Мазаник А. А. Устные упражнения в курсе математики средней школы : пособие для учителей. — Минск : Нар. асвета, 1966. — 128 с. — Лит.: с. 126.

А. А. Мазаник

Устные упражнения в курсе математики средней школы

А. А. МАЗАНИК

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАРОДНАЯ АСВЕТА»

МИНСК 1966

51(07) М13

Опираясь на свой многолетний опыт и опыт других учителей математики г. Могилева, автор книги заслуженный учитель школ БССР А. А. Мазаник рассказывает о роли устных упражнений при изучении арифметики, алгебры и геометрии.

Устные упражнения позволяют без увеличения числа учебных часов повысить качество обучения и уровень математических знаний учащихся. Они служат одним из средств предупреждения формализма в преподавании математических дисциплин, делают знания учащихся более действенными, гибкими и эффективными. Изучаемые понятия, соотношения и связи с помощью устных упражнений рассматриваются с различных сторон, что способствует выявлению их сущности.

Несмотря на очевидную пользу устных упражнений, некоторые учителя, однако, еще не уделяют им должного внимания, используя их лишь в курсе арифметики. Поэтому в данной работе подробнее рассматриваются вопросы применения устных упражнений в курсах алгебры и геометрии.

Книга предназначена для учителей математики и может быть использована студентами физико-математических факультетов пединститутов.

6-5

120-66М

Часть I. АРИФМЕТИКА

§ 1. Натуральные числа

1. Одной из главных задач курса арифметики начальной школы является обучение детей хорошо выполнять не только письменные, но и устные вычисления. Уже в I классе учащиеся знакомятся с общими приемами устных вычислений, основанными на десятичной системе счисления и применении законов и свойств арифметических действий. В следующих классах, с расширением области изучаемых чисел, они упражняются в применении этих приемов.

В начальной школе учащиеся знакомятся и с частными приемами устного счета, главными среди которых являются: прием округления, прием перестановки слагаемых или сомножителей и прием последовательного умножения и деления. Рассматриваются и особые приемы умножения на 5, на 9, на 11, на 25 и деления на 5 и на 25.

За время обучения в I—IV классах у учащихся вырабатывается навык в применении устных вычислений при решении примеров и задач с небольшими числами в пределах 200 или с большими, но допускающими применение приемов устного счета.

Много внимания в начальной школе уделяется выработке навыков беглого счета. Учащиеся решают специально подобранные не слишком сложные примеры, которые учитель читает вслух либо задает по таблице, а также задачи, состоящие из цепи простых задач. Решая их, учащиеся указывают лишь окончательный результат, не называя промежуточных вычислений.

При решении задач для тренировки в беглом счете учитель прочитывает вначале всю задачу, чтобы можно было наметить план решения, а затем читает условие по

звеньям с паузами. Сложность решаемых устно примеров и задач зависит не только от структуры и числовых данных, но и от подготовки учащихся данного класса.

2. В V классе в первую очередь необходимо выяснить уровень знаний учащимися общих и частных приемов устного счета, а также проверить навыки в беглом счете. Для этого можно применить рекомендуемую в начальной школе форму занятий, когда на уроке отводится 5—10 минут специально для упражнений в устном счете. В связи с изучаемым на предшествующем и на данном уроке материалом можно повторить как общие, так и основные частные приемы устного счета. Такие упражнения должны вестись достаточно быстро и живо, с привлечением всех учащихся. В то же время нужно держать в поле зрения каждого ученика, чтобы определить пробелы в знаниях приемов устного счета и предложить, в случае необходимости, индивидуальные задания.

Если обнаруживается отсутствие знаний соответствующего приема у большинства учащихся, целесообразно часть урока отвести на ознакомление с этим приемом и на тренировку в применении его при устном счете.

Для эффективности повторения необходимо тщательно продумать форму работы: будет ли это счет в уме, когда учащиеся воспринимают данные числа на слух, или это будут зрительно-слуховые упражнения, когда учитель заранее подготавливает соответствующие записи на доске или в таблице.

Проверка навыков в беглом счете проводится одновременно со всем классом в форме решения примеров средней трудности. Числовые данные подбираются таким образом, чтобы одновременно можно было повторять и особые приемы устного счета.

Если учащиеся затрудняются в выполнении какого-либо действия, то нужно отдельно разобрать это действие, а затем вновь вернуться к решению исходного примера по звеньям. При этом целесообразно выяснить, как получен и определенный промежуточный результат, чтобы обратить внимание учащихся на наиболее рациональный способ устных вычислений в каждом конкретном случае.

Содержание и методика устного счета для натуральных чисел достаточно подробно рассмотрены во многих

учебно-методических пособиях. Поэтому здесь рассматриваются лишь приложения устных упражнений к повышению эффективности обучения учащихся арифметике.

3. С самого начала курса арифметики в V классе устные упражнения должны помогать учащимся осознанно усваивать способы и приемы различных вычислений и преобразований, сущность математических соотношений, зависимостей и операций.

Уже при изучении законов арифметических действий устные вычисления можно применять как при объяснении теоретического материала, так и при его закреплении. Вычисляя с учащимися сумму нескольких чисел (например: 89 + 37+11+23) или произведение (4-7-25-3), мы не только разъясняем смысл переместительного и сочетательного законов для сложения или умножения, но и показываем целесообразность их применения при вычислениях.

Аналогично устные вычисления применяются и при объяснении распределительного закона. Предлагается сравнить результаты вычислений двумя способами:

1) 4-3+6-3 и (4 + 6) -3;

2) 37-5 + 63-5 и (37 + 63) -5,

причем все вычисления учащиеся производят устно. Делаем вывод: чтобы сумму умножить на какое-нибудь число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и результаты сложить.

Разъяснив таким же образом, что для умножения разности на число можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе, показываем применение распределительного закона умножения при устных вычислениях:

1) 63- 8= (60 + 3). 8-60- 8 + 3- 8-480 + 24 = 504;

2) 49 • 14= (50— 1) - 14 = 50- 14-1 - 14 = 700-14 = 686;

3) 43 - 41+57 • 41 = (43 + 57) -41 = 100-41=4100.

4. В объяснительной записке к программе не рекомендуется требовать от учащихся заучивания формулировок свойств арифметических действий при изучении натуральных чисел, а рассматривать их в связи с упрощением устных и письменных вычислений. Поэтому при объяснении основных свойств следует еще в большей

степени использовать возможности устных вычислений. Рассмотрим для примера основные свойства вычитания. Решаем устно несколько простейших примеров вида:

47— (17+12) =47 — 29=18 и 47-(17+12) =47-17-12 = 30-12= 18.

Делаем вывод: чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученной разности вычесть второе слагаемое. После этого предлагаем вычислить наиболее рациональным способом:

1) 348-(148+ 87); 3) 412-(182+112);

2) 438-(238+ 185); 4) 263— (198+ 63).

Аналогичным образом рассматриваем и второе свойство вычитания: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из какого-нибудь слагаемого.

5. Богатый и разнообразный материал для устных вычислений дает раздел «Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных». Объяснение теоретического материала и его закрепление здесь почти полностью проводится в форме устных упражнений. С другой стороны, полученные результаты служат обоснованием отдельных частных приемов устного счета. Рассмотрим, как можно использовать устные упражнения при объяснении изменения произведения с изменением сомножителей.

Предлагаем учащимся устно решить пример № 90 (1) из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева. Учащиеся самостоятельно делают вывод, что если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, не изменяя другого сомножителя, то и произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Затем выполняем такие устные упражнения:

1) Как изменится произведение, если один из сомножителей увеличить (уменьшить) в 3 раза? в 5 раз? в 7 раз?

2) Произведение двух чисел равно 25. Каково будет произведение, если один из сомножителей увеличить в 4 раза?

3) Произведение двух чисел равно 200. Каково будет произведение, если один из сомножителей уменьшить в 25 раз?

4) Как изменится произведение, если: а) один из сомножителей увеличить в 3 раза, а другой увеличить в 5 раз? б) один из сомножителей увеличить в 10 раз, а другой увеличить в 100 раз?

5) Как изменится произведение, если один из сомножителей увеличить в 3 раза, а другой уменьшить в 3 раза?

6) Как изменится произведение, если: а) множимое увеличить в 12 раз, а множитель уменьшить в 3 раза? б) множимое увеличить в 7 раз, а множитель уменьшить в 14 раз? в) множимое уменьшить в 24 раза, а множитель увеличить в 72 раза?

7) Как изменится произведение, если оба сомножителя: а) увеличить в 6 раз? б) уменьшить в 4 раза?

После этого рассматриваем умножение чисел на 5, 50, 25 и 125, устно решая примеры вида:

1) 48-5= (48: 2) • (5 • 2) =24 • 10=240;

2) 27-5= (27-10) : 2=270: 2=135.

§ 2. Предварительная оценка результата

1. Большое значение в математическом развитии учащихся имеет навык предварительной оценки результата при вычислениях, или, как его называют многие учителя и методисты, навык «прикидки».

При выполнении действий над натуральными числами многие примеры из «Сборника задач и упражнений» С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева допускают применение прикидки результата. При повторении же деления многозначных чисел прикидка результата является необходимой, так как учащиеся очень часто допускают ошибки в пропуске нулей в частном. При делении, например, 1020 на 5 пятиклассники получают 24, хотя на вопрос, сколько получится, если 1000 разделим на 5, они отвечают правильно: 200. При делении 32 480 на 16 они получают 230, хотя устно легко определить, что при делении 32 тысяч на 16 получается 2 тысячи.

Разумно округляя делимое и делитель, мы устно устанавливаем порядок результата, то есть разряд старшей его цифры, хотя и получаем приближенный результат.

Такую оценку результата проводим и при изучении последующих разделов арифметики. Расширение области применения приема прикидки происходит по двум направлениям: увеличивается число выполняемых действий и расширяется изучаемое числовое множество.

При выполнении действий над обыкновенными дробями учащиеся должны уметь оценивать результат так же свободно, как и в случае натуральных чисел. Особенно следует обратить внимание учащихся на вычитание дроби или смешанного числа из целого числа. Нередко они по аналогии со сложением пишут: 16 — хотя нетрудно сообразить, что при вычитании числа, большего семи, мы должны получить меньше девяти.

При оценке результата умножения числа на дробь полезно иногда лишь выяснить, будет ли произведение больше или меньше первого сомножителя. Аналогичная рекомендация приемлема и для случая деления на дробь.

2. Отдельно остановимся на оценке результата при выполнении нескольких умножений и делений над десятичными дробями. В настоящее время в VIII классе изучается логарифмическая линейка, но без теории логарифмов. Поэтому при вычислениях с помощью логарифмической линейки порядок результата необходимо определять путем прикидки в уме.

При умножении нескольких сомножителей эффективен такой прием. Изучив условие примера, устанавливаем, нельзя ли произвести приближенные сокращения. Затем все десятичные дроби преобразовываем в целые числа, для чего умножаем на 10 в соответствующей степени либо просто отбрасываем десятичные знаки. После этого выполняем устную прикидку результата, как это делали в действиях над натуральными числами. Пусть, например, требуется вычислить1:

1 Мы взяли более сложный пример, чем обычно вычисляют в VIII классе, чтобы на одном примере показать все возможные упрощения при устном определении порядка результата.

Учитывая особенности входящих в условие примера чисел, можно поступить так: 0,0375 и 0,00356 сократить на 0,00356; десятичные дроби 50,8 и 8,03 заменить целыми числами, отбрасывая десятичные знаки, а дроби 1,58 и 0,188 заменить целыми числами, отбрасывая запятые с одновременным округлением; число 2860 можно заменить на 3000; получим:

Найдя цифровой состав ответа 6—9—2, получим результат: 0,00692.

3. Прием предварительной приближенной оценки результата применим в арифметике, алгебре, геометрии, везде, где выполняются вычисления. Однако при решении задач иногда довольно сложно проводить предварительный расчет. Целесообразнее в таких случаях пользоваться прикидкой результатов отдельных вычислений, выполняемых в соответствии с промежуточными вопросами для решения задачи.

Невозможно быстро провести предварительную оценку ответа и при решении более сложных примеров на все действия. Но навыки и умения в анализе структуры примера и числовых данных позволяют учащимся избирать более рациональный способ решения.

Пусть требуется решить пример:

Беглый анализ структуры примера и числовых данных показывает, что одновременно можно выполнять несколько действий, причем действия могут быть выполнены устно. Следовательно, данный пример целесообразно решать не по действиям, а «цепочкой». Кроме того, одновременно с выбором способа решения учащиеся выясняют, какие действия выгоднее выполнять в десятичных дробях, а какие — в обыкновенных. Они сразу должны видеть в числе 1,25 число а в числе — число 0,08. Это

позволит им оценивать преимущество выполнения умножения-£--1,25 в обыкновенных дробях, а вычитания 1,08 — 2 — — в десятичных и т. п.

4. Все сказанное в отношении арифметических примеров относится и к решению примеров по алгебре, в частности примеров на все действия с алгебраическими дробями, а позднее и на все действия с радикалами. Здесь также важно определить, какую часть примера (или весь пример) лучше решать цепочкой, а какую по действиям.

При решении примеров на доказательство тождеств и при решении уравнений средней или повышенной трудности, особенно в разделе тригонометрических преобразований, без умения устно наметить план решения, увидеть заранее результат выполненного устно преобразования учащиеся не смогут не только рационально выполнить задание, но и вообще справиться с ним.

§ 3. Обыкновенные дроби

1. Большое значение в обучении учащихся математике имеет навык устного разложения чисел на множители. Сокращение дробей, приведение их к общему знаменателю можно выполнить устно, если учащиеся свободно и осознанно производят разложение на множители. Вначале рассматриваем разложение небольших двузначных чисел, представляющих собой произведение двух взаимно простых чисел, а затем и более сложные случаи.

Устные вычисления НОК применяются не только в тех случаях, когда одно из чисел делится на другое или когда числа взаимно простые, но и для чисел вида 27 и 36, то есть когда производится частичное разложение: 27=9-3 и 36 = 9*4. Учащиеся легко устанавливают, на какой множитель надо умножить одно из данных чисел, чтобы получить их наименьшее общее кратное.

Анализ примеров первых трех параграфов главы «Обыкновенные дроби» из «Сборника задач и упражне-

нии» С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева показывает, что значительная часть примеров на понятие дроби, на превращение неправильных дробей в смешанные числа и наоборот, на сравнение дробей и изменение величины дроби с изменением ее членов, на сокращение дробей и приведение их к общему знаменателю допускает устное решение.

Объяснение любого из этих преобразований дробей начинается с устного решения примеров из задачника. Учитель предлагает учащимся прочитать пример (или задачу), решить его устно и назвать ответ. Учащиеся активно участвуют в этой работе и в большинстве случаев сами делают нужный вывод. Закрепление полученного правила или свойства вновь начинается с устного решения примеров, взятых из задачника. Затем нужно письменно решить несколько более сложных примеров, чтобы учащиеся знали, как правильно оформлять подобные работы.

Сложение и вычитание дробных чисел также проводится при максимальном применении устных вычислений. Действия над дробями с одинаковыми знаменателями полностью прорабатываем устно. Целесообразно и действия над дробями с разными знаменателями вида: -g---g-; -g---g-; -g—I—выполнять устно. Это помогает сосредоточить все внимание учащихся на преобразовании одних долей в другие. При письменном же решении таких примеров часть внимания учащихся отвлекается на написание решения.

