МЕТОДЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

СБОРНИК СТАТЕЙ

Под редакцией Л. Н. СКАТКИНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ“ Москва 1965

Рукопись рецензировали:

Методист И. И. Игнатьев и преподаватель педагогического института А. Ф. Коликов

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы научными работниками, методистами и учителями в нашей стране ведется большая работа по перестройке содержания и методов обучения. В разработке этих проблем применительно к начальным классам принимают участие и сотрудники кафедры методики начального обучения Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина.

Бурный рост науки и техники предъявляет повышенные требования к школе, в частности к математическому образованию учащихся.

Опыт показывает, что содержание начального обучения математике может быть расширено при одновременном совершенствовании методов обучения.

Расширение содержания курса начальной математики целесообразно сделать за счет введения элементов геометрии в программу I и II классов и увеличения объема геометрических знаний в III классе углубления и усиления элементов арифметической теории в начальных классах при условии их использования в практике вычислений и решения задач.

Совершенствовать методы начального обучения математике следует в том направлении, чтобы применение разнообразных методов более эффективно содействовало формированию основных математических понятий, сознательному и прочному усвоению учащимися математических знаний.

Эта цель может быть достигнута на основе укрепления связи с жизнью при начальном обучении математике.

Важное значение имеют также различные формы и способы организации самостоятельной работы учащихся по овладению вычислительными навыками и умением решать арифметические задачи. Одним из возможных путей организации самостоятельной работы учащихся является использование некоторых идей так называемого программированного обучения в преподавании математики в начальных классах.

Вместе с этим полезно шире применять на уроках, особенно в I и II классах, дидактический материал и дидактические игры.

При разрешении выше указанных проблем необходимо изучать зарубежный опыт. Отвергая лежащие в основе этого опыта неверные принципиальные положения, советская методика начального обучения математике может использовать некоторые методические приемы и технические средства.

Эти проблемы получили свое освещение в предлагаемом сборнике. Коллектив авторов надеется, что использование учителями излагаемого в сборнике опыта будет содействовать повышению уровня математического образования советских школьников.

Л. Скаткин

Л. Н. СКАТКИН

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

I

Утверждение, что на уроках учитель обучает учащихся, а ученики учатся, можно выразить другими словами: ученики овладевают знаниями, умениями и навыками, а учитель управляет процессом овладения знаниями. Это управление заключается в организации учителем учебной деятельности учащихся. Для этого учитель подбирает необходимый учебный материал, располагает его в определенной последовательности, возбуждает познавательную активность учащихся, предлагает учащимся различные источники знания, организует деятельность учащихся по их усвоению, контролирует, как протекает процесс усвоения знаний. Процесс усвоения математических знаний учащимися — сложный процесс. Правильно его осмыслить можно только исходя из материалистического понимания происхождения математических понятий.

Педагоги, стоявшие на идеалистических позициях, считали, что «... математическое сознание и уверенность априорны, то есть не зависят от наблюдения и опыта и существования вещей вне нас; наблюдение и опыт дают только побуждение к приобретению числовых и геометрических понятий; последние являются построениями нашего разума»1.

В противоположность этой неправильной точке зрения мы считаем, что математические понятия отражают свойства вещей, существующих вне нас. «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключи-

1 В. А. Лай, Руководство к первоначальному обучению арифметике, 1916, стр. 209.

тельно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления»1. При таком понимании происхождения математических понятий процесс их усвоения детьми младшего школьного возраста непременно будет включать изучение учащимися количественных и пространственных отношений, которые присущи объектам внешнего мира.

Ребенок еще до школы в играх и в трудовой деятельности имеет дело со множествами конкретных предметов — он выделяет из множества его отдельные элементы, объединяет элементы во множества, соединяет множества, отделяет из множества его часть, сравнивает множества. Все эти практические действия со множествами вещей приводят при постоянном общении со взрослыми к формированию понятия натурального числа. Выполнение различных «построек» из кубиков, «кирпичиков», лепка из глины, рисование и другие виды деятельности детей дают им возможность ознакомиться с формой, размером, взаимным расположением различных предметов, что служит основой для формирования геометрических понятий.

Таким образом, дети овладевают первоначальными математическими знаниями в результате своего, хотя и небольшого, личного опыта, который они приобретают самостоятельно, но при наличии влияния общения со взрослыми.

Выявляя эти первоначальные знания, учитель их исправляет, восполняет и на этом фундаменте строится дальнейшее овладение новыми знаниями. Это овладение новыми знаниями происходит как путем самостоятельной выработки детьми новых понятий на основе наблюдений фактов и их обобщения, так и путем принятия уже выработанных человечеством понятий. При этом усвоение новых понятий совершается в процессе преодоления противоречий между новыми и старыми знаниями, между сформированными понятиями и новыми фактами. Понятия не остаются в сознании ученика неизмененными, они видоизменяются, развиваются. Понятия совершенствуются и закрепляются в деятельности по их применению при выполнении различных практических работ. Например, первоначальное понятие о раз-

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37.

ности формируется на основе сравнения групп предметов, а также сравнения разных значений величин, например длин полосок бумаги. Ребенок сопоставляет один к одному, например группу «кирпичиков» и группу кубиков, и непосредственно замечает, скажем, два лишних кубика, следовательно, кубиков на два больше, чем «кирпичиков». Маленьким детям приходится при этом преодолевать ранее сложившееся у них представление о том, что большая группа предметов та, которая занимает большее пространство. Если предложить детям шести-семилетнего возраста сравнить группу палочек и кружков, расположенных так, что меньшее количество кружков занимает большую площадь, чем большее количество палочек, то некоторые дети скажут, что кружков больше, чем палочек. Дети выполняют также сравнение длин палочек, брусков путем прикладывания одного бруска к другому. Непосредственное сравнение групп предметов путем установления взаимно однозначного соответствия между предметами той и другой группы в дальнейшем, при овладении счетом, заменяется сравнением чисел, выражающих количество предметов в той и другой группах.

Непосредственное сравнение длин заменяется сравнением чисел, полученных при измерении этих длин. Это сравнение чисел выполняется путем вычитания из большего числа меньшего числа, результат покажет, на сколько первое число больше второго. Одновременно результат обозначает, что второе число на столько же меньше первого. Если дети раньше выполняли вычитание для нахождения остатка, узнавая, например, сколько осталось кубиков, после того как часть их употреблена на «постройку», то теперь то же действие вычитания применяется для нахождения ответа на вопросы: «На сколько больше?» и «На сколько меньше?».

Таким образом, в процессе выполнения практических работ по сравнению групп предметов, по сравнению длин отрезков, а затем при решении задач дети усваивают основные признаки понятия «разность»: разность находится вычитанием и показывает, на сколько больше или меньше одно число, чем другое.

Понятие «разность» закрепляется в процессе выполнения практических работ. Учебно-практические работы для закрепления этого понятия заключаются в решении

задач, в выполнении заданий по сравнению длин полосок бумаги, по вычерчиванию отрезков с их последующим сравнением и т. п.

Жизненно практические работы, связанные с указанной темой,— это нахождение разности, характеризующей результаты деятельности самих детей по выполнению поделок на уроках труда, по сбору макулатуры и т. п.

Таким образом, процесс усвоения учащимися знаний под руководством учителя может быть изображен при помощи следующей схемы1.

I. Личный жизненный опыт ребенка и ранее усвоенные знания.

II. Организованный в школе опыт: наблюдения, лабораторные и другие практические работы.

III. Опыт, накопленленный человечеством,— знания, запечатленные в книгах.

IV. Применение знаний в учебно-практических и жизненно практических работах.

В соответствии с элементами этой схемы может быть представлена деятельность учащихся по усвоению знаний и деятельность учителя по управлению процессом усвоения знаний учащимися.

Деятельность учителя

(методы обучения)

Деятельность учащихся

(способы усвоения и выявления знаний)

I. Выявление знаний учащихся путем опроса, беседы, постановки заданий для практических работ — вычислительных, измерительных, по решению задач.

Ответы на вопросы учителя, выполнение заданий по вычислениям, измерениям, решению задач.

1 Основные черты этой схемы были намечены известным советским педагогом С. Т. Шацким.

II. Демонстрация наглядных пособий, организация наблюдений, организация самостоятельной работы учащихся с дидактическим материалом, организация лабораторных работ.

Наблюдение предлагаемых объектов, применение анализа и синтеза, сравнения, обобщения, индуктивных выводов, дедуктивных рассуждений.

III. Изложение знаний в виде связного объяснения, в виде беседы; организация работы с книгой (учебником).

IV. Организация упражнений — выполнения учащимися учебно-практических и жизненно практических работ.

Слушание изложения учителя, чтение книг (учебника), осмысливание фактов и обобщений, запоминание.

Применение знаний к выполнению практических работ в условиях, аналогичных первоначальному усвоению и в измененных условиях.

Ответы на вопросы учителя, выполнение практических работ.

V. Проверка усвоения знаний учащимися путем опроса или постановки заданий для практических работ.

Рассмотрим, как конкретно использовались указанные выше методы при обучении учащихся I класса нумерации чисел в пределах 201.

1. Выявление знаний детей. В индивидуальных занятиях с несколькими детьми разной успеваемости было установлено, что все дети знают числовой ряд до 10, а некоторые умеют считать до 100, однако они не имеют понятия о десятеричной системе.

Так, перед учеником на парте были положены 3 пучка по 10 палочек и 25 отдельных палочек, предлагалось на лист бумаги положить сначала 12 палочек, потом 20 палочек. Никто из детей не использовал пучки — десятки палочек. После того как были отложены 12 палочек, дети заявляли, что у них не хватает палочек, чтобы отложить 20 штук.

1 Статья Л. Н. Скаткина «Уроки по нумерации чисел второго десятка» в Сб. «Повышение эффективности уроков арифметики в начальной школе», Учпедгиз, М., 1960.

2. Использование личного жизненного опыта детей и ранее усвоенных знаний. На первом уроке проводили счет предметов до 20, упражнялись в назывании показываемого количества предметов и откладывали названное количество предметов в пределах 10. На следующих уроках использовалось знание детьми названий двузначных чисел от 11 до 19 для осмысливания названий.

3. Сообщение новых знаний в виде развернутого объяснения учителя, сопровождающегося демонстрацией наглядных пособий. Ознакомление с понятием «десяток» и со счетом предметов десятками, ознакомление с понятием «единица» в противопоставлении понятию «десяток», образование чисел второго десятка из одного десятка и единиц при помощи бруска из 10 кубиков и отдельных кубиков, ознакомление с принципом обозначения чисел второго десятка при помощи цифр (первоначальное представление о поместном значении цифры).

4. Практические работы для закрепления знаний. Выполнение упражнений в назывании и обозначении цифрами заданного количества клеток, расположенных в двух столбцах, и выделение групп клеток, соответствующих указанным числам, чтение обозначений страниц учебника и нахождение названной страницы, называние номеров домов, автобусов, троллейбусов, которые обозначены двумя цифрами (в пределах 20).

То обстоятельство, что многие дети умеют считать до 100, приводит к мысли о возможности сразу познакомить учащихся I класса с нумерацией в пределах 100. При этом лучше и полнее будет усвоено детьми понятие о десятке как о составной счетной единице, так как можно будет считать десятками до 100. Вместе с тем ознакомление с нумерацией до 100 имеет и большое практическое значение: дети смогут использовать эти знания при чтении нумерации страниц, нумерации задач и примеров в учебнике арифметики.

Опыт изучения вместо нумерации в пределах 20 нумерации в пределах 100 был успешно проведен в 1959 г. под руководством автора этой статьи в 113 школе Москвы учительницей Н. И. Масловой.

Понятие десятеричной системы нумерации принадлежит к числу тех понятий, которые было бы нецелесообразно заставлять детей самостоятельно вырабатывать: это понятие выработано в процессе длительного исторического развития человеческого общества и предлагается учащимся для осмысленного усвоения.

В свое время (1860) Л. Н. Толстой сделал следующее интересное замечание об обобщениях: «Ум человеческий тогда только понимает обобщение, когда он сам его сделал или проверил»1. В рассмотренном выше примере учащиеся получают готовые знания, но они осмысливают новые понятия, проверяют их целесообразность.

В программе по арифметике для I—IV классов упоминаются и такие понятия, которые могут быть выработаны учащимися под руководством учителя самостоятельно: к числу таких понятий относится, например, понятие «разность» (путь формирования этого понятия был раскрыт выше), понятие о переместительном законе сложения, о сочетательном законе сложения и другие.

В пособиях по методике начального обучения математике следовало бы подвергнуть анализу материал программы с этой точки зрения: установить, какие математические понятия подлежат усвоению, какие из них являются взаимно связанными, какие из математических понятий целесообразно формировать путем выработки их самими учащимися, какие — путем сообщения школьникам в готовом виде с соответствующими обоснованиями.

II

Задачей начального обучения математике является не только формирование математических понятий, но также и выработка у учащихся вычислительных, измерительных и графических навыков, а также умений решать арифметические примеры и задачи.

Отличительным признаком навыка, как одного из видов деятельности человека, является автоматизирован-

1 Л. Н. Толстой, Педагогические заметки и материалы. Полное собрание сочинений, т. 8, изд. «Художественная литература», М., 1936, стр. 377.

ный характер этой деятельности, тогда как умение представляет собой сознательное действие.

Однако навык вырабатывается при участии сознания, которое первоначально направляет действие к определенной цели при помощи осмысленных способов его выполнения и контролирует его.

«Высшие формы навыка у человека, функционирующие автоматически, вырабатываются сознательно и являются сознательными действиями, которые стали навыками; на каждом шагу — в частности при затруднениях — они вновь становятся сознательными действиями; навык, взятый в его становлении, является не только автоматическим, но и сознательным актом; единство автоматизма и сознательности заключено в какой-то мере в нем самом»1.

Например, воспроизведение табличных результатов умножения выполняется автоматически; на вопрос, чему равняется произведение чисел 5 и 6, ученик сразу дает ответ 30. Однако первоначально ученик сознательно вычисляет сумму шести одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 5, а затем, выполняя упражнения и заучивая таблицу, запоминает результаты. В том случае, если ученик забудет нужный результат, он знает, как его получить: он может взять 5 слагаемых 6 раз, или умножить 5 на 3, а полученный результат умножить на 2, или 5 умножить на 5 и прибавить еще 5 и т. п.

Умение же является, как сказано, сознательно выполняемым действием, в котором используются такие приемы мышления, как анализ, синтез, сравнение, аналогия, и которое опирается на приобретенные ранее знания и навыки.

«...В любую форму деятельности навыки входят необходимой составной частью; только благодаря тому, что некоторые действия закрепляются в качестве навыков и как бы спускаются в план автоматизированных актов, сознательная деятельность человека, разгружаясь от регулирования относительно элементарных актов, может направляться на разрешение более сложных задач»2.

1 С. Л. Рубинштейн, Основы общей психологии, Учпедгиз, М., 1940, стр. 462.

2 Там же.

Пусть ученику IV класса, который изучил правила порядка действий в сложных примерах, надо решить такой пример:

При решении примера ученик может начать с рассмотрения данных в примере чисел и знаков действий в их последовательности. Разбирая пример, он замечает, что к 100 нельзя прибавить 75, так как сначала надо вычислить произведение 75 на 4, что он и делает, затем аналогично отклоняет возможность прибавления 18, а сначала вычисляет произведение 18X5; потом выполняет сложение в том порядке, как это указано в примере.

Возможно разбирать предложенный пример иначе. Можно поставить вопрос: какое действие надо выполнить последним? Последним действием будет второе сложение. Известны ли слагаемые? Нет, их надо предварительно вычислить, для этого надо 75 умножить на 4 и 18x5. Тогда можно выполнять сложение. И в том и в другом случае при решении сложного примера приходится применять опирающиеся на анализ и синтез рассуждения, основанные на знании теории порядка выполнения действий, а при вычислениях использовать приобретенные ранее навыки устных вычислений.

Как же вырабатываются навыки и умения в процессе начального обучения математике? Рассмотрим для примера, как вырабатывается навык письменного сложения в пределах 1000. В основе выработки навыка письменного сложения лежат знания, которые учащиеся приобрели при устном сложении, а именно: любое трехзначное число можно разбить на разряды — сотни, десятки, единицы; сложение выполняется поразрядно. Расположение записей при письменном сложении и последовательность выполнения отдельных операций сообщаются учителем в виде показа образца решения примера, сопровождаемого объяснениями.

Учитель показывает, как надо подписывать одно число под другим поразрядно, поясняет, что удобнее начинать сложение с единиц низшего разряда, разъясняет, что при получении от сложения единиц в сумме 10 или более единиц единицы (или нуль) подписываются под единицами, а десяток прибавляется к десяткам, что аналогично поступают при сложении десятков.

Разъяснения учителя могут быть заменены в некоторых случаях самостоятельным чтением печатного текста. После этого ученик пробует сам решить предложенный ему пример с объяснениями под контролем учителя. Далее предлагаются ученику упражнения в решении аналогичных примеров1.

Упражнения тогда достигают цели — выработки навыка,— когда они выполняются учеником сознательно, т. е. на основе знания приемов вычисления и при наличии осознанной цели — овладеть навыком. Необходимым условием выработки навыка является повторность выполнения аналогичных действий в установленном порядке, которая сопровождается осознанием правильности решения данного примера. Оценка качества результата решения примера может быть выполнена или самим учеником повторным решением примера, выполнением обратного действия, или путем сверки с ответом, если ответы даны после текста с примерами, или учителем, замечания которого должны быть учтены учеником. Допущенные ошибки следует разобрать, выяснив их причины, разъяснить ученику, если он неверно понял правило или неправильно его применял. В процессе упражнений при указанных условиях навык не только закрепляется, но и совершенствуется: вычисления производятся все более точно и быстро.

Выработка умений происходит в связи с овладением знаниями и навыками. Овладение умением решать задачи находится в тесной связи с усвоением математических знаний, с формированием математических понятий. Решение простых задач (в одно действие) является основой для формирования многих понятий, например, «увеличить или уменьшить на несколько единиц», «увеличить или уменьшить в несколько раз» и т. п. Сформированные понятия в свою очередь являются необходимым фундаментом для решения сложных (составных) задач, включающих эти понятия. На решении простых задач на умножение и деление дети усваивают зависимость между основными величинами, например между ценой, количеством предметов и их стоимостью. Знание же

1 См. статью в настоящем сборнике Н. Ф. Копелевой «Об использовании некоторых идей программированного обучения в преподавании арифметики в начальных классах».

зависимости между основными величинами представляет собой необходимое условие для решения составных задач, в содержание которых входят указанные величины.

Умение решать задачи совершенствуется в связи с развитием вычислительных навыков: овладение навыками вычисления является необходимым условием для того, чтобы решить задачу, вместе с тем вычислительные навыки закрепляются при решении задач.

Умение решать арифметические задачи является более сложным видом деятельности, чем навык вычисления, и процесс его выработки более сложен.

В этом процессе также имеет некоторое значение показ учителем образца решения задачи, сопровождаемый объяснениями при первоначальном обучении решению задач и при разборе задач нового вида. Однако этот образец не может быть непосредственно использован для решения других задач, как это было возможно сделать при выработке вычислительных навыков определенного вида.

В рассматриваемом образце решения задач нужно выделить некоторые общие приемы разбора задачи и отыскания пути ее решения, а не специальные приемы, которые не могут быть применены к решению другой, отличной от решенной задачи.

Оказывает помощь ученику в этом выделении общих приемов формулировка приемов разбора задачи в виде особой «памятки».

В описанном ниже опыте Жикалкиной Т. К. использовалась такая «памятка».

Памятка о решении задач

1. Прочитай внимательно задачу и подумай, что означает каждое число в задаче. Постарайся представить мысленно то, о чем говорится в задаче.

2. Если задача сложная, запиши кратко ее условие или начерти к ней схему или чертеж.

3. Прочитай вторично задачу и перескажи про себя.

4. Запиши вопрос задачи.

5. Подумай, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи.

6. Подумай, что можно узнать из условия задачи и нужно ли это знать для ответа на вопрос задачи.

7. Обдумай план решения задачи.

8. Реши задачу с вопросами.

9. Проверь ответ.

Эта «памятка» была сначала использована в классе; в процессе коллективной работы учитель разъяснил, как ею пользоваться. Затем ученики работали с ней самостоятельно в классе, а после усвоения пользовались ею и дома. При систематических упражнениях этот порядок разбора задачи становится для учащихся привычным, стереотипным, вследствие этого ученики и на последующих занятиях работают в том же плане, который предусмотрен «памяткой».

До того как предложить учащимся эту «памятку», их познакомили со вспомогательными приемами при решении задач: с использованием краткой записи условия, данных и вопроса задачи, составлением схемы и чертежа.

Само собой разумеется, что дети овладевают в процессе обучения отдельными приемами разбора задачи практически начинай с I класса. В «памятке» для учащихся IV класса сделана попытка дать эти приемы в определенной системе.

Отдельные приемы разбора задачи и подхода к отысканию пути ее решения дают лишь общее направление мысли учащегося при работе над задачей. Поэтому показ образца решения задачи при ее коллективном разборе в классе играет лишь вспомогательную роль. Гораздо большее значение имеют самостоятельные поиски учащимися пути решения задачи. Осознание и обобщение примененных на этом пути приемов расчленения условия, выделения и объединения данных, установления связи между данными и искомым создают основу для выработки умений решать задачи. Эти приемы разбора задачи и отыскания пути ее решения закрепляются и совершенствуются в упражнениях по самостоятельному решению задач учащимися.

Те черты, которые были отмечены выше в вычислительных упражнениях, должны характеризовать и упражнения в решении задач: сознательность выполнения, повторность, систематичность, самоконтроль учащихся и контроль учителя, исправление ошибок.

Однако, ввиду того, что задачи отличаются большим разнообразием, а при решении каждой задачи применяется целый комплекс приемов ее разбора и способов отыскания решения, при этом более резко, чем при решении примеров, проявляются индивидуальные различия учащихся, правильная организация учителем упражнений в решении задач требует разрешения ряда возникающих при этом методических вопросов.

Одним из важных вопросов является вооружение учащихся умением проверять правильность решения задачи путем «оценки» ответа, сопоставления ответа с данными и условиями, составления задачи, обратной данной, и ее решения.

Существенное значение имеет дифференциация обучения применительно к группам учащихся с разным уровнем подготовленности, развития и разной работоспособностью. Эта дифференциация при обучении решению задач достигается подбором заданий различной степени трудности для разных групп учащихся: повышенной степени трудности для более подготовленных, более расчлененных на последовательные ступени трудности для менее подготовленных учащихся.

Важное значение имеет поддержание в классе интереса к решению задач и к занятиям математикой. Это может быть достигнуто предложением для решения в классе и дома для желающих более трудных и занимательных задач, включением в уроки занимательных упражнений, проведением «часов» занимательной математики, выпуском силами учащихся математической стенной газеты и т. п.

III

Начальное обучение математике предоставляет широкие возможности для развития логического мышления учащихся.

Первоначальные знания по арифметике и наглядной геометрии усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными формами мышления в доступном для них виде: анали-

зом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением, аналогией, делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Прием мышления, направленный на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Прием мышления, направленный на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти приемы мышления взаимно связаны: «...мышление состоит столько же в разложении предметов создания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство. Без анализа нет синтеза»1.

Анализ и синтез, взаимно связанные приемы мышления находят постоянное применение как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач.

Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества.

Прибавление чисел первого десятка по единице или группами единиц с использованием наглядных пособий выполняется на основе наглядного анализа — разложения прибавляемого числа на единицы или группы единиц с последующим наглядным синтезом — присоединением единиц или групп единиц к данному числу.

Наглядный анализ и синтез сменяются затем анализом и синтезом по представлению: ребенок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами цифр, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании.

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1953, стр. 40.

Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи.

При обучении любому разделу арифметики и наглядной геометрии приходится опираться на анализ и синтез как формы мышления учащихся.

Возьмем для примера изучение нумерации чисел второго десятка. Усвоение образования чисел второго десятка и их названий проходит на основе наглядно-действенного синтеза: дети берут брусок, соответствующий десяти отдельным кубикам, изображающим единицы, накладывают на брусок один кубик, воспринимают сказанное учителем название «одиннадцать». Затем составленное таким образом число одиннадцать путем анализа разлагают на десяток и единицу. Наглядно-действенный анализ группы предметов сопровождается разложением слова «одиннадцать» на составные части: «один-на-дцать» и осмысливанием их значения. Пользуясь разрезными цифрами, дети обозначают число одиннадцать двумя цифрами (наглядный синтез) и обозначенное цифрами число разлагают на десяток и единицу (наглядный анализ). Запись учащимися названного учителем числа сопровождается анализом воспринимаемого ими слова — названия и синтезом при записи числа цифрами.

Отвечая на вопрос учителя, как называется число, состоящее из одного десятка и двух единиц, учащиеся пользуются синтезом, который, можно предполагать, сопровождается сначала зрительными образами цифр, а затем выполняется в уме.

Отвечая на вопрос учителя, сколько в числе «двенадцать» десятков и единиц, учащиеся выполняют анализ этого числа, возможно пользуясь зрительными образами, а затем применяя умственный анализ.

Анализ и синтез, как взаимно связанные приемы мышления, находят свое применение также при решении арифметических задач.

Для того чтобы решить простую задачу, т. е. задачу в одно действие, ученик применяет анализ и синтез.

Пусть ученику I класса надо решить задачу: «С одной грядки сорвали 5 морковок, а с другой — 4 морковки. Сколько всего морковок сорвали с двух грядок?»

Ученик под руководством учителя прежде всего анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные («5 морковок» и «4 морковки»), условия («сорвали с одной гряды», «с другой») и вопрос («Сколько всего морковок сорвали с двух грядок?»).

Обдумывая вопрос задачи, ученик замечает, что слова «сорвали с двух грядок» обозначают, что морковки были сорваны не с одной грядки, а с обеих: искомое целое (количество сорванных морковок) расчленяется на части. Рассматривая данные числа «5 морковок» и «4 морковки», ученик мысленно их объединяет (синтез) в соответствии с вопросом задачи. Этим обосновывается выбор действия сложения, которое нужно применить, чтобы получить ответ на вопрос задачи.

При решении составных арифметических задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению ее содержания на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условия и искомое должны подвергнуться дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы. В простой задаче имеется только два данных, которые подлежат объединению. В составной задаче из нескольких данных приходится выбирать те, которые следует объединить попарно, чтобы составить простые задачи, к последовательному решению которых сводится решение составной задачи.

В процессе начального обучения математике находит свое применение прием сравнения, т. е. выделения сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач.

Арифметические факты представляют благодатный материал для того, чтобы подметить сходства и различия, с тем чтобы использовать их для обобщений и выводов.

Прием сравнения широко используется, например, и при обучении решению задач.

Например, в учебнике арифметики А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка для II класса (1960 г., стр. 70) помещены рядом задачи на увеличение числа на несколько единиц и задачи на увеличение числа в несколько раз для того, чтобы учащиеся могли их сопоставить:

Больше на несколько единиц

Больше в несколько раз

В одной коробке 6 карандашей, в другой на 3 карандаша больше. Сколько карандашей в другой коробке?

В одной коробке 6 карандашей, в другой в 3 раза больше. Сколько карандашей в другой коробке?

Сравнивая эти задачи под руководством учителя, учащиеся выделяют общие условия: и в той и в другой задаче данные числа одинаковые, и в той и другой задаче говорится о двух коробках карандашей, вопросы — одинаковые. Различие же состоит в том, что в одной задаче сказано, что во второй коробке «на 3 карандаша больше», а в другой задаче — «в 3 раза больше».

После решения каждой задачи учащиеся сравнивают, каким действием решается та и другая задача: одна — сложением, другая — умножением, а затем сопоставляют способы решения этих задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом ее решения.

Подобное сопоставление применяется по отношению и к другим задачам, имеющим ряд сходных черт и вместе с тем отличающихся чем-то друг от друга.

Из приведенных примеров видно, что сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие ее элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия.

Выделение некоторых сходных черт у предметов и явлений служит основой для того, чтобы сделать предположение по аналогии о наличии между ними более глубокого и разностороннего сходства. Так, например, после изучения правил сложения и вычитания трехзначных чисел учащиеся по аналогии распространяют эти правила и на шестизначные числа. Основанием для этого служит сходство выполняемых действий и сходство в десятичном составе слагаемых.

При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто

используется прием аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно.

Например, в IV классе нужно было решить такую задачу: «В двух амбарах было 1568 ц зерна. Когда из первого амбара взяли 240 ц, а из второго 364 ц, в обоих амбарах осталось зерна поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом амбаре?» Чтобы помочь учащимся найти способ решения этой задачи, учительница предложила им сначала решить следующую задачу: «У двух мальчиков было вместе 80 коп. Когда один из них истратил 35 коп., а другой 25 коп., у обоих осталось денег поровну. Сколько денег было первоначально у каждого мальчика?»

Вычисления при решении этой задачи могут быть сделаны устно, что позволяет учащимся все свое внимание сосредоточить на обдумывании плана решения и формулировке вопросов. Затем намеченный план может быть применен учащимися к решению аналогичной, но более трудной по вычислениям задачи.

Известно, что заключение по аналогии не может считаться достоверным, оно требует дополнительной проверки. Учащиеся, пользуясь аналогией, иногда приходят к неверным выводам. Учителю приходится проявлять заботу о предотвращении неправильно примененной учащимися аналогии. Например, некоторые учащиеся I класса при решении примера 12—6 получили в ответе 14. Здесь сказалась неправильная аналогия между вычитанием и сложением: применение переместительного свойства к вычитанию (6—2 = 4) и использование приема добавления десятка к результату, полученному от вычитания единиц.

Иногда учащиеся неправильно пользуются аналогией при отыскании способа решения задачи, устанавливая сходство между предложенной им задачей и ранее известной по случайным внешним признакам. Например, для решения задачи «У школьника было 5 тетрадей — на 2 тетради больше, чем у его сестры. Сколько тетрадей было у сестры школьника?» учащиеся III класса нередко неправильно применяют действие сложения по аналогии с задачей, в которой требуется найти число, на несколько единиц большее данного. При разборе задачи учитель обращает внимание учащихся не только на.

выражение «на... больше», но и на его смысл, на то, что оно в первой задаче обозначает, что данное число на 2 больше неизвестного числа, следовательно, неизвестное число на 2 меньше данного.

На основе сравнения, установления аналогии учащиеся делают обобщения. Эти обобщения касаются как свойств чисел, геометрических фигур, арифметических действий, так и вычислительных приемов и способов решения задач.

Уже в I классе дети на основе рассмотрения примеров

и аналогичных им делают обобщение, что при сложении можно изменять порядок данных чисел, и начинают использовать этот прием при решении примеров. Учащимся I класса доступно также сделать обобщение, что прибавить одно число к другому можно не только по единице, но и группами единиц. Опираясь на подобные обобщения, учащиеся лучше усваивают вычислительные приемы.

Многие общие математические положения учащиеся усваивают, исходя из наблюдений отдельных фактов, отдельных случаев, т. е. пользуются формой мышления, которая называется индукцией. Решая примеры на сложение, в которых даны одни и те же числа для сложения, но в разном порядке:

учащиеся замечают, что в каждой паре примеров получается одна и та же сумма. То обстоятельство, что в разных примерах складываются разные числа, а подмеченная закономерность сохраняется, наводит на мысль, что при решении любых примеров на сложение сумма не зависит от порядка слагаемых.

Убедившись на многих примерах в истинности этого общего положения, учащиеся начинают им пользоваться для упрощения вычислений в отдельных, частных слу-

чаях. Пусть учащимся надо найти сумму нескольких слагаемых:

Учащиеся, исходя из общего положения, что сумма не зависит от порядка слагаемых, изменяют порядок слагаемых:

и, объединив в группы по 2 слагаемых, быстро находят сумму:

В данном случае учащиеся пользовались формой мышления, в которой, исходя из истинности общего положения, мысль переходит к выводу об истинности частного положения, т. е. применяли дедукцию.

Начальное обучение математике строится на основе выполнения учащимися индуктивных выводов с использованием затем этих выводов для дедуктивных рассуждений.

Приведем еще пример, подтверждающий это положение.

К усвоению умножения учитель ведет учащихся I класса от рассмотрения отдельных случаев сложения нескольких одинаковых слагаемых:

Обращая внимание учащихся, что в этих случаях приходится «по 2 взять 4 раза», «по 2 взять 5 раз», учитель подводит их к мысли, что так вычислять быстрее, показывает способ записи умножения 2X4 = 8, 2X5=10. Так, на основе индукции учащиеся подходят к пониманию смысла действия умножения.

Во II классе учащиеся, исходя из понимания умножения как сложения нескольких одинаковых слагаемых, пользуются этим общим положением для вывода, например, правила умножения двузначного числа на однозначное.

Рассматривая пример 12 X 3 и вспоминая, что умножить число на 3 это значит:

учащиеся затем представляют 12 как сумму 10 и 2 и записывают:

или:

Опираясь снова на понимание смысла умножения, заменяют эту запись другой, с применением знака умножения:

При выводе правила умножения двузначного числа на однозначное учитель побуждал учащихся проводить дедуктивные рассуждения.

Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся и тем самым способствовали его развитию.

Л. И. ТАРАСОВА

ОБ ИЗУЧЕНИИ ЗНАНИЙ И НАВЫКОВ ПО АРИФМЕТИКЕ У ДЕТЕЙ, ПОСТУПАЮЩИХ В I КЛАСС1

Мною проводилось изучение знаний и умений поступающих в I класс детей в области счета, знания чисел и умения решать примеры и задачи. Всего было обследовано 67 детей.

Подготовленность детей проверялась в порядке индивидуальной беседы с каждым учащимся по следующим разделам:

I. Умение устанавливать взаимно однозначное соответствие между множествами (группами) предметов

Положи столько же палочек.

Ребенку дается коробка с палочками, учитель раскладывает на столе перед ним 5 палочек и предлагает положить еще столько же палочек.

Ведется запись, сколько палочек кладет ребенок и как выполняет задание: кладет на стол по одной палочке, пользуется счетом вслух, сразу кладет столько же палочек и т. д.

Пересчитай кружочки. А сколько палочек?

На столе раскладывается 6 кружочков, а сверху на каждый кружок кладется палочка. Ведется наблюдение за тем, каким способом ребенок определит количество палочек: ответит сразу на основе установления взаимно однозначного соответствия без счета или станет пересчитывать палочки.

Чего больше: палочек или кружочков?

1 Настоящая статья (под названием «Об изучении знаний и навыков по арифметике») печаталась в журнале «Начальная школа», 1963, № 9.

Ребенку даются 9 палочек и 7 кружочков, положенные в две различные кучки, а не рядами, чтобы нельзя было сразу узнать число предметов в группе. Ведется наблюдение за тем, как ребенок приступит к выполнению этого задания: на основе установления взаимно однозначного соответствия или на основе счета и т. д.

Чего меньше: палочек или кружочков?

Ребенку даются 7 палочек и 5 кружочков. Предлагается задание и ведутся наблюдения аналогично.

II. Умение считать предметы

Сосчитай, сколько здесь палочек.

На столе близко от ребенка кладется в ряд 10 палочек на расстоянии 1 см друг от друга.

Учитель записывает последнее число, до которого счет ведется правильно, и отмечает, как ребенок считает: передвигая каждую палочку или дотрагиваясь до нее, или только указывает пальцем, или считает только «глазами».

Сосчитай, сколько здесь кружочков.

На столе, на таком расстоянии от ребенка, чтобы он не мог дотянуться до них рукой, учитель кладет в ряд 10 кружочков на расстоянии 1 см друг от друга. Наблюдения записываются.

III. Знание соответствия между названием числа и числом предметов, знание «состава» числа

Скажи, сколько здесь палочек.

Учитель кладет на столе 4 палочки так, чтобы они образовали прямоугольник. Записывается ответ ребенка и способ выполнения задания.

Дай мне 5 палочек.

Ребенок должен дать указанное число палочек из разложенных перед ним в беспорядке 10 палочек. Записывается результат и способ выполнения задания: берет палочки по одной, группами, молча или считает вслух.

