Л. Н. МИЛОВАНОВА

ФУНКЦИИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

1958

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Институт методов обучения

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

Л. Н. МИЛОВАНОВА

ФУНКЦИИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ

Под редакцией проф. П. А. БЕЗСОНОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1958

ОТ АВТОРА

С введением в курс средней школы темы «Функции и их исследование. Производная» возникла необходимость в создании методического пособия для учителя. Данная работа и является попыткой осветить эту тему.

В несколько сокращенном виде пособие было проверено на занятиях математического кружка московской школы № 204.

В работе освещаются следующие вопросы: понятие функции; предел функции; производная и ее приложения.

Так как настоящее пособие предназначается для учителя, то в нем содержатся некоторые дополнительные вопросы, отсутствующие в программе: понятие о непрерывности функции, площадь криволинейной трапеции, производные высшего порядка, бином Ньютона. Эти вопросы учитель может излагать либо на уроке, либо на занятиях математического кружка.

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции дана с целью проиллюстрировать практическое применение понятия предела и вызвать интерес учащихся к этому разделу курса. Автор рекомендует хотя бы одну задачу проделать на занятиях, например, вычислить площадь, ограниченную параболой или синусоидой, а другие задачи проделать в кружке.

Вывод формулы бинома Ньютона рекомендуется в качестве иллюстрации применения производной.

Теорема об отношении —-—, когда х стремится к нулю, введена до понятия о пределе функции с целью постепенно подвести учащихся к трудному понятию предела функции, и кроме того, заострить внимание учащихся на применении радианной меры угла, которую, как показывает опыт, они очень плохо усваивают.

Автор считает, что при изложении элементов анализа в средней школе не следует давать строгие определения, доказывать теоремы о возрастании и убывании функции, объяснять такие выражения, как «неограниченно возрастает», «стремится к а», «сколь угодно мало отличается ...» и т. д. Изложение этого раздела курса должно развивать интуицию учащихся, что будет способствовать пониманию ими сути дела и не приведет к формальному заучиванию отдельных теорем и определений.

Не давая поурочной методической разработки, автор ограничивается краткими методическими указаниями и приведением примерного распределения часов по отдельным разделам.

В книге имеется сравнительно небольшое число примеров и задач.

ФУНКЦИЯ

§ 1. Постоянная и переменная величина

Изучение настоящего раздела следует начать с повторения понятий постоянной и переменной величин, аргумента и функции.

Все величины окружающего нас мира вообще переменны, но при известных условиях некоторые из них можно считать постоянными.

Можно предложить следующие примеры постоянных и переменных величин:

длина металлического стержня постоянна при постоянной температуре, но меняется с изменением температуры;

тригонометрические функции sin х и cos х могут принимать бесконечное множество значений, заключенных между —1 и +1, но сумма их квадратов при любом значении угла X равна единице: sin2* + cos2x = 1;

температура химически чистой воды — величина переменная, так как она может принимать различные значения, заключенные между 0° и 100° С, но температуры замерзания и кипения при давлении в одну атмосферу — величины постоянные: температура замерзания 0°, а кипения 100°.

Определения:

Постоянной называется такая величина, которая в данных условиях сохраняет одно и то же числовое значение.

Переменной называется величина, которая в данных условиях может принимать различные значения.

§ 2. О функциональной зависимости

Прежде чем говорить о функциональной зависимости, нужно обратить внимание учащихся на то, что некоторые переменные величины, с которыми они встречались в фи-

зике, химии, математике, находятся в связи друг с другом, так что изменение одних переменных влечет за собой изменение других. Так, по закону Ома сила тока зависит от электродвижущей силы и от сопротивления цепи; площадь круга зависит от длины его радиуса и т. д.

При изучении различных зависимостей мы обнаруживаем, что в них участвуют не одна, а целый ряд величин, одни из которых сохраняют постоянное значение, а другие меняются. Мы ограничимся изучением таких зависимостей, в которых участвуют только две переменные величины.

Если две переменные величины х и у связаны такой зависимостью, что каждому из возможных значений одной из них, например переменной х, соответствует определенное значение другой переменной, например у, то говорят, что между такими переменными существует функциональная зависимость.

В этом случае х называется независимой переменной, или аргументом, а у — зависимой переменной, или функцией.

Приведем примеры функциональной зависимости между двумя переменными.

Площадь круга есть функция радиуса, так как каждому значению радиуса соответствует определенная площадь круга. Путь, пройденный движущейся точкой, есть функция времени. Синус есть функция угла. В уравнении у = 2х3, у есть функция х, так как каждому значению переменной х соответствует определенное значение переменной у.

§ 3. Обозначение функции

Наличие функциональной зависимости между двумя переменными величинами записывают следующим образом:

У = Г(х).

Буква f, стоящая перед скобкой, является символическим знаком зависимости у от х.*

Например, тот факт, что путь, пройденный движущейся точкой, есть функция времени, можно записать в виде: s=f{t).

* Вместо f(x) употребляют и другие символы: ф(лг), ф(*), F(x) и т. д.

Пользуясь таким обозначением, покажем, как можно записать символически некоторые свойства функции. Напомним определения периодической, четной и нечетной функции.

1. Функция называется периодической, если существует такое число со, что от прибавления его к любому значению аргумента значение функции не изменяется.

2. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не изменяется.

3. Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента изменяется только знак функции. Эти свойства функции можно записать символически следующим образом:

1) Свойство периодичности: / (х + <о) = f{x).

2) Свойство четности: /(—х) = f (х).

3) Свойство нечетности: /(—х) =—/ (х). Учащиеся знакомы со способами задания функции:

табличным, графическим и аналитическим. Самым удобным и распространенным способом является аналитический, т. е. способ задания функции при помощи формулы или уравнения. В этом случае символ / в записи у = f(x) можно рассматривать как указатель определенных операций* (действий), которые нужно выполнить над данным значением аргумента в определенном порядке, чтобы получить значение функции. Так, например, в формуле / (х) = (х3 + tgx) 4 символ / означает, что по данному х надо найти его куб и тангенс, результаты сложить и сумму возвести в четвертую степень.

§ 4. Вычисление частных значений функции

Значение функции у, соответствующее данному значению аргумента х, равному а, называется значением функции при х = а и обозначается через /(а). Например, если

f{x) = 3х2 — 4х+ 1,

то

_ f(0) = i,

* В первых главах мы ограничимся элементарными операциями, к которым относятся: сложение, вычитание, умножение и деление; возведение в степень и извлечение корня; логарифмирование по положительному основанию и отысканию четырех тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса).

Для каждого значения х значение / (х) есть число, поэтому над функцией можно производить операции, как над числом. Так, для рассмотренной в предыдущем примере функции имеем:

Рассмотрим еще один пример. Дано:

Тогда:

§ 5. Область существования функции

Пусть дана функция

у = X2 — 7х + 4.

Мы можем задавать х любые значения, причем каждому значению х соответствует определенное значение у. Теперь возьмем функцию

При X = 4 знаменатель дроби обращается в нуль, а так как делить на нуль нельзя, то функция теряет смысл.

В этом случае говорят, что при х = 4 функция у =- не существует. При всех других значениях аргумента х функция у будет принимать вполне определенные значения.

Таким образом, при исследовании функции нужно в первую очередь выделить значения х, при которых функция не существует, и значения х, при которых она существует.

Совокупность значений х, для которых функция y=f(x) имеет определенное действительное значение, называется областью существования функции.

Для записи области существования функции пользуются неравенствами, которые удобно располагать так, чтобы изменение х рассматривалось в положительном направлении оси ОХ.

Для функции у =-область существования можно записать в виде неравенств:

— ос<л;<4, 4<*<оо.

Совокупность этих неравенств содержит все значения X, кроме X = 4, при котором данная функция теряет смысл.

Для функции у = X2 — 7х + 4 областью существования является вся числовая ось ОХ. Это можно записать так: — °о<х<°о. Вообще для многочлена я-ой степени, который имеет вид:

а0хп + а1хп~1 +а2хп~2+ • . - + ая_гх + ап ,

где а0, аи а2, . . ., ап — постоянные числа, областью существования является вся числовая ось ОХ. Рассмотрим еще примеры:

1. Пусть У = уГ 3 — X .

В настоящем разделе курса мы будем рассматривать только действительные значения х и у, поэтому данная функция имеет смысл только для х < 3. Область существования этой функции запишется в виде:

- ОС << X < 3.

2- У — l°g а Х-

Так как отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов (среди действительных чисел), то область существования такой функции имеет вид:

л;>0 или 0<х<оо.

3. Площадь любого квадрата можно записать в виде формулы у = х2, где X — сторона квадрата, а у — его площадь.

Какова будет область существования этой функции?

Если не вдумываться в содержание задачи, то можно было бы сказать, что областью существования этой функции являются все значения х, как положительные, так и отрицательные. Но так как х есть сторона квадрата, то, следовательно, в данной задаче отрицательные значения х и X = 0 нужно исключить из области существования функции.

Замечание. Когда мы решаем конкретную задачу, то при нахождении области существования функции надо не только исследовать формулу, с помощью которой функция задана, но нужно еще учесть, какие ограничения на аргумент и функцию накладываются условием задачи;

Упражнения к § 3, 4.

Найти:

Найти:

Найти:

Показать, что:

При каких значениях х

6) Уравнение с одним неизвестным дано в виде f (х) = 0. Как записать, что числа 2 и — являются корнями этого уравнения?

Показать, что:

Показать, что:

Показать, что:

Показать, что:

Упражнения к § 5.

Найти область существования функций:

Примечание. Приступая к уроку, посвященному области существования функции, уместно повторить действия с неравенствами. Для повторения можно предложить следующие упражнения.

Решить неравенства:

§ 6. График функции

Рассмотрим функцию, определяемую уравнением

Давая X различные значения, будем получать различные значения у. Так, если х = 1, то у = 3.

Паре чисел (1, 3) соответствует определенная точка на плоскости XOY. Дадим х другое значение, например 2, тогда у = 12. Мы получим вторую точку с координатами (2, 12). Каждая пара чисел (1,3) и (2, 12) является, с одной стороны, решением данного уравнения, с другой стороны — координатами точки на плоскости XOY.

Таких точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, бесчисленное множество. Совокупность этих точек называется графиком функции. Иными словами, графиком функции называется геометрическое место точек с координатами х и y=f(x).

Графиком функции обычно является некоторая кривая*. Уравнение У = f (х) называется уравнением этой кривой.

Из определения следует, что для того, чтобы выяснить, лежит ли точка с координатами х = а и у = Ъ на кривой, заданной уравнением y = f(x), нужно подставить эти координаты в уравнение кривой. Если уравнение превращается в числовое тождество, то данная точка нахо-

* Геометрическим местом точек, соответствующих уравнению y — f(x)1 может оказаться прямая линия, которая является частным случаем кривой.

дится на кривой, в противном случае она не лежит на кривой. В рассмотренном примере (черт. 1) точки с координатами (1,3), (2, 12),^—, —J лежат на кривой, так как 3 = 3 • I2; 12 = 3 22, а точки с координатами (2,2), (—3, 1) не лежат на кривой, так как 2^3 . 22; 1^3 . (— З)2.

Упражнение.

Какие из следующих точек:

А (1,0); В(2,-3);

C(-l;-2); D(3,2);

£(5, 4)

лежат на кривой, заданной уравнением

Черт. 1.

Примечание. При построении графиков функций в прямоугольной системе координат нужно брать одинаковый масштаб по осям ОХ и OY.

§ 7. Точка пересечения двух кривых

Пусть даны две кривые (черт. 2), уравнения которых имеют вид:

у = / (х) и у = <р (х)

Координаты всех точек, лежащих на первой кривой, удовлетворяют уравнению # = /(*), а координаты всех точек, лежащих на второй кривой, удовлетворяют уравнению у = ф (х). Если эти две кривые имеют общую точку M (х, у) у то ее координаты должны удовлетворять как первому, так и второму уравнению.

Найти такую точку — значит найти пару чисел, удовлетворяющих одновременно двум уравнениям, а для этого нужно решить совместно эти уравнения.

Итак, мы пришли к следующему выводу: чтобы найти точку пересечения двух кривых, нужно решить совме-

сто уравнения этих кривых и, обратно, решение уравнения с одним неизвестным можно понимать как нахождение точек пересечения двух кривых. В частности, на этом основан графический способ решения уравнений вида:

/(*) = ?(*)• (1)

Обозначив каждую часть этого уравнения через у, получим уравнения двух кривых:

(2)

Черт. 2.

