Высшее образование

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ

ВЫСШЕЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Методика и технология обучения математике

Лабораторный практикум

Дрофа

ВЫСШЕЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Методика и технология обучения математике

Лабораторный практикум

Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование

ДРОФА

Москва 2007

УДК 372.851(076.5) ББК 74262.21 М54

Авторы:

Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов, А. В. Орлова, В. П. Радченко, В. В. Крылов, В. Е. Ярмолюк, В. И. Снегурова, И. А. Иванов

Научный редактор: В. В. Орлов

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. А. Г. Мордкович; д-р пед. наук, проф. В.А.Гусев

М54

Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум : учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. университетов / под науч. ред. В. В. Орлова. — М. : Дрофа, 2007. — 320 с.

ISBN 978-5-358-01304-9

Учебное пособие предназначено для студентов математических факультетов педагогических университетов, обучающихся по программе направления 540200 «Физико-математическое образование». Лабораторный практикум направлен на формирование профессионального опыта студентов. В нем рассматриваются практические вопросы, связанные с элементами содержания курса математики, реализация процесса обучения математике в современных образовательных технологиях.

Пособие может быть использовано при подготовке студентов по специальности 030100 «Математика», а также в системе повышения квалификации учителей математики.

УДК 372.851(076.5)

ISBN 978-5-358-01304-9

© ООО «Дрофа», 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ....................................... 6

1. Лабораторные работы по психологическим и методическим основам обучения математике......................... 8

Работа № 1. Учебные и умственные действия............ 8

Работа № 2. Контроль, оценка и самооценка в учебной деятельности..................................... 13

Работа № 3. Когнитивные стили в обучении............. 21

Работа № 4. Понятия и представления при усвоении математики...................................... 34

Работа № 5. Сюжетные задачи и обучение работе с ними ... 39

Работа № 6. Логико-математический анализ определений понятий, основные этапы формирования понятий......................................... 49

Работа № 7. Методика обучения правилам и алгоритмам ... 55

Работа № 8. Математические утверждения. Теорема. Работа с теоремой, ее доказательством при обучении математике...................................... 62

Работа № 9. Методика обучения решению геометрических задач........................................... 74

Работа № 10. Логико-математический анализ тем школьного курса математики........................ 85

2. Лабораторные работы по методике обучения математике.....102

2.1. Методика изучения алгебры.........................102

2.1.1. Линия числа.................................102

Работа № 11. Расширение линии числа в школьном курсе математики......................................102

Работа № 12. Изучение десятичных дробей в 5—6 классах . . 105

2.1.2. Линия тождественных преобразований.............108

Работа № 13. Тождественные преобразования алгебраических выражений.........................108

Работа № 14. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.....................111

2.1.3. Линия функций...............................113

Работа № 15. Функция в школьном курсе математики.....113

Работа № 16. Линейная функция.....................119

Работа № 17. Квадратичная функция..................122

Работа № 18. Тригонометрические функции.............126

Работа № 19. Последовательности в курсе алгебры девятилетней школы...............................129

Работа № 20. Показательная и логарифмическая функции.........................................132

2.1.4. Линия уравнений, неравенств и их систем..........136

Работа № 21. Уравнения в школьном курсе математики . . . 136

Работа № 22. Алгебраические уравнения и их системы .... 139

Работа № 23. Неравенства в школьном курсе математики. Алгебраические неравенства и их системы..............142

Работа № 24. Тригонометрические уравнения и неравенства.....................................146

Работа № 25. Модуль числа в курсе девятилетней школы . . 149

2.2. Элементы математического анализа...................152

Работа № 26. Пропедевтика основных понятий математического анализа...........................152

Работа № 27. Производная и ее приложения.............155

Работа № 28. Интеграл. Приложения интеграла..........159

2.3. Вероятностная линия..............................162

Работа № 29. Формула полной вероятности. Формула Байеса..........................................162

2.4. Лабораторные работы по методике преподавания геометрии........................................171

Работа № 30. Содержание геометрического материала в курсе математики 5—6 классов и его изучение.........171

Работа № 31. Теоретические основы построения школьного курса геометрии...................................174

2.4.1. Линия отношений.............................176

Работа № 32. Методика обучения теме «Параллельность на плоскости»....................................176

Работа № 33. Методические особенности обучения теме «Параллельность в пространстве».....................180

2.4.2. Линия фигур.................................183

Работа № 34. Четырехугольники и комбинации четырехугольника и окружности в школьном курсе.......183

Работа № 35. Организация изучения темы «Многогранники» на примере темы «Пирамида».........185

Работа № 36. Организация изучения темы «Тела вращения» на примере тем «Конус» и «Сфера и шар»...............188

2.4.3. Линия измерений и построений...................191

Работа № 37. Величины в школьном курсе геометрии.....191

Работа № 38. Методика обучения решению задач на построение в курсе планиметрии...................195

Работа № 39. Организация изучения темы «Решение задач на построение в курсе стереометрии»..................197

2.4.4. Линия геометрических преобразований............200

Работа № 40. Организация изучения темы «Подобие».....200

2.5. Разработка методики обучения конкретной теме.........203

Работа № 41. Организация изучения темы «Квадратные корни»..........................................203

Приложения.........................................208

Приложение 1. О поиске решения сюжетных задач и неалгебраических способах их решения...............208

Приложение 2. Разноуровневый подход к контролю за состоянием знаний, умений и навыков учащихся......212

Приложение 3. Программированное обучение...........217

Приложение 4. Организация работы по изучению математики в группах—парах сменного состава..........232

Приложение 5. Обучение математике с применением технологии консультирования.......................238

Приложение 6. Обучение математике с применением технологии творческих мастерских...................245

Приложение 7. О технологическом подходе к обучению математике в рамках лекционно-семинарского метода.....250

Приложение 8. Теоретические основы построения школьного курса геометрии.........................265

Приложение 9. Вариант тестового контроля остаточных знаний по технологиям и методике обучения математике......................................269

Приложение 10. Тематический список статей журнала «Математика в школе» с 1936 по 2005 год..............274

Приложение 11. Федеральный перечень учебников математики, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в общеобразовательных школах и профильных классах.............................292

Литература..........................................297

Ответы к заданиям....................................306

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лабораторный практикум по методике и технологии обучения математике предназначен для организации практических занятий в процессе подготовки специалистов, обучающихся по направлению «Физико-математическое образование» и по специальности «Математика». В нем представлены развернутые планы лабораторных работ и образцы выполнения заданий различных типов по методике и технологии обучения математике. Пособие состоит из двух разделов, в каждом из которых представлены работы определенной направленности.

Лабораторные работы первого раздела направлены на формирование у студентов опыта работы с компонентами математического содержания — понятиями, утверждениями, алгоритмами и правилами, задачами на формирование умений конструировать фрагменты уроков и целые уроки, выполнять методическое планирование и логико-математический анализ учебного материала. Этапы работы с данными компонентами и организация обучения рассматриваются в логике личностно-ориентированного подхода, предполагающего обогащение субъектного опыта ученика и организацию его самостоятельной познавательной деятельности в ходе освоения математического содержания. Впервые в пособие по обучению математике включены лабораторные работы по психологическим основам обучения математике, что позволит учитывать индивидуальные и типологические особенности школьников. Приведенные в первом разделе примеры работы с содержанием и примеры организации процесса обучения помогут студентам успешно справиться с заданиями второго раздела пособия, обеспечат условия для творческой профессиональной деятельности, поскольку обучение — процесс творческий, требующий владения определенной техникой. Элементы такой техники и рассматриваются в работах первого раздела пособия.

Лабораторные работы второго раздела направлены на изучение содержания основных линий школьного курса математики и формирование методического опыта студентов по работе в различных технологиях обучения (примеры использования этих технологий при обучении математике рассматриваются в приложениях). Работы второго раздела имеют единую структуру: вопросы для контроля и самоконтроля содержательного характера (блок А) и методического характера (блок В), вопросы для обсуждения на занятиях; задания для самостоятельной подготовки к занятиям, которые студенты выполняют либо индивидуально, либо в микрогруппах по два-три человека. Нам представляется, что число заданий отдельных лабораторных работ избыточно. При проведении конкретных занятий часть вопросов можно не рассматривать, а некоторые из них могут стать основой для написания курсовых и дипломных работ по соответствующим дисциплинам. Ответы на контрольные вопросы будут способствовать актуализации необходимых для выполнения конкретной лабораторной работы знаний по математике и включению субъектного опыта студента в процесс освоения предлагаемого содержания (часть ответов на вопросы дана в конце пособия). При подготовке к занятиям студенты могут использовать курс лекций по методике и технологии обучения математике того же авторского коллектива и опираться на приведенные в нем списки литературы.

В пособии содержатся приложения, иллюстрирующие на конкретном материале школьного курса математики реализацию различных технологий: творческих мастерских, программированного обучения и др. Эти примеры могут быть использованы не только студентами при подготовке к конкретным занятиям, зачетам и экзаменам, но и учителями математики в их практической деятельности, подготовке уроков, написании творческих работ, разработке авторских программ. Приведенные материалы делают возможным использование пособия для самостоятельной работы студентов педагогических вузов.

Приложение 10 содержит тематические списки статей журнала «Математика в школе» с 1936 по 2005 год, которые могут быть использованы для подготовки к занятиям, будут интересны для читателей, занимающихся историей отечественного математического образования.

Авторский коллектив желает читателям успехов в освоении методического опыта, накопленного несколькими поколениями, и успешной профессиональной деятельности.

Научный редактор д-р пед. наук, проф. В. В. Орлов

1. Лабораторные работы по психологическим и методическим основам обучения математике

РАБОТА № 1

Учебные и умственные действия

Основные цели работы: обобщить знания об учебной деятельности, конкретизировать понятия об учебных и умственных действиях при усвоении материала на уроке; проанализировать возможные пути формирования общих учебных и умственных действий при обучении математике.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Понятие об учебных и умственных действиях. Классификация умственных действий.

2. Теория поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина.

3. Типы ориентировочной основы умственных действий.

4. Критика теории П. Я. Гальперина.

Задания для подготовки к занятиям

1. Познакомьтесь с литературой, посвященной теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина.

2. Подготовьте ответы на вопросы:

Какие этапы формирования умственных действий представлены в следующих примерах?

С чем связаны ошибки, допускаемые детьми?

Пример 1. Родители мальчика 6 лет уверяют, что их ребенок прекрасно умеет считать и решать задачи. Перед психологом лежит тетрадь, в которой ребенком решены сложные примеры и записаны решения задач, где выполнены действия сложения, вычитания, деления, умножения.

Психолог показывает ребенку десять фишек и спрашивает его: «Если ты возьмешь себе половину фишек, то сколько фишек останется у меня?»

Мальчик с недоумением смотрит то на фишки, то на психолога. После повторения вопроса ситуация не изменилась.

Психолог записывает в тетради мальчика такой пример 10 : 2 = ? Ребенок сразу выполняет действие в уме и верно называет ответ, записывая его1.

Пример 2. Мальчику-первокласснику предлагается задание составить рассказ, где действуют арбуз, кот, банан, автомобиль. Все предметы, о которых должна идти речь, четко и в цвете изображены на картинках, которые выложены перед ребенком.

Ребенок придумывает короткий рассказ (сам объявляет о его окончании), где действуют только арбуз и кот.

Пример 3. Многие учащиеся указывают как на верное на такое определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны». Это определение ошибочное, так как указанные в нем признаки не позволяют отличить параллелограмм от трапеции. Аналогично определение квадрата как геометрической фигуры, все стороны и все углы которой равны между собой, многие учащиеся признали правильным, что неверно. Их не смутило то, что квадрат определяется не через ближайший род (прямоугольник), а через весьма отдаленное понятие «геометрическая фигура».

Пример 4. Саше Б. 6 лет. В семье его готовят к школе. Отец выкладывает пятикопеечную монетку и спрашивает.

— Саша, скажи, сколько здесь копеек?

— Пять, — отвечает Саша.

— А теперь я к этим пяти копейкам прибавлю еще одну. (Отец выкладывает однокопеечную монету.) Скажи, сколько теперь у нас стало копеек?

Саша считает: «одна» (прикасается к пятикопеечной), «две» (прикасается к однокопеечной).

— Ну как же две? Посмотри, это сколько? (Отец показывает на пятикопеечную.)

— Пять.

— Пять и еще одна... Давай вместе считать: пять (указывает на пятикопеечную), дальше?

Мальчик повторяет за отцом: «пять» (прикасается к пятикопеечной), «два» (прикасается к однокопеечной монете).

1 См.: Абрамов Г. С. Практикум по возрастной психологии. — М.: Изд. центр «Академия», 1998. — С. 85.

Пример 5. Ученик второго класса отставал в устном счете. По мнению учительницы, мальчик слишком медленно выполнял требуемые от него действия. Обследование ученика открыло совсем другую картину: мальчик выполнял действия очень быстро, но не в речевой, а в материальной форме. В качестве материальных объектов он использовал собственные пальцы. Перебирал он их с молниеносной быстротой, но, тем не менее, резко отставал от других учеников, которые оперировали уже понятиями.

Пример 6. Прочитав приведенный ниже фрагмент урока, перечислите те виды учебных и умственных действий, которые должны выполнить ученики. Определите место и функцию каждого из этих действий в общем замысле учителя1.

На доске дан квадрат (квадрат с незаполненными клетками был заготовлен в тетрадях учеников):

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

4

16

128

8

64

512

32

256

1024

Классу было предложено установить закономерность его составления, запомнить числа и записать их в свой квадрат.

Аналогичная работа была выполнена и со вторым квадратом.

Отработка этого материала продолжалась при устном решении примеров:

Конструкция примеров и их последовательность позволили классу сделать вывод. В результате появилась следующая запись:

3. Рассмотрите, как реализуется принцип поэтапного формирования умственных действий на примерах текстов школьных учебников и учебных пособий по математике и одному из гуманитарных предметов (например, в теме «Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями» в курсе математики 6 класса). Какими характеристиками обладают ориентировочные основы действий, предложенные в них?

1 См.: Окунев А. А. Спасибо за урок, дети! — М., 1998. — С. 66.

4. Выделите недостатки теории поэтапного формирования умственных действий, например в сравнении с принципами развивающего обучения, предложенными В. В. Давыдовым (см. ниже).

Методический комментарий к заданиям

Умственное действие — это психический акт, представляющий собой структурный и содержательный элемент умственной деятельности, имеющий определенную программу (в виде системы взаимосвязанных операций), направленную на идеальное, а в некоторых случаях материальное преобразование объекта из наличного состояния в намеченное, при котором совершается изменение и самого действующего субъекта (А. И. Раев).

Классификация умственных действий может быть проведена по различным основаниям. Она возможна с точки зрения ведущего познавательного процесса — восприятия, памяти, мышления, — в этом случае говорят о перцептивных, мнемонических и мыслительных действиях. При формировании этих действий необходимо учитывать, прежде всего, закономерности развития соответствующих психических процессов и тот факт, что при решении различных учебных задач эти действия выступают, как правило, в единстве. Может быть дана другая классификация — по ведущей функции, которую выполняет умственное действие в умственной деятельности человека. В этом плане можно выделить ориентировочные, исполнительные и контролирующие умственные действия. Можно классифицировать действия по степени стандартизации. Здесь могут быть названы действия типа алгоритма, алгоритмического предписания и эвристики. Можно также разделить умственные действия по степени их обобщенности и говорить о конкретных и общих умственных действиях.

Конкретные умственные действия — внутренняя сторона учебных действий, совершаемых школьниками при решении учебных задач (например, при решении уравнения, текстовой задачи, составлении плана ответа, доказательстве теоремы и т. д.). «...Обычно в учебной деятельности учащихся за приемами учебной работы как бы скрыты приемы умственной деятельности... Некоторые приемы умственной деятельности даже полностью совпадают с приемами работы. Так, например, приемы установления причинно-следственных связей являются одновременно приемами и учебной работы, и умствен-

ной деятельности» (Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. — М., 1968. — С. 12).

Несформированность у учащихся общих умственных действий является одной из причин неуспеваемости. Работа с такими учащимися должна вестись как школьным психологом путем специальных коррекционных занятий, так и учителем на уроке путем более осознанной и индивидуализированной работы по формированию ориентировочной основы осваиваемых действий.

Ориентировочная основа действия (ООД) — ясный, четко дифференцированный план, в который входят: строение и характеристика объекта, явления или процесса — того, что подлежит усвоению; строение и характеристика исходного материала действия, затем его орудий и, наконец, его самого, т. е. состав, последовательность и способ выполнения его отдельных операций (П. Я. Гальперин). Схема ООД — это модель деятельности, в которой отражены все ее структурные и функциональные части.

Свойства ООД:

— полнота (неполнота) — показывает, вся ли информация, необходимая для совершения действия, представлена;

— обобщенность (конкретность) — показывает, насколько данная основа дает ориентировку для решения данной конкретной задачи или для целого класса задач, прослеживаются ли связи с другими разделами;

— активность (пассивность) ученика при ее создании.

Наиболее эффективной является полная, обобщенная ООД, созданная при активном участии учащихся.

Этапы формирования умственных действий по П. Я. Гальперину

1. Создание полной ориентировочной основы действия (ООД) (разъяснение цели действия, строение и характеристика объекта, явления или процесса, строение и характеристика исходного материала действия, его орудий, последовательности и способа выполнения отдельных операций).

2. Выполнение действий на основе ООД во внешней, материализованной форме с применением всех входящих в него операций.

3. Перевод действия во внешнюю, громкую речь под контролем другого внешнего лица, обеспечивающего обратную связь.

Наличие обратной связи является обязательным элементом, без которого не происходит эффективное усвоение действия.

4. Внутреннее проговаривание (полное проговаривание про себя) последовательности действий, обеспечивающее внутренний контроль за протеканием умственного действия.

5. Снятие пооперационного контроля, свертывание действия, его автоматизации, слитность, повышение скорости его совершения, действие существует во внутренней речи. При автоматизации действия практически исчезает возможность переучивания ребенка, поэтому для эффективного освоения действия необходимо качественное прохождение предыдущих этапов.

Принципы развивающего обучения, предложенные В. В. Давыдовым

1. Усвоение знаний, носящих общий и абстрактный характер, предшествует знакомству с частными и конкретными знаниями.

2. Знания, лежащие в основе главных разделов предмета, должны быть освоены в результате анализа условий их происхождения, в преобразующе-воспроизводящей деятельности.

3. При усвоении знаний учащиеся должны уметь, прежде всего, обнаружить в учебном материале генетически исходное, существенное, всеобщее отношение и/или структуру объекта данных знаний.

4. Это отношение учащиеся воспроизводят в особых предметных, графических или буквенных моделях, позволяющих изучить его свойства в чистом виде.

5. Учащиеся должны уметь конкретизировать генетически исходное отношение в системе частных знаний о нем в таком единстве, которое обеспечивает мышление перехода от всеобщего к частному и обратно.

6. Учащиеся должны уметь переходить от действий в умственном плане к действиям во внешнем плане и обратно.

РАБОТА № 2

Контроль, оценка и самооценка в учебной деятельности

Основные цели работы: обобщить полученные знания об учебной деятельности; конкретизировать понятия контроля (его содержания и форм), оценки и отметки; проанализировать возможные механизмы и приемы формирования самооценки и самоконтроля у учеников в процессе учебной деятельности.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Оценка и отметка, самооценка.

2. Принципы безотметочного оценивания.

3. Индивидуальная и нормативная педагогическая ориентация.

4. Индивидуальный оценочный стиль.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните индивидуальную работу с методикой Фидлера1.

Инструкция. Оцените, пожалуйста, по десятибалльной шкале (от 0 до 9) выраженность предложенных качеств:

— у наиболее предпочитаемого для вас ученика, не называя его фамилии (А);

— у наименее предпочитаемого для вас ученика, также не называя его фамилии (В);

— у самого себя (С).

После завершения оценивания в четвертой графе бланка для ответов вычисляют абсолютную разницу между А и В (наиболее предпочитаемым и наименее предпочитаемым) по каждому показателю. В пятой графе бланка каждое число из четвертой графы возводится в квадрат. Пример:

Параметры

А

В

С

|а-b|

|а-b|2

Трудолюбие

7

4

5

2

4

Инициативность

7

9

3

2

4

...

Затем вычисляется сумма всех чисел в последней графе Σ(|a — b|2) и квадратный корень из этой суммы √Σ(|a — b|2).

Полученное в итоге значение и есть так называемый индекс категоричности (ИК), являющийся достаточно устойчивой и сугубо индивидуальной характеристикой личности. Его универсальность проявляется в том, что он практически не зависит от содержания различных свойств личности, по которым производится оценка. (Поэтому предложенный нами перечень качеств является достаточно условным и может быть изменен в зависимости от пожеланий и целей исследователя.)

1 По материалам Е. В. Алексеевой (кафедра психологии развития и образования РГПУ им. А. И. Герцена).

Приложение. Методика Фидлера.

Параметры

А

В

С

|а-b|

|а-b|2

1. Трудолюбие

2. Инициативность

3. Аккуратность

4. Уровень знаний

5. Целеустремленность

6. Исполнительность

7. Энергичность

8. Ответственность

9. Способности

10. Самостоятельность

Средние (1—10)

11. Доброжелательность

12. Справедливость

13. Чувство собственного достоинства

14. Умение держать слово

15. Отзывчивость

16. Уравновешенность

17. Скромность

18. Внешняя привлекательность

19. Жизнерадостность

20. Чувство юмора

Средние (11—20)

Средние по столбцу

Средние значения ИК находятся в интервале {10...20} и свидетельствуют об адекватном восприятии других людей, гибкости в общении с ними, отсутствии стереотипов и склонности к стереотипизации. Чем выше ИК, тем более категоричен субъект в своих решениях, выводах, суждениях о других людях, тем более он склонен к авторитарному влиянию, навешиванию «ярлыков», непримирим к недостаткам и т. д.

Кроме того, рассматриваются наибольшие и наименьшие показатели в графе |а — b|, которые свидетельствуют о значимости или незначимости конкретных качеств при отнесении других людей к категории «хороших» или «плохих».

В предложенном нами варианте список качеств делится на две группы: «деловые» (1—10) и «собственно личностные» (11—20). Вычислив средние значения по каждой из названных групп качеств (например, в столбце А) и сравнив их между собой, можно определить, что в другом человеке является ценным и значимым — личность или «функциональность». Дополнительно с феноменом индивидуального оценочного стиля можно ознакомиться по источникам 3 и 4.

В итоге на занятии можно обсудить влияние педагогической деятельности на становление индивидуального оценочного стиля личности и опасность усиления категоричности, а также особенности взаимодействия с детьми педагогов с различным уровнем выраженности ИК.

2. Познакомьтесь с основными этапами развития рефлексии в учебной деятельности на примере решения недоопределенных задач (источник 9) как основе развития действия оценки, а также с приемами развития и поддержания инициативы учеников на уроке (поощрение «умных» вопросов, признание и фиксация авторства идей и т. д.).

Задания для микрогрупп

1. На конкретном школьном материале придумайте задания, которые бы иллюстрировали рассмотренные ниже теоретические принципы.

2. Обсудите преимущества и недостатки безотметочной системы оценивания, приведите примеры форм осуществления безотметочного оценивания, которые встречались в практике. Составьте список форм безотметочного оценивания (например, использование отрезков, графиков и таблиц знаний и умений; самооценка работы в конце урока, взаимооценка в парах и т. д.). Обсудите, насколько в каждой из предложенных форм и при каких условиях максимально реализуются базовые принципы безотметочного оценивания.

Методический комментарий к заданиям

Контроль — процедура получения информации о деятельности и ее результатах, т. е. процедура, обеспечивающая обратную связь.

Оценка — процесс соотношения реальных результатов с планируемыми целями.

Отметка — результат этого процесса, его условно-формальное (знаковое) выражение.

Действие оценки — это действие, благодаря которому человек оценивает свои возможности действовать, определяет, достаточно ли у него знаний для решения новой задачи, каких именно знаний недостает.

Самооценка начинается там, где ребенок САМ участвует в производстве оценки — в выработке ее критериев, в применении этих критериев к различным конкретным ситуациям собственной деятельности. Младший школьник очень чувствителен к оценкам учителя, поэтому от того, какова школьная система оценочных взаимоотношений, во многом зависит складывание детской самооценки. При этом целью работы педагога должно быть развитие у ребенка рефлексивной, дифференцированной, устойчивой, адекватной самооценки. Основой этого является развитие у школьников рефлексии — способности обращаться к основаниям чужих и собственных действий.

Приведем несколько приемов, которые могут работать на развитие самоконтроля на уроках математики.

Прием 1. Повторение пройденного на уроке.

Проводится опрос. В конце занятия учитель задает вопросы, побуждающие к рефлексии урока. Что на уроке было главным? Что было интересным? Что нового сегодня узнали? Чему научились?

На один и тот же вопрос могут ответить несколько человек. Мнения, возможно, не совпадут. Важно: учитель не должен добиваться «административными мерами», чтобы главным назвали именно то, что считает таковым он.

Прием 2. Помощь ученикам в обнаружении связи между их усилиями и результатами труда.

а) После выполнения заданий (например, после проверочной или самостоятельной работы) попросить учеников рассказать, что было особенно трудно и как они с этим справились.

б) Обсуждение причины не только успехов, но и неудач.

Прием 3. Ориентирование учеников на самооценку в деятельности.

а) Спрашивать ученика после ответа у доски или какой-то формы контроля «Ты доволен результатом?», «Чем именно ты доволен, а чем нет?» вместо оценки: «Ты хорошо справился с работой».

б) Проводить индивидуальные беседы для обсуждения достижений и промахов, постоянно интересоваться отношением ученика к процессу и результату своей деятельности.

Прием 4. Предлагать ученикам выбирать для себя уровень сложности заданий (например, многоуровневые контрольные работы).

Прием 5. Для развития самооценки в учебной деятельности, самостоятельности предлагать учащимся самим оценивать свой результат (например, после проверочной работы или математического диктанта).

Вариант самопроверки:

а) Учитель диктует правильные ответы.

б) Ученики отмечают знаками « + » или «-» свои результаты.

в) Небольшое обсуждение по вопросам учеников.

г) Обсуждается норма оценки и выставляется отметка.

д) Отметки выставляются в журнал по усмотрению учителя или по желанию учеников.

В случае, когда ребята по своему усмотрению будут выставлять отметку в журнал, они будут сами контролировать свои успехи в математике, будут видеть свой результат, сравнивать его с предыдущими достижениями, сравнивать свои успехи с успехами других людей, могут повышать уровень собственных возможностей, добиваясь успехов и избегая неудач. Оценивание может проходить по нетрадиционным шкалам, например 10-балльным.

Прием 6. Взаимоопрос.

Ученики опрашивают друг друга. Тему называет учитель. По завершении работы в парах учитель может вызвать несколько ребят, которые произносят фразу типа: «У меня вызвали затруднения такие-то вопросы».

Взаимоопрос можно сделать непродолжительным — 3—5 минут.

Прием 7. Идеальный опрос (шутка).

Ученики сами оценивают степень своей подготовки и сообщают об этом учителю. Идеальный опрос — когда опроса нет,

а функции его выполняются. Опроса нет — значит, сэкономим время и силы. Вопрос: «Кто сегодня чувствует себя готовым на 5?» (Ученики поднимают руки.), «На 4?», «На 3?».

В результате такой «шутки» учитель видит, скорее всего, неправдоподобную картину подготовки класса. Нужно учитывать, что не каждый может проконтролировать и оценить адекватно свои знания, но постепенно это может работать на развитие самооценки.

Прием 8. Каждый ученик получает свой вариант контрольной работы.

Дома решить другой вариант и устроить взаимоконтроль с тем, кто решал этот вариант. Таким образом, будет получена обратная связь. При многократном использовании такой метод будет ориентировать на самоконтроль.

Прием 9. Ошибки в контрольной работе.

Можно указать только общее число ошибок в данной работе. Найти и исправить их — задача самого ученика. Кроме внимательности, развиваются контроль над своей деятельностью и самостоятельность.

Прием 10. Рейтинг.

Завершив работу, ученик сам ставит себе отметку. За ту же работу отметку ставит и учитель. Записывается дробь.

В индивидуальной беседе можно задать следующие вопросы: «Сможете ли вы обосновать свою оценку? На чем вы будете базироваться? Какие аргументы вы приведете? Была бы другая оценка, если?.. Может быть абсолютно объективная оценка?»

Одна из задач рейтинга — приучить к регулярному оцениванию своего труда.

Принципы безотметочного оценивания (по Г. А. Цукерман):

— отметка отменяется, а содержательная оценка работы должна быть предельно дифференцирована. Каждое усилие ученика должно быть оценено отдельно;

— оценочные шкалы должны быть все время разные (пяти-, десяти-, стобалльные), чтобы гибко и тонко реагировать на прогресс-регресс в успеваемости ученика, например, показать прогресс ученика, который после десяти ошибок сделал в диктанте только шесть;

— ученики должны получать от учителя однозначные и предельно четкие критерии оценки работы, а также иметь опыт разработки оценочных шкал;

— ученики должны быть ориентированы не только на сравнение себя с другими, но, прежде всего, на сравнение себя с собой;

— самооценка ученика (прогностическая или ретроспективная) должна предшествовать оценке учителя.

Не только среди взрослых, но и среди детей нет однозначного отношения к безотметочной системе оценивания. Главные аргументы детей связаны, с одной стороны, с социальной значимостью отметок («мне хочется, чтобы было как у взрослых, с отметками», «мне хотелось бы не отличаться от подруг из других школ», «мама не верит, что я нормально учусь»), а с другой стороны, с желанием иметь простое объективное средство самооценки («я хочу знать, чего я стою», «я хочу знать свой уровень знаний»). Дети хотят иметь внешне зафиксированное, материальное выражение собственных успехов и неудач, им нужна обобщенная мера.

Поведение учителя при индивидуальной и нормативной педагогической оценочной ориентации (по Г. Ю. Ксензовой).

Индивидуальная оценочная ориентация

Нормативная оценочная ориентация

Анализирует особенности ситуации и свое поведение в ней

Ориентируется на устойчивые характеристики способностей

Делает осторожные прогнозы

Делает долговременные прогнозы

Сильных порицает за ухудшение, слабых хвалит за улучшение

Сильных хвалит всегда, слабых — очень редко

Поощряет за старание в процессе работы

Оценивает за результат, процесс не видит

Чаще дает индивидуальные, разные по сложности задачи

Чаще дает всем одинаковые задания

Оценочная деятельность учителей отличается также по частоте выставления оценок, использованию различных видов оценочных шкал, принципу выставления итоговых оценок, степени участия учащихся в выставлении оценок.

Индивидуальный оценочный стиль — достаточно устойчивая, индивидуальная характеристика личности, которая показывает адекватность восприятия других людей, склонность к стереотипизации (наличие/отсутствие стереотипов) и, как следствие, гибкость/ригидность в общении с окружающими.

РАБОТА № 3

Когнитивные стили в обучении

Основные цели работы: актуализировать знания студентов о когнитивных стилях и способах их диагностики; познакомить студентов с возможными способами учета когнитивного стиля учащихся в процессе обучения как средствами профилактики неуспеваемости.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Понятие о когнитивных стилях.

2. Виды когнитивных стилей и их краткая характеристика.

3. Индивидуализация и дифференциация обучения, принципы учета когнитивного стиля в обучении.

Задания для подготовки к занятиям

1. Пользуясь табл. 3.1 с описаниями стилей и психодиагностическими тестами, определите свой собственный когнитивный стиль. Какие сложности в восприятии учебного материала учащимся вы можете прогнозировать в связи с полученными результатами?

Инструкция. Ниже приведены 9 слов (две серии). Надо разбить их на три группы по три слова так, чтобы в каждой группе было что-то общее.

Первая серия:

щука, летать, овца, чешуя, бегать, шерсть, орел, плавать, перья.

Вторая серия:

глаза, обоняние, свет, ухо, зрение, слух, нос, звук, запах.

Оценка результатов

1-й вариант (первая серия):

Щука, овца, орел.

Плавать, бегать, летать.

Чешуя, шерсть, перья.

1-й вариант (вторая серия):

Глаз, нос, ухо.

Обоняние, слух, зрение.

Свет, запах, звук.

Этот вариант возможен на основе анализа, когда выделяются общие существенные признаки. Преобладает вторая сигнальная система. Мыслительный тип. Логическое мышление. Доминирование левого полушария.

2-й вариант (первая серия):

Щука, плавать, чешуя.

Овца, бегать, шерсть.

Орел, летать, перья.

2-й вариант (вторая серия):

Глаз, зрение, свет.

Нос, обоняние, запах.

Ухо, слух, звук.

Здесь предметы и явления обобщены по их функциональным признакам. Преобладает первая сигнальная система. Художественный тип. Образное мышление. Доминирование правого полушария.

Тест И. П. Павлова

Для характеристики типов высшей нервной деятельности И. П. Павлов ввел представление о трех типах: «мыслительном», «художественном» и «среднем». По определению Павлова, впечатления, ощущения и представления об окружающей внешней среде, как общеприродной, так и социальной, исключая слово, слышимое и видимое, — это первая сигнальная система действительности, общая у людей с животными. Ее преобладание характерно для людей «художественного» типа (близкого к правополушарному восприятию мира). Слово составляет вторую сигнальную систему действительности, будучи сигналом первых сигналов. Преобладание второй сигнальной системы характерно для «мыслительного» типа (близкого к левополушарному восприятию мира). Многочисленные данные о функциональной специализации полушарий головного мозга позволяют соотнести концепцию Павлова о двух сигнальных системах с особенностями работы полушарий и распределением ролей в их совместной деятельности.

Одновременное выполнение 1-го и 2-го вариантов теста или разных вариантов в разных пробах — смешанный тип.

Мои физические чувства в процессе обучения и работы (Ребекка Л. Оксфорд)1

В каждом пункте обведите цифру, выражающую приемлемый для вас способ запоминания:

0 — никогда,

1 — иногда,

2 — очень часто,

3 — всегда.

1 См. в кн.: Сиротюк А. Л. Обучение детей с учетом психофизиологии. — М., 2000.

1

Я запоминаю материал лучше, когда записываю его

0

1

2

3

2

Я делаю множество записей

0

1

2

3

3

Я зрительно помню картины, слова, цифры

0

1

2

3

4

В процессе обучения я предпочитаю видео и телевидение другим средствам массовой информации

0

1

2

3

5

Читая, я для запоминания подчеркиваю

0

1

2

3

6

Я пользуюсь цветными карандашами, чтобы выделить необходимый материал для запоминания

0

1

2

3

7

Мне необходимы разъяснения к упражнениям, которые я выполняю

0

1

2

3

8

Посторонние шумы раздражают меня во время занятий

0

1

2

3

9

Я должен смотреть на людей, чтобы понять, о чем они говорят

0

1

2

3

10

Мне лучше работается в комнате с плакатами, иллюстрациями на стенах

0

1

2

3

11

Я запоминаю лучше, если обсуждаю информацию вслух

0

1

2

3

12

Лучше запоминаю информацию, слушая лекции и учебные кассеты, чем читая

0

1

2

3

13

Мне необходимы устные наставления к упражнениям

0

1

2

3

14

Восприятие на слух помогает мне думать

0

1

2

3

15

Я люблю учиться и думать под музыку

0

1

2

3

16

Я легко понимаю сказанное, даже если не вижу человека, который говорит

0

1

2

3

17

Я обычно не запоминаю самих людей, но помню, о чем они говорили

0

1

2

3

18

У меня хорошая память на однажды услышанный анекдот или шутку

0

1

2

3

Окончание таблицы

19

Я легко распознаю людей по голосам

0

1

2

3

20

Включая телевизор, я больше слушаю, чем смотрю

0

1

2

3

21

Я приступаю к упражнению, не обращая внимания на объяснения к нему

0

1

2

3

22

Мне необходимы частые перерывы во время занятий или работы

0

1

2

3

23

Я шевелю губами, когда читаю про себя

0

1

2

3

24

Я не люблю заниматься за партой и по возможности избегаю этого

0

1

2

3

25

Я нервничаю, оставаясь долго без движения

0

1

2

3

26

Я думаю лучше, если нахожусь в движении

0

1

2

3

27

Движущиеся объекты способствуют моему запоминанию

0

1

2

3

28

Мне нравится строить, моделировать

0

1

2

3

29

Я люблю проявлять свою физическую активность

0

1

2

3

30

Я с удовольствием коллекционирую открытки, монеты, марки и т. д.

0

1

2

3

Сложите ваши отметки 1—10 позиций, запишите итог ... (зрение).

Сложите ваши отметки 11—20 позиций, запишите итог ... (слух).

Сложите ваши отметки 21—30 позиций, запишите итог ... (кинестетика).

Обведите наибольший результат. Если разница между двумя показателями составит не более двух очков, обведите оба результата. Обведите все три показателя, если разница между ними составляет не более чем два очка. Полученный итог — показатель вашего наиболее работоспособного чувства

или ведущего канала восприятия и запоминания информации. Если ведущий канал не удалось выявить, значит, у вас смешанный тип.

2. Сформулируйте задания для учеников с различными когнитивными стилями по темам «Понятие модуля» и «Признаки равенства треугольников». При этом постарайтесь не столько ориентироваться на разнообразие содержания заданий, сколько на форму их предъявления и те действия (способы работы), которые необходимо совершить учащимся для их решения.

Задания для микрогрупп

Определите для учащихся, с какими предпочитаемыми когнитивными стилями хороши данные задания. Ответ необходимо обосновать.

1. Подготовьте из бумаги модели параллелограммов и равнобедренных трапеций. Разрежьте (используя один разрез) параллелограмм таким образом, чтобы:

а) из полученных кусков можно было бы сложить равнобедренную трапецию;

б) другой параллелограмм;

в) каждый из кусков был равнобедренной трапецией;

г) один из кусков был треугольником, а другой трапецией.

2. Кто быстрее определит, какого свойства недостает каждой из указанных ниже фигур, чтобы она была: параллелограммом (рисунок, у которого только одна пара параллельных сторон), трапецией (рисунок — просто прямоугольник).

3. Предлагается математический текст. В формулировках утверждений есть ошибки. Нужно как можно быстрее их найти. Например:

а) любое натуральное число, которое делится на данное натуральное число, называется делителем данного числа;

б) на данное натуральное число n не делится ни одно натуральное число, кроме п;

в) НОД двух чисел не может быть равен произведению общих простых множителей данных чисел.

4. На рисунках представлены графики разных функций. Требуется соотнести их с данными уравнениями, пользуясь знаниями о связи значений коэффициентов и поведении функций.

5. Дан список определений математических понятий. В тексте есть пропуски. Требуется заполнить их:

а) угол называется если обе его стороны лежат на одной прямой;

б) ... — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из одной точки.

6. Постройте график у = x2. Проследить, как он изменяется в зависимости от коэффициента перед х.

7. Составьте таблицу, в которой были бы приведены часто встречающиеся в жизни дроби и соответствующее каждой из них число процентов.

8. Не объявляя тему урока, учитель дает несколько заданий возрастающей сложности, которые иллюстрируют то, чем придется заниматься (например, деление дробей). Задачи решаются и совместно обсуждаются, после чего учеников просят сформулировать тему урока и основные закономерности, которыми пользовались при решении задач.

9. Задача — показать руками правильные координатные четверти, в которых находятся точки с соответствующими координатами (игру провести стоя).

Методический комментарий к заданиям

Когда говорят о когнитивных стилях, то имеют в виду особенности познавательных процессов (в первую очередь восприятия и мышления), которые характеризуют отдельных индивидов и устойчиво проявляются в различных ситуациях, при решении разных задач. При этом речь идет о стилистических особенностях познавательной деятельности, рассматриваемых относительно независимо от ее содержания. Пользуясь современной терминологией, можно сказать, что когнитивные стили отражают различия между людьми в характере переработки информации.

Когнитивные стили являются, прежде всего, процессуальными характеристиками, отвечающими на вопрос, «как» человек воспринимает и перерабатывает информацию, и именно этот качественный аспект делает когнитивные стили интересными с точки зрения процесса обучения. Ведь знание когнитивных стилей может помочь учителю проникнуть «в кухню» рассуждений ученика, а также понять особенности собственного способа рассуждения, который не всегда совпадает со способами рассуждения учащихся.

Основные когнитивные стили представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Сводная характеристика когнитивных стилей и типы учебных заданий

(по Бетти Лу Ливер)

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

Доминирование полушарий (левое — правое)

Доминирование полушария обозначает систему предпочтений в отношении специфических каналов поступления информации и специфических интересов

Левое: ученики «мыслительного типа» (по И. П. Павлову), успешны в словесности и точных науках, склонны к понятийному мышлению и рефлексии, логичны, обладают хорошей произвольной памятью.

Правое: ученики «художественного типа», склонны к синтезу, интуитивному, образному мышлению, обладают пространственным воображением, успешны в музыке и искусстве, предпочитают целостное восприятие, эмоциональны, эмпатичны (т. е. часто нацелены на понимание окружающих через сопереживание)

Левое: контроль и самоконтроль результатов объяснения. Правое: свободное обсуждение, совместное подведение итогов, скучают и путаются при дидактическом введении правил, важна работа с ассоциациями, непосредственное восприятие материала через образ—слово и образ—картинку, осознанное «разгадывание» ассоциаций авторов учебника, художника и учителя, создание собственных ассоциаций в изучаемой области

Продолжение таблицы

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

Полезависимость (поленезависимость)

Типы отражают степень дифференцированности поля восприятия (умение при восприятии предмета выделить фигуру и фон). Она влияет на вид Я-концепции, характер взаимодействия с другими людьми

Контекст-зависимый: неспособный отделить необходимую информацию от «фоновой», зависимый от ситуации, нерасчлененные представления о себе и мире, успешны в общении.

Контекст-независимый: легко отделяет существенную информацию от второстепенной, не зависит от внешних референтов, ситуации, дифференцированные представления о себе и мире

Контекст-зависимые: сочинения на свободную тему, мозговые штурмы, математические задания в словах (картинках) с контекстом, некоторые упражнения с использованием индукции, текстовые, прикладные задачи.

Контекст-независимые: вопросы с выбором ответа, задания на заполнение пустых мест, заучивание через повторение, математические вычисления вне контекста, составление словаря терминов, не любят выводить правила

Усилители — усреднители

Типы отражают узость — широту зоны эквивалентности понятий, влияют на особенности построения классификации информации

Усилитель: нацелен на нахождение различий между объектами.

Усреднитель: нацелен на нахождение сходства между объектами

Усилители: контраст, нахождение мелких и крупных различий, классификация.

Усреднители: сравнение, выявление типов, упражнения на беглость чтения, топологические задачи

Преобладание дедуктивного (индуктивного) мышления

Дедуктивное мышление — порядок рассуждения от общего к частному.

Индуктивное мышление — порядок рассуждения от частного к общему

Дедуктивный тип: объяснения, правила, все исключения надо логически обосновать.

Индуктивный тип: самостоятельный вывод правил, исключений, задания с использованием неизвестного языка, не терпят отсутствия возможности что-то сделать самим

Аналитики — синтетики

Типы отражают способ оперирования информацией для понимания ее смысла

Аналитик: анализирует, разбивает целое на части. Синтетик: интегрирует, строит целое из частей

Аналитики: тесты множественного выбора, считывание информации из учебника, концентрация на деталях, работа в одиночку, вычисления, доказательство теорем.

Синтетики: чтение без словаря на иностранном языке, аутентичная информация (газеты, журналы, TV-программы), концентрация на общем содержании, формулирование теорем, поиск взаимосвязей, тесты с «открытыми» вопросами

Окончание таблицы

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

Преобладание абстрактного (конкретного) типа мышления

Типы определяются уровнем концептуализации преимущественным уровнем абстрагирования при восприятии предметов

Абстрактный: мыслит на уровне концепций, источник включается в общую понятийную систему, которая достаточно подвижна.

Конкретный: склонен к тому, «что можно пощупать», прагматичен, жесткая пространственно-временная привязка к источнику, тяга к составлению набора жестких схем

Абстрактный тип: лекции, письменные упражнения. Конкретный тип: учебные экскурсии, упражнения «на пальцах», моделирование в реальности абстрактных конструкций

Преобладание линейного (нелинейного дивергентного) мышления

Типы отражают степень необходимости строгого порядка поступления информации для овладения и оперирования ею

Линейный тип: склонность к порядку, определенная педантичность, нужна строгая последовательность и внешняя организация действий.

Нелинейный тип: склонность к свободе, широким границам деятельности

Линейный тип: точно заданная последовательность действий, работа по алгоритму.

Нелинейный тип: неструктурированная деятельность, свободный поиск в заданном направлении

Импульсивный — рефлексивный тип

Типы определяются характером реагирования в ситуации решения задач

Импульсивный тип: учится методом проб и ошибок, отличается быстротой реакции, не раздумывает над ответом.

Рефлексивный тип: требует времени на усвоение и обработку информации, начинает действовать, внутренне опробовав гипотезы, взвешенно, осторожно

Импульсивный тип: задания на время, математические марафоны. Рефлексивный тип: долгосрочные проекты, домашние контрольные, письменные ответы

Визуалы, аудиалы, кинестетики

Типы определяются по ведущему каналу восприятия информации. Подробно изучаются в нейролингвистическом программировании (НЛП)

Визуальный: учится посредством зрительного восприятия информации, мыслит «слайдами», легко переходит от темы к теме. Аудиальный: учится посредством восприятия информации на слух, важны хорошо звучащие формулировки, логика в рассуждениях, застревает на деталях. Кинестетический: учится на собственном деятельностном опыте, мыслить — значит двигаться, сильная интуиция, слабо помнит детали

Визуалы: работа с бумагой и ручкой, работа на основе рисунков, письменные задания, трудности с устным счетом, важны схемы, таблицы, графики. Аудиалы: работа в парах, взаимодействие, ролевые игры, устные задания.

Кинестетики: активные перемещения, работа с моделями и реальными предметами, жестикуляция, групповое взаимодействие, шумовые эффекты, демонстрации, ролевые игры

Среди видов учебных заданий, собранных в таблице, можно выделить те, которые представлены лишь в части учебников и не являются типичными, например на уроках математики. Это прежде всего:

— задачи с «открытыми» вопросами, направленные на интегрирование понятий и образов (например: «Дан набор математических понятий. Используя их, составьте максимально возможное число верных утверждений»);

— задачи, где присутствует контекст и реальные жизненные события и факты;

— задачи, требующие практических действий и оперирования реальными моделями;

— задачи-догадки, дискуссионные задания и т. д.

Кроме того, очевидно, что для стиля обучения имеет значение не только сама формулировка задачи, но и способ, которым ее предлагается решать, а этот способ зачастую жестко фиксируется учителем (задается форма записи, предлагается алгоритм, ограничивается общение с другими учениками и т. д.).

В связи с этим предлагаем рассмотреть решение такой задачи: «На полке стоит трехтомник. Толщина каждой книги 40 мм, а книги без переплета 35 мм. Найти расстояние от первой страницы первого тома до последней страницы третьего». Дети с явно выраженной активностью левого полушария, у которых преобладает вербальное, знаково-речевое мышление, скорее всего, подойдут к решению этой задачи формально: «Толщина первого тома без одной части переплета 37,5 мм, толщина второго тома— 40 мм, толщина третьего тома без одной части переплета 37,5 мм, т. е. искомое расстояние — 115 мм». Правополушарные дети начнут решение с создания картинки, как расположены тома на полке, и сразу же зададут вопрос: «Стоят ли тома на полке по порядку?» Действительно, в условии задачи об этом ничего не сказано, а в зависимости от ответа на этот вопрос может быть разное количество ответов у задачи. Но предположим, что тома стоят по порядку, тогда оказывается удивительная вещь — три тома пронумерованы 1, 2, 3 (на третьем томе видно название книги), и три тома пронумерованы 3, 2, 1 (на первом томе видно название книги) — получается два решения задачи (45 мм и 115 мм).

Если чуть-чуть изменить условие задачи «Нарисуйте трехтомник, который стоит на полке...», указав на способ ре-

шения, можно было бы, с одной стороны, уменьшить количество ошибок при решении данной задачи, а с другой стороны, показать детям, ориентированным на вербальные стратегии решения, преимущество других подходов.

Дифференциация обучения — обеспечение для ученика свободы выбора индивидуального учебного маршрута, скорости и времени освоения учебного материала. При этом распределение учеников на группы по предметной избирательности, уровню овладения программой, способностям и т. д. лишь отчасти решает задачу индивидуализации.

Индивидуализация обучения — наличие индивидуального подхода на уроке, учитывающего качественные особенности каждого ребенка, т. е. изучение и учет возможностей каждого ребенка без предварительной отнесенности его к какой-либо группе. Дифференциация обучения на практике часто сводится к простой селекции детей, которые смогли адаптироваться к особенностям нашей педагогической системы.

Учет когнитивного стиля в обучении ни в коем случае не должен сводиться к обучению в предпочитаемом учеником стиле. Так как в этом случае для ученика закрывается возможность развития, расширения репертуара способов действия, он попадает в «плен своих индивидуальных особенностей», которые фатально предопределяют спектр решаемых им задач и сфер активности. Поэтому, учитывая когнитивный стиль, педагог должен рассматривать его как фундамент, стартовую площадку для индивидуального, личностного развития ученика, площадку, которую нельзя игнорировать, но которую надо расширять и наращивать.

Правило обучения — обучение в предпочитаемом стиле — закрепление в наиболее трудном стиле — контроль в предпочитаемом стиле (по Бетти Лу Ливер).

Группы риска в плане неуспеваемости: учащиеся с «незападным» подходом к приобретению информации (правополушарные, полезависимые, синтетики, конкретики, кинестетики);

учащиеся, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания учителя (ситуация конфликта когнитивных стилей);

учащиеся, стиль которых не совпадает с усредненным стилем класса (стилем большинства учащихся).

РАБОТА № 4

Понятия и представления при усвоении математики

Основные цели работы: раскрыть различия между понятием и представлением и особенности их формирования при изучении математики.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Что такое представление, виды и типы представлений.

2. Проблемы формирования представлений при обучении математике.

3. Что такое понятие, сравнительная характеристика понятий и представлений.

Задания для подготовки к занятиям

1. Просмотрев учебники, выпишите:

— представления различных видов, которые формируются у школьников 5—6 классов;

— понятия различных видов, которые формируются у школьников 7 классов.

2. Просмотрев два учебника 5—6 классов и 7 класса, подберите два примера, когда у учащихся формируется представление, а затем на его основе формируется понятие об одном и том же явлении, объекте. В чем разница целей обучения и применяемых методов объяснения в этих двух случаях? Например, используйте представление о треугольнике в учебнике Э. Р. Нурка, А. Э. Тельгмаа «Математика. 5 кл.» (М.: Просвещение, 1990. — С. 134) и понятие о треугольнике в учебнике Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7—9 кл.» (М.: Просвещение, 1990. — С. 27).

3. Выполните анализ следующих методических ситуаций.

Методическая ситуация 1. На уроке объяснялась тема «Осевая симметрия». Были нарисованы несколько систем координат с симметричными графиками разных функций. Дети хорошо видели симметрию относительно вертикальных прямых, но не видели симметрию относительно горизонтальных и особенно наклонных прямых.

Методическая ситуация 2. Проходили тему «Треугольники». Сначала выводилась теорема о том, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Затем упоминался факт, что биссектрисы и высоты также пересекаются в одной точке. Но если факт о медианах и биссектрисах был для ребят очевиден, то утверждение о высотах вызывало вопросы. Дети рисо-

вали рисунок тупоугольного треугольника и говорили: «Как же высоты могут пересекаться в одной точке, если две из них вне треугольника, а одна внутри?»

Методическая ситуация 3. Дети не понимали, почему при нахождении части от числа надо умножать данное число на дробь, а при нахождении числа по его части — нужно делить. Первое правило было объяснено на наглядном примере при разрезании круга на части и при решении конкретных задач с иллюстрациями или схематическими рисунками. Во втором случае наглядно объяснить не удалось, и была предложена схема для запоминания: если надо найти число А, а дано В, которое является какой-то частью А, надо В разделить на соответствующую дробь, так как А явно больше В, а если мы умножим В на дробь, то оно уменьшится. Дети все-таки второе действие усвоили хуже.

Используя знания о представлениях, предложите пути исправления ошибок и повышения эффективности объяснения.

Методический комментарий к заданиям

Представлением называют вторичный образ предмета или явления. Он возникает у человека в основном благодаря ощущениям и восприятию. Но в отличие от образов ощущений и восприятий, т. е. непосредственных результатов этих процессов, образ представления может быть отсрочен во времени и пространстве от ощущения и восприятия. Образ представления как бы извлекается человеком из памяти, ведь для того чтобы что-то представить, нам не надо непосредственно видеть какой-то предмет.

Другая группа представлений создается при помощи воссоздающего воображения. Такие представления возникают в результате преобразования имеющихся в памяти человека образов. Образ представления в этом случае создается при помощи словесной инструкции или демонстрации каких-то действий или образцов. Например, «Пован — это рыба, похожая на небольшую форель. Ее размеры 30—40 см, окраска светло-серая...» — и у человека возникает образ рыбы, с которой до этого он никогда не сталкивался. При этом особую значимость в понимании объяснения играет употребление основных перцептивных эталонов (размер, форма, цвет), которые всеми людьми понимаются одинаково.

И представления памяти, и представления воображения имеют место в школьном курсе математики. Например, к представлениям памяти могут относиться образы различных геометрических фигур, а к представлениям воображения — представления о возможных случаях взаимного расположения фигур.

Исходя из природы появления представлений, можно определить их основные характеристики. Главная характеристика представлений — их субъективность, так как жизненный опыт и воспоминания людей сугубо индивидуальны. Даже если попросить группу людей представить себе «лимон» и описать картинку, которую они внутренне увидели, описания будут очень разные. Кто-то увидит лимон, порезанный на тарелочке, кто-то увидит лимон, висящий на дереве, но большинство все-таки представит себе какой-то один лимон, так, как рисуют его картинки в детском лото. В этом проявляется вторая характеристика представлений — их обобщенность. У большинства людей образ представленного лимона будет суммировать образы всех лимонов, которые они видели когда-либо в жизни, поэтому очень мала вероятность того, что представленный лимон будет гнилым, зеленым, неправильной формы или с наклейкой на боку. Кроме того, такие характеристики образа представления, как яркость, четкость, полнота и детализация, во многом зависят от условий восприятия, эмоционального настроя и индивидуального опыта конкретного человека.

Представления делится на виды по степени обобщенности образа. По этому основанию выделяют единичные представления (например, треугольник ABC с заданными величинами сторон), общие (например, представления о треугольнике как о фигуре). Есть представления, получившие название «фигурных конструктов». Это столь обобщенные образы предмета, что они отражают его схематически. К этому виду представлений относятся условные обозначения, в том числе и знаки. Например, такие как бесконечность, вектор и т. д.

Главным фактором, который влияет на качество формируемых представлений, является активное оперирование учащимися изучаемым объектом. Чем более разнообразны каналы поступления информации об изучаемом объекте и способы действия с ним, тем более четким, полным и ярким будет складывающийся вторичный образ — представление.

Проблемы формирования представлений при обучении математике

Одна из проблем, связанных с формированием представлений, заключается в том, что далеко не все предметы и явления можно представить, особенно в алгебре и математическом анализе. В связи с этим создается редкая в обыденной жизни ситуация, когда учителю необходимо формировать понятия при отсутствии более ранних чувственных форм познания, имеющих образную природу. Поэтому особо возрастает роль

графических способов представления материала и решения задач, когда учитель использует, по сути, не реальные образы, а их подчас искусственно созданные заместители — фигурные конструкты. С этим же связано желание придать геометрический или физический смысл таким сложным абстрактным понятиям, как производная, интеграл и т. п.

Вторая проблема связана с тем, что в курсе математики встречаются ситуации, когда чувственная ступень познания играет меньшую роль, и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, становится тормозящим фактором. Например, бесконечность множества чисел на любом отрезке числовой прямой не подкрепляется, а, наоборот, «опровергается» конкретным образом конечного отрезка, содержащего это множество. Или бесконечность прямой опровергается ее конечным представлением в виде отрезка на доске.

Третья проблема связана с тем, что учителям математики свойственно мало внимания уделять формированию у учащихся необходимых математических представлений. Не секрет, что дублирование тем в 5—6 и более старших классах многие учителя воспринимают как возможность повторения материала без дифференциации целей обучения; в первом случае как формирования представления, а во втором как формирования понятия. Частично это связано с видением математики как точной, абстрактной и теоретичной науки, что не вяжется с субъективным и нечетким характером представлений. Частично же это отражает пренебрежительное отношение к трате времени на формирование представлений, как к игре или развлечению. Действительно, зачем еще раз формировать образ треугольника, когда у детей он должен быть сформирован уже в три года, тем более что учителя быстро забывают свои детские сложности при овладении такого рода материалом. Кроме того, работа по формированию представлений требует творческого подхода. К сожалению, в учебниках чрезвычайно мало заданий соответствующей направленности.

Такое отношение к формированию представлений порождает впоследствии много трудностей при решении задач. Вот несколько примеров:

— при решении задач на доказательство или вычисление в геометрии дети «не видят» треугольники, в которых находятся необходимые для решения данные;

— ориентируясь на «стандартное» изображение остроугольного треугольника на доске, которое чаще всего используют учителя при объяснении, дети не видят нескольких вариантов решения задачи, связанных с разной величиной углов треугольника;

— выполняя вычислительные задачи, не делают проверку предлагаемых размеров сторон треугольников на соответствие неравенству треугольника и т. д.

В психологии понятием называют форму мышления, в которой отражаются общие и существенные свойства явлений, при этом понятие является как результатом, так и средством мышления. Любое понятие характеризуется содержанием и объемом. Объем понятия раскрывается, как правило, с помощью операции классификации. Если же говорить о содержании понятий, то их можно разделить на абстрактные, т. е. те, которые не могут существовать в виде представлений (бесконечность, производная), и реальные, которые можно ощущать и воспринимать (ломаная, расстояние).

Важным для обучения является тот факт, что без специального обучения и обращения к теоретическим знаниям люди практически не используют понятия. В жизни мы, как правило, пользуемся предельно обобщенными представлениями, или, как их называл Л. С. Выготский, — предпонятиями. Например, что такое стул, всем понятно. Но чтобы сформулировать понятие о стуле, надо выделить существенные свойства этого предмета, которые отличают его от всех других предметов мебели: кресел, диванов и т. д. Согласитесь, это не такая уж простая задача.

