МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

ПРОСВЕЩЕНИЕ • 1965

С. А. ГАСТЕВА, Б. И. КРЕЛЬШТЕЙН, С. Е. ЛЯПИН, М. М. ШИДЛОВСКАЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

под общей редакцией С. Е. ЛЯПИНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва 1965

Книга рекомендована к изданию Учебно-методическим Советом Министерства просвещения РСФСР

Предлагая настоящую книгу вниманию учителя, мы не ставили перед собой задачу осветить подробно все вопросы преподавания математики. Более полно в ней разобраны те разделы, которые являются для восьмилетней школы новыми, и те, которые потребовали нового освещения и методического подхода в связи с перестройкой школы. Авторы старались приблизить изложение всех вопросов преподавания математики к запросам учителя; в основу изложения некоторых вопросов положен опыт лучших учителей, получивший одобрение у широкой педагогической общественности.

Книга рассчитана в первую очередь на молодых учителей; она может служить также учебным пособием по методике преподавания математики для студентов педвузов.

Общая методика математики написана Б. И. Крельштейном, кроме параграфов 3, 5, 11, 27 и 28, написанных С. Е. Ляпиным, и параграфов 7 и 16, написанных А. И. Поспеловым.

Методика арифметики написана С. А. Гастевой.

В методике алгебры главы I, III, IV принадлежат Б. И. Крельштейн у, главы II, V и VI — С. Е. Ляпину.

Методика геометрии написана М. М. Шидловской, кроме главы III, написанной М. А. Щукиной, параграфов 18 и 24, написанных X. Б. Абуговой, и параграфов 10 и 24, написанных Б. И. Крельштейном.

Общая редакция принадлежит С. Е. Ляпину.

Авторы приносят благодарность Е. С. Березанской и П. А. Буданцеву, внимательно просмотревшим всю рукопись и давшим ряд ценных указаний, и всем, принявшим участие в предварительном обсуждении книги, Авторы с искренней признательностью примут все указания и пожелания читателей и учтут их в последующей работе над книгой.

ВВЕДЕНИЕ

Советская педагогика, руководствуясь общим учением марксизма-ленинизма о коммунистическом воспитании молодежи, выработала ряд принципов обучения детей. Эти принципы касаются отбора учебного материала, его изложения, методов обучения, организации занятий и т. д.

При обучении математике необходимо руководствоваться этими основными положениями педагогики. Методика математики должна решить следующие три основные задачи.

1. Что должно составлять содержание математики как учебного предмета в советской средней школе и каковы цели изучения математики в целом и каждого из разделов предмета.

2. В какой последовательности должен быть расположен учебный материал математики при изучении его в школе.

3. Какие методы и приемы являются эффективными для наиболее полного и глубокого изучения учебного материала математики.

Методика математики, опираясь на опыт советской школы, устанавливает, что лучше всего в курсе элементарной математики служит общему и математическому развитию учащихся, что способствует более глубокому развитию у них материалистического мировоззрения, что служит подготовке учеников к практической деятельности. Методика математики выясняет, какие методы и формы организации обучения математике обеспечивают учащимся наиболее прочные систематизированные и сознательные знания и навыки, установленные программами, какие разделы школьного курса наиболее сложны и как облегчить учащимся усвоение этих разделов. Методика математики занимается систематизацией упражнений и задач, классификацией их по степени трудности и важности; устанавливает характер контрольных вопросов и задач, которые позволяют с максимальной объективностью и достоверностью проверять знания и навыки учеников; изучает, какой материал из истории развития математической науки способствует уяснению учениками предмета и освещает роль русских математиков в развитии науки; изучает и обобщает лучший опыт учителей математики.

Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых — математиков и педагогов.

Большинство из них защищало передовые методические принципы: сознательность обучения, развитие самостоятельной работы учащихся, жизненность учебного материала; они вели активную борьбу с проникновением в русскую школу реакционных взглядов некоторых иностранных педагогов.

Академик С. Е. Гурьев (1764—1813), А. Н. Острогорский (род. в 1840 г.), В. А. Латышев (1850—1912) разработали основы прогрессивной методики геометрии, исходя из материалистических взглядов на геометрию. Так, А. Н. Острогорский писал, что «понятие идет за наблюдением, что оно имеет в основании своем мир реальный, существующий» (Материал по методике геометрии, 1884, стр. 8). Вопросами преподавания алгебры занимались А. Н. Страннолюбский (1839—1903), В. П. Шереметьевский (ум. в 1919 г.), К. Ф. Лебединцев (1872—1925). Большое влияние на постановку преподавания математики оказали выступления и работы академиков П. Л. Чебышева (1821—1894), В. Я. Буняковского (1804—1889), М. В. Остроградского (1801 —1861). Последний написал учебник элементарной геометрии, конспект по тригонометрии и ряд статей, посвященных вопросам преподавания математики в средней школе.

Вопросы преподавания математики постоянно обсуждались на страницах специальных журналов, из которых наибольшей известностью пользовались: «Вестник опытной физики и элементарной математики» (издавался до 1917 г.), «Математическое образование» (издавался с перерывом с 1912 по 1930 г.) и др. Многие статьи этих журналов представляют интерес и до настоящего времени.

Большое влияние на преподавание математики в средней школе оказали работы I Всероссийского съезда преподавателей математики (Петербург, 1911) и II съезда (Москва, 1913).

Великая Октябрьская социалистическая революция открыла широкую возможность разработки вопросов преподавания математики на основе наиболее передовых идей, многие из которых принадлежат прогрессивным представителям нашей отечественной математики. Из этих идей наиболее важными являются: идея функциональной зависимости и учение о функции, развитие понятия числа, идея преобразований, освещение математического материала с позиций диалектического материализма, проблема связи теории и практики, вопрос о развитии инициативы учащихся.

В советское время вопросам преподавания математики в средней школе уделяют внимание многие ученые математики кашей страны.

В разработке методики преподавания математики участвует широкий круг ученых, методистов и учителей, которые печатают свои работы и делятся опытом на страницах журнала «Математика в школе» и различных методических сборников.

Часть первая

ОБЩАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ

ГЛАВА I

МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ

§ 1. О задачах советской школы и целях преподавания математики

Особенность общего образования в нашей стране заключается в том, что оканчивающий школу прежде всего должен быть готовым стать в ряды строителей коммунистического общества, отчетливо понимать политические и хозяйственные задачи Советского государства, определенные Программой Коммунистической партии и Советской конституцией. Каждый оканчивающий школу должен владеть установленным в учебной программе объемом общеобразовательных знаний и обязательно уметь полученные знания прилагать в жизни, иметь навык самостоятельно работать с книгой, уметь трудиться настойчиво, упорно и целеустремленно с сознанием ответственности за качество своей работы.

С первых лет после Великой Октябрьской социалистической революции Коммунистическая партия Советского Союза и Советское правительство постоянно заботятся о постановке коммунистического воспитания и обучения детей в школе и о путях развития школы.

Советская школа всегда развивалась на основе марксистско-ленинского принципа — соединения обучения с производительным трудом. Это направление развития советской школы принимало различные формы, но принцип сохранялся. Особо важную роль стал играть этот принцип в годы бурного роста техники и всех отраслей народного хозяйства нашей страны, когда потребовались многочисленные кадры образованных специалистов и рабочих, когда стали стираться грани между умственным и физическим трудом.

Задачи советской школы сформулированы во многих партийных документах.

Наиболее четко и ясно они выражены в Программе Коммунистической партии Советского Союза, принятой XXII съездом КПСС 31 октября 1961 г.

В Программе сказано: «Переход к коммунизму предполагает воспитание и подготовку коммунистически сознательных и высокообразованных людей, способных как к физическому, так и умственному труду, к активной деятельности в различных областях общественной и государственной жизни, в области науки и культуры (Материалы XXII съезда КПСС, Госполитиздат, М., 1961, стр. 413).

Дальше в ней указано, что обучение и воспитание подрастающего поколения должно быть тесно связано с жизнью, с производительным трудом. Это позволит человеку после окончания школы сразу включиться в производство и сочетать работу с дальнейшим обучением и образованием в соответствии со своим призванием и потребностями общества.

«Народное образование, основанное на таких принципах, будет способствовать формированию всесторонне развитых членов коммунистического общества, решению одной из важнейших социальных проблем — устранению существенных различий между умственным и физическим трудом». (Там же.)

Среди основных задач в области народного образования Программа КПСС отмечает, что среднее образование должно обеспечивать прочное знание основ наук, усвоение принципов коммунистического мировоззрения, трудовую и политехническую подготовку в соответствии с возрастающим уровнем развития науки и техники, с учетом потребностей общества.

Бурное развитие науки и техники вызывают необходимость совершенствования мастерства работающих на производстве, повышения их квалификации, что непосредственно зависит от общеобразовательной подготовки в области общественных и естественных наук и особенно в области математики.

Из указанных в Программе КПСС общих задач вытекают и стоящие перед предметом математики общеобразовательные и воспитательные цели и задача подготовки учеников к практической деятельности.

Общеобразовательные цели. Сообщить ученикам определенный круг знаний, позволяющих понимать количественные отношения и зависимости простейших явлений реального мира и разбираться в формах его. Эти знания должны содействовать воспитанию у школьников марксистско-ленинского мировоззрения, развивать логическое мышление и пространственное воображение их.

Приобретаемые учениками знания должны дать им достаточно ясное представление о математике как науке и подготовить их к изучению дальнейшего курса математики. Математические знания должны помогать им овладеть основами производства. В процессе обучения школьники должны овладеть простейшими вычислительными навыками, научиться обрабатывать самостоятельно получаемые данные при различного рода измерениях, уметь проверять достоверность получаемых сведений, то есть овладеть научными методами доказательства и контроля. Вместе с этим ученики должны получить навык в постановке и проведении некоторых несложных исследований.

Изучение предмета математики в школе не ограничивается задачей передать ученикам определенную сумму готовых знаний и навыков. Эти знания и навыки должны стать основой математического развития и воспитания учащихся. Требовать от учеников ясных количественных и пространственных представлений нельзя без того, чтобы они умели абстрагировать, то есть пользоваться основным методом математики (примером может служить учение о функции). У школьников надо воспитывать умение систематизировать понятия и предложения, выделять из них существенно важные для построения общей схемы, установления общей закономерности (например, теорема Виета). Кроме того, ученики должны уметь анализировать данный вопрос, вычленять из него частные случаи с учетом того, насколько частный случай исчерпывает все возможности (например, сравнение по величине а5 и а3). В задачу математического воспитания входит и приучение учеников к полноценной аргументации. В процессе разбора различного рода законов необходимо сосредоточивать их внимание на требовании полного доказательства и объяснения, не оставляя возможности возражать или сомневаться в заключениях. Принцип полноценной аргументации доказательств требует борьбы против неправомерных обобщений на основании отдельных фактов, борьбы за полноту дизъюнкции, то есть рассмотрения всех возможных разновидностей данной ситуации, борьбы за полноту и выдержанность классификации по одному признаку и единому принципу.

Изучение математики должно содействовать развитию логики умозаключений и на этой основе выработке грамотной речи, точности и лаконичности выражения мысли. В изложении математического материала нельзя допускать многословия; здесь особенно важно поставить каждое слово на свое определенное место.

Для выражения конкретных зависимостей, сокращенного обозначения чисел и действий математика пользуется условными символами. Научить учеников выражать мысли на языке

математических символов и, наоборот, переводить с языка алгебры на родной язык — это задача первостепенной важности и не столь простая, чтобы ее не выделить в общем перечне задач, стоящих перед учителем.

Воспитательные цели. Важной задачей преподавания математики является воспитание у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, чувства советского патриотизма и национальной гордости. На уроках математики нужно показать, что основной движущей силой развития математики является производственная деятельность людей и что все объекты, изучаемые в школе, заимствованы из реального мира. Овладение идеей функциональной зависимости в школьном курсе математики развивает у учеников диалектическое мышление. Задачи, материалом для которых являются факты из жизни, воспитывают любовь и чувство гордости за нашу страну, страну строителей коммунистического общества.

Работа на уроках математики больше, чем работа на уроках любого предмета, должна приучить ученика к настойчивости, упорству, аккуратности, точности, контролю за своими выводами и суждениями, воспитать требовательность и четкость в суждениях.

Преподавание математики должно воспитывать у школьников самостоятельность, инициативу, творческие способности.

Ученик с первых дней занятий по математике получает возможность делать самостоятельные выводы, сначала в результате наблюдений, а позже на основе логических доказательств. Естественно, что преподаватель математики ставит перед собой задачу пробудить у детей интерес к самостоятельным поискам, открытиям и выводам, развить у них пытливость.

Сосредоточенное внимание требуется во всех областях знания, а в математике малейшая невнимательность может стать источником крупных ошибок; таким образом, сам предмет математики воспитывает у учащихся внимание.

Подготовка к практической деятельности при обучении математике состоит в том, чтобы учащиеся приобрели умение и навыки прилагать теорию к практике, то есть использовать знания для решения математических вопросов и задач, возникающих в повседневной жизни в быту и в производственных процессах. Для этого учащиеся должны научиться выделять математическую сторону наблюдаемого явления, жизненного факта и относить его к соответствующему кругу понятий, математических зависимостей и законов. Ученики должны научиться пользоваться инструментами и приборами для измерения, таблицами, справочниками, графиками и логарифмической линейкой для вычислений.

§ 2. Математика как наука и как учебный предмет

Математика, изучаемая в средней школе, значительно отличается от математики как науки. Различие между учебным предметом математики и наукой не только количественное, но в значительной степени качественное.

Чтобы установить общее и различное в математике как науке и в математике как в учебном предмете, надо определить содержание и основные методы их.

Наиболее общий ответ на вопрос, что такое математика как наука, мы находим у Ф. Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира...»1 Характерной особенностью математического метода является его абстрактность.

Школьный предмет математики занимается изучением вопросов и законов из различных областей математической науки: теоретической арифметики, теории чисел, высшей алгебры, анализа, логического курса геометрии и др.

Но разница между наукой и предметом в следующем: усилия науки направлены к тому, чтобы отыскать и установить возможно полнее и глубже математические законы, которые отражают количественные отношения и пространственные формы реального мира. Математика же как школьный предмет имеет целью сообщить ученикам знания, добытые наукой.

Математика как наука не считается со сложностью устанавливаемых ею законов и с уровнем развития тех, кто будет изучать эти законы. При обучении математике приходится считаться с возрастными особенностями детей и подростков. Ученики по своим возрастным особенностям не всегда могут усвоить и представить себе многое из установленного математической наукой, например, сложные пространственные формы, многие зависимости между величинами и т. д.

Для учеников младших классов средней школы недоступны некоторые зависимости даже между целыми числами. Так, например, учащимся V—VI классов недоступна теорема об общем признаке делимости чисел, поэтому в школе изучаются только немногие следствия из этой общей теоремы. Таким образом, возникает необходимость отбора основного и важного, но при этом вполне доступного для понимания учащимися материала.

Для математики как науки не всегда существенно, как исследователь пришел к открытию той или иной математической истины, важно само доказательство ее. В школе же имеет огромное значение подход к введению нового понятия или закона,

1 См. [11].

выбор формы изложения математического предложения. Поэтому приходится проводить подготовительную работу с учениками, чтобы облегчить им понимание изучаемого материала.

Часто, вводя новые понятия или изучая математические зависимости, приходится связывать их с имеющимися у детей представлениями, вызывать у них ассоциацию рассматриваемого математического факта с жизненным явлением.

Доказательство теорем, следующих друг за другом и вытекающих одна из другой, без обращения к опыту учащихся, обычно непонятно им. Степень понимания повышается, когда доказательству теоремы предшествует решение задач, рассмотрение свойств конкретных фигур. В этих случаях ученики начинают понимать необходимость доказательства и самый ход доказательства.

Математика как наука строится и развивается в определенной системе; она вскрывает законы, необходимо вытекающие один из другого в определенной строгой последовательности. Изложение математических предложений в науке часто начинается с принятия за истинные (верные) некоторых основных положений, проверенных многовековым опытом и практикой. Эти первоначальные истины (аксиомы) принимаются в науке без доказательств. Так, в арифметике натуральных чисел приняты без доказательства четыре аксиомы Пеано1, которые оказываются достаточным основанием для вывода всех законов арифметики при помощи логических рассуждений. В геометрии Евклида принято без доказательства положение, что «через точку вне прямой можно провести только одну параллельную данной прямой», и на основе этого положения путем рассуждений установлено большинство свойств геометрических фигур и тел. Приняв некоторые положения без доказательств как основные, все остальные суждения в математике выводятся из основных по правилам логики.

Учебный предмет математики, представляющий собой основу науки, не может чрезмерно упрощать и нарушать принятую в науке систему. Поэтому в обучении математике логические обоснования и рассуждения должны занимать большое место, особенно в старших классах. Однако в школе приходится считаться с уровнем развития учеников и некоторые положения, которые могут быть доказаны, принимать за верные на основании здравого смысла, но при этом не нарушая последовательности изучения математической теории.

Математика — живая и развивающаяся наука. С развитием и углублением познания человеком действительности постоянно расширяется диапазон научных знаний, вместе с этим совершен-

1 См. [12], гл. III, стр. 133.

ствуются и методы познания действительности. Об этом свидетельствует история развития математики1.

В настоящее время математическая наука занимается не только количественными отношениями и пространственными формами, но и другими проблемами, например проблемами исчислений (тензорное, вариационное, исчисление высказываний, что составляет предмет математической логики).

Что касается метода, то математика на современном этапе своего развития изучает объекты с точностью до изоморфизма; иначе говоря, современная математика не изучает объекты в их конкретном виде, а изучает только структуру отношений, в которых они выступают. Геометры прошлых веков в логическом развитии теории опирались на рассмотрение некоторой области объектов, и потому получаемые ими выводы описывали свойства только объектов этой области. В настоящее время ради общности получаемых результатов математики пользуются формальными обоснованиями теории.

На основе такой концепции доказанные теоремы выражают некоторые свойства, присущие объектам различных областей, лишь бы эти объекты имели тождественную структуру отношений. При такой концепции, например, метод координат Декарта позволяет пространство Евклида изоморфно отобразить на область операций линейной алгебры; примером использования изоморфизма может служить связь современной алгебры и топологии. Концепция изоморфизма вызвала к жизни задачу изучения общих свойств произвольных множеств — теорию множеств как фундамент каждой математической дисциплины.

Таким образом, в науке характерной особенностью метода является не только его абстрактность, но и общность. В учебном предмете ни абстрактность, ни тем более общность не могут быть доведены до той степени, до какой они доведены в науке.

Учащиеся восьмилетней школы, конечно, обладают способностью мыслить логически, но их логическое мышление нуждается в развитии, и оно повышается по мере продвижения из класса в класс. Ученики V—VIII классов школы трудно воспринимают абстрактные формулировки, нуждаются в объяснениях и примерах. Усвоение этих формулировок растягивается на некоторый период. Поэтому, например, в алгебре нельзя начинать доказательство теоремы, не разобрав предварительно ряда подготовительных примеров, а в некоторых случаях приходится даже ограничиться только примерами.

В научном курсе прочность построения теории вполне обеспечивается дедукцией, в учебном изложении эта прочность

1 См. П. С. Александров, Математика как наука, М., Известия АПН РСФСР, 1958, вып. 92.

часто достигается посредством указания прямых и обратных взаимных связей между ранее установленными и вновь рассматриваемыми законами. (Это вызывает необходимость повторять пройденное.)

Математическая наука способна развиваться неограниченно, об этом говорит история развития науки. В школьном преподавании указываются «пределы» изложения математических знаний; эти пределы определены программой. Программы в зависимости от различных условий меняются, но на каждом этапе изменения определяют предмет математики, перечисляя вопросы, подлежащие изучению в школе, и, правда несколько схематично, определяют глубину изучения основных математических идей.

Таким образом, наука и предмет математики во многом не совпадают, но вместе с этим они тесно связаны. И хотя развитие математики идет в области очень сложных построений и потому отразить ее движение и современное состояние в учебном предмете чрезвычайно трудно, все же учитель должен стремиться при каждом удобном случае эти связи выявлять и подчеркивать современные идеи науки. В арифметике в этом направлении можно сделать немного, а именно: можно кое-что рассказать из области «высшей арифметики» — теории чисел; например, в связи с изучением простых чисел весьма ценно познакомить учеников с тем, что еще до сих пор до конца не найден закон распределения этих чисел. Но за последние двести лет в этой области сделан ряд открытий, особенно русскими математиками. Знакомство с этими открытиями поможет учащимся представить ход развития науки. Конечно, в весьма элементарной форме, на примерах, следует рассказать ученикам о «догадке» X. Гольдбаха (члена Петербургской академии наук), заключающейся в том, что «любое натуральное число, большее пяти, представляет собою сумму трех простых чисел», о «догадке» Л. Эйлера (члена Петербургской академии наук) о том, что «всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собою сумму двух простых чисел». Эти догадки подтверждались непосредственной проверкой, доведенной до числа 9 000 000, но не были доказаны в общем виде; таким образом родилась знаменитая задача Гольдбаха — Эйлера.

Вероятно, с большим интересом ученики отнесутся к сообщению о том, что великий русский математик П. Л. Чебышев впервые доказал теорему о том, что «между любым натуральным числом (не равным единице) и его удвоением всегда находится хотя бы одно простое».

С удовольствием воспримут ученики рассказ учителя о доказательстве советским ученым Л. Г. Шнирельманом (1930) теоремы: «Существует такое постоянное число что всякое на-

туральное число, кроме 1, может быть представлено в виде суммы не более чем k простых слагаемых».

Наконец, как открытие мирового значения следует осветить работу советского академика И. М. Виноградова, решившего почти полностью в 1937 г. задачу Гольдбаха — Эйлера, доказав теорему: «Всякое достаточно большое нечетное число есть сумма трех простых чисел». Из этого следует, что всякое достаточно большое четное число есть сумма четырех простых чисел1.

В алгебре учебный предмет наиболее тесно связывается с современной математической наукой через понятие функции; поэтому это понятие должно постоянно находиться в поле внимания учителя.

В алгебре можно сочетать формальное и функциональное начало в изучении ряда вопросов. Например, в теме «Тождественные преобразования алгебраических выражений» надо учить не только этим преобразованиям, но и не опускать возможности показать функциональную природу этих выражений.

Математическая наука, являясь наиболее абстрактной среди других наук, не теряет связи с практикой.

Идея плодотворности связи математической теории с практикой наиболее четко была высказана акад. П. Л. Чебышевым. Вот что он писал в статье «Черчение географических карт»: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных».

Наши советские ученые, в том числе и математики, постоянно стремятся удовлетворить потребности промышленности, сельского хозяйства и строительства. Так, в период Великой Отечественной войны, в период восстановления и реконструкции народного хозяйства математики оказали огромную помощь в перестройке промышленности и сельского хозяйства, известно, каких научных высот наши ученые достигли в освоении космоса.

Потребности экономики, техники, сельскохозяйственной практики, биологической, медицинской и многих других наук, стремление проникнуть в космические миры и изучить их, выдвинули ряд проблем, которые не могут быть решены без математической обработки. А это вызвало к жизни новые математические дисциплины: кибернетику, теорию информации, линейное программирование, теорию игр и др.

Современные программы математики для восьмилетней школы не содержат вопросов из этих новых дисциплин.

Надо остановиться еще на том, как освещаются научные знания с идеологической стороны.

1 См. [119].

Идеалисты в борьбе с материалистами пытаются использовать абстрактный характер математической науки, чтобы обосновать свою «теорию». Так, немецкий философ Дюринг считал, что математику можно вывести прямо из головы, не прибегая к опыту из внешнего мира. Развитие математики, с точки зрения идеалистов, никак не связано с общими историческими условиями развития общества, не зависит от открытий и развития других наук, математика совершенствуется сама по себе.

В свое время Ф. Энгельс, а затем В. И. Ленин, в своей работе «Материализм и эмпириокритицизм», разоблачили реакционность философских взглядов идеалистов. Вся история развития математики показывает несостоятельность положений идеалистов. Тот факт, что математика занимается изучением законов реального мира в наиболее общем виде, отвлекаясь от конкретных фактов, не делает ее наукой, независимой от действительности. Известно, что развитие капитализма поставило перед науками ряд важных проблем. Решение их зависело от астрономии, механики, физики и математики, которая должна была обобщить подмеченные законы реальной действительности. Именно в этот период математика значительно продвинулась вперед и обогатилась рядом открытий, вызвавших к жизни аналитическую геометрию, дифференциальные и интегральные исчисления.

Как показано выше, и на современном этапе важнейшим движущим фактором развития математики является прогресс производительных сил. В изложении учебного материала этот фактор развития математики должен освещаться с достаточной полнотой.

В математике как науке все явления окружающего мира рассматриваются в их развитии и движении, то есть с диалектической точки зрения. Такой взгляд позволяет правильно и наиболее глубоко вскрывать сущность явлений. В школьном курсе математики развитие такого взгляда в известной мере обеспечивается подходом к изучению учебного материала. Так, например, в геометрии свойства отдельных фигур изучаются в свете геометрических преобразований, в алгебре свойства функций изучаются при различных условиях изменения функций и т. д.

§ 3. Преподавание математики при политехническом обучении

Обучая школьников математике, надо достичь того, чтобы ученики видели математику в жизни и применяли ее к решению практических задач.

При политехническом обучении особое внимание должно быть обращено на решение задач, взятых из жизни, и на усиление некоторых разделов математики, имеющих применение в технике и быту.

Мы думаем, что практическое применение математики не должно составлять какого-то особого раздела, а органически входить в каждую тему.

Остановимся на этом несколько подробнее.

Данные, которые встречаются в задачах, должны соответствовать действительности, а все расчеты проводиться по правилам, установленным в математике.

К сожалению, не все авторы задачников соблюдают эти требования. Приведем несколько примеров.

1. Для приготовления булок было взято 36 кг муки, припек был равен */б веса муки. Сколько выпечено из этой муки булок, если каждая весит 150 г?

Как известно, припек в среднем равняется 35%, а не -,

2. Колхозник привез для продажи на базар 366 кг 120 г помидоров...

Здесь 120 г вряд ли стоит принимать ео внимание,

3. Вместимость бака 1276 — л...

Ясно, что — л и даже 6 л не имеют существенного значения для емкости такого бака.

Авторам задачников эти данные нужны были для того, чтобы задачи стали более полноценными в математическом отношении, а «жизненность» задач в этих случаях пострадала.

2. Всякая задача с практическим содержанием должна быть полноценной в математическом отношении. Приведем пример.

Стержень длиною L=2000 мм был сварен из двух различных марок стали: сталь 1Х18Н97 с коэффициентом линейного расширения а1=17-10~6 и сталь 20 с коэффициентом линейного расширения а2 = 12,1 • Ю-6. После сварки стержень проточили по наружной поверхности. В дальнейшем потребовалось определить положение сварного шва, так как он стал незаметен после проточки, то для этого поступили следующим образом: стержень нагрели до температуры / = 200° С и измерили его температурное удлинение, которое оказалось равным AL = 0,58 мм. По имеющимся данным необходимо определить длину каждого из участков стержня.

Математическое содержание задачи

Нам кажется, что ученик затратит много усилий на понимание содержания задачи, в то время как ценность данной задачи в математическом отношении невелика.

Мы вовсе не возражаем против технических терминов, но в восьмилетней школе марка стали 1Х18Н97 мало что говорит ученику, а в то же время подобные термины затемняют смысл задачи.

3. Задачи должны соответствовать развитию и интересам учащихся и быть доступны пониманию.

Задачи на социально-экономические темы всегда интересуют учащихся и имеют весьма важное воспитательное значение (см. § 5). Заметим, что не следует, если это не потребуется в дальнейшем, приводить устарелые данные, например приводить урожай зерновых культур 1935 г., если не сравнивать его с урожаями более позднего времени.

Задачи жизненного характера попутно должны давать ученикам полезные сведения.

Приведем несколько примеров.

1. Из одной тонны пшеницы можно получить крупу полтавскую, пшеничные хлопья и кормовые отходы, причем число килограммов полтавской крупы относится к числу килограммов пшеничных хлопьев и к числу килограммов кормовых отходов как 63 : 95 : 42. Сколько килограммов каждого вида продуктов можно получить из тонны пшеницы?

2. Определить площадь и кубатуру квартиры, состоящей из трех комнат, коридора и кухни, если размеры одной комнаты 6 ж на 4,8 ж, второй 5,2 м на 3,2 ж, третьей 6 ж на 3,5 ж, размеры кухни 4 ж на 3 ж, длина коридора 11,5 ж и ширина 1,7 ж, площадь ванной и уборной 8 кв. ж, высота помещения 3,2 ж.

Вообще следует приучать школьников производить все расчеты, которые встречаются в их жизни. Например, после окончания четверти сами ученики должны подсчитать число одинаковых оценок по каждому предмету и найти процентное отношение отличных, хороших и т. д. оценок к числу всех оценок, средний балл и т. д.

3. Скорый поезд выходит из Ленинграда в 22 ч 15 мин и прибывает в Москву в 9 ч 35 мин. Расстояние между Москвой и Ленинградом 651 км. Определить среднюю скорость поезда.

Решение. Время движения поезда

(24 ч+9 ч 35 мин) — (22 ч 15 мин) = 11 ч 20 мин.

Средняя скорость поезда

а) Поезд имел остановки на станциях: Малая Вишера — 12 мин, Бологое— 15 мин, Калинин — 13 мин.

Определить среднюю скорость поезда без остановок (техническую скорость),

Решение. Время движения равняется

11 ч 20 мин— 40 мин = 10 ч 40 мин.

Скорость будет

Примечание. Не следует в данной задаче перечислять станции, на которых поезд имел остановку: это отвлечет внимание учащихся. Достаточно указать, что продолжительность остановок равнялась 40 мин.

В VIII классе можно предложить следующую задачу.

4. Скорость скорого поезда на дороге Москва — Ленинград в связи с укреплением дорожного полотна и повышением мощности электровоза может быть увеличена на 50 км/ч. Тем самым можно сократить время пробега на 2 ч 10 мин. Определить первоначальную скорость скорого поезда (расстояние от Москвы до Ленинграда ~ 650 км).

Решение.

Аналогичные задачи можно составить на движение пароходов, автобусов и т. д. Приведенные задачи имеют преимущество над обыкновенными задачами: «Поезд вышел из пункта А в пункт В и т. д.», ибо учащиеся знакомятся с фактическими расстояниями между городами, с действительными скоростями и временем движения поездов.

Примечание. В зависимости от территориального расположения школы можно взять расстояние от Москвы до данного города или до ближайшего областного центра.

4. Как мы уже указали, графики, таблицы, счетная линейка имеют особое значение при изучении математики в политехнической школе.

Заметим, что графики должны не только служить для иллюстрации некоторых математических положений, но и быть орудием так же, как и логарифмическая линейка, для вычислений. Не следует откладывать использование графиков и простейших номограмм до того момента, как их можно полностью обосновать.

Применение графиков для вычислений можно показать в младших классах, добавив, что обоснование будет дано несколько позднее. Приведем пример.

1. Найти неизвестный член пропорции 4,5 : 2,1 =х : 3,5.

Решение. Возьмем прямоугольную систему координат (рис. 1). Масштаб примем 1 = 1 см. Отложим отрезки: ОЛ=2,1 см\ ОВ= =4,5 см\ ОС=3,5 см.

Соединим точки А и В прямой и через точку С проведем прямую CD H AB.

Длина отрезка OD будет равна искомому члену пропорции.

Действительно, АОАВсс ДОСД отсюда —=—, следовательно,

Покажем, как нахождение четвертой пропорциональной можно применить к задачам на проценты.

Рис. 1 Рис. 2

а) Нахождение р% (р=20%) от числа а (а=8). Возьмем прямоугольную систему координат. На оси ОХ будем откладывать проценты, на оси OY числа (масштабы можно брать различные, например, на оси ОХ 1 = 1 мм, на оси OY 1 ее 1 см). На оси ОХ (рис. 2) отложим отрезки ОС=р\ ОД= 100; на оси OY—ОА=а (а=8).

Соединим точки А и D прямой. Из точки С проведем прямую, параллельную AD: ВС \\ AD.

Длина отрезка OB и будет равняться р% от числа а. Действительно, АОВСсл AOAD, отсюда

б) Нахождение числа а, если р% (р=25%) равняется числу Ь (6 = 2).

Решение. На оси ОХ будем откладывать проценты (масштаб 1 = 1 мм), на оси OY числа (масштаб 1 = 1 см). Отложим отрезки: ОС=р\ OD= 1С0 (рис. 3); OB=b.

Соединим точки С и В прямой и из точки D проведем прямую ADWBC.

Длина отрезка OA и будет равна числу а, р% которого равняется числу Ь. Действительно, АОВСсс ДОЛД отсюда

в) Нахождение процентного отношения чисел а и b (а=6; 0=8).

Решение. На оси ОХ будем откладывать проценты (масштаб 1 = 1 мм), на оси OK числа (рис. 4). Отложим ОА=а и ОВ=Ь (масштаб 1=1 еж). Отложим на оси ОХ отрезок OD= 100. Соединим точки В п D прямой. Из точки А проведем прямую АС \\ BD. Длина отрезка ОС будет равняться процентному отношению чисел а и Ь.

Действительно, АОСАсс AOBD, отсюда — =— ;

Рис. 3 Рис. 4

5. При политехническом обучении особое внимание должно быть обращено на приложение математики к технике.

На уроках арифметики можно предлагать ученикам задачи следующего вида.

1. Для передачи вращения от одного вала к другому служат зубчатые колеса (шестерни). Для того чтобы число оборотов I и II валов было различно, берут шестерни разных размеров. На числовых примерах следует установить соотношение между числом зубцов N, числом оборотов п и радиусом колеса г (рис. 5). После этого устанавливается следующая формула:

Далее можно давать разнообразные задачи на зубчатые передачи, например:

«Шестерня имеет 24 зубца и делает 100 оборотов в минуту. Определить, какую шестерню (со сколькими зубцами) надо насадить на второй вал, чтобы он делал 300 оборотов в минуту».

Зубчатые колеса хорошо связать с коробкой передачи скоростей в автомобиле и тракторе.

По мере изучения физики число задач прикладного характера будет увеличиваться, так как их можно пополнить задачами на вычисление удельного веса, теплоемкости тел, на применение закона Архимеда. Такие задачи можно подбирать из задачников по физике.

В технике часто приходится находить центр тяжести различных деталей. Поэтому на уроках математики можно предлагать такие задачи, как:

«Найти центр тяжести прямоугольного треугольника» (рис. 6).

Решение. Гипотенузу данного треугольника легко найти. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Затем следует воспользоваться теоремой о точке пересечения медиан треугольника. Полезно показать, что если подвесить треугольник, прикрепив нить в центре тяжести, то треугольник будет в устойчивом равновесии.

При изучении различных функциональных зависимостей особенно удобно показать приложение математики к практике.

Так, например, при помощи квадратичной функции можно выразить зависимость между пройденным расстоянием и временем при равноускоренном движении |,Ь=— ), зависимость между выделяющимся теплом в проводнике с сопротивлением R и величиной силы тока / (Q=kI2Rt) и т. д.

В геометрии можно найти также много примеров из практической жизни. Наиболее распространенным является приложение геометрии к измерениям на местности. Следует познакомить

Рис. 5 Рис. 6

учеников с линейным и поперечным масштабом. Можно предложить им следующие упражнения: пользуясь планом, найти расстояние между пунктами А и £, если известен масштаб. Путь может быть измерен по дороге, которая представляет ломаную линию. Определить по плану площадь какого-нибудь участка земли и его действительные размеры.

6. Полезны задачи по геометрии, когда дан чертеж с указанием размеров.

1. В полукруг радиуса г=3,5 см вписан круг (рис. 7). Найти площадь заштрихованной фигуры.

2. Найти площадь заштрихованной фигуры, если сторона квадрата равна а = 3 см (рис. 8).

3. Найти площадь детали, размеры которой даны на чертеже (рис. 9).

4. Найти площадь вырезанной части головки гаечного ключа, размеры которого даны на чертеже (рис. 10).

5. Сколько весят 100 латунных втулок? Диаметральный размер втулки дан на чертеже (рис. 11). 1 смъ латуни весит 8,7 г.

6. Найти объем защитной покрышки (рис. 12).

7. Возникает вопрос, в каком объеме и когда можно употреблять технические термины. Поясним на примере.

Задача. Дан равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 26°. Известно, что ßC=650 см; BD=150 см. Найти АС и ED (рис. 13).

Решение. АС=2-КС=2-ВСcos26еж 1214 (см);

£D=2MD=2.150cos26°^270 (см).

Эта же задача, если перевести ее на язык строителя, будет иметь несколько другую формулировку:

«Определить длину ригеля (ED) и длину пролета (АС), если длина стропильной ноги (ВС) равна 650 см и стойка Dh подпирает стропильную ногу на расстоянии 150 см от конька крыши».

Введение технических терминов усложняет задачу, если ученики незнакомы с ними, поэтому такие термины следует употреблять в V—VIII классах осторожно, а в IX—X классах использование технических терминов, преимущественно связанных со специальностью, приобретаемой учащимися, обязательно.

§ 4. Математика и смежные предметы, связь между ними

Математическими знаниями ученики пользуются при изучении других предметов, особенно при изучении физики, астрономии, черчения, химии и меньше при изучении географии, естествознания.

Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9 рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13

Вопрос о связи математики с другими предметами стоял и в дореволюционной школе, но особенное значение ему было придано после революции.

Уже в программе 1918 г. в объяснительной записке указано: «...помогая предметам, пользующимся математикой, она (математика) находит в них часто точки отправления при изучении того или иного вопроса, что особенно часто может иметь место при последовательно проведенном согласовании преподавания по различным отделам математики и таким предметам, как начальный курс природоведения, географии, ручного труда, физики, химии и т. п.».

В настоящее время согласование программы по математике с другими предметами более или менее осуществлено. Так, например, необходимые для курса физики VI класса сведения о параллелепипеде, площади его поверхности и объеме ученики получают в курсе арифметики V класса; некоторые сведения о функциях и графическом выражении их изменения они получают в курсе VII класса. Знания по математике широко используются на уроках труда при расчетах, разметке и вычерчивании эскизов.

Круг знаний по теории геометрических построений, которые учащиеся получают в VII классе, применяется ими в дальнейшем на уроках черчения.

Использование в математике материалов других предметов программой трудно предусмотреть, оно должно осуществляться учителем и предусматриваться при планировании материала и подготовке к урокам.

Так, изучая уравнения, следует решать и такие, которые выражают зависимость между физическими величинами, например: уравнение теплового баланса, уравнение линейного расширения тел при нагревании и т. п.

Изучение функций полезно начать с рассмотрения конкретных зависимостей из физики, химии. При изучении процентов, пропорций и других разделов программы желательно использовать задачи из химии и физики (смеси, сплавы, растворы и т. п.). Примеры:

1. Сколько следует добавить в 240 г воды растворимого вещества, чтобы получить 20-процентный раствор?

2. 400 г 4-процентного раствора упарены до 200 г. Какой концентрации стал раствор?

Материал смежных предметов с большим успехом может быть использован при повторении пройденного по математике. Например, при повторении вопросов прямой пропорциональности может быть использован материал по физике: изменение пути при равномерном движении прямо пропорционально изменению времени; изменение веса прямо пропорционально изменению объема. При повторении вопросов обратно пропорцио-

нальной зависимости могут быть использованы технические конструкции — сцепление системы шестеренок, системы ременных передач.

Не менее важно выявлять и подчеркивать взаимосвязи между предметами самой математики. (Известно, что ученики VI— VII класса считают математикой алгебру, а геометрию считают особым предметом.)

Целесообразно вводить решение арифметических задач алгебраическим методом. Использование уравнений в решении задач не вызывает затруднений у учеников, а вместе с этим облегчает рассуждения, содействует умению выражать зависимости между искомыми и данными задачами. Достаточно решить любую задачу с конкретным условием, в которой по сумме и разности чисел надо найти эти числа, чтобы ученики почувствовали силу и простоту алгебраического метода решения задачи.

Чрезвычайно важно, чтобы школьники возможно раньше усвоили алгебраический метод решения задач в геометрии.

Надо учить их при решении геометрических задач на вычисление устанавливать зависимость на основе геометрических теорем и выражать эту зависимость системой уравнений.

Решение некоторых алгебраических задач геометрическими средствами, например с помощью графиков, всегда вызывает у учащихся интерес и воспитывает у них правильное понимание своеобразного единства математических дисциплин.

§ 5. Воспитательная работа на уроках математики

В новой Программе КПСС намечен величественный план построения коммунизма в нашей стране. Одной из важнейших задач этого плана является воспитание всех трудящихся нашей страны в духе высокой идейности и преданности коммунизму, коммунистического отношения к труду.

В процессе формирования нового человека одно из почетных мест принадлежит советской школе.

Математика, на которую отводится около 17% всего учебного времени, не может стоять в стороне от решения общих задач, стоящих перед школой, в воспитании человека коммунистического общества.

Воспитательные цели преподавания математики изложены выше (§1).

Успех политико-воспитательной работы при обучении математике возможен только тогда, когда сам учитель будет любить и знать свою страну и отдавать все свои силы коммунистическому воспитанию подрастающего поколения. Для этого учитель должен упорно работать над повышением своего идейно-теоре-

тического уровня, следить за развитием науки и наряду с этим совершенствовать свое мастерство в области преподавания математики.

Для выработки у учащихся правильного понимания математики в духе диалектико-материалистического учения необходим материалистический подход к основным положениям математики. Например, нельзя сразу начинать курс геометрии с утверждения, что точка не имеет измерения, что линия не имеет ширины, и т. д. Необходимо проделать с учениками большую подготовительную работу, указав, что понятие о точке, линии и многие другие математические понятия возникли в результате практической деятельности людей, например, при измерении длин в природе. Непосредственно на опыте человек убедился, что толщина веревки, которой он пользовался при измерении, не имела значения. Отсюда через абстракцию получилось понятие о линии, определяемой у Евклида как длина без ширины. Далее, вбитый в землю колышек определял место, откуда начиналось измерение, и измерение было тем точнее, чем колышек тоньше. Таким образом, путем абстракции от натуральных объектов создалось понятие о точках, не имеющих никаких измерений, о бесконечной прямой, о теле, имеющем только форму и объем, и т. д. Полезно, если учитель в VI классе расскажет ученикам о том, как возникла геометрия в древнем Египте и Ассиро-Вавилонии...1. Вообще, при каждом удобном случае учитель должен указать на те жизненные задачи, которые вызывали развитие математики. Например, дальние морские путешествия вызывали потребность в астрономических вычислениях, что в свою очередь сказалось на развитии тригонометрии. Такие беседы помогут ученикам осознать, что развитие математики как науки во многих случаях зависело от развития производительных сил и в то же время влияло на их прогресс.

Прежде чем приступить к изучению какой-нибудь геометрической фигуры, необходимо проверить, существует ли у школьников соответствующее представление этой фигуры, и указать возможность ее построения. Например, приступая к изучению треугольника, следует построить несколько треугольников и установить, каким условиям должны удовлетворять те три отрезка, из которых может быть построен треугольник.

Необходимо с самых ранних пор, конечно, считаясь с возрастом учащихся, пояснить, какое отношение существует между общими теоретическими рассуждениями и частными суждениями. Учителю следует постоянно обращать внимание учеников на то, что утверждение какого-нибудь положения на основании даже очень большого числа частных случаев еще не обладает достоверностью. Можно привести несколько примеров.

1 Подробно см. ч. IV, § 16.

а) Найдем произведение всех простых чисел до данного простого числа включительно и к произведению прибавим L.

2+1=3; 2-3+1=7; 2-3.5+1=31; 2.3.5.7+1=211.

Напрашивается вывод, что всякое число, равное сумме единицы и произведений всех последовательных простых чисел до к включительно, то есть Р = 2*3-5*...-&+1, есть простое число.

Если взять Р = 2 3-5 7- 11 + 1=2311, то получится опять простое число. Но следующие два числа, составленные по такому же способу, будут составными числами.

Действительно,

Р = 2-3-5-7 -11.13+1=30031 = 59-509

и

Р = 2- 3-5.7- 1Ы3.17+1=510511 = 19-26 869

суть составные числа.

б) Рассмотрим трехчлен х2+;с+41.

Если X дать значение 0; 1; 2; 3; 4; 39, то получается простое число, но если положить jc = 40, то получается составное число. Действительно,

402+40+41 =40(40+1)+41 = 41-(40+1)=412

С другой стороны, неверным будет утверждение, что опыту, понимаемому в самом широком смысле этого слова, не следует придавать значения. Опыт является базой для многих теоретических рассуждений, хотя он не может служить основанием для безоговорочного распространения некоторого математического предложения на все возможные случаи. Например, пусть каждому ученику предложено транспортиром измерить все три угла треугольника и найти сумму углов треугольника. Получится около сорока случаев. На основании опытных данных, а их достаточно много, получается, что сумма углов треугольника равна приблизительно 180° (возможны отклонения в 1—2° в ту или другую сторону из-за неточности измерения).

После этого учитель ставит перед классом задачу, чему же именно равна сумма углов треугольника, и доказывает теорему о сумме углов треугольника. В этом случае теория подтверждает опыт и является обобщением его, а опыт служит отправным пунктом к обобщению.

Необходимо также показать учащимся, что теория помогает изучать явления, помогает избегать рассмотрения большого числа частных случаев, что экономит время. Например, сум-

ма углов любого выпуклого многоугольника может быть найдена теоретическими рассуждениями и затем полученная формула применена к некоторым частным случаям и проверена на опыте.

Важной частью воспитания материалистического мировоззрения является атеистическое воспитание. Большую роль в этом отношении может сыграть ознакомление учащихся с эпохой упадка математических знаний в V—XII вв. В эпоху царствования римских императоров Феодосия и Юстиниана под воздействием проповедников православия были изданы законы, воспрещающие занятия математикой. Так, в одной из статей законодательства того времени под названием «О злодеях математиках и тому подобных» говорилось: «Совершенно воспрещается достойное осуждения искусство математики». Можно рассказать ученикам о разгроме Александрийской школы, об убийстве талантливой представительницы этой школы Гипатии толпой фанатиков.

На занятиях математического кружка следует рассмотреть вопрос о числовой мистике.

Удачный подбор задач и упражнений имеет большое значение при проведении воспитательной работы на уроках математики.

На школьников производит сильное впечатление величие нашей Родины и те грандиозные задачи, которые разрешаются у нас в настоящее время. Поэтому следует давать задачи на сравнение площадей, занимаемых СССР и другими странами, численности народонаселения, длины железных дорог и т. д. При решении таких задач ученики попутно углубляют свои сведения о нашей родной стране.

Полезно с учащимися вычерчивать диаграммы, построенные на статистических данных из различных отраслей народного хозяйства СССР. Конечно, при этом не следует перегружать каждого ученика выполнением всех расчетов. В некоторых случаях выполнение их следует поручать группе учеников, а затем использовать расчеты всеми учениками класса при вычерчивании диаграмм. Учащиеся убедятся в том, что наша Родина имеет самую большую площадь, по народонаселению занимает одно из первых мест, что у нас наиболее развитая промышленность и т. д.

Материалы для задач и диаграмм можно найти в экономических справочниках или в газетах. Приведем несколько примеров.

1. Производство электроэнергии в СССР в 1965 г. (по плану) составит 520 млрд. квт - ч, что в 267 раз больше, чем в 1913 г., в 11 раз больше, чем в 1940 г., и в 2,2 раза больше, чем в 1958 г. Определить, сколько электроэнергии производилось в 1913 г., в 1940 г. и в 1958 г.

Необходимо показывать ученикам, что достижения Советского Союза велики по сравнению с достижениями капиталистических стран, выявлять преимущество социалистической системы над капиталистической. В некоторых случаях от учителя потребуется очень краткое разъяснение, в других случаях цифровые данные будут настолько очевидны, что не потребуется никакой дополнительной беседы. Следует всегда помнить, что язык цифр во многих случаях является самым убедительным. Обязательным требованием для всякой задачи, взятой из жизни, является ее достоверность.

2. Найти число жителей, приходящихся на одного врача в следующих странах:

Таблица 1

Страны

Население (в тысячах)

Число врачей (в тысячах)

Ответ: число жителей, приходящихся на одного врача

США (1956 г.)

171 229

217

790

Англия (1956 г.)

51 455

42,8

1200

Бельгия (1957 г.)

8 989

9,99

900

СССР (1956 г.) (не включая зубных врачей)

200 200

329,4

670

Примечание. В настоящее время число жителей, приходящихся на одного врача в СССР, еще меньше.

3. Численность населения в СССР в 1959 г.

208,8 миллиона человек

» 1960 г. 212,3 » »

» 1961 г. 216,2 » »

Найти процент годового прироста населения в СССР.

4. Численность населения США

в 1953 г. 159,64 миллиона человек

» 1957 г. 171,23 » »

» 1960 г. 180,5 » »

Найти средний годовой прирост населения в США.

5. В 1965 г., если принять объем промышленного производства в США за 100%, то объем производства в СССР будет 84,5%. Начиная с 1965 г. после выполнения семилетнего плана на ближайшие годы рост промышленного производства в СССР в год будет составлять 8,6%, а в США — 2,4%. Начертить график динамики производства в СССР и в США. Когда СССР догонит США?

На сколько процентов СССР перегонит США в 1970 г.? Решение (рис. 14).

100+2,4* = 84,5+8,6 *, отсюда х = 2,5,

то есть в середине 1968 г. СССР догонит США.

На задачах можно показать, какое внимание уделяет Советское правительство и партия развитию науки в СССР.

На уроках математики и на кружковых занятиях следует познакомить учащихся с биографиями и работами наших выдающихся математиков. Не всегда можно изложить ученикам суть научных открытий наших замечательных соотечественников, но даже знакомство с их биографиями вызовет чувство гордости и уважения к ним. Такие имена, как Л. Эйлер (1707—1783), Н. И. Лобачевский (1793—1856), B. Я. Буняковский (1804—1889), М. В. Остроградский (1801— 1861), П. Л. Чебышев (1821— 1894), А. А.Марков (1856—1922), C. В. Ковалевская (1850—1891), А. Н. Крылов (1863—1945), должны быть известны ученикам средней школы. Представляет большой интерес и деятельность современных математиков, как-то: президента Академии наук М. В. Келдыша, академиков В. И. Смирнова, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, И. М. Виноградова и др. Следует познакомить школьников, хотя бы кратко, с именами более молодых советских математиков, например Ю. В. Линника, А. И. Мальцева и др.

Развитие навыков коллективной работы. На уроках математики довольно часто можно показать ученикам, что при правильном распределении обязанностей коллектив имеет возможность выполнить такую работу, которая не под силу отдельному члену его.

При этом у каждого ученика развивается чувство ответственности за порученный ему участок работы. При правильной организации труда широко можно использовать и взаимоконтроль.

Приведем пример. Пусть требуется составить таблицу значений для длины окружности или площади круга в зависимости от радиуса (работа выполняется в восьмилетней школе). Организация работы может быть следующая: все ученики в классе объединяются в группы по 3—4 человека; заранее должно быть

Рис. 14

заготовлено 40 деревянных или металлических кругов диаметрами 2; 2,5; 3; ... см.

Если почему-либо трудно заготовить все круги различных диаметров, то можно изготовить такие, что среди них будут встречаться круги с одинаковыми диаметрами.

Каждому звену предлагается измерить диаметр и длину окружности четырех кругов. Каждый ученик должен найти диаметр и длину окружности не менее двух кругов.

Произведя соответствующие измерения и вычисления, каждое звено заполняет следующую карточку (см. табл. 2). Учителю легко проверить правильность измерений и вычислений, так как отношение длины окружности к диаметру должно примерно получиться около 3,1.

Необходимо указать срок выполнения работы, по истечении которого на доске вывешивается большой лист бумаги с начерченной на нем системой координат. На оси ОХ будут отложены длины диаметров, на перпендикуляре к оси ОХ наносятся соответствующие длины окружностей. Каждое звено на данном листе бумаги отмечает точки, соответствующие длинам окружности для различных диаметров. После этого остается соединить все полученные точки; в данном случае должна получиться прямая линия, которая и будет графиком зависимости длины окружности от диаметра. Заметим, что более значительные ошибки в измерениях и вычислениях будут немедленно обнаружены. Например, если для диаметра D = 4 см найдена длина окружности 14,5 см, то соответствующая точка не будет расположена на прямой, проходящей через остальные точки (рис. 15). Дальше дается понятие о числе н.

Помощь предприятиям. Школа во многих случаях может оказать некоторую помощь предприятиям. В колхозах, совхозах, сельсоветах, домоуправлениях постоянно приходится производить ряд расчетов; имеющиеся специальные пособия для различных вычислений или распространены слабо, или пользоваться ими затруднительно. Можно поручить классу составить таблицу, наклеить ее на картон или плотную бумагу и

Таблица 2

Диаметр окружности (в см)

Длина окружности

Отношение длины окружности к диаметру

2

2,5

3

3,5

и т. д.

Рис. 15

передать заинтересованным лицам. Большое удовлетворение получат ученики, если удастся облегчить труд счетовода, бригадира и т. д.; конечно, нужно проинструктировать работников, как пользоваться составленной таблицей.

Пример. Как известно, для каждой области установлена базисная жирность молока. Молоко, принятое на заготовительный пункт, нужно переводить на базисную жирность.

Постоянно приходится решать на практике следующую задачу. Базисная жирность молока установлена в 3,8%. Колхоз продал 223 л молока жирностью 3,5%. Сколько литров молока нормальной жирности продал колхоз?

В 223 л молока содержится жира: 35-223 г. В х л молока при жирности 3,8% должно быть жира 38* г. Следовательно,

38*=35-223,

откуда

х = 205,5 (л),

то есть колхоз продал молока нормальной жирности 205,5 л.

Таким образом, имеем правило: для пересчета на базисную жирность принятое количество молока в литрах умножается на процент жирности и делится на базисную жирность.

После того как несколько задач такого типа будет решено в классе, можно предложить ученикам составить следующую таблицу (ученики разбиваются на группы, каждой группе поручается определенное задание).

Покажем, как пользоваться данной таблицей (см. табл. 3).

Колхоз продал 285 л молока жирностью 3,8% и 318 л молока жирностью 4,2%. Сколько молока в пересчете на базисную жирность 4% продал колхоз? 285 л молока жирностью 3,8%. Из таблицы имеем:

318 л молока жирностью 4,2%. Из таблицы имеем:

Всего колхоз продал молока 4-процентной жирности 270,75 + 333,9 = 604,65 л, или 604,6 л.

Примечание. Необходимо узнать, какая базисная жирность установлена для колхозов вашего района, и составить соответствующую таблицу.

Таблица 3

Пересчет молока на базисную жирность (базисная жирность 4%)

Количество молока в литрах

Процент жирности

3,8

3.9

4

4,1

4,2

4,3

4,4

1

0,95

1

1,05

2

1,9

2

2,1

3

2,85

3

3,15

4

3,8

4

4,2

5

4,75

5

5,25

6

5,7

6

6,3

7

6,65

7

7,35

8

7,6

8

8,4

9

8,55

9

9,45

10

9,5

10

10,5

20

19

20

21

30

28,5

30

31,5

40

38

40

42

50

47,5

50

52,5

60

57

60

63

70

66,5

70

73,5

80

76

80

84

90

85,5

95

90

94,5

100

100

105

200

190

200

210

300

285

300

315

Примечание. Вся таблица должна быть полностью заполнена.

Воспитание чувства уверенности в своих силах. Неоднократно приходится наблюдать, как ученики, решая пример или задачу, немедленно сверяют свое решение с ответом в книге; если результат совпадает с ответом, то учащийся убежден в правильности решения. Когда же ответа в книге нет или когда приходится решать какую-нибудь практическую задачу, то ученик часто сомневается в своем решении. Это происходит потому, что ученик не верит в свои силы, не доверяет собственным рассуждениям и вычислениям. Пока у школьников нет достаточно твердых навыков, ответы в задачнике необходимы. Но вместе с тем полезно проводить тщательную проверку решения. Если не делать этого, то у ученика может выработаться излишняя самоуверенность и переоценка своих сил. С развитием навыков учеников постепенно надо отучать пользоваться ответами в задачниках и добиваться, чтобы они были уверены в правильности своего решения, не прибегая к проверке по книге и контролю учителя. Такая уверенность в своих силах появится, если одну и

ту же задачу решить различными способами (если задача допускает различные решения); получение одного и того же ответа является подтверждением правильности решения. Полезно прибегать изредка к проверке решения с помощью опыта.

Пример. Требуется найти вес стальной детали, полученной от срезания концов правильного треугольника (рис. 16); толщина пластинки 5 мм, удельный вес стали 7,2—.

Рис. 16

Решение: Площадь искомой детали

Радиусы описанной около треугольника, вписанной в него окружности и радиус закругления (х) соответственно будут

Площадь заштрихованной фигуры будет

Вес детали будет

Р=25,б-0,5-7,2«93 (Г).

Затем данную деталь следует взвесить. Если результаты взвешивания и вычисления совпадут в пределах допустимой точности, то правильность математического решения задачи подтверждается на опыте.

Иногда при решении задач на вычисление проверку можно осуществить с помощью измерений. Так, например, плоскую фигуру, площадь которой нужно вычислить, можно в определенном масштабе начертить и с помощью палетки приближенно найти ее площадь, а затем найти площадь этой же фигуры вычислением.

Значительную роль в развитии чувства уверенности в своих силах может сыграть так называемая прикидка результата. Прежде чем приступить к вычислениям, следует грубо определить возможное значение.

Приведем примеры.

Найти приближенный результат выражения

Округляем числа

то есть окончательный результат будет колебаться около 25.

Приведем еще один пример. Решить уравнение

Зх2— 14,8^4-6,2=0.

Округлим коэффициенты

Зх2— 15*4-6=0, или X2—5*+2=0.

Корни последнего уравнения будут

Корни исходного уравнения будут 4,20 и 0,46 с точностью до 0,01.

При сравнительно небольшой затрате времени можно добиться, что ученики будут предвидеть результат ответа с некоторой точностью.

Однако необходимо указать им, что результаты, полученные при помощи прикидки, отнюдь не являются решением поставленной задачи.

Необходимо приучать учащихся работать, учитывая время. Каждый учитель знает, что когда дается в классе контрольная работа или самостоятельное упражнение, то часть учеников не ухпевают выполнить задание и просят добавить несколько минут. В жизни приходится не только правильно разрешать поставленную задачу, но и дать ответ в короткий срок.

Поэтому, давая какое-нибудь упражнение или группу задач, учитель должен указать, что на пример 1 отводится, скажем, 5 минут, на пример 2 — 15 минут, на пример 3 — 10 минут и т. д.

Для тех учеников, которые решили первые три примера рань-

ше указанного срока, следует дать 4-й, возможно, и 5-й примеры. Опасность заключается в том, что погоня за количеством решенных примеров может привести к ухудшению качества решений. Чтобы избежать этого, учитель просматривает, как ученик решил обязательные примеры, и только после этого дает ему дополнительные упражнения. Для сильных учеников учитель заранее может подготовить дополнительный материал, записанный на индивидуальных карточках. Учащийся твердо должен знать, что при оценке его работы принимается во внимание и время, затраченное на выполнение. Поэтому учителю следует на основании опыта предварительно определить время, необходимое для решения каждой задачи и примера.

Планирование. Планирование работы имеет большое значение в любой деятельности человека.

Математика дает широкую возможность воспитать у школьников навыки планирования. К сожалению, в школе на это не всегда обращают должное внимание. Как правило, ученики в большинстве случаев приступают вслепую к решению задачи или примера. Они начинают решать задачу, не отдавая себе отчета, что нужно сделать, как можно выполнить и т. д., и работают на авось.

С младших классов следует приучать детей руководствоваться следующим:

1) прежде всего вдуматься в содержание задачи и уяснить себе, что дано, что нужно найти;

2) наметить план решения, при этом установить, все ли необходимые данные имеются для решения задачи, или имеются лишние данные;

3) выявить, каким способом можно решить задачу.

Прежде чем приступить к решению примера, ученик должен установить порядок действий, в некоторых случаях сделать прикидку и лишь затем приступить к решению.

Составлению плана доказательства теоремы, решения задачи всегда должно уделяться достаточно внимания, иначе ученик не привыкнет к сознательному решению задачи или доказательству теоремы.

Рациональные методы решения. При обучении математике от учеников следует требовать наиболее рациональных способов решения задач и примеров. Поэтому всегда, когда возможно, надо указывать наиболее простой и изящный способ решения или доказательства. Часто последний приходится применять после того, как задача уже решена.

Заметим, что в математике есть своеобразная красота. Для тех учеников, которые поймут эту красоту, математика перестанет быть сухой наукой. Надо показать учащимся, что творчеству в математике открыта широкая возможность. Чем шире будут применяться различные способы решений или доказательства

теорем, тем больше интереса будет у учащихся, а это является одним из условий высокого качества усвоения материала.

Уже в V классе следует познакомить учеников с различными приемами выполнения действий, например: 384 • 25 (разделить множимое на 4 и полученный результат умножить на 100).

Особенно интересны различные приемы решения, применяемые в алгебре и геометрии.

Пример 1. Решить уравнение

(х2+2х+3)2—2(х2+2х+ 2)— 17=0

Если применять обычный способ, то есть возвести многочлен в первой скобке в квадрат, раскрыть скобки, сделать приведение подобных членов и т. д., то решение данного уравнения будет довольно сложным и займет много времени. Значительно проще решается данное уравнение, если положить

*2+2х+2=у, или x2+2x+3=z.

Тогда получится квадратное уравнение

(у+1)2—2у—17=0 (1), или z2—2(2— 1 )—17=0

Корни уравнения (1) будут у!=4 и Уг = —4. Далее имеем:

Пример 2. Построить ромб, если известна сторона ромба и диагональ.

Решение. 1-й способ. Строится треугольник по стороне (диагонали) и двум равным сторонам и т. д.

2-й способ. Строится отрезок прямой, равный данной диагонали, из середины его восстанавливается перпендикуляр, из конца диагонали проводится дуга радиусом, равным стороне ромба, и т. д.

С учащимися следует рассмотреть оба способа решения, сравнить их и установить преимущество одного над другим.

Воспитание аккуратности. Малейшая небрежность в математике приводит к ошибкам, обнаружив которые, работу приходится переделывать. Необходимо бороться с безалаберностью, безответственностью при выполнении работ. Следует требовать от учеников аккуратного выполнения работы как на доске, так и в тетрадях. Все цифры должны быть одинакового размера, написаны красиво, четко. Цифры одноименных разрядов должны быть подписаны соответственно друг под другом и т. д.