Абсциссы точек пересечения этих кривых являются решениями данного уравнения, так как они должны удовлетворять каждому из уравнений (2), а следовательно, и уравнению (1).

Пример. Найти точку пересечения двух линий.

у — X2 — 2 и у — 1 — 2 X.

Решим систему уравнений

Мы нашли две абсциссы. Найдем ординаты. Для этого подставим каждое из найденных значений х в одно из данных уравнений, например, в первое:

Получили две точки пересечения (черт. 3) :

Черт. 3.

Упражнение.

Найти точки пересечения следующих линий:

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Основной целью настоящей темы является исследование изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Наиболее наглядным способом изображения функции является графический способ. Поэтому основное внимание должно быть обращено на построение графиков функций, соответствующих уравнению y = f(x).

Начнем с обзора графиков функций, с которыми учащиеся ознакомились в предыдущих классах.

§ 1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида у = = kx + Ь (1), где k и Ь постоянные. Областью ее существования является вся число»вая ось ОХ. Покажем, что этой функции соответствует прямая линия на плоскости XOY.

Найдем сначала точку пересечения графика с осью OY. Так как все точки, лежащие на оси ОУ, имеют абсциссу, равную нулю, то искомая точка найдется, если в уравнении у = kx + b положить X =3 0, тогда у = Ъ.

Таким образом, мы нашли точку M (О, Ь).

Обозначим через N (х, у) произвольную точку искомой линии (черт. 4). Перепишем уравнение (1) в виде:

Черт. 4.

Из чертежа 4 видно, что у — Ъ = PN, а х=МР (MP— отрезок, параллельный оси ОХ). Тогда

Следовательно, отношение — является постоянной величиной, не зависящей от положения точки N на графике. Рассмотрим прямоугольный треугольник MPN. Отношение - является тангенсом угла NMP. Обозначив этот угол через а, получим:

Черт. 5. Черт. 6.

Следовательно tg а является постоянной величиной, a поэтому угол а будет одним и тем же для любого положения точки N искомого графика. Это значит, что любая точка N должна лежать на прямой, проходящей через точку M (О, Ь) и образующей с осью ОХ угол а.

Эта прямая и будет являться графиком функции у — kx + Ь.

Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называется угловым коэффициентом прямой.

Условимся отсчет угла вести от положительного направления оси ОХ, как указано на черт. 5 и 6.

Итак, в уравнении у = kx + Ь

k — угловой коэффициент прямой,

Ъ — отрезок, который прямая отсекает на оси О У, считая от начала координат. Этот отрезок называется начальной ординатой.

Если b = О, то y=kx и прямая проходит через начало координат (черт. 7), в чем можно убедиться подстановкой координат начала О (О, 0) в уравнение у = kx.

Если k = 0, т. е. tg а = 0, то прямая, определяемая уравнением у = Ь, параллельна оси ОХ (черт. 8).

Это уравнение можно истолковать следующим образом: у = b есть уравнение геометрического места точек, расстояние которых от оси ОХ постоянно и равно Ь.

Черт. 7. Черт. 8.

При b > 0 прямая расположена выше оси ОХ, при b < 0 — ниже оси ОХ.

Если & = 0 и b = 0, то у = 0 будет уравнением оси ОХ. Действительно, ось ОХ есть геометрическое место точек, ординаты которых равны нулю.

Если мы захотим написать уравнение прямой, параллельной оси OY, то уравнением у = kx-\-b уже нельзя будет воспользоваться, так как прямая, параллельная оси О У, не имеет определенной начальной ординаты. Но прямая, параллельная оси О У, является геометрическим местом точек, абсциссы которых постоянны, поэтому уравнение запишется в виде: х = а, где а — расстояние прямой от оси OY (черт. 9).

В частности, уравнение оси OY имеет вид: х = 0. Действительно, ось ОУ есть геометрическое место точек, абсциссы которых равны нулю.

Рассмотрим уравнение вида Ах-\-Ву + С = 0, где А, В, С, постоянные. Решим это уравнение относительно у (предполагая, что В =h 0):

получим линейную функцию у = kx + Ь, графиком которой является прямая линия. Следовательно, всякому уравнению первой степени соответствует прямая на плоскости XOY. Примеры.

1) Найти угловой коэффициент прямой, заданной уравнением:

2х — 6у+\=0.

Решение.

Угловым коэффициентом прямой является коэффициент при X в уравнении, решенном относительно у, поэтому перепишем данное уравнение следующим образом.

откуда видим, что k =—.

2) Составить уравнение биссектрисы I — III координатных углов.

Решение.

Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, поэтому у каждой точки, лежащей на биссектрисе, ордината должна равняться абсциссе, т. е.

У =х.

Это и есть искомое уравнение.

3) Написать уравнение прямой, параллельной оси OY и проходящей через точку А (2, — 3).

Решение.

Уравнение всякой прямой, параллельной оси OY, имеет вид: X = а\ так как прямая проходит через данную точку, то координаты точки А должны удовлетворять этому уравнению, т. е. 2 = а, или а = 2, и мы получим искомое уравнение: х = 2.

Упражнения.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью ОХ угол:

2) Составить уравнение биссектрисы II — IV координатных углов. Отв.: у = —х.

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (—5,4) и параллельной: 1) оси ОХ, 2) оси OY. Отв: 1) у = 4; 2) х = —5.

§ 2. Квадратичная функция

К уроку, посвященному квадратичной функции, учащиеся должны выполнить следующее задание:

1. На одном чертеже построить графики функций:

Черт. 9. Черт. 10.

2. На втором чертеже построить графики функций:

У = х2— 1; у = х2+ 1.

3. На третьем чертеже построить графики функций:

У = (х+1)2\ у = (х-1)\

4. На четвертом чертеже построить графики функций:

у = (х+\у-1- у = (х-1)*+1.

Эти же чертежи, выполненные в одинаковом масштабе на больших листах бумаги, перед началом урока следует повесить на стену. Кроме того, рекомендуется сделать из проволоки модель параболы, определяемой урав-

нением у = х2 (в том же масштабе, в котором выполнены чертежи на больших листах). Определение.

Квадратичной называется функция, определяемая уравнением второй степени:

y = ax2 + bx+ с,

где а, 6, с постоянные, причем а Ф 0.

Рассмотрим сначала функцию у = х2. Заметим, что:

1) функция четная, т. е. у = х2 = (—х)2. Поэтому, если любая точка M (х, у) лежит на кривой, то и симметричная ей относительно оси OY точка М\ (—у) также лежит на кривой. Следовательно, вся кривая симметрична относительно оси OY.

2) Независимо от знака аргумента функция всегда не отрицательна, и поэтому весь график, за исключением одной точки, лежит выше оси ОХ (черт. 10).

3) С возрастанием абсолютной величины х величина у растет. Кривая, определяемая уравнением у = х2, называется параболой. Вершина этой параболы лежит в начале координат.

Кривая, определяемая уравнением у = ах2, также является параболой, ординаты всех точек которой больше или меньше ординат соответствующих точек параболы, определяемой уравнением у = х2, в зависимости от величины а (если а>0) (черт. 11).

Передвигая проволочную модель, можно показать, что параболы, изображенные на чертежах 12, 13 и 14, получаются смещением параболы, определяемой уравнением у = X2, вдоль оси OY вверх или вниз (черт. 12), либо вдоль оси ОХ влево или вправо (черт 13), либо вдоль оси ОХ и оси OY (черт. 14). Таким образом, от прибавления постоянного слагаемого к х график функции смещается вдоль оси ОХ, а от прибавления постоянного слагаемого к у — вдоль оси OY.

Если парабола задана уравнением вида

У-Р = я (*-«)*, (1)

то координатами ее вершины будут, соответственно, числа а и ß, взятые с обратными знаками.

Теперь покажем, как преобразовать уравнение у = ах2 + Ъх + с к виду ( 1 ).

В правой части уравнения выделим полный квадрат суммы двух слагаемых:

отсюда

(2)

Черт. 11.

Черт. 12.

Очевидно, координаты вершины будут

Если мы введем следующие обозначения:

то уравнение (2) примет вид:

Мы получили уравнение параболы с вершиной в точке 0Х1--— , 4ас~~ь \ и осью симметрии, проходящей через точку 0{ параллельно оси OY.

Таким образом, для построения параболы, заданной уравнением вида

у = ах2 + Ъх + су

нужно в первую очередь определить координаты ее вершины Оь Через эту точку провести прямые, параллельные осям координат. Относительно новых осей 0\ХХ и OxYx построить параболу, соответствующую уравнению У\ =ахх2.

Замечание. Следует рекомендовать учащимся не запоминать формулу (2), а проделывать все выше приведенные выкладки при решении каждой задачи.

Пример 1.

Построить параболу, заданную уравнением: у z= 2х2 — Ах — 1. Сделаем преобразования:

Черт. 13.

Черт. 14.

или

Выпишем координаты вершины: Ох (1, —3). Введем обозначения: Х\ = х— 1, у\ = у + 3. Тогда данное уравнение примет вид:

Найдем еще несколько точек параболы. Точка пересечения с осью OY найдется, если в данном уравнении у = 2х2 — Ах — 1 положить х = 0, тогда у = —1. Получим точку А (0,-1).

Одновременно найдем точку В (2,—1), используя симметрию кривой относительно оси 0\Y\.

Найдем еще точки: С (—1,5) и симметричную ей относительно оси 0\Yi точку D (2,5). Соединив найденные точки плавной линией, получим параболу (черт. 15).

Пример 2.

Построить параболу, заданную уравнением:

Черт. 15.

Сделаем преобразования:

отсюда

откуда найдем

Обозначим:

Уравнение параболы примет вид:

Построить эту параболу не представляет труда. Упражнения.

Построить параболы заданные уравнениями:

§ 3. Дробно-линейная функция*

Дробно-линейной называется функция вида:

где a, bf с и d — постоянные, причем с ф 0.

В частном случае, когда a = d = 0, b = c=\, имеем функцию у = —. С графиком этой функции учащиеся уже знакомы (черт. 16).

Обратим внимание на следующее: функция у = — нечетная: /(—х) = —f(x), поэтому ее график симметричен относительно начала координат. При х = 0 функция теряет смысл. Область ее существования — вся числовая ось ОХ, за исключением начала координат:

* К уроку, посвященному дробно-линейной функции, учащимся следует построить графики функций:

Для значений х, близких к нулю, значения функции велики по абсолютной величине, а для больших по абсолютной величине значений х, значения у малы по абсолютной величине.

График функции как бы составлен из двух самостоятельных кривых, но так как функция определена одним уравнением у = —, то естественно считать, что это уравнение определяет одну кривую, состоящую из двух ветвей. Эта кривая называется гиперболой. Каждая ветвь гиперболы при неограниченном увеличении х или у неограниченно сближается с осями координат.

Эти прямые называются асимптотами гиперболы.

График функции у = —при р>0 отличается от рассмотренного только тем, что ординаты его точек будут либо больше, либо меньше ординат соответствующих точек графика у = — в зависимости от величины р.

Если р<0, то ветви кривой будут расположены во втором и четвертом координатных углах (черт 17).

Итак, графиком функции у = — является гипербола, асимптотами которой служат оси координат х = 0 и У = 0.

Черт. 16.

Покажем, что графиком функции у = ах —также является гипербола.

Начнем с частных примеров:

1. Пусть

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Графиком этой функции является гипербола, смещенная вдоль оси OY на единицу вверх от начала координат. Ее асимптоты прямые: х = 0 и у= \ (черт. 18).

Черт. 17. Черт. 18.

2. Пусть

Областью существования этой функции является вся ось ОХ, за исключением одной точки х ——1. Непосредственное построение графика этой функции по точкам покажет, что это гипербола, смещенная вдоль оси ОХ на одну единицу влево от начала координат. Асимптотами этой гиперболы являются прямые: х = —1 и у = 0. (черт. 19).

3. Пусть

Преобразуем уравнение следующим образом:

Черт. 19.

Черт. 20.

Следовательно, графиком функции у = будет гипербола, смещенная вдоль осей координат на единицу вверх и на единицу влево (черт. 20).

Асимптоты этой гиперболы прямые х = —1 и у = 1.