Сравнивая понятие и представление, можно выделить следующие их отличия.

Представление

Понятие

Вторичный образ предмета

Мысль о предмете, выраженная в слове

Обобщает как существенные, так и несущественные свойства предметов и явлений

Обобщает только существенные свойства предметов

Субъективно, так как складывается в индивидуальном опыте человека

Складывается в теоретической и практической деятельности многих поколений людей

Одно и то же представление у разных людей различно по точности, яркости, полноте и т. п.

У больших групп людей понятия одинаковы

Не все явления и процессы можно представить

Мыслить в понятиях можно о любых процессах и явлениях

Формирование понятий — сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм чувственного познания — ощущений и протекающий часто по следующей схеме: ощущение — восприятие — представление — понятие. Переход от представлений к понятиям совершается при помощи мыслительных операций, прежде всего, обобщения и абстрагирования.

РАБОТА № 5

Сюжетные задачи и обучение работе с ними

Основные цели работы: актуализировать знания учащихся о математических задачах и опыт работы с сюжетными задачами; раскрыть методические особенности работы учителя, связанные с обучением решению сюжетных задач; познакомить студентов с арифметическим, геометрическим, графическим способами решения сюжетных задач; формировать умение обучать решению сюжетных задач; провести контроль по данной теме1.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Понятие математической задачи и ее структура.

2. Определение сюжетной задачи.

3. Типология сюжетных задач.

4. Основные этапы работы над задачей.

5. Различные приемы работы с текстом задачи.

6. Основные приемы работы на этапе поиска решения задачи.

7. Обратные задачи. Их роль при обучении работе с сюжетной задачей.

8. Типология задач на движение в учебниках математики 5—6 классов.

9. Фрагменты уроков, посвященные работе с сюжетными задачами.

10. Обсуждение методических ситуаций.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выделите типологию задач на движение по учебникам математики 5—6 классов.

2. Основываясь на личном опыте решения сюжетных задач, выделите виды математических моделей, по которым возможно решение задачи. Приведите примеры. Используйте

1 По результатам занятий по данной теме предполагается выполнение аудиторной и домашней контрольных работ. Их тексты приводятся на с. 35—38.

при подготовке ответа на вопрос учебники по всему школьному курсу математики.

3. На примере конкретной задачи разработайте методику организации работы с учащимися на всех этапах решения.

4. Предложите вариант решения методических ситуаций.

Методическая ситуация 1. Математической моделью сюжетной задачи на движение является уравнение: 60х + 15 = 30, где x ч — время, 60 км/ч — скорость, 30 км, 15 км — расстояние.

Решив уравнение, ученик получил: х = 4 и записал ответ: 4 часа.

Почему ученик допустил ошибку? Как в этой ситуации:

а) показать ученику его ошибку;

б) сформировать умение выполнять самоконтроль?

Методическая ситуация 2. Однажды автор данного текста вместе со студентами был на открытом уроке в 5 классе в одной из гимназий города на юге России. Это был сдвоенный урок, целью которого было обучение решению задач составлением уравнений. Урок начался с разбора приведенной в учебнике Н. Я. Виленкина задачи: «В книге 70 страниц. В ней помещены рассказ и повесть. Рассказ в четыре раза короче повести. Сколько страниц в рассказе?» Учительница попросила кого-то из учеников прочесть текст задачи, а затем спросила: «Что мы примем за неизвестное в задаче?» Ученики, еще в начальной школе привыкшие, что в качестве неизвестного обычно выбирается та величина, которая обозначена в вопросе задачи, бодро ответили, что за х они примут число страниц в рассказе. «Сколько страниц занимает повесть?» — был следующий вопрос. Получив ответ, что в повести 4х страниц, учительница спросила, какое уравнение нужно составить в этой задаче. На доске была сделана краткая запись условия задачи, записано полученное уравнение х + 4х = 70, для решения которого был вызван ученик. Был записан ответ данной задачи и предложена для решения в тетради следующая задача. К доске был вызван ученик. Аналогичным образом проводилась работа с другими задачами. В конце второго урока для самостоятельного решения была предложена задача, при работе с которой ученики испытали существенные трудности. У студентов возник вопрос, почему ученики не справились с аналогичной на первый взгляд задачей. Преподаватель ответил, что это могло быть связано, в частности, с недостаточным вниманием учителя к отдельным этапам работы с сюжетной задачей, однообразным набором за-

дач для первичного закрепления, а также подменой цели урока: вместо составления уравнений к задачам внимание уделялось решению уравнений. Затем преподаватель предложил вариант реконструкции данного урока (описание этой реконструкции вы найдете в методическом комментарии).

Как можно было изменить содержание данного урока и работу учителя и учеников, чтобы достичь поставленных на уроке целей?

5. Используя методическую литературу, определите, каким методом (а в рамках метода — каким способом) можно решить задачу. Разработайте методику работы с двумя из предложенных ниже задач.

Задача 1. При посещении выставки было куплено 78 детских билетов и 16 билетов для взрослых, причем за все было уплачено 1260 р. Определите цену билетов, если детский билет в 3 раза дешевле взрослого.

Задача 2. 4 дюжины столовых ложек и 6 дюжин чайных весят 4 кг 680 г, а 6 дюжин таких же столовых и 6 дюжин чайных весят 5 кг 904 г. Сколько веса в каждой столовой и чайной ложке?

Задача 3. (Древняя китайская задача.) В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что всего в клетке 35 голов и 94 ноги. Найдите число фазанов и число кроликов.

Задача 4. Двумя насосами выкачивали воду. Когда один действовал 9 ч, а другой 3 ч, то они дали 69 бочек воды. Если бы первый работал втрое медленнее, а второй вдвое быстрее, то они дали бы 48 бочек. Сколько бочек воды выкачивал каждый насос в час?

Задача 5. 36 человек вырубили участок леса в 120 дней. Сколько нужно человек, чтобы вырубить такой же участок на 40 дней скорее?

Задача 6. Свежие грибы содержат 90% воды (по массе), а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих и сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 200 г сухих?

Задача 7. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки 3 км/ч.

Задача 8. Две группы туристов должны идти навстречу друг другу из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первая группа выйдет на 2 ч раньше второй, то они встретятся через 2,5 ч после выхода второй группы. Если же вторая группа выйдет на 2 ч раньше, чем первая, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первой группы. С какой средней скоростью идет каждая группа?

Задача 9. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе двух комбайнеров они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Задача 10. Девочке нужно было шитье для отделки. Оказалось, что шитье есть дешевое и дорогое. Если она купит шитье по 342 р. за 1 м, то ей не хватит денег на 2 м, а если она купит по 285 р. за 1 м, то останется денег еще на 2 м. Сколько денег взяла с собой девочка, сколько метров шитья и по какой цене она предполагала купить, если после покупки у нее должно было остаться 240 р.? (Решите задачу арифметическим методом.)

Методический комментарий к заданиям

Говорить о типологии сюжетных задач можно, взяв в основу различные основания проведения типологии: структуру текста, сюжет, методы решения, уровни учебной деятельности учащихся при работе с задачей и др.

Типология сюжетных задач по специфике процесса, описываемого в задаче, достаточно богата: задачи на движение, задачи на работу, задачи на покупку и т. д. Определение типа задачи по сюжету позволяет выделить величины, рассматриваемые в задаче, и основные соотношения между ними.

В рамках данных типов задач можно охарактеризовать специфику каждого процесса.

Так, рассматривая задачи на движение, можно выделить:

— движение одного, двух или трех тел;

— неодновременное и одновременное движения (при рассмотрении движений двух тел);

— движения в одном направлении или в противоположных направлениях и т. д.

Эти характеристики позволяют уточнить особенности каждой из величин. Например, при движении двух тел навстречу друг другу при одновременном выходе (равномерном движении) общая скорость складывается из скоростей этих

тел, при движении в одном направлении и сохранении других условий общая скорость равна разности скоростей.

Типология по методам решения предполагает выделение трех основных методов решения сюжетных задач: арифметического, алгебраического и геометрического.

Кроме того, существуют эвристические методы решения сюжетных задач (метод подбора и догадки), а также иные. Используется при решении сюжетных задач и полная индукция.

В рамках каждого метода определены различные способы решения задач.

В арифметическом методе можно выделить следующие способы: приведения к единице, отношений, обратности, исключения неизвестных, пропорционального деления, подобия и т. д.

Алгебраический метод предусматривает перевод сюжета на математический язык на основе известных зависимостей между величинами, построение математической модели сюжета, решение задачи в рамках математической модели, интерпретацию полученного результата в сюжет, формулировку ответа. Математической моделью сюжетной задачи могут служить числовое выражение, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, функция, график и т. д.

Геометрический метод предусматривает использование геометрических объектов и их свойств при решении задачи в рамках математической модели (метод сравнения длин отрезков (отрезочные диаграммы), метод подобия, метод площадей (двумерные диаграммы)).

Чаще всего при работе с задачей имеет место комбинация методов, но в этом случае один из методов выступает в качестве ведущего (является основным), другой же метод является способом реализации основного метода.

Примеры решения задач неалгебраическими методами вы найдете в Приложении 1.

Типология задач по уровням деятельности предопределяет форму учебной деятельности, а форма учебной деятельности — методику обучения поиску решения задачи и выбор метода решения.

Выделив три уровня учебной деятельности — алгоритмический или репродуктивный, продуктивный и творческий, — можно разбить сюжетные задачи на три класса:

— алгоритмические (решение задач такого класса осуществляется в рамках известной (понятной) учащимся определенной зависимости, заданного алгоритма; например, тре-

буется найти расстояние, скорость или время при рассмотрении равномерного прямолинейного движения или найти число, равное произведению сумме двух данных чисел на их разность);

— поисковые (решение требует аналитико-синтетической деятельности);

— эвристические (решение требует творческого подхода).

К последним относятся и задачи образного характера, стоящие обособленно. Их решение требует целостного восприятия ситуации, описываемой в задаче, и опирается на образы — картинку, которую создает решающий. Поэтому в них очень трудно выделить данные (что именно дано в задаче).

Структура текста задачи обычно включает два элемента: условие и требование, которые могут быть организованы различным образом. Рассмотрим примеры.

Задача 1. В трех цехах 270 станков. В первом цехе в 3 раза больше станков, чем в третьем, а во втором — на 20 станков больше, чем в третьем. Сколько станков в каждом цехе завода?

Структура текста этой задачи: Условие — Требование (У — Т).

Задача 2. Лис показал Принцу клумбу прямоугольной формы, длина которой n метров, а ширина m метров. Сколько кустов роз на ней росло, если на каждом квадратном метре было посажено по 8 роз?

Структура текста этой задачи: Условие — Требование — Условие (У — Т — У).

С методической точки зрения важно формировать у учащихся умение определять структуру текста задачи, так как владение этим умением на первом этапе — анализе текста — дает возможность правильно выделить данные задачи, требование задачи. Один из приемов работы с текстом на первом этапе — переформулировка текста задачи с целью приведения текста к структуре У — Т, что упрощает восприятие задачи.

Выделяют четыре основных этапа работы над задачей.

Этап 1. Анализ текста задачи. Цель его — перевести текст задачи на «язык ребенка», выделив при этом основные величины, связи между ними. Результатом этого этапа является краткая запись задачи, которая может быть представлена таблицей, схематическим рисунком, графиками, отрезочными или двумерными диаграммами с определенными краткими пояснениями. По краткой записи можно восстановить текст задачи.

Для успешного обучения учащихся решению сюжетных задач учителю необходимы знания по методике организации усвоения содержания на начальном этапе работы по решению задачи. Так, например, задача про бочки: «В трех баках вместе 50 л бензина, причем в первом баке на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем стало поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке?» решения не имеет.

Этап 2. Поиск решения задачи. Цель его — создать план решения задачи. Результатом может быть схема поиска в виде дерева.

Одним из основных приемов работы на этапе поиска решения задачи является математическое моделирование. Примеры поиска решения задачи представлены в Приложении 1.

Этап 3. Реализация плана решения.

Этап 4. Проверка решения задачи (по смыслу, математическая). Запись ответа, исследование задачи (другие методы и способы решения).

Если говорить об обратных задачах и их роли при обучении работе с сюжетной задачей, выделим только один аспект: обратная задача — средство проверки решения основной задачи.

Вариант решения методической ситуации 2

Как же мог организовать работу с данной задачей учитель на уроке?

В младших классах принято читать вслух текст задачи. После того как задача прочитана, учитель ставит два вопроса: «О каких объектах идет речь? Какими отношениями связаны данные объекты?»

Ответы на вопросы можно изобразить на доске в виде схемы (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Эта схема позволяет «выйти» как на арифметический способ решения задачи (это — задача на части), так и на алгебраический способ.

Конечно, учитель после чтения условия задачи может сделать паузу и попросить учеников предложить какое-либо решение задачи, а затем попросить автора объяснить, как это решение получено. Либо учитель сам комментирует возможные пути поиска предложенного решения.

Контроль по теме «Методика работы с сюжетной задачей» Контроль осуществляется в два этапа.

Этап 1. Выполнение домашней контрольной работы по разработке методики работы с задачей на всех этапах ее решения.

Этап 2. Выполнение аудиторной контрольной работы.

Задания домашней контрольной работы

Разработайте методику работы с задачей на всех этапах ее решения (арифметический метод). На последнем этапе решения сделайте проверку путем составления и решения обратной задачи1.

Задача 1. В совхозе суходольного луга 120 га. Заливные луга составляют 75% площади суходольных. Сколько собрано всего сена в совхозе, если с 1 га заливного луга собирают 2,25 т сена, а с 1 га суходольного луга — 8/15 этого количества?

Задача 2. Поезд должен был пройти расстояние в 630 км 2 за 14 ч. Пройдя 2/3 этого расстояния, он был задержан на 1 ч 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения без опоздания?

Задача 3. В бассейн проведены три трубы: первая может наполнить бассейн за 6 ч, вторая — за 4 ч, а через третью трубу вся вода из наполненного бассейна может вытечь за 12 ч. За какое время наполнится половина бассейна, если открыть все три трубы одновременно?

Задача 4. От совхоза до города 23 км. Из города в совхоз выехал на велосипеде почтальон со скоростью 12,5 км/ч. Через 0,4 ч после этого из совхоза в город выехал всадник со скоростью, равной 0,6 скорости почтальона. Через сколько времени после своего выезда всадник встретит почтальона?

1 Каждый студент получает по одной задаче.

Задача 5. В совхозе нужно было вспахать 180 га земли при норме 20 га в день. Вспашка была закончена на 3 дня раньше срока, предусмотренного планом. На сколько процентов перевыполнялся дневной план?

Задача 6. Между городами А и В 210 км. Одновременно из этих городов навстречу друг другу вышли две машины — легковая и грузовая. Сколько километров до встречи прошла грузовая машина, если легковая машина шла со скоростью 48 км/ч, а скорость грузовой машины составляла 75% от скорости легковой машины?

Задача 7. В течение трех дней бригада рабочих выполнила 2/3 всей работы по ремонту шоссе между совхозами. В первый день было отремонтировано 2,4 км этого шоссе, во второй день в 1,5 раза больше, чем в первый, а в третий день — 5/8 того, что было отремонтировано в первые два дня вместе. Найдите длину шоссе между совхозами.

Задача 8. Запас муки был распределен между тремя пекарнями. Первая пекарня получила 0,4 всего запаса муки, вторая 0,4 остатка, а третья пекарня получила муки на 1,6 т меньше, чем первая. Сколько всего муки было распределено?

Задача 9. Моторная лодка в стоячей воде проходит 16,5 км в час. По течению реки лодка прошла 180 км за 9 ч. За сколько часов пройдет это же расстояние лодка, возвращаясь обратно?

Задача 10. Теплоход по течению реки прошел 360 км и вернулся обратно. Собственная скорость теплохода 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км в час. Сколько времени затратит теплоход на весь путь туда и обратно?

Аудиторная контрольная работа

Определите, каким методом и каким способом (в рамках метода) может быть решена каждая из сформулированных ниже задач.

Задача 1. В первом зрительном зале 420 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду второго зала на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

Задача 2. Два поезда выходят одновременно из двух городов навстречу друг другу и встречаются через 3,6 ч. За сколько часов каждый из поездов проходит это расстояние, если один из них тратит на весь путь на 3 ч больше другого?

Задача 3. Из бассейна вода может быть выкачана насосом за 32 ч. За сколько времени можно выкачать воду из другого бассейна, в 4 раза меньшего, посредством насоса, в два раза более мощного?

Задача 4. Куплено 30 м одной ткани и 40 м другой, всего на 80 000 р., причем цена первой ткани в два раза дороже цены второй. Найдите цену каждого вида ткани.

Задача 5. Картина 1,4 м высотой повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины, т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим?

Задача 6. За 6 кг смородины и 4 кг малины я уплатила 460 р., а моя знакомая (по тем же ценам) за 2 кг смородины и 3 кг малины уплатила 220 р. Определите цену смородины и цену малины.

Задача 7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Задача 8. Вкладчик взял из Сбербанка сначала 1/4 своих денег, потом 4/9 оставшихся и еще 64 р. После этого у него осталось на сберкнижке 36 р. Как велик был вклад?

Задача 9. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?

Задача 10. По сигналу дрессировщика два пони одновременно побежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в противоположных направлениях. Первый пони бежал несколько быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5 м больше, чем второй. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику, остававшемуся на том же месте, через 9 с после встречи со вторым пони, а второй — через 16 с после их встречи. Какова длина внешней окружности арены цирка?

Задача 11. Для 15 лошадей на некоторый период заготовили 3 т сена. Сколько тонн сена нужно заготовить для 12 лошадей на тот же период?

Задача 12. Электропоезд из 9 вагонов прошел мимо наблюдателя за 12 с. С какой скоростью шел поезд, если длина каждого вагона 16 м?

РАБОТА № 6

Логико-математический анализ определений понятий, основные этапы формирования понятий

Основные цели работы: сформировать умения выполнять логико-математический анализ определений понятий школьного курса, показать на примерах возможную методику организации работы на основных этапах формирования понятий.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Понятие. Объем и содержание понятия.

2. Структура определения. Логико-математический анализ определений.

3. Процесс формирования понятий.

4. Варианты методики введения понятий школьного курса математики.

Задания для подготовки к занятиям

1. Вспомните основной теоретический материал темы.

2. Выполните классификацию понятия «комплексные числа».

3. Для понятий «отрезок» и «арифметический квадратный корень»:

— установите способ определения;

— определите структуру определения;

— разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями.

4. На основе анализа школьных учебников по математике 5—6 классов установите возможные последовательности изучения множества рациональных чисел.

5. Для приведенных в списке понятий школьного курса математики установите вид (способ) определения, определите структуру определения (род, термин, видовые отличия, вид логических связей видовых отличий) понятий, которые определены через ближайший род и видовые отличия.

Список понятий: десятичная дробь; обыкновенная дробь; равные дроби; модуль числа («Математика», 5—6 кл.); тождество; модуль числа; арифметическая (геометрическая) прогрессия («Алгебра», 7—9 кл.); точка; прямая; параллелограмм; прямоугольник; ромб; квадрат; симметрия относительно точки; параллельный перенос; скрещивающиеся прямые; параллельность прямой и плоскости («Геометрия», 7—11 кл.).

Задание для микрогрупп

Разработайте методику введения дедуктивным и индуктивным путями трех понятий по одному из школьных курсов: «Математика», 5—6 кл., «Алгебра», 7—9 кл., «Геометрия», 7—9 кл. (выбор понятия осуществляет студент).

Методический комментарий к заданиям

Понятие — целостная многоуровневая иерархически организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Понятие характеризуется: объемом; содержанием (характеристическое свойство (свойства), присущее всем объектам класса).

Средством раскрытия объема понятия является классификация. В качестве примера выполним классификацию понятия «четырехугольник» (рис. 6.1).

Классифицируя далее понятие «параллелограмм», можно в качестве основания классификации взять отношение длин смежных сторон и тем самым выделить из множества параллелограммов множество ромбов. Если же в качестве основания взять наличие прямого угла, то можно выделить множество прямоугольников. Множество квадратов будет пересечением множества ромбов и прямоугольников (заметим, что на этом шаге нарушен один из научных принципов проведения

Рис. 6.1

классификации, но, учитывая потребность решения задач, эту взаимосвязь между частными видами параллелограмма целесообразно показать).

Содержание понятия раскрывается с помощью определения.

Виды определений: вербальные и невербальные (остенсивные). Вербальные в свою очередь делятся на явные (родовидовые) и неявные (аксиоматические и описательные). Неявно определяются исходные понятия; например, в курсе геометрии таковыми являются понятия точки, прямой.

Структура явного определения: термин — род — видовые отличия.

Заметим, что видовые отличия могут быть заданы разными способами, например: описанием, отрицанием, конструктивно, рекурсивно.

Таким образом, можно конкретизировать виды определений через ближайший род и видовые отличия, выделив определение понятия посредством указания характеристических свойств: конструктивные; рекурсивные; определения—отрицания.

Видовые отличия, выделенные в определении, могут быть связаны конъюнктивно и дизъюнктивно.

С учетом вида логической связи видовых отличий выделяют конъюнктивные и дизъюнктивные определения.

Примеры выполнения логико-математического анализа родовидового определения понятия

Пример 1. Определение неправильной дроби.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной дробью.

Термин — неправильная дробь; род — дробь; видовые отличия — числитель больше знаменателя, числитель равен знаменателю.

Видовые отличия соединены дизъюнктивно.

Вывод: определение неправильной дроби вербальное, дизъюнктивное.

Пример 2. Определение параллельных прямых.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Термин — параллельные прямые; род — пары прямых; видовые отличия — лежат в одной плоскости, не пересекаются.

Видовые отличия соединены конъюнктивно.

Вывод: определение параллельных прямых вербальное, конъюнктивное.

Процесс формирования понятий у человека включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия) — представление (вторичный образ — создается у ученика в отсутствии наглядной основы) — предпонятие (образный концепт — ученик имеет образы, адекватные понятию, может назвать свойства объектов, существенные для понятия, но не выделить их достаточный набор, может не владеть кванторами) — понятие (мыслится в системе понятий).

Определить объект — значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия определяемого объекта от других.

Методика обучения математике выделяет основные этапы обучения явным определениям (раскрытия содержания математического объекта):

логический анализ структуры определения объекта (термин, род, видовые отличия, их логическая связь);

действие «подведение под понятие» (решение задачи на «распознавание» — выделение математического объекта среди предложенных);

действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением;

если требует педагогическая ситуация, замена определения ему эквивалентным.

Существует два подхода к введению понятия и определения понятия: дедуктивный и индуктивный.

Рассмотрим один из вариантов введения понятия «смежные углы» дедуктивным методом.

Учащимся предлагается самостоятельно прочитать по учебнику определение смежных углов, выделить термин, род, видовые отличия. После проверки самостоятельной работы на доске и в тетрадях учащихся появляется следующая запись:

Смежные углы

Пара углов

Имеют общую сторону

Две другие стороны — противоположные лучи

Объясним смысл использованных стрелок.

Определения понятий, вводимые через ближайший род и видовые отличия, включают в себя как признаки, так и свойства определяемого понятия.

Смежные углы

Пара углов

Имеют общую сторону

Две другие стороны — противоположные лучи

В данном случае стрелка, направленная вправо, трактуется следующим образом: понятие «смежные углы» задано; из этого вытекают указанные следствия (заметим, что следствия в этом случае связаны дизъюнктивно).

Смежные углы

Пара углов

Имеют общую сторону

Две другие стороны — противоположные лучи

Здесь же стрелка, направленная влево, говорит о том, что понятие «смежные углы» является следствием того, что имеют место выделенные геометрические объекты, находящиеся в определенном взаимном расположении (заметим, что видовые отличия в этом случае связаны конъюнктивно).

Далее учащимся предлагается серия рисунков (рис. 6.2) и вопрос к ней: «На каком рисунке углы 1 и 2 являются смежными?»

При ответе на вопрос учащиеся должны доказать, что указанная ими пара углов — смежные углы, с ссылкой на определение, перечисляя свойства, существенные для понятия.

Используя эти же рисунки, можно предложить доказать, что любая другая пара углов не является смежными углами, также со ссылкой на определение (выделить существенное для понятия свойство, которое не имеет места).

Рис. 6.2

Рис. 6.3

В результате решения этой задачи учащимися в большинстве случаев происходит осознание определения. Учащиеся запоминают свойства, существенные для понятия, не «зазубривая» их. Здесь же можно предложить простейшую задачу на построение угла, смежного данному, обсудить число решений данной задачи.

Рассмотрим далее один из вариантов введения понятия «параллелограмм» индуктивным методом.

Учащимся предлагается серия рисунков (рис. 6.3), к которой ставится вопрос: «Каким общим свойством обладают все изображенные геометрические фигуры?»

Ответ: все изображенные фигуры — четырехугольники.

Задание. Сравните четырехугольники (основание сравнения — взаимное расположение сторон четырехугольника). Все четырехугольники, кроме одного, обладают общим свойством, и только один этим свойством не обладает. Сформулируйте свойство и укажите четырехугольник, не обладающий выделенным свойством.

Вариант ответа. Все четырехугольники, кроме второго, имеют параллельные стороны.

Проводя дальнейшее сравнение четырехугольников по количеству пар параллельных сторон, можно прийти к схеме классификации четырехугольников (рис. 6.4).

Учителем формулируется определение параллелограмма. Далее решаются задачи на первичное закрепление понятия « параллелограмм ».

Примечание. С целью иллюстрации взаимосвязи понятий, логического строения математического курса целесообразно решать задачи по построению родословной понятий. Рассмотрим это на примере понятия «ромб».

Рис. 6.4

Определение (один из вариантов). Ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны.

Родословная понятия «ромб» представлена на рис. 6.4.

Понятия «точка», «прямая» — основные понятия геометрии.

Отметим, что ввести понятия частных видов четырехугольников можно с помощью набора проблемных заданий. Познакомиться с таким подходом вы можете в пособии В. В. Орлова «Геометрия в задачах. 7—8 классы».

РАБОТА № 7

Методика обучения правилам и алгоритмам

Основные цели работы: сформировать у студентов умения выполнять логико-математический анализ правил школьного курса, разрабатывать алгоритмические предписания; раскрыть методику на основных этапах работы: по введению правил и их применению; по обучению решению алгоритмических задач.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Теоретический материал по теме «Алгоритмы, методика обучения правилам и алгоритмам».

2. Варианты логико-математического анализа правил.

3. Варианты разработки алгоритмических предписаний.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выделите основные теоретические положения по теме «Алгоритмы. Методика формирования алгоритмов в школьном курсе математики» по материалам лекции.

2. Выполните логико-математический анализ приведенных ниже правил по курсу математики 5—6 классов. Если правило не является алгоритмом, то разработайте соответствующий алгоритм.

Правило умножения десятичных дробей: «Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную дробь, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. И в результате справа отделить запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе».

Правило выделения целой части из неправильной дроби: «Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: разделить с остатком числитель на знаменатель; неполное частное будет целой частью; остаток (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель дробной части.

Правило деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю».

3. Разработайте алгоритм решения задачи нахождения наименьшего общего кратного двух чисел.

4. Разработайте алгоритм (памятку):

— разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки;

— разложения многочлена на множители способом группировки;

— решения квадратного уравнения.

Методический комментарий к заданиям

Алгоритмы являются элементами теоретических знаний, с которыми учащиеся встречаются наряду с определениями понятий и математическими утверждениями (аксиомами, теоремами).

Понятие алгоритм — основное, неопределяемое. Сущность его на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: алгоритм — понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить задачу определенного типа.

Свойства алгоритмов:

— массовость (возможность использования для любой задачи данного типа);

— элементарность и дискретность шагов (отдельные законченные шаги, каждый из которых в состоянии выполнить исполнитель);

— детерминированность (однозначность определения первого и каждого следующего шагов, т. е. процесс решения задачи строго направлен);

— результативность (точное выполнение указаний при решении задачи всегда приведет к результату, т. е. к получению математического факта).

Одна из основных линий курса математики 5—6 классов — линия числа. На первом этапе обучения какой-либо операции на числовом множестве формулируется правило. Правило — это свернутый алгоритм. Обычно в правиле выделяются блоки — отдельные шаги (системы операций в сжатом виде, некоторые операции вообще не содержатся в формулировке правила). Это, в основном те операции, которые необходимы на начальном этапе применения правила и отработаны до введения правила.

Можно утверждать, что любой алгоритм — правило; однако, не всякое правило является алгоритмом.

Логико-математический анализ правил (алгоритмов)

Логический анализ предполагает:

— проверку наличия характеристических свойств алгоритма;

— выделение последовательности операций и логических условий;

— установление связей с другими знаниями.

Математический анализ — установление математической основы, т. е. базовых математических положений. Если в результате логико-математического анализа правила учитель убеждается в том, что правило не является алгоритмом, то целесообразно (с учетом уровня подготовленности учащихся класса) разработать предписание выполнения того или иного действия, понятное каждому ученику. Также целесообразно проводить работу в этом направлении при обучении алгебре, алгебре и началам анализа. Основой разработки предписаний может служить, например, типовая задача темы «Тождественные преобразования», решение уравнения определенного типа и т. д. Если на начальной стадии обучения к составле-

нию алгоритмов желательно привлекать учащихся по мере возможности, то в старших классах это делать необходимо с целью формирования определенного исследовательского умения, именно умения открывать общий метод.

Выделяются следующие основные этапы работы по введению правил, их применению и по обучению решению алгоритмических задач:

— выполнение учителем логико-математического анализа правила;

— разработка алгоритмического предписания (в случае необходимости);

— разработка и проведение этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма;

— введение алгоритмического предписания (обучающий этап);

— этап закрепления (применение введенного алгоритма при решении типовых задач).

Пример. Рассмотрим методику введения правила деления дроби на дробь: «Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю». Проводим логико-математический анализ этого правила.

Цель введения правила: сформировать умение выполнять деление дробных чисел.

1. Данное правило — не алгоритм, так как не обладает свойствами алгоритма, а именно:

— свойством массовости (правило не является руководством для выполнения деления на натуральное число, деления смешанных чисел);

— свойством элементарности и дискретности (не выделены отдельные и законченные шаги);

— свойством детерминированности (не определен первый шаг, нет строгой направленности процесса выполнения действия);

— свойством результативности (так как не обладает ни одним из указанных выше свойств).

2. Логические условия определения делимого, делителя и числа, обратного данному.

3. Базовые знания: понятие дроби; дробного числа; числа, обратного данному. Умения: выполнять преобразования дробных чисел (преобразование смешанного числа в неправильную дробь, обратное преобразование); применять правило умножения дробей; упрощать дробь (сокращение дроби).

Далее разрабатываем алгоритм.

Разрабатывать алгоритмическое предписание можно двумя путями: сформулировать алгоритм для нахождения частного двух дробей и затем на примерах показать его применение к частным случаям деления натурального числа на дробь и дроби на натуральное число, деления смешанных чисел; частные случаи сразу включать в рассмотрение.

Первый путь. Алгоритмическое предписание деления дроби на дробь:

1. Определите делимое

2. Определите делитель

3. Найдите дробь, обратную делителю

4. Делимое умножить на число, обратное делителю по правилу умножения дроби на дробь

5. Если возможно, полученную дробь упростите (сократите), выделите целую часть.

6. Запишите ответ.

Частные случаи:

— если делимое или делитель — целое число, то, прежде чем приступать к выполнению предписания, представить его в виде дроби со знаменателем единица

— если хотя бы один из компонентов действия — смешанное число, выразить его в виде дробного числа

Второй путь. Здесь рассмотрим другой вариант оформления алгоритмического предписания (рис. 7.1).

Необходимо выполнить систему подготовительных упражнений:

— сократите дроби:

— исключите целую часть:

— замените неправильной дробью:

Рис. 7.1

— найдите произведение дробей:

— найдите число, обратное данному:

— умножьте:

На этапе введения алгоритмического предписания необходимо при выполнении заданий на нахождение частного дробных чисел каждый шаг выполнять в соответствии с предписанием (постоянно работать с ним). При рассмотрении частных случаев также следует обращаться к предписанию.

При обучении алгебре на первоначальном этапе потребность в разработке алгоритмов не уменьшается.

Приведем пример алгоритмического предписания решения типовой задачи разложения на множители по формуле разности квадратов с рассмотрением примеров решения задач указанного типа. Условно назовем такого рода предписания памятками.

Памятка по разложению многочлена на множители по формуле разности квадратов a2 — b2 = (а — b)(а + b):

1. Убедитесь, что данное выражение является разностью.

2. Назовите выражения, составляющие эту разность.

3. Проверьте, можно ли представить эти выражения в виде квадратов.

4. Если выражения, составляющие разность, представимы в виде квадратов, то разложите данную разность на множители по формуле разности квадратов.

Пример 1. Разложите на множители многочлен 16х2 — 9y2.

Данное выражение является разностью: (16x2) — (9у2). Уменьшаемое: 16х2, вычитаемое: 9у2.

Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов:

16х2 = 42х2 = (4х)2, аналогично: 9у2 = (3у)2.

Разложим многочлен на множители по формуле разности квадратов:

Вывод:

Пример 2. Разложите на множители многочлен

Данное выражение является разностью: Уменьшаемое: 25а2, вычитаемое: 81у2.

Проверим, можно ли представить уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов:

Вычитаемое представить в виде квадрата нельзя. Вывод: многочлен 25а2 — 81b3 разложить на множители по формуле разности квадратов нельзя.

РАБОТА № 8

Математические утверждения. Теорема. Работа с теоремой, ее доказательством при обучении математике

Основные цели работы: познакомить студентов с основными направлениями работы учителя по обучению теоремам, показать возможные сценарии работы с ними; сформировать умения: выполнять логико-математический анализ математических утверждений, разрабатывать методику организации работы учащихся по изучению теорем.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Теорема и ее структура.

2. Основные направления работы учителя при разработке методики обучения теореме.

3. Организация работы учащихся на этапе работы с теоремой.

4. Разработка методики обучения теореме.

Задания для подготовки к занятиям

1. Вспомните основные факты, связанные с понятием «теорема» в следующих темах:

— «Суждения. Математические предложения. Математические утверждения. Типы утверждений»;

— «Логико-математический анализ математического утверждения (теоремы)»;

— «Виды доказательств математических утверждений».

2. Выполните логико-математический анализ приведенных ниже утверждений, им обратных, противоположных и обратных противоположным.

Утверждение 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Утверждение 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Утверждение 3. Вертикальные углы равны.

Утверждение 4. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то число делится на 5.

3. Выполните логико-математический анализ четырех утверждений школьного курса математики (два по геометрии и два по алгебре), а также утверждений, обратных данным, про-

тивоположных данным, противоположных обратным. Утверждения выберите самостоятельно.

4. Выделите общие методические рекомендации по обучению теоремам (по материалам лекции).

5. Разработайте методику обучения теоремам.

Теорема 1. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

6. Предложите вариант разрешения методической ситуации.

Методическая ситуация. Во время педагогической практики студентка проводила урок геометрии в 8 классе по теме «Площадь трапеции». Работу с теоремой она начала с вопроса, не знают ли ученики формулу площади трапеции. Не получив ответа на поставленный вопрос, она сделала на доске рисунок, ввела обозначения и записала формулу, которую предстояло обосновать.

Следующий заданный ею вопрос, не знают ли школьники доказательства теоремы, также остался без ответа. Тогда студентка аккуратно изложила доказательство теоремы в контексте учебника геометрии Л. С. Атанасяна и перешла к решению простейших задач на вычисление по данной теме.

Из приведенного описания следует вывод, что диалог, связанный с поиском доказательства, ей не удался.

Какие этапы работы с теоремой были описаны в приведенном фрагменте? Какие этапы были опущены? Как это повлияло на ход урока? Правомерны ли были поставленные перед школьниками вопросы? Какую предварительную работу следовало организовать, чтобы получить ответы на поставленные вопросы? Какой сценарий работы с данной теоремой вы можете предложить?

Методический комментарий к заданиям

Суждения — это предложения, в которых выражена мысль о предмете, объекте, явлении. Два основных свойства суждений:

— суждение что-то отрицает или утверждает;

— суждение является истинным или ложным.

Структура суждения:

— логическое подлежащее (субъект мысли);

— логическое сказуемое (предикат мысли);

— логическая связка.

Виды суждений:

— общеутвердительное;

— частно утвердительное;

— общеотрицательное;

— частно отрицательное.

Логическое предложение, выражающее суждение о математических объектах, называется математическим предложением. Каждая математическая теория представляет собой множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур.

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

— предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов;

— предложение истинно, оно или является исходным истинным предложением (аксиомой), или истинность предложения устанавливается доказательством с помощью исходных или ранее доказанных истинных предложений.

Например, предложение «Сумма углов треугольника равна 180°» — геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что оно сформулировано на языке геометрии, состоит из геометрических терминов (сумма углов, треугольник, 180°) и логических терминов (всякого, равна); его истинность доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Раскрыть логическую структуру математического предложения — значит показать, из каких элементарных предложений оно сконструировано и как составлено, т. е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок. (Логические связки наиболее часто используемые: «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда», «существует» и т. д.) Математические предложения бывают простые и сложные.

Теорема — математическое предложение, истинность которого установлена с помощью доказательства.

Действие «анализ математического утверждения (теоремы)» предусматривает выделение:

— разъяснительной части;

— условия;

— заключения;

— логических связок;

— установления вида (простое или сложное).

Выделяют две формы формулирования теоремы: импликативную и категоричную.

Пример. Выполним анализ математического утверждения «Сумма смежных углов равна 180°», а также утверждений: обратного данному, противоположного данному и противоположного обратному.

Утверждение сформулировано в категоричной форме. Для дальнейшей работы целесообразно утверждение переформулировать, используя импликативную форму. Имеем:

Данное утверждение (1): «Если углы смежные, то их сумма равна 180°».

Утверждение, обратное данному (2): «Если сумма двух углов равна 180°, то углы смежные».

Утверждение, противоположное данному (3): «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180°».

Утверждение, обратное противоположному (4): «Если сумма двух углов не равна 180°, то углы не смежные».

Анализ оформим в виде таблицы (табл. 8.1).

Термин «математическое доказательство» предусматривает доказательство предложений в рамках какой-либо математической теории. Различают содержательные (неформальные) и формальные доказательства, которые применяются соответственно в содержательных (неформальных или полуформальных) и в формальных математических теориях.

Таблица 8.1

Анализ математического утверждения «Сумма смежных углов равна 180°»

Утверждение

Разъяснительная часть

Условие

Заключение

Истинно / ложно

Простое / сложное

1

Множество пар углов

Углы смежные

Их сумма равна 180°

Истина

Простое

2

Множество пар углов

Сумма углов равна 180°

Углы смежные

Ложь

Простое

3

Множество пар углов

Углы не смежные

Их сумма не равна 180°

Ложь

Простое

4

Множество пар углов

Сумма углов не равна 180°

Углы не смежные

Истина

Простое

В школьном обучении некоторые начальные фрагменты математических теорий излагаются неформально (алгебра, геометрия, анализ).

Можно сказать, что курс «Математика 5—6» относится в целом к теории, изложенной на содержательном уровне, т. е. в нем используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Принципиально иной пример — курс геометрии.

Разделяют виды доказательств: прямое (например, синтетическое) и косвенное (например, методом от противного).

Вариант методики обучения построению прямого доказательства на начальном этапе обучения геометрии рассмотрим на примере задачи.

Задача. Даны: прямая а и точки А, В, С, не лежащие на прямой а. Известно, что отрезок AB пересекает прямую а, a отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую а отрезок ВС? Ответ обоснуйте.

Как один из вариантов, поиск доказательства можно провести в вопросно-ответной форме (табл. 8.2).

Таблица 8.2

Вопросы (задает учитель)

Предполагаемые ответы учащихся

Записи на доске

Какие геометрические фигуры заданы?

Прямая а и три точки А, В, С

Дано: прямая а.

Каково взаимное расположение прямой и точек?

Точки не лежат на прямой

А, В, С не лежат на прямой.

Что еще задано условием?

Отрезок AB пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее

Отрезок AB пересекает а, отрезок АС не пересекает а

Главный вопрос задачи?

Пересекает ли прямую а отрезок ВС?

Установить: пересекает ли отрезок ВС прямую а?

Что надо знать, чтобы установить взаимное расположение прямой и отрезка?

Как расположены концы отрезка по отношению к прямой: в одной или разных полуплоскостях, границей которых служит данная прямая

Продолжение таблицы

Вопросы (задает учитель)

Предполагаемые ответы учащихся

Записи на доске

Чтобы узнать расположение концов отрезка по отношению к прямой, попробуем получить следствия из данных условия и выбрать необходимые для построения обоснования (доказательства). Что следует из того, что дана прямая а?

1) Существуют точки, принадлежащие этой прямой и ей не принадлежащие.

2) Этой прямой плоскость разбивается на две полуплоскости

Пр. а

Существуют точки, принадлежащие этой прямой и ей не принадлежащие. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости (а, ß)

Какое из сформулированных следствий нам нужно для ответа на вопрос задачи? Подчеркнем его

Второе

Что сказано о взаимном расположении отрезка AB и данной прямой?

Отрезок AB пересекает прямую а

AB⋂а

А∈α, B∈ß

Есть общая внутренняя точка отрезка и прямой.

Концы отрезка в разных полуплоскостях

Какие следствия можно получить из этого данного?

1) Отрезок имеет с прямой общую внутреннюю точку.

2) Концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, границей которых служит прямая

Какое из полученных следствий нам необходимо для построения обоснования? Подчеркнем его

Второе

Окончание таблицы

Вопросы (задает учитель)

Предполагаемые ответы учащихся

Записи на доске

Самостоятельно рассмотрите условие: АС не пересекает прямую. Какое следствие нам необходимо для решения задачи?

Концы отрезка АС лежат в одной полуплоскости

Так как А ∈ а, то С ∈ α

АС не пересекает а. Концы отрезка в одной полуплоскости

Какой полуплоскости принадлежат точки А и С (с учетом введенных допущений)?

Точки А и С принадлежат полуплоскости а

Посмотрите внимательно на выделенные следствия. Теперь мы можем ответить на вопрос задачи?

Да

Сформулируйте ответ и обоснуйте его

ВС пересекает прямую а, так как В ∈ B, C ∈ а, т. е. концы отрезка в разных полуплоскостях с границей а

Примечание. Записи на доске и в тетрадях учащихся появляются по мере получения ответов на поставленные вопросы.

После проведения анализа можно построить цепочку рассуждений, которая и будет являться обоснованием ответа на вопрос задачи, т. е. доказательством.

Как можно заметить, поиск решения задачи представляет собой последовательный анализ требования и условия задачи с целью отыскания пути ее решения. Этот прием является общим и может быть использован при работе по поиску доказательств многих математических утверждений (теорема, задача). Последовательность выполняемых действий при проведении такого рода анализа может быть представлена в виде схемы (рис. 8.1).

Последовательный анализ заключения (требования) и условия математического утверждения (задачи)

Сделай анализ текста математического утверждения (задачи): выдели условие и заключение (требование)

Выясни, что достаточно знать, чтобы прийти к нужному заключению (установить требование): сформулируй промежуточное заключение (требование)

«Разверни условие»: получи следствия

Каждое из полученных следствий сопоставь с заключением (требованием) и сделай вывод о целесообразности его использования при построении доказательства

↓ ↓

Пришел к нужному заключению

Не пришел к нужному заключению

Выясни, что достаточно знать, чтобы прийти к нужному промежуточному заключению (требованию): сформулируй новое промежуточное заключение (требование)

Сформулируй новые следствия из условия

Каждое из новых полученных следствий сопоставь с новым промежуточным заключением (требованием) и сделай вывод о целесообразности его использования

↓ ↓

Пришел к нужному промежуточному заключению

Не пришел к нужному промежуточному заключению (требованию)

Оформляй доказательство (решение)

Рис. 8.1

Применение косвенного метода доказательства (метода от противного) рассмотрим также на примере задачи начального этапа обучения геометрии.

Задача. Докажите, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую (рис. 8.2). Три заданные прямые лежат в одной плоскости.

Рис. 8.2

Дано: а || b,

с ⋂а = А.

Доказать:

Анализ задачи на этапе поиска решения.

Так как две прямые на плоскости могут быть либо параллельными, либо пересекающимися, можно попытаться доказать, что прямые с и b не могут быть параллельными. Поэтому на первом шаге доказательства логично предположить, что прямые с и b параллельны. Далее к нашему предположению присоединим условия: а || b, с ⋂ а = А.

В результате анализа полученной совокупности высказываний с || b, а || b, с ⋂ а = А мы должны получить следствие, противоречащее одному из известных нам теоретических утверждений. Какому? Так как мы предположили параллельность прямых с и b, то, очевидно, необходимое нам утверждение должно иметь отношение к понятию «параллельность прямых».

Далее можно предложить учащимся самостоятельно попытаться сформулировать решение задачи.

Суть косвенного доказательства раскроем в памятке применения метода от противного. (Эту памятку целесообразно адресовать учащимся.)

Памятка по доказательству методом от противного:

1. Делаем предположение: строим отрицание того, что требуется доказать.

2. Присоединяем к предположению условие и делаем выводы.

3. Ищем противоречие с известным утверждением, условием задачи, ... (два высказывания, которые являются отрицаниями друг друга).

4. Делаем вывод, что наше предположение не верно, а верно его отрицание, т. е. верно то, что требуется доказать.

Метод полной индукции — метод, используемый в некоторых курсах. Например, в школьном курсе геометрии (по

Л. С. Атанасяну и др.) метод полной индукции используется при доказательстве теорем: о признаке равенства треугольников по трем сторонам и об измерении величины угла, вписанного в окружность.

Проводя анализ доказательств, на основе критерия «полнота доказательства» можно выделить два вида доказательств.

Логически полное доказательство характеризуется точным понятием; включает все посылки; не опускает никаких промежуточных рассуждений; явно указывает используемые правила вывода.

Свернутое доказательство включает интуитивное понятие; опускает некоторые, в частности общие, посылки и отдельные шаги (промежуточные рассуждения); не фиксирует используемую логику.

На практике мы имеем дело со свернутыми доказательствами.

Методические рекомендации по обучению теоремам

Основные направления методики работы учителя по работе с теоремой изложены в методической литературе. Наряду с традиционными подходами к изучению теорем, можно говорить об организации самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении геометрической теории.

Так, например, уже при изучении равнобедренного треугольника можно организовать поиск его свойств, а в дальнейшем и признаков, предложив школьникам выполнить следующие задания.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) вершина В соединена с точкой D основания (рис. 8.3). Какие элементы треугольников ABD и DBC будут равны? При каком дополнительном условии эти треугольники будут равны? Каким элементом треугольника ABC будет в этом случае отрезок BD? Какие элементы треугольников ABD и DBC при этом окажутся равными?

Какие свойства равнобедренного треугольника мы получили, отвечая на поставленные выше вопросы? Сформулируйте их в виде утверждений со словами: «Если треугольник равнобедренный, то...»

Какое дополнительное построение потребовалось нам для обоснования свойств равнобедренного треугольника?

Рис. 8.3

Запишите доказательство этих свойств. На каких теоретических фактах оно было основано?

Можете ли вы провести доказательство этой теоремы, используя перемещения (симметрию)? Какие дополнительные построения вам при этом потребуются? На какие утверждения в этом случае будет опираться ваше доказательство?

Можно ли утверждать, что равнобедренный треугольник является симметричной фигурой? Как вы обоснуете ответ?

Задача 2. В задаче 1 вы сформулировали свойства биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника. Какими свойствами будут обладать медиана, высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию? Докажите эти утверждения. Запишите эти доказательства в ваших тетрадях. Какими теоретическими фактами вы воспользовались при проведении доказательств?

Полученные свойства фиксируются в таблице, а через некоторое время составляются утверждения, обратные данным, и проверяется их истинность. Так появляются признаки равнобедренного треугольника.

По мере накопления опыта работы с геометрическим материалом учащиеся могут самостоятельно изучать теорию. Необходимость применения такой формы обучения, как самостоятельная работа, продиктована требованиями, предъявляемыми к организации учебного процесса в школе.

Организация самостоятельной работы учащихся по изучению теоретического материала требует тщательной подготовки учителя.

Покажем это на примере описанной выше методической ситуации. Один из возможных вариантов организации самостоятельной работы учащихся с теоремой о площади трапеции предлагается ниже.

Выделим знания и умения, необходимые учащимся для изучения теоремы.

Теоретические знания по теме «Площадь»: понятие площади многоугольника; основные свойства площади; площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника.

Умение работать с математическими утверждениями (задачами).

Практический опыт учащихся, приобретенный ими при работе с геометрическим материалом начальных курсов математики: нахождение площади геометрической фигуры

методом разбиения ее на фигуры, площади которых найти достаточно просто.

Работу по изучению нового материала можно начать с постановки задачи.

Задача 3. Дана трапеция, длины оснований которой а и b, а длина высоты h.

Найдите площадь трапеции.

На доске приведен рисунок (рис. 8.4).

Целесообразно задать следующие вопросы учащимся:

Как вы думаете, каким способом можно определить площадь произвольной фигуры?

Основываясь на личном опыте, учащиеся предложат разбить трапецию на фигуры, площади которых можно вычислить, применив известную теорию.

На какие из известных фигур можно разбить трапецию? Учащиеся могут предложить разные варианты, изображенные на рис. 8.5:

два прямоугольных треугольника и прямоугольник (а), три треугольника (б), два из которых равны, параллелограмм и треугольник (в), два треугольника (г) и т. д.

Далее на уроке конструируется доказательство формулы для одного из разбиений, а другие случаи предлагаются для самостоятельного исследования. В ходе обсуждения предложенных вариантов на следующем уроке выясняется, что самый простой вариант — разбиение на два треугольника, у одного из которых известны основание и высота, а у другого — основание. Именно в силу своей простоты этот вариант разбиения и представлен в учебнике.

Обучая учащихся доказательству теорем, не следует забывать, что теорема — математическое утверждение, требующее доказательства, т. е. задача на доказательство. Поэтому на этом этапе обучения можно и нужно применять приемы, используемые при работе с задачей на всех этапах ее решения.

Рис. 8.4

Рис. 8.5

РАБОТА № 9

Методика обучения решению геометрических задач

Основные цели работы: актуализировать знания о задачах и стратегиях поиска решения задач, об основных этапах работы с задачей; выделить особенности геометрических задач и определить основные направления работы учителя по обучению решению геометрических задач; сформировать первоначальные методические умения обучения решению геометрических задач.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Этапы работы с геометрическими задачами и особенности обучения учеников деятельности на каждом этапе.

2. Варианты методики работы с задачами.

3. Варианты разрешения методических ситуаций.

Задания для подготовки к занятиям

1. Какие типологии геометрических задач вы знаете? Используйте при подготовке ответа опыт проведения типологии сюжетных задач.

2. Выделите основные этапы работы по решению геометрической задачи.

3. Выделите особенности работы с геометрической задачей на каждом этапе ее решения. Рассмотрите их на конкретном примере решения двух типов задач: «на доказательство»; «на измерение».

4. Какие методы решения задач на доказательство вам известны? В чем суть выделенных методов?

Задания для микрогрупп

1. Решите предложенные далее геометрические задачи. Выделите методические особенности работы по их решению на каждом этапе (в условиях коллективной работы в классе).

Задача 1. Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

Задача 2. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.

Задача 3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 16 и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Задача 4. A(1; 0), B(3; 4), С(2; -1), D(2; 5). Докажите, что четырехугольник с вершинами в указанных точках — параллелограмм.

2. Предложите варианты разрешения методических ситуаций.

Методическая ситуация 1. Каждый из вас неоднократно попадал в ситуацию, когда надо было решить какую-то задачу «с листа». Однажды к автору этих строк пришел сосед по лестничной площадке, абитуриент одного из вузов, и попросил помочь решить задачу из сборника вариантов вступительных экзаменов. Задача была сформулирована так: «Одна из сторон треугольника равна 20 см. Вычислить его площадь, если медианы, проведенные к двум другим сторонам, соответственно равны 18 и 24 см».

В то время автор серьезно не занимался проблемами поиска решения задач, решал их на основе опыта и интуиции, поэтому для поиска решения потребовалось много времени. Наконец, глядя на рисунок к задаче, на котором были изображены все три медианы, автор вспомнил нужный теоретический факт: «Медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников», и тогда решение данной задачи было выполнено.

Решите указанную задачу. Сколько способов решения вы смогли найти? Как вы искали эти способы? Как бы вы объяснили процесс поиска решения данной задачи тому абитуриенту? А как бы вы стали работать с данной задачей на уроке?

Обычно, отвечая на последний вопрос, студенты говорят, что они предложили бы данную задачу для домашней работы, а потом проверили бы ее решение на уроке. В таком случае у преподавателя возникает вопросы: «А как бы вы стали проверять решение домашней задачи? Зачем вы будете ее проверять? Какие выводы после проверки вы сделаете?»

Как бы вы ответили на эти вопросы?

Методическая ситуация 2. Во время педагогической практики автор вместе со студентами присутствовал на открытом уроке по геометрии в 7 классе, который учитель давал для студентов-практикантов. В начале урока проходила проверка домашней задачи: «Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Медиана, проведенная к основанию,

делит исходный треугольник на два, периметр одного из них равен 24 см. Определите длину медианы».

К доске был вызван ученик, который решил задачу неверно. Тогда был приглашен другой ученик, который также запутался в решении, хотя и получил верный ответ. Понимая, что время урока уходит безвозвратно, что план открытого урока рушится, учительница записала на доске готовое решение данной задачи, ученики переписали его в тетради, и на этом работа с данной задачей была закончена.

Как бы вы поступили в подобной ситуации? Такое достаточно часто случается на уроке и не только во время проверки домашнего задания.

Какие стратегии поиска решения можно было продемонстрировать при работе с данной задачей?

Методический комментарий к заданиям

Можно выделить четыре этапа работы при решении задачи:

— работа с текстом задачи;

— этап поиска пути решения;

— запись решения;

— исследовательский этап.

Суть работы на каждом этапе можно сформулировать и заложить в памятки-рекомендации.

Этап 1. Работа с текстом задачи. Необходимо прочитать текст задачи (утверждения). Далее выделяется условие и требование (заключение):

— чтобы выделить условие, выясните, о каких фигурах идет речь, каким способом фигуры заданы, какие величины их характеризуют; как фигуры взаимосвязаны условием расположения на плоскости по отношению друг другу; как связаны характеристики;

— для того чтобы выделить требование, выясните, какие свойства фигуры (комбинации фигур) необходимо установить.

Далее делаются чертеж (если это необходимо) и краткая запись условия и требования.

Этап 2. Поиск пути решения. Поиск пути решения задачи можно осуществить следующими методами:

— восходящего анализа;

— нисходящего анализа;

— комбинацией двух предыдущих методов (это чаще всего имеет место на практике).

Суть этих методов рассмотрим на примере задач «на доказательство».

При восходящем анализе — от требования к условию:

— устанавливается понятие или отношение, включенное в требование задачи; вспоминаются соответствующие признаки;

— каждый из выделенных признаков сопоставляется с условием или следствием из условия;

— делается вывод о возможности или невозможности применения выделенного признака для получения требования.

При нисходящем анализе — от условия к требованию:

— формулируются следствия, вытекающие из условия задачи;

— каждое из следствий сопоставляется с требованием;

— устанавливается возможность использования каждого из выделенных следствий для конкретизации требования.

В результате составляется план решения задачи (определяется последовательность рассмотрения фигур, конечная цель рассмотрения каждой фигуры).

Этап 3. Запись решения. Запись решения задачи выполняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к письменным работам по математике.

На каждом шаге записи решения указывается рассматриваемая геометрическая фигура; фиксируются ее свойства (характеристики), необходимые для получения следствия; фиксируется следствие.

В конце решения записывается ответ.

Этап 4. Исследовательский. Последний этап работы над задачей предусматривает:

— анализ найденного решения, а именно выделение главной идеи решения, существенных его моментов;

— обобщение решения задач данного типа (если это целесообразно);

— выявление и закрепление в памяти приемов, которые были использованы на этапах решения задачи;

— поиск всех возможных способов решения, выбор рационального способа.

Особенности работы с геометрической задачей на каждом этапе ее решения

В рассматриваемой далее в качестве примера задаче на этапе исследования предусмотрен поиск всех возможных способов решения. Остальные вопросы, связанные с исследовательским этапом, каждый может решать самостоятельно.

Задача 1. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум внешне касающимся окружностям виден из точки касания под прямым углом.

Работа с текстом задачи. После прочтения текста задачи мы можем выделить данные и требование задачи.

Даны две окружности, касающиеся внешним образом, общая внешняя касательная, отрезок общей внешней касательной.

Нужно доказать, что отрезок общей внешней касательной виден из точки касания под прямым углом.

Чтобы сделать рисунок, необходимо вспомнить:

— некоторые свойства заданной комбинации фигур;

— определение понятий, включенных в условие и требование задачи (понятие отрезка общей внешней касательной окружностей; понятие угла, под которым виден отрезок из точки).

Свойства заданной комбинации фигур, трактовка выделенных понятий. Точка касания окружностей принадлежит линии их центров (находится между центрами). Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной. Под отрезком общей внешней касательной понимают отрезок касательной с концами в точках ее касания с окружностями. Под углом обзора отрезка из заданной точки понимают угол с вершиной в заданной точке, сторонам которого принадлежат концы отрезка.

Установив свойства заданной комбинации и уточнив понятия, включенные в условие и требование задачи, сделаем рисунок (рис. 9.1) и запишем, что дано, что нужно доказать.

Дано:

окр.(О), окр.(K),

M — точка касания окр.,

AB — общая касательная (отрезок общей касательной).

Доказать: ∠АМВ — прямой.

Чтобы доказать, что угол, под которым отрезок общей касательной виден из точки касания, прямой, целесообразно вспомнить признаки прямого угла.

Угол прямой, если:

— его величина равна 90°;

Рис. 9.1

— величина угла, дополняющего его до развернутого, равна 90°;

— сумма величин углов, дополняющих его до развернутого, равна 90°;

— он является углом треугольника, у которого сумма двух других углов равна 90°;

— на стороне треугольника, противолежащей этому углу, существует точка, равноудаленная от всех его вершин, и т. д.

Попробуем применить третий признак. Для этого сделаем дополнительное построение: проведем линию центров, которой принадлежит точка касания, и радиусы в точки касания с общей касательной.