Надлежит обращать внимание на ведение тетрадей. Ученик обязан строго соблюдать форму записей, установленную учителем, правильно и аккуратно обращаться с тетрадью (поля

в тетради, обведение формул в рамку, подчеркивание окончательного результата и т. д.).

Одной из причин небрежности являются так называемые черновики, где производятся промежуточные вычисления. Обычно записи в черновиках ведутся кое-как, нет никакого порядка, вычисления замазываются, и порой сам ученик не может разобрать, что там записано. Черновики вырабатывают у детей привычку кое-как относиться к порученной работе. Мы категорически возражаем против такой системы ведения черновиков. По нашему мнению, черновики и чистовики должны вестись одинаково аккуратно.

Можно рекомендовать следующий порядок записи всех вычислений. Страница тетради разделяется на две половины: на одной половине записываются все промежуточные и окончательный результаты, на второй половине промежуточные вычисления. Можно при больших вычислениях применять следующее расположение: для основных вычислений отводится правая страница, для промежуточных вычислений левая страница.

Заметим, что если какое-нибудь вычисление произведено неправильно, то ученик аккуратно его перечеркивает, выполняет его снова; замазывать записи не разрешается.

Ученику должно быть известно, что перечеркивание ему не будет поставлено в вину, а за небрежность отметка будет снижена.

Необходимо требовать от учеников правильного выполнения чертежей, особенно в работах, задаваемых на дом.

В младших классах при выполнении чертежей на классной доске следует пользоваться чертежными приборами (линейкой, угольником, циркулем). В старших классах уже можно требовать выполнения геометрических чертежей на классной доске от руки, в частности по стереометрии. Необходимо добиваться, чтобы ученик мог быстро сделать относительно правильный эскиз чертежа.

§ 6. Учебные планы и программы

Учебные планы и программы по математике, как и по другим учебным предметам, являются государственными документами, обязательными для выполнения и по содержанию и по срокам.

Прежде всего программы определяют целенаправленность обучения математике в школе; программы выделяют основные идеи, которыми должно быть пронизано изучение школьного курса математики: тесная связь обучения с жизнью, трудом, практикой коммунистического строительства; выработка у учащихся правильного представления о математике как науке о пространственных формах и количественных отношениях реаль-

ного мира; раскрытие перед учащимися значения математики в технике и повседневной жизни.

Программы указывают на необходимость добиться сознательного использования учениками правил и формул, а не только механического запоминания их.

Программы направляют учителя на самостоятельные поиски наиболее эффективных приемов обучения, на такую организацию работы школьников, которая служила бы повышению их интереса к математике и на основе интереса к предмету повысила бы математическую культуру учащихся.

В программах по отдельным предметам дается не только содержание учебного материала, но и пояснения к этому содержанию, соответствующие специфике предмета.

Программы предусматривают на первом этапе обучения широкое привлечение наглядности, опытную проверку и разъяснение изучаемых фактов на конкретных примерах.

В построении программ по математике соблюдается принцип систематичности; однако мы встречаемся с тем, что некоторые вопросы повторяются в программах разных классов.

Такое расположение материала, когда к одному и тому же вопросу возвращаются несколько раз, постепенно углубляя и расширяя его или освещая с разных точек зрения с применением различных методов изучения, называется концентрическим. Существуют разные взгляды на полезность такого расположения материала. Некоторые педагоги считают, что концентризм р преподавании вреден, и в подтверждение этого взгляда приводят следующие доводы:

а) Концентрическое расположение материала вынуждает учителя на различных ступенях изучения одного и того же вопроса давать различные толкования одним и тем же понятиям, приводить иногда различные определения одних и тех же математических понятий, в выводах одних и тех же зависимостей опираться в младших классах на опыт, на неполную индукцию, в старших классах повторять те же выводы на логической основе. Первоначально сообщенное учащимся обычно настолько крепко укладывается в их памяти и понимании, что вносимые позже изменения воспринимаются ими с трудом и учащиеся часто продолжают пользоваться ранее полученными определениями и обоснованиями.

б) Повторное изучение одного и того же материала, хотя бы и на новой основе, не может вызвать у школьников интереса и нужного внимания, а следовательно, ведет к понижению работоспособности учащихся.

в) Концентрическое расположение материала требует лишнего времени.

Сторонники концентризма считают, что в некоторых случаях концентрическое расположение материала вызывается столь

важными причинами, что, несмотря на указанные выше недостатки, оно необходимо. Этими причинами являются:

а) Необходимость связи теории с практикой.

б) Потребность смежных дисциплин.

в) Предварительное создание у учащихся некоторых наглядных образов и представлений позволяет впоследствии успешно изучать абстрактные положения в математике.

г) Стремление дать более законченные знания оканчивающим восьмилетнюю школу, лучше подготовить их к жизни.

Учитель математики должен учитывать те недостатки, которые может повлечь за собой повторное изучение одного и того же вопроса, тщательно обдумать содержание и методику преподавания. Так, при первом знакомстве с новыми понятиями в младших классах нельзя давать неверные определения, которые позже заменять другими — правильными. Например, нельзя говорить в VI классе, что тг=3,14 или что в параллелограмме углы не прямые. Если нельзя дать правильного определения, надо заменить его описанием или простым показом изучаемых объектов. Возвращаясь в старших классах к знакомым вопросам, надо вести преподавание так, чтобы ученик понял, что он изучает их теперь на более высокой научной основе. Если повторное изучение материала и требует лишнего времени, эта затрата окупается более прочным и сознательным усвоением материала.

Программы предполагают, что ученики постепенно вырабатывают навыки в дедуктивных доказательствах; программы требуют добиться от учащихся прочных навыков в вычислениях и в решении задач систематической тренировкой, но при этом избегая громоздких вычислений и таких задач, которые требуют для решения искусственных приемов и затраты большого количества времени.

«Определяя содержание и объем отдельных тем курса, программа по математике в то же время предоставляет учителю широкие возможности для выбора различных методических путей и приемов в изложении конкретного материала. Время на прохождение отдельных тем, указанное в программе, является ориентировочным».

Эти указания в программе не только позволяют учителю проявлять инициативу и более сознательно выбирать методы и приемы обучения математике, но и стимулируют его к этому.

Педагог вправе, учитывая подготовку учащихся и общее развитие класса, задерживаться на том учебном материале, который оказался более трудным для данного класса, и даже излагать учебный материал с различной глубиной в параллельных классах. Вместе с этим некоторая свобода в выборе методов изложения учебного материала налагает на учителя и большую ответственность за результаты работы.

ГЛАВА II

ПРИНЦИПЫ, ФОРМЫ И МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

§ 7. Общие принципы советской дидактики в преподавании математики

Дидактические принципы выражают общие требования педагогики к учебному процессу.

Соблюдение дидактических принципов является необходимым условием успешного обучения. Покажем, каким образом эти принципы осуществляются в процессе преподавания математики.

Принцип сознательности. Глубокое понимание изучаемого материала является основным условием успешного обучения.

Математика оперирует рядом абстрактных понятий. В связи с этим необходимо выработать у школьников понимание того, что математика изучает количественные отношения и пространственные формы действительного мира и возникла из практических нужд людей. Ф. Энгельс, касаясь вопроса о происхождении математических понятий, писал: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления». На уроках арифметики и алгебры учитель должен показать, что понятие числа появилось и развивалось постепенно в связи с практической деятельностью человека.

Практические корни геометрии могут быть убедительно показаны в беседе о возникновении геометрии. При изучении отдельных вопросов математики в школе следует показывать связь их с окружающей действительностью. Так, например, приступая к изучению возможных взаимных положений прямой и плоскости, нужно показать, что каждая комбинация заимствована из окружающей действительности и знание ее поможет глубже изучить свойства окружающих предметов.

Существенное значение имеет четкое понимание определений. Формулируя определение, ученик должен понимать смысл каждого утверждения, содержащегося в нем. Так, например, ученик должен усвоить, что, если из определения параллельных прямых исключить требование, чтобы прямые лежали в одной плоскости, получим определение, которому будут удовлетворять и скрещивающиеся прямые. Необходимо, чтобы ученик умел четко отличать существенные признаки определяемых понятий от несущественных.

Изучив какой-либо раздел, учащийся должен понимать, с какой целью изучался этот раздел, что является главным, существенным в нем, как можно объяснить введенные правила и подмеченные закономерности, какова связь изученного материала с ранее известным.

Существенным моментом при изучении дробей является то, что задача нахождения дроби числа решается умножением на дробь. Это положение дает возможность осознать целесообразность правила умножения дробей, объяснить, почему при умножении на правильную дробь произведение меньше множимого, при умножении на неправильную дробь — больше множимого. Ученики должны знать, в чем сходство и в чем различие между умножением натуральных чисел и дробных чисел.

Усвоение будет более сознательным, если новые идеи будут излагаться как развитие ранее известных. Так, вводя понятие об отрицательных числах, нужно напомнить ученикам историю возникновения натуральных чисел, нуля, дробных чисел. Тогда появление отрицательных чисел ими будет воспринято как естественное продолжение развития понятия о числе.

Осуществление принципа сознательности требует того, чтобы ученик, составляя план решения задачи, мог обосновать выбор каждого действия. Это может быть достигнуто, если он будет пользоваться методом анализа при отыскании плана решения задачи.

Сочетание методов анализа и синтеза даст возможность ученикам понять целесообразность дополнительных построений и выбор определенного плана доказательства теоремы. Чтобы выяснить, насколько усвоено доказательство теоремы, следует предлагать формулировать теоремы, на которые ссылался ученик, доказывая данную теорему, и указывать, где в процессе доказательства использовалось каждое условие теоремы.

Иногда при решении задачи ученик использует теоремы, обратные доказанным, считая, что если верна прямая теорема, то верна и обратная, а иногда ученик не видит различия между прямой и обратной теоремами. Это указывает на то, что материал изучен поверхностно, без достаточного понимания.

Принцип научности. В курсе школьной математики должны найти отображение основные идеи современной математики.

Идея функциональной зависимости должна пронизывать содержание всего школьного курса математики. В связи с этим должно быть уделено большое внимание функциональной пропедевтике при изучении арифметики в V и VI классах. Геометрический материал должен излагаться в свете идей геометрических преобразований. Шире должна осуществляться связь алгебры и геометрии.

Школьные математические курсы не могут отождествляться с соответствующими научными курсами. Однако определения понятий, формулировки теорем и аксиом должны быть безукоризненными с научной точки зрения. К сожалению, иногда ошибочно утверждают, что аксиомой называется предложение, которое вследствие очевидности принимается без доказательства. Нельзя допускать механического перенесения законов действия из одной области чисел в другую область (учащиеся часто делают это).

Осуществление принципа научности выдвигает большие требования к логической стороне изложения. Часть этих требований уже была высказана при рассмотрении принципа сознательности.

Существенно научить школьников отличать признаки понятий от их определений.

Ученики должны четко формулировать условие и заключение теоремы; уметь составить обратную и противоположную теоремы. У них должна быть выработана потребность в доказательстве каждого утверждения, возникающего в процессе доказательства теоремы, и умение записывать эти утверждения в символической форме.

В школьной практике встречаются такие случаи, когда ученики при доказательстве опираются на те факты, которые сами вытекают из доказываемого положения. Умелая работа учителя над подобными ошибками воспитывает у учащихся требовательность к логической строгости рассуждений. Предложение следует сообщить без доказательства, если для учеников это доказательство недоступно. В школе снижена требовательность к доказательству арифметических и алгебраических теорем. Следует помнить, что правильно проведенное рассуждение с использованием конкретных примеров имеет общий характер, если не основывается на частных свойствах этих примеров.

Принцип систематичности в изложении и усвоении материала. Принцип систематичности предполагает изложение курса математики в определенной логической последовательности. Перед изучением какой-либо темы ученик должен изучить материал, который является ее логической основой. Только при последовательном, систематическом изложении материала можно развить у школьников логическое мышление.

В силу возрастных особенностей учащихся система изложе-

ния математики в школе, вообще говоря, не совпадает с системой математики как науки. Так, например, нельзя начинать изложение курса геометрии в школе с системы аксиом.

Систематическое изложение не может быть достигнуто, если ученики не усвоили или забыли материал, который является базой для изучения нового вопроса. Поэтому в преподавании математики важную роль играет систематическое повторение материала. Так, для того чтобы перейти к делению на десятичную дробь, необходимо изучить деление десятичной дроби на целое число и затем повторить правила: 1) об увеличении и уменьшении десятичной дроби в 10, 100, 1000 и т. д. раз; 2) о сохранении величины частного при увеличении и уменьшении делимого и делителя в одно и то же число раз. Тогда правило деления на десятичную дробь будет воспринято пятиклассниками как одно из звеньев системы курса арифметики.

Систематичность знаний учащихся может нарушаться вследствие невнимательного отношения их к объяснению учителя, слишком быстрого темпа изложения нового материала, невыполнения домашних заданий и других подобных причин. Таким образом, осуществление принципа систематичности связано с организацией учебного процесса.

Важную роль играет систематичность в подборе упражнений. Упражнения необходимо располагать в порядке нарастания трудностей. Содержание задач должно носить комплексный характер: решая задачи, ученики должны не только закреплять вновь изученный материал, но и повторять ранее пройденный.

Устранение пробелов в знаниях учащихся и полноценная подготовка их к восприятию нового материала — одна из основных задач в деятельности учителя.

Принцип единства теории и практики. Принцип единства теории и практики является основным в марксистско-ленинской теории, и поэтому осуществление его имеет решающее значение в воспитании диалектико-материалистического мировоззрения. Показывая применение изученной теории к практике и указывая на то, что математика развивалась под влиянием практических нужд общества, мы вскрываем материалистическую сущность математики.

Проблема единства теории и практики приобретает особое значение в свете тех задач, которые поставлены перед школой Программой Коммунистической партии Советского Союза.

Все технические и научные расчеты основываются на применении математики. Поэтому политехническое обучение немыслимо без прочных и глубоких знаний самой математики. Однако только усвоение математики далеко не решает проблемы политехнического обучения. Ученики должны овладеть умением применять приобретенные знания по математике к ре-

шению практических задач и задач, возникающих при изучении других наук.

Психологами установлено, что знания, усвоенные в одной области, не переносятся автоматически на другую область. Следовательно, для осуществления политехнизации школьного курса математики необходима определенная целенаправленная деятельность учителя.

В процессе преподавания математики особое внимание должно уделяться тем вопросам программы, которые устанавливают непосредственные связи обучения математике с практикой. К таким вопросам относятся следующие:

1. Устные, табличные и инструментальные вычисления. Большое значение имеет умение рационально выполнять вычисления, делать «прикидку» результата.

2. Приближенные вычисления. В связи с этим важно научить школьников обрабатывать результаты лабораторных и практических работ.

3. Функциональная зависимость. Графики.

Ученики должны овладеть использованием графиков для вычислений (простейшие номограммы), для изучения свойств функций, решения уравнений.

Важное значение имеет умение читать графики, умение по графику составить представление о том, как протекает тот или иной процесс.

4. Вычисление длин, площадей, объемов. Пользование измерительными инструментами. Навыки в измерении длин, площадей и объемов тел с применением средств, которыми пользуются в технике. Знакомство с устройством измерительных инструментов: штангенциркуля, штангенрейсмуса, микрометра, курвиметра.

Решение задач по данным, полученным в результате непосредственного измерения.

5. Умение пользоваться чертежными инструментами. Умение делать чертежи, эскизы и понимать их.

6. Моделирование геометрических фигур. Желательно, чтобы построению модели предшествовал анализ свойств фигуры, расчет ее размеров.

Трудовое и производственное обучение дает возможность установить еще один вид связи преподавания математики с практикой. Наиболее распространенной формой этой связи является решение задач с производственным и практическим содержанием. Тематика задач должна быть главным образом политехнической, то есть должна касаться основных процессов различных производств. К таким задачам относятся задачи о винтовой линии, кривошипно-шатунном механизме, о ременной, фрикционной и зубчатой передачах, обточке на конус, движении по наклонной плоскости, о режущих инструментах, о раз-

метке. К этим задачам следует присоединить задачи о расходе электроэнергии, топлива, горючего, а в сельской школе, кроме того,— расчеты количества удобрений, норм высева семян, кормовых рационов для скота, определение объемов скирды, стога, сарая и др.

В осуществлении политехнического обучения большое значение имеют лабораторные и практические работы учащихся. Особенно велика роль практических работ, выполняя которые, учащиеся видят, как математика, по выражению В. В. Репьева, «применяется к действительным пространственным формам и количественным отношениям, а не к искусственно созданным моделям».

В установлении связи преподавания математики с жизнью значительная роль принадлежит производственным экскурсиям учащихся. Обычно экскурсии организуются преподавателями нескольких предметов, а поэтому носят комплексный характер. По материалам экскурсии ученики, выполняя задание учителя, составляют задачи, чертят диаграммы, графики. Во время экскурсии школьники знакомятся с техническими средствами измерений длин, площадей, объемов; с практическими средствами вычислений. Учащиеся получают возможность познакомиться с механическими способами вычерчивания графиков и с практическим использованием их.

Принцип доступности. Изложение учебного материала ученикам должно находиться в полном соответствии с уровнем их знаний, развитием и возрастными особенностями. У учащихся V—VIII классов слабо развито абстрактное мышление. Поэтому при введении новых понятий, идей следует идти от частного к общему, от известного к неизвестному. Практически это выражается в том, что общим теоретическим выводам предпосылают упражнения с конкретными данными. Так, доказательству теоремы о свойстве вертикальных углов предшествует решение задачи, в которой предлагается найти углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, по одному из углов. Выводу формулы корней квадратного уравнения предшествуют упражнения на выделение полного квадрата из квадратного трехчлена с числовыми коэффициентами и пр. Такие абстрактные понятия, как теорема, функция и т. п., могут быть хорошо усвоены, если проведена соответствующая подготовительная работа. В курсе алгебры VI класса ученикам будет доступно усвоение буквенной символики, если в курсе арифметики V и VI классов учитель использовал буквенную символику для обозначения неизвестных чисел, для записи законов и правил действий и предлагал учащимся составлять числовые формулы при решении задач.

Для того чтобы решение задачи было более доступным, необходима предварительная работа над усвоением условия

задачи. Ученик должен понять условие задачи, смысл каждого слова в тексте задачи, связь между величинами, данными в условии, выполнить краткую запись условия задачи и сделать чертежи и схемы, иллюстрирующие это условие.

Всякой сложной задаче, вызывающей затруднения у учащихся, следует предпослать более простые задачи, комбинацией которых является трудная задача.

Существенное значение имеет планирование учебной работы. Урок не должен быть перегружен учебным материалом. В плане урока необходимо предусмотреть работу по подготовке к восприятию нового материала.

Следует помнить, что для учеников восьмилетней школы изложение становится более доступным, если оно ведется методом беседы при активном участии самих учащихся.

Осуществление принципа доступности не предполагает освобождения учащихся от напряженной мыслительной деятельности. Обучать и воспитывать учащихся нужно в процессе преодоления трудностей, доступных для их возраста.

Принцип активности. Одной из основных задач преподавания математики в средней школе является воспитание у школьников логического и творческого мышления. Эта задача может быть разрешена при условии использования методов преподавания, активизирующих познавательную деятельность учеников.

Необходимо, чтобы ученики принимали деятельное участие в создании новых понятий, в открытии новых для них математических фактов. Они должны участвовать в постепенном создании логической схемы доказательства теоремы, вывода формулы, решения задачи.

Созданию активности учащихся, несомненно, способствует возбуждение интереса к изучаемой теме. С этой целью учитель в начале изложения темы может использовать эксперимент, наблюдения, различные примеры и задачи, показывающие практическую значимость изучаемой темы или ее теоретическую ценность. Например, введение понятия о тригонометрических функциях можно связать с решением задачи на отыскание расстояния до недоступного предмета. Решив такую задачу, ученики будут знать о практическом применении вводимых понятий и поэтому с большим интересом отнесутся к изучению их. Приступая к теме «Обращение обыкновенных дробей в десятичные», нужно обратить внимание учеников на то, что действия над десятичными дробями выполняются проще, чем над обыкновенными. Возникает вопрос: нельзя ли любую обыкновенную дробь заменить десятичной, и если можно, то как это сделать?

Интерес к изучаемому вопросу, сознание необходимости его изучения создают целеустремленное волевое усилие, способствующее проявлению активности учащихся.

Необходимо, чтобы ученики сами обнаруживали новые для них математические факты. В части IV показано, как это достигается с помощью наглядных пособий, чертежей, решения задач. Особенно большая активность учащихся достигается, когда новые знания они приобретают с помощью лабораторных и практических работ. Школьники испытывают большое удовлетворение в том случае, когда им удается самим подметить какую-либо закономерность в изучаемом явлении. Это положительно влияет на отношение учащихся к математике.

У учащихся восьмилетней школы необходимо создать убеждение в необходимости логического доказательства сформулированного предложения. Всегда ли верно то, что подмечено при наблюдении частных случаев, нет ли исключений? Почему необходимо логическое доказательство? Эти вопросы должны возникать у школьников.

При отыскании плана доказательства теоремы или решения задачи большая активность мыслительной деятельности учащихся достигается применением метода анализа. Опыт показывает, что при достаточных усилиях учителя ученики успешно овладевают этим методом.

Нужно добиваться усвоения общих приемов доказательств. Учащиеся должны знать, каким образом доказывается равенство отрезков, углов, треугольников, параллельность прямых и т. п. Так, например, они должны знать, что равенство отрезков доказывается с помощью рассмотрения треугольников, в которые эти отрезки входят, или с помощью теоремы об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными прямыми, и т. п.

Наиболее эффективно участие учеников в беседе, проводимой эвристическим методом. Продуманная система вопросов помогает учащимся найти способ доказательства теоремы или решения трудной задачи, готовит их к самостоятельной формулировке определения, вывода. В процессе эвристической беседы ученики участвуют в создании цепи логических умозаключений, приводящих к определенной цели — доказательству теоремы или решению задачи. Таким образом, они овладевают методом самостоятельной творческой работы. Необходимо не только продумать систему вопросов, которые будут содействовать развитию мышления, но и подготовить учащихся к тому, чтобы они могли ответить на эти вопросы. Только посильные вопросы и упражнения способны будить мысль учащихся. Непосильные задания не активизируют мышление. Ученики должны быть уверены в возможности преодолеть встретившиеся трудности. Только тогда возможна мобилизация всех их сил и внимания. Замечания учителя, подобные таким, как: «Ты ничего не знаешь», не возбуждают, а подавляют активность детей.

Следует иметь в виду, что вопросы, не требующие напряжения мысли учащихся, подсказывающие ответы, лишь создают внешнюю видимость активной работы и, конечно, не развивают творческих способностей учащихся.

Возбуждению интереса к изучаемому вопросу, несомненно, способствует эмоциональная речь учителя, его авторитет и взаимное уважение между учителем и учениками.

Привитие ученикам навыков в выполнении устных и письменных вычислений возможно только при условии выполнения ими соответствующих самостоятельных работ.

Домашние задания наряду с упражнениями, аналогичными решенным в классе, должны содержать такие, для выполнения которых нужно проявить собственную инициативу, творчество.

Принцип наглядности. Осуществление принципа наглядности при изучении математики состоит в наблюдении различных предметов, моделей, чертежей, рисунков, а также в использовании опыта и представлений, накопленных учащимися. Наглядность в преподавании математики содействует реализации принципов сознательности, доступности и прочности знаний. Необходимость использования наглядных пособий подтверждается психологическими данными. Известно, что основой абстрактного мышления является предметное мышление. Наглядные пособия повышают интерес к изучаемому вопросу и этим содействуют мобилизации внимания учеников.

Весьма ценно с точки зрения наглядности геометрическое толкование арифметических и алгебраических фактов. Так, например, изучение свойств обыкновенных дробей и действий над ними значительно упрощается с помощью изображения дробных чисел в виде отрезков; иллюстрация рациональных чисел с помощью направленных отрезков дает возможность ученикам понять целесообразность правила сложения рациональных чисел и т. п.

Графики функций дают возможность ученикам самостоятельно формулировать свойства функций.

Осуществление принципа наглядности не ограничивается применением наглядных пособий. Изложение материала можно считать наглядным, если учитель в процессе объяснения использовал представления, которые сложились у школьников в результате жизненного опыта.

При решении задач, например задач на движение, широко используются графические иллюстрации.

При введении различных правил арифметики ученики убеждаются в их верности с помощью конкретных примеров.

Применение наглядных пособий должно быть продуманным.

Здесь нельзя руководствоваться принципом: чем больше, тем лучше. Постоянная демонстрация наглядных пособий при изу-

чении теории и решении задач тормозит развитие пространственного воображения учеников. Применение большого количества наглядных пособий на одном и том же уроке нецелесообразно, так как при этом у школьников рассеивается внимание и снижается интерес к демонстрируемым пособиям.

Принцип прочности усвоения знаний. Овладение основами наук возможно только при прочном и сознательном запоминании. Преподавание математики необходимо организовать так, чтобы ученики были способны в дальнейшем воспроизводить изученный материал, использовать его при изучении дальнейшего курса теории и уметь применять к решению задач. Только при наличии определенного запаса знаний ученики могут овладевать новыми знаниями и проявлять творческие способности. С другой стороны, знания оказываются тем прочнее, чем больше активности и самостоятельности было проявлено учеником при их усвоении.

Усвоенные знания тем лучше запоминаются, чем более осмысленно они воспринимались. В процессе осмысленного запоминания устанавливаются связи между новым и ранее усвоенным материалом и появляется возможность для анализа и обобщений. Например, преобразования алгебраических выражений можно успешно изучать только при условии прочных и систематических знаний свойств действий рациональных чисел.

Прочность знаний в значительной мере обеспечивается постоянным повторением пройденного материала. Повторение дает возможность углублять знания и систематизировать их.

При изучении математики весьма существенное значение имеет твердость в навыках счета, в навыках выполнения алгебраических преобразований и простейших геометрических построений.

Для лучшего запоминания следует использовать различные способы восприятия: слуховые (речь учителя, учащихся), зрительные (использование кинофильмов, чертежей, чтение книг), а также восприятия с помощью мускульных движений (записи в тетрадях, геометрические построения, изготовление наглядных пособий, моделей).

Более прочному запоминанию содействует речь учащихся. Пройденный материал запоминается лучше, если ученик неоднократно применял его при словесном комментировании решений задач и примеров.

Обязательным условием прочного усвоения является внимание к излагаемому материалу. Если нет хорошей дисциплины учащихся на уроке, то нет и прочных знаний.

Большое значение имеет интерес, с которым ученики изучают материал. Поэтому нужно на уроках математики сообщать исторические факты, решать задачи с практическим содержанием, а иногда и задачи занимательного характера.

§ 8. Опыт, интуиция и логика при обучении математике в восьмилетней школе. Анализ и синтез. Индукция и дедукция в школьном преподавании. Аналогия

Опыт и наблюдение являются самыми надежными источниками знаний и основанием для заключений в обучении математике учеников младших классов. Почти все арифметические законы выводятся в результате рассмотрения конкретных примеров и опытных преобразований; свойства уравнения выводятся на основании рассмотрения числовых примеров, начала курса геометрии в VI классе изучаются преимущественно опытно-интуитивным путем.

Математическая интуиция, догадка, основанная на зрительных впечатлениях и на некотором уже накопленном запасе знаний, занимает значительное место в обучении математике в младших классах.

Способность детей догадываться о некоторых математических законах развивается по мере накопления опыта, зрительных впечатлений, знаний.

Перед учителем всегда стоит задача воспитать у школьников правильное отношение к заключениям, полученным из опыта и на основании интуиции. В соответствии с возрастными особенностями учеников учитель должен показать им, что эти источники знания могут привести к неверным суждениям даже в том случае, когда суждение вынесено после рассмотрения многих аналогичных фактов.

Опыт, наблюдения и интуиция помогают делать предположения, строить гипотезы, которые иногда верны, но иногда опровергаются последующими исследованиями. Логические рассуждения во многих случаях непосильны для детей, потому-то многие математические законы в курсе V—VIII классов выводятся на основании наблюдения и опыта.

В программе по геометрии прямо указано, что особое внимание должно быть уделено воспитанию у детей потребности в логических доказательствах. Неполноценность математических заключений на основании опыта и интуиции в младших классах учитель может иллюстрировать.

Так, например, на основании того, что 24 = 42, нельзя сделать заключения о переместительном законе возвышения в степень или на основании того, что нельзя установить правило сокращения дробей с помощью зачеркивания одинаковых цифр в числителе и знаменателе.

Недостаточность заключений, основанных на зрительных восприятиях, легко иллюстрируется примерами «зрительных обманов», которые учитель найдет во многих сборниках «Математических развлечений».

Эти примеры могут служить, конечно, только для начального воспитания правильного отношения к наблюдениям, опыту и интуиции. Надо довести до сознания учащихся, что только логика позволяет прийти к неоспоримым заключениям и выводам. Но понимание этого приходит к учащимся не так просто и быстро, его можно добиться систематической работой на протяжении нескольких лет.

Анализ и синтез

Анализ применяется при доказательстве теорем и при решении различного вида задач — арифметических, алгебраических и геометрических. При доказательстве теорем анализ состоит в том, что рассуждения ведутся по пути от искомого к данным. Ведущим вопросом в этом случае является такой: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос? Например, при аналитическом методе рассуждений в доказательстве теоремы: «Из наклонных, проведенных из общей точки плоскости к прямой, та больше, основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра, опущенного из этой же точки на ту же прямую, или проекция которой больше» — эти рассуждения будут вестись следующим образом (рис. 17).

Нам надо сравнить два отрезка АК и АС. Что нам надо знать для этого сравнения? Надо знать, сторонами какого треугольника эти отрезки являются. Надо знать соотношение между углами треугольника, против которых эти отрезки лежат. Надо знать отношение этих углов к прямому углу (<7).

Ответы на поставленные вопросы приводят к выводам:

Отрезки АК и АС являются сторонами треугольника К АС. ^3>^/1, как внешний угол для АВАК, то есть ^3>d. Отсюда следует, что < d, то есть ^.4<3, следовательно, АК < АС. При таком анализе мы устанавливаем, что данные в условии соотношения представляют собой условия, достаточные для осуществления доказываемого соотношения.

Синтетические рассуждения при доказательстве теорем — это рассуждения с последующим переходом (с помощью логических умозаключений) от данных в условии доказы-

Рис. 17

ваемой теоремы к ее заключению. Ведущим вопросом в этом случае является такой: «Что мы можем узнать по данным условия?»

Доказательство рассмотренной теоремы синтетическим методом проходит так: 1) угол 3 является внешним для так как ВС> ВК\ 2) отрезки АК и АС являются сторонами ДА/(С, в котором ^A?>-d, так как он является внешним по отношению к АВАКу значит ^4 <;^3 и т. д.

При решении задач анализ заключается в следующем: исходя из допущения, что искомая фигура построена или искомое значение величины существует, разыскивают те соотношения, которые следуют из этого допущения, затем те соотношения, которые вытекают из этих следствий, и так продолжают до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных предложений. Приведем пример.

Задача. Построить параллелограмм по заданным элементам его: одна сторона а, высота, опущенная на эту сторону, h и диагональ р.

Рассуждаем так: предположим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 18). Изучаем соотношения между элементами фигуры. Вершина параллелограмма С лежит на прямой, параллельной основанию AD и отстоящей от него на расстоянии, равном перпендикуляру, заданному в условии. К т:му же эта точка С (вершина параллелограмма) лежит и на диагонали; значит, точка С является точкой пересечения указанной параллельной прямой и диагонали, проведенной из вершины Л. Отсюда становится ясной последовательность построения искомой фигуры:

1) на прямой AM откладываем AD=a\ 2) строим MKj_AM и МКх = Н; 3) проводим К{Г \\ AM; 4) проводим дугу с центром в точке Л и/?=/?; 5) рхКТ в течке С; 6) точку С пересечения дуги с KT соединяем с D; 7) Проводим АВ\\ДС; 8) АВСД — искомая фигура.

Как видно, в случае решения задачи на построение анализ состоит в установлении тех простых задач, которые являются составными в решении сложной задачи построения искомой фигуры. Таким образом, если анализ при доказательстве теоремы имеет целью показать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения, то анализ при решении задач помогает установить

Рис. 18

условия, необходимые для существования некоторой системы соотношений. После этого посредством синтеза отбирают те условия, которые являются в то же время достаточными.

Синтез же в этом случае состоит в решении задачи путем объединения простых задач в одну составную и включает в себя доказательство того факта, что найденные посредством анализа и использованные при построении необходимые условия существования искомой фигуры являются вместе с тем и достаточными. Мы предлагаем читателю самостоятельно разобраться, в чем состоит анализ и синтез при решении задач на составление уравнений.

В последовательной цепи умозаключений анализ и синтез неотделимо связаны. Так, проводя анализ, то есть следуя от вопроса задачи или заключения, мы вынуждены считаться с тем, что нам известно, и часто данные условия подсказывают нам ответ на очередной ведущий вопрос. И наоборот, следуя синтетическим путем, то есть комбинируя данные задачи (теоремы), мы, естественно, имеем в виду вопрос, на который должны дать ответ.

Таким образом, органическое соединение анализа и синтеза при доказательстве теорем и при решении задач представляет собою единый аналитико-синтетический метод рассуждений.

Индукция и дедукция

Такое умозаключение, посредством которого из единичных или частных посылок делается общий вывод, в курсе логики называется индукцией. Источником индукции и являются обычно опыт и наблюдения. В школьном курсе математики часто пользуются индукцией.

Допустим, мы рассматриваем правило нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (НОК). Пусть эти числа 16 и 12.

Ученики по соображению называют ряд чисел, которые являются общими кратными чисел 16 и 12. Сравним состав множителей заданных чисел и найденного наименьшего общего кратного 48. Замечаем, что в НОК (16; 12) входят все сомножители числа 16 и недостающие из числа 12.

Рассматриваем еще один-два подобных примера и замечаем ту же связь между заданными числами и их НОК. На основании этих нескольких однородных фактов выводим, что для нахождения НОК двух чисел необходимо и достаточно одно из них умножить на все недостающие к нему сомножители другого.

После этого мы можем провести общее рассуждение, не опираясь на конкретные примеры, то есть вывести правило дедуктивным путем.

Таким же путем идем и в геометрии: часто сначала на ряде отдельных фактов, например путем измерений, подмечаем некоторую зависимость между элементами фигуры, а затем обобщаем (доказываем) подмеченное посредством дедуктивных рассуждений.

Например, решив ряд задач относительно суммы внутренних углов треугольника непосредственным измерением этих углов, подмечаем, что эта сумма приблизительно равна 180° (индуктивный путь), а затем этот вывод обобщаем, доказывая на основании известных теорем (дедуктивный путь). Примеры применения неполной индукции приведены во II, III и IV частях книги.

В то время как индуктивный метод характеризуется переходом от рассмотренных частных фактов к обобщениям, дедуктивный метод доказательства состоит в том, что, исходя из предыдущих теорем, выводят необходимо вытекающие из них следствия — новые теоремы — без предварительного рассмотрения частных случаев. Так, зная свойство углов при параллельных прямых, мы можем доказать теорему о сумме внутренних углов в треугольнике, не рассматривая предварительно частных случаев.

При дедуктивном методе изложения материала ученики VI и VII классов не понимают, откуда возникла теорема и почему мы делаем различные дополнительные построения. Для того чтобы довести до сознания и полного понимания учащихся не только доказательства, но и необходимость прибегать к ним, желательно дедуктивное доказательство теорем предварить установлением фактов индуктивным методом. Индуктивный метод может выражаться в предварительном решении задач, в геометрических опытах, в измерениях, подсказывающих выводы, достоверность которых затем доказывается.

Во всех приведенных примерах учитель, по существу, пользуется методом научного исследования — анализом: на простых фактах учитель учит детей методу «поисков» и «открытий» некоторых новых соотношений, законов путем изучения конкретных объектов; на этом этапе ученики сопоставляют факты, подмечают характерные и общие свойства явления и т. д. На основе некоторого числа отдельных (частных) наблюдений соотношений или свойств явления они делают общий вывод относительно этих соотношений или свойств для всех явлений данного вида или, как принято говорить, для всего бесконечного множества данного вида (множества чисел, множества треугольников, множества уравнений). Этот путь к выводу на основании ограниченного числа наблюдаемых фактов (а наблюдать неограниченное число фактов невозможно) и представляет собой индуктивный путь «доказательства» закона, характеризующего данное явление.

Иногда выводы, сделанные на основании рассмотрения частных случаез, то есть индуктивным путем, завершаются такими общими рассуждениями, что позволяют учителю записать их в общем виде с помощью букв. Так, при изучении «произведения степеней с одинаковым основанием» учитель может при рассмотрении ряда конкретных примеров (а3-а4; х2-хь и др.) сделать рассуждения настолько общими, что ученики сами сделают общий вывод и даже запишут его: (aP-ak=ap+k), и доказательство теоремы в общем виде можно в таком случае в VI классе и не проводить (см. ч. III, гл. III §9).

В других случаях, например при установлении зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, вывод, сделанный на основании частных примеров, нуждается в логическом доказательстве со ссылками на ранее известные математические законы. Точно так же возможно посредством решения трех задач на построение треугольника по трем сторонам при различных соотношениях сторон прийти индуктивным путем к выводу, что треугольник можно построить (а значит, таковой реально существует) при условии, когда сумма двух сторон больше третьей.

Но это соотношение в треугольнике становится математической истиной после доказательства соответствующей теоремы. Умозаключения, сделанные на основании ранее установленных предложений, и являются умозаключениями дедуктивного характера. Для дедуктивного умозаключения необходимы две посылки силлогизма: большая посылка, которой является аксиома, или ранее доказанная теорема, или определение, и малая посылка, которой являются данные условия или следствия из них, полученные на основе умозаключений. Третьим элементом дедуктивного рассуждения является заключение, вытекающее из двух посылок.

В качестве примера приведем доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника (рис. 19). Большой посылкой является определение развернутого угла, полученного построением прямой DBE параллельно АС, малой посылкой являются равенства углов и /_PBD= /ВСА, как соответственных при параллельных прямых; заключение: ^ВАС+</ВСА+^/яАВС=2с1.

Замечание. В цепи умозаключения для простоты опущены промежуточные рассуждения.

При доказательствах необходимо рассматривать все возможные ситуации для данной фигуры или данного соотношения. Так, при

Рис. 19

доказательстве теоремы об измерении вписанного угла надо рассмотреть все три возможных положения центра окружности. Если этого не сделать, то вывод нельзя считать полноценным, а значит, и вообще нельзя считать предложение доказанным1. На необходимость соблюдать это требование при доказательствах теорем надо постоянно обращать внимание учеников.

Индукция и дедукция, так же как анализ и синтез, взаимосвязаны и дополняют друг друга.

Индукция без дедукции никогда не может привести исследование некоторого факта к вполне достоверным выводам, вывод является только вероятным. Но чтобы произвести дедуктивное умозаключение, необходимо использовать различные общие положения, в установлении и формировании которых принимало то или иное участие индуктивное обобщение. Эта связь дедукции и индукции особенно выявляется в школьном изложении математики. Дедукция и индукция являются вспомогательными приемами для познания объективной действительности. Поэтому выводы, полученные индуктивным путем, нельзя недооценивать и надо, чтобы ученики понимали ценность их на пути установления математических законов.

Не следует смешивать индуктивный метод рассуждений с доказательством при помощи «математической индукции». Принцип математической индукции состоит в следующем: «утверждение справедливо для всякого натурального числа л, если: 1) оно справедливо для п=\ и 2) из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального числа n = k следует справедливость его для n = k-{-l». Этот принцип принимается за аксиому, и доказательство с помощью этого принципа имеет дедуктивный характер. Методом математической индукции на уроках в восьмилетней школе не пользуются, но учитель должен хорошо его знать.

В учебной работе дедуктивным методом рассуждения широко пользуются в геометрии начиная с VI класса. Однако учитель должен видеть, что и в других разделах математики, в частности в алгебре, мы пользуемся преимущественно тем же методом. Во многих случаях выводам в алгебре надо придать (и это можно сделать) такую же форму, как это делается в геометрии: выделять условие и заключение и проводить доказательство дедуктивным путем.

Приведем несколько примеров.

1. Если дано ар, где а>0 и р и k —- натуральные числа, то (aP)k=a,Pk.

2. Если—=—, то ad=bc (см. часть III, гл. III, §9).

1 См. А. Я. Хинчин, О воспитательном эффекте уроков математики, «Математика в школе», 1962, № 3,

3. Если квадратное уравнение имеет вид Jt2-f р*+0=0, то корни его равны:

Было бы хорошо, если бы и в курсе арифметики формулировки изучаемых зависимостей облекались в «условные» предложения, например: «если есть две дроби, то произведение их равно...», «если из четырех чисел составлена пропорция, то произведение крайних членов этой пропорции равно...».

Эти формулировки в дальнейшем можно было бы заменять и более простыми, общепринятыми в учебниках, но в первоначальном объяснении учителя формулировки в виде условных, предложений давали бы правильное направление мысли учащихся. Несомненно, такая работа учителя по арифметике и алгебре укрепляла бы в умах школьников правильное представление о математике и математических методах. От умения учителя «тактично» подвести учащихся к дедуктивному выводу в арифметике или алгебре зависит степень понимания учениками логической системы этих предметов.

Конечно, в арифметике эту сторону математики можно только наметить, в алгебре многие выводы, в частности о тождественных преобразованиях, нетрудно облечь в форму «доказательной» теории.

Аналогия

Нередко выводы относительно зависимости между величинами или относительно взаимного положения геометрических объектов делаются по аналогии с уже известными зависимостями между другими объектами или взаимными положениями других объектов.

Заключения по аналогии — это заключения по сходству. Этот путь сокращает рассуждения, но так же, как опыт и интуиция, не вполне надежен; он может быть использован только для предположительных заключений (гипотез), справедливость которых должна быть доказана. Эти доказательства часто значительно облегчаются благодаря сходству фактов.

Так обстоит дело с переместительным законом сложения и умножения, со многими свойствами уравнения и неравенства, с теоремами относительно свойств наклонных из общей точки к прямой (в планиметрии) и к плоскости (в стереометрии).

Методом аналогии следует пользоваться в школе, но при этом надо иметь в виду, что ученики нередко, опираясь на рассуждения по аналогии, делают ошибки, например: зная, что если а -5=6 -5, то а=Ь9 они считают, что если а-0=Ь-О, то а=6, или зная, что

— >—, ученики иногда полагают, что — > —. Подобные ошибки следует, конечно, предупреждать или разбирать самым тщательным образом.

§ 9. Математические понятия и методика формирования их

1. Математические понятия. Нужно отчетливо представлять, что математические понятия, несмотря на свою абстрактность, отражают свойства и закономерности реального мира.

Рассмотрим пример возникновения математического понятия. На полу комнаты мы видим мяч, имеющий форму шара,— этот процесс в нашем сознании называется в логике восприятием. Мы вышли из комнаты и уже не видим мяча, но его образ сохранился в нашей памяти, в нашем сознании, у нас создалось представление о мяче. Мы видели много различных шаров: мячей, шариков для подшипников, конфеток драже. Отвлекаясь от индивидуальных признаков разных шариков (одни резиновые и упругие, другие металлические и твердые, третьи красные и сладкие), мы сохраняем в сознании и выделяем среди множества различных виденных нами предметов только существенную особенность всех этих шариков — форму: у нас создается понятие шара вообще. Таким образом, понятие о предмете или некотором факте в нашем сознании складывается в результате обобщения массы воспринимаемых и представляемых предметов, явлений, фактов. Понятие, в отличие от восприятия и представления, отражает и фиксирует в нашем сознании не все признаки и особенности предмета или явления, а только существенные и присущие всем однородным предметам.

Понятие лишено той наглядности, которая свойственна процессу восприятия и представления.

Учитель при обучении детей математике содействует возникновению у них правильных математических понятий. При этом он начинает с постановки конкретных задач, рассмотрения наглядных образов. Так, еще в начальной школе рассматриваются равные доли конкретных фигур (отрезка, круга, прямоугольника), что способствует образованию представления о равных долях единицы. В V классе учитель исходит из этих представлений, использует их для создания в сознании учащихся отвлеченного понятия дроби. Даже в старших классах школы учитель не может начинать с перечисления признаков понятия, не выяснив, имеются ли у них соответствующие представления. Так, переходя к понятию функции, учитель предварительно предлагает ряд конкретных примеров функциональной зависимости между величинами. Усвоению новых понятий значительно

помогает та предварительная работа, которая была проведена с учениками младших классов школы. Так, например, если при изучении арифметики учитель планомерно останавливался на зависимости одной величины от другой, предлагал ученикам составлять таблицы значений конкретных величин, знакомил их с простейшими графиками (как это и рекомендуется программой школы), то он этим готовил школьников к усвоению понятия функции. Работа по созданию геометрических понятий рассмотрена ниже, в методике геометрии.

Понятие как одна из форм правильного мышления подробно изучается в логике. Мы остановимся только на некоторых существенных вопросах.

Понятие отображает общие и существенные признаки реальных предметов; оно является правильным, если верно отражает действительность.

Существенными признаками называются те признаки, которые являются необходимой принадлежностью предметов определенного рода и отличают их от предметов других родов. Таким образом, существенные признаки характеризуют предметы реальной действительности и дают возможность познать их. Несущественными признаками называются те признаки, которые хотя и имеются у тех или иных предметов данного рода, но не характеризуют их и не дают возможности отличить их от предметов других родов.

В каждом понятии логика различает содержание и объем. Содержанием понятия называется знание совокупности существенных признаков некоторого круга предметов или явлений. Объемом — совокупность этих предметов. Так, например, содержанием понятия «параллелограмм» являются признаки: выпуклый, плоский четырехугольник, стороны попарно параллельны, противоположные стороны равны, диагонали в точке пересечения делятся пополам и т. д. Объемом понятия «параллелограмм» являются все параллелограммы, то есть фигуры, обладающие этими признаками.

Между содержанием и объемом понятия существует определенная зависимость: чем шире содержание понятия, тем уже его объем. И обратно, чем уже содержание понятия, тем шире его объем.

Таким образом, включив в содержание понятия новый признак, не вытекающий из остальных, мы расширяем содержание понятия, но уменьшаем его объем. Так, включив в содержание понятия параллелограмма равенство его пересекающихся сторон, мы получаем понятие с меньшим объемом: в него не войдут параллелограммы с неравными смежными сторонами.

Вопрос об объеме и содержании понятия относится не только к геометрическим объектам (геометрическим фигурам и

свойствам их), но и к понятиям арифметики, алгебры, тригонометрии.

Алгебраическое понятие «тождественное преобразование» шире понятия «сокращение дроби», объем первого понятия больше, так как оно охватывает собой и сокращение дробей, и разложение многочленов на множители, и приведение подобных членов и т. д.

Но и здесь понятие с большим объемом — «тождественное преобразование» — имеет содержание меньше, чем понятие с меньшим объемом — «сокращение дроби». Действительно, ведь не каждое тождественное преобразование допускает деление .компонентов (составных частей выражения) на одно и то же выражение, а сокращение дроби в этом и состоит; вместе с этим сокращение дроби сохраняет и свойство любого тождественного преобразования — сохранять численное значение при некоторых принятых для данного случая численных значениях букв, входящих в выражение.

Аналогично приведенному разбору в арифметике можно рассмотреть понятия: «общее кратное числа» и «наименьшее общее кратное числа», в тригонометрии — понятия: «тригонометрическая функция» и «функция синуса» и т. д.

Отметим, что если объем некоторого понятия целиком входит в объем другого понятия, заключающего еще и другие объекты, то первое понятие называется видовым по отношению ко второму, а второе — родовым. Так, например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм», а понятие «параллелограмм» — родовым. Но то же понятие «параллелограмм» является видовым по отношению к понятию «четырехугольник». В алгебре примером родового понятия может служить понятие «тождественное преобразование», а видового—«сокращение дробей».

2. Определения. В математике, как в каждой науке, даются определения изучаемым понятиям. В определении раскрывается содержание понятия, то есть указываются с помощью перечисления его существенные признаки.

Казалось бы, наиболее простым и естественным способом определения предмета является перечисление всех существенных признаков этого предмета. Но такой способ определения труден, а иногда и невозможен, так как каждый предмет имеет много признаков. Логика устанавливает способ определения, который устраняет эти трудности.

Определяемое понятие подводится под другое, более общее понятие, которому данное понятие подчинено, то есть часть объема которого оно составляет, а затем указываются те признаки, которыми определяемое понятие отличается от других понятий, также подчиненных общему понятию и также входящих в его объем.

Такой способ определения называется определением через ближайший род и видовое отличие.

Чтобы определение было правильным с логической точки зрения, оно должно заключать только необходимые признаки понятия, причем совокупность всех признаков должна быть достаточной, чтобы охарактеризовать понятие. Так, мы определяем параллелограмм как такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Исключение хотя бы одного из перечисленных признаков расширит объем понятия, то есть каждый признак является необходимым (например, если не сказать, что параллелограмм имеет четыре стороны, то и правильный шестиугольник подойдет под определение, так как его противоположные стороны попарно параллельны). С другой стороны, включение еще какого-либо признака не требуется. Если прибавить признак, независимый от перечисленных, то объем понятия уменьшится, как было уже рассмотрено выше. Если же прибавить признак, вытекающий из введенных в определение, то, хотя объем понятия от этого не изменится, внесение такого признака излишне. Например, не нужно включать в определение параллелограмма, что его противоположные стороны равны или что он является выпуклым четырехугольником, так как оба эти свойства вытекают из перечисленных. Таким образом, в число требований к строго построенным определениям включается независимость каждого признака понятия от остальных.

Однако отдельные понятия трудно определить, пользуясь родовым и видовым отличиями.

Логика вводит генетические определения. В генетических определениях указывается способ образования или способ происхождения определяемого предмета, который (способ) принадлежит только данному предмету и никакому другому.

Генетические определения довольно широко используются в школьном курсе геометрии. Так, иногда окружность определяется как «замкнутая линия на плоскости, образуемая движением точки В прямой AB вокруг неподвижной точки Л». В самом деле, в результате указанного процесса (движения точки В) никакой другой фигуры, кроме окружности, получиться не может.

Правда, в приведенном определении есть понятия, которые должны быть учащимся известны или определены раньше, например «вокруг». Надо отметить и другое, что приведенное генетическое определение может быть заменено другим определением: «замкнутая кривая линия на плоскости, все точки которой отстоят на равном расстоянии от некоторой точки этой же плоскости». В этом случае родовым понятием является «замкнутая кривая плоскости», а видовым отличием — вторая часть

предложения. О различных определениях одного и того же понятия мы говорим ниже.

Надо заметить, что словесная формулировка определения не всегда содержит явное указание на род и видовой признак, но анализ определения всегда позволяет их указать.

Ученики не всегда ясно представляют, как понимать определение понятия и требования, которые предъявляются к определению его. А надо добиваться, чтобы в конечном счете они поняли, что определение есть математическое предложение, позволяющее уточнить значение уже введенного термина или сформулировать значение вновь вводимого термина. (О методике формирования понятий и определений сказано дальше.)

Ученики часто путают определения и признаки, не понимают, что определения не доказываются, а признаки доказываются.

Одно и то же понятие может быть определено различно, так как может быть указана совокупность различных существенных признаков, удовлетворяющая изложенным выше требованиям.

Например, параллелограмм можно определить как выпуклый плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны. В этом случае параллельность сторон будет являться следствием указанных признаков и не вносится в определение.

Обычно в изложении науки дают какое-либо одно определение понятию, если же вводится еще и другое определение, то надо показать, что оба определения равнозначны, что содержание и объем понятия остаются тем же. Так, определения «подобных многоугольников» в учебниках А. П. Киселева и Н. А. Глаголева различны1. В первом дано такое определение: «Два одноименных многоугольника называются подобными, если углы одного равны соответственно углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны». Во втором дано такое определение: «Если подобным преобразованием одной из двух данных фигур можно получить фигуру, равную другой, то данные фигуры называются подобными». При этом предварительно выясняется, какое преобразование называется подобным.

В определении не должно быть порочного круга. Это требование означает, что нельзя определять новое понятие через такое понятие, которое зависит от определяемого. Примерами порочного круга в определениях могут служить следующие «определения», которые иногда можно встретить в школьной практике:

1а) Сложение есть действие, при помощи которого находится сумма нескольких чисел.

1 См. [248], [227], стр. 153.

1б) Суммой называется результат сложения.

2а) Прямым углом называется угол, содержащий 90 градусов.

2б) Градусом называется девяностая часть прямого угла.

Как видно, в обоих случаях первое понятие определяется при помощи другого, которое в свою очередь определяется при помощи первого.

С развитием математики некоторые ее понятия изменяются. Как и всякая наука, математика все глубже вникает в свойства вещей, открывает новые зависимости между изучаемыми объектами. Отсюда вытекает необходимость в изменении определений.

Так, в своем развитии понятие числа претерпевало изменение и расширилось. В математике постепенно вводились все новые числа: натуральные, дробные, нуль, отрицательные, иррациональные... Определение действий, данное в одной области чисел, оказывалось неприемлемым.

Также и в геометрии: если понятие угла первоначально возникло в результате отображения свойств плоских углов меньше развернутого, то затем стали рассматривать и углы развернутые, полные. Развитие тригонометрии показало целесообразность рассматривать углы разных направлений (положительные и отрицательные) и любой величины. При изучении стереометрии возникла потребность в рассмотрении углов между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя и несколькими плоскостями (двугранных и многогранных углов).

Чем моложе ученик, тем труднее он понимает сущность, смысл определений; поэтому в младших классах приходится введение некоторых новых понятий сопровождать поясняющими описаниями. Часто такие описания даются в арифметике, например: «всякое целое число есть либо единица, либо собрание нескольких единиц», «одна доля или несколько одинаковых долей единицы называются дробью». Такого вида описания даются в V классе и по геометрии. Эти поясняющие описания нельзя выдавать и трактовать как определения. Определения полностью опираются на ранее введенные понятия, которым в свою очередь дано определение; описания могут опираться одновременно и на понятия, которые были введены раньше, на представления, полученные из жизненного опыта, из наблюдений конкретных тел, моделей и т. д. Определения строятся по законам логики, и учитель должен остерегаться впасть в ошибку и выдать описание за определение. Поэтому заставлять учеников заучивать фразы вроде таких, как «число есть результат счета, или измерения», «отношение есть результат сравнения», и подобные этим и считать эти фразы ответами на вопросы, что такое число, что такое отношение, то есть определениями поня-

тий — это значит сознательно прививать детям порочный стиль мышления.

3. Основные понятия. При логическом построении любой математической дисциплины неизбежно вводятся некоторые понятия, которым не дается непосредственных определений. Такие понятия называются основными или первоначальными. Необходимость введения основных понятий делается ясной, если знать, что, давая определение какому-либо понятию, нельзя обойтись без другого понятия, введенного ранее. Например, определяя параллельные прямые как такие две прямые, которые расположены в одной плоскости и не пересекаются, мы пользуемся понятиями: «прямая», «плоскость», «пересечение прямых». Но для определения этих понятий надо снова применить какие-то иные понятия.

Цепь определений не может быть бесконечной, а поэтому какие-то понятия должны быть приняты за основные.

В научных курсах геометрии основными понятиями обычно являются: точка, прямая, плоскость и некоторые отношения, например, «лежать на», «между» и т. д.; в арифметике — понятие натурального числа, равенства и др.

В научных курсах такие понятия не описываются, не иллюстрируются; их содержание выражается в аксиомах. Так, понятия точки и прямой определяются1 совокупностью аксиом сочетания, порядка и непрерывности.

«Определение» понятия через абстракцию состоит в том, что понятие «определяется» как нечто общее, присущее объектам самой разнообразной природы, объединенным в один класс по какому-либо признаку.

К таким понятиям относится понятие натурального числа.

Любое натуральное число в теоретической арифметике рассматривается как выражение того общего, что имеют все конечные множества, допускающие взаимно однозначное соответствие элементов этих множеств.

Проф. А. Я. Хинчин считал, что «курсы арифметики и алгебры должны быть ориентированы на постепенное создание и укрепление у учащихся представления о числе как об объекте арифметических операций».

В школьном курсе основные понятия также не определяются, но, вводя их, преподаватель пользуется конкретными объектами, вызывающими соответственные представления учащихся.

Понятие о натуральном числе формируется у детей с ранних лет и учителю при обучении детей арифметике в V классе оста-

1 Определение — математическое предложение. В приведенной же фразе слово «определяются» понимается как процесс отличения предметов, а не раскрытие значения термина, обозначающего данный предмет. См. учебник логики, Д. П. Горского, Институт философии АН СССР, 1963.

ется ввести только термин и указать, что ряд чисел 1, 2, 3 ... может быть продолжен неограниченно.

При этом учитель не опирается на какие-либо аксиомы, не указывает каких-либо свойств этих чисел, а пользуется абстракцией, созревающей у учащихся к возрасту 10—11 лет в отношении рассматриваемого множества.

Какова же методика формирования понятий и определений понятий? Прежде всего надо иметь в виду, что представление об описываемой вещи должно отчетливо существовать в уме ученика до того, как будет сформулировано формальное определение. Поэтому выработке у учеников представления о соответствующем математическом объекте должно быть уделено особое внимание.

Так, в арифметике понятие о наибольшем делителе складывается на основании понятия о делителе числа вообще. В алгебре понятие о тождественном преобразовании складывается у школьников после предварительного рассмотрения числовых значений некоторого алгебраического выражения, представленного в разных видах.

Иногда первоначальное представление о некотором математическом объекте целесообразно дать в порядке сопоставления, сравнения родственных объектов. Так, представление о параллелограмме может быть выяснено в порядке рассмотрения и сравнения различных четырехугольников, а затем на основании представлений о данной фигуре формируется понятие и его определение. Формирование некоторых понятий приходится вести в течение длительного периода; к таким понятиям относятся понятия об уравнении, о функции и других объектах.

Не случайно в VI и VII классах рассматриваются сначала зависимости между величинами и различные способы выражения этих зависимостей, и только в VIII классе программы предусматривают введение понятия о функции и систематическое изучение функций.

В процессе формирования понятий формально-логическое определение имеет очень большое значение, так как позволяет совершенно точно выделить объект определяемого класса. Иногда изучение понятия и начинается с формулировки определения, но так можно поступать только в том случае, когда сама формулировка определения доступна для понимания и осознана учащимися, к тому же они ясно представляют себе определяемое понятие. Так, например, переходя к изучению десятичных дробей, можно начать с определения десятичной дроби, так как в практике упражнений с обыкновенными дробями ученики уже встречались и с десятичными дробями, а само определение десятичной дроби весьма простое и легко усваивается.

Однако довольно часто ученик может точно сформулировать определение, но в дальнейшем выясняется, что он этим опреде-

лением не владеет. Такой факт свидетельствует о том, что ученик не усвоил соответствующего понятия или что понятие не сформировалось до конца. Известны распространенные ошибки — смешение понятий «биссектриса треугольника», «медиана треугольника» и др.

Поэтому формулировка определения понятия должна завершать процесс формирования понятия. Когда понятие в уме каждого ученика уже сложилось, сформировалось, то есть когда они уяснили содержание понятия, тогда уместно установить необходимые и достаточные существенные признаки понятия и сформулировать определение. И, конечно, особенно ценно, если в процесс установления определения активно включаются сами ученики. Этот процесс чаще всего проходит в виде эвристической беседы.

Введенное определение должно прочно войти в систему знаний учащихся. Они должны знать и помнить определение; но надо еще раз подчеркнуть: следует всячески остерегаться механического заучивания определения без связи его с реальным представлением, без понимания логической структуры определения.

Многократные наблюдения свидетельствуют о том, что восьмиклассники, зная определение скрещивающихся прямых, не могут показать такие прямые в окружающей их обстановке.

Вместе с этим опыт показывает, что, если выполнены требования к формированию «понятия и к введению соответствующего определения, данное определение «работает». Если введенное определение повторяется и на него опираются при решении задач и при доказательстве теорем учитель и ученики, то определение хорошо запоминается и смысл его не утрачивается в сознании учащихся.

4. Целение понятия. Классификация. Деление понятия рассматривается в курсе логики как логическое действие, раскрывающее объем понятия. Произвести деление — значит указать все видовые понятия, соподчиненные делимому понятию. Так, например, мы можем разделить понятие арифметической дроби на понятия «правильная» и «неправильная» дроби. Понятие «треугольник» — на понятия «прямоугольный», «тупоугольный» и «остроугольный» треугольники. Производя деление, мы мысленно распределяем по определенному признаку на несколько видов тот класс предметов, отображением которого является делимое понятие.

Логика устанавливает правила деления понятия. Основным правилом является то, что деление проводится по какому-нибудь определенному признаку, называемому основанием деления; этот признак нельзя менять при проведении деления. При правильном делении весь объем понятия должен быть исчерпан, то есть ни один вид не пропущен; в то же время каждый

вид делимого понятия должен исключать остальные. Например, нельзя разделить обыкновенные дроби на правильные и несократимые или треугольники на разносторонние и прямоугольные. В обоих примерах нет одного основания деления, а также не соблюдены и остальные требования.

В каждой науке мы встречаемся с приведением в некоторую систему изучаемых в ней объектов. Система расположения предметов по классам на основании сходства предметов внутри класса и их отличия от предметов других классов называется классификацией.

Классификация является частным случаем деления понятия и должна проводиться по тем же правилам.

Рассмотрим, например, классификацию параллелограммов. Ее можно проводить по разным признакам: или в зависимости от свойства их сторон, или в зависимости от свойства их углов. В основу деления надо положить один из этих признаков.

Например, будем делить параллелограммы на виды в зависимости от наличия в них равенства пересекающихся сторон. Тогда все параллелограммы разобьются на два класса: равносторонние параллелограммы и неравносторонние. Каждый из образовавшихся классов мы снова разбиваем на виды в зависимости от того, являются ли углы параллелограмма прямыми или нет. (Мы знаем, что если в параллелограмме один угол прямой, то и все его углы прямые.)

Изобразим классификацию в виде схемы.

