ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

Г. П. МИХАЛЬКОВ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГОНИОМЕТРИИ

УЧПЕДГИЗ • 1962

Г. П. МИХАЛЬКОВ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГОНИОМЕТРИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1962

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ............,««. 3

Когда заниматься построением графиков ........ 5

Порядок изучения учебного материала ........ 7

§ 1. Понятие о числовой окружности......... 8

§ 2. Связь между радианным и градусным измерениями дуги (угла)................. 11

§ 3. Определение тригонометрических функций ..... 12

§ 4. Построение синусоиды............ . 18

§ 5. Свойства синуса............... 23

§ 6. Простейшие преобразования синусоиды...... 28

§ 7. Построение графика функции */=cos*...... 34

§ 8 Изучение тангенса и котангенса......... 36

§ 9. Формулы приведения.............. 38

§ 10. Гармонические колебания............ 42

§ 11. Теорема сложения.............. 47

§ 12. Синусограф................. 57

Ответы.................60

Григорий Павлович Михальков

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГОНИОМЕТРИИ

Редактор В. Г. Долгополое Художественный редактор А. В. Максаев Технический редактор M. И. Смирнова Корректор Т. И. Смирнова

* * *

Сдано в набор 28/III 1962 г. Подписано к печати 15/VI 1962 г. 84xl08V32.ne4. л. 4,5 (3,69). Уч.-изд. л. 3,07. Тираж 23 тыс. экз.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Полиграфкомбинат Саратовского совнархоза» г. Саратов, ул. Чернь шевского, 59.

Заказ № 64. Цена 8 коп.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Трудно переоценить образовательное, воспитательное и практическое значение графика как способа выражения функциональной зависимости. С построением графика связано изучение свойств функции, развитие мышления учащегося и решение целого ряда практических задач (вычислительные задачи, решение уравнений, неравенств и другие).

Мы не представляем себе изучение, например, квадратной или показательной функции без ее графического изображения. К сожалению, в изучении тригонометрических функций в школе графики играют меньшую роль.

У нас есть основание утверждать, что позднее привлечение графиков является серьезной причиной слабых знаний учащихся по гониометрии.

В настоящей брошюре кратко рассказывается о методике более полного использования графиков при изучении свойств тригонометрических функций и их приложений. В основу предлагаемой методики положен опыт преподавания автора и его коллег—учителей математики школ г. Уфы, имевший место в последние годы.

Название пособия отражает цель автора. Однако при изложении вопроса пришлось в той или иной степени касаться всего содержания и порядка прохождения учебного материала и методики введения основных понятий, относящихся к гониометрии.

В брошюре дано некоторое количество задач, предназначенных лишь для уяснения рассматриваемых вопросов теории.

Как при изучении теории, так и в задачах в качестве аргумента тригонометрических функций мы чаще всего берем отвлеченное число Сделано это из тех соображений, что, во-первых, упражнений на функции от угла в школь-

ных задачниках вполне достаточно, во-вторых, без акцентирования внимания на произвольном аргументе в тригонометрических функциях было бы трудно подготовить учащихся к изучению гармонических колебаний и к использованию графического способа решения уравнений, содержащих, кроме тригонометрических, другие функции; в дальнейшем возникли бы затруднения при дифференцировании тригонометрических функций. Мы уже не говорим о важности такого подхода для лиц, математическое образование которых будет продолжено.

Пособие не выходит из рамок новой программы по математике для IX—XI классов средней школы.

Автор с благодарностью примет все замечания и пожелания в его адрес.

Автор

КОГДА ЗАНИМАТЬСЯ ПОСТРОЕНИЕМ ГРАФИКОВ

Известно, что наши учебники тригонометрии построение графиков относят к разделу «Тригонометрические функции числового аргумента». При этом утверждается, «что при слишком раннем введении графиков в головах учащихся будут одновременно два геометрических образа (тригонометрический круг и графики), преследующих одну и ту же цель наглядного изображения изменения тригонометрических функций, и прочность усвоения их обоих пострадает»*.

Вопреки приведенному мнению, мы изучение тригонометрических функций связали с их графическим изображением. В нашем опыте график не завершает изучение функции, а является вспомогательным средством такового, выступая в этой роли с первых уроков знакомства с функцией. Руководствовались мы следующими соображениями:

1) График по наглядности выше тригонометрического круга. Усмотреть свойства функции и запечатлеть их в памяти с помощью графика легче, чем на круге.

Продолжительное сосредоточение внимания только на круге приводит к тому, что ученик недооценивает график, «боится» кривой, когда надо ею воспользоваться. Дело иногда доходит до курьеза: звенья синусоиды учащиеся принимают за полуокружности.

2) Раннее использование графика облегчает рассмотрение функций на числовом аргументе с самого начала их изучения. Вместо аргумента—дуги (угла) учащийся поль-

* В. М. Брадис, Методика преподавания математики, Учпедгиз. 1954, стр. 458.

зуется здесь привычным образом числовой оси. Это обстоятельство надо учитывать, если иметь в виду и психологическую готовность ученика к восприятию числового аргумента в тригонометрических функциях.

3) С помощью графика удается просто и убедительно иллюстрировать общность таких свойств функций, как четность (нечетность) и формулы приведения; отчетливо усваиваются формулы общего вида интервалов знакопостоянства, промежутков монотонности, дуг, имеющих данное значение функции, и др.

Позднее обращение к графикам в этих вопросах дает меньший эффект.

4) Наша методика исключает ничем не обоснованную повторяемость в изучении функции: вначале свойства функции называются в связи с аргументом — углом (дугой), а потом — в связи с числовым аргументом, хотя в обоих случаях приходится пользоваться кругом.

5) Как показывает опыт, раннее введение графика не только не снижает роли и прочности усвоения тригонометрического круга, а, наоборот, последний лучше осмысливается. В нашей методике круг — не столько наглядный образ, сколько аппарат для изучения функции.

В основу графического представления функции в ее простейшем виде нами положено точечное построение графика, осуществляемое либо путем геометрических операций, либо при помощи вычислений (тогда составляется таблица соответствия между х и у). В отдельных случаях мы прибегаем к параллельному использованию обоих приемов. После же того, как простейший график известен, графическое изображение функции в более сложных случаях производится: в одних случаях — геометрическим преобразованием уже известного графика, в других, где это возможно и целесообразно, — посредством действий над ординатами (сложение, вычитание, умножение и деление «отрезков»).

Известно, что в школьной практике при построении графиков функций придерживаются одинакового масштаба по осям.

Рассмотрение тригонометрических функций на числовом аргументе обязывает нас при построении их графиков следовать тому же правилу. Зато в упражнениях, связанных с приложением функций, где величины х и у имеют различные наименования, мы отступаем от этого правила.

В частности, если аргументом тригонометрической функции служит угол, то допустим различный масштаб по осям при построении ее графика.

ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раннее введение графиков существенно отражается на порядке прохождения учебного материала. Нами был принят следующий план:

Содержание учебного материала

Кол-во уроков

1

Числовая окружность. Связь между радианным и градусным измерением дуги (угла)

4

2

Определение тригонометрических функций

4

3

Построение синусоиды и свойства синуса: а) ограниченность, б) нечетность, в) периодичность, г) интервалы знакопостоянства, д) сегменты монотонности, е) решение уравнения sin ж =з m

4

4

Простейшие преобразования графика синуса: a) y=*as\nx, б) у => sin (л* + с)> в) у = sin вх, г) решение простейших уравнений

4

5

График и свойства косинуса

4

6

График и свойства тангенса

3

7

График и свойства котангенса

2

8

Формулы приведения

6

9

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же значения аргумента

5

10

Гармонические колебания

4

11

Теоремы сложения и их следствия

26

Итого . .

66

Особенность этого плана бросается в глаза:

1) вводится понятие числовой окружности;

2) функции с привлечением их графического изображения изучаются последовательно: одна за другой;

3) формулы приведения, тригонометрические тождества и теоремы сложения проходятся после усвоения основных свойств функций.

При таком порядке прохождения материала графиками приходится заниматься фактически на протяжении всего курса гониометрии.

Основные трудности восприятия и специфика тригонометрических функций преодолеваются при изучении синуса. На изучение синуса в плане отведено 8 часов, тогда как на все остальные функции (косинус, тангенс, котангенс) — 9 часов.

И порядок прохождения программы, и распределение времени отражают лишь наш опыт. Конкретные условия работы подскажут учителю, как поступить лучше.

Ниже даются некоторые пояснения к методике изучения отдельных вопросов.

§ 1. Понятие о числовой окружности

Дугу целесообразно трактовать как путь, пройденный движущейся по окружности точкой. Это позволяет рассматривать дуги, по величине меньшие, равные и большие самой окружности. Кроме того, движение точки будем различать по направлению: положительное— против часовой стрелки, отрицательное — по часовой стрелке. Если теперь некоторую точку А окружности с центром О (рис. 1) принять за начальную (начало пути), а дугу AB за единицу, то любую дугу, описанную точкой М, можно измерить действительным числом (в случае дуги отрицательного направления результату измерения надо приписать знак минус).

Так представилось возможным действительные числа изображать точками окружности, которую мы будем называть числовой окружностью, по аналогии с числовой осью.

Наиболее употребительной единицей измерения дуг является положительная дуга, длина которой равна длине радиуса; такая дуга называется радианом.

Радианная мера а длины дуги /, радиус которой имеет длину R, находится, очевидно, по формуле:

Рис. 1.

(1)

Преимущество радианной меры перед возможными другими заключается уже в том, что при R = 1 длина дуги равна ее мере (/ = a), a длина окружности составит 2л (с = 2л).

