Методика преподавания математики : пособие для учителей математики 8—10 классов средней школы / С. Е. Ляпин, С. А. Гастева, З. Я. Квасникова, Б. И. Крельштейн ; [под общ. ред. С. Е. Ляпина]. — Ч. 2. — Л. : Учпедгиз, 1956. — 656 с. — Библиогр.: с. 648—651.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ С. Е. ЛЯПИНА

ЧАСТЬ 2

УЧПЕДГИЗ — 1956

С. Е. ЛЯПИН, С. А. ГАСТЕВА, З. Я. КВАСНИКОВА, Б. И. КРЕЛЬШТЕЙН

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ЧАСТЬ II

Пособие для учителей математики 8—10 классов средней школы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Ленинград • 1956

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Книга „Методика преподавания математики", часть II предназначена для учителей и может быть использована студентами педагогических институтов.

При написании данной книги авторы руководствовались программой по математике 1956/57 года и проектом новой программы для средней школы.

Поэтому некоторые темы, как-то: „Теория соединений", „Бином Ньютона" и т. д. — не включены в пособие, а другие („Теорема Безу", „Решение уравнений высших степеней", „Обратные тригонометрические функции" и т. д.) изложены кратко, так как возможно, что в будущем они будут исключены из программы. Авторы старались сохранить общее направление проекта новой программы, и те вопросы, которые не включены в него, изложены сокращенно, чтобы общая структура книги не нарушилась.

В книге сравнительно большое внимание уделено теоретическим вопросам, особенно по алгебре и тригонометрии, что повысит математическую культуру преподавания математики. Авторы указали существующие различные точки зрения по некоторым вопросам, привели краткое, но вполне достаточное для средней школы теоретическое изложение следующих тем: „Равносильность уравнений", „Учение о функции", „Теория пределов", „Определение тригонометрических функций" и т. д. Более полное изложение учитель сможет найти в соответствующей литературе: „Равносильность уравнений" — в книге Новоселова С. И. „Специальный курс алгебры", „Исследование системы линейных уравнений" — в задачнике Моденова П. С, изд. 1951 г. и т. д.

В книге содержится ряд вопросов сверх программы, которые не обязательны для всех учащихся. Так, например, § 9 „Эквивалентность уравнений" предназначен для учителя. В этом параграфе указано, что из второстепенных вопросов можно опустить.

Полезными, но не обязательными являются упражнения на нахождение суммы одинаковых степеней корней квадратного уравнения (стр. 75) и геометрическое построение корней квадратного уравнения (стр. 77).

Материалы § 16 (Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения), § 17 (Двучленные и трехчленные уравнения), § 25 (максимум и минимум некоторых функций) и часть материала из § 22 (Учение о функции в IX и X классах) могут быть отнесены на кружковые занятия. В § 31 (Теория пределов) мы сохранили понятие о числовой последовательности как функции целочисленного аргумента. Эта точка зрения не является единственной. Изложение в общем останется неизменным, если взять другое определение

предела. Авторами приведены различные доказательства основных теорем о пределах: преподаватель может выбрать тот метод, который он считает наиболее целесообразным.

В раздел „Тригонометрия" введен материал об уравнениях (§ 24, 25), не предусмотренный программой; материал этот включен для ознакомления учителя с приемами решения таких уравнений, которые встречаются в ныне существующих задачниках; по теме „Обратные тригонометрические функции" даны очень немногие, но существенно важные указания для учителя на предмет использования их во внеклассной работе с учащимися.

В книге большое внимание уделено решению задач. У учащихся имеются различные задачники, в которых приведены задачи, предлагающиеся на вступительных экзаменах в вузы (Моденов П. С, Шахно К. У., Выгодский М. Я. и др.). Мы считали полезным привести некоторые типовые задачи, которые давали бы возможность решать задачи из приведенных выше задачников.

Данная книга составлена коллективом авторов.

Иррациональные числа, обобщение понятия о степени, комплексные числа написаны П. Ю. Германовичем, функциональная зависимость, функции в VIII классе написаны M. М. Шидловской, прогресии — Л. И. Ляпиной, остальные параграфы принадлежат С. Е. Ляпину. Планиметрия написана С. А. Гастевой, кроме параграфа о задачах на построение методом подобия, который принадлежит З. Я. Квасниковой. Стереометрия составлена 3. Я. Квасниковой, кроме параграфов об измерении поверхностей и объемов многогранников и о телах вращения, а также задач на вписанные и описанные шары, которые написаны С. А. Гастевой. Параграфы 8, 12 и 13 принадлежат А. И. Поспелову. Тригонометрия написана Б. И. Крельштейном.

Авторы будут благодарны читателям за все замечания и указания по книге, которые следует направлять по адресу: Ленинград, Невский, 28, Учпедгиз.

Часть I. АЛГЕБРА.

Глава I. УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ.

§ 1. Иррациональные числа.

Среди трудных разделов школьного курса алгебры иррациональные числа занимают особое место. Нет сомнения, что сколько-нибудь строгое и законченное изложение теории действительного числа вообще выходит за границы возможностей восприятия ученика любого класса средней школы. Какой бы осторожной ни была попытка дать в школе научное построение курса иррациональных чисел в духе существующих теорий Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда, она привела бы лишь к дискредитации здоровой тенденции современной методики — приблизить школьный курс математики к науке.

Следует отметить, что именно такое преподавание иррациональных чисел в школе пропагандировалось в ряде старых учебников, в том числе и таких, которые заслужили в свое время добрую славу своим новаторством, прогрессивными методическими воззрениями и научностью изложения (Лебединцев, Граве и др.). Не говоря уже о том, что подобное изложение теории иррациональных чисел идет вразрез с указаниями учебной программы, ограничивающей свои требования „понятием" об иррациональных числах и действиях над ними, оно может принести и прямой вред наиболее добросовестным ученикам, вызвав у них бесплодное перенапряжение сознания.

По существующему учебному плану иррациональные числа изучаются в VIII классе и, притом, в I четверти учебного года. Общее и математическое развитие учащихся к этому времени таково, что при любом допустимом сокращении материала и любом допустимом упрощении изложения его, не искажающем, однако, идейного содержания, добиться от ученика правильных представлений о природе иррациональных чисел и действиях над ними — представляет задачу большой трудности.

В ранее существующих программах раскрывалось содержание материала, относящегося к изучению иррациональных чисел.

В них значилось: „Понятие об иррациональном числе. Бесконечная десятичная непериодическая дробь. Понятие о действиях над иррациональными числами", но не указывалось, сколько часов следует выделять на иррациональные числа из 30 час, отведенных на весь раздел „Степени и корни" в алгебре, и 30 час, отведенных на „Подобные фигуры" в геометрии. Ответа на этот законный вопрос учителя не было, хотя примерная дозировка в часах могла бы дать косвенное указание на объем подлежащего изучению материала.

Приступая к преподаванию иррациональных чисел, учитель, естественно, прежде всего хочет знать, что именно из учения об иррациональных числах необходимо рассмотреть в VIII классе, сколько часов можно выделить на всю работу, как расположить подлежащий изучению материал во времени, как обеспечить сознательное усвоение его, как поставить, учитывая специфику темы, домашние задания по ней и как обеспечить неформальную проверку усвоения и выполнения домашних заданий. И если в любых случаях готовые рецепты типа пресловутых „методичек" и нежелательны, то все же в особо сложных разделах программы и, в первую очередь, таких, как иррациональные числа в курсе VIII класса, нельзя ограничиться высказыванием только общих принципиальных соображений. Действенная помощь учителю в этих случаях должна заключаться в достаточно подробных и конкретных методических указаниях.

Возникающие при планировании преподавания иррациональных чисел в VIII классе разнообразные трудности побуждают иногда даже опытных и квалифицированных учителей поддаться соблазну поскорее и как-нибудь „пройти" это неприятное место программы. Поэтому именно здесь часто встречается, с одной стороны, недопустимо примитивное изложение, а с другой стороны, такое внешнее, формально гладкое изложение, в котором как будто нет заметных изъянов, но которое почти ничего не дает учащимся, кроме двух-трех вызубренных ими определений. Картину мнимого благополучия создает здесь также и то, что образовавшееся в результате такого изложения „белое пятно" в сознании учащихся не приводит немедленно к каким-либо тяжелым последствиям и не мешает им успешно выполнять типовые упражнения, относимые обычно к разделу „Степени и корни".

Особая сложность задач, возникающих перед учителем, приступающим к преподаванию иррациональных чисел, вызвала широкий отклик в близких к школе кругах математической общественности. Пожалуй, никакому другому разделу программы не посвящено столько разнообразных статей, как вопросам преподавания иррациональных чисел в школе. Среди них в первую

очередь следует указать написанные на самом высоком уровне следующие три работы, знакомство с которыми хотелось бы считать обязательным для учителя.

1) А. Я. Хинчин, „Основные понятия математики и математические определения в средней школе" (Учпедгиз, 1940, 50 стр.).

Хотя посвященный иррациональным числам § 4 этой статьи содержит лишь принципиальные и общие соображения, он вооружит учителя глубоким пониманием той направленности, которой следует придерживаться при изучении иррациональных чисел в школе.

2) П. С. Александров и А. И. Колмогоров, „Иррациональные числа" (Журнал „Математика в школе", 1941, № 3, стр. 1—15).

Статья состоит из 13 параграфов и представляет собой главу из 2-й части учебника алгебры, подготовлявшегося авторами к печати. Оставляя открытым вопрос, насколько полно учитель в своей работе в классе может следовать содержанию этой главы и в какой мере она окажется посильной ученикам 8-го класса в качестве учебного пособия, по которому они будут дома закреплять разъясненный на уроке материал, мы настойчиво рекомендуем ее как настольное пособие для учителя. Если и не все параграфы этой статьи могут быть полно и непосредственно использованы в классе, то вся статья в целом даст учителю верную ориентировку и крепкую основу для постановки преподавания иррациональных чисел.

3) Г. М. Фихтенгольц, „Иррациональные числа в средней школе" (Методический сборник „Математика в школе", вып. 2-й, 1947, издание Ленинградского областного института усовершенствования учителей, стр. 24—44). Статья является обработкой лекции, прочитанной Г. М. Фихтенгольцем ленинградским учителям в 1944 году.

Эта ярко и просто написанная статья характерна прежде всего присущим ей „чувством школы". Она содержит подробный план всей работы по освоению иррациональных чисел, сопровождаемый доступными доказательствами в одних случаях и убедительными числовыми примерами тогда, когда строгое доказательство приводимого утверждения признается непосильным для ученика. Можно сказать, что эта статья представляет собой такое конкретное методическое и учебное пособие, которое, несомненно, поможет учителю получить ответ почти на все основные вопросы, связанные с преподаванием иррациональных чисел в школе. (К сожалению, малый тираж сборника может сделать нереальным широкое использование учителями статьи Г. М. Фихтенгольца.)

Учителю следует познакомиться также и с другими статьями, посвященными иррациональным числам (см. указатель литературы на стр. 21—22). Это не только расширит его общий кругозор, но, ознакомившись с различными подходами к понятию

иррационального числа в школе, встречающимися в современной учебно-методической литературе, он получит, и это особенно важно, новые стимулы для самостоятельного продумывания коренных вопросов методики преподавания иррациональных чисел. Так, например, в „Алгебре" Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского учитель найдет определение иррационального числа как „длины отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба", и увидит, как на базе такого определения даются в дальнейшем определения действий сложения и умножения иррациональных чисел.

Но и в тех случаях, когда общая концепция преподавания иррациональных чисел в школе, предлагаемая автором статьи, находится в полном согласии с основными идеями, проводимыми в работах Хинчина, Фихтенгольца, Александрова и Колмогорова, внимательный читатель нередко с пользой для себя обнаружит в этих статьях новые интересные подробности или новые оттенки в изложении узловых моментов курса. Именно такими качествами обладает, например, статья „Введение иррациональных чисел. Множество (действительных чисел", помещенная в „Методике преподавания математики в средней школе" В. М. Брадиса.

Даже тот неполный обзор учебно-методической литературы, который приведен здесь, думается, должен убедить учителя, что основным источником подготовки его к преподаванию иррациональных чисел является книга. Никакая специальная „Методическая разработка" обычного типа не может заменить ее.

Сделаем теперь несколько дополнительных замечаний методического и организационного характера. Некоторые из них развивают или конкретизируют отдельные соображения, высказанные авторами упоминавшихся ранее статей.

1. Введение иррациональных чисел должно строиться на самом тесном содружестве алгебры и геометрии. После того, как на уроках алгебры, в соответствии с программой, будут рассмотрены „степени" и начальные сведения о корнях, а на уроках геометрии „общая мера двух отрезков" и „нахождение наибольшей общей меры", целесообразно отменить формальное разделение уроков на уроки алгебры и геометрии на все время, пока идет изучение иррациональных чисел. Благодаря объединению уроков, позволяющему параллельное изучение материала по двум планам и двум программам заменить последовательным, учителю не придется искусственно подгонять во времени изложение связанных между собой частей алгебраического и геометрического материала, и весь раздел в методически-необходимой слитности будет изучен на объединенных уроках.

2. Главная задача, которая стоит перед учителем при изучении иррациональных чисел в VIII классе, может быть сформулирована так: подвести учащихся к осознанию необходимости

расширения области чисел и затем, исходя из этого, создать у них правильное и отчетливое представление об иррациональных числах.

В объяснительной записке к программе говорится: „Перед введением комплексных чисел необходимо привлечь внимание учащихся к идее развития понятия числа". Это, конечно, необходимо. Но и в плане подготовительной работы к введению иррациональных чисел большую пользу может принести внимательное рассмотрение последовательных этапов расширения понятия о числе, приведших к образованию множества рациональных чисел.

Идея развития понятия числа имеет столь большое образовательное значение, что нельзя возражать, если учащиеся будут привлечены к этому вопросу дважды с перерывом в два года. К тому же здесь нет и простого дублирования: в VIII классе необходимость расширения области чисел естественно мотивировать только непосредственными практическими потребностями, в то время, как в X классе, помимо требований практики в узком смысле, некоторую опору в сознании учащихся найдут также и соображения о внутренних потребностях самой математики.

Основная цель такого очерка, предваряющего введение иррациональных чисел — направить мысль учащихся к тому, что, как это бывало и раньше, запас чисел, которыми они обладают в настоящее время, недостаточен для решения некоторых важных практических задач. Поэтому в вводном очерке следует сделать особое ударение на том, что одной из причин, вызвавших в свое время появление дробных чисел, была задача измерения величин и, в частности, задача измерения отрезков. При решении этой задачи выяснилось, что в случае, когда единичный отрезок не укладывался в измеряемом отрезке целое число раз, то целых чисел для нужд измерения было недостаточно. Аналогично этому и теперь, когда мы будем рассматривать наиболее полное решение этой же задачи, предусматривающее все возможные случаи, которые могут представиться при измерении отрезков, окажется, как мы увидим, что и запас всех рациональных чисел не покрывает потребностей измерения.

3. Как только будет показано, что среди рациональных чисел нет чисел, выражающих точное значение т/2, сейчас же следует показать, что рациональных чисел не хватает и для того, чтобы выразить числом длину отрезка, несоизмеримого с выбранным единичным отрезком. Незавершаемость процесса извлечения квадратного корня из двух и, тут же рядом, незавершаемость процесса десятичного измерения отрезка, несоизмеримого с выбранной единицей, непосредственно приводит к образованию нового, ранее не встречавшегося, числа — бесконечной десятичной непериодической дроби.

Учащиеся таким образом будут полностью подготовлены к осознанию необходимости расширить известную им до сих

пор область чисел путем введения в рассмотрение новых чисел — бесконечных непериодических десятичных дробей. Этим новым числам, в отличие от прежних рациональных чисел, выражаемых с помощью конечных десятичных и бесконечных десятичных периодических дробей, присваивается название „иррациональные числа". Определение понятия иррационального числа теперь подготовлено: иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. И, наконец, объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел в одно числовое множество приводит к образованию понятия вещественного, или действительного, числа.

После того как будет показано, что длина всякого несоизмеримого с единицей отрезка при десятичном измерении его выражается бесконечной непериодической десятичной дробью, постулируется и поясняется с помощью графических иллюстраций важное обратное положение: всякое вещественное число (рациональное или иррациональное) выражает длину некоторого отрезка.

Помимо яркой наглядности, обусловливаемой тесным координированием алгебры и геометрии, весьма важно, что геометрический подход к введению иррациональных чисел уменьшит возможность возникновения у учащихся ложного представления, что всякое иррациональное число есть неизвлекаемый радикал.

4. Основным инструментом для иллюстрации осваиваемых положений, сопровождающим изучение всего раздела, должна служить числовая ось как главное орудие широко проводимой геометризации изложения. Это поможет вызвать у ученика образное представление о „точечных дырах" на оси, на которую нанесены только рациональные точки, и о сплошном, заполнении ее после введения иррациональных чисел. Вместе с тем ученики будут подведены к освоению фундаментального положения о взаимно однозначном соответствии между множеством всех точек на оси и множеством действительных чисел.

б. После того как установлены понятия равенства и неравенства иррациональных чисел (понимание определения этих понятий, подкрепленное соответствующими числовыми примерами, не вызывает обычно особых затруднений), рассматриваются действия над иррациональными числами. И надо сказать, что именно здесь перед учителем возникают наибольшие трудности, тем более, что и в существующей учебно-методической литературе выбор целесообразной методики для этой части темы до сих пор не является вполне разрешенной проблемой.

Действительно, с одной стороны — учащиеся должны уже на самой ранней стадии обучения воспитываться в понимании того, что определения действий над известными им числами и их свойства не могут механически переноситься на новые числа. В их сознании должно было ярко запечатлеться, что, например, действие умножения чисел требовало нового рассмотрения и

новых определений каждый раз, когда вводились новые числа, и что до введения новых определений умножение дробных или отрицательных чисел было лишено смысла. Но с другой стороны, нет сомнения, что сколько-нибудь логически полноценное рассмотрение в VIII классе (а, пожалуй, и в X) определений и свойств действий над иррациональными числами будет недоступно ученикам. Как же поставить обучение в этой части темы? Одним из возможных вариантов решения этой задачи, как нам кажется, может быть следующий.

В соответствии с программой, где предлагается ограничиться „понятием" о действиях над иррациональными числами, можно, повидимому, рассмотреть лишь следующие вопросы: можно ли вообще складывать иррациональные числа, имея в виду, что они выражаются бесконечными десятичными дробями, т. е. существует ли число, являющееся суммой таких чисел, и как производить сложение иррациональных чисел, если окажется, что действие сложения таких чисел имеет смысл. Те же вопросы ставятся и в отношении умножения иррациональных чисел.

Нам кажется, что основной принципиальный вопрос о существовании суммы и произведения иррациональных чисел в условиях VIII класса может быть убедительно для учеников разрешен лишь на базе наглядных геометрических представлений. Сумма двух иррациональных чисел (или сумма рационального и иррационального числа) рассматривается как сумма двух отрезков, которую всегда можно построить, — значит, существует число, и притом единственное, являющееся суммой двух иррациональных чисел. После этого на числовом примере показывается, что сумма иррациональных чисел содержится между суммами любых соответствующих недостаточных и избыточных рациональных десятичных приближений слагаемых и что, таким образом, можно получить сколько угодно знаков бесконечной десятичной дроби, являющейся суммой данных иррациональных чисел (т. е. определить сумму с любой заданной точностью). Аналогично ставится и вопрос об умножении иррациональных чисел, причем произведение их рассматривается как число, измеряющее площадь прямоугольника, сторонами которого являются отрезки, выражаемые данными сомножителями. Отметим, что одним из особых числовых примеров, который поучительно будет здесь разобрать, явится умножение -/2 на j/2, представленных в виде бесконечных десятичных дробей.

6. При изучении иррациональных чисел настоятельно необходимо, чтобы учащиеся сознательно и твердо владели некоторыми важными положениями курса прежних лет, главным образом в области арифметики. В такой трудной для усвоения теме программы, как иррациональные числа, опасно отвлекать внимание учащихся от главной линии изложения припоминанием забытых ими правил и положений. Такое отвлечение особенно нежелательно, когда необходимое для понимания текущего ма-

териала восстановление забытого требует заметной затраты времени. Поэтому здесь, как и в других наиболее сложных вопросах программы, полезно заранее отобрать все, на что в дальнейшем придется опираться, и сконцентрировать эту работу на уроках, специально посвященных повторению.

Материал, который необходимо основательно восстановить, должен содержать:

а) процесс обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь,

б) выяснение условий, при которых обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь,

в) выяснение условий, при которых обыкновенная дробь обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь,

г) приближенные значения десятичных дробей с точностью до 0,1; 0,01 и т. д. с недостатком и с избытком.

Повторительные уроки можно использовать и для выполнения некоторых упражнений, результаты которых затем найдут свое место при изучении иррациональных чисел. Так, например, полезно заранее иметь таблицу приближенных значений •/2.

7. Везде, где без какого-либо ущерба изложение, имеющееся в учебнике, можно упростить, эта возможность не должна быть упущена. Так, несомненное облегчение принесет ученикам замена некоторых относительно сложных доказательств (помещенных в школьном учебнике) более простыми и яркими. Мы имеем в виду два положения:

а) не существует рационального числа, квадрат которого равен двум,

б) диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Для первого положения лучше использовать классическое доказательство Евклида, а для второго — вместо трудного для учащихся приема, сходного со способом последовательного деления в арифметике, — весьма простой и изящный способ, основанный на сравнении площадей двух квадратов. Ввиду того, что этих простых доказательств в учебниках Киселева нет, считаем полезным привести их.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

Так как 12<^2<[22, то, очевидно, нет целых чисел, квадрат которых равен двум. Применяя доказательство от противного, допустим, что существует такая несократимая дробь (р и q — натуральные числа), что 2. Отсюда /?2 = 2^2, и следовательно, р* делится на 2. Это возможно лишь в случае, если р — четное число; но тогда, вследствие несократимости дроби ~, число q — нечетное. Обозначив четное число р через 2п, будем иметь: 4/г2 = 2#2 и 2ri* = q2, т. е. q тоже четное число. Это противоречие доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Точное значение |/2 не может быть выражено никаким рациональным числом.

Теорема. Диагональ любого квадрата несоизмерима с его стороной.

Применим опять доказательство от противного: допустим, что диагональ (АС) и сторона (AB) квадрата ABCD соизмеримы; значит, какой-то отрезок — общая мера АС и AB — укладывается в АС и AB целое число раз. Пусть в АС он укладывается р раз, а в AB — q раз. Примем этот отрезок за единицу измерения. Тогда окажется, что площадь квадрата ABCD содержит q1 кв. единиц, а площадь квадрата AEFC, построенного на диагонали ЛС, содержит/?2 кв. единиц.

д ACD = А АВС= А АЕВ = = &BEF=&BFC,

и следовательно, площадь квадрата AEFC в два раза больше площади квадрата ABCD, т. е. /?* = 2#9. Отсюда [ff —2- Но дробь 2- — рациональное число.

Обнаружившееся противоречие (квадратный корень из двух выражается рациональным числом у!) и доказывает справедливость утверждения теоремы.

8. Если учитель тщательно продумал материал и получил ясное представление об объеме и методике изложения его, это еще далеко не исчерпывает всех трудностей, с которыми он встретится при организации работы по теме в классе. Надо иметь в виду тот бесспорный факт, что форма урока, содержание и виды домашних заданий, характер опроса учащихся и способы проверки выполнения ими домашних заданий, не могут быть стандартными. Несомненно, что все эти элементы работы теснейшим образом связаны с содержанием и спецификой темы, степенью трудности ее и уровнем общего и математического развития учащихся. Так, например, в X классе вполне допустим некоторый элемент лекционности, а лекционный характер урока в VIII классе может лишить его образовательного воздействия. Наблюдаемые при изучении иррациональных чисел в VIII классе формы уроков, виды домашних заданий и характер опроса грешат многими коренными недостатками. Главные из них следующие.

Объяснение нового материала проводится в формах, близких к лекции, прерываемой временами лишь для того, чтобы ученики могли под диктовку учителя механически записать несколько фраз.

Учащиеся на протяжении значительной части урока очень мало активны.

Черт. 1

Насыщение урока упражнениями, контрольными вопросами теоретического характера, вычислительными и графическими работами крайне недостаточно. Урок часто проходит монотонно, непроизвольное внимание учащихся снижено.

Домашние задания не отражают всей работы в классе и охватывают лишь небольшое число определений и правил, которые и предлагается заучить. Упражнения для самостоятельного выполнения дома встречаются редко.

Соответственно характеру домашней работы учеников проводится и опрос на уроке, а также проверка выполнения домашних заданий.

Такова общая картина урока, посвященного изучению иррациональных Чисел. Неудивительно, что об иррациональных числах у учеников остаются смутные и порой совершенно превратные представления.

В рамках учебника методики, охватывающего весь курс математики VIII—X классов, конечно, нельзя детально рассмотреть все разнообразные вопросы, связанные с организацией уроков, применительно к содержанию различных разделов курса и, в частности, уроков, посвященных иррациональным числам. Полагаем, однако, что отмеченные ранее характерные недостатки в организации учебного процесса при изучении иррациональных чисел намечают и пути преодоления их.

Остановимся лишь на одном из наиболее крупных недостатков, заключающемся в чрезмерном уклоне в сторону отвлеченно-теоретического обучения. Одно из главных проявлений этого уклона — слабое насыщение уроков и домашних заданий разнообразными упражнениями, которые при умелом подборе их, несомненно, помогли бы ученику не формально, а достаточно сознательно и прочно усвоить основные элементы курса иррациональных чисел в VIII классе.

Прежде всего отметим, что в задачнике Ларичева имеется небольшое число полезных упражнений на иррациональные числа, которые следует использовать гораздо полнее, чем это обычно, наблюдается в практике преподавания. Мы имеем в виду задачи 146—151 и 374—376 (по изд. 1952 г.), каждая из которых содержит несколько вопросов и упражнений. Кроме того, в некоторых случаях можно легко составить полезные упражнения для домашних заданий, которые позволят проверить, насколько сознательно ученик усвоил то, что было сообщено ему в классе. Так, например, если ученик вполне понял доказательство теоремы „не существует рационального числа, квадрат которого равен двум", то можно предложить ему доказать, что „не существует рационального числа, квадрат которого равен трем", или даже установить, что „точное значение Y5 не может быть выражено рациональным числом".

Наконец, оживит урок и принесет большую пользу широкое использование устных и полуустных упражнений, в том числе

и вопросов по теории, „коротеньких" задач, вычислительных и графических работ (на самом уроке и в домашних заданиях). Вот несколько таких упражнений (частично повторяющих тематику упражнений, помещенных в задачнике Ларичева).

1) Можно ли утверждать, что длина отрезка, соизмеримого с единичным отрезком, выражается целым числом или конечной десятичной дробью?

2) Шестнадцатая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 21 раз. Выразить длину отрезка а десятичной дробью.

3) Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 15 раз. Конечной или бесконечной десятичной дробью выразится длина отрезка а? Указать приближенное значение этой дроби с точностью до 0,001 с недостатком и с избытком.

4) Почему при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться непериодическая бесконечная десятичная дробь?

5) Иррациональное число я выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,141592... Что больше, тс или /15?

6) Отрезок а несоизмерим с отрезком Ь, принятым за единицу. Если теперь за единицу измерения взять отрезок а, то будет ли отрезок b несоизмерим с а?

7) Можно ли утверждать, что катет любого равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерим с гипотенузой?

8) Можно ли утверждать, что в прямоугольном равнобедренном треугольнике катет и высота, проведенная к гипотенузе, несоизмеримы?

9) Отрезки а и b несоизмеримы. Будет ли отрезок, равный у а, несоизмерим с отрезком, равным половине о?

10) Дан квадрат. В него вписан соединением середин смежных сторон другой квадрат, в который таким же образом вписан третий квадрат. Будет ли сторона этого квадрата соизмерима со стороной данного квадрата?

11) Мы доказали, что точное значение /2 не может быть выражено несократимой дробью ~. Можно ли предположить, что существует сократимая дробь, квадрат которой равен двум?

12) Доказать: „не существует рационального числа, квадрат которого равен 5".

13) Какое из трех чисел /3, gg и Ц наибольшее и какое наименьшее?

14) Какое из чисел 3,4842 и 6 /2 больше?

15) Можно ли сложить числа 2 и /2?

16) Достроить, пользуясь числовой осью, значение суммы 2+ /2.

17) Вычислить с точностью до 0,001 сумму 2-}- j/2.

18) Вычислить с точностью до 0,001 сумму двух иррациональных чисел: 1,232332333 ... и /3.

19) Может ли сумма двух иррациональных чисел оказаться рациональным числом? Ответ пояснить примером.

20) Может ли сумма рационального и иррационального числа быть рациональным числом? Ответ пояснить примером.

21) Может ли разность двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Ответ пояснить примером.

22) Может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Ответ пояснить примером.

23) Всякому ли вещественному числу соответствует точка на числовой оси?

24) Всякой ли точке на числовой оси соответствует вещественное число?

25) Поясните смысл выражения: „Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой оси находятся во взаимно однозначном соответствии".

Приведенный набор упражнений вместе с упражнениями, имеющимися в задачнике Ларичева и в „Сборнике задач и упражнений" Игнатьева, позволит с достаточной полнотой поставить работу по закреплению знаний учащихся, внесет в процесс урока оживляющее разнообразие и существенно повысит активность учащихся.

9. На изучение иррациональных чисел в VIII классе обычно затрачивается ничтожное количество часов, в течение которых получить осязаемый результат заведомо невозможно. Полагаем, что необходимое улучшение постановки преподавания иррациональных чисел, включающее разнообразные упражнения, проведение углубленного опроса и т. д. требуют прежде всего, чтобы на объединенных уроках алгебры и геометрии для них было выделено не менее 9—10 час, из которых 2 часа следует отвести на повторение необходимых в дальнейшем положений арифметики, 2—3 часа на беседу о развитии понятия числа и на понятие о соизмеримых и несоизмеримых отрезках и 5—6 час. на учение об иррациональном числе в объеме, установленном учебной программой.

§ 2. Извлечение корня. Арифметическое значение корня.

В VIII классе дается следующее определение корня: корнем я-ой степени (п — натуральное число) из числа А называется такое число а, что а11 равняется А, т. е. УА = а, если ап = А. Отсюда следует, что (у/ГА)п = А. Учителю необходимо помнить, что в области комплексных чисел:

а) корень п-ой степени из числа А всегда существует, каково бы ни было число Д

б) извлечение корня есть действие многозначное, и существует столько значений корня, каков показатель корня.

В начале VIII класса учащиеся знакомы только с рациональными числами и постепенно знакомятся с иррациональными числами, поэтому при определении корня приходится вводить некоторые ограничения:

1) Корень нечетной степени из положительного и отрицательного числа всегда существует.

Извлечение корня нечетной степени в области действительных чисел есть действие однозначное.

2) Корень четной степени из положительного числа в области действительных чисел всегда существует (в VIII классе из-за трудности доказательства это положение можно постулировать).

Корень четной степени из отрицательного числа не существует, так как при возведении положительного или отрицательного числа в четную степень никогда не может получиться отрицательное число.

В области действительных чисел извлечение корня четной степени есть действие двузначное, т. е. существуют два числа, отличающиеся знаком, которые, будучи возвышены в степень (2п), равную показателю корня, дадут подкоренное число, например,

3) Всякий корень, если он существует, в области действительных чисел может быть представлен в виде конечной или бесконечной десятичной периодической дроби (корень есть рациональное число) или бесконечной десятичной непериодической дроби (корень — иррациональное число):

В математике часто стремятся избежать многозначного результата при выполнении какого-нибудь действия, поэтому при извлечении корня четной степени ввели понятие об арифметическом корне.

Определение. Положительное значение корня четной степени из положительного числа называется арифметическим значением корня или, сокращенно, арифметическим корнем, например,

Примечание. Существуют различные определения арифметического корня. Проф. Брадис В. М. дает следующее определение: двузначность корня четной степени представляет большое неудобство, и его устраняют, вводя понятие арифметического значения корня, т. е. неотрицательного (положительного или равного нулю) его значения („Методика преподавания математики", Учпедгиз, 1954, стр. 278). Проф. Фаддеев Д. К. и Соминский И. С: Положительное значение корня п-ой степени из положительного числа называется арифметическим значением корня (Алгебра, ч. II, стр. 36). Киселев А. П.: корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собой положительное число (Алгебра, ч. I, стр. 85, 1949).

Мы считаем, что об арифметическом значении корня можно говорить только для корней с четными показателями; для корней с нечетными показателями нет необходимости вводить понятие об арифметическом корне.

Вопрос об арифметическом значении корня вызывает много недоумений в школе. Дело в том, что когда приходится извлекать корень четной степени из положительного числа, мы вообще получаем два значения и оба значения, особенно при решении задач, должны приниматься во внимание.

При выполнении действий над радикалами для избежания многозначности рассматривается только одно значение корня. Если этого не сделать, то например, мы будем иметь:

1) /9+ /36 = 3 + 6 = 9,

2) /9+/36 = —3 + 6 = 3,

3) /9+ /36 = 3 — 6 = — 3,

4) /9+/36 = —3 — 6 = —9,

т. е. получим четыре различных результата.

Когда встречаются корни с нечетными показателями, то такого недоразумения не получится, например,

/27+ /^8 = 3 — 2=1.

Если даны выражения, содержащие корни с четными и нечетными показателями, то снова возникает двойственность ответа, например,

/Î6+ /27 = 4 + 3 = 7, /Тб+ /27 = — 4 + 3 = —1.

Поэтому во всех упражнениях, приводимых в задачниках, подразумеваются только арифметические значения корней.

Следует обратить внимание на один случай, который часто встречается при действиях с радикалами и при решении иррациональных уравнений.

Требуется найти

Как известно, Тогда

Возникает вопрос: какое же значение корня следует взять? Так как мы рассматриваем только арифметическое значение корня, то в правой части должно быть положительное число. Следовательно,

§ 3. Основные теоремы о радикалах.

Доказательство основных теорем о радикалах в большинстве учебников изложено неудачно. Обычно доказательство сводится к проверке равенства, которое требуется доказать, путем возведения в соответствующую степень. Например, теорема: чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить (Киселев, Алгебра, ч. II, стр. 14, 1949), т. е.

Yab = Yà- Vb

доказывается следующим образом.

Возведем обе части равенства в п степень:

(УОЬу = {Уа- VF?.

Чтобы возвысить произведение нескольких сомножителей, достаточно возвысить каждый сомножитель в отдельности:

(УТЬ)п = С/а)п -(Vbf.

Согласно определению корня, имеем

(УШ)п = аЬ; (Уй)п = а; (п/Ь)п = Ь9

следовательно,

ab = a • Ь.

Отсюда делается вывод, что справедливо равенство

Vâb= Va - nJb.

Прежде всего проверка в таком толковании не дает права делать то или иное заключение. Известно, что из заведомо не-

верного утверждения, например 3 = — 3, путем правильных операций можно получить верное утверждение.

Возведем в квадрат: 32=(—З)2, т. е. получим верное равенство.

Кроме того, в области действительных чисел п/ ab может существовать, а п/а и п/Ь могут не существовать, например, ■/(— 9) • (— 4) существует, а \/ — 9 и |/ — 4 не существуют.

Поэтому в настоящее время часто применяется другой способ доказательства, и в формулировках теорем добавляют „если корни существуют". Приведем доказательство нескольких теорем.

1. Корень из произведения нескольких чисел равен произведению корней той же степени из каждого числа, если корень из каждого числа существует.

Доказательство. Пусть Уа=х\ п/Ь=у.

Согласно определению, а = хп\ Ь=уп.

Перемножим данные равенства ab = xn *уп = (ху)п, тогда

у^Ь = х.у= "fa - у%

что и требовалось доказать.

2. Чтобы извлечь корень из дроби, надо извлечь его из числителя и знаменателя, если корни существуют, и первый результат разделить на второй.

Доказательство. Пусть п/а = х\ п/Ь =у\ Ь^О. Тогда а = хп; Ь=уп.

Разделим первое равенство на второе

Согласно определению корня,

что и требовалось доказать.

Примечание. Оговорка о существовании каждого корня необходима: 1/ ^-- = 2, но /—36 и |/—9 не существуют.

3. Теорема о сокращении показателя корня и показателя степени подкоренного количества на общий множитель. Положим п/ар = х, тогда ар = хп.

Возвысим обе части равенства в т-ую степень: атр = хтп. Следовательно тп/атр = х.

Но X = Уар, поэтому тп/атр — п/о?% что и требовалось доказать.

Данная теорема также требует оговорки: п/ар должен существовать. Без этого дополнительного условия теорема может быть неверной; например, вместо /(—2)6 нельзя писать ]/\—2)3. Последний корень в области действительных чисел не существует.

Остальные теоремы доказываются аналогично.

Необходимость данных теорем не вызывает сомнения у учащихся, за исключением теоремы о вынесении множителя из-под знака радикала и внесении множителя под знак радикала.

Учащиеся не понимают, зачем нужны эти теоремы. Поэтому перед доказательством их надо привести несколько примеров, поясняющих цель введения.

1. Будут ли подобны радикалы /8 и 3/2? Ответ. Подобны 2 /2 и 3 /2.

2. Какое из выражений 4/20 и 2/45 больше? Ответ. 8 /5>6 / 5.

3. Вычислить б /8 с недостатком с точностью до 0,01:

Если 6 подвести под знак радикала, то получим /288

Приближенные значения с недостатком не совпадают; второе значение является более верным.

Отсюда делается вывод, что при нахождении приближенного значения корня множитель, стоящий перед корнем, вводится под знак радикала. Доказательство данных теорем не представляет труда.

Мы считаем возможным ввести еще одну теорему, которая иногда позволяет упростить решение некоторых задач.

Теорема. Если A -f- /В = С + /D, где Л, 5, С, D рациональные числа, а /5 и /D иррациональные числа, то А = С и B = D.

Доказательство. Докажем от противного. Пусть А Ф С. А = Сгде а — рациональное число. Тогда

С +a-f /5=С+ /А или a-f- /5= /D.

Возведем данное равенство в квадрат

откуда

В правой части мы имеем рациональное число, в левой части — иррациональное число, что невозможно, следовательно, Л = С, а тогда /5 = /Д откуда B = D.

§ 4. Приближенные значения корня.

Приближенные значения корня с точностью до недостаточно хорошо известны учащимся. Можно рекомендовать следующий прием изложения.

Пример 1. Как известно, /2 не равняется ни целому, ни несократимой рациональной дроби; /2 есть иррациональное число и может быть представлен бесконечной десятичной непериодической дробью.

Возьмем расширенный натуральный ряд чисел

О, 1, 2, 3, 4, ... (1)

В данном ряду найдем два таких рядом стоящих числа, чтобы квадрат первого был бы меньше 2, а квадрат второго больше 2. Такими числами будут 1 и 2.

1*<2<2*.

Назовем 1 приближенным значением /2 с недостатком с точностью до 1, а 2 — приближенным значением /2 с избытком с точностью до 1 и введем следующие обозначения:

(/2)7=1 и (/2)f = 2.

Умножим 2 на 10е и найдем в ряду (1) два таких рядом стоящих числа, чтобы квадрат первого был бы меньше 2 • 102, а квадрат второго больше 2 • 10*. По таблице квадратов чисел имеем, что такими числами будут 14 и 15.

Действительно, 142<2 . 102< 152, откуда <2< (Щ*.

Назовем 1,4 приближенным значением /2 с недостатком с точностью до 0,1, а 1,5 приближенным значением /2 с избытком с точностью до 0,1. Обозначим

(/2)0,, = 1,4 и (/2)o+ti = l,5.

Умножим 2 на 1002 и опять найдем два рядом стоящих числа в ряду (1), причем квадрат первого будет меньше 2-100* = = 20 000, а квадрат второго больше 20000.

Из таблицы квадратов чисел находим, что первое число будет 141, а второе число 142.

Следовательно,

Как и раньше, назовем 1,41 приближенным значением /2 с недостатком с точностью до 0,01, а 1,42 — приближенным значением /2 с избытком с точностью до 0,01:

( /2)0,01 = 1,41 и ( /2)о,о1 = 1,42.

Для нахождения приближенного значения корня из двух с недостатком и с избытком с точностью до 0,001 умножим 2 на 10002 и найдем в ряду (1) два рядом стоящих числа; квадрат первого должен быть меньше 2 • 1 ООО2, а квадрат второго больше 2 • 10002. Искомыми числами будут 1414 и 1415, так как 1414*= 1 999 396 и 14152 = 2 002 215.

Тогда

14142<2- 10002<14152,

или

Назовем

(/2)ô,ooi = l,414 и (/2)î,ooi = l,415.

Аналогично можно найти приближенное значение /2 с точностью до 0,0001 и т. д. Получим две последовательности:

1; 1,4; 1,41; 1,414; ...

2; 1,5; 1,42; 1,415; ...

Члены первой последовательности будут приближенными значениями /2 с недостатком с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... , а члены второй последовательности — приближенными значениями /2 с избытком с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001 ...

Заметим, что

1) число членов в первой и во второй последовательности бесконечно, так как иначе /2 равнялся бы конечной десятичной Дроби;

2) члены первой последовательности не убывают, а члены второй последовательности не возрастают, больше того, убывают;

3) любой член второй последовательности больше любого члена первой последовательности, так как любой член первой последовательности меньше /2, а любой член второй последовательности больше /2;

4) разность между соответственными членами второй и первой последовательности равна 1; 0,1; 0,01; 0,001; ...

Пример 2. Найти приближенные значения /0,3 с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.

Примечание. При нахождении натуральных чисел, удовлетворяющих искомым условиям, следует пользоваться таблицами квадратов и кубов чисел.

Мы рассмотрели приближенные значения корня, когда корень не извлекался нацело.

Однако во многих случаях, хотя подкоренное выражение является точным квадратом, нет необходимости находить точное значение корня, а достаточно ограничиться только приближенными значениями. В таких случаях поступают точно так же.

Например, требуется найти /10,72824516 с точностью до 0,1 или до 0,01.

Можно извлечь корень нацело и ограничиться десятыми и сотыми долями: |/10,72824516 = 3,2754; следовательно, (/10,72824516)0,1^3,2 или 3,3 и (>/10,72824516о;о1 = 3,27 или 3,28.

Такой способ требует много лишних вычислений. Применим тот же способ, что и в предыдущих случаях.

Помножим подкоренное выражение на 10е и найдем в натуральном ряду два рядом стоящих числа таких, что квадрат первого будет меньше, а квадрат второго больше чем

10,72824516 - 10*= 1072,824516.

Искомые числа будут 32 (32* =1024) и 33 (332= 1089), следовательно,

322< 10,72824516- 102<332, или

(fö2)2<10,72824516<(g)8,

откуда _

(/10,72824516)0,1 = 3,2 (с избытком 3,3).

Если требуется найти приближенное значение корня с точностью до 0,01, то умножим подкоренное выражение на 1002:

10,72824516 - 100*= 107282,4516.

В натуральном ряду найдем два числа

3272= 106929, 328* = 107584,

следовательно,

(^/<10,72824516<(g)\

откуда

(/lO,72824516)ô,oi =3,27 (с избытком 3,28).

Мы видим, что и для случая, когда корень извлекается нацело, можно найти две последовательности приближенных значений

корней с точностью до 1; 0,1; 0,001; 0,0001 с недостатком и с избытком:

3; 3,2; 3,27; 3,275; 3,2754, 4; 3,3; 3,28; 3,276; 3,2755.

Различие будет состоять в том, что в случае извлечения корня нацело последовательность приближенных значений с недостатком не будет бесконечной. Можно было бы и эту последовательность рассматривать как бесконечную, приписывая нуль:

3; 3,2; 3,27; 3,275; 3,2754; 3,27540; 3,275400; ... 4; 3,3; 3,28; 3,276; 3,2755; 3,27541; 3,275401; ...

Но нам кажется, что этого не следует делать в VIII классе. После проделанных примеров можно сделать выводы:

1) Две дроби и удовлетворяющие неравенствам ("Ш*) ^^^(то*у ' называются квадратными корнями числа А с точностью до у^. Дробь ^ называется приближенным значением корня с недостатком с точностью до дробь — приближенным значением с избытком с точностью до у^:

Отсюда следует, что квадратный корень из числа А с точностью ^ с недостатком есть наибольшее число с знаменателем 10я, квадрат которого не больше А.

Квадратный корень из числа А с точностью до с избытком есть наименьшее число с знаменателем 10*, квадрат которого больше А.

2) Для того чтобы извлечь квадратный корень из числа А с точностью до ^ с недостатком, надо извлечь с точностью до 1 квадратный корень из числа А • 10î/l и полученный результат умножить на степень точности, т. е. на Л^:

Для нахождения приближенного значения с избытком с точностью до следует к приближенному корню с той же точностью по недостатку прибавить ~.

Пример. Извлечь j/5 с точностью до 0,001.

Пример. Найти

Решение, следовательно,

Примечание. Приближенное вычисление корней с наперед заданной точностью

1) имеет большое значение при практических расчетах;

2) способствует более глубокому пониманию иррациональных чисел и действий над ними;

3) служит хорошим подготовительным материалом для теории пределов.

§ 5. Таблицы для квадратного и кубического корня.

Мы придаем большое значение таблицам, так как вычисление по таблицам является одним из существенных моментов при политехническом обучении.

Наиболее ценными являются те таблицы, которые составлены самими учащимися. К сожалению, не всегда возможно в средней школе привести те формулы, на основании которых составлены таблицы; в этих случаях приходится говорить учащимся, что их знания по математике недостаточны.

Подробное описание таблиц, указание, с какой точностью при помощи их можно производить вычисления и т. д., должно быть дано.

Мы также полагаем, что после ознакомления с таблицами в течение всего дальнейшего курса необходимо требовать, чтобы учащиеся постоянно пользовались таблицами, т. е. таблицы превратились в действенное средство вычислений.

Мы думаем, что таблицами процентов, степеней и корней и т. п. можно пользоваться лишь после того, как учащийся приобрел необходимые твердые навыки в непосредственных вычислениях; только в этом случае таблицы принесут пользу.

При изучении извлечения корня на таблицах следует остановиться подробно. Возражение, что на это потребуется много времени, не совсем убедительно. Таблицы для нахождения корней в общем устроены так же, как и таблицы логарифмов.

Следовательно, время, затраченное на изучение таблиц корней, будет сэкономлено при изучении таблиц логарифмов.

Предварительно учащихся можно познакомить с таблицами с одним входом (Брилинг, С. Р. „Математический справочник", ГТТИ, 1933. Попов И. Г. „Математические таблицы", Учпедгиз, 1952). Такие таблицы имеют вид

n

n2

n3

Vn

Vn

1

1

1

1,0000

1,0000

2

4

8

1,4142

1,2599

3

9

27

1,7321

1,4422

4

16

64

2,0000

1,5874

5

25

125

2,2361

1,7100

6

36

216

2,4495

1,8171

7

49

343

2,6458

1,9129

8

64

512

2,8284

2,000

9

81

729

3,0000

2,0801

10

100

1000

3,1623

2,1544

У Брилинга и Попова последние числа в таблицах 1000.

Достоинство таблиц с одним входом заключается в удобстве пользования, недостаток — в объеме.

Несколько иное устройство имеют таблицы В. М. Брадиса. Учитель должен познакомить учащихся с устройством, с точностью вычисления при помощи них и т. д. Преимущество таблиц Брадиса состоит в их компактности и возможности находить квадратные и кубические корни для четырехзначных чисел.

Прежде чем перейти к таблицам извлечения корней Брадиса, если это не сделано раньше, учащихся надо познакомить с таблицами возвышения чисел в квадрат и в куб.

Последовательность изучения таблиц может быть следующая.

1) Возвышение в квадрат и в куб двузначного, трехзначного и четырехзначного числа.

Учащиеся свободно должны уметь находить, пользуясь таблицами, значение следующих выражений:

2) Извлечение квадратного корня из двузначного, трехзначного и четырехзначного числа.

После этого следует решить с ними достаточное число примеров такого рода:

3) Извлечение кубического корня из двузначного, трехзначного и четырехзначного числа.

Учащиеся смогут тогда находить при помощи таблиц числовое значение следующих выражений:

Примечания: 1. Надо указать, что если основание степени или подкоренное число будет пятизначное число или более, то необходимо округлить число до четырех значащих цифр, например, /16,8768 приближенно равняется /16,88.

2. При помощи таблиц извлечения квадратного и кубического корня можно извлекать также и корни четвертой, шестой, восьмой и т. д. степеней

Пример 1. Пример 2.

Мы считаем возможным построить график для извлечения квадратного и кубического корня.

Черт. 2 Черт. 3

Полезно сравнить результат вычисления корня по таблицам и по графику (черт. 3). Учащиеся убедятся в том, что графический способ дает примерно такие же результаты, как по таблицам или при непосредственном вычислении.

§ 6. Действия с радикалами.

Действия с радикалами усваиваются учащимися сравнительно легко, так как все законы, установленные для рациональных выражений, распространяются и на радикалы.

Примеры на радикалы подобраны в задачнике Ларичева удачно, и число их вполне достаточно. Сделаем только несколько замечаний.

1) В примерах, где под знаком корня встречаются дробные выражения, прежде чем приступить к тождественным преобразованиям, надо указать, при каких условиях выражения имеют смысл. Например, прежде чем приступить к решению задачи 241(1)

необходимо указать, что а ^ 0; а = х^0; аф — х и аф х\ |а|>|х| и т. д.

2) Необходимо выбирать наиболее рациональный и изящный прием, если пример допускает несколько решений. Сравнение различных способов решения одной и той же задачи имеет большое в математическом отношении воспитательное значение.

Задача 389. Доказать, что дробь

Решение.

1-й способ. Подставить вместо х его значение.

2-й способ. Разделить числитель и знаменатель на предполагая, что а Ф х.

Но

На основании свойства производной пропорции имеем

следовательно,

Тогда

Затем учащиеся сравнивают оба эти способа решения. Задача 394 (4). Доказать, что если х= ^ab и а^>Ь^>0, то

Решение.

1-й способ. Подставить вместо х его значение. 2-й способ. Разделить числитель и знаменатель на

следовательно,

Задача 394 (3). Найти А =

Решение.

1-й способ. Непосредственная подстановка.

2-й способ.

Подставим значение

3) Среди примеров, предлагаемых на различные преобразования, должны встречаться и такие, в которых требуется найти числовое значение данного выражения с наперед заданной точностью.

4) Прежде чем познакомить учащихся с основными приемами освобождения знаменателя от радикалов, полезно решить несколько примеров следующего вида.

Пример 1. Вычислить А = —т= с точностью до 0,001.

Решение.

Найдем значение А другим способом. Помножим числитель и знаменатель на j/2.

Вычисления при втором способе несколько проще, так как не приходится делить на дробь; все радикалы можно вычислить при помощи таблиц.

Пример 2. Найти А= ,—т=- с точностью до 0,001.

У 5 +У 2

Решение. \/Ъ^2,236; /2^1,414, следовательно, /5 4- /2 л* 3,650. Тогда

Покажем другой прием нахождения числового значения данного выражения. Помножим числитель и знаменатель на сопряженный иррациональный двучлен знаменателя:

Вычисления в этом случае несколько проще. Если в классе был затронут вопрос о погрешности частного, то второй способ дает в некоторых случаях лучший результат.

После решения нескольких таких примеров идея освобождения знаменателя дроби от радикалов станет ясной учащимся, и тогда можно перейти к основным приемам.

1) Дробь вида -^у==> n^>k. В этом случае умножают числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе корень извлекался бы нацело, т. е. на ^Ьп~к.

2) Дробь вида

Числитель и знаменатель умножают на сопряженный иррациональный двучлен знаменателя, т. е. н^ /а=ь Yb.

В частном случае, когда х = —у=—, то также умножают на

3) Дробь вида

В этом случае числитель и знаменатель умножают на неполный квадрат суммы или разности fô2 =р Y ab + j/ô2.

4) В X классе после прохождения теоремы Безу и ее следствий можно предлагать следующие примеры:

Если в знаменателе попадаются радикалы с разными показателями, то полезно бывает предварительно привести их к одному знаменателю.

Пример 1.

Пример 2.

Помножим числитель и знаменатель на

тогда получим

Можно также умножать числитель и знаменатель постепенно на сопряженные величины:

Помножим теперь числитель и знаменатель на

5) Если в знаменателе имеются три или более радикалов, то предварительно полезно бывает сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным.

Пример.

§ 7. Обобщение понятия степени.

Небольшой по объему теоретический материал, относящийся к главе „Обобщение понятия степени", обычно усваивается учащимися плохо. Характерные ошибки, постоянно наблюдаемые здесь, связаны с отсутствием у учащихся отчетливого понимания, что основные положения теории, раскрывающие смысл понятия степени с любым вещественным показателем, представляют собой соответствующим образом выбранные определения. Даже когда ученик формально относит эти положения к определениям, он вместе с тем рассуждения, приводимые в пользу целесообразности сделанного выбора, склонен рассматривать, как выводы или доказательства утверждений, заключающихся в определениях.

Происхождение принципиальных ошибок подобного рода зависит от ряда причин: от непонимания целей и содержания

поставленной задачи, от неправильного понимания связей, которые возникают между накопленными ранее знаниями и новыми проблемами, а также из-за недостаточной логической культуры учащихся и неполноценного или недостаточно выразительного преподавания этого раздела.

Когда ученик приступает к изучению таких разделов программы, как, например, „прогрессии" или „логарифмы", он сейчас же встречается с новыми для него понятиями и терминами. Возникает естественная необходимость раскрыть с помощью определений смысл их и изучить свойства вновь введенных объектов. Понимание структуры такого раздела не вызывает у учеников старших классов особых затруднений, и они достаточно отчетливо представляют себе, какое назначение имеет то или иное положение теории и к какому виду математических предложений оно принадлежит.

Иначе проходит изучение главы „Обобщение понятия степени". Ученик не встречает здесь ни новых терминов, ни новых, как ему кажется, понятий, а первые уроки по теме, заключающиеся в освежении и приведении в систему знаний, накопленных на протяжении нескольких лет, побуждают его всю проводимую работу воспринимать как будничное повторение курса младших классов. В его сознании стираются грани между учением о степенях с натуральным показателем и теми новыми идеями, которые позволяют обобщить понятие степени, сохранив в силе установленные ранее правила действий. И если учитель не сумеет тактично и настойчиво направить мысль ученика на те новые идеи и понятия, требующие непривычных подходов и новых определений, которыми богат этот раздел программы, то нелегкие для сознательного усвоения теоретические основы его не будут поняты учащимися.

Указанные трудности логического и, отчасти, психологического характера могли бы быть ослаблены при наличии качественного изложения материала в школьном учебнике. Но этого нет. В имеющихся на руках у учителя и учеников учебных пособиях встречаются нарушения логической последовательности изложения и порою недостаточная отчетливость в рассуждениях. Так в I части учебника алгебры Киселева при делении степеней одного и того же основания неоправданно вводится символ а0, явно не имеющий смысла с точки зрения данного перед тем определения действия возведения в степень. Резонансом допущенного нарушения последовательности изложения является ошибочная формулировка правила деления степеней в § 89 второй части учебника. В используемом еще иногда задачнике Шапошникова и Вальцова задолго до постановки вопроса об обобщении понятия степени широко применяются отрицательные показатели. Отдельные шероховатости такого рода встречаются и в задачнике Ларичева, часть II: так, в задаче 855-а, пункт 4 (по изд. 1952 г.), повидимому, предполагается, что смысл выра-

жения (— 1)° должен быть понятен ученику до изучения главы „Обобщение понятия степени". Наконец, не вполне удачно в учебнике Киселева изложен § 89. В этом параграфе приведено 8 правил, относящихся к уже известным учащимся свойствам степени с натуральным показателем. При этом непосредственное значение в качестве базы для дальнейшего имеют лишь 1, 2, 5 и 8 пункты приведенной сводки правил. Между тем, специальное повторение, предваряющее изучение нового материала, должно быть целенаправленным и, по возможности, неперегруженным. Поэтому для более полного привлечения внимания учащихся к тому главному, чем они будут заниматься, следует ограничиться повторением указанных четырех пунктов, сопроводив каждый из них полезным указанием, раскрывающим, при каких значениях букв правило может применяться.

Полагая тип целыми положительными числами, будем иметь:

1) Правило умножения степеней ат • ап = ат+п верно при любых а и при любых тип.

2) Правило деления степеней: ат:ап = ат~п — верно при а Ф 0 и m > п.

3) Правило возведения степени в степень: {ат)п = атп — верно при любых а и любых тип.

4) Правило извлечения корня из степени: У~ап =ат —верно при любых а и п кратном т.

На первом уроке, попутно с обзором правил действий над степенями с натуральным показателем, необходимо восстановить и полностью довести до сознания учащихся, что выражение ап есть сокращенная запись произведения а • а • • • а, состоящего из п сомножителей, каждый из которых есть а, и что поэтому символ ап по имеющемуся определению его имеет смысл лишь при натуральных значениях п. Отсюда вытекает, что правила действий над степенями могут применяться лишь тогда, когда не только компоненты, но и результат действия оказывается степенью с натуральным показателем. Этим и объясняются ограничения, накладываемые на показатели тип при производстве обратных действий: т^>п при делении и п:т при извлечении корня из степени (в учебнике Киселева правило деления степеней сформулировано неверно; ошибочное „не больше" вместо обязательного здесь „меньше" предполагает допустимость вычитания показателей в случае их равенства). Важной иллюстрацией к сказанному является случай деления ап на ап. Ученик должен понять, что деление а* на ап по правилу деления степеней пока невыполнимо, хотя в то же время оно выполнимо арифметически: аЛ:аЛ=1, что и является единственно возможным объяснением при рассмотрении деления одночленов в младших классах. (Преждевременное появление символа а0 при делении ап на ап иногда соблазняет неопытного учителя доходчиво доказать, что а°=1, с помощью такого „убедительного" рассужде-

ния: „Очевидно, ап\ап=\\ с другой стороны, по правилу деления степеней an:an = an~n = aQ; значит, а° = 1".)

Для более сознательного отношения к содержанию главы „Обобщение понятия степени" полезно приобщить учащихся к некоторым идейным моментам предстоящей работы, которые в учебных пособиях обычно почти не затрагиваются. Так, в качестве введения к теме следует охарактеризовать содержание новой главы курса, разъяснив, в чем заключается указанная в заглавии задача — „обобщить понятие степени", — что явится здесь принципиально новым, и чем вызвана необходимость постановки этой новой задачи.

Назревшую необходимость расширения понятия степени можно мотивировать внутренними потребностями самой математики, возникающими при изучении различных вопросов, связанных с понятием степени. Попутно можно сказать ученикам, хотя это не удастся показать на понятных им примерах, что уже в ближайшее время при исследовании показательной и логарифмической функций потребуется рассматривать степени не только с натуральным показателем.

В изучавшихся ранее разделах школьной программы (например, связанных с развитием понятия числа) идея расширения и обобщения понятий, устанавливаемых первоначально для ограниченной области объектов, не могла быть обойденной. Во всяком случае, привлекая этот уже знакомый учащимся материал, можно с успехом использовать некоторую аналогию в постановке вопросов для лучшего усвоения нового материала. Например, можно напомнить, что тригонометрические функции сперва были определены как отношения сторон в прямоугольном треугольнике, т. е. только для острых углов. В дальнейшем понятие о тригонометрических функциях было расширено: были введены новые, более общие определения, позволяющие рассматривать тригонометрические функции любого угла. При этом новые определения были установлены так, что основные зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла, выведенные ранее лишь для острых углов, оказалось возможным распространить на тригонометрические функции любого угла.

Примерно такая же структура и в теории обобщения понятия степени. Здесь также развитие понятия степени распадается на два этапа, причем сначала определяются и рассматриваются лишь степени с натуральным показателем. В дальнейшем, в связи с возникшей необходимостью расширить понятие степени, вводятся новые специальные определения для степеней с любыми вещественными показателями, после чего такие не имевшие раньше смысла выражения, как, например, а0, а~3, а3, аУ2, приобретают вполне определенный смысл. Весьма важным обстоятельством при этом является то, что для простоты и единства всего учения о степенях в целом, новые определения

устанавливаются так, чтобы остались в силе все выведенные ранее правила действия над степенями с натуральным показателем. Необходимо полностью довести до сознания ученика, что это и есть общая направляющая идея, которой подчиняется выбор новых определений. Таким образом ставится основной в теории изучаемой главы вопрос: какой смысл следует вложить в новые символы, т. е. как определить их, чтобы сохранить неизменными старые правила действий, сделав ненужными ограничения, которые вытекали из первоначального определения степени с натуральным показателем. Решение этой задачи и, в частности, показ, как поставленная цель — универсальность правил действий над степенями — отражается на формировании и определении новых понятий, и составляет главную часть теории в параграфе „Обобщение понятия степени".

В условиях поставленной задачи необходимо, чтобы определения новых понятий были даны не формально, не в виде немотивированных готовых формулировок, а был бы вскрыт ход мысли, который побудил в условиях известной свободы выбора принять именно такие определения. Несомненно, это ставит перед учителем трудную задачу, так как малейшая небрежность или даже неосторожность в высказываниях может породить у учащихся ложное представление, что речь идет о доказательстве утверждений, заключающихся в определениях.

В „Алгебре" Фаддеева и Соминского авторы несколько уменьшили возможность возникновения таких ошибок, поступая следующим образом: они сначала дают определения, а уж затем в виде отдельных дополнительных замечаний приводят соображения в пользу выбора формулированных определений. Думается, что методически предпочтительнее иной путь, имеющий некоторые преимущества в смысле логической стройности и последовательности: формулировке определений предшествует предварительный анализ, показ той работы мысли, которая заставляет остановиться на далее формулируемых определениях. Следует попутно отметить, что изложение этой части теории в учебнике Киселева нельзя признать четким — определения почти никак внешне не выделены, а порядок изложения и некоторые обороты речи могут побудить затерянные в тексте определения принять за теоремы.

В учебнике Киселева, а также в „Алгебре" Фаддеева и Соминского для обоснования вновь выводимых определений используются обратные действия над степенями — деление степеней и извлечение корня из степени. При этом выбор определений обусловливается специальной задачей — снять ограничения, имеющиеся в формулировках правил для обратных действий над степенями с натуральным показателем. Не менее удобно и, возможно, это окажется более доходчивым для учеников, пойти по другому пути (рекомендуемому в учебнике методики Брадиса и в курсах алгебры Новоселова): исходить из прямых действий —

умножения степеней и возведения степени в степень, что позволит выбор определений непосредственно связать с основной задачей: сохранить в силе правила действий, установленные для степеней с натуральным показателем.

Примерная схема подведения учащихся к новым определениям в этом случае может быть, например, такой.

Рассматривается выражение а°, в которое пока еще не вкладывается никакого содержания.

Ставится задача: какой смысл целесообразно придать этому символу, т. е., другими словами, как определить его, если требуется, чтобы старые правила действий над степенями и, в частности, правило умножения степеней, остались в силе?

Умножаем по этому правилу а0 на ат\ а0 • ат = а*+т = ат. Но при атФОУ т. е. при а^О, произведение двух сомножителей (а0 и ат) может равняться одному из них (ат) тогда и только тогда, когда другой сомножитель (а0) равен единице.

Значит, старое правило умножения степеней сохраняется лишь в том случае, если при любом а, не равном нулю, выражение а° мы будем считать числом, равным единице.

Смысл символа а0, таким образом, раскрыт, целесообразное определение степени с нулевым показателем найдено.

Определение 1. а°=1 при любом а, кроме а — О. (Нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна единице.)

Указывается, что старое правило деления степеней с натуральными показателями ат :ап = ат~п, ограниченное ранее требованием т^>п, теперь можно применять и при т = пу так как частное в форме а0, по новому определению, имеет смысл. Отмечается, что результат деления ап на а11 в форме а0 полностью согласуется с результатом ап:ап=\, полученным из арифметических соображений, так как по определению а°=1.

Далее, в порядке самостоятельной работы учащимся предлагается показать, что старое правило возведения степени в степень (ат)п = атп сохраняется, если один или оба показателя тип равны нулю.

В том же плане можно подойти и к определению степени с целым отрицательным показателем. Рассуждаем так: старое правило ат • ап = ат'гП для натуральных тип, по нашему замыслу, должно остаться в силе, когда один или оба показателя тип какие угодно отрицательные целые числа.

Пусть т = — п. Тогда а~п • ап = агплп = а0 = 1. Полагая а ф 0, из равенства а~п-ап=\ имеем: а~п=-^.

Смысл символа а~Л, таким образом, раскрыт.

Определение 2. При любом а Ф 0 и любых натуральных значениях п степень а =-н.

Остается показать, что принятое определение степени с целым отрицательным показателем позволяет применять все старые

правила действий над степенями в тех случаях, когда показателями являются любые целые числа. Можно поступить так.

Рассмотреть в классе деление степеней в двух случаях: когда натуральный показатель степени делимого меньше натурального показателя степени делителя (т. е. снять имевшееся ограничение т<^п)у и когда один или оба показателя — целые отрицательные числа. Остальные подлежащие проверке положения, оформив их в виде задач на доказательство, предложить учащимся в качестве домашнего задания.

Для определения степени с дробным показателем рассматривается выражение аЛ, где m и п — какие угодно натуральные числа. Ставится вопрос: как следует понимать этот символ, т. е. как определить его, если требуется, чтобы старое правило возведения степени в степень осталось в силе.

Возводя ап в п-ую степень, получаем:

Но из равенства \ап) =ат, по определению корня, имеем:

Смысл символа ая, таким образом, раскрыт.

Определение 3. При натуральных значениях тип степень

Определение степени с дробным показателем необходимо сопроводить следующим важным указанием.

Если ——несократимая дробь с четным знаменателем иа>0, то выражение ап понимается как арифметическое значение корня; если же а<^0, то выражение ап лишается смысла. Например: (— I)4 = V{— 1)3= V—If а такой корень в поле действительных чисел не имеет смысла.

Авторы некоторых учебников в связи с последним обстоятельством, а также из желания избежать исключений при применении „свойства дробного показателя" включают в текст определения степени с дробным показателем указание, что а>0. Если такого ограничения области допустимых значений для а в тексте определения не сделано (как, например, в „Алгебре" Киселева), то, во всяком случае, это должно быть сделано, когда формулируется „свойство дробного показателя". Между тем, в учебнике (Киселев, „Алгебра", ч. II, § 94) обязательное здесь ука-

занке, что а^>0, отсутствует, что может привести к грубым ошибкам. Например: (— I)3 = У—1 = — 1.