Теперь рассмотрим данную функцию

Сделаем следующие тождественные преобразования:

Введем обозначение:

тогда

Графиком этой функции является гипербола, асимптоты которой прямые:

(1)

Пример. Найти асимптоты гиперболы, заданной уравнением:

здесь

Используя формулы (1), получим уравнения асимптот:

Упражнения.

Построить гиперболы, заданные уравнениями;

§ 4. Степенная функция

Степенная функция определяется уравнением У = х\ где п — целое число.

Выше были рассмотрены частные случаи этой функции: если п = 1, то у = X является линейной функцией и ее график — биссектриса I — III координатных углов;

при п = 2 получим уравнение параболы у = х2\

если п = —I, то имеем гиперболу у = — .

Посмотрим теперь, какой вид имеют графики степенной функции, когда п — целое положительное число, большее двух.

Очевидно, все кривые проходят через начало координат О (0,0) и точку А (1,1), так как координаты этих точек удовлетворяют уравнению у = хп.

Для четных п кривые симметричны относительно оси OY, для нечетных — относительно начала координат.

Для IXI < 1 кривые тем ближе к оси ОХ, чем больше показатель степени п, а для \х\> 1 кривые поднимаются вверх тем круче, чем больше п.

При лг = 3, у = л:3 — кривая называется кубической параболой; если у = х4 — параболой четвертой степени и т. д. (черт. 21, 22, 23, 24).

§ 5. Показательная функция

Показательной функцией называется функция, определяемая уравнением у = ах, где а—положительное число, отличное от единицы.

Функция определена для всех значений х, поэтому областью ее существования является вся числовая ось ОХ:

— оо < X < оо.

Для всех значений х функция положительна, поэтому ее график расположен выше оси ОХ.

Кривая не пересекает оси ОХ, так как нет такого значения х, при котором функция у равнялась бы нулю.

Нетрудно видеть, что при а > 1 функция у = ах является возрастающей, а при а < 1 — убывающей.

Поэтому, если а > 1, а х возрастет, то кривая поднимается вверх, если же х убывает, то кривая опускается вниз, неограниченно приближаясь к оси ОХ.

Если а < 1, то с возрастанием х кривая неограниченно приближается к оси ОХ и поднимается вверх, если х убывает. В обоих случаях ось ОХ является асимптотой кривой.

При любом значении а, а°=1, следовательно, все кривые проходят через точку (0, 1), лежащую на оси OY (черт. 25).

§ 6. Логарифмическая функция

К уроку, посвященному логарифмической функции, учащиеся должны дома построить на миллиметровой бумаге графики функции: у = \gx и у= 10*.

Логарифмической функцией называется функция вида:

у = \oga X,

где а — положительное число.

В § 4 было показано, что областью существования логарифмической функции является положительная часть оси ОХ: 0 < X < ©о, и, следовательно, весь график расположен в правой полуплоскости.

Если а> 1, то на основании свойств логарифма с возрастанием X возрастает у. Например, при а = 10, если

Черт. 21.

Черт. 22.

Черт. 23. Черт. 24.

X = 10, то у = 1; если х = 100, то у = 2; если х = 1000, то у = 3 и т. д.

Весь график расположен ниже биссектрисы I координатного угла (черт. 26).

На основании свойств логарифма известно также, что для значений х, заключенных между нулем и единицей, величина у отрицательна, причем если х стремится к нулю, то у стремится к минус бесконечности, и ось OY будет являться асимптотой кривой.

Для значений лГ>1, значения у положительны.

При X = 1, у = 0 (log„ 1 =0), следовательно, кривая пересекает ось ОХ в точке с координатами (1,0).

Если 0 < а < 1, то с возрастанием х величина у убывает, и график функции будет иметь вид, изображенный на черт. 27.

Если черт. 26 перегнуть по биссектрисе I—III координатных углов, то график функции у = logax совпадает с графиком функции у=а* (а > 1) (черт. 28).

§ 7. Тригонометрические функции

Наиболее удобным способом задания аргумента тригонометрических функций является радианная мера угла.

Опыт показывает, что учащиеся очень плохо усваивают понятие радианной меры. Поэтому уместно в связи с построением графиков тригонометрических функций обратить внимание учащихся на то, что такие выражения, как

tg5, sin2, cos 1, cos (—1), sin-^- (где аргумент выражен

Черт. 25. Черт. 26.

в радианной мере и, следовательно, является отвлеченным числом), имеют вполне определенный смысл.

Пример. Найти sin 2.

Решение.

Черт. 27.

Черт. 28.

Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна 2:

следовательно,

Упражнения.

Найти:

Графики тригонометрических функций

В дальнейшем будем считать, что х задается в радианной мере.

Тригонометрические функции — периодические. В самом деле, при любом х выполняются следующие равенства:

Поэтому тригонометрические функции достаточно изучить на интервале (или отрезке) *, равном периоду. За пределами этого периода значения функции будут повторяться.

I. Функция у = sin X существует для всех значений х. Ее период <о = 2^, следовательно, ее достаточно рассмотреть для значений х от 0 до 2я.

На этом отрезке [0,2я] график функции пересекает ось ОХ в трех точках: при х = 0, х = я, х = 2к.

Черт. 29.

Функция достигает наибольшего значения при х = — и наименьшего — при х = ~- (черт 29).

При построении графиков тригонометрических функций следует еще раз обратить внимание учащихся на масштаб: масштаб по осям ОХ и OY должен быть одинаковым.

Вся кривая в правой полуплоскости расположена ниже биссектрисы I—III координатных углов, а в левой полуплоскости выше той же биссектрисы. В дальнейшем будет показано, что биссектриса является касательной к синусоиде в начале координат (стр. 88).

II. у = cos X.

Функция существует для всех значений х и имеет период to = 2те, поэтому ее, так же как функцию у = sinx, достаточно рассмотреть для значений х от 0 до 2*.

* Интервалом называется совокупность всех значений х, заключенных между двумя точками с абсциссами а и Ь. Интервал можно записать в виде неравенств а < х < b или символически (а, Ь). Если интервал включает граничные точки, то он называется отрезком и неравенства имеют вид а<#<£ или символически [а, Ь].

На этом отрезке график функции пересекает ось ОХ тс Зтг в двух точках: при х = — и х = —. Функция достигает наибольшего значения при х = 0 и х = 2*, и наименьшего при л: = я (черт. 30).

График косинуса может быть получен и другим способом. Достаточно синусоиду передвинуть вдоль оси ОХ влево на отрезок , так как cos* = sin+ -^Л

Черт. 30.

III. Функция y = igx имеет период ь> = поэтому ее достаточно рассмотреть на интервале--— < х < —.

Функция существует на всем интервале и не существует в точках X = —— hjc= —. Если л: приближается к — то у стремится к — °°, а если л: приближается к —, то # стремится к + °° и кривая неограниченно сближается с прямыми X = —— и X =— , которые являются ее асимптотами.

Кривая пересекает ось ОХ в начале координат (tg0 = 0). График функции на всей оси ОХ состоит из ряда отдельных бесконечных ветвей, каждая из которых расположена в вертикальной полосе ширины я (черт. 31).

IV. у = ctg X. Функция имеет период со = я и может быть рассмотрена на интервале 0 < х < я. Она существует для всех значений х этого интервала и не существует для значений х = 0 и х = я.

Прямые X = 0 и X = я являются асимптотами кривой. В интервале 0 < х < л кривая пересекает ось ОХ в одной точке при * = —.

Черт. 31.

Черт. 32. Черт. 33.

Так же как и в предыдущем случае, график функции состоит из ряда отдельных бесконечных ветвей (черт. 32).

Примечание. Все эти чертежи учащиеся должны выполнить дома на миллиметровке, сохраняя один масштаб на обеих осях.

§ 8. Вычисление синусов малых углов с помощью радианной меры

Для малых углов синус приближенно равен радианной мере угла, т. е. sin х ^ х*, если х достаточно мало.

* Значок » означает приближенно равно.

Это свойство, очень важное для приложений, равносильно утверждению, что отношение — тем меньше отличается от единицы, чем меньше радианная мера угла.

Теорема.

Отношение 5-^2 стремится к единице, если х стремится к нулю.

Это сокращенно записывается следующим образом: s-^—>19 когда Х-+0. В этой записи стрелка заменяет слово «стремится».

Доказательство.

Возьмем острый угол х в первой четверти* (х — радианная мера угла), являющийся центральным углом для окружности радиуса, равного единице (черт. 33).

Построим для этого угла линии синуса и тангенса, тогда

МХМ = sin X, NXN = tg X, ОМг = cos х. (1)

Сравним величины трех площадей:

АОММ1у сектора ON±M и Д ONNt.

Очевидно, что

пл. АОМх M < пл. сектора ON{M < пл. AON{N. (2)

Найдем эти площади:

так как дуга N±M центрального угла NxOM измеряется его радианной мерой ху а ОМ = 1;

Подставляя найденные значения площадей в неравенства (2), получим:

(3)

* Достаточно взять острый угол, так как по условию теоремы он должен стремиться к нулю.

Разделим все части неравенства на—-sin х, получим:

Переходя к обратным величинам и учитывая, что все члены неравенства положительны, находим:

Если угол приближается к нулю, то cos х приближается к единице.

Поэтому, если х 0, то дробь smx будет заключена между двумя величинами, каждая из которых стремится к единице, и поэтому сама будет стремиться к единице, т. е.

1ПХ- 1, когда х->0> что и требовалось доказать*.

X

Следующая таблица иллюстрирует доказанную теорему.

Градусная мера угла

Синус

Радианная мера угла

6

0,10453

0,10476

5

0,08716

0,08730

4

0,06976

0,06984

3

0,05234

0,05238

2

0,03490

0,03492

1

0,01745

0,01746

Теперь выясним, какова будет погрешность, если заменить sin* его радианной мерой.

Выше было показано, что радианная мера острого угла меньше его тангенса [см. неравенства (3)], поэтому можно написать, что tg—>>—.

sin X

* Отношение—~— стремится к единице, когда х стремится к нулю, независимо от знака х, так как функция —~— четная.

Умножим обе части неравенства на 2 cos2 —, получим

или

следовательно,

(4)

Так как синус острого угла меньше его радианной меры [см. неравенства (3)], то si'n~^~ у и мы Усилим неравенство (4), заменив sin -|- его радианной мерой. Получим, что

Это неравенство служит ответом на поставленный вопрос: если sin X заменить радианной мерой х, то допущенная погрешность не превосходит четверти куба радианной меры.

Задача. Найти синус 2°30' с точностью до четвертого десятичного знака.

Решение.

Найдем радианную меру данного угла по формуле:

где а—радианная мера.

Так как по условию задачи требуется точность до четвертого десятичного знака, то возьмем значение я = = 3,14159, получим

По таблице найдем значение sin 2° 30':

sin2°30' = 0,04362.

Итак, видим, что расхождение между синусом и углом получилось только в пятом десятичном знаке, следователь-

но, в этом случае синус можно заменить его радианной мерой. Покажем, что это свойство справедливо только для малых углов:

sin 30° = 0,5000, а его радианная мера

Расхождение между синусом угла и его радианной мерой получилось весьма значительным.

§ 9. График функции у = [х]

Возьмем какое-нибудь действительное число х (т. е. целое, дробное или иррациональное), и наибольшее целое число, не превышающее х, обозначим через \х]. Так, например:

Очевидно, что

Таким образом, график функции будет состоять из ряда отрезков, параллельных оси ОХ (черт. 34).

В правом конце каждого отрезка нарисована стрелка, которая означает, что этот конец не принадлежит отрезку. Например, интервал К*<2 не содержит точки с абсциссой X = 2. Такая точка принадлежит следующему интервалу 2<*<3, а этот интервал не содержит точки с абсциссой X = 3, которая принадлежит следующему интервалу, и т. д.

Эта функция может, например, иллюстрировать зависимость показаний стрелки электрических часов от времени. Если на горизонтальной оси откладывать время, принимая за единицу масштаба одну минуту, а на вертикальной оси — показания минутной стрелки, то на протяжении каждой минуты показания стрелки сохраняют одну и ту же величину. По истечении минуты стрелка делает скачок. Получим график, представленный в правой полуплоскости чертежа 34.

Черт. 34.

Черт. 35.

§ 10. Графический способ решения уравнений

При решении практических задач иногда приходится прибегать к различным приближенным методам. Приведем только один из них—графический метод, о котором говорилось на стр. 13.

Примеры:

Найти приближенные решения уравнений: 1) 2г = 4х.