Скажи, сколько здесь кружочков. Ребенку предлагаются карточки с кружочками, изображенными на них в виде числовых фигур. Выясняется,

как ученик определил число кружков: счет по одному или группами или называет сразу всю числовую фигуру.

Нарисуй 6 кружков, раскрась несколько кружков красным карандашом.

Сколько кружков красных? Сколько белых? Сколько всего кружков?

Для рисования дается листок бумаги.

IV. Знание цифр

Выбери и назови те цифры, которые ты знаешь.

Ребенку предлагается набор разрезных цифр, из которых он отбирает и называет известные ему. Результаты наблюдений записываются.

V. Решение задач

Ребенку предлагают задачи для решения:

1. Мама сорвала с одной грядки 4 огурца, а с другой — 2. Сколько всего огурцов сорвала мама?

2. У мальчика было 5 тетрадей. Он отдал 2 тетради сестре. Сколько тетрадей осталось у мальчика?

После решения каждой задачи учитель спрашивает: — Как ты это узнал? Почему ты так делал? Ответы детей записываются.

VI. Решение примеров

Ребенку предлагаются примеры для устного решения: К 4 прибавить 3. Сколько получится? От 8 отнять 2. Сколько получится? Учителем фиксируется результат и способ его получения.

Обследование дало следующие результаты.

Задание: «Положи столько же палочек» — выполнили правильно все дети.

Количество палочек, лежащих по одной на каждом кружке, почти все учащиеся определяли без повторного подсчета. Из 67 обследуемых детей только 9 человек считали как кружочки, так и палочки.

Требование определить: чего больше, палочек или кружков, и чего меньше, палочек или кружков,— большинство детей выполнили с использованием счета.

Из 67 обследуемых 5 человек выполнили это задание без использования счета. Они пытались определить, чего больше или чего меньше по внешнему виду. Четыре человека при выполнении этого задания пользовались установлением взаимно однозначного соответствия без применения счета.

Оказалось, что считать предметы в пределах 10 умеют все дети. Причем, когда предметы находятся вблизи, то дети при их пересчитывании дотрагиваются до каждого предмета пальцем. Когда же заставляешь их считать на расстоянии, то почти все дети, за исключением некоторых, считают правильно только при помощи движения глаз.

При выяснении знания состава чисел обнаружилось следующее: из 6 кружков дети раскрасили разные количества. В основном выбиралось такое соотношение: 3 и 3, 4 и 2. Причем на вопрос: «Сколько незакрашенных кружков?» — дети отвечали сразу, если количество их не превышало 3. Если же 4 кружка оказывались незакрашенными, то дети их пересчитывали, прежде чем ответить на вопрос: «Сколько незакрашенных кружков?»

Из 67 обследуемых 62 человека знали все цифры. 5 человек не знали некоторые цифры.

Примеры для решения предлагались устно. Все дети при решении примеров правильно понимали смысл выражений: прибавить, отнять. Никто из них не выполнял сложения вместо вычитания или наоборот. Но, не владея вычислительными приемами, дети с трудом находили результат. Наблюдения показали, что если при решении примеров дети пользуются пальцами, то ошибок получается больше и сам процесс получения результата протекает медленно. Почти не ошибались при решении примеров дети, которые пользовались приемом присчитывания или отсчитывания по 1. Сам процесс получения результата протекал быстрее. Но обследуемые пользовались не только приемами присчитывания или отсчитывания по 1.

Так, Наташа П. пример 4 + 3 решала так: 3 да 3, будет 6, и еще прибавить 1, будет 7.

Миша А. этот же пример решал так: 4 и 2 будет 6, а если к 4 прибавить 3, будет 7. Пример на вычитание 8 — 2 начал решать словами: «Надо обратно посчитать: 8, 7, 6 — будет 6».

При решении простейших задач на сложение и вычитание не было ни одного ребенка, который не сумел бы правильно выбрать арифметическое действие.

Прослушав задачу, дети или складывали числовые данные, или вычитали, в зависимости от условия задачи. Но объяснить, как они получили данный результат, не могли. При этом они не указывали, какое выбрали действие, а рассказывали, как считали.

Какие же выводы можно сделать из проведенного обследования?

В практике школ изучение общего уровня развития детей и знаний, с которыми они приходят в I класс, обычно проводится только во время подготовительного периода, на который отводится пять — семь уроков. Лучшие учителя не мирятся с таким положением. Они приступают к изучению знаний учащихся, поступающих в I класс, еще до начала занятий. И это дает большое преимущество.

Приступая к работе в новом учебном году, зная уровень развития каждого отдельного ребенка, эти учителя с самого начала не вслепую строят свои уроки, а с учетом тех знаний, с которыми дети пришли в школу. Как показывают данные обследования, здесь есть над чем подумать, приступая к проведению первых уроков арифметики.

Знание уровня развития каждого ребенка поможет учителю правильно сочетать работу с классом с индивидуальным подходом к отдельным учащимся. Поэтому необходимо добиться, чтобы изучение уровня знаний детей, поступающих в I класс, проводилось до начала занятий или, в крайнем случае, в самом начале учебного года.

На основании проведенного обследования можно сделать и другие очень важные методические выводы.

На всех уроках арифметики в подготовительный период больше половины времени отводится на упражнения детей в счете предметов, на выявление умения считать.

Но в тех школах, которые мы обследовали, все дети, поступающие в I класс, владели этими умениями. Спрашивается, зачем же в таких школах на это тратить столько драгоценного времени?

Зато обращает на себя внимание следующий важный

факт: сознательного усвоения понятий «больше», «меньше» у детей, поступающих в I класс, не обнаружилось.

Как показывают данные обследования, при выполнении задания определить такое же количество, как и кружочков, палочек, лежащих на них, девять учеников считали как кружочки, так и палочки. А при определении, чего больше или чего меньше, палочек или кружочков, пять человек пытались определить это по внешнему виду, т. е. по величине занимаемой площади.

У этих 14 учащихся при сравнении двух данных совокупностей не было попытки выполнить это задание путем установления взаимно однозначного соответствия между элементами данных совокупностей без использования счета.

Следовательно, в подготовительный период необходимо со всей серьезностью отнестись к сознательному формированию у детей понятий «столько же», «больше», «меньше» путем практических действий с множествами предметов, сравнением этих совокупностей путем установления взаимно однозначного соответствия. Для этого следует широко использовать работу с раздаточным дидактическим материалом, а затем перейти к сравнению двух совокупностей на основе счета.

Переходя к вопросу об изучении чисел в пределах первого десятка, необходимо отметить то обстоятельство, что по существу уже в это время дети полностью усваивают прием присчитывания и отсчитывания по единице.

Если в процессе изучения чисел первого десятка, начиная с изучения числа 2, знакомить учащихся со знаком действия, учить их записывать с помощью разрезных цифр и знаков образование нового числа, то исчезает необходимость после изучения чисел первого десятка выделять время на усвоение приема прибавления и отнимания по 1. Это даст возможность учителю после изучения чисел первого десятка сразу же перейти к счету группами.

Из результатов нашего обследования видно, как знание состава числа и счет группами помогает детям быстро находить результаты при выполнении арифметических действий.

Т. К. ЖИКАЛКИНА

О ПРИЕМЕ ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В III КЛАССЕ1

Сравнение способствует выделению общего и различного путем анализа сравниваемых объектов и последующего синтеза сходных признаков.

Таким образом, сравнение выступает как конкретная форма взаимосвязи анализа и синтеза, посредством которой осуществляется обобщение.

Сравнение в обучении имеет большое значение. Однако в методических пособиях этому вопросу не уделяется достаточного внимания, поэтому в работе школ сравнение изучаемого материала проводится от случая к случаю, бессистемно.

В последнее время в психологической и методической литературе вновь поднимается вопрос о роли сравнения, и в частности противопоставления изучаемого материала, рассматриваются конкретные виды противопоставления: одновременное или последовательное противопоставление.

На необходимость применения перемежающегося противопоставления на уроках математики указывает П. М. Эрдниев в статье «О научных основах построения системы упражнений» («Советская педагогика», 1962, № 7). Однако практика показывает, что прием противопоставления не нашел еще широкого применения при обучении арифметике.

Мы поставили своей задачей опытным путем проверить эффективность приема противопоставления при решении арифметических задач.

1 Настоящая статья (под названием «Решение задач методом противопоставления») печаталась в сокращенном виде в журнале «Начальная школа», 1963, № 1.

В своем эксперименте мы использовали различные виды противопоставления: два вида последовательного противопоставления и перемежающееся противопоставление.

1. Последовательное противопоставление вводилось в процессе обучения до выработки навыков решения задач обоих типов. Например, задачи на пропорциональное деление впервые решались на одном уроке, на следующем уроке решались задачи на нахождение неизвестного по двум разностям в противопоставлении задачам первого типа.

2. Последовательное противопоставление вводилось после выработки умения решать задачи одного типа.

3. Перемежающееся противопоставление — задачи разных типов решались на одном уроке вперемежку. Этот вид противопоставления вводился после того, как учащиеся уже приобрели умение в решении задач разных типов.

В своем эксперименте мы поставили целью выяснить, как противопоставление влияет на выработку умения решать задачи и какой из видов последовательного противопоставления более эффективен.

В начале года мы провели контрольную работу в двух четвертых классах 187-й и 268-й школ Москвы с целью проверки уровня умений решать задачи на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям. Приведем тексты задач одного варианта.

Задача 1

Две школы соревнуются по сбору макулатуры. Одна школа собрала 30 мешков макулатуры, а другая — 36 таких же мешков, причем вторая школа собрала на 150 кг больше. Сколько килограммов макулатуры собрала каждая школа?

Задача 2

Магазин продал по одной и той же цене 350 м красной и 280 м синей шерсти, причем за всю красную и синюю шерсть было получено 8820 рублей. Сколько денег получил магазин за красную и синюю шерсть отдельно?

Из 80 учеников, выполнявших работу, 15 учеников перепутали задачи указанных типов: 8 учащихся в задачах на пропорциональное деление в качестве первого действия применили вычитание, а 7 учеников в задачах на нахождение неизвестного по двум разностям выполнили сложение. Следовательно, учащиеся, перешедшие в IV класс, в III классе недостаточно четко усвоили способы решения указанных задач.

Далее мы провели обучающий эксперимент в двух третьих классах 187-й школы Москвы по изучению задач упомянутых типов.

В III А классе обучение проводилось приемом последовательного противопоставления, когда противопоставление вводилось до выработки умения решать задачи одного типа.

В III В классе прием противопоставления задач вводился после выработки умения решать задачи одного типа — на пропорциональное деление.

Основные принципы построения уроков в III А классе

В основе противопоставления решения задач указанных типов лежит сравнение. Чтобы сравнивать задачи указанных типов, необходимо выделить общее и различное в них.

Прежде всего мы направляли внимание учащихся на выяснение математической структуры задач, на ее типовые особенности. С этой целью учили выделять такие величины, как «стоимость», «количество», «цена», «расстояние», «время», «скорость», «сумма или разность стоимостей», «сумма или разность расстояний» и т. д.

На основе анализа условия задачи с помощью картинок, схем, чертежей, краткой записи условия учащиеся, под нашим руководством, самостоятельно «открывали» типовые приемы решения и устанавливали связь между типовыми особенностями задач, их математической структурой и приемами решения.

После решения задач разных типов учащиеся с нашей помощью находили сходство и отличие в условиях и решениях, объясняли зависимость способа решения задач от их математической структуры.

При решении задач данных типов мы рассматрива-

ли задачи, решаемые способом прямого приведения к единице, одновременно с задачами, которые решаются способом обратного приведения к единице. Это давало возможность учащимся исследовать зависимости величин с разных сторон, предохраняло их от шаблона, способствовало развитию гибкости мышления.

Мы познакомили учащихся с записью решения задач числовой формулой. Ученики с живейшим интересом относились к этой записи и почти безошибочно пользовались ею на втором уроке после знакомства с задачами на пропорциональное деление.

В III А классе нами проведено восемь уроков по обучению решению задач данных типов с использованием приема последовательного противопоставления, которое вводилось до выработки умения решать задачи на пропорциональное деление. Покажем конкретно, как мы это делали.

Первый урок был отведен на обучение решению задач на пропорциональное деление с величинами: «стоимость», «количество», «цена».

В начале урока мы предложили учащимся простую задачу с целью выделения величин: «цена», «количество», «стоимость». С ними учащиеся знакомились раньше при решении задач на простое тройное правило. Чтобы научить выделять их из условия, мы предложили детям простую задачу: «Одна тетрадь стоит 2 копейки. Сколько стоят 3 такие же тетради?» На доске в трех колонках были записаны названия трех величин: «цена», «количество», «стоимость». Учащиеся находили все три величины, распределяли их по колонкам, составляли и решали две обратные задачи.

На основе решения делали выводы, как найти значение одной величины по данным значениям двух Других.

Затем предложили вторую задачу для устного решения, чтобы подвести детей к новому материалу: «Хозяйка в первый раз купила 5 одинаковых чайных чашек и уплатила за них 10 рублей. Затем она купила еще 3 такие же чашки. Сколько денег заплатила хозяйка во второй раз?»

Учащиеся решили задачу устно. После проверки решения предлагаем узнать, сколько денег заплатила хозяйка за все чашки.

Учащиеся решают: 10 руб. + 6 руб. = 16 руб.

— Каким действием узнали стоимость всех чашек? (Сложением.)

— Как называются числа при сложении? (Слагаемые и сумма.)

— Что означает 16 руб.? (Сумма стоимостей чашек.)

— Составим с этим числом (16 руб.) новую задачу.

Составляется новая задача.

«Хозяйка в первый раз купила 5 чайных чашек, а потом 3 такие же чашки и за всю покупку заплатила 16 руб. Сколько денег заплатила хозяйка в первый и во второй раз отдельно?»

На доске к этой задаче была дана картинка и краткая запись условия.

В первый раз — Во второй раз —

Сколько денег заплатила хозяйка в первый и во второй раз отдельно?

Предлагаем учащимся начертить схему, обозначая квадратом каждую чашку.

В первый раз — Во второй раз —

Затем проводим работу по выделению типовых особенностей данной задачи.

— Что означает 16 руб.? (Сумма стоимостей всех чашек.)

— Что означает 5 чашек? (Количество или число предметов.)

— Что означает число 3? (Число предметов.)

— Что надо узнать в задаче? (Стоимость 5 чашек и стоимость 3 чашек отдельно.)

— Что можно сказать о цене чашек? (Цена одинакова.)

Типовой прием решения выясняется с помощью схемы на основе анализа условия. Направляем внимание учащихся на выяснение основного звена задачи.

— Подумайте, за сколько чашек заплатили 16 рублей? (За 8.)

— Как узнали? (5 ч. + 3 ч.)

Предлагаем решить задачу самостоятельно. Узнав, что за 8 чашек хозяйка заплатила 16 руб., учащиеся свободно решают задачу самостоятельно.

Решение задачи предлагаем проверить по условию. Учащиеся без труда проверяют: 10 руб.+ 6 руб.= 16 руб.

— Есть такое число в условии? (Есть.)

Следовательно, задача решена верно.

Предлагаем записать решение в строчку или формулой. Учащиеся предварительно были ознакомлены с порядком действий. Под нашим руководством они записывают две формулы:

Направляем внимание учащихся на чтение формулы.

— Как называется число, которое получается в скобках? (Сумма.)

— Что обозначает полученное число? (Сумму количеств предметов.)

— Что обозначают 16 руб.? (Сумму стоимостей.)

— Сумму стоимостей (16 руб.) на что делим? (Сумму стоимостей делим на сумму количеств предметов.)

— Что получаем? (Цену.)

— На что умножаем цену? (На число предметов.)

— Что получаем в ответах? (Стоимость 5 чашек в первой формуле и стоимость 3 чашек во второй формуле.)

После этого составляем задачу, решаемую способом обратного приведения к единице. В краткой записи условия решенной задачи заменяем каждое число, получаем следующую краткую запись условия новой задачи:

Сколько чашек купила хозяйка в первый и второй раз отдельно?

Коллективно составляем план решения. Действия учащиеся выполняют самостоятельно. Решение проверяем. Все это учащиеся выполняли с большим интересом.

На втором уроке изучались задачи на нахождение неизвестного по двум разностям, с теми же величинами.

На доске до урока было записано краткое условие задачи, решенной на предыдущем уроке:

Сколько уплатила хозяйка в первый и второй раз отдельно, если чашки были одинаковые?

Учащиеся восстановили условие задачи по краткой записи. Решение повторили устно.

После этого проводилась беседа.

— На сколько больше денег заплатила хозяйка в первый раз, чем во второй? (На 4 руб.)

— Как вычислили? (10 руб.— 6 руб. = 4 руб.)

Как называется результат вычитания? (Разность.)

— Что же означают 4 рубля? (Разность стоимостей.)

— Составим из этой задачи новую, использовав это число (4 руб.)

— Где мы должны записать выражение: «На 4 руб. больше» (Вместо 16 руб.)

— Составьте новую задачу.

Учащиеся составляют задачу по краткой записи условия. Записывают кратко в тетрадях новую задачу:

Сколько денег заплатила хозяйка в первый и второй раз отдельно?

Разбирают задачу.

— Что означает число 4? (Разность стоимостей 5 и 3 чашек.)

— Что можно сказать о цене чашек? (Цена одинакова.)

— Что означает число 5? (Число предметов.)

— Что означает число 3? (Число предметов.)

— Что надо узнать в задаче? (Стоимость 5 и 3 чашек.)

Чтобы выделить основное звено в задаче, предлагаем начертить схему, обозначив каждую чашку квадратом. У учащихся появляется следующая схема:

Направляем внимание учащихся на выяснение основного звена в задаче.

— Отделите на схеме дугой чашки, за которые заплатили 4 руб. (Некоторые учащиеся справляются с заданием, другие — затрудняются.)

— Почему в первый раз заплатили на 4 руб. больше? (Потому, что купили больше чашек.)

— На сколько больше чашек? (На 2.)

— Как узнали? (5 ч.—3 ч. = 2 ч.)

— Сколько денег заплатили за 2 чашки? (4 руб.)

Предлагаем решить задачу самостоятельно. Большинство справляется с заданием. Решение разбирается коллективно и записывается на доске после того, как дети самостоятельно продумали его.

Чтобы установить связь между типовым приемом решения и типовыми особенностями задачи, мы организуем наблюдение над формулами, которые учащиеся записали без труда самостоятельно:

— Что означает число 4? (Разность стоимостей.)

— Прочтите словами то, что получилось в скобках. (Разность числа предметов.)

— На что делим разность стоимостей? (Разность стоимостей делим на разность числа предметов.)

— Что получаем? (Цену.)

— На что умножаем цену? (На число предметов.)

— Что получаем? (Стоимость 5 и 3 чашек.)

После наблюдения над формулами предлагаем составить новую задачу, заменив числа: вместо 5 чашек — 10 рублей, вместо 3 чашек — 6 рублей. Учащиеся затрудняются поставить вместо 4 рублей — 2 чашки, и самое большое затруднение испытывают в постановке вопроса. Для преодоления этой трудности предлагаем вопросы:

— Что надо было узнать в решенной задаче? (Стоимость 3 и 5 чашек.)

— Что будем узнавать вместо стоимости в новой задаче? (Число чашек, купленных в первый и во второй раз.)

Учащиеся в тетрадях и на доске записывают краткое условие новой задачи:

В первый раз— 10 руб. На 2 чашки больше. Во второй раз — 6 руб.

Сколько чашек купила хозяйка в первый и во второй раз отдельно, если цена чашек одинаковая?

Выясняется, как узнать цену чашки, нужное для этого действие записывается. Остальную часть задачи учащиеся решают самостоятельно.

На дом даем одну задачу на пропорциональное деление, другую — на нахождение неизвестного по двум разностям.

Аналогично проводим два следующих урока по решению задач на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами «расстояние», «время», «скорость».

На пятом уроке решались задачи на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям. При этом мы сравнивали их условия и решения.

Урок был построен следующим образом.

На доске до урока были записаны краткие условия задач в двух вариантах по две задачи в каждом; одна — на пропорциональное деление, другая — на нахождение неизвестного по двум разностям.

I

II

Вариант.

Вариант.

1-я задача

1-я задача

I — 5 м

II — 3 м

Всего 16 руб.

С I участка — 5 корзин. Со II участка — 3 корзины

Всего 240 кг.

Сколько стоил каждый отрез?

Сколько килограммов моркови собрано с каждого участка школьниками?

2-я задача

2-я задача

В I день — 6 ящ.

Во II день — 9 ящ.

На 24 кг больше.

До остановки — 4 часа. После остановки — 2 часа.

На 24 км меньше.

Сколько килограммов винограда продавал магазин каждый день?

Какое расстояние проехал велосипедист до остановки и после остановки?

Сначала учащиеся составляли задачи по краткой записи условия: условие всех задач воспроизвели вслух; затем решали первые задачи самостоятельно.

Решение было проверено коллективно, записали формулы на доске и в тетрадях. После этого учащиеся решили вторые задачи самостоятельно. Два ученика допустили ошибки. Решение проверяли коллективно и записали формулы на доске и в тетрадях.

Условия и решения этих задач учащиеся сравнивали, находили сходство и различие, объясняли, почему в первых задачах первое действие было сложение, а во вторых задачах — вычитание.

Следующие три урока учащиеся решали задачи по карточкам. Нами были составлены четыре варианта карточек, в каждой по шесть задач. Задачи расположены по степени нарастания трудностей. Эти карточки были отпечатаны на машинке по 10 экземпляров. Каждый ученик работал над одной карточкой в течение трех уроков. На карточках задачи разных типов чередовались,

причем к первым задачам давались рисунки, схемы, чертежи. К последующим задачам учащиеся самостоятельно строили чертежи, схемы, кратко записывали условие.

Приведем для примера образец карточки первого варианта (из четырех), по которым ученики работали в течение трех уроков.

Карточка первого варианта

1. Одна девочка купила 4 тетради, а ее подруга— 3 такие же тетради. За все тетради они заплатили 14 копеек. Сколько денег заплатила каждая девочка?

Обратите внимание на рисунок к задаче.

Подумайте, за сколько тетрадей уплатили 14 копеек?

2. Магазин в один день продал 7 ящиков винограда, а во второй день 9 таких же ящиков, причем во второй день продано на 16 кг винограда больше, чем в первый день. Сколько килограммов винограда продал магазин в первый и во второй день в отдельности?

Обратите внимание на схему к задаче, каждый ящик обозначен прямоугольником.

Подумайте, сколько ящиков весят 16 кг.

3. Поезд шел с одинаковой скоростью до остановки 3 часа. После остановки — 2 часа. И всего прошел 200 км. Сколько километров прошел поезд до остановки и после остановки отдельно?

Обратите внимание на чертеж к задаче.

Подумайте, за сколько часов поезд прошел 200 км?

4. Для детского сада в первый раз куплено 2 шкафа, а во второй раз — 5 таких же шкафов. В первый раз за шкафы уплачено на 96 руб. меньше, чем во второй раз. Сколько денег уплачено за шкафы, купленные в первый и второй раз отдельно?

Начертите схему к этой задаче, обозначьте шкаф прямоугольником.

5. Велосипедист проехал 96 км за 2 дня. В первый день он находился в пути 5 часов, а во второй день, двигаясь с той же скоростью,— 3 часа. В какой день велосипедист проехал большее расстояние и на сколько больше? Начертите чертеж к задаче.

6. Для постройки сараев в колхоз привезли 7 ящиков гвоздей, а потом два таких же ящика. Во второй раз привезли на 170 кг гвоздей меньше, чем в первый раз. Сколько всего гвоздей привезли в колхоз?

Примечание. Условие каждой задачи записать кратко, решить, записать решение формулой.

Итак, на первом этапе работы с задачами на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям на основе противопоставления мы стремились к тому, чтобы учащиеся усвоили математическую структуру задач разных типов, их способы решения и умели отличать задачи этих типов, объяснять зависимость решения задач от математической структуры.

На следующем, втором этапе работы с задачами этих типов мы стремились научить учащихся составлять задачи по заданной математической структуре. Только после усвоения математической структуры задач можно давать упражнения по составлению задач. Упражнять учащихся в самостоятельном составлении задач до усвоения их математической структуры, на наш взгляд, невозможно.

Цель составления задач заключается в том, чтобы научить учащихся правильно конкретизировать абстрактную ее сторону (математическую структуру), т. е. учащиеся должны правильно придумать сюжет задачи, подобрать числа, которые бы соответствовали жизни.

Чтобы учащиеся правильно использовали числа в своих задачах, им разрешалось пользоваться справочником, прейскурантом, таблицей скоростей.

Чтобы работа была самостоятельной, ее проводили по вариантам, задания по составлению задач расположены по степени нарастания трудностей, причем задания по составлению задач на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям чередовались, т. е. применялся прием перемежающегося противопоставления.

Чтобы подвести учащихся к составлению задач по абстрактной математической структуре, мы предложили ряд промежуточных упражнений, подготавливающих их к выполнению данного задания:

1) Составление задач по краткой записи условия.

2) Составление задачи по рисунку и числам.

3) Составление задачи по схеме.

4) Составление задачи по чертежу.

После этого предлагалось задание: составить задачу по числовой формуле. Учащиеся за числами и действиями должны увидеть математическую структуру определенного типа задач и придумать сюжет.

Приведем конкретно задания по вариантам.

I вариант

II вариант

1. Составить задачу по краткой записи условия.

Составить задачу по рисунку.

Для старшей дочери — 4 м Всего Для младшей 14 руб. дочери — 3 м

Всего 20 коп.

Сколько денег заплатила мама за материал для старшей и младшей дочери отдельно?

Сколько ученик заплатил за тетради, купленные для себя и для брата?

2. Составить задачу по схеме.

Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка?

2. Составить задачу по схеме.

I —

II —

Сколько килограммов желудей собрал каждый отряд?

3. Составьте задачу по чертежу:

4. Составьте задачу по следующим признакам, данные возьмите из таблицы цен и скоростей.

Дано: количество Разность

количество стоимостей.

Найти каждое значение стоимости.

Дано: время Разность

время расстояний.

Найти каждое значение расстояния.

5. Составьте задачу по формулам:

Первые 2 задания не вызвали у учащихся затруднений. Ученики правильно и быстро восстановили сюжеты задач по краткой записи условия по рисунку и схеме. Придумать сюжет им помог вопрос задачи. Некоторые ученики даже не довольны были легкостью задания и просили нас стереть с доски вопрос задачи.

Затруднения учащиеся встретили в составлении задачи по чертежу. Для того чтобы правильно составить задачу, они должны затем ее решить и проверить ответ по таблице скоростей. Самостоятельно учащиеся этого не сделали.

Мы решили разобрать ошибки на составленных учащимися задачах.

Ученик В. придумал к заданию 3 для I варианта следующую задачу:

«Велосипедист в I день был в пути 4 часа, а во II день 3 часа, за 2 дня он проехал 315 км. Сколько километров проезжал велосипедист каждый день?»

Предлагаем ученикам вычислить скорость велосипедиста. Учащиеся находят. 315 км : 7 = 45 км.

Спрашиваем учеников:

— Сможет ли велосипедист проехать 45 км за 1 час? (Нет.)

— Посмотрите в таблицу скоростей. Какова средняя скорость велосипедиста? (12 км.)

— А кто же может проехать 45 км?

Учащиеся по таблице скоростей определяют, что 45 км за час может проехать мотоциклист.

— Исправьте условие задачи.

Учащиеся без труда формулируют задачу.

Прежде чем дать составлять задачи по заданной математической структуре, необходимо предложить просмотреть таблицу цен и скоростей.

В некоторых составленных учащимися задачах были допущены ошибки в подборе чисел.

Например, ученик Т. придумал такую задачу: «В I раз для детского сада купили 4 шкафа, а во II раз 3 таких же шкафа, причем в I раз за шкафы заплачено на 21 руб. больше, чем во II. Сколько денег заплатили за шкафы в I и во II раз отдельно?»

Чтобы предотвратить подобные ошибки, необходимо знакомить учащихся с ценами разнообразных вещей.

Работа по составлению и решению составленных задач проводилась в течение урока. Учащиеся записывали решение задач формулой, что позволяло им в течение одного урока выполнить все задания.

Составленные задачи на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям чере-

довались, что давало возможность сравнивать задачи разных типов.

На третьем этапе мы провели 3 урока самостоятельной работы по преобразованию задач, что позволяло учащимся дифференцировать задачи изученных типов.

Каждый из этих трех уроков проводился через неделю.

Работа была организована по вариантам. Приведем для примера один вариант заданий.

Задача 1.8 ящиков винограда весят 96 кг. Сколько килограммов весят 4 таких же ящика? Сколько весят, все ящики с виноградом?

Задача 2. До обеда магазин продал 4 ящика винограда, а после обеда 8 таких же ящиков. Сколько килограммов винограда продал магазин до обеда и после обеда, если всего он продал 144 кг?

Начертите схему. Решите задачу.

Задача 3. До обеда магазин продал 4 ящика винограда, а после обеда 8 таких же ящиков винограда. Сколько килограммов винограда продал магазин до обеда и после обеда, если до обеда он продал на 48 кг меньше, чем после обеда?

Начертите схему. Решите задачу.

Задача 4. Туристы до остановки шли 4 часа и прошли 16 км, а после остановки — 2 часа с той же скоростью. Сколько километров прошли туристы после остановки?

Решите задачу. Составьте из задачи 4 задачи типа 2, 3 и решите их.

Задача 5. На одной пасеке было 24 улья, а на другой на 3 улья меньше. Все эти ульи дали 2340 кг меду. Какая пасека дала больше меда и на сколько, если считать, что все ульи дали меда поровну?

Задача 6. В одном месяце 26 рабочих дней, а в другом на 2 дня меньше. При одинаковой производительности труда за второй месяц фабрика выпустила бумаги на 366 т меньше, чем за первый. Сколько тонн бумаги выпустила фабрика в каждый из этих месяцев?

Задача 7. Утром через сепаратор пропустили 2565 л молока, а вечером 2660 л, причем вечером получили масла на 5 кг больше, чем утром. Сколько килограммов масла получили утром и вечером в отдельности?

Задача 8. Длина 2 кусков телеграфного провода одинаковой толщины 16 м. Один из этих кусков весит 1600 г, другой 2000 г. Какова длина каждого куска в отдельности?

Первые 3 задачи (на простое тройное правило, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям) даны с одними и теми же числами, но они отличаются друг от друга математической структурой. На таких задачах яснее выступает зависимость способа решения от математической структуры.

Из 4-й задачи на простое тройное правило учащиеся самостоятельно составляли задачи на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям, а затем их решали, что давало возможность дифференцировать задачи разных типов.

Следующие задачи (с 5-й по 8-ю) на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям вводились с усложнениями или путем добавления одного действия, или путем введения новых для учащихся величин.

Все эти задания учащиеся выполнили в течение 3 уроков. На одном уроке учащиеся решали задачи разных типов, что позволяло применить метод перемежающегося противопоставления. В другом экспериментальном, III В классе проводилось занятие на последовательное противопоставление задач: после изучения задач на пропорциональное деление вводилось решение задач на нахождение неизвестного по двум разностям в противопоставлении с задачами на пропорциональное деление. Следовательно, противопоставление вводилось тогда, когда у учащихся уже выработалось умение решать задачи на пропорциональное деление. После двух-трех уроков на сопоставление учащиеся почти не допускали ошибок в смешении задач указанных типов. На втором и третьем этапах работы в III В классе над задачами с пропорциональными величинами обучение велось по тем же планам, по которым работали в экспериментальном III А классе.

В ходе исследования проведено 2 контрольные работы. Первая контрольная работа проводилась после изучения задач на пропорциональное деление. Цель ее заключалась в том, чтобы проверить эффективность одно-

временного решения задач, которые решаются способом прямого и обратного приведения к единице.

В контрольной работе были даны 2 задачи на пропорциональное деление: первая задача, решаемая способом прямого приведения к единице, а вторая — способом обратного приведения к единице.

Приведем сравнительную таблицу результатов первой контрольной работы в экспериментальном III В классе и контрольном классе, где указанные виды задач изучались последовательно.

Классы

Число учащихся

Число допущенных ошибок в ходе действий

в перврй задаче

во второй задаче

Экспериментальный III В класс

29

2

2

Контрольный класс.....

31

3

12

Итоги контрольной работы дают основание сделать вывод о преимуществах одновременного изучения этих видов задач.

Вторая контрольная работа была проведена после трех этапов работы над задачами двух типов: на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям в двух экспериментальных классах и одном контрольном классе.

Контрольная работа состояла из двух задач: одна задача на пропорциональное деление, решаемая способом обратного приведения к единице, а вторая — на нахождение неизвестного по двум разностям, решаемая способом прямого приведения к единице. Цель данной контрольной работы заключалась в том, чтобы проверить дифференцирование задач разных типов.

Приведем сравнительную таблицу результатов контрольной работы третьих классов1:

1 В III А классе противопоставление вводилось до выработки умения решать задачи одного типа, в III В — вводилось после выработки умения в решении задач на пропорциональное деление, в III контрольном обучение решению задач разных типов велось изолированно.

Класс

Число учащихся

Число ошибок в ходе действий в I задаче

Число ошибок в ходе действий во II задаче

Экспериментальный III А класс . .

29

1

_

Экспериментальный III В класс . .

27

Контрольный III класс ......

31

6

7

Анализ всего процесса обучения и результатов контрольных работ приводит к выводу, что процесс дифференцирования задач, решаемых способом прямого и обратного приведения к единице, с одной стороны, и задач, близких по математическому содержанию, с другой стороны, происходит скорее и более точно в случае применения приема противопоставления.

Если проследить за общим количеством ошибок, допущенных учащимися на всем протяжении процесса обучения решению задач упомянутых типов в обоих контрольных классах, то получим такие результаты: общее число ошибок, допущенных всеми учащимися в III А классе — 36, в III В классе— 15.

Это свидетельствует о некоторых преимуществах, которые дает прием противопоставления, примененный после выработки умения решать задачи одного типа. Процесс дифференцирования у сильных и слабых учеников, как показали наблюдения за их работой, происходит по-разному.

Сильные учащиеся на втором уроке после знакомства с решением задач двух типов не смешивали задачи разных типов; у слабых учащихся процесс дифференцирования разных типов задач происходил медленнее, причем при последовательном противопоставлении, вводимом после выработки умения решать задачи одного типа, процесс дифференцирования наступал быстрее, чем в том случае, когда противопоставление вводилось до выработки такого умения.

Следовательно, для сильных учащихся оба вида противопоставления дают одинаковые результаты, для слабых — лучшие результаты дает последовательное противопоставление, вводимое после овладения умением решать задачи одного типа.

В. Н. ДЕРЮШЕВ

СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЖИЗНЕННО ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Творчески работающие учителя начальных классов ищут наилучших путей осуществления связи обучения с жизнью, с трудом, с практикой коммунистического строительства.

Одно из направлений, по которому идут передовые учителя при осуществлении связи обучения арифметике с жизнью,— это составление и решение арифметических задач, включающих числовой материал, взятый из окружающей действительности. При составлении и решении задач на материале, взятом из жизни, учащимся становится понятным значение арифметики в практической деятельности человека.

Арифметика перестает быть в глазах учащихся дисциплиной, оторванной от жизни, связанной только с расчетами и решением готовых задач, взятых из задачника.

Систематически решая задачи, связанные с действительностью, учащиеся вырабатывают умение давать количественную оценку предметам, фактам, событиям, явлениям.

При этом у них расширяется кругозор, они узнают о многих вещах, фактах, событиях, понятиях, о которых раньше не думали, не знали, на которые не обращали внимания.

Учащиеся, работая сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно, приобретают ценное умение составлять задачи, исходя из данных, взятых из советской действительности.

Как правило, ученики с большим желанием и интересом составляют и решают «свои» практические задачи, при этом их интерес к изучению арифметики заметно повышается.

В настоящее время на территории всего Советского Союза ведется большое строительство. Строятся заводы, фабрики, школы и больницы, широко развернулось жилищное строительство. Учителя начальных классов, стремясь осуществить связь обучения с жизнью, с практикой, стали использовать при составлении арифметических задач числовые данные, взятые из практики строительства.