2. Одним из наиболее сложных вопросов курса арифметики является отыскание дроби числа и числа по его дроби при изучении обыкновенных и десятичных дробей и при изучении процентов. Чтобы учащиеся сознательно усвоили этот материал, осознали новый смысл умножения и деления на дробь, изучение его лучше всего начинать с устного решения задач. Вначале решаем задачи вида:

1) У мальчика 12 руб. За покупку он уплатил имеющихся денег. Сколько стоит покупка? Сколько денег у него осталось?

2) За портфель ценой 2 руб. ученик уплатил имеющихся денег. Сколько всего денег имел ученик?

3) За портфель ценой 2 руб. ученик уплатил -|- имеющихся денег. Сколько всего денег имел ученик?

4) Ученик прочел всей книги, после чего ему осталось прочесть 80 страниц. Сколько всего страниц в книге?

5) После того как ученик прочел -i- всей книги, ему осталось прочесть на 60 страниц больше, чем он прочел. Сколько страниц в книге?

Устное решение таких задач несколько иное, чем письменное. Рассмотрим для примера задачу: «Найти 5 от числа 35». Приучаем учащихся рассуждать так: все число 35, значит, — его составляет 5, тогда — составят 25.

При решении задач вида: «Найти число, -у которого составляют 35» рассуждаем так: -j- составляют 35, значит, -у- составляет 7, а тогда все искомое число есть 49.

Если учащиеся научатся рассуждать таким образом, они не будут допускать ошибок при отыскании дроби числа и числа по его дроби и в старших классах.

3. Для предупреждения ошибок при нахождении дроби от остатка целесообразно устно решать пары задач вида:

I. а) Ученик взял в библиотеке книгу в 120 страниц. В первый день он прочел -у- часть этой книги, а во второй день -g- часть всей книги. Сколько страниц книги он прочел во второй день?

6) Ученик взял в библиотеке книгу в 120 страниц.

В первый день он прочел часть этой книги, а во вто-

рой день -g- часть остатка. Сколько страниц книги он прочел во второй день?

Аналогичные задачи можно решать при изучении десятичных дробей и при решении задач на процентные вычисления.

II. а) В магазине было 1000 кг сахара. В первый день продали 0,1 часть всего количества сахара и во второй день 0,1 часть всего количества. Сколько килограммов сахара продали во второй день?

б) В магазине было 1000 кг сахара. В первый день продали 0,1 часть всего количества сахара, а во второй день 0,1 часть остатка. Сколько килограммов сахара продали во второй день?

III. а) Пионерский отряд отправился в туристский поход в город, отстоящий от школы на 80 км. В первый день пионеры прошли 25% этого расстояния, а во второй день 40% всего пути. Сколько километров пути пионеры прошли во второй день?

б) Пионерский отряд отправился в туристский поход в город, отстоящий от школы на 80 км. В первый день пионеры прошли 25% этого расстояния, а во второй день 40% оставшегося пути. Сколько километров пути пионеры прошли во второй день?

Одновременное решение таких пар задач позволяет оттенить различие между частями всей величины и частями остатка.

4. Применение устных упражнений при рассмотрении законов и свойств действий над дробными числами аналогично, как и в случае натуральных чисел. Используя несложные примеры, допускающие устные вычисления, подводим учащихся к выводу, что и для дробных чисел имеют место переместительные и сочетательные законы сложения и умножения и распределительный закон.

Затем показываем применение этих законов для упрощения вычислений, предлагая учащимся устно решить соответствующие примеры из задачника либо примеры, заранее написанные на доске. Учащиеся должны видеть условие примера, чтобы, исходя из индивидуальных особенностей данных чисел, удобно сгруппировать их.

Учитель всегда может подобрать сколько угодно примеров для иллюстрации упрощения вычислений при при-

менении основных законов действий. Ограничимся лишь двумя примерами на применение законов сложения, причем при решении второго примера учащиеся записывают некоторые промежуточные результаты:

Отдельно рассмотрим применение распределительного закона умножения и деления. В учебнике «Арифметика» И. Н. Шевченко умножение и деление смешанных чисел рассматривается только как частный случай общего правила для дробей, поэтому требуется обязательное преобразование смешанных чисел в неправильные дроби. Но при умножении (или делении) смешанного числа на натуральное во многих случаях лучше умножить (разделить) на натуральное число сначала целую, а затем дробную часть смешанного числа и полученные произведения сложить. Например:

Все действия, указанные в решениях этих примеров, выполняются устно, ибо только в таком случае применение распределительного закона эффективно.

Основные свойства арифметических действий для дробей повторяем также с максимальным использованием устно решаемых примеров.

§ 4. Десятичные дроби

1. Так как в соответствии с ныне действующей программой десятичные дроби изучаются после обыкновенных, в данной работе мы будем придерживаться этого более распространенного порядка изучения дробей в курсе арифметики V класса.

После введения понятия десятичной дроби разъясняем учащимся, что нумерация десятичных дробей является дальнейшей ступенью развития нумерации натуральных чисел. При нумерации десятичных дробей придерживаются того же поразрядного принципа, что и при нумерации натуральных чисел: в каждой единице следующего разряда содержится 10 единиц предыдущего разряда.

Решаем устные задачи вида:

1) Сколько в единице десятых долей? в одной десятой сотых? в одной сотой тысячных?

2) Сколько в одной десятой сотых долей? тысячных? десятитысячных? миллионных?

3) Раздробить 3 десятые в сотые доли; в тысячные; в десятитысячные.

4) Раздробить 2 десятые и 5 сотых в сотые доли; в тысячные; в десятитысячные.

Если учащиеся легко решают такие задачи, то при рассмотрении приведения дробей к общему знаменателю они самостоятельно сделают вывод, что приписывание нулей справа к десятичной дроби, записанной без знаменателя, не меняет величины дроби.

Здесь же решаем устные упражнения на превращение долей низших разрядов в доли высших разрядов вида: «Какими долями высших разрядов можно заменить 50 сотых? 400 тысячных? 500 миллионных? 250 десятитысячных?» Впоследствии учащиеся легко усвоят сокращение десятичных дробей. Нужно лишь показать, переходя к обыкновенным дробям, что сокращение десятичных дробей объясняется основным свойством дроби: величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

2. При изучении изменения величины дроби от переноса в ней запятой мы также уточняем смысл единиц разрядов. Увеличение и уменьшение десятичных дробей в 10, 100, 1000 и т. д. раз рассматривается в процессе

решения устных примеров из стабильного задачника. Для закрепления же этого материала целесообразно заранее заготовить таблицу (или сделать записи на доске) примеров, в которых попеременно требуется увеличить или уменьшить десятичные дроби в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Можно рекомендовать следующую таблицу, охватывающую почти все возможные основные случаи переноса запятых:

Учитель указывает номер примера и вызывает ученика, который говорит ответ. Примеры можно предлагать в любом порядке.

Если учащиеся свободно выполняют умножение и деление десятичных дробей на число, изображенное единицей с нулями, посредством перенесения запятой, то правило умножения (а позже и правило деления) десятичной дроби или целого числа на десятичную дробь можно вывести, основываясь на изменении произведения в зависимости от изменения сомножителей. При таком выводе отчетливо выделяются все этапы правила: учащиеся действительно перемножают десятичные дроби, как целые числа, не обращая внимания на запятые; очевидна необходимость отделять в произведении с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их во множимом и во множителе вместе. Здесь же легко можно показать, что это правило применимо и в тех случаях, когда один из сомножителей является целым числом.

3. Законы и свойства арифметических действий для десятичных дробей не требуют никаких обоснований, так как десятичные дроби являются частным случаем обыкновенных дробей. Поэтому на примерах устного счета в процессе сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей повторяем и закрепляем соответствующие свойства и законы.

Такие примеры есть в «Сборнике задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева.

Учитель и сам может легко составить устно решаемые примеры вида:

I. Сочетательное и переместительное свойства:

II. Прибавление к данному числу суммы или разности:

Подобные примеры составляем и для иллюстрации правил вычитания из числа суммы или разности и прибавления к сумме числа или вычитания из суммы числа.

Следует лишний раз повторить и применение частных приемов, связанных с изменением результатов действий от изменения данных. Например, округление одного или нескольких слагаемых оправдано тем, что с увеличением или уменьшением их и сумма увеличивается или уменьшается на столько же долей (единиц).

Округление уменьшаемого или вычитаемого основано на изменении разности при изменении уменьшаемого или вычитаемого:

Аналогичным образом при решении устных примеров на умножение и деление десятичных дробей повторяются законы и свойства умножения и деления, а также частные приемы устного счета, такие, как округление одного из сомножителей, сокращенный способ умножения на 5; 50 и способ сокращенного деления на 5; 25 и 125.

4. При решении многих задач и примеров на совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями большое значение имеет навык в устном переводе одних дробей в другие. Ученики должны уметь свободно и быстро переходить от одних дробей к другим, а также знать и условие, при котором обыкновенная дробь не может быть преобразована в конечную десятичную дробь. Заметим, что иногда целесообразно даже пример, заданный в десятичных дробях, решать в обыкновенных. Например:

Для тренировки учащихся в устном переводе одних дробей в другие можно заранее выписать на доске условия нескольких примеров вида:

Такие примеры можно решать и без предварительных записей. Учитель читает: «К -у- прибавить 0,2 (пауза), умножить на 3 (короткая пауза), умножить на 0,5 (короткая пауза), прибавить 0,2 (пауза)». По вызову учителя ученик называет получившийся ответ.

При проверке решений примеров и задач следует выяснять, в каких дробях ученики выполняли действия, обращая внимание на рациональность вычислений.

§ 5. Проценты

1. При изучении десятичных дробей учащиеся впервые знакомятся с новым для них понятием процента и с задачами на нахождение процентов числа и числа по его процентам.

Основное внимание учителя должно быть сосредоточено на формировании самого понятия «процент», чтобы раскрыть учащимся связь этого нового понятия с известным им понятием дроби числа, добиться хорошего понимания и выработать прочные навыки в процентных расчетах.

Разъяснив целесообразность введения специального названия для сотой доли произвольной величины, даем определение процента какого-нибудь числа как сотой части этого числа и устно решаем примеры вида:

I. 1) Найти 1% от 200; от 300; от 700.

2) Найти 3% от 200; от 500; от 1200.

3) Дано число 200. Найти отнего.2%; 5%; 7%; 30%.

II. Объяснить смысл каждой из фраз:

1) Покупатель израсходовал 30% имеющихся у него денег.

2) Из молока получается 25% сливок.

3) Сливки дают 20% масла.

4) В руде содержится 60% железа.

III. Найти: 1) 25% от 40; 2) 10%от 70; 3) 50% от 18.

При решении последних примеров учащиеся приходят к выводу, что необходимо уметь переводить проценты в десятичные и в обыкновенные дроби. Составляем таблицу перехода для таких чисел: 10%, 12,5%, 25%, 33-^-%,50%,66-|- %, 75%, 100%, 150%, которую учащиеся должны знать наизусть. Это позволит им более успешно решать задачи на проценты. Они лучше усвоят и осознают связь между задачами на проценты и задачами на нахождение дроби числа и числа по его дроби.

Чрезмерное подчеркивание особенностей задач на проценты отрицательно сказывается на восприятии учащимися

существа процентных расчетов. Если при решении задач на проценты учащиеся хорошо понимают, что 25% числа составляют его четверть, 40% числа составляют -yg-, то 2 есть-g- этого числа; если известны 12,5% некоторого числа, то это известна его часть, тогда они без каких-либо затруднений осознанно воспринимают и решение задач на проценты.

После устного решения примеров, раскрывающих сущность понятия процента, переходим к устному решению задач на нахождение процентов от числа. Задачи должны быть различными как по формулировке, так и по входящим в условие числовым данным. Можно рекомендовать такой набор задач для устного решения на этом же уроке:

1) Рабочий получил 120 руб. премии. Один процент премии он израсходовал на покупку книги. Сколько рублей израсходовал рабочий на покупку книги?

2) Пионеры и комсомольцы посадили 200 деревьев. Пионеры посадили 29% всех деревьев. Сколько деревьев посадили пионеры?

3) При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько тонн керосина можно получить из 15 г нефти?

4) Слесарь и его ученик изготовили 120 деталей. Ученик сделал 25% всех деталей. Сколько деталей сделал слесарь?

5) В сплаве содержится 50% меди, 25% олова, остальное цинк. Сколько килограммов меди, олова и цинка в отдельности в 40 кг сплава?

6) За три дня в магазине продано 1200 кг яблок. В первый день продано 25% всех яблок, во второй — 33 -j-%. Сколько килограммов яблок продано в третий день? и т. п.

Показав на доске, как следует оформлять записи при решении примеров и задач на нахождение процентов данного числа, даем учащимся домашнее задание.

2. Следующий урок начинаем с устного решения примеров и задач, аналогичных заданным на дом. Это позволяет быстро и у большинства учащихся класса про-

верить, насколько правильно они уяснили термин «процент», насколько сознательно и самостоятельно выполняли домашнее задание.

Затем без какого-либо дополнительного объяснения предлагаем для устного решения примеры вида:

Найти число:

1) 1% которого равен 5; 8; 10.

2) 2% которого равны 6 руб.; 8 руб.; 9 руб.

3) 10% которого равны 40 коп.; 7 км; 2 см.

4) 25% которого равны 10; 4 км\ 2 руб.

5) 12,5% которого равны 125 руб.; 5 км; 6.

После этого переходим к устному решению задач на нахождение числа по его процентам, подчеркивая идентичность их с задачами на нахождение числа по его дроби. Можно рекомендовать такие задачи:

1) Вспахали 8 га, что составляет 1% всего поля. Найти площадь поля.

2) Сколько денег положено на сберегательную книжку, если 2% с них дали за год 6 руб.?

3) Ученик прочел 20 страниц, что составляет 10% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

4) Магазин продал 150 кг яблок, что составило 25% всего количества яблок. Сколько килограммов яблок было в магазине?

5) В первый день пионеры прошли 12 км, что составляет 20% всего пути. Как велик весь путь?

На следующем уроке с помощью устно решаемых примеров и задач проверяем, как учащиеся усвоили этот материал. Затем приступаем к письменному решению более сложных задач, отдельно на нахождение процентов числа и числа по его процентам, а затем решаем такие задачи, в которых требуется вычислять и проценты от числа и число по процентам.

Желательно подбирать задачи, в условии которых данные выражались бы как в процентах, так и в десятичных и обыкновенных дробях. Учащиеся приходят к выводу, что по существу задачи на процентные расчеты идентичны соответствующим задачам на дроби, решение любой из задач на проценты может быть сведено к действиям над дробями.

3. Изучение процентов в курсе арифметики VI класса выделено в специальную тему. Так как в V классе учащиеся уже ознакомились с понятием процента и решали задачи на нахождение процентов числа и числа по его процентам, то в VI классе нужно проверить, все ли учащиеся и в какой степени помнят соответствующий материал и насколько сознательно и рационально решают соответствующие задачи.

Можно использовать те же упражнения, что и в V классе, не отделяя, однако, задачи одного типа от другого. После устного решения нескольких примеров на повторение определения процента попеременно решаем примеры, а затем и задачи на нахождение процентов от числа и числа по его процентам. При таком порядке решения учащиеся анализируют условие задачи, понимают смысл процента.