Анализ. Углы 1 и 2 с вершиной в точке M дополняют ∠AMB до развернутого угла. Чтобы доказать, что их сумма равна 90°, выразим их сумму через сумму ∠АОМ и ∠ВКМ.

Этот шаг целесообразен, так как сумму ∠АОМ и ∠ВКМ можно попытаться найти.

Поиск пути определения суммы величин ∠1 и ∠2 можно изобразить в виде логической схемы:

Треугольники ОАМ и МВК — равнобедренные с вершинами в точках О и К соответственно. ∠1 и ∠2 — углы при основании этих треугольников.

Первый шаг анализа позволяет нам выразить сумму величин ∠1 и ∠2 через сумму величин ∠AOM и ∠BKM (движение по схеме снизу вверх).

Получаем:

На этом шаге анализа мы пришли к необходимости нахождения суммы величин ∠АОМ и ∠ВКМ.

Найти сумму величин этих углов можно, рассматривая геометрические фигуры (комбинации геометрических фигур),

в которые эти углы входят элементами. На втором шаге анализа возможны два пути.

Запись решения (первый способ). 1. Дополнительные построения: отрезок OK (точка M принадлежит OK по свойству линии центров касающихся окружностей); отрезки OA, ВК, AM, MB.

2. △АОМ — равнобедренный, так как OA и ОМ — радиусы одной окружности, тогда его углы при вершинах А и M равны по свойству равнобедренного треугольника. Выразим величину ∠AMO, используя свойство суммы углов треугольника.

Аналогично, рассматривая треугольник МКВ, выразим величину ∠ВМК:

Почленно складывая полученные равенства, выразим сумму △АМО и △ВМК:

3. Рассмотрим четырехугольник АОКВ: углы при вершинах А и В этого четырехугольника — прямые (по свойству радиуса окружности, проведенного в точку ее касания с прямой).

Сумма углов четырехугольника равна 360°, тогда сумма ∠АОМ и ∠ВКМ равна 180°.

Подставляя значение суммы этих углов в последнее равенство пункта 2 решения, получим: сумма ∠1 и ∠2 равна 90°.

4. ∠ОМК — развернутый, его величина (по свойству) равна 180°. Сумма величин ∠1 и ∠2 дополняет величину ∠АМВ до 180°, тогда: ∠AMB = 180° — 90° = 90°.

Следовательно, угол, под которым виден отрезок общей внешней касательной двух внешне касающихся окружностей (концы отрезка — точки касания окружностей и касательной), прямой.

Мы рассмотрели поиск решения задачи, в основе которого был заложен третий из сформулированных нами — признак прямого угла.

Сделаем попытку осуществить поиск решения задачи, взяв за основу признак «угол — прямой, если смежный с ним угол также прямой».

Задача 2. Сделаем дополнительное построение: продолжим AM до пересечения с прямой ВК в точке Е и построим отрезки OK, OA (рис. 9.2).

Анализ. Чтобы доказать, что ∠АМВ— прямой, можно попытаться доказать, что ∠ВМЕ — прямой.

Для доказательства того, что ∠ВМЕ — прямой, нам достаточно доказать, что точка Е принадлежит окружности с центром К. Этот шаг можно считать целесообразным, так как точки M и В лежат на окружности.

Чтобы доказать, что точка Е принадлежит окружности с центром в точке К, достаточно доказать, что КЕ — радиус окружности.

Так как КМ — радиус, то для доказательства того, что КЕ — радиус, достаточно доказать, что треугольник МКЕ — равнобедренный с основанием ME.

Логическая схема поиска доказательства:

Рис. 9.2

Запись решения (второй способ). 1. Отрезки BE и АО — перпендикуляры к прямой AB (по свойству радиуса, проведенного в точку касания), отсюда: BE || АО; АЕ — секущая. ∠1 = ∠4 — по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

2. Докажем равенство углов 3 и 4.

Треугольник АОМ — равнобедренный (АО = 0М, как радиусы одной окружности), тогда ∠1 = ∠2 по свойству равнобедренного треугольника.

3. Далее, ∠2 = ∠3 по свойству вертикальных углов. Имеем: ∠1 = ∠2, ∠2 = ∠3, тогда по свойству транзитивности отношения равенства получим: ∠1 = ∠3. Присоединяя к полученному равенству равенство ∠1 = ∠4 (п. 1), используя вторично свойство транзитивности, получим ∠3 = ∠4.

4. Рассмотрим окружность с центром в точке К.

КМ — радиус этой окружности и (по доказанному) КМ = КЕ, тогда точка Е принадлежит окружности.

∠ВМЕ — вписанный, опирающийся на диаметр; значит, его величина равна 90°, т. е. он прямой, а следовательно, и смежный с ним угол — прямой.

Вывод: ∠BMA — прямой.

Следовательно, угол, под которым виден отрезок общей внешней касательной двух внешне касающихся окружностей (концы отрезка — точки касания окружностей и касательной), — прямой.

Сделаем попытку использовать четвертый из сформулированных признаков: угол — прямой, если он является углом треугольника, у которого сумма двух других углов равна 90°.

Анализ. Рассмотрим треугольник АМВ (рис. 9.3). Чтобы доказать, что ∠AMB— прямой, достаточно доказать, что сумма величин ∠1 и ∠2 равна 90°.

∠1 — угол, составленный касательной и хордой.

Величину ∠1 можно выразить через величину центрального угла ∠АОМ, так как угловая мера дуги AM является связующей величин этих углов.

Аналогично, величину ∠2 можно выразить через величину ∠ВКМ.

В результате мы сможем выразить сумму величин ∠1 и ∠2 через сумму величин ∠АОМ и ∠ ВКМ.

Рис. 9.3

Два возможных пути вычисления значения последней суммы нами были уже рассмотрены:

Запись решения задачи (третий способ). 1. ∠1 — угол, составленный касательной и хордой; его величина равна половине меры дуги AM (см. рис. 9.3). ∠АОМ— центральный; его величина равна мере дуги AМ. Значит, величина ∠1 равна половине величины ∠АОМ.

Аналогично: величина ∠2 равна половине величины ∠BKM.

Тогда ∠1 + ∠ 2 = 1/2(∠АОМ + ∠ВКМ).

2. Рассмотрим четырехугольник АОКВ: углы при вершинах А и В этого четырехугольника — прямые (свойство радиуса, проведенного в точку касания окружности и прямой).

Далее, сумма углов четырехугольника равна 360°, тогда сумма ∠АОМ и ∠ВКМ равна 180°.

Подставляя значение суммы этих углов в последнее равенство п. 1 решения, получим: ∠1 + ∠2 = 90°.

3. Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике AMВ сумма ∠1 и ∠2 равна 90°. Значит, величина ∠AMВ равна 90°, т. е. ∠AMB — прямой.

Сделаем попытку использовать пятый из сформулированных признаков: угол прямой, если на стороне треугольника, противолежащей этому углу, найдется точка, равноудаленная от всех его вершин.

Анализ. Сделаем дополнительное построение (рис. 9.4):

построим отрезки AM, MB; получим треугольник AMВ;

в качестве точки, принадлежащей стороне, противолежащей ∠АМВ, выберем точку пересечения прямых AB и общей касательной к окружностям, проходящей через точку M (прямая n). Именно эта касательная поможет нам связать заданную условием комбинацию фигур.

Запись решения (четвертый способ). 1. Дополнительное построение: n — общая касательная окружностей (M g n); точка О — пересечение касательных n и AB; отрезки AM и MB.

2. АО = 0М по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Аналогично, ОМ = OВ. Тогда АО = 0М = OB по свойству транзитивности отношения равенства.

3. Имеем (следствие из п. 2 решения): точка О принадлежит стороне треугольника АМВ и равноудалена от его вершин.

Вывод: треугольник АМВ — прямоугольный, причем ∠АМВ — прямой.

Мы решили предложенную задачу четырьмя способами. Последний способ решения — явно наиболее рациональный.

В заключение сделаем два замечания. На первом шаге поиска решения задачи мы обратились к признакам прямого угла. Выбрав один из признаков, мы выяснили, каких фактов недостает для применения выбранного признака, и вновь обращались к признакам, но уже других понятий или отношений. Это неслучайно. Для успешной работы по решению задач на доказательство целесообразно проводить систематизацию признаков и свойств наиболее часто используемых геометрических понятий и отношений.

Этап поиска решения задачи нами фиксировался в виде логической схемы поиска. С точки зрения методики обучения решению задач это целесообразно. Как показывает практика, логическая схема поиска решения помогает выделять каждое звено цепочки рассуждений на этапе поиска и, как следствие, четко и грамотно построить доказательство.

Рис. 9.4

РАБОТА № 10

Логико-математический анализ тем школьного курса математики

Основные цели работы: сформировать умения выполнять: логико-математический анализ темы школьного курса математики; методический анализ задачного материала и разрабатывать развернутое планирование темы.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Логико-математический анализ темы «Рациональные числа и действия над ними».

2. Методический анализ задачного материала по теме «Умножение положительных и отрицательных чисел».

3. Анализ задачного материала.

4. Анализ конспекта урока.

Задания для подготовки к занятиям

1. Познакомьтесь с приведенными ниже вариантами логико-математического анализа темы «Рациональные числа и действия над ними» и методического анализа задачного материала по теме «Умножение положительных и отрицательных чисел». Выполните анализ конспекта одного из уроков темы.

2. Выполните логико-математический анализ темы «Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей» по учебнику математики для 5 класса1; методический анализ задачного материала.

3. Разработайте методику введения понятия десятичной дроби.

4. Разработайте методику введения правил:

— сравнения десятичных дробей;

— сложения десятичных дробей.

5. Составьте сценарии (конспекты) уроков по темам: «Введение понятия десятичной дроби», «Введение правила сложения десятичных дробей».

Методический комментарий к заданиям

Напомним, что логико-математический анализ темы (теоретического содержания) предполагает:

— знание целей обучения содержанию темы и основных результатов обучения;

1 Выбор учеником конкретного авторского коллектива определяется по согласованию преподавателя и студента.

— знание того, каким объектам и понятиям даются определения, знание формулировок определений;

— знание того, какие математические предложения (утверждения), отличные от определений, есть в теме; определение вида этих предложений (утверждений) — теоремы, законы, правила, формулы; знание того, как они вводятся (раскрываются) в учебнике — на примерах, доказываются логически, иллюстрируются рисунками и т. д.; знание их содержания;

— знание функций геометрического и алгебраического материала в учебнике и особенности использования этого материала в данной теме;

— умение решать основные (типовые) задачи темы; знание методов решения, используемых в школе; знание рекомендаций к оформлению решения задач, предъявляемых школьной программой.

Логико-дидактический анализ выполняется на основе логико-математического анализа и включает:

— постановку основных учебных задач и выбор соответствующих познавательных действий;

— отбор основных методов, средств и приемов обучения теме;

— определение форм контроля и оценки результата деятельности учащихся.

Методический анализ задачного материала предполагает:

1. Определение функций задачного материала, что означает выделение следующих циклов задач:

— на актуализацию знаний, включая задачи сопутствующего повторения;

— на мотивацию;

— для изучения нового материала (с выделением задач, предназначенных для введения нового; а также задач для отработки теории на первичном уровне);

— на закрепление изученной теории, включая задачи, требующие комплексного применения знаний, т. е. выполняющие функции текущего повторения;

— задачи сопутствующего повторения (задачи на закрепление ранее изученного материала вне связи с новым материалом);

— пропедевтические задачи (задачи, подготавливающие к восприятию новой (следующей) темы).

2. Определение форм деятельности учащихся, в рамках которых реализуется конкретный задачный материал, что означает выделение задач:

— для отработки формируемых действий в классе в условиях коллективной работы (групповые формы, работа в группах паро-сменного состава, весь класс и т. д.);

— для отработки формируемых действий в условиях самостоятельной работы в классе (причем здесь можно говорить о самостоятельной работе обучающего, проверочного, контрольного характера) и дома.

Результатом проведения трех названных выше видов анализа является разработка развернутого методического планирования, выполненного в виде таблицы, в которой указываются:

— тема, количество часов;

— подтема (тема параграфа, пункта), количество часов (уроков);

— по каждому уроку:

а) формулируются цели;

б) фиксируются теоретический материал, предполагаемый к рассмотрению, а также материал повторения;

в) выделяется задачный материал для работы в классе (коллективная и самостоятельная формы работы) и дома;

г) определяются формы контроля;

д) планируется использование учебно-методического комплекса (ТСО, наглядность, таблицы и т. д.).

Ниже на материале темы «Рациональные числа, действия над ними» (Виленкин Н. Я. и др. Математика. 6 кл. — М.: Просвещение, 1991) приводится один из вариантов выполнения логико-математического анализа темы (рис. 10.1), анализа задачного материала (табл. 10.1), методического планирования темы (табл. 10.2), конспект урока по теме (табл. 10.3).

Таблица 10.1

Актуализация знаний

Мотивация введения нового материала

Закрепление нового материала

Сопутствующее повторение

Пропедевтика

Первичное

В условиях комплексного применения знаний

1126 (действия с дробями)

1102, 1103

1104—1111; 1127, 1128

1113—1115, 1129

1116—1125, 1130—1132

1112

Блок А. Базовые знания: понятие натурального числа; правила действий с натуральными числами; свойства действий с натуральными числами Базовые умения: умение выполнять действия с натуральными числами; умение вычислять рационально с использованием свойств действий

Блок В. Вводимые понятия. Понятия, суть которых раскрывается с помощью определения: понятия положительных чисел; отрицательных чисел; координатной прямой; координаты точки; противоположных чисел; целых чисел; модуля числа; рационального числа. Понятия, вводимые на примерах (задачах): понятие изменения величины; понятие периодической дроби

Блок С

Вводимые правила

Вводимые свойства

Свойства чисел (единственность числа, противоположного данному, противоположность нуля самому себе)

Правило сравнения чисел

Сложение чисел с помощью координатной прямой

Свойство модуля числа

Свойства сравнения чисел

Сложение отрицательных чисел

Свойство взаимного расположения точек на координатной прямой

Сложение чисел с разными знаками

Свойства изменения величины (увеличение выражается положительным числом; уменьшение — отрицательным)

Правило вычитания

Нахождение длины отрезка

Свойство сложения (изменение слагаемого в результате прибавления к нему отрицательного (положительного) числа)

Правила умножения

Правила деления

Свойство противоположных чисел

Свойство нуля при сложении

Свойства рациональных чисел и свойства действий с рациональными числами

Блок D. Задачный материал

Рис. 10.1

Комментарий к логико-математическому анализу

При проведении логико-математического анализа нами выделены четыре блока А, В, С, D.

Блок А определяет базовые знания и умения учащихся, необходимые для изучения нового материала.

Блоки В и С фиксируют центральный теоретический материал темы с установлением взаимосвязей.

В блоке С мы посчитали целесообразным выделить три подблока: «Вводимые свойства», «Вводимые правила», «Свойства рациональных чисел и свойства действий с рациональными числами».

Блок D фиксирует задачный материал (методический анализ задачного материала дан ниже).

Следует отметить, что все блоки взаимосвязаны между собой (причем эти связи чаще всего взаимно-обратные).

Методический анализ задачного материала выполним по теме «Умножение положительных и отрицательных чисел» (см. табл. 10.1). Цель проводимого анализа: определить функции задач по теме.

Предполагаемые формы деятельности учащихся, в рамках которых реализуется конкретный задачный материал, далее будут определены в развернутом методическом планировании (см. табл. 10.2).

Развернутое методическое планирование темы «Умножение рациональных чисел»

Выполняется по учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 кл.» (М.: Просвещение, 1991) (§ 7, п. 35). Образовательные цели:

— продолжить работу по формированию понимания сущности положительных и отрицательных чисел, а также математических отношений и операций на множестве рациональных чисел: сравнение рациональных чисел, операции сложения и вычитания;

— ввести правила умножения рациональных чисел; взаимосвязи начал алгебры и функциональной пропедевтики на множестве рациональных чисел;

— работать с выражениями с переменной и уравнениями;

— учиться применять имеющуюся математическую теорию в практике решения математических и прикладных задач на репродуктивном и творческом уровнях учебной деятельности.

На базе развернутого тематического планирования разрабатывается сценарий (конспект) урока.

Приведем один из вариантов сценария первого урока рассматриваемой темы (см. табл. 10.3).

Таблица 10.2

Тема

Количество уроков

№ урока

Учебные цели и задачи

Теоретический материал

Задачный материал (номера задач в учебнике)

Формы контроля

для работы в классе

для работы дома

для повторения

для самостоятельной работы

Умножение рациональных чисел

3

1

Ввести правило умножения двух чисел с разными знаками; научиться применять правило на практике

Задача на изменение величины. На базе данной задачи введение правила.

Введение алгоритмического предписания

1105 а, е, м, л (устно); 1105 м (письменно); 1107 д, з (письменно); 1108 а, в (устно); 11126 (устно)

1127 а, д, г, з; ,1128 а, в, е; 1129 д; 1130

1114г (совместные действия сложения и умножения рациональных чисел)

1120 (для сильных учащихся)

Фронтальный опрос с целью проверки осознанности восприятия нового материала. 1120 — инд. проверка

2

Ввести правило умножения двух отрицательных чисел; научиться

Введение свойства изменения знака произведения в результате изменения знака множителя.

1105 в, д, к (устно); 1105 р, с (письменно); 1107 в, и (письмен-

1127 в, ж, иб к, л, м; 1128 б, д; 1129 а; 1132

1124 а, б; 1125 а, в (анализ задач с поиском решения)

1124 а, б; 1125 а, в (самостоятельная запись решения)

Индивидуальный контроль (проверка домашнего задания; работа на

применять правило при решении задач; продолжить работу по решению сюжетных задач

На базе свойства формулировка правила. При необходимости введение алгоритмического предписания

но);

1108 б, 1109 в (устно); 1115 (1,4, 5); 1114

уроке); выборочная проверка самостоятельной работы

3

Закрепить правила умножения рациональных чисел в процессе решения задач; осуществить контроль за состоянием знаний и умений по теме

1103, 1104, 1108 б, г, д, е (устно); 1111, 1113 б, д, 1114е (письменно)

1129 б, г; 1131; 1124 в, г; 1126 а

1121, 1122 (устно); 1125 д (письменно)

1 вариант: 1110 а, в; 1114 а; 1112 а; 1119/б.

2 вариант: 1110 6, г; 1114 г; 1112 г; 1119/в

Индивидуальный контроль (проверка домашнего задания; работа на уроке); самостоятельная работа проверочного характера

Сценарий урока по теме «Умножение рациональных чисел»

Обучающие цели: ввести правило умножения двух чисел с разными знаками, научить применять его при решении задач. План урока:

1. Организационный момент. 4. Закрепление.

2. Актуализация знаний. 5. Постановка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Таблица 10.3 Ход урока

Учитель

Ученик

Запись на доске

Запись в тетради

Примечания

Организационный момент

Добрый день! Все готовы к уроку? Садитесь!

Учащиеся приветствуют учителя и садятся

№ 1

Этап актуализации знаний

Откройте тетради для устного счета, запишите дату. Работаем устно, в тетрадях вы записываете только ответ. Внимательно слушайте задания

Учащиеся открывают тетради, записывают дату

1. Найти значения суммы (учитель последовательно читает суммы, записанные на доске). Например: найти сумму минус трех целых шести десятых и минус одной целой четырех десятых

1.а) -3,6—1,4; 6)5,6—7,5; в) -37 + 49 --23 + 11

1. а) -5; б) -1,9; в) 0

№ 2

2. Найти значение произведения

(учитель читает выражения, записанные на доске)

2. а) 0,2x 3,4- 5; 6)0,6—0,12;

в)

2. а) 3,4;

б) 0,072;

в) 11

№ 3

3. Задача

На яблоне было 120 яблок. При сильном порыве ветра число всех яблок уменьшилось на 25%.

Сколько яблок осталось на дереве?

Учитель читает задачу два раза

3. Первоначально — 120 яблок. Уменьшилось на 25%. Осталось — ?

3. 90 яблок

4. Найти значение суммы. Здесь требуется ваша смекалка. Положите ручки. Проверяем работу. Ответ 1-го задания? Каким правилом вы воспользовались?

Ответ 1-го задания «а» — 5. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус

4. 1 — 3 + 5 - 7 + 9—11 + ... ... + 97—99

4. -50

Продолжение таблицы

Учитель

Ученик

Запись на доске

Запись в тетради

Примечания

Аналогично проверяются все задания

В случаях 1«в» и 2 «а» ставится вопрос: «Какими законами воспользовались? »

В случае 2«в»: «Как рационально найти значение произведения?»

Ответ в задаче?

з

2 3/4 представить в виде суммы: 2 + 3/4 и воспользоваться распределительным законом умножения. Получим сумму восьми и трех. Ответ: 11.

Ответ в задаче: 90 яблок

№ 4

Как решили задачу?

Сначала можно определить, какую часть составляет 25% . Первым действием найти, сколько яблок упало: 120 : 4 = 30. Вторым действием узнать, сколько яблок осталось: 120 — 30 = 90

Как иначе можно решить задачу?

Первым действием найти процент оставшихся яблок (100% — 25% = 75% ). Определить, какую часть составляет 75%. Вторым действием узнать количество оставшихся яблок 120—3/4 = 90

И последнее задание. Ответ? Ваши рассуждения? Закройте тетради для устного счета, отложите их в сторону

Ответ: -50.

Первый вариант объяснения: слагаемые суммы с разными знаками, модули которых есть нечетные числа натурального ряда с 1 по 99. Слагаемые можно объединить парами, например: 1 и -3, 5 и -7 и т. д. Таких пар (100 : 2) : 2 = 25. Значение суммы каждой пары (-2). (-2) + (-2) + ... + (-2) = -50. Второй вариант объяснения: если представить весь ряд чисел и разбить их на 2 множества: от 1 до 49 и от -51 до -99, и сложить их попарно: 1-е число из 1-го множества с 1-м числом из 2-го множества; 2-е число из 1-го множества со 2-м числом из 2-го, то сумма будет равна -50 или 50.

Отрицательных сумм окажется на одну больше, чем положительных. Объединив все пары -50 и + 50, получим 0 (сумма противоположных чисел равна 0), значит, останется -50

Продолжение таблицы

Учитель

Ученик

Запись на доске

Запись в тетради

Примечания

Этап введения нового материала

Откройте рабочие тетради. Запишите дату.

Решим задачу. В течение четырех суток уровень воды в реке изменялся на -3 дм в сутки. Как изменился уровень воды в реке за 4 суток? Что значит: уровень изменяется на -3 дм?

Сформулируйте задачу, заменив термин «изменялся» на термин «понижался».

Как решить задачу при такой формулировке?

Как сформулировать ответ:

а) используя термин «понижение»;

б) используя термин «изменение»? Какое действие использовали при решении задачи? Запишите тему урока «Умножение чисел с разными знаками»

Уровень понижался каждые сутки на 3 дм

Учащиеся формулируют задачу. 3 дм — 4 = 12 дм

Уровень понизился на 12 дм Уровень изменился на -12 дм

Дата. Умножение чисел с разными знаками

Дата. Умножение чисел с разными знаками

Решение задачи в первоначальной формулировке можно записать следующим образом (работаем в тетрадях и на доске)

Задача 1.(-3).4 = -12 (дм). Ответ: уровень изменился на -12 дм

Задача 1.(-3)-4 = -12 (дм). Ответ: уровень изменился на -12 дм

Как иначе можно решить исходную задачу? Чем можно заменить левую часть равенства?

(-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 (дм). Произведением минус трех и четырех

(-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12

(-3)-4 = -12

(-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12, (-3)-4 = -12

Какой вывод можно сделать?

Произведение двух чисел с разными знаками — отрицательное число

Попробуйте установить связь между модулями множителей и модулем произведения. Попробуйте сформулировать правило умножения чисел с разными знаками

Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Кто-то из учеников отвечает. Один ученик читает правило вслух

№ 5

Продолжение таблицы

Учитель

Ученик

Запись на доске

Запись в тетради

Примечания

А теперь откройте учебники на с. 188. Читаем правило умножения двух чисел с разными знаками.

Выделите отдельные шаги умножения чисел с разными знаками

1. Перемножить модули двух чисел.

2. Поставить перед полученным произведением минус

Этап закрепления

Работаем устно. № 1105 а, e, м, л. Обратите внимание на грамотность прочтения. В случае «е»: Каким свойством нуля воспользовались? В тетради: № 1105 т.

Например:

а) произведение минус пяти и шести равно минус тридцати и т. д.

Произведение нуля и любого числа равно нулю

Обратите внимание на форму записи

Один ученик у доски, остальные в тетради

3,08 + 4,05) = -12,474

3,08 + 4,05) = -12,474

Далее упражнение № 1107 д, з. Прочтите задание. В случае «0»: какими правилами нужно воспользоваться?

Запишите решение. В случае «з»: в каких дробях будем выполнять вычисления? Почему?

Чтение задания вслух. Учащиеся выделяют и формулируют правило умножения смешанных чисел.

Один ученик у доски, остальные в тетради.

В обыкновенных, так как 1 1/3 нельзя записать в виде конечной десятичной дроби

Далее работаем устно. № 1108 а, в.

При ответе сформулируйте свойство сравнения, которым нужно воспользоваться

Пример ответа: произведение минус шестидесяти восьми и девяти меньше нуля, так как произведение двух чисел с разными знаками — число отрицательное, а любое отрицательное число меньше нуля

Устно: № 1112 б. Прочитайте задание. Подумайте над ответом. Резерв № 1114 г

Окончание таблицы

Учитель

Ученик

Запись на доске

Запись в тетради

Примечания

Выполните задание самостоятельно.

Сделаем выборочную проверку (по этапам).

Первое действие (сумма в скобках). Знак?

Общий знаменатель?

Знак «минус». Общий знаменатель 84

Значение суммы?

Нужно выделять целую часть? Второе действие? Ответ?

Можно сократить эту дробь?

Окончательный ответ?

Обратите внимание, что промежуточную дробь -76/392 можно сократить на 4. Признак делимости на 4?

Нет, так как следующее действие — умножение.

Нет, так как 125 = 5⋅5⋅5, а 392 не кратно 5.

Если две последние цифры в записи числа задают число, делящееся на 4, то данное число делится 4

Домашнее задание

Откройте дневники, запишите домашнее задание

П. 35 (теория до сл. «Сравнения...», выучить правило). № 1129 д; № 1130; № 1127 а, д, г, з;

№ 1128 а, в, е

Примечания. № 1. На этом этапе учащимся может быть предложена задача на сообразительность для «вхождения» в урок.

№ 2. Запись на доске и чтение заданий вслух необходимы, так как у учащихся разные способы восприятия информации (визуальное и аудиальное).

№ 3. Учащимся можно предложить два варианта или организовать работу следующим образом: учащиеся считают про себя и, получив ответ, поднимают руку. Ответ записывают после разрешения учителя. Учитель дает разрешение, видя в основном большинство рук. Но иногда разрешение дается, когда рук мало, учитель делает вывод для себя, что это задание вызывает у учащихся затруднения и надо его специально рассмотреть.

№ 4. Проверка может сопровождаться самооцениванием:

1 — за правильный ответ задания или действие задания;

0 — за неправильный ответ.

№ 5. Выделение отдельных шагов облегчает усвоение правила.

2. Лабораторные работы по методике обучения математике

2.1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРЫ

2.1.1. Линия числа

РАБОТА № 11

Расширение линии числа в школьном курсе математики

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием линии числа; выполнить методический анализ содержания; выявить методические аспекты построения теории числа в школьном курсе: рассмотреть различные способы введения понятий линии числа, действий и свойств действий.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Верно ли утверждение: «Натуральные числа делятся на простые и составные»?

2. Курочка Ряба несет яйца, каждое второе — простое,, каждое третье — золотое. Может ли такое быть?

3. Запишите словами: НОД(24, 30) = НОК(2, 3).

4. Почему множество рациональных чисел обозначается буквой Q?

5. Каким дополнительным свойством обладает сравнение в Q по отношению к сравнению в Z (Z — множество целых чисел)?

6. Каким дополнительным свойством обладает сравнение в R по отношению к сравнению в Q (R — множество действительных чисел)?

7. Запишите словами: -7,8(4).

8. Каждому действительному числу ставится в соответствие пятая цифра после запятой в его десятичной записи. Будет ли это соответствие функцией? Ответ поясните.

9. Запишите в виде бесконечной десятичной дроби сумму 0,(31) и 2,(125).

10. Могут ли одновременно и сумма, и произведение двух иррациональных чисел быть рациональными? Если да, приведите примеры.

11. Чему равна сумма чисел 2 и √3 ? Запишите ответ.

12. Каких чисел больше — рациональных или иррациональных алгебраических?

13. Приведите пример иррационального числа, заключенного между числами 1/4 и 0,3.

14. Какое действие, выполнимое на множестве действительных чисел, не выполняется на множестве комплексных чисел?

Блок В

1. Предложите вариант классификации множества комплексных чисел.

2. Что такое «решето Эратосфена»?

3. Какие числа называют числами-близнецами?

4. Какие элементы математического содержания используются при изложении теории числа в курсе математики 5—6 классов?

5. Какой метод лежит в основе переноса свойств (законов) арифметических действий, сформулированных на множестве натуральных чисел, на этапах расширения числовых множеств?

6. Какой математический аппарат используется для строгого обоснования существования квадратного корня из неотрицательного числа?

7. Какова мотивация расширения действительных чисел до множества комплексных чисел?

8. Как, согласно легенде, боги покарали ученика Пифагора, который разгласил тайну о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Характеристика математической базы учащихся по курсу начальной школы.

2. Цели обучения линии числа в школьном курсе математики (основная и старшая школы).

3. Варианты логики построения теории числа в школьном курсе математики.

4. Мотивации практического и теоретического характера при расширении понятия числа.

5. Различные подходы к введению понятия «иррациональное число» в школьном курсе.

6. Варианты логики построения теории комплексных чисел в школьном курсе.

7. Роль геометрического материала при построении теории числа в курсе математики 5—6 классов. Конкретные примеры.

8. Понятие «вычислительная культура»: трактовка понятия;

компоненты вычислительной культуры;

этапы обучения математике, на которых возможна и целесообразна постановка цели «формирование вычислительной культуры»;

примеры с разработкой соответствующей системы заданий.

Задания для подготовки к занятиям

1. Познакомьтесь с содержанием курса математики начальной школы и требованиями к математической подготовке учащихся начальной ступени обучения.

2. Опишите возможные варианты логики построения теории числа в школьном курсе математики (на основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках).

3. Постройте классификацию множества комплексных чисел.

4. Как и в каком сочетании можно использовать в школе мотивации практического и теоретического характера при расширении понятия числа?

5. Какие возможны подходы к введению понятия «иррациональное число» в школьном курсе? (На основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках:)

6. Какие возможны варианты построения теории комплексных чисел в школьном курсе? (На основе анализа содержания линии числа в различных школьных учебниках.)

7. Свойства (законы) арифметических действий вводятся на множестве натуральных чисел. Какой метод лежит в основе переноса этих свойств на этапах расширения числовых множеств?

8. Какова роль геометрического материала при построении теории числа в курсе математики 5—6 классов? Приведите конкретные примеры.

9. Формирование математической культуры — одна из целей обучения математике. Вычислительная культура — один из компонентов общей математической культуры. Предложите ваш вариант трактовки понятия «вычислительная культура».

Выделите компоненты вычислительной культуры. На каких этапах обучения математике, при обучении какому содержанию возможна и целесообразна постановка цели

«формирование вычислительной культуры»? Приведите конкретный пример с соответствующей системой заданий.

Составьте список литературы по вопросам развития понятия о числе для внеклассного чтения учащихся. Укажите, в каких классах она может быть использована.

РАБОТА № 12

Изучение десятичных дробей в 5—6 классах

Основные цели работы: выделить методические особенности в обучении теме «Десятичные дроби»; разработать методику изучения фрагментов содержания: «введение понятия», «введение правила»; рассмотреть в практическом плане вопрос разработки системы контроля по теме; ввести в учебный процесс ролевую игру как форму организации процесса изучения дисциплины «Методика обучения математике».

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Сформулируйте определение десятичной дроби.

2. Какие из следующих чисел являются десятичными дробями: 15 1/10 ; 27/100; 9,04; 17,00; 3 1/25?

3. Какие общие сопутствующие понятия имеют место у десятичной и обыкновенной дробей?

4. Какое теоретическое положение лежит в основе упрощения десятичной дроби: 3,2500 = 3,25?

5. Может ли десятичная дробь быть неправильной?

6. Можно ли при округлении десятичной дроби до сотых получить натуральное число?

Блок В

1. Различны ли понятия дроби и дробного числа?

2. Какие виды десятичных дробей рассматриваются в школьном курсе математики?

3. С каким числовым множеством связано множество бесконечных периодических дробей?

4. С каким числовым множеством связано множество бесконечных непериодических дробей?

5. Выполняя совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, учащиеся часто осуществляют перевод обыкновенной дроби в десятичную. Сформулируйте признак возможности перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную. Приведите примеры, иллюстрирующие применение признака.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Место темы «Десятичные дроби» в логике построения содержания различных курсов математики 5—6 классов. Цели обучения теме.

2. Ролевые игры:

— «Введение понятия десятичной дроби»;

— «Введение правил действий с десятичными дробями», «Сложение и вычитание (столбиком)», «Умножение».

3. Приемы рационализации устных и письменных вычислений при изучении действий с десятичными дробями с использованием свойств (законов) действий над числами.

4. Варианты методики обучения решению задач на проценты.

5. Система контроля по теме «Десятичные дроби».

Задания для подготовки к занятиям

1. Определите место темы «Десятичные дроби» в логике построения содержания курса математики 5—6 классов (на основе сравнительного анализа учебников 5—6 классов разных авторских коллективов).

2. Проанализируйте достоинства и недостатки методики изучения действий с десятичными дробями до изучения действий с обыкновенными дробями.

3. Составьте набор упражнений, способствующих усвоению различия между понятиями «дробь» и «дробное число».

4. Почему в курсе математики 5—6 классов уделяется большое внимание изучению обыкновенных дробей, несмотря на то, что их роль в практических вычислениях невелика?

Задания для микрогрупп

1. Разработайте фрагмент урока «Введение понятия десятичной дроби». Разработка должна отражать цели урока, описание оборудования, разработку этапов: актуализации знаний; введения нового материала; закрепления (с элементами самостоятельной работы учащихся).

2. Разработайте методику введения правил действий с десятичными дробями: сложение и вычитание (столбиком); умножение без предварительного изучения умножения обыкновенных дробей и на базе предварительного изучения умножения обыкновенных дробей. При разработке методики введения правил рассмотрите вопрос целесообразности (нецелесообразности) разработки и введения алгоритмических предписаний.

3. Выделите набор приемов рационализации устных и письменных вычислений при изучении действий с десятичными дробями с использованием свойств (законов) действий над числами. Разработайте наборы задач для усвоения выделенных приемов.

4. Разработайте методику обучения решению задач на проценты. Отразите работу с задачами этого типа на всех этапах ее решения.

5. Разработайте систему контроля по теме «Десятичные дроби».

Методический комментарий к заданиям

При разработке системы контроля целесообразно иметь в виду практику разноуровневого подхода.

В процессе обучения математике учащийся, в зависимости от уровня математической подготовки, выполняет два вида деятельности: репродуктивную и продуктивную. Репродуктивная деятельность в основном сводится к узнаванию проблемной ситуации и решению ее по известному алгоритмическому предписанию. Продуктивная деятельность сводится либо к эвристическому использованию усвоенных знаний и умений, либо к творческой деятельности (решение новых проблемных ситуаций).

Контрольные задания, предлагаемые в дидактических материалах, зачастую не дифференцированы по уровням деятельности и поэтому слабо выполняют прогностическую функцию, т. е. не могут дать ответа на вопрос: «Какой же конкретно вид деятельности вызывает затруднения у учащихся?»

Для определения уровня усвоения математических знаний учащимися целесообразно осуществлять проверку знаний, умений и навыков с учетом трех уровней:

— уровень воспроизведения (проверка знания простейших математических фактов, алгоритмов решения основных классов стандартных задач);

— уровень прямого применения (проверка умения применять знания при решении задач, в которых описана ситуация, близкая к рассмотренным ранее);

— уровень творческого применения (проверка умения переносить знания на новые, существенно отличные от изученных, ситуации, включая задачи, требующие комплексного применения математических знаний, а также задачи смежных дисциплин).

С разноуровневым подходом к контролю за состоянием знаний, умений и навыков учащихся и с вариантом разработки по одной из тем школьного курса вы можете познакомиться в Приложении 2.

2.1.2. Линия тождественных преобразований

РАБОТА № 13

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Основные цели работы: познакомиться с содержанием линии «Тождественные преобразования алгебраических выражений» в школьном курсе математики и основами методики изучения содержания темы «Тождественные преобразования рациональных выражений»; рассмотреть пример организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности на уроках математики.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Какое понятие более общее по отношению к понятию « тождество » ?

2. Вычислите без калькулятора:

3. Зная, что a/b = 2, найдите значение выражения

4. Упростите:

5. Найдите значения а и b, при которых выполняется равенство: -2х3 + 15х2 + а = (bх — 5)(x2 — 10х + 25). В ответ запишите сумму а и b.

6. Найдите значение выражения

если известно, что

Блок В

1. Имеют ли место взаимосвязи линии тождественных преобразований с другими основными содержательными линиями школьного курса математики? Если да, то с какими? Приведите примеры связей.

2. Перечислите возможные цели обучения линии «Тождественные преобразования».

3. Является ли тождеством равенство √х — √—x в соответствии с определением в учебнике: а) «Алгебра — 8» Ш. А. Алимова и др.; б) «Алгебра — 9» Ш. А. Алимова и др.?

4. Выполняя задание на упрощение выражения, ученик оформил его так: 2х — 3а + 4х — 5а = 2x + 4х = 6х + 3а + 5а = 6х + 8а. Какие ошибки допущены? Дайте версию причин их появления.

5. Выделите элементы теории тождественных преобразований, используемые при устном нахождении значения выражения

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Этапы введения понятия тождества в курсе алгебры девятилетней школы. Методика введения понятия на каждом этапе (разработка фрагмента урока).

2. Методические особенности изучения темы «Одночлены и многочлены»:

— методика введения понятий;

— методика введения свойств степени с натуральным показателем;

— методика формирования умений и навыков по выполнению действий с одночленами (на примере умножения одночленов).

3. Фрагменты методики обучения теме «Разложение многочленов на множители».

Методика введения способов разложения многочленов на множители, включая применение тождеств сокращенного умножения. При разработке методики исследуйте целесообразность использования базовых знаний учащихся по «линии числа»; геометрической иллюстрации тождеств сокращенного умножения; разработки алгоритмических предписаний при формировании практических умений на первом этапе обучения.

Система самостоятельных работ по теме обучающего характера.

Система промежуточного и итогового контроля по теме.

4. Варианты разрешения методической ситуации. Ученики при выполнении преобразований допускают ошибки такого рода:

Причины этих ошибок, приемы их исправления. Пути предупреждения ошибок.

Задания для подготовки к занятиям

1. Проследите линию развития учения о тождественных преобразованиях в курсе математики средней школы на основе анализа учебников алгебры и алгебры и начал анализа (в сравнительном плане рассмотрите учебники разных авторских коллективов).

2. Изучите программу по математике для девятилетней школы: содержание темы «Тождественные преобразования рациональных выражений», требования к умениям и навыкам тождественных преобразований рациональных выражений, планирование изучения темы.

3. Исследуйте вопрос о математических основах тождественных преобразований рациональных и дробно-рациональных выражений по курсу математики 7—8 классов.

Дальнейшие задания выполните на основе учебников алгебры под редакцией С. А. Теляковского.

4. Выполните логико-математический анализ теоретического содержания темы «Тождественные преобразования рациональных выражений» и методический анализ задачного материала.

5. Выделите этапы введения понятия тождества в курсе алгебры девятилетней школы. Разработайте методику введения понятия на каждом этапе (разработка фрагмента урока).

Задания для микрогрупп

1. Выявите методические особенности изучения темы «Одночлены и многочлены»:

— методика введения понятий;

— методика введения свойств степени с натуральным показателем;

— методика формирования умений и навыков по выполнению действий с одночленами (на примере умножения одночленов).

2. Разработайте фрагменты методики обучения теме «Разложение многочленов на множители».

Методика введения способов разложения многочленов на множители, включая применение тождеств сокращенного умножения. При разработке методики исследуйте целесообразность: использования базовых знаний учащихся по «линии числа»; применения геометрической иллюстрации тождеств сокращенного умножения; подготовки алгоритмических предписаний при формировании практических умений на первом этапе обучения.

Дидактические функции и цели проведения самостоятельных работ, требования к их организации, этапы формирования навыка самостоятельной деятельности при обучении новому материалу. Разработайте систему самостоятельных работ обучающего характера по теме.

Система промежуточного и итогового контроля по теме.

3. Подготовьте вариант разрешения описанной выше методической ситуации.

РАБОТА № 14

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Основные цели работы: познакомиться с содержанием темы и логикой ее изложения в школьных учебниках; продолжить формирование у студентов умения выявлять внутренние и внешние связи изучаемого материала.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. К какому виду математических выражений относятся тригонометрические выражения?

2. Углом какой четверти является угол а, если:

3. Определите знак произведения

4. Какой знак имеет произведение

5. Существует ли такое значение х, при котором выполняется равенство

6. Упростите выражение:

7. Вычислите:

8. Вычислите

9. Вычислите s:

10. Вычислите

Блок В

1. Цели изучения начального этапа тригонометрии «Тригонометрические выражения и их преобразования» и требования к математической подготовке.

2. Какие ведущие линии школьного курса математики являются базовыми для обучения теме? Приведите конкретные примеры.

3. Найдите все возможные способы решения задачи. В каждом способе выделите математическую основу и умения, которыми должен владеть учащийся, чтобы задача была успешно решена.

Задача. Известно, что tgα = 2. Найдите значение выражения

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Содержание темы и логика его изложения в учебниках разных авторских коллективов.

2. Вводная диагностическая работа (цель, содержание, функции задач, критерии оценки).

3. Вариант методики обучения:

— формулам приведения;

— теоремам сложения.

4. Вариант построения системы теоретических знаний по теме с ориентацией на решение задач.

5. Тригонометрический круг — средство формирования пропедевтических знаний по курсу тригонометрии.

6. Система задач, выполняющих пропедевтические функции по функциональной линии и линии уравнений и неравенств.

Задания для подготовки к занятиям

1. Сформулируйте цели начального этапа изучения тригонометрии «Тригонометрические выражения и их преобразования» и требования к математической подготовке (по программе по математике для общеобразовательных учреждений).

2. Познакомьтесь с содержанием темы и логикой его изложения в учебниках разных авторских коллективов.

3. Какие ведущие линии школьного курса математики являются базовыми для обучения теме? Приведите конкретные примеры.

Задания для микрогрупп

1. Разработайте вариант вводной диагностической работы, цель которой — актуализация базовых знаний и определение степени готовности учащихся к изучению новой темы.

2. Разработайте вариант методики обучения:

— формулам приведения;

— теоремам сложения.

3. Продумайте вариант построения системы теоретических знаний по теме с ориентацией на решение задач. Установите связи между элементами этой системы.

4. Определите роль тригонометрического круга при обучении теме. Сформулируйте определение тригонометрического круга, исследуйте возможность использования тригонометрического круга в формировании пропедевтических знаний по тригонометрии (линии функции, уравнений и неравенств). Разработайте систему задач, выполняющих пропедевтические функции по выделенным линиям.

2.1.3. Линия функций

РАБОТА № 15

Функция в школьном курсе математики

Основные цели работы: выделить содержание функциональной линии школьного курса математики; рассмотреть методические аспекты обучения общим вопросам функциональной линии (понятие функции, общие свойства, исследование функции элементарными средствами, график функции, преобразования графиков).

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Задайте аналитически функцию, определенную:

а) на всей числовой прямой;

б) на всей числовой прямой, кроме точки х = 3;

в) на всей числовой прямой, кроме точек х = 3; х = -3;

г) на промежутке (-∞; 2];

д) на отрезке [-5; 5].

Рис. 15.1

Рис. 15.2 Рис. 15.3 Рис. 15.4

Рис. 15.5 Рис. 15.6 Рис. 15.7

2. Какие из линий, приведенных на рис. 15.1, могут являться графиками функций?

3. Для функций, графики которых изображены на рис. 15.2—15.7, укажите:

а) область определения;

б) область значений;

в) координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найдите область определения и область значений функций, заданных аналитически:

Рис. 15.8

Рис. 15.9

5. По графику функции, изображенному на рис. 15.8, укажите промежутки возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума.

Рис. 15.10 Рис. 15.11

6. Функция f возрастающая. Сравните: а) f(-4,01) и f(-4);

7. Функция f убывающая. Сравните: а) f(-2,25) и f(-2);

8. Какие из функций, графики которых изображены на рис. 15.9, являются четными, а какие нечетными?

9. Известно, что функция у = f(x), заданная на отрезке [-3; 3], является четной. Часть графика изображена на рис. 15.10. Достройте график функции.

10. Известно, что функция у = f(x), заданная на отрезке [-3; 3], является нечетной. Часть графика изображена на рис. 15.11. Достройте график функции.

11. Функция у = h(x) является четной, причем h(1) = 3, h(2) = 5, h(-4) = 0. Найдите значения функции в тех точках, в каких это возможно.

Блок В

1. Имеют ли место взаимосвязи линии функции с другими основными содержательными линиями школьного курса математики? Если да, то с какими? Приведите примеры.

2. Каково содержание функциональной пропедевтики в 5—6 классах?

3. Какие существуют подходы к введению понятия функции?

4. Каковы основные классы функций, изучаемые в школьном курсе?

5. К какому классу функций относятся функции, уравнения которых приведены в п. 6? Запишите в общем виде уравнение функций этого класса.

6. График какой из приведенных функций изображен на рис. 15.12?

Рис. 15.12

7. В результате решения задачи: «Построить график функции

ученик построил график функции у = x + 3. Какие ошибки допустил ученик? Как показать ученику, что допущена ошибка?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Содержание функциональной пропедевтики по математике 5—6 классов (конкретные примеры).

2. Существующие подходы к определению функции в современной математике и школьном курсе математики.

3. Варианты методики введения понятия «функции».

4. Методика введения свойств функции (область определения; множество значений; четность, нечетность; периодичность функции; нули функции; промежутки знакопостоянства; монотонность, промежутки монотонности; наибольшее, наименьшее значения).

5. Основные идеи статьи А. Я. Цукаря «Изучение функций в 7 классе с помощью средств образного характера» (Математика в школе. — 2000. — № 4. — С. 20—27). Ответы на вопросы, поставленные в п. 7 для микрогрупп следующего раздела лабораторной работы.

6. Возможные схемы изучения частных видов функций с примерами.

7. Виды преобразований графиков функций в школьном курсе математики.

8. Варианты систематизации преобразований графиков функций.

9. Методика работы с задачами.

Задача 1. Определите вид функции (четная, нечетная, функция общего вида):

Задача 2. Докажите, что функция у = x3 — 3х возрастает на промежутке (—∞; -1]. Найдите какой-либо промежуток, на котором функция убывает.

Задача 3. Исследуйте функцию элементарными методами и постройте эскиз графика ,

Задача 4. Постройте графики функций, применяя теорию преобразований графиков:

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе изучения программы по математике для общеобразовательной школы выделите: цели обучения функциональной линии; ее содержание; требования к математической подготовке учащихся.

2. Выявите содержание функциональной пропедевтики на основе анализа учебников по математике 5—6 классов. Приведите конкретные примеры.

3. Сравните подходы к определению функции в современной математике и школьном курсе математики.

4. Разработайте методику введения понятия функции.

5. Установите, какие общие свойства функции вводятся в теоретическом содержании. На каком этапе обучения? На каком уровне математической строгости?

Задания для микрогрупп

1. Разработайте методику введения свойств функции (область определения; множество значений; четность, нечетность; периодичность функции; нули функции; промежутки знакопостоянства; монотонность, промежутки монотонности; наибольшее, наименьшее значения).

При подготовке задания отразите следующие вопросы.

Как показать учащимся, что функция является четной (нечетной) тогда и только тогда, когда определенным условиям удовлетворяют как область ее определения, так и ее значения?

Теоретическая и практическая значимость утверждений:

— график четной функции симметричен относительно оси ординат;

— график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

У многих учащихся в процессе изучения школьного курса математики складывается впечатление, что периодическими являются только тригонометрические функции. Как устранить этот недостаток в представлении учащихся о классе периодических функций?

Проиллюстрируйте на конкретном примере общую схему изучения частных видов функций, принятую в школе.

2. Целесообразно ли изучать частные виды функций по другой схеме? Если да, то какой эту схему видите вы? Ее преимущества? На учащихся какого уровня математической подготовки она ориентирована?

3. Разработайте схему исследования функции элементарными методами с целью построения ее графика. Приведите конкретный пример исследования функции по разработанной схеме.

4. Какие преобразования графиков функций вводятся в школьном курсе математики? Этап обучения, на котором вводится каждое из преобразований? Уровень математической строгости?

5. Разработайте вариант систематизации преобразований графиков функций.

6. Разработайте методику работы с задачами.

Задача 1. Определите вид функции (четная, нечетная, функция общего вида):

Задача 2. Докажите, что функция у = x3 — 3х возрастает на промежутке (-со; -1]. Найдите какой-либо промежуток, на котором функция убывает.

Задача 3. Исследуйте функцию элементарными методами и постройте эскиз графика

Задача 4. Постройте графики функций, применяя теорию преобразований графиков:

7. Сформулируйте: главную мысль статьи А. Я. Цукаря «Изучение функций в 7 классе с помощью средств образного характера» (Математика в школе. — 2000. — № 4. — С. 20—27). Каковы дидактические функции заданий, представленных в теме «Понятие функции»? Выполните типологию упражнений (заданий), предложенных автором статьи. Какие типы упражнений (заданий) отсутствуют в базовых учебниках?

РАБОТА № 16

Линейная функция

Основные цели работы: определить содержание темы «Линейная функция» на основе общеобразовательной значимости (математический и прикладной аспекты); рассмотреть отдельные вопросы методики обучения теме.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Дана функция у = -0,4х + 6. Найдите значение х, при котором значение функции равно 11.

2. Дана функция у = -2х — 5. Какой из графиков на рис. 16.1 является графиком этой функции?

3. Дан график функции у = ах + b (рис. 16.2). Напишите уравнение, задающее этот график.

4. Верно ли утверждение: «Если график некоторой функции — прямая, то эта функция — линейная»?

Блок В

1. Установите связи понятий «последовательность» и «функция», «арифметическая прогрессия» и «линейная функция».

2. Имеет ли место различие в логике построения темы «Линейная функция» в учебниках 7 класса разных авторских коллективов?

3. Какая содержательная линия курса алгебры начинается в теме «Линейная функция и ее график» (учебник Ш. А. Алимова и др.)?

4. Каков способ определения линейной функции в 7 классе?

5. Предложите вариант неконструктивного определения линейной функции.

Рис. 16.1

Рис. 16.2

6. Какой вид будет иметь график линейной функции, если его строить в соответствии с имеющимися у семиклассников знаниями о числах?

7. Верно ли, что при b = 0 линейная функция у = kx + b превращается в прямую пропорциональность (по учебнику Ш. А. Алимова и др.)?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Сравнительный анализ содержания и логики построения содержания в школьных учебниках математики разных авторских коллективов.

2. Развернутое тематическое планирование обучения темам: «Функция у = kx и ее график», «Линейная функция и ее график» (по учебнику Ш. А. Алимова и др.).

3. Методика введения понятия «линейная функция».

4. Возможные пути организации работы с учащимися в следующих направлениях:

— обнаружение факта, что графиком линейной функции является прямая;

— усвоение геометрического смысла коэффициентов k и b;

— «считывание» свойств линейной функции с графика;

— конструирование уравнения линейной функции по ее графику;

— взаимное расположение графиков двух линейных функций в зависимости от отношений (равны, не равны) параметров k(b) уравнений функций.

5. Система контроля по теме.

Задания для подготовки к занятиям

1. Сформулируйте цели обучения теме «Линейная функция», требования к математической подготовке учащихся по теме (на основе анализа программы).

2. Выполните сравнительный анализ содержания и логики построения содержания в школьных учебниках математики разных авторских коллективов.

3. Выполните методический анализ теоретического и задачного материала главы «Линейная функция и ее график» (по учебнику Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 7»).

4. Разработайте развернутое тематическое планирование обучения темам: «Функция у = kx и ее график», «Линейная функция и ее график».

5. Разработайте методику введения понятия «линейная функция». В разработке предусмотрите:

систему мотивационных задач, иллюстрирующих практическую (прикладную) значимость линейной функции; систему задач «на распознавание».

6. Продумайте возможные пути организации работы с учащимися в следующих направлениях:

— обнаружение факта, что графиком линейной функции является прямая;

— усвоение геометрического смысла коэффициентов k и b;

— «считывание» свойств линейной функции с графика;

— конструирование уравнения линейной функции по ее графику;

— взаимное расположение графиков двух линейных функций в зависимости от отношений (равны, не равны) параметров k(b) уравнений функций.

7. Разработайте систему контроля по теме.

РАБОТА № 17

Квадратичная функция

Основные цели работы: определить содержание темы; рассмотреть различные методические аспекты ее изучения; на материале темы рассмотреть зачет как одну из форм контроля (цели, виды, отбор содержания, организация проведения зачета).

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точки А(1; 0), В(2; -1), С(-1; 1).

2. Для функции у = -2х2 + 7х — 3 указать: область определения; множество значений; промежутки знакопостоянства; промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0; 3].

3. Укажите график функции у = -х2 + 4х — 3 на рис. 17.1.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

4. Укажите график функции у = (х + 1)2 — 3 на рис. 17.2.

5. График функции у = ах2 + bх + с изображен на рис. 17.3. Определите знаки а, b, с, D (D — дискриминант).

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и касающейся параболы у = x2 — х + 1.

7. Постройте график функции: а) у = x2 — |х| — 6; б) у = |х2 — x — 6|.

8. Постройте график уравнения: (x2 — 2х — у)(y2 — 2у + 1) = 0.

9. При каких значениях а нули функции у = x2 + 2(а — 2)х + 2а — 5 расположены между числами -2 и 4?

Блок В

1. Какие свойства, присущие квадратичной функции, не рассматривались у линейной функции?

2. Какая из зависимостей — площади квадрата от его стороны или высоты подъема тела от времени — ближе восьмиклассникам (имеется в виду этап мотивации)?

3. Достаточно ли знаний 7 класса для доказательства того, что графиком функции у = x2 является кривая?

4. Как пояснить школьникам 8 класса, что график у = x2 (рис. 17.4) выполнен неверно?

Рис. 17.3 Рис. 17.4

5. Меняется ли форма параболы у = x2 при ее растяжении вдоль оси Oy?

6. Перечислите теоретические вопросы курса алгебры, при ответе на которые даются ссылки на свойства квадратичной функции и ее графика.

7. Ученик построил график функции у = x2, но забыл отметить единичные отрезки на осях. Можно ли определить их по графику? Как?

8. Можно ли для построения графика функции у = 2х2 + х + 1 воспользоваться шаблоном у = x2?

9. Что значит выражение «лежачая парабола»?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методический анализ темы «Квадратичная функция».

2. Методика введения функции у = ах2 и ее свойств.

3. Теоретический материал темы «Функция у = ах2 + bх + с».

4. Функции и место следующих задач и методика работы с ними.

Задача 1. Постройте график функции:

Задача 2. Постройте график квадратного трехчлена у = ах2 — (а + 6)х + 9, если известно, что прямая х = 2 является его осью симметрии.

Задача 3. При каких значениях параметра а нули функции у = x2 — 4(а — 3)х — 20а + 35 расположены между числами -4 и 3?

5. Методика работы с сюжетной задачей, в процессе решения которой использовались бы свойства квадратичной функции.

6. Программа зачета по теме «Квадратичная функция» в условиях проведения уровневой дифференциации.

7. Вспомогательные средства обучения, которые целесообразно использовать при обучении теме.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните сравнительный анализ содержания и логики построения темы «Квадратичная функция» на примерах в школьных учебниках разных авторских коллективов.

Дальнейшие задания выполните на основе учебника Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8».

2. Выполните методический анализ темы «Квадратичная функция».

3. Разработайте методику введения функции у = ах2 и ее свойств. Выделите этапы: мотивация, введение, первичное закрепление. Предложите:

вариант оформления доски при изучении теории; разработку опорного конспекта;

использование средств обучения (миллиметровка, таблицы с графиками, графопроектор, ЭВМ).

4. Изучите теоретический материал по теме «Функция у = ах2 + bх + с».

Ответьте на вопросы:

Какие приемы построения графика квадратичной функции рассматривают авторы учебника?

Всегда ли целесообразно использовать алгоритмическое предписание, приведенное в учебнике, для построения параболы? Есть ли варианты задания параболы, когда алгоритмическое предписание следует изменить? Если да, приведите примеры.

5. Определите функции и место следующих задач и разработайте методику работы с ними.

Задача 1. Постройте график функции:

Задача 2. Постройте график квадратного трехчлена у = ах2 — (а + 6)х + 9, если известно, что прямая х = 2 является его осью симметрии.

Задача 3. При каких значениях параметра а нули функции у = x2 — 4(а — 3)х — 20а + 35 расположены между числами -4иЗ?

6. Разработайте методику работы с сюжетной задачей, в процессе решения которой использовались бы свойства квадратичной функции.

7. Ознакомьтесь с фрагментом книги А. А. Окунева «Спасибо за урок, дети!» (М., 1998. — С. 27—37) и выберите вариант изучения графика квадратичной функции, который в большей степени соответствует учебнику Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8».

8. Рассмотрите в теоретическом плане вопрос: «Зачет по теме — одна из форм контроля (цели, виды, отбор содержания, организация и проведение зачета)».

9. Разработайте программу зачета по теме «Квадратичная функция» в условиях проведения уровневой дифференциации. Пример реализации уровневого подхода при организации контроля вы можете найти в Приложении 2.

10. Опишите (разработайте) вспомогательные средства обучения, которые целесообразно использовать при обучении теме.

РАБОТА № 18

Тригонометрические функции

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием и методическими особенностями обучения теме; продолжить формирование методических умений обучения решению задач (место и функции задач в процессе обучения; выделение актуализируемых знаний; обучить различным подходам к решению задачи с выходом на разные способы решения).

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Сравните: sin 20° и sin 21°; tg 200° и tg 190°.