Умножая теперь числитель и знаменатель дроби ~ на 2, имеем:

Дальнейшее изложение материала, относящегося к главе „Обобщение понятия степени", ведется на основе учебника Киселева, поэтому дополнительных замечаний не требует. В частности, вряд ли окажется целесообразным в сложном для учащихся понятии „степени с иррациональным показателем" дать больше того, что имеется в § 97 учебника Киселева.

Основной вид упражнений по рассматриваемому разделу программы заключается в тождественных преобразованиях выражений, содержащих степени с рациональными показателями. Здесь больше, чем в других случаях тождественных преобразований, наблюдаются нерациональные формы работы, удлиняющие процесс преобразований. Усложнение работы, лишние преобразования и путаные записи чаще всего возникают из-за стремления учеников „избавиться" от степеней с отрицательными и дробными показателями путем предварительного обращения их в форму дроби и корня. Со всей настойчивостью ученикам должно быть внушено, что поскольку правила действий над степенями распространены теперь на степени с любым вещественным показателем, то и следует эти правила применять непосредственно, не прибегая к предварительному изменению формы степеней. Больше того, так как действия над степенями выполняются проще, чем над корнями, то во многих случаях, наоборот, при преобразовании иррациональных выражений оказывается удобным предварительно представить корни в виде степеней с дробным показателем. Выгоды такой работы следует продемонстрировать на решении в классе самим учителем одного-двух соответствующим образом выбранных сложных примеров.

§ 8. Комплексные числа.

Традиционное изучение теории комплексных чисел в X классе школы в основных чертах совпадает с изложением, имеющимся в учебнике Киселева. Резко выраженный формальный характер построения теории комплексных чисел в учебнике Киселева не соответствует воспитательным и образовательным целям школьного обучения. Пожалуй, больше, чем в каком-либо дру-

гом разделе школьной программы обычная постановка преподавания комплексных чисел в школе нуждается в перестройке.

Прежде всего следует отметить два коренных недостатка, характерных для традиционного изучения комплексных чисел.

На всех этапах расширения понятия числа введение новых чисел всегда заботливо связывалось с той материальной базой, которая побуждала ввести числа новой природы. Через весь курс математики, начиная с младших классов, проходила, таким образом, единая методологическая линия, являвшаяся существенным звеном в общей работе школы по выработке у учащихся материалистического мировоззрения. Появление новых чисел оказывалось в глазах ученика оправданным и естественным: ему становилось ясно, какие стороны реальной действительности отражают дробные, отрицательные и иррациональные числа.

Иначе обстоит дело с мнимыми числами. Первая встреча ученика с комплексными числами происходит, когда без предварительной подготовки на одном из уроков появляется сначала таинственное число it а затем и новый символ а-\-Ы. Что отображает это загадочное число, какие стороны практики, понимаемой хотя бы в самом широком смысле, вызывают потребность в нем, — ученику не ясно, и, естественно, он смотрит на него, может быть, и не отдавая себе в этом отчета, как на произвольно возникшее формально-логическое изобретение.

Второй коренной недостаток связан с тем, что в символе а 4- Ы% вводимом на самой начальной стадии обучения комплексным числам, логически никак не оправданы действия сложения и умножения. Действительно, ученик до сих пор настойчиво воспитывался в понимании того, что определения действий над известными ему числами не могут механически переноситься на новые числа. Он усваивает, что знакомое ему, например, действие умножения натуральных чисел требует нового рассмотрения и новых определений, когда вводится умножение дробных, отрицательных или иррациональных чисел, и что до введения новых определений действие умножения лишено смысла. Здесь же, в символе а -\- Ы% вопреки тому здоровому логическому воспитанию, которое проводилось на протяжении ряда лет, ученику неожиданно предлагают рассматривать сложение действительного числа а с мнимым числом bi, а также умножение действительного числа b на мнимое /, как операции само собой разумеющиеся, логически вполне законные и не требующие каких-либо предварительных разъяснений. Если же и делаются иногда оговорки, вроде того, что здесь, дескать, „знак -|~ не знак сложения, а пока только некоторый соединительный знак" и т. д., — то такого рода замечания и оговорки вряд ли сколько-нибудь помогают делу, оставляя в сознании ученика по меньшей мере ощущение чего-то неловкого и искусственного.

Отмеченные здесь коренные недостатки не мешают традиционному изложению теории комплексных чисел в X классе

прочно удерживаться в практике работы большинства учителей. Кроме привычности такого построения курса, немалую роль здесь, повидимому, играют еще два обстоятельства: раздел легко укладывается в отводимые программой 12 час, и учащиеся за это время хорошо усваивают несложные приемы решения типовых упражнений на комплексные числа.

Полностью преодолеть формальный характер изложения комплексных чисел в школе невозможно, так как связь новых чисел с конкретной действительностью не может быть вскрыта перед учащимися с такой же простотой и убедительностью, как это было сделано на предшествующих этапах расширения понятия числа. Но все же существенно ослабить чрезмерный формализм, присущий традиционному изучению комплексных чисел в школе, вполне возможно. Эта задача, наряду с необходимостью придать изложению достаточную логическую строгость и последовательность, и составляет основную методическую проблему, возникающую перед учителем при преподавании комплексных чисел в школе.

Среди различных предложений и подходов к решению поставленной задачи, появлявшихся в разное время в методической литературе, можно выделить два основных направления.

В статьях и учебниках некоторых авторов (Хинчин, Новоселов, Фаддеев и Соминский) проводится мысль, что математическое развитие ученика X класса позволит ему рассматривать внутренние потребности самой математики в виде универсальной выполнимости обратных действий и универсальной разрешимости некоторых простейших уравнений как косвенное проявление запросов практики. Но для безусловной выполнимости обратных действий и разрешимости уравнений одних действительных чисел недостаточно. Отсюда возникает вопрос, непосредственно связанный с потребностями практики, понимаемой в широком смысле: нельзя ли расширить поле действительных чисел так, чтобы в образовавшемся новом поле решение таких уравнений, как, например, л;24-1=0г оказалось выполнимым. Развитие этой мысли приводит к новому, завершающему этапу расширения понятия числа. Таким образом, если ученики освоят эти идеи, появление новых чисел потеряет характер неожиданности и искусственности, а изучение комплексных чисел будет в их глазах оправданным.

Другое направление в перестройке преподавания комплексных чисел в школе имеет в виду возможность преодоления формализма при изучении комплексных чисел путем использования на самой начальной стадии близких ученикам геометрических образов. Так, В. М. Брадис („Методика преподавания математики в средней школе", 1949, стр. 247) указывает три возможные линии преподавания комплексных чисел на геометрической базе: через рассмотрение множества точек плоскости, через рассмотрение множества векторов и, наконец, через рассмотрение опе-

раций поворота и растяжения, позволяющих получить любой вектор из единичного вектора.

Практика преподавания показывает, что перестройка изучения комплексных чисел дает лучшие результаты, когда учитель строит свою работу, используя геометрическую базу, а не мало убедительные для среднего ученика соображения об универсальной выполнимости обратных операций. Эти соображения в достаточной мере обычно не осваиваются учениками, и поэтому не удается существенно смягчить формальный характер введения комплексных чисел и построения элементарной теории их.

Но и „геометрическое" направление в перестройке преподавания комплексных чисел вызывает иногда возражения. А. Я. Хинчин, например, указывает, что ранняя и столь полная геометризация основных понятий теории комплексных чисел вызовет у ученика неправильное представление, что он имеет здесь дело с новым геометрическим понятием, а не с расширенным понятием числа. С этим опасением вряд ли можно согласиться. Ведь и раньше для лучшего понимания учеником VIII класса природы иррационального числа исключительно плодотворным оказывалось тесное содружество алгебры и геометрии: использование некоторых чисто геометрических положений, а также операция измерения длины отрезка, несоизмеримого с выбранным единичным отрезком. Все это не мешало, а наоборот, существенно помогало возникновению у ученика правильного понимания иррационального числа как числа, представляемого бесконечной непериодической десятичной дробью. Так и здесь, привлекая близкие ученику геометрические образы, следует изучению комплексных чисел придать такой характер, чтобы в конечном счете комплексное число вошло в сознание ученика как новый арифметический объект, завершающий длительный процесс развития понятия числа.

Приняв в качестве геометрической базы как наиболее доступное рассмотрение множества точек плоскости, покажем, как может быть решена поставленная задача в рамках школьного обучения. Учитывая при этом, что в существующей методической литературе имеются лишь отдельные наметки такого построения теории комплексных чисел на геометрической основе, которое соответствовало бы условиям школы, основные элементы новой системы изложения даются достаточно подробно.

1. Подготовка геометрической базы для введения комплексных чисел.

В объяснительной записке к учебной программе по математике (Программы средней школы, Математика, изд. 1954, стр. 16) указывается: „В курсе алгебры X класса перед введением комплексных чисел необходимо привлечь внимание учащихся к идее развития понятия числа и сообщить по этому вопросу краткие исторические сведения".

Отметим, что необходимым элементом обзора последовательных этапов расширения понятия числа должна быть сопровождающая их геометрическая иллюстрация. Ученик при этом должен получить отчетливое и выпуклое представление о том, что попутно с последовательными стадиями расширения понятия числа шло постепенное „заселение" числовой оси и что после того, как к рациональным числам были присоединены иррациональные числа и тем самым было завершено построение поля действительных чисел, числовая ось оказалась полностью „заселенной".

В непосредственной связи с возникающими отсюда наглядными представлениями формулируется важный для дальнейшего фундаментальный результат: каждому действительному числу соответствует на числовой оси одна и только одна точка (абсцисса которой равна этому действительному числу); и наоборот, каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно действительное число (выражающее абсциссу этой точки).

На этом, собственно, очерк, посвященный обзору последовательных этапов расширения понятия числа, заканчивается. Подчеркнем еще раз, что в связи с тем, что подход к изучению комплексных чисел и само введение их будет строиться посредством рассмотрения множества точек плоскости, особенно важно, чтобы в сознание ученика прочно вошло и полностью было им усвоено, что множество всех точек числовой оси и множество всех действительных чисел находятся во взаимно однозначном соответствии. Ученик должен научиться видеть в действительном числе аналитический образ, арифметический эквивалент геометрического образа — точки на числовой оси; и наоборот, точку на числовой оси рассматривать как геометрический образ действительного числа.

Если эти задачи в том обзорном очерке, который предваряет само изучение комплексных чисел, будут удачно разрешены, то можно считать, что надежная геометрическая база для введения комплексных чисел через рассмотрение множества точек плоскости будет обеспечена.

2. Комплексное число как пара.

Полное и сознательное усвоение учениками итогового положения— „каждой точке на числовой оси соответствует одно и только одно действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка на числовой оси" — создает естественную возможность направить мысль учеников к новой задаче: нельзя ли аналогичным образом выразить, представить числом любую точку М, произвольно взятую на плоскости? Первый, сразу напрашивающийся ответ будет дан учениками примерно в такой форме: „одним числом

представить точку M нельзя, а вот парой чисел, абсциссой и ординатой точки M можно".

Теперь остается лишь преодолеть своего рода „психологическое" затруднение: ведь ученик привык рассматривать как одно число только те арифметические объекты, которые выражаются с помощью одного числового элемента. Между тем, для прочного усвоения начальной теории комплексных чисел в той концепции, которая здесь предлагается, весьма важно преодолеть то внутреннее сопротивление, которое окажет ученик, когда ему будут предлагать смотреть на пару чисел как на одно число.

Идти к этой цели можно разными путями. Полезной, например, может оказаться здесь следующая, занимающая буквально несколько минут беседа.

„Сколько отдельных натуральных чисел требуется, чтобы выразить одно число — дробь -|-?" „... Итак, мы уже встречались с числами, для изображения и характеристики которых требуются два числа, два числовых элемента, образующих одно число". „Вы знаете также, что в дробном числе характеризующие его числовые элементы 3 и 5 имеют различные названия, указывают на два различных процесса над целыми числами и что в принятом условном изображении числа один числовой элемент этой пары чисел пишут над другим числовым элементом, отделяя их друг от друга чертой".

Такая или подобная ей беседа поможет учащимся усвоить следующие положения.

1. Взяв на плоскости произвольную точку М, мы будем пару чисел х иу— абсциссу и ординату точки M относительно выбранной системы координат — рассматривать как одно число z.

2. Новое число — пара, число z, характеризуется и выражается с помощью двух числовых элементов х и у, расположенных в определенном порядке (сначала число — абсцисса точки, затем число — ордината точки). Таким образом, новое число z, как состоящее из двух числовых элементов, является особым числом — составным. Его называют „комплексным числом" (что в переводе на русский язык и означает „составное" число).

3. В качестве условной записи комплексного числа z будем пользоваться записью (х, у), напоминающей нам, что числовые элементы х и у рассматриваются здесь не изолированно друг от друга, а образуют единое число — пару. Таким образом, комплексные числа изображаются с помощью записи: z = (x, у).

Усвоив приведенные три положения, учащиеся не встретят затруднений для отчетливого понимания следующего определения.

Определение. Комплексным числом z называется пара действительных чисел хну, взятых в определенном порядке:

Любая пара действительных чисел х и у однозначно определяет точку на плоскости, и наоборот, любая точка на плоскости однозначно определяется парой действительных чисел х и у. Это знакомое учащимся, хотя бы и в более простой форме, положение теперь можно будет перефразировать, подчеркнув аналогию с установленным ранее фактом взаимно однозначного соответствия между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси. Разъясняется и формулируется фундаментальное, носящее весьма общий характер, положение: „Каждому комплексному числу z = (х, у) соответствует на плоскости одна и только одна точка (абсцисса и ордината которой суть числа X и у), и наоборот, каждой точке на плоскости с координатами х и у соответствует одно и только одно комплексное число z = (х, у).

3. Выводы из основных положений.

Каждой точке на плоскости соответствует комплексное число z = (x,y). Но точка M с абсциссой х и ординатой О, расположенная на числовой оси ОХ и, следовательно, выражаемая действительным числом X, вместе с тем расположена и на плоскости и, следовательно, выражается комплексным числом z=(x, о).

Таким образом, так же как точки числовой оси образуют множество точек, входящее как составная часть в множество всех точек „числовой" плоскости, так и множество всех действительных чисел входит как составная часть в множество всех комплексных чисел.

Можно сказать, что с введением комплексных чисел мы сделали дальнейший шаг в расширении понятия числа. При этом оказалось, что комплексные числа не являются противоположностью действительных чисел, а образуют такое новое „широкое" числовое множество, которое охватывает и содержит в себе, как часть, и все действительные числа. Если снова просмотреть последовательные этапы расширения понятия числа, то мы легко обнаружим, что с аналогичными явлениями мы уже встречались. Вспомним, что когда к целым числам были присоединены новые числа — дробные, то, в конечном счете, оказалось возможным рассматривать целые числа как особый частный случай дробных чисел, а именно как дробь, у которой числитель делится нацело на знаменатель.

Черт. 4

Нетрудно обнаружить, в чем заключается характерная особенность действительных чисел, рассматриваемых как особый частный случай комплексных чисел. Ведь особенностью точек числовой оси, отличающей их от всех других точек плоскости, является то, что ординаты всех таких точек равны нулю (у = 0). Соответственно этому характерной особенностью действительных чисел, отличающей их от всех других комплексных чисел, является то, что второй числовой элемент у у этих чисел равен нулю.

Таким образом, действительное число есть не что иное, как комплексное число (х, о), а л; и (х, о) — просто разные формы записи одного и того же действительного числа х.

Рассматривая точки плоскости, которые лежат на оси ОХ, мы тем самым выделили в множестве комплексных чисел особый класс их — действительные числа. Если теперь рассматривать точки на оси OY, то мы сейчас же обнаружим, что они тоже обладают характерной особенностью, отличающей их от всех прочих точек плоскости: абсциссы всех таких точек равны нулю. Отсюда следует, что и комплексные числа, соответствующие этим точкам, также будут обладать характерной особенностью: первый числовой элемент всех таких комплексных чисел равен нулю.

Таким образом, в множестве комплексных чисел выделяется другая характерная группа чисел — комплексные числа вида {о, у).

Комплексные числа вида (о, у) будем называть чисто мнимыми числами (при этом комплексное число (0, 0) в соответствии с его геометрическим образом и установленным ранее равенством (х, о) =х есть действительное число 0).

Итак, все комплексные числа можно разбить на два основных класса.

1. Комплексные числа, у которых второй числовой элементу равен нулю. Это будут комплексные числа вида (л;, о), являющиеся действительными числами.

2. Комплексные числа, у которых второй числовой элемент — у не равен нулю (у ф 0). Все такие комплексные числа, независимо от того, равен или не равен нулю их первый числовой элемент X, называются мнимыми числами. При этом из мнимых чисел вида (л:, у), где у Ф 0, в свою очередь, выделяется особая группа мнимых чисел, у которых л* = 0, называемых чисто мнимыми числами. Сказанное можно наглядно представить в виде следующей схемы.

Черт. 5

v = 0

комплексное число (х, о) называется действительным числом.

комплексное число в этом случае называется мнимым числом.

X = 0

мнимое число в этом случае имеет вид (о, у) и называется чисто мнимым числом.

Если на оси OY взять точку M с ординатой -fl, то соответствующее ей комплексное число будет чисто мнимое число (0, 1). Его принято называть „мнимой единицей" и обозначать буквой i. Таким образом, имеем

i = (P. 1)

4. Основные определения.

Определение 1. Два комплексных числа (хи ух) и (хъ j/2) равны тогда и только тогда, когда в отдельности равны их первые элементы {хх и х.2) и вторые элементы (ух и j/a). Таким образом, если известно, что

(*и Уг) = (х%9 J/9),

то

ХХ = Х2 и ух =уъ и наоборот, если известно, что

ХХ=ХЛ и Ух—Уъ

то

Л)=(*1. Л>

Естественность этого определения обнаруживается сразу, если связать комплексные числа {хх, ух) и (х2, у.2) с их геометрическими образами — точками Мх и М.>. Так как каждое комплексное число однозначно определяет точку на плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости однозначно определяет комплексное число, то равенство (хх, ух) = (хъ у.г) указывает, что точки М\ и М2 сливаются в одну точку, и следовательно, хх=х2 и Hi—У* Аналогично, исходя из равенства хх=х2 и ух=уъ мы сейчас же обнаружим, что комплексные числа (xXi ух) и (jca, у2) определяют одну и ту же точку на плоскости, и следовательно,

(*ь Л) = (*«. Л).

Следует иметь в виду, что приведенные геометрические соображения не являются доказательством (определения не до-

называются!), а лишь показывают, что установленное определение равенства комплексных чисел полностью соответствует тем наглядным представлениям, которые уже имеются у нас в связи с геометрическим истолкованием комплексных чисел.

Следствие. Если комплексное число (л;, у) равно нулю, то первый и второй элементы его — нули.

Действительно, данное равенство (л:, у) = 0 можно записать в форме (Ху у)=(0, 0), откуда, по определению 1-му, имеем: х = 0; у = 0.

Определение 2. Понятия „больше* и „меньше" для мнимых чисел не устанавливаются.

Геометрические соображения и здесь помогают наглядно пояснить смысл введенного определения. Действительно, понятиям „меньше", „равно" и „больше" применительно к действительным числам при изображении их на числовой оси отвечают такие соотношения между точками, которые выражаются словами „предшествует", „совпадает", „следует". Если же взять точки не на числовой оси, а произвольно на плоскости, то соотношения между ними теряют ту простоту, которая характерна для точек числовой оси, и расположение их относительно друг друга не поддается оценке. Поэтому понятия „больше" и „меньше" в том смысле, как они применялись к действительным числам, к мнимым числам применить нельзя.

5. Сложение и умножение комплексных чисел.

Сложение и умножение комплексных чисел выполняется на основании определений этих действий. Таким образом, правила сложения и умножения содержатся в самих определениях. Правила же вычитания и деления комплексных чисел выводятся из правил сложения и умножения.

Целесообразный выбор определений для сложения и умножения комплексных чисел имеет в виду разрешение трех задач. Мы хотим обеспечить:

1) чтобы основные законы арифметических действий — переместительный и сочетательный законы сложения и переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения— полностью остались в силе и для комплексных чисел;

2) чтобы правила сложения и умножения комплексных чисел не приводили к противоречиям с правилами сложения и умножения действительных чисел в том частном случае, когда комплексные компоненты сложения и умножения являются действительными числами;

3) чтобы действия сложения и умножения комплексных чисел были бы во всех без исключения случаях выполнимы и сводились к однозначным операциям над действительными числами.

Разрешение этих трех задач полностью обеспечивается, если мы примем следующие определения действий сложения и умножения комплексных чисел.

Определение 3. Суммой комплексных чисел (лгь ух) и (л:2, _у2) называется комплексное число (Xi-\-x2i ух +_у.2).

Таким образом, правило сложения комплексных чисел можно записать так:

«УО + Ск* J>*) = (*i + *2> Ух +Л>

Посмотрим, как при выбранном определении сложения комплексных чисел будет выполняться, например, переместительный закон.

Поменяем слагаемые местами

Л) + (*Ь Л) = (^9+^1, J>2+J>l)-

Но, очевидно,

так как для действительных чисел xt и хъ ух и у% переместительный закон справедлив.

Теперь проверим, как выполняется второе требование.

Пусть даны два действительных числа хх и х2. Сумма их *i+*2- Сложим те же числа хх и хъ записав их в форме комплексных чисел (лгь 0) и {хъ 0),

(*ь 0) + (х2, 0) = (*i + *a, 0) = *Н-х2.

Противоречия нет.

Соблюдение третьего требования (выполнимость, однозначность, сведение к действиям над действительными числами) непосредственно вытекает из самого правила сложения комплексных чисел.

Определение 4. Произведением комплексных чисел (хи ух) и (*2, У%) называется комплексное число вида

(XiX.2 — УхУъ ХМ + ХчУ^).

Таким образом, правило умножения комплексных чисел можно записать так:

(xlyi)(x2y,2) = (x1x2 — УхУъ Х\У* + Хф).

Посмотрим, как при выбранном определении умножения комплексных чисел будет выполняться, например, переместительный закон

(хъ у2)(хи у1) = (ХоХ1—у2уи хм + хуъ).

Переместительный закон соблюдается.

Проверим теперь, как выполняется второе требование. Пусть даны два действительных числа хх и х2. Произведение их ххх%.

Перемножим те же числа xt и хъ записав их в форме комплексных чисел,

(хи 0) • (лг3, 0) = (л*, • л-2 — 0 • 0, Х\ . 0 + х, • 0) = (л:1л:2, 0) = х1х.1.

Противоречия нет.

Наконец, соблюдение третьего требования непосредственно вытекает из самого правила умножения комплексных чисел.

6. Алгебраическая форма комплексного числа.

Из определений 3 и 4 вытекает несколько следствий.

Следствие 1. Всякое комплексное число (л;, у) можно рассматривать как сумму действительного числа х и чисто мнимого числа (0, у).

Действительно, комплексное число (х, у) можно записать в форме (я + О; 0+J/). Но (x-j-0; 0-\-у) можно рассматривать как сумму двух чисел (л;, 0) и (0, у) или х и (0, у).

Таким образом,

(х,у) = (х + 0; 0+у) = (х, 0)-j-(0, у) = х-\-(0, у),

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Всякое чисто мнимое число (0, у) можно рассматривать как произведение действительного числа у на мнимую единицу L

Покажем сперва, что yi = (0, у).

Действительно,

yi=y-(0> 1) = 0>, 0).(0, 1) = 0 • 0 —0 - 1, J/ - 1 +0 - 0) = (0, у).

Если теперь те же преобразования проделать справа налево, то мы установим, что (0, y)=yiy что и требовалось доказать.

Следствие 3. Всякое комплексное число (х, у) можно представить в виде суммы x-\-yi.

Действительно,

(je, у) == X + (0, у) (согласно следствию 1),

а

(0, y)=yi (согласно следствию 2),

следовательно,

(х} y) = x+yi.

Такая форма записи комплексного числа (x-\-yi) называется алгебраической (или координатной) формой комплексного числа. Итак, всякое комплексное число может быть записано в форме

x+yi,

где действительные числа х и у выражают, если иметь в виду геометрическое истолкование комплексного числа в виде точки, абсциссу и ординату этой точки. Заметим, что всякое действи-

тельное число а, будучи записано в алгебраической форме комплексного числа, выразится так:

а + Oi,

а чисто мнимое число (О, Ь), равное М, выразится

0 + М.

Наконец, число 0 запишется так:

0 + 0/.

При записи комплексных чисел в алгебраической форме употребительны следующие названия: а — называется вещественной частью комплексного числа; Ы — мнимой частью комплексного числа и b — вещественным коэффициентом при мнимой единице.

Комплексные числа а-\-Ы и а — Ы% отличающиеся лишь знаком bf называются сопряженными комплексными числами.

7. Теорема: i2 = — 1.

Действительно,

i* = i.i = (0, 1).(0, 1) = (0 . 0— 1 . 1, 0 - 1 + 1 -0) = = (-1, 0)=-1,

что и требовалось доказать.

8.

Основные положения и определения, установленные в пп. 4, 5 и 6, можно теперь сформулировать иначе, пользуясь алгебраической формой комплексного числа.

1. Все комплексные числа делятся на два класса:

а) в комплексном числе а-\-Ы вещественный коэффициент при мнимой единице равен нулю: Ь = 0.

б) в комплексном числе а-\-Ы вещественный коэффициент при мнимой единице не равен нулю: b Ф 0;

В первом случае будем иметь комплексное действительное число а (называемое обычно короче: действительное число); во втором случае будем иметь комплексное мнимое число а-\-Ы (называемое обычно короче: мнимое число).

Из мнимых чисел а + Ы (где b Ф 0) выделяют, в свою очередь, те мнимые числа, у которых вещественная часть а = 0. Мнимое число а-\-Ы принимает тогда вид Ы и называется чисто мнимым числом.

2. Два комплексных числа a^-^-bxi и аа + о2/ равны тогда и только тогда, когда а{ = а.2 и Ьх =

3. Комплексное число а\-Ы равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и 0 = 0.

4. Суммой комплексных чисел ax-\-bxi и а2-\-b2i называется комплексное число (аг -\-a2)-\-(bi -\-Ь^)и

5. Произведением комплексных чисел al-\-b1i и a*2-\-b.2i называется комплексное число (аха.г — blb2)-\-(alb.i-\-a^b^i.

Обратим внимание на следующее обстоятельство: согласно пп. 4 и 5 имеем:

(а, + M + (а2 + ад = (а, + а2) + (ft, + b%) и (I)

(аА + ад • (а.2 + ад = (а^ — Мз) + (а A -f а А) *. (II)

Сейчас же обнаруживается, что если числа ay\-bxi и a.2-\-b2i рассматривать как обычные двучлены и действия сложения и умножения над ними произвести по правилам действий над многочленами, то будем иметь как раз те результаты, которые получены в равенствах (I) и (II).

Действительно,

1)

2)

9. Вычитание и деление комплексных чисел.

Как уже было сказано, правила вычитания и деления комплексных чисел выводятся из правил сложения и умножения комплексных чисел. Оставляя в силе старые определения, относящиеся к вычитанию и делению действительных чисел, будем рассуждать следующим образом.

1) Вычитание. Пусть требуется из комплексного числа а 4- Ы вычесть комплексное число с 4- du

Обозначим искомую разность через x-\-yi.

(a + bi) — (с 4- di) = X -{-yi.

Но, по определению, разность есть такое число, которое, будучи сложено с вычитаемым, дает в сумме уменьшаемое:

(л: -\-yi) 4- {с 4- di) = а 4- Ы

или

(а: 4- с) 4~ (У + d) i = а 4- bu

Отсюда, согласно определению равенства комплексных чисел, имеем:

х-\-с = а и y-\-d=b,

т. е.

х = а — с и y = b — d.

Таким образом,

(a -f bi) - (с 4- dt) = (а — с) 4- (ft - d) и

Отметим опять, что мы получили бы тот же самый результат, если бы произвели вычитание по обычным правилам вычитания многочленов.

2) Деление. Пусть требуется разделить а-\-Ы на c-\-di {с-\-с11ф0). Если знаменатель с-\-di = О, т. е. с=0 и d = 0, то деление невозможно.

Обозначим искомое число через x-\-yi.

Но, по определению деления, имеем:

{с -\- dï) (х -\-yi) = a-{-bi

или

(сх — dy) + (су + dx) i = a-\- Ы.

Отсюда, согласно определению равенства комплексных чисел, имеем:

Решив систему, получим и следовательно,

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если бы мы, заметив, что

(с -\-di) • (c — di) = (c2 — d — d)-\-(c —d-\-dc)i = = (c*-\-d2) + 0i = c* + d\

умножили бы числитель и знаменатель дроби на с — di,

т. е. на комплексное число, сопряженное со знаменателем, то получили бы тот же самый результат. Действительно,

Таким образом, и здесь оказывается возможным производить деление комплексных чисел так, как будто мы имеем дело с обычными двучленами и хотим „уничтожить мнимость знаменателя". Так как такой способ деления комплексных чисел короче и проще, то им обычно и пользуются.

Рассмотрев все четыре действия, мы можем сделать следующий общий вывод.

Подчинив определения двух основных действий — сложения и умножения — тем требованиям, которые были указаны в п. 6,

мы тем самым обеспечили возможность производить действия над комплексными числами по обычным правилам действий над многочленами.

Весь последующий материал, относящийся к школьному курсу комплексных чисел, может излагаться так, как он обычно изучается в школе. Поэтому мы не останавливаемся на таких вопросах, как степени числа i, тригонометрическая форма комплексного числа и пр.

Конкретно и осязательно показать ученикам прикладное значение мнимых чисел, что коренным образом оправдало бы в их глазах изучение комплексных чисел, невозможно. Между тем, именно это обстоятельство способно породить в сознании учеников представление о комплексных числах как о произвольно возникшем формально логическом изобретении, никак не связанном с нашими потребностями и не имеющем никакого отношения к реальной действительности. Поэтому, наряду с широкой геометризацией начальной стадии изучения комплексных чисел, необходимо использовать и другие мотивы, способные возбудить или повысить интерес к работе. Мы имеем в виду здесь сделанные в подходящий момент указания о том большом значении, которое имеет в своем дальнейшем развитии теория комплексных чисел в наиболее сложных и важных вопросах электротехники, самолетостроения и т. д. Если же, кроме того, учитель найдет время показать применение комплексных чисел к извлечению корней и к решению уравнений высших степеней, то ученик в еще большей мере приблизится к пониманию значения комплексных чисел в науке.

Одним из эффективных и экономных средств, способствующих более глубокому усвоению учащимися изучаемой теории, является внедрение в работу на уроке разнообразных устных упражнений, включающих вопросы по теории, вычисления, преобразования и другие „коротенькие" задачи, не требующие письменных выкладок. Широкое применение на уроках подобных упражнений особенно важно при изучении тех разделов программы, по которым (как, например, в теме „Комплексные числа") имеющиеся в задачниках обычные задачи, рассчитанные на письменное решение, однотипны и не обеспечивают углубленной проверки качества знаний по всей теме.

Глава II.

УРАВНЕНИЯ.

§ 9. Эквивалентность уравнений.

Вопрос о равносильности (эквивалентности) является одним из важнейших вопросов в курсе алгебры. Более глубокое раскрытие этого понятия способствует расширению математического кругозора учащихся и развитию навыков исследования и строгого подхода к решению задач, для чего требуется длительное и постепенное изучение этого вопроса.

Первоначальное понятие о равносильности (эквивалентности) уравнений, данное в VII классе, постепенно расширяется и дополняется в VIII и IX классе, отчасти и в X классе когда изучаются тригонометрические уравнения. Поэтому нет необходимости выделить особую тему „Равносильность", так как учащиеся при решении уравнений все время будут обращать внимание на то, что при преобразовании могут потеряться или появиться лишние корни. Мы даже думаем, что основные теоремы о равносильности уравнений могут быть даны в VIII классе.

При решении уравнений следует широко использовать графики функций и графические методы решений, которые во многих случаях делают все исследование проще и яснее.

Вопрос об эквивалентности и исследовании уравнений должен быть отнесен к числу трудных в силу:

1) трудности вопроса по существу,

2) отсутствия единой точки зрения,

3) недостаточной методической разработки. Определение уравнения в старших классах следует дать

с функциональной точки зрения, т. е. как равенство значений функций при одних и тех же значениях аргументов.

Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти те значения аргумента, при которых значения функции равны между собой, т. е. х = а есть решение (корень) уравнения

/(*) = ?(*)> если /(«) = ?(«)•

Геометрически решить уравнение с одним неизвестным — значит найти значение абсцисс точек, в которых графики функций пересекаются или касаются.

Если дано уравнение с несколькими неизвестными

/(*, У, ... У, ... *),

то решением называется совокупность точек а, о, ... , с, при которых ./(а, о, ... с) = ср(а, о, ... с).

Учащиеся должны давать себе отчет, что множество решений какого-нибудь уравнения может быть конечное множество, в частности, пустое, и бесконечное множество.

Прежде чем приступить к решению и исследованию уравнения, как уже неоднократно указывалось, необходимо установить область задания или существования функции (уравнения). Несоблюдение этого требования часто приводит к излишней работе и неверным результатам.

Надо указать учащимся, что множество решений одного и того же уравнения может быть различно, в зависимости от того, в какой области рассматривается данное уравнение. Например,

(х-1).(.к*-2).(х2 + 4) = 0.

В области рациональных чисел решением будет х=\\ в области действительных чисел решениями будут

X\=z\\ х<%==\^2\ х% — — У^2|

в области комплексных чисел добавляется еще два решения:

л:4 = 21 и хъ = — 21.

В X классе следует напомнить учащимся классификацию алгебраических уравнений (целые, дробные, рациональные, иррациональные) и дать определение трансцендентных уравнений.

Полезно затронуть вопрос о числе корней целой алгебраической функции и т. д. (см. § 15 уравнения высших степеней).

Прежде чем перейти к вопросу о равносильности уравнений, следует указать, что если над числовыми равенствами в области действительных чисел можно производить все арифметические действия, за исключением деления на нуль и извлечения корня четной степени из отрицательного числа, то на уравнения эти правила не распространяются, например, нельзя складывать или перемножать уравнения

х = 2, х = А.

Поэтому возникает необходимость установить, какие операции можно совершать над уравнениями.

Примерно изложение может быть следующее. Пусть дано уравнение

Л*)=о, (О

которое называется исходным. После некоторых преобразований данного уравнения получилось новое (выводное) уравнение

?(*)=0. (2)

Возможны два случая:

1) всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), и всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (1), т. е. множества решений данных уравнений совпадают.

В этом случае данные уравнения называются равносильными или эквивалентными.

2) Может оказаться, что один или несколько корней уравнения (1) не являются корнями уравнения (2) или один или несколько корней уравнения (2) не являются корнями уравнения (1), т. е. множества корней уравнения (1) и (2) не совпадают.

В этом случае говорят, что уравнения (1) и (2) неравносильны или неэквивалентны.

Примечание. Два уравнения, которые в данной области чисел не имеют корней, согласно приведенному определению, должны считаться эквивалентными, так как множества их решений (пустые множества) совпадают.

Прежде чем перейти к дальнейшему, следует решить с учащимися несколько примеров на эквивалентность уравнений.

Определить эквивалентность уравнений:

1) X*— 1=0 и 2х2 — 2 = 0. Ответ. Эквивалентны.

2) л; —2 = 0 и (х — 2).(х — 3)=0. Ответ. Неэквивалентны.

3) lg* + lg(* + 2) = lg3 и *(х + 2) = 3.

Данные уравнения неэквивалентны, так как корень второго уравнения х = — 3 не является корнем первого уравнения (lg(—3) не существует).

Понятие об эквивалентности уравнений является относительным.

Два уравнения, рассматриваемые в одной области чисел, могут быть эквивалентными, в другой же области — неэквивалентными. Например:

(х_2).(*в+1) = 0. (х-2).(*2 + 4) = 0.

В области действительных чисел данные уравнения эквивалентны, в области комплексных чисел — неэквивалентны.

После того как дано определение эквивалентности уравнений, следует перейти к вопросу, после каких математических операций над уравнением f(x) = 0 полученное уравнение ср (л;) = 0 будет эквивалентно данному. Может оказаться, что уравнение f(x) = 0 (1) и уравнение <р(л;) = 0 (2)

1) будут эквивалентными;

2) уравнение (2) имеет все корни уравнения (1) и, кроме того, еще некоторые корни, т. е. уравнение приобрело корни;

3) не все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2), т. е. произошла потеря корней.1

Не нужно думать, что при преобразовании уравнения график соответствующей функции не меняется. При исследовании вопроса об эквивалентности уравнений нас интересуют только корни уравнения, т. е. абсциссы точек пересечения соответствующей кривой с осью ОХ.

Полезно проделать следующие два примера.

1) Обе части уравнения хг — Зл'-f-—j— 2 = 0 умножены на — 1:

— х2 + 3х — 2 = 0.

Данные уравнения эквивалентны; графики же функций у = х*— За:+ 2 и У\ = — х~-\-Зх — 2 различны.

2) Пусть даны два уравнения:

х- 1=0 и (х— — 2) = 0.

Второе уравнение не эквивалентно первому, так как имеет лишний корень х = 2. Графики соответствующих функций имеют вид, показанный на черт. 7.

В хорошо подготовленных классах можно доказать следующие теоремы в общем виде.

Теорема 1. Если выражение <о (х) имеет смысл и при всех допустимых значениях неизвестного уравнения

/,(*)=/,(*), со

то уравнение (1) эквивалентно уравнению

/, (X) ± со (х) = /2 (х) ± со (*). (2)

Примечание. Данную теорему можно короче сформулировать так: к обеим частям уравнения можно прибавить (отнять) выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет эквивалентно данному.

Черт. 6

Черт. 7

1 Спорным является вопрос, считать ли два уравнения эквивалентными, если корни у них отличаются кратностью, например,

(л: —2) • 3) = 0;

(х — 2) • (х-3)2=0.

Мы полагаем, что данные уравнения не будут эквивалентными, так как множество корней первого уравнения (2,3), множество же корней второго уравнения (2, 3, 3).

Доказательство. Пусть а корень уравнения (1), т. е.

/,(а)=/а (а).

Так как со (л;) имеет смысл при всех допустимых значениях неизвестного, то со (а) есть определенное число. Но к обеим частям равенства можно прибавить (отнять) определенное число, следовательно,

fx (а) ± со (а) =/2 (а) dz со (а),

т. е. а есть корень уравнения (2).

Легко доказывается и обратное положение, т. е. всякий корень а уравнения (2) является корнем уравнения (1).

Имеем

/i(a)ztû>(a)=/a(a)±û)(a),

но со (а) есть определенное число, следовательно, со (а) можно отнять (прибавить) от обеих частей равенства. Тогда получим

/,(«)=/,(«),

т. е. а есть корень уравнения (1). Из данной теоремы следует, что

1) любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив знак на противоположный, при этом получится уравнение, эквивалентное данному;

2) уравнение вида

/i (*)=/*(*)

может быть приведено к виду F(x) = 0,

где F{x)=ft (*)-/,(*).

Оба уравнения будут эквивалентны.

Примечание 1. Необходимо обратить внимание учащихся, что прибавляемое выражение co(x) должно иметь смысл при всех допустимых значениях неизвестного.

Пример 1. Уравнения

X + 1 = 0; lg X + * -f 1 = lg X

не эквивалентны, так как прибавленное выражение lg л: не имеет смысла при х = — 1.

Пример 2. Уравнение \/х — 2 = 2 и уравнение, полученное от прибавления к обеим частям выражения }/~х — 7, не эквивалентны, так как при х = 6 выражение >/х — 7 не имеет смысла.

Пример 3. Уравнение

не эквивалентно уравнению — 4л;-}-3 = 0, так как первое уравнение не имеет смысла при х = 3.

Поэтому при решении уравнений надо требовать, чтобы прибавляемое (отнимаемое) выражение имело смысл при всех допустимых значениях неизвестного.

Примечание 2. В учебниках XIX и начала XX в. встречается указание, что если при х = а правая и левая части уравнения неограниченно возрастают и lim [fi(x)—/а(^)] = 0, то х = а есть корень уравнения fl(x)=f%(x).

Если lim [fi(x)—/2(д;)]^0, то х = а не является корнем.

Например, л: = 3 является корнем уравнения

так как

Мы не советуем становиться на такую точку зрения, так как дело значительно сложнее и можно запутать учащихся.

Подробно данный вопрос о несобственных корнях уравнения изложен в учебниках: Н. Билибин, Алгебра, 1899; Г. Бархов, Руководство алгебры, 1915.

Теорема 2. Если множитель (о(л;) имеет смысл и при всех допустимых значениях неизвестного уравнения fx(x) = f*(x) отличен от 0, то уравнения

fx (*)=/« (X) (1)

Л W •(*)==/. (*)•(*) (2)

эквивалентны.

(Короче: обе части уравнения можно умножать на любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного и отличное от нуля.)

Доказательство, аналогичное доказательству теоремы 1-й.

Следствие. Обе части уравнения можно умножить или разделить на постоянное число, отличное от нуля; новое уравнение будет эквивалентно данному. В частности, можно умножить на — 1, т. е. переменить знаки у всех членов уравнения на противоположные.

Примечание 1. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что (й(х) было бы отлично от нуля при всех значениях х. Если это требование не выполняется, то может получиться уравнение, не эквивалентное данному.

Пример. Дано уравнение 2л: — 1 =0. Умножим его на х-\-\. Выводное уравнение 2л:3-f-х—1=0 имеет корни |и —1; корень y удовлетворяет исходному уравнению, корень —1 является

посторонним корнем. Это и можно было ожидать, так как х-\-1 обращается в нуль при х = — 1.

Примечание 2. Если не требовать, чтобы ш(х) имело смысл при всех значениях х, или не требовать, чтобы область задания ы(х) совпадала с областью задания уравнения, то может получиться уравнение, не эквивалентное данному.

Пример 1. Уравнение (х— 1) • (л: — 2) = 0 имеет корни 1и2.

Пусть о) (х) = х]_ : . Тогда

т. е. уравнение потеряло корень. Это произошло потому, что со (х) = ^_ j не имеет смысла при х=\.

Пример 2. Дано уравнение х-\- х_г = 0. Корни данного уравнения 1 и 2.

Помножим уравнение на со(л:) = (л: — З)2. Получим

После сокращения на (л;— 3) получим (х—1)-(л;— 2)Х(*— 3) = 0. Здесь имеем три корня. Полученное уравнение неэквивалентно данному, потому что ы(х) — (х — 3)* при л; = 3 обращается в нуль, и кроме того, уравнение х-\- ЛГ_3 = 0 не задано для значения х = Ъ.

Укажем несколько частных случаев, постоянно встречающихся в школьной практике.

1. Уравнение — 0, где f(x) и ср (х) многочлены, не имеющие общих корней, эквивалентно уравнению /(д;) = 0 (для значений х, обращающих в нуль знаменатель, уравнение не задано).

Если не требовать, чтобы функция f(x) не имела корней, обращающих в нуль знаменатель, то уравнения не будут эквивалентны.

Пример. Дано уравнение

Для значений х = 1 и х = — 1 уравнение не определено.

Приведем левую часть данного уравнения к одному знаменателю.

Уравнение (1) не будет эквивалентно уравнению (2)

2х* + Ьх2 + х — 2 = 0, (2)

так как уравнение (2) имеет корни: —1; у; —2.

Если предварительно произвести сокращение, то получим

2* + 9х-2 =0) (3)

которое будет эквивалентно уравнению

2а:2 + Зл: —2 = 0.

2. Учащиеся постоянно делят обе части уравнения на одно и то же выражение, содержащее неизвестное. В этих случаях может произойти потеря корней. Например,

(х —3)-(лг —4) = x —3.

Если разделить обе части уравнения на х — 3, то получим уравнение X — 4 = 1. Произошла потеря корня л: = 3.

Нужно требовать от учащихся соблюдения следующего правила: если левая часть уравнения

F{x) = 0 (1)

разлагается на множители

F(x)=f1(x)fi(x) ... fn(x) = 0, (2)

то для нахождения множества всех решений уравнения (2) достаточно найти множество всех решений каждого из уравнений в отдельности

/iW=0; Л(*) = 0 ... /*(*) = 0,

причем сомножители fi{x); /2(Х)> ... fn(x) должны рассматриваться совместно в общей части их области определения.

Действительно, всякое решение F(x) = 0 обращает в нуль хотя бы один из множителей f\{x); f2{x)\ ... fn(x), и обратно: всякое решение одного из уравнений fl(x) = 0; /2(л;) = 0; fn(x) = 0 обращает в нуль и все произведение, т. е. F(x) = Ô, следовательно, оно является корнем уравнения.

Необходимо требовать, чтобы каждое решение одного из сомножителей принадлежало бы области допустимых значений всех остальных сомножителей; т. е. решения должны принадлежать к пересечению областей допустимых значений каждого сомножителя.

Пример 1. Решить уравнение

(*—i).(*+i)e(*e + i)=a

Приравняем нулю каждый множитель:

Корни данного уравнения будут

Пример 2. Решить уравнение

Приравняем нулю каждый множитель х—1=0; корень Х= 1; л:2-J- 1 =0; корни x = i и x = — i\ . 1 . , =0 — не имеет решения.

Корень х=\ надо отбросить, так как х=1 не принадлежит к области задания третьего множителя.

Следовательно, корнями уравнения будут x=±i.

Теорема 3. Если обе части уравнения возвести в целую положительную степень, то, вообще говоря, получится уравнение, не эквивалентное данному.

Доказательство. Пусть дано уравнение

А=В, (1)

где А и В некоторые функции от х.

Возвысим обе части уравнения в п-ую степень (п — целое положительное число):

Ап = Вп, (2)

или

(А - В) (Ап~1 + Л*"2 В+ ... + Я""1) = 0. (3)

Всякое решение уравнения (1) обращает в нуль первый множитель, т. е. является решением уравнения (2).

Обратное утверждение несправедливо; не всякое решение уравнения

Ап-г _|_ Ап-*ß_|_ _ _^Bn-i = 0

будет являться решением уравнения (1).

Пример. Дано уравнение х=1. Возвысим в четвертую степень: л*4=1. Решим второе уравнение

(*_!).(*+l).(x*+l) = 0.

Корни этого уравнения будут 1; —1; —/.

Уравнения неэквивалентны.

Примечание 1. Если рассматривать уравнения в области действительных чисел, то при возведении в целую положительную степень может получиться уравнение, эквивалентное данному.

Пример. Дано уравнение х=\.

Возведем в третью степень: хъ=\.

Решим второе уравнение: л;3—1=0, или

(х- 1)-(х2 + ^+1) = 0.

В области действительных чисел данные уравнения имеют только один корень х=1 и, следовательно, эквивалентны.

Примечание 2. Мы производили над обеими частями алгебраические операции (действия). Все вышеуказанные пра-

вила будут несправедливы, если будут применены неалгебраические операции. Например, пусть х = ^г. Просинусируем обе части уравнения

Второе уравнение имеет бесчисленное множество решений *=«« + (-iy-g-.

Преподаватель должен помнить, что, вообще, при выполнении некоторой операции над обеими частями уравнений, если не определена однозначная обратная операция, может получиться уравнение неэквивалентное.

При выполнении преобразований, изменяющих области определения функций fi (х) и /2 (х) может получиться уравнение, не эквивалентное данному уравнению /, (х) = /2 (х).

Никакой общей теорией невозможно предусмотреть всех случаев, когда после преобразования получается уравнение, не эквивалентное данному. В каждом частном случае приходится производить специальное исследование. Приведем несколько примеров.

1) Если обе части уравнения

/|(*) = Л(*) Vi (X) Ъ(х)

заменить обратными по величине выражениями,

Ь (£) _ Уз (*) fx (X)— /,(*)'

то может получиться уравнение не эквивалентное данному.

Действительно: для первого уравнения yt (х) ф 0 и ср2 (л:) Ф О корнем будет всякое значение х} если оно существует, при котором

Л <*)-/■(*)-а

Для второго уравнения, /, (х) ф 0 и /2 (х) Ф О корнями будут те значения х, если они существуют, при которых

?i (*) = ?*(*)=().

Данные уравнения могут быть неэквивалентными.

Пример. Дано уравнение

Заменим данное уравнение уравнением

Корнями будут х = 2 и л; = 3; корень л; = 2 не удовлетворяет первому уравнению.

2) Пусть дано уравнение

А (*)_/»(*) (и

Преобразуем данное уравнение, воспользовавшись свойствами пропорции

Данные уравнения могут быть неэквивалентными. Действительно, корнями уравнения (1) будут все значения х, для которых

Л (*)=/•(*) = 0 и ъ(х)Ф0, ъ(х)фО.

Корнями уравнения (2) будут все значения х, для которых

fx (X) + tf г (X) =/9 (X) + Ъ (X) = О

и

Пример. Дано уравнение ^ - ф 2 = 3;с"^ ! « Составим производную пропорцию

или

Для этого уравнения х = 0 не есть допустимое значение; следовательно, X Ф 0. Тогда

откуда х=1. Исходное уравнение имело еще один корень л; = 0. Уравнения неэквивалентны.

3) Уравнения f(x) = y(x) и |//(x)= /<р(л;) наД полем действительных чисел вообще неэквивалентны. Для второго уравнения допустимыми значениями могут быть только те, для которых выполняется условие f(x)^0 и ср(л:)^0; это условие для первого уравнения не требуется. _

Пример. 2 -J- Зл: = 5 + 6х. Для второго уравнения /2 + Зл: = = i/b-\-6x должны выполняться условия:

Корень х =—1 первого уравнения не является корнем второго уравнения.

Уравнения неэквивалентны.

4) Уравнения

/(*)=?(*) en

lg/(*) = lg?(*) (2)

вообще неэквивалентны.

Для второго уравнения требуются дополнительные условия:

/(*)>0 и ср(*)>0.

Пример. Дано уравнение хд = х, корни которого х=0, х=\ и х = — 1.

Уравнение lg л:3 = lg л: или

имеет только один корень х — 1.

Так как корни х = 0 и х = —1 второму уравнению не удовлетворяют, то уравнения неэквивалентны.

5) Уравнения

и

вообще неэквивалентны.

Для первого уравнения требуются дополнительные условия /(*)^0 и ср(л:)^0; для второго f(x)<?(x)>sO.

Пример. Даны два уравнения

Y X— 1 /Зс+ 1 = \/ х-\-Ъ

и

Y(x— 1).(*+1) = i/jc + б.

Корень первого уравнения л: = 3 является корнем второго уравнения, а корень л: = — 2 второго уравнения* не является корнем первого уравнения.

Уравнения неэквивалентны.

6) Уравнения

ig/(*)+ig?(*)=K*). ig/(*M*)=t(*)

вообще неэквивалентны.

Действительно, для первого уравнения дополнительными условиями будут /(л;)>0 и ?(л;)>0, для второго уравнения /(*)?(*)> 0.

Пример. Даны два уравнения:

lg* + lg(*-l)=lg2, \gx(x — l)=lg2.

Решим второе уравнение

х(х— 1) = 2; х = 2; х = — 1.

Корень X = — 1 первому уравнению не удовлетворяет. Уравнения неэквивалентны.

Как уже было указано, вопрос об эквивалентности, или равносильности уравнений не должен рассматриваться только в X классе. С понятием эквивалентности уравнений учащихся следует знакомить постепенно, начиная с VII класса.

При решении целых рациональных уравнений после преобразования вновь полученное (выводное) уравнение будет эквивалентно исходному; случай, когда буквенный коэффициент при неизвестном в высшей степени равен нулю, пока можно не рассматривать. Нарушение эквивалентности может встретиться при решении дробных рациональных уравнений. Дело в том, что до решения уравнения определить область допустимых значений неизвестного вообще трудно, и узнать, какие корни не принадлежат области допустимых значений, удается часто после преобразования и решения выводного уравнения. На практике обычно приводят все члены к одному знаменателю и умножают обе части уравнения на выражение, равное общему знаменателю.

Как уже было указано, если не выполнить условий теоремы I и II относительно со(л;), может произойти потеря или появление посторонних корней. Лишние корни окажутся среди тех значений неизвестного, для которых уравнение не задано, а потери корней среди тех значений, при которых выражение со (л;) принимает неопределенное значение (не задано). Приведем пример.

Дано уравнение + = (х—Ч)\х — \у Умножим обе части уравнения на а>(х) = (х—1 ) (л: — 2).

{х- + — 2)=— 1; х = \.

Для X = 1 исходное уравнение не задано, следовательно, выводное уравнение имеет посторонний (лишний) корень.

Пример. Дано уравнение —х__з = х* — Зх-{-2. Умножим обе части уравнения на со (л:) = х§ ~ 2 . Тогда * tt= 1, откуда л: = 4. В этом случае произошла потеря корней

(х=1 и х = 2).

Этого и можно было ожидать, так как со (а:) не определено при х= 1 и х = 2.

Поэтому при решении уравнений не следует разрешать учащимся делить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное. От учащихся следует требовать, чтобы они переносили все члены уравнения в одну сторону, разлагали на множители, приравнивали бы нулю каждого множителя и т. д.

Так как чаще встречаются случаи появления посторонних корней, то необходимо производить поверку решения.

В VIII классе при изучении иррациональных уравнений вопрос об эквивалентности уравнений приобретает особую остроту.

При решении иррациональных уравнений, в которые входят радикалы с четными показателями, приходится возвышать обе части уравнения один или несколько раз в квадрат, а как уже было указано, при возвышении уравнения в четную степень вообще получается уравнение, не эквивалентное данному. Поэтому необходимо каждый раз проверять, удовлетворяют ли полученные корни выводного уравнения исходному.

Заметим, что иррациональные уравнения мы рассматриваем в области действительных чисел и берем только арифметические значения корней.

Приведем несколько примеров решения иррациональных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение 2 — х = \/х— 2. Данное уравнение имеет очевидное решение л: = 2. Решим это уравнение общим способом, для чего возведем обе части уравнения в квадрат:

(2 — ху = х — 2, или

(2 — хУ f (2 — х) = 0, (2—*)-(2 — х+1)=0, (2 — *)-(3 — *)=0.

Корни выводного уравнения х — 2 и х = 3.

На основании вышесказанного потери корней быть не могло; могли появиться только лишние (посторонние) корни. Таким корнем будет л: = 3. _

Действительно, 2 — 3 = —1; /3 — 2= 1, т. е. левая часть не равняется правой.

Если же взять уравнение х — 2=Ух— 2, то, возведя в квадрат обе части уравнения и т. д., получим

(*_2)'-(х-2) = 0, (х-2)-(х — 3) = 0, х = 2\ X = 3.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Если бы сразу определить область допустимых значений, то для первого уравнения имеем 2 — лг^О, х — 2^0, откуда X == 2 — единственное решение.

Пример 2. Решить уравнение j/З — х-\~\/г2 — х = \/Ъ — 2х.

Возвысим обе части уравнения в квадрат

откуда х = 3 и х = 2.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что х = 3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как х = 3 не принадлежит области допустимых значений неизвестного.

Дело в том, что при возвышении обеих частей уравнения в степень может расшириться область допустимых значений и могут появиться лишние корни.

Если бы сначала определили область допустимых значений, то сразу было бы видно, что корень х = 3 является посторонним корнем.

Действительно, для исходного уравнения имеем:

3— л;^0, откуда л;^3, 2— х^О гу х^2,

5 — 2x^0 „ л;^2у,

т. е. область допустимых значений х^2.

Следовательно, х=3 не может являться корнем уравнения.

Поэтому, прежде чем приступить к решению уравнения, полезно определить область допустимых значений неизвестного.

Заметим, что если дано иррациональное уравнение, в левой части которого имеются два или несколько радикалов, содержащих неизвестное со знаком плюс, а в правой части нуль, то данное уравнение или не имеет вовсе решения или решением будет то значение неизвестного, при котором все подкоренные значения одновременно обращаются в нуль.

Например, решить уравнение

Единственным решением будет х=1.

При решении показательных и логарифмических уравнений могут также появиться неэквивалентные уравнения. Посторонние корни могут появиться тогда, когда расширяется область допустимых значений. Например, щ^р^ = О, где lg {х-\-1) Ф 0; приравнивая нулю числитель, получаем х = — 1. Но х = — 1 не является корнем исходного уравнения, так как не принадлежит области допустимых значений.

В X классе обобщаются все полученные сведения об эквивалентности уравнений, повторяются или доказываются выше-

приведенные теоремы и решаются задачи на эквивалентность уравнений. Полезно связать вопрос об эквивалентности уравнений с исследованием и решением задач с параметрическими данными.

§ 10. Квадратное уравнение.

Квадратное уравнение является основной темой курса алгебры VIII класса. Тема эта методически хорошо разработана и не представляет труда для учащихся. Весьма желательно как можно теснее связать квадратное уравнение с графиком квадратичной функции; тогда многие положения станут яснее для учащихся.

Обычно изложение данной темы начинают с решения неполных квадратных уравнений вида

ах2 -\- с = 0; ах2 -\- Ъх = 0.

Прежде чем перейти к решению, а затем к выводу формулы для полного квадратного уравнения вида x*-\-px-\-q = 0f полезно проделать с учащимися ряд упражнений на выделение из двучлена полного квадрата, например:

х2 + 6х] х* + 2Ьх\ х* — 2Ьх\ х* + 3х; x* + bx; х* — Ьх;

затем решить следующие квадратные уравнения:

Xе1 — 6л; + 8 = 0; х*-{-Зх — 4 = 0; л;2 — 2х— 15 = 0 и т. д.

После таких упражнений вывод формулы для приведенного квадратного уравнения х* -f-рх + q = 0 не представляет труда. Затем дается вывод формулы для корней квадратного уравнения ах2 + Ьх -\- с = 0, т. е.

Необходимо указать, что последняя формула является общей формулой.

Если положить а=1, то получится формула для приведенного квадратного уравнения; если b = 0, то формула для корней уравнения ах*-\-с = 0; если с = 0, то для уравнения axq-\-bx=0.

На данное обстоятельство необходимо обратить внимание учащихся, так как они не всегда понимают, что из формулы х =--с^-можно получить формулу для корней любого частного вида квадратного уравнения.

Некоторые методисты считают, что возможно сразу дать формулу для корней квадратного уравнения ax*^-bx-\-c = 0, не рассматривая частные случаи.

Они предлагают следующий прием: помножим квадратное уравнение ах*~\-Ьх-{- с = 0 на 4а:

4а2л2 + 4аол; + 4ас = 0. или 4аЪс2 + Aabx = — Аас.

Дополним левую часть уравнения до полного квадрата, т. е. прибавив к обеим частям уравнения по

4а*х* + Aabx + b* = b* — Аас3

откуда

Необходимо остановиться на случае, когда коэффициент при неизвестном в первой степени есть четное число, т. е.

откуда

Заметим, что лучше называть а коэффициентом при неизвестном во второй степени, а не первым коэффициентом; b — коэффициентом при неизвестном в первой степени, а не вторым коэффициентом.

Исследование квадратного уравнения по формуле для корней X =-Tg- мы считаем нецелесообразным приводить в VIII классе.

Достаточно указать, что если дискриминант à = b* — Аас больше нуля, то уравнение имеет два различных действительных корня; если А = 0, то уравнение имеет два равных между собой действительных корня; если Д <0, то уравнение не имеет решения в области действительных чисел (существование двух мнимых корней будет указано после прохождения комплексных чисел).

Зависимость корней от знаков коэффициентов можно дать после изучения теоремы Виета.

Можно предложить учащимся составить следующую таблицу: а>0.

Д = b2 — 4ас>0 оба корня действительны

b < 0 — оба корня положит. b > 0 — оба корня отрицат.

b < 0 — полож. корень имеет большую абсол. вел.

b > 0 — отриц. корень имеет большую абсол. вел.

b > 0 — один корень = 0, другой отриц.

b < 0 — один корень = 0, другой положит.

Ь = Ь2 — 4ас = 0 корни равные

b > 0 — оба корня отрицат. b < 0 — оба корня положит.

д = о* — Аас<^0 уравнение в области действительных чисел не имеет решений.

Желательно с учащимися проделать ряд упражнений на нахождение корней квадратного уравнения на основании теоремы Виета.

Непосредственно из теоремы Виета вытекает разложение квадратного трехчлена на множители.

Действительно, если дан квадратный трехчлен

f(x) = ах* 4- Ьх + с%

то ос —1— р = — — и <*ß = — , где a и р корни квадратного уравнения ах*Ьхс =0. Тогда

Таким образом, всякий квадратный трехчлен, имеющий действительные корни, может быть представлен как произведение двух линейных множителей на постоянное число а (коэффициент при неизвестном во второй степени).

Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше нуля, то в области действительных чисел квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается. Необходимо указать, что данное утверждение справедливо лишь для области действительных чисел.

Мы считаем полезным обратить внимание учащихся в VIII классе или при повторении в старших классах на следующее.

1) Всякий полином степени выше второй может быть разложен на линейные множители и на квадратные множители, у которых дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен.

Пример 1. Разложить на множители полином л;3— а3.

Решение, х3 — а3 = (х — а) • (х* + ах + а*)-

Второй множитель х* -f- ах -\- а* на линейные множители не разлагается ^Д = ^- — a* <0J.

Пример 2. Разложить на множители л;4— а4.

Решение, х4 — а4 = (л;2 — а2) - (** +a2) = (x — а>(л; + а)Х X (х* -f- #2); X* + #2 не разлагается на линейные множители, ибо Д = — а*<0.

Пример 3. Разложить на множители лг4-}-я4.

Решение. Некоторые учащиеся убеждены, что данный полином на множители не разлагается. Поэтому желательно привести разложение данного полинома:

Каждый из данных квадратных трехчленов на линейные множители не разлагается, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше нуля.

Более подробно вопрос о разложении полиномов на множители рассматривается в X классе.

2) Когда говорится о разложении полинома на множители, то подразумевается, что множители полиномы первой или второй степени. Данное утверждение о разложении на множители будет несправедливо, если не указывать, что множители должны быть полиномами. Например, полиномом х — а можно разложить на множители

но эти множители не будут полиномами.

3) Вопрос о знаке квадратного трехчлена, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения положителен, равен нулю или отрицателен, можно рассмотреть при изучении квадратичной функции и неравенств второй степени. Сильным учащимся можно предложить следующие задачи..

Задача 1. Разложить на множители

Решение. Положим х2 -}- х -\-1 =у. Тогда х*-\-х-\-Ь на множители не разлагается, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше нуля.

Задача 2. Разложить на множители

Решение. Положим

Задача 3. Доказать, что

положительно при всех значениях х.

Решение. Соединим множители в группы по два; в первую группу возьмем те множители, у которых второй член по абсолютной величине самый малый и самый большой:

Положим X2 — 7х + 6= у, тогда

Далее можно воспользоваться свойством трехчлена, у которого соответствующий дискриминант отрицателен, или разложить 10 на положительные слагаемые:

Р = у + бу + 9 +1 = (у+зу +1 > о.

Задача 4. Разложить на множители

Решение.

Положим л:2 + 5х + 4 = у и т. д.

Полезными являются упражнения на нахождение суммы одинаковых степеней корней квадратного уравнения ах2-{-Ьх-\-+ с = 0.

1. Обозначим 5i = a + p, где аир корни квадратного уравнения.

Тогда имеем

2. Найдем S2 = <x* + ß*.

Так как аир — корни уравнения, то

Сложим данные равенства

или

откуда т. е.

Этот результат можно получить и несколько иначе:

3. Найти

Возьмем равенства

Помножим первое равенство на а, второе на В и сложим

Тогда откуда

или

Выведем эту же формулу другим способом:

4. Найдем Возьмем равенства

Первое равенство помножим на а2, второе на ß2 и сложим

или

откуда

Подставим значение Тогда

5. Выведем теперь формулу для m степеней. Предположим, что известны Sm_2 и Sm_x. Возьмем равенства

Помножим первое равенство на ат~2, второе на ßm~2 и сложим

или

откуда

Примечание. Легко найти и сумму одинаковых степеней обратных значений корней квадратного уравнения.

Обозначим сумму 4г и w через S_m.

Тогда

Представляет интерес геометрическое построение корней квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение х*—px-\-q = 0, где q положительное число. Тогда можно положить q = k*

x*—px + k* = 0.

Преобразуем данное уравнение x(p — x) = k2.

Отыскание корней квадратного уравнения геометрически сводится к построению прямоугольника равновеликого квадрату. Для этого на отрезке прямой АВ=р строим полуокружность. В точке А восставим перпендикуляр AE=k и проведем прямую ED, параллельную AB. Из точек пересечения данной полуокружности с прямой ED опустим перпендикуляры на AB.

Отрезки АС и СВ будут соответствовать корням данного уравнения, так как

Задача будет возможна, когда прямая ED пересечет полуокружность.

Задача будет невозможной, когда АЕ^>00 = или когда

Черт. 8

Когда AE=OG = ~Y или когда k = ~f то прямая ED касается окружности в точке G. Корни в этом случае будут равными АО = ОВ = £.

Когда АЕ<^00 или k<^^9 корни будут неравными.

Рассмотрим уравнение х* -f- рх -f- q = 0. (<?>0).

Данное уравнение получается из уравнения х*—px-{-q = 0 заменою х через —х.

В этом случае откладываем отрезок р влево от начала координат, строим полуокружность (черт. 9 ) и т. д.

Черт. 9

2. Рассмотрим уравнение х*—рх — А2 = 0. Это уравнение приводится к виду а: (а:—p) = k*.

На прямой АВ = р построим окружность. В точке А проведем касательную AE=k и из точки Е—секущую, проходящую через центр окружности.

ED = а и ЕС = — ß будут соответствовать корням уравнения. Действительно,

DE—CE=CD = AB=p. EC-ED = AE2 = k\

Очевидно построение всегда возможно, так как точка Е будет находиться вне круга. Данное обстоятельство вполне согласовано с тем, что уравнение X*—рх — #* = 0, имея свободный член отрицательным, всегда имеет два действительных корня. Уравнение х*-{-рх-^к* = 0 получается из уравнения х*—рх — k* = 0 заменою х через —х\ построение будет аналогичное, только направление отрезков следует взять противоположное.

Только в сильных группах VIII класса возможно провести доказательство следующих теорем в виде задач.

Теорема 1. Если уравнение ах* + Ьх + с = 0, в котором а, b w с целые числа, имеет рациональный корень в виде несократимой дроби ^, то m будет делителем с, а п делителем а.

Доказательство. Подставим в уравнение — вместо х.

Черт. 10

Тогда

Ho am4 + bmn делится на m, следовательно и сп% должно делиться на т. Но п есть число взаимно простое с т, поэтому с должно делиться на т.

bmn-\-cri* делится на п, поэтому и am* должно делиться на п. Но m и п числа взаимно простые, следовательно а делится на /г, что и требовалось доказать.