Построим графики функций:

у = 2х и у = 4х (черт. 35) :

Для этого составим таблицы:

Данное уравнение имеет один точный корень х = 4 (см. таблицы).

Второй корень получим на чертеже (черт. 35), определяя абсциссу точки пересечения кривых у = 2* и у = Ах. Он приблизительно равен 0,3.

Итак, данное уравнение имеет два решения: Х\ = 4, х2 « 0,3.

2) lgx = kx.

На чертеже 36 построены графики логарифмической функции у = lg X и четырех прямых:

У = X, у = 0,15л:, г/ = 0,1а:, у = — 1,4л:.

Прямая у = X не имеет с логарифмической кривой ни одной общей точки, следовательно, уравнение \gx = х не имеет решения.

Уравнение \gx = 0,15л: имеет два решения:

Xjä2 и х2^4,4.

Уравнение lg х = 0,1 л: имеет одно решение:

Уравнение lg л: = —1,4 л; имеет одно решение: x^Oß

3) sin* = 0,2* (черт. 37). Это уравнение имеет три решения:

х1 = 0 (точный корень); #2~ 2,6; х3^ — 2,6.

Упражнения.

Найти решения следующих уравнений:

Черт. 36.

Черт. 37.

ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Предел переменной величины и предел функции

Прежде чем вводить понятие предела функции, рекомендуется повторить сведения о пределе переменной величины. Для уточнения понятия предела переменной величины можно предложить следующее графическое упражнение: построить на числовой оси точки, имеющие абсциссы (черт. 38) :

Рассматривая чертежи, видим, что точки, изображающие переменную х= —, сгущаются (можно сказать, концентрируются или скапливаются) около нуля, а точки, изображающие переменные х = 1--— и х= 1+(—1)п • -i-, сгущаются около единицы, причем в перюм примере точки сгущаются около нуля только справа, во втором примере около единицы только слева, а в третьем примере около единицы слева и справа.

Черт. 38.

Построим точки, имеющие абсциссы (черт. 39):

Последние два примера показывают, что точки, иллюстрирующие переменную величину, могут либо нигде не сгущаться, либо сгущаться у двух точек. На основании рассмотренных примеров учащимся предлагается сделать вывод, что переменная величина может иметь своей геометрической иллюстрацией точки числовой оси либо сгущающиеся около одной точки, либо сгущающиеся около нескольких точек, либо нигде не сгущающиеся.

Черт. 39.

В первом случае говорят, что переменная величина имеет предел (или стремится к пределу), во втором и третьем случаях говорят, что переменная не имеет предела.

Определение.

Переменная величина х имеет пределом постоянную величину а, если при неограниченном приближении х к а абсолютная величина разности \х — а\ становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа.

В третьем примере переменная величина х = 1 + (—1)п-— имеет пределом число а = 1, так как разность между х и единицей (по абсолютному значению) может быть сделана как угодно малой, например, меньше 0,1, если взять п> 10, или 0,01, если п > 100, или 0,001, если я > 1000 и т. д., что можно записать в виде неравенств:

или

Геометрически это означает, что начиная с некоторого значения п точка, соответствующая переменной величине X, попадает внутрь интервала с центром в точке jc = 1, как бы ни был мал взятый интервал (черт. 40).

Черт. 40.

Вообще, если постоянная величина а является пределом переменной х, то можно записать, что

Теперь перейдем к установлению понятия предела функции. В определении предела функции участвуют две переменные величины: аргумент х и функция у.

Допустим, что независимая переменная х стремится к некоторому числу а. Если при этом соответствующие значения функции y — f(x) стремятся к некоторому числу 6, то говорят, что число Ь есть предел функции f(x), при х, стремящемся к а (но не принимающем значение а), и записывают следующим образом:

Эта запись читается так:

предел f(x) при х, стремящемся к а, равен Ъ. Обозначение lim происходит от латинского слова limes — предел. Рассмотрим, например, следующие функции:

В этих примерах учащиеся без труда догадаются, к чему стремится у, если х стремится к некоторому числу а, например, к 1, —, 0, . . ., т. е., что

Перейдем к более сложным примерам:

1. Пусть f (х) =-. Задаем учащимся вопрос: чему равна эта функция, когда х = О? Добиваемся того, чтобы учащиеся поняли, что при таком значении х функция ничему не равна, т. е. что выражение - теряет смысл при X — 0. Если же мы будем задавать аргументу х любые значения, как угодно близкие к нулю (как меньше, так и больше нуля), то, как было показано на стр. 37, sin л: „ , , - имеет совершенно определенный смысл: если | х \ стремится к нулю, то- стремится к 1, и можно сказать, что предел функции / (х) = при ху стремящемся к нулю, равен единице, т. е.

Рассмотрим другой пример:

2. К чему стремится функция / (х) = —, когда х стремится к нулю? Если X стремится к нулю, оставаясь меньше нуля (иначе говоря, стремится к нулю слева), то — неограниченно уменьшается (стремится к —°°). Если же X стремится к нулю, оставаясь положительным (стремится к нулю справа), то— неограниченно возрастает (стремится к +оо) (черт. 41).

Таким образом, функция у — — неограниченно возрастает по абсолютной величине, когда \х\ стремится к нулю, но имеет знак плюс или минус в зависимости от

того, с какой стороны х стремится к нулю. Такая функция не имеет предела при | х | 0.

3. Рассмотрим функцию / (х) = —.

Независимо от того, с какой стороны х стремится к нулю — слева или справа, функция неограниченно возрастает, не меняя знака (черт. 42).

В этом случае говорят, что предел функции / (х) = —— при X, стремящемся к нулю, равен бесконечности, и пишут:

Черт. 41. Черт. 42.

4. Возьмем функцию у = [х] и посмотрим, имеет ли она предел при 3.

Если х-* 3 слева, то у сохраняет постоянное значение, равное двум, поэтому единственное число, к которому может стремиться у, равно двум. Если же х-*3 справа, то у сохраняет постоянное значение, но равное не двум, а трем, т. е. в этом случае у стремится к трем. Следовательно, не существует одного общего предела, к кото-

* Нужно обратить внимание учащихся на то, что эту запись следует рассматривать как условную, так как^ числа <х> не существует. Эта запись показывает, что величина —т— при х~+0 неограниченно возрастает.

рому стремилась бы функция у = [х], когда л;-*3 (черт. 43).

Очевидно, что эта функция не имеет предела, когда х стремится к любому целому числу, но имеет предел, когда X стремится к любому нецелому числу, например:

5. Функция f(x) = igx не имеет предела при х-+ —, так как значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величине, но имеют различные знаки, в зависимости от того, с какой стороны х стремится к —. Та же самая функция имеет предел, равный единице, когда

Черт. 43.

Рассмотрев эти примеры, можем сделать следующий вывод:

Если при X, стремящемся к а (но не принимающем значение а), соответствующие значения функции у = /(х) стремятся к одному и тому же числу о, независимо от того, как X стремится к а, то говорят, что предел функции y = f(x) существует и равен Ь.

Если же при X, стремящемся к а любым способом, соответствующие значения функции не стремятся к одному и тому же числу 6, то говорят, что предела функции у = /(*) при xf стремящемся к а, не существует.

Таким образом, функция у = f(x) при х, стремящемся к а, может иметь не более одного предела.

§ 2. Основные теоремы теории пределов

Приведем без доказательств следующие теоремы. Если lim / (х), lim ср (х), lim ф {х) существуют, то:

1. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

3. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно:

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю:

§ 3. Вычисление пределов

Начнем с примеров простейших пределов, которые в дальнейшем будут часто встречаться. В этих примерах буква а обозначает положительное число, отличное от нуля.

3. lim— = 0, так как если числитель дроби постоянный, а знаменатель неограниченно возрастает, то вся дробь стремится к нулю.

4. lim — = оо . Здесь числитель постоянный, а знаменатель неограниченно убывает, следовательно, вся дробь неограниченно возрастает.

5. limа*=оо, еслиûf>l. В этом случае число а можно представить в виде неправильной дроби. Если показатель степени неограниченно возрастает, то вся дробь тоже неограниченно возрастает.

6. lim ах =а 0, если а < 1. Здесь число а можно представить в виде правильной дроби, которая неограниченно убывает, если показатель степени неограниченно возрастает.

Примеры вычисления пределов

Решение.

При х-^ оо числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, и о пределе этой дроби нельзя ничего сказать без дополнительного исследования. Сделаем следующие преобразования:

тогда вычисление предела не представит затруднений:

Решение.

Разделив предварительно числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, получим:

откуда вытекает, что

Решение.

При X = 3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль и функция теряет смысл, поэтому прежде чем искать предел, преобразуем дробь:

предполагая, что х Ф 3, сократим эту дробь на (л:—3), получим, что

При нахождении предела иррациональной дроби иногда бывает полезно перенести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

1. Найти

Решение.

При X = О числитель и знаменатель обращаются в нуль, и дробь теряет смысл, поэтому прежде чем искать предел, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение

получим:

откуда

Предварительно преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на

получим

Тогда

Упражнения.

Найти пределы следующих функций:

§ 4. Площадь криволинейной трапеции

В качестве иллюстрации применения понятия предела решим две задачи:

1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = х2, осью ОХ и прямыми X = а и х = Ь.

Решение.

Фигура, ограниченная перечисленными в условии задачи линиями, называется криволинейной трапецией; в курсе элементарной геометрии не содержится метода для вычисления такой площади.

Найдем сначала приближенное значение искомой площади. Для этого разобьем отрезок (а, Ь) оси ОХ на п равных частей. Точки деления обозначим через хъ х2,..., Хк9. . ., Хп- 1.

Из этих точек восставим ординаты:

При этом криволинейная трапеция разобьется на п полос. В каждой полосе из конца меньшей (т. е. левой)

ординаты проведем прямую, параллельную оси ОХ, до пересечения с соседней справа ординатой (черт. 44).

Таким образом, получим п прямоугольников.

Подсчитаем площадь каждого из них:

Прямоугольник

Основание

Высота

Площадь

Сумма площадей всех прямоугольников, которую мы обозначим через sn , будет являться приближенным значением искомой площади:

(1)

Если же в каждой полосе из конца большей (т. е. правой) ординаты проведем прямую, параллельную оси ОХ, до пересечения с соседней левой ординатой, то получим также п прямоугольников. Подсчитаем площадь каждого из них:

Прямоугольник

Основание

Высота

Площадь

Сумма площадей новых прямоугольников, которую обозначим через Sn, также будет являться приближенным значением искомой площади, причем sn меньше искомой площади, a Sn больше.

Искомая площадь S, очевидно, будет заключена между

Так как отрезок (а, Ь) мы разбили на равные части, то

причем

тогда

Подставим полученные выражения в формулу (1), получим:

вынесем h за скобки, тогда

или

Так как в фигурных скобках всего п слагаемых, то, сделав приведение подобных членов и вынеся 2 ah и h2 за

Черт. 44.

скобки (внутри фигурных), получим:

(2)

Для того чтобы придать этой формуле удобный вид, заметим, что в первой квадратной скобке стоит сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным единице, последним членом, равным (п — 1), и числом членов (п— 1), поэтому ее сумма равна:

(3)

Во второй квадратной скобке стоит сумма квадратов последовательных натуральных чисел, для которой справедлива формула:

Подставляя (3) и (4) в равенство (2), получим:

* Рассмотрим тождество

Будем давать k значения 1, 2, 3, (п—1), получим:

Складывая левые и правые части этих равенств, увидим, что члены 23, 33, 43....., (п— I)3 одновременно входят в качестве слагаемых в левую и правую части равенства и поэтому взаимно уничтожаются. Тогда получим:

Сделав аналогичные преобразования для выражения S„, получим:

Выше было сказано, что искомая площадь криволинейной трапеции заключена между sn и Sn

sn<S<Sn.

Если мы будем увеличивать число делений п, на которые разбит отрезок (а, Ь), то h будет уменьшаться, а сумма площадей прямоугольников, взятых с избытком или с недостатком, будет все меньше отличаться от площади криволинейной трапеции.

или

отсюда

Найдем пределы

Мы видим, что при п, стремящемся к бесконечности, sn и Sn стремятся к одному и тому же пределу, который естественно принять за искомую площадь криволинейной трапеции.

Таким образом,

2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной синусоидой у = ski х, осью ОХ и двумя прямыми X = а и X = Ь.

Будем поступать так же, как в предыдущей задаче.