2. Определите знак разности: cos 243° — cos 250°; ctg 73° --ctg 293°.

3. Укажите интервалы изменения х, в которых функции принимают: положительные значения; отрицательные значения: а) у = sin x cos х; б) у = sin х tg х.

4. Укажите область изменения функций: а) у = 1 — cos х;

5. Укажите на отрезке [0; 2π] интервалы, на которых функции sin x, cos х одновременно возрастают.

6. На интервале

что больше:

7. Установите, возможны ли равенства:

8. Какие тригонометрические функции могут иметь следующие значения:

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

10. Докажите, что функция у = sin √x — 1 не является периодической.

11. Назовите наименьший положительный период функции:

12. Расположите числа в порядке возрастания: a) sin 10°,

13. При каких a f(x) = cos х + cos ах — периодическая функция?

Блок В

1. Сформулируйте цели обучения теме «Тригонометрические функции».

2. Какие способы определения функции у = sin х не могут быть использованы в общеобразовательном классе?

3. Как можно обосновать, что arccos (-а) = π — arccos а?

4. Какие способы нахождения значения выражения cos (arctg 2/3) возможны в школьном курсе? Каковы математические основы этих способов?

5. Какие свойства тригонометрических функций можно установить (в пропедевтическом плане) на начальном этапе обучения тригонометрии? Что может послужить средством получения этих свойств?

6. Чаще всего учащимся без обоснования говорится, что ось тангенсов — прямая, проходящая через точку с координатами (1; 0) и параллельная оси ординат. Как это можно доказать?

7. Какие способы построения графиков тригонометрических функций используются в школе? Назовите преимущества и недостатки каждого.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методика изучения тригонометрических функций (на примере функции у = cos х).

2. Типология задач, решение которых может быть основано на применении свойств тригонометрических функций.

3. Место и функции следующих задач в системе обучения и методика работы с ними.

Задача 1. Найдите область определения и множество значений функции:

Задача 2. Исследуйте функцию и постройте график

Задача 3. Постройте схематически график функции:

Задача 4. Исследуйте функцию и постройте график

4. Сообщение по теме «Обратные тригонометрические функции в классах углубленного изучения математики».

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы и учебников школьного курса математики (разных авторских коллективов):

— сформулируйте цели обучения теме «Тригонометрические функции»;

— выделите содержание темы;

— определите возможные логические пути построения содержания.

2. Разработайте методику изучения тригонометрических функций (на примере функции у = cos х). При выполнении задания выделите направления:

— мотивация;

— возможные подходы к построению графиков и изучению свойств.

3. На основе анализа школьных учебников выполните типологию задач, решение которых может быть основано на применении свойств тригонометрических функций.

4. Определите место предложенных ниже задач в системе обучения и разработайте методику работы с ними.

Задача 1. Найдите область определения и множество значений функции:

Задача 2. Исследуйте функцию и постройте график

Задача 3. Постройте схематически график функции:

Задача 4. Исследуйте функцию и постройте график

5. Подготовьте сообщение по теме «Обратные тригонометрические функции в классах углубленного изучения математики» (цели, содержание, методические особенности изучения свойств функций).

РАБОТА № 19

Последовательности в курсе алгебры девятилетней школы

Основные цели работы: выделить методические особенности обучения теме в классах углубленного изучения математики; показать пример одновременного изучения двух (и более) математических теорий с использованием принципов сопоставления и противопоставления; познакомить студентов с творческой мастерской как одной из форм технологического подхода в обучении математике.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Укажите наиболее близкий к нулю член арифметической прогрессии: 22,7; 21,4; ... .

2. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 4n + 9.

3. Верно ли, что каждый член геометрической прогрессии, исключая первый и последний члены, является средним геометрическим соседних с ним членов?

4. Между числами -2 и -32 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

5. (bn) — геометрическая прогрессия, b1 = 2, q = 3. Какой цифрой оканчивается b15?

6. Найдите

7. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 5 и не делящихся на 7.

Блок В

1. Каким способом определяется арифметическая прогрессия?

2. Какова связь ямба и хорея с арифметической прогрессией?

3. Какая легенда связывает шахматную доску с геометрической прогрессией?

4. В чем схожи арифметическая и геометрическая прогрессии?

5. Каково соотношение понятий «бесконечно малая последовательность» и «бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Сравнительный анализ содержания темы «Последовательности» и требований к математической подготовке в классах различного направления.

2. Система пропедевтических знаний в начале обучения теме «Последовательности».

3. Сценарий (конспект) лекции по теме «Понятие последовательности. Способы задания последовательности». (Возможность введения новой теории на базе известной учащимся теории функции, используя приемы конкретизации и аналогии.)

4. Методика введения метода математической индукции.

5. Методика изучения арифметической и геометрической прогрессий.

6. Вариант параллельного изучения арифметической и геометрической прогрессий в рамках технологического подхода «Творческие мастерские».

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы по математике общеобразовательных учреждений, содержания школьных учебников алгебры 9-летней школы выполните сравнительный анализ содержания темы «Последовательности» и требований к математической подготовке в классах различного направления.

Все последующие вопросы и задания ориентированы на обучение теме в классах углубленного изучения математики. Основное учебное пособие— «Алгебра. 9кл.» под редакцией Н. Я. Виленкина (М.: Просвещение, 2001).

2. Выполните логико-математический анализ главы «Последовательности» учебного пособия «Алгебра. 9кл.» под редакцией Н. Я. Виленкина.

3. Выделите систему пропедевтических знаний на начало обучения теме «Последовательности».

Задания для микрогрупп

1. Разработайте сценарий (конспект) лекции по теме «Понятие последовательности. Способы задания последовательности». В разработке предусмотрите возможность введения новой теории на базе известной учащимся теории функции, используя приемы конкретизации и аналогии.

2. Разработайте методику изучения темы «Метод математической индукции». Разработайте методику введения метода математической индукции (исторический аспект, мотивация, виды индукции). Рассмотрите приемы обучения применению этого метода в практике решения задач (исследуйте целесообразность разработки алгоритмических предписаний для работы с задачами разных типов).

Разработайте методику работы с задачами.

Задача 1. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

Задача 2. Вычислите сумму:

Задача 3. Докажите, используя метод математической индукции, неравенство 3n — 2n > n.

Задача 4. Докажите, что 5n + 2*3n + 5 делится на 8 при любых натуральных значениях n.

3. Разработайте методику изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Покажите, что изучение основных вопросов тем (при последовательном их изучении) можно строить в одном плане.

На примере одной из прогрессий разработайте методику введения теоретического аппарата (определение прогрессии; обнаружение и доказательство свойств и признаков). Разработайте опорный конспект.

Выберите наиболее трудные и интересные, на ваш взгляд, задачи. Разработайте организацию работы по поиску решения этих задач. Дайте вариант полного оформления решения.

4. Разработайте вариант параллельного (одновременного) изучения арифметической и геометрической прогрессий на основе использования принципов сопоставления и противопоставления. В разработке попытайтесь реализовать технологический подход «Творческие мастерские».

Рекомендации по применению технологического подхода «Творческие мастерские» при обучении математике приведены в Приложении 6.

РАБОТА № 20

Показательная и логарифмическая функции

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием темы и логикой ее изложения в разных учебниках; рассмотреть различные методические аспекты обучения теме.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Укажите верное неравенство:

2. На рис. 20.1 изображен график одной из следующих функций. Укажите эту функцию:

3. Укажите убывающую функцию:

4. Укажите неверное равенство:

5. Укажите верное неравенство:

6. Укажите ложное утверждение, если а ∈ (0; 1):

7. Постройте схематически график функции при а = 1/2:

Рис. 20.1

8. Установите область определения функции:

9. Установите область значений функции:

10. Решите уравнения:

11. Решите неравенства:

Блок В

1. Перечислите возможные подходы к введению показательной (логарифмической) функции.

2. Каким методом доказывается монотонность функции у = logax?

3. Сформулируйте теорему, являющуюся обобщением утверждения о монотонности у = logax.

4. Какие ошибки встречаются чаще других при решении показательных и логарифмических неравенств?

5. Математический софизм: число 1/4 больше 1/2.

Прологарифмируем по основанию 10 очевидное равенство 1/2 = 1/2, получив в результате не менее очевидное равенство lg 1/2 = lg 1/2, котокое превращается в неравенство, если его левую часть увеличить вдвое, т. е. 2 lg 1/2 > lg 1/2.

Выполнив операцию потенцирования в левой части последнего неравенства, получаем, что lg (1/2)2 > lg 1/2. Далее, используя монотонность логарифмической функции, имеем (1/2)2 > 1/2 и окончательно: 1/4 >1/2.

Найдите ошибку в рассуждениях.

6. Перечислите основные виды логарифмических уравнений, решаемых в школе.

7. Какое уравнение называется показательно-степенным? Какие ошибки чаще всего встречаются при решении уравнений этого вида?

8. Верно ли решено уравнение x1 + 2 = x5⇔х + 2 = 5⇔х = 3?

Если нет, то какая допущена ошибка? Как показать ученику эту ошибку?

9. Какое уравнение называется показательно-логарифмическим?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Сравнительный анализ содержания и логики изложения темы в действующих учебных пособиях:

— место темы в курсе алгебры и начал анализа;

— теоретическая база;

— вводимые понятия, теоремы, формулы, теоретические задачи;

— логическая схема построения темы;

— типология задач по теме.

2. Тематическое планирование данного раздела для классов различного профиля.

3. Материалы (вводная беседа и набор задач) для мотивации изучения показательной и логарифмической функции для гуманитарного и физико-математического классов.

4. Содержание эвристической беседы, направленной на выявление свойств показательной функции с последующим построением графика.

5. Теоретический материал по теме «Показательные и логарифмические уравнения» с выделением теоретической базы, типологии задач и приемов решения.

6. Система задач, на базе которой целесообразно рассмотреть вопрос о равносильности логарифмических уравнений и неравенств в процессе их решения.

7. Варианты обучения теме в условиях дифференциации обучения (наборы конкретных заданий, требующих комплексного применения знаний, и методика работы с ними).

8. Использование алгоритмических предписаний при обучении учащихся решению показательных и логарифмических уравнений, предусмотренных программой (практические материалы).

9. Материалы итогового контроля по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните логико-математический анализ темы «Показательная и логарифмическая функции». Сравнительный анализ содержания и логики изложения темы в действующих учебных пособиях: место темы в курсе алгебры и начал анализа; теоретическая база; вводимые понятия, теоремы, формулы, теоретические задачи; взаимосвязь (логическая схема построения темы); типология задач по теме.

2. Разработайте тематическое планирование данного раздела для классов различного профиля.

3. Проанализируйте различные подходы к введению понятий показательной и логарифмической функций по материалам школьных учебников и следующих статей журнала «Математика в школе»:

Куваев М. К. К вопросу о введении показательной функции // Математика в школе. — 1991. — № 4.

Виленкин Н. Я. Об изучении показательной функции в школе // Математика в школе. — 1989. — № 6.

Дорофеев Г. В. Изучение показательной и логарифмической функций на основе понятий и методов математического анализа // Математика в школе. — 1989. — № 6.

Маркушевич А. И. Логарифмические и показательные функции в школе // Математика в школе. — 1989. — № 3.

4. Выделите особенности изложения введения показательной и логарифмической функций в различных школьных учебниках по алгебре и началам анализа.

5. Проанализируйте систему задач по теме, акцентируя внимание на следующих вопросах: какие виды показательных и логарифмических уравнений решаются в школьном курсе математики; какие способы решения указанных уравнений рассмотрены.

Задания для микрогрупп

1. Разработайте материалы (вводная беседа и набор задач) для мотивации изучения показательной и логарифмиче-

ской функций для гуманитарного и физико-математического классов.

2. Разработайте план эвристической беседы, направленной на выявление свойств показательной функции с последующим построением графика.

3. Разработайте микротеорию по теме «Показательные и логарифмические уравнения» с выделением теоретической базы, типологии задач, приемов решения.

4. Разработайте систему задач, на базе которой целесообразно рассмотреть вопрос о равносильности логарифмических уравнений и неравенств в процессе их решения.

5. Подберите несколько логарифмических уравнений и неравенств (индивидуальное задание для сильных учащихся), решение которых требует комплексного применения знаний из разных разделов курса алгебры и начал анализа. Разработайте методику работы с ними.

6. Исследуйте вопрос о возможности и целесообразности использования алгоритмических предписаний при обучении учащихся решению показательных и логарифмических уравнений, предусмотренных программой. Разработайте варианты алгоритмических предписаний.

7. Разработайте материалы итогового контроля по теме «Показательная и логарифмическая функции»: вопросы и задания для устной части контроля; задания письменной части контрольной работы.

2.1.4. Линия уравнений, неравенств и их систем

РАБОТА № 21

Уравнения в школьном курсе математики

Основные цели работы: познакомить студентов с основами теории уравнений в школьном курсе; сформировать умения выполнять систематизацию учебного материала на основе установления внутренних и внешних связей.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Какое уравнение не имеет решения?

2. Выберите пары равносильных уравнений:

3. Составьте иррациональное уравнение, при решении которого могут появиться два посторонних корня.

4. В чем недостаток следующего решения:

5. К какому типу уравнений относится уравнение

Каковы математические основы и особенности решения этого уравнения?

6. На чем основан способ решения уравнения √x = 6 — x, при котором подбирается корень х = 4 и утверждается, что он единственный?

Блок В

1. Какова теоретическая основа перехода от уравнения

к уравнению

2. При решении уравнения

ученик,

не находя ОДЗ, пришел к системе:

1 ОДЗ — область допустимых значений.

утверждая, что этот переход обеспечивает равносильность. Прав ли ученик? Если нет, какая им допущена ошибка?

3. Ученик, решая уравнение

нашел ОДЗ:

преобразовал левую часть, выполнив операцию потенцирования;

решив вспомогательное уравнение, нашел корень х = -8, который отбросил как посторонний;

получил ответ: уравнение не имеет корней.

Какая ошибка могла быть допущена учеником? Каковы причины допущенной ошибки?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Классификация видов уравнений, изучаемых в школьном курсе.

2. Теория уравнений (элементы теории, этапы введения, уровень математической строгости).

3. Способы решения уравнений в курсе математики 5—6 классов. Математическая основа способов.

4. Взаимосвязь методов решения уравнений различных видов. Структура таблицы взаимосвязей методов решения уравнений в школьном курсе математики.

5. Алгоритмические предписания при обучении решению уравнений различных видов.

6. Формирование элементов математической культуры при работе с уравнениями (ОДЗ, условие равносильности перехода).

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы по математике общеобразовательных учреждений, содержания школьных учебников:

— постройте классификацию видов уравнений, изучаемых в школьном курсе;

— выделите теорию уравнений (элементы теории, этапы введения, уровень математической строгости).

2. Какая пропедевтика линии уравнений осуществляется в курсе математики 5—6 классов? Какие виды уравнений и способы их решения рассматриваются в курсе математики 5—6 классов? В чем их математическая основа?

3. В школьном курсе математики учащиеся обучаются решению алгебраических и трансцендентных уравнений. При рассмотрении уравнений каждого вида вводятся методы (приемы) их решения. Выделите взаимосвязь методов реше-

ния уравнений различных видов. Какой вы видите справочную таблицу взаимосвязей методов решения уравнений в школьном курсе математики? Подготовьте возможный вариант структуры справочной таблицы.

4. Исследуйте вопрос о целесообразности разработки алгоритмических предписаний решения уравнений. Для каких уравнений целесообразно разрабатывать алгоритмические предписания? Приведите примеры таких предписаний.

5. Разработайте набор уравнений, функция которого — формирование элементов математической культуры (ОДЗ, условие равносильности перехода).

РАБОТА № 22

Алгебраические уравнения и их системы

Основные цели работы: познакомить студентов с методическими особенностями обучения алгебраическим уравнениям и их системам на различных этапах; рассмотреть на данном материале коллективный способ обучения как одну из форм организации учебного процесса.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Решите уравнение (а — 1)(а + 2)х = а + 2.

2. Сформулируйте теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения.

3. Решите квадратные уравнения без применения формул нахождения корней:

а) 4х2 + 3х — 1 = 0;

б) 3х2—2,5х- 0,5 = 0.

Каковы особенности уравнений, в чем суть используемого при решении приема? Сформулируйте признак возможности применения приема.

4. Дано уравнение x2 + mx — х — m = 0 (m ≠ -1). Найдите сумму квадратов корней этого уравнения.

5. При каких значениях параметра а уравнение ах2 — 4х + а = 0 имеет: а) один корень; б) два различных корня; в) не имеет корней?

6. При каком значении а все решения системы:

удовлетворяют условиям х > 1, у < 0?

Блок В

1. Перечислите виды алгебраических уравнений и виды систем алгебраических уравнений, изучаемые в школьном курсе математики (схема типологии).

2. Ученик, решая уравнение x2 + 5х + 6 = 0, подобрал числа -2 и -3, дающие в сумме -5, а в произведении 6. На основе чего был сделан вывод, что корнями уравнения являются x1 = -2 и x2 = -3?

3. Выделите математические основы нахождения (подбора) корней квадратного уравнения по теореме Виета.

4. Обычно, решая простейшее квадратное уравнение, учащиеся оформляют решение следующим образом: x2 = 25;х = ±5. Какой логический шаг решения пропущен при оформлении? В чем его математическая основа?

5. В результате решения системы:

ученик получил ответ (6; 10). Проверьте правильность ответа. Если допущена ошибка, то как ее обосновать?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методические особенности обучения следующим темам школьного курса математики (анализ содержания, типология и методы решения задач):

— рациональные уравнения;

— иррациональные уравнения;

— системы алгебраических уравнений.

2. Проект обучения теме «Квадратные уравнения» в условиях коллективного способа обучения (КСО).

3. Место и функции задач с параметрами в теме «Рациональные уравнения» (методы их решения; математические основы выделенного метода; методические особенности организации работы с ними).

Задания для подготовки к занятиям

1. На материале темы «Рациональные уравнения» проанализируйте школьные учебники алгебры и начал анализа с целью выделения этапов изучения рациональных уравнений, выявления логики расширения теории, выявления вводимых видов рациональных уравнений и методов их решения.

Разработайте типологию рациональных уравнений и методов их решения для классов углубленного изучения математики.

Разработайте набор задач, ведущая функция которого — иллюстрация применения разработанной типологии и выделенных методов решения.

2. На материале темы «Иррациональные уравнения» проанализируйте школьные учебники алгебры и начал анализа с целью выделения этапа изучения рациональных уравнений, выделения элементов теории, выявления вводимых видов рациональных уравнений и методов их решения.

Разработайте типологию иррациональных уравнений и методов их решения для классов углубленного изучения математики.

Разработайте набор задач, ведущая функция которого — иллюстрация применения разработанной типологии и выделенных методов решения.

3. На материале темы «Системы алгебраических уравнений» проанализируйте школьные учебники алгебры и начал анализа с целью выделения этапов изучения систем алгебраических уравнений, выявления вводимых видов систем уравнений и методов их решения.

Разработайте типологию систем алгебраических уравнений и методов их решения для классов углубленного изучения математики.

Разработайте набор задач, ведущая функция которого — иллюстрация применения разработанной типологии и выделенных методов решения.

4. Разработайте проект обучения теме «Квадратные уравнения» в условиях КСО.

5. На материале темы «Задачи с параметрами» опишите методику: формирования понятия «уравнение с параметром», включения понятия в систему понятий. При этом выделите:

— мотивационную задачу;

— введение понятия (раскрытие трактовки) и алгоритм его распознавания;

— систему задач, функции которых — формирование понимания «Что значит решить уравнение с параметром?»;

— алгоритмическое предписание решения уравнений с параметром определенного вида (линейное уравнение и квадратное уравнение).

6. На материале темы «Задачи с параметрами в теме «Алгебраические уравнения» определите место и функции ниже приведенных задач в учебном процессе; методы их решения; математические основы выделенного метода; методические особенности организации работы с ними.

Задача 1. Для каких значений параметра m уравнение 4х2 — m = 5|х| имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?

Задача 2. При каких значениях параметра m уравнение (m — 2)х2 — 2(m + 3) + 4m = 0 имеет 4 различных корня?

Задача 3. Решите уравнение |х + 3| = а|х — 2| при всех значениях параметра а.

Задача 4. Решите уравнение

Задача 5. Решите систему уравнений Методический комментарий к заданиям

Коллективным способом обучения (КСО) является такая его организация, при которой обучение осуществляется путем общения в динамичных парах, когда один учит другого.

Чтобы осуществить поставленные цели обучения математике, нужно создать определенные условия на уроке.

Учебный процесс необходимо организовать так, чтобы каждый учащийся мог излагать конкретное математическое содержание или изучать его из рассказа другого; каждому обучаемому предоставлялась бы возможность знать все то, что знают другие, и передавать другим свои знания; каждый учащийся участвовал бы в планировании организации работы учебной группы.

Рекомендации по разработке проекта смотрите в Приложении 4.

РАБОТА № 23

Неравенства в школьном курсе математики. Алгебраические неравенства и их системы

Основные цели работы: познакомить студентов с логикой изложения теоретического и практического материала по линии «Неравенства и их системы» в школьном курсе математики; рассмотреть методические особенности обучения линии неравенств на разных этапах обучения; показать на материале данной темы консультирование как одну из форм обучения математике.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Сравните а и b, если a2 + 3а + b + 4 = 0.

2. Каким свойством должна обладать функция у = f(x), чтобы неравенство f(x) > 0 можно было решить методом интервалов?

3. Решите неравенство

4. Найдите сумму длин интервалов, на которых выполняется неравенство

5. Решите неравенство

6. В системе координат хОу изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

7. При каких значениях а множеством решений неравенства

является луч?

8. В 10 ч утра расстояние между пешеходами, начинающими двигаться навстречу друг другу, было 20 км. Скорость одного из них была 5 км/ч. Когда они встретятся?

Блок В

1. Что представляет собой неравенство с переменной:

а) с содержательной точки зрения;

б) с формально-логической точки зрения?

2. В чем отличие числового неравенства от неравенства с переменной с логической точки зрения?

3. Верно ли, что при сравнении чисел имеет место трихотомия? Ответ поясните.

4. Какие знаки сравнения известны учащимся к началу 7 класса?

5. Есть ли отличия во множестве решений неравенства x < 3 при решении его на разных ступенях обучения (в 4, 6 и 10 классах)?

6. В чем отличие способов решения системы линейных неравенств, описанных в учебниках алгебры Ш. А. Алимова и др. и в учебниках под редакцией С. А. Теляковского?

7. Какие ошибки учащихся наиболее вероятны при решении неравенства 5 — 6(-2х + 4) < -7?

8. При решении неравенства x2 < 16 учащиеся достаточно часто дают ответ х < ±4. Как показать, что ответ неверный? В чем причина ошибки?

9. Неравенство (х — 2)(х + 3) > 0 может быть решено на этапе введения свойств числовых неравенств без использования метода интервалов. Укажите теоретическую основу этого способа решения.

10. Составьте дробно-рациональное неравенство, множество решений которого имеет изолированную точку.

11. Приведите 2—3 примера использования в быту свойств числовых неравенств.

12. Составьте сюжетную задачу, решение которой свелось бы к системе

13. Перечислите этапы решения сюжетной задачи с использованием неравенства.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Анализ линии неравенств в программе и школьных учебниках.

2. Методические особенности обучения следующим темам школьного курса математики (анализ содержания, типология и методы решения задач):

— числовые неравенства;

— рациональные неравенства и их системы;

— метод интервалов на плоскости;

— иррациональные неравенства и их системы.

3. Материалы обучения теме «Квадратичные неравенства» с применением технологии консультирования.

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы по математике общеобразовательных учреждений, содержания школьных учебников алгебры, алгебры и начал анализа:

— сформулируйте цели обучения линии неравенств;

— постройте классификацию видов неравенств, изучаемых в школьном курсе;

— выделите теоретические основы изучения неравенств; этапы введения; уровень математической строгости.

2. В чем состоит пропедевтика линии неравенств в курсе математики 5—6 классов? Каковы виды неравенств и способы их решения в курсе математики 5—6 классов? В чем состоит их математическая основа?

Задания для микрогрупп

1. Разработайте методику обучения теме «Числовые неравенства»:

— введение понятия «Числовое неравенство» (актуализация знаний; мотивация введения нового понятия);

— введение свойств числовых неравенств (описание методики работы с одной из теорем);

— набор упражнений для формирования понятия «решение неравенства» (необычные формы работы, интересные задания, используемые средства обучения).

2. Разработайте методику обучения теме «Рациональные неравенства и их системы»:

— типология рациональных неравенств в курсе алгебры девятилетней школы;

— методы решения рациональных неравенств и этапы обучения, на которых расширяется система методов;

теоретический аппарат решения типовых неравенств: а) |х| < а; б) |х| > а.

3. Выполните анализ тем «Квадратичные неравенства»:

— методы решения квадратичных неравенств в школьном курсе;

— функциональный подход при решении квадратичных неравенств;

— разработка варианта справочной таблицы по решению квадратичных неравенств, в основе которой лежит функциональный подход;

— операционный аппарат решения рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов и методика обучения его применению (предварительное разложение на множители; учет кратности корней соответствующего уравнения; изолированные и выколотые точки и т. д.).

Выполните анализ темы «Метод интервалов на плоскости»:

— типология задач, при решении которых целесообразно использовать метод интервалов на плоскости;

— метод и его математические основы;

— место и методика работы с задачами.

Задача 1. Изобразите множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству (x2 + y2 — 25)(y — x2 — 2)(у + x2 + 2) > 0.

Задача 2. Решите неравенство при всех значениях параметра а: (х — а — 3)(2х + а) < 0.

Выполните анализ темы «Иррациональные неравенства»:

— виды иррациональных неравенств, рассматриваемые в школьном курсе;

— методы решения простейших иррациональных неравенств, рассматриваемые в школьных учебниках.

Выделите теоретическую базу, используемую для обоснования выделенных методов; исследуйте вопрос о целесообразности разработки алгоритмических предписаний решения иррациональных неравенств. Для каких неравенств целесообразно разрабатывать алгоритмические предписания? Приведите примеры таких предписаний; целесообразность введения решения типовых иррациональных неравенств в общем виде.

Задача. Решите в общем виде неравенства, выделить используемый теоретический аппарат:

На каком теоретическом материале основывается решение?

4. Разработайте материалы для обучения теме «Квадратичные неравенства» с применением технологии консультирования.

Методический комментарий к заданиям

Основными задачами уроков-консультаций являются: ликвидация пробелов в знаниях учеников; углубление знаний; формирование новых знаний (например, знакомство с новыми методами решения задач); передача положительного опыта по решению задач как учителем, так и учащимися.

Консультации могут использоваться непосредственно в процессе изучения какой-либо темы (промежуточные консультации, причем они возможны и в условиях самостоятельного изучения темы) или перед итоговым контролем (обобщающая консультация по теме). Рекомендации по разработке материалов обучения теме с применением технологии консультирования смотрите в Приложении 5.

РАБОТА № 24

Тригонометрические уравнения и неравенства

Основные цели работы: обучить студентов математическому и методическому анализу содержания темы; выделить некоторые методические аспекты обучения теме; разработать содержание практикума по решению задач в условиях уровневой дифференциации.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Назовите хотя бы одно уравнение, решением которого является числовое множество:

2. Решите уравнения:

Определите число корней уравнения

на промежутке [0; 2л].

3. Решите неравенства:

4. Решите систему

Блок В

1. Как можно обосновать, что arccos (-а) = π — arccos а?

2. Составьте квадратное уравнение относительно sin х, решением которого является

3. В чем состоит математическая основа метода решения однородных тригонометрических уравнений?

4. Укажите возможные пути решения уравнения 3cos х + 4sin x = 5.

5. Какие математические знания и практические умения необходимы для решения задачи: «Построить график уравнения (tg x — 1)(y2 — 4) = 0»?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Цели обучения теме «Тригонометрические уравнения и неравенства», содержание и логика ее построения, требования к математической подготовке учащихся по теме.

2. Система актуализируемых знаний и умений. Вводная диагностическая работа с целью:

проверки готовности учащихся к восприятию темы; выделения групп учащихся для организации обучения теме в рамках уровневой дифференциации.

3. Варианты изучения темы «Решение тригонометрических уравнений».

4. Варианты изучения темы «Решение тригонометрических неравенств».

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программ и школьных учебников по курсу алгебры, алгебры и начал анализа:

— сформулируйте цели обучения теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»;

— выделите элементы содержания и проследите логику его построения;

— сформулируйте требования к математической подготовке учащихся по теме (конкретный набор вопросов и задач, функции которого — определение уровня знаний и умений учащихся по теме).

2. Выделите систему актуализируемых знаний и умений и разработайте вводную диагностическую работу с целью:

— проверки готовности учащихся к восприятию темы;

— выделения групп учащихся для организации обучения теме в рамках уровневой дифференциации.

Задания для микрогрупп

1. По теме «Тригонометрические уравнения» проанализируйте возможные пути введения простейших тригонометрических уравнений sin х = a, cos х = а, tg х = а, ctg х = а (этап обучения, используемые средства, уровень математической строгости).

Выделите методы решения тригонометрических уравнений (выполните классификацию методов). Знание каких методов вы отнесли бы к обязательным результатам обучения?

Разработайте методику введения следующих методов решения тригонометрических уравнений:

— метод введения вспомогательного аргумента;

— универсальная тригонометрическая подстановка.

Разработайте набор уравнений, функции которого — формирование умения работать с областью допустимых значений уравнения, обеспечение равносильности переходов и т. д.

Разработайте содержание практикума по решению тригонометрических уравнений с учетом уровневой дифференциации.

2. По теме «Тригонометрические неравенства» предложите возможные пути введения простейших тригонометрических неравенств на примере неравенства sin х > а (этап обучения, используемые средства, уровень математической строгости).

Выделите методы решения тригонометрических неравенств (выполните классификацию методов). Знание каких методов вы отнесли бы к обязательным результатам обучения?

Разработайте методику обучения применению метода интервалов при решении тригонометрических неравенств (вопрос целесообразности и рациональности; возможные пути введения, используемые средства).

Разработайте содержание практикума по решению тригонометрических неравенств с учетом уровневой дифференциации.

Методический комментарий к заданиям

О видах дифференциации при обучении математике, разработке методических материалов в условиях реализации дифференцированного подхода в обучении с конкретными примерами можно ознакомиться в Приложении 2.

РАБОТА № 25

Модуль числа в курсе девятилетней школы

Основные цели работы: выделить содержание темы, ее математические основы и место в обучении математике; систематизировать знания студентов по методам решения математических задач, содержащих модуль.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Для каких значений а выполняется равенство |2а — 3| = 3 — 2а?

2. Докажите неравенство

3. Решите уравнение

4. Изобразите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

5. Постройте график уравнения

Блок В

1. На каких этапах обучения математике вводится определение модуля? В чем отличие этих определений?

2. Сформулируйте свойства модуля.

3. Какова, на ваш взгляд, причина рассмотрения уравнений и неравенств с модулем в теме «Неравенства» (по учебнику Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8»)?

4. Опишите математическим языком положение точки х на координатной прямой, если 2 < |х — 4| < 3.

5. Приведите способы решения уравнения |2,1х — 1,9| = 0,5 в соответствии с теорией, изложенной в теме «Неравенства» (по учебнику Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8»). Каковы математические основы каждого из приведенных способов?

6. Выполните те же задания для неравенства |1 + х| < 0,3

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Типология задач по основным содержательным линиям школьного курса математики, связанных с модулем (основание типологии — требование задачи).

2. Аналитические методы решения алгебраических уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Иллюстрация применения выделенных методов.

3. Аналитические методы решения алгебраических неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля. Иллюстрация применения выделенных методов.

4. Преобразования графиков функций, содержащих аргумент под знаком модуля. Методика введения теории (на примере одного из преобразований). Примеры задач, иллюстрирующих применение введенной теории.

5. Методические особенности задач.

Задача 1. Упростите выражение

Задача 2. Докажите, что для выполнения равенства

необходимо, чтобы

Является ли это условие достаточным?

Задача 3. Решите уравнение

Задача 4. Решите неравенства:

Задача 5. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую системой

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программ и школьных учебников по курсу математики 5—6 классов, алгебры, алгебры и начал анализа выделите:

— этапы обучения математике, на которых вводится определение модуля;

— суть определений, их математические основы;

— свойства модуля, вводимые на протяжении обучения математике.

2. Выполните типологию задач по основным содержательным линиям школьного курса математики, связанных с модулем (основание типологии — требование задачи).

3. Выделите аналитические методы решения алгебраических уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. На конкретном наборе задач дайте иллюстрацию применения выделенных методов.

4. Выделите аналитические методы решения алгебраических неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля. На конкретном наборе задач дайте иллюстрацию применения выделенных методов.

5. Выделите элементы теории преобразования графиков функций, содержащих аргумент под знаком модуля. Разработайте методику введения теории (на примере одного из преобразований). Приведите примеры задач, иллюстрирующих применение введенной теории.

Для каждой из приведенных ниже задач определите место в учебном процессе; определите возможные функции в соответствии с этапом обучения; разработайте вариант методики работы по поиску решения.

Задача 1. Упростите выражение

Задача 2. Докажите, что для выполнения равенства

необходимо, чтобы |2х — 5| = 13.

Является ли это условие достаточным?

Задача 3. Решите уравнение

Задача 4. Решите неравенство:

Задача 5. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую системой

2.2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

РАБОТА № 26

Пропедевтика основных понятий математического анализа

Основные цели работы: сформировать понятие «пропедевтические знания»; сформировать умения по выделению пропедевтических знаний.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Укажите верные высказывания:

2. Укажите верные предложения:

3. Последовательность (an) задана формулой n-го члена:

Найдите все такие n, что

4. Найдите наибольший член последовательности

5. Сформулируйте определение предела функции в точке.

6. По графику функции на рис. 26.1 определите, в каких точках функция не имеет предела. Приведите пример промежутка, на котором функция имеет предел в каждой внутренней точке.

7. Дана функция

Найдите множество значений

предела функции. Для каждого значения предела укажите промежуток, на котором предел функции равен этому значению.

8. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

9. На какой вопрос следует дать утвердительный ответ? Может ли функция быть непрерывной в точке, в которой она не определена?

Может ли функция быть непрерывной в точке X = а, если предел функции f(x) в точке X = а не существует?

Всегда ли функция непрерывна в точке X = а, если функция определена в этой точке и существует предел функции в этой точке?

Является ли условие непрерывности функции f(x) в точке х = а достаточным для того, чтобы функция была определена в точке а?

Рис. 26.1

Блок В

1. Приведите примеры теорий школьного курса математики, при изложении которых встречаются предельные переходы, хотя теория пределов учащимся не известна.

2. Назовите существующие подходы к введению понятия «предела функции в точке».

3. Приведите пример геометрической интерпретации понятий: а) «предел последовательности»; б) «предел функции в точке».

4. Сформулируйте определение функции, непрерывной в точке. Выполните логико-математический анализ этого определения.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Актуальность проблемы разработки системы пропедевтических знаний. Пропедевтика формирования понятия предела числовой последовательности с учетом изложения этого материала в учебнике «Алгебра и начала анализа. 9—10 кл.» под редакцией А. Н. Колмогорова (М.: Просвещение, 1982).

2. Пропедевтика формирования понятий курса математического анализа (ориентация — классы углубленного изучения математики): предел функции в точке; непрерывность функции в точке; производная функции в точке.

Задания для подготовки к занятиям

1. Разработайте пропедевтику формирования понятия предела числовой последовательности с учетом изложения этого материала в учебнике «Алгебра и начала анализа 9—10 кл.» под редакцией А. Н. Колмогорова (М.: Просвещение, 1982).

2. Разработайте пропедевтику формирования следующих понятий (ориентация — классы углубленного изучения математики): предел функции в точке; непрерывность функции в точке; производная функции в точке.

В разработках (где это целесообразно) предусмотрите использование эскизов рисунков, дающих геометрическую интерпретацию понятий.

Методический комментарий к заданиям

Под разработкой пропедевтики формирования понятия условимся понимать:

— выполнение логико-математического анализа определения понятия;

— построение родословной понятия (определение места понятия в системе известных понятий);

— разработку систем задач, выполняющих функции: актуализации знаний; подведения под понятие; первичного закрепления понятия и включения понятия в систему имеющихся знаний;

— выделение знаний и умений учащихся, необходимых для решения разработанных систем задач, а также определение этапа обучения математике, на котором эти знания формировались.

РАБОТА № 27

Производная и ее приложения

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием и логикой изложения учебного материала по теме в школьных учебниках; разработать методику обучения отдельным элементам данного содержания.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Дифференцируемы ли функции:

2. Истинны ли следующие высказывания:

а) если функция f имеет в точке x0 производную, то она непрерывна в этой точке;

б) если функция f непрерывна в точке x0, то она имеет в этой точке производную?

3. Постройте графики производных следующих функций:

4. Дан график функции у = f(x) (рис. 27.1). Какие из приведенных утверждений верны:

а) h, m — критические точки;

б) 6, m — точки экстремума;

в) k — точка минимума;

г) [b, m] — промежуток возрастания функции;

д) на (а, р) — f(x) дифференцируемая;

Рис. 27.1

Рис. 27.2

5. Укажите график функции f(x) = -х3 — x2 + х (рис. 27.2).

6. На рис. 27.3 изображены шесть графиков. Объедините, если возможно, их в пары «функция — ее производная».

7. При каком значении m функция

имеет экстремум в точках х = 0 и х = 6?

8. Дана функция

Найдите а, если

9. При каких значениях а и b функция

будет непрерывна в точке x0 = 1?

10. Является ли прямая у = 2х — 1 касательной к графику функции

Рис. 27.3

Блок В

Задача 2. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

1. Какие слова (или сочетания) обыденного языка соответствуют понятию производной в математике?

2. В учебниках алгебры и начал анализа у кого из авторов наиболее усилена прикладная направленность изложения темы «Производная»?

3. Укажите внутрипредметные связи правил дифференцирования функций.

4. Какие способы нахождения уравнения наклонной асимптоты графика функции встречаются в школе? Какова математическая основа каждого из приведенных способов?

5. Перечислите виды математических задач, которые решаются с использованием производной в школьном курсе математики.

6. Какие математические идеи представлены в теме «Производная и ее применение»?

7. За счет чего можно разнообразить систему упражнений, направленных на отработку навыков дифференцирования?

8. Можно ли определение касательной к окружности распространить на понятие касательной к кривой?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Тематическое планирование по теме «Производная и ее применение» для классов различных типов.

2. Фрагмент урока по теме «Понятие производной» в классах различной ориентации: гуманитарной, физико-математической.

3. Методика введения понятия непрерывности функции для класса физико-математической специализации (включая набор задач для закрепления понятия и его применения).

4. Методика актуализации знаний по физике при изучении темы «Приложения производной в физике и технике».

5. Вариант методики изложения теории по теме «Применение производной к исследованию функции» в классах различной ориентации.

6. Методика работы с задачами.

Задача 1. Исследуйте функции и постройте графики:

Задача 3. В окружность радиуса R вписана трапеция, одно из оснований которой является диаметром окружности. При какой величине угла при большем основании трапеция имеет наибольшую площадь?

Задача 4. Вычислите приближенные значения выражений: a) ∛8,008 ; б) sin 31°; в) 2,0058.

7. Система контроля по теме «Производная и ее приложения».

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните логико-математический анализ темы «Производная и ее приложения» (сравнительный анализ содержания и логики изложения темы в действующих учебных пособиях: теоретическая база; вводимые понятия, теоремы, формулы, теоретические задачи; логическая схема построения темы; типология задач по теме).

2. Проанализируйте по различным учебникам систему обоснования свойств функций (знакопостоянство, монотонность, необходимые и достаточные условия экстремума и др.).

3. Составьте тематическое планирование по теме «Производная и ее применение» для классов различных типов.

4. Разработайте фрагмент урока по теме «Понятие производной» в классах различных типов. Разработайте методику введения понятия производной для классов гуманитарной ориентации, физико-математического направления. Подберите систему задач на усвоения понятия производной.

5. Разработайте методику введения понятия непрерывности функции для класса физико-математической специализации (включая набор задач для закрепления понятия и его применения).

6. Разработайте методику актуализации знаний по физике при изучении темы «Приложения производной в физике и технике».

7. Разработайте вариант методики изложения теории по теме «Применение производной к исследованию функции» в классах различных типов.

8. Разработайте методику работы с задачами. Задача 1. Исследуйте функции и постройте графики:

Задача 2. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Задача 3. В окружность радиуса R вписана трапеция, одно из оснований которой является диаметром окружности. При какой величине угла при большем основании трапеция имеет наибольшую площадь?

Задача 4. Вычислите приближенное значение выражений:

9. Разработайте систему контроля по теме «Производная и ее приложения».

РАБОТА № 28

Интеграл. Приложения интеграла

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием и логикой изложения темы в школьных учебниках; выделить и рассмотреть ключевые вопросы методики обучения теме.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. График функции f(x) изображен на рис. 28.1. Вычислите

2. Вычислите:

3. Сравните по величине А и В, если:

4. Вычислите площадь фигур, изображенных на рис. 28.2.

Рис. 28.1 Рис. 28.2

5. При каком значении а выполняется равенство

Блок В

1. В чем состоит отличие процесса нахождения первообразной от изученных ранее математических операций?

2. Какие образы вызывает у школьников термин «определенный интеграл»?

3. Почему в учебниках по алгебре и началам анализа не вводится термин «неопределенный интеграл»?

4. Школьник вывел формулу объема цилиндра, используя теорему об объеме тела вращения

Оцените правомерность вывода.

5. В чем состоят особенности условия задач, решаемых с помощью интеграла?

6. Приведите несколько типов задач с физическим содержанием из школьных учебников алгебры и начал анализа, которые решались бы с помощью интеграла.

7. Как в курсе физики обосновывается, что при равнопеременном движении пройденное расстояние вычисляется по формуле

8. Почему работу сил тяготения целесообразно считать отрицательной?

9. Как обосновать, что работа по растяжению пружины рассчитывается по формуле

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Тема «Первообразная».

Основные теоретические сведения по теме «Первообразная» в различных действующих учебниках; сравнение подходов к выбору этих сведений, места и формы их предъявления, стиля изложения, уровня строгости обоснования и т. п.

Система упражнений, раскрывающих правила нахождения первообразной.

Основные моменты в изучении темы «Криволинейная трапеция, ее площадь».

Методика введения: понятия криволинейной трапеции; формулы площади криволинейной трапеции.

2. Тема «Интеграл».

Различные подходы к введению понятия интеграла. Фрагмент урока по введению этого понятия.

Методика ознакомления учащихся с формулой Ньютона—Лейбница.

Система упражнений на вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

Приложения интеграла в геометрии. Анализ общего подхода к вычислению объемов фигур, основанного на применении интеграла (по действующим учебникам геометрии). Упражнения, формирующие умения применять интеграл в конкретных ситуациях.

3. Тема «Приложения интеграла в физике».

4. Тема «Дифференциальные уравнения».

Набор заданий (задач) по теме «Дифференциальные уравнения», на котором можно построить объяснение, закрепление и проверку усвоения материала по теме.

5. Фрагменты контроля:

вариант проверочной работы по теме «Первообразная» для классов различного профиля;

вариант разноуровневой итоговой контрольной работы по теме «Интеграл. Приложения интеграла».

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните логико-математический анализ темы «Интеграл. Приложения интеграла» (сравнительный анализ содержания и логики изложения темы в действующих учебных пособиях: теоретическая база; вводимые понятия, теоремы, формулы, теоретические задачи; логическая схема построения темы; типология задач по теме).

2. Сравните уровни знаний и умений, которые должны быть сформированы у учащихся в результате изучения темы, в классах различного профиля.

3. Разработайте тематическое планирование данного раздела для классов различного профиля.

Задания для микрогрупп

1. Выделите основные теоретические сведения по теме «Первообразная» в различных действующих учебниках; сравните подход к выбору этих сведений, места и формы их предъявления, стиля изложения, уровня строгости обоснования и т. п.

2. Разработайте систему упражнений, раскрывающих правила нахождения первообразной.

3. Выделите основные моменты в изучении темы «Криволинейная трапеция, ее площадь». Разработайте методику введения понятия криволинейной трапеции и формулы площади криволинейной трапеции.

4. Охарактеризуйте различные подходы к введению понятия интеграла. Разработайте фрагмент урока по введению этого понятия.

5. Опишите методику ознакомления учащихся с формулой Ньютона—Лейбница.

6. Разработайте систему упражнений на вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

7. Исследуйте вопрос о приложениях интеграла в геометрии. Особое внимание уделите анализу общего подхода к вычислению объемов фигур, основанного на применении интеграла (по действующим учебникам геометрии). Подберите упражнения, формирующие умения применять интеграл в конкретных ситуациях.

8. Рассмотрите вопрос о приложениях интеграла в физике. Насколько широко используются приложения интеграла в школьном курсе физики?

9. Проанализируйте круг вопросов, имеющих отношение к ознакомлению учащихся с дифференциальными уравнениями.

10. Разработайте набор заданий (задач) по теме «Дифференциальные уравнения», на котором можно построить объяснение, закрепление и проверку усвоения материала по теме.

11. Разработайте:

— вариант проверочной работы по теме «Первообразная» для классов различного профиля;

— вариант разноуровневой итоговой контрольной работы по теме «Интеграл. Приложения интеграла».

2.3. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛИНИЯ

РАБОТА № 29

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Основные цели работы: разработать варианты методики обоснования формул полной вероятности и формулы Байеса; сформировать умения сознательно применять формулу полной вероятности и формулу Байеса; показать варианты разработки методики решения задач с применением формулы полной вероятности и формулы Байеса на основе алгоритмического подхода.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Какая вероятность называется условной?

2. Какая вероятность называется априорной, апостериорной?

3. Чему равна сумма всех апостериорных вероятностей?

4. Какие события называются гипотезами? Приведите примеры.

5. Запишите формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Блок В

1. Как бы вы мотивировали изучение формулы полной вероятности и формулы Байеса?

2. Какой способ введения понятий вы избрали бы при изучении понятий полной вероятности, гипотезы, априорной вероятности, апостериорной вероятности?

3. Какой математический аппарат используется при изучении формулы полной вероятности и формулы Байеса?

4. Какова методическая целесообразность знакомства учащихся с выводом формул полной вероятности и Байеса?

5. Какие основные виды задач вы включили бы в систему упражнений по теме?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методика изучения формулы полной вероятности.

2. Методика введения понятий гипотеза, априорная вероятность, апостериорная вероятность.

3. Методика отбора задач по теме.

4. Методика решения задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Задания для подготовки к занятиям

1. Составьте фрагмент сценария урока:

— по обоснованию формулы полной вероятности с использованием проблемного метода обучения;

— по обоснованию формулы Байеса с использованием проблемного метода обучения.

2. Разработайте варианты методики обоснования формул полной вероятности и формулы Байеса на основе геометрических соображений.

3. Разработайте набор упражнений для выделения:

— из условия задачи событий априорных гипотез;

— из условия задачи событий, приводящих к понятию условной вероятности.

4. Составьте наборы задач:

— на применение формулы полной вероятности в задачах «урновой» модели;

— на применение формулы полной вероятности в задачах произвольной тематики;

— на применение формулы Байеса в задачах «урновой» модели;

— на применение формулы Байеса в задачах произвольной тематики.

5. Разработайте сценарий урока обобщающего повторения по теме.

Задания для микрогрупп

1. Разработайте методику решения задач с применением графов.

2. Составьте тексты самостоятельных и контрольных работы по теме.

3. Разработайте лабораторную работу для учащихся на применение формулы полной вероятности на материале бытового характера.

4. Разработайте компьютерную программу по обоснованию и применению формулы полной вероятности и формулы Байеса в учебном процессе в школах различных профилей.

Методический комментарий к заданиям

Формула полной вероятности. Пусть события Hi, i = 1, 2, ..., n, называемые гипотезами, попарно несовместны и удовлетворяют условиям:

Такая совокупность событий Hi образует полную группу событий.

Предположим, что интересующее событие А может наступить после реализации одного из событий H. и известны вероятности P(Hi), P(А/Нi). В этом случае справедлива формула полной вероятности

Существуют различные варианты доказательства этой формулы. Рассмотрим наиболее часто используемый в учебной литературе для вузов, но доступный и для учеников средней школы способ обоснования этой формулы.

Доказательство. Так как события Hi (гипотезы) образуют полную группу событий, то несовместны и события AHi, сумма которых есть достоверное событие Ω, тогда

Весьма эффективной можно признать графическую иллюстрацию к доказательству (рис. 29.1), отражающую общность этой схемы в случае, когда речь идет о разбиении всего пространства событий на несколько, в общем случае, разнородных областей.

Например, в экономике это разбиение страны на регионы с различными характеристиками при известной доле каждого региона P(Hi) в целом и долей какого-то конкретного признака в каждом регионе P(A/Hi.). Сюда же относятся схемы, в которых рассматриваются склады с изделиями, урны с шарами и т. д.

Пример 1. Разработайте аналогичные графические схемы других типов для демонстрации доказательства формулы полной вероятности.

Имеются два одинаковых ящика с шарами (рис. 29.2). В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

Решение. Прежде всего, необходимо уяснить процедуру применения формулы полной вероятности, в соответствии с которой требуется выделить события — гипотезы, искомое событие, а также вычислить соответствующие условные вероятности. Как правило, гипотезы естественным образом следу-

Рис. 29.1

Рис. 29.2

ют из условия задачи. В данном случае речь идет о двух ящиках, поэтому в качестве гипотезы Н1 рассмотрим событие «шар извлечен из первого ящика», в качестве гипотезы Н2 — «шар извлечен из второго ящика». В этом случае события Н1 и Н2 образуют полную группу событий. Очевидно, что вероятности соответствующих гипотез равны, причем Р(Н1) = Р(Н2) = 1/2. Далее рассмотрим событие А— «вынутый шар— белый». Так как в первом ящике всего три шара, из которых два белых, то вероятность извлечь белый шар Р(А/H1) = 2/3. Аналогично получаем, что вероятность извлечь белый шар из второго ящика Р(А/Н2) = 1/5. Заключительное действие — применение формулы полной вероятности для получения решения задачи:

При решении задач возможна также графическая иллюстрация поиска решения. При решении задачи графическим методом последовательно рассматриваются события, следующие из условия задачи; В вершинах схемы имеют место испытания, а с «ребрами» связываются события, которые могут произойти в результате испытания. Как правило, схема дает достаточно полное представление о событиях и их вероятностях. Из схемы видно, какие алгебраические операции над вероятностями событий надо произвести. При движении, например, по «ребрам» графа вероятности событий перемножаются; если искомое событие состоит из нескольких, каждое из которых является узлом графа (и эти узлы не лежат на последовательных ребрах), то вероятность такого события является суммой вероятностей соответствующих событий.

Ш Пример 2. В ящике находятся 3 белых и 2 черных шара (рис. 29.3). Последовательно вынимаются 2 шара без возвращений. Определите вероятность того, что на втором шаге появится черный шар. На первом шаге может появиться как белый, так и черный шар.

Решение. Заранее неизвестно, какого цвета может быть извлеченный шар. Мы можем выдвинуть только гипотезы относительно цвета шара. Эти гипотезы, представляющие события, следующие: событие Н1 — «первый извлеченный шар белый», событие Н2— «первый извлеченный шар черный». Множество гипотез, как обычно, образует полную группу событий, т. е. Ω = Н1 + Н2. Рассмотрим также событие А — «второй шар черный».

Для применения формулы полной вероятности требуется знать вероятности Р(H1), P(H2) гипотез H1 и Н2, а также условные вероятности Р(А/H1) и Р(А/Н2) события А при имевших место гипотезах Н1 или Н2. Эти вероятности могут быть непосредственно подсчитаны.

Вероятности гипотез Н1 и Н2 (событий) в данном случае равны Р(Н1) = 3/5, Р(Н2) = 2/5. Вычислим условные вероятности. Если на первом шаге имело место событие H1, т. е. был извлечен белый шар, то вероятность извлечь вторым черный шар будет Р(А/Н1) = 2/4 (рис. 29.4). Если на первом шаге имело место событие Н2, т. е. был извлечен черный шар, то вероятность извлечь вторым черный шар будет равна P(A/H2) = 1/4 (рис. 29.5).

Подставив эти значения в формулу полной вероятности, получим

Решим эту же задачу с применением наглядных графических схем (дерева вероятностей, графов и т. д.). Так, например, изобразив граф рассматриваемой задачи (рис. 29.6) и используя необходимые вероятности, получим, что вероятность извлечь на втором шаге черный шар (в соответствии с указанными выше правилами) будет равна Р(А) = (3/5)∙(2/4) + (2/5)∙(1/4) = 8/20.

Решите задачи и разработайте методику работы с ними.

Задача 1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. Какова вероятность, что вынутый шар окажется черным?

Рис. 29.3 Рис. 29.4 Рис. 29.5

Рис. 29.6

Задача 2. Имеется три одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара, в третьем — 3 черных шара. Какова вероятность, что вынутый шар окажется черным? Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

Задача 3. Составьте и решите задачу на случай n урн, в каждой из которых имеется ki белых шаров и mi черных шаров, где i = 1, 2, n.

Задача 4. Имеется две урны: в первой 3 белых и 2 черных шара; во второй — 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают не глядя 2 шара. После этого из первой урны берут 1 шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар будет черным.

Задача 5. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется стандартным, для этих станков соответственно равна 0,9; 07 и 0,8. Какой процент стандартных деталей выпускает цех?

Задача 6. Литье в болванках поступает из трех цехов: 40% — из первого, 30% — из второго и 30% — из третьего. При этом продукция первого цеха имеет 20% брака, а про-

Рис. 29.7

дукция второго и третьего цехов 15 и 10% соответственно. Найдите вероятность того, что наугад взятая болванка — бракованная.

Задача 7. Путник вышел из пункта М. Определите вероятность того, что он попадет в пункт N, если на развилке дорог он наугад выбирает любую дорогу, двигаясь вперед. Схема дорог приведена на рис. 29.7.

Задача 8. В команде 5 спортсменов, стреляющих отлично, 4 — хорошо и 2 — удовлетворительно. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,95, для хорошего — 0,85 и для удовлетворительного — 0,7. Наудачу вызывается один спортсмен, который производит выстрел. Найдите вероятность попадания в мишень.

Формула Байеса. Допустим, что испытание проведено и в результате этого испытания произошло событие А. Если до опыта вероятности гипотез Hi были P(Hi), то с учетом события А «новые», т. е. условные вероятности гипотез могут быть вычислены по формуле Байеса:

Получить обоснование формулы можно достаточно формально на основе коммутативности операции пересечения множеств и теоремы умножения вероятностей.

Действительно

и, с другой стороны,

Так как

откуда и следует формула для вычисления

Прежде всего, в качестве примеров необходимо рассмотреть ряд задач, решенных выше при работе с формулой полной вероятности.

Пример. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. В результате испытания извлечен белый шар. Найдите вероятность того, что шар был извлечен из первого ящика.

Решение. В соответствии с формулой Байеса Р(Нi/А) =

для вычисления Р(Н1/А) необходимо знать

при i = 1

Все эти величины определены выше, т. е.

Тогда

Интересно выяснить значение вероятности того, что шар был извлечен из второго ящика. Как и ранее, P(Н2) = 1/2, Р(А/Н2) = 2/3 и Р(А) = 13/30.

По формуле Байеса

Анализируя полученный результат, можно заметить, что сумма вероятностей Р(Н1/А) + Р(Н2/А) = 1, т. е. вероятность Р(Н2/А) можно было бы определить без использования формулы Байеса на основании теоремы о сумме двух противоположных событий.

В общем случае следует иметь в виду, что в задачах на применение формулы Байеса приходится применять формулу полной вероятности.

Решите задачи и разработайте методику работы с ними.

Задача 1. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. В результате испытания извлечен черный шар. Найдите вероятность того, что шар был извлечен из первого ящика.

Задача 2. Имеется три одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара, в третьем — 3 черных шара. Вынутый шар оказался черным? Какова вероятность, что шар вынут из второго ящика?

Задача 3. Составьте и решите задачу на случай n урн, в каждой из которых имеется ki белых шаров и mi черных шаров, где i = 1, 2, n. Вынутый шар оказался белым. Найдите вероятность того, что шар был извлечен из урны с номером 1.

Задача 4. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго — 0,5. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Найдите вероятность того, что в мишень попал первый спортсмен.

Задача 5. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 20%, вторая — 30%, третья — 50% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 1, 2 и 3%.

Какова вероятность того, что случайно выбранный болт — дефектный?

Случайно выбранный болт — дефектный. Какова вероятность того, что он произведен первой, второй, третьей машиной?

2.4. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

РАБОТА № 30

Содержание геометрического материала в курсе математики 5—6 классов и его изучение

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием пропедевтического курса геометрии в 5—6 классах и с методическими особенностями изложения и обучения элементам геометрии с выделением пропедевтических функций.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Длина взлетной полосы самолета 3 км 250 м. Выразите ее длину в метрах.

2. Два одинаковых квадрата, площадью 4 см2 каждый, сложили так, что получился прямоугольник. Выразите:

а) периметр этого прямоугольника в дециметрах;

б) площадь прямоугольника в квадратных метрах.

3. Стороны квадратов, составляющих фигуры на рис. 30.1, равны 1 см. Укажите фигуры с площадью 16 см2.

Рис. 30.1

4. Стороны прямоугольника относятся как 2:3. Найдите отношение периметра прямоугольника к меньшей стороне.

5. Из кирпичей, длина которых 30 см, ширина 10 см и высота 5 см, сложили куб, ребро которого 120 см. Сколько кирпичей на это было потрачено?

6. Сколько треугольников изображено на рис. 30.2?

7. Диаметр окружности равен 15 см. Найдите длину окружности.

8. Диаметр круга равен 32 см. Найдите площадь круга. Ответ выразите в квадратных дециметрах с точностью до единиц.

Блок В

1. Каковы цели обучения геометрическому материалу в 5—6 классах?

2. В чем состоят функции геометрического материала при изложении теоретического курса «Математика» в 5—6 классах по основным содержательным линиям алгебры девятилетней школы? Приведите конкретные примеры.

3. С какими геометрическими величинами работают учащиеся при изучении курса математики 5—6 классов?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Геометрический материал в курсе «Математика» 5—6 классов:

— функции геометрического материала;

— цели обучения элементам геометрии в 5—6 классах;

— методы изложения геометрического материала, используемые в школьных учебниках (иллюстрация примерами).