В III классе учителя школы № 15 г. Бийска: А. С. Никишина и А. И. Кичигина учили составлять и решать задачи, связанные со строительством школьной ограды, которая была построена вокруг нового школьного здания. Ученики должны были решить такую задачу, предложенную учительницей: «Определить на глаз длину или ширину старого и нового школьных зданий, а потом проверить, измерив рулеткой эти расстояния. Найти свою ошибку при определении длины на глаз».

Для этого ученики класса были разбиты на две группы, а каждая группа была разбита на 8 звеньев, по 2— 3 ученика в каждом звене. Звенья вели работу самостоятельно.

Работа проводилась после уроков. Были подведены итоги измерительной работы, и результаты были записаны учениками в свои тетради.

Решая эту задачу, ученики упражнялись в определении длины на глаз и с помощью рулетки. Они получили опыт коллективной измерительной работы.

Полученные результаты дали материал для составления задач самими учениками на последующих уроках арифметики. Приведем образцы этих задач:

1. На сколько больше длина нового школьного здания, чем длина старого?

2. На сколько больше ширина нового школьного здания, чем ширина старого здания?

3. Какова длина всех сторон нового школьного здания?

4. Какова длина всех сторон старого школьного здания?

5. На сколько больше длина всех сторон нового школьного здания, чем старого?

Конечно, эти задачи, составленные учениками, очень просты, но важно то, что ученики приобретают опыт самостоятельного составления задач.

Проведенная работа послужила как бы подготовкой к решению последующих задач, связанных с постройкой школьной ограды.

На одном из следующих уроков арифметики учительница дала задачу, над которой ученики должны были дома подумать: «Новый школьный участок прямоугольной формы нужно огородить, а для этого нужны столбы и брусья. Сколько нужно столбов и брусьев для ограды, если каждые два бруса длиной в 3 метра прибивать к столбам, закопанным в землю так, как показано на чертеже». На доске был сделан такой чертеж:

Затем учительница еще раз сказала: «Подумайте дома, как решить эту задачу?»

На следующем уроке арифметики были заслушаны ответы тех учеников, которые предлагали различные способы решения задачи. Один ученик предлагал измерить длину участка и полученное число умножить на 2, так как участок имеет две такие стороны, далее измерить ширину участка и тоже умножить на 2, так как участок имеет две короткие стороны, полученные числа сложить, чтобы узнать длину всей ограды. Длину всей ограды разделить на 3, так как столбы нужно ставить через 3 м, получится число всех столбов.

Учительница отметила, что так можно найти, сколько нужно столбов для школьной ограды. Затем были заслушаны ученики, которые предлагали свои способы решения второй части задачи — нахождение числа брусьев, необходимых для ограды. Один из способов решения, который заслуживал внимания, был таким. Ученик предлагал измерить длину всех сторон школьного участка и эту длину разделить на 3, так как через 3 м ставим столб,— так можно узнать, сколько нужно брусьев для нижнего ряда. Умножив число брусьев для нижнего ряда на 2, можно узнать, сколько нужно брусьев для всей ограды.

Другой ученик предложил иной способ решения. Нужно взять рейку или кусок бечевки длиной в 3 м и откладывать ее по длине участка, и сколько раз мы отложим, столько нужно брусьев для одной (длинной) стороны участка, если укладывать брусья в один ряд. Умножая полученное число на 2, найдем, сколько брусьев нужно для одной (длинной) стороны участка. Умножив вновь найденное число на 2, узнаем, сколько брусьев нужно для двух длинных сторон участка. Точно так же можно найти число брусьев и для двух коротких сторон прямоугольника.

Было решено проверить на практике оба способа решения задачи, предложенные учениками.

Для работы на участке ученики класса были разбиты на две группы, а каждая группа на 8 звеньев, по 2— 3 ученика. В каждом звене был выделен звеньевой, который отвечал за организацию работы. Четыре звена проводили измерения с помощью десятиметровых рулеток. Каждое звено измеряло только одну сторону участка. Каждое из 4 следующих звеньев получило по одной трехметровой рейке и должно было узнать, сколько раз такая рейка содержится в одной из сторон прямоугольного участка. Звеньевые должны были распределить работу так, чтобы каждый ученик принимал активное участие в измерительной работе, и каждый должен был записать результат работы своего звена. После окончания всей работы звеньевые доложили о своей работе, а остальные члены звена уточнили и дополнили. Сначала установили, что длина участка равна 96 м. Попутно было отмечено совпадение результатов измерений двух звеньев, которые измеряли длину противоположных сторон участка.

Далее было установлено, что ширина участка равна 63 м. Результаты измерений совпали и у звеньев, измерявших ширину прямоугольника.

Учительница записала на доске, а ученики в свои тетради:

Длина — 96 м

Ширина — 63 м

Такую же работу выполнили ученики второй группы, а затем на уроке арифметики нашли, сколько нужно столбов для ограды, записав решение на доске и в тетради.

При подведении итогов работы остальных звеньев один из звеньевых сказал, что трехметровая рейка уложилась в длине участка 32 раза, значит, нужно на каждую сторону участка 64 бруса, а всего 128 брусьев на две стороны. Другой звеньевой сообщил, что у них рейка уложилась в ширине участка 21 раз, значит, на каждую короткую сторону участка нужно 42 бруса, а на две стороны — 84 бруса. Всего же для школьной изгороди нужно 212 брусьев,— подсчитали ученики.

Этот же ответ ученики получили, решая задачу способом, предложенным одним из учеников, а именно, деля длину всей изгороди на 3.

Следующая задача была составлена после решения задачи № 489, которая в учебнике III класса сформулирована так: «Измерьте длину гвоздя, шурупа и заклепки, изображенных на рисунке. Результаты измерения выразите в миллиметрах».

Решая такую задачу, ученики должны получить навык измерения с точностью до миллиметра, но, измеряя изображения гвоздя, заклепки, нельзя получить правильного навыка измерений, так как трудно определить, где на изображении конец гвоздя, поэтому после решения этой задачи учительница сказала: «Сейчас мы будем упражняться в измерении. Каждый из вас получит короткий или длинный гвоздь, и вы должны измерить его и записать результат измерения в миллиметрах. При измерении острый конец гвоздя совместите с нулевым делением, стараясь смотреть так, чтобы ваш глаз находился прямо над нулевым делением, а затем посмотрите, против какого деления находится шляпка гвоздя. Записав результат, еще раз проверьте, правильно ли вы измерили длину гвоздя».

Каждый ученик получил гвоздь и измерил его длину. Эту работу ученики выполняли с интересом. Выяснили, что короткие гвозди имеют длину 70 мм, а длинные гвозди — 150 мм.

Установили, что короткими гвоздями можно прибивать тес, рейки, а длинными — плахи и брусья.

На доске запись: длина гвоздей — 70 мм; 150 мм.

Эта задача посильна ученикам III класса, она позволила измерять реальные вещи с точностью до миллиметра, ученики узнали новое название гвоздей: семидесятимиллиметровые и стопятидесятимиллиметровые гвозди.

Ученики, проводя измерение длины гвоздей, не только упражняются в измерениях, но и знакомятся с предметами, необходимыми при строительстве. Они узнают, что длину гвоздей выражают в миллиметрах, что гвозди имеют различное назначение.

Следующая задача была связана с определением веса гвоздей.

Учительница после решения задачи № 5071 сказала: «Кто отвесит 1 кг семидесятимиллиметровых гвоздей?»

К весам, поставленным так, чтобы они были видны всем, вышел ученик и отвесил 1 кг гвоздей.

Учительница после этого спросила учеников: «Какую задачу можно составить про эти гвозди?» Один из учеников сформулировал так: «Сколько семидесятимиллиметровых гвоздей в 1 кг?»

Учительница спросила: «А как решить эту задачу?»

Ученики ответили, что нужно пересчитать гвозди и мы узнаем, сколько гвоздей в 1 кг.

Один ученик пересчитал гвозди. В 1 кг семидесятимиллиметровых гвоздей оказалось 252 штуки.

Учительница записала на доске, а ученики в тетради: «В 1 кг гвоздей длиной в 70 мм — 252 шт.».

Точно так же была составлена и решена задача про стопятидесятимиллиметровые гвозди. В 1 кг стопятидесятимиллиметровых гвоздей оказалось только 42 штуки.

Учительница записала это на доске, а ученики в своих тетрадях: «В 1 кг гвоздей длиной в 150 мм — 42 шт.».

«Какую теперь задачу можно составить про семидесятимиллиметровые и стопятидесятимиллиметровые гвозди?» — спросила учительница. Ученики составили две задачи.

1 А. С. Пчелко и Г. Б, Поляк, Арифметика для III кл., Учпедгиз, М., 1964.

Первая задача: «На сколько больше семидесятимиллиметровых гвоздей в 1 килограмме, чем стопятидесятимиллиметровых?»

Решив эту задачу, ученики узнали, что в 1 кг семидесятимиллиметровых гвоздей больше, чем стопятидесятимиллиметровых, на 210 штук. Вторая задача была сформулирована так: «Во сколько раз больше семидесятимиллиметровых гвоздей в 1 кг, чем стопятидесятимиллиметровых?»

Ученики нашли, что мелких гвоздей в 1 кг больше, чем крупных, в 6 раз.

У учеников естественно возник вопрос, а почему в 1 кг коротких — семидесятимиллиметровых гвоздей в 6 раз больше, чем длинных — стопятидесятимиллиметровых? И сами же ученики, руководимые учительницей, нашли правильный ответ на этот вопрос. Они установили, что каждый стопятидесятимиллиметровый гвоздь длиннее семидесятимиллиметрового на 80 мм и толще его в несколько раз, а потому длинный гвоздь тяжелее, чем короткий, поэтому длинных гвоздей нужно взять меньше, чем коротких, чтобы отвесить 1 кг. На одном из следующих уроков учительница задала ученикам такой вопрос: «Как узнать, сколько стопятидесятимиллиметровых гвоздей нужно купить, чтобы прибить брусья к столбам, если каждый конец бруса прибивать одним гвоздем к столбу?» Чтобы ученики хорошо представили себе картину строительства ограды, учительница показала модель части ограды, изображенную ниже:

На этот вопрос ученики ответили так: «Нам известно, что всего брусьев нужно для ограды 212 штук, а у бруса два конца и каждый конец бруса нужно прибить к столбу, значит, на каждый брус нужно 2 гвоздя, а на 212 брусьев в 212 раз больше, то есть 424 гвоздя».

Учительница сказала, что задача решена верно и предложила ученикам новый вопрос: «Какую задачу можно составить, если известно, что всего нужно 424 гвоздя длиной в 150 мм, и известно, сколько гвоздей входит в 1 кг?»

Ученики составили такую задачу: «Сколько килограммов весят 424 гвоздя, если в 1 кг 42 гвоздя?»

Решение этой задачи было таким. В 1 кг стопятидесятимиллиметровых гвоздей 42, а для ограды нужно 424 гвоздя. Если мы узнаем, во сколько раз 424 больше 42, то мы узнаем, сколько килограммов весят 424 гвоздя, а для этого нужно 424 разделить на 42.

Ученики узнали, что 424 больше 42 в 10 раз (и еще 4 гвоздя в остатке, о них учительница сказала, что их можно не принимать во внимание из-за малого веса 4 гвоздей), значит, 420 гвоздей весят 10 кг.

Учительница подтвердила полученный ответ.

На последующих уроках арифметики ученики, руководимые учительницей, составляли задачи, решив которые они нашли: 1) число реек, необходимых для длины и ширины участка; 2) число досок, необходимых для изгороди на двух остальных сторонах участка; 3) вес гвоздей, нужных для приколачивания реек и досок к брусьям; 4) стоимость всех материалов, затраченных на изготовление изгороди.

Опыт составления и решения задач учащимися III классов на числовом материале, полученном при строительстве изгороди вокруг школы, дает основание сделать следующие выводы:

Измерительные работы учащихся, связанные с реальным строительством, получают в их сознании практическую целенаправленность, обоснованность.

Учащиеся осознают более глубоко необходимость проведения измерительных работ, они начинают понимать важность получения более точного результата при измерении.

Требование учебника арифметики — составлять задачи, аналогичные тем, которые есть в учебнике, правильно, если это требование рассматривать как один из этапов обучения учащихся составлению задач, но оно недостаточно для того, чтобы научить учащихся составлять самостоятельно задачи.

При составлении задач по аналогии у учащихся появ-

ляется привычка действовать по трафарету, искать подсказку в учебнике. Известно, что иногда ученики, составляя задачи по аналогии, берут числовые данные, далекие от реальных, не замечают нелепости полученных ответов.

Составление задач на материале строительства приучает учащихся брать реальные, конкретные данные, позволяет почти всегда после решения «своих» задач проверить полученный ответ на практике. Совпадение ответа при решении задачи с ответом, взятым из реальной жизни, убедительно показывает учащимся значение математики в практической деятельности человека.

Это лучше любых слов убеждает учащихся в необходимости иметь хорошие знания по математике, уметь хорошо решать задачи. Интерес к изучению арифметики возрастает. Опыт составления и решения задач учащимися III классов на материале строительства изгороди интересен и тем, что учащиеся постепенно приобретают умение самостоятельно составлять задачи, начиная с самостоятельной формулировки вопроса задачи, определения, какие числовые данные нужны для решения задачи, кончая получением числовых данных путем измерений или решением задачи, которая дает нужные числовые данные.

Следует отметить, что работа учителей по обучению учащихся составлению задач на материале, взятом из жизни, проводится не только в III классе, но продолжается и в IV классе.

Заслуживает внимания работа Е. Г. Гансовской — учительницы IV А класса 462-й школы Москвы, которую она провела с учащимися своего класса, чтобы познакомить их с современным жилищным строительством и собрать числовой и фактический материал, необходимый для составления задач.

Живя в районе Новых Кузьминок, т. Гансовская имела возможность непосредственно наблюдать, что район Н, Кузьминок является одним из крупных центров жилищного строительства в Москве.

На строительных площадках можно наблюдать различные фазы строительства домов, начиная с закладки фундаментов и кончая отделочными работами внутри здания. Чтобы показать учащимся в течение небольшого промежутка времени различные этапы строительства жилых домов, т. Гансовская получила согласие прораба

строительства т. Фомина Д. И. помочь ей в проведении экскурсии учащихся на строительство жилых домов в квартал 113 А Н. Кузьминок.

До проведения экскурсии была проведена в классе подготовительная работа. Учительница напомнила учащимся еще раз о том, что в нашей стране ведется огромное жилищное строительство. Коммунистическая партия и Советское правительство делают все, чтобы трудящиеся в нашей стране имели удобные, благоустроенные и дешевые квартиры. Она рассказала учащимся о том, что до революции рабочие жили в тесных, душных каморках или бараках, принадлежащих фабрикантам, которые с рабочих брали и за эти каморки большую часть заработка. Она рассказала, что в капиталистических странах рабочие живут и теперь в очень тяжелых условиях. Далее учительница сказала, что скоро будет проведена экскурсия на строительство жилых домов в район Н. Кузьминок. Во время экскурсии нужно внимательно слушать экскурсовода, записывать все числовые данные, которые сообщит экскурсовод, провести измерения объектов по ее указаниям. Записанные числовые данные будут использованы при составлении и решении задач.

По материалам экскурсии ученики будут писать сочинение.

Учащихся IV А класса для удобства разбили на 2 группы. При численно небольшой группе учащихся было обеспечено наблюдение за каждым учеником со стороны учителя и экскурсовода, что важно для обеспечения безопасности учащихся в условиях работающих мощных машин (автомашин, подъемных кранов, бульдозеров, экскаваторов). Небольшая группа учащихся могла быстро передвигаться по строительной площадке под руководством экскурсовода и учителя. Все учащиеся группы смогли хорошо слышать объяснения экскурсовода о различных объектах строительства.

Прежде всего прораб подвел учащихся к котловану, со дна которого поднимались стены подвального этажа. «В настоящее время,— сказал он,— в Москве ведется очень большое жилищное строительство. Раньше в Москве дома строились из кирпича. Строительство домов из кирпича проходило медленно, так как с каждым уложенным рядом кирпичей дом вырастал примерно на 7—8 сантиметров. Нужно было много рабочих-каменщиков,

чтобы они могли из кирпичей строить стены дома, нужны рабочие, которые подносили бы каменщикам кирпичи и раствор, скрепляющий кирпичи между собой. Теперь из 100 построенных домов только 30 кирпичных, а 70 домов построены из крупных бетонных блоков. Бетонные блоки — это строительный материал, строительные камни, из которых строят стены, межэтажные перекрытия, стены между квартирами. Бетонные блоки на строительство жилых домов привозят готовыми с заводов железобетонных изделий (ЖБИ).

Железобетонные изделия не боятся воды, огня, они очень прочны и долговечны.

В основание фундамента дома мы укладываем массивные блоки, они служат основанием стен дома. Посмотрите вот на эти блоки, они подготовлены для фундамента следующего дома». Тов. Фомин показал учащимся блоки, которые будут лежать в фундаменте нового дома, а затем продолжал свой рассказ: «Эти опорные блоки имеют длину 2 ж, ширину 1 м 2 дм. Они служат опорой стеновых блоков (СБ—4—24), длина которых 24 дм, высота 6 дм и толщина 4 дм. Уложив в стену один ряд таких блоков, мы поднимем стену дома на 6 дм, или 60 см, что заменит почти 8 рядов из кирпича. Такой блок очень тяжел, и его трудно поднять даже нескольким рабочим. Поднимает их и переносит башенный кран».

Ученики смотрят на работающий башенный кран, который легко поднял блок и понес его к стене, где стояли два монтажника. «Перед вами застекленная кабина,— обратил внимание учащихся Д. И. Фомин,— в ней работает машинист крана. Он помогает монтажникам строить стены дома, поднимая краном блоки туда, куда ему покажут монтажники. Смотрите, как осторожно опускает машинист блок на стену, на место, указанное монтажниками. Монтажники, работу которых вы наблюдаете, входят в бригаду рабочих коммунистического труда, руководимую бригадиром Воробьевым. В бригаде 11 человек. Работа их организована так, что месячный план выполняется за 20 рабочих дней, при отличном качестве. Фундамент здания должен быть построен очень точно, если допустить отклонение верхнего края фундамента больше, чем на 10 мм от вертикали, то стена может рухнуть. Бригада Воробьева строит стены фундамента так, что они строго вертикальны.

А теперь, у кого есть вопросы, задавайте!» Вопрос. Каковы размеры дома, у которого мы стоим?

Ответ. Длина фундамента дома 28 м, ширина 14 м. В этом здании будет 9 этажей, по 8 квартир на каждом этаже. В нижнем этаже будет магазин, а часть подвала займет склад товаров этого магазина.

Вопрос. Каковы размеры котлована, который был выкопан для этого дома?

Ответ. Котлован для этого дома был сделан длиннее и шире, чем фундамент дома метра на 3, то есть длина котлована была 31 м, ширина 17 м, глубина 4 м. Шире и длиннее котлован пришлось делать потому, что если он точно по размерам фундамента дома, то монтажникам и изолировщикам трудно будет работать.

Вопрос. Зачем наружную стену фундамента покрыли черной блестящей краской?

Ответ. Наружные стены фундамента были покрыты изолировщиками расплавленным битумом, чтобы защитить стены дома от действия грунтовых вод. Если стены дома не изолировать от воды, которая есть в земле, в грунте, то она будет проникать в стены дома и даже в комнатах первого этажа стены будут сырыми.

Затем т. Фомин подвел учащихся ко второму котловану, со дна которого также поднимались стены фундамента дома, но эти стены были уже покрыты большими железобетонными плитами.

И продолжил свой рассказ: «Перед нами основание пола первого этажа или, как говорят строители, нулевая отметка, от которой считают по порядку этажи дома вверх. Железобетонные плиты, которыми накрыт подвальный этаж, имеют длину 5 м 9 дм, ширину 1 м 2 дм и толщину 2 дм. Благодаря стальной арматуре, находящейся внутри этих плит, они имеют большую прочность».

Миша К. спросил у экскурсовода: «Зачем внутри этих плит круглые отверстия?»

Фомин ответил: «Несмотря на то что плита имеет толщину 2 дм, на изготовление многих таких плит (они нужны для перекрытия каждого этажа) нужно много материалов (цемента, песку, гравия, воды), кроме того, сплошная плита имеет большой вес. Чтобы уменьшить расход материалов на плиты, перекрытия, облегчить их

вес, на заводе ЖБИ во время изготовления плит во внутрь форм помещают не только стальную арматуру, но и круглые стержни, которые затем извлекают из плит, как только бетон начинает затвердевать и способен без стержней сохранять форму. Прочность плит от этого не уменьшается, так как стальная арматура остается в плите, образуя с бетоном одно целое».

«А теперь спустимся в подвальный этаж и посмотрим его изнутри»,— сказал т. Фомин и повел за собой учащихся к одному из входов в подвал. В подвале было прохладно и темновато, так как свет проникал только в двери и небольшие отверстия, оставленные в стенах для вентиляции. Далее он сказал учащимся: «На первом этаже этого дома будет магазин, а здесь будет склад товаров этого магазина. Здесь сухо и можно создать такую температуру, при которой товары будут хорошо сохраняться. Конечно, здесь будет светло, когда проведут электропроводку, стены и пол будут гладкими после отделки». Через несколько минут вся группа вышла из подвала и подошла к соседнему дому, 4-й этаж которого строился сейчас на глазах учащихся. Строительство велось аналогично строительству стен фундамента первого дома, только размеры блоков были другими. На это обратил внимание учащихся т. Фомин. Он сказал: «Вы видите, что стены дома строят монтажники из блоков с помощью крана, но эти блоки имеют большие размеры, чем блоки для стен фундамента. Длина блока 220 см, высота 110 см и толщина 40 см. Таких блоков нужно меньше, чем блоков других размеров». Он также обратил внимание учащихся на то, что этаж от этажа отделяется блоками, которые имеют длину 220 см, высоту 40 см и толщину 40 см.

Там, где расположены такие блоки, сделаны перекрытия, которые служат потолком нижнего этажа и полом следующего этажа. Прораб сообщил также учащимся: «Летом подвальный этаж строят за полтора месяца, а зимой, когда земля мерзлая и много времени уходит на рытье котлована — за два с половиной месяца. Вот почему сейчас спешим заложить больше фундаментов новых домов. За 1 месяц монтируем 2 этажа, т. е. за 5— 6 месяцев мы возводим стены 9-этажного дома. Затем внутри дома штукатуры, маляры ведут отделочные работы. Рабочие-теплотехники устанавливают батареи паро-

вого отопления, водопроводчики — трубы водопровода, сантехники — санитарные узлы. Правда, теперь работа сантехников значительно облегчена, так как санузлы не нужно монтировать, их присылают с завода на строительство полностью готовыми, в виде небольшой оборудованной комнаты (с ванной, умывальником и т. д.), которую кран ставит на свое место, а сантехники присоединяют трубы с горячей и холодной водой и трубы канализации».

«Теперь пойдемте к дому,—сказал т. Фомин,— у которого готовы все девять этажей и крыша, а внутри него идут отделочные работы. Посмотрите внимательно на стены этого дома и скажите, чем они отличаются от стен дома, у которого мы только что были?»

Ученики на этот вопрос правильно ответили, что стены этого дома сделаны из более крупных блоков, чем стены соседнего дома. Прораб сказал: «Правильно. Каждый простенок от одного до другого составляет один блок, окно опирается тоже на один блок, меньший по размеру. Выше и ниже видны длинные, узкие блоки, они лежат против межэтажных перекрытий. Из таких больших блоков можно еще быстрее строить дома. На строительстве жилых домов теперь применяют еще более крупные блоки, представляющие стену комнаты, в которую уже на заводе вставлены окна. Строительство жилых домов из таких крупных блоков называют крупнопанельным строительством. При крупнопанельном строительстве стены дома возводятся быстрее, чем у нас. А теперь пойдемте в соседний дом, который почти готов к сдаче, в нем заканчивают отделочные работы на верхних этажах. Посмотрите, каков дом внутри, каковы комнаты, стены, окна».

Дети поблагодарили прораба за интересный рассказ, попрощались с ним и пошли осматривать первый этаж дома, который был готов к приему новоселов. Они, как сказала им учительница, измерили с помощью рулеток длину и ширину кухни, каждой комнаты, ширину и высоту окон и даже высоту комнат.

Ученики записали в свои тетради числовые данные, которые им были сообщены, а также результаты всех измерений, которые сделали во время экскурсии. Возвращаясь, дети видели через окна автобуса сотни новых многоэтажных домов, образующих удивительно краси-

вую картину нового города, картину новой социалистической Москвы. На эту картину, достойную восхищения, направляла внимание учащихся Е. Г. Гансовская.

Работа, проведенная с учащимися IV класса по ознакомлению их со строительством, ведущимся в Н. Кузьминках скоростными методами, заслуживает полного одобрения.

Экскурсия на строительную площадку получила многоплановый, в известной степени обобщающий характер.

Во время экскурсии получили дальнейшее развитие некоторые представления и понятия, полученные учениками при изучении природоведения, истории и других предметов.

Например, в курсе природоведения ученики знакомятся со строительными материалами, в состав которых входит песок и глина (стекло, кирпич, бетон). Во время экскурсии ученики узнали значительно больше, чем раньше, о приготовлении бетона, и они сами видели применение его в жилищном строительстве.

Изучая исторический материал, ученики узнали о положении рабочих до революции и теперь. На экскурсии они наглядно видели материальное выражение заботы об улучшении условий жизни трудящихся в Советской стране.

Экскурсия дала богатый фактический и числовой материал, используя который, ученики под руководством учителя будут составлять и решать задачи, связывая изучение арифметики с жизнью, с практикой коммунистического строительства.

В заключение приводим тексты задач, составленные на материале строительства, которые думает решить Е. Г. Гансовская со своими учениками в течение учебного года.

Задачи

1. Длина фундамента дома 28 м, ширина 14 м. Какова площадь, занятая домом?

2. Для возведения подвального этажа дома роют котлован (внутри которого возводят фундамент дома). Какова площадь котлована, если его длина 31 м, а ширина 17 м?

3. Какова площадь главного фасада дома, если длина дома 28 м, а высота 25 м?

4. Какова внутренняя площадь одного этажа дома, если наружная длина дома 28 м, ширина 14 м, а толщина стен 4 дм? (Решить двумя способами.) 1) Чему равна средняя площадь одной квартиры, если на одном этаже 8 квартир? 2) Чему равна жилая площадь 9-этажного дома?

5. Высота одного этажа 2 м 7 дм. Чему равна высота 9-этажного дома?

6. Какова площадь всех окон 9-этажного дома, если на одном этаже 24 окна, причем высота окна 1 м 6 дм, а ширина 1 м 2 дм?

7. Какова площадь всех стен дома, не считая площади всех окон этого дома? Сколько нужно всего стеновых блоков различных размеров для этого дома, если; 1) длина блока 2 м 4 дм, высота 6 дм; 2) длина 2 м 2 дм, высота 1 м 1 дм? (Длина дома 28 м, ширина 14 м.)

8. Дом сделан из блоков трех размеров: блоки межоконные имеют высоту 2 м 4 дм, ширину 1 м 2 дм; блоки подоконные имеют высоту 8 дм, ширину 1 м 2 дм. На одном этаже 24 окна. Межэтажные блоки имеют длину 2 м 2 дм, высоту 4 дм.

Сколько блоков этих размеров нужно, если длина дома 28 м, а ширина 14 м?

9. Свежевынутый грунт вследствие разрыхления занимает большой объем. Длина котлована 31 м, ширина 17 м, глубина 4 м. Каков объем этого котлована? Сколько кубометров разрыхленного грунта погрузит на автосамосвалы экскаватор, если 4 куб. м твердого грунта дают 5 куб. м разрыхленного? Сколько самосвалов нагрузит этим грунтом экскаватор, если в один самосвал можно поместить 3 куб. м?

10. Каков объем подвального этажа, если длина дома 28 м, ширина 14 м, толщина стен 5 дм, высота подвала 3 м?

11. Сколько кирпичей заменяет каждый стеновой блок, если размеры блока: 4 дм X 24 дм X 6 дм (СБ — 4—24), а размеры кирпича: 25 см X 12 см X 7 см?

С. Л. АЛЬПЕРОВИЧ

ФОРМИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ УЧАЩИХСЯ ПЕРВОГО КЛАССА

В программу первого класса по геометрическому материалу включены только такие вопросы: отрезок прямой и его измерение, знакомство с квадратом, прямоугольником, треугольником, кругом (уметь их узнавать и различать).

Как видно, это очень незначительные сведения. К концу первого класса дети должны только различать эти простейшие фигуры, но такими знаниями, как показали исследования, проведенные Я. Ф. Чекмаревым, обладают шестилетние дети, т. е. дети дошкольного возраста («Известия АПН РСФСР», вып. 107, М., 1959; вып. 108, М., 1960).

Из исследования вытекает, что в среднем количество детей, рисовавших геометрические фигуры и различавших круг, квадрат, треугольник, составляло 95%. Следовательно, за целый год обучения в первом классе дети фактически не приобретают абсолютно никаких знаний в области геометрии.

Геометрический материал, который должны изучать учащиеся начальных классов, необходимо расширить. Элементы начальной геометрии доступны детям 7—8-летнего возраста. Следует подготовить их к восприятию элементарных сведений из начальной геометрии. Эта подготовка заключается в наглядном знакомстве с некоторыми геометрическими формами.

В I В классе 715-й экспериментальной школы Москвы (учительница Э. Г. Евграфова) был проведен эксперимент по проверке этого материала.

С первых дней обучения в первом классе детям были показаны круги, квадраты, треугольники, прямоугольники, даны их названия. Применялись эти фигуры при изучении первого десятка. В первой четверти проводи-

лись упражнения (продолжительностью 3—5 минут) один раз в неделю на узнавание этих и некоторых других фигур, на сравнение их размеров и взаимного расположения. Упражнения проводились в форме игр.

Первый вид игры: «Найди такую же фигуру». На классную доску прикреплялся плакат размером 40X60 см. На этом плакате были прикреплены из картона другого цвета 9 фигур: квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб, прямоугольник, параллелограмм, эллипс и правильный шестиугольник, как указано на рисунке. Названия фигур детям не сообщались. Правда, когда большинство заинтересовалось, как называется эллипс, то было сказано, что это овал, и в дальнейшем применялся этот термин.

На столе лежали вырезанные из картона такие же фигуры. Учительница выяснила, сколько фигур находится на плакате, как они расположены, какие из этих фигур дети знают.

Учительница рассказала, как будет проводиться игра. Известные фигуры называла: круг, квадрат, треугольник, прямоугольник. Неизвестные показывала на плакате. Дети находили такую же фигуру на столе, показывали ее классу и для проверки прикладывали к соответствующей фигуре на плакате. Дети пытались дать название и незнакомым фигурам, связывая с известными им формами. Так, трапецию назвали абажуром, эллипс — огурчиком. Учительница сказала, что все эти фигуры имеют свои названия и что о них узнают в дальнейшем. Учащиеся различали формы фигур и упражнялись в счете и усвоении порядка их расположения.

Далее проводились упражнения в определении величины фигур. Для этого использовался плакат с кругами различных радиусов, квадратами и правильными треугольниками различных размеров, указанный на рисунке.

Использовался этот плакат так же, как и предыдущий. Учащимся выдали вырезанные из бумаги геометрические фигуры, различные по величине, но одинаковые по форме. Например, в наборе имелось 3 правильных треугольника: два из них равны друг другу, а третий не равен первым двум.

Задания могут быть такими:

1) Найди все треугольники, круги и т. д.

Дети выбирают все фигуры известного вида.

2) Найди фигуры такой же формы.

Показывают какую-нибудь фигуру, название которой неизвестно (ромб, трапеция и т. д.). Дети выбирают все фигуры такой формы.

3) Выбери одинаковые фигуры.

Дети находят равные фигуры, проверяют наложением.

В этих играх дети различали фигуры, сравнивали их по величине. (Материал для игр изготовляли учащиеся старших классов.)

Дети находили прямоугольники, круги, квадраты не только в их наборах, но и в окружающей обстановке. Тем самым привыкали узнавать и находить вокруг себя геометрические фигуры.

Несколько в ином виде проводились подготовительные упражнения под названием «Зрительные диктанты».

На листе бумаги размером 20X30 см были наклеены различные фигуры из цветной бумаги. Эти фигуры отличались формой, размером и цветом. Учащимся давалось

некоторое время на рассмотрение листа. В более сложных случаях выяснялось, сколько фигур, какие они и как расположены. Затем листок убирался, и дети должны были выложить у себя на партах такие же фигуры и в таком же порядке. Полный набор всех фигур для всех работ находился у каждого в конверте.

На рисунке представлены некоторые из этих плакатов. Учительница предлагала плакаты в порядке возрастающей трудности, увеличивая число фигур и разнообразие форм.

Таким образом, все дети не только видели издали эти фигуры, но каждый держал их в руках, выбирал нужные, располагал в определенном порядке, запоминал их формы и взаимное расположение.

В результате такой подготовки дети познакомились наглядно с плоскими геометрическими фигурами, учились их различать и запоминали названия: круг, треугольник, квадрат, прямоугольник.

Поэтому стало возможным перейти от этих фигур к более детальному рассмотрению отрезка прямой линии и угла как элементов плоской фигуры.

Формируя понятие прямой линии, учитель встречается с трудностью в донесении до сознания детей такого свойства прямой, как бесконечность. Поэтому мы говорим не о формировании понятия прямой, а о формировании представления прямой линии и начинаем не с прямой, а с отрезка прямой линии. Понятие геометрических фигур формируется при помощи моделей этих фигур. Говоря в дальнейшем о том, что показываем геометрическую фигуру, мы будем иметь в виду модели геометрических фигур.

Как было уже указано выше, подготовительные упражнения дали возможность первоначального знакомства с геометрическими фигурами. Следующий этап заключался в том, чтобы приступить к изучению отрезка прямой линии и угла как элементов плоских фигур.

Итак, учащимся показывается ряд фигур: прямоугольник, квадрат, треугольник, круг, эллипс; выясняется название этих фигур (эллипс мы называем овалом). У учащихся имеется набор всех таких фигур. Учитель, проводя по треугольнику, квадрату и т. д., напоминает, что вся эта фигура — прямоугольник, квадрат и т. д., а затем, проводя по границам фигур, говорит, что это линии, и предлагает проделать то же самое детям. Таким образом, здесь происходит восприятие линии. Далее выясняется то, что линии на выше рассмотренных фигурах неодинаковы: одни из них состоят из отрезков прямых, другие — кривые. Представление о прямой линии формируем в противопоставлении с кривой линией. Далее учащиеся находят прямые и кривые линии на окружающих предметах и показывают эти линии. Так происходит наглядное знакомство с линиями.

На следующих занятиях учащиеся продолжают изучение линий. Прямые и кривые линии рисуются отдельно, т. е. даются независимо от фигур, на которых они были найдены вначале. Мы употребляем термин «рисуются», а не «чертятся», так как фигуры, изображен-

ные без помощи чертежных инструментов, называются нарисованными, а с помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля и т. д.) — начерченными.

Выясняется, что прямую линию можно начертить по линейке. Если предложить учащимся начертить прямую линию, то в большинстве случаев дети изобразят горизонтально расположенную прямую. Учитель может сам начертить наклонную прямую и спросить, какая эта линия. Не все дети видят в наклонной прямой прямую линию. Наклонную дети называют косая, кривая. Здесь сразу же надо обратить внимание на то, что в любом положении прямая линия остается прямой линией.

Проводим несколько прямых и кривых линий в различных положениях и осуществляем проверку прямых линий путем прикладывания линейки. Ребро линейки совпадает с прямой линией во всех точках, а кривой линии касается или пересекает в нескольких точках. Получаем также прямую линию перегибанием листа бумаги.

