Высшее образование

ВЫСШЕЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Методика и технология обучения математике

Курс лекций

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ

ДРОФА

ВЫСШЕЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Методика и технология обучения математике

Курс лекций

Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов математических факультетов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование

2-е издание, исправленное

ДРОФА

Москва 2008

УДК 51(075.8) ББК 22.12я73 М54

Авторы:

Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов, А. В. Орлова, В. П. Радченко, В. В. Крылов, В. Е. Ярмолюк, В. И. Снегурова, И. А. Иванов

Научные редакторы: Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. А. Г. Мордкович; д-р пед. наук, проф. В. А. Гусев

М54

Методика и технология обучения математике. Курс лекций : пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. — 2-е изд, испр. — М. : Дрофа, 2008. — 415, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-358-05567-4

В пособии излагаются современные представления о методике и технологиях обучения математике в общеобразовательной школе. Содержание книги охватывает как традиционные для школьного курса математики темы, так и сравнительно новые. Материал излагается на базе личностно-ориентированного подхода.

Для студентов педагогических вузов, обучающихся по направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование.

УДК 51(075.8) ББК 22.12я73

Учебное издание

Стефанова Наталия Леонидовна, Подходова Наталья Семеновна, Орлов Владимир Викторович и др.

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Курс лекций

Зав. редакцией Т. Д. Гамбурцева. Редактор О. В. Карцева Художественное оформление О. В. Матоянц. Технический редактор В. Ф. Козлова. Компьютерная верстка Т. В. Рыбина Корректор Г. И. Мосякина

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003. Подписано к печати 23.04.08. Формат 60 х 901/16. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,0. Тираж 2000 экз. Заказ № 9325. 000 «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Магазины «Переплетные птицы»: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: (495) 912-45-76; 140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2. Тел.: (495) 741-59-76. Интернет-магазин: http://www.drofa.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета» «Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова». 214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.

ISBN 978-5-358-05567-4

© ООО «Дрофа», 2005

© ООО «Дрофа», 2008, с изменениями

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие........................................... 8

Лекция 1. Введение в систему математического образования России................................. 10

1.1. Роль и место математического образования в современном обществе........................... 10

1.2. Основные тенденции развития математического образования в России............................. 12

1.3. Математическое образование в системе непрерывного образования......................... 15

ЧАСТЬ I. Психолого-методические и технологические основы обучения математике

Лекция 2. Образование. Обучение. Развитие. Воспитание......................................... 18

2.1. Современные тенденции образовательной системы. Цели образования................................ 19

2.2. Образование, обучение, развитие — определение основных понятий................................ 21

2.3. Соотношение обучения и развития................... 22

Лекция 3. Мотивация учебной деятельности школьников........................................ 26

3.1. Типология мотивов учебной деятельности............. 27

3.2. Взаимодействие социальных и познавательных мотивов. Связь школьной программы с жизнью как особый аспект мотивации....................... 29

3.3. Становление мотивации в школе.................... 33

3.4. Роль мотивации достижения....................... 37

3.5. Познавательный интерес и его роль в учебной деятельности.................................... 43

Лекция 4. Когнитивные стили как отражение индивидуальных особенностей усвоения учебного материала.......................................... 46

4.1. Индивидуальные особенности учащихся.............. 46

4.2. Типы когнитивных стилей......................... 48

4.3. Взаимосвязи когнитивных стилей................... 54

4.4. Диагностика когнитивных стилей................... 57

4.5. Когнитивные стили в процессе обучения.............. 59

Лекция 5. Ученик как субъект учебной деятельности. Возрастные и половые особенности школьников......... 73

5.1. Возрастные особенности школьников................. 74

5.2. Учет половых особенностей в процессе обучения........ 84

Лекция 6. Процесс обучения математике как система. ... 89

6.1. Целостный подход к процессу обучения математике..... 90

6.2. Цели обучения математике......................... 95

6.3. Субъектный опыт учащихся в обучении математике..... 96

Лекция 7. Задачи в обучении математике.............. 100

7.1. Задачи: определение, структура, классификация.......100

7.2. Функции задач в обучении.........................105

7.3. Процесс решения задачи...........................105

Лекция 8. Математические понятия...................108

8.1. Этапы познания. Общая характеристика понятия.......109

8.2. Определение понятия. Типы определений.

Требования к определениям........................112

8.3. Классификация понятий..........................115

8.4. Процесс становления понятия. Основные этапы работы с понятием...............................117

Лекция 9. Обоснования и доказательства.

Математические утверждения и теоремы............... 128

9.1. Математическая теория. Аксиомы. Утверждения....... 129

9.2. Доказательство: структура, виды.................... 131

9.3. Ошибки в доказательствах......................... 137

9.4. Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения.............139

Лекция 10. Методы и формы обучения математике. Развитие интеллектуальных умений при обучении математике.........................................144

10.1. Методы обучения математике.......................145

10.2. Методы психологии в обучении математике. Интеллектуальные умения.........................146

10.3. Умение анализировать. Развитие аналитических умений у школьников.............................148

Лекция 11. Контроль знаний и умений учащихся при обучении математике............................152

11.1. Контроль: типы, цели, функции.....................152

11.2. Требования к контролю и его компоненты.............154

11.3. Виды, формы и средства контроля...................155

11.4. Оценка и отметка. Способы оценивания. Ошибки и недочеты..............................159

Лекция 12. Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе. . 164

12.1. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними..................165

12.2. Специфика обучения алгебре как предмету............167

12.3. Объективные особенности геометрических представлений..................................170

12.4. Восприятие и усвоение геометрического пространства....................................174

Лекция 13. Методика обучения математике............181

13.1. Предмет методики обучения математике. Связь методики обучения математике с другими науками..............182

13.2. Характеристика образовательной области «Математика»...................................184

13.3. Математическая и учебная задачи...................186

Лекция 14. Технологический подход к обучению математике..............................189

14.1. Краткая история становления технологического подхода к обучению...............................189

14.2. Понятия «педагогическая технология», «образовательная технология», «технология обучения».................191

14.3. Технология и методика обучения математике..........194

14.4. Роль учителя при осуществлении технологического подхода к обучению...............................199

Лекция 15. Технологический подход и индивидуализация обучения математике.............200

15.1. Психолого-педагогические и методические подходы к понятию «индивидуализация обучения».............201

15.2. Технологический подход в реализации индивидуализации обучения математике..............202

15.3. Пример технологии использования индивидуализированной системы задач при обучении математике..........................207

Лекция 16. Технологические схемы обучения элементам математического содержания...............209

16.1. Общие требования к технологическим схемам обучения . . 209

16.2. Технологические схемы обучения математическим понятиям.......................................210

16.3. Особенности технологических схем обучения отдельным элементам математического содержания.....216

ЧАСТЬ II. Основные линии школьного курса математики и методика их изучения

Лекция 17. Общие вопросы изучения алгебры в девятилетней школе и особенности альтернативных программ . . 220

17.1. Из истории развития алгебры.......................220

17.2. Содержание и задачи курса алгебры..................223

17.3. Особенности альтернативных программ...............228

Лекция 18. Линия тождественных преобразований в курсе девятилетней школы..........................230

18.1. Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса.................231

18.2. Основные типы преобразований и этапы их изучения .... 235

18.3. Особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни».........................................238

Лекция 19. Теория числа в курсе алгебры девятилетней школы................................242

19.1. Из истории развития действительного числа...........242

19.2. Подходы к определению действительного числа и к расширению множеств. Цели изучения линии числа....... 243

19.3. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы........ 245

19.4. Методика введения понятия «иррациональное число» . . . 252

19.5. Методика введения понятия «комплексное число»...... 254

Лекция 20. Функции в девятилетней школе............256

20.1. Из истории развития функции......................256

20.2. Цели изучения функции в основной школе............257

20.3. Различные трактовки понятия «функции»............258

20.4. Формирование понятия «функции» в школьном обучении.......................................259

20.5. Изучение функции с учетом когнитивных стилей учащихся......................................260

20.6. Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции............................264

Лекция 21. Линия уравнений и неравенств в курсе алгебры 7—9 классов................................268

21.1. Содержание, роль линии уравнений и неравенств в курсе математики...............................268

21.2. Основные понятия линии уравнений и неравенств......269

21.3. Методические особенности изучения материала линии уравнений и неравенств в девятилетней школе. ... 273

Лекция 22. Особенности изучения геометрического материала в 1—6 классах............................276

22.1. Основные задачи обучения геометрическому материалу в школе. Условия создания образов геометрических фигур............................277

22.2. Цели обучения геометрическому материалу в 1—6 классах...................................281

22.3. Методические особенности организации обучения геометрическому материалу в 1—6 классах............284

Лекция 23. Методика изучения геометрических фигур и их измерений в систематическом курсе геометрии.....306

23.1. Рекомендации по введению геометрических фигур на первых уроках геометрии в 7 классе...............306

23.2. Методика изучения равенства треугольников и равнобедренного треугольника....................311

23.3. Методика изучения частных видов четырехугольников и их площадей..................314

23.4. Методика введения понятия «многогранник»..........318

23.5. Рекомендации по изучению объемов многогранников .... 320

23.6. Методические замечания об изучении фигур вращения и их комбинаций с многогранниками........323

Лекция 24. Методика изучения параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве . . . 325

24.1. Цели изучения темы..............................325

24.2. Особенности изложения учебного материала в школьных учебниках............................327

24.3. Методические рекомендации к изучению параллельности на плоскости и в пространстве.........330

24.4. Методические рекомендации к изучению перпендикулярности в пространстве.................334

Лекция 25. Изучение векторов и координат на плоскости и в пространстве........................340

25.1. Исторические замечания о векторах и координатах......340

25.2. Основные подходы к изучению векторов и координат в учебниках геометрии............................342

25.3. Методические рекомендации по изучению векторов на плоскости и в пространстве......................343

25.4. Замечания об изучении координат и координатного метода на плоскости и в пространстве.................352

Лекция 26. Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве........................356

26.1. Исторические замечания о геометрических преобразованиях на плоскости и в пространстве........357

26.2. Реализация темы в действующих учебниках...........357

26.3. Методические рекомендации по изучению геометрических преобразований.....................358

26.4. Методика изучения подобия в действующих учебниках .. 360

Лекция 27. Изучение элементов математического анализа в курсе алгебры старшей школы...............370

27.1. Основные линии курса алгебры и начал анализа и их реализация в действующих учебниках............370

27.2. Подходы к изучению действительных чисел в старшей школе.................................376

27.3. Методика изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики................378

27.4. Об изучении предела последовательности и предела функции в общеобразовательной и профильной школе ... 379

27.5. Возможные варианты введения понятия «производная функции» и изучения приложений производной........383

27.6. Введение понятия «первообразная функции» и изучение определенного интеграла.................392

Лекция 28. Вероятностно-статистическая линия в школьном курсе математики........................395

28.1. Основные цели изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики...........396

28.2. Методика изучения основных понятий теории вероятностей....................................397

28.3. Методика изучения основных теорем теории вероятностей....................................406

28.4. Методика изучения понятия «случайная величина». Изучение основных характеристик случайных величин........................................412

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций «Методика и технология обучения математике» предназначен для подготовки кадров, обучающихся по направлению «Физико-математическое образование». Он может использоваться и при подготовке по специальности 031100 Математика.

Содержание пособия соединяет в себе как традиционные, так и инновационные подходы в обучении будущих преподавателей математики. Согласно традиции, курс включает две серии лекций. Первая серия (лекции 2—16), помещенная в части I «Психолого-педагогические и технологические основы обучения математике», представлена лекциями, в которых рассматриваются общие вопросы методики и технологии обучения математике. Вторая серия (лекции 17—28), помещенная в части II «Основные линии школьного курса математики и методика их изучения», посвящена методике обучения конкретному учебному содержанию. Весь курс предваряется вводной лекцией (Лекция 1), в которой рассматривается современная система математического образования.

Предлагаемая книга отражает новые тенденции в процессе обучения математике — технологизацию самого процесса обучения, а также реализацию личностно-ориентированного обучения.

Понятие технологии обучения прочно вошло в обиход профессиональной деятельности учителя математики. Однако содержание этого понятия пока не до конца определено. Сам технологический подход к процессу обучения математике несет много плодотворных идей, способствующих интенсификации и повышению качества обучения. Поэтому в курсе лекций рассматриваются вопросы, разъясняющие суть технологического подхода к процессу обучения математике, а также положительные и отрицательные стороны его реализации.

В современной концепции образования превалирующей является направленность на всестороннее развитие ребенка, и в связи с этим наиболее перспективным для методики обучения

математике в настоящее время является личностно-ориентированный подход. Это предполагает учет не только возрастных, но и индивидуально-типологических свойств личности. Между тем развитие мышления ребенка (за что в первую очередь призвана отвечать математика), а также особенности восприятия, усвоения, переработки и хранения информации являются предметом изучения психологии. Именно поэтому в данный курс включены лекции, в которых раскрываются психолого-методические основы построения процесса обучения математике, понимание и знание которых будущими учителями математики во многом определят эффективность обучения учащихся.

Все лекции включают не только разъяснение основных теоретических положений, но и примеры из практики обучения учащихся математике. Они построены по единой структуре, которая включает: вопросы для предварительного обсуждения, содержание лекции, ключевую информацию и рекомендуемую литературу. Особое внимание следует обратить на элементы, которые не являются привычными для композиции учебной книги, это вопросы для предварительного обсуждения и ключевая информация.

Вопросы для предварительного обсуждения предлагаются студентам перед лекцией. Они выполняют двуединую функцию — включения в процесс обучения опыта студентов и мотивационную. Тем самым они позволяют активизировать учебно-познавательную деятельность студентов. При этом к ним обязательно возвращаются при изложении содержания лекции.

Ключевая информация содержит «выводные» знания, которые представляют собой квинтэссенцию содержания лекции. В определенной степени ключевая информация является моделью остаточных знаний студентов по содержанию определенной лекции.

Предлагаемый курс лекций в силу его содержательных и структурных особенностей может использоваться студентами педагогических вузов в качестве учебного пособия как непосредственно на занятиях, так и для самостоятельной работы. Также он может быть полезен для работающих учителей или в системе повышения квалификации.

Авторы выражают свою признательность Копелевич Ф. И., Микушевой Н. П. и Потапову А. А. за предоставленные ими практические материалы, которые были использованы в лекциях 10—12.

Редакторы: д-р пед. наук, проф. Н. Л. Стефанова, д-р пед. наук, проф. Н. С. Подходова

Лекция 1

Введение в систему математического образования России

В ряду человеческих знаний математика стоит особняком и представляет для ума следующую поразительную особенность: обрабатывая свой внечувственный материал обычными умственными приемами исследования, ... она, в отличие от опытных наук, приходит к непогрешимым выводам...

И. М. Сеченов

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Известно высказывание Альберта Эйнштейна: «Образование есть то, что остается после того, как забывается все, чему нас учили». Исходя из этой посылки определите, что сегодня целесообразно понимать под математическим образованием среднестатистического члена нашего общества.

2. Какие ступени в современной системе образования России вы можете выделить?

3. Когда в России сложилась государственная система образования? Как в этой системе было представлено математическое образование?

4. Вспомните и назовите имена известных вам педагогов-математиков.

5. Что, с вашей точки зрения, важнее для выпускника современной общеобразовательной школы — помнить формулу для нахождения корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом или знать, что число действительных корней квадратного уравнения не больше двух?

1.1. Роль и место математического образования в современном обществе

На протяжении многих лет, особенно в конце 50-х — начале 80-х гг. прошлого века, математическое образование, наряду с естественнонаучным и техническим, рассматривалось как наиболее престижное. В связи с этим важнейшим для себя предметом учащиеся средней школы считали математику во многом потому, что хотели поступать в технические вузы, где требовалась хорошая математическая подготовка.

Начиная с середины 80-х гг. XX в. положение стало меняться. Более престижными стали юридические, экономиче-

ские специальности; появилась практическая потребность в хорошем знании иностранных языков. Выявилось явное отставание российской системы образования в сфере гуманитарного знания. Как реакция на это стала проявляться тенденция гуманитаризации системы образования. Увеличилось внимание к изучению гуманитарных дисциплин. Уменьшилось число часов, которое отводилось на изучение математики по учебному плану. Опросы учащихся и выпускников общеобразовательных школ показали, что отношение к математике стало меняться. Она сместилась с первых мест среди самых любимых и наиболее важных школьных дисциплин.

Математика, в отличие от многих других дисциплин, которые обычно называют естественнонаучными (или, как их назвал И. М. Сеченов, — опытными), изучает не предметы реального мира, а количественные отношения и пространственные формы, им свойственные. В связи с этим выделяется абстрактность объектов, которые изучает математика. Эта абстрактность порождает два свойства математических знаний: универсальность и формально-логическую выводимость.

Универсальность математических знаний проявляется в проникновении ее методов, прежде всего метода математического моделирования, в другие области научного знания, как естественнонаучного (физика, химия, биология и др.), так и гуманитарного (экономика, лингвистика, психология и др.). Математические модели, описывающие взаимосвязь количественных характеристик различных явлений и процессов, сегодня являются неотъемлемым элементом при проведении исследования в любой области знаний. Роль их возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. Именно поэтому математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе общего образования.

Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что и в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это не только применение простых математических расчетов, но и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятностей (например, вычисление забытой комбинации цифр на коде замка чемодана, биржевые и фондовые игры с акциями и т. д.). Сегодня в повседневной речи часто можно услышать такие выражения, как «количество заболевших гриппом растет в геометрической прогрессии» или «ассигнования увеличились на порядок». Эти примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Наконец, в общеизвестной фразе М. В. Ломоносова о математике и пользе ее изучения, которая «ум в порядок приводит», выделено наиболее важное значение математического образования сегодня — обеспечение интеллектуального развития человека.

Процесс усвоения математических знаний, которые представлены как хорошо организованная система взаимосвязанных между собой элементов, формирует системность и структурность мышления. Процесс решения математических задач требует постоянного проведения анализа, сравнения и синтеза информации. Работа с математическими понятиями раскрывает процессы обобщения и классификации. Изучение геометрических объектов позволяет развивать пространственные представления и воображение. Доказательство теорем раскрывает процесс построения аргументации для проведения доказательных рассуждений.

Выделенные выше операции и свойства мышления обусловливают обязательность включения математики в содержание общего и профессионального образования как инструмента развития интеллектуальной сферы обучающегося. Этим определяется и сохранение ведущей роли математического образования в общей системе образования. Однако операции логического мышления, формируемые при работе с математическими объектами, не всегда автоматически переносятся на другие объекты и не всегда включаются в интеллектуальный багаж человека. Само обучение математике и другим дисциплинам должно быть построено так, чтобы демонстрировать возможность универсальности применения приобретенных знаний.

Нужно не забывать и о том, что математическое образование, его содержание и уровень должны способствовать воспроизводству специалистов, занятых в сфере математических, естественных и технических наук, а также специалистов, занятых в соответствующих сферах практической деятельности, включающей преподавание математики.

1.2. Основные тенденции развития математического образования в России

Преобразования, происходящие в системе образования России в целом, не могли не сказаться на математическом образовании. Интерес представляют особенности проявления этих тенденций. В качестве главных, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, тенденций можно выделить: гуманизацию, гуманитаризацию и технологизацию математического образования.

Гуманизация математического образования проявляется, прежде всего, в установлении приоритетов при организации процесса обучения математике. Эти приоритеты связаны с ориентацией на личность учащегося, на развитие ее интеллектуального потенциала и познавательных возможностей. Это означает, что при определении целей обучения математике в каждой конкретной ситуации будет предвосхищаться результат, характеризующий не просто знания и умения, которые должны быть сформированы, а изменения в личности учащегося (в интеллектуальной сфере), которые произойдут при освоении этих знаний. Отбор содержания и его построение должны осуществляться с учетом типичных особенностей понимания и осознания математических знаний обучающимися различных возрастов и их психологической организации (в частности, когнитивных стилей). Наконец, и в системе контроля акцент должен быть смещен с фиксации только суммы и уровня усвоения знаний на динамику общего и математического развития учащихся при овладении этими знаниями.

В связи с ориентацией на развитие обучающихся возникает проблема учета их образовательных интересов, возможностей и притязаний, а также имеющегося у них опыта при организации процесса обучения математике. Как следствие этого, особое внимание сегодня уделяется дифференциации (уровневой и профильной) и индивидуализации обучения.

Дифференциация связана с организацией обучения с учетом особенностей групп учащихся, выделенных на основе либо достигнутого уровня обученности математике (достигнутых результатов) и способностей, либо интересов, склонностей и, конечно, результатов. В первом случае речь идет об уровневой дифференциации, во втором — о профильной. Применительно к процессу обучения математике оба вида дифференциации предполагают создание различного содержания и формулирования различных требований для учащихся, отнесенных к разным группам.

Уровневая дифференциация осуществляется в общеобразовательной школе практически на каждом уроке математики посредством предложения учащимся разных типологических групп разных по сложности заданий, как для освоения соответствующих знаний, так и для контроля. При этом группа, к которой учитель относит того или иного ребенка, учащимся остается неизвестна. Этот вид дифференциации для ученика скрыт. Тем более, что такие группы являются нестабильными. Однако существует и открытая форма уровневой дифференциации — это классы коррекции (или классы с недо-

статочной математической подготовкой). Для них существует и особая программа по математике [4, с. 5]. Профильная дифференциация осуществляется через организацию классов и школ, где уровень изучения математики будет различным в зависимости от сформированных интересов учащихся и выбора будущей специальности. Профильная дифференциация при изучении математики сегодня в основном осуществляется в старшей школе, хотя может реализовываться начиная с 8 класса. В связи с этим выделяются программы по математике для школ (классов) с углубленным изучением математики (8—9 классы и 10—11 классы) и общеобразовательных учреждений [4]. В некоторых документах первая программа называется программой профильного уровня, вторая — базового, хотя есть предложения о выделении трех видов программ — углубленного, профильного и базового уровней.

Индивидуализация обучения математике предполагает учет более ярких особенностей отдельных детей (либо математически одаренных, либо имеющих ярко выраженные психологические особенности). Она фактически состоит в использовании индивидуальной методики обучения этих учащихся.

Гуманитаризация математического образования состоит в выделении в содержании обучения математике элементов, обращенных к человеку и обществу, таких, как использование математических знаний в повседневной деятельности человека, математические открытия как отклик на потребности общества. Кроме того, это выделение тех аспектов в математических знаниях, которые традиционно относятся к гуманитарным наукам — история развития математики, судьбы людей, внесших значительный вклад в математическую науку, проблемы формирования и использования математического языка, использование математических закономерностей при создании произведений искусства.

Под технологизацией математического образования понимают осмысление процесса обучения математике как регламентированной смены четко описанных этапов, имеющих высокую степень результативности, а также разработку четко описанных приемов обучения, обладающих высокой степенью результативности в массовом масштабе. Эта тенденция проявляется в связи с массовым характером организации обучения в рамках классно-урочной системы с большим количеством участников процесса обучения (обучаемых и обучающих) и необходимостью получать положительный результат обучения. Она на первый взгляд вступает в противоречие с тенденцией гуманизации, проявляющейся, в частности, в индивиду-

ализации обучения. Однако ориентация при разработке технологий на положительный результат обучения, а значит, на учет, по крайней мере, наиболее типичных особенностей усвоения учащимися математических знаний и тем самым на успех учащихся в обучении, снимает кажущееся противоречие.

Учитывая выделенные тенденции развития математического образования, качество его сегодня определяется знаниями о существенных свойствах рассмотренных математических объектов, правильными представлениями учащихся об использовании математических понятий и методов в повседневной жизни, а также сформированными умениями применять полученные знания в своей практической деятельности. В этом смысле гораздо важнее, чтобы выпускник современной школы знал, что квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней, чем помнил формулу вычисления корней для одного из частных видов квадратного уравнения.

1.3. Математическое образование в системе непрерывного образования

Значимость математического образования в развитии современной цивилизации обусловливает государственный подход к его организации. Система государственного математического образования возникла в России в 1701 г. благодаря указу Петра I о создании Навигацкой школы, существенное значение в которой занимало обучение математике. В ее становление и развитие внесли свой вклад замечательные ученые и педагоги: Л. Ф. Магницкий, Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, С. И. Шохор-Троцкий, А. П. Киселев, А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко и многие другие. В современной России система математического образования является частью системы непрерывного образования. В связи с этим в ней проявляются черты общей системы (например, тенденции, которые обсуждались выше, характерны для всей системы непрерывного образования), но имеются и свои, присущие только ей черты. Последнее обстоятельство позволяет выделять и рассматривать систему математического образования как самостоятельное явление.

Рассмотрение системы математического образования как части системы непрерывного образования позволяет говорить о математическом образовании более широко, не ограничивая его только обучением в общеобразовательной средней школе.

Современная система математического образования в нашей стране представлена на рис. 1.

Рис. 1

Надо заметить, что в системе среднего профессионального образования реализуются программы школьного образования, а также начального специального математического образования, необходимые для получения соответствующей квалификации.

Кроме основного математического образования, существует система дополнительно математического образования. Она реализуется через систему кружков, факультативов, курсов по выбору для школьников на уровне общего образования, а также для студентов на уровне профессионального (начального, среднего и высшего) образования.

На схеме (см. рис. 1) не обозначена ступень послевузовского образования, которая включает подготовку специалистов в аспирантуре и докторантуре, а также систему переподготовки специалистов. На послевузовском этапе может реализовываться и дополнительное математическое образование. У нас в стране эта система пока плохо развита, хотя в странах Западной Европы уже существуют так называемые университеты третьего возраста для людей, вышедших на пенсию и желающих получить образование в интересующих их областях.

В последующих лекциях будет уделяться больше внимания системе математического образования (как основного, так и дополнительного), реализуемого на этапе школьного образования.

Наряду с общей направленностью математического образования на развитие интеллектуальной сферы человека, на каждой ступени выделяются специфические цели. На ступени дошкольного образования — это формирование первоначальных представлений о математических объектах и отношениях, которые используются ребенком в повседневной практике. На ступени начальной школы — формирование базовых умений, прежде всего вычислительных. На ступени основной и стар-

шей непрофильной школы — овладение системой математических знаний, представляющей общий (базовый) уровень современного математического образования. Наконец, для профильных школ — формирование системы математических знаний, отражающей углубленный уровень изучения математики, и развитие математических способностей учащихся.

Ключевая информация

Математическое образование, благодаря проникновению математических методов во все сферы жизни, а также целенаправленному формированию определенных универсальных свойств мышления (системность, структурность, обобщенность и др.), играет ведущую роль в функционировании и развитии современного общества.

Сегодня оно переживает этап существенных изменений, связанный с переосмыслением целей, содержания и организации процесса обучения. Эти изменения осуществляются в русле процессов гуманизации (дифференциации и индивидуализации), гуманитаризации и технологизации.

Математическое образование реализуется в нашей стране через государственную систему, включающую ступени дошкольного, начального, общего среднего, начального профессионального, среднего специального и высшего (общего и специального) образования. На каждой из выделенных ступеней выдвигаются свойственные ей цели математического образования.

Рекомендуемая литература

1. Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. — СПб.: Образование, 1996.

2. Кудрявцев Л. Д. Образование и нравственность. — М.: ПАИМС, 1994.

3. Математика в образовании и воспитании. — М.: Фазис, 2000.

4. Программно-методические материалы. Математика. 5—11 кл.: Сб. нормативных документов / Сост. Г. М. Кузнецова. — 3-е изд., стереотип. — М., 2000.

5. Программы общеобразовательных учебных заведений в Российской Федерации. Начальные классы. — М.: Просвещение, 1993.

6. Учебные стандарты школ России. Математика. Естественнонаучные дисциплины / Под ред. В. С. Леднева, Н. Д. Никандрова, М. Н. Лазутовой. — М.: Прометей, 1998.

7. Щербакова Е. И. Методика обучения математике в детском саду. — М.: Дрофа, 2000.

Часть I

Психолого-методические и технологические основы обучения математике

Лекция 2

Образование. Обучение. Развитие. Воспитание

Ребенок развивается, воспитываясь и обучаясь, а не развивается, и воспитывается, и обучается. Это значит: воспитание и обучение включаются в сам процесс развития ребенка, а не надстраивается лишь над ним...

С. Л. Рубинштейн

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Известна притча: «Странник шел по дороге и встретил трех людей, которые в поте лица тащили тяжелые камни в гору. Ему стало интересно, зачем и что они делают, и странник спросил первого из людей: «Что ты делаешь?» Первый человек, огрызаясь, ответил ему: «Не видишь, что ли, тащу камень в гору». Тогда путник решил поинтересоваться у второго: «А ты что делаешь?» Второй, тяжело вздохнув, сказал: «Зарабатываю себе на жизнь». Третий же человек на тот же вопрос путника ответил: «А я строю дом».

Чем отличается деятельность трех людей? Кому из них тяжелее всего? Почему?

2. Отличается ли образованный человек от обученного? Если да, то чем?

3. Какой из перечисленных ниже ответов вы изберете для характеристики взаимоотношения обучения и развития [1]:

а) развитие всецело зависит от обучения (каково обучение — таково и развитие);

б) обучение предопределяется развитием (уровень развития обусловливает характер и содержание обучения, но обучение не влияет на развитие);

в) развитие и обучение — процессы, протекающие параллельно, вне всякой связи друг с другом;

г) обучение не может ни ускорить, ни замедлить развитие (развитие не ставит никаких границ обучению);

д) обучение должно следовать за развитием (обучение не опережает развитие);

е) правильного ответа нет.

2.1. Современные тенденции образовательной системы. Цели образования

Каждому человеку очевидно, почему самой страшной карой богов считается Сизифов труд. Вовсе не потому, что камни, которые Сизиф вкатывает в гору, очень тяжелы, а потому, что труд Сизифа абсолютно бессмыслен, лишен цели. Это и показано в притче (первый из вопросов для предварительного обсуждения). Действительно, то, зачем, во имя чего каждый человек начинает какое-либо дело, в конечном счете определяет его результат. Цель часто и определяют как планируемый результат деятельности. При этом, чем лучше человек понимает, чего он хочет добиться, что должно быть в конце пути, тем более адекватные средства достижения цели выбираются, тем короче становится его дорога к задуманному и четче он может определить этапы пути и необходимые средства.

Сказанное выше можно в полной мере отнести к образованию, обучению и воспитанию. Следовательно, для эффективной организации этих процессов необходимо хорошо представлять их цели, иметь четкий образ конечного результата, которого хочет достигнуть педагог в своей работе.

Любая образовательная система должна выполнять функцию социализации личности и обеспечивать ее индивидуальное развитие. В зависимости от приоритетов в существующей концепции образования какая-либо функция реализуется в большей степени, чем другая. Выбор ее определяется в значительной степени сложившимися условиями. Изменение условий необходимо учитывать в разрабатываемых моделях обучения. Настоящее время характеризуется активными переменами в различных сферах жизни. К основным, касающимся образовательной системы, можно отнести:

— возрастание потока информации, быстрое устаревание информации и технологий в определенных областях, большое число профессий, которые находятся на стыке традиционных учебных дисциплин;

— усиление внимания к таким особенностям науки, как интеграция, системность, целостность, гуманизация знаний;

— расширение потребности в умении работать в условиях наличия противоречивой информации (развитию этого уме-

ния способствует возрастание интереса к многозначным логикам, в частности, паранепротиворечивой логике);

— возрастание влияния герменевтики как теории и искусства понимания, ее роль в процессе познания, включающем деятельность интуитивных элементов, всего опыта личности;

— расширение сенсорных возможностей современных школьников, большая роль интуитивных компонентов их мышления.

В этих условиях традиционная школа, реализующая классическую («знаниецентристскую») модель образования, сложившуюся еще в конце XIX в., становится непродуктивной. Невнимание к переменам, происходящим в обществе, является одной из причин возникновения проблем в существующей системе образования, отражающих трудности общекультурного кризиса, «суть которого сводится к многократному расщеплению единого мировосприятия и миропонимания» [7; с. 9]. В существующей образовательной системе преобладает аналитическая деятельность, направленность на приоритетное развитие словесно-логического мышления. Учащимся предлагается усвоить (без учета их собственных способов приобретения информации) разрозненные сведения из разных областей знаний, которые они не всегда могут связать в систему, а значит, создать целостное представление о мире. Но именно оно, с одной стороны, является личностным приобретением ребенка, с другой, — ориентиром в условиях выбора в окружающей действительности.

Решение проблем, связанных с системой образования, привело к созданию ее новой концепции, в которой образование определяется как подсистема культуры. Происходит осознание изначально единого смысла всякой деятельности, необходимости возвращения культуре ее целостности, ставится задача сохранения и развития индивидуального мировоззрения как уникального вклада в совокупность представлений о мире. При этом в многоуровневом образовательном пространстве, включающем процессы обучения и учения, воспитания и самовоспитания, развития и саморазвития, взросления и социализации, определяющим стержнем является развитие.

Таким образом, цель образования в современной школе — создание наиболее благоприятных условий для развития личности ученика как индивидуальности, для самореализации ребенка в дальнейшей жизни. Для образования, направленного на развитие ребенка, более существенной является ориентация на ценности, чем на конечные цели (главным становится вопрос «каким быть», а не «кем быть»).

Основная и очень ответственная задача школы — раскрыть индивидуальность ребенка, помочь ей проявиться, развиться, устояться, обрести избирательность и устойчивость к социальным воздействиям. Поэтому надо начинать не с отбора по способностям и даже не с формирования желаемых обществу качеств личности, а с квалифицированного педагогического изучения каждого ученика как индивидуальности. Для этого нужна не изолированная, а единая для всех, но разнородная образовательная среда, где любой ребенок мог бы проявить себя, не боясь быть отвергнутым, не принятым. И только когда особенности его индивидуального развития будут профессионально выявлены педагогом, проверены на устойчивость их проявления, можно определять дифференцированные формы его дальнейшего обучения.

Как одна из наиболее важных задач образования в рамках интеграционного подхода рассматривается создание условий для формирования учащимися целостной картины мира. На каждом этапе своего развития в школе ребенок пытается создать собственную картину мира, в которой отражаются его представления о мире, связи между разными областями знаний, нравственные, этические и эстетические эталоны, и школа должна ему помочь в этом. Иначе ребенку, как, впрочем, и взрослому, будет трудно ориентироваться в окружающем мире. При этом главным является не объем знаний, а соединение последних с личными качествами, умение самостоятельно распорядиться своими знаниями.

2.2. Образование, обучение, развитие — определение основных понятий

Образование — специальная сфера социальной жизни людей, обеспечивающая освоение ими ценностей культуры, сохранение и развитие цивилизованных форм жизни посредством овладения различными видами деятельности. Образование способствует становлению в отдельном индивиде социокультурных свойств, качеств, обеспечивающих ему полноценное включение в жизнь общества, самовыражение и самореализацию.

Развитие — есть сложное инволюционно-эволюционное поступательное движение, в ходе которого происходят прогрессивные и регрессивные интеллектуальные, личностные, поведенческие, деятельностные изменения в самом человеке.

Развитие характеризуется образованием целостных психических структур. Согласно теории умственного развития, осно-

вой становления системы определенных знаний, как подчеркивает Н. И. Чуприкова [8], является формирование упорядоченных психологических репрезентативных структур, характеризующих развитие ребенка.

Обучение — целенаправленная последовательная передача общественного исторического социокультурного опыта другому человеку (людям) в специально организованных условиях школы, семьи, сообщества [2]. Также под обучением понимают деятельность педагога, направленную на организацию учения школьника и приводящую к научению [11].

Обучение и учение — два разнонаправленных источника знаний, которые надо согласовывать между собой. Обучением через его содержание задаются социокультурные образцы в виде законов, правил, приемов действий, поведения, обязательных для всех. Учение же есть особая индивидуальная деятельность ученика по овладению социокультурными нормами познания. Но учение не есть прямая проекция обучения. Оно опирается прежде всего на субъектный опыт ученика, накопленный им не только под влиянием специально организованного обучения, но и в процессе индивидуальной жизнедеятельности, условия и источники которой у каждого свои, особые, неповторимые.

По определению Ж. Пиаже, учение есть совокупность способов и видов активности человека по приобретению индивидуального опыта. В более широком смысле учение — вид деятельности, в котором субъект в данной ситуации изменяется под влиянием внешних условий и в зависимости от результатов собственной деятельности строит свое поведение и свои психические процессы так, чтобы понизить новыми информациями степень своей неуверенности и найти правильный ответ или адекватное правило поведения.

Последнее определение подчеркивает активность процесса учения и его субъектную сущность, так как показывает связь между влиянием внешней среды и изменениями, происходящими в деятельности человека.

2.3. Соотношение обучения и развития

Существуют различные точки зрения на соотношение процессов обучения и развития. Все они принадлежат известным психологам и педагогам. Рассмотрим обоснование их взглядов.

Теория Л. С. Выготского: «Обучение... не есть развитие, но правильно организованное обучение ребенка ведет за собой детское умственное развитие, вызывает к жизни целый ряд

таких процессов развития, которые вне обучения вообще сделались бы невозможными».

В 30-е гг. XX в. работы Л. С. Выготского положили начало решению проблемы соотношения обучения и развития в пользу ведущей роли обучения, которое сохраняется и до настоящего времени в традиционной системе школьного образования, хотя пути ее разрешения носили гипотетический характер и были экспериментально проверены только в нескольких работах (Ж. И. Шиф на материале формирования научных понятий в курсе обществоведения во 2—4 классах, эксперименты П. Я. Гальперина, Л. Ф. Обуховой и др.). Сама гипотеза о ведущей роли обучения появилась как вывод, полученный в единственном исследовании этой проблемы, выполненном Ж. И. Шиф при жизни Л. С Выготского и под его руководством. «Говоря об обучении и отмечая его ведущую роль в развитии, мы имеем в виду социально-классовую природу обучения, которая находит свое выражение в классово-заостренной, содержательной насыщенности обществоведческих и житейских понятий, ...содержание предмета наш школьник получает в условиях нашей школы, единственно правильное, классово заостренное содержание. Это-то и является основанием ведущей роли обучения в ходе развития ребенка» [9, с 43, 75]. Но при этом Ж. И. Шиф признает, что «сила житейских понятий (8—9 лет) в их содержательной определенности, слабость — в трудности определения. У научных понятий наоборот. Слабость научных понятий — содержательная бедность, их вербализм» [9, с. 68]. Однако исследование Ж. И. Шиф проводилось на достаточно абстрактных для ребенка понятиях, например таких, как «экспроприация». Естественно, таких понятий практически нет в опыте ребенка и их надо определять. Сам Л. С Выготский предупреждал, что выдвинутое предположение только гипотеза, требует тщательной проверки и может не распространяться на другие области знаний.

Важно также отметить, что Л. С. Выготский указывал на то, что далеко не всякое обучение ведет за собой развитие, а только то, в ходе которого ребенок овладевает принципиально новыми способами взаимодействия с окружающим миром. Поэтому темпы обучения и развития могут не совпадать. «Один шаг в обучении может означать сто шагов в развитии». И наоборот: «длительное обучение может только со временем привести к качественному сдвигу в развитии». Кроме того, Выготский подчеркивал, что обучение не только определяет развитие, но и зависит от него, опирается на актуальный уро-

вень развития психических процессов, существующий у ребенка.

Л. С. Выготский предложил понятие зоны ближайшего развития, определяющейся мерой помощи взрослого (или любого другого человека), которая необходима ребенку для решения задач, находящихся в сфере его интеллектуальных возможностей. При этом уровень актуального развития определяется теми задачами, которые ребенок способен решить самостоятельно без посторонней помощи. Попытки определения зоны ближайшего развития были сделаны в работах 3. И. Калмыковой, которая на материале различных предметов проводила диагностику обучаемости школьников, предлагая им новые учебные задачи и систему разноуровневых подсказок.

Теория У. Джеймса, К. Коффки, Эд. Торндайка, Дж. Уотсона: «Обучение равно развитию».

Позиция психологов-бихевиористов основывается на том, что любому организму полезны только те реакции, которые помогают ему приспособиться к окружающей среде. При таком подходе развитие по сути приравнивается к эффективной адаптации, которая достигается путем обучения, т. е. подкрепления нужных, прежде всего поведенческих, реакций.

В теории обучения взгляды бихевиористов получили отражение в существовании «формального» обучения, направленного на формирование необходимых знаний, умений, навыков, а в качестве высшего уровня — на развитие у ребенка способности, необходимой для того, чтобы добывать новые знания. При этом важно подчеркнуть, что необходимость тех или иных знаний, умений и навыков при таком подходе определяется не самим ребенком, а внешними силами (учителем, обстоятельствами, требованиями общества и т. д.).

Теория Ж. Пиаже, В. Штерна: «Развитие создает возможности — обучение их реализует».

Развитие представлено у Ж. Пиаже таким мощным и последовательным процессом, что обучение выступает как частный эпизод, мимолетное влияние, которое не может что-либо существенно изменить в этом сильном поступательном движении.

Но проведенные исследования опровергли эту точку зрения. Так, кросскультурные исследования Дж. Брунера показали, что основным условием перехода мышления на уровень формальных операций (по Пиаже) является наличие систематического школьного обучения. Эксперимент П. Я. Гальперина и Л. Ф. Обуховой показал эффективность формирования у дошкольников при помощи специально организованного обучения представлений о мерах и эталонах, которые характеризуют развитие мышления на уровне конкретных операций (7—10 лет).

Определив понятия «образование», «обучение», «развитие», «воспитание», цели обучения, необходимо учитывать, что эти понятия и достижение целей реализуются в процессе обучения разным предметам, в частности математике. Процесс обучения представляет систему с собственными структурными компонентами и связями между ними.

Ключевая информация

Обучение является целенаправленной, последовательной передачей общественного исторического социокультурного опыта другому человеку (людям) в специально организованных условиях школы, семьи, сообщества.

Под учением понимают совокупность способов и видов активности человека по приобретению индивидуального опыта.

Существуют три точки зрения на соотношение обучения и развития: 1) обучение должно опережать развитие (Л. С. Выготский); 2) обучение равно развитию (бихевиоризм); 3) развитие создает предпосылки для обучения (Ж. Пиаже).

Рекомендуемая литература

1. Грузнова Т. А., Краева Л. Н., Мартынец Н. Д. Педагогические ситуации и задания. — Сыктывкар, 1997.

2. Зимняя И. А. Педагогическая психология. — Ростов-н/Д: Феникс, 1997.

3. Недоспасова В. А. Обучение и психическое развитие. — Душанбе, 1998.

4. Новые ценности образования: тезаурус для учителей и школьных психологов. — М.: РФФИ, 1995.

5. Обухова Л. Ф. Возрастная психология. — М.: Изд-во «Российское педагогическое агентство», 1996.

6. Развивающее обучение // Материалы ежегодного научно-методического семинара. — СПб., 1997. — Вып. 1.

7. Российское образование: традиции и перспективы // Материалы международной научно-практической конференции. — Нижний Новгород, 1997.

8. Чуприкова Н. И. Психология умственного развития: принцип дифференциации. — М.: АО «Столетие», 1997.

9. Шиф Ж. И. Развитие научных понятий у школьника. Исследование к вопросу умственного развития школьника при обучении обществоведению / Ввод ст. Л. С. Выготского. — М.; Л.: Гос. учебн. подмоск. изд., 1935.

10. Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного обучения в современной школе. — М.: Сентябрь, 2000.

11. Лященко Е. И., Радионова Н. Ф., Регуш Л. А. и др. Развернутые планы лекций и учебные задания для студентов по курсу «Теоретические основы обучения математике». — СПб.: Образование, 1997.

Лекция 3

Мотивация учебной деятельности школьников

Настоящие мотивы наших действий подобны трубам органа, обыкновенно скрыты, тогда как позолота и украшения пышно выступают снаружи.

Ч. Колтон

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. В пятом классе начинается урок. На доске написаны вопросы и задачи.

а) Можно ли, не выполняя деления, определить, делится ли 783 на 3?

б) Требуется разделить в классе 107 листков между тремя рядами, в которых одинаковое количество учащихся. Возможно ли это? Какое число листков останется каждому ряду?

в) От Земли до планеты клонов 573 тысячи километров. Сможет ли долететь за 3 дня до планеты клонов звездолет, запущенный с Земли, если он может развить скорость до 185 тысяч километров в день?

г) Кто является чемпионом в животном мире по длине хвоста? По японской легенде, царь зверей разделил хвосты между всеми животными. А для трех японских кур у него осталось 2170 сантиметров хвостов. Удалось ли разделить хвосты поровну? Какой длины оказался хвост у чемпиона хвостатых — одной японской курицы, если две другие получили максимально длинные хвосты (учитывается только целое число сантиметров)?

Учитель просит учеников выбрать те задачи, которые показались самыми интересными. Выбранные задачи надо попытаться решить. Отметки за работу выставляться не будут. Как вы думаете, с какой целью дал учитель эти задачи учащимся? Какие задачи выбрали ученики? Почему?

2. Приведите примеры мотивов, которые способствуют осуществлению учебной деятельности.

3. Как вы считаете, чем характеризуется познавательный интерес, каковы его особенности?

3.1. Типология мотивов учебной деятельности

Успешность учения во многом зависит от мотивации, от того личностного смысла, который учение имеет для учащегося. Мотивация учения является проблемой, которая остро стоит и перед подростками, и перед учителями, и перед родителями. Если в первый класс ребенок приходит любознательным, желающим получить новые впечатления и выполнять задания учителя, то по мере его обучения в школе, особенно в подростковом возрасте, учителя все чаще сталкиваются с негативным отношением учащихся к школе, к урокам, со скукой, апатией, депрессией или агрессией. Отсутствие необходимой мотивации учения часто ведет к стойкой неуспеваемости, которая способствует появлению отклонений в поведении школьника. Мотивация учения формируется на разных предметах, в том числе и на математике. Она должна иметь место на каждом уроке и включать показ необходимости изучения нового материала, значимость его в разных сферах окружающей ребенка жизни. Разнообразие мотивов учащихся предлагает для разных детей различные типы задач. Так, для ребенка, увлеченного математикой, достаточной будет и фабула (точнее, ее отсутствие) задачи «а» (см. первый вопрос для предварительного обсуждения); для ребенка с социальной направленностью — «б», занимательность задачи «г» и возрастная специфика пятиклассников делают ее привлекательной для большинства учащихся.

Известный педагог А. К. Маркова подчеркивала иерархичность мотивационной сферы школьника, которая включает в себя потребность в учении, смысл учения, мотивы и цели учения, интересы, эмоции и отношения, связанные с ним [5]. Она обращала особое внимание на такую категорию, как смысл учения, то есть тот личностный смысл, который вкладывает в учебную деятельность сам ученик и который способствует его целенаправленной познавательной деятельности. Смысл учения, как правило, опирается на систему идеалов и ценностей, которую школьники усваивают в своем ближайшем окружении, прежде всего в семье. Подчас транслируемое родителями негативное отношение к школе передается детям и начинает определять их отношение к учебе. Так же может сказываться на детях и приятие или неприятие родителями математики как дисциплины. Интерес к предмету зачастую передается детям.

Говоря о мотивации познавательной деятельности, необходимо рассматривать ее как разноуровневую систему разнооб-

разных мотивов, которые определяют движение ученика по направлению к поставленной цели обучения и влияют на активность (пассивность) его поведения на уроке. Одни мотивы являются смыслообразующими, придают деятельности учения личностный смысл, другие же, действуя параллельно, служат дополнительными побуждениями, мотивами-стимулами.

При этом каждый из входящих в систему мотивов имеет собственные содержательные и динамические характеристики. Среди содержательных характеристик стоит отметить такие, как осознанность, действенность (реальность влияния данного мотива на ход учебной деятельности), доминантность или подчиненность (место мотива в общей структуре мотивации) мотива, самостоятельность возникновения и проявления мотива, степень распространения мотива на разные типы учебной деятельности (предметы, формы учебной работы и т. д.). Среди динамических характеристик — устойчивость, силу и эмоциональную окраску мотива.

Учение является одним из основных видов деятельности школьников, поэтому многими психологами исследовались мотивы учебной деятельности как значимые в этот период психического развития. Все мотивы учения, с точки зрения исследователя Л. И. Божович, подразделяются на две большие категории [2]. Одни из них непосредственно связаны с содержанием учебной деятельности и процессом познания (познавательные); другие — с более широкими взаимоотношениями ребенка с окружающей средой (социальные). Кроме того, выделяют собственные, внутренние мотивы учебной деятельности учеников и внешние мотивы, мотивы-стимулы. Первые связаны с процессами познания и социального взаимодействия, а также некоторыми личностными образованиями, такими, как самоуважение и самооценка. Вторые — с внешним стимулированием, использованием системы поощрений, наказаний и т. д.

Интересно, что большинство психологов склоняется к мнению, что внешняя мотивация уменьшает внутреннюю. Регулярное длительное подкрепление (в виде оценок, замечаний, системы наказаний и т. д.) воспринимается как внешний контроль и дает возможность ученикам снять с себя ответственность за происходящее, что негативно сказывается на внутренней мотивации. Более того, наличие корыстного подкрепления при наличии интереса к деятельности смещает акценты с содержания самой деятельности на ее результат. Поэтому учителю следует обязательно включать задания, не связанные с получением конкретного результата.

3.2. Взаимодействие социальных и познавательных мотивов. Связь школьной программы с жизнью как особый аспект мотивации

Все разнообразие мотивов учебной деятельности расположено как бы в двумерном координатном пространстве, где на одной оси представлены познавательные и социальные мотивы, а на другой — их внешняя или внутренняя ориентация. Примеры мотивов даны в нижеприведенной таблице.

Мотивы учебной деятельности

Познавательные мотивы

Социальные мотивы

Внешние

Общественное поощрение творческой активности

Признание авторства изобретений

Учиться, чтобы получать вознаграждение (подарки, деньги, поездки и т. д.)

Учиться, чтобы не наказывали

Мотивация престижа — быть первым, лучшим (особенно в таком сложном предмете как математика)

Мотивация благополучия — стремление получить одобрение родителей, товарищей

Позиционная мотивация — стремление занять определенное место в отношениях с окружающими

Внутренние

Ориентация на овладение новыми знаниями разного уровня

Творческий познавательный интерес

Ориентация на усвоение способов добывания знаний, интерес к процессу самостоятельного приобретения знаний

Мотивы самообразования, самопознания, раскрытия своих возможностей

Учиться, чтобы удовлетворить любопытство

Внутреннее удовлетворение творческой деятельностью, положительные эмоции

Желание выполнить свой долг, понимание необходимости учиться, чувство ответственности

Желание получить хорошую подготовку к избранной профессии

Мотивы социального сотрудничества, связанные с потребностью ученика в общении, стремлением получить удовольствие от самого процесса общения и сопутствующих ему эмоций

Хорошо учиться, чтобы уважать себя, чувствовать себя компетентным

Традиционно успешную учебную деятельность связывают с наличием у школьников внутренней познавательной мотивации и познавательного интереса. Отчасти это так, но нали-

чие у ученика только познавательного интереса без каких-либо социальных мотивов может привести к отсутствию у него чувства ответственности за учение. Подчас это выражается в стремлении к «чистому» творчеству, пренебрежении к отработке учебных навыков, выполнению технических подсчетов, правильному оформлению решения задач, а также в невнимании при повторении пройденного, невыполнении домашних заданий и т. д. Поэтому для успешной учебной деятельности также необходим баланс внутренних социальных и познавательных мотивов. При этом грамотно построенная система внешних стимулов может способствовать появлению в перспективе внутренней мотивации.

Социальная мотивация учебной деятельности чрезвычайно важна, ее нельзя недооценивать при организации обучения. Например, в подростковом возрасте ведущей деятельностью с точки зрения развития является общение со сверстниками. Подростки испытывают сильную потребность в постоянном контакте с одноклассниками. Поэтому важно, продумывая урок, дать возможность этой потребности реализоваться вполне легальным образом через организацию групповой или парной работы, соревнований, дискуссий, игровых форм и т. д. Например, на уроке математики учитель предлагает открыть несколько проектных бюро по общей конкретной теме. Каждое будет работать над собственной проблемой. Группа получает задание, начальник бюро определяет сотрудника, который будет отчитываться за разработку проблемы и дает качественную оценку работы каждого в группе.

Другой пример связан с использованием компьютеров в процессе обучения математике. Исследования показали, что особое место в мотивации работы с компьютером у школьников занимают именно широкие социальные мотивы. Для учащихся в процессе решения учебной задачи на компьютере важна возможность слияния собственно познавательной мотивации с широким спектром других мотивов. Например, с мотивом накопления полезных жизненных навыков (умение в совершенстве владеть компьютером необходимо в любой современной профессии) или мотивом престижа (владение модными средствами коммуникации, обмена и поиска информации).

К сожалению, школа далеко не всегда способствует созданию условий для сохранения баланса между познавательными и социальными мотивами учебной деятельности. Учителя по-прежнему ориентируются на то, что ученик должен инте-

ресоваться учебными предметами и выполнять в школе свой долг.

В частности, Уильям Глассер отмечает два прискорбных для школы факта [3]. Во-первых, многое из того, что преподается в школе, не бывает никак связано с жизнью ребенка. Но даже если материал актуален, внимание на этом аспекте не заостряется, и потому его релевантность обесценивается. Во-вторых, дети считают, что любые самостоятельно приобретенные знания неактуальны для школы. Они не верят в то, что их точка зрения важна в процессе обучения, примерно так же, как и в то, что учителя будут одобрять чтение комиксов-страшилок или заинтересованно обсуждать с ними мультсериалы.

Таким образом, школа не связывает программы преподавания с жизнью детей, а для детей, в свою очередь, их собственный опыт не ассоциируется со школой. При этом подчас опыт и знания, полученные детьми вне учебного процесса, противопоставляются тому, что они приобретают в школе. Преподавание предметов, имеющих лишь косвенное отношение к жизни детей, неизбежно ведет к потере интереса к учебе и росту неуспеваемости, но даже в тех случаях, когда для преподавателя очевидна связь материала с жизнью, эта связь может быть совсем неочевидна для ученика. Поэтому необходима специальная работа на уроке в данном направлении, а на уроках математики особенно. Так, при изложении математического материала сначала целесообразно предложить решение практической задачи или привести пример реальной ситуации, в результате которых появляется изучаемый объект. Введение теоремы также по возможности следует проводить через реальную ситуацию, обеспечивающую формирование соответствующего образа.

Конечно, в учебниках мало уделяется внимания мотивационным заданиям. Поэтому учителю необходимо самому разрабатывать соответствующий материал. Например, при введении понятия «пересечение» учащимся можно предложить ответить на вопрос: «Зачем нужны развязки в городе, на трассе, светофоры на дорогах?» При формировании представлений о горизонтальных и вертикальных прямых и плоскостях учащиеся, рассматривая изображения Александрийского столба и Эйфелевой башни, должны ответить на вопрос: «Какое из сооружений вызывает большое беспокойство ученых? Почему?» При обсуждении ответов учитель подводит учащихся к выводу о значимости понятия «пересечения» (в рассматриваемой ситуации «пересечения траекторий объектов» в одно и

то же время), необходимости знаний о вертикальных прямых в силу значения этого понятия в жизни.

Полезным может быть самостоятельный поиск связи математических знаний с жизнью (конечно, специально организованный учителем). Например, при изучении темы «Симметрия» учащимся можно предложить написать сочинения на одну из тем «Что произойдет в окружающем мире, если все станет симметричным?» или «Что произойдет в окружающем мире, если все станет несимметричным?». При этом целесообразно сформировать у учащихся широкий взгляд на симметрию. Симметрия в Древней Греции была эквивалентна понятию «гармония». Симметричным считается любой объект, который можно получить из своего фрагмента с помощью движения. Как показала практика, многие ученики, рассматривая знакомые объекты относительно наличия или отсутствия у них симметрии (автомобиль, внутренние органы, строение тела и т. д.), приходили к выводу, что лучше пусть мир останется таким, каков он есть.

В средней школе перед формулировкой и доказательством теоремы о свойстве срединного перпендикуляра к отрезку желательно рассмотреть ситуацию из повседневной жизни, решение которой и подведет учеников к соответствующим выводам.

ПРИМЕР

По обе стороны от дороги (а) расположены два дома (А и В) так, как показано на рис. 2. Уставший путник (Р) идет по дороге. К какому дому он ближе находится? В какую сторону ему лучше свернуть?

Использование нового подхода к изучению предмета приводит к тому, что учащиеся сами начинают связывать жизненные ситуации, интересующие их области знаний с учебным материалом. Например, в конце изучения темы «Функция» учащимся было предложено дома придумать примеры функций и дать их график схематически. Ученик схематически представил график падения футбольного мяча.