Разобьем отрезок (а, Ь) на п равных частей.

Черт. 45.

Длину каждого отрезка обозначим через Л. Из точек деления восстановим ординаты до пересечения с синусоидой и на каждой правой ординате построим прямоугольник, как показано на чертеже 45,

Составим таблицу:

Прямоугольник

Основание

Высота

Площадь

Найдем сумму площадей всех прямоугольников*:

Правую часть равенства умножим и разделим на

Каждое слагаемое, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, воспользовавшись формулой

* Подсчитаем лишь Sn, так как можно показать, что, как и в предыдущей задаче. sn и Snстремятся к одному пределу.

так как

тогда

Найдем предел

так как предел произведения равен произведению пределов, то, следовательно,

Итак, искомая площадь выражается формулой:

(1)

В частности, площадь, ограниченная одной полуволной синусоиды и осью ОХ, будет равна:

S = cos а — cos by здесь а = 0, 6 = тт.

S = 1 — (— 1) := 2 кв. ед. (черт. 46).

Замечание. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то при вычислении площади указанным методом получится отрицательное число, так как h всегда положительно, а у будет отрицательным. В этом случае следует взять абсолютную величину найденного числа.

Черт. 46.

В предыдущей задаче площадь, ограниченная второй полуволной синусоиды и осью ОХ, будет:

S = cos тс — cos 2 те = — 1 — 1 = — 2,

следовательно,

IS I = 2 кв. ед.

Упражнения.

1) Вычислить площадь, ограниченную параболой у = —2х2, прямыми х=2их=Аи осью ОХ.

Отв.: 37— кв. ед* 3

2) Вычислить площадь, ограниченную параболой у = Зх2, осью ОХ и прямыми х = —1 и X = 3.

Отв.: 28 кв. ед.

3) Вычислить площадь, ограниченную синусоидой у = sinx, прямыми ^ = у и х = y и осью ОХ.

4) Вычислить площадь, ограниченную синусоидой у = sin 2 X и осью ОХ между точками х = 0 и х = я.

Указание. Формулой ( 1 ) воспользоваться нельзя. Нужно проделать все выкладки заново. Отв.: 1 кв. ед.

§ 5. Приращение функции

Рассмотрим функцию у = f(x), график которой представлен на черт. 47.

Возьмем два значения аргумента Х\ и х2, им будут соответствовать значения функции у\ и у2.

Назовем разность х2—Х\ приращением аргумента, а разность У2—У\ приращением функции. Введем следующие обозначения: х2—Х\ = Л, У2 — У\ = by.

Приращение функции находят следующим образом:

1) Для заданного значения X вычислим значение у.

2) Дадим X приращение h и вычислим значение h для приращенного значения аргумента:

у + Ay = f(x + h).

3) Из приращенного значения аргумента вычтем первоначальное.

Эта разность и будет приращением функции:

Черт. 47.

Пример.

Найти приращение функции у = 2 х2 — 3 при переходе X от Х\ — 2 к х2 = 2,1

Решение.

1) Вычислим значение функции при х — 2\

2) Приращение аргумента h = х2 — хх = 2,1 — 2 = 0,1. Вычислим значение функции для приращенного значения аргумента: у + Д# = 2 • (2,1)2 — 3 = 5,82.

3) Находим приращение функции Дг/ = 5 82 - 5 = = 0,82.

§ 6. Понятие о непрерывности функции

Если сравнить графики линейной функции у = кх + Ь, параболы у = х2 и гиперболы у = — (черт. 48, 49), то интуитивно ясно, что первые две функции изменяются непрерывно на всем протяжении оси ОХ, а третья функция претерпевает разрыв в начале координат — левая ветвь кривой уходит вниз, а правая — вверх.

Первые две из этих линий можно провести от любой точки слева направо, не отрывая карандаша от бумаги, чего нельзя сделать в случае третьей линии.

Однако для исследования функции недостаточно одной интуиции, нужно знать еще и аналитический признак непрерывности функции.

Черт. 48. Черт. 49.

Рассмотрим функцию, график которой изображен на чертеже 50.

Возьмем два близких друг к другу произвольных значения аргумента хх и х2. Им будут соответствовать значения функции ух и у2. Точки А(хх, ух) и В(х2у у2) лежат на графике функции.

Разность х2 — Xi = h есть приращение аргумента, а разность у2 — У\ = Ау — приращение функции.

Непрерывные функции обладают тем свойством, что достаточно малому приращению аргумента всюду соответствует сколь угодно малое приращение функции.

Точнее: если мы зафиксируем любое значение аргумента и начнем приближать к нему х2, т. е. h будем неограниченно уменьшать, то в случае непрерывной функции точка В будет неограниченно приближаться к точке Л, а это значит, что А# будет стремиться к нулю. Это свойство можно принять за определение непрерывности функции.

Черт. 50. Черт. 51.

Определение.

Функция называется непрерывной, если при стремлении приращения аргумента к нулю, приращение функции также стремится к нулю.

Пользуясь понятием предела, это свойство можно записать следующим образом:

НтД*/ = 0. (1)

Это равенство и является аналитическим выражением непрерывности функции.

Если в некоторой точке равенство (1) не выполняется, то говорят, что функция разрывна в этой точке.

Из ранее рассмотренных нами функций непрерывными являются: линейная у = кх + Ь, квадратичная у = ах2 + + Ьх + £, степенная у = хп при целом положительном /г, у = sinx, у = cos Ху у = ах.

Пример.

Показать, что функция у = sin л; непрерывна.

Решение.

Найдем приращение функции:

Найдем предел этого приращения при Л, стремящемся к нулю:

но

поэтому

Следовательно, функция у = sin* непрерывна.

В качестве примеров функций, имеющих разрывы, рассмотрим две функции:

I. у = tg*.

Если мы возьмем хх (черт. 51) немного левее, а х2 немного правее, чем х = — ,то обнаружим, что малому изменению аргумента не соответствует малое изменение функции.

Если мы будем сближать хх и х2, то ух и у2 не будут сближаться: ух будет увеличиваться, а у2 уменьшаться, разность ух — у2 будет увеличиваться, а следовательно, равенство (1) не выполнится.

п. у = [х).

Возьмем хх немного левее, а х2 немного правее х = 2 (черт. 52), тогда уг = 1, у2 = 2, Д# = 2—1 =1.

Если мы начнем сближать хх и х2у то yi — у2 не будут сближаться: ух все время будет равняться единице, а у2 — двум, поэтому Дг/ сохраняет постоянную величину, и, следовательно, \\mAy = 1 О,

Таким образом, функция у = [л;] претерпевает разрыв в точках с абсциссами х = ±1, ±2, ±3, ...±/г, где л целое число.

Выше было сказано, что функция у =— имеет разрыв в начале координат.

Но если мы рассмотрим эту функцию для значений х, меньших или больших нуля, т. е. в интервалах — <*><л;<0 и 0<Jt<°°, не содержащих начала координат, то в этих интервалах функция будет непрерывна.

В дальнейшем мы будем рассматривать только не-прерывные функции, не оговаривая этого в каждом отдельном случае.

Черт. 52.

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 1. Задачи из физики и геометрии

Прежде чем переходить к одному из важнейших понятий математики, понятию производной, рассмотрим несколько задач.

Скорость

Если материальная точка движется под действием некоторой силы, то линия, которую она описывает, называется траекторией точки.

В зависимости от того, будет ли траектория прямой линией или кривой, движение называется прямолинейным или криволинейным.

Если траектория точки известна, то для полного определения движения нужно еще знать положение точки на траектории в любой момент времени t.

Пусть траекторией точки M является прямая линия. Выберем на ней начало отсчета. Будем считать, что точка движется в положительном направлении. Обозначим, через s путь, пройденный точкой за время t.

Каждому моменту времени t будет соответствовать определенное значение пути s, пройденного точкой, поэтому можно сказать, что s есть функция от t, т. е.

s = /(*)• (1)

Если функция / известна, то движение точки вполне определенно. Уравнение (1) называется уравнением движения. Если точка движется так, что отношение пройденного пути к затраченному на прохождение этого пути времени есть величина постоянная, то движение называется

равномерным, а если это отношение — величина переменная, то движение называется неравномерным.

Пусть точка M движется неравномерно. Допустим, что за промежуток времени Л, от момента t до момента t + Л, путь, пройденный точкой, изменился на величину As (черт. 53).

Переменная величина — называется средней скоростью неравномерного движения за промежуток времени А и обозначается через vcp1 т. е.

Черт. 53.

В силу неравномерности движения средняя скорость меняется с изменением промежутка времени h и поэтому может служить лишь приближенной характеристикой быстроты движения. Чем меньше Л, тем средняя скорость точнее характеризует быстроту движения около выбранного момента времени t.

Предел средней скорости (если он существует) за промежуток времени Л, при Л, стремящемся к нулю, называется скоростью движения точки в момент времени t:

Ускорение

Скорость, так же как и путь, является переменной величиной, зависящей от времени, т. е. v = f(t).

Отношение приращения скорости До к соответствующему приращению времени h называется средним ускорением движения точки за промежуток времени h и обозначается через wcp :

Предел среднего ускорения (если он существует) при h: 0 называется ускорением движения в момент времени t.

Задачи.

I. Свободное падение тела совершается по закону:

где g— ускорение силы тяжести (примерно 980 см/сек2).

Чему будет равна скорость падения тела через 8 секунд после начала падения?

Решение.

1) Найдем приращение пути As. Для этого сначала дадим / приращение Л, тогда 5 получит приращение As:

Из приращенного значения пути вычтем первоначальное, получим

так как t = 8, то

2) Найдем среднюю скорость за промежуток времени h:

3) Вычислим предел этого отношения при h-»0:

Это и есть искомая скорость. Итак, v = 8g. Покажем, как будет меняться средняя скорость с уменьшением //.

Из этой таблицы видно, что чем меньше А, тем средняя скорость ближе к скорости в данный момент времени. II. Дано уравнение движения точки:

s = 3t2 + 2t.

Найти скорость точки, когда t = 4.

Решение.

Будем поступать, как в предыдущей задаче. 1) Дадим t приращение ft, тогда s получит приращение As:

2) Найдем

3) Найдем среднюю скорость, т. е.

4) Найдем скорость в момент t:

III. Уравнение движения точки:

Найти скорость, когда t = 2. Отв.: 12.

Теплоемкость

Для нагревания твердого тела ему сообщается некоторое количество тепла.

Каждой определенной температуре тела т соответст-

вует определенное количество тепла Q*, следовательно, Q есть функция т:

Q = /•(*)•

Допустим, что когда температура тела повысилась от t до т + А, количество тепла увеличилось от Q до Q + AQ. Как показывает опыт AQ непропорционально А, поэтотому отношение -, которое называется средней теплоемкостью тела в температурном промежутке (т, т + ^) и обозначается через Сс/7, является переменной величиной:

Для того чтобы определить теплоемкость тела при заданной температуре t, нужно взять предел средней теплоемкости за промежуток А, при А, стремящемся к нулю:

С называется теплоемкостью тела при температуре т.

Задача о касательной

В элементарной геометрии дается определение касательной к окружности, как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку. Однако такое определение касательной не является общим. Можно указать кривые, через данную точку которых проходит несколько прямых, имеющих с кривой только одну общую точку, причем лишь одна из этих прямых может оказаться касательной.

Возьмем, например, параболу у=х2 (черт. 54). Через ее вершину проходят две прямые —оси ОХ и OK, каждая из которых имеет с параболой только одну общую точку, однако ось OY не является касательной.

Черт. 54.

* Допускается, что тепло не распространяется в окружающее пространство,

Через точку M синусоиды у = sin х (черт. 55) можно провести бесчисленное множество прямых, имеющих с кривой только одну общую точку, причем ни одна из них, не является касательной, а через точку N проходит касательная, которая имеет с синусоидой бесчисленное множество общих точек.

Черт. 55.

Возьмем на кривой, заданной уравнением у = f(x) (черт. 56), точку M с координатами (х, у). Дадим аргументу X приращение Л, тогда функция у получит приращение Ду.

На чертеже значению функции у соответствует отрезок М\М, а значению у + Д# — отрезок NXN.

Приращение функции ày изобразится отрезком PN

Проведем через точки M и N секущую MN, и рассмотрим прямоугольный треугольник MNP.

Отношение — есть тангенс угла наклона секущей MP к оси ОХ. Обозначим этот угол через а, тогда

Черт. 56.