Кроме прямой и кривой линии, дети знакомятся с ломаной линией. Удобно показать модель ломаной линии, сделанной из проволоки. Проводим упражнения по нахождению различных линий на окружающих предметах, обращаемся к жизненному опыту детей, к их представлениям. Делать это надо целенаправленно: дать задание вспомнить, где видели дети различные линии — прямые, кривые и ломаные вне класса, взяв сначала предметы школьной обстановки, коридор, зал и т. д., затем — вне школы и, наконец,— дома. Ответы получаем самые разнообразные (провода линии электропередач, очертание различных предметов и т. д.).

После такого общего знакомства с различными линиями останавливаем внимание детей на различных положениях: горизонтальном, вертикальном и наклонном. Мы не можем давать определений этим понятиям, но заменяем, как и в других случаях, определения наглядным знакомством с соответствующими положениями. Приведем отрывок из протокола урока от 30/Х 1962 г. в I В классе. Тема урока: «Горизонтальные и вертикальные прямые».

Учитель. На прошлом уроке говорили про линии. Какие мы знаем линии? Саша Т. Мы знаем линии: прямые, кривые и ломаные.

Учитель. Вот нитка. Как с помощью этой нитки показать линию? Идите сюда Эдик и Боря, возьмитесь за концы. Какая получилась линия?

Эдик Б. Получилась кривая линия.

Учитель. А как сделать, чтобы получилась прямая линия? Скажи Коля.

Коля К. Надо натянуть нитку. Отойти друг от друга, и нитка натянется.

Учитель. Правильно, получится прямая линия. (Дети натягивают нить и держат ее в горизонтальном положении.) Я начерчу на доске прямую. (Чертит.) Эта прямая расположена горизонтально. А теперь покажите при помощи этой нити такую прямую (чертит на доске вертикальную прямую).

(Эдик и Боря показывают вертикальную прямую.)

Учитель. А как показать одному?

Никита К. Взять другой рукой за второй конец.

Учитель. А если нить длинная, то как быть? Так держать (показывает) — она отклоняется в сторону.

Оля К. Надо что-нибудь привязать на конец.

Учитель. Если привяжем что-либо тяжелое на конец, то нить будет отвисать прямо вниз. Получился прибор — отвес. Видели ли вы отвес?

Борис В. Я видел: когда рыли яму, то опускали отвес.

Учитель. Все вы видели, как строят дома. Стены должны быть отвесными. Там употребляют отвес.

Учитель. Весь прибор—отвес, а направление нити называется отвесным или вертикальным. Слышали ли вы про вертикальные прямые?

Борис В. Папа разгадывает кроссворды. Там написано— по вертикали и горизонтали.

Учитель. Откройте тетради и начертите вертикальную прямую, потом горизонтальную прямую.

(Вызывает к доске и предлагает начертить эти прямые линии.)

Учитель. На уроках рисования я буду говорить: проведите горизонтальную прямую, проведите вертикальную прямую, и вы будете знать, как расположены эти прямые.

Дети находят образы вертикальных и горизонтальных прямых на предметах классной обстановки, припоминают, где вне класса они их видели. Далее переходим к понятию наклонной прямой, указав, что если прямая не горизонтальная и не вертикальная, то она наклонная. Все виды прямых учащиеся чертят в тетрадях, получают при помощи натянутой нити, «отбивают» намеленным шнуром на доске. Учитель обращается к жизненному опыту детей: спрашивает, где они видели различные положения прямых, где требуется провести ту или иную прямую, как найти горизонтальное или вертикальное направление. Дети приводят много примеров из жизни, говорящих о том, что часто приходится людям самых разнообразных профессий проводить на различном материале различными способами прямые. Учительница отмечает, что в строительных и ремонтных работах особую роль играет проведение вертикального и горизонтального направления.

Для закрепления знаний детей о линиях следует предлагать начертить все виды линий и по начерченным линиям давать их названия. Можно для повторения использовать печатные буквы. При этом можно ставить такие вопросы:

1) Назовите те печатные буквы, которые состоят только из отрезков прямых линий, и покажите их;

2) Назовите те печатные буквы, которые состоят только из кривых линий;

3) Назовите те печатные буквы, которые состоят из отрезков прямых и кривых линий;

4) Назовите те печатные буквы, которые представляют собой ломаные линии;

5) Найдите горизонтальные, вертикальные и наклонные прямые в буквах.

Для знакомства с этим разделом можно использовать 8 занятий по 15—20 минут каждое. Эти занятия проходят очень живо. Все дети активно принимают участие в работе на уроке. Отыскивают прямые в окружающей обстановке, вспоминают, где они видели прямые, как их получить, как это используется в жизни.

В контрольной работе было предложено начертить:

1) 4 разные прямые линии,

2) 2 кривые линии,

3) горизонтальную прямую,

4) вертикальную прямую,

5) наклонную прямую,

6) ломаную линию.

Работа дала следующие результаты: «пятерок» — 8, «четверок» — 13, «троек» — 12.

Итак, на первом этапе знакомства с линиями основная задача — формирование представления прямой линии. Эту задачу мы решаем, во-первых, исходя из фигур, знакомых детям,— прямоугольника, квадрата, треугольника, во-вторых, в противопоставлении с кривой линией, которая вначале находится также на фигуре — круге, овале, и затем дети знакомятся с линиями независимо от фигуры, на которой они были найдены, и одновременно узнают о третьем виде линий — ломаных.

Все виды линий дети находят на окружающих предметах, вспоминают, где видели вне класса, и получают линии (вычерчивают, перегибают лист бумаги, натягивают или расслабляют нить). Таким же путем дети знакомятся с видами прямой линии, зависящей от ее расположения.

Следующая фигура, с которой познакомились дети в первом классе,— угол. Задачи первоначального ознакомления с углами сводятся к тому, чтобы дать представление об угле как элементе плоской фигуры (треугольника, четырехугольника); рассмотреть виды углов (прямой, острый, тупой); затем перейти к углу независимо от фигуры, в которой он находится; рассмотреть способы получения моделей углов. При формировании понятия «угол» также встречаются большие трудности. Прежде всего жизненный смысл слова «угол» не совпадает с научным содержанием этого понятия. Под «углом» часто понимают угол в комнате, т. е. двугранный угол или вершину угла, например, у стола. Трудным для детей является понимание того положения, что стороны угла — лучи, каждый из них неограничен с одной стороны. На первом этапе знакомства с углами мы не останавливаем внимание детей на этом факте.

К углам можно перейти, например, от треугольника. Это удобно сделать, так как при произношении слова «треугольник» мы слышим входящие в него слова «три» и «угол». Приведем конспект первого занятия.

Тема: «Углы» (как элементы плоских фигур).

Учительница показывает правильный треугольник, вырезанный из красного картона.

— Посмотрите сюда и скажите, что у меня в руке? (Треугольник.)

— Правильно. Почему эту фигуру назвали треугольником? (У нее три угла.)

— Поднимите все свои треугольники и покажите, где у них углы. (Все показывают углы.)

Учительница показывает углы, для чего проводит ладонью по его сторонам в треугольнике. Далее показывает прямоугольник.

— Какая это фигура? (Прямоугольник.)

— Нет ли у прямоугольника углов? (У прямоугольника тоже есть углы.)

— Сколько их? (4 угла.)

— Покажите углы в прямоугольнике. (Показывают.)

— Скажите, какую форму имеет доска? (Доска имеет форму прямоугольника.)

— Покажите углы у доски. (Показывают все 4 угла.)

— А сейчас я начерчу треугольник на доске, а вы у себя в тетрадях. Я прикладываю этот треугольник и обвожу его, и вы делайте то же самое. (Обводят треугольник.)

— Углы отмечают дугами. Сделайте это и вы.

— Я проведу дугу на треугольнике и отрежу угол по этой дуге. Теперь я нарисую отдельно угол. Вы тоже отрежьте и отметьте угол.

Все выполняют. Затем то же самое проделывают с прямоугольником.

Учительница предлагает раскрасить цветными карандашами углы.

— Посмотрите на эти углы и скажите, сколько прямых линий мы провели, чтобы получить угол? (Мы начертили угол двумя прямыми.)

— Эти прямые линии называются сторонами угла. Покажите место, где сошлись эти прямые линии. Эта точка называется вершиной угла. Возьмите карандаш и поставьте его острие в вершину угла.

Вызывает нескольких учащихся, чтобы они показали стороны и углы на окружающих предметах.

— Как называются прямые, образующие угол? (Эти прямые называются сторонами угла.)

— Как называется точка, в которой сходятся стороны угла? (Вершина угла.)

— Итак, с какой фигурой мы сегодня познакомились? (С углом.)

Далее учащиеся получают представление о видах углов — прямом, остром и тупом. В целях усвоения учащимися положения о том, что острый и тупой углы сравниваются с прямым углом и что острый угол меньше прямого, а тупой угол больше прямого, мы воспользовались снова треугольником и прямоугольником, вырезанными из цветного картона, предварительно выяснив, что такие углы, как в прямоугольнике, являются прямыми углами. Сравниваем углы нескольких прямоугольников и путем наложения убеждаемся, что все они равны между собой. Другими словами, знакомим учащихся t положением — все прямые углы равны между собой.

После этого сравниваем угол правильного треугольника и угол прямоугольника (эти фигуры окрашены в различные цвета) и спрашиваем, одинаковы ли эти углы.

Разница в величине углов очень заметна, и дети отвечают, что эти углы неодинаковы. Тогда встает вопрос о том, какой угол меньше и как назвать угол меньше прямого. Дети говорят, что угол данного треугольника меньше угла прямоугольника, а учитель сообщает, что углы, меньшие прямого, называются острыми углами.

Здесь можно опасаться того, что учащиеся будут думать, что углы треугольника всегда меньше углов прямоугольника. Но этого легко избежать, если и тупой угол взять в треугольнике. Показываем тупоугольный треугольник, вырезанный из картона, цвет которого отличен от цвета прямоугольника, выяснив вначале, что эта фигура тоже треугольник. К этому факту дети приходят легко, исходя из того, что у предложенной фигуры три угла. Сравнивая тупой угол треугольника и угол прямоугольника, учащиеся видят, что угол треугольника теперь уже больше угла прямоугольника. Название тупому углу учащиеся дают сами. Таким образом, они не только знакомятся с положением, что тупой угол — это угол больше прямого, но и с тем, что в треугольнике могут быть не только острые, но и тупые углы.

Затем учащиеся находят все виды углов на окружающих плоских поверхностях, получают перегибанием листа бумаги. Полезно находить различные углы на буквах заранее составленного слова, которые можно написать на таблице. Например,

ЛУНА, ЛИПА

Положительной стороной такого упражнения является прежде всего некоторая необычность изображения углов. Они здесь составляют часть букв, а те, в свою очередь,— часть слова, и, кроме того, углы в этом случае занимают не стандартные положения: вершина может находиться вверху, посредине буквы и т. д., стороны могут быть наклонными, горизонтальными и вертикальными. Учащиеся вычерчивают в тетрадях различные углы, причем учитель не говорит, как их располагать, и учащиеся располагают углы произвольно.

Далее определяют виды углов, представленных на таблицах. (Ниже помещены четыре вида таблиц.) Первая таблица — прямые углы в различных положениях. Вторая таблица — острые углы. Третья таблица — тупые углы. Четвертая — углы всех видов. Ряд углов проверялся путем наложения прямого угла. Чтобы удобнее было называть, углы на последней таблице были занумерованы. Всего на этот раздел (углы) было использовано 6 занятий, по 20—25 минут каждое.

В процессе первоначального знакомства с углами, кроме положения о том, что все прямые углы равны между собой, острый угол меньше прямого, а тупой больше прямого, дети знакомятся еще с тем фактом, что острые углы различны, одни больше, другие меньше, но каждый из них меньше прямого, тупые углы различны, но каждый из них больше прямого. Итак, учащиеся получают представление об угле как элементе плоской фигуры, затем как самостоятельной фигуре и о различных видах углов. Учащиеся привыкают видеть и находить углы на плоских поверхностях предметов окружающей обстановки. Такие задания развивают пространственные представления детей, заставляют более внимательно вглядываться в предметы окружающей обстановки, приучают учащихся к наблюдательности и приводят к мысли, что в жизни многие предметы имеют геометрическую форму.

Как показал опыт, уже в первом классе геометрические представления учащихся могут быть значительно расширены.

Прямая линия и угол могут служить объектами изучения. Следует заметить, что к разработке этого материала для изучения его детьми отнестись надо очень тщательно. В этом случае учащиеся довольно успешно овладевают новыми для них знаниями.

П. С. ИСАКОВ

ОБУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯМ «НА ГЛАЗ» И «НА РУКУ» В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Измерение «на глаз», или глазомер,— это определение значений некоторых величин без помощи инструментов на основе одних лишь зрительных восприятий. Измерение «на руку» — это определение веса предметов без помощи весов только по мускульному усилию руки.

Измерения «на глаз» и «на руку» являются важным видом измерительных работ. Как и другие измерительные работы, они прежде всего служат средством осуществления связи арифметики с жизнью. Кроме того, они способствуют формированию у учащихся представлений об окружающей действительности, в частности формированию пространственных представлений и представлений о значениях различных величин. Большую роль играет глазомер в инструментальных измерениях, где постоянно приходится оценивать «на глаз» относительные, а в некоторых случаях и абсолютные размеры частей делений на шкалах. Действительно, «перенося, например, размер изделия на линейку посредством кронциркуля или нутромера, мы сопоставляем положение ножек этих инструментов с делением линейки не иначе, как посредством работы глаза. Сопоставление делений линейки штангенциркуля и нониуса, делений лимбов и др. тоже требует хорошего глазомера. Словом, во всех измерениях и контрольных процессах глазомеру работающего принадлежит большая роль»1.

В некоторых отношениях измерения «на глаз» и «на руку» обладают бесспорными преимуществами перед инструментальными измерениями. Во-первых, они произ-

1 С М. Шабалов, Политехническое обучение, изд. АПН РСФСР, М., 1956, стр. 617-618.

водятся значительно проще и быстрее последних, правда, за счет того, что результат получается менее точным. Но там, где большой точности не требуется, это очень важно. Во-вторых, глазомерные оценки линейных протяжений, площадей, объемов тел, емкостей сосудов, весов различных предметов развивают у учащихся умение прикидывать результат. Такое умение является хорошим средством самоконтроля при выполнении самых различных работ, в частности, при производстве расчетов и решении задач.

Обзор всего того, что есть в методической литературе для учителей начальных классов по вопросу обучения измерениям «на глаз» и «на руку», показывает, что рекомендуемая методика обучения сводится к следующему. Учащиеся должны делать предположения, в сущности угадывать численное значение заданного расстояния, площади, объема, веса и затем измерением проверять себя. Чем больше будет проделано подобных упражнений, тем совершеннее будет навык. Никаких специальных правил при этом не требуется (по крайней мере для учащихся начальных классов). Однако это нельзя считать абсолютно верным. Учащимся могут быть даны некоторые правила, вполне доступные для них, способствующие более быстрому овладению навыком глазомера. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим кратко механизм измерений «на глаз» и «на руку».

О степени относительной удаленности предмета мы судим на основе ощущений, вызываемых несколькими факторами. Во-первых, здесь играет роль конвергенция — согласованный поворот глаз в сторону переносицы. «Чем сильнее сокращение глазных мышц, которое необходимо, чтобы видеть предмет двумя глазами без его удвоения, тем ближе к нам этот предмет»1. Во-вторых, аккомодация глаза, т. е. приспособление глаза к ясному видению предметов, находящихся на различных расстояниях от него. Нормальный глаз обладает способностью к аккомодации на расстоянии до 6 м. Большему или меньшему удалению рассматриваемого предмета соответствует та или иная степень сокращения мышцы, изменяющей кривизну хрусталика. В-третьих,

1 «Психология», под ред. К. Н. Корнилова, Б. М. Теплова, Л. М. Шварца, Учпедгиз, М., 1941, стр. 116.

при оценках «на глаз» играет роль величина изображения предмета на сетчатке глаза: чем больше изображение, тем ближе предмет. Наконец, в-четвертых, воздушная перспектива — изменение в цвете и ясности очертаний предметов (главным образом на значительных расстояниях).

Об относительных размерах предметов, находящихся на одинаковых расстояниях от глаза, нам позволяют судить величина изображения предмета на сетчатке (большему предмету соответствует большее изображение) и степень сокращения мышцы, поворачивающей глазное яблоко во время осмотра предмета.

Ощущение воздушной перспективы помогает восприятию больших расстояний (свыше 400—500 м). Существуют шкалы различимости предметов на местности в зависимости от их удаленности от глаза наблюдателя1. Однако пользоваться такими шкалами, как это делают некоторые учителя, при обучении измерениям «на глаз» и даже при ознакомлении учащихся с расстоянием в 1 км в начальных классах нецелесообразно. Дело в том, что признаки различимости предметов на местности во многом субъективны и зависят от состояния погоды, времени дня, рельефа и т. п. Поэтому для того, чтобы обучить детей глазомерной оценке больших расстояний, необходимо провести большое количество упражнений. В начальных же классах это трудно сделать. Добавим к сказанному, что умение определять «на глаз» расстояния в 1—2 км у учащихся начальных классов не найдет практического применения: младшие школьники не совершают больших походов и экскурсий, где такое умение могло бы пригодиться.

Большой комплекс ощущений лежит в основе оценки веса предметов. Прежде всего зрительные ощущения дают нам возможность судить о величине предмета и о материале, из которого он сделан. Последнее весьма важно, поскольку позволяет составить хотя бы грубое представление о плотности материала, из которого изготовлен предмет. Например, этот деревянный ящик очень отсырел, значит, он должен быть тяжелым. Таким обра-

1 См., например, М. А. Знаменский, Измерительные работы на местности; Н. Д. Никитин, Глазомерная съемка; И. П. Трунов, Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы.

зом, на основе зрительных ощущений возникает первоначальное, пока еще весьма приближенное, представление о весе предмета. Это представление уточняется ощущениями силы тяжести или сопротивления предмета мускульному усилию.

Важным моментом в механизме измерений «на глаз» и «на руку» является то, что расстояние, высоту, длину, вес и т. д. мы оцениваем только через сравнение с уже известными значениями родственных величин. Измерение — это установление численного отношения между данной величиной и тем значением родственной ей величины, которое принято за единицу. Чтобы такое отношение мы могли установить приемом «на глаз» или «на руку», в нашем сознании должен быть четкий образ единицы измерения. Он создается в процессе длительных упражнений. Однако даже и при наличии этого образа, если бы мы проводили глазомерную оценку путем непосредственного сопоставления меры и измеряемой величины, мы постоянно, за исключением немногих случаев, допускали бы большие ошибки. Это объясняется несколькими причинами.

Во-первых, когда расстояние, высота или длина, которые мы оцениваем «на глаз», во много раз больше единицы измерения, то практически невозможно путем мысленного деления этих протяжений на отрезки, равные единице измерения, установить нужное отношение. Подобный процесс вообще немыслим при определении веса предмета «на руку».

Во-вторых, условия проведения измерений «на глаз» нередко сильно отличаются от тех, в которых мы знакомимся с единицей измерения. Относится это главным образом к метру. Первоначальное знакомство с ним проходит на близком расстоянии: измеряя с помощью метра, мы держим его в руках. Оценка же «на глаз» производится на значительном удалении от измеряемого объекта или от того пункта, до которого определяется расстояние. Понятно, что в новых условиях отрезки, равные 1 м, мы уже воспринимаем иначе.

В-третьих, для установления отношения между измеряемой величиной и единицей измерения мы имеем лишь мысленный образ последней. И как бы четок этот образ ни был, воспроизведение его по памяти неизбежно приводит к большим погрешностям.

В противоположность приему непосредственного сопоставления единицы измерения с заданной величиной мысленное сравнение этой величины с каким-нибудь заранее известным значением родственной величины обладает рядом преимуществ. Они состоят в следующем:

Во-первых, такое сравнение значительно ускоряет процесс измерения. Пусть, например, требуется «на глаз» определить длину шкафа. Вместо того чтобы мысленно делить шкаф на отрезки, равные 1 дм, оценить его длину можно следующим обрзом:

Длина шкафа равна «двум спинкам стула», плюс еще 20—30 см. Ширина спинки стула известна. Она составляет примерно 40 см. Значит, длина шкафа равна 100—120 см.

Ясно, что при таком способе измерения мы получаем результат гораздо быстрее.

Во-вторых, сравнение измеряемой величины с наперед известным значением дает возможность получить результат не только быстрее, но в ряде случаев и более точно, чем при мысленном сравнении с единицей измерения. Это имеет место тогда, когда мы сравниваем не с мысленным образом, а с длиной зримого отрезка или с весом зримого и осязаемого предмета. Если у человека нет достаточного опыта в глазомере, то, определяя «на глаз», скажем, длину здания, он долго будет гадать и, в конце концов, сильно ошибется. Другое дело, если вблизи окажется здание (или другой какой-нибудь объект), размеры которого известны. Тогда даже малоопытный человек сумеет легко решить поставленную перед ним задачу. Например:

— Длина здания нашей школы равна 60 м. Оно длиннее соседнего здания примерно в два раза. Значит, длина последнего составляет 30—35 м.

Но даже и в том случае, когда мерилом служит не зримый или осязаемый объект окружающей обстановки, а только его мысленный образ, результат оценки «на глаз» или «на руку» будет точнее, чем при мысленном сопоставлении измеряемой величины с единицей измерения. Объясняется это тем, что, как бы хорошо мы ни представляли себе ту или иную единицу измерения, более четкими будут все же образы многих объектов окружающей обстановки. Даже при условии, что мы каждый день будем упражняться в инструментальных измере-

ниях длины и веса, мы не будем так часто видеть метр, дециметр или так часто ощущать вес в 1 кг, как мы видим человека, окно, стул, классную комнату, автомашину и многое другое или ощущаем вес книги, стакана с водой и т. п. Нужно при этом отметить следующее очень важное обстоятельство. Все такие объекты мы видим не только в непосредственной близости, как меры длины, но и на различном удалении и в различных положениях. Это облегчает глазомерные оценки и способствует повышению точности их результатов.

В-третьих, сравнение с известными значениями родственных величин в известной мере расширяет границы, в которых мы производим измерения «на глаз» и «на руку». Это имеет место главным образом при оценке веса. Как и в предыдущих случаях, поясним сказанное примером.

Требуется «на глаз» определить вес бака с водой. Бак тяжел настолько, что поднять его мы не можем. Поэтому не можем судить и о весе по ощущению силы тяжести. Однако сравнение емкости бака с емкостью ведра (если бак вмещает небольшое число ведер) позволяет этот вопрос решить, поскольку вес ведра воды известен.

Многочисленные примеры показывают, что сравнение измеряемой величины с наперед известным значением родственной ей величины лежит в основе всех наших оценок «на глаз» и «на руку». Одним из таких примеров может служить хорошо известная иллюзия перспективы, указанная на рисунке. Из трех совершенно одинаковых деревьев на рисунке последнее кажется значительно выше, так как деревья мы мысленно сравниваем с рядом стоящей стеной, высота которой воспринимается одина-

новой на всем ее протяжении. Мы даже можем сказать (опять-таки на основании сравнения высоты деревьев и высоты стены), что последнее дерево примерно в полтора раза «выше» первого.

Уместно привести слова К. Д. Ушинского, сказанные, правда, по другому поводу, но совершенно справедливые и в данном случае: «Все в мире мы узнаем не иначе, как через сравнение, и если бы нам представился какой-нибудь новый предмет, которого мы не могли бы ни к чему приравнять и ни от чего отличить (если бы такой предмет был возможен), то мы не могли бы составить об этом предмете ни одной мысли и не могли бы сказать о нем ни одного слова»1.

Когда человек не владеет приемом сравнения или в силу тех или иных условий лишен возможности применить его, он допускает при глазомерных оценках грубые ошибки. Интересно привести по этому поводу следующее замечание Я. И. Перельмана: «...При определении расстояния на ровной, совершенно одноцветной поверхности — на водной глади рек или озера, на чистой песчаной равнине, на густо заросшем поле расстояние всегда кажется меньше истинного; оценивая его на глаз, мы ошибаемся вдвое, если не больше»2. Объяснение этому факту очень простое: ошибка проистекает из-за того, что в поле зрения нет никаких объектов, расстояния до которых могли бы служить мерилом.

С аналогичным примером мы встречаемся и в простом эксперименте, схема которого показана на приведенном рисунке. На листе картона К начерчен отрезок. В непрозрачном экране Э проделано небольшое отверстие, в которое вставлена короткая трубочка Т. Размеры

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, Учпедгиз, М., 1945, стр. 448.

2 Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, Гостехиздат, М., 1955, стр. 116.

картона и экрана, расстояние между ними и длина трубочки подобраны таким образом, чтобы наблюдатель, глядя в трубочку, не видел никаких предметов окружающей обстановки, кроме того участка картона, на котором начерчен отрезок. Наблюдатель «на глаз» определяет длину отрезка. Затем экран убирается. Наблюдатель снова определяет длину отрезка, на этот раз имея уже возможность сравнить ее с размерами предметов окружающей обстановки.

Для проведения этого эксперимента в качестве испытуемой была взята ученица IV класса Таня О. Результаты эксперимента приведены в следующей таблице.

Испытания

Фактическая длина отрезка

Наблюдение через трубочку

Непосредственное наблюдение

указанная длина

относительная погрешность

указанная длина

относительная погрешность

1

11 см

25 см

+120%

10 см

-9%

2

17,5 см

40 см

+ 120%

25 см

+43%

Из таблицы видно, что в тех случаях, когда испытуемая была лишена возможности сравнивать оцениваемый отрезок с предметами обстановки (наблюдение через трубочку), она ошибалась более чем в два раза. Когда же она получала такую возможность, ее ответы были вполне удовлетворительными.

Как же производят оценку величин «на глаз» и «на руку» учащиеся начальных классов? Практика показывает, что дети (да и многие взрослые, не имеющие достаточного опыта в измерениях) в этом случае просто гадают или пытаются мысленно разделить измеряемый отрезок или предмет на отрезки, равные единице измерения. При этом нередко движением руки они помогают себе в отсчете метров, дециметров, сантиметров. Лишь много позднее дети приобретают навык производить оценки путем мысленного сравнения величин со знакомыми значениями родственных величин. Причем этот навык они приобретают стихийно и только при условии, что упражнения в измерениях «на глаз» и «на руку» проводятся систематически.

Мысленное деление на единичные отрезки (или мысленное откладывание таких отрезков при отмеривании «на глаз» заданного расстояния) служит, несомненно, причиной многих, и нередко грубых ошибок при глазомере. Вот пример, который приводит в своей работе О. И. Галкина: «Ученица Б. откладывает заданную величину отрезка не сразу, а воспроизводит его по частям, прибавляя постепенно по одному сантиметру. В результатах у нее наблюдаются значительные отклонения, так как представление об одном сантиметре неточное, и в сумме ошибка возрастает»1. Применение этого приема приводит к тому, что один и тот же предмет получает различную количественную оценку, причем имеют место случаи, когда из двух различных по величине предметов больший предмет оценивается меньшей величиной, а меньший — большей. Вместе с тем простое указание на возможность сопоставления величин ориентирует учащихся и помогает им в каждом конкретном случае произвести глазомерную оценку со значительно большей точностью.

Ученику III класса Мише П. было дано задание «на глаз» определить длину планки, прибитой к стене класса. После долгих размышлений мальчик неуверенно сказал:

— 14 метров.

Тогда ему был задан наводящий вопрос:

— А какова длина класса?

— 8 метров,— последовал быстрый ответ.

— Но ведь планка прибита только до двери. Значит, она короче стены класса... Подумай еще, какой может быть ее длина.

Ученику, таким образом, была подана мысль сравнить измеряемую величину с известным значением другой (длиной класса). После этого он правильно ответил:

— 6 метров.

Итак, при измерениях «на глаз» и «на руку» мы опираемся на прием мысленного сравнения измеряемой величины с известным значением родственной ей вели-

1 О. И. Галкина, Обучение измерению и развитие измерительной деятельности в начальных классах школы. Сб. «Воспитание и развитие детей в процессе начального обучения», изд. АПН РСФСР, М., 1960, стр. 237—238.

чины. Неумение пользоваться этим приемом или отсутствие возможности для применения его приводит к грубым ошибкам. Ни мысленное деление на отрезки, равные единице измерения, ни тем более угадывание не могут служить тем средством, которое дает достаточно эффективный результат. Этот вывод должен быть положен в основу методики обучения измерениям «на глаз» и «на руку» в начальных классах.

Всю работу по обучению измерениям «на глаз» и «на руку» можно разбить на несколько этапов. Первый этап — это этап обучения такому глазомеру, посредством которого устанавливается, во сколько раз значение одной величины больше значения другой. Этот глазомер мы назовем относительным. Здесь учащимся могут быть предложены такие, например, вопросы и задания:

— Во сколько раз первый отрезок длиннее второго?

— Во сколько раз стол выше табуретки?

— Во сколько раз окно шире двери?

— Начерти «на глаз» отрезок в два раза больше этого отрезка (линейки, полоски и т. д.).

Относительный глазомер является простейшим видом глазомера. Поэтому соответствующие упражнения можно начинать уже в I—II классах. Как показывает практика, учащиеся первого класса понимают предлагаемые им вопросы и задания на относительный глазомер и хорошо с ними справляются. Так, ученица I класса Вера И. на вопрос, во сколько раз синий карандаш больше желтого, быстро ответила:

— Этот (показывает больший) —два таких (показывает меньший).

На вопрос о том, во сколько раз одна книга тоньше другой, она ответила:

— В три раза.

Оба ответа с точностью до целых единиц были верными.

При обучении глазомеру, в частности относительному глазомеру, нужно иметь в виду известную оптико-геометрическую иллюзию: вертикальный отрезок кажется длиннее равного ему горизонтального. Поэтому, чтобы не допускать больших ошибок при оценке относительных размеров предметов, нужно расстояние и длину сравнивать только с расстоянием и длиной, а высоту — с высотой.

Следующий этап — этап инструментальных измерений величин. В ходе этих измерений у учащихся накапливаются необходимые знания и создаются образы, используемые в дальнейшем в качестве мерил. Как минимум учащимся необходимо знать:

длину и ширину класса (в метрах);

среднюю высоту комнаты (3 м);

высоту и ширину окна в классе (в дециметрах);

высоту стула (9—10 дм);

ширину спинки стула (4 дм);

длину тетради (20 см);

площадь класса (округленно до десятков квадратных метров; для типовой школы 50 кв.м);

число своих шагов на отрезках длиной 100 м и 10 м;

длину здания школы (округленно до десятков метров);

2—3 пункта вблизи школы, расстояния до которых равны 1 км;

среднюю скорость пешехода (4—5 км в час);

примерные границы скоростей современных типов транспорта (например, для автомобиля от 30 до 100— 120 км в час);

средний вес школьника 9—10 лет (30 кг);

вес мешка картофеля (большой мешок картофеля весит около 50 кг);

вес некоторых продуктов в расфасовке;

вес молока (воды) в бутылке емкостью 0,5 л;

вес воды в объеме 1 куб.м.

Учащимся нужно также знать, что в среднем у 9— 10-летнего школьника расстояние от пола до середины груди равно 1 м; расстояние от пальцев одной руки до локтя другой, когда руки вытянуты в стороны,— 1 м; расстояние между концами большого и указательного пальцев, разведенных до отказа,— 15 см.

Приведенный перечень является, конечно, до известной степени ориентировочным. Он может быть изменен в зависимости от тех или иных условий.

Третий этап в обучении измерениям «на глаз» и «на руку» — косвенные измерения. Косвенными мы назовем такие измерения, при которых числовые значения величин получаются через измерение других величин, тем или иным способом связанных с данными. Зная, напри-

мер, расстояние между двумя телеграфными столбами, мы легко можем определить длину улицы, если сосчитаем столбы на ней. Для того чтобы определить высоту многоэтажного дома, мы устанавливаем прежде всего число этажей. Затем, зная высоту одного этажа (высоту комнаты вместе с междуэтажным перекрытием; она приблизительно равна 3 м), мы легко находим и высоту всего здания. Таким же способом мы можем определить длину пути, если известно время, затрачиваемое на прохождение какой-либо определенной части его, длину здания школы, зная количество классов, расположенных вдоль фронтальной стены, и среднюю длину одного класса (около 8 м), вес ведра, наполненного водой, и многое другое.

В приведенных примерах числовые значения заданных величин мы получаем не путем непосредственных измерений их с помощью инструментов, а косвенным образом, через измерение других величин. Отсюда наименование: косвенные измерения.

Полезность косвенных измерений, как и упражнений в относительном глазомере, состоит в том, что они помогают формированию навыка оценки величин на основе их сравнения и приучают детей подходить к этой оценке сознательно. Последнее важно в том отношении, что дети, пока они не владеют никакими приемами глазомера, пытаются, как мы уже отметили, просто угадывать значения величин.

Четвертый этап — этап собственно измерений «на глаз» и «на руку». Здесь в отличие от относительного глазомера оценка величин производится в абсолютных единицах — метрах, дециметрах, килограммах, квадратных метрах и т. д.

Указанное деление на этапы в известной мере условно (даже тогда, когда речь идет об измерениях однородных величин). В отдельных случаях упражнения, относящиеся к последующим этапам, могут предшествовать упражнениям, относящимся к этапам предыдущим. Например, в то время как в помещении класса будут уже широко практиковаться разнообразные упражнения по оценке линейных протяжений в дециметрах и сантиметрах, на местности будут пока еще проводиться инструментальные измерения и упражнения в относительном глазомере.

В школьной практике известен целый ряд частных методических приемов обучения детей измерениям «на глаз» и «на руку». Многие из них описаны в журнальных статьях и методических руководствах. Все эти приемы направлены на то, чтобы разнообразить работу по обучению глазомеру, вызвать у учащихся интерес к ней, побудить их к соревнованию. Например, упражнения по определению расстояний на местности А. С. Пчелко рекомендует проводить следующим образом. По заданию учителя дети определяют расстояния до указанных им предметов. Учитель опрашивает учеников и против фамилии каждого ставит названное число метров. Затем расстояния измеряются. Результаты оценок «на глаз» сравниваются с результатами измерений и, таким образом, устанавливается, кто из учащихся имеет лучший глазомер.

Г. Б. Поляк описывает такой прием отмеривания «на глаз» расстояния, равного 1 м. «На планке с одного ее конца откладывается метр и на одной стороне ее делается отметка, где он кончается. Учитель держит планку горизонтально так, чтобы сторона, на которой сделана отметка, была обращена к классу. Вызываемый ученик, подходя сзади, должен показать, где конец метра. Остальные учащиеся видят, насколько ошибся их товарищ»1.

Приведем еще пример, взятый из книги П. А. Карасева «Элементы наглядной геометрии в школе». «Учитель вызывает учеников одного за другим и дает им задачу начертить на глаз заданный отрезок, например 40 см. Каждый ученик чертит свой отрезок и затем измерением выясняют, кто дал отрезок точнее всего»2.

Подобных описаний можно привести много.

Заметим, что каким бы из приемов обучения измерениям «на глаз» и «на руку» ни пользовались, всегда при этом надо опираться на сравнение величин.

Чтобы метод сравнения нашел широкое применение при глазомерных оценках, учитель должен хорошо разъяснить его, проиллюстрировав пояснения достаточным

1 Г. Б. Поляк, Преподавание арифметики в начальной школе, Учпедгиз, М., 1959, стр. 280.

2 П. А. Карасев, Элементы наглядной геометрии в школе, Учпедгиз, М., 1955, стр. 115.

количеством примеров. Кроме того, он должен всячески побуждать детей к тому, чтобы в ходе упражнений они пользовались этим методом. На первых порах это могут быть краткие указания (например, «Площадь участка удобно сравнить с площадью нашего класса»). Позднее, когда сущность метода будет хорошо понята учащимися, им можно предлагать такие вопросы:

— С чем ты это сравнивал?

— Как ты это определил?

В заключение несколько слов об инструментальной проверке результатов оценки величин. В методической литературе, рассматривающей вопросы обучения измерениям «на глаз» и «на руку», всегда указывается, что упражнения в оценке величин должны непременно сопровождаться контрольными измерениями с помощью инструментов. Контрольные измерения существенно помогают формированию навыка глазомера. Об этом говорят авторы ряда исследований по данной теме.

