Что дал разбор софизма? ........... 74

§ 4. Математическая газета ........... 75

§ 5. Коллективное составление пособий по математике 78

§ 6. Математические вечера ........... —

VII. Связь обучения математике с жизнью.

§ 1. «Пропорции в поле» ............. 80

§ 2. Примеры осуществления двусторонней связи учебного и производственного процессов ...... 82

§ 3. Математические формулы — отображение жизненных закономерностей ........... 84

Александр Иванович Мостовой

Повышение эффективности преподавания математики

Редактор В. Г. Долгополов Художественный редактор Б. Л. Николаев Технический редактор Р. В. Цыппо Корректор Л. А. Козлова

* * *

Сдано в набор 13/111 1962 г. Подписано к печати 4/VI 1962 г. 84x108v»2. Печ. л. 6,5 (4,51). Уч.-изд. л. 4,24. Тираж 47 тыс. экз. Заказ № 218. Цена 12 коп.

* * *

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Полиграфический комбинат Ярославского совнархоза, г. Ярославль, ул. Свободы, 97