Помимо сходства, между числовой осью и числовой окружностью есть и существенное различие. Состоит оно в том, что между числами и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие, тогда как на числовой окружности обратное соответствие не однозначно, а именно каждой точке ее соответствует бесконечно много чисел вида:

а = ß + 2л п, (2)

где |ß|— длина дуги, удовлетворяющая неравенству ^ <л, я = 0,±1, ±2,+3,... и означает число полных оборотов, совершенных движущейся точкой в том или ином направлении. За единицу масштаба для осуществления указанного соответствия взят здесь радиус окружности R.

В дальнейшем нам часто придется иметь дело с числовой окружностью, радиус которой равен единице, центр — в начале координат, начало отсчета дуг — в точке пересечения окружности с положительным направлением оси абсцисс. Такая окружность называется единичной.

Рис. 2.

Вообразим себе числовые дуги радиусов OA и OAi (рис.2) спрямленными. Тогда радиусы их, как следует из равенства (1), выступят в роли различной масштабной единицы (рис. 3) для изображения одних и тех же чисел на числовой

прямой. Этим обстоятельством мы в дальнейшем будем пользоваться, когда от изображения чисел на окружности придется переходить к изображению их на прямой и обратно.

Уяснению понятия числовой окружности и ее свойства (каждой точке окружности соответствует бесконечное множество чисел вида (2) ) мы придаем важное значение. Понимание названного свойства подготавливает учащихся к усвоению в дальнейшем свойства периодичности тригонометрических функций и многозначности обратно тригонометрических величин.

Упражнения

1. Постройте на единичной окружности точки, соответствующие числам: О, ~ , — , «2- и ~ .

Назовите наименьшие положительные числа, соответствующие точкам, симметричным уже построенным относительно осей и начала координат.

2. Укажите (хотя бы приблизительно) на единичной окружности точки, соответствующие числам:

Рис. 3.

Составьте и решите обратную задачу. Чем объясняется многозначность ответа?

3. Числа заданы формулой

Укажите точки, соответствующие этим числам, на единичной окружности.

4. На числовой оси отметьте точками числа—я. Укажите на единичной окружности точки, соответствующие тем же числам. Чем примечательны эти точки?

5. Напишите формулы всех чисел, соответствующих точ-

кам каждой из четырех дуг единичной окружности, на которые последняя разделена осями координат.

6. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие числам: 1, 2, 3, 4, 5,... Могут ли эти точки совпасть?

§ 2. Связь между радианным и градусным измерениями дуги (угла)

Расширение понятия дуги и угла мы начали с дуги, как более простой фигуры, чем угол. Теперь наряду с дугами произвольной величины будем рассматривать центральные углы, соответствующие названным дугам. Начальной стороной такого угла надо считать радиус OA (рис. 2), а конечной — радиус ОМ.

Соответствие между дугами и центральными углами, известное из геометрии, делает естественным углы измерять теми же числами, что и дуги. Поэтому радианная мера дуги и опирающегося на нее центрального угла будет одна и та же. Иначе говоря, сколько дуговых радиан содержит дуга, столько угловых радиан содержит соответствующий дуге угол.

Ввиду важного практического значения градусного измерения дуги (угла), изучаемого в геометрии, установим его связь с радианным.

Из того что длина дуги пропорциональна ее градусной мере, можно составить пропорцию:

/ : с = ср : 360,

откуда

<р — градусная мера дуги /*. Но с = 2л/?, поэтому

Радианная же мера этой дуги будет:

(1)

* Обозначения, которые раньше встречались, в дальнейшем не оговариваются.

Таким образом, радианная мера дуги (угла) прямо пропорциональна ее градусной мере с коэффициентом пропорциональности — ~ 0,0175.

Важно при этом подчеркнуть тот факт, что формула (1) устанавливает независимость радианной меры от длины радиусов дуг (рис. 2), если последние имеют одинаковое градусное измерение, т. е.

Упражнения

1. Найти градусную меру дуги, составляющей один радиан.

2. Составьте и запомните таблицу радианной меры для углов в 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

3. Отметьте на числовой оси точки, соответствующие числам 0,5; —; 1; 1,5;—; 2; 3; тг; Л тг; 2u, а также числам, противоположным им.

Считая указанные выше числа радианной мерой дуг, отметьте на этой же числовой прямой градусную меру углов из упражнения 2.

4. На своем транспортире одну из шкал переделайте в радианную.

Указание. Радианную шкалу можно заготовить на бумаге и наклеить на транспортир. Градусная и радианная шкалы должны иметь одно направление отсчета дуг.

Для перевода градусной меры в радианную воспользуйтесь таблицей XVI из «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса.

5. Постройте график перевода градусной меры в радианную согласно формуле (1).

Решите с помощью графика несколько задач по переводу одной меры в другую.

§ 3. Определение тригонометрических функций

В плоскости хоу возьмем окружность с центром в начале координат О (рис. 4) и радиусом R.

Оси координат такую окружность делят на четверти: первая — ^>АВ, вторая — \jBCy третья — wCD и четвертая — kjDA.

Точку А примем за начальную, а точка M пусть совершает движение по окружности. Положение точки M (а также радиуса ОМ) определяется числом а = радиан. Обратим внимание на то, как при этом изменяются координаты точки М: х= = ON и у = ОК. За один оборот радиуса они, очевидно, претерпевают изменения, которые выразятся неравенствами:

(1)

Введем теперь в рассмотрение отношения — и -1 и r RR

докажем следующую теорему:

Отношения

(2)

не зависят от длины радиуса но являются функциями аргумента а, соответствующего точке М, движущейся по окружности.

Действительно, если радиус будет короче или длиннее R (на рисунке 5 OAl = /?i > R)> но числовая мера дуги (угла) одна и та же (- =-Ч, то, как следует из подобия треугольников MON и MxON{.

где х1 и у1 — координаты точки Mv

Точки M и Mi находятся всегда в одной четверти окружностей, отчего знаки их одноименных координат одинаковы, а поэтому равенства останутся, если даже знак абсолютной величины у координат опустить. Теперь имеем:

Рмс. 4.

Зато величина этих отношений не остается постоянной с изменением величины дуги (угла), что следует из неравенств (1).

Следствие. Отношения

(3)

также суть функции аргумента а.

Изученные нами ранее функции у = ах, у = ах + Ь,

у = — и у = X2 имеют свое название, из их формул видно, по какому правилу они заданы, и, наконец, мы знаем, что аргументом всех этих функций является действительное число X.

Например, у = х2 называется квадратной функцией, числовое значение которой получается от возведения числа X в квадрат, причем х — любое действительное число.

Введенные нами функции (2) и (3) называются тригонометрическими. Каждая из них имеет еще свое название, правило задания и рассматривается вместе с числами а.

Определения:

1) отношение — есть синус числа а:

Рис. 5.

2) отношение

есть косинус числа а:

3) отношение

есть тангенс числа ai

4) отношение

есть котангенс числа а:

Что касается правила задания тригонометрических функций, то оно видно из определений: заданному числу a радиан надо найти точку на окружности (радиус окружности произволен, ибо отношение— =ане зависит от /?), измерить координаты этой точки и составить необходимые отношения. Полученные числовые значения функций будут, конечно, весьма приближенными. Более точные значения находятся по таблицам.

Обратим внимание на следующее. По правилу задания тригонометрических функций могут быть связаны различные по природе величины. Например, аргумент — угол, функция — длина; аргумент — время, функция — скорость; аргумент — дуга, функция — сила и проч. Однако для изображения аргумента на числовой окружности или для вычисления функции по таблице числовое значение аргумента достаточно выразить в радианах дуги (угла), тогда значение функции выразится в соответствующих задаче единицах. Таким образом, радианная мера аргумента отождествляется с отвлеченным числом и под sin*, где* — действительное число, понимают sin (х радиан). С этой точки зрения функции у = х2 и у = sin х определены на одних и тех же действительных числах х.

Вернемся к определениям. Если взять единичную окружность, то sina=#, cosa= х, т. е. числовые значения этих функций совпадают с координатами точки на единичной окружности.

Из определения же следует, что

Так как значения аргумента принято обозначать буквой а значение функции — буквой у, то в дальнейшем мы будем придерживаться этого условия.

Упражнения

1. Найти значения тригонометрических функций для всех чисел, о которых говорится в задаче № 1 упражнений к § 1.

Результаты решения задачи сведите в таблицу.

2. Каков знак функций, если х = 1, 2, 5, — 3, — 4, — 6?

X = 100°, 600°, — 460°, — 540°?

3. Радиус-вектор длиною 1 дм равномерно вращается против часовой стрелки, совершая 1 оборот в секунду. Найти проекции этого ради уса-вектор а на координатные оси через t = -i- сек, —сек, 2 сек, 10 сек с момента начала движения, если начальное положение его совпадало с положительным лучом оси X.

4. Показать, что значения тангенса можно выражать направленными отрезками оси, касательной к единичной окружности в точке А (рис. 6).

5. Показать, что значения котангенса можно выражать направленными отрезками касательной к единичной окружности в точке ß (рис. 7).

6. Путем построения найти: sin 35°, sin 1; cos 200°; cos (-2,5); tg 1,7 л; ctg (-3).

Рис. 6.

Рис. 7.

Указание. Для решения задач № 6, 7 и 8 рекомендуем воспользоваться единичной окружностью (R = 10 см), вычерченной на миллиметровой бумаге и укрепленной на листке картона или фанеры. По окружности наносятся деления в градусах и радианах, а в центре укрепляется ниточка (рис. 8).