ПРИМЕР

Футбольный мяч подняли над полом и выпустили из рук. График его местоположения относительно пола показан на рис. 3 (х — время, у— высота мяча над полом).

Рис. 2

Рис. 3

3.3. Становление мотивации в школе

Психолог Д. В. Ярцев, проводя исследование особенностей социализации современных подростков, показал, что с возрастом происходит снижение общего уровня эмоционального принятия подростком школы. В 5—6 классах 92,5% учащихся положительно ответили на вопрос: «Нравится ли тебе получать в школе знания по предметам?», а в 10 классе — только 52,6%. Около двух третей подростков ориентированы на цели, которые связаны с социальной жизнью, развитием взаимоотношений, решением коллективных задач. При этом познавательные и практические цели подростков также имеют социальный оттенок и связаны с установлением определенных отношений с окружающими.

Исследователи объясняют этот факт тем, что с возрастом у школьников, наряду с потребностью в «чистых знаниях», все четче и осознанней возникает потребность в знаниях «о жизни». Поэтому можно говорить о снижении субъективной значимости школы для подростков, которые испытывают потребность, прежде всего, в знаниях и опыте решения социальных и личностных проблем. При этом большинство подростков говорят о том, что они нуждаются в школьных предметных знаниях. Но акцент школы только на передачу предметных знаний приводит к тому, что подростки начинают относиться к ней как к чему-то архаичному и не отвечающему их жизненным потребностям. Интересно, что это же отмечают и родители подростков.

Одним из шагов в направлении решения этой проблемы могла бы стать более последовательная работа педагогов над целями обучения, их переориентация на удовлетворение разносторонних потребностей учащихся. Но и здесь есть свои трудности.

Психологи проводили опрос среди учителей, родителей и подростков, в котором их просили оценить важность различных целей образования, количество внимания, уделяемого достижению этих целей в процессе учебной деятельности, и степень достижения этих целей в результате обучения. Среди целей, которые оказались наиболее важны для всех (детей, учителей и родителей), можно назвать такие:

• сформировать к окончанию школы стремление стать хозяином своей судьбы;

• поощрять независимость и способность «стоять на своих ногах»;

• помогать как можно лучше справиться с официальными экзаменами;

• научить применять полученные знания и навыки в решении новых проблем;

• дать представление о разных видах работы и профессиях, чтобы можно было решить, чем заниматься в дальнейшем;

• обеспечить умение читать и учиться самостоятельно;

• стимулировать способность иметь свое мнение;

• сделать учебу такой интересной, полезной и увлекательной, чтобы хотелось продолжать учиться и после окончания школы.

Если внимательно посмотреть на этот список, то видно, что учителя очень хорошо осознают потребность подростков в связи учебы с жизнью. Но при этом оказалось, что внимание учителей к перечисленным целям непосредственно в процессе обучения и результативность их достижения гораздо ниже, чем заявляемая значимость. Более того, все цели, кроме подготовки к экзаменам, сливаются для учителей в учебном процессе в единую массу. А сама подготовка к экзаменам оказывается никак не связана с другими декларируемыми целями.

С одной стороны, это может быть связано с существующей системой оценки результатов труда учителя (по экзаменационным оценкам и поступлению в вуз), с другой стороны, с отсутствием или слабым овладением соответствующими технологиями работы. Подробно приемы достижения этих целей будут рассмотрены в темах, посвященных работе с теоретическим материалом при обучении математике и технологиям обучения.

Большинство первоклассников приходит в школу с желанием учиться. В основе этого желания лежат широкие социальные мотивы — быть как все учеником, быть взрослым, иметь новый социальный статус в семье, иметь определенные новые права, приобрести новые атрибуты школьной жизни (форма, портфель, учебники и т. д.), удовлетворить любопытство. Эта мотивация быстро истощается, особенно у детей, которые имеют хорошую подготовку к школе. Многим из них вполне знакома роль ученика, освоенная на подготовительных занятиях, да и базовые умения читать, считать и писать у них развиты лучше. Такие дети через несколько недель теряют интерес к школе, часто стремятся вернуться к любимым игрушкам и детским играм, гораздо больше времени начинают проводить у телевизора. Для них особенно необходимо стимулировать появление собственно познавательной мотивации учебной деятельности.

Без специальной работы педагогов над формированием познавательной мотивации учения, познавательные мотивы

к началу основной школы обнаруживают низкую побудительную силу, занимая третье место после широких социальных и узколичностных мотивов. Кроме того, необходимо учитывать, что характерной особенностью мотивации пятиклассников является то, что их в большей степени интересует сам процесс учения как социально важная деятельность; им нравится читать, писать, рисовать, лепить и т. д. Что касается мотивации содержания, то на первых порах детей интересуют в основном отдельные факты, явления, события, т. е. занимательность изучаемого на уроке материала. Поэтому личностно значимыми для учащихся 5—6 классов являются задачи, имеющие либо занимательную фабулу, либо требующие практической деятельности руками. Задачи с фабулой способствуют развитию умения моделировать, внимательно читать текст задачи, чтобы выполнить его грамотный анализ. Например, при проверке сформированности представлений учащихся 6 классов о геометрических отношениях им можно предложить следующую задачу.

ПРИМЕР

Гусь Мартин (герой сказки «Путешествие Нильса с дикими гусями») отдыхал в городе после перелета, а его друг Нильс отправился осматривать достопримечательности и заблудился. Прохожий рассказал ему, что видел спящего гуся, и нарисовал схему расположения близлежащих улиц, отметив кружком то место, где они с Нильсом разговаривали. Следуя схеме, изображенной на рис. 4, нужно было пройти до проспекта (улицы), параллельного той улице, что отмечена кружком. От проспекта, перпендикулярно ему, начинается улица, на которой Нильс и найдет своего друга. Назови номер улицы, к которой направился мальчик?

При решении данной задачи большинство учащихся получают несколько ответов, хотя правильный ответ единственный — № 8. Причиной этого является невнимание к тексту задачи, а именно слово «начинается» не рассматривается многими решающими как существенное условие задачи, т. е. имеет место расширение условия задачи.

Психологами установлено, что становление учебно-познавательной мотивации происходит наиболее интенсивно в начальной школе. В основной школе встречаются в основном последствия этого процесса. В связи с этим необходимо обращаться к подобному анализу процесса формирования познавательной мотивации в младшем школьном возрасте.

Рис. 4

Одним из механизмов формирования познавательной мотивации известный советский психолог А. Н. Леонтьев считал смещение мотива на цель, т. е. появление интереса к самому содержанию учебных занятий. Во многом это может быть реализовано через новую для младших школьников деятельность по освоению теоретических знаний, когда наряду с простейшими навыками они начинают осваивать базовые научные понятия и отношения. Именно такой подход был предложен в системах начального обучения В. В. Давыдовым и Л. В. Занковым. Они предлагают начинать обучение математике с того, чтобы дети выделяли в вещах разные свойства, оценивали различия между вещами, устанавливали отношения между величинами в обобщенном виде.

Эта деятельность является новой для детей, она помогает первоклассникам преодолевать интегральность восприятия и ограниченность конкретного мышления, одновременно мотивируя их на освоение предметного содержания. Особенно успешно это происходит через постановку проблемных задач и активное подключение к их решению самих учащихся, что дает ученикам возможность почувствовать «вкус открытия», получить положительные эмоции от познавательной деятельности.

Приходя в школу, каждый из первоклассников попадает в ситуацию мотивационного противоречия между мотивами желания («я хочу») и мотивами долженствования («надо»). У дошкольника гораздо больше возможностей следовать своим «я хочу», чем у младшего школьника. И фактором, закрывающим эти возможности, является школа с ее нормами, правилами, режимом и программой. В школе совсем мало места для детских «хочу» и много места для разных «надо», «положено», «ничего не поделаешь», «никуда не денешься» и т. д. При этом мотив желания всегда исходит от самого ребенка, а мотив долженствования чаще всего инициируется взрослым.

Для разрешения складывающегося противоречия первоклассники, как правило, выбирают два основных пути — путь сомнения и путь переживания [1]. Те, кто идет по первому пути, стремятся ситуацию «надо» преобразовать в соответствии со своими «хочу» (рациональные). Они сомневаются в самой сути ситуации — предлагают делать все по-другому, изменяют исходные правила, дают нестандартные решения, имеют собственное мнение по любому вопросу, быстро выключаются из работы, если к их предложению не прислушались. Те, кто идет по второму пути, стремятся соответствовать всем тем

«надо», с которыми сталкиваются (эмоциональные). Они преобразовывают свой внутренний мир, свои намерения, действия, установки, настроения. Их раздирают противоречия между самыми разными стремлениями, яркие эмоции, направленные на неприятие или изменение себя.

Как «рациональные», так и «эмоциональные» дети нуждаются на этапе адаптации к школе в поддержке и помощи окружающих взрослых. Поэтому необходимо проявлять интерес к их сомнениям и переживаниям, помогать им проговаривать и осознавать происходящее и появляющиеся негативные эмоции. Эта помощь может затрагивать самые разные сферы, от непосредственно выполнения заданий, освоения основных форм учебной работы, организации режима дня, рабочего места до эмоциональной поддержки.

3.4. Роль мотивации достижения

Особое место в учебной мотивации младших школьников занимает желание получать хорошие оценки, при этом у многих первоклассников еще отсутствует связь между оценкой и уровнем собственных знаний, оценка ими воспринимается скорее как атрибут школы. Интересно, что только для трети младших школьников оценка является осознаваемым и реально действующим мотивом учебной деятельности, а где-то пятая часть не осознает этот мотив, хотя он реально определяет их учебное поведение [5].

Важность оценки как педагогического инструмента в этом возрасте можно проиллюстрировать следующими данными. Среди двадцати мотивов мотив «хочу получать хорошие отметки» занял у первоклассников 1-е место, а мотив избегания неудач «не хочу получать плохие отметки» — 6-е место.

Главный «возрастной» мотив учебной деятельности подростков — мотив достижения, т. е. стремление личности добиваться успехов и избегать неудач с целью повышения или сохранения самоуважения, самооценки в деятельности. Мотив достижения тесно связан с самооценкой и уровнем притязаний личности, так как все эти психологические параметры меняются в зависимости от успехов или неудач человека в той или иной деятельности. Человек, имеющий мотивацию достижения, стремится к успеху («я хочу это сделать») и надеется на успех («у меня все получится, я в силах это сделать»).

Учащихся можно разделить на две большие группы: тех, кому в большей степени свойственна мотивация достижений,

и тех, кому больше свойственна мотивация избегания неудач. Эти группы имеют существенные различия в поведении. Ознакомиться с ними можно из нижеприведенной таблицы.

Различия в поведении учащихся с различными мотивациями

Область сравнения

Модели поведения учащихся

с мотивацией на достижение успеха

с мотивацией избегания неудач

Ситуация достижения

Активно ищут ситуации соревнования, риска с личной ответственностью за исход

Избегают рискованных ситуаций, а попадая в них «плывут по течению»

Самооценка

Адекватно оценивают себя, устойчивы в этой оценке

Занижают или наоборот завышают свою оценку, неустойчивы в ней

Требования к себе

Предъявляют к себе высокие требования

Предъявляют к себе заниженные требования

Предпочитаемые задачи

Выбирают задачи средней или выше средней сложности

Отдают предпочтение легким или чрезвычайно сложным задачам, чтобы успех или неуспех не влияли на самооценку

Изменение интереса к деятельности

После неудачи интерес сохраняется, хотя уровень сложности задачи может несколько снизиться

После неудачи интерес падает, часто происходит отказ от решения задачи

Ориентация на цель

Ставят перед собой различные цели, вплоть до отдаленных

Ориентируются только на «близкие» цели

Объяснение успехов и неудач

Успех рассматривают как результат своих усилий, а неудачи — как случайное стечение обстоятельств

Неудачи объясняют своими плохими способностями, а удачи — случайностью

Действия

Настойчивы и упорны в достижении цели, действуют самостоятельно, стремятся к получению обратной связи с окружающими

Склонны к поиску помощи и поддержки, к отвлечению от деятельности, не стремятся к получению обратной связи и игнорируют ее

Для учащихся с выраженной мотивацией избегания неудач часто возникают защитные реакции. Например, обезличивание учебной деятельности и отчуждения, отсутствие инициативы и т. д. Дети со сформированной мотивацией достижения потенциально более успешны в любой деятельности, а значит, формируя у школьников учебную мотивацию, необходимо активизировать именно мотив достижения. Для этого педагогу следует обучать способам поведения, типичным для человека с высокоразвитой мотивацией достижения, и поощрять уже существующие у учащихся подобные способы поведения.

Для формирования мотивации достижения учитель должен опираться на четыре основных момента.

Во-первых, необходимо помогать учащимся поддерживать реалистичный (соответствующий возможностям) уровень притязаний. На уроке это обеспечивается через подбор посильных учебных заданий, создание условий для выбора задач разного уровня сложности и возможности скорректировать этот выбор в случае неудачи или успеха. Возможность выбора и обсуждение с учащимися возможных путей достижения поставленной цели способствуют становлению реалистичного уровня притязаний.

К сожалению, нередки случаи, когда практически весь класс за исключением нескольких учеников не справляется с домашними или самостоятельными работами, и учитель считает это нормальной ситуацией, интерпретируя это как проявление лени и отсутствия мотивации. На самом деле учащиеся, постоянно сталкиваясь с непосильным заданием, опускают руки, теряют интерес к предмету и даже перестают пытаться выполнить задание.

Во-вторых, результаты психологических исследований показали, что мотивация учения определяется не только тем, какие мотивы и потребности учащихся реально вовлечены в учебную деятельность, но и теми внутренними процессами определения психологической причинности, которые связывают с мотивацией. Среди наиболее типичных причин объяснения неуспеваемости учащихся можно выделить четыре:

• недостаток способностей («у нас в роду все гуманитарии», «у меня нет способностей к точным наукам» и т. д.);

• трудность задания («не повезло с вариантом, в другом была такая простая задача», «это был самый сложный вопрос» и т. д.);

• отсутствие везения, неудачно сложившиеся обстоятельства («единственный билет не выучил, он и достался», «не смог нужную книжку вовремя найти» и т. д.);

• недостаток усилий («надо было еще раз повторить на перемене», «надо было начинать готовиться к контрольной раньше» и т. д.).

Среди этих причин есть только одна, которую можно контролировать и на которую можно целенаправленно влиять. Это прилагаемые для достижения результата усилия. Поэтому для становления мотивации достижения в учебной деятельности нужно постоянно показывать учащимся жесткую связь между результатом деятельности и затраченными усилиями. Это особенно важно, так как подростки склонны перенимать способы интерпретации причин происходящего у взрослых. Стоит обсуждать с подростками причины успехов и неудач, анализировать их опыт преодоления трудностей, возникающих при решении задач.

При этом ключевым моментом становится специальная, отдельная оценка учителем усилий, затраченных учеником. Ведь далеко не всегда, особенно в запущенных случаях неуспеваемости, большие усилия ученика (длительное время подготовки к уроку, многократные попытки что-то выучить и т. д.) сразу же отражаются на результатах его учебы.

Успех, объясняемый внешними факторами (легкостью задачи, везением), вызывает, как правило, гораздо меньшее чувство удовлетворения и гордости, чем успех, приписываемый действию внутренних факторов (собственным усилиям и способностям). Поиск причин в себе способствует развитию чувства ответственности у учащихся.

В-третьих, для формирования мотивации достижения в учебной деятельности учителю необходимо ориентироваться на индивидуальные нормы в оценивании. В этом случае нужно сравнивать достижения ученика с его собственными предшествующими достижениями, а не с достижениями других учеников в классе. Такой подход, с одной стороны, помогает ученику увидеть его индивидуальный прогресс в учебе, а с другой стороны, нацеливает на применение причинной схемы, ориентированной на собственные усилия, в объяснении результатов.

Кроме того, индивидуальное оценивание способствует преодолению синдрома «выученной беспомощности». Такое название получила причинная схема, обладатели которой убеждены, что вероятность тех или иных последствий их действий и поведения в целом не зависит от того, что они делают. Они

часто испытывают безнадежность и покорность судьбе, так как не чувствуют возможности контроля над повторяющимися неприятными событиями.

Как правило, «выученная беспомощность» наблюдается у учащихся, которые имеют большой опыт школьных неудач, которых часто ругают или приводят в качестве негативных примеров.

Индивидуальное оценивание помогает таким учащимся увидеть даже незначительный прогресс в собственной деятельности, поверить в свои силы. Именно для этой категории особенно необходимо создание ситуации успеха на уроке, когда они сами от начала до конца правильно выполняют какое-то задание, правильно отвечают на вопрос и т. д.

Кроме индивидуального оценивания становлению учебной мотивации способствует и ориентация ученика на самооценивание учебной деятельности. Вот лишь несколько приемов, которые можно для этого использовать.

1. Завершив работу, ученик сам ставит себе отметку. За ту же работу отметку ставит и учитель. Записывается дробь. В индивидуальной беседе можно задать следующие вопросы: «Сможете ли вы обосновать свою оценку? На чем вы будете базироваться? Какие аргументы вы приведете? Была бы другая оценка, если...? Может быть абсолютно объективная оценка?»

2. Для развития самооценки и самостоятельности в учебной деятельности предлагать учащимся самим оценивать свой результат после проверочной работы или математического диктанта по следующей схеме:

• учитель диктует правильные ответы;

• ученики отмечают знаками « + » или «-» свои результаты;

• учитель отвечает на вопросы учеников;

• обсуждается норма оценки и выставляется отметка;

• отметки выставляются в журнал по усмотрению учителя или по желанию учеников.

3. Желательно спрашивать ученика после ответа у доски или какой-то формы контроля: «Ты доволен результатом?» вместо оценок: «Ты хорошо справился с работой». Проводить индивидуальные беседы для обсуждения достижений и промахов, постоянно интересоваться отношением ученика к процессу и результату своей деятельности.

И наконец, в-четвертых, для формирования мотивации достижений в учебной деятельности необходимо наличие активно-положительной установки учителя по отношению к каждо-

му ученику. При ее наличии учитель доброжелателен со всеми, имеет позитивные ожидания по отношению ко всем, и особенно к трудным учащимся, показывает огорчение при неудачах и возникновении проблем, открыто говорит об этом ученикам.

Установки учителя проявляются во время опроса в трех специфических характеристиках: виды задаваемых вопросов, время, отведенное для ответа, и поддержка ученика. При наличии хорошего отношения к ученику учитель, как правило, задает ему больше вопросов достаточно высокой степени сложности, предоставляет больше времени для ответа и подготовки и оказывает чаще поддержку.

Уже давно известен в педагогической психологии «эффект Пигмалиона» (или «эффект самореализующегося пророчества»). Путем экспериментов было доказано, что положительное или отрицательное представление об ученике, данное вне зависимости от его реальных характеристик, приводит к тому, что они со временем появляются в его поведении. В связи с этим учителю стоит очень осторожно принимать негативную информацию об учениках от других учителей, проявлять больше внимания в отношении слабых учащихся.

Ключевое значение мотивации достижения в учебной мотивации подростков было подтверждено во многих исследованиях. В частности, Ю. С. Пежемская, проанализировав работы отечественных психологов, показала, что для трудных подростков характерны отсутствие личностной значимости потребности обучения в школе; нарушения поисковой активности (беспомощность), прогноза и «внутреннего фильтра», связанного с ценностями, нравственными нормами и процессами рефлексии [7]. Она отмечает, что перечисленные нарушения процесса мотивации являются приобретенными в результате систематического подавления таких подростков окружающими людьми. Для них образование является, скорее всего, недостижимой ценностью, так как им очень трудно уважать себя и верить в себя после длительного опыта постоянных неудач. При этом школьники хорошо осознают саму необходимость получения образования для появления перспектив в жизни.

Таким образом, учебный процесс следует начинать с восстановления равноправных отношений между учениками и учителями, опираясь на закономерности формирования мотивации достижения в учебной деятельности.

3.5. Познавательный интерес и его роль в учебной деятельности

Особое место среди мотивов учебной деятельности занимает познавательный интерес, который тесно связан с познавательной потребностью.

Познавательная потребность человека является самостоятельной и врожденной. Она в полной мере проявляется в исследовательском поведении маленьких детей. В отличие от многих других потребностей, она ненасыщаема и безгранична. Познавательную потребность следует отличать от потребности в умственной деятельности как таковой. Так, есть люди, которым нравится решать однотипные задачи (например, разгадывать кроссворды). При этом они не приобретают новые знания, а лишь удовлетворяют потребность в умственной деятельности.

Также следует отличать познавательную потребность как проявление любопытства, стремление к новизне, ориентировочной активности, свойственной любому человеку, от познавательного интереса как интереса к способу, самому процессу получения результата, а не результату как таковому.

Появление познавательного интереса тесно связано, во-первых, с наличием положительных эмоций, связанных с умственным трудом, когда ребенок воспринимает учебу не только как свой долг, но и как радостный, приятный процесс. Во-вторых, для развития познавательного интереса необходима такая среда, которая бы стимулировала любознательность ребенка, давала бы ему пищу для ума, заставляла задавать вопросы.

Г. И. Щукина, изучавшая проявления познавательного интереса у подростков, показала, что он как устойчивая черта личности встречается лишь у отдельных учащихся. При этом развитие познавательного интереса не имеет четко выраженных возрастных градаций и закономерностей. У большинства школьников по мере обучения интересы не становятся более устойчивыми, широкими, теоретическими. Можно сказать, что в старших классах аморфных интересов оказывается больше, чем в младших. Исключением является избирательное отношение к школьным предметам, связанное с профессиональной направленностью.

Кроме того, Щукина показала, что одним из ключевых факторов появления и развития познавательного интереса является качество и уровень преподавания, подчас личная увлеченность предметом учителя.

Для качественного преподавания свойственна постоянная, систематическая (из урока в урок, а не от случая к случаю) работа, направленная на развитие познавательного интереса. Любопытно, что такие учителя, как правило, не применяют на уроках яркие, привлекающие внимание формы (просмотр телепередач, игры, групповую работу и т. д.), а если и применяют, то делают это систематически, пытаясь основное внимание учеников привлечь к содержанию изучаемого, ходу рассуждений, аргументации, а не к форме работы. В противном случае калейдоскоп новых, необычных форм работы вызывает у учеников ситуативный поверхностный интерес, как и все новое, который быстро угасает, как только форма становится привычной. Такой же ситуативный эффект дает и несистематическое применение средств наглядности, приведение занимательных примеров из жизни и истории.

Можно выделить несколько обобщенных факторов поддержания интереса учащихся к учебному процессу:

• высокая собственная активность ученика при изучении предмета;

• разнообразие видов деятельности на уроке;

• понимание нужности и целесообразности изученного;

• связь с ранее изученным;

• посильность обучения (у ребенка должно быть чувство возможности достичь желаемого);

• яркость, эмоциональность изложения, неравнодушие учителя к излагаемому материалу;

• систематическая проверка и оценка деятельности ученика учителем.

Ключевая информация

Под мотивацией понимается совокупность процессов, определяющих движение по направлению к поставленной цели, а также факторы (внешние и внутренние), которые влияют на активность или пассивность поведения человека в различных ситуациях. Для успешной учебной деятельности необходим баланс внутренних социальных и познавательных мотивов.

Мотивацией достижения называется стремление личности добиваться успехов и избегать неудач с целью повышения или сохранения самоуважения, самооценки в деятельности.

Для формирования у учащихся мотивации достижения учитель должен:

• помогать ученикам поддерживать реалистический уровень притязаний;

• показывать связь между результатом деятельности и затраченными усилиями;

• применять индивидуальные нормы в оценивании;

• иметь активно-положительную установку по отношению к каждому ученику.

Выученная беспомощность определяется как схема поведения, обладатели которой убеждены, что вероятность тех или иных последствий их действий и поведения в целом не зависит от того, что они делают.

Интерес к способу, самому процессу получения результата, а не результату как таковому называют познавательным интересом.

Рекомендуемая литература

1. Бардиев Г. Л., Николаевская И. А. Что касается меня... Сомнения и переживания самых младших школьников. — Рига: Эксперимент, 1988.

2. Божович Л. И. Избранные психологические труды. — М.: Изд-во РАН, 1995.

3. Глассер У. Школы без неудачников. — М.: Прогресс, 1991.

4. Дусовицкий А. К. Загадка птицы Феникс. — М.: Знание, 1978.

5. Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивации учения: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

6. Матюхина М. В. Мотивация учения младших школьников. — М., 1984.

7. Пежемская Ю. С. Социальная реабилитация подростков в школе // Наш проблемный подросток: понять и договориться / Под ред. Л. А. Регуш. — СПб, 2001. — С. 168—190.

8. Саранцев Г. Г. Методология обучения математике. — Саранск: Просвещение, 2002.

9. Скороходова Н. Ю. Психология ведения урока. — СПб.: Речь, 2003.

Лекция 4

Когнитивные стили как отражение индивидуальных особенностей усвоения учебного материала

Труд воспитателя можно сравнить с трудом садовника, выращивающего различные растения. Одно растение любит яркий свет солнца, другое — прохладную тень; одно любит берег ручья, другое — высохшую горную вершину. Одно растение лучше всего произрастает на песчаной почве, другое — на жирной глинистой. Каждому нужен особый, только для него подходящий уход, иначе оно не достигнет совершенства в своем развитии.

Абдул-Баха

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Что вы понимаете под индивидуальными особенностями личности?

2. Учительница Ирина Александровна описала свои впечатления об одном из учеников: «Петя выучил таблицу умножения хорошо. Примеры сейчас хорошо считает. Хотя иногда ошибается. Когда просто счет, если он выучил, то делает хорошо. У него основная сложность, когда надо выполнить задание, написанное мной. Это очень сложно Пете». И далее: «Постоянно на уроках отмечаю, что Петя не слушает, не слышит, не воспринимает то, что я говорю. Когда мы всем классом работаем, я уже даже и не рассчитываю, что он что-то услышит. Только когда он сам что-то делает, это еще может как-то пойти, и то, если все время его подталкивать». Как вы думаете, в чем причина трудностей, которые испытывает Петя?

3. Как вы считаете, какие индивидуальные особенности в большей степени влияют на восприятие и усвоение математики?

4.1. Индивидуальные особенности учащихся

Необходимость учета индивидуальных особенностей учащихся в процессе обучения является приоритетным в педагогической психологии, дидактике и методике. Все дети разные, поэтому каждый студент и учитель знает, что на уроке необходим индивидуальный, дифференцированный подход к каждому ребенку. Именно тогда создаются необходимые усло-

вия для максимально полного всестороннего развития ребенка, возникает комфортная для каждого учащегося образовательная среда, находят свое решение многие проблемы неуспевающих школьников. Кроме того, практически любая общепсихологическая закономерность реально проявляется в деятельности человека в индивидуально-модифицированном виде, преломленная через призму индивидуальных особенностей.

Что же такое индивидуальные особенности? Это то, что отличает одного человека от другого, то, чем отличаются интересы детей, то, как по-разному они воспринимают и запоминают материал, то, почему одни дети более активны, а другие медлительны и т. д. Специалисты в области дифференциальной психологии учения выделяют межиндивидуальные (различия между людьми) и внутрииндивидуальные (различия при выполнении разных видов деятельности одним человеком) особенности, к которым относятся различия в скорости, тщательности, мотивации, регуляции действий, когнитивной организации [3, с. 28—29].

При большом разнообразии индивидуальных особенностей существует интегральный подход, который учитывает в едином целом все или хотя бы многие из перечисленных индивидуальных особенностей. Наличие такого объединяющего, обобщающего элемента помогает существенно облегчить разработку практических рекомендаций по организации индивидуального подхода к обучению.

В качестве одного из таких интегральных подходов, основанных на учете прежде всего индивидуальных познавательных особенностей учащихся, можно рассмотреть когнитивные стили. Уже сам факт появления концепции когнитивных стилей индивидов и их изучения, по мнению В. В. Селиванова, является отражением общей закономерности взаимопроникновения психологии личности и общей психологии, попыткой более тесного сближения личностных и познавательных характеристик субъекта, отыскания связи между мышлением и личностью.

Учитель зачастую сталкивается с большими трудностями в поисках индивидуального подхода к ученику. В вопросах для обсуждения были приведены отрывки из дневника учительницы начальных классов Ирины Александровны об ученике Пете (имена всех действующих лиц изменены).

В поисках основной проблемы этого ученика можно было бы сказать, что Петя просто не хочет работать, учитель не смог его заинтересовать (но при этом Петю волнует, правильно он решает задачу или нет). Может быть, Петя не готовится

дома, многое пропустил (а таблицу умножения дома выучил хорошо) или он постоянно невнимателен на уроке, рассеян (но при выполнении задания он само внимание). Возможно, у мальчика не сформирована произвольность основных психических процессов, нет навыков учебной работы и т. д. Все эти гипотезы имеют право на существование в описанной ситуации, хотя и есть отдельные противоречия.

Но главное, что присутствует в описанных эпизодах, — это то, что Петя часто просто не понимает, что от него требуется, не понимает, как подойти к выполнению написанного задания, как обосновать полученный ответ. Дело здесь, как справедливо замечает учительница, в том, что мальчик не воспринимает ее объяснение. Скорее всего, свойственный ему способ восприятия и понимания информации отличен от того, который предлагает учитель. В тех же редких случаях, когда способ восприятия материала учеником и способ объяснения учителя совпадают, у Пети возникает глубинное понимание изучаемого и связанные с ним положительные эмоции.

Данную ситуацию можно описать как конфликт когнитивного стиля учителя и когнитивного стиля ученика, и часто именно этот конфликт, а не отсутствие учебной мотивации или недостаточный уровень развития психических функций приводит к возникновению неуспеваемости и заставляет задуматься об индивидуальном подходе к обучению.

4.2. Типы когнитивных стилей

Когда говорят о когнитивных стилях, то имеют в виду особенности познавательных процессов (в первую очередь восприятия и мышления), которые характеризуют отдельных индивидов и устойчиво проявляются в различных ситуациях, при решении конкретных задач. При этом речь идет о стилистических особенностях познавательной деятельности, рассматриваемых независимо от ее содержания. Следовательно, можно сказать, что когнитивные стили отражают различия между людьми в характере переработки информации.

Когнитивные стили являются, прежде всего, процессуальными характеристиками, отвечающими на вопрос, «как» человек воспринимает и перерабатывает информацию. Этот качественный аспект делает когнитивные стили интересными с точки зрения процесса обучения. Знание когнитивных стилей может помочь учителю проникнуть в суть рассуждений ученика, а также понять особенности собственного способа

рассуждения, который не всегда совпадает со способами рассуждения учащихся.

Интенсивное изучение когнитивных стилей началось в 50-е гг. XX в. в связи с исследованием перцептивных процессов. За короткое время было выявлено и описано более десятка различных стилей. Из них наиболее разработанными и важными для понимания процесса обучения являются:

• дифференцированность поля (с параметрами «полезависимость-поленезависимость»);

• обобщенность категорий («глобальные-специфичные»);

• стиль концептуализации («абстрактный-конкретный»);

• тип реагирования («импульсивность-рефлексивность»);

• когнитивная «сложность-простота».

В русскоязычной литературе описания этих стилей достаточно полно представлены в работах Г. Клауса, А. В. Соловьева, М. А. Холодной и И. П. Шкуратовой.

Понятие дифференцированности поля (расчлененности поля, психологической дифференциации) было введено американским психологом Г. Виткиным для описания степени артикулированности (ясности, расчлененности, отчетливости) опыта субъекта, которая проявляется в четырех основных психологических сферах:

• когнитивном функционировании (структурирующая способность восприятия, способность преодолевать организованный контекст);

• представлении о собственном теле (дифференцированность образа своего физического «я»);

• развитии чувства индивидуальной обособленности (способность к автономии и самодостаточности в условиях межличностного общения);

• наличии специализированных, высокоорганизованных контролей и защит (сформированность механизмов моторной и аффективной активности).

Проводя эксперименты по изучению восприятия, Виткин обратил внимание на то, что у некоторых испытуемых результаты опытов серьезно зависели от фона, на котором воспринимался объект. Как правило, на пестром, узорчатом фоне им было сложно выделить требуемый стимул. Их восприятие как бы становилось зависимым от окружающего перцептивного поля. Поэтому эти испытуемые получили название полезависимых. Восприятие таких людей является преимущественно целостным, глобальным, недифференцированным. Первоначально Виткин предполагал, что они в большей мере ориентируются на внешнюю зрительную стимуляцию. Поленезависи-

мыми были названы люди, которые легко освобождались от давления объединяющих взаимосвязей перцептивного поля. Они воспринимали и перерабатывали те или иные стимулы независимо от контекста, т. е. могли быстро и точно выделить фигуру из фона. Восприятие у таких людей оказалось ориентированным на детали, более аналитичным и дифференцированным. По мнению Виткина, они в восприятии ориентировались на внутреннюю проприоцептивно-вестибулярную стимуляцию.

Эта особенность особенно сильно проявляется при обучении геометрии. При решении задач в основной школе учащимся постоянно приходится выделять необходимые фигуры на чертеже, рассматривая остальные как фон. Именно задания на «загруженных» (наличие лишних элементов) чертежах вызывают у учащихся трудности, особенно при выполнении задач на построение. Например, усвоив способ построения прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку на рисунке, где даны прямая и точка, учащиеся затрудняются при выполнении аналогичного задания в ситуации, когда рисунок перегружен лишними деталями.

ПРИМЕР

Построить прямую a на рис. 5 так, чтобы a⊥DC, K∈a.

Причина — неумение отделять объект и фон. Еще С. Л. Рубинштейн предупреждал о том, что выделение фигуры из фона является базовым действием при восприятии любого объекта. Поэтому учителю при анализе ошибок стоит выяснить, не является ли их причиной именно полезависимость ученика. Следовательно, при организации деятельности учащихся необходимо научить их выполнять задания на выделение объекта из фона. Тем более, что до 13—14 лет все дети являются полезависимыми. При проверке сформированности умений при обучении математике, и в особенности геометрии, следует предлагать учащимся задания на «загруженных» чертежах.

Последующие исследования показали, что «полезависимость-поленезависимость», выделенная первоначально как зависимость восприятия от ситуации (объекта), связана также с широким спектром личностных особенностей человека, таких, как активность, локус контроля, представления о себе, межличностное общение и т. д. Поэтому в окончательной редакции теории психологической дифференциации Виткин де-

Рис. 5

лает акцент на доминирующей тенденции ориентироваться при решении задач на самого себя (поленезависимость) или на внешние факторы (полезависимость).

Стиль обобщенность категорий (понятийная дифференцированности относится к особенностям построения классификаций. Он был предложен Р. Гарднером и определяется по числу и характеру образуемых групп при свободной классификации объектов. В эксперименте Гарднер просил испытуемых разделить множество картинок с изображениями хорошо знакомых предметов (или слов) на группы по своему усмотрению так, чтобы относящиеся к одному и тому же классу предметы оказались в одной части. Некоторые люди делили объекты на множество мелких групп, что указывает на узкую зону понятийной эквивалентности и ориентацию на различия в предметах. Другие же люди разбивали предметы на небольшое число групп, не учитывая в ходе группировки отдельные различия между объектами. Тем самым они демонстрировали более широкую зону понятийной эквивалентности с ориентацией на сходство.

В более поздних работах Гарднер четко показал связь между предпочитаемой человеком обобщенностью категорий с характером решения задач на поиск сходства и различия объектов. Он выделил дополнительно когнитивный стиль сглаживание (усреднение — ориентация на общее) и заострение (усиление — ориентация на различия). Кроме того, удалось выявить не только количественные, но и качественные особенности классификации объектов. Среди испытуемых обнаружились люди, тяготеющие к аналитическому (основанному на учете частных признаков), категориальному (основанному на объединении объектов одного вида) и функциональному (основанному на одинаковом использовании объектов) способам классификации.

Понятие стиля концептуализации было введено Г. Шродером для описания преимущественного уровня абстрагирования при восприятии и интегративной сложности мышления человека. При конкретной концептуализации информация воспринимается в жесткой пространственно-временной привязке к источнику, встраивается в наглядные, относительно неподвижные схемы, что может вести к ее огрублению или искажению. На противоположном полюсе — при абстрактной концептуализации — информация перерабатывается в соответствии с широкими иерархизированными правилами связывания, включается в более общие понятийные схемы и оказывается в результате этого более доступной для использования.

Понятие тип реагирования было введено Дж. Каганом для описания индивидуальных особенностей интеллектуальной деятельности в ситуации принятия решений в условиях неопределенности. Об импульсивности речь идет в тех случаях, когда человек сразу, не задумываясь, отвечает на внешние раздражители, легко склоняется в пользу той или иной гипотезы, не учитывая степень ее правдоподобности, когда он действует не размышляя и принимает необдуманные решения. Рефлексивность же приписывают людям, которые, прежде чем действовать, внутренне опробовают гипотезы, отбрасывая те из них, которые им кажутся малоправдоподобными, т. е. поступают обдуманно, взвешенно и осторожно. При решении мыслительных задач (особенно в случае сложных заданий) импульсивное поведение приводит в среднем к меньшим затратам времени и большей частоте ошибок, чем рефлексивная стратегия. Таким образом, «импульсивность-рефлексивность» выступает в качестве косвенной меры выраженности ориентировочной, контрольной и исполнительской фаз в структуре интеллектуальной деятельности.

Стиль когнитивная «сложность-простота» был предложен Дж. Келли для выделения различий в количестве конструктов (биполярных признаков), которые используют люди для описания и оценки других людей и явлений. Чем больше различных признаков использует человек для описания заданного предмета, чем сложнее отношения этих признаков между собой и больше связей с другими предметными областями, тем большей когнитивной сложностью обладает мышление этого человека. Например, при описании погоды один испытуемый может достаточно полно ее описать «теплая-холодная», «ветреная-безветренная», «сухая-дождливая» и т.д., другой же испытуемый к этим характеристикам добавит такие, как «грустная-веселая», «среднестатистическая-из ряда вон выходящая», «прогнозируемая-неожиданная», «зимняя-летняя» и т. д. Тем самым второй привлекает более широкий спектр связей с различными понятийными областями для описания заданного явления, а значит, когнитивная сложность его мышления выше.

Из существующих определений когнитивного стиля и описанных выше примеров конкретных стилей М. А. Холодная [9] предлагает выделить несколько общих для них черт:

• когнитивный стиль — это процессуальная характеристика интеллектуальной деятельности, определяющая способ получения того или иного продукта;

• когнитивный стиль — это биполярное измерение, описывающее реальность за счет обращения к двум крайним формам познавательного реагирования (например, «абстрактный-конкретный»);

• когнитивный стиль — это устойчивая во времени характеристика субъекта, проявляющаяся на разных уровнях познавательного функционирования, т. е. степень выраженности того или иного параметра когнитивного стиля меняется на протяжении онтогенетического развития (например, у всех людей до 17 лет наблюдается возрастание поленезависимости), но остается на удивление постоянной у каждого данного человека в сравнении с остальными людьми его возраста;

• к стилевым феноменам неприменимы оценочные суждения, так как представители каждого стиля имеют преимущества в определенных ситуациях.

По мере более тщательного изучения когнитивных стилей и накопления экспериментальных фактов некоторые из этих общих черт ставятся под сомнение. Так, в последнее время появляется все больше данных, подтверждающих наличие связи между когнитивными стилями и продуктивными проявлениями. Например, поленезависимые люди оказываются более успешными в выполнении интеллектуально нагруженных видов деятельности. Они показывают лучшие результаты в тестах на невербальный интеллект Векслера, продуктивную память, креативность и гибкость. При этом полезависимые более эффективно действуют при разрешении конфликтных ситуаций, в межличностном общении и установлении контактов.

Имеются данные о том, что когнитивный стиль оказывает существенное влияние на результаты учебной деятельности. В частности, ряд исследований немецких психологов [3] показал, что при ярко выраженной «полезависимости-поленезависимости» дети проявляют различные успехи в решении задач, особенно на образном материале. Даже успеваемость поленезависимых учащихся, выраженная средней оценкой, оказывается существенно выше. Аналогично при решении достаточно сложных учебных задач рефлексивные ученики действуют эффективнее, чем их импульсивные одноклассники. Таким образом, в ситуации традиционной школы можно поставить под сомнение отсутствие оценочного контекста при работе с учениками, имеющими различные когнитивные стили, так как и культурные нормы, и данные исследований указывают на преимущества обладателей одних стилей над другими в учебном процессе.

При этом хочется отметить, что связь успешности учебной деятельности и стилевых параметров не является однозначной. Так, В. А. Колга в своей работе показал, что максимальная обучаемость и успеваемость наблюдается при соразмерных параметрах когнитивного стиля, т. е. тогда, когда стиль не является ярко выраженным [5]. Иллюстрируя это на примере когнитивного стиля «аналитичность-синтетичность», он показал, что «синтетичность» познавательных процессов способствует переносу умения решать сходные задачи, а «аналитичность» — решению разнотипных задач. А значит, оба эти умения в совокупности определяют успешность при обучении решению определенного класса задач. Кроме того, показатели успешности учебной деятельности и способ их измерения существенным образом зависят от того, как организован учебный процесс, какие педагогические цели и задачи решаются в нем. Приведенные выше данные были получены в 70—80-х гг. XX в. в условиях традиционного, ориентированного на получение знаний, умений и навыков обучения. Подобные исследования в инновационных школах практически не проводились.

4.3. Взаимосвязи когнитивных стилей

Некоторые ученые связывают проявление у людей того или иного когнитивного стиля с особенностями функциональной ассиметрии их мозга, а часть даже выделяет право-, левополушарность в качестве одной из психофизиологических основ существования когнитивных стилей. Для этого существуют достаточно веские основания.

Главное отличие левого полушария от правого заключается в том, что у подавляющего большинства людей именно в нем расположены речевые центры и переработка информации в левом полушарии происходит с помощью словесно-знаковых систем. Следовательно, можно говорить о разграничении полушарий по типу решаемых задач (речевые, вербальные — пространственные, образные) и по способу обработки поступающей информации. Такое деление условно, так как речь идет не о последовательной работе полушарий, а об их относительной активности при решении той или иной задачи.

«Левое полушарие специализировано для языковых функций, но эта специализация есть следствие преобладания в левом полушарии аналитических процессов, одним из проявлений которых является речь. Сходным образом, превосходство правого полушария в выполнении зрительно-пространствен-

ных задач связано с его синтетическим, целостным способом обработки информации» [8, с. 56].

В целом работу полушарий можно охарактеризовать следующим образом:

Левое полушарие

Правое полушарие

Вербальное, знаково-речевое

Невербальное, зрительно-пространственное

Рациональное

Интуитивное

Дискретное (по частям)

Целостное

Абстрактно-логическое

Наглядно-образное

Медленное, последовательное

Быстрое, мгновенное

Левополушарные ученики «мыслительного типа» (по И. П. Павлову) успешны в словесности и точных науках, склонны к понятийному мышлению и рефлексии, логичны, обладают хорошей произвольной памятью, ориентированы на постоянный контроль и самоконтроль результатов усвоения материала.

Правополушарные ученики «художественного типа» склонны к синтезу, интуитивному, образному мышлению, обладают пространственным воображением, успешны в музыке и искусстве, предпочитают целостное восприятие, эмоциональны, эмпатичны (часто нацелены на понимание окружающих через сопереживание), ориентированы на свободное обсуждение, совместное подведение итогов, свободный поиск в заданном направлении, установление закономерностей на основе информации, данной в контексте.

Как показывает практика, существенная часть учащихся, не успевающих по математике, являются правополушарными. Для них очень важна работа с ассоциациями: непосредственное восприятие материала через образ-слово и образ-картинку; осознанное «разгадывание» ассоциаций авторов учебника, художника и учителя; создание собственных ассоциаций в изучаемой области.

Опираясь на три важнейших показателя — ведущую руку, ведущий глаз и ведущее ухо при восприятии информации, условно можно выделить несколько типов функциональной ассиметрии мозга [10, с. 40]:

• праворукие с ведущими правым глазом и ухом, как правило, левополушарники («мыслители»);

• праворукие с ведущими левым глазом и левым ухом, как правило, правополушарники («художники»);

• праворукие с несовпадающими ведущими глазом и ухом — смешанный тип.

Высокая степень праворукости прямо связана с повышенной левополушарностью, а низкая — с повышенной активностью правого полушария. Леворукие (около 10% населения) составляют особую группу. Они являются ярко выраженными правополушарниками с особым характером функциональной асимметрии.

Существуют данные о том, что ведущая рука у детей определяется где-то к 4 годам, а в развитии детей до 9—10 лет ведущей деятельностью является правополушарная.

Из характеристик работы полушарий видно, что они частично совпадают с особенностями познавательных процессов, свойственных людям с некоторыми когнитивными стилями, такими, как («полезависимость-поленезависимость»), понятийная дифференцированность («специфичность-глобальность»), и особенно «аналитичность-синтетичность». Доказано, что большинство левополушарных людей являются аудналами, а среди правополушарных преобладают визуалы и кинестетики.

Когнитивные стили взаимосвязаны. Поленезависимые учащиеся склонны избирать целостную стратегию при выработке абстрактных понятий, т. е. сразу принимать во внимание и последовательно проверять значения всех признаков стимулов. Поленезависимые, наоборот, чаще избирают парциальную стратегию, игнорируя малозаметные свойства стимуляции [10].

В процессе исследований было выделено достаточно большое количество когнитивных стилей, параметры которых могут быть взаимосвязаны. По этому поводу существует две противоположные точки зрения. Часть ученых на основе экспериментальных данных считает когнитивные стили самостоятельными и независимыми когнитивными проявлениями. Другие говорят о существовании взаимообусловленности отдельных стилевых параметров. Так, по мнению Бетти Лу Ливер, стилевые учебные предпочтения часто пересекаются [1]. Учащиеся с доминированием правого полушария чаще всего одновременно являются и учащимися аудиального типа, полезависимыми, а также склонны к синтезу, индукции и усреднению. Левополушарные учащиеся обычно относятся к визуальному типу, ориентированы на дедукцию, анализ, заострение различий между объектами. В исследовании В. А. Колги было доказано, что аналитичность-синтетичность познавательной деятельности является общим знаменателем для многих когнитивных стилей, так как отражает величину масшта-

ба измерительно-оценочных шкал, которые использует человек, и особенности принятия решений [5].

Несмотря на то, что фактов в поддержку второй точки зрения накоплено существенно больше, нельзя отвергать первую точку зрения, так как концепция когнитивных стилей является по своей сути эмпирической. Поэтому для однозначного ответа на вопрос о взаимосвязи стилевых проявлений необходимо с теоретических позиций раскрыть механизмы порождения когнитивных стилей.

4.4. Диагностика когнитивных стилей

Недостатки традиционной психодиагностики умственного развития (IQ) хорошо известны. Она мало что может сказать об индивидуальных когнитивных механизмах, которые стоят за тем или иным количественным результатом. Соответственно результаты психометрических тестов практически ничего не могут сообщить учителю о предпочитаемых познавательных стратегиях отдельных учащихся, а именно эти данные очень важны для выбора индивидуальных технологий обучения.

На сегодняшний день существует достаточно много способов диагностики когнитивных стилей. Это связано, прежде всего, с тем, что многие из стилей получены эмпирически, в экспериментах на восприятие. К числу таких методик диагностики можно отнести следующие:

Стиль

Доступные методы диагностики

Источники

Дифференцированность поля

Тест «Включенных фигур»

Понятийная дифференцированность

Тест сортировки объектов по Р. Гарднеру

Шкуратова И. П. Когнитивный стиль и общение. — Ростов н/Д, 1994

Тип реагирования (импульсивность-рефлексивность)

Тест сравнения сходных фигур Кагана

Когнитивная сложность-простота

Решетки Келли

Франселло Банистр. Новый метод исследования личности. — М., 1987

Окончание табл.

Стиль

Доступные методы диагностики

Источники

Право-, левополушарность

Тест Павлова (художественно-мыслительный тип)

Психофизиологические пробы

Сиротюк А. Л. Обучение детей с учетом психофизиологии. — М.,2000

Ведущий канал восприятия информации

Аналитический обзор стиля обучения (АОСО) Р. Оксфорда

Тесты на запоминание слов (зрительно, со слуха, моторно)

Сиротюк А. Л. Обучение детей с учетом психофизиологии. — М.,2000

В ходе лекции было доказано, что существует связь между когнитивными стилями и особенностями функциональной ассимметрии мозга. Поэтому достаточно точно можно диагностировать часть стилей, пользуясь методиками диагностики степени выраженности право-, левополушарности.

Существуют также комплексные методики, которые помимо параметров когнитивного стиля выявляют также особенности общения и деятельности человека (например, экстраверт-интроверт, жестко регламентированный — нерегламентированный подход к работе и т. д.). Одной из наиболее известных методик этого вида является тест MBTI (Meyers Briggs Type Indicator).

Такое разнообразие методов диагностики порождает у учителя соблазн воспользоваться данным инструментарием, все выяснить про стили своих учеников и использовать полученную информацию для дальнейшей работы. Однако методики, как правило, диагностируют только один из стилей. Учеников с одним ярко выраженным стилем немного. Только от 10 до 20% обследованных обладают ярко выраженными стилевыми особенностями.

Одним из наиболее эффективных методов исследования когнитивных стилей является наблюдение, в котором основной упор делается на анализ затруднений и ошибок учеников, включая в число возможных причин неудач особенности восприятия и переработки информации, т. е. особенности когнитивного стиля.

После проведения диагностики учитель получает информацию о стилевых особенностях своих учеников, а возможно, и о своем стиле восприятия и переработки информации. Перед

ним стоит проблема выработки дальнейшей стратегии своих действий.

Некоторые учителя воспринимают собственные индивидуальные особенности и особенности своих учеников как определенные ограничения возможностей. Если у ученика ярко выражен какой-либо стиль, то необходимо вести с ним индивидуальную работу, подбирать соответствующие задачи и т. д. При этом идеальным стало бы сочетание в классе небольшого количества когнитивных стилей, тогда легче подобрать нужные задачи и организовать работу. На практике это встречается редко. Поэтому возникает, по сути, новый вариант селекции «по когнитивному стилю», который немногим отличается от привычного деления класса на «сильных и слабых» или «математиков и гуманитариев».

Учет когнитивного стиля в обучении ни в коем случае не должен сводиться к обучению в предпочитаемом учеником стиле, так как в этом случае для ученика закрывается возможность развития, расширения репертуара способов действия, он попадает в «плен своих индивидуальных особенностей». Учитывая когнитивный стиль, педагог должен рассматривать его как фундамент, стартовую площадку для индивидуального, личностного развития ученика, которую нельзя игнорировать, но надо расширять и наращивать.

В связи с этим становится актуальным вопрос о возможности овладения человеком когнитивным стилем, который ему несвойствен. В 1976 г. Г. Виткин выдвинул концепцию «мобильности», согласно которой индивиды, развивающиеся в рамках одного стиля, могут вырабатывать некоторые качества, присущие людям с другим стилем. Например, поленезависимые при соответствующей работе с ними становятся более чувствительными к другим людям. Для полезависимого человека может стать возможным приобретение поленезависимой ориентации. При этом существуют личности, у которых базовая форма стилевого поведения может быть более мобильной, чем у других. Способные переходить от элементов одного стиля к другому имеют реальные преимущества перед другими субъектами. Поэтому достижение мобильности должно быть одной из целей развивающего обучения.

4.5. Когнитивные стили в процессе обучения

Исследования когнитивных стилей в процессе обучения вскрывают некоторые способы поведения учителей и учащихся, часто не затрагивая вопроса о влиянии данных ха-

рактеристик на успешность учебно-воспитательного процесса, на достижение целей обучения.

Так, например, известно, что полезависимые преподаватели предпочитают ситуации, где необходимо взаимодействие с учениками. При этом их стратегия преподавания строится на дискуссиях, методе «открытий» и других активных формах. Хотя М. К. Стоун отмечает, что при всей склонности к общению полезависимые учителя часто следуют жестким инструкциям и их обучение строится по типу «вопрос-ответ». Поленезависимые преподаватели заинтересованы в ситуациях, не связанных с межличностными контактами, и склонны больше подчеркивать познавательные аспекты обучения.

Полезависимые учащиеся оказываются более компетентными в изучении и запоминании материала, имеющего социальную направленность, они более чувствительны к критическим замечаниям, чем поленезависимые (особенно к негативным подкреплениям). Поленезависимость проявляется в большей автономии, активности в целом, самомотивированности в учении. У поленезависимых учеников легче происходит обобщение и перенос навыков из одной ситуации в другую.

Кроме того, схожесть по когнитивному стилю учителя и учащегося, очевидно, ведет к взаимопониманию, к более легкой коммуникации, к бесконфликтности во взаимодействии. Но это вовсе не означает, что ученики больше получают знаний или успешнее развивают свои способности в общении с себе подобными по стилю преподавателями.

В последнее время появилось достаточно много работ, в которых основной акцент делается на учете психофизиологических особенностей детей в процессе обучения в начальной школе (В. Д. Еремеева, Т. П. Хризман, А. Л. Сиротюк, Е. П. Ильин). В них авторы уделяют внимание проблемам обучения чтению и письму правополушарных школьников.

Более комплексные подходы к учету когнитивного стиля в обучении представлены в работах Г. А. Берулавы и Бетти Лу Ливер, в которых сделана попытка представить комплекс методических рекомендаций по организации работы на уроке с учетом когнитивных стилей. Они позволили бы не только помочь ученику с любым стилем полностью освоить материал, но и развить его возможности.

Г. А. Берулава в своих исследованиях исходила из необходимости поиска неких интегративных стилей, которые бы отражали особенности не отдельных психических процессов, а особенности понимания материала учеником в целом. Ведь учитель сталкивается на уроке с целостным познавательным поведением учащегося, а не отдельно с его восприятием, вни-

манием, мышлением и т. д. Исходя из этого, Г. А. Берулава выделила интегральный когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность», который связан с индивидуальными особенностями понимания.

В основе этого стиля лежит понятие «образа мира» как совокупности всего многообразия знаний, представлений, чувственных образов, сложившихся у ученика. Оно характеризует особенности индивидуального смыслового поля, с помощью которого человек отражает окружающий мир, и выступает в качестве ориентировочной основы его поведения. Действительно, то, каким образом два разных ученика опишут одно и то же событие, может выявить некоторые различия между ними. Окружающие могут увидеть в описаниях не только правильные или искаженные факты, но и то, на что обратил внимание каждый из учеников, какие эмоции и ассоциации вызвала у них ситуация, какие действия они предприняли. Именно эти особенности и составляют суть стиля индивидуальности, по которому человек узнаваем независимо от вида деятельности.

Например, посмотрев на один и тот же рисунок (рис. 6), ребенок 5—6 лет может сказать, что на нем изображен вигвам индейцев или колпак клоуна; один из учеников 7 класса может назвать тот же рисунок конусом, другой — сектором окружности, третий увидит четыре отрезка с одним общим концом и дугу окружности. В соответствии со своим пониманием ситуации каждый из них сможет предложить свой набор возможных действий с нарисованным объектом.

Когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность» представлен тремя параметрами:

• обобщенность «образа мира», т.е. высокая-низкая степень понятийного обобщения (теоретичность);

• эмоциональная насыщенность «образа мира» (эмоциональность);

• активность «образа мира», т.е. способность воспринимать окружающее в динамике (действенность).

При этом на полюсе «интегральность» ученик воспринимает ситуацию целостно, как единый образ, единое понятие или действие. На полюсе «дифференциальность» ситуация воспринимается расчлененно, фрагментарно, конкретно. Таким образом, предлагается выделить шесть типов стилей: интегрально-теоретический, интегрально-эмоциональный, интегрально-деятельностный, дифферен-

Рис. 6

ционально-теоретический, дифференционально-эмоциональный и дифференционально-деятельностный, причем не исключается наличие смешанных подтипов.

Для каждого из шести типов когнитивного стиля Г. А. Берулава дает рекомендации по разработке содержания и методов обучения.

Во-первых, для учеников с интегральными стилями эффективна опора на технологии обучения, построенные по принципу восхождения от абстрактного к конкретному, от общего к частному. Для учеников же дифференциальных стилей обучение должно строиться, наоборот, от частного к общему.

Во-вторых, для учеников с теоретическими стилями обучение должно быть направлено на обобщенное, логико-формализованное освоение материала либо на основе его целостного познания, либо на основе ступенчатого, последовательного познания. Для учеников с деятельностными стилями необходимо строить обучение с опорой на собственную познавательную активность с использованием дискуссий, работы в парах и т. д. Для учеников же с эмоциональными стилями необходима эмоционально насыщенная форма подачи материала, привлечение образных моделей, сюжетных задач, которые активизируют оперирование чувственными представлениями.