О. И. Галкина указывает на то, что соединение зрительного измерения с осязательной проверкой «помогает лучшему познанию пространственных отношений, поскольку при этом устанавливается связь между зрительным восприятием, осязанием и двигательным ощущением»1. Эту мысль подтверждают слова А. А. Ухтомского: «Чисто зрительное измерение на расстоянии без осязательной проверки остается условным и носит в себе явные признаки этой условности»2.

Приведенные высказывания, таким образом, подчеркивают важность контрольных измерений при обучении учащихся глазомеру.

Подведем краткий итог. Всю работу по обучению измерениям «на глаз» и «на руку» в начальных классах можно разбить на следующие четыре этапа: 1) обучение относительному глазомеру; 2) инструментальные измерения и запоминание значений основных величин; 3) упражнения в косвенных измерениях; 4) обучение собственно измерениям «на глаз» и «на руку».

1 О. И. Галкина, Обучение измерению и развитие измерительной деятельности в начальных классах. Сб. «Воспитание и развитие детей в процессе начального обучения», изд. АПН РСФСР, М., 1960, стр. 228.

2 А. А. Ухтомский, Собрание сочинений, т. IV, изд. ЛГУ, 1945, стр. 182.

Н. Ф. КОПЕЛЕВА

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ИДЕЙ ПРОГРАММИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ АРИФМЕТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Задача перестройки школы побуждает учителей использовать такие формы организации учебной деятельности детей, которые способствовали бы формированию умения самостоятельно добывать знания и применять их к решению разнообразных учебных и практических задач. В связи с этим нам представляется не лишенным интереса вопрос о возможности и целесообразности использования в начальных классах школы некоторых идей, лежащих в основе так называемого программированного обучения, хотя экспериментальная работа по программированному обучению находится в самой начальной стадии.

В чем сущность программированного обучения?

Учебный материал разбивается на основе логического анализа на мелкие части, размер которых определяется и дидактическими принципами. Части эти располагаются в строгой последовательности. Происходит программирование материала. По этим частям контролируется процесс усвоения учеником данного учебного материала. Каждый ученик работает в удобном для него темпе.

Материал, разбитый на части по указанному выше принципу, служит основой для составления специального учебного пособия или учебника. Такой учебник называется программированным, а обучение по нему — программированным обучением, безмашинным, в отличие от машинного, осуществляемого обучающими машинами. В программированном учебнике (мы описываем один из существующих в США видов таких учебников) обычно

после каждой небольшой части («порции»), полученной в результате логического расчленения материала, дается задание (контрольный вопрос) для проверки усвоения учеником данной порции. В правильности выполнения задания ученик убеждается сразу, так как на этой странице учебника или через несколько страниц дан ответ к этому заданию. Во время работы ответ закрыт клапаном. Выполнив задание, ученик сдвигает клапан и видит правильный ответ, который он должен сравнить со своим. Так осуществляется немедленный самоконтроль в процессе обучения.

Учитель, наблюдая за самостоятельной работой учеников, видит, как они усваивают материал.

Каждый ученик работает в том темпе, который по его силам, что позволяет индивидуализировать процесс обучения.

После изучения темы дается контрольная работа, текст которой находится у учителя и в учебнике не приводится.

В школах США, где осуществляется программированное обучение, роль учителя заключается в том, что он организует работу по программированному учебнику, наблюдает за учениками во время урока, оказывает помощь тем, кто в ней нуждается, проводит контрольные работы.

Не предрешая вопроса о том, какое место в начальной школе было бы целесообразно отвести в практике обучения арифметике самостоятельной работе учащихся над программированными материалами, нельзя не признать, что разработка их важна хотя бы потому, что она вносит ясность, четкость в понимание логической структуры материала, позволяет наметить строгую последовательность его составных частей, правильно подобрать материал, пройденный ранее, который необходимо вспомнить для подготовки к восприятию нового.

Только разработав таким образом каждую тему, вскрыв после проведения тщательного анализа логические связи, можно будет решать вопрос о том, в какой форме лучше организовать изучение детьми каждого конкретного раздела программы с учетом подготовки учащихся и специфики учебного материала.

Мы предприняли попытку проанализировать одну из тем программы по арифметике для III класса — тему

«Письменное сложение в пределах 1000». Для этого разбили весь материал по этой теме на логические части, используя алгоритм сложения двух многозначных чисел.

Алгоритм — это строгая логическая последовательность операций, необходимых для решения какого-либо вопроса.

Алгоритм сложения двух многозначных чисел

1. Подпиши одно число под другим так, чтобы единицы были под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.

2. Сложение начинай справа с единиц.

3. По таблице сложения устанавливай результат сложения единиц.

Если получилось число, меньше 10.

Если получилось число 10 или больше.

4. Подписывай под единицами результат.

4. Разлагай результат на десятки и единицы.

5. Переходи к сложению десятков.

5. Единицы или нуль подписывай под единицами.

6. 1 десяток надпиши над десятками.

7. Переходи к сложению десятков.

Десятки складывай так же, как единицы.

В алгоритме сложения шестая операция может быть выполнена иначе, а именно: 1 десяток можно не надписывать, а запоминать.

В третьей операции имеется в виду, что таблицу сложения ученики знают наизусть.

На основании этого алгоритма материал был разбит на следующие подтемы:

1. Сложение двух трехзначных чисел, записываемых только значащими цифрами, без превращения единиц в десятки.

При изучении этого материала дети знакомятся с новой для них формой записи чисел в столбик для письменного сложения и с названием компонентов сложения.

Для подготовки к изучению этой подтемы мы подобрали материал по повторению нумерации в пределах 1000.

2. Сложение двух чисел, когда в слагаемых (в одном или в обоих) есть нули.

Перед изучением этого материала наметили для повторения сложение однозначных чисел с нулем, нумерацию чисел, у которых пропущены единицы первого или второго разрядов, десятичный состав таких чисел.

3. Сложение двух чисел с превращением единиц в десятки.

Перед изучением этого материала нужно повторить сложение двух и трех однозначных чисел, дающих в сумме 10 или число, большее 10. Это необходимо и для усвоения следующих подтем (4, 5 и 6). Для повторения сложения однозначных чисел мы дали задание по проверке занимательных квадратов. Это интереснее для детей, чем обычное решение примеров. В начале III подтемы дан случай, когда в результате сложения единиц получается число 10.

4. Сложение двух чисел с превращением десятков в сотни.

5. Сложение двух чисел с превращением единиц в десятки и десятков в сотни.

6. Сложение трех чисел в пределах 1000.

Для закрепления мы стремились подобрать такие упражнения, которые способствовали бы уточнению, углублению, совершенствованию новых знаний, выработке умения применять эти знания в разнообразных условиях. Нам не удалось полностью осуществить это, но после сложения двух трехзначных чисел мы дали несколько измененный случай, когда только одно из слагаемых трехзначное число, после сложения двух слагаемых дали примеры на сложение с тремя слагаемыми, давались задания творческого характера, задачи (в основном простые) на сложение.

Ниже мы приводим программированные материалы по указанной теме. Некоторые подтемы мы в свою очередь разбили на более мелкие части, поэтому частей получилось больше (15), чем мы наметили подтем (6). Есть такие части, в которых нет нового материала, например часть 1. Каждая часть обозначена римской цифрой и занимала отдельную страницу (когда по этим материалам

работали дети). Задания нумеровались арабской цифрой со скобкой.

Программированные материалы по теме «Письменное сложение в пределах 1000»

В таблице записано число, в котором 2 сотни, 4 десятка и 3 единицы.

1) Начерти в своей тетради такую же таблицу и запиши в ней числа, в которых

а) 3 сотни 2 десятка 1 единица

б) 1 сот. 5 дес. 7 ед.

в) 6 сот. 4 дес. 2 ед.

2) 2 сот. 3 дес. 5 ед = 235

Запиши по этому образцу числа, в которых

а) 5 сот. 4 дес. 3 ед.=

б) 8 сот. 2 дес. 5 ед.=

в) 7 сот. 1 дес. 9 ед.=

3) 783 = 7 сот. 8 дес. 3 ед.

Покажи по этому образцу состав чисел:

II

В числе 231 — 2 сот. 3 дес. 1 ед. В числе 342 — 3 сот. 4 дес. 2 ед.

Посмотри, как нужно складывать эти числа 231 и 342. Сначала сложим единицы 1 ед. +2 ед. =3 ед. Теперь сложим десятки 3 дес.+ 4 дес. = 7 дес.

Затем складываем сотни 2 сот. + З сот. = 5 сот.

Всего в этих двух числах 5 сот. 7 дес. 3 ед. Значит, от сложения чисел 231 и 342 получается число 573.

III

Такие примеры на сложение трехзначных чисел можно решать быстрее, если записывать числа в столбик, т. е. одно под другим, так, чтобы единицы одного числа были подписаны под единицами другого числа, десятки под десятками, сотни под сотнями.

Запись в столбик должна быть такой:

Слева между числами нужно поставить знак сложения

под вторым числом провести черту

Складывать нужно так: сначала сложить единицы 1 ед. -\-2 ед. = 3 ед., 3 ед. подписываем под чертой под единицами;

теперь складываем десятки 3 дес. +4 дес. = 7 дес, 7 дес. подписываем под чертой под десятками; теперь складываем сотни 2 сот. 4-3 сот. —5 сот., 5 сот. подписываем под чертой под сотнями.

Получается такая запись:

IV

1) Запиши в таблицу числа 423 и 146 и сложи их так, как показано в образце сложения чисел 163 и 221

2) Помни! Сложение в столбик нужно начинать с единиц.

Сложи числа

3) Помни! При сложении в столбик единицы нужно подписывать под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.

Реши примеры, записывая числа в столбик, как в № 2.

4) Внимательно прочитай задачу.

Задача. Школьники послали на целину осенью 232 книги, а весной на 112 книг больше, чем осенью. Сколько всего книг послали школьники на целину?

Запиши в тетради на 1-й строчке, сколько книг послали осенью, на 2-й строчке запиши, что сказано о книгах, которые послали весной.

Еще раз прочитай вопрос. Подумай, все ли тебе известно для решения задачи.

Реши задачу.

V

Числа при сложении называются так:

i 135 — первое слагаемое '623 — второе слагаемое 758 — сумма

Числа, которые складывают, называются слагаемыми (первым и вторым слагаемыми, если складывают два числа).

Число, которое получается в результате сложения, называется суммой.

Запомни, как пишутся слова слагаемое, сумма.

Знак сложения + (плюс).

1) Найди сумму:

а) 1-е слагаемое 154, 2-е слагаемое 325

б) 1-е слагаемое 671, 2-е слагаемое 218

в) 1-е слагаемое 358, 2-е слагаемое 521

VI

Вспомни: числа, для записи которых требуется 2 цифры, называются двузначными (например, 20, 13, 85, 61); числа, для записи которых требуется 3 цифры, называются трехзначными (например,867, 398,361).

Если первое слагаемое двузначное число (64), а второе слагаемое трехзначное число (625), запись примера в столбик получается такая:

Если первое слагаемое трехзначное число (247), а второе— двузначное число (32), запись примера в столбик получится такая:

Для того чтобы правильно записывать сложение таких чисел, не забывай: единицы подписываются под единицами, десятки под десятками.

1) Правильно запиши примеры в столбик и реши их.

2) Прочитай внимательно задачу.

Задача. Породистый теленок в 6 месяцев весил 211 лег, а когда ему исполнился год, он стал весить на 82 кг больше. Сколько весил годовалый теленок?

Запиши, сколько весил теленок в 6 месяцев.

Запиши, на сколько увеличился вес теленка, когда ему исполнился год.

Реши задачу.

VII

На одном столе 5 тетрадей, на другом столе нет ни одной тетради. Сколько всего тетрадей на двух столах?

1) Реши примеры.

0 + 3 = 3 4 + 0 = 0+1 = 0+0 =

2) Придумай и запиши примеры, в которых

а) первое слагаемое равно 0, а второе — любое число

б) второе слагаемое равно 0, а первое — любое число

3) Подумай и напиши, чему равна сумма, если первое слагаемое равно 0 и второе слагаемое равно 0.

VIII

с.

д.

ед.

2

6

3

8

В первом числе, которое записано в таблице, 2 сотни и 6 единиц, во втором числе 3 сотни, 8 десятков.

1) Начерти в тетради такую таблицу и запиши в ней числа, в которых

а) 2 сот. 5 ед.

б) 6 сот. 2 дес.

2) 2 сот. 1 ед. = 201; 3 сот. 4 дес. = 340 Запиши по образцу числа, в которых

5 сот. 3 ед.= 9 сот. 9 дес.= 1 сот. 2 дес.= 3 сот. 6 ед.=

3) Запиши цифрами числа: сто девять,

триста шестьдесят, пятьсот,

четыреста один, девятьсот семьдесят

4) 903 = 9 сот. 3 ед.

Покажи по образцу состав чисел

IX

Посмотри, как складываются два числа 183 и 506.

Запишем их в столбик

Сначала складываем единицы Складываем десятки Складываем сотни

Получилось число, в котором 6 сот. 8 дес. 9 ед., т. с. 689.

1) Реши примеры

2) Внимательно прочитай задачу.

Задача. Для рабочих завода строили сборные дома. После того как собрали 306 домов, осталось собрать еще 530 домов. Сколько всего домов нужно было собрать?

Запиши, сколько домов уже собрали. Запиши, сколько домов осталось собрать. Еще раз прочитай вопрос. Реши задачу.

X

Проверь себя, помнишь ли ты, как нужно проверять занимательные квадраты. Проверяют квадраты так:

а) сначала складывают числа в каждой строчке

б) затем складывают числа в каждом столбике

в) после этого складывают числа с угла на угол

Так как во всех случаях получается один и тот же ответ 15, квадрат, который мы проверяли, является занимательным.

Проверь эти квадраты и узнай, занимательные ли они.

XI

Нужно решить такой пример:

Сначала сложим единицы 5 ед. + 5 ед.= 10 ед.

Получилось 10 единиц, но под единицами можно записать только такое число, которое меньше 10, так как 10 единиц составляют 1 десяток. Поэтому 10 единиц, которые у нас получились, заменяем одним десятком. Этот десяток надписываем над десятками, для того чтобы не забыть о нем, а под единицами подписываем 0.

Теперь складываем десятки 1 дес. + 2 дес. + 4 дес. = =7 дес. 7 десятков подписываем под десятками. Складываем сотни 4 сот.+ 1 сот. = 5 сот.

Подумай, почему получилось 7 десятков.

1) Реши примеры

2) Прочитай внимательно задачу.

Задача. В школе было 237 октябрят. К празднику в октябрята приняли 113 первоклассников. Сколько октябрят стало в школе? Еще раз прочитай задачу. Подумай, как правильно поставить наименования.

Реши задачу.

XII

1) 13 = 1 дес. 3 ед.

Запиши по образцу состав чисел

Нужно решить такой пример

Складываем единицы 7 ед.+4 ед. = 11 ед. 11 ед. — это 1 дес. и 1 ед.; 1 ед. подписываем под единицами

а 1 десяток записываем над десятками

Складываем десятки

Складываем сотни

2) Реши примеры

3) Внимательно прочитай задачу.

Задача. Рыболовецкое судно выловило в 1-й день 224 кг рыбы, а во 2-й день 267 кг. Сколько килограммов рыбы выловило рыболовецкое судно за 2 дня.

Реши задачу.

XIII

1) 12 дес. = 1 сот. 2 дес. Запиши по образцу состав чисел

Нужно решить такой пример

Складываем единицы

Складываем десятки

12 десятков — это 1 сот. и 2 дес; 2 десятка подписываем под десятками, а 1 сотню надписываем над сотнями.

Складываем сотни

2) Реши примеры

3) Прочитай внимательно задачу.

Задач а. После того как туристы прошли 157 км, им осталось пройти еще 272 км. Сколько всего километров должны были пройти туристы?

Запиши, сколько километров осталось пройти туристам.

Запиши, сколько километров прошли туристы. Реши задачу.

XIV

Нужно решить такой пример

9 ед. + 4 ед. = 13 ед.; 3 ед. подписываем под единицами, 1 десяток можно не надписывать над десятками, а запомнить и прибавить его к десяткам, когда будем складывать десятки: 1 дес. + 6 дес.+ 5 дес. = 12 дес.

2 десятка подписываем под десятками, а 1 сотню можно запомнить и прибавить ее к сотням:

1) Придумай и реши 2—3 примера, в которых 3 однозначных слагаемых дают в сумме число, меньшее 20.

Например: 7 + 4 + 5 = 16 2 + 6 + 9 = 17

2) Реши примеры

3) Прочитай внимательно задачу.

Задача. В одну школу привезли 298 парт, что на 123 парты меньше, чем привезли в другую школу. Сколько парт привезли во вторую школу?

Подумай, в какую школу привезли больше парт.

Реши задачу.

XV

При сложении трех, четырех и более многозначных чисел слагаемые подписываются в столбик по тому же правилу: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.

1) Реши примеры

2) Внимательно прочитай задачу. Задача. В колхозе 115 лошадей, 327 свиней, 266 коров. Сколько всего голов скота в колхозе?

Подумай, какие наименования здесь нужно поставить. Реши задачу.

Для проверки знаний учащихся по этой теме следует дать контрольную работу. Приводим текст примерной контрольной работы, состоящей из одних примеров.

Как можно использовать приведенные выше материалы?

Работа по программированным материалам будет только одной из форм работы, применяемой в тех случаях, когда это наиболее рационально.

Несмотря на то что эти материалы разработаны таким образом, что, занимаясь по ним, ученик может самостоятельно усвоить эту тему, некоторые вопросы целесообразно разобрать коллективно. Например, такой вопрос, как форма записи слагаемых в столбик, лучше объяснить учителю. На наш взгляд, в ходе эвристической беседы можно познакомить детей со сложением с превращением единиц в десятки, в остальных новых случаях сложения ученики смогут разобраться сами.

Общепринятая форма самоконтроля при программированном обучении (когда ответы к заданиям имеются на руках у учеников во время работы) нам кажется неприемлемой для учеников начальных классов. У нас самоконтроль был организован по-другому. Мы проверяли материалы в индивидуальном порядке во внеурочное время. Детям выдавали сразу все карточки, приве-

денные выше, пронумерованные римскими цифрами (I — XV). Выполнив все задания одной карточки, ученик показывал ее учителю вместе с тетрадью, в которой выполнялись задания. Последний, убедившись после очень беглого (для экономии времени) просмотра, что все выполнено, выдавал ученику листок с ответами к этой карточке, пронумерованными в соответствии с нумерацией заданий. Ученик по листку проверял ответы.

При прохождении темы «Письменное сложение в пределах 1000» учитель может использовать эти материалы в дополнение к стабильному учебнику для самостоятельной работы учащихся.

К каким предварительным выводам об использовании программированных материалов мы пришли.

В результате экспериментальной проверки программированных материалов мы пришли к следующим выводам.

Программированные учебники, на наш взгляд, не могут найти применения в I, II и III классах. Но некоторые принципы программированного обучения, на которых построены такие учебники, могут быть с успехом использованы для лучшей организации самостоятельной работы учащихся на всех этапах урока и, в частности, при усвоении новых знаний.

К этим принципам относится очень важный принцип программированного обучения: расчленение учебного материала на небольшие логические части, расположенные в дидактической последовательности, доступные для самостоятельного усвоения учащимися. Принцип расчленения материала на логические части не новый, но полной реализации он не получил. Он может быть положен в основу составления учебника, а также может быть использован учителями при разработке отдельных тем программы, подобно тому как мы разработали тему «Письменное сложение в пределах 1000» для III класса.

Доступность каждой части (карточки) для самостоятельного усвоения отнюдь не означает, что по программированным материалам ученик должен самостоятельно усваивать всю тему.

Исходя из конкретных условий, учитывая возможности своего класса, учитель организует самостоятельную работу по этим карточкам лишь в тех случаях, когда, по

его мнению, это будет наиболее целесообразным, несмотря на то, что карточки отражают всю тему. Разумеется, каждый учитель учтет, что самостоятельная работа в течение всего урока утомит младших школьников. Такую самостоятельную работу нужно на каждом уроке сочетать с другими формами работы: с объяснением учителя, с беседой и др.

Таким образом, роль учителя останется руководящей. Ученик не будет предоставлен самому себе, и процесс обучения не превратится в самообучение.

Программированные материалы могут также помочь учителю построить объяснение нового материала и установить связь с ранее пройденным.

Такие карточки смогут быть использованы и для индивидуальной работы с отдельными учащимися при восполнении пробелов в их знаниях.

Подобные карточки дают возможность приучить учеников самостоятельно работать с книгой, что очень важно и чего нельзя сделать по существующему учебнику арифметики для III класса.

Отличие такого рода карточек от существующих карточек для самостоятельной работы (например, от карточек, разработанных Н. С. Поповой, Г. Б. Поляк) в том, что в разработанных нами материалах представлена система изучения всей темы, в то время как вышеназванные карточки составлены в дополнение к стабильному учебнику арифметики для организации закрепления и повторения пройденного.

Мы думаем, что программированные материалы по отдельным темам помогут учителю в преподавании арифметики.

В. Н. ДЕРЮШЕВ

ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ И ПЕРВЫЙ РУССКИЙ УЧЕБНИК АРИФМЕТИКИ ДЛЯ САМООБУЧЕНИЯ

В начальных классах советской школы, как правило, процесс обучения арифметике содержит такие элементы:

1) сообщение знаний учащимся путем бесед и рассказа учителя;

2) восприятие и усвоение учащимися знаний, сообщенных учителем;

3) закрепление полученных знаний путем самостоятельного решения примеров и задач под руководством учителя;

4) контроль учителя за усвоением знаний путем проведения устного опроса учащихся и письменных контрольных работ в классе.

Конечно, здесь выделены и обособлены взаимосвязанные основные моменты процесса обучения, которые на практике находятся в единстве. При таком расчленении не нашли отражения некоторые важные составные части процесса обучения, как, например, выработка у учащихся умений и навыков при изучении арифметики в начальной школе. Выделяя названные выше элементы процесса обучения, мы желаем обратить внимание на некоторые недостатки процесса обучения, которые нужно устранить.

Первый этап процесса обучения — передача знаний учащимся — зависит от личности учителя, от его квалификации, опыта, интереса к работе, его любви к своему делу, к учащимся и, в конечном счете, от его умения осуществлять индивидуальный подход к каждому ученику в условиях работы с целым классом.

Второй этап процесса обучения — восприятие и усвоение знаний, сообщенных учителем — теснейшим образом

связан с первым, но он уже в значительной мере зависит от личности каждого ученика, от его развития, подготовленности, интереса к арифметике, от его внимания.

Конечно, эмоционально, интересно проведенная беседа или рассказ учителя воспринимаются и усваиваются учащимися значительно лучше, чем сухое и бесстрастное изложение материала, но при любом изложении учитель не имеет объективных, точных данных о том, как воспринимается и усваивается каждым учеником излагаемый в данное время материал.

Опытный учитель, наблюдая за учениками, имеет общее представление о том, как ученики воспринимают изучаемый материал, но любой учитель все же не знает точно, что каждый ученик усвоил из нового материала, сообщенного учителем.

Хорошему ученику иногда объясняемый материал известен, и он теряет интерес к рассказу учителя, а слабому ученику нужно более медленное и более детальное объяснение материала, и этот ученик тоже теряет интерес к изучению арифметики. Отсюда вывод: изложение материала должно быть таким, чтобы оно учитывало индивидуальные особенности ученика, его индивидуальные способности воспринимать и усваивать новый материал.

Следующий этап процесса обучения — закрепление изучаемого материала путем решения примеров и задач учащимися. Иногда для сильных учеников примеры или задачи, решаемые в классе, по трудности и объему ниже их возможностей, а поэтому такие ученики быстро, решив задачи или примеры, теряют интерес к решению легких для них примеров и задач.

Для слабых учеников примеры или задачи, решаемые в классе, бывают иногда трудны для решения, и эти ученики либо списывают решение у товарищей, или выполняют их механически, слабо понимая существо дела. Следовательно, задачи и примеры, даваемые ученикам для закрепления изученного материала, должны быть такими, чтобы они были посильными каждому ученику, т. е. индивидуализированы.

Последний этап процесса обучения — проверка знаний учащихся — имеет тоже недостатки, которые необходимо устранить.

Устный опрос каждого ученика у доски отнимает много времени и не позволяет учителю вести полноценную работу с остальными учениками.

Опрос каждого ученика проводить часто трудно, так как нельзя вызывать только одних и тех же учеников, а если чередовать опрос, то проходит значительный промежуток времени, когда дойдет очередь спросить ученика вновь. Некоторые учителя отказались от опроса как обособленного элемента урока и переходят к выставлению поурочного балла — итоговой оценки работы ученика на уроке.

Контрольные работы, проводимые в классе, конечно, необходимы, но и они имеют недостаток, так как дают картину знаний каждого ученика после завершения изучения какой-либо темы. Учитель получает, как правило, объективные данные о знаниях своих учеников по изученной теме. Учитель узнает, что столько-то учеников усвоили материал хорошо, а столько-то учеников — слабо. Итоги контрольной работы позволяют зафиксировать уже сложившееся положение с усвоением материала учащимися. Учитель не имеет времени вновь изучать материал с теми учениками, которые слабо его знают, ибо остальные ученики должны идти вперед в изучении материала. Появляются ученики, для которых изучение нового материала будет затруднительным, так как они слабо знают пройденный материал, над которым им еще надо работать.

Итак, краткий анализ процесса обучения арифметике позволяет сделать вывод, что все этапы процесса обучения нуждаются в совершенствовании.

В настоящее время в ряде областей мастера педагогического труда добились значительных успехов в совершенствовании процесса обучения и воспитания, но задача, поставленная перед советской школой,— добиться полной успеваемости всех учащихся, осуществить связь преподавания с жизнью, с практикой коммунистического строительства — все еще не решена полностью. Для ее решения нужна дальнейшая работа по совершенствованию форм и методов учебной работы, а также поиски и проверка на практике таких форм и методов учебной работы, при которых можно осуществить наиболее полно индивидуальный подход к учащимся при их обучении и воспитании. Нужны такие методы работы, при которых

было бы возможно осуществление непрерывного контроля за процессом усвоения новых знаний учащимися.

Одним из таких новых методов, при котором возможно осуществить индивидуализацию обучения, постоянный контроль за усвоением новых знаний, является программированное обучение.

За последние годы в различных странах (СССР, США, Англии и др.) ведутся эксперименты по применению в учебной работе программированного обучения. Термин «программированное обучение» перенесен в учебную работу из области применения электронных вычислительных машин, для которых составляются «программы» решения математических или иных задач, и машины решают поставленные задачи по этой, заранее разработанной программе.

В будущем, возможно, термин «программированное обучение» будет заменен другим термином, который более точно выразит существо дела. Но в настоящее время, когда говорится о программированном обучении, то понимается следующее.

Программированное обучение условно делят на «машинное» и «безмашинное» обучение. При «машинном» программированном обучении применяются так называемые обучающие машины, для которых разрабатываются «программы» обучения и в соответствии с этой программой осуществляется процесс обучения.

«Обучающая машина» заменяет в известной мере и учителя, и учебник, ученик же обучается самостоятельно. Но не следует понимать буквально, что машина обучает ученика. Машина сама по себе, конечно, не может обучать. Машина выполняет только то, что для нее разработали, запрограммировали составители программы обучения.

«Обучающая машина» позволяет установить контакт между составителем программы и обучающимися. Через «обучающую машину» составитель программы имеет возможность как бы лично осуществлять обучение своих многочисленных учеников, не встречаясь с ними непосредственно.

Конечно, успех обучения учащихся с помощью «обучающих машин» прежде всего будет зависеть от качества разработанной программы обучения и от конструкции «обучающей машины».

В настоящее время существует много видов «обучающих машин», начиная с простейших «обучающих устройств» и кончая сложными «обучающими машинами», построенными на базе электронных вычислительных машин. Одно из простейших устройств для самоконтроля, применяемое в начальной школе, устроено так. В кармашки, закрепленные на доске, учитель помещает 2— 3 карточки с написанными условиями заданий. К доске учитель вызывает 2—3 учеников, которые выполняют каждый свое задание, а затем полученный результат записывают на доске.

Подобное простое «обучающее устройство» может быть использовано и для работы с учениками всегс класса. В конверты помещены карточки, на верхней видимой части которых написаны задания. Каждому ученику выдается конверт с заданием. Ученик письменно выполняет задание, а затем, вынув карточку, проверяет свой ответ по правильному ответу, сначала закрытому конвертом, написанному в нижней части карточки. В конверте может быть не одна карточка, а целая серия карточек с последовательно подобранными заданиями, разработанными учителем, а это значит, что каждый ученик может работать в соответствии со своей индивидуальной подготовкой, причем более самостоятельно, так как задания в конвертах различны.

Одним из простейших устройств для самоконтроля является применяемая в учебной работе так называемая «электрифицированная таблица умножения». Она устроена так.

На прямоугольный лист фанеры снизу наклеена таблица умножения, в которой после знаков равенства, вместо ответов, помещены контакты (кнопки). Выше таблицы умножения расположено 40 чисел. Эти числа соответствуют ответам, получающимся при умножении двух однозначных чисел, т. е. ответам таблицы умножения. Под каждым таким числом находится контакт (кнопка).

В верхней части листа фанеры вырезаны два отверстия, через которые могут освещаться электролампочками слова «правильно» и «подумай». Чтобы проверить правильность умножения двух чисел, например 7X8, нужно нажать кнопку против знака равенства, следующего за этими сомножителями и нажать кнопку ответа, т. е. кнопку, соответствующую числу 56, и тогда лампочка

осветит слово «правильно», но если же ученик нажмет кнопку, соответствующую другому числу, чем число 56, то будет освещено слово «подумай».

Если сначала нажать кнопку, соответствующую произведению, например числу 36, то затем ученик может проверить, какие сомножители дают это произведение (2 X 18, 3Х 12 и т. д.).

В настоящее время в Советском Союзе и за границей, главным образом в США, созданы на базе электронных вычислительных машин более сложные «обучающие машины», которые в известной мере способны заменить учителя.

Такие «обучающие машины» применяются как для индивидуального, так и для группового обучения учащихся. Обучение проводится так. На экран проектируется текст объяснения нового материала, который должен усвоить ученик. В некоторых видах «обучающих машин» объяснение нового материала ведется диктором, речь которого была записана и затем воспроизводится при объяснении материала. Итак, обучающийся прежде всего получает объяснение нового материала по изучаемому курсу (информацию). Затем для контроля за усвоением информации следует вопрос обучающемуся, на который можно правильно ответить лишь тогда, когда усвоено объяснение нового материала.

Ответ на вопрос может быть выбран из группы ответов, предлагаемых «обучающей машиной», или может быть записан обучающимся с помощью клавишей, как на пишущей машинке. Этот ответ вводится в механизм «обучающей машины». Последняя дает оценку ответу. Так осуществляется обратная связь между обучающимся и составителем программы для машины. Если ответ на вопрос был ошибочным, то машина дает дополнительную объясняющую информацию, после которой обучающийся должен вновь дать ответ на вопрос, на который он не смог правильно ответить. Затем «обучающая машина» вновь ведет изложение нового материала, который должен усвоить обучающийся (новая информация), и вновь следует контрольный вопрос или контрольное упражнение, выполнив которое обучающийся получает оценку усвоенного. При правильном ответе следует новая информация и новый вопрос к обучающемуся, его ответ и т. д. «Обучающая машина» позволяет осущест-

вить индивидуализацию обучения. Обучение ведется так, как если бы обучающийся имел отдельного учителя, причем темп обучения зависит от самого ученика, его способностей, его внимания, его интереса к изучению курса.

Интерес к обучению все время поддерживается, подкрепляется оценкой его ответов, даваемых «обучающей машиной». Программированное обучение может осуществляться и без «обучающих машин», с помощью так называемых программированных учебников.

Обучение по программированным учебникам, т. е. без специальных технических средств, носит название «безмашинного» программированного обучения. «Безмашинное» программированное обучение проводится с помощью специально составленных «программированных» учебников.

Материал изучаемого курса, например арифметики или алгебры, разбивается на множество мелких частей, которые называются кадрами, причем каждый кадр, как правило, имеет свой порядковый номер. Например, в программированном учебнике арифметики, изданном в 1962 году в США, содержится 3889 кадров. Каждый кадр учебника содержит что-либо новое для обучающегося, и за каждым кадром следует контрольный вопрос. Обучающийся записывает свой ответ на вопрос, а затем сверяет свой ответ с правильным ответом, приведенным в учебнике. Прямую связь автор учебника осуществляет через информацию в учебнике, раскрывающую содержание изучаемого курса, а через ответы ученика на контрольные вопросы учебника осуществляется обратная связь.

Имея возможность сверить свой записанный ответ с правильным ответом, напечатанным в учебнике, ученик получает стимул, подкрепление для дальнейшего изучения материала учебника. В каждом кадре содержится что-либо новое для ученика. После каждого кадра предусмотрена какая-либо самостоятельная работа, продвигающая ученика, по мере изучения программированного учебника, вперед.

Работа с таким учебником имеет следующее преимущество по сравнению с работой по обычному учебнику. С таким учебником ученик может работать самостоятельно, получая знания даже без учителя. Ученик постоянно осуществляет самоконтроль за своей работой,

так как на все поставленные перед ним вопросы он должен дать ответ, а затем проверить его по учебнику, где даны правильные ответы на вопросы.

Каждый ученик может работать при наличии такого учебника в том темпе, который ему посилен, т. е. такой учебник позволяет осуществлять индивидуальность обучения. Более сильные ученики могут быстрее закончить изучение курса и изучать другой материал.

Учитель при наличии такого учебника выступает в роли организатора работы, консультанта. Он объясняет учащимся, как работать с таким учебником, помогает ученикам в случае затруднений, привлекает дополнительный материал, которого нет в учебнике, проводит контрольные работы, чтобы дать оценку работы всех учеников.

Программированные учебники позволяют в сравнительно короткий срок изучить арифметику, алгебру или другой курс тем, кто в свое время не желал этого делать или не имел возможности, а сейчас осознал необходимость изучения какого-либо курса. В наше время в Советском Союзе ведется работа по созданию программированных учебников по различным математическим дисциплинам. Интересно, что оригинальный русский учебник арифметики, позволявший достичь почти тех же целей, которые теперь ставятся перед программированными учебниками, был создан впервые в России в 1832 году выдающимся русским педагогом-методистом Петром Семеновичем Гурьевым. Этот учебник имел такое название: «Арифметические листки, постепенно расположенные от легчайшего к труднейшему, содержащие в себе 2523 задачи, с решением оных и с кратким руководством к исчислению, составленные П. Гурьевым».

Книга П. С. Гурьева «Арифметические листки»—это курс арифметики целых и дробных чисел, причем в этой книге теоретический материал органически связан с материалом для практической работы. Сначала на листках напечатаны определения и описания правил выполнения арифметических действий, а затем примеры и задачи, связанные с теоретическим материалом.

Примеры и задачи, занимающие большую часть книги, доступны для решения ученикам, так как они расположены в соответствии с принципом «от легчайшего к труднейшему».

П. С. Гурьев свою работу «Арифметические листки» написал, опираясь на свои глубокие знания различных наук (математики, педагогики, философии и др.), а также на свой многолетний опыт учительской работы в Воспитательном доме в Гатчине, реорганизованном позднее в Гатчинский сиротский институт. Естественно, что первая учебно-методическая работа П. С. Гурьева отразила специфику работы в этом учебном заведении.

В предисловии к своей работе «Арифметические листки»1 П. С. Гурьев писал: «Многолюдство в классах заведения, при коем нахожусь учителем, побудили меня к составлению сих «Арифметических листков».

Из сказанного вытекает, что первой побудительной причиной составления учебника была необходимость создать такой учебник, по которому могли бы работать ученики в многолюдных классах, «в коих иногда бывает до ста двадцати учеников», как отмечал П. С. Гурьев.

Но руководить работой класса, в котором более ста учеников, возможно только тогда, когда ученики работают самостоятельно.