Следствие. Уравнение х2 -\-рх + Я = 0, в котором коэффициенты рид числа целые, не может иметь дробных рациональных корней.

Допустим противное. Пусть данное уравнение имеет дробный рациональный корень — ; (m, п)=\. Согласно данной теореме, п должно быть делителем числа а=1; т. е. 1 должна делиться на п, что невозможно. Следовательно, уравнение х* рх -\--|-£ = 0 с целыми коэффициентами может иметь лишь целые рациональные корни или два иррациональных корня (случай мнимых корней рассматривается в X классе).

Теорема 2. Если уравнение ах* -\- Ьх-\-с = 0, где a, b и с рациональные числа, имеет иррациональный корень т-\- Уп, то уравнение имеет и корень m—

Доказательство. Пусть корень данного уравнения есть

Тогда

или

Обозначим для краткости

где M а N рациональные числа. Следовательно,

Отсюда следует, что М = 0 и N=0, ибо если МФО, то /— M уп = — ^г, т. е. рациональное число равняется иррациональному, что невозможно.

Подставим теперь в уравнение m— \/7ï вместо х

т. е. m — \fn является корнем уравнения, что и требовалось доказать.

§ 11. Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения изучаются в VIII классе.

Прежде всего следует дать правильное определение. Нельзя допускать, чтобы учащиеся определяли иррациональное уравнение как такое уравнение, в котором встречаются радикалы. Например, некоторые учащиеся убеждены, что следующие уравнения являются иррациональными:

|/* + 2а: = 3,

/2* + 3*9=1,

в то время как второе уравнение есть рациональное.

Поэтому при определении иррационального уравнения необходимо указывать, что неизвестное должно входить под знаком радикала.

Следует сказать учащимся, что иррациональные уравнения не классифицируются по степеням, как это имеет место для целых алгебраических уравнений.

Так как иррациональные уравнения изучаются в VIII классе, то они рассматриваются только в области действительных чисел.

Прежде чем приступить к решению иррациональных уравнений, если возможно, следует определить область допустимых значений, так как в некоторых случаях отпадает необходимость вообще решать уравнение.

Например, определить область допустимых значений

1) \/х — А-\- VX — 5 = 9. Ответ. х^>5.

2) /х —4+ уЧ —л; =0.

Решение. Для первого радикала д:^4, для второго радикала X =^4; область допустимых значений х = 4.

3) Vx— 1 + /2 — х= I.

Решение. Так как х^1 и х^2, то областью допустимых значений будет 1 ^х^2.

4) —3 + /2 — X =3.

Решение. лг^З и л; ^2.

В области действительных чисел данное уравнение не имеет решения.

Так как при решении иррациональных уравнений мы имеем дело преимущественно с арифметическими корнями, то если встречается /(а — bf, то он будет равен а — Ь, если a)>ft и b — а, если о>а. Несоблюдение этого правила может явиться причиной неверного решения уравнения.

Общий метод решения иррационального уравнения заключается в том, что сначала изолируется один радикал, затем все уравнение возводится в степень, потом снова изолируется радикал и т. д. Всякое иррациональное уравнение после конечного

числа таких преобразований может быть приведено к рациональному уравнению.

Если учитель считает возможным дать теорию эквивалентности уравнений только в X классе, то в VIII классе следует на примерах показать, что при возвышении в степень могут получиться корни, не удовлетворяющие данному уравнению. Например, пусть дано уравнение 5л;=10.

Возводя в квадрат, получим 25а:2 =100, или (5а:-[-10)Х Х(5аг— 10) = 0, откуда а; = 2иа; = — 2.

Корень х =— 2 является посторонним корнем.

Таких примеров с учащимися надо проделать несколько.

В результате учащиеся должны понять, почему при решении иррациональных уравнений необходимо каждый раз проверять, являются ли найденные корни корнями данного уравнения.

Возникает вопрос, следует ли давать учащимся иррациональные уравнения с буквенными параметрами. Если при решении квадратных уравнений предлагались примеры с переменными параметрами, то следует давать иррациональные уравнения с такими же параметрами. В противном случае, иррациональные уравнения с буквенными параметрами придется решать с учащимися в X классе в разделе „Исследование уравнений".

Весьма полезно познакомить учащихся с частными приемами решения иррациональных уравнений. Главнейшие из них следующие.

1) Способ замены, который состоит в том, что выражение, находящееся под знаком радикала, обозначается новой неизвестной в некоторой степени, так чтобы корень извлекался.

Пример 1. Решить уравнение 2 \/х — 7 Ух-\-3 = 0.

Решение. Область допустимых значений а:^>0; а; = 0 не удовлетворяет уравнению.

Положим X =j/4, тогда 2у2 — 1у + 3 = 0, откуда ух = 3 и

следовательно.

Отрицательные значения не принадлежат области допустимых значений.

Пример 2. Решить уравнение а:2 — /а;9 —4 = 16.

Решение. Область допустимых значений а:2 — 4^0, откуда а;< —2 и х^2.

Положим а;2 — 4 = у2, тогда у1—у— 12 = 0, откуда

Найдем значение х\ х* — 4 = 16; х* — 4 = 9; х] = 20 и #2=13; xx = ±V 20; л:2 = z±z i/ТЗ (не удовлетворяют уравнению).

Оба значения х = ± j/20 принадлежат области допустимых значений и удовлетворяют уравнению, в чем можно убедиться путем проверки.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений хф — Ъ и хфа.

Кроме того, gq7j>0, а следовательно, * jb- >0 независимо от того, будет ли п четным или нечетным, так как сумма корней должна быть положительным числом.

Но ah~7x ^>0, когда а — х^>0 или когда а — х<С^0

Отсюда

Положим

Тогда

откуда

Значение х будет х = —^—» х принадлежит области допустимых значений. Проверка решения:

Пример 4. Решить уравнение n]/(x-\- \f -\- V(x— lf = = 4 а/х*— 1.

Указание. Разделить обе части уравнения на х* — 1 ХФ±1).

и положить

Пример 5. Решить уравнение

Указание. Разделить числитель и знаменатель в левой части уравнения на \/х* — х—4 (х* — х — 4 Ф 0):

и положить

2) Способ сопряженного множителя. В некоторых случаях для решения иррационального уравнения вида

полезно бывает помножить обе части уравнения на сопряженную величину выражения в левой части.

Обозначим сопряженную величину выражения, стоящего в левой части, через у; //(х)— V(?(x)=y>

Перемножая данные равенства, получим f(x) — ср (л:) = ф ( :)у. Из этого равенства можно найти у. y = F(x\ Получим два уравнения

Отсюда

Пример. Решить уравнение

Решение. Положим

Перемножим данные равенства

откуда

Тогда

Складывая эти уравнения, получим 2 =6,

откуда л: -j- 4 = 9; л; = 5 и т. д.

§ 12. Неравенства.

По программе знакомство с неравенствами дается в VII классе; более подробно на них останавливаются в X классе, где на неравенства и исследование уравнений отводится 22 часа.

Вопрос о неравенствах имеет первостепенное значение, не меньшее, чем учение об уравнениях. При политехническом обучении, когда приложению математики к решению жизненных задач уделяется особое внимание, неравенства будут так же

часто встречаться, как и уравнения. Поэтому неравенства должны изучаться на протяжении всего курса математики. Уже в V классе следует дать элементарные сведения о неравенствах; эти сведения должны расширяться, и в X классе проводиться систематическое изложение и обобщение учения о неравенствах.

Прежде чем перейти к изучению неравенств в X классе, необходимо повторить все основные свойства числовых неравенств, которые сообщались учащимся постепенно.

I) Для любых двух действительных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех соотношений: либо а^>Ь, либо а = Ь, либо а<^Ь.

2) Если а>£, то £<а.

3) Если а>£ и то а>с.1

4) Если а>£, то а±т^>Ь±т.

5) Если а^>Ь и m^>0f то arrt^>bm.

6) Если а>6 и /я<0, то ат<^Ьт.

7) Если а>£ и то a-\-c^>b-\-d.

8) Если а^>Ь и c^>d, то а — d^>b — c.

9) Если а>/>; d>0, то ac^>bd.

10) Если а>£; c>rf; d>0, то -у>у.

II) Если а>£ и £>0, то ал >£";_/г — натуральное число. 12) Если а^>Ь и Ь^>0, то ?/â> ?/£; /г — натуральное число. Учащиеся должны давать себе отчет, почему в некоторых случаях вводятся ограничения относительно членов неравенства, например, если а^>Ь и c^>d9 то можно ли утверждать, что

Если 15>10и 1> — 30, то отсюда не следует, что — 10 и т. д.

Если учащиеся не будут твердо знать правил действий над неравенствами, то изучение дальнейшего материала вызовет слишком большие трудности и постоянно будут встречаться ошибки.

Некоторые авторы рассматривают равенство как частный случай неравенства и поэтому вводят понятие о строгих неравенствах (а>£) и нестрогих неравенствах (а^Ь). Особой необходимости в этом определении нет, но в некоторых случаях исследования неравенств будет несколько полнее.

В литературе последних лет встречается символ \/ и Д. Символ V во всех формулах одного и того же рассуждения

1 Приведем доказательство свойства 3.

Если а > Ь} то а = b -f- xt где х положительное число. Если b > с, то Ь = с-\-у, где у положительное число. Складывая эти равенства, получим: а 4- b = b -f- с -f (х -f- у)у или а = с + (х + у). Так как х-\-у положительное число, то а > с, что и требовалось доказать. Аналогично доказываются и остальные свойства.

заменяет один и тот же из трех знаков ^>; = ; <^, а символ Д всюду, где он встречается, заменяет знак, противоположный первому, т. е. соответственно «; =; ». Например 2\J3 символ V заменяет знак <j

заменяет знак если

Нам кажется, что без этого символа в средней школе можно обойтись; если его вводить, то следует соблюдать осторожность.

Приведем краткие исторические сведения относительно знака неравенства.

Древнегреческие и арабские математики не употребляли никаких специальных знаков (символов) для обозначения понятия „равно", „больше" и „меньше", как и вообще не имели сокращенных обозначений для действия сложения, вычитания, умножения и деления. В XV—XVI вв. еще в математических сочинениях равенство двух величин записывалось словами; например, писали в формулах aequ или aequalis, или aequaliter (латинское „равный", „равно"), или facit (делает, составляет). Символическое обозначение равенства = впервые встречается, повидимому, в сочинении по алгебре английского лейб-медика Рекорда (Robert Record, 1510—1558). Автор говорит, „чтобы избежать скучного повторения слов is aequalle to, т. е. равно, я буду, как я часто это практикую в своих работах, ставить пару параллельных линий — близнецов одинаковой длины =, так как никакие две вещи не могут быть более равными". Однако это обозначение равенства далеко не сразу вошло во всеобщее употребление. Так, почти 20 лет спустя, профессор Ксиландер (1532—1574) употреблял для обозначения равенства символ ||. В курсе алгебры (1629) французский математик Жирар употреблял символическое обозначение для неравенств:

Л ff 5 вместо нашего Л>5, В § А „ „ 5<Л

В 1631 г. вышла, через 10 лет после смерти автора, книга англичанина Гэрриота (Thomas Harriot, 1560—1621), в которой впервые встречаются наши символы неравенств (>; ). Однако знаки =; >; <[ не сразу вошли во всеобщее употребление. Так например, в 1631 г. в книге Оутреда (William Oughtred, 1574—1660) равенство обозначается знаком = , а больше и меньше знаками и Декарт (René Descartes, 1596—1650) в своей знаменитой „Геометрии", изданной на французском

языке в 1637 г., обозначает равенство символом оо. Другой французский математик Эригон (Pierre Herigone) в своем шеститомном „Курсе математики", изданном в 1634 г., ввел следующие неудобные обозначения:

а2 I 2Ь означает а = Ь. аЗ I 2Ь п а>Ь. Ъ2\Ъа „ Ъ<^а.

Одним из трудных, как и для уравнений, является вопрос об определении и классификации неравенств. Существует несколько точек зрения. Одни авторы вовсе не считают нужным давать определение неравенств. Другие авторы приводят следующее определение: два алгебраических выражения, соединенных знаком или <[, называются неравенством. По существу здесь нет определения, а имеется констатация некоторого математического факта.

Наконец, некоторые авторы определяют неравенства с функциональной точки зрения, т. е. неравенство f(x)^>y(x) обозначает, что значения функции f(x) больше соответствующих значений функции <?(х). Решить неравенство — значит найти ту область значений аргумента, для которых значения функции f(x) больше соответствующих значений у(х) функции. Эта точка зрения является наиболее приемлемой.

В литературе встречается деление неравенств на числовые и буквенные (алгебраические). Данное деление имеет тот недостаток, что вообще буква обозначает некоторое число, и следовательно, неравенство (а-\- Ь)*^>0 с одинаковым успехом может быть отнесено как к числовому, так и алгебраическому.

Некоторые авторы делят неравенства на безусловные и условные, т. е. неравенства справедливые только при некоторых значениях букв, в него входящих, т. е. проводят аналогию между уравнением и неравенством.

Все недоразумения возникают из-за двойственности понимания. Знак > может применяться как утверждение, например, (а — by > 0, и как вопрос, например, х* — За: -j- 2 ^> 0, т. е. при каких значениях х левая часть будет больше нуля. Заметим, что указанная двойственность не вызывает особых затруднений.

В современной учебной литературе мы встречаем следующие определения неравенств: Барсуков А. Н. (Алгебра, часть 1, стр. 119, 1966): два алгебраические выражения, соединенные знаком j> или <, образуют неравенство. Неравенство, верное при любых (допустимых) значениях входящих в него букв, называется тождественным неравенством. Неравенство, верное лишь при некоторых значениях входящих в него букв, называется неравенством, содержащим неизвестные.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С. дают следующее определение: неравенством называется выражение, полученное посредством соединения знаком или знаком <^ двух алгебраических выражений. Далее мы встречаем: неравенства, не содержащие букв, относятся к числовым неравенствам. Неравенства, не содержащие букв, могут быть верными (справедливыми) и неверными (несправедливыми) (Алгебра, ч. I, стр. 154). Неравенства, содержащие буквы, могут при некоторых значениях этих букв оказаться справедливыми, а при других значениях букв оказаться несправедливыми.

Заметим, что эти положения даются в тексте и не напечатаны жирным шрифтом, как все определения в данном учебнике.

В одном наиболее солидном учебнике алгебры Новоселова С. И. вовсе не дано определение неравенств.

Нам кажется, что при первоначальном определении неравенств следует дать определение, приведенное в учебнике Барсукова, в старших же классах определение неравенств следует дать с функциональной точки зрения.

Следует дать классификацию неравенств по числу неизвестных и по степени неизвестных, т. е. такую же классификацию, как и для уравнений. Неравенства с одним неизвестным имеют вид

ZiW>/îW или Л (*)</* (х),

где fi(x) и /г(х) функции от х.

Например, 2х — 3>x + 4 или ^>х-\-1.

Общий вид неравенства с двумя неизвестными имеет вид

/iC*>J>)>/*(•*> .У) и т. д.

В средней школе чаще всего рассматриваются неравенства с одним неизвестным и линейные неравенства с двумя неизвестными.

Следует указать, что если fx(x) и f%(x) целые алгебраические функции, то в зависимости от наибольшего показателя степени х неравенства называются неравенствами первой, второй и т. д. степени.

Следует также остановиться на вопросе о равносильности неравенств: два неравенства называются равносильными, если каждое решение первого из них является решением второго, а каждое решение второго является решением первого, короче: если множества решений их совпадают. Хотя доказательство равносильности неравенств представляет интерес, однако из-за недостатка времени, в крайнем случае, можно пропустить или предложить учащимся самостоятельно разобраться, например, по учебнику алгебры Фаддеева и Соминского, ч. II.

Полезно составить следующую таблицу:

1. Прибавление к обеим частям постоянного числа или многочлена

Уравнения
Равносильное
Следствие: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив знак на противоположный

Неравенства
Равносильное
Следствие: любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив знак на противоположный

2. Умножение обеих частей на постоянное число, не равное нулю

Равносильное

Если число положительное, то новое неравенство равносильно данному
Если число отрицательное, то переменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство, равносильное данному

3. Умножение на многочлен

Вообще не равносильное

Вообще не равносильное

Заметим, что при прибавлении какого-нибудь выражения к обеим частям уравнения или неравенства может получиться уравнение или неравенство, неравносильное данному. Это будет происходить в тех случаях, когда прибавляемое выражение теряет смысл при некоторых значениях неизвестного, например, sin X > 0; область задания (— оо; -f-сю)sinх-j- tgх^> tg х, область задания (—оо; -j-oo), кроме значений л; = у.

Как и при определении степени уравнения, учащиеся ошибаются при определении степени неравенства. Например,

^->^+!

некоторые ученики считают неравенством второй степени. Следует еще раз указать им, что степени неравенства и уравнения можно говорить только тогда, когда в левой и правой части имеются целые алгебраические функции.

Учащиеся должны понимать, что решить неравенство — это значит найти все значения (множество значений), при которых неравенство справедливо. В некоторых случаях множество может состоять из отдельных точек, чисел, а в других—из интервалов и даже всей области действительных чисел.

1. Неравенства первой степени с одним неизвестным. Общий вид неравенства первой степени с одним неизвестным:

mx-\-p^nx-\-q>

или, после приведения, ах-\-Ь^>0.

Решение неравенства этого вида не затрудняет учащихся. Необходимо указать, что

если а Ф 0, неравенство имеет бесчисленное множество решений;

если а = 0 и £>0, неравенство имеет бесчисленное множество решений;

если а = 0 и £<0, неравенство не имеет решения.

Обычно приводится следующая геометрическая иллюстрация решения неравенства, например, Зл: — 6>0, т. е. л;>2.

Черт. 11

Мы считаем полезным давать графическое решение неравенств.

Построим график функции у = Зх — 6 (черт. 12).

Решить неравенство Зл: — 6^>0 — значит найти все абсциссы точек прямой, ординаты которых положительны.

2. Следует остановиться на системе двух или нескольких неравенств с одним неизвестным. Решить такую систему неравенств— значит найти все значения неизвестного (область значений неизвестного), при которых все неравенства данной системы будут справедливы. Необходимо приводить как аналитическое, так и графическое решение системы.

Пример. Решить систему неравенств

Решение. После преобразований получим, что данная система неравенств эквивалентна следующей:

Из первого неравенства имеем л:>5, из второго х<^27. Следовательно, Ъ<Стх<С27.

Затем следует привести графическое решение системы неравенств

J х- 5>0 \ -х + 27>0

Построим графики функций

Абсциссы всех точек, ординаты которых положительны как для первой, так и для второй прямой будут находиться между 5 и 27

5<х<27.

Черт. 12

Черт. 13

3. На кружковых занятиях можно рассмотреть с учащимися решение системы неравенств с двумя неизвестными. Пример. Решить систему

Решение. Приведем аналитическое и графическое решение системы. Имеем

(у>х +2 \ у<2х — 3

Следовательно, х-\-2<^2х — 3, откуда л;>5, т. е. 5<л;<^ + оо, т. е., кроме того, х -f-2 <j/ < 2х — 3, т. е. решением системы служит любая пара чисел (х, у)> где х > 5, а любое число, большее, чем значение х -\- 2, но меньшее, чем значение 2а: — 3.

Графическое решение данной системы будет следующее.

Имеем

j/<2a; — 3.

Решением системы служат все точки, лежащие выше прямой у = х-\-2, но ниже прямой у = 2х — 3.

Следовательно, решениями будут все внутренние точки заштрихованного угла.

Для нахождения координат вершины угла решим систему уравнений

откуда получим a; = 5;j/ = 7.

Примечание. Как и для системы уравнений, система неравенств может быть совместной и несовместной, например:

Черт. 14

Для систем

Черт. 15

Черт. 16

областью решений будет полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми (черт. 15).

Если дана система трех и более линейных неравенств с двумя неизвестными, то областью решения системы может быть часть плоскости, ограниченная ломаной, состоящей из п сторон, и необязательно замкнутой.

Пример. Решить систему

Черт. 17

Решение. Прямые у = х-\-1; у = — х-\-9\ у = -^х— 1 пересекаются в точках Л(— 3, — 2); b(-j, у);С(4, 5). Решениями системы служат внутренние точки ДД5С.

4. Прежде чем приступить к решению неравенств второй степени с одним неизвестным, следует повторить разложение квадратного трехчлена и построение графика квадратичной функции.

Каноническая форма неравенства второй степени с одним неизвестным будет

Разлагая на множители данный квадратичный трехчлен, получим

где anß корни квадратного уравнения.

Решение квадратного неравенства второй степени изложено достаточно подробно в учебнике алгебры Фаддеева и Соминского (ч. II) и в учебнике алгебры Киселева.

Прежде чем приступить к графическому решению квадратичного неравенства, нужно определить дискриминант соответствующего квадратного уравнения; если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то знак квадратичного трехчлена постоянен и зависит от знака коэффициента при л:2.

Областью решения квадратного неравенства, когда дискриминант отрицателен, будет для неравенства:

ах2 -|-Ьх 4-с>0 при а^>0 вся область действительных чисел; ах2 -- bx -f- с 5> 0 при а<^0 неравенство не имеет решения; ах2-|-Ьх-|-с<0 при а^>0 неравенство не имеет решения;

а<0 вся область действительных чисел.

Если дискриминант равен 0, то для неравенства ах* -j- Ьх 4- с ^ 0 при вся область действительных чисел;

ах* — Ьх— с^О при а<0 одна точка; ал;2-f-&х;-f-с ^ О при а>0 одна точка;

ал;2-{-ел;-|-с ^ О при а<^0 вся область действительных чисел.

График соответствующей квадратичной функции будет расположен над (под) осью ОХ или касаться оси ОХ в одной точке.

При графическом решении неравенств второй степени ах*-\-+ Ьх 4~ с > 0 и ах2 + £л; + £ < 0, когда Л = Ь* — 4ас > 0, поступают так: находят корни соответствующего квадратного урав-

нения и координаты вершины параболы f — --^—) и через три данные точки проводят параболу, причем, если а]>0, то парабола вогнутостью направлена в сторону положительных у (отверстием вверх), если же а<0 — вогнутостью в сторону отрицательных у (отверстием вниз). Областью решений будет множество абсцисс, для которых ординаты параболы положительны или отрицательны.

Черт. 18

б. Полезно решить графическим способом следующие неравенства:

ах* -f- Ьх -f- с > тх -f л ах* -f- Ьх + с > ajA:2 - j- frjjc -f - ^

Пример I. Решить графическим способом неравенство

л;2 —Злг + 2>л;4-1.

В данном случае ищется то множество значений абсцисс, для которых соответствующие ординаты параболы больше соответствующих ординат прямой.

Графическим путем находим, что приближенно —оо<*<С0»3; 3,7<x< + oo.

Пример 2. Решить неравенство

Черт. 19

В данном случае требуется найти множество значений абсцисс, для которых соответствующие ординаты первой параболы больше соответствующих ординат второй параболы.

Графическим путем находим, что область решений будет

— оо... 1 и 2,5... + °°-

6. В порядке кружковой работы можно привести решение неравенств высшей степени f(x) > 0, где f(x) целая алгебраическая функция п-ой степени.

Как известно, всякая целая алгебраическая функция в области действительных чисел может быть разложена на линейные и квадратичные неприводимые множители.

/(X) = а(X — ь)т(X — ß)\.. (X — if (X2 +px + q)r...

...(*в+/>1*+ ?l)*>0. (1)

Но всякий линейный множитель в четной степени и неприводимый трехчлен сохраняют свой знак, и так как они больше 0, то неравенство (1) эквивалентно неравенству

/i(*) = a(*-a)(*-ß)... (х-т)>0. (2)

Аналитическое решение неравенства (2) вообще представляет большие трудности. Приведем простое графическое решение. Построим на оси ОХ точки а, ß... у, т. е. корни уравнения.

Без доказательства примем следующую теорему: всякая целая алгебраическая функция, проходя через нуль, меняет свой знак на противоположный.

Установим, какой знак имеет функция (2) при значении х, большем (меньшем) значения любого корня уравнения, т. е. большем (меньшем) а, ß ... у.

Проводим какую-нибудь кривую через меньший корень, при этом знак функции меняется на противоположный; затем продолжаем кривую так, чтобы она прошла через второй корень и т. д. Непосредственно из чертежа можно найти те области, в которых функция будет положительна или «отрицательна.

Пример 1. Решить неравенство

Ь{х + 2)(х— \)(х — 3)>0.

Возьмем значение х = — 3, т. е. меньшее любого корня

/(-3) = 5(-3 + 2)(-3-1)(-3-3)<0.

Из какой-нибудь точки с отрицательной ординатой и абсциссой х = — 3 проводим плавную кривую, которая проходила бы

Черт. 20

через точку (— 2,0), затем проводим эту плавную кривую через точку (1,0); продолжаем кривую под ось ОХ, затем проводим через третий корень (3,0) и продолжаем ее дальше.

Черт. 21

Из чертежа непосредственно следует: областью решений будет —2... 1; 3... -f-°°-

Пример 2. Решить неравенство

2 (* + 3) (х + 1 ) (л: — 3) (л: — 4)< 0.

Возьмем значение х, меньшее —3, например, — 4:

/(- 4) = 2 (- 1 ) (- 3) (- 7) (- 8) > 0.

Из какой-нибудь точки, абсцисса которой меньше — 3, а ордината положительная, проводим какую-нибудь плавную кривую, проходящую через корни и пересекающую ось ОХ.

Из чертежа следует, что областью решений неравенства будет

— оо... — 3; — 1 ... +3; 4... + оо.

Черт. 22

7. Решение дробных неравенств. При решении дробных неравенств учащиеся часто делают следующую ошибку: приводят к одному знаменателю и отбрасывают его, например

неравенство х__$ 7> 1 решают так: 2х — 5]>л;— 3 и т. д., т. е.

находят, что л;>1, что неверно.

Можно рекомендовать следующий порядок решения дробных неравенств:

1) Устанавливается область допустимых значений.

2) Все члены неравенства переносятся в одну сторону.

3) Приводят к одному знаменателю и производят сложение и вычитание.

4) Разлагают на множители числитель и знаменатель.

5) Отбрасывая все линейные множители в четной степени и

неприводимые квадратичные трехчлены, заменяют данное неравенство ему эквивалентным

6) Помножают числитель и знаменатель на знаменатель неравенства

7) Отбрасывая знаменатель, решают полученное неравенство, эквивалентное данному:

Пример 1. Решить неравенство

Решение.

т. е. данное неравенство эквивалентно (л: — 2) • (х — 3)^> 0 и т. д.

В школе применяется следующий прием решения последнего неравенства:

откуда

8. Иррациональные неравенства с одним неизвестным. Прежде всего необходимо установить область допустимых значений. Заметим, что при этом рассматриваются лишь арифметические корни.

Общий метод решения иррациональных неравенств состоит в постепенном изолировании (уединении) радикалов и в возвышении в степень, равную показателю корня. Благодаря этому можно освободиться от иррациональности. Необходимо все время иметь в виду, что при возвышении в степень может получиться, что область исходного неравенства будет только частью области решения преобразованного неравенства. Поэтому необходимо всегда произвести проверку решения.

Решение иррациональных неравенств представляет сравнительно большие трудности; их можно предлагать только сильным учащимся в порядке дополнительного материала.

Пример 1. Решить неравенство / (х-\-2)(х — 5) <8 — л\ Найдем область допустимых значений

(х + 2)(х — 5)^0; 8 — х>0, *<8,

откуда

— со...—2; 5... + 8.

т. е. область допустимых значений будет

— оо<х<-2; 5<x<8. (А)

В данной области обе части неравенства неотрицательны, поэтому, возводя обе части неравенства в квадрат, получим эквивалентное (равносильное) неравенство

(х + 2).(*-5)<(8-*)*,

или

(А1)

Решением первоначального неравенства будет пересечение областей (А) и (А1), т. е.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Определим область существования каждого радикала

Следовательно, область существования обоих радикалов будет

0=^*^3.

Перенесем второй радикал в правую часть

При О^х^З правая часть неравенства неотрицательна, поэтому, возводя в квадрат обе части неравенства, получим равносильное неравенство

или

При О^х^З обе части неравенства неотрицательны, следовательно можно возвести обе части неравенства в квадрат

или

откуда

Нол; = 0ил; = 3 не удовлетворяют основному неравенству, следовательно, область решения будет 0<^ л;<^3.

9. Решение неравенств, в которых некоторые члены входят под знаком абсолютной величины.

Данный вид неравенств затрудняет учащихся; поэтому мы рекомендуем не только показать аналитический, но и графический метод решения. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство |*-1|<3.

Решение. Возьмем функцию у = х—1. Решить данное неравенство— значит найти абсциссы тех точек, для которых соответствующие ординаты кривой по абсолютной величине будут меньше 3:

Lvl<3

или ординаты будут заключаться в полоске, ограниченной прямыми у = — 3 и у = 3.

Построим график функции у = х—1 и прямые у = — 3 и у = 3. Непосредственно из чертежа следует: —2<^х<^4.

Приведем теперь аналитическое решение.

Согласно определению имеем:

Черт. 23

Решим совместно систему неравенств

или

откуда

Черт. 24

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Сперва приведем геометрическое решение.

Рассмотрим функцию^ = —; хФО.

График данной функции есть равнобочная гипербола (ассимптоты гиперболы приняты за оси координат). Построим график данной функции.

Геометрически решить данное неравенство — значит найти абсциссы тех точек, для которых соответствующие ординаты

будут заключены внутри полосы, ограниченной прямыми у =— 5; у = Ь.

Из чертежа находим — оо... х.. • < — -g- ; -g- < х ... -f*oo. Аналитическое решение данного неравенства будет

Эти неравенства эквивалентны следующим:

Следовательно,

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Построим график функции у = х_ | .

График данной функции будет равнобочная гипербола, асимптотами которой будут ось ОХ и прямая у—\.

Проведем прямые у= — 2 и j/ = 2.

Непосредственно из чертежа следует

Черт. 25

Аналитическое решение будет

Следовательно,

Пример 4. Решить неравенство \х* — Зх-\-2\<^2. Решение. Посмотрим график функции у = х* — Зл; -f 2. Координаты вершины параболы будут „

Проведем прямые

Из чертежа следует: 0<[л;<[3. Аналитическое решение будет

Черт. 26

Следовательно, 0<Сх<СЗ-

Пример 5. Решить неравенство |х* — 6х4-51< '•

Решение. Графическое решение.

Построим график функции у = х*— — 6л;+ 5 и проведем прямые у = — 1; у=1.

Значения xt удовлетворяющие неравенству, будут

Черт. 27

Аналитическое решение.

или приближенно

Следовательно, 0,77 < х < 1,27;

Пример 6. Решить неравенство

Решение.

или или

Но л;2 + л:+1 при любом значении х больше 0, следовательно,

Область решения будет

Область решения данного неравенства будет

10. Большой интерес для внеклассной работы представляют упражнения на доказательство неравенств. Задачи на доказательство неравенств весьма разнообразны, и поэтому применяются различные приемы решения.

Основными приемами являются:

а) Доказательство при использовании определения понятия неравенства.

Пример. Доказать неравенство

Решение. Составим разность между обеими частями неравенства

так как сумма квадратов действительных чисел всегда положительна или равна нулю.

б) Доказательство неравенств путем преобразования очевидного неравенства к виду доказываемого неравенства.

Пример. Доказать, что если а, Ь, с — целые положительные числа, то ab -\- be -f-ас ^ ЗаЬс.

Решение. По условию задачи имеем:

Сложив почленно, получим:

в) Доказательство при помощи математической индукции. Пример. Доказать, что

где /г —любое натуральное число, большее единицы. Решение. Положим п = 2.

Допустим, что данное неравенство справедливо при n = k.

Докажем, что оно будет справедливо и при n = k-\-\.

так как

г) Доказательство неравенств при помощи зависимости между средним арифметическим и средним геометрическим.

Пример. Доказать неравенство

где a, by с положительные числа.

Решение.

Сложив данные неравенства и сократив на 2, получим:

д) Метод доказательства от противного.

Пример. Доказать неравенство

если

Решение. Предположим, что данное неравенство неверно:

Тогда

Последнее неравенство несправедливо, следовательно наше предположение неверно.

Заметим, что некоторые неравенства могут быть доказаны различными приемами.

При доказательстве неравенств часто приходится пользоваться некоторыми основными неравенствами, доказательство которых мы и приведем.

1. Если четыре величины пропорциональны, то сумма наибольшей и наименьшей больше суммы двух остальных (Евклид, V книга „Начал").

Доказательство. Дано: a:b = c:d. а — наибольшее число, d — наименьшее (все четыре числа положительны). Составим производную пропорцию

по условию; с — rf>0, следовательно,

а — b > с — dy a + ûf>c-{-£,

что и требовалось доказать.

2. Теорема и неравенство Бернулли (Jacob Bernulli, 1654—1705). Если первые два члена at и а.2 арифметической прогрессии

положительны, не равны между собой и совпадают с первыми двумя членами их и и2 геометрической прогрессии

-fr и], м2, . . . 11ю . . . ,

то все последующие члены арифметической прогрессии меньше соответственных членов геометрической прогрессии.

Доказательство. Дано: at — uu

а2 = «2.

Заметим, что все члены геометрической прогрессии будут положительными.

Пусть арифметическая прогрессия будет возрастающей.

Согласно определению, ^ = ~.

На основании предыдущей теоремы и3-f Mi > wa + «а, или

Аналогично доказывается, что из равенства --= — сле дует а4>й8 + (иа —й,) и т. д.

Таким образом имеем ряд неравенств

Почленное сложение этих неравенств дает

Но u2 = a2 = al -\-d\ и1 = аи следовательно

или

В частности, при

имеем

Следовательно,

Данное неравенство носит название неравенства Бернулли.

3. Среднее арифметическое положительных чисел

не меньше их среднего геометрического

Знак равенства имеет место, когда а1 = а2 = .. . = а„. (Данная теорема принадлежит Буняковскому.)

Доказательство. Возьмем два положительных числа ах и й2.

откуда

Возьмем четыре числа:

Но

следовательно,

откуда

Аналогично можно доказать для 8, 16... 2п чисел. Легко показать, что данное неравенство будет справедливо и для любого числа положительных чисел, например,

Обозначим сумму данных чисел через S:

К этим числам добавим еще три числа: -g- ; -g- ; ^, так чтобы получилось 8 чисел, т. е. число чисел равнялось бы ближайшей большей степени 2.

Итак, имеем восемь чисел:

Но для восьми чисел неравенство доказано; следовательно,

Примечание. Более строгое доказательство неравенства Буняковского можно найти в книгах: Невяжский Г. Л., Неравенства, Учпедгиз, 1947; Соминский И. С, Метод математической индукции, ГТТИ, 1950.

4. Неравенство п\ > /пп.

Решение. Докажем сперва, что при 1<^А<[/г

Действительно, k<^n. Умножим на k—1>0:

Полагая k = 2, 3, ... , п— 1 и добавляя два равенства, получим:

Перемножая данные неравенства и равенства, получим

откуда

Например, 3!> /З3, т. е. 6> /27.

Примечание. Много интересных задач можно найти в книгах: Д. А. Крыжановский, Элементы теории неравенств, ГТТИ, 1936; Г. Л. Невяжский, Неравенства, Учпедгиз 1947; П. П. Коровкин, Неравенства, ГТТИ, 1951.

Задач на неравенство имеется в достаточном количестве в стабильном задачнике Ларичева. Добавим только несколько более трудных задач.

1. При каких значениях коэффициента b квадратичное неравенство 2л:2 -\- 3 <[ Ьх будет удовлетворяться при всяких значениях .V?

Ответ. Решение невозможно.

2. При каких значениях а неравенство

будет удовлетворяться при любых значениях х?

Ответ.

3. Решить неравенство

4. Решить неравенство

Ответ. 0<*<1; 2<л;<3.

5. Решить неравенство

Ответ. лг<М; 2<л:<3; х<^4.

6. Решить неравенство

Ответ.

7. Каково должно быть ky для того чтобы неравенство

было бы справедливо при любых значениях х?

Ответ. — 5 < & < 1.

8. Решить неравенство х — 1 > \/х — 3.

9. 4 —Зд:</оГ^Г(^Г2).

10. Решить неравенство

Ответ.

11. Доказать, что если £>0, то &-f у^2.

12. Доказать, что при действительных а, Ь, с имеет место неравенство a2 -f* б4 -|- с* ^ до + ас + ^

Много задач на доказательство неравенств можно найти в книгах: Коровкин П. П., Неравенства, ГТТИ, 1951; Баранова И. В.

и Ляпин С. Е., Задачник на доказательство по алгебре, Учпедгиз, 1954; Барыбин К. С и Исаков А. К., Сборник задач по математике, Учпедгиз, 1952.

§ 13. Система уравнений высших степеней.

Последней темой по алгебре в VIII классе по программе 1955/56 г. является система уравнений высших степеней; на нее отводится 18 уроков. Кроме того, системы уравнений встречаются в IX и X классах при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Системы уравнений имеют не только прикладное, но и большое в математическом отношении воспитательное значение.

Действительно, так как решение системы уравнений общим методом часто крайне громоздко, то приходится для решения одной и той же системы применять различные искусственные способы. Обычно таких способов бывает несколько; учащимся приходится сравнивать их, выбирать наиболее простой и изящный способ. Все это способствует развитию инициативы и исследовательских навыков. Системам уравнений следует уделять внимание и при дальнейшем прохождении алгебры, особенно при повторении в IX и X классах.

Прежде чем приступить к решению систем уравнений с несколькими неизвестными, надо напомнить учащимся, что степень целого многочлена определяется по наивысшей степени одночленов, входящих в уравнение, степень же одночлена равняется сумме показателей степеней переменных, входящих в данный одночлен. Учащиеся обычно забывают это правило и считают, например, многочлен х -\-у -\- ху -\- 2 многочленом первой степени, так как переменные входят в первой степени. Поэтому, прежде чем приступить к решению системы уравнений с несколькими неизвестными, следует проделать с учащимися ряд упражнений на определение степени многочлена, например:

х* +У + %ХУ — 3 (3-й степени), х*у + Зх*у* -f- Ъх (4-й степени) и т. д.

Следует показать учащимся, что из всякой системы двух уравнений с двумя неизвестными

/я-ой степени,

я-ой степени

можно исключить одно неизвестное и получить уравнение с одним неизвестным. <р(л;) = 0, степень которого будет тп.

Для этого решаем одно уравнение относительно одного неизвестного, например уу и значение у подставляем в другое уравнение.

Вывод в общем виде этого правила вряд ли доступен пониманию учащихся средней школы, поэтому достаточно ограничиться рассмотрением ряда частных примеров.

Это правило необходимо, чтобы учащиеся понимали, сколько систем решений имеет система уравнений высших степеней с двумя неизвестными. Обычно учащиеся ограничиваются одной, двумя системами решений и не отдают себе отчета в том, сколько их может быть.

Пример 1. Пусть дано одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени с двумя неизвестными:

Если учитель не считает нужным дать решение уравнений в общем виде, то можно ограничиться примером,

x2 + 4^2 — Зд: — 2 = О, 2а:-f Зу = 5.

Для решения данной системы, как было указано, применяется способ подстановки. Из второго уравнения определяется одно неизвестное через другое, и значение его подставляется в первое, получится квадратное уравнение с одним неизвестным и т. д.

При решении способом подстановки проверка решения не обязательна и может проводиться только для контроля правильности вычислений; легко можно доказать, что в этом случае не могут появиться лишние корни и не могут потеряться корни.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнения определим у:

Подставляем значение у в первое уравнение:

После упрощения имеем:

х4 — 6х3 + 6х2 + 2х — 3 = 0.

Данное уравнение имеет корни

*i — 1; х2= 1; x3,4 = lzt/7.

Подставляя значение х в уравнение j/=-^-py, найдем соответствующие значения у.

Примечание. После того как учащиеся познакомятся с искусственными приемами решений, следует привести более простое решение данной системы.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Решим второе и третье уравнение относительно X и у.

отсюда

Подставляя значения х и у в первое уравнение, получим /23 —4г\* , о /7* — 9\* 23 — 4* а

или после упрощения

183г2 — 677z+ 622 = О,

откуда

о 311

zx — 2; z2 = и т. д.

Примечание. Данный способ применим и для системы /г уравнений с п неизвестными, если одно уравнение /г-ой степени, а остальные уравнения первой степени.

Простейшие искусственные приемы решения систем уравнений.

Учащиеся недостаточно знакомы с основными искусственными способами решений систем и поэтому избегают применять их для решения более сложных систем. По нашему мнению, знакомство с искусственными, хотя бы основными, приемами решения систем уравнений, является крайне желательным.

Заметим, что при искусственных приемах решений систем уравнений часто появляются лишние корни, поэтому необходимо производить поверку решений.

1) Система

Данную систему удобнее всего решить, воспользовавшись формулой Виета. Рассматриваем х и у как корни квадратного уравнения: z1 — mz-\-n = 0.

Так как каждый корень квадратного уравнения может быть принят за X или у$ то исходная система уравнений будет иметь две системы решений.

Решение системы

сводится к предыдущему случаю, если положить ух = —у. Тогда получится система

Решение системы

может быть сведено к предыдущему способу, если возвести второе уравнение в квадрат и положить х* = а\ у'2 = Ь, тогда

Систему

можно решить различными способами. Приведем еще два из них.

. Помножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому. Тогда получим

или

откуда

т. е. получилась система уравнений

Решение этой системы уже известно.

Если помножить второе уравнение на 2 и вычесть из первого, то получим

Если помножить второе уравнение на 2 и прибавить к первому, то получим

Таким образом, имеем две системы линейных уравнений

Знаки перед радикалами независимы, поэтому имеем четыре системы решений.

Точно так же решается и система

Извлекая из обеих частей второго уравнения квадратный корень, получим

Полагая \/х = и; \/y = v, имеем

2) Система

решается делением первого уравнения на второе

Получилась система линейных уравнений.

3) Решение системы уравнений, левые части которых суть однородные одной и той же степени многочлены относительно X и у.

Пример.

Уравняем свободные члены

и вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим

5х*—19ху-\-12у* = 0.

Так как у Ф О, то разделим данное уравнение на у\

Положим —=k. Тогда

откуда

Следовательно,

Подставляя значение х в одно из данных уравнений, например во второе, получим:

откуда л; = ±3/3.

Если взять значение £ = у, то получим лг = ± 4; у = ±Ъ.

4) Способ замены. Во многих случаях введение новых переменных значительно упрощает решение системы уравнений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Положим у y = z- Второе уравнение примет вид

отсюда находим 2i = 2; 22 = y. Следовательно,

Имеем

Пример 2. Решить систему

Решение. Прибавим к обеим частям первого уравнения 2ху

Введем новые переменные х-\-у = а\ ху-—Ь. Тогда получим систему

Данная система может быть решена и другим способом. Помножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому:

Положим X -\-у=zy тогда z* -\- 2г = 24, откуда zx = — 6 и z2 = 4. Получатся две системы

решение которых не представляет труда.

Пример 3. Решить систему

Прибавим к обеим частям первого уравнения х*у*9 а к обеим частям второго уравнения ху.

Введем новые переменные х*-\-у* = а и ху = Ь. Тогда

Решение данной системы не представляет труда.

Пример 4. Система

решается весьма просто. Если сложить данные уравнения и положить xA^y — z1, тогда

Пример 5. Система

решается аналогично.

Складывая данные уравнения, получим:

Положим х*-\-у* = а*, тогда

Пример 6. Систему

можно решить следующим образом.

Делим второе уравнение на х2у* (легко показать, что х ф О и у Ф 0).

Тогда

Прибавим к обеим частям второго уравнения по

или или

Положим

Пример 7. Система

допускает следующее решение.

Раскроем скобки в 1-м уравнении

*У-{-х*+У-|-1 = 10.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы получились квадраты выражений (х-\-у) и (ху—1).

{X* +у + 2ху) + (хУ — 2ху +1)== 10,

или

(*+;y)9+(*j>-i)'==io.

Положив x-j-j/ = a и ху— l=b, получим

5) Решение систем уравнений более высоких степеней. Иногда при решении систем уравнений высших степеней полезно применить следующее преобразование:

Например, дана система

Второе уравнение может быть представлено так:

но х-у = 2, следовательно,

Таким образом получилась система

Пример. Таким же приемом может быть решена система

Введя новые переменные iVx = a и Уу — Ьу получим

Пример. Решить систему

Основная идея заключается в том, чтобы найти ху. Для этого возведем второе уравнение в квадрат

х*+у* + 2ху=16

или

Х*+у*=\6 — 2ху.

Возведем это уравнение снова в квадрат:

*4 + У + 2*У = 256 — 6Аху + 4х V,

но a;4-{-j/4 = 82, следовательно,

2^У — 64ду+ 174 = 0. Отсюда легко найти ху и т. д.

Графическое решение систем уравнений.

Учащиеся при решении систем уравнений высших степеней мало используют графические методы решений, которые во многих случаях позволяют быстро найти ответ.

Так как учащиеся не знакомы со всеми видами кривых 2-го порядка и не умеют по общему уравнению второй степени с двумя неизвестными построить соответствующую кривую, то в средней школе приходится ограничиться только некоторыми частными случаями.

Пример 1. Решить графически систему

Графически решение данной системы сводится к отысканию координат точек пересечения окружности радиуса j/TO с прямой линией.

Черт. 28

Пример 2. Решить графически систему

В данном случае отыскиваются точки пересечения окружности с параболой.

Пример 3. Решить графически систему

Черт. 29

Черт. 30

В этом случае отыскиваются точки пересечения двух парабол.

Если учитель познакомил учащихся с графиками эллипса (в* Jr¥ = и гипеРболы — -^=lj, то число примеров на графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными может быть значительно увеличено.

§ 14. Теорема Безу.

Хотя теорема Безу и ее следствия по программе отнесены к X классу, мы все же считаем возможным делимость хт±ат на X ± а отнести к более младшим классам, так как если известно частное этих полиномов, то доказательство многих теорем может быть значительно упрощено.

Обыкновенно при доказательстве теоремы Безу у учащихся возникает следующее недоразумение.

В формулировке данной теоремы указано: для того чтобы многочлен f(x) делился на разность (х — а), необходимо и достаточно, чтобы при х = а он обращался в нуль. Учащиеся заявляют, что при х = а делитель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Затруднение заключается в неправильном понимании делимости многочленов. В настоящее время в высшей алгебре принято следующее определение делимости многочленов (полиномов).

Если f(x) = y(x)q(x)-\-r(x) (I), где /(*); <р(*); q(x)\ г(х) полиномы и степень <р(х) меньше или равна степени f(x)> а степень г(х) меньше степени <р(лг), то q(x) называется частным, а г(х) остатком от деления с остатком полинома f(x) на у(х).

Если г(х) = 0, то f(x) делится нацело на у(х).

Ясно, что степень q(x) равна разности степеней f(x) и <?(х).

Равенство (I) имеет место при всех значениях х.

Для нахождения частного и остатка существует два способа:

1) „деление уголком" и

2) метод неопределенных коэффициентов.

Следует проделать два-три примера на нахождение частного и остатка методом неопределенных коэффициентов, так как этот метод имеет большое значение в математике и знакомство с ним весьма полезно.

Пример. Найти частное и остаток от деления многочлена хъ — 2л:2 -f-1 на многочлен х*-{-х— 1.

Согласно определению,

*3 — 2х2 -f 1 = (х* + X — 1 ) - (ах + Ь) + (сх + d\

так как степень остатка меньше степени делителя. Раскрыв скобки, получим:

Так как данное равенство есть тождество, то коэффициенты при одинаковых степенях и свободные члены должны быть равны

отсюда находим:

а=1; Ь = — 3; с = 4; d= — 2,

т. е. частное равно л;— 3, остаток 4л: — 2.

Необходимо заставить учащихся сделать поверку делением уголком.

После того как учащиеся ознакомятся с определением деления с остатком, доказательство теоремы Безу не вызовет особых затруднений.

На делимости двучлена хт±ат на х±а следует остановиться подробно, указав последовательность членов в частном.1 Учащиеся должны уметь сразу написать частное от деления, например частное от деления х1 — а7 на х — а и т. д.

Как уже было указано, делимость двучлена хт±ат на х±а может быть пройдена в VIII классе при повторении тождественных преобразований.

В IX классе следует разобрать следующие случаи делимости двучленов.

1) X — а на х"—ап (п натуральное число).

Решение. Положить х" =у\ a" ~ct тогда х=уп\ а = спу следовательно,

1 Непосредственным делением найти

и вообще, где п натуральное число,

хп — ап = (х — а) (хп~1 + хп'2а -f ... -f хап~2 + ап~1) и т. д.

Строгого доказательства последней формулы можно в VIII классе не приводить.

2) Делимость х' ±а' на х ±а (тип натуральные числа).

Указание. Положить х% =у\ а" = с. Кроме примеров, встречающихся в задачнике Ларичева, можно решить еще ряд интересных упражнений.

1. Найти условие делимости (л: -j- 1 )m + (л: — 1 )m на х.

Указание, х можно представить у [С*-|- 1 )-}-(#— 1)].

Ответ, m должно быть нечетное число.

2. Доказать, что

(ax + byf + ibx+ayf

делится без остатка на (a -f- b) • (л: -f"J>).

Указание. Преобразовать делитель (а ^ Ь)(х -\- у)==ах-\- Ьх^- ay -\- by = (ах -[- Ьу)-{- (Ьх -\- ау) и т. д.

3. Доказать, что

(х* — ху-\-у*)ъ -\-(х*ху-\-у*)* делится без остатка на 2л;2-f 2у*.

Указание. 2л:2 + 2у* = (х*—ху+у*)+(х*+ху-\-у*) и т. д.

4. Определить, делится ли нацело

1+а4 + а8 + .., + а8п-4 на 1+а2 + ... + а4л-2.

Решение.

5. Определить, делится ли нацело

l+x4 + x8 + ... + x4w на \+х* + х*±... + х*п.

Ответ. Делится, если п -4- 1 нечетное число.

6. Не разлагая на множители, сократить дробь рзг^срТ'

Указание. Умножить числитель и знаменатель на л:2—1.

7. Не разлагая на множители, сократить дробь 3Т 2Т Т i •

Указание. Умножить числитель и знаменатель на л;2—1.

8. Сократить дробь

Указание. Умножить числитель и знаменатель на л;4—1.

9. Доказать, что Ззл+2 + 5 • 2;*л+1 при п целом положительном делится на 19.

Решение.

Каждое слагаемое кратно 19.

10. Доказать, что выражение 52/l+1 -f- 2Л+4 + 2Я+1 (п — целое положительное число) делится на 23 без остатка.

11. Доказать, что при всяком целом и положительном п выражение цп+2-|-12п+1 делится на 133 без остатка.

Задач на делимость многочленов и определение остатка имеется в достаточном числе в задачнике Ларичева (№ 1497, 1498, 1499, 1500, 1501, 1502, 1503).

§ 15. Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Основная теорема алгебры формулируется так: всякий полином ненулевой степени с любыми комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Доказательство данной теоремы выходит за рамки школьной программы, и поэтому достаточно ее только сформулировать.

В курсе средней школы преимущественно рассматриваются полиномы с действительными коэффициентами, и поэтому все дальнейшее изложение будет касаться только таких полиномов.

Кроме того, в этом параграфе, если не будет оговорено особо, когда говорится об алгебраическом уравнении, то понимается уравнение, в левой части которого находится полином, а в правой части нуль.

Для очень сильных учащихся можно доказать следующие теоремы, для остальных учащихся следует их дать без доказательства или доказать для частных случаев.

Теорема 1. Всякое уравнение я-ой степени с любыми комплексными коэффициентами имеет ровно п корней, среди которых могут быть и равные друг другу.

Теорема 2. Всякий многочлен /г-ой степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен и притом единственным способом в виде произведения двучленов первой степени

где а, ß, ... , y—корни данного уравнения.

Доказательство данных теорем можно найти в учебнике Фаддеева и Соминского, часть II.

Теорема 3. Если уравнение п-ой степени имеет действительные коэффициенты и мнимое число а-\-Ы является корнем этого уравнения, то сопряженное число а — Ы является также корнем уравнения.

Полное доказательство данной теоремы можно найти в том же учебнике алгебры Фаддеева и Соминского.

Мы считаем, что данную теорему достаточно доказать для полинома второй степени.

Пусть х*-\-px-\-q = Oy где рид действительные числа. Так как а-\-Ы есть корень данного уравнения, то

но тогда

а* + 2аЫ — Ь*-\-ра-\-рЫ + 0 = 0,

или

(а2 — о2 + ра + 9) + (2а* + pô) * = 0.

Если комплексное число равно нулю, то его действительная часть и коэффициент при мнимой части равны нулю, т. е.

а2 — о2+/7а + ? = 0, 2ао = 0.

Возьмем комплексное число а — подставим в левую часть уравнения вместо х\ если получится в левой части нуль, то а — Ы есть корень данного квадратного уравнения.

(а — ЫУ+р(а — «) 4-0 = 0, а2 — 2а£/ — о2 + ра — рЫ + ? = 0, (а2 — Ь2 + /7а + — (2ай + = 0.

Но выражение в каждой скобке по доказанному равно нулю, следовательно, а — Ы есть корень данного квадратного уравнения.

§ 16. Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения.

При изучении квадратного уравнения ax*-{-bx-\-c = 0 или x*-\-px-\-q = 0 было выведено, что

где а и ß корни уравнения.

Легко показать, что данная теорема (теорема Виета) имеет место и для уравнений высших степеней.

Возьмем уравнение третьей степени

a0xz + a,*2 -f а2х + а3 = 0.

Данное уравнение, согласно предыдущему параграфу, имеет три корня <хь а2, а3; следовательно, левая часть может быть разложена на три линейных множителя:

а0хг + ахх* + а2* + <*з = а0 (а; — (л: — а2) (л: — а3),

или

Полиномы, находящиеся в левой и правой части тождественно равны между собой; поэтому коэффициенты при одинаковых степенях х равны

Если взять полином, у которого коэффициент при высшей степени х равен 1, то получим:

Аналогично можно убедиться в том, что для уравнения

где аь а.2, а3, а4 — корни уравнения, имеют место следующие соотношения:

и вообще для уравнения л-ой степени

имеем:

сумма корней уравнения

сумма произведений корней, взятых по два,

сумма произведений корней, взятых по три,

произведение всех корней

Доказательство данной теоремы можно найти в учебнике алгебры Фаддеева и Соминского (часть II).

На основании установленных зависимостей между корнями и коэффициентами уравнений можно сделать некоторые выводы:

1) всякое уравнение с действительными коэффициентами может иметь лишь четное число мнимых корней, попарно сопряженных.

Действительно, если бы уравнение имело нечетное число мнимых корней, то произведение этих мнимых корней не может быть действительным числом.

2) Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения с целыми коэффициентами

а0хп + аххп~х + ... + ап_хх -f- ап — О

необходимо, чтобы р было делителем свободного члена ап> a q было делителем коэффициента при хп.

В учебнике Фаддеева и Соминского приведено доказательство для уравнения л-ой степени. Мы считаем возможным ограничиться доказательством для уравнения второй и третьей степени. Доказательство для уравнения второй степени было приведено в § 10.

Возьмем уравнение а0х* + ахх2 + алх + а3 = 0.

Пусть y корень уравнения (р и q взаимно простые целые числа). Тогда

или

отсюда

Правая часть равенства есть целое число, которое делится на q\ следовательно и левая часть должна делиться на q, но ръ не делится на q, поэтому а0 должно делиться на q, т. е. q есть делитель а0.

Сгруппируем члены несколько иначе:

a3q* =—p(aQp2 + axpq + a2q*).

Правая часть делится на р, следовательно, и левая часть должна делиться на р, но q* не делится на р, поэтому а3 делится на р.

Теорема доказана.

Следствие 1. Если уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при хп равен 1, то рациональными корнями могут быть целые числа.

Следствие 2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

На основании всего вышеизложенного в некоторых случаях легко решить уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение л;3 — 6л;2-f 11л: — 6 = 0.

Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при л;3 равен 1, то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, т. е.

1 ; 2; 3; 1 \ — 2; 3.

Проверим, не является ли 1 корнем данного уравнения /(1)=1*_ 6. 12+11 . 1—6 = 0.

Тогда полином в левой части имеет делителем х—1.

Можно или непосредственно разделить левую часть на х — 1 или прибегнуть к следующему приему.

Преобразуем полином так, чтобы два рядом стоящих слагаемых можно представить в виде произведения некоторой степени X на двучлен х— 1.

Квадратный трехчлен легко разлагается на множители, следовательно,

Отсюда следует, что корни данного уравнения будут 1; 2; 3.

Пример 2. Решить уравнение л:4 — блг — л:2-f- 54л: — 72 = 0.

Решение. Целыми корнями могут быть только делители свободного члена, т. е.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24, 36, 72.

Определим, не являются ли + 1 или — 1 корнями уравнения. /(+ 1 ) = 1 — 6 — 1 4- 54 — 72 ф 0, /(_ 1)^14-6— 1 —54 — 72^0.

Следовательно, 4" 1 и — 1 не будут корнями уравнения. Возьмем делитель 2.

/(2)= 16 — 48 — 4 4- 108 — 72 = 0,

т. е. 2 корень уравнения.

Разложим на множители левую часть

Определим, не является ли 3 корнем уравнения.

Следовательно,

Уравнение х* — х —12 = 0 имеет корни —3 и 4, следовательно корни данного уравнения будут 2, 3, —3, 4.

Пример 3. Решить уравнение

Ответ. 1, 3, 2, у .

Пример 4. Один из корней уравнения х3 — 6х*-\-ах — 6=0 равен 3.

Найти два других корня. Ответ. 2; 1.

Пример 5. Решить систему

Указание. Неизвестные можно рассматривать как корни уравнения уъ — Зу + 2 = 0, отсюда находим хх—\\ х2 = — 2; х% = 1.

§ 17. Двучленные и трехчленные уравнения.

Известно, что алгебраическое решение уравнения заключается в построении формулы, выражающей значение корней уравнения через его коэффициенты посредством шести алгебраических действий. Алгебраическое решение уравнения носит название решения уравнения в радикалах. Из высшей алгебры известно, что в общем виде в радикалах могут быть решены уравнения степени не выше четвертой; уравнения же пятой и более высоких степеней в общем виде не могут быть решены в радикалах. Как показал Галуа (1811—1832), существуют конкретные уравнения с числовыми коэффициентами, неразрешимые в радикалах.

Из уравнений высших степеней в средней школе рассматриваются только уравнения двучленные и трехчленные. Двучленное уравнение п-ой степени имеет вид

А0хп + Ап=0. Данное уравнение всегда может быть сведено к виду

или, полагая ^ = апу к хп-{-ап = 0у откуда х = У — ап.

Так как извлечение корня п-ой степени не входит в курс алгебры, то приходится ограничиться только рассмотрением частных случаев.

1) п — 3. Решение уравнения хъ— а3 = 0. Разлагаем левую часть на множители

откуда

Уравнение x3-j-a3 = 0 решается аналогично. Корни его будут

Заметим, что уравнения хг— а3 = 0 и хъ-\- а3 = 0 имеют по одному действительному и по два сопряженных мнимых корня. Покажем геометрическое решение двучленных уравнений. В курсе высшей алгебры доказывается, что извлечение корня л-ой степени геометрически равносильно делению окружности на п равных частей или вписанию в окружность правильного /г-угольника, причем комплексное число, соответствующее вершинам многоугольника, будет корнями данного уравнения. Рассмотрим простейшие случаи.

Возьмем окружность радиуса а. Легко найти сразу корень уравнения хъ — а3 = 0.

Корень будет лг, = а. Построим точку Ах (а, 0). Разделим окружность на три равные части, начиная с точки Аи и впишем правильный треугольник. Комплексные числа, соответствующие вершинам треугольника, будут корнями данного уравнения, причем абсциссы будут действительными частями, а ординаты — коэффициентами при мнимой части.

Действительно,

Черт. 31

Следовательно, комплексное число, соответствующее точке А2, будет

Комплексное число, соответствующее точке Л3, будет сопряженным числом, так как точки А2 и Аь симметричны относительно оси ОХ.

Для построения корней уравнения л;3-{-а3 = 0 поступаем аналогично. Находим один корень = — а и в окружности радиуса а от точки А\(— а, 0) строим правильный вписанный треугольник.

Комплексные числа, соответствующие вершинам данного треугольника, и будут корнями данного уравнения.

Заметим, что действительным корням будут соответствовать точки пересечения оси ОХ с окружностью; так как ось ОХ пересекает окружность только в двух точках, то число действительных корней двучленного уравнения не может быть больше двух.

2) Решение уравнения х4 — а4 = 0.

Разлагаем на множители левую часть уравнения

(х2 — a2).(x2 + a2) = 0,

откуда находим

Черт. 32 Черт. 33

Найдем геометрическое решение данного уравнения. Находим один корень этого уравнения Zi = a. Впишем в окружность правильный четырехугольник, одна вершина которого находится в точке Ai(a, 0). Комплексные числа, соответствующие вершинам данного квадрата, и будут корнями уравнения.

Действительно,

Пусть дано уравнение л;4-|-а4 = 0. Разлагая на множители левую часть уравнения (см. § 10) и приравнивая нулю каждый множитель, получим, что корни уравнения будут

В окружности радиуса а проведем диаметр под углом в 45° к оси ОХ. Впишем в окружность квадрат так, чтобы одна из вершин находилась в точке Ах.

Тогда

Черт. 34

Комплексное число, соответствующее вершине Аи будет

Нахождение остальных корней не представляет труда.

3) Уравнение л:6 — а6 = 0. Приведем геометрическое решение данного уравнения. Корень уравнения будет а, = а.

В окружность радиуса а впишем правильный шестиугольник так, чтобы одна вершина находилась в точке A1(ai 0). Комплексные числа, соответствующие другим вершинам шестиугольника, будут корнями уравнения. Действительно,

Черт. 35

Остальные два корня будут сопряженными корням а.2 и а3.

Пусть дано уравнение л:6-)-а6 = 0.

Легко видеть, что корнем данного уравнения будет -\-ai.

На окружности радиуса а возьмем точку At (0, а) и построим правильный вписанный шестиугольник, одна вершина которого находилась в точке А%. Комплексные числа, соответствующие остальным вершинам, будут корнями данного уравнения.

Действительно,

Черт. 36

Остальные корни будут соответственно сопряженными числами.

4) Аналогично можно найти корни уравнений

Черт. 37 Черт. 38

Трехчленные уравнения имеют вид

(п натуральное число).

Всякое трехчленное уравнение может быть разрешено в радикалах.

Обозначим xn = Zy тогда

откуда

следовательно

Следует указать, что биквадратное уравнение есть частный случай трехчленного уравнения, когда п = 2.

Подобно трехчленным уравнениям решаются уравнения вида АР*п-\- ВРп -\-С=0, где Р есть выражение, содержащее неизвестное.

В этом случае также следует положить Pn = zf тогда получится

Лг2 + £г + С=*0.

Решая это квадратное уравнение, найдем два корня z{ и zb следовательно получим два уравнения:

Pn = Zl и Pn = z2.

Решая эти уравнения в отдельности, найдем значения неизвестного.

Примеров на трехчленные уравнения имеется достаточно в задачнике Ларичева. Приведем только несколько, причем желательно найти все корни уравнения.

Решить уравнения:

Указание. Vx=y\ Vх = —2 не годится, если брать арифметические корни Ух=\*

§ 18. Исследование уравнений.

Как известно, исследовать уравнение с буквенными коэффициентами — значит рассмотреть все значения, какие может иметь неизвестное при частных значениях коэффициентов.

В последнее время в методической литературе буквенные коэффициенты все чаще и чаще носят название параметров.

Если в задаче данные были обозначены буквами, то исследовать задачу — значит найти условия, которым должны удовлетворять эти данные, чтобы задача была возможна, а также выяснить, как будет изменяться решение задачи при изменении данных и сколько будет всего решений.

Заметим, что не всякий корень уравнения, составленного по условиям задачи, удовлетворяет дополнительным условиям задачи, которые могут быть весьма различны, например, неизвестные должны иметь положительные или целые значения и т. п.

Дело в том, что выражения, служащие правыми и левыми частями уравнения, могут иметь более широкую область определения, чем множество допустимых значений неизвестных, определяемых условиями задачи. Поэтому и множество корней уравнения без дополнительных условий может быть значительно шире, чем множество корней с дополнительными условиями. Необходимо из первого множества выбрать то множество, которое удовлетворяет дополнительным условиям.

Прежде всего необходимо напомнить:

1) Всякое выражение (уравнение), содержащее неизвестные и параметры /(*, у, ... г% а, Ь, ... с), может иметь смысл в области изменения аргументов при одних значениях параметров и не иметь смысла при других.

Следовательно параметры могут изменить область задания уравнения.

Пример 1. х-\-5 = а задано для любых значений аргумента, независимо от значения а.

Пример 2. Если а>0 и с>0, то функция

задана для значений

Если а = 0, то у= \Гс> т. е. для с 7^0 область задания функции будет —0...-(-оо, если с<^0, то область задания функции будет пустое множество.

Поэтому для каждой формулы (уравнения) следует установить область допустимых значений аргументов и параметров; возможны такие случаи, что область задания параметров есть пустое множество и, следовательно, алгебраическое выражение (уравнение) вообще не имеет смысла, например,

2х2 + 3* + /^ТН*==0.

2) Решить уравнение (систему), содержащее параметры — значит для каждой допустимой системы значений параметров определить множество всех решений данного уравнения (системы).

3) Область допустимых значений параметров определяется не только в соответствии с математическими операциями (действиями), но и по смыслу (содержанию) задачи.

4) Прежде чем приступить к решению уравнения с параметрами, следует сразу оговорить те значения параметров, которые, очевидно, не принадлежат к области допустимых значений, например,

или

5) Решение уравнений, содержащих параметры, должно вводиться постепенно, а не только в X классе, одновременно с прохождением соответствующих видов уравнений.

6) Вряд ли следует решать уравнения, содержащие четыре или более параметров, за исключением некоторых частных случаев.

7) При исследовании и решении системы уравнения с параметрами, по возможности, следует истолковать исследование при помощи чертежа, что во многих случаях сделает все исследование более ясным.

I. Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным.

Положительные, отрицательные и нулевые решения уравнения первой степени с одним неизвестным могут быть изложены по учебнику Киселева (часть II).

Сделаем несколько замечаний об исследовании уравнения первой степени с одним неизвестным. Общий вид этого уравнения будет

ах = Ь или ах + Ъ = 0.