Мы видим, что каждый вид параллелограмма имеет свое место и ни один не попадает в два класса. Отметим, что не каждый частный вид параллелограмма имеет название, что затрудняет учеников при классификации этих фигур. Можно было бы провести классификацию параллелограммов, начиная деление по признаку наличия прямых углов, а затем каждый вид разделить на классы в зависимости от наличия равенства смежных сторон. Предлагаем соответственную схему выполнить читателям. В результате мы получим те же 4 частных вида, но в первом случае мы получаем квадрат как прямоугольный ромб, а во втором случае — как равносторонний прямоугольник.

Если учитывать оба основания деления, то классификацию можно иллюстрировать таблицей в два входа (рис. 20).

Так же можно изобразить классификацию треугольников1. Правильно проведенная классификация систематизирует знания учащихся, содействует развитию логического мышления, помогая уточнить зависимость между объемом и содержанием понятия. Поэтому учителю надо уделить достаточно внимания на усвоение учащимися классификации2.

Рис. 20

5. Аксиомы и теоремы. При изложении каждой математической дисциплины все ее содержание приводится в строгую логическую систему. Независимо от того, как был первоначально обнаружен какой-либо факт, его стремятся доказать, то есть вывести на основании правил и законов логики из других уже известных знаний. Эти знания выражаются в виде математических предложений. Форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно предметов и их признаков, в логике называется суждением. В каждом математическом предложении тоже выражается некоторое суждение о математических понятиях.

Такое математическое предложение, которое доказывается, называется теоремой. Доказательство всякой теоремы опирается на другие предложения, истинность которых уже установ-

1 См. ч. IV, § 17.

2 См. ч. IV, § 6. Вопросы классификации изложены в методике геометрии Н. М. Бескина.

лена. Однако, чтобы доказать эти предыдущие предложения, надо сослаться еще на некоторые, ранее доказанные. Так как процесс доказательства должен иметь начало и какое-то предложение должно быть первым, то очевидно, что в основу данной науки должно быть положено несколько предложений, принятых без доказательства. Они и называются аксиомами.

Необходимость существования аксиом при логическом построении науки была обнаружена еще в древней Греции, то есть больше двух тысяч лет назад; однако только в конце XIX в. и особенно в XX в. аксиомы, лежащие в основании отдельных математических наук, были подвергнуты глубокому изучению. Многими учеными проводилась работа по составлению списка аксиом для каждой математической дисциплины. Совокупность всех аксиом, лежащих в основании данной науки, называют системой аксиом. К ней предъявляются следующие три требования.

1) Система аксиом должна быть непротиворечивой. Это значит, что никакая аксиома не может противоречить другой аксиоме, никакое следствие из какой-либо аксиомы не должно противоречить никакому другому следствию из нее, никакому выводу из других аксиом.

2) Система аксиом должна быть независимой, то есть ни одна аксиома не может быть выведена из остальных. Если бы аксиома могла быть выведена из других, то ее следовало поместить в число теорем.

3) Система аксиом должна быть достаточна для доказательства любого истинного положения данной науки. Поэтому при доказательстве какого-либо предложения нельзя ссылаться на очевидность или на опыт; оно должно быть обосновано другими теоремами или аксиомами.

Составление такой системы аксиом, а главное, проверка, что она удовлетворяет перечисленным требованиям, представляет собой чрезвычайно сложную задачу.

Изложение математики, при котором в основу кладутся некоторые основные понятия и определенная система аксиом, а все остальные понятия строго определяются и все остальные предложения строго доказываются, называется аксиоматическим. Оно не может быть проведено даже в старших классах школы. Понимание его требует высокого математического и логического развития. Такое изложение совершенно порывает с наглядностью, с первоначальным происхождением математических понятий и рассматривает очень отвлеченные, абстрактные зависимости.

Однако только в свете построения математической дисциплины как логической системы выявляется роль аксиомы и ее отличие от теоремы. То, что некоторое предложение является аксиомой, следует не только из его очевидности, но и из того, что

в системе построения данной науки оно является одним из исходных, основных и не может быть логически выведено из других предложений. Эти основные предложения взяты из опыта многовековой жизненной практики и отображают очень общие связи и закономерности действительного мира.

Как известно, в каждой теореме различается условие и заключение. Доказательство теоремы в том и состоит, чтобы показать, что если условие теоремы выполнено, то из него логически следует заключение. Форма мышления, посредством которой из двух или нескольких суждений мы получаем новое суждение, в логике называется умозаключением. Логика рассматривает различные виды умозаключений и устанавливает те правила и законы, посредством которых из верных данных (посылок) приходят к правильным выводам1. Доказательство теоремы осуществляется при помощи ряда умозаключений, при этом, исходя из некоторых более общих свойств, законов, правил, приходят к частным выводам; такие умозаключения называются дедуктивными. Например, при доказательстве теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника мы пользуемся общим свойством всякого параллелограмма — равенством противоположных сторон, признаком равенства прямоугольных треугольников, зависимостью между углами и сторонами в равных треугольниках. Также при доказательстве сформулированного выше свойства частного мы основываемся на определении частного и на общих свойствах (законах) умножения.

Известно, что, имея некоторую теорему, можно образовать из нее новые теоремы: обратную, противоположную, обратную противоположной. Исходная теорема тогда называется прямой. Обычно для составления обратной теоремы заключение прямой теоремы делают условием новой, а условие данной теоремы — заключением обратной. При составлении противоположной теоремы отрицается условие данной теоремы и соответственно отрицается заключение. Выразим зависимость между этими теоремами в схеме, обозначая свойства, высказываемые в условии прямой теоремы, буквой Л, а в ее заключении — буквой ß. Получим следующую схему.

1 См. [221] и С. Н. Виноградов и А. Ф. Кузьмин, Логика, 1951.

Рассмотрев внимательно эти теоремы, мы видим, что теоремы прямая и противоположная обратной выражают одну и ту же зависимость, то есть истинность одной из них вызывает и истинность другой.

Доказывается это так: «допустим, что теорема, противоположная обратной, неверна, то есть «если нет Л, то А может быть». Но в таком случае по прямой теореме имеем «если есть Л, то есть и В», последнее заключение противоречит предположению, а значит невозможно.

Например, если верно, что всякое число (натуральное), которое оканчивается нулем, делится на 5, то из этого следует, что если число не делится на 5, то оно не оканчивается нулем.

Очевидно, что такая же зависимость существует между обратной и противоположной теоремами: они могут быть или обе верными, или обе неверными.

Отсюда следует, что нет необходимости каждый раз доказывать каждую из четырех теорем, достаточно доказать из каждой пары одну.

Однако истинность некоторой теоремы не обязательно влечет за собой истинность обратного или противоположного предложения.

Так, из теоремы: «Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5» — не следует, что «если число делится на 5, то оно оканчивается нулем», так как существуют числа, не оканчивающиеся нулем, но кратные пяти. Если же в качестве прямой теоремы взять теорему: «Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10», то будет верна и обратная ей теорема: «Если число делится на 10, то оно оканчивается нулем». В этом случае истинность обратной теоремы (а следовательно, и противоположной) основана на том, что на 10 делятся только те числа, которые оканчиваются нулем.

Рассмотрим подробнее вопрос об образовании обратных теорем. Выше мы образовали теорему, обратную данной, путем замены условия прямой теоремы ее заключением, а заключения — условием и убедились в том, что таким способом не всегда можно образовать верную обратную теорему, так как обратное предложение может оказаться и неверным. Однако условие многих теорем имеет сложный характер, то есть заключает в себе как бы несколько пунктов. Расчленив условие, мы можем образовать верную обратную теорему путем переноса в заключение только части условия прямой теоремы. Для примера возьмем теорему из арифметики: «если каждое из двух слагаемых делится на какое-либо число, то и сумма их делится на это число». Если поменять условие и заключение, то получим неверное обратное предложение. «Если сумма двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то и каждое слагаемое делится на это число».

Условие прямой теоремы содержит два пункта: 1) первое слагаемое делится на некоторое число; 2) второе слагаемое делится на то же число. Сохраним в условии один из этих пунктов, а другой обменяем с заключением. Получим следующую обратную теорему: «Если сумма двух слагаемых и одно из них делится на какое-нибудь число, то и второе слагаемое делится на это число». Эта теорема верна и равнозначна известной теореме о делимости разности на некоторое число.

Если условие, а также и заключение некоторой теоремы можно расчленить, то можно образовать несколько теорем, обратных данной прямой теореме. Поясним это на примере.

Прямая теорема: Противоположные стороны параллелограмма равны.

Запишем условие и заключение схематически.

Условие Заключение В четырехугольнике ABCD 1) AB \\ CD 1) AB=CD

2) ВС Ii AD 2) BC=AD

Составляем первую обратную теорему, меняя местами оба пункта условия и оба пункта заключения1.

Условие Заключение В выпуклом четырехугольнике 1) AB=CD 1) AB || CD

ABCD 2) BC=AD 2) ВС || AD

Получаем первый признак параллелограмма.

Вторую обратную теорему можем образовать, оставив в условии пункт 1-й, а пункт 2-й условия обменять с пунктом 1-м заключения. Получаем теорему

Условие Заключение В выпуклом четырехугольнике 1) AB \\ CD 1) ВС || AD

ABCD 2) AB=CD

Получаем второй признак параллелограмма (пункт 2-й заключения не внесен, так как он вытекает из пункта 1-го).

Третью теорему составляем, оставляя в условии пункт 1-й, а пункт 2-й меняем местами с пунктом 2-м заключения. Получаем

Условие Заключение В выпуклом четырехугольнике 1) AB |! CD ?

ABCD 2) BC=AD

Составить правильную обратную теорему не удается; ни одно из остальных положений не является необходимым; вследствие равнозначимости 1-го и 2-го пунктов условия (и заключения) другие перестановки ничего нового не дают.

1 Обращаем внимание на необходимость внесения признака «выпуклы» в условие теоремы.

Предлагаем читателю так же составить различные обратные теоремы для теоремы о средней линии трапеции.

В школьном курсе геометрии мы не раз встречаемся с образованием нескольких обратных теорем. Укажем хотя бы на теоремы, обратные теореме о диаметре, перпендикулярном к хорде. Обращаем внимание на то, что в учебнике образованы не все обратные теоремы, что легко обнаружить, если расчленить условие, как было сделано выше1.

Необходимые и достаточные условия в математике. Ученики даже старших классов часто ошибаются, не умея распознать, является ли для суждения некоторое условие необходимым, но недостаточным или достаточным, но не необходимым. Роль этих условий обнаруживается не только при доказательстве теорем, но и в определениях, и при решении задач. Поэтому надо в каждом конкретном случае, когда эти условия имеют место з суждениях, тщательно разбирать их с учащимися.

Так, уже в V классе при изучении законов арифметических действий учитель может положить начало сознательному ознакомлению учеников с этими условиями и соответствующими рассуждениями. Например, в теме «Делимость чисел» устанавливается, что условием, достаточным для утверждения кратности суммы некоторому числу, является кратность этому числу каждого слагаемого. Уместно разобрать вопрос, является ли это условие необходимым. Для этого можно рассмотреть две суммы, кратные 4, например, 388 + 460 и 387+461.

В этой теме примеров для подобных рассуждений много.

Приведем пример суждений, связанных с построением определений. В теме VI класса «Смежные углы» после того, как из класса «прилежащих» углов выделены пары углов, у которых есть общая сторона, а две другие образуют противоположные лучи (смежные углы), полезно в порядке проверки или повторения задать ученикам такие вопросы: а) являются ли смежными два угла, имеющие одну общую сторону (ответ: нет, это условие необходимое, но недостаточное для отнесения их к смежным); этот же вопрос может быть сформулирован так: «необходимо ли для утверждения, что углы смежные, чтобы они имели общую сторону (ответ: да, необходимо, но недостаточно); б) необходимо ли для утверждения, что углы смежные, чтобы две стороны их лежали на одной прямой (ответ: да), вопрос —достаточно ли этого (ответ: нет).

В VII и VIII классах на уроках алгебры и геометрии этот материал может быть значительно расширен.

Вопрос о необходимых и достаточных условиях в математике является весьма важным. Поэтому остановимся на нем несколько подробнее.

1 См. ч. IV, § 21.

Этот вопрос находится в тесной связи с вопросом о прямой и обратной теоремах.

Достаточный признак может быть сформулирован так: Если из наличия свойства А вытекает наличие свойства В, то свойство А есть признак, достаточный для существования свойства В.

Примеры 1. Если углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, то они равны; иначе для равенства двух углов при параллельных прямых достаточно, чтобы эти углы были внутренними накрест лежащими.

2. Если каждое из двух слагаемых суммы делится на число С, то и сумма их делится на это число.

Эту теорему можно сформулировать и так: для того чтобы сумма двух чисел делилась на некоторое число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число.

Таким образом, каждую прямую теорему можно рассматривать как достаточный признак.

В некоторых случаях свойство А есть только достаточный (но не необходимый) признак для существования свойства В; это в том случае, если наличие А гарантирует существование свойства В, но В может существовать и без наличия свойства Л. Чтобы убедиться, что свойство А является только достаточным, но не необходимым признаком, надо установить возможность существования В при отсутствии свойства А. Отсюда делается вывод, что признак является достаточным, но не необходимым, когда либо противоположная, либо обратная теорема не верна.

Необходимый признак может быть сформулирован так:

Если без наличия свойства А нет и свойства ß, то свойство А является необходимым признаком для существования свойства В.

Примеры. 1. Параллельность одной пары сторон в четырехугольнике является условием, необходимым для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, но еще недостаточным.

2. Кратность некоторого числа числам 2 и 3 является признаком, необходимым для кратности этого числа числу 12, но этот признак не является еще достаточным: так, число 18 кратно 2 и 3, но не кратно числу 12.

Свойство А есть признак только необходимый, но недостаточный, если без наличия свойства А не существует свойства В, но наличие свойства А еще не гарантирует существования свойства В.

Необходимое условие формулируется обычно в виде противоположной или обратной теоремы.

Примеры. 1. Если две стороны четырехугольника параллельны, а две другие не равны, то четырехугольник не параллелограмм.

2. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9.

Во многих случаях эти два условия выступают совместно, и тогда смысл условий можно сформулировать так: свойство А есть признак, необходимый и достаточный для существования свойства ß, если наличие А ведет к существованию свойства В и если без наличия А не может быть В.

Необходимый и достаточный признаки, выступая совместно, выражают справедливость двух теорем: прямой и противоположной или прямой и обратной. Утверждения «необходимые и достаточные условия» часто для краткости заменяют выражениями «тогда и только тогда» или «те и только те».

Примеры. 1. Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда сумма двух его внутренних углов равна третьему углу.

2. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Заметим, что рассмотренные условия выступают и в определениях и при решении некоторых задач.

Надо заметить, что у школьников иногда складывается такое неверное убеждение: аксиомы и теоремы имеют место только в геометрии. Это объясняется тем, что в курсах арифметики и алгебры логическая последовательность изучаемых предложений менее подчеркивается и доказываемые положения не называются теоремами (кроме нескольких случаев в старших классах, как например: теорема Виета, Безу и др.). Учителю следует по возможности больше обращать внимания на логическую структуру и в этих предметах.

6. Подготовительная работа к доказательствам. Из школьной практики известно, что ученики с трудом понимают доказательства теорем. Эти трудности заключаются в следующем. Часто для учеников неясно, что дано и что доказывается. Особенно трудно понимается необходимость доказательства того или иного положения, с трудом устанавливаются связи условия и вопроса (заключения), ученики редко понимают обоснованность выбора путей и способов доказательств. Чтобы облегчить преодоление этих трудностей, полезно в начале изучения алгебры и геометрии в VI классе предложить ученикам несколько упражнений специально по ознакомлению их с тем, что среди суждений встречаются верные и неверные, что и верность (справедливость) суждений, и неверность их приходится объяснять, доказывать; иногда истинность наших суждений обнаружить легко, иногда доказательства требуют привлечения многих доводов, ссылок на известное предложение, уже доказанное, не вызывающее сомнения. Начать эту работу надо с выделения верных и неверных суждений.

Первыми предложениями для разбора должны быть факты, близкие ученикам, например:

В СССР 18 столичных городов. Неверно, так как в СССР 15 союзных республик, значит, и 15 столичных городов.

В СССР 15 Верховных Советов союзных республик. Верно, потому что в каждой из 15 союзных республик есть свой Верховный Совет.

Каждое четное число имеет простой делитель. Верно, четное число делится на 2, а 2 число простое.

В любом выпуклом четырехугольнике сумма внутренних углов меньше восьми прямых. Верно, так как каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше развернутого, то есть двух прямых, а в четырехугольнике сумма углов меньше восьми прямых.

Разбирая такие небольшие вопросы, легче объяснить ученикам, почему необходимо каждое математическое суждение доказывать. Вместе с этим подобная работа будет развивать у учащихся навык в исследовании несложных вопросов. Постепенно учащиеся будут совершенствовать свои навыки в исследовании математических заключений, упражняясь в разборе более сложных предложений на протяжении всего школьного курса.

Практика подтверждает, что на первых этапах изучения геометрии и алгебры для обоснования изучаемых математических предложений целесообразно привлекать наглядность, опытную проверку, разъяснения на числовых примерах и вводить доказательства теорем для окончательного утверждения истинности предварительных заключений, гипотез. Так, приходится поступать, например, в алгебре при доказательстве теорем о произведении степеней одного и того же основания, о возведении степени в степень: сначала рассматриваются числовые примеры и только после того, как на основании их сделан предварительный вывод, доказываются теоремы в общем виде (см. ч. III, § 7).

Известно, насколько облегчается доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника после того, как опытным путем установлена величина этой суммы (см. ч. IV, § 19).

В результате того, что ученики постепенно овладевают приемами дедуктивного доказательства, роль предварительно построенных гипотез и заключений на основании частных случаев и примеров уменьшается. Однако и в VIII классе подготовительная работа перед доказательством теорем облегчает учащимся понимание хода рассуждений при доказательстве теорем в общем виде (см. ч. III, § 7, ч. IV, § 7).

При построении системы обучения математике учитель должен руководствоваться словами В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике —

таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»1.

Учителю следует стремиться к тому, чтобы при обучении не выпадало ни одно звено на пути познания математических предложений, так как именно только диалектический путь познания позволяет полностью вскрыть сущность объективного закона.

Разберем это на примере изучения теоремы Виета.

Первое звено изучения — это решение ряда уравнений и установление на конкретных примерах зависимости между корнями уравнения и коэффициентами его.

Второе звено — вывод общей формулы этой зависимости.

Третье звено — приложение общей формулы к решению задач и к исследованию уравнений и функций.

Если пренебречь первым звеном, а сразу вывести общую формулу, то ученики в лучшем случае запомнят ее, а затем будут действовать механически; при этом понимание сущности закона будет неполным, в результате чего формула будет быстро забыта.

Если пренебречь вторым звеном, то нарушится основной принцип математики — все, что не доказано в общем виде, нельзя считать доказанным вообще.

Этот случай стал бы для учащихся примером того, что математические законы можно обосновать без доказательства.

Если учителем использованы оба звена для установления зависимости, но выведенный закон не использован при решении задач, то у учащихся сложится убеждение, что вывод не имеет практического значения.

Трудно себе представить такой случай, но, если пренебречь и первым и вторым звеном и предложить ученикам решать задачи, пользуясь сообщенной им готовой формулой, конечно, ни о каком понимании сущности закона не может быть речи, ученики будут выражать недоумение — откуда взялся закон и почему он верен.

§ 10. О логических ошибках учащихся, источниках возникновения и мерах предупреждения их

Логические ошибки возникают в результате нарушения основных принципов математических рассуждений (см. ч. I, § 9). Ошибки в определении понятия. Примеры.

1. Равносильными уравнениями называются такие уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго.

2. Квадратное уравнение с одним неизвестным — это уравнение, содержащее неизвестное во второй степени.

1 См. [4] стр. 146-147.

3. Прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой.

4. Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.

Во всех приведенных примерах нарушено основное требование к установлению определения понятия — наличие необходимых и достаточных признаков объекта. Мерой предупреждения таких ошибок являются в первую очередь тщательная отработка определения понятия, в частности, с помощью метода сравнения объектов, а кроме того, опровержение примерами. Так, для первого примера ценными являются упражнения такого вида:

а) являются ли равносильными уравнения х-2 = 0 и (х — 2) (х — 3)=0? б) являются ли равносильными уравнения х —2=0 и х+3=5? И т. д.

Для второго примера возможны упражнения такого вида: Какие из приведенных уравнений являются квадратными?

а) X2— Зх+2=0; б) х* — *2+Зх=6; в) х3+х2 — 3x=xs — 2;

г) X2 — 4=--0.

В третьем примере ошибка в определении медианы стороны треугольника могла возникнуть в том случае, когда при определении понятия не сопоставлялись проведенные различные отрезки в треугольнике и прямые, делящие сторону треугольника пополам (см. рис. 21).

Ошибка в определении средней линии треугольника в большинстве случаев является результатом недостаточной отработки определения в момент установления его. Если при установлении понятия о средней линии будет не только дано определение, но и проведена некоторая работа по закреплению определения, то ученики не допустят ошибок. В упражнения могут быть включены такие вопросы: а) достаточно ли для построения средней линии треугольника соединить середины двух сторон его? б) сколько можно построить средних линий в треугольнике? в) какими свойствами обладает средняя линия треугольника? г) можно ли построить в треугольнике отрезок, соединяющий точки на сторонах треугольника и равный половине одной аз сторон треугольника, но который не будет средней линией? д) построить и доказать теорему, обратную теореме о свойстве средней линии треугольника.

Ошибки при доказательстве теорем. Наиболее распространенной ошибкой при доказательстве теорем является использо-

Рис. 21

вание при доказательстве искомого как данного. Предупредить такую ошибку можно только четким выяснением, что дано, что надо доказать.

Логической ошибкой в доказательстве утверждений является неполная аргументация или пропуск в аргументации. В курсе восьмилетней школы неполная аргументация чаще всего допускается учениками в доказательствах при решении задач, например при построении, реже при доказательстве помещенных в учебнике теорем.

Пример. Доказывается теорема: «Два треугольника равны, если углы при основании и биссектриса угла при вершине одного треугольника равны углам при основании и биссектрисе угла при вершине другого треугольника». Ученик рассуждает так: 1) углы при вершинах В и Вх в треугольниках ABC и А1В1С1 равны, как дополняющие суммы углов А+С и А1+С1 до 180° (рис. 22), 2) £KBC=Z.KiBiài, как половины равных углов, 3) AKBC=AK1B1Cv как имеющие по два равных угла и равной стороне, 4) аналогично аАВК= ААгВхК19 значит 5) ААВС= AA1B1Cv На первый взгляд, все верно, но в рассуждениях допущены пропуски: а) при сравнении треугольников КВС и KJ}fix не сделана ссылка на признак равенства треугольников, б) недостаточно ясно, почему из равенства малых треугольников вытекает равенство больших треугольников.

Логической ошибкой является неполная дизъюнкция. Особенно часто эта ошибка допускается в вопросах и задачах, связанных с исследованием.

Пример 1. Требуется установить сравнительную величину а3 и а2; вместо того чтобы исчерпать все возможные значения буквы а, ученик рассматривает значение выражений при а>1 и в результате получает неполный, а значит, и неверный ответ.

Пример 2. Рассматривается положение точки пересечения биссектрис углов, прилежащих к основанию трапеции. Ученик, нарушая требование полной дизъюнкции, рассматривает только случай, подсказанный сделанным чертежом. Но зависимость положения точки от соотношения сторон трапеции не вскрывает. Предупредить такого вида ошибки можно только систематической работой по рассмотрению задач, требующих учитывать все возможные разновидности данной ситуации.

Встречается много логических ошибок в преобразованиях алгебраических выражений, когда ученики пользуются необоснованной аналогией.

Рис. 22

Известны распространенные ошибки такого вида: так как (a-\-b)c=ac+bc, то по аналогии (ab)c=ac-bc; известно, что если а—Ь, то ak=bk, отсюда по аналогии считают, что, если а>Ь, то ak>bk в любом случае; по аналогии с численными дробями ученик иногда считает, что tLt^-^JL^ Предупредить эти ошибки или искоренить их можно постоянным напоминанием школьникам (при этом не только словами, но и соответствующими примерами), что аналогия может служить только вспомогательным средством для установления истины и постоянно требует проверки и подтверждения логическим доказательством.

Известную пользу в деле осознания того, что доказательства и исследования играют в математике решающую роль в установлении истины, имеет разбор парадоксов и софизмов. Рассмотрение их заставляет учеников глубже вникнуть в приводимые в них рассуждения и научит отыскивать ошибки в рассуждениях, которые обычно приводят к абсурду.

§ 11. Борьба за качество знаний учащихся

«Передать учащимся знания — это значит сформулировать и образовать в сознании учеников представление о вещах и явлениях, раскрыть сущность явлений — образовать понятия, помочь осознать закономерную связь явлений материальной действительности и облечь все это в правильную словесную или иную форму» (М. Н. Скаткин, Формализм в знаниях учащихся и пути его преодоления, М., 1947).

Высокое качество знаний, даваемых школой, является необходимым условием для строительства коммунистического общества. Несмотря на то что современная наша школа достигла значительных успехов, в ее работе все же имеется ряд недостатков. Одним из таких недостатков является формализм в знаниях учащихся, а именно отрыв формы выражения от содержания и механическое запоминание учебного материала.

Необходимо отличать формальные знания от незнания материала. Если ученик производит сокращение дроби так:

то можно говорить не о формальных знаниях, а о полном незнании правила сокращения дробей. Точно так же если ученик пишет

то опять-таки здесь имеет место незнание, непонимание существа вопроса. Формальные знания все же знания, но иногда бы-

вает трудно провести границу между формальными знаниями и незнанием материала. Приведем пример: ученик правильно решает систему уравнений

если X и у приняты за неизвестные, и затрудняется решить эту же систему, если за неизвестные приняты а и Ь. В данном случае имеет место преобладание внешней формы над содержанием.

Формализм проявляется в преобладании памяти над пониманием. При незначительном изменении чертежа или обозначений, принятых в учебнике, ученик часто теряется и не может довести доказательство теоремы до конца.

Проф. А. Я. Хинчин указывал, что формализм в математике порой смешивают с обязательным для всех ступеней математической науки требованием формально-логической строгости ее изложения. Борьбу с формализмом хотят понимать как борьбу за изгнание из школьного преподавания математики требований формально-логической строгости обоснования математических истин («Известия АПН РСФСР», вып. 4, 1946, стр. 10).

Такое понимание борьбы с формализмом в корне неправильно. Изгнание из математики строгости рассуждений, необходимости обоснования каждого вывода и т. д. приведет к печальным результатам. Если ученик средней школы не будет понимать необходимость в строгих доказательствах, не будет ценить их преимущества, не сумеет применять эти рассуждения к разрешению какой-нибудь проблемы из практической жизни, то у него действительно выработается формальное отношение к математике.

Однако абстрактное и строгое изложение математики должно вводиться постепенно. В особенности нужно быть осторожным в V—VIII классах. В связи с этим необходимо остановиться на так называемых условностях в курсе элементарной математики, которые получили развитие начиная с 80-х годов прошлого столетия. В курсе алгебры постоянно встречались следующие выражения: «условимся понимать под суммой отрицательных чисел...», «условимся называть степенью с отрицательным и нулевым показателем...», «условимся называть произведением иррациональных чисел...», причем все эти положения постулировались и с них начиналось изложение. Вышеприведенные положения есть условия (этого никто не будет отрицать), но необходимо, прежде чем ввести их, указать на целесообразность введения, оправдать на практике, показать их значение и т. д., то есть проделать большую подготовитель-

ную работу. Например, при выводе правила возведения степени в степень следует предложить ряд упражнений с числовыми данными и затем лишь записать вывод в общем виде: (ab)c=abc и сформулировать правило.

Если не проводить такой подготовительной работы, то у школьников создастся убеждение, что в математике есть ряд произвольных, ничем не оправданных условий.

Причинами, вызывающими формализм в знаниях учащихся, являются:

I. Формальное изложение вопросов теории.

II. Недостаточно сознательное усвоение теоретических вопросов.

III. Формальное отношение к ответам учеников.

IV. Отсутствие достаточной связи между теорией и практикой, применение шаблонных приемов для решения задач.

Остановимся на этих вопросах несколько подробнее.

Поверхностное изложение нового материала и зазубривание вырабатывают у учащихся формальные знания.

Ученики не понимают, зачем они изучают тот или иной раздел, а поэтому не вникают в сущность излагаемой теории.

Необходимо, чтобы ученик понимал цель изучения каждого крупного раздела математики.

Поэтому изложение новой темы полезно начинать с постановки вопроса, зачем нужна данная тема. Перед учениками должна быть поставлена определенная цель, указано значение темы для дальнейшего изучения математики, показано практическое значение нового материала и связь его с предыдущим.

Пример 1. Ученики не понимают, зачем нужно разложение многочлена на множители. Указание преподавателя представить данный многочлен в виде произведения нескольких множителей для них кажется неубедительным, тем более что во многих случаях получается более сложное выражение. Поэтому разложение на множители можно начинать с сокращения дробей.

Сперва дать ученикам один или несколько примеров следующего рода: Найти

И предложить им найти значение этого выражения, последовательно выполняя все действия. Затем применить формулу для разности квадратов двух выражений

Далее может быть предложено следующее упражнение: Найти значение выражения

Предварительно преобразуем числитель и знаменатель

Значение этого выражения будет

После нескольких упражнений ученикам станет более понятной цель разложения многочлена на множители. Затем следует перейти к систематическому изложению данной главы.

Пример 2. Приступая к теме об измерении углов дугами, следует указать важность этого вопроса, перечислить все возможные случаи расположения вершины угла относительно окружности (вершина угла в центре, на окружности, внутри и вне окружности и т. д.), а затем приступить к доказательствам. У учащихся в этом случае будет определенная перспектива и даже будет выяснен объем темы.

Иногда полезно дать перед началом темы краткий исторический очерк. Однако необходимо соблюдать экономию во времени: в некоторых случаях подготовительная работа, если ее очень подробно развернуть, может отнять слишком много часов.

Недостаточно сознательное усвоение вопросов теории также способствует формализму в знаниях учащихся.

Приведем несколько примеров. На вопрос, какое из выражений, а или а3, больше, некоторые ученики указывают, что а < а3, ибо механически распространяют возведение в степень положительного числа, большего 1, на все рациональные числа. Не всегда можно добиться правильного ответа:

если

Необходимо обратить особое внимание на точность и ясность формы выражения мысли, на понимание значения каждого слова в выражении математического факта, в частности в формулировке определений и теорем.

Так, ученик, приводя определение, окружности как замкнутой плоской линии, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки, расположенной в этой же плоскости, часто не отдает себе отчета, почему необходимы слова «плоская», «замкнутая». Ему не приходит в голову, что без слова «плоская» кривая AB на шаре или совокупность двух равных дуг, имеющих общие начало и конец, согнутых под углом, будет удовлетворять всем остальным требованиям, но не будет являться окружностью (рис. 23). Дуга окружности также удовлетворяет данному определению, если выкинуть слово «замкнутая».

Прежде чем привести то или иное определение, необходимо убедиться в том, что ученики имеют ясное, конкретное представление об определяемом понятии.

Правильное понимание специальных терминов невозможно без понимания связей между ними, без понимания их взаимной зависимости. Ученик должен ясно отдавать себе отчет в том, что каждое определение или правило справедливо только для того класса объектов, для которого оно установлено. Например, утверждение, что произведение больше каждого из сомножителей, если ни один из сомножителей не есть 1, справедливо для натуральных чисел и не верно для дробных чисел.

Приведем еще пример. Параллелограмм есть понятие более широкое, чем прямоугольник, который в свою очередь есть понятие более широкое, чем квадрат. Свойство диагоналей параллелограмма (диагонали взаимно делятся пополам) справедливо для прямоугольника и для квадрата, но свойство диагоналей квадрата (взаимная перпендикулярность их) несправедливо для всякого прямоугольника или параллелограмма. Точно так же равенство диагоналей прямоугольника справедливо для квадрата, но несправедливо для всякого параллелограмма.

Учителю следует заботиться о том, чтобы работа над формой выражения знания не отрывалась от работы над содержанием знания: работа над формой выражения должна находиться в органическом соединении с сознательным усвоением содержания материала.

Необходимо добиваться, чтобы ученики умели применять общее правило для каждого частного случая, например умели найти точку пересечения высот (или их продолжения) не только

Рис. 23

для остроугольного, но для прямоугольного и тупоугольного треугольника или умели из формулы для корней квадратного уравнения вида ax2-\-bx-{-c = 0 получить формулу для корней уравнения x2-\-px-\-q = Q, ax2-{-bx=0 и х2—с = 0 (с —положительное число).

Недостаточно четкий опрос учащихся способствует развитию формальных знаний. Мы уже говорили, что следует добиваться сознательного доказательства теорем. Часто наблюдается, что ученик воспроизводит доказательство теоремы по памяти, без достаточного понимания. Он не разбирает, где условие теоремы и что является заключением; не всегда понимает, верна ли обратная теорема. Наблюдаются случаи, что ученик часто теряется (изменяет память) и не может довести доказательство теоремы до конца. Иногда он при доказательстве теоремы пропускает часть промежуточных рассуждений или, начав правильно доказывать теорему, приводит в дальнейшем рассуждения из другой теоремы.

Для того чтобы изжить эти недочеты, полезно при опросе учащихся или задавая урок на дом, изменить чертеж, поменять буквы, потребовать доказать справедливость теоремы для другого элемента, если, конечно, теорема для него верна. Например, теорему о внешнем угле треугольника следует доказывать для различного вида треугольников или для угла Л, если она доказана для угла В (рис. 24). Меняя чертеж, обозначения и т. д., мы добиваемся понимания учениками сущности доказательства.

При доказательстве теорем ученик должен понимать, почему производится то или иное дополнительное построение. Необходимо требовать, чтобы он мог объяснить целесообразность дополнительного построения. Полезно для усвоения доказательства теорем составлять план или детальную запись доказательства, а затем требовать от учеников делать это самостоятельно.

При опросе нельзя удовлетворяться ответом ученика, не выяснив, действительно ли ученик усвоил то, что отвечает. Поэтому после доказательства теоремы или вывода правила полезно предложить ученику вопросы, ответы на которые покажут понимание им материала, например:

1. Сколько острых внешних углов может иметь треугольник?

2. Можно ли построить параллелограмм из а) четырех попарно неравных отрезков, б) двух равных и двух неравных

Рис. 24

отрезков, в) четырех попарно равных отрезков? Сколько параллелограммов можно построить в последнем случае?

3. Указать условия: а) достаточные, б) необходимые, чтобы четырехугольник был параллелограммом. Достаточно ли равенство одной пары сторон; обеих пар противоположных углов четырехугольника?

4. Внутри какого параллелограмма существует точка, равноотстоящая от всех его вершин; от всех его сторон?

5. Произведение пяти (семи) чисел есть отрицательное число. Сколько может быть отрицательных сомножителей?

Полезно предлагать ученикам задачи, когда дан только готовый чертеж, например: найти измерение угла А с помощью дуг, заключенных между его сторонами (рис. 25).

Рис. 25

Такие упражнения способствуют более глубокому пониманию и сознательному отношению к математическим положениям и, следовательно, будут способствовать изжитию формальных знаний у учащихся.

Отрыв теории от практики. Необходимо научить учащихся применять полученные знания к решению задач. Ученика не тревожит, если при решении задачи получается, что скорость велосипедиста равна 49 км/ч или в колхозе имеется 124,7 головы крупного рогатого скота. Здесь ярко проявляется формализм в знаниях.

Учащиеся легко находят площадь треугольника или объем цилиндра, размеры которого даны. Но затрудняются самостоятельно определить размеры фигуры или тела. Поэтому полезно предлагать ученикам находить объем и поверхности тел, площади фигур, сделанных из картона или дерева, выполнив непосредственные измерения и найдя исходные данные для расчетов. Особенно полезны измерения на местности (см.ч. IV). Следует приучать учеников производить простейшие практические расчеты, например: сколько потребуется трех- или пятитонных машин для перевозки некоторого груза в определенный срок при одной или другой скорости и т. д.

Необходимо отметить неумение применять теоретические знания к решению задач: задачи иногда решаются по шаблону.

Приведем несколько примеров.

1. Найти 1022 (формулы сокращенного умножения предполагаются пройденными). Ученики твердо знают квадрат суммы или разности двух количеств, однако не все из них догадаются, что 1022=(100+2)2.

2. Пусть требуется найти значение выражения

A=(a3+3a2b+b3)(5a2—4ab—3b2)(a2—4ab+4b2) приа=1,5;6=0,75.

Некоторые учащиеся начнут последовательно вычислять значение первого, затем второго и наконец третьего сомножителя. Но третий сомножитель можно представить следующим образом:

(a2—4ab+4b2)=(a—2b)2.

Он при данных значениях а и b равен нулю. Следовательно, Л =0.

Если приучать учащихся предварительно внимательно рассматривать заданное выражение, то они должны заметить возможность преобразовать третий сомножитель.

3. Упростить выражение

А=(х2—х+1)(х2+х+1).

Этот пример допускает несколько решений.

Первое решение. Непосредственно перемножить данные многочлены.

Второе решение.

Третье решение.

Затем следует сравнить каждое решение с остальными, указать преимущество и недостаток каждого из них и т. д. Заметим, что третий способ решения будет наиболее целесообразным, когда требуется перемножить многочлены следующего вида:

(х*+х3+х2+х+ l)(Jt4—х3+х2—х+1).

4. Представить в виде суммы двух квадратов следующее выражение:

2а2+262.

Часто учащиеся затрудняются решить данную задачу, хотя решение очень простое:

5. Внутри угла в 60° дана точка М, удаленная от сторон угла на 2 и 11 единиц. Найти расстояние точки M от вершины угла (рис. 26).

Решение. Продолжим AM до пересечения с продолжением OB. Из ABMD имеем ЛШ = 22, следовательно,

Тогда

Эта сравнительно простая задача оказывается не под силу многим ученикам; причина заключается в том, что они не умеют применять теоретические положения на практике.

Как мы уже указали, формализм в знаниях учеников является большим недостатком. Учащиеся, имеющие формальные знания, не подготовлены к практической жизни и к занятиям в высшей школе. Преодолеть формализм в знаниях — значит предотвратить возможность отрыва слова от мысли, а самую мысль сделать содержательной. Только тогда, когда в сознании ученика правильно отразится реальная действительность и это отражение выразится оз правильной, четкой и ясной форме, формализм в знаниях учащихся будет уничтожен.

Рис. 26

§ 12. О культуре математической речи

Речь учащихся есть результат их мышления и отражает степень понимания ими изученного учебного материала. Грамотная речь сама способствует математическому развитию и закреплению знаний. Грамотная математическая речь выражается в правильном написании математических терминов, в знании, где и в каком смысле можно применить эти термины и специальные математические выражения. Иногда наблюдается стремление ученика к многословию, что ведет к расплывчатости и неопределенности. В некоторых случаях ученик пытается за этим многословием скрыть свое незнание, в других случаях он просто проявляет непонимание особенностей математической речи.

Иногда наблюдается обратное явление: ученик сокращает предложения настолько, что они теряют смысл; в результате

получается своеобразный «жаргон», когда, пренебрегая точными формулировками, ученик заменяет их неграмотными выражениями. Развивать у школьников правильную речь, бороться с искажениями в языке необходимо систематически и терпеливо.

Особенно важно показывать ученикам на примерах, как небрежность речи, ошибки в ней могут изменить смысл предложения, а иногда привести к выражению неверных зависимостей, к искажению математических законов.

Следует постоянно требовать от учеников правильно пользоваться символикой и в случае неправильного употребления символов раскрывать ошибки, показывать на примерах нелепость в ошибочных записях, анализировать отдельные выражения.

По мере овладения символикой следует чаще прибегать к ней при записи доказательств, выводов, записи условий и т. д. Надо научить школьников записывать при посредстве символов любую зависимость.

Огромное значение в развитии правильной математической речи имеет формулировка вопросов, которые задает учитель.

Вопрос должен быть сформулирован ясно, точно и коротко, чтобы ученик понимал, что от него требуется, и чтобы его ответ с исчерпывающей полнотой показывал, действительно ли он знает то, о чем его спрашивают, или только заучил наизусть формулировку и ряд символических записей. Очень важно, чтобы ученики знали, что им будут задаваться вопросы всегда именно с таким расчетом.

Конечно, проще задать вопрос в такой форме: «Скажите, чему равен квадрат суммы двух чисел?», но значительно лучше, когда этот же вопрос формулируется так: «Как преобразуется квадрат суммы двух чисел?»

Ученики должны знать, что называется корнем уравнения первой степени с одним неизвестным, но важно, чтобы они знали, сколько корней может иметь такое уравнение. А между тем в школах редко можно услышать такой вопрос: «Может ли уравнение 1-й степени с одним неизвестным иметь более чем один корень? Ответ объяснить».

Иногда учителя сами прививают навыки формального заучивания материала: иной раз учитель добивается того, чтобы ученик знал, какой из признаков равенства треугольников является первым, или умел сформулировать второй признак равенства треугольников. Ученики расценивают это требование учителя как необходимый логический доказательный момент. Но ученики нередко забывают нумерацию признаков, принятую в учебнике, особенно когда вопрос ставится спустя продолжительное время после их изучения. А ведь гораздо ценнее ставить вопрос в такой форме: «Достаточно ли для ра-

венства треугольников равенства двух сторон и угла? Ответ сопроводить формулировкой теоремы».

Кому незнакомы ошибки учеников в правописании математических терминов? Пишут: «математика», «арефметика», «еденица», «часное», «сочитательный», «преведение» и т. п.

Научить правильному написанию математичеоких терминов— задача самих учителей математики. Правописание вновь вводимого термина нужно показывать на доске, затем ученики должны записать его в свои тетради. Хорошо, чтобы ученики вели специальный словарь математических терминов со II—III класса. Полезно иметь таблицы математических терминов, составленные в определенной системе, например соответственно изученным темам.

Важно правильно делать ударения в словах. Ученики иногда произносят: «апофема», «аргумент», «километр», «процент» и т. д.

Необходимо правильное сокращение слов в математических записях, особенно сокращение наименований единиц мер. На практике одни и те же термины сокращаются различно, например: «сантиметр» сокращенно записывают см, снм, сант, «килограмм» записывают кг, кгр, кгм и т. д. Важно соблюдать единство в начертании сокращенных наименований размерности, встречающихся в физике, химии и в других отраслях знаний, с соблюдением требований ГОСТ, предусматривающих стандартные обозначения наименований.

Отсутствие единообразных требований к сокращению слов приводит к неграмотности.

Учителя не всегда обращают внимание на недочеты в письменной речи учащихся, на записи знаков, расположение записей, а все это важно в борьбе с неграмотностью по существу.

Часто можно встретить такие записи:

а)

(небрежность в постановке знака равенства);

б)

г) катет=12 см (слово приравнивается числу);

д) знак равенства не переносится на следующую строку;

е) сомножители разрываются переносом.

Особенно много случаев бессмысленной редакции вопросов при решении задач по арифметике. Например: а) сколько было частей? (чего, каких?); б) какая часть процента (?) падает на один ящик?

Анализ работ с решением задач говорит о том, что около 30% ошибок относится к неправильной редакции вопросов.

Иногда и учитель допускает или не замечает вольного обращения с математическими терминами и выражениями.

Общеизвестны выражения «отбросим знаменатель» вместо «умножим обе части уравнения...», «сократим уравнение на одно и то же число» вместо правильного выражения «разделим обе части уравнения (или все члены уравнения) на одно и то же число». Ученики часто употребляют выражение «обратные знаки»; правильнее говорить: «противоположные»; именно этот термин соответствует и геометрическому представлению чисел с различными знаками. Неверно употребление термина «смешанное число» вместо «смешанная дробь». Часто можно услышать выражения: «вычислить уравнение» вместо «решить уравнение», «вычислить отрезок» вместо «вычислить длину отрезка», «решить теорему», вместо «доказать теорему».

Даже в старших классах можно услышать такое выражение: «формула приведенного квадратного уравнения равна». Понятно, о чем думает или что предполагает ученик, произнося это выражение, но все же сказанное никакого смысла не содержит. То же можно сказать о распространенном выражении «сократить числитель и знаменатель». Не следует разрешать ученикам употреблять выражение «наверху» вместо «в числителе», «внизу» вместо «в знаменателе».

Распространены выражения «поверхность» вместо «площадь поверхности». В погоне за краткостью ученики употребляют термины: «степень» вместо «показатель степени», «корень» вместо «подкоренное выражение», «скобки равны 0» вместо «выражение в скобках равно 0» и т. п.

Небрежность и неточность в употреблении терминов ведет к непониманию математических символов, путанице в формулировках и неправильному практическому приложению их.

Часто ученик называет простым числом «всякое натуральное число, имеющее два делителя», пропуская слово «только». Это уточнение, как известно, в математике играет существенную, а иногда и решающую роль.

Не сознавая всей важности употребления слова «только», ученик спокойно говорит, что касательная — это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, как будто секущие не имеют такой точки.

Распространены ошибки учащихся в формулировках теорем, связанные с пропуском слов, устанавливающих объем понятия. Например, ученики часто говорят: «против равных сторон лежат равные углы», пропуская слова в «равных треугольниках»; «если степени равны, то и показатели степени равны», не оговаривая, что это верно лишь при равных между собой (но не равных нулю или единице) вещественных основаниях степеней.

Во всяком случае надо возможно чаще проверять, связывают ли учащиеся то, что говорят, с реальными фактами, образами, не повторяют ли они формально заученные предложения.

Школьники склонны распространенно толковать некоторые понятия и термины, например «центр фигуры». Они употребляют эти выражения, в большинстве случаев не отдавая себе отчета в том, что разумеют при этом; вообще центра фигуры нет, есть центр вписанной или описанной около фигуры окружности (если та или другая окружность в данном случае существует), или центр симметрии, или центр тяжести фигуры, или центр подобия.

Можно было бы привести еще ряд аналогичных ошибок, связанных с неумением учеников раскрывать сущность употребляемых терминов. В школе нужно работать с детьми над выяснением содержания того понятия, которое выражается употребляемым термином.

Развитию математической речи содействует требование учителя к ученику излагать полно и связно всякого рода объяснения теоретического порядка и рассуждения при решении задач.

От ученика следует требовать не только правильных формулировок, но и речи без слов-паразитов («наше ребро», «ваш треугольник»), без надуманных терминов, например: «подобность фигур», «сколько угодно маленькими», «дробь перевернуть» (вместо «взять дробь, обратную данной»). Нужно научить детей слушать свою речь и следить за согласованием слов в предложениях, ибо неправильное согласование в речи также искажает мысль и часто приводит к грубым ошибкам в выводах. Так, например, многие ученики говорят: «отрезки прямых, заключенных между параллельными прямыми, равны между собою» (пропущено слово «параллельных» и употреблено неверное согласование слов).

Формулировки теорем нельзя засорять ненужными по смыслу словами. Например, ученик говорит: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны сходственным (?) сторонам другого...» Эти лишние слова свидетельствуют о том, что он не понимает смысла и назначения употребленных слов.

Источник указанных ошибок, неточностей, бессмыслиц с логической точки зрения в речи учащихся лежит прежде всего в методах обучения математике в младших классах.

Речевые ошибки в математических выражениях, допущенные в ранний период обучения, укореняются в последующих классах, где некоторые учителя игнорируют недочеты в речи, исходя из соображений, что школьники понимают, о чем идет речь, и просто оговариваются. Из-за экономии времени такие учителя не останавливаются на недостатках речи. Нередко они даже оправдывают свое невнимание к речи тем, что обучение

правильной речи — это дело учителей русского языка, и в лучшем случае исправляют ошибки механически.

В тех случаях, когда учитель приучает учеников слушать речь товарищей, свою собственную и оценивать ее с точки зрения математической грамотности, логических связей, учащиеся настолько привыкают к критическому отношению, что замечают даже незначительные погрешности.

Надо помнить, что самый процесс выражения мыслей учеником носит характер диалектической взаимосвязи; речью формулируются готовые, осознанные мысли, но в то же время сами мысли формируются речью, как бы отшлифовываются, уточняются. Поэтому каждый учитель, в том числе и математики, обязан повседневно и систематически работать над формированием мыслей учащихся, над выработкой правильных форм выражения их посредством устной и письменной речи.

Пути борьбы за правильную, грамотную речь разнообразны.

Прежде всего речь самого учителя должна быть правильной и служить образцом для учащихся. Учитель должен тщательно отшлифовывать формулировки, заранее продумывать записи на доске, особо внимательно относиться к тому, что диктует для записи в тетрадях. Необходимо также внимательно следить за речью учеников, обращать их внимание на ошибки, исправлять ошибки, анализировать их, привлекая к исправлению самих учащихся.

При проверке письменных работ учитель должен отмечать ошибки не только математические, но стилистические, орфографические и пунктуационные. Это нужно не только для соблюдения единого орфографического режима в школе, но и для правильной постановки обучения математике.

Учитель должен преодолевать вредную привычку, если она у него есть, задавать ученику вопрос за вопросом и довольствоваться отрывочными ответами. Надо предоставить ученику возможность последовательно излагать свои мысли, только изредка подавая реплики: «почему?», «подумайте, верно ли это», чтобы направить ответ в нужное русло. Помимо требования верных точных формулировок, определений и правил, можно предложить ученику устно доказать некоторые теоремы, сделать вывод некоторых законов, правил. Нельзя считать, что зсе теоретические рассуждения учащийся может изложить только письменно. Устные доказательства обогащают речь и развивают умственные способности учащихся.

Некоторые учителя считают, что можно свести до минимума всякого рода записи при ответе ученика у доски и ограничиться устным изложением сделанного вывода со ссылками на заметки, выкладки и геометрические построения, записанные на доске. К сожалению, чаще можно наблюдать, как ответ

ученика сводится к зачитыванию того, что написано им на доске (что видно и без зачитывания).

Учащиеся VI класса могут устно рассказать, как выводится формула квадрата алгебраической суммы двух членов или почему при умножении степеней равных оснований складываются показатели степеней.

Учащиеся VII класса должны быть подготовлены к тому, чтобы без записей последовательно рассказать об измерении различных углов в круге.

Чрезвычайно полезно специально остановиться и разобрать предложения, формулировки, в которых пропущено то или иное слово, разобрать, к чему приводит пропуск слова, и таким образом воспитывать у школьников глубокое понимание значения каждого слова.

В некоторые контрольные работы следует включать теоретические вопросы, на которые требовать ответ или объяснение, изложенное в виде связного текста.

Начиная со второй половины учебного года в VI классе полезно давать задачи на доказательства с письменным изложением их.

Некоторые учителя практикуют математические диктанты, текстом для которых служат формулировки определений, теорем, правил, насыщенные математическими терминами.

Практикуются задания по самостоятельному составлению вопросников по пройденной теме, при этом учащиеся должны включать в этот вопросник основные вопросы по изученной теме.

Например, по теме «Уравнения» ученик составил такой вопросник: Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие преобразования необходимы для решения уравнения? При каких преобразованиях можно получить лишние корни, потерять корни (какие преобразования могут повести к нарушению равносильности)? Всегда ли необходима проверка решения уравнения?

§ 13. Беседа, самостоятельная работа учащихся и лекция

Советская школа не знает распространенного метода старой школы, который приводил к тупой зубрежке и состоял в задавании выучить по книге «от сих пор до сих пор» на память или с пересказом выученного своими словами. Учитель советской школы должен помочь ученикам именно на уроке разобрать новый материал, выяснить, поняли ли его ученики, и даже частично закрепить полученные знания.

В этом заключается обучающая сторона урока.

Вся работа с учащимися, будь это разбор нового материала, закрепление полученных знаний, опрос или беседа, должна

строиться на возможно более широком привлечении учеников к активному участию в поисках оригинальных решений, рациональных преобразований, самостоятельных выводов и доказательств.

Активизация процесса обучения в свете новых задач, поставленных перед школой в связи с ее перестройкой, является одним из основных направлений совершенствования методов преподавания математики. Известно, что знания учащихся оказываются более сознательными и прочными, если они приобретают их в процессе активной познавательной деятельности, а не путем пассивного восприятия.

Этими требованиями определяются методы изложения учебного материала и организация учебной работы на уроке.

Наиболее распространенным методом работы по математике в младших классах является беседа, во время которой разбор материала в основном ведет учитель, но, кроме того, он привлекает учеников к наблюдениям, рассуждениям и вычислениям.

Иногда работа по разбору теоремы и при выводе формулы ведется всем классом самостоятельно. Ученикам предоставляется широкая инициатива в составлении плана, выборе путей доказательства или рассуждений. При этом учитель старается не давать наводящих вопросов, делать указания, разъяснять допущенные учениками ошибки в суждениях, а использует для этого высказывания учеников, отыскавших правильный путь. Однако такой прием отнимает много времени, так как разнообразные предложения отдельных учеников нередко отвлекают других в сторону от основного вопроса, а иногда им приходится выслушивать неверные, а порой и бессмысленные предложения, в этом случае кажущаяся активность идет не на пользу дела, а во вред. И все же одним из методов работы в классе при изучении нового материала является самостоятельная работа учеников, но под руководством учителя. При этом иногда все учащиеся получают некоторое общее задание, реже задание варьируется.

Работа может состоять и в упражнениях по решению задач, по разбору новой теоремы, выводу новой формулы; в отдельных случаях она состоит в разборе нового материала по учебнику.

Так, например, после вывода на доске формулы (а-\-Ь)ъ ученикам может быть предложено самостоятельно вывести формулу (а—б)3. Для доказательства теоремы Виета восьмиклассникам может быть предложено дома решить ряд квадратных уравнений приведенного вида, заполнить таблицу. А в классе коллективно можно сделать нужный общий вывод относительно зависимости корней уравнения от его коэффициентов.

Каждый ученик запишет такую таблицу.

Таблица 4

Последняя строка таблицы заполняется в классе после изучения таблицы и нахождения значений Х\-\-х2 и Х\*х2 в общем виде.

В учебниках геометрии некоторые теоремы предлагается доказать учащимся самим. Полезно иногда давать новую теорему для самостоятельного разбора на уроке по учебнику.

Часто такая самостоятельная работа несколько похожа на контрольную, но отличается от нее прежде всего своей целенаправленностью; как самостоятельная она дается не с целью контроля, а с целью обучения. Сам учитель не должен играть роль пассивного наблюдателя; он должен следить за работой каждого ученика, предупреждать явно ошибочные рассуждения и выводы, выяснять, кого что затрудняет.

Реже учителя математики пользуются лекционным методом изложения учебного материала. В этом случае учитель излагает материал сам, не привлекая учащихся. При этом ученикам даются указания, что следует записать, начертить, отметить в тетрадях.

Лекции в чистом виде применяются на уроках математики редко и только в старших классах. В младших классах лекционный метод изложения учебного материала не рекомендуется; ученики в этих классах еще не умеют слушать длительное изложение материала, улавливать основное, выделять существенно важное; записывать же излагаемое без диктовки они совсем не могут. Однако в отдельных случаях бывает полезно, если учитель излагает материал сам, без привлечения учащихся и только сопровождает свое объяснение вопросами к ученикам для того, чтобы установить обратную связь, то есть выяснить, как понимают они изложение, какие недоумения возникают у них, что следует дополнительно разъяснить, что повторить или проиллюстрировать чертежом, примером.

Учитель может сам излагать не только теоретический мате-

риал, но и решение задачи, полностью приводить все рассуждения и оформлять все необходимые записи. Например, полезно самому учителю провести решение одной из основных задач на построение, для того чтобы отчетливо показать ученикам четыре этапа решения.

Изложение учителя должно стать для учащихся образцом, на который они должны равняться. Естественно, к своему изложению учебного материала учитель должен предъявлять особо высокие требования. Его речь должна быть безукоризненно грамотной, рассуждения и доказательства должны быть достаточно обоснованными, в то же время лаконичными и доступными для школьников.

Оформление должно быть строго продумано.

Хороший учитель никогда не придерживается какого-либо одного метода изложения. В зависимости от характера темы или разбираемого вопроса, от подготовленности учащихся, наличия достаточного времени для изложения он будет пользоваться различными методами, иногда меняя их на протяжении урока.

Выбирая метод изложения нового материала или форму закрепления изученного ранее, учитель должен помнить о необходимости провести урок наиболее эффективно: это значит добиться того, чтобы в намеченное время все ученики сознательно и полностью усвоили и закрепили знания, предусмотренные программой и учебником, и могли бы пользоваться ими для решения задач и примеров.

Каким бы методом ни пользовался учитель при изложении учебного материала на уроке, после урока он должен сам оценить, что в его изложении оказалось удачным, а что нет, и учесть свои выводы при подготовке к следующему уроку.

Если примененные методы изложения материала вызвали у учащихся необходимый интерес, внимание, если ученики давали правильные ответы на поставленные вопросы, сумели повторить приведенные рассуждения, то есть усвоили материал, то учитель может быть удовлетворен выбором метода изложения.

§ 14. Наглядность в преподавании математики. Лабораторные работы. Практические работы

Наглядность в преподавании математики прежде всего направлена к облегчению восприятия детьми сообщаемых им знаний. Для того чтобы ученики поняли, почему в определение понятия данного объекта входят только некоторые признаки, часто приходится показывать им, как возникает данный объект. В этом отношении особенно ценны в геометрии подвижные пособия.

Наглядные пособия помогают созданию у учеников пространственных представлений и развивают конструктивные способности. Так, при рассмотрении вопроса о построении из двух разных треугольников параллелограммов чертежи окажут меньшую пользу, чем картонные модели треугольников, хотя и чертежи в геометрии являются разновидностью наглядных пособий.

Наглядные пособия помогают развивать и некоторые практические навыки учащихся. Сколько бы ученик ни рассказывал об измерении углов в вертикальной плоскости, едва ли он реально представляет себе прием этого измерения, если он не держал в руках хотя бы модели угломера (эклиметр).

Наглядность помогает в систематизации и классификации математических объектов особенно в геометрии. Примером может служить изучение в VII классе взаимного положения двух окружностей. Используя один подвижный круг из проволоки или картона, легко выяснить все возможные положения окружностей. Наглядность в арифметике помогает ученикам понять образование дроби, простейшие преобразования их. Графические записи условия задач на движение, на сравнение величин значительно облегчают анализ условий и выбор пути решения. В алгебре большое место наглядность занимает при графическом изображении зависимости между величинами.

Преподавание геометрии без наглядных пособий едва ли можно себе представить.

Некоторые учителя полагают, что наглядность обучения сводится к использованию заранее заготовленных пособий — плакатов, схем, моделей и т. д. Едва ли не большее значение имеют наглядные пособия, создаваемые учителем и самими учениками в процессе изучения нового материала.

Так, например, в V классе по вопросу о преобразовании дроби вместо того, чтобы принести готовый плакат, иллюстрирующий равенство дробей (измеряющих одну и ту же величину при одной и то же единице измерения), значительно полезнее построить этот плакат в процессе рассуждений. Плакат строится учителем на доске и учащимися в своих тетрадях (см. ч. II, рис. 17).

В таком же духе проводится урок с проволочными обручами по теме VII класса «Взаимные положения двух окружностей». В результате в ученических тетрадях появится схема, отображающая различные взаимные положения окружностей, условия этих положений и названия; в классе же вывешивается соответствующая классная таблица (см. ч. IV, рис. 193).

Наглядным пособием становится таблица, составленная общими силами учеников класса по выводу теоремы Виета (см, стр. 96, табл. 4).

К наглядным пособиям и их изготовлению предъявляются следующие требования.

1) Наглядные пособия должны быть просты для понимания, свободны от лишнего, заслоняющего существенно важное. Так, на плакате, иллюстрирующем какое-либо геометрическое построение, должны быть показаны этапы построения, все вспомогательные линии должны быть бледными. Схемы, таблицы не должны перегружаться словесными пояснениями или символическими обозначениями. Так, например, на плакате, иллюстрирующем получение параллелограммов из двух равных треугольников, полезнее начертить стороны разным цветом, чем обозначать их буквами. Пособия не должны быть излишне красочными, чтобы пестротой не отвлекать внимания учащихся.

2) Наглядные пособия должны быть удобообозримы: чертежи, рисунки и надписи должны быть достаточно крупных размеров, чтобы были видны с дальних парт. Наглядные пособия должны быть выполнены аккуратно.

3) Наглядные пособия должны по возможности изготовляться самими учениками, это создаст у них некоторые практические навыки в пользовании простейшими инструментами (плакатное перо, готовые шрифты из резины, нож, пилка и др.) и умение использовать различные материалы (фанера, картон, проволока и др.); изготовление наглядных пособий развивает конструктивные способности. Для изготовления наглядных пособий следует использовать занятия учащихся в школьных мастерских, на уроках труда или во внеурочное время в кружке «Умелые руки».

Пользование наглядными пособиями должно быть продуманным и оправданным.

Нельзя привлекать наглядные пособия в таких случаях, когда они не содействуют пониманию учебного материала, а тормозят понимание его.

Если геометрическая интерпретация формулы квадрата суммы двух чисел вполне доступна для учащихся VI класса, помогает им уяснить структуру формулы и в известной степени гарантирует от допущения распространенной ошибки (пропуск удвоенного произведения чисел), то геометрическая интерпретация формулы куба суммы не эффективна.

Разбор чертежа или модели, которыми иллюстрируют формулу куба суммы двух чисел, отнимет много времени, создаст излишние трудности для учеников, в то время как после вывода формулы (а + Ь)2 вывод формулы (а + 6)3 не представляет никакой трудности.

Несомненно, в младших классах наглядность в обучении применяется больше, чем в старших, где на смену ей все боле? и более выступает пространственное воображение.

Однако наглядность и в старших классах в ряде случаев может в значительной мере облегчить понимание учащимися материала, особенно по стереометрии.

Одним из наиболее распространенных пособий является чертеж на доске. Хорошо выполненный чертеж с применением цветных мелков поясняет решение задачи, иногда подсказывает решение или составление уравнений, помогает отыскать путь к доказательству в геометрии.

Лабораторные работы. К лабораторным работам по математике следует отнести изучение вопросов, связанных с предварительными измерениями и составлением таблиц, вычерчиванием графиков, данные которых затем будут служить основой для теоретических выводов и обобщений.

Такого рода работы могут проводиться и в классе и дома. В VII классе по теме «Площадь круга» ученикам можно предложить дома на форматке миллиметровой бумаги начертить круг произвольного радиуса и подсчитать с наибольшей точностью число квадратиков, выбранных за единицу измерения площади и уложившихся в круг выбранного радиуса; затем на радиусе как на стороне построить квадрат и определить отношение полученной «площади» круга к площади квадрата.