В-третьих, для каждого из стилей можно выделить те учебные предметы, в которых будут наиболее успешны ученики с данным стилем. Например, ученики с дифференциально-деятельностным стилем наиболее продуктивны при изучении биологии, географии, истории; дифференциально-эмоциональным стилем — в изучении литературы и дисциплин художественного цикла; с интегрально-теоретическим стилем — в изучении дисциплин физико-математического цикла и интегративных учебных дисциплин на стыке наук.

В работе Бетти Лу Ливер [1] представлен другой подход к обучению, в котором учитывается как когнитивный стиль учеников, так и когнитивный стиль педагога. В этом подходе выделяются учащиеся с когнитивными стилями «группы риска», сформулированы базовые принципы обучения детей с разными стилями и, наконец, предлагаются примеры конкретных заданий, которые активизируют познавательную деятельность учеников с разными стилями обучения.

По мнению Б. Лу Ливер, в классах есть три группы учащихся, которые входят в «группу риска».

Во-первых, это учащиеся с незападным подходом к приобретению новой информации, т. е. те, кто не ориентирован на

западную логику, порядок, технологичность, структурированность. В эту группу входят ученики с доминирующим правым полушарием, полезависимые, синтетики, склонные к конкретике, с нелинейным мышлением, отчасти кинестетики и рефлексивные.

Во-вторых, это учащиеся, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания учителя (особенно если учитель не обладает гибкостью и не знает о существовании различных учебных стилей).

В-третьих, это учащиеся, стиль которых не совпадает с усредненным стилем класса. Часто учителя интуитивно или осознанно подстраиваются к учебному стилю большинства в классе. Как только это происходит, учащиеся, не соответствующие «среднему» стилю, оказываются в группе риска. Чаще всего такие ситуации складываются в классах, где представлены в неравных количествах ученики — представители разных культур или где ярко выражены аудиальный (визуальный) или синтетический (аналитический) учебные стили большинства.

Основная развивающая задача обучения с учетом когнитивных стилей заключается в изменении профиля и уровня стилевых проявлений учеников. Решая ее, учитель должен не только создавать комфортную, бесконфликтную учебную среду для учеников «группы риска», но и развивать их возможности, расширять репертуар способов освоения информации, улучшать их адаптацию в противоречивом окружающем мире, а не только в ситуации обучения.

Для достижения развивающих целей обучения автор предлагает использовать методику, в которой объяснение нового и контроль знаний учащихся должны проводиться в предпочитаемом ребенком учебном стиле, а закрепление материала — в стилях, не свойственных данному ребенку.

Необходимыми шагами на пути реализации описанной выше методики на уроках являются:

• определение стилей обучения каждого ученика и усредненного стиля класса;

• определение стиля преподавания учителя;

• определение стилевой ориентации учебных материалов (учебников, раздаточных материалов, задачников и т. д.);

• выявление учащихся «группы риска» и зон стилевых конфликтов (учитель — ученик; ученик — учебный материал; ученик — класс);

• создание методов включения учащихся «группы риска» в учебный процесс.

Среди методов, способствующих полноценному участию учащихся «группы риска» в учебном процессе, Бетти Лу Ли-

вер выделяет, прежде всего, расширение спектра учебных заданий и создание возможности их выбора, как для отдельных учеников, так и для малых групп учащихся с однородными или близкими стилями.

Среди видов учебных заданий, собранных в нижеприведенной таблице, можно выделить те, которые представлены лишь в части учебников и не являются типичными на уроках математики.

Это, прежде всего, задачи с «открытыми» вопросами, направленные на интегрирование собственных понятий и образов (например: «Дан набор математических понятий. Используя их, составьте максимально возможное число верных утверждений»); задачи, где присутствует контекст и реальные жизненные события и факты; задачи, требующие практических действий и оперирования реальными моделями; задачи-догадки и дискуссионные задания и т. д. Кроме того, становится очевидным, что для стиля обучения значение имеет не только сама формулировка задачи, но и способ, которым ее предлагается решать, а этот способ зачастую жестко фиксируется учителем (задается форма записи, предлагается алгоритм, ограничивается общение с другими учениками и т. д.).

Можно предложить в связи с этим решение одной из задач по теме «Площадь прямоугольника».

ПРИМЕР

Можно ли завернуть коробку шириной 5 см, высотой 3 см и длиной 7 см в прямоугольный кусок бумаги площадью 105 квадратных сантиметров?

С точки зрения программы на примере этой задачи ученики должны отработать использование формулы площади прямоугольника, а значит, должны подсчитать площадь поверхности коробки по формуле и сравнить ее с площадью листа бумаги. Такой способ работы с задачей характерен для учащихся с линейным типом мышления, левополушарных, поленезависимых, аналитиков. Если бы при этом в задаче вместо конкретных цифр были заданы параметры (а, b, с, а*b*с*), то она смогла бы заинтересовать и учеников с абстрактным типом мышления. Очевидно, что при таком способе решения задачи многие ученики класса, прежде всего с незападными учебными стилями, окажутся в трудной ситуации.

Для них можно предложить другой способ работы — работу с моделями. В качестве моделей здесь можно использовать коробку с заданными размерами и листы бумаги заданной

Сводная характеристика когнитивных стилей и типы учебных заданий (по Бетти Лу Ливер)

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

Доминирование полушарий (левое-правое)

Доминирование полушария обозначает систему предпочтений в отношении специфических каналов поступления информации и специфических интересов

Для левополушарных: ученики «мыслительного типа» (по И. П. Павлову), успешны в словесности и точных науках, склонны к понятийному мышлению и рефлексии, логичны, обладают хорошей произвольной памятью

Для правополушарных: ученики «художественного типа», склонны к синтезу, интуитивному, образному мышлению, обладают пространственным воображением, успешны в музыке и искусстве, предпочитают целостное восприятие, эмоциональны, эмпатичны (т. е. часто нацелены на понимание окружающих через сопереживание)

Для левополушарных: контроль и самоконтроль результатов объяснения

Для правополушарных: свободное обсуждение, совместное подведение итогов, скучают и путаются при дидактическом введении правил, важна работа с ассоциациями, непосредственное восприятие материала через образ-слово и образ-картинку; осознанное «разгадывание» ассоциаций авторов учебника, художника и учителя; создание собственных ассоциаций в изучаемой области

Полезависимость (поленезависимость)

Типы отражают степень дифференцированности поля восприятия (умение при восприятии предмета выделить фигуру и фон). Она влияет на вид Я-концепции, характер

Контекст-зависимые: неспособные отделить необходимую информацию от «фоновой», зависимые от ситуации, нерасчленные представления о себе и мире, успешны в общении

Контекст-зависимые: сочинения на свободную тему, мозговые штурмы, математические задания в словах/картинках с контекстом, некоторые упражнения с использованием индукции, текстовые, прикладные задачи

Продолжение

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

взаимодействия с другими людьми

Контекст-независимые: легко отделяют существенную информацию от второстепенной, не зависят от внешних референтов, ситуации, дифференцированные представления о себе и мире

Контекст-независимые: вопросы с выбором ответа, задания на заполнение пустых мест, заучивание через повторение, математические вычисления вне контекста, составление словаря терминов, не любят выводить правила

Усилители-усреднители

Типы отражают узость-широту зоны эквивалентности понятий, влияют на особенности построения классификации информации

Усилители: нацелены на нахождение различий между объектами

Усреднители: нацелены на нахождение сходства между объектами

Усилители: контраст нахождение мелких и крупных различий, классификация

Усреднители: сравнение, выявление типов, упражнения на беглость чтения, топологические задачи

Преобладание дедуктивного (индуктивного) мышления

Дедуктивное мышление — порядок рассуждения от общего к частному

Индуктивное мышление — порядок рассуждения от частного к общему

Дедуктивный тип: объяснения, правила, все исключения надо логически обосновать

Индуктивный тип: самостоятельный вывод правил исключения, задания с использованием неизвестного языка, не терпят отсутствия возможности что-то сделать самим

Аналитики-синтетики

Типы отражают способ оперирования информацией для понимания ее смысла

Аналитики: анализируют, разбивают целое на части

Синтетики: интегрируют, строят целое из частей

Аналитики: тесты множественного выбора, считывание информации из учебника, концентрация на деталях, работа в одиночку, вычисления, доказательство теорем

Синтетики: чтение без словаря на иностранном языке, аутентичная информация (газеты, журналы, TV программы), концентрация на общем содержании, формулирование теорем, поиск взаимосвязей, тесты с «открытыми» вопросами

Преобладание абстрактного (конкретного) типа мышления

Типы определяются уровнем концептуализации преимущественным уровнем абстрагирования при восприятии предметов

Абстрактные: мыслят на уровне концепций, источник включается в общую понятийную систему, которая достаточно подвижна

Конкретные: склонные к тому, «что можно пощупать», прагматичны, жесткая пространственно-временная привязка к источнику, тяга к составлению набора жестких схем

Абстрактный тип: лекции, письменные упражнения

Конкретный тип: учебные экскурсии, упражнения «на пальцах», моделирование в реальности абстрактных конструкций

Преобладание линейного (нелинейного-дивергентного) мышления

Типы отражают степень необходимости строгого порядка поступления информации для овладения и оперирования ею

Линейный тип: склонность к порядку, определенная педантичность, нужна строгая последовательность и внешняя организация действий

Линейный тип: точно заданная последовательность действий, работа по алгоритму

Окончание

Стиль

Определение

Типичные черты

Предпочитаемые виды заданий и контроля

Нелинейный тип: склонность к свободе, широким границам деятельности

Нелинейный тип: неструктурированная деятельность, свободный поиск в заданном направлении

Импульсивный рефлексивный тип

Типы определяются характером реагирования в ситуации решения задач

Импульсивный тип: учится методом проб и ошибок, отличается быстротой реакции, не раздумывает над ответом

Рефлексивный тип: требует времени на усвоение и обработку информации, начинает действовать, внутренне опробовав гипотезы, взвешенно-осторожно

Импульсивный тип: задания на время, математические марафоны

Рефлексивный тип: долгосрочные проекты, домашние контрольные, письменные ответы

Визуалы, аудиалы, кинестетики

Типы определяются по ведущему каналу восприятия информации

Подробно изучаются в нейролингвистическом программировании (НЛП)

Визуальные: учатся посредством зрительного восприятия информации, мыслят «слайдами», легко переходят от темы к теме

Аудиальные: учатся посредством восприятия информации на слух, важны хорошо звучащие формулировки, логика в рассуждениях, застревают на деталях

Кинестетические: учатся на собственном деятельностном опыте, для них мыслить — значит двигаться, сильная интуиция, слабо помнят детали

Визуалы: работа с бумагой и ручкой, работа на основе рисунков, письменные задания, трудности с устным счетом, важны схемы, таблицы, графики

Аудиалы: работа в парах, взаимодействие, ролевые игры, устные задания

Кинестетики: активные перемещения, работа с моделями и реальными предметами, жестикуляция, групповое взаимодействие, шумовые эффекты, демонстрации, ролевые игры

площади и разной формы. При первой же попытке решить задачу практически у учеников возникнет вопрос: «Что значит «завернуть коробку»?» Это тот вопрос, который мог бы даже и не возникнуть при первом способе работы, но который очень важен для понимания жизненных реалий, а значит, важен для детей, ориентированных на целостно-контекстное восприятие окружающего мира (правополушарных, синтетиков, полезависимых, конкретиков). В зависимости от ответа на этот вопрос возникают различные варианты решения задачи, а это одна из предпосылок активного включения в работу учащихся с нелинейным типом мышления.

Можно привести еще один пример, описанный В. Д. Еремеевой и Т. П. Хризман [2]. Детям предлагается задача, в которой необходимо доказать равенство треугольников. Правополушарники решают ее чисто пространственным методом: мысленно поворачивают рисунок одного из треугольников в пространстве и накладывают его на другой, а потом уже переводят решение в речевой план и доказывают равенство, действуя методом «от противного» («если бы они не были равны, то...»). Таким образом, пространственную задачу они решают пространственным методом — наложением.

Левополушарники решают пространственную задачу речевым, знаковым методом. Они обозначают все углы и стороны буквами и, не обращая внимания на чертеж, действуют только с этими буквенными обозначениями (если угол ABC равен углу BCD, а сторона ВС общая и т. д.). Запись решения в тетради и у тех, и у других может выглядеть одинаково, а стратегия решения при этом совершенно разная. Если же ребенок решает задачу у доски, то часто получает двойку лишь за то, что у учительницы с левополушарным мышлением не хватает терпения дослушать ход мыслей ребенка до конца и она навязывает ему свою стратегию решения.

В связи с этим идеальной представляется ситуация, в которой ученик осознавал бы свои познавательные особенности, свой стиль и научился переформулировать для себя задачу, поставленную учителем в своем стиле. Тогда основное внимание учитель должен уделять переформулированию задач, переводу с языка на язык и освоению этих умений учениками.

Подход Бетти Лу Ливер несомненно можно назвать более комплексным по сравнению с подходом Г. А. Берулавы. Но детальная разработка при этом ложится на методистов и преподавателей конкретных дисциплин. Ведь в классе, как минимум, 25 детей и соответствующее многообразие когнитивных стилей, которые нужно учитывать на уроке. Возможно ли

это? Отчасти это опасение можно снять, если напомнить о том, что ярко выраженные стилевые особенности, как правило, имеет не более пятой части обследованных, а когнитивные стили взаимосвязаны.

Анализ данных психологов о различиях восприятия и переработки информации людьми с разными познавательными стилями и наблюдения методистов подводят к выводу о том, что наиболее ярко проявляются в процессе обучения следующие когнитивные стили: «поленезависимость-полезависимость», «рефлективность-импульсивность», а также функциональная асимметрия головного мозга и стили кодирования (визуальный-аудиальный-кинестетический тип восприятия).

Значит, количество разноплановых заданий может быть невелико и даваться целенаправленно, определенным учащимся.

На подготовительном и основном этапах обучения учителю важно создать целостное представление об изучаемой дидактической единице (теме или теоретическом факте) при помощи схем и рисунков. Например, при изучении темы «Треугольники» в 7 классе учащиеся впервые сталкиваются с задачами на построение. Это новый для них тип задач. В учебниках приведены примеры решения простейших задач на построение. Но при этом авторы отвечают на вопрос: «Как строить?», в то время как школьникам важно понять: «Почему именно так надо строить? »

Следует учитывать, что основной этап для правополушарных учеников начинается раньше, чем у левополушарников. Схематично эту ситуацию можно изобразить следующим образом:

Левополушарники

Правополушарники

1. Подготовительный этап

1. Подготовительный этап

2. Подготовительный этап

2. Основной этап

3. Этап первичного закрепления

3. Этап первичного закрепления

При введении нового понятия, теоремы или свойства необходимо использовать многосенсорные техники для оптимального усвоения материала учениками с разными ведущими модальностями.

Выбор «рабочего поля» — участка доски, с которого ученик «считывает» информацию, также зависит от когнитивного стиля. Для «правополушарников» основным рабочим полем является левая часть доски, а для «левополушарников» —

правая. В связи с этой особенностью, при введении нового материала используется следующий прием: схематичную формулировку определения (свойства, теоремы) лучше изображать на левой половине доски, а алгоритмическое определение — на правой. Но на этапе закрепления при воспроизведении изучаемой теоремы или свойства формулировку, рассчитанную на «правополушарников», записать справа, а формулировку для «левополушарников» привести слева (например, при опросе учеников у доски). Такая смена расположения (предпочитаемой формулировки) способствует развитию стилевой гибкости. Это замечание относится и к оформлению на доске разных решений одной задачи (например, аналитическое решение и графическое).

На этапе закрепления учителю при организации работы с учебным материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно предлагать учащимся разности левые задачи. Для этого целесообразно организовать задания в блоки, которые называются блоками стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, позволяющие работать с разными стратегиями, например аналитической и графической.

Рассмотрим примеры таких блоков стратегий на материале темы «Функция».

ПРИМЕРЫ

1) Найдите коэффициент о в уравнении параболы у = aх2, зная, что она проходит через точку А (2; 20), В (-3; 27). (Для аналитиков.)

2) Напишите уравнение параболы у = ах2, график которой изображен на рис. 7. (Для синтетиков.)

3) Нарисуйте схематично на одной координатной плоскости графики следующих функций и подпишите их:

(Для аналитиков. )

4) На рисунке схематично изображены графики функций и их аналитические описания (формулы) (предлагается рисунок с пронумерованными графиками различных функций, а также аналитические записи конкретных представителей квадратичной функции). Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием, запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков. )

При организации учебной деятельности важно помнить, что рефлексивные ученики зачастую не справляются с самостоятельными работами из-за слишком большого для них ко-

Рис.7

личества заданий. Поэтому таким ученикам желательно максимально уменьшить работу, приготовив заранее карточки с готовыми чертежами, графиками функций и т. п. Не следует ограничивать учеников в выборе способа решения задач.

Работа по индивидуализации процесса обучения включает и работу над собой: ограничение собственного когнитивного стиля, требующее осознания и самоизменения, учет совпадения или несовпадения стилей при опросе и оценивании учащихся. Конечно, учитель сталкивается и с такими внешними ограничениями, как жесткие временные рамки учебной программы, стандартизация процедур контроля знаний, малый выбор учебников и т. д. Они могут быть преодолены только с изменением всей системы обучения.

Ключевая информация

Когнитивный стиль определяет особенности познавательных процессов (в первую очередь восприятия и мышления), которые характеризуют отдельных индивидов и устойчиво проявляются в различных ситуациях при решении разных задач.

Определяются несколько правил обучения: обучение в предпочитаемом стиле; закрепление в наиболее трудном стиле; контроль в предпочитаемом стиле. В процессе обучения уделяется большое внимание детям из следующих групп риска:

• учащимся с незападным подходом к приобретению информации (правополушарные, синтетики, контекст-зависимые, нелинейные, усреднители, конкретики);

• учащимся, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания учителя (ситуация конфликта стилей);

• учащимся, стиль которых не совпадает с усредненным стилем класса.

Рекомендуемая литература

1. Бетти Лу Ливер. Обучение всего класса. — М.: Новая школа, 1995.

2. Еремеева В. Д., Хризман Т. 77. Мальчики и девочки — два разных мира. — СПб: Тускарора, 1998.

3. Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения. — М.: Педагогика, 1987.

4. Когнитивные стили: Тезисы научно-практического семинара / Под ред. В. А. Колги. — Таллин, 1986.

5. Колга В. А. Дифференциально-психологическое исследование когнитивного стиля и обучаемости: Дис. канд. психол. наук. — Л.: ЛГУ, 1976.

6. Психологические исследования стилей индивидуальности / Под ред. Г. А. Берулавы. — Сочи: НОУ РАО, 1997.

7. Соловьев А. В. Исследование познавательных стилей в американской психологии // Зарубежные исследования по психологии познания. — М., 1977.

8. Спрингер С, Дейч Г. Левый мозг, правый мозг. — М.: Мир, 1983.

9. Холодная М. А. Когнитивные стили как проявление своеобразия индивидуального интеллекта. — Киев: КГУ, 1990.

10. Чуприкова Н. И. Психология умственного развития: принцип дифференциации. — М.: АО «Столетие», 1997.

11. Шкуратова И. П. Когнитивный стиль и общение. — Ростов н/Д: Изд-во Ростов, пед. ун-та, 1994.

Лекция 5

Ученик как субъект учебной деятельности. Возрастные и половые особенности школьников

Если педагогика хочет воспитывать человека во всех отношениях, то она должна узнать его во всех отношениях.

К. Д. Ушинский

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Составьте список характеристик двух групп учащихся: мальчиков и девочек (отдельно). Сравните свой список со списком соседа. Чем объясняются получившиеся сходства и различия?

2. Вспомните, какие возрастные категории относятся согласно психологической периодизации к подростковому и юношескому возрастам.

3. Ниже приведены пять утверждений. Какие из них вы считаете верными? Почему?

а) Юноши склонны преувеличивать уровень своих знаний и переоценивать свои умственные возможности.

б) К подросткам в большей степени, чем к юношам, нужен индивидуальный подход в обучении и воспитании.

в) Повышенная эмоциональная возбудимость и эмоциональная напряженность — характерные черты подросткового возраста.

г) Жалобы на недостаточно развитые волевые качества (на неустойчивость, подверженность влияниям и т. п.) — характерная черта юношеской самооценки.

д) Подростки ценят в педагоге его «человеческие качества» (сердечность, способность к сопереживанию и т. п.) выше, чем его профессиональную компетентность.

5.1. Возрастные особенности школьников

Выделяются несколько закономерностей развития учебной деятельности, связанных с возрастными особенностями учащихся [5].

Во-первых, чем младше ребенок, тем в большей мере он учится только на опыте собственных действий, с возрастом доля обучения путем рассказа и объяснения постепенно увеличивается.

Во-вторых, если первоначально дети склонны к некритичному воспроизведению образцов, то позднее начинают избирательно и критически-оценивающе относиться к учебному материалу.

В-третьих, господствующие в дошкольном возрасте игровые формы учения постепенно сменяет сознательная и целенаправленная учебная деятельность.

В-четвертых, возрастающая способность самостоятельно регулировать и направлять свои действия приводит к осознанному предпочтению тех или иных учебных предметов, в результате одни знания усваиваются более активно, другие игнорируются.

В-пятых, с возрастом усиливается понятийная упорядоченность знаний и интеллектуальная способность. Благодаря этому совершенствуются когнитивные предпосылки учебной деятельности, т. е. когнитивные операции и стратегии учения, решения задач, преодоления трудностей, способов действия, доказавшие свою пригодность в определенных ситуациях, все более эффективно переносятся на аналогичные ситуации.

В-шестых, с возрастом потенциально усиливается и настойчивость в учении. Это значит, что старшие дети способны к более длительным занятиям учебой, чем младшие. Но насколько эта способность реализуется, во многом зависит от установок, планов и интересов детей.

Не возникает сомнений в том, что между игрой, в которой в основном происходит обучение дошкольника, и лекцией в университете есть огромная разница, в основе которой лежат

возрастные различия субъектов учения. Но при этом из перечисленных выше особенностей видно, что возраст как таковой (количество лет, прожитых человеком) играет меньшую роль, чем уровень развития личности, достигнутый за прожитый промежуток времени. Существенную роль здесь играют как индивидуальные особенности рассматриваемых учащихся, так и условия, в которых происходит их социализация.

Каждый возраст характеризуется следующими тремя показателями [12, с. 42]:

• определенной социальной ситуацией развития или той конкретной формой отношений, в которую вступает ребенок со взрослым в данный период;

• основным (ведущим) типом деятельности (существуют несколько типов деятельности, которые характеризуют определенные периоды психического развития);

• основными психическими новообразованиями (в каждом периоде они существуют от отдельных психических процессов до свойств личности).

Младший подростковый возраст (11—14(15) лет) характеризуется тем, что дети оказываются в новой для них ситуации развития, связанной с переходом из начальной школы в среднюю. Эта ситуация является, несомненно, стрессовой. Ученики попадают из условий, где каждый класс имеет свой кабинет, практически все занятия ведет один учитель, который пытается строить с классом предельно теплые и интенсивные отношения, в условия обезличенной школы, где на каждом уроке меняется кабинет и приходит новый учитель, который не в состоянии строить близкие отношения с каждым учащимся. В психологическом плане этот переход зачастую связан с падением самооценки у школьников, ростом депрессивных состояний, увеличением дисциплинарных проблем, усилением негативного отношения к школе.

Ведущей деятельностью для младших подростков является интимно-личностное общение со сверстниками. Среди наиболее значимых потребностей учащихся данного возраста можно выделить: потребность в достойном положении в коллективе сверстников; стремление избежать изоляции, как в классе, так и в малом коллективе; повышенный интерес к вопросу о «соотношении сил» в классе; стремление обзавестись верным другом [7]. Именно через активное общение со сверстниками, ролевое экспериментирование, отстаивание собственной самостоятельности во взаимодействии со взрослыми, получение более широкого социального опыта подростки формируют и

развивают свое самосознание. При этом развитие самосознания связано с достигнутым ими уровнем рефлексии.

В связи с ведущей ролью общения со сверстниками учебная деятельность, хотя она и занимает большую часть времени подростков, отходит по значимости на второй план. Для подростков она становится важной, прежде всего, как средство самоутверждения в коллективе сверстников. Как субъект учебной деятельности подросток характеризуется тенденцией к утверждению своей позиции субъектной исключительности, индивидуальности, стремлением (особенно проявляющимся у мальчиков) чем-то выделиться. Это может усиливать познавательную мотивацию, если соотносится с самим содержанием учебной деятельности — ее предметом, средствами, способами решения учебных задач. Стремление к исключительности входит и в мотивацию достижения, но в составляющую «награды», «успеха». Учебная мотивация как единство познавательной мотивации и мотивации достижения преломляется у подростка через призму узколичностных значимых и реально действующих мотивов группового, социального бытия [4].

На практике учителю необходимо создавать на уроке условия, в которых у каждого ученика была бы возможность выделиться. Это могут быть соревновательные моменты (индивидуальные и командные); задачи, требующие проявления творчества, смекалки, настойчивости; активное обсуждение каких-то проблем. Групповая и парная работа, в которой сами ученики частично выполняют функции учителя или самостоятельно осваивают новый материал, является также эффективной. Если необходимые условия не будут созданы, учащиеся могут использовать урок для самоутверждения через нарушение дисциплины. Наиболее типичными для этого возраста нарушениями являются: негативизм как стремление поступать вопреки чужой воле, например указаниям учителя; своеволие, упрямство, драчливость и т. д.

Одним из проявлений ведущей роли общения со сверстниками становится свойственная подросткам реакция группирования. Она заключается в стремлении принадлежать к какой-либо группе сверстников, не быть самому по себе, быть включенным в процесс нерегламентированного общения. Учителю необходимо учитывать реакцию группирования, прежде всего, при решении вопросов дисциплины, так как многие действия подростков могут совершаться под влиянием группового давления и угрозы быть исключенным из группы. При этом каждый из школьников в отдельности, как правило, понимает абсурдность своего поведения, испытывает стыд и угрызения

совести, но при этом страх потерять лицо в глазах товарищей, предать своих, проявить слабину перед взрослыми оказывается сильнее. Поэтому педагогу необходимо при разрешении сложных ситуаций чаще апеллировать не к конкретному подростку, а к группе в целом и всегда давать возможность ребенку «сохранить лицо» перед сверстниками (не настаивать на публичном признании своей вины, осуждении совершенных действий и т. д.).

Младший подросток характеризуется повышенной утомляемостью, связанной с процессами физического роста и полового созревания. Школьникам этого возраста свойственна ярко выраженная эмоциональность, иногда с резкостью в суждениях, до грубости. В школе отмечается наибольшая неровность в усердии и успешности, самый низкий уровень внимательности, чрезвычайная непоседливость, отвлекаемость, забывчивость. В связи с этим учителя более жестко контролируют поведение учащихся именно в этом возрасте.

Центральным новообразованием подросткового возраста является «чувство взрослости», т. е. возникновение у подростка представления о себе как взрослом, а не ребенке. Основой для этого является, с одной стороны, начало полового созревания, а с другой — наличие к этому возрасту у подростка базовых знаний, умений и навыков, которые позволяют уму достаточно самостоятельно действовать в разных социальных ситуациях. При этом в социально-экономическом плане подростки по-прежнему зависимы от родителей, а психологически часто не готовы нести ответственность за совершенные поступки.

Чувство «взрослости» сопровождается у школьников требованием поведенческой автономии и отказом от безоговорочного выполнения требований взрослых. В этой ситуации учителям и родителям важно самим сделать первый шаг в предоставлении подросткам возможности проявлять самостоятельность. Им необходимо отказаться от мелочной опеки и постоянного контроля, давать подросткам возможность совершать ошибки и исправлять их, получать опыт ответственности за порученные дела.

Вторым важным новообразованием этого возраста является переход подростков к стадии формальных операций, который начинается в 12-летнем возрасте. Эта стадия характеризуется следующими особенностями:

• гипотетико-дедуктивный подход к решению задач начинает преобладать над эмпирико-индуктивным (у подростков появляется способность к рассуждению с помощью вербально сформулированных гипотез, а не манипуляций с конкретны-

ми предметами, причем эта способность действует независимо от правдоподобия исходных посылок и полученных в процессе формально-логического вывода результатов);

• гипотезы о всевозможных способах решения проверяются на основе системы логических пропозиций, которую называют комбинаторной структурой (подросток может составлять все возможные комбинации элементов, входящих в задачу, и совершать с ними необходимые логические операции);

• появляется способность вырабатывать и применять эффективные стратегии планирования поиска и организации информации (происходит качественное изменение психических процессов по линии их все большей произвольности и опосредованности).

Способность мыслить на уровне формальных операций впервые обнаруживают 10—12-летние школьники, хотя их мышление еще не столь абстрактно и системно, как у старшеклассников. Основой этого является сформированная в начальной школе рефлексия как способность осознавать процессы собственного мышления, а также умственные, речевые и мнемонические стратегии. Интересно, что на границе младшего школьного и подросткового возраста школьники начинают использовать свои рефлексивные способности не только в познавательной сфере, но и в области общения, нравственного и правового сознания. В частности, между 10 и 12 годами в суждениях подростков о себе и других появляются обобщенные психологические категории, спонтанные психологические концепции характера, темперамента, группового взаимодействия и лидерства.

Представляется важным рассмотреть те факторы, которые влияют на успешный переход подростков на стадию формальных операций. Ключевым фактором здесь является наличие систематического школьного обучения, направленного на освоение теоретических знаний. Действительно, сравнение одновозрастных групп, получавших и не получавших школьное образование, неизменно выявляет преимущества первых. Но они часто ограничены школьным материалом и не обнаруживаются при решении житейских задач.

Не менее важным фактором является характер проводимых учебных занятий. Педагогические исследования в области преподавания математики и естественных наук показали, что большинство учебных программ ориентировано на очень высокий уровень абстракции и оставляет мало места манипулированию с наглядным материалом. С одной стороны, это естественно, ведь для развития абстрактного мышления необхо-

дима практика решения задач на абстрактном, обобщенном уровне. С другой стороны, это негативно сказывается на мотивации изучения предметов естественнонаучного цикла. Для школьников абстрактные задачи выглядят оторванными от жизни, а, кроме того, им необходим дополнительный толчок для понимания важности логической необходимости при рассуждениях, особенно когда результат таких рассуждений входит в противоречие с эмпирическим опытом.

Поэтому для различных программ, ставящих своей целью продвижение учащихся, находящихся на стадии конкретных операций, к формальному мышлению, существуют три основные рекомендации.

Во-первых, создавать ситуации, в которых становится очевидной необходимость перехода на уровень теоретического осмысления действительности. Примером такой ситуации может быть известная задача Пиаже.

ПРИМЕР

Человек утром выходит на крыльцо и смотрит на солнце. Вечером, возвращаясь с работы, он встает на то же место на крыльце и снова смотрит на солнце. Где пересекутся линии, которые соединяют его глаза и солнце в первый и во второй раз?

(На рис. 8, а человек на крыльце дома, его лицо соединено пунктирными линиями с

Рис. 8

изображением «двух солнц» — справа и слева от него. Из эмпирических соображений эти линии должны пересечься на голове человека, но если рассмотреть теоретическую модель вращения Солнца вокруг Земли, то становится очевидным, что эти линии пересекаются на Солнце. На рис. 8, б модель Солнечной системы, в центре Солнце, на орбите Земли изображено два земных шара, на которых точкой отмечено положение человека; точка остается на месте, а Земля совершает небольшой поворот.)

Во-вторых, необходимо формировать представление о логических основаниях рассуждения, в частности умение отличать логически необходимые и эмпирически верные заключения, логически верные и неверные выводы и т. д.

В-третьих, необходимо задавать последовательные вопросы, помогающие логике исследования и открытия. При этом очень важным является наличие возможности непосредственного манипулирования материалом и практической проверки выдвинутых гипотез, как, например, в задаче Инельдер и Пиаже про маятник: «Есть нить с грузом, можно менять длину нити, вес груза, угол отклонения. Надо определить, от чего зависит частота колебаний маятника». Несомненно, при решении данной задачи возможна непосредственная и систематическая проверка выдвигаемых гипотез путем манипулирования с маятником.

Говоря в целом о развитии познавательных функций в этом возрасте, надо отметить, что в 11—12 лет ослабевают по сравнению с 8—10 годами внутрифункциональные (развитие разных сторон одной функции, например, устойчивости, переключаемости и концентрации внимания) и межфункциональные связи между вниманием, памятью и восприятием, а затем вновь усиливаются к 16 годам. В этом проявляются гетерохронность созревания и развития психических функций. Так, в частности, у школьников пик продуктивности образной памяти приходится на 8—11 лет, а вербальной — на 16. В 10—12 лет наблюдается разнонаправленность в развитии всех характеристик внимания. Начиная с 13 лет замечается устойчивый и однонаправленный рост продуктивности этой функции в основном за счет развития устойчивости внимания и повышения интегрированности всех его свойств.

В период ранней юности, или старшего школьного возраста (14(15)—17 лет), существенно расширяется диапазон социальных ролей, что связано с изменением их правового статуса и завершением полового созревания. В этом возрасте школьники оказываются в новой социальной ситуации развития, связанной с выбором будущей профессии и подготовке к профессиональной деятельности. Многие старшеклассники

переходят в новые учебные заведения (специализированные школы, гимназии, лицеи, колледжи, техникумы).

Не случайно в исследовании проблемной нагруженности школьников 12—16 лет оказалось, что будущее осознается и переживается ими наиболее сильно.

Главным фактором, определяющим высокую степень озабоченности будущим у старшеклассников, является неустойчивое экономическое положение их семьи, которое может не позволить им получить желаемое образование, ставит перед необходимостью искать работу и существенно влияет на характер досуга. Стоит также отметить, что проблемные переживания, связанные со школой, отходят на второй план. Это происходит от несовпадения ожиданий подростка с характером его реального взаимодействия со школой. В большинстве случаев школьники характеризуют отношения со школой как безразличные, недоброжелательные и формальные, несмотря на то, что они проводят там большую часть времени.

У учащихся выпускных классов на первое место среди проблемных переживаний выходит страх «не получить образование, которое хотелось бы иметь», «не поступить в вуз», за которым следует проблема «незнания того, какая профессия больше подходит».

Соответственно изменяется и отношение старшеклассников к учебе, ее целям и содержанию. Учеба начинает оцениваться, прежде всего, с точки зрения полезности в ближайшем и отдаленном будущем, появляется избирательное отношение к различным учебным предметам. Такое отношение к учебе показывает, что ведущей в данном возрасте является не просто учебная, а учебно-профессиональная деятельность.

В ранней юности завершается стадия овладения формальными определениями. Однако только 15% школьников в 15-летнем возрасте обладают сформированным мышлением. Поэтому необходимо продолжать стимуляцию интеллекта для формирования формальных когнитивных структур.

В условиях специального обучения в этом возрасте возможно возникновение следующих характеристик умственного развития [2]:

• самоорганизация школьниками учебной деятельности, выражающаяся во владении всеми ее звеньями (постановка учебной задачи, осуществление активных предметных преобразований, выполнение действий самоконтроля и самооценки); самостоятельный переход ученика от одного этапа к другому, от одного вида деятельности к другому;

• наличие учебно-познавательных мотивов как устойчивой самостоятельной ориентации учащихся не только на результат деятельности, но и на способы ее выполнения (предметом усвоения становится не только содержание учебного материала, но и строение соответствующей деятельности);

• наличие четко выраженных индивидуальных различий учебной деятельности, проявляющихся в разном уровне сформированности средств и способов ее выполнения, в активном построении ребенком новых типов их сочетаний, а также в использовании в деятельности новых, специально не формировавшихся способов и средств.

Для старшеклассников, наряду с интересом к содержанию предмета и возможностью оценить это содержание с точки зрения общественно выработанных критериев (эталонов, мерок), возникает интерес к самому процессу познавательной деятельности. Школьники учатся оценивать ее с точки зрения определенных эталонов, что делает строение деятельности особым предметом усвоения. Именно поэтому у учащихся чаще возникают вопросы: «Для чего нужно изучать данную тему?», «Каким образом был получен результат?», «Можно ли сделать по-другому, было ли решение оптимальным?» Они начинают ценить красоту решений, умение педагога включать преподаваемое в более широкий предметный и социальный контекст. Последнее очень важно для математики, где содержание абстрактно и слабо связано с жизнью.

Во многих старшеклассниках просыпается страсть к теоретизированию, растет интерес к логике рассуждений, а не только к реальным явлениям, возникает желание слушать, спорить, размышлять. Учащиеся чаще начинают замечать ошибки и противоречия в действиях и словах взрослых. Они рассуждают о нравственных проблемах, морали, идеалах и смысле жизни. При этом сам факт таких рассуждений зачастую никак не влияет на изменение поведения школьников. Они видят малейшие логические «соринки» в действиях взрослых, не замечая при этом явных противоречий между своими теориями и реальными поступками. Для того чтобы эта ситуация изменилась, необходимо возникновение у старшеклассников собственного эмоционально-окрашенного опыта. На этом базируются некоторые профилактические программы.

Основные новообразования ранней юности лежат в сфере развития самосознания. Основой этого является новый тип рефлексии, охватывающей не только настоящее, но и будущее. Старшеклассники начинают считать себя равными взрослым, думают о будущем и строят «жизненные планы», ставят своей

целью преобразование общества взрослых, создают собственные теории и системы. Эти изменения, по мнению ряда психологов, прямо связаны с освоением формального мышления, которое предполагает рефлексию и делает возможным рассуждение о гипотетических ситуациях. Создавая свои жизненные планы, старшеклассники опираются на постоянно изменяющиеся и развивающиеся представления о собственных возможностях и об окружающем мире.

Потребность в самоутверждении на новом возрастном уровне преобразуется качественно, и старший подросток, в отличие от младшего, стремится утвердиться в собственном мнении куда в большей мере, нежели во мнении окружающих (сверстников в том числе), что конечно же не может не отражаться как на мотивационной сфере, так и на «картине поведения» его [7]. Старшеклассники по-прежнему нуждаются в общении со сверстниками, но для них становится важным, кто они. Юношам хочется быть в компании единомышленников, людей, разделяющих их интересы и взгляды на жизнь. Поэтому у них чаще возникают случаи противопоставления собственного мнения мнению коллектива или мнению учителя. Последнее нередко носит оттенок борьбы за правду и справедливость, отстаивания прав и свобод.

При организации общения на уроке и решении проблем дисциплины учителю необходимо учитывать существование у учащихся данного возраста потребности в самоопределении и автономии в коллективе. Не стоит игнорировать высказывания и выступления учащихся на уроке, даже если они носят провокационный характер, так как для старшеклассников важно, чтобы с ними считались, принимали их мнение в расчет.

С другой стороны, необходимо очень хорошо контролировать свое поведение, так как подчас старшеклассники обладают гипертрофированным чувством собственного достоинства и не приемлют малейших проявлений неуважения, готовы воспринимать в штыки любые советы, если в них звучат назидательные интонации. Кроме того, они в большей степени, чем младшие подростки, ориентированы на результат, а не на процесс взаимодействия. Поэтому для них важны абсолютно конкретные договоренности по обсуждаемым вопросам.

Одними из наиболее эффективных форм, которые отвечают потребности в самоутверждении, являются проведение дискуссий и проблемные обсуждения. Именно эти формы позволяют учащимся выработать и высказать собственное суждение по обсуждаемым вопросам, проявить самостоятельность и быть услышанными.

5.2. Учет половых особенностей в процессе обучения

Существующее разделение труда между мужчинами и женщинами, специфические для них виды деятельности и социальные функции формируют представления о половых ролях. В связи с этим в каждой конкретной социально-исторической и культурной среде формируются социально-психологические стереотипы маскулинности (мужественности) и фемининности (женственности). Согласно этим стереотипам, женщинам присущи такие качества, как эмоциональность, пассивность, тенденция к подчинению, терпимость, конформность, эмпатичность, мягкость и т. д. Мужчинам же свойственны активность, динамичность, соревновательность, агрессивность, рационализм и т. д.

Эти стереотипы абсолютно не отражают того многообразия личностных качеств, которые присущи реальным мужчинам и женщинам, мальчикам и девочкам. Более того, результаты работ, проведенных в последние годы, дают все больше доказательств в пользу социокультурной, а не биологической детерминации половых различий. Но при этом именно стереотипы определяют сложившиеся в культуре нормативные представления о том, каким должен быть ребенок данного пола и как себя вести. И многие воспитатели, не осознавая этого, поощряют детей проявлять именно стереотипные, полоспецифические черты.

Проведенные исследования показали, что индекс негативного отношения в среде учителей к мальчикам в 2 раза выше, чем к девочкам. В 36% случаев учителя дали негативные отзывы о поведении и обучении мальчиков и только в 14% — о поведении и обучении девочек.

Среди учащихся выпускных классов, которые в наибольшей степени соответствуют школьным требованиям, подавляющее большинство (85%) составляют девушки.

По мнению учителей, девочки более прилежны, усидчивы, послушны, аккуратны. Кроме того, они более заинтересованы в учебных достижениях, стремятся к получению высоких оценок, стараются привлечь симпатии учителей. Мальчики в целом получают более низкие оценки, чаще нарушают дисциплину, более неаккуратны и необязательны.

По данным многих зарубежных исследователей, мальчики, как правило, подвергаются более интенсивной половой социализации, чем девочки. На мальчиков оказывают более сильное давление, для того чтобы они не проявляли поведения, противоречащего полоролевым стереотипам и требованиям. Фемининные роли определяются не столь жестко и вне-

дряются менее последовательно. В этом во многом проявляется попытка преодолеть негативные последствия женского влияния на полоролевую социализацию мальчиков. Ведь в детском возрасте основными агентами социализации являются именно женщины — матери, бабушки, воспитательницы детского сада, учительницы в школе.

Поэтому взрослыми прилагаются специальные усилия и предъявляются более жесткие требования к мальчикам для того, чтобы ими было освоено поведение, соответствующее мужской половой роли. Причем они часто направлены не на поощрение «мужского» поведения, а на наказание за «немужские» поступки и проявления. В результате мужская идентичность у мальчиков формируется как результат отождествления себя не с реальными мужчинами (отцы, как правило, принимают пассивное участие в процессе воспитания), а с некой статусной позицией, социальным мифом об идеальном мужчине. В школе это сочетается еще и с отсутствием социально приемлемых форм и каналов проявления мужского типа поведения: отсутствует физический труд, существует дефицит спортивных соревнований, игр, возможность участвовать в традиционно мужских занятиях типа столярных или строительных работ и т. д.

Кроме того, мальчики еще в раннем детстве оказываются в ситуации противоречивых требований со стороны взрослых. С одной стороны, взрослые поддерживают их активное, соревновательное поведение («дай сдачи», «не будь нюней!»), с другой стороны, постоянно сдерживают эту активность («посиди спокойно», «не лезь, куда не просят»). Ситуация противоречивых требований обостряется в школе, когда поисковая и познавательная активность мальчиков ограничивается действующими дисциплинарными правилами и нормами поведения («хочу, а нельзя», «надо, а не хочу»). Это подталкивает мальчиков к более раннему нормативному экспериментированию, выработке собственных внутренних правил поведения и взаимоотношения с окружающими. К подростковому возрасту это приводит их к обращению с нормой не как с запретом, а как с регулятором отношений.

Для девочек требования, предъявляемые в семье, не являются изначально противоречивыми, и они легко переходят во внешнюю, формальную нормативность, предлагаемую школой. Школьные нормы дают четкие инструкции, касающиеся правильного поведения, и обеспечивают девочкам избегание наказаний. Впервые девочки сталкиваются с противоречивыми нормативными требованиями в период полового созрева-

ния, когда требования родителей и школы («быть примерной, послушной, дисциплинированной ученицей») сталкиваются с оценками группы сверстников («важна женственность, красота и стильность», «модная девчонка», «хорошая учеба не главное, главное быть своей в компании»). В результате часть девочек к концу школы переходит к выработке собственных норм путем нормативного экспериментирования, а другая часть либо пытается игнорировать существующие нормативные противоречия, либо явно противопоставляет себя вновь появившимся требованиям.

Эти половые особенности в овладении социальными нормами во многом объясняют тот факт, что к концу школы большинство мальчиков начинают вести себя и учиться значительно лучше, а у части девочек наблюдается падение успеваемости, резкое изменение стиля поведения. Поэтому важна дополнительная работа учителя с «благополучными» девочками младшего подросткового возраста, направленная на осознание наличия различных социальных норм и конструктивное их освоение. Также дополнительные усилия необходимо прилагать для развития у девочек самостоятельности, критичности; стимулировать поиск собственных (не по образцу) способов действий в учебной работе и поведении.

Последнее связано с тем, что у мальчиков и девочек по-разному развито мышление. Установлено, что мужчины лучше выполняют поисковую деятельность, выдвигают новые идеи. Женщины обычно лучше выполняют задачи уже не новые, типовые, шаблонные, но когда требования к тщательности, проработке деталей, исполнительской части велики. А это именно тот вид работы, который достаточно часто требуется в школе. Этот факт нашел подтверждение в исследованиях Пиаже, Инельдер и Лоусона. Они показали, что при решении задач, требующих формально-логического мышления и активного манипулирования материалом, мальчики оказались гораздо успешнее девочек, так как свободно совершали действия с предложенным материалом, тогда как девочки предпочитали обращаться за помощью к экспериментатору. При решении же письменных задач, требующих только бумаги и карандаша, разница в успешности решения между мальчиками и девочками оказалась невелика. Ориентируясь на воспроизведение образца, девочки в целом реже спорят с учителем, пытаясь доказать свою точку зрения, реже высказывают взгляды, отличные от общепринятых.

У девочек лучше развита речевая активность, они могут решать речевым способом даже неречевые, по сути, задачи.

У мальчиков же лучше развиты видеопространственные умения, у них раньше, чем у девочек (к 6 годам), возникает специализация правого полушария в отношении пространственных функций. Это можно почувствовать при преподавании математики в старших классах школы. Девочки в основном легче справляются с алгеброй (счет, манипуляции с числами и формулами), а мальчики с геометрией (мысленные манипуляции с геометрическими фигурами и телами).

По биологическому возрасту девочки обычно старше ровесников-мальчиков на 1—1,5 года. Это отражается как в их физическом доминировании, так и в учебном и социальном лидерстве в школе в младшем подростковом возрасте. В это время педагоги начинают особо подчеркивать необходимость особого отношения к женщинам как слабому полу, что субъективно абсолютно непонятно мальчикам, находящимся в подчиненном, «слабом» положении. Они меньше девочек по росту, менее успешны в учебе, менее активны в общественных делах.

Феминизация школы привела к ряду негативных последствий. Во-первых, усилилась маскулинизация девочек и феминизация мальчиков. Во-вторых, увеличилось количество асоциальных, неадекватных форм поведения у подростков, как агрессивных, так и депрессивных. В-третьих, значительно обострилась проблема одиночества в молодом возрасте и нестабильность супружеских отношений. Поэтому учет половых особенностей в процессе обучения является особо актуальным.

В связи с этим учителям можно дать несколько общих рекомендаций.

• Девочки эмоционально реагируют на все оценки. Для девочек эмоционально значимо, кто их оценивает и каким образом, поэтому необходимо сопровождение оценки словесным объяснением, озвучиванием своего мнения. Мальчики же реагируют избирательно и только на значимые для них оценки. Для них важно, что оценивают в их деятельности, поэтому для них необходимо более четко проговаривать критерии оценки.

• Девочек надо постепенно учить действовать самостоятельно, а не только по заранее известным схемам, подталкивая к поиску собственных решений в различных ситуациях.

• Мальчики стремятся к самоутверждению деятельностного типа: к достижениям, независимости, свободе выбора. Самоопределение девочек строится вокруг межличностных отношений и установления эмоционального взаимопонимания.

• Для мальчиков гораздо важнее, чем для девочек, момент поиска, требование что-то сообразить, придумать. Поэтому для них необходимо не столько рассказывать и показывать, сколько подталкивать к самостоятельному открытию принципа решения.

• Для мальчиков необходимо думать о создании дополнительных социально-приемлемых возможностей для проявления мужских качеств в пространстве школы, связанных с соревновательностью, проявлением силы, выполнением традиционно мужской работы. Позитивную роль здесь может сыграть наличие примера учителя-мужчины.

• Мальчиков, в отличие от девочек, нельзя ругать долго и обстоятельно, они не могут продолжительно выдерживать эмоциональное напряжение и отключают слуховой канал восприятия.

• Самое главное для учителя, особенно если учитель — женщина, осознавать наличие половых различий и существование определенных установок по отношению к ученикам-мальчикам и ученицам-девочкам.

Ключевая информация

Каждый возраст характеризуется: 1) социальной ситуацией развития; 2) ведущим типом деятельности; 3) основными психическими преобразованиями.

Младший подростковый возраст (11—14(15) лет) характеризуется переходом учащихся в среднюю школу, для младших подростков ведущей деятельностью является интимно-личностное общение со сверстниками, а основными психическими новообразованиями — «чувство взрослости», переход на стадию формально-логического мышления.

Старший школьный возраст (14(15)—17 лет) характеризуется социальной ситуацией выбора будущей профессии и подготовки к профессиональной деятельности, для старших подростков ведущей является учебно-профессиональная деятельность, а основные психические новообразования лежат в сфере становления идентичности, формирования потребности в самоутверждении, появлении интереса не только к результатам, но и к процессу познания.

Стереотипы маскулинности и фемининности носят выраженный социокультурный характер. Условия половой социализации являются более жесткими для мальчиков, чем для девочек.

Рекомендуемая литература

1. Алешина Ю. Е., Волович А. С. Проблемы усвоения ролей мужчины и женщины // Вопросы психологии. — 1991. — №4.

2. Давыдов В. В., Маркова А. К. Развитие мышления в школьном возрасте // Возрастная и педагогическая психология: Тексты. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.

3. Еремеева В. Д., Хризман Т. П. Мальчики и девочки — два разных мира. — СПб.: Тускарора, 1998.

4. Зимняя И. А. Педагогическая психология. — Ростов н/Д.: Феникс, 1997.

5. Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения / Пер.с нем.; Под ред. И. В. Равич-Щербо. — М.: Педагогика, 1987.

6. Кле М. Психология подростка. — М.: Педагогика, 1991.

7. Краковский А. П. О подростках. — М.: Педагогика, 1970.

8. Регуш Л. А. Проблемы подростков. Санкт-Петербург, 90-е годы // Наш проблемный подросток. — СПб.: Союз, 1998.

9. Рыбалко Е. Ф. Возрастная и дифференциальная психология. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1990.

10. Хасан Б. И., Тюменева Ю. А. Особенности присвоения социальных норм детьми разного пола // Вопросы психологии. — 1997. — № 3.

11. Цукерман Г. А. Десяти-двенадцатилетние школьники: «ничья земля» в возрастной психологии // Вопросы психологии. — 1998. — № 3.

12. Эльконин Д. Б. Природа детства и его периодизация // Избранные психологические труды. — М.: РАН, 1989.

Лекция 6

Процесс обучения математике как система

В математике всего важнее способ преподавания.

Н. И. Лобачевский

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Как расположены друг относительно друга две вертикальные прямые линии?

2. Если процесс обучения математике рассматривать как систему, то какие ее компоненты вы бы выделили?

3. Урок математики в 5 классе. Изучается тема «Пересечение фигур». После введения понятия пересечения как общей части (одних и тех же элементов) фигур учащимся предлагаются различные задания. В одном из заданий при рассмотрении рис. 9 некоторые учащиеся утверждают, что пересечение треугольника, круга и квадрата не пусто. Такой же ответ они получают в аналогичных задачах и после разбора ошибки. Почему?

4. Каковы, на ваш взгляд, основные цели обучения математике в настоящее время?

6.1. Целостный подход к процессу обучения математике

Основными тенденциями развития современной системы образования являются ее гуманизация и направленность на развитие ребенка. Понятие развития в современной науке связано с понятием системы: все системы находятся в развитии и развития вне системы не может быть. В рамках общей теории систем раскрывается и методология целостного подхода. Ключевыми понятиями этой теории, используемыми чаще всего при системных исследованиях, являются понятия системы, элемента системы, структуры, связи. Понятие системы отражает объективно существующие объекты и процессы реального мира, которые, с одной стороны, состоят из элементов, с другой — представляют собой целостные образования и находятся в динамичных связях. Структура характеризует способ организации элементов в системе, зависит от роли и значения каждого элемента в системе и от системы в целом. Связи определяют функционирование системы как единого целого по отношению к другим системам. Связи бывают генетическими или причинно-следственными и обеспечивают функционирование или управление системой. Понятие системы отражает динамику изучаемого объекта, структура — его статику [8].

В рамках системного подхода изучаемые объекты рассматриваются под углом зрения их многомерности и иерархии. Целостный объект вместе с другими рассматривается как элемент целого более высокого порядка. Учитель же, организуя процесс обучения математике, осознанно учитывает содержание определенного учебного предмета и, исходя из опыта, ориентируется на общий уровень математического развития класса. В результате такого (традиционного) обучения ребенок имеет отдельные разрозненные сведения по различным школьным

Рис. 9

предметам (приоритет аналитической направленности обучения в школе), собственные же стратегии усвоения информации, собственные житейские понятия и представления ученика целенаправленно в процессе обучения не учитываются и не используются. В математике в силу специфики предмета приоритет аналитического подхода сказывается даже на восприятии естественнонаучных понятий, например вертикальных прямых. Учителям математики, студентам математических факультетов было предложено ответить на вопрос: «Как расположены друг относительно друга две вертикальные прямые?» При этом было уточнено, как понимается вертикальная прямая (ее моделью является свободно висящая нить с привязанным на конце грузом). Почти во всех ответах такие прямые назывались параллельными или совпадающими. Но изображение Земли с центром и напоминание о причине такого расположения нити приводит отвечающих к другому ответу: «Вертикальные прямые линии направлены к центру Земли и непараллельны». Данный пример показывает наличие не только не совпадающих, но даже противоречащих представлений об одном и том же понятии в разных школьных предметах.

Следовательно, целесообразнее изначально рассмотреть наиболее широкое понимание вертикальности так, как оно трактуется в естествознании. Далее в беседе подчеркнуть условия рассмотрения вертикальных прямых на уроках математики: в небольшом ограниченном пространстве, где размеры малы по сравнению с размерами в масштабе Земли, можно пренебречь непараллельностью вертикальных прямых в этой ситуации. Такая организация, а именно наиболее целостный взгляд на понятие, поможет ребенку не только создавать целостную картину мира, но и показывать необходимость других (неевклидовых) геометрий.

Реализация основных тенденций развития образовательной системы требует понимания того, что процесс обучения представляет систему, которая:

• включает не только содержательную и организационную (технологическую) составляющие, но и психологическую;

• является подсистемой других систем, в частности подсистемой социальной системы;

• является открытой саморазвивающейся системой.

Таким образом, процесс обучения характеризуется множественностью связей, а учет их может быть организован на основе целостного подхода к процессу обучения.

В общем виде целостный подход к процессу обучения математике предполагает ряд условий.

Во-первых, знакомство с теми концептуальными пространствами, в которых «работают» различные науки и которые своеобразно проецируются в учебных предметах; при этом должна обеспечиваться взаимосвязь этих пространств между собой, а также с реальным и перцептивным пространствами.

Во-вторых, необходимо рассмотреть ученика как субъекта, имеющего богатый опыт познания окружающего пространства еще до специально организованного обучения, и как целостную систему, а также учесть, что в основе его психического развития лежит интеграция биологического и социального в структуре личности. Способы освоения перцептивного пространства связаны с активизацией биологической и социальной составляющих в структуре личности, являются частью опыта жизнедеятельности ребенка, который психологи определяют как субъектный [9].

В-третьих, становление системы знаний должно быть согласовано с возрастным развитием определенных психических структур, что позволит обеспечить активную позицию ученика в обучении.

В-четвертых, содержание учебного материала и его структурирование должны обеспечивать единую линию (с точки зрения достижения основной развивающей цели и реализации закона «восхождения от абстрактного к конкретному» в познании) в построении учебного курса, что будет способствовать восприятию учащимися целостной математической составляющей картины мира.

Процесс обучения в рамках современной системы образования можно представить схематически (рис. 10). На рисунке простые стрелки обозначают внутренние связи, двойные — внешние.