Рис. 30.2

2. Анализ пропедевтической функции обучения элементам геометрии в подготовке к изучению систематического курса геометрии по следующим направлениям:

— понимание структуры определения понятия и умение выделять его существенные свойства;

— потребность в логическом обосновании вводимых утверждений;

— умение проводить простейшие дедуктивные рассуждения;

— формирование приемов обобщения, аналогии, конкретизации, наблюдения и опыта;

— формирование конструктивных умений.

3. Содержание и методические особенности обучения элементам геометрии по основным линиям:

— линия фигур;

— линия величин;

— линия отношений.

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа учебных программ и школьных учебников 5—6 классов разных авторских коллективов выясните функции геометрического материала при обучении математике, выделите цели обучения элементам геометрии в 5—6 классах, перечислите основные методы изложения геометрического материала, используемые в школьных учебниках. Проиллюстрируйте свои выводы примерами.

2. Дайте краткий анализ пропедевтической функции обучения элементам геометрии в подготовке к изучению систематического курса геометрии по следующим направлениям:

— понимание структуры определения понятия и умение выделять его существенные свойства;

— потребность в логическом обосновании вводимых утверждений;

— умение проводить простейшие дедуктивные рассуждения;

— формирование приемов анализа, синтеза, обобщения, аналогии, конкретизации, абстрагирования, наблюдения и опыта;

— формирование конструктивных умений.

Задания для микрогрупп

1. Линия фигур.

С какими геометрическими фигурами знакомятся учащиеся в 5—6 классах?

Какие приемы введения и определения понятий используют авторы школьных учебников «Математика 5—6»?

Приведите примеры геометрических понятий, которым в курсе математики 5—6 классов не дается определения (в систематическом же курсе геометрии этим понятиям дается определение). Охарактеризуйте методические особенности введения этих понятий.

Разработайте методику введения понятий «угол», «биссектриса угла» на основе индуктивного и дедуктивного подходов.

Разработайте обучающие программы по темам: «Углы и их виды», «Окружность и круг». О разработке методических материалов в условиях реализации программированного обучения см. в Приложении 3.

2. Линия величин.

Какими величинами оперируют учащиеся 5—6 классов при работе с геометрическим материалом?

Ознакомьтесь с методическими особенностями формирования понятий длины, площади, объема в учебниках разных авторских коллективов.

Разработайте методику обучения теме «Измерение и построение углов с помощью транспортира». Исследуйте целесообразность введения алгоритмических предписаний решения этих двух типовых задач.

3. Линия отношений.

Познакомьтесь с методическими особенностями введения понятий «параллельные прямые», «перпендикулярные прямые» в школьных учебниках 5—6 классов.

Разработайте систему упражнений, способствующих формированию понятия «параллельные прямые» при индуктивном подходе введения понятия.

Выполните анализ содержания п. 43 «Перпендикулярные прямые» (в кн.: Виленкин Н. Я. и др. Математика. 6 кл. — М.: Просвещение, 1993). Выделите учебные и пропедевтические функции задачного материала.

РАБОТА № 31

Теоретические основы построения школьного курса геометрии

Основные цели работы: раскрыть суть одной из целей обучения геометрии в школе — знакомство с логикой построения математической теории; выделить теоретические основы построения школьного курса геометрии; на конкретных примерах раскрыть логику изложения геометрической теории в школьных учебниках.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Какие требования предъявляются к построению научной теории?

2. Перечислите элементы математического содержания, составляющие теоретический курс школьной геометрии.

3. Приведите примеры различных систем неопределяемых понятий в теориях школьной геометрии.

4. Что понимается под аксиомой?

5. Что понимается под теоремой?

6. Приведите пример (примеры) математического утверждения, которое в одной теории геометрии является аксиомой, а в другой — теоремой.

Блок В

1. Какова этимология слова «планиметрия»?

2. Назовите нескольких авторов (авторских коллективов) учебников по геометрии для средней школы.

3. Какие общенаучные методы используются авторами учебников при построении теории геометрии? Приведите конкретные примеры.

4. Какие математические методы используются авторами учебников при построении теории геометрии? Приведите конкретные примеры.

5. Приведите примеры теорем, которые в учебниках геометрии разных авторов (авторских коллективов) доказываются различными математическими методами.

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Требования, предъявляемые к построению научной теории.

2. Общенаучные методы, используемые авторами школьных учебников геометрии при построении теоретического материала.

3. Математические методы, используемые авторами школьных учебников геометрии при построении теоретического материала.

4. Суть логического строения школьного курса геометрии.

5. Примеры, иллюстрирующие логическую последовательность изложения школьного курса геометрии.

6. Примеры, иллюстрирующие нарушения в логике построения теории школьного курса геометрии.

7. Обсуждение фрагментов урока по введению аксиом геометрии.

Задания для подготовки к занятиям

1. Сформулируйте требования, предъявляемые к построению научной теории.

2. Познакомьтесь с логикой построения нескольких теорий геометрии. В качестве основы используйте школьные учебники.

3. Какой из школьных учебников геометрии наиболее полно отвечает требованиям, предъявляемым к построению научной теории?

4. Выделите элементы математического содержания, составляющие теоретический курс школьной геометрии.

5. Какие общенаучные методы используют авторы школьных учебников геометрии при построении теории? Приведите конкретные примеры.

6. Какие математические методы используют авторы школьных учебников геометрии при построении теории? Приведите конкретные примеры.

7. В чем выражается суть логического строения курса геометрии?

8. Приведите пример, иллюстрирующий логическую последовательность изложения школьного курса геометрии. Об одном из вариантов иллюстрации логической последовательности изложения теоретического курса см. в Приложении 8.

9. Приведите пример, иллюстрирующий нарушения в логике построения теории школьного курса геометрии.

10. Предложите вариант фрагмента урока, посвященного знакомству школьников с аксиоматикой геометрии (для учеников 8 и 10 классов).

2.4.1. Линия отношений

РАБОТА № 32

Методика обучения теме «Параллельность на плоскости»

Основные цели работы: познакомить студентов с основными теоретическими положениями темы и методическими особенностями обучения теории и применению ее в практике решения задач; провести систематизацию теории с ориентацией на решение задач в процессе обучения геометрии.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Может ли при пересечении двух прямых третьей оказаться, что внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов не равна 180°?

3. Можно ли утверждать, что две прямые параллельны, если они при пересечении с третьей прямой образуют равные углы?

4. На плоскости даны две точки. Сколько пар параллельных прямых можно провести через эти точки?

5. Три точки равноудалены от одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что эти точки принадлежат прямой, параллельной данной прямой?

6. Как определить угол между двумя прямыми, если точка их пересечения находится за пределами чертежа?

Блок В

1. Какие общематематические (общенаучные) понятия вводятся в главе «Параллельные прямые» в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.»?

2. Что называется аксиомой?

3. С какими сведениями по структуре теоремы знакомятся учащиеся при изучении темы в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.»?

4. Какая теорема называется обратной данной?

5. Верно ли, что обратная и противоположная теорема равносильны?

6. В чем суть метода от противного?

7. На вопрос: «Сколько прямых проходит через данную точку параллельно данной прямой?» ученик дал ответ: «Две, они совпадают и параллельны между собой и каждая параллельна данной прямой». Выполните анализ ответа ученика и установите возможные причины ошибочности ответа.

8. После введения определения параллельных прямых учащимся предложено обосновать, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны. Приведите возможные варианты верных обоснований.

9. Можно ли было приведенное в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.» доказательство видоизменить следующим образом?

а) Точку Н1 получить как основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую b, после чего прямоугольные треугольники AHO и ВН1О будут равными по гипотенузе и острому углу (рис. 32.1).

Рис. 32.1

б) Из некоторой точки M отрезка AB опустить перпендикуляр MH на прямую а, продлить его за точку M до пересечения с прямой b в точке Н1. В треугольниках МАH и МВН1 по две пары равных углов (накрест лежащие и вертикальные), поэтому и третьи углы будут равными — прямыми (рис. 32.2).

в) Точку Н1 получить как пересечение продолжения НО с прямой b и воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, которые оказываются при этом и прямоугольными (рис. 32.3).

Рис. 32.3

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методический анализ и развернутое тематическое планирование обучения теме.

2. Методика введения аксиомы параллельных прямых и методика работы со следствиями из аксиомы.

3. Методика работы с теоремами:

а) если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;

б) если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

4. Методика работы с задачами.

Задача 1. Прямая р параллельна стороне AB треугольника ABC (рис. 32.4). Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

Задача 2. На рис. 32.4 AD || р, PQ || ВС. Докажите, что прямая р пересекает прямые AB, АЕ, АС, ВС и PQ.

Задача 3. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что:

а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;

б) биссектрисы соответственных углов параллельны;

в) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Рис. 32.4

Задача 4. Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

5. Система контроля по теме.

6. Систематизация теории «Параллельность прямых» с ориентацией на решение задач в процессе обучения геометрии. Признаки параллельности прямых, с которыми учащиеся могут быть знакомы в конце изучения планиметрии. Возможные способы решения задачи, в которой через точку, не принадлежащую данной прямой, проведена прямая, параллельная данной.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните методический анализ теоретического и задачного материала главы «Параллельные прямые» (по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.»).

2. Разработайте развернутое планирование обучения теме.

3. Разработайте методику введения аксиомы параллельных прямых и методику работы со следствиями из аксиомы.

4. Разработайте методику работы с теоремами:

— если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;

— если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

5. Разработайте методику работы с задачами 1—4, тексты которых приведены выше.

6. Разработайте систему контроля по теме.

7. Выполните систематизацию теории по теме «Параллельность прямых» с ориентацией на решение задач в процессе обучения геометрии.

Методический комментарий к заданиям

При изучении темы «Параллельность прямых» учащиеся знакомятся с несколькими признаками параллельности прямых. При дальнейшем изучении геометрии появляются новые признаки параллельности на базе введения новых геометрических понятий, формулирование их свойств и т. д. Например, при введении понятия параллелограмма можно сформулировать один из признаков параллельности прямых: «Если прямые содержат противоположные стороны параллелограмма, то прямые параллельны». На базе анализа теоретического содержания систематизируйте признаки параллельности прямых, с которыми учащиеся могут быть знакомы к завершающему этапу обучения планиметрии.

РАБОТА № 33

Методические особенности обучения теме «Параллельность в пространстве»

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием темы и логикой ее построения в школьных учебниках разных авторских коллективов; разработать планирование сопутствующего повторения планиметрии при обучении стереометрии; рассмотреть возможность использования лекционно-семинарского метода при изучении данной темы.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую b?

2. Даны прямая и пара пересекающихся плоскостей. Охарактеризуйте все возможные случаи их взаимного расположения.

3. Можно ли на плоскости построить прямую, параллельную любой прямой, проходящей через данную точку вне данной плоскости?

4. Верно ли утверждение: «Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой»?

5. Можно ли построить плоскость, проходящую через данную прямую и параллельную другой данной прямой? Ответ обосновать.

6. Даны две прямые а, b и точка М, не лежащая на этих прямых. При каком взаимном расположении прямых а, b и точки M можно провести плоскость, параллельную обеим прямым?

7. Даны две различные плоскости, параллельные двум данным прямым. Можно ли утверждать, что эти плоскости параллельны?

Блок В

1. Какие три основные отношения параллельности в пространстве рассматриваются в школьных учебниках?

2. Имеет ли место преемственность в изложении трех основных отношений параллельности в пространстве? Если да, то в чем она выражается?

3. В чем существенное отличие содержания темы «Параллельность в пространстве» в учебниках А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др.?

4. На предложение учителя сформулировать признак параллельности плоскостей учащиеся дали несколько вариантов ответа:

— если прямая одной плоскости параллельна прямой другой плоскости, то плоскости параллельны;

— если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны;

— если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то плоскости параллельны;

— если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Выполните анализ приведенных формулировок.

Какая из приведенных формулировок признака параллельности плоскостей является правильной? Как показать ошибку в формулировке в других случаях?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Сравнительный анализ содержания и логики его построения в школьных учебниках математики разных авторских коллективов.

2. Развернутое планирование обучения теме (с выделением вопросов сопутствующего повторения планиметрии).

3. Перечень научно-методической литературы, которую может использовать учитель при подготовке к урокам по теме.

4. Аналогия изложения вопросов о параллельности прямой и плоскости и о параллельности двух плоскостей.

5. Методика изучения параллельности прямой и плоскости.

6. Методика изучения параллельности плоскостей.

7. Материалы для проведения зачета по теме «Параллельность в пространстве».

8. Проект обучения теме «Параллельность в пространстве» с применением технологического подхода «лекционно-семинарский метод», предусматривающего обучение теме крупными блоками.

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе программы по математике для общеобразовательных учреждений познакомьтесь с основными вопросами темы и требованиями к математической подготовке учащихся.

2. Выполните сравнительный анализ содержания и логики его построения в школьных учебниках математики разных авторских коллективов.

3. Выполните логико-математический анализ темы «Параллельность в пространстве» (по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10—11 кл.»).

4. Разработайте развернутое планирование обучения теме (при планировании предусмотрите вопросы сопутствующего повторения планиметрии).

5. Выполните подбор и составьте перечень научно-методической литературы, которую может использовать учитель при подготовке к урокам по теме.

Задания для микрогрупп

1. Выявите аналогию изложения вопросов о параллельности прямой и плоскости и о параллельности двух плоскостей.

2. Разработайте методику изучения параллельности прямой и плоскости, используя следующий алгоритм:

— введение понятия;

— разработка системы задач, подводящих к «открытию» признака параллельности прямой и плоскости;

— разработка методики работы с теоремами: а) признак параллельности прямой и плоскости; б) существование и единственность плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых и параллельной другой прямой;

— разработка устных задач «на готовом чертеже» по теме «Параллельность прямой и плоскости».

3. Разработайте методику изучения темы «Параллельность плоскостей», осветив следующие вопросы:

— введение понятия;

— разработка системы задач, подводящих к «открытию» признака параллельности плоскостей;

— разработка методики работы с теоремой «Признак параллельности плоскостей» (предусмотрите возможность создания проблемной ситуации);

— разработка опорной записи доказательства теоремы.

4. Подберите материалы для проведения зачета по теме «Параллельность в пространстве».

5. Разработайте проект обучения теме «Параллельность в пространстве» с применением технологического подхода «лекционно-семинарский метод», предусматривающего обучение теме крупными блоками. В чем преимущество этого подхода к обучению по сравнению с традиционной системой обучения?

О технологическом подходе в рамках лекционно-семинарского метода см. в Приложении 7.

2.4.2. Линия фигур

РАБОТА № 34

Четырехугольники и комбинации четырехугольника и окружности в школьном курсе

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием и логикой построения теоретического аппарата по теме «Четырехугольники и комбинации четырехугольника и окружности» в учебниках геометрии разных авторских коллективов; рассмотреть возможность применения различных технологических подходов при обучении теме.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Верно ли, что диагонали четырехугольника пересекаются?

2. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках?

3. Определяется ли параллелограмм: а) своими сторонами; б) своими углами; в) своими диагоналями; г) стороной, углом и диагональю?

4. Верно ли, что все высоты трапеции равны?

5. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения ее диагоналей?

6. Из произвольной точки стороны правильного треугольника с периметром 10 см проведены прямые, параллельные двум другим его сторонам. Определите периметр получившегося вписанного в треугольник четырехугольника.

7. Четырехугольник вписан в окружность, а) Какими свойствами обладает этот четырехугольник? б) Как доопределить условие, чтобы можно было утверждать, что четырехугольник является : параллелограммом ; прямоугольником ; квадратом; трапецией?

8. Четырехугольник описан около окружности, а) Какими свойствами обладает этот четырехугольник? б) Как доопределить условие, чтобы можно было сформулировать требование: «Установить вид этого четырехугольника»?

Блок В

1. Сформулируйте определение четырехугольника и постройте родословную понятия.

2. Постройте классификацию четырехугольников, которые изучаются в школьном курсе геометрии.

3. Дайте оценку определения: «Четырехугольником называется фигура, состоящая из смежных и несмежных отрезков».

4. Определение какого вида четырехугольника избыточно?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Цели обучения четырехугольникам и требования к математической подготовке учащихся по теме.

2. Содержание темы и логика его изложения.

3. Организация изучения темы «Параллелограмм. Виды параллелограмма» в условиях реализации различных технологических подходов.

4. Организация изучения трапеции.

5. Методика изучения темы «Вписанная и описанная окружности» на основе учебника Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.».

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы по математике и школьных учебников геометрии разных авторских коллективов:

— сформулируйте цели обучения четырехугольникам и требования к математической подготовке учащихся по теме;

— выделите содержание темы и познакомьтесь с логикой его изложения.

2. Требования к математической подготовке, определяемые программой, раскройте следующим образом:

— учащиеся должны знать... (уровень математической строгости);

— учащиеся должны уметь... (конкретно перечисляются умения; если речь идет об умении решать задачи, то приводятся примеры типовых задач).

Задания для микрогрупп

1. Разработайте процедуру изучения темы «Параллелограмм. Виды параллелограмма». В разработке отразите:

— технологический подход, в рамках которого предполагается реализация методики;

— методику введения теоретического аппарата;

— методику формирования умения решать задачи по теме на примере конкретных задач;

— систему контроля по теме.

2. Разработайте процедуру изучения трапеции. В разработке отразите:

— методику введения понятия;

— существующие подходы к введению свойств средней линии трапеции и методику реализации каждого из выделенных подходов в учебном процессе;

— методику введения формулы площади трапеции в условиях самостоятельной работы учащихся с учебником (как организовать самостоятельную работу, роль учителя);

— целесообразность систематизации свойств частных видов трапеции с ориентацией на решение задач (например, свойства равнобедренной трапеции; свойства равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными сторонами) и методику организации работы в этом направлении.

3. Разработайте процедуру изучения темы «Вписанная и описанная окружности» на основе учебника Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.».

В разработке отразите:

— цели обучения, содержание, логику его изложения;

— методику формирования теоретического аппарата;

— типологию задач;

— методику организации работы по решению задач (на конкретных задачах разных типов).

РАБОТА № 35

Организация изучения темы «Многогранники» на примере темы «Пирамида»

Основные цели работы: выделить и рассмотреть методические особенности организации изучения темы «Многогранники»; познакомить с методикой раскрытия внутренних и внешних связей при обучении стереометрическому содержанию.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Что называется многогранником?

2. Определение правильного многогранника.

3. Сколько существует правильных многогранников? Приведите их названия.

4. Является ли правильный многогранник полуправильным?

Блок В

1. Составьте логическую схему «Виды многогранников» в соответствии с содержанием школьных учебников.

2. Как назывались правильные многогранники в древности?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Логико-математический анализ темы «Пирамида».

2. Существующие подходы к введению понятия «многогранник».

3. Система внутренних и внешних связей учебного материала по теме «Пирамида».

4. Вариант планирования изучения темы «Пирамида» с выделением вопросов повторения материала планиметрии.

5. Методика работы с элементами теоретического содержания:

— методика введения понятия «многогранник» и сопутствующих ему понятий на основе широкого использования аналогии с соответствующими понятиями планиметрии;

— методика введения понятия «пирамида» на различных уровнях строгости (теоретическом и наглядно-интуитивном);

— подходы к выводу формулы объема пирамиды, методика работы с соответствующей теоремой;

— опорный конспект по теме «Правильная пирамида» (теоретические вопросы, опорные задачи), вариант работы с ним на уроке.

6. Методика работы с задачным материалом:

— классификация пирамид с ориентацией на решение задач;

— типология задачного материала;

— требования к оформлению решения задач, при решении которых целесообразно выполнение выносного чертежа;

— роль и место приведенных ниже задач, варианты работы с ними.

Задача 1. Докажите, что любая пирамида имеет четное число ребер.

Задача 2. Сколько плоских углов имеет n-угольная выпуклая пирамида? Найдите сумму всех ее плоских углов.

Задача 3. Существует ли пирамида, имеющая k плоских углов, если: k = 24; k = 18; k = 20; k = 15?

7. Содержание факультатива по теме «Комбинации пирамиды и шара».

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните логико-математический анализ темы «Пирамида».

2. Составьте логическую схему «Виды многогранников» в соответствии с содержанием школьных учебников.

3. По понятию «многогранника»:

— выполните анализ содержания школьных учебников (разных авторов) с целью выявления аналогии при введении понятий «многоугольник» и «многогранник», а также сопутствующих понятий; выделите существенные признаки, общие для этих понятий;

— познакомьтесь с подходами введения понятия «многогранник» в учебниках разных авторских коллективов;

— разработайте методику введения одного из понятий темы на основе широкого использования аналогии с соответствующим понятием планиметрии.

Задания для микрогрупп

1. Выполните разработку методики обучения отдельным вопросам темы «Пирамида»:

— выявите систему внутренних и внешних связей учебного материала по теме «Пирамида»;

— разработайте вариант планирования изучения темы «Пирамида» с выделением вопросов повторения материала планиметрии;

— разработайте методику введения понятия «пирамида» на различных уровнях строгости (теоретическом и наглядно-интуитивном);

— разработайте вариант классификации пирамид с ориентацией на решение задач;

— познакомьтесь по школьным учебникам с различными подходами к выводу формулы объема пирамиды; разработайте методику работы с соответствующей теоремой.

2. Разработайте опорный конспект по теме «Правильная пирамида» (теоретические вопросы, опорные задачи) и предложите вариант работы с ним на уроке.

3. Выполните типологию задачного материала по рассматриваемой теме.

4. Определите роль и место задач, сформулированных в вопросах для обсуждения на занятиях; предложите варианты работы с ними.

5. Подберите по теме две-три задачи, при решении которых целесообразно выполнение выносного чертежа. Дайте образец записи решения подобранных задач.

6. Сделайте подборку литературы (перечень с выходными данными) для рекомендации сильным учащимся с целью расширения и углубления их знаний по теме.

7. Разработайте содержание курса по выбору по теме «Комбинации пирамиды и шара».

Методический комментарий к заданиям

При разработке процедуры изучения темы выделяются знания, без актуализации которых невозможно успешное обучение. В данном случае эти знания формировались при обучении планиметрии, стереометрии, алгебре и началам анализа. Здесь уместно определить понятия внутренних и внешних связей:

— внутренние связи — связи, которые мы устанавливаем между изучаемыми вопросами темы «Пирамида» и ранее изученными вопросами курса стереометрии;

— внешние связи — связи, которые мы устанавливаем между изучаемыми вопросами темы «Пирамида» и ранее изученными вопросами курса планиметрии и алгебры и начал анализа.

Занятия в рамках курсов по выбору (факультативных курсов) можно рассматривать как одну из форм работы с сильными учащимися для углубления и расширения знаний по предмету.

При разработке содержания курса по выбору по предложенной теме выделяются: цели; теоретический аппарат темы; система внешних и внутренних связей с ранее изученным и изучаемым материалом; наборы задач.

РАБОТА № 36

Организация изучения темы «Тела вращения» на примере тем «Конус» и «Сфера и шар»

Основная цель работы: познакомить студентов со структурой изложения темы, основными идеями и методическими особенностями ее изучения.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. К конической поверхности проведены две плоскости, касающиеся этой поверхности. Каково взаимное расположение конуса и прямой пересечения этих плоскостей?

2. Можно через любую прямую в пространстве провести плоскость, касающуюся конической поверхности?

3. Коническая поверхность пересечена плоскостью. Какие фигуры могут получиться в сечении?

4. Угол осевого сечения конуса равен 120°, а его образующая равна 1. Чему равна наибольшая площадь сечения конуса плоскостью, проведенной через его вершину? Постройте это сечение.

5. Можно ли утверждать, что окружность лежит на шаровой поверхности, если она имеет с ней: а) две общие точки; б) три общие точки? Ответы обоснуйте.

6. Сколько общих точек может иметь шаровая поверхность и плоскость?

7. Как провести прямую, касающуюся данного шара и параллельную данной прямой? Сколько таких прямых можно провести? Что собой представляет геометрическое место этих прямых?

8. Какими свойствами должен обладать усеченный конус, чтобы в него можно было вписать шар?

Блок В

1. Постройте логическую схему содержания темы с установлением внешних и внутренних связей.

2. Каковы требования к математической подготовке учащихся по теме?

3. Какие методы обучения теме вы считаете наиболее эффективными?

4. По аналогии с каким изученным содержанием можно построить обучение теме «Конус. Сфера и шар»?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методика формирования теоретического аппарата темы «Конус. Поверхность и объем конуса» на основе широкого использования аналогии с изученным материалом как планиметрии, так и стереометрии.

2. Типология задач по теме и вариант методики работы с задачей каждого типа.

3. Вариант системы контроля по теме «Конус» с целью проверки знаний и умений в случае самостоятельного изучения темы.

4. Содержание и вариант организации изучения темы «Сфера и шар» в условиях реализации:

— технологического подхода «Творческие мастерские»;

— лекционно-семинарского метода в классах углубленного изучения математики.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните логико-математический анализ темы с установлением внутренних и внешних связей.

2. Выполните сравнительный анализ содержания и логики изложения темы в школьных учебниках разных авторских коллективов.

3. На основе анализа программ и учебно-методической литературы выясните: что должны знать и уметь учащиеся в результате изучения тел вращения; какие методы обучения целесообразно применить для достижения установленных целей.

4. Разработайте методику формирования теоретического аппарата темы «Конус. Поверхность и объем конуса». В разработке предусмотрите возможность широкого использования аналогии с изученным материалом как планиметрии, так и стереометрии.

5. Выполните типологию задач по теме.

6. Разработайте вариант методики работы с задачей каждого типа.

Задания для микрогрупп

1. Разработайте вариант системы контроля по теме «Конус» с целью проверки знаний и умений в случае самостоятельного изучения темы.

2. Разработайте содержание и предложите вариант методики обучения теме «Сфера и шар» в условиях реализации:

— технологического подхода «Творческие мастерские»;

— лекционно-семинарского метода в классах углубленного изучения математики.

Методический комментарий к заданиям

Мастерская — это способ организации деятельности учеников. Отличительная особенность этого технологического подхода в том, что нужно не столько сообщить и освоить информацию, сколько передать способы работы по добыванию информации, самостоятельному открытию знаний. Другими словами, основная задача творческих мастерских — формирование приемов учебной деятельности исследовательского характера при работе как с эмпирическим, так и математическим учебным материалами.

При обучении математике в творческой мастерской сочетаются различные варианты организации групповой работы (начиная с работы парами и заканчивая работой всего класса).

Мастерская состоит из системы заданий, которая:

— позволит уйти от информационной формы обучения (передачи информации учителем);

— включит учащихся в творческий процесс открытия знаний, построения системы новых знаний и закрепления их в системе имеющихся;

— предоставит школьникам абсолютную свободу (выбор пути исследования, средств достижения цели, темпа работы).

Рекомендации по применению технологического подхода «Творческие мастерские» при обучении математике см. в Приложении 6.

Педагогическая наука и практический опыт лучших учителей установили, что жесткий стереотип в построении уроков не отвечает возросшим задачам обучения, сковывает инициативу как учителя, так и учащихся. Гибкое и разумное сочетание на уроках разнообразных форм деятельности как по характеру внешней организации, так и по способам усвоения материала — важнейшее условие эффективности обучения. Одним из эффективных методов работы с учащимися в основном старшей школы является лекционно-семинарский метод. Однако надо заметить, что при условии хорошей подготовки учащихся (в смысле сформированности общеучебных и специальных умений и навыков) этот метод может успешно применяться полностью или частично и в основной школе.

Лекционно-семинарский метод — система занятий по изучению конкретной темы школьного курса, которая предусматривает организацию учебного процесса с использованием различных форм учебных занятий. Среди них можно выделить следующие: вводное занятие, лекция, практические занятия, семинарские занятия, теоретический зачет, зачет по практикуму, консультации, контрольная работа.

О технологическом подходе в рамках лекционно-семинарского метода см. в Приложении 7.

2.4.3. Линия измерений и построений

РАБОТА № 37

Величины в школьном курсе геометрии

Основная цель работы: обобщить и систематизировать вопросы, касающиеся измерения величин в школьном курсе геометрии.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. На сколько увеличится длина окружности, если ее радиус увеличить на 1?

2. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда: а) из центра окружности; б) из произвольной точки окружности?

3. Установите истинность или ложность высказывания:

а) равные фигуры имеют равные площади;

б) если площади фигур равны, то и фигуры равны.

4. Могут ли численные значения площадей равных фигур быть различными? Ответ объясните.

5. Определите зависимость между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах.

6. Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1 и V2. Выразите объем V тела R через V1 и V2, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен 1/3V1.

7. Имеются шар и куб равного объема. У какого тела больше полная поверхность?

Блок В

1. Какие величины вводятся и используются в школьном курсе геометрии?

2. Какова структура построения теоретического аппарата темы «Измерение углов» по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.». Какие знания и умения по курсу алгебры необходимо актуализировать при изучении вопросов, связанных с величинами?

3. При введении каких теоретических положений имеет место предельный переход?

4. С какими трудностями могут встретиться учащиеся при работе с общей формулой объема тела?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Величины, рассматриваемые в школьном курсе геометрии.

2. Возможность использования аналогии при введении понятий основных величин и их свойств.

3. Методика установления различия в понятиях:

а) равновеликости и равносоставленности многоугольников;

б) равновеликости и равносоставленности многогранников.

4. Методические особенности изучения темы «Площади» по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9кл.» (предполагается обсуждение заданий 3—6 для микрогрупп).

5. Обобщающая функция темы «Площади» по учебнику геометрии А. В. Погорелова.

6. Сравнительный анализ изложения теории площадей поверхностей геометрических тел в школьных учебниках геометрии (обсуждение заданий 8, 9 для микрогрупп).

7. Объемы. Сравнительная характеристика общей схемы изложения теории объемов. Методика введения интегральной формулы объема тела.

Задания для подготовки к занятиям

1. Выполните анализ школьных учебников геометрии с целью выяснения следующих вопросов.

Какие величины рассматриваются в школьном курсе геометрии? Какова последовательность их введения?

Для введения характеристик каких геометрических фигур используется каждая из выделенных величин?

2. Исследуйте возможность использования аналогии при введении понятий основных величин и их свойств.

Рассмотрите величины: длина, площадь, объем, мера угла. Составьте таблицу.

Характеристика

Длина

Площадь

Объем

Мера угла

Единица измерения

Способ выражения

Основные свойства

...

При изучении каких вопросов теории измерения объемов многогранников можно наиболее эффективно использовать аналогию с соответствующими вопросами измерения площадей многоугольников?

Предложите методику установления различия в понятиях:

а) равновеликости и равносоставленности многоугольников;

б) равновеликости и равносоставленности многогранников.

Задания для микрогрупп

1. Выполните логико-математический анализ темы «Площади» (по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.»). Ответьте на следующие вопросы:

— место темы в курсе;

— вводимые понятия и отношения; свойства и признаки понятий и отношений; взаимосвязь (логическая схема построения темы).

2. Определите, какой технологический подход наиболее эффективен на этапе формирования теоретического аппарата. Предложите вариант применения этого технологического подхода.

3. Разработайте методику работы с теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, и с теоремой Пифагора при обучении теме в условиях традиционного подхода.

4. Выполните типологию задач по теме и предложите вариант методик работы с задачами № 504, 508, 509, 511, 520, 522 учебника Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.».

5. Выполните логико-математический анализ темы «Площадь» по учебному пособию А. В. Погорелова с выделением следующих вопросов:

— место темы;

— логика построения темы;

— обобщающая функция темы.

6. На основе анализа школьных учебников стереометрии разных авторских коллективов установите, в какой логической последовательности изучаются вопросы, связанные с вычислением площадей поверхностей геометрических тел.

7. Выявите различия в изучении вопроса вычисления площадей поверхностей тел вращения:

— используемая теоретическая база;

— подход к выводу формул.

8. На основе анализа школьных учебников стереометрии разных авторских коллективов дайте характеристику общей схемы изложения теории объемов.

9. В учебниках геометрии разных авторских коллективов исследуйте применение интегральной формулы для вычисления объема тела. Выявите различие в изложении этого вопроса. Предложите вариант методики введения интегральной формулы объема тела.

РАБОТА № 38

Методика обучения решению задач на построение в курсе планиметрии

Основные цели работы: познакомить студентов с системой задач на построение в курсе планиметрии, методами их решения и требованиями, предъявляемыми к решению; разработать методику обучения учащихся решению планиметрических задач на построение.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Перечислите этапы работы с задачей на построение. В чем состоит суть каждого этапа?

2. Какие методы решения планиметрических задач на построение вам известны?

Блок В

1. Расположите этапы решения задачи на построение в порядке убывания их сложности.

2. Какие инструменты, кроме циркуля и линейки, могут применяться при решении задач на построение?

3. Какая из знаменитых задач древности разрешима при расширении списка чертежных инструментов?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Этапы решения задач на построение.

2. Требования к решению задач на построение с точки зрения программ обучения математике в школе.

3. Методы решения задач на построение, рассматриваемые в основной школе.

4. Алгоритмические предписания при обучении решению задач на построение.

5. Методика работы с задачами.

Задача 1. Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Задача 2. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.

Задача 3. Постройте геометрическую фигуру по заданным элементам:

а) треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне и радиусу описанной окружности;

б) треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них;

в) треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них;

г) треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон;

д) общую касательную к двум данным окружностям.

Задания для подготовки к занятиям

1. Определите место задач на построение в курсе планиметрии.

2. Назовите этапы решения задач на построение и охарактеризуйте каждый из них.

3. Опишите требования к решению задач на построение с точки зрения программ обучения математике в школе.

4. Перечислите методы решения задач на построение, рассматриваемые в основной школе. При подготовке этого вопроса необходимо:

— выделить существующие методы решения подобных задач на плоскости;

— познакомиться с методами решения таких задач в школьном курсе планиметрии (основа — школьные учебники геометрии разных авторских коллективов);

— охарактеризовать наборы задач, решаемые каждым методом, выделив особенности: место каждого набора в системе задач учебника; наличие вводной задачи и образца ее решения, задающего уровень строгости решения задач на построение выделенным методом; выделение одной из задач и разработка методики работы с ней.

5. Исследуйте целесообразность введения алгоритмических предписаний при обучении решению задач на построение.

Методический комментарий к заданиям

Методика обучения математике выделяет четыре основных этапа работы с геометрической задачей:

— работа с текстом задачи;

— поиск решения задачи;

— этап записи (оформления) решения;

— исследовательский этап.

Суть работы на каждом из выделенных этапов обусловливается типом задачи (задача на измерение — вычисление; задача на доказательство; задача на построение). Задача учителя — раскрыть суть работы с задачей на построение на каждом этапе.

РАБОТА № 39

Организация изучения темы «Решение задач на построение в курсе стереометрии»

Основные цели работы: познакомить студентов с системой задач на построение в курсе стереометрии; выявить их функции; познакомить с требованиями, предъявляемыми к решению; отработать методику обучения учащихся решению стереометрических задач на построение.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. На плоскости проекций дана точка. Проекцией каких геометрических образов, расположенных в пространстве, может служить эта точка?

2. Приведите примеры геометрических фигур, расположенных в пространстве, которые проектируются: а) в прямую; б) в отрезок.

3. При каком условии равносторонний треугольник проектируется: а) в равносторонний треугольник; б) в равнобедренный треугольник?

4. Может ли треугольник быть изображением многогранника (никаких линий, кроме сторон треугольника, на изображении нет)?

5. На рис. 39.1 приведены два изображения одного и того же треугольника, при этом на первом из них отмечена точка M1,

Рис. 39.1

соответствующая некоторой точке M исходного треугольника. Постройте на втором изображении точку M2, соответствующую той же точке M.

6. Даны изображения шара и его «экваториального» сечения (рис. 39.2). Постройте изображение «северного полюса».

7. Возможен ли многогранник, соответствующий изображению, приведенному на рис. 39.3? Невидимых ребер нет, общее число вершин 6, граней 5, ребер 9.

8. Основные методы построения сечений многогранников. Примеры задач, иллюстрирующих применение этих методов.

9. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, являющиеся внутренними точками граней.

10. Какие правильные фигуры могут быть сечениями куба?

11. Какова наибольшая площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром а?

Блок В

1. Какова роль чертежа (изображения) при изучении стереометрии? Каковы основные требования к стереометрическому чертежу?

2. Что понимают под метрической определенностью изображения?

3. Какие вспомогательные средства целесообразно использовать при «открытии» свойств параллельного проектирования?

4. Назовите цели обучения учащихся построению сечений многогранников.

5. Какие основные теоретические положения стереометрии могут лежать в основе осуществления самоконтроля правильности построения сечения?

Рис. 39.2

Рис. 39.3

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Методика изучения основных вопросов теории и практики параллельного проектирования.

2. Типология задач по теме «Сечения многогранников плоскостью».

3. Методика обучения построению сечений многогранников:

— теоретический аппарат, являющийся базовым для решения задач рассматриваемого типа;

— вариант алгоритма решения задач рассматриваемого типа;

— система чертежей, иллюстрирующих последовательность построения сечения многогранника.

4. Вариант итогового контроля по теме «Сечение многогранника плоскостью», дающий возможность оценить подготовку не только на обязательном уровне, но и на качественном.

Задания для подготовки к занятиям

1. Сформулируйте основные требования к стереометрическому чертежу и охарактеризуйте его роль при изучении стереометрии.

2. Разработайте методику изучения основных вопросов теории и практики параллельного проектирования:

— организация работы по «открытию» свойств параллельного проектирования (рассмотреть возможность использования ТСО) и их доказательству;

— обучение применению свойств параллельного проектирования при изображении на плоскости плоских и неплоских пространственных фигур (рассмотреть различные способы построения изображений правильного шестиугольника, окружности, параллелепипеда, конуса, цилиндра, шара, комбинаций сферы с призмой, цилиндром, пирамидой, конусом);

— работа с задачами.

Задача 1. Дано изображение окружности. Постройте изображение правильного треугольника: а) вписанного в данную окружность; б) описанного около нее.

Задача 2. Постройте изображение вписанных в окружность: а) прямоугольного треугольника; б) трапеции; в) правильного восьмиугольника.

Задача 3. Через данную точку пространства проведите (построить) прямую, пересекающую данную прямую и перпендикулярную этой прямой (ответ записать с кратким обоснованием).

3. Сформулируйте цели обучения учащихся построению сечений многогранников.

4. Перечислите основные методы построения сечений многогранников. Приведите примеры задач, иллюстрирующих применение этих методов.

5. Выполните типологию задач одного из школьных учебников по теме «Сечения многогранников плоскостью».

6. Разработайте методику обучения построению сечений многогранников:

— выделите теоретический аппарат, являющийся базовым для решения задач рассматриваемого типа;

— составьте алгоритм решения задач рассматриваемого типа;

— разработайте систему чертежей, иллюстрирующих последовательность построения сечения многогранника.

7. Разработайте вариант итоговой контрольной работы по теме «Сечение многогранника плоскостью», дающий возможность оценить подготовку не только на обязательном уровне, но и на качественном.

2.4.4. Линия геометрических преобразований

РАБОТА № 40

Организация изучения темы «Подобие»

Основные цели работы: познакомить студентов с содержанием и логической структурой темы «Подобие». Разработать методику обучения содержанию темы с использованием проблемных ситуаций.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Сформулируйте определение подобных фигур.

2. Установите истинность или ложность высказываний:

а) два треугольника, стороны которых соответственно параллельны, подобны;

б) два равнобедренных треугольника подобны, если они имеют по одному равному углу;

в) два тупоугольных равнобедренных треугольника подобны;

г) два треугольника, стороны которых соответственно перпендикулярны, подобны.

3. Всегда ли можно провести прямую, рассекающую данный параллелограмм (данную трапецию) на две гомотетичные фигуры? Если да, то сформулируйте характеристическое свойство прямой, описывающее ее положение.

4. Могут ли два неравных подобных многоугольника иметь по равной стороне? Подтвердите ответ примером.

5. Сформулируйте некоторые признаки подобия для параллелограммов .

6. В одну и ту же окружность вписаны два подобных треугольника. Будут ли эти треугольники обязательно равными? Ответ обоснуйте.

Блок В

1. Какие базовые знания по курсу алгебры востребованы при обучении теме «Подобие фигур»?

2. Как «работает» теоретический материал темы «Подобные треугольники» при дальнейшем построении теоретического курса в учебниках: а) А. В. Погорелова; б) авторского коллектива Л. С. Атанасяна?

3. Какие наглядные средства обучения математике целесообразно использовать при обучении теме «Подобие фигур»?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Возможные подходы к изложению темы «Подобие фигур».

2. Создание проблемной ситуации при:

— введении понятия подобных фигур;

— поиске и «открытии» признаков подобия треугольников.

3. Методика обучения одному из признаков.

4. Метод подобия при решении задач на построение.

5. Методика работы с задачами.

Задача 1. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Задача 2. Впишите в данный треугольник параллелограмм с отношением сторон m : n, имеющий с треугольником общий угол.

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе логико-математического анализа темы «Подобие фигур» охарактеризуйте содержание и возможные подходы к изложению темы. Для выполнения этого задания выполните логико-математический анализ содержания темы по школьным учебникам разных авторов.

2. Продумайте фрагмент урока: создание проблемной ситуации при введении понятия подобных фигур.

3. Продумайте фрагмент урока: создание проблемной ситуации, позволяющей активизировать деятельность учащихся на этапе поиска и «открытия» признаков подобия треугольников.

4. Рассмотрите признаки подобия треугольников. Выделите общий прием доказательства, используемый автором (авторским коллективом).

Задания для микрогрупп

1. Разработайте методику обучения одному из признаков.

2. Разработайте процедуру введения метода подобия при решении задач на построение:

— место задач на построение с применением метода подобия;

— целесообразность разработки алгоритмического предписания при обучении применению метода;

— пример задачи с описанием методики работы с ней.

Методический комментарий к заданиям

К заданию 2. Имеется в виду подбор эмпирического материала, дающего возможность:

— воспроизвести интуитивные представления о подобных фигурах;

— обнаружить недостаточность интуитивного понятия подобия фигур и необходимость его уточнения.

К заданию 3. Базой создания проблемной ситуации (как вариант) могут служить:

— прикладные задачи на сюжетной основе;

— математические задачи, работа с которыми позволяет сформулировать гипотезы, которые впоследствии доказываются.

К заданию 4. Разработка методики обучения признаку предполагает методическое описание следующих этапов:

— актуализация базовых знаний и умений;

— подведение к «открытию» признака;

— подведение к выбору метода (приема) доказательства; методика введения метода (приема), если он используется впервые;

— первичное закрепление доказанного признака в практике решения задач (разработка набора задач).

2.5. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ КОНКРЕТНОЙ ТЕМЕ

РАБОТА № 41

Организация изучения темы «Квадратные корни»

Основная цель работы: раскрыть методические особенности организации работы по обучению теме; разработать развернутое планирование изучения темы и методику работы по формированию теоретического аппарата; научиться построению систем задач в условиях реализации дифференцированного подхода к обучению.

Вопросы для контроля (самоконтроля)

Блок А

1. Запишите словами: -7,8(4).

2. Каждому действительному числу ставится в соответствие пятая цифра после запятой в его десятичной записи. Будет ли это соответствие функцией? Ответ поясните.

3. Синонимичны ли термины «квадратный корень» и «арифметический квадратный корень»?

4. Какие из данных чисел являются иррациональными:

5. Согласны ли вы с тем, что выражение √-4 не имеет смысла? Почему?

6. Найдите значение выражения

7. Найдите область определения выражения

8. Сравните числа:

9. Упростите выражения:

10. При каком условии верно равенство

11. Верно ли равенство

12. Вычислите сумму

13. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби

14. При каком значении b графики функций и у = -2х + b пересекаются?

Блок В

1. Какие содержательные линии курса алгебры отражены в материале темы «Квадратные корни»?

2. Что такое «иррациональное число» в соответствии с учебниками алгебры 8 класса?

3. Каковы цели (функции) использования микрокалькулятора при изучении темы «Квадратные корни»?

4. С какой целью в учебнике под редакцией С. А. Теляковского введена функция у = √x ?

5. Выделите базовые знания, на которые опирается доказательство теоремы о корне из произведения.

6. В результате каких мыслительных операций приходят к выводу, что

7. Ученик выполнил извлечение корня так:

Дайте версию причины ошибки. Как ученику показать суть его ошибки?

8. Как, согласно легенде, боги покарали ученика Пифагора, который разгласил тайну о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата?

Вопросы для обсуждения на занятиях

1. Цели обучения теме «Квадратные корни»; содержание темы; возможные логические пути построения содержания (на основе программ и школьных учебников разных авторских коллективов).

2. Основные содержательные линии, представленные в теме «Квадратные корни» каждого авторского коллектива. Расширение каждой из содержательных линий.

3. Вариант развернутого планирования обучения теме (по одному из учебников).

4. Существующие подходы к введению понятия иррационального числа. Вариант методики введения понятия иррационального числа с ориентацией на класс углубленного изучения математики.

5. Методика введения понятий «квадратный корень» и «арифметический квадратный корень» (с применением индуктивного подхода); система упражнений на первичное применение этих понятий. Методика введения теоремы о корне из произведения:

— в информационной модели обучения;

— в познавательной модели обучения;

— через работу с учебником на уроке;

— при программированном обучении;

— посредством самостоятельного изучения материала дома.

6. Система заданий для формирования умения выполнять операции вынесения множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня в условиях реализации уровневой дифференциации.

7. Система дополнительных задач для обучения тождественным преобразованиям иррациональных выражений в условиях дифференцированного подхода к обучению.

8. Система контроля по теме в условиях дифференцированного подхода.

Задания для подготовки к занятиям

1. На основе анализа программы и учебников школьного курса математики (разных авторских коллективов: Ш. А. Алимова и др., Ю. Н. Макарычева и др., Н. Я. Виленкина и др.) сформулируйте цели обучения теме «Квадратные корни»; выделите содержание темы, определите возможные логические пути построения содержания.

2. Какие основные содержательные линии представлены в теме «Квадратные корни» каждого авторского коллектива?

3. Имеет ли место расширение каждой из содержательных линий? Если да, в чем заключается расширение? Приведите конкретные примеры.

4. Разработайте вариант развернутого планирования обучения теме (по одному из учебников).

Задания для микрогрупп

1. Рассмотрите существующие подходы к введению понятия иррационального числа. Разработайте вариант методики введения понятия иррационального числа с ориентацией на класс углубленного изучения математики.

2. Разработайте методику введения понятий «квадратный корень» и «арифметический квадратный корень» с применением индуктивного подхода. Разработайте систему упражнений на первичное применение этих понятий.

3. Разработайте методику введения теоремы о корне из произведения:

— в информационной модели обучения;

— в познавательной модели обучения;

— через работу с учебником на уроке;

— при программированном обучении;

— посредством самостоятельного изучения материала дома.

4. Разработайте систему заданий для формирования умения выполнять операции вынесения множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня в условиях реализации уровневой дифференциации.

5. Разработайте систему дополнительных задач для обучения тождественным преобразованиям иррациональных выражений в условиях реализации уровневой дифференциации.

6. Разработайте систему контроля по теме в условиях дифференцированного подхода.

Методический комментарий к заданиям

Программированное обучение как метод — это самостоятельная работа учащихся по обучающей программе, содержащейся в программированном учебнике или обучающей машине. Метод программированного обучения относится к продуктивно-развивающей группе методов.

При разработке обучающей программы предполагается изучаемый материал представлять в строгой логической последовательности «кадров», каждый из которых, как правило, содержит:

— «порцию» нового материала и контрольный вопрос (при изложении новых знаний);

— один из системы вопросов, требующий ответа (при работе с задачей на этапе обучения решению задач).

Естественной базой для программирования процесса обучения математике являются алгоритмы решения различных задач, причем нужно заметить, как математических, так и

учебных. Таким образом, логико-алгоритмический подход является основой метода программированного обучения. Для разработки программы обучения необходимо:

— определить цели и основные результаты обучения теме;

— отобрать учебный материал (содержание);

— разбить учебный материал на «порции» (дозы), каждая из которых подвергается алгоритмизации;

— предусмотреть этапы активной самостоятельной деятельности учащегося по усвоению отобранного содержания;

— разработать систему постоянного контроля за деятельностью учащегося, работающего по разработанной программе.

Существуют две различные системы программированного изложения учебного материала — «линейная» и «разветвленная», которые отличаются как исходными посылками, так и способами составления. Возможны и комбинированные программы, являющиеся сочетанием обозначенных методов программирования.

О разработке методических материалов в условиях программированного обучения см. в Приложении 3.

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

О поиске решения сюжетных задач и неалгебраических способах их решения

Пример поиска решения сюжетной задачи

Представим рассказ учителя, в котором раскрывается процедура работы с сюжетной задачей.

Задача. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в B и из В в А. После встречи одному из них приходится быть в пути 2 ч, а другому — 9/8 ч. Найдите скорости автомобилей, если расстояние AB равно 210 км.

Объяснения учителя. Мы решаем задачу на равномерное движение двух объектов навстречу друг другу, которое началось одновременно. Структура текста У — Т — У (Условие — Требование — Условие). Итак, объектами задачи являются два автомобиля, движущиеся навстречу друг другу из А и В соответственно. Они начали движение одновременно и поэтому двигались до встречи одинаковое время. Их движение после встречи проходило с теми же скоростями (об изменении скоростей в условии ничего не сказано). Первый потратил на оставшийся путь 2 ч. Это тот путь, который проделал второй автомобиль до встречи. Второй проехал оставшееся расстояние за 9/8 ч. Пройденный каждым автомобилем путь равен 210 км.

Итак, условие задачи выделено, что позволяет сделать рисунок и краткую запись условия (рис. П. 1.1).

Рис. П. 1.1

Для поиска и составления плана решения продолжим анализировать и получать следствия из условий задачи.

Нами было установлено, что до встречи автомобили двигались одинаковое время t1AC = t2BC, известно время, которое они потратили на путь после встречи, известно расстояние AВ. Имеющиеся связи мы отразим в следующих схемах.

Посмотрите на данные схемы и объясните, какие закономерности были положены в их основу.

Из приведенных схем понятно, что мы можем решать данную задачу, составляя систему уравнений (это нам подсказала и структура текста У — Т — У), выразив в качестве переменных (что соответствует требованию задачи) скорости автомобилей.

Итак, если х км/ч — скорость первого автомобиля, у км/ч — скорость второго автомобиля, тогда из первой схемы получаем уравнение 9/8 у + 2х = 210. Согласно второй схеме получаем уравнение:

Еще раз обратитесь к схемам и проследите процесс составления каждого уравнения.

Объедините эти уравнения в систему и решите ее.

Итак, мы свели решение задачи к решению системы уравнений.

Решите систему и проверьте подстановкой правильность решения.

Мы с вами проверили решение системы. Вы знаете, что для проверки задачи нужно составить новую задачу, в которой найденные значения скорости включены в условие. Од-

нажды ученик, работая с этой задачей, для проверки составил такую задачу.

Задача. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 210 км, со скоростями 60 и 80 км/ч соответственно. Сколько времени был в пути каждый автомобиль после встречи?

Какой ответ вы получили в этой задаче? Можно ли утверждать, что исходная задача решена верно? А какую бы задачу составили вы для проверки решения?

Чаще всего сюжетные задачи решают арифметическим или алгебраическим способом. Нередко бывает так, что более простое решение задачи возникает на основе графических или геометрических соображений. Поговорим об этом подробнее.

В нашей задаче автомобили движутся равномерно навстречу друг другу. График движения каждого в системе координат sot — отрезок. Изобразим системы координат как показано на рис. П. 1.2. Не вдаваясь в подробности, отметим, что раз автомобили движутся навстречу друг другу, то такое расположение осей ординат вполне оправдано.

Обратившись к рис. П. 1.2, мы можем сделать ряд выводов: ВМ = AD; DK = 9/8 ч; MP = 2 ч. Треугольники СВМ и CDK; CMP и ACD подобны (объясните почему). Если мы обозначим ВМ = х, то из подобия треугольников получаем:

Интересно, что время движения автомобиля до встречи мы определили, не пользуясь расстоянием. Теперь, зная время в пути каждого автомобиля (3,5 и 2 5/8 ч), определим скорости автомобилей 80 и 60 км/ч. Отметим, что данный способ решения проще и короче, здесь мы видим алгебраические и геометрические связи.

В заключение полезно привести еще один способ решения

Рис. П. 1.2

Рис. П. 1.3

данной задачи, который основан на составлении тройной отрезочной диаграммы (рис. П. 1.3). Пройденный каждым автомобилем путь мы можем представить отрезком длиной 210 км:

t1 — время, затраченное первой машиной на оставшийся путь;

t2 — время, затраченное второй машиной на оставшийся путь;

t — время до встречи.

Из схемы на рис. П. 1.3 получаем систему

Объясните, как была составлена данная система. Разделив первое уравнение системы на второе, получаем

Теперь можно вычислить скорости автомобилей.

Согласитесь, что самым трудоемким из приведенных трех способов решения задачи оказался первый, связанный с составлением системы уравнений. Какой из способов решения оказался для вас предпочтительным?

Решение сюжетных задач с помощью двумерной диаграммы

Часто при решении задач рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Например, масса груза есть произведение количества ящиков на массу одного ящика; стоимость покупки равна произведению ее массы на цену; путь, пройденный при равномерном движении, равен произведению скорости на время движения. С другой стороны, известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений. Поэтому в тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно интерпретировать это произведение в виде площади прямоугольника, т. е. в виде двумерной диаграммы. Приведем пример такой задачи.

Задача. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м3, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Рис. П. 1.4

Рассмотрим лишь геометрический метод решения задачи (рис. П. 1.4).

Пусть отрезок AB изображает производительность бригады в день в кубометрах, AD — количество дней, тогда площадь прямоугольника ABCD будет изображать недельную норму бригады. Обозначим ее S. Поскольку бригада перевыполняла норму на 16 м3, то прибавим к отрезку AB отрезок ВМ (ВМ = 16), тогда AM — производительность бригады в день. Так как бригада выполнила норму за 4 дня, то пусть АК = 4, тогда KD = 2. Площадь прямоугольника АМРК тоже изображает недельную норму бригады, поэтому она тоже равна S. Тогда S1 (площадь прямоугольника KECD) равна S2 — площади прямоугольника ВМРЕ, так как S1 + S2 = S. Продолжая решение данной задачи, мы получаем ответ: 48 м3.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Разноуровневый подход к контролю за состоянием знаний, умений и навыков учащихся

Рассмотрим вариант организации контроля по теме «Неравенства» в курсе 8 класса, который может быть проведен в два взаимосвязанных между собой этапа.

Цель проверки на первом этапе — выяснение прочности и осознанности усвоения отдельных теоретических вопросов темы и основных умений с учетом уровней деятельности, но вне контрольных функций. Для достижения этой цели можно провести две зачетные работы.

Зачетная работа № 1 предусматривает проверку знаний на двух уровнях: воспроизведения (задания 1 и 2) и прямого применения (задание 3).

Пример зачетной работы № 1 (15—20 мин).

Вариант 1

1. а ⩾ b, с < 0, то ас ⩽ bc. Докажите.

2. Сравните:

3. Известно, что 0 < а < 1, -3 < b < -2. Оцените значение выражения а + 2b.

Вариант 2

1. Если а ⩾ b, k ⩾ с, то а + k ⩾ b + с. Докажите.

2. Докажите, что неравенство k2 + 1 ⩾ 2(3k — 4) верно при любых значениях k.

3. Известно, что 12 ⩽ у ⩽ 16. Оцените значение выражения 42 — 2y.

Вариант 3

1. Если а > b, с — любое, то а + с > b + с. Докажите.

2. Сравните (р — 1)(р + 4) и 2р2 + 3р.

3. Известно, что 7 < а < 10 и 14 < p < 15. Оцените значение выражения 1/2 а — b.

Зачетная работа № 2 предусматривает проверку на трех уровнях: воспроизведения (задания 1 и 2), прямого применения (задание 3) и творческого применения (задание 4).

Пример зачетной работы № 2 (20—25 мин).

Вариант 1

1. Решите неравенство

2. Найдите все натуральные значения переменной, при которых верно неравенство 2,3(y — 2) — 4,5(3 — у) < 15,9.

3. При каких значениях х:

4. Найдите, при каких значениях а уравнение 2х — 3 = а + 4 имеет положительный корень. Найдите один из возможных корней.

Вариант 2

1. Решите неравенство

2. Найдите все натуральные значения переменной, при которых данная разность -3(2 — 2m) — (5m + 1) положительна.

3. При каких значениях переменной х:

4. Найдите, при каких значениях b уравнение 3х — 1 = b + 2 имеет отрицательный корень. Найдите один из возможных корней.

Вариант 3

1. Решите неравенство

2. Найдите все натуральные значения переменной, при которых верно неравенство 5,6(y — 3) — 3,2(2 — у) < 20,8.

3. При каких значениях переменной дроби

а) равны;

б) первая дробь больше второй;

в) первая дробь меньше второй?

4. Найдите, при каких значениях а уравнение х — 8 = 3а + 1 имеет положительный корень. Найдите один из возможных корней.

Выполнение зачетных работ обязательно для всех учащихся. В случае невыполнения какой-либо зачетной работы учащийся будет выполнять итоговую контрольную работу после выполнения всех зачетных работ.

Проверка знаний на втором этапе выполняет контрольные функции. Этот этап проверки можно осуществить через проведение итоговой контрольной работы, предусматривающей проверку знаний, умений и навыков с учетом выделенных выше трех уровней.

Первая часть работы ориентирована на репродуктивную деятельность. Задания этой части (самой объемной по числу заданий) позволяют проверить на уровне репродукции знание всех основных вопросов темы; ее выполнение дает основание оценить знания ученика отметкой «3».

Вторая часть работы предусматривает эвристическое применение знаний и ранее рассмотренных приемов деятельности в новых ситуациях. В этой части может быть два-три задания, учитывая реальное содержание темы.

Третья часть работы ориентирована на творческую деятельность и обычно содержит одно-два задания.

Так как каждый учащийся вправе сам определить последовательность выполнения заданий, оценивать работу лучше вначале в очках, а затем переводить их в баллы.

В предлагаемой работе каждое верно выполненное задание первой части дает возможность получить одно очко (за всю часть максимально можно получить 17 очков). Каждое верно выполненное задание второй части оценивается двумя очками, и максимальное их число — 4. Каждое верно выполненное задание третьей части оценивается четырьмя очками, и по этой части максимально можно набрать 8 очков.

Максимальное число очков по всей работе — 29.