И об этом говорит П. С. Гурьев в предисловии к своей книге, подчеркивая, что преимущественная цель составления «Арифметических листков» есть: «сверх сбережения времени, дать учителю средство возбудить и поддерживать в учениках своих, сколько возможно, самодеятельность». В народных начальных школах начала XIX века господствовала зубрежка и муштра, и ни о какой самодеятельности, самостоятельности при изучении арифметики не могло быть и речи, поэтому выдвинутый принцип обучения на основе самодеятельности, самостоятельности был для того времени передовым, прогрессивным.

Выдвигая самодеятельность или самостоятельность в качестве основы обучения арифметике, П. С. Гурьев настойчиво добивается осознания этого всеми, кто читал его учебно-методические работы. В книге «Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям» (ч. I — 1839 г., ч. II— 1842 г.), в предисловии (ч. II, стр. VI) П. С. Гурьев пишет:

1 П. С. Гурьев, Арифметические листки, 1832. Предисловие, стр. 1.

«Когда я составлял свое «Руководство», то преимущественно имел в виду самодеятельность учеников, ибо убежден, что большая часть неуспехов происходит не столько от способностей, сколько от недостатка самодеятельности».

В своей обобщающей, завершающей методической работе «Практическая арифметика» (первое издание в 1861 г.) П. С. Гурьев, отмечая неудовлетворительную постановку преподавания арифметики в школе, подчеркивал необходимость развития самостоятельности как непременного условия успешного обучения математике. Он писал: «Дети четыре, пять лет сряду учатся в школах арифметике, твердят беспрестанно одно и то же, а все-таки большая часть учащихся по окончании столь долговременного курса не только не усваивает ее, как бы следовало, но получает отвращение от нее и от всей математики... Между тем, при ином изложении и заблаговременном возбуждении самостоятельности в учащихся, нет сомнения, что та же самая наука отнюдь не показалась бы столь тяжелою и скучною»1.

В наше время самостоятельность и сознательность при обучении являются общепризнанными принципами обучения в советской школе. Но следует помнить, что одним из первых, кто в трудных условиях дореволюционной действительности стремился осуществить преподавание на этих прогрессивных принципах, был П. С. Гурьев.

Для нас совершенно ясно, что авторы создаваемых программированных учебников за рубежом, как правило, выполняют социальный заказ своей империалистической буржуазии, и они, допуская «самостоятельность» учащихся при изучении программированных учебников, понимают ее узко, только как возможность для обучающегося самостоятельно усвоить, воспринять без критики материал, изложенный в программированном учебнике, не допуская, чтобы самостоятельность способствовала всестороннему развитию личности обучающегося.

Ярко, самобытно звучат следующие слова П. С. Гурьева: «Важнее всего возбудить самодеятельность в воспитаннике, представить ему будущую науку с ее свет-

1 П. С. Гурьев, Практическая арифметика, 1861. Предисловие, стр. VII.

лой, лучшей стороны, чтобы он постоянно жаждал познаний и уже в маленьком кругу своей учебной деятельности ощущал отраду и наслаждение от изобретений всякого нового познания, всякой новой истины» («Отчет по Гатчинскому сиротскому институту»).

При работе с «Арифметическими листками» осуществлялась индивидуализация обучения — это одна из особенностей работы по программированным учебникам в наше время.

Книга «Арифметические листки» содержала отдельные пронумерованные листки, которые, будучи наклеены на папку, раздавались учащимся. Каждый ученик, записав номер листка и номера примеров или задач, решал их, а затем работа проверялась учителем, который имел книгу с решением всех примеров и задач и мог быстро проверить правильность решенного учеником. После этого ученик получал новый листок с задачами и мог дальше продолжать работу. Каждый ученик мог работать индивидуально в соответствии (с уровнем своих знаний) со своей подготовкой и способностями.

П. С. Гурьев в предисловии к книге об этом писал так: «Таким образом учитель, по предварительном объяснении какого-либо правила, может раздавать сии листки ученикам, соображаясь с силами и способностями каждого». Это однако не исключало возможности изучения материала всей книги «Арифметические листки» учеником самостоятельно.

Об этом П. С. Гурьев говорит так: «Что же касается до объяснения арифметических правил, то я старался изложить оные так, чтобы ученик сам, без помощи учителя, мог идти далее вперед; с тою же целью помещены в конце книги вопросы, которые должны руководствовать ученика при изучении объяснений» («Арифметические листки», стр. II).

Приведем выдержку из книги П. С. Гурьева «Арифметические листки», из которой становится ясно, как П. С. Гурьев разбивал на части излагаемый материал. «Изъяснение сложения.

1. Сложением называется то действие, посредством коего к данным числам мы приискиваем другое число, равное оным, вместе взятым. Данные числа именуются слагаемыми, а то, которое находим, называется суммой или итогом.

2. Знак сложения есть + (прямо стоящий крест), что означает по латыми словом plus (больше), а на русском языке, для краткости, заменяется буквой и.

Например: 2 и 3 и 6 составляют вместе 11, или 2 + 3 + 6 равно 11. Знак равенства есть = . Следственно, пишут: 2 + 3 + 6 = 11.

3. Предметы, которые вместе складываются, непременно должны быть одинакового названия; посему нельзя сказать, что пять перьев и 2 грифеля составляют семь перьев, или 7 грифелей; но напротив того, можно сказать: 2 ученика и 3 ученика суть пять учеников.

4. Таким же образом, при сложении чисел могут быть слагаемые только те, которые принадлежат к одному разряду; например, единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.

5. Когда все данные числа будут в сем порядке написаны на доске или на бумаге, тогда под последним слагаемым числом проводится черта, и потом приступают к нахождению самой суммы.

6. Посему числа, которые мы желаем сложить для легкости, должны быть написаны в таком порядке друг под другом, чтобы все числа одного разряда находились одно под другим, то есть единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д., например, слагаемые 132 + 243 + 86+102 + 759 + 8 должны быть поставлены друг под другом в следующем порядке:

Сперва находим сумму того ряда чисел, который содержит в себе единицы, следственно, стоящего первым с правой руки, от коей и начинается сложение. Будем считать: 2 единицы и 3 составляют 5 единиц и 6, 11 единиц и 2, 13 единиц и 9, 22 единицы и 8, 30 единиц.

Итак, сумма всех единиц составляет 30, а как 30 единиц все то же, что три десятка, то приведем оные в десятки, единиц не останется вовсе, и вместо оных в ряду единиц должно поставить 0. К полученным от единиц трем десяткам начнем прикладывать десятки; следственно, и перейдем к сложению второго ряда. 3 десятка, полученные от единиц, и 3, составляют 6 десятков и 4 д., 10 д. и 8 д., 18 д. и 5 д., 23 десятка. В 23 десятках содержится 2 сот-

ни и 3 десятка. Во второй ряд ставим цифру 3, а 2 сотни, сложив с сотнями, получим всего 13 сотен; но как 13 сотен вмещают в себя тысячу, то и очевидно, что в ряду сотен поставится 3, а 1, как означающая одну тысячу, напишется с левой стороны 3 и займет четвертое место справа.

7. Чтобы проверить сложение, надлежащим ли образом оное сделано, стоит только пересложить числа, начиная не сверху вниз, как мы поступили теперь, а снизу вверх; и когда выйдет одна и та же сумма, то это будет означать, что сложение было сделано верно.

Примечание. Сложение проверяется еще вычитанием, но так как мы еще не знаем сего последнего действия, то невозможно упомянуть здесь о сим способе проверять сложение»1.

А вот примеры вопросов к учащимся из книги П. С. Гурьева «Арифметические листки».

«Когда употребляется сложение? Как называются данные для сложения числа? Почему так? Что называется суммой при сложении? Что в сложении бывает больше, сумма или слагаемые числа? Докажите примером. Нужно ли при письменном сложении наблюдать какой-нибудь порядок касательно места цифр? Почему? Почему при счислении единиц пишется под чертой только одна цифра, а другая прикладывается к следующему разряду?»2.

Следовательно, в учебнике П. С. Гурьева реализована еще одна особенность программированных учебников нашего времени, а именно: возможность самоконтроля за своей работой обучающихся.

Правда, вопросы, которые позволяют ученикам самим контролировать правильность усвоения материала, не чередуются с изучаемым материалом, как это делается теперь, а собраны и отделены от листков, на которых дано объяснение изучаемого материала. В «Арифметических листках» отражена и такая деталь современных программированных учебников, как расчленение всего изучаемого материала на последовательный ряд мелких частей («кадров»). Каждый листок из книги П. С. Гурьева, как правило, содержит большое число

1 П. С. Гурьев, Арифметические листки, 1832, стр. 12 — 14.

2 Там же, стр. 336.

пунктов, в каждом из которых содержится что-либо новое для ученика, продвигающее его вперед при изучении материала.

В книге напечатано 2523 примера и задачи, которые должен решить изучающий арифметику, причем они органически связаны с теоретическим материалом, а решение большого числа их позволяло хорошо закрепить знание теоретического материала и добиться прочных вычислительных навыков. В этом заключается положительная особенность данной книги, отличающая ее от современных программированных учебников.

П. С. Гурьев выступает за такую методику изложения материала, при которой учащиеся сознательно усваивают излагаемый материал.

В этой работе П. С. Гурьева выражена не только сущность методики, обеспечивающей сознательное усвоение изучаемых математических законов, но также подчеркнута роль непосредственной, личной практики учащихся, как основы для теоретических обобщений, подчеркнута тесная связь практики с теорией.

П. С. Гурьев не только правильно понимал роль теории в школьном курсе математики, но он также совершенно правильно смог обосновать приемы, способы сообщения учащимся теоретического материала. Он писал: «...Никакая наука немыслима без теории; об этом нечего и распространяться. Дело не в том, чтоб обходить теорию, но как ее передать детскому, еще столь слабому и неразвитому уму, чтоб она усваивалась им не насильственно, не одной памятью, не в темных и непонятных для него фразах, не вдруг и не впереди фактов, подлежащих еще его рассмотрению, а как обобщение самое естественное, к которому постепенно доходит всякое мыслящее существо по мере того, как группируются перед ним собранные им факты и возбуждается в нем потребность разъяснить себе, наконец, и саму идею науки. Вот под каким условием может быть, по моему мнению допущена теория в детском учебнике»1.

1 П. С. Гурьев, Практическая арифметика, изд. III, 1880. Предисловие, стр. X.

Н. В. ОГАРКОВА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИДАКТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА И ИГР ПРИ ОБУЧЕНИИ АРИФМЕТИКЕ В I КЛАССЕ

В настоящее время общепризнано, что самостоятельная работа — важное средство активного, сознательного усвоения материала по любому предмету, в том числе и по арифметике.

Как организовать работу учащихся на уроке, чтобы она была вполне самостоятельной?

Одним из условий правильной организации самостоятельной работы по арифметике в I классе является, на наш взгляд, наличие дидактического материала.

Раздавая учащимся карточки для самостоятельной работы, мы преследуем цель не только уберечь ученика от списывания (хотя и это, безусловно, важно), так как для этого достаточно было бы дать 2—4 варианта примеров или задач, взятых из учебника или записанных на доске, а хотим вызвать живой интерес детей к занятию, захватить буквально все его мысли и чувства, а благодаря этому разрешить определенную учебную задачу наиболее результативно применительно к каждому ученику.

С другой стороны, нельзя не учитывать, что детям-семилеткам свойственна тяга к игре, к яркой картинке. Еще К. Д. Ушинский советовал сделать серьезный учебный труд детей по возможности занимательным и этим облегчить его. Позднее выдающиеся советские педагоги Н. К. Крупская и А. С. Макаренко указывали, что игра — это потребность детского организма.

Мы считаем, что дидактические игры должны занять подобающее им место во всей учебной работе и прежде всего на уроке. Игры не только могут существовать рядом с серьезным учением, но и должны быть системати-

чески использованы в целях повышения эффективности обучения.

Дидактическая игра будит детское воображение, создает радостное настроение, дает возможность вызвать активную работу мысли и направить ее в нужное русло— на овладение учебным материалом.

Ценность игры в учебно-воспитательной работе подтверждена рядом исследований психологов и педагогов1. Об этом рассказывают и учителя на страницах печати, однако массового распространения такая работа в практике школы еще не получила.

Мы считаем, что дидактические игры и занимательные упражнения, а также использование на уроке раздаточного материала, — необходимое условие успешного обучения арифметике младших школьников, так как благодаря этому, с одной стороны, можно вызвать внимание, интерес и активность всего класса, а с другой стороны, дать возможность каждому ученику работать в подходящем для него темпе и проявить свои способности и умения. Нами было проверено экспериментальным путем влияние дидактического материала, а также игр и занимательных упражнений на повышение качества знаний по арифметике, на развитие интереса и самостоятельности учащихся.

Нами были составлены конспекты всех уроков и внеклассных занятий по арифметике для I класса на II полугодие.

Экспериментальное обучение проводилось в III и IV четверти 1962/63 учебного года в школе-интернате № 2 г. Перми (учитель Коровяковская А. И., воспитатель Лернер М. М.).

Чем же руководствовались мы при подборе, составлении и использовании дидактического материала и игр при обучении арифметике учащихся первого класса?

Дидактический материал является дополнительным к стабильному учебнику и используется во время самостоятельной работы, в основном, с целью закрепле-

1 Ф. И. Фрадкина, Психологический анализ игр и их роль в учении школьников, «Советская педагогика», 1953, № 4; В. Г. Ширяева, Дети должны играть, «Начальная школа», 1962, № 6 и др.

ния математических понятий, вычислительных навыков и умений решать задачи в пределах программы первого класса.

По возможности работа с раздаточным материалом при обучении должна облекаться в форму игры.

Лучше, если упражнения, преследующие одну и ту же учебную задачу, будут даны в нескольких вариантах, чтобы карточки можно было использовать неоднократно.

Понятно, что следует соблюдать и все общие дидактические требования, как-то: доступность, систематичность, последовательность в нарастании трудностей заданий и др.

При проведении игр необходимо рационально сочетать устные и письменные упражнения. Не следует проводить на одном уроке различные игры.

Дидактический материал и игры использовались нами как при решении примеров, так и при решении задач.

При обучении решению задач учащихся первого класса мы учитывали, что уяснение смысла действия умножения и деления дается учащимся не сразу.

В ходе экспериментальной работы этому вопросу уделялось много внимания. Так, познакомив детей с действием умножения на демонстрационных наглядных пособиях (наборное полотно, предметные картинки и пр.), проведя работу с учебником, мы предложили им составить несколько задач, условие которых было представлено на доске рисунками, помещенными ниже.

Сколько всего корабликов пустили дети?

Сколько всего выросло грибов?

Сколько всего яблок?

Сколько стоят все пуговицы?

Рисунки открывали поочередно.

Перечислим задачи, составленные по рисункам.

Задача 1. Саша, Вова и Валерий пускали кораблики в ручейке. Каждый пустил по 2 кораблика. Сколько всего корабликов они пустили?

Задача 2. В лесу под 4 елочками выросло по 2 гриба под каждой. Сколько всего выросло грибов?

После устного разбора решение задач было записано учителем на доске. Подчеркнули, что у второго числа, показывающего, сколько раз взяли по 2, наименование не пишется.

После этого было дано задание — решить самостоятельно два варианта задач по следующим рисункам.

Сколько всего метров материи?

Сколько всего литров молока?

Проверка показала, что учащиеся справились с заданием, но некоторые из них допустили ошибки в записи наименований, поставили их и у множимого, и у множителя, поэтому пришлось снова обратить их внимание на это. Далее учитель предложил самим придумать задачу на умножение 2, изобразить условие на чистой карточке с помощью рисунка и решить задачу.

Карточки получились разные; дети рисовали пары слив, флажков, елочек, самолетов, ведерок, лодочек, рыбок и пр.

После урока учитель проверял карточки, записывал под рисунками вопросы и на следующем уроке снова использовал их в качестве раздаточного материала во время самостоятельной работы. Каждый ученик теперь решал уже не свою задачу, а ту, которую дал учитель.

Дети с восторгом принялись за такую работу. Те, кто раньше справился с заданием, поднимали руку. Учитель просматривал решение и обменивал карточки. Позднее, на других уроках, было разрешено обмениваться карточками самим учащимся.

Подобная работа проводилась и при закреплении умножения трех, четырех и т. д. Все интереснее и сложнее придумывали учащиеся задачи, связанные с определением не только количества, но и стоимости, длины, веса, емкости. Рисовали, например, овощи, фрукты, бусы, платьица, парашютики, веточки с листьями, монеты, бидоны, ленты и пр.

Благодаря самостоятельному решению таких задач учащиеся хорошо усвоили краткую запись наименования (литры, метры, килограммы, рубли, копейки).

При изучении действия деления на равные части самодельные карточки детей имели примерно такой вид, но изображения на них были сделаны схематично.

Сколько стоит одна булочка?

Сколько стоит одна чашка?

Сколько килограммов конфет в одном ящике?

Сколько стоит один шар?

Сколько стоит одна лопатка?

Сколько литров молока в одном бидоне?

В четвертой четверти вопросы на карточках записывали сами ученики.

Благодаря проведенной работе дети научились не только решать задачи по карточкам, но и стали свободно составлять условие задач устно, рассуждать, делать выводы.

Позднее, когда учащиеся усвоили смысл этих действий, мы перешли к краткой записи условий без рисунков (такие карточки составлялись учителем или воспитателем). Вначале решали задачи по краткой записи с доски, а затем по карточкам, образцы которых приводим ниже:

2 столбика — по 8 примеров в каждом. Сколько всего примеров?

3 платья — по 5 руб. каждое. Сколько стоят все платья?

5 отрезов — по 4 м в каждом. Сколько всего метров материи?

8 парт — по 2 ученика на каждой. Сколько всего учеников?

2 альбома — 18 коп. Сколько стоит один альбом?

3 пачки — 12 вафель. Сколько вафель в одной пачке?

После этого переходили к решению задач с полным печатным текстом, используя дидактический материал Н. С. Поповой.

При обучении решению задач учащихся первого класса очень много внимания уделялось сравнению сходных и различных видов задач — на отыскание суммы и на увеличение на несколько единиц, на умножение и сложение, на увеличение и уменьшение на несколько единиц, на умножение и деление, на увеличение (или уменьшение) на несколько единиц в одно действие и в два действия. Старались по возможности при сравнении двух видов задач включать одни и те же предметы, величины и числа, но изменять условие, вопрос, а в связи с этим изменялось и действие, необходимое для решения задачи.

Например, на одной стороне карточки была задача 1, а на другой — 2.

Сколько всего слив?

Сколько всего слив?

В первой задаче нужно 3 сл.Х6=18 сл., а во второй 3 сл.+ 6 сл. = 9 сл.

Учащиеся должны были не просто выполнить действия, но и объяснить, почему они так решают.

Такие и подобные им карточки, рассчитанные на сравнение двух видов задач, были составлены учителем, но подготовительные к этому работы были выполнены самими детьми. Например, составляя карточки с задачами на увеличение на несколько единиц, ученик рисовал разные по величине предметы (пусть, две корзины с овощами) и подписывал под одним рисунком 3 кг, а под другим — на 6 кг больше. Он уже осознанней воспринимал зависимость между величинами: больше размер корзины — больше вес овощей, больше в нее входит; меньше кусок материи — в нем меньше метров, меньше его стоимость. Проводились упражнения и практического характера по измерению и взвешиванию, причем неоднократные, но мы на них не останавливаемся.

Самое ценное, что дали нам самодельные карточки,— это возможность индивидуализировать самостоятельную работу в двух направлениях: с одной стороны, дети могли рисовать то, что им понятнее, что больше нравится, а с другой — решать столько задач, сколько сможет каждый. Одни ученики могли решить 10—12 задач, другие — 6—8, а третьи — меньше. Но если даже ученик решил 3—4 задачи, то и этого было достаточно, чтобы он осознал способ решения и на следующем уроке более уверенно брался за дело.

Таким образом, при обучении решению задач наряду с готовым, печатным дидактическим материалом, использовался материал, составленный самими учащимися, а также учителем и воспитателем.

Как видно из вышесказанного, при обучении решению задач дидактический материал пробуждал интерес детей, требовал постоянного внимания и активности каждого ученика, поэтому не было необходимости включать дополнительно игровые упражнения.

При закреплении же учащимися вычислительных навыков и уточнении отдельных математических понятий мы считаем нужным чаще облекать упражнения в игровую и занимательную форму с тем, чтобы избежать однообразия при решении примеров.

За всякую ли мы игру на уроке? Равноценны ли игры с точки зрения влияния их на эффективность обучения?

Возьмем игру, известную в практике под названием «Эстафета». Состоит она в том, что учитель пишет на трех отдельных листах бумаги примеры для устного счета в соответствии с количеством учащихся в каждом ряду. Начинают решать одновременно все три ряда, причем первый пример на каждом листочке решает

ученик, сидящий за первой партой в ряду (если за партой сидят двое, то начинает решать один из них), затем передает лист соседу, который решает второй пример и т. д.; закончив решение, ученики с последних парт передают листы учителю, который просматривает ответы и делает вывод, который ряд выиграл. Победителем считается тот ряд, в котором допущено меньше ошибок и быстрее решены примеры.

Безусловно, учащимся игра нравится, вызывает большой интерес, но какова ценность ее в образовательном смысле? Затрачивается на нее 10—15 минут, а решено за это время каждым учеником только по одному примеру, причем из-за большой спешки некоторые примеры могут быть решены неверно. Значит, такая игра малоэффективна, хотя в воспитательном отношении в известной степени полезна — активизирует учащихся, вызывает желание считать быстро и без ошибок, чтобы не подвести свой ряд. Ясно, что провести ее целесообразнее на заключительном утреннике или на вечере занимательной арифметики, когда она выступает не в роли обучающего средства, а контрольного.

Но есть и другого вида игры, введение которых, наоборот, повышает эффективность обучения.

Так, при закреплении действия вычитания двузначных чисел из 20 нами проведена игра в «магазин детских игрушек».

В прорези наборного полотна вставляются карточки с предметными картинками (ведерко, лопатка, флажок, молоточек и т. д.). Против каждой картинки записывается на доске ее цена (14 коп., 11 коп., 13 коп., 12 коп. и т. д.).

Учитель говорит: «Дети, кто из вас любит бывать в магазине детских игрушек? (Все учащиеся поднимают руки.) Сегодня мы проведем в классе игру, которая называется «Магазин детских игрушек». Какие же игрушки вы видите на картинках? (Учащиеся называют.) Против каждой игрушки поставлена цена. Прочитайте цены игрушек. (Вызванный ученик называет цены.) Будем «покупать» сначала те игрушки, которые укажу я, а вы должны сосчитать, сколько нужно получить сдачи при покупке каждой игрушки, если в кассу дали монету в 20 коп. Внимание: «Покупаем» мяч! Сколько получим сдачи с 20 коп.? (Вызванный ученик

говорит ответ, объясняя, как считал.) Покупаем ведерко и т. п.»

Далее учитель говорит: «А теперь выберите ту игрушку, которая вам больше всех нравится и ответьте на тот же самый вопрос».

В заключение учащимся было дано задание записать все случаи вычислений в виде примеров: первый вариант — «покупать» игрушки, начиная с верхней; второй — начиная с нижней (прорезы наборного полотна были расположены вертикально).

Можно было для закрепления данного вычислительного навыка дать задание не в игровой форме, а просто — решить примеры:

В чем преимущество первого приема перед вторым? Работа вызывает интерес и удовлетворение. Налицо практическая сторона задания. Обеспечивается полная самостоятельность письменной работы: не будешь же ждать, пока сосед решит все примеры до последнего.

Кроме того, продуманное сочетание устной и письменной работы ведет к повторности вычислений, что очень важно при закреплении навыка.

Можно предложить другую — «Матрешкины шары».

На доску прикрепляется рисунок «Матрешки». Учитель говорит: «Дети, сегодня к нам в класс пришла «Матрешка». Она хочет подарить цветные шары (они нарисованы цветными мелками на доске) тем детям, которые правильно наберут разными монетами нужное число копеек. Кто хочет иметь розовый шар? (Внутри розового кружка записано число 11 коп.) Как набрать

11 копеек? (Дети называют разные варианты — 3 коп., 3 коп., 5 коп.; 10 коп. и 1 коп.; 5 коп., 5 коп., 1 коп.; 5 монеток по 2 коп. и 1 коп.; 11 монеток по одной копейке и др.) Молодцы, все набрали верно! «Матрешка» дарит вам каждому розовый шар (при этом розовый кружок с числом 11 копеек учитель стирает). Так, «Матрешка» дарит зеленый, сиреневый, голубой и др. шары.

Надо ли говорить, какое это увлекательное занятие, как полны радости лица детей. А между тем это упражнение вычислительного характера, столь необходимое в жизни.

То же следует сказать об игре «Лабиринт», проведенной нами с целью закрепления навыка в сложении трех чисел, сумма которых не более 20. Заключалась она в следующем.

На плакате был нарисован мальчик, вокруг него — 3 овала с числами, которые показаны на рисунке.

Учитель говорит: «Дети, этот мальчик находится в плену чисел, в «Лабиринте» чисел. Выйти из него он может в том случае, если сумеет набрать число 20 из трех, причем из каждого овала можно брать только по одному числу. Может «выходов» и много, но как их найти? Поможем мальчику найти «выход». Через какие же «ворота» ему выходить? Какие числа нужно складывать, чтобы получить число 20?»

Учащиеся вначале устно назвали эти числа — 1, 9 и 10; 5, 11 и 4 и др., а затем учитель дал задание записать свои решения в виде примеров. Во время самостоятельной работы учащиеся нашли еще большее число «выходов». Так, у Иры Павловой были составлены следующие примеры:

У Петрова Вовы такие:

О том, кто нашел правильно большее число «выходов» из лабиринта, учитель объявил на следующем уроке, после просмотра тетрадей.

Несмотря на то что задание было трудным, ни один из учеников не остался пассивным или не способным справиться с ним; решено было у каждого ученика и разное число примеров, но каждый был удовлетворен своей работой.

Целесообразность игры, по нашему мнению, очевидна. Она будит детское воображение, создает условия для развития смекалки, самостоятельности, а вместе с тем содействует выработке вычислительных навыков.

Следовательно, ценность дидактической игры мы определяем не по тому, насколько бурную реакцию она вызывает со стороны учащихся, а учитываем, насколько эффективно она помогает разрешить ту или иную учебную задачу.

Использовались нами на уроках арифметики и широко известные игры «Молчанка», «Лесенка», «Лото» и другие, но в методику их проведения вносились некоторые коррективы; мы стремились при проведении любой коллективной игры предоставить максимум самостоятельности каждому ученику.

Например, вот как учащиеся знакомились с «круговыми» примерами:

Учитель говорит: «Давайте, дети, составим цепочку из примеров. Первый пример я даю сама: 5+2. Сколько получится? (7). А второй пример вы начните с этого ответа, т. е. с 7. Пусть будет такой пример, где надо отнять. Какой пример придумали? (От 7 — 4 = 3.) Теперь опять возьмем пример, где надо прибавить. А к какому числу надо прибавлять, чтобы один пример как бы цеплялся за другой, получилась цепочка? (3+5 = 8.) Отнимите от последнего числа опять какое-нибудь новое число и т. д.»

При составлении примеров-цепочек взяли сначала три примера на сложение и три — на вычитание. Когда

составляют последний пример, учитель предупреждает: «Последний ответ мы должны получить такой, чтобы он равнялся началу первого примера. С какого числа мы начали? (С числа 5.) Кто составил последний пример?»

Так учащиеся впервые получили представление о примерах-цепочках, которые иначе называются круговыми.

После коллективного составления «цепочки» и записи ее на доске учителем дается задание — самим составить цепочку из примеров и записать в тетради. Ответ каждого примера — начало следующего. Первое и последнее числа должны быть одинаковые; действия сложения и вычитания чередуются. Ответы пусть будут первое время не больше десяти.

Затем, по мере прохождения материала, задания усложнялись — составить цепочку на сложение и вычитание с переходом через десяток, на умножение и вычитание, на деление и сложение и др. Вот примеры цепочек, составленных учащимися:

Такие задания очень увлекли детей, обеспечили полную самостоятельность, выработали у учащихся навык в выполнении вычислительных операций с разными действиями одновременно. Даже самые слабые по арифметике ученики не хотели сдавать учителю тетрадь, пока не будет закончена цепочка.

Решение «круговых» примеров проводили и в другом виде. Получив конверт с карточками, на которых записаны примеры, составленные учителем, ученик решал их сначала устно и раскладывал на парте по порядку в виде такой же цепочки, как и раньше. Если последний ответ совпал с началом первого примера, значит, все примеры решены верно. Ученик мог теперь сосредоточить внимание на правильной, красивой записи их в тетради.

При закреплении вычислительных навыков, отдель-

ных арифметических понятий, законов, связей и зависимостей между действиями использовались нами и такие карточки, работа по которым не облекалась в игровую форму, но тем не менее они не лишены были элементов занимательности.

Вот некоторые из таких заданий:

1. На какое число нужно умножить данное и какое число нужно умножить на данное, чтобы получить один и тот же указанный результат. (Карточка 1.)

Подобные задания были даны и на закрепление переместительного закона сложения.

2. Решить примеры на сложение одинаковых чисел и заменить их умножением (или, наоборот, решить примеры на умножение и записать их с помощью сложения). (Карточка 2.)

Карточка 1

Карточка 2

3. Решить примеры на вычитание и проверить обратным действием — сложением. (Карточка 3.)

Карточка 3

Благодаря указанным видам дидактического материала учащиеся первого класса по-настоящему осознали, что значит 6X3 и 3X6, по четыре взять пять раз и по пять взять четыре раза и др., научились пользоваться в нужном случае законом переместительности при сложении и умножении, научились проверять свои вычисления обратными действиями.

В школе-интернате № 2, где экспериментальное обучение проводилось в течение всего второго полугодия, получились следующие результаты.

Итоги работы за III четверть

Итоги работы за IV четверть

Оценка «5» — 19 «4» — 18 «3» — 5 «2» —

Оценка «5» — 36 «4» — 6 «3» — «2» —

Еще до контрольной работы учительница I класса школы № 2 Коровяковская А. И. провела опрос уча-

щихся в индивидуальном порядке: какой предмет им больше нравится и за что нравится. Ответы многих детей были такими: «Мне нравятся все уроки, но больше арифметика». На вопрос: «За что нравится арифметика?»—дети вот что ответили:

Марина М. Мне нравится всех больше арифметика за то, что мы проводим разные игры, сами рисуем, сами составляем задачи.

Паша Ар. За то и люблю арифметику, что мы сами придумываем задачи и решаем примеры.

Витя К. Люблю арифметику за то, что у нас бывают разные игры.

Ответы других детей были похожими. 36 учеников класса назвали арифметику самым любимым предметом. Остальные ученики назвали любимым предметом труд, письмо, физкультуру и др.

Гордо звучат слова детей: «Сам решаю, сама научилась, сами составляем!»

Эта уверенность пришла к ним не сразу. Нужна была длительная, целенаправленная работа, чтобы каждый ученик смог проявить свою инициативу, свои интересы и желания в выполнении того или иного задания, проверить свои знания, умения и навыки.

В конце учебного года мы убедились, что дети хорошо усвоили основные первоначальные математические понятия, приобрели прочные вычислительные навыки, научились анализировать и решать задачи. Они всегда были готовы отвечать не только на вопрос «Сколько?», «Как?», но и «Почему?»

Продуманное систематическое использование раздаточного материала и дидактических игр позволило вызвать активную мыслительную деятельность учащихся в течение всего урока, рационально чередовать устные и письменные задания.

Каждый ребенок работал со свойственным ему темпом и способностями, но каждый — с большим интересом и желанием.

Обучение арифметике было тесно связано с обучением рисованию, труду и др. предметам.

Поэтому мы считаем, что систематическое использование дидактического и игрового материала по арифметике в I классе массовой школы может принести несомненную пользу.

С. П. АЛЕКСАХИН

ПРИЕМЫ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ИХ ОБОСНОВАНИЕ

О необходимости устных вычислений для практической деятельности человека мы говорить не будем, необходимость их не вызывает сомнений.

В этой статье мы обращаем внимание учителя на то, что устные вычисления на уроках арифметики способствуют лучшему пониманию учащимися самой арифметики: пониманию смысла арифметических действий, законов и свойств действий.

Чтобы упражнения в устном счете способствовали усвоению теории арифметики, учитель должен хорошо знать способы обоснования приемов устных вычислений.

Обосновать какой-либо прием (правило) устных вычислений— это значит показать 1) какие определения действий, 2) законы действий, 3) свойства изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов лежат в основе этого приема.

Законы действий, как известно, выводятся рассуждением из определений действий, а свойства изменения результатов действий при изменении компонентов — из законов действий.

В качестве примера обоснования приемов устных вычислений рассмотрим обоснование приема устного умножения данного числа а на 12:

а- 12=а- Ю+а-2

Предварительно заметим, что знак « = » между числами понимают в математике в смысле тождества.

1-й способ обоснования:

Первое преобразование выполнено по определению умножения натуральных чисел, второе — по сочетательному свойству сложения, третье — опять по определению умножения.

Значит,

Заключение сделано по свойству переходности1 равенства.

Выразим это в словесной форме.

Умножить а на 12 — это значит по определению умножения натуральных чисел найти сумму 12 слагаемых, каждое из которых равно а. Сумму 12 слагаемых можно представить по сочетательному свойству сложения чисел в виде суммы 10 первых слагаемых и суммы 2 последних слагаемых. Сумму 10 слагаемых, каждое из которых равно а, можно записать в виде произведения а* 10, a сумму 2 таких же слагаемых в виде а • 2. Следовательно, используя свойство переходности равенства, получаем:

2-й способ обоснования:

Первое преобразование выполнено по свойству однозначности сложения и однозначности умножения чисел2, второе — по распределительному свойству умножения относительно сложения.

Следовательно, используя свойство переходности равенства, получаем:

Выразим в словесной форме 2-й способ обоснования.

Множитель 12 в произведении а« 12 можно представить в виде суммы чисел 10 и 2. Но вместо того, чтобы

1 Свойство переходности (транзитивности) равенства выражается словами так: если первое число равно второму, а второе — третьему, то первое число равно третьему.

2 Однозначность сложения (или умножения) чисел выражается словами так: каковы бы ни были данные числа, всегда существует единственное число, представляющее собой их сумму (или произведение) .

умножать число а на сумму чисел 10 и 2, можно умножить по распределительному свойству умножения относительно сложения: сначала а на 10, затем а на 2, и полученные произведения сложить. Следовательно,

3-й способ обоснования:

Первое преобразование выполнено по свойству изменения произведения двух данных чисел при уменьшении множителя на несколько единиц1 (и по следствию из определения разности2), второе преобразование — по свойству однозначности вычитания.

Следовательно,

Выразим в словесной форме.

Уменьшим множитель на 2 единицы, т. е. вместо 12 возьмем множитель 10. Но, уменьшив множитель на 2 единицы, мы уменьшили произведение а - 12 на удвоенное множимое, т. е. на а • 2, следовательно, искомое произведение должно быть на а* 2 больше а «10, т. е. оно равно а-10 + а«2. Значит,

В первом способе обоснования приема устного умножения числа а на 12 мы ссылались, главным образом, на определение умножения числа а на натуральное число, во втором способе — на распределительное свойство умножения относительно сложения, в третьем — на свойство изменения произведения двух данных чисел при изменении сомножителя на несколько единиц.

В I части этой статьи даются обоснования приемов устных вычислений с ссылкой на законы действий, а во II части — с ссылкой на свойства изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.

1 Формулировку этого свойства см. в § 29.

2 Формулировку этого следствия см. в § 21.

Иногда обоснование одного и того же приема устных вычислений будет даваться и в I и во II частях статьи. Читателю предлагается в этом случае сравнить два различных способа обоснования одного и того же приема устных вычислений и выбрать наиболее простой из них.

Важно отметить, что обоснования приемов устных вычислений с ссылкой на свойства изменения результатов действий при изменении компонентов оказываются часто более простыми (наглядными), чем обоснования тех же приемов устных вычислений с ссылкой на основные свойства (законы) действий.