Исследование этого уравнения не представляет труда. В результате исследования должна получиться следующая таблица:1

Уравнение ал: + о = 0

Параметры

Решение

График

Черт. 38а

Черт. 386

1 Желательно, чтобы данная таблица была бы составлена самими учащимися.

Параметры

Решение

График

уравнение не имеет решения

Черт. 39а График —прямая параллель ная оси ОХ

уравнение не имеет решения

уравнение имеет бесчисленное множество решений 0 • л: = 0

Черт. 396 График — прямая параллельная оси ОХ

Черт. 39в График совпадает с осью ОХ

В задачнике Ларичева (часть II) имеется достаточное число примеров на исследование уравнений первой степени.

Приведем несколько задач с геометрическим содержанием, которые представляют некоторый интерес.

Задача 1. В равнобедренном А АВСУ каждая из боковых сторон которого равна a, a основание ВС=2Ь, провести прямую, параллельную основанию и пересекающую боковые стороны AB и ВС в точках D и Е так, чтобы в трапецию BDEC можно было вписать окружность.

Решение. Для того чтобы вписать окружность в трапецию BDECy необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ВС + DE=BD -\-ЕС= 2BD.

Кроме того, имеем ßQ — jß-

В этих двух равенствах известны ВС = 2Ь\ АВ = а, неизвестны DE и ЕС.

Положим AD = AE=x\ тогда BD = a — x. Следовательно,

Черт. 40

откуда

или

Но а>0, так как а длина боковой стороны, следовательно ab -f- bx = а2 — ах у (a-\-b)x = a(a — Ь\

X да -^7^; так как а + А>0, то а>о, ибо боковая сторона равнобедренного треугольника больше половины основания. Окончательно имеем а>0; #>0; а^>Ь. Более трудной будет задача 2.

Задача 2. К данной прямой в точках А и В восставлены по одну сторону от нее два перпендикуляра АС и BD длиной а и Ь. Найти точку пересечения прямой CD с прямой AB, если отрезок AB — d.

Решение. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Если d = 0, то точки А и В совпадают. Тогда точка пересечения прямой, проходящей через точки С и D, совпадет с точками А и В.

Черт. 41 Черт. 42

Если d = 0 и а = Ь, то отрезки АС и BD совпадут.

Из конца какого-нибудь отрезка можно провести бесчисленное множество прямых, пересекающих данную прямую.

Задача имеет бесчисленное множество решений.

Если а = Ь и афОу то задача не имеет смысла. В этом случае прямая, проходящая через точки С и Д параллельна прямой AB.

Черт. 43 Черт. 44

Найдем решение в общем случае, когда а>0; b^>0\ афЬ и а Ф 0.

Сделаем на глаз чертеж, предполагая, что точка В всегда расположена вправо от точки А. Обозначим точку пересечения прямой CD с прямою AB через Н. Положим ВН—х, тогда AH = x + d.

Из подобия Л ACH и Д BDH следует

Черт. 45

Данное равенство имеет смысл при а Ф 0 и ЬфО. Найдем значение х\ (а — b)x = bd.

Предположим, что афЬ, тогда х = jzZh «

Если d>0, то точка H будет расположена вправо от точек А и ß, когда а>#, и влево, — когда а<^Ь.

Задача 3. К данной прямой в точках А и В восставлены перпендикуляры АС и BD, равные а и Ь, по разные стороны от данной прямой. Найти точку пересечения прямой CD с данной прямой, если AB = d. Ответ. d?,.

Задача 4. К двум окружностям радиусов гх и г2 проведена общая внешняя касательная. Найти точку ее пересечения с линией центров, если расстояние между центрами равно d. Ответ.

Задача 5. Стороны д ABC равны а, Ь, с. Найти точку пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине В с продолжением противоположной стороны. Ответ. х= .

Задача 6. Диагональ АС параллелограма ABCD разделена в точке L в отношении m:п (считая от Л к С). Прямая DL пересекает ВС в точке F. Найти положение точки относительно В, если AD = a. Ответ. х = а<<т~п\

Черт. 46

Черт. 47

Задача 7. В Д ABC с основанием а и высотой h вписан прямоугольник с периметром 2р так, что две его вершины находятся на основании треугольника, а две другие на боковых сторонах. Найти стороны прямоугольника.

Задача 8. Катеты прямоугольного A ABC равны а и Ь. Перпендикуляр, восставленный к гипотенузе в ее середине, пересекает катет ВС в точке F. Найти отрезок CF. Ответ,

Черт. 48

II. Исследование системы линейных уравнений.

Исследование системы линейных уравнений вполне доступно учащимся и в математическом отношении представляет большую ценность.

Прежде чем перейти к исследованию, необходимо напомнить учащимся основные определения и положения.

1) Два или несколько уравнений образуют систему уравнений, если одноименные неизвестные в них обозначают одну и ту же величину. Например:

Необходимо указать, что число уравнений не обязательно должно равняться числу неизвестных.

Системами будут и следующие совокупности уравнений:

или

2) Решениями системы называется совокупность чисел, удовлетворяющих каждому из уравнений, например: х = 2; у=1 будут решениями системы

или х = 2\ у =—1 являются решениями системы

3) Система может иметь бесчисленное множество решений, например:

или не иметь вовсе решений

4) Система уравнений называется совместной, если она имеет хоть одно решение.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение.

Совместная система линейных уравнений называется неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Если система уравнений не имеет решения, то система называется несовместной, или противоречивой.

5) Исследовать систему — значит определить, является ли данная система совместной или несовместной, а если она совместная определенная, то найти ее решения.

В школьном курсе алгебры исследуются только системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и дается лишь краткое понятие об исследовании системы уравнений с тремя неизвестными.

Можно предложить следующее изложение исследования системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Теорема 1. Если ахЪ2 — аф^ФО, то система уравнений

определенная система, т. е. имеет только одно решение

Доказательство. Докажем сначала, что если система при данном условии имеет решение, то оно единственно.1

Пусть х0 и у0 есть какое-нибудь решение данной системы, т. е.

Умножим первое равенство на Ьъ а второе равенство на — bi и сложим; затем первое равенство умножим на —аъ второе равенство на ах и сложим.

1 Если ff1 = 0 или #1 = 0, то система имеет вид Ь1у = с1 или ö1jt = c1; а9х -f-bay = cs) решение данных систем очевидно.

Тогда получим

но ахЬъ — a2bi Ф О, следовательно,

о)

т. е. если верны равенства

то х0 и j/0 имеют значения (I).

Предположим, что xô и у'о есть также решения данной системы, т. е.

Найдя таким же способом значения Хо и у'0, получим:

Отсюда следует, что все решения системы выражаются одной и той же формулой или что все решения равны между собой, т. е.

Следовательно, система

если имеет решение, то оно единственное. Докажем, что

действительно решения системы, если a,ô.2 — аф{ Ф 0. Для этого достаточно подставить значения х0 и у0 в данные уравнения, и если получится тождество, то х0 и у0 решения системы. Подставим в первое уравнение

Аналогично можно убедиться, что значения xQ и yQ удовлетворяют и второму уравнению системы.

Таким образом, если ахЬ2— а2ЬхФ0, то система

совместна и имеет единственное решение.

Примечание. Полезно познакомить учащихся с определителями второго порядка, т. е. ввести обозначения

Тогда решения системы будут

Теорема 2. Если ахЬ2 — а2Ьх = 0, но хотя бы одно из чисел схЬ2 — c2bx или ахс2 — а2сх отлично от нуля, то система

несовместна.

Доказательство. Докажем теорему методом от противного. Предположим, что х0 и yQ есть решение данной системы, т. е.

и что, например, ахс2— а2сх Ф 0.

Умножим первое равенство на —а2, второе на ах и сложим данные равенства.

но ахЬ2 — а2Ьх = 0 по условию, следовательно,

что невозможно, так как мы предположили, что ахс2— а2сх Ф0. Следовательно, теорема доказана.

Примечание. Если ахЬ2 — а.2Ьх = 0, Из ахс2 — а2сх ф 0, следует

т. е. если система уравнений несовместна, то коэффициенты неизвестных соответственно пропорциональны, но непропорциональны свободным членам.

Теорема 3. Если

то система уравнений

неопределенная.

Доказательство. Предположим, что ах Ф 0. Дадим какое угодно значение у, например, yQ.

Тогда

(*)

Это значение х будет являться и решением второго уравнения, в чем можно убедиться, подставляя значение х из равенства (*) во второе уравнение.

Действительно,

ибо из равенства ахс^ — а^сг = 0 следует а2с1 = а1с2. Так как у мы дали произвольное значение, то при

мы получили решение системы. Так как у может принимать произвольные значения, то мы получим сколько угодно решений системы, т. е. система будет неопределенной.

Примечание. Если

то

т. е. если коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, то система уравнений неопределенная.

Теорема 4. Если a1 = b1 = a2 = b.2 = 0, но хотя бы одно из чисел сх или Сч отлично от нуля, то система

несовместна.

Доказательство. Ни при каких значениях х и у не может удовлетворяться уравнение, где Ci ФО, ибо равенство 0л: -f- Oy = ct невозможно.

Теорема 5. Если a1 = bl = c1 = a<i = Ь.г = с2 = 0, то система

неопределенная.

Доказательство очевидное.

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными легко может быть проведено графическим способом. Каждому уравнению системы

соответствует прямая линия.

1) Если аЛЬ2 — аф{ Ф 0, то прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Черт. 49 Черт. 50

2) Если aj)^ — а2Ь1 = 01 но ахс2 — а2сх или схЬ% — сфх не равны нулю. В этом случае

Коэффициенты при х и у пропорциональны; следовательно, прямые параллельны. Начальные ординаты не равны; поэтому данные параллельные прямые не совпадают.

3) Если a1b2 — a2b1 = 0; c1b2 — сфх = 0\ ахсг — a2cx = 0t то прямые параллельны и проходят через одну точку ^0; —т. е. совпадают.

Исследование трех уравнений с тремя неизвестными представляет большие трудности и поэтому не включается в курс средней школы.

Черт. 51

Мы считаем полезным остановиться на некоторых частных случаях, когда число уравнений не равняется числу неизвестных.

Как и система двух уравнений, система с несколькими уравнениями может быть совместной (определенной и неопределенной) и несовместной.

Заметим, что всякая система линейных однородных уравнений не может быть противоречивой, так как система линейных однородных уравнений имеет нулевые решения. Например,

имеет решение х =y = z = 0.

Приведем несколько примеров на систему линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Пример 1. Дана система уравнений

Решение. Если сложить первые два уравнения, то получим уравнение

3x + 2y + 2z = 7,

которое противоречит третьему уравнению. Система несовместна.

Пример 2. Дана система

в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Данная система однородна и, следовательно, не может быть противоречивой.

Так как число неизвестных больше числа уравнений, то примем одно неизвестное за известное и выразим остальные два неизвестные через это неизвестное.

Решая данную систему относительно х и у, получим

Давая г значения получим значение х

Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3. Пусть число неизвестных меньше числа уравнений.

Для нахождения решений системы берется столько уравнений, сколько неизвестных, и находят решения данной системы. Затем проверяется, удовлетворяют ли данные решения остальным уравнениям. Система может быть совместной и несовместной.

Дана система уравнений

Решая первые два уравнения, получим х = 1; у = 1. Подставляем значения х и у в третье уравнение

т. е. х=\; у=\ удовлетворяют всем трем уравнениям, т. е. являются решением системы. Пример 4. Решить систему

Ответ.

Пример 5. Решить систему

Ответ. Система несовместна.

Пример 6. Решить систему

Ответ. Система совместна.

На исследование системы линейных уравнений в задачнике Ларичева имеется достаточно примеров (1432, 1433, 1434, 1435, и т. д.).

Сильным учащимся можно предлагать и более трудные задачи, например, следующие.

Задача 1. Определить а таким образом, чтобы уравнения

были совместны.

Ответ. а = 0; а = — 1. Задача 2, Найти значение а, при котором совместны уравнения

Ответ.

Задача 3. Найти значения а и Ь, при которых были бы совместны уравнения

Ответ, а = 5; 6 = 3;

а = —5; Ь = — 3.

Квадратные уравнения.

На исследование квадратных уравнений и неравенств второй степени в стабильном задачнике Ларичева приведено немного примеров, главным образом на исследование задач.

Кроме этих задач, можно рекомендовать решить с учащимися и задачи следующего вида.

Задача 1. При каких значениях а один из корней уравнения

д:2 + 4л:+1— а = 0

будет больше 3, a другой меньше 3.

Решение. Корни рассматриваются действительные. Обозначим корни уравнения через а и ß.

следовательно, а^ — 3. Согласно условию,

Обе части неравенства положительны, следовательно,

Кроме того, — 2 — ;/3-}-а<3; — /3+ а<5, при а>22 второе условие также выполняется. Следовательно, а^>22.

Задача 2. При каких значениях а корни уравнения 2х* — ах-]-2 — а = 0 будут меньше 4?

Решение. Корни будут действительны, если

т. е.

Обозначим корни уравнения через

Согласно условию задачи,

Возведем данное неравенство в квадрат:

следовательно,

Задача 3. При каких значениях а один из корней уравнения X2 — 2ах-\-а-\-1=0 будет больше 5, а другой меньше 5? g

Ответ. a>2-g-.

Приведем несколько примеров задач с геометрическим содержанием.

Задача 4. Сумма гипотенузы и одного катета равна т, а сумма гипотенузы и другого катета равна п. Найти гипотенузу.

Решение. Обозначим гипотенузу через х. Тогда

Согласно условию задачи, хх<m, лг2<СЛ» тУ>О» я>0, поэтому первый корень не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим второй корень

Отсюда Но

Следовательно, у< m < 2п.

Таким образом, гипотенуза будет равна

при условии

Задача 5. В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник, в котором сумма высоты и боковой стороны равна т. Найти высоту треугольника.

Решение. Положим BD = x.

Тогда АВ = т — х, но AB* = ЕВ • BD.

Следовательно,

Но X должно быть меньше т, следовательно,

не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим второй корень

следовательно,

Обе части неравенства положительны, поэтому можно неравенство возвести в квадрат.

Черт. 52

Глава III.

ФУНКЦИИ.

§ 19. Функциональная зависимость.

1. Понятие функции является одним из ведущих понятий современной математики. Оно вошло в науку в XVII веке, причем большая роль в возникновении этого понятия принадлежит Декарту. Декарт дал геометрическое изображение зависимости между двумя величинами. Энгельс, подчеркивая значение введения в математику понятия переменной величины, пишет: „Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем".1

Первоначально понятие функции было геометрическим; рассматривался отрезок, изменяющийся по определенному закону. Такое представление было и у Ньютона и Лейбница. Однако с дальнейшим развитием математики как науки претерпевало изменение и понятие функции. Сам термин „функция" впервые был употреблен Лейбницем в конце XVII века. Первую попытку аналитического определения функции мы находим у Якова Бернулли: „Величина, составленная из некоторой переменной и каких-нибудь постоянных". Такое воззрение на функцию перешло и в XVIII век, аналогичное определение было дано Иоанном Бернулли (1718 г.) и затем несколько уточнено Леонардом Эйлером в его труде „Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.): „Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел либо постоянных величин". Но Эйлер называет функцией и „линию, проведенную от руки", причем аналитическое определение он считает более узким, чем геометрическое. Дальнейшее развитие математического анализа

1 См.: Фридрих Энгельс. Диалектика природы, 1948, стр. 208, Анти-Дюринг, 1950, Отд. 1, XII, стр. 115.

в XIX веке привело к обобщению первоначального понятия функции. Существенным признаком функциональной зависимости стали считать не ее аналитическое выражение, или геометрическое изображение некоторой линией, а наличие соответствия между значениями двух величин. На такую общую точку зрения становится Н. И. Лобачевский, который в своей работе „Алгебра, или вычисление конечных" (1834 г.) пишет: „Общее понятие требует, чтобы функцией от данного X называть число, которое дается для каждого X и вместе с X постепенно меняется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое дает средство испытать все числа и выбирать одно из них, или зависимость может существовать и оставаться неизвестна". И дальше: „Обширный взгляд теории допускает зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими принимать как бы данными вместе". Такое более общее определение функции было сформулировано французским математиком Дирихле (1837 г.) и затем вошло в курсы математического анализа. Например, в курсе высшей математики В. И. Смирнова имеем следующее определение: „Величина у называется функцией независимой переменной х, если любому определенному значению х (из множества возможных значений) соответствует определенное значение у".1

Мы видим, что в этом определении ничего не говорится о том, каким образом устанавливается соответствие значений величин. Оно не исключает возможности того, что каждому значению х соответствует одно и то же значение Y.

После того как в математике ведущая роль стала принадлежать теории множеств, многие авторы при определении функции пользуются понятием множества, которое считается основным (первоначальным). Например: „Если каждому элементу х множества M поставлен в соответствие некоторый элемент у из множества N, то говорят, что на множестве M задана функция и пишут: y=f(x). При этом отдельные элементы х называются значениями аргумента, а элементы у — значениями функции".2

Это определение не противоречит приведенному выше, оно является более общим: если принять его, то мы рассматриваем переменную величину как совокупность ее значений, т. е. как некоторое множество.3

1 В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 1, 1951, стр. 14. Предлагаем читателю сравнить определения функции в различных курсах анализа.

2 См.: „Математика в школе", 1947, № 4. Статья проф. Маркушевича „Понятие функции". 1953, № 5. Статья В. И. Севбо.

3 О развитии понятия функции см. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики, т. III. Доклад С. Н. Бернштейна „Исторический обзор понятия о функции"; „Математика в школе", 1946, № 4. Статья В. И. Севбо „Историческое развитие и современная научная трактовка понятия „функциональная зависимость".

2. Несмотря на то большое значение, которое понятие функции заняло в математике как науке, с его возникновения прошло более двух веков, прежде чем оно проникло в курс средней школы. Мы не имеем возможности излагать подробно историю этого процесса, отметим только, что применение методов математического анализа в различных областях научных исследований привело к небывалому развитию технических наук и к концу XIX — началу XX веков отставание школьной математики от науки и потребностей современной техники становилось все более очевидным. В последнее десятилетие XIX века на необходимость коренного изменения содержания программ по математике средней школы указывали многие русские математики, например, известный методист С. И. Шохор-Троцкий, В. С. Сердобинский, В. П. Шереметьевский и другие. Так, В. П. Шереметьевский писал: „Молодые люди конца XIX века, готовящиеся принять официальное удостоверение в умственной зрелости, искусственно задерживаются на средневековом уровне математической мысли..." Вопросы перестройки курса математики средней школы ставились в научных педагогических обществах.1 Много внимания внедрению изучения функций в курс средней школы было уделено I и II Всероссийскими съездами преподавателей математики (в 1911 — 1912 и в 1913— 1914 годах).

В резолюциях съездов подчеркивается необходимость проведения через весь курс математики средней школы идеи функциональной зависимости.2

В дореволюционной русской средней школе эти идеи не нашли своего осуществления; правда, с 1907 года в старшем классе реальных (мужских) училищ были введены краткие курсы аналитической геометрии и начал анализа, но они были оторваны от курса математики в остальных классах, который остался без изменения; в 1911 году начала анализа были введены в программу математики кадетских корпусов; только отдельные учителя в той или иной мере осуществляли опыт внедрения в курс алгебры изучения элементарных функций.

Большой интерес представляет вышедший в 1916 г. учебник выдающегося математика-методиста К. Ф. Лебединцева, являющийся дополнением к его учебнику алгебры. В нем излагается учение об элементарных функциях.3 Этот учебник не соответствовал официальным программам и не был принят в средних учебных

1 Московское общество распространения технических знаний, Педагогическое общество при Московском университете, Педагогический музей военно-учебных заведений в Петербурге.

2 См. „Математика в школе", 1954, № 4. Статья Б. П. Бычкова. „Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX в."

3 К. Ф. Лебединцев. Учение о простейших функциях, их графиках и теория пределов, книгоизд-во „Сотрудник", 1916.

заведениях; он являлся одной из первых попыток осуществления постановлений съездов учителей математики.1

После Великой Октябрьской революции в первых же примерных программах по математике, изданных в 1918 году для единой трудовой школы, было включено изучение простейших функций, которое должно было начинаться на 6-м году обучения; в программу старшего (тогда девятого) класса были введены основные понятия анализа, в частности понятие производной и его применение к исследованию изменения функции. Эти программы были примерными и не осуществлялись полностью. В дальнейшем программы по математике советской школы неоднократно перерабатывались. Однако понятие функции, графики и изучение элементарных функций включалось во все программы. В настоящее время программа средней школы по математике изменяется и в нее включается понятие о производной и ее применение, но новая программа вводится постепенно, так, в 1955/56 г. изменения внесены только в V и VI классы, а в 1956/57 г. - в VII и VIII.

3. В объяснительной записке к программе по математике 1956/57 уч. года говорится: „В преподавании математики следует обратить особое внимание на сознательное овладение основными понятиями, идеями и методами математики, в особенности идеей функции и ее графическим изображением".2

Это еще раз подчеркивается в объяснительной записке к программе по алгебре.3

В программе и объяснительной записке указывается, какая подготовительная работа должна вестись в V—VII классах школы. Мы не останавливаемся на этих вопросах, поскольку они рассмотрены в методике преподавания математики в V — VII классах средней школы.4

Рассмотрим содержание программы алгебры VIII класса.

VIII класс.

Тема:

„Функции и графики". Переменные величины.

Понятие о функциональной зависимости. Аргумент и функция. Способы задания функции.

1 Такое же движение за реформу преподавания математики в средней школе на рубеже XIX—XX вв. возникло и в Западной Европе. Его наиболее видными представителями были профессора Феликс Клейн в Германии и Эмиль Борель во Франции.

2 См. Программы средней школы на 1956/57 уч. год. Математика, стр. 7.

3 См. там же, стр. 14.

4 См. Методику преподавания математики под ред. С. Е. Ляпина. Учпедгиз, 1955, § 11, стр. 295.

Доказательство теоремы „График функции у = ах-\-Ь есть прямая линия".

Трехчлен второй степени; его свойства и график.1

Объяснительная записка дает следующие пояснения к программе: „В VIII классе изучение алгебры сопровождается упражнениями по построению графиков и установлению хода изменения функции"2 и дальше: „В IX и X классах связь математики с практикой осуществляется... путем усложнения упражнений на построение графиков, установления характера изменения функций; путем графического решения уравнений".

В результате можно сказать, что ни программа, ни объяснительная записка не дают точных указаний, какие именно свойства функции должны изучаться, в чем усложнение упражнений, предлагаемых в IX и X классах; не указывается также и как проводится изучение свойств функции: используется ли график, построенный по точкам, или характер изменения функции устанавливается аналитически, следует ли при этом использовать понятие приращения функции и т. п.

Изложение материала о функциях, данное в учебнике алгебры А. П. Киселева, не может полностью удовлетворить учителя. Само определение функции, даваемое в учебнике, не учитывает современной научной установки, вопросу исследования функции мало уделяется внимания, совсем не дается задач на применение этих понятий.

Много удачных вопросов и упражнений, отчасти пополняющих учебник Киселева, содержит задачник П. А. Ларичева.3 Может быть также использовано учителем пособие Фаддеева и Соминского,4 в котором на более высоком научном уровне, чем в учебнике А. П. Киселева, рассмотрено определение понятия функции, выясняется область задания функции, полнее рассмотрен вопрос о способах задания функции и о построении графиков функций. К сожалению, и в этом пособии мало внимания уделено элементарному исследованию функций. Некоторые дополнительные упражнения дает сборник упражнений Березанской и Нагибина.5

Многими учителями нашей советской школы накоплен большой опыт преподавания раздела „Функции и графики". В педагогических журналах и сборниках мы имеем ряд интересных статей, в которых излагается как опыт отдельных учителей,

1 Программа 1956/57 г., стр. 37.

2 Там же, стр. 8.

3 П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, II.

4 Д. К. Фаддеев и П. С. Соминский. Алгебра, ч. II, Учпедгиз, 1954, гл. III.

5 Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин. Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии. Пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, 1951.

так и общие установки деятелей математической науки.1 Однако до настоящего времени мы не имеем единообразной точки зрения на объем и содержание этой темы. Большие расхождения имеются как по вопросу о возможной степени приближения школьного изложения к современной научной точке зрения, так и по вопросу о том объеме знаний и навыков, который может быть дан учащимся без ущерба для усвоения ими других вопросов школьной программы. Мало разработаны еще и приложения изучения функций к решению практических задач, к осуществлению связи с другими предметами, даже с физикой.

В дальнейшем изложении мы остановимся на возможных построениях преподавания функциональной зависимости, преимущественно используя опыт ленинградских школ.

4. Учащиеся, окончившие среднюю школу, очень часто имеют чисто формальные знания по разделу „Функции и графики". Нередко хорошо успевающие учащиеся могут начертить графики перечисленных в программе функций, но не умеют пояснить, какие свойства функции выражает график, не могут привести конкретного примера какой-либо функциональной зависимости. Изучение функций в школе должно проводиться так, чтобы учащиеся усвоили, что понятие функции, как и другие математические понятия, отражают реальную действительность, что знание свойств различных функций есть средство для изучения материальных процессов с разнообразным конкретным содержанием, что эти знания могут облегчить решение многих практических задач.

Выскажем те основные положения, которые вытекают из поставленных требований.

1) К определению понятия функции и к изучению каждой отдельной функции надо подходить, исходя из рассмотрения многих и притом разнообразных задач;

2) аналитическое исследование функции не должно быть оторвано от ее графического изображения. Расположение графика, по возможности, должно быть обосновано из аналитического выражения функции; в то же время график должен содействовать яркости и наглядности восприятия и может иногда служить исходным моментом для выяснения какой-либо особенности, требующей затем обоснования.

3) Должен быть выработан некоторый план изучения всякой функции, и учащихся следует привлекать к самостоятельному

1 См. „Математика в школе", 1946, № 5—6. Статья С. И. Новоселова „Учение о функциях в средней школе"; 1947, № 4. Статья проф. А. И. Маркушевича „Понятие функции"; 1953, №5. Статья В. И. Севбо „Введение математического понятия функции в средней школе"; 1954, № 4. Ряд статей, посвященных введению понятия функции в школе.

(по возможности) исследованию новых функций по этому плану. В старших классах вопросы, подлежащие исследованию, постепенно усложняются.

4) Изучение функций должно связываться с решением и исследованием уравнений и неравенств, с исследованием решения задач на составление уравнений.

5) Все изучение функций должно сопровождаться решением задач и упражнений. Эти упражнения должны продолжаться и при прохождении других тем программы.

6) Надо использовать всякую возможность практического применения теории, осуществляя связь с другими дисциплинами, в частности с физикой.

§ 20. Учение о функции в VIII классе.

1. Прежде всего определим место темы „Функции и графики" в курсе VIII класса. В программе школы она является 3-й темой после тем „Степени и корни" и „Квадратные уравнения и уравнения высших степеней, приводимые к квадратным". Такое распределение материала нельзя считать целесообразным. На первые две темы отводится примерно 84 часа, и изучение функций можно начать не раньше шестой недели третьей четверти. Изучение квадратичной функции тогда отделяется от квадратных уравнений. Если линейная функция рассматривается до квадратных уравнений, то в связи с ее изучением естественно повторить уравнения 1-й степени. Следует также ввести понятие функции на уроках алгебры, до того как на уроках геометрии вводятся тригонометрические функции острого угла. В задачнике Ларичева вопросы, связанные с линейной функцией, даны до введения иррационального числа, очевидно, в порядке повторения пройденного раньше. Это тоже нерационально, так как для систематического изучения темы надо, чтобы в алгебре были введены иррациональные числа, а в геометрии пройдено подобие треугольников. В большинстве школ Ленинграда тема „Функции и графики" начинается сразу после темы „Степени и корни",1 т. е. во II четверти. В таком случае остается и больше времени для использования вопросов и упражнений по теме при прохождении остальных тем курса математики VIII класса.

2. Изучение функциональной зависимости в VIII классе должно опираться на знания и умения, полученные учащимися в предыдущих классах. Однако объем и содержание так называемой „функциональной пропедевтики" тоже нельзя считать установленным. Вызывается это положение полным отсутствием этих вопросов в первой части учебника алгебры А. П. Киселева.

1 Таково и распределение материала, рекомендуемое Ленинградским городским институтом усовершенствования учителей.

В методической литературе мы встречаем очень разнообразные точки зрения.1 Поэтому в одних школах в VII классе дается определение понятия функции и аргумента, рассматриваются способы задания функции и довольно подробно изучается график линейной функции; в других школах учащиеся знакомятся только с построением отдельных графиков и иллюстрацией решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Перечислим те вопросы, которые согласно программе 1955/66 учебного года должны быть известны учащимся, перешедшим в VIII класс: 1) прямоугольная система координат; 2) умение строить графики по точкам, в частности график прямой пропорциональности; 3) умение строить графики линейной функции и применять их к графическому истолкованию решения системы двух линейных уравнений. Учащиеся пользуются в младших классах табличной записью при вычислениях числовых значений буквенных выражений, должны уметь пользоваться таблицами при вычислениях (таблицы квадратов, площадей кругов и другие есть в задачнике Ларичева, ч. I). На уроках арифметики, алгебры и геометрии учащиеся рассматривали зависимости между двумя величинами (также и на уроках других предметов, особенно физики), знают ряд формул, выражающих зависимость между величинами; при изучении дробей, а затем в VIII классе при преобразовании иррациональных выражений перед учащимися ставились вопросы о допустимых значениях букв, входящих в алгебраические выражения; подобные вопросы должны ставиться и при решении задач на составление уравнений с буквенными коэффициентами. Все эти знания и навыки учитель должен использовать, выяснить их неизбежную неполноту и, пользуясь вновь введенными в VIII классе понятиями, дополнить их и систематизировать.

3. Так как в дальнейшем потребуется умение пользоваться графиками, учителю нужно, не утомляя учащихся повторным изучением того, что они уже знают, проверить сознательность усвоения учащимися метода координат, выявить наиболее существенные положения.

Так, надо подчеркнуть, что только после введения понятия действительного числа мы можем утверждать, что не только каждому числу (действительному) соответствует точка на оси (при определенном выбранном начале отсчета и единице длины), но и каждой точке оси соответствует определенное число. Также

1 Предлагаем сравнить изложение темы в книгах: 1) Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский. Алгебра, ч. I, гл. V—VI. 2) В. А. Гончаров. Алгебра, ч. I и II. 3) Т. Н. Денисова, В. С. Георгиевская. Планы уроков по алгебре в VII классе.

См. также статьи: „Математика в школе", 1949, № 6, Г. М. Корпенко; 1950, № 3, В. И. Севбо „Функциональная пропедевтика в семилетней школе"; 1950, № 4, M. Васильев „Графики в курсе VI и VII классов".

можно утверждать, что только в области действительных чисел каждой паре чисел соответствует на плоскости определенная точка (относительно заданной системы координат), и каждой точке плоскости соответствуют два числа. Эти положения устанавливаются, конечно, в результате рассмотрения конкретных примеров. Учащиеся должны понимать, что построенные точки дают лишь приближенные значения координат.

Надо ввести (или повторить) название осей и координат, принятую запись координат точки; напомнить, что оси координат делят плоскость на 4 четверти, проверить, знают ли учащиеся, каковы знаки координат точки в зависимости от четверти, в которой она находится. Особенно нуждается в проверке умение назвать координаты точек, расположенных на одной из координатных осей, в начале координат. При нормальной подготовке класса учащихся не стоит длительно упражнять в построении отдельных точек или в определении координат построенных точек. Лучше предлагать учащимся более сложные упражнения, которые могут их заинтересовать и в то же время выявить свойства, применяемые впоследствии при построении графиков функций. Например, могут быть поставлены следующие вопросы.

а) Задана точка А (2, 3); назвать координаты точки В, симметричной точке А относительно оси ординат; назвать координаты точки С, симметричной точке А относительно оси абсцисс.

б) Какому условию должны удовлетворять координаты точки, лежащей на биссектрисе I или III координатного угла? Тот же вопрос относительно точки, лежащей на биссектрисе II или IV координатного угла.

Аналогично выясняется, какому условию должны удовлетворять координаты двух точек, симметричных относительно начала координат или относительно биссектрисы I и III координатного угла.

Такие вопросы могут предлагаться в порядке устных упражнений; они развивают пространственное воображение учащихся; верные ответы в большинстве случаев даются без чертежа. В то же время эти задачи являются задачами на доказательство, так как учащийся должен обосновать правильность своего ответа. При этом вспоминаются свойства осевой и центральной симметрии, геометрические теоремы. В дальнейшем при построении графиков функций, заданных аналитически, учащиеся смогут применить выведенные положения и легко воспримут необходимость того или другого свойства графика, а не будут строить графики только по точкам. Например, они легко смогут выявить расположение графика функции у = За:2 — 5 (четной) или графика функции у = х^ (нечетной).

Могут также предлагаться задачи, в которых требуется определить вид и положение фигуры относительно системы координат по заданным координатам ее вершин, или обратные задачи,

в которых учащиеся должны задать координаты вершин какого-либо многоугольника по описанию его вида и расположения.

Пример 1. Координаты последовательно соединенных вершин четырехугольника ABCD следующие: А (—2; 0); В (0; 4,5); С (2; 0); D (0; —4,5). Что представляет собой этот четырехугольник и как он расположен? (Четырехугольник — ромб, его диагонали лежат на осях координат.)

Пример 2. Задать координаты вершин равнобедренного треугольника, если ось ординат является его осью симметрии.

Эта задача неопределенная; учащиеся могут дать много вариантов решения, которые полезно рассмотреть. Такие упражнения не сосредоточиваются на одном уроке, а предлагаются в качестве повторительных вопросов и в дальнейшем. Учащиеся охотно сами придумывают подобные задачи.1

4. Рассмотрим вопрос об определении понятия функции и о способах ее задания.

Давая определение любого понятия в школьном курсе, следует, как известно, сочетать принципы научности и доступности. В методической литературе мы встречаем различные мнения относительно выбора определения функции, разноречив и опыт учителей.2 Определение, данное в учебнике Киселева,3 следует считать устаревшим. Да переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной или функцией этой другой переменной величины". В этом определении не упоминается о соответствии между значениями двух величин, т. е. не отражен тот признак, который входит в современное научное определение. С другой стороны, определение не охватывает всего объема понятия функции, подчеркивая изменение величины; в таком случае нельзя считать функциями у — а или у=1х.

В ряде статей предлагается дать в школе определение функции, опираясь на понятие множества, как наиболее близкое к современной математической науке, т. е. определение, приведенное нами выше.4 Другие учителя считают это определение недоступным для учащихся VIII класса как слишком отвлеченное. Указывается также, что исключение из определения понятия переменной величины снижает его идеологическое значение, так как существенным является, что с введением понятия функции стало возможно математическое изучение именно взаимосвязанных изменяющихся величин.

Следует сказать, что вопрос о доступности того или другого определения не может быть выяснен на основании опыта раз-

1 Упражнения этого типа есть в сборнике Березанской и Нагибина (см. сноску на стр. 152).

2 См. статьи в журнале „Математика в школе", указанные в сноске на стр. 153.

3 А. П. Киселев. Алгебра, ч. II, § 25.

4 См. стр. 149.

личных учителей без учета всей предыдущей работы, проведенной в данном классе. Если понятие множества дается непосредственно перед введением определения функции после рассмотрения нескольких примеров и учащимся предлагается рассматривать совокупность значений времени как одно множество, а совокупность значений пути — как другое, то, безусловно, такая точка зрения покажется учащимся искусственной, и определение будет восприниматься с трудом. Однако положительный результат может быть получен в таком классе, в котором понятие множества введено в более младших классах и стало привычным для учащихся. Опыты раннего введения теоретико-множественных понятий проводятся в некоторых школах, но поскольку это не является общепринятым включенным в программу материалом, нельзя считать возможным опираться на него при введении определения функции в каждом классе. Если формулировка определения не будет хорошо понята учащимися, то оно принесет более вреда, чем пользы.

Безусловно доступным для учащихся является следующее определение функции, даваемое многими учителями: „Если каждому допустимому значению одной переменной величины соответствует определенное значение другой величины, то вторая величина называется функцией первой, а первая величина называется независимой переменной или аргументом".

Однако и это определение должно быть подготовлено всей предшествующей работой: еще в VI классе, когда составляются таблицы для вычисления числовых значений буквенных выражений, а особенно при изучении прямой и обратной пропорциональности, необходимо подчеркивать соответствие между значениями двух величин. Вопрос о допустимых значениях букв при рассмотрении различных выражений и при решении задач на составление уравнений тоже должен постоянно ставиться. Такое определение не закрывает пути к его дальнейшему обобщению, если в этом встретится необходимость в старшем классе.

С точки зрения современной науки нельзя считать удовлетворительным изложение вопроса о способах задания или способах выражения функциональной зависимости, которое дано в учебнике алгебры Киселева.1 В нем определенно говорится о трех способах выражения функций, причем аналитическое задание дается всегда одной формулой. В определении функции говорится только о соответствии значений одной величины значениям другой, но как задано это соответствие, безразлично. Поэтому учащимся надо показать, что функция может быть задана словесным описанием или в разных промежутках может быть задана различными формулами.2

1 А. П. Киселев. Алгебра, ч. II, § 26.

2 См. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский. Алгебра, ч. II, гл. III, § 1.

5. Урок, на котором вводится определение функции, должен начаться с краткого введения, где учитель напомнит учащимся, что в разных науках приходится рассматривать зависимость между величинами. Учитель и сами учащиеся могут привести ряд конкретных примеров, показывающих, что математика дает возможность по данным (известным) значениям одной (или нескольких) величин определять значения другой величины. Можно вспомнить, как находят путь движущегося с постоянной скоростью тела по заданным значениям времени, определяют длину стороны квадрата по данной его площади, вычисляют зарплату рабочего в зависимости от числа выработанных изделий и т. д. Во всех примерах устанавливается, что каждому возможному значению одной величины соответствует определенное значение другой. Для установления этого соответствия может быть записана таблица значений, как это и делалось учащимися раньше. При рассмотрении этих примеров легко установить, какие значения независимой переменной являются допустимыми, исходя из конкретных условий каждой задачи. (Например: площадь квадрата может быть только положительным числом, а число изделий, изготовленных рабочим, только целым не отрицательным числом, и т. п.)

Дав определение функции и аргумента, можно ввести и символическую запись: S=f(t) или у =f(x).

Среди примеров, приводимых учащимися, могут встретиться и функции от нескольких переменных. Например, может рассматриваться площадь прямоугольника как функция от длины его основания и высоты. На таких примерах следует пояснить, что бывают функции от двух и многих переменных, можно вспомнить, как учащиеся вычисляли числовое значение буквенных выражений, когда задавались произвольно значения нескольких букв. Однако в школе рассматриваются только функции от одной переменной, т. е. имея зависимость S= ah (площадь прямоугольника), одну из величин в каждом случае мы будем считать постоянной. Не вводя пока определения обратной функции, следует показать, что в зависимости от поставленной задачи мы можем любую из двух величин рассматривать как функцию другой. Так может быть поставлен вопрос об определении площади квадрата по заданному значению его стороны и о вычислении длины стороны, если заданной будет площадь квадрата.

Мы не считаем необходимым внесение оговорки об однозначности функции. Те функции, которые рассматриваются в VIII классе, однозначны. Возможность того, что каждому значению аргумента соответствуют 2 или несколько значений функции, не вызывает никаких особых недоумений. Так, если отвлечься от задачи о площади квадрата и поставить вопрос об отыскании числа, квадрат которого равен произвольно заданному неотрицательному числу, то учащиеся легко получат формулу

j/ = ± |/3c и им будет вполне ясно, что каждому положительному значению аргумента соответствуют два значения функции.

Вопрос о том, каким именно способом задана функция, т. е. как обусловлена возможность по данному значению аргумента отыскивать соответственное значение функции, тоже должен быть выяснен на конкретных примерах. Обычно в примерах, приводимых учащимися, мы встречаемся с функциями, заданными аналитически некоторой формулой. Выписав эти формулы, мы выясняем, каковы допустимые значения аргумента в зависимости от условия задачи, и устанавливаем, что формула показывает, какие действия надо произвести над каждым значением аргумента, чтобы найти значение функции. Например, можем выразить зависимость длины боковой стороны равнобедренного треугольника от длины его основания при постоянном периметре, равном 20 см. Получаем уравнение у =—^—, допустимые значения для X будут 0<^х<СЮ.

Чтобы показать учащимся возможность задания функции разными условиями для разных промежутков, следует тоже привести пример конкретной зависимости. Надо считаться с психологией учащихся и не начинать с произвольного задания, например

Учащиеся не видят целесообразности и смысла в таком задании. Хорошие примеры задач, естественно приводящих к подобным заданиям, даются в статьях С. И. Новоселова, В. И. Севбо1 и других.

Приведем некоторые из них:

а) Поезд проходит расстояние между пунктами А и В в течение 9 час. В течение первых 3 час. он движется со скоростью 50 —, в течение следующих 2 час. стоит на месте, а остальное время движется к пункту В со скоростью 60 — .

Обозначив время в часах ху а величину пройденного пути в км у у получаем следующее выражение зависимости y=f{x):

1 „Математика в школе", 1946, № 5—6; 1953, № 5.

Учащиеся видят, чти каждому допустимому значению л;(0^л;^9) соответствует определенное значение j/, т. е. функция задана различными формулами. Можно начертить и график этой функции.

б) Геометрическая задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АБСу гипотенуза которого АС равна 2 единицам. Выразить длину отрезка перпендикуляра, восставленного из каждой точки гипотенузы до пересечения его с катетом, как функцию от длины отрезка гипотенузы от вершины А до основания перпендикуляра (см. черт. 53). Длина переменного отрезка AN=x.

Получим выражение зависимости:

После подобных задач могут быть приведены и отвлеченные примеры задания функции.

Учащиеся вполне могут понять целесообразность рассмотрения таких функций, как антье от икс (целая часть числа), обозначаемая у = Е(х)> или функция, выражающая число делителей каждого натурального числа. В первом случае область допустимых значений х — все вещественные числа, во втором случае х принимает только натуральные значения.

Можно привести пример геометрических соотношений, в котором учащиеся отчетливо выяснят наличие функциональной зависимости, но не смогут выразить ее формулой. Например, рассмотреть зависимость длины стороны треугольника от величины противолежащего ей угла при постоянных двух других сторонах. Учащиеся знают, что две стороны и угол, заключенный между ними, определяют треугольник, каждому значению угла а(0<1а<^ 180°) соответствует определенное значение длины противолежащей ему стороны а. Найти эту длину учащиеся могут, только выполнив построение. Впоследствии, после знакомства с тригонометрическими функциями, учащиеся смогут выразить эту зависимость.

Надо напомнить учащимся, что они часто пользовались еще одним способом задания функции — табличным. Такие таблицы, как значения корней квадратных и кубических, площади круга в зависимости от диаметра и другие, должны быть знакомы учащимся. Следует выяснить, что, зная формулу площади круга, можно найти числовое значение площади при любом значении

Черт. 53

диаметра с требуемой точностью, использование готовой таблицы упрощает работу. Надо показать и таблицы, составленные эмпирическим путем, например таблицу температуры воды в океане на разной глубине (на какой-либо определенной широте). Такие таблицы составляют исследователи, например, наши полярные исследователи в Арктике. Если функция задана таблицей, то неудобством является невозможность определения значений, не внесенных в таблицу. Ввиду большого практического значения таблиц для вычислений следует в дальнейшем вернуться к ним для объяснения возможности интерполяции. Примеры таких функций, как функция Дирихле, задаваемая условием

1 (если X рациональное число) О (если X иррациональное число)

лучше отложить до X класса, когда будет дополняться и систематизироваться учение о функциях.

Полезно дать несколько функций, в задание которых входит символ абсолютной величины числа, так как это обычно плохо усваивается учащимися. Можно эти примеры дать позже в числе упражнений на построение графиков.1

6. Графическое представление функции не должно затруднять учащихся, так как построению графиков уделяется много внимания в младших классах. Следует проверить умение учащихся строить график, а также умение „прочитать" его. Полезно рассмотреть в классе ряд графиков, хотя бы и знакомых уже учащимся, например температурные графики, график движения поездов и другие. Желательно показать графики самопишущих приборов: барографа, термографа. При этом уточняется, что абсцисса каждой точки графика есть значение аргумента, а ее ордината — соответственное значение функции. Рассматривая график, учащиеся описывают, как именно изменяется функция. Они должны уметь по графику ответить на следующие вопросы: 1) по данному значению аргумента найти соответственное значение функции; 2) по данному значению функции найти соответственные значения аргумента; 3) определить, при каких значениях аргумента функция принимает значения, равные нулю; 4) указать промежутки, в которых функция возрастает, убывает, остается постоянной; 5) на заданном промежутке указать, при каком значении аргумента функция принимает наибольшее (наименьшее) значение и определить, каково это значение.

Конечно, могут быть поставлены и другие вопросы. Важный вопрос непрерывности функции не может быть выяснен при данном уровне знаний учащихся. Учащиеся соединяют отдельные точки линией, воспринимая ее непрерывность как нечто

1 См. ниже, стр. 166.

очевидное. В дальнейшем при построении графиков может быть указано, когда в некоторой точке функция претерпевает разрыв непрерывности.

Теоретическое обоснование непрерывности функции в данной точке может быть дано только в IX классе после изучения теории пределов. Однако доказательство непрерывности функций, изучаемых в IX классе, представляет большие трудности и потребовало бы большой затраты времени. Так как в программу X класса введены элементы анализа, то естественным явится дополнение и углубление рассмотренных ранее вопросов, в том числе и непрерывности функции.

В VIII классе надо требовать от учащихся понимания того, что график функции есть геометрическое место точек, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. На практике соединяя ряд точек кривой, учащийся получает только приблизительное изображение хода функции. При дальнейших упражнениях в построении графиков по заданному аналитическому выражению функции следует по возможности обосновывать расположение графика, исходя из свойств функции.

Необходимо подчеркнуть практическое значение графического изображения функциональной зависимости, т. е. его наглядность, откуда и следует его широкое применение в технике и самых различных областях практической жизни. Например, показать температурные графики, применяемые в больницах для лучшего наблюдения за ходом болезни и сравнить их наглядность с табличной записью температуры больного. Надо пояснить, что те графики, которые мы видим в разных учреждениях, не всегда правильны с математической точки зрения. Например, если правильно построить график посещаемости библиотеки-читальни в течение месяца, то на чертеже должны получиться только отдельные точки, так как по оси абсцисс откладываются только целые числа (дни месяца). Поэтому соединение этих точек линией является неправильным: промежуточные точки полученной линии не принадлежат графику функции. Если же строится график температуры, то изменение температуры происходит непрерывно, и мы можем увеличивать точность графика, производя более частые измерения.

7. На все изложенное введение в изучение функции учитель не может затратить много времени. Хорошее и сознательное усвоение достигается тем, что ко всем рассмотренным вопросам многократно возвращаются. Особенно важно, чтобы изучение не носило чисто теоретического характера, а сопровождалось бы различными упражнениями. Количество упражнений и степень их трудности зависят от подготовки класса. Перечислим возможные виды упражнений.

1) Задачи со словесным условием, в которых требуется дать аналитическое выражение зависимости какой-либо величины (функции) от некоторой другой величины (аргумента).

В этих задачах могут быть использованы зависимости, взятые из геометрии, физики, обыденной жизни. По существу учащиеся проделывают ту же работу, что и при решении обычных задач на составление уравнений. При этом может получиться формула любой сложности, любого вида. Учащиеся должны не только составить формулу, но и выяснить область допустимых значений аргумента. Постоянные величины можно вначале задавать явно, т. е. числом. Затем, если учащиеся хорошо справляются с заданиями, перейти и к их буквенным обозначениям; тогда надо требовать, чтобы были выписаны условия, которым удовлетворяет каждый параметр.

2) Краткие устные упражнения на определение области допустимых значений аргумента по заданному аналитическому выражению функции. (Допустимыми считаются все значения, при которых данное выражение имеет смысл.)

3) Устные упражнения на чтение графиков (проводятся главным образом с менее подготовленными учащимися).

4) Упражнения на построение графиков. Некоторые свойства графика могут выявляться до его построения по данному уравнению. Например, область, в которой расположен график, симметрия относительно оси ординат или относительно начала координат.

Упражнения на построения графиков преимущественно задаются на дом, но в классе полезно рассмотреть, как именно будет строиться график, если могут встретиться затруднения.

Приводим примеры упражнений.

Задача. Выразить уравнением зависимость площади прямоугольника с данным периметром 16 см от длины его основания.

Приводим запись решения. Обозначения:

Длина основания прямоугольника в см х.

Площадь прямоугольника в см* у.

Уравнение: у = х(8— х).

Допустимые значения для х будут 0<^л;<^8.

Задачи, которые имеются в задачнике алгебры, не содержат требования выразить формулой зависимость одной величины от другой, обычно предлагается найти какую-либо величину (являются ли данные численными или буквенными).1 Учитель может легко составить задачу, причем можно использовать задачи на составление уравнений из стабильного задачника по алгебре, а также и из задачника по геометрии. Если задача имеет числовые данные, то достаточно исключить одно из данных, сделав задачу неопределенной. Для примера рассмотрим измененную задачу № 832 из задачника Ларичева, ч. II.

1 Задачи, где требуется выразить формулой зависимость, есть в Сборнике упражнений Березанской и Нагибина, гл. V, § 3—6.

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 7 км, должна проплыть вниз по реке 28 км, а затем без остановки подняться вверх по реке 22 км. Выразить формулой зависимость времени, требуемого на эту поездку, от скорости течения реки.

Задача № 53 из § 9 задачника по геометрии Рыбкина, ч. I.

Выразить формулой зависимость длины радиуса круга, вписанного в сектор круга радиуса /?, от длины хорды дуги сектора.

Подобные задачи полезно давать наравне с задачами на составление уравнений в течение всего года, причем непременно надо исследовать полученную формулу. Иногда исследование дает одно определенное значение. Рассмотрим задачу № 764 из § 30 задачника Ларичева, ч. II (задачи на составление систем уравнений второй степени).

Найти двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.

Оставляем в условии только второе данное и формулируем задачу иначе: „Выразить формулой зависимость числа десятков двузначного числа от числа его единиц, если это двузначное число в 2 раза больше произведения его „цифр". Если число единиц обозначить х, а число десятков у, получим уравнение

10у -\- х = 2ху, или У==2х—\0'

исследуем формулу: так как х число единиц, то это число целое и положительное (л; Ф 0). Знаменатель 2х—10 > 0, откуда х^>5; получаем 5<л;^9; но у тоже число целое, т. е. 2х—\о целое число- Оказывается, что этому условию удовлетворяет только х = 6; т. е. получаем единственное двузначное число 36, удовлетворяющее условию. Первое данное в условии задачи оказывается лишним.

Могут предлагаться также задачи, в которых зависимость выражается несколькими разными формулами, аналогичные приведенной на стр. 161.

Упражнения на определение области допустимых значений аргумента и на чтение графиков имеются в задачнике Ларичева.1

Упражнения на построения графиков по точкам есть в задачнике Ларичева, но их немного. Учитель может найти более трудные упражнения в алгебре Фаддеева и Соминского.2 Как

1 См., например, П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. И; № 809, 810 а, б, в; № 56, 58.

2 Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский. Алгебра, ч. II, гл. III, § 3. Отдельные упражнения могут быть взяты и из специального курса алгебры С. И. Новоселова.

уже указывалось, некоторые свойства графиков учащиеся выясняют до построения. Например, зависимость задана уравнением у = х*-{-1; учащиеся могут выявить, что х может принимать любые значения, но у — только положительные, т. е. график будет расположен над осью абсцисс, не имея с ней общих точек; так как при противоположных значениях х значения функции равны, то график симметричен относительно оси ординат.

Желательно построить несколько графиков по уравнению, содержащему знак абсолютной величины аргумента. Например, у = IXI или у = Д-j ; это можно сделать после рассмотрения функций у = х и _у =—.

Для построения графиков могут быть использованы и некоторые задачи на составление формулы, выражающей зависимость между двумя величинами, в частности задача о движении поезда, приведенная на стр. 160.

8. Функции, которые подлежат изучению, т. е. у = ах> у = и у = ах-\-Ь, знакомы учащимся, но в VIII классе необходимо привести их знания в систему, связать их с теми общими положениями, которые были установлены.

Целесообразнее рассматривать функции в таком порядке: раньше функцию у = ах> затем у = ах-\-Ь, причем выяснить, что первая функция является частным случаем линейной, а затем перейти к функции у = ^9 которая имеет существенные особенности.

Полезно придерживаться при изучении этих функций следующего плана.

1) Рассмотрение ряда частных задач.

2) Определение данной функции и ее аналитическое выражение.

3) Построение графика функции.

4) Изучение свойств функции в зависимости от значений параметров.

5) Применение этих свойств к конкретным задачам.

Рассмотрим несколько подробнее возможное содержание уроков, посвященных изучению функций. Продолжая упражнения, проводимые и раньше, можно предложить учащимся ряд задач на выражение зависимости одной величины от другой, например: зависимость площади треугольника от длины его высоты при постоянном основании, равном 10 см.; зависимость заработной платы рабочего от числа выработанных деталей, если оплата одной детали 70 коп. Зависимость пройденного пути от времени движения при постоянной скорости 15 км/ч, веса тела от его объема при данном удельном весе, и т. п. Учащиеся легко справятся с таким заданием, быстро составят ряд формул и выяснят, что в каждом случае мы имеем

дело с прямо пропорциональной зависимостью. Они могут привести подобные примеры и самостоятельно. Получаем формулы: 5Л = 5А; j/ = 0,7х\ S= 15t; P = 8,9v и т. д., т. е. вообще имеем формулу у = ах у где а — постоянная величина.

Необходимо вспомнить определение прямой пропорциональности двух величин, которое было дано раньше. Могут быть даны различные формулировки,1 например: „Если отношение двух значений одной величины равно отношению соответственных значений другой величины, то эти величины прямо пропорциональны" или „Если с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз ., и другие.

Можно легко показать, что данное раньше определение приводит к написанной нами общей формуле. Если мы имеем две прямо пропорциональные величины х и у, то согласно первому определению, мы можем написать

откуда получаем

Обратно, если зависимость между двумя величинами выражается формулой у = ах (а т^О), мы можем показать, что отношение двух любых значений одной величины равно отношению соответственных значений другой величины (исключаем значения равные нулю).2

Итак, функциональная зависимость, выражаемая формулой y = axt есть прямая пропорциональность. Постоянное для каждой конкретной зависимости число а — коэффициент пропорциональности— может быть как положительным, так и отрицательным (число нуль мы пока исключаем). Необходимо напомнить учащимся, что они встречались с этой зависимостью, рассматривая, как изменяется произведение двух чисел с изменением одного сомножителя при постоянном другом. Если этот постоянный сомножитель отрицательный, то с увеличением другого числа произведение уменьшается. Поэтому свойство пропорциональных величин, принимаемое в учебнике арифметики Киселева за определение, несправедливо, если коэффициента отрицательный. Даже учащиеся старших классов часто допускают ошибку в рассуждениях при доказательстве неравенств, говоря, например, „так как один из сомножителей увеличился, а другой не изменился,

1 См. Методика преподавания математики под редакцией С. Е. Ляпина, 1955, стр. 201—202.

2 Если раньше было дано определение: отношение двух соответствующих значений данных величин равно постоянному числу, то сразу получаем написанную формулу.

то увеличилось и произведение" или „так как числитель дроби, увеличился, а знаменатель остался тот же, то дробь увеличилась", не делая оговорки о знаке второго сомножителя.

Приступая к изучению функции у = ах, надо подчеркнуть, что при этом мы отвлекаемся от тех конкретных задач, от которых мы начали. Для каждой конкретной задачи область допустимых значений аргумента определяется не только формулой, выражающей зависимость, но и условием данной задачи. Так, в первой формуле 5Д = 5А h может принимать только положительные значения, в формуле второй задачи y = 0Jx х может принимать только натуральные значения и т. д.

В дальнейшем мы рассматриваем функцию у = ах, считая, что X может принимать любые вещественные значения, так как для каждого вещественного значения х существует определенное значение произведения ах.

Учащиеся строили по точкам график этой функции и знают, что „получается" прямая линия, проходящая через начало координат. На этом простейшем случае надо выяснить, что именно надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что графиком функции, заданной аналитически, является некоторая линия. График функции есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению; надо доказать две теоремы: прямую и обратную (или противоположную): 1) каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (при данном значении а), лежит на некоторой прямой, проходящей через начало координат, и 2) координаты любой произвольной точки той же прямой удовлетворяют данному уравнению или что любая точка, координаты которой не удовлетворяют этому уравнению, не лежит на этой прямой. Доказательство требует знания подобия треугольников; оно приведено как в учебнике Киселева, так и в пособии Фаддеева и Соминского.1 Доказательство вполне посильно для учащихся. В порядке упражнений можно им предложить самостоятельно доказать эти теоремы для отрицательных значений х или для а<0.

После того как доказано, что графиком функции у = ах является прямая, проходящая через начало координат, надо еще раз подчеркнуть, что координаты точек прямой не только рациональные числа, но и иррациональные. Если аргумент принимает только рациональные значения, то нельзя получить непрерывную линию. Полезно подчеркнуть, что графиком зависимости в отдельных конкретных задачах часто является только часть линии или некоторая совокупность отдельных точек. Так, в рассмотренных выше задачах графиком функции у = Ьх> выражающей зависимость площади треугольника от длины его высоты при основании равном 10 см, будет только часть линии (при положительных значениях х), а графиком функции, для кото-

1 А. П. Киселев. Алгебра, ч. II, § 33; Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский. Алгебра, ч. II, гл. III, § 4.

рой X может получать только целые положительные значения, будет ряд точек, лежащих на одном луче, но не образующих его (задача вторая).

Дальше можно перейти к рассмотрению свойств функции, пользуясь ее аналитическим выражением и обосновывая этим и расположение графика. Предварительно можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы начертить на одном чертеже графики функции при разных значениях а>0, на другом чертеже графики функции при а<^0. Эта работа может быть быстро выполнена, так как для каждого отдельного графика достаточно найти координаты одной только точки (вторая точка — начало координат). Учащиеся должны обдумать, от чего зависит расположение графиков в каждом случае.

Черт. 54

Черт. 55

На прилагаемом чертеже (54) изображены графики функции у = х, у = -у-х, у = Зху у = ~2 X, -У = ~з* •Х'» на черт. 55 взяты соответственные отрицательные значения коэффициентов. На первом чертеже графики расположены в 1-й и 3-й четвертях, так как абсцисса и ордината каждой точки имеют одинаковые знаки (умножаем каждое значение х на положительное число). Аналогично выясняется, почему графики функций на втором чертеже располагаются во 2-й и 4-й четвертях. Если проводилась работа, рассмотренная нами выше,1 то можно выяснить, почему каждый график симметричен относительно начала координат. Рассматривая графики, легко выявить роль коэффициента а как углового коэффициента. Учащиеся замечают, что при изменении а меняется угол наклона прямой с положительным направлением оси х. Однако мы не можем сказать, что этот коэффициент выражает тангенс угла наклона прямой к оси х, так как тригонометрические функции учащимся еще не знакомы.

1 См. стр. 156.

В VIII классе рассматриваются только функции острых углов, так что нельзя говорить об отрицательном значении тангенса.

Если изучение функций будет повторяться и дополняться в X классе, то и этот вопрос должен быть тоже рассмотрен. Однако учащиеся VIII класса могут определить уравнение и функцию, графиком которой является данная прямая. Наиболее простым способом является нахождение ординаты той точки, абсцисса которой равна единице; х=1, у = а. Можно также найти отношение ординаты любой точки к ее абсциссе (при хфО).

Можно затем установить некоторые свойства функции:

1) Независимая переменная может принимать любые вещественные значения.

2) Функция тоже принимает любые вещественные значения. Это второе свойство следует из того, что каково бы ни было произвольно заданное вещественное значение у, мы можем найти соответственное значение х, так как для этого достаточно разделить у на а (а -ф 0).

3) Функция возрастает при а^>0.

Это свойство обычно формулируют, пользуясь свойством произведения двух сомножителей, о котором говорилось выше и которое известно учащимся. Так как неравенства проходятся в VII классе, то вполне возможно дать доказательство этого свойства, что являлось бы и хорошим повторением неравенств. Недостаток времени обычно заставляет учителей опускать доказательство. Если класс хорошо подготовлен и изучение функций в VIII классе является действительно только систематизацией знаний и их логическим обоснованием, то полезно провести доказательство.

Мы называем функцию возрастающей, если большему значению аргумента соответствует и большее значение функции. Берем два произвольных значения аргумента хх и л;а, причем Х%^>Х\. Находим два соответственных значения функции ух = ахх и у2 = ахъ(а,у>0).

Чтобы установить, что Уъ^>ух, находим разность j/9 —ух = = ах2 — ахх — а(Хъ — л^); так как х{^хи то лг2 — xx*j>0; так как а>0, то и произведение а(х2 — *0>0, т. е. у*^>ух, что и требовалось доказать.

Если учащиеся решают задачи на доказательство, то такое рассуждение может быть ими проведено.

4) Функция принимает значение нуль при х = 0. Легко могло бы быть установлено и то, что функция возрастает неограниченно при а>0, но эти вопросы относят обычно к курсу IX класса. Учащиеся на уроках физики знакомятся с равномерным движением и чертят соответственные графики. Между тем на уроках математики обычно совсем не рассматривается вопрос о харак-

тере возрастания (или убывания) функции. Так как этот вопрос не включен в программу, мы рассмотрим его ниже.1

Если учитель совместно с учащимися рассмотрит свойство функции у = ах при а>0, то учащиеся могут самостоятельно провести все исследование для случая а <С 0. Во время изучения этой функции и в дальнейшем учащиеся должны самостоятельно приводить примеры такой функциональной зависимости как из смежных дисциплин, так и из практической жизни и уметь указать те ограничения, которые следуют из конкретного условия. Полезно напомнить графики, могущие быть использованными для практических вычислений,2 например, график для перевода одних мер в другие (температуры по Цельсию и Реомюру, сантиметров в дюймы и т. п.), показать сетку графиков для вычисления процентов. Эти графики следует выполнить возможно тщательнее на миллиметровой бумаге. Каждый учащийся может определить, с какой точностью получается ответ по его графику.3

Изучение функции у=ах-{-Ь может быть проведено аналогично. Ряд конкретных задач, предложенных учащимся и составленных ими самостоятельно, будет приводить к аналогичным формулам. Например: 1) Зависимость стоимости телеграммы (в рублях) от числа слов. 2) Расстояние поезда от некоторой станции (в км) в зависимости от времени движения с данной постоянной скоростью (в часах), если в начале движения поезд находился на данном расстоянии от станции (в определенном направлении). 3) Зависимость количества жидкости, остающейся в баке, от времени ее вытекания, если дана вместимость бака и скорость, с которой жидкость равномерно вытекает, считая, что бак был полным. 4) Зависимость длины одного основания трапеции от длины другого основания при заданной средней линии и т. д.

В каждой задаче лучше задавать конкретные числовые данные. Получаем следующие формулы (при некоторых числовых данных).

l)j/ = 0,3^ + l, 2) у = 40х — 25. 3) у = 200 — 2,5*,

или

у = — 2,5x + 200.

4)^±^-=10,или у = — х + 20.

Аргумент обозначен буквой х, а функция буквой у, что, конечно, не обязательно. Как и раньше, для каждой формулы

1 См. стр. 185 и след.

2 Предполагаем, что они выполнялись в младших классах.

3 См. П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. I, 1954, № 293, 294, 295; ч. II, № 66.

определяется область допустимых значений аргумента, вытекающая из условия задачи. Так, например, для задачи 3) имеем 0<*<80.

В каждом случае мы получаем двучлен первой степени. В общем виде имеем формулу у = ах-\-Ь, функция этого вида и называется целой функцией 1-й степени или линейной. Коэффициенты а и b могут иметь различные значения, причем а ф 0.

Очевидно, что изученная раньше функция у = ах является частным случаем линейной функции при Ь = 0. Полезно выяснить, что при b Ф 0 значения функции не пропорциональны значениям независимого переменного, так как иногда учащиеся делают ошибочное заключение. В дальнейшем изучение функции не может вызвать особых затруднений, и потому остановимся только на отдельных моментах. Отвлекаясь от конкретных задач, как выше, устанавливаем область допустимых значений переменных.

Для доказательства, что графиком функции является некоторая прямая, можно сравнить график функции у = ах-\-Ь (ЬфО) с графиком функции у = ах. Сравнивая оба уравнения, учащиеся легко выясняют, что при одной и той же абсциссе ордината точки графика (2) отличается от ординаты соответственной точки графика (1) на число Ь, т. е. каждая точка этого графика смещается в направлении оси ординат или в противоположном направлении на расстояние, равное \Ь\. Знак b определяет направление перемещения. Легко доказывается, что прямая, получаемая этим параллельным перемещением, есть график функции.1 Для лучшего запоминания роли параметров можно предложить построить на одном чертеже графики нескольких функций при одном и том же значении а, на другом — несколько графиков при том же значении Ь. Можно рассматривать и готовые таблицы (см. черт. 56 и 57). Коэффициент а попрежнему является угловым коэффициентом, т. е. определяет угол наклона графика с осью х\ b — начальная ордината, т. е. ордината точки, абсцисса которой равна нулю.

Все свойства функции легко могут быть выведены учащимися, так же как было рассмотрено выше для функции у = ах. Возрастание или убывание функции в зависимости от коэффициента а устанавливается так же. Рассмотрение линейной функции необходимо связать с исследованием уравнения 1-й степени с одним неизвестным, а также с решением неравенств 1-й степени. Для этого полезно предложить учащимся начертить самостоятельно расположенные в определенной системе графики линейной функции в зависимости от значений а и Ь. Получится таблица, изображенная на черт. 58.

1 См. доказательство в Алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, ч. II, § 5, гл. III.

Всякое уравнение 1-й степени мы можем привести к виду ах 4~ Ь = 0\ если афО, то корень уравнения выражается формулой

Черт. 56 Черт. 57

Решая уравнение /(х) = 0, мы ставим вопрос, существуют ли такие значения аргумента, при которых функция равна нулю, и находим эти значения. Аналитически выяснено, что если а ф 0, то корень уравнения всегда существует и единственный.

Все случаи, когда корень уравнения положительное или отрицательное число или нуль, наглядно иллюстрируются на чертеже, где корень уравнения находится как абсцисса точки пересечения графика функции с осью X.