При выставлении отметки за контрольную работу можно руководствоваться следующим критерием (n — число набранных очков в результате выполнения работы):

18 ⩽ n < 22 — отметка «3»;

22 ⩽ n < 26 — отметка «4»;

26 ⩽ n ⩽ 29 — отметка «5».

Предлагаемый подход к разработке разноуровневого контроля за состоянием знаний и умений позволит учителю конкретно оценивать уровень деятельности учащихся, реально прогнозировать и учитывать их возможности в дальнейшем обучении.

Контрольная работа по теме «Неравенства».

Вариант 1

Группа А. Каждое верно выполненное задание — 1 очко.

1. Сравните пары чисел:

2. Верно ли неравенство 4 ⩽ 6?

3. Сравните числа а и b, если:

4. Известно, что а < b. Верны ли неравенства?

5. На каком из рисунков изображено множество решений неравенства -0,5х < 2?

Рис. П. 2.1

6. На каком из рисунков изображено множество решений системы неравенств

Рис. П. 2.2

7. Какой из промежутков является множеством решений неравенства 2 > -3х — 1?

а)(1; + ∞); в)(-1; + ∞);

б)(—∞;-1); г)(—∞; 1).

8. Какой из промежутков является множеством решений системы неравенств

9. Решите систему неравенств

Запишите два каких-либо решения этой системы.

Группа В. Каждое верно выполненное задание — 2 очка.

10. Пусть ху > y2. Всегда ли верно неравенство x4у > x3у2? Обоснуйте ответ.

11. Решите неравенство (х + 5)2(х + 1) < 0.

Группа С. Каждое верно выполненное задание — 4 очка.

12. Решите задачу. В двузначном числе цифра десятков на 3 больше цифры единиц. Найдите это число, если известно, что оно больше 35 и меньше 74.

13. При каких значениях а верно равенство |а + 6| = -а — 6?

Выше в качестве примера приведен один вариант контрольной работы. Задания группы А всех вариантов аналогичны, задания же групп В и С различны. Далее приведены задания групп В и С других вариантов.

Задания группы В

1. При любых ли целых значениях а и b таких, что а > b, верно неравенство a2 > b2? Обоснуйте ответ.

2. Решите неравенство

3. Пусть ху > y2. Всегда ли верно неравенство Обоснуйте ответ.

4. Решите неравенство (х + 3)(х — 2)2 > 0.

Задания группы С

1. Решите задачу. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше того, что он проезжает в действительности, то за 6 дней он проехал бы меньше 400 км. Если бы он проезжал на 10 км менее, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы более 400 км. Сколько километров проезжает в день велосипедист?

2. При каких значениях b верно равенство

3. Решите задачу. Если от некоторого двузначного числа отнять его третью часть, то в результате получится число, большее 29, но меньшее 32. Найдите это число.

4. При каких значениях а верно равенство

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Программированное обучение

О программированном обучении

Программированное обучение как метод — это самостоятельная работа учащихся по обучающей программе, содержащейся в программированном учебнике или обучающей машине. Метод программированного обучения относится к продуктивно-развивающей группе методов.

При разработке обучающей программы изучаемый материал представляется в форме строгой логической последовательности «кадров», каждый из которых содержит, как правило, «порцию» нового материала и контрольный вопрос (при изложении новых знаний), либо один из системы вопросов, требующий ответа (при работе с задачей на этапе обучения ее решению).

Естественной базой для программирования процесса обучения математике являются алгоритмы решения различных задач, причем нужно заметить, как математических, так и учебных. Таким образом, логико-алгоритмический подход является основой метода программированного обучения.

Для разработки программы обучения необходимо:

— определить цели и основные результаты обучения теме;

— отобрать учебный материал (содержание);

— разбить учебный материал на «порции» (дозы), каждая из которых подвергается алгоритмизации;

— предусмотреть этапы активной самостоятельной деятельности учащегося по усвоению отобранного содержания;

— разработать систему постоянного контроля за деятельностью учащегося, работающего по разработанной программе.

Рис. П. 3.1

Существуют две различные системы программирования учебного материала — «линейная» и «разветвленная» программы, которые отличаются как исходными посылками, так и способами составления. Возможны и комбинированные программы, являющиеся сочетанием обозначенных методов программирования.

«Линейная» программа предусматривает:

— подачу учебного материала небольшими порциями с постановкой контрольного вопроса по изложенному фрагменту содержания (кадр 1 — первая порция);

— самостоятельную формулировку учащимся ответа на поставленный вопрос;

— выдачу информации о правильности (неправильности) ответа на поставленный вопрос (кадр 2). В случае неправильности ответа фиксируется правильный ответ (учитывая небольшой объем информации, предполагается, что учащийся самостоятельно обнаружит причину допущенной ошибки);

— кадр 3 — вторая порция материала и т. д.

Схема «линейной» программы показана на рис. П. 3.1. «Разветвленная» программа предполагает:

— подачу учебного материала порциями большего объема, чем при «линейном» программировании с постановкой контрольного вопроса, причем для выбора предлагается несколько вариантов ответа (обычно 3—4) правильного (кадр 1, рис. П. 3.2);

Рис. П. 3.2

— определение дальнейшего «пути» по программе с учетом выбранного варианта ответа из предложенных: а) если ответ правильный, то переход к кадру, содержащему следующую порцию учебного материала (кадр 2); б) если ответ неправильный, то переход к кадру, в котором указываются причины допущенной ошибки, а также предлагается вернуться к предыдущему кадру с целью вновь прочесть новый материал и снова попытаться ответить на поставленный вопрос;

— учет интереса учащегося (например, если задача имеет не один способ решения, то в программе должен быть реализован каждый из возможных способов решения, а учащийся вправе выбрать путь, его интересующий).

Разработка одного из вариантов обучающей «разветвленной» программы по теме «Сумма членов геометрической прогрессии»

Целями разработки являются выведение формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии и применение ее при решении задач, а также формирование умения работать с теоремой и задачей.

Теоретический и задачный материал опирается на достаточно большой объем базовых знаний и умений, которые должны быть у ученика к началу освоения темы. Таким образом, целесообразно дополнить задачный материал такими задачами, которые выполняют функцию актуализации знаний. Это могут быть задания следующих типов.

1. По формуле n-го члена последовательности найти какой-либо член последовательности.

2. Вычислить какой-либо член последовательности по данной рекуррентной формуле и первому члену.

3. Нахождение номера данного члена (по данной формуле n-го члена или рекуррентной формуле).

4. Сократить алгебраическую дробь, в числителе и знаменателе которой имеется степень с рациональным показателем, например:

5. Возвести число в степень, например

6. Решить уравнение:

В качестве мотивационной можно предложить такую задачу.

Задача. Незнакомец предложил богачу-миллионеру сделку:

— Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по тысяче рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная: в первый день — всего одну копейку.

— Одну копейку?

— Одну копейку. За вторую тысячу ты заплатишь 2 копейки.

— А дальше?

— Дальше: за третью тысячу 4 копейки. И так целый месяц. Каждый день вдвое больше предыдущего.

Заманчивое предложение, не правда ли? Но стоит ли соглашаться богачу? В чем же хитрость незнакомца?

Ожидаемыми результатами обучения будут являться усвоение теоремы и умение ее применять при решении задач.

Программа блока условно состоит из нескольких частей: работа с теоремой и ее доказательство; решение задач с использованием теоремы; рассмотрение преобразования формулы суммы n первых членов; работа с задачами, в которых можно применить преобразованные формулы.

Методика работы с теоремой

Теорема. Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 равна

Этап актуализации знаний

Кадр 1. Числовая последовательность b1, b2, ..., bn является геометрической прогрессией, если:

а) для всех целых n выполняется равенство bn + 1 = bnq, где bn ≠ 0, q — некоторое число, не равное нулю;

Кадр 1.1. Вы ответили неверно. Вспомните, ведь n — это номер члена числовой последовательности. Вы в определении говорите «для всех целых n выполняется». Но для целых отрицательных чисел и нуля ваше определение не может быть верным, так как номер члена последовательности (по определению) может быть только натуральным числом (дается ссылка на определение натуральных чисел). Например, номер члена не может быть равен -1 или 0

б) для всех натуральных n выполняется равенство bn + 1 = bnq, где bn ≠ 0, q — некоторое число, не равное нулю;

в) для всех натуральных n выполняется равенство bn + 1 = bnq, где bn ≠ 0, q — некоторое натуральное число.

Кадр 1.2. Вы ответили неверно. Вспомните, ведь q — это знаменатель геометрической прогрессии, а он может быть любым числом (кроме нуля). Например, 1, 2/3, 4/9 , 8/27, ... — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2/3, но по вашему определению эта последовательность не является геометрической прогрессией, так как 2/3 не является натуральным числом

Кадр 2. Вспомните формулу n-го члена геометрической прогрессии и выберите ее из предложенных:

Кадр 2.1. Вы ответили неверно. По этой формуле можно вычислить (n + 1) член через предыдущий

Кадр 2.2. Вы ответили неверно. Действительно, легко проверить, что эта формула неверна. Найдем, например, по ней первый член последовательности:

Этап мотивации

Кадр 3. Задача. Найдите сумму S = 2 + 2⋅3 + 2⋅32 + 2⋅33 + 2⋅34 + 2⋅35. Очевидно, что можно найти сумму, посчитав каждое слагаемое в отдельности, но это занятие очень трудоемкое. Однако обратим внимание на слагаемые: 2; 2⋅3; 2⋅32; 2⋅33; 2⋅34; 2⋅35. Эта числовая последовательность является:

а) арифметической прогрессией;

Кадр 3.1. Обратите внимание, что

б) геометрической прогрессией.

Кадр 4. Слагаемые суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а знаменатель 3.

Геометрическая прогрессия состоит из шести членов. Попробуем выразить сумму S через компоненты этой прогрессии. Так как знаменатель прогрессии равен 3, то каждый последующий член (начиная со второго) можно получить из предыдущего умножением на 3. Таким образом, при умножении всей суммы на 3 мы получим сумму из членов, начиная со второго и заканчивая седьмым. Выполните эту операцию.

Кадр 5. Теперь мы имеем два выражения:

Как и предполагалось, оба выражения содержат одну и ту же сумму: 2⋅3 + 2⋅32 + 2⋅33 + 2⋅34 + 2⋅35. Если вычесть из первого равенства второе, то получим -2S = 2 — 2⋅36, откуда легко получается, что S = 36 — 1. И теперь значение S намного проще считается. Таким образом, мы нашли сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Этап работы с текстом

Кадр 6. В теореме речь идет о произвольной геометрической прогрессии, знаменатель которой q ≠ 1. Выделите условие и заключение теоремы.

а) Дано: {bn} — геометрическая прогрессия, q ≠ 1.

Доказать: сумма n первых членов равна

б) Дано: сумма n первых членов геометрической прогрессии, а ≠ 1.

Доказать: сумма равна

в) Дано: n членов геометрической прогрессии, q ≠ 1.

Доказать: сумма этих членов равна Sn

Этап поиска доказательства

Кадр 7. Нам дана геометрическая прогрессия со знаменателем q ≠ 1.

Так как никаких дополнительных условий не дано, то можно рассмотреть произвольную геометрическую прогрессию: b1, b2, bn, знаменатель которой q ≠ 1.

Как вы считаете, с какой целью дано условие q ≠ 1? Что можно сказать о геометрической прогрессии, у которой знаменатель q = 1?

а) Все члены прогрессии одинаковы и равны единице;

Кадр 7.1. Так будет только, если и первый член равен единице, а он произвольный

б) все члены прогрессии одинаковы:

в) каждый следующий член прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с единицей.

Кадр 7.2. Для геометрической прогрессии каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель. Вы перепутали определение геометрической и арифметической прогрессий

Кадр 8. Действительно, если q = 1, то все члены геометрической прогрессии одинаковы. Тогда сумма n первых членов равна: Sn = b1 + ... + b1 = nb1. Таким образом, очевидно, что для случая, когда q = 1, не требуется вывода особенной формулы. Рассмотрим следствия, которые можно получить из условия, что b1, b2, ..., bn — геометрическая прогрессия:

известен первый член прогрессии b1, знаменатель q;

каждый последующий член этой числовой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число;

если все члены прогрессии положительны, то каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:

Выберите то следствие, которое, по вашему мнению, понадобится при доказательстве:

а) известен первый член прогрессии b1, знаменатель q;

б) каждый последующий член этой числовой последовательности, начиная с второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число:

Кадр 8.1. Это следствие не является достаточно удобным в использовании

в) если все члены прогрессии положительны, то каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:

Кадр 8.2. Для использования этого следствия необходимо иметь точное представление о знаках членов, а нам дана произвольная геометрическая прогрессия

Кадр 9. Таким образом, используя формулу n-го члена можно переписать прогрессию в следующем виде: b1, b1q, b1q2, ..., b1qn-1 ... .

Пусть Sn — сумма n первых членов этой прогрессии. Тогда:

Кадр 9.1. Первый член тоже должен входить в сумму первых n членов

Кадр 9.2. Вы записали сумму первых (n + 1) членов

Кадр 10. Рассмотрим заключение теоремы: Из какого равенства оно может следовать?

Обратите внимание на то, что если q = —1 и n — четное число, то в знаменателе этого выражения будет нуль.

Кадр 11. Мы уже выразили:

Для того чтобы прийти к равенству:

понадобится слагаемое левой части Snq. Его легко получить, домножив Sn на q:

При выполнении этого действия важно, что q ≠ 0. Действительно ли q ≠ 0?

а) Да, так как если q = 0, то Sn = bv

Ваше обоснование неверно. Так как по определению геометрической прогрессии q — некоторое число, не равное нулю.

б) Да, по определению геометрической прогрессии.

Кадр 12. Имеем:

Так как мы хотим прийти к равенству

то, очевидно, надо из первого равенства вычесть второе. Тогда получим:

Кадр 12.1. Обратите внимание на то, что во втором равенстве (кадр 12) предпоследнее слагаемое равно b1n-1. Тогда Sn =

и выражения, стоящие в скобках, равны

Методика работы с задачей

Задача. В геометрической прогрессии найти n и bn, если первый член равен 7, знаменатель прогрессии равен 3 и Sn = 847.

I ВАРИАНТ

Этот вариант предоставляется учащимся, уровень подготовки которых при диагностической работе был признан средним.

Этап актуализации знаний

Кадр 1. Вы уже знаете, что в геометрической прогрессии, зная b1 и q, можно найти какой-либо член bn.

Задание. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что первый член прогрессии равен 4, а знаменатель q = 1/2.

Кадр 1.1. Ответ неверный. Вы неправильно использовали формулу n-то члена — возвели q в четвертую степень, хотя bn = b1qn-1 и найти надо было b4

Кадр 1.2. Ответ неверный. Вы умножили первый член на знаменатель, а таким образом находится второй член: b1 = b1q, но в задании требуется найти четвертый член b4

Кадр 1(1). Этот кадр (и два последующих) будет показан тем учащимся, которые при диагностической работе неверно ответили на десятый вопрос. Для того чтобы решить уравнение 32х — 1 = 9, необходимо представить 9 как степень с основанием 3. Сделайте это. а)32; б)33.

Кадр 1(1). 1. Вы неверно выполнили действие. Действительно, 33 = 27 ≠ 9.

Кадр 1(2). Таким образом, 32х — 1 = 32. Так как степени равны и основания степеней равны, то показатели тоже равны: 2х — 1 = 2. Найдите отсюда х.

Кадр 1(3). Если вы получили х — 1,5, то уравнение решено правильно. Посмотрите, как следует записывать решение таких уравнений:

Кадр 2. Ответ верный. Вы вспомнили формулу n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1qn-1.

Задание. Найдите номер члена, который равен 12,8; если известно, что

Кадр 2.1. Ответ неверный. Вы, вероятно, правильно составили уравнение и получили n — 1 = 6 и тут перенесли -1 в левую часть, но забыли поменять знак

в) вы получили уравнение

и не знаете, как его решить.

Кадр 2.2. Вы правильно составили уравнение

Решили домножить обе части на число, обратное 1/5 , но в результате правую часть уравнения умножили на 1/5

Этап работы с условием

Кадр 3. Прочитайте задачу.

Задача. В геометрической прогрессии найдите n и bn, если первый член равен 7, знаменатель прогрессии равен 3 и S„ = 847.

В задаче речь идет о геометрической прогрессии. Переформулируем задачу с принятыми для геометрической прогрессии обозначениями.

В геометрической прогрессии найти n и bn, если b1 = 7, q = 3 и S = 847. Выделите данные задачи:

Кадр 3.1. Вы выделили искомые задачи, т. е. компоненты, которые требуется найти

Кадр 3.2. Вы выделили не все данные задачи

Кадр 4. В геометрической прогрессии найти n и bn, если b1 = 7, q = 3 и Sn = 847. Выделите требования задачи:

Кадр 4.1. Вы выделили не все требования задачи

Кадр 4.2. Вы выделили все требования задачи

Этап поиска способа решения Кадр 5. Краткая запись условия: Дано: {bn} — геометрическая прогрессия, b1 = 7, q = 3, S„ = 847. Найти: n, bn.

Рассмотрим требования. Так как неизвестных компонентов два, то необходимо выяснить, как они взаимосвязаны (если эта связь есть). Из какой формулы может следовать взаимосвязь n и bn?

Кадр 5.1 В этой формуле явно участвует только bn, но не участвует п

Кадр 5.2. В этой формуле явно участвует только bn, но не участвует п

Кадр 5.3. В этой формуле явно участвует только n, но не участвует bn

С этого момента программа организована так, чтобы краткое условие было в поле зрения учащегося.

Кадр 6. Таким образом, n и bn взаимосвязаны, их связывает формула n-то члена геометрической прогрессии: bn = bxqn-1. В ней неизвестны n и bn, а b1 и q известны. Таким образом, существует две возможности:

1) необходимо сначала найти n, а потом подставить его в эту формулу и найти bn;

2) необходимо сначала найти bn, а потом подставить его в эту формулу и найти n.

Рассмотрим обе возможности (с этого момента программа организована так, чтобы эти две возможности были в поле зрения учащегося). Выберите наиболее приемлемый вариант нахождения п:

а) по двум известным последовательным членам прогрессии, используя bn + 1 = bnq;

Кадр 6.1. В этой задаче нам не даны два последовательных члена. По двум известным последовательным членам геометрической прогрессии можно найти знаменатель, но он нам известен

б) по известным b1 и q;

Кадр 6.2. Только по b1 и q невозможно найти номер члена последовательности

в) используя соотношение

по известным Sn, b1 и q.

Кадр 7. Рассмотрим второй способ решения задачи. Выберите наиболее приемлемый вариант нахождения bn: а) по известным b1 и q;

Кадр 7.1. Только по b1 и q невозможно найти bn, так как для применения формулы n-го члена необходимо знать номер члена, который находится

б) используя соотношение

II ВАРИАНТ

Этот вариант предоставляется учащимся, уровень подготовки которых при диагностической работе был признан высоким.

Этап актуализации знаний

Кадр 1. Вы уже знаете, что в геометрической прогрессии, зная b1 и q, можно найти какой-либо член bn.

Задание. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что первый член прогрессии равен 4, а знаменатель q = 1/2.

Кадр 1.1. Ответ неверный. Вы неправильно использовали формулу n-го члена — возвели q в четвертую степень, хотя bn = b1qn-1 и найти надо было b4 по известным

в) по известному последующему члену прогрессии bn + 1, используя bn + 1 = bnq.

Кадр 7.2. Нам неизвестен предыдущий член bn + 1

Этап решения задачи

На этом этапе учащемуся предлагается выбрать, каким способом решать задачу. Дальнейший ход программы зависит от выбора ученика. Например,

Кадр 1.2. Ответ неверный. Вы умножили первый член на знаменатель, а таким образом находится второй член: b2 = b1q, но в задании требуется найти четвертый член b4

Кадр 2.

Задание. Найдите номер члена, который равен 12,8, если известно, что b1 = 1/5, a q = 2: а) 7; б) 5;

Кадр 2.1. Ответ неверный. Вы, вероятно, правильно составили уравнение и получили n — 1 = 6 и тут перенесли -1 в левую часть, но забыли поменять знак.

Кадр 2.2. Ответ неверный. При составлении уравнения допущена ошибка, вы, вероятно, забыли формулу n-го члена: bn = b1qn-1

Этап работы с условием

Кадр 3. Прочитайте задачу.

Задача. В геометрической прогрессии найдите n и bn, если первый член равен 7, знаменатель прогрессии равен 3 и Sn = 847.

В задаче речь идет о геометрической прогрессии.

Переформулируем задачу с принятыми для геометрической прогрессии обозначениями.

В геометрической прогрессии найдите n и bn, если b1 = 7, q = 3 и Sn = 847.

Выделите данные и требования задачи.

а) Дано:

b1 = 7, q = 3 и Sn = 847. Найти: n и bn.

Кадр 3.1. Вы не обратили внимание на то, что {bn} — геометрическая прогрессия

б) Дано:

{bn} — геометрическая прогрессия, b1 = 7, q = 3 и Sn = 847. Найти: n, bn.

в) Дано:

{bn} — геометрическая прогрессия, b1 = 7, q = 3 и Sn = 847. Найти: n.

Кадр 3.2. Вы не учли еще одного требования задачи

Этап поиска способа решения

Кадр 4. Краткая запись условия. Дано:

{bn} — геометрическая прогрессия, b1 = 7, q = 3 и Sn = 847. Найти: n, bn.

Рассмотрим требования. Нам необходимо найти n, bn. Как вы считаете, между этими элементами существует взаимосвязь?

а) Нет;

Кадр 4.1. n и bn не могут быть независимыми, так как n — это номер члена bn, а любой член геометрической прогрессии выражается через свой номер, первый член и знаменатель геометрической прогрессии

б) они взаимосвязаны.

С этого момента программа организована так, чтобы краткое условие было в поле зрения учащегося.

Кадр 5. Таким образом, n и bn взаимосвязаны, их связывает формула n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1qn-1 В ней неизвестны n и bn, а b1 и q известны. Таким образом, существует две возможности:

1) необходимо сначала найти n, а потом подставить его в эту формулу и найти bn;

2) необходимо сначала найти bn, а потом подставить его в эту формулу и найти n.

Как вы считаете:

а) в этой задаче возможно реализовать только первый вариант решения;

Кадр 5.1. Вы увидели связь между Sn, b1, q и n — это

(в которой Sn, b1и q известны). Но вы не учли то, что в этой задаче можно и сначала найти bn

б) в этой задаче возможно реализовать только второй вариант решения;

Кадр 5.2. Вы увидели связь между SnJ bnJ q и n — это

(в которой Sn, bx и q известны). Но вы не учли то, что в этой задаче можно сначала найти п

в) этой задаче возможно реализовать оба варианта?

Кадр 6. Таким образом, при решении данной задачи есть два варианта, которые можно осуществить:

1) из , где Sn, b1 и q известны, находится n.

Далее значение n подставляется в формулу n-то члена и находится bn;

2) из где Sn, b1 и q известны, находится bn.

Далее bn подставляется в формулу n-го члена и находится n.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Организация работы по изучению математики в группах—парах сменного состава

Особенности содержания

Материал темы можно разбить на блоки, каждый из которых может быть изучен локально.

Основные особенности методики

Методика может варьироваться в зависимости от поставленных целей и особенностей содержания. Например, особенности методики обучения решению стандартных задач определенного типа состоят в следующем. По каждому типу задач ученику предоставляется возможность обучаться, обсуждать до полного понимания, при этом не влияя на темп работы остальных учеников. По каждому типу задач хотя бы одну зада-

чу ученик решает самостоятельно. Большинство из задач ученику приходится решать неоднократно, обучая других. Методика позволяет реализовать идеи индивидуального подхода к каждому ребенку.

Особенность математического содержания не всегда позволяет применять эту форму обучения с соблюдением всех предъявляемых к ней требований. Поэтому в практическом отношении методика применения коллективных средств обучения (КСО) в обучении математике претерпела существенные изменения.

Рассмотрим один из возможных вариантов организации работы учащихся по изучению темы «Площадь многоугольника» в парах сменного состава.

1 этап. Актуализация знаний. На этом этапе необходимо актуализировать знания по теме «Многоугольник».

Вопросы и задания:

1) Дайте определение параллелограмма, перечислите его свойства и признаки.

2) Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите его стороны, если одна из сторон в два раза больше другой.

3) В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

4) Дайте определение трапеции, перечислите все элементы трапеции.

5) Дайте определение треугольника, перечислите виды треугольника и его элементы.

6) Дайте определение ромба, квадрата и прямоугольника.

7) В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

8) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что AOD и АОВ — равнобедренные треугольники.

9) В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.

2 этап. Лекция. В лекции необходимо показать общую структуру построения теории, предъявить ученикам идеи вывода формул площадей фигур.

План лекции:

1) Понятие площади многоугольника. Единицы измерения площадей.

2) Основные свойства площадей; формула площади квадрата со стороной а (без вывода).

3) Формулы для нахождения площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Основные идеи доказательства. Два следствия о площади треугольника.

Целесообразно на доске изобразить схему логики построения теории с изображением рассматриваемых четырехугольников, которую комментирует учитель.

1) Площадь прямоугольника.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S = ab, где а, b — стороны прямоугольника).

Идея доказательства.

Достроить прямоугольник до квадрата со стороной а + b. Применить свойства 2 и 3 площадей многоугольников.

2) Площадь параллелограмма.

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S = ah, где а — основание, h — высота).

Идея доказательства.

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Пусть AD — основание. Проведем высоты ВН и CК. Докажем, что S = AD⋅BH.

Можно доказать, что SHBCK = S.

Далее можно применить теорему о площади треугольника.

3) Площадь треугольника.

Одну из сторон треугольника примем за основание. Проведем высоту треугольника к этому основанию.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту S 1/2 AB⋅CH.

Идея доказательства.

Пусть S — площадь треугольника ABС. Пусть AB — основание треугольника, СН — высота.

Можно достроить треугольник ABC до параллелограмма и применить теорему о площади параллелограмма.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

4) Площадь трапеции.

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Используя этот прием, выводим формулу для вычисления площади трапеции. Высотой трапеции назовем перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту S = 1/2 (ВС + AD)⋅ВН.

Идея доказательства.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S.

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD. Следовательно, площадь трапеции можно найти, вычислив сумму площадей этих треугольников.

Далее можно применить теорему о площади треугольника.

3 этап. Работа в группах. После проведения лекции класс разбивается на группы по 4 человека. Каждая группа работает за отдельным столом.

При формировании групп необходимо учесть, что в группе должны быть учащиеся разного уровня сформированности учебных умений и разного уровня математической подготовки.

Каждому участнику группы предлагается карточка, с которой ученик работает самостоятельно в течение отведенного времени (содержание каждой карточки будет описано ниже). После этой работы ученик обменивается информацией с соседом, объясняя ему свою карточку. Сосед делает то же самое. Это происходит до тех пор, пока каждый ученик не ознакомится со всеми четырьмя карточками.

Для изучения данной темы необходимо использовать двухэтапное введение карточек. Введение первых карточек приведет к тому, что дети изучат самостоятельно основные формулы площадей фигур и отработают простейшие задачи. Введение вторых карточек позволит им научиться решать многошаго-

вые задачи. После каждого этапа осуществляется контроль. Второй контроль одновременно является итоговым.

Работа в группах способствует формированию личностных качеств учащихся: способности правильно воспринимать требования, предъявляемые учителем и членами группы; правильно оценивать свои возможности; умения предъявлять требования к себе и правильно оценивать свои поступки, результаты деятельности; умения признавать допущенные ошибки и желание их исправить; умения правильно воспринимать и оценивать других членов коллектива.

Содержание карточек (самостоятельное изучение вывода формул для нахождения площадей фигур).

Карточка № 1

1. Рассмотрите доказательство теоремы о площади прямоугольника в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.» (с. 118). После ознакомления с доказательством попытайтесь повторить вывод формулы площади прямоугольника самостоятельно.

2. Решите задачи.

Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, a S — его площадь.

а) Вычислите S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см;

б) вычислите а, если b = 4,5 см, S = 12,15 см2;

в) найдите а и b, если S = 250 см2, а b в 2,5 раза больше, чем а.

Карточка № 2

1. Рассмотрите доказательство теоремы о площади параллелограмма в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.» (с. 120). После ознакомления с доказательством попытайтесь повторить вывод формулы площади параллелограмма самостоятельно.

2. Решите задачи.

Пусть дан параллелограмм ABCD. К основанию AD проведена высота ВН, S — площадь ABCD.

а) Вычислите S, если AD = 15 см, h = 12 см;

б) вычислите AD, если S = 34 см2, h = 8,5 см;

в) найдите AD, если известно, что S = 32 см2, а ВН в 2 раза меньше основания AD параллелограмма ABCD.

Карточка № 3

1. Рассмотрите доказательство теоремы о площади треугольника в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.» (с. 121). После ознакомления с доказательством попытайтесь повторить вывод формулы площади треугольника самостоятельно.

2. Решите задачи.

Пусть а — основание треугольника, h — его высота, S — площадь треугольника.

а) Вычислите S, если а = 7 см, h = 11 см;

б) вычислите h, если S = 37,8 см2, а = 14 см;

в) вычислите а, если S = 12 см2, a высота равна 2/3 основания а.

Карточка № 4

1. Рассмотрите доказательство теоремы о площади трапеции в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7—9 кл.» (с 123). После ознакомления с доказательством попытайтесь повторить вывод формулы площади трапеции самостоятельно.

2. Решите задачи.

Пусть дана трапеция ABCD. AD, ВС — основания, ВН — высота, опущенная на AD. S — площадь трапеции.

а) Вычислите S, если AD = 21 см, ВС = 10 см, ВН = 15 см;

б) вычислите ВН, если S = 90 см2, D = 18 см, ВС = 12 см;

в) вычислите AD, если известно, что AD больше ВС в 2 раза, а ВН = 8 см, S = 84 см2.

4 этап. Контроль

Цель проведения контроля — проверить знания основных теоретических положений (на уровне записи формул, без вывода), умение применить эти знания в решении простейших задач.

На этом этапе необходимо дать учащимся выполнить самостоятельно проверочную работу.

1) Напишите формулу площади квадрата со стороной а.

2) Чему равна сторона квадрата, площадь которого S = 25 см2?

3) Напишите формулу площади прямоугольника.

4) Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника. S — его площадь. Чему равна сторона b, если а = 32 см, S = 684,8 см2?

5) Напишите формулу площади параллелограмма.

6) Найдите высоту параллелограмма, если известно, что его основание в 3 раза меньше высоты, а его площадь S = 27 см2.

7) Напишите формулу площади треугольника. Чему равна площадь прямоугольного треугольника? Как относятся площади двух треугольников с равными высотами? Как относятся площади двух треугольников, имеющих по равному углу?

8) Найдите основание треугольника, если его высота равна 6 см, а его площадь S = 12 см2.

9) Напишите формулу площади трапеции.

10) Найдите высоту трапеции, если одно из оснований равно 6 см, другое — 10 см, a S = 32 см2.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Обучение математике с применением технологии консультирования

Основными задачами уроков-консультаций являются:

— ликвидация пробелов в знаниях;

— углубление знаний;

— формирование новых знаний (например, знакомство с новыми методами решения задач);

— передача как опыта учителя, так и положительного опыта учащихся по решению задач.

В процессе обучения учитель применяет промежуточные консультации, перед итоговым контролем проводится обобщающая консультация по теме.

Урок-консультацию проводят перед контролем знаний, умений и навыков.

По каждому из выделенных блоков учитель разрабатывает задания с теоретическим и практическим содержанием, которые предлагаются учащимся для самостоятельного изучения.

Ученик в процессе выполнения задания по предложенной программе составляет карточку, где формулирует вопросы теории, в которых не смог разобраться, фиксирует те задачи, которые не смог решить, отмечает наиболее интересную задачу, решением которой он хотел бы поделиться. Эту карточку он отдает учителю за день до урока-консультации.

Актуализируемые знания и умения

Понятия: функция, линейная функция, квадратные уравнения и корни, координатная плоскость (абсцисса, ордината очки, координатные углы), график функции, неравенства, числовые промежутки, параллельные прямые, симметрия, ось симметрии, разложение на множители. Умения: нахождение значений функции, корней квадратного уравнения, решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, нахождение координат точки пересечения прямых, пересечения прямых с осями координат, построение точки в декартовой системе координат

Вводимые понятия

Квадратичная функция, парабола, вершина параболы, возрастающая, убывающая функции, фокус параболы, растяжение, сжатие графика функции, ось симметрии параболы, нули функции

Свойства

Свойства функции у = x2

Свойства функции у = ах2

1.у > 0

1. Если а > 0, то у > 0 при X ≠ 0. Если а < 0, то у < 0 при X ≠ 0; у = 0 при X = 0

2. График функции симметричен относительно оси ординат

3. Функция возрастает на промежутке X > 0, убывает на промежутке х < 0

2. Парабола у = ах2 симметрична относительно оси ординат

Свойства функции у = ах2 + bх + с

3. Если а > 0, то функция возрастает при х > 0 и убывает при х < 0.

Если а < 0, то функция убывает при х > 0 и возрастает при х < 0

1. Ось симметрии — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы

2. Координаты вершины параболы x0 = -b/2а, y0 = у(x0) = ах20 + bх0 + с

3. Ветви параболы направлены вверх, если а > 0, и направлены вниз, если а < 0

Построение графика квадратичной функции

4. а > 0: в x0у имеет наименьшее значение; а < 0: в x0 у имеет наибольшее значение

Задачный материал

Рис. П. 5.1

На основе таких карточек учитель планирует урок-консультацию. Целесообразно, чтобы отобранный материал был логически связан между собой и выстроен таким образом, чтобы каждый ученик получил ответы на поставленные им вопросы.

Рассмотрим пример применения технологического подхода консультирования при обучении теме «Квадратичная функция».

Разработка основного содержания темы (теория, задачный материал) выполняется на основе учебника Ш. А. Алимова «Алгебра. 8 кл.» (М.: Просвещение, 1997).

Цели изучения темы «Квадратичная функция»:

1. Расширить теоретические знания учащихся по линии функций:

— ввести свойства функции (нуль функции; возрастание, убывание функции на промежутке; наибольшее, наименьшее значения функции);

— ввести понятие «квадратичная функция», изучить график и свойства квадратичной функции.

2. Сформировать практические умения решать задачи с применением теории квадратичной функции.

3. Продолжить формирование умений выполнять мыслительные операции (анализ, синтез, аналогия, обобщение).

Логико-математический анализ темы «Квадратичная функция» удобно представить в виде схемы (рис. П. 5.1).

Содержание темы (теоретическое и практическое) можно разбить на четыре блока (рис. П. 5.2).

Рис. П. 5.2

Задачный материал

Блок 1

Задача № 578 (на распознавание), любая задача § 35, № 634, 635,637.

В подготовленном классе можно предложить следующие дополнительные задания.

Задание 1. Дана квадратичная функция f(x) = ах2 + bх + с. Найдите: а) Да), f(b), f(с), f(0);

Задание 2. Напишите функции, выражающие:

а) разность между любым числом и его квадратом;

б) сумму любого числа с его кубом;

в) произведение любых двух чисел, одно из которых на единицу больше другого;

г) частное от деления любого числа на его куб.

Какие из этих функций являются квадратичными? (Задача на распознавание.)

Задание 3. Какая из квадратичных функций: f1(x) = x2 - 5х + 6; f2(x) = x2 — 2х + 1 и f3(x) = x2 — х устанавливает соответствие между элементами следующих пар чисел:

а) (0; 0); б) (1; 0); в) (2; 0); г) (а; (а — 1)2)?

Блок 2

Задачи № 586, 595, 608—612, 621—624, 638. В подготовленном классе можно предложить дополнительные задачи: № 617—619, 632, 646, а также следующие задания.

Задание 1. Постройте график квадратичной функции вида f(x) = ах2 + bх + с, если известно, что этот график проходит через точки Р(-1; 0), Q(1; -8) и R(4; -5).

Задание 2. Постройте график каждой из функций:

Блок 3

Задачи № 592, 593, 596, 597, 599, 600, 604, 623—625, 630, 639, 640. В подготовленном классе можно предложить дополнительные задачи № 594 и 605, а также другие задания.

Задание 1. Докажите, что любая точка параболы у = x2 находится на одинаковом расстоянии от точки f(0; 1/4) и прямой р, перпендикулярной оси Oy в точке f1(0; -1/4). (Задача на фокус параболы.)

Задание 2. При каком условии для коэффициентов а, b, с график квадратичной функции f(x) = ах2 + bх + с симметричен относительно оси ординат?

Задание 3. График квадратичной функции f(x) = ах2 + bх + с не пересекает ось абсцисс и свободный член с является: а) отрицательным числом; б) положительным числом. Определите знак коэффициента а в каждом случае.

Задание 4. Постройте график функции у = 3(х — 1)2 + 5. Укажите множество значений этой функции. Приведите другой пример квадратичной функции с таким же множеством значений.

Задание 5. Множество значений функции у = 3(х — 5)2 + k — это луч [-3; + co). Найдите число k.

Блок 4

Задачи № 599, 626, 627, 629, 636, 641, 642. В классах с углубленным изучением математики можно предложить дополнительные задачи № 633 и 646.

Пример урока-консультации по теоретическому блоку 3

Тема: свойства квадратичной функции.

Цель: систематизировать знания учащихся по теме «Свойства квадратичной функции».

Теоретические вопросы

1. Возрастание, убывание функции (определение промежутков возрастания и убывания функции по графику).

2. Определение промежутков знакопостоянства.

Практические вопросы

Задачи № 599, 604, 630, 639, дополнительные задачи № 7, 10.

Рис. П. 5.3

План консультации

1. Возрастание и убывание функции.

Понятия «возрастание» («убывание») функции вводятся на конкретном примере.

Сначала целесообразно на примере линейной функции ввести определение возрастающей (убывающей) функции. Кроме того, можно ввести:

— аналитический признак возрастания (убывания) функции у = kx + b (знак k);

— графический признак возрастания (убывания) функции (направление графика из левого нижнего угла в правый верхний угол — функция возрастающая; направление графика из левого верхнего угла в правый нижний угол — функция убывающая).

Определяя промежутки возрастания (убывания) квадратичной функции, можно пользоваться как аналитическим признаком (определение), так и графическим признаком. При этом применение графического признака для учащихся ближе.

Суть графического признака: можно заметить, что график меняет направление при переходе через точку, являющуюся вершиной параболы. А значит, абсцисса вершины параболы разбивает область определения квадратичной функции на два подмножества, на одном из которых функция убывает, а на другом возрастает (рис. П. 5.3).

Приведенный признак возрастания (убывания) функции на промежутке позволяет сформулировать алгоритмическое предписание решения типовой задачи: «По графику функции

Рис. П. 5.4

определить промежутки возрастания и убывания функции». Здесь же можно рассмотреть решение задачи № 604, дать понятие наибольшего (наименьшего) значений функции; рассмотреть задачу № 630.

2. Промежутки знакопостоянства функции у = ах2 + bх + с можно рассмотреть также на графике.

Приведем фрагмент таблицы, на которой изображен график квадратичной функции в случае положительного дискриминанта (рис. П. 5.4).

На уроке можно показать, как составляется эта таблица, разобрать все нюансы и предложить дома с ней поработать. Затем сделать коррекцию таблиц, предложенных учениками, и оформить официальную шпаргалку.

х1, x2 — корни (нули) функции, 3. Рассмотреть задачи.

В задаче № 639 сформулировать алгоритмическое предписание решения комбинированной задачи данного типа.

В задаче 2 для определения значения параметра необходимо знание двух свойств графика и их аналитические интерпретации: график квадратичной функции симметричен относительно прямой X = x0у x0 = ; пересечение графика с осью ординат — точка с координатами (0; f(0)).

Работа с задачей 5 требует знания способов построения графика квадратичной функции при помощи графика функции у = X2.

В конце консультации подводятся итоги. Целесообразно напомнить, какие вопросы были обсуждены, и дать задание еще раз вернуться к разработке и просмотреть то, что до урока вызывало трудности. Можно здесь же провести следующую диагностическую работу по материалам консультации.

Выберите среди графиков, изображенных на рис. П. 5.5, графики квадратичных функций. Укажите для каждой:

а) координаты вершины;

б) уравнение оси симметрии;

в) множество значений функции;

г) x, при которых функция принимает значение больше или меньше 0;

д) x, при которых функция возрастает и убывает;

е) точки, в которых функция принимает наименьшее и наибольшее значения.

На эту самостоятельную работу отводится 10 минут. Она не оценивается, а проверяется прямо на уроке вместе со школьниками.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Обучение математике с применением технологии творческих мастерских

При обучении математике в условиях проведения творческой мастерской сочетаются различные варианты организации групповой работы (начиная с работы парами и заканчивая работой всего класса).

Мастерская состоит из системы заданий, которая:

— позволит уйти от информационной формы обучения (передачи информации учителем);

— включит учащихся в творческий процесс открытия знаний, построения системы новых знаний и включения их в систему имеющихся;

— предоставит школьникам абсолютную свободу (выбор пути исследования, выбор средств для достижения цели, выбор темпа работы и т. д.).

Рис. П. 5.5

Мастерские каждодневного применения обычно строятся по следующему алгоритму:

— индивидуальная работа по выполнению предложенного задания (на базе имеющихся знаний, использования личного жизненного опыта);

— работа в парах (обмен результатами индивидуальной работы);

— работа в группах (выработка общего мнения группы);

— обмен мнениями в классе (группы представляют итоги своей работы);

— коррекция (группы вносят исправления и дополнения в свой вариант выполнения задания, учитывая результаты работы других групп);

— слово учителя (акцентирование внимания на ключевых моментах, выделение находок, ошибок);

— обсуждение мастерской (подведение итогов, формулирование нерешенных проблем).

Приведем пример содержания первых двух творческих мастерских при изучении темы «Вычисление боковой и полной поверхности пирамиды». Общее число мастерских по теме — 6.

Содержание мастерских позволит:

— сформировать теоретический аппарат темы;

— продолжить формирование умений работать с математической задачей;

— осуществлять контроль за ходом учебного процесса.

Мастерская № 1. Познание теории

Цель: сформировать теоретический аппарат темы (понятие площади боковой и полной поверхности пирамиды; классификация пирамид с целью выделения частных случаев, позволяющих упростить вычисление площади боковой и полной поверхности) и развивать логическое мышление.

Формирование логического мышления.

Предполагаемый результат: свободное оперирование учеником понятием площади боковой и полной поверхности пирамиды; осознание того, что площадь боковой поверхности некоторых пирамид можно вычислить проще, зная их особенности.

Вопросы и задания

1. Напишите в тетради тему «Вычисление площади боковой и полной поверхности пирамиды».

2. Запишите вопросы, на которые вы хотели бы получить ответы в результате работы с учебником.

3. Итак, надо определить, что мы понимаем под площадью боковой поверхности пирамиды, полной поверхности пирамиды, как их вычислить. Прочтите определение в учебнике и попробуйте для треугольной пирамиды SABC, где S — вершина пирамиды, записать, чему равна площадь ее боковой поверхности, площадь ее основания и площадь полной поверхности.

Сделайте в тетради рисунок пирамиды и записи. Обсудите ответ в паре.

4. Итак, мы узнали, что площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех ее боковых граней. А боковые грани пирамиды, как известно, — треугольники. Выбор формулы для вычисления площади треугольника определяется видом треугольника.

Давайте рассмотрим, треугольники какого вида могут быть боковыми гранями пирамиды.

Одним из критериев типологии пирамид может являться положение основания высоты пирамиды по отношению к ее основанию.

Ответьте на вопрос: «Как может быть расположено основание высоты пирамиды по отношению к ее основанию?» Запишите в тетради в столбик все возможные варианты. Обсудите ответ сначала в паре, а затем в группе. Подумайте, все ли случаи вы нашли.

5. Теперь рассмотрите каждый из случаев и подумайте, какими будут треугольники, которые составляют боковую поверхность пирамиды, и почему именно такими. Обсудите ответ в паре. Составьте мнение группы.

6. Разработайте типологию пирамид. Обсудите в группе и составьте общее мнение.

7. Решите задачу.

Задача. В треугольной пирамиде две боковые грани, проходящие через стороны основания длиной 4 и 5 см, перпендикулярны основанию. Высота пирамиды равна 3 см, длина оставшейся стороны в основании равна 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ сверьте в группе.

Методический комментарий: теория достаточно проста, поэтому, скорее всего, все быстро справятся с первым и вторым заданиями.

К заданиям 4—5 целесообразно приступать одновременно, так как они связаны с построением типологии пирамид, и их лучше обсуждать классом.

Ответ на вопрос 4 может быть таким. Основанием высоты пирамиды может являться:

— точка внешней области многоугольника в основании;

— вершина основания;

— внутренняя точка ребра основания;

— точка внутренней области многоугольника в основании (частные случаи: центр вписанной окружности; центр описанной окружности).

В результате выполнения задания 5 предполагается получить такие ответы:

— если основанием высоты является вершина пирамиды (т. е. высота совпадает с одним из боковых ребер), то боковые грани, содержащие это ребро, — прямоугольные треугольники;

— если основание высоты есть внутренняя точка ребра основания, то высота пирамиды принадлежит боковой грани, но неизвестно, какой вид будет иметь эта грань, это зависит от вида пирамиды;

— если же основанием высоты является внутренняя точка многоугольника, в частности, центр вписанной окружности, то боковые грани пирамиды имеют равные высоты, т. е. формула площади боковой поверхности пирамиды значительно упрощается;

— если основанием высоты является центр описанной вокруг многоугольника окружности, то треугольники, содержащие высоту пирамиды и ребра пирамиды, равны, тогда равны боковые ребра пирамиды, т. е. треугольники, составляющие боковую поверхность, — равнобедренные;

— во всех других случаях, рассматривая произвольную пирамиду, мы ничего не можем сказать о виде этих треугольников.

В задании 6 важно оговорить, какое время дается на выполнение типологии, иначе процесс может затянуться. Это задание можно предложить для домашнего изучения. Для задания 7 желательно иметь макет пирамиды, чтобы показать боковую и полную поверхность (хорошо, если в наличии будут еще и несколько разверток пирамид).

Мастерская № 2. Изучать — значит совершать открытия для себя

Цель: «открыть» формулу вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды; познакомить с индуктивным методом рассуждений; сформировать умения: выдвигать гипотезы; актуализировать необходимые для изучения новой теории знания; учить применять теоретические знания в практике решения задач.

Предполагаемый результат: знание формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды, умение применять ее в практике решения задач. Учащиеся должны знать о том, что если задача сложна, то можно попробовать решить ее, предварительно выполнив переформулирование для частного случая, а затем сделать попытку перенести решение на общий случай.

Вопросы и задания

1. Тема мастерской «Площадь боковой поверхности правильной пирамиды». Сформулируйте проблемы этой темы, которые вы бы хотели решить.

2. Какие знания вам потребуются?

Зафиксируйте ответы на 1—2 вопросы в тетради. Выполните корректировку записей после обсуждения в паре.

3. Правильная пирамида обладает особыми свойствами, присущими только ей. Очевидно, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно вычислить проще, нежели находить сумму площадей всех ее боковых граней, предварительно вычислив каждую из них.

Запишите, чему равна площадь боковой поверхности произвольной треугольной пирамиды SABC, где S — вершина пирамиды.

Преобразуйте формулу, используя свойства правильной пирамиды и формулу площади треугольника. Обсудите в паре свои выводы.

4. Итак, вы получили, что для правильной треугольной пирамиды площадь боковой поверхности равна произведению полупериметра основания на апофему. Верно ли это утверждение для любой правильной пирамиды и почему? Ответ запишите на листочке. Обсудите с соседом свои выводы.

5. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды. Подумайте, площадь боковой поверхности какой пирамиды можно вычислить по формуле:

Sбок. пов = 0,5hРосн, где h — высота боковой грани. Какими способами можно задать такую пирамиду?

6. Решите задачи.

Задача 1. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 6 см.

Задача 2. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды с апофемой в 8 см равна 48 см2. Найдите периметр и площадь основания данной пирамиды.

Задача 3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, у которой: в основании ромб с диагоналями 6 и 8 см, основание высоты пирамиды — точка пересечения диагоналей ромба, длина высоты — 1 см.

Задача 4. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите площадь ее боковой поверхности.

Обсудите в группе поиск решения предложенных задач. Самостоятельно запишите решения задач. Сверьте ответы в группе.

Методический комментарий: предполагается, что, отвечая на второй вопрос, учащиеся выделят следующие знания:

— площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней;

— пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой;

— боковые ребра правильной пирамиды равны;

— боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками;

— высоты боковых граней правильной пирамиды (апофемы) равны.

При работе с пунктами 3—4 задания учащиеся должны прийти к следующему выводу:

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

О технологическом подходе к обучению математике в рамках лекционно-семинарского метода

Лекционно-семинарский метод — система обучения, которая предусматривает организацию учебного процесса с использованием различных форм учебных занятий. Среди них можно выделить следующие: вводное занятие, лекция, практические занятия, семинарские занятия, теоретический зачет, зачет по практикуму, консультации, контрольная работа. Формы учебных занятий отличаются по содержанию и видам учебной деятельности.

Вводное занятие. Целями такого занятия являются: проверка и определение уровня подготовленности учащихся к восприятию и усвоению темы; актуализация знаний, которые будут востребованы в ходе изучения темы.

Перед вводным занятием целесообразно дать учащимся задание на повторение определенного материала. На занятии с учащимися разбираются вопросы, необходимые для изучения предстоящей темы. Желательно, чтобы теоретические вопросы повторялись, по возможности на практическом (задачном) материале. На завершающем этапе можно провести вводную диагностическую работу (например, в форме математического диктанта).

Если позволяет время, на этом же уроке можно познакомить учащихся с планом изучения новой темы, с содержанием (кратко), перечнем обязательных работ, зачетов. Это поможет учащимся более четко организовать работу в период изучения новой темы.

Учебная лекция. Как один из словесных методов обучения учебная лекция предполагает устное изложение учебного материала, отличающееся большой емкостью, сложностью логических связей излагаемого материала, доказательств, обобщений. Лекция, как правило, занимает все занятие.

Условиями эффективного проведения лекции являются: четкое продумывание и сообщение плана лекции, логически стройное и последовательное изложение одного за другим всех пунктов плана с выводами после каждого из них и логическими связями при переходе к следующему разделу; обеспечение доступности (трактовка вновь вводимых терминов, наличие примеров и иллюстраций); использование средств наглядности, темп лекции должен позволять учащимся делать необходимые записи (поэтому преподавателю целесообразно четко выделять то, что следует записать). Как вариант, лекция может быть прочитана в форме комментирования опорного конспекта, которым до начала лекции обеспечивается каждый слушатель.

Отличие урока-лекции от лекции в вузе: постоянный контроль со стороны учителя за осознанностью восприятия путем постановки вопросов по ходу лекции, краткие беседы, ответы на вопросы, возникающие по ходу лекции.

Лекционный метод изложения материала предусматривает формирование определенных умений: слушать, выделять главное, существенное; составлять развернутый план лекций — конспект.

Лекционная система изложения материала предполагает самостоятельную работу учащихся с учебником, справочной

литературой, другими источниками. Благодаря этой работе формируются умения делать выписки из текста, самостоятельно систематизировать знания. Это, в свою очередь, способствует развитию кругозора, повышению интереса к предмету.

Опорный конспект составляется учащимися самостоятельно в результате работы над конспектом лекции и учебной литературой.

Практикум. В основном практикум направлен на решение задач, его организация может быть различной, включая и групповые формы работы.

Проведение практикумов требует большой предварительной работы учителя: постановки цели; отбора содержания; разработки вводного инструктажа; отбора форм и средств контроля.

Семинарское занятие. Чаще всего семинарское занятие — итоговое занятие по теме, которое проводится перед итоговой контрольной работой или после нее. Примерно за две недели до проведения семинара по теме учащимся предлагается система вопросов и задач для самостоятельного решения. Система предлагаемых заданий должна: способствовать расширению и углублению математических знаний по теме; включать задачи межпредметного и прикладного характера (если это уместно); обеспечить уровневую дифференциацию. При необходимости учитель до семинарского занятия консультирует учащихся по возникшим вопросам.

На семинарском занятии заслушиваются подготовленные выступления учащихся, разбираются наиболее интересные вопросы и задачи, подводятся итоги (роль и место темы в системе математических знаний, прикладная значимость и т. д.).

Зачетные и контрольные занятия. Здесь имеется в виду обычная система текущего и итогового контроля, разрабатываемая учителем. Содержание и формы проведения также определяет учитель.

С целью проверки теоретических знаний учащихся практикуются зачеты по теории. Зачеты проводятся в учебное время. Формы проведения теоретических зачетов могут быть различными, например:

— письменная работа по билетам (вопросы билетов включают не только теорию, но и алгоритмические, полуалгоритмические задачи, практические вопросы, позволяющие проверить осознанность восприятия);

— устная форма сдачи зачета (одновременно по билетам у доски готовятся к ответу 10—12 человек, которые опрашиваются учителем по мере готовности. Класс в это время решает

задачи, предложенные учителем. Таким образом, все учащиеся получают отметку по теоретической части и значительная часть класса оценивается учителем за работу по решению задач. Принцип составления билетов в этом случае тот же, что и для письменного зачета).

Пример разработки проекта обучения теме «Комбинации пирамиды и сферы» в рамках лекционно-семинарского метода

Выделим следующие части проекта:

— постановку целей обучения теме;

— методический анализ теоретического и практического содержания;

— блоки теоретического (разработка содержания лекций) и практического содержания;

— систему контроля (вводная и промежуточные диагностические работы, итоговая контрольная работа).

Цели обучения: сформировать теоретический аппарат по теме; учить применять полученные знания в практике решения задач; продолжить работу по формированию логического и пространственного мышления.

Методический анализ темы: базовые знания.

1. Планиметрия:

— вписанная и описанная окружности;

— теоремы об окружности, вписанной в треугольник, описанной вокруг треугольника;

— признаки равенства и подобия треугольников;

— соотношения между углами и сторонами равнобедренного и прямоугольного треугольников;

— свойства правильных многоугольников (можно вписать и описать окружность, способ нахождения радиуса);

— площади многоугольников;

— свойство пересечения медиан в треугольнике;

— понятие геометрического места точек.

2. Стереометрия:

— взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

— понятие многогранника, его виды;

— понятие пирамиды, ее элементы, виды пирамид;

— понятие сферы, ее элементы;

— объем пирамиды, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности;

— многогранные углы;

— понятие и свойство касательной плоскости к сфере.

Вводимые понятия. 1. Сфера, описанная вокруг многогранника (вписанный многогранник).

2. Сфера, вписанная в многогранник (описанный многогранник).

Вводимые утверждения. 1. Теорема № 1 о существовании и единственности сферы, описанной вокруг тетраэдра.

2. Следствия из теоремы № 1 о пересечении в центре описанной сферы шести плоскостей и четырех прямых.

3. Признак описания сферы вокруг пирамиды.

4. Признак описания сферы вокруг усеченной пирамиды.

5. Теорема № 2 о существовании и единственности сферы, вписанной в тетраэдр.

6. Следствия из теоремы № 2 о пересечении в центре вписанной сферы четырех лучей и шести полуплоскостей.

7. Достаточное условие вписания сферы в пирамиду.

8. Достаточное условие вписания в усеченную пирамиду.

9. Теорема № 3 о связи объема, площади боковой поверхности и радиуса сферы, вписанной в многогранник

Задачный материал. Анализ задачного материала по уровню учебной деятельности учащихся (по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 10—11 кл.»).

Репродуктивный уровень

Частично-поисковый уровень

Творческий уровень

Номера задач по учебнику

633, 634 (в), 635

636, 637 (б), 639 (в), 640

641, 754, 755, 759, 760,798

Типология задачного материала по требованию.

Нахождение R или r сферы

Нахождение площади поверхности и объема сферы

Вычисление элементов пирамиды (сторона, высота)

Вычисление боковой, полной поверхности и объема пирамиды

Задачи на доказательство

Номера задач по учебнику

640

755,756, 760

641

634 (в), 635,639 (в), 754

633,636, 637(6), 638, 798

Объем задачного материала, очевидно, недостаточен, поэтому можно воспользоваться дополнительной литературой. Так, в учебнике А. В. Погорелова (Геометрия: учеб. для 7—11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1992. — С. 331) рассматриваются задачи на вписанные и описанные сферы (№ 48, 49, 50, 51, 53, 54), но большим разнообразием они не отличаются. Так же как и в учебнике Л. С. Атанасяна и др., здесь мало заданий на нахождение элементов пирамиды при известных радиусах сферы, но больше задач на нахождение самих радиусов сфер.

В учебнике А. Д. Александрова и др. (Геометрия для 10—11 кл.: учеб. пособие для уч. шк. и классов с углубл. изуч. математики / Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. — М.: Просвещение, 1995. — С. 288—289) в № 32 и 34 (а, в, д, е, м, и) рассматриваются только описанные многогранники, а задачи посвящены нахождению радиуса вписанной сферы. В качестве дополнительного пособия можно использовать задачник Б. Г. Зива (Задачи к урокам геометрии. 7—11 кл.: пособ. для учителя. — СПб.: Мир и семья, 2001. — С. 694—695, 737, 743), здесь задания более интересные и к тому же разной степени сложности.

Блоки содержания. Весь теоретический и соответствующий задачный материал целесообразно разбить на два блока: «Сфера, описанная вокруг пирамиды» и «Сфера, вписанная в пирамиду». Каждый из блоков включает в себя одну лекцию и один практикум по решению задач.

Блок № 1: «Сфера, описанная около пирамиды».

Лекция № 1

Цели: сформировать теоретический аппарат по теме (понятие сферы, описанной около многогранника (пирамиды); существование и единственность сферы, описанной вокруг тетраэдра; необходимые и достаточные условия описания сферы вокруг пирамиды и усеченной пирамиды; положение центра сферы, описанной вокруг правильной пирамиды; нахождение элементов сферы и пирамиды).

План лекции

1. Определение сферы, описанной около многогранника.

2. Теорема № 1 (с доказательством): «Вокруг любого тетраэдра можно описать сферу, и притом единственную».

3. Следствия:

— центр сферы, описанной около тетраэдра, есть точка пересечения шести плоскостей, перпендикулярных к его ребрам и проходящих через их середины;

— центр сферы, описанной около тетраэдра, есть точка пересечения четырех прямых, перпендикулярных его граням и проходящих через центры описанных около них окружностей.