Рис. 8.

С помощью такой модели быстро решаются обе задачи: по данному аргументу находится функция и обратно.

Хорошо будет, если каждый учащийся изготовит такую модель.

7. Найти х, если:

а) sin X = — 0,6;

б) cos X = — 0,75;

в) tg X = — 2;

г) ctg X = 1,5, причем 0<*<2я.

8. Вычислить значения функций:

9. Показать, что определения тригонометрических функций, данные нами в этом параграфе, не противоречат их определениям в геометрии для острого угла.

§ 4. Построение синусоиды

Если учащийся осмыслил определение тригонометрических функций, то этого достаточно, чтобы начать построение их графиков. При этом числовая дуга значений аргумента как бы «размотается» и заменится числовой прямой, а функция, воплощенная в график, предстанет перед учащимися без «искажения», которое она имеет на круге. Большинство основных свойств графика объяснится геометрическими соображениями.

В основу построения графика у = sin х естественно положить геометрический способ (рис. 9) — круг с R = = 1,5 см в тетради и15слс — на доске. Учащиеся график строят на миллиметровой бумаге.

Для упрощения работы воспользуемся единичной окружностью. На оси абсцисс от начала координат вправо откладываем отрезок, равный длине окружности (2я^6,28), и разбиваем его на четыре равные части, концы которых соответствуют числам 0, те, 2тг. С помощью транспортира дуга ОМв делится на 6 равных частей, на столько же частей делится сегмент оси абсцисс [о, —1 Ор-

Рис. 9.

динаты точек дуги О, Mv Âf2,..., Мв, по длине совпадающие с численным значением синуса, размещаем вдоль оси х в одноименных точках. Одновременно заполняется табличка, показывающая изменение синуса с равномерным возрастанием аргумента:

Значение аргумента (х)

Значение sin х (у)

Приращение sin* (А*/)

Значения синуса для этой таблицы лучше взять не готовые, а получить самим с помощью модели, описанной в § 3 (рис. 8).

Наличие отрезков рядом с их длинами и приращениями указывает на сложность закона изменения синуса.

Между любыми двумя точками сегмента, например между М3 и УИ4, можно взять сколь угодно много других точек, и для каждой из них существует соответствующее значение синуса. Причем с непрерывным увеличением длины дуги от 0 до — синус постепенно возрастает (свойство полухорды) от 0 до 1. Это дает нам право соединить концы построенных отрезков плавной сплошной линией.

Большой эффект имеет демонстрация в этом месте кинематической модели построения синусоиды. На дощечке размером 20 X 40 см вычерчивается окружность R = 10 см (рис. 10, а), первая четверть которой делается из стальной полоски. Один конец полоски в точке О укреплен шарнирно, а другой в точке В входит в паз на бруске. На стальной полоске крепятся металлические стержни по размерам синуса в соответствии с рисунком 9.

Чтобы показать синусоиду первой четверти, стальную дугу спрямляют (рис. 10, б), и она занимает место сегмента оси *|o,~jj> а стеРжни становятся ординатами точек графика. Концы стержней подтверждают положение синусоиды ОС, которая заранее вычерчена на дощечке.

Чтобы стержни (ординаты) легко принимали свое положение, в обоих случаях (а и б) для них сделаны желобки.

Кривая ОС, дуга OB и ординаты (стержни) ярко раскрашиваются в различные цвета.

После этого перед учащимися ставятся вопросы: можно ли сказать, что синус возрастает пропорционально аргументу на сегменте [о, — 1? Откуда видно, что нельзя?* Где он возрастает быстрее: в начале или в конце сегмента? Доказать, что sin дс <* на всем интервале ^0, ~j .

В дальнейшем точки графика строятся по тому же принципу, но используется уже симметрия точек окружности от-

Рис. 10.

* Здесь рекомендуем воспользоваться графиком прямой

носительно вертикальной и горизонтальной осей. Симметрия точек правой и левой полуокружностей делает график симметричным относительно параллелей оси ординат, проходящих через точки|~, О^и тс, 0 j : первая ось для точек с положительной ординатой, вторая — с отрицательной. Симметрия верхней и нижней полуокружностей (значения синусов противоположные) делает точку (л,0) центром симметрии графика пока что на сегменте [0, 2л] (рис. 11).

Рис. 11.

Свойства симметрии синусоиды позволяют воспользоваться для ее построения шаблоном, изготовленным, например, на сегменте [ Ü, л]. Имея как образец лекало большого размера, учитель обязывает каждого ученика изготовить из картона для себя лекало; размер указан на рисунке 12:

для тетради — в сантиметрах, для доски — в дециметрах.

А как ведет себя функция на сегменте [0, — 2л] (точка вращается по часовой стрелке)?

Ответ на поставленный вопрос дается не только с помощью единичной окружности, но уже и графика на сегменте [0, 2л].

Значения синуса на сегменте [0, — 2л], очевидно, повторяются в порядке, обратном его изменению на сегменте

Рис. 12.

[О, 2л]. График на взятом сегменте можно получить переносом кривой OBCD (рис. 13) на 2л влево по оси х.

Построение графика при дальнейшем возрастании аргумента по абсолютному значению сводится к повторению кривой OBCD на каждом сегменте с начальной точкой 2лл и конечной 2л (п + 1).

Рис. 13.

Упражнения

1. Возьмите на окружности точку Mi (рис. 11) и постройте ей симметричную точку Мг относительно оси ординат; точкам Mi и Л12 постройте симметричные точки Мз и Мл относительно оси абсцисс. Найдите место этих точек на оси x. Ответьте на следующие вопросы:

а) Относительно каких точек на оси точки Mi и М%, Mi и M*, Мг и Мз, Мз и Ma симметричны между собой? Объясните причину симметрии.

б) Почему точки графика Ni и N2, N3 и Na имеют осевую симметрию? Объясните причину симметрии точек Ni и Na, N2 и N3 относительно точки (л,0).

в) Укажите несколько осей симметрии графика и точек, имеющих с точкой Ni симметрию относительно этих осей.

Укажите также несколько центров симметрии графика и точек, симметричных с точкой Ni относительно этих центров.

г) Напишите формулу абсцисс точек графика, имеющих осевую симметрию с точкой Ni и имеющих центральную симметрию с ней.

д) Сделайте обобщения относительно симметричности синусоиды.

2. Пользуясь графиком, показать, что функция sin х при изменении произвольного значения аргумента х на я

меняет свой знак на противоположный, т. е. sin (x±ri) = = — sin X

Укажите на окружности точки, в которых значения аргументов удовлетворяют этому равенству. Чем эти точки примечательны?

§ 5. Свойства синуса

Построенный график надо теперь «прочитать» (вводя соответствующую терминологию) и обосновать определением функции. В следующем порядке называются свойства синуса.

1. Ограниченность. При изучении этого свойства особое внимание, очевидно, надо уделить сегменту [О, 2л]. Прежде всего на этом сегменте указывается на ограниченность синуса, называются его наибольшие и наименьшие значения, знаки функции по четвертям. Выполняется достаточное количество упражнений с тем, чтобы знания по этому вопросу были прочными.

Для решения задач используется наряду с единичной окружностью и график. Так, для решения неравенства jsïn х\ > YJl на сегменте [0,2 я] учащийся может воспользоваться графиком и потом проверить свой вывод на окружности или, наоборот, решить с помощью окружности и проиллюстрировать решение на графике (рис. 14). Неравенству будут удовлетворять два промежутка, отмеченные на окружности и на оси х: ~ < х < — те и ^-те< х < ~ те.

Рис. 14.

Среди упражнений полезны и такие:

а) Отметить на оси абсцисс сегменты, соответствующие той или иной четверти числовой окружности.

Как изменяется на этих сегментах функция?

б) Пользуясь графиком, проиллюстрировать неравенство: sin *<л\ если 0<*<-^-.

В качестве вывода для произвольного числа х устанавливается неравенство: j sin х| <1.

2 Нечетность. Это свойство вытекает из симметричности точек графика относительно начала координат При противоположных значениях аргумента ОМ и OMi (рис. 13) соответствующие значения функции MN и MuVi также противоположны.

Равенство

sin (— х) = — sin* (1)

имеет место для произвольного числа х<

Свойство нечетности синуса легко подтверждается и на окружности (рис. 13). В самом деле, если точке M соответствует число ху то противоположное число — X изобразится точкой Mi, симметричной M относительно оси х. Ординаты таких точек LM и LMi также противоположны. Однако смысл и общность формулы (1) воспринимается отчетливее с помощью графика. С этой целью мы рекомендуем использовать весьма простую модель (рис. 15,а). На листе фанеры 65 X 20 см вырезана синусоидальная щель (по одной волне вправо и влево от начала координат; масштаб по оси X взят в 1,5 раза меньше, чем по оси у) и щель по оси абсцисс. На другой стороне листа от координатной плоскости (рис. 15, б) подвешен на роликах шкивной шнурок, на нижней и верхней частях которого крепятся по цветной палочке. Размер палочек взят по размаху синусоиды, и расположены они вдоль оси ординат. В начальный момент обе палочки совмещены с осью у. Если теперь одну двигать влево, то другая пойдет вправо. На графике же (через щель) это проявится в виде движения двух точек по синусоиде, координаты которых в любой момент оказываются противоположными, причем абсциссы движущихся точек графика фиксируются через щель на оси х.

Впечатляющее значение модели для уяснения рассматриваемого свойства бесспорно.