Исследование уравнений по программе дается в X классе, однако в методической литературе настойчиво проводится тенденция и в младших классах не отрывать вопросов исследования от решения уравнений. Многие учителя действительно проводят исследование уравнений, начиная с VI класса, постепенно усложняя содержание работы.1 Если эта работа проводится, то учащимся будет понятна постановка более общего вопроса, т. е. рассмотрение функции у = ах-{-Ь и в случае, если а = 0. Тогда строится и график функции у = ах-\-Ь при а = 0, т. е. рассматривается уравнение у = Ь. Чтобы учащимся было яснее, что

Черт. 58

1 См. статью В. К. Матишук „О решении задач на исследование уравнений в VII и VIII классах", „Математика в школе", 1950, № 4, а так же статьи за 1952, № 1, 1954, № 1 и др.

и в этом случае у есть функция от х и что она равна Ь> при любом значении х лучше написать у = 0 • х-\-Ь. Изобразив графики функции при разных значениях Ь, учащиеся получат таблицу, изображенную на черт. 59. Если, как и раньше, мы решаем уравнение 0 • х -\- Ь = 0, т. е. ищем то значение х, при котором функция принимает значение нуль, то чертеж ясно показывает, что при b Ф О уравнение решения не имеет, а при Ь = 0 оно имеет бесчисленное множество решений. Построение графиков в курсе алгебры не является разделом аналитической геометрии, поэтому мы не ставим общего вопроса об уравнении прямой, однако такой вопрос может возникнуть. В таком случае можно выяснить, что положение каждой прямой на плоскости относительно заданной системы координат определяется некоторым уравнением, и особо остановиться на уравнении оси ординат и прямой ей параллельной.1

Естественно повторить с учащимися и графическое решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, тем более, что в VIII классе будет дано понятие о графическом решении системы двух уравнений 2-й степени с двумя неизвестными. Таблица, данная на черт. 58, может быть использована и для повторения решения неравенств 1-й степени, в этом случае мы ставим вопрос о нахождении всех значений аргумента, при которых функция принимает положительные (или отрицательные) значения. На каждом графике легко выделяется область абсцисс всех точек графика, имеющих положительные (отрицательные) ординаты.

9. Изучение функции у= —, являющейся частным случаем дробно-линейной функции, может быть проведено по тому же плану, как и изучение функции у = ах. Конкретные примеры величин обратно пропорциональных могут быть предложены учителем, а также легко найдены самими учащимися. Необходимо повторить и уточнить определение обратной пропорциональности величин и дать ее аналитическое выражение. Остановимся на тех очень существенных особенностях, с которыми встретятся учащиеся при изучении этой функции. Прежде всего выяснится, что к области допустимых значений аргумента не принадлежит число нуль, т. е. для х = 0 функция не определена. Так же легко выясняется тот факт, что функция может принимать все действительные значения, кроме нуля. При построении графика

Черт. 59

1 См. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Алгебра, ч. II.

функции следует начать с конкретно заданной функции, например У=~, представляющей зависимость между двумя взаимно обратными числами. Можно сразу выяснить, что график функции будет расположен в 1-м и 3-м квадрантах, так как знаки х и у одинаковы при £^>0. Для построения графика учащиеся могут начать с составления таблицы значений, придавая х возрастающие отрицательные, а затем положительные значения. Учащиеся, которые мало строили графики по точкам, могут дать аргументу только целые значения, тогда, соединяя точки графика „плавной кривой", они не смогут выявить вид графика в промежутке от — 1 до -f-1 (черт. 60). Этот момент надо использовать для выяснения необходимости дополнения таблицы промежуточными значениями. Полезно вычисления провести по готовым таблицам1 и предложить учащимся возможно точнее изобразить точки графика на миллиметровой бумаге. Тогда будет ясно вырисовываться кривая линия, состоящая из двух раздельных ветвей (черт. 61). Непрерывность линии в каждом промежутке принимается без доказательства. Можно только показать, что если вычислить координаты точки, не использованной при построении графика, то точка оказывается на этой линии.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что графиком функции является именно совокупность обеих ветвей полученной линии, которая называется гиперболой. Можно более подробно рассмотреть свойства построенной линии, ее осевую и центральную симметрию, легко выявляемую из уравнения, но надо беречь время. Эти вопросы могут быть предложены в качестве упражнений, например, можно предложить учащимся доказать, пользуясь уравнением У=-%> что график симметричен относительно начала координат.

Черт. 60

Черт. 61

1 Таблицы есть в задачнике Ларичева, ч. 1, а также в таблицах Брадиса и других.

В курсе средней школы не рассматривается геометрическое определение гиперболы, это могло бы явиться одной из тем кружковых внеклассных занятий (после того, как будет пройдена теорема Пифагора).1 Надо выяснить, что ветви гиперболы приближаются к осям координат как угодно близко, что у них нет общих точек с осями.

Учащиеся самостоятельно могут построить на одном чертеже ряд графиков для разных значений коэффициента &>0. При этом они могут или использовать имеющуюся у них таблицу значений функции У = ^г, или, имея график функции _У = ^, на том же чертеже находить построением точки нового графика, увеличивая или уменьшая соответственные ординаты (см. черт. 62). Кроме сокращения времени, эти способы построения лучше выявляют значение коэффициента k.

При рассмотрении свойств функции надо выяснить, что при k > 0 с возрастанием аргумента функция убывает в каждом из двух промежутков, т. е. при возрастании отрицательных значений аргумента и при возрастании положительных его значений.

Рассмотрение функции У = — при 0 может быть проведено учащимися самостоятельно, причем соответственные графики должны быть построены на другом чертеже. Если учащиеся строят на одном чертеже графики функции при £^>0 и при &<^0, то получаются 4 раздельные ветви и нет отчетливого восприятия графика каждой функции. Необходимо обратить внимание на неправильную формулировку, данную в учебнике Киселева (§ 35). В ней говорится, что „при положительном k и х гипербола лежит в первом квадранте..и т. д. Такая формулировка может совершенно дезориентировать учащихся. Мы рассматриваем график при положительном или отрицательном в обоих случаях мы имеем совокупность всех допустимых значений аргумента (л:).

Надо особенно подчеркнуть возрастание функцииj/ = -^ при k<^0 в каждом из промежутков (при, х<^0 и при х^>0\ так как учащиеся часто утверждают, что если знаменатель дроби возрастает, а числитель постоянный, то дробь убывает. Об аналогичной ошибке мы говорили на стр. 168.

Черт. 62

1 Эти вопросы рассмотрены в книге К. Ф. Лебединцева. Учение о простейших функциях и их графиках, § 17, 1916.

Так же как и при рассмотрении функции у = ах, возрастание или убывание функции у = — может быть сформулировано не только на основании рассмотрения частных примеров или графика, но и доказано аналитически. Учитель может предложить доказать такую теорему, в качестве задачи на доказательство, если время и подготовка учащихся позволяют.

Приводим доказательство в общем виде; учащиеся могут рассмотреть отдельно случаи k^>0 и £<^0.

Дано: л;2 и хх одного знака:

Рассмотрим у2 —ух:

следовательно,

откуда, если &>0, то _у.2—У\<С0, функция убывает,

если &<С0, то у.2 — У\> 0, функция возрастает.

Время, отводимое на изучение функций, не позволяет увеличить объем рассматриваемого материала. В качестве упражнений на построение графиков в дальнейшем могут быть предложены графики других дробно-линейных функций, хотя бы наиболее простые, как .У = Л._|_2 или У — х_ \ • Их можно сравнить с графиком функции У = — • Более сложные примеры могут быть даны в порядке внеклассной работы.

Изучение функции У = -х~ приводит учащихся к вопросу о неравномерности возрастания или убывания. Мы остановимся на этом ниже, так же как и на некоторых других вопросах, связанных с изучением функций.

§ 21. Квадратичная функция.

При изучении квадратичной функции учащиеся имеют возможность познакомиться с новыми свойствами функций, могут быть поставлены вопросы, связанные с исследованием квадратных уравнений, неравенств 2-й степени, с решением простейших задач на максимум и минимум. Надо отметить, что в учебнике Киселева в отделе III, озаглавленном „Квадратичная функция" (§ 46—49), подробно рассматривается вопрос о графике функ-

ции, но почти не уделяется внимания ее свойствам, а в § 50 дается графический способ решения квадратного уравнения, но нет связи с исследованием корней уравнения (данном в § 42 и § 135); наконец в дополнении III дается исследование квадратного трехчлена в связи с рассмотрением неравенств 2-й степени, однако при этом ставится вопрос только о знаке трехчлена. В противоположность этому в задачнике П. А. Ларичева имеется ряд вопросов исследовательского характера, связанных с изучением функции (гл. IV, § 27). Материал, данный в задачнике, является очень ценным, но он выходит за пределы учебника, что иногда затрудняет работу с задачником.

Изучение квадратичной функции может быть проведено непосредственно за рассмотрением квадратного уравнения, если, как это было предложено, предшествующий материал по теме „Функции и графики" уже пройден до квадратных уравнений. Обе темы от этого выигрывают, так как их изучение не разрывается.

Начинать изучение квадратичной функции лучше всего с рассмотрения ряда задач на составление формул, выражающих функциональную зависимость. Учащиеся VIII класса к этому времени уже прошли на уроках физики равномерно ускоренное (и замедленное) движение, чем можно воспользоваться. Такую же зависимость можно получить и из геометрических задач. Например: „Выразить зависимость объема прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием от длины стороны основания при постоянной высоте" или из приведенной на стр. 164 задачи о площади прямоугольника.1 Отвлекаясь от конкретных задач, записываем в общем виде трехчлен второй степени: у = ах2 -\- Ьх + с; аФ 0.

Функция этого вида и называется целой функцией второй степени, или квадратичной.

Здесь же выясняется, какие могут быть частные виды функции, в зависимости от того, что коэффициент b или с (или оба вместе) равны нулю.

Изучение функции начинается с наиболее простого вида у = ах2. В этом случае значения функции пропорциональны квадратам значений независимой переменной. Рассматривается частный случай при а=1, т. е. у = х*.

Если изучение функции проводить по намеченному выше плану, то прежде всего выясняется, что функция определена для любого значения аргумента, так как каждое действительное число может быть возведено в квадрат. Учащиеся легко выявляют, что функция может принимать только положительные значения и нуль. Следует также выяснить, что функция может принять любое положительное значение. Не всегда осо-

1 См. задачник Ларичева, ч. II, № 655, 660, 663.

знается, что это свойство следует из существования корня квадратного из любого положительного числа, что такое утверждение стало возможным только после введения иррациональных чисел. В VIII классе не доказывается теорема существования корня, но учащиеся должны понимать смысл ее.1 Расположение графика функции (т. е. то, что весь график, кроме точки (0,0), располагается над осью х и ось ординат является осью симметрии графика) может быть обосновано учащимися. При вычислении координат отдельных точек графика опять следует выяснить, что целые значения абсцисс недостаточны для выявления характера линии. Следует взять возможно больше значений в промежутке 0<^л;<М, пользуясь таблицей квадратов. Тогда выявляется некоторая кривая, которую считаем непрерывной. Дается название полученной кривой — парабола, но ее геометрические свойства не рассматриваются. График показывает, что с возрастанием отрицательных значений аргумента функция убывает, при х = 0 достигает наименьшего значения, а затем, с возрастанием аргумента, возрастает. Возрастание и убывание может быть обосновано учащимися на основании сравнения по величине двух отрицательных чисел и затем их квадратов. Может быть решена и задача на доказательство аналогично рассмотренной выше ^при изучении функции j/=-~V Наличие наименьшего значения необходимо подчеркнуть, так как это существенно для всего изучения квадратичной функции.

Можно показать, что наибольшего значения функция не имеет, т. к. какое бы большое положительное число мы ни задали, можно указать такое значение х, что у = х* будет больше этого числа (привести примеры). Отсюда вытекает, что ветви параболы неограниченно поднимаются вверх.

Так же как и при рассмотрении других функций, учащиеся самостоятельно строят на одном чертеже ряд графиков функции у=ах* при разных значениях а>0. Для построения этих графиков нет надобности вычислять заново таблицу значений. Например, имея график у = х*, достаточно разделить отрезки, соответствующие ординатам точек, пополам, чтобы получить график функции у=^х*.

Черт. 63

1 См. доказательство в Алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, ч. II, гл. 1, § 14.

Выясняется, что свойства этих функций одни и те же.1 На другом чертеже учащиеся строят графики функций у = ах* при а<^0. Важно, конечно, не механическое построение графиков по точкам, а выяснение общности и различия свойств функции при а<С0 по сравнению их со свойствами функции у = ах* при а>0. Наиболее существенным является выяснение того, что функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего.

Построение графика функции вида у = ах2-\-с не может вызвать затруднений, если мы сравним его с графиком функции у = ах*. Подчеркнем только, что характер изменения функции остается прежним, что при а^>0 функция имеет минимум, a при а<^0 функция имеет максимум при том же значении лт = 0, но значение функции в этой точке равно с. Полезно предложить учащимся начертить таблицу различного расположения графика функции при разных а и с, дающую наглядную иллюстрацию рассмотренных свойств (см. черт. 64).

Особенно существенным является вопрос о корнях функции, т. е. о тех значениях аргумента, при которых функция принимает значения, равные нулю. Чтобы выяснить, каковы корни функции, достаточно решить уравнение ах2-{-с = 0; афО. Учащиеся уже решали неполные квадратные уравнения этого вида.

Общая формула его корней х = ±у —~; исследуя эту формулу, учащиеся выясняют, что возможны 3 случая, все они наглядно иллюстрируются таблицей (черт. 64).

1) Два корня противоположных по знаку и равных по абсолютной величине, если а и с разных знаков (см. 3 и 4 на таблице).

2) Один корень равный нулю, если с = 0 (см. 2 и 5 на таблице) или 2 равных нулю корня.

Черт. 64

1 В Алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского доказывается, что из графика функции у = х2 можно получить график функции у = ах2 при другом значении а при соответственном изменении масштаба. Ввиду недостатка времени эти вопросы трудно рассмотреть в классе.

3) Не имеет корней,1 если а и с одного знака (см. 1 и 6 на таблице).

Чтобы перейти к рассмотрению квадратичной функции в общем виде, обычно предварительно рассматривают частный случай, когда трехчлен 2-й степени является полным квадратом. Этот промежуточный этап облегчает понимание расположения графика, т. е. сдвига параболы вправо или влево. Однако этот этап не является необходимым. Если учащиеся хорошо владеют таким преобразованием, как „выделение полного квадрата", которым они могли пользоваться при разложении на множители еще в VII классе, то можно и пропустить случай полного квадрата или рассмотреть только 2—3 частных примера. Расположение параболы в этом случае подробно рассмотрено в учебнике алгебры Киселева и в „Алгебре" Фаддеева и Соминского, однако в обоих учебниках мало связи между графиком и свойствами функции. Рассмотрим поэтому примерные рассуждения, проводимые учащимися. Поскольку учащимся хорошо известны свойства функции у = ах*-\-с, естественно поставить вопрос о преобразовании трехчлена вида ах* -f- bx;-f- с к виду az*-{-k. Начинаем с частного примера, например у = х* -f- 6л: -f-5; выполнив преобразования, получаем _у = (*-{-З)2— 4. Чтобы выявить свойства этой функции, рассматриваем ее аналитическое выражение. Второе слагаемое (—4) не меняется; при изменении значений аргумента меняется только первое слагаемое. Оно получает только положительные значения и значение нуль. Значение нуль первое слагаемое получает при х = — 3, функция при этом имеет наименьшее значение, равное —4. При значениях аргумента меньших, чем —3, значение выражения в скобках отрицательное, а уже выяснено, что с возрастанием отрицательных чисел квадраты их убывают; при значениях х больших, чем —3, выражение в скобках положительное, а при возрастании положительных чисел возрастают и их квадраты. Эти свойства поясняют расположение графика. Точка (—3; —4) является вершиной параболы, ветви которой направлены вверх. Через вершину проходит ось симметрии, параллельная оси ординат. Чтобы это проверить, достаточно убедиться в том, что для двух значений аргумента, одинаково отстоящих от точки (—3) по оси Ху мы получаем равные значения функции.

Например: возьмем ху = — 3 —J— 1 = — 2 w х2 = — 3 — 1= —4, получаем ух = I2 — 4 = — 3; j/2 = (— 1 )2 — 4 = — 3.

Конечно, это может быть рассмотрено и в общем виде, как задача на доказательство, тогда берем два значения х: хх = — 3 -f- а и xq = — 3 — а; легко показать, что соответственные значения функции равны.

Построение графика может сопровождаться этими рассуждениями. Если это затрудняет учащихся, учитель может раньше

1 Не имеет действительных корней, но мнимых чисел учащиеся еще не знают.

рассмотреть расположение графика, как это сделано в учебнике, но потом обосновать его, исходя из свойств функции (см. черт. 65).

Во всяком случае учащиеся должны уметь перечислить основные свойства функции, пользуясь и ее аналитическим выражением и графиком. Так, для рассматриваемого примера:

1) Допустимые значения аргумента— все действительные числа.

2) Функция принимает значения не меньшие —4.

3) С возрастанием аргумента до — 3 функция убывает.

4) Функция имеет минимум при значении х = — 3; при этом у = — 4.

5) При дальнейшем возрастании аргумента функция возрастает.

6) Функция имеет два разных корня.

Учащиеся должны проделать ряд упражнений на построение графиков и исследования свойств функции на частных примерах.

Например, задаются функции:

Черт. 65

При построении графиков учащиеся преобразовывают трехчлен, как было указано выше. Эти преобразования сами по себе полезны, так как учащиеся часто допускают в них ошибки, если коэффициент а число дробное или отрицательное. Для построения графика учащиеся не должны механически составлять таблицу значений функции. Следует найти координаты вершины параболы, выяснить направление ее ветвей, наметить ось симметрии и вычислить координаты нескольких точек одной ветви, учитывая, что одну точку дает значение свободного члена с (точку пересечения с осью ординат).

Желательно связать изучение функции 2-й степени и ее графика с исследованием квадратного уравнения по дискриминанту, которое проходится в VIII классе (§ 41 и 42 в учебнике Киселева). Преобразование трехчлена 2-й степени в общем виде не может затруднить учащихся и явится хорошим завершением рассмотренных выше упражнений.1

Получив после преобразования

1 В учебнике Киселева это преобразование дано в § 185, но ограничено условием: b2 — 4ас < 0.

выделяем координаты вершины параболы:

знак коэффициента а показывает направление ветвей ее.

Тогда можно составить таблицу, аналогичную рассмотренной нами, для функции вида у = ах* -f- с (см. черт. 64 на стр. 180).

Новую таблицу следует расположить в зависимости от знака а и от значения дискриминанта, не принимая во внимание знаков коэффициентов b и с. Опыт показал, что учащиеся VIII класса свободно справляются с этой работой самостоятельно, после того как учитель рассмотрит с ними построение для одного случая. Отметим, что построения выполняются без использования уже известной учащимся зависимости между дискриминантом квадратного уравнения и его корнями; обратно, необходимость общих точек графика с осью X вытекает из свойств функции. Приведем для примера исследование расположения графика в первом случае. Чтобы выяснить, имеет ли парабола общие точки с ОХ и сколько их, достаточно выявить положение ординаты вершины и направление ветвей параболы. В первом случае Ъ*— 4ас>0, т. е. числитель дроби —0 4g4gc положительный, а>0, т. е. знаменатель ее, тоже положительный. Учитывая знак перед дробью, выясняем, что ордината вершины число отрицательное. Итак, вершина параболы расположена ниже оси абсцисс; поскольку а>0, то эта точка соответствует наименьшему значению функции и бесконечные ветви параболы направлены кверху и должны пересечь ось абсцисс в двух точках (так как график —непрерывная линия). Абсциссу вершины мы берем произвольно, так как не учитываем знака Ь. Аналогичные рассуждения могут быть проведены для каждого случая; они полезны, так как приучают учащихся к исследованию. В результате сопоставляем все случаи таблицы с выводами аналитического исследования корней квадратного уравнения, так

Черт. 66

как корни функции у = ах* -]- bx-\-cw являются корнями квадратного уравнения ах2 -f- bx -f- с = 0. Полезно сопоставить с новой таблицей ранее выполненную таблицу для функции у = ах*-{-с (черт. 64) и выявить, что в ней мы имели частный случай. (Если а и с имеют разные знаки, то дискриминант положительный, если же b = c = 0f то и дискриминант равен нулю.1)

В задачнике П. А. Ларичева (гл. IV) имеются многочисленные упражнения исследовательского характера. Они снабжены подробными указаниями, необходимыми ввиду отсутствия этих вопросов в учебнике Киселева.

В упражнениях задачника встречаются и вопросы о знаке трехчлена 2-й степени, о наибольшем или наименьшем его значении. Подобные упражнения, как мы уже говорили выше, совершенно необходимы; без них изучение функции сводится только к построению графика и усваивается учащимися формально. Поэтому вполне уместны и вопросы о знаке трехчлена, хотя систематическое изучение неравенства 2-й степени относится к X классу. Хорошее понимание свойств функции и ее графика позволят учащимся сознательно ответить на вопрос, при каких значениях аргумента функция у = Зх2 — 2л:-j-5 имеет положительные значения, и на другие подобные вопросы. Для учащихся VIII класса может быть полезнее проводить решение для каждого конкретного примера с числовыми коэффициентами, хотя некоторые учащиеся, безусловно, смогут сделать общие выводы.

Графическое решение квадратного уравнения рассмотрено у Киселева (§ 50). Построение по точкам графика трехчлена

2-й степени для решения уравнения не имеет практического значения. Учащиеся быстрее и точнее найдут корни уравнения,

Черт. 67

Черт. 68

1 Некоторые учащиеся могут заинтересоваться функцией вида у=ах2-\--f- bx, расположением ее графика и корнями. Этот частный случай можно предложить рассмотреть самостоятельно; выяснить, почему один корень равен нулю.

решая его по формуле. Выяснение вопроса о корнях функции, с использованием ее графика, имеет большое значение для лучшего усвоения теории. При этом можно уточнить некоторые вопросы. Например, некоторые учащиеся механически меняют знаки в квадратном уравнении или делят все его члены на какое-нибудь число, утверждая, что уравнение „не меняется". Рассматривая трехчлен 2-й степени, они могут иногда выполнить такое же „преобразование". Поэтому полезно построить графики двух функций, например, у =— х*-{-х-\-2 и у = = х*— X — 2 и выяснить, что свойства этих функций, расположение их графиков различны, но уравнения —х* -f- х-\-2 = 0 и X* — X — 2 = 0 равносильны (см. черт. 67). На черт. 68 построены графики функций у = 3х*— 9л:-|-3 и у = х*— Зх-\>-1.

Второй способ графического решения уравнений, рассмотренный у Киселева, может иметь практическое значение, особенно для приближенного определения корней, если коэффициенты числа „неудобные". Чтобы получать удовлетворительные результаты, надо, чтобы каждый учащийся построил один график функции у = X* с возможной точностью на миллиметровой бумаге. Тогда для решения уравнения ах* -\-bx-\- с = 0 можно привести его к виду х* = — — X — — , искать те значения аргумента, при которых две различные функции принимают равные значения. Для этого достаточно наложить на график параболы тонкую линейку и, отметив острием циркуля или хорошо отточенным карандашом точки пересечения параболы и прямой (если они есть), определить с возможной точностью их абсциссы. На чертеже дано решение уравнения:

2л:2 + X — 1,8 = 0; ххъ 0,7; х%ъ*—1,2.

Все же пользу графического решения уравнения учащиеся могут оценить, если этим способом они смогут найти корни уравнения, которое они не могут решить другим путем. Поэтому полезно в число упражнений на построение графиков включить график функции у = хъ (задачник Ларичева, ч. II, № 101), тогда указанным путем могут быть решены кубические уравнения, например, л:3 — 2х-\-1 =0.

В заключение рассмотрим некоторые общие вопросы.

1. При изучении изменения функций мы обошли молчанием вопросы характера возрастания (убывания) функции. Между

Черт. 69

тем, на уроках физики учащиеся VIII класса говорят о возрастании равномерном или равномерно ускоренном. В учебнике физики дается такое определение: „Равномерным называется такое движение, при котором в любые, равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути".1 Фактически это определение вводит понятие о приращении аргумента и функции, однако на уроках математики эти вопросы не ставятся. Между тем, введение понятия о приращении может быть сделано вполне элементарно. Уже составляя таблицы значений функции, легко ввести этот термин, рассматривая разность двух значений аргумента и разность соответственных значений функции.2 Тогда можно ввести и другое определение возрастания (и убывания) функции. „Если положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции, то функция называется возрастающей". Фактически при проведении доказательства возрастания или убывания функции (см. стр. 170 и 177) мы пользовались ее приращением, не называя его.

Но гораздо нужнее понятие приращения для выяснения того, как именно происходит возрастание (убывание) функции. При изучении линейной функции выясняется и доказывается, что графиком функции является прямая линия. По аналогии с равномерным движением очень легко ввести понятие равномерного возрастания (убывания) функции и выяснить, что в этом случае равным приращениям аргумента соответствуют равные приращения функции. Это можно установить и путем составления таблицы значений, давая аргументу равные приращения и рассматривая график функции, чтобы выявить геометрический смысл понятия приращения. Ввести ли при этом символическое обозначение приращения Ал: и Ау, или обозначать его одной буквой — не является существенным вопросом. Новые обозначения обыкновенно не затрудняют учащихся; важно только, чтобы они хорошо понимали их смысл. Нами приведена таблица значений для функции у = 2х— 3, на чертеже показана геометрическая иллюстрация. Но это свойство приращения линейной функции может быть легко установлено и в общем виде, если ввести обозначения у = ах-\-Ь; у-\- Ьу = а (х-\- кх)-{-Ьу откуда получаем ку = акх, т. е. выявляем, что приращения

1 А. В. Перышкин, В. В. Крауклис. Курс физики, ч. 1, учебник для VIII класса школы, 1954.

2 В Алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, ч. 1, понятие „приращение" и сам термин вводится при введении понятия отрицательного числа (гл. II, §3).

линейной функции пропорциональны приращениям независимой переменной.

Если учитель почему-либо не хочет вводить принятых обозначений приращения, то можно выявить то же самое, записывая каждый раз разность двух значений, т.е. получим, что у%—ух = а(х%—хх)

или ?—^ = а.

Пропорциональность приращений функции приращениям независимого переменного дает возможность точного интерполирования при пользовании таблицами, что можно показать хотя бы на таблицах для вычисления длины окружности.

При изучении функций, графики которых не являются прямыми линиями, следует выяснить, что они возрастают (или убывают) неравномерно. Учащиеся встречаются с этим уже при рассмотрении функции^, а также функции у = ах*.

Неравномерность возрастания (убывания) функции может быть установлена из рассмотрения приращений функции, соответствующих равным приращениям аргумента по таблице значений функции, а также по ее графику. Так на черт. 71 (слева) нами дана такая таблица для функции у — х*у а справа — графическая иллюстрация. На черт. 72 то же сделано для функции у = ^-. В обоих случаях мы имеем неравномерное возрастание функции. Однако легко показать, что в первом случае равным положительным

Черт. 70

Черт. 71

приращениям аргумента соответствуют положительные возрастающие приращения функции, а во втором случае равным положительным приращениям аргумента соответствуют положительные убывающие приращения функции. Если ввести понятия ускоренного и замедленного возрастания, то можно сказать, что функция у = х* при возрастании аргумента от нуля возрастает ускоренно, а функция у = ^- при возрастании аргумента от нуля (значение 0 исключается) возрастает замедленно.

Черт. 72

(Характерно, что та же функция У = —— при возрастании отрицательных значений аргумента возрастает ускоренно.) Эти свойства могут быть установлены и аналитически, если найти выражение приращения функции в общем виде. Надо сказать, что время, отводимое на изучение функций в VIII классе, не позволяет полностью рассмотреть эти вопросы. Вполне возможно дать понятие о приращении функции и по крайней мере установить, что приращения линейной функции пропорциональны приращениям независимой переменной. При изучении других функций полезно установить, по крайней мере, отсутствие этой пропорциональности, что можно показать на частных примерах, найдя отношение двух приращений аргумента и двух соответственных приращений функции. Из этого можно вывести, что в тех таблицах, где табличные разности (приращения функции) резко изменяются, линейная интерполяция невозможна, там же, где

изменения незначительны (т. е. график близок к прямой), мы делаем незначительную ошибку. Может быть, при повторении функций в IX классе перед изучением показательной и логарифмической функций можно несколько углубить эти вопросы. Так как в X классе будет рассматриваться производная, то понятие о приращении аргумента и функции явится необходимым. Учащимся легче будет воспринимать эти вопросы, если это понятие будет им знакомо.

2. Второй вопрос, на котором надо остановиться — это вопрос терминологии и обозначений: говорить ли, например, в VIII классе „область задания функции", или „область определения функции", или говорить, как это сделано у нас выше, при рассмотрении функций, о том, какие значения может принимать аргумент или какие значения являются допустимыми. Надо сказать, что учитель может ввести терминологию, более близкую к принятой в учебниках анализа, но только в том случае, если учащиеся будут до конца понимать, что выражает каждый термин. К сожалению, даже в высшей школе у студентов старших курсов мы встречаемся с неправильным применением терминов. Например, приходится слышать, как студент, говоря „область задания (или определения) функции", имеет в виду те значения, которые принимает функция. Из этого не следует, что этих терминов нельзя употреблять в школе, но следует, что учитель должен вводить их осторожно и добиваться их полного понимания.

Так же обстоит дело с употреблением термина и символа бесконечности. Его отсутствие очень затрудняет описание свойств функции и их запись. Например, можно записать: „при изменении аргумента от —оо до нуля функция убывает от -\-оо до — 3"; сформулировать это свойство без употребления термина „бесконечность" очень трудно. В IX классе и термин и символ необходимо ввести при изучении предела последовательности, но как поступить в VIII классе? Следует дать тот же ответ: учитель может ввести этот термин и символ, если он сумеет вложить в него вполне конкретное содержание. Учащиеся должны понимать, что, говоря, например, что функция у = хг возрастает „до бесконечности", мы устанавливаем, что какое бы большое положительное число мы ни задали, можно указать такое значение аргумента х, что значение функции будет больше этого числа. Учащиеся должны уметь привести и конкретный пример: „если зададим число 10000, то для значений х^> 100 значение у будет больше 10000" и т. п.

3. Сделаем несколько замечаний о желательном оборудовании уроков, посвященных изучению функций и их графиков. Учителя часто и справедливо жалуются на невозможность достигнуть удовлетворительных знаний учащихся без дополнительной затраты времени ввиду технических затруднений при выполнении графиков на уроках. Учащиеся очень медленно выполняют построения, особенно на доске, чертежи часто получаются не

наглядные и нуждаются в исправлении. Прежде всего необходимо наличие в классе доски, разграфленной в клеточку (желательно 5 см X 5 см). Такие доски имеются в младших классах, в кабинете физики. Для выделения различных линий надо пользоваться цветным мелом. Во многих школах применяются сделанные из картона или фанеры „шаблоны" парабол, выполненные в том же масштабе, что и деления на доске (считая, что по обеим осям масштаб одинаковый: линейная единица 5 см). Передвигая подобный шаблон, учащийся быстро показывает зависимость расположения графика от заданного уравнения. Если нет разграфленной доски (хотя ее изготовление не представляет больших трудностей), надо иметь хотя бы большой лист бумаги или картона с нанесенной на нем координатной сеткой того же масштаба. Для быстрого выполнения графика у себя в тетрадях, например, при 10—15-минутных самостоятельных работах, учащиеся имеют тоже вырезанные из плотной бумаги шаблоны парабол и гипербол, выполненные в масштабе 1 см или 0,5 см (что соответствует длине одной клетки обычной тетради). Опыт показывает, что тогда при затрате очень небольшого времени могут выполняться упражнения, закрепляющие знания учащихся и выявляющие их понимание.

Учитель не должен забывать, что наряду с такими графиками учащиеся должны уметь тщательно и возможно более точно выполнять построения отдельных графиков, особенно если они используются для определения некоторых числовых значений (решения уравнения, определения приближенного значения корня квадратного или кубического и т. п.). Для этих целей учащийся должен уметь целесообразно изменять масштаб, понимая, что привычный вид кривой при этом изменяется.

В школе должны быть также готовые таблицы различных графиков, аналогичные рассмотренным выше, которые могут быть использованы, главным образом, при обобщении и повторении пройденного. Полезны также готовые таблицы для упражнений в чтении графиков: температурные кривые, графики самопишущих приборов в увеличенном виде, графики движения поездов и т. п.

§ 22. Учение о функции в IX и X классах.

Как уже неоднократно указывалось, учение о функции является одной из ведущих тем и должно пронизывать весь школьный курс математики. Учащиеся должны в школе получить четкое и ясное представление о всех элементарных функциях. Нам кажется, что полное изучение функции должно проводиться по мере изучения каждой функции; при такой системе изложения в X классе потребуется только несколько часов на общий обзор учения о функции.

Изучение всякой функции желательно проводить по следующему плану:

1) область задания функции (область изменения аргумента);

2) область изменения функции;

3) четность и нечетность функции;

4) периодичность функции;

5) возрастание и убывание функции;

6) максимум и минимум функции;

7) непрерывность функции.

После этого на основе проведенного исследования следует перейти к построению графика функции.

Возможно два подхода к изучению функции: сначала строится по уравнению график функции, затем изучаются свойства функции аналитическим путем, и второй способ — сначала изучаются аналитическим путем свойства функции, на основании которых строится график функции. Мы считаем, что график функции и изучение свойств функции аналитическим способом не могут быть оторваны друг от друга; только при совместном изучении учащиеся усвоят этот важнейший раздел курса математики.

Заметим также, что графики функции должны иметь не только иллюстративный характер; графики функции должны позволять с достаточной степенью точности находить значение функции по заданному значению аргумента. Поэтому вопросу о вычерчивании графика должно быть уделено достаточно внимания; так как вычерчивание графиков сравнительно трудоемкая работа, то особенно увлекаться графиками не следует, но графики основных функций должны быть вычерчены аккуратно и точно.

Необходимо напомнить учащимся способы задания функций: табличной, графической и аналитической.

В средней школе преимущественно рассматривается аналитическое задание функции, т. е. при помощи формулы.

Учащиеся должны понимать, что хотя аналитическое задание функции и является главной целью изучения, однако во многих случаях не удается выразить функцию при помощи формулы. Например, функция Дирихле определяется так: для каждого рационального значения х функция равна 1, для каждого иррационального значения х функция равна 0. Хотя данная функция вполне определена, но уравнение для нее неизвестно.

Вопрос о построении графика и таблицы значений функции, если дано ее уравнение, более или менее разработан в методической литературе, поэтому мы на нем останавливаться не будем. Обратная задача, т. е. нахождение аналитического выражения функции, когда дана таблица значений функции или отдельные точки ее графика, не получила распространения в школьной практике. При введении политехнического обучения в школе нахождение аналитического выражения имеет не меньшее значение, чем составление таблицы или построение графика по уравнению функции; поэтому в школе следует обратить на это внимание.

Приведем три примера.

Пример 1. Длина стального стержня в 1 м при различных температурах равнялась

Температура 0

10

20

30

40

50

Длина в мм 1000

1000,11

1000,22

1000,33

1000,44

1000,55

Определить коэффициент линейного расширения стали и формулу линейного удлинения стали в зависимости от температуры.

Решение. Предположим, что удлинение происходит по закону линейной зависимости, т. е.

l = at-\-b.

При £=10° имеем

1000,11=а 10 + 6,

При £-—20° имеем

1000,22 = а 20 + 6.

Решая данную систему уравнений, найдем а = 0,011; 0=1000,

следовательно,

/=0,0Ш+1000

или /=1000(1 +0,000011*)-

Коэффициент линейного расширения стали равен 0,000011.

Для проверки следует по формуле найти длину стержня при температуре 30°, 40°.

Пример 2.

Дана таблица значений функции.

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

У

60

30

20

15

10

6

5

Найти формулу для у и заполнить недостающие места в таблице. Решение. Простейшая зависимость есть линейная

у = ах-\-Ь.

Проверим, изменяется ли у по данной формуле. При *=l,j/=60, следовательно, 60 = a + ô;

х = 2, у = 30 п 30 = 2а + £.

Найдем значение а и b: а = — 30; b = 90, т. е. у = — 30л; + 90. Проверим для х = Ъ\ л: = 4; х = 6.

у3 = — 90 + 90 = 0;

j/4 = — 120 + 90 = — 30,

т. е. у не изменяется по закону линейной зависимости.

Сделаем допущение, что в данном случае имеет место обратная пропорциональная зависимость j/ = ^-.

Положим Л'=1, так как у = 60, то k = 60, т. е.

Проверим для х = 2\ л; = 3; х =12.

т. е. в данном случае имеет место формула у= —. После этого легко найти недостающие значения функции в таблице.

Пример 3. Дана таблица значений функции для следующих значений аргумента.

X

0

1

2

3

4

5

У

2

1

2

5

10

17

Найти формулу для данной функции.

Решение. Очевидно, зависимость не будет линейной, так как приращение функции непостоянно. Точно так же формула у= — не будет соответствовать данному случаю, так как значения функции с увеличением значения аргумента не всегда уменьшаются.

Предположим, что в данном случае имеет место следующая формула:

Для определения a, b и с решим следующую систему уравнений:

откуда находим а — 1 ; Ь = — 2; с = 2. Тогда у = X* — 2х -f 2. Проверим для л: = 3; х = А и х = 5. j/3 = 9-6 + 2 = 5; j/4= 16 — 8 + 2= 10; у5 = 25— 10 + 2=17.

1. Хотя вопрос об области задания функции рассматривался неоднократно, все же в X классе следует на нем остановиться и несколько дополнить.

Область задания функции определяется возможностью выполнить математические действия, например, функция

у = х* задана для промежутка —оо... -|- оо;

y = lgx_ » » Ä... + оо;

или дополнительными условиями, например:

Сила сопротивления воздуха для автомобиля равна Р = 0,1 v*, где V (скорость) изменяется от 0 до 150 км в час.

Необходимо в течение всего курса, а особенно в X классе, постоянно решать задачи на определение области задания функции, например, определить область задания функции

Функция не задана ни для какого промежутка в области действительных чисел.

При решении этих примеров, попутно с решением основной задачи, учащиеся повторяют многие разделы из предыдущего курса.

2. В X классе, если это не было сделано раньше, необходимо познакомить учащихся с тем, что функция может быть задана различными уравнениями для различных частей промежутка задания функции. Такое толкование задания функции обычно вызывает недоумение у учеников. Так как в высшей школе и в технике такой способ задания функции постоянно встречается, то полезно проделать в средней школе упражнения следующего рода.

1) Построить график функции, если у= 1 -\-х при 0^л;^1;

Ответ.

2) Построить график функции, если

Ответ.

Черт. 74

3) Построить график функции, если

Ответ.

Черт. 75

4) Построить график функции, если

Ответ.

Черт. 76

Полезно решать и задачи, когда по графику функции требуется составить уравнение функции.

5) Дан график функции (черт. 77). Найти уравнение функции.

Ответ.

Черт. 77

6) Найти уравнение функции, если дан ее график (черт. 78).

Ответ.

7) Найти уравнение функции, если дан график функции (черт. 79).

Ответ.

Черт. 79

8) Найти уравнение функции, если дан ее график (черт. 80).

Ответ.

Черт. 80

Примечание. Полезно познакомить учащихся с некоторыми неэлементарными функциями, например с функцией Е[х\ (Entier), где Е—наибольшее целое число, не превосходящее х, например, Я [2] = 2; Я [2,5] = 2; Е[3,6]=3 и т. д.

График этой функции имеет вид, показанный на черт. 81.

Черт. 81

3. Функции ограниченные и неограниченные. Напомним, что функция y=f(x) называется ограниченной на данном числовом промежутке, сели существует такое число Ж]>0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство

\№\<м.

Если не существует такого числа M, то функция у =f(x) называется неограниченной.

В частности, можно говорить о функциях, ограниченных на всей числовой прямой, на сегменте, интервале.

Заметим, что если для всех рассматриваемых значений аргумента выполняется соотношение \f(x)\^A9 то функция у=/(л*) будет ограниченной в рассматриваемой области, так как за число M может быть выбрано число Д-j-l, тогда

\f(x)\^A<A + l=M

или

\№\<м.

График ограниченной функции весь заключен между двумя прямыми, параллельными оси ОХ (черт. 82). Для неограниченной функции нельзя найти такой полосы, внутри которой заключались бы все значения функции.

Черт. 82

Приведем несколько примеров на ограниченные и неограниченные функции.

Пример 1. Функция y=s\nx есть ограниченная функция, так как | sin л: | ^ 1.

Черт. 83

Пример 2. Функция у= orja есть ограниченная функция, так

Пример 3. Функция у— с есть ограниченная функция. За M можно взять число |с|4-1, тогда |j>| = |e|<[M+ 1-

Пример 4. Функция y = ï<g х будет неограниченной функцией в промежутке 0...у.

Пример б. Функция у= /г2 — х* есть ограниченная функция, так как \у\ — /г2 — х2<>.

Примечание. Заметим, что одна и та же функция может быть неограниченной в одном промежутке области значений х и ограниченной в другом промежутке.

Например:

y = \gx есть неограниченная функция, если —^... х...

и ограниченная функция, если — ~... х... —,

или у = X* есть неограниченная функция, если — со... х... -f- оо, и ограниченная функция, если — 2... х... -(-2. Следует дать учащимся и следующие определения: функция y=f(x) называется ограниченной сверху в некоторой

Черт. 84

области значений аргумента, если найдется такое число Af, что для всех значений аргумента из этой области выполняется неравенство

№<м.

Функция y=f(x) называется ограниченной снизу в некоторой области значений аргумента, если найдется такое число N, что для всех значений аргумента из этой области выполняется неравенство f(x)^>N.

Пример 1. Функция у = -^-при х^>0 есть функция ограниченная снизу, так как j/>0.

Пример 2. Функция у= \/ х— 1 ограничена снизу, так как l/x— 15*0.

Пример 3. Функция у = 4 — х* ограничена сверху, так как у < 4.

Пример 4. Функция y = tg*x ограничена снизу, так как tg2xSsO.

Примечание. Если функция ограничена снизу и сверху, то она будет ограниченной функцией.

Пусть Nt<df(x)<^N для всех значений х из области задания.

Какое-то из чисел \N\ или \N% \ не превосходит другое.

Пусть, например, | ЛМ <^ Ш|, тогда — | M | ^ \Щ и — | Nt | ^ Nu следовательно, — 1лп< — |N% |<М </(*)< jv< | n), откуда

-|ЛП </(*)< |АП

или

\№\<\N\.

Если функция ограничена, то она будет ограничена снизу и сверху. Действительно, если |/(^)|<iV, то ~Л/</(х)<Л?, а это и есть условие ограниченности снизу и сверху.

4. Возрастание и убывание функции. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в окрестности данной точки,1 если при произвольных двух различных значениях аргумента, принадлежащих данной окрестности, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции:

для возрастающей функции /(*i)<C/(*«)> если xi<Cx^ для убывающей функции f(xl)^>f(xi)i если д?1<[х* Если функция возрастает или убывает во всем промежутке, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей в этом промежутке.

К монотонным функциям относятся также функции неубывающие и невозрастающие:

для неубывающей функции /(^1)^/(^2), если xi<!*2> для невозрастающей функции f(xi)^f(x%)9 если Xi<^x2.

1 Пусть о любое положительное число, а некоторое действительное число; окрестностью точки а называется совокупность всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а — Ъ<х<а-\-Ь или, что то же, условию

Функция может менять характер своего поведения в достаточно большом промежутке, например, у = х* будет возрастающей в промежутке 0... х ...-f 00 и убывающей для — оо... х... 0.

Многие преподаватели вводят понятие о приращении аргумента и приращении функции. Пусть х.2 — xt = Ьх, тогда x% = xt-\-kx, где Ал: носит название приращения аргумента. Разность соответствующих значений функции

Ду =у2 —У1 =f(x2 + Ьх) —/(*i)

носит название приращения функции.

Отсюда следует, что для возрастающей функции

Ду=f(xx + Да:) — /(*i) > ü, если Ад; > 0,

и для убывающей функции

ky—f(xl-{-kx)—f(x1)<^0, если Дл;>0.

Учащиеся легко установят, что для возрастающей функции приращение аргумента и приращение функции должны быть одного знака или отношение приращения функции к приращению аргумента положительно, для убывающей функции — приращение функции и приращение аргумента — разного знака или отношение приращения функции к приращению аргумента отрицательно.

б. Четные и нечетные функции. У многих учащихся имеется неверное представление о четности и нечетности функции. Прежде всего они считают, что функции бывают только четные и нечетные; далее они не принимают во внимание, для какого промежутка задана функция. Поэтому мы приведем краткое изложение вопроса о четности и нечетности функции.

Определение. Числовое множество M называется симметричным относительно О, если, каково бы ни было число х из Му число — X также принадлежит этому множеству.

Геометрически это значит, что множество симметрично относительно начала координат.

Пример. Множество всех целых чисел есть симметричное множество; множество натуральных чисел не есть симметричное множество.

Определение. Функция f(x) называется четной на данной симметричной относительно начала координат области задания, если для каждого значения аргумента х из этой области имеет место равенство f(x)=f(—х), т. е. при замене значения аргумента х на значение —х функция не меняет своего значения.

Примерами четной функции будут у = х*\ y = xk\ j/ = cos х. График четной функции симметричен относительно оси OY. Поэтому для построения графика четной функции достаточно

Черт. 85

построить ту часть графика, которая расположена справа от оси OY, т. е. для значений х^>0, а затем построить геометрическое место точек, симметричных найденным относительно оси OY, т. е. построить зеркальное отображение.

Определение. Функция y=f(x), заданная на некоторой симметричной относительно начала координат области задания, называется нечетной в этой области задания, если для каждого значения аргумента х из этой области имеет место равенство f(x) = —/(—х), т. е. при перемене знака аргумента на противоположный значение функции меняется на противоположное.

Нечетными функциями будут: у = х\ у = хг\ у = $тх. Для построения графика нечетной функции достаточно построить ту его часть, которая лежит справа от оси OY, т. е. для значений х^О, и затем построить геометрическое место точек, симметричных относительно начала координат данным точкам графика.

Возможно и другое построение: сначала зеркально отобразить относительно оси OY ту часть графика, для которой х^О, а затем найденную вспомогательную кривую зеркально отобразить относительно оси ОХ. Полученная кривая будет второй ветвью кривой.

Легко показать, что функция, заданная для симметричного промежутка, не может быть одновременно четной и нечетной.

Действительно, пусть одновременно имеют место равенства

Черт. 86

Черт. 87

Тогда откуда

Так как значение х произвольно, то функция тождественно равна нулю. Функция одновременно является четной и нечетной только тогда, когда она тождественно равна нулю.

Функция может быть ни четной, ни нечетной. Например,

Дадим X значение, равное, например, 2; тогда

j/ = 23 + 2*=12.

Если заменить значение х через — 2, тогда ^ = (-2)8 + (-2)î = -4,

функция переменила свою абсолютную величину, следовательно, она не является ни четной, ни нечетной.

Прежде чем говорить о четности или нечетности функции, необходимо установить, задана ли функция для симметричного промежутка. Например, функция у = х* не будет ни четной, ни нечетной, если она задана для промежутка 0 ... 2.

Возможно в школе привести доказательство некоторых теорем относительно четных и нечетных функций.

Теорема 1. Сумма или разность двух четных (нечетных) функций есть четная (нечетная) функция.

Доказательство. Пусть F(x)=f(x)±<f(x)t где f(x) и со (л:) четные функции, заданные для одной и той же области значений X. Тогда

П~ *)=/(- *) + ?(- *) =Дх) + ср (X) = F(x),

т. е. F(x) четная функция, где х любое постоянное значение из области задания функции.

Аналогично доказывается теорема и относительно нечетных функций.

Теорема 2. Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная.

Доказательство. Пусть F(x)=f(x) • 9(jc), где f(x) и q>(x) четные функции, заданные для одной и той же области значений X.

Тогда

F (- *)=/(- X) - ? (- X) =f(x)■ ср (X) = F (*),

т. е. F(x) четная функция.

Если f(x) и «p(x) нечетные функции, то

П- *)=/(- X) ■ ? (- X) = -/(*). - ср (X) =/(*)•? (*) = F(x),

т. е. ^(л;) четная функция.

Теорема 3. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная.

Доказательство. Пусть F(x)=f(x) • ср(л:), где /(*) четная функция, 9 (л:) — нечетная функция, заданные для одной и той же области значения х.

Тогда

F(- *) =/(- *) • ? (- *) = /(*) ■ - 9(*) -= -[/W-?WJ=-F(x),

т. е. F (л:) нечетная функция,

Теорема 4. Всякую функцию /(л:), заданную на некоторой симметричной относительно начала координат области, можно представить и притом однозначно в виде суммы четной и нечетной функций, заданных для той же области.

Доказательство. Пусть дана функция f(x).

Составим новую функцию

?(*)=у [/(*)+/(-*)]• Функция <р(л:) будет четной функцией, так как

<?(-*)=! [/(- *)+/(*)]=? с*).

Возьмем другую функцию

К*)=т [/(*)-/(-*)]•

Эта функция будет нечетной, так как

откуда

/(*)=?(*) +«К*)-

Но ср (л:) — четная функция, ^(л:) — нечетная функция.

Таким образом f(x) представлена как сумма четной и нечетной функций.

Легко доказать единственность представления. Допустим, что f(x) представлена в виде суммы двух других функций, где ср! (х) четная, a ^ (х) нечетная функция:

/(*)=<Pi(*)+<N(*).

Тогда

/(— *)=?i (— х) + Ь (— х) = ?, (х) - <{>, (х).

Возьмем равенства

/(*)=?,(*)+М*); /(—x)=<p,(jc)—

Отсюда находим, что

yi(x)=/(*)+/(-*) и М*)=Ш^,

т. е.

?i СО = ? (*) и ф, (л:) = ^ (х),

что и требовалось доказать. Упражнения.

1) Доказать, что /(*)=-—есть четная функция.

Доказательство.

т. е. f(x) четная функция.

2) Показать, что Е(х) есть нечетная функция.

6. Периодичность функции. Вызывает затруднения у учащихся вопрос о периодических функциях. Учащиеся убеждены, что периодическими функциями являются только тригонометрические функции.

В технике встречается много периодических функций, которые не выражаются через тригонометрические функции, поэтому на периодичность функций следует обратить в школе большее внимание.

Пусть функция f{x) задана для некоторой области значения X.

Определение. Если существует отличное от нуля такое число /, что для каждого значения аргумента из данной области выполняется условие f(x-\-t)=f(x)> то функция f(x) называется периодической, а число / — периодом функции.

Например,

sin -f- л:) = sin л:; cos(2u-|-a:) = cosa:.

Легко заметить, что если прибавить к значению аргумента х-\-1 число /, то, согласно определению, получим

/(*+/+/)=/(*+/>.

но

/(*+/)=/(*).

поэтому

/(* + 2/)=/(*)

и вообще f(x-\-kl)=f(x), где к целое положительное число. Далее,

/(■*)=/[(*-/) + /]=/(*-/), f(x)=f(x-kl).

Таким образом, для периодической функции имеем f(x + kl)=f(x),

где k любое целое число.

Отсюда следует, что периодическая функция имеет множество периодов. Заметим, что мы не должны выходить из области задания функции.

Если функция имеет положительные периоды, то может случиться, что во множестве этих периодов есть наименьшее число <о. Число ш называется минимальным периодом.

При построении графика периодической функции достаточно построить график для минимального периода, а затем для каждого последующего периода построить аналогичную кривую.

Пример \.y = \gx есть периодическая функция с периодом тт. Действительно, tg (х -f *) = *g х-

Пример 2. у = с есть периодическая функция; ее период есть любое действительное число.

Пример 3. Функция у = х — Е(х) имеет период 1. Действительно, при увеличении х на 1 получаем:

у = х-\-\ — + \) = X4- \ — Е(х)~ I = X — Е(х).

График данной функции имеет вид.

Черт. 88

Периодичность функции усваивается учащимися с большим трудом. Одной из причин является то обстоятельство, что из элементарных функций, рассматриваемых в средней школе, только тригонометрические функции являются периодическими.

На определение периода следует решить несколько задач.

Найти период функции:

у = sin 2х\ у = sin 2х -f- cos Зх;

y=cos^x; j/ = sinxcos2.x; и т. п.

j/ = sin 2х-\- sin х\

Полезно для лучшего усвоения вопроса о периодичности функций построить несколько графиков приведенных функций. Значительно труднее дается учащимся периодичность нетригонометрических функций. Было бы весьма желательно, чтобы учащиеся построили несколько графиков следующих периодических функций:

у = ах\ ш=1. у = х\ о) = 2.

7. Непрерывность функции. Вопрос о непрерывности функции включен в программу X класса. Мы считаем, что элементарные сведения о непрерывности функции следует дать в VIII и в IX классах и если не аналитически, то графически показать, когда функция в данной точке непрерывна и когда претерпевает разрыв.

Учащиеся обычно связывают непрерывность функции с плавным изменением ее графика; по их мнению, функция (черт. 89) не является непрерывной в точке х0.

Желательно указать учащимся, что условие непрерывности функции в точке х0 состоит в том, что

то функция в точке х0

Если

не является непрерывной.

Если дано понятие о приращении функции и приращении аргумента, то условие непрерывности в данной точке может быть сформулировано так: бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции, т. е. если Ал: -> 0, то Ду -> О

или lim Ду = 0.

Ьх -> о

Линейная, квадратичная, степенная у = т/хп9 где m нечетное1 положительное число, показательная функция, синус и косинус будут непрерывными функциями во всей общности вещественных чисел; степенная функция у = т/хп) где m четное положительное число, будет непрерывная для всякого х из промежутка О ... оо, логарифмическая функция будет непрерывна для всякого X из промежутка 0 ... со. Тангенс и котангенс претерпевают разрыв непрерывности в точках, первая при х = ±-—2* вторая при х = ±къ; для этих точек функции не заданы.

Примеров функций, разрывных в данной точке, можно найти в физике сколько угодно, например, зависимость между количеством калорий и температурой при нагревании воды.

8. Максимум и минимум функции. Вопрос о максимуме и минимуме функции в средней школе излагается очень кратко и недостаточно точно.

Учащиеся очень часто максимум и минимум функции связывают с наибольшим и наименьшим значением функции, что неверно. Далее, учащиеся убеждены в том, что функция может иметь не больше одного максимума и одного минимума.

Легко геометрически показать ошибочность такой точки зрения. На чертеже (91) представлен график функции, которая имеет четыре максимума и три минимума, причем значение функции в точке минимума т2 больше значения функции в точке максимума Ж4.

Для максимума и минимума следует дать следующие определения.

Черт. 89

Черт. 90

1 п — целое положительное число.

1) Функция достигает максимума при х0 (в точке л;0), если при достаточно малом h

/(*.-*)</(*.) и /(*„ + *)</(*.),

т. е. если значение функции f(x0) больше всех значений функции в достаточно малой окрестности х0.

Черт. 91

2) Функция достигает минимума при х0 (в точке x0), если при достаточно малом h

/(*.-*)>/(*.) и /(*, + *)>/(*,),

т. е. если значение функции f(x0) меньше всех значений функции в достаточно малой окрестности xQ.

Необходимо указать учащимся, что если функция монотонно возрастает или монотонно убывает во всей области задания, то функция не достигает ни максимума, ни минимума.

Следует обратить внимание учащихся, что точка максимума есть точка, в которой функция из возрастающей становится убывающей, а точка минимума — в которой функция из убывающей становится возрастающей. Это положение следует иллюстрировать на графике функции.

Для того чтобы учащиеся усвоили понятие о максимуме и минимуме, полезно решить несколько задач следующего вида.

Пример 1. Определить, достигает ли функция у = х* — 3x4-2 при х=\\ X =1,5; х = 2 максимума или минимума.

Решение. Возьмем х=1 и дадим приращение А^>0, где h достаточно мало. Найдем /(1) = 0.

т. е. /(1) не больше (не меньше) всех окрестных значений функции, следовательно, при х=1 функция не имеет ни максимума, ни минимума.

При х=1,5 /(1,5) = (1,5)* — 3(1,5) + 2 = — 0,25.

Дадим X значения 1,5 — h и 1,5-f-А, где h достаточно мало.

т. е. /(1,5) меньше всех окрестных значений функции, следовательно, при л: =1,5 функция f(x) имеет минимум.

Дадим X значения 2; 2*—А; 2 +А, где А достаточно мало, т. е. при х = 2 функция не достигает ни максимума, ни минимума.

Пример 2. Определить, достигает ли максимума или минимума функция у = sin 2х в точках: х=~, х = — ~ .

Решение. При

Дадим X достаточно малое приращение A>0. Тогда

но cos2A<4, следовательно,

т. е. при х = -V функция достигает максимума.

Отсюда

т. е. при х = —£- функция достигает минимума.

Вопрос о нахождении точек, в которых функция достигает максимума или минимума, требует знания производной. В некоторых случаях элементарными способами он может быть разрешен; ниже будет приведено несколько функций, для которых легко найти простыми способами максимум и минимум.

§ 23. Обратная функция.

Понятие об обратной функции с трудом усваивается учащимися, и нередко наблюдаются неверные представления о ней. Кроме того, относительно существования обратной функции в математике существует несколько различных точек зрения, что в свою очередь вызывает различные системы изложения.

Приведем несколько основных положений, предназначенных главным образом для самого учителя.

Пусть для некоторой области G значения х задана однозначная функция, уравнение которой y=f(x).

Обозначим область значений у через G'. В силу однозначности функции у=f(x) каждому значению хй G G будет соответствовать вполне определенное значение у0 из области G', причем у0 определится из равенства yQ=f(x0).

Решим теперь обратную задачу: возьмем какое-нибудь значение у о из области G' и найдем соответствующее значение х$ из области G. Для нахождения xQ придется решить уравнение y0=f(x0) относительно лг0, т. е. найти х0 = <?(у0).

Возможны два случая:

1) каждому значению у0 соответствует одно единственное, вполне определенное значение х0;

2) каждому значению у0 соответствуют два или более значений лг0.

Первый случай будет иметь место, когда функция х = <?(у) будет однозначной.

Второй случай будет иметь место, когда функция л: = <р(у) будет многозначной.

Функция х = у(у) называется функцией обратной по отношению функции y = f(x), которую иногда называют прямой.

Существуют две точки зрения:

1) функция х = у(у) называется обратной функции y—f(x) независимо от того, является ли функция х = у(у) однозначной или многозначной.

2) функция х = у(у) называется обратной функции y=f(x) только в том случае, когда х = у{у) есть однозначная функция.

В данном случае, для того чтобы допустить существование обратной функции, приходится рассматривать функцию y=f(x) не на всей области изменения значений аргумента, а только для части области.

Пример 1. Для функции

yz=f(x) = 2x— 1,

заданной для области значений х от —со... -f-oo, существует обратная функция х = --у-^, заданная для области — oo...-f-оо.

Пример 2. Дана функция у = х*% заданная для области —-со...-)- оо. Значения у принадлежат полусегменту 0... + оо.

Каждому значению у из 0... + оо соответствует не одно, а два значения х из — со... -j- со, например, для _у0 = 4 соответствуют два значения х: х'0 = 2 и х"0 = — 2.

По первой точке зрения обратная функция для функции у = х* существует и является двузначнэй функцией.

По второй точке зрения обратная функция у = х* не существует для всего промежутка —со...-[-со. Для существования обратной функции необходимо уменьшить область изменения х и взять 0... + ОО, тогда х=-\- -/у, или —со...О, тогда х —

Пример 3. у = sinх; —оо...х... со.

Данная функция у = sin х есть однозначная функция.

Как известно, —1 ^sinx^-}-1.

Обратная функция A: = Arcsin_y будет многозначной.

По второй точке зрения у = sin х не имеет обратной функции. Для того чтобы существовала обратная функция, разобьем промежуток изменения х на части и ограничимся сегментами

[я тс "I Г тс Зтс ~2> 2J:[T' 2J-"

В тригонометрии обычно сегмент £—~, yj называют главным значением обратной функции у = sin х.

Обе точки зрения относительно существования обратной функции имеют равное право на существование. Учителю необходимо выбрать одну из них и придерживаться ее в течение всего курса элементарной математики.

Легко графически показать, когда обратная функция является многозначной. Как известно, в случае однозначной функции прямая, параллельная оси OY, пересекает график функции в одной точке, для многозначной функции — в двух и более точках.

Если прямая, параллельная оси ОХ, пересекает график функции в двух или более точках, то обратная функция по первой точке зрения будет многозначной, по второй точке зрения не существует. В этом случае, для того чтобы существовала обратная функция, необходимо выделить такой промежуток, чтобы прямая, параллельная оси ОХ, пересекала бы график в одной точке. Например, прямая, параллельная оси ОХ, пересекает график функции у = ах -\-Ъ в одной точке. Следовательно, существует обратная функция для всего промежутка.

Если взять функцию у = х%, то прямая, параллельная оси ОХ, пересечет график данной функции в двух точках; обратная функция есть функция многозначная. По второй точке зрения, для того чтобы существовала обратная функция, необходимо

Черт. 92

Черт. 93

принять за область изменения х такой промежуток, чтобы прямая, параллельная оси ОХ, пересекала бы график функции в одной точке.

Для у = $\ъх обратная функция будет многозначной. Для того чтобы обратная функция была однозначной, выберем промежуток, например

[1С 1Z "I — "2 ' TJ-

Заметим, что обратная функция будет однозначной, если прямая функция на всем промежутке задания будет монотонной.

Таким образом, чтобы по начерченному графику прямой функции y=f(x) найти значение обратной функции для какого-нибудь значения у0, достаточно отложить значение у0 на оси OY, провести прямую, параллельную оси ОХ, и определить абсциссу точки пересечения.

Обычно для обратной функции принято, так же как и для прямой функции, аргумент обозначать через х, а зависимую переменную через у, т. е. соответствующее уравнение обратной функции выражать не в виде х = у{у), а в виде у = ср (х). Это обстоятельство затрудняет учащихся, и учителю следует остановиться на нем подробнее.

Легко показать, что график прямой функции y=f(x) и график обратной функции у = (р(х) будут симметричны относительно биссектрисы нормального координатного угла. Действительно, возьмем точку M на графике прямой функции; координаты этой точки обозначим через х0, у0, т. е. ON=x0; NM=y0.

Из точки M опустим перпендикуляр на биссектрису нормального координатного угла и продолжим его на расстояние

кмх=мк.

Покажем, что точка М\ будет принадлежать графику обратной функции. Соединим точки M и Мх с началом координат.

Черт. 94

Черт. 95

д ОМК= Л ОКМ\ по двум сторонам; откуда ОМ, = ОМ и Z ЛЮАГ = Z КОМ, = а.

Тогда, следовательно,

т. е. координаты точки Afi будут = ОЛ^ =j/; = NXMi = л:. Отсюда график кривой, симметричной данной кривой относительно биссектрисы нормального координатного угла, будет графиком обратной функции, так как абсциссы ее равны ординатам прямой, а ординаты — абсциссам прямой функции.

Таким образом, график обратной функции является зеркальным отображением графика прямой функции относительно биссектрисы нормального координатного угла. Легко доказать и обратную теорему.

Полезно заставить учащихся проделать ряд упражнений на построение графика обратной функции, например:

Пример 1. Построить график обратной функции для функции у = 2х— 1.

Черт. 96а Черт. 966

Пример 2. Построить график обратной функции для функции у = х2.

§ 24. Построение графиков функций.

Построению графиков функций необходимо в школе уделить достаточное внимание.

Обычно в школе строят графики по точкам, что в некоторых случаях несколько громоздко и неудобно. В связи с введением политехнического обучения необходимо познакомить учащихся с приемами построения графиков, применяемых в технике.

Мы считаем, что черчение графиков в основном должно происходить на уроках черчения, причем обязательно должно быть дано математическое обоснование.

Мы полагаем, что учащиеся должны уметь по уравнениям

вычертить графики прямой линии, окружности, параболы, эллипса, гиперболы.

Если в школе имеется математический кружок или кружок по черчению, то на них полезно познакомить учащихся с выводом уравнения и построения графика следующих кривых: циклоиды, эпи- и гипоциклоиды, астроиды, циссоиды, овала, спиралей и т. д.

Желательно, чтобы все чертежи выполнялись тушью, на специально чертежной бумаге при соблюдении всех требований, предъявляемых к чертежу. Покажем, как можно построить график функции у = =ах2-\-Ьх-\-с,если известен график функции у=ах2.

Пусть дана прямоугольная система координат и некоторая точка М{х,у). Не изменяя направления осей координат, перенесем начало координат в точку Où координаты этой точки обозначим через а и р.

Черт. 97

Координаты точки M в новой системе координат обозначим через хх и ух. Тогда

Подставим значение х и у в уравнение

Выберем аи^ так, чтобы

Отсюда легко найти значение

Тогда данное уравнение примет вид:

т. е. уравнение у = ах2 Ъх -f-с представляет параболу, вершина которой находится в точке, абсцисса которой—^,

Ь% — Аас

а ордината--щ—.

Поэтому для построения графика параболы у — ах%-\-Ьх-\-с следует принять за вершину параболы точку ( — --g—1 и построить параболу у = ах2 по одному из известных спосо-

бов. Построение графиков парабол у = ах4 bx\ у = а(х — Ь)\ у — ах*-\-с получаются как частные случаи. Для парабол у = ах2 -\- Ьх\

у = а(х — ЬУ;

у = ах*-\- с;

координаты вершины соответственно будут х0 = —х-, у = — ;

§ 25. Максимум и минимум некоторых функций.

После того как будет пройдена функция у = ах* -\-bx-\-c и функция у = , следует рассмотреть несколько простейших функций и решить несколько задач на нахождение максимума и минимума; эти задачи не только позволят лучше усвоить выведенные формулы, но в некоторых случаях покажут применение математики к решению практических задач.

Данный материал можно отнести на кружковые занятия.

Функция У — ^. была рассмотрена в § 20. Здесь мы обратим внимание на непрерывность функции и на то, что данная функция не имеет экстремума.

Область изменения аргумента — оо... 0... -j- оо; при х = 0 функция не определена (не задана).

Область изменения функции при а]>0 0... — со; -|-оо...0; а<0 O... + оо; — оо...0.

Функция для всех значений х, кроме х — 0, непрерывна. Действительно пусть 0 <^ xt < х.2:

когда Дх-*0, то Ау->0, т. е. функция непрерывна в каждой точке. Функция убывает, так как приращение функции отрицательно.

Пусть Xi<^x2<^0t тогда

функция непрерывна и убывает.

Так как функция все время убывает (возрастает), то она не имеет экстремума. График функции будет:

при а>0 при а<[0

Максимум и минимум квадратичной функции.