4. Обсуждение факта, что вокруг правильной пирамиды можно описать сферу.

5. Положение центра сферы, описанной около правильной пирамиды. Выделить три случая:

— центр сферы — внутренняя точка высоты пирамиды;

— центр сферы — основание высоты пирамиды;

— центр сферы лежит на продолжении высоты пирамиды.

6. Признаки, указывающие на возможность построения описанной сферы вокруг пирамиды и усеченной пирамиды:

— около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда ее основание — вписанный многоугольник;

— около усеченной пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда ее основания — вписанные многоугольники и отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, перпендикулярен их плоскостям.

7. Задачи нахождения радиуса описанной сферы для случаев, когда пирамида правильная или боковые грани равнонаклонены к основанию (формулировка и решение в общем виде).

Оборудование для лекции: возможно использование учебно-методического комплекса (таблицы, модели, диафильмы, кодопозитивы), средств современных образовательных технологий (например, компьютерное наглядное пособие, изготовленное в среде 3Dstudio Мах).

В результате этой лекции в тетрадях учащихся появится следующий опорный конспект лекции.

Определение: сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника принадлежат сфере. В этом случае многогранник называется вписанным в сферу.

Около усеченной пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, если около каждого из оснований можно описать окружность и отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований, перпендикулярен их плоскостям.

Возможный вариант нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды или пирамиды с равнонаклоненными ребрами к основанию:

рассмотреть прямоугольный треугольник SBS1, в котором SS1 — диаметр сферы, SB — боковое ребро пирамиды, ВН — радиус окружности, описанной около основания пирамиды (рис. П. 7.1). В зависимости от условия конкретной задачи можно воспользоваться свойствами высоты ВН, опущенной на гипотенузу треугольника тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике, или иными фактами.

Практикум по решению задач № 1

Предполагается работа в группах смешанного состава по 5 человек. Ее цели: рассмотреть основные типы задач, в которых участвует сфера, описанная около пирамиды; сформировать умения применять теоретические знания по теме в практике решения задач; сформировать в группах отношение взаимной ответственности и уважения к мнению оппонента.

Каждой из групп выдается карточка с пятью задачами (для всех одинаковые). Каждый участник в группе должен будет решить одну задачу, понять идею и основные приемы решения остальных четырех (хотя не исключен тот факт, что учащиеся совместно решат все пять задач). Проверка наиболее простых задач осуществляется только с фиксированием промежуточных результатов. Задачи, вызвавшие больше всего затруднений, представляются одним из членов группы с раскрытием поиска решения или с записью всего решения.

На этапе актуализации знаний (устная работа всего класса) предлагаются следующие задания:

1. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу?

Рис. П. 7.1 Рис. П. 7.2

2. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция. Ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания — точка, расположенная вне трапеции. Можно ли такую пирамиду назвать вписанной в шар? Поясните.

3. Приведите пример пирамиды, около которой нельзя описать сферу.

4. На рис. П. 7.2 изображена пирамида ABCD, у которой ребро AB перпендикулярно плоскости BCD и угол DBC прямой. Докажите, что точка О — середина ребра AD — центр сферы, описанной около пирамиды.

Далее выдается карточка с задачами для группы.

Задача 1. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, вписанного в эту сферу.

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде сторона оснований равна a, а боковое ребро b в два раза больше. Найдите радиус описанной сферы.

Задача 3. В треугольной пирамиде DABC углы при вершине D — прямые. Постройте изображение центра О — описанного шара и найдите ее радиус, если AD = 6, DC = 8, DB = 24 см.

Задача 4. Найдите радиус шара, описанного около усеченной пирамиды, высота которой равна 3 см. Одним основанием этой пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 16√2 см; меньшая сторона другого основания равна 6 см.

Задача 5. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

Блок № 2: «Сфера, вписанная в пирамиду».

Лекция № 2

Цели: сформировать теоретический аппарат по теме (понятие сферы, вписанной в многогранник (пирамиду); существование и единственность сферы, вписанной в тетраэдр; достаточные условия вписания сферы в полную и усеченную пирамиды; положение центра сферы, вписанной в правильную пирамиду; теорема, устанавливающая связь между объемом, площадью полной поверхности пирамиды и радиусом вписанной сферы; понятие вневписанной сферы).

План лекции

1. Определение сферы, вписанной в многогранник.

2. Доказательство лемм.

Лемма 1. Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, — плоскость, которая делит соответствующие двугранные углы пополам.

Лемма 2. Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла, — пространственная биссектриса этого угла (пересечение трех биссекторов двугранного угла).

3. Теорема № 1. В любой тетраэдр можно вписать сферу, и притом единственную.

(Замечание: при рассмотрении единственности сферы, вписанной в пирамиду, обратить внимание на то, что можно проводить не только биссектор двугранного угла тетраэдра, но и продолжения этих граней, что позволит найти центр так называемой вневписанной сферы.)

4. Следствия:

— центр сферы, вписанной в тетраэдр, — точка пересечения четырех лучей — пространственных биссектрис углов тетраэдра;

— центр сферы, вписанной в тетраэдр, — точка пересечения шести полуплоскостей — биссекторов двугранных углов при всех ребрах.

5. Обсуждение факта, что в правильную пирамиду можно вписать сферу.

6. Положение центра сферы, вписанной в правильную пирамиду. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды.

7. Достаточные условия вписания сферы в пирамиду:

— если двугранные углы при основании пирамиды равны, то в такую пирамиду можно вписать сферу;

— если двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны между собой и сумма радиусов окружностей,

вписанных в основания, равна апофеме пирамиды, то в усеченную пирамиду можно вписать сферу (центр сферы лежит на середине отрезка, соединяющего центры вписанных в основания окружностей).

8. Теорема № 2. Объем многогранника, описанного вокруг шара радиуса r, и площадь его поверхности S связаны соотношением V = 1/3 Sп n r.

9. Задача нахождения радиуса сферы для случаев, когда пирамида правильная или боковые грани равнонаклонены к основанию.

В результате этой лекции в тетрадях учащихся появится следующий опорный конспект.

Определение: сфера называется вписанной в многогранник, если все грани многогранника касаются этой сферы. Многогранник в этом случае называется описанным около сферы.

В усеченную пирамиду можно вписать сферу, если двугранные углы при основании равны и сумма радиусов окружностей, вписанных в основания, равна апофеме пирамиды. Центр сферы лежит внутри пирамиды (для правильной — на высоте):

Возможные варианты нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды или пирамиды с равнонаклоненными гранями к основанию (рис. П. 7.3):

— рассмотреть подобие треугольников SKO и SBH ;

— рассмотреть прямоугольный треугольник ВОН.

Рис. П. 7.3

Практикум по решению задач № 2

Предполагается работа в группах смешанного состава по 5 человек. Ее цели: рассмотреть основные типы задач, в которых участвует сфера, вписанная в пирамиду; сформировать умения применять теоретические знания по теме в практике решения задач; сформировать в группах отношение взаимной ответственности и уважения к мнению оппонента.

Каждой из групп выдается карточка с пятью задачами (для всех одинаковые), по количеству участников в группе, каждый должен будет решить одну задачу и понять идею и основные приемы решения остальных четырех (хотя не исключен тот факт, что учащиеся совместно решат все пять задач). Проверка наиболее простых задач осуществляется только с фиксированием промежуточных результатов. Задачи, вызвавшие больше всего затруднений, представляются одним из членов группы с раскрытием поиска решения или с записью всего решения.

На этапе актуализации знаний (устная работа всего класса) предлагаются следующие задания.

1. В правильную пирамиду вписана сфера. Как расположен центр сферы относительно элементов пирамиды?

2. Приведите пример четырехугольной пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.

3. Верно ли утверждение, что в правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу?

Далее выдается карточка с задачами для группы.

Задача 1. Радиус сферы равен г. Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, описанного около сферы.

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро в 2 раза больше. Найдите радиус вписанной сферы.

Задача 3. Докажите, что если в правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон основания ее боковой грани.

Задача 4. Основание пирамиды — квадрат со стороной а. Два двугранных угла при ребрах основания пирамиды прямые, а два других — φ. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды. Рассмотрите три случая.

Организация контроля. Контроль должен быть достаточно разнообразен и полон, охватывать все этапы обучения этой темы. Для начала целесообразно провести диагностическую работу, которая поможет сориентироваться в уровне подготовки аудитории и отборе материала к практикумам решения задач; затем промежуточные проверочные работы, показывающие уровень усвоения каждого из разделов темы (описанная сфера и вписанная сфера). Наконец, итоговая контрольная работа, охватывающая все разделы и тем самым констатирующая уровень знаний и умений, которыми овладел учащийся за время изучения темы «Комбинации пирамиды и сферы».

Вводная диагностическая работа. Проводится перед первой лекцией. Целью этой работы являются определение уровня подготовки учащихся к восприятию новой темы и выявление заданий тех типов, которые вызвали трудность, а также учет этого при отборе содержания лекций и практикумов по решению задач.

Работа проводится в форме теста, состоящего из двух частей: первая часть оценивает знания и умения учащихся, которыми он овладел в ходе изучения планиметрии, вторая — стереометрии.

В тесте 14 заданий как теоретического, так и задачного плана. Даны варианты ответов, среди которых есть вариант «нет правильного ответа», т. е. если среди первых трех вариантов правильного нет, то верным считается этот вариант. Есть задания, в которых ответ надо написать самому в отведенном месте (см. ч. I, п. 1).

Тест

Часть I

1. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит:

а) внутри треугольника;

б) на одной из его сторон;

в) вне треугольника;

г) нет правильного ответа.

2. Периметр квадрата равен 80 см. Чему равно расстояние от центра квадрата до его стороны?

а) 20 см; б) 5 см; в) 10 см; г) нет правильного ответа.

3. В любой ... можно вписать окружность:

а) четырехугольник и правильный пятиугольник;

б) треугольник и правильный n-угольник;

в) n-угольник;

г) нет правильного ответа.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С = 90°) CD ⊥ AВ. Перечислите все пары подобных треугольников.

5. Из точки М, удаленной от центра окружности на расстояние, равное 10 см, проведены две касательные MA и MB, ∠АМВ = 120°. Найдите MA + MB.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Диаметр описанного круга равен:

а) 13 см; б) 7,5 см; в) 24 см; г) нет правильного ответа.

7. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной а, в который вписана окружность с центром в точке О. В эту окружность вписан треугольник МНК так, что его вершины лежат на серединах сторон треугольника ABС. Найдите расстояние от точки О до стороны треугольника МНК.

Часть II

8. Дан отрезок AB и точка, лежащая на нем, причем АК = КВ. Чем будет являться геометрическое множество точек пространства, равноудаленных от А и В?

а) Плоскостью, перпендикулярной AB и проходящей через К;

б) прямой, перпендикулярной AB и проходящей через К;

в) точкой К;

г) нет правильного ответа.

9. Через сторону ВС треугольника ABC и проведена плоскость а, перпендикулярная AВ. В плоскости а построен треугольник BCD (∠В = 90°). Как расположена сторона BD относительно плоскости ABC и сторона ВС относительно плоскости DBA?

10. Боковые ребра пирамиды равны катетам прямоугольного треугольника (12 см), лежащего в основании. Высота пирамиды равна:

а) 12 см; б) 6√2 см; в) 12√2 см; г) нет правильного ответа.

11. На рис. П. 7.4 изображен треугольник ABC и плоскость а, пересекающая плоскость данного треугольника по прямой ВС. AD — высота треугольника, АО — перпендикуляр к плоскости а (О — его основание). Изобразите на рисунке угол между прямой АС и плоскостью а.

Рис. П. 7.4

12. Через сторону ВС треугольника ABC проведена плоскость под углом в 30° к плоскости треугольника. Высота AD = а. Найдите расстояние от вершины треугольника до плоскости а (см. рис. П. 7.4).

13. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой апофема равна стороне основания, равна 54 см. Определите сторону основания.

14. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 12 см. Грани МВА и MВС перпендикулярны к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

а) 360; б) 576; в) 240; г) нет правильного ответа.

Промежуточный контроль. Проводится в конце изучения каждого из блоков для того, чтобы иметь обратную связь по ходу изучения и освоения учащимися каждого из блоков темы. Должны учитываться допускаемые учащимися ошибки при разработке дальнейшего содержания, подлежащего изучению.

Он проводится в виде двух проверочных работ, содержащих по две задачи, в ходе которых можно пользоваться опорными конспектами.

Проверочная работа по блоку № 1

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

2. В треугольной пирамиде ABCD, у которой АС = СВ, ребро DC перпендикулярно плоскости ABC и угол АСВ прямой, постройте центр сферы, описанной около пирамиды.

Проверочная работа по блоку № 2

1. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, стороны оснований которой равны 1,5 и 2,5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Найдите отношение, в котором шар, вписанный в правильный тетраэдр, делит его высоту.

Итоговая контрольная работа. Проводится после изучения всей темы «Комбинации пирамиды и сферы» с целью определения уровня знаний и умений учащихся по данной теме. Состоит из трех задач. Первая задача связана с изучением

первого блока, вторая — второго блока. Третья задача является обобщением всего материала, где надо применить все те знания, которые были получены ранее.

За каждую задачу можно получить от 0 до 3 баллов:

0 баллов — учащийся к задаче не приступал или сделано все неверно;

1 балл — была попытка выполнения задания, но учащийся запутался в решении;

2 балла — ход решения верный, но есть либо вычислительная ошибка, либо неверные ссылки на утверждения;

3 балла — задача решена верно, с краткими, но достаточными пояснениями.

Тогда: отметка «5» — 8—9 баллов; отметка «4» — 5—7 баллов; отметка «3» — 3—4 балла; отметка «2» — меньше 3 баллов.

Примерный вариант контрольной работы

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 3√13 см, а сторона основания 6√3 см. Найдите площадь поверхности сферы, описанной около этой пирамиды.

2. Около сферы радиусом 5 см описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен 60°. Найдите сторону основания и боковое ребро пирамиды.

3. Дан тетраэдр, все ребра которого равны. В этот тетраэдр вписана сфера, в нее — другой тетраэдр с ребрами одинаковой длины. Найдите отношение объемов этих тетраэдров.

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Теоретические основы построения школьного курса геометрии

К теоретическим основам построения школьного курса геометрии условно отнесем:

— требования, предъявляемые к построению научной теории (в частности — математической теории);

— общенаучные методы, используемые при построении теоретического курса;

— математические методы, используемые при построении математических (теоретических) курсов;

— элементы содержания математического знания (в целом);

— существующие логики построения различных теорий.

К методическим основам построения теоретической единицы школьного курса геометрии условно отнесем:

— отбор общенаучных и математических методов, которые предполагается использовать при построении теоретического курса;

— выделение элементов содержания математической теории, составляющих теоретическую основу курса;

— определение логики построения конкретной математической теории с учетом требований, предъявляемых к построению научной теории (при построении математической теории школьного курса следует учитывать требования дидактики).

К общенаучным методам познания относятся наблюдение и опыт, аналогия, анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение, абстрагирование, конкретизация.

Об этих методах чаще всего говорят, как о формах (приемах) мышления, которые используются при обучении математике. Но эти же методы применяются авторами математических теорий, в частности авторами школьного курса геометрии. Например, аналогия используется при изложении параллельности на плоскости и в пространстве или многогранника и многоугольника; индукция используется при доказательстве третьего признака равенства треугольников и теоремы об измерении вписанного угла.

Обучение математике чаще всего осуществляется в процессе решения математических задач. Процесс решения математической задачи требует знания методов решения математических задач.

Теорема — математическое утверждение, истинность которого доказывается в рамках определенной теории (системы аксиом), причем в основе доказательства заложены определенные математические методы, которые определяются автором (авторами) разрабатываемой теории.

Выделим наиболее распространенные математические методы решения задач:

— метод равных треугольников;

— метод подобия;

— метод площадей;

— метод преобразований;

— координатный метод;

— векторный метод;

— координатно-векторный метод.

Эти же математические методы используются авторами учебников при обосновании математических утверждений. Причем одно и то же математическое утверждение, которому присваивается статус теоремы, разными авторами может быть доказано с применением различных математических методов.

Примеры

Теорема Пифагора. В основе доказательства: метод площадей, метод равных треугольников, формула тождества сокращенного умножения (Л. С. Атанасян и др.).

Теорема косинусов. В основе доказательства: координатный метод (Л. С. Атанасян и др.); векторный метод (А. В. Погорелов).

Предложим один из вариантов трактовки понятия «логическое строение курса геометрии». Логическое строение курса геометрии заключается в следующем:

— задается система основных неопределяемых понятий;

— формулируются основные свойства (аксиомы) основных понятий и отношений между ними;

— вводятся и определяются другие понятия (на базе ранее изложенной теории);

— формулируются признаки и свойства введенных в курсе понятий, их отношений (теоремы), которые доказываются на базе ранее изложенных теоретических положений (определений, утверждений).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий логическое строение курса планиметрии по учебнику Л. С. Атанасяна и др.

Покажем, что понятия и утверждения, которые задействованы в формулировке и доказательстве теоремы, имеют место в ранее изложенной теоретической части курса.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Структуру утверждения можно представить схематично.

Разъяснительная часть

Условие

Заключение

Треугольник с отрезками, исходящими из его вершины

Треугольник равнобедренный; отрезок — биссектриса угла, проведенная к основанию

Отрезок — высота треугольника и медиана

Рис. П. 8.1

Построим родословные понятий, включенных в формулировку теоремы.

Как видно из схемы, иллюстрирующей родословные выделенных понятий (рис. П. 8.1), все включенные в нее понятия

либо определены до рассмотрения теоремы, либо являются основными понятиями.

Рассмотрим доказательство теоремы, выделяя каждый шаг доказательства с указанием опорного утверждения (утверждений) и отметкой наличия обоснованности этого утверждения в ранее изложенной части теоретического курса (рис. П. 8.2). Запись доказательства представлена в следующей таблице.

Рис. П. 8.2

Таблица

Шаг доказательства

Опорные утверждения

Доказательность опорных утверждений

Рассмотрим треугольники ABD и ACD: AB = АС

Свойство равнобедренного треугольника (определение)

Следствие из определения (+)

∠1 = ∠2, AD — общая сторона

Свойство биссектрисы угла (определение)

Следствие из определения (+)

Вывод: △ABD = △ACD

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

Первый признак равенства треугольников (+)

Из равенства треугольников ABD и ACD имеем: ∠3 = ∠4, BD = DC

Свойство равных треугольников (равенство соответственных элементов)

Свойство (+)

Так как ∠3 = ∠4 и эти углы смежные, то они прямые

Свойство равных углов (равенство градусных мер). Свойство смежных углов (сумма 180°)

(+) (+)

Т. е. AD — высота

Определение высоты треугольника

(+)

Так как BD = DC, то D — середина стороны ВС, т. е. AD — медиана

Свойство равных отрезков.

Признак середины отрезка.

Определение медианы треугольника

(+) (+) (+)

Заметим, что при доказательстве теоремы в качестве метода доказательства применяется метод равных треугольников.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

Вариант тестового контроля остаточных знаний по технологиям и методике обучения математике

Тренировочный тест для студентов

Вариант 1

1. Традиционные технологии обучения математике характеризуются:

— активной позицией учащегося;

— прямым руководством учителя над процессом освоения содержания;

— косвенным руководством учителя над процессом освоения содержания;

— ориентацией на самостоятельное добывание учащимися знаний;

— ориентацией на закрепление учащимися действий по образцу.

2. Коммуникативные технологии обучения математике направлены на усвоение учащимися приемов:

— понимания информации;

— передачи информации;

— хранения информации;

— сжатия информации;

— воспроизведения информации.

3. Углубленное изучение математики в школе включает ... этапа.

4. Углубленное изучение математики в школе ориентировано на:

— подготовку к обучению в вузе по соответствующим специальностям;

— развитие математических способностей;

— овладение минимально необходимыми математическими знаниями;

— развитие эмоциональной сферы учащихся;

— выбор профессий, связанных с математикой.

5. Цели обучения математике в школе гуманитарного профиля связаны с формированием:

— системы научных математических знаний;

— представлений о роли математики в современном мире;

— прочных умений оперирования математическими знаниями;

— математических способностей;

— представлений о способах применения математических знаний.

6. Математический курс, который предлагается в старших классах с углубленным изучением математики, называется:

— алгебра и начала анализа;

— геометрия;

— математика;

— алгебра;

— алгебра и математический анализ.

7. Любое понятие характеризуется:

— содержанием;

— формой;

— объемом;

— структурой;

— качеством.

8. Определение неправильной дроби относят к определениям:

— через описание характеристического свойства;

— аксиоматическим;

— дизъюнктивным;

— конструктивным;

— рекурсивным.

9. Структура теоремы включает такие элементы, как:

— разъяснительная часть;

— текст теоремы;

— условие;

— формулировка теоремы;

— заключение.

10. Алгоритм это точное понятное ... для пошагового выполнения некоторого действия.

11. Любая задача имеет:

— данные;

— сюжет;

— рисунок-чертеж;

— вопрос или требование;

— краткую запись условия.

12. Основным этапом работы над задачей считается:

— анализ текста;

— краткая запись условия и требования;

— поиск решения;

— реализация плана решения;

— исследования задачи.

13. Последовательность появления условия (У) и требования (Т) в тексте задачи: «В двух кусках ткани 112 м. В первом куске на 12 м больше, чем во втором. Сколько стоит каждый кусок при условии, что первый кусок ткани стоит на 1080 р. дороже второго?» может быть описана схемой:

У — Т — У; Т — У — Т;

У — Т; Т —У; Т — Т — У.

Вариант 2

(в данном варианте правильные ответы отмечены знаком « + » и указан предполагаемый коэффициент трудности вопроса (KT))

1. KT = 3.

Инновационные технологии обучения математике характеризуются:

— активной позицией учащегося (+);

— прямым руководством учителя процессом освоения содержания;

— косвенным руководством учителя процессом освоения содержания (+);

— ориентацией на самостоятельное добывание учащимися знаний (+);

— ориентацией на закрепление учащимися действий по образцу.

2. KT = 3.

Коммуникативные технологии при обучении математике целесообразно использовать при:

— актуализации ранее изученного материала (+);

— формировании умений и навыков;

— введении нового материала (+);

— закреплении теоретических знаний (+);

— контроле усвоения учебного материала (+).

3. КТ = 1.

Предпрофильная подготовка проводится с целью осознанного ... учащимся математического профиля в старшей школе.

Выбора (+).

4. KT = 2.

Ведущим средством для достижения целей углубленного изучения математики являются математические .... Задачи (+).

5. KT = 3.

Курс математики в школах гуманитарного профиля предназначен для учащихся:

— ориентированных на творческие профессии;

— не предполагающих использовать математику в будущей профессии (+);

— не предполагающих сдавать конкурсные экзамены по математике в вуз (+);

— имеющих пробелы в математических знаниях;

— испытывающих затруднения при изучении математики (+).

6. КТ = 1.

Учащиеся старших классов гуманитарного профиля изучают курс — .... Математика (+).

7. КТ = 1.

При уменьшении содержания понятия его объем:

— расширяется (+);

— сохраняется;

— сужается;

— остается тем же;

— увеличивается (+).

8. КТ = 1.

Понятие может быть введено:

— дедуктивно (+);

— аналитически;

— индуктивно (+);

— по аналогии;

— синтетически.

9. КТ = 1.

В школьном курсе геометрии теоремы в основном формулируются в форме:

— категорической (+);

— отрицательной;

— импликативной (условной) (+);

— вопросительной;

— естественной.

10. KT = 2.

Свойствами любого алгоритма являются:

— точность описания шагов (+);

— логичность шагов;

— детерминированность шагов (+);

— массовость (+);

— результативность (+).

11. KT = 1.

Процесс решения любой задачи предполагает:

— установление связей между данными (+);

— краткую запись условия;

— выделение знаний, необходимых для решения (+);

— выбор метода решения (+);

— запись схемы решения.

12. KT = 2.

Вспомогательным этапом работы над задачей является:

— анализ текста;

— краткая запись условия и требования (+);

— поиск решения;

— составление логической схемы поиска решения (+);

— исследования задачи (+).

13. KT = 2.

Правильная последовательность нахождения величин при решении задачи: «В двух кусках ткани 112 м. В первом куске на 12 м больше, чем во втором. Первый кусок ткани стоит на 1080 р. дороже второго. Сколько стоит каждый кусок?» такова:

1. Длина первого куска. 2. Длина второго куска. 3. Цена ткани. 4. Стоимость первого куска. 5. Стоимость второго куска.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Тематический список статей журнала «Математика в школе» с 1936 по 2005 год

Арифметика и алгебра. Линия числа. Вычислительная культура

1. Автайкина А. К. Некоторые формы организации устного счета. — 1991. — № 3. — С. 17—21.

2. Азиев И. К. Индивидуальные задания для устранения ошибок. — 1993. — № 5. — С. 9—10.

3. Бородихина В. Н. Устные вычисления в IV классе. — 1987. — № 6. — С. 37.

4. Борткевич Л. К. Повышение вычислительной культуры учащихся. — 1995. — № 5. — С. 13—21.

5. Витанов Т. О работе математических кружков для младших школьников. — 1991. — № 2. — С. 72—74.

6. Виштака В. Д. Возведение в квадрат некоторых двузначных чисел. — 1966. — № 3. — С. 55.

7. Гнеденко Б. В. Абак, десятичная позиционная система счисления и десятичные дроби. — 1994. — № 1. — С. 75—77.

8. Грибанов В. У. Приближенные вычисления в V классе. — 1953. — № 5. — С. 4—15.

9. Жилина Л. И. Лото для устного счета. — № 5. — С. 11—12.

10. Ирошников Н. П. Обучающие работы и их проведение. — 1993. — № 1. — С. 30—31.

11. Лобанов И. Б. Приближенные вычисления в общеобразовательной политехнической средней школе. — 1964. — № 1.

12. Мигунова Н. П., Корольков Б. Е. Устный журнал «Путешествие в мир чисел». — 2000. — № 5. — С. 64—68.

13. Минаева С. С. О формировании навыков вычисления в уме. — 1987. — № 5. — С. 35—38.

14. Нешков К. И. О порядке выполнения действий. — 1965. — № 2. — С. 52—54.

15. Панасенко М. 3. Некоторые способы быстрых вычислений. — 1992. — № 1. — С. 22—24.

16. Перькова О. И., Сазанова Л. И. Упражнения для учащихся V—VI классов. — 1993. — № 1. — С. 23—27.

17. Пономарев С. А. Устные и полуписьменные вычисления в IV—V классах. — 1981. — № 2. — С. 29—32.

18. Ситникова Т. В. Приемы активизации учащихся в V—VI классах. — 1993. — № 2. — С. 24.

19. Смирнова Н. А. Смотр знаний в классе. — 1993. — № 3. — С. 6—7.

20. Филевич П. В. Арифметические ребусы. — 1994. — № 5. — С. 63—64.

21. Чернова Т. Н. Путешествие для тех, кому интересно. — 2001. — № 8. — С. 9—12.

22. Шихалиев Х. Ш. Об изучении числа в IV—V классах на теоретико-множественной основе. — 1972. — № 5. — С. 66—68.

Целые числа и модуль

1. Айзенберг М. И. Упражнения, содержащие модуль. — 1976. — № 3. — С. 27—28.

2. Богомолова Л. Г. Игра с числами. — 1988. — № 6. — [4-я сторона обл.].

3. Григорьева И. С. Еще раз о целых числах. — 2001. — № 10. — С. 73.

4. Гуртовой О. С. Решение уравнений с модулем в VI классе. — 1997. — № 2. — С. 11—12.

5. Жилина Е. И. Задачи на умножение положительных и отрицательных чисел. — 1980. — № 5. — С. 37—40.

6. Котова В. А. Как я ввожу отрицательные числа. — 2002. — № 7. — С. 54—55.

7. Красикова Ю. А. Оригинальные домашние задания. — 1996. — № 4. — С. 12—15.

8. Курдюмова Н. А. Формальное и интуитивное в процессе развития понятия числа. — 1994. — № 4. — С. 73—76.

9. Ларин С. В. Целые числа и житейские представления о них. — 2001. — № 2. — С. 44—49.

10. Лурье Б. Относительные числа. — 1940. — № 3. — С. 29—37.

11. Мартынова М. Ф. Опыт изучения положительных и отрицательных чисел с учащимися V класса. — 1966. — № 2. — С. 58—61.

12. Мартынова М. Ф. Тема «Положительные и отрицательные числа» в некоторых зарубежных учебниках. — 1964. — № 5. — С. 79—82.

13. Милковский Н. Относительные числа. — 1938. — № 4. — С. 26—34.

14. Рупасов К. А. К вопросу о школьном изложении теории рациональных чисел. — 1955. — № 6. — С. 25—32.

15. Саранцев Г. И., Королькова И. Г. Примеры многовариантных самостоятельных работ. — 1994. — № 4. — С. 20—21.

16. Шевкин А. В. О пропедевтике действий с отрицательными числами. — 1991. — № 3. — С. 17—21.

17. Шилов С. И. О введении понятия противоположного числа и правила вычитания рациональных чисел. — 1960. — № 1. — С. 45—49.

Дроби

1. Андрусенко А. М. К выводу правила деления обыкновенных дробей. — 1973. — № 4. — С. 43—44.

2. Антонов А. О. Набор «Доли и дроби». — 1971. — № 5. — [4-я сторона обл.].

3. Аракчеева И. А., Федотова О. Я. Урок — «Экскурсия по летнему саду». — 2001. — № 5. — С. 23—24.

4. Волков Д. А. Упражнение для устного счета по теме «Обыкновенные дроби». — 1997. — № 2. — С. 13—14.

5. Габышева Л. Р. Вычислительные упражнения по теме «Десятичные дроби». — 2000. — № 6. — С. 7—8.

6. Десятичные дроби из пробного учебника. — 1968. — № 2. — С. 34—42.

7. Дранова Л. И. Отбросить разное — оставить общее. — 1994. — № 5. — С. 48—49.

8. Захаренкова Н. В. «Гуси-лебеди» и обыкновенные дроби. — 2001. — С. 41—42.

9. Красикова Ю. А. Оригинальные домашние задания. — 1996. — № 4. — С. 12—15.

10. Лахова Н. В. Алгебраическая пропедевтика при сложении дробей с разными знаменателями. — 1996. — № 2. — С. 25—26.

11. Нешков К. И. Об изучении обыкновенных дробей в V классе. — 1979. — № 5. — С. 31—33.

12. Орешкин В. Некоторые моменты преподавания дробей в V классе средней школы. — 1938. — № 1. — С. 62—68.

13. Радченко Е. В. Интерпретация дробей и действий с ними на координатной плоскости. — 1987. — № 2. — [4-я сторона обл.].

14. Руденко В. Н., Маркова С. Н. Математический час в IV классе. — 1988. — № 6. — С. 40—42.

15. Саранцев Г. И., Королькова И. Г. Примеры многовариантных самостоятельных работ. — 1994. — № 4. — С. 20—21.

16. Севастьянов П. Я. Умножение обыкновенных дробей. — 1949. — № 1. — С. 22.

17. Тимофеева В. М. Обучение с помощью таблиц. — 2000. — № 6. — С. 17—18.

18. Фокин Б. Д. Предлагаю свою схему изучения десятичных дробей. — 1990. — № 2. — С. 11—14.

19. Цукарь А. Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей. — 1994. — № 5. — С. 5—8.

20. Частухина О. В. Повторение в игровой форме действий с дробями. — 2001. — № 8. — С. 5—9.

21. Шевкин А. В. О порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей. — 1995. — № 4. — С. 45—47.

22. Юхнова З. И. Поработаем устно в начале урока. — 2000. — № 10. — С. 21.

Проценты

1. Азия А. П. О задачах с химическим содержанием. — 1974. — № 4. — С. 54—56.

2. Артеменко А. Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание. — 1994. — № 4. — С. 15—18.

3. Барабанов О. О. Задачи на проценты как проблема словоупотребления. — № 5. — С. 50—60.

4. Богданов А. Сложные проценты. — 1940. — № 1. — С. 62—63.

5. Бычков Б. П. Изучение процентного отношения чисел в средней школе. — 1961. — № 1. — С. 44—45.

6. Винокуров Е. Ф. Бизнес в три вопроса: Издержки? Цена? Выручка? — 2002. — № 8. — С. 42—45.

7. Водинчар М. И., Лайкова Г. А., Рябова Ю. К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений. — 2001. — № 4. — С. 56—62.

8. Волович М. Б. Таблицы по математике для V—VI классов. — 1989. — № 5. — С. 56.

9. Гольдфайн И. И. Условие задачи не должно допускать различных интерпретаций. — 2003. — № 6. — С. 37—38.

10. Дзюба Ф. Проценты. — 1940. — № 5. — С. 55.

11. Дорофеев Г. Б., Кузнецова Л. Б., Минаева С. С., Суворова С. Б. Изучение процентов в основной школе. — 2002. — № 1. — С. 19—23.

12. Ефимов А. П. О правильном использовании понятий «концентрация» при решении задач. — 1961. — № 6. — С. 64—65.

13. Захарова А. Е. Несколько задач «про цены». — 2002. — № 8. — С. 34—35.

14. Круповецкий Л. Г. К вопросу о вычислении промиллей. — 1946. — № 4. — С. 45—46.

15. Круповецкий Л. Г. К методике преподавания процентных расчетов. — 1950. — № 5. — С. 29—35.

16. Круповецкий Л. Г. О некоторых задачах на процентные расчеты. — 1952. — № 2. — С. 67—74.

17. Левитас Г. Г. Об изучении процентов в V классе. — 1991. — № 4. — С. 37—38.

18. Лещев П. Б. Изучение процентных вычислений в связи с обыкновенными дробями. — 1957. — № 4. — С. 78—87.

19. Литвиненко Ф. Ф. О наглядности в преподавании процентов. — 1962. — № 4. — С. 52—55.

20. Никольская И. А. Из опыта изучения темы «Задачи на проценты». — 1979. — № 5. — С. 34.

21. Петров Б. А. Элементы финансовой математики на уроках. — 2002. — № 8. — С. 38—42.

22. Плечова Б. М., Плечов Г. Н. Старинный учебник арифметики для современной школы. — 2000. — № 9. — С. 65—69.

23. Рязановский А. Р. Задачи на части и проценты. — 1992. — № 1. — С. 18—22.

24. Седова Е. А. Проценты в X классе общеобразовательного направления. — 1996. — № 4. — С. 46—49.

25. Симонов А. С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике. — 1998. — № 3. — С. 27—36.

26. Симонов А. С. Проценты и банковские расчеты. — 1998. — № 4.

27. Симонов А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей. — 1998. — № 6. — С. 34—37.

28. Симонов А. С. Сложные проценты. — 1998. — № 5. — С. 30—41.

29. Сорокин П. М. Из опыта преподавания темы «Проценты». — 1958. — № 4. — С. 49—50.

30. Стратилатов П. Б. Об ознакомлении учащихся с процентными вычислениями в средней школе. — 1958. — № 4. — С. 23—30.

31. Фирсова М. М. Урок решения задач с экономическим содержанием. — 2002. — № 8. — С. 36—38.

32. Шевкин А. Б. Еще раз об изучении процентов. — 1993. — № 1. — С. 20—22.

33. Шевкин А. Б. Задачи о делении доходов и метод половинного деления отрезков. — 1996. — № 3. — С. 52—54.

34. Шевцов В. Я. О решении задач на процентную концентрацию. — 1993. — № 4. — С. 55.

35. Шкребко П. И. К вопросу о методике решения некоторых задач на проценты. — 1963. — № 2. — С. 47—48.

36. Шорина С. П. Обоснование старинного способа решения задач на смеси. — 1998. — № 6. — С. 77.

Линия функций

Функции в основной школе

1. Банникова Л. П., Никулин Н. А. О графике квадратного трехчлена. — 1980. — № 4. — С. 43.

2. Бронфман В. В., Каменецкий С. Е. О функциональных зависимостях в курсах физики и математики. — 1963. — № 1. — С. 43—47.

3. Галицкий М. Л. Об изложении темы «График линейной функции». — 1980. — № 5. — С. 30—32.

4. Колганов И. Л. Применение линейной функции к решению задач оптимизации. — 2000. — № 5. — С. 62—64.

5. Копылова Г. К. Урок закрепления и обобщения. — 2001. — № 7. — С. 36—39.

6. Ли Чанмин. Применение графической наглядности при изучении квадратного трехчлена. — 1988. — № 6. — С. 38—39.

7. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. Функции в VI классе. — 1972. — № 4. — С. 11—18.

8. Мареева Л. В. Уроки по теме «График квадратичной функции». — 2001. — № 7. — С. 34—36.

9. Методические указания к теме «Функция». — 2002. — № 3. — С. 31—41.

10. Михальков Г. П. О функционально-графической пропедевтике. — 1964. — № 4. — С. 46—49.

11. Мишин В. И. К вопросу об изучении функций в восьмилетней школе. — 1963. — № 1. — С. 40—43.

12. Прочухаев В. Г. Упражнения функционального содержания. — 1964. — № 1. — С. 38—41.

13. Рынков А. Е. Урок — лабиринт. — 1993. — № 3. — С. 8—11.

14. Соловьев Л. М. Открытый урок повторения. — 1999. — № 5. — С. 8—9.

15. Терешин Н. А. Уравнение прямой на уроках алгебры и геометрии. — 1989. — № 5. — С. 100—103.

16. Финкелъштейн Ф. М. О двух видах контрпримеров и одном неудачном определении из учебника. — 1997. — № 5. — С. 57—60.

17. Фломин Н. И. Построение графиков функций в средней школе. — 1965. — № 1. — С. 40—41.

18. Цукарь А. Я. Изучение функций в VII классе с помощью средств образного характера. — 2000. — № 4. — С. 20—27.

Функции в старшей школе

1. Авербух Б. Г., Рубинштейн А. И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно-степенную функцию. — 1996. — № 2. — С. 29—33.

2. Барыбин К. С. Функции и их графики. — 1952. — № 6. — С. 26—33.

3. Виленкин Н. Я., Блох А. Я. Элементарные функции в школьном курсе математики. — 1978. — № 3. — С. 53—57.

4. Власова Е. В. Еще раз об изучении функции в средней школе. — 2002. — № 6. — С. 53—57.

5. Гельфанд М. Е. Опыт изучения темы «Степенная функция». — 1963. — № 5. — С. 30—37.

6. Геренштейн А. В., Эвнин А. Ю. О сумме периодических функций. — 2002. — № 1. — С. 68—73.

7. Гилев В. Г. Об одном методе нахождения промежутков монотонности рациональных функций. — 1996. — № 2. — С. 14—15.

8. Головченко Н. С. Из опыта введения понятия непрерывности функции. — 1981. — № 6. — С. 15—18.

9. Гордиенко В. Н. Проблемная ситуация при исследовании функции. — 1984. — № 3. — [4-я сторона обл.].

10. Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности. — 1988. — № 4. — С. 50.

11. Дворянинов С. В., Розов Н. Х. Дробно-квадратичная функция в школьном курсе математики. — 1997. — № 4. — С. 50—58.

12. Дразнин И. Е. К вопросу изучения сложной функции. — 1991. — № 6. — С. 16—17.

13. Запорожцев Г. С. Об одном способе построения графиков сложных функций. — 1967. — № 2. — С. 47—49.

14. Клейман Я. М. Оси симметрии графиков функций. — 1972. — № 3. — С. 72—74.

15. Корчевский В. Е., Салимжанов Р. М. Опыт применения тестов на уроках математики. — 1996. — № 2. — С. 37—39.

16. Кудряшов А. Д., Мещеряков А. С. К вопросу о периодических функциях. — 1969. — № 5. — С. 19—21.

17. Левитас Г. Г., Рятова Н. А. Исследование выпуклости элементарными средствами. — 1970. — № 3. — С. 75—76.

18. Марнянский И. А. О представлении функции одной формулой. — 1971. — № 2. — С. 71—73.

19. Микаэлян А. А. В методическую копилку. — 1989. — № 4. — С. 66.

20. Мурина И. Н., Соловьев А. Ф. О наибольшем и наименьшем значении функции. — 1988. — № 5. — С. 28—32.

21. Новиков А. И. Свойства функций и задача нахождения множества значений функции. — 2005. — № 5. — С. 36—41.

22. Павленкова И. А. Об изучении функционального материала. — 1970. — № 1. — С. 60—65.

23. Перевалов Г. Е. Задачи на графики. — 1991. — № 2. — С. 16—21.

24. Петров В. А. Об исследовании функций на периодичность. — 1978. — № 5. — С. 34—35.

25. Смирнова Р. И. О периодичности и непериодичности функций. — 2002. — № 1. — С. 66—68.

26. Хэкало С. П. Исследование функций на четность или нечетность в школьном курсе математики. — 2002. — № 9. — С. 63—66.

27. Цукарь А. Я. Изучение функций в IX—X классах. — 2002. — № 7. — С. 30—35.

28. Шведенко С. В. К исследованию элементарных функций на выпуклость и вогнутость. — 1970. — № 3. — С. 72—75.

29. Шунда Н. Н. Дополнительные упражнения на исследование функций. — 1981. — № 3. — С. 62—64.

30. Эйвазов А. Г. О производной обратной функции. — 1981. — № 6. — С. 33.

31. Яшина Н. В. Приемы построения графиков. — 1994. — № 3. — С. 11—12.

Линия уравнений и неравенств

1. Авраменко В. С. Квадратные уравнения и МК на математическом кружке. — 1989. — № 5. — С. 84—90.

2. Гилемханов Р. Г. Об одном способе решения неравенства второй степени с одной переменной. — 2004. — № 8. — С. 7—10.

3. Дворянинов С. В. О теореме Виета. — 2003. — № 9. — С. 43—45.

4. Дробышев Ю. А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода. — 2000. — № 6. — С. 68—70.

5. Зенина М. Н. Эта разноликая теорема Виета. — № 2/3. — С. 29.

6. Иванова Е. Ю. Такой простой метод. — 1998. — № 2. — С. 18—22.

7. Извольский Н. А. Об уравнениях и их методике. — 1936. — № 5. — С. 37—40.

8. Имранов Б. О системе изучения неравенств. — 2002. — № 7. — С. 38—39.

9. Кривова В. А. Разноуровневые тесты в обучении решению неравенств. — 1998. — № 2. — С. 23—27.

10. Литаренко Н. И. Правила решения уравнений. — 1996. — № 2. — С. 16—22.

11. Майлиев Ш. О самостоятельных работах по теме «Системы уравнений» в VI классе. — 1976. — № 6. — С. 35.

12. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. и др. Неравенства в классе. — 1973. — № 3. — С. 8—13.

13. Межировский Я. Неравенства в средней школе. — 1937. — № 6. — С. 74—82.

14. Минаева С. С. и др. Методические указания к теме «Квадратные уравнения». — 2001. — № 10. — С. 13—23.

15. Муравин Г. К. Об одном из способов изучения систем уравнений в VI классе. — 1984. — № 1. — С. 42—44.

16. Ромашко И. В., Винник В. М. Технология работы в разноуровневых группах. — 1996. — № 4. — С. 40—45.

17. Санина Е. И. Педагогическая диагностика результативности изучения неравенств. — 1998. — № 2. — С. 65—67.

18. Смирнов И. И. О решении и исследовании уравнений в курсе школы. — 1954. — № 1. — С. 22—37.

19. Смирнова Е. С. Рекомендации по использованию литературы по теме «Алгебраические уравнения». — 1995. — № 6. — С. 11 — 16.

20. Столяров Н. А. К вопросу об изучении неравенств. — 1956. — № 2. — С. 41—44.

21. Урукова М. П. Урок повторения в XI классе: « Методы решения уравнений». — № 6. — С. 4—7.

22. Фаерштейн П. А. Геометрическая интерпретация исследования квадратного уравнения. — 1956. — № 6. — С. 1—3.

23. Филатов В. Г. Из опыта применения теоремы Виета при решении квадратных уравнений. — 1981. — № 6. — С. 19—21.

24. Фоминых Ю. Ф. Доказательство неравенств. — 1998. — № 6. — С. 44—47.

25. Цвилева И. А. Числовые неравенства и их свойства. — 2002. — № 6. — С. 42—45.

Иррациональные уравнения и неравенства

1. Бекаревич А. Н. К методике преподавания иррациональных уравнений. — 1959. — № 1. — С. 74—80.

2. Березанская Е. С. Иррациональные уравнения. — 1957. — С. 45—53.

3. Берколайко С. Т. Об одном приеме решения иррациональных уравнений. — 1965. — № 3. — С. 59.

4. Генкин Г. З. Геометрические решения задач, содержащих иррациональные выражения. — 2003. — № 6. — С. 31—33.

5. Депман И. Я. Еще раз о преобразованиях радикалов и решении иррациональных уравнений. — 1953. — № 6. — С. 21—25.

6. Дроздов В. Б. Откуда взялась формула сложного радикала? — 2002. — № 8. — С. 77.

7. Матюшкин-Герке А. А. К решению некоторых иррациональных уравнений. — 1969. — № 5. — С. 37—38.

8. Мирошин В. В., Климентьева М. Г. Когда же появляются посторонние корни? — 2003. — № 9. — С. 21—22.

9. Моденов В. П. Решение иррациональных уравнений. — 1970. — № 6. — С. 32—35.

10. Нурпеисов Ю. Н. Решение иррациональных уравнений с помощью неопределенных коэффициентов. — 1964. — № 3. — С. 56—57.

11. Поленок В. Ф. А как проще? — 2000. — № 6. — С. 9—10.

12. Попов В. А. Иррациональные уравнения, неравенства и теорема косинусов. — 1998. — № 6. — С. 52—55.

13. Рубинштейн А. И. Об одном случае появления посторонних решений уравнения. — 2001. — № 4. — С. 62—63.

14. Севрюков П. Ф. Об ошибках при решении иррациональных уравнений. — 2002. — № 7. — С. 37—38.

15. Семенов П. В. Как составлять уравнения √ax + b = сх + d. — 2000. — № 10. — С. 18—19.

16. Семенов П. В. Как составлять уравнения √ax + b + √cx + d = L. — 2001. — № 4. — С. 49—52.

17. Смоляное А. Н. Нетрадиционные способы решения иррациональных уравнений. — 2002. — № 7. — С. 35—36.

18. Шлегель Г. Преобразование радикала. — 1940. — № 5. — С. 15—17; 1936. — № 6. — С. 3—14.

Показательные и логарифмические функции, уравнения и неравенства

1. Белобородова С. В. Педагогическое значение истории математики на примере становления понятия логарифма. — 2003. — № 9. — С. 65—70.

2. Бендукидзе А. Д. Показательная функция и ее производная. — 1978. — № 1. — С. 56—61.

3. Бородин А. И., Каменская М. В. К истории логарифмов. — 1991. — № 5. — С. 71.

4. Ваксман В. С. К свойствам показательной и логарифмической функций. — 1967. — № 2. — С. 43—46.

5. Виленкин Н. Я., Сатвалдиев А. Об изучении показательной функции в школе. — 1989. — № 6. — С. 75—82.

6. Гиршович В. С. Виды самостоятельных работ. — 1998. — № 3. — С. 37—40.

7. Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Изучение показательной и логарифмической функций на основе понятий и методов математического анализа. — 1989. — № 6. — С. 82—91.

8. Заборонков Н. А. Об одном типе задач на логарифмы. — 1971. — № 6. — С. 25—26.

9. Ивашев-Мусатов О. С. Об обобщении понятия степени. — 1991. — № 2. — С. 37.

10. Иоффе А. И. О доказательстве свойств десятичных логарифмов. — 1971. — № 1. — С. 46—47.

11. Кондолова А. Т. Ход конем. — 2000. — № 10. — С. 22.

12. Левитас Г. Г. Введение показательной функции в классах с математической специализацией. — 1995. — № 1. — С. 31—35.

13. Маркушевич А. И. Логарифмическая и показательная функции в школе. — 1965. — № 3. — С. 43—51.

14. Нагибин Ф. Ф., Чернявский М. Д. Производные показательной и логарифмической функции. — 1970. — № 6. — С. 67—68.

15. Панишева О. В. Применение показательной функции. — 2001. — № 5. — С. 12—13.

16. Санина Е. И. Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Логарифмическая функция». — 1999. — № 5. — С. 9—11.

17. Солоду хин В. Я. Задания по теме «Показательные неравенства». — 2001. — № 5. — С. 13—17.

18. Сорокин Г. А. Вариант построения логарифмической и показательной функции. — 1993. — № 6. — С. 66—69.

19. Филистович М. Из истории и теории логарифмов. — 1937. — № 1. — С. 15—25.

20. Черникова Т. М. Различные подходы к определению логарифмической функции (урок в группах). — 1994. — № 4. — С. 18—20.

21. Черникова Т. М. Уроки в парах сменного состава. — 1996. — № 4. — С. 45—46.

Изучение элементов тригонометрии

1. Адрова И. А., Ромашко И. В. Модульный урок в X классе. — 2001. — № 4. — С. .28—32.

2. Белобородова С. В. История математики на первых уроках тригонометрии. — 2005. — № 3. — С. 59—64.

3. Беляева Э. С. Единичная окружность в подготовительном курсе тригонометрии. — 2000. — № 8. — С. 15—19.

4. Владимерцева С. А. Об изучении первых тем тригонометрии. — 2005. — № 3. — С. 16—21.

5. Гилемханов Р. Г. Освободимся от лишней работы. — 2000. — № 10. — С. 9.

6. Грабовский М. А., Котельников П. М. Изучение тригонометрических функций на основе кинематических представлений. — 1969. — № 4. — С. 54—59.

7. Грабовский М., Котельников П. М. Задачи на составление тригонометрических уравнений. — 1938. — № 5—6. — С. 71—79.

8. Григорьева И. С. Такой простой знак равенства. — 2000. — № 10. — С. 53—54.

9. Груденов Я. И., Колегаева Н. А., Фридман М. А. Как запомнить формулы. — 1991. — № 1.

10. Гусева Н. Б., Сычева Г. В. Учимся преобразовывать тригонометрические выражения. — 2000. — № 10. — С. 3—9.

11. Депман И. Я. Древнейший вывод формулы синуса половинного угла. — 1941. — № 3. — С. 31—32.

12. Загородская Л. С. Домашняя контрольная работа. — 1994. — № 5. — С. 15.

13. Золотухин Ю. П. Замечание о решении уравнений вида a sin x + b cos х = с. — 1991. — № 3. — С. 64.

14. Зубов А. Б. Тригонометрическая подстановка при решении задач, содержащих обратные тригонометрические функции. — 2003. — № 2. — С. 15—19.

15. Квашко Л. П. Тесты — в практику преподавания математики. — 1996. — № 6. — С. 50—55.

16. Кузнецова Е. П. Об одном методе построения графиков тригонометрических функций (метод рамок). — 1990. — № 4. — С. 61.

11. Маергойз Д. М. К методике обратных тригонометрических функций. — 1937. — № 2. — С. 31—40.

18. Макарова Л. В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. — 1998. — № 3. — С. 13—15.

19. Мамхегов А. Б. Углубленное изучение тригонометрических функций. — 1994. — № 3. — С. 26—30.

20. Мещерякова Г. П. Вычисление арков без таблиц и МК. — 1998. — № 4. — С. 22—24.

21. Мордкович А. Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе. — 2002. — № 6. — С. 32—38.

22. Осипова В. Л., Феоктистов И. Е. Итоговое повторение тригонометрии в IX классе. — 2000. — № 3. — С. 5—10.

23. Попадюк А. В. Графический метод решения некоторых тригонометрических уравнений и неравенств. — 1988. — № 4.

24. Сикорский К. П. К доказательству теоремы сложения. — 1978. — № 5. — С. 51; 1978. — № 1. — С. 23; 1967. — № 2. — С. 54.

25. Скобелев Г. Н. Контрольно-тренировочные повторительные упражнения по теме «Тригонометрические функции». — 1965. — № 0. — С. 32—38.

26. Строгова А. И. Проще простого. — 2001. — № 4. — С. 52.

27. Филозоф Е. Ф. Геометрическая интерпретация аркфункций. — 1994. — № 5. — С. 59—61.

28. Цукарь А. Я. Упражнения практического характера по тригонометрии. — 1993. — № 3. — С. 12—15.

29. Шевелев Н. И. Дополнительные упражнения по разделу «Тригонометрические уравнения». — 1950. — № 5. — С. 43—45.

30. Шенфельд Х. Что общего между заходом Солнца и функцией синус? — 1993. — № 2. — С. 75—77.

31. Шоластер Н. Н. Об изучении тригонометрических функций в курсе «Алгебра и элементарные функции». — 1964. — № 1. — С. 25—38.

32. Яновская Н. Б., Яновский Г. Б. К вопросу решения тригонометрических уравнений. — 2005. — № 3. — С. 21—24.

33. Ясиновый Э. А. Об изменении тригонометрических функций. — 1965. — № 4. — С. 62—63.

Линия тождественных преобразований

1. Апанасевич М. П. К изучению темы «Формулы сокращенного умножения». — 1991. — № 3. — С. 15—17.

2. Арнольд А. А. Урок-консультация. — 1994. — № 2. — С. 23—24.

3. Беляев В. И. О тождественных преобразованиях иррациональных выражений в курсе VIII класса. — 1955. — № 2. — С. 69—75.

4. Вележева О. Н. Урок в VII классе по системе развивающего обучения. — № 5. — С. 6—7.

5. Гнедое А. Разложение трехчлена вида ах2 + bх + с на множители. — 1936. — № 3. — С. 51—52.

6. Демина Н.А. Нетрадиционные формы повторения. — 2001. — С. 40—41.

7. Дорофеев Г. В. Значимость в школьном курсе темы «Многочлены с одной переменной». — 1995. — № 4. — С. 42—45.

8. Дроздов В. Б. Тождества сокращенного умножения как взаимосвязанная система формул. — 1999. — № 4. — С. 22.

9. Дроздов В. Б. Урок-тренировка в разложении на множители. — 2000. — № 10. — С. 19—20.

10. Егорова Л. И. Создание ситуации успеха на уроке. — 1996. — № 6. — С. 3—5.

11. Иванчук Н. В. Многоэтажные дроби. — 2002. — № 7. — С. 55—60.

12. Канин Е. С. К формированию умений и навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях. — 1984. — № 5. — С. 30—35.

13. Канин Е. С. О разложении многочленов на множители. — 1961. — № 6. — С. 26—31.

14. Крючкова В. В. Об опыте работы с правилами в теме «Многочлены». — 1984. — № 5. — С. 38.

15. Куликов Н. В. Задания для классов малокомплектных школ. — 1998. — № 3. — С. 16—17.

16. Леничкин А. И. Формулы сокращенного умножения в курсе VI класса. — 1955. — № 1. — С. 61—69.

17. Маергойз Д. М. О некоторых приложениях тождественных преобразований. — 1953. — № 2. — С. 56—65.

18. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. Тождественные преобразования многочленов. — 1973. — № 1. — С. 17—20.

19. Миндюк М. Б. Составление и использование разноуровневых заданий для дифференцированной работы с учащимися. — 1991. — № 3. — С. 12—15.

20. Миндюк Н. Г. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований алгебраических выражений. — 1985. — № 5. — С. 17—21.

21. Морозова Л. И. Из опыта дифференцированного обучения. — 1998. — № 6. — С. 37—38.

22. Мыцына Л. В. Урок-зачет с использованием домино. — № 5. — С. 10—11.

23. Новоселов С. И. К вопросу о тождественных преобразованиях. — 1947. — № 2. — С. 25—28.

24. Одинамадов К. О. На первых уроках обучения тождественным преобразованиям. — 1989. — № 6. — С. 39—41.

25. Ольхов В. Е. Об упрощении выражений, содержащих радикалы. — 1981. — № 6. — С. 29—30.

26. Рациональные числа. Тождественные преобразования целых выражений: Самостоятельные и контрольные работы. — 1965. —№ 1. — С. 43—47.

27. Смирнова Е. С. Рекомендации к использованию литературы по теме «Алгебраические выражения». — 1994. — № 4. — С. 39—41.

28. Тарасенков Н. А. Найти ошибку. — 1997. — № 2. — С. 19—23.

29. Шевченко Г. С. Когда преобразования не уступают вычислениям на МК. — 1989. — № 4. — С. 58—63.

30. Эрдниев П. М. Об изучении тождественных преобразований в VI—VII классах. — 1960. — № 1. — С. 49—51.

Другие вопросы изучения алгебры

1. Арутюнян Е. Б., Глазков Ю. А., Левитас Г. Г. О преподавании математики с помощью печатных и звуковых средств обучения. — 2002. — № 1. — С. 84—38.

2. Барсуков А. Н. К вопросу о порядке действий. — 1941. — № 3. — С. 7—10.

3. Батаева Т. П. Чтобы уроки стали радостными (координатная плоскость). — 2005. — № 4. — С. 10—13.

4. Бурый А. И. Основные ошибки по арифметике учащихся V—VII классов и их причины. — 1952. — № 4. — С. 59—67.

5. Глазков Ю. А. Математические диктанты по математике для IV—V классов. — 1989. — № 4. — С. 5—9.

6. Гречкин Н. 3. Изучение неравенств в курсе арифметики в польской средней школе. — 1968. — № 3. — С. 94—95.

7. Гурвиц Ю. О., Филичев С. В. Арифметические записи в школе. — 1947. — № 3. — С. 40—48.

8. Евдокимова Е. М. Арифметические примеры в VII—VIII классах. — 1968. — № 1. — С. 58.

9. Золотовицкий Е. Н. О преемственности в работе по арифметике учителей IV—V классов. — 1956. — № 1. — С. 62—67.

10. Кирнарский П. Рациональные приемы быстрого умножения и деления. — 1941. — № 2. — С. 39—52.

11. Кордина Н. Е. Задания по теме «Координатная плоскость» в VI классе. — 2005. — № 4. — С. 57—58.

12. Кретинин О. С. О функциональной пропедевтике в IV—V классах. — 1975. — № 6. — С. 37—39.

13. Левитас Г. Г. Графики в V классе. — 1973. — № 4. — С. 57—60.

14. Мартынова М. Ф. Из опыта изучения уравнений в курсе арифметики IV—V классов. — 1965. — № 3. — С. 52—56.

15. Миндюк Н. Г. Изложение темы «Делимость чисел» в V классе с использованием элементов алгебры. — 1966. — № 2. — С. 62—64.

16. Нешков К. И., Пышкало А. М. Самостоятельные работы в курсе арифметики (дидактический материал). — 1965. — № 1. — С. 37.

17. Обухов А. Н. Сам себе репетитор. — № 5. — С. 35—41.