Примерно в этом же плане описана ниже работа по теме «Равенство треугольников» в VI классе.

При изучении функции у = ах и ее графика для установления значения коэффициента а можно предложить ученикам построить графики при различных значениях а. Результаты могут быть сведены на уроке в одну таблицу или на одну координатную сетку. В VIII классе вычисляются значения тригонометрических функций острых углов. В результате составляется таблица этих значений.

Значение подобного рода работ трудно переоценить, так как они приучают школьников к самостоятельности, аккуратности, к накоплению материала, разделению труда; такие работы, выполненные учениками дома, экономят время на уроке.

Практические работы. К практическим работам можно отнести различного рода самостоятельные работы по непосредственным измерениям и вычислениям.

Значительное место в этих работах должны занимать работы с раздаточным материалом, в частности по геометрии. Так, в V классе при изучении геометрического материала полезно использовать наборы моделей прямоугольных фигур, изготовленные из целлулоида или плексигласа (многие школы используют для изготовления таких моделей помощь родителей-производственников или шефов).

Учитель должен занумеровать эти фигуры и иметь таблицу с записями размеров каждой из них.

Вначале эти размеры могут быть установлены учениками одного из старших классов, но проверены учителем. Учащимся пятых классов раздаются модели фигур (например, прямоугольники) и предлагается тщательно произвести измерения сторон с заданной точностью (до 1 мм, до 0,5 мм) и вычислить периметр, а затем площадь.

Пользуясь своей таблицей, учитель в состоянии быстро проверить результаты.

Такие же наборы параллелепипедов, изготовленных из легкого металла, целлулоида или плексигласа, следует иметь и для практических работ по определению площадей поверхностей и объемов.

Подобные работы по непосредственным измерениям можно проводить и в VI—VIII классах: разметку деления отрезка (бруска, чистой линейки), измерение угла, сектора, вырезанного из легкого материала, измерение транверсалей треугольников.

В VII классе по теме «Площади многоугольников» следует провести работу по определению площадей фигур с помощью палеток, вычерченных на прозрачной бумаге (на кальке, восковке, пергамине).

В VIII классе программой предусмотрено вычисление поверхности и объема геометрических тел по данным, полученным путем непосредственных измерений. Для обучения навыкам этих измерений следует иметь набор однородных тел различных размеров, хотя бы из дерева, картона, стекла или жести.

Практические работы по измерению и вычислениям площади и объема тел полезно проводить не только на моделях, но и на деталях машин, имеющих соответствующие формы. В процессе такой работы ученики восьмилетней школы знакомятся с различными деталями, с их формой и названиями (гайка, шайба, втулка, подшипник и др.).

Надо требовать от учащихся возможно более точных измерений и вычислений с заданной точностью, имея в виду, что учащиеся VIII класса уже знакомы с приемами приближенных вычислений. К тому же восьмиклассники должны свободно пользоваться приборами для более точных измерений — штангенциркулем, высотомером, нутромером и т. д.

Следует отметить, что опыт работы многих учителей с использованием раздаточного материала не только свидетельствует о возможности широко проводить лабораторно-практические занятия с учащимися, но и указывает на заметный эффект в результатах этих занятий.

Весьма полезными и в то же время увлекающими учеников VI—VIII классов могут служить практические работы по графическому решению треугольников с помощью простейших номограмм и приборов.

Организация этих работ подробно, с большим мастерством описана в книге проф. П. А. Компанийца «Простейшие графические расчеты»1. Учащиеся охотно выполняют измерительные работы на местности, если эти работы организованы продуманны и серьезны (см. ч. IV, § 10).

§ 15. Работа с учебником

Умение работать с книгой приобретает исключительное значение в свете задач, поставленных перестройкой школы: всемерно активизировать обучение, прививать учащимся навыки самостоятельной работы над материалом, со справочниками и таблицами.

Научить пользоваться математической книгой — это не только научить пользоваться учебником и задачником, но и выполнить еще одну задачу — подготовить учащихся к чтению технических книг. Технические книги пишутся языком, близким к языку математических книг,— лаконично, с использованием буквенной символики, со ссылками на различного вида формулы; в технических книгах можно часто встретить обоснования, изложенные дедуктивным методом; текст в них обычно связан с чертежами, графиками, таблицами. Таким образом, навыки в чтении математической книги приобретают особое значение в свете задач политехнического обучения.

Приходится отметить, что немногие учителя уделяют внимание развитию этих навыков и нередко ученики работают с учебными книгами без всякого руководства и указаний.

Выбор приема обучения работе с книгой зависит от возраста школьников и от характера книги.

Ученики I—IV классов изучают начальные сведения по математике преимущественно на уроке вместе с учителем. Они занимаются главным образом решением задач и примеров, рассматривать вопросы теории им почти не приходится.

В V классе ученики для изучения арифметики получают на руки две книги — учебник и задачник. Но они еще не умеют ими пользоваться. Поэтому на первых же уроках арифметики им полезно рассказать, что значит изучать материал по учебнику: 1) прежде всего надо найти нужный параграф и, прочитав его, точно уяснить, о чем идет речь в нем; 2) разобраться и понять все объяснения, выводы, правила из этого параграфа; 3) уметь объяснить правила своими словами, а если надо, выучить их наизусть; 4) разобрать, в каком случае новое правило применяется, научиться применять правило при решении задач; 5) запомнить новые математические названия (термины) и символы, встретившиеся в объяснениях, и знать их значение.

1 См. [154], гл. V.

Некоторые учителя организуют в V классе с первых же дней занятий математикой запись всех новых терминов в словарики, а иногда записываются в словарики и новые правила. Ведение словарика математических терминов имеет большое значение: записи терминов в некоторой степени обеспечивают грамотное написание их и содействуют запоминанию.

Запись в словарики правил рекомендовать нельзя, это отнимает много времени, а кроме того, вырабатывает неправильное отношение к учебнику — дети начинают пренебрегать им. Ведение же словариков с математическими терминами желательно продолжать на протяжении всех лет обучения.

В V классе учитель должен постепенно научить учащихся пользоваться учебником и задачником: отыскивать нужный материал по оглавлению, выделять самое необходимое из текста, в частности выводы правил и объяснения, уметь найти нужные упражнения в задачнике, понимать, для чего даны ответы на задачи и когда к ним обращаться.

Для привития этих навыков следует в классе прочитывать нужное место по учебнику, выделять в нем главное, существенное, отделять его от второстепенного, разбирать данные в учебнике выводы, приведенные примеры.

В VI классе ученики начинают изучать геометрию, а затем и алгебру. В работе с книгой возникают новые задачи: надо показать, как пользоваться чертежом, как отыскивать теоремы, на которые делается ссылка при доказательствах; надо показать, как делать чертеж соответственно условию геометрической задачи; как проверить себя, усвоена ли теорема; как пользоваться справочниками — таблицами умножения О'Рурка или М. В. Яковкина. В работе с учебником алгебры надо показать, как отыскивать обоснования для вывода новых формул, как схематично записывать в тетради условия задач из задачника, как пользоваться ответами и как поступать, если ответы не совпадают с полученными при решении задачи.

В следующих классах работа с учебной книгой продолжается в этом же направлении, с некоторыми усложнениями.

Учебник по математике в основном служит для закрепления знаний, полученных на уроках в классе. Но он может быть и источником новых знаний. В отдельных случаях, когда учитель предпочитает доказать какую-либо теорему иначе, чем она доказана в учебнике, естественно предложить ученикам самостоятельно разобрать доказательство, приведенное в книге. В VI—VIII классах восьмилетней школы разбор некоторых выводов или доказательств может быть задан ученикам и в качестве самостоятельной работы; чаще всего это может касаться случаев, подобных тем, которые уже разобраны в классе.

Примеры. Учитель в классе совместно с учениками разбирает доказательство теоремы об измерении вписанного угла.

а дома предлагает им разобрать доказательство теоремы об измерении угла, образованного хордой и касательной. В классе разобран вывод формулы куба суммы двух чисел, а дома ученики могут без затруднений сделать вывод формулы куба разности двух чисел самостоятельно или с помощью книги.

Некоторые учителя в отдельных случаях применяют такой прием: после разбора нового материала в классе тотчас же предлагают ученикам прочитать соответствующее место по книге, при этом выяснить, что из разобранного или изложенного в книге им непонятно и затрудняет их.

Изредка полезно в качестве домашнего задания предложить ученикам письменно изложить доказательство какой-либо теоремы (или решить задачу на доказательство или вычисление) со ссылками на параграфы учебников, содержащих положения, использованные при доказательстве (или при решении задачи).

Такая работа заставляет учащихся еще раз посмотреть нужное место в учебнике, повторить формулировки нужных аксиом, теорем, следствий и т. д.

Во многих случаях учебник является единственным источником знаний для школьников, например: в случае пропуска занятий или отсутствия записей объяснений учителя в тетради или при подготовке к экзаменам. С этим надо считаться, и потому часто уклоняться от приемов изложения материала, принятых в учебнике, не рекомендуется.

Следует организовать классную и домашнюю работу со справочниками и с различного рода таблицами. Навык в пользовании ими приобретает в свете политехнического обучения особо важное значение, и потому надо возможно чаще предлагать ученикам такие задачи, которые требуют обращения к этим источникам. Надо ученикам прививать «вкус» к использованию справочников.

Обычно ученики очень редко обращаются к таблицам при подсчете длины окружности, площади круга, квадрата числа, затрачивая на эти подсчеты время и энергию.

Немаловажную роль играет в обучении математике детей и книга для внеклассного чтения. Чтение таких книг по математике расширяет кругозор ученика, часто может увлечь его и вызвать повышение интереса к математике, нередко помогает значительно лучше понять учебный материал.

ГЛАВА III

ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

§ 16. Организация урока

За многие прошедшие годы педагогической практики выработалась определенная структура урока, состоящая из четырех элементов: опроса, изложения нового материала, закрепления, домашнего задания. Сложившаяся структура урока, рассматриваемая как обязательная, сковывала инициативу учителя. Старые формы работы оказались недостаточно гибкими для решения новых задач обучения, осуществления связи школы с жизнью, развития навыков самостоятельности и творческой инициативы учащихся и требовали значительного расширения. Анализ учебного процесса многих школ показал, что около 50% всего учебного времени учитель тратил на выполнение контрольных функций. Действительно, на уроке проверка домашнего задания и опрос занимали 20—25 минут. Трудно организовать эту часть урока так, чтобы она имела достаточное обучающее значение для всех учеников класса. Во время проверки домашнего задания и опроса активны лишь те ученики, которые опрашиваются. В оставшееся от этой части урока время учитель вынужден был торопливо объяснять новый материал. Роль ученика при этом сводилась к пассивному восприятию материала. Основная тяжесть усвоения нового материала переносилась на самостоятельную домашнюю работу и была посильна далеко не всем ученикам. Пассивные формы работы преобладали на уроках и при выполнении упражнений (преобладал вызов к доске). На этих уроках работали преимущественно ученики, вызванные к доске.

Последние годы ознаменовались значительными сдвигами в повышении эффективности урока за счет усовершенствования методов работы и организации учебного процесса. Структура урока стала определяться содержанием урока, его целями, воз-

растными особенностями учащихся. Так, если урок посвящается изучению нового вопроса, требующего много времени (например, формула Герона в курсе геометрии VIII класса), может быть использована указанная выше структура урока, состоящая из четырех элементов. Но если урок имеет целью выработать у учеников навыки в решении примеров по определенному разделу программы, то на уроке будут чередоваться следующие виды деятельности учащихся: работа у классной доски, самостоятельная работа, комментирование решений с мест, устные упражнения.

Опыт показывает, что в восьмилетней школе в силу возрастных особенностей учащихся более эффективны те уроки, которые содержат в себе различные виды деятельности. В связи с этим учителя стали вносить большое разнообразие в организационные формы урока, используя различные виды самостоятельных работ. Учителя стремятся учебный процесс организовать так, чтобы на протяжении всех 45 минут ученик был занят работой. Поэтому с начала урока стремятся сразу весь класс включить в работу. Например, урок можно начать с письменной самостоятельной работы, аналогичной заданной на предыдущем уроке на дом, что позволяет выяснить, как ученики работали дома. Иногда учитель предлагает в начале урока изучить по учебнику новый материал или повторить старый, который понадобится для изучения новой темы. После окончания этой работы вызывается один из учеников, которому задаются вопросы по прочитанному его товарищами (по вызову учителя) и самим учителем. Затем учитель разъясняет те места текста, которые вызвали затруднение. В начале урока можно дать и диктант. Приведем пример такого диктанта для VI класса: 1) постройте треугольник ABC, 2) постройте биссектрису угла А, 3) постройте проекцию биссектрисы угла А на сторону АС и т. п.

Можно начинать объяснение нового материала с беседы. Чтобы ученики более активно участвовали в ней, проводится подготовительная работа, заключающаяся в изучении некоторых вопросов по учебнику или в решении задач, фронтальном опросе и т. д. Особенно активны ученики, когда новый материал изучается с помощью лабораторной работы.

Закрепление знаний организуется так, чтобы максимально развивалась самостоятельность и активность учащихся. С этой целью им предлагают самостоятельные, творческие, лабораторные работы, математические диктанты.

После демонстрации на классной доске одного-двух примеров ученикам поручается самостоятельно решить аналогичные.

Материал для самостоятельной работы записывается на классной доске обычно в двух вариантах, дается по задачнику или учебнику, а иногда на карточках или сообщается устно.

Во время самостоятельной работы учитель следит за ходом работы учеников, дает им указания и выявляет пробелы в их знаниях. Обнаружив пробелы в знаниях отдельных учеников, учитель подбирает для них соответствующие индивидуальные задания из учебника, задачника или записывает их на карточках. Таким образом, самостоятельные работы позволяют своевременно оказать учащимся помощь и в некоторой мере предотвратить их отставание. При выполнении самостоятельной работы первым двум-трем ученикам, выполнившим работу, ставится оценка. Это стимулирует интенсивную работу учащихся.

Организуя урок, учитель должен позаботиться о развитии учеников, проявивших особый интерес к предмету. Для них составляются индивидуальные задания, связанные с работой всего класса, значительно расширяющие их знания. Иногда предлагаются задачи, не требующие больших вычислений и рассчитанные на сообразительность и находчивость.

Следует помнить, что уроки, построенные на каком-либо одном виде упражнений, утомляют учеников своим однообразием. Поэтому, например, решение задач следует чередовать с решением примеров.

Целесообразно иногда объявлять план урока, обращая внимание учеников на то, что после решения определенного количества задач последует самостоятельная или проверочная работа.

Некоторые учителя успешно готовят учеников к выполнению самостоятельных работ, используя комментирование решений примеров и задач. Чтобы составить представление о комментировании с мест, рассмотрим решение примера на все действия над обыкновенными дробями в V классе. Учитель на классной доске пишет пример. С помощью учащихся намечается наиболее рациональный порядок действий. Действия нумеруются в порядке их выполнения. Затем учитель называет фамилию ученика, которому поручает выполнение первого действия. Ученик, сидя за партой, сначала формулирует правило, которое он применит, затем говорит слово «пишу» и далее называет те числа, которые пишет, и действия, которыми они связываются. После того как ученик выполнит некоторую часть решения, комментирование поручается другому ученику. Для комментирования вызываются чаще средне- и слабоуспевающие ученики.

При комментированном выполнении упражнений экономится время, так как ученик освобождается от необходимости вставать с места и выходить к классной доске. Несомненно, при комментировании развиваются внимание и речь учащихся.

Большое значение при закреплении знаний имеют устные упражнения. Упражнения для устного выполнения произносят-

ся учителем или предлагаются с помощью заранее заготовленных таблиц, плакатов или диапозитивов. Ученики V—VI классов с большим интересом выполняют устные контрольные работы, организация которых может быть весьма разнообразна.

Большое творчество и изобретательность проявляют учителя, отыскивая новые формы работы. На уроках в V—VI классах иногда используют игровой элемент: проводят викторины, организуют игры в математическое лото и т. п.

На уроке учитель должен уделять 5—6 минут на повторение ранее изученного материала. Повторять нужно не только те вопросы программы, которые непосредственно связаны с темой урока. Материал, связанный с темой урока, обычно повторяется в начале урока, а материал, не имеющий непосредственного отношения к теме, повторяется в конце урока.

Для того чтобы экономно использовать время урока, на классной доске и на специальных переносных досках перед уроком записывается материал для различных упражнений. Если упражнения для самостоятельной работы взяты не из школьного задачника, то они заранее пишутся на карточках и перед уроком раскладываются на партах учеников. Брать эти карточки ученикам разрешается только по указанию учителя. Учительница задонской школы Липецкой области В. Н. Провоторова утверждает, что на каждом уроке она таким образом экономит 5—6 минут, а в течение года—17—20 уроков.

Желательно, чтобы проверка домашней работы носила обучающий характер. Так, например, предлагается теорему, заданную на дом, доказать на видоизмененном чертеже, вывести формулу при других обозначениях величин, решить задачу с новыми числовыми данными и т. д. Чтобы выяснить, насколько самостоятельно выполнено домашнее задание, иногда учителя проводят проверочные работы, содержание которых аналогично содержанию домашней работы. На первом этапе изучения темы обычно проверка упражнений выполняется полностью. В период закрепления знаний делается выборочная проверка.

Если ученики не справились с задачей, заданной на дом, не следует эту задачу решать в классе. Нужно к решению дать указание и предложить снова эту задачу решить дома. Это предупреждает стремление некоторых учеников «увильнуть» от работы дома в надежде на то, что домашнее задание будет выполняться в классе.

Для повышения эффективности урока иногда поручается такое домашнее задание, выполнив которое, ученики смогут под руководством учителя найти новую для них закономерность. Например, ученикам поручается дома решить задачу:

«Дан ZABC=75°. Через точку Д, взятую вне угла ABC, проведены прямые, соответственно параллельные сторонам угла ABC. Найти величину каждого из углов, образованных данными пересекающимися прямыми». В этом случае урок начинается с проверки домашней работы. Решение этой задачи позволяет ученикам самим сформулировать и доказать теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Оценка знаний учащихся осуществляется с помощью фронтального опроса и опроса отдельных учащихся у классной доски. Учащиеся должны учиться излагать доказательства теорем, демонстрировать умение обосновывать решения примеров и задач. Во время ответа ученика у доски его соклассники обязаны исправлять допущенные ошибки. Это заставляет их внимательно слушать, анализировать и высказывать свое мнение.

Однако на опрос учеников не на каждом уроке отводится специальное время. Многие учителя стремятся объединить проверку с процессом сообщения новых знаний. Учитель на протяжении всего урока обращается поочередно к заранее намеченной группе учеников с вопросами при объяснении нового материала, при закреплении, выполнении самостоятельных работ и т. д. В результате в конце урока этим ученикам выставляется так называемый поурочный балл. При такой оценке знаний внимание учащихся остается сосредоточенным на протяжении всего урока, так как каждому из них в любой момент может быть задан вопрос.

При вызове ученика к доске общая оценка выставляется в конце урока с учетом качества работы в течение всего урока.

Приведем план урока по изучению нового материала в VI классе.

Тема: «Формула произведения разности двух чисел на их сумму» (2-я школа г. Задонска Липецкой области, 8 апреля 1962 г.).

1. Математический диктант. (Напишите сумму чисел а и Ъ\ разность чисел а и Ь\ сумму квадратов чисел а и Ь и т. д.)

2. Чтение алгебраических выражений, заранее написанных на классной доске: т2\ п2\ 2тп\ п2 — т2\ (л —га)2; Зтп.

3. Вывод формулы произведения разнести двух чисел на их сумму:

а) комментированное решение примеров: (а+Ь)(а — Ь)\ (т+п)х X (га — п)\

б) чтение левых и правых частей полученных равенств;

в) самостоятельная формулировка учениками правила произведения суммы двух чисел на их разность.

4. Закрепление изученной формулы:

а) комментированное решение примеров, заранее написанных на

доске: (0,la+1)(0,1а — 1); (0,4х3+а) f^jX3 — aj\ (Зх+5)(За: — 5)— (9jk2+6x)+30=29;

б) самостоятельная работа по задачнику П. А. Ларичева (вариант 1 —487, 491; вариант 2 — 488, 481);

в) применение изученного материала к упрощению устных вычислений (20-18; 22-18; 32-28 и т. д.);

г) устное решение примеров:

5. Викторина «Знаешь ли ты?».

6. Проверка домашней работы (учащимся предлагается задача, аналогичная заданной на дом).

7. Повторение материала, не связанного с темой урока (сложение и вычитание многочленов).

8. Домашнее задание.

В начале урока ученики были подготовлены к самостоятельному выводу формулы. Все виды их деятельности имели целью сознательное и прочное усвоение нового материала. Этому способствовало разнообразие упражнений, применяемых в процессе обучения. Благодаря разнообразию форм работы у учеников не ослабел интерес к работе на протяжении всего урока. На уроке было разумно организовано чередование устных и письменных упражнений с введением игрового элемента.

В младших классах более разнообразными должны быть формы работы. Однако следует помнить, что чрезмерно частая смена форм работы не способствует созданию у детей сосредоточенного внимания.

В VII и VIII классах комментирование решений с места используется меньше и само комментирование проходит более лаконично, чем в V и VI классах. Ученики старшего возраста более склонны к самостоятельной работе, чем ученики младших классов. Игровой элемент в VII и VIII классах используется значительно реже. Вновь сформулированное предложение в V—VI классах нужно заставить повторить несколько раз. В VII и VIII классах этого делать не нужно.

Темп урока должен быть таким, чтобы ученик имел возможность осмыслить материал, метод решения задачи. Учитель должен постепенно приучать учеников работать интенсивно.

Широкое распространение в VII—VIII классах получили обзорные уроки. После изучения темы по определенному плану повторяется ее содержание. Повторение имеет целью углубить знания учащихся, сделать ряд обобщений, сопоставлений. Так, после изучения темы «Четырехугольники» в VII классе организуется обзорный урок. Оборудование урока: чертежные

инструменты, чертежи изученных четырехугольников, схема классификации четырехугольников. Основной метод ведения урока— беседа, которая организована, например, по следующему плану:

1) Какую тему по геометрии мы изучили?

2) С какими четырехугольниками познакомились?

3) По какому плану изучали параллелограмм? (Построение, определение, свойства, признаки.)

4) Как можно построить параллелограмм? (Учащийся выходит к доске и строит параллелограмм.)

5) Перечислить свойства параллелограмма и доказать одно из них. (Учащиеся, не выходя к доске, по чертежу, имеющемуся на классной доске, доказывают свойства диагоналей параллелограмма.)

6) Перечислить признаки параллелограмма и доказать один из них.

7) Что называется ромбом и каковы его свойства?

8) Что называется прямоугольником и каковы его свойства?

9) Что общего между квадратом и ромбом и в чем различие?

10) Что общего между прямоугольником и ромбом и в чем различие?

11) Какое понятие шире: параллелограмм или прямоугольник? квадрат или прямоугольник? ромб или квадрат?

Затем под руководством учителя строится схема классификации четырехугольников и вывешивается плакат с изображением этой схемы. Далее решаются задачи на доказательство на готовых чертежах и задачи на вычисление.

При проведении обзорных уроков могут быть использованы некоторые из имеющихся кинофильмов. Так, например, на обзорном уроке в VIII классе по теме «Функции» можно использовать кинофильм «Система координат и простейшие графики».

Каждый ученик в течение всего урока должен продуктивно работать, учиться самостоятельно мыслить и приобретать навыки применения полученных знаний к решению практических задач.

§ 17. Подготовка учителя к уроку

До 1956 г. от учителя требовалось представление годового календарного плана. Теперь от учителя не требуют представлять такой план, но составлять его особенно малоопытному учителю рекомендуется.

Рабочий план желательно составлять на всю тему с распределением материала по урокам, с указанием вопросов теории и практических работ, наглядных пособий.

Составлять рабочий план на урок надо с учетом того, что фактически выполнено по тематическому рабочему плану на предыдущих уроках, с учетом особенностей каждого класса.

Содержание рабочего плана может быть определено следующим косвенным требованием: рабочий план должен быть таким, чтобы в случае замены учителя его заместитель мог, пользуясь планом, точно выполнить на уроке задуманную учителем работу. Никакой обязательной схемы плана нет, и учителю предоставляется составлять его по своему усмотрению.

Желательно, чтобы в план урока было включено следующее:

1) указание темы урока; 2) как будет проверено домашнее задание; 3) кто из учеников будет спрошен; 4) какая самостоятельная работа будет дана классу и в какой момент (на время подготовки к ответу вызванных к доске, в порядке подготовки к разбору нового материала или после объяснения нового материала для закрепления его и т. п.); 5) план или конспект изложения нового материала, формулировки, определения, правила, которые будут продиктованы; 6) перечень материала, предложенного для закрепления нового материала; 7) перечень материала домашнего задания с указаниями для учеников; 8) заметки о том, какие записи будут сделаны на доске, какие наглядные пособия будут использованы и в какой момент.

Содержание каждого урока должно быть продумано, и спланированный урок проведен так, чтобы ученики обогатились новыми знаниями. Полезно на каждом уроке подводить с учениками итог проделанной работы для того, чтобы каждый из них мог отдать себе отчет, что нового он узнал на уроке из теории или из приемов решения задач и упражнений.

Приводим образец рабочего плана урока.

План урока в VI классе.

Тема «Преобразование суммы многочленов».

I. Повторение. Вопросы к классу: а) Когда многочлен считается приведенным к нормальному виду? б) Какие одночлены считаются подобными? в) В чем состоит приведение подобных членов?

Самостоятельная работа (тексты даются в двух вариантах, заранее написанных на переносной доске).

1 вариант, а) Привести многочлены к нормальному виду:

б) Решить уравнение

II. Новый материал (объяснения учителя). На примерах суммы многочленов:

показать, что сумма многочленов только обозначается, а полученное выражение упрощается по правилу прибавления алгебраической суммы чисел. Таким образом, упрощение сводится к открытию скобок, перед которыми стоит знак плюс.

Самостоятельные упражнения в тетрадях.

1. Записать суммы многочленов:

2. Раскрыть скобки и привести результат к нормальному виду:

(2 х3у+27—X3)+(—7х3у+2х3+3).

В процессе работы проверить знания и работу учащихся П., М., Р. и Д. и выставить им поурочные баллы.

III. Домашнее задание: 1) Сделать 3 примера из задачника на упрощение суммы многочленов. 2) Вычислить сумму многочленов при а=— 2,5: (— a+2a2— 1), (—4а2—За+1) и (2а2 + 6а+2)1.

Примечание. Тексты задач могут и не приводиться в плане. Если используются задачи из задачника, тогда достаточно указать номера упражнений.

Составление календарного плана и рабочих поурочных планов требует от учителя отличного знания программ, учебника и задачников. Учитель должен быть знаком с освещением вопросов темы в науке и с методической литературой вопроса. Только при этих условиях он может избежать ошибок как чисто математических, так и методических.

Полезно перед составлением рабочего плана по теме освежить в памяти все указанные материалы, просмотрев соответствующую литературу. Особенно это касается наиболее трудных тем: «Введение новой области чисел»; «Равносильность уравнений»; «Геометрические преобразования» и др. Хорошо продуманный план урока обеспечивает хорошее качество урока, а следовательно, и успехи учащихся. Кроме того, рабочие планы уроков — это тот материал, который учитель должен накапливать и который облегчит ему труд в будущем.

1 Нами употребляется несколько иная терминология в отношении преобразований алгебраических выражений, чем это имеет место в действующем учебнике. Подробнее см. ч. III, § 9.

§ 18. Повторение пройденного материала

Повторение пройденного материала служит для освежения в памяти приобретенных ранее знаний, помогает привести эти знания в более стройную систему и взглянуть на пройденный материал с более общей точки зрения.

Сам предмет математики таков, что на каждом уроке, приходится обращаться к старому материалу, так как в математике каждый новый вопрос опирается на ранее рассмотренное, доказанное. Так, решая уравнение в VI классе, мы вспоминаем зависимость между компонентами действий.

Некоторые вопросы курса следует повторять многократно, связывая материал с текущей темой. Например, действия над целыми и дробными числами (положительными и отрицательными) следует повторять при изучении всех тождественных преобразований многочленов, алгебраических дробей (в старших классах — степеней, радикалов при решении уравнений и т. д.). Преобразование многочленов следует сопровождать нахождением численной величины заданного выражения при различных численных значениях букв. Эти вычисления помогут ученикам понять значение предварительных упрощений заданного выражения и повторить вычислительные операции.

Примеры. Вычислить:

Часто повторение ранее пройденного материала, необходимого для усвоения нового, учитель ведет параллельно с разбором нового, иногда предлагает самим ученикам повторить старый материал к тому уроку, на котором он будет использован.

Так, к изучению темы «Вписанный угол и его измерение» учитель предлагает повторить определение угла, определение центрального угла, его измерение, свойство углов при основании равнобедренного треугольника, какой угол называется внешним углом треугольника, свойство такого угла. На уроке, помимо проверки этих вопросов, предлагаются еще контрольные вопросы, например: почему нельзя говорить «центральный угол равен соответствующей дуге»?

Такая повторительная работа нужна и полезна. Но она не может охватить всего того материала, который необходимо повторить.

Поэтому желательно, чтобы учитель, кроме того, вел повторение в течение всего года по определенному плану. При этом нет необходимости повторять все пройденное.

Полезно выделить наиболее важные темы или вопросы из пройденного и спланировать повторение этого материала во времени.

В этом случае ученики получают домашнее задание по текущему материалу и по старому, причем последнее может даваться на определенный срок (5—8 дней). В задание следует включать как теоремы, так и упражнения. Эти задания ученики должны выполнять в отдельной тетради.

При опросе учащихся следует включать в карточку и вопросы повторения, сформулированные так, чтобы было можно проверить сознательность усвоения ими материала, умение приложить знания к решению несложных новых вопросов, связанных с повторением.

Хорошо, когда учитель, планируя повторение, обдумает и наметит ряд основных вопросов. При повторении пройденного материала очень полезны обобщающие или обзорные уроки по теме.

Приводим примерный схематический план повторения темы «Функции и графики» (VIII класс).

1. Повторяется определение функции и виды изучаемых функций (приводятся примеры), способы выражения функции: табличный, графический и аналитический; выясняются преимущества и недостатки каждого из них (задается соответствующий вопрос классу, а отвечают вызванные ученики с места). Выясняется, в каком случае квадратичная функция имеет наибольшее значение, в каком наименьшее (показать на графике); чем определяются по графику корни функции; как по графику определить изменения функции. Ответы на некоторые из этих вопросов ученики могут дать на схематически вычерченном графике от руки.

2. Повторяется построение графиков функций: у = 2х—3 и у = (х—2)2—3. (Вызываются ученики к доске; они рассказывают порядок построения сначала первого графика, затем вто-

рого. Вопросы к классу помогут выяснить значение параметров и положение линий графиков в различных случаях.)

3. Подводится итог: практическое значение графиков, возможность решения уравнения с помощью графика. (Учитель использует построенные учениками графики для решения уравнений.)

2дг —3 = 0; (л;_2)2_з = 0.

Некоторые учителя дают в порядке повторения даже небольшие «сочинения» по определенному плану, в которых ученикам предлагается изложить, что они знают по данному вопросу.

Хорошим сборником задач для повторения может служить книга К. С. Богушевского и К. П. Сикорского1.

Интересным и эффективным приемом повторения обобщающего характера является решение целесообразно подобранных задач (идея, выдвинутая известным русским методистом С. И. Шохор-Троцким)2.

Почти для каждой темы школьного курса математики можно подобрать такие задачи, при решении которых будет повторен пройденный материал.

Эти задачи должны иметь комплексный характер: в геометрии задача должна требовать применения сравнительно большого числа известных ученикам теорем, алгебраическая задача должна требовать составления такого уравнения, которое включало бы сравнительно большое число преобразований алгебраических выражений.

При этом имеются в виду не те задачи из «смешанных отделов» старых задачников, в которых не соблюдалась система повторения пройденного и в которые включался материал различных разделов, но в чисто механической связи, да еще к тому же часто рассчитанный на догадки и повышенную сообразительность.

При составлении комплексных задач на повторение надо стремиться к тому, чтобы само решение требовало привлечения и использования пройденных теорем, формул, правил, а условие задачи не было бы надуманным, и было достаточно простым для понимания. Особенно ценными являются задачи, имеющие несколько приемов решений. Такие задачи вызывают особый интерес у учащихся и стимулируют их к поиску самостоятельных оригинальных решений. В отдельных случаях учитель может дать некоторые указания по решению задачи.

1 См. [130].

2 См. статьи И. Я. Депмана и П. Я. Великиной, «Математика в школе», 1962, № 1.

§ 19. Устные упражнения на уроках математики

Еще в недалеком прошлом устные упражнения в школе сводились почти исключительно к устному счету. За последние годы в советской школе все более и более расширяется круг устных упражнений по всем разделам школьного курса математики. Значительно расширились и цели проведения устных упражнений. Если раньше единственной целью было натренировать учеников в быстрых вычислениях, то теперь эта тренировка является только одной из задач «работы в уме».

Каково же значение практикуемых теперь разнообразных устных упражнений?

Прежде всего устные упражнения способствуют повышению общего уровня математического образования и сознательному усвоению школьного курса. Эти упражнения являются одним из средств борьбы с формализмом.

Устные упражнения развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных или возникших в практике задач, расчетов и вычислений.

Устные упражнения содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.

Устные упражнения имеют огромное значение и с чисто воспитательной точки зрения: они повышают внимательность, развивают сообразительность, находчивость, творческую инициативу. Особое значение имеет и то, что устные упражнения повышают темп работы, требуют отыскания наиболее рациональных приемов решения предложенных задач, содействуют развитию устной речи, лаконической и четкой.

Устные упражнения становятся действенными только в том случае, если они проводятся систематически, а не от случая к случаю.

Методика проведения устных упражнений может быть весьма разнообразной, при этом необходимо, чтобы учитель соблюдал следующие требования:

1. Упражнения подбирать не случайно, а обдуманно и целенаправленно:

а) для уточнения вводимых новых понятий, терминов, для лучшего уяснения вновь устанавливаемых законов, зависимостей, взаимных положений геометрических объектов;

б) для тренировки в логических рассуждениях, в обосновании своих суждений, заключений, в частности, при доказательстве теорем;

в) для развития пространственного воображения;

г) для развития навыков вычислительного характера;

д) для повторения и закрепления в памяти пройденного.

2. Вопросы и материал для упражнений не должны быть шаблонными и повторяться в одном и том же виде или форме, не должны быть слишком легкими, но и не должны быть излишне громоздкими, сложными по своей конструкции, с длинными формулировками задач и с большим количеством данных.

3. Упражнять и приучать к расчетам в уме не только в специально отведенное для этого время (5—10 минут), а постоянно требовать от учеников выполнения всех несложных вычислений без записей.

4. Тексты упражнений, если они требуют записи, и чертежи следует заготовлять заранее на доске, на плакатах, в таблицах и т. д.

5. К устным упражнениям важно привлечь всех учеников класса, и потому, узнав ответ от одного ученика, учитель должен, не оценивая его, проверить, какие ответы и объяснения дадут другие ученики, особенно часто обращаясь к наиболее пассивным.

В заключение учителем должен быть назван верный ответ и указано, в чем ошибка учеников, получивших неверные ответы (замечания об ошибках могут давать и учащиеся).

6. Выполнение учениками устных упражнений должно учитываться учителем и оцениваться по совокупности ответов одного ученика за несколько раз.

К учащимся должны быть предъявлены следующие требования.

1. Работа ученика во время устных упражнений должна проводиться без записей и зарисовок; из книг можно пользоваться только таблицами-справочниками.

2. Ученики должны выполнять работу в установленное время и ценить время.

3. Решившие задачу должны молчать, подав учителю установленный им знак. При вызове к ответу ученик должен уметь дать краткое пояснение, как получен им ответ.

4. При выполнении заданного упражнения в уме важно добиваться от ученика наиболее рациональных приемов решения поставленной задачи.

В качестве иллюстрации характера устных упражнений приводим несколько примеров.

По алгебре.

1. Решить уравнение

2. Упростить:

3. Доказать, что разность между квадратом натурального числа и самим числом делится на 2.

По геометрии.

1. Длины двух сторон треугольников 8 см и 5 см. Между какими числами заключается длина третьей стороны?

2. Найти л: (рис. 27), если wm=v^n: ^2.=—,

По геометрии (VII класс, повторение).

1. ABCDEK — правильный многоугольник (рис. 28); АВ = 4 см. Найти величину АС.

Рис. 27 Рис. 28

Рис. 29 Рис. 30

2. ABCD — описанный квадрат (рис. 29); АВ=8 см. Найти величину стороны вписанного в окружность правильного треугольника.

3. ABCD— описанная трапеция, равнобокая (рис. 30);

МК= BC+AD —32 ед., </Л=30°. Найти диаметр окружности.

За последние годы издано несколько специальных сборников для устных упражнений, и, таким образом, учитель в значительной мере освобожден от необходимости самому составлять такие упражнения. Однако наличие готовых сборников не освобождает его от подбора упражнений соответственно цели, с которой он намечает эти упражнения, в зависимости от местных условий: подготовленности учащихся, наличия готовых таблиц и т. д.

§ 20. Домашние задания и проверка выполнения их

Домашние задания служат для закрепления знаний и имеют огромное значение в деле улучшения качества учебно-воспитательной работы по математике. Правильно организованные домашние задания обеспечивают прочность знаний учащихся, вырабатывают у них навык самостоятельной работы, развивают в учащихся упорство и настойчивость в работе. В программе по математике указано, что выполнение домашних заданий является обязательной работой учащихся, и отведено на каждую тему определенное время для этой работы, в среднем 40—50% времени, которое предусмотрено для работы по теме на уроках. Учитель, составляя домашнее задание, должен учитывать время, необходимое для выполнения намечаемой работы, помня, что чрезмерно большой объем задания заставляет ученика выполнять задание наспех, списывать у товарищей. Домашние задания не должны быть чрезмерно однообразными по содержанию, в частности сводиться к выполнению однотипных упражнений; однообразность упражнений утомляет и снижает интерес к работе. В задания рекомендуется включать, кроме текущего материала, решение задач по ранее пройденным разделам программы, черчение графиков, выполнение практических работ по измерению, по изготовлению таблиц и т. д. Любое домашнее задание должно быть посильным для большинства учеников, они должны понимать смысл задания и отчетливо представлять, как выполнять его. Посильность домашнего задания органически связана с усвоением и пониманием учащимися материала, проработанного на уроке, поэтому учитель, намечая задание, должен ясно представлять, подготовлены ли ученики к выполнению его.

Давая задачи или упражнения, требующие особой сообразительности или применения искусственных приемов для решения, учитель должен предупредить об этом учеников, а иногда сделать более или менее подробные указания, помогающие понять суть предлагаемого задания. Требовать от учеников обязательного выполнения задания, рассчитанного на сообразительность, нельзя. Некоторые из школьников, даже при большом желании выполнить такое задание, с ним не справятся.

Наблюдения показывают, что многие ученики не умеют правильно готовить домашние задания по математике: заучивают наизусть теоремы и выводы, стараются запомнить буквенные обозначения, не умеют связать условие задачи с соответствующим теоретическим материалом. Отсюда заботой учителя является учить школьников выполнять задания. Полезно для этого время от времени беседовать с ними о том, как работать с учебником, как самостоятельно разбирать теоремы или выводы. Домашние задания только тогда достигают поставленной

цели, когда они своевременно проверяются учителем. Проверка письменных домашних работ часто проводится учителем путем фронтального просмотра тетрадей при «обходе» учащихся в классе. Такой прием проверки позволяет учесть только факт выполнения задания; качественную сторону работы оценить при этом трудно. Практикуется и такой прием: вызванный ученик зачитывает решение задачи или примера, указанного учителем, а к оценке решения привлекаются другие ученики, которые могут дополнять и исправлять решение. В этом случае нет надобности читать подробно решение каждого примера или задачи. Важно заранее выделить узловые вопросы, связанные с заданием, и проверку выполнения задания вести в плане разбора этих вопросов. Только в этом случае проверка домашнего задания будет сочетаться с повторением пройденного, будет помогать ученикам обосновывать свои суждения и связывать разбираемый материал с основными законами, теоремами курса. При проверке домашних заданий полезно сначала выслушать связное последовательное изложение решения задачи, а затем предлагать вопросы и делать замечания. Ученики должны быть приучены к тому, что учитель спрашивает не только поднявших руку; это заставляет всех их готовить материал к каждому уроку, прививает навык к систематической работе и воспитывает чувство ответственности.

Однако следует иметь в виду, что познавательная ценность проверки домашних заданий значительно меньше, чем решение новой задачи. Поэтому нет смысла тратить время на полное «повторное» решение домашних задач на доске. Лучше заменять такое решение самостоятельной работой для всего класса по новым, но аналогичным текстам.

Лучшим видом проверки домашних заданий является просмотр собранных тетрадей с последующими замечаниями и указаниями ошибок в них. Проверять тетради ежедневно у всех учеников невозможно, но надо делать это хотя бы выборочно: после каждого урока брать 8—10 тетрадей с таким расчетом, чтобы тетрадь каждого ученика побывала в руках учителя хотя бы раза два в месяц. При этом следует требовать от учеников исправления отмеченных ошибок; только в этом случае проверка тетрадей будет целесообразна.

Иногда при проверке следует проставлять специальную оценку за исполнение домашних работ, учитывая систематичность выполнения заданий, правильность решения всех или большинства задач, качество внешнего оформления.

Просмотр тетрадей помогает учителю выяснять, какая часть материала наиболее слабо усвоена; выявлять учеников, не работающих систематически дома, не справляющихся с теми или иными упражнениями, и вовремя принять необходимые меры, чтобы подтянуть этих учеников.

§ 21. Проверка знаний и умений учащихся

Как и в любой области работы, правильно поставленная «проверка исполнения» в учебной работе имеет огромное значение. Проверка позволяет учителю обоснованно оценить знания учащихся, своевременно обнаружить недочеты в знаниях каждого ученика, правильно оценить и свою работу. Помимо этого, проверка помогает в воспитании у учеников чувства ответственности и долга перед школьным коллективом.

Проверка знаний учащихся должна вестись систематически и продуманно. Известно, что если в течение долгого времени не проверять работу ученика, то иногда ученик перестает работать. Прежде всего необходимо проверять степень усвоения нового материала после объяснений учителя, умение учеников приложить полученные знания к решению задач. Помня, что урок должен быть обучающим, что в основном знания учащихся должны приобретаться на уроке, учителю необходимо следить на каждом уроке, достиг ли он этого. Надо проверять, как работали ученики дома и какие знания и навыки приобрели в процессе домашней работы.

Выше, при описании отдельных уроков, мы показали приемы фронтальной проверки знаний и навыков учащихся. Эта проверка проводится посредством наблюдений во время самостоятельных работ, в процессе комментирования решения различного вида задач, беглым опросом с места по заранее составленному «опроснику».

Покажем на примерах, как проводится комментированное решение задач.

Пример 1. В V классе решается пример на вычисление сложной дроби

Учащимся дается минута на обдумывание, и учитель задает последовательно вопросы:

Вопросы учителя

Ответы учащихся

Л., скажите, какое выражение предлагается вычислить.

1-й ученик. Надо вычислить дробь, или, можно сказать, частное.

Укажите порядок вычисления делимого или числителя дроби.

1-й ученик. Сначала вычислю произведение, а затем найду сумму трех слагаемых. Произведение равно 4,58.

М., скажите, в каком порядке вы будете складывать числа.

2-й ученик. В порядке, указанном в примере.

Ф., а вы как стали бы складывать?

3-й ученик. Я найду сумму 1 и 3-го слагаемых, а затем к их сумме прибавлю произведение.

Назовите первую сумму и общую.

3-й ученик. Первая сумма равна 129, а общая равна 133,58.

П., укажите порядок вычисления делителя, или знаменателя дроби. Скажите результаты вычислений.

4-й ученик. Сначала я вычислю частное, а затем разность чисел. 4-й ученик. Частное равно 624, а разность равна 267,16.

Д., скажите окончательный результат вычислений.

5-й ученик. После деления 133,58 на 267,16 получилось —-, или 0,5.

Учитель устанавливает, что ответ дан верный.

Пример 2. В VI классе решается задача по геометрии.

Условие задачи. В равнобедренном треугольнике периметр равен 1 дм, причем известно, что одна из сторон вдвое меньше другой. Определить длину каждой стороны.

Вопросы учителя

Ответы учеников (с места)

Какой треугольник называется равнобедренным?

1-й ученик. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Какие же стороны сравниваются в условии?

1-й ученик. Неравные, то есть основание и боковая сторона.

Как решали задачу?

1-й ученик. Я приму длину основания треугольника за 1, тогда длина боковой стороны выразится двумя такими единицами, а периметр выразится пятью такими отрезками, как основание.

Длина этих пяти отрезков равна по условию 10 см, то есть длина основания равна 10:5=2 (см), а длина боковой стороны 4 см.

Кто будет решать задачу иначе?

2-й ученик. Я обозначу длину основания буквой х, тогда длина боковой стороны будет равна 2х, а сумма всех сторон *+2л:-Ь2*= 10; 5л:= 10; х=2 (см). Получается длина основания 2 см, а боковой стороны 4 см.

Удовлетворяет ли найденное решение свойствам сторон треугольника?

2-й ученик. Да, так как одна сторона в этом случае оказывается меньше суммы двух других.

Достаточно ли это условие?

2-й ученик. Оно необходимо для существования треугольника, но недостаточно. Надо, чтобы разность двух сторон была меньше третьей стороны.

Выполняется ли это требование найденным решением?

3-й ученик. Да, выполняется.

В условии указано, что именно основание вдвое меньше боковой стороны?

4-й ученик. Нет. Не указано.

А если нет, то какой случай мы должны еще рассмотреть? Тогда какое решение получится.

4-й ученик. Случай, когда основание вдвое более боковой стороны. 4-й ученик. Длина основания 5 см, а боковой стороны 2,5 см.

Удовлетворяет ли это решение рассмотренным свойствам треугольника?

5-й ученик. Нет, так как получилось, что одна сторона равна сумме двух других.

А можно было бы в этой задаче установить это без вычислений?

5-й ученик. Да, можно. В равнобедренном треугольнике основание не может быть вдвое больше боковой стороны.

Пример 3. VII класс. Решается уравнение

Вопросы учителя

Ответы вызванных учащихся (с места)

С чего начнете решение уравнения?

1-й ученик. Я освобожусь от дробных членов, для этого умножу все члены на наименьшее кратное знаменателей.

Каким свойством уравнения воспользуетесь?

1-й ученик. Воспользуюсь свойством, что можно обе части уравнения умножить на одно и то же число.

Кто может уточнить указанное свойство?

2-й ученик. При умножении обеих частей уравнения на число, не равное нулю, или на выражение, не содержащее неизвестное, получается уравнение, равносильное начальному.

Какие уравнения называются равносильными?

2-й ученик. Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и каждый корень второго уравнения является корнем первого, то уравнения называются равносильными.

Какое уравнение получите после первого преобразования?

3-й ученик. 9*—15 — 42 = = 14* — 77.

Каким свойством следует воспользоваться для решения полученного уравнения? Решите уравнение.

4-й ученик. Следствием из первого свойства. Получим уравнение 5* = 20, отсюда х=4.

Как проверить, верно ли решено уравнение?

5-й ученик. Вычислим по отдельности правую и левую части уравнения при jc=4. Получаем равные числа по —1.

Полезно при решении задач и примеров выявлять различные варианты, различную последовательность вычислений и устанавливать наиболее рациональные пути решения задачи или вычисления. Однако не следует отвергать хотя и нерациональный путь, но верный, чтобы не лишать учащихся веры в свои силы и знания. Беглый опрос обычно проводится так. Намечается группа вопросов, включающих определения, правила, объяснения несложных выводов и доказательства теорем. Задается классу вопрос и после нескольких секунд, отведенных на обдумывание ответа, вызывается с места один ученик. К оценке его ответа (верно, неверно, достаточно ли полно, все ли обосновано или нет в ответе и т. п.) привлекается весь класс; желающие ученики могут с разрешения учителя пополнить или исправить ответ.

При беглом опросе обычно задаются вопросы, ответы на которые не требуют записей, чертежей или сложных вычислений и преобразований.

Так, например, в V классе после изучения делимости чисел полезно опросить учеников по таким вопросам:

1. Как найти все делители числа (например, 84)?

2. Какое число называется общим делителем данных чисел (12; 18) и сколько таких чисел?

3. Какое число называется кратным данным числам (например, 12; 9) и сколько таких чисел можно привести?

4. Какое число называется НОК данных чисел (например, 14 и 21) и как его найти?

5. Признак делимости на 4, объяснить его.

6. При каком условии число делится на 15?

7. Является ли необходимым для получения четной суммы условие, что каждое слагаемое должно быть четным? Привести примеры.

При всех положительных сторонах фронтальной проверки знаний учащихся нельзя недооценивать индивидуальный опрос учеников у доски. Именно при таком опросе можно проверить умение ученика последовательно изложить доказательство теоремы или вывод формулы, аргументировать свои утверждения, умение сделать правильный чертеж. Надо иметь в виду, что при фронтальной проверке ученики дают по преимуществу отрывочные ответы, пользуются готовыми чертежами и т. д.

Конечно, опрос у доски должен проходить организованно, продуманно, надо учить школьников при ответах и объяснениях избегать многословия, не делать лишних записей, не зачитывать тривиальных преобразований и т. п.

В практике советской школы применяются различные приемы опроса с вызовом к доске. Довольно распространенным приемом является вызов одного ученика, которому предлагают сделать вывод, доказать теорему, решить задачу; класс же слушает ответ товарища. В этом случае отвечающий лишается возможности спокойно обдумать свой ответ, подготовиться к рассказу, так как над ним стоит учитель, его нервируют нетерпеливые взгляды товарищей.

Хорошо, когда учитель заранее выделяет (при составлении рабочего плана урока) учеников, которых имеет в виду спросить, и каждому из них намечает 2—3 вопроса по текущему материалу и по повторению.

При вызове 1—2 учеников к доске каждому предлагается задание и дается время для подготовки к ответу, чтобы сделать чертеж и краткие записи на доске, следуя которым легче связно отвечать.

Пока учащиеся у доски готовятся, учитель может вести беседу с классом — провести устное решение задач, повторить

определения, формулировки теорем, даже проверить простые выводы или устное доказательство теоремы. Не рекомендуется это время использовать для разбора новых вопросов или решения задач нового для учеников вида.

Некоторые возражают против такой формы опроса, полагая вредным исключать хотя бы двух учеников из беседы учителя с классом. Однако лучше, если два ученика не будут участвовать в беседе такого рода, чем все ученики будут томиться в ожидании подготовки ответа одним учеником.

Иное дело — слушание ответа вызванных. Все ученики в это время должны слушать, а не заниматься какой-либо другой работой. После ответа вызванного ученика его одноклассникам предоставляется возможность внести свои замечания, поправки, дополнения и т. п. После установления полного и правильного ответа учитель может задать опрашиваемому следующие намеченные им вопросы, к ответам на которые уже не требуется длительной подготовки.

Иногда ученикам предоставляется право с места задавать отвечающему дополнительные вопросы по затронутой теме. Это заставляет других учеников собрать в уме весь материал по теме. Однако надо учить учащихся задавать существенные вопросы, а для этого учитель должен при изучении с учениками темы подчеркивать наиболее принципиальные, важные стороны изучаемого материала.

Привлечение всего класса к активному участию в проверке знаний (будь то проверка домашнего задания или проверка усвоения нового материала) превращает проверку из контролирующей в обучающую, проверка становится одной из форм процесса обучения.

Во всяком случае независимо от формы опроса учитель должен заранее наметить весь материал для спрашивания, тщательно продумывая формулировку вопросов, ход решения задачи или доказательства, и не должен превращать опрос в вытягивание ответа из ученика.

В случае, если отвечающий ученик молчит, учитель иногда сам начинает ответ, а ученик только кончает его фразы или «поддакивает». Такой опрос дезориентирует учащихся, создавая впечатление, что опрашиваемый что-то отвечал, «в общем что-то знает»; да и сам учитель в подобных случаях обычно не решается должным образом оценить ответ ученика, ясно указав ему на неподготовленность и незнание материала.

У ряда учителей опрос у доски организуется так. Учитель заранее заготовляет карточки с написанными вопросами по текущему и повторительному материалу. Такие карточки даются вызванным к доске 2—3 ученикам, которым предоставляется 4—6 минут для обдумывания ответа и необходимых записей на доске.

Во время их подготовки учитель ведет беседу с классом или дает классу небольшую самостоятельную работу. Затем ученики у доски излагают полностью свои ответы, а все остальные выслушивают ответ и вносят поправки и дополнения после ответа на каждый вопрос. Ответы учащихся оцениваются учителем и за них проставляются оценки в журнал и дневник.

Примерные карточки:

V класс

(Текущая тема «Обыкновенные дроби»)

1. Объяснить признак делимости на 3.

2. Разложить на простые множители 420.

3. Какая дробь называется правильной? Привести пример.

VI класс

(Текущая тема «Формулы сокращенного умножения и деления»)

1. Вывести формулу квадрата разности двух чисел. Решить пример (За — 8)2.

2. Как умножить многочлен на одночлен? Решить пример

3. Какие числа называются противоположными? Дать определение и привести пример.

VIII класс

(Текущая тема «Квадратные уравнения»)

1. Решить уравнение —x2-f-3,5x—1,5=0.

2. Почему для нас не имеет смысла выражение у — 4?

3. Сформулировать теорему Виета.

Каковы бы ни были приемы опроса, к нему приходится предъявлять ряд обязательных требований, которые вкратце можно свести к следующему. Опрос должен:

а) иметь определенную цель, которая может быть иногда неясна ученикам, но должна осознаваться самим учителем;

б) содействовать повторению и закреплению основных положений темы и выяснить связь между теоремами, изученными законами и совершаемыми преобразованиями; расширять представления; совершенствовать умения логически рассуждать и выражать свои мысли грамотной речью;

в) развивать умение быстро ориентироваться в предложенном вопросе и давать краткие, но точные ответы;

г) развивать у учащихся внимание к формулировкам, умение оценивать правильность и полноту ответа, грамотность записей и чертежей, умение внести дополнения и исправления;

д) быть возможно более плотным во времени и четким по содержанию вопросов, которые ставятся учителем.

Исходя из этих требований, учителю следует при устном опросе (у доски, с места или при фронтальном опросе учеников) не

ограничиваться формальными ответами, а возможно чаще выяснять, насколько глубоко ученик понимает материал. Ученик может выучить формулу (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3> но не понимать, откуда взялось такое равенство. При решении уравнения он производит различные преобразования, но иногда не знает, на каком основании, и не может назвать конечную цель этих преобразований. Ученик делает ошибку в умножении смешанных чисел и получает 3 —-2—= 6—, а затем вспоминает, что сделал «не так», нужно смешанные числа заменить дробями, получим---=—=9—; а почему прием умножения смешанных чисел в первом случае неправилен, не знает.

Среди общих приемов проверки знаний и умений учащихся имеют большое значение письменные работы. При помощи письменных контрольных работ охватываются проверкой все ученики класса одновременно, причем проверка производится на одном и том же материале и в равных условиях. Учет знаний посредством этих работ является наиболее объективным и наиболее экономным по времени. Контрольные работы позволяют выявить общие пробелы в знаниях учащихся и своевременно устранить их. Результаты письменных работ дают основу для глубокой и объективной оценки не только математического развития учащихся, состояния их знаний, но и моральных качеств учеников: чувства ответственности, внимательности, настойчивости, умения сосредоточиться в работе, умения ценить время, быть аккуратным. И не случайно в приказе министра просвещения № 57 от 21 февраля 1962 г. сказано: «не допускать, как правило, положительной аттестации за четверть или полугодие не справляющихся с письменными работами».

Составляя план работы по теме, учитель должен представить себе, какие письменные работы он будет проводить, по каким вопросам темы и на каком материале будет проверять знания учеников.

Остановимся на более важных требованиях, которые следует предъявлять к организации контрольных работ. Опыт говорит о том, что менее высокий эффект дают работы, проводимые только по окончании работы по теме,— итоговые работы; больший эффект дают итоговые работы, которые предварялись несколькими работами по частям темы. Известно, что число контрольных работ регламентировано министерством с целью предупредить перегрузку школьников домашними работами, в частности подготовкой к контрольным работам. Но контрольные работы по частям не рассчитаны на специальную домашнюю подготовку к ним и могут проводиться без предупреждения.

При составлении заданий для контрольных работ в восьмилетней школе, по нашему мнению, следует придерживаться таких принципов:

1) Задания по сложности должны даваться на некоторую ступень ниже тех, что давались в качестве наиболее сложных на классных занятиях; они должны быть более общедоступными, чем классные для совместной работы, когда вся работа проходит при участии и помощи учителя.

2) Задачи в контрольной работе не должны выходить за рамки вопросов и задач средней трудности, представленных в стабильных учебниках и задачниках.

3) В задания контрольной работы для V класса не следует включать теоретические вопросы, связанные с объяснениями: ученики этого возраста не владеют навыком даже простейших логических обоснований, пишут медленно, и задания теоретического характера для них явно непосильны.

В VI классе следует избегать заданий, требующих длинного словесного изложения последовательных логических рассуждений. Вполне можно включать в задания по алгебре выводы простейших формул, доказательства небольших теорем, разобранных в классе или вытекающих из них.

В VII—VIII классах задания теоретического характера, естественно, могут усложняться, но все-таки следует избегать заданий, требующих длинного словесного изложения.

4) Для всех учеников задания должны даваться одинаковой трудности. Дифференцированные задания иногда приводят к своего рода парадоксам: хороший ученик по какой-то причине выполнил усложненное задание неудовлетворительно, в то время как выполнить общее задание мог безупречно, и оказался «неуспевающим». Другое дело, целесообразно для более сильных учеников иметь дополнительные (запасные) задачи, которые давать после выполнения основной работы, при этом оценивать эту часть работы особо.

К оценке же общих работ подходить требовательнее, тем самым повышать значимость общих заданий.

Для того чтобы обеспечить одинаковую трудность задания, рекомендуется, выбрав какую-либо задачу или теорему, не меняя ее основы, изменять данные и искомые; в примерах изменять буквы, менять местами слагаемые, тем самым менять знаки перед выражениями и т. п. В некоторых случаях в контрольную работу можно включать и различные вопросы из ближайших тем. Приводим примеры таких заданий.

На 10—15 минут можно дать такую работу.

VI класс

1. Доказать теорему о свойстве биссектрисы угла.

2. Могут ли быть все внешние углы треугольника острыми?

VII класс

По алгебре

1. Решить уравнение

2. При каких значениях а дробь - не имеет смысла?

По геометрии

1. Доказать теорему об измерении вписанного угла в круге.

2. Каково взаимное положение двух окружностей, если #=12 см, г=8 см, d=\2 см?

Текущая тема «Измерение углов в круге» (на 45 минут)

1. Из концов диаметра проведены две параллельные хорды. Доказать, что они равны.

2. Определить величину вписанного угла, образованного диаметром AB и хордой ВС, если АС:СВ=2:3.

3. При каких условиях окружности радиусов 13 см и 8 см не имеют общих точек? (Предполагается два ответа.)

VIII класс

По алгебре (на 20 минут)

1. Задача. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2, один из катетов треугольника больше другого на 31 см.

Вычислить гипотенузу этого треугольника.

2. Найти значение q в уравнении х2—7x+q=0, если один из корней этого уравнения равен 4.

3. Вычислить по линейке

По геометрии. Текущая тема «Подобие треугольников» (на 45 минут)

1. Доказать, что в подобных треугольниках сходственные медианы пропорциональны сходственным сторонам.

2. Задача. В параллелограмме сумма неравных сторон равна 96 см, а отношение высот параллелограмма равно 5:7. Найти стороны.

3. Построить треугольник ABC, если дано /_А, /LB, высота Hab.

Для удобства тексты контрольных работ следует выписывать на карточки, лучше в 4—5 вариантах, но одинаковой трудности. Это в значительной мере обеспечивает самостоятельность работы каждого ученика, создает большее спокойствие и необходимую сосредоточенность в работе, повышает ответственность каждого за свои результаты.

Карточки позволяют освободить учеников от переписывания длинных текстов задач. В работе достаточно указывать номер карточки.

Многие учителя при выполнении письменных контрольных работ не разрешают ученикам пользоваться «черновиками», а приучают их писать сразу начисто, считая, что время, затра-

чиваемое на черновик, лучше использовать на предварительное обдумывание плана работы. Не следует категорически запрещать черновики, но, разрешая ими пользоваться, надо требовать вести в них записи аккуратно и в принятой последовательности. Черновики должны сдаваться учителю.

Кроме письменных контрольных работ, можно проводить и устные контрольные работы. Устные контрольные работы отличаются от письменных тем, что ученики делают необходимые вычисления, преобразования и выводы устно и записывают только ответы на предложенные вопросы и задачи.

Приводим примеры устных контрольных работ для разных классов.

V класс

Тема «Обыкновенные дроби», сложение и вычитание дробей (на 15 минут)

1. Сравнить дроби:

2. Написать все неправильные дроби с числителем 5.

3. Вычислить:

VIII класс

Тема «Извлечение квадратного корня из чисел» (на 15 минут)

1. Вычислить:

2. С помощью логарифмической линейки вычислить: а) х2, если *=4,26; б) X из уравнения х2 = 18,24.

3. Вычислить по таблице

Примечание. Примеры устных контрольных работ взяты по материалам учителей школ № 209, 216 и 476 Ленинграда.

Организация устных работ такова: учитель заранее крупно записывает каждое подобранное им для работы предложение (задачу или вопрос) на особый отдельный лист и в намеченной им последовательности вывешивает эти листы в классе (можно записывать предложения и на доске). Ученикам предоставляется 1—2 минуты для решения предложенной задачи в зависимости от сложности задания.

Текст задачи или вопроса по истечении времени, отведенного для решения его, убирается или стирается. Не успевшие решить задачу должны прочеркнуть место ответа на данный вопрос. Никаких поправок вносить в записи не разрешается. После записи ответа на последнее предложение контрольной работы тетради должны быть всеми учениками закрыты одно-

временно; если ответы записывались на листках, то листки должны быть одновременно по требованию учителя перевернуты, а затем собраны для проверки и оценки.

Опыт многих учителей свидетельствует о том, что ученики довольно скоро привыкают к такой форме проверки знаний и навыков и сами не допускают списывания. Для предупреждения списывания ответов некоторые учителя составляют два варианта задания.