1. Возьмем функцию у = ах* -\-bx-\- с. Преобразуем правую часть:

Пусть а^>0. Первое слагаемое всегда положительное или равно 0. Следовательно, у будет иметь наименьшее значение,

когда первое слагаемое будет равно 0, когда х0 -f- ~ = 0, т. е.

при х0 = — £.

Легко показать, что при данном значении х0 значение функции будет меньше всех окрестных значений функции.

Возьмем хх = — ^- — А, где h достаточно мало; h^>0.

Обозначим

Возьмем

т. е.

Следовательно, функция при х0 = — я- достигает минимума

Пусть а<[0. Так как первое слагаемое отрицательно или равно 0, то функция достигнет наибольшего значения, когда

xo + é==0 или когда *o = — 55".

Покажем, что при х0 =— я-г функция действительно достигает максимума.

При хх = х0— h имеем:

следовательно, f(x0) = A, где х0 = — больше всех окрестных значении, т. е. при х0 = —^ функция достигает максимума.

Легко показать, что при любом отличном от х0 значении аргумента функция не достигает ни максимума, ни минимума. Пример. Пусть у = х* + 6* + 7.

Так как коэффициент при х* положителен, то функция достигает минимума при х0 = — .т~ =— 2" = — 3.

2. Функция у = ах-\-^.

Область изменения аргумента — оо.. 0... -f - оо. Область изменения функции

1) если а>0 и 6>0 —со... ± оо... -|- со ;

2) если а<^0 и £<0 + оо.. .±00... — со. Случай, когда а и b разных знаков, рассматривать не будем. Легко убедиться, что данная функция будет непрерывна для

всякого значения х, кроме х = 0. Пусть а>0 и £>0. Найдем максимум и минимум функции. Пусть х^>0. Прибавим и отнимем 2 \/ab:

у ^2 У ab при всяком х^>0\ минимум функции будет, когда /ал; — 1/ — = 0, или ах = ~* тогда

Итак, минимум функции будет умш = 2 У ab при х^>0. Найдем теперь экстремум функции при х<С.О. Заменим х через —хг:

Выражение в скобках достигает наименьшего значения при х' = -|-|/^А. поэтому функция достигает наибольшего значения при отрицательном х = — I/ —. График данной функции будет

Черт. 99

Учащиеся сами могут рассмотреть случай, когда а<^0 и *<0.

Пример 1. Разложить данное положительное число а на два множителя так, чтобы их сумма была наименьшей.

Решение,

Пример 2. Из всех прямоугольников одной площади найти тот, у которого периметр наименьший. Решение. Р=х-\-у\ S = xy\

3. Функция;; = х /а* — л;2, где а Ф 0.

Область задания функции — а...-\-а. _

Преобразуя уравнения, получим у = \/а*х* — xk. Сначала рассмотрим функцию для промежутка 0 ... + а. Функция у= /а2X* — л:4 достигает одновременно максимума с функцией z = aLxCL — л:4.

Положим x* = t, тогда z = aH — t2.

Квадратичная функция г достигает максимума (коэффициент при t% отрицателен) при t=1ym

Но t = x2, следовательно, z достигает максимума при

Таким образом функция у=/а*х* — хк имеет максимум при x = -j=. Значение функции в данной точке будет

Так как функция_у = л; /а2— х* нечетная, то если при х = — рт= функция достигает максимума, прилг= — ^= функция достигает минимума, причем учш = — у.

График функции у = х /а2 — х* имеет вид

Черт. 100

Примечание. Аналогично может быть найден максимум и минимум функции

Данная функция достигает одновременно максимума и минимума с функцией

Задача 1. Разложить данное положительное число а на два положительных слагаемых, приведение которых было бы наибольшим.

Решение. Одно слагаемое обозначим через х, тогда второе будет а — X, следовательно,

у = х(а — х) = ах — лЛ

Данная функция достигает максимума при х = — z5=-f"»

Задача 2. Имеется проволока длиною /. Требуется согнуть ее так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий наибольшую площадь.

Решение. Обозначим сторону прямоугольника через х и у:

Но

следовательно,

Черт. 101

Данная квадратичная функция достигает максимума при b I ~ I I

Если х = -£> то y = ~t т. е. прямоугольник есть квадрат.

Задача 3. Из имеющихся досок можно построить забор длиною в 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны заводскую стену.

Решение.

Максимум будет при

Черт. 102

Задача 4. Дан квадрат ABCD. От его вершин отложены равные отрезки Аа, Bb, Ce, Ddt и точки abed соединены прямыми. При каком значении Аа площадь квадрата abed окажется наименьшей?

Решение. Обозначим сторону квадрата через /, длину отрезка Аа через х.

Площадь квадрата abed будет

Функция достигает минимума при х = — в данном случае при ^ = —Z5T2 = T-

Задача 5. В данный конус вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Решение. Пусть радиус основания цилиндра г, высота цилиндра А, радиус основания конуса R и высота конуса Н.

Боковая поверхность цилиндра

откуда

следовательно,

Черт. 104

Максимум функции S будет при

Задача 6. В A ABC провести прямую ab, параллельную основанию AB, так, чтобы площадь прямоугольника abed оказалась наибольшей.

Решение. Из точки С опустим перпендикуляр CD на основание. Площадь прямоугольника будет

Положим

Тогда

откуда

следовательно,

Черт. 105

Максимум площади прямоугольника будет при следовательно,

Задача 7. Из точки Л и .в по указанным стрелками направлениям выходят одновременно два парохода со скоростями 20 и 16 км. Через сколько времени расстояние между ними окажется наименьшим, если AB = 60 км?

Решение. Обозначим время через t. Тогда

Функция j/= vf(x) достигает экстремума в той точке, в которой достигает экстремума подкоренное выражение.

Обозначим подкоренное выражение через z.

Черт. 106

Задача 8. В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади.

Решение. Положим AD = x, тогда

Положим x2 = z. Очевидно, что S = y 4/?2г—z2 достигает максимума, при z = — zrj = 2/?2 или при X2 = 2/?2, т. е. при X = /2/?. _

Но тогда AD = R /2; CD = /4/?2 — 2/?2 = = /? /2, т. е. четырехугольник наибольшей площади будет квадрат.

Задача 9. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Решение. Обозначим радиус шара через /?, радиус основания цилиндра — через г, высоту цилиндра через 2А.

Черт. 107

Черт. 108

Наибольшее значение поверхности цилиндра будет при

Осевое сечение будет квадрат.

§ 26. Показательная функция.

Показательная функция и логарифмы являются последней темой по алгебре в IX классе и на нее по программе 1966 г. отводится 36 часов.

Показательная и логарифмическая функция имеют не только большое теоретическое значение, но широко используются в практических вопросах. Учащиеся впервые знакомятся с двумя трансцендентными функциями, обладающими весьма важными свойствами, которые постоянно встречаются при изучении высшей математики. О практическом приложении логарифмов уже не приходится говорить. Поэтому данной теме следует уделить должное внимание.

В методической литературе встречается следующий подход к изложению показательной функции.

Берется какое-нибудь положительное число а (например 2) и последовательно возводится в степень 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.

В результате получается следующая таблица:

2° =1

21 =2

2* =4

23 =8

24 =16

25 =32

26 =64

27 = 128

28 =256

29 =512

210== 1024

211 = 2048

212 = 4096

213 = 8192

214= 16384

215=32768

216 = 65536

и т. д.

Пусть требуется перемножить два каких-нибудь числа, являющихся степенью при основании 2, например, 64 на 512. Пользуясь данной таблицей, имеем:

64 . 512 = 2« - 29 = 213 = 32 768.

Если требуется разделить 16 384 на 256, то на основании таблицы имеем:

16 384:256 = 214: 28 = 26 = 64. Если требуется возвысить 16 в куб, то: 163 = (2'<)3 = 2" = 4096,

Аналогично поступаем, когда приходится извлекать корень, например, У4096.

В этом случае имеем: V4096 = = 23 == 8.

Таким образом, когда имеется таблица, то умножение заменяется сложением показателей степеней, деление — вычитанием, возвышение в степень — умножением, извлечение корня — делением, т. е. порядок действий уменьшается на единицу.

До сих пор показателю степени давались целые положительные значения. Давая показателю степени целые отрицательные значения, получим:

Естественно возникает вопрос, нельзя ли дополнить данную таблицу, давая показателю степени дробные значения. Очевидно, что в последнем случае будут получаться только приближенные значения степени. Действительно,

Полезно показать учащимся, что всякое число В, не являющееся степенью числа а, в данном случае 2, можно представить в виде степени числа 2 с иррациональным показателем. Пусть, например, дано число 5. Требуется представить 5 в виде степени 2, т. е.,

Ясно, что X не может быть целым числом. Действительно,

если

Предположим, что х является рациональной дробью (р, q натуральные числа, причем (/?, q)=l).

откуда

Данное равенство невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая часть не делится на 2.

В учебниках алгебры можно найти доказательство, что х— иррациональное число.

После этого можно дать определение показательной функции.

Определение. Показательной функцией от независимого переменного X называется выражение ах, где а данное число.

С учащимися устанавливаются следующие свойства показательной функции.

1. Если а^>0, то функция у = ах определена для любых действительных значений х, т. е. область изменения х будет — оо...-|-оо. При а=1 показательная функция имеет постоянное значение, равное 1.

2. Если а<]0, то функция у = ах определена не для всех значений х; она определена:

1) для всех целых положительных и отрицательных значений х, а также для л; = 0;

2) для рациональных значений x = ~t где q нечетное число, например:

Для значений х = ^, где р нечетное число, a q четное число, функция в области действительных чисел не определена для всех чисел, например:

Так как обычно в элементарном курсе математики рассматриваются функции, заданные для всех действительных значений аргумента, то функция у = ах, где а<^0, в школе не изучается.

Если а = 0, то функция у = ах определена только для положительных значений х\ при х = 0 и х<^0 выражение 0* не имеет смысла.

Если преподаватель полагает, что изучение показательной функции следует начинать с геометрической иллюстрации, то возможен следующий порядок изложения.

Возьмем показательную функцию для какого-нибудь частного случая, например, функцию у = 2х.

Составим таблицу значений функции для различных целых значений аргумента и найдем соответствующие приращения функции (Дл;= 1).

Взяв систему координат и построив соответствующие точки, получим точечный график показательной функции у = 2х (черт. 109).

Так как функция у = 2х имеет смысл при любом значении аргумента, то давая х промежуточные значения, получим новые

точки. Проведя через данные точки кривую линию, получим график показательной функции у = 2х. Легко обнаружить следующие свойства графика показательной функции у = 2х:

1) Область изменения аргумента —oo...-f-со.

2) Область изменения функции 0...-(" °°» т- е- точки графика показательной функции расположены над осью ОХ.

3) Показательная функция есть функция возрастающая, так как приращение функции всегда положительно.

4) Равным приращениям аргумента соответствуют неравные приращения функции: по мере возрастания х приращение функции увеличивается.

5) Показательная функция возрастает неограниченно.

6) График показательной функции не пересекает ось ОХ. Следует построить с учащимися графики следующих пока-

Черт. 109

зательных функций при а = 3; а = у; # = у и установить, какие свойства функции сохраняются, какие изменяются.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что если a>i^>a^> 1, то график функции у = ах при х^>0 круче поднимается, чем график функции у = ах (черт. 111).

Если а1<^а<^1, то график функции у = ах при х^>0 круче приближается к оси ОХ, чем график функции j/ = a* (черт. 110).

Построив на одном чертеже графики функций у = а* и у == ("5") у например, при а = ~, цолучим, что графики данных функций будут симметричны относительно оси OY.

Дадим X два противоположных по знаку значения, например, 2 и —2.

Тогда

т. е.

Черт. 112

Равным значениям абсциссы по абсолютной величине, но противоположным по знаку, соответствуют одинаковые значения функций, что и является условием симметричности относительно оси OY.

После построения графиков показательной функции для различных значений а полезно построить все графики на одном

чертеже (черт. 113), например, графики функций:

Черт. 113

Учащиеся после рассмотрения графиков данных функций приходят к следующим выводам,

1) Все графики функций у = ах> независимо от значений а, лишь бы #>0, имеют одну общую точку (0, 1), т. е. пересекают ось О Y на расстоянии от начала координат. В частности, при а= 1 график показательной функции представляет прямую, параллельную оси ОХ на расстоянии -(-1.

2) Независимо от значений а графики показательной функции расположены над осью ОХ, т. е. показательная функция принимает только положительные значения.

3) Если а^>1, то функция у = а* возрастает от 0 до -(-со, причем чем больше значение а, тем круче поднимается кривая, т. е. быстрее растут значения ординат.

Если 0<а<1, то с возрастанием аргумента функция убывает; соответствующая область изменения функции будет -f-оэ...О. Чем меньше а, тем убывание будет происходить быстрее.

Непосредственно из чертежа учащиеся убеждаются, что для одинаковых промежутков изменения аргумента возрастание или убывание функции неодинаково.

4) Функция у = ах есть функция однозначная. Действительно, всякая прямая, параллельная оси OY, пересекает график функции только в одной точке.

В хорошо подготовленных классах все свойства показательной функции могут быть доказаны аналитически.

Теорема 1. Если Нтл;Л = 0, то \\тахп=\ (а^О).1

Доказательство. Показатель степени х может приближаться к нулю, принимая значения вида х = --\ х = ^1 иррациональные значения.

Докажем теорему для всех трех данных случаев. 1) X принимает значения

Предположим, что а>1. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность есть геометрическая прогрессия. Сумма п членов будет равна

Каждое слагаемое в левой части, за исключением первого, больше 1. Заменяя все слагаемые через 1, получим:

или

1 Теорему 1 учитель может, если найдет нужным, не доказывать.

При достаточно большом п правая часть неравенства может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа е, т. е. ап — 1 <[е; n^>N. Тогда

Отсюда следует, что lim оя = 1, что и требовалось доказать.

Пусть а<1. Положим а = у> где Ь^>\. Тогда

2) X принимает положительные рациональные значения ~. Так как lim—= 0, то — <Ге.

Всегда можно выбрать такое натуральное число М, что

Тогда откуда или

По теореме о сжатой переменной

ибо

Теорему легко доказать, когда а<^\. В этом случае следует положить а = -J, где b > 1.

3) X принимает иррациональные значения.

Согласно определению,

где Ak есть приближенное значение х с недостатком. Ак стремится к 0, так как Нтл; = 0. Следовательно,

откуда

так как и

Примечание. Учащиеся сами легко докажут, когда х принимает отрицательные значения.

Обратная теорема. Если lima*=l, где а>0, то lim;c = 0.

л:->0

Доказательство. Предположим противное, т. е.

Тогда

где а стремится к нулю. Следовательно,

Отсюда

но А Ф О, следовательно, данное равенство существовать не может.

Теорема 2. Функция у = ах при а>1 есть функция возрастающая, при 0 <d a <d 1—функция убывающая.

При а=1 функцию у = ах можно отнести либо к возрастающей, либо к убывающей.

Доказательство.

1) а>1.

Пусть X принимает положительные значения. Возьмем два значения х:

Тогда

Но а*!>1 и или ах*~х*—1>0, следовательно,

a*2_a*i>0,

откуда

Пусть л: принимает отрицательные значения:

следовательно, откуда

2) Если 0<#<Ч> то положим я = у> где Если О, то

но

следовательно, или

т. е. функция у = ах при а<4 есть функция убывающая.

Теорема 3.

Доказательство. Пусть х принимает целые положительные значения. Тогда при а>1 имеем:

или или

Но (а—1)л+1 стремится к бесконечности при бесконечном возрастании я, следовательно,

lim а* = + со при а>1.

Если а<^1, то положим а = у, где Тогда ап = -^гТ, откуда следует, что

что и требовалось доказать.

Пусть X принимает отрицательные значения и стремится к —оо, тогда

ибо знаменатель неограниченно возрастает.

ибо знаменатель стремится к нулю.

Пусть X принимает рациональные положительные значения и о>1.

Так как л; стремится к -f- оо, то всегда можно найти для каждого X два таких натуральных числа N и <V-|-1> что

/V<*</V+l,

откуда

aN<a*<a"+l.

Но lim а*^-}-00 (заметим, что когда х неограниченно возрастает, то неограниченно возрастает и /V), следовательно, lim а* = + оо, что и требовалось доказать.

Л-_> -|_оо

Легко доказать, что lim а* = 0, когда а<4. В случае, когда X принимает отрицательные значения, учащиеся могут доказать теорему сами.

Теорема 4. Непрерывность показательной функции.

lim ах = а*.

Доказательство. Найдем приращение функции для аиа-f ах. ду = aa+Av — аа = аа (а** — 1),

но

lim аА*=1,

следовательно, Ду->0, когда Дл'->0, т. е.

или или

что и требовалось доказать.

§ 27. Показательные уравнения.

Показательными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит показателем степени.

Решение показательных уравнений основано на следующих принципах.

1) Если основания двух степеней равны, причем основания а ФО и а тМ, то показатели степеней равны, т. е.

если ат = ап, то т = п.

Действительно, предположим, что тфп, т.е. п = т-\-с9 где с число, отличное от нуля. Тогда

am=am+c,

или

ат = ат • ас. Разделим обе части равенства на ат (ат Ф 0):

1=ас.

Но любая степень числа, если основание не равно единице и показатель степени не равен нулю, не может равняться единице. Следовательно, предположение, что тф п, приводит к противоречию.

Учащиеся постоянно забывают, что основание степени не должно равняться ни единице, ни нулю. Поэтому они часто теряют корни уравнения.

2) Если у равных степеней равны показатели степени (т Ф 0), то равны и основания степеней, т. е.

если ат = Ьт, то а — Ь. Разделим обе части равенства на Ьт\

или

Но всякое число, отличное от единицы, будучи возведено в любую степень (т Ф 0), не может равняться единице, следовательно, а не может не быть равным Ь.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что тфО.

При т = 0 возможно равенство a° = ô°, где афЬ.

Прежде чем приступить к решению, надо, если возможно, установить область допустимых значений.

Приведем основные типы показательных уравнений.

Правая и левая части уравнения содержат по одному члену. Основная идея решения: преобразуем левую и правую части уравнения так, чтобы получились одинаковые основания степени.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

откуда

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

откуда

X = 9 (л; = 1 не удовлетворяет уравнению).

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

откуда

I. Метод замены переменной. Сущность этого метода уже известна учащимся из предыдущего. Пример. Решить уравнение

Решение. Положим 7Л* = z. Тогда

II. Показательные уравнения вида

арх+т _j_ bqx+n _ f

Предварительно следует преобразовать уравнение так, чтобы в показатели степеней не входили бы числовые слагаемые или числовые множители. В некоторых случаях необходимо ввести новые переменные.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение так, чтобы уничтожить числовые слагаемые в показателях степеней

Преобразуем так, чтобы получились одинаковые основания степени

Положим тогда

III. Метод группировки.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

отсюда

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

IV. Решение систем показательных уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение.

откуда

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Возведем второе уравнение в степень j/.

или или

откуда у = 5; х = 2.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Возведем обе части первого уравнения в степень, равную 2у, а обе части второго уравнения в степень у.

отсюда

Если уФ 1, то 2х = 3у, откуда x = -jy.

Подставляя значение х во второе уравнение, получим

откуда

у = 0, и X = О не удовлетворяют уравнению.

Решение системы будет х=-^1 У — ~£ и * = 1; J> = 1.

Пример 4. Решить систему

Решение. Полагаем Тогда

откуда и т. д.

Пример 5. Решить систему

Решение. Положим Тогда

и т. д.

V. Графический способ решения уравнений.

Пример 1. Решить уравнение 2х = 2х.

Решение. Построим график показательной функции у = 2х и график прямой у = 2х. Абсциссы точек пересечения данных графиков и будут корнями уравнения (черт. 114).

Заметим, что данное уравнение методом элементарной алгебры не может быть решено.

Пример 2. Решить графическим способом уравнение

§ 28. Логарифмы и логарифмическая функция.

В методической литературе существует два приема изложения логарифмов:

1) пусть даны две прогрессии: геометрическая, например, со знаменателем 2 и арифметическая с разностью 1.

Между членами данных прогрессий легко установить следующую зависимость: если возвысить 2 в степень, равную значению какого-нибудь члена арифметической прогрессии, то получится соответствующий член геометрической прогрессии, например,

± = 2~3; 4 = 22; 16 = 24

и вообще ип = 2Лп

Показатель степени, в которую нужно возвысить основание, чтобы получить число, называется логарифмом числа при данном основании.

В математике принята следующая запись:

lg2y = — 3, что значит -g- = 2"3; lg216 = 4 „ „ 16 = 24.

Если взято любое число а>0, то lgaN=b обозначает N=a*.

Данный способ изложения встречается в более старых учебниках и в настоящее время выходит из употребления.

Примечание. Логарифм — слово греческое и состоит из двух слов: logos — отношение, arithmos — число.

Слово „логарифм", таким образом, в буквальном переводе обозначает число, измеряющее отношение.

2) Пусть дано уравнение

ax=N, (1)

где а>0 и N>0 (случай, когда а<0 или .V<0, будет рассмотрен отдельно).

В более подробных курсах элементарной математики доказывается, что уравнение (1) при данных ограничениях имеет решение и притом только одно.

Корень данного уравнения принято обозначать через

x = \gaN (2)

и называть логарифмом числа N при основании а.

После этого следует дать определение логарифма как показателя степени, в которую нужно возвысить основание а, чтобы получить число N.

Подставляя в равенство ax = N (1) вместо х его обозначение, получим alga;V=iV.

Иногда учащиеся пытаются доказать данное равенство, чаще всего логарифмируя обе части равенства, что показывает непонимание определения логарифма.

Необходимо указать учащимся, что из определения логарифма следует, что логарифма отрицательных чисел при положительном основании не существует.

Действительно, если \gaN=x, то

Возводя положительное число в любую степень, всегда получим положительное число; следовательно, /V не может быть отрицательным.

При отрицательном основании в области действительных чисел логарифмы некоторых положительных и отрицательных чисел существуют, например,

но lg_2 (— 4) не существует.

В силу того, что при отрицательном основании логарифмы не для всех чисел существуют, логарифмы с отрицательным основанием в элементарной математике не рассматриваются.

Следует с учащимися решить достаточное число примеров и не переходить к дальнейшему, пока основная идея логарифмов не будет усвоена.

Кроме примеров вида: найти х, если

следует решить и такие примеры. Найти X, если:

Решение. . Решение. Решение.

Решение.

Решение.

6) x = al+]*ab. Ответ, ab. 7)x = al-]*ab. Ответ, -j. 8)* = а2,*Л Ответ, b*.

9)x = a?]ga\ Ответ. /~Ь. 10) x = az~^ab. Ответ, y.

После этого нужно обратить внимание учащихся на то, что логарифм основания равен единице и логарифм единицы равен нулю.

Действительно, \gaa = x\ ах = а\ х=\.

lgal=*; а*=1; х = 0.

Следует указать учащимся, что логарифм числа, равного какой-нибудь степени основания, равен показателю степени, т. е.

\gaam = m.

Действительно, обозначим \gaam через х. Тогда ат = ах, откуда х = т.

Как уже было указано, за основание логарифмов может быть взято любое положительное число Ф 1, Особенное значение получили логарифмы, у которых за основание взято число 10. Такие логарифмы получили название десятичных логарифмов. Обычно основание у десятичных логарифмов не пишется, например, \gN=x обозначает, что N= 10х.

Полезно, чтобы учащиеся сами нашли бы десятичные логарифмы следующих чисел: щ;-^; 1; 10; 100; 1000 и т. д. и вообще 10т.

Основные теоремы о логарифмах могут быть доказаны на основании определения логарифма.

1) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

ig.W.=ig.iv1+igeivi.

Доказательство. Согласно определению, имеем

следовательно, отсюда

2) Логарифм дроби равняется разности логарифмов числителя и знаменателя:

Доказательство. По определению

следовательно,

откуда

Следствие. Если

или

Эта формула во многих случаях позволяет упростить вычисления.

3) Логарифм степени равняется показателю степени, умноженному на логарифм основания:

Доказательство. Пусть тип целые положительные числа. По определению имеем

но

следовательно, откуда

Данную теорему легко доказать, когда одно или оба числа тип отрицательны или иррациональны.

Примечание. Если m = 1, то

т. е. логарифм корня равняется логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

Данные теоремы справедливы только в том случае, когда логарифм результата и логарифмы компонентов существуют, например

lg* (- 4) ( - 8) = lg, (- 4) + lg, (- 8).

Это равенство не имеет смысла, хотя lg2(—4)-(—8) существует.

Аналогично нельзя писать, что

lgio(-10)2 = 21g10(-10),

так как lgi0(— 10) не имеет смысла.

Хотя модуль перехода исключен из программы, все же полезно познакомить с ним учащихся на внеклассных занятиях. Вывод формулы для модуля перехода не представляет труда. Действительно,

Прологарифмируем обе части равенства при основании Ь:

откуда

Если iV=ô, то

или

На основные теоремы логарифмирования и модуль перехода, кроме примеров, приведенных в задачнике Ларичева, ч. II, можно рекомендовать следующие упражнения.

1) Как изменится разность \gaM — lgajV, если M и N заменить соответственно через М* и №?

Если вместо M и N подставить 2М и 2Ю

Ответ. Увеличится в 2 раза; останется без изменения.

2) При каких условиях верно равенство

\gax* = 2\gax \gax' = 2\gax*?

3) lga X2 = Ige 9. После преобразования получено 2 lg х = 2 lg 3, откуда л: = 3. Почему потерялся корень х — — 3?

4) Для какой области значений х имеет смысл lg^Ar и lga.v2? Ответ. & ... + оо;

— со.-f- со.

5) Для какой области значений х имеют смысл

Ответ. -f- оо; х... + со.

6) Найти х=100'^3. Ответ. x = (10'^3)2 = 3.

7) Дано lg 25 = а. Найти lg 2. Решение.

Ig2 = lg^=l-lg5=l-^lg52=l-4a-

8) Зная, что lg 64 = а, найти lg 32. Решение.

lg32=lgÇ=a-lg2 = a-lg(64)^=a-la=4a.

9) Зная, что lg 64 = а, найти lg у^25. Решение.

Igf^ = llg25 = |lg^-0 = i(2-lg4) и т. д.

10) Дано: lg 392 = а; lg 112 = ft. Найти lg 7 и lg 5. Решение.

a = lg392 = lg28.72 = 31g2 + 21g7 = 31g^ + 21g7 =

= 3 —31g 5 +21g 7; 2 lg 7 — 31g 5 = a — 3.

Аналогично можно найти еще одно уравнение lg 7 — 4 lg 5 = = ô — 4.

Решая данную систему, найдем lg 7 и lg б.

11) Доказать формулу \gakb = ^\gab.

12) Изменится ли логарифм числа, если число и основание возвысить в одну и ту же степень?

Решение.

13) Доказать, что

14) Доказать, что отношение не зависит от основания

логарифмов. Решение.

15) Доказать, что

16) Найти X, если lg., 7 • lg7 л: = 1. Ответ. х = 2.

17) Найти X, если lg43 • lg9 х= 1. Решение.

18) Найти X, если lg.27 je = lg3 8 -[- lg9 5. Решение.

следовательно,

После этого следует перейти к изучению логарифмической функции. Прежде всего следует дать определение логарифмической функции y = \ga X и указать, что функции

у=ах и y = lgax\ а>0

будут взаимно обратными функциями. Полезно рассмотреть какую-нибудь конкретную функцию, например, показательную и логарифмическую функцию при основании 2, и составить следующую таблицу:

Учащиеся сами сделают вывод, что данные функции суть взаимно обратные функции.

Так как графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы нормального координатного угла, то график логарифмической функции легко будет построить, когда известен соответствующий график показательной функции.

Например, построить график функции у=2* и y = \g.2x (черт. 115). Аналогично построить графики функций (черт. 116).

Черт. 115 Черт. 116

После рассмотрения нескольких графиков логарифмической функции при различных основаниях можно установить следующие свойства логарифмической функции.

1) Область задания S ... -j-co.

2) Область изменения функции: при а^>1 —оо ... -f-oo.

0<а<1 +°° ••• — °°-

3) При а>1 логарифмическая функция есть функция возрастающая.

При 0<[а<[1 логарифмическая функция есть функция убывающая.

4) Приращение логарифмической функции по мере возрастания X (Ал: — постоянно) происходит медленнее (а^>1).

5) Графики логарифмических функций при различных основаниях имеют общую точку (1, 0).

6) Если а>1, то логарифм чисел, меньших 1, отрицателен, а логарифм чисел, больших 1, положителен.

7) Если 0<^#<С1> то логарифм чисел, меньших единицы, положителен, а логарифм чисел, больших 1, отрицателен.

8) Логарифмическая функция есть функция однозначная.

9) Логарифмическая функция есть функция непрерывная. Свойства логарифмической функции могут быть доказаны аналитически.

1. Если х2^>хи то lgß*2>lga*i> еслиа>1,т.е. приа>1 логарифмическая функция есть функция возрастающая; если *2>*ь то lgaх2<\gaxt при 0<а<1, т. е. логарифмическая функция есть функция убывающая.

Доказательство. 1) а>1; если х2^>хи то lgax2^>\gaXi' Доказательство проведем способом от противного. Если х%^>хи то возможны три случая:

Докажем, что первые два случая невозможны. Возьмем равенство а = а.

Пусть \ga x2 = lgaXû возведем левую часть равенства в степень \gax2i а правую в степень \gaX{:

a]ëax2 = a]gaxt.

Тогда х2 = х1} что противоречит условию.

Предположим, что lga х2 <С lga Возведя левую часть равенства а = а в степень lga лга> а правую часть в степень lga хи получим

откуда х2<^хи что противоречит условию.

Следовательно, возможен только третий случай

lga *а> lga *i>

что и требовалось доказать.

2) При 0<а<1, если х2>хи то lge*e<lge*i-

Положим а= у &>1, ибо а<1.

Тогда

По доказанному

lg»*i>lg»*ii

или

— lgô a:2< — lgft xi; lga *9 < lga XU

что и требовалось доказать.

2. Если а>£>1, то lga*<Clgô*> если х^>1,

то lga*>lg&*, если 0<х<1,

т. е. логарифм числа при большем основании меньше логарифма того же числа при меньшем основании; если число больше единицы, логарифм числа, меньшего единицы, при большем основании больше логарифма того же числа при меньшем основании. Доказательство.

но

Пусть a>ô>l; 0<*<L

Возьмем х = —, тогда z будет больше 1.

По доказанному

или

откуда

что и требовалось доказать.

Примечание. Случай, когда

0<6<а<1,

учащиеся сами могут разобрать.

3. При а>1 функция y = \gax неограниченно возрастает при неограниченном возрастании аргумента при а<0 функция y = \gax неограниченно убывает при неограниченном возрастании аргумента

Доказательство. Пусть а>1. Каково бы ни было число М, всегда можно найти такое значение аргумента, что х^>ам. Тогда

а*а ^>а ,

откуда

т. е. \gax> начиная с некоторого значения аргумента, может быть сделан больше любого наперед заданного числа, а это значит, что

следовательно,

Пусть X стремится к 0, тогда — стремится к -[-со.

Если а<4, то положим Тогда

Аналогично находим

IV. Непрерывность логарифмической функции вытекает из свойства непрерывности показательной функции.

Если свойства показательной функции были выведены аналитически, то свойства логарифмической функции можно вывести, воспользовавшись тем, что логарифмическая функция есть функция, обратная показательной.

§ 29. Логарифмические уравнения.

Приведем наиболее типичные логарифмические уравнения. Прежде чем приступить к решению уравнения, необходимо, если возможно, установить область допустимых значений для каждого компонента, а затем и для всего уравнения.

При решении логарифмических уравнений часто приходится прибегать к потенцированию, которое основано на следующем принципе: если логарифмы двух чисел при одном и том же основании равны, то равны и числа, т. е. если \gA = \gB, то А = В.

Некоторые учащиеся распространяют этот принцип на случай, когда дана сумма или разность двух логарифмов, и т. д., т. е. если дано, что lg А + lg В = lg С, то пишут А-\-В = С. Необходимо указать учащимся, что в этом случае они делают грубейшую математическую ошибку. Можно привести пример:

Igl0 + lgl00 = lgl000, но 10+100^ 1000.

1. Уравнения, где встречаются логарифмы от логарифмов. Метод решения — последовательное потенцирование.

Пример. Решить уравнение

Igfl lg&lgc* = 0.

Решение. Положим \gb\gcx—y>

тогда

откуда

или

Положим lgc X = z, тогда

откуда

или

следовательно,

2. В уравнение входит несколько логарифмов. Метод решения— преобразование каждой части уравнения или обеих частей, чтобы получилось равенство логарифмов двух выражений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Для lg 2х область допустимых значений

Кроме того, Ах—15^1 или хф\% следовательно, область допустимых значений будет

Преобразуем данное уравнение:

принадлежит области допустимых значений,

не принадлежит области допустимых значений,

следовательно, не является корнем.

Действительно,

не существует.

Пример 2. Решить уравнение

lg (За: — 11) + lg (x — 27) = 3.

Решение. Область допустимых значений для

т. е. область допустимых значений будет х^>27.

Постоянное число можно представить как логарифм некоторого числа (в данном случае логарифм 1000), следовательно,

откуда или

откуда

л: = 37 принадлежит области допустимых значений;

х =— -у не принадлежит области допустимых значений.

Пример 3. Решить уравнение

lg(2-*) + 21g(x-4) = lg(x+l)-3.

Решение.

lg (2 — х) область допустимых значений л:<С2; Щх—4) п п п *>4;

ig(*+i) » » п 1;

уравнение не имеет решения.

3. В уравнение входят логарифмы в различных степенях. Метод решения: введение новой переменной.

Пример. Решить уравнение

(lg2x)2-lg2*-2 = 0.

Решение. Область допустимых значений л;*>0. Положим \gtX = Z, тогда

откуда

следовательно,

4. Показательно-логарифмические уравнения. Обычно такие уравнения решаются логарифмированием обеих частей уравнения или преобразованием уравнения так, чтобы получились степени с одинаковым основанием.

Пример 1. Решить уравнение х1 + ]&*= 100.

Решение. Область допустимых значений х^>0. Прологарифмируем обе части уравнения

(1+Ig*)lg* = lgl00.

Положим lgx = z, тогда z*-\- z — 2 = 0.

Z\ — 1 î z% = — 2,

откуда

lgXi = l; lg*2 = —2, a;1 = 10; *2 = 0,01.

Пример 2. Решить уравнение

(0,4),g^+I=(6,25)2-1^8.

Решение. Область допустимых значений л;>0. Преобразуем данное уравнение так, чтобы основания степеней были бы одинаковы

или

отсюда

Положим

z = lgх\ z* — 6z-f-5 = 0; 2i = 5; z2=l, следовательно,

lg*i = 5; lgx2=l; Ar1==103; л:2 = 10.

Примечание. Полезными являются также задачи на логарифмические уравнения, в которых приходится повторять материал предыдущих классов.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений х^>0. Преобразуем правую часть уравнения

Следовательно,

Учащиеся обыкновенно забывают, что х = 1 является корнем данного уравнения. Если X Ф 1, то

или

Введя новую переменную и решая полученное квадратное уравнение, получим

откуда

Следовательно, корнями уравнения будут:

5. Системы логарифмических уравнений.

Для решения систем логарифмических уравнений нельзя указать общего метода; в некоторых случаях обе части уравнений приходится прологарифмировать, предварительно произведя некоторые преобразования, в других случаях приходится вводить новые переменные и т. д.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений будет

Рассмотрение случая, когда j/ = 0 и л; = 0, не входит в программу средней школы.

Одна система решений находится сразу: х=\ иу = 1. Прологарифмируем первое и второе уравнения

Так как хФ 1 и уФ 1, то можно разделить почленно данные уравнения

откуда

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Область допустимых значений для у>0, тогда и x>0.

Прологарифмируем оба уравнения

Введем обозначения \gx = a\ lgj/ = ô. Тогда

Решая данную систему уравнений, получим

откуда

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение аналогично.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Область допустимых значений

Преобразуем данные уравнения

Второе уравнение преобразуем на основании свойства пропорции

Получается система

откуда х = 9\у = 7. Отрицательные значения не удовлетворяют системе уравнений.

Пример 5. Решить систему

Решение. Область допустимых значений будет *>0; _У>0 и х>у,

т. е.

*>J>>0.

Преобразуем данное уравнение

или

Решение данной системы не представляет труда. Ответ. х = 7\ у = 3.

6. Графическое решение системы уравнений. Метод решения — строятся графики соответствующих функций, отыскивается точка пересечения данных графиков. Абсциссы точек пересечения и будут корнями данного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение \gx = x—1.

Решение.

Пример 2. Решить уравнение lg л: = 1—х.

Решение.

Черт. 118

§ 30. Десятичные логарифмы. Таблицы логарифмов.

Десятичные логарифмы достаточно подробно изложены в учебнике Киселева или в учебнике Фаддеева и Соминского.

Мы остановимся только на некоторых частных вопросах, наиболее затрудняющих учащихся.

Необходимо с учащимися разобрать:

1) логарифмы каких чисел являются рациональными, иррациональными числами;

2) дать правильное определение характеристики (целая часть логарифма) и мантиссы (дробная часть логарифма);

3) о числе единиц в характеристике числа, большего единицы;

4) о числе отрицательных единиц в логарифме числа, меньшего единицы;

5) о точности логарифмических таблиц и о точности вычислений при помощи их;

6) сущность линейного интерполирования.

Учащимся известно, что с увеличением числа увеличивается и логарифм, но не пропорционально. Делается следующее допущение: при малых изменениях чисел приращение логарифма прямо пропорционально приращению числа.

Геометрически это значит, что вместо дуги AB логарифмической кривой берется отрезок прямой, соединяющей точки А и В.

Линейное интерполирование можно показать на частном примере.

Требуется найти логарифм числа 3248.

Черт. 119

Ближайшие числа, логарифмы которых имеются в таблице, будут 3240 и 3250, причем

lg 3240 = 3,5105 lg 3250 —3,5119

Разделим отрезок CD на 10 равных частей (каждая часть будет равна единице).

Приращение числа СМ = 8 единиц. Логарифм числа 3248 будет:

lg 3248 = ML = MF-\-FL = \g 3240 + FL, где FL — приращение логарифма. Вместо отрезка FL возьмем отрезок FN. Из подобия Л ANF и Л ABE следует

откуда

следовательно,

Тогда

lg 3248 = lg 3240 + FN = 3,5105 -f 0,0011=3,5116.

После этого следует познакомить учащихся с поправками, данными в таблице логарифмов Брадиса.

Необходимо сказать учащимся, что отыскание промежуточных значений функции по двум ее соседним табличным значениям называется интерполированием.

Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками часто затрудняют учащихся. Прежде чем дать окончательное правило, необходимо решить подробно несколько примеров, чтобы учащиеся поняли сущность правила.

Мы считаем, что учащихся следует познакомить с дополнением логарифма, так как достигается некоторая экономия в вычислениях.

§ 31. Теория пределов.

Ни одна из глав курса элементарной математики не усваивается учащимися с таким трудом, как теория пределов. Причинами являются:

1) сложность данного вопроса по существу;

2) малое число часов, отводимых на теорию пределов;

3) слабое использование теории пределов и, следовательно, оторванность ее от остального курса;

4) недостаточная методическая разработка.

В настоящее время теория пределов имеет особое значение: она является той базой, на которой строится глубокое изучение функций и курса математического анализа. Кроме того, в связи с введением политехнического обучения теория пределов необходима для разрешения многих технических задач.

Заметим, что применение и правильное использование теории пределов может облегчить изложение некоторых вопросов элементарной математики и тем самым сэкономить время, в котором так нуждается наша школа.

До последнего времени, примерно до 1948 г., теория пределов относилась к курсу геометрии и использовалась главным образом для нахождения длины окружности, площади круга, поверхностей и объемов круглых тел. С 1949 г. теория пределов включена в курс алгебры.

По программе 1955 г. содержание темы „Теория пределов" следующее: Понятие о числовой последовательности. Понятие о пределе числовой последовательности. Основные теоремы о пределах. Существование предела ограниченной возрастающей числовой последовательности (без доказательства). Предел суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную.

В объяснительной записке указано: теоремы о пределах можно, в случае недостатка времени, только сформулировать и принять без доказательства. Не следует особенно углублять и расширять материал, но необходимо, чтобы введенные понятия были правильно усвоены учащимися, рассматриваемые свойства предела хорошо поняты ими (что достигается рассмотрением соответствующих примеров), и чтобы в дальнейшем при всех выводах, требующих применения теории пределов, учащиеся твердо опирались на изученные ими теоремы.

Обычно в школах уделяют на теорию пределов 4—6 часов. За такое число часов даже самых элементарных сведений по теории пределов дать нельзя. В результате этого учащиеся имеют о пределах самые смутные представления. В новой программе для средней школы в X классе предполагается добавить число часов на пределы, но зато и материал несколько расширить, введя: предел функции, понятие о непрерывности функции, непрерывность многочлена, производную, производную суммы и произведения функции и т. д.

Независимо от того, какая будет новая программа по элементарной математике, мы считаем, что теории пределов следует уделить больше времени. Это время может быть найдено, как уже было указано, за счет упрощения изложения при помощи теории пределов некоторых вопросов и за счет сокращения второстепенных разделов.

При изучении теории пределов рассматриваются переменные непрерывные и дискретные, с которых и следует начинать. Из

последних переменных выделяют переменные, значения которых могут быть перенумерованы, т. е. поставлены в однозначное соответствие с натуральным рядом чисел; такие переменные носят название числовых последовательностей.

Различны методы доказательства основных свойств и теорем теории пределов:

1) в основу положено учение о бесконечно-малых;

2) метод с, причем понятие о бесконечно-малых вовсе не дается;

3) смешанный метод: теоремы о бесконечно-малых доказываются методом s, 6, теоремы же о пределах при помощи бесконечно-малых.

Так как данный вопрос имеет принципиальное значение, то укажем ту литературу, где учитель может познакомиться с различными точками зрения.

Проф. Хинчин А. Я. (Краткий курс математического анализа, 1953) сначала вводит понятие о бесконечно-малых, доказывает основные теоремы для них. Переменные рассматриваются непрерывные. После этого дается определение предела для любой переменной и приводится доказательство основных теорем. Затем затрагивается вопрос о последовательностях, непрерывных переменных и предел функции.

Проф. Фихтенгольц Г. М. (Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, 1947) придерживается другой точки зрения. Изложение он начинает с изучения числовой последовательности (варианты), затем рассматривается варианта, имеющая пределом нуль, т. е. бесконечно-малая. В дальнейшем проф. Фихтенгольц дает понятие о пределе функции, указывая, что варианта есть частный случай функции, заданной для целочисленных значений аргумента. Метод доказательства — метод е.

Проф. Толстов (Курс математического анализа, т. I, 1954), так же как проф. Фихтенгольц, начинает изложение с числовой последовательности, имеющей пределом нуль, т. е. с бесконечно-малой.

Проф. Гончаров В. Л. (Энциклопедия элементарной математики, т. III, 1952) начинает изучение теории пределов с рассмотрения числовых последовательностей. В отличие от некоторых авторов, он рассматривает числовую последовательность как последовательность значений функций для целочисленных значений аргумента. Он не считает нужным особо выделять последовательности, пределом которых является нуль, т. е. бесконечно-малые. Теоремы о пределах доказываются методом с

Познакомимся с тем, как различные авторы излагают теорию пределов в средней школе.

1) Киселев А. П. (Алгебра, ч. II, 1949). В данном учебнике рассматриваются непрерывные переменные величины. Изложение начинается с бесконечно-малых, рассматриваются основные их свойства. Указывается, что разность между переменной и

ее пределом есть бесконечно-малая; на основании этого положения доказываются основные теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного. Метод е не применяется. Все изложение очень краткое.

2) В учебнике Фаддеева Д. К. и Соминского И. С. (Алгебра, ч. II, 1954) теории пределов уделяется много внимания. Авторы начинают изложение с понятия о числовой последовательности, приводят все основные теоремы о пределах. Метод е частично применяется. Авторы затрагивают вопрос о бесконечно-малых, не употребляя этого термина, а говоря о последовательностях, сходящихся к нулю. Теоремы о последовательностях, сходящихся к нулю, доказываются методом е, остальные теоремы доказываются при помощи бесконечно-малых.

Прежде чем дать определение числовой последовательности и ее предела, желательно рассмотреть несколько примеров.

Пример 1. Возьмем прямоугольный равнобедренный д CAB, катеты которого равны единице. Площадь данного треугольника равна 5i = y.

Восставим из точки В перпендикуляр к ВС. Из вершины прямого угла А опустим перпендикуляр AB, на ВМ\ из точки Вх опустим перпендикуляр на СМ; из точки Ах опустим перпендикуляр на ВМ и т. д.

Легко доказать, что площадь л ВАВХ равна половине площади Л CAB, площадь Л ABxAi — половине площади А АВХВ и т. д. Площадь одного треугольника будет равна Sx = ^-, площадь двух треугольников .>а=у-f-площадь трех треугольников

Черт. 120

Получается ряд чисел, соответствующих площадям одного, двух, трех и т. д. треугольников:

Легко заметить, что сумма площадей треугольников, составленных таким образом, все больше и больше будет приближаться к площади А СВМ, равной у /2 /2=1.

Действительно, разность между площадями треугольников и площадью А АМВ будет равна:

Пример 2. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна 1. Проведем диагонали. Через вершины квадрата проведем прямые, перпендикулярные к диагоналям. Получим квадрат Л^С^. Через точки Ац Bù Ci; Di проведем до взаимного пересечения прямые, параллельные сторонам квадрата AJi\C\Di и т. д. Найдем площади полученных квадратов. Площадь первого квадрата будет равна S1 = \J площадь второго квадрата 52 = 2 и т. д.

Черт. 121

Таким образом, площади квадратов будут выражаться соответственно числами 1 ; 2 ; 4 ; 8... и т. д. Члены этого ряда будут неограниченно возрастать. Пример 3. Возьмем окружность радиуса 1. Впишем и опишем возле нее правильный шестиугольник и найдем их периметр. Затем удвоим число сторон и найдем периметры полученных правильного вписанного и описанного двенадцатиугольников. В справочниках по математике имеется следующая таблица.

Число сторон многоугольника

Периметр вписанного правильного многоугольника

Периметр описанного правильного многоугольника

6

6,000 000

6,928 200

12

6,211657

6,630 776

24

6,265 257

6,319 056

48

6,278 700

6,292 176

96

6,282 064

6,285 429

192

6,282 905

6,283 746

384

6,283 115

6,283 326

768

6,283 168

6,283 220

1536

6,283 181

6,283 194

3072

6,283 184

6,283 187

Периметры вписанного, вписанных и описанных правильных многоугольников составляют числовые последовательности, причем члены первой числовой последовательности возрастают, а члены второй последовательности убывают. Полезно подчеркнуть, что члены первой последовательности, хотя и возрастают, но не становятся сколь угодно большими; аналогично, члены второй последовательности убывают, но не могут сделаться меньше, например, периметра вписанного правильного шестиугольника.

После этого можно дать определение числовой последовательности. Учащиеся должны ясно представить себе, что если по некоторому закону каждому натуральному числу п отнесено действительное число ип, то имеется или задана числовая последовательность

tli, #2, #3, . . . îln, ... ,

где числа ии иъ ..., иП9 ... и т. д. называются членами последовательности. Следует указать, что члены последовательности не обязательно различны между собой.

В теории пределов рассматриваются бесконечные числовые последовательности.

Нелегко дается учащимся понятие об общем члене последовательности, т. е. о формуле, по которой можно получить любой член последовательности в зависимости от его номера.

Необходимо указать, что не для любой последовательности можно указать формулу для получения общего члена, хотя закон образования последовательности известен. Например, последовательность приближенных значений по недостатку корня квадратного из 2:

1; 1,4; 1,41; 1,414; ...

Формулы для общего члена не имеется, но закон образования последовательности известен; он состоит в том, что для получения п-го члена последовательности надо извлечь квадратный корень из 2 с точностью до ~ (по недостатку).

Точно так же можно рассмотреть последовательность следующих друг за другом в порядке возрастания простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, ...

Закон получения простого числа не известен.

В стабильном задачнике Ларичева (ч. II) имеется несколько задач на нахождение общего члена числовой последовательности и на написание членов последовательности, если известен общий член. Приведем несколько примеров.

Написать последовательность, если известен ее общий член.

для четного п для нечетного п

для четного п для нечетного п

Полезны и следующие упражнения, которые хотя и представляют для учащихся некоторые трудности, однако способствуют развитию учащихся, так как требуют наблюдательности, правильного заключения и т. д.

Найти общий член последовательности, если

Ответ.

Ответ.

Ответ.

Ответ. Ответ.

Следует познакомить учащихся с графическим изображением числовой последовательности. Чаще всего берут числовую ось и на ней наносят точки, соответствующие значениям членов числовой последовательности. Например, для числовой последовательности

будем иметь (черт. 122):

Черт. 122

Следует указать, что значения членов данной числовой последовательности все меньше и меньше по мере возрастания номера члена отличаются от 1 или, как говорят, приближаются к 1.

Во многих случаях строят график числовой последовательности так: на оси ОХ откладываются номера членов числовой последовательности, а на перпендикулярах к оси ОХ соответствующие значения членов числовой последовательности. Полученный точечный график и будет соответствовать данной числовой последовательности (черт. 123).

Если провести на расстоянии, равном единице, прямую, параллельную оси ОХ, то легко видеть, что все точки по мере возрастания номера приближаются к данной прямой.

Примечание. В данном случае мы рассматриваем числовую последовательность как функцию, заданную для целочисленных значений аргумента.

Черт. 123

Таких примеров необходимо привести несколько.

Затем следует остановиться на монотонно-возрастающих и монотонно-убывающих числовых последовательностях. Можно привести следующее определение: последовательность называется монотонно-возрастающей, если каждый последующий член больше предыдущего, т. е. если

»1<й«<«3<-.-<йл<«/|+1<-..

Последовательность называется монотонно-убывающей, если каждый последующий член меньше предыдущего, т. е. если

я1>й*>Й3>-..>Яя>йл+1>...

Последовательность, для которой при всех значениях п имеет место неравенство ип^ип±и называется монотонно нестрого возрастающей или монотонно-неубывающей, а последовательность, для которой при всех п имеет место неравенство ип^ип+и называется монотонно нестрого убывающей или невозрастающей последовательностью. Графики монотонных последовательностей имеют вид.

Черт. 124 Монотонно-возрастающая последовательность

Черт. 125 Монотонно-убывающая последовательность

Пример 4. Построить точечный график последовательности

Решение. Данная последовательность не будет монотонной. График последовательности имеет вид, показанный на черт. 126.

Построим прямую, уравнение которой у = 2. Легко видеть, что ординаты точек данного точечного графика все больше и больше приближаются к этой прямой.

Мы считаем полезным дать понятие об ограниченных и неограниченных числовых последовательностях.

Последовательность иц щ\ иг; ... ип\ ... называется ограниченной, если можно указать такие два числа К и что при всех значениях п имеет место неравенство

Черт. 126

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число А, которое больше любого члена последовательности, т. е. iin<C.k, и последовательность называется ограниченной снизу, если существует число k, которое меньше любого члена последовательности, т. е. k<^un.

Точечные графики ограниченных последовательностей имеют вид.

Черт. 127а Ограниченная последовательность.

Черт. 1276 Ограниченная сверху последовательность.

Черт. 128 Ограниченная снизу последовательность.

Несколько слов следует сказать об арифметических действиях над последовательностями. Под суммою двух последовательностей

понимают последовательность, полученную от сложения соответственных членов данных последовательностей

Аналогично определяется разность, произведение и частное двух последовательностей

Для последнего случая добавляется требование, чтобы vn ф 0.

После изучения последовательностей необходимо перейти к определению предела. Предварительно необходимо сказать, что „приближение" или „стремление" значений членов последовательности к какому-нибудь постоянному числу не является математическим определением, поэтому необходимо ввести формальное определение, не допускающее никаких индивидуальных толкований.

В курсах математического анализа встречается следующее определение предела: постоянное число а называется пределом последовательности ии иъ и3) ... иП9 ..., если в любой окрест-

ности числа а, как бы мала она ни была, содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера п.

Мы предпочли бы дать следующее определение предела: постоянное число а называется пределом последовательности щ; иъ • • • ип'у • • •> если Для каждого положительного числа е, сколь угодно малого, существует такой номер N, что все ип, для которых n^>Nt удовлетворяют неравенству \ип — а К е-

То, что а является пределом последовательности, записывается так:

ип^а} когда п-+со

или

где lim—сокращение латинского слова limes, означающего предел. Не следует приучать учащихся читать выражение l\mun = a

„лимит un равен аа, a говорить: „предел ип равен аа.

Определение предела числовой последовательности с большим трудом усваивается учащимися. Они не понимают, что число е может быть любым. Следует указать, учащимся, что неравенство должно иметь место для любого е; если оно имеет место только для некоторых значений е, то а не является пределом последовательности.

Еще с большим трудом усваивается учащимися, что неравенство \ип — а|<0 выполняется для различных е, начиная с различных значений п.

Из определения предела следует, что

— е<а„ — а<в, где n>N,

или

а — е<ил<а-1-е, где n^>N.

Нужно добиваться, чтобы учащиеся понимали, что если имеет место неравенство

а — г<СиЛ<Ся + е при n^>N9

то

\ип — а|<Се при n^>Nt

или

lim un = а.

п-*со

Геометрически неравенство

можно истолковать так: в промежутке а — s ... a -f- е, т. е. в окрестности точки а находятся все значения переменной, начиная с ri, большего ЛЛ

Если принят второй способ геометрической интерпретации числовой последовательности, то если а есть предел последовательности, все точки, соответствующие членам последовательности, начиная с некоторого номера n^>N, будут заключаться в полосе, ограниченной прямыми у=а — е и у = а-\-е.

Необходимо проделать с учащимися несколько упражнений, чтобы им стала понятна сущность предела и формальное его определение.

Пример 1. Дана последовательность

Черт. 129

Определить, будет ли 0 пределом данной последовательности.

Решение. Согласно определению,

Для данной последовательности

Пусть 6 = -^, тогда дг<-т55о", следовательно, 1000<iV, т. е., начиная с 1001 члена, все дальнейшие члены последовательности будут меньше -[щ-. Если положить е= , то

Это значит, что, начиная с 10 626 номера, все члены последовательности меньше 10625 .

Полезно привести графическую интерпретацию (черт. 130).

Пример 2. Определить, будет ли единица пределом последовательности

Решение. Согласно определению, имеем \ип — а|<£ при n^>N. В данном случае

Черт. 130

Пусть e = yQ» тогда /V>9, т. е. начиная с 10 члена разность между каждым членом последовательности и 1 будет меньше ~. Действительно,

Если e = fQ(j. то ЛГ> 100— 1 или N>99, т. е., начиная с 100 члена, имеем

График в данном случае имеет вид, показанный на черт. 131.

Пример 3. Доказать, что последовательность

имеет предел 2.

Пример 4. Доказать, что последовательность

имеет предел 0.

Пример 5. Найти предел последовательности

Черт, 131

Необходимо привести примеры таких последовательностей, которые не имеют предела.

Пример 6. 1; 2; 3; ... п ...

Пример 7. —1; 1; —1; +1; ... (—1)" ...

Пример 8. ия = (1) + (— If.

Следует указать, что последовательность может приближаться к своему пределу, оставаясь больше его, меньше, колеблясь возле предела.

Необходимо обратить внимание учащихся на последовательность, у которой все члены равны постоянному числу а. В этом случае неравенство \ил — а|<0, где ип = а, выполняется для любого е при любом п.

Говорят, что предел последовательности, у которой все члены равны постоянному числу а, равен а.

Можно указать учащимся, что последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; если последовательность не имеет предела, то иногда ее называют расходящейся.

Доказательство всех теорем о пределах не включено в программу средней школы; достаточно, если учащиеся будут знакомы

с формулировкой. Для уяснения содержания их полезно прибегнуть к геометрической интерпретации.

Основную теорему об единственности предела, которую желательно доказать, можно сформулировать так: последовательность может иметь только один предел.1

Доказательство. Докажем от противного.

Пусть дана последовательность

Uli иа; к3; ... ип\ ...

и предположим, что данная последовательность имеет два предела а и Ь, причем а Ф Ь. Согласно определению,

Взяв какое-нибудь число N больше каждого из чисел Nt и N2, получим, что при n^>N оба неравенства будут выполняться одновременно. Но

следовательно, или

Это неравенство невозможно, так как е есть любое произвольное положительное число, а абсолютная величина разности двух постоянных чисел не может быть меньше любого наперед заданного положительного числа. Следовательно, предположение, что афЬ, приводит к противоречию.

В „Алгебре" Фаддеева и Соминского встречаются еще и следующие теоремы.

Теорема 1. Предел последовательности не меняется от того, что в начале ее приписано или исключено конечное число членов.

Теорема 2. Если каждый член сходящейся последовательности не менее соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не менее предела второй.

Данные теоремы можно не доказывать, а если нет времени, то и вовсе пропустить.

1 В некоторых учебниках данная теорема сформулирована так: „Последовательность не может иметь двух пределов". Отсюда еще не следует, что не может быть трех и более пределов.

Формулировку теоремы: „если члены некоторой последовательности заключены между соответственными членами двух последовательностей, сходящихся к одному и тому же пределу, то и эта последовательность сходится к этому же пределу", желательно дать, но доказательство можно не приводить, а ограничиться ее геометрической иллюстрацией.

Если

Геометрическая иллюстрация дана на черт. 132.

Полезно сказать учащимся, что если последовательность имеет предел, то она ограничена (доказательство можно найти в учебнике алгебры Фаддеева и Соминского, ч. II). Следует подчеркнуть при этом, что обратная теорема не верна, т. е. не всякая ограниченная последовательность имеет предел, например, последовательность 1; 0; 1; 0; 1; ... , общий член которой является ограниченной последовательностью, но предела не имеет.

Необходимо сформулировать теорему, что всякая монотонно-возрастающая (убывающая) ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство этой теоремы из-за недостатка времени можно не приводить; достаточно ограничиться геометрической интерпретацией.

Пусть дана монотонно-возрастающая ограниченная последовательность

Построим ее точечный график (черт. 133). Так как последовательность монотонно-возрастающая, то невозможно, чтобы точки пошли по направлению //. Из-за условия ограниченности точки графика не могут быть расположены выше прямой, уравнение которой y = k. Следовательно, точки графика могут или асимптотически приближаться к прямой k или к какой-нибудь другой

Черт. 132

Черт. 133

прямой, параллельной KL. В этом случае, как уже было установлено ранее, последовательность имеет предел.

Для монотонно-убывающей ограниченной последовательности

й1>а9>и8> ... >ия> ... , где |ид|>&,

можно провести аналогичное рассуждение.

Верхний график невозможен: нарушается монотонность.

Нижний график невозможен: нарушается ограниченность.

Черт. 134

В связи с введением учения о производной в курс средней школы приходится доказывать теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей.

Доказательства их носят различный характер, в зависимости от того, какой принцип был положен в основу теории пределов.

Метод е.

Теорема 1. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме пределов этих последовательностей, т. е. если

причем

то предел последовательности

равен

Доказательство. Докажем для двух последовательностей. Возьмем произвольное положительное число 4» тогда

Выберем число N большее, чем числа Nx и Na

Тогда при n^>N одновременно выполняются данные неравенства

Имеем

т. е.

Тогда lim (un-\-vn) = a-\- b, что и требовалось доказать.

л -» оо

Теорема 2. Теорема о пределе разности двух последовательностей доказывается аналогично.

Теорема 3, Предел произведения конечного числа последовательностей, имеющих пределы, равен произведению пределов последовательностей-сомножителей.

Доказательство. Докажем для двух последовательностей.

Пусть

Возьмем последовательность, полученную от перемножения соответственных членов данных последовательностей.

Докажем, что полученная последовательность имеет предел ab. Возьмем

Всякая последовательность, имеющая предел, ограничена, поэтому

If.|< А

Следовательно,

Выберем .V больше Af, и N.2, тогда при п^>М одновременно будут выполняться данные неравенства. Поэтому

или

откуда lim unvn = ab, что и требовалось доказать.

Теорема 4. Предел частного двух последовательностей

если lim ил = а; ï\mvn = b^0; vn^0.

Доказательство. Возьмем

Но |^л|>г>0 при где г постоянное число.

Следовательно,

Но

или

Тогда

или

Но

Возьмем такое N, большее Nt и N% и L. Тогда оба неравенства при n^>N будут выполняться одновременно. Следовательно

или

что и требовалось доказать.

Доказательство основных теорем методом е представляет слишком большие трудности для учащихся, несмотря на все достоинства этого метода.

Бесконечно-малые

Некоторые авторы считают полезным ввести понятие о бесконечно-малых.

Переменная аЛ, пробегающая последовательность значений

а1> а2> а8> • • • ал> • • • »

называется бесконечно-малой, если при п стремящемся к бесконечности (п-> со) lim аЛ = 0.

Основное неравенство в этом случае примет вид KIO при л>М

Пример 1. Величина ал=-^-, соответствующая последовательности 1; у; у; ... ; ... , есть бесконечно-малая.

Пример 2. Переменная ап = ~кп— ■ соответствующая последовательности 0; 1; 0;у; 0; у; ... , есть бесконечно-малая.

Примечание. Термин „бесконечно-малая" в соответствии с вышесказанным определением прилагается к переменной величине, имеющей пределом 0. Поэтому нельзя называть бесконечно-малым никакое конкретное фиксированное число, если оно не есть 0. В частности, нельзя называть бесконечно-малым и никакое, отличное от 0, отдельно взятое численное значение переменной <хл, хотя lim аЛ = 0.

Легко доказываются следующие теоремы о бесконечно-малых. 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно-малых есть бесконечно-малая.

Доказательство. Докажем для суммы двух бесконечно-малых.

Пусть Тогда

Выберем N больше чем Nx и Ыъ тогда при n^>N одновременно будут выполняться оба неравенства

Следовательно,

Отсюда lim (аЛ-(-Р/х)'= 0» что и требовалось доказать.

2) Произведение бесконечно-малой на ограниченную величину есть бесконечно-малая.

Доказательство. Пусть ПтаЛ = 0 и у есть ограниченная величина \у\<^М.

Если lim аЛ = 0, то аЛ по абсолютной величине может быть сделана меньше , где е любое наперед заданное число, т. е.

1ад1<ЗЙ при я>М

Следовательно,

или II<Се при n^>N, отсюда lim aj/ = 0, что и требовалось доказать.

3) Произведение конечного числа бесконечно-малых есть величина бесконечно-малая.

Доказательство. Докажем данную теорему для двух бесконечно-малых.

Пусть lim <хЛ = 0 и lim S„ = 0.

Согласно определению бесконечно-малых, можно сделать

Выберем N больше и Af2. Тогда

Следовательно,

Отсюда, НталРл = 0, что и требовалось доказать.

Примечание. Нужно указать;учащимся, что предел частного двух бесконечно-малых может быть конечным числом, бесконечно-малой и бесконечно-большой величиной.

Поэтому полезно дать учащимся понятие о бесконечно-большой переменной величине.

Переменная Ап, пробегающая последовательность значений

Aq, ... , Ап ... ,

называется бесконечно-большой, если для любого сколь угодно большого положительного числа M имеет место неравенство

\Ап\>М

при всех п, начиная с некоторого N. Ясно, что N зависит от числа М.

Тот факт, что Ап является бесконечно-большой величиной, выражают словами пАп стремится к бесконечности" и записывают символом.

lim Ап~оо.

Пример 1. Пусть Ап = п. В этом случае имеем последовательность

1; 2; 3; ... щ ...

Легко показать, что \Ап\ = п^>М, начиная с некоторого номера.

Пример 2. Пусть Ап = — я2; соответствующая последовательность имеет вид —1; —4; —9; —16; ... —п*; ... Имеем

\Ап\=п*>М.

Тогда

Если бесконечно-большая переменная величина Ап остается положительной для всех п или для всех п, начиная с некоторого, то ее называют положительной бесконечно-большой величиной и записывают так:

Если бесконечно-большая переменная величина Ап для всех п или для всех п, начиная с некоторого, остается отрицательной, то она называется отрицательной бесконечно-большой величиной. В этом случае записывают так:

Могут быть случаи, когда бесконечно-большая переменная величина будет не положительной, не отрицательной, а просто бесконечно-большой величиной.

Например,

Ап = (-1)»п.

В этом случае не следует писать lim Ап = ±оо, а записывать так:

lim !(—1)Л/г| = оо.

Введение бесконечно-малых величин значительно упрощает доказательство основных теорем о пределах. Кроме того, в технике часто пользуются бесконечно-малыми, так как при помощи их легче производить все вычисления.

Между переменной величиной, имеющей предел, и бесконечно-малой величиной существует связь.

Пусть дана переменная величина ип, принимающая значения

иц щ\ i78; ... ип; ...

и пусть предел последовательности значений этой переменной есть а:

limun = a.

Найдем разность между значениями переменной и числом а:

Заметим, что

ot|, а2, ... ая, ...

также представляют последовательность. Согласно определению имеем

\ип — аКе при Л>М

Следовательно,

KiO при л>М

откуда

НтаЛ = 0,

т. е. oin бесконечно-малая величина.

Отсюда следует, что переменную величину, имеющую предел, можно представить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно-малой величины.

Обратное положение будет также справедливо: если переменную величину ип можно представить в виде суммы двух слагаемых

ип = а + ая,

где а есть некоторое постоянное число; <*п — бесконечно-малая, то а есть предел переменной.

Доказательство. Пусть ип = а-\-в.П) откуда

ип — а = *п

или

\ип — а\ = \*п\.

По условию I ая Ке при n^>N, следовательно, \ип — а Ке при n^>N> откуда \\тип = ау что и требовалось доказать.

При помощи бесконечно-малых легко доказать и теорему о существовании только одного предела переменной. Пусть дана переменная иг; щ; щ\ ... ип\ ... Предположим, что данная переменная имеет два предела:

\\тип = а\ \\тип = Ь,

Л -* ОО л -* оо

причем a^pb.

Согласно определению,

*я = а + ая;

отсюда

а + ая = о + Ря; a — b = $n — ani

но данное равенство невозможно, ибо а — b постоянное число, рЛ — ая бесконечно-малая.

Следовательно, предположение о существовании двух пределов приводит к противоречию. Доказательства всех основных теорем о пределах также не представляют труда.

1) Предел суммы двух переменных, имеющих предел, равен сумме пределов

lim (ип + vn) = lim ип -f - lim vn = a + b,

если

\\тип = а\ \\mvn = b.