18. Сычева Е. И., Сычев А. В. Тесты по математике для VI класса. — 2005. — № 4. — С. 24—37.

19. Ткачева М. В. Анализ данных в учебниках Н. Я. Виленкина и других. — 2003. — № 5. — С. 41—48.

20. Устные упражнения и обзорные беседы-опросы в IV классе. — 1970. — № 6. — С. 28—31.

21. Частухина О. В. Путешествие вокруг системы координат. — 2005. — № 4. — С. 7—10.

22. Шварцбурд С. И. Еще раз о порядке действий. — 1973. — № 4. — С. 44—46.

Геометрия. Геометрия треугольника

1. Альтшуллер И. Евклидово доказательство теоремы Пифагора. — 1940. — № 5. — С. 48—49.

2. Анищенко С. А. О теореме двух синусов. — 1998. — № 6. — С. 8—9.

3. Белова Г. В., Виноградова Л. В. Как учить решению задач на признаки равенства треугольников. — 1999. — № 2. — С. 18—21.

4. Квашко Л. П. Тесты — в практику преподавания математики. — 1996. — № 6. — С. 50—55.

5. Компанийц П. О построении и решении треугольников. — 1937. — № 2. — С. 67—74.

6. Марон С. Е. Система самостоятельных работ по теме «Сумма углов треугольника». — 1984. — № 6. — С. 28—30.

7. Миганова Е. Ю. Обучение методам решения задач в теме «Треугольники». — 2002. — № 3. — С. 25—28.

8. Мищенко Т. М. Признаки равенства треугольников по учебнику Л. С. Атанасяна и других. — 2004. — № 10. — С. 12—22.

9. Никифорова М. А. Урок по теме «Теорема Пифагора». — 2005. — № 8. — С. 38—41.

10. Ромашко И. В., Винник В. М. Технология работы в разноуровневых группах. — 1996. — № 4. — С. 40—45.

11. Саранцев Г. И., Королькова И. Г. Примеры многовариантных самостоятельных работ. — 1994. — № 4. — С. 20—21.

12. Солодухин В. Я. Рассмотрим единичный треугольник. — 2001. — С. 25—27.

13. Сумма углов треугольника; признаки подобия. — 1990. — № 6. — С. 26—29.

14. Сытина Т. Л., Сикорский К. П. Из опыта преподавания темы «Подобие треугольников». — 1972. — № 2. — С. 37—39.

15. Филипповский Г. Б. Что ближе? — 2001. — № 2. — С. 18—19.

16. Чавчанидзе А. Ш. Еще один вариант формулы Герона. — 2000. — № 10. — С. 20—21.

Четырехугольники

1. Владимирцева С. А. О разных подходах к введению математических понятий. — 2005. — № 7. — С. 46—52.

2. Воробьева Л. А. Дифференцированный контроль знаний по теме «Параллелограмм». — 1993. — № 2. — С. 14—17.

3. Кушнир И. А. Воспитание творческой активности на уроках повторения геометрии. — 1991. — № 1. — С. 12—16.

4. Мазуренко О. А. Минимальный базис в пространстве задач. — 2005. — № 8. — С. 45—50.

5. Орлов В. В. Обучение поиску решения планиметрических задач. — 1996. — № 1. — С. 3—5.

6. Прицкер Б. С. Площадь четырехугольника. — 1990. — № 4. — С. 66.

7. Черникова Л. Ф. Упражнения на готовых чертежах. — 1994. — № 6. — С. 4—7.

Многогранники

1. Азевич А. И. Осевые сечения правильных пирамид. — 1996. — № 4. — С. 7—10.

2. Арслонов М. Задачи о кубе. — 1993. — № 1. — С. 65.

3. Габович И. Г. К решению стереометрических задач. — 1977. — № 2. — С. 23—31.

4. Гридасов В. И. Осторожней с многогранными углами! — 2001. — № 2. — С. 20.

5. Дудницын Ю. П. Таблицы для решения задач по стереометрии в XI классе. — 1991. — № 2/3. — С. 5—11.

6. Егоров С. Н., Копылов В. И., Петрова С. С. Аналог теоремы Пифагора в стереометрии. — 2000. — № 4. — С. 72—73.

7. Калинкин А. К. Система базовых задач на комбинацию геометрических тел. — 1995. — № 4. — С. 9—12.

8. Клопский В. М. и др. Задачи по теме «Многогранники» в курсе X класса. — 1976. — № 6. — С. 24.

9. Недошивкин Е. Ф., Соловьева Е. Г. Задачи на построение в XI классе. — 2001. — Вып. 2. — С. 20—23.

10. Петрова М. А. Задачи стереометрии: сфера и многогранники. — 2000. — № 2. — С. 34—37.

11. Петрова М. А. Скрещивающиеся «прямые» на многогранниках. — 1997. — № 2. — С. 2—4.

12. Писаревский Б. М. Задачи по стереометрии. Правильная пирамида. — 2005. — № 3. — С. 11—15.

13. Понарин Я. П. Равновеликие тетраэдры и объем клина. — 1998. — № 6. — С. 57—59.

14. Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение темы «Многогранники» в курсе X класса. — 2000. — № 2. — С. 19—28.

15. Сверчевская И. А. Устные задачи по теме «Пирамида». — 2003. — № 4. — С. 23—28.

16. Сверчевская И. А. Устные задачи по теме «Призма». — 2002. — № 9. — С. 51—55.

17. Смирнова И. М. Задачи к повторению темы «Многогранники». — 1985. — № 2. — С. 47—49.

Сфера и шар

1. Грава А. М. Вычисление объемов тел вращения. — 1984. — № 2. — С. 61—64.

2. Костицын В. Н. Об изображении сферы в учебниках геометрии. — 1999. — № 2. — С. 24—28.

3. Мордухай-Болтовский Д. Методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам. — 1938. — № 1. — С. 34—40.

4. Петрова М. А. Задачи стереометрии: сфера и многогранники. — 2000. — № 2. — С. 34—37.

5. Петрова М. А. Решаем задачи на тему «Тела вращения». — 2002. — № 7. — С. 45—49.

6. Писаревский Б. М. Задачи по стереометрии. Тела вращения. — 2005. — № 4. — С. 21—24.

7. Сверчевская И. А. Устные задачи по теме «Объемы тел вращения. Площадь сферы». — 2005. — № 3. — С. 5—11.

8. Сверчевская И. А. Устные задачи по теме «Тела вращения. Площадь поверхности». — 2003. — № 9. — С. 11—16.

Прямые и плоскости

1. Акопян Е. А. Учить школьников самостоятельно приобретать знания и умения. — 1980. — № 5. — С. 45.

2. Арзамасцева Т. Я. Урок-лабиринт по теме «Перпендикулярность в пространстве». — 2001. — № 4. — С. 42—45.

3. Компанийц П. А. Система теорем о взаимных положениях прямых и плоскостей. — 1937. — № 3. — С. 7—11.

4. Лоповок Л. М. Задачи к теме «Параллельность и параллельный перенос». — 1973. — № 4. — С. 31—34.

5. Львов В. Е. Из опыта изучения стереометрии в IX классе. — 1980. — № 6. — С. 32.

6. Моногенова Е. Ф. Скрещивающиеся прямые. — 1953. — № 4. — С. 45—52.

7. Недошивкин Е. Ф. Задачи на построение перпендикуляра к плоскости. — 2000. — № 2. — С. 33.

8. Недошивкин Е. Ф., Соловьева Е. Г. Задачи на построение в XI классе. — 2001. — № 2. — С. 20—23.

9. Недошивкин Е. Ф., Соловьева Е. Г. Расстояния и углы между прямыми и плоскостями. — 2001. — № 3. — С. 47—51.

10. Пермякова С. Л., Каштанкина О. Б. Уровневый подход при изучении параллельности плоскостей. — 1991. — № 2/3. — С. 20—24.

11. Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в X классе. — 2000. — № 9. — С. 23—37.

12. Саранцев Г. И., Королькова И. Г. Примеры многовариантных самостоятельных работ. — 1994. — № 4. — С. 20—21.

13. Севостьянова М. В. Система задач по теме «Двугранные углы». — 1989. — № 4. — С. 35—36.

14. Стратилатов П. Многогранный угол в средней школе. — 1937. — № 3. — С. 32—36.

15. Шарыгин И. Ф. Об одном методе нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. — 1986. — № 6. — С. 50.

Преобразования

1. Болтянский В. Г. Поворот и центральная симметрия. — 1989. — № 6. — С. 108—120.

2. Бородина Н. А. Обобщающий урок по теме «Движение». — 2002. — № 3. — С. 28—29.

3. Володин В. К., Фролова С. В. Несколько задач на движение. — 2000. — № 4. — С. 8—10.

4. Глейзер Г. Д., Кеян Г. К. К истории вопроса об изучении векторов. — 1986. — № 5. — С. 54—57.

5. Григорьева Т. П. К изучению скалярного произведения векторов. — 1979. — № 6. — С. 43.

6. Григорьева Т. П., Кузнецова Л. И. Метод движений в решении задач на доказательство. — 2005. — № 8. — С. 50—53.

7. Гусев В. А., Хан Д. И. Методика решения геометрических задач с помощью векторов. — 1978. — № 3. — С. 26—30.

8. Карпушина Н. М. Развивающие задачи по теме «Движения плоскости». — 2005. — № 8. — С. 53—59.

9. Колмогоров А. Н. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии. — 1965. — № 2. — С. 24—29.

10. Кушнир И. А. Решение задач с помощью некоторых векторных формул. — 1985. — № 2. — С. 61—63.

11. Мельникова Н. Б. Об изучении темы «Векторы на плоскости». — 1989. — № 3. — С. 26—27.

12. Петрова Р. Г. Зависимость между векторным выражением и его геометрическим истолкованием. — 1985. — № 3. — С. 40—42.

13. Понарин Я. П. Преобразования подобия плоскости. — 1979. — № 3. — С. 62.

14. Семенович А. Ф. Виды перемещений плоскости. — 1978. — № 6. — С. 22—34.

15. Семенович А. Ф. Об определении понятия «Отображение». — 2000. — № 5. — С. 35.

16. Скопец З. А., Кузнецова Л. И. Введение на плоскости направления и ориентации на основе классификации перемещений. — 1978. — № 5. — С. 64.

17. Уткина Т. И. К методике обучения учащихся решению задач с помощью векторов. — 1979. — № 4. — С. 37—39.

18. Филиппова Л. Н. Симметрия в чувашских узорах. — 2001. — № 8. — С. 3—5.

Приложение 11

Федеральный перечень учебников математики, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в общеобразовательных школах и профильных классах

Учебники математики для 5—6 классов1

Автор

Название учебника

Год присвоения грифа

Планирование

Виленкин Н. Я. и др.

Математика. 5 кл.

Математика. 6 кл.

2001,2005

2001,2005

2002, № 4; 2001, № 7, 10

Зубарева И. И., Мордкович А. Г.

Математика. 5 кл.

Математика. 6 кл.

2001, 2005

2001, 2005

2002,№ 4

Петерсон Л. Г., Дорофеев Г. В.

Математика. Ч. 1, 2. 5 кл.

Математика. Ч. 1, 2, 3. 6 кл.

2003

2003

2002, № 4; 2000, № 5, 7

Истомина Н. Б.

Математика. 5 кл.

2000

2002, № 4; 2003, № 5

Волович М. Б.

Математика. 5 кл.

Математика. 6 кл.

2003 2004

Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф. и др.

Математика. 5 кл.

Математика. 6 кл.

2005

2005

2002, № 4, 5, 9

Шеврин Л. Н. и др.

Математика. 5 кл.

Математика. 6 кл.

2005

2006

2002,№ 4

Никольский С. М. и др.

Арифметика. 5 кл.

Арифметика. 6 кл.

2001 2001

2002, № 4; 1997, № 3

Гельфман Э. Г. и др.

Математика. Ч. 1. 5 кл.

2003

2003,№ 5

1 В последнем столбце таблицы указаны номера журналов «Математика в школе», в которых приведено почасовое планирование учебного материала к данному учебнику, если оно публиковалось.

Учебники алгебры для 7—9 классов

Мордкович А. Г и др.

Алгебра. Ч. 1. 7 кл.

Алгебра. Ч. 2. Задачник. 7 кл.

Алгебра, Ч 1. 8 кл.

Алгебра. Ч. 2. Задачник. 8 кл.

Алгебра. Ч. 1. 9 кл.

Алгебра. Ч. 2. Задачник. 9 кл.

2002

2002

2002

2002

2000, № 4; 2003, № 5

Муравин К. С. и др.

Алгебра. 7 кл.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2004

2004

2005

2002,№ 4

Никольский С. М. и др.

Алгебра. 7 кл.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2001

2001

2005

2002,№ 4

Алимов Ш. А. и др.

Алгебра. 7 кл.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2005

2005

2005

2002, № 4; 2000, № 6, 7

Дорофеев Г. В. и др.

Математика. Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 кл.

Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 8 кл.

Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 9 кл.

2001

2002

2002

2002, № 4, 5, 9

Башмаков М. И.

Алгебра. 7 кл.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2001

2003

2005

Физико-математический профиль

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И.

Алгебра. 7 кл.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2005

2000, 2005

2002, 2005

2002,№ 4

Продолжение таблицы

Автор

Название учебника

Год присвоения грифа

Планирование

Мордкович А. Г., Звавич Л. И., Рязановский А. Р.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. Задачник. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

Алгебра. Задачник. 9 кл.

2002

2002

2003

2003

Виленкин Н. Я. и др.

Алгебра. 8 кл.

Алгебра. 9 кл.

2005

2005

2002,№ 7

Учебники геометрии для 7—9 классов

Смирнова И. М., Смирнов В. А.

Геометрия. 7—9 кл.

2001

2002,№ 4

Атанасян Л. С. и др.

Геометрия. 7—9 кл.

2005

2002, № 4; 1999, № 5; 2002, № 7

Шарыгин И. Ф.

Геометрия. 7—9 кл.

2001

2002,№ 4

Погорелов А. В.

Геометрия. 7—9 кл.

2001

2000, № 7; 2001, № 6

Александров А. Д. и др.

Геометрия. 7—9 кл.

2002

Физико-математический профиль

Александров А. Д. и др.

Геометрия. 8 кл.

Геометрия. 9 кл.

1998,№ 1

Учебники алгебры и начал анализа для 10—11 классов

Колягин Ю. М. и др.

Алгебра и начала анализа. 10 кл.

Алгебра и начала анализа. 11 кл.

2005

2005

2002, № 4

Мордкович А. Г.

Алгебра и начала анализа. Ч. 1. 10—11 кл.

Алгебра и начала анализа. Ч. 2. Задачник. 10—11 кл.

2003

2003

2002, № 4;

2003, № 5, 7

Башмаков М. И.

Алгебра и начала анализа. 10—11 кл.

2002

2002, № 4

Колмогоров А. Н. и др.

Алгебра и начала анализа. 10—11 кл.

2005

2002,№ 4

Алимов Ш. А. и др.

Алгебра и начала анализа. 10—11 кл.

2005

2002, № 4

Никольский С. М. и др.

Алгебра и начала анализа. 10 кл. Алгебра и начала анализа. 11 кл.

2005 2005

2001, № 7

Муравин Г. К., Муравина О. В.

Алгебра и начала анализа. 10 кл.

Алгебра и начала анализа. 11 кл.

2002

2003

Дорофеев Г. В. и др.

Алгебра и начала анализа. Ч. 1, 2. 10 кл.

2005

Гуманитарный профиль

Мордкович А. Г., Смирнова И. М.

Математика. 10 кл. Математика. 11 кл.

2003

2003

2002, № 4

Физико-математический профиль

Виленкин Н. Я. и др.

Алгебра и математический анализ. 10 кл.

Алгебра и математический анализ. 11 кл.

2005

2005

2002,№ 4 2001, № 7, 10

Мордкович А. Г., Семенов П. В.

Алгебра и начала анализа. Ч. 1. 10 кл.

Алгебра и начала анализа. Ч. 2. Задачник. 10 кл.

2005

2005

Учебники геометрии для 10—11 классов

Автор

Название учебника

Год присвоения грифа

Планирование

Смирнова И. М., Смирнов В. А.

Геометрия. 10—11 кл.

2005

2002,№ 4

Александров А. Д. и др.

Геометрия. 10—11 кл.

2005

2002,№ 4

Шарыгин И. Ф.

Геометрия. 10—11 кл.

2003

2002,№ 4

Атанасян Л. С. и др.

Геометрия. 10—11 кл.

2001—2005

2002,№ 4

Погорелов А. В.

Геометрия. 10—11 кл.

2002

2001, № 6

Гуманитарный профиль

Смирнова И. М.

Геометрия. 10—11 кл

2005

2002,№ 4

Физико-математический профиль

Александров А. Д. и др.

Геометрия. 10 кл.

Геометрия. 11 кл.

2005

2001

2002,№ 4

Атанасян Л. С. и др.

Геометрия. 10—11 кл.

2006

2006,№ 5

Естественнонаучный профиль

Смирнова И. М., Смирнов В. А.

Геометрия. 10—11 кл.

2005

2002,№ 4

Потоскуев Е. В., Звавич Л. И.

Геометрия. 10 кл.

Геометрия. Задачник. 10 кл.

Геометрия. 11 кл.

Геометрия. Задачник. 11 кл.

2005

2005

2005

2005

2005,№ 9

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: метод, рекомендации и дидакт. материалы. — М.: Просвещение, 1990.

2. Глейзер Г. И. История математики в средней школе: пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1970. — 461 с, ил.

3. Гусев В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Геометрия. — М.: Просвещение, 1991.

4. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике. 11 класс. — М.: Дрофа, 2000.

5. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — М.: Просвещение, 1990.

6. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — М.: Просвещение, 1990.

7. Кузнецова Л. В., Бунимович Е. А., Пигарев Б. П. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс. — М.: Дрофа, 2000.

8. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.

9. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. — М.: Просвещение, 1991.

10. Методика и технология обучения математике: курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. — М.: Дрофа, 2005.

11. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов /под ред.

А. А. Столяра и Р. С. Черкасова. — М.: Просвещение, 1985.

12. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов /А. Я. Блох, В. А. Гусев и др. — М.: Просвещение, 1987.

13. Методика преподавания математики. Ч. II: пособие для учителей математики 8—10 кл. средней школы К. Е. Ляпин, С. А. Гастева и др. — Л.: Просвещение, 1956.

14. Паповский В. М. Углубленное изучение геометрии в 10—11 классах. — М.: Просвещение, 1993.

15. Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. — М.: Дрофа, 2007.

16. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1989.

17. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач: учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1991.

Дополнительная литература

1. Абрамова Г. С. Практикум по возрастной психологии. — М., 1998.

2. Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., доп. — М.: Высш. шк., 1994.

3. Алгебра и начала анализа, сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / под ред. С. А. Шестакова. — М.: Внешсигма. — М., 2006.

4. Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / Л. В. Кузнецова и др. — М.: Просвещение, 2006.

5. Амонашвили Ш. Обучение, оценка, отметка. — М., 1980.

6. Ананьев В. Г. Психология педагогической оценки//Избранные педагогические труды. — М., 1982. — Т. 2.

7. Анрах Дж. Т. Удивительные фигуры: Оптические иллюзии, поражающие воображение. — М.: ACT; Астрель, 2002.

8. Атаханов Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития / под ред. В. В. Давыдова. — М.: Рига, 2000.

9. Безносое С. П. Сущность феномена АСО как частной характеристики индивидуального оценочного стиля // Личность и деятельность. Вып. 11 (Экспериментальная и прикладная психология). — Л.: ЛГУ, 1982.

10. Бекаревич А. Н. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968.

11. Бескин Л. Н. Стереометрия: пособие для учителей φ. школы. — М.: Учпедгиз, 1960.

12. Бетти Лу Ливер. Обучение всего класса. — М.: Новая школа, 1995.

13. Богомолов С. А. Геометрия (Систематический курс): пособие для учителей φ. школы. — М.; Л.: Учпедгиз, 1949.

14. Бороду ля И. Т. Показательная и логарифмическая функции (задачи и упражнения): пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1984.

15. Брунер Дж. Психология познания. — М., 1977.

16. Веннинджер М. Модели многогранников. — М.: Мир, 1974.

17. Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983.

18. Волков И. П. Оценочная биполяризация как метод социально-психологической диагностики // Методы социальной психологии. — Л., 1977.

19. Волович М. Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. — М.: LINKA-PRESS, 1995.

20. Волошинов А. В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992.

21. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: сб. статей / сост. Е. Г. Глаголева, О. С. Ивашев-Мусатов. — М.: Просвещение, 1980.

22. Воспитание учащихся при обучении математике: Из опыта работы: кн. для учителя / сост. Л. Ф. Пичурин. — М.: Просвещение, 1987.

23. Выбор методов обучения в средней школе / под ред. Ю. К. Бабанского. — М.: Педагогика, 1981.

24. Выготский Л. С. Педагогическая психология. — М.: Педагогика, 1991.

25. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. — М.: Просвещение, 1994.

26. Геометрия для 10—11 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1995.

27. Геометрия: учеб для 10—11 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 1993.

28. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высш. шк., 1979.

29. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Физматгиз, 1961.

30. Грановская Р. М. Элементы практической психологии. — Л., 1988.

31. Григорьева Т. П., Иванова Т. А. и др. Основы технологии развивающего обучения математике: учеб. пособие. — Н. Новгород: НГПУ, 1997.

32. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

33. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. — М.: Просвещение, 1990.

34. Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. — 1990. — № 4. — С. 27.

35. Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2006.

36. Далингер В. А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991.

37. Дидактика средней школы / под ред. М. Н. Скаткина. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1982.

38. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1973.

39. Дышинский Е. А. Игротека математического кружка. — М.: Просвещение, 1972.

40. Дьяченко В. К. Сотрудничество в обучении. — М.: Просвещение, 1991.

41. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. — Тобольск, 1997.

42. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2003.

43. Еремеева В. Д., Хризман Т. П. Мальчики и девочки — два разных мира. Нейропсихологи — учителям, воспитателям, родителям, школьным психологам. — СПб.: Тускарора, 2003.

44. Еремеева В. Д., Хризман Т. П. Мальчики и девочки — два разных мира. — СПб., 1998.

45. Заир-Бек Е. С, Казакова Е. И. Педагогические ориентиры успеха (Актуальные проблемы развития образовательного процесса). — СПб., 1995.

46. Зайцев С. В. Не вместо, а вместе. Модель сбалансированных инициатив взрослого и ребенка // Директор школы. — 1996. — № 4.

47. Зарубежные исследования по психологии познания. — М., 1977. — С. 235—255.

48. Звавич Л. И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 1999.

49. Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии. 7—11 классы: пособие для учителя. — СПб.: Мир и Семья, 2001.

50. Зив Б. Г. Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных: учеб. пособие для учителей и учащихся. — СПб.: НПО «Мир и Семья — 95», 1997.

51. Зив Б. Г. Математика — 11: пособие для подготовки к экзаменам по алгебре и началам анализа и по геометрии в 11 классе. — СПб.: НПО «Мир и Семья — 95», 1998.

52. Зильберберг Н. И. Урок математики. Подготовка и проведение: кн. для учителя. — М.: Просвещение; АО «Учеб. лит.», 1995.

53. Зимняя И. А. Педагогическая психология. — Ростов н/Д, 1997.

54. Зотов Ю. Б. Организация современного урока. — М.: Просвещение, 1984.

55. Карп А. П. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа. — СПб.: Оракул, 1997.

56. Кларин М. Б. Педагогическая технология в учебном процессе. — М., 1989.

57. Кларин М. Б. Развитие «педагогической технологии» и проблемы теории обучения // Советская педагогика. — 1984. — № 4. — С. 117—122.

58. Кларк М. Технология образования или педагогическая технология? / Перспективы. Вопросы образования. — 1983. — № 2. — С. 77—92.

59. Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения. — М., 1987.

60. Коваленко Б. Г. Дидактические игры на уроках математики: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

61. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высш. шк., 1982.

62. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи: пособие для учащихся VII—VIII кл. — М.: Просвещение, 1980.

63. Кон И. С. Психология ранней юности: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1989.

64. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7—9 классов: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991.

65. Крамор Б. С, Михайлов П. А. Тригонометрические функции (Система упражнений для самостоят, изучения): пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1983.

66. Ксензова Г. Ю. Оценочная деятельность учителя. — М., 1999.

67. Курганов С. 70. Ребенок и взрослый в учебном диалоге: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1989.

68. Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1989.

69. Лернер И. Я. Внимание технологии обучения // Советская педагогика. — 1990. — № 3. — С. 139—141.

70. Лютикас Б. С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: учеб. пособие для 9—11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1990.

71. Мазаник А. А. Рациональное решение задач и примеров по математике: пособ. для учителей. — Минск: Нар. асвета, 1968.

72. Манвелов С. Г. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся 5—6 классов: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2005.

73. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики. — М.: Просвещение, 2002.

74. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2002.

75. Маркова А. К. и др. Формирование мотивации учения: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

76. Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивации учения. — М., 1990.

77. Махмутов М. И. Современный урок: Вопросы теории. — М.: Педагогика, 1981.

78. Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике. Проблемы современной методики математики. — Минск: Университетское, 1989.

79. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др.; под ред. В. А. Гусева. — М.: Издательский центр «Академия».

80. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

81. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957.

82. Монахов В. М. Проектирование и внедрение новых технологий обучения // Советская педагогика. — 1990. — № 7. — С. 17—22.

83. Наумович Н. В. Простейшие геометрические преобразования в пространстве и задачи на построение. — М.: Учпедгиз, 1959.

84. Никольская И. Л., Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учащихся 6—10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1989.

85. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. — М.: Высш. школа, 1959.

86. О совершенствовании методов обучения математике / сост. В. С. Крамор. — М.: Просвещение, 1978.

87. Обухова Л. Ф. Возрастная психология. — М., 1996.

88. Окунев А. Как учить не уча. — СПб.: Питер, 1996.

89. Окунев А. А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся. Из опыта работы: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1988.

90. Окунев А. А. Углубленное изучение геометрии в 8 классе: пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1996.

91. Окунев А. А. Углубленное изучение геометрии в 9 классе: пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1997.

92. Окунев А. А. Урок? Мастерская? Или... — СПб.: Филиал изд-ва «Просвещение», 2001.

93. Окунев А. К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в курсе математики средней школы: пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1972.

94. Онищук Б. А. Урок в современной школе: пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

95. Педагогическая психология / под ред. А. И. Раева. — СПб., 1999.

96. Петров К. Квадратичная функция и ее применение: кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1995.

97. Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. — М.: Педагогика, 1980.

98. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1996.

99. Повышение эффективности обучения математике в школе: кн. для учителя: Из опыта работы / сост. Г. Д. Глейзер. — М.: Просвещение, 1989.

100. Погорелов А. В. Геометрия: учеб. для 7—11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1992.

101. Пойа Д. Как решать задачу. — М.: ГУПИ МП РСФСР, 1961.

102. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975.

103. Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. — М.: Наука, 1970.

104. Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Учимся решать задачи по геометрии: учеб.-метод, пособие. — К.: Магистр-S, 1996.

105. Прасолов Б. Б. Задачи по планиметрии. В 2 ч. — М.: Наука, 1991.

106. Преподавание алгебры в 6—8 классах / сост. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. — М.: Просвещение, 1980.

107. Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе / под ред. Ю. К. Бабанского, И. Д. Зверева, Э. И. Моносзона. — М.: Педагогика, 1980.

108. Психология современного подростка / под ред. Д. И. Фельдштейна. — М.: Педагогика, 1987.

109. Реньи А. Письма о вероятности / пер. с венг. — М.: Мир, 1970.

110. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. — М., 1946.

111. Рыжик В. И. 30 000 уроков математики: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2003.

112. Рыжик Б. И. Тесты готовности в продолжение образования. Математика. Числа. — СПб.: Оракул, 1999.

113. Рябцева С. Л. Диалог за партой. — М.: Просвещение, 1989.

114. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике (формирование умений самостоятельной работы): сб. статей / сост. С. И. Демидова, Л. О. Денищева. — М.: Просвещение, 1985.

115. Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике / сост. Ю. Д. Кабалевский. — М.: Просвещение, 1988.

116. Саранцев Г. И. Метод обучения как категория методики преподавания // Педагогика. — 1998. — № 1. — С. 28.

117. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. — М.: Просвещение, 2002.

118. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2000.

119. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.

120. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. — М.: Высш. школа, 1988.

121. Селевко Г. К. Современные образовательные технологии. — М.: Народное образование, 1998.

122. Смирнова И. М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10—11 классов средней школы. — М.: Аквариум, 1998.

123. Совайленко В. К. Система обучения математике в 5—6 классах: Из опыта работы: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991.

124. Современные основы школьного курса математики: пособие для студентов пед. ин-тов / Н. Я. Виленкин, К. И. Дуничев, Л. А. Калужнин и др. — М.: Просвещение, 1980.

125. Соловьев А. В. Исследование познавательных стилей в американской психологии // Зарубежные исследования по психологии познания. — М., 1977. — С. 235—255.

126. Спрингер С., Дейч Г. Левый мозг, правый мозг. — М., 1983.

127. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Высшая школа, 1974.

128. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология. — М., 1999.

129. Тарасов Л. В. Математический анализ: Беседы об основных понятиях: пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1979.

130. Тарасов Л. В. Мир, построенный на вероятности: кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1984.

131. Теоретические основы содержания общего среднего образования / под ред. В. В. Краевского, И. Я. Лернера. — М.: Педагогика, 1983.

132. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

133. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. — М.: Технологическая школа бизнеса, 1999.

134. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. — М.: Педагогика, 1990.

135. Утеева Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. — М.: Прометей, 1997.

136. Утеева Р. А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке // Математика в школе. — 1995. — № 2. — С. 33.

137. Хамблин Д. Формирование учебных навыков. — М., 1986.

138. Ходот Т. Г., Захарченко И. Д., Михайлов А. Б. Задачи по геометрии: учеб. пособие. — СПб.: Специальная литература, 1997.

139. Холодная М. А. Когнитивные стили как проявление своеобразия индивидуального интеллекта. — Киев, 1990.

140. Хуторской А. В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. — М.: МПА, 1988.

141. Цацковская М. Формирование общих приемов мышления учащихся при решении задач. Управление формированием психических процессов / под ред. П. Я. Гальперина. — М., 1977.

142. Цукерман Г. А. Виды общения в обучении. — М., 1993.

143. Цукерман Г. А. Оценка без отметки. — М., Рига, 1999.

144. Чашонов М. Что такое педагогическая технология // Школьные технологии. — 1996. — № 3. — С. 8—12.

145. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.: Физматгиз, 1982.

146. Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение: Психологические основы развивающего обучения. — М.: АО «Столетие», 1995.

147. Шардаков М. Н. Мышление школьника. — М., 1963.

148. Шарыгин И. Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 1999.

149. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: учебное пособие для V—VI классов. — М.: МИРОС; КПП «МАРТА», 1992.

150. Шаталов В. Ф. Точка опоры. — М.: Педагогика, 1987.

151. Шкуратова И. П. Когнитивный стиль и общение. — Ростов н/Д, 1994.

152. Шуба Ю. М. Занимательные задания в обучении математике: кн. для учителя. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1995.

153. Эрдниев П. М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 ч. — М.: Просвещение, 1992.

154. Якиманская И. С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. — М.: Школа-пресс, 1996.

155. Якиманская И. С. Развивающее обучение. — М.: Педагогика, 1979.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Работа № 11

Блок А. 1. Нет (см. число 1). 2. Нет. Каждое шестое яйцо будет и простым, и золотым. 3. Наибольший общий делитель чисел 24 и 30 равен наибольшему общему кратному чисел 2 и 3. 4. По первой букве латинского слова quota (доля, часть). 5. Плотность. 6. Непрерывность. 7. Минус семь целых восемь десятых и четыре в периоде.

8. Нет (см. 1 — 1,(0) — 0,(9)). 9. 2,(438256). 10. Да. 1 + √2 и 1 — √2. 11.2 + √3 . 12. Оба множества счетны. 13.√2/5, π — 2,85, √2 — 1,15, √3 — 1,45. 14. Сравнение по величине.

Блок В. 1. Комплексные числа делятся на действительные и мнимые, действительные — на положительные, отрицательные и 0. 2. Способ выявления простых чисел. 3. Простые числа, разность которых равна 2. 4. Свойства натуральных чисел и признаки их делимости, правила выполнения действий над рациональными числами и правила их сравнения, интерпретация чисел и действий над ними с помощью геометрических объектов. 5. Согласование. 6. Теория пределов, свойство непрерывности действительных чисел. 7. Построение множества, из всех элементов которого можно извлекать квадратный корень; поиск чисел, которые соответствовали бы точкам плоскости. 8. Гиппас утонул во время кораблекрушения.

Работа № 12

Блок .4.1. Особая форма записи числа, связанная с представлением его в виде суммы десятичных разрядов. 2. 9,04; 17,00 (наличие запятой). 3. Числитель, знаменатель. 4. Основное свойство дроби; отсутствие единиц какого-то разряда обозначается нулем. 5. Может, если ее целая часть отлична от нуля. 6. Да. 7,00|081 ≈ 7,00 = 7.

Блок В. 1. Да. К дробным относятся и те числа, которые, не будучи дробями, могут быть представлены в виде дроби, например 3 1/4. 2. Конечные, бесконечные периодические, бесконечные непериоди-

ческие. 3. Q. 4. R/Q. 5. Разложение на простые множители знаменателя равной несократимой дроби должно состоять из «двоек» и «пятерок».

Работа № 13

Блок А. 1. Равенство. 2. а) 39 271; 6)3481; в) 196. 3.1,5. 4. a6-b6. 5. -127. 6. 13,44.

Блок В. 1. Преобразование частей уравнения; преобразование задающего функцию аналитического выражения. 2. Добиться прочного знания изучаемых тождеств и умения применять их, обучение конструированию алгоритмов. 3. а) Нет; б) да. 4. Неверная запись при нахождении суммы первой группы подобных слагаемых, записано проговариваемое промежуточное действие. При переписывании второй группы подобных слагаемых потеряны не подчеркнутые перед этим знаки «-» 5. Формула разности кубов, основное свойство дроби или правило деления произведения на число, формула квадрата суммы, формула квадрата разности.

Работа № 14

Блок А. 7. Трансцендентные. 2. а) III; б) IV; в) II; г) П. 3. Положительный. 4. а) + ; б) + . 5. Нет. Иначе sin 2х = 1,25.

Блок В. 2. Линии числа и тождественных преобразований. 3. Решение 1. Разделим числитель и знаменатель на cos а ≠ 0 и подставим значение tg α = 2. Основное свойство дроби и определение тангенса. Умение выявлять одинаковую степень однородности числителя и знаменателя. Решение 2. Вычислим значения sin α = ±2√5/5 и cos α = ±√5/5, подставим их в выражение. Тригонометрические зависимости между функциями одного угла. Умение выполнять простейшие преобразования числовых выражений. Решение 3. Выполним аналог выделения целой части:

Как и при решении 1.

Работа № 15

Блок А.

Блок В. 1. Вычисление частных значений функций. Графический способ решения уравнений и их систем. Преобразования формулы, задающей функцию. Зависимость площади (объема) геометрической фигуры от ее линейных и угловых размеров. 2. Нахождение значений алгебраических выражений, заполнение таблиц значений величин, вычисления по формулам, работа с графиками зависимостей, знакомство с прямой и обратной пропорциональностями. 3. Функция — зависимость, обычно выражаемая формулой; функция — особый вид соответствия между двумя множествами. 4. Многочлены, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические. 5. Степенные вида у = ха, где а ∈ R. 6. График у = х√2 . 7. Ученик не учел ООФ. Предложить отдельно найти ООФ, заданной формулой, и функции, изображенной на графике, и сопоставить их.

Работа № 16

Блок А. 1. -12,5. 2. а). 3. у = -3x + 1. 4. Да.

Блок В. 1. Последовательность — вид функции, заданной на N или его части. Общий член арифметической прогрессии задается формулой того же вида, что и линейная функция. 2. Возможно различие последовательности рассмотрения линейной функции и прямой пропорциональности. 3. Линия функции. 4. Конструктивно, уравнением. 5. Решение дифференциального уравнения у' = const. Функция, приращение которой пропорционально приращению аргумента. 6. Множество лежащих на одной прямой точек с рациональными абсциссами. 7. Нет. Только при k > 0.

Работа № 17

Блок А.

Блок В. 1. Наибольшее и наименьшее значения, промежутки возрастания и убывания. 2. Площади квадрата. 3. Нет, не изучены иррациональные числа. 4. Провести прямую, имеющую с графиком более двух общих точек. 5. Нет, все параболы подобны. 6. Решение квадратных неравенств, определение вида графика степенной функции. 7. Провести биссектрису I координатной четверти. Общая точка (1; 1). 8. Да, увеличив в 2 раза единичный отрезок. 9. Ось горизонтальна, например х = y2.

Работа № 18

Блок А. 3. См. знаки множителей. 4. а) Е(у) = [0; 2]; б) Е(у)

Блок В. 2. Решение дифференциального уравнения, сумма ряда. 3. Способ 1. 0 ⩽ arccos (-а) ⩽ π, 0 ⩽ π — arccos а ⩽ π. Сравним значения косинусов левой и правой частей: cos (arccos (-а)) = -а; cos (π -- arccos а) = -cos (arccos а) = -а. Способ 2. arccos а + arccos (-а) = π верно при а = 0. Продифференцируем f(x) = arccos х + arccos (-х). Способ 3. Для разных знаков числа а рассмотрим интерпретацию на тригонометрическом круге. 4. Способ 1.

с последующим выбором положительного значения косинуса. Используются связь 1 + tg2πa = 1/cos2α и знаки косинуса по четвертям. Способ 2. cos2 а

Требуется найти косинус лежащего в I или IV четверти угла, тангенс которого равен 2/3. В основное тригонометрическое тождество подставим sin α = 2/3 cos α. 5. ООФ, ОЗФ, четность, корни, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точки и значения экстремумов. 6. Используйте подобие и пропорцию

7. По точкам; с использованием координат характерных точек и производной.

Работа № 19

Блок А. 1. 0,6. 2. 846. 3. При положительном знаменателе верно, при отрицательном — нет.

Блок В. 1. Конструктивно. 2. Номера ударных слогов, будучи четными или нечетными, образуют арифметическую прогрессию. 3. Мудрец попросил правителя за первую клетку шахматной доски выдать ему одно зерно, за вторую — 2, за третью — 4, за четвертую — 8, за пятую — 16... Слуги царя не смогли выполнить просьбу мудреца. 4. Аналогичны определения, способы задания, формулы

общего члена, наличие зависимостей между тремя соседними членами. 5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является частным случаем бесконечно малой последовательности.

Работа № 20

Блок А.

Блок В. 1. Рассмотрение значений степеней с переменным показателем. Решение дифференциального уравнения. Сумма ряда. Обратная функция. Интеграл с переменным верхним пределом. 2. Методом «от противного» с использованием монотонности обратной показательной функции. 3. На некотором множестве задана строго монотонная функция (показательная). Тогда она имеет обратную (логарифмическую), определенную на множестве значений исходной и имеющую такое же направление монотонности. 4. Неучет меньшего 1 основания степени или логарифма, требующего изменения знака неравенства; игнорирование 00 логарифмического выражения. 5. lg 1/2 < 0, поэтому 2 lg 1/2 < lg 1/2 . 6. loga f(x) = b, loga f(x) ± loga m g(x) = loga n h(x). 7. Содержащее выражение вида f(x)g(x). Неучет ОДЗ, потеря и приобретение корней. 8. Не найдены корни -1, 0, 1. Решающий поступил так, как если бы в основании было неравное 1 положительное число. Особые случаи требуют дополнительного рассмотрения. Можно предъявить ученику один из невыявленных им корней. 9. Содержащее член с комбинацией показательного и логарифмического выражений.

Работа № 21

Блок А. 1. в). 2. б).

4. Нарушена равносильность уравнений. Так как условие

не учтено, необходима проверка.

пени с действительным показателем и свойства степени с основаниями 0, ±1. Ответ: x1 = 3,

6. Применение монотонности функций

Блок В. 1. Определение арифметического квадратного корня. 2. Прав. 3. При решении вспомогательного уравнения t2 = 1 выявлен только положительный корень, причина — пробелы в знаниях.

Работа № 22

Блок А. 1. При cl = —2, X — любое число; при а = 1, решений нет; при I

3. а) Подбор

Знакочередующаяся сумма коэффициентов а — b + с = 0; б) подбор

Сумма коэффициентов а + b + с = 0.

Блок В. 1. Рациональные (линейные, квадратные, дробные), иррациональные (√f(x) = a, √f(x) = g(x)), с модулем, трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические), комбинированные уравнения. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, системы двух уравнений (первой и второй степени) с двумя неизвестными, комбинированные системы (например, показательное и логарифмическое уравнения). 2. На основе теоремы, обратной теореме Виета. 3. Правила определения знака и модуля суммы и произведения рациональных чисел. 4. Равенство квадратов чисел — критерий равенства их модулей. |x| = 5. 5. Предъявлено одно из решений, есть и другие, например полученное перестановкой значений х и у: (10; 6).

Работа № 23

Блок А. 1. а ⩾ b, так как а — b = (а + 2)2. 2. Непрерывна. 3. (-4; 1) и (1; 2). 4. 4. 5. {4} и [5; 7]. 7. а = 5. 8. До 14 часов.

Блок В. 1. а) Связь между известными и неизвестными величинами; б) предикат. 2. Числовое неравенство — утверждение. 3. Да. Верно одно из трех: a < b, a > b или a = b. 4. < , > , = . 5. Да. Соответственно неотрицательные рациональные, рациональные и действительные числа. 6. Отдельные неравенства решаются по очереди или совместно. 7. Неверное умножение отрицательного числа на сумму, постоянство знака члена при переносе его в другую часть неравенства. 8. Неверная аналогия с решением уравнения, непонимание значения символа «±». Показать бессмысленность ответа можно, пред-

ложив: записать ответ в виде промежутков; выяснить, удовлетворяет ли ответу число 1. 9. Условие положительности произведения двух чисел. 10. х _ % ^ 0. 11. Транзитивность — при выстраивании величин по порядку, почленное сложение и умножение их на число — при оценке величин. 12. Ручки продают наборами. Сколько ручек в одном наборе, если в двух наборах их больше 5 штук, а в трех — меньше 10? 13. Составление неравенства (формализация), решение неравенства (внутримодельное решение), выявление смысла полученных ограничений (интерпретация), запись ответа, анализ решения.

Работа № 24

Блок А.

Блок В. 1. Было выше. 2. 2 sin2x — sin х — 1 = 0. 3. Отдельно рассматривается случай cos х = 0 (sin х = 0). Делением на cos х (sin х) в степени порядка однородности уравнение сводят к квадратному, кубическому и т. д. 4. Переход к однородному второй степени относительно синуса и косинуса половинного угла; введение дополнительного угла; возведение обеих частей в квадрат с последующим переходом к однородному уравнению. 5. Прямые х = π/4 + nk, k ∈ Z; прямые у = ±2 с выколотыми точками с абсциссами х = π/3 + nk, k ∈ Z.

Условие равенства нулю произведения чисел, определение ОДЗ выражения, построение прямых х = x0 и у = y0.

Работа № 25

Блок А.

2. Преобразуйте к виду

5. Преобразуйте к виду

Блок В. 1. В 6 классе определение модуля числа формулируется как расстояние до начала отсчета на координатной прямой.

В 8 классе модуль выражения — или само выражение, или ему противоположное. 2. Неотрицательность. Равенство модулей противоположных чисел. Наибольшее из данного и противоположного чисел. 3. Подготовка к введению понятия абсолютной погрешности. 4. Расстояние от х до 4 больше 2, но меньше 3. 5. Способ 1. Модулем 0,5 обладают два числа: 0,5 и -0,5. Подмодульное выражение равно или одному, или другому. Способ 2. Модуль выражения равен или самому выражению, или противоположному ему. 2,1х — 1,9 = 0,5 или -(2,1x — 1,9) = 0,5. 6. Способ 1. По условию, подмодульное выражение заключено между -0,3 и 0,3. Решаем двойное неравенство. Способ 2. Раскрываем модуль с учетом знака выражения:

Работа № 26

Блок А.

= -1 при а > 5. 8. Функция называется непрерывной в некоторой точке своей области определения, если в этой точке функция имеет предел, равный значению функции. 9. Последний.

Блок В. 1. Обоснование того, что графиками линейной и квадратичной функций являются соответственно прямая и парабола.

Исследование поведения графика у = 1/x в окрестности нуля и на бесконечности. Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Доказательство существования площади произвольного прямоугольника. Определение длины окружности и площади круга. 3. а) На координатной прямой: попадание всех точек, начиная с некоторой, в сколь угодно малую окрестность предела. На координатной плоскости: аналогичное попадание точек в горизонтальную полосу; б) для любой окрестности предела функции можно подобрать такую проколотую окрестность аргумента, что ее образ будет целиком внутри первой. Точки графика лежат в горизонтальной полосе. 4. Конъюнктивное определение, три свойства: точка входит в область определения функции, существует предел функции в точке, равенство предела и значения.

Работа № 27

Блок А. 1. а) Нет; б) нет; в) только в точке х = 2. 2. а) Да; б) нет. 5. б). 6. а) — г). 7. 7,5. 8. -2. 9.а = 5;b = -8. 10. Да.

Блок В. 1. Скорость, производительность, продуктивность, ускоренный рост. 2. Ш. А. Алимова и др. 3. С преобразованиями алгебраических выражений. 4. Способ 1. Пренебрежение одним из слагаемых при значениях аргумента с большим модулем, например

X + 1/x ≈ x, поэтому у = x — наклонная асимптота графика у = х + 1/x.

Способ 2. В математических классах коэффициенты в уравнении асимптоты определяют, как это принято в математическом анализе.

5. Определение экстремумов, наибольших и наименьших, приближенных значений функции, составление уравнения касательной, доказательство тождеств и неравенств, отдельные текстовые задачи.

6. Рассмотрение функции на малом промежутке; спрямление, замена дифференцируемой функции линейной. 7. Нахождение производной сделать лишь одним из этапов выполнения задания. Решение уравнений и неравенств, включающих производные. 8. Нет. Единственность общей точки кривой и прямой не является ни необходимым, ни достаточным условием касания.

Работа № 28

Блок А.

Блок В. 1. Результат данной операции определяется неоднозначно, с точностью до константы. 2. Вероятно, площадь подграфика или символ интеграла J. 3. В целях упрощения терминологии имеется сходный по звучанию «определенный интеграл». Особой необходимости в дополнительном термине нет. 4. Возник «круг в доказательстве», так как при выводе формулы объема тела вращения используется формула объема цилиндра. 5. Описывается непрерывно меняющийся процесс или некая непрерывная величина. Математическая модель явления допускает достаточно точную замену удовлетворяющей условию задачи функции некоторой кусочно-постоянной, для которой ответ может быть получен по имеющейся формуле. 6. Нахождение длины пути тела, двигающегося с переменной скоростью; определение работы переменной силы; подсчет массы неоднородного тела с переменной плотностью. 7. Строится график V = V0 + at, находится площадь подграфика — прямоугольной трапеции. 8. Физики обычно считают работу сил сближения отрицательной. Пусть под действием сил тяготения расстояние между телами массами m и M уменьшилось от r1 до r2. Тогда

Из закона Гука следует, что F = kx. Работа переменной силы

Так же можно вычислить площадь подграфика (треугольника).

Работа № 29

Блок А. 1. Условной вероятностью называется вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло. Для условных вероятностей используется обозначение Р(В|А). 2. Под априорной вероятностью события понимается вероятность события (безусловная), вычисленная до его наступления. Под апостериорной вероятностью события понимается вероятность события В (условная), вычисленная при условии наступления некоторого события А.

3. Сумма всех апостериорных вероятностей равна единице.

Блок В. 1. Для мотивации изучения формулы полной информации нужно рассмотреть решение задачи вычисления вероятности (безусловной) события на втором шаге в условиях отсутствия информации о наступлении события на первом шаге (прямой). Изучение формулы Байеса можно обосновать необходимостью решения задачи (обратной): найти вероятность события на первом шаге при известном факте наступления некоторого события на втором. 2. Для введения основных понятий теории вероятностей предпочтительным является использование конкретно-индуктивного способа. 3. Математический аппарат элементарной математики.

Работа № 30

Блок A. 1. 3250 м. 2. а) 1,2 дм; б) 0,0008 м2. 3.6). 4.1:5. 5. 1152. 6. 12. 7. 15л см. 8. 8 дм2.

Блок В. 3. Длина, площадь, объем, градусная мера угла.

Работа № 31

Блок А. 2. Понятия, утверждения (аксиомы, теоремы — свойства, признаки), алгоритмы, методы. 4. Утверждение, принимаемое без доказательства за истинное в рамках определенной теории.

5. Доказываемое в рамках определенной теории утверждение.

6. Утверждение о равенстве треугольников с попарно равными сторонами.

Блок В. 1. Измерение на плоскости. 2. Л. С. Атанасян и др., А. В. Погорелов, А. Д. Александров и др., А. Н. Колмогоров и др., И. М. и В. А. Смирновы, И. Ф. Шарыгин. 5. Свойства равнобедренного треугольника, теорема Пифагора.

Работа № 32

Блок А. 2. Нет, так как сумма смежных углов 180°. 3. Нет. Необходимо равенство соответственных или односторонних углов.

4. Бесконечно много — в разных направлениях. 5. Нет. Две точки могут лежать по одну сторону от прямой, а третья — по другую. 6. Достаточно выбрать на чертеже точку и провести через нее прямые, параллельные данным, и измерить образовавшиеся углы.

Блок В. 1. Аксиома, теорема. 3. Теорема имеет условие и заключение. 4. Теорема, у которой по отношению к данной поменялись

местами условие и заключение. 5. Да. 6. Предполагается, что заключение теоремы не выполняется, т. е. верно его отрицание. Доказывается, что при этом будет справедливо отрицание условия. Одновременное наличие двух утверждений — условия и его отрицания — свидетельствует о получении в рассуждении противоречия, причиной которого является неверное предположение. Суть метода состоит в получении противоречия между условием и его отрицанием. 7. Школьник мог опустить перпендикуляр из точки на данную прямую, после чего построил прямые углы, взяв за вершину данную точку и отложив их от перпендикуляра. Вероятно, этот прием построения параллельной прямой был разобран учителем, но ученик «пошел дальше». 8. Дословное повторение доказательства факта непересекаемости таких прямых, приведенное в учебнике Л. С. Атанасяна и др. 9. а) Нет, признаки равенства прямоугольных треугольников не изучены; б) нет, нельзя ссылаться на теорему о сумме углов треугольника; в) нет, требуется обосновать, что НО и b пересекутся.

Работа № 33

Блок А. 1. Лежать в плоскости или быть параллельной ей. 2. Прямая может: а) быть линией пересечения плоскостей; б) лежать в одной из них и пересекать другую; в) лежать в одной плоскости и быть параллельной другой; г) пересекать каждую из плоскостей в разных точках; д) пересекать каждую из плоскостей в их общей точке; е) быть параллельной каждой из плоскостей. 3. Нет. 4. Нет. 5. Если прямые не пересекаются — на основании теорем школьного курса. 6. Прямые a и b параллельны. Имеются и другие варианты. 7. Нет.

Блок В. 1. Двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. 4. Верны две последние.

Работа № 34

Блок А. 1. Нет (см. невыпуклый). 2. Три. 3. а) Нет; б) нет; в) нет; г) нет. 4. Да. 5. Нет. 6. 20/3 см. 7. а) Суммы противоположных углов по 180°; б) параллелограмм. 8. а) Суммы противоположных сторон равны.

Блок В. 1. Четырехугольник — многоугольник, состоящий из четырех отрезков. 3. Некорректное. 4. Избыточно определение ромба.

Работа № 35

Блок А. 3. Пять: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр. 4. Да. К полуправильным относят многогранники, у которых: все грани — правильные многоугольники и каждая вершина является общим концом одного и того же числа ребер или все грани — равные между собой многоугольники.

Блок В. 2. Платоновы тела.

Работа № 36

Блок А. 1. Прямая проходит через вершину конуса и лежит во внешней области конуса. 2. Нет. Например, если прямая параллельна основанию прямого кругового конуса. 3. Окружность, эллипс, парабола, гипербола, две прямые, точка. 4. 0,5. 5. а) Нет; б) да. 6. Одну (касание), ни одной или бесконечно много (пересечение). 7. Через центр шара провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. На большой окружности сферы выбрать точку и через нее провести прямую требуемого направления. Прямых бесконечно много, образуют цилиндр. 8. Сумма радиусов равна образующей.

Блок В. 4. Темы «Треугольник и окружность» и «Цилиндр. Сфера и шар».

Работа № 37

Блок А. 1. На 2л. 2. а) 60°; б) 30° или 150°. 3. а) И; б) Л. 4. Нет. По основному свойству площадей. 5. Площадь большего круга равна сумме площадей двух меньших. 6. a) V1 + V2; б) 2/3 V1 + V2. 7. У куба.

Блок В. 1. Длина, площадь, объем, градусная мера угла. 4. Существование длины отрезка, несоизмеримого с единицей длины и др.

Работа № 38

Блок А. 1. Анализ, построение, доказательство, исследование. Или: анализ, синтез. 2. Метод геометрического места точек, метод геометрических преобразований, метод спрямления.

Блок В. 1. Анализ, исследование, доказательство, построение. 2. Угольник, двусторонняя линейка. 3. Задача об удвоении куба (угольник).

Работа № 39

Блок А. 1. Точки; параллельной направлению проектирования прямой или ее частей. 2. а) Плоскость, прямая, парабола; б) отрезок, многоугольник, дуга, окружность. 4. Да. Например, треугольной призмы. 5. Чевиана A1Р1, содержащая точку Мг, делится ею в некотором отношении m : n, при этом Р1 делит сторону A1B1 в отношении а : b. Те же соотношения должны выполняться и для чевианы A2Р2 и точки M2. 6. На виде сбоку плоскость экватора изображается отрезком. Полюс — наиболее удаленная от экватора точка. По виду сбоку определяется, на какой высоте находится изображение полюса на виде спереди. 7. Нет. Плоскости граней — четырехугольников должны иметь общую точку, являющуюся общей точкой продолжений трех ребер, попарно соединяющих вершины треугольных граней. 8. Метод следа, метод внутреннего проектирования (параллель-

ного, центрального). 10. Треугольник, квадрат, шестиугольник. 11. a2/2.

Блок В. 1. Верное, наглядное изображение. 2. Возможность воссоздать оригинал по изображению с точностью до подобия. 5. Аксиомы принадлежности, теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Работа № 40

Блок А. 2. а) И; б) A; в) A; г) И. 3. Центр параллелограмма является центром симметрии — частного случая гомотетии. Прямая проходит через центр параллелограмма. Трапецию прямая пересекает по параллельному основаниям отрезку, длина которого равна среднему геометрическому оснований. 4. Да. Проведем диагонали квадрата и сопоставим половину квадрата с его четвертью. 5. Если два параллелограмма имеют по равному углу, а их стороны пропорциональны, то параллелограммы подобны. 6. Углы треугольников соответственно равны, а по теореме синусов — и стороны.

Блок В. 1. Понятие отношения, решение пропорций. 3. Репродукции картин, модели единиц техники.

Работа № 41

Блок А. 1. Минус семь целых восемь десятых и четыре в периоде. 2. Нет. См. 1 = 1,(0) = 0,(9). 3. Нет. Арифметический квадратный корень извлекается из неотрицательного вещественного числа и имеет единственное неотрицательное значение. Квадратный корень извлекается из любого комплексного числа и имеет в общем случае два значения. В школьном курсе существует договоренность о понимании под квадратным корнем именно арифметического. 4. а); г).

5. Смысл выражения √-4 состоит в том, что оно обозначает число, квадрат которого равен -4. В множестве R таких чисел нет. В множестве С находятся два числа с указанным свойством: 2i и -2i.

В множестве С выражение имеет два значения, а в множестве R — ни одного. В школьном курсе указывается, что выражение √-4 не имеет смысла.

Блок В. 1. Линии числа, тождественных преобразований, уравнений, функции (в ряде учебников). 2. Число, которое: а) может быть описано бесконечной непериодической десятичной дробью; б) может быть охарактеризовано с любой степенью точности своим округлением — конечной десятичной дробью; в) является координатой некоторой точки на координатной прямой. 3. Калькулятор позволяет с большей точностью получить значения квадратных кор-

ней, показывает сложность устройства иррациональных чисел — непериодических дробей. 5. Правило возведения произведения в степень с натуральным показателем, определение квадратного корня. 6. Анализ в форме расчленения, сравнения, синтеза. 7. Ученик мог воспринять запись смешанного числа как произведение целой и дробной частей и преобразовать по формуле корня из произведения. Возможно, перед данным примером было много однотипных на одно правило. Могло быть и иначе: по аналогии с другими действиями школьник извлек корень из суммы и получил сумму корней. Убедить ученика в ошибке можно, предложив ему сделать проверку возведением в квадрат. Показать суть ошибки можно на примере с целыми числами: √36 + 64 ≠ √36 + √64 . 8. Гиппас утонул во время кораблекрушения.

Учебное издание

Стефанова Наталия Леонидовна

Подходова Наталья Семеновна

Орлов Владимир Викторович

Орлова Анна Валерьевна

Радченко Валерий Павлович

Крылов Валерий Валентинович

Ярмолюк Валентина Егоровна

Снегурова Виктория Игоревна

Иванов Игорь Анатольевич

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Лабораторный практикум

Учебное пособие для студентов математических факультетов педагогических университетов

Зав. редакцией Б. В. Понкратов Редактор О. В. Карцева Художественное оформление А. В. Пряхин Технический редактор Н. И. Герасимова Компьютерная верстка А. В. Маркин Корректор Г. И. Мосякина

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.

Подписано к печати 29.06.07. Формат 60х901/16. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,0. Тираж 5000 экз. Заказ № 7926.

000 «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.

Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.

Магазины «Переплетные птицы»: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: (495) 912-45-76; 140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2. Тел.: (495) 741-59-76. Интернет-магазин: http://www.drofa.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета» «Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова». 214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов и др.

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Курс лекций

• современные тенденции в процессе обучения математике;

• личностно-ориентированный подход;

• психолого-методические основы построения процесса обучения

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов и др.

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Лабораторный практикум

ДРОФА

Высшее образование

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