Связь процесса обучения с социальной системой осуществляется через определенную методологию, включающую создание условий для обучения математике, ориентированных на развитие личности. И экономическая, и политическая системы государства оказывают влияние на процесс обучения. Так, например, в 50-е гг. XX в. повысилось внимание к логической составляющей в преподавании геометрии, И. В. Сталиным было дано указание об усилении логической стороны преподавания геометрии. Это проявилось в ослаблении наглядной и практической деятельности в обучении, а значит, снижении уровня развития пространственных представлений учащихся. В конечном итоге ухудшилось усвоение стереометрии.

Таким образом, социальная система через цели обучения ученика как субъекта, учителя как организатора передачи об-

Рис. 10

щественно-исторического опыта в области математики и носителя собственного субъектного опыта влияет на процесс обучения математике.

Понятие «обучение математике» трактуется как обучение теории и как обучение математической деятельности. В современной системе образования превалирует последняя трактовка, которая опирается на основное положение психологии: обучение и развитие ученика происходит в процессе целенаправленной учебной деятельности, причем развивающие цели считаются приоритетными по отношению к информативным. В традиционной же системе обучения математике основной задачей является усвоение знаний, умений и навыков. Это различие нашло отражение в предложенной выше схеме процесса обучения (см. рис. 10). Именно психологические составляющие процесса обучения, представленные в средних блоках схемы, не учитывались в традиционной системе. В 70-е гг. XX в. А. М. Пышкало было введено понятие «методической системы обучения математике», которая включает такие компоненты, как цели, принципы, содержание, методы, формы и средства. Необходимость психологических блоков выявляется при рассмотрении связи между процессами развития и приобретения знаний. Учащиеся усваивают не знания, у них развиваются целостные психические структу-

ры, формируемые на учебном материале и включающие определенный опыт, который, в свою очередь, также структурно организован. Связывание новой информации с субъектным опытом ребенка и обеспечивает ее понимание. Предложенную в третьем вопросе для предварительного обсуждения ситуацию неправильно отвечающий ученик объясняет так: «Ведь круг пересекает и треугольник, и квадрат. Как же может быть пересечение пусто». В опыте ребенка такая ситуация не связана со словами, что пересечения нет. Учет субъектного опыта ребенка касается не только содержательного аспекта, но и процессуального, связанного с собственными способами восприятия и переработки информации.

Отторжение собственных стратегий учащихся постепенно приводит их к мысли об оторванности математики от реальной жизни. Учащиеся неосознанно делают вывод о том, что на уроках математики действуют другие законы, правила, способы, чем в реальной жизни. В результате в процессе математической деятельности у учащихся не проявляется критичность мышления.

Приобретение знаний является активным психическим процессом. Каждый человек выстраивает расширяющиеся структуры знаний, которые связывают новые идеи с уже известными, поэтому знание всегда личностно и в некотором роде уникально. Эти структуры, конечно, невидимы, но их наличие отражается в субъектном опыте ученика, который можно выявить. Они — личное внутреннее представление природы мира.

Подобные характеристики имеют свои особенности:

• являются средствами познания — внутренними умственными психологическими формами, сквозь которые человек смотрит на мир и на себя; включают знания, способы их получения, описания и хранения в долговременной памяти знаний, понимаемых в широком смысле (образы, события, слова, законы и т. д.) [7];

• являются обобщенно-абстрактными продуктами умственной переработки воспринятого; в них отражены инвариантные характеристики мира, отношений, внутренних состояний и субъектно-субъектных отношений;

• формируются в определенные (сензитивные) периоды;

• выступают как субстрат субъектного опыта ученика в широком смысле (знания, умения, способы усвоения, переработки материала, мировоззрение, эмоциональная сфера и т. д.).

Выбор психических структур определяется спецификой материала, на котором они формируются. Материал, который

отражает общественно-исторический опыт человечества в области математики, подается учителем сквозь призму его субъектного опыта. Возникает встреча двух видов опыта. Противоречия между сложившимся личностным (субъектным) опытом ребенка и приобретаемым общественно-историческим являются движущей силой развития психической структуры. Эти противоречия можно рассматривать как движущую силу умственного развития. Их выявление влияет, в свою очередь, на опыт учителя, а значит, и на вводимый им учебный материал математики, преобразуя его в соответствующее содержание.

Именно психологические составляющие процесса обучения, представленные в средних блоках схемы, не учитывались в традиционной системе обучения математике. Введенное А. М. Пышкало понятие методической системы обучения математике можно рассматривать как подсистему выделенной выше системы.

6.2. Цели обучения математике

Можно выделить две группы целей обучения математике, отражающие направленность современной системы образования: мировоззренческие и развивающие. Конечно, такое деление относительно.

Мировоззренческие цели определяют отношение и место математики в реальном мире. Так, например, Аристотель рассматривал математические объекты как абстракции от реальности. А Платон, считая идеи существующими самостоятельно, рассматривал объекты математики первичными по отношению к материальной реальности.

Мировоззренческие цели направлены на создание условий для формирования ребенком математической составляющей целостной картины мира, понимание математических зависимостей, овладение математическим языком, организацию математических моделей реального мира. Мировоззренческие цели, в свою очередь, условно можно разделить на информативные, практические, воспитательные.

Информативные цели связаны с усвоением учащимися общественно-исторического опыта в области математики, в том числе математических идей и методов.

Практические цели связаны с овладением учащимися методом математического моделирования, умениями применять полученные знания для решения задач в жизненной практике, других учебных предметах, технике и пользоваться математическими инструментами, таблицами, схемами и т. д.

Воспитательные цели направлены на создание условий для развития устойчивого интереса к познанию, к изучению математики и таких качеств личности, как воля, настойчивость, инициатива, самостоятельность и активность, а также на способности к эстетическому восприятию явлений действительности в математическом аспекте, к самостоятельному творчеству; общей культуры, в том числе коммуникативной (ведь межличностными отношениями пронизана вся учебная деятельность); ответственного отношения к окружающей среде.

Как было сказано ранее, основной особенностью современной системы образования является его гуманизация и в связи с этим установление приоритета развивающей функции обучения по отношению к информативной. Развивающие цели определяют возможности математики как учебного предмета в развитии качеств мышления человека.

Определяя развивающие цели обучения, необходимо учитывать:

• сензитивные периоды развития определенных качеств или компонентов мышления;

• специфику материала, на котором организуется развитие;

• учебные предметы, которые также способствуют развитию выделенных качеств или компонентов мышления (как учесть их содержание, установить связи с ними).

Обучение математике способствует развитию различных видов мышления:

• понятийного — в форме понятий, в которых отражены существенные отношения вещей и явлений;

• логического — в форме понятий, опирающихся на законы и правила логики;

• операционного — с помощью явно выраженных и осознанных операций мышления;

• пространственного — направленного на создание и оперирование пространственными образами.

Математика может способствовать и развитию алгоритмического, системного, критического мышления учащихся.

6.3. Субъектный опыт учащихся в обучении математике

При обучении математике должны учитываться как особенности материала, так и специфика мыслительной деятельности, определяемая этим содержанием и субъектным опытом учащегося.

Например, при изучении геометрии в школе специфика мыслительной деятельности состоит в постоянном обращении к образам, необходимости их создания и оперирования ими. Поэтому в качестве субстрата (психической основы) развития личности ученика при изучении геометрического материала целесообразен выбор такой психической структуры, как перцепт — понятие (образ восприятия), которая является базой становления системы знаний ученика.

Выделение целостной психической основы развития определяет иной подход к процессу формирования и усвоения знаний — умений—навыков учащихся (ЗУН). Он включается в процесс развития этой целостной структуры при изучении учебного материала предмета математики и подчиняется законам диалектической логики, в частности методу диалектической логики «восхождения от абстрактного к конкретному». Познание объекта является сложным диалектическим процессом, в ходе которого постоянно происходит диалектическое превращение конкретного в абстрактное, абстрактного в конкретное. Конкретное мышление — это синоним целостного многостороннего рассмотрения предмета. Его развитие должно стать задачей обучения, что будет способствовать целостному подходу учащихся к предмету познания. Становление всей системы знаний будет определяться развитием целостной простой основы определенной системы знаний (в широком смысле), которая дифференцируется в процессе обучения, превращаясь в голове ребенка во все более упорядоченную психическую структуру.

Развитие структуры обеспечивает становление системы знаний и развитие ученика, влечет преобразование субъектного опыта ребенка, который вновь, но на новой ступени познания, интегрируется с общественно-историческим.

Эффективность интеграции личностного и общественно-исторического опыта, включение последнего в личностный опыт ребенка, переструктурирование опыта, его сохранение определяются включением в эту деятельность самого ребенка, общим уровнем его психического развития, эмоциональной значимостью учебного материала. Место субъектного опыта в развитии ребенка определяет его значимость в этом процессе и необходимость его учета при построении личностно-ориентированных учебных курсов. Инициирование субъектного опыта ученика должно быть главной проектируемой характеристикой личностно-ориентированной программы [9, с. 65].

Субъектный опыт психологи определяют как опыт жизнедеятельности отдельного человека, приобретаемый и

реализуемый в ходе познания окружающего мира, в общении, в различных видах деятельности. В нем представлены как результаты целенаправленного обучения, так и взаимодействия с окружающим миром.

Содержание субъектного опыта составляют:

• предметы, представления, понятия;

• операции, приемы, правила выполнения действий (умственных и практических);

• эмоциональные коды (личностные смыслы, ценности, установки).

Все эти составляющие взаимосвязаны. Структура субъектного опыта определяется соотношением входящих в него элементов, их иерархией. Научная информация дается через содержание учебного материала. При усвоении материала ученик «пропускает» его через свой субъектный опыт и превращает в индивидуальные знания. Иного пути формирования знания нет [9]. Но и учитель, сообщая научную информацию, выражает свое отношение к ее содержанию, использует свой субъектный опыт. В процессе обучения должны быть учтены особенности субъектного опыта каждого из его участников. Основная функция школы состоит не в нивелировании, «оттормаживании» опыта ребенка как несущественного, а наоборот, в максимальном его выявлении, использовании, «окультуривании» путем обогащения результатами общественно-исторического опыта [9].

Так, например, греческий философ Симонид, как-то сидя в гостях, был вызван из-за стола. В это время произошел подземный толчок. Все гости были погребены под руинами. Когда их отрыли, никого нельзя было опознать. Симонид же точно определил каждого. Почему? Он запомнил, где кто сидел. Фактически он использовал такой способ сохранения информации, как «привязывание» к месту. Известный оратор Марк Туллий Цицерон, готовясь к выступлению, ходил по комнатам. Когда ему приходила какая-то идея, он поднимал глаза и запоминал интерьер места, где находился. При выступлении в сенате он мысленно ходил по комнатам и снимал «развешенные» идеи. А Наполеон «раскладывал» и «вынимал» свои идеи из ящиков. Разные люди могут иметь различные способы сохранения информации, которые входят в субъектный опыт человека.

При усвоении знания не передаются ученику, а формируются у него, причем при целенаправленной активной деятельности последнего, при изъявлении им своего желания и воли. Человек сам, опираясь на законы субъективной диалектики,

генерирует познавательные структуры (что предполагает творчество, работу продуктивного воображения и акты свободного выбора, оценку и самовыражение) и в ходе практической деятельности проверяет меру их соответствия объективной действительности [7].

Ключевая информация

Процесс обучения математике как система включает в себя содержательную, организационную (технологическую) и психологическую составляющие. Он является подсистемой социальной системы и характеризуется множественностью связей, учет которых может быть организован на основе целостного подхода к процессу обучения.

Цели обучения математике делятся на две группы целей: мировоззренческие (информативные, практические, воспитательные) и развивающие (возможности математики как учебного предмета в развитии качеств мышления человека).

Субъектный опыт характеризуется как опыт жизнедеятельности отдельного человека, приобретаемый и реализуемый в ходе познания окружающего мира, в общении, в различных видах деятельности. При организации усвоения учебного материала необходимо учитывать субъектный опыт учителя и учащегося.

Рекомендуемая литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Пер. с франц. М. А. Шаталовой. — М.: Сов. радио, 1970.

2. Слободчиков В. И., Исаев Е. И. Основы психологической антропологии. Психология человека: Введение в психологию субъективности. — М.: Школа-Пресс, 1995.

3. Стюарт Я. Концепции современной математики / Пер. с англ. — Минск: Выш. школа, 1980.

4. Сунгурова Л. П. Методология познания // Развивающее обучение. Вопросы методологии и технологии / Материалы ко Второй научно-методической конференции. — СПб.: Сударыня, 1998. — Вып. 2. — С. 30—36.

5. Тягло А. В. Становление научной концепции целостности. — Харьков: Выща школа, 1989.

6. Философия образования для XXI века: Сб. статей. — М.: Логос, 1992.

7. Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение: Психологические основы развивающего обучения. — М.: АО «Столетие», 1995.

8. Юдин Э. Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978.

9. Якиманская И. С. Разработка технологии личностно-ориентированного обучения // Вопросы психологии. — 1989. — № 6. — С. 3—29.

Лекция 7

Задачи в обучении математике

При решении задачи плохой план часто оказывается полезным; он может вести к лучшему плану.

Д. Пойа

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Продолжите высказывание Джорджа Пойа: «Что значит владение математикой? Это есть ...»

2. Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. За сколько дней он сможет пересечь пустыню?

3. Что такое субъектный опыт?

4. Прочитав текст задачи: «Переставить в данном равенстве 101 — 102 = 1 одну цифру так, чтобы получилось верное равенство», ученик предложил решение: 102 — 101 = 1. Верно ли оно? Почему он предложил такое решение?

5. Что означает термин «решение задачи» и что значит решить задачу?

7.1. Задачи: определение, структура, классификация

Д. Пойа, рассматривая роль задач в математике, писал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности» [7, с. 16].

Термин «задача» употребляется достаточно широко. Задачу понимают и как проблему, которую требуется решить, и как проблемную ситуацию. «Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые перед ним ставят люди, об-

стоятельства жизни, направляют всю его деятельность, его жизнь» [8]. С задачами человек сталкивается постоянно, как в жизни, так и при изучении разных предметов.

Математические задачи являются одной из главных составляющих содержания учебного предмета математики, который включает также и теоретический материал (понятия и их определения; алгоритмы; математические утверждения: аксиомы, теоремы, леммы и т. д.). Но и теоретический материал учащиеся усваивают в процессе решения задач. Поэтому решение задач является основной деятельностью при обучении математике. Особое место задач в обучении требует специального внимания к определению этого понятия.

Существуют разные подходы к определению задачи.

Наиболее общим является определение задачи как цели, заданной в определенных условиях (А. Н. Леонтьев). Л. Л. Гурова обращает главное внимание на объект мыслительных усилий человека, решающего задачу: «Задача — объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами» [2, с. 12]. Большое распространение получило понимание задачи как определенной системы (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Л. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов и др.). Г. А. Балл предлагает следующее определение: «Задача в самом общем виде — это система, обязательными компонентам которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи)» [1, с. 32]. Л. М. Фридман тесно связывает понятие задачи с понятием проблемной ситуации и считает, что «генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу — как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка» [8, с. 15].

При всем разнообразии подходов к определению задачи можно отметить те компоненты, которые выделяются в структуре задачи как объекте мыслительной деятельности:

• условие (У) — предметная область задачи (объекты) и отношения между объектами;

• обоснование (базис) (О) — теоретические или практические основы перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;

• решение (оператор) (Р) — та совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;

• заключение (3) — требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать и т. п.

Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ. В сложившейся практике обучения термин «решение задачи» применяется в трех различных случаях [8, с. 56]:

• решение задачи как план (способ, метод) осуществления требования задачи;

• решение задачи как процесс выполнения плана, выполнения требования;

• решение задачи как результат выполнения плана решения.

Процесс решения задачи носит субъективный характер и определяется различными факторами.

Задачи можно классифицировать по величине проблемности (в зависимости от того, какие компоненты УОРЗ неизвестны решающему [3]).

Стандартные задачи — известны все компоненты УОРЗ. Такие задачи часто используются на разных этапах усвоения теоретического материала. Например, учащимся предлагается после введения правила непосредственно применить его или после введения определения понятия проверить, относится ли некоторый объект к этому понятию (задачи «на распознавание»). Этот вид задач необходим, так как позволяет не только усвоить понятие, но и осуществить «обратную связь», оценить, как поняли учащиеся новый материал.

Обучающие задачи — неизвестен один компонент УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.

ПРИМЕРЫ

1) Дано квадратное уравнение: 3x2 + 2х — 7 = 0. Найдите его корни, используя формулу корней квадратного уравнения. (УОРх.)

2) Ученик нашел корни квадратного уравнения, используя теорему, обратную к теореме Виета. Как он это сделал? (УОхЗ.)

3) Ученик, разложив квадратное уравнение на множители, нашел корни. Какой математический факт положен в основу такого решения? (УхРЗ.)

4) Придумай квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 и -2, полученные с помощью формулы разности квадратов. (хОРЗ.)

Поисковые задачи — неизвестны два компонента УхуЗ, УОху, хОРу, хуРЗ, YxPy, хОуЗ.

ПРИМЕР

В кружке, где Аня изучает математику, занимается более 94% мальчиков. Какое наименьшее число школьников может быть в этом кружке? (УОху.)

Проблемные задачи — неизвестны три компонента Vxyz, xOyz, xyPz, xyzЗ.

ПРИМЕР

В точках A и В посреди океана находятся два корабля. Расстояние AB равно 50 км. Корабли одновременно начинают двигаться прямолинейно в произвольных направлениях с постоянными скоростям соответственно но 15 км/ч и 20 км/ч, пока не встречаются в точке С. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи?

Структура задачи определяет и уровень проблемности в деятельности, которая направлена на решение задачи: репродуктивная или алгоритмическая (воспроизведение изученного способа), продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других тем курса), творческая (использование эвристик).

Кроме деления по структуре и уровню проблемности, существуют и другие типологии математических задач. Задачи классифицируют :

• по математическому содержанию (У и З принадлежит определенному разделу математики): арифметические, алгебраические, геометрические, тригонометрические, комбинаторные и т. д.;

• по методу решения (представлен О и Р): практические, арифметические (на основе зависимостей между компонентами арифметических действий), алгебраические, графические (составление уравнений, неравенств и их систем), геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств), комбинированные;

• по характеру требований (представлен в 3): задачи на вычисление, доказательство, объяснение, преобразование, конструирование, построение и т. д.;

• по специфике языка: текстовые (условие представлено на естественном языке), сюжетные (присутствует фабула), абстрактные (предметные).

Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так, например, одну и ту же задачу, бывает, можно решить и арифметическим, и алгебраическим, и геометрическим методами. А отнесение задачи к тому или иному виду по степени проблемности во многом зависит от того, кто решает эту задачу. Несмотря на это, различные типо-

логии позволяют учителю более осознанно подходить к отбору задач в зависимости от целей обучения.

Важную роль в курсе математики играют сюжетные задачи. Фактически при их решении впервые реализуется одна из важных задач курса математики — обучение методу моделирования (моделирование в школьном курсе математики кратко можно охарактеризовать как описание реальных процессов на языке математики). Под сюжетными следует понимать задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений [9, с. 3].

К сюжетным задачам применимы типологии, рассмотренные выше. Кроме этого, выделяют типологию по сюжету (на движение, покупки, работу и т. д.). Среди сюжетных задач (необязательно математических) высокий уровень проблемности имеют задачи образного характера, которые можно отнести к эвристическим. Их решение требует целостного восприятия ситуации, описываемой в задаче, и опирается на образ. Поэтому в них очень трудно выделить данные (что дано в задаче) и обобщенный способ решения, что связано с субъективностью образа.

В школьном курсе математики порядок изучения задач устанавливается с учетом логики формирования математических понятий курса и сложности самих задач.

Сложность — объективная характеристика задачи, которая зависит от количества связей, характера связей, формулировки задачи (формулировка на естественном или искусственном языке, использование понятий и терминов из разных предметных областей), конструкции текста (логическая и грамматическая структура текста, например задачи, имеющие структуру √3, воспринимаются легче, чем текст, в котором заключение предваряет условие ЗУ, либо условие или заключение разнесены в тексте: УЗУ, ЗУЗ).

Решение задачи всегда предполагает встречу объекта (задачи) и субъекта («решателя»), поэтому процесс решения задачи включает и субъективный компонент, что выражается таким критерием, как трудность задачи.

Трудность — субъективная характеристика задачи, зависит от субъектного опыта ребенка, который включает: знания предметных областей, в том числе математические знания; учебные умения; интеллектуальные умения, связанные с качествами мышления, типологическими свойствами; жизненные представления, которые отражают то привычное, с чем

сталкивался ребенок в жизни. Именно поэтому в четвертом вопросе, из предваряющих лекцию, ребенок переставляет две цифры, используя по привычке слово «переставить» в смысле поменять местами. Он не обращает внимания, что в задаче требуется оперировать только одной цифрой, а значит, предполагалось использовать другое значение слова «переставить» — поставить на другое место.

7.2. Функции задач в обучении

Вопросу определения функций задач в обучении уделяется много внимания в методической литературе [3], [4], [5], [8]).

В педагогической практике принято разделять задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями [5].

Широкое распространение получило также деление задач по их роли в учебном процессе на задачи как средство и как цель обучения.

Задачи как средство обучения выполняют следующие функции:

• обучения математической деятельности;

• формирования знаний, умений и навыков;

• развития учащихся (качеств мышления);

• воспитания (через содержание, организацию деятельности, общение);

• обучения моделированию явлений действительности.

Если задача рассматривается как цель обучения, то предполагается, что учащийся в результате ее решения усваивает понятие задачи, ее структуру и компоненты; процесс решения, приемы работы с текстом задачи, способы решения отдельных видов задач, общие методы поиска решения.

Одна и та же задача в зависимости от ее роли в процессе обучения может выполнять различные функции. Кроме того, определяющим является место данной задачи среди набора или системы задач.

7.3. Процесс решения задачи

В процессе решения задачи выделяют четыре основных этапа работы.

1. Анализ текста задачи. Одна из трудностей анализа текста задачи состоит в том, что текст неодинаково воспринимается и понимается разными людьми. Необходимо учитывать, что существует несколько задач, созданных на основе это-

го текста: задача, которую имел в виду автор; задача, которую «перевел» для себя ребенок; задача, которую воспринял учитель. И совсем необязательно, что они совпадают. Многообразие субъективных задач определяется многозначностью слов и словосочетаний естественного языка, субъектным опытом ребенка, учителя. Фактически процесс решения задач должен начинаться с создания одной и той же задачи, корректировки субъектного опыта, привлекаемого к решению, обучению языку математики. Чем меньше ребенок, тем выше субъективность его индивидуального опыта в области математики, а значит, тем более значима работа с текстом. Цель этапа — выделить объективное содержание задачи, условие, заключение; создать краткую запись, чертеж, схему, если это требуется решающему.

2. Поиск решения задачи. Цель его — создание плана решения задачи, который может быть представлен в виде устного или письменного текста, а также в виде модели или поисковой схемы.

3. Реализация плана решения с обоснованием.

4. Проверка решения задачи и запись ответа. Проверку можно проводить по смыслу: существуют ли объекты с описанными и полученными свойствами; проверка правильности выполнения логических и математических операций и т. д. Кроме того, этот этап предполагает обобщение и систематизацию полученного опыта, рефлексию, осознание того, как и с помощью каких процедур была решена данная задача. В некоторых случаях проводится исследование задачи (другие методы и способы решения, единственность или не существование объекта).

Например, прочитав текст задачи: «Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4 см, а высота, проведенная к гипотенузе, — 2 см. Найти отрезки, на которые делит основание высоты гипотенузу», многие учащиеся тут же начинают вычислять гипотенузу, используя теорему Пифагора. Но такой треугольник не существует. Иногда и авторы задачников не учитывают возможность разных ответов к задаче, что опять определяется в первую очередь субъектным опытом. Например, в задаче: «На книжной полке стоит двухтомник. Пусть толщина страницы составляет 0,05 мм, а толщина обложки — 1 мм. В первом томе 320 страниц, а во втором — 400. Жучок прогрыз две книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какое расстояние он при этом прополз?» Автор задачи предполагает только один ответ, но находятся

учащиеся, которые получают и другие ответы, объясняя, что книги могут быть поставлены на полку разными способами.

Некоторые авторы считают, что задачи с многозначными, неопределенными ответами или несуществующими объектами не должны задаваться учащимся. Но все зависит от цели. Если необходимо, чтобы математические знания ребенок мог использовать в окружающем мире, то надо исходить из того, что в реальной жизни встречаются и задаются невероятные ситуации, которые и требуют критического (исследовательского) подхода.

Поэтому четвертый этап может быть в определенных случаях (существование, единственность объекта, описываемого в задаче) частично быть рассмотрен в начале второго этапа, что может помочь нахождению способа решения, особенно при решении геометрических задач. Следует также отметить, что в реальном процессе решения задачи все данные этапы переплетаются, и человек, решающий задачу, может многократно возвращаться к одному из предшествующих этапов.

Потребность в выполнении всех четырех этапов необходимо воспитывать у ребенка. Поэтому ответ на четвертый вопрос теста предполагает не только выполнение требования, поставленного в задаче, но и исследовательскую работу.

Ключевая информация

Существует несколько определений задачи: как цели, заданной в определенных условиях, как модели проблемной ситуации и как объекта мыслительной деятельности.

Основными компонентами структуры задачи являются условие, обоснование (базис), решение, заключение (УОРЗ).

Задачи классифицируются: по степени проблемности, по математическому содержанию, по методу решения, по характеру требований и по специфике языка.

Сложность (количество и характер связей, формулировка и конструкция текста) есть объективная характеристика задачи. Под трудностью понимают субъективную характеристику задачи, которая зависит от субъективного опыта ребенка.

Принято разделять функции задач в обучении (дидактические, познавательные, развивающие), как средства и как цели обучения.

Процесс решения задачи включает анализ текста, поиск решения, реализацию плана, проверку и запись ответа.

Рекомендуемая литература

1. Балл Г. А. Теория учебных задач. — М.: Педагогика, 1990.

2. Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. — Воронеж: Воронежский университет, 1976.

3. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Ч. I, П. — М.: Просвещение, 1977.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987.

5. Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. — 1971. — № 3. — С. 4—7.

6. Пойа Д. Как решать задачу / Пер. с англ. — М.: Учпедгиз, 1959.

7. Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970.

8. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М.: Педагогика, 1977.

9. Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. — М.: Школа-пресс, 2002.

Лекция 8

Математические понятия

Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию.

Я. А. Коменский

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Каковы мировоззренческие цели обучения математике?

2. Почему трудно объяснить инопланетянину, что такое стул, которого он никогда не видел, даже если вы говорите с ним на одном языке?

3. Как вы понимаете, что такое понятие?

4. Даны три истинных высказывания: любой грамотный человек изучал логику; любой, кто изучал логику, восхищается ею; Остап Бендер не изучал логику.

Есть два предполагаемых следствия из высказываний: а) Остап Бендер не восхищается логикой; б) Остап Бендер — неграмотный человек.

Какое из суждений следует из трех истинных высказываний: «а», «б» или оба?

5. Правильно ли выполнена классификация: все треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние?

8.1. Этапы познания. Общая характеристика понятия

Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Что же такое понятие? Понятие относится к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания. Рациональной ступенью мышления или ступенью абстрактного мышления называют процесс воспроизведения действительности в сознании человека с помощью языка, в отличие от чувственной ступени. Деление познания на ступени оправдано в историческом плане, и в каждом процессе познания началом его является чувственный опыт. Поэтому инопланетянину, не имеющему чувственного опыта «общения» со стульями, вряд ли легко будет отличить любой стул от не стула (второй вопрос предварительного обсуждения).

Мышление перерабатывает чувственные данные и создает объекты сугубо теоретического характера: абстрактные, идеализированные, идеальные и т. п. При этом наряду с областями реальной действительности возникают области идеальной действительности, которые изучают так называемые абстрактные науки, в частности математику и логику. Процесс познания на абстрактной ступени представляет волевую целенаправленную деятельность.

В рамках рационального познания выделяют два уровня познаний.

1. Уровень эмпирического познания. Происходит процесс мыслительной — языковой переработки чувственных данных на основе мыслительных операций сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации материала, полученного посредством активного наблюдения. В высказываниях фиксируются определенные связи, отношения между предметами. Создается эмпирический базис теорий. Для этой ступени характерно знание фактического характера. Именно отсутствие этого знания создает трудности в объяснении инопланетянину, что такое стул. Моделей стульев настолько много, что описать их все невозможно. А при любом предъявлении набора существенных свойств можно найти предмет, ко-

торый удовлетворяет всем этим свойствам, но не является стулом.

2. Уровень теоретического познания. Включается деятельность мышления как другого источника знания: происходит построение теорий, объясняющих наблюдаемые явления, открываются законы области деятельности, которая является предметом изучения. К основным приемам мыслительной деятельности на данном этапе относятся операции с понятиями и высказываниями: обобщение и ограничение, деление и классификация понятий, доказательство и опровержение высказываний, выводы одних высказываний из других — умозаключения. И хотя научное понятие рассматривается как форма теоретического мышления, в школе работают не только на уровне теоретического познания, на рациональной ступени мышления. Часто в процессе обучения учителю необходимо организовать ситуации, которые позволят учащимся приобрести необходимый чувственный опыт как основу понятия. Это объясняется тем, что в школе основная задача — не обучить наукам, а приблизить к ним, ввести в них, вызвать интерес, понимание необходимости их изучения.

Понятие является объектом рассмотрения различных наук, поэтому существуют различные его трактовки. «Нет ничего более запутанного, чем понятие о понятии».

В логике понятие рассматривается как форма абстрактного мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов или отдельного предмета [2, с. 102].

С точки зрения философии понятие — это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира.

В традиционном обучении понятие в основном рассматривается с позиций логики. При таком подходе неясно, как формируются понятия у человека, как они связаны с образами, накопленными у него, с его опытом. Поэтому построение процесса обучения в рамках личностно-ориентированного подхода с учетом естественного развития ребенка требует другого подхода к трактовке понятий. Ответы на поставленные выше вопросы дает психологическая трактовка, в которой понятие рассматривается как многоуровневая иерархически организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности [1]. Эта трактовка отражает генезис понятия у человека, поэтому именно ее использование целесообразно в педагогике, ориентированной на развитие личности ученика. Обобщение образов идет по пути выделения существенных свойств понятия.

Свойство — это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи.

Существенными свойствами понятия являются те, без которых понятие (объект для понятия) не существует. При их помощи выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества. В литературе встречается и термин «существенные признаки». Но слово «признак» в школьном курсе математики имеет другой смысл, поэтому следует употреблять слово «свойство». Иногда под существенными свойствами объекта для понятия понимаются такие, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а взятые в совокупности достаточны для отделения данного понятия от остальных. Но в этой трактовке термин «существенные» скорее характеризует определенный набор, а не отдельные свойства, поэтому в дальнейшем под существенными свойствами будем понимать первую трактовку. Например, можно выделить следующие существенные свойства ромба: «быть параллелограммом, являться четырехугольником, иметь равные все стороны, иметь равные противоположные углы; диагонали в точке пересечения делятся пополам, диагонали лежат на биссектрисах углов ромба и т. д.».

Конечно, таких свойств у объекта может быть достаточно много, поэтому часто обращаются к достаточному набору свойств. Достаточные свойства или, точнее, достаточный набор существенных свойств позволяют однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных. Так, например, для ромба достаточный набор свойств могут образовывать свойства: «быть параллелограммом и иметь все равные стороны». Другой достаточный набор: «быть параллелограммом и иметь диагонали, делящие углы ромба пополам». Таких наборов может быть несколько. Они образуют либо определение понятия, либо признаки.

Любое понятие характеризуется объемом и содержанием. Объем — множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии. Содержание — существенные свойства понятия. Основное содержание — достаточный набор свойств, т. е. все те свойства, каждое из которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличения данного понятия от остальных [3, с. 102].

На каждой новой ступени развития понятий возникают новые связи между понятиями. Так, сокращение содержания понятия С (C1 ⊃ C2) влечет за собой расширение его объема V (V1 ⊂ V2). Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то мно-

жество треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» — будет содержать множество всех равносторонних треугольников в качестве подмножества.

Расширение содержания понятия (C1 ⊂ C2) ведет к сужению его объема (V1 ⊃ V2) и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции — переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращение дробей. Рассмотрение отношений между выпуклыми четырехугольниками и окружностями привело к понятию вписанного в окружность четырехугольника. В результате в множестве выпуклых четырехугольников выделяется множество вписанных в окружность четырехугольников, которые характеризуются более сложным содержанием, но меньшим объемом по сравнению с множеством выпуклых четырехугольников.

Сформированность понятия характеризуется умением раскрыть все его существенные свойства в их (внутренних и внешних связях с другими понятиями) целостной совокупности, умением мыслить понятие в системе понятий. Например, рассмотрим следующую фразу: «Муха села на варенье». Обычно, слыша или произнося эту фразу, человек представляет живописную картинку. В понятиях же эту фразу можно трактовать следующим образом: «Элемент множества мух стал принадлежать множеству всех элементов, существенным свойством которых является сидеть на варенье».

Одним из основных действий изучения объекта и формирования понятия является действие определения.

8.2. Определение понятия. Типы определений. Требования к определениям

Определение (дефиниция) понятия — логическая операция, раскрывающая основное содержание понятия или значение термина. Способы раскрытия основного содержания задают типы определений (рис. 11).

Рис. 11

В школьном курсе математики в 1—4 классах и частично в 5—6 классах чаще используются остенсивные определения понятий и описательные, которые описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств. Так, учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольника (остенсивное определение). Иногда встречаются и явные определения, например определение квадрата как прямоугольника с равными сторонами.

В средней школе преобладают вербальные определения, часто встречаются явные определения. Реже встречаются неявные описательные определения, например понятие непрерывной функции, или аксиоматические, которые задают понятия через выполнение определенных свойств, описанных в аксиомах. В курсе геометрии таковыми понятиями являются понятия точки, прямой, длины, площади.

В явном определении даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны. К их числу относится самый распространенный способ определения через род и видовые отличия. Как же связаны род и вид?

Множество всех объектов, к которому применимо данное понятие, составляет класс. Один класс является высшим (родом) по отношению к другому (виду), если он включает в себя вместе со всеми элементами данного класса элементы другого класса. Отношение рода и вида — одно из основных отношений между понятиями. Оно задает наиболее распространенный тип определений. Находясь в известных отношениях друг с другом, понятия составляют систему. Один и тот же раздел школьного курса математики можно описать с помощью различных систем понятий.

С точки зрения логики определение через род и видовые отличия является высказыванием, логическая форма которого является эквиваленцией. Структура включает такие элементы, как термин — род — видовое(ые) отличие(я) и логические связи. Способ выделения видовых отличий определяет вид определения: через описание характеристических свойств, конструктивные или генетические (задан способ построения или происхождения объекта), рекурсивные (указываются базисные объекты некоторого множества и правила, позволяющие получить новые объекты этого же множества), отрицательные (объект задается через отсутствие у него определенных свойств).

Связи между родом и видовыми отличиями всегда конъюнктивные. Связи между видовыми отличиями могут быть конъюнктивными или дизъюнктивными.

С учетом типа логической связи видовых отличий выделяют конъюнктивные и дизъюнктивные определения.

Выполнение логического анализа определения понятия предполагает определение его вида, а для определения через род и видовые отличия — запись его структуры.

Раскрытие математического содержания каждого элемента называют математическим анализом определения. Обе эти операции носят название логико-математического анализа определения.

Для примера можно рассмотреть определение квадрата.

ПРИМЕР

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Его структура может быть представлена следующим образом:

Логический анализ

Математический анализ

Квадрат

Множество прямоугольников

Все стороны равны

Термин

Род

Видовые отличия

Подробно эта запись может быть прочитана:

Объект x является квадратом (имеет свойство «быть квадратом») тогда и только тогда, когда х принадлежит множеству прямоугольников и обладает свойством «все стороны равны».

В школьном курсе встречаются определения с сочетанием слов, например медиана треугольника, биссектриса угла треугольника и т. д., а также словами, выражающими связи или отношения между объектами (смежные углы, параллельные прямые и т. п.). В этом случае определение рассматривается на множестве пар, троек. В частности, для медианы треугольника множество M — это множество пар отрезков и треугольников, структуру его можно записать А(х, у) ⇔ ∀ (х, у) ∈ М ∧ В(х, у) ∧ С(х, у). Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой стороны, противоположной этой вершине, и эта точка является серединой стороны. Выделенные свойства позволяют записать это определение в виде алгоритма. Медиана треугольника: 1) отрезок в треугольнике; 2) соединяет вершину с точкой, противоположной вершине стороны; 3) точка — середина стороны.

Такая запись облегчает учащимся усвоение определения и показывает свойства, которые необходимо проверить у объекта, чтобы отнести его к некоторому понятию.

Для других видов определений логико-математический анализ явно не выполняется. Устанавливается вид определения, для аксиоматического определения выделяются аксиомы, описывающие неопределяемые понятия, связи с уже изученными темами. Это позволяет определить знания, которые необходимо актуализировать.

Для явных определений существуют формально-логические требования их корректности.

Во-первых, определение должно быть соразмерным, что предполагает равенство объемов определяемого и определяющего понятий. Иначе может быть допущена логическая ошибка. Существует притча, что как-то Платон на лекции в Академии привел пример определения: «Человек — это двуногое существо без перьев». Тогда Диоген принес ощипанного петуха. Платон уточнил определение: «Человек — это двуногое существо без перьев с широкими ногтями».

Во-вторых, определение не должно содержать круга. «Прямой угол — это угол, содержащий 90°», «Градус — это величина угла, составляющего 1/90 часть прямого угла».

В-третьих, определение должно быть четким и ясным, раскрывающим определенный набор свойств понятия. Утверждение, что «лень — мать всех пороков», конечно, поучительно, но не определяет понятие лени.

В-четвертых, целесообразно определять объект через ближайший род.

Полезно также выделить еще одно требование, которое заключается в показе целесообразности введения понятия. Определяя понятие, необходимо приводить примеры объектов, ему не удовлетворяющих, и показать, что определение не является бессодержательным. В школьном курсе встречаются ситуации, когда после определения доказывается теорема существования.

В процессе обучения необходимо учитывать еще и методологические требования: определение понятия формулировать после всестороннего изучения предмета; изучать предмет не в статике, а в развитии; учитывать критерий практики и принцип конкретности истины [7].

8.3. Классификация понятий

Объем понятия раскрывается путем классификации. Классификация — систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления.

Операция деления — логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся. Основанием деления является свойство, в соответствии с которым выделяются виды. В вышеприведенном примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе».

При осуществлении классификации важен выбор основания: разные основания дают разные классификации. Так, например, выбрав в качестве основания количество равных сторон, все параллелограммы можно разделить на ромбы и параллелограммы, имеющие неравные смежные стороны; а такое основание, как наличие прямого угла, позволяет разделить все параллелограммы на прямоугольники и параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками.

Классификация может производиться по существенным свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная, к какой группе принадлежит элемент, мы можем судить о его свойствах. Так, Д. И. Менделеев, расположив химические элементы в зависимости от их атомного веса, раскрыл закономерности в их свойствах и создал периодическую систему, позволяющую предсказывать свойства еще неоткрытых химических элементов.

Рассматривают два вида деления:

• деление по видоизменению признака — это деление, при котором свойство — основание деления присуще объектам выделенных видов в разной степени (например, в зависимости от количества какого-либо вещества в растворах их делят на растворы разной концентрации);

• дихотомическое деление — это деление, при котором данное понятие делится на два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства.

Например, классификацию треугольников можно выполнить по двум основаниям: величине одного угла (при условии, что остальные острые) и равенству двух сторон. Первое деление — деление по видоизменению свойства, второе — дихотомическое. В результате все треугольники будут сначала разбиты на остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой), тупоугольные (один угол тупой), а затем каждое из полученных множеств будет разделено на два подмножества. Будет получено шесть классов: остроугольные разносторонние, остроугольные равнобедренные, прямоугольные

разносторонние, прямоугольные равнобедренные, тупоугольные разносторонние, тупоугольные равнобедренные.

Великий физик Л. Ландау как-то предложил следующее деление зануд. Всех зануд он разделил на гнусов (грубияны, скандалисты, драчуны), моралинок (выделяют особый продукт моралин, читают всем нравоучения), постишек (всем недовольны и «носят» постные лица), обидчивых (постоянно на кого-то в обиде).

Операция деления подчиняется следующим правилам:

• деление должно быть соразмерным, т. е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия);

• деление должно проводиться только по одному основанию;

• пересечение классов должно быть пусто;

• деление должно быть непрерывным.

Например, нельзя делить, как иногда делают в школе при изучении русского языка, члены предложения на подлежащее, сказуемое и второстепенные члены. Сначала необходимо выделить главные и второстепенные члены предложения, а затем уже делить каждый вид.

8.4. Процесс становления понятия.

Основные этапы работы с понятием

Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ — создается в отсутствие наглядной основы); предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ-понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория).

Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики.

Предпонятие Л. С. Выготский рассматривал как не достигший высшей ступени своего развития концепт, находящийся в простом и непосредственном отношении к объекту и не включенный в систему вышестоящего понятия [2, с. 272]. В 30-е гг. прошлого века термин «предпонятие» широко использовался в психологии. Но с исчезновением педологии к нему перестали обращаться, а в методике обучения математике он практически не использовался в силу параллельности

развития психологии и практики обучения. Хотя предпонятие представляет значимый этап в становлении понятия. Понимание значения термина «предпонятие» важно в силу его приоритета в школьном возрасте. В методике обучения математике часто не отличают предпонятие от понятия (научного), говоря на всех этапах обучения о формировании понятий. Необходимость постоянного обращения к этим терминам в методике обучения математике требует уточнения этих понятий.

Предпонятие (обобщенное представление) есть необходимое звено, смыкающее первосигнальную систему и второсигнальную. Они являются переходной ступенью от мышления в образах к мышлению в понятиях. Для понимания процесса развития познания немаловажное значение имеет его разграничение на живое созерцание и мышление (эмпирическое и теоретическое). Поэтому предпонятие еще называют эмпирическим понятием. Переходный характер пред понятия подтверждает и отнесенность предпонятия в психологической литературе как к разделу, посвященному образам и представлениям, так и к разделу описания понятий [2]. В психологическом словаре под ред. В. П. Зинченко и Б. Г. Мещерякова (М.: Педагогика-Пресс, 1997) при раскрытии термина понятия описывается и характеристика эмпирического понятия как фиксирующего «нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса на основе сравнения», что является свойством обобщенного представления — предпонятия и указывает на его связь с восприятием.

Именно на уровне предпонятия оперирует большинство учащихся с понятиями. Предпонятия — основа понятия. И если соответствующие предпонятия не были сформированы в 1—6 классах, то условия для их формирования создаются на подготовительном этапе работы с понятием. На этом этапе актуализируется и корректируется субъектный опыт ученика в соответствии с общественно-историческим.

Ученик является субъектом образовательного процесса. Каждый ребенок, придя в школу, уже имеет свой собственный опыт познания окружающего его мира людей и вещей. Это опыт его жизнедеятельности, накопленный через общение в семье, со сверстниками и другими людьми, через источники информации, в процессе целенаправленного обучения. Учитель знакомит учащихся с историческим общественным опытом в какой-либо предметной области. Чтобы вводимое учителем содержание имело личностный смысл, оно должно согласоваться с имеющимися у ученика ценностями, установками, способами переработки информации, отношением к содержа-

нию знания. Каждый предмет многомерен в своем содержании, но в каком именно содержании с ним намерен работать учитель — ученик не знает.

На этом этапе учителю важно, во-первых, выявить то «смысловое поле», через которое ученик определяет предмет, и четко обозначить содержание, которое будет использовано учителем как объект анализа. Несовпадение предмета и объекта анализа приводит к тому, что ученик и учитель часто работают с разным содержанием. Задача учителя — выявить смысловые характеристики понятий, а затем «окультурить» (предметный аспект субъектного опыта).

Во-вторых, учитывать природную активность, особенности психофизиологической организации ребенка (процессуальный аспект субъектного опыта).

В-третьих, воспитывать ценностное отношение к знанию через личностную значимость предметной и деятельной составляющих знания для ребенка. Ведь в гносеологии все большее внимание уделяется рассмотрению проблем не столько объективности, сколько избирательности познания. Признаются как равноправные два типа детерминации — причинная и ценностная. Первая — для мира вещей, вторая — для людей (ценностный аспект субъектного опыта).

Каковы же критерии сформированности предпонятий и понятий?

Считается, что ученик овладел предпонятием геометрического объекта, если у него сформирован широкий запас свойств, существенных для соответствующего геометрического понятия (образующих более чем один достаточный и необходимый набор) и объем понятия, который может дифференцироваться в дальнейшем, т. е. можно говорить о неполной систематизации на уровне обобщенных представлений. При этом ученик еще может не уметь выделять достаточного набора свойств геометрического объекта, на основе которого формируется определение, а геометрический объект может описывать не через ближайшее родовое понятие, т. е. у ученика еще не сформирована иерархия понятий вышележащих уровней. Ученику может быть недоступно оперирование логическими кванторами.

Считается, что у ученика сформировано понятие геометрического объекта, если он овладел предпонятием и мыслит геометрический объект в системе понятий, т. е. может выделить понятия, для которых данное является максимальной подсистемой, и понятия, для которых данное является ближайшим родом. При этом из набора существенных свойств геометриче-

ского объекта он может выделить достаточный и необходимый набор (желательно не один) и сформулировать определение понятия, т. е. он мыслит понятие как определенную структуру. Ученик владеет логическими кванторами. Сформулированные критерии годятся и для других математических объектов.

Методика работы с понятием, а также с другим теоретическим материалом (теоремой, правилами) включает четыре этапа:

• профессиональный (выполнение логико-математического анализа, который позволит на уроке дать определение в алгоритмизированном виде и отобрать знания, которые необходимо актуализировать);

• подготовительный (актуализация необходимых знаний, связь с субъектным опытом ребенка, мотивация);

• основной (обучающий);

• этап закрепления (применение введенного теоретического материала при решении типовых задач).

Последние три этапа реализуются при работе с учащимися в классе.

Профессиональный этап можно рассматривать как нулевой, так как его осуществляет учитель сам, но частично он может реализовываться и в классе в зависимости от ступени обучения и возможностей учащихся.

Подготовительный этап включает следующие шаги:

1. Актуализация ЗУНов, выделенных при проведении логико-математического анализа.

Цель: осуществление обратной связи между учителем и учащимся, выявление незнания, неумения, их исправление и корректировка у учащихся.

Формы: устный диктант с обязательной проверкой на уроке или включение в домашнюю работу соответствующих заданий к уроку по введению нового понятия.

Если в результате проверки большинство учащихся не справляется с заданиями, то целесообразно отказаться от введения нового материала и повторить пройденное.

2. Показ связи вводимого понятия с уже сформированными у учащихся образами или понятиями через выявление их субъектного опыта (предметный аспект), связанного с этим понятием, и его «окультуривание», раскрытие этимологии термина «понятие».

Цель: создание условий для включения новых знаний в систему уже сложившихся у ученика знаний, создание одинакового «смыслового поля», через которое ученик определяет

понятие, а учитель использует как объект анализа, т. е. создание условий для понимания («разговор на одном языке»).

Формы: если вводимый термин уже встречался ребенку (включен в субъектный опыт ребенка), то предлагается учащимся раскрыть смысл этого термина (ответить на вопрос, что понимается под этим термином) или включить в контрольные работы, проводимые перед введением понятия, опережающие диагностические задания, связанные с этим понятием. Если термин не знаком ребенку, то попытаться описать его через знакомые ему понятия. Так, например, дробь 1/2 при оперировании может вызвать затруднения учащихся, в то время как знакомый ребенку образ половины является «рабочим». Раскрытие этимологии может помочь связать новое понятие со знакомым образом.

При введении отрицательных чисел сам термин может быть не знаком учащимся, но и «число», и «отрицательный» (негативный) — слова, знакомые учащимся. Именно такое отношение вызывали числа, связанные первоначально с долгами. Эти числа долго не признавали. В математику они окончательно вошли лишь в XVIII в. Долг — слово также знакомое учащимся. Ситуация с возвратом 5 рублей, когда в кармане 2, позволяет связать действия с числами, имеющими разные знаки, со знакомыми учащимся образами. Как показывает опыт, на основе этого образа учащиеся неплохо складывают положительные и отрицательные числа, в то время как введение соответствующего правила (не связанного с опытом учащихся) у многих вызывает ухудшение выполнения действий. Особенно это касается учащихся с преобладанием в мыслительной деятельности правого полушария.

Выявление субъектного опыта позволяет заранее предвидеть, какие понятия могут вызвать затруднения учащихся, и организовать специальную работу. Так, предложенное в вопросах для предварительного обсуждения задание на проверку умений делать логические выводы (про Остапа Бендера) показало, что почти половина студентов не владеет этим умением (правильный ответ «б»), поэтому переходу к изучению теорем должна предшествовать работа, направленная на применение законов логики и правил вывода в различных ситуациях. В результате реализации этого этапа целесообразно ввести тему урока.

3. Показ необходимости изучения понятия (значимость его в жизни, в науке, в различных учебных дисциплинах) через

реализацию ценностного аспекта субъектного опыта (мотивация).

Цель: создание условий для формирования личностно-значимого знания.

Формы: беседа или выполнение проблемных заданий.

Для отрицательных чисел мотивационными заданиями могут быть задания, связанные с определением температуры воздуха, с расположением объектов выше и ниже уровня моря и т. п. Также необходимо показать и предметную мотивацию (невыполнимость действия вычитания в определенных случаях), особенно учащимся, интересующимся математикой.

4. Накопление образов как основы понятия через моделирование и варьирование несущественных свойств; выделение свойств объектов, существенных для понятия.

Цель: формирование предпонятия, создание личностных образов, адекватных формируемому понятию.

Формы: задания на нахождение соответствующих моделей понятия в окружающем ребенка мире.

Эта работа позволит среди различных обобщенных образов выбрать наиболее близкий ученику. Именно на него опирается ребенок при усвоении понятия и оперировании им. Это позволит ребенку войти в мир научных понятий. Например, после рассмотрения различных материальных моделей двух параллельных прямых некоторые учащиеся предпонятие о параллельности двух прямых линий связывают с образом рельс на прямолинейном участке, что наполняет геометрическое отношение содержанием, близким и понятным ребенку.

В результате реализации этого этапа ученики сами могут сформулировать «вариант» определения.

Конечно, последовательность второго—четвертого этапов может меняться, не все они могут быть реализованы на уроке.

Можно рассмотреть подготовительный этап на примере введения понятия «отрицательные числа» как чисел, соответствующие точки которых лежат левее нуля на числовой прямой. Это определение явно конструктивное (или вербальное описательное). Необходимо актуализировать: 1) понятие натурального числа; 2) числовой прямой; 3) умения находить точки на числовой прямой; 4) умение отличать понятия «правее», «левее» (некоторые путают или для них это не важно).

Учащимся предлагается выполнить следующие задания: «Путешественники поднялись на вершину 150 м над уровнем моря, а потом спустились, используя батискаф, на глубину 180 м. Где они оказались?» Или: «Температура 2 градуса. По-

низилась на 5 градусов. Какая стала температура? (-3 градуса)».

Целью основного этапа является введение и первичное усвоение формулировки определения через формирование (на определенном возрастном этапе и в определенном классе) операции определения понятия, которая включает следующие действия:

• неявный логический анализ структуры определения объекта (позволяет в работе с учащимися «алгоритмизировать» определение);

• действие «подведение под понятие» (в работе с учащимися реализуется в решении задачи на «распознавание» — выделение изучаемого объекта среди предложенных);

• работа с формулировкой (переформулировка определения, заполнение пропусков в определениях, нахождение ошибок в некорректных определениях);

• действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением;

• если требует педагогическая ситуация, замена определения эквивалентным ему.

Последовательность действий может быть различной, что определяется подходом к введению понятия. Последние три действия выполняются, если вводится явное определение. Два последних действия могут носить отсроченный характер.

Существует два подхода к введению понятия и его определения: дедуктивный и индуктивный. Первый заключается в том, что сначала формулируется определение, затем рассматриваются частные случаи, индуктивный способ предполагает формулирование определения как результат рассмотрения частных случаев.

Можно представить реализацию основного этапа на примере явного определения — определения трапеции.

ПРИМЕР

Трапеция — это вербально явное определение через характеристическое свойство, конъюктивное.

Логико-математический анализ

В результате выполнения подготовительного этапа учащиеся накапливают образы трапеций, знакомятся с этимологией этого слова (в переводе с греч. трапеция означает «трапеза»). На этом этапе можно с учащимися посмотреть изображения столиков на иконах, их поверхности имеют форму разных трапеций, изображены с разных точек зрения, но в определенной закономерности. Все точки, в которых сходятся различные линии взглядов, образуют на иконе крест. Далее учитель предлагает учащимся сформулировать определение трапеции или формулирует сам. На доске и в тетрадях целесообразно записать сокращенно в алгоритмизированной форме определение:

Трапеция ⇔ 1. Четырехугольник. 2. Есть две параллельные стороны. 3. Есть две непараллельные стороны. 4. Выполняются все свойства одновременно.

Действие подведения под понятие фактически направлено на понимание определения учащимися и предлагается в форме заданий на распознавание. Можно попросить определить, являются ли трапецией предложенные объекты; оформить это задание в виде таблицы:

Объект

Проверка свойств

Выполняются одновременно

Вывод

1

2

3

4

Только при наличии всех положительных ответов во всех четырех столбцах делается вывод, что объект принадлежит к множеству трапеций.

Количество предлагаемых примеров определяется количеством возможных различных комбинаций знаков в столбцах. Рассмотрение примеров 1 и 3 (одинаковые знаки в таблице) необязательно и приведено из методических соображений, чтобы показать учащимся возможность проверки любого объекта на принадлежность к определенному множеству.

Подобные примеры целесообразно включать в рассмотрение для того, чтобы уделить внимание одному из основных свойств фигур школьного курса — принадлежать плоскости или не принадлежать плоскости. Эти свойства в силу

разделенности школьного курса геометрии на планиметрию и стереометрию часто остаются вне внимания школьников.

На основном этапе предпочтительно применение самостоятельной работы учащихся с обязательной проверкой с объяснением.

Далее предлагается конструирование определений объекта самими учащимися (иногда сознательно с ошибками). Другие ученики должны найти некорректность предложенных определений, если они есть.

В завершение этого этапа необходимо выделить свойства объекта. Новые свойства объекта появляются, когда рассматриваются отношения изучаемого объекта с объектами других множеств. В частности, рассмотрение трапеций и окружностей позволяет выделить трапеции с таким свойством, как равенство сумм противоположных сторон (описанные около окружности трапеции) или равенство противоположных углов (вписанные в окружность трапеции).

Целью этапа закрепления является установление и развитие связей и отношений с другими понятиями, способствующие систематизации знаний.

Реализация этого этапа может быть осуществлена с помощью следующих методических приемов:

• включение в существующую классификацию, например с помощью кругов Эйлера;

• теоретическое обобщение, устанавливающее логические связи с другими понятиями;

• конструирование родословной понятия, которое состоит в последовательном выделении расширяющихся множеств вплоть до наибольших, наименьшим из которых является множество, состоящее из объектов введенного понятия;

• решение задач, в которых новое понятие используется наряду со знаниями из разных тем курса и требуется замена некоторого понятия введенным понятием и наоборот.

Этот этап обычно реализуется не на одном уроке.

Например, с помощью кругов Эйлера можно попросить учащихся установить отношения между следующими множествами:

А — множество трапеций, В — множество четырехугольников, С — множество треугольников, D — множество четырехугольных призм, Е — множество четырехугольников, у которых две стороны параллельны, F — множество трапеций, в которые можно вписать окружность, G — множество

Рис. 12

четырехугольников, в которые можно вписать окружность, Р — множество параллелограммов, Т — множество равнобедренных трапеций. На рис. 12 изображен ответ.

Изображения кругов позволяют установить связи между множествами. Часто учащиеся рассматривают четырехугольники как подмножество четырехугольных призм, смешивая подмножества фигур и элементы фигуры. Также необходимо обратить внимание учащихся на обоснование несовпадения множеств. Для этого целесообразны вопросы о том, какие фигуры принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству Т или множествам F и Т. Такие вопросы учат грамотно описывать фигуры.

С помощью кругов Эйлера можно установить родословную трапеции: «Трапеция — выпуклый четырехугольник — многоугольник — часть плоскости — плоскость — замкнутая ломаная — отрезки — прямая — точки».