Доказательство.

ип = а + <хп; *» = * + Р-где аЛ и рл бесконечно-малые.

но ап -j- ß„ есть бесконечно-малая к&к сумма двух бесконечно-малых. Тогда

иЛ + ^Л = а + о + тя>

отсюда

что и требовалось доказать.

Данную теорему можно обобщать на любое конечное число слагаемых.

Примечание. Существование предела суммы не вызывает существования предела каждого слагаемого. Например,

предел суммы существует, но каждое слагаемое предела не имеет.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

если существует

Доказательство.

un = a + dn) kan = ka -f- koLnt

но Ып есть бесконечно-малая как произведение бесконечно-малой на постоянное число, следовательно, lim (kun) = ka = k lim un.

3) Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих предел, равен произведению пределов этих переменных величин.

Доказательство. Докажем данную теорему для двух переменных величин. Пусть

Тогда

Выражение в скобках есть бесконечно-малая величина

следовательно,

что и требовалось доказать.

Примечание. Существование предела произведения еще не

вызывает существования предела каждого сомножителя. 4) Предел частного равен частному пределов, если а) пределы числителя и знаменателя существуют,

б) предел знаменателя отличен от нуля,

Доказательство. Рассмотрим разность:

рЛ есть бесконечно-малая, следовательно, при п^>!\/ может быть сделана

Тогда

откуда

величина ограниченная.

Выражение

есть бесконечно-малая, так как (апЬ — aß„) величина бесконечно-малая, а гттдта ч величина ограниченная, т. е.

тогда

откуда

что и требовалось доказать.

§ 32. Прогрессии.

Учение о прогрессиях несколько изолировано от остальных разделов алгебры. В конце XIX века прогрессии использовались для изложения логарифмов. Указывалось, что если числа растут в геометрической прогрессии, то соответствующие показатели степеней (логарифмы) растут в арифметической прогрессии; в настоящее время такой подход к логарифмам обычно не применяется.

Прогрессии рассматриваются как частный случай числовых последовательностей, но на это обстоятельство не всегда обращают внимание. Заметим, что прогрессии являются простейшими арифметическими и геометрическими рядами, к которым можно в некоторых случаях свести более сложные ряды. Сами же ряды представляют интересный материал для внеклассных занятий; в дальнейшем будет показано, что при помощи прогрессии и некоторых элементарных рядов можно значительно упростить некоторые доказательства теорем из геометрии, а также разрешить вопросы, которые сейчас относятся к высшей математике, например, нахождение площадей, ограниченных криволинейной фигурой.

Кроме того, в главе о прогрессиях легко во многих случаях устанавливается зависимость между числами, выявляются общие законы изменения величин и т. д. Поэтому включение главы о прогрессиях в курс алгебры оправдывает себя.

1. В главе о прогрессиях должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1) нахождение формулы для общего члена как арифметической, так и геометрической прогрессии;

2) вывод формулы для суммы п членов арифметической и геометрической прогрессии;

3) нахождение К средних арифметических и средних геометрических чисел между двумя данными числами;

4) предел суммы членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии.

Определение арифметической и геометрической прогрессий можно дать обычное, по стабильному учебнику. Второе возможное определение: „Арифметической прогрессией называется

такая последовательность чисел, в которой каждый член, за исключением первого и последнего, является средним арифметическим предшествующего и последующего члена", а для геометрической прогрессии— „Каждый член есть среднее геометрическое между предшествующим и последующим членом" лучше дать как свойство прогрессии:

аналогично для геометрической прогрессии

Мы не рекомендуем, как это делается у Киселева, обозначать члены прогрессии буквами алфавита

•тгa, b, с, ... /

Более правильно члены арифметической и геометрической прогрессии обозначать одной и той же буквой с индексом внизу, показывающим номер члена

-Ь du 0>ъ Яз> • • • &п TT Uu иъ И8, ... ил

Сразу возникает вопрос: будет ли последовательность, например,

2, 2, 2, 2, ... 2

арифметической или геометрической прогрессией? Учащимся следует указать, что последовательность, каждый член которой равен постоянному числу, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью, равной нулю, и как геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен единице.

Если определение возрастающей (d^>0) и убывающей (d<^0) арифметической прогрессии не вызывает затруднений, то для геометрической прогрессии случай, когда ^<С0, требует особого рассмотрения. Об убывании или возрастании знакопеременной геометрической прогрессии можно говорить только по абсолютной величине.

Чаще всего рассматриваются прогрессии, у которых разность, или знаменатель прогрессии, является рациональным числом. Мы считаем, что следует решить с учащимися несколько задач, в которых разность, или знаменатель прогрессии, является иррациональным числом, например, т-\- у п или -

Нахождение формулы для п-го члена арифметической и геометрической прогрессии не представляет труда. Существует два приема вывода формулы для п-го члена прогрессии:

1) методом математической индукции („Алгебра" Фаддеева и Соминского, ч. II),

2) по определению:

Черт. 135

Складывая равенства в первом столбце и перемножая во втором столбце, получим

an = al-\- d(n— 1) и un = uxqn~l.

Вывод формулы для суммы п членов как арифметической, так и геометрической прогрессии не вызывает затруднений у учащихся.

Полезно привести геометрическую иллюстрацию некоторых свойств арифметической и геометрической прогрессии.

Но оси ОХ отметим точки, соответствующие числам натурального ряда (за единицу масштаба можно выбрать произвольный отрезок). В точках Ах и А2 восставим перпендикуляры к оси ОХ, на которых соответственно отложим отрезки

А1В1 = а1; AJBï — ai.

Через точки Вх и В.2 проведем прямую.

Если в точках Аъ, Аь ... АП9

где ОА3 = 3 ; ОЛ4 = 4...,

восставить перпендикуляры до пересечения с прямой, проходящей через точки В\ и В2, то длины этих перпендикуляров будут равны значениям членов арифметической прогрессии. Действительно,

следовательно,

откуда

Но АЪВЪ = АЬС3 -f CzB3 = AïBl-\-C3Bà = aï -[-2d, т. е. длина отрезка

Аналогично можно доказать, что АпВп = ах + à{n—1).

Уже было указано, что учащихся затрудняет задача определения k средних арифметических между данными числами а и Ь. Если напомнить свойство членов арифметической прогрессии „Каждый член прогрессии, за исключением крайних членов, есть среднее арифметическое между предшествующим и последующим членом", то ученику сделается ясно, что в данном случае требуется составить арифметическую прогрессию, содержащую k-\-2 членов, причем

а = ах\

b = at + d(k + i).

Отсюда легко найти разность прогрессии

В этом случае прогрессия будет иметь вид

или

Приведем геометрическое решение данной задачи. Отложим на оси ОХ два отрезка OA и OB. В точках А и В восставим перпендикуляры к оси ОХ:

АС = а; BD = b.

Разделим отрезок AB на k -f-1 равных частей. В точках Ль Л2, ... Ak восставим перпендикуляры до пересечения с прямой CD. Длины отрезков АХСХ\ Л2Са;... ; AkCk и будут соответствовать k средним арифметическим. Действительно, если провести прямую CLf параллельно оси ОХ у то A1C1=AiLi-{-

-f- LXCX = a -j- LXCX.

Из подобия л CLXCX

д CLD следует

Черт. 136

2S1

Аналогично находим

и т. д.

Легко найти сумму членов арифметической прогрессии геометрическим путем. На оси ОХ отложим отрезки в произвольном масштабе, соответствующие числам натурального ряда. Тогда OA х = 1 ; ОА2 = 2; ... ОАп = п;ОАп+1=п-\- 1. В точках At и Лл+1 восставим перпендикуляры к оси ОХ, на которых отложим АХВХ = ац An+iBn+i = По доказанному

Черт. 137

Сумму Sn членов арифметической прогрессии можно представить следующим образом:

Sn = ax. 1 -f а2-1 +а3 - 1 + ... -f ая - 1.

Каждый член в правой части можно рассматривать как площадь прямоугольника, у которого высота равна значению соответствующего члена прогрессии, а основание равно 1. Таким образом, Sn членов прогрессии численно равна площади ступенчатой фигуры АхВхВпАп.

Построим аналогичную ступенчатую фигуру Сп+хА'п+хАпВх и приложим ее к фигуре АХВХС2В^ • ВпСп+хАп+х> как показано на черт. 137. Площадь полученного прямоугольника будет равна площади А ! An+iAl Апл х = А, Ап+Х • АхА'пп =п(ах + ап).

Но площадь одной ступенчатой фигуры равняется половине площади прямоугольника, следовательно, о = -—'2 .

Для геометрической прогрессии можно привести следующую геометрическую иллюстрацию.

Построим прямоугольный Д ON M у катеты которого ON= 1 и NM = |/q — 1 ; гипотенуза данного треугольника будет равна у q. Продолжим отрезок ОМ. На оси ОУ отложим отрезок ОК=их и через точку К проведем прямую, параллельную оси ОХ9 до пересечения с пря-

Черт. 138

мой ОМ. Из точки В опустим перпендикуляр на ось ОХ\ АВ = ОК=их.

Из точки В восставим перпендикуляр к OB и продолжим его до пересечения с ОХ. Из точки Ах восставим перпендикуляр к ОХ до пересечения с прямой, проходящей через точки О и Ж. Из точки Вг восставим перпендикуляр к ОМ до пересечения с осью ОХ у из точки А2 — перпендикуляр к оси ОХ и т. д.

Легко показать, что длины отрезков AB] AxBù А2В^ АгВд и т. д. будут соответствовать значению членов данной геометрической прогрессии.

следовательно,

откуда

Но А AB Ai A OMN, откуда

Тогда A1B1 = qui т. е. А1В1 = и2. Аналогично можно доказать, что Л252 = иъ == uxq*. Полезно предложить самим учащимся в порядке домашней работы доказать, что длины отрезков

AAi\ AxAù А2Аг ...

представляют геометрическую прогрессию, первый член которой есть ААи а знаменатель прогрессии q\ аналогично можно показать, что длины отрезков 0%Ви BiBù ВчВъ ... также представляют геометрическую прогрессию.

Пусть q < 1. Построим прямоугольный треугольник OMN, у которого катеты соответственно равны ON= if q и ОМ = \/1 —q, гипотенуза данного треугольника будет равна

В произвольной точке А на оси ОХ восставим перпендикуляр к оси ОХ и на нем отложим отрезок

АВ = их.

Черт. 139

Черт. 140

Через точку В проведем прямую ВК, параллельную ММ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ВК\ из точки Bt опустим перпендикуляр на ось ОХ, из точки Лд — перпендикуляр на ВК и т. д.

Числа, соответствующие длинам отрезков

будут являться членами геометрической прогрессии, у которой перрый член равен АВ — ии а знаменатель

Возможен и другой прием для геометрической иллюстрации геометрической прогрессии.

Возьмем квадрат ABCD, диагональ которого равна 2. Продолжим диагонали квадрата. На прямой OB отложим отрезок OBx = q (<7>1). Соединим точки А и Bi прямой. Из точки Вх восставим перпендикуляр к ABt и продолжим его до пересечения с продолжением диагонали АС. Из точки Ci восставим перпендикуляр к ВхСх и продолжим его до пересечения с продолжением диагонали DB и т. д. Легко показать, что числа, соответствующие длинам отрезков

АВй B,Cù C,Di;

образуют геометрическую прогрессию. Действительно,

AABtO^ ABiCiO, так как /_ОВхА= £ОСхВи

следовательно,

откуда

Из подобия-треугольников CiZ)tO и С\ОВх следует

ОСх • АО = ОВ\ = д* из прямоугольного ААВхСц OCt = q2 (Л0=1),

следовательно, DxCx = ABxq* и т. д. Таким образом, длины отрезков

соответственно равны длинам отрезков

ABù AtBtq; ABtq*; ABxq*\ ...

т. е. числа, соответствующие длинам этих отрезков, образуют геометрическую прогрессию.

В данном случае был взят квадрат, диагональ которого равна 2.

Тогда АВг = /1+9*.

Если взять квадрат, диагональ которого равна _a/Jl\ , а отрезок QBi=—Uiq то АВ1 = и1. Действительно,

т. е. АВ1 — и1.

Для построения членов геометрической прогрессии, знаменатель которой q<^\, поступаем точно так же (черт. 141).

Легко показать, что числа, соответствующие длинам отрезков

ABù BiCù C^Dù ...

образуют геометрическую прогрессию.

Вопрос о бесконечно-убывающей геометрической прогрессии не вызывает затруднений у учащихся. Необходимо указать, что отыскивается не сумма членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, а предел суммы п членов, когда п неограниченно возрастает, т. е.

Предварительно полезно проделать несколько примеров подобного рода.

Пример 1. Пусть дана бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия

Возьмем сначала один член, затем два члена и найдем их сумму, затем три члена и т. д.

Черт. 141

Эти суммы носят название частичных сумм.

Частичные суммы I; ... ; 2 — -^i; ... представляют бесконечную числовую последовательность.

Под пределом суммы п членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии понимают предел последовательности частичных сумм.

В данном случае

5=Шп(2-^) = 2.

Пример 2. Дана бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия

Составим частичные суммы

Предел последовательности частичных сумм будет

Для нахождения предела суммы п членов прогрессии применяется обычно следующий прием:

так как qn при неограниченном возрастании п при |#|<С1 стремится к нулю.

Черт. 142

Приведем геометрический способ нахождения предела суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Возьмем прямоугольную систему координат. Построим прямоугольный A OMN, гипотенуза которого равна единице, а катет MN= / q {q < 1 ). На оси ОХ отложим отрезок OA=ut.

Из точки А восставим перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с продолжением прямой ОМ. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную к OB. Из точки А опустим перпендикуляр на ВК\ из точки Bi перпендикуляр на ОХ и т. д.

Легко показать, что длины отрезков

составляют геометрическую прогрессию, первый член которой ии а знаменатель прогрессии q. Действительно,

следовательно,

откуда

Из А ОБА лэ A OMN следует:

Из £ьАВАхоо AOMN следует:

откуда Тогда

Аналогично доказывается, что AiA<b = uxq* и т. д.

Обозначим длину отрезка OK через 5; очевидно, что S будет равняться пределу суммы п членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии.

Из прямоугольного А ОВК на основании теоремы, что катет есть среднее пропорциональное между отрезком гипотенузы и гипотенузой, следует:

Из aOBAwOMN следует

Тогда

следовательно,

Приведем еще один простой способ нахождения предела суммы п членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Возьмем квадрат ABCD, сторона которого равна первому члену прогрессии иг. Продолжим сторону AB и отложим отрезок BLl = u1qi где

Проведем прямую CLX. Продолжим прямую DB до взаимного пересечения с OLx. Из точки Li проведем прямую LXBU параллельную DA; из точки Z?i — прямую, параллельную DC ъ т. д.

Покажем прежде всего, что числа, соответствующие длинам отрезков

представляют геометрическую прогрессию.

Из АСВ^лз aLxBxL% следует, что -щ==-^2> откуда

Черт. 143

Но BL1 = uiq; СВ = их\ BiL1=BLti так как AßL^i прямоугольный равнобедренный треугольник. Следовательно,

Из ALiBiL^tt &L2B2Ld имеем

следовательно,

Из точки M проведем прямые, соответственно параллельные сторонам квадрата ABCD; получится квадрат DPMQ.

Если спроектировать все отрезки AB; BLX; Въ1г; B^L%; ... на DQ, то длина отрезка DQ будет равна пределу суммы п членов бесконечно-убывающей прогрессии.

Действительно, A CRM w &СВЦ следует, что

Тогда

что и требовалось доказать.

Применение бесконечно-убывающей прогрессии к десятичным периодическим дробям.

Пусть дана бесконечная чисто периодическая дробь

или

Согласно определению,

т. е. чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть период, а знаменатель — число, изображенное цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде.

Пусть дана смешанная периодическая дробь

Согласно определению,

т. е. смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода без числа, стоящего до первого периода, а знаменатель есть число, изображенное цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.

Мы не думаем, что превращение чистой и смешанной периодической дроби следует давать учащимся в общем виде; достаточно ограничиться или числовыми примерами или частными случаями, например 0(аха.2) или О, Ь(а1а%ад).

Только наиболее сильным учащимся можно предложить вывести эти правила в общем виде.

Задачи и упражнения на прогрессии дают возможность, кроме выполнения общих задач при изучении алгебры, увязать различные разделы курса.

Наиболее распространены следующие типы задач.

1. Нахождение одного компонента, если известны остальные, т. е. на применение формул

Таких упражнений имеется достаточно в стабильном задачнике Ларичева.

2. Заслуживают внимание задачи, в которых дана зависимость между членами прогрессии и требуется найти прогрессию. У Ларичева приведены задачи 882, 927, 928 и 930.

К этим примерам добавим еще несколько:

1) Найти арифметическую прогрессию, в которой

#2 + Яз + 04 + ав = 34; аа • ав = 52.

2) Найти арифметическую прогрессию, в которой

Si = 9; Sq = 22 ~2 .

3) В арифметической прогрессии 52 = 4; 5Ä = 16; S„=121 найти п.

4) В арифметической прогрессии

ах = 2; а„=17; 5Л = 67 наития?.

5) В арифметической прогрессии

Sn — a1 = 48; Sn — an = 36; Sn — ах — а2 — ап_х —ап — 21.

Найти прогрессию.

6) Найти 5В геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что 52 = 4 и 53=13.

7) В геометрической прогрессии ut -\-иъ = 17 и и2-|-йв = 34. Найти п, если 5Л = 31.

8) Найти ü8 в геометрической прогрессии, в которой сумма первых пяти членов = 93, а сумма членов от второго до шестого включительно равна 186.

3. Как было указано, учащихся затрудняют задачи на вставление п чисел между двумя данными так, чтобы получилась арифметическая или геометрическая прогрессия. Поэтому на этот тип задач следует обратить внимание; у Ларичева имеются такие задачи (868; 869; 870; 871; 923; 924; 925).

4. Необходимо решить задачи, в которых дана зависимость суммы членов от числа членов (Ларичев, 886).

5. Представляют интерес задачи на совместное решение арифметической и геометрической прогрессии. У Ларичева таких задач имеется достаточное число (935; 936; 937; 938; 940; 941; 942; 943; 944).

6. Весьма полезными являются задачи на доказательство; во многих случаях учащимся придется произвести небольшое самостоятельное исследование.

1) Какое натуральное число может быть представлено как сумма последовательных натуральных чисел, начиная с 1?

Ответ. М = <Ц^.

2) Найти натуральное число, равное сумме всех ему предшествующих натуральных чисел.

Ответ. 3,

3) Доказать, что сумма п первых нечетных чисел равна nr.

4) Найти сумму п первых четных натуральных чисел.

5) Дано: 23 = 3 + 5

24 = 7 + 9

3*=1+3 + 5

34 = 25 + 27 + 29

54= 121 + 123+ 125+ 127 + 129

и вообще всякая степень некоторого натурального числа может быть представлена как сумма натуральных чисел, отличающихся на 2, причем количество слагаемых зависит от основания степени. Вывести общий закон.

Решение. /гр = х + (х + 2) + (л; + 4) + ... + [л; + 2(л — 1)] х = пр'1 — п-{-1.

6) Сумма членов некоторых арифметических прогрессий, члены которых целые числа, равняется кубу числа членов

Указать, какая зависимость должна существовать между числом членов, первым членом и разностью прогрессии.

Решение.

Так как d целое число, то -^zr\ должно быть целым числом,

следовательно, можно положить а = 1, а = п, а = п* — я +1 и т. д.

7) Найти такую арифметическую прогрессию, у которой отношение суммы первых п членов к сумме kn следующих членов равно постоянному числу, не зависящему от числа членов.

8) Возможны ли три таких числа ац а2; а3, чтобы они одновременно были бы первыми, вторыми и третьими членами арифметической и геометрической прогрессии?

Ответ. a1 = a2 = az.

9) Доказать, что если ху, у2 и г* составляют три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа yf z\ 2у — X составляют последовательные члены геометрической прогрессии.

10) Доказать, что в геометрической прогрессии, имеющей 2 п членов, отношение суммы п членов четного порядка к сумме п членов нечетного порядка равно знаменателю прогрессии.

11) Доказать, что сумма квадратов нечетного числа членов геометрической прогрессии делится на сумму первых степеней.

Решение.

12) Доказать, что если а, Ь> с, d составляют геометрическую прогрессию, то

К задачам на бесконечно-убывающую геометрическую прогрессию, имеющимся в стабильном задачнике Ларичева, можно добавить еще и следующие.

1) Первый член бесконечно-убывающей геометрической прогрессии равен единице. Каждый из остальных членов, начиная со второго, в 27е меньше суммы двух смежных с ним. Найти предел суммы п членов этой прогрессии.

Ответ. 3.

2) Сумма первых четырех членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии равна 15. Сумма первого и четвертого члена в 1,5 раза больше суммы второго и третьего члена. Найти предел суммы п членов.

3) Найти

Ответ.

Решение.

4) Чему равен предел бесконечного произведения

Решение.

откуда

§ 33. Сумма квадратов, кубов и т. д. n натуральных чисел.

Весьма полезным материалом, особенно для внеклассной работы, является нахождение суммы квадратов, кубов и т. д. натуральных чисел.

1) Сумма первых степеней S{n натуральных чисел равняется

2) Сумму квадратов п натуральных чисел обозначим через

Для нахождения данной суммы воспользуемся формулой

Давая X последовательные значения 1, 2, 3, п, получим п равенств:

Сложим данные равенства

или

откуда

После упрощения получим

3) Для получения суммы кубов п натуральных чисел

воспользуемся формулой

Давая X соответственно значения 1, 2, /г, складывая полученные равенства, после упрощения получим

Для нахождения S(n= 14 + 24-}-34_}-..._|-я4 воспользуемся формулой (х-\- I)5 и т. д.

Выведенные формулы могут быть использованы для нахождения площадей фигур, объемов тел и для решения многих технических задач.

Пример 1. Найти площадь, ограниченную параболой у = х9, двумя прямыми х = 0 н х = а и осью абсцисс.

Решение. Как известно, под площадью, ограниченной кривой, двумя ординатами и осью абсцисс, понимают предел суммы площадей входящих или выходящих прямоугольников, когда число прямоугольников неограниченно возрастает и площадь каждого прямоугольника стремится к 0. Разобьем отрезок OA на п равных частей. Длина каждой части будет d = —'

Построим входящие прямоугольники. Основание каждого прямоугольника будет g, а высоты соответственно

Черт. 144

Площадь srro прямоугольника равна а. Сумма площадей входящих прямоугольников будет

т. е.

Предел этой суммы, когда число делений будет неограниченно возрастать, будет равен площади данной фигуры.

Пример 2. Найти площадь, ограниченную кубической параболой у = хгу двумя ординатами х — 0 и х = а и осью абсцисс. Решение. Разделим сегмент [0, а] на п равных частей.

Длина каждой части будет -jj-. Построим входящие прямоугольники. Высота i-ro прямоугольника будет (—) . Площади входящих прямоугольников будут соответственно равны

Следовательно, сумма входящих прямоугольников будет

Черт. 145

Площадь, ограниченная кубической параболой, двумя ординатами и осью ОХ, будет пределом суммы площадей входящих прямоугольников, когда число делений неограниченно возрастает, т. е. когда я->оо и площадь каждого прямоугольника стремится к нулю.

Следовательно,

Глава IV. УЧЕНИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ.

§ 34. Основы высшей математики в средней школе.

Вопрос о включении элементов высшей математики в курс средней школы возник сравнительно давно. Уже в начале XX века многие методисты считали, что понятие о производной и интеграле должно быть дано учащимся. В 1906 г. основы аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений были включены в курс VII класса (выпускной класс) реальных, училищ и кадетских корпусов в 1911 году.

Программа по аналитической геометрии и основам анализа была довольно обширная. По аналитической геометрии предлагалось включить: прямолинейные и полярные координаты, преобразование координат, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, нормальное уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через одну, две точки, угол между двумя прямыми, кривые второго порядка (канонические уравнения, уравнения относительно вершин, полярные уравнения и т. д.).

По дифференциальному исчислению были включены следующие вопросы: теория пределов (расширенный курс), непрерывность функции, учение о производной и дифференциале, производные элементарных функций, производная сложной функции, производные второго и высших порядков, максимум и минимум функции. Некоторые авторы учебников считали необходимым, кроме того, дать понятие о вогнутости и выпуклости кривой, понятие об асимптоте.

Не менее обширна была программа и по интегральному исчислению. В нее были включены следующие вопросы: неопределенный интеграл, основные методы нахождения неопределенного интеграла, определенный интеграл, приложения определенного интеграла к нахождению площадей тел и объемов тел вращения. Учащиеся, как предполагали авторы программ, должны были получить солидные навыки в дифференцировании и интегрировании функций примерно в том объеме, как студенты современных технических вузов, с небольшой программой по

высшей математике. На высшую математику отводилось 3 часа в неделю.

Опыт старой дореволюционной школы показал, что при данном числе часов вполне удовлетворительно удавалось пройти аналитическую геометрию и дифференциальное исчисление. Относительно интегрального исчисления все преподаватели указывали, что оно дается учащимся с большим трудом и программа не выполняется; одна из причин — недостаток времени.

После Октябрьской революции элементы высшей математики были включены в среднюю школу. Однако результаты были более чем скромные; отсутствие учительских кадров, литературы, недостаточно разработанная методика изложения и т. д. привели к тому, что элементы высшей математики не получили развития в средней школе.

В проекте программы по математике (1956 г.) имеется тема „учение о производной"; на нее отведено 34 часа. В эту тему включены следующие вопросы: понятие о пределе функции, понятие о производной, скорость и ускорение прямолинейного движения, производная как скорость. Геометрический смысл производной: касательная к кривой линии. Производная суммы и произведения функции. Производная степени с натуральными показателями. Производная целой рациональной функции от одной переменной. Предел отношения-^- при условии, что х стремится к нулю. Производная функций sinmx и cos/ял;. Применение производной к изучению изменения функции: возрастание и убывание функции в данном промежутке, максимум и минимум функции.

Данная небольшая программа указывает, что в средней школе следует дать только понятие о производной и правила нахождения производной от трех элементарных функций.

Мы полагаем, что данная программа является первым этапом; в дальнейшем элементы высшей математики будут даваться в большем объеме. В настоящее же время более глубокое изучение основ высшей математики должно быть отнесено на кружковые занятия.

Опыта по ознакомлению с производной в средней школе еще не имеется. Однако для нас очевидны следующие положения.

1) Учение о производной не может быть оторвано от всего курса алгебры. Уже в VIII и IX классах при изучении функций необходимо обратить особое внимание на возрастание и убывание функции, на непрерывность функции, а в IX классе более глубоко изучить теорию пределов. В X классе все сведения обобщаются, и учащиеся знакомятся с более совершенным способом исследования функций при помощи производной.

2) Учение о производной вводится не с целью дать учащимся навыки в дифференцировании; учащиеся на ряде несколь-

ких практических задач знакомятся с новым эффективным методом математики, имеющим широкое применение в технике.

3) Мы считаем, что элементы интегрального исчисления могут иметь место в средней школе.

4) На кружковых занятиях можно дать несколько расширенный курс дифференциального исчисления, что позволит учащимся еще больше оценить все практическое значение данного раздела математики.

Так как учение о производной является новым делом для большинства учителей, то следует особенно внимательно отнестись к данному разделу программы. Случайные методические неудачи вначале возможны, в дальнейшем учителю удастся выработать более совершенные приемы изложения.

§ 35. Предел и непрерывность функции.

Особое значение в курсе математики анализа имеет понятие о пределе функции. Так как в настоящее время учение о производной вводится в курс средней школы, то дадим о пределе функции самые краткие сведения, предназначенные, главным образом, для преподавателя.

Пусть имеется функция y=f(x), заданная для некоторой области значений х, которая может быть непрерывной или дискретной.

Пусть независимая переменная х принимает последовательно значения

•^î» х2\ х3\ ... хп... (1)

принадлежащие области задания функции. Пусть эта последовательность сходится к а.

Найдем соответствующие значения функции

А*.'); /(4); /(*.); ..-Я*;)... (2)

Эти значения функции составляют некоторую последовательность чисел, которая может либо иметь предел, либо не иметь его.

Допустим, что последовательность (2) имеет предел, который обозначим через А.

Пусть существует другая последовательность значений независимой переменной х:

v". v". v". v" /о\

Л£ , Л3 , ... Л/л ... уо)

из области определения функции с тем же пределом а. Соответствующая последовательность значений функции

ДО;/«):/«); ••• /(*»)••• (4)

может:

1) иметь тот же предел А;

2) иметь другой предел В;

3) вовсе не иметь предела.

Если для любой последовательности значений х

Х\\ Х%\ Х%\ ... Хп\ .. •

принадлежащих области определения функции, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции

/(*8); ... /(*„)...

сходится всегда к одному и тому же пределу А, то А называют пределом функции f(x) в точке а. Математическая запись следующая:

f{x) -> А или lim f(x) = А.

Это определение предела функции принадлежит Гейне. Существует и другое определение, принадлежащее Коши.

Число А называется пределом функции при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого наперед заданного положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число 8, что для всех значений х, принадлежащих области задания функции, отличных от а и удовлетворяющих условию \ х — а | < 8, имеет место неравенство |/(л:) —Л|<]е.

В курсах математического анализа доказывается равносильность обоих определений.

Вопрос о непрерывности функции является одним из самых трудных для учащихся. Как уже было указано, функция называется непрерывной в точке х0, если

lim f(x)=f(x0)

х-+х0

или

lim /(*)=/(limx)==/(*e),

что кратко выражают словами: предел функции равен значению функции от предела аргумента. Необходимо заметить, что предел функции был бы один и тот же, независимо от того, приближается ли X к х0 справа или слева, т. е.

lim /(*)= lim /(*)=/(*„)•

В курсах анализа дается следующее определение непрерывности функции в данной точке:

если \х — *о1<8> то |/(*)— Я*о)1<е-

Мы считаем, что язык в — 8 является несколько трудным для учеников средней школы. Если преподаватель не пользовался

им, то можно дать несколько иное изложение, введя обозначения х-х0 = Ьх и /(*)—f(x0) = Ду. Тогда, если |Д*|<8, то |Ау|<^е, т. е. для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы приращение функции Ду стремилось к нулю, когда приращение независимой переменной стремится к нулю; иначе, бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Непрерывность элементарных функций следует рассматривать по мере изучения их, т. е. в VIII и IX классах; в X классе обобщаются полученные ранее сведения.

Полезно привести следующие теоремы.

1) Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

2) Разность двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

3) Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

4) Частное двух непрерывных функций, за исключением тех точек, в которых знаменатель равен 0, есть функция непрерывная.

Примечание. Еще раз надо напомнить учащимся, что если функция непрерывна в каждой точке данного промежутка, то она непрерывна в этом промежутке.

Приведем доказательство данных теорем.

Доказательство теоремы 1. Для простоты доказательства возьмем две функции f(x) и <?(х), каждая из которых непрерывна в точке х0, т. е. lim/(Jc)==/(*o)î Hm?(•*;) = ср(л;0).

х-*х0 X-*Xq

Составим новую функцию F(x)=f(x)-\-y(х), которая будет непрерывна в точке х0.

Дадим х0 приращение Ал:. Тогда

Когда Ал: 0, то A/(*) -* 0 и Дер (л;) О стремятся к 0, следовательно, А/7 (.*)-► О, т. е. функция F(x) будет непрерывная в точке х0.

Аналогично доказываются теоремы 2 и 3.

Доказательство теоремы 4. Даны две функции f{x) и <?(х)> непрерывные в точке х0, причем <р (*0) ^ 0. Пусть у =

Дадим х0 приращение Ал:. Тогда

В силу непрерывности /(.*о + А*)—/(*о) стремится к 0; ср(л:0-f-Ал:) — ср(л:0) стремится к 0, когда Ал:-►О.

Следовательно, Ду->0 когда Д#-*0, что и требовалось доказать.

Примечание 1. Данные теоремы можно доказать несколько проще, например, теорему 1.

Ит/(л:)=/(л:о); \im<?(x) = <?(x0)

на основании непрерывности данных функций в точке х0. Тогда

lim F(x) = lim [f(x) + ? (*)] = lim f(x) + lim <p (л:) =

что и требовалось доказать.

Примечание 2. Ранее приведенный способ доказательства, хотя и является более громоздким, однако имеет то преимущество, что таким же способом находится производная суммы, разности произведения и частного.

При рассмотрении свойств непрерывных функций полезно остановиться на графическом изображении, приведенном в § 22.

§ 36. Некоторые пределы.

В IV части были приведены основные положения теории пределов. В X классе, прежде чем перейти к учению о производной, необходимо повторить теорию пределов и решить дополнительно ряд задач.

Пример 1. Найти НтЗл:2.

Решение. Нтз/а = итЗНтл:9 = 3(Итл:)а = 3 • 1а = 3.

Необходимо требовать от учащихся обоснования того, что предел произведения равен произведению пределов (условие существования должно приводиться); предел постоянного числа равняется самому постоянному числу; предел степени равен степени предела.

Пример 2. Найти lim -\[х* -f- 2.

Полезно с учащимися решить несколько примеров, когда аргумент неограниченно возрастает.

Пример 3. Найти

Делим числитель и знаменатель на х в наивысшей степени в знаменателе

Пример 4. Найти

Решение.

Особенное значение для дальнейшего будут иметь примеры, когда числитель и знаменатель стремятся к нулю.

Пример 5. Найти

Решение. Если подставить 2 вместо х, то получим -g-, или, как иногда говорят в математике, неопределенность. Учащимся следует пояснить, что в некоторых случаях мы приписываем определенное значение пределу такого выражения.

Будем давать значения х, приближающиеся к 2, тогда дробь _2 будет принимать соответственно следующие значения:

Давая X значения 2,001, 2,0001 и т. д., мы видим, что значение данного выражения все больше и больше приближается к четырем. В силу этого можно принять, что при X = 2

На практике поступают несколько проще. Так как при х = 2 числитель и знаменатель обращаются в 0, то 2 есть корень как числителя, так и знаменателя. Следовательно, пока мы не положили л: = 2, можно сократить на х — 2.

После этого отыскивается предел при х = 2

Таких примеров необходимо проделать несколько.

Пример 6. Найти

Решение. До перехода к пределу разделим числитель и знаменатель на х—1.

т. е. данное выражение предела не имеет.

При нахождении производной от синуса и косинуса придется найти предел когда х стремится к 0. Прежде всего заметим, что переменная х должна быть выражена в радианах, а не в градусах.

Предварительно полезно с учащимися заполнить следующую таблицу:

Следует обратить внимание учащихся, что хотя выражение при х = 0 теряет смысл, однако предел, к которому стремится эта дробь при неограниченном приближении х к нулю, принимается равным единице.

После этого можно перейти к отысканию этого предела.

Черт. 146

Пусть у>л;>0. Возьмем окружность радиуса г и центральный угол, радианная мера которого есть х. В точке А проведем касательную и сторону OB продолжим до пересечения с этой касательной. Непосредственно из чертежа Следует: S^OAB<C^ceKm<^S^OAC»

Но

Тогда

Если воспользоваться теоремой о сжатой переменной, то, так как limcosA;=l, получим lim^^=l, что и требовалось доказать.

Если — у<*<С0> то положим х = — х\ где xf положительное число. Тогда

Если теорема о сжатой переменной не была дана, то можно дать следующее доказательство. Имеем

откуда Но

Тогда

Отсюда следует неравенство ——1|<[|л;|, которое справедливо для всех значений х Ф О лишь только |*|<1-|".

\х\ может быть сделано меньше любого наперед заданного положительного числа 8. Если задано произвольное положительное число е> 0, то за 8 достаточно выбрать наименьшее из чисел в, следовательно,--1 <е> откуда hm ——=1.

Полезно привести некоторые следствия.

Положим ax = z, тогда

откуда

Когда X стремится к нулю, то и z также будет стремиться к нулю.

Следовательно,

Имеем

Следовательно,

Учащиеся сами могут доказать, что

Упражнения.

Пример 1. Найти

Ответ.

Пример 2. Найти Ответ. 0.

Пример 3. Найти

Решение.

Пример 4. Найти

Решение.

Пример 5. Найти

Решение.

Пример 6. Найти

Решение. Положим

Пример 7. Найти

Решение.

Пример 8. Найти

Решение.

§ 37. Производная.

Прежде чем дать определение и правила нахождения производной, следует привести механический и геометрический смысл ее.

Предварительно следует напомнить учащимся из курса физики определение средней скорости, скорости в данный момент времени и закон прямолинейно-равноускоренного движения.

Изложение возможно следующее. Рассмотрим прямолинейно-равноускоренное движение без начальной скорости s = ^-/tK

Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в Му а момент времени t\ в М\. Требуется найти скорость в точке М.

Найдем среднюю скорость за промежуток времени^ — t = bt. Для этого разделим приращение пути MMl = OMi — OM на соответствующее приращение времени Д£

Черт. 147

Но OMi равняется расстоянию точки от О в момент времени tu т. е. ОМ есть расстояние точки от О в момент времени

Тогда приращение пути

Средняя скорость движения точки будет

Средняя скорость меняется вместе с изменением td\ чем меньше промежуток времени Atf тем меньше будет отличаться средняя скорость от скорости, которую имеет точка в момент времени t.

Скоростью V точки в момент времени t называют предел, к которому стремится средняя скорость г»ср за промежуток времени My когда M стремится к нулю, т. е.

Мы считаем полезным найти с учащимися скорость в том случае, когда уравнение движения есть s =jt* (движение прямолинейное).

Найдем приращение пути, соответствующее приращению времени

или

Средняя скорость найдется, если приращение пути разделить на соответствующее приращение времени:

Скорость V в момент времени t найдется как предел средней скорости, когда соответствующий промежуток времени àt стремится к нулю:

На дом можно предложить учащимся найти скорость для прямолинейно-равноускоренного движения с начальной скоростью, т. е. когда

S = vQt + ±jt\

После этого следует перейти к задаче о нахождении касательной к кривой. Прежде всего надо указать, что определение касательной как прямой, имеющей только одну общую точку с кривой, справедливо только для окружности и еще для некоторых кривых, но несправедливо вообще для всех кривых. Поэтому следует дать общее определение касательной. Касательной к кривой в точке M называется предельное положение МТ секущей ММи когда точка Ми перемещаясь вдоль кривой, стремится к совпадению с М.

Следует показать, как найти касательную к параболе у = ах*. Возьмем произвольную точку M (х, у) на параболе. Придадим абсциссе х приращение Дл:. Соответствующую точку на параболе обозначим через М%. Проведем через точки M и Mi секущую. Если Ал: будет стремиться к нулю, т. е. Ni будет стремиться к N, тогда и точка Mi будет стремиться к М. Предельное положение секущей и будет касательной в точке М.

Черт. 148

Черт. 149

Уравнение касательной может быть найдено, если будет известен угловой коэффициент ее. Но угловой коэффициент касательной может быть найден как предел углового коэффициента секущей, когда Ал: стремится к 0.

Обозначим угол, который образует секущая с осью ОХ, через ß.

Тогда

Но МЯ = Дх; PM1 = N1Ml—N1P = NlMl—NM.

Ордината параболы в точке Мх будет уг = а (х -f- А*)2;

» » M » У =ах\

следовательно,

tg р = °(х + ЬхУ-™я =га(2х + Ьх) = 2ах + аД*.

Но угловой коэффициент касательной есть предел углового коэффициента секущей, когда Ьх стремится к 0. Обозначим угол, который образует касательная с осью ОХ, через а.

Тогда

tg а = lim tg ß = Hm (2ax + aäx) =*= 2ax.

Легко перейти к общему случаю, когда кривая задана уравнением y=f(x).

Угловой коэффициент касательной в точке M (х, у) будет

tga = lim tgß = lim

Некоторые методисты считают полезным, прежде чем дать угловой коэффициент касательной в общем виде, привести один или несколько примеров для частного случая.

Пример. Пусть дана кривая (парабола) У = \ х*. Требуется найти угловой коэффициент касательной к параболе в точке Л/0 (3; 1, 8).

Возьмем на параболе точку M с координатами (5, 5). Угловой коэффициент секущей будет

Будем перемещать точку M вдоль по кривой и находить соответствующие угловые коэффициенты секущих; в результате получится таблица:

Из таблицы следует, что tg ß = ^—^- стремится к 1,2, а угол ß к 50°12г, когда точка M стремится к М0 (3; 1, 8).

После таких упражнений можно перейти к выводу углового коэффициента касательной к параболе у = ах* для любой точки параболы.

После этого следует дать определение производной. Из вышерассмотренных примеров видно, что мы имели дело с одной и той же математической операцией, которая состояла в следующем.

1-й шаг. Давалось приращение аргумента Дл: для х произвольного, но вполне определенного.

2-й шаг. Находилось соответствующее приращение функции Ду.

3-й шаг. Отыскивалось частное от приращения функции на соответствующее приращение аргумента ~и

4-й шаг. Находился предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при Дл;-*0.

Все эти последовательные четыре шага можно записать в виде:

Если существует предел отношения приращения функции Ду к вызывавшему его приращению независимой переменной Дл: при стремлении Дх к нулю, то этот предел называется производной функции y=f(x) по независимой переменной х при данном ее значении (или в данной точке) х = х0.

Надо указать учащимся, что производная при данном значении х = х0, если она существует, есть вполне определенное число; если же производная существует для каждой точки промежутка, в котором задана функция, т. е. при каждом значении X из промежутка задания функции, то производная является функцией от X.

Для производной принято следующее обозначение:

Если производная существует во всем промежутке задания функции, то

/=/ч*).

Действие нахождения производной носит название дифференцирования.

Необходимо указать учащимся, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t:

а угловой коэффициент касательной есть производная от ординаты по абсциссе х.

Следует указать, что скорость изменения скорости называется ускорением J=v' = ср'(£), где v = y(t), т. е. ускорение есть производная от скорости по времени.

Определение производной, ее механический и геометрический смысл должны быть точно усвоены учащимися. Довольно часто встречаются следующие ошибки.

1) При определении производной учащиеся часто забывают, что приращение аргумента должно стремиться к 0 или что производная есть предел когда Дл;-*0, а не

2) Когда дается геометрический смысл производной, то учащиеся забывают добавлять, что точка секущей М\ должна стремиться к Му оставаясь на кривой.

Поэтому необходимо требовать, чтобы учащиеся понимали смысл и необходимость каждого слова в определении производной.

Следует также указать, что если в данной точке не существует производной или производная не единственная, то функция в данной точке не дифференцируема. Это легче всего показать на графике некоторых функций. Например, функция у =-^l-jBT04Ke х=\ не дифференцируема: тангенс угла касательной в данной точке не существует.

Черт. 150

Черт. 151

Кривая ABC в точке R имеет две касательных, следовательно, производная в точке R не существует.

Особенно увлекаться числом таких примеров не следует.

Несколько слов, по нашему мнению, надо сказать о том, что если функция непрерывна в данной точке, то она необязательно имеет в данной точке производную.

Например, функция, заданная уравнением у = х; O^x^l и у = 2— х\ 1^л:^2 в точке R имеет две различные производ-

ные в зависимости от того, как мы приближаемся к R — слева или справа, хотя функция в точке R непрерывна.

Черт. 152 Черт. 153

Функция у = /г2— л;2 (полуокружность) в точке х=г или х = — г не имеет производной (тангенс угла касательной в данной точке не существует); функция непрерывна.

§ 38. Основные теоремы о производной.

Мы считаем полезным постоянно подчеркивать необходимость соблюдать четыре „шага" для нахождения производной; и если учащиеся усвоят и привыкнут к этому, то затруднений в нахождении производной не будет.

В классе при широком участии учеников следует вывести следующие теоремы.

Теорема 1. Производная постоянного числа равна 0.

Доказательство. ПycTbj/ = c.

1-й шаг. Дадим приращение независимому переменному Дх. 2-й шаг. Найдем соответствующее приращение функции

Ду =Уъ —ух = с — с = 0.

3-й шаг. Находим отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента:

*Z = ± = 0 ах Дл: и#

4-й шаг. Находим предел когда Да: стремится к 0:

v'= lim ^= lim 0 = 0

(предел постоянного числа равняется ьх-ьо^х ддг-о самому постоянному числу), т. е. если у= с, то У = 0, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Производная суммы конечного числа функций, имеющих производные в определенной точке, равняется сумме производных функций в той же точке.

Доказательство. Докажем для двух функций:

y=u-\-tü.

1-й шаг. Дадим приращение независимому переменному Дл: и найдем новые значения функции и + Дй; v-\-àv.

2-й шаг. Находим приращение функции у:

Ду = {и -f Ай -f- V + Дг/) — (и +1/) = Ди + Дг>.

3-й шаг. Находим отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента:

4-й шаг. Найдем предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда Да: стремится к 0.

т. е.

Теорема 3. Производная произведения двух функций, имеющих производную в данной точке, существует и равняется сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую функцию:

(av)f = vCv -f- Vu.

Доказательство.

1-й шаг. Дадим приращение Дл: аргументу х.

2-й шаг. Найдем соответствующее приращение функции:

или

3-й шаг. Найдем отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента:

4-й шаг. Найдем предел т^, когда Дл: стремится к 0:

Примечание. При доказательстве теорем необходимо требовать обоснование всех действий, например, предел суммы нескольких переменных равняется сумме пределов, предел произведения двух переменных равняется произведению пределов и т. д. Необходимо также указывать, что согласно условию теоремы производная в данной точке существует.

Доказательство всех теорем учащиеся могут проводить самостоятельно в классе под руководством преподавателя.

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е. (су)' = су'.

Действительно,

(uv)r = u'v -j- Vu.

Если

y = u\ v = c, то г/ = 0,

откуда

{cy)' = cy\

Теорема 4. Производная частного у = —, где производные и' и vr в данной точке существуют и v^O, равняется

Доказательство.

1-й шаг. Дадим приращение независимому переменному Дл\ 2-й шаг. Найдем приращение функции

3-й шаг. Найдем отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента

4-й шаг. Найдем предел ^, когда Дл;-*0.

Примечание. Производная частного хотя не включена в программу, но, по нашему мнению, ее желательно привести, так как это позволит показать применение производной к решению многих интересных вопросов.

§ 39. Производная степенной функции.

В § 37 были рассмотрены производные функции у=х* и у = хъ. Покажем, как найти производную функции у = хт> где m натуральное число.

Так как учащиеся не знакомы с биномом Ньютона, то воспользуемся следующим приемом.

Имеем

Если y = xi) то воспользуемся формулой для производной произведения двух функций:

Тогда

и вообще, если то

где m натуральное число. Действительно,

Производная от степенной функции у = хк, где k любое действительное число, не включена в программу. Мы считаем все же возможным дать нахождение -производной функции

У=/х.

Найдем отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента:

Помножим числитель и знаменатель на сопряженную величину числителя:

Следовательно,

Данная формула справедлива для всех значений л;]>0; при х = 0 производной не существует.

§ 40. Производная тригонометрических функций.

Нахождение производной от синуса и косинуса не затрудняет учащихся. Пусть у = sin х. Возьмем произвольное, но определенное значение аргумента х и дадим ему приращение Дх

Найдем соответствующее приращение функции:

Отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента будет

Тогда

Но

следовательно, т. е.

Примечание. Аргумент х должен быть выражен в радианной мере.

Аналогично находится и производная у = cos х:

следовательно,

Если была доказана теорема о производной частного, то легко может быть найдена производная тангенса и котангенса:

Аналогично находится производная котангенса:

Точно так же, как для sinx и cosx, может быть найдена производная функции y=sinmx и y = cosmx. Имеем

следовательно,

Тогда

Учащиеся сами могут найти, что (cosmA;)' =— msinmx.

Упражнения.

Задача 1. Найти касательную к параболе у = ах* в точке х01у0.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, будет

y—y0 = k(x — x0).

Найдем угловой коэффициент касательной:

k — V = lim ~ — 2ах.

Следовательно, уравнение касательной к параболе будет

так как у0 = ахЪ. Заметим, что

Черт. 154

Таким образом, чтобы получить касательную к параболе в ее точке M, достаточно разделить пополам отрезок ОР и середину его соединить с точкой М.

Задача 2. Определить угол между двумя прямыми, уравнения которых

y = kx-\-b и y=kxx-\-bx.

Решение. Обозначим углы, которые образуют прямые с положительным направлением оси OXt

через а и ttj.

Угол между этими прямыми будет:

6 = ai — а.

Из уравнений прямых известны тангенсы этих углов: & = tga, k1=tga1. Найдем тангенс угла 6:

Черт. 155

Если прямые параллельны, то 6 = 0.

Тогда tg0 = 0, откуда следует, что kx — k = 0 или kx=k. Если прямые взаимно перпендикулярны, то 6 = 90°, следовательно, tg6 = oo, т. е. \-\-kkx=0 или

Задача 3. В какой точке касательная к параболе у = х*-\-4х параллельна оси ОХ?

Решение. Угловой коэффициент касательной будет

j/ = 2x + 4.

Условие параллельности касательной оси ОХ будет

kl = k = Ot

откуда

2*+ 4 = 0; х = — 2; у = — 4.

Задача 4. В какой точке касательная к параболе у = х*—2лг+5 перпендикулярна к биссектрисе нормального координатного угла?

Решение. Условие перпендикулярности двух прямых

l+kkt = 0. k=y = 2x — 2; kx — \.

Следовательно,

Задача 5. Определить, под каким углом кривая y = sinx пересекает ось ОХ.

Решение. Угол, который кривая образует с прямой, равен углу между прямой и касательной к кривой, проведенной в точке пересечения.

Угловой коэффициент касательной есть

k = tg а = (sin х)' = cos X.

Синусоида пересекает ось ОХ в точках: ... 0; тс, 2ir, Згс; ..,

В точке

х = 0\ k = 0; &1 = cos0= 1,

следовательно,

В точке

Задача 6. Найти касательную к окружности в точке х0у у0.

Решение. Уравнение касательной, проходящей через точку *о> Уо, будет

У— У о =yi(x — x0). Найдем угловой коэффициент касательной, т. е. у':

следовательно,

т. е. Тогда

Но Хо-\-уЬ = г2, следовательно, уравнение касательной к окружности в точке х0, у0 будет xxQ -f уу0 — г2 = 0.

Задача 7. Под каким углом пересекается окружность л*2+у2 = 20 с параболой у = л;2?

Решение. Найдем точку пересечения параболы с окружностью. Исключив из данных уравнений у, получим:

x2 -fx4 = 20,

откуда

Уравнение касательной к окружности будет

2х + 4у = 20.

Угловой коэффициент касательной в точке (2,4) будет

Угловой коэффициент касательной к параболе в точке (2,4) будет

k = 4.

Следовательно,

Аналогично можно найти угол между данными кривыми в точке ( — 2, 4).

§ 41. Возрастание и убывание функции.

Вопрос о возрастании и убывании функции рассматривался неоднократно при изучении линейной, квадратичной, показательной и логарифмической функций.

Было указано, что функция называется возрастающей в достаточно малой окрестности точки х, если |^>0, и убывающей, если g<0.

Будем говорить, что функция возрастает (убывает) в данной точке, а следовательно, и в достаточно малой окрестности данной точки, если lim ^=у^>0, и убывающей, если lim т^ = У<о.

Следует напомнить учащимся, что если функция возрастает в каждой точке данного промежутка, то она возрастает во всем промежутке; если функция убывает в каждой точке, то она убывает и во всем промежутке.

Связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически очевидна. Как уже было указано, производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции.

Черт. 156

Черт. 157

Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею идет ли вверх или вниз сама кривая.

Заметим, что в отдельных точках касательная может быть параллельна оси ОХ, т. е. тангенс угла касательной равен нулю.

В следующем параграфе будет более подробно рассмотрен тот случай, когда производная равна нулю в некоторых точках.

Следует напомнить учащимся, что если функция y—f(x) возрастает в каждой точке промежутка, то она называется монотонно возрастающей; для нее f(x)^0.

Для монотонно убывающей функции в данном промежутке имеем f(x)^0.

Прежде чем перейти к максимуму и минимуму функции, необходимо проделать ряд примеров на определение возрастания и убывания функции.

Пример 1. Определить, возрастающая или убывающая функция у = ах J- b.

Решение. У = а.

Если а>0, то У>0, функция у возрастает в промежутке — оо...-)-00;

если а<^0, то функция убывает в промежутке —оо... -[-оо.

Пример 2. Определить, возрастает или убывает функция у = ах*.

Решение. у = 2ах. Если а>0, то функция возрастает в промежутке 0... -f- со и убывает в промежутке — оо... 0.

Если а<^0, то функция убывает в промежутке O...-f-оо и возрастает в промежутке — оо... 0.

Примечание. В данных примерах и в последующих желательно все выводы пояснять чертежом.

Пример 3. Определить промежутки возрастания и убывания функции у = ах2 -\-bx~\~c.

Решение. У = 2ах-f-b.

Производная будет положительной, когда 2ах-\-Ь^>0. Если а>0, то 2а*-f 6>0, когда — -дт;

2ал; + *<0, когда х<— следовательно, при а>0 функция

в промежутке — оо... <— -s- убывает;

— <... + 00 возрастает.

Рассмотреть случай, когда а<^0.

Пример 4. Определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x*.

Решение, f (х) = 5х1\ функция возрастает в промежутке

— оо ... -f- оо.

Пример 5. Определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = х* 4- 2л:3 — 4.

Решение. / (х) = 5а:4 -f 6л:2; функция возрастает в промежутке — оо...-}- оо.

Пример 6. Определить промежутки возрастания и убывания функции /(х) = 2х'а — 9 а:2 + 12л: — 10.

Решение. f(x) = 6x2 — 18лг+ 12;

6а:2— 18а:+12>0;

а:2 —За: + 2>0; 6(*——2)>0.

Функция убывает в промежутке 1<С#<[2, возрастает

— оо...а:<0; 2<dx.. .-f-°°-

Пример 7. Определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x* — 2х* — 3.

Черт. 158

Решение. f(x) = 4x* — 4x. Решим графически неравенство 4л:3 — 4л: >0; (х+1)*(х-1)>0; убывает — оо... — 1 ; возрастает —

убывает #...-)- 4; возрастает к... -f- оо.

Пример 8. Определить, возрастает или убывает функция у —sin X.

Решение, у' = cosх.

Внутри промежутка 0...у cosx^O, следовательно, У>04 т. е. функция возрастает

функция убывает; функция возрастает и т. д.

Пример 9. Определить возрастание и убывание функции у = $>\птх\ т^>0.

Решение. у' = тcosтх.

У>0, когда cos//a:>0, т. е. когда 0</ял:<^,

или 0<х<2^-,

т. е. у = $'ттх возрастает в промежутке ®<СХ<С^< У<^0, когда cos/юс < О, т. е. когда j<C^x<C^

7С ^ ^ ЗтГ

или ^<><^,

т. е. j/ = sin/7u: убывает в промежутке ^<С^Х<^^Г У>0, когда cos/ял: > О, т. е. когда ^<Стх<С^

Пример 10. Определить возрастание и убывание функции y = cosmx; т^>0.

Пример 11. Доказать, что функция y = tg х, где

*9*(2*+l)|,

есть функция возрастающая, и функция у = ctg где л;?=£я;, есть функция убывающая.

Примечание. Не следует переходить к максимуму и минимуму функции до тех пор, пока вопрос о возрастании и убывании функции не будет хорошо усвоен учащимися. Число примеров, которые следует решить с учащимися, зависит от подготовки класса и от того, как был рассмотрен этот вопрос в предыдущих классах.

§ 42. Отыскание максимума и минимума функций при помощи производной.

Вопрос о максимуме и минимуме функции был рассмотрен в § 25.

Покажем, как используется производная для отыскания максимума и минимума функции.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в промежутке [а, Ь] и имеет конечную, непрерывную производную f(x) для каждой точки внутри данного промежутка.

Точкой максимума (минимума) называется такая точка, в которой функция из возрастающей (убывающей) становится убывающей (возрастающей), т. е. в случае максимума для промежутка х0 — h ... х0 имеем

В силу непрерывности первой производной должно быть f(x0) = 0, т. е. в точке х0 производная функции принимает значение равное нулю. Геометрически это обозначает, что касательная в этой точке параллельна оси ОХ.

Черт. 159 Черт. 160

Аналогично можно показать, что в точке минимума производная функции равна нулю.

Таким образом, если функция в точке х0 имеет максимум, то производная f(x) при значении х<^х0 имеет знак -|"» ПРИ х = х0 f(x0) = 0, а при х^>х0 имеет знак минус,

f(x)^>0 при x<CxQ; f(x0) = 0\ f(x)<^0 при x^>x0t

т. е. производная меняет свой знак с плюса на минус в достаточно малой окрестности х0.

Если функция f(x) в точке х0 имеет минимум, то производная /(х)<0 для значений х<^х0; f(xQ) = 0; f(x)^>0 при x^>xQ, т. е. производная меняет свой знак с минуса на плюс.

Надо добиваться, чтобы учащиеся, пока не приобретут твердых навыков, при решении каждой задачи повторяли эти рассуждения.

Заметим, что если производная не меняет своего знака, а при х = х0 равна нулю, то функция в данной точке не имеет ни максимума, ни минимума. Легко показать на черт. 161, что если

/(*)>о *Оо; /Ч*о)=0; /Ч*)>о

т. е. функция в окрестности данной точки х0 все время возрастает.

Точно так же следует показать, что когда для значений х<С,х0 и х^>х0 производная отрицательна, а при х = х0 равна нулю, то в точке х0 функция не имеет ни минимума, ни максимума.

Итак, условие, что производная равна 0 при х = х0, есть необходимое, но не достаточное условие; для того, чтобы был максимум или минимум функции в данной точке, производная функции должна изменить свой знак в достаточно малой окрестности.

Можно дать следующее правило для нахождения максимума и минимума функции:

1) находится первая производная;

2) первая производная приравнивается нулю и решается полученное уравнение, т. е. находятся корни х0\ х'0; х"0 ... первой производной;

3) определяется, меняет ли свой знак производная для значений х0 — h и лго + А, где х0 есть корень производной, a h достаточно малая величина. Изменение знака производной нужно определить для каждого корня производной.

Вывод. Если /Ч*о — А)>0, а /Ч*о + А)<0, то в точке х0 функция имеет максимум; если f(x0 — А)<0, a f\xQ -f- А)>0, то в точке х0 функция достигает минимума.

Черт. 161

Черт. 162

Если производная не меняет своего знака, т. е. f(x0— А)^0 и /' (*<> + h) ^ 0, то функция в данной точке х0 не имеет ни максимума, ни минимума. Если f(x0 — а)<10 и/(а:о + а)<0, то функция в окрестности точки х0 убывающая; если

/Ч*о-А)>0 и /(*в + Л)>0,

то функция возрастающая, хотя производная в точке х0 равна нулю.

Случай, когда функция в данной точке претерпевает разрыв или когда производная в данной точке не существует, в средней школе не рассматривается.

Мы считаем возможным дать и второе правило нахождения максимума и минимума функции при помощи второй производной. Согласно вышесказанному, функция при х = х0 имеет максимум, если

xQ — h

Xq

*o + A

m

возрастает положит.

f(x0) = m

f(Xo) = 0

убывает отрицат.

Первая производная непрерывна, и так как в промежутке х0 — A, x0-\-h она из положительной становится отрицательной, проходя через нуль, то ее производная, т. е. вторая производная функции, будет отрицательна.

Таким образом, в случае максимума

Xo — h

Xq

x0-\-h

№ /'(*) fix)

возрастает положит. убывает

f(x0) = m f(x0) = 0 Г(х0)<0

убывает отрицат. убывает

т. е. в случае максимума в точке лг0, вторая производная функции отрицательна.

Аналогично можно вывести, что в случае минимума вторая производная функции в точке х0 положительна.

В случае минимума

x0 — h

Xq

/(*) f{x)

убывает отрицат. возрастает

f(x0)=m /(*.)=0 /'(*о)>0

возрастает положит. возрастает

Случай, когда вторая производная в данной точке равна нулю, не следует рассматривать в средней школе; если /'(л;0) = 0, то следует определять максимум и минимум функции на основании первого правила.

С учащимися следует решить ряд примеров на отыскание максимума и минимума функции.

Пример 1. Найти максимум и минимум функции у = ах + Ь.

Решение. У = а. Производная равна постоянному числу; в нуль не обращается. Линейная функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример 2. Найти максимум и минимум функции

у = 2х* — 4л; + 6.

Решение. У = Ах — 4. Приравниваем производную нулю:

Ах — 4 = 0, откуда х=\.

Определим, меняет ли знак производная для значений меньших и больших 1.

Положим х = 0, тогда /(0) = —4<0; при х = 2

/(2) = 8 —4>0.

Производная изменила свой знак с минуса на плюс; следовательно, при х=1 функция имеет минимум

J>mhh = 2. 1-4 + 6 = 4.

Примечание. Если производная имеет только один корень, то для значений больших и меньших, чем корень производной, можно выбрать наиболее удобные значения. Если производная имеет несколько корней, то необходимо производить испытание изменения знака производной для каждого корня, выбирая значения X такие, чтобы между ними находился только один корень производной.

Пример 3. Найти максимум и минимум функции у = хг + 2.

Решение. Первая производная У = Зл;*. Корень производной равен нулю.

Определим, меняет ли производная свой знак.

/(-1) = 3>0; /Ч+1) = 3>0.

Производная не меняет своего знака, функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример 4. Найти максимум и минимум функции

у = х* — 2л:2 + 2.

Решение. Находим первую производную У = 4л:3 — Ах. Приравниваем первую производную нулю:

4л:3 —4х = 0.

Корни первой производной будут:

Л = 0; X = 1 ; X = — 1.

Определим, будет ли функция в данных точках иметь максимум или минимум. Для х = — 1.

/(-2)<0; /Ч-1)=0; /(-0,5)>0;

функция при х = —1 имеет минимум.

Для х = 0.

/(_0,5)>0; /Ч0) = 0; /(0,5)<0;

функция при х = 0 имеет максимум. Для х=1.

/(0,б)<0; /(0=0; /(2)>0;

функция при х=1 имеет минимум.

Определим максимум и минимум при помощи второй производной f(x)= 12л:2 — 4:

при х-—1 /'(—1)>0 минимум л; = 0 /"(0)<10 максимум

л:=1 /ЧО^О минимум

Пример 5. Найти максимум и минимум функции

д; = sin X.

Решение. Найдем первую производную

у = cos X.

Приравняем первую производную нулю. Корни первой производнои будут ... — у ; — у ; у ; у I у >"

Так как j/=sinA: функция периодическая, то рассмотрим ее в промежутке от 0 до 2тс.

В этом промежутке корнями производной будут | и у, Для каждого корня определим, меняет ли знак производная.

функция у = sin X достигает максимума при

функция достигает минимума при х = у .

Определим максимум и минимум функции при помощи второй производной f (х) = — sin л:.

следовательно, при * = у функция имеет максимум,

следовательно, при х = -<у функция имеет минимум.

Пример 6. Найти максимум и минимум функции

j/ = cos а:.

Пример 7. Найти максимум и минимум функции у = sin 2л;.

Решение. Найдем первую производную У = 2 cos 2х. Приравняем первую производную нулю 2 cos 2х = О и найдем корни ... —~; -J-; -j; -j-. Период данной функции будет тс, поэтому рассмотрим только корни х и Т • Определим знак производной для значений

при х=-х функция достигает максимума;

при X=-j- функция достигает минимума.

При помощи второй производной F(x) = — 4 sin 2х.

функция при х = -~ имеет максимум;

/'(Ç) = _4sinÇ>0;

функция при х=^ имеет минимум.

Пример 8. Найти максимум и минимум функции j/ = sin x-{-cosx.

Решение. Находим первую производную у = cos х — sin х.

Корни ее будут ... — т; т; т; ...

Найдем максимум и минимум при помощи второй производной у" = — sin л: — cos X,

при х = ^ функция достигает максимума;

при х = -£ функция достигает минимума.

Полезно с учащимися определить максимум и минимум функции у = ах1 -\-bx* с> когда коэффициенты a, b и с имеют определенные числовые значения. Все задачи, приведенные в § 25, следует решить еще раз, используя производную для отыскания максимума и минимума функции.

§ 43. Степенная функция.

Степенная функция не включена в программу средней школы. В настоящее время, когда учение о производной будет дано в X классе, некоторые свойства степенной функции могут быть выведены в процессе изучения производной. Мы не думаем, что степенную функцию следует выделять в особую тему; достаточно решить несколько задач, которые позволят сделать исчерпывающие выводы относительно этой функции.

\)у = х*. Область изменения аргумента — oo...-j-оо. Производная У = 2х в промежутке О ... -f~ оо больше нуля, следовательно, функция в этом промежутке возрастает.

У<^0, если —оо ... X ... О, т. е. функция у = х* убывает в этом промежутке. При х = 0у у' — 0. Легко показать, что при х — 0 функция достигает минимума.

Черт. 163

График функции будет (черт. 163).

2) y = xi. Область изменения аргумента —оо ... -f °°- Производная у = 4хг. При х^>0 У>0, при *<[0 У <0, т. е. в промежутке 0 ...-[- оо функция возрастает, в промежутке — оо ... О функция убывает. При д; = 0 функция достигает минимума. График функции показан на черт. 164.

3)у = х'а. Область изменения аргумента — оо ... -[- оо. Производная функция У = = 3л;2^>0 при всех значениях х, кроме х = 0. Производная для значений х немного меньше и немного больше нуля, не меняет своего знака; следовательно, функция у = х3 во всем промежутке —оо ...-)-сю есть функция возрастающая. График функции приведен на черт. 165.

Учащиеся сами смогут вывести свойства функций

у = хы и y = x*n+l (п — натуральное число).

Черт. 164

4) У — — . Область изменения аргумента — оо... S... -f- оо. Производная имеет вид

Черт. 165

при всех значениях х, кроме х = 0, при котором производная и функция не определены. Так каку<0, то функция убывает. График функции имеет вид (черт. 166).

Область изменения аргумента — оо Производная

Черт. 166

У<^0, если X изменяется в интервале & ... 4~°°'» функция убывает.

У>0, если X изменяется в интервале—оо ...в; функция возрастает.

График функции приведен на черт. 167.

Черт. 167

6) у = ]/х. Область изменения аргумента 0 ... х ... -f- оо.

Производная У = - р= всегда больше 0; (л; Ф 0),

следовательно, функция возрастает (при х = 0 производная функции не существует).

7) у = $/гх. Область изменения аргумента —оо ... -\-оо. Найдем производную

Помножим числитель и знаменатель на сопряженную величину числителя

При х = 0 производная не существует. При всех значениях X (л* ^£ 0) производная положительна, функция возрастает.