4. В VI классе учащиеся решают задачи на нахождение процентного отношения двух чисел. Методика работы учителя с этим видом задач такая же, как и в V классе при первом ознакомлении с другими двумя видами задач на проценты. Вначале решаем задачи вида:

Сколько процентов составляют:

1) 4 от 400? 25 от 50? 20 от 200? 75 от 300?

2) 4 руб. от 100 руб.? 8 руб. от 200 руб.? 16 руб. от 400 руб.?

3) 3 ж от 12 м? 120 руб. от 60 руб.? 75 руб. от 50 руб.?

Решив несколько подобных примеров письменно, но с более сложными числовыми данными, решаем устно задачи вида:

1) На сколько процентов увеличилась заработная плата рабочего, если вместо 4 руб. в день он стал получать на 1 руб. больше?

2) На сколько процентов увеличился заработок колхозника, если вместо 60 руб. в месяц он стал получать 75 руб.?

3) Номинальная цена книги 40 коп., а продается книга за 35 коп. На сколько процентов снижена цена книги?

4) В сплаве золота и меди золота в 4 раза больше, чем меди. Сколько процентов составляет медь? Сколько процентов составляет золото?

При решении задач на нахождение процентного отношения чисел учащиеся затрудняются установить вели-

чину, принимаемую за 100%, особенно в тех случаях, когда это не указано в условии. Для преодоления этой трудности решаем устно задачи вида:

1) В классе учатся 15 мальчиков и 25 девочек. Какой процент составляют мальчики: а) от всех учащихся? б) от числа девочек?

2) Альбом с номинальной ценой в 1 руб. продается со скидкой за 80 коп. Сколько процентов составляет скидка: а) от номинальной цены? б) от продажной цены?

3) Две автомашины разных марок имеют максимальные скорости 100 км в час и 125 км в час.

а) На сколько скорость одной автомашины больше скорости другой? б) На сколько процентов скорость одной автомашины больше скорости другой?

в) На сколько скорость одной автомашины меньше скорости другой? г) На сколько процентов скорость одной автомашины меньше скорости другой?

Учащиеся нередко допускают ошибки из-за непонимания соотношений: «в несколько раз» и «на несколько процентов». Для предупреждения таких ошибок можно рекомендовать устное решение задач:

1) Рабочий перевыполнил задание в 2 раза. На сколько процентов он выполнил задание? На сколько процентов он перевыполнил задание?

2) В результате усовершенствования станка производительность его увеличилась в 2 раза. На сколько процентов увеличилась производительность станка?

3) Производительность труда рабочего увеличилась на 50%. Во сколько раз больше продукции стал производить рабочий?

5. Устные упражнения позволяют без большой затраты времени раскрыть перед учащимися связь между всеми тремя видами задач на проценты. Для этого решаем задачи с одним и тем же содержанием, но с различными вопросами. Например, рассмотрим условие: «Первоначально книга стоила 40 коп. Цену книги снизили на 25%, что составляет 10 коп.» Каждая из этих трех величин может быть вычислена по двум другим данным величинам. Получаем три задачи:

1) Книга до снижения цены стоила 40 коп. На сколько копеек уменьшилась цена книги, если она была снижена на 25%?

2) Цена книги снижена на 25%, что составило 10 коп. Сколько стоила книга до снижения цены?

3) Книга до снижения цены стоила 40 коп. На сколько процентов снижена цена, если книга стала дешевле на 10 коп.?

При решении таких задач учащиеся видят, что каждая из них может служить проверкой для двух других задач.

§ 6. Пропорции

1. При рассмотрении отношений чисел, как и при решении задач с пропорциональными величинами и задач на пропорциональное деление, от учащихся требуется свободная и быстрая замена отношений дробных чисел отношением целых чисел. Для большинства примеров и задач из школьного задачника такую замену можно выполнять устно.

Значительная часть примеров на отыскание неизвестного члена пропорции, имеющихся в задачнике, допускает устное решение. Учитель указывает номер примера, вызванный ученик читает его условие и здесь же дает ответ. Иногда с целью вовлечения в работу большего числа учащихся можно несколько видоизменить метод работы: один ученик читает условие примера, а после непродолжительной паузы другой ученик должен сказать ответ. Это заставляет всех учащихся участвовать в решение каждого примера.

Можно заранее заготовить серию примеров на замену отношений или на решение пропорций на переносной доске, которые учащиеся решают устно. Вот одна из примерных таблиц для устного решения пропорций:

2. При изучении пропорциональной зависимости между величинами следует как можно больше задавать учащимся устных вопросов вида:

1. Является ли подписная цена на пионерские газеты

прямо пропорциональной сроку, на который произведена подписка?

2. Можно ли сказать, что основание и высота прямоугольника с постоянной площадью обратно пропорциональны?

3. В какой зависимости находятся следующие величины:

а) Время и пройденный путь при постоянной скорости?

б) Количество столбов для электролинии на данном участке и расстояние между ними?

в) Рост человека и его вес?

г) Рост человека и его возраст?

Такие задачи имеются в достаточном количестве в задачнике и могут предлагаться как при фронтальном опросе, так и в виде дополнительных вопросов отдельным учащимся при их ответах по изучаемому материалу.

При решении большинства задач способом пропорций и способом приведения к единице необходимые вычисления могут быть выполнены устно. Целесообразно устное решение и простейших задач вида:

1) Электросварщик за 24 рабочих дня зарабатывает 140 руб. Сколько он зарабатывает за 6 рабочих дней?

2) Для настилки пола нужно 60 досок шириной 3 дм. Сколько для этого пола ушло бы досок шириною в 2 дм такой же длины?

Решению задач на пропорциональное деление должно предшествовать устное решение так называемых задач на части, являющихся простейшими задачами на пропорциональное деление.

Чтобы учащиеся освежили свои знания и навыки в решении задач на пропорциональное деление, полученные ими еще в начальной школе, решаем устно задачи вида:

1) За освещение трех складских помещений уплатили 4 руб. 80 коп. Сколько нужно уплатить за освещение каждого, если первое имеет две лампочки, второе и третье по одной лампочке одинаковой мощности?

2)Три грузовые машины перевезли одинаковый груз: первая машина на расстояние 15 км, вторая — на 9 км, третья — на 12 км. За все перевозки было уплачено 180 руб. Сколько следует уплатить за работу каждой машины в отдельности?

Часть II. АЛГЕБРА

§ 7. Алгебраические выражения

1. Устные упражнения в курсе алгебры имеют не меньшее значение, чем в курсе арифметики. Навыки устных вычислений, приобретенные учащимися при изучении арифметики, не только закрепляются и углубляются, но и расширяются. Учащиеся знакомятся с новыми приемами устных вычислений, учатся выполнять устные преобразования алгебраических выражений с применением различных формул.

Устные упражнения не только упрощают и облегчают выполнение преобразований, но и помогают учащимся усваивать новые алгебраические понятия. По самому смыслу устных упражнений для их решения не требуется выполнения сложных записей, поэтому сущность понятия выясняется наиболее эффективно.

Посредством решения устных примеров арифметические знания учащихся привлекаются для обоснования операций над буквенными выражениями, для закрепления нового материала и для проверки правильности полученного результата. В частности, устная проверка правильности преобразования заменой букв произвольно взятыми числами позволяет раскрыть учащимся их числовой, арифметический смысл, состоящий в том, что эти действия представляют собой тождественные преобразования. Устно решаемые арифметические задачи помогают учащимся выяснить сущность той или иной зависимости при решении алгебраических задач на составление уравнений.

Следует учитывать, что устные упражнения развивают сообразительность учащихся. Они позволяют обучение алгебре проводить при активной деятельности

учащихся, в процессе которой последние приобретают знания, видят их необходимость и применяют их на практике, при решении задач и примеров.

2. Ведущее место в первой теме программы «Алгебраические выражения» занимает введение буквенной символики. Качество усвоения этого раздела курса алгебры имеет большое значение для успешного изучения тождественных преобразований.

Вряд ли целесообразно начинать объяснение буквенной символики с введения буквы х посредством уравнений, с которыми учащиеся имели дело в арифметике. Во всех таких примерах буква х обозначает одно определенное число, при котором равенство имеет место. Позже придется переучивать учащихся, чтобы добиться от них отчетливого понимания, что в алгебраическом выражении буква может означать не только одно определенное число.

В настоящее время уже в курсе арифметики вводятся буквенные обозначения с целью выразить свойства и правила в общем виде, представить их в ясной и краткой форме. Поэтому введение буквенной символики начинаем с обзора этих известных учащимся примеров употребления букв, где буквы представляют собой некоторые числа, и только числа. С помощью устно решаемых примеров с различными числовыми данными легко повторить соответствующие свойства чисел и получить формулы вида: а-\- Ъ = Ь + а\ a-b = b-a\ а Л = а. Например, решив устно: 3.1-3; 12-1 = 12; 1 = 2,75-1 = 2,75, мы видим, что произведение любого числа на 1 равно этому числу, а это удобно записать в виде: а* 1 = а, где а—любое число.

Аналогично поступаем с формулами, выражающими соответствующие правила. Например, решаем устно несколько простейших задач на вычисление процентов от числа: «Найти: 5% от 200; 7% от 200; 25% от 40». Учащиеся сами подскажут, как записать в виде формулы, что число X есть р% от числа а: где а и р— любые числа. С целью контроля правильного понимания учащимися этой формулы придаем аир несколько конкретных числовых значений и устно вычисляем х.

Таким же образом повторяем и формулы, кратко выражающие правила для вычисления пути при равномерном движении (s = V't), площади прямоугольника (S = a-h) и т. д., решая устно текстовые арифметические задачи. Например: «Найти площадь прямоугольника с основанием 5 м и высотой 3 м. Какова площадь прямоугольника с основанием 27 м и высотой 11 м? с основанием а м и высотой h ж?» Получаем формулу: S = a • h.

3. В результате получается плавный переход к решению текстовых арифметических задач на составление общей формулы решения. Решаем несколько однотипных задач с различными числовыми данными и находим способ их решения. Затем некоторые данные заменяем буквами и получаем общую формулу решения, которая проверяется на числовых примерах.

Вначале предлагаем простые задачи вида:

1) В первом классе 30 учеников, во втором на 5 учеников меньше, чем в первом. Сколько учеников во втором классе? А если бы в первом классе было 32 ученика? 35 учеников? 38 учеников? а учеников? Ъ учеников? X учеников?

2) На первой полке лежат 5 книг, на второй в три раза больше, чем на первой. Сколько книг на второй полке? А если бы на первой полке было 7 книг? 2 книги? а книг? Ъ книг? h книг?

Постепенно задачи усложняются:

3) Сумма двух чисел 40. Одно из них 5 (10; 20; 29; а; Ь\ х). Найти второе число.

4) Один из смежных углов 20° (60°; 110°; 150°; а0; п°). Сколько градусов в другом угле?

5) Ученик купил а тетрадей (Ь тетрадей; х тетрадей) по 2 коп. за тетрадь и цветные карандаши за 40 коп. Сколько он заплатил за покупку?

Затем можно приступить к письменному решению задачи:

6) Карандаш стоит 3 коп., а тетрадь 2 коп. Написать числовое выражение, обозначающее стоимость 5 карандашей и 8 тетрадей. Написать буквенное выраже-

ние, обозначающее стоимость а карандашей и Ь тетрадей. Обозначить через у стоимость а карандашей и b тетрадей и написать формулу, выражающую у через а и Ь. По этой формуле, посредством подстановок, вычислить устно стоимость: а) 7 карандашей и 6 тетрадей; б) 8 карандашей и 15 тетрадей; в) 15 карандашей и 8 тетрадей.

Необходимо разъяснить, что если величине а придается значение 7, а величине b— 6, то сумма За + 26 имеет уже не любое значение, а только 3-7 + 2-6, то есть За+ 26 = 33.

4. Решение задач, в которых имеются и числовые и буквенные данные, показывает реальный смысл производимых над буквами и числами операций, приучает учащихся смотреть на букву, как на некоторое число.

Предлагая учащимся найти числовое значение данного алгебраического выражения при указанных значениях входящих букв, мы заранее подготавливаем их к восприятию функциональной зависимости. Они видят, что алгебраическое выражение является функцией входящих в него букв.

Большой интерес у учащихся вызывает устное составление задач, приводящих к заданному выражению или к выражению, полученному при решении данной задачи, но с другой фабулой.

Используем для устного решения и задачи с буквенными данными из «Сборника задач по алгебре», ч. I, П. А. Ларичева. Если ученики затрудняются в решении, то тогда заменяем частично или полностью буквенные данные числовыми и лишь после решения полученной задачи возвращаемся к исходной.

При прохождении последующих разделов программы неоднократно решаем устно подобные задачи в тесной связи с изучаемым материалом. Знания учащихся по арифметике используются для правильного понимания операций над буквенными выражениями, исчезает оторванность алгебры от арифметики, начальный курс алгебры воспринимается как буквенная, обобщенная арифметика.

5. При рассмотрении порядка действий и употребления скобок устные упражнения позволяют показать

учащимся зависимость результата от выбора порядка действий. Например, на таблице или на переносной доске записываем небольшие целые числа в определенном порядке и изменяем расположение скобок:

Вычисляя устно результат и поясняя порядок действий, учащиеся более сознательно усваивают порядок действий, серьезнее и внимательнее относятся к изучению условия примера, а поэтому в дальнейшем значительно меньше допускают ошибок в порядке действий. В случае ошибок, допущенных при выполнении тождественных преобразований над буквенными выражениями, предлагаем устно решить пример с тем же порядком действий, но с числовыми данными.

6. При нахождении числовых значений алгебраических выражений наряду с письменным применяем и устное решение. Это позволяет охватить более разнообразные алгебраические выражения. По задачнику в каждой теме курса алгебры определяем, какие примеры могут быть устно решены учащимися данного конкретного класса. Заметим, что в «Сборнике задач по алгебре», ч. I, П. А. Ларичева не менее половины примеров на вычисление значений алгебраических выражений допускают устное решение.

Навыки в устном вычислении значений алгебраических выражений особенно важны при составлении таблиц по заданной формуле. Правильность выполнения тождественных преобразований также можно проверять посредством подстановки числовых значений букв, но такой контроль будет эффективным лишь тогда, когда вычисления будут выполняться сравнительно быстро.

Такая же методика обучения словесному чтению формул и записи их под диктовку. Но здесь целесообразно отдельные формулы для словесного чтения выписать заранее на переносной доске, так как в задачнике, по нашему мнению, таких задач недостаточно.

§ 8. Расширение понятия числа

1. В курсе алгебры средней школы продолжается начатое в арифметике расширение понятия числа. Вначале вводятся отрицательные числа, затем — иррациональные, и этот процесс завершается построением множества комплексных чисел.

Обычно введение отрицательных чисел начинается с устного решения задач, иллюстрирующих практическую потребность в этих числах. Например:

1) Днем термометр показывал 3° тепла. К вечеру температура понизилась на 5°. Какую температуру показывал термометр вечером?

2) От станции отправились два поезда: один со скоростью 40 км/час, а второй — 50 км/час. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 часа?

Дальнейшее обучение учащихся существенно зависит от того, как они усвоят понятия «абсолютная величина», «больше» и «меньше». Для этого целесообразно вычертить на доске числовую ось и решение первых примеров на сравнение чисел проводить, основываясь на геометрическом истолковании этих понятий. Затем решаем устно примеры на сравнение рациональных чисел, пока вычерчивание прямой не станет излишним и учащиеся смогут пользоваться числовой прямой в воображении.