На этом этапе приходится решать много задач, поэтому в классах, не особо увлеченных математикой, требуется использование разнообразных форм как подачи учебного материала, так и деятельности учащихся. Выполнение этого требования также необходимо и для создания условий развития учащихся (через задания, требующие использования когнитивных стилей, противоположных преобладающим у учащихся). В начале этапа закрепления не стоит требовать правильных ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стиля, флегматиков. Они должны привыкнуть к материалу, осознать его специфику.

Ключевая информация

Понятием в логике и философии называют форму мышления, отражающую существенные и несущественные свойства, признаки объектов реального мира; в психологии понятие рассматривается как многоуровневая иерархически

организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности.

Понятие характеризуется объемом (множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии) и содержанием (существенные свойства понятия).

Под определением понятия понимают логическую операцию, раскрывающую содержание понятия. К определениям предъявляются следующие требования: соразмерность, отсутствие логического круга, использование ближайшего рода, четкость и ясность.

Работа с понятиями состоит из нескольких этапов: профессионального (выполнение логико-математического анализа), подготовительного (актуализация знаний, мотивация, связь с субъектным опытом ребенка), основного (обучающего) этапа закрепления.

Рекомендуемая литература

1. Веккер Л. М. Психические процессы. — Л.: ЛГУ, 1976.

2. Выготский Л. С. Лекции по педологии 1933—1934. — Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 1996.

3. Гетманова А. Д. Логика. — М.: Гуманит. изд. центр «Владос», 1998.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.

5. Мадер В. В. Введение в методологию математики. — М.: Интерпракс, 1994.

6. Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике // Проблемы современной методики математики. — Минск: Изд-во Минск, университета, 1989.

7. Основные законы и формы мышления: Логический практикум / Под ред. М. Ю. Казаринова. — СПб., 1997.

8. Рузавин Г. И. Проблемы понимания и герменевтика // Герменевтика: история и современность. — М., 1985.

9. Слободчиков В. И., Исаев Е. И. Основы психологической антропологии. Психология человека: Введение в психологию субъективности. — М.: Школа-Пресс, 1995.

10. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. — М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999.

Лекция 9

Обоснования и доказательства. Математические утверждения и теоремы

Особенно нравилась математика верностью и очевидностью своих рассуждений.

Р. Декарт

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Известна притча:

«Однажды Петр был так рассержен шутом Балакиревым, что прогнал его вон из Отечества. Балакирева долго не было видно. По прошествии времени Петр из окна видит, что Балакирев едет со своей женой в одноколке:

— Кто тебе, негодяй, позволил нарушить указ и оказаться на моей земле?

На что Балакирев ответил:

— Ваше величество! Лошади мои ходят по вашей земле, но вы их и не лишали Отечества, а что касается меня с женой, то мы на своей (шведской) земле.

— Это как?

— Извольте посмотреть. Вот и свидетельство на покупку шведской земли.

Государь засмеялся, когда увидел на дне одноколки с пуд земли, и простил Балакирева».

На основе нарушения какого закона логики Балакиреву удалось добиться снисхождения Петра в притче?

2. Предметом какой науки является доказательство?

3. Как вы назовете такой вид рассуждений?

«— Стало быть, по-вашему, убеждений нет?

— Нет, и не существует.

— Это ваше убеждение? — Да.

— Как же вы говорите их нет. Вот вам уже одно на первый случай» (Диалог в романе И. С. Тургенева «Рудин»).

4. Являются ли доказательством следующие рассуждения?

а) Ни один треугольник не является квадратом. Ни один квадрат не является трапецией. Значит, ни один треугольник не является трапецией.

б) Некоторые композиторы — музыканты, некоторые музыканты — барабанщики. Следовательно, некоторые композиторы — барабанщики.

в) Если бы глина была металлом, она была бы электропроводна. Но глина не электропроводна. Значит, она не металл.

5. Существует ли доказательство «от противного»? Если да, то каковы его отрицательные стороны?

6. Присутствуют ли теоремы в школьном курсе алгебры? Назовите три. Почему дети доказывают их хуже, чем в геометрии?

9.1. Математическая теория. Аксиомы. Утверждения

Для понимания строения научной теории необходимо сначала рассмотреть понятие «суждение».

Суждениями принято называть предложения, в которых выражена мысль о предметах, объектах, явлениях. Существуют два основных свойства суждений: что-то отрицать или утверждать; являться истинным или ложным.

Суждение состоит из логического подлежащего (субъекта мысли); логического сказуемого (предиката мысли) и логической связки.

Выделяются следующие виды суждений:

• общеутвердительное (образуется с помощью кванторных слов: всякий, любой);

• частно утвердительное (образуется с помощью кванторных слов: существуют, некоторые и т. п.);

• общеотрицательное (образуется с помощью кванторных слов: ни один, никакой, не существует и т. п.);

• частно отрицательное (образуется с помощью кванторных слов: не всякий, не любой и т. п.).

Часто кванторные слова опускаются, считается, что они понятны из смысла всего предложения.

Математическим предложением называют повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.

Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через другие, приходят к исходным понятиям — «кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют неопределяемыми, а описываются они аксиомами. Аксиома — математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Изначально к аксиомам относили очевидные утверждения. Евклид (около III в. до н. э.) выделил 14 аксиом в «Началах». Их оказалось

недостаточно, чтобы вывести остальные утверждения логическим путем. Да и очевидность оказалась необязательна для аксиомы, что доказало открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи. Они установили, что, заменив 5-й постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно чисто логическим путем развить другую геометрическую теорию. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить внимание на дедуктивный способ построения математических теорий. Это повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода формальной (аксиоматической) теории, на основе которой выросла теория доказательств. Аксиоматика, традиционно изучаемая в школе, была разработана Д. Гильбертом и описана в «Основаниях геометрии» (1899 г.). Аксиоматика включает 5 групп аксиом.

Построение математической научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами непротиворечивости, полноты и независимости. Новые математические понятия вводятся через определения, которые включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и выводятся из него. Отношения между понятиями выражают математические предложения. Кроме аксиом, все остальные предложения теории выводятся логическим путем с использованием законов логики, правил вывода, положений теории множеств. Понятно, что в школе учащимся эти знания не даются, поэтому изучение математики ведется в рамках содержательной теории (отсутствие законов логики, теории множеств и т. д.).

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

• предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов;

• предложение истинно в силу того, что оно является исходным истинным предложением в данной теории (аксиомой), или его истинность доказывается (используются исходные или ранее доказанные истинные предложения).

Рассмотрим, например, математическое предложение: «Сумма углов треугольника равна 180 градусам». Данное предложение общеутвердительное, геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, так как:

• сформулировано на языке геометрии; т. е. состоит из геометрических терминов (сумма углов, треугольник, 180 градусов) и логических терминов (любой, равна);

• оно истинно, т. е. доказывается в рамках евклидовой геометрии.

В формулировках часто опускается слово «любой», хотя этот квантор значим, и предложение должно быть следующим: «Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам». Кванторы играют в математике важную роль, они влияют в определенной мере на выбор способа доказательства, поэтому целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащихся на вид суждения и выделить кванторные слова.

9.2. Доказательство: структура, виды

О Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с чтения «Геометрии Евклида». Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал их доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательства в математике и других науках и очень хвалил Евклида за прочность и строгость его доказательств.

С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепринятым эталоном доказательности. Изучение доказательства на конкретных его образцах интересно и полезно. Но также необходимо знакомство с основами логической теории доказательства, которая говорит о доказательствах безотносительно к области их применения.

Что же такое доказательство?

Вообще доказательство является объектом логики и описывается как процедура обоснования некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует.

Одна из основных задач логики состоит в придании точного значения понятию доказательства. «Понятие доказательства, — пишет логик и математик В. А. Успенский, — во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство — это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других».

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: истины и логического следования. Они не являются в достаточной мере ясными, и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным. Так, например, единого понятия логиче-

ского следования не существует. Это понятие определяется через закон логики: из утверждений (или системы утверждений) А логически следует утверждение В в том случае, когда выражение «если А, то В» представляет собой закон логики. Это определение — только общая схема бесконечного множества возможных определений.

Конкретные определения логического следования получаются путем указания логической системы, задающей понятие логического закона. Логических же систем, претендующих на определение закона логики, в принципе может существовать бесконечно много. Хорошо известны, в частности, классическое определение логического следования, интуиционистское его определение, определение следования в релевантной логике и др. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободны от критики. Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство.

Доказательство — совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Можно выделить следующую структуру доказательства: тезис (суждение, истинность которого надо доказать), аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами).

В качестве аргументов выступают:

• удостоверенные единичные факты, т. е. статистические данные, свидетельские показания, результаты эксперимента или наблюдения и др. (чтобы факты играли доказательную роль, необходимо анализировать их в совокупности, относящейся к рассматриваемому вопросу);

• определение понятий, которые даются в каждой науке;

• аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства) и постулаты (суждения, принимаемые в рамках какой-либо научной теории за истинные, хотя и недоказуемые ее средствами, и поэтому играющие в ней роль аксиом);

• законы науки (необходимые, существенные, устойчивые, повторяющиеся отношения, связи между явлениями) и теоремы.

При доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождест-

венным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства.

Если эти правила нарушаются, то в доказательстве или опровержении возникают логические ошибки. Доказательство должно основываться на данных науки и социально-исторической практики, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации (рис. 13).

Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. Но в XX в. отношение к математическому доказательству изменилось. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими аксиомами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда их указывали в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику.

Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, Р. Л. Уайлдер писал, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции... Совершенно ясно, что мы никогда не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном».

Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику интересной наукой, но не имеющей никаких приложе-

Рис. 13

нии, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора.

Таким образом, даже математическое доказательство не обладает абсолютной убедительностью и гарантирует только относительную уверенность в правильности доказанного положения. Минимальное требование — это понимание логического выведения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае достигается интуитивная ясность того, что мы делаем. Важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает.

Все доказательства можно разделить на прямые и косвенные.

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых, по логическим правилам, получается тезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является «доказательством от противного».

Например, нужно построить косвенное доказательство весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: «У квадрата нет углов». Поскольку антитезис ложен, значит, тезис должен быть истинным.

В споре при умелом применении такие доказательства могут обладать особенной убедительностью.

В зависимости от того, как стремятся показать состоятельность его отрицания, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

1. Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Например, врач, убеждая пациента, что тот не болеет гриппом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.

2. Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение ложно.

Примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа — это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (большие 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда —А. Образуем далее другое число: В = (2∙3∙5∙ ... ∙А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно, и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.

В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо

предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровенная нелепость.

3. Истина логически вытекает из своего собственного отрицания. Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из предположения ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.

По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии». Такую же схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения: «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

4. Разделительное доказательство. Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к последовательному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтернативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, необходимо все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не подходят к утверждению, ошибочность которого несомненна.

Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, но не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный случай, когда после того, как косвенное доказательство проведено, ход его тут же забыт, в памяти остается только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальным, приложимым в любых без исключения случаях. Найденное косвенное доказательство какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого же утверждения. Обычно, но не всегда.

О доказательстве в логике говорится много, об опровержении только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.

Опровержение — это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности. Наиболее распространенный прием опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное логическое следствие из некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.

Другой прием установления несостоятельности выдвинутого кем-либо положения — доказательство несправедливости от этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что истинно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истине самого этого положения автоматически отпадает. Достаточно, например, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.

Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам.

9.3. Ошибки в доказательствах

Ошибка в доказательстве — вещь довольно обычная. Проводя доказательства, обычно опираются на логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логи-

ки. Как правило, оно не подводит. Но в отдельных и особенно сложных случаях оно может оказаться ненадежным.

Эксперименты, проводившиеся психологами, показывают, что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опирается на закон логики, а значит, является неправильным. Логику редко изучают специально. Навыки логичного, т. е. последовательного и доказательного мышления формируются и совершенствуются в практике рассуждений.

Образование не только расширяет знания, но и в определенной мере способствует развитию умения рассуждать правильно. Тем не менее примерно каждое десятое умозаключение, проводимое представителями теоретического знания, является, как говорят психологи, логически не вполне корректным. Ученые в своих доказательствах ошибаются реже, но все-таки ошибаются. Как правило, ошибки обнаруживаются благодаря тому, что сделанные заключения плохо согласуются с устоявшимися представлениями об изучаемом предмете. Кроме того, большую роль играет свойственный научному мышлению критицизм. Ни одно утверждение, ни один вывод не принимаются без многократной и разносторонней проверки.

Логическое чутье и навыки доказательства не так безупречны, как это зачастую кажется. Полезно поэтому не упускать случая, чтобы их усовершенствовать.

Ошибки в доказательствах можно разделить на несколько видов.

1. Ошибки в отношении тезиса. Доказательство — это дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого тезиса. Логические ошибки в доказательстве могут относиться к тезису, к аргументам и к их связи.

Характерная ошибка в отношении тезиса — подмена, т. е. осознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

Тезис может сужаться, и в таком случае он станет доказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, недостаточно доказать, что их сумма не больше 180°.

Тезис может также расширяться. Тогда потребуются дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться.

2. Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частая ошибка — это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.

Например, известно, что тигры не летают. Но рассуждение: «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы. Летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты, и др. С помощью же посылки «только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.

Довольно распространенной ошибкой является «круг в доказательстве»: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Например, на вопрос: «Почему мы видим через стекло?» Обычный ответ: «Оно прозрачно». Но назвать вещество прозрачным — значит сказать, что сквозь него можно видеть.

Термин «математическое доказательство» предусматривает доказательство предложений в рамках какой-либо математической теории.

Различают содержательные (неформальные) и формальные доказательства, которые применяются соответственно в содержательных (неформальных или полуформальных) и в формальных математических теориях.

В школьном обучении некоторые фрагменты математических теорий излагаются неформально (алгебра, геометрия, анализ). Например, курс «Математика 5—6 кл.» относится в целом к теории, изложенной на содержательном уровне, т. е. в нем используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Противоположный пример — курс геометрии 7—11 классов.

9.4. Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения

Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории.

С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма — эквиваленция).

Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа.

Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы включает:

1. Логический анализ, который предусматривает раскрытие логической структуры предложения (выделение простых высказываний, из которых сконструировано данное), вида суждения и способа его конструирования (выделение логических связок, с помощью которых оно образовано, и их последовательности). Наиболее часто используемые логические связки: «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда», «существует» и т. д.). Структура теоремы включает разъяснительную часть, множество объектов, на котором рассматривается теорема, условие, заключение, логические связки. Заключение и условие могут состоять из одного простого высказывания, тогда утверждение называют простым, если же условие или заключение состоят из нескольких простых высказываний, то утверждение называют сложным.

2. Математический анализ, который раскрывает математическое содержание выделенных элементов структуры.

Анализ формулировки теоремы (А ⇒ В) проводится для дальнейшего доказательства. С этой точки зрения полезно сформулировать утверждения:

обратное данному (условие и заключение исходного утверждения меняют местами):

противоположное данному (к условию и заключению применяют отрицание):

обратное противоположному или противоположное обратному:

Согласно закону контрапозиции исходное прямое утверждение равносильно противоположному обратному, что используется при доказательстве теорем.

Теоремы школьного курса формулируются в основном в импликативной форме («если..., то...») или категоричной. Для выделения структуры (условия, заключения и т. п.) целесообразно формулировать теорему в импликативной форме.

Итак, выполнение ЛМА предполагает:

• установление формы формулировки;

• перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму;

• запись структуры теоремы, т. е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;

• определение вида (простая или сложная);

• формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).

В качестве примера выполним анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а) обратного данному; б) противоположного данному; в) противоположного обратному.

Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения — общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам» (а).

Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные» (б). Вид суждения — общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то ...».

Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам» (в). Вид суждения — общеотрицательное.

Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма двух углов не равна 180 градусам, то углы не смежные» (г). Вид суждения — общеутвердительное.

Логическая структура утверждений:

Математический анализ можно оформить в виде таблицы.

Разъяснительная часть (М)

Условие

Заключение

Истинно / ложно

Простое / сложное

а

Множество пар углов

Углы смежные

Их сумма равна 180 градусам

Истина

Простое

б

Множество пар углов

Сумма углов равна 180 градусам

Углы смежные

Ложь

Простое

в

Множество пар углов

Углы не смежные

Сумма углов не равна 180 градусам

Ложь

Простое

г

Множество пар углов

Сумма углов не равна 180 градусам

Углы не смежные

Истина

Простое

Символическую запись для утверждения (а) можно прочитать, учитывая математическое содержание его структурных элементов, так: «Для любых двух углов из множества пар углов M выполняется следующее: если эти два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам».

Работа с теоремой включает в себя следующие этапы.

1. Нулевой этап— выполнение логико-математического анализа.

2. Первый этап — подготовительный, который подразумевает:

• актуализацию знаний;

• мотивацию необходимости изучения факта;

• подведение к теоретическому факту.

3. Второй этап — основной — включает:

• формулировку теоремы;

• работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения;

• мотивацию необходимости доказательства;

• анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;

• работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;

• подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства).

4. Третий этап — закрепление, т. е. непосредственное применение теоремы «в лоб» (используется в качестве аргументов преимущественно только изучаемая теорема, и доказательство имеет 1—2 шага).

В дальнейшем, при вторичном закреплении при решении задач используются кроме изученной теоремы теоретические факты из других тем.

Ключевая информация

Под математической теорией понимают множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур. Аксиомами называют математические утверждения, принимаемые без доказательства. К аксиомам предъявляют следующие требования: непротиворечивость, полнота и независимость.

Доказательство — процедура обоснования некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует. Доказательство имеет следующую структуру: тезис, аргументы, демонстрация. Доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Теоремой считают математическое утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства. Логико-математический анализ теорем включает: логический анализ (раскрытие структуры теоремы) и математический анализ (математическое содержание выделенных элементов структуры).

При работе с теоремой можно выделить несколько этапов: выполнение логико-математического анализа; актуализация знаний, мотивация и подведение к теоретическому факту; работа с формулировкой теоремы: мотивация необходимости доказательства, анализ условия и заключения; поиск доказательства и составление схемы доказательства; работа с доказательством, подведение итогов; закрепление.

Рекомендуемая литература

1. Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. — М.: Госполитиздат, 1954.

2. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

3. Доказательство и понимание. — Киев: Наукова думка, 1986.

4. Епишева О. Б., Крупич В. Учить школьников учиться математике. — М.: Просвещение, 1990.

5. Ивин А. А. Логика. — М.: Гардарики, 2002.

6. Лакатос И. Доказательства и опровержение. — М.: Наука, 1967.

7. Столяр А. А. Зачем и как мы доказываем в математике. — Минск: Народная Асвета, 1987.

8. Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: Госкомиздат, 1958.

Лекция 10

Методы и формы обучения математике. Развитие интеллектуальных умений при обучении математике

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!

А. Нивен

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Следует ли из теоремы Пифагора, что треугольник со сторонами:

а) 3, 4, 5 — прямоугольный;

б) 3, 4, 6 — не прямоугольный?

2. Известно, что высказывание «Джон не красив» истинно, а высказывание «Джон красив или умен» ложно. Каково истинностное значение высказывания «Джон не умен»?

3. Сделайте следующие высказывания истинными, поставив вместо многоточия подходящую фамилию известного русского писателя или поэта:

а) Пушкина звали Александром Сергеевичем или (кого?)... звали Александром Сергеевичем;

б) Пушкина звали Александром Сергеевичем и (кого?)... звали Александром Сергеевичем.

4. Вычислить без использования калькулятора: 1012 - 202⋅81 + 812.

5. Для проверки того, что вырезанный прямоугольный кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой из диагоналей и убеждается, что края обеих частей совпадают. Достаточна ли такая проверка?

10.1. Методы обучения математике

В теории познания метод определяется как система последовательных действий, которые приводят к достижению результата, соответствующего намеченной цели.

Методы обучения — это способы взаимодействия учителя и учащихся, направленного на достижение целей образования, воспитания и развития школьников в ходе обучения.

По исследованиям Ю. К. Бабанского, учителя вдвое чаще испытывают затруднения в выборе метода обучения, чем в выборе содержания. Чтобы преодолеть это затруднение, необходимо хорошо знать все многообразие методов и их характеристики. Этой цели служат различные классификации методов обучения.

Классификация Ю. К. Бабанского

1. Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• словесные: рассказ, лекция, беседа;

• наглядные: демонстрация, иллюстрация, ТСО;

• практические: упражнения, учебный эксперимент, лабораторная работа.

2. Методы стимулирования учебно-познавательной деятельности:

• дидактические игры как метод поощрения;

• создание ситуации успеха в учебных дискуссиях.

3. Методы контроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности:

• устный;

• индивидуальный;

• письменный;

• фронтальный;

• лабораторный;

• программированный.

Классификация Р. С. Черкасова и А. А. Столяра

Система методов обучения математике:

• общие (разработанные дидактикой и адаптированные к обучению математике);

• частные (отражают основные методы познания, используемые в математике).

Классификация Ю. М. Колягина

Методы обучения математике:

• методы преподавания: беседа, рассказ, управление самостоятельной работой учащихся;

• методы изучения: анализ, синтез, сравнение, моделирование и др.

Классификация О. Б. Епишевой

Методы обучения математике:

• методы педагогики;

• методы психологии;

• методы логики;

• методы математики;

• методы информатики;

• методы эмпирические;

• методы истории.

10.2. Методы психологии в обучении математике. Интеллектуальные умения

В обучении математике широко используются основные методы психологии: анализ и синтез; сравнение; обобщение и специализация; абстрагирование и конкретизация; классификация; систематизация.

В практике мышления перечисленные компоненты применяются в различных сочетаниях или одновременно. Их рассматривают отдельно лишь с целью более глубокого изучения.

Под анализом принято понимать:

• форму мышления, исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически расчленяется на составные части, каждая из которых изучается отдельно, с тем, чтобы в дальнейшем соединить с помощью синтеза в единое целое, рассматриваемое уже на более высоком уровне;

• метод рассуждения, при котором мысль движется от неизвестного к известному;

• метод мышления от целого к частям этого целого;

• прием мышления, при котором переходят от следствия к его причине;

• особую форму процесса мышления, когда объект включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях (с точки зрения психологии).

Синтезом называют:

• форму мышления, исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически соединяется в единое целое из составных частей объекта, расчлененного в процессе анализа;

• метод рассуждения, при котором мысль движется от известного к неизвестному;

• метод мышления от частей к целому;

• прием мышления, при котором переходят от причины к ее следствию;

• особую форму процесса мышления, когда происходит соотнесение, сопоставление и установление всяких связей между различными элементами (с точки зрения психологии).

Анализ и синтез используются при решении задач на доказательство, на построение и при решении задач с помощью уравнений, при отыскании различных множеств точек и т. д.

С точки зрения психологии «процесс мышления, — писал С. Л. Рубинштейн, — это прежде всего анализирование и синтезирование того, что выделяется анализом; это затем абстракция и обобщение, являющиеся производными от них».

Под обобщением понимают мысленное выделение, фиксирование каких-либо свойств, принадлежащих только данному множеству объектов и объединяющих эти объекты воедино. Специализация есть мысленное выделение некоторого свойства из множества свойств изучаемого объекта. Например, натуральное число n — число 7; треугольник — равнобедренный. При сравнении мысленно устанавливаются сходства или различия объектов изучения. Аналогией называют метод познания, с помощью которого сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Возникает много проблем при использовании ошибочных аналогий.

При абстрагировании происходит мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных.

Конкретизация односторонне фиксирует одну сторону объекта изучения вне связи с другими его сторонами.

Классификацией принято считать отнесение единичного объекта к соответствующей общей группе на основе общих и существенных признаков.

Соединение отдельных признаков понятий или ряда соотносящихся понятий или явлений не только по сходству их основных признаков с такими же предметами и явлениями целого класса, но и выделение в этой группе более мелких подгрупп называют систематизацией.

В различных предметных областях могут использоваться задания, верное выполнение которых, в первую очередь, требует умения анализировать. Тогда становится важной возможность переноса действия анализа с учебных предметов, на которых они преимущественно развиваются (математика, алгебра, геометрия), на другие дисциплины. Надо отметить, что умение анализировать играет весьма важную роль и в русском языке. Именно эта дисциплина вносит большой вклад в его развитие. Но все же математика опирается на формальную логику, а в формальной логике существует операция логического следования, которая позволяет непосредственно проверять развитие такой составляющей анализа, как установление причинно-следственных связей.

Разумеется, что не только анализ, но и синтез, сравнение, обобщение и т. д. можно рассматривать как общеинтеллектуальные умения. Необходимо развивать и использовать их при обучении математике, осуществляя взаимодействие с другими предметами школьного курса.

10.3. Умение анализировать. Развитие аналитических умений у школьников

Анализ главным образом встречается при выполнении операций сравнения (нахождения общего и разного), выделения главного (частей, связей, идей), классификации, выявления закономерностей, абстрагирования, конкретизации, систематизации. Таким образом, умение анализировать используется при осуществлении весьма широкого круга действий.

На первый взгляд, действие анализа на разных учебных дисциплинах отличается. В действительности, как показали исследования, общее действие анализа схоже. Основные составляющие анализа на разных предметах:

• установление причинно-следственных связей;

• выделение сторон объекта;

• деление объекта на части.

Таким образом, исходя из общности действия анализа на разных учебных предметах, умение анализировать относят к общеинтеллектуальным умениям.

Составляющая умения анализировать — установление причинно-следственных связей — необходима и в повседневной жизни. Она проявляется в необходимости рассуждать правильно. С помощью таких рассуждений отыскивается и доказывается истина, не прибегая к опыту.

Важно различать логически необходимые, основанные на закономерности (дедуктивные), и вероятностные, основанные на опыте рассуждающего (индуктивные), рассуждения. Игнорирование этого различия может привести к многочисленным ошибкам в построении рассуждений. Можно привести пример задачи, требующей понимания логической необходимости. Она демонстрирует конфликт между логически верным и эмпирически истинным выводами.

ПРИМЕР

Все композитные числа делятся на 8 без остатка. 26 — композитное число.

Следовательно:

1) должно быть, 26 — не композитное число;

2) 26 — исключение из правил;

3) 26 делится на 8 без остатка;

4) наверное, не все композитные числа делятся на 8 без остатка.

Представьте себе, что первые два предложения истинны. Сделайте заключение, используя оба предложения. Выберите ответы из предложенных вариантов (Верен ответ «3», хотя он протеворечит практике).

Рассмотрим составляющее анализа: деление объекта на части. При изучении любого материала важным становится умение выделять его основные единицы. Доказывая теорему, полезно выделить шаги доказательства, их теоретическое обоснование, что позволит понять суть доказательства. Деление объекта на части тесно связано также с умением планировать свою деятельность, с умением работать с текстом и образцами решения задач, а также с проверкой решения какого-либо задания по фиксации этапов решения.

Рассмотрим действие: выделение сторон объекта. Часто важным требованием при решении той или иной задачи становится рациональность способа решения. В этом случае решение «в лоб» не всегда отвечает этому требованию. Тогда на помощь может прийти такая составляющая умения анализировать, как выделение сторон объекта.

Простейшей иллюстрацией может служить следующее задание: «Найти значение выражения: a2b + ab2, если а = 0,7; b = 0,3». Конечно, можно выполнять действия «в лоб», произведя при этом четыре умножения и одно сложение с «неудобными» дробными числами. Но можно поступить иначе, заметив, что исходное выражение представимо в виде ab (а + b), причем сумма в скобках равна 1; значит, нужно вычислить лишь произведение а и b. Таким образом, выполняются одно сложение и два умножения (при этом одно из них на единицу). Очевидно, что второе решение является более рациональным

по сравнению с первым. Выделение сторон объекта при выполнении анализа используется часто при оптимизации деятельности, а также при необходимости рассмотрения отдельных сторон объекта для его всестороннего, детального изучения.

Можно привести несколько примеров заданий из разных учебных дисциплин, при выполнении которых преимущественно развиваются составляющие анализа.

ПРИМЕРЫ

1. Установление причинно-следственных связей.

1) В следующих предложениях вместо многоточий поставьте слова: «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «не необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получились верные утверждения:

а) для того чтобы число было меньше 14, ... , чтобы оно было меньше 15;

б) условие (x2 + X + 1)(х — 2) > 0 является ... для того, чтобы выполнялось x > 2;

в) для выполнения равенства |х + 2| = |у-3| ... выполнение равенства (х+ 2) = (у- 3).

г) для того чтобы x + 1 = 3 , ... , чтобы x : 7. (Алгебра.)

2) Определите, где в следующем предложении подлежащее: «Солнце закрыло облако».

Здесь подразумевается следующее рассуждение: так как солнце не может закрыть облако, а только облако может закрыть солнце, то подлежащим является «облако»). (Русский язык.)

2. Выделение сторон объекта.

1) Произвести пунктуационный разбор предложения:

«Конь поднялся на дыбы, плащ за спиной, как туча, клубится, а весь монумент так и рвется вперед, так и летит».

(В данном случае объект — предложение.) (Русский язык.)

2) Без построения графика функции у = x2 + 4х + 5 доказать, что он располагается выше оси абсцисс.

(Объектом является квадратичная функция.) (Алгебра.)

3. Разделение объекта на части.

1) Найти целые корни уравнения: 3x3 + 4х2 — 5х + 2 = 0. (Объектом являются корни уравнения.) (Алгебра.)

2) Из данных элементов: LI, Na, К выделить тот, у которого максимально ярко выражены металлические, неметаллические и иные свойства. (Объектами выступает триада химических элементов.) (Химия.)

Заботясь о развитии умения анализировать на межпредметном уровне, целесообразно предлагать учащимся следующие типы заданий:

• направленные на использование всех операций анализа в рамках одного учебного предмета;

• задания на стыке предметов;

• описывающие жизненные ситуации или связанные с субъектным опытом ребенка и требующие операций анализа.

Выделенные типы заданий описывают в основном работу по развитию анализа «по горизонтали» (на одной возрастной ступени).

При рассмотрении анализа «по вертикали» можно говорить об этапах его становления:

• практический анализ (осуществляется с предметами);

• элементарный мысленный анализ (включает только основные операции анализа);

• комплексный анализ (операции анализа включены или требуют использования в других интеллектуальных операциях). Для развития этого уровня анализа целесообразны задания исследовательского характера.

Ключевая информация

Под методом обучения понимают взаимодействия учителя и учащихся, направленные на достижение целей образования, воспитания и развития школьников в процессе обучения.

Существуют различные подходы к классификации методов обучения математике. В обучении математике применяются методы психологии: анализ и синтез; сравнение, обобщение и специализация; абстрагирование и конкретизация; классификация и систематизация.

Умение анализировать как общеинтеллектуальное умение включает: установление причинно-следственных связей; выделение сторон объекта; деление объекта на части. Необходимо развитие анализа как «по горизонтали», так и «по вертикали».

Рекомендуемая литература

1. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. — Тобольск: ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997.

2. Никольская И. Л., Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать. — М.: Просвещение, 1989.

3. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. — Педагогика, 1999.

4. Тамберг Ю. Г. Как научить ребенка думать. — СПб.: Михаил Сизов, 1999.

Лекция 11

Контроль знаний и умений учащихся при обучении математике

Успех в учении — единственный источник внутренних сил ребенка, рождающий энергию для преодоления трудностей, желание учиться.

В. А. Сухомлинский

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Какие цели проведения самостоятельных и контрольных работ вы можете назвать?

2. Что оценивает учитель, когда выставляет отметку за устный ответ учащегося?

3. Являются ли синонимами слова «оценка» и «отметка»?

4. Приведите пример погрешности, которая, на ваш взгляд, является ошибкой, и пример погрешности, которую можно считать недочетом.

11.1. Контроль: типы, цели, функции

Контроль знаний — это составная часть обучения, которая включает процесс выявления и сравнения на том или ином этапе обучения результатов учебной деятельности с требованиями, заданными учебными программами. Результаты контроля выражаются в форме отметки (как правило, в баллах) или словесного оценочного суждения учителя. Согласно закону РФ «Об образовании» (1992 г.), основой объективной оценки уровня образования и квалификации выпускника являются Государственные стандарты, т. е. требования, которые представляют собой краткую характеристику минимально необходимых результатов, которые должны быть достигнуты. Планируемые результаты описаны в содержательно-деятельностной форме, они характеризуют, что должен знать и уметь каждый ученик. Например, в теме «Степенная функция с целым показателем, ее свойства и график» выпускник должен: строить график степенной функции с целым показателем; определять промежутки возрастания и убывания степенной функции. При этом ему необходимо уметь строить графики функций вида: у = x5; у = х-2; у = х-3 + 1 и т. п., а также находить промежутки возрастания функций: у = х-2; у = (х — 3)-3 и т. п.

В зависимости от того, кто осуществляет контроль за результатами деятельности учащегося, можно выделить три типа контроля:

• внешний (осуществляется учителем над деятельностью ученика);

• взаимный (осуществляется учеником над деятельностью товарища);

• самоконтроль (осуществляется учеником над собственной деятельностью).

Основная цель контроля знаний и умений состоит в обнаружении достижений, успехов каждого ученика, при анализе которых выявляются проблемы учащихся в осуществлении учебной деятельности, обнаруживаются пробелы в знаниях, определяются пути совершенствования организации обучения и способы активизации учащихся.

Конкретизируя эту цель, можно говорить о том, что контроль дает возможность:

• установить качество усвоения учащимися материала, предусмотренного программой (соответствие требованиям программы);

• определить пути коррекции знаний и умений учащихся;

• рассмотреть возможности формирования навыков взаимоконтроля и самоконтроля, а также потребности в самоконтроле у учащихся;

• создать условия для формирования определенных личностных качеств, таких, как ответственность за выполняемую работу, воля и т. д.

Если перечисленные цели реализованы, то можно говорить о том, что контроль выполняет информационную, диагностическую, образовательную, мотивационную, воспитательную и прогностическую функции.

Информационная (контролирующая) функция выявляет образовательные результаты ученика на каждом этапе обучения, свидетельствует о степени его успешности в достижениях образовательных стандартов, овладении знаниями, умениями, способами деятельности, о готовности к дальнейшему обучению, о развитии способностей и т. п. Диагностическая функция указывает на причины тех или иных образовательных результатов. Функция образовательная (обучающая) способствует повышению качества усвоения знаний, их систематизации, формированию приемов учебной работы.

Мотивационная и воспитательная функции соответственно поощряют образовательную деятельность ученика, стимулируют ее продолжение и формирует самосознание, адекватную самооценку учебной деятельности, личностные качества учащегося.

Обеспечивает управление процессом усвоения знаний, умений и его коррекцию прогностическая функция.

11.2. Требования к контролю и его компоненты

Контроль должен быть систематическим, охватывать все разделы программы и проводиться дифференцированно с учетом индивидуальных особенностей учащихся.

В процессе контроля знаний и умений учащихся выделяют следующие компоненты:

• уточнение целей изучения конкретного учебного материала и установление содержания контроля;

• выбор видов, форм, способов и средств контроля, соответствующих поставленным целям;

• определение способов выражения результатов контроля: оценка и отметка.

Конкретное содержание контроля зависит от целей изучения определенного учебного материала и связано с выделением объектов контроля (понятия, факты, алгоритмы, теоремы и т. д.) и указанием тех действий, в процессе выполнения которых учащимися должно проявляться усвоение того или иного объекта контроля.

Для описания целей изучения конкретного учебного материала можно указать различные подходы. Например, те качества, которые должны быть присущи сформированным в результате обучения знаниям учащихся: полнота, глубина, гибкость, осознанность и др. Тогда для контроля разрабатываются такие средства, которые покажут наличие или отсутствие прогнозируемых качеств.

Можно указать уровни усвоения знаний и соответствующих им видов деятельности. Психологи определяют следующие уровни усвоения знаний:

• узнавание, запоминание, воспроизведение материала;

• понимание и использование в сходной с уже рассмотренной ситуации;

• самостоятельное преобразование материала, перенос знаний на решение широкого круга задач в новую ситуацию.

11.3. Виды, формы и средства контроля

По месту в процессе обучения выделяют текущий и итоговый контроль знаний и умений учащихся.

Текущий контроль — это систематическая проверка и оценка образовательных результатов ученика по конкретным темам на отдельных уроках. Желательно, чтобы текущий контроль происходил на каждом (или почти на каждом) уроке. В свою очередь, текущий контроль подразделяется на предварительный, повторный и периодический.

Предварительный контроль имеет диагностические задачи и осуществляется, как правило, в начале учебного года или перед изучением новых крупных разделов. Цель предварительного контроля — зафиксировать начальный уровень подготовки ученика, имеющиеся у него знания, умения и навыки, связанные с предстоящей деятельностью. Предварительная диагностика уровня обученности учащегося важна для того, чтобы определить его приращение за определенный период времени. Оцениванию в данном случае может подлежать не сравнение образовательных достижений ученика с эталонами или стандартами, а сравнение его нынешнего уровня обученности с начальным, т. е. степень личностного приращения.

Повторный контроль предполагает проверку знаний параллельно с изучением нового материала. Это способствует прочности и системности знаний учеников. Периодический контроль осуществляется по целому разделу учебного курса. Его целью является диагностирование качества усвоения учеником структурных основ и взаимосвязей изученного раздела, его личностных образовательных приращений по выделенным ранее направлениям. Задача периодического контроля — обучающая, поскольку ученики обучаются систематизации, обобщению, целостному видению крупного блока учебной информации и связанной с ней деятельности.

Итоговый контроль может проводиться в конце каждой четверти и в конце учебного года. Он предполагает комплексную проверку образовательных результатов по всем ключевым направлениям.

Если в процессе контроля основное внимание уделяется деятельности ученика, то можно выделить:

• контроль по конечному результату (наибольшее внимание обращается не на ход и состав деятельности, а на ее результат);

• пошаговый контроль (контролируется выполнение отдельных операций, которые определяют то или иное действие);

• контроль, связанный с установлением определенных параметров деятельности.

Очевидно, что наиболее эффективен пошаговый контроль, так как в его процессе ученик осознает сущность и характер деятельности.

Формы контроля знаний и умений учащихся выделяются в соответствии с формами обучения:

• массовая (групповая и фронтальная): фронтальный опрос, зачет, экзамен, диктант, контрольная работа и т. п.;

• индивидуальная: индивидуальный опрос, зачет, экзамен, диктант, контрольная работа и т. п.

Выделяют различные способа контроля: письменный, устный, практический (выполнение различных практических, лабораторных работ).

Средства контроля знаний и умений включают в себя задание или несколько заданий, которые предлагаются учащимся с целью выявления соответствующих поставленным целям результатов обучения. Их можно классифицировать по форме ввода ответа на контролирующее задание. В этом случае выделяются задания свободного выбора ответа, тесты (ввод ответа определенным образом ограничивается).

Задания свободного выбора предусматривают свободное конструирование ответа учащихся. Такие задания в зависимости от характера учебно-познавательной деятельности учащихся при их выполнении могут быть разделены на вопросы (в основе деятельность воспроизведения) и задачи (выполнение этих заданий предполагает сформированность действий, составляющих основу деятельности по решению задачи).

ПРИМЕРЫ

1) Перечислите известные вам свойства ромба. (Вопрос.)

2) Постройте высоту, медиану и биссектрису одного из углов данного треугольника. (Задача.)

Тесты делятся на два вида: на припоминание, дополнение и избирательные. Тесты на припоминание и дополнение представляют собой задания учащимся заполнить пропуски в предложенном им связном тексте (их часто можно найти в тетрадях на печатной основе).

Избирательные тесты бывают: альтернативные, перекрестного выбора и множественного выбора.

Альтернативный тест — это задание, выполнив которое ученик из двух предложенных ему ответов должен выбрать один (по его мнению, правильный).

Тест перекрестного выбора (соответствия) представляет собой несколько заданий, после выполнения которых ученик устанавливает соответствие полученных им результатов предполагаемым результатам, записанным в произвольном порядке (число заданий и число предлагаемых учащимся ответов, как правило, совпадают).

Тест множественного выбора состоит из задания и списка ответов (среди ответов — один или несколько правильных). Ученик должен выбрать из этого списка те ответы, которые, по его мнению, являются правильными.

ПРИМЕРЫ

1) Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников — это признак равенства по ...» (Избирательный тест.)

2) Значение √(-5)(-5) равно: а) -5; б) 5. (Альтернативный избирательный тест.)

3) Установите соответствие. Если n: нечетное число; четное число, то а) (-х)п = xn; б) (-xn) = xn. (Тест перекрестного выбора.)

4) Среди данных одночленов укажите подобные: a2b; 2а2; -а2b; 2аb2; 5аbа.

а) Первый, третий и пятый;

б) первый, третий и четвертый;

в) второй, третий и четвертый;

г) первый и третий. (Тест множественного выбора.)

При осуществлении отбора и составлении средств контроля знаний и умений учащихся необходимо учитывать следующее:

• содержание задания должно соответствовать цели контроля (контролируемому результату);

• каждый ученик должен понимать задание однозначно;

• задания следует составлять таким образом, чтобы была возможность с их помощью получить максимум информации об объекте контроля;

• целесообразно однозначно определять критерии оценки выполнения учеником каждого задания.

Примером отбора и составления средств контроля знаний и умений учащихся могут послужить материалы для выпускного экзамена по математике в 11 классе. Имеется в виду Единый государственный экзамен. В частности, в 2002 г. экзаменационная работа по математике состояла из 25 заданий (23 алгебраических и 2 геометрических), на выполнение которых давалось 3,5 часа (210 мин). Они были распределены на части, которые различались по содержанию, сложности, числу и форме включенных в них заданий. Первая часть содержала примерно половину заданий работы и была нацелена только

на проверку курса алгебры и начал анализа 10—11 классов. Она включала 13 заданий обязательного уровня, которые являлись типичными по той или иной теме, методы их решений были хорошо известны, сами решения отрабатывались в процессе обучения. Все задания первой части имели одну и ту же форму — задания с выбором ответа из четырех предложенных вариантов.

Вторая часть проверяла усвоение отдельных вопросов содержания из различных разделов курса математики 5—11 классов. Она включала 9 заданий (несколько меньше трети всей работы), более сложных по сравнению с заданиями обязательного уровня из первой части. Все задания этой части — 7 алгебраических и 2 геометрических (планиметрическое и стереометрическое) — это задания с кратким ответом, т. е. ученик должен был предъявить только число, которое являлось ответом к каждому заданию.

Третья часть содержала три задания с развернутым ответом. Все они высокого уровня сложности и подобны наиболее сложным заданиям, которые предлагаются на выпускном экзамене в школе и на вступительных экзаменах в большинстве вузов. Эти три задания, в свою очередь, весьма различны по сложности. Первое рассчитано на то, что с ним должен справиться учащийся, оцениваемый школьной пятеркой, который не предполагает заниматься математикой в вузе. Второе задание по уровню сложности соответствует уровню сложности заданий на приемных экзаменах в вузах, при обучении в которых математика присутствует, но не является одним из основных изучаемых предметов. Третье задание рассчитано на учеников, предполагающих в будущем тесно связать свою профессиональную деятельность с углубленным изучением высшей математики.

ПРИМЕРЫ

Задание A1. Найдите область значений функции у = 2 sin х + 1.

Ответы: 1) [-1 ; 3]; 2) [-2; 3]; 3) [-2; 3]; 4) [2; 3]; 5) [-1 ; 2]. (Первая часть ЕГЭ.)

Задание B1. Найдите точку максимума функции f(x) = 2х3 + 3x2. (Вторая часть ЕГЭ.)

Задание C1. Решите неравенство

(Третья часть ЕГЭ.)

Таким образом, в качестве средств контроля знаний и умений выпускников средней школы предлагаются и задания свободного выбора ответа, и тесты.

Что касается критериев оценки, то задание с выбором ответов считается выполненным верно, если в бланке ответов (ко-

торый прилагается) отмечена цифра, которой обозначен верный ответ на данное задание. Правильный ответ на задание второй части — целое число. Проверка заданий первой и второй частей осуществляется с помощью компьютера. За верное решение такого задания выставляется один балл. Для проверки заданий третьей части разработаны подробные критерии, позволяющие детально оценить решение. На их основе задание оценивается по шкале от 0 до 4 баллов.

11.4. Оценка и отметка. Способы оценивания. Ошибки и недочеты

Процесс контроля знаний и умений учащихся связан с оценкой и отметкой. Эти понятия следует различать. Оценка — это процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как результат этого процесса (результат действия), как его условно формальное выражение. Оценка может выражаться качественно, например, вербально («Тебе удалось найти более рациональное решение», «Молодец»); символически (в 1—4 классах какие-то символы, например цветные кружки), эмоционально (улыбка, жест, взгляд). Отметка, как правило, выражается количественно по пятибалльной (десяти- и даже стобалльной) шкале, местом в рейтинге, процентами и т. д.

В российской школе традиционной является фактически четырехбалльная система отметок:

• владеет в полной мере — 5 (отлично),

• владеет достаточно — 4 (хорошо),

• владеет недостаточно — 3 (удовлетворительно),

• не владеет — 2 (неудовлетворительно).

Очевидно, что данная шкала не дает полного представления о многообразии образовательных результатов учеников. Балл скрывает объект оценки и без качественного анализа по нему нельзя судить об успеваемости ученика. При равном среднем балле знания могут быть различными, так как в одном случае отметка может быть за пересказ, другая — за применение знаний по образцу, третья — за нестандартное творческое решение задачи. Поэтому при выставлении каждой отметки желательно, чтобы она была прокомментирована. В связи с этим школы личностной ориентации вводят расширенные системы качественно-количественного оценивания: диагностические карты ученика, дневники личных достижений и т. д.

Роль оценки и отметки исследуется педагогами и психологами давно. Негативное влияние отметок (списывание, учение ради отметки и т. п.) приводит многих ученых к выводу о необходимости ликвидации отметок и развитии новых способов оценки. Имеется положительный опыт обучения без отметок (начальная школа — Ш. А. Амонашвили, Л. В. Занков); в опыте В. А. Сухомлинского — выставление отметок только за положительный результат работы (во всей школе); В. Ф. Шаталов ввел «листы открытого учета знаний» — бланк с отметками, который вывешивался в классе, и отметки всегда могли быть улучшены. В нашей стране безоценочная система существовала с 1917 по 1935 г. (проверка знаний велась в виде бесед, устных и письменных докладов, отчетов о прочитанных книгах, работы по системе карточек, круговых тетрадей и т. п.; перевод из класса в класс осуществлялся на основе выводов педсовета). И тем не менее, балльная система до сих пор не нашла достойной замены.

Можно говорить о различных способах оценивания в зависимости от того, с чем производится сравнение действий ученика при оценке. Если сравниваются действия, производимые учеником в настоящем, с аналогичными действиями, произведенными им же в прошлом, то речь идет о личностном способе оценивания. Если сравнение происходит с установленной нормой (образцом) выполнения действий, то это нормативный способ оценивания. В случае сопоставительного способа оценивания происходит сравнение действий ученика с аналогичными действиями, которые выполняют другие ученики.

Понятно, что в текущей учебной работе учитель, как правило, использует личностный способ оценивания, а при подведении итогов изучения темы, итогов четверти и т. д. — нормативный способ.

Возникает вопрос, а надо ли сравнивать детей между собой (использовать сопоставительный способ оценивания)? Наблюдения показывают, что постоянное акцентирование недостатков одних учеников и достоинств других неблагоприятно сказывается на нравственно-личностном развитии каждого учащегося и на межличностных отношениях, складывающихся между детьми в классе. Ответ на этот вопрос помог получить психолого-педагогический эксперимент, проводившийся в трех классах, в каждом по особой программе.

Наиболее благоприятная картина по всем показателям обнаружилась в том классе, в котором сравнивались друг с другом дети, обладающие приблизительно одинаковыми способ-

ностями, но достигшие в учебной деятельности разных результатов из-за различного отношения к учению. В этом классе главным предметом обсуждения и сравнения являлось отношение к учебному труду. На реальных достижениях учеников демонстрировались и поощрялись такие результаты, которые обеспечивались именно отношением к учению: добросовестностью, старательностью, ответственностью. Кроме того, очень высоко оценивались учителем возникавшие по инициативе детей различные формы сотрудничества и взаимопомощи.

Таким образом, сравнение здесь не принижало ученика, а, наоборот, раскрывало перед ним его возможности. Для того чтобы это усилить, учитель не выставлял ученику отрицательной оценки, добиваясь того, чтобы он достиг хорошего результата, который доводился до сведения класса. В этом классе, в котором никого особенно не превозносили и никого не принижали, учеников с неадекватной самооценкой оказалось меньше, чем в других, и отношения между детьми были наиболее доброжелательными.

Близким к этому по перечисленным показателям оказался класс, в котором успехи каждого ученика сравнивались только с его прежним уровнем успешности. Конфликтов, связанных с недовольством ученика поставленной учителем оценкой, а также конфликтов между детьми, связанных с преимущественным положением одних и приниженностью других, в этом классе тоже не наблюдалось.

Совсем другая ситуация сложилась в том классе, в котором сопоставлялись результаты хорошо успевающих с результатами отстающих. В нем детей с отрицательным отношением к учению оказалось к концу учебного года в два раза больше, чем в тех классах, о которых шла речь выше.

Как писал В. А. Сухомлинский: «Следует иметь в виду некоторые подводные камни самой логики педагогического процесса: обучение проникнуто постоянной, повседневной проверкой, контролем, ежечасным сравнением успехов одного ученика с успехами другого. За всем этим таится опасность разочарования, неуверенности в своих силах, замкнутости, равнодушия, озлобления, то есть таких душевных сдвигов, которые приводят к огрублению души, утрате чуткости».

Учителю следует избегать использования групповой нормы оценивания, когда рассматривают достижения ученика в узком интервале времени в сравнении с существующим уровнем достижений класса. При использовании этой нормы ученикам ясно, кто в их классе принадлежит к группе лучших,

а кто к группе худших. Педагоги, оценивающие учеников на основе групповой нормы, стремятся к стандартизации заданий. Они дают всему классу задания приблизительно одинаковой трудности, одного и того же типа, стремясь создать ситуацию «равенства предложения», что дает возможность непосредственного сравнения и оценки учащихся. В результате более сильные ученики часто работают над легкими для них заданиями, а более слабые — над более сложными для них заданиями. Так постепенно складываются разные способы взаимодействия учителя с группой неуспешных и группой успешных учеников. С точки зрения мотивации учения учебная ситуация такого типа для одних учащихся оказывается слишком сложной, для других — слишком простой. В первом случае актуализируется потребность избежать неуспеха, во втором — потребности вообще не актуализируются.

Итак, оценка и отметка определяются знаниями и умениями ученика, которые он показал в процессе контроля. Одним из показателей, по которому учитель имеет возможность судить об этих знаниях, умениях, служат погрешности, допущенные учащимися при работе со средствами контроля, предложенными учителем.

Погрешности делят на ошибки и недочеты.

Ошибкой принято считать погрешность, свидетельствующую о том, что ученик не овладел теми знаниями и умениями (связанными с контролируемым разделом, темой), которые определены программой по математике для средней школы. Примером ошибки может служить ответ ученика, когда он центром описанной окружности треугольника называет точку пересечения высот этого треугольника. Или при нахождении sin x, если cos х = b и х — лежит в третьей четверти, ученик пишет sin x = √1 — b2.

Недочетом считают погрешность, указывающую либо на недостаточно полное, прочное усвоение основных знаний и умений, либо на отсутствие знаний, которые программой не относятся к основным. К недочетам относят также неаккуратную запись, небрежное выполнение рисунка или оформления решения задачи и т. д.

Приведенное деление погрешностей на ошибки и недочеты является условным. Это нужно иметь в виду в процессе оценивания. Следует помнить, что размытость границы между ошибкой и недочетом может быть одной из причин необъективной оценки (а как следствие — и отметки) знаний и умений ученика. В зависимости от объекта контроля и от конк-

ретных обстоятельств погрешность, которая допущена учеником, может быть отнесена учителем к разряду ошибок или недочетов. Например, ученик допустил погрешность при выполнении умножения десятичных дробей: подписал одно из неполных произведений под несоответствующим ему разрядом множителей. На этапе изучения и усвоения указанного действия эта погрешность считается ошибкой. Если же она допущена при решении достаточно сложной задачи (алгебраической, геометрической) и не привела к искажению смысла предложенного ученику задания, способа его выполнения, то ее можно отнести к недочетам.

Можно говорить и о других показателях, с помощью которых учитель судит о знаниях и умениях учащихся. Это изложение изученного материала грамотным языком в определенной логической последовательности, обращение к иллюстрации теоретических положений конкретными примерами, правильное применение теории в новой для ученика ситуации (например, при выполнении практического задания), самостоятельность в процессе выполнения задания и т. д.

Таким образом, контроль и оценка необходимы. Вопрос состоит в том, в какой форме они должны осуществляться. Основные традиционные формы — опрос и отметка — вносят много отрицательных моментов в учебно-воспитательный процесс, хорошо известных каждому учителю. Наиболее серьезные негативные последствия имеют проявления процентомании в установках учителя, использование им угроз, нотаций, недоброжелательной иронии в адрес ученика, сравнение успеваемости и способностей учащихся, неравных в этом отношении, отсутствие оценки после опроса.

Положительное влияние на учебную деятельность и личностное развитие детей оказывают развернутые содержательные оценки учителем ответов и работ (которые применимы и при наличии системы отметок), сопоставление успехов ученика с его старыми достижениями, констатация правильности выполнения задания и эмоциональная поддержка ученика в ходе работы, использование в разных формах самооценок учащихся. Следует подчеркнуть, что влияние оценок учителя становится благотворным при наличии доверия к нему у школьника. В возникновении отношений доверия между учителем и учеником важную, часто решающую роль играют особенности личности учителя, его ожидания, общая позиция, стиль его общения с классом, способность создать атмосферу психологического комфорта.

Ключевая информация

Под контролем знаний понимают процесс выявления и сравнения результатов учебной деятельности с требованиями, заданными учебными программами. Различают типы контроля: внешний, взаимный, самоконтроль. Контроль выполняет следующие функции: информационная, диагностическая, образовательная, мотивационная, воспитательная и прогностическая. Определяют виды контроля: текущий (предварительный, повторный, периодический) и итоговый.

Оценкой называют процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как результат этого процесса, как его условно формальное выражение. Оценка и отметка определяются знаниями и умениями ученика, которые он показал в процессе контроля.

Одним из показателей уровня знаний и умений учащихся являются погрешности, которые условно можно разделить на ошибки и недочеты.

Рекомендуемая литература

1. Денищева Л. О., Корешкова Т. А. Зачеты в X—XI классах // Математика в школе. — 2002. — № 8. — С. 21—27.

2. Дорофеев Г. В. Оценка решений стандартных задач в старшей школе // Математика в школе. — 1999. — № 2—4.

3. Мищенко Т. М., Семенов А. В. Индивидуальные карточки по геометрии для VII—IX классов // Математика в школе. — 2001. — № 6, 8, 10.

Лекция 12

Специфика восприятия и усвоения алгебраического и геометрического материала в школе

Способность к восприятию математики распространена в человечестве, пожалуй, в большей степени, чем способность получать удовольствие от приятной мелодии, она присуща огромному большинству.

Г. Харди

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Какой материал, алгебраический или геометрический, является для вас более трудным для усвоения? Как вы это можете объяснить?

2. Что вас привлекает (не привлекает) в алгебре, геометрии?

3. Верно ли рассуждение: если а > b, тогда 2а > 2b?

4. Останкинская телебашня высотой 530 м весит 30 000 тонн. Сколько будет весить точная копия этой башни высотой 53 см?

12.1. Особенности развития подростков и специфика обучения алгебре, связанная с ними

Чтобы выявить особенности преподавания алгебры в восьмилетней школе, надо знать особенности общего и умственного развития учеников 7 класса.

К изучению алгебры школьники приступают в возрасте 12—13 лет. Это переходный возраст от детства к раннему юношескому возрасту. По сравнению с младшими школьниками подростки отличаются быстрым ростом физических, умственных и волевых качеств. В переходный период головной мозг человека обогащается многими ассоциативными функциями, значительно повышается роль второй сигнальной системы. Постепенно происходит изменение мышления: в конкретно-наглядном содержании его, свойственном ребенку раннего школьного возраста, под влиянием обучения создаются предпосылки для образования понятий. Подросток начинает пользоваться рассуждениями для выяснения причинно-следственных зависимостей; появляется стремление пояснить, обосновать, доказать. К концу переходного периода роль абстрактного мышления значительно возрастает, а сам процесс мышления улучшается.