Если мы, оставив х неизменным и тем самым точку M неподвижной, станем уменьшать А, то точка N начнет передвигаться по кривой по направлению к точке M, а секущая начнет поворачиваться около неподвижной точки М, занимая последовательно положения MA, MB и т. д.

Предельным положением секущей MN будет касательная МТ к кривой в точке М.

Определение.

Касательной к кривой в точке M называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится по кривой к точке М.

Обозначим угол между касательной и осью ОХ через ф. Когда секущая MN стремится к предельному положению МТ, то угол а стремится к предельному значению ф, но если а-^ф, то tga-^t.'^, и, следовательно,

§ 2. Производная

Рассмотренные задачи, совершенно различные по содержанию, привели нас к определенному порядку операций: нахождению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел, если он существует*, называется производной.

Определение.

Производной данной функции у = f(x) по независимой переменной х, называется предел отношения приращения функции Дг/ к приращению аргумента Л, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную обозначают через у' или У[х)\

Теперь можно сформулировать результаты рассмотренных выше задач.

I. Скорость есть производная от пути по времени:

* В дальнейшем будем рассматривать такие функции, для которых этот предел существует.

II. Ускорение есть производная от скорости по времени:

III. Теплоемкость есть производная от количества тепла по температуре:

IV. Задача о касательной позволяет выяснить геометрический смысл производной.

Производная есть тангенс угла, образованного касательной к кривой в данной точке, с положительным направлением оси ОХ. Или, используя понятие углового коэффициента прямой (стр. 16), можно сказать, что производная есть угловой коэффициент касательной.

§ 3. Скорость изменения функции

При изучении различных процессов было обнаружено, что большинство из них протекает неравномерно. Отсюда возникла необходимость ввести общее понятие, которое характеризовало бы «быстроту» изменения функции в зависимости от изменения аргумента в данном интервале.

В рассмотренных выше задачах, такой характеристикой служило отношение приращения функции к приращению аргумента. В одном случае это отношение называлось средней скоростью движения, в другом случае, средним ускорением, в третьем — средней теплоемкостью за промежуток h.

Вообще отношение приращения функции к приращению аргумента называется средней скоростью изменения функции в интервале (х9 х + h), а предел этого отношения при Л, стремящемся к нулю, т. е. производная называется скоростью изменения функции для данного значения х.

§ 4. Общее правило нахождения производной

Укажем общее правило для нахождения производной заданной функции */=/(*)•

1. Данному значению х даем приращение Л, тогда функция у получит приращение Дг/:

у + ày = f(x + А).

2. Находим приращение функции, для чего из приращенного значения вычитаем первоначальное значение функции:

3. Находим отношение

4. Вычисляем предел отношения —, при Л, стремящемся к нулю.

Этот предел, по определению, есть производная, т. е.

§ 5. Производные простейших функций

Применим правило нахождения производной к некоторым функциям.

I. Производная постоянной величины

Функция у = с при любом значении аргумента сохраняет постоянное значение. Следовательно, ее приращение при любом h равно нулю: Ду = 0, поэтому -—^- = 0, следовательно, и предел этого отношения, т. е. производная, равен нулю:

(с)' = 0. (1)

Производная постоянной величины равна нулю.

Это можно пояснить и геометрически. Действительно, графиком функции у = с является прямая, параллельная оси ОХ (черт. 57). Всякому значению х при любом приращении h соответствует одно и то же значение у, поэтому Д# = 0. Касательная в любой точке графика параллельна оси ОХ, так как она совпадает с графиком функции, поэтому tg ф = 0, а следовательно, // = 0.

II. Пусть у = X

1) Данному значению х дадим приращение Л, тогда:

у + Ау = х + h.

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение:

4) Вычислим предел этого отношения, когда h стремится к нулю:

Следовательно,

(*)' = 1 (2)

Черт. 57.

III. Производная алгебраической суммы функций

Пусть у = и + V — w, где и, v и w — некоторые функции X.

1) Дадим X приращение Л, тогда каждая из функций иу v, w получит соответственно приращение Ди, Ди, Ддо, а следовательно, и у получит приращение Дг/, т. е.

2) Найдем приращение Д#:

3) Составим отношение:

4) Вычислим предел этого отношения, когда h стремится к нулю:

но предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, поэтому

По определению производной

поэтому или

(3)

Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

IV. Производная произведения

Пусть у — и V, где и и v некоторые функции от х.

1) Дадим определенному значению х приращение Л, тогда и, v, а следовательно, и у получат соответственно приращения Да, Ду и Д#:

2) Найдем приращение функции:

3) Находим отношение:

4) Вычислим предел этого отношения при Л, стремящемся к нулю:

причем

так как х, а следовательно, и(х) и v(x) зафиксированы.

Мы заранее оговорили, что будем рассматривать только непрерывные функции (стр. 68, § 6), поэтому

Следовательно,

(и • и у = и ■ v' + и • и'. (4)

Производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой.

Частный случай.

Пусть один из множителей есть постоянная величина, т. е.

У = с • и.

Найдем производную, пользуясь формулой (4): у' = с - и' -\- и • с\ но с' = 0, Следовательно,

(с • и)' = с • и'. (5)

Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Пусть у = и - V • w4 где и, v, w — некоторые функции X.

Будем искать производную по формуле (4), считая первым множителем произведение (и • v), а вторым w:

Окончательно

(U-V-W)' = U-V'W'-\-U'W-Vf-\-V-W-U' (6)

и вообще, применяя тот же метод, можно сказать, что производная произведения нескольких множителей равна сумме произведений производной каждого из множителей на все остальные.

V. Производная целой положительной степени

Пусть у = хп, где п — целое положительное число. Эту функцию можно представить, как произведение п множителей, равных х:

Для отыскания производной воспользуемся формулой (6):

Таких слагаемых будет столько, сколько множителей, т. е. п. Вспомнив, что х' = 1, получим, что п • xn~~l 9 или (хпу =п . хп~1 . (7)

Производная целой положительной степени х равна произведению показателя степени на основание в степени, меньшей на единицу.

Примеры. Найти производные следующих функций:

Формула (7) справедлива для любого п. Проверим это на двух частных примерах.

Найти производную функции у = у х 1) Дадим X приращение Л, тогда у получит приращение ку\

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение:

4) Найдем предел этого отношения при Л, стремящем-ся к нулю:

Но при h = О числитель и знаменатель обращаются в нуль и функция теряет смысл, поэтому, прежде чем искать предел, преобразуем дробь:

откуда

Таким образом:

Если бы мы стали искать производную этой функции по формуле (7), то получили бы такое же выражение:

Найти производную функцию

1) Зафиксированному значению х даем приращение Л, тогда у получит приращение А у: у + А у = —— .

Следовательно,

Теперь найдем производную этой функции по формуле (7):

Получили такое же выражение. Примеры.

Решение.

Запишем эту функцию следующим образом:

тогда

Решение.

тогда

Решение.

VI. Производная sinmx и cosmx

А. Пусть у = sin тху где m — постоянная величина.

1) Дадим X приращение Л, тогда у получит приращение к у:

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение приращений

4) Вычислим предел этого отношения при Л-^0:

(а)

(b)

На основании формулы получим

(с)

Подставив выражения (с) и (Ь) в (а) получим, что у' = m • cos /72*,

или

(sin mx)' = m • cos mx. (8)

В. Пусть у = cos mx. Произведя те же операции, что и при нахождении производной sin mx, найдем что

(cos тх)' = — m - sin тх. (9)

Выпишем полученные формулы:

Упражнения.

Найти производные следующих функций:

2)

3)

4)

5)

6)

7) 8) 9) 10)

11)

12)

13)

14) 15) 16)

17)

18) 19)

20)

21)

22)

23) 24)

Задача

Составить уравнение касательной к синусоиде у = sinx в начале координат.

Решение.

Касательная есть прямая, поэтому будем искать ее уравнение в виде у = kx-{- Ь.

Так как в условии задачи сказано, что касательная должна пройти через начало координат, то начальная ордината Ъ = 0.

Следовательно, уравнение касательной можно записать так:

у = kx.

Задача будет решена, если мы найдем угловой коэффициент к. Но угловой коэффициент касательной равен

производной данной функции в данной точке. Найдем производную у' — cos*. В начале координат х = О, поэтому У'х-о =cosO= 1.

Таким образом, угловой коэффициент касательной k = 1, и уравнение касательной будет у = х.

Итак, касательной к синусоиде, проведенной в начале координат, является биссектриса I — III координатных углов (черт. 29 на стр. 34).

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

§ 1. Признаки возрастания и убывания функции

Для исследования хода изменения функции нужно научиться определять интервалы, в которых она только возрастает или только убывает, и точки, в которых убывание сменяется возрастанием или возрастание убыванием.

Все это можно выяснить при помощи производной. Определения.

I. Функция у = f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции.

II. Функция у = f(x) называется убывающей в некотором интервале, если в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции.

Функция, график которой изображен на чертеже 58, возрастает на интервале (а, с), так как в этом интервале большим абсциссам соответствуют большие ординаты:

при х2 >х, у2>Уи а на интервале (с, Ь) функция убывает, так как большим абсциссам соответствуют меньшие ординаты:

при х4 > xz, у4 < Уг.

На чертеже видим, что на участке возрастания между точками а и с касательная к кривой образует с осью ОХ острый угол, тангенс которого положителен, а тангенс этого угла есть производная f'(x).

На участке убывания между точками с и b касательная к кривой образует с осью ОХ тупой угол, тангенс

которого отрицателен, а следовательно, и производная отрицательна. Таким образом, если функция возрастает, то ее производная положительна, если же функция убывает, то ее производная отрицательна. В отдельных точках производная возрастающей или убывающей функции может равняться нулю.

Черт. 58.

Черт. 59. Черт. 60.

Рассмотрим график возрастающей функции (черт. 59). Во всех точках кривой, за исключением точки Д касательная к кривой образует с осью ОХ острый угол. В точке D касательная параллельна оси ОХ, т. е. она

образует с осью ОХ угол, равный нулю, тангенс которого тоже равен нулю. Значит, производная в этой точке равна нулю. Такая же точка может быть и на графике убывающей функции (точка С на чертеже 60).

Замечание. Нужно пояснить учащимся, что прямая DM является касательной к кривой в точке D, хотя она и пересекает кривую (черт. 61). Это можно показать следующим образом: построить секущую DN и, зафиксировав точку Z), приближать к ней по кривой точку N. При этом секущая DN будет поворачиваться, занимая последовательно положения DNU DN2 и т. д. Предельным положением секущей DN будет касательная DM. Точка D, в которой касательная пересекает кривую, называется точкой перегиба кривой.

Итак, производная возрастающей функции положительна или равна нулю:

Г (*)>0;

производная убывающей функции отрицательна или равна нулю:

Г (*)<о.

Пример 1.

Дана функция у = 4 х2. Ее производная у'= 8 х. При X отрицательном производная будет отрицательна, а при X положительном производная положительна, значит, слева от начала координат функция убывает, а справа — возрастает.

Пример 2.

у = хъ. Производная у' = 5 х4 при любых значениях х положительна, а поэтому функция возрастает на всем интервале —°° < х < °°.

Черт. 61.

§ 2. Максимум и минимум функции

Пусть функция у = f(x) имеет график, изображенный на чертеже 62.

Мы видим, что функция на одних участках возрастает, на других — убывает. Между участками возрастания и убывания лежат точки, в которых функция имеет самую большую или самую меньшую ординату по сравнению с ординатами соседних (слева и справа) точек (на чертеже точки Л, ß, С и D).

Черт. 62.

Говорят, что:

1. Функция у = f(x) достигает максимума в точке х = х0, если ее значение f(x0) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках слева и справа.

2. Функция y = f(x) достигает минимума в точке X = Хо, если ее значение f(x0) в этой точке меньше всех ее значений в ближайших точках слева и справа.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что значения функции в точках максимума и минимума являются, соответственно, наибольшими и наименьшими только по сравнению со значениями функции в соседних точках и не обязательно являются самыми большими и самыми меньшими на всем интервале задания функции.

Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Так, функция изображенная на чертеже 62 имеет два максимума, которым на графике соответствуют точки А и С и два минимума, которым соответствуют точки В и Д причем ордината точки Z), больше ординаты точки Л. Точка £, которая не соответствует максимуму функции имеет ординату большую, чем точки Л и С.