Действия над рациональными числами также определяются, но учащиеся должны понимать, что эти определения не произвольны. Используя модель термометра и числовую прямую, решаем устные задачи, которые приводят учащихся к формулировке правил соответствующих действий.

Сами действия над рациональными числами фактически сводятся к действиям над их абсолютными величинами, то есть над неотрицательными числами. Следовательно, при закреплении мы можем применять навыки и знания учащихся по устному счету, приобретенные ими при обучении арифметике, а одновременно повторять наиболее эффективные приемы устного счета, включая и некоторые специальные приемы, такие как умножение на 125, прием округления и т. п.

В зависимости от конкретной обстановки учитель по-разному проводит работу. Можно предлагать при-

меры без каких-либо записей: «От—7 вычесть 3», «—16 умножить на 125» и т. п. Иногда удобно условия примеров заранее написать на доске или заготовить таблицы вида:

сложение и вычитание

умножение и деление

В более сложных примерах можно практиковать устные вычисления с записями промежуточных результатов.

2. С иррациональными числами учащиеся впервые встречаются в VIII классе при изучении радикалов, но здесь еще понятие об иррациональном числе не дается. В IX классе вводится понятие иррационального числа и понятие о действиях над действительными числами, при этом используется геометрическое представление действительных чисел и возможность вычисления результата с желаемой степенью точности путем выполнения соответствующих действий над приближенными значениями данных чисел.

Устные упражнения в этой теме позволяют разъяснить точный смысл вводимых терминов и добиться правильного их понимания. С этой целью требуем от учащихся давать обоснованные ответы на следующие вопросы с иллюстрацией на примерах:

1. Указать, какие из следующих утверждений справедливы:

а) Любая бесконечная десятичная дробь есть иррациональное число.

б) Любое иррациональное число есть бесконечная десятичная дробь.

в) Множество действительных чисел есть множество десятичных (конечных или бесконечных) дробей.

г) Всякому рациональному числу соответствует на числовой оси одна и только одна точка.

д) Каждой точке на прямой соответствует определенное число, выраженное десятичной дробью.

2.x — рациональное число, а у — иррациональное число.

а) Может ли их сумма или разность х ± у быть рациональным числом?

б) Может ли их произведение х-у быть рациональным числом?

в) В каком случае х • у и— будут рациональными числами?

г) Может ли быть рациональным число, обратное иррациональному числу?

3. а) Может ли сумма или разность двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

б) Может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

в) Может ли частное от деления иррационального числа на рациональное число быть рациональным числом?

г) Может ли частное двух иррациональных чисел быть рациональным числом?

3. Учение о числе в средней школе завершается изучением комплексных чисел. Уже на первых уроках по этой теме для лучшего усвоения элементов теории комплексных чисел и действий над ними возможно применение устных упражнений.

После ознакомления учащихся с классификацией комплексных чисел выписываем на доске числа: 1 + 2/; 3-5/; 4; -6; 2 + 5/; 5-3/; 1; 6/; -4/; /; - 1; 0 и предлагаем указать среди них: а) все комплексные числа; б) все действительные числа; в) все мнимые числа; г) все чисто мнимые числа.

Рассматривая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, предлагаем задачи:

1) В какой четверти комплексной плоскости расположены точки, изображающие числа: 2 + 7/; 1 + /; 1 - /; - I - /; - 2 + 3/; - 2 - 3/?

2) Где на комплексной плоскости лежат точки, изображающие: а) положительные числа; б) отрицатель-

ные числа; в) чисто мнимые числа с положительным коэффициентом; г) чисто мнимые числа с отрицательным коэффициентом?

Решение таких задач позволяет не только закрепить знания по геометрической интерпретации комплексных чисел, но и подготовить учащихся к нахождению модуля и аргумента комплексного числа.

Обычно модуль числа а + Ы учащиеся вычисляют сравнительно легко, чего нельзя сказать о нахождении аргумента. Наиболее приемлемым способом отыскания аргумента является вычисление tg ср = —, но при этом следует еще установить, в какой четверти расположено комплексное число, так как период тангенса равен тс. Учащиеся затрудняются в определении аргумента чисел, лежащих на координатных осях. Поэтому аргументы действительных и чисто мнимых чисел требуем знать наизусть и переход для них от алгебраической формы к тригонометрической проводим без каких-либо вычислений, сразу указывая модуль и аргумент.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме с не очень сложными действительными коэффициентами учащиеся выполняют устно, записывая лишь условия и ответ. Устное вычисление произведения по формуле (а + Ы) (c + di) = (ac—bd) + (ad + bc) i, по сравнению с умножением по правилу умножения двучленов с заменой i2 на — 1 и приведением подобных, лучше подчеркивает, что произведение комплексных чисел, так же как равенство и сумма их, определяется. Деление комплексных чисел в алгебраической форме при устном выполнении умножения также выполняется быстро и правильно.

§ 9. Тождественные преобразования

1. Отдельные тождественные преобразования могут быть почти полностью изучены учащимися в процессе решения устных упражнений. Рассмотрим, например, урок на тему «Умножение многочлена на одночлен».

Вначале выясняем, как учащиеся усвоили умножение одночлена на одночлен. По задачнику указываем номер примера, вызванный ученик читает его условие

и дает ответ. Возможно применение специально составленной таблицы на бумаге или на переносной доске:

Учитель называет два одночлена из таблицы, которые нужно перемножить, а ученики дают ответ. Это позволяет быстро проверить, как учащиеся усвоили предыдущий материал, насколько сознательно и самостоятельно выполняли домашнее задание.

Основываясь на распределительном законе умножения (а + Ь—с) • n = an + bn—сп, получаем, что для умножения алгебраической суммы нескольких членов на некоторый множитель можно на этот множитель умножить каждый из членов и результаты сложить.

Затем учащиеся устно решают 30—35 примеров из задачника на умножение многочлена на одночлен, начиная с простых вида: (а-Ь)-р, до более сложных: (-2а3х + 5а2х2-5ах3 + ЗхА) • (-За*2). А после геометрического истолкования полученного правила можно перейти к письменному решению более сложных примеров.

В процессе устного решения примеров выясняем, насколько сознательно учащиеся выполняют подобные преобразования.

Аналогичным образом изучаются и такие темы курса алгебры, как приведение подобных членов, умножение и деление одночленов и многочлена на одночлен, простейшие случаи разложения на множители и простейшие тождественные преобразования дробных алгебраических выражений.

2. Тождественные преобразования над иррациональными выражениями согласно новой программе для

квадратных радикалов рассматриваются в VIII классе, а для радикалов произвольной степени—в IX классе. Большинство примеров этого раздела из «Сборника задач по алгебре», ч. I и II, П. А. Ларичева позволяет изложение этого материала сопровождать устным решением примеров и простейших задач.

Методика работы почти всегда одна и та же: учитель указывает номер примера из задачника, ученик читает условие и дает ответ. В VI—VII классах возможны некоторые изменения. Чтобы учащиеся более внимательно следили за работой класса, один из них читает условие примера по задачнику, а ответ дает другой ученик. В результате весь класс активно участвует в работе.

3. Формулы сокращенного умножения изучаются так же, как и действия над многочленами и одночленами. Но устные упражнения позволяют заблаговременно готовить учащихся к восприятию этих формул, что значительно облегчает усвоение их словесных формулировок.

При обучении учащихся словесному чтению формул и записи их под диктовку предлагаем устные примеры вида:

1) Прочесть следующие выражения: (а + 6)2; а2 + 62; (а-6)3; а3 + 63; (а-6)2; а2-62; (а + 6)3; а3-63.

2) Даны два числа а и Ь. Записать квадрат первого числа; удвоенное произведение первого числа на второе; утроенное произведение первого числа на квадрат второго и т. п.

Записи не обязательны, можно ограничиться словесной формулировкой ответа.

Такого вида примеры предлагаем учащимся при изучении последующих тем программы, изменяя лишь исходные данные и варьируя сами задания. Это позволит учащимся легко запомнить словесное выражение основных формул сокращенного умножения и без затруднений решать примеры на их применение.

4. Тождественные преобразования являются источником многих правил для сокращенных вычислений. Они дают возможность обосновать многие приемы устного счета. Например, основываясь на умножении многочленов, легко получить правило умножения чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц

равна 10, и как частный случай — правило вычисления квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

Формулы сокращенного умножения позволяют ознакомить учащихся с новыми приемами устных вычислений. В частности, формула (a + ft)«(a — Ь)=а2 — Ь2 может быть применена при устных вычислениях в двух случаях:

1) при вычислении произведений вида: 41-39= (40 + + 1 ) - (40—1 ) = 1600—1 = 1599; 101 • 99; 22 • 18; 93.87 и т. п.;

2) при вычислении разностей квадратов вида: 652—352= (65—35) - (65 + 35) =3000; 372—272; 6252—6242 и т. п.

Этот прием очень часто применяется при нахождении одного из катетов прямоугольного треугольника по известным гипотенузе и второму катету.

Формулы (a±b)2 = a2±2ab + b2 дают возможность устно вычислять квадраты двузначных чисел, близких к десяткам: 212; 322; 292; 882 и т. п.

Применение формул сокращенного умножения к устным вычислениям является яркой иллюстрацией этих формул и повышает интерес учащихся к этому разделу алгебры. Практическая же ценность полученных приемов устного счета невелика, так как они удобны сравнительно в редких случаях. Поэтому такие примеры рассматриваем как один из видов упражнений на закрепление соответствующих формул.

При ознакомлении учащихся с новыми приемами устного счета поступаем следующим образом. После вывода формулы решаем простые примеры устно и несколько более сложных письменно. Затем на конкретном числовом примере показываем возможность применения выведенной формулы к устным вычислениям над двузначными числами и отводим 7—10 минут на устное решение соответствующих числовых примеров. На последующих уроках при опросе предлагаем учащимся устно решить числовой пример, требующий применения той или иной формулы сокращенного умножения. Подобные устные примеры задаются и при повторении этого материала.

5. Где только возможно, решаем устно и задачи на тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений. Это могут быть простые арифметические задачи, у которых все или часть данных обозначены буквами и которые требуют составления алгебраических выражений и их тождественных преобразований. Если учащиеся вначале будут затрудняться в составлении буквенных выражений, то буквы можно заменить числами, которые, как наиболее привычные для них, позволяют подвести к восприятию необходимых действий.

Значение подобных задач не ограничивается иллюстрацией приложений тождественных преобразований и подготовкой к составлению уравнений. Решая задачи, учащиеся учатся понимать смысл и употребление соответствующих формул и тождественных преобразований.

6. Изученные формулы и тождественные преобразования неоднократно применяются при изучении последующих разделов школьного курса алгебры. В частности, тождественные преобразования над целыми алгебраическими выражениями применяются при решении уравнений и систем уравнений, при разложении многочленов на множители и в преобразованиях алгебраических дробей. Основные формулы и правила преобразований рациональных выражений переносятся на иррациональные выражения и даже на трансцендентные, содержащие тригонометрические, показательные или логарифмические выражения.

Учитель должен настойчиво требовать от учащихся устно выполнять все преобразования, которые доступны им в данный момент обучения. Решая пример:

учащиеся должны как можно больше преобразований выполнять устно. Желательно, чтобы записи выглядели примерно так:

Необходимо считать недочетом, если учащиеся при выполнении действий над дробями выполняют умножение вида: (a-fft)-(a — b) или (a + b)-(a-\-b) по правилам умножения многочлена на многочлен вместо применения формул сокращенного умножения.

Такие же требования предъявляются к учащимся и при тождественных преобразованиях над радикалами. Действия вида: -=-— ; —-—■^=JL— должны выполняться учащимися устно. И при письменном решении как можно больше действий должно быть выполнено устно, что значительно упрощает все решение. Рассмотрим решение одного примера:

Если не использовать формулы деления суммы или разности кубов соответственно на сумму или разность оснований и привести выражения к общему знаменателю, то уже труднее увидеть возможность сокращений, остается перемножать два четырехчлена.

Навыки в устных вычислениях и преобразованиях, приемы устного счета, различные вспомогательные формулы учащиеся должны применять не только на уроках алгебры, но и на уроках геометрии, физики, химии. Если нужно, например, вычислить площадь треугольника со сторонами а=30; ft = 5; с = 29, то вычисления должны выполняться устно с записью лишь промежуточных результатов:

7. Большое место устные упражнения должны занимать и при изучении тригонометрического раздела алгебры. Чтобы учащиеся за сравнительно небольшой срок запомнили большое количество тригонометрических формул и могли сознательно применять их, нужно решать как можно больше примеров. Устные упражнения

наилучшим образом позволяют закреплять изучаемые формулы, повторять ранее изученные и приучают учащихся быстро и правильно ориентироваться в тригонометрических преобразованиях.

При изучении радианного измерения дуг и углов перевод градусного измерения в радианное и наоборот рассматривается в процессе решения устных упражнений вида:

1) Вычислить длину дуги, зная радиус дуги /?«=80 см и величину дуги в радианах 0,125.

2) Вычислить длину дуги окружности радиуса /?, стягивающую центральный угол в 1,7 радиана.

3) Определить знаки значений следующих функций:

sin 2; cos 3; tg 1,8; ctg 7; sin (т: + 1); cos (* — 1); tg + 2).

4) Что больше: sin 0,5 или sin 0,8? cos 1 или cos 1,1? sin 2 или cos 3? sin 3 или tg 3? sin 30° или sin 0,5? tg 45° или tg 1?

Решая последние примеры, одновременно повторяем свойства тригонометрических функций.

Таблицу перевода градусов в радианы и наоборот для углов в 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360° учащиеся должны знать наизусть, тогда они легко смогут устно выполнять преобразования и для углов в 10°, 15°, 120°, 135° и т. д.

8. Для закрепления формул, выражающих алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, можно предлагать учащимся устные примеры вида:

1) Всегда ли имеют смысл формулы: sin2 а -}- cos2 а = 1 ;

2) Вычислить cos а, зная, что sin а = 0,8.

3) Вычислить все тригонометрические функции угла а, зная, что cos а = — и тг < а < -д- тт.

Эти упражнения задаются учащимся без каких-либо записей. Учитель читает условие, ученик отвечает с необходимыми пояснениями. Можно давать задания по задачнику, указав номер упражнения, или заранее заготовить нужные записи на переносной доске или в виде таблицы. Такая форма работы очень удобна при уст-

ном решении примеров на упрощение тригонометрических выражений и на доказательство тождеств. Например:

Упростить:

Доказать тождества:

Решение таких устных упражнений значительно облегчает учащимся составление плана при письменном решении более сложных примеров. У учащихся воспитывается навык проверять устно возможные варианты решения и определять наиболее рациональные из них.

9. Подобным образом применяются устные упражнения и при изучении формул приведения, теорем сложения и получаемых из них формул функций двойного и половинного угла, а также при изучении преобразований суммы и разности тригонометрических функций в произведение и наоборот. При этом следует разнообразить упражнения, чтобы раскрыть перед учащимися изучаемое понятие с различных сторон.

Например, при изучении формул приведения можно предложить учащимся устные вопросы вида: «Найти: 1) sin 450°; 2) cos 240°; 3) tg 315°; 4) ctg 750°» и т. п., а также решить некоторые нестандартные задачи и примеры:

1) Синус суммы двух углов треугольника равен

Чему равен синус третьего угла треугольника?

2) Косинус суммы двух углов треугольника равен 0,6. Какой это треугольник (по виду углов)?