В дальнейшем модель может быть использована для демонстрации четности косинуса, для чего ось у передвигается вправо на ~ . В промежуточном положении оси ординат между 0 и у модель иллюстрирует график функции, не обладающей нечетностью или четностью.

Рис. 15.

3. Периодичность. Пусть на одном чертеже изображены две совпадающие синусоиды, одну из которых представим себе подвижной. (Здесь мы пользовались демонстрационной моделью неподвижной и подвижной синусоид одинакового размера*.) Станем последнюю передвигать вдоль оси X вправо и влево. Будут ли графики снова совпадать? На какой отрезок надо передвинуть, чтобы произошло совмещение?

Учащиеся не затрудняются в ответах. Такие отрезки будут длиною в 2я, 4я, 6л и т. д.

Совмещение сдвинутых синусоид означает равенство синусов при изменении любого значения х на число, кратное 2л.

* Описание устройства модели см. в § 9.

Иначе говоря,

sin X = sin (х + 2яп),

где п = 0, ± 1, ± 2, ± 3.....

На круге это свойство выражается в том, что повторяемость значений синуса для любой точки окружности имеет место лишь при целом числе оборотов, совершенных движущейся по окружности точкой.

Хотя величина периода функции легко воспринимается геометрически, но не мешает провести следующее рассуждение. Каково наименьшее положительное значение Т в равенстве:

sin X = sin (х + Т)9

где X — любое число?

Пусть jc = -j, тогда sin— = 1 и, значит, sin^~-f TJ = 1. А это возможно, если Т не меньше 2я.

Здесь уместно поставить и такой вопрос: почему отрезок AB (рис. 16) нельзя принять за период? Этим вопросом учитель предупредит учащихся от ошибки принять за период число, меньшее 2я.

Рис. 16.

4. Интервалы знакопостоянства. Как видно из графика (рис. 16), синус в интервале (0, я) — положителен, а в интервале (—л, 0) —отрицателен. Вместе два интервала составляют период синуса (без точек—я, 0 и я, где синус равен нулю). В силу периодичности функция синус будет положительна во всяком интервале (2лл, я + 2лл) и отрицательна во всяком интервале ( —я + 2лл, 2ял). Первые интервалы соответствуют верхней полуокружности, вторые — нижней.

5. Сегменты монотонности. Рассматривая изменение синуса по графику, учащиеся без труда выделя-

ют сегменты возрастания функции и сегменты убывания

Первые промежутки соответствуют правой полуокружности, вторые — левой.

В любом промежутке монотонности синус, принимая все свои значения, изменяется взаимно однозначно с аргументом.

Один из таких промежутков, а именно --у-j, принято называть главным сегментом аргумента (рис. 16), а любое значение аргумента из этого сегмента—главным значением, и обозначают его так: arcsin т. Таким образом,

при этом

6. Решение уравнения sin л: = т. Представим это уравнение в виде системы двух уравнений:

и каждое из них изобразим графически (рис. 17).

Рис. 17.

Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков, в частности отрезки О Ai и ОЛг. Но как записать все решения? Нельзя ли их выразить через главные значения?

Пусть OAî = х0 (х0 <0), тогда ОАч = я + |*0| = я — *0. Точки i4i, Лз,... соответствуют одной и той же точке А' на единичной окружности и изображают числа вида

хг = х0 -j- 2тся.

Точки i42, Л4,... соответствуют точке Л“ на окружности и изображают числа

*2 = тс — *0 + 2™ = — х0 + ти (2л + 1).

Обе формулы решений можно объединить, и тогда

X = (— 1 )* Х0 + тс*.

Таким образом удалось все решения выразить через значение корня на главном сегменте.

Очевидно, при |m|>l у графиков функций у = sin х и у = m точек пересечения не будет и уравнение решения не имеет.

Помимо упражнений по задачнику, предназначенных для закрепления свойств функции, мы предлагаем серию задач для решения с помощью графика.

Упражнения

1. Показать на графике sin 1, sin sin(— 1,5), sin (тс— 1).

2. Что больше: sin 1,57 или sin — ? sin 1 или sin3?

3. Назвать приближенное значение а, если sin а = —0,7 и — 180°<а<0.

4. Указать промежутки, в которых: a) sin#>-^-; б) |sinx|<0,8.

5. Решить уравнения: a) sin х = — ; б) sinx=0,5—0,2*; в) 2 — X2 = sin х\ г) sin х = — ^ — тс < х < тс j .

§ 6. Простейшие преобразования синусоиды

Преобразованию графика функции уделяется известное внимание в курсе алгебры. На примере квадратного трехчлена последовательно рассматриваются все простейшие преобразования параболы. Теперь встретился другой важ-

ный пример, на котором вопросы преобразований графика повторяются и углубляются.

Сборник задач по тригонометрии П. В. Стратилатова имеет достаточный набор задач для упражнений в преобразовании графиков.

1. График функции у = a sin х. Как, зная график у = sin X, построить график функции у = a sin х? Какова при этом роль параметра а?

Преследуя вышеуказанную цель, достаточно рассмотреть построение графиков таких функций:

Рис. 18.

После вычерчивания основного графика (1) на этом же чертеже путем удвоения его ординат, потом деления пополам и, наконец, отражения от оси х строятся точки графиков соответственно (2), (3) и (4) функций (рис. 18). Параметр а характеризует высоту волны синусоиды и называется амплитудой. В случае а<0 кривая изменяет положение своих звеньев относительно оси х на противоположное.

Вычерчиванию кривых можно предпослать составление таблицы.

2. График функции у = sin (х + с). Примерами такой функции могут служить:

(2)

Нельзя ли графики приведенных функций получить из обыкновенной синусоиды, т. е. графика

у = sin X? (3)

График функции у = sin (х + с) получается из графика функции (3) путем смещения последнего вдоль оси х на |с| единиц масштаба: вправо, если £<0, и влево, если с>0.

Действительно, чтобы получить значения sin х из формулы рассматриваемой функции, надо для ее аргумента брать значения, равные х — с, т. е.

sin X = sin [(х — с) -f- с].

Иначе говоря, точки (х, sin х) и (х — с, sin х) имеют одинаковые ординаты, хотя первые принадлежат обыкновенной синусоиде, а вторые— графику функции у = sin (х + с).

Дадим физическое толкование параметру с. Будем под аргументом подразумевать время. Тогда (1) функция упреждает функцию (3) на ~ , а функция (2) запаздывает на 1.

Упреждение (1) функции хорошо иллюстрировать таблицей ( 0 < * -}- £ < — ) :

Положив в основу приведенные выше соображения, на одном чертеже строим три графика (3), (1) и (2) (рис. 19).

Параметр в определяет начальное положение движущейся по окружности точки, или, как говорят, начальную фазу, ибо при X = 0 значение у = sin с. На рисунке 19 отрезок ОС =--и означает величину сдвига по оси X графика (3), чтобы получить график (1), а отрезок OB = sin — = 0,5, что соответствует начальной фазе функции (1) в начальный момент времени.

3. График функции y = s\nbx. Для определения роли параметра b достаточно познакомить учащихся с графиками функций:

(3)

Рис. 19.

Рассуждения здесь просты. Значения функций y=s\nx и y = sinbx будут равными, если значения аргумента второй функции брать равными т. е. sin х = sin {b .

По другому говоря, точки (х, sinx) и ^-у, sinjc^ , имеющие равные ординаты, принадлежат: первые — графику функции у = sin X, вторые — у = sin bx.

Если под X подразумевать время, то (1) функция изменяется вдвое быстрее, а (2)—вдвое медленнее, чем функция у = sin X.

Проиллюстрируем это таблицей (о < Ъх <—) :

* Числовые значения sin 2х и sin -5“ имеет смысл брать лишь те,

Для построения графика важно знать отрезок аргумента, на котором функция y = s\nbx завершает свое изменение, т. е. период.

Из сделанных выше заключений относительно роли параметра b непосредственно вытекает, что величина периода Т найдется по формуле

(*)

ибо для периодического изменения функции у = sin bx нужен промежуток значении аргумента не в 2я, а в — единиц.

Теперь по формуле (*) найдем периоды наших функций:

Отложив по оси X от начала координат вправо длину периода каждой из функций и для сравнения период 2л, построим синусоиды.

Рис. 20

На основании приведенных выше рассуждений и наблюдений над частными случаями (рис. 20) учащиеся убеждаются, что число b определяет частоту полных изменений функций на промежутке аргумента в 2л единиц.

Так, если функция у = sin х завершила одно свое изменение, то (1) функция на том же отрезке — два, (2) — половину, (3)--своего полного изменения.

которые взяты для sin дг.

* Строгий вывод этой формулы нужно дать позже, исходя из уравнения sin b (дг + Т) — sin bx =» 0.

Геометрически это выражается в сжатии (й>1) к оси ординат или растяжении (Ь<1) синусоиды у = sin х.

Параметр b называется частотой Период и частота связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью (*).

Если учитель найдет полезным, то для иллюстрации описанных выше преобразований синусоиды можно воспользоваться моделью из § 5, рисунок 15

В самом деле, модель выполнена в различном масштабе по осям, а именно 1 : 1,5, поэтому синусоида является графиком функции у = 1,5 sin*

Передвижением оси у вдоль оси абсцисс иллюстрируется график функции у = 1,5 sin (х + с).

Считая же масштаб по осям одинаковым, график модели может служить изображением функции у = sin 1,5 х.

Мы в своей практике модель использовали для практических упражнений. Учащиеся измерением соответствующих отрезков сами находили числовые значения параметров a, b и с.

Упражнения

1. Построить график функции у = sin ^л: + -^-j .