Ценность устных контрольных работ состоит в том, что они, как и устные упражнения, повышают внимание учеников, приучают их ценить время, развивают навык быстро отыскивать наиболее рациональные способы решения. Для учителя результаты дают возможность учесть, что из пройденного слабо усвоено, характер наиболее распространенных ошибок, наконец, позволяют, пользуясь довольно большим материалом, правильно оценивать знания и навыки учеников. Полезно вскоре после устной контрольной работы провести письменную работу с учетом результатов устной. Удобно использовать результаты устной контрольной работы и при индивидуальном опросе.

§ 22. Оценка знаний учеников

Оценки знаний и умений должны отражать, насколько прочно и сознательно ученик усвоил пройденный материал по текущей теме или по повторению; насколько он умеет приложить теорию к практике при решении различного рода задач; правильно ли и рационально выполняет преобразования и вычисления; умеет ли правильно, точно и последовательно выражать свои мысли; обладает ли нужными геометрическими представлениями; грамотно ли и аккуратно оформляет работу. Таким образом, оценка ставится с учетом всех указанных требований К знаниям и навыкам учащихся. Заслуживает внимания опыт некоторых учителей выставлять оценку поурочно, то есть за работу ученика на уроке и дома. В этом случае учитель до урока намечает группу учеников, знания которых намерен проверить, и на всех этапах урока следит за их работой и привлекает их к ответу: они участвуют в объяснении при проверке домашней работы, они вызываются для комментирования решения задач, они находятся в поле зрения учителя во время «самостоятельной работы в классе, они вызываются чаще других для ответа при беглом опросе и т. д. В результате учитель выставляет намеченным ученикам «поурочный» балл. Выставление «поурочного» балла рекомендуется и министерством как прием, оправдавший себя.

Учителю приходится оценивать знания и умения учащихся и при индивидуальном опросе у доски и, конечно, за устные и письменные контрольные работы.

Министерством просвещения утверждены «Нормы оценки успеваемости учащихся V—XI классов средней школы по математике» (1962). Нормы различают грубые, случайные ошибки и недочеты в знаниях и умениях учащихся.

Весьма важным указанием следует считать, что четвертные или полугодовые оценки ученику выставляются на основании всех оценок, полученных им в течение четверти или полугодия, с учетом повседневных наблюдений учителя за всей работой ученика.

Это указание в некоторой степени предупреждает возможность случайных итоговых оценок.

Второе указание — итоговая положительная оценка не может быть выставлена ученику, который не имеет положительных оценок за контрольные работы в течение отчетного периода. Этим подчеркивается то внимание к самостоятельным работам, которое должно уделяться в преподавании математики, и преимущественное значение контрольных работ в общей системе проверки знаний.

Несомненно, в оценке проявляется личность учителя, его требовательность, внимание к мелочам, но вместе с этим и педагогический такт.

§ 23. Анализ письменных работ учеников и разбор ошибок в классе

Заслуживает внимания вопрос об анализе письменных работ учителем и последующем разборе ошибок в классе. Бесспорно, что при проверке работ учитель обязан отмечать все ошибки учеников — математические, стилистические и грамматические (этого требует и единый орфографический режим в школе). Многие учителя исправляют ошибки сами. Мы полагаем, что этого делать не следует; в том случае, когда ошибка исправлена учителем, на долю ученика остается «согласиться» с исправлением и успокоиться. Перестройка школы требует усиления самостоятельной работы учащихся на всех этапах обучения. Важно, чтобы и при разборе ошибок ученик сам установил, в чем его ошибка, умел найти источник возникновения ее и пути исправления. Поэтому достаточно того, что учитель указывает место ошибки. Практика такого подхода к исправлению ошибок в письменных работах достаточно широка и оправдала себя. Для указания места ошибки вводятся условные знаки: для грубых ошибок две черты, для негрубых и случайных— одна черта и для недочетов — волнистая линия.

При домашнем анализе работ учитель не может ограничиться только проверкой и сопоставлением ответов или беглым просмотром хода рассуждений или последовательности преобразований. Надо тщательно просматривать все преобразования,

вычисления и рассуждения. Результаты поспешной проверки работ могут поставить учителя в неприятное положение. При анализе работ надо систематизировать ошибки и недочеты, выделить типичные и массовые ошибки, в первую очередь принципиальные, грубые, связанные с нарушением основных законов математики. На таких ошибках и должно быть сосредоточено внимание учащихся при разборе ошибок в классе. Этот разбор никак нельзя ограничивать сообщением каждому ученику его ошибок и проставленной за работу оценки. Ошибки надо разбирать, при этом к разбору ошибок и причин, породивших их, следует привлекать учеников, в первую очередь допустивших ошибки и пассивных в общей работе. Известно, что иногда достаточно перед учениками поставить вопрос, можно ли так делать, как допустивший ошибку «спохватывается» и сам указывает, в чем ошибка и как ее исправить. Таким образом этап разбора ошибок становится обучающим и мобилизующим мысль ученика.

Вопросы и задачи, вызвавшие затруднения у многих учеников, необходимо особенно детально и тщательно разбирать в классе, иногда следует даже провести дополнительные упражнения. Если в классе проведен тщательный анализ ошибок (установлены источники их и намечены пути исправления), то учитель может предложить ученикам, допустившим ошибку, переделать задачу или внести нужные исправления, не сопровождая их указаниями на соответствующие теоремы, правила, законы. Если же ошибка не была массовой или явилась повторной, то рекомендуется предложить ученику дома произвести детальный разбор ее, то есть внести исправления и сделать нужные ссылки на соответствующие правила.

Анализ работ учитель должен провести к очередному уроку по предмету и на этом уроке разобрать с учениками ошибки. Отсрочка проверки и разбора работ в классе ведет к потере интереса учащихся к разбору, часто разбор вклинивается в начатую уже работу по новой теме; несвоевременно проставленные в журнал и дневники оценки работ часто вызывают законные упреки в адрес учителя со стороны классного воспитателя и родителей.

Принятые формы учета знаний учащихся по предмету в классных журналах недостаточно оперативны. Проставленные учителем отметки за ответы и работы учащихся не дают возможности даже ему самому восстановить в памяти, за что конкретно поставлена оценка. Это часто приводит к тому, что учитель в последующем и не спрашивает ученика по тому материалу, который он не знал, а полученная учеником более поздняя удовлетворительная отметка, хотя бы и за другой материал, «покрывает» собой полученную ранее неудовлетворительную оценку...

Чтобы восполнить пробел в учете знаний учащихся, желательно, чтобы учитель вел тематический учет знаний в своем дневнике. В нем найдут себе место отметки по всем видам учета знаний за устные и письменные контрольные работы, за устные ответы и т. д.

§ 24. Меры предупреждения неуспеваемости и работа с отстающими учениками

Известно, что математика — один из предметов, по которому число неуспевающих сравнительно высоко. Перед учителем математики постоянно стоит задача найти пути предупреждения отставания учащихся или подтянуть уже отставших.

Прежде всего учитель математики должен понимать, что школьный курс математики является доступным для каждого нормального ребенка, нужно только добиться внимания на уроках, прилежания в выполнении домашних заданий.

Внимание учащихся значительно зависит от методики проведения урока, от умелой организации урока, от интереса, который возбуждает у них преподносимый материал. Необходимо следить за выполнением домашних заданий. Своевременной проверкой выполнения домашних заданий учитель может обнаружить пробелы в знаниях учащихся и принять соответствующие меры для предупреждения неуспеваемости.

Особое внимание учитель должен уделять отстающим или неустойчивым ученикам. Их следует чаще спрашивать, заставлять повторять правильные ответы других учеников и объяснения самого учителя. У неустойчивых учеников следует чаще брать тетради для проверки. Учитель математики должен следить, как ученики исправляют ошибки. Сам учитель должен знать наиболее существенные ошибки и пробелы в знаниях каждого ученика, фиксировать эти ошибки и помогать ученикам ликвидировать их. Одной из форм индивидуального учета ошибок могут служить «лицевые счета учащихся» (хотя бы сомнительных, неустойчивых), куда заносятся существенные ошибки при устных ответах и из письменных контрольных и самостоятельных работ. Имея такие лицевые счета, учитель указывает ученику пути исправления ошибок и работы над ними, а при последующих опросах проверяет, восполнены ли пробелы в знаниях, искоренены ли отмеченные ошибки.

В том случае, когда обнаруживается отставание кого-либо из учеников, наиболее эффективной мерой для ликвидации пробелов в его знаниях являются своевременные дополнительные занятия и консультации, во время которых учитель разъясняет все неясные для учеников вопросы.

Учителями практикуются индивидуальные задания ученикам на короткий срок с обязательной проверкой их и разбором на

дополнительных занятиях. Возможно и прикрепление к отстающим более сильных учеников из класса или из старших классов. Это «прикрепление» иногда бывает полезным и для «репетиторов», но увлекаться им не следует, так как часто эта работа становится тяжелой нагрузкой для добросовестных и прилежных учеников, и без того достаточно занятых учебной работой.

Весьма эффективными оказываются такие приемы работы с отстающими и неуспевающими учениками: повторный опрос невыполнивших задание не позднее чем через неделю и по тому же материалу; повторные контрольные работы аналогичного характера (проводить такие работы можно вне урока, через 2—3 дня после разбора общей контрольной работы); опрос учеников, пропустивших отдельные уроки, по материалу, пройденному в их отсутствие.

Наряду с дополнительными занятиями с отстающими учениками полезно вести специальную работу по повышению общего уровня математического развития учащихся и возбуждения более глубокого интереса к математике.

Для этого практикуются индивидуальные задания (например, набор задач для решения на определенный срок, набор несложных новых теорем для самостоятельного доказательства, составление различного рода таблиц).

Особое внимание должно быть уделено ученикам, проявляющим особый интерес к предмету.

Надо своевременно дать таким ученикам материал по текущему курсу, предоставляя им возможность углубиться в изучение Текущих тем, познакомить их с источниками, которые позволят им расширить свои математические знания в пределах курса и темы.

Некоторые школы практикуют летние задания учащимся, не успевающим по математике (не успевающие по трем предметам и более оставляются в том же классе на второй год). В этих случаях задание рекомендуется давать по тем разделам, которые не усвоены учеником, если не усвоен весь курс, то, естественно, задание дается по всему курсу.

Большую помощь в работе с учениками может оказать учителю математики специальный математический кабинет школы.

§ 25. Ученические тетради и записи в них

Желательно, чтобы ученики имели по каждому предмету математики отдельные тетради для записи выводов и правил. Для упражнений должна быть особая тетрадь. Одна тетрадь должна предназначаться для контрольных работ по всем раз-

делам. Иногда учителя требуют отдельные тетради для домашних и классных работ.

Предлагаемое нами разделение удобнее, так как в этом случае в одной тетради сосредоточиваются все материалы и замечания по теории. В нее же могут вноситься краткие выдержки, формулы и законы из учебных книг.

Такая тетрадь может служить справочником и конспектом при повторении. Хорошо, когда в нее ученик записывает образцы оформления решения задач или доказательства теорем, показанные учителем на уроках.

Вторая рекомендация имеет то преимущество, что легче следить за выполнением домашних заданий.

Что же записывать в тетради во время урока?

Существуют две крайние точки зрения.

1) Если учитель излагает теорию так, как она изложена в учебнике, то ученики никаких записей делать не должны, а лишь внимательно слушать и активно участвовать в разборе материала. Записывают они только окончательный вывод и отмечают параграф учебника, в котором изложен соответствующий материал. И только в том случае, когда учитель излагает материал иначе, чем он изложен в учебнике, ученики записывают рассуждения и выводы полностью.

2) Записывать ученики должны все, что записывается на доске.

Решить этот вопрос — дело самого учителя. Можно лишь рекомендовать избегать длинных словесных записей и громоздких преобразований. Для учеников V—VI классов такие записи непосильны, и пользоваться ими, за редким исключением, они не могут.

Однако если доказательство теоремы или какой-либо вывод оформляется на доске короче и выразительнее, чем в учебнике, то такое доказательство записывать в тетради следует, так как оно помогает легче восстановить схему и логическую последовательность хода доказательства или вывода.

Надо обучать учащихся вести тетради, особенно в младших классах: они не умеют рационально расположить записи, чертежи, схемы, таблицы.

Учитель должен указывать, что и как записывать в тетрадь— дату выполнения работы и номер выполняемого упражнения или задачи. Отсутствие этих данных затрудняет проверку тетрадей.

Не следует допускать переписывания в тетрадь текста учебника при подготовке домашних заданий, полезно время от времени задавать ученикам конспективно изложить в тетрадях наиболее сложный параграф учебника, расчленить выводы на простейшие этапы и выполнить доказательство теоремы для измененного чертежа с другими обозначениями фигуры.

§ 26. Выпускные экзамены в VIII классе по математике

До 1956 г. во всех классах начиная с IV проводились переводные экзамены по математике, а в VII и X классах — выпускные экзамены. В настоящее время экзамены проводятся только в выпускных классах. В VIII классе по математике проводится два экзамена — письменный (по алгебре и арифметике) и устный (по геометрии и алгебре).

Экзамены являются итоговой проверкой и служат для оценки знаний и навыков, а также общего математического развития, полученных учениками за время обучения в школе. Экзамены проводятся по особой инструкции Министерства просвещения РСФСР.

Письменный экзамен по алгебре и арифметике проводится по текстам, присылаемым министерством, для устного экзамена по геометрии и алгебре министерством же составлены экзаменационные билеты.

На письменном экзамене по математике дается задача по алгебре (обычно на составление квадратного уравнения или на составление системы уравнений) и два примера — один на тождественные преобразования, другой по арифметике. На устном экзамене по математике проверяются знания учеников по геометрии за курс VIII класса и некоторым наиболее важным разделам VI и VII классов и умения применить полученные знания по алгебре и геометрии к решению практических задач.

Таким образом, на устном экзамене из курса алгебры проверяются преимущественно навыки в вычислениях по таблицам и с помощью логарифмической линейки.

На письменном экзамене ученик должен обнаружить умение решать алгебраическую задачу на составление уравнения. Оформление решения задачи может быть выполнено любым способом, который ученик выберет.

Основное требование в работе предъявляется к математической грамотности: грамотно должны быть изложены пояснения к выбору неизвестного, к обозначениям размерности величин, к составлению уравнений. В результате полученных решений проверкой должно быть установлено, какие из них являются ответом на вопрос задачи.

Алгебраический и арифметический примеры в работе направлены на проверку навыков учащихся в тождественных преобразованиях и вычислениях, а также функционально-графических представлений.

При проверке вычислительной культуры учащихся основное внимание обращается на умения выполнять все действия над десятичными дробями; это проверяется по преимуществу на решении арифметического примера. Навыки в операциях над

обыкновенными дробями проверяются по преимуществу при вычислениях, связанных с тождественными преобразованиями (например, при нахождении числового значения результата преобразования алгебраического выражения).

Каждый билет на устном экзамене по геометрии содержит три задания-вопроса.

В первом задании предлагается доказать одну из теорем курса планиметрии VI—VIII классов.

Во втором задании указывается лишь раздел курса геометрии, по материалу которого учитель составляет конкретную задачу на вычисление, доказательство или построение.

Третье задание определяет характер практической работы, которую предлагается выполнить ученику; эти задачи составляются учителем; в них должно требоваться от учеников умение произвести непосредственные измерения, построения и вычисления. При выполнении 2 и 3-й задач ученик должен уметь обосновать свои действия ссылками на теоремы, формулы, которые будут им использованы.

Задачи во 2 и 3-ем заданиях подобраны в каждый билет так, чтобы можно было проверить знания и навыки ученика по различным разделам курса геометрии.

Приводим примеры задач по 2 и 3-му вопросам билета № 23.

Ко 2-му вопросу билета (решение задачи на подобие треугольников) может быть предложена одна из следующих задач:

1. Дана равнобочная трапеция с основаниями 12 и 18 см и длиною диагонали 20 см, вычислить отрезки диагоналей, на которые они делятся точкой их пересечения.

2. Дан треугольник ABC с углом ß = 40°; из вершины Z.A проведен отрезок АЕ до пересечения с ВС; ZEAC = 40°, ZAEC= /_ЛСЕ; ߣ=12,4 см, £С = 5,6 см. Вычислить длину отрезка АЕ.

3. В треугольнике ABC проведен отрезок КЕ\\АВ (точка Е лежит на ВС); ВС = 8 см; BE = 2 см; АС=Ю см. Определить длину А К.

В каждом случае ученик должен сделать чертеж, соответствующий условию, и произвести необходимые вычисления.

К заданию билета № 23 (вычислить объем детали, имеющей форму правильной треугольной призмы) может быть предложена одна из следующих задач:

1. Вычислить объем призмы из оптического прибора с точностью до 0,1.

2. Вычислить объем номерного знака (бирки с вешалки), имеющего указанную в задании форму, с точностью до 0,1.

3. Вычислить объем деревянной (металлической, стеклянной) модели призмы с точностью до 0,1.

На экзамене учащимся должны быть предоставлены для

решения третьей задачи необходимый материал и измерительные инструменты; все это готовится учителем заранее и на экзамене должно быть разложено на столе.

Все вычисления, которые допускают целесообразное применение счетной линейки, должны выполняться при ее помощи.

Некоторые указания взяты нами из статьи И. Петракова и А. Семушина «Экзамены за восьмилетнюю школу» (см. журнал «Математика в школе», 1963, № 1). Инструкция по проведению экзаменов в восьмилетней школе указывает, что итоговые отметки по алгебре и геометрии выставляются по результатам письменного и устного экзамена, с учетом годовой оценки за VIII класс по каждому из этих предметов. Итоговая оценка по арифметике переносится из VI класса независимо от выполнения задания по арифметике на письменном экзамене (таково разъяснение методиста по математике Министерства просвещения т. Петракова, см. «Учительскую газету» за 27 апреля 1963 г.).

Примечательно указание инструкции, что положительная итоговая оценка по алгебре не может быть выставлена не только тем учащимся, которые не выдержали письменный экзамен, но и тем, которые на устном экзамене по математике обнаружили неумение практически пользоваться знаниями, приобретенными при изучении алгебры. Во всех этих случаях учащиеся держат осенью повторные устный и письменный экзамены по математике.

Если же учащийся не выдержал весной экзамен по геометрии, то он держит осенью повторный устный экзамен.

Учащихся к экзаменам надо готовить: эта подготовка должна прежде всего заключаться в повторении основных законов, зависимостей, приемов тождественных преобразований и в решении задач на составление уравнений, в повторении вычислений с обыкновенными и десятичными дробями непосредственно и с помощью таблиц и линейки.

И тут дело не столько в числе решенных задач и примеров, сколько в качестве отобранных для повторения задач и примеров.

Так, при повторении решения задач на составление уравнений надо особо остановиться на выражении в уравнении всех величин одной мерой, на внимательном отношении к освобождению уравнения от дробных членов, на необходимости проверки, удовлетворяют ли найденные корни условиям задачи, и т. д. При повторении материала по геометрии надо учесть, какой материал из курсов VI и VII классов включен в экзаменационные билеты. Этот материал требуется обязательно повторить, так как многие ученики забыли его. Особо тщательно к темам, давно пройденным, надо подобрать группу задач, при решении которых ученики повторяют и теорию.

Повторение учебного материала при подготовке к экзаменам надо начинать если не с начала учебного года, то по крайней мере с января. Повторение не рекомендуется вести по билетам (да с января это и невозможно, так как некоторые темы по геометрии и алгебре не будут еще изучены). Повторение должно вестись в строгой системе, по темам и не всего учебного материала сплошь, а, как уже сказано, выборочно, с выделением наиболее важного, принципиального. Хорошо, когда это повторение спланировано и во времени так, чтобы ученики к известному сроку прорешали одну группу задач, к другому сроку — другую и т. д. То же и в отношении теоретического материала, особенно по геометрии. Повторение следует построить с таким расчетом, чтобы было можно в установленные сроки проверять, как повторяют ученики материал, и внести нужные коррективы в эту работу. Целесообразно в середине четвертой четверти провести пробную письменную работу на 2—3 урока с включением в работу задачи по алгебре и двух примеров — по алгебре и по арифметике. Такая тренировочная работа проводится во многих школах и имеет известный смысл.

§ 27. Внеклассная работа по математике

Под внеклассной работой по математике мы будем понимать занятия, проводимые во внеурочное время и основанные на принципе добровольного участия.

Целью внеклассной работы является:

1) углубление учебно-воспитательной работы школы в области идейно-политического воспитания;

2) повышение уровня математического развития и расширения научного кругозора учащихся;

3) повышение интереса учеников к математике;

4) привитие навыков к самостоятельной работе и умение работать с математической книгой.

Внеклассная работа способствует повышению математического образования, расширяет общую математическую культуру и способствует повышению успеваемости учащихся.

Ученики V—VIII классов, за исключением имеющих особую склонность к математике, с одинаковым интересом относятся ко всем школьным предметам. Любовь к той или иной дисциплине проявляется у школьников часто в зависимости от учителя (его знаний, энтузиазма, педагогических качеств и т. п.).

Прежде чем организовать внеурочные занятия со школьниками, учитель, если он первый год ведет занятия с данным классом, должен внимательно изучить своих учеников и постепенно выделить тех, с которыми он предполагает вести внеклассные занятия. На первых порах не следует гнаться за большим числом участников: актив будет постепенно возрастать в

зависимости от организации всей работы. Необходимо помнить, что интерес к математике возрастает, если ученик с успехом сделал доклад, удачно участвовал в конкурсе по решению задач и т. д.

Предлагаемый на первых порах материал не должен вызывать слишком больших трудностей. Поэтому сперва приходится давать более легкие темы для докладов и более простые задачи, усложняя их в процессе работы. Неудача вначале может привести к разочарованию в своих силах, и ученик «разлюбит математику».

Почти в каждой школе существуют кружки по математике. Этим кружкам присваивают различные названия: общество любителей математики, общество юных математиков, кружок математики такой-то школы и т. п.

Необходимо отличать математические кружки в школах от нового вида внеклассной работы — математических школ, которые сейчас получают распространение и преследуют несколько иные цели. Математические школы (школы юных математиков) организуются при высших учебных заведениях или в районе для нескольких школ. Следует отличать «математические школы» от школ вычислителей-программистов, от школы при Новосибирском отделении Академии наук, при Московском университете и других научных и высших учебных заведениях; все эти школы являются общеобразовательными школами с углубленным изучением математики и физики.

Независимо от названия кружок или общество в школе должно иметь вполне определенную организацию.

На первом собрании учитель сообщает о целях и задачах кружка; затем вырабатывается устав кружка, который должен быть возможно кратким; избирается председатель и несколько членов президиума в зависимости от числа секций. Для пользы дела учитель математики должен быть заместителем председателя.

В некоторых школах избираются почетные члены кружка из числа крупных математиков, известных методистов, работников университетов и педвузов. Предварительно учителю следует списаться с теми лицами, которые намечаются в почетные члены кружка; учащимся приятно будет получить письмо и ряд пожеланий от своего почетного члена. Директора, завуча школы следует информировать о работе кружка и приглашать их на заседания кружка.

В кружке может участвовать любой ученик. Чтобы кружок имел средства для приобретения некоторых материалов, премирования наиболее активных членов, можно прибегнуть к коллективному заработку (разноска телеграмм в дни революционных праздников или выполнение каких-нибудь хозяйственных работ в колхозе, школе и т. п.).

Члены кружка отчитываются или на секциях или на общем собрании. В последней четверти должна быть дана характеристика работы каждого члена кружка (число сделанных докладов, качество выполнения, участие в конкурсах по решению задач, в олимпиаде и т. д.).

Кружок, как уже было сказано, не должен замыкаться в самом себе: к работе следует привлекать возможно большее число учащихся, а не только членов кружка.

Остановимся еще на одном организационном вопросе.

Математический кружок может состоять из следующих секций:

I. Научно-популярная.

II. Конкурсы по решению задач и олимпиады.

III. Изготовление наглядных пособий, моделирование.

IV. Школьная математическая печать.

План кружка и каждой секции составляется на весь учебный год. Работа секций и кружка начинается в середине сентября и заканчивается в начале мая проведением итогового вечера.

План должен быть составлен по возможности точный, причем в плане указывается, какой доклад, какое мероприятие, когда и кем будет проведено.

Во время каникул занятия кружка можно не проводить.

Рассмотрим несколько подробнее содержание работы каждой секции.

1. Научно-популярная секция.

Задачи этой секции:

а) углубление некоторых вопросов, входящих в программу школы;

б) изучение некоторых новых вопросов.

Как правило, математические доклады в V—VIII классах не должны быть длительными (не более 30—40 минут). Доклады должны разбиваться на части и поручаться отдельным учащимся. Таким образом, доклад ученика V класса не будет превышать 10 минут, а в VIII классе—15—20 минут.

В месяц мы рекомендуем проводить по два доклада: за весь учебный год будет 10—12 докладов.

В сентябре, пока ученики только готовят доклады, первые два доклада может сделать учитель или приглашенный докладчик из педвуза, если таковой имеется в городе.

Каждый ученический доклад должен быть хорошо подготовлен как по своему содержанию, так и по внешнему оформлению; красиво вычерчены графики, правильно составлены диаграммы, таблицы и т. д. Поэтому учитель, особенно на первых порах, должен тщательно проверять подготовку докладчика. После доклада в заключение учитель отмечает достоинства и недостатки доклада.

Приведем несколько тем для ученических докладов.

Для V—VI классов.

1. Числа-великаны и числа-малютки.

2. Как люди научились считать.

3. Как считали на Руси в старину.

4. Запись цифр и чисел у различных народов в древности (Египет, Греция, Ассиро-Вавилония, Рим, славяне, Индия).

5. Нуль.

6. История календаря.

7. Как умножали и делили в старину.

8. История возникновения обыкновенных и десятичных дробей.

9. Как возникла десятичная система мер.

10. Леонтий Филиппович Магницкий, автор первого учебника по арифметике в России. Старинные задачи.

Для VII класса.

1. Различные системы счисления.

2. История возникновения отрицательных чисел.

3. Геометрия в древнем Египте.

4. Геометрия в древней Греции.

5. Геометрия в Ассиро-Вавилонии.

6. Архимед.

Для VIII класса.

1. Осевая симметрия.

2. Центральная симметрия.

3. Геометрические места точек.

4. Измерение площадей.

5. История развития учения об уравнениях.

6. Теорема Пифагора и пифагоровы числа.

7. Золотое деление.

8. Графическое решение квадратных уравнений.

9. Различные способы построения параболы и гиперболы.

10. Максимум и минимум функции.

Примечание. Темы докладов для V и VI классов могут быть использованы и в VII—VIII классах. Содержание, конечно, должно быть более глубоким.

Математические вечера — одна из наиболее массовых форм внеклассной работы. Если в школе нет параллельных классов, то приходится организовывать вечера одновременно для V—VI классов или для VII—VIII классов; при наличии нескольких пятых, шестых и т. д. классов можно проводить вечера для каждой параллели отдельно. Содержание математических вечеров весьма разнообразно. Например, различные системы счисления. Содержание вечера: доклады отдельных учеников о различных системах счисления в первой части вечера и решение задач во второй части. Желательно внести элементы развлекательного характера.

Представляют значительный интерес вечера, посвященные отдельным математикам.

В. Д. Чистяков в своей книге «Математические вечера в средней школе» (Учпедгиз, 1958) предлагает следующий план вечера, посвященного жизни и деятельности С. В. Ковалевской:

а) биография С. В. Ковалевской,

б) замечательные высказывания С. В. Ковалевской,

в) воспоминания родных и знакомых о С. В. Ковалевской,

г) высказывания ученых о С. В. Ковалевской,

д) чтение стихов С. В. Ковалевской и отрывков из «Воспоминаний детства».

Материал для выступлений обычно распределяется между членами кружка (общества). К вечеру можно выпустить специальный номер стенгазеты и стенд, посвященный деятельности С. В. Ковалевской. В зале, где проводится вечер, необходимо вывесить большой портрет С. В. Ковалевской.

В заключительном слове учителю необходимо сказать о выдающихся русских женщинах-математиках: П. Я. Полубариновой-Кочиной, Л. В. Келдыш, С. А. Яновской, О. А. Ладыженской, О. А. Олейник и др.

Примерно по такому же плану можно провести вечер, посвященный Л. Эйлеру, Н. И. Лобачевскому или П. Л. Чебышеву. Для проведения вечера, посвященного Н. И. Лобачевскому, можно найти интересный материал в книге Анны Ливановой «Три судьбы» («Молодая гвардия», 1959). Такие вечера, но более глубокие по содержанию, могут быть проведены и для учащихся старших классов.

Если в школе проводилась математическая олимпиада, то один из вечеров следует целиком посвятить олимпиаде (смотри ниже).

II. Секция решения задач.

Математические викторины. Математические викторины можно проводить на математическом вечере, на общешкольных и классных вечерах, посвященных математике, и на заседаниях математического кружка.

В викторинах может принимать участие каждый желающий. Обычно предлагается 6—8 вопросов. Наиболее удачная форма проведения викторин следующая. Тексты всех вопросов и задач предварительно выписываются на доске или на отдельных плакатах; лучше всего, когда каждому учащемуся выдается лист бумаги, на котором напечатаны все вопросы и задачи.

Каждый участник на отдельном листе записывает ответы и краткое объяснение к вопросам и задачам. Этот лист через определенное время сдается в жюри викторины. Через 20—40 минут в зависимости от возраста учащихся прием листов прекращается. Работа должна быть налажена так, чтобы в корот-

кое время жюри проверило решения и выявило бы победителей викторины. Для того чтобы дать время жюри проверить работу, с участниками викторины до опубликования результатов проводится разбор решений. Победителям викторины выдаются небольшие призы, обычно математические книги.

Значение викторины нельзя переоценивать; умение быстро решать легкие задачи еще не свидетельствует о математическом развитии и способностях учеников. В этом отношении викторины значительно уступают математическим олимпиадам.

Задачи для викторин не должны быть громоздкими и сложными для вычислений или записей; большинство из них должны решаться в уме. Не следует предлагать на викторинах задачи, которые решались на уроках.

Приведем несколько вариантов для различных классов.

Для V класса

1. (1 очко.) Какой из знаков, применяемых в арифметике, следует поставить между числами 4 и 5, чтобы получить число больше 4, но меньше 5? (Ответ: запятую.)

2. (1 очко.) Восстановить уменьшаемое и вычитаемое

?0?? ~3?06

(Ответ: 7030 и 3906.)

3. (1 очко.) Во сколько раз лестница на 6-й этаж длиннее лестницы на 2-й этаж того же дома? (Ответ: в 5 раз.)

4. (2 очка.) Выписать подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз будет написана цифра 5? (Ответ: 20 раз. В десятке 50—59 цифра 5 встречается 11 раз; в каждом из остальных десятков по одному разу.)

5. (2 очка.) При умножении 678 на 273 получилось 184 094. Правильно ли сделано умножение? (Ответ: нет. 678 делится на 3; 273 делится на 3. Все произведение должно делиться на 9. Сумма цифр числа 184 094 не делится на 9.)

6. (2 очка.) Вычислить сумму

8-9-14+6-12.17+4-18-19.

Решение 72-14+ 72-17+ 72-19 = 72-(14+17+19) =72-50 = =3600.

7. (2 очка.) Написать цифры 1, 2, 3, 4, 5. Не меняя порядка цифр, вставить между ними знаки, употребляемые в арифметике так, чтобы образовалось число 100.

(Ответ: (1+23—4)-5, или (1 2+3).4-5.)

8. (2 очка.) В ящике имеется сто флажков: по 25 красных, зеленых, желтых и синих. В темноте выбираются флажки. Какое наименьшее число флажков следует взять, чтобы среди них оказалось не меньше 10 флажков одного и того же цвета? (Ответ: 37.)

Для VII класса

1. (1 очко.) Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом? (Ответ: нет, (а—1)+а+(а+1) = =3а; а>\.)

2. (2 очка.) Доказать, что если дробь а~~Ъ несократима, то дробь у также несократима.

Решение. Если — сократимая дробь, то a=mk, b=nk. Тогда ь есть также сократимая дробь.

3. (2 очка.) Может ли четвертая степень целого числа оканчиваться цифрой 4? (Ответ: нет. Квадраты целых чисел оканчиваются цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9. Квадраты квадратов будут оканчиваться цифрами 0, 1, 5, 6.)

4. (2 очка.) Первую половину пути мотоциклист проехал со скоростью 30 км/ч, вторую — сэ скоростью 60 км/ч. Какова его средняя скорость? ( Ответ: 40 —. j

5. (2 очка.) Из 8 одинаковых деталей одна бракованная (легче других). Как найти посредством взвешивания на весах с двумя чашками без гирь бракованную деталь? Какое наименьшее число взвешиваний? (Ответ: 2. Взять 6 детален и т. д.)

Для VIII класса

1. (1 очко.) Делится ли многочлен а2—с2+b (2a+b) на a+b—с?

Решение. Делится. (a2+2ab+b2)—c2=(a+b — c)-(a+b+c).

2. (1 очко.) Доказать, что выражение (х— 4)(х — 6)+3 при любом значении х есть число положительное.

Решение, (х — 4).(* — 6)+3 = х2 — lOjc+24+З = (х — 5)2+ +2>0.

3. (1 очко.) Доказать, что сумма квадратов двух любых нечетных чисел не делится на 4.

Решение. (2а+\)2+(2Ь + 1)2=(4а2+4а+4Ь2+Щ+2. Первое слагаемое делится на 4, второе — не делится на 4.

4. (1 очко.) Могут ли |/"з и 2 быть корнями квадратного уравнения х2+рх+3=0? (Ответ: нет.)

5. (1 очко.) Решить уравнение

(Ответ:

в области действительных чисел решений нет.)

6. (2 очка.) Найти значение выражения Л=( 1 +ус ДI — ус ) х х(1+с)(\+с2)(1+с*)+с* при с—1,21; с= 1,45. (Ответ: А = 1, ибо Л = (1 — с)(1 + с)(1+с2)(1+с4)+с8=1.)

Для VI класса

(тема «Треугольники»)

1. (1 очко.) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 100 см, другая 40 см. Какая из них является основанием? (Ответ: основание—40 см.)

2. (1 очко.) Периметр равнобедренного треугольника равен 14 см. Одна из сторон втрое больше другой. Найти стороны треугольника. (Ответ: 2 см, 6 см, 6 см.)

3. (1 очко.) Можно ли разрезать треугольник на два остроугольных треугольника? (Ответ: нельзя.)

4. (1 очко.) В равнобедренном треугольнике высота равна половине основания. Найти его углы. (Ответ: 45° и 90°.)

5. (1 очко.) Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине треугольника параллельна основанию.

6. (2 очка.) В выпуклом я-угольнике все внешние углы тупые. Найти п. (Ответ: 3. Если допустить, что я>3, то сумма внешних углов будет больше 4d.)

Для VIII класса

(тема «Метрические соотношения и площади»)

1. (1 очко.) Могут ли все три стороны целочисленного прямоугольного треугольника выражаться нечетными числами? (Ответ: нет. Квадрат нечетного числа — число нечетное, а сумма квадратов двух нечетных чисел — число четное.)

2. (1 очко.) Квадрат и косоугольный ромб имеют равные периметры. Площадь какой фигуры больше? (Ответ: площадь квадрата больше, ибо высота ромба меньше стороны квадрата.)

3. (2 очка.) Доказать, что в любой трапеции треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, равновелики.

4. (1 очко.) Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника опущен перпендикуляр на гипотенузу. Длина перпендикуляра 6 см. Один из полученных отрезков гипотенузы равен 9 см. Найти диаметр круга, описанного около треугольника. (Ответ 13 см.)

5. (1 очко.) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.

6. (1 очко.) Диагональ делит трапецию на два треугольника, площади которых относятся как 1 : 2. Найти отношение оснований трапеции. (Ответ: 1 : 2.)

7. (1 очко.) Радиус глобуса увеличен на 1 см. На сколько увеличилась длина его экватора? На сколько увеличилась бы длина земного экватора при том же увеличении земного радиуса? (Ответ: на 2я см.)

Заслуживают внимания и конкурсы на решение задач. Два раза в месяц в кабинете математики вывешивается список задач; срок выполнения две недели. Каждая задача в зависимости от ее сложности должна быть оценена некоторым числом очков. Через месяц в очередном бюллетене приводятся наиболее удачные решения, перечисляются фамилии учеников, решивших задачи, с указанием начисленных очков; за красивое или оригинальное решение число очков может быть увеличено. (Начисление очков указывается с первого задания.)

В апреле конкурс заканчивается. В последнем бюллетене приводится список всех участников конкурса с указанием места, занятого каждым из них.

В каждом задании следует давать 4—5 примеров. Задания могут быть на определенную тему или по всему курсу. Приведем несколько заданий для конкурса.

Для VI класса

1.(1 очко.) Точка M лежит внутри треугольника ABC. Какой из углов, ВАС или ВМС, больше?

2. (1 очко.) В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Если AB > АС, то какой из углов больше, ADB или ABC, и какой из отрезков, BD или CD, больше?

3. (2 очка.) В треугольнике ABC проведена высота АН. Как расположена точка H по отношению к точкам В и С, когда углы ABC и АСВ оба острые, когда один из них тупой и когда один из них прямой?

4. (2 очка.) В треугольнике ABC проведена медиана AM, высота AD и биссектриса АН. Доказать, что H лежит между точками D и М, если стороны AB и АС не равны.

Для VII класса

1.(1 очко.) Решить систему

Указание: сложить все уравнения.

2. (1 очко.) Решить систему уравнений

3. (2 очка.) Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру поместить в начале записи, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число. (Ответ: 103.)

4. (3 очка.) Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает на поезд на 40 минут, если будет двигаться с той же скоростью. Поэтому остальной путь он проходил со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 45 минут до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции? (Ответ: 20 км.)

Для VIII класса

1. (2 очка.) Решить уравнение

Указание: прибавить и отнять от обеих частей уравнения по 1.

2. (3 очка.) Решить уравнение

Указание: соединить попарно члены с одинаковыми числителями. Найдем х= —. Далее, обозначим х2 — Ъх через у. (Ответ:

3. (3 очка.) Сумма цифр трехзначного числа равна 12. Сумма цифр его сотен и десятков кратна 9. Если от искомого числа отнять 99, то полученное число запишется теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

Указание:

а+Ь+с=\2\ a+b = 9t;

100а+ ЮЬ+с — 99 = 100с + 106+а.

Единственно возможное значение t=L (Ответ: 453.)

4. (4 очка.) Найти двузначное число, равное сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Указание: 10а+6=а3+62; 10а— а3>0; а(10 — а2)>0; а > 1 и 10 — а2 > О, отсюда а2 < 10, а может быть только 1, 2 и 3.

а=1 и а=3 не годятся. Следовательно, а=2. (Ответ: 24.)

5. (2 очка.) anß корни уравнения

X2 — 5х+3 = 0.

Не решая уравнения, составить квадратное уравнение с корнями а4 и ß4. (Ответ: х2 — 341 343*+81 =0.)

Примечание. Задачи, допускающие несколько способов решения, вызывают у учеников особый интерес, когда сравниваются решения, оцениваются достоинства каждого способа и т. д.

В книге И. П. Трефилова «Как заинтересовать математикой учащихся средней школы» (Учпедгиз, 1957) приведено пять решений следующей задачи: «Дана равнобочная трапеция ABCD (рис. 31), у которой дан угол СЛ£)=45° и диагональ трапеции АС=с. Найти площадь трапеции» (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, часть I, № 83, § 13). ^ Ответ: —. j

Секции по решению задач следует поручить и проведение математических олимпиад.

Общешкольную математическую олимпиаду лучше всего проводить во втором полугодии, полагая, что внеклассная работа по математике поможет подготовить достаточное число участников.

Олимпиада проводится в два тура. Перед первым туром по классам через школьное радио, стенную газету и т. д. проводится разъяснительная работа. В математическом кабинете, в коридорах или в классах вывешивается список тренировочных задач.

Решение тренировочных упражнений должно подготовить учеников к олимпиаде.

В настоящее время имеется сравнительно большая литература, в которой приведены тренировочные задачи к олимпиаде.

Выдача заданий для самостоятельной работы открывает первый тур олимпиады. В течение 1,5—2 месяцев, отделяющих начало олимпиады от заключительного второго тура, примерно один раз в две недели проводятся специальные консультации, на которых разбираются решения тренировочных задач.

Рис. 31

К участию во втором туре допускаются ученики, проявившие в той или иной мере активность. Во время второго тура (заключительного) школьной олимпиады учащиеся выполняют письменную работу, для которой отводится 2—2,5 часа.

В V—VI классах работа может состоять из трех арифметических задач: одна повышенной трудности, другая такого же рода, как и задачи тренировочного набора (то есть трудности несколько выше средней), и третья из наиболее простых задач логической серии.

В VII и VIII классах можно дать одну задачу по алгебре, другую по геометрии, третью из логической серии. На основании результата второго тура жюри присуждает звание «лучшего математика V класса», «лучшего математика VI класса» и т. д.

Вечер, посвященный закончившейся олимпиаде, можно провести по следующей программе: 1-е отделение — разбор решения задач, 2-е отделение — торжественная часть. Доклад жюри об итогах олимпиады. Закончить 2-е отделение следует торжественным вручением премий победителям.

На занятиях кружка, в выпускаемых бюллетенях следует предложить несколько математических софизмов. Учителю надо всегда помнить о математической подготовке и о развитии учащихся; очень тонкие рассуждения, вполне доступные ученикам старших классов, могут не дойти до сознания учеников VI—VIII классов, и тем самым роль софизмов будет несколько принижена.

Большое оживление вносят так называемые фокусы. В некоторых случаях, когда при проведении математического вечера необходимо выделить время для проверки решенных задач, можно показать собравшимся несколько фокусов. Можно устроить и специально вечер фокусов; однако такой вечер требует весьма долгой и тщательной подготовки, и затраченное время вряд ли будет соответствовать результатам, а поэтому рекомендовать его не следует. Показывая фокус, необходимо дать возможность ученикам подумать и попытаться разгадать его. Поэтому объяснение фокусов должно быть во второй половине вечера.

Приведем примеры нескольких простейших «фокусов». 1. Определение дня недели.

Для определения дня недели любой даты 1963, 1964 и 1965 гг. необходимо прибавить к данной дате некоторое число (поправку) и разделить полученное число на 7. Остатку, равному 0, будет соответствовать воскресенье, остатку 1 — понедельник, остатку 2 — вторник и т. д., остатку 6 — суббота.

Запомнить все поправки для каждого месяца, то есть 36 чисел, довольно трудно. Эти поправки приведены в таблице

Таблица 5

Месяцы

1963 г.

1964 г.

1965 г.

Январь

1

2

4

Февраль

4

0

0

Март

4

6

0

Апрель

0

2

3

Май

2

4

5

Июнь

5

0

1

Июль

0

2

3

Август

3

5

6

Сентябрь

6

1

2

Октябрь

1

3

4

Ноябрь

4

6

0

Декабрь

6

1

2

Поэтому можно заранее на доске или на большом листе бумаги записать следующие двенадцать чисел.

124 400 460

023 245 501

023 356 612

134 460 612

Первая цифра соответствует поправке для 1963 г., вторая для 1964 г. и третья для 1965 г.

При помощи этих чисел легко найти день недели для любого числа. Например, 23 января 1963 г. Поправка 1. К 23 прибавляем 1 и делим на 7; в остатке получаем 3, то есть 23 января 1963 г. будет среда.

После нескольких отгадываний указывается правило для определения дня недели и разбирается, как можно найти поправки для 1966 и 1967 гг.

На одном из заседаний математического кружка кто-нибудь из учеников может сделать доклад о нахождении дня недели для любой даты любого года (см. И. П. Конгорокий, Формула для определения дня недели любой календарной даты нашей эры, в сб. «Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе», Учпедгиз, М., 1955).

2. Существует много способов отгадывания чисел. Приведем один из них.

Задумайте какое-нибудь целое число; помножьте его на 5, к полученному произведению прибавьте 6; найденную сумму помножьте на 4; к произведению прибавьте 9; полученное число еще помножьте на 5 и скажите, сколько у вас вышло.

Я могу оказать задуманное вами число.

Решение. Допустим, что вы задумали 12. Тогда 12*5 = 60; 60 + 6 = 66; 66-4 = 264; 264 + 9 = 273; 273-5=1365.

Я отбрасываю последние две цифры и полученное число уменьшаю на единицу 13—1 = 12. Вы задумали 12.

III. Секция изготовления наглядных пособий.

Математический кружок может оказать существенную помощь кабинету в изготовлении различных наглядных пособий, моделей, таблиц и т. д.

Секция должна тесно увязать свою работу с школьными мастерскими и уроками ручного труда.

Желательно, прежде чем приступить к изготовлению моделей и наглядных пособий, произвести все расчеты, составить схемы и т. д.

Всякое наглядное пособие, модель должны быть изготовлены доброкачественно и красиво. В конце года следует организовать выставку всех работ. Модели и наглядные пособия могут быть сделаны из дерева, металла, плексигласа и картона. Этот вопрос подробно изложен в нескольких пособиях (смотри список дополнительной литературы).

Эта же секция может изготовить различные таблицы для школы, совхоза, учреждения и т. д. В § 5 рассказано об этом подробно.

IV. Некоторые учителя считают возможным создать еще одну секцию: школьной математической печати. Независимо от того, будет ли создана такая секция, математический кружок должен информировать учеников о своей работе.

Если число членов кружка невелико, то можно организовать редколлегию, при большом числе членов кружка целесообразнее создать специальную секцию печати.

Математический кружок может выпускать стенгазеты, бюллетени и даже математический журнал.

Заметим, что стенгазета должна выходить регулярно, примерно один раз в месяц, бюллетень — два раза в месяц и журнал — один раз в полугодие.

Статьи и заметки желательно печатать на машинке. Широко следует использовать фото, рисунки, шаржи.

Содержание стенгазеты должно быть весьма разнообразным и интересным. В стенгазете следует помещать:

1) Статьи о математической жизни страны, школы (отчеты о математических вечерах, конкурсах, викторинах, олимпиадах и т. д.). Желательно передать в стенгазете краткое содержание интересных докладов, сделанных на занятиях кружка.

В газете можно помещать портреты победителей олимпиады, конкурсов решения задач, учеников, сделавших на занятиях кружка наиболее удачные доклады, изготовивших хорошее пособие.

2) Краткие биографии выдающихся математиков.

3) Небольшие заметки по истории математики с указанием

литературы, в которой по данному вопросу можно познакомиться более детально.

4) Объяснение смысла и происхождения математических терминов.

5) Время от времени в газете следует сообщать об успеваемости (результаты контрольных работ, оценки за четверть и т. д.).

6) Ответы читателей на их вопросы.

7) Веселые задачи, шутки, юмор.

Содержание математических бюллетеней следующее: задачи на конкурс, решение некоторых конкурсных задач, тренировочные задачи к олимпиадам, математические софизмы, математический юмор. Наиболее сложным является издание математического журнала. В журнале можно более подробно изложить статьи, помещенные в стенгазете или бюллетене: весьма желательны небольшие самостоятельные работы самих учащихся. Приведем несколько примеров: графическое решение квадратного уравнения, правило ложного положения, золотое деление и т. д. Самостоятельное исследование учениками некоторых даже простых проблем без надлежащего руководства учителя вряд ли на первых порах даст положительные результаты. Поэтому вначале учителю придется много внимания уделить работе с теми учениками, которым он предложил разрешить тот или иной вопрос.

§ 28. Математический кабинет

Математический кабинет должен быть в школе центром всей работы по математике. Необходимо, чтобы для кабинета было предоставлено помещение. При кабинете должна быть особая комната для хранения пособий, инструментов и т. д. Желательно, чтобы возле кабинета находилось несколько классов, специально оборудованных для занятий по математике.

Всю внеурочную работу по математике следует сосредоточить при кабинете. Заведующим кабинетом должен быть инициативный преподаватель. Если есть возможность, то хорошо, чтобы при кабинете был специальный лаборант. Важнейшие разделы работы кабинета следующие:

1. Учебно-методический.

В кабинете должны находиться:

а) учебные программы и планы работы учителей;

б) протоколы заседаний математической комиссии;

в) методические разработки;

г) набор текстов и образцы контрольных полугодовых и годовых работ;

д) задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах в высших учебных заведениях и техникумах.

Весь этот материал должен постепенно накапливаться, и учитель на основе сравнения этого материала за несколько лет может сделать соответствующие выводы, учесть достоинства и недостатки изложения отдельных вопросов и в связи с этим поставить леред собой проблемы на ближайшие годы.

2. Учебно-библиотечный.

Кабинет математики не должен заменять собой библиотеку, однако в нем должны быть:

а) некоторое количество книг по математике, необходимых для непосредственной работы учителей, и каталог всех математических книг, имеющихся в библиотеке;

б) краткие аннотации статей и книг по каждому разделу. Аннотации и подробный разбор наиболее важных вновь вышедших книг и статей должны все время пополняться (если несколько школ расположено близко друг от друга, то можно разделить труд по рецензированию вновь вышедших пособий между отдельными школами и на совместных заседаниях учителей математики производить разбор этих пособий и учебников);

в) указатель (учебников, статей и т. д.) по каждой теме, чтобы учитель сразу мог найти материал по интересующему его вопросу;

г) списки рекомендуемой литературы как для учителя, так и для ученика.

Сведения о всех новых или выходящих книгах должны вывешиваться в кабинете (желательно иметь особую доску).

Если школа расположена далеко от крупных центров, то заведующий кабинетом может договориться с ближайшим институтом усовершенствования учителей или с высшим педагогическим учебным заведением о том, чтобы последние сообщали школе о всех новинках, представляющих интерес для школы.

3. Учебно-производственный.

Вся работа с учениками, временно отстающими от класса, должна быть сосредоточена при кабинете. Эффективная помощь для таких учеников может заключаться:

а) в организации консультаций;

б) в создании условий в кабинете для дополнительной работы и выполнения домашних заданий (рабочее место, книги, пособия и т. д.).

4. Общественно-массовый.

При кабинете должна быть сосредоточена массовая работа по математике, а именно:

а) выпуск математических бюллетеней и стенгазет;

б) проведение математических олимпиад, конкурсов, викторин, вечеров, докладов и т. д.;

в) рекомендация литературы для самостоятельного изучения с последующим обсуждением на математическом кружке;

г) рекомендация тем для самостоятельной исследовательской работы учащихся (конечно, темы должны быть по силам школьникам) ;

д) регулярное вывешивание для самостоятельного решения особо интересных задач повышенной трудности. Необходимо вывешивать фамилии учащихся, давших лучшие решения, и приводить их решения.

5. Хранение и изготовление пособий.

В кабинете должен быть не только каталог наглядных пособий, но и указатель, какие пособия по какой теме могут быть использованы. Необходимо, чтобы в кабинете имелось все необходимое оборудование для изготовления наглядных пособий: небольшие тиски, столярный и токарный верстаки, весь необходимый набор инструментов для работы по дереву, металлу и картону.

В кабинете желательно иметь:

а) набор моделей геометрических фигур и тел;

б) модели для лучшего усвоения решения задач, в особенности по стереометрии. Необходимо изготовлять такие модели постепенно, из года в год, с тем чтобы для каждой задачи, представляющей затруднения для учащихся, имелась соответствующая модель;

в) наглядные пособия, помогающие усвоить доказательство теорем;

г) набор тел для лабораторных занятий, например 30—40 деревянных или металлических кругов различного диаметра для измерения площади круга или длины окружности;

д) графики алгебраических и трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе математики средней школы;

е) большие стенные таблицы, например: таблица простых чисел, квадратов чисел, степеней числа 2 и т. д.;

ж) портреты русских математиков с указанием некоторых биографических данных и краткой аннотацией их работ;

з) отдельные стенды для вывешивания тем самостоятельной работы учащихся, например: «Различные системы счисления», «Различные способы умножения», «Различные доказательства теоремы Пифагора» и т. д. Темы должны время от времени заменяться в соответствии с проходимым в классе материалом.

Большой интерес представляет математический зал, организованный при школе № 78 Ленинграда заслуженной учительницей Е. Л. Калмыковой. В школьном коридоре размещены стенды, каждый из которых посвящен какому-нибудь вопросу математики, например: письменная нумерация, различные системы счисления, распределение простых чисел и т. д. Имеются в зале также стенды, посвященные отдельным математикам с краткой биографией их и перечислением важнейших работ. В математическом зале имеются стенды, содержащие олимпиадные зада-

чи, занимательные задачи, математические газеты и т. п. Время от времени материал отдельных стендов заменяется новым. Математический зал вызывает интерес и любовь к математике у многих учащихся школы.

Нужно помнить, что кабинет создается годами. Лучшими помощниками будут являться ученики — любители математики. Большинство пособий может быть выполнено силами учащихся; необходимо только требовать, чтобы любое пособие было математически грамотно и художественно выполнено. Дело заведующего кабинетом организовать его и руководить активом учащихся.

Часть вторая

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ

ГЛАВА I

АРИФМЕТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ

§ 1. Цели преподавания арифметики

Кроме общих целей воспитания и обучения, которые преследует преподавание математики в советской школе, преподавание арифметики имеет специальные задачи, обусловленные особенностями арифметики как математической дисциплины.

«Целью изучения арифметики в восьмилетней школе является развитие вычислительных навыков в действиях над целыми и дробными числами, ознакомление с наиболее распространенными в повседневной жизни зависимостями величин, изучение простейших сведений по геометрии, применение полученных знаний при решении задач и выполнении расчетов практического характера». (Программы восьмилетней школы. Математика, изд. «Просвещение», 1964, стр. 7).

§ 2. Научный и школьный курсы арифметики

Арифметика (по гречески «аритмос» — число) есть учение о числах. Современное понятие числа абстрактно, оно охватывает различные множества: множество натуральных чисел (1, 2, 3, 4,...), множество целых чисел (0,+ 1,+2,+3,...), множество рациональных чисел, вещественных, комплексных и т. д. Натуральные числа являются основным множеством. Затем происходит расширение числовой области путем введения дробных чисел, отрицательных и т. д. Расширение числового множества всякий раз сопровождается новыми определениями равенства, суммы и произведения, причем новые определения вводятся так, чтобы по возможности сохранялись законы арифметических действий.

Научный курс арифметики представляет логическую систему, которая раскрывается путем аксиом, определений и теорем.

В школьном курсе арифметики изучаются только натуральные числа, дробные числа и действия над ними, а также приложения арифметики к разрешению практических вопросов.

Изложение школьного курса, опираясь на научные основы предмета, должно удовлетворять и требованиям педагогики. Изучение арифметики необходимо начать с выработки у учеников представлений и понятий арифметического характера на конкретном материале (единица, число, счет и т. д.) и постепенно приучать школьников к обобщениям.

В начальных классах нашей школы изучается подготовительный курс, а в V и VI классах систематический курс арифметики. Для установления преемственности в обучении IV и V классах в программу арифметики V класса включена тема «Целые числа», которая посвящена расширению, систематизации и обобщению знаний о нумерации и четырех действиях с многозначными числами.

§ 3. Курс арифметики в начальных классах школы

Основным содержанием программы I—IV классов по арифметике являются целые числа и действия над ними.

В объяснительной записке к программе начальных классов 1963 г. указано: «Одной из основных задач обучения арифметике в начальной школе является формирование у учащихся прочных навыков письменных и устных вычислений». «Наряду с устными и письменными вычислениями необходимо уделить достаточное внимание формированию у детей навыков сложения и вычитания на счетах, которые находят широкое применение в жизни». Большой и важной составной частью курса арифметики в начальных классах являются арифметические задачи. «Очень важно, чтобы в школе решались не только готовые задачи, данные в задачнике, но и задачи, составляемые детьми на числовом материале, взятом из окружающей действительности».

«Большое внимание в новой программе уделено изучению мер и упражнениям в измерении». «Действия с составными именованными числами должны быть ограничены наиболее легкими случаями вычислений над небольшими двусоставными именованными числами, поскольку это нужно для практической жизни и для подготовки учащихся к изучению десятичных дробей в V классе».

«Знакомство с долями по существу начинается во II классе, где ученикам дается понятие о части числа: в связи с изучением деления они учатся находить половину, треть, четверть и т. д. данного числа и решают задачи на нахождение доли числа».

В III классе «учащиеся на конкретном материале знакомятся с образованием долей V2, XU, Vs, V10 и состоящих из них дробей, с их записью, раздроблением и превращением. В IV классе решаются более сложные задачи на нахождение дроби числа и числа по одной его доле, с использованием дробей со знаменателями в пределах 10»1.

Отметим следующие основные положения методики преподавания арифметики в начальных классах школы:

1. При выработке понятий исходят из наглядных пособий и только после ряда упражнений приступают к отвлечениям и обобщениям.

2. Чтобы достичь постепенного формирования понятий и усвоения вычислительных приемов, начальный курс арифметики располагают по концентрам.

Первый концентр — счет, цифры, сложение и вычитание в пределах десятка.

Второй — нумерация и арифметические действия в пределах двух десятков.

Третий — то же в пределах сотни.

Четвертый — то же в пределах тысячи.

Пятый — то же над числами в пределах миллиона.

Шестой — то же над числами любой величины.

При таком порядке обучения: а) на каждом концентре обучения понятия имеют ту степень отвлеченности и общности, которая соответствует умственному развитию детей, б) каждый следующий концентр, давая ученикам новые знания, охватывает вместе с тем весь предыдущий материал. Поэтому ученик возвращается к одному и тому же понятию неоднократно и вполне им овладевает.

В настоящее время, учитывая возросшие интересы и познавательные способности советских детей, проводятся эксперименты в области сокращения концентров в начальных классах школы2.

3. При выработке понятий о действиях применяют решение и составление учениками простых задач.

Важнейшим условием успешного обучения арифметике является высокая активность учащихся в процессе усвоения ими учебного материала. Этому способствует правильная организация самостоятельной работы учащихся на всех этапах урока и в процессе выполнения ими домашних заданий3.

1 Объем геометрических сведений в начальных классах рассмотрен в IV части данной книги, § 3 и 4.

2 Проводятся подобные эксперименты несколькими научными учреждениями, в том числе лабораторией воспитания и развития Института теории и истории педагогики АПН РСФСР, в Ленинграде на кафедре начальной школы педагогического факультета Педагогического института имени А. И. Герцена и др.

3 См. объяснительную записку к программе начальных классов 1963 г.

§ 4. Систематический курс арифметики

Порядок расположения материала в программе восьмилетней школы.

V класс

1. Натуральные числа.

2. Обыкновенные дроби.

3. Десятичные дроби.

4. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями. Отношение величин.

5. Повторение.

В программе выделяется время на проведение работ по измерениям на местности1.

VI класс

1. Приближенные вычисления.

2. Проценты.

3. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональность величин.

4. Повторение.

В связи с задачами политехнического обучения в рассматриваемой программе, как и в программе предыдущих лет, начиная с 1954 г., большое внимание уделено вычислениям на счетах, работе с таблицами, построению простейших диаграмм, измерениям на местности.

В систематическом курсе арифметики, в отличие от начального, усиливается внимание к логическим элементам. Уже в начальной арифметике содержится материал для развития дедуктивного мышления: общие суждения, основанные на частных конкретных примерах, становятся затем источником других частных суждений, однако эти суждения не облечены в форму точных математических умозаключений и оформляются только впоследствии в систематическом курсе арифметики.

Например, представление о законах действий возникает у учащихся в начальной школе, и законы применяются ими в письменных и устных вычислениях, но точная формулировка, запись законов в общем виде вводится лишь в систематическом курсе.

В школьном курсе арифметики, даже систематическом, не употребляются термины «аксиома», «теорема», «доказательство»— эти понятия малодоступны учащимся V класса, и сущность их до сознания школьников не доходит.

1 См. ч. IV, § 10.

Весь материал школьного курса арифметики строится в виде определений, свойств, правил. Очень большое место занимают правила, так как они дают руководство к применению установленных понятий при вычислениях. Во многих случаях правила вскрывают те операции над числами, которые подразумеваются в определениях, то есть дают иную формулировку определениям, в некоторых — они заменяют логическое определение. Например, правило сложения дробей заменяет логическое определение действия сложения дробей, правило умножения на дробь вскрывает те операции над числами, которые подразумеваются в определении. Найти дробь числа — это и значит разделить данное число на знаменатель дроби и полученное частное умножить на числитель или умножить данное число на числитель дроби и полученное произведение разделить на знаменатель.

Суждения, выражающие свойства, по существу являются теоремами.

Но нельзя превращать арифметику в собрание правил; правило должно завершать рассуждения. Необходимо добиваться сознательного усвоения правил учащимися и не следует требовать заучивания их наизусть, а можно разрешать учащимся излагать их своими словами.

§ 5. Общие методические принципы изучения систематического курса арифметики

1. Материал излагается в определенной системе.

2. Обучение строится с расчетом достигнуть наибольшей сознательности усвоения материала и самостоятельности мышления.

Для достижения поставленной цели необходима активизация учебной работы учащихся.

Одним из лучших способов достижения этой цели служит предложенный русским методистом Шохор-Троцким метод целесообразных задач, который состоит в том, что при помощи целесообразно подобранной системы упражнений ученики приходят к самостоятельным выводам.

«Задачи должны предшествовать всяческим определениям и правилам, а не только следовать за ними».

Они позволяют: а) привести учеников к мысли о необходимости нового рассуждения или нового понятия, б) уяснить самую цель, самый смысл того или иного рассуждения и в) привести к сознанию, что необходимо изобрести прием более простой, чем тот, который в данную минуту известен, г) уяснить различные в логическом отношении способы применения одного и того же рассуждения, д) сделать совершенно понятными различные в сло-

весном отношении способы выражения требований, приводящих к одним и тем же результатам, и т. д.1.

Задачи понимаются здесь в широком смысле слова, как всякого рода арифметические упражнения, включая различные измерения, изготовление чертежей, пособий.

3. Большое внимание уделяется доступным логическим обоснованиям выводов.

4. Обучение должно сопровождаться особой наглядностью в виде таблиц, чертежей схем, выявляющей основные наиболее сложные логические этапы математических рассуждений.

5. Большое внимание уделяется рациональным приемам вычисления.

6. Полученные выводы должны быть использованы для решения разного рода задач с практическим содержанием.

7. Никакие методические приемы, имеющие в виду облегчение усвоения математики, не должны противоречить требованиям науки.

8. Необходимо соблюдение преемственности в обучении арифметике IV и V классов.