В начальной школе при объяснении приемов устных вычислений часто пользуются, но, правда, в неявном виде, свойствами изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов. И это вполне обосновано, так как свойство изменения результатов не труднее основных свойств действий.

При объяснении учащимся школы основных свойств (законов) действий используют, как известно, индуктивный путь: сначала рассматривают эти свойства на конкретных примерах (при активном участии учащихся), а затем формулируют эти свойства. Свойства изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов следует объяснять учащимся, используя тот же индуктивный путь.

Кроме основной цели (дать обоснование каждому из рассматриваемых приемов устных вычислений), мы ставим перед собой еще одну цель: дать приемы устных вычислений в системе. Приемов устных вычислений много. Привести в систему все существующие приемы устных вычислений вряд ли возможно. Поэтому мы ограничиваемся тем, что даем систему приемов устных вычислений только для четырех арифметических действий, причем каждый раз будем рассматривать только одно арифметическое действие, производимое только над двумя числами. Общим для рассматриваемых приемов устных вычислений этой системы является то, что, как правило, один из компонентов действия, к которому применяется прием, оставляется без изменения, а другой компонент представляется в виде либо суммы двух чисел, либо разности, либо произведения, либо частного.

I. Приемы устных вычислений, основанные на свойствах (законах) действий

Сложение

1. Представление одного из слагаемых в виде суммы.

Примеры.

Здесь используются переместительное и сочетательное свойства сложения.

Переместительное свойство сложения, как известно, выражается словами так: сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Коротко записывается это свойство для любых двух чисел а и Ь так:

Переместительным свойством обладает сумма любого числа слагаемых. Например:

Сочетательное свойство сложения, как известно, формулируется так: сумма не изменяется от сочетания рядом стоящих слагаемых в любые группы.

Коротко записывается это свойство для любых трех чисел а, 6, с так:

Сочетательным свойством обладает сумма любого числа слагаемых.

Например, 3 + 7 + 8 + 2 = 20; группируя рядом стоящие слагаемые как угодно, мы получим то же число 20:

2. Представление одного из слагаемых в виде разности.

Примеры.

Здесь используется свойство сложения числа и разности данных чисел. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы складывать число и разность данных чисел, можно сложить это число с уменьшаемым и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

Коротко записывается это свойство так:

Заметим, что сложение числа и разности данных чисел обладает еще одним свойством: вместо того чтобы складывать число и разность данных чисел, можно вычесть из этого числа вычитаемое и полученную разность сложить с уменьшаемым данной разности (предполагается, что число, которое складывается с разностью данных чисел, больше или равно вычитаемому этой разности).

Коротко:

Пример.

Сложение разности данных чисел и числа можно свести на основании переместительного свойства сложения чисел к сложению числа и разности данных чисел.

Примечание. Подробные записи, которыми сопровождаются вычисления в примерах 1), 2) и в последнем примере, даны лишь для объяснения самого предлагаемого приема устных вычислений. На практике все преобразования и промежуточные вычисления выражаемые такого рода записями, делаются в уме.

3. Представление каждого из обоих слагаемых в виде произведения с общим для обоих произведений сомножителем.

Примеры.

Здесь используется свойство сложения произведений, имеющих общее множимое. Свойство это формулируется так: вместо того, чтобы складывать произведения, имеющие общее множимое, можно сложить множители

этих произведений и на полученную сумму умножить общее множимое.

Коротко записывается это свойство для двух произведений так:

Замечаем, что обычное правило сложения разрядных чисел1 одного и того же разряда, сводящее сложение разрядных чисел к сложению однозначных чисел, основано на этом свойстве сложения произведений, имеющих общее множимое (см. решение примера 1).

Сложение произведений, имеющих общий множитель, можно свести на основании переместительного свойства умножения к сложению произведений, имеющих общее множимое.

Примечание. При объяснении этого приема устного сложения чисел можно опираться непосредственно на определение умножения натуральных чисел. Так, при решении примера 1) можно рассуждать следующим образом: 5 раз по 10 да еще 4 раза по 10, всего получается 9 раз по 10, т. е. получается 10-9=90. Еще пример: 54 • 75+54.25. Рассуждаем так же: 75 раз по 54 да еще 25 раз по 54, всего получает, ся 100 раз по 54, т. е. получается 54-100=5400.

4. Представление каждого из обоих слагаемых в виде частного с общим для обоих частных делителем.

Пример.

Здесь используется свойство сложения частных, имеющих общий делитель. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы складывать частные, имеющие общий делитель, можно сложить делимые этих частных и полученную сумму разделить на общий делитель.

Коротко записывается это свойство для двух частных так:

Рассматриваемый прием устного сложения чисел, если сравнивать его с другими приемами устного сложения тех же чисел, не эффективен. Однако само свойство сложения частных, имеющих общий делитель, лежащее

1 Разрядным числом мы называем число, равное произведению разрядной единицы на однозначное число; например, 100-5=500 — разрядное число.

в основе этого приема устного сложения чисел, весьма эффективно используется при решении в уме некоторых готовых примеров на сложение частных. Например:

Представлять каждое из обоих слагаемых суммы в виде частного с общим для обоих частных делимым мы не будем.

Сумма частных, имеющих общее, отличное от нуля, делимое, не равняется частному от деления общего делимого на сумму делителей, т. е.

Например:

Действительно:

Сумма частных, имеющих общее делимое, обладает свойством:

или

но это свойство слишком сложно и поэтому в приемах устного сложения чисел не используется.

Вычитание

5. Представление уменьшаемого в виде суммы. Примеры.

Здесь используется свойство вычитания числа из суммы двух данных чисел. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы вычитать число из суммы двух данных чисел, можно вычесть это число из какого-нибудь

одного слагаемого суммы и полученную разность сложить с другим слагаемым (предполагается, что хотя бы одно из данных слагаемых суммы больше или равно числу, вычитаемому из суммы).

Коротко записывается это свойство так:

6. Представление вычитаемого в виде суммы. Примеры.

Здесь используется свойство вычитания суммы двух данных чисел из числа. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы вычитать сумму двух данных чисел из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое суммы и из полученной разности вычесть другое слагаемое.

Коротко записывается это свойство так:

7. Представление уменьшаемого в виде разности. Примеры.

Здесь используется свойство вычитания числа из разности данных чисел. Свойство это выражается словами так: вместо того чтобы вычитать число из разности данных чисел, можно сложить это число с вычитаемым и полученную сумму вычесть из уменьшаемого1.

Коротко записывается это свойство так:

Рассматриваемый прием устного вычитания чисел, если сравнивать его с другими приемами устного вычи-

1 Речь идет здесь о «вычитаемом» и «уменьшаемом» той разности, из которой требовалось вычесть число.

тания тех же чисел, не эффективен. Однако само свойство вычитания числа из разности чисел, лежащее в основе этого приема, весьма эффективно используется при решении в уме некоторых примеров на вычитание числа из разности чисел. Например:

Свойство вычитания числа из разности данных чисел можно назвать также свойством последовательного вычитания чисел и формулировать так: вместо того чтобы вычитать из первого числа второе и из полученной разности вычитать третье число, можно вычесть из первого числа сразу сумму второго и третьего чисел.

Последовательное вычитание чисел обладает еще одним свойством: вместо того чтобы вычитать из первого числа второе и из полученной разности вычитать третье число, можно вычесть из первого числа третье и из полученной разности вычесть второе.

Коротко:

Пример.

8. Представление вычитаемого в виде разности. Примеры.

Здесь используется свойство вычитания разности данных чисел из числа. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы вычитать разность данных чисел из числа, можно вычесть из этого числа уменьшаемое и полученный результат сложить с вычитаемым1 (предполагается, что число, из которого вычитается разность, больше или равно уменьшаемому этой вычитаемой разности).

Коротко записывается это свойство так:

1 Речь идет здесь об «уменьшаемом» и «вычитаемом» той разности, которую требовалось вычесть из числа.

Вычитание разности чисел из числа обладает еще одним свойством: вместо того чтобы вычитать разность данных чисел из числа, можно сложить это число с вычитаемым и из полученной суммы вычесть уменьшаемое.

Коротко:

Пример.

9. Представление уменьшаемого и вычитаемого в виде произведений с общим для обоих произведений сомножителем.

Примеры.

Здесь используется свойство вычитания произведений, имеющих общее множимое. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы вычитать произведения, имеющие общее множимое, можно вычесть из множителя уменьшаемого произведения множитель вычитаемого произведения и на полученную разность умножить общее множимое.

Коротко записывается это свойство так:

Вычитание произведений, имеющих общий множитель, можно свести на основании переместительного свойства умножения чисел к вычитанию произведений, имеющих общее множимое.

10. Представление уменьшаемого и вычитаемого в виде частных с общим делителем.

Пример.

Здесь используется свойство вычитания частных, имеющих общий делитель. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы вычитать частные, имеющие общий делитель, можно из первого делимого вычесть вто-

рое делимое, полученную разность разделить на общий делитель.

Коротко записывается это свойство так:

Рассматриваемый прием устного вычитания чисел, если сравнить его с другими приемами вычитания тех же чисел, не эффективен. Однако само свойство вычитания частных, имеющих общий делитель, лежащее в основе этого приема устного вычитания чисел, весьма эффективно используется при решении в уме некоторых готовых примеров на вычитание частных, имеющих общий делитель. Например:

Представлять уменьшаемое и вычитаемое в виде частных с общим для обоих частных делимым мы не будем.

Разность частных, имеющих общее, отличное от нуля, делимое, не равняется частному от деления общего делимого на разность делителей, т. е.

Например:

Действительно:

а 12 : (2 — 4) — не равняется никакому целому неотрицательному числу.

Умножение

11. Представление одного из сомножителей в виде произведения.

Примеры.

Здесь используются переместительное и сочетательное свойства умножения.

Переместительное свойство умножения, как известно, формулируется так: произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей.

Коротко записывается это свойство для любых двух чисел а и Ъ так:

Сочетательное свойство умножения, как известно, выражается словами: произведение не изменяется от соединения рядом стоящих сомножителей в любые группы.

Коротко записывается это свойство для любых трех чисел а, Ь, с так:

12. Представление одного из сомножителей в виде частного.

Пример.

Здесь используется свойство умножения числа на частное данных чисел. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы умножать число на частное данных чисел, можно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

Коротко записывается это свойство так:

Заметим, что умножение числа на частное данных чисел обладает еще одним свойством: вместо того чтобы умножать число на частное данных чисел, можно разделить это число на делитель и полученное частное умножить на делимое данного частного (предполагается, что число, которое умножается на частное данных чисел, кратно делителю этого частного).

Коротко:

Пример.

Умножение частного данных чисел на число можно свести на основании переместительного свойства умножения чисел к умножению числа на частное данных чисел.

13. Представление одного из сомножителей в виде суммы.

Примеры.

Здесь используется распределительное свойство умножения относительно сложения. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы умножать сумму данных чисел на число, можно умножить каждое слагаемое суммы на это число и полученные произведения сложить.

Коротко записывается это свойство для суммы двух слагаемых так:

Умножение числа на сумму данных чисел можно свести на основании переместительного свойства умножения к умножению суммы данных чисел на число.

14. Представление одного из сомножителей в виде разности.

Примеры.

Здесь используется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы умножать разность данных чисел на число, можно умножить в отдельности уменьшаемое и вычитаемое на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Коротко записывается это свойство так:

Умножение числа на разность данных чисел можно свести на основании переместительного свойства умножения к умножению разности данных чисел на число.

Деление

15. Представление делимого в виде произведения. Примеры.

Здесь используется свойство деления произведения двух данных чисел на число. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить произведение двух данных чисел на число, можно разделить на это число какой-нибудь один из сомножителей произведения и полученное частное умножить на другой сомножитель (предполагается, что хотя бы один из данных сомножителей произведения кратен числу, на которое делится произведение).

Коротко записывается это свойство так:

16. Представление делителя в виде произведения. Примеры.

Здесь используется свойство деления числа на произведение двух данных чисел. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить число на произведение двух данных чисел, можно разделить это число на какой-нибудь один из сомножителей произведения и полученное частное разделить на другой сомножитель.

Коротко записывается это свойство так:

или

17. Представление делимого в виде частного. Примеры.

Здесь используется свойство деления частного данных чисел на число. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить частное данных чисел на число, можно умножить на это число делитель и на полученное произведение разделить делимое1.

Коротко:

1 Речь идет здесь о «делителе» и «делимом» того частного, которое требовалось разделить на число.

Рассматриваемый прием устного деления чисел, если сравнивать его с другими приемами устного деления тех же чисел, не эффективен. Однако само свойство деления частного данных чисел на число, лежащее в основе этого приема, весьма эффективно используется при решении в уме некоторых примеров. Например:

Свойство деления частного данных чисел на число можно назвать также свойством последовательного деления чисел и сформулировать так: вместо того чтобы делить первое число на второе и полученное частное делить на третье число, можно разделить первое число сразу на произведение второго и третьего чисел.

Последовательное деление чисел обладает, еще одним свойством: вместо того чтобы делить первое число на второе и полученное частное делить на третье число, можно разделить первое число на третье и полученное частное разделить на второе число.

Коротко:

Пример.

18. Представление делителя в виде частного. Примеры.

Здесь используется свойство деления числа на частное данных чисел. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить число на частное данных чисел, можно разделить это число на делимое и полученный результат умножить на делитель1 (предполагается, что число, которое надо было делить на частное, кратно делимому) :

Деление числа на частное данных чисел обладает

1 Речь идет здесь о «делимом» и «делителе» того частного, на которое надо было делить число.

еще одним свойством: вместо того чтобы делить число на частное данных чисел, можно умножить это число на делитель и полученное произведение разделить на делимое. Коротко:

Пример.

19. Представление делимого в виде суммы. Примеры.

Здесь используется свойство деления суммы двух данных чисел на число. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить сумму двух данных чисел на число, можно разделить каждое слагаемое суммы на это число и полученные частные сложить (предполагается, что каждое слагаемое кратно делителю).

Коротко записывается это свойство так:

20. Представление делимого в виде разности. Примеры.

Здесь используется свойство деления разности данных чисел на число. Свойство это формулируется так: вместо того чтобы делить разность данных чисел на число, можно разделить уменьшаемое и вычитаемое на это число и из первого полученного частного вычесть второе (предполагается, что уменьшаемое и вычитаемое кратны делителю).

Коротко:

Представлять делитель в виде суммы чисел мы не будем.

Частное от деления числа, отличного от нуля, на сумму данных чисел не равняется сумме частных от деления этого числа на каждое слагаемое данной суммы, т. е.

Например:

Действительно:

Вообще, частное от деления числа, отличного от нуля, на сумму данных чисел не обладает такими свойствами, чтобы, используя эти свойства, мы могли бы получать новые приемы устного деления чисел.

Замечаем, таким образом, что делить сумму данных чисел на число по правилу деления каждого слагаемого на это число можно, а делить число на сумму данных чисел по правилу деления этого числа на каждое слагаемого суммы нельзя.

II. Приемы устных вычислений, основанные на свойствах изменения результатов действий при изменении компонентов

Сложение

21. Увеличение (или уменьшение) одного из слагаемых на сколько-нибудь единиц и уменьшение (или увеличение) новой (при измененном слагаемом) суммы на столько же единиц.

Примеры.

Рассматриваемый прием устного сложения чисел основан на свойстве изменения суммы при изменении слагаемого на несколько единиц и на следствии из определения разности чисел.

Свойство изменения суммы при изменении слагаемого на несколько единиц формулируется так: увеличение (или уменьшение) одного из слагаемых на сколько-

нибудь единиц вызывает увеличение (или уменьшение) суммы на столько же единиц.

Следствие из определения разности чисел выступает здесь в такой форме: если данное число увеличить (или уменьшить) на сколько-нибудь единиц и полученную сумму (или разность) уменьшить (или увеличить) на столько же единиц, то получится то же самое данное число.

22. Увеличение (или уменьшение) одного из слагаемых на сколько-нибудь единиц и уменьшение (или увеличение) другого слагаемого на столько же единиц.

Пример.

Этот прием устного сложения чисел основан на тех же свойствах действий, на которых основан рассматриваемый в предыдущем параграфе прием устного сложения чисел.

23. Уменьшение каждого слагаемого в одно и то же число раз.

Пример.

Этот прием устного сложения чисел основан на свойстве изменения суммы при уменьшении каждого слагаемого в одно и то же число раз и на следствии из определения частного чисел.

Свойство уменьшения суммы при уменьшении каждого слагаемого в одно и то же число раз выражается словами так: уменьшение каждого слагаемого в одно и то же число раз вызывает уменьшение суммы в такое же число раз.

Следствие из определения частного чисел выступает здесь в такой форме: если данное число уменьшить во сколько-нибудь раз и полученное частное увеличить во столько же раз, то получится то же самое данное число.

Вычитание

24. Увеличение (или уменьшение) уменьшаемого на сколько-нибудь единиц и уменьшение (или увеличение)

новой (при измененном уменьшаемом) разности на столько же единиц.

Примеры.

Этот прием устного вычитания чисел основан на свойстве изменения разности при изменении уменьшаемого на несколько единиц и на следствии из определения разности, которое было сформулировано в § 21.

Свойство изменения разности при изменении уменьшаемого на несколько единиц формулируется так: увеличение (или уменьшение) уменьшаемого на сколько-нибудь единиц вызывает увеличение (или уменьшение) разности на столько же единиц.

25. Увеличение (или уменьшение) вычитаемого на сколько-нибудь единиц и увеличение (или уменьшение) новой (при измененном вычитаемом) разности на столько же единиц.

Примеры.

Этот прием устного вычитания чисел основан на свойстве изменения разности при изменении вычитаемого на несколько единиц и на следствии из определения разности чисел.

Свойство изменения разности при изменении вычитаемого на несколько единиц формулируется так: увеличение (или уменьшение) вычитаемого на сколько-нибудь единиц вызывает уменьшение (или увеличение) разности на столько же единиц.

26. Совместное увеличение (или уменьшение) уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц.

Примеры.

Этот прием устного вычитания чисел основан на свойстве разности, которое формулируется так: совместное увеличение (или уменьшение) уменьшаемого и вычитае-

мого на одно и то же число единиц не вызывает изменения разности.

Умножение

27. Увеличение (или уменьшение) одного из сомножителей в какое-нибудь число раз и уменьшение (или увеличение) нового (при измененном сомножителе) произведения во столько же раз.

Примеры.

Рассматриваемый прием устного умножения чисел основан на свойстве изменения произведения при изменении сомножителя в несколько раз и на следствии из определения частного чисел.

Свойство изменения произведения при изменении сомножителя в несколько раз формулируется так: увеличение (или уменьшение) одного из сомножителей во сколько-нибудь раз вызывает увеличение (или уменьшение) произведения во столько же раз.

Следствие из определения частного чисел выступает здесь в такой форме: если данное число увеличить (или уменьшить) во сколько-нибудь раз и полученное произведение (или частное) уменьшить (или увеличить) во столько же раз, то получится то же самое данное число.

28. Увеличение (или уменьшение) одного из сомножителей во сколько-нибудь раз и уменьшение (или увеличение) другого сомножителя во столько же раз.

Пример.

Этот прием устного умножения чисел основан на тех же свойствах действий, на которых основан рассматриваемый в предыдущем параграфе прием устного умножения чисел.

29. Увеличение (или уменьшение) одного из сомножителей на сколько-нибудь единиц и уменьшение (или увеличение) полученного произведения на произведение другого сомножителя на это число единиц.

Примеры.

Этот прием устного умножения чисел основан на свойстве изменения произведения двух данных чисел при изменении одного из сомножителей этого произведения на несколько единиц и на следствии из определения разности чисел.

Названное свойство изменения произведения формулируется так: увеличение (или уменьшение) одного из сомножителей произведения двух данных чисел на несколько единиц вызывает увеличение (или уменьшение) данного произведения на число, равное произведению другого сомножителя на это число единиц.

Деление

30. Увеличение (или уменьшение) делимого во сколько-нибудь раз и уменьшение (или увеличение) нового (при измененном делимом) частного во столько же раз.

Примеры.

Этот прием устного деления чисел основан на свойстве изменения частного при изменении делимого в несколько раз и на следствии из определения частного, которое было сформулировано в § 27.

Свойство изменения частного при изменении делимого в несколько раз формулируется так: увеличение (или уменьшение) делимого во сколько-нибудь раз вызывает увеличение (или уменьшение) частного во столько же раз.

31. Увеличение (или уменьшение) делителя во сколько-нибудь раз и увеличение (или уменьшение) нового (при измененном делителе) частного во столько же раз.

Примеры.

Этот прием устного деления чисел основан на свойстве изменения частного при изменении делителя в несколько раз и на следствии из определения частного чисел.

Свойство изменения частного при изменении делителя в несколько раз формулируется так: увеличение (или уменьшение) делителя во сколько-нибудь раз вызывает уменьшение (или увеличение) частного во столько же раз.

32. Совместное увеличение (или уменьшение) делимого и делителя в одно и то же число раз.

Примеры.

Этот прием устного деления чисел основан на свойстве частного, которое формулируется так: совместное увеличение (или уменьшение) делимого и делителя в одно и то же число раз не вызывает изменения частного.

П. С. ИСАКОВ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДЕЙСТВИЯМ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В АМЕРИКАНСКОЙ ШКОЛЕ

Изучение опыта работы зарубежных школ имеет немаловажное значение в работе по улучшению методики преподавания любого учебного предмета. Критическое рассмотрение различных приемов обучения, расположения материала, ознакомление с его объемом и оценка с точки зрения трудности — все это может помочь в поисках более рациональных приемов обучения в советской школе.

В современной американской методической литературе существует много, притом весьма отличных друг от друга методик преподавания арифметики. Выбор той или иной методики для применения на практике зависит от вкусов и склонностей учителя, школьного инспектора, а также определяется сложившейся в той или иной школе традицией. В настоящей статье рассматриваются лишь наиболее распространенные приемы обучения и последовательность расположения учебного материала, однако в отдельных случаях мы будем интересоваться также и тем, как излагаются некоторые вопросы в методиках разных авторов.

Первым вопросом, с которым мы сталкиваемся при ознакомлении с методикой обучения действиям сложения и вычитания и который еще не получил определенного решения, является вопрос о том, когда следует начинать обучение этим действиям. Практика показывает, что в различных школах Америки обучение сложению начинается в первом, втором или третьем классе. Причем, по-видимому, большинство школ останавливается на последнем варианте.

До начала систематического обучения действию сложения проводится определенная подготовительная рабо-

та, основным содержанием которой является обучение устной и письменной нумерации в пределах 10 и устной нумерации в пределах 100. За это время дети должны научиться писать числа от 0 до 9, а в некоторых случаях и далее, считать единицами до 100, считать двойками и пятерками до 20, а иногда и до 50, научиться читать числа в книге, календаре и т. п., вести правильный счет в своих играх. Наконец, дети должны приобрести элементарные навыки по сложению однозначных чисел1. Здесь широко применяются игры, требующие умения считать (домино, кегли и т. п.), драматизация, песенки-считалки, разнообразный дидактический материал. Особое внимание в американской школе уделяется играм общественного характера (игра в почту, в магазин, в банк и т. п.). Для проведения этих игр в школьных помещениях из фанеры или даже из мебели сооружают небольшие будочки, которые и изображают собой то или иное общественное учреждение. Такие игры проводятся не только в подготовительный период, но и позднее, когда дети учатся складывать, вычитать и выполнять другие арифметические действия.

Обучение фактам сложения

Изучение действия сложения начинается с работы над таблицей фактов сложения.

Фактом сложения, как сказано в школьном учебнике, называется «...пример вместе с его суммой»2. В данном случае имеются в виду примеры, в которых слагаемыми являются однозначные числа.

На следующей странице приведена таблица фактов сложения без указания сумм и без учета тех случаев, которые от указанных здесь отличаются лишь порядком слагаемых.

Такая таблица (иногда несколько видоизмененная) имеется почти во всех методических руководствах. Ее назначение — систематизировать рассматриваемые случаи сложения и помочь учителю ориентироваться при выборе того или иного порядка изучения фактов. В не-

1 G. М. Wilson, Teaching the new arithmetic, 1951, pp. 96—97.

2 R. L. Morton, M. Gray, E. Springstun, W. L. Schaaf, Making sure of arithmetic, 1952, book 3, pp. 18—19.

Таблица фактов сложения

которых школах таблица используется и для заучивания ее учащимися.

Начинать работу над фактами рекомендуется в подготовительный период1. Она обычно заключается в том, что учащиеся, используя дидактический материал, знакомятся с фактами, суммы которых не превышают 10, и часть этих фактов заучивают, используют таблицу фактов, не стараясь, однако, запоминать ее, для того чтобы в своих играх находить суммы двух чисел (например, найти общую стоимость двух покупаемых в «магазине» предметов) и т. п.

Интересно отметить, что обычной формой записи фактов, как и вообще действия сложения, является запись «столбиком». Авторы методических руководств,

1 G. М. Wilson, Teaching the new arithmetic, 1951, pp. 96—97.

рекомендуя эту форму в качестве основной, поясняют, что это вызвано установившейся в практике взрослых привычкой при сложении записывать числа колонкой1. Горизонтальная форма записи фактов и действия сложения при этом, конечно, не отвергаются, но пользуются ею довольно редко. О том, насколько широко применяется форма записи «столбиком», можно судить хотя бы по тому, что в школьных учебниках с первых же шагов ознакомления учащегося с начальными фактами на картинках группы складываемых предметов располагаются одна под другой, как и при цифровой записи, в виде колонки2. Ниже приведены примеры таких картинок.

Следует указать еще на одну особенность в записи действий сложения и вычитания. Во всех тех случаях, когда бесспорно ясно, о каком действии идет речь (например, изучается только действие сложения), знаки «плюс» и «минус» не ставятся. Небезынтересно отметить, что этот обычай был введен еще Торндайком, ратовавшим за то, чтобы навык у ученика создавался «... в таких условиях, в каких он будет применяться» в повседневной жизни3. Именно в повседневной жизни мы нередко опускаем знаки действий и, однако, при выполнении сложения, вычитания и умножения помним о том, что нам нужно сделать.

1 G. М. Wilson, Teaching the new arithmetic, 1951, p. 133.

2 R. L. Morton, M. Gray, E. Springstun, W. L. Schaaf, Making sure of arithmetic, 1952, book 3, pp. 8—14.

3 Э Л. Торндайк Новые методы преподавания арифметики, 1932, стр. 176.

В каком же порядке изучаются факты? Как указывают Брукнер и Гроссникл1, независимо от того, какой порядок обучения будет принят, он должен быть таким, чтобы ученик мог видеть связь между фактами. Эту цель преследуют все методические руководства и школьные учебники, когда предлагают тот или иной порядок обучения. Приведем некоторые примеры.

Фолкес и Гофф в своей книге «Современная жизненная арифметика»2 предлагают такой вариант. Сначала изучаются факты, суммы которых меньше 10 (исключая случаи 0+1, 0+2, 0+3 и т. д.). Их насчитывается 20. Затем 16 фактов с обратным порядком слагаемых («обратные факты»), далее 25 фактов с двузначными суммами, потом 20 обратных им и, наконец, 19 случаев сложения с нулем («нулевые» факты).

Обобщая опыт работы целого ряда методистов, примерно такой же порядок рекомендует и Мортон3.

Особый интерес, по нашему мнению, представляет порядок изучения фактов, рекомендуемый Брукнером и Гроссниклом4. Они считают, что числовые связи могут быть эффективно показаны при обучении с помощью так называемых числовых семей. Так, членами «семьи» 6, не считая нулевых фактов, являются

Если включить нуль, то появляются еще два факта сложения, а именно: 6+0 = 6 и 0+6 = 6.

При внимательном ознакомлении с фактами приведенной «семьи» ученик должен суметь сделать такие, например, выводы и обобщения:

1 L. J. Bruekner, F. Е. Grossnickle, Making arithmetic meaningful, 1953, p. 225.

2 Упоминается в работе W. F. Roantree, MS. Taylor, An arithmetic for teachers, 1955 p. 45.

3 R. L. Morton, Teaching arithmetic in the elementary school, 1937, vol. I, p 88.

4 L. J Brueckner, F. E. Grossnickle, Making arithmetic meaningful, 1953, pp 226—227.

1. Если одно слагаемое уменьшается на единицу, то другое слагаемое на единицу увеличивается.

2. Число фактов, если не включать нулевые, на единицу меньше числа «семьи».

3. Перестановка чисел не изменяет суммы (4+2 = 6; 2+4 = 6).

В работе по обучению каждому отдельному факту сложения можно указать такие этапы1.

1. Прежде всего раскрывается содержание факта. На многочисленных примерах с использованием вещей и рисунков знакомых детям объектов показывается конкретный факт сложения. Это разнообразие примеров облегчает ученику возможность проникнуть в сущность числа, сделать необходимые обобщения.

2. Изучаемый материал показывается на палочках, кружочках или другом дидактическом материале.

3. Ученик воспроизводит факт графически, изображая число с помощью точек, крестиков, кружков и т. д. Например, факт 3+4 = 7 может быть представлен так, как показано на рисунке

Заметим, что применение знака сложения и равенства к изображению предметов является неудачным приемом. 4. Факт записывается с помощью цифр:

5. Изучаемый факт проверяется с помощью уже известных фактов, что дает возможность показать связь между ними, убедиться, что факты не изолированы друг от друга, а представляют собой некоторую систему. Проверка новых фактов осуществляется следующим образом. Если новым фактом является, например, 3+4 = 7, то результат можно проверить, вспомнив, что 3+3 = 6; отсюда сумма 3+4 должна быть на единицу больше, т. е. должна равняться 7.

1 L. J. Brueckner, F. Е. Grossnickle, Making arithmetic meaningful, 1953. p. 228.

6. Заключительный этап состоит в том, что факт используется в задачах и конкретных ситуациях. Иначе говоря, этот этап является этапом закрепления. Здесь наряду с задачами широко используются различные тренировочные приемы и среди них первое место занимают игры. В качестве примера дадим описание нескольких таких игр1.

а) «Слепой». Дети становятся в круг. Один из учеников с завязанными глазами стоит внутри круга. У каждого из играющих впереди висит карточка с номером не более 9. «Слепой» наугад касается кого-нибудь из тех, кто стоит в круге. Тот, кого он коснулся, называет свой номер. «Слепой» складывает этот номер со своим и называет сумму. Если сумма названа верно, водить идет тот, кого коснулся «слепой».

Недостатком этой игры является то, что в ней активно участвует только «слепой». Остальные должны знать лишь одну сумму (своего номера и номера «слепого»), которую могут не спеша найти любым из способов, если не помнят нужного факта сложения.

б) «Лопающиеся шары». На доске нарисована связка воздушных шариков. На каждом из них написан пример. Ученик, правильно назвавший сумму, стирает шарик («шарик лопается»).

Как и в предыдущем случае, недостатком игры является то, что если ученик не знает нужного факта сложения, то он имеет сколько угодно времени для того, чтобы найти сумму любым из известных ему способов, даже простым счетом с помощью пальцев.

Укажем теперь игры, в которых активно участвует весь класс и которые требуют твердого знания фактов, так как времени для счета эти игры не дают.

в) Угадывание факта. Учитель записывает на доске

1 R. L. Morton, Teaching arithmetic in the elementary school 1937, vol. I., pp. 101—106.

факт сложения, например 9+3=12, но не показывает своей записи ученикам. Затем говорит:

— Я задумал два числа, которые в сумме дают 12. Угадайте их.

Ученики называют: 5+7, 8+4, 6+7 (ошибочно!), 9 + 3 и т. д. Угадавший занимает место учителя и продолжает игру.

г) Дети становятся в круг. Каждый из играющих получает номер (не более 18). Причем один и тот же номер получают двое. Ведущий стоит в центре круга. Он называет какую-нибудь пару чисел, например 8 и 4. Ученики быстро складывают: 8+4=12. Те двое, у кого оказывается номер 12, бегом меняются местами, а ведущий старается занять место одного из них. Не успел — ведет далее. Если же допускает ошибку кто-нибудь из учеников, стоящих по кругу, то он занимает место ведущего.

д) «Переход через ручей». На доске проводятся две линии, обозначающие ручей. В двух-трех местах «ручья» положены «камни» для перехода — несколько овалов, в которых написаны примеры. Задача состоит в том, чтобы, называя или записывая ответы, переходить с «камня» на «камень». Неверный ответ означает, что ученик оступился и упал в воду. Два-три ученика, в зависимости от того, сколько будет подготовлено «переходов», одновременно отправляются с одного берега на другой, соревнуясь в скорости. Остальные, являясь судьями в соревновании, следят за правильностью ответов.

Такие же соревнования в скорости могут быть организованы и на показанных на предыдущей странице «лестницах». Дать правильный ответ означает подняться на следующую ступеньку «лестницы», ошибиться означает упасть.

Дальнейшая работа по обучению сложению

Еще при изучении фактов сложения в пределах первого десятка дети начинают решать примеры на сложение трех и даже четырех чисел1. При этом слагаемые записываются столбиком, как это практиковалось и при изучении фактов.

Интересно отметить, что, решая такие примеры, ученики не переписывают их условия, а на сложенной гармошкой бумаге записывают одни лишь ответы. На следующем рисунке показано, как это делается.

Каждая полоска такой «гармошки» предназначена для записи ответов одного ряда примеров.

На удобство этого приема, почему-то, однако, не нашедшего применения в нашей школе, в свое время указывал Г. Б. Поляк2.

При обучении сложению возникает вопрос, складывать ли данные числа в направлении сверху вниз или в

1 R. L. Morton, M. Gray, Е. Springstun, W. L. Schaaf Making sure of arithmetic, 1952, book 3, p. 57.

2 Новое в американской методике арифметики. Сборник статей методистов США, перевод и редакция Г. Б. Поляка, 1932, стр. 3.

направлении снизу вверх. В настоящее время методисты, по-видимому, склонны считать как первый, так и второй из названных способов совершенно равноправными. При этом они рекомендуют, чтобы, выполняя сложения с помощью одного из них, безразлично какого, ученик для проверки результата пользовался вторым. И это имеет определенный смысл, так как при сложении в направлении сверху вниз, допустим в примере

ученик должен знать факты 3+4 = 7 и 7+2 = 9; при проверке же путем сложения в направлении снизу вверх ему придется опираться уже на другие факты: 2+4 = 6 и 6+3 = 9.

Трудностью, с которой сталкиваются ученики при сложении трех и более чисел, является то, что им приходится «видимое» число, написанное на доске или на бумаге, прибавлять к числу, удерживаемому в памяти, т. е. к числу «невидимому». Так, в последнем примере при втором сложении ученик должен видимое число 2 прибавить к невидимому 7. Чтобы помочь детям преодолеть эту трудность, многие учителя используют так называемый определитель факта1. Определитель факта представляет собой тонкий металлический стержень, на котором находится вполне определенное количество косточек.

Чтобы при решении приведенного выше примера наглядно показать складываемые числа, ученик на определителе факта разбивает косточки на три группы в 3, 4 и 2 косточки, убеждаясь, таким образом, что 3+4+2 = 9. На том же определителе факта он образует другие группы из трех чисел, в сумме дающие 9, всякий раз сложением на доске проверяя эти, им самим подготовленные примеры.

После работы с определителем факта проводится устная тренировка, имеющая ту же цель — научить выполнять действие сложения с «невидимыми» числами.

1 L. J. Brueckner, F. Е. Grossnickle, Making arithmelic meaningful, 1953, p. 237.

Делается это обычно так. На доске записывается число, например 7. Затем учительница предлагает ученику прибавить к нему, не прибегая к записи, другое названное ею и, следовательно, «невидимое» число. Многократное выполнение этой операции с использованием различных чисел и вырабатывает у учащегося необходимый навык.

После того как будет проведено достаточное количество упражнений на сложение столбиком однозначных чисел и учащиеся овладеют письменной нумерацией в пределах 100, переходят к сложению в пределах 100. Первым этапом этой работы является прибавление однозначного числа к двузначному — так называемое «сложение окончаний»:

а затем сложение двух двузначных чисел:

Как видно из четырех приведенных примеров, здесь используются факты в пределах первого десятка, т. е. те же самые факты, что и при сложении столбиком трех однозначных чисел.