Растут познавательные интересы. Ребенок в этом возрасте исследователь. Его основной вопрос: «А что, если...?» Подросток проявляет живой интерес к научно-популярной и популярно-технической литературе. Ему надо знать не только то, как устроена машина, но и как сделать ее модель. Подросток стремится к деятельности: он строитель, конструктор, экспериментатор.

Получив большую самостоятельность в семье, подросток имеет предпосылки для большей самостоятельности и в учении, в связях с окружающей средой, с обществом. У подростков формируются представления о личности; подросток чувствительно реагирует на оценку его личности со стороны коллектива.

Учитывая особенности умственного развития учащихся, особенно 7 классов, следует принять во внимание, что в обучении алгебре значительную роль должен играть конкрет-

но-индуктивный метод. Применяя его, педагог опирается на рассмотрение примеров (часто арифметических), частных случаев, задач с конкретным содержанием и ведет учащихся через обобщения к новым понятиям, правилам, алгоритмам. Преподавание алгебры по сравнению с геометрией беднее наглядностью. Это объясняется сущностью тех понятий и отношений между ними, тех алгоритмов, с которыми приходится иметь дело в курсе алгебры. На самом деле, уже на первых уроках появляется некое отвлеченное число а. Это не какое-то вполне определенное число, полученное в результате счета или измерения. Число а — любое число из некоторого множества чисел. Обозначение его буквой требует более высокой ступени абстракции, чем первые геометрические понятия: оно опирается на ранее сформированное понятие числа, тогда как первые геометрические понятия формируются на базе вещей и их отношений.

В курсе алгебры иной характер носит материал, привлекающийся для конкретизации вводимых понятий. Если в преподавании геометрии таким материалом служат предметы, модели, чертежи, то в курсе алгебры приходится опираться на примеры, сравнения с арифметическими понятиями и правилами, использовать неполную индукцию. Таким образом, преподавание алгебры в значительной мере лишено непосредственной связи с материальным миром, оно опирается на опосредствованные связи — через арифметические понятия и правила.

Педагогу при обучении алгебре следует дорожить наглядностью, ибо ее применение ограничено содержанием курса. Необходимо использовать все возможности применения наглядного материала для показа изменения и зависимости величин, используя числовую ось, графики функций, геометрические иллюстрации при решении задач.

При ознакомлении учеников с теоремами педагог нередко использует такой прием: рассматривает частные случаи, каждый из которых доказывает, а затем обобщает накопленный материал. Например, при изложении теоремы о возведении степени в степень ученики рассматривают и обосновывают случаи: (a3)2, (c4)3, (m2)4, a затем, опираясь на неполную индукцию, формулируют теорему: (am)n = аmn. При рассмотрении частных случаев используется дедукция — общее рассуждение.

Для повышения теоретического уровня обучения желательно, чтобы доказательства на примерах с последующими индуктивными обобщениями перерастали в общие доказа-

тельства. Например, рассмотрение возведения степени в степень завершается изложением теоремы (am)п = атп, где m и n — натуральные числа в общем виде.

Примеры умножения степеней с одинаковыми основаниями заканчиваются доказательством теоремы аm*аn = am + n, где m и n — натуральные числа. В курсе алгебры неполной средней школы дедукция в доказательствах и выводах применяется весьма неравномерно. Например, при изучении тождественных преобразований многочленов. В 7 классе она используется многократно, а при изучении уравнений, алгебраических дробей, координат и графиков функций в 8 классе ее роль незначительна. Чтобы не порывать с применением дедукции и в некоторой мере сгладить в этом отношении особенности тем программы, целесообразно использовать задачи на доказательство. В одних случаях эти задачи подбирают из ранее изученных глав, в других — из содержания изучаемых тем. Например, при изучении уравнений в 7 классе можно использовать задачи на доказательство тождеств. Это полезное повторение темы о многочленах и хорошая подготовка к изучению разложения на множители.

При изучении алгебраических дробей естественны задачи на доказательства законов сложения, умножения и других тождеств. Целесообразно вести обучение так, чтобы ученики постепенно осознали, используется ли в данном конкретном случае индуктивное заключение или же применяется дедукция (вывод, доказательство). Опыт показывает, что при правильном обучении этого можно достигнуть в начале 8 класса.

12.2. Специфика обучения алгебре как предмету

Содержание школьного курса алгебры и специфика его усвоения во многом определяются особенностями предметного характера и проистекающими из них проблемами.

Следует учитывать, что способность к абстрагированию еще недостаточно развита у учащихся данного возраста. Поэтому при усвоении абстрактных понятий целесообразно сводить их к более низкому уровню абстракции, например алгебраического материала к арифметическому.

В математике существует традиция изображать одинаковыми способами выражения, символы, имеющие разный смысл. Недаром говорят, что в математике часто одинаково называют разные вещи и, наоборот, одну вещь обозначают по-разному.

Так, записи 5√3 и 5 1/2 внешне схожи, но первая отражает произведение компонент, а вторая — их сумму. Этот пример по-

называет, что требуется специальная работа по усвоению терминологии и символики, в ходе которой нужно обращать внимание на аналогичность формы при различии содержания.

Алгебра — наиболее алгоритмизированный раздел математики. Поэтому имеется проблема совместимости алгоритмизации материала в алгебре с необходимостью мыслить нестандартно. Применение некоторых алгоритмов доведено до навыка и, значит, мешает развитию осознанности, блокирует критическое мышление.

В какой-то мере проблему можно решить, если избегать однотипности формулировок. Кроме того, после введения алгоритма обязательно предлагать задачи, для решения которых можно, но нерационально использовать алгоритм (т. е. показать ограниченность действия, «слабость» алгоритма). Невнимание к данной проблеме приводит к грубым ошибкам учащихся, таким как: √3 + √5 = √8.

Математические формулы имеют две равнозначные части. Национально-типологической особенностью российских школьников является просмотр информации слева направо. Учащиеся гораздо чаще используют теоремы-тождества, например √a2 = |а|, слева направо, чем справа налево.

Необходимо заострять внимание учащихся на обратном прочтении формул, теорем. Нужно менять направление записей, использовать встречающиеся возможности показа целесообразности чтения записи в обратном направлении, например при решении уравнений. Так, при переносе неизвестных в правую часть уравнения 5 - x = х + 2 не нужно деления на отрицательное число при его решении.

Изложение и характер материала курса алгебры имеют преимущественно аналитический характер, что во многом определяет трудности для его восприятия и усвоения «образниками». Поэтому необходимо пытаться организовывать целостное восприятие материала.

Часто школьники сталкиваются с определенными трудностями изложения материала в учебниках:

• дедуктивность изложения в материалах учебников не всегда согласуется с возрастом учащихся;

• неосознанность целей изучения вызывает отсутствие мотивации;

• малое количество жизненных ситуаций, вызывающих личностную заинтересованность учащихся.

Обучение математике означает и обучение математическому языку. Недостаток традиционной методики в том, что

в ней не подчеркивается различие между языковым выражением, с помощью которого обозначается объект (именем), и самим объектом (денотат имени), например между выражением x2 + 3х + 2 и функцией, определяемой этим выражением. Большие трудности вызывает символическое использование обозначений переменных величин. По существу, переменная не обозначает непосредственно элемента какого-нибудь множества. Она ставится в математическом тексте на то место, которое разрешается заполнять элементами из некоторого, безразлично какого, но определенного данного множества (области значений переменной).

В начальной школе задание: какое число нужно поставить вместо точек в уравнении 7 + ... = 10 (а не выбрать из множества А = {1,2,3} число так, чтобы получилось верное равенство или истинное высказывание) — приводит к тому, что проверяют только число 3. Полезны задания, в которых надо заполнить пустые места, окошечки. Р. Девис, руководитель проекта по модернизации образования, отметил, что от окошек легко перейти к буквам.

Оперируя переменными, надо иметь в виду области значений этих переменных. Если переменная — элемент математического языка, а ее область значений — какая-то предметная область, свойства которой выражаются на этом языке, то связь между переменной и ее областью значений есть связь между языком и тем, что он выражает. Не учитывать эту связь — означает оторвать язык от описываемой его средствами действительности, форму от содержания, что приводит к формальным знаниям.

Нередко у учащихся возникают трудности, связанные с особенностями подачи материала.

Если посмотреть в школьных учебниках формулировки задач к теме «Тождественные преобразования», то можно обнаружить, что чаще всего встречаются следующие: «Упростить...», «Доказать...», «Найти произведение...», «Выполнить действия...», «Решить уравнение...», «Разложить на множители...». Очевидно, формулировки достаточно сухие. Не хватает различных видов формулировок задач, самих форм работы, элемента занимательности, элементарной «изюминки», которая смогла бы заинтересовать учащихся в овладении математическими знаниями.

Независимо от того, как организовано обучение, отработка полученных знаний занимает, как минимум, 50% учебного времени. Чтобы этот процесс не был нудным, а стал эффективным и интересным, следует использовать игровые формы про-

ведения закрепляющих уроков. Поэтому игра — не враг, а помощник, но и эту помощь нужно использовать умеренно, целенаправленно, продуманно.

Если обратить внимание на задачи, предложенные в каждом параграфе школьных учебников, то можно обнаружить, что среди задач для закрепления темы встречается большое количество однотипных. С одной стороны, однотипность при обучении математике необходима, с другой — она приводит к снижению интереса, внимания, к ошибкам, ослабляет активность мыслительной деятельности. Таким образом, нужно сохранить однотипность системы упражнений и вместе с тем нейтрализовать ее отрицательные последствия. Игровая деятельность позволит сохранить внимание и интерес, «скрыть» однотипность и будет способствовать хорошему усвоению. С помощью различного оформления заданий и разнообразных их формулировок можно «смягчить» однотипность. Применение упражнений разных типов помогает избежать отрицательных влияний однотипности.

Исследования показывают, что лучший результат усвоения достигнут учащимися в ситуации, когда число выполняемых ими однотипных упражнений равно трем.

12.3. Объективные особенности геометрических представлений

Окружающий ребенка мир наполнен образами геометрических фигур и отношений. Изначально геометрия формировалась как наука о непосредственно наблюдаемом пространстве, поэтому первой научной концепцией геометрии была евклидова геометрия, отражающая мир, доступный непосредственному опыту в ограниченном пространстве. Смысл основных понятий отражает то, откуда они возникли [1]. И при этом геометрия из математических дисциплин вызывает наибольшие трудности у школьников. Обычно причины такого положения связывают с содержанием курса геометрии средней школы, методикой его обучения. Но трудности усвоения закладываются еще в начальной школе, имеют предметный и психологический характер, связанный со спецификой геометрического материала.

В современной философии образования различают пространство реальное, существующее «на самом деле», пространство концептуальное, т. е. некоторые научные представления о реальном пространстве (в основном, это физические и математические абстрактные пространства, в частности геометрические пространства), и пространство перцептивное, т. е. про-

странство как его воспринимает человек своими органами чувств, и прежде всего зрением и осязанием, которое может быть сугубо индивидуальным.

При разработке учебных предметов необходимо понимание, что предметные знания нужны ребенку, в первую очередь, для познания реального пространства, а обеспечиваются они в начале обучения через освоение перцептивного пространства. Это требует осознания и учителями, и учащимися особенностей геометрического пространства, изучаемого в школе (одной из моделей евклидовой геометрии). Непонимание отличия геометрического пространства от реального и перцептивного является основной причиной трудностей изучения (предметного характера). Каковы же эти особенности?

Геометрические фигуры являются идеальными объектами. Среди реальных предметов подобных объектов нет. Но усвоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Ведь понимание обеспечивается связью научных знаний с имеющимся у ребенка личностным опытом. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных (по Штоффу) моделей этих объектов. Каковы же критерии выбора моделей? В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно. На их основе ребенок создает образы и представления, на которые опирается, работая с понятием. (Геометрия как наука не оперирует представлениями, но учебный предмет геометрии постоянно к ним обращается.) В результате неудачного выбора учащиеся относят к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает предмет, но не сама геометрическая фигура. Например, пятиклассники часто путают квадрат и куб. Это, в первую очередь, вызвано тем, что по традиционной программе учащиеся в начальной школе работают в плоскости, что уже опасно (отсутствует возможность сравнения плоских и объемных фигур). Предъявляемые им в качестве квадрата рисунки, дощечки, картонки определенной формы имеют толщину, и у ребенка не формируется представление о таком существенном свойстве квадрата, как быть плоской фигурой.

Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся в школе, являются отрезок, точка. Их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале знакомства с геометрическим материалом ведет к трудностям в усвоении. Детям не скажешь, что точка в геометрии — неопределяемое понятие, им необходимо объяснить, показать, чем геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек

в рисовании, в русском языке, предъявить модель точки. В некоторых учебниках по математике для начальной школы и для 5—6 классов точка описывается как острие карандаша. И учителя, и ученики ориентируются в этом случае на точку как на что-то маленькое. Но рассматривая такую точку под микроскопом или с позиции сидящего на ней «микроба», вряд ли можно не заметить ее размеров. И как следствие можно наблюдать ситуацию, когда ученик утверждает, что его точка меньше, так как у него карандаш отточен острее, хотя понятие «больше», «меньше» неприемлемо к объекту, не имеющему размеров. Или при выполнении практического задания, подводящего к выводу о том, что через две точки можно провести только одну прямую, учащиеся получают в качестве ответа несколько прямых. Такой подход не обеспечивает понимания учащимися специфики геометрических объектов, не отражает связи реального и геометрического пространств.

В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты. Например, вытянутый «на полквартала» стандартный дом может представлять модель точки, если в рассматриваемой ситуации важно знать его местоположение в городе, а может быть моделью отрезка, если сообщается его положение относительно проходящей рядом улицы (дом расположен перпендикулярно проспекту Космонавтов), или моделью прямоугольника, если речь идет о площади, занимаемой домом, или моделью прямоугольного параллелепипеда, если требуется выполнить его макет. Таким образом, мы мыслим предмет как некую геометрическую фигуру, когда нам в предмете важны только те свойства, которые являются существенными свойствами этой геометрической фигуры. Отсюда вытекает критерий выбора материальных моделей (реальных предметов) геометрических фигур.

Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в которой эта модель предъявляется. Этот контекст выделяет в предмете существенные свойства изучаемого геометрического объекта.

На основе выбранных моделей учащиеся создают образы фигур, которые в дальнейшем включаются в процесс оперирования. Но оперирование геометрическими объектами отличается от оперирования в перцептивном и реальном пространствах. Если, например, попробовать осознать («прорефлексировать») образ треугольной пирамиды, который возникает у человека в голове при задании «представить треугольную пирамиду», то его нельзя материализовать как плоское изображение. Он,

скорее, «увидит» пирамиду как бы одновременно со всех сторон, т. е. выйдет в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета.

Ориентация в геометрическом пространстве требует постоянной смены точки отсчета, что отличает его от перцептивного пространства, где преимущественно точка отсчета сосредоточена в наблюдателе. Умение переходить от точки отсчета, сосредоточенной в наблюдателе, к пространству с постоянно меняющейся точкой отсчета С.Л. Рубинштейн называл «стержнем общего понимания пространства». Если в перцептивном пространстве действует ориентация «по схеме тела» (справа от себя, впереди себя и т. д.), а в реальном работают также объективные «земные» ориентиры (горизонтальность, к югу, севернее и т. д.), то в геометрическом пространстве система отсчета постоянно меняется, что требует особой подготовительной работы и особого содержания геометрического материала.

Названия геометрических фигур, их элементов не зависят от расположения относительно земной поверхности. Основание геометрической фигуры (пирамиды, равнобедренного треугольника и т. п.) определяется не тем, что на нем «стоит» фигура (как в реальных предметах), а связями (соотношениями) между ее элементами. Но это отличие часто не осознается в процессе обучения. Уже в начальной школе дети рисуют на клетчатой бумаге и используют принцип горизонтальности и вертикальности на уроках математики. (В 20-х гг. прошлого века, изучая геометрию в 3 классе, ученики рисовали только на нелинованной бумаге, в 50-х после рисования по клеточкам дети переходили к рисованию на нелинованной бумаге.) Постоянное изображение горизонтально расположенных линий и поверхностей приводит к формированию представлений учащихся о положении фигуры как ее существенном свойстве. Младшие школьники часто прямыми называют только горизонтально или вертикально расположенные прямые линии. Ученики старших классов часто не могут на доске показать решенную дома стереометрическую задачу, потому что учитель заранее нарисовал чертеж к этой задаче, но в другом положении, чем у ученика. А какие мучения вызывает проведение перпендикуляра к прямой. Кажется, учащиеся поняли, какие прямые перпендикулярны, но как только взяли в руки угольник, так перпендикуляр к наклонной прямой оказался расположенным горизонтально или вертикально. Это результат стандартных изображений в учебниках, собственной практической деятельности и жизненного опыта, где превалирует горизонтальность и вертикальность. Поэтому желательно на

уроках геометрии избегать изображать линии горизонтально и вертикально. Кроме того, вряд ли правомерно говорить о вертикальных и горизонтальных линиях, проведенных в тетради, лежащей на горизонтальной поверхности стола. Согласно естественнонаучным взглядам, любая прямая линия, расположенная на горизонтальной поверхности, является горизонтальной. Рассматривая горизонтальность и вертикальность поверхностей предметов, надо иметь в виду, что их расположение зависит от положения, в котором находится предмет. А при использовании этих понятий необходимо договориться с учениками, что, работая в тетради, надо считать ее расположенной, как классная доска.

12.4. Восприятие и усвоение геометрического пространства

Необходимость осознания учащимися особенностей геометрического пространства требует постановки такой цели обучения геометрии, как развитие рефлексивных способностей.

Рассматривая особенности восприятия и усвоения геометрического пространства, можно выделить три основных аспекта, с которыми они связаны.

Во-первых, это внимание в процессе обучения к естественному развитию ребенка. Мир школьной геометрии менее абстрактен, чем алгебры. Но он требует постоянного обращения к образам, особенно в начале знакомства с ним. Образная деятельность является достаточно сложной, трудно поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, как субъективность, многозначность, целостность восприятия; ее труднее формализовать, чем аналитическую деятельность. В школьном курсе математики с его направленностью на «аналитику», в решении однотипных задач отсутствуют методики, описывающие организацию условий, способствующих развитию умений создавать и оперировать образами. Этот процесс требует правополушарных стратегий, которые непосредственно связаны с возрастом ребенка.

Некоторые считают, что ребенка можно научить многому тогда, когда взрослый считает нужным. Но гуманнее и эффективнее учить в то время, которое определено природой. Никто не пытается учить ходить только родившегося ребенка. При обучении этот принцип часто остается без внимания. В психологии описаны сенситивные, наиболее чувствительные к развитию определенных психических функций, периоды, которые необходимо учитывать в процессе обучения.

Указанные выше умения связаны с деятельностью образных компонентов мышления, которая в возрасте 6—12 лет является приоритетной (А. Н. Ткаченко, Ю. А. Самарин), их активизация лежит в основе творческой деятельности. Поэтому тезис, бытующий в школе: «Сначала научим детей алгоритмам, а потом будем заниматься творчеством», вряд ли правомерен с точки зрения естественного развития ребенка. В основе создания и оперирования образами лежит деятельность руками, дающая кинестетические ощущения. Образ создает ребенок сам, и проверить его целесообразно при конструировании требуемых моделей (словами он может не суметь описать его). Поэтому при изучении геометрии ученик должен постоянно включаться в практическую деятельность, и желательно в сенситивный период. Вряд ли десятиклассникам доставляет удовольствие делать развертки, лепить (с целью обеспечить понимание), так как в этом возрасте уже утрачен приоритет наглядно-действенного мышления.

Создание условий для организации деятельности младших школьников, направленной на создание и оперирование образами, в которых выделены форма, расположение в пространстве, взаимное положение элементов (пространственные образы), подготовит учащихся к работе в геометрическом пространстве. За эту деятельность отвечает пространственное мышление (ПМ). Поэтому развивающей целью обучения геометрии этого возраста является развитие ПМ, но как разновидности образного (в развитых формах ПМ выступает как интеграция понятийного и образного видов мышления). Организуется оно на основе психологических исследований, но и с учетом специфики геометрического материала. Обучающая цель — формирование самими учащимися системы обобщенных представлений или концептуальных образов (известных в педологии как предпонятия), а не формирование понятий, как принято в традиционном обучении. С методической точки зрения это соответствует созданию объемов понятий, которые будут изучаться в старших классах.

Внимание к психологической основе реализации развивающих целей позволит, во-первых, проследить продвижение ученика в плане развития пространственного мышления (И. С. Якиманской выделены уровни развития ПМ, сформированность которых можно проверить через решение задач соответствующего типа) [6]; во-вторых, выделить общую линию развертывания учебного геометрического материала, который в действующих программах представляет преимущественно

отдельные сведения из разных тем геометрии или определяется логикой науки геометрии, хотя само понятие «пространственное мышление» и процесс его развития относятся к области психологии. Например, пространственные представления (ПП) развиваются в следующей последовательности: от топологических ПП — к метрическим, через проективные (Ж. Пиаже, Л. М. Веккер). В школе этот процесс имеет обратную последовательность.

Топологические свойства обладают большей фундаментальностью, чем метрические [3]. В топологических структурах с точки зрения математики отражаются наши представления об окрестности, пределе, непрерывности. Но в учебниках отсутствуют задания, направленные на создание у учащихся интуитивных представлений о непрерывности как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности и связности. А именно эти представления должны «работать» в школьной геометрии в дальнейшем. Они лежат в основе понимания фигур, определяемых как части плоскости или пространства, ограниченных определенными линиями или поверхностями. В то же время измерения с помощью линейки занимают значительное место на уроках, но эта деятельность вряд ли является значимой для учеников. Более того, как показали исследования Е. Ф. Рыбалко, присоединение к глазомеру инструментальной деятельности младших школьников приводит к его снижению и колебанию точности. Например, предлагая пятиклассникам, выпускникам начальной школы, определить на ощупь размеры бруска в форме параллелепипеда, учителя получали ответы с ошибками до 7 см. Метрические представления требуют опыта «представливания», что отражает второй аспект особенностей восприятия и усвоения школьниками геометрического пространства.

Опыт ребенка, возможности его психологической организации играют важную роль в процессе обучения геометрии. Сам процесс требует образной деятельности. Но образ — субъективное образование, входящее в личностный опыт ребенка. Этот опыт начинает формироваться в первые дни жизни ребенка при его взаимодействии с пространством. В школу ребенок приходит с уже определенным видением пространственных отношений, геометрических форм, с умением ориентироваться в пространстве, т. е. определенным опытом жизнедеятельности. Противоречие между сложившимся опытом ребенка и приобретаемым общественно-историческим в области геометрии является движущей силой раз-

вития. Любую информацию, прогнозирование и оценивание своих действий человек переводит на «свой язык» на основе этого опыта.

При тестировании учителям после описания понятия «грани» предлагалось ответить на вопрос, сколько граней у различных фигур. Были названы 8 многогранников, цилиндр и шар. Более 60% опрошенных ответили, что у цилиндра две грани, а около 20% нашли у цилиндра три грани, а у шара одну. Объясняется это различным опытом: один «связал» с гранью образ плоской поверхности, другой — любой поверхности, хотя грани имеют только многогранники и многогранные поверхности. То же происходит и с учениками при чтении задач и знакомстве с новыми понятиями через определения. Какой они создадут образ — неизвестно, но именно он будет «работать» при решении задач. Поэтому вербального описания геометрических понятий и их изображений при введении понятия недостаточно, если нет уверенности в адекватном «переводе» их учениками на «собственный язык». К сожалению, при обучении не выявляется, насколько образы, созданные учеником, адекватны соответствующим геометрическим понятиям.

Например, в некоторых учебниках начальной школы встречаются задания на пересечение линий. В ситуациях, когда жизненное понятие «пересечение» совпадает с математическим, кажется, что усвоение этого понятия не представляет трудностей. Но стоит предложить учащимся определить пересечение лучей, отрезков в случае, когда они принадлежат одной прямой, фактически правильные ответы отсутствуют.

ПРИМЕР

Найдите на рис. 14 пересечение лучей AB и CD.

Это объясняется тем, что объем жизненного понятия «пересечения» не включает таких ситуаций. А жизненные понятия и представления сильнее «внешних» знаний (общественно-исторического опыта), пока последние не станут личностно-значимыми. Поэтому основная задача учителя, работающего в личностно-ориентированной педагогике, — помочь ученику научиться связывать изучаемое понятие с образами, входящими в личностный опыт ученика. В случае их отсутствия организовать условия для их образования, т. е. научиться подбирать собственную модель

Рис. 14

(модели) понятия. Это требует работы по выявлению опыта учащихся.

Во-первых, в случаях расхождения жизненных и геометрических понятий необходимо организовать практическую деятельность (основа формирования образов), в которой ученик сможет создать образы, адекватные математическому понятию. В рассмотренном на рис. 14 примере можно предложить учащимся закрасить каждый луч своим цветом и договориться считать часть, где есть оба цвета, пересечением лучей, также можно рассмотреть пересечение как совместный путь и т. п.

Во-вторых, если представление ученика адекватно геометрическому понятию, то на него надо опираться при изучении понятия и предоставить ученику самому сконструировать определение, выбрав из существенных свойств понятия минимальный их набор, который будет задействован в определении. Ученик, имея представления о существенных свойствах понятия, выберет те, которые ему понятнее. Например, в эксперименте было предложено учащимся 5 класса, владеющим существенными свойствами параллельных прямых на уровне образов, сконструировать описание параллельных прямых. Они дали описание параллельных прямых через такое свойство, как «одинаковость расстояния между прямыми», а не как принято в традиционной программе.

Опыт ученика не учитывается и в последовательности знакомства с геометрическими фигурами. Ребенок действует в трехмерном мире. И согласно психологическим исследованиям, плоскостные представления человека появляются как производные от объемных. Поэтому в геометрическом содержании целесообразнее двигаться не от точки к объемной фигуре, не от развертки к геометрическому телу, а наоборот, использовать идею фузионизма. Знакомство же с геометрическим материалом с точки и отрезка в 1—6 классах свидетельствует о построении содержания от предмета геометрии, а не от ребенка. Учащиеся, знакомясь уже на первых уроках с фигурами, обладающими достаточно высокой степенью абстракции, затрудняются связать этот материал со своим опытом, ведь в жизни они преимущественно осознают опыт деятельности с предметами (моделями объемных фигур), а не с их элементами, в частности поверхностями (моделями плоских фигур). И в 5—6 классах, и в старших учащиеся часто не относят точку и отрезок к геометрическим фигурам. Этому способствует и решение заданий, которые встречаются в разных программах.

ПРИМЕР

Определите, сколько треугольников на рис. 15. А сколько всего фигур?

На первый вопрос дети в основном отвечают верно (два треугольника). А отвечая на второй вопрос, они считают только многоугольники (три фигуры). Как показывает практика, такой ответ ждут и многие учителя. Но ведь любой треугольник ограничен отрезками, которые также изображены на рисунке, как и точки. Поэтому либо не надо задавать второй вопрос, либо рассматривать в качестве ответа бесчисленное множество фигур. Аналогичные задачи предлагаются с квадратами.

В случае непонимания учащимися учителя обращаются к образам, близким ребенку. Человек, ориентируясь на вертикальное положение тела и его перпендикулярность горизонтальной плоскости (касающейся поверхности Земли в точке соприкосновения с ней), старается при распознавании перпендикулярности мысленно развернуть рассматриваемые линии (плоские поверхности) так, чтобы одну из них расположить горизонтально или вертикально, не меняя отношения между ними. Поэтому при первоначальном знакомстве с понятием перпендикулярности рассматривается следующее описание (именно описание, так как вначале формируются предпонятия, а не понятия) перпендикулярности: две прямые линии перпендикулярны относительно друг друга или взаимно перпендикулярны, если их можно расположить в пространстве так, что одна станет вертикальной, а другая горизонтальной. При этом отношения между ними не меняются. Такое описание позволяет:

• охватить все случаи перпендикулярности прямых и плоскостей, добавив только в описание перпендикулярности прямой и плоскости требование горизонтальности плоскости или непустого пересечения прямой и плоскости;

• связать представление о «перпендикуляре» с этимологией самого термина.

Кстати, определение перпендикулярных прямых через горизонтальность и вертикальность встречается в учебнике К. Ф. Лебединцева начала XX в., правда, только для прямых, лежащих в плоскости. Как показала практика, данное описание сначала оказывается непривычным (а значит, трудным) для учителя, но никак не для детей. Опираясь на него, они обосновывают перпендикулярность прямых, плоскостей. В дальнейшем на основе системы обобщенных образов, адекватных понятиям, и определенной логической подготовки учащихся

Рис. 15

можно будет перейти к определениям, предлагаемым в систематическом курсе геометрии. Обращенность к опыту ребенка, процессу создания образов требует внимания к процессу восприятия.

Третий аспект особенностей восприятия и усвоения учащимися геометрического пространства связан с особенностями процесса восприятия.

Первичные образы формируются в процессе восприятия. Организуя его, следует учитывать, что при зрительном восприятии трехмерного объекта информация поступает не от всех частей модели. Невидимые элементы достраиваются в представлении на основе имеющегося у наблюдателя опыта, а значит, их достоверность гипотетична, поэтому возникает необходимость рассмотрения предмета с разных сторон. Более того, зрительное восприятие формы вторично по отношению к осязательному. Для создания адекватного представления о форме предмета следует включать в процесс познания кинестетические ощущения, в частности обвести рукой границу предмета, причем необходимо проводить по предмету ведущей рукой (у правшей правой, у левшей левой), держа его в другой. Организуя измерительную деятельность, необходимо учитывать, что ведущая рука у человека представляет своего рода систему координат, где каждый палец выполняет свою функцию (Л. М. Веккер). И прежде чем давать в руки ребенку линейку, необходимо через руки сформировать представления о длине предмета, ее измерении. Более того, работа с линейкой сужает представления детей о линиях: линии сводятся в основном к прямым.

Поэтому уменьшение доли практической деятельности, работы руками в начальной школе ведет к снижению уровня ПМ.

Ключевая информация

Среди особенностей школьников подросткового возраста, влияющих на восприятие и усвоение учебного материала, выделяют: возрастающую роль абстрактного мышления, улучшение процесса мышления, рост познавательных интересов.

Специфика обучения алгебре как предмету включает: абстрактность содержания; терминологию и символику; необходимость совмещения алгоритмизации материала и необходимость мыслить нестандартно, анализировать характер изложения материала; недостаточный учет возрастных осо-

бенностей учащихся и отсутствие мотивации. В обучении алгебре значительную роль должен играть конкретно-индуктивный метод.

Особенности перцептивного и геометрического пространства, с которыми имеет дело школьник в повседневной жизни и в процессе обучения, должны опираться на характер обучения. Согласованность развития ребенка с учебным процессом состоит в учете его опыта, особенностей его психической организации и восприятия им геометрического материала.

Рекомендуемая литература

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.

2. Подходова Н. С, Горбачева М. В., Мистонов А. А. Волшебная страна фигур: Пособие по развитию пространственного мышления (в пяти путешествиях). — СПб.: Питер, 2000.

3. Репьев В. Общая методика математики. — М.: Учпедгиз, 1958.

4. Философия образования для XXI века. — М.: Наука, 1992.

5. Френе С. Избранные педагогические сочинения / Пер. с фр. — М.: Прогресс, 1990.

6. Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного образования. — М.: Сентябрь, 2000.

Лекция 13

Методика обучения математике

Трудных наук нет. Есть только трудное изложение, т. е. неперевариваемое. В том-то и состоит вся задача педагогики — сделать науку до того понятной и усваиваемой, чтобы заставить ее говорить простым языком.

А. И. Герцен

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Термин «методика» связан не только с процессом обучения. Что подразумевается при использовании таких словосочетаний, как «методика осуществления эксперимента», «методика проведения хирургической операции»?

2. На какие из перечисленных ниже вопросов отвечает, по вашему мнению, методика обучения математике:

а) Для чего нужно учить людей математике?

б) Как нужно учить?

в) Почему нужно учить математике?

г) Какой математике нужно учить разные категории учащихся?

д) Нужно ли учить детей математике?

3. Знания из каких областей необходимы, чтобы эффективно осуществлять процесс обучения математике?

4. Что дает математика для образования современного человека?

5. Какие задачи, математические или учебные, решаются в процессе обучения математике?

13.1. Предмет методики обучения математике. Связь методики обучения математике с другими науками

Термин «методика» в самом широком смысле используется для обозначения совокупности методов практического выполнения чего-либо, например эксперимента, хирургической операции и т. д. Соответствующая совокупность методов должна быть научно обоснованна. Чаще всего этот термин используется применительно к процессу обучения определенному предметному содержанию.

Словосочетание «методика обучения математике» используется сегодня для обозначения науки и учебного предмета, который включается в программы среднего и высшего педагогического образования. Следует заметить, что в учебной дисциплине, которая изучается в системе высшего образования, наиболее ярко проявляется система соответствующего научного знания.

До 80-х гг. прошлого века курс методики обучения математике носил название «Методика преподавания математики». Изменение названия отражает направленность современной системы образования, рассматривающей процесс обучения как двусторонний процесс, в котором превалируют субъект-субъектные отношения. В процессе обучения математике выделяют следующие компоненты: целевой, субъектный, содержательный и предметно-процессуальный. Целевой компонент определяет конечный результат и основные направления достижения этого результата, отвечает на вопрос: «Для чего учить?» Субъектный определяет участников процесса обучения и отвечает на вопрос: «Кого учить?» и «Кто учит?», причем эти вопросы относятся и к учителю, и к ученику. Умный учитель готов учиться у ученика. Содержательный опреде-

ляет ту часть адаптированного общественно-исторического опыта в области математики, которым должен овладеть ученик в процессе обучения, и отвечает на вопрос: «Чему учить?» Предметно-процессуальный определяет методы, формы и средства обучения и отвечает на вопрос: «Как учить?»

Перед методикой обучения математике стоят определенные задачи:

• определение целей математического образования в целом и на определенном возрастном этапе;

• разработка содержания и структуры школьного курса математики;

• изучение существующих методов и форм обучения математике, их теоретическое обоснование и разработка новых, проверка на практике;

• разработка учебных пособий, методических пособий для учителя математики и популярной математической литературы;

• разработка средств обучения математике, в том числе технических средств обучения, их проверка на практике;

• исследование вопросов самообучения математике.

Таким образом, методика обучения математике предметом своего изучения рассматривает систему целей, содержания, методов и средств обучения, обеспечивающих математическое образование учащихся (методическую систему обучения математике), а также процесс осуществления обучения математике.

Выделение предмета изучения любой науки невозможно без выделения ее связей с другими науками. Связь методики обучения математике с другими науками проявляется при разработке содержания, организации его изучения, выборе методов и средств обучения.

Методика обучения математике строится на фундаменте широких философских знаний. Она не только использует общие философские воззрения на соотношение материального и духовного, но пользуется основными идеями и положениями гносеологии и формальной логики.

Педагогика дает методике принципы дидактики, которые являются основополагающими при развитии всех элементов методической системы обучения математике. Бурно развивающееся сегодня в лоне педагогики направление — педагогические технологии занимаются построением операций, процедур, предписаний для реализации конкретных педагогических замыслов. Как отражение этого процесса в методике обучения математике разрабатывается технологический под-

ход к процессу обучения математике, о котором пойдет речь в следующих трех лекциях.

Сегодня, когда процесс обучения математике все больше ориентируется на развитие личности учащегося, возрастает и значение связи методики обучения математике с психологией. Уже около сорока лет в психологии существует психология математики, которая занимается особенностями освоения и, прежде всего, понимания математического содержания учащимися. В психологии математики выделяют три ступени понимания:

• фрагментарное понимание (отдельные свойства понятий, отдельные места доказательств без умения связывать их воедино);

• логически необобщенное понимание (усвоение определения понятий, но без умения связывать их воедино);

• логически обобщенное понимание (умение включать новое знание в систему понятий, выделение основной идеи доказательства).

Методика обучения математике связана и с такими гуманитарными науками, как лингвистика и риторика, так как освоение математического знания неразрывно с освоением математического языка. Учитель математики должен не только красиво и правильно говорить, но и освоить языковые средства и приемы выражения, присущие математике. Еще М. В. Ломоносов предлагал ораторам говорить так, чтобы слушатели «предлагаемое дело как бы перед глазами ясно видели».

Для этой цели в процессе обучения математике обычно сравнивают сложные понятия с тем, что хорошо знакомо ребенку, с его субъектным опытом. Примеры помогают перевести ребенку адаптированный язык науки на свой собственный, что является необходимым условием понимания математики.

13.2. Характеристика образовательной области «Математика»

В общеобразовательной школе все содержание образования разбивается на отдельные области. Математика рассматривается в качестве одной из самостоятельных образовательных областей и включает следующие дисциплины:

• математика в начальной школе и в основной школе (5—6 кл.);

• алгебра и геометрия в основной школе (7—9 кл.);

• геометрия, алгебра и начала анализа в старшей школе (10—11 кл.);

• алгебра и математический анализ, геометрия в старшей специализированной (профильной) школе (10—11 кл.).

Предметными подобластями образовательной области «Математика» являются: теория числовых систем, теория тождественных преобразований, теория элементарных функций (алгебраических, трансцендентных), теория элементарных уравнений, неравенств, их систем и методов решения, элементы математического анализа и его приложения, теория приближенных вычислений, плоские и пространственные фигуры, их свойства, геометрические величины, геометрические преобразования, элементы комбинаторики и теории вероятности, математические методы, методы решения задач.

Освоение образовательной области «Математика» учащимися происходит постепенно. В связи с этим выделяют уровни математической образованности:

• элементарная грамотность (начальная школа);

• функциональная грамотность, которая характеризуется как овладение познавательными средствами, необходимыми для дальнейшей жизнедеятельности в различных сферах. К ее аспектам относятся: владение простейшими вычислительными и другими техническими алгоритмами, а также способность к реализации простейших интеллектуальных умений, связанных с практической деятельностью;

• уровень общекультурной компетентности, который считается достигнутым, если учащийся демонстрирует способность реализовать перечисленные выше интеллектуальные умения даже на сравнительно невысоком техническом и понятийном базисе. Достижение такого уровня — важнейшая задача преподавания математики в классах, обучаемых по базовой программе. Для учащихся, достигших этого уровня, должно быть характерно осознание границ своей компетентности, места новых математических знаний в системе усвоенных, понимание места математики в современном мире;

• уровень допрофессиональной компетентности может считаться достигнутым, если учащийся обладает подготовкой, необходимой для продолжения образования в данной предметной области. Учащийся должен быть способен к реализации перечисленных интеллектуальных умений на сравнительно широком понятийном материале при сравнительно высоком уровне развития технических умений. При этом он должен критически анализировать достигнутый им уровень, соотносить его с существующими уровнями требований. Для достижения этого уровня целесообразно изучать математику на углубленном (расширенном) уровне уже в основной школе;

• уровень методологической компетентности может считаться достигнутым, если учащийся демонстрирует подготовленность к творческой деятельности в области математики, т. е. способность к применению полученных знаний и умений в нестандартных ситуациях. При этом учащийся должен быть способен к реализации перечисленных интеллектуальных умений на весьма богатом понятийном материале при высоком уровне владения техническими навыками. Он должен свободно ориентироваться в методах элементарной математики, знать особенности и области их применения.

Определение степени достижения каждого из обозначенных уровней может осуществляться: как в процессе обучения математике (различные формы контроля, включая итоговые тематические контрольные работы), так и при проведении итогового контроля (выпускные экзамены).

Математика представляет собой не только совокупность фактов и методов, но и язык для их описания, поэтому обучение математике означает и обучение математическому языку. При этом необходимо различать семантический и синтаксический подходы к математическому языку. Семантика (раздел семиотики, изучающий знаковые системы как средства выражения смысла) математического языка изучает отношение между языковыми образованиями и обозначаемыми ими объектами. Она рассматривает язык с точки зрения смысла. Синтаксис рассматривает структуру, внутреннее строение конструкций языка безотносительно к смысловому значению его выражений, к тому, что они обозначают во внеязыковой деятельности.

13.3. Математическая и учебная задачи

В одной из предшествующих лекций говорилось о том, что обучение математике осуществляется через решение задач. В процессе учебной деятельности учащийся решает одновременно несколько задач: математические, учебные, познавательные и мыслительные.

В методике обучения математике в первую очередь оперируют понятиями «математическая» и «учебная» задачи. Для разделения содержания этих понятий необходимо ввести термин: непосредственный (прямой) продукт учебной деятельности. Под ним понимается результат деятельности, на достижение которого в данный момент направлены главные усилия учащегося и который является основной ближайшей целью деятельности.

В математической задаче под прямым продуктом понимают получение математического факта (корень уравнения, график функции, установление отношений между геометрическими фигурами, нахождение характеристик геометрической фигуры и т. д.). Решение математической задачи выполняется на основе и с помощью познавательно-мыслительных операций (анализ, синтез, аналогия, сравнение и т. д.), а также общих учебных действий (распознавание, получение следствий, действия по актуализации и выбору знаний и т. д.) и их операций.

В учебной задаче прямой продукт — это учебный факт, т. е. прежде всего знание, но не любое, а на таком уровне обобщения, когда оно в значительной мере выполняет функции метода (приема) обучения или учебного познания. Учебная задача требует от учащегося:

• анализа фактического материала с целью обнаружения в нем некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными проявлениями этого материала;

• выведения на основе абстракции обобщения частных отношений данного материала и их объединения (синтеза) в некоторый целостный объект;

• овладения в аналитико-синтетическом процессе общим способом построения изучаемого объекта.

Говоря о математической и учебной задачах, следует подчеркнуть, что между ними существует очень сложная связь: решая математическую задачу, учащийся решает целый ряд учебных задач, и наоборот, учебные задачи в процессе обучения математике решаются на базе решения математических задач. Например, при определении геометрической фигуры результатом выполнения задания будет само определение, являющееся итогом математической деятельности, т. е. математическим фактом. В случае работы над структурой определения выделение существенных свойств фигуры и конструирование задач, подводящих под понятие, выступает в качестве учебной задачи.

При работе над теоремой этапы мотивации, выдвижения гипотезы, формулировки утверждения, поиска доказательства, обучение доказательству с помощью текста с пропусками говорят о постановке учебной задачи. В случае проведения только одного доказательства можно говорить о математической задаче.

В случае составления обратной задачи к решенной сюжетной задаче учащиеся имеют дело с математической зада-

чей. Но, овладевая переносимыми в другие ситуации приемами составления обратных задач, учащиеся решают учебную задачу.

Решая с помощью тригонометрической окружности простейшие тригонометрические неравенства, учащиеся получают в ответе решения конкретных математических задач. В ходе этого процесса одновременно решается и учебная задача использования тригонометрической окружности в качестве средства решения тригонометрических неравенств.

Ключевая информация

Методика обучения математике изучает методическую систему и процесс обучения математике, в которых выделяют целевой, субъектный, содержательный и предметно-процессуальный компоненты.

Главная задача методики обучения математике — теоретически обосновать и создать систему средств (наборов задач и других средств обучения, приемов организации процесса обучения и т. д.), которая должна обеспечить достижение учащимися последовательных уровней математической образованности.

Методика рассматривает процесс обучения математике учащихся как систему постановки и решения учебных задач посредством специально организованной работы по решению математических задач. Математическая задача отличается от учебной своим конечным продуктом.

Рекомендуемая литература

1. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. — М.: Просвещение, 1975.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

4. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. — М.: Просвещение, 2002.

5. Столяр А. А. Педагогика математики: Курс лекций. — Минск: Выш. школа, 1974.

Лекция 14

Технологический подход к обучению математике

Любое планирование ... противостоит экспромту, действиям по наитию, то есть является началом технологии.

Б. П. Беспалько

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. С чем было первоначально связано появление термина «технология» в педагогике?

2. Отличаются ли по содержанию понятия «технология обучения» и «педагогическая технология»? Если да, то чем?

3. Каковы существенные признаки технологического подхода к обучению?

4. Расширяет или сужает реализация технологического подхода к обучению возможности для творчества учителя на уроке?

14.1. Краткая история становления технологического подхода к обучению

В то время как в отечественной методике термин «технология» является относительно новым (хотя еще А. С. Макаренко использовал термин «педагогическая технология» для обозначения совокупности методов педагогического воздействия), в зарубежном преподавании он стал активно употребляться уже в 50-х гг. XX столетия. С самого начала в зарубежной педагогике педагогическая технология являлась тем направлением, которое ставило целью повышение эффективности учебного процесса и гарантию достижения учащимися запланированных результатов обучения.

Появление его было связано с попытками «технологизировать» учебный процесс. До определенного времени эти попытки были основаны главным образом на использовании различных технических средств обучения (телевидения, радио и т. д.). Это направление впоследствии получило название «технизация». Сторонники технизации учебного процесса видели путь повышения эффективности обучения, прежде всего, в широком использовании этих средств.

Однако уже с начала 60-х гг. попытки, а затем и практика оснащения учебного процесса техническими средствами обучения (ТСО) имели место и в отечественной педагогике, в частности в практике обучения математике. К разработке методических материалов по математике (диафильмов, диапози-

тивов, телепередач и т. д.) и рекомендаций по их использованию в процессе обучения привлекались ученые, ведущие методисты, опытные учителя. В целом организация учебного процесса с применением ТСО позволяла во многих случаях решать целый ряд проблем как научного, так и методического характера.

Основным недостатком организации учебного процесса с применением ТСО в то время было отсутствие оперативной обратной связи (малоэффективность ее осуществления объяснялась особенностями ТСО).

В последнее время разработки в этой области направлены на переход к использованию в учебном процессе новых информационных технологий, прежде всего компьютеров, информационных каналов связи и др. Это направление сейчас носит название «технологии в обучении», что гораздо точнее отражает суть данного явления.

Одновременно с этим направлением еще в середине 50-х гг. начинает развиваться новый технологический подход к построению процесса обучения в целом. Появляется так называемая технология педагогических методов, т. е. технология самого построения процесса обучения, или технология обучения.

Приход собственно «технологии» в педагогику и методику вначале был связан, прежде всего, с желанием педагогов сделать процесс усвоения учащимися знаний управляемым.

Первой попыткой создания такой целостной методики, с помощью которой можно управлять процессом обучения и усвоения знаний учащимися, было возникновение в 70-х гг. прошлого века в США, а затем в Западной Европе программированного обучения как педагогического метода. Программированное обучение стало одновременно и тем фундаментом, на котором постепенно строилось здание педагогической технологии. Один из создателей его — американский ученый Б. Скиннер является представителем второго подхода к пониманию педагогической технологии и приверженцем бихевиоризма.

В 70-х гг. программированное обучение получило широкое распространение и в нашей стране. На него возлагали большие надежды, предполагая, что с его помощью можно добиться лучшего усвоения материала.

Проблемами программированного обучения занимались такие видные педагоги, как П. Я. Гальперин, чья теория поэтапного формирования умственных действий раскрывала теоретическую базу программированного обучения, Н. Ф. Та-

лызина и др. В рамках программированного обучения проводились исследования, связанные с его возможностями по организации индивидуализации обучения.

На первом этапе развития теория программированного обучения разрабатывалась в двух основных направлениях:

• отбор и разработка содержания обучения, что предполагало: разбиение содержания на блоки, моделирование процесса отработки этого содержания, осуществление поэтапного контроля;

• разработка программ, целью использования которых было решение учебных задач (например, теория поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина).

Постепенно интерес к программированному обучению упал из-за невозможности решить с его помощью вопросы, связанные с различиями в способностях учащихся, в уровне их подготовки, в частности в уровне знаний, умений и навыков, сформированности учебных действий. Хотя именно эту проблему надеялись решить приверженцы программированного обучения.

Кроме того, безусловно, к недостаткам программированного обучения следует отнести направленность его в основном на репродуктивное обучение и невозможность развития творческих способностей и отсутствие выбора у учащихся.

Причиной спада интереса к программированному обучению, о которой следует упомянуть в связи с разработкой программ, стало отсутствие в то время технического обеспечения, необходимого для реализации этих программ.

С тех пор не прекращаются попытки «технологизировать» учебный процесс на всех уровнях.

14.2. Понятия «педагогическая технология», «образовательная технология», «технология обучения»

Совсем недавно педагогическая наука и практика успешно обходились вообще без понятия «технология». Однако, по мнению современных педагогов, приход «технологии» в педагогику был предопределен всем развитием образовательных процессов и потребностями образования на современном этапе развития.

В социальную сферу термин «технология» пришел из производственных процессов. На философском уровне понимания «технология» означает наилучшую деятельность любого вида в конкретных условиях. Толковый словарь трактует «технологию» как совокупность приемов, применяемых в каком-то деле, мастерстве.

В технике и на производстве этим термином обозначается по сути дела алгоритм создания того или иного изделия с заданными параметрами, причем четкое выполнение этого алгоритма любым исполнителем является гарантией того, что изделие получится таким, как надо, а несоблюдение хотя бы одного из условий приведет к отклонению от заданных параметров.

В соответствии с такой трактовкой этого понятия при механическом перенесении данного термина в сферу социальных наук в самом жестком своем значении отдельными авторами термин «технология» в педагогике понимается как процесс «вылепливания» ученика по некоторому шаблону и рассматривается как средство достижения единого стандарта, причем не только в знаниях, умениях, навыках, но и качеств личности. Однако специфика педагогической науки и методики должна вносить, безусловно, свои коррективы в толкование данного термина.

Первоначально (в основном в зарубежных исследованиях) термин «технология» в педагогике соединялся с понятием «обучение». В процессе развития технологического подхода к обучению и эволюции применения данного понятия в практике образования толкование термина «технология обучения» претерпевало определенные изменения.

В последнее время в методической и педагогической литературе все чаще встречаются термины «педагогическая технология», «образовательная технология» и «технология обучения». Очень часто значения этих терминов отождествляются, что неверно.

Существует несколько трактовок термина «педагогическая технология»:

• систематичное и последовательное воплощение на практике заранее спланированного учебно-воспитательного процесса (В. П. Беспалько);

• совокупность психолого-педагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приемов, воспитательных средств (Б. Т. Лихачев);

• описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И. П. Волков);

• составная процессуальная часть дидактической системы (М. Чошанов);

• продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В. М. Монахов);

• системная совокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных и методологических средств, используемых для достижения педагогических целей (М. В. Кларин);

• область знания, связанная с определением системы предписаний, обеспечивающих оптимизацию обучения (Дж. Брунер);

• область научного знания, цель которого — практическое изучение возможностей достижения максимальной эффективности в обучении на пути правильного учета и подбора всех возможных факторов, влияющих на его протекание (Т. Сакамото);

• системный метод создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействий, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО).

Несмотря на столь различные определения, в каждом из них можно выделить главную существенную характеристику: оптимизацию достижения планируемых результатов обучения.

Таким образом, технологический подход заключается в построении и осуществлении оптимальной педагогической деятельности, результат которой должен максимально соответствовать поставленной цели.

Различие между понятиями «педагогическая технология», «образовательная технология» и «технология обучения» определяется уровнем общности реализуемых целей.

Педагогическая технология представляет собой процесс реализации некоторой педагогической системы, в которую в качестве составной части включены образовательные программы. Образовательная технология является процессом реализации некоторой образовательной программы. Этот процесс предполагает наличие в нем методик или «технологий» обучения конкретным предметам, которые, в свою очередь, включают в себя более мелкие технологии обучения отдельным темам, технологии организации деятельности учителя и учащихся в рамках изучения отдельного предмета, технологии отбора конкретного содержания, технологии подготовки и проведения отдельных уроков, отдельных этапов уроков (формирование новых знаний, закрепление, повторение, самостоятельная работа, контроль и т. д.). Таким образом, всевозможные «технологии обучения» включены в образова-

тельную программу того или иного образовательного учреждения, а она, в свою очередь, является частью педагогической системы, реализуемой этим образовательным учреждением.

В современной образовательной практике понятие педагогической технологии употребляется на трех уровнях: общепедагогическом, частнометодическом и локальном [3].

Общепедагогическая технология характеризует целостный образовательный процесс в регионе, учебном заведении, на определенной ступени обучения. Это то, что названо собственно педагогической технологией.

Под частнопредметной педагогической технологией понимают совокупность методов и средств для реализации определенного содержания обучения в рамках одного предмета. Это соответствует определению образовательной технологии.

Наконец, локальная технология представляет собой технологию реализации отдельных частей учебно-воспитательного процесса. Это то, что соответствует технологии обучения.

14.3. Технология и методика обучения математике

Обучение математике, имея свои характерные особенности, которые связаны со спецификой математического содержания, является частью общего процесса обучения. Говоря о технологиях обучения математике, нельзя говорить об этом изолированно от построения всего процесса обучения в целом. Подходя к вопросу технологии обучения математике, необходимо рассмотреть особенности технологий обучения вообще и характеристики технологического подхода к построению процесса обучения любому предмету в частности.

Рассматривая сформулированные выше различные определения понятия «педагогическая технология», можно выделить и общие существенные особенности любой технологии обучения.

В производстве технология определяется не просто как оптимальный процесс последовательной организации деятельности для достижения целей производства, а как процесс, основанный на научных разработках в данной области. Так и в педагогике технологические подходы разрабатываются на основе научных исследований в области образовательных процессов, прежде всего в области педагогической психологии, дидактики, методики преподавания различных предметов. Основаны они на описании и объяснении закономерностей развития личности в педагогических процессах. Без этого невозможен поиск наилучшего пути в достижении тех или иных

целей. Например, при обучении математике такими теоретическими посылками могут служить закономерности процесса усвоения математического содержания учащимися с различным уровнем математической подготовки; типы математических способностей и их влияние на процесс усвоения математического содержания; математическое мышление и пути его развития в процессе обучения математике и т. д.

Другой существенной особенностью технологии является нацеленность на гарантированное достижение поставленных целей. При обучении математике это может быть гарантированное овладение тем или иным уровнем знаний определенным процентом учащихся; гарантированное повышение уровня сформированности математической деятельности или отдельных ее элементов и т. д.

Еще одна важная особенность технологической разработки процессов обучения — поэтапная подача описания с поэтапными характеристиками результатов образования. Так, в технологии предполагается поэтапное движение ученика к общей цели. Поэтапность выражается в сформулированных подцелях, достижение которых постепенно приводит к желаемому результату. При обучении математике формирование почти каждого сложного умения целесообразно разбить на этапы. Например, умение доказывать математические утверждения предполагает сформированность нескольких более простых умений: анализировать формулировку утверждения (выделять условие и заключение); делать выводы из имеющихся данных; строить чертеж по условию; выделять метод доказательства — логический и математический; выстраивать цепочку умозаключений и т. д. В соответствии с этими умениями целесообразно выделить этапы формирования умения доказывать. Если выстроить эти этапы в определенной последовательности и эффективно обучать соответствующим умениям, то результатом станет сформированное умение осуществлять доказательства математических утверждений.

Еще одной характерной особенностью технологического подхода к обучению является обязательность и выраженная возможность осуществления обратной связи, диагностики и коррекции получаемых результатов обучения на всех этапах реализации технологии. Обучение математике предполагает постоянное осуществление диагностики на каждом этапе усвоения математического содержания, что, в свою очередь, предполагает выделение ожидаемых результатов и показателей их достижения. Например, при обучении доказа-

тельству математических утверждений на этапе формирования умения анализировать условие ожидаемым результатом может быть выделение условия и заключения. Показателем хорошего усвоения материала является правильное воспроизведение отдельно условия, отдельно заключения; правильное воспроизведение известных в данном утверждении фактов; правильная запись их на языке математических символов.

Попытка создания любой технологии обучения связана с желанием улучшить качество обучения, т. е. обеспечить достижение высокого уровня обучения любым учителем. Поэтому одна из особенностей любой из разрабатываемых технологий обучения — это воспроизводимость, но обязательно при соблюдении заданных условий. Очевидно, что условием реализации технологии, направленной на формирование умения решать задачи повышенной сложности, является определенный уровень математических знаний учащихся. В классе, где дети не знают таблицы умножения, технология формирования умения решать сложные вычислительные примеры с громоздкими числами вряд ли будет эффективной. Если учащиеся не умеют выполнять сложение обыкновенных дробей, безрезультатной будет и попытка реализации технологии обучения сложению алгебраических дробей. А ведь это только примеры условий, связанные с уровнем знаний учащихся.

В общем виде можно сформулировать основные требования к технологии обучения.

Во-первых, в основе построения любой технологии обучения должны лежать результаты научных исследований, связанных с осуществлением процесса обучения конкретному предмету.