Максимум и минимум функции объединяются общим названием: экстремум*.

Точки, в которых производная обращается в нуль, называются критическими точками функции.

Теперь установим метод нахождения экстремума функции. Для этого обратимся к графическому изображению функции.

Точкам экстремумов функции f(x) соответствуют на графике точки, в которых касательная к кривой параллельна оси ОХ (точки Л, ß, С и D на черт. 62). Следовательно, производная в этих точках равна нулю.

Таким образом, равенство нулю производной является необходимым условием существования экстремума функции. Однако это условие не является достаточным. Так, мы видим, что функция, представленная на чертеже 59, не имеет экстремума, хотя в точке D ее производная равна нулю (касательная параллельна оси ОХ).

Чтобы установить наличие максимума или минимума, нужно проследить ход изменения функции слева и справа от точки, в которой производная равна нулю.

Точкой максимума является точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием. Поэтому слева от точки максимума производная должна быть положительной, а справа — отрицательной.

Точкой минимума является точка, в которой убывание сменяется возрастанием, поэтому слева от точки минимума производная должна быть отрицательной, а справа — положительной.

Смена знака производной при переходе через критическую точку является достаточным условием существования экстремума функции.

Составим правило нахождения значений х, при которых функция У = f(x) достигает максимума или минимума:

1) Находим производную у'.

2) Ищем значения х, при которых производная обращается в нуль. Для этого нужно решить уравнение: /'(*)= 0.

3) Определяем знак производной слева и справа от каждой критической точки. Если слева от критической

* Латинское слово extremum — крайний.

точки производная положительна, а справа — отрицательна, то в этой точке функция достигает максимума. Если слева от критической точки производная отрицательна, а справа — положительна, то в этой точке функция имеет минимум.

Если слева и справа от критической точки знак производной совпадает, то точка не является экстремальной (черт. 59 и 60).

Результаты исследования можно свести в таблицу:

Пример.

Исследовать на максимум и минимум функцию:

у = хъ — 5х* + 5х3 + 10.

1) Найдем производную у'\

2) Найдем критические точки. Для этого решим уравнение:

5х2(х— 1)(х — 3) = 0,

получим:

Xi = Л*2 — 0, Хд = 1, х<± = 3.

3) Критические точки разбивают ось ОХ на четыре интервала, в каждом из которых производная сохраняет постоянный знак. Такие интервалы называются интервалами монотонности функции (черт. 63).

Для того чтобы выяснить, имеются ли экстремумы в критических точках, нужно определить знак производной в каждом интервале монотонности.

Черт. 63.

Для удобства исследования составим таблицу:

В первой строчке таблицы расположены интервалы монотонности функции и критические значения х.

Во второй строчке проставляются знаки производной в интервалах монотонности и значения производной в критических точках.

Последняя строчка служит описанием «поведения» функции на всей области ее существования. Иными словами, в этой строчке записывают: возрастает или убывает функция в соответствующем интервале монотонности, наличие экстремума и значение функции в критических точках.

В нашем примере слева и справа от х = 0 производная положительна, т. е. функция возрастает. Так как не произошло смены знака производной, то при этом значении х экстремума нет.

Слева и справа от х = 1 производная сменила знак с плюса на минус, т. е. функция перешла от возрастания к убыванию.

Следовательно, при х = 1 имеется максимум. Слева от X = 3 производная отрицательна, а справа — положительна, т. е. при переходе через это критическое значение убывание сменилось возрастанием, а это значит, что при х — 3 функция имеет минимум.

Упражнения.

Исследовать на максимум и минимум следующие функции:

Отв.: производная не имеет действительных корней, следовательно, функция не имеет экстремума.

§ 3. Построение графиков функций

Для построения графика нужно предварительно исследовать функцию.

Исследование удобно проводить по следующему плану:

1) Определить область существования функции.

2) Найти производную.

3) Найти критические значения х из уравнения у' = 0.

4) Исследовать экстремумы функции, найти интервалы возрастания и убывания.

5) Выяснить наличие симметрии кривой относительно оси OY: кривая симметрична относительно оси OY, если ее уравнение содержит х только в четной степени.

6) Найти точки пересечения кривой с осью OY и, если возможно, то и с осью ОХ.

Примеры.

Построить графики следующих функций: I. у = 2х2 — х*— 1.

1) Определим область существования функции:

2) Найдем производную:

у' = 4х — 4х3 = 4х(1 — X) (1 + х).

3) Критические точки найдутся из уравнения:

4х(1 — х)(1 + *) = 0,.

откуда получим:

х± = — 1, Хо ~— О, х$ —— 1.

4) Для исследования применим таблицу, как это сделано на стр. 95.

5) Кривая симметрична относительно оси ОУ, так как ее уравнение содержит х только в четной степени.

6) Точками пересечения с осями координат в данном случае являются экстремальные точки (см. табл.): Л(-1,0); 5(0,-1); С(1,0).

Итак, функция имеет: в точке А — максимум, в точке В — минимум, в точке С — максимум.

Построим график (черт. 64).

1) Определим область существования функции:

2) Найдем производную:

у' = \2х*—\2х* = \2х*{х—\).

3) Решим уравнение:

12л:2 (х— 1)=0,

получим

х± — Хч ~ О, х$ — 1.

4) Составим таблицу:

Из таблицы видно, что хотя точка х = 0 и критическая, но функция в ней не имеет экстремума, так как слева и справа от этой точки производная имеет одинаковые знаки.

5) Выясняем, что кривая не симметрична относительно оси OY.

6) Найдем точки пересечения с осями координат:

х = 0, у=1, Л (0,1). У = 0, х=1, Я(1,0).

7) Построим график (черт. 65).

Замечание. Точка А является точкой перегиба кривой (см. стр. 91).

III.

1) Определим область существования функции:

2) Найдем производную:

у' = х2 — 4х + 3.

3) Решая уравнение

X2 — 4х + 3 = 0,

получим:

Черт. 64. Черт. 65.

Для исследования знаков производной удобно разложить ее на множители:

*/'=(*-1) - (х-3).

4) Составим таблицу:

5) Кривая не симметрична относительно оси OY, так как уравнение содержит как четную, так и нечетные степени X.

6) Точка пересечения графика функции с осью OY найдется, если в данном уравнении положить х = 0, тогда у—1. Получим точку А(0,1)*.

Построим график (черт. 66).

Л (0,1) —точка пересечения с осью OY, ß^l, —j — точка максимума.

С (2,1) — точка минимума. IV. у = sin X -f- cos X в интервале 0<x<2ic I) Определим область существования функции:

<^ оо.

2) Найдем производную: у' = cos X — sin X.

3) Решим уравнение:

получим

Черт. 66.

4) Составим таблицу:

* Для определения точки пересечения кривой с осью ОХ нужно положить у = 0. Чтобы найти дг, пришлось бы решить кубическое уравнение — 2х2 + Зх + I = 0, а это выходит за рамки курса средней школы.

5) Точка пересечения кривой с осью OY:

х = 0, у=\у Л(0,1).

Для определения точки пересечения кривой с осью ОХ (в интервале 0<*<2тг положим у = 0. Тогда получим cosa: + sin X = 0 или tg х = —1, откуда

6) Построим график (черт. 67).

Черт. 67.

Упражнения.

Построить графики функций:

§ 4. Исследование квадратного трехчлена с помощью производной

На стр. 49 § 2 было показано, что графиком квадратного трехчлена у = ах2 + Ьх + с является парабола, ось симметрии которой проходит через вершину параболы

параллельно оси OY. Для построения параболы в первую очередь нужно найти координаты ее вершины.

Вершина параболы является точкой максимума или минимума функции у = ах2 + Ьх + с (черт. 68).

Покажем на примерах, как находятся координаты вершины параболы при помощи производной.

Черт. 133.

Пример 1.

Построить параболу, заданную уравнением: у = 2х2 — 8х + 6

Решение.

1) Найдем производную:

у' = 4х — 8 = 4(х — 2).

2) Приравниваем производную нулю и находим критические точки:

4х — 8 = 0, х = 2.

3) Для значений х < 2 производная отрицательна, а для значений х > 2 производная положительна. Следовательно, производная при переходе через критическую точку сменила знак с минуса на плюс. Это означает, что в точке с абсциссой х = 2 функция достигает минимума. Найдем ординату этой точки, для чего подставим х = 2 в данное уравнение; получим:

у = 2 . 22 — 8 . 2 + 6 = —2.

Таким образом, вершина параболы находится в точке M (2, —2). Ось симметрии проходит через эту точку

параллельно оси OY (черт. 69). Для построения параболы найдем еще несколько точек.

Пусть х = 0у тогда у = 6. Получим А (О, 6). Построим точку Ль симметричную А, относительно прямой ММ'.

Найдем точки пересечения параболы с осью Х, полагая в уравнении параболы у = 0.

Получим еще две точки: Вх (1,0) и ^2(3, 0). Соединяем найденные точки плавной кривой. Пример 2.

Построить параболу, заданную уравнением

у = 6х — X2 — 5.

Решение.

1) Найдем производную: у' = 6 — 2х = 2(3 — х).

2) Приравняем производную нулю:

3 — X = 0, тогда X — 3.

3) Если х<3, то у'>0, если *>0, то у'<0.

Производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в точке, где х = 3, график функции достигает максимума. Найдем ординату этой точки:

у = 6 • 3 — З2 — 5 = 4.

Следовательно, вершина параболы лежит в точке М(3, 4). Ось симметрии проходит через эту точку параллельно оси OY.

4) Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

Пусть х = 0, тогда у = —5. Получим точку А (0, —2). Строим точку А\9 симметричную точке А относительно оси ММ'.

Пусть у = 0, тогда 6х — х2 — 5 = 0, Х\ = 1, х2 = 5. Получим две точки: 5(0, 1) и ßi(0, 5). Строим параболу (черт. 70).

Черт. 69.

Упражнения.

Построить параболы, заданные уравнениями:

1) у = 4х — X2.

2) у = х2 + 2х.

3) у = Зх2 — 4х + 7.

4) у = \ — X2 — 5 X.

5) у = 7х2 + Ъх — 8.

6) у = 7х — За:2 + 2.

Замечание. После того как будут проделаны эти упражнения, можно обратить внимание учащихся на то, что если коэффициент при х2 положительный, то парабола имеет минимум, если коэффициент отрицательный, то — максимум. Упражнения.

Исследовать на максимум и минимум следующие функции:

Черт. 70.

§ 5. Различные задачи на максимум и минимум

До сих пор мы занимались исследованиями функций, заданных определенными уравнениями. Однако чаще всего уравнение не задается, а его приходится составить по данным задачи.

Задача I.

Найти размеры конуса максимального объема, который можно вписать в шар данного радиуса /?.

Решение.

Обозначим высоту конуса (черт. 71) через х, а радиус основания через у, т. е. BD = х, DC = у, и запишем формулу объема конуса:

(I)

Из прямоугольного треугольника ВСЕ найдем:

но

тогда и

Итак,

Исследуем эту функцию на экстремум; для этого: 1) Найдем производную:

2) Найдем те значения х, при которых производная обращается в нуль:

*! = 0, х2 = — R.

Первый корень не годится, так как высота конуса не может равняться нулю.

Черт. 71. Черт. 72.

Исследуем второй корень:

Итак, производная сменила знак с плюса на минус, следовательно, при л; = функция имеет максимум.

Мы нашли высоту конуса. Найдем его радиус из уравнения:

Следовательно,

Задача II.

Имеется кусок проволоки, длиной 160 м. Этой проволокой требуется огородить прямоугольный участок земли так, чтобы площадь участка была наибольшей.

Найти размеры сторон участка.

Решение.

Пусть стороны прямоугольника будут х и г/, тогда его площадь 5 = ху. По условию задачи 2х-\-2у = 160 или у = 80 — х, тогда s = х(80 — х) = 80х — х2<

3) Исследуем этот корень:

Следовательно, прил: = 40 площадь будет наибольшей.

Задача III.

Известно, что прочность балки с прямоугольным сечением изменяется прямо пропорционально ширине и квадрату высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки наибольшей прочности, если балка выпилена из круглого бревна данного диаметра d.

Решение.

Обозначим через л: ширину, а через у — высоту сечения (черт. 72). По условию задачи прочность Т должна равняться: Т = k • х • у2, но у2 = d2 — х2, следовательно, T = k(d2x — л:3).