Завершая работу над этими фактами, некоторые учителя дают примеры на сложение столбиком трех двузначных чисел:

Складываются также два двузначных и одно однозначное:

Примерам последнего вида уделяется особое внимание, так как они обычно вызывают у учащихся большие затруднения.

Как только дети познакомятся хотя бы с несколькими фактами, суммы которых превышают 10, они сразу же начинают решать примеры, в которых требуется применение перехода через десяток. Эта работа проводится в такой последовательности.

1) Прибавление однозначного числа к двузначному:

Это вторая, более трудная часть «сложения окончаний».

Для разъяснения сущности перехода через десяток здесь широко используются нумерационные таблицы, абаки и другие родственные им пособия. Закрепление же и проверка усвоения материала осуществляется с помощью «счетных серий». Эти серии представляют собой:

счет двойками, начинающийся с 1 и 2;

счет тройками, начинающийся с 1, 2 и 3;

счет четверками, начинающийся с 1, 2, 3 и 4 и т. д.

Последние 9 серий—это счет девятками, начинающийся с каждого из 9 однозначных чисел.

Проводя эту работу, одни учителя громко отбивают такт, другие пользуются маятником. Ронтри и Тейлор рекомендуют маятник, указывая, что он обладает рядом несомненных преимуществ: он обеспечивает тишину, частота его колебаний не зависит от индивидуальных качеств учителя и может быть изменена путем изменения длины нити1.

2) Прибавление двузначного числа к двузначному с переходом только через десяток:

3) Сложение колонок однозначных чисел:

1 W. F. Roantree, M. S. Taylor, An arithmetic for teachers, 1955, p. 55.

4) Сложение колонок двузначных чисел с переходом только через десяток:

Эта последовательность этапов в обучении сложению с переходом через десяток не является строго обязательной. Она может видоизменяться, скажем, включением примеров на сложение трехзначных чисел, с которыми дети нередко знакомятся еще до начала обучения сложению с переходом1. Так, после сложения двух двузначных чисел с переходом через десяток может быть дано сложение двух трехзначных чисел с переходом через сотню:

а после сложения колонок двузначных чисел с переходом через десяток, а позднее с переходом через сотню — сложение двух трехзначных чисел с переходом через десяток и сотню:

Здесь важно лишь, чтобы по мере включения все новых и новых примеров имел место принцип постепенного усложнения перехода: а) переход только от единиц к десяткам, б) переход только от десятков к сотням, в) переход от единиц к десяткам и от десятков к сотням и т. д.

Указанный выше объем материала дается обычно в третьем классе. Лишь в некоторых случаях сложение с переходом через десяток и сотню переносится в четвертый класс. В дальнейшем ученик встречается со все более «высокими» и более «широкими» примерами. Иначе говоря, число слагаемых в каждом примере и число знаков в каждом слагаемом постепенно увеличивается.

1 R. L. Morton, M. Gray, Е. Springstun, W. L. Schaaf Making sure of arithmetic, 1952, book 3, p. 67.

Несколько слов о приемах проверки действия сложения. Об одном из них — проверке путем выполнения действия в направлении, противоположном первоначальному, мы уже говорили. Укажем еще два1.

1) Цифра единиц высшего разряда, переносимая из одной колонки в другую, при проверке подписывается под этой второй, а затем сложение выполняется еще раз

Здесь проверка достигается тем, что, складывая второй раз, учащийся пользуется новыми фактами. В приведенном нами примере при сложении чисел второй колонки он пользуется сначала фактами 1+8 = 9 (один десяток переносится из колонки единиц), 9+3=12, 2+7=9, а при проверке ему приходится вспомнить 8+3=11, 1+7 = 8, 8+1 = 9.

2) Сложение «столбиком» выполняется обычно в таком порядке: сначала складываются единицы, потом десятки и т. д. Для проверки же этот порядок изменяется на противоположный, причем действие сложения выполняется в два приема. Как это делается, видно из следующего примера:

Здесь также проверка основана на том, что учащемуся приходится применять новые факты. Расхождение в ответах указывает, что где-то допущена ошибка и поэтому сложение должно быть выполнено повторно и более внимательно.

1 G. М. Wilson, Teaching the new arithmetic, 1951, p. 109.

Обучение вычитанию

Обучение вычитанию, как и обучение сложению, начинается с изучения фактов.

Как показывает анализ учебников, данный Вильсоном, порядок изучения фактов вычитания чаще всего встречается следующий:

1) факты с уменьшаемыми, не превосходящими 9;

2) факты с уменьшаемыми, превосходящими 9;

3) факты с вычитаемыми, равными нулю, и с нулями в остатке.

Существуют различные мнения относительно того, как обучать детей фактам вычитания1. Обычно применяются такие методы:

а) Счет с количественным содержанием.

Ученик получает ответ путем счета, вкладывая в числа количественное содержание. Например, для решения задачи: «Было 5 птичек. Две улетели. Сколько осталось?»— ученик откладывает 5 палочек, затем, отсчитав 2 палочки, отнимает их и получает ответ.

б) Обратный счет с порядковым содержанием.

Считая в обратном порядке, ученик вкладывает в числа порядковое содержание, например, седьмой, шестой, пятый и т. д. В этом случае решение предыдущей задачи выглядит так: две птички — пятая и четвертая — улетели; осталось три птички.

в) Прямой счет с порядковым содержанием. Проиллюстрировать этот метод можно таким примером.

Задача. «У доски 5 учеников, а имеется лишь 3 куска мела. Сколько еще нужно кусков мела?»

Решая задачу, ученик считает: мел нужен четвертому и пятому ученикам; следовательно, нужно еще два куска мела.

г) Сопоставление с фактами сложения.

Чтобы найти ответ для случая 5—3 = ?, ученик ставит вопрос в форме: 3 + ? = 5. Вспоминая факт сложения 3 + 2 = 5, он находит, таким образом, что 5—3=2.

Повторяем, что вопрос о том, какой из указанных методов лучше, является спорным. Ронтри и Тейлор по-

1 W. F. Roantree, M. S. Taylor, An arithmetic for teachers, 1955, p. 52.

лагают, что спора здесь не должно быть, так как тот или иной метод должен применяться в зависимости от того, на какой стадии обучения фактам находится класс. Сначала, когда учительница только добивается понимания учениками смысла каждого нового факта, счет имеет большое значение. Но постепенно направление работы изменяется в сторону механического заучивания. И тогда в главной роли выступает метод сопоставления с фактами сложения.

Вооружившись хотя бы несколькими фактами вычитания, ученик переходит к операциям над двузначными и трехзначными числами. Обучение ведется в такой последовательности:

1) вычитание без занимания;

2) вычитание с заниманием только десятков или только сотен;

3) вычитание с заниманием десятков и сотен.

Интересно привести подразделения каждого из указанных этапов, данные Вильсоном1. Признаком, по которому примеры на вычитание относятся к тому или иному подразделению, является число знаков и число нулей в уменьшаемом, вычитаемом и разности.

Этап 1-й (вычитание без занимания) начинается сразу же, как только будут изучены несколько первых фактов. Его возможные подразделения таковы.

а) Числа только двузначные без нулей:

б) Двузначные числа с нулями:

в) Однозначные и двузначные числа:

г) Появление нуля в разности на месте десятков:

1 G. М. Wilson, Teaching the new arithmetic, 1951, pp. 141—144.

д) Числа только трехзначные без нулей:

Этап 2-й подразделяется так.

а) Числа только двузначные без нулей:

б) Уменьшаемое и вычитаемое — двузначные числа; разность—однозначное число:

в) Двузначные числа с нулями:

г) Числа только трехзначные без нулей; занимание десятков:

д) Числа трехзначные без нулей; занимание сотен:

е) Двузначные и трехзначные числа; занимание сотен:

Аналогичные подразделения даются и для третьего этапа — вычитания с заниманием десятков и сотен.

Теперь, когда мы познакомились с порядком обучения сложению и вычитанию в отдельности, интересно посмотреть, какова последовательность прохождения материала при смешанном обучении этим действиям. Ниже воспроизводится схема, данная Ронтри и Тейлор1.

1 W. F. Roantree, M. S. Taylor, An arithmetic for teachers, 1955, p. 43.

Схема показывает три возможных варианта прохождения материала. Первый вариант обозначен арабскими цифрами (1—2—3—...—8), второй — римскими (I—II— III—...—VIII), третий — буквами русского алфавита (А—Б—...—3). Стрелки на схеме показывают логическую последовательность изучаемых операций. Так, операции, обозначенные цифрами 2, 3 и 4, могут быть изучены независимо друг от друга на основе одного лишь знания фактов сложения, операция 2 в свою очередь является основой для изучения операции 5 и т. д.

При обучении вычитанию с заниманием в американской школе пользуются одним из трех методов:

1) метод разложения;

2) метод равных дополнений;

3) аддитивный метод.

Метод разложения является наиболее употребительным. Это объясняется тем, что его легко можно проиллюстрировать, драматизировать и что он естественно вытекает из определения вычитания как разложения большей группы объектов на две меньшие. Сущность его может быть разъяснена на примере, записанном справа. Чтобы выполнить здесь действие вычитания, ученик рассуждает следующим образом:

«Так как 8 единиц нельзя отнять от 3 единиц, берем из 7 десятков 1 десяток и раздробляем его в 10 единиц. Прибавляя эти 10 единиц к 3 единицам, получаем 13 единиц. От 13 отнять 8 получается 5. Записываем 5 на месте единиц. Отнимаем 2 десятка от оставшихся 6 десятков. Получаем 4 десятка. Записываем 4 на месте десятков. Ответ: 45».

Сущность метода разложения легко раскрывается также в широко распространенной форме записи действия вычитания:

В этом заключается еще одно его достоинство. Подобным качеством другие из рассматриваемых методов не обладают.

Решая тот же пример методом равных дополнений, ученик рассуждает так:

«8 единиц нельзя вычесть из 3 единиц. Прибавим поэтому к 3 единицам 10. Получим 13 единиц. От 13 отнять 8, получаем 5. Записываем 5 на месте единиц. Так как 10 единиц были прибавлены к уменьшаемому, то такое же число, т. е. 1 десяток, прибавляем к вычитаемому на месте десятков. Получаем 3 десятка. От 7 отнять 3 — получаем 4. Записываем 4 на месте десятков. Ответ: 45».

Многие методисты считают, что метод равных дополнений трудно объяснить ребенку, особенно в начальной стадии обучения действию вычитания. Однако некоторые достоинства он несомненно имеет. На одно из них указывают, например, Брукнер и Гроссникл1:

«Вычитание с нулями методом равных дополнений должно быть менее запутанным, чем вычитание методом разложения. Используя метод разложения в примере справа, необходимо дойти до тысяч, чтобы раздро-

1 L. J. Brueckner, F. Е. Grossnickle, Making arithmetic meaningful, 1953, p. 254.

бить 1 тысячу в 10 сотен, произвести несколько преобразований и после первого вычитания рассматривать каждый нуль как 9. По методу равных дополнений каждый нуль превращается в 10».

Аддитивный метод в настоящее время применяется очень мало, хотя исторически занимал определенное место в эволюции методики преподавания арифметики. Сторонники этого метода в качестве основного аргумента в его защиту приводят тот факт, что он находит широкое применение у торговых работников (например, отсчитывание сдачи). Сущность его кратко покажем все на том же примере 73—38 = 45. Рассуждаем так: «Сколько единиц нужно прибавить к 8 единицам, чтобы получить 13 единиц? Очевидно, 5 единиц. Сколько десятков нужно прибавить к 2 десяткам, чтобы получить 6 десятков? (4 десятка)». Здесь мы видим, что аддитивный метод дан в соединении с методом разложения. С таким же успехом пользуются им в соединении с методом равных дополнений.

Сделаем критические замечания по рассмотренным методическим приемам, предлагаемым в американских пособиях по методике арифметики для обучения сложению и вычитанию.

1. В своей книге «Психология обучения арифметике» Н. А. Менчинская указывает, что основным педагогическим принципом, провозглашенным Торндайком и примененным им к обучению арифметике, является принцип привития навыка в той форме, в какой он впоследствии будет действовать. «А так как в конечном итоге навык должен приобрести автоматизированный характер и превратиться в прямую связь между восприятием той или иной задачи и результатом, то отсюда следует, по Торндайку, что нужно с самого начала вырабатывать прямую непосредственную связь между условием задачи и результатом. Иными словами, нужно попросту заучивать готовый ответ»1. Эта ошибочная концепция получила в американской школе широкое хождение и во многих отношениях сохранилась до настоящего времени.

Так, мы нигде не находим хотя бы упоминания о вы-

1 Н. А. Менчинская, Психология обучения арифметике (гл. 1 «Критика основных направлений зарубежной буржуазной «психологии арифметики»), Учпедгиз, М., 1955, стр. 16.

числительных приемах при сложении и вычитании подобных тем, какие указываются в советских методиках преподавания арифметики и применяются в практике обучения арифметике в советской школе. Вместо этого как для письменных упражнений, так и для устного счета дается большое количество примеров, решение которых, по-видимому, считают авторы методических руководств и учебников арифметики, и должно обеспечить прочное усвоение материала.

Принцип установления непосредственных связей находим в какой-то мере у Брукнера и Гроссникла.

В своей книге1 они приводят таблицу сложения однозначных чисел с числами второго десятка и говорят, что такая таблица должна быть выучена. Они указывают далее, что аналогичные таблицы могут быть подготовлены для сложения однозначных чисел с числами третьего, четвертого и т. д. десятков, причем работа по ним должна вестись таким образом, чтобы ученик подметил общий прием получения результата сложения. Отмечая, что невозможно назвать то минимальное количество примеров подобного типа, которые обязательно должны быть выучены, Брукнер и Гроссникл в заключение пишут: «Ученик должен выучить столько этих фактов, сколько необходимо для того, чтобы он мог сделать обобщение».

2. Одной из особенностей американской школы является неумеренное увлечение практицизмом2. При критическом отношении к нему некоторые его стороны могут быть учтены в поисках путей связи школы с жизнью. Однако та форма практицизма, которую встречаем при обучении действиям сложения и вычитания, нами, конечно, не может быть принята. Здесь он проявляется главным образом в том, что в ущерб пониманию значительная часть учебного времени посвящается тренировке с целью достижения мастерства в выполнении этих действий. Правда, в последние годы все чаще и чаще наблюдаются попытки вести обучение таким образом, чтобы учащиеся понимали смысл тех операций, которыми

1 L. J. Brueckner, F. Е. Grossnickle, Making arithmetic meaningful, 1953, pp. 244—245.

2 В. А. Вейкшан, О. А. Коган, А. А. Нусенбаум, Содержание образования в элементарной школе США, «Советская педагогика», 1959, № 4.

они должны овладеть. Однако делается в этом направлении очень мало. По-видимому, сама американская действительность, требующая от школы подготовки практиков, для которых глубокая теория и серьезное понимание изучаемого материала — «лишние» вещи, является в этом отношении большим тормозом. В связи с этим нельзя не согласиться с Н. А. Менчинской, которая указывает1, что полное устранение «отупляющей системы дрессировки» в американской начальной школе не может быть осуществлено до тех пор, пока не будут ликвидированы те социальные условия, которые присущи капиталистическому обществу.

3. Выше мы отмечали (стр. 177), что в американской школе при решении примеров ученики обычно не переписывают их из учебников, а на отдельном листе бумаги записывают одни лишь ответы. Затем лист перегибается и то же самое делается для другого ряда или столбца примеров. Этот прием был введен еще Торндайком, который писал по этому поводу следующее:

«Напряжение глаз при списывании чисел за тот же промежуток времени во много раз больше, чем напряжение глаз при чтении. Если ученику приходится последовательно списывать много чисел, то эта монотонная работа способствует тому, что, помимо ошибок, ученик невольно делает и случайные описки, хотя он добросовестно стремится выполнить работу наилучшим образом»2.

С этими соображениями нельзя не согласиться. Следует, однако, учесть, что при таком способе выполнения упражнений затрудняется проверка правильности вычисления как для самого ученика, так и для учителя. Поэтому этот способ целесообразно применять лишь наряду с другими.

4. Заслуживает внимания тот факт, что в американской школе при обучении арифметике, в частности при обучении действиям сложения и вычитания, большая роль отводится играм. Это, несомненно, является поло-

1 Н. А. Менчинская, Психология обучения арифметике (гл. 1, Критика основных направлений зарубежной буржуазной «психологии арифметики»), Учпедгиз, М., 1955, стр. 27.

2 Э. Л. Торндайк, Новые методы преподавания арифметики, 1932, стр. 30.

жительным моментом, так как игры повышают интерес учащихся к изучаемому материалу и помогают активизировать класс. Однако и на характере игр сказывается увлечение узким практицизмом: содержанием многих из них являются упражнения в купле-продаже.

5. В американской школе дается много примеров на сложение столбиком нескольких слагаемых. Этот опыт имеет, несомненно, свои положительные стороны и его можно рекомендовать для использования в советской школе.

6. Заслуживают внимания приемы проверки действия сложения. Из них особый интерес представляет прием сложения в обратном порядке, описанный на странице 183. Ценность его состоит в том, что он дает возможность проверять не только правильность решения примера, но и знание учащимися нумерации.

7. Как на положительный момент в методике преподавания арифметики в американской школе следует указать на хорошо продуманную и тщательно подобранную систему упражнений, обеспечивающую постепенный переход от легких к более трудным вопросам.

Н. Ф. КОПЕЛЕВА

ОБ ОДНОМ ИЗ ФРАНЦУЗСКИХ УЧЕБНИКОВ ПО АРИФМЕТИКЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ СЕМИЛЕТНЕГО ВОЗРАСТА

Во французской начальной школе обучение продолжается 8 лет. Дети в возрасте от 6 до 7 лет занимаются на приготовительном курсе, от 7 до 9 лет — на элементарном курсе (двухгодичном), от 9 до 11 лет — на среднем курсе (двухгодичном).

После окончания среднего курса учащиеся могут поступить учиться в лицей или колледж. Остальные учащиеся еще 3 года учатся в начальной школе: 1 год на высшем курсе (факультативном) и 2 года в выпускном классе.

Учебный год длится 180 дней. По четвергам в школах Франции не учатся.

Арифметикой на приготовительном курсе занимаются ежедневно по 45 минут (3 раза в день по 15 минут), на элементарном курсе — ежедневно по 45 минут (в 2 приема), на среднем курсе—5 часов в неделю.

Во Франции существуют официальные программы для каждого курса начальной школы. На двухгодичных курсах занимаются по одной программе в течение двух лет.

Приводим программу элементарного курса. Программа переведена нами из «Книги по практической педагогике».

Программы и комментированные инструкции. Начальная школа (1-я ступень). Авторы Лебеттр и Вернэй. 1960 г.

Образование чисел от 1 до 20. Таблица сложения.

Нумерация от 1 до 100, затем от 1 до 1000; счет тыся-

чами попутно с изучением обиходных единиц метрической системы: франк, метр, сантиметр, километр, литр, сантилитр, гектолитр, грамм, килограмм (без употребления запятой).

Употребление и выполнение сложения и вычитания.

Устное сложение и вычитание однозначных чисел.

Таблица умножения. Употребление и выполнение умножения и деления (двузначных чисел, не более) в задачах, связанных с текущей жизнью.

Быстрое выполнение умножения и деления на 2 и на 5.

Вычисление площади прямоугольника, размеры которого выражены в сантиметрах и метрах. Месяцы и дни. Часы и минуты.

Практические упражнения в измерении длины в метрах и сантиметрах.

Изучение простых геометрических фигур путем черчения, разрезания, перегиба.

Квадрат, прямоугольник, сетки (разлиновка в клетку), равносторонний треугольник, круг. Прямой угол.

Пользование линейкой, дубль-дециметром (20 см), эккером.

Наблюдение куба.

В отличие от программ, учебники во Франции не стабильные.

В данной статье мы хотим познакомить читателя с одним из французских учебников арифметики для элементарного курса (первый год обучения), написанным авторами:

А. Адам (инспектор школ) ,Э. Оксэнбэн (директор школы) и Т. Гузу (директор школы). Второе издание, 1960 год.

Вот что написал нам г. Адам, один из авторов, к которому мы обратились за разъяснением по некоторым вопросам, возникшим у нас при изучении учебника:

«Эта книга предназначена для ученика. Мы исходили из следующей идеи: не нужно давать в ученической книге все детали хода урока. Это задача учителя, и для него мы выпускаем педагогическую брошюру, дающую примерное содержание и ход некоторого числа уроков.

Мы хотели, чтобы ученик нашел в своей книге сущность полученных результатов, и мы старались дать эти

результаты в возможно более выразительной форме, широко используя иллюстрации.

Эта книга «Элементарный курс. Первый год» предназначена для детей 7—8 лет.

Ученики данного класса пользуются только этим учебником арифметики».

В предисловии к учебнику авторы пишут, что их метод в основном наглядный. Графическое изображение чисел и механизмов действий облегчает восприятие материала (рис. 38).

Иллюстрации даются схематичные («едва менее абстрактные, чем число или слово»), освобожденные от всего, что могло бы отвлечь ученика. Цвета основные, без полутонов.

После предисловия авторы дают помесячное распределение материала и рабочий план, которые мы полностью приводим здесь на страницах 189—193.

Нумерация

Как это видно из помесячного распределения, работа над темами I и II десяток проходит по методу изучения чисел. Большое внимание уделяется составу числа.

Например, при изучении числа 6 даются следующие иллюстрации показывающие, что 6 это: 5 и 1; 4 и 2 и т. д.

Нумерация

Таблицы

Действия

Метрическая система

Геометрия

1 — Числа от 1 до 5 .....(6)1

2 — Числа 6 и 7 .(7)

3 —Числа 8 и 9 .(8)

5 — Больше, меньше, равно 10

6 — Порядковые числит.....(11)

10 —Число 10. Десяток . . . .(17)

11 — Дополнение до 10.....(18)

7 — Смысл сложения ......(12)

8 — Смысл вычитания . . .(13)

4 — Монеты 1с, 2с, 5с . . . .(9)

12 — Сантиметр (19)

9 — Кривые линии. Прямые линии . .(16)

1-я контрольная работа........(14 и 15).

14 —Число 11 . .(21)

15 —Число 12 . .(22)

17 —Числа 13 и 14 ......(26)

18 —Числа 15 и 16 ......(27)

21 — Удвоение. Таблица умн. 2 .(30)

22 — Половина. Знак: . . .(31)

23 —Пары . . .(32)

16 —Грамм . .(23)

13 —Измерения и чертежи .(20)

1 В скобках указаны страницы рассматриваемого учебника.

Продолжение

Таблицы

Действия

Метрическая система

Геометрия

19-Числа 17, 18 и 19.....(28)

20 Число 20 . .(29)

24 —Десятки . .(33)

2-я и 3-я контрольные работы......(24—25 и 34—35).

20 — Числа от 20 до 50 .....(36)

31 — Числа от 51 до 79 .....(42)

32 —Числа от 80 до 99.....

30 — Таблица умн. 5......(41)

26 — Сложение без перех.....(37)

27 — Вычитание без перех. . . .(38)

28 —Литр . .(39)

29 — Вертикальные и горизонтальные линии (40)

4-я контрольная работа........(44—45).

34 — Числа от 1 до 99 .....(47)

37 —Сто. Сотня .(50)

38 —Сотни— . .(52)

35 — Деление на 5 ......(48)

40 — Таблица умножения 4 . . . (56)

33 — Сложение с переходом . .(46)

41 — Смысл умножения ... .(58)

42 — Вычитание с переходом . . (59)

28 —Метр . .(39)

36 — Углы. Прямой угол . .(49)

5-я контрольная работа........(54—55).

Продолжение

Нумерация

Таблицы

Действия

Метрическая система

Геометрия

43 — Деление на 4. Четверть . . (60)

48 — Таблица умножения 3 . . .(68)

58 — Деление на 3. Треть . . .(72)

45 — Вычитание (второе знач.) . .(62)

46 — Деление по содержанию . .(63)

49 — Умножение без перехода . . (69)

53 — Деление с остатком . . . .(73)

47 — Новый франк . . (66—67)

50 — Гектолитр (70)

44 — Квадрат .(61)

51 — Прямоугольник . . .(71)

6-я и 7-я контрольные работы......(64—65 и 74—75).

54 — Числа от 101 до 999 (I) . . .(76)

55 — Числа от 101 до 999 (11) . . .(77)

57 — Таблица умножения 6 . . .(79)

60 — Деление на 6 .....(82)

56 — Умножение с переходом . . (78)

58 — Проверка сложения ... .(80)

59 — Проверка вычитания ... .(81)

61 — Взвешивание. Гири . .(83)

8-я контрольная работа........(84—85).

68 —Тысяча . . .(92)

69 —Тысячи . . .(93)

74 — Числа от 1000 до 2000 . . .(100)

64 — Таблица умножения 8 .. . (88)

67 — Деление на 8 ......(91)

62 — Деление чисел, каждый разряд которых делится без остатка .(86)

70 — Километр (96)

73 — Килограмм .... (99)

66 — Периметр квадрата .(90)

72 — Периметр прямоугольника .....(98)

Продолжение

Нумерация

Таблицы

Действия

Метрическая система

Геометрия

71 —Таблица умножения 9 ... (97)

75—Деление на 9 (101)

63 — / Деление с (87)

65 — [ частичным остатком . (89)

9-я контрольная работа........(94—95).

78 — Числа от 2000 до 9999 . . . .(106)

79 — Таблица умножения 7 . . .(107)

83 — Деление на 7 .....(111)

80 — Умножение трехзначных чисел .....(108)

81 — Счета . . (109)

82 — Деление четырехзначных чисел .....(110)

85 — Умножение на 10, 100, 1000 . (113)

86 — Деление на 10, 100, 1000 . (117)

77 —Время .(103)

84 — Календарь .... (112)

76 —Круг . .(102)

86 — Равносторонний треугольник . .(116)

10-я и 11-я контрольные работы......(104—105 и 114—115).

90 — Проверка табличных результатов умн. и дел. (120)

89 — Стоимость покупки ... .(119)

91 — Умножение на 20, 90 . . .(121)

92 — Умн. на двузн. числа . .(122)

93 — Проверка умнож. ......(123)

88 — Сантиметр .... (118)

12 я контрольная работа (124—125). Годовая контрольная работа (126—127—128).

При изучении чисел I и II десятка решаются примеры и простейшие задачи на сложение и вычитание, но о том, как выполнять эти действия, особенно такие трудные случаи, как сложение с переходом через десяток и др., нигде в учебнике не говорится. Просто с каждым новым числом вводятся готовые примеры на сложение, дающие в сумме это новое число.

Например, при изучении числа 12 после разбора состава числа написано:

«Выучите:

(Стр. 22.)

Таблица сложения в пределах 10 дана в контрольной работе (стр. 24), а в пределах 20 (случаи сложения с переходом через десяток) дана в другой контрольной работе (стр. 24). Эти же таблицы используются для нахождения результатов вычитания.

После чисел I и II десятка изучаются числа от 20 до 50, затем от 51 до 79, от 80 до 99.

После изучения первой сотни изучается первая тысяча, затем числа от 1000 до 2000 и от 2000 до 9999.

Таблицы

Сюда входят таблицы умножения и деления. Таблицы эти даются в иной последовательности, чем у нас, и не концентрируются в одном месте, а изучаются вперемежку с другим учебным материалом на протяжении 7 месяцев.

Таблица умножения на 2 вводится как удвоение (двойное количество).

4 — это двойное количество 2 4 — это 2 раза по 2 6 — это двойное количество 3 6 — это 2 раза по 3 После рисунков (числовые фигуры), иллюстрирующих умножение на 2 двух, трех, четырех, пяти, в учебнике написано следующее:

«Говорят: 2 точки, умноженные на 2, равняются 4 точкам.— Пишут: 2 точки X 2 = 4 точки. Знак «X»—знак умножения. Умножение — это действие». (Стр. 30.)

Умножение связывается со сложением: 5 + 5=10, 5X2= 10. Таблица умножения на 2 в готовом виде дана так:

«Выучите: 2 раза по 1 составляет 2 2 раза по 2 составляет 4 2 раза по 3 составляет 6 2 раза по 4 составляет 8 2 раза по 5 составляет 10 2 раза по 6 составляет 12 2 раза по 7 составляет 14 2 раза по 8 составляет 16 2 раза по 9 составляет 18 2 раза по 10 составляет 20». (Стр. 30.) Через одну страницу после этой таблицы дана таблица умножения двух. Тут же обе таблицы сопоставляются. Примеры 4 X 2 и 2X4 иллюстрируются.

Таблица умножения на 5 вводится одновременно с таблицей умножения пяти. Примеры записываются в столбик

Таблица умножения на 4 также вводится одновременно с таблицей умножения четырех, причем таблица, в которой 4 является множителем, иллюстрирована, а вторая таблица выведена из первой на основе переместительного свойства умножения.

В разделе «Смысл умножения» рассматривается несколько иллюстраций и подписей к ним, устанавливающих связь между сложением и умножением, и делается вывод: «Умножение позволяет быстро найти результат сложения одинаковых чисел». (Стр. 58.)

Таблица умножения на 3. И здесь даны 2 таблицы. Иллюстрируются только 2 случая: 7X3 и 3X7. В начале сказано: «Умножить число на 3 — значит взять эти число утроенным». (Стр. 68.)

С таблицами умножения на 6, 8, 9, 7 учебник знакомит аналогичным образом.

Таблицы деления даются параллельно с соответствующими таблицами умножения.

Сначала вводится деление на равные части, и первые таблицы деления (на 2, на 5, на 4) объясняются как деление на равные части.

Возьмем для примера деление на 2 (стр. 31).

Черта разделила 12 вишен на 2 равные группы.

Черта разделила 12 вишен на 2 равные группы.

6 вишен — половина 12 вишен. Говорят: 12 вишен, разделенные на 2, равняются 6 вишням.

Пишут: 12 вишен : 2 = 6 вишен. Знак «:» — знак деления. Деление — это действие.

Выучите: половина 2—1 половина 12— 6 половина 4 — 2 половина 14— 7 половина 6 — 3 половина 16— 8 половина 8 — 4 половина 18— 9 половина 10 — 5 половина 20 — 10

После таблицы деления на 4 вводится деление по содержанию, и таблица деления на 3 объясняется как деление по содержанию, т. е. как деление по 3.

Таблица для каждого случая составляется одна без различения двух видов деления. Оба вида различаются только в задачах.

Действия

При изучении чисел первого десятка в учебнике разработаны темы «Смысл сложения» и «Смысл вычитания».

Примеры на сложение и вычитание даже с числами первого десятка записываются в столбик

Смысл сложения

На иллюстрированных примерах показывается, в каких случаях выполняется сложение и делается вывод: «Когда добавляют, присоединяют, складывают в кучу, выполняют сложение. Сложение — действие. Знак «+» — знак сложения». (Стр. 12.)

Смысл вычитания

«Чтобы вычислить, сколько остается, когда снимают (с чего-то), вытаскивают, когда разбивают, когда тратят, выполняют вычитание. Вычитание — действие. Знак «—» — знак вычитания». (Стр. 13.)

В разделе «Числа от 20 до 50» показывается сложение и вычитание двузначных чисел без перехода через десяток. Когда заканчивается изучение чисел первой сотни, показывается сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через десяток.

Делается это так (стр. 59):

Первый пример на сложение трехзначных чисел сразу дается с тремя слагаемыми. Тут же объясняется проверка сложения сложением (путем перестановки слагаемых). При сложении трех чисел в столбик знак сложения ставится дважды: около второго слагаемого и третьего слагаемого

На следующей странице дается вычитание трехзначных чисел и тут же проверка вычитания (сложением).

Умножение и деление

Умножение двузначного числа на однозначное с переходом через десяток вводится при изучении первой тысячи. При объяснении этого случая умножения в учебнике показана такая запись:

Деление записывается так:

Вот как объясняются в учебнике некоторые случаи деления:

Материал по изучению метрической системы мер распределен по всему учебнику, так же как и геометрический материал.

Представляет интерес структура учебника. Всего в учебнике 128 стр. Каждая страница посвящена отдельной теме. В очень редких случаях новая тема занимает 2 страницы. Через каждые 8 страниц в учебнике дана контрольная работа, текст которой занимает 2 страницы.

Каждая страница (кроме контрольных работ) начинается с объяснения нового материала. При объяснении широко используются иллюстрации, в основном схематичные. После объяснения даются упражнения (примеры, задачи, задания практического характера) на закрепление. В конце каждой страницы даны упражнения для устного счета под рубрикой «Устный счет».

Иногда задания для закрепления нового материала даются в такой форме, которая облегчает работу детей. Например, после объяснения деления вида: 13412 даны такие примеры в упр. 1:

После объяснения умножения на двузначное число в упр. 1 даны примеры с такой записью:

Несколько слов о задачах. Они часто иллюстрируют какое-либо действие. Почти все задачи в учебнике простые, а если и встречается составная задача, то к ней дается план решения.

Отметим, какие стороны учебника нам представляются отрицательными.

1. В учебнике нашел отражение «метод изучения чисел». Это выражается в том, что не только первый десяток, но и вся первая сотня, в отличие от нашей методики, преподносится по этому методу, т. е. предлагается изучать каждое число до 20 в отдельности, а дальше изучать группы чисел 20—50, 51—79, 80—99. Параллельно с числами изучаются действия над ними в пределах данного числа или данной группы чисел.

2. Теоретический материал в учебнике представлен слабо. Многие выводы делаются на недостаточном количестве фактов.

3. Обучению решению задач уделяется мало внимания. Все задачи очень легкие. Содержание многих задач связано с темой «купли-продажи».

Но наряду с отрицательными сторонами в учебнике много положительного.

В учебнике даются подробные объяснения вычислительных приемов. Эти объяснения всегда сопровождаются очень выразительными иллюстрациями, помогающими осмыслить новый материал.

Удачные иллюстрации даны не только к новому материалу, но и к упражнениям для закрепления.

Мысль авторов учебника, что иллюстрации должны быть схематичными, чтобы внимание детей не отвлекалось ненужными деталями, заслуживает одобрения.

Все эти положительные стороны могут быть использованы как составителями учебников арифметики для начальной школы, так и учителями.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.............. 3

Совершенствование методов начального обучения математике— Л. Н. Скаткин . ........ 5

Об изучении знаний и навыков по арифметике у детей, поступающих в I класс — Л. И. Тарасова......26

О приеме противопоставления при обучении решению задач в III классе — Т. К. Жикалкина.......32

Составление и решение задач с жизненно практическим содержанием— В. Н. Дерюшев.........51

Формирование геометрических представлений у учащихся I класса — С. Л. Альперович.......67

Обучение измерениям «на глаз» и «на руку» в начальных классах— П. С. Исаков...........80

Об использовании некоторых идей программированного обучения в преподавании арифметики в начальных классах — Н. Ф. Копелева...........94

Программированное обучение и первый русский учебник арифметики для самообучения— В. Н. Дерюшев . . . 111

Использование дидактического материала и игр при обучении арифметике в I классе — Н. В. Огаркова.....125

Приемы устных вычислений и их обоснование — С. П. Алексахин ..............141

Методика обучения действиям сложения и вычитания в американской школе — П. С. Исаков.......164

Об одном из французских учебников по арифметике для детей семилетнего возраста — Н. Ф. Копелева.....187

МЕТОДЫ НАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Редактор П. С. Комиссарова. Переплет Г. С. Богачева. Художественный редактор В. С. Эрденко. Технический редактор D. Ф. Егорова. Корректор Г. К. Храпова. Сдано в набор 7/IX 1964 г. Подписано к печати 24/XII 1964 г. 84 X IO8V32. Печ. л. 6,25(10,5). Уч-изд. л. 9,34. Тираж 35 000 экз. Пл. 1965 г. № 229. А 11664. Заказ 458.

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва, За проезд Марьиной рощи, 41

Типография издательства «Звязда». Минск, Ленинский пр., 79.

Цена без переплета 25 к. Переплет 10 к.