2. Чему равна амплитуда и период функции s = = ]/2~sin 0,2л/?

3. По данным: периоду изменения синуса, равному 0,01 сек, амплитуде 3 и начальной фазе - написать формулу функции.

4. Написать формулу функции и построить синусоиду с амплитудой 1,5, частотой 1 и начальной фазой—0,5.

5. Написать формулу функции и построить синусоиду, если амплитуда равна 5, частота — 2л, начальная фаза — 0.

Указание. При заданных параметрах можно рекомендовать выбрать разный масштаб по осям (по оси х, например, в 5 раз крупнее, чем по оси у). Одновременно надо указать, что это искажает истинную метрику графика. Правильный график можно предложить вычертить отдельным учащимся и продемонстрировать его перед всем классом.

6. Сколько корней имеет уравнение sin3x = x3?

7. Решить неравенство Vх < 2 sin (х — 0,75).

§ 7. Построение графика функции y = cos x.

Пусть R = 1, тогда численно cos* = ON (рис. 21) для некоторого значения аргумента х, определяемого положением точки M на числовой окружности. Увеличим х на точка M займет новое положение Ml9 а ее ордината OKi = ON, но OKi = sin ix -\- -|Л • Следовательно,

Рис. 21.

Попутно заметим, что OK = — ONv, т. е.

Надо убедиться, что так будет и при других положениях точки М.

График же функции у = sin ^х-f--^j получается смещением обыкновенной синусоиды на -~ по оси х влево (рис. 22). Учащимся косинусоида уже знакома из упражнений на построение синусоиды.

С помощью графика косинуса формулируются его свойства. Для уяснения их теперь есть возможность воспользоваться сопоставлением косинусоиды с графиком у = sin х:

сравниваются симметрия графиков, изменение функций, четность (нечетность), периодичность и проч. Разумеется, свойства косинуса обосновываются потом на круге. По рисунку 22 нужно поставить и такие вопросы:

1) Что означают точки пересечения графиков? (В этих точках sin х = cos х.) Напишите формулу решения уравнения.

2) Укажите на сегменте [0,2я] интервалы, в которых обе функции положительны, отрицательны, имеют разные знаки. Напишите общий вид этих интервалов.

Рис. 22.

3) По данному значению синуса найдите косинус того же аргумента и наоборот.

В порядке упражнений учащиеся производят все основные преобразования косинусоиды, рассмотренные нами в § 6 для графика синуса.

Заметим, кстати, что после изучения свойств синуса и косинуса можно сразу установить между ними и основное соотношение:

sin2* + cos2* =1. (*)

В самом деле, для произвольной точки M (рис. 21) единичной окружности с координатами ON = cos х и MN = sin X квадрат ее расстояния до начала координат равен 1:

ON2 + MN*=\ или С082* + 5Ш2Х = 1.

С помощью готовой таблицы графиков (рис. 23), выполненных в крупном масштабе, иллюстрируется переход от графиков функций sin х и cos х к тождеству (*). В дальнейшем учащиеся сами будут выполнять аналогичные операции над графиками (§ 11).

То, что в формулах

каждому значению одной функции соответствует два значения другой, не смущает учащихся. Им из графиков (рис. 22) видно, что если числовое значение х известно или хотя бы указана (или установлена) четверть, которой принадлежит ху то уравнению будет удовлетворять только один корень.

Рис. 23.

Упражнения на тождественные преобразования тригонометрических выражений с использованием основных алгебраических соотношений между функциями одного и того же значения аргумента теперь можно вести параллельно с изучением функций и других вопросов программы.

§ 8. Изучение тангенса и котангенса

Изучение тангенса начинается так же, как и синуса, с построения графика. В основу построения кладем геометрический способ (рис. 24), сопровождая его таблицей:

Рис. 24.

Внимание учащихся обращается на то, что тангенс возрастает быстрее по мере приближения аргумента к —; причем ординаты точек кривой увеличиваются неограниченно. Если через точку ^-у, OJ провести прямую, параллельную оси у, то видно, как тангенсоида постепенно приближается к ней, однако при х = — точки графика не будет. Это и выражает тот факт, что тангенса не существует, когда X = —.

Построив тангенсоиду хотя бы на промежутке

I — —7г, — ТСЬ учащиеся получают возможность прочитать график и сделать необходимые заключения о тангенсе. Методика привлечения кривой для изучения свойств функции остается прежней, только все делается значительно быстрее и при максимальной самостоятельности учащихся.

Переход к графику котангенса начинается с установления формулы

которая выводится путем соответственного деления формул, полученных нами в § 7.

Теперь видно, что для построения графика функции у = ctg X надо тангенсоиду сдвинуть вдоль оси х на — — и зеркально отразить от нее. А эти преобразования уже знакомы учащимся.

После построения тангенсоиды и котангенсоиды их можно использовать для иллюстрации тождества

Делением единицы на ординату точки графика у = ctg х получается ордината соответствующей точки графика у = =tg X.

§ 9. Формулы приведения

Формулы приведения появляются в связи с рассмотрением тригонометрических функций от значений аргумента вида ул±х, где /г = 0, 1, 2, ... я X таково, что функция от -~л±л; существует.

К этому времени учащимся известны шесть формул:

(4) (5) (6)

полученные геометрическим путем на основании определения функций.

Формулы

(7)

и

(8)

выводятся также геометрически, а именно при увеличении произвольного значения х на я точка, соответствующая числу je, меняет свое положение на окружности на диаметрально противоположное, а ее координаты — знак.

Не умаляя общности полученных равенств, геометрическое доказательство ведет к лучшему уяснению их смысла учащимися.

Остальные формулы для синуса и косинуса при п = 2 и 3 (дальше проявится свойство периодичности) мы предпочитаем выводить аналитически с помощью уже полученных соотношений.

Так, заменяя в равенствах (3), (4), (7) и (8) л: на — х и принимая во внимание (1) и (2), будем иметь:

(11) (12)

Увеличивая в формулах (3), (4), (9) и (10) значение аргумента на я и учитывая при этом изменение знака функций на противоположный, получим формулы для значений аргумента вида — тг ± х.

Делением соответствующих формул можно получить соответственные формулы для тангенса и котангенса.

Аналитический вывод формул (9) — (12) и всех остальных не освобождает нас от интерпретации их на остром угле.

Любая формула приведения легко поддается иллюстрации с помощью графиков. Покажем это на примерах.

1. Возьмем (4) формулу:

Построим на одном чертеже графики у = cos* и у = = — sin* (рис. 25).

Для получения графика у = cos + хJ достаточно график r/ = cos* сдвинуть по оси х влево на но тогда он совпадет с кривой у=—sin*, и ординаты, соответствующие cos ^17“ “Ь* j» совпадут с ординатами, соответствующими — sin*, при любом значении *. 2. Равенство

Рис. 25.

подтверждает тот факт, что если график у = sin* (рис. 25) сместить вдоль оси * на я влево, то он совместится с графиком у = — sin*.

3. Чтобы графически убедиться в справедливости равенства

перепишем его так:

Теперь видно, что график у = sin (*--— я) может быть получен сдвигом по оси * вправо на — я графика у = sin *.

Сдвинутая синусоида совместится с косинусоидой у = cos *. А это и будет означать равенство значений обеих функций при произвольных значениях *.

Для графической иллюстрации формул приведения рекомендуем иметь модель. Устройство ее такое (рис. 26).

На фанере закреплена полоса бумаги размером 65 X 10 см с изображением синусоиды и оси абсцисс Но размеру названной синусоиды изготовляется еще одна проволочная Для удержания подвижной (проволочной) синусоиды по ее размаху прибиваются две параллельные планочки с мелкими пазами. Имея подвижными ось ординат (пластинка) и проволочную синусоиду, можно кинематически демонстрировать справедливость всех формул приведения, содержащих синус и косинус или одну из этих функций, кроме (1) и (2).

Рис. 26.

Использование модели облегчает понимание равенств и экономит время.

При таком прохождении формул приведения правильность их при произвольном допустимом значении аргумента не подвергалась сомнению. О значении формул для вычисления функций по таблицам при 0°<л:<90о приходилось говорить специально.

Упражнения 1. Дайте графическое толкование равенствам:

2. С помощью построения графиков или модели (рис. 26) покажите, что равенство sin ^ тс -j- хj = sin х не является тождеством.

3. На одном чертеже возьмите графики функций у = = tg X и y = ctg X. Какие преобразования надо проделать

над тангенсоидой, чтобы она совпала с котангенсоидой? Как преобразовать котангенсоиду в тангенсоиду?

Решения запишите равенствами (формулами приведений).

§ 10. Гармонические колебания

Большая работа, проделанная по изучению функции, должна завершиться ознакомлением учащихся с законом гармонических колебаний — важнейшим практическим применением функций. С этой целью рассмотрим простейшую задачу на периодическое движение.

Задача. Дана окружность радиуса А (рис. 27). Пусть по этой окружности с постоянной скоростью в положительном направлении начинает двигаться точка M из положения, в котором она находится на рисунке. Пусть в секунду она делает л оборотов, описывая за это время дугу в 2ял радиан. Это число в физике называют угловой скоростью и обозначают буквой ©. Таким образом,

© = 2яя.

Обозначим через Т время (в секундах) одного полного оборота (период движения точки М). Тогда пТ = 1, п = ~

н <о = -у. (2)

Положим, что через t секунд точка M заняла положение Mi. Величина дуги ММ и очевидно, определится из равенств:

kjMM, = Ы =* —t. 1 т

Если дугу ОМ обозначить буквой <р, то положение точки Mi относительно начала дуг (точки О) выразится формулой:

^ОМх = Ы-\-ч. (3)

Поставим перед собой задачу: выяснить, как передвигается вдоль оси у точка Р (проекция точки M) при описанном выше движении по окружности точки М.