Исследуем эту функцию на экстремум:

Следовательно, при — прочность балки будет наибольшей. Найдем у:

Итак,

Примечание. После решения этой задачи можно предложить учащимся такой вопрос: насколько ошибаются плотники, которые пользуются следующим приемом выпиливания балки (черт. 73). Диаметр сечения MN делится на три равные части. Из точек деления А и В восстанавливаются перпендикуляры по разные стороны диаметра до пересечения с окружностью в точках С и D. Затем точки С, N, D и M соединяются прямыми. Получается искомое сечение — прямоугольник MCND.

Введем обозначения: MC = х, CN = у.

Из треугольника MNC найдем, что:

Итак, плотники не ошибаются!

Задача IV.

Данное положительное число с представить в виде двух слагаемых так, чтобы куб первого слагаемого при умножении на квадрат второго дал наибольшее произведение.

Решение.

Если одно слагаемое обозначим через х, то второе будет с — X. Составим функцию:

Исследуем ее:

3) Первые два корня не годятся.

Черт. 73. Черт. 74.

Исследуем третий корень:

Задача V.

Равнобедренный треугольник данного периметра р вращается около основания. Какие следует выбрать основания и высоту треугольника, чтобы объем тела вращения был наибольшим?

Решение.

Обозначим основание АС треугольника ABC через 2х (черт. 74), а высоту через у, тогда объем тела вращения будет равен удвоенному объему конуса DAB:

Выразим X через у:

Исследуем эту функцию:

При X = —объем тела вращения будет наибольшим.

Найдем размеры основания и высоты:

основание

высота

Задача VI.

Внутренняя поверхность бака с квадратным основанием, без крышки равна 5. Каковы должны быть размеры бака, чтобы его объем был наибольшим?

Решение:

Обозначим сторону основания бака через х, а высоту через тогда его поверхность будет равна:

Выразим у через х. Так как S известно, то

тогда

Исследуем функцию

Следовательно, при х =- бак имеет наибольший объем.

Задача VII.

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли, который имел бы данную площадь S. Если часть уже выстроенной каменной стены принять за одну из сторон забора, то каковы должны быть размеры площадки, чтобы постройка забора обошлась возможно дешевле?

Решение.

Длина забора у будет равна 2х + г, т. е. у = 2х + z (черт. 75).

По условию задачи площадь участка равна S, т. е.

тогда

Черт. 75. Черт. 76.

Исследуем эту функцию на максимум и минимум:

(берем только

положительный корень).

Следовательно, при

функция имеет минимум.

Таким образом, сторона, параллельная каменной стене, должна быть вдвое длиннее каждой из двух соседних сторон.

Задача VIII.

Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 216 м2, огородить ее забором и перегородить параллельно одной из сторон площадки на две равные части. Какие следует выбрать размеры сторон площадки, чтобы на постройку забора пошло наименьшее количество материала?

Указание: Периметр у = Зх + 2z (черт. 76), площадь прямоугольника, по условию, равна 216 м2, т. е. 216 = X • г, отсюда

Следовательно, для решения задачи нужно исследовать на максимум и минимум функцию

Задача IX.

Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно равномерно выложить внутри свинцом. Каковы должны быть его измерения, чтобы выкладка потребовала наименьшего количества свинца, если резервуар должен вмещать 32 л воды?

Указание. Поверхность S = х2 + 4x2, объем V = X2 • z, т. е. 32 = X2 • z\ отсюда z = —

Следовательно, нужно исследовать функцию

Упражнения.

1) Найти высоту цилиндра максимального объема, который можно вписать в данный прямой конус, высота которого равна Я, а радиус R.

2) Разделить число 32 на такие две части, чтобы их произведение было наибольшим.

3) Разделить число 10 на такие две части, чтобы сумма удвоенной одной из них и квадрата другой была наименьшей.

Отв.: 9 и 1.

4) Из квадратного листа жести (черт. 77), сторона которого равна 48 см, нужно сделать открытый сверху ящик наибольшего объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть так, чтобы образовать бока ящика. Найти сторону вырезаемых квадратов.

Отв.: 8 см.

Указание. Сторона квадрата, образующего дно ящика, равна 48—2хУ а его объем V = (48 —2х)2 • х.

§ 6. Производные высшего порядка

Производная от функции у = f(x), вообще говоря, есть также функция от х.

Обозначим ее через ч>(х)у т. е. у'=f'(x) =у(х).

Если найти производную от функций ф (х), то получится новая функция, которая называется второй производной от данной функции у = f(x) и обозначается через у“, следовательно, у“ = ф'(л;) = [/'(*)]'.

Определение.

Второй производной от данной функции называется производная от ее первой производной. Пример 1.

Найти вторую производную функции:

Аналогично — третьей производной называется производная от второй производной.

Вообще я-ой производной (производной /г-го порядка) называется производная от (п—1)-ой производной.

Черт. 77.

Пример 2.

Найти четвертую производную от функции у=2 sin Зх:

§ 7. Формула бинома Ньютона

В качестве примера приложения производных высшего порядка выведем формулу для возвышения в любую целую положительную степень п двучлена (Ь + х).

Для случая, когда п = 2 и п = 3 формулы известны:

Мы видим, что при п = 2 выражение (Ь + х)2 тождественно равно многочлену второй степени, а при п = 3 — многочлену третьей степени, причем в обоих случаях многочлены расположены по возрастающим степеням х.

Очевидно, что для любого целого положительного п выражение (Ь + х)п будет тождественно равно многочлену п-ой степени, расположенному по возрастающим степеням ху т. е.

(1)

где а0, аи а2,... ak ,.....ап —постоянные коэффициенты.

Задача будет решена, если мы найдем эти коэффициенты.

Как было сказано, равенство (1) является тождеством, и, следовательно, выполняется при любом значении х.

Пусть X = 0, тогда а0 = Ьп.

Таким образом, один коэффициент уже найден.

Чтобы вычислить остальные коэффициенты, найдем первую, вторую третью и т. д. производные до п-то порядка включительно, от левой и правой части равенства (1). В каждой из найденных производных будем полагать X = 0. Это даст нам возможность найти все неизвестные коэффициенты.

1. Находим первую производную:

2. Находим вторую производную:

3. Находим третью производную:

4. Найдем четвертую производную:

и т. д.

/1-ая производная, очевидно, будет равна:

и следовательно,

В знаменателе каждого из найденных коэффициентов, начиная с а2, припишем множитель единицу и выпишем все коэффициенты:

Подставив найденные коэффициенты в равенство (1), получим

Эта формула называется формулой бинома Ньютона.

Многочлен, стоящий в правой части формулы бинома, состоит из (п + 1) слагаемых.

Этот многочлен расположен по возрастающим степеням л: и по убывающим степеням Ь. Сумма показателей степени х и Ъ во всех слагаемых равна п. Коэффициенты при произведении Ьп~к-хп слагаемых, одинаково удаленных от первого и последнего члена, равны между собой.

Пример:

Найти: (2 + jc)5.

Решение.

В этом примере число слагаемых равно 6, первое и последнее слагаемые имеют коэффициент, равный единице.

Второе и пятое слагаемые имеют коэффициенты:

Третье и четвертое слагаемые имеют коэффициенты:

Упражнения. Найти:

Вычислить:

ПРИЛОЖЕНИЕ

На тему «Функции и их исследование» по новой программе отводится 40 часов.

Можно предложить следующий план работы:

№ п/п

Тема

Разделы темы

Часы

1

«Понятие о функции»

Понятие о функции. Область существования. Вычисление частных значений функции

2 1

2

«Элементарное исследование функции»

Линейная функция Квадратичная функция Дробно-линейная и степенная функции Показательная и логарифмическая функции Тригонометрические функции Вычисление синусов малых углов с помощью радианной меры Графическое решение уравнений

1 2

2

1

2

2 1

3

«Понятие о пределе функции»

Определение предела функции и формулировка теорем о пределах

Решение задач на вычисление пределов

Приращение функции. Понятие о непрерывности

Вычисление площади криволинейной трапеции

1

3 1

2

Контрольная работа*)

1

*) Примерное содержание первой контрольной работы:

1) Найти область существования функции

2) Дано:

3) Найти

№ п/п

Тема

Разделы темы

Часы

4

«Производная»

Задачи из физики и геометрии Определение производной и вывод формул

Практика нахождения производной

Возрастание и убывание, максимум и минимум функции

Исследование функций и построение графиков

Различные задачи на экстремум

Производные высшего порядка

Бином Ньютона

2

2

2

3

3 3

2

Контрольная работа*

1

* Примерное содержание второй контрольной работы: Построить график функции:

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа, Гостехиздат, 1952.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа, т. I, Гостехиздат, 1955.

Власов А. К., Курс высшей математики, т. I, Гостехиздат, 1952.

Выгодский М. Я., Основы исчисления бесконечно малых, Гостехиздат, 1933.

Дубнов Я. С, Задачи и упражнения по дифференциальному исчислению, Гостехиздат, 1937.

Лузин Н. Н., Дифференциальное исчисление, «Советская наука», 1946.

Минорский В. П., Сборник задач по высшей математике, Гостехиздат, 1950.

Немыций В. В., Слудская М. Н., Черкасов А. Н., Курс математического анализа, т. I, Гостехиздат, 1944.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I, Гостехиздат, 1955.

Тарасов Н. П., Курс высшей математики для техникумов, Гостехиздат, 1957.

Толстов Г. П., Курс математического анализа, т. I, Гостехиздат, 1954.

Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа, т. I. Гостехиздат, 1955.

Фихтенгольц Г. М., Математика для инженеров, Гостехиздат, 1931.

СОДЕРЖАНИЕ

Функция

§ 1. Постоянная и переменная величина .................. 3

§ 2. О функциональной зависимости ...................... —

§ 3. Обозначение функции .................................... 4

§ 4. Вычисление частных значений функции ................ 5

§ 5. Область существования функции ...................... 7

§ 6. График функции .......................................... 11

§ 7. Точка пересечения двух кривых ........................ 12

Элементарное исследование функций

§ 1. Линейная функция .................................. 15

§ 2. Квадратичная функция ................................ 19

§ 3. Дробно-линейная функция ............................ 24

§ 4. Степенная функция .................................. 29

§ 5. Показательная функция .............................. 30

§ 6. Логарифмическая функция ............................ —

§ 7. Тригонометрические функции ........................ 32

§ 8. Вычисление синусов малых углов с помощью радианной меры ............................................ 36

§ 9. График функции у = [х] ................................ 40

§ 10. Графический способ решения уравнений .............. 41

Понятие о пределе функции

§ 1. Предел переменной величины и предел функции ...... 44

§ 2. Основные теоремы теории пределов .................... 49

§ 3. Вычисление пределов .................................... 50

§ 4. Площадь криволинейной трапеции .................... 55

§ 5. Приращение функции ................................ 64

§ 6. Понятие непрерывности функции .................... 65

Производная

§ 1. Задачи из физики и геометрии .......................... 69

§ 2. Производная ........................................ 75

§ 3. Скорость изменения функции ........................ 76

§ 4. Общее правило нахождения производной .............. —

§ 5. Производные простейших функций .................... 77

Применение производной к исследованию функции

§ 1. Признаки возрастания и убывания функции ............ 89

§ 2. Максимум и минимум функции ........................ 92

§ 3. Построение графиков функций ........................ 96

§ 4. Исследование квадратного трехчлена с помощью производной .............................................. 101

§ 5. Различные задачи на максимум и минимум .......... 1С5

§ 6. Производные высшего порядка ...................... 114

§ 7. Формула бинома Ньютона ............................ 115

Приложение ................................................ 119

Список использованной литературы............................ 121

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Академии педагогических наук РСФСР

Лидия Николаевна Милованова

ФУНКЦИИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ

Редактор Г. Г. Гуськов Обложка художника А. М. Олевского Худож. редактор Н. С. Орлова Техн. редактор Р. Я. Соколова Корректор H. М. Нагайцева

Сдано в набор 25/VI 1957 г. Подписано к печати 30/V 1958 г. Формат 84 X 108/32 Бум. л. 1,94 Печ. л. 7,75 Усл. печ. л. 6,35 Уч.-изд. л. 4,99 А-05045 Тираж 17 000 Заказ 1852

Изд-во АПН РСФСР, Москва, Погодинская ул., 8.

Типография Металлургиздата, Москва, Цветной бульвар, 30 Цена 1 руб. 35 коп.

ОПЕЧАТКИ