Осуществлению преемственности в обучении IV и V классов помогает взаимопосещение уроков учителями IV и V классов, взаимное изучение методов работы. Учителя пятых классов часто недостаточно знают методы обучения в начальных классах, излагают новый материал сложно и долго, не учитывая силы учеников, не разъясняют тщательно домашних заданий, резко изменяют характер проверки и оценки знаний. Ослабляют контроль за домашней и самостоятельной работой школьников.

Преемственность в методах обучения состоит в том, чтобы в ходе изучения материала больше привлекать учеников к активной работе, тщательно разъяснять им задания, которые даются для самостоятельной работы; больше внимания уделять ведению тетрадей по арифметике и контролю за ними2. Преемственность в содержании обучения состоит в том, что при изучении темы «Натуральные числа» знания учащихся приводятся в систему, вносятся новые элементы, добавляется теоретический материал3.

1 См. [186].

2 См [157].

3 См. гл. III «Натуральные числа».

ГЛАВА II

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Обучение арифметике на протяжении всех лет сопровождается решением задач, начиная с задачи-картинки в I классе и кончая решением сложной задачи, требующей особых приемов и достаточно тонких рассуждений, в V и VI классах.

Путем решения задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные арифметические операции. Задачи часто служат основой для выводов некоторых теоретических положений, содействуют обогащению и развитию правильной речи ученика, являются звеном, связывающим теорию с практикой, сближают обучение с жизнью. Задачи соответствующего содержания содействуют коммунистическому воспитанию школьников. Велика роль задач в развитии логического мышления учащихся, в выработке умения устанавливать зависимость между величинами, делать правильные умозаключения.

Знания, умения и навыки, приобретаемые при обучении арифметике, и в частности при решении задач, развитие при этом логического мышления составляют основу для изучения алгебры и геометрии и для дальнейшего математического образования учащихся.

Под арифметической задачей понимается требование определить числовое значение некоторой величины по данным числовым значениям величин, находящихся друг к другу и к искомому значению в указанных соотношениях.

Таким образом, для решения задачи необходимо условие, содержащее: а) числовые значения величин, б) указание на некоторые зависимости между данными величинами и между данными и искомыми, в) вопрос, для ответа на который требуется найти искомое число.

Задачи, в которых зависимость между данными и искомыми числами представлена в явной форме — указанием, какие действия и в какой последовательности надо совершить над данными,

чтобы получить искомое число,— обычно называются числовыми примерами. Для решения таких примеров от учащихся требуется умение разобраться в порядке действий, указанных символами, и произвести самые действия. Такие упражнения способствуют преимущественно развитию и закреплению вычислительных навыков, усвоению свойств арифметических действий.

Задачи, в которых зависимость между данными и искомыми выражена словами, так же как и вопрос задачи, называются собственно задачами или задачами с текстом.

Разберем методику решения задач с текстом.

§ 6. Виды задач и приемы решения их

В настоящее время в учебной и методической литературе задачи делят по способу их решения на нетиповые и типовые. Для решения задач первого вида надо знать зависимость между величинами, которая или установлена условием, или выясняется путем несложных рассуждений, например: стоимость продукта равна цене, умноженной на количество продукта; путь равен произведению скорости на время движения (при равномерном движении). Для решения этих задач надо знать прямые и обратные действия и уметь применять их. Нетиповые задачи не требуют никаких особых рассуждений и приемов.

К типовым задачам относят обычно задачи, требующие определенных приемов решения, которые ясно выступают лишь после некоторые рассуждений, характерных для данного вида задач. Каждый прием решения типовой задачи может быть выражен составлением и решением уравнения или системы уравнений. Так, например, задача на нахождение двух чисел по их разности и отношению решается при помощи системы уравнений:

Задача на исключение одного из неизвестных способом замены решается при помощи системы уравнений:

В отдельных случаях способ решения выделяется при помощи указания задач, характерных для данного способа, например: задачи на движение в одном или в противоположных направлениях, задачи на совместную работу.

В программу начальных классов включены следующие типы задач: на нахождение неизвестного по двум разностям, на встречное движение, на вычисление среднего арифметического, на нахождение двух чисел по сумме и кратному отношению.

В объяснительной записке к программе по арифметике восьмилетней школы указано, что в разделе «Натуральные числа» повторяется решение задач на нахождение чисел по их отношению и сумме (или разности), на движение в противоположных направлениях, на нахождение и применение среднего арифметического нескольких чисел; впервые рассматривается решение задач на движение в одном и том же направлении. В разделе «Обыкновенные дроби» к ранее изученным типам задач добавляются задачи на нахождение дроби числа и числа по его дроби; на совместную работу и на нахождение чисел по их сумме и разности. Практика решения задач и особенно задач с практическим содержанием расширяется при изучении разделов «Десятичные дроби» и «Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями. Отношение величин».

В VI классе в программе помещены задачи на проценты и на пропорциональные величины.

За последнее время в методической литературе1 появился ряд высказываний за перенесение части типовых задач на уроки алгебры, предлагается на уроках арифметики использовать не только арифметический метод решения, но и алгебраический, постепенно приучая учеников к этому методу решения задач.

В журнале «Математика в школе», 1963, № 1, помещены дискуссионные статьи, в которых показывается первостепенное значение решения арифметических задач для развития мышления школьников. «При арифметическом решении задач приходится анализировать данные, соотносить их с искомыми величинами». «Алгебраическое же решение сводится к символической записи одной из возможных связей между искомыми и данными и последующему формальному решению уравнений»2.

Следует отметить, что те типы задач, которые в объяснительной записке к программе арифметики V—VI классов указаны для решения арифметическим способом, посильны для учащихся.

Алгебраический способ решения задач на уроках арифметики следует вводить главным образом в тех случаях, когда при решении вводится условная единица, и тогда, когда символическая запись не будет затруднять учащихся, например при решении задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (или разности), на нахождение чисел по их сумме и разности.

Рассмотрим приемы решения арифметических задач.

1 См.: Н. А. Принцев, Об арифметическом способе решения задач на вычисление, «Математика в школе», 1953, №2; Б. И. Арясов, О решении задач арифметическими и алгебраическими способами, «Математика в школе», 1954, № 3; А. И. Маркушевич, Об очередных задачах преподавания математики в школе, «Математика в школе», 1962, № 2.

2 М. А. Марьянский, Наши возражения, «Математика в школе», 1963, № 1.

I. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению.

Задачи этого типа решаются в IV классе, а в V классе соответствующие задачи усложняются по содержанию, рассматриваются задачи с дробными данными.

Примеры.

1. Который теперь час, если оставшаяся часть суток в образа меньше протекшей?

Основной прием решения — введение условной единицы1. Оставшаяся часть суток — 1 часть. Протекшая часть суток — 6 части.

Следует решать так: оставшаяся часть суток неизвестна, обозначим ее через х ч, тогда протекшая часть суток будет составлять

6— X ч.

Пользуясь зависимостью между компонентами и результатом действий, учащиеся находят х=3—.

2. Сумма двух чисел равна 272,8, а частное от деления этих чисел 14,5. Найти числа.

3. Сумма двух чисел равна 51. Найти эти числа, если — первого числа составляют у второго.

Способ 1-й. Примем второе число за единицу. Тогда — первого числа будут равны у- единицы. Первое число равно

1 Указание для учителя.

Способ 2-й. При помощи графической иллюстрации (рис. 1) учащиеся устанавливают, что I число во столько раз больше II. во сколько — больше

Обозначим II число через х, тогда Т число равно 1— х.

Дальнейшее решение совпадает с предыдущим.

Рис. 1

В VI классе решение сводится к пропорциональному делению.

Исходя из равенства — х±= — х2У записывается отношение:

II. Задачи на нахождение двух чисел по их разности и отношению.

Примеры.

1. Отец старше сына на 23 года. Сколько лет назад отец был в два раза старше сына, если отцу в настоящее время 56 лет?

2. В классе число отсутствующих учеников равно — числа присутствующих. Сколько учеников числится в классе, если присутствует на 30 человек больше, чем отсутствует?

Прием решения задач этого типа отличается от рассмотренного приема тем, что вместо суммы разность неизвестных чисел выражается числом условных единиц.

При решении первой задачи, кроме того, применяется свойство неизменяемости величины разности при увеличении или уменьшении уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число.

В последней задаче:

Число присутствующих X. Число отсутствующих —я;

III. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Задачи этого типа согласно программе восьмилетней школы решают впервые в V классе. Примеры.

1. Полупериметр прямоугольника 8 — см, его основание больше высоты на 3-i- см. Вычислить стороны прямоугольника.

Рис. 2 Рис. 3

Решение (рис. 2).

Чему равна удвоенная длина высоты, или чему был бы равен полупериметр, если бы длина основания была равна длине высоты?

2. Сумма двух чисел равна 7,72, а разность равна 1,22. Найти эти числа.

Основное отличие этой задачи от предыдущей в том, что иначе сформулировано второе условие. Последняя формулировка вызывает затруднения при решении этой задачи. Необходимо предварительно выяснить, что разность двух чисел показывает, насколько первое число больше второго.

3. Лодка шла по течению со скоростью 147г км/ч, против течения— со скоростью 12 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость течения?

Для решения этой задачи необходимо установить, что скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения, а скорость лодки против течения равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения.

Усвоению условия помогает следующая графическая запись условия (рис. 3).

IV. Задачи на движение в одном направлении.

К этому типу относятся задачи, в которых известна разность произведений и разность множимых (множителей) при одинаковом неизвестном множителе (множимом), который и требуется найти. И. И. Александров дает название методу решения задач данного типа «Метод остатков». Этим названием и выделяет соответствующий класс задач1. Решение задач данного вида следует увязать с изучением изменения произведения с изменением сомножителей.

Примеры.

1. По шоссе едут два велосипедиста в одну и ту же сторону. Расстояние между ними 9 км. Первый едет со скоростью 15 км/ч, второй догоняет его со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?2

Решение.

а) 18 км— 15 км =3 км. На 3 км приближается второй велосипедист к первому за каждый час. (Разность множимых.)

б) 9 км : 3 км = 3; через 3 ч второй велосипедист догонит первого. (9 км — разность произведений; 3 ч — неизвестный множитель.)

Рассмотренный прием решения применяется не только к задачам на движение.

2. Если в зрительном зале поставить в каждом ряду по 28 кресел, то число мест будет на 20 меньше, чем предполагалось; если же в каждом ряду поставить по 30 кресел, то мест получится на 50 больше предположенного. Сколько рядов кресел должно помещаться в зале и на сколько мест рассчитан зрительный зал?

При решении данной задачи разность произведений равна 20 + 50=70 (кресел), так как если поставить в каждом ряду по 30 кресел, то не только дополнится 20 мест до предположенного числа мест, но получится на 50 мест больше предположенного.

3. Шофер выехал на автомобиле из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч, если же он поедет со скоростью 50 км/ч, то приедет на 1 ч раньше срока. За какое время нужно проехать этот путь (рис. 4)?

Можно провести следующие рассуждения. Длина пути равна произведению скорости на время. Скорость изменяется. Сохраним время постоянным. Рассмотрим, как изменится длина пути, пройденного в назначенное время, с изменением скорости.

Решение.

а) 35-2=70 (км). 70 км шофер не доедет до города ß, если будет ехать назначенное число часов со скоростью 35 км/ч.

1 См. [118].

2 См. [178].

б) На 50 км он будет дальше города В, если будет ехать назначенное число часов со скоростью 50 км/ч.

70+50=120 (км). На 120 км он проедет во второй раз больше, чем в первый.

в) 50—35=15 (км). На 15 км/ч скорость во второй раз больше, чем в первый.

г) 120: 15 = 8 (ч). Число часов, которое должно быть затрачено на весь путь.

V. Задачи на пропорциональное деление.

Задачи этого типа решаются в IV, V и VI классах. В IV классе решаются без записи отношения, в V классе с записью отношения. Способ решения этого типа задач в VI классе после прохождения темы «Пропорциональные величины» разобран в § 21.

VI. Задачи, решаемые исключением одного из неизвестных способом его замены.

Задачи этого типа хотя и не указаны в объяснительной записке к программе, но имеются в стабильном задачнике1. Они могут быть использованы на внеклассных занятиях.

Примеры.

1. Путешественник проехал 696 км в 21— ч, из которых 16— ч он ехал поездом, а остальное время — пароходом. С какой скоростью он ехал поездом, с какой — пароходом, если пароход проходил в час на 15— км меньше, чем поезд?

При решении определяется расстояние, которое проехал бы путешественник, если бы использовал только пароход (или поезд), то есть скорость движения поезда заменяется скоростью парохода. Благодаря указанной замене длина всего пути уменьшается на расстояние, равное 262— км, так как длина пути, которую путешественник

Рис. 4

1 См. [164].

проехал бы за 21 — ч пароходом. Отсюда определяется скорость движения парохода.

2. На 3 тонких тетради и 2 толстых тетради израсходовано 38-i листа бумаги. Сколько бумаги пошло на каждую тонкую и толстую тетрадь, если на каждую толстую израсходовано в 4 раза больше, чем на тонкую?

При решении определяется, сколько тонких тетрадей можно сделать из 38-^- листа бумаги.

Так как на толстую тетрадь пошло бумаги в 4 раза больше, то вместо одной толстой тетради можно изготовить 4 тонких. Получим, что из 38у листа бумаги можно изготовить тонких тетрадей 3+8=11 (тетрадей). Отсюда определяется, сколько пошло бумаги на тонкую тетрадь.

К этому же типу задач по способу решения некоторые авторы1 относят задачи «на смешение II рода». В этих задачах дается количество и стоимость смеси и цена каждого из веществ, входящих в смесь, а требуется определить количество каждого из смешанных веществ.

На стр. 187—188 приведено решение задачи этого типа.

VII. Задачи на правило ложного положения.

В некоторых задачниках задачи «на смешение II рода» отнесены к особому типу, называемому «задачи на предположение»2, в других — к задачам «на правило ложного положения»3, то есть к типу, более широкому по сравнению с предыдущим.

Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной4. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.

При решении задач на смешение II рода5 путем замены одной величины другой одно неизвестное число приравнивают О, а другому придают значение, равное сумме двух неизвестных. В этом отличие последнего способа решения от способа «за-

1 См. [128].

2 См. [177].

3 См. [151].

4 Указание о характере зависимости данной величины от неизвестной дано для преподавателя.

5 Решение рассмотрено в § 7.

мены», при котором одно неизвестное число заменяется равным ему выражением через другое неизвестное число.

Способ ложного положения — древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот способ рассматривался и в старинном русском учебнике Л. Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило».

Этот способ полезно знать преподавателю, он дает возможность решить арифметически многие задачи.

Пример.

Из колхоза в город, расстояние до которого 48 км, отправились одновременно колхозник на лошади со скоростью 7 км/ч и почтальон на велосипеде со скоростью 13 км/ч. Через сколько часов остаток пути до города для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути до города для колхозника?

При решении рассуждения ведутся так.

Предположим, что через 1 ч (можно дать и другие значения) остаток пути до города для почтальона будет в 3 раза меньше, чем для колхозника. Тогда, приняв остаток пути для почтальона за 1 часть, получим, что остаток пути для колхозника составит 3 части; разность остатков пути равна 2 частям и равна разности скоростей.

Остаток пути для почтальона равен 3 км, а весь предполагаемый путь

13 км+З км=16 км,

в действительности весь путь равен 48 км, то есть в 3 раза больше. Следовательно, искомое число часов должно быть в 3 раза больше, то есть через 3 часа остаток пути до города для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути до города для колхозника.

Решение этой задачи приводит к решению уравнения 48—7х = 3(48—13jc), откуда 48=16*.

Имеет место прямая пропорциональная зависимость длины пути от искомого времени.

VIII. Задачи, решаемые способом уравнивания данных.

Задачи, решаемые способом уравнивания данных, являются усложненным видом задач типа «Нахождение неизвестного по двум разностям», которые решали в III классе.

Пример.

3— куб. м березовых дров и 2 — куб. м сосновых весят вместе

3— Г, а 4— куб. м березовых и 5 куб. м сосновых весят 5— Сколько весит 1 куб. м березовых и 1 куб. м сосновых дров в отдельности?

Предварительно рассматривается задача, в которой значения одной величины даны в обоих случаях равные1, например: найти два числа по следующим условиям:

При решении последней задачи устанавливается, что первая сумма больше второй, потому что ее второе слагаемое больше, чем у второй суммы. Отсюда разность сумм равна разности вторых слагаемых.

При решении первой задачи достаточно уравнять в обоих случаях количество или березовых дров или сосновых; проще уравнять количество сосновых дров. Для этого достаточно первую партию дров увеличить в 2 раза, тогда условие задачи изменится так:

Получилась задача, подобная второй задаче.

Следует учитывать, что некоторые задачи могут быть решены несколькими способами, а поэтому их можно отнести к различным типам. Примером могут служить задачи на смешение II рода, которые могут быть отнесены также к типу задач на пропорциональное деление.

Пример.

Имеются 90-процентная и 70-процентная кислоты. Сколько надо взять той и другой, чтобы получить 1 кг кислоты 82-процентной?

При решении можно провести следующие рассуждения.

При смешивании и 90-процентная и 70-процентная кислоты заменяются 82-процентной. При замене 90-процентной кислоты 82-процентной в таком же количестве теряется 8% этого количества чистой кислоты (90%—82% =8%). При замене же 70-процентной кислоты таким же количеством 82-процентной

1 Задача типа «Нахождение неизвестного по двум разностям».

приобретается 12% этого количества чистой кислоты (82%—70% = 12%). Так как в результате при смешивании избыток должен был покрыть недостаток, то 8% количества 90-процентной кислоты (*i) должны равняться 12% количества 70-процентной кислоты (хг). Получаем: 0,08^=0,12 х2. a:!:a:2=0,12:0,08=12:8=3:2; 3+2 = 5 (частей), 1000:5=200 (г); 200-3=600 (г); 200-2=400 (г). (Ответ: 600 г 90-процентной кислоты; 400 г 70-процентной кислоты.) IX. Задачи с практическим содержанием. В целях осуществления связи обучения с жизнью необходимо давать задачи, которые подготавливают учеников к практической деятельности. Примеры таких задач приведены в I части книги, § 3.

Большое значение имеют упражнения, связанные с построением и измерением1. При изучении дробей учащиеся строят доли линейного, квадратного и кубического дециметра.

I. Можно дать задание:

1. Найти периметр прямоугольной четверти квадратной единицы (кв. дм, кв. см) двух видов, размеры которых в линейных единицах:

Сделать чертеж.

2. Найти площадь поверхности восьмой доли кубического дециметра трех видов, размеры которых в дм:

Сделать из плотной бумаги соответствующие модели.

II. При изучении геометрического материала в теме «Десятичные дроби» следует предложить учащимся самостоятельно измерить и найти данные для решения следующих задач:

3. Найти общее количество бумаги, израсходованной на тетрадь, измерив длину и ширину страницы.

4. Определить, достаточно ли света в V классе, если для нормального освещения класса площадь окон должна составлять не менее g" площади пола.

5. Вычислить объем спичечной коробки.

6. Определить количество обоев шириной 0,5 ж, необходимое для оклейки комнаты.

III. Группа упражнений на построение диаграмм линейных, прямоугольных и секторных.

1 Примеры задач приведены в ч. IV этой книги.

При изучении дробей полезно строить диаграммы, показывающие распределение частей в целом. Например, предложить изобразить в виде прямоугольника число учеников в V классе, и выделить в этом прямоугольнике части, соответствующие: а) числу учеников, имеющих в четверти оценки только «5» и «4»; б) числу учеников, имеющих оценку «3»; в) числу учеников, имеющих оценку «2». Найти, какую часть от всего числа учеников составляют выделенные части.

В теме «Десятичные дроби» полезно строить диаграммы по данным, выраженным в процентах, например: начертить секторную диаграмму, показывающую состав молока по следующим данным. В молоке содержится: воды — 87,2%, жиров — 3,9%, белков — 3,4%, молочного сахару — 4,65%, минеральных веществ — 0,7 %.

Предварительно пятиклассники под руководством учителя изготовляют процентный транспортир. При построении ученики самостоятельно округляют данные с точностью до 0,5%.

Следует предлагать ученикам определять соотношения между данными по готовой диаграмме.

IV. Следующая группа упражнений — построение плана по данным, полученным непосредственным измерением. В связи с изучением отношений уточняется определение числового масштаба и проводится ряд упражнений, связанных с понятием масштаба.

В эту группу включается и обратная задача: нахождение размеров фигуры по плану, например: «Найти площадь рамки, изображенной на чертеже в масштабе 1 : 10». При решении данной задачи ученики должны самостоятельно установить, какие измерения достаточны для решения задачи, и выполнить их (рис. 5).

В журнале «Математика в школе»1 описан опыт проведения

Рис. 5 Рис. 6

1 См.: Рыбаков, Геометрические задачи в V классе, «Математика в школе», 1952. № 4.

решения задач по готовым чертежам. Чертежи были выполнены на листах чертежной бумаги размером 20X15 см2. На каждом листе был помещен один или два чертежа и тексты задач. Ученикам раздавали чертежи для выполнения решения, копировать чертеж не требовалось. Пример: «Найти площадь, занимаемую лугом, план которого изображен четырехугольником ABCD». (Рис. 6.)

Масштаб: 100 м в 1 см.

В I части данной книги приведены задачи с техническим содержанием. Перед решением такой задачи следует разъяснить ученикам содержание, для чего использовать чертеж или модель, и познакомить их с технической терминологией.

§ 7. Методика обучения решению задач

Обучение решению задач начинается с решения простых задач. Простые задачи — это задачи, которые решаются одним действием, например: «Типография отпечатала 32 000 календарей, причем на каждый календарь пошло — листа бумаги. Сколько листов бумаги пошло на все календари?»

С такого вида задач и начинается обучение решению задач на умножение дроби на целое число.

Если задача требует для своего решения более одного действия, она называется составной и при решении разбивается на несколько простых задач. В некоторых руководствах по арифметике составные задачи названы «сложными». Такое название вносит некоторую путаницу, так как иногда и простые задачи могут оказаться сложными по характеру рассуждений, которые необходимы для решения их. Кроме того, термин «сложные» недостаточно четко указывает на то, что задача состоит из простых задач. Кроме этого деления, задачи различают по структуре условия.

Задачи с приведенным условием.

Встречаются так называемые приведенные задачи. В этих задачах самый текст и построение условия подсказывает порядок, последовательность решения простых задач, из которых состоит данная составная.

Рассмотрим одну из задач с приведенным условием.

«Куплено 3 сорта пряников: — кг первого сорта по 1 руб. 20 коп. за 1 кг; 5— кг третьего сорта по 80 коп. за 1 кг и 4,1 кг второго сорта по 90 коп. за 1 кг. Сколько уплатили за всю покупку?»

Как видно, ход решения задачи в данном случае подсказывается расположением данных.

Неприведенные задачи.

Особую трудность для учеников представляют неприведенные задачи. Структура условия этих задач такова, что числовые данные, необходимые для решения простых задач, разъединены; рядом поставлены такие данные, которые не связаны непосредственно друг с другом. Кроме того, иногда и связь между данными и искомыми выражена неявно и ее надо при изучении условия еще установить.

Вот пример неприведенной задачи.

«Куплено 3 сорта пряников: — кг первого сорта, 5— кг третьего сорта и 4,1 кг второго сорта. Цена 1 кг первого сорта 1 руб. 20 коп., второго сорта 90 коп. и третьего — 80 коп. Сколько уплатили за покупку?»

Обучение решению составных задач обычно начинают с решения приведенных задач, затем, переставляя данные, усложняют условие задачи. Такая работа проводится в начальной школе, но и в V классе полезно, изменяя расположение данных в условии, усложнять его.

Схематическая запись условия помогает сделать задачу приведенной (см. стр. 181).

Так как задачи неприведенные значительно труднее, чем приведенные, то для развития навыков в решении их требуется продолжительная работа с учениками и решению их необходимо уделить большое внимание.

После разбора нового теоретического материала надо начинать решать простые задачи с применением вновь изученной теории, а затем переходить к решению составных задач, постепенно усложняя их.

Однако ошибочно считать, что решение простых задач не может вызвать у учащихся никаких затруднений. Это верно, когда условие содержит совершенно понятный для ученика факт, выражает ясную зависимость между данными и искомыми. Но и среди простых задач есть немало таких, которые требуют напряжения мысли в установлении зависимостей между величинами в условии.

Примерами таких задач могут быть следующие:

1. Сколько распилов надо сделать, чтобы бревно распилить на 8 частей?

2. Среднее арифметическое двух чисел 11, а их полуразность 1.

Какова величина большего числа?

3. Если из одной пачки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в пачках будет поровну. На сколько тетрадей в одной из них больше, чем в другой?

4. Если к числу прибавить 5, то оно делится без остатка на 7.

Каков остаток от деления этого числа на 7?

Ответ на каждую из приведенных задач, может быть, некоторые ученики по соображению дадут довольно быстро, но провести нужные рассуждения смогут, вероятно, немногие.

Простые задачи следует решать при подготовке к решению составных задач, в которые они входят. Их следует решать с подробным разбором хода рассуждений, чтобы установить, какие действия надо выполнить для получения ответа на поставленный вопрос.

В условии составной задачи хотя бы в два действия по меньшей мере одно из чисел, необходимых для решения, отсутствует, его нужно еще найти. Если же задача состоит из ряда простых задач, то таких неизвестных чисел несколько. Расчленение составной задачи на простые в определенной последовательности выясняется на основе зависимости между величинами, заданными в условии, и теми, какие могут быть найдены в этой последовательности. Эти пока что скрытые величины должны явиться необходимым дополнением к данным условия.

Работа ученика при решении задачи слагается из следующих этапов:

а) восприятие и сознательное овладение условием задачи;

б) разбор задачи и составление плана решения;

в) собственно решение и проверка;

г) дополнительная работа после решения задачи: решение задачи другими способами; запись решения в виде формулы; составление задач, аналогичных данной; составление и решение подобных задач с данными, взятыми из окружающей жизни (связь с жизнью).

Изучение условия задачи и составление плана решения

Процесс установления зависимости между данными и искомыми условия, выяснение, каких данных недостает или какие из них представлены в условии скрытыми, неявно выраженными, и является первым этапом решения задачи — изучением условия (иногда называемым анализом условия).

Изучение условия ведет к составлению плана решения, за планом решения идет решение с объяснениями, а затем проверка решения.

Изучение условия начинается с внимательного чтения его и уяснения конкретного содержания задачи, вопроса задачи. Часто ученик затрудняется решить задачу потому, что не представляет реального факта, описанного в условии задачи; иногда не знает смысла употребленных в условии терминов. Объяснения смысла отдельных терминов и понятий учитель должен давать сам, пользуясь для этого конкретными простыми задачами.

Уяснить содержание задачи, зависимость между данными величинами помогает схематическая запись условия задачи.

Удачная запись довольно часто подсказывает план решения задачи. Приведем примеры.

Задача. Составлена смесь из 10,5 кг сушеных груш, 15.2 кг сушеных яблок и 8,5 кг сушеных слив. Вся смесь стоила 35,65 руб. Сколько стоил 1 кг сушеных груш, 1 кг сушеных яблок и 1 кг сушеных слив, если 1 кг сушеных груш стоил на 30 коп. дороже 1 кг сушеных яблок, а 1 кг яблок стоил на 20 коп. дороже 1 кг слив? Запись условия. 10,5 кг груш 1 кг груш дороже на 30 коп.

1 кг яблок Стоимость всей

15,2 кг яблок 1 кг яблок на 20 коп. дороже смеси 35,65 руб. 1 кг слив

8,5 кг слив

Какова цена 1 кг каждого сорта фруктов?

Если условие можно выразить графически, то этим следует воспользоваться, так как графическая запись условия обычно особенно выразительна.

Схематическую запись условия нескольких задач учитель проводит сам, сопровождая соответствующими пояснениями. После этого для схематической записи условия задач вызываются к доске учащиеся. Аналогичная работа проводится и с графической записью условия.

Задача. Колхоз засеял свеклой три участка земли, всего 964,46 га. Второй участок на 26,4 га меньше первого и на 58 га меньше третьего. Сколько гектаров в каждом участке?

Графическую запись условия смотрите на рис. 7.

Рис. 7

Графические иллюстрации могут облегчить ученику решение задачи. К данной задаче с этой целью может быть сделан такой чертеж (рис. 8). Из этого чертежа видно, что 964, 46 га

Рис. 8

включают 3 вторых участка и еще 26,4 + 58 = 84,4 (га). Дальнейший ход решения ясен.

Пример задачи, которая в стабильном задачнике1 отнесена в число задач повышенной трудности, благодаря графической иллюстрации делается задачей средней трудности.

Задача. Мальчик накопил на покупку фотоаппарата 5,2 руб. Остальные деньги ему дали отец и два старших брата. Оказалось, что первый брат дал 25% суммы, собранной на покупку без него, второй брат дал 33 у% суммы, собранной на покупку без него, и отец дал 50% суммы, собранной на покупку без него. Сколько рублей заплатил мальчик за фотоаппарат? (Рис.9).

Для данной задачи графическая иллюстрация отражает не только условие задачи, но и частичный анализ условия.

Рис. 9

Дальнейший ход решения ясен.

Следующий этап изучения условия связан с длительными рассуждениями, в основе которых лежит так называемый аналитический путь мышления (анализ) или синтетический путь (синтез), в результате чего составляется план решения задачи.

Основное различие названных путей мышления разобрано в I части данной книги (см. § 8). Из этого параграфа нам известно, что в любом случае рассуждения при решении задач являются сложными, а самый процесс мышления протекает как аналитико-синтетический.

Действительно, когда мы при анализе идем от вопроса задачи и подбираем к нему данные, то делаем это не абстрактно, а исходя из условия задачи, из представления о ней в целом, то есть пользуемся синтезом. Наоборот, начав рассуждение с синтеза, то есть остановившись на некоторой взаимозависимой паре данных и подобрав к этим данным вопрос, мы затем проверяем, ведет ли намеченная комбинация к решению основного вопроса задачи.

1 См. [164], задача № 1350.

Покажем на примере, как применяется анализ и синтез для составления плана решения задачи.

Задача. Колхоз получил за год от каждой из 56 коров по 3,4 т молока, от каждой из других 27 коров — по 4,8 т. Сколько сливок получили из всего молока, если из 2 т молока получали 0,32 т сливок?

Синтетическое рассуждение и решение изобразим схематически.

Таблица 1

Зная

можно узнать

Каким действием

число коров в I партии и количество молока, полученного от одной коровы, число коров во II партии и количество молока, полученного от одной коровы этой партии, количество молока, полученного от I и 11 партий коров, количество сливок, полученных из 2 т молока, общее количество молока, полученного колхозом, и количество сливок, полученных из 1 т молока,

количество молока, полученного от всех коров I партии, количество молока, полученного от всех коров II партии.

количество всего полученного молока, количество сливок, полученных из 1 т молока, сколько сливок можно получить из всего молока.

3,4-56=190,4 (т) 4,8-27=129,6 (т)

190,4+129,6=320(т) 0,32: 2 = 0,16 (т) 0,16-320=51,2 (т)

Как видно из схемы, мы последовательно выбирали зависимые между собой и нужные нам пары данных в условии чисел, проверяя каждый раз, приближаемся ли мы к получению ответа при выбранных комбинациях. Следует заметить, что выделение и решение простых задач шло в этом случае параллельно.

Однако мы могли бы те же данные комбинировать иначе, например могли бы узнать, на сколько больше молока колхоз получил от одной коровы I партии, чем от одной коровы II партии. Такая комбинация данных дала бы нам верный, но не нужный для решения данной задачи частный ответ.

Приведенная схема могла бы быть представлена и так (рис. 10).

Рис. 10

Таблица 2

Аналитическое рассуждение и решение той же задачи

Чтобы узнать

Надо найти

Дано

Вычислили

Решение и ответы на вопросы первой колонки

сколько сливок можно получить из сданного молока,

сколько сливок можно получить из 1 т молока,

сколько сливок можно получить из 1 т молока,

сколько молока получил колхоз.

количество сливок, количество молока, из которого получены сливки.

0,32 т 2 т

0,16 т 320 т

0,16-320 = 51,2(т) 0,32: 2 = 0,16 (т)

сколько молока получил колхоз,

сколько молока получено от I партии коров,

сколько молока получено от II партии коров,

сколько молока получено от I партии коров,

сколько молока получено от II партии коров.

количество молока, полученного от одной коровы I партии,

количество коров.

количество молока, полученного от одной коровы II партии,

количество коров.

3,4 т

56 коров 4,8 т

27 коров

190,4т 129,6 т

190,4+129,6 = = 320 (т)

3,4-56=190,4 (т) 4,8-27=129,6 (т)

Приведенная схема могла быть представлена и так (рис. 11).

Рис. 11

Аналитический способ рассуждения приучает учеников к строгой последовательности мышления и в большей мере способствует развитию логического мышления учащихся, чем синтетический. Этим способом следует пользоваться всегда, когда преподаватель не уверен, что план решения задачи для учеников ясен. Возможно частичное применение анализа в случае, если дальнейший ход решения задачи ясен.

Из рассмотрения схем видно взаимно обратное направление рассуждений — синтетического и аналитического.

Если бы решение задачи было оформлено в виде одной из указанных схем, то это могло бы исчерпать собой два этапа решения: изучение условия и само решение с объяснением. Однако на практике такие схемы при решении задачи не составляются— они громоздки1, а рассуждения проводятся устно, причем анализ или синтез в чистом виде встречается редко. Наряду с устным составлением плана решения задач следует требовать для некоторых задач письменных объяснений, причем устное составление плана должно всегда предшествовать этим объяснениям.

Решение задачи с объяснением. Проверка решения задачи

Решение с объяснением включает в себя действия над числами и объяснение, почему выбрана данная комбинация чисел и выполняется именно данное действие.

Объяснение решения задачи может быть представлено в различной форме.

Проверку решения задачи или полученного ответа можно делать не всегда, но познакомить учащихся с тем, как ее проводить, надо. Один способ проверки решения задачи состоит в решении новой задачи, в которой одно из данных принято за искомое, а найденное искомое число помещено в условие в качестве данного. Задачу при такой проверке надо считать решенной верно в том случае, когда ответ новой задачи совпадает с данным первоначальной задачи.

Такая работа громоздка и потому практически проводится редко.

Второй способ состоит в проверке, удовлетворяет ли найденный ответ условию задачи. При проверке решения желательно использовать те связи или комбинации между данными, которые при решении прямо не использовались.

Примеры записи решений задач с объяснениями.

Задача 1. Два трактора вспахали поле за 6 ч. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за 15 ч. За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

Анализ условия. В условии задачи дано число часов, которое потребуется двум тракторам для того, чтобы вспахать поле при одновременной работе, и число часов, которое потребуется первому трактору для того, чтобы вспахать то же поле. Для того чтобы найти производительность в час двух тракторов и одного первого, необходимо знать площадь поля. Примем площадь поля за единицу. Тогда, зная производительность двух

1 Схема составлена для преподавателя, чтобы показать логические этапы рассуждения.

тракторов и первого, сможем узнать производительность второго трактора и время работы.

План решения. 1) Найдем, какую часть поля вспахали два трактора, работая вместе, в 1 ч. 2) Найдем, какую часть поля мог бы вспахать один первый трактор в час. 3) Найдем, какую часть поля мог бы вспахать один второй трактор в час. 4) Найдем число часов, которое потребовалось бы второму трактору, чтобы вспахать поле.

Решение.

1) 1:6 = — часть всего поля вспахали оба трактора за 1 ч.

2) 1:15=— часть всего поля мог бы вспахать первый трактор за 1 ч.

3) —--=— часть всего поля мог бы вспахать второй трактор за 1 ч.

4) 1 : — = 10 (ч) — время, за которое вспахал бы поле второй трактор.

Проверка. Положим известным, что второй трактор мог бы вспахать все поле за 10 чу а первый за 15. Узнаем, за сколько часов вспахали поле два трактора. 1) 1:10=—; 2)1:15==_L;

Задача 21. Колхоз собрал урожай клевера с трех участков. С первого участка было собрано 37 % всего урожая, а число тонн клевера, собранного со второго участка, так относилось к числу тонн, собранных с третьего участка, как 1 —: 4 —. Сколько тонн клевера собрал колхоз, если известно, что с первого участка было собрано клевера на 91,2 т больше, чем со второго участка?

Анализ условия. В условии дано число, выражающее вес части клевера — это 91,2 т. Если узнать, какой процент от всего урожая составляет этот вес части клевера, то узнаем весь урожай. Следовательно, надо остальные данные выразить либо в процентах, либо в частях от урожая.

План решения. Определим, какой процент всего урожая собран со второго и третьего участков вместе, а затем с каждого из них в отдельности, пользуясь заданным в условии отношением.

Определив разность в урожае с первого и второго участков в процентах к общему урожаю, мы найдем весь урожай клевера, так как знаем выражение этой разности в единицах веса.

1 Для учеников VI класса.

Решение с объяснением. За 100% принимаем вес всего урожая. Так как в условии сказано, что 37% от всего урожая собрано с первого участка, то:

1) 100%—37% =63% всего урожая приходится на второй и третий участки вместе.

2) 1 : 4—=— : -~= 18 : 45 = 2 : 5 — отношение урожая со второго участка к урожаю с третьего участка.

Урожай же со второго и третьего участков составляет 63 % всего сбора, поэтому примем 63% за 2+5=7 единиц, и тогда:

3) (63% : 7)-2= 18% всего урожая снято со второго участка.

4) 37% — 18% = 19%; на 19% снято с первого участка больше, чем со второго.

5) Обозначим вес всего урожая в тоннах через х, тогда 19%jc=91,2.

91,2:0,19=9120: 19=480 (т); х=480. Вес всего урожая равен 480 т.

Проверка. 1) 480-0,37=177,6 (т) собрано с первого участка.

2) 177,6 — 91,2=86,4 (т) собрано со второго участка.

3) 177,6+86,4=264 (т) собрано с первого и второго участков вместе.

4) 480 — 264=216 (т) собрано с третьего участка.

5) 86,4:216=2: 5=1-: 4-. ' 5 2

(Ответ: 480 т.)

Задача 3. На платформы погружено 196 сосновых и еловых бревен, общий вес которых 58,8 Т. Сколько в отдельности погружено тех и других бревен, если одно сосновое бревно весило 0,28 Г, а еловое — 0,35 Г?

Задача требует для решения особого приема.

Решение с объяснением. Предположим, что на платформы погружены только сосновые бревна. Тогда, чтобы получить вес всех бревен, надо 0,28 Т умножить на 196, так как вес одного соснового бревна 0,28 Г, а вес 196 бревен в 196 раз больше.

Получим

0,28-196=54,88 (Г)

Предполагаемый вес всех бревен меньше веса, данного в условии задачи. Найдем разность этих весов. Получим

58,8-54,88 = 3,92 (Г).

Эта разность в весе получилась вследствие замены еловых бревен сосновыми. Найдем разность в весе одного соснового и одного елового бревна. Получим

0,35—0,28 = 0,07 (7^).

Так как, заменяя каждое еловое бревно сосновым, мы уменьшаем вес бревна на 0,07 Г, а общий вес на 3,92 Г, то число еловых бревен равно

3,92:0,07=56 (бревен).

Число сосновых бревен равно 196 — 56= 140 (бревен). Получим следующую формулу решения:

Задача 4. После того как вспахали 68% участка, оставшаяся часть оказалась на 54 га меньше вспаханной. всей пашни предназначено под клевер, остальное под лен. Сколько гектаров на этом участке намечено засеять льном?

Анализ условия. Чтобы ответить на основной вопрос задачи, надо знать площадь всего участка. В условии дано одно число 54 га, выражающее часть всего участка. Если узнать, какую часть площади всего участка выражает это число, то все необходимое для ответа будет известно. 54 га составляют разность между частью вспаханной земли и невспаханной. С определения этой разности в процентах от всего участка и начнем решение задачи.

Решение с объяснением. Согласно условию задачи принимаем весь участок за 1, или 100%.

1) Сколько процентов участка еще не вспахано?

100%-68% =32%.

2) Какова разность в процентах между вспаханной и невспаханной частями участка?

68%—32% =36%.

36% участка равны 54 га (по условию); 36% =0,36.

3) Какова площадь всего участка?

54:0,36 = 5400:36=150 (га).

4) Какую часть площади намечено засеять льном?

5) Сколько гектаров участка будет засеяно льном?

(Ответ: 110 га.)

Из приведенных примеров видно, что рассуждения, которые ведутся при решении задач, можно записать различно, а именно:

Объяснение чередуется с выполнением действий (задача 3).

Объяснение решения записывается в виде предварительных вопросов или пояснений перед совершением действий (задача 4).

Объяснение решения записывается в виде пояснения смысла или значения результата выполненного действия (задача 2).

Объяснению предшествует план решения, выясняющий последовательность действий (задача 1).

Развернутое объяснение решения после решения задачи применяется редко.

В процессе решения задачи в классе необходимо показывать ученикам различные записи объяснений и обучать школьников вести эти записи. При самостоятельном решении задачи школьниками не следует требовать от них какой-либо обязательной формы записи объяснений: лучше предоставить им выбрать по своему желанию тот или иной вариант записи; это приучает учеников к свободному изложению своих мыслей.

На уроке при решении задач учащиеся в большинстве случаев устно формулируют вопросы к выполняемым действиям. После того как устный план решения задачи составлен коллективно, можно проводить комментированное решение. При решении задач, требующих новых приемов, а также в контрольных работах и при выполнении домашних заданий учащиеся должны записывать объяснения к решению.

В V классе при записи решения задач следует приучать учащихся выполнять действия с отвлеченными числами, а наименование указывать только в результате, заключая его в скобки, это готовит их к правильным записям в курсе алгебры.

Необходимо приучать учащихся к записи решения задач в виде числовой формулы. В объяснительной записке к программе по арифметике для начальных классов предлагается в IV классе записывать решение несложной задачи числовой формулой. В V классе эта работа продолжается. Пятиклассники начинают с записи в виде формулы решения задач в три, четыре действия, при этом задание обычно формулируют так: записать решение задачи в виде примера (позднее можно ввести термин «формула»). Ознакомление учащихся с формулами служит подготовкой к изучению алгебры, помогает усвоению учащимися порядка действий, свойств действий. Им следует показать, что, упрощая формулу решения задачи, можно найти более короткий путь решения.

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 1620 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 18 ч. Найти скорость второго поезда, если скорость первого была 50 км/ч.

Ученики обычно предлагают следующее решение:

Формула решения:

Эту формулу можно упростить, пользуясь распределительным свойством деления.

(1620—50.18): 18=1620: 18—50-18: 18=1620:18—50. Получаем следующий способ решения:

1) 1620: 18=90 (км/ч) — сумма скоростей I и II поездов.

2) 90—50=40 (км/ч) — скорость II поезда.

§ 8. Устные упражнения по арифметике

Вопрос о значении, видах и способах подачи устных упражнений был рассмотрен в первой части этой книги. Остановимся на некоторых примерах устных упражнений по арифметике и определим основные цели, которые могут быть поставлены при их проведении.

1. Цель упражнений: подготовить учащихся к сознательному усвоению нового вывода.

Упражнения содержат повторительный материал, на котором основан последующий вывод. Иногда в эти упражнения включаются вопросы, облегчающие усвоение словесной формулировки нового правила, или определения, а также вопросы, ответы на которые являются элементами предполагаемого в дальнейшем рассуждения.

Подготовительные устные упражнения перед выводом правила умножения десятичных дробей.

а) Умножение обыкновенных дробей (с повторением правил).

б) Деление целого числа на степень десяти.

27: 10; 571 : 100; 63 : 100; 39: 1000 и т. д.

в) Назвать числитель и знаменатель в написанных десятичных дробях: 0,348; 5,7; 0,017 и т. д.

Выполнив эти упражнения, ученики самостоятельно смогут умножить дроби

0,3-1,13; 0,11-0,7; 2,1-0,3 и т. д.

и под руководством учителя выведут правило умножения десятичных дробей.

Затем проведенные рассуждения для вывода правила следует повторить, записав десятичные дроби в виде обыкновенных.

В дальнейшем при рассмотрении методики преподавания различных вопросов арифметики приводится ряд подобных устных упражнений, например: первые три подготовительные упражнения, предшествующие выводу признака делимости на 9, и все упражнения, предшествующие выводу признака делимости1 на 3, и др.

2. Цель упражнений: усвоение новых терминов или символов. Понятие числа, обратного данному.

а) Назвать числа, обратные числу 20; —; —; 3—; 1 и т. д.

б) Найти сумму чисел — и числа, ему обратного.

в) От числа 5 вычесть число, ему обратное, и т. д.

3. Цель упражнений: более глубокое осознание учащимися математических понятий.

Понятие отношения.

а) Придумать два числа, отношение которых равно единице.

б) Как изменить величину предыдущего члена (не меняя последующего), чтобы отношение стало меньше единицы?

в) Если отношение двух чисел равно —-, чему будет равно отношение чисел, обратных данным числам? И т. д.

4. Цель упражнений: приобретение и закрепление определенных навыков, искоренение «типичных» ошибок учащихся.

Существуют ошибки, которые ученики допускают во всех классах школы. Причиной этих ошибок во многих случаях является невнимание, отсутствие навыка. Систематические устные упражнения по вопросам, вызывающим затруднения, помогут почти полностью искоренить такие «типичные» ошибки.

Пропуск нуля в частном при делении.

а) При устных упражнениях на целые числа регулярно даются примеры вода 2032 : 4.

б) В разделе «десятичные дроби» снова включаются аналогичные упражнения, например: 7,56: 1,5.

в) При решении примеров на отношения опять включаются упражнения типа 32,48 \х = 16 и т. д.

Ошибки в делении на дробь вида —.

Даются примеры:

1 См. § 12.

5. Цель упражнений: практическое применение пройденного теоретического материала, развитие умения и навыков быстро, правильно и рационально производить вычисления, развитие сообразительности.

Так как упражнения на вычисления часто даются для приобретения навыка в применении какой-либо формулы или для усвоения определенного приема, то, естественно, что предлагается ряд однотипных примеров. Шаблонный подбор примеров, при котором учащиеся многократно воспроизводят один и тот же прием, может легко привести к механическому решению. Необходимо так ставить упражнения, чтобы ученики были вынуждены вдумываться в каждую новую задачу, сознательно отыскивать наиболее рациональный прием решения, проверять правильность выбранного способа.

Вычисление с применением законов арифметических действий.

Решая однотипные примеры, ученики обычно не думают о порядке действий, о том, какой именно закон можно применить, а соединяют те числа, над которыми легче произвести указанное действие. Так как примеры подбираются на определенное свойство, то ошибки возникают редко.

Вычислить:

В последнем примере ученик должен заметить, что нельзя делать вычитания: 2-----.

Порядок действий.

Для усвоения порядка действий можно предложить пример, а затем после решения несколько раз изменить порядок действий в нем при помощи скобок.

На доске записано:

После решения учитель ставит скобки и предлагает вычислить

Затем снова меняет расположение скобок

Такое упражнение наглядно показывает учащимся, как: меняется результат в зависимости от порядка действий, и вызывает большой интерес.

6. Цель упражнений: научить выявлять математическое содержание в конкретных данных. Этой цели служит решение задач с конкретным содержанием.

Задачи для устного решения не должны содержать сложных вычислений, условие должно быть кратким. Усмотрев в устной задаче ее логическую структуру и поняв способ ее решения, ученик потом легче выявит аналогичные соотношения в более сложной задаче. Ряд небольших задач позволяет быстро и отчетливо выявить сходство и различие в приемах их решения.

Решение задач на проценты, требующие правильного понимания, от какого числа берется процент.

а) В кружке участвовало 25 учеников. В течение первого полугодия выбыло 5 членов кружка. На сколько процентов уменьшилось число членов кружка за первое полугодие?

б) В течение второго полугодия вновь принято в кружок 5 учеников. На сколько процентов увеличилось число членов кружка за второе полугодие?

Большей частью учащиеся считают, что и в первом и во втором случае число членов изменилось на 20%. Выяснение этой ошибки вызывает большой интерес.

Решение некоторых «типовых» задач.

а) Разделить 120 руб. на 2 части так, чтобы одна часть была на 20 руб. больше другой.

б) Разделить 120 руб. на 2 части так, чтобы одна часть была в 5 раз больше другой.

в) Разделить 120 руб. на 2 части так, чтобы одна часть составляла — долю другой части.

г) Разделить 120 руб. на 2 части так, чтобы — одной части была равна — другой части.

Задачи, подготовляющие к решению сложной задачи1

а) В буфете было 24 кг конфет. Утром продали — всех конфет, днем — остатка. Сколько конфет осталось в буфете?

б) Сколько конфет было в буфете, если утром продали — всех имеющихся конфет, днем — оставшихся и после этого осталось 4 кг конфет?

1 Упражнения проведены на уроке учительницей 46-й школы Ленинграда М. Л. Крыловой.

в) Утром продали — всех имеющихся в буфете конфет, днем остатка. Сколько было всех конфет в буфете, если утром продали на 16 кг больше, чем днем?

После решения проводится анализ условий и решений, затем дается для письменного решения следующая задача:

В колхозе — пахотной земли занято зерновыми культурами, у остатка — картофелем и остальное — бобовыми. Найти площадь всей пахотной земли и площадь, занятую бобовыми культурами, если известно, что площадь под зерновыми больше площади, занятой картофелем, на 390 га.

Составление числовых формул решения задач.

Решить и составить формулы решения.

а) В водоем проведены 2 трубы. Через первую трубу водоем наполняется за 20 мин, через вторую — за 30 мин. За сколько минут может наполниться водоем при одновременном действии обеих труб?

б) Одним экскаватором можно выкопать котлован за 6 ч, другим — за 4 ч. За сколько часов можно выкопать этот котлован двумя экскаваторами, если их производительность не изменится?

Формулы записываются затем на доске, учащиеся наблюдают сходство формул решения.

7. Цель: дать упражнения творческого характера.

а) Простейшие упражнения заключаются в самостоятельном придумывании учащимися примеров, когда они отвечают правила или определения. Учащийся говорит, например: «Общим делителем двух или нескольких чисел называется число, на которое делится каждое из данных чисел без остатка» — и приводят пример.

б) Учащиеся придумывают примеры по указаниям учителя. Придумайте две дроби, знаменатели которых взаимно простые числа.

Придумайте пятизначное число, которое делится без остатка на 4.

Составление задач по заданным формулам, их решения Составить условие задачи, если ее решение записано формулой т _

а) х = 3- 17 + 2,5-20;

При подборе упражнений к уроку надо исходить из темы урока и цели упражнения. В зависимости от темы учитель подбирает упражнения для повторения, для подготовки учеников к новому выводу, для совершенствования уже изученных понятий, или намечает ряд упражнений для дальнейшего закрепления полученных знаний, для приобретения навыков. Подбирая задачи для письменного решения, учитель может заранее предвидеть особо трудные моменты и приготовить для их выяснения соответствующие короткие устные задачи.

ГЛАВА III

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Основными вопросами арифметики натуральных или целых чисел (как их принято называть в курсе школьной арифметики), которые входят в I тему курса математики V класса, служат: 1) нумерация устная и письменная, 2) система арифметических действий, 3) законы арифметических действий, 4) делимость чисел.

В объяснительной записке к программе восьмилетней школы даны следующие указания: «При развитии навыков действий над натуральными числами обращается внимание на законы арифметических действий, зависимость между данными числами и результатами действий над ними и изменение результатов действий. При изучении натуральных чисел эти вопросы рассматриваются в связи с упрощением устных и письменных вычислений».

§ 9. Нумерация устная и письменная

Вопросам нумерации уделяется большое внимание в курсе арифметики начальной школы. В результате дети к V классу умеют правильно писать и читать натуральные числа. Кроме того, в IV классе изучение нумерации сопровождается некоторыми обобщениями, которые формулируются учащимися как выводы, а именно:

1) При счете первые десять чисел получают особые названия.

2) Счетные единицы объединяются в группы так, что из десяти одинаковых единиц составляется новая счетная единица, единица второго разряда, из десяти единиц второго разряда составляется единица третьего разряда и т. д.

3) Так как каждая разрядная единица, начиная со второй, состоит из десяти единиц следующего низшего разряда, то наша система счисления называется десятичной. Число 10 называется основанием системы счисления.

4) Единицы различных разрядов объединяются в классы, по три разряда в каждом. Первым четырем разрядным единицам даются особые названия, из них четвертая единица — тысяча — рассматривается как единица второго класса, из которой составляются следующие разрядные единицы так же, как из основной. Тысяча единиц второго класса образует единицу третьего класса — миллион и т. д.

5) Для записи чисел служат 10 цифр. Все цифры, кроме нуля, называются значащими.

6) Значение цифры изменяется в зависимости от места, которое она занимает.

В V классе повторяется и дополняется материал, проработанный в начальной школе.

Полезно записать с учащимися начало натурального ряда чисел и рассмотреть его свойства.

Например, можно ли найти наибольшее число в этом ряду, как найти для данного числа в этом ряду неизвестное последующее число, предшествующее. Далее, ввести термины: натуральное число, натуральный ряд чисел. Повторяя устную и письменную нумерацию целых чисел, следует остановиться на основных принципах десятичной нумерации. Следует повторить запись чисел как суммы разрядных чисел, например:

28 156=20 000+8000+100+50+6 = = 10 000.2+1000.8+100.1 + 10.5+6.

Эта запись выделяет логические этапы составления числа и служит базой для изучения свойств чисел при изучении делимости чисел. Повторение нумерации тоже следует проводить путем соответственно подобранных упражнений и вопросов, например: Как подсчитать большое число предметов? Сколько нужно разных слов, чтобы назвать все числа до 100? до 1 000 000? Назовите число, содержащее три единицы третьего разряда, две единицы второго и пять единиц первого разряда второго класса. Сколько разрядов единиц мы употребляем при счете? Какую экономию слов дает введение классов при счете? Почему система счисления называется десятичной? И т. д.

Материал для упражнений в записи больших чисел дают задачи следующего вида. Записать на доске расстояние, которое отделяет нашу Землю от Солнца (149 500 000 км), планету Марс от Солнца (277 700000 км) и самую дальнюю планету Плутон от Солнца (6896900000 км).

Наглядными пособиями при повторении нумерации могут служить: таблица, передающая запись на абаке, таблицы под названием «разрядные единицы», единицы различных классов, классные счеты (абак — счетная доска у древних греков).

Примером могут служить таблицы 3, 4.

Таблица 3

Разрядные единицы

Устная нумерация разрядных единиц

...

Класс миллионов

Класс тысяч

Класс единиц

Письменная нумерация разрядных единиц

сотни миллионов

десятки миллионов

елиницы миллионов

сотни тысяч

десятки тысяч

единицы тысяч

сотни

десятки

единицы

Единица

1

1

Десять единиц — десяток

1

10

Десять десятков— сотня

1

100

Десять сотен— тысяча

1

1000

Десять тысяч — десяток тысяч

1

10 000

Десять десятков тысяч — сотня тысяч

1

100 000

Десять сотен тысяч — миллион и т. д.

1

1 000 000

Таблица 4

Единицы различных классов

Единица

1

Тысяча

1000

Миллион

1 000 000

Миллиард (биллион)

1 000 000 000

Триллион

1 000 000 000 000

Квадриллион

1 000 000 000 000 000

Квинтиллион

1 000 000 000 000 000 000

и т. д........

Следует дать краткие исторические сведения о счете, о записи чисел; рассказать, что не всегда считали десятками, считали и пятками, дюжинами (по 12) и т. д.; познакомить с римской системой счисления, последнее указывается и программой1.

1 См. [119], [74], [69].

Особое внимание следует уделить двоичной системе счисления, рассказать об электронной вычислительной машине, которая работает в двоичной системе, сама переводит числа с десятичной системы в двоичную. На занятиях кружка следует научить пятиклассников записывать и читать небольшие числа в другой системе счисления, например в пятеричной и в двоичной. Полезно провести практическую работу. Дать каждому ученику, например, 13 палочек и предложить связать их по две, полученные пары взять по 2, положить в мешочки, по 2 мешочка положить в коробочки. Получится 13= 11012.

§ 10. Система арифметических действий

При повторении второго основного вопроса темы, действий над целыми числами учитель сталкивается с вопросом об определении действий. При определении действий в школьном курсе выделяются операции над числами, производимые при выполнении данного действия, или те задачи, которые решаются данным действием. В ряде случаев определение заменяется правилом, например определение сложения дробей. В большей части учебной и методической литературы вводится прежде название действия, а потом результата действия. Это можно встретить в учебнике И. Н. Шевченко.

В основу определения сложения натуральных чисел в большей части учебников берется составление суммы множеств из данных множеств. «При сложении два числа соединяются в одно число, содержащее в себе все единицы, входившие в данные числа»1. Предварительно рассматривается объединение двух множеств в одно множество на примере некоторых множеств яблок, тетрадей. Следующее определение вполне раскрывает содержание понятия сложения: «Если из двух групп предметов составлена новая группа, то число предметов в этой новой группе называется суммой этих двух чисел, которые показывают, сколько предметов в каждой из данных групп. Нахождение суммы двух чисел называется сложением этих чисел»2.

Для того чтобы определение сложения натуральных чисел было логическим, следует ввести элементы теории множеств. Понятие множества имеет применение и в курсе геометрии, и в курсе алгебры. Появились в методической литературе высказывания за введение элементов теории множеств в школьный курс арифметики.

А. И. Маркушевич указывает на возможности введения элементов теории множеств в начальной школе на основе детского математического опыта. «Сюда относятся, например, понимание того, что каждый ребенок является членом опреде-

1 См. [182].

2 См. [153].

ленной семьи, что эта семья входит в коллектив жильцов данного дома, что этот коллектив жильцов является частью населения квартала или населенного пункта»1.

Появилось учебное пособие, в котором приводится изложение арифметики натуральных чисел на основе теории множеств, рассчитанное на учащихся пятых классов2.

Для остальных действий и в школьном курсе построены логические определения. Умножение натуральных чисел определяется как сложение одинаковых слагаемых3. Вычитание — как действие, обратное сложению, состоящее в отыскании одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Подобным же образом деление определяется как действие, обратное умножению. Все эти определения посильны для пятиклассников.

Следует подчеркнуть учащимся, что всякое арифметическое действие производится над двумя числами. Надо определить, что значит сложить три числа, четыре числа и т. д.

Повторяя действия над целыми числами, следует составить таблицы, выявляющие основные логические этапы образования прямых действий, обратных действий, и сводную таблицу, дающую обзор четырех арифметических действий. Рассмотрим таблицы.

Таблица 5

Образование прямых арифметических действий

Обозначение искомого числа

Название искомого числа

Название действия

3+4 3+4+2+5 3+3+3+3

3. 4 3 • 4 . 2 • 5

Сумма двух чисел

Сумма нескольких чисел

Сумма нескольких одинаковых чисел

Произведение двух чисел

Произведение нескольких чисел

Сложение двух чисел

Сложение нескольких чисел

Сложение нескольких одинаковых чисел

Умножение двух чисел Умножение нескольких чисел

Эту таблицу ученики могут заполнять постепенно, по мере повторения действий, причем они заполнят также и вторую таблицу для обратных действий. Затем по заполненным таблицам нужно сделать обзор всех изученных действий и составить сводную таблицу (см. таблицу 7).

1 А. И. Маркушевич. Об очередных задачах преподавания математики в школе, «Математика в школе», 1962, № 2.

2 См. [119].

3 Вводится дополнительное условие для множителя, равного единице: «Если множитель равен единице, то произведение принимается равным множимому».

Можно начать с повторения прямых и обратных действий, затем перейти к детальному повторению каждого действия.

При составлении первой таблицы ведутся следующие рассуждения: Что обозначает запись 3 + 4? (Сумму чисел 3 и 4.) Как называются числа при сложении? Что обозначает запись 3 + 4 + 2? (Сумму трех чисел.) Как найти сумму трех чисел? (Найти сначала сумму двух чисел и к полученной сумме прибавить третье число.) Что называется суммой трех чисел? Показать скобками порядок действий при нахождении суммы трех чисел [(3 + 4)+ 2]; четырех {[(3 + 4)+2] + 5} и т. д. Чем отличается сумма 3 + 3 + 3 + 3 от предыдущей суммы? Что нужно знать, чтобы вычислить эту сумму? (Слагаемое и число слагаемых.) Как можно иначе записать эту сумму? (3-4.) Как называется иначе эта сумма? И т. д.

Приведенные рассуждения показывают ученикам, что для нахождения суммы трех чисел необходимо выполнить два раза действие сложения, а чтобы найти сумму четырех чисел, необходимо выполнить три раза действие сложения, то есть сложение производится над двумя числами.

Из подобных рассуждений ученики узнают, что и умножение производится над двумя числами. В результате они придут к выводу, что всякое действие производится над двумя числами.

При составлении таблицы 6 ведутся следующие рассуждения: 3 + 4 = 7. Какой вопрос выражает запись х+4 = 7? (К какому числу надо прибавить 4, чтобы получить 7?) Каким действием можно найти неизвестное число? (Вычитанием х = 7 — 4.) Какое действие называется вычитанием? Как называются числа при вычитании? Мы нашли первое слагаемое по сумме и второму слагаемому. Как записать, что мы ищем второе слагаемое по сумме и первому слагаемому? (3+у = 7.) Какой вопрос выражает последняя запись? (Какое число надо прибавить к 3, чтобы получить 7?) Каким действием можно найти второе слагаемое? (Вычитанием у = 7 — 3.) Изменится ли сумма, если слагаемые поменять местами? Следовательно, второе слагаемое можно сделать первым, а первое — вторым, поэтому оба слагаемых находятся одним действием — вычитанием.

Таблица 6

Образование обратных1 арифметических действий

1 Таблицы 5 и 6 вместе с наглядными пособиями, изображенными на рисунках 12, 13, 14, 15, предложены П. А. Компанийцем. См. [153].

Такие же рассуждения проводятся относительно деления. Полезно предложить самим учащимся составить задачи на прямое действие — на сложение (или умножение) —и две обратные

Таблица 7

Система четырех арифметических действий

Прямые действия

Обратные действия

Сложение 3+4=7

Умножение 3 - 4=12

Вычитание 7—4 = 3 Вычитание 7—3 = 4

Деление 12:3 = 4 Деление 12:4 = 3

задачи. Хорошим упражнением для закрепления названий компонентов, зависимости между компонентами действия и результатом служат следующие задания:

1. Найдите *, если. 17+х = 28; * —32=19;

4-х=36 484; х:24=15.