Обозначим КРг через у, тогда

-У— = sin w ОМ,. А 1

Откуда, учитывая (3),

у « A sin(ü)f +ф). (4)

Принимая во внимание равенство (2), получим:

</ = ^sin^y-/+(p). (5)

Формулы (4) и (5) дают возможность найти положение точки Р относительно точки К в любой момент времени. Из этих формул видно, что при равномерном движении точки M точка Р движется по оси у неравномерно; она колеблется, совершая так называемые простые гармонические колебания.

Рис. 27. Рис. 28.

Заметим, что уравнение

X = A cos (со/ -f- ф) (6)

выражает величину отклонения точки Q от точки К по оси X в любой момент времени t.

Во многих приложениях удобен геометрический способ представления колебания с помощью вектора амплитуды. Сущность его состоит в следующем. Возьмем ось х и из точки К под углом ф отложим в некотором масштабе вектор КМ длиною А (рис 28). Угол ср определяет начальное положение вектора. Из рисунка видно, что проекция вектора КМ на ось X дает начальное смещение точки Q: х = A cos <р. Будем вращать вектор амплитуды с угловой скоростью оо против часовой стрелки, тогда в некоторый момент времени / он образует с осью х QKMi =©/ +<р, причем проекция вектора КМ на ось х равна:

X = A cos (о)/ + ф) (6)

и будет давать отклонение от точки К по оси х колеблющейся точки Q в момент времени t (уравнение (6)).

Очевидно, проекция вектора КМ на ось у (в прямоугольной системе координат) будет выражаться формулой (4) и даст отклонение колеблющейся точки по оси у от точки К.

Теперь лучше выясняются физическое значение параметров формулы (5) и смысл названий, рассмотренные нами в § 6. Амплитуда, или размах колебаний, А указывает наибольшее отклонение от точки К колеблющейся точки Р. Начальная фаза колебания ф определяет положение точки Р на оси у в начальный момент времени. Период колебания Т (то же, что и период функции) означает время, в течение которого точка Р из своего исходного положения дойдет до точки Ву повернув, придет в точку С, а затем снова возвратится в исходное положение.

Периоду на графике отвечает волна — часть синусоиды, состоящая из двух звеньев: полуволны повышения и полуволны понижения.

Уяснению физической картины колебаний и его графического представления поможет самопишущий маятник (рис. 29, а). Этот маятник представляет собой конический сосуд, подвешенный на нити, наполненный песком и имеющий в вершине небольшое отверстие, через которое песок высыпается тонкой струйкой. Положим на стол длинную полосу картона, выкрашенную в черный цвет и слегка смоченную, и заставим ее равномерно двигаться по столу в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой движется маятник. Песок, высыпаясь на картон, прилипает к нему.

Рис. 29.

«Автограф» маятника (рис. 29,6), написанный песком по картону, и есть синусоида, соответствующая уравнению

У = A COS ü) ty

где А означает наибольшее отклонение маятника от положения равновесия, а со характеризует скорость движения полосы картона, отсчет времени производится с момента крайнего положения маятника (точка В).

По толщине «песчаной кривой» можно судить и о скорости движения маятника: наименьшая она в точках изменения направления движения (песку много), наибольшая — в точке равновесия (песку мало).

Построение графика гармоники. Дадим методику построения графика функции

у = a sin (bx (7)

так называемой гармоники, выражающей закон простого колебательного движения.

К построению графика функции (7) учащиеся подготовлены всем ходом предыдущей работы, им известна роль каждого параметра в этой формуле.

Уравнению (7) придадим следующий вид:

у = а$\х\\ь .

Теперь видно, что график функции может быть получен из графика г/ = sin х путем:

1) изменения его размаха (амплитуды) в а раз;

2) сдвига по оси х вправо (с<0) или влево (с>0)* на — единиц (изменение фазы);

3) сжатия (растяжения) к оси у в Ь раз (6>0) (период функции Т = —) .

Приведем пример. Пусть надо построить график функции:

у = 2 sin (3* — 1,2) = 2 sin [3 (х — О,4)]. (8)

Анализ. 1) Амплитуда колебания а = 2;

2) изменение фазы — = —0,4 (сдвиг вправо);

b

3) период колебания Т = —.

* Всегда можно сделать, чтобы b было положительным.

Построение. 1) Пусть OB = 1 (масштаб) (рис. 30);

2) проведем выше и ниже оси х параллели на расстоянии 2 (размах синусоиды);

3) на оси X отметим точку Л, соответствующую числу 0,4 (сдвиг);

4) от точки А по обе стороны отложим несколько периодов ГлС = -у »2,l];

5) разбиваем период на четыре равные части;

Рис. 30.

6) строим волну: для пяти точек периода [0,— , — , —Т, Т) значения функции мы знаем (0,1,0, —1, 0— соответственно), для других можем найти из формулы (8) вычислением (составляется табличка);

7) повторяя то же, что в 5 и б пунктах на других периодах, получим синусоиду нашей функции.

Упражнения

1. Определить амплитуду, период и начальную фазу простого гармонического колебания, заданного формулой:

Каким преобразованиям надо подвергнуть обыкновенную синусоиду и косинусоиду (график sin / для а) и cos х для б), чтобы получить графики названных функций?

2. Построить график уравнения электродвижущей силы переменного тока:

Е = 120 sin 100тсЛ

Указание. Задача требует умелого подбора масштаба. Очевидно, масштаб по осям надо взять разный, например: на оси абсцисс принять за период ^сек отрезок в 6 сМу а на оси ординат — за 60 в отрезок в 1 см.

3. Точка Р совершает простое гармоническое колебание вдоль отрезка AB длиной 10 см, проходя расстояние от А до В за 0,5 сек. От начального положения, совпадающего с серединой отрезка OB (О — середина отрезка AB), точка Р начала двигаться к точке В. Составить формулу изменения расстояния s точки Р от точки О в зависимости от времени /.

Рис. 31.

4. Поданным графикам гармонических колебаний (рис.31) написать их формулы, беря значения параметров из чертежа в сантиметрах (масштаб по обеим осям: 1:1).

§ 11. Теорема сложения

При изучении теоремы сложения представляется большая возможность продолжить упражнения на построение графиков. Основное внимание здесь следует уделить сложению гармоник. Изложим подробнее содержание и мето-

шку, использованную нами при изучении этого важного вопроса

Вначале предлагается по графикам двух простых гармонических колебаний, имеющих одинаковый период, построить график результирующего колебания. Например, на одном и том же чертеже построить графики функций:

у = 2 sin2jt, (1) у = 3sin2x. (2)

Рис. 32.

Произведя сложение ординат (1) и (2) графиков (рис. 32), мы получим искомый график функции

у = 5 sin 2 Ху (3)

для которой не вызывает никакого затруднения вопрос относительно величины амплитуды, периода и начальной фазы: амплитуда ее равна сумме амплитуд слагаемых функций, а период и начальная фаза не изменились.

Следующим примером можно взять сумму гармоник:

у = 2sinjc + cos*. (4)

Построение графика, как и ранее, произведем путем суммирования ординат графиков слагаемых функций, выбирая достаточное число подходящих точек (рис. 33).

Чему же равны амплитуда, период и начальная фаза результирующего колебания в этом случае?

Для ответа на вопрос докажем теорему:

Рис. 33.

Уравнение, выражающее сумму двух гармонических колебательных движений одинаковой частоты

у = А, sin to X -f- А2 cos ü) X, (5)

имеет вид гармоники

у = A sin (<ûx -\- ср), (6)

Действительно, подвергнем правую часть равенства (5) следующим преобразованиям:

Мы воспользовались здесь вспомогательным углом ф, взятым из уравнения

Из (7) же следует:

Причем первое из равенств (8) дает:

Уравнение (7) имеет, вообще говоря, много решений, но в пределах 0 <ф<2я можно найти единственное значение Ф, удовлетворяющее (8). Для этого пришлось бы учитывать знаки sin ф и cos ф, которые, как видно из равенства (8), совпадают со знаками Ai и Л2.

Применяя сказанное к примеру (4), получим:

так как Ах > 0 и А2 > 0, то

А потому

Даже грубый анализ полученного графика (рис. 33) убеждает учащихся в совпадении обоих решений: графического и аналитического.

Отсюда же следует, что построение графика функции (5) проще произвести после приведения ее к виду (6).

Далее доказываем равенство:

которое в свою очередь приводится к виду (6). При этом теперь

(9)

Таким образом, сумма двух синусоид наиболее общего вида, но с равными периодами представляет собой опять-таки синусоиду вида (6).

Как показывают формулы (9), результирующая амплитуда существенно зависит от разности фаз ф1 — ф2 между составляющими колебаниями.

Если разность фаз слагаемых колебаний фх — ф2 = тс • 2п (п = 0, ± 1, ± 2, ... ), то А = at +#2, если же разность фаз ?i—Фг = 71 • (2л + 1), то Л = i aj—а2|. Значение а,—а2 берем по абсолютной величине, так как по самому смыслу амплитуда есть величина положительная.

Вывод относительно влияния разности фаз на результирующую амплитуду убедительно иллюстрируется сложением синусоид одного периода, сдвинутых по фазе. Для случая, когда ф1 —фг = лп (п — целое число), целесообразно иметь готовые таблицы графиков.