3) Назвать все положительные и отрицательные углы из отрезка [—2я; 2я]: а) синус которых равен sin 20°; б) тангенс которых равен tg 40°.

4) Как можно получить график функции y = cosx, имея график функции y = s'mx?

При изучении тригонометрических преобразований, как и в других разделах алгебры, устные упражнения применяются не только для закрепления. Рассмотрим для примера тему «Теорема сложения для синуса».

При опросе по предшествующему материалу предлагаем учащимся устно решить несколько примеров вида: «Найти дополнительные углы к углам: 30°; 56°; а; В; а-j-ß;

Чтобы еще раз подчеркнуть соотношение между суммой тригонометрических функций углов а и ß и ее значением для a + ß, решаем примеры: «Определить устно, что больше: sin 45° +sin 30° или sin (45° + 30°)? sin (60° + 30°) или sin 60° + sin 30°?»

После доказательства теоремы сложения для синусов, причем формулу для sin (a — ß) получаем устно из формулы для sin (a + ß), решаем примеры на закрепление этих формул:

1) Упростить:

2) Проверить:

При обилии формул очень важно их систематическое повторение. Решая устно примеры вида: «Найти cos 2a, если sin a = 0,6», повторяем соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. При решении задачи: «При каких значениях х между 0 и 2я функция # = sinx + cos.x: принимает наибольшее и наименьшее значения?» повторяются формулы приведения, формулы преобразования суммы в произведение и свойства тригонометрических функций.

10. Нужно учить учащихся свободно переставлять левую и правую части равенств, или, как говорят, читать формулы справа налево. Если ученик знает, что s'm(x-y) = sin X cos у — sin у cos х\ sin 2x=2sin x cos x, то он должен уметь применять их не только слева направо, но и наоборот. Для этого целесообразно решать устно такие примеры:

Вычислить наиболее рациональным способом:

1) sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20°; 3) 2 sin 15° cos 15°;

2) cos 75° cos 15°-sin 75° sin 15°; 4) 4cos2 30°-4sin2 30°. Подобные задания могут даваться в различных формулировках:

1) Упростить:

a) cos a cos 2а±sin а sin 2а; б) sin а cos а cos 2а cos 4а.

2) Решить уравнения:

a) cos4 л: — sin4x = 0; б) sin 2х cos* = cos 2х s'mx.

3) Для каких значений a: a) sin 2а = 2 sin а? б) tg2a = = 2tga?

4) Доказать неравенство: sin х cos х <

Учащиеся должны уметь устно преобразовывать известные им формулы, чтобы получать нужные вспомогательные формулы. Пусть требуется преобразовать в произведение сумму: 1-fsina. Обычное решение несколько громоздкое:

Но если ученик приучен к простейшим устным преобразованиям основных формул, то он может сразу получить ответ, причем более простой: 1 -(- sin a = 1 -f- + cos (90° — a) = 2 cos2 ^45°--^-j, применяя вспомогательную формулу 1 + cos 2x = 2 cos2 x.

§ 10. Уравнения

1. Центральное место в школьном курсе алгебры занимают уравнения. Уже в VI классе учащиеся получают первоначальные сведения об уравнении и решают

простейшие уравнения 1-й степени с одним неизвестным на основании свойств арифметических действий.

Выяснив с учащимися понятие уравнения и его корня, приступаем к решению уравнений. Можно предварительно повторить соответствующие правила отыскания неизвестного слагаемого, уменьшаемого или вычитаемого, сомножителя, делимого или делителя по двум другим известным элементам. Но лучше это проделать в процессе решения самих уравнений.

Заранее заготавливаем 4 таблицы с написанными упражнениями для устного решения уравнений вида:

Приведем примерное содержание таблицы I.

Подобным образом составляются и остальные таблицы.

Если отдельные учащиеся затрудняются в выборе нужного правила для отыскания одного из компонентов по двум известным, следует задачу «Решить данное уравнение» перефразировать в форме арифметического вопроса. Например, при решении уравнения х—8 = 5 задачу можно сформулировать так: «Из какого числа нужно вычесть 8, чтобы получить 5?» Здесь уже трудно ошибиться в выборе нужного правила, более того, ученик вспомнит, что для нахождения уменьшаемого нужно к разности прибавить вычитаемое.

В результате учащиеся, с одной стороны, восстанавливают в памяти соответствующие зависимости между данными числами и результатами действий, а с другой — подготавливаются к решению простейших задач на составление уравнений.

Заметим, что и при письменном решении более сложных уравнений учащиеся будут самостоятельно проводить подобные рассуждения, и даже несколько раз. Например,

требуется решить уравнение 4» j£ 3 -f- lj = 16. Рассуждения будут примерно следующие: Какое число нужно умножить на 4, чтобы получить 16? Чтобы узнать неизвестный сомножитель, нужно произведение 16 разделить на известный сомножитель 4, получим, что —^--\- 1 = 4.

К какому числу нужно прибавить 1, чтобы получить 4? Придется из суммы 4 вычесть слагаемое 1, и тогда получим -g— = 3 и т. д.

Для повышения интереса учащихся к устному решению уравнений следует разнообразить формулировки заданий. Например, вместо стандартного: «Решить следующие уравнения: x — 3 = 0; х + 2 = 0\ 2х -f 3-0; 6 — 2jc = 0>>, можно задание сформулировать так: «При каких значениях X дроби: —у-; —; —g1—; —3— обращаются в нуль?»

или: «При каких значениях х выражения: -^; , Q; теряют смысл?»

2. Знание уравнений требуется и при изучении других школьных дисциплин: геометрии, физики, химии. Но нередко учащиеся затрудняются определить неизвестную величину из-за необычных обозначений данных и искомых величин. Поэтому целесообразно устно решать упражнения вида:

I. Решить следующие уравнения, в которых неизвестные обозначены различными буквами: 1) 9т = 3; 2)11 —

II. Площадь S прямоугольника определяется по формуле S = a-b, где а — основание прямоугольника, b — его высота. Выразить а через остальные величины.

III. Путь s, пройденный телом при равномерном движении, определяется по формуле: s = V't, где v — скорость тела, / — время движения. Выразить отдельно v и t через остальные величины.

IV. Данные уравнения решить относительно каждой из входящих в них букв: 1) S = 2) d=— ; 3) Р=а-\--\-b-\-c\ 4) c = 2izR\ 5) V = a-b-c.

Решая такие примеры, учащиеся приучаются видеть в каждом соотношении, связывающем несколько переменных величин, уравнение относительно любой из этих величин.

Аналогичные по содержанию устные упражнения решаем и в VII классе, используя более сложные формулы геометрии и физики.

Например: Решить уравнения относительно каждой из входящих в них букв: 1) v = v0 -f- gt\ 2) S = (g + b).

Эти формулы даются в порядке упражнений на решение уравнений, однако краткие указания учителя, что в физике или геометрии есть та или иная формула, выражающая зависимость таких-то величин (если эти величины знакомы учащимся), несомненно, повышают интерес учащихся к упражнениям.

3. Решение уравнений с первых шагов сопровождается решением задач на составление уравнений.

Если учащиеся к этому времени еще недостаточно свободно владеют буквенной символикой, целесообразно решать вспомогательные устные задачи. Пусть решается задача: «На двух полках 54 книги, причем на верхней полке на 6 книг больше, чем на нижней. Сколько книг на каждой полке?»

Учитель предлагает ответить устно, сколько было бы книг на обеих полках, если бы на нижней было 3 книги; 4 книги; 8 книг; 10 книг. Сколько было бы книг на верхней полке, если бы на нижней было а книг; b книг; п книг; X книг? Сколько было бы книг на обеих полках, если бы на нижней было а книг; b книг; п книг; х книг?

Многие шестиклассники затрудняются выражать в алгебраической форме величины, находящиеся в данном разностном и кратном отношении к другой величине. В этом случае целесообразно при решении задач, в которых для составления уравнения нужно перевести эти понятия на алгебраический язык, проводить устно

такую же работу, как и при решении предшествующей задачи. Наибольший эффект достигается при подобном разборе задач, у которых имеется и кратное и разностное сравнение величин, например:

1) В трех домах 600 жителей. Во втором доме вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 20 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом доме?

2) В трех корзинах 178 яблок. Во второй втрое больше, а в третьей на 3 яблока больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Аналогичные устные упражнения могут применяться и в старших классах, в частности при решении задач на составление уравнений второй степени в IX классе. Иногда многие девятиклассники не могут решать задачи на совместную работу, на движение. В таких случаях подбираем систему устно решаемых задач, позволяющих подвести учащихся к восприятию идеи решения того или иного типа алгебраических задач.

Пусть требуется разъяснить учащимся решение задачи на совместную работу методом уравнений: «Двум бригадам учащихся была поручена работа по озеленению пришкольного участка. Работая вместе, они смогли бы выполнить работу за 6 дней. Одна из бригад, работая отдельно, может выполнить эту работу на 5 дней скорее второй. За сколько дней каждая бригада сможет выполнить эту работу отдельно?» Можно рекомендовать такую систему решаемых устно вспомогательных задач:

1) Две машинистки, работая вместе, могут перепечатать рукопись в 60 страниц за 6 часов. Одна из них, работая отдельно, может перепечатать ее за 10 часов. За сколько часов вторая машинистка, работая отдельно, может перепечатать эту рукопись?

2) Рабочий может выполнить всю работу за 6 часов. Какую часть работы он выполняет за 1 час?

3) Рабочий выполняет за 1 час часть порученной ему работы. За сколько часов он выполнит всю работу?

4) Составить уравнение для решения задачи: «Два экскаватора, работая вместе, вырыли котлован за 6

дней. Первый экскаватор один мог бы выполнить эту работу за 10 дней. За сколько дней второй экскаватор мог бы вырыть этот котлован?»

4. Практиковалось и устное составление уравнений. После того как учащиеся приобрели опыт, пусть и небольшой, в решении задач на составление уравнений, предлагалось к отдельным задачам составлять уравнения устно. Учитель указывал номер задачи из задачника, учащиеся самостоятельно изучали условие задачи и устно составляли уравнение. Вначале это были простые задача вида:

1) Какое число надо прибавить к 15, чтобы получить — 3?

2) Я задумал число, прибавил к нему —8 и получил 15. Какое число я задумал?

3) Я задумал число. Если это число увеличить втрое и к полученному произведению прибавить 17, то получится 62. Найти задуманное число.

Постепенно задачи усложнялись. Вначале лишь незначительная часть шестиклассников активно участвовала в этом виде работы. А затем, несмотря на усложнение предлагаемых задач, все большее количество учащихся вовлекалось в работу, и к концу учебного года почти все учащиеся могли успешно составлять устно уравнения к задачам средней трудности.

Такое устное решение оказывает положительное влияние и на письменное решение задач методом уравнений. Существенное значение имеет и тот факт, что за время, которое нужно для полного письменного решения одной задачи средней трудности, можно устно составить уравнения к 5—7 задачам такой же трудности. Это позволило нам решить почти все задачи на составление уравнений, имеющиеся в задачнике П. А. Ларичева в первых четырех главах.

Такую же работу по устному составлению уравнений мы проводили и в старших классах: в VII классе — на составление линейных уравнений и систем уравнений, а в VIII—IX классах — на составление уравнений и систем уравнений второй степени.

5. В VII классе первые уроки алгебры посвящаются выяснению самого понятия уравнения и его корня. Уравнение определяется как равенство двух функций, а корень уравнения — как любое допустимое значение не-

известного, которое обращает уравнение в верное равенство. Обычно берут два двучлена и вычисляют их числовые значения при различных значениях х. Желательно подбирать числовые данные так, чтобы они допускали устное выполнение действий и давали материал для применения приемов устного счета. С этой целью можно брать двучлены вида: у\ = 9х —19 и у2 = Зх+\\.

Разъяснение о равносильности уравнений должно быть проведено на числовых примерах так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию доказательства положений, истинность которых была установлена только для чисел. Здесь уже устные преобразования получаемых уравнений затушевывают смысл доказательства, в то время как устное решение уравнений облегчает восприятие доказательства.

Пусть имеем уравнение: Ъх — 3=17. Устно находим, что корнем уравнения будет л: = 4, ибо при подстановке этого значения х в уравнение получим верное равенство: 5-4 — 3=17. Прибавим к обеим частям уравнения по т=13, получим: (5а: —3) + 13= 17+ 13.

При значении х = 4 полученное равенство становится верным, ибо мы к равным числам 5-4 — 3 и 17 прибавили одно и то же число 13. Изменяя значение га, устанавливаем, что корень исходного уравнения всегда будет и корнем вновь полученного уравнения.

Если же мы устно произведем преобразование полученного уравнения, как это сделано в учебнике, и запишем его в виде: 5х+10 = 30, то тогда не видно исходное равенство 5-4 — 3=17.

6. В процессе решения уравнений учащиеся самостоятельно делают вывод о наиболее целесообразной последовательности преобразований, выполняемых при решении подавляющего большинства уравнений: освобождаются от дробей; упрощают полученное уравнение; собирают члены, содержащие неизвестные буквы, в одной части уравнения, а остальные члены — в другой; приводят подобные члены и делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но слишком раннее применение этого правила может привести к механическому решению уравнений, что отрицательно сказывается не только на развитии сообразительности учащихся, на их математической культуре, но и на навыке в решении самих уравнений.

Поэтому надо не только поощрять, но и наталкивать учащихся на отступление от общего плана решения уравнений. Простейшие уравнения должны решаться устно. Следует считать существенным недочетом в знаниях учащихся, если они уравнение 3 (х— 1) = 15 решают «строго по правилу»: раскрывают скобки, переносят известное в правую часть, выполняют приведение подобных и делят обе части уравнения на коэффициент при X вместо устного ответа: х= 15 : 3+1=6.

Уравнения вида ах = Ьх+с при сравнительно несложных числовых значениях коэффициентов (Зх = 5х + 8) также должны решаться устно. При решении уравнений второй степени нередко оказывается рациональным перенести все члены в правую часть, но записать в левой, а в правой части — нуль. Имея, например, уравнение: х2 + 8х — 4 = 2х2 + Зх + 2, ученики должны сразу записать его в виде: х2 — 5л; + 6 = 0, причем перенос всех членов в правую часть и приведение подобных выполняются устно.

Навык устного решения уравнений облегчает учащимся изучение последующего материала, в частности построение графиков линейной функции и решение систем уравнений способом подстановки.

Для построения графика линейной зависимости ах + Ьу = с достаточно определить две точки искомой прямой. В большинстве случаев находят точки пересечения этой прямой с осями координат, что сводится к решению уравнений: Ьу = с и ах=с.

Способ подстановки решения систем линейных уравнений оказывается эффективным лишь тогда, когда учащиеся свободно устно из уравнения ах+Ьу = с могут выразить одно из неизвестных через другое.

От учащихся мы требуем решать устно и простейшие системы:

что значительно облегчает решение систем вида:

Этот прием используется и при решении некоторых систем уравнений второй степени. Например, систему уравнений учащиеся никогда не решают сведением к 4 системам вида:

ибо для письменного решения этих четырех систем затрачивается много времени. Наиболее простым способом решения исходной системы они считают способ подстановки, приводящий к биквадратному уравнению. В действительности же при числовых данных а и Ъ систему быстрее решить сведением к системам линейных уравнений.