2. Запишите при помощи скобок и знаков арифметических действий: из суммы чисел 605 и 409 вычесть разность чисел 403 и 211. Решите полученный пример.

3. Прочитайте пример: 56—(27+1.6).

При решении примеров первого вида учащиеся ведут следующие рассуждения: в первом примере неизвестно слагаемое; чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы вычесть другое слагаемое

28—17=11; х=\\.

При решении примеров второго вида учащиеся, чтобы получить запись (605 + 409) — (403 — 211), вспоминают, от какого действия получается сумма, разность; устанавливают порядок действий.

Читая пример третьего вида: найти разность числа 56 и суммы чисел 27 и 16, ученики вспоминают названия результата действий, проводят анализ порядка действий.

Вопрос о действиях с нулем не включен в программу арифметики восьмилетней школы, в стабильном учебнике и задачнике этот вопрос рассматривается. В курсе арифметики V класса действия с нулем мало применяются, поэтому у учащихся долго сохраняется представление о нуле как знаке отсутствия числа, полученное в начальных классах.

Построение числового луча при изучении обыкновенных дробей поможет пятиклассникам изменить представление о нуле при помощи следующих рассуждений: каждому числу соответствует точка на числовом луче, нулю соответствует точка, начало луча, следовательно, естественно нуль считать числом. Можно параллельно с изучением действий над натуральными числами рассматривать и действия с нулем. Затруднение вызывает только умножение на нуль: до учащихся нелегко доходит, что в этом случае вполне закономерно считать произведение равным нулю. Усвоить это помогают наблюдения за изменением произведения с уменьшением множителя на единицу.

Задача. Общая тетрадь стоит 9 коп. Сколько денег требуется заплатить за три, две, одну тетрадь?

Решение. 9-3 = 27; 9-2=18; 9-1=9. Сколько истратили бы денег, если бы не купили ни одной тетради? При решении этого вопроса естественно записать: 90 = 0. Рассматривая деление как действие, обратное умножению, учащиеся легко убеждаются, что деление на нуль невозможно.

§ 11. Законы арифметических действий

Следующий вопрос, который требует расширения и углубления,— законы арифметических действий. В V классе уже вводятся названия законов.

В объяснительной записке к программе восьмилетней школы 1963 г. указывается, что при изучении натуральных чисел «преждевременно требовать от учащихся заучивания формулировок законов и свойств арифметических действий. Это целесообразно сделать при дальнейшем изучении курса арифметики в V классе».

Изучение законов арифметических действий в V классе строится так: ученики при анализе приемов решения ряда примеров и задач подмечают закономерность и обобщают ее. Переместительный закон сложения ученики начальных классов знают обычно хорошо, поэтому необходимо только, чтобы пятиклассники научились формулировать этот закон, запомнили его название и усвоили буквенную запись. Можно вспомнить его хотя бы на таком примере для устного счета: 7 + 42.

Спрашивают учащихся, как они считали. Они обыкновенно отвечают, что к 42 прибавляли 7. Запишите, что 7 + 42 = 42 + 7. Что эта запись показывает? От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

В дальнейшем следует дать буквенную запись закона. Это можно сделать или при подведении итогов по материалу темы «Натуральные числа», или при изучении сложения дробей. Можно дать предварительно такую запись: I сл.+Н сл.= = II сл.+ I сл.

Изучение сочетательного закона можно начать с решения задачи двумя способами:

Задача. Мальчик купил 6 тетрадей за 10 коп., учебник за 22 коп. и задачник за 25 коп. Сколько денег истратил мальчик?

Решение.

I способом запишется так: 1) 10 коп.+ 22 коп.=32 коп.

2) 32 коп.+ 25 коп. = 57 коп. (10 + 22) +25 = 57(коп.)

II способом: 1) 22 коп.+ 25 коп. = 47 коп.

2) 10 коп.+ 47 коп. = 57 коп. 10+(22 + 25) =57 (коп.)

Получится запись: (10 + 22)+25= 10+(22 + 25). Ученики дают словесную формулировку полученной записи. Предыдущие наблюдения следует продолжить, полезно рассмотреть следующие примеры и сделать подробную запись их решения:

После рассмотрения первой группы примеров учащиеся формулируют закон: чтобы к какому-нибудь числу прибавить сумму двух чисел, достаточно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое.

После рассмотрения II группы примеров они делают следующий вывод; чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, достаточно третье число прибавить ко второму слагаемому, а потом полученную сумму прибавить к первому слагаемому данной суммы.

Следует предложить учащимся прочитать полученные записи в I и II группе примеров справа налево, после этого учащиеся убеждаются, что обе записи выражают один и тот же закон.

Позднее, записав полученные результаты в общем виде, пятиклассники убеждаются еще раз, что подмеченные свойства выражают один и тот же закон: в одном случае прочитанный справа налево, в другом случае — слева направо. Действительно, в первом случае

а+ф+с)=(а+Ь)+с,

во втором

(а+Ь)+с=а+ф+с).

Для закрепления следует дать примеры вида: 56 + 87+ 13, при решении которых, рационально группируя слагаемые 56+(87+13), можно быстро получить ответ. Следует показать ученикам, что, складывая многозначные числа, они применяют законы сложения, например:

27+35=(20+7)+(30+5)=[(20+7)+30]+5=[(20+30)+7]+5 =

= (20+30)+(7+5).

В большей части учебной литературы по арифметике, в том числе и в стабильном учебнике1, приведена следующая формулировка сочетательного закона: сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых мы заменим их суммой. Можно дать и эту формулировку сочетательного закона, но при этом следует подчеркнуть, что прибавление суммы к числу и числа к сумме является лишь иным выражением того же сочетательного закона сложения. Если же в формулировке прибавления суммы к числу и числа к сумме не учитывать порядок слагаемых рассматриваемых сумм, то получим соотношение, которое является следствием переместительного и сочетательного законов сложения, например: чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме нескольких слагаемых, достаточно прибавить это число к какому-нибудь одному слагаемому, оставив другие без изменения2.

Рис. 12

Давая первую из рассмотренных формулировок сочетательного закона, следует подчеркнуть, что производится соединение (сочетание) в первом случае I и II слагаемых, во втором случае II и III слагаемых, отсюда и произошло название «сочетательный закон».

Законы умножения изучаются так же, как и законы сложения. Можно использовать следующую задачу3: «Подсчитать двумя способами число ямок, вырытых для посадки деревьев на опытном участке по данным на чертеже». Учащиеся получат 9-6 = 6-9 и сформулируют переместительный закон. Эта же за-

1 См. [182].

2 См. [182].

3 См. [119].

дача может быть использована для сочетательного закона, если добавить, что в каждую ямку кладется по 4 желудя и требуется найти число желудей, необходимое для гнездовой посадки на опытном участке (рис. 12). Учащиеся получат, подсчитывая двумя способами, (4-9)-6 = 4* (9-6).

Рассматриваются следующие примеры:

1) 30 5 = (10.3)5=10(3 5),

2) 7 60=7.(6-Ю)=(7-6). 10.

В результате рассмотрения решения задачи и приведенных примеров ученики формулируют закон умножения произведения двух чисел на третье число и закон умножения числа на произведение двух чисел. Учащиеся, так же как и при сложении, путем словесной формулировки решения двух примеров (или записи в общем виде) устанавливают, что эти два закона тождественны и выражают один и тот же закон, который получится из одной формулы в одном случае при чтении ее справа налево, в другом случае — слева направо. Одним из наглядных пособий для изучения свойств произведений служит прямоугольник, разбитый на квадратные единицы, особым образом сгруппированные (рис. 13).

Рис. 13

Этот чертеж показывает, что, вычисляя площадь прямоугольника с основанием в 20 ед. и высотой в 3 ед., мы можем подсчитывать число квадратных единиц различными способами, то есть различными способами получить одно и то же произведение. На первом прямоугольнике показан подсчет по 3 двадцать раз, на втором — по 3 десять раз и полученное произведение взято 2 ра-

за, на третьем — по 3 квадратика взято 2 раза и полученное число— 10 раз.

Рисунок 14 иллюстрирует формулу (a«&)«c=(a«c)«ft, которая получается как следствие сочетательного и переместительного законов умножения.

Для закрепления сочетательного закона можно предложить ученикам решить двумя способами задачу: «Сколько минут в 360 сутках?»

Запись решения: 1) 24-360 = 8640 (ч);

2) 60-8640=518 400 (мин),

Отсюда 60-(24-360)=518400.

II способ. 1) 60-24=1440 (мин); 2) 1410.360=518 400 (мин).

(60.24) - 360=818 400; 60. (24 • 360)=(60 • 2 4) - 360.

Рис. 14

Изучение распределительного закона умножения можно начать с рассмотрения следующих примеров:

На первом примере учащиеся наблюдают, что, группируя слагаемые, мы разбиваем произведение 2-6 на два произведения: 2'5и2'1;2'4и2-2 и т.д., множители которых являются слагаемыми данного множителя. Получаем закон, в котором говорится, как умножить число на сумму. На следующем примере показываем, что этот закон применяется при умножении однозначного числа на многозначное.

Рассмотрев третий пример, ученики подмечают закон умножения суммы двух чисел на третье число. Первый закон называется распределительным законом умножения относительно суммы во множителе, второй — относительно суммы во множимом.

Наглядным пособием для распределительного закона умножения может служить рисунок 15.

Рис. 15

Первый пример можно использовать и для вывода сочетательного закона умножения. Группируя слагаемые по 3, мы разбиваем произведение 2-6 на два равных произведения, каждое из которых равно 2*3, получаем произведение (2-3)-2, последние два сомножителя которого являются сомножителями данного множителя 6, отсюда 2 • (3 • 2) = (2 • 3) • 2.

Следует показать, что при умножении многозначного числа на многозначное мы пользуемся законами умножения. Полезно иллюстрировать это на прямоугольнике, разбитом на квадратные единицы (рис. 16).

Площадь данного прямоугольника можно найти тремя способами: 1) умножив длину основания на длину высоты,

2) разбив его на два прямоугольника по высоте, сумма площадей которых равна 23-10 + 23-4,

3) разбив на четыре прямоугольника, сумма площадей которых равна 20-10+3-10+20.4+3-4.

Уроки, посвященные законам действий, должны проводиться при активном участии учеников. Они выполняют чертежи в тетрадях, производят подсчеты; решают в тетрадях примеры самостоятельно и сверяют свое решение с записью на доске; решают устно примеры вида: 1) 138-8-125; 2) 4-37-25; 3) 29-48+29-52.

Рис. 16

Свойства обратных действий можно вывести как следствия определения обратных действий и законов прямых действий.

В школьном курсе эти свойства устанавливаются на частных примерах.

Примером может служить таблица, предложенная П. А. Компанийцем.

Таблица 8

Таким же образом изучаются в школе и остальные свойства обратных действий.

Запишем ряд свойств вычитания и деления в общем виде:

В V классе доказательство свойств обратных действий не проводится, но связь законов сложения и вычитания, умножения и деления показывается путем сопоставления решений соответствующих примеров.

Свойства каждого из действий следует рассмотреть не на одном, а на нескольких уроках, постоянно закрепляя их устными примерами и задачами.

Следует указать учащимся, что при вычитании многозначных чисел по разрядам мы пользуемся разобранными свойствами вычитания, например:

76 — 34=(70+6) — (30+4)=[(70+6) — 30] — 4 = = [(70 — 30)+6] — 4=(70 — 30)+(6— 4).

Такая длинная запись трудна для понимания пятиклассников. Можно ограничиться только такой записью:

76—34= (70+6) — (30+4) = (70—30) + (6—4).

Материал для закрепления свойств действий дают вычисления на счетах, например: при сложении на счетах чисел 356 и 187, прибавляя к 5 десяткам 8 десятков, прибавляют 1 сотню и отнимают 2 десятка, то есть 8 заменяют разностью 10—2, также, прибавляя 7 к 6, заменяют 7 разностью 10 — 3. В обоих случаях пользуются свойством вычитания, в котором говорится, как прибавить к числу разность.

При вычитании на счетах пользуются свойством, в котором говорится, как из числа вычесть разность.

При умножении на счетах пользуются сочетательным и распределительным законами умножения, например:

356 4=(356.2).2; 78 20=(78.10).2; 78.22=78-20+78.2.

При умножении на 5 используется свойство деления: 836-5=(836.10):2.

Полезно с законами действий увязать изменение результатов действий с изменением компонентов. Изучение этого вопроса обычно начинают с повторения на примерах и задачах материала, изученного в начальной школе, а затем расширяют и углубляют его.

Примеры упражнений.

Изменение суммы.

1. Найти сумму чисел 3276 и 1534. а) Увеличить в одном из них число сотен на 3. б) Увеличить число тысяч в одном слагаемом на 2, а в другом на 1. в) В одном слагаемом увеличить число десятков на 5, а в другом число сотен уменьшить на 4.

Как изменится сумма в каждом случае? Нельзя ли найти сумму, полученную после изменения слагаемых из первоначальной суммы?

2. Составить таблицу изменения суммы двух чисел с изменением слагаемых на какое-нибудь число и сделать подробную запись решения.

Сформулировать свойства суммы и разности, на основании которых можно получить записанные равенства.

Подобные же упражнения рассматриваются при изучении разности.

Особого внимания требует тот случай, когда с изменением компонентов разность не изменяет своей величины.

Изменение суммы и разности следует рассматривать в V классе сразу после изучения свойств этих действий, используя их для обоснования.

Таблица 9

Первое слагаемое

Второе слагаемое

Сумма

7

8

15

7+8=15

10

8

18

(7+3)+8=(7+8)+3

10

12

22

(7+3)+(8 + 4) = (7 + 8)+(3+4)

7

4

11

7+(8-4)=(7+8)-4

11

4

15

(7+4)+(8-4) = (7+8) + (4-4)

Изменение произведения.

1. Самостоятельно составить таблицы для наблюдения изменений произведения с увеличением и уменьшением сомножителей в несколько раз.

2. Как изменится периметр квадрата, если сторону его увеличить в 2 раза?

3. Начертить прямоугольник, у которого длина основания 6 см, длина высоты 4 см.

а) Увеличить высоту в 2 раза, б) Уменьшить основание в 3 раза, сохраняя первоначальную высоту.

Как изменится площадь прямоугольника в том и другом случае?

4. Известно, что 276-15 = 4140. Как кратчайшим способом вычислить 2760- 15; 92- 15?

5. Рассмотреть изменение произведения при изменении одного из сомножителей на какое-нибудь число. Составить таблицу, подобную следующей:

Таблица 10

Множимое

Множитель

Произведение

5

3

15

5-3=15

6

3

18

(5+1).3=5-3+3

7

3

21

(5+2)-3=5-3+2-3

5

7

35

5-(3+4)=5-3+5-4

На основании какого закона умножения можно записать эти равенства?

6. Решить задачи на применение свойства изменения произведения. (Эти задачи рассмотрены в гл. II, §6.)

7. Не вычисляя произведения, установить, как оно изменится для каждого случая:

а) 300-40; б) 287-5; в) 324-10;

300. (40.3); (287+7). 5; (324 — 25)10;

Подобные упражнения рассматриваются и при изучении изменения частного.

Работа по изучению зависимости результата действия от его компонентов представляет первые шаги по изучению функциональной зависимости и имеет большое значение.

§ 12. Делимость чисел

Делимость чисел в программе восьмилетней школы входит в тему «Натуральные числа». Из программы исключено изучение вопроса о наибольшем общем делителе данных чисел. Так как делимость чисел (нахождение делителей числа, наименьшего общего кратного) применяется главным образом при изучении дробей, в некоторых учебниках и методиках предлагается изучать темы «Делимость чисел» и «Обыкновенные дроби» совместно1. Такое расположение нарушает систематичность изучения дробей. Значение вопросов делимости чисел можно показать на ряде других задач, поэтому расположение материала, предложенное программой восьмилетней школы, более удачно.

Основные вопросы делимости чисел: 1) Признаки делимости чисел. 2) Разложение чисел на простые множители. 3) Общие делители нескольких чисел. 4) Наименьшее кратное нескольких чисел.

Изучение делимости чисел имеет цель не только создать необходимую базу для изучения дробей, но и расширить знания учащихся о свойствах натуральных чисел, а кроме того, научить их рассматривать всякое натуральное число как произведение натуральных чисел.

Признаки делимости

В программу восьмилетней школы включены признаки делимости на 2; 5; 9 и 3. В основу изучения их положено следующее.

1) Признаком делимости одного числа на другое называется необходимое и достаточное условие делимости первого числа на второе.

2) Если одно из двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то для того, чтобы вся сумма разделилась на это число,

1 См. [181], [158], ч. II.

необходимо и достаточно, чтобы другое слагаемое делилось на то же число.

3) Чтобы произведение двух сомножителей делилось на данное число, достаточно, чтобы один из сомножителей делился на это число1.

Первый урок о делимости чисел посвящается введению понятий: делитель числа, кратное число. Этот урок следует за повторением всех действий над целыми числами, и поэтому его полезно начать с вопроса: для всех ли пар целых чисел выполнимы все 4 арифметических действия? Предложить придумать примеры невыполнимости действий вычитания и деления. Показать, что признак невыполнимости вычитания прост; не производя же деления, иногда трудно установить, делится ли нацело одно число на другое. (С этого начинает и стабильный учебник.) Затем перейти к решению задач, которые показывают цель изучения этого раздела. Такими задачами могут служить задачи на определение размеров прямоугольника по его площади и размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему, например:

1. Под клумбу нужно отвести участок в виде прямоугольника, площадь которого равна 24 кв. м. Найти длину и ширину его.

2. Найти длину, ширину и высоту прямоугольного ящика, объем которого равен 40 куб. дм (если длина, ширина и высота выражаются целыми числами).

В результате решения этих задач ученики приходят к выводу, что необходимо уметь числа раскладывать на множители: число 24 на два множителя, 40 на три множителя, а для этого нужно знать, на какие числа делятся данные числа без остатка.

Полезно устно выполнить упражнения, решение которых упрощается путем применения разложения на множители, например 72 • 125. Рассуждения при решении можно записать так:

72-125 = (8-9). 125 = (8.125).9=9000.

Затем вводятся понятия «делитель числа», «число, кратное данного числа». Эти понятия закрепляются решением примеров.

Дано число 16. Назовите его делители, назовите несколько чисел, кратных 16. Назовите наименьший делитель данного числа, наименьшее кратное его, наибольший делитель, наибольшее кратное этого числа. Следующие уроки посвящаются изучению на частных примерах основных теорем делимости.

Примерный план урока на тему «Делимость суммы»2.

1. Устные упражнения на нахождение делителей данного числа, кратного данного числа.

1 Для учеников, как будет показано ниже, все эти положения формулируются проще.

2 План составлен учительницей школы № 66 Ленинграда Ануфриевой.

2. Перед учащимися ставится задача: найти признаки, по которым можно узнать, не производя деления, делится ли одно число на другое.

Записывается тема урока.

Вывешиваются по очереди таблицы для наблюдений. Первый справа столбец закрыт. Его открывают после того, как ученики сделали вывод относительно делимости суммы.

Таблица 11

Делимость слагаемых

Примеры

Делимость суммы

Каждое слагаемое делится на 2 без остатка

8+14 = 22 8+12+6 = 26

Сумма делится на 2 без остатка

Каждое слагаемое делится на 5 без остатка

25+45 = 70 30+40+35=105

Сумма делится на 5 без остатка

Каждое слагаемое делится на 3 без остатка

3+9=12 15+24+30 = 69

Сумма делится на 3 без остатка

Наблюдения учащихся за каждым слагаемым и суммой.

Самостоятельное придумывание пятиклассниками примеров и запись примеров в тетрадях с объяснением.

Вывод, сделанный самостоятельно учащимися после проведенных наблюдений: если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число.

Ученики записывают вывод в тетрадях.

Аналогичная работа проводится над таблицами (12, 13).

Таблица 12

Одно из слагаемых не делится без остатка на 2

12+5 = 17 18+13+14 = 45

Сумма не делится без остатка на 2

Одно из слагаемых не делится без остатка на 5

6+40=46 7+20+30+40 = 97

Сумма не делится без остатка на 5

Одно из слагаемых не делится без остатка на 3

17+12 = 29 15+24+16=55

Сумма не делится без остатка на 3

Одно из слагаемых не делится без остатка на 11

14+33 = 47 44+55+12=111

Сумма не делится без остатка на 11

Самостоятельный вывод: если одно из слагаемых не делится, а все прочие делятся на данное число, то сумма не разделится на это число.

Таблица 13

Слагаемые не делятся на 2 без остатка

7+9=16 19+5 = 24

Сумма делится на 2 без остатка

Слагаемые не делятся на 5 без остатка

4 + 11 = 15 8+17 = 25

Сумма делится на 5 без остатка

Слагаемые не делятся на 5 без остатка

3 + 11 = 14 8+13 = 21

Сумма не делится на 5 без остатка

Слагаемые не делятся на 3 без остатка

7+11 = 18 8+13=21

Сумма делится на 3 без остатка

Самостоятельное придумывание учащимися (после наблюдения) примеров на тот и другой случай.

Вывод (дают ученики): если ни одно из двух слагаемых: не делится на данное число, то сумма иногда делится, а иногда не делится на то же число.

Задачи (решаются устно).

1. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки тетрадей: две по 50 тетрадей, третья — 60. Если ученикам из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся тетради?

2. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки карандашей: в одной — 45 карандашей, во второй — 54, а в третьей — 44. Если каждому ученику из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся карандаши?

Наблюдения над примерами: (8 + 7) :5 — сумма остатков делится на 5 и сумма делится на 5. (8 + 8) :5 — сумма остатков не делится на 5 и сумма не делится на 5.

Вывод: если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма разделится на это число в том случае, когда сумма остатков делится на данное число.

Домашнее задание. Учебник Шевченко, § 36 (делимость суммы). Придумать на каждый случай делимости суммы, по одному примеру.

На следующем уроке можно рассмотреть с учениками следующие суммы: 1) 7 + 5 + 6; 2) 8 + 6 + 5; 3) 8+11+6. Учащиеся путем наблюдений приходят к выводу, что если более чем; одно из слагаемых не делится на данное число, то сумма может делиться на данное число, а может не делиться. Первая сумма делится на три, вторая не делится на пять, третья сумма делится на пять.

При повторении пройденного ученикам еще раз предлагаются примеры сумм двух слагаемых, из которых: 1) каждое делится на одно и то же число; 2) одно слагаемое делится на это число, а второе не делится, учащиеся делают заключение о делимости суммы. В результате можно сформулировать признак делимости суммы на данное число: если одно из двух слагаемых делится на данное число, то их сумма делится на это число тогда и только тогда, когда другое слагаемое делится на это число. Этот признак используется при выводе частных признаков делимости на 2 и 5. Данное число разбивается на два слагаемых, из которых одно делится на данное число, таким образом делимость всего числа будет зависеть только от второго слагаемого. Признаки делимости лучше всего проходить в следующем порядке: на одном уроке признаки делимости на 2 и 5, на другом— на 9, на третьем — закрепление признака делимости на 9 и признак делимости на 3.

При изучении признаков делимости на 9 и на 3 рассматривается сначала делимость разрядных единиц на 9, потом разрядных чисел на 9.

Упражнения.

1. Какой получится остаток, если разделить на 9 следующие числа: 10; 100; 1000; 10 000; 100 000?

Решение.

10=9+1; 100=99+1; 1000=999+1 и т. д.

2. Какой получится остаток при делении на 9 следующих чисел:

20; 30; 40; 70;

200; 300; 400; 700;

2000; 3000; 4000; 7000?

Сравнить остатки чисел, получаемые при делении их в каждом ряду и в каждой колонке.

Решение. 20= 10 - 2 = (9+1) • 2 = 9 • 2+2;

300= 100-3=(99+1). 3 = 99-3+3.

3. Какой остаток получится при делении на 9 каждого слагаемого, всей суммы (определить, не производя деления):

9000+90+9; 10 000+1000+10; 2000+200+20+2?

4. Какой остаток получится при делении на 9 следующих чисел: 999; 321; 4031; 2302; 7001; 80 100?

5. То же для числа 5265?

Решение. 5265=5000+200+60+5; 5000 = 999-5+5; 200=99-2+2; 60=9 6+6; 5=5;

5265 = (999-5+99-2+9-6)+(5+2+6+5).

Так как сумма остатков (5 + 2 + 6 + 5) делится на 9, то и все число 5265 делится на 9.

6. По какому признаку можно судить, не производя деления, делится ли число на 9 без остатка?

Упражнения, подводящие к формулировке признака делимости на 3.

1. Делятся ли на 3 без остатка числа, которые делятся без остатка на 9? Почему?

2. На основании какого свойства делимости сумм можно утверждать, что число разделится на 3 без остатка?

3. Указать числа, которые делятся на 3 без остатка, а при делении на 9 дают остаток.

4. Удобно ли на основании признака делимости числа на 9 судить о делимости числа на 3? Почему? (Нет, так как могут быть числа, которые делятся на 3, но не делятся на 9.)

5. Нельзя ли сформулировать на основании решения предыдущих вопросов признак делимости на 3?

При формулировке признаков делимости следует объяснить ученикам значение слов «те и только те» и требовать их употребления. Эти слова заменяют: «необходимо и достаточно».

Например, после того как учащиеся пришли к выводу, что если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3, полезно поставить вопрос, будет ли делиться на 3 число, сумма цифр которого не делится на 3. Отсюда можно перейти к краткой формулировке при помощи слов «те и только те».

Разложение чисел на простые множители.

Разложение чисел на простые множители — основной вопрос раздела «Делимость чисел». На первом уроке, посвященном этому вопросу, снова возвращаются к задачам определения размеров прямоугольника по его площади, размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему. При решении этих задач ученики убеждаются, что существуют числа, которые могут быть представлены только как произведение единицы на само число, и после этого вводится определение простого числа.

Для закрепления представлений о простых и составных числах и их распределении в натуральном ряду чисел полезно познакомить пятиклассников с составлением таблицы простых чисел при помощи так называемого «решета Эратосфена».

«Решетом Эратосфена» называется прием для составления простых чисел, который был найден греческим ученым Эратосфеном (276—193 гг. до н. э.). Учащиеся знакомятся сначала с механическим приемом составления таблицы простых чисел. В тетрадях чертят квадрат со стороной в 5 см; разделенный на 100 клеток, в каждой клетке записывают натуральное число, начиная от 1 до 100, и учитель предлагает зачеркивать числа: сначала 1, потом каждое второе число после 2, каждое третье число после 3, каждое пятое число после 5 и каждое седьмое после 7.

После этого учитель предлагает объяснить, почему полученные числа простые. Учащиеся называют числа, вычеркнутые после 2:

4 = 2 + 2; 6 = 2 + 2 + 2; 8 = 2+2 + 2 + 2 и т. д. и убеждаются, что все эти числа кратные 2, вычеркнутые после 3: 6 = 3 + 3; 9 = 3 + 3 + 3 и т. д. Эти числа, кратные 3. Следующие группы чисел — кратные 5, кратные 7. Выясняется вопрос, почему не вычеркиваются числа, кратные 11. Так как самое большое число в таблице 100 при делении на 11 дает в частном 9, то кратные 11 имеют делитель меньше 9. Числа, кратные 11, уже вычеркнуты.

Обращается внимание, что единица не считается ни простым, ни составным числом, так как она имеет только один делитель, простые же числа имеют два делителя и только два, составные— три и более.

Полезно рассказать учащимся, что число простых чисел неограниченно, нельзя назвать последнее простое число. На занятиях в кружке полезно доказать это.

Чтобы, не пользуясь таблицей, установить, что данное число простое, необходимо попробовать делить его на все последовательные простые числа до тех пор, пока в частном не получится число, меньшее делителя, и только тогда можно сделать вывод, что данное число простое.

Следует познакомить учащихся с таблицей простых чисел, приведенной в стабильном учебнике и задачнике, и приучить их пользоваться этой таблицей. Большинство пятиклассников обычно не представляют простого числа, которое больше двузначного числа. Они с трудом воспринимают, что числа 2143; 4373; 5639— простые числа.

Далее перед учениками ставится задача разложения чисел на простые множители. Сначала следует представить число в виде произведения составных множителей, а затем уже получить разложение на простые множители. На нескольких примерах ученики наблюдают, что всякое составное число раскладывается только на один ряд простых множителей, независимо от способов разложения, например:

36=4.9=2.2-3.3;

36 = 6-6 = 2-3-2.3=2-2-3-3.

Полезно начать разложение с небольших чисел и составить таблицу разложения составных чисел от 4 до 20. Особо следует остановиться на разложении чисел, записанных единицей с нулями, на простые множители. Числа, оканчивающиеся нулями, удобно разлагать на множители, выделив сначала составной множитель, записанный единицей с нулями.

45 000=45.1000=5.3-3.2.2.2.5.5.5=2.2.2.3.3.5.5.5.5.

Запись разложения на множители с помощью вертикальной черты следует использовать только в тех случаях, когда промежуточное разложение на составные множители затруднительно. При записи разложения с помощью вертикальной черты учащиеся часто не представляют числа в виде произведения и производят разложение механически. Разложение на множители используется для нахождения делителей числа с целью подготовки к изучению вопросов: делители данного числа и кратные данного числа.

Следует рассмотреть решение примеров вида — найти частное кратчайшим путем: 1) (5-7):7; 2) (2*3-5): 2 и т. д.

Затем показать, что произведение нескольких сомножителей можно представить в виде произведения любого его множителя, на произведение всех остальных, например:

210=2.3.5.7=2.(3.5.7)=3.f2.5.7)=5.(2.3 7) = 7.(2 3.5).

Составное число можно разложить на два множителя другим способом.

210=(2.3).(5.7)=(2.5).(3.7)=(27).(3.5)= =(2-3.5).7=(2.3.7).5 = (3.5.7).2.

Ученики приходят к выводу: 1) делитель составного числа может быть произведением двух, трех, четырех и т. д. его любых простых множителей; 2) кратное данного числа должно содержать все простые множители делителя.

Один из уроков следует посвятить введению понятия общего делителя нескольких чисел. Учащимся предлагается найти делители чисел и выписать общие делители. После рассмотрения ряда конкретных примеров они дают определение общего делителя. Учащиеся знакомятся с взаимно простыми числами. Им следует предложить указать среди общих делителей наибольший общий делитель.

Не рассматривая с пятиклассниками способа отыскания наибольшего общего делителя данных чисел, полезно решить задачи, показывающие практическое применение понятия общего делителя, например:

1. Длина прямоугольника 175 лс, ширина 105 м. Чертежник хочет сделать план участка, приняв 1 см на чертеже равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах. Какой масштаб нужно взять?

2. Начертить диаграмму, изображающую в виде прямоугольников с равными основаниями следующие глубины:

Великого океана в среднем 3500 м

Атлантического » » 3780 м

Сев. Ледовитого » » 4830 м

Средиземного моря » 1400 м

Какой масштаб нужно взять, приняв 1 мм равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах?

Ученики для решения используют признаки делимости чисел. Рассмотрим примерную систему упражнений, подводящую учащихся к понятию наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел и к способу его нахождения.

1. Даны 2 числа: 3 и 4. Записать числа, кратные каждого из них в отдельности.

Запись: 3 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 4 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48.

Подчеркните общие кратные чисел 3 и 4. Можно ли еще назвать числа, которые будут общими кратными чисел 3 и 4? Назовите их. Можно ли найти наибольшее общее кратное? Назовите наименьшее общее кратное чисел 3 и 4.

2. Найдите также общие кратные для чисел 4 и 5, подчеркните и выделите среди них наименьшее.

3. То же для чисел 18 и 15.

4. Какое число называется наименьшим общим кратным данных чисел?

Решить 1—2 задачи, аналогичные данной: «Требуется приготовить ящик для укладки коробок шириной в 9 см и длиной в 21 см. Какова должна быть наименьшая величина стороны квадратного дна, чтобы коробки поместились в ящике вплотную? Сделать чертеж, на котором длина клеточки тетради соответствует 3 см в действительности».

После выполнения упражнений учащимся предлагается разложить на простые множители данные числа, найти их НОК и сравнить состав сомножителей полученных произведений, например: 9 = 3-3; 21=3 7; 63 = 3-3-7. Ученики замечают, что в НОК входят все множители одного числа и недостающие множители из разложения второго числа. Полученные наблюдения подводят учащихся к формулировке правила нахождения НОК.

ГЛАВА IV

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

§ 13. Различная последовательность изучения тем «Десятичные дроби» и «Обыкновенные дроби»

В связи с тем что к десятичным дробям могут быть применены правила десятичной нумерации и на них распространяется механизм многих действий над целыми числами, десятичные дроби занимали различное положение в учебной и методической литературе. В учебниках и программах дореволюционной школы десятичные дроби были помещены после обыкновенных дробей. Исключение составляло руководство для военных учебных заведений В. Буняковского1. В этом учебнике десятичные дроби изучаются параллельно с целыми числами. Вопрос о порядке изучения десятичных и обыкновенных дробей поднимался на I Всероссийском съезде преподавателей математики (1911 — 1912) К. Ф. Лебединцевым. После Октябрьской революции благодаря введению метрической системы мер десятичные дроби получили большое практическое значение и появился ряд высказываний за ограничение объема изучения обыкновенных дробей в пользу прохождения десятичных дробей. Выдвигались предложения изучать десятичные дроби раньше обыкновенных. Такой порядок изучения был проведен в ряде книг2.

Выдвигалось также предложение параллельного изучения систематического курса обыкновенных и десятичных дробей. Такой порядок изучения приведен тоже в ряде учебников3. В учебнике К. Ф. Лебединцева предлагается изучение обыкновенных и десятичных дробей разбить на два концентра. В I концентре излагаются те вычисления с «простыми» и десятичными дробями, которые не требуют расширения понятия о действиях.

1 См. [133].

2 См. [155], [126].

3 См. [158], ч. II; [137], [137], [19], [156].

Во II концентре параллельно изучаются умножение и деление на дробь обыкновенных и десятичных дробей.

Изучению систематического курса дробей до 1949 г. предшествовал пропедевтический курс десятичных дробей в IV классе начальной школы. В 1949 г. этот курс в связи с разгрузкой программы начальной школы был из нее исключен.

В 1959 г. в связи с перестройкой изучения математики в свете новых задач средней школы в проекте программы предлагалось десятичные дроби изучать до обыкновенных, выделив на тему «Десятичные дроби» большее число часов за счет темы «Обыкновенные дроби». В программе по математике восьмилетней школы Министерства просвещения РСФСР сохранен прежний порядок изучения дробей, но увеличено число часов на тему «Десятичные дроби». Министерство просвещения Молдавской ССР утвердило программу по математике, по которой работают с 1959/60 учебного года школы Молдавской республики. Эта программа предусматривает изучение десятичных дробей в V классе раньше, чем обыкновенных.

Министерством просвещения Молдавской ССР выпущено учебное пособие по арифметике для V класса восьмилетней и средней школы, в котором за темой «Натуральные числа» сразу следует тема «Десятичные дроби»1. Выпущено методическое пособие2, в котором понятие десятичной дроби вводится как обобщение понятия натурального числа в результате продолжения десятичной системы нумерации. В нем десятичная дробь определяется как число, которое содержит десятичные доли единицы, записанные по правилу записи натуральных чисел с помощью запятой, отделяющей целые единицы от десятых долей единицы.

Авторы методического пособия утверждают, что десятичная дробь не может считаться частным случаем обыкновенной, что, определяя десятичную дробь, нельзя пользоваться понятием «числитель» и «знаменатель».

Приведенное толкование понятия десятичной дроби вызвало возражения3. Правильно указывается, что нахождение дроби числа, предшествующее умножению на дробь, может быть понято учениками тогда, когда дробное число выступает как пара натуральных чисел, из которых одно показывает, на сколько равных частей разделена единица, а другое — сколько таких частей было взято. Поэтому и при новом порядке прохождения дробей необходимо сообщить учащимся, что десятичная дробь есть частный случай обыкновенной дроби. Числа 0,3 и — отли-

1 См. [122].

2 См. [134].

3 См. «Математика в школе», 1961, № 5.

чаются только формой записи и характеризуют одно и то же количественное отношение между объектами внешнего мира, а по содержанию это тождественные числа.

На основании учебной и методической литературы и опыта изучения десятичных и обыкновенных дробей в школе можно признать более удачным следующий порядок изучения дробей:

1. После введения понятия дроби, изучения простейших дробей вводится понятие десятичной дроби и изучаются действия над десятичными дробями, которые не требуют расширения понятия о действиях. К десятичным дробям применяются правила десятичной нумерации и правила действия над целыми числами.

2. Затем изучаются преобразования обыкновенных дробей и те же действия над обыкновенными дробями.

3. Вводится определение умножения на дробь и изучается параллельно умножение и деление на дробь обыкновенных и десятичных дробей.

Предлагаемый порядок изучения дробей частично проводился до исключения из программы начальной школы десятичных дробей.

§ 14. Введение понятия дроби. Преобразования дробей

Основные идеи темы «Обыкновенные дроби»:

1. Введение дробных чисел — новый этап расширения числовой области.

2. Новое понятие числа требует нового определения понятия равенства чисел, суммы и произведения.

3. Введение дробных чисел снимает ограничения с действия деления целых чисел (кроме деления на нуль).

4. На дробные числа распространяются все установленные для натуральных чисел законы арифметических действий.

Дробные числа в школьном курсе изучаются в два этапа: на первом рассматриваются понятие дроби, сложение и вычитание, а также умножение и деление на натуральное число; на втором— умножение и деление на дробь. На первом этапе определения действий над дробями мало отличаются от определений соответствующих действий над целыми числами; первое расширение понятия арифметического действия дается на примере умножения на дробь.

Как указывалось раньше, в начальных классах восьмилетней школы дети на конкретном материале знакомятся с простейшими дробями, имеющими знаменатель в пределах 10, с их записью, раздроблением и превращением; решают задачи на нахождение дроби числа и числа по одной его доли. В V классе изучается систематический курс дробей, включающий вопросы обоих этапов изучения.

Основные вопросы систематического курса дробей в средней школе:

1. Образование дробей.

2. Преобразования дробей.

3. Действия над дробями.

Хотя в курсе начальной школы дети получили представление о простейших дробях, необходимо эту тему в V классе начинать с углубления и закрепления понятия о дроби. При этом следует исходить из рассмотрения конкретных примеров величин, учитывая, что исторически дроби возникли в связи с потребностью измерять. В практике измерения простейшими задачами являются определение длины отрезка, площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Для этих измерений нужны сначала натуральные числа, потом дробные числа (а затем и иррациональные числа). Поэтому для иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей лучше всего пользоваться долями линейной единицы, квадратной единицы и кубической единицы.

Наглядные пособия при изучении дробей Линейный дециметр и его доли (рис. 17).

Рис. 17

Квадратный сантиметр и его прямоугольные доли (рис. 18).

Рис. 18

Кубический сантиметр и его доли (рис. 19, 20).

Рис. 19

Рис. 20

Составление прямоугольников из долей квадратной единицы

(рис. 21).

Рис. 21

В результате такой работы ученики отчетливо представляют себе дробь как совокупность равных долей единицы и сами составят соответствующее определение. Многие учебники сразу же рассматривают и способ получения дроби при делении целого числа на равные части, а именно: на примерах показывают, что при делении меньшего числа на большее получается в частном одна или несколько долей единицы, то есть, согласно ранее введенному определению, дробь. Рассуждения ведутся так. Чтобы разделить веревку длиной в 3 ж на 4 равные части, можно представить каждый метр веревки разделенным на 4 равные части, тогда веревка будет содержать 12 четвертей метра, разделив 12 четвертей метра на 4 равные части, получим в каждой - метра. Это рассуждение иллюстрируется рисунком 22.

Рис. 22

Рассматривается второй способ рассуждений: 4 мальчика разделили между собой поровну 3 яблока.

При этом можно каждое яблоко разделить на 4 равные части и каждому дать по одной четверти. Каждый ребенок получит - яблока.

В ряде учебников дается правило деления целого числа на несколько равных частей.

Основная мысль приведенных рассуждений о делении целого на равные части та, что доли единицы можно взять за новые счетные единицы и с полученными числами производить действия так же, как с целыми именованными числами. Но почему же начинать с деления? Деление определяется как действие, обратное умножению. Удовлетворяет ли рассмотренное деление этому определению? 3:4 = —; -4 будет ли равно 3? Все это требует обоснования. Без этого учащиеся не будут связывать этот случай деления с определением деления.

Практически на конкретных примерах можно показать получение дроби в результате деления двух целых чисел при образовании понятия дроби, но в дальнейшем после умножения дроби на целое число необходимо вернуться к этому вопросу, показать, что полученная дробь удовлетворяет определению действия деления, сформулировать вывод.

После того как введено понятие дроби, необходимо ввести понятия равенства и неравенства дробей. В теоретических курсах эти понятия вводятся путем определений. В школьном курсе необходимо предварительно показать целесообразность вводимых определений путем рассмотрения конкретных примеров.

Составляя дроби из долей одной и той же единицы, ученики убеждаются, что дроби могут быть меньше единицы, равны единице, больше единицы. Эти наблюдения следует положить в основу определений и классификации дробей на неправильные и правильные. Формальный же признак, указывающий на соотношение между числителем и знаменателем у правильных и неправильных дробей, следует установить как следствие определения. Обращение смешанного числа в равную ему неправильную дробь и исключение целого числа из неправильной дроби следует начать с рассмотрения конкретных примеров. При составлении отрезков из долей линейной единицы возникает во-

прос: сколько целых линейных единиц содержится в данном отрезке? При составлении прямоугольников из долей квадратной единицы возникает вопрос: сколько квадратных единиц можно составить из данного прямоугольника? Решение этих вопросов приводит к исключению целого числа из неправильной дроби.

Не следует спешить с выводом формального правила для этих преобразований, следует заставлять учащихся проводить соответствующие рассуждения, основанные на составе единицы из долей этой единицы. Например, при обращении смешанного числа 2 — в неправильную дробь ведутся следующие рассуждения: в единице 3 третьих доли, в двух единицах 3-2 третьих доли, всего (3-2 + 2). Отсюда

В методической литературе1 поднимался вопрос о включении в школьный курс обращения смешанного числа в неправильную дробь и обратного преобразования после изучения умножения дроби на целое число и деления дробей с одинаковыми знаменателями.

Но общепринятое расположение материала имеет то преимущество, что позволяет рассматривать действия над всеми видами дробей и смешанными числами одновременно. Кроме того, эти преобразования не нарушают системы изучения действий, они связаны с конкретными представлениями дробей и сводятся к действиям над целыми числами.

При рассмотрении различных долей единицы и дробей естественно поставить вопрос о сравнении их по величине. В основу этого сравнения также кладется сравнение величин, измеряемых данными дробями. В стабильном учебнике2 дается определение равных дробей: «Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой при одной и той же единице измерения». Это определение не следует заучивать, но на конкретных примерах следует подчеркнуть высказанное в нем положение. Для иллюстрации сравнительной величины долей единицы полезно дать задание ученикам на отрезке, равном линейной единице, от одного из его концов отложить отрезки, соответствующие долям единицы (рис. 23). Для вывода

Рис. 23

1 См. [188].

2 См. [182].

формальных признаков сравнения дробей можно рекомендовать проводить работу по следующему плану: 1) сравнение долей единицы; 2) сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями (не устанавливая, во сколько раз одна дробь больше другой); 3) основное свойство дроби.

Для сравнения чисел по величине можно использовать числовой луч. Необходимо познакомить пятиклассников с числовым лучом, на это указывает и программа восьмилетней школы. Учащиеся под руководством учителя строят в тетрадях луч, выбирают определенный отрезок за единицу длины и откладывают единицу длины на луче от его начала. На луче получают точки, против которых ставят числа, показывающие, сколько раз единица длины была отложена от начала луча до данной точки. Против начала отсчета ставится число 0. Затем откладываются доли единицы у , — и т. д. и против полученных точек записывают дроби1 (рис. 24).

Рис. 24

Ученики наблюдают, что одной и той же точке числовой оси может соответствовать несколько дробей, эти дроби равны, так как выражают длину одного и того же отрезка. Полученные наблюдения служат подготовкой к усвоению основного свойства дробей. Вывод основного свойства дробей следует построить на том положении, что дроби, измеряющие одну и ту же величину при одной и той же единице измерения, равны. Таким образом, основное свойство получится как следствие определения равенства дробей, что соответствует научному построению изучения дробей. Каждый ученик должен самостоятельно сделать в тетрадях следующий чертеж: взяв за единицу отрезок в 16 клеток, выделить отрезок в — единицы, показать, что полученный отрезок составляет --> — »— единицы. После этого предлагается выяснить, как получились знаменатель и числитель каждой из указанных дробей из знаменателя и числителя дроби — , и обрат-

1 См. [19].

но, как можно получить знаменатель и числитель дроби — из знаменателя и числителя полученных дробей (рис. 25).

Рис. 25

Для вывода основного свойства дроби в ряде учебников и методик предлагается предварительно изучить изменение величины дроби с увеличением (или уменьшением) числителя или знаменателя в несколько раз, причем устанавливается, во сколько раз увеличивается или уменьшается при этом дробь. Выводится правило увеличения и уменьшения дроби в несколько раз, то есть умножения и деления дроби на целое число. После этого рассматривается одновременно увеличение (или уменьшение) членов дробей в одно и то же число раз и устанавливается основное свойство дроби.

Рассмотрение увеличения или уменьшения дроби в несколько раз следует увязывать с прохождением умножения и деления дроби на целое число, так как эти задачи тождественны. Если же этот вопрос рассматривать до действий, то необходимо показать, что, увеличивая дробь в несколько раз, мы ее умножаем на целое число, уменьшая — делим на целое число, но тогда нарушится систематичность изложения. Очень часто эта связь не подчеркивается и пятиклассники не осознают тождественность задачи — увеличить дробь в несколько раз и умножить дробь на целое число — и не решаются применять правила увеличения и уменьшения дроби к умножению и делению дроби на целое число. Такое изучение увеличения и уменьшения дроби в несколько раз приносит вред учащимся, создавая путаницу в их умах.

После изучения основного свойства следует перейти к преобразованиям дробей: к сокращению дробей, затем к приведению дробей к общему знаменателю. Эти преобразования можно связать с сравнением дробей с разными числителями и знаменателями.

Для сознательного усвоения преобразования дробей применяются построения, выполняемые учащимися в тетрадях. Например, сокращение дроби — можно показать на чертеже следующим образом (рис. 26):

Рис. 26

При этом ведутся следующие рассуждения: возьмем отрезок, составляющий — линейной единицы, 8 восьмых долей единицы можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда число долей, на которые разделена единица, уменьшится в 2 раза (8:2 = 4), 6 восьмых долей той же единицы тоже можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда число долей в данном отрезке тоже уменьшится в 2 раза (6:2 = 3): отрезок, составленный из 6 восьмых линейной единицы, можно рассматривать составленным из 3 четвертей той же единицы.

§ 15. Действия над дробями

1. Сложение и вычитание дробей

Действия с дробями в V классе следует начать со сложения дробей с одинаковыми знаменателями и на конкретных примерах подчеркнуть, что сложение дробей состоит в подсчете одинаковых долей, содержащихся в данных дробях вместе, то есть определение сложения дробей мало отличается от определения сложения целых чисел.

Полезно подвести учащихся к формулировке правила сложения дробей, заменяющего определение, путем выполнения ими построений. Следует предложить учащимся построить отрезки, равные — единицы и — единицы, и отрезок, равный их сумме. Учащиеся в результате построений получают —H——=-— .

Аналогичное построение предлагает провести и стабильный учебник1.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями следует составить систему упражнений, охватывающую все возможные случаи сложения: 1) целого с дробью; 2) целого со смешанным числом; 3) двух правильных дробей: а) дающих в сумме правильную дробь, б) дающих в сумме целое число, в) дающих в сумме неправильную дробь; 4) смешанного числа с дробью, причем: а) сумма дробей — правильная дробь; б) сумма дробей — целое число; в) сумма дробей — неправильная дробь; 5а), 56), 5в)—те же случаи для суммы смешанных чисел. При сложении дробей с разными знаменателями в основу системы упражнений берутся различные случаи отыскания общего знаменателя. Следует вначале брать простые случаи отыскания общего знаменателя, которые не отвлекали бы от основной задачи— сложения дробей. На основании рассмотрения различных примеров ученики устанавливают справедливость законов сложения для дробных чисел, например:

Рассуждения, приведенные на частных примерах, имеют общий характер, а именно: сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению числителей, то есть целых чисел, так как для целых чисел справедливы законы сложения, следовательно, они справедливы и для дробных чисел.

1 См. [182].

Вычитание дробей определяется так же, как и для целых чисел, как действие, обратное сложению.

Некоторые авторы1 учебных руководств предлагают проходить вычитание параллельно со сложением. После каждого примера сложения составлять соответствующий пример на вычитание. Такой порядок имеет свои преимущества, при этом подчеркивается, что вычитание — действие, обратное сложению. Большинство же учебников сначала рассматривают сложение дробей, потом вычитание, после этого совместно сложение и вычитание, считая, что последний порядок изучения сосредоточивает внимание ученика на одной трудности.

При вычитании дробей система упражнений имеет еще большее значение, чем при сложении, так как при вычитании иногда приходится уменьшаемое преобразовывать, что затрудняет учащихся. Постепенно усложняя упражнения, можно подготовить учащихся к усвоению трудных случаев вычитания. Рассмотрим различные случаи, которые можно положить в основу системы упражнений на вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а именно: 1) из дроби вычесть дробь; 2) из смешанного числа— дробь, которая меньше дробной части смешанного числа; 3) из единицы — дробь; 4) из целого числа, большего единицы,— дробь; 5) из числа, равного единице с дробью, вычесть дробь, которая больше дроби в уменьшаемом; 6) из смешанного числа— смешанное, причем дробь вычитаемого меньше дроби уменьшаемого; 7) из целого — смешанное число; 8) из смешанного— смешанное число, дробь которого больше дроби в уменьшаемом.

Примерная запись при сложении и вычитании дробей:

Не следует спешить переходить к записи общего знаменателя под одной чертой; учащиеся часто не осознают, что производится замена данных дробей равными им дробями с общим знаменателем.

2. Умножение дроби на целое число

Следующим за сложением и вычитанием дробей изучается умножение дроби на целое число. Умножение дроби на целое число определяется так же, как умножение целых чисел.

При изучении умножения дроби на целое число2 необходимо установить с учащимися определение этого действия как сложе-

1 См. [137], [19].

2 Натуральное число, не равное единице.

ния равных слагаемых, из которых каждое равно множимому; показать тождественность умножения дроби на целое увеличению дроби в несколько раз; дать определение умножения дроби на 1; показать рациональный прием сокращения дроби, числитель которой представляет произведение (значение сокращения пятиклассники осознают при умножении дроби на целое); научить применять умножение дроби на целое к задачам; рассмотреть частные случаи умножения, например: умножение дроби на число, равное знаменателю; умножение смешанного числа на целое число. Приведенный перечень вопросов, возникающих при изучении умножения дроби на целое число, показывает, что каждый из них, кажущийся простым, требует тщательного изучения.

Примерный план урока на тему «Умножение дроби на целое число»

1) Устные упражнения на сложение и вычитание дробей.

2) Устные примеры на деление произведения на число:

(36.17):9= ; (28-18):7=

3) Сокращение дробей:

4) Повторение определения умножения на целое число:

5-3=5+5+5=15.

5) Определение умножения дроби на целое число:

6) Решение задач в одно действие на умножение дроби на целое число, например: «1 м3 сосновых дров весит — т. Найти вес 2 м3 этих дров (в тоннах), 7 мЪ.

7) Сформулировать правило умножения дроби на целое число: чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

8) Самостоятельная работа, а) Найти произведения:

б) Составить задачи, при решении которых требовалось бы умножить:

9) Домашнее задание.

Приведенные в этом плане устные упражнения на деление произведения на число и сокращение дробей готовят учащихся к обоснованию сокращения дробей, в числителе которых стоит произведение. Ученики вспоминают, как разделить произведение на число и при сокращении дробей ведут следующие рассуждения: чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на одно и то же число; в числителе стоит произведение; чтобы произведение разделить на число, достаточно один из множителей разделить на это число. Поэтому при сокращении дроби делим 10 и 25 на 5.

На следующем уроке следует предложить ученикам на нескольких примерах умножения дроби на целое число сравнить множимое и произведение по величине. Установить, что для дробей, как и для целых чисел, увеличить дробь в несколько раз — значит умножить ее на целое число. На основании рассмотрения примеров вида

делается вывод об изменении величины дроби с увеличением числителя или уменьшением знаменателя в данное число раз и дается частный прием умножения дроби на целое число, годный для случая, когда знаменатель дроби делится на данное число:

При изучении умножения смешанного числа на целое вначале рассматриваются два способа, например:

Последние рассуждения показывают справедливость распределительного закона умножения относительно суммы, когда одно из слагаемых дробь.

Рассматривается пример вида

и делается вывод, что при умножении смешанного числа на целое в большинстве случаев проще отдельно умножить целое и дробь на целое число.

3. Деление дроби на целое число

После умножения дроби на целое число следует перейти к делению целого числа и дроби на целое число, так как нахождение дроби числа, предшествующее умножению на дробь, требует деления на знаменатель. На это указывается в большей части методической литературы и в программах начиная с 1954/55 учебного года. Действие деления определяется как действие обратное умножению.

Рассмотрим пример: 4 : 5.

Сначала проводятся рассуждения, рассмотренные на стр. 226 и 227, то есть, чтобы разделить 4 на 5, представим мысленно каждую единицу разделенной на пять равных частей, тогда 4 единицы будут содержать 20 пятых частей, разделив 29 пятых частей на 5, получим —, что проверяется: — -5 = 4.

Мы нашли дробь, которая, будучи умноженной на 5, даст 4. Следовательно, деление произведено верно. Запишем:

Вывод. От деления целого числа на целое получается дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Обратно: всякую дробь можно считать за частное от деления ее числителя на знаменатель,

Например, — равно частному от деления 3 на 7, так как

Изучение деления дроби на целое число начинается с рассмотрения примера умножения дроби на целое число, для которого составляется обратная задача, например:

обратная задача:

Требуется найти такую дробь, которая, будучи умножена на 4, даст в произведении — . Такая дробь будет—. Запишем:

В результате рассмотрения ряда подобных примеров учащиеся приходят к выводу, что при делении дроби на целое число достаточно числитель разделить на целое число, оставив прежний знаменатель. После этого задается вопрос, как разделить дробь, если числитель данной дроби не делится на целое число. Рассматривается второй прием умножения: — • 3=у, отсюда у : 3=— . Получается второй способ деления. Применив его к предыдущему примеру, убеждаемся, что второй способ — общий, он годится для любых случаев деления дроби на целое число (не равное 0). Действительно,

Правило формулируется так: чтобы разделить дробь на целое число, достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оставив числитель прежним.

При делении дроби на целое число ученики встречаются с новым случаем сокращения дробей, поэтому полезно предварительно рассмотреть сокращение дроби вида —.

В связи с изучением деления дроби на целое ряд авторов1 учебников предлагают рассмотреть деление дробей с одинаковыми знаменателями. К этому случаю деления можно прийти из решения следующего примера на умножение:

Чтобы найти множитель, достаточно — : —=4. Получается деление по содержанию; 4 показывает, что~ содержится в — че.

тыре раза. Приходим к выводу, что при делении дробей с одинаковыми знаменателями достаточно числитель первой дроби разделить на числитель второй.

При изучении деления смешанного числа на целое тоже следует разобрать два способа выполнения действия: при первом способе смешанное число обращается в неправильную дробь и производится деление дроби на целое число, при втором — при-

1 См. [158].

меняется распределительный закон деления относительно суммы и делится отдельно целая и дробная часть смешанного числа (предварительно устанавливается справедливость и применяемого закона деления), например:

(в дальнейшем промежуточные записи опускаются);

В результате разбора решения нескольких примеров ученики отмечают те случаи, в которых рациональнее применять второй способ деления, особенно при устных вычислениях. На этом кончается первая часть изучения действий над дробями. Эта часть непосредственно примыкает к теме «целые числа», так как определения действий, рассмотренных в ней, мало отличаются от определений тех же действий с целыми числами.

4. Умножение на дробь

Вторая часть начинается с изучения действия умножения на дробь и представляет новый этап в изучении дробей. Смысл действия умножения на дробь резко отличается от умножения на целое число. Учащиеся привыкли до сих пор понимать под умножением сложение равных слагаемых, произведение считать больше множимого (смысл умножения на единицу им кажется мало отличающимся от обычного понимания умножения). Для умножения на дробь все эти представления не подходят. Поэтому определение умножения на дробь нелегко воспринимается учащимися. Им необходимо показать целесообразность введения нового определения умножения на дробь и конкретный смысл этого определения. В связи с этим в учебно-методической литературе предлагаются различные подходы к введению определения умножения на дробь или к выводу правила умножения на дробь, которое в большинстве случаев заменяет определение.

В XVIII в. и первой половине XIX в. существовал следующий подход к выводу правила умножения на дробь.

Рассуждения велись так: чтобы умножить 5 на —, умножим 5 сначала на 3, получим произведение 15, которое больше истинного, так как множитель увеличен в 4 раза; чтобы получить истинное произведение, надо полученное произведение 15 уменьшить в 4 раза, будем иметь 5 • -3 = ' —.

Такой подход неправилен с точки зрения логического построения курса математики, так как здесь свойства произведения целых чисел распространены на произведение с дробным множителем в то время, когда не установлено, что значит «умножить число на дробь» и можно ли распространять эти свойства на произведение дробных множителей. Кроме того, этот подход страдает формализмом: из этих рассуждений не следует, к каким задачам возможно применение действия умножения на дробь.

Существует еще и такой подход:

5—=—-5 (по переместительному закону умножения);

Отсюда выводится правило.

Ошибка этого рассуждения в том, что переместительный закон распространяется на действие, которое еще не определено и еще не доказано, что оно подчиняется переместительному закону. Рассуждение оказалось бы правильным, если бы было обусловлено, что произведение целого числа на дробь должно быть составлено так, чтобы порядок сомножителей не имел значения, то есть для действия умножения на дробь переместительный закон оставался бы справедливым1. Была попытка дать общее определение действия умножения, пригодное и для целого и для дробного множителя2. Это определение было дано в следующей формулировке: умножить одно число на другое — значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы. Смысл рассуждений при этом был следующий.

При умножении на целое число имеем: 5-3 = 5 + 5 + 5, множитель 3 = 1 + 1 + 1.

TT с 3 3 1,1,1 При умножении 5 на—, так как множитель—=—|---(--^ то есть единица разделена на 4 и полученное частное взято слагаемым 3 раза, должны получить:

Это определение было распространено в учебниках дореволюционной школы. Основной недостаток этого определения — формальный характер его образования. Из определения неясно, к каким конкретным задачам можно применить умножение на дробь. Нельзя подвести учеников к составлению этого определения из рассмотрения конкретных задач.

1 См. [131].

2 См. [159].

Вторым недостатком его является математическая неточность. Из определения неясен способ составления множителя из единицы; как целое, так и дробное число может быть составлено из единицы различными способами. Число — может быть составлено так:

Если при умножении 5 на — произведение из множимого составить так же, как — составлено из единицы, то получим

то есть совсем другой ответ, чем раньше. Кроме того, общее определение умножения затушевывает необходимость нового определения при умножении на дробь.

Основой приведенного определения умножения на дробь служит операторное толкование числа как характеристики действия, которое должно быть осуществлено над каким-либо объектом. Операторному толкованию числа при введении определения умножения на дробь уделялось внимание и в современной литературе1. Описан следующий опыт введения определения умножения на дробь: сначала устанавливалась связь между умножением на дробь и умножением на целое число при помощи общих слов, характеризующих это действие в обоих случаях (10-2 — взять 2 десятка, 10*--взять — десятка)2. Этим оправдывалось применение термина «умножение» к разным операциям над данными числами. Для выяснения смысла умножения на дробь было дано наглядное толкование производимым операциям при помощи операций над отрезками. В результате было дано определение умножения на дробь как нахождение дроби числа. Такой прием введения понятия умножения на дробь устранял все вышеуказанные недостатки.

В настоящее время в учебной методической литературе рекомендуется подводить учеников к определению умножения на дробь из решения задачи с конкретным содержанием; такой подход рекомендовал еще один из старых русских методистов В. А. Евтушевский. На конкретной задаче и в стабильном учеб-

1 См. [123].

2 См.: М. Ф. Щинова, По поводу статей об умножении и делении на дробь, «Математика в школе», 1950, № 6.

нике показывается целесообразность вводимого определения умножения на дробь.

Перед введением определения действия умножения на дробь рассматривается решение задачи на нахождение части числа. В программе и в стабильном учебнике эта задача носит название «нахождение дроби числа». Замена слова «части» словом «дроби» вызвана, очевидно, расширением рассматриваемой задачи: в стабильном учебнике рассматриваются и такие задачи, как: «Найти — числа — » (то есть требуется найти число долей от числа большее, чем во всем числе). Упражнения подбираются в такой системе, чтобы первые задачи и примеры помогли пятиклассникам повторить сведения, полученные в начальной школе, то есть числа должны быть подобраны так, чтобы само число и искомая доля числа были целым числом. Первая группа упражнений.

Пример. Найти

Решение.

Вторая группа упражнений: нахождение части от целого числа, когда искомая доля — дробь.

Пример. Найти

Решение.

В дальнейшем записи следует сокращать.

Пример. Найти

Третья группа упражнений: нахождение части от дроби.

Пример. Найти

Решение.

Следует подчеркнуть при разборе конкретных задач, что найти часть от дроби значит определить, какую часть от целого составляет часть от части этого целого.

Пример. — всей земли, принадлежащей колхозу, отведено под хлебные культуры; — земли, занятой хлебными культурами, засеяно рожью. Какая часть земли, принадлежащей колхозу, засеяна рожью?

Для решения этой задачи нужно найти

Рожью засеяно — всей земли.

Рис. 27

Рис. 28

Ученики должны в тетрадях сделать чертеж (рис. 27), заштриховать участок земли, отведенный под хлебные культуры, из участка, отведенного под хлебные культуры, выделить часть под рожь (рис. 28).