Физический смысл решенной нами задачи состоит в следующем.

Некоторая точка пространства находится под воздействием двух источников гармонических колебаний одинаковой частоты (двух камертонов, двух радиопередатчиков, двух источников света и проч.). В результате сложения этих колебаний точка совершает гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и фаза которого выражаются через амплитуды и фазы составляющих колебаний.

Векторная диаграмма. Решим предыдущую задачу геометрическим построением, представив оба колебания векторами амплитуд (стр. 43). Для этого в одной плоскости проведем ось х и из произвольной точки О ее построим векторы OMi и OAÎ2 длины ах и а2, образующие с осью X углыф1 ифг соответственно (рис. 34).Оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью са против часовой стрелки. Поэтому угол между ними все время остается равным ф1 -ф2.

Нам надлежит найти длину суммы векторов А и угол ф, который вектор-сумма образует с осью х.

По известному правилу (правило параллелограмма) найдем сумму векторов:

Ш1 +(ш2 = ш.

Из того же чертежа (рис. 34) искомый угол будет равен:

Ф= гвом.

Теперь из треугольника MOM г по теореме косинусов имеем:

А = V а] + а\ + 2а, cos (ф1 — ф2).

Угол ф, который образует вектор ОМ с осью х в начальный момент, найдется из уравнения:

Но

Поэтому

Мы пришли снова к формулам (9). В геометрическом способе решения рисунок 34 называют векторной диаграммой сложения колебаний.

Рис. 34. Рис. 35.

Построение рисунка 34 легко обобщить на случай суммы любого числа гармонических колебаний одинаковой частоты. Решим задачу из электротехники на трехфазный ток.

Задача. В проводниках, соединенных «звездой», текут три тока (рис. 35):

Найти сумму этих токов I.

На рисунке 36 суммарный ток найден двумя способами: 1) путем геометрического сложения трех векторов амплитуды /, которые образовали замкнутый равносторонний треугольник KMiM'i, 2) путем сложения ординат трех графиков для любой точки на оси /.

В обоих решениях результат получился один: суммарная сила токов i равна нулю.

Предлагается ответ проверить также аналитическим решением.

В этой же теме мы строили графики функций:

(10)

приводя их соответственно к виду:

Рис. 36.

Новое здесь состоит в том, что при построении графиков последних двух функций применяется параллельный перенос графика вдоль оси у. Так на рисунке 37 пунктиром изображен график у = — cos 2х, а сплошной линией — гра-

Рис. 37.

фик у = ——]—— cos 2*, полученный из первого путем «поднятия» его на — .

Однако построение графиков функций (10) можно осуществить и посредством действий над ординатами. На рисунке 38 построен график у = sin*cos* путем умножения «отрезков» — ординат графиков у = sin* и у = cos* — для одних и тех же точек оси *.

Рис. 38.

Рис. 39.

На рисунке 39 возведением в квадрат ординат графика у = sin* построен график у = sin2*. При этом ординаты исходного графика измерялись учащимися непосредственно, а действия над ними производились на счетной линейке.

Прием построения графиков на рисунках 38 и 39 сам по себе представляет интерес в обучении учащихся графическому изображению функций. Он помогает также чтению формул, которыми задаются функции.

Упражнения. 1. Постройте графики гармоник:

и произведите их сложение.

Покажите, что получаемая в результате сложения синусоида имеет амплитуду s^4,6 и начальную фазу (р^ 1,1. Сделайте проверку вычислением.

2. Для разности гармоник

постройте график при фх = 1.

При каких значениях фг в промежутке от — тс до я результирующая гармоника будет иметь амплитуду, равную:

а) 7, б) 1, в) 5?

3. Постройте график функции:

у = 6 sin (х — 0,4) cos (х — 0,6).

Указание. Предварительно преобразуйте произведение функций в сумму.

4. В одном проводнике протекают два переменных тока с равными амплитудами и одинаковыми частотами. Определить, при каком смещении фаз этих токов в цепи совсем не будет тока.

Указание. Суммарный ток выразится формулой:

Так как эта сумма должна равняться нулю в любой момент времени, то это возможно лишь при условии, что

Отсюда фх —ф2 = я (кратность 2я здесь не имеет значения).

Этот результат следует проверить: 1) векторной диаграммой, на которой два вектора одинаковой амплитуды составляют между собой угол я и поэтому их сумма равна нулю;

2) смещением двух одинаковых синусоид на я единиц (модель, рис. 26); тогда сумма ординат графиков при любом значении / будет равна нулю (суммарный график: i = 0).

Можно поступить наоборот: найти решение задачи графически и потом проделать аналитические выкладки.

В дальнейшем при изучении элементарных функций рекомендуем построить графики функций: у = 2sln *, у = =x2-cos^, у = lg sin jv, у = lg cos*, r/= lgtg*,*/ = lg ctg*.

Логарифмические функции от тригонометрического аргумента целесообразно связать с изучением логарифмических таблиц. Графики в этом случае помогут лучше осмыслить вопросы интерполяции, поправок и проч.

В качестве примера построим график функции:

у = lg cos *. (1)

Чтобы легче провести исследование взятой функции, предварительно вычертим косинусоиду (рис. 40):

Рис. 40.

у = cos *. (2)

Исследование. 1) Из графика функции (2) видно, что функция (1) определена в интервалах ^—^-\-2кп, у +

2тт|, где cos *>0.

2) Функция (2) изменяется периодически, а потому и функция (1) будет периодической, а именно:

lg cos * = lg cos (* -j- 2тг n).

3) Симметрия графика функции (2) относительно оси у вызовет симметрию графика функции (1) относительно той же оси, т. е. функция (1) будет четной:

4) В интервале ^--~, при возрастании х от--~ до 0 функция (2) возрастает от 0 до 1, а, следовательно, функция (1) возрастает от — <х> до 0.

При возрастании х от 0 до — функция (2) убывает от 1 до 0, а функция (1) убывает от 0 до — оо.

В силу этого точек графика функции (1) выше оси х не будет.

Аналогичная картина повторится и на других интервалах из области определения функции (1).

Построение. 1) Через точки ^--^-,0J и , 0^ проведем параллели оси у — асимптоты. 2) Составим таблицу:

cos X

0

0,10

0,40

0,70

1

lg cos X

оо

—1

— 0,40

—0,15

0

3) В соответствии с таблицей строятся точки Mlt M2f М8 и M4 (техника установления соответствия между точками графиков (1) и (2) показана на рис. 40: 0,10 -+Nl -*> Мх\ 0,40 -> N2 — М2 и т. д.), соединив которые плавной линией, получаем искомую кривую для--^- < х < 0,

Построив же симметричную часть графика с точками М[, М[2, М'3, мы закончим всю ветвь в интервале

(--ri)-

Построение кривой на других интервалах может быть выполнено аналогично.

§ 12. Синусограф

В учебной и методической литературе описано не мало приборов и установок, с помощью которых записываются графики колебаний. Об установке с высыпающимся песком для записи механических колебаний маятника мы говорили в § 10. В журнале «Политехническое обучение»», №5, 1959 г.,

в статье H. А. Курицына есть описание весьма простого по устройству синусографа.

В нашей практике учащимися сделано и осуществлено ряд предложений по изготовлению синусографов, вычерчивающих графики гармоник у = A sin (со* + ср).

Каково значение таких приборов? Учителю хорошо известна распространенная среди учащихся ошибка: принимать график за траекторию движущейся точки. Подобное недоразумение встречается даже среди старшеклассников. Синусограф как раз и является тем прибором, с помощью которого колебательное движение точки по прямой развертывается во времени. Наблюдая синусограф в работе, учащийся лучше убеждается в том, что по графику судят как о характере движения, так и о положении колеблющейся точки в зависимости от времени.

Самопишущие приборы широко применяются в технике и научных исследованиях. Поэтому изготовление и рассмотрение принципа их устройства и действия могут составить важный элемент практической подготовки учащихся.

Когда знакомить с синусографом учащихся? Спешить, конечно, нельзя. Учащиеся должны преодолеть ряд трудностей в изучении гониометрии, приобрести известные умения в построении графиков, ознакомиться с применением функций и лишь потом изучить синусограф. Сделать это лучше всего в теме «Гармонические колебания».

По изложенной методике при изучении гониометрии учащемуся придется вычертить около 50 графиков тригонометрических функций. Времени на это уходит не много, если в большинстве случаев обходиться схематическим чертежом, выполненным от руки или с помощью шаблона. В некоторых случаях одни и те же графики могут быть использованы для решения ряда задач.

Изучение функций со своевременным и широким привлечением графиков сопровождается повышенным интересом учащихся к предмету и высокой усвояемостью. Этому же содействует: 1) выполнение большого числа практических работ на уроке и дома, предусмотренных упражнениями; 2) изготовление целого ряда пособий и моделей самими учащимися; 3) физическая интерпретация формул.

Раскрытие «секрета» построения графиков тригонометрических функций повышает общую графическую грамотность учащихся и облегчает исследование свойств и построение графиков других функций, изучаемых в дальнейшем в курсе «Алгебра и элементарные функции». Наконец, прочные умения и навыки в графическом представлении функций позволяют интересно вести повторение гониометрии в связи с другими разделами математики (решение трансцендентных уравнений и неравенств, дифференцирование) и изучением колебательных процессов в физике и технике.

ОТВЕТЫ

§ 1

1. Числам 0, j , и y соответствуют точки Ми M2t M3t Л44 и Мъ (рис. 41), которые служат концами дуг длиною в 0, -, ... радиан.