Пусть надо решить систему уравнений:

Умножая второе уравнение на 2, прибавляя и вычитая полученное произведение из первого уравнения, что легко выполнить устно, получим:

Значит:

7. Не менее разнообразно применение устных упражнений при изучении квадратных уравнений в VIII и IX классах. Учащиеся быстро усваивают обе формулы корней квадратного уравнения. Процесс решения уравнений становится настолько- механическим, что нередко учащиеся решают по общей формуле уравнение ах2 + + bx = 0 и даже ах2 + с = 0.

Следует предъявить учащимся требование решать такие уравнения устно, сразу выписывая их корни. Если на первых порах решение уравнения ax2+bx = 0 разложением на множители является приемлемым, то впоследствии нет надобности в подробных записях всех преобразований из-за их простоты, ибо всегда будем

иметь два уравнения: х = 0 и ах + Ь = 0, которые легко получаются из исходного уравнения и элементарно решаются устно.

Учащиеся могут и должны уметь решать устно и уравнения вида: х2— 10х + 25 = 0; х2 + 6х + 9 = 0, то есть уравнения, дискриминант которых равен нулю.

Нередко старшеклассники, получив уравнение вида (х—4) (Зх + 2)=0, решают его, приводя к нормальному виду: Зх2 — Юх — 8 = 0, вместо того чтобы устно найти корни, приравнивая к нулю каждый из сомножителей. Учитель должен настойчиво требовать от учащихся применения метода разложения на множители одной части уравнения, когда другая часть есть нуль. Этот метод должен применяться при решении примеров, у которых левая часть легко раскладывается на линейные множители.

Следует рекомендовать и устный прием решения уравнений вида п(п—1 ) =42, получаемых при решении задач и примеров на прогрессии, соединения и бином Ньютона. Раскладывая 42 в произведение двух последовательных натуральных чисел 7 • 6, легко получаем, что п = 7 является корнем данного уравнения. Второй корень всегда будет отрицательным и по смыслу задачи должен быть отброшен.

Большой интерес учащихся вызывает устное решение таких нестандартных упражнений:

а) Может ли уравнение Зл:2 +1 Ojc + 3 = 0 иметь положительные корни?

б) Может ли трехчлен у=х2 — 6х+9 принимать значение — 1 при каком-либо значении (действительном) аргумента х?

в) При каком значении х трехчлен у = х2+х+ 1 принимает значение —5? и т. п.

При решении примеров и задач на составление квадратных уравнений много времени требует возведение в квадрат среднего коэффициента и извлечение квадратного корня. Для упрощения вычислений наряду с таблицами полезно рекомендовать учащимся, а в дальнейшем и требовать от них запомнить наизусть таблицу квадратов натуральных чисел до 25 включительно. В результате решение многих уравнений, особенно тех, которые составлены по условиям задач из задачника, значительно упрощается.

8. Интересный и богатый материал для устных упражнений дает теорема Виета. После первого ознакомления с этой теоремой учащиеся устно находят корни приведенного квадратного уравнения. И в дальнейшем при решении уравнений, сводящихся к квадратным, а также при решении задач на составление квадратных уравнений при прохождении последующих разделов алгебры требуем от учащихся, где это возможно, находить корни устно на основании теоремы Виета. Более того, и системы вида: \Ху _ учащиеся должны решать устно: *i = 5, */i = 3; х2 = 3, #2 = 5, не составляя вспомогательного уравнения г2 — 8г+15 = 0, используя тот же прием, что и при устном решении квадратных уравнений.

Приведем примеры возможных устных упражнений, связанных с теоремой Виета:

1. Найти сумму и произведение корней уравнения:

а) х2 + 4х-6 = 0\ б) 2х2-5г+1=0.

2. Найти значение если данное уравнение имеет корнем число 0:

a) x2-5x + k2-l=0- б) 3x2-x + k2-4k +4 = 0.

3. При каком значении k данное уравнение имеет корнем число 5:

а) х2 + &х+15 = 0; б) x2-ßx + k = 0?

4. Найти корни уравнения:

а) л:2-5л: + 6 = 0; б) х2-{a + b)x + ab = 0.

5. Составить квадратное уравнение, если сумма его корней 8, а произведение —20.

6. Составить квадратное уравнение по его корням: а) —5 и 3, б) т + п и т — п.

7. Может ли квадратное уравнение с рациональными коэффициентами иметь один корень рациональный, а другой иррациональный?

8. Может ли приведенное квадратное уравнение с рациональными (иррациональными) коэффициентами иметь иррациональные (рациональные) корни?

Вычисляя устно значение дискриминанта, учащиеся устанавливают, имеет ли уравнение действительные корни, а затем легко определяют их знаки. Это помогает им проводить исследование квадратного трехчлена и его разложение на линейные множители, а также решать неравенства второй степени.

9. Устные упражнения в разделе «Иррациональные уравнения» позволяют закрепить такие понятия, как равносильность уравнений, арифметический корень, область допустимых значений.

Решая устно примеры вида: \ х = 2; Y2x— 15 = 3; V 2х* — 1 = 7; Ух + 7 = 2\ у^25 + * = 2; У2х-\-7 = = У Зх — 3; { 2х — 9 = У 6 — X, учащиеся подготавливаются к восприятию общего способа решения иррациональных уравнений. Навык в устном решении таких уравнений помогает учащимся в отыскании наиболее простого способа при письменном решении более сложных примеров. В частности, в случае наличия трех квадратных радикалов теоретически безразлично, какие два из них оставлять в одной части. Но если предложено уравнение: У 5 (х — 1) — У2х — 3 = У Зх — 2, то решение значительно упрощается, если У2х — 3 перенести в правую часть, ибо тогда сразу получим уравнение: 2 \/ (2х — 3) (Зх — 2) = 0.

Решая устно примеры вида: «Почему не имеют решения уравнения: Ух — 1 -)- V х -f- 1 = — 1 ; Ух -\- 2 -\- У х = 0», учащиеся повторяют понятие арифметического корня, а при решении примеров вида: «Почему не имеют решения уравнения: УЗ — х-\-Ух — 5=10; Ух — 2=1—х» — понятие области допустимых значений.

10. Пожелание систематического применения устных упражнений предъявляет определенные требования и к изложению теоретического материала. Например, при исследовании систем линейных уравнений с двумя неизвестными решаются задачи вида:

I. Не решая следующих систем уравнений, указать, какие из них имеют: а) одно решение; б) бесконечное множество решений; в) не имеют решения:

II. Определить, при каких значениях m и п следующие системы уравнений имеют бесконечное множество решений:

III. Определить, при каких значениях а следующие системы уравнений не имеют решений:

Если теоретический материал был изложен так, как это сделано в учебнике «Алгебра» А. П. Киселева, то каждый из этих примеров требует письменного решения, причем с довольно непростыми вычислениями. Но достаточно выводы сформулировать через пропорциональность коэффициентов, и все эти примеры могут быть легко и быстро решены устно.

Действительно, если известно, что система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, а в случае их пропорциональности мы получим либо бесконечное множество решений, если они пропорциональны свободным членам, либо совсем не получим решений, если они не пропорциональны свободным членам, то для решения всех этих примеров достаточно лишь сравнить коэффициенты при неизвестных и, в случае необходимости, свободные члены, что легко сделать устно.

При таком изложении этого материала и самые сложные примеры на исследование систем уравнений, имеющиеся в задачнике, решаются значительно проще и быстрее. Геометрическое истолкование также становится понятным и доступным учащимся, ибо им понятно, почему прямые пересекаются, параллельны или совпадают, так как для прямой ах -\- by = с угловой коэффициент k =

11. В курсе алгебры рассматриваются и простейшие трансцендентные уравнения: тригонометрические, показательные и логарифмические.

В настоящее время тригонометрические уравнения в средней школе решаются на протяжении всего периода изучения тригонометрических функций. С решением простейших уравнений и с основными приемами учащиеся знакомятся в первом же разделе «Тригонометрические функции любого аргумента». В дальнейшем уравнения, решаемые учащимися, заключают в себе именно те тож-

дественные преобразования, которые изучаются на данном этапе. Следовательно, тригонометрические уравнения являются одним из видов тождественных преобразований, которые сами по себе -также имеют большое значение в дальнейшем обучении и в практических приложениях. Приведем примеры тригонометрических уравнений для устного решения, подобные которым учитель может найти в любом сборнике или составить самостоятельно.

Используя знания учащимися значений тригонометрических функций для углов 0; у, полученные ими еще в восьмилетней школе, и для углов в других четвертях, рассмотренных в предшествующих темах, решаем устно уравнения вида: tg х = 0; tg х = 1; ctg х = —|/3; sin X = 0; sin х = — 1; cos х = и т. п., причем, в зависимости от конкретной обстановки, либо требуем найти все углы, удовлетворяющие заданному уравнению, либо ограничиваемся углами в пределах первого оборота.

Затем усложняем несколько примеры, рассматривая кратные аргументы: tg Зх = 1; sin 2х = -öS cos2 — = —\

Мы не требуем от учащихся всякий раз обязательно объединять решения в одну формулу, ибо теоретически безразлично, запишет ли ученик при решении уравнения sin X = j ответ в виде х = (— 1)* ^ + или хг = ^ -\-2Ы 5 и х2 = -g-71 + Если нужно получить несколько конкретных ответов, то практически безразлично, получим ли мы их из объединенной формулы или из нескольких отдельных формул.

12. При изучении последующего тригонометрического материала предлагаем учащимся уравнения, легко сводящиеся к простейшим:

Такие устные упражнения приучают учащихся быстро ориентироваться в тригонометрических уравнениях. Для закрепления и повторения некоторых общих приемов решения уравнений полезно для устного решения предлагать примеры такого вида:

I. Способ приведения к одной функции:

II. Способ разложения на множители:

III. Уравнения, однородные относительно синуса и косинуса:

Устное решение тригонометрических уравнений возможно и при изучении последующих разделов алгебры. Например, при изучении показательных и логарифмических уравнений предлагаем учащимся устно решать уравнения вида:

13. При изучении показательной и логарифмической функций также применяем устное решение уравнений. Почти все уравнения из задачника, иллюстрирующие определения функций, могут быть разобраны в классе устно. Устное решение допускают и примеры вида:

При решении более сложных показательных и логарифмических уравнений от учащихся требуется умение устно определить промежуточные результаты, получаемые при том или ином способе решения, чтобы установить, какой из них позволит довести решение до конца. Например, решая уравнение 16- у (0,25) 4 =2 х+\ вначале нужно установить возможность его решения сравнением степеней с одинаковым основанием 2, ибо 16 = 24 и 0,25 = 2-2. Решая пример х]&х+2 = 1000, нужно установить возможность получения квадратного уравнения относительно lg л: при логарифмировании данного равенства.

Это замечание относится и к решению тригонометрических уравнений. Трудно предположить, что ученик справится с решением уравнения cos х + cos 2х + sin Зх = 0, если он устно не сможет установить возможность разложения левой части на множители, преобразовав cosx-f-+ cos 2х в произведение, a sin Зх — по формуле двойного аргумента, что позволит вынести за скобки 2cos-2~; выражение в скобках cos —|— sin можно будет преобразовать, заменяя по формулам приведения косинус на синус или наоборот.

Так как решение большинства показательных и логарифмических уравнений сводится к решению алгебраических уравнений, то приемы и навыки в устном решении последних применяются и закрепляются при решении этих трансцендентных уравнений. Например, многие примеры, сводящиеся к квадратным и трехчленным уравнениям, решаются с применением теоремы Виета.

Системы вида:

решаются устно:

§ 11. Алгебраические и трансцендентные функции

1. Рассмотрим применение устных упражнений при изучении функций в курсе алгебры средней школы.

Для более глубокого и сознательного усвоения графического представления функциональной зависимости образ прямоугольной системы координат на плоскости должен прочно запечатлеться в воображении учащихся. Поэтому уже в VII классе требуем от учащихся при изучении раздела «Координаты и простейшие графики» уметь устно, без построения осей координат, отвечать на вопросы:

1. В какой четверти лежат точки с координатами:

(1;3); (-1;2); (1;-3); (-2; -4)?

2. Где располагаются точки с координатами вида: (0; а) и (6; 0)?

3. Что можно сказать о координатах точек: а) лежащих на оси х-ов? б) на оси у-ов?

При построении графиков зависимостей y = kx и y = kx + b усложняем подобные устные вопросы.

4. Где расположены точки, абсциссы и ординаты которых: а) равны? б) равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку?

5. Где расположены точки, у которых: а) ординаты равны 3 при любых х? б) абсциссы равны 2 при любых у?

Курс алгебры восьмилетней школы завершается специальной темой «Функции и их графики», где повторяется и углубляется весь материал, относящийся к функциям. Проводя краткий обзор изученных ранее функций, мы не ограничиваемся лишь повторением определений функций, а требуем приводить примеры задач, иллюстрирующих каждый из видов функциональной зависимости. Такие устные задания учащиеся выполняют с большим интересом.

Богатый и разнообразный материал для устных упражнений предоставляют примеры на отыскание области определения функции. Заранее на доске выписываем несколько функций:

и учащиеся устно для каждой из них указывают область допустимых значений.

Такие устные примеры решаем и при дальнейшем изучении различных функций, причем сложность примеров постепенно возрастает. Например, после изучения квадратного трехчлена и функций у = V х и у = У~х можно находить область определения функций: у = —2_I fi ;

В IX классе после изучения систем неравенств берем более сложные функции: у = Vх — 1 -f- Ух — 4; у =

2. При рассмотрении свойств и графиков квадратного трехчлена первые построения графиков выполняются на доске или в тетрадях с обязательным построением нескольких точек графика. Для дальнейших приложений очень важно умение учащихся давать качественную характеристику графика трехчлена, заданного в виде у = а(х + т)2 + Ь: указать направление ветвей параболы и точку, в которой находится вершина параболы. Учащиеся отвечают примерно так: графиком функции у = 2(х— I)2 — 3 является парабола 2х2 с ветвями, направленными вверх, которая смещена вдоль оси х-ов на единицу вправо и вдоль оси у-ов на 3 единицы вниз.

Здесь же целесообразно выяснить, как можно получить график функции у = 2 (х — I)2 — 3 из графика функции у = 2х2, не перемещая параболы, а перемещая оси координат. Способ перемещения осей координат упрощает построение графиков функций: у = х__а -гЬ\ у = а*+Л; у — \oga (х-\-т) и тригонометрических функций.

Целесообразно, чтобы учащиеся могли без затруднений отвечать и на такие вопросы:

Дана парабола у = 2х2. Каково уравнение параболы, полученной из данной следующими преобразованиями:

1) перенесена на 3 единицы вверх,

2) перенесена на 1 единицу вниз,

3) перенесена на 5 единиц влево,

4) перенесена на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз,

5) перенесена на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз,

6) перенесена на 3 единицы влево, на 1 единицу вверх, и направление ветвей параболы изменено на противоположное.

В случае необходимости ответы могут быть записаны на доске.

При неоднократном письменном преобразовании трехчлена у = ах2 -\-bx-\-c, выделяя полный квадрат, учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что абсцисса вершины параболы равна х0 = — Знание этой формулы значительно упрощает решение многих задач на нахождение наибольших или наименьших значений, ибо не нужно всякий раз выполнять преобразование. Абсциссу вершины параболы находят устно и соответствующее значение у может быть вычислено устно, как значение трехчлена в данной точке Хо.

3. В настоящее время учение о тригонометрических функциях отнесено в курс алгебры. При изучении свойств этих функций решаем устные упражнения, позволяющие закреплять и повторять теоретический материал, а с другой стороны, осуществлять контроль за правильностью понимания учащимися изучаемых свойств, за качеством знаний.