График функции приведен на черт. 168. Учащиеся сами могут рассмотреть свойства и построить график функции у = ]/х2.

На дом можно задать построение графика одной из данных функций. Много затруднений возникает при исследовании и построении графика функцииj; = axk-\-bxÇLArс.

Если воспользоваться производной, то исследование данной функции не представляет труда. Достаточно рассмотреть несколько частных случаев; только сильным учащимся можно предложить рассмотреть в общем виде данную функцию.

Пример 1. Исследовать и построить график функции

у = хЬ — 2х\-\-2.

Решение. Область допустимых значений аргумента

Первая и вторая производная будут

f(x) = 4x* — \х\ /'(*)= 12*2 —4.

Корни первой производной будут

*! = — 1; х.2 = 0; х8 = + 1. Г(-1)=12-4>0, т. е. при х-—1 функция достигает минимума;

/"(0) = -4<0, т. е. при л; = 0 функция достигает максимума;

/'(1)=12-4>0,

т. е. при х=\ функция достигает минимума.

График функции приведен на черт. 169. Примечание. Если не дано правило определения экстремума при помощи второй производной, то следует применить первое правило.

Пример 2. Исследовать и построить график функции

Черт. 168

Решение. Область задания функции — оо ... 4-00. Первая и вторая производная будут

/ (*) = 4х3 + 2х = 2х (2х2 + 1 ); f (х) = 12х* + 2.

Корень первой производной л;1=0.

Следовательно, при л; = 0 функция имеет минимум.

График функции приведен на черт. 170.

Пример 3. Исследовать и построить график функции

у = 2х* — 4%2 + 1.

Решение, f (х) = 8х3 — 8х;

f(x) = 24x* — 8.

Корни первой производной хх = —1; х2 = 0;

Найдем значения второй производной.

/"(_ 1) = 24 — 8>0, т. е. функция в данной точке имеет минимум;

/»(0) = -8<0, в данной точке функция имеет максимум;

/"(+1) = 24-8>0,

функция в данной точке имеет минимум.

Найдем точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции приведен на черт. 171.

После этого сильные учащиеся смогут исследовать функцию в общем виде:

y = axlJr bx*Ji с.

Черт. 170

Черт. 171

Часть II.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.

Преподавание геометрии в VIII—X классах средней школы способствует достижению тех общих целей, которые стоят перед обучением геометрии в средней школе. Учитывая возрастные особенности учащихся старших классов, развитие геометрических представлений, логического мышления, полученные в предыдущих классах школы, необходимо ввести некоторые изменения в методы преподавания в VIII, IX и X классах, по сравнению с работой в V —VII классах.

Необходимо усилить внимание к выявлению внутренних логических связей между геометрическими понятиями, знакомить учащихся с логической структурой геометрии, с ролью основных понятий, определений, аксиом, теорем, с теоремами существования и их ролью при введении новых понятий. Учащимся следует подчеркнуть, что, определяя длину окружности, площадь круга, объем пирамиды и т. д. как предел последовательности, необходимо доказать, что предел данной последовательности существует; вводя определение параллельности прямой и плоскости, необходимо доказать существование указанного взаимного положения прямой и плоскости.

Начиная изучение данной темы, необходимо указывать задачи, стоящие при изучении, связь данной темы с другими темами. Например, приступая к изучению темы „Площади многоугольников," следует указать связь задачи отыскания площади многоугольников с задачей измерения отрезков, особенности новой задачи. Учитывая достаточный запас полученных знаний по геометрии, необходимо усилить внимание к практическому их приложению в связи с стоящими перед школой задачами политехнического обучения.

Глава I.

ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ В VIII и IX КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ.

Программа средней школы на 1956/57 учебный год указывает следующее расположение тем.

VIII класс.

I. Отношение и пропорциональность отрезков. В эту тему входит:

а) измерение отрезков;

б) теоремы о пропорциональных отрезках;

в) свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

II. Гомотетия и подобие. В эту тему входит:

а) преобразование данной фигуры в гомотетичную ей;

б) подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Подобные многоугольники;

в) решение задач методом подобия.

III. Метрические соотношения в треугольнике и круге.

В эту тему включены тригонометрические функции острого угла.

IV. Измерение площадей многоугольников.

V. Практические занятия.

Применение тригонометрических функций к определению недоступных высот и расстояний. Мензульная съемка. Пользование поперечным масштабом. Определение площади земельного участка.

Как показывают приведенные темы, основное содержание курса планиметрии VIII и IX классов составляют вопросы измерения величин, метрические соотношения между элементами фигур. Только в тему „Гомотетия и подобие" и в тему „Правильные многоугольники" входят, кроме того, вопросы преобразования фигур (подобное преобразование многоугольников), взаимного положения фигур (окружности, вписанные и описанные около правильных многоугольников).

§ 1. Измерение отрезков.

Как отмечено выше, этот вопрос входит в первую тему „Отношение и пропорциональность отрезков", с изучения этого вопроса начинается курс геометрии VIII класса.

Измерение отрезков есть одна из задач измерения величин.

„Геометрической величиной называется такая совокупность геометрических образов, которой присущи следующие три свойства (эти геометрические образы в отдельности образуют различные значения данной величины).

1. Сравнимость, т. е., если даны два значения какой-нибудь величины, то между ними имеет место одно из соотношений: „равно", „больше" и „меньше".

2. Слагаемость, т. е., если даны два значения какой-либо величины, то можно найти вполне определенное третье ее значение, которое называется их суммой.

3. Непрерывность".1

„Отрезки, углы, двугранные углы и дуги образуют четыре различных класса геометрических величин". Задача измерения величин состоит в том, чтобы каждому значению величины сопоставить определенное положительное число, удовлетворяющее определенным условиям.

Задача измерения длины отрезка в общей форме состоит в следующем: „поставить каждому отрезку в соответствие положительное число, называемое длиной отрезка и обладающее следующими свойствами:

а) Равным отрезкам соответствует одна и та же длина, т. е. длина отрезка не изменяется при его перемещении (свойство инвариантности)".2

б) Длина суммы отрезков равна сумме длин слагаемых отрезков (свойство аддитивности).

в) Некоторому произвольно выбранному отрезку соответствует длина, равная единице.

Решение этой задачи приводит к необходимости расширения числовой области, введению новых чисел, иррациональных. Поэтому измерение отрезков в геометрии должно изучаться параллельно с введением понятия иррационального числа в курсе алгебры, что учтено программой по алгебре: понятие об иррациональном числе входит в первую тему курса алгебры VIII класса „Степени и корни".

В учебной литературе предлагаются два пути изучения измерения отрезков.

Первый путь, наиболее распространенный, предлагается в учебнике А. П. Киселева. В основу измерения отрезков здесь положен чисто геометрический способ отыскания наибольшей меры двух отрезков, способ последовательного откладывания. Этот способ имеет большую историческую давность, он был найден греческим геометром Евклидом в III веке до новой эры. Этим способом устанавливается существование несоизмеримых отрезков.

1 С. А. Богомолов. Геометрия, систематический курс, Учпедгиз, М. — Л., 1949.

2 Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. I, Гостехиздат, M., 1948.

Второй путь изучения измерения отрезка изложен в учебнике геометрии Н. А. Глаголева.1 В зтом случае процесс измерения отрезков идет по пути образования десятичных дробей, из понятия иррационального числа приходят к понятию несоизмеримых отрезков; существование несоизмеримых отрезков не доказывается.

Изучение начинается с рассмотрения измерения отрезков, предварительно формулируется аксиома Архимеда, ставится задача точного измерения отрезков, при этом рассматриваются три случая:

1) единица измерения укладывается в данном отрезке целое число раз;

2) единица измерения укладывается некоторое число раз, и остается остаток, меньший единицы. Рассматривается следующий процесс измерения: на остатке откладывается десятая доля единицы, на новом остатке сотая доля и т. д. до тех пор, пока не будет остатка. В результате получается конечная десятичная дробь;

3) единица измерения укладывается некоторое число раз, и остается остаток, меньший единицы. Рассматривается такой же процесс измерения, как в предыдущем случае, но всякий раз получается некоторый остаток. В результате получается бесконечная десятичная дробь. Не вводится понятие общей меры, не рассматривается нахождение наибольшей меры способом последовательного отложения. Вводятся следующие определения: отрезок А называется соизмеримым с отрезком В, если длина отрезка А выражается рациональным числом, когда за единицу измерения принят отрезок В. Отрезок А называется несоизмеримым с отрезком В, если длина отрезка А выражается иррациональным числом, когда за единицу измерения принят отрезок В.

Рассматривается переход от одной единицы измерения к другой. Вводится отдельный раздел, посвященный вопросу „Пропорциональные отрезки". В этом разделе рассматривается отношение двух отрезков. Определение отношения дается такое же, как и в учебнике А. П. Киселева; доказывается, что отношение двух отрезков не зависит от единицы измерения. Дальше рассматривается пропорция, составленная из четырех отрезков, свойства пропорций, производные пропорции, свойство ряда равных отношений, вводится понятие среднего пропорционального отрезка между двумя данными отрезками.

В объяснительной записке к новой программе 1956/57 учебного года предлагается путь изучения раздела об измерении отрезков, в основном совпадающий с изложением этого материала в учебнике Н. А. Глаголева.

Проведем сравнительный анализ изложения измерения отрезков в обоих учебниках.

1 Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1954.

Как указывалось раньше, изложение данного вопроса в учебнике А. П. Киселева построено так, что учащиеся на уроках геометрии чисто геометрическим путем приходят к необходимости введения нового числа, иррационального.

Отметим следующие недостатки рассматриваемого пути изложения: много времени занимает вопрос об отыскании наибольшей общей меры двух отрезков способом последовательного отложения, этот способ нелегко дается учащимся, они не знакомы с его прототипом „методом последовательного деления" при отыскании наибольшего общего делителя чисел. Кроме того, в учебнике Киселева недостаточно выделен основной вопрос „Измерение отрезков", мало внимания уделяется вопросу об отношении отрезков, не введено понятие „пропорциональные отрезки".

В учебнике Глаголева основное внимание уделяется измерению отрезков; процесс измерения идет наиболее естественным путем, откладываются единица длины и ее доли, в то время как в учебнике Киселева, чтобы найти длину отрезка, предлагается предварительно найти наибольшую общую меру данного отрезка и единицы измерения. В учебнике Глаголева рассматриваются основные законы измерения, т. е. те свойства, которыми должна обладать длина отрезка. Нельзя только согласиться с отказом от употребления термина „общая мера", имеющего большое применение и при решении задач, в которых задано отношение отрезков. Например, при решении задачи: а:Ь = 3:5, где а и b отрезки, сумма которых равна 40 см, удобнее всего положить а = 3т, Ь = 5т, где m — их общая мера; общая мера имеет своим аналогом в арифметике общий делитель. Введение понятия общей меры отрезков сделает ненужным доказательство теоремы, приведенной в учебнике Глаголева: „Если отрезок А соизмерим с отрезком ß, то и отрезок В соизмерим с отрезком Л".

Возможны оба пути изучения измерения отрезков.

Рассмотрим примерный план изучения темы по учебнику Глаголева, введя соответствующие изменения.

Первые два урока посвящаются измерению отрезков, в результате которого получается или целое число, или конечная десятичная дробь, или бесконечная десятичная дробь. Следует на этих уроках ввести понятие общей меры отрезков, указать, что в случае, когда в результате измерения отрезка получается целое число, общей мерой данного отрезка и отрезка, длина которого равна единице, служит единица длины или любая ее доля; в случае, когда получается конечная десятичная дробь, общей мерой служит десятичная доля единицы или любая ее доля, например: если длина данного отрезка равна 2,457 единицы, то наибольшей общей мерой будет -^щ единицы; в случае, когда получается бесконечная периодическая дробь,

наибольшей общей мерой является определенная доля единицы, так как любая периодическая дробь может быть обращена в обыкновенную (учащимся следует указать, что в курсе IX класса это положение будет доказано). Например, дробь 0,666.... = у. Если длина отрезка равна 1,666..., то наибольшая общая мера данного отрезка и единицы длины равна i единицы.

Необходимо сопровождать измерение чертежами, например, в последнем случае предложить взять два отрезка: один в 20 см, другой в 12 см, и найти измерением длину первого отрезка, приняв второй за единицу длины. Определение общей меры вводится общепринятое. Соответствующим образом следует изменить и определение соизмеримых и несоизмеримых отрезков. При таком плане изучения возникает потребность в более раннем введении понятия иррационального числа.

Необходимо дать доказательство существования несоизмеримых отрезков, которое может быть осуществлено после того, как на уроке алгебры будет доказана теорема о том, что /2 не может быть равен никакому рациональному числу. Можно дать доказательство, отличное от доказательства, приведенного в учебнике А. П. Киселева (ч. I, стр. 13).

Следующие уроки посвящаются вопросам о переходе от одной единицы измерения к другой, об отношении двух отрезков и повторению свойств пропорции в применении к пропорциональным отрезкам, рассматриваются производные пропорции, свойство ряда равных отношений.

Доказательство теоремы о переходе от одной единицы измерения к другой в общем случае, когда данный отрезок несоизмерим с единицей длины, возможно провести после того, как учащиеся познакомятся с произведением иррациональных чисел. Последнее, согласно программе, будет пройдено после темы „Измерение отрезков".

Поэтому можно ограничиться доказательством для случая соизмеримости данного отрезка и единицы измерения, новой единицы измерения и данной.

При изучении измерения отрезков по учебнику Киселева целесообразно начать изложение с рассмотрения процесса измерения отрезков, отчасти знакомого учащимся, рассмотренного в учебнике Глаголева, указать на неточность обычного измерения, затем поставить задачу найти ту долю единицы, которая может быть уложена в данном отрезке целое число раз. Прежде чем перейти к отысканию наибольшей общей меры отрезков, следует указать на аналогию этой задачи с задачей отыскания наибольшего общего делителя двух чисел, познакомить учащихся на частном примере с нахождением наибольшего общего делителя двух чисел способом последовательного деления. После доказательства теоремы о несоизмеримости диагонали

квадрата с его стороной следует рассмотреть измерение отрезка, несоизмеримого с единицей длины.

Остановимся на формулировке аксиомы Архимеда и ее значении. В теоретических курсах в большинстве случаев аксиома Архимеда формулируется так: каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такое кратное меньшего отрезка, которое превосходит больший отрезок.

На основании приведенного положения можно доказать, что если а^>Ь, то существует одно и только одно такое целое положительное число т, что mb^ а<^(т -)- \)В.

В учебнике Глаголева дана следующая формулировка аксиомы Архимеда: если даны два любых отрезка AB и CD (AB^>CD), то на прямой AB можно отложить от точки А отрезок CD последовательно столько раз, что получится отрезок AF, больший или равный AB.

Делается заключение: значит, можно найти такое целое число /г, при котором будут верны неравенства: п • CZ)< AB; (n + 1) CD > AB.

В учебнике Киселева: как бы велик ни был больший отрезок (Л) и как бы мал ни был меньший отрезок (£), всегда, откладывая меньший на большем последовательно 1, 2, 3 и так далее раз, мы получим, что после некоторого т-го отложения или не получится никакого остатка, или получится остаток, меньший меньшего отрезка (5).

Из приведенных формулировок следует предпочесть последнюю, хотя она и содержит лишнее условие, так как она дает представление о неравенствах Вт<^А и В(т+\)^>А, используемых при измерении.

Следует указать учащимся, что аксиома Архимеда утверждает, что процесс отложения всегда возможен, что всегда возможно отложить конечное число раз меньший отрезок на большем так, чтобы выполнялись указанные неравенства. Следствием аксиомы Архимеда является свойство непрерывности отрезков.

Работа над подтемой измерения отрезков осложняется еще тем, что мало имеется в учебной литературе задач к первым урокам по этой подтеме. В задачнике Н. Рыбкина имеется только 5 задач, связанных с понятием отношения отрезков.

Виды задач к данной подтеме.

1) Меньший из двух данных отрезков прямой укладывается в большем 3 раза с остатком: остаток укладывается в меньшем отрезке 7 раз. Найти длину большего отрезка, если длина меньшего отрезка принята за единицу.

2) Найти общую наибольшую меру метра и дециметра; дециметра и декаметра.

Черт. 172

3) Общая мера двух отрезков содержится в большем из них 75 раз, в меньшем 35 раз. Сколько раз содержится в каждом из отрезков общая наибольшая мера?

4) Отрезок прямой несоизмерим с единицей длины; единица длины укладывается в данном отрезке 2 раза с остатком; 0,1 единицы укладывается в остатке 4 раза с новым остатком; 0,01 единицы укладывается в предыдущем остатке 5 раз с остатком; 0,001 единицы длины укладывается в предыдущем остатке 9 раз с остатком. Определить длину данного отрезка с недостатком и избытком с точностью до 0,001.

5) Даны отрезки длиною в 5 /3 см и 2 j/З см. Будут ли отрезки соизмеримы? Если да, то чему равна их общая наибольшая мера? (Общей наибольшей мерой служит отрезок длиной /3 см.)

6) Найти общую наибольшую меру трех отрезков прямой: одного в 2 дм, другого в з| дм и третьего 1 ~ см.

7) На отрезке AB взята точка С так, что АС:СВ = т:п. Соизмеримы или несоизмеримы отрезки АС и СБ, если тип числа а) целые, б) дробные, в) иррациональные, г) одно рациональное, другое иррациональное?

При решении этой задачи вызывают затруднение последние два случая.

В случае в): отрезки будут соизмеримы, если отношение их равно рациональному числу, это имеет место в задаче 5-й, отношение равно значит, общая мера в первом отрезке содержится 5 раз, во втором — 2 раза. Отрезки будут несоизмеримы, если отношение равно иррациональному числу, например,

В случае г): отрезки всегда несоизмеримы.

8) Дано отношение двух отрезков А и В, равное -j-, и отрезок В. Построить отрезок А.

§ 2. Гомотетия. Подобие фигур.

Подобие фигур рассматривается с двух точек зрения: как результат взаимно однозначного точечного преобразования одной фигуры в другую и как один из видов метрического соотношения между элементами фигур. В школьном курсе подобие фигур тоже рассматривается с двух точек зрения, но рассматривается один вид подобного преобразования — перспективно-подобное преобразование, или гомотетия. Как указывалось раньше, в данную тему включено преобразование гомотетии, затем рассматривается подобие треугольников, подобие многоугольников.

В большинстве учебников1 теоремы о пропорциональных отрезках предшествуют изучению подобия фигур, что следует признать необходимым, так как подобие фигур, рассматриваемое с обеих точек зрения, связано с понятием пропорциональных отрезков, с их геометрическим представлением. Такое расположение материала имеет место и в программе 1956/57 уч. года. В учебнике А. П. Киселева этот вопрос стоит после подобия многоугольников.

Имеются два пути изучения темы „Гомотетия и подобие". В большинстве учебников, в том числе и в учебнике А. П. Киселева, подобное преобразование фигур рассматривается после подобия многоугольников, начинается изучение с подобия треугольников. В учебнике А. П. Киселева перед введением определения подобных треугольников только упоминается о подобном преобразовании фигур. „Изменение размеров фигуры без изменения ее формы называется подобным преобразованием данной фигуры".

Второй путь имеет место в учебнике Н. А. Глаголева: изучение подобия фигур начинается с подобного преобразования.

Дается следующее определение подобных фигур.

„Если подобным преобразованием одной из двух данных фигур можно получить фигуру, равную другой, то данные фигуры называются подобными (без добавления слова „перспективно")". После этого доказываются 4 признака подобия треугольников, рассматриваются свойства подобных многоугольников. Следует признать наиболее целесообразным начинать изучать подобие фигур с подобного преобразования, т. е. второй путь изучения подобия фигур. Подобное преобразование дает способ построения подобных фигур и этим доказывает их существование. В случае, когда изучение подобия фигур начинается с подобия треугольников, теоремой существования подобных треугольников служит лемма, в которой доказывается, что прямая, параллельная одной из сторон треугольника (и пересекающая две другие его стороны), отсекает от него треугольник, подобный данному. Полученный на основании леммы способ построения треугольника, подобного данному, есть частный случай перспективно подобного преобразования треугольников.

Для доказательства существования подобных многоугольников рассматривается задача на построение многоугольника, подобного данному, при условии, что задана сторона искомого многоугольника, сходственная одной из сторон данного многоугольника. В случае, когда изучение подобия фигур начинается с подобного преобразования, отпадает необходимость начинать изучение подобия многоугольников с решения приведенной задачи. Эту

1 А. Давидов. Элементарная геометрия: Ю. О. Гурвиц и Р. В. Гангнус. Систематический курс геометрии, 1933; Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1954.

задачу следует отнести в число упражнений на решение задач на построение методом подобия при условии, что коэффициент подобия задан геометрически, при помощи двух отрезков. Начиная изучение подобия фигур с подобного преобразования, учащиеся осознают значение этого преобразования. В этом случае подобное преобразование легче увязывается с решением задач на построение.

Рассмотрим примерный план второго пути изучения подобия фигур, в основном совпадающий с планом, предложенным в учебнике Н. А. Глаголева. Предварительно должны быть изучены теоремы о пропорциональных отрезках, дающие способ геометрического построения пропорциональных отрезков. После этого необходимо указать практические задачи,1 при решении которых требуется изменять размеры фигур без изменения их формы; указать, что переход от одного вида данной фигуры к другому ее виду называется преобразованием этой фигуры, а рассмотренное преобразование называется подобным; выполнить перспективно подобное преобразование и ввести следующее определение: преобразование фигуры, при котором выбранная точка плоскости соединяется со всеми точками данной фигуры, полученные отрезки изменяются в данном отношении и концы их образуют новую фигуру, называется перспективно подобным преобразованием фигуры или гомотетией. Две фигуры, получаемые одна из другой подобным преобразованием, называются перспективно-подобными. Следует доказать, что фигура, перспективно-подобная данному отрезку, есть новый отрезок, параллельный данному, причем отношение этого отрезка к данному равно коэффициенту подобия. Дальше следует рассмотреть задачи на подобное преобразование треугольника, пятиугольника с заданным коэффициентом подобия, причем центр подобия берется как внутренний, так и внешний.

Дальше устанавливается свойство двух перспективно-подобных фигур, доказывается теорема о том, что во всяких перспективно-подобных фигурах соответственные отрезки прямых пропорциональны, а соответственные углы равны. При доказательстве используются теоремы о пропорциональных отрезках. Построив треугольник, равный одному из двух перспективно-подобных треугольников, устанавливаем, что у нового треугольника по сравнению с данным треугольником сохраняются те же соотношения между сторонами и углами, что и у равного ему треугольника с данным, изменяется только положение нового треугольника с данным. После этого указывается, что новый и данный многоугольники называются подобными (без добавления слова „перспективно") и дается обычное определение подобных многоугольников. Нельзя согласиться с определением, введенным

1 Одной из практических задач может служить описание мензульной съемки (стр. 351).

в учебнике H. А. Глаголева. Рассматривая подобие фигур независимо от их взаимного расположения, мы становимся на точку зрения метрического соотношения между элементами фигур, поэтому и определение должно содержать в качестве признаков метрические соотношения между элементами фигур. Принятое определение больше связано с условиями дальнейших теорем, например, с признаками подобия треугольников, с условиями задач на вычисление. В учебнике Глаголева рассматриваются четыре признака подобия треугольников, так же как четыре признака равенства треугольников, признаки подобия прямоугольных треугольников получаются как следствия общих признаков. Четвертый признак подобия целесообразно рассмотреть, если раньше доказывался четвертый признак равенства треугольников.

Следует установить с учащимися, что равенство треугольников есть частный случай подобия с коэффициентом подобия, равным единице, сравнить признаки равенства треугольников с признаками подобия.1 В учебнике Н. А. Глаголева рассматривается как признак подобия многоугольников равенство соответственных углов и пропорциональность сходственных сторон; при принятом определении нет необходимости доказывать этот признак. В качестве упражнения можно доказать теорему: если многоугольники подобны, то можно построить многоугольник, перспективно-подобный одному из них и равный другому.

Согласно первому пути изучения подобия фигур, имеющему место в учебнике А. П. Киселева, изучение начинается с определения подобных треугольников, в которое входят два условия— равенство углов и пропорциональность сторон. Одно из условий является лишним, поэтому приведенное определение не удовлетворяет требованию, предъявляемому к определениям, это положение часто затрудняет преподавателей. В учебной литературе имеет место другое определение подобных треугольников: ^Треугольники, которых углы соответственно равны, называются подобными".2 В связи с этим частично изменяется система теорем и их доказательство; доказывается теорема о пропорциональности сторон в подобных треугольниках, отсутствует признак подобия треугольников по равенству двух соответственных углов. В этом случае имеют место различные определения для подобных треугольников и многоугольников, что нецелесообразно. Следует начинать с общего определения, определения подобных многоугольников, после этого поставить задачу рассмотреть подобие многоугольников частного вида, треугольников, доказать теорему (лемму), устанавливающую существование подобных треугольников, и доказать признаки подобия треугольников. При решении задачи на построение многоугольника,

1 Подробнее на стр. 349.

2 А. Давидов. Элементарная геометрия, 1903.

подобного данному, следует установить связь с леммой, установить, что для решения достаточно разбить многоугольник на треугольники, соединив какую-нибудь точку плоскости с вершинами многоугольника, и построить треугольники, подобные полученным треугольникам, пользуясь ранее доказанной леммой, рассмотреть различные случаи построения (точка совпадает с вершиной многоугольника, лежит на стороне, вне многоугольника). После этого можно ввести понятие о перспективно подобном преобразовании многоугольников и показать другой способ преобразования, задав числовой коэффициент подобия; таким способом подобное преобразование будет увязано с задачей на построение многоугольника, подобного данному.

Остановимся на вопросах, вызывающих затруднения при обоих способах изложения подобия фигур.

Учащиеся часто допускают ошибку, говоря, что „сторона AB одного треугольника (многоугольника) пропорциональна стороне AB другого треугольника", и не понимают, в чем ошибка. Почему же можно говорить: „Длина пути пропорциональна времени при постоянной скорости"? Следует указать, что в последнем случае мы, говоря „длина пути", подразумеваем совокупность значений величины, для которых отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой, то же и относительно времени: в первом случае мы имеем дело с одной стороной первого треугольника и одной стороной второго треугольника; для пропорции же необходимо четыре числа или четыре отрезка. Учащиеся часто формально понимают пропорциональность сторон подобных треугольников, поэтому допускают ошибки при решении следующей устной задачи на применение третьего признака подобия треугольников: подобны ли треугольники, если стороны их у первого 1 ж, 2 ж и 15 дм, у второго 12 дм, 8 дм и 16 дм?

Учащиеся в большинстве случаев сравнивают отношения: 1 ж: 12 дм; 2 м:8 дм; 15 дм: 16 дм и приходят к неверному выводу, что треугольники не подобны. Следует указать учащимся, что могут быть равны отношения большей стороны одного треугольника к большей стороне другого треугольника, меньшей к меньшей, так как при уменьшении или увеличении предыдущего члена отношения, чтобы получить равные отношения, мы должны во столько же раз уменьшить или увеличить последующий член.

У учащихся вызывает затруднение доказательство леммы о подобии треугольников для случая, когда отрезок, отсекаемый на одной из сторон треугольника, несоизмерим с соответствующей стороной треугольника. Преподаватели иногда пропускают рассмотрение приведенного случая доказательства леммы; с этим нельзя согласиться, так как в начале первой темы при изучении измерения отрезков была поставлена цель довести до сознания учащихся возможность существования несоизмеримых отрезков,

недостаточность рациональных чисел для отыскания длины отрезка.

Аналогичные указания имеют место при втором пути изучения подобия фигур, предложенном учебником Н. А. Глаголева и новой программой 1956/57 уч. года, при доказательстве теоремы о пропорциональных отрезках, отсекаемых на двух данных прямых тремя параллельными прямыми, в случае, когда отрезки, отсекаемые на одной из прямых, несоизмеримы.

При доказательстве следует использовать процесс отыскания отношения двух отрезков в виде десятичной дроби и определение равенства иррациональных чисел, приведенное в учебнике алгебры А. П. Киселева: „Два иррациональных числа считаются равными, если они выражены десятичными дробями с соответственно одинаковыми цифрами". Поэтому предварительно следует повторить соответствующий процесс измерения отрезка, причем провести его так, чтобы при каждом следующем шаге получалась новая цифра десятичных дробей, т. е. меньший отрезок укладывать на большем: 0,1 меньшего отрезка на первом остатке, 0,01 меньшего отрезка на новом остатке и т. д., если этот процесс не рассматривался, то рассмотреть вновь. Следует при доказательстве записать несколько цифр бесконечной десятичной дроби, предложив учащимся взять д ABC со стороной

AB =10 см.

Например, ^=0,42...; ^, = 0,42... (в данном случае процесс начинается с отложения 0,1 AB на DB).

Черт. 173

В общем случае ^f=0> ахагаъ...\ §§ = 0, ata%aB... Неудачна запись в учебнике А. П. Киселева:

которая не дает представления о бесконечной десятичной дроби, получающейся при измерении. Эта запись — результат несколько иного процесса измерения, когда 0,01 AB укладывается не на остатке, а на всем отрезке AB. Доказательству леммы посвящается не меньше двух уроков: на первом уроке вводится определение подобия многоугольников и доказывается лемма о подобии для случая соизмеримости AB и D5, на втором — для случая несоизмеримости AB и DB. На первом уроке большую работу следует провести над сознательностью усвоения доказательства,

это облегчит работу на втором уроке. Например, следует рассмотреть вопрос, будет ли общая мера AB и DB равна общей мере ВС и BE, будут ли отрезки, отсекаемые параллельными на DE, равны соответственным отрезкам на АС (см. черт. 173).

Неправильное представление создается у учащихся о взаимном расположении двух подобных треугольников в случае совмещения одной пары соответственно равных углов. Учащиеся считают, что третьи стороны в этом случае должны быть параллельны. Полезно сделать соответствующую модель, которая покажет учащимся, что такое положение не всегда будет. Повернув д DBE обратной стороной и совместив ^ В обоих треугольников, получим черт. 175.

Черт. 174 Черт. 175

Один из способов подвести учащихся к самостоятельной формулировке признаков подобия треугольников состоит в следующем.

Предлагается учащимся выяснить, будут ли равные треугольники подобны. Выясняется, что первое условие подобия выполняется, так как углы равны.

Пусть л АВС= А АХВ£Х, причем L А = L Ах\ L В = L Bt\ LC=L Ci. Составляются отношения сходственных сторон ß-Q-= 1; получается, что Щ[ = АЖ = Шг, т. е. выполняется и второе условие подобия, следовательно

ААВСю A AtBtCu

причем коэффициент подобия равен единице.

Отсюда равенство есть частный случай подобия, поэтому все свойства подобия справедливы для равных треугольников, но добавляются новые. Предлагается сформулировать первый признак равенства треугольников и изменить формулировку так, чтобы получить признак подобия. Так как при подобии коэффициент пропорциональности может не равняться единице, то равенство сторон заменяется пропорциональностью. Отсюда получается предполагаемый второй признак подобия треугольников, справедливость которого необходимо доказать, так как не все свойства частного случая принадлежат к общему случаю.

Примеры устных задач на применение признаков подобия треугольников;

1) Дано: AF±BC

ЕС _L AB Доказать: Л ABFca* а ВВС

2) Дано: AF±BC

ECl^AB

Доказать: л EBFzo Л АБС

Доказательство: 1) A ABFzo д ЕВС\ следовательно,

Черт. 176а

Черт. 176б

Примеры практических задач на применение подобия фигур.

На подобии треугольников основано устройство приборов: измерительного циркуля, поперечного масштаба, пантографа, устройство которых описано в учебниках. Необходимо проводить работы с описанными приборами. Например, научить применять поперечный масштаб при построении плана в том случае, когда требуется отложить десятые доли миллиметра. Чтобы в масштабе 1:10000 начертить отрезок, соответствующий 346 m, необходимо отложить 3,46 см, т. е. кроме 34 мм и 0,6 мм.

Учащиеся сами должны сделать модель пантографа и модели других приборов.

Используя пантограф, учащиеся должны перерисовывать планы с измененным масштабом.

На чертеже изображены простейшие модели пантографа (см. черт. 177 и 178).

В точке S помещается острие, удерживающее эту точку неподвижной, в точках Ai и А помещаются — в одной из них карандаш, в другой штифт с острием для обводки контура. Точки 5, At и А лежат на одной прямой.

Подобие фигур используется при выполнении измерительных

Черт. 177

работ на местности, при измерении высоты предмета, при измерении расстояния между двумя пунктами, между которыми нельзя провесить прямую (см. черт. 179), при съемке плана участка. CA и СБ провешиваются из точки С.

Черт. 179

Получаем: АВ = пА1В1.

Измерение высоты предмета по его тени в том случае, когда его основание доступно, служит одним из простейших примеров применения подобия.

В этом случае высота предмета определяется из подобия треугольников, катетами которых у одного из них служит искомая высота предмета и его тень, у другого — известная высота шеста и его тень.

При измерении высоты предмета другим способом могут быть использованы следующие подобные треугольники:

ВС—искомая высота; EF—высота эклиметра. Точка А находится на земле на продолжении визирной линии MN.

При этом наблюдение проводится в направлении NM, тогда как в начале оно проводилось в направлении MN. Как указано выше, в программе 1956/57 уч. года, в число практических работ включены следующие работы на применение подобия фигур: мензульная съемка, пользование поперечным масштабом.

Мензульная съемка плана служит практическим применением гомотетии. Описание мензульной съемки может служить той практической задачей, с которой начинается изучение подобного преобразования фигур.

При съемке плана из одного полюса на планшете намечается точка, изображающая точку стояния на местности, из которой проводятся лучи по ребру визирной линейки, направленные ко всем точкам участка, на этих лучах в выбранном масштабе откладываются измеренные расстояния от точки

Черт. 180

Черт. 181

стояния до точек участка, принятых за вершины многоугольника.

Получается многоугольник AiBiCiDiEu перспективно подобный многоугольнику ABCDE.

При съемке плана с двух полюсов выполняется единственное измерение расстояния между полюсами Ot и 09, являющимися точками стояния мензулы. Каждая из вершин многоугольника на плане получается пересечением лучей, проведенных в точку участка из полюсов Ох и 02.

Черт. 182.

В этом случае имеем подобное преобразование при помощи параллельного переноса лучей (ОхА и ОхВ), проведенных из полюса Oi в точки участка. При этом отрезки лучей, проведенные из второго полюса в точки участка, изменяются в отношении, равном масштабу, в котором начерчено расстояние ОхО% на плане. Приведенные задачи следует рассмотреть с учащимися на уроках при изучении подобия фигур до выполнения практических работ.

§ 3. Решение задач на построение методом подобия.

Метод подобия при решении задач на построение применяется обычно в тех случаях, когда условие задачи удается разделить на две такие части, одна из которых позволяет определить форму искомой фигуры, а другая определяет ее размер.

Раньше чем приступать с учащимися к решению задач методом подобия, следует проделать ряд упражнений на подобное преобразование многоугольников. В учебниках (Киселева, Глаголева и др.) приводится обычно один способ выполнения подоб-

Черт. 183

ного преобразования многоугольников. В плоскости данного многоугольника выбирают произвольную точку — центр подобия. Соединив центр подобия со всеми вершинами многоугольника, получают совокупность отрезков с общим началом. После этого изменяют все отрезки в одном и том же отношении. Свободные концы этих измененных отрезков являются вершинами нового многоугольника, подобного данному. При таком способе построения удобно пользоваться делительным (пропорциональным) циркулем.

При решении задач на построение часто удобнее бывает подобное преобразование многоугольников производить несколько иным способом.

Пусть требуется преобразовать многоугольник ABCD в подобный ему при коэффициенте подобия А=у(черт. 183). Выбрав на плоскости произвольную точку О (центр подобия), соединим ее отрезками со всеми вершинами многоугольника. Отложим OAi = OA • у. Далее строим ЛХВХ || АВ\ ВХСХ || ВС; CiA У CD и точку Dt соединяем с точкой Ах.

Докажем, что многоугольник A\BiC\Dx подобен многоугольнику ABCD и 32Г=*.

отсюда

отсюда

отсюда

и, следовательно,

Но из первого способа построения следует, что при этом многоугольник AiBiCiDx подобен многоугольнику ABCD и отношение их сходственных сторон равно к.

Из рассмотренных двух способов подобного преобразования при решении задач в каждом отдельном случае выбирается наиболее удобный.

Приводим несколько примерных упражнений на подобное преобразование.

1) Построить треугольник, подобный данному Д Л5С,так чтобы сторона, сходственная стороне ВС, равнялась данному отрезку а.

2) Построить прямоугольный треугольник, подобный данному, так чтобы биссектриса прямого угла была равна данному отрезку /. Решение (черт. 184а, 1846).

Раньше чем производить подобное преобразование, следует построить в данном д ABC (Z С = 90°) элемент, сходственный заданному элементу в искомом треугольнике. В данном случае строим биссектрису CK За центр подобия можно принять точку С или точку /С В первом случае строим: а) СК\ = 1; б) Л А || AB;

Д AiCBi — искомый. Во втором случае строим: а) /СС2 = /;

б) C2ß21| СВ;

в) С2Л2II АС; Д Л252С2— искомый. Коэффициент подобия в каждом случае равен отношению CK к /.

Подобие полученных треугольников и Д АБС вытекает из способа построения. Необходимо доказать, что биссектриса прямого угла в каждом из построенных треугольников равна отрезку /.

При первом способе построения это очевидно, при втором — требуется несложное рассуждение: LKCJB^= LKCB; Z Л2С2/С= Z АСК;

но Z КСВ= Z АСК; следовательно, Z КС2В2 = Z A2C2Kt т. е. С2К — биссектриса Z Л2С252 и по построению С2^=/.

Сравнивая первый и второй способ построения, видим, что при целесообразном выборе центра подобия упрощается и построение, и доказательство.

3) Построить трапецию, подобную данной, так чтобы ее средняя линия была равна данному отрезку т.

Указание. Центр подобия взять в середине одной из боковых сторон трапеции.

4) Построить треугольник, подобный данному, по заданному радиусу /? описанного круга.

Решение (черт. 185).

1-й способ. В данном Д ABC находим центр описанного круга (точка О).

Черт. 184а

Черт. 1846

Принимаем точку О за центр подобия. Проводим лучи OA, OB, ОС и откладываем на этих лучах OAx = OBx = OCx = R.

ОА = ОВ = ОС, как радиусы круга, описанного около A ABC.

Следовательно, jjx~W^ = OC' и следовательно, Л АХВХСХ с/э A ABC. Радиус круга, описанного около А АХВХСХ, равен R по построению.

2-й способ. Приняв точку О за центр подобия, на луче OA откладываем OAx=R. Строим: АХВХ || AB и Aid II АС и отрезок ВХСХ.

А АХВХСХ с/э А ЛАС.

Как уже было доказано, при таком способе построения

OAi_OBl_OCl OA OB ОС 9

но АО = OB = ОС, отсюда ОАх = ОВх = ОСх, т. е. расстояние точки О от всех вершин А АХВХСХ равно данному отрезку R.

После ряда упражнений на подобное преобразование многоугольников можно перейти к решению задач методом подобия. Чтобы учащиеся лучше усвоили сущность метода подобия, следует начать с неопределенной задачи.

Задача. Построить А ABC, если известно, что АВ:АС=3 и Z ВАС равен данному /_ а.

Строим Z Л, равный данному Z а (черт. 186). На одной из его сторон откладываем произвольный отрезок АС и на другой стороне — отрезок AB — ЗЛС. A ABC — искомый. Так как отрезок АС мы брали произвольной длины, то, построив /шАх=(х и отложив на одной его стороне АХСХФ АС, а на другой АХВХ = ЗАХСХ, получим А АХВХСХ, удовлетворяющий условию задачи.

Повторяя аналогичное построение, можем получить бесчисленное множество треугольников, удовлетворяющих условию задачи.

Рассмотрим А АБС и А АХВХСХ. 4^ = 3; 4^ = 3, следовательно,

AB AiBx AB AC , л , А

Следовательно, А АВСю А АХВХСХ.

Значит, все полученные треугольники будут подобны. У них одинаковая форма, но разные размеры.

Черт. 185

Черт. 186

Учащимся предлагается указать условия, определяющие только форму треугольника. (Два угла, отношение двух сторон и угол между ними, отношения трех сторон, заданные попарно.)

На примере решения простейшей задачи выясняется характерная особенность метода подобия.

Задача. Построить треугольник по двум углам а и ß и биссектрисе / третьего угла.

Обращаем внимание учащихся на то, что можно построить бесчисленное множество треугольников, имеющих данные углы.

Все они будут подобны. Построим один из них, приняв произвольный отрезок за сторону, к которой прилежат углы а и р (черт. 187). В полученном треугольнике ABC биссектриса СЕ не равна (вообще говоря) заданному отрезку /.

Чтобы построить искомый треугольник, нужно произвести подобное преобразование A ABC, причем коэффициент подобия k = ç^> за центр подобия удобно принять точку С. Треугольник АХСВХ — искомый. Задача имеет одно решение, если а ~\- ß <^ 180°.

Далее с учащимися выясняется сущность метода подобия. При этом подчеркиваются два этапа решения задачи:

1) Из условия задачи выделяются те данные, которые определяют форму искомой фигуры. По этим данным строится фигура, подобная искомой.

2) Производится подобное преобразование полученной фигуры, для которого используется то данное из условия задачи, которое определяет размеры искомой фигуры.

Простейшие задачи на построение треугольников и четырехугольников учитель может составить сам, комбинируя одно из условий, определяющих форму фигуры, с условием, определяющим ее размер. Приводим эти условия.

Черт. 187

I. Построение треугольника.

1) Условия, определяющие форму:

а) два угла треугольника; б) отношение двух сторон треугольника и угол, заключенный между этими сторонами; в) отношения трех сторон, заданные попарно.

2) Элемент, определяющий размеры:

а) сторона; б) медиана; в) высота; г) биссектриса; д) радиус описанного круга; е) радиус вписанного круга.

II. Построение параллелограма.

1) Условия, определяющие форму:

а) отношение двух смежных сторон и угол параллелограма; б) отношение диагоналей и угол между ними; в) угол параллелограма и отношение стороны к высоте, на нее опущенной.

2) Элемент, определяющий размеры: а) сторона; б) диагональ; в) высота.

III. Построение равнобедренной трапеции.

1) Условия, определяющие форму:

а) отношение основания к боковой стороне и угол между ними; б) отношение основания к высоте и угол трапеции; в) отношение основания к диагонали и угол между ними.

2) Элемент, определяющий размеры:

а) одно из оснований; б) боковая сторона; в) диагональ; г) средняя линия; д) радиус описанного круга.

Дальнейшее усложнение задач может быть проведено путем усложнения условий, определяющих форму искомой фигуры, и условий, определяющих размеры ее.

Приведем несколько таких задач:

1) Построить треугольник, если дано отношение двух его сторон, угол против одной из них и радиус вписанного круга.

2) Построить треугольник по высоте, углу при вершине и отношению отрезков, на которые высота делит основание.

3) Построить трапецию по отношению ее оснований, двум углам, прилежащим к одному из оснований, и высоте.

4) Построить параллелограм по углу, отношению его высот и стороне.

5) Построить треугольник по отношению двух сторон, углу между этими сторонами и периметру.

Решение.

1-й способ (черт. 188).

Построив д AxBiCi, подобный искомому, отложим на прямой АхС\ отрезок АхКи равный периметру этого треугольника. Соединим отрезком точки Bt и /С,. Полученную фигуру (А АхВхК\ и отрезок 5iCi) преобразуем подобно, приняв за центр подобия точку Аи а за коэффициент подобия — отношение заданного периметра искомого треугольника к отрезку А\К\. Для этого на прямой АХСХ отложим отрезок А^К, равный данному периметру. Через точку К проведем прямую, параллельную ВХК^ Через

Черт. 188

точку В пересечения этой прямой с лучом AXBX проводим ВС || ВХСХ. A AiBC— искомый.

Доказательство. Из построения следует, что АЛ^Сс/э A АХВХСХ. Значит, отношение сторон АХВ и АХС равно заданному отношению: Z. Ах равен данному. Докажем, что периметр А А\ВС равен заданному отрезку, т. е., что А\В-\-ВС-\-+ СА1 = А1К. Из подобия треугольников АХК\ВХ и Д/СА имеем:

(1)

Из подобия треугольников А1В1СХ и АХВС по теореме об отношении периметров имеем:

(2)

Из равенств (1) и (2) следует:

откуда

2-й способ. Построив А АХВХСХ, подобный искомому, разделим отрезок, равный заданному периметру искомого треугольника, на части, пропорциональные отрезкам АхВи ВХСХ и СхАи и построим искомый треугольник по трем сторонам.

Особую группу задач, решаемых методом подобия, составляют такие, в которых требуется определить не только форму и размеры искомой фигуры, но и положение последней на плоскости. К числу этих задач относятся, например, следующие.

1) Вписать в данный А ABC квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной из сторон треугольника, а две другие на двух других сторонах.

Решение (черт. 189). Анализ. Допустим, что задача решена и квадрат KLMN вписан в данный A ABC. Построим какой-нибудь квадрат K\LxMxNXi подобно расположенный искомому относительно центра подобия — точки А. Очевидно, точки M и М\ лежат на одной прямой с точкой А.

Построение. Из произвольной точки Lx на стороне AB опускаем на АС перпендикуляр LXKX. На отрезке LXKU как на стороне, строим квадрат К^Ь^М^к^ Приняв за центр подобия точку Л, производим подобное преобразование квадрата K\LiMxNx. Вершиной искомого квадрата будет точка пересечения M прямой АМХ со стороной ВС. Проведя MN || MXNU ML || АС и

Черт. 189

LK\\LtKu получим искомый квадрат KLMN.

Исследование. Задача имеет три решения, если Л ABC остроугольный (черт. 190).

Задача имеет два решения, если д ABC прямоугольный (черт. 191а).

Задача имеет одно решение, если д ABC тупоугольный (черт. 1916).

Черт. 190 Черт. 191а Черт. 1916

2) В данный д ABC вписать ромб с данным острым углом а так, чтобы одна из сторон ромба лежала на стороне AB треугольника, а две вершины ромба на сторонах АС и ВС.

Решение.

Анализ проводится аналогично приведенному в предыдущей задаче.

Построение (черт. 192).

На стороне АР берем произвольную точку К\. Строим угол с вершиной в точке /Сь равный данному углу а, так чтобы одна из его сторон была параллельна AB, а другая пересекала AB в некоторой точке Z,,. На стороне AB от точки Lx откладываем отрезок L{MX, равный K\L\, и строим ромб K\LxMiNx. Приняв за центр подобия вершину Д производим подобное преобразование и получаем искомый ромб KLMN.

Черт. 192 Черт. 193

Если при точке К\ построим угол, равный 180° — а (черт. 193), то получим ромб, вписанный в Д ABC иным образом.

Исследование. Углы ромба, прилежащие к стороне AB Д ABC, являются внешними углами соответственно для треугольников AKL и MNB.

Отсюда L KLM> LA* L ЛШ1> Z B.

Пусть Z. A^> Z В% тогда:

1) если а^Л (а следовательно, л^>В), задача имеет два решения (черт. 194, 195);

2) если £^а<[Л, но 180° — а^Л, задача имеет одно решение (черт. 196);

3) если 5^а<^Л и 180° — а<СА задача не имеет решения (черт. 197), так как одна из вершин ромба будет лежать не на стороне AB, а на ее продолжении;

4) если а<£, задача не имеет решения.

Черт. 194 Черт. 195

Черт. 196 Черт. 197

Аналогичная задача, сформулированная в более общем виде, т. е. без указания стороны треугольника, на которой должны лежать две вершины ромба, представит для учащихся большие трудности при исследовании. Поэтому ограничение, введенное в условие задачи (две вершины ромба должны лежать на стороне AB), было целесообразно.

§ 4. Метрические соотношения в треугольнике и круге.

Эта тема изучается после темы „Гомотетия и подобие" в VIII классе. Задача, стоящая при изучении данной темы, состоит в том, чтобы установить числовые соотношения между длинами отрезков, входящих в данную фигуру, не зависящие от выбора единицы длины. Такие соотношения называются метрическими. Приступая к изучению темы, необходимо указать основную задачу постановки темы, вспомнить те метрические соотношения между отрезками фигур, которые известны учащимся: пропорциональность отрезков в двух подобных треугольниках, теоремы о пропорциональных отрезках, ввести понятие

об отрезке среднем пропорциональном между двумя данными отрезками.

Теорема о метрических соотношениях между элементами прямоугольного треугольника не затрудняет учащихся, если проведена-соответствующая подготовительная работа. Следует при изучении темы „Подобие фигур" предложить учащимся в качестве упражнения назвать все имеющиеся пары подобных треугольников и доказать их подобие в следующей фигуре (черт. 198).

Дано: £BAC=d; AD J_ ВС.

После указанной подготовительной работы учащиеся легко самостоятельно выведут требуемые соотношения между элементами прямоугольного треугольника. Необходимо предложить учащимся сформулировать полученную теорему, используя понятие „проекция" катета на гипотенузу: длина перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное число между длинами проекций катетов на гипотенузу, а длина каждого из катетов есть среднее пропорциональное число между длиной всей гипотенузы и длиной проекции этого катета на гипотенузу.

Следует указать учащимся, что в дальнейшем для упрощения формулировок условимся слово „длина" пропускать. Термин „проекция" имеет большое применение в математической литературе, в курсе черчения, поэтому с этим термином следует знакомить учащихся еще в VI классе при изучении теорем о перпендикуляре и наклонных, проведенных из одной точки к прямой. Чтобы учащиеся научились применять его, следует употреблять этот термин в соответствующих формулировках теорем и задач.

После доказательства теоремы Пифагора учащиеся получают 5 соотношений между 6 элементами прямоугольного треугольника: а и b — катеты, с — гипотенуза, ас и Ьс проекции катетов на гипотенузу, h — высота треугольника, опущенная на гипотенузу. Следует обратить внимание учащихся, что из 5 соотношений только 4 соотношения независимые, поэтому можно составить системы из 4 независимых уравнений, при помощи которых можно определить 4 неизвестных, поэтому 2 элемента из 6 должны быть заданы. На это есть указание в учебной литературе.1 Учащиеся часто недостаточно осознают указанное положение. Следует требовать от учащихся составления соответствующих систем уравнений при решении задач.

Например, дана гипотенуза С и проекция катета ас. Найти катеты, высоту и проекцию второго катета на гипотенузу.

Черт. 198

1 А. П. Киселев. Геометрия.

Для решения задачи можно составить одну из следующих систем:

Учащихся часто затрудняет решение задачи, когда даны катет и проекция другого катета на гипотенузу, например, b и ас. Составив вторую из приведенных систем, учащиеся легко могут найти решение задачи, оно сводится к решению системы с двумя неизвестными (второе и третье уравнения) и уравнений с одним неизвестным. В целом вопросы данной темы вызывают мало затруднений у учащихся. При изучении данной темы следует уделить большое внимание решению задач, так как полученные метрические соотношения дают богатый материал для решения задач на вычисление.

В программе 1956/57 уч. года в эту тему включена подтема „Тригонометрические функции острого угла". Следует давать упражнения на применение тригонометрических функций, которые имеются в ряде учебников.

Например, можно для квадрата стороны, лежащей против острого угла, дать и тригонометрическую формулу.

Согласно программе, в данную тему включен вопрос о построении формул:

Х=Т'> Х = Т; x=V~äb\ x=/a* + b\

К этому вопросу можно подвести учащихся путем решения задачи на построение, для которой соотношение между искомым элементом и данными легче всего установить при помощи алгебраической формулы.

Задача. Описать окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Рассмотрим решение для того случая, когда данная прямая не параллельна прямой, проходящей через две данные точки, так как в случае параллельности этих прямых задача имеет очень простое чисто геометрическое решение.

Дано: точки А и В и прямая KL. 1-й случай. AB и KL пересекаются в точке К.

Анализ. Предположим, что окружность с центром О — искомая, С — точка касания окружности и прямой KL.

Тогда: 1) АК • ВК= КО по свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Черт. 199

2) КС=\/ AK- ВК, где AK и ВК заданные отрезки. Длина отрезка КС определяет точку касания С. Три точки Л, В и С определяют положение искомой окружности.

Возникает задача построить отрезок КС, связанный с данными полученным соотношением. Отрезок КС является средним пропорциональным между отрезками АК и ВК- Применим один из способов построения отрезка, среднепропорционального между данными отрезками. Для этого на большем из данных отрезков KB строим как на диаметре полуокружность, в точке А восставляем перпендикуляр к отрезку KB до пересечения с полуокружностью в точке D. Хорда KD равна искомому отрезку. Чтобы найти точку С, откладываем на прямой KL от точки К отрезок, равный KD. Получаем два положения искомой точки: С и Сх. Окружности, из которых одна проходит через точки Л, В и С, вторая —через точки Ль В\ и Ci — искомые.

Чтобы доказать это, достаточно доказать, что построенные окружности касаются KL в точках С и Ci. Приведем доказательство для первой окружности.

Предположим, что полученная окружность имеет вторую общую точку С2 с прямой KL, тогда по свойству секущих, проведенных из одной точки к окружности, имеем КС - КС2 = КА - КВ. В то же время имеем по построению КС* — КА*КВ. Отсюда КС2 = КС. Следовательно, полученная окружность имеет только одну общую точку с прямой KL.

Введя обозначения длин данных отрезков и искомого: Л/С=а, ВК=Ь) СК=Ху получим формулу x=jfäb. Решение задачи сводится к построению формулы х= \/ ab.

Данная задача показывает учащимся, что для решения некоторых задач на построение необходимо уметь строить отрезки, которые связаны с данными отрезками определенными формулами, короче говоря: „строить формулы". Выясняется с учащимися, что для построения формулы необходимо задать отрезки, длины которых обозначены буквами, входящими в формулу; построить фигуру, для которой между длинами отрезков, входящих в нее, установлено соотношение, выражаемое данной формулой. Один из отрезков построенной фигуры и будет искомым. В учебнике Киселева правильно указана последовательность, в которой следует проводить построение формул: сначала предлагается рассмотреть построение суммы данных отрезков, разности, произведения отрезка на данное число, частного от деления отрезка на число, т. е. следующих формул:

Черт. 200

после этого перейти к построению формул, указанных в программе.

Следует рассмотреть с учащимися построение отрезков, длины которых выражаются квадратными корнями из чисел. Для построения можно использовать формулы

С помощью первой формулы выполняется следующее построение: на оси у от начала координат по обе стороны откладываются отрезки, по одну сторону длиною в 2 единицы, по другую в 1 единицу строится полуокружность с диаметром в 3 единицы, точке пересечения полуокружности с осью X соответствует число j/ 2. Отложив на оси у отрезки 3 и /, получим на оси х точку, соответствующую /3, ит. д.

Пользуясь второй формулой, можно сделать следующие построения (см. черт. 202, 203).1

Черт. 201

Черт. 202 Черт. 203

В программу средней школы по математике на 1956/57 уч. год включен вопрос о применении алгебраического метода к решению задач на построение.

Как показывает решение задачи (стр. 363), алгебраический метод состоит в следующем. Пользуясь теоремами о метрических соотношениях, составляем алгебраическую формулу, выражающую искомый отрезок через данные отрезки; затем выполняется построение формулы.

Рассмотрим решение следующей задачи.

Данный круг с радиусом /? разделить пополам концентрической окружностью.

Составление формулы.

1 А. И. Голубовская. Алгебраический метод решения задач на построение, Ученые записки Лен. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, т. 75, 1948.

Решение.

1) X — радиус концентрической окружности;

Построение.

Черт. 204

2) Окружность с центром С и радиусом ОС;

3) МС±ОВ;

4) M— точка пересечения окружности и MC;

5) Окружность с центром О и радиусом ОМ — искомая.

Доказательство. ОМ2 = /? • у ; те. ОМ2 = у */?2.

При решении задач на построение алгебраическим методом встает вопрос об исследовании решения. В этом случае к обычному геометрическому исследованию присоединяется исследование формулы.

С исследования формулы следует начинать исследование решения задачи, принимая во внимание ограничения общего характера; одно из таких ограничений состоит в том, что под буквами, входящими в формулу, подразумеваются положительные числа, так как они выражают длины отрезков. Исследование формулы упрощает геометрическое исследование, исключая из рассмотрения некоторые случаи соотношения между длинами данных отрезков. Например, при решении задачи, в которой требуется вписать прямоугольник с данным периметром 2р в треугольник с данным основанием а и высотой А, построение сводится к построению формулы x — h^~^ .

Исключаются случаи: 1 ) h<^a<^p;2) h^>a^>p, так как в этих случаях х<^0; 3) a = h; афр — формула теряет смысл. При a = h=p задача становится неопределенной, имеет бесчисленное множество решений: любой прямоугольник, вписанный в треугольник, у которого а = А, имеет периметр 2р = 2а.

Исследование решения второй из двух ранее рассмотренных задач исчерпывается исследованием полученной формулы в области положительных чисел. При решении первой задачи в результате геометрического исследования устанавливается, что задача может иметь два решения.

Необходимо поставить перед учащимися вопрос: всякая ли формула выражает длину искомого отрезка через длины данных отрезков?

Следует указать особенности формул, выражающих длину отрезка. Можно подвести учащихся к требуемым выводам, как это имеет место в учебнике геометрии Н. А. Глаголева, из рас-

смотрения подобного преобразования фигуры с коэффициентом подобия k, в которую входит искомый отрезок с длиной х и данные отрезки. При подобном преобразовании длины всех отрезков изменяются в одном и том же отношении k> включая искомый. Но новый отрезок кх выражается через отрезки ka, kb, kc той же формулой, какой отрезок х выражается через отрезки а, Ь, с. Например, при подобном преобразовании с коэффициентом к прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, получим прямоугольный треугольник с катетами ка и kb. Гипотенуза данного треугольника х=-/а*-\-Ь*\ гипотенуза нового треугольника у= /k2a2-f-к2Ь* = к /а*-\-Ь2 —кх.

Новое значение длины искомого отрезка получилось из прежнего умножением на к. Следовательно, алгебраическое выражение длины искомого отрезка через данные отрезки обладает следующей особенностью: при умножении на к входящих в выражение чисел а, Ь, с получается новое значение выражения, равное произведению прежнего значения на к. Вводится определение: алгебраическое выражение, обладающее тем свойством, что замена входящих в него чисел а, Ь, с числами ka, kb, kc,... равносильна умножению всего выражения на k, называется однородным выражением первой степени или первого измерения относительно данных чисел а, Ь, с... .

Получается следующий вывод: выражение, представляющее длину искомого отрезка через длины данных, должно быть однородным первой степени относительно длин данных отрезков.

Рассмотрим формулы для площади фигуры.

Например, х — ab; y = ka • kb = k*ab = k2x.

Полученное выражение называется однородным выражением второй степени относительно данных чисел или второго измерения. Выражение для объема тел будет однородным выражением третьей степени относительно данных чисел или третьего измерения.

Для закрепления следует дать упражнения на определение измерений выражений.

Например, определить измерения выражений:

Полезно показать второй способ определения измерения выражений, при котором измерение одночлена определяется по сумме показателей сомножителей, обозначенных буквами, измерение дробного выражения определяется по разности измерений делимого и делителя.

Следует приучить учащихся и при решении задач на вычисление во всех классах определять, соответствует ли размерность полученного выражения искомой величине, контролируя таким образом правильность полученного результата.

Полученное условие, состоящее в том, что выражение неизвестной величины через известные должно быть однородным выражением первой степени, является необходимым для того, чтобы формула выражала длину отрезка, но недостаточным для того, чтобы эту формулу можно было построить при помощи циркуля и линейки.

Следует указать учащимся, что можно, как это доказано в математике, построить при помощи циркуля и линейки только такие формулы, которые выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков при помощи действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

В число практических работ к данной теме в программе 1956/57 уч. года включено применение тригонометрических функций к определению недоступных высот и расстояний.

Эти работы рассмотрены в III части данной книги, посвященной методике тригонометрии.

§ 5. Площади многоугольников.

Тема „Площади многоугольников" является последней темой курса геометрии VIII класса. Понятие площади многоугольника устанавливается в теоретических курсах аналогично понятию „длина отрезка". Задача измерения величины части плоскости, занимаемой многоугольником, состоит в следующем: „поставить в соответствие каждому (простому) многоугольнику положительное число, называемое его площадью и обладающее следующими свойствами:

а) равным многоугольникам соответствует одна и та же площадь (свойство инвариантности по отношению к движениям);

б) площадь суммы двух многоугольников равна сумме площадей обоих многоугольников (свойство аддитивности)".

Многоугольник называется суммой частичных многоугольников, если последние покрывают его и не имеют общих точек, кроме возможных общих точек их обвода;

в) за единицу площади принимается площадь квадрата, сторона которого есть единица длины.1 Доказывается, что для каждого многоугольника существует площадь и притом единственная, если единица площади выбрана в соответствии с условием (в).

Задача отыскания площади фигуры является более сложной, чем измерения длины отрезка, так как в то время как неравным отрезкам соответствуют и неравные длины, неравные фигуры могут иметь равные площади. Основным методом отыскания площади многоугольника является метод разложения, который состоит в том, что устанавливается равновеликость данной фигуры

1 Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. I, 1948.

фигуре, площадь которой известна, путем разложения обеих фигур на соответственно равные (конгруентные) части. Производится перекраивание одного многоугольника в другой; из частей одного многоугольника составляется другой, ему равновеликий. Вводится для многоугольников, состоящих из соответственно равных частей, термин „равносоставленные". Основой этого метода служит положение, утверждающее, что равносоставленные многоугольники равновелики (имеют равные площади), и обратное положение о том, что всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены. Последнее положение доказано Болиаи в 1832 и Гервиным в 1833 году.

Применяется также и метод дополнения, который состоит в том, что для доказательства равновеликости двух многоугольников к каждому из них добавляются соответственно равные (конгруентные) фигуры, которые вместе с данными образуют равновеликие многоугольники, В этом случае площади многоугольников, равновеликость которых доказывается, рассматриваются как разности соответственно равных площадей фигур. Как показывает теорема Болиаи-Гервина, метод дополнения не является необходимым, так как равновеликость двух многоугольников всегда может быть доказана методом разложения.

Рассмотрим изложение темы „Площади многоугольников" в школьном курсе. Прежде всего остановимся на определении площади многоугольника. В большей части учебной литературы, в том числе и в учебнике А. П. Киселева, площадь фигуры определяется как величина части плоскости, заключенной внутри плоской фигуры. Числа, выражающие эту величину части плоскости, являются мерой площади. В учебнике геометрии Н. А. Глаголева площадь многоугольника определяется как число, определяющее размер части плоскости, ограниченной многоугольником. Нахождение этого числа называется измерением площади многоугольника. Аналогичное определение имеется во многих теоретических курсах.1 Числа, измеряющие величину, являются арифметическим толкованием величины, поэтому в литературе иногда носят то же название, что и величина. Неявно такой смысл придается понятию „площадь" в ряде курсов геометрии и в методической литературе: „Площади образуют класс геометрических величин. Каждой плоской фигуре ставится в соответствие положительное число (называемое площадью этой фигуры)".2 „При измерении площадей площади всяких двух равносоставленных многоугольников считаются одинаковыми и, следовательно, должны измеряться одним и тем же числом".3

Следует признать наиболее целесообразным последнее определение площади многоугольника как числа, характеризующего величину части плоскости, заключенной внутри многоугольника.

1 Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. I, 1948.

2 Н. М. Бескин. Методика геометрии, Учпедгиз, 1947.

3 Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1954.

Так как задача измерения величин состоит в сопоставлении каждого значения величины с соответствующим числом, это число для отрезков получило особое название „длина"; для многоугольников естественно дать новое название этому числу „площадь".

На первом уроке следует повторить те сведения о площади многоугольников, которые получены учащимися раньше, сформулировать определение площади многоугольника. Ставится задача показать, что для каждого многоугольника можно найти определенное число, характеризующее величину части плоскости, заключенной внутри многоугольника при данной единице площади. Для этого необходимо научиться сравнивать многоугольники по величине части плоскости, ими занимаемой геометрически. Известно, что многоугольники равны, если они при наложении совпадают. Равенство многоугольников служит первым признаком равенства для величины части плоскости, занимаемой многоугольником. Дальше ставится вопрос о сложении двух многоугольников. Учащимся предлагается выполнить сложение несколькими способами, в результате чего они приходят к выводу, что полученные в результате сложения фигуры могут быть неравными. Преподаватель указывает, что естественно считать их равными по величине части плоскости, занимаемой полученными многоугольниками. Многоугольники, состоящие из соответственно равных частей, называются равносоставленными. Получается новый признак равенства для величины части плоскости, занимаемой фигурой: равносоставленные фигуры должны занимать одинаковую по величине часть плоскости, следовательно, иметь одинаковую площадь.

Вводится термин „равновеликие фигуры" для фигур, имеющих равные площади. Следует поставить вопрос: нельзя ли при сложении многоугольников слагаемые переставить так, что получится многоугольник, совпадающий с частью многоугольника, составленного из тех же частей? Невозможность такого положения в научных курсах устанавливается при помощи аксиомы Де-Цольта, в теории площадей Гильберта доказывается. Учащиеся устанавливают невозможность такого положения на основании наблюдений. Это является подтверждением положения, что равносоставленные многоугольники равновелики. „Развитие соображений о равенстве площадей представляет собою ценный материал для приучения учащихся к обобщающей работе мысли, а потому оно никоим образом не должно комкаться так, как это обычно имеет место в наших ходовых учебниках".1 В учебнике Кисе-

Черт. 205

1 Н. Извольский. Методика геометрии, 1924.

лева даже не вводится понятие „равносоставленные многоугольники".

После проведения подготовительной работы формулируются те условия, которым должны удовлетворять площади многоугольников, а именно:

1) равные фигуры должны иметь равные площади;

2) если фигура разрезана на несколько частей, то площадь всей фигуры должна быть равна сумме площадей этих частей. Следствием из последнего условия является положение, что площадь части многоугольника меньше площади всего многоугольника.

Необходимо рассмотреть преобразования многоугольников, знакомые учащимся из курса V класса: перекраивание параллелограма в прямоугольник, треугольника в прямоугольник с доказательством. Решить задачу: доказать, что треугольники, на которые делит медиана данный треугольник, равносоставлены.

Для доказательства разобьем полученные треугольники на соответственно равные треугольники; используя свойство диагонали параллелограма делить параллелограм на равные треугольники, проведем через точку пересечения медианы со стороной данного треугольника (точку М) прямые, паралл