Во-вторых, любая технология должна представлять собой подробно описанную последовательность шагов, для которых выполняются следующие условия:

• каждый шаг представляет собой определенный этап в достижении этой (этих) цели (целей);

• каждый этап предполагает решение некоторой конкретной задачи, необходимой для достижения цели, которая должна быть четко сформулирована;

• решения задачи на каждом этапе предполагается достичь за счет выполнения последовательности более мелких шагов, сами они и их последовательность должны быть четко определены и описаны.

В-третьих, после выполнения каждого этапа обязательно проведение диагностики, сравнения с предполагаемыми ре-

зультатами (промежуточными целями) и коррекции дальнейших мер.

В-четвертых, любая технология обучения должна предусматривать наличие обратной связи между учениками и учителем для выполнения предыдущего требования.

В-пятых, любая технология гарантирует достижение определенного для данной технологии результата.

В-шестых, любая технология воспроизводима любым учителем в соответствующих условиях с гарантией достижения результата.

Самыми существенными отличиями технологии от методики являются требования гарантированности достижения результата и воспроизводимости ее любым учителем с сохранением достигаемого результата. Все остальные требования в более мягкой форме могут быть сформулированы для любой методики обучения.

В соответствии с этими требованиями выделяют критерии технологичности осуществляемого процесса обучения:

• диагностично заданная цель и способы диагностики ее достижения;

• представление учебного материала (содержания) в виде системы познавательных и практических задач с ориентирами и способами их решения;

• достаточно жесткая логика этапов усвоения учебного материала;

• адекватная предыдущим параметрам система способов взаимодействия на каждом этапе участников учебного процесса друг с другом и с информационной техникой;

• указание границ допустимого отступления от целесообразной (алгоритмической) и от свободной творческой деятельности учителя;

• применение в учебном процессе новейших средств и способов предоставления информации.

Все сформулированные характеристики в полном объеме могут быть отнесены и к построению различных технологий обучения математике.

Приведенные требования позволяют сделать вывод о том, что наиболее важный этап при разработке любой технологии — это определение системы целей, которые, по мнению М. В. Кларина [2], должны быть:

• согласованными (каждая цель должна определять общее направление деятельности, и последующая подцель должна быть взаимосвязана с предыдущей);

• реалистичными (вызывать напряжение сил, но быть возможно достижимыми для учащихся, проектироваться с учетом «зоны ближайшего развития»);

• гибкими (предполагать возможность корректировки в ходе реализации);

• диагностируемыми (представлять возможность для определения в конкретные периоды образовательного процесса);

• точно выраженными (понятыми педагогами и учащимися без домыслов);

• гармонизированными (предполагать развитие различных умений и личностных качеств учащихся);

• мотивированными на социальные ценности и ценности возраста (вызывать стремления к личностным достижениям и быть привлекательными).

Самым существенным отличием в постановке целей при технологическом подходе, в отличие от методики, является требование диагностичности. Диагностичность необходима для правильной организации обратной связи, которая отражает процесс достижения поставленных целей и является средством корректировки их достижения.

Добиться этого бывает сложно, особенно в тех случаях, когда речь идет не о знаниях, умениях и навыках, полученных в результате изучения какого-то определенного отрезка содержания, а о некоторых элементах развития, которых предполагается достичь в результате реализации технологии.

Для того чтобы сделать цели диагностируемыми, необходимо осуществить переход от цели обучения, выраженной в общих терминах, к той цели обучения, достижение которой можно проверить.

Особенности математического содержания позволяют сформулировать цели обучения в виде определенных результатов, по которым можно судить об их достижении. Это в большей степени относится к обучающим целям, которые можно сделать диагностируемыми почти всегда. Например, научить решать задачи того или иного типа; сформировать умение применять тот или иной алгоритм на практике; добиться усвоения на уровне узнавания того или иного понятия; сформировать умение переводить словесные формулировки на язык геометрического чертежа и т. д. Сложность осуществления перехода относится, прежде всего, к тем целям, которые отражают развитие личности ребенка в процессе обучения математике. И в этом случае говорить о технологии, вероятно, уже нельзя.

14.4. Роль учителя при осуществлении технологического подхода к обучению

Цель создания и использования любой технологии в том, чтобы учитель не мог ухудшить результат, а только его улучшить.

Существует несколько взглядов на роль учителя при реализации технологического подхода. В зарубежных исследованиях обычно рассматривается две возможности: либо распрощаться с учителем и заменить его каким-то обучающим устройством, либо свести его роль к простому воспроизведению технологии, ограничив его функции консультативно-организационными. В этом случае учитель рассматривается как пассивный исполнитель некоторого дидактического проекта, который изготовлен за пределами учебного заведения.

Большинство отечественных исследователей придерживаются другой точки зрения, которая заключается в том, что педагогические технологии, позволив учителю добиться прочных желаемых результатов в обучении, откроют для него возможность уделять больше внимания педагогическому творчеству. При этом иногда учитель может сам выступать в качестве разработчика технологии. Правда, уровень квалификации учителя-разработчика технологии должен быть очень высок.

Любая технология, являясь результатом деятельности человека или группы людей, несет в себе черты личности своих создателей. Однако это не является определяющим фактором для ее работоспособности. После своего создания и апробирования она начинает жить своей жизнью, независимой от своих создателей. Естественно, что при применении какой-то конкретной технологии различными исполнителями личность каждого из них будет оказывать влияние как на процесс реализации, так и на конечный результат. Но последовательность реализации этапов, общие закономерности, отражающие изменения, происходящие в состоянии учащихся, действия, которые они должны выполнить, их состав и последовательность будут определяющими при реализации конкретной технологии. Поэтому результаты, несмотря на разницу при реализации технологии разными исполнителями, будут близки к некоторому, характерному для данной технологии значению.

Ключевая информация

Возникновение термина «технология» в обучении связано с попытками «технологизировать» учебный процесс, сделать

процессы усвоения знаний всеми учащимися и формирования тех или иных качеств личности учащихся управляемыми.

Технологический подход к обучению предполагает выполнение набора требований, главными из которых являются: диагностично заданная цель, результативность, управляемость, алгоритмируемость, корректируемость.

В процессе обучения математике технологический подход оказывается полезным и целесообразным, в первую очередь, для достижения обучающих целей, которые можно относительно легко переформулировать таким образом, чтобы они стали диагностируемыми.

Рекомендуемая литература

1. Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. — М.: Педагогика, 1995.

2. Кларин М. В. Педагогическая технология в учебном процессе. — М.: Знание, 1989.

3. Селевко Г. К. Современные образовательные технологии. — М.: Народное образование, 1998.

4. Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного образования. — М.: Сентябрь, 2000.

Лекция 15

Технологический подход и индивидуализация обучения математике

По правде говоря, полностью индивидуализированное обучение — дело весьма отдаленного будущего.

Ф. Янушкевич

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Что такое индивидуализация обучения?

2. В чем состоят различия между дифференциацией и индивидуализацией обучения?

3. Что, по вашему мнению, является основным при определении качеств личности, на основании которых нужно проводить индивидуализированное обучение математике?

4. Возможно ли применять технологический подход для осуществления индивидуализации обучения математике?

15.1. Психолого-педагогические и методические подходы к понятию «индивидуализация обучения»

В психолого-педагогической и методической литературе можно встретить несколько подходов к понятию «индивидуализация» .

Большое значение для разработки индивидуального подхода в обучении имели работы В. Г. Белинского, Н. Г. Чернышевского, Н. А. Добролюбова. Они выдвинули идею изучения личности ребенка в процессе обучения. Наиболее полно в русской классической педагогике разработал вопросы осуществления индивидуального подхода в учебно-воспитательном процессе К. Д. Ушинский. Он предложил осуществлять данный подход в условиях коллективной формы обучения и сочетать ее на уроке с индивидуальной. Идеи К. Д. Ушинского и других русских педагогов особенно активно внедрялись в процесс обучения в школе в 60—70-е гг. XX в.

В это время в школах доминировал традиционный подход к обучению, когда изложение учебного материала, а также вся работа в классе были рассчитаны на среднего ученика. Такой подход к обучению часто не предполагал учета индивидуальных особенностей субъектов учебной деятельности — учащихся и не рассматривал их в качестве субъектов вообще. Поэтому прогрессивным в педагогике 60—70-х гг. стало провозглашение принципа индивидуального подхода в обучении, который заключался в построении учебного процесса с учетом индивидуальных особенностей ученика. Индивидуализация в основном рассматривалась как средство наиболее эффективной организации процесса усвоения знаний, выработки навыков и умений.

Проблемами индивидуализации обучения в нашей стране в условиях традиционного подхода к обучению занимались многие видные советские педагоги. Характерной особенностью индивидуализации обучения в условиях традиционного подхода к обучению была ориентация на достижение одного и того же уровня знаний, умений и навыков.

В условиях гуманизации образования, когда во главу угла ставится человек, его интересы, потребности и мотивы, ориентиром в построении индивидуализации становится достижение того уровня знаний, умений и навыков, которого может или желает достигнуть учащийся на базе образовательного стандарта.

Каким бы образом ни определяли авторы исследований понятие «индивидуализация», ключевым, главным свойством индивидуализации является учет индивидуальных особеннос-

тей. Степень этого учета, предлагаемая разными авторами, также различна. Например, И. Э. Унт [3] предлагает считать индивидуализацией учет любых особенностей учащихся, независимо от того, какие особенности и в какой мере представляются. Большинство исследователей считают индивидуализацию состоявшейся, если учитываются реальные возможности коллектива класса, отдельных учеников и групп учащихся, или индивидуальные особенности каждого учащегося.

В каждом конкретном случае более точное содержание понятия «индивидуализация обучения» зависит от того, какие цели и средства имеются в виду.

Степень свободы, предоставляемой учащимся при организации индивидуализированного обучения, также различна: от осуществления индивидуализации в условиях классно-урочной системы, в рамках которой в основном и проводились исследования в нашей стране, до предоставления полной свободы учащимся.

15.2. Технологический подход в реализации индивидуализации обучения математике

В связи с реализацией концепции гуманизации образования и тенденцией перехода к личностно-ориентированной модели обучения цели обучения в школе трансформировались. Стало целью не достижение некоторого уровня обученности в рамках отдельного учебного предмета, а ориентация на приобретение максимально широкого спектра возможных методов познания окружающего мира, способов добывания необходимой информации и преобразования ее в зависимости от конкретных целей. «Мудр не тот, кто много знает, а тот, чьи знания полезны». Это изречение Эсхила могло бы стать девизом тех преобразований, которые происходят в настоящее время в школе.

Отправной точкой в определении специфических задач индивидуализации обучения математике служит определение главной цели индивидуализации обучения.

При обучении математике достаточно остро проявляются противоречия между коллективными формами обучения и индивидуальным характером усвоения; между едиными требованиями программы и желаниями, возможностями, потребностями отдельных учащихся. Это обусловлено спецификой математического содержания, которое является сложным для усвоения.

Каждый учитель ставит перед индивидуализацией конкретные задачи.

В каждом конкретном случае в зависимости от того, на выполнение каких задач направлено осуществление индивидуализации и какие средства имеют в виду, более точно определяется и содержание понятия «индивидуализация обучения». На это, в свою очередь, оказывает влияние как понимание автором роли обучения в развитии и формировании индивидуальности ребенка, так и то, приверженцем какой модели обучения он является: традиционной, развивающей, личностно-ориентированной и т. д. Это важно еще и потому, что индивидуализация, являясь специфической организацией процесса обучения, должна способствовать более полному достижению целей обучения.

Таким образом, в первую очередь большое значение имеет определение учителем целей обучения математике, которые в основном задают основные задачи индивидуализации.

Традиционно рассматривают три категории целей обучения: обучающие, развивающие и воспитывающие. Индивидуализация должна способствовать более полному достижению каждой из рассматриваемых категорий целей.

В условиях традиционного подхода к обучению главной целью является достижение определенного уровня знаний, умений и навыков. Поэтому в качестве приоритетной цели обучения рассматривается обучающая. Следовательно, главной задачей индивидуализации обучения является более полное достижение именно этой цели. Происходит это за счет решения разных задач: предотвращения пробелов в знаниях, умениях, навыках и повышения качества знаний; более эффективного решения проблем получения всеми учащимися среднего образования; повышения успеваемости, снижения абсолютного и относительного отставания.

В рамках развивающей модели обучения в качестве приоритетной рассматривается развивающая цель. Поэтому основной задачей индивидуализации является более полное достижение именно этой цели, в том числе и в рамках обучения математике. Например, развитие навыков самостоятельной деятельности, развитие познавательной активности, развитие творческих способностей учащихся и др.

Еще одно направление индивидуализации заключается в целенаправленном формировании желаемых индивидуальных особенностей, их зарождению, выявлению и реализации. На необходимость этого указывали многие исследователи в этой области, в частности А. А. Кирсанов. Он утверждал, что «индивидуализация предусматривает создание всех необходимых условий для того, чтобы обучение опиралось не на имею-

щиеся интеллектуальные свойства ученика, а на те, которые еще отсутствуют, но для развития их имеются необходимые предпосылки, тогда оно пробуждает и вызывает к жизни целый ряд функций, находящихся в стадии вызревания» [1]. В условиях современного развития образования больше внимания должно уделяться как раз второму направлению осуществления индивидуализации.

Использование технологического подхода может рассматриваться одинаково успешно в реализации обоих направлений индивидуализации обучения.

Для того чтобы определить направления использования технологического подхода, необходимо обратиться к формам и путям реализации индивидуализации обучения. И. Э. Унт выделяет следующие формы индивидуализации обучения [3]:

• дифференциация обучения, которая понимается как учет индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения;

• внутриклассная индивидуализация;

• прохождение учебного курса в индивидуально-различном темпе, ускоренно (акселерация) или замедленно (ретардация);

• комбинации первых трех форм.

Отечественные работы в основном посвящены внутриклассной индивидуализации (индивидуальные задания для слабоуспевающих или успешных учащихся, индивидуальная самостоятельная работа: подготовка докладов, рефератов, изучение дополнительного теоретического материала и т. д.).

В настоящее время, в связи с образованием школ нового типа, появляется возможность для внедрения в практику такой формы индивидуализации, как прохождение курса в ускоренном или замедленном темпе.

Для определения формы индивидуализации обучения математике встает вопрос о том, какие особенности ребенка нужно учитывать при построении индивидуализированного обучения математике. Критерии отбора этих свойств личности учащегося также связаны с целями индивидуализации, а значит, и целями обучения в общеобразовательной школе.

Если учитель ищет пути, способствующие предупреждению и борьбе с неуспеваемостью, когда в качестве главной цели индивидуализации рассматривается предотвращение отставаний в учебе, то основными свойствами личности следует выбирать такие, которые обусловливают неуспеваемость.

Если индивидуализация интересует учителя как средство достижения более высокого уровня знаний, умений и навы-

ков, то рассматриваются в качестве основных такие качества личности, как уровень успеваемости по математике, уровень познавательной самостоятельности, степень действенности интереса к учению, способность к учению, трудоспособность и т. д.

Типы математических способностей учащихся, а также некоторые особенности мыслительной деятельности учащихся, которые рассматриваются как предпосылки успешности в усвоении математического содержания, тоже могут быть положены в основу построения индивидуализированного обучения математике.

В рамках развивающей модели обучения качества личности, которые целесообразно учитывать, также могут быть различны: особенности способов деятельности учащихся; уровень самостоятельности, определяемый мерой и характером помощи, предоставляемой учителем ученику; уровень познавательной активности; некоторые особенности, которые важны с точки зрения творческой деятельности.

При организации индивидуализации обучения в форме самостоятельной работы целесообразно учитывать умственные способности, ритм работы, утомляемость и интересы учащихся, т. е. те свойства, которые в конечном счете оказывают влияние на ее успешность.

При осуществлении индивидуализации, которая рассматривается на всех этапах деятельности учащихся, необходимо учитывать комплекс свойств учащихся, в которых проявляется индивидуальность: в интеллектуальной, эмоциональной и волевой сферах.

На первый взгляд словосочетание «технология индивидуализации» кажется внутренне противоречивым. «Технология» подразумевает массовость и единый стандарт, а «индивидуализация» ассоциируется с чем-то штучным и индивидуальным. На самом деле противоречие это кажущееся. Еще в самом начале использования термина «технология» и попыток создания технологий обучения западными педагогами технология применялась как одно из средств индивидуализации обучения.

Сам процесс осуществления индивидуализации невозможен без осуществления определенной последовательности шагов, которая в самом общем виде выглядит таким образом:

• изучение личности учащегося с точки зрения тех его особенностей, которые лежат в основе индивидуализации;

• определение адекватных средств воздействия в соответствии с целями индивидуализации;

• осуществление непосредственно индивидуализированного обучения;

• анализ результата, диагностика учащегося и динамики его развития, корректировка соответствующих мер воздействия.

Процесс осуществления индивидуализации может стать технологичным, и это не противоречит его природе.

Действительно, в основе организации индивидуализированного обучения лежат психолого-педагогические и методические исследования в области этого вопроса, в соответствии с которыми определяются цели индивидуализации, ее вид и формы, выделяются свойства личности учащихся, разрабатываются средства.

Цели и задачи индивидуализации, с одной стороны, определяют свойства личности. С другой стороны, достижение целей индивидуализации определяется теми изменениями, которые происходят в личности учащегося в соответствии с выделенными свойствами. При осуществлении индивидуализации с целью более успешного развития определенных качеств личности каждого учащегося о достижении цели можно в основном судить по некоторым косвенным признакам. Таким признаком может выступать переход учащегося в группу со следующим, более высоким показателем развития исследуемого выделенного качества. Диагностируемость цели при осуществлении индивидуализации частично достигается уже на этапе выделения качеств личности и исследования учащихся с целью разбиения их на типологические группы. Для исследования учащихся необходимые инструменты диагностики разрабатываются на основе уже идентифицируемых качеств личности. Кроме этого, можно уточнить цель осуществления индивидуализации, обозначив минимальный гарантированный сдвиг в развитии и средства для его определения.

После этого реализуется сформулированная выше последовательность шагов или этапов, которая также отвечает требованиям, предъявляемым к технологии. Каждый этап имеет свои, четко сформулированные задачи, для решения которых предназначены заранее определенные средства. Осуществление каждого последующего этапа невозможно без осуществления предыдущего. Неправильность или невыполнение какого либо этапа влечет за собой невыполнение его задач, а следовательно, и цели индивидуализации остаются не достигнутыми.

В целом индивидуализация предполагает разработку широкого спектра различных средств и выбор индивидуального

для каждого учащегося набора этих средств в соответствии с поставленными целями. Таким образом, каждому учащемуся должен быть «выписан рецепт» достижения сформулированной цели обучения в зависимости от индивидуальных особенностей. Подобная работа должна осуществляться по определенным правилам, в соответствии с формулой: если < набор условий > , то < набор средств > . Очевидно, что, с одной стороны, рецепт должен быть индивидуален. С другой стороны, на плечи учителя ложится непосильная задача поиска индивидуального рецепта для каждого учащегося. Если сделать этот процесс технологичным, то это существенным образом облегчит работу учителя.

15.3. Пример технологии использования индивидуализированной системы задач при обучении математике

При обучении математике, как известно, одним из основных средств является задача. Для формирования того или иного элемента знания, умения используется система задач. Осуществляя индивидуализированное обучение, нельзя обойтись без специальным образом организованной индивидуализированной системы задач. Из нее по определенным правилам выбираются индивидуальные для каждого учащегося подсистемы задач.

ПРИМЕР

Пусть в нашей системе, которая конструировалась как средство для формирования какого-то качества, выделено два основания для разделения задач на группы:

1) ведущий способ представления задания (аналитический, вербальный или графический);

2) уровень сложности математических задач (который зависит, например, от количества подзадач, технической сложности, «прозрачности» связей между данными; очевидности способа решения; глубины необходимых обоснований, количества теоретических знаний, необходимых для выполнения задания).

Выделяя даже три уровня сложности, мы получаем 9 групп заданий:

А

B

г

I

АI

BI

ГI

II

AII

BII

ГII

III

AIII

BIII

ГIII

При условии, что учащийся на каждом этапе должен получать задачи из трех столбцов, мы получаем 27 возможных индивидуальных систем задач. После каждого этапа проводится диагностика, выбор и корректировка соответствующей группы заданий для каждого учащегося. В итоге получается практически индивидуальная система задач для каждого учащегося на весь период обучения. Остается определить процедуру «выписывания рецепта» для каждого ученика.

Для этого необходимо провести первичную диагностику учащихся, например в форме контрольной работы. После ее проверки каждому учащемуся можно сопоставить его профиль, определяющий уровень в соответствии с выделенными группами заданий, который выглядит следующим образом: АIBJГK, где индексы I, J и К обозначают уровень сложности выполненных заданий. Например профиль: АI_IIBIIГI. Можно расшифровать его так: 1) АI_II показывает, что учащийся успешно выполняет задания с аналитическим способом их представления первого уровня сложности, но имеется достаточное основание для быстрого перехода на второй уровень (т. е. учащийся выполнил все задания первого уровня сложности и часть заданий второго уровня сложности); 2) ВII означает, что он выполнил все задания с вербальным способом их представления первого и второго уровней и не выполнил ни одного задания третьего уровня; 3) ГI свидетельствует о том, что учащийся не выполнил ни одного задания с графическим способом представления условия второго уровня, но успешно справился с заданиями первого уровня.

После этого необходимо осуществить выбор индивидуальной для каждого учащегося подсистемы задач, которые он должен решить в процессе изучения темы. Осуществляется этот выбор достаточно просто на основании полученного профиля.

При определении индивидуальной системы задач для ученика, имеющего тот же профиль АI_IIВIIГI, необходимо руководствоваться следующими указаниями:

1) из раздела «Аналитическое представление условия» начать работу с выполнения задач первого уровня сложности, при успешном их выполнении переходить к выполнению заданий второго уровня сложности;

2) из раздела «Вербальный способ представления условия» выполнять задания второго уровня технической сложности, но с постепенным добавлением подобных задач из группы третьего уровня сложности, при затруднении возвратиться к задачам второго уровня;

3) из раздела «Графическое представление условия» начать работу с задач из группы первого уровня сложности с постепенным переходом к задачам из группы второго уровня.

Кроме этих рекомендаций целесообразно четко указать номера задач в системе, которые должны быть обязательно решены таким учащимся, и номера, которые он может решать дополнительно. Таким образом, для данного учащегося будет определена подсистема задач, которые необходимо решить в процессе изучения данной темы.

Ключевая информация

Выделение этапов осуществления индивидуализации обучения позволяет говорить о том, что процесс индивидуализации можно сделать технологичным.

Наиболее целесообразно и эффективно использование технологического подхода на этапе выбора индивидуального маршрута или индивидуального для каждого учащегося набора средств обучения.

Рекомендуемая литература

1. Кирсанов А. А. Индивидуализация учебной деятельности школьников. — Казань: Татарское кн. издательство, 1980.

2. Рабунский Е. С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников. — М.: Педагогика, 1975.

3. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. — М.: Педагогика, 1989.

Лекция 16

Технологические схемы обучения элементам математического содержания

По сравнению с методическим технологический прием по своей адресности, коэффициенту полезного действия... по эмоциональному результату — категория иного, более высокого порядка.

В. М. Монахов

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Какие элементы математического содержания можно выделить в школьном курсе математики?

2. Что, по вашему мнению, является определяющим при выборе или разработке технологической схемы обучения тому или иному элементу математического содержания?

3. В чем, по вашему мнению, заключается главное отличие построения технологической схемы от методики обучения тому или иному элементу математического содержания?

16.1. Общие требования к технологическим схемам обучения

Рассматривая проблему построения технологической схемы обучения тому или иному элементу математического содержания, необходимо вспомнить, что должно быть отражено в любой технологии обучения.

Поскольку речь идет о математике с ее особой спецификой, то в технологической схеме обучения должны найти свое отражение: специфика содержания; особенности деятельности учащегося по его освоению; особенности возможностей учителя по организации этой деятельности.

Любая технология обучения представляет собой часть общего процесса обучения (в нашем случае математике), поэтому в технологической схеме должны быть отражены закономерности процесса обучения (формулировка цели — введение нового материала — закрепление — контроль — обобщение).

Конструирование любой технологической схемы зависит от модели, в которой осуществляется все обучение в целом. Общие требования к технологиям обучения (выделение обязательных результатов, показателей их достижения, критериев оценки; наличие диагностики; четкое описание каждого этапа обучения и т. д.) тоже должны найти свое отражение при разработке конкретной технологической схемы.

16.2. Технологические схемы обучения математическим понятиям

В чем заключаются особенности математических понятий как элементов математического содержания? С одной стороны, понятие — форма мышления, с помощью которой оно отделяется от других понятий. Значит, нужно включить новое понятие в имеющийся набор понятий, т. е. выделить его существенный признак.

С другой стороны, понятие — это абстракция, в которой выделяются количественные отношения и пространственные формы реальных объектов. Поэтому нужно предъявить реальные объекты, абстракциями которых стали понятия.

Понятие может быть сформировано на разных уровнях:

1) представление с введением термина (показатель сформированности понятия — узнавание);

2) перечисление существенных признаков и осознание объема понятия (показатель сформированности понятия — перечисление существенных свойств: распознавание понятия, подведение объекта под понятие, выведение следствий);

3) введение определения понятия (показатель сформированности понятия — умение осознанно воспроизводить определение, умение строить новые определения).

Понятие должно применяться в деятельности. Значит, нужно любое понятие использовать в задачах на усвоение

свойств понятия и на применение понятия. Показателем в данном случае будет оперирование понятием при решении задач.

Понятие должно быть включено в систему других понятий. Значит, нужна систематизация и классификация других понятий. Показателем будет осознание связей с другими понятиями.

В технологической схеме должны быть отражены закономерности процесса обучения. Соответствие между этапами процесса обучения и этапами освоения понятиями отражено в нижеприведенной таблице.

Уровень освоения понятиями определяется: программой, значимостью понятия и востребованностью при дальнейшем изучении предмета.

Соответствие между этапами процесса обучения и этапами освоения понятиями

Этапы процесса обучения

Этапы освоения понятий

Формулировка цели

Ожидаемые результаты

Показатели достижения ожидаемых результатов

Диагностические задачи

Критерии оценки

Введение новой информации

Диагностика знаний о понятии (первичная диагностика)

Пропедевтика

Введение основной информации о понятии

Диагностика первичного усвоения

Закрепление

Организация действий по усвоению и закреплению

Диагностика процесса усвоения

Контроль

Контроль ожидаемых результатов (диагностические задачи)

Обобщение

Новая информация по включению нового понятия в систему

Диагностика видения связей

На основе вышесказанного можно выделить этапы реализации технологического подхода к обучению понятиям.

1. Подготовительный этап. На этом этапе осуществляется методическая работа учителя в следующих направлениях:

• постановка целей;

• разработка системы диагностических задач и критериев оценки;

• отбор теоретического содержания;

• анализ отобранного теоретического содержания;

• разработка систем задач, которые целесообразно использовать на различных этапах работы с понятием;

• разработка систем диагностических задач, используемых на каждом этапе;

• выбор технологии реализации содержания;

• методическая обработка систем задач с учетом выбранной технологии и уровнем сформированности общеучебных и специальных умений учащихся.

Постановка целей на этапе введения понятия определяется: содержанием программного материала и требованиями к математической подготовке учащихся, уровнем математической подготовки учащихся, уровнем сформированности общеучебных и специальных умений, способствующих сознательному усвоению программного материала.

Можно привести пример различных формулировок целей при введении нового понятия.

ПРИМЕР

1 вариант. Ввести новое понятие (сформулировать определение без предварительной подготовки), закрепить его, показать применение вновь введенного понятия при решении простейших задач.

2 вариант. Ввести понятие, показать его место в системе известных понятий (на этапе введения использовать эвристический метод, создание проблемной ситуации, повышая тем самым активность и самостоятельность учащихся на этапе «открытия нового знания»). Учить решать задачи на распознавание и конструирование математических объектов, соответствующих введенному понятию.

Выбор технологии обучения понятию обусловливается: видом определения понятия, целями, которые предполагается реализовать при введении понятия, уровнем сформированности общеучебных и специальных умений у учащихся.

Разработка систем задач и их методическая обработка проводится с учетом поставленных целей отбора теоретического материала (в частности, вида вводимого определения) и уровней сформированности общеучебных и специальных умений у учащихся.

2. Этап непосредственного обучения понятию.

3. Этап диагностики.

Рассмотрим пример технологии обучения понятию параллелограмм.

ПРИМЕР

«Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны». (Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7—9. — М.: Просвещение, 1990.)

На подготовительном этапе проводится отбор теоретического содержания. Выделяются актуализируемые теоретические знания, вводимые теоретические знания. Определяется возможность пропедевтики. Проводится анализ отобранного теоретического содержания: устанавливается вид определения, его структура, родословная понятия. Определяется система задач, которую целесообразно использовать на этапе актуализации знаний, и варианты работы с ней. Затем осуществляется выбор технологии реализации содержания.

В данном случае существуют два варианта технологий реализации отобранного содержания.

1 вариант. Для класса среднего уровня не только математической подготовки, но и сформированности общеучебных и специальных умений и навыков. При этом есть учащиеся, уровень знаний которых выше среднего, проявляющие интерес к математике.

Цель работы: ввести новое понятие параллелограмма (сформулировать без предварительной подготовки), закрепить его, показать применение вновь введенного понятия при решении простейших задач.

На этапе обучения понятию необходимо:

1) Сформулировать тему и цели урока.

2) Предложить прочитать по учебнику определение параллелограмма.

3) Выделить в определении: определяемое понятие (параллелограмм); родовое понятие (четырехугольник);

видовые отличия (противоположные стороны равны и параллельны).

4) Обсудить ответ на вопрос: «Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?»

5) Решить задачу: «Доказать, что если в четырехугольнике ABCD ∠BCA = ∠CAD, ∠BAC = ∠ACD, то он является параллелограммом». При работе с этой задачей: предложить выдвинуть гипотезу, а затем прочитать готовое доказательство этого утверждения (например, в учебнике).

6) Решить задачу: «Существование каких свойств параллелограмма можно предположить?» При работе с этой задачей:

по рисунку сформулировать условие и требование задачи;

выделить в определении свойство параллелограмма, сформулировать его, используя логическую связку: «если..., то...»;

определить, чем можно воспользоваться при доказательстве параллельности противоположных сторон четырехугольника;

самостоятельно вспомнить известные свойства параллельных прямых, соотнести каждый с условием задачи с целью установления возможности или невозможности его использования, продумать вариант доказательства;

провести доказательство.

7) Решить задачу: «Даны три точки A, B и С, являющиеся вершинами параллелограмма. Построить этот параллелограмм. Определить, сколько решений имеет задача».

При работе с этой задачей:

выбрать инструменты, которыми можно пользоваться при построении параллелограмма;

выполнить построение (один ученик работает у доски).

2 вариант. Для класса хорошего уровня математической подготовки, где у большинства учащихся общеучебные и специальные умения сформированы на достаточно высоком уровне.

Цель работы: ввести понятие параллелограмма, показав его место в системе известных понятий (на этапе введения использовать эвристический метод создания проблемной ситуации, повышая тем самым активность и самостоятельность учащихся на этапе «открытия нового знания»). Учить решать задачи на распознавание и конструирование математических объектов, соответствующих введенному понятию.

На этапе обучения понятию необходимо:

1) Сформулировать тему и цели урока.

2) Решить задачу: «На рис. 16 изображены 7 четырехугольников». Ответить на вопросы:

а) Каким общим свойством обладают все изображенные геометрические фигуры?

б) Сравните четырехугольники. Все четырехугольники, кроме одного, обладают этим свойством, и только один не обладает. Сформулируйте это свойство и укажите четырехугольник, им не обладающий.

в) Сравните выпуклые четырехугольники. Все эти четырехугольники обладают этим свойством, и только один не обладает. Сформулируйте это свойство и укажите четырехугольник, им не обладающий.

3) В результате решения предыдущей задачи составьте схему, иллюстрирующую место понятия «параллелограмм» в системе понятия «четырехугольник», предложить учащимся сформулировать определение параллелограмма.

4) Выделить структуру определения.

5) Сформулировать свойства и признаки параллелограмма, которые утверждаются определением.

6) Подчеркнуть, что логика построения классификационной схемы понятия «четырехугольник» утверждает, что параллелограмм — выпуклый четырехугольник, хотя определением это свойство параллелограмма не утверждается.

7) Решить задачу: «Доказать, что если в четырехугольнике ABCD ∠BCA = ∠CAD, ∠BAC = ∠ACD, то он является параллелограммом».

Рис. 16

8) Провести самостоятельную работу учащихся по решению задач:

а) Существование каких свойств параллелограмма можно предположить?

б) Изобразите произвольный параллелограмм.

9) Вспомнить основные этапы работы по решению задач на доказательство, суть работы на этапе поиска доказательства, при необходимости организовать коллективную работу (с учащимися, у которых более низкий уровень сформированности учебных действий по работе с задачей).

10) Проверить результаты самостоятельной работы учащихся (заслушивание ответов у доски).

11) Провести самостоятельную работу с учащимися над задачей: «Даны три точки A, В и С, являющиеся вершинами параллелограмма. Построить этот параллелограмм. Определите сколько решений имеет задача».

12) Проверить результаты самостоятельной работы учащихся (при проверке решения обратить внимание на то, что число решений задачи можно было установить уже на этапе поиска).

Использование при втором варианте проблемных ситуаций обеспечивает:

а) Осознанность восприятия учебного материала.

б) Повышение интереса к занятиям и предмету в целом.

в) Формирование интеллектуальных и исследовательских умений.

г) Развитие творческих способностей.

На этапе диагностики необходимо провести проверку уровня усвоения понятия параллелограмм. Это можно сделать в форме самостоятельной работы (предложенная работа является разноуровневой). Для нее предложить следующие варианты вопросов и заданий.

1) Верно ли утверждение.

а) Параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

б) Параллелограмм — квадрат.

в) Прямоугольник — параллелограмм.

2) Доказать, что ABCD — параллелограмм, если AB = CD, AD = ВС;

3) Построить параллелограмм с неравными смежными сторонами. Из вершины тупого угла провести высоты к его сторонам. Сравнить построенные высоты. Определить, какую гипотезу можно сформулировать о связи отношения высот и отношения сторон, к которым они проведены.

4) Даны прямая и точка, не принадлежащая этой прямой. Построить параллелограмм, одна вершина которого находится в заданной точке, а две другие — на заданной прямой.

Технологии обучения понятиям, определения которых сформулированы в другом виде (конструктивные, рекурсивные, условные), разрабатываются аналогично. Однако при работе с конструктивными определениями, задающими последовательность действий, в результате которых можно построить объект и которые часто встречаются в курсе геометрии, учителю целесообразно:

• разработать систему конструктивных задач, «подводящих» под понятие (на подготовительном этапе);

• реализовывать разработанную систему на этапе введения и закрепления понятия.

Заметим, что введение понятия в процессе решения системы конструктивных задач имеет свои преимущества:

• изложение материала вызывает живой интерес, так как каждый ученик активно участвует в процессе получения нового знания;

• построения, выполненные с помощью чертежных инструментов, позволяют практическим путем убедиться в существовании геометрического объекта, отношения между геометрическими объектами, а также выдвигать гипотезы о свойствах геометрических объектов и их отношениях;

• процесс обучения геометрии становится более конкретным и доступным для большинства учащихся.

16.3. Особенности технологических схем обучения отдельным элементам математического содержания

Обращаясь к построению технологической схемы обучения математическим утверждениям, основное ее отличие будет обусловлено спецификой данного элемента математического содержания.

Теорема — истинное утверждение, в ней сформулирован некоторый математический факт. При введении нового математического утверждения большое внимание должно быть уделено мотивации.

В соответствии с этим схема обучения математическому утверждению может выглядеть следующим образом:

Этапы процесса обучения

Этапы обучения математическому утверждению

Формулировка цели

Ожидаемые результаты

Показатели достижения ожидаемых результатов

Диагностические задачи

Критерии оценки

Введение новой информации

Мотивация изучения нового факта

Усмотрение факта (высказывание гипотезы)

Формулировка нового утверждения

Диагностика первичного усвоения

Закрепление

Организация действий по усвоению, закреплению

Диагностика процесса усвоения

Окончание табл.

Этапы процесса обучения

Этапы обучения математическому утверждению

Контроль

Контроль ожидаемых результатов (диагностические задачи)

Обобщение

Установление связей с другими утверждениями, включение в систему

Диагностика видения связей

При обучении математическим утверждениям характер показателей, очевидно, будет отличаться от показателей обучения математическим понятиям.

На этапе введения нового утверждения ожидаемым результатом будет являться понимание смысла сформулированного утверждения. Показателем — рассказ о факте своими словами; формулирование утверждения по конкретному рисунку.

На этапе закрепления утверждения ожидаемым результатом будет точное понимание смысла сформулированного утверждения; понимание смысла входящих в формулировку слов; точная формулировка утверждения; выделение условия и заключения. Показателем — воспроизведение формулировки в целом, отдельно условия, заключения; пояснение смысла на конкретных примерах; нахождение ошибок в формулировках; изображение чертежа по условию и заключению; запись условия и заключения по чертежу, представленному в непривычном ракурсе.

При обучении доказательству математических утверждений основное внимание должно быть уделено поиску доказательства и обоснованности получаемых в процессе доказательства выводов. Основное отличие в этом случае будет содержаться в этапе введения новой информации.

Введение новой информации предполагает:

• мотивацию доказательства сформулированного утверждения;

• усмотрение логического метода доказательства;

• выбор математического метода доказательства;

• выделение этапов доказательства;

• демонстрацию доказательства в целом;

• диагностику первичного усвоения доказательства.

На этапе введения доказательства ожидаемыми результатами станут понимание используемых логических и матема-

тических методов доказательства; выделение этапов доказательства. Показателями станут правильные ответы на вопросы о методах доказательства и демонстрация этапов доказательства.

На этапе закрепления доказательства ожидаемыми результатами будут: выделение промежуточных результатов доказательства, демонстрация доказательства (устно и письменно) по исходному и новому чертежам. Показателями будут являться: правильное выделение фактов, используемых при доказательстве; правильное воспроизведение отдельных частей доказательства и доказательства в целом.

При работе с алгоритмами в соответствии с рассматриваемой единой схемой обучения элементам математического содержания можно выделить следующие основные этапы работы учителя по разработке технологической схемы:

1. Подготовительный этап, который включает отбор теоретического содержания, формулировку цели, выполнение логико-математического анализа правила, разработку в случае необходимости алгоритмического предписания, разработку содержания этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма.

Необходимо знать, что логический анализ алгоритма предполагает: проверку наличия характеристических свойств алгоритма; выделение последовательности операций и логических условий; установление связей с другими знаниями. Математический анализ алгоритма предполагает: установление математической основы, т. е. базовых математических положений.

Если в результате логико-математического анализа правила учитель убеждается, что оно не является алгоритмом, то целесообразно (с учетом уровня подготовленности учащихся класса) разработать предписание выполнения того или иного действия, понятное каждому ученику.

2. Этап обучения алгоритму.

3. Этап диагностики. На этапе введения алгоритма ожидаемыми результатами станут представление и знание общего способа выполняемого действия; знание теоретической основы правила. Показателем будет правильное описание способа действия.

На этапе закрепления алгоритма ожидаемые результаты — воспроизведение алгоритма при выполнении действия; выполнение действия с объяснением операций с конкретными объектами. Правильное воспроизведение шагов алгоритма и

выполнение операций в соответствии с шагами на этом этапе являются показателями успешности.

Ключевая информация

При конструировании технологической схемы в ней должны найти свое отражение:

• специфика содержания; особенности деятельности учащегося по его освоению; особенности возможностей учителя по организации этой деятельности;

• закономерности процесса обучения (формулировка цели — введение нового материала — закрепление — контроль — обобщение);

• модели, в которой осуществляется все обучение в целом;

• общие требования к технологиям обучения.

Основное отличие в технологических схемах обучения различным элементам математического содержания будет заключаться в своеобразии ожидаемых результатов, показателей их достижения и построения этапа обучения.

Рекомендуемая литература

1. Волович М. Б. Ключ к пониманию алгебры. — М.: Аквариум, 1996.

2. Волович М. Б. Ключ к пониманию геометрии. — М.: Аквариум, 1996.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е. И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988.

4. Саранцев Г. И. Формирование математических понятий в средней школе // Математика в школе. — 1998. — № 6. — С. 27—30.

5. Селевко Г. К. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. — М.: Народное образование, 1995.

Часть II

Основные линии школьного курса математики и методика их изучения

Лекция 17

Общие вопросы изучения алгебры в девятилетней школе и особенности альтернативных программ

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Ж. Даламбер

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. К какому времени относят выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики?

2. Где находится город Хорезм и какое отношение он имеет к алгебре?

3. Ученик выполнил задание на упрощение следующим образом: √(3 — π)2 = |3 — π|. Правильно ли он выполнил задание?

4. Учительница объяснила, что многочлен x2 — ху + y2 есть неполный квадрат. Ученик возразил и предложил опровержение этого названия. Какое и почему? В чем несовершенство объяснения учителя?

5. Назовите фамилии двух-трех известных математиков-алгебраистов XX в.

17.1. Из истории развития алгебры

Элементарная алгебра — одна из старейших ветвей математики. Она зародилась в древности при поисках общих способов решения задач, более универсальных, чем арифметические методы. Одно из отличий алгебры от арифметики состоит в том, что для решения вводится неизвестное. Выполняя над ним и данными из условия задачи определенные действия, получают выражение, которое можно приравнять другому выражению. Сформированное уравнение позволяет найти неизвестное [3].

Алгебраические методы зародились еще в древности. В дошедших до нас древнеегипетских папирусах имеются уравне-

ния, при решении которых искомому давалось название, оно обозначалось соответствующим иероглифом.

Древние вавилоняне еще за две тысячи лет до н. э. умели решать уравнения, сводящиеся к системе линейных уравнений со многими неизвестными, к квадратным уравнениям и даже к частному виду кубического уравнения. Они, по-видимому, разработали отдельные правила для решения уравнений и пользовались ими в конкретных случаях.

В Древней Греции в III в. до н. э. геометрия достигла высокого развития. Доказательства стали главным средством установления геометрических фактов. Алгебраические предложения, задачи греки обосновывали и решали геометрическими средствами. С помощью геометрических построений они решали задачи, равносильные квадратным уравнениям. Поэтому иногда сведения из алгебры, которыми располагали древние греки, называют геометрической алгеброй.

Диофант Александрийский (около III в. н. э.) в трактате «Арифметика» решал уравнения 1-й и 2-й степени, рассматривал неопределенные уравнения. Он ввел краткие символические обозначения для неизвестных, простейших долей неизвестных и некоторых простейших степеней их.

В Средние века математические знания древних унаследовали арабы и те народы, которые оказались в сфере их политического влияния.

В IX—XV вв. народы Средней Азии — узбеки, таджики — дали много видных математиков. Узбекский математик и астроном IX в. Мухаммед из Хорезма (Мухаммед ал-Хорезми) написал книги по арифметике и по алгебре. Это позволяет утверждать, что с этого времени алгебра стала самостоятельной ветвью математики. Вторую его книгу называли «Ал-джебр ва-л-мукабала». «Ал-джебр» (восстановление) — перенос отрицательных членов уравнения в другую часть его, а «мукабала» (противопоставление) — приведение подобных членов. От слова «ал-джебр» произошло и название «алгебра».

В XII в. итальянцы перенимают алгебру у народов Востока. В XVI в. им удалось решить уравнения 3-й и 4-й степени. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет (1540—1603) ввел буквы для обозначения известных величин. С этого времени алгебра перестала быть риторической. С введением символов стало возможным изучать не отдельные уравнения с числовыми коэффициентами, а целые классы уравнений или систем уравнений и находить способы их решения. Это имело большое значение для дальнейшего развития всей математики. Введение буквенной символики придало всем рассуждени-

ям в алгебре полную общность. И. Ньютон и Г. В. Лейбниц называли алгебру универсальной (общей) арифметикой.

В XVIII—XIX вв. основными объектами исследования алгебры были рациональные функции, алгебраические уравнения, системы уравнений, в особенности линейные. Решение уравнений потребовало расширения понятия о числе, что нашло отражение в работе Л. Эйлера «Универсальная арифметика», созданной в 1768—1769 гг.

К концу XVIII в. алгебра сложилась приблизительно в том объеме, который сейчас преподается в школе. Исследования, связанные с задачей решения уравнений разных типов, привели к созданию современной алгебры. Предмет ее составляют такие теории, как теория групп, теория Галуа, теория полей и колец, линейная алгебра, теория алгебраических чисел и др. Содержание современной алгебры лишь отчасти, как считает Ф. М. Шустеф, можно охватить следующей формулировкой: «Алгебра есть наука об операциях над элементами множеств произвольной природы, удовлетворяющих определенным требованиям (аксиомам). Операция, определенная в данном множестве М, — соответствие, в силу которого двум произвольным, взятым в определенном порядке элементам а и b множества M ставится в соответствие некоторый элемент того же множествам» [7].

Алгебра имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Недаром Н. И. Лобачевский, например, назвал одну из своих книг «Алгебра или вычисление конечных». Развитие алгебры повлияло и на развитие других ветвей математики. Так, введение буквенных обозначений облегчило изучение переменных величин и подготовило почву для создания аналитической геометрии. Один из творцов этой дисциплины, Р. Декарт (1596—1650), усовершенствовал и упорядочил символику, чем способствовал ее окончательному утверждению. Введение в математику переменной величины сыграло первостепенную роль. В свою очередь, математический анализ обогащает алгебру новыми мощными средствами исследования. Таким образом, исторически две ветви математики — алгебра и анализ — находятся в тесной связи и обусловленности.

Развитие алгебры неотделимо от развития понятия числа. Древние греки не признавали отрицательных чисел: они не умели дать им конкретное истолкование. Только у Диофанта можно найти в зачаточной форме отрицательные числа.

Смелый шаг в отношении введения отрицательных чисел был сделан в X в. индийскими учеными, которые понимали

их как денежный долг, а положительные числа — как наличные деньги. Однако отрицательные числа не получили признания у народов Среднего Востока. До XVI в. не мирились с ними и европейские ученые. Природа отрицательных чисел стала достаточно понятной лишь после того, как Декарт применил их в построении аналитической геометрии. Здесь они были наглядно истолкованы при помощи направленных отрезков.

С иррациональными числами столкнулись еще древние греки при рассмотрении некоторых вопросов геометрии. Но они разработали теорию пропорций и несоизмеримых отрезков в геометрической форме, тем самым избежав необходимости использования иррациональных чисел. Математики Индии и Среднего Востока рассматривали иррациональные числа как числа нового класса. Арифметическая теория иррациональных чисел возникла лишь во второй половине XIX в.

В XX в. исследования предыдущего столетия были продолжены русскими учеными. Внесли свой вклад в развитие алгебры Курош Александр Геннадьевич (1908—1971) — основные труды по теории групп, колец и др., автор учебника по высшей алгебре, Лузин Николай Николаевич (1883—1950) — основные труды по теории функций действительного переменного, Понтрягин Лев Семенович (1908—1988) — основные труды по топологии и математической теории оптимальных процессов, Чеботарев Николай Григорьевич (1894—1947) — основные труды по алгебре, Никольский Сергей Михайлович (1905) — основные труды по функциональному анализу, автор широко известных работ по высшей математике, школьных учебников.

17.2. Содержание и задачи курса алгебры

Возникновение и развитие элементарной алгебры связаны:

• с расширением понятия о числе;

• с введением буквенной символики, которая приводит к изучению тождественных преобразований;

• с учением о решении уравнений и систем уравнений, что позволяет рационально решать разнообразные задачи, в том числе и практические;

• с развитием понятия о переменной и функции.

Исторически изучение этих явлений находится в тесной взаимозависимости и взаимообусловленности. Поэтому и в школьном курсе алгебры как своеобразной проекции науки

сплетены элементы трех математических дисциплин аналитического цикла: арифметики, алгебры и анализа («три великие А», по выражению Ф. Клейна). Конечно, алгебра как учебный предмет в современной школе далека от современной алгебры, что вполне естественно. Школа должна давать знания лишь «основ» науки. В современной школе выпускник не получает представления о современной алгебре как науке.

Курс алгебры характеризуется повышением теоретического уровня обучения, постепенным усилением роли теоретических обобщений и дедуктивных заключений, усилением прикладной направленности. Курс алгебры девятилетней школы располагает более сильными, чем школьная арифметика, средствами и способами познания простейших пространственных форм и количественных отношений материального мира. Это дает возможность более полно познать эти формы и отношения. Значит, курс алгебры имеет общеобразовательное значение.

Основные разделы алгебры включают: учение о числе; тождественные преобразования; уравнения и их системы; учение о простейших элементарных функциях.

Они имеют большое значение для изучения не только других математических предметов, но и основ разнообразных наук (физики, химии, астрономии), начал технических дисциплин (механики, машиноведения и др.), в различных отраслях производства (станкостроении, сельскохозяйственном машиностроении и др.). Изучение курса алгебры средней школы — одна из предпосылок познания законов природы.

Вместе с тем курс алгебры благоприятно влияет на изучение предметов гуманитарного цикла. Ведь, как уже отмечалось, математика как учебный предмет способствует становлению математического стиля мышления, которому, по словам А. Я. Хинчина, присущи такие черты, как доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший путь, четкая разбивка хода рассуждений на случаи и подслучай, скрупулезная точность символики.

Итак, основными задачами при изучении курса алгебры девятилетней школы являются следующие:

1. Информационные:

• усвоение метода уравнений, неравенств, систем как основного средства математического моделирования прикладных задач;

• осуществление функциональной подготовки учащихся.

2. Операционные:

• развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении математических и прикладных задач по курсам смежных дисциплин (физика, химия, информатика и др.), в том числе:

умения оперировать знаково-символическими средствами и умения грамотно излагать и обосновывать свои рассуждения, умения воспринимать математическую информацию;

овладения системой математических понятий и обобщенных представлений, адекватных научным понятиям;

умения выполнять вычислительные операции и тождественные преобразования с выражениями различной природы;

умения решать уравнения и неравенства различных типов;

умения строить и читать графики различных зависимостей;

умения проводить исследование функций различной природы с применением возможных методов.

3. Воспитательные:

• формирование материалистического мировоззрения;

• развитие диалектического мышления;

• развитие инициативы, находчивости и творческих сил школьников;

• формирование критического отношения ученика к суждениям, контроля за решением, умения использовать язык символов, устной речи.

4. Развивающие:

• развитие алгоритмического и теоретического мышления;

• развитие ассоциативной и логической памяти.

Также изучение алгебры способствует развитию интеллектуальных умений: общих (анализ, сравнение, классификация, обобщение) и специфических, формирующихся, прежде всего, через математическую деятельность (абстрагирование, моделирование, обоснование математических операций).

В обучении алгебре понятие о числе расширяется. Вводятся отрицательные числа, формируется понятие множества рациональных чисел, изучаются арифметические действия над числами этого множества. Следует добиться, чтобы ученики выполняли все действия над числами верно, быстро и рационально. Дальнейшее расширение понятия о числе — введение иррациональных чисел и формирование понятия о множестве действительных чисел — программой девятилетней школы не предусмотрено. При изучении квадратных радикалов восьмиклассники должны усвоить, что квадратный корень из

любого положительного числа всегда можно вычислить с любой степенью точности.

Важно, чтобы ученики сознательно овладели буквенными обозначениями и тождественными преобразованиями рациональных выражений. Алгебраическая символика — разновидность скорописи. Ученики должны уметь переводить математические предложения с родного языка на язык алгебраических символов и наоборот. Необходимо, чтобы они верно, сознательно и изящно выполняли тождественные преобразования. Буквенная символика и тождественные преобразования успешно применяются не только в математике, но и во многих других науках, технических дисциплинах и основных отраслях производства.

Программа алгебры девятилетней школы ставит и еще не менее важную задачу: научить школьников решать уравнения первой степени с одним неизвестным, линейные системы с двумя неизвестными, квадратные уравнения и системы уравнений, сводящиеся к квадратному уравнению. Уравнения и системы рассматриваются преимущественно с числовыми коэффициентами. Хотя решение уравнений с буквенными коэффициентами ограничивается небольшим числом примеров, все же следует научить школьников в каждом равенстве, содержащем несколько переменных, видеть уравнение относительно любой из переменных и уметь в простейших случаях решать их. Это важно для приложений уравнений, например к решению задач по физике и химии.

Решение задач путем составления уравнений и систем уравнений является одним из приводных ремней, связывающих учение об уравнениях с решением практических задач. С точки зрения политехнического обучения особый интерес на уроках алгебры представляют доступные по содержанию задачи по механике и физике, а также задачи технического и производственного характера.

В курсе алгебры ученики знакомятся с важнейшим понятием современной математики — функцией, изучают некоторые простейшие функции. Одним из средств изучения элементарных функций является построение их графиков в прямоугольных декартовых координатах. Графикам функций свойственны большая наглядность и широкое применение их даже за пределами математики. Преподавание ведется так, чтобы ученики приобрели умения и навыки построения графиков функций, их чтения, выявления по ним свойств функций, применения графиков к решению уравнений и их систем.

На протяжении всего курса преподавания алгебры обращается внимание на укрепление и развитие навыков в вычислениях, в особенности приближенных. Возможности для этого имеются. Нахождение числовых значений выражений, действия над рациональными числами, решение уравнений и систем уравнений, разнообразные задачи, действия над квадратными радикалами — все это дает прекрасный материал для точных и приближенных вычислений.

Итак, в содержании обучения алгебре девятилетней школы выделяют основные линии: числа; тождественных преобразований; уравнений, неравенств, их систем; функций; приближенных вычислений (вычислительная техника).

Конкретное содержание по каждой линии, требования к математической подготовке учащихся раскрыты в программе.

Понятия, действия и алгоритмы, утверждения (теоремы), задачи курса алгебры имеют свою специфику. Понятия вводятся различными способами. Особые трудности вызывают остенсивные определения, так как смысл вводимого понятия понимается из контекста (например, понятие алгебраического выражения). Трудны и конструктивные определения при синтаксическом введении понятия. В этом случае в тексте исчерпывающе, на взгляд автора, выделяются основные знаковые структуры. Например, так вводится понятие линейного уравнения — как уравнения вида ах = b. Но у учащихся возникают сомнения, относятся ли к линейным уравнения (а — 5)х = 4, 3х — 7 = 0. Многие алгоритмы могут быть получены на основе определений. Например, определение операций над числами с разными знаками. Определением также вводится понятие модуля.

При работе с утверждениями в курсе алгебры большее внимание уделяется операционной стороне. При этом часть заданий имеет доказательный характер, хотя он явно и не выражен. Например, любое задание на упрощение имеет доказательную сторону.

Для обоснования могут быть использованы две основные линии: модельная (например, переместительный закон умножения доказывается через площадь прямоугольника, хотя строгого доказательства формулы площади прямоугольника не было); синтаксическая (доказательство осуществляется через преобразования, например, алгебраических выражений).

Могут быть использованы и нестрогие обоснования (предлагаются в темах «Одночлены», «Многочлены»), а также доказательства на основе аксиоматики числа и свойств группы (в линиях функции, уравнений и систем уравнений).

При обучении алгебре и арифметике пользуются термином «правило». В каждом правиле указывается, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы получить ответ для задачи рассматриваемого вида. Значит, термин «правило» употребляется в таком же смысле, как термин «алгоритм» (алгорифм). На самом деле алгоритмом принято называть описание совокупности математических операций, выполняемых в определенном порядке для решения задач данного вида. Можно говорить о правилах или алгоритмах извлечения квадратного корня из чисел, решения квадратного уравнения, умножения многочлена на многочлен.

Из множества правил можно выделить:

• определения, устанавливающие, как выполняется та или другая операция (например, умножение рациональных чисел выполняется по правилу-определению);

• формулировки законов арифметических действий (например, распределительного закона умножения относительно сложения);

• теоремы (например, об умножении многочленов, о квадрате суммы двух чисел).

При обучении желательно эти виды правил называть соответственно определениями, законами, теоремами. При работе по принятому учебнику учитель может только частично приблизить терминологию к указанной.

Если теорема по педагогическим соображениям не доказывается, а поясняется примерами, то и в этом случае можно сохранить за ней название теоремы, причем следует указать, что она может быть доказана, но доказательство ввиду его сложности не приводится. Так, например, можно поступить при изучении первого и второго свойств уравнений.