При изучении изменения функций с изменением угла от 0° до 360° недостаточно ограничиться лишь выяснением характера изменения с возрастанием угла. Целесообразно задавать и такие устные вопросы:

1. Как изменяется синус (косинус, тангенс, котангенс) с изменением угла от 90° до 0°; от 270° до 180°?

2. В каких четвертях функции синус и косинус одновременно возрастают (убывают)?

3. При каких значениях букв а и b имеют смысл равенства: tg X = *±}; sin X = cos х =

4. Что больше: sin 48° или sin 27°? cos 48° или cos 27°? sin 1 или cos 1?

5. Как изменяется функция y=\—s'mx с изменением л: от 0 до 2л?

6. Для каких значений х от 0 до 2л функции: а) у = = s'mx; б) y = cosx; в) # = sin.*:—cosx обращаются в

нуль? принимают положительные значения? принимают отрицательные значения?

7. При каких значениях х от 0 до 2я функции: а) у = = 2 + sinx; б) y = 2s\nx принимают наибольшие и наименьшие значения и какие?

8. При каких значениях х, заключенных между 0 и 27г, имеют смысл выражения: ]/sin х\ j/sir^x; j/l+sinx?

Для более сознательного усвоения понятия периода требуем от учащихся устно указывать периоды для функций вида: sin 2л:; sin^-; tg 2х\ sin (л:-f-a); sin ^2х -f- V, sin ъх. Полезна и постановка обратных задач: «Привести примеры функций, периоды которых равны: 60°; 720°;

Впоследствии в связи с изучением новых формул возможно отыскание периодов более сложных функций: «Найти период для следующих функций: 1) cos2 х — sin2 х\ 2) sin2 х\

При итоговом повторении всего раздела «Тригонометрические функции» требуем от учащихся устно характеризовать различия, например, между графиком функции sinx и графиками функций: 2smx\ sin х-)-a; sin(*-|-a); sin 2х\ sin-|-, то есть функций вида: a -f- bf (kx -j- с).

Большой интерес у учащихся вызывают аналогичные вопросы для функций вида: y=\s'mx\\ y = sin\x\\ у = = — sin x.

Заметим, что устные упражнения вида: «Может ли синус какого-либо угла быть равным 7гх\ (2 + 31/ 5)°;

83 ; 4 2 ?» осуществляют связь между тригонометрическими функциями и предшествующим материалом.

4. Определению показательной функции предшествует повторение определений степеней с различными действительными показателями. Лучше всего это проделать при устном решении примеров на вычисление: 1) 23; 25; 31; 32; 2) 8 3 ; 4 2 ; 16 2 и т. д. Примеры группируем так, чтобы

учащиеся видели, что вычисление значений степеней аа выполняется по-разному, в зависимости от значений а: будет ли а натуральным числом, нулем, дробным положительным числом, иррациональным положительным числом или отрицательным числом. В результате такого повторения учащиеся будут понимать не только определение функции у = ах для положительных а, но и легко усвоят доказательства основных свойств показательной функции. Ведь доказательство свойства ах > 0, как и сравнение а* с 1, фактически есть обычная проверка для различных определений степени с действительным показателем.

Устные упражнения позволяют проверить и правильность понимания учащимися свойств показательной функции. Можно устно решать следующие примеры:

1. Сравнить с 1 (больше или меньше 1) следующие степени:

2. Что больше:

3. Решить неравенства:

4. Что можно сказать о показателях степеней х и у, если:

5. Что можно сказать о положительном основании а, если:

Аналогично применяются устные упражнения при изучении логарифмической функции. Заметим лишь, что восприятие учащимися логарифмической функции существенно зависит от усвоения понятия логарифма. К сожалению, многие выпускники школ неглубоко, формально усваивают определение логарифма числа гГо данному основанию. Очень часто ученик может дать правильную словесную формулировку определения и не может сказать, чему равно 210^5, хотя непосредственно из самого определения логарифма следует, что это число 5.

Чтобы учащиеся не формально усвоили это важное понятие, целесообразно решать как можно больше устных примеров на вычисление логарифмов чисел при различных основаниях. Используя формулы N = ах и \ogaN = х, решаем устные упражнения, варьируя эти три величины. В числе таких упражнений предлагаем и примеры на применение тождества aXogab = ft, выражающего определение логарифма. Подобные примеры имеются в школьном задачнике, а в случае необходимости учитель легко может пополнить их число.

Многие примеры на потенцирование и логарифмирование, имеющиеся в «Сборнике задач по алгебре», ч. II, П. А. Ларичева, также могут быть решены устно.

5. Изучение функций нельзя считать законченным без ознакомления учащихся с таблицами. Все трансцендентные функции задаются фактически таблицами. Без тригонометрических и логарифмических таблиц решение задач на применение соответствующих функций нельзя довести до числового ответа.

Устные упражнения могут применяться здесь для ознакомления учащихся с составлением, устройством и применением таблиц.

Не обязательно знакомить учащихся с практическими способами, которые действительно используются для составления, например, логарифмических таблиц с помощью рядов. Можно ограничиться ссылкой на высшую математику, где выводятся соответствующие формулы, ибо ученикам никогда в жизни не придется составлять логарифмические таблицы. Но там, где можно, целесообразно показать, как составляются таблицы. Рассмотрим таблицу квадратов чисел.

Используя формулу (а+1)2 = а2+ (2а+1), мы можем

легко составить часть таблицы квадратов, производя все вычисления устно.

0

1

2

3

4

1

100

121

144

169

196

2

400

441

484

529

576

После этого знакомим учащихся с устройством и применением таблицы квадратов чисел.

Изучение устройства и употребления таблиц всегда проводим в форме устного нахождения значений функции по значениям аргумента. Рассмотрим в качестве примера логарифмические таблицы тригонометрических функций.

После указания о том, что с помощью таблицы логарифмов и натуральных таблиц тригонометрических функций можно вычислить логарифм любой тригонометрической функции, учитель разъясняет целесообразность и назначение логарифмических таблиц тригонометрических функций. Затем указывает нужную таблицу, называет значение аргумента, а вызванный ученик с места говорит ответ. Работа проходит очень быстро, четко. Учащиеся успевают решить много упражнений за небольшой промежуток времени.

Контроль за качеством усвоения осуществляем уже письменно, выписав несколько примеров на отыскание логарифмов функций для различных углов, которые учащиеся решают самостоятельно с записью ответов в тетрадях.

§ 12. Числовые последовательности и прогрессии

1. В ныне действующей программе алгебраический раздел «Числовые последовательности» рассматривается на уроках геометрии, где понятие предела последовательности позволяет обосновать определение и вычисле-

ние длины окружности и площади круга. При умелом использовании устных упражнений изучение этого, довольно сложного для учащихся, материала проходит успешно. Учащиеся сознательно усваивают основные понятия и применяют их при изучении последующих разделов курса математики средней школы.

Устные упражнения решаем уже на первом уроке, рассматривая задание последовательности с помощью формул. На доске или на таблице выписаны простейшие формулы вида: ап = 3/г, ап = п2\ ап = Ъп — 1 ; ап = -i-; ап = Учащимся предлагается устно назвать 4—5 первых членов соответствующей последовательности, а также и другие члены: 8-й, 30-й и т. п.

Аналогично проводим устные упражнения на отыскание общего члена последовательности. Для выписанных последовательностей :

каждая из которых составлена по некоторому закону (правилу), требуется назвать еще три следующих числа, а затем указать п-и член ее. Степень трудности таких примеров можно увеличить.

2. Одним из труднейших математических понятий, изучаемых в школе, является понятие предела числовой последовательности. Учащиеся с трудом воспринимают, что неравенство \ап — А \ < г для различных г выполняется, начиная с разных N. Наряду с наглядными пособиями, устные упражнения позволяют эффективно разъяснить зависимость N от г. Например, вычислив, что для последовательности с общим членом ап = разность | ап — устно находят, начиная с какого номера все члены этой последовательности отличаются от 1 меньше, чем на

Устные дополнительные вопросы: «Можно ли при е = взять N = 15? при е = щ взять N = 1000?» помогают разъяснить, что по определению предела не требуется, чтобы N было наименьшим из возможных, достаточно, если хотя бы одно такое число N существует.

Учащиеся устно находят N в зависимости от числового значения s и в более сложных примерах: \ап — А\ =

Такие устные упражнения позволяют разъяснить, что для доказательства, что некоторое число А является пределом соответствующей числовой последовательности, не обязательно всякий раз указывать число N, придавая 8 конкретные числовые значения. Достаточно лишь решить неравенство /ап—А/<г в общем виде и указать зависимость N от е. Заметим, что впоследствии учащиеся легче воспринимают и понятие предела функции.

Целесообразно устно, решая конкретные примеры, разобрать с учащимися, что предел последовательности, у которой все члены равны постоянному числу С, равен С.

3. Теоремы о пределах, в том числе и теоремы о существовании предела монотонной ограниченной последовательности, изучаются в IX классе без доказательства. Поэтому изложение этих вопросов очень важно сопровождать рассмотрением достаточного числа примеров, разъясняющих смысл арифметических операций над последовательностями, монотонность, ограниченность их, а также и возможность применения теорем.

Абсолютное большинство примеров, в которых требуется составить сумму, разность, произведение или частное двух данных последовательностей, имеющихся в школьных задачниках, с успехом может быть решено устно. То же относится и к примерам, в которых требуется вычислить предел последовательности, полученной посредством арифметических операций из двух данных последовательностей с известными пределами. Учитель называет лишь номер соответствующего примера, учащиеся устно решают его и говорят ответ.

Чтобы учащиеся устно могли находить пределы последовательностеи с общим членом вида: ——

необходимо показать целесообразность деления числителя и знаменателя дроби на п.

Понятия монотонности и ограниченности хорошо разъяснять при решении устных упражнений вида: «Среди данных последовательностей:

указать возрастающую, убывающую и колеблющуюся (ограниченную; неограниченную; ограниченную сверху; ограниченную снизу)».

Эффективна и система дополнительных вопросов при проверке домашних заданий, при текущем опросе и повторении. Например, чтобы выяснить, как учащиеся усвоили понятие ограниченности, можно использовать такие устные вопросы:

1) Всякая ли ограниченная последовательность ограничена сверху (снизу)?

2) Если последовательность ограничена сверху (снизу), будет ли она ограничена? Приведите примеры.

3) Если последовательность ограничена сверху и снизу, будет ли она ограничена?

4) Может ли быть неограниченная последовательность ограничена снизу (сверху)? Привести примеры.

Подобные устные вопросы позволяют хорошо разобрать теорему о пределе ограниченной монотонной последовательности.

1) Может ли неограниченная последовательность иметь предел?

2) Всякая ли монотонная последовательность имеет предел?

3) Всякая ли ограниченная последовательность имеет предел?

4) Может ли возрастающая последовательность быть ограниченной сверху?

Предполагается, что учащиеся свои ответы сопровождают примерами.

4. Арифметическая и геометрическая прогрессии, частные случаи числовых последовательностей, изучаются в курсе «Алгебра и элементарные функции». Устные упражнения при нахождении определенных членов заданных прогрессий применяются так же, как и в случае произвольных числовых последовательностей. Но здесь устно решаем и примеры на отыскание разности или знаменателя прогрессии, заданной двумя членами, вначале — соседними, а затем — произвольными.

Закрепление формул также проводим с использованием устных упражнений.

Известно, что многие задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии решаются сравнительно просто, если применять следующие свойства:

1. Каждый член арифметической прогрессии, за исключением первого и последнего, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

2. Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, за исключением первого и последнего, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Эти свойства разъясняем и закрепляем в процессе устного решения примеров вида:

1) Между числами 2 и 18 вставить число так, чтобы получить три члена арифметической (геометрической) прогрессии.

2) Между числами 1 и 13 поместить три числа, которые вместе с данными числами составляли бы арифметическую прогрессию.

3) Между числами 1 и 16 поместить три числа, которые вместе с данными числами составляли бы геометрическую прогрессию.

Чтобы свойство членов геометрической прогрессии учащиеся могли применять как в записи bk = Vbk-\-bk+u так и в записи bl = bk-[-bk+\, предлагаем и такие задачи:

4) Известен один член b (не крайний) геометрической прогрессии. Найти произведение предшествующего ему и следующего за ним членов.

5) Три положительных числа составляют геометрическую прогрессию. Найти ее средний член, если произведение всех трех чисел равно 64.

В результате решения таких простейших задач учащиеся смогут рационально решать задачи вида: «Три положительных числа, дающие в сумме 21, составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить 2; 3 и 9, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа».

§ 13. Функции и пределы. Производная

1. В 1965 году в курс X класса введены новые темы: «Функции и пределы», «Производная и ее применение к исследованию функции». Уже на первых уроках при разъяснении определения функции и обозначения функциональной зависимости устно решаем примеры на нахождение численных значений функции f(x) при заданных значениях аргумента х, причем не только для простейших примеров: «f(x) =х2+ 1. Найти: /(0); /(1); f (—2); f(2)... », но и для более сложных функций. Например:

Вычислить:

Вычислить:

Вычислить:

Устно могут быть определены области существования аналитически заданных функций вида: у = ^Ц1-?; у = Vх— 1 ;

2. При изучении возрастания и убывания функций используем как графики хорошо известных учащимся функций (степенных, тригонометрических), так и графики произвольных функций. Берем, например, график некоторой функции (черт. 1). Требуется указать все про-

межутки, в которых функция является возрастающей или убывающей, назвать точки минимума и точки максимума, выяснить, будут ли точки а и q точками экстремума. Всю эту работу проделываем устно, без каких-либо записей.

Черт. 1.

Чтобы обратить внимание учащихся на необходимость указания промежутка в определении монотонных функций, целесообразно ставить такие устные вопросы:

1) Является ли функция у = х2 монотонной? Будет ли она монотонной на сегменте [0; 5]? на сегменте [—1; 1]?

2) Тангенс во всех четвертях возрастает. Является ли тангенс монотонно возрастающей функцией при изменении аргумента от 0 до 2^? от 0 до тс? от 0 до от

Простейшие задачи вида: «Найти точки экстремума и вычислить сами экстремумы функций: а) у = (х — I)2 ~f- 5; б) у = 3 — (х + 2)2» могут также решаться устно.

При разъяснении понятия четности функций целесообразно выписать на доске примеры функций и предложить учащимся указать, какие из них четные, а какие нечетные, причем рассматриваем довольно сложные примеры: -)- 1; у = X2 — х\ у = (х — I)2. Чтобы подчеркнуть важность требования, что области определения четных и нечетных функций симметричны относительно начала координат,

рассматриваем функции: у = lgх\ у = \\gx\, у = lg|х|;

Большой интерес у учащихся вызывают дополнительные вопросы вида:

1) Какой функцией, четной или нечетной, будет произведение (сумма) двух четных (нечетных) функций?

2) Какой функцией, четной или нечетной, является функция у = const?

3) Может ли функция, заданная на всей оси, быть одновременно четной и нечетной? (у = 0).

4) Как построить график четной (нечетной) функции, зная ее график на промежутке [0; +оо)?

5) Как построить график функции /( | х |), зная график функции /(*)?

Периодичность функций рассматривается в основном на примерах тригонометрических функций. Поэтому достаточно повторить соответствующий материал курса IX класса (см. § 11, п. 3).

Старшеклассники без затруднений решают устно такие задачи:

1) Дана функциональная зависимость 2х — 3у=\. Найти у как функцию х. Выразить х через у.