Точке М2 соответствует симметричная относительно оси у точка M'it изображающая наименьшее положительное число «а-тс ^тс — же точке соответствует симметричная относительно начала координат О точка М\ с числом— тс I тс-4- — \ и т. д.

2. Числу 1 соответствует дуга в 1 радиан. Построив ее (на глаз), возьмем раствор циркуля, равный длине хорды, стягивающей дугу в 1 радиан, и найдем точку, соответствующую числу 5; числу 10 соответствует дуга, в 2 раза большая предыдущей, и т. д. Числам — 5 и — 10 соответствуют на окружности точки, симметричные относительно оси х точкам, изображающим числа 5 и 10.

Пусть числу 5 соответствует точка M на единичной окружности. Решим обратную задачу: какое число соответствует точке М?

Очевидно, это будет число

а = 5+ 2 тс/г,

где /1 = 0, ±1, ±2.....

Многозначность ответа объясняется свойством окружности (периодичностью).

3. Числам

соответствуют на единичной окружности две точки: Mt и М2, диаметрально противоположные (рис. 42).

4. Числам y п на числовой оси соответствуют начало координат и все другие точки, расположенные от начала вправо и влево, с интервалом в — .

Рис. 41. Рис. 42.

На единичной окружности таких точек будет четыре— это точки пересечения осей с окружностью.

5. Для точек дуги первой четверти единичной окружности соответствуют числа

6. Как отметить на единичной окружности точки, соответствующие данным числам, указано в задаче 2.

Допустим, что эти точки совпали, тогда разность чисел, соответствующих одной и той же точке, должна быть кратной 2я, что невозможно для чисел, взятых из натурального ряда.

§ 2

1. Из формулы (1) имеем:

При а = 1 радиану получим:

2. Учащиеся должны знать таблицу:

Рис. 43.

Зе При изучении тригонометрических функций числа вида ^ (п и m — целые, тфО) часто будут встречаться, поэтому полезно с помощью оси сравнить величины 0,5 и —, 1,5 и п , 3 и тс и др. (рис. 44).

Рис. 44.

С той же целью на ось наносится градусная мера углов.

5. Функция

изображается прямой, проходящей через начало координат (рис. 45). Для построения графика целесообразно по осям

Рис. 45.

взять разные масштабы. Скажем, за 1 см по оси х принять 20°, а по оси у — 1 радиан.

§ 3

1. Зная числовые значения тригонометрических функций для чисел первой четверти, пользуясь определением функций, легко находятся значения их для соответствующих значений аргумента остальных четвертей. Так, если

sin—= —, то sin — к = —- (рис. 46). 6 2 6 2

Рис. 46.

Решение задачи сводится в таблицу:

Рис. 47.

2. Для установления знака функции достаточно знать, в какую четверть окружности попадает значение аргумента. Так, 0<1<*^(1 четверть), поэтому все функции положительны; —■ тс < — 3< — — (III четверть) и, значит,

sin (— 3) и cos (— 3) —отрицательны, a tg (—3) и ctg (— 3)— положительны. И т. д.

3. Через — сек радиус-вектор с осью х составит угол в j радиан, поэтому его проекции на оси координат будут 0 и 1; а через — сек (угол радиуса-вектора с осью X равен it радиан) проекции на оси: — 1 и 0; через 2 сек и 10 сек (через 2 и 10 оборотов) радиус-вектор приходит в начальное положение и его проекции на оси: 1 и 0.

4. Для каждой четверти справедливо равенство (см. рис. 6 в тексте брошюры): -—-, но -= ig*, AT — направленный отрезок касательной, a R = 1, поэтому igx = AT.

5. Решается аналогично задаче 4.

7. Задача является обратной к 6.

8. Решение примера а):

9. Тригонометрическая функция острого угла может рассматриваться как функция числа 0 < х < у.

В самом деле, если дан угол в ср°, 0°<фо<90° (рис. 48), то значит, ему соответствует дуга в ф° или в X = — <р радиан, а функция от дуги в X радиан есть функция от числа х.

но ср° = X радиан, поэтому sincp° = sinA: радиан, a sin* радиан = sin х.

§ 4

1. Рис. 11 в тексте брошюры содержит условие задачи, а) Точки Мх и М2 симметричны между собой относи-

Рис. 48.

тельно точки Oj. Это объясняется их симметрией на окружности относительно вертикальной оси (диаметр дугу МХМ2 делит пополам). По этой же причине симмет- j тс, 0). Симметрия точек Мх и Af4, а также М2 и М3 относительно точки (тс, 0) вызвана симметрией их относительно горизонтальной оси.

б) Точки графика Nx и N2 имеют осевую симметрию относительно прямой X = — . Это следует непосредственно из осевой симметрии прямоугольника MlN1N.iM2.

Центральная симметрия точек графика Nt и N4 относительно точки (тс, 0) доказывается равенством треугольников

MxNxtz и Af4yV4tc.

Аналогично доказывается симметрия других пар точек.

в) Если график продолжать в обе стороны, то, как легко убедиться, найдется много (столько, сколько взято волн синусоиды) точек графика, имеющих с Nx осевую и центральную симметрию. Пример доказательства дан в пункте б).

г) Если обозначить числовое значение дуги ОМх через xQy то формулой абсцисс точек графика, имеющих осевую симметрию с точкой Nl9 будет:

X = (тс — х0) + 2тсл = — х0 -f- те (2п + 1).

А абсциссы точек графика, центрально симметричных с Nl9 выразятся формулой:

X = (2тс — Xq) -J— 2tcaz = — XQ -|— тс (2/2 —j— 2).

д) Любая точка пересечения синусоиды с осью х (те/г, 0) может служить центром симметрии кривой, а любая прямая у = — -f- те/г — осью симметрии.

2. Если, например, точке Мх оси х соответствует число ху то точке М3 — число x-f*71 (рис. 11), и для них справедливо равенство

sin (х + тс) « — sin X.

На окружности эти точки расположены диаметрально противоположно и им соответствуют числа вида х-\-кп.

3. Взяв на оси у значение синуса — 0,7 (рис. 49), находим точку графика М, проектируя которую на ось х, получим значение <x(ON)\ а^--45°.

Рис. 49.

Рис. 50.

Рис. 51.

4. Решение видно из рисунка 7. Для а) — -J- 2тт < < X < — тс -\- 2лп\ для б) — аналогично. 6

б. Решения уравнений б), в) и г) показаны на рисунках 50, 51 и 52 — соответственно; числовые значения корней берутся измерением соответствующих отрезков оси абсцисс.

§ 5

2. а= V2; Г = — = 10 .

3. Так как b = —, то b =-= 200я. Параметры а и с известны. Теперь

Рис. 52.

4. Функция —у = 1,5 sin (х — 0,5); график—рисунок 53.

5. Формулой функции будет: у = 5 sin 2кх. Для построения графика надо найти еще период: Т =-= 1.

в. Надо графически решить систему уравнений (рис. 54):

(1)

(2)

Других корней, кроме х1 и хг, не будет, так как при

7. Вычертим на одном чертеже (рис. 55) графики функций:

у = Ух(\) и t/ = 2sin(A: — 0,75). (2)

Решением неравенства будет числовой интервал оси х, заштрихованный на рисунке 55.

Рис. 53.

Рис. 54.

Рис. 55.

§ 9

1. а) В одной системе координат изобразим графически обе функции:

Графики их совпадут. Что означает тождественность левой и правой частей равенства при любом значении х.

б) Решение и результат аналогичны а).

2. Если функции левой и правой частей равенства представить графически, то у их графиков будут общие точки (точки пересечения), но не произойдет совмещения самих синусоид. Предложенное равенство является лишь уравнением, а не тождеством.

3. Чтобы тангенсоида совпала с котангенсоидой, достаточно сдвинуть ее вправо (влево) по оси х на - и зеркально отразить в ней.

И это решение выразится такой формулой:

Для совмещения с тангенсоидой достаточно котангенсоиду сдвинуть вправо (влево) по оси х на ^ и зеркально отразить в ней, т. е.

§ 10

Значения параметров о и Г в графиках учащимся известны (§ 6). Новым здесь является определение сдвига кривой по оси х. Так, для а)—=— —

Рис. 56.

3. Так как АВ= 10 см (рис.56), то амплитуда колебания а = 5 см\ полупериод равен 0,5 сек, значит, Т =

Если направление оси считать от А к В, а начало колебаний совпадает с точкой 0, по условию, то

4. а) Измерением периода на чертеже (Г^З, ^.амплитуды (а»1) и изменением начальной фазы ^ » 0,5 j находим:

А потому

Величину у можно выразить и через синус, но тогда сдвиг по оси X был бы другой. Аналогично решается задача б).

§ 11

1. На одном чертеже (рис. 57) построим графики St и S2, выбрав в качестве периода произвольный, но равный для обеих гармоник отрезок оси/. Произведя сложение синусоид, измерим амплитуду и начальную фазу.

Рис. 67.

Вычисления дают:

так как /44>0 и Л2>0, то cp = arctg 1,6« 1,1.

2. Чтобы воспользоваться формулами (9) из § 11, предварительно произведем необходимое преобразование:

Теперь найдем А и ф результирующей гармоники при

Итак, сумма гармоник выразится формулой:

Чтобы А равнялось 7 (сумма амплитуд), надо условие:

К условию задачи подходит п = 0, а поэтому

Если А будет равно 1 (разности амплитуд), то

И здесь надо взять п = О, тогда

При А = 5 получим уравнение:

или

откуда

Условию удовлетворяют п = 0 и п = I, а потому

3. Произведем преобразование:

Итак,