17.3. Особенности альтернативных программ

За последние годы в практике обучения алгебре появилось несколько альтернативных учебников. Среди них можно выделить учебники алгебры для 7—9 классов А. Г. Мордковича. Разрабатывая свою программу, автор исходил из того, что математика в школе — гуманитарный учебный предмет. Следовательно, при построении учебного курса можно отходить от традиций науки (все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения надо доказывать и др.).

Приоритетной содержательно-методической линией школьного курса алгебры А. Г. Мордковича является функциональ-

но-графическая. Какой бы класс функций ни изучался, материал излагается по схеме: функция — уравнения — преобразования выражений.

Сложные математические понятия в данном случае изучаются длительное время на разных уровнях:

• наглядно-интуитивном (когда новое понятие вводится с опорой на интуитивные или образные представления учащихся);

• рабочем (когда от учащегося требуется уметь отвечать не на вопрос: «Что такое?», а на вопрос: «Как ты понимаешь?»);

• формальном.

Также в курсе А. Г. Мордковича усилена роль геометрических иллюстраций, наглядности и правдоподобных рассуждений, что с психологической точки зрения соответствует ослаблению опоры на левое полушарие головного мозга и усилению опоры на правое полушарие.

Гуманитарный характер математики в этом курсе проявляется в том, что он позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности. Автор учебников считает, что для работы с математическими моделями надо изучать математический язык. При таком идейном стержне математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, а как цельная развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина общекультурного характера.

А. Г. Мордкович строит свой курс как личностно-ориентированный. Так, в 7 классе при обсуждении разложения многочленов на множители опережающим образом вводится понятие квадратного уравнения. Далеко не каждый квадратный трехчлен легко раскладывается на множители, поэтому школьники понимают значимость изучения графиков линейной функции и функции у = x2, позволяющих приближенно (иногда — точно) решить квадратное уравнение. Необходимость отыскания точных значений корней приводит в 8 классе к формуле. Добравшись за длительный период до полного решения проблемы, ученик понимает, что он продвинулся в своем развитии, и получает положительные эмоции. Происходит осознание ценности результата лично для себя.

Ключевая информация

Алгебра — один из ключевых курсов, входящих в общеобразовательную область «Математика». В девятилетней школе курс алгебры решает следующие группы задач: ин-

формационные, операционные, воспитательные, развивающие.

В нем выделяются следующие основные содержательные линии: числа; тождественных преобразований; уравнений, неравенств и их систем; функций; приближенных и инструментальных вычислений.

В современной школе существуют, наряду с традиционным курсом алгебры, альтернативные, которые ориентируются на раскрытие идеи моделирования или функционально-графической линии содержания.

Рекомендуемая литература

1. Барыкин К. С. Методика преподавания алгебры. — М., 1965.

2. Депман И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре. — Л.: Дет. лит., 1967.

3. Курош А. Г., Шмидт Ю. Алгебра // БСЭ. — М.: Сов. энциклопедия, 1968.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М.: Просвещение, 1985.

5. Развивающее обучение // Вопросы методологии и технологии: Материалы ко Второй научно-методической конференции. — СПб., 1998. — Вып. 2.

6. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1974.

7. Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск: Выш. школа, 1976.

Лекция 18

Линия тождественных преобразований в курсе девятилетней школы

У математиков существует свой язык — формулы.

С. Ковалевская

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Что называют математическими выражениями? Приведите примеры.

2. Где вы встречались с тождественными преобразованиями?

3. Когда и кем был введен знак « = » для обозначения тождества?

4. Являются ли тождествами равенства:

5. Найдите ошибку в рассуждении: 4 : 4 = 5 : 5, 4⋅(1 : 1) = 5-(1 : 1),4 = 5.

18.1. Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса

Тождественное преобразование (ТП) в математике понимается как:

• замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме;

• преобразование (отображение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент.

В курсе алгебры ТП рассматриваются в первом смысле, т. е. как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным.

Знак « ≡ » для обозначения тождества был введен Бернхардом Риманом (немецким математиком, учеником К. Гаусса) в 1857 г.

Выражение математического языка (в широком смысле и в алгебре) — конечная (но не всякая) последовательность символов из его алфавита. Семантический подход выделяет выражения — как конечные последовательности символов алфавита, имеющие смысл. Синтаксический подход — как последовательности символов, построенные по определенным правилам [3].

Среди выражений выделяют:

• выражение без переменных:

термы (не содержащее знака отношения и обозначающее число);

формула (содержащее один из знаков отношений — высказывание);

• выражение с переменными:

термы (числовая форма, выражающая числовую функцию числовой переменной, например 7 + х);

формула (высказывательная форма, выражающая логическую функцию числовой переменной — предикат, например из А = (1, 2, 3} в {И, Л}, 7 + X = 10).

В школе к выражениям преимущественно относят: термы, не содержащие знака отношения и обозначающие числа — арифметические выражения; числовые формы, выражающие числовые функции числовых переменных. ТП используются

для замены одного выражения другим и при доказательстве равенства выражений на основе свойства транзитивности.

Существует несколько подходов к определению тождества, тождественно равных выражений.

Во-первых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых значениях переменных (так вводится понятие тождества в учебнике алгебры для 7 класса под ред. С. А. Теляковского). Этому определению удовлетворяют целые рациональные выражения, но равенства с радикалами (√a√b = √ab и ему подобные) при таком подходе уже не являются тождествами.

Тождественно равными выражениями называются два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных (в указанном выше учебнике это определение предшествует определению тождества).

Во-вторых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. (Такое определение понятия тождества предлагается в 8 классе в учебнике алгебры под редакцией С. А. Теляковского, когда появляются дробно-рациональные выражения). Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные числовые значения при соответственно равных значениях букв из общей части областей определения.

Данный подход позволяет расширить множество выражений, к которым применимо понятие тождества, но часто такое тождество не имеет практического смысла, например: √x = √-х. Кроме того, при данном подходе отношение «быть тождественно равным» не обладает свойством транзитивности, а значит, создаются определенные трудности при решении задач. Например, равенство √x2 = (√x)2 является тождеством, так как верно при любых х > 0. Также тождеством является и равенство (√x)2 = x, верное при всех х > 0. Составленное из этих тождеств новое равенство √x2 = х при данном подходе не удовлетворяет определению тождества, так как оно неверно при отрицательных значениях х, входящих в области допустимых значений и левой, и правой частей равенства. Тем самым отношение тождественного равенства не транзитивно.

В-третьих, тождество рассматривается на некотором множестве как равенство, верное для любых значений переменных из данного множества. Это множество является подмножеством общей области определения выражений, стоящих в левой и правой частях равенства.

В данном случае выполняются рефлексивность, симметричность, транзитивность, значит, отношение «быть тождественно равным» является отношением эквивалентности и разбивает все выражения на классы тождественно равных на данном множестве выражений. Но и при этом подходе возникает ряд вопросов. Будут ли тождествами уравнение на множестве решений, уравнение касательной, уравнение окружности? Последнее определение тождества не имеет смысла рассматривать на классе «геометрических» уравнений. Обычно оно рассматривается для алгебраических уравнений. Любое уравнение не обязательно является тождеством, но любое тождество есть уравнение.

Определение тождественно равных выражений позволяет рассмотреть понятие тождественного преобразования в алгебре. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием.

В вышеприведенных трактовках отражены две точки зрения на тождественность алгебраических выражений и тождественное преобразование: формальная и функциональная. С формальной точки зрения два выражения тождественны, если они могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований, т. е. последовательной заменой одного выражения другим в результате применения непосредственно законов действий или определенного правила тождественного преобразования, которое является следствием основных законов действий. Тождественное преобразование с этой точки зрения есть процесс применения указанных правил к алгебраическому выражению. С функциональной точки зрения два выражения тождественны, если они принимают одни и те же численные значения при произвольных системах значений букв, входящих в эти выражения. Тождественное преобразование — это замена данного выражения тождественным ему в указанном смысле. Но при этом не указывается способ подобной замены. Функциональная точка зрения не позволяет доказать, что два выражения являются тождественными, так как обычно область допустимых значений для букв, входящих в алгебраическое выражение, является бесконечным множеством. Но функциональная точка зрения дает способ обнаружить нетождественность двух выражений, если при каком-то наборе допустимых значений букв эти выражения примут различные численные значения. Отсюда видно, что необходимо применять оба толкования тождественности двух выражений. Полезно выяснять, с какой трактовкой этого понятия мы имеем дело в том или ином случае.

Необходимо обратить внимание учащихся на правильное оформление упражнений на доказательство тождеств. В практике случается, что доказываемое тождество переписывают несколько раз, одновременно преобразуя обе его части, доводят работу до получения очевидного тождества (записывают, например, что 0 = 0, в чем никто не сомневается). Но при этом доказательство нельзя считать законченным, ибо можно прийти к верному предложению, исходя и из неверного соотношения (например, возводя в квадрат заведомо неверное равенство -3 = 3). Поэтому следует либо преобразовывать одну из частей доказываемого тождества, заменяя ее последовательно тождественными выражениями, пока не получится выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества, либо по отдельности преобразовывать обе части предложенного для доказательства тождества до получения одного и того же выражения.

Для мотивации изучения сложных тождественных преобразований можно применить прием М. П. Синельникова. Учитель дает довольно сложное алгебраическое выражение, например (64а3 + 125b3)/(16a2 — 20ab + 25b2), и предлагает вычислить его значение при значениях букв, задаваемых учениками. Преподаватель сразу дает ответ, который учащиеся могут найти лишь после более или менее продолжительных вычислений. Этот прием подводит учеников к понятию «тождественные выражения», вызывает у них интерес к изучению правил, по которым можно данное сложное выражение заменить более удобным для вычислений.

Значение темы «Тождественные преобразования» состоит в следующем:

• ученики должны понимать, что в алгебре все действия только обозначаются, а затем преобразуются в более простые заменой суммы, произведения тождественно равным выражением;

• тождественные преобразования — не самоцель, они используются для удобства нахождения числовых значений выражений, решения уравнений, доказательства неравенств и выявления свойств функций [3].

Это значит, что с тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры. Поэтому ТП — одна из основных линий курса алгебры и начал анализа школьной математики.

Изучение этой линии выполняет различные функции. Теоретический аппарат служит средством построения теории других линий, таких, как «Уравнения, неравенства и их

системы», «Функция» и др. Операционный аппарат является практической базой решения математических и прикладных задач. Школьный курс математики выделяет два основных класса математических выражений: алгебраические (выражения, составленные из конечного числа букв или цифр, соединенные знаками действий, порядок действий может определяться и скобками; арифметические выражения — частный вид выражений, не включающих букв) и трансцендентные (аналитические выражения, не являющиеся алгебраическими).

В каждом из этих классов можно выделить следующие подклассы (рис. 17):

Рис. 17

Основная (базовая) теория тождественных преобразований изложена на множестве алгебраических выражений. Далее при введении трансцендентных функций расширяется область применения тождественных преобразований и, что естественно, свойства введенных функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений.

Уровень строгости изложения темы в школьных учебниках различен.

18.2. Основные типы преобразований и этапы их изучения

В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией С. А. Теляковского вводится понятие «тождества» на первом этапе изложения курса. Оно определяется как равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Следует отметить, что этому определению предшествует опре-

деление тождественно равных выражений. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

С введением дробно-рациональных выражений (8 класс) авторы возвращаются к понятию тождества и определяют тождество как равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

В учебнике алгебры (авторы Ш. А. Алимов и др. для 8 класса) понятие «тождества» введено после доказательства теоремы √a2 = |а|. Оно определяется как равенство, справедливое при любых значениях входящих в него букв. Заметим, что в этом варианте построения теории основная базовая теория тождественных преобразований излагается без введения понятия тождества, тождественно равных выражений. Практическая часть (задачный материал) также не оперирует этими терминами.

В общем виде можно выделить основные этапы изучения преобразований.

Пропедевтический этап. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5—6 классах.

Первый этап. Используется нерасчлененная система преобразований, которая представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями равенства в начале курса алгебры. Подобные явления наблюдаются, когда требуется решить уравнение 4(5х — 12) = 6х + 15 или доказать, что значение выражения 13(2y — 3) — (2х + 26у) — 2(4 — х) не зависит от значения входящих в него переменных. Цель этого этапа — достичь беглости при решении основных типов задач по линиям числа, уравнений, тождественных преобразований рациональных выражений. Он реализуется в 7 классе и охватывает следующие темы: «Сложение и вычитание одночленов и многочленов», «Умножение одночленов и многочленов».

Первые преобразования — приведение одночленов к каноническому виду на основе переместительного и сочетательного законов умножения.

В этой теме наиболее типичными ошибками учащихся являются:

• смешение правила умножения степеней с правилом возведения в степень (6с2⋅3с5 приравнивают 6⋅3⋅c2⋅5 = 18с10);

• распространение правила умножения степеней одного основания на случай умножения степеней разных оснований (25⋅84 считают равным 169);

• сложение показателей степеней при сложении степеней, т. е. смешение с правилом умножения степеней (23 + 24 заменяют на 23 +4 = 27);

• неправомерное применение распределительного закона ((х + у)2 заменяют на x2 + y2).

Предупредить такие ошибки можно, если обращать внимание учащихся на особенности каждого действия, на значение каждого слова в формулировке правила, соответствующей им, и если обучать проверке наличия условий для применения соответствующего правила перед началом выполнения преобразования.

Например, в теме «Формулы сокращенного умножения» полезно иллюстрировать геометрически различные преобразования, в частности формулы сокращенного умножения. Это позволит создать условия для усвоения учебного материла для учащихся, опирающихся на образы, и наглядно показать различие между формулами, которые учащиеся часто путают, например (а — b)2 и a2 — b2 (рис. 18).

Для иллюстрации формул, в которые входят выражения третьей степени, необходимо использовать стереометрические образы.

Целесообразность использования в этой теме выражений «неполный квадрат» вызывает сомнения у некоторых методистов [1]. Они предлагают не давать название этому выражению, ведь a2 + 2аb — тоже неполный квадрат. Использование вместо двух действий одного — алгебраического сложения — позволяет уменьшить количество формул сокращенного умножения.

Второй этап. Выделение конкретных видов преобразований и формирование умений и навыков их применения. Этого требует расширение области применения тождественных преобразований (фактически весь курс алгебры и начал анализа). Преобразования дробно-рациональных, иррациональных, трансцендентных выражений. Причем здесь целесообразно выделить два класса преобразований: тождественные преобразования (преобразования выражений) и равносильные преобразования (преобразования формул). Преобразования иррациональных выражений вызывают большие трудности у учащихся, что, в первую очередь, связано

с многозначностью символа «√a». Поэтому далее эта тема будет рассмотрена подробнее.

Третий этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).

Рис. 18

Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, являющегося средством решения задач различного уровня (группы А, В, Г, см. § 15.3).

18.3. Особенности работы по обучению теме «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни»

Работа учителя по организации процесса обучения любой теме школьного курса математики начинается с выполнения логико-методического анализа темы.

Логико-методический анализ темы включает следующую последовательность действий:

1. Определение целей обучения теме.

2. Логико-математический анализ теоретического содержания темы.

3. Установление взаимосвязи материала темы и ранее изученного материала.

4. Выполнение методического анализа заданного материала. Типология задач может быть проведена по разным основаниям: уровням учебной деятельности, связи с теоретическим содержанием, видам заданий и т. д.

5. Постановка учебных задач и отбор средств и методов обучения с учетом уровня сформированности учебных действий на предыдущих этапах обучения.

6. Методическое планирование с указанием номера темы, подтемы, количества уроков, учебных задач, теоретического и задачного материалов (включая домашнее задание, повторение, самостоятельную работу, формы и методы средств обучения). Домашнее задание может быть дифференцированным, — на это указывала еще Н. К. Крупская. При этом дифференциация может носить психологический характер. Например, учащимся предлагается задача: «Три лошади пробежали 3 км. Сколько пробежала каждая?»

Учащийся — кинестетик, представляя описываемый в задаче процесс и мысленно участвуя в нем, может дать любой ответ, например «5». Как помочь такому ученику? Можно изменить задачу с целью вернуть его в роль решателя, включив дополнительное условие, что конюх на вопрос задачи ответил: «3». Ученику предлагается оценить данный ответ.

7. Определение форм и средств контроля за состоянием знаний и умений учащихся (текущий и итоговый, индивидуальный и групповой контроль, в которых реализуется уровневая дифференциация).

8. Приложение (разработка учебно-методического комплекса).

Цели обучения теме должны отражать:

• необходимость изучения данной темы для дальнейшего усвоения математики;

• связь с другими учебными предметами;

• влияние данной темы на познание реального мира;

• прикладную направленность темы;

• роль изучения темы в развитии ребенка;

• воспитательные задачи.

ПРИМЕР

Проведение логико-методического анализа темы «Тождественные преобразования иррациональных выражений», представленной в учебнике «Алгебра — 8» под ред. С. А. Теляковского.

1. Цели изучения темы:

1) формирование теоретического аппарата темы и умения применять его в практике решения задач, включая задачи на преобразования иррациональных выражений, требующих комплексного применения знаний;

2) пропедевтика и расширение функциональной и числовой линии, линии уравнений и неравенств;

3) применение математического аппарата для других учебных дисциплин и прикладных наук;

4) развитие гибкости мышления (при использовании наиболее рационального преобразования), умения оперировать абстрактными объектами (одно из основных качеств творческого мышления), умения абстрагировать (видеть только форму, а не содержание), вариативности мышления (умения читать слева направо и справа налево), развитие логического мышления и математической речи;

5) развитие познавательного интереса (через использование софизмов, доказательств с ошибками, свойств функций и их графиков, с непривычными формулировками). Эта цель может быть реализована посредством нетрадиционных заданий, например: а) внесите под знак корня a√b = √a2b = |a|b, проверьте при a = -3; б) замените |а| тождественно равным выражением.

2. При логико-математическом анализе темы выделяют блоки: А — актуализируемые знания, умения, навыки (каждый пункт нумеруется буквами), Б — вводимые понятия (нумеруются числами) и логический уровень их введения, В — система математических утверждений (факты и связи между ними показаны стрелками) и их обоснования (могут быть реализованы на разных уровнях строгости). Для каждого утверждения указываются номера (числа (блок Б) или буквы (блок А)) обосновывающих знаний. Это позволит ребенку создать целостное представление о всей теме, о конкретных теоремах и их доказательствах, позволит организовать обучение блоками (выделить связанные группы знаний и умений) и найти идею доказательств. Например, доказательство теоремы о равенстве

√a2 = |a| предлагается после определения арифметического квадратного корня, значит, и будет на нем строиться.

3. Тема «Тождественные преобразования иррациональных выражений» в теоретическом отношении базируется на линии числа, теории тождественных преобразований рациональных выражений, понятиях иррационального числа, квадратного корня, арифметического квадратного корня. Успешное изучение этой темы невозможно без сформированности у учащихся навыков выполнения тождественных преобразований на первом этапе изучения курса алгебры. (Блок А.)

В теоретической части темы можно выделить основные теоретические положения, доказательство которых проведено на строгом математическом уровне, и операционный аппарат: примеры прямого применения теорем; выделение основных типовых задач (задача внесения множителя под знак корня и обратная операция); примеры преобразований в условиях комплексного применения знаний. (Блоки Б и В.)

4. Задачный материал на обязательном уровне содержит задачи (по видам заданий):

1) упрощение выражений (прямое применение теории, комплексное применение знаний);

2) сокращение дроби;

3) освобождение от иррациональности в знаменателе.

Дополнительная система упражнений представлена задачами этих же типов, но на более высоком уровне сложности. Например, задача вынесения множителя из-под знака корня на обязательном уровне рассматривается на числовом множестве; в дополнительной системе упражнений эта задача сформулирована на множестве выражений, содержащих переменные.

5. При изучении этой темы могут быть поставлены учебные задачи:

1) научиться выносить (вносить) множитель из-под знака корня;

2) сравнивать иррациональные числа и т. д.

6. Методическое планирование обычно оформляется в виде таблицы.

7. В процессе изучения темы целесообразно использовать такие формы контроля, как промежуточный (индивидуальный, коллективный) и итоговый. При осуществлении контроля целесообразно проводить его для разных уровней усвоения (уровень воспроизведения, уровень прямого применения, уровень творческого применения знаний).

При организации системы заданий можно выделить два аспекта.

Во-первых, при построении системы заданий в рамках учебной темы необходимо разнообразить их формулировку (заменить тождественно равным выражением; найти разность, отношение и т. д.; найти ошибку; установить, при каких условиях а√9b2 = -3|аb|).

Во-вторых, построение системы заданий должно осуществляться в рамках линии тождественных преобразований школьного курса алгебры и начал анализа.

Ключевая информация

В курсе алгебры тождественные преобразования рассматриваются как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным.

С формальной точки зрения два выражения тождественны, если они могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований. С функциональной точки зрения два выражения тождественны, если они принимают одни и те же числовые значения при произвольных системах значений букв, входящих в эти выражения.

С тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры.

Изучение линии тождественных преобразований предполагает выделение четырех этапов: пропедевтического (5—6 классы); первого, на котором используется нерасчлененная система преобразований (начало 7 класса); второго, в процессе которого выделяются конкретные виды преобразований (8—9 классы); третьего, который организует целостную систему преобразований (10—11 классы).

Рекомендуемая литература

1. Гуревич Г. Б. О терминологии и понятиях начальной алгебры // Математика в школе. — 1962. — № 6.

2. Математический энциклопедический словарь. — М.: БРЭ, 1995.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М.: Просвещение, 1985.

4. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под ред. С. Е. Ляпина. — М.: Просвещение, 1965.

5. Репьев Б. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. — М.: Просвещение, 1967.

6. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. — Минск: Выш. школа, 1965.

7. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1985.

8. Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск: Выш. школа, 1967.

Лекция 19

Теория числа в курсе алгебры девятилетней школы

Натуральные числа даны Богом, остальные придуманы человечеством.

Л. Кронекер

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Какие определения действительного числа вы знаете?

2. Почему нельзя делить на 0?

3. Какую последовательность изучения дробей вы предпочтете: десятичные после обыкновенных или наоборот? Попробуйте увидеть плюсы и минусы в каждом случае.

4. Какое новое свойство появляется в множестве действительных чисел по отношению к множеству рациональных?

5. Докажите, что √3 не является рациональным числом.

6. Почему бесконечная десятичная дробь, выражающая рациональное число, является периодической?

7. Как, по-вашему, описывают школьники иррациональные числа? Почему?

19.1. Из истории развития действительного числа

Натуральные числа появились как числа, используемые для счета. Одна из самых поздних систем счисления — десятичная — была изобретена в Индии. Но использовать десятичную систему стали арабы, поэтому записанные в этой системе числа называют арабскими. Как уже отмечалось, отрицательные числа использовали еще в VI—XI вв. Но в науке отрицательные числа получили признание лишь в XVII в. после опубликования Р. Декартом «Геометрии» (1637), который ввел отрицательные координаты, что позволило представить на плоскости отрицательные корни уравнения. При установлении правил умножения на дробь, на отрицательное число Леонард Эйлер, как и другие ученые, переносил основные законы арифметики на область новых чисел и выводил из этих законов правила действий над новыми числами. (Известен спор об истинности равенства √—a⋅√-b = √a⋅b. Эйлер сначала считал его верным, потом заменил его на √-a⋅√-b = -√a⋅b, но Бернулли и Безу не согласились. Они просто перенесли правила умножения радикалов положительных чисел на умножение мнимых чисел. Не была известна логическая основа теории мнимых чисел.)

Идея бесконечности была отражена еще Архимедом в его «Псаммите». В нем он изложил принципы обозначения и названия для бесконечно больших чисел. К ним относили числа, которые больше, чем «число песчинок в мире».

После работы О. Коши, выяснившего математическое содержание понятия предела, очередной задачей математики стало создание важнейшей для математического анализа числовой системы — системы действительных чисел.

В связи с развитием аксиоматического метода в XIX в. появляется теория числа. Натуральные числа определяются Кантором через мощность (кардинальное число) равномощных множеств, Пеано вводит их аксиоматически.

Действительное число одновременно определяется в том же веке тремя великими математиками — Вейерштрассом, Дедекиндом и Коши.

19.2. Подходы к определению действительного числа и к расширению множеств. Цели изучения линии числа

Иррациональные числа (термин введен М. Штифелем в 1544 г.) делятся на алгебраические нерациональные и трансцендентные. Иррациональность числа к была обоснована И. Ламбертом в 1766 г. Строгая научная теория действительного числа появилась во второй половине XIX в. Вейерштрасс представляет действительное число в виде бесконечной десятичной дроби; иррациональное число — как бесконечную непериодическую дробь, определяемую числовыми последовательностями — приближениями иррационального числа по недостатку и избытку. Дедекинд определяет действительное число через построение сечения на множестве. Теорема Дедекинда гласит: если произвести сечение во множестве действительных чисел, то найдется число b, производящее это сечение, причем b будет наибольшим в нижнем классе либо наименьшим в верхнем. На множестве рациональных чисел существуют три вида сечений. В одном случае в нижнем классе будет наибольшее число, в другом случае наименьшее число окажется в верхнем классе, а в третьем — в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего. Множество Q не обладает полнотой. Сечениям третьего рода сопоставляются иррациональные числа, являющиеся пограничными между нижними и верхними классами сечений. Коши определяет действительные числа через построение фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Как же в теории появляются новые числа? Новые числа появляются как расширение некоторого множества чисел. При этом возможны два пути.

Во-первых, вводится новое множество В. Затем некоторое его подмножество отождествляется с множеством А (устанавливается изоморфизм). Эта возможность отражена в учебнике А. П. Киселева. При ее реализации у школьников может создаться впечатление, что отрицательные и положительные числа — не связанные друг с другом числовые множества.

Во-вторых, А дополняется новыми числами —А, получаем расширенное множество: В = A∪А. В учебнике Н. Я. Виленкина Q+ (положительные рациональные числа и 0) дополняется Q-: Q = Q+ ∪ Q-.

Для расширения числовых множеств имеют важное значение следующие идеи.

Во-первых, в основе новых определений лежит принцип перманентности. Он предполагает невозможность сохранять все свойства. Принцип сводится к следующим требованиям:

• А — подмножество В;

• все старые числа являются и новыми, арифметические операции и отношения, имеющие смысл в А, определены и в В;

• правила действий над новыми числами и правила сравнения их между собой и со старыми числами определяются так, чтобы сохранялись основные законы арифметических действий;

• в множестве В выполнима операция, невыполнимая или не всегда выполнимая в А. В — минимальное расширение А, т. е. В является минимальным множеством, для которого выполнимы указанные требования.

Во вторых, операторное истолкование числа. Действия над числами можно интерпретировать, при этом один из компонентов будет играть пассивную роль, а другой — активную. Сложение можно понимать как изменение на величину, описываемую вторым слагаемым, а умножение — как многократное сложение или нахождение части числа.

В-третьих, наличие синтаксического и семантического аспектов числа. Синтаксический аспект числа выражается в форме записи и учитывает возможную неоднозначность записи чисел, например: в десятичной и двоичной системах, в римской нумерации — для натуральных чисел.

Семантический аспект связан: с порядком — идеей бесконечности и принципом индукции; с количеством — проявлением равномощности множеств (сравнение выступает как включение множеств, сложение — как объединение); с измерениями — числовой мерой, величиной, характеристикой процесса измерения, важной для приложений.

Перед изучением линии числа ставятся конкретные цели:

• осмысление числа как основного объекта математики, истории развития числа;

• демонстрация идеи расширения числовых множеств, свойства числовых множеств;

• иллюстрация идеи алгебраических структур, R — бесконечное упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотно, замкнуто относительно +, -,⋅, :, определен предел любой сходящейся последовательности действительных чисел (R непрерывно);

• знакомство с системами счисления, теорией делимости;

• воспитание вычислительной культуры (алгоритмы вычислений, рациональная техника, приближенные вычисления, использование средств вычислительной техники).

19.3. Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, — это добавление нуля. Сначала 0 — знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?

Разделить— значит найти х: х⋅0 = а. Рассматриваются два случая: 1) а ≠ 0, следовательно, надо найти х: х⋅0 ≠ 0. Это невозможно. 2) а = 0, следовательно, надо найти х: х⋅0 = 0. Таких x сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Для чего нужны определения а⋅1 = а, а⋅0 = 0? Для того, чтобы сохранить переместительный закон умножения и монотонность умножения.

Есть учебники, где основные законы действий считаются справедливыми без необходимых обоснований.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• необходимость новых чисел;

• введение новых чисел;

• сравнение (геометрическая интерпретация);

• действия над числами;

• законы.

Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел — числовое поле.

Поле (П) — множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — умножение и сложение, обе ассоциативные и коммута-

тивные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого а: а + 0 = а и для каждого противоположного а: -а + а = 0. Существует единичный элемент: а*а-1 = 1. (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем.) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т. е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.

Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5—6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможные варианты:

N ∪ {0}

N ∪ {0}

N ∪ {0}

N ∪ {0}

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

Десятичные дроби

Целые числа

Десятичные дроби

Обыкновенные дроби

Отрицательные числа

Десятичные дроби (положительные)

Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби (положительные)

Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)

Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

Возможен и такой вариант (П. М. Эрдниев «Математика 5—6»)

N ∪ {0} → Дробные (обыкновенные и десятичные) → Рациональные (введение отрицательных чисел)

Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.

В основной школе дроби обычно вводятся методом целесообразных задач, придуманным С.И. Шохор-Троцким, например при рассмотрении следующей задачи: «1 кг сахарного песка стоит 15 Р. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг? 2/3 кг?» Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти 2/3 от 15.

Ученики могут разделить на 3 и умножить на 2. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на 2/3.

Рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности:

• умножение на целое число;

• умножение целого числа на смешанное число;

• умножение дроби на смешанное число;

• умножение на правильную дробь;

• умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.

Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.

При изучении десятичных дробей до обыкновенных они могут быть введены при рассмотрении десятичной системы нумерации целых положительных чисел (первая разрядная единица после запятой — десятые доли единицы, следующая — сотые и т. д.). Следует иметь в виду, что все арифметические действия над десятичными дробями выполняются проще, чем над обыкновенными, да и их практическое применение шире.

Изучение обыкновенных дробей до десятичных также имеет свои достоинства. Десятичные дроби — частный случай обыкновенных, правила действий с ними являются следствиями правил действий над обыкновенными дробями. В отдельных случаях выполнение действий второй ступени над обыкновенными дробями проще. Основное свойство дроби объяснимо только на основе общего понятия о дроби. Если десятичные дроби рассматриваются до обыкновенных, то всю теорию дро-

бей надо строить заново, так как нельзя из частного случая делать выводы для общего.

Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными способами:

1. Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.

ПРИМЕР

Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке a км, но, оказавшись перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл b км. Где он оказался по отношению к исходному месту входа в реку?

Ответом служит разность а — b, но при а < b действие невозможно.

2. В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл (А. П. Киселев).

3. Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.

4. На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси (В. Л. Гончаров).

5. Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток (Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский).

ПРИМЕР

Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на а см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на b см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?

6. Как средство изображения расстояний на температурной шкале (А. Н. Барсуков).

Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования правил сравнения нередко служит координатная прямая.

Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т. е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.

К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождение логарифма положительного числа при положительном основании.

В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет длину, каждая фигура — площадь), построения графиков (должны быть разрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса.

Если ввести иррациональные числа как неизвлекаемые корни (А. П. Киселев), то у учащихся сформируется представление об иррациональных числах только как о неизвлекаемых корнях, поэтому целесообразно указать школьникам на несоизмеримость отрезков. В качестве примера можно взять стороны равнобедренного треугольника с углом при вершине 36°. Проведем биссектрису угла при основании данного треугольника, которая отсечет от данного треугольника подобный ему (углы 36°, 72°, 72°). Дальнейшее последовательное проведение биссектрис угла при основании вновь получаемых равнобедренных треугольников (рис. 19), которое можно продолжать до бесконечности, показывает несоизмеримость основания и боковой стороны исходного треугольника. AC = AD1 = BD1, и если бы ВС и АС были соизмеримы между собой, то с ними соизмерим был бы и отрезок CD1 = ВС — BD1 = ВС — АС. Стороны меньшего треугольника ACD1 были бы также соизмеримы. Аналогично соизмеримы были бы и отрезки D2C и D1C и т. д., что не может иметь бесконечный характер.

Периодичность бесконечной десятичной дроби, выражающей рациональное число, вытекает из деления натуральных чисел, так как при таком делении может получиться только конечное число различных остатков, не превосходящих делителя. Следовательно, при бесконечном делении какой-то остаток должен повториться, а за ним повторятся и соответствующие остатки числа частного — получится периодическая дробь.

Рис. 19

В большинстве учебников иррациональное число рассматривается как бесконечная непериодическая десятичная дробь (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках — как длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.

Далее необходимо установить, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством точек на числовой прямой и множеством действительных чисел. Поскольку иррациональные числа вводятся для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве учебников не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д. К. Фаддеева и др.) используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.

Можно не доказывать непрерывность множества R, но необходимо выяснить различие в структуре множеств рациональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н. Н. Лузин предложил такое сравнение: если представить, что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти сплошь. У С. И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные — в красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной. О мощности множества иррациональных чисел можно судить через рассмотрение их как полученных из рациональных разрушением периода бесконечной десятичной дроби, так как для каждого рационального числа можно предложить множество иррациональных.

Геометрическое построение иррациональных чисел с использованием теоремы Пифагора приводится на рис. 20.

Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория

Рис. 20

Кантора—Мере, рассматривающая стягивающиеся последовательности вложенных в друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается как число, заключенное между всеми приближенными результатами, взятыми по избытку, и всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В. К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников) школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися, приближенными. Многие считают, что числа √2, √3, √8 нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: «точный» корень, «неточный» корень. Он советует использовать термины «приближенное значение корня» и «точное значение корня».

Действия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы √2 + √5 (рис. 21). Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.

Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными числами могут получаться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей [2].

У Киселева иррациональное число вводится как предел его рациональных приближений. Возникает логический круг, так как до введения иррациональных чисел не всякая фунда-

Рис. 21

Рис. 22

ментальная последовательность рациональных чисел имеет предел. Кроме того, необходимо убедиться, что разность \х — ап\ стремится к нулю, а для этого надо определить саму разность.

Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.

Классификация числовых множеств, охватывающая комплексные числа представлена на рис. 22.

19.4. Методика введения понятия «иррациональное число»

Существует три подхода к введению понятия «иррациональное число».

При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.

1. Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: «Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение x2 = 2. Решением этого уравнения (с учетом того, что длина выражается положительным числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: «Какому числовому множеству принадлежит это число? »

2. Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап можно, выполнив лабораторную работу.

ПРИМЕРЫ

1) Является ли √2 целым числом?

Ответ. Рассмотрим квадраты последовательных натуральных чисел: 12 = 1, 22 = 4.

1 < 2 < 4.

Вывод. Среди целых чисел значения √2 нет.

2) Является ли √2 рациональным числом?

Ответ. Рассмотрим приближенные значения √2 с точностью до 0,01; 0,001 и т. д.

Выполняя аналогичную работу на отрезке [1,4; 1,5], получим:

Увеличивая точность приближения, можно показать: √2 = 1,4142....

Уже на этом этапе можно увидеть, что √2 — бесконечная непериодическая дробь.

С использованием микрокалькулятора получим: √2 = 1,4142135623....

Вывод (предположение) на этом этапе. √2 — не рациональное число.

3) Приведите строгое математическое доказательство предположения, сформулированного на предыдущем этапе.

Утверждение. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Далее проводится доказательство.

Примечание. Перед доказательством должна быть проведена подготовительная работа.

4) Существует личисло√2?

Ответ. Решим исходное уравнение графически.

Как видно из рис. 23, существует положительное значение абсциссы точки пересечения графиков. Значит, существует число √2. А это, в свою очередь, требует расширения числового множества.

5) Дайте определение иррационального числа.

Ответ. Числа, представляемые бесконечными десятичными непериодическими дробями, называются иррациональными.

Далее приводятся примеры иррациональных чисел: √3; √7; π и т. д.

6) Изобразите иррациональные числа на координатной прямой. Ответ. Иллюстрируется построение улитки Паскаля.

Введение понятия «иррациональное число» завершается расширением множества рациональных чисел до множества действительных чисел, структуру которого можно изобразить с помощью кругов Эйлера (рис. 24).

3. Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.

При втором подходе к введению понятия «иррациональное число» («Алгебра-8» под ред. С. А. Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания.

Рис. 23 Рис. 24

ПРИМЕРЫ

1) Найдите длину отрезка OB при выбранной единице измерения ОЕ (рис. 25).

Эта задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.

2) Вычислите длину отрезка, если он составляет 2/7 единичного отрезка. Ответ. 2/7 = 0,(285714).

3) Приведите геометрическое доказательство того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2.

Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении длины диагонали (при условии, что единица измерения — длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

4) Приведите строгое доказательство, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

5) Дайте определение иррационального числа.

6) Постройте множество действительных чисел.

При третьем подходе к введению понятия (Ш. А. Алимов и др. «Алгебра-8») можно привести формулировку определения и проиллюстрировать его примерами.

19.5. Методика введения понятия «комплексное число»

При первом подходе к введению понятия «комплексное число» можно воспользоваться следующей методикой.

1. Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории геометрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками ориентированной (координатной) плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой ориентированной плоскости.

Определение. Пара (а, b) действительных чисел, заданных в определенном порядке, называется комплексным числом.

2. Выделяется подмножество (а, 0), изображаемое точками оси абсцисс, которая является геометрическим образом множества действительных чисел. Устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и множеством комплексных чисел. Комплексное число вида (а, 0) — действительное число.

Рис. 25

Определение. Комплексное число вида (а, b), где b ≠ 0, называется мнимым числом.

Комплексное число вида (0, b), где b ≠ 0, называется чисто мнимым числом.

Для числа вида (а, b) вводятся понятия: (а) — действительная часть комплексного числа, (b) — мнимая часть комплексного числа.

Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа и правила выполнения действий с учетом формы записи.

При подходе Ш. А. Алимова к введению понятия «комплексного числа» рекомендуется следующая методика работы.

1. Мотивационный момент: нахождение корней уравнения x2 = -1; введение i как значения квадратного корня из -1.

Определение. Комплексными числами называют выражения вида a + bi, где а и b — действительные числа, a i — некоторый символ такой, что i2 = -1.

2. Здесь же определяются сопутствующие понятия: действительная и мнимая части комплексного числа.

3. Далее вводятся действия с комплексными числами в алгебраической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Н. Я. Виленкин предлагает другой подход к введению понятия «комплексного числа». Он дает определение комплексного числа (вариант первого подхода). Далее сразу вводится мнимая единица, алгебраическая форма записи и действия в алгебраической форме записи и т. д. в той же последовательности, что и в подходе Ш. А. Алимова.

Ключевая информация

Расширение числовых систем осуществляют с учетом принципа перманентности. В учебниках математики реализуются различные последовательности расширения множества натуральных чисел до множества рациональных чисел.

Иррациональные числа отражают несоизмеримость отрезков. Пополнение рациональных чисел иррациональными приводит к непрерывному множеству действительных чисел.

Комплексные числа можно вводить на основе разного сочетания алгебраического и геометрического подходов.

Рекомендуемая литература

1. Александров П. С, Колмогоров А. Н. Иррациональные числа // Вопросы преподавания математики в средней школе. — М.: Учпедгиз, 1961.

2. Андронов И. К. Математика для техникумов. — М.: Высш. школа, 1965.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. — М., 1985.

4. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1986.

5. Фихтенгольц Г. М. Иррациональные числа в средней школе // Математическое просвещение. — М.: Гостехиздат, 1957. — Вып. 2.

Лекция 20

Функции в девятилетней школе

В средней школе функция неотделима от ее графического представления.

В. Л. Гончаров

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между следующими понятиями: соответствие, функция, отображение, отношение, числовая функция.

2. Учитель, рассуждая о разных формах графиков, нарисовал параболу. Ученик тут же сказал, что это график квадратичной функции. Прав ли он?

3. Назовите имена математиков, внесших вклад в развитие идеи функции.

4. Какой характер (геометрический или аналитический) первоначально имела трактовка функции?

5. К какому времени относят возникновение идеи функции? Кого считают ее автором?

6. Равны ли функции

20.1. Из истории развития функции

Впервые идея функции встречается у Декарта, который обратил внимание на соответствие между отрезками — ординатой и абсциссой некоторой точки. В 1673 г. он ввел тер-

мин «функция». Аналогичную характеристику функции дал Лейбниц. Итак, первая трактовка функции носила геометрический характер. Постепенно понятие функции приобретает аналитический характер (Я. и И. Бернулли). В 1748 г. Эйлер рассматривает функцию переменного количества. Функцией переменной величины он считает аналитическое выражение, составленное каким-то способом из этой переменной величины и из числа или постоянной величины плюс линия, проведенная от руки. При таком определении объем понятия функции зависит от того, какие операции считаются аналитическими, ограничен способом задания функции, рассмотрением множеств не любой природы, а только удовлетворяющим аксиомам величины. Современное определение функции как соответствия между множествами любой природы принадлежит Н. И. Лобачевскому. В 1834 г. он определяет функцию как зависимость между объектами, понимая под объектами числа. В 1837 г. Дирихле распространяет это определение на объекты разной природы, но оставляет статическим (исключая переменные величины). В курс алгебры это определение вошло под названием определения Дирихле—Лобачевского.

20.2. Цели изучения функции в основной школе

Понятие функции в математике является одним из основных. Основные понятия алгебры и геометрии трактуются на функциональной основе.

Использование свойств функций лежит в основе метода решения математических задач. Например, при решении уравнений и неравенств, их систем часто полезно сравнить области значений функций, стоящих в левой и правой частях. Может оказаться, что их пересечение пусто или равно одной точке. Это позволяет сделать вывод о решении уравнения или неравенства. При решении задач с параметрами часто помогают найти решение графики рассматриваемых в задании функций. Вообще графическое решение, основанное на использовании графиков функций, является одним из методов решения математических задач.

Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей непрерывности, бесконечности, интерполяции (приближения). Все процессы, зависящие от времени, представляют собой функциональные зависимости. Функция является моделью многих реальных процессов. Изучение свойств функций позволяет познавать явления окружающего мира.

Функциональные зависимости используются в разных науках и учебных дисциплинах. Изучение функции в школе позволяет показать учащимся значимость и распространенность этого понятия, увидеть, что практически нет учебных предметов, где бы не изучались функции; многие законы, связи имеют функциональную основу.

Если рассматривать развивающие цели, то изучение функций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимостей между изменениями разных объектов, а также целям, которые ставятся при изучении алгебраического материала (развитие умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать и др.).

20.3. Различные трактовки понятия «функции»

Различные трактовки понятия «функции» можно разделить на два блока. Первый блок объединяет определения, которые можно отнести к классическим, традиционным, опирающимся на понятие переменной величины. Эти определения используются в традиционной школе. В них функция определяется как:

• переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой;

• закон (правило), по которому значения зависимой переменной величины зависят (соответствуют) от значениий рассматриваемой независимой переменной.

Такого рода определения появились ранее второго блока определений, которые относят к современным, имеющим теоретико-множественную основу:

• пусть X и У — два произвольных множества. Говорят, что на X задана функция, принимающая значения из У, если элементу х из множества X поставлен в соответствие один и только один элемент из У;

• функция рассматривается как закон, по которому элементу X из множества X ставится в соответствие один и только один элемент из У;

• функция рассматривается как соответствие, по которому элементу х из множества X ставится в соответствие один и только один элемент из У;

• отношение xFy, где х принадлежит X, а у принадлежит У, называется функциональным, если порожденное им множество пар однозначно, т. е. в нем нет различных пар с одинаковыми первыми элементами.

20.4. Формирование понятия «функции» в школьном обучении

Исторический подход к понятию функции в школьном курсе предполагает повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке. Но в школе изучают только зависимости между числами, поэтому рассматриваются только числовые функции. Изучение этого понятия имеет шесть уровней.

1. Пропедевтический уровень (первый этап). Имеет место в начальной школе. При изучении разных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. Например, уже при изучении сложения учащиеся наблюдают, что происходит со значением суммы при изменении одного из слагаемых. При решении задач они рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, например стоимости от цены.

По окончании начальной школы у учащихся есть все знания, необходимые для решения уравнения типа 2 + 56 : (3(х — 3) - 7) = 9. Они решают их на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сначала определяют, какое действие выполняется последним, затем находят, какой компонент этого действия содержит неизвестное, выражают этот компонент через остальные и т. д., до тех пор пока в качестве компонента не будет неизвестное. В данном примере последнее действие — сложение, неизвестное в слагаемом, следовательно, выражаем это слагаемое через разность суммы и другого слагаемого.

2. Пропедевтический уровень (второй этап). Реализуютя в 5—6 классах. Отличается от первого содержанием деятельности учащихся. Составляются таблицы значений переменных, наглядно представленных зависимостей. Рассматриваются диаграммы, в которых наглядно представлены зависимости между дискретными величинами, графики температур и т. д.

3. Базовый уровень. Реализуется в 7 классе на содержательной основе. Функция рассматривается как связь, закон («Алгебра-7», под ред. С. А. Теляковского) или как зависимая переменная (Ш. А. Алимов и др. «Алгебра-7»). Вводится понятийный аппарат (независимая и зависимая переменная, график, область определения, область значения). Рассматриваются различные способы задания функции (формулой, таблицей, графически, описанием). В разных учебниках перечисленные понятия вводятся либо через примеры, либо явно. В качестве задач предлагаются задачи на движение, на нахождение площади.

Этот уровень очень важен. Здесь необходимо сформировать общее представление о функции и ее свойствах. Ученики должны понимать, что функции бывают разрывные. Графики функций на разных участках могут быть разными кривыми, прямыми линиями. Учитывая, что семиклассники находятся на стадии перехода к понятийному мышлению, а значит, для них значимы образы, целесообразно знакомить учащихся с функциями на наглядной основе, используя графики.

На этом уровне могут быть предложены учащимся следующие задания.

1. На формирование понятия, что задание функции требует определения трех объектов — двух множеств и правила (закона) связи между ними.

ПРИМЕРЫ

1) Даны пары множеств и задано соответствие между ними. Является ли оно функцией?

2) Даны пары множеств. Задать два разных соответствия между ними. Являются ли они функциями?

2. На формирование представлений о разных способах задания функции.

ПРИМЕР

Даны несколько графиков функций и несколько формул, задающих эти же функции. Для каждого графика найти соответствующую ему формулу.

Четвертый, пятый и шестой уровни изучения функций реализуются в старшей школе.

20.5. Изучение функции с учетом когнитивных стилей учащихся

В школе в основном реализуются формальный и аналитический подходы к изучению функции, т. е. ученики запоминают определения понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Это связано с тем, что в большинстве заданий приводятся функции, заданные аналитически, а упражнениям образного характера и графикам уделяется недостаточное внимание. В комплектах учебников Мордковича А. Г. и др. предпринята попытка подойти к изучению функции менее формально, максимально используя графическое представление функции.

Графики функций помогают разобраться, какой процесс описывает данная функция — непрерывный или дискретный; понять многие свойства функций, такие, как монотонность на

множестве, нули функции, области положительных и отрицательных значений функции. При этом «каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности» [4].

Обучение функциям позволяет одну и ту же информацию представлять в различной форме, соответствующей разным познавательным стилям. Так, одни и те же задания можно выполнять двумя способами: графически и аналитически. Кроме того, при рассмотрении функций у учителя появляется возможность многие понятия и свойства вводить многосенсорно.

Можно выделить некоторые особенности организации изучения тем линии функции с учетом психофизиологических особенностей учащихся.

Во-первых, в начале этапа закрепления не стоит обязательно требовать правильных ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стиля. Они должны привыкнуть к материалу, осознать его специфику. При проверке обучающих самостоятельных работ целесообразно результатам дать, в первую очередь, качественную оценку, постараться рефлексивным ребятам увеличить время выполнения работы.

Во-вторых, на этапах введения и закрепления понятия целесообразно организовать работу в парах. Учитель должен помочь ученикам перейти в другие модальности. Для кинестетиков желательны вопросы о том, что они слышали и видели, для аудиалов — что видели, для визуалов — что слышали.

В-третьих, для организации работы с учебным материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно организовывать задания в блоки, называемые блоками стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, но позволяющие работать с разными стратегиями, например аналитической и графической.

ПРИМЕРЫ

Задание 1.

1) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (-∞; -2) и (5; +∞) и убывающей на промежутке (-2; 5). (Для аналитиков.)

2) Выпишите промежутки возрастания и убывания графика данной функции (рис. 26). Если необходимо, выделите разными цветами соответствующие значения независимой переменной. (Для синтетиков.)

Задание 2.

1) Обведите номера формул, которые задают линейную функцию, запишите под этими формулами значения коэффициентов b и к:

Рис. 26

в) у = 7х; г) у = x + 4 — 5х;

д) у — -5х + 3. (Для аналитиков.)

2) Придумайте и запишите формулу, задающую линейную функцию. Выпишите для нее значения коэффициентов b и k. (Для синтетиков.)

Задание 3.

1) Нарисуйте схематично на одной координатной плоскости графики следующих функций и подпишите их:

а) у = 3x2; 6) у = -0,5х2; в) у = -0,5х2; г) у = -3x2. (Для аналитиков. )

2) На рисунке схематично изображены графики функций, записанные аналитически. Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)

Задание 4.

1) Нарисуйте схематично в одной системе координат разными цветами графики функций:

(Для аналитиков.)

2) Сопоставьте график квадратичной функции с ее аналитическим заданием. Запишите номер графика функции на рисунке и соответствующую формулу. (Для синтетиков.)

Задание 5.

1) Внизу записаны в виде промежутка области определения некоторых функций, а вверху — графики функций (рис. 28). Подпишите под каждым графиком область определения функции, заданной этим графиком. (Для аналитиков. )

2) Функция задана графически (рис. 27). Выделите разными цветами область определения на оси Ох и область значений на оси Oy. Запишите, чему равны область определения и область значений. (Для синтетиков.)

Рис. 27

Рис. 28

В-четвертых, на этапе закрепления устанавливаются и развиваются связи и отношения с другими понятиями, что способствует систематизации знаний. На этом этапе, чтобы увеличить стилевую гибкость, учащиеся должны выполнять задания, соответствующие наименее предпочитаемому стилю. Для этого можно предложить учащемуся после решения наиболее простого для него задания (или выполнения задания наиболее простым для него способом) выполнить второй вариант этого задания (или выполнить это же задание другим способом).

В-пятых, почти на каждом уроке целесообразно предлагать учащимся небольшую самостоятельную работу, в которую входили бы задания, сгруппированные в блоки стратегий. Если при первичном закреплении некоторые учащиеся выполняют только один тип таких заданий, то уже на следующем уроке, на этапе закрепления, многие успешно справляются со всеми видами заданий. При обучении у школьников не только повышается уровень полученных знаний, но и развивается стилевая гибкость.

ПРИМЕРЫ

1) Функция задана графически. Выделите разными цветами область определения и область значений. Запишите, чему равны область определения и область значений. Выделите красным цветом часть координатной плоскости, в которой функция принимает положительные значения, а синим цветом часть координатной плоскости, в которой функция принимает отрицательные значения. Выпишите соответствующие значения аргумента в виде промежутка.

2) Слева записаны в виде промежутка области определения некоторых функций, а справа — графики функций. Подпишите под каждым графиком область определения функции, заданной этим графиком.

В-шестых, контроль знаний имеет смысл проводить в предпочитаемом ребенком стиле. Рефлексивным ученикам для выполнения некоторых заданий желательно сделать заготовки. Например, если требуется исследовать функцию, график которой изображен на доске, рефлексивным ученикам можно выдать карточки с уже готовым рисунком, на которых они могут работать.

ПРИМЕРЫ

1) Найдите координаты точек пересечения прямых у = -4х — 5иу = 2х+1 любым способом (графически или аналитически).

2) Выполните на выбор одно задание.

а) Напишите уравнение параболы, изображенной на рис. 29.

б) Нарисуйте схематично график функции у = a(х + t)2 и задайте ее аналитически, если известно, что парабола проходит через точку A(0; 4) и осью симметрии этой параболы является прямая х = 2.

3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].

4) Дана функция у = f(x), где f(x) =

а) Вычислите: f(-3), f(2).

б) Постройте график функции.

в) Опишите свойства функции у = f(x) (область определения, нули функции, промежутки монотонности).

5) Решите графически задачу. Длина забора, огораживающего участок прямоугольной формы, равна 12 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь равна 8 м2.

6) Выполните на выбор одно задание.

а) Определите знаки коэффициентов параболы у = ах2 + bх + с, схематично изображенной на рис. 30.

б) Нарисуйте схематично на координатной плоскости параболу у = aх2 + bх + с, если известно, что а < 0, b > 0 и с > 0.

Для оптимального восприятия учебного материала учениками с доминирующим правым полушарием, а также для развития образного мышления желательно обеспечивать межпредметные связи и связь математики с жизнью.

20.6. Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции

Понимание функции как математической модели реальных процессов определяет общекультурный аспект изучения математики. В связи с этим учащиеся должны уметь видеть функциональную зависимость не только в алгебраических формулах, но и в других школьных предметах и в жизни. Такое построение учебного материала отвечает принципу целостности образования.

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33

Рассмотрим примеры функций и соответствий, не являющихся функциями, представляющих собой математические модели реальных процессов, которые можно рассматривать на материале различных школьных предметов.

ПРИМЕРЫ

1. Физика.

1) Зависимость ускорения а, с которым движется тело массой m, от приложенной к телу силы F: а = — F (х — сила, у — ускорение а) (рис. 31).

2) Зависимость количества теплоты О, выделенной при сгорании каменного угля, от его массы m с удельной теплотой сгорания q (постоянная величина): Q = qm(x— масса m, у — количество теплоты О) (рис. 32).

2. Химия.

Зависимость порядкового номера элемента в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева от количества электронов на внешнем уровне (номера группы), где х— номер группы, у — порядковый номер элемента. (На рис. 33 изображена только часть графика для первых четырех групп.)

3. История.

Изменение численности армии Чингисхана со временем (рис. 34), где у — численность войска, t — момент времени.

4. Биология.

1) Человек (х) → группа крови (у) — является функцией (рис. 35, а).

Рис. 34 Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

2) Группа кровu (x) → человек (у) — не является функцией (рис. 35, б).

3) Зависимость потребности в сне от возраста человека. Грудной ребенок (до 1 г.) спит 12 ч, восьмилетний—до 11 ч, взрослый человек — 8 ч (рис. 36).

5. География.

Соответствие температуры воздуха и календарного числа (у — температура, х — число). Поскольку в течение суток температура воздуха может меняться, такое соответствие не будет являться функцией (рис. 37). На рисунке изображены интервалы изменения температуры.

Представление о функциональных зависимостях у школьников было бы неполным без рассмотрения на уроках ситуаций, встречающихся в повседневной жизни школьников.

ПРИМЕРЫ

1) Соответствие между днями недели и отметкой по алгебре, полученной учеником (рис. 38), где х — день недели, у — отметка.

2) Спортсмен прыгает с пятиметровой вышки в воду и всплывает на поверхность воды (рис. 39), х — время (с), у — расстояние между спортсменом и поверхностью воды (м).

Ключевая информация

Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей непрерывности, бесконечности, интерполяции (приближения).

Изучение функций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимостей между изменениями разных объектов.

Трактовки понятия «функция» можно разделить на два блока: классические, опирающиеся на понятие переменной величины, и современные, имеющие теоретико-множественную основу.

Изучение понятия «функция» в школе представлено шестью уровнями: 1-й пропедевтический (начальная школа); 2-й пропедевтический (5—6 классы); 3-й базовый, на котором предполагается сформировать общее представление о функции и ее свойствах и разных способах задания функции (7—9 класс); 4—6-й реализуются в старшей школе.

Изучение понятия «функция» целесообразно проводить с учетом когнитивных стилей учащихся.

Рекомендуемая литература

1. Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и в школе //Математика в школе. — 1978. — № 2. — С. 10—27.

2. Колмогоров А. Н. Что такое функция? // Математика в школе. — 1978. — № 2. — С. 27—29.

3. Методика преподавания математики в средней школе. — Частные методики / Сост. Р. С. Черкасов и др. —М., 1985.

4. Мордкович А. Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. — 1996. — № 6. — С. 28—33.

5. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Выш. школа, 1985.

6. Хинчин А. Я. Педагогические статьи. — М.: Акад. пед. наук РСФСР, 1963.

7. Цукарь А. Я. Изучение функции в VII классе с помощью средств образного характера // Ма