Формулировку «найти дробь числа» следует вводить не сразу, сначала пользоваться старой формулировкой «найти часть числа», конкретный смысл которой учащимся вполне ясен. К новой формулировке можно приучить постепенно, напоминая, что дробью называется одна или несколько равных частей единицы. Введение термина «дробь числа» облегчит формулировку задач, например «найти у от — », а также определение умножения на неправильную дробь.

Решению задачи нахождения дроби числа следует посвятить достаточное количество времени: это создаст прочную базу для изучения умножения на дробь. Часть трудных вопросов этой темы будет, таким образом, выделена и подготовлена, а именно: что значит найти дробь числа? Как найти? Какие могут быть случаи? Как записать формулу решения в виде дроби? При этом можно рассмотреть и сокращение дроби, когда числитель и знаменатель представляют произведение.

Перейдем к изложению той методики преподавания умножения на дробь, которая в настоящее время получила призна-

ние в педагогической практике и в учебно-методической литературе.

К новому определению умножения можно подвести учащихся путем решения геометрической задачи на вычисление площади прямоугольника.

Предварительно рассматривается вычисление площади прямоугольника, у которого длины сторон — дробные числа, путем подсчета долей квадратной единицы, из которых может быть составлен прямоугольник, площадь которого можно определить без знания умножения дробей (подробно этот вопрос изложен в IV части данной книги). Далее предлагаются задачи примерно такого содержания:

Вычислить площадь прямоугольника, у которого:

1) основание 10 см, высота 6 см;

2) основание 7— см, высота 4 см.

Площадь первого прямоугольника ученики находят, пользуясь правилом для вычисления площади прямоугольника. Для второго прямоугольника преподаватель предлагает проверить справедливость правила. Учащиеся из чертежа находят, что в одном ряду укладывается 7— кв. ед. и таких рядов получается 4. Следовательно, для вычисления площади достаточно 7— умножить на 4.

Затем предлагается начертить прямоугольник, основание которого 4 см, а высота 1 см; затушевать на этом чертеже прямоугольник, у которого основание 4 см, а высота — см, и вычислить его площадь. Учащиеся находят площадь затушеванного прямоугольника путем подсчета долей квадратной единицы. После этого преподаватель указывает, что для того, чтобы площадь прямоугольника вычислялась по одному правилу, условились и в этом случае решение записывать при помощи умножения длины основания на длину высоты, то есть 4-—.

Чтобы выяснить смысл умножения 4 на —, предлагается с помощью чертежа (рис. 29) ответить на вопросы: чему равна площадь всего прямоугольника? Какая часть прямоугольника затушевана? Какова площадь затушеванной части? Учащиеся устанавливают, что искомая площадь составляет всей площади прямоугольника, то есть y от 4 кв. см и равна 4:4=1 (кв. см). Следовательно, 4--—значит найти— от 4. После этого записывают 4.-^=4:4 = 1 [Кв. см).

Затем предлагается построить второй прямоугольник, основание которого 4 см, а высота 1 см (рис. 30), затушевать на этом чертеже прямоугольник с основанием 4 см и высотой — см. Применить правило для вычисления площади этого прямоугольника.

Рис. 29

Рис. 30

Учащиеся получают 4—. Чтобы выяснить, что это значит, устанавливают по чертежу, что искомая площадь составляет — от площади всего прямоугольника и равна (4:4)-3=3 (кв. см).

Следовательно, 4---значит найти — от 4.

Следует повторить эти рассуждения с прямоугольником, основание которого 2 дм и высота 1 дм, и установить, что значит 2 • — ; 2-—. Учащиеся должны самостоятельно выполнить чертежи в тетрадях.

Вообще, условились считать, что умножить число на дробь — значит найти эту дробь множимого. Умножить число на правильную дробь — значит найти часть числа, которая выражена этой дробью.

Можно показать целесообразность определения умножения на дробь на решении следующих арифметических задач.

«Автомобиль едет со сксростью 45 км/ч. 1) Какое расстояние он пройдет в 3 часа? 2) в 7 часов? 3) в — часа? 4) в — часа?» Записывается решение задач.

Ведутся такие рассуждения.

Условие всех задач одинаково. Дана скорость автомобиля и требуется узнать, какое расстояние автомобиль пройдет за некоторое число часов. Для нахождения расстояния в 1-й и 2-й задачах скорость умножали на время. Чтобы одинаковые по смыслу задачи решались одинаковыми действиями, условились и в 3-й и в 4-й задачах называть нахождение — от 45 и — от 45 умножением 45 на — и 45 на —, тогда решение 3-й и 4-й задач запишется так:

Умножить 45 на--значит найти — от 45, умножить 45 на — — значит найти — от 45.

После этого устанавливается то же определение умножения на дробь. Правило умножения целого числа на дробь выводится после решения ряда примеров на основании определения. Для вывода правила следует взять такие упражнения, в которых знаменатель дроби и целое не имеют общего множителя, например:

При умножении целого числа на смешанное число рассматриваются два способа умножения: первый — множитель обращается в неправильную дробь, и умножение производится на основании установленного определения, второй — применяется распределительный закон умножения. Предварительно устанавливаем справедливость распределительного закона и в том случае, когда в множителе одно из слагаемых — дробь. Путем наблюдения на частных примерах выясняется, что оба способа умножения на смешанное число дают одно и то же произведение. Обращается внимание учеников на то, что второй способ короче для тех случаев, когда ответ требуется получить в виде смешанного числа. Умножение дроби на дробь изучается на основании определения умножения на дробь.

Задача. Литр керосина весит — кг. Найти вес — л керосина.

Решение.

Ведутся такие рассуждения. Умножить — на дробь — значит найти — от —. Для этого сначала находим — от —, то есть делим — на 3, получим —. Потом, чтобы найти — от —, умножаем - на 2.

Это записывается так:

Короче можно написать:

Числитель полученной дроби получился от перемножения числителей данных дробей, а знаменатель — от перемножения их знаменателей. После рассмотрения ряда примеров выводится правило: чтобы умножить дробь на дробь, достаточно числитель первой дроби умножить на числитель второй и знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем произведения.

Необходимо показать пятиклассникам на частных примерах справедливость основных законов умножения для дробных чисел. Приведем несколько упражнений, убеждающих в справедливости сочетательного закона для дробных чисел.

Вычислить устно:

Разбираются два способа вычисления:

Результат получился одинаковый, следовательно,

При рассмотрении умножения смешанных чисел обычный прием путем обращения смешанных чисел в неправильные дроби не вызывает затруднения. Следует обратить внимание

на другой способ умножения смешанных чисел — умножение по частям, отдельно на целое число и на дробь. Этот способ удобен в некоторых случаях при устном счете. Например, при умножении 6— • 2— выгоднее считать так:

Необходимо обратить внимание на этот способ еще и потому, что часто при устном счете ученики неправильно им пользуются, умножая целое число на целое и дробь на дробь, и сумму полученных произведений считают за искомое произведение. Неправильность таких вычислений следует показать на решении конкретной задачи, лучше всего с геометрическим содержанием. Рассмотреть следующую задачу.

«Построить прямоугольник, основание и высота которого 2— ед. и 3— ед., и найти его площадь двумя способами:

1) вычисляя сразу всю площадь, 2) вычисляя по частям» (рис. 31).

Рис. 31

1-й способ.

2-й способ.

Учащиеся получают наглядное представление о втором способе умножения.

Полезно показать, что при вычислении вторым способом применяется распределительный закон умножения.

Следует подчеркнуть учащимся, что совпадение произведений, полученных 1-м и 2-м способами, показывает на справедливость распределительного закона и в том случае, когда оба сомножителя — смешанные числа.

Изучая умножение дробей, следует обратить внимание учеников еще на одну особенность, отличающую умножение на дробь от умножения на целое число.

При умножении на правильную дробь полученное произведение меньше множимого (или от умножения на правильную дробь данное число уменьшается). Следует требовать обоснование этого вывода рассуждением и иллюстрировать примерами.

Рассмотрим систему примеров умножения на неправильную дробь.

Вывод. При умножении на неправильную дробь, не равную единице, произведение больше множимого.

После этого следует предложить пятиклассникам сделать общий вывод относительно того, в каком случае произведение получается больше множимого, в каком случае меньше множимого, в каком случае оно равно множимому. Предлагаются учащимся, например, следующие контрольные вопросы: На какое число нужно умножить число 5, чтобы произведение получилось больше 5? равно 5? меньше 5? Приведите примеры.

5. Деление на дробь

Делению на дробь следует предпослать решение задачи на нахождение числа по данной величине его дроби. На это указывает и программа восьмилетней школы. В начальной школе дети решали задачи на нахождение числа по одной его доле. В V классе тоже следует начать с решения задач данного вида, сопровождая решение графической иллюстрацией.

Пример. длины веревки составляет 4 дм. Найти длину всей веревки. 4 дм-Ь=20 дм (рис. 32).

Рис. 32

Ученики выполняют чертеж в тетрадях. Учитель предлагает за 1 дм принять длину одной клетки в тетради.

Вторая группа упражнений. «Найти число, — которого равны 20» (рис. 33). Обозначим неизвестное число буквой х, тогда условие задачи запишется: — от х равны 20, короче говоря, — х=20.

Решение.

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж в тетрадях.

Рис. 33

После ряда упражнений следует объяснить происхождение записи — X. Так как часть числа находится умножением, то можно записать л>— или, пользуясь переместительным законом, — х> короче, — X.

Третий вид упражнений:

Как и при нахождении дроби числа, при нахождении числа по данной величине его дроби необходимо рассмотреть все случаи.

Определение деления числа на дробь остается то же, что и при делении целых чисел. Эту мысль необходимо подчеркнуть. Следует начать с повторения решения примера вида х-7=21, затем перейти к рассмотрению примера умножения на дробь и образовать две обратные задачи, например: 27-—=12.

Составим обратную задачу, взяв за искомое число множитель. Эта задача решается делением целого числа на целое, которое рассмотрено раньше.

Составим вторую обратную задачу, взяв за искомое множимое.

Запишем:

Эта задача и для дробных чисел решается действием деления.

Так как л:- — =12, или — х=12, то, чтобы найти х, мы находим число, — которого равны 12, отсюда х=(12:4)-9=27.

При помощи такого рода рассуждений, основой которых служит определение, учащиеся приходят к выводу, что при делении на дробь отыскивается число по данной величине его дроби.

Первые примеры деления на дробь решаются с подробной записью, например:

Дальше рассуждения проводятся устно, решение записывается так:

После решения нескольких примеров формулируется правило деления целого числа на дробь.

Аналогично выводится правило деления дроби на дробь.

Неправильно строить изучение деления на дробь, взяв за определение, что разделить какое-нибудь число на дробь — значит найти число по данной величине его дроби. Это противоречит научному построению изучения действий над числами, при котором вычитание и деление любых чисел определяются как действия, обратные сложению и умножению.

Полезно напомнить ученикам, что так как умножение обладает переместительным законом, то для отвлеченных чисел деление на дробь имеет одинаковый смысл независимо от того, какой из двух сомножителей — множимое или множитель — является данным и какой искомым.

Но при решении конкретных задач в том случае, когда искомым является множитель (деление по содержанию), деление на дробь имеет другой смысл по сравнению с тем случаем, когда искомым является множимое. Рассмотрим для примера задачу.

«Из 6 м проволоки нужно сделать прутики для классных счетов, длиною каждый по-^ м. Сколько выйдет таких прутиков?»

Для решения этой задачи 6 м\— м, в этом случае частное показывает, сколько раз— м содержится в ом или во сколько раз 6 м больше— м.

Для отыскания частного можно провести следующие рассуждения: о м, — м содержится в — м 8 раз.

Но можно рассуждать и так: 6:-^-=*; — -х=6. Но по переместительному закону умножения — х=х—.

Следовательно, и в этом случае мы можем деление выполнять по тому же правилу, что и при нахождении всего числа по данной его части.

Рассмотрим вторую задачу.

«Площадь одного участка — га, другого — га. Какую часть площадь второго участка составляет от площади первого?»

В этой задаче требуется найти дробь, при умножении на которую — га получим — га. Для этого — га: — га. Обозначим частное через х, получим ^'х==~^- Но по переместительному закону умножения получаем х—=—. Следовательно, и в этом случае мы можем применить выведенное правило деления на дробь.

Приходим к выводу. При делении на дробь решаются задачи двух родов: 1) когда по дроби какого-нибудь числа ищется это число и 2) когда узнаем, сколько раз одно число содержится в другом или какую дробь одно число составляет от другого. Выведенное правило деления на дробь распространяется и на случай деления по содержанию. Таким же образом следует показать, что и при делении на целое число по содержанию можно пользоваться ранее выведенным правилом. Необходимо обратить внимание пятиклассников на то, что при делении на правильную дробь в частном получается число, большее делимого.

Так же как при умножении, рассматриваются на частных примерах возможные случаи соотношения между частным и делимым, устанавливается, при каком делителе частное больше делимого, при каком — частное равно делимому, при каком — частное меньше делимого.

Не следует забывать важного значения упражнений в придумывании учащимися различных простых задач, которые решались бы умножением на дробь и делением на дробь. Правильное выполнение этого задания служит критерием того, что в сознании ученика образовалось новое понятие о действии.

Например, составить задачу, решение которой записывается так:

После того как учащиеся основательно поняли и усвоили смысл деления на дробь, можно дать понятие о числе, обратном данному, и познакомить их с общим правилом деления, пригодным для всех случаев. По этому правилу деление на дробь заменяется умножением на число, обратное делителю, что дает возможность распространять некоторые свойства произведения на частное. Это правило является новым обобщением, полученным благодаря введению дробных чисел.

Необходимо обратить внимание учеников на рациональные приемы вычислений с дробями в тех случаях, когда приходится выполнять последовательно несколько умножений и делений; сначала следует обозначить действия, затем произвести возможные сокращения и только после этого выполнить вычисления, например:

ГЛАВА V

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. ПРОЦЕНТЫ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

§ 16. Общие вопросы

При изучении десятичных дробей после обыкновенных в основу изучения первых должна быть положена теория обыкновенных дробей. Упрощения в технике производства действий над десятичными дробями, связанные с особенностью знаменателей этих дробей, устанавливаются путем применения к десятичным дробям нумерации и правил выполнения действий над целыми числами. Рассмотрим определения десятичных дробей. При указанном расположении темы «Десятичные дроби» в учебной и методической литературе применяются два вида определений десятичной дроби. Первое определение: «Десятичной дробью называется дробь, у которой знаменатель— число, изображенное единицей с последующими нулями». Во втором определении еще добавляется условие особой записи, например: «но записанная при помощи десятичных знаков». В учебной литературе первое определение встречается чаще. Учащимся следует давать первое определение, так как добавление условия особой записи дроби, чтобы она была десятичной, делает классификацию дробей нечеткой, отвлекает ученика от мысли, что десятичные дроби есть частный вид обыкновенных дробей.

Чтобы подготовить учеников к изучению десятичных дробей, следует включить в упражнения над обыкновенными дробями упражнения с дробями, выраженными в десятичных долях, например: обратить в неправильную дробь 3—, сложить дроби:--\~ 8--f- + 2—. При решении этих примеров учащиеся наблюдают упрощения, связанные с особым видом знаменателей дробей.

Приступая к изучению десятичных дробей, следует еще раз на примерах напомнить, что вычисления с десятичными дробями гораздо проще, чем с другими; подчеркнуть, что десятичные доли наиболее употребительны в жизненной практике; вспомнить, что 1 дм=— му 1 см=— ж, копейка — сотая часть рубля и т. д.; установить задачи, которые можно решать при изучении этой темы.

При изучении десятичных дробей возникает задача выработать правила, дающие возможность упростить и запись и вычисления с дробями. Можно рекомендовать следующий план изучения этой темы: 1) определение десятичной дроби, 2) запись и чтение десятичных дробей, 3) преобразования десятичных дробей, 4) сравнение десятичных дробей, 5) действия над десятичными дробями, 6) обращение обыкновенных дробей в десятичные.

§ 17. Запись и чтение десятичных дробей

Начиная знакомство с десятичными дробями, необходимо установить, что: 1) каждая десятичная доля в 10 раз больше следующей более мелкой доли; 2) каждую десятичную дробь можно представить в виде суммы дробей, знаменатели которых 10, 100, 1000 и т. д., а числители — однозначные числа, и обратно: каждую сумму десятичных дробей упомянутого вида можно заменить дробью, числитель которой многозначное число, записанное теми цифрами, которыми записаны числители этих дробей, а знаменатель — наибольший из знаменателей данных дробей; 3) для записи десятичных дробей можно использовать поместное значение цифр, если продолжить их запись вправо после цифры, обозначающей число единиц первого разряда, отделив цифру единиц от последующих цифр особым знаком.

Для изучения этих положений следует составить систему соответствующих упражнений, например:

1. Написать единицы различных разрядов, начиная с единиц первого разряда третьего класса и кончая единицей второго разряда первого класса; сравнить каждую следующую единицу с предыдущей. Записать десятичные доли, начиная с — и кончая -î-; сравнить каждую следующую единицу с предыдущей.

Что общего в этих двух рядах чисел?

2. Сложить следующие числа:

Прочитать все полученные суммы справа налево: сначала сумму, затем те слагаемые, из которых она составлена.

3. Записать дробь- в виде суммы дробей, знаменатели которых 10, 100 и т. д., а числители — однозначные числа.

Следует рассмотреть с учащимися таблицу 14 и предложить им начертить подобную таблицу в тетрадях.

4. Прочитать числа, написанные в таблице. Как будет изменяться число, изображаемое цифрой, если ее передвигать по этой таблице от какой-нибудь графы влево? вправо?

Таблица 14

5. Записать с помощью таблицы в тетрадях числа:

6. Отложить на счетах числа.

Затем преподаватель объясняет: «Для того чтобы не чертить таблицы каждый раз, когда нужно записать десятичную дробь без знаменателя, после целых единиц ставят запятую; тогда цифры вправо от запятой на первом месте означают десятые доли, на втором — сотые доли и т. д.». После этого предлагает ученикам прочесть ряд десятичных дробей, записанных без знаменателя, и записать ряд дробей, не употребляя черты и таблицы.

В число упражнений полезно включить запись дробей —; —; —; — в виде десятичных, на это указывает и программа восьмилетней школы. Эти упражнения подчеркивают связь между обыкновенными и десятичными дробями.

§ 18. Преобразования и сравнение по величине десятичных дробей

При изучении третьего пункта плана — преобразования дробей, можно использовать такие упражнения:

1. Сравнить следующие числа:

а) 0,3; 0,30; 0,300; б) 1,4; 1,40; 1,400; в) 0,23; 0,230; 0,2300.

2. Выразить в тысячных долях дроби: 0,7; 0,08; 7,8; 4.

3. Привести к общему знаменателю дроби: 0,25; 0,9; 0,781.

4. Сократить дроби, сохранив их десятичными: 1,8500; 100,400.

В результате подобного рода упражнений ученики вспоминают основное свойство дроби и устанавливают следующее.

Чтобы в результате преобразования десятичная дробь оставалась десятичной, можно числитель и знаменатель десятичной дроби умножать или делить только на 10, 100 и т. д., поэтому механизм приведения десятичных дробей к общему знаменателю состоит в приписывании нулей справа к записи десятичной дроби без знаменателя, а сокращение — в вычеркивании нулей в конце записи десятичной дроби. Таким образом, преобразование десятичных дробей гораздо проще, чем обыкновенных дробей.

Правила сравнения дробей учащиеся могут установить в результате упражнений следующего вида: 1) сравнить по величине числа 4,3 рубля и 3,56 рубля, длины отрезков в 2,35 дм и 2,5 дм, сделав соответствующий чертеж в тетради, 2) расположить по величине числа в порядке возрастания: 2,003; 0,7; 0,56; 2,05; 1,327; 1,8; 1,46; 2,1.

§ 19. Действия над десятичными дробями

Основное положение, что все правила действий, выведенные для обыкновенных дробей, справедливы и для десятичных дробей, ученик должен твердо помнить.

1. Сложение и вычитание десятичных дробей При изучении сложения и вычитания десятичных дробей сначала рассматривается общий прием выполнения этих действий над дробями путем приведения их к общему знаменателю, уравниванием числа десятичных знаков после запятой. Затем отсюда выводится упрощенное правило сложения десятичных дробей: при сложении десятичных дробей достаточно подписать их так, чтобы одинаковые доли находились друг под другом в

одном столбце, и складывать их по разрядам. Можно дать еще и такое обоснование правила: так как десятичные дроби можно представить как суммы дробей с знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., то, группируя слагаемые, содержащие одинаковые доли, и находя их суммы, можно складывать данные дроби, как целые числа, по разрядам. Подобное же правило выводится для вычитания десятичных дробей.

Каждое действие следует рассмотреть отдельно, составив соответствующие системы упражнений, дающие возможность отработать все частные случаи, например, при вычитании:

1) число десятичных знаков у уменьшаемого и вычитаемого одинаковое;

2) у вычитаемого десятичных знаков меньше, чем у уменьшаемого;

3) у вычитаемого десятичных знаков больше, чем у уменьшаемого;

4) из целого числа вычесть десятичную дробь.

Затем уже можно решать комбинированные примеры. При сложении и вычитании десятичных дробей программа рекомендует применять счеты.

2. Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей начинают с рассмотрения умножения десятичной дроби на целое число, причем сначала рассматривают общий прием умножения дроби на целое, затем уже вводят упрощения, например:

При выводе частного приема полезно провести также и рассуждения, основанные на применении распределительного закона умножения относительно суммы во множимом, следующим образом: 2,37 можно рассматривать как сумму 2 единиц, 3 десятых, 7 сотых, а чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить, то есть 2 единицы умножить на 9; 3 десятых умножить на 9; 7 сотых умножить на 9 и произведения сложить.

Отдельно следует рассмотреть умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. В этом случае можно разделить знаменатель на 10, 100, 1000 и т. д., числитель же оставить прежний, например:

0,056-10 = 0,56; 0,056-100 = 5,6; 0,056-1000 = 56.

Уменьшение знаменателя в 10, 100 и т. д. раз в записи десятичной дроби выражается перемещением запятой вправо. После этого выводится правило умножения десятичной дроби на целую степень десяти. Полезно разобрать с учащимися во-

прос, как изменяется значение цифр при переносе запятой вправо в записи десятичной дроби. В стабильном учебнике увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз и т. д. рассматривается до действий. Для десятичных дробей это возможно, так как все действия над ними определены. Но следует сразу же показать, что увеличение дроби в 10 раз, в 100 раз и т. д. означает умножение этой дроби на 10, на 100 и т. д., а также подчеркнуть эквивалентность деления и уменьшения дроби в 10, в 100 раз и т. д. При рассмотрении умножения дроби на целое число следует остановиться на умножении десятичной дроби на целое число, которое оканчивается одним или несколькими нулями. В этом случае решение подробно можно записать так: 1,237-400= 1,237-(4-100)=(1,237-100)4 или (1,237-4). 100.

Чтобы вывести правило умножения десятичных дробей, следует вспомнить определение умножения на дробь, общее правило умножения обыкновенных дробей и применить это правило, записав десятичные дроби в виде обыкновенных, например:

Отсюда можно установить упрощения в технике умножения при записи десятичных дробей без знаменателя, вспомнив, что в десятичной дроби столько десятичных знаков, сколько нулей в знаменателе после единицы.

Выше приведены устные упражнения, подводящие к выводу правила умножения десятичных дробей1.

Правило можно дать в такой формулировке: чтобы умножить десятичную дробь на десятичную, достаточно перемножить их числители и в полученном произведении отделить запятой столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе. В стабильном учебнике слова «перемножить их числители» заменены следующими словами «не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа». Эта замена доступна ученикам, так как они из предварительных упражнений знают, как прочитать числитель десятичной дроби; для этого достаточно прочитать целое число, которое получится, если в записи десятичной дроби не обращать внимания на запятую.

В большей части учебников, в том числе и в стабильном, вывод правила умножения десятичных дробей основан на свойстве изменения произведения с изменением сомножителей. Этот вывод не имеет связи с общим правилом умножения обыкновенных дробей и нелегко воспринимается учащимися благодаря своей искусственности.

1 См. § 8, стр. 190.

В систему примеров на умножение десятичных дробей должны быть включены примеры на умножение целого числа на дробь, среди них и примеры вида 400-0,238, решение которых подробно может быть записано так: 400*0,238= (4« 100)• 0,238 = = 4.(100.0,238).

3. Деление десятичных дробей

При изучении деления десятичной дроби на целое число особо следует выделить деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. В этом случае можно умножить знаменатель десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д., а числитель оставить без изменения. Увеличение знаменателя в 10, 100 раз и т. д. производится перемещением в записи десятичной дроби запятой влево.

Рассмотрение деления десятичной дроби на целое число следует начать с повторения определения действия деления и приемов деления дроби на целое число на примерах с обыкновенными дробями. Далее ученики решают примеры вида 0,35 : 7; 4,8 : 8; 22,5 : 15 и убеждаются, что при делении на целое число, не равное 10, 100 и т. д., в частном можно получить десятичную дробь тогда, когда числитель делится на целое число, а в некоторых случаях, чтобы числитель разделился на целое число, необходимо раздробить данную дробь в более мелкие десятичные доли, например:

0,6:4 = 0,60:4 = 0,15.

При решении более сложных примеров вида 81,42:69 ставится вопрос перед учащимися, нельзя ли применить правило деления целых чисел. Вспоминается распределительный закон деления. Полезно вспомнить также деление смешанного числа на целое следующего вида:

подчеркнуть применение распределительного закона при делении, на примере рассмотреть деление целого числа на целое. После этого ученики самостоятельно сформулируют правило деления десятичной дроби на целое число: деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как деление целых чисел, причем получающиеся остатки обращаются в десятичные доли, более и более мелкие.

Сначала рассматривается деление в случае конечной десятичной дроби в частном. В число упражнений следует включить деление целого числа на целое, когда в частном получается дробь.

Методика изучения вопроса об отыскании приближенного значения частного при делении целого числа или десятичной дроби на целое число будет рассмотрена позднее.

При изучении деления на десятичную дробь тоже следует начать с повторения общего правила деления на дробь. Проводятся следующие рассуждения: пусть надо разделить 51 на 0,17. Применим правило деления на обыкновенную дробь.

то есть, чтобы число разделить на дробь, достаточно умножить это число на знаменатель дроби и полученное произведение разделить на числитель. Применим эти рассуждения при делении десятичной дроби на дробь. Пусть требуется разделить 8,51 на 3,7. Получим:

8,51:3,7=8,51 :^=(8,51 -10) : 37=85,1:37=2,3.

К такому же результату придем, если применим общее правило деления дроби на дробь:

В дальнейшем промежуточные звенья записи пропускаются, остается запись: 8,51 : 3,7 = 85,1 : 37 = 2,3.

Отсюда получаются следующие упрощения при делении десятичных дробей: чтобы разделить число на десятичную дробь, достаточно запятую в делимом перенести вправо на столько цифр, сколько десятичных знаков в делителе, и полученное число разделить на числитель делителя. Таким образом деление числа на десятичную дробь сводится к делению на целое число. Можно получить с учащимися правило деления на десятичную дробь, аналогичное с правилом в учебнике, для этого провести следующую беседу. Сравните полученный делитель 37 с первоначальным. Как изменилась величина делителя? (Увеличилась в 10 раз.) А как изменилась величина делимого в этом случае? (Увеличилась в 10 раз.) После этого получают правило: чтобы разделить число на десятичную дробь, достаточно делитель сделать целым числом, при этом делимое увеличить во столько раз, во сколько увеличился делитель, и выполнить деление на целое число.

В стабильном учебнике и в большинстве других учебников за основу вывода правила берется свойство частного, состоящее в том, что величина частного не изменится при увеличении делимого и делителя в одно и то же число раз.

Первый способ рассуждений имеет то преимущество, что подчеркивает связь десятичных дробей с обыкновенными, не вводит новой теории для десятичных дробей.

1 Такой вывод правила дается в методике арифметики Шохор-Троцкого.

§ 20. Обращение обыкновенных дробей в десятичные дроби

Целесообразность постановки вопроса об обращении обыкновенной дроби в десятичную следует показать путем решения задач, в которых данные выражены и в обыкновенных дробях, и в десятичных, например: «Рельс длиной в 8— м разрезан на 4 части. Длина первой части 2,52 м, длина второй части составляет — первой, длина третьей части на-i- м больше второй. Найти размеры каждой части».

При решении подобного рода задачи ученики приходят к выводу о необходимости или записать десятичную дробь в виде обыкновенной, или обратить обыкновенную дробь в десятичную, но так как вычисление с десятичными дробями в данной задаче проще, то следует сделать последнее преобразование.

С простейшими примерами обращения обыкновенной дроби в десятичную пятиклассники встречались раньше, в начале темы «Десятичные дроби». При этом они пользовались следующим рассуждением: в единице десять десятых долей, а в половине пять десятых, отсюда — =0,5.

Рассматриваются два способа обращения обыкновенной дроби в десятичную: 1) посредством раздробления долей, входящих в данную дробь, в десятичные доли путем умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же число; 2) посредством деления числителя данной дроби на ее знаменатель.

Целесообразнее начинать так, как это сделано в стабильном учебнике, с первого способа. Его учащиеся уже применяли при приведении обыкновенных дробей к общему знаменателю. Здесь приходится только внести добавления в связи с особенностями поставленной задачи: требуется определить те десятичные доли, в которые можно раздробить данную дробь. Кроме того, этот способ помогает установить признак возможности обращения обыкновенной дроби в конечную десятичную.

Второй же способ удобен для отыскания приближенного выражения обыкновенной дроби при помощи десятичной. При изучении первого способа обращения обыкновенной дроби в десятичную необходимо на частных примерах напомнить ученикам состав простых множителей разложения чисел, записанных единицей с последующими нулями. Устанавливается, что для того, чтобы заменить данную дробь дробью, знаменатель которой равен одному из чисел 10, 100, 1000 и т. д., знаменатель данной дроби должен иметь тот же состав простых множителей, что и указанные числа, в связи с этим необходимо

повторить основное свойство дроби. Наиболее часто встречающаяся у школьников ошибка при этом преобразовании состоит в том, что, записывая дополнительные множители к знаменателю, представляющему тоже произведение простых множителей, ученики теряют их и затрудняются приписать дополнительный множитель к числителю данной дроби.

В результате рассмотрения первого способа устанавливаются на частных примерах два положения:

1) Если знаменатель обыкновенной дроби, будучи разложен на простые множители, не содержит других множителей, кроме 2 и 5, то такая дробь обращается в десятичную.

2) Если знаменатель несократимой дроби содержит в себе хотя бы один простой множитель, отличающийся от 2 и 5, то такая дробь не обращается в десятичную.

Предварительно следует рассмотреть следующие примеры сократимых дробей: —=— = 0,4; — =-=0,375.

После этого полезно сформулировать признак обращения обыкновенной дроби в десятичную.

Несократимая обыкновенная дробь обращается в десятичную тогда и только тогда, когда знаменатель этой дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5.

При рассмотрении второго способа обращения обыкновенной дроби в десятичную учащиеся знакомятся с новым понятием — бесконечная периодическая десятичная дробь, которое вызывает у них затруднение, так как раньше они получили представление о десятичной дроби с конечным числом десятичных знаков.

Например, при обращении — в десятичную дробь учащиеся убеждаются, что процесс деления бесконечен, что можно получать зсе новые и новые десятичные знаки: ~=0,4545...

После этого можно сообщить, что условились называть полученный результат «бесконечной десятичной дробью». Понятия «бесконечная дробь» и «конечная» различны: бесконечная дробь не имеет ни числителя, ни знаменателя, но можно указать число десятичных долей любого разряда. Ученики часто не пишут многоточия, то есть в данном случае они приравнивают — дроби 0,45 или 0,4545. Хотя они уже знакомы с приближенным значением частного, все же следует рассмотреть разность

и т. д. и показать, что

Ученики на основании признака обращения обыкновенной дроби в десятичную знают, что не обращается в конечную десятичную дробь, поэтому они легче воспринимают невозможность получения конечной десятичной дроби в некоторых случаях при делении, когда изучается обращение обыкновенной дроби в десятичную, чем тогда, когда они проходят деление десятичных дробей.

Совершенно правильно, что в большинстве учебников введено понятие о бесконечной периодической дроби при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

На рассмотрении частных примеров показывается, что бесконечные десятичные дроби, получающиеся при обращении обыкновенных дробей, должны быть периодическими, так как остатки при делении числителя на знаменатель, будучи меньше делителя, должны повторяться, а следовательно, должны повторяться и цифры частного в прежнем порядке.

Полезно показать пример непериодической бесконечной дроби, закон составления которой ясен. Например: 0,232232223... Полезно также рассмотреть примеры периодических дробей с периодом, содержащим больше трех цифр. Например: —; — и т. д.

Рассмотренными вопросами и ограничивается содержание пункта программы «Периодические дроби».

Бесконечные десятичные периодические дроби не имеют практического применения, поэтому обратная задача обращения их в обыкновенные дроби не рассматривается; к тому же она не может получить в курсе арифметики V класса достаточного обоснования. Рассмотрение этих дробей имеет теоретическое значение главным образом для подготовки учащихся к восприятию понятия об иррациональном числе.

При решении примеров и задач на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями следует обратить внимание учащихся на рациональные приемы вычислений. Например, не обязательно производить все вычисления, приводя дроби к одному виду. Можно часть примера решить в обыкновенных дробях, часть в десятичных, можно в отдельных случаях вычисление выполнить устно, например:

Действия, указанные в записи первой дроби, выполняются в обыкновенных дробях, второй дроби — в десятичных.

§ 21. Проценты в школьном курсе

Процент есть частный случай десятичной дроби, это дробь — . Поэтому на проценты распространяется теория десятичных дробей. Проценты получили особое значение сначала при коммерческих расчетах, например при вычислении прибыли и убытка с капитала или капитала по принесенной им прибыли. В дальнейшем область применения процентов расширилась. Проценты стали применяться и в науке (физике, технике, химии, медицине и др.). и в жизненной практике.

Основной вопрос темы «Проценты» — это приложение теории дробей к решению задач, никакие новые теоретические вопросы в эту тему не входят. Благодаря различному их применению проценты занимали неодинаковое положение в программах и учебниках школ; давались различные определения процента и в связи с этим разные способы решения задачи на проценты. В дореволюционных учебниках понятие процента связывалось с коммерческими расчетами, например: «Если кто-нибудь занимает деньги, то он платит за это лицу, которое дало эти деньги, определенное количество рублей с 100; эта плата и показывает количество или таксу процентов (pro centum — на сто)»1. Дальше: «Заметим, что слово «процент» употребляется не только при денежных расчетах, но и вообще для выражения прибыли или убыли на каждую сотню каких-нибудь предметов». «Из предыдущего следует, что один процент с какого-нибудь числа есть сотая часть числа». В связи с определением процента как прибыли или убыли со ста применялось тройное правило при решении задач на проценты, то есть эти задачи решались при помощи пропорций или приведения к единице. В том же учебнике даны три способа решения следующей задачи на проценты.

«Сколько следует получить в год процентных денег с 2750 руб., считая по 5%?

1) Искомая прибыль = — от 2750 руб. = 2750 • 0,05 = 137 руб. 50 коп.

2) Решение с помощью пропорций:

1 См. [159].

3) Приведением к единице:

После Октябрьской революции ввиду расширения области применения процентов задачи на проценты начали рассматривать в учебной литературе как соответствующие задачи на дроби. Тема «Проценты» больше 20 лет назад была поставлена в программе по арифметике сразу после темы «Десятичные дроби», а не в конце курса арифметики, как это было раньше.

В 1938 г. проф. Хинчиным был переработан учебник арифметики А. П. Киселева (до 1956 г. он был стабильным). В этом учебнике задачи на нахождение процента от числа и числа по данным его процентам помещены в параграфы, посвященные нахождению дроби от числа и неизвестного числа по данной величине его дроби, и решаются так же, как соответственные задачи на дроби. Задачи же на нахождение процентного отношения помещены сразу после рассмотрения вопроса об отношении двух чисел.

Современная программа восьмилетней школы предлагает изучение процентов разбить на два этапа: первый этап — проценты, исключая процентное отношение, рассмотреть в курсе V класса в теме «Десятичные дроби», второй этап — изучение процентов в виде специальной темы провести в курс VI класса.

Остановимся на определении процента. В большинстве учебной литературы рассматривается понятие процент от числа и процент определяется как сотая часть этого числа; в стабильном учебнике сказано: «Сотая часть какого-нибудь числа называется процентом этого числа». Но имеется и такое определение: процент — сотая часть1 или процент — дробь 1/1002 (без добавления «числа»). Последнее определение встречается в теоретических курсах арифметики. Добавление слова «числа» в первом определении подчеркивает, что проценты применяются только при решении задач; отвлеченные числа не принято выражать в процентах. Второе определение имеет то преимущество, что отождествляет понятие процента и дроби с знаменателем 100 и этим облегчает понимание учащимися вопросов,

1 См. [138], [223].

2 См.: А. Н. Глаголев, Курс теоретической арифметики, 1914.

связанных с процентами. Введя второе определение, можно указать, в каких случаях целесообразно применять проценты.

Первоначальное понятие о проценте и решение задач на проценты дается в курсе V класса. Приступая к изучению процентов, следует объяснить учащимся практическое значение дробей с знаменателем 100 и задачи, стоящие при изучении этого вопроса. В VI классе полезно начать с задачи, для решения которой требуется сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, общий числитель и общий знаменатель которых большое число, например: «Пионерская дружина провела с 3 пятыми классами субботник по озеленению школьного участка, причем каждый ученик должен был посадить 1 дерево. В Vi классе 42 ученика, они посадили 35 деревьев; в V2 классе 40 человек, они посадили 34 дерева, в V3 — 37 учащихся, они посадили 33 дерева. Какой из пятых классов лучше выполнил задание?»

Учащиеся, изучая отношения, узнали, что для того чтобы решить этот вопрос, достаточно найти, какую часть составляет число посаженных каждым классом деревьев от числа деревьев, равного числу учеников этого класса, и сравнить полученные дроби, то есть —, — и — Чтобы сравнить эти дроби, достаточно привести их к общему знаменателю или общему числителю, но эти преобразования требуют сложных вычислений. Преподаватель дает указание, что в этих случаях для сравнения дробей проще всего найти их приближенные значения в каких-нибудь десятичных долях:

35:42 = 0,857...,

34:40=3,4:4 = 0,85,

33:37 = 0,891 ...

Число десятых долей получается одинаковое. Для сравнения проще всего дроби выразить в сотых долях:

V3 класс лучше всех выполнил задание пионерской дружины.

Вообще в ряде задач, где требуется сравнить дроби, находят их приближенные выражения в сотых долях. Сотые доли получают особое значение. Напоминается, что наиболее употребительные доли единицы получили особые названия: одну вторую называют половиной, одну третью долю — третью, одну четвертую — четвертью. Поэтому и сотая доля получила особое название «процент» и особое обозначение %. Полезно рассказать о происхождении слова «процент». Следует сказать, что

в некоторых вопросах дроби выражают не в сотых, а в тысячных долях. Тысячные доли в этих случаях тоже получили особое название «промилле» и обозначаются %о. Например, в тысячных долях выражают пробу1 драгоценных металлов: в сплаве золота 825-й пробы содержится чистого золота по весу 0,825 всего сплава или 825°/о0. Так как числа, выраженные в процентах— это дроби с знаменателем сто, никаких новых правил действий над числами, выраженными в процентах, не вводится и задачи на проценты решаются так же, как задачи на дроби. Решение двух видов задач на проценты в V классе проводится после изучения всех действий над десятичными дробями и помогает закреплению умножения и деления на десятичную дробь В курсе VI класса все сведения, полученные учениками о процентах, приводятся в систему, рассматриваются три вида задач на проценты, более сложные случаи применения процентов, например: а) задается дробное число процентов, б) находят проценты от процентов.

Задачи на проценты полезно использовать и для повторения соответствующих задач на дроби.

Прежде чем приступить к решению задач на проценты, следует провести упражнение на запись процентов в виде дробей. Перед решением задач на нахождение процентного отношения двух чисел следует дать упражнения на выражение различных чисел в процентах. В основу системы этих упражнений можно положить следующие случаи: 1) число процентов, получающееся в результате,— целое число процентов; 2) число процентов— конечная десятичная дробь; 3) число процентов — обыкновенная дробь, не выражающаяся конечной десятичной дробью; 4) приближенное выражение в процентах с заданной точностью.

При этом показываются различные способы выражения чисел в процентах:

1) при помощи обращения в десятичную дробь. Например, выразить — в процентах.

17:40=1,7:4=0,425-42,5%;

2) при помощи следующих рассуждений:

а) 1 = 100%; — = 100%- —=42,5%.

б) Так как искомое число процентов показывает, сколько сотых долей содержится в данном числе или сколько раз —

1 Пробой называется число тысячных долей, показывающее, какую часть веса сплава составляет вес чистого золота, серебра или платины.

содержится в —, то, чтобы найти это число, достаточно — разделить на ^ или умножить на 100. Применяется следующая запись:

Затем проводятся упражнения, подводящие к определению процентного отношения.

1. Найти отношение первого числа ко второму для чисел:

72 и 12; 3 и 8; 5и-; 0,12 и 0,3.

Что показывает отношение, когда оно равно целому числу? когда оно равно дробному числу?

2. Найти отношение первого числа ко второму и выразить в процентах для следующих чисел:

12:30; -:4; 2,07:6; 34:17.

Что показывают полученные отношения, выраженные в процентах?

После этого определяется процентное отношение одного числа к другому как отношение первого числа ко второму, выраженное в процентах. Устанавливается, что процентное отношение показывает, сколько процентов или какой процент составляет первое число от второго. Затем даются упражнения в различной формулировке на нахождение процентного отношения двух чисел, например:

1. Найти процентное отношение 3 к 4.

2. Какой процент 3 составляет от 4?

3. Сколько процентов 3 составляет от 4?

Рассмотрим примеры записи решения различных задач на проценты.

1. В 1955 г. в СССР было выплавлено 45,3 млн. т стали. В 1961 г. выплавка стали увеличилась по сравнению с 1955 г. на 56%. Сколько стали выплавлено в 1961 г.?

Решение. 1) 100%+56% = 156%. 156% от количества стали, выплавленной в 1955 г., составляет количество стали 1961 г.

2) 156% = 1,56; 45,3-1,56^70,7 (млн. г)—количество стали, выплавленной в 1961 г.

(Ответ: 70,7 млн. т.)

2. (Пример задачи, где приходится находить проценты от процентов.) Стоимость изделия удалось снизить сначала на 10%,

а через месяц еще на 15% от новой стоимости. На сколько процентов снизилась стоимость изделия в результате двух снижений?

Решение. 1) Какой процент первоначальной стоимости составляла стоимость изделия после первого снижения?

100%— 10% =90%.

2) Какой процент от первоначальной стоимости составляет второе снижение?

90%.0,15=13,5%.

3) На сколько процентов снизилась стоимость изделия в результате двух снижений?

10% + 13,5%=23,5%.

(Ответ: 23,5%.)

При решении этой задачи некоторые ученики делают неправильное заключение об общем снижении стоимости, складывая 10% и 15%. Эта задача подчеркивает необходимость при решении каждый раз устанавливать, от какого числа берутся проценты.

3. Книга с переплетом стоит 62 коп. Стоимость переплета составляет 24% от стоимости книги без переплета. Сколько стоит переплет? Какой процент составляет стоимость переплета от стоимости книги с переплетом?

Решение. 1) 100%+24% = 124%. 124% составляет стоимость книги с переплетом от стоимости книги без переплета.

2) 124% = 1,24; 62:1,24=50 (коп.) — стоимость книги без переплета.

3) 62 — 50=12 (коп.) — стоимость переплета.

19% составляет стоимость переплета от стоимости книги с переплетом.

(Ответ: 12 коп.; 19%.)

Эта же задача может быть решена и так:

1) То же, что и в первом случае.

2) 62:124=0,5 (коп.); 0,5 коп. составляет 1% стоимости книги без переплета.

3) 0,5-24 = 12 (коп.) стоимость переплета.

Приведенные примеры решения задач на проценты подтверждают, что задачи на проценты тождественны соответственным задачам на дроби.

Получим следующие формулы решения задачи вторым способом:

При решении этих задач проценты от числа и число по данным его процентам находятся одним действием, соответственно умножением и делением на дробь. Но при решении устных задач на нахождение процентов от числа и числа по данным его процентам и при письменном решении некоторых задач бывает проще пользоваться двумя действиями, как и при решении подобного рода задач на дроби.

При рассмотрении третьей задачи показывается второй способ ее решения. Вообще решение задач не должно быть трафаретно, необходимо применять рациональные приемы решения задач.

Рассмотренная задача включает также и третий вид задач на проценты: нахождение процентного отношения одного числа к другому.

Подводя итоги методики изучения темы «Проценты», следует отметить, что можно добиться прочного усвоения процентных вычислений и сознательного решения задач на проценты только при условии правильного понимания учащимися процента как частного случая дроби и решения ими задач на проценты, как задач на дроби со знаменателем 100.

В школьном учебнике предлагается в VI классе познакомить учащихся с записью в общем виде формул решения основных видов задач на проценты. Это посильно учащимся и служит хорошей подготовкой к курсу алгебры.

При прохождении процентного отношения учеников знакомят с понятием «относительная погрешность». К понятию относительной погрешности их подводят путем решения конкретной задачи, например: «При взвешивании 300 г масла, а затем 5 кг картофеля допущена абсолютная погрешность 10 г. Какое взвешивание точнее?» Чтобы решить этот вопрос, необходимо узнать, какую часть соста?ляет абсолютная погрешность от веса продуктов в первом случае и во втором. Получаем — = —^3,4% и -^-=—=0,2 %. Y v J 300 30 5000 500

Второе взвешивание точнее. После этого вводится определение: «Отношение абсолютной погрешности к приближенному числу называется относительной погрешностью»1.

1 См. [182].

Виды упражнений:

1. Дробь — запишите в виде десятичной дроби с двумя значащими цифрами и найдите относительную погрешность приближенного значения дроби.

2. Измерены длина улицы и расстояние от Москвы до Ленинграда и получены такие результаты: длина улицы 1,68 (0,005) км и расстояние от Москвы до Ленинграда 651 (0,1) км. Какое из этих измерений точнее?

§ 22. Приближенные вычисления

Числа, с которыми приходится иметь дело в случаях приложения арифметики к практике, в большинстве случаев дают приближенные значения величин. Можно точно указать число учащихся в данном классе. Число жителей в городе точно определить невозможно, так как оно постоянно изменяется. Измерение длины, веса, времени и т. д. тоже дает приближенные значения этих величин, или, как говорят короче, приближенные числа.

При составлении плана развития народного хозяйства и при подведении итогов выполнения государственного плана развития народного хозяйства пользуются числами, округленными до единицы определенного разряда. Например, в итогах выполнения плана развития народного хозяйства в 1961 г. производство продукции характеризуется следующими данными: обувь кожаная — миллионов пар 442, велосипеды и мотовелосипеды — миллионов штук 2,9. Первое число есть результат округления чисел, полученных при подсчете, до 1 млн. пар, второе — до 0,1 млн. штук. Так как умение применять знания к решению задач, взятых из жизни, является одной из задач обучения арифметике в советской школе, то необходимо научить учащихся приближенным вычислениям.

Вопрос о необходимости включения приближенных вычислений в курс математики средней школы поднимался и до Октябрьской революции. Этот вопрос был поднят методистом Шохор-Троицким в статье1 в 1891 г., затем на I Всероссийском съезде преподавателей математики в докладе В. А. Крогиуса на тему «Приближенные и сокращенные вычисления в средней школе»2. В ряде учебников были помещены дополнительные параграфы, посвященные приближенным вычислениям3.

После Великой Октябрьской революции различные вопросы из арифметики приближенных вычислений начали вводить в

1 См. «Русская школа», 1898, № 2.

2 См. [174].

3 См. [152], [160].

программы средней школы. Появились разработки этих вопросов в учебной литературе1. В программах 1932—1959 гг. сохранился лишь один вопрос — об округлении данных и результатов действий. Это было вызвано, очевидно, перегрузкой программы.

Однако вопрос о расширении объема сведений о приближенных вычислениях в курсе средней школы поднимался в учебной и методической литературе и в этот период времени. Этому вопросу посвящен ряд статей в журнале «Математика в школе», на эту же тему опубликованы методические разработки2. В задачнике по арифметике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева3 для V и VI классов включены упражнения не только на округление чисел, но и на вычисление абсолютной и относительной погрешности при округлении чисел, на действия с приближенными числами с применением правила подсчета цифр, на вычисление выражений с наперед заданным числом цифр в результате.

В связи с осуществлением связи обучения с жизнью приближенные вычисления приобрели особое значение. Как указано раньше, в программу математики восьмилетней школы в курс VI класса введена тема «Приближенные вычисления», в которую включены вопросы: точные и приближенные значения величин; абсолютная погрешность; значащие цифры числа; сложение, вычитание, умножение и деление приближенных чисел; правила подсчета цифр. Вопрос об относительной погрешности включен в тему «Проценты». В программу V класса в тему «Десятичные дроби» включено округление целых чисел и десятичных дробей.

При изучении приближенных вычислений в V—VI классах следует поставить следующие задачи: 1) научить округлять числа с заданной точностью; 2) научить выражать результаты действий над приближенными числами надежными цифрами, сохраняя не более одной цифры не вполне надежной. Как указывает программа, округлением целых чисел и десятичных дробей ученики должны заниматься параллельно с изучением темы «Десятичные дроби» после изучения сравнения десятичных дробей по величине. В стабильном задачнике4 в параграфах, посвященных действиям над десятичными дробями, приведены задачи, при решении которых требуется полученный результат округлить с заданной точностью.

Предварительно следует рассказать о практическом значении приближенных чисел, показать на конкретных примерах5, что

1 См. [39], [137], [156].

2 См. [40].

3 См. [177].

4 См. [164].

5 См. § 22 в этой книге и [182].

в результате счета могут получиться приближенные числа, что числа, получаемые при измерении, всегда приближенные. Полезно дать задание учащимся измерить масштабной линейкой длину и ширину задачника, рулеткой длину и ширину доски и обсудить с ними точность полученных результатов. С учениками рассматриваются два вида округлений чисел: с недостатком и избытком, формулируется правило округления. Выполняются упражнения следующего вида:

1. Округлить с недостатком и с избытком числа с точностью до сотни, до тысячи.

2. Округлить с точностью до миллиона так, чтобы ошибка была наименьшая.

Аналогичные упражнения выполняются на округление чисел с точностью до десятичных долей, округляются с заданной точностью результаты решения ряда задач.

После подобного рода предварительных упражнений нахождение приближенного частного не затрудняет учащихся.

Полезно показать учащимся, что при решении задач с содержанием, взятым из жизненной практики, степень точности, с какой следует брать числа, часто определяется конкретными условиями задачи. Например, если в задаче требуется какую-нибудь сумму денег разделить на несколько равных частей и в частном получается бесконечная десятичная дробь, то приближенное частное следует брать с точностью не больше чем до 0,01 руб., так как тысячные доли рубля — это доли копейки, которые вычислять не имеет смысла.

Рассмотрим задачу:

«Построить отрезок на миллиметровой бумаге длиною в — дм».

При решении получим — =0,2857...^0,29.

Отрезок получается длиной в 29 мм.

Приближенное значение дроби берется с точностью до 0,01, так как тысячные доли дециметра — это десятые доли миллиметра, которые построить трудно.

Если же 2 кг чаю требуется развесить на 7 порций, то дробь — имеет смысл выразить в тысячных долях, то есть определить вес с точностью до одного грамма.

Полезно научить учеников давать приближенную оценку результата действия, предварительно округляя данные числа, и применять ее для самопроверки при вычислениях, например: требуется перемножить числа 3287 и 5612, округляя каждый из сомножителей до 1 тысячи, получаем 3-6=18 (миллионов). Истинное же произведение равно 18446 6441.

1 Подробнее см. в § 5, ч. 1 данной книги.

В VI классе при прохождении темы «Приближенные вычисления» на первых уроках повторяются и систематизируются сведения, полученные о приближенных вычислениях в V классе. В беседе с учащимися рассматриваются примеры приближенных чисел, полученных в результате счета, измерения (число лет человека, вес, рост и др.).

Упражнения. Округлить: 1) до десятков 503, 817, 4305;

2) с точностью до единицы: 0,8; 15,5; 41,4; 0,379; 1,813;

3) до сотых долей: 9,647; 0,403; 1,054. Вычислить погрешность, полученную при округлении. После ряда упражнений формулируется определение абсолютной погрешности.

Запись решений: 503^500; 503—500 = 3; 817^820; 820—817=3 и т. д.

Рассматриваются примеры чисел, полученных при измерении. В этом случае неизвестно точное значение величины, нельзя вычислить погрешность, но можно указать так называемую границу погрешности, то есть ближайшее число, значение которого не превосходит погрешность. Полезно вывесить плакаты с изображением термометра, отрезка на шкале линейки; предложить ученикам назвать числа, соответствующие показанию термометра и длине отрезка, и указать границу погрешности1 (рис. 34).

AB ^6 см (0,5).

Граница погрешности 0,5 см.

Учитель может предложить учащимся начертить шкалу с делениями. На шкале отметить отрезки и записать числа, выражающие длины этих отрезков, с указанием границы погрешности.

В ряде средних школ Коломны проводились лабораторные работы, посвященные измерениям с оценкой границы погрешности на уроке математики Эти работы продолжались на уроке физики. На уроке математики ученики измеряли отрезки, углы, начерченные на бумаге, а также длину и ширину классной комнаты, а на уроке физики измеряли с помощью мензурки емкость сосуда и объем твердого тела2.

Рис. 34

1 См.: К. И. Нешков, Приближенные вычисления в курсе VI класса, «Математика в школе», 1960, № 4.

2 См.: В. И. Беляев, Об изучении раздела «Приближенные вычисления» в курсе арифметики VI класса, «Математика в школе», 1961, № 4.

Рассматривая числа, полученные после округления и в результате измерения, следует обратить внимание школьников на то, что все цифры полученных приближенных чисел надежные, кроме последней, которая может отличаться от соответствующей цифры точного числа не более чем на единицу и считается не вполне надежной. Полезно указать им, что такое правило записи приближенных чисел было предложено академиком А. Н. Крыловым. Следует обратить внимание на нули, записанные взамен отброшенных цифр при округлении целых чисел. Например, округляя число 36 565 до сотен, получим 36 565^ я^Зб 600. Так как эти нули стоят взамен отброшенных цифр, то они обозначают ненадежные цифры и их нужно выделить. Следует предложить это делать при помощи черты: 36 600. Округляя число 4503 до десятков, мы должны подчеркнуть только последний нуль, так как предыдущий обозначает отсутствие числа десятков и является надежной цифрой 4503^4500. В практике приближенных вычислений употребляется и такая запись: 36-Ю2; 450*10. Но такая запись преждевременна для учащихся VI класса, не знакомых с понятием степени.

Обращается внимание учащихся и на значение записи нуля в конце приближенного числа, записанного десятичной дробью в случае отсутствия последних десятичных долей. Например:

1) 0,34026 ^ 0,340 (до 0,001); 0,34026 ^ 0,34 (до 0,01);

2) 0,49732^0,50 (до 0,01); 0,49732 ж 0,5 (до 0,1).

Запись нуля в конце десятичной дроби показывает, что записанное число взято с точностью до той десятичной доли, на месте которой стоит нуль.

Прежде чем приступить к рассмотрению действий над приближенными числами, необходимо разъяснить учащимся термин значащие цифры числа1.

Рассмотрим примеры:

В результате дать определение: значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой

1 При точных вычислениях значащими цифрами называют все цифры, кроме нуля.

отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр.

Для усвоения термина «значащие цифры» полезно дать упражнения следующего вида.

Округлить числа:

2148,03 до двух, до четырех, до пяти значащих цифр;

0,02974 до трех, до двух, до одной значащей цифры.

Рассмотрим теперь методику изучения правила подсчета цифр при действиях с приближенными числами. Подробное изложение этого вопроса можно найти в ряде методических и учебных пособий1.

Правило подсчета цифр при сложении и вычитании выводится на основании рассмотрения частных примеров.

Найти сумму чисел 0,3744; 0,4132; 0,2365 и округлить полученное число до двух десятичных знаков, до трех. Найти сумму тех же чисел, предварительно округлив каждое слагаемое до двух десятичных знаков, до трех знаков. Сравнить полученные суммы в первом и втором случае.

Можно дать соответствующее упражнение в следующей форме.

Найти приближенное значение суммы дробей

взяв приближенное значение каждого слагаемого с двумя десятичными знаками. Проверить полученный результат, взяв более точные приближенные значения данных дробей.

Ученики приходят к выводу, что при сложении чисел, взятых с одинаковой точностью, в сумме получаются, кроме последней, все цифры надежные, а последняя сомнительна, так как откинутые десятичные доли могут в сумме дать последние оставшиеся доли. На практике часто бывает, что одни слагаемые взяты с избытком, другие с недостатком. Поэтому погрешности отчасти исправляют друг друга и общая погрешность мало увеличивается, и вообще значение сомнительной цифры отличается от истинного не больше, как на одну или две единицы.

Если число десятичных знаков в слагаемых неодинаковое, то для выяснения числа надежных цифр суммы помогает обозначение неизвестных цифр последующих разрядов знаками вопроса. Например:

1 См. [38], [156].

Учащиеся устанавливают, что число сотых и тысячных в сумме ненадежно. Такие же наблюдения проводятся над вычитанием приближенных чисел. В результате выводится правило: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Возникает вопрос, как поступать в случае сложения и вычитания приближенных целых чисел или когда один из компонентов целое приближенное число. В. М. Брадис рекомендует в этом случае переносить в компонентах запятую на несколько разрядов влево, а затем поступать согласно правилу. Но такие дополнительные преобразования усложняют вычисления. Выделяя чертой нули, полученные при округлении целых чисел взамен отброшенных цифр, придем к следующему правилу сложения и вычитания приближенных чисел. При сложении и вычитании приближенных чисел полученные результаты нужно округлить с точностью менее точного слагаемого1.

Примеры:

Хотя последнее правило применимо при сложении и вычитании целых и дробных чисел, следует учащимся сообщить и первое правило, так как в VI классе большая часть вычислений проводится с дробными числами и первое правило усваивается легче.

Подобным же образом устанавливается правило для умножения и деления приближенных чисел. Например:

1 См. [40].

Вертикальная черта отделяет надежные цифры от ненадежных. При переносе запятой в данных при умножении и делении число надежных цифр в результате не меняется, меняется только положение запятой. Поэтому правило формулируется так: при умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр. Путем наблюдений на частных примерах устанавливается, что при выполнении нескольких действий, чтобы уменьшить ошибку, следует в промежуточных результатах сохранять одной цифрой больше, чем указано приведенными выше правилами, так как каждое действие обычно усиливает ошибку. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с определенным числом надежных цифр следует брать данные с числом цифр, на единицу большим. Необходимо при прохождении всех тем возвращаться к этим правилам при решении конкретных задач.

Обращается внимание учащихся, что при выполнении действий, когда одни компоненты точные, а другие приближенные числа, учитывается только количество значащих цифр (или количество десятичных знаков) приближенных компонентов, так как у точного числа можно получить как угодно много значащих цифр, приписывая нули справа1.

Не следует в начале прохождения темы «Приближенные вычисления» решать задачи на определение надежных цифр в результате измерения или счета на основании нескольких данных, путем вычисления уклонений от среднего арифметического полученных данных. Такого рода задачи вызывают затруднения, их можно решать в конце темы.

Хороший материал для приближенных вычислений дают задачи на проценты и задачи с геометрическим содержанием. Примером может служить разобранная в предыдущем параграфе первая задача на проценты. К приближенным вычислениям необходимо возвращаться в последующих классах.

Примерный план урока на тему «Округление промежуточных результатов».

Устные упражнения:

1. Указать разницу в записях: длина стола 1,3 м и 1,30 м.

2. Подчеркнуть ненадежные цифры в следующих числах: а) 3542, если погрешность равна 6; б) 8,34, если погрешность 0,02.

3. Выполнить действия над приближенными числами: 9,2+0,45; 12,3-0,6.

1 См.: В. И. Беляев, Об изучении раздела «Приближенные вычисления» в курсе арифметики VI класса, «Математика в школе», 1961, № 4.

Новый материал.

Решить задачу: «Ширина дома 6,3 м, длина 8,2 м. К дому прилегает прямоугольный земельный участок, ширина которого равна 24 м и длина 87 м. Найти всю площадь, занятую домом и земельным участком».

Провести вычисления тремя способами: 1) без запасной цифры в промежуточных результатах; 2) с одной запасной цифрой; 3) с двумя запасными цифрами.

Запись на доске и в тетрадях:

Формулируется вывод.

3) Самостоятельно решить пример, применяя полученный вывод.

54,23: 1,1+32,130: 10,5.

Домашнее задание: № 1034(2); № 1038(1, 2, 5), задачник С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, 1963.

ГЛАВА VI

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 23. Отношения

Отношение будем рассматривать только кратное, арифметическое отношение в настоящее время не рассматривается. Вопрос об отношении в программах арифметики и в учебниках, изданных до 1938 г., стоял перед вопросом о пропорциях и пропорциональных величинах, большей частью даже объединялся в одной теме «Отношения и пропорции» и увязывался с вопросом о сравнении величин. В 1938 г. был издан для средней школы учебник по арифметике А. П. Киселева, переработанный проф. А. Я. Хинчиным. В нем понятие отношения одного числа к другому отождествляется с понятием частного от деления первого числа на второе, причем отношение поставлено в конце темы «Обыкновенные дроби». В связи с этим изменилось положение вопроса об отношении и в программе арифметики: отношения были внесены в тему «Обыкновенные дроби». В VI классе к нему возвращались в теме «Пропорции». В современной программе V класса вопрос об отношении включен в тему «Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями», а в программе VI класса занимает прежнее место.

Рассмотрим вопрос об определении отношения. Одни авторы определяли отношение как результат сравнения двух чисел1, другие — как число, на которое надо умножить одно из данных чисел, чтобы получить другое данное число2, третьи определяют как число, показывающее, во сколько раз одно число больше другого или какую часть другого числа состав-

1 См. [159].

2 См. [185].

ляет первое1. В ряде учебников, в том числе в учебнике А. П. Киселева, переработанном проф. А. Я. Хинчиным, отношение определяется как частное от деления одного числа на другое. В некоторых учебниках рассматривается отдельно отношение чисел и отношение величин. Например, в учебнике Н. И. Билибина2</