2) Найти функцию, обратную данной: у = х\ у = 5л:;

у = х*+1\у=±; у = У^ТА; у=т y = \g(x-l); у = \ogx2.

3. Наиболее сложным для учащихся понятием в этой теме является предел функции. Поэтому целесообразно повторить понятие предела числовой последовательности и в процессе решения устных упражнений (см. § 12, п. 2) рассмотреть зависимость N от е. После этого для учащихся будет понятнее как само определение предела функции в точке, так и способ доказательства, что некоторое число А является пределом.

После изучения основных теорем о пределах учащиеся устно вычисляют пределы вида: lim (За:2 — 5х + 6); lim-g—F—j-г', lim——Т. При решении многих примеров простейшие преобразования (разложение на множители, сокращение) выполняются устно. Это значительно облегчает отыскание пределов, когда нельзя непосредственно применить теорему о пределе частного, ибо предел знаме-

нателя равен нулю. Например:

4. Как видно из программы, производная вводится в средней школе с целью ознакомления учащихся с новым методом применения математики. Главной задачей учителя является формирование понятия производной и раскрытие нового способа решения задач, имеющего широкое применение в науке и технике.

К понятию производной учащиеся подводятся в процессе решения задач на вычисление скорости движения. Вычисления приращений функций и средней скорости выполняются устно. Решив 1—2 задачи на вычисление скорости движения, целесообразно устно решить еще несколько задач на отыскание скорости изменения иных величин: температуры, силы тока и др. В результате учащиеся понимают необходимость изучения предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда последний стремится к нулю. Вычисляя устно производные функции у=х2 в различных точках, разъясняем, почему производная, являющаяся числом, рассматривается как функция.

После изучения правил дифференцирования требуем от учащихся вычислять устно производные простейших целых рациональных функций. Это значительно упрощает вычисления, выполняемые при применении производной. В частности, производную квадратного трехчлена учащиеся должны уметь находить устно, что позволяет легко и быстро определять его промежутки монотонности, а также максимумы или минимумы.

При построении графиков многочленов не выше третьей степени с использованием производной учащиеся устно определяют корни и знаки производной. Пусть, например, требуется построить график довольно сложной функции у = 2х3 — Зх2 — 12х+ 13; у' = 6х2 — 6х— 12. Устно находим корни производной: Х\ = — 1; х2 = 2, а тогда устанавливаем, что у'>0 при х< — 1; у'<0 при—1<х<2 и у'>0 при х>2. Определив значения многочлена при х = — 1 и х = 2 и точки пересечения его с осями координат, мы получим все данные, необходимые для построения графика.

Часть III. ГЕОМЕТРИЯ

§ 14. Первые уроки геометрии

1. В геометрии устные упражнения способствуют развитию у учащихся пространственных представлений и пространственного воображения, сознательному усвоению геометрического материала, а также содействуют приобретению учащимися навыков и умений в решении различных задач. При изучении любого геометрического понятия устные вопросы и задачи позволяют с минимальной затратой учебного времени раскрыть в должном объеме сущность понятия, для чего подбираем упражнения так, чтобы выделить характерные признаки, разграничить сходные понятия и установить подчиненность одного понятия другому.

Решение устных упражнений — необходимый элемент почти каждого урока геометрии. При опросе, при закреплении нового материала, при разборе контрольных работ можно с их помощью исправлять появившиеся по разным причинам у учащихся те или иные искаженные представления о рассматриваемых понятиях.

Большую роль играют устные упражнения при повторении пройденного материала. Чем старше класс, тем чаще и в большем объеме приходится привлекать нужные для данного урока сведения из ранее изученного учащимися материала. Эта работа должна проводиться в быстром темпе и не отвлекать внимания учащихся от главного — от излагаемого материала. Первенствующую роль в этом играют устные упражнения, позволяющие сосредоточивать внимание учащихся на соответствующих понятиях или фактах для дальнейшей работы над ними.

Устные задачи и вопросы ставим по-разному в зависимости от содержания изучаемого материала, навыков

в выполнении устных упражнений и от цели, для достижения которой эти задачи решаются. В геометрии наряду с упражнениями без каких-либо записей можно предлагать и устные упражнения по заранее подготовленным чертежам, иногда даже с записями условия.

2. Уже на первых уроках геометрии имеются возможности использовать устные упражнения, которые позволяют эффективно разобрать свойства вводимых понятий: прямой, луча и отрезка.

Чтобы разъяснить бесконечность прямой линии и луча, оттенить различие понятий прямой, луча и отрезка, решаем устно следующие упражнения, используя заранее подготовленные чертежи:

1) Пересекаются ли прямые AB и CD, показанные на чертеже 2, а? 2, б? 2, в?

Черт. 2.

2) Пересекаются ли прямая AB и луч CD, показанные на чертеже 3, а? 3, б? 3, в?

Черт. 3.

3) Пересекаются ли прямая AB и отрезок CD, показанные на чертеже 4, а? 4, б? 4, в?

3. Известно, что учащиеся при изучении теоретического материала и при решении задач испытывают затруднения из-за того, что не видят отчетливо на чертежах необходимые фигуры. На уроках и при работе с учебниками они обычно имеют дело с так называемыми «стандартными» чертежами, когда расположение фигур совпадает с расположением большинства окружающих предметов, опирающихся на горизонтально расположенные основания, и воспринимается как наиболее естественное и легко запоминающееся. Поэтому целесообразно решать задачи вида:

Сколько отрезков на чертеже 5, а? 5,6? 5, в?

Черт. 5.

Подобные упражнения решаем и при изучении последующих тем: «Угол», «Дуга окружности» и даже при изучении отдельных тем курса геометрии VII класса.

4. При изучении действий над отрезками, а позже — над углами и дугами оправдано решение простейших устных задач с числовыми данными. Объясняя понятие суммы двух отрезков, здесь же предлагаем задачи:

1) Один отрезок 25 см, второй 40 см. Какова длина их суммы?

2) Имеем три отрезка, каждый по 2 см. Какова длина их суммы?

Решение второй задачи подготавливает учащихся к восприятию умножения отрезка на целое число.

В связи с включением в программу арифметики V класса темы «Прямой угол. Понятие о градусе и минуте. Транспортир» аналогичные задачи можно решать и при изучении действий над углами. При рассмотрении различных видов углов, кроме меры d, .можно применять и градусы, так как учащиеся легко воспринимают, что прямой угол содержит 90°, развернутый —

180°; острый угол меньше 90°; а тупой угол больше 90°, но меньше 180°.

5. При изучении более сложных геометрических фигур и их свойств значение устных вопросов и задач еще больше возрастает. Рассмотрим, в качестве примера, тему «Смежные и вертикальные углы».

Разъяснив с помощью построений понятие «смежные углы», выясняем:

1) Сколько можно построить углов, смежных данному?

2) Дан угол в 60°. Сколько градусов содержит каждый из двух смежных с ним углов?

3) Почему для любого данного угла смежные с ним углы равны?

4) Один из смежных углов прямой. Каким является другой угол?

5) Могут ли оба смежных угла быть: а) острыми? б) тупыми? в) прямыми? г) один острым, другой тупым?

В процессе решения этих упражнений учащиеся хорошо усваивают понятие «смежные углы» и самостоятельно приходят к выводу, что сумма двух смежных углов равна 180°, а также подготавливаются к восприятию доказательства свойства вертикальных углов.

Закрепление полученного свойства смежных углов также проводим в форме устного решения задач на отыскание величины угла, смежного с данным углом:

1) Один из смежных углов 80°. Найти величину другого угла.

2) Один из смежных углов 0,5 d. Найти величину другого угла.

3) Один из смежных углов j d. Найти величину другого угла.

4) Один из смежных углов на 40° больше другого. Найти величину каждого из них.

5) Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найти величину каждого из них.

На следующем уроке опять устно решаем несколько задач вида: «Дан угол. Найти величину каждого из двух смежных с ним углов». Предварительно учитель на доске, а учащиеся в тетрадях вычерчивают несколько пар пересекающихся под различными углами (45°; 70°;

135°) и различно расположенных на плоскости прямых линий, чтобы последующее понятие «вертикальные углы» шестиклассники связывали с множеством образов в различном положении и с различным соотношением их элементов.

После устного решения задач для данных на чертежах углов предлагаем учащимся обосновать равенство смежных с ними углов, каков бы ни был данный угол. Это подготовит их к восприятию доказательства равенства вертикальных углов. Достаточно лишь установить, что два угла, смежных с одним и тем же углом, являются вертикальными, и наоборот, всегда можно указать угол, являющийся смежным к каждому из двух вертикальных углов. При широкой вариации числовых данных учащиеся не только делают необходимый вывод о равенстве вертикальных углов, но и самостоятельно доказывают это предложение для произвольного угла.

Закрепление свойства вертикальных углов начинаем с устного решения простейших задач вида: «Известен один из углов, полученных при пересечении двух прямых линий. Найти величину каждого из остальных трех углов».

Подобные устные задачи позволяют активизировать работу мысли учащихся. Обучение ведется не путем сообщения готовых знаний, а путем самостоятельного приобретения знаний учащимися под руководством учителя.

§ 15. Доказательство теорем и формирование понятий

1. И в дальнейшем следует как можно чаще прибегать к решению устных задач, позволяющих подвести учащихся к самостоятельному доказательству той или иной теоремы, причем чем сложнее доказательство, тем больше необходимость в решении таких подготовительных упражнений.

Общеизвестны трудности, которые испытывают учащиеся при изучении признака равенства треугольников по трем сторонам. Этот признак, в отличие от двух предшествующих, доказывается не наложением, а приложением. Кроме того, приложив треугольники большими сторонами, нельзя обосновать, что отрезок, соединяющий

третьи вершины этих треугольников, проходит внутри треугольника, ибо теорема о зависимости между сторонами и углами треугольника доказывается позже.

Здесь целесообразно провести следующую подготовительную работу. После изучения свойства равнобедренных треугольников решаем устно такие задачи, используя заранее заготовленную таблицу с чертежами и соответствующими записями (черт. 6, а, б, в):

Черт. 6.

Дано: АВ = АВ' и ВС = В'С.

Доказать: ZABC=ZAB'C. Таблицу можно заменить записями и чертежами, выполненными на небольшой переносной доске до начала урока.

При объяснении третьего признака равенства треугольников вновь решаем эти три задачи вначале с теми же записями, а затем изменив лишь заключение теоремы: не ZABC=ZAB'C, а ААВС=ААВ'С. После такой подготовки учащиеся самостоятельно проводят доказательство равенства треугольников с равными сторонами, соответствующее второму случаю (черт. 6,6). Учитель, используя ту же таблицу, имеет возможность рассмотреть два других допустимых случая расположения вершин В и В' и установить справедливость третьего признака равенства треугольников в общем случае.

2. С введением тематического планирования появляется возможность предусмотреть применение устных упражнений к восприятию нового материала не только на данном уроке, а заранее, за несколько уроков до излагаемого материала. Например, учащиеся медленно усваивают названия углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей, а это затрудняет не только решение задач, но и изложение признаков параллельности прямых и свойств углов, полученных при пересечении

Черт. 7.

двух параллельных прямых третьей. Поэтому оправдано использование таких устных упражнений (черт. 7): Известно, что Zl=70°; Z5 = 50°.

1. Найти величину угла:

а) накрестлежащего с углом 5; с углом 1;

б) соответственного с углом 5; с углом 1;

в) одностороннего с углом 5; с углом 1.

2. Найти величины следующих углов:

а) внутренних накрестлежащих;

б) внешних накрестлежащих;

в) внутренних односторонних;

г) внешних односторонних;

д) соответственных.

Если изменять расположение прямых, обозначения и размеры углов, то учащиеся за короткое время сознательно усвоят названия углов.

3. С расширением геометрических знаний у учащихся и с накоплением навыков в доказательствах отпадает необходимость в столь тщательной предварительной подготовке. Более того, отдельные доказательства можно предлагать учащимся для самостоятельного разбора, а в классе ограничиться устным решением задач, которые позволяют оттенить идею доказательства. Так, например, при изучении признаков параллельности прямых достаточно тщательно разобрать с учащимися доказательство первого признака: «Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрестлежащие углы равны, то эти прямые параллельны», а два других признака предложить разобрать дома самостоятельно. В классе же устно решаем задачи вида (черт. 8):

Доказать, что AB\\CD, если:

г) Z2+Z5=180°.

Но в отдельных случаях, учитывая сложность доказательства теоремы, вновь необходимо проводить тщательную подготовительную работу для подведения учащихся к восприятию того или иного доказательства.

Например, учителя испытывают трудности при изложении доказательства теоремы о свойстве углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей. Доказательство проводится от противного; требуется построение вспомогательного угла и прямой линии, которое в действительности выполнить нельзя; противоречие устанавливается применением аксиомы параллельности Евклида. Учащиеся с большим трудом воспринимают такое доказательство.

Чтобы подготовить учащихся к восприятию, например, доказательства теоремы о равенстве соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, достаточно предложить для устного решения после изучения признаков параллельности двух прямых и аксиомы параллельности такие две задачи:

1. Прямые AB и CD пересечены секущей MN в точках Е и F так, что Z БЕМ = 80°, a Z DFM = 70° (чертеж удобнее сделать заранее в виде плаката или на переносной доске), а) На какой угол надо повернуть прямую AB около точки Е, чтобы вновь полученная прямая А\ВХ была параллельна прямой CD? б) Будут ли исходные прямые AB и CD параллельны?

2. Если в этой же задаче считать, что Z ВЕМ = 80°, a Z DFM = 79°, будут ли тогда прямые AB и CD параллельны?

После разбора этих задач, который занимает не более 5 минут, учащимся становится понятным, а поэтому и доступным, доказательство теоремы.

Прежде чем приступить к доказательству свойств других углов (накрестлежащих, внутренних и внешних односторонних), следует решить устно, воспользовавшись тем же чертежом, 1—2 задачи вида: «Параллельные прямые AB и CD пересечены секущей MN. Определить величины всех образовавшихся при этом углов, если известно, что ZߣM = 80°». В процессе решения задачи устанавливаем, почему накрестлежащие углы, как внутренние, так и внешние, будут равны; почему сумма

внутренних (внешних) односторонних углов равна 180°. После этого учащиеся самостоятельно доказывают остальные утверждения теоремы.

4. Нередко в процессе решения устных задач продолжается формирование геометрического понятия. Рассмотрим, в качестве примера, среднюю линию треугольника. После доказательства теоремы о том, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине, решаем устные задачи:

1) Раствор полевого циркуля обычно равен 1 м или 2 м. Найти длину распорки, придающей ему жесткость, если она соединяет середины ножек циркуля (чертеж к этой задаче имеется в задачнике).

2) Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найти стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника (чертеж к задаче выполняем на доске).

Учащиеся убеждаются, что у треугольника три средние линии и доказанная теорема применяется к каждой из них. Для закрепления этого вывода, пользуясь тем же чертежом, решаем устно более сложные задачи:

3) Периметр треугольника равен 12 дм\ середины сторон соединены последовательно. Найти периметр полученного треугольника.

4) Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 26 см. Определить стороны данного треугольника.

5. Устные упражнения целесообразно применять и при подытоживании отдельных тем или разделов. Например, подытоживая свойства параллельных прямых, решаем устно задачу (черт. 9), выполнив заранее на переносной доске соответствующий чертеж.

Изменяя заданные и искомые углы, будем получать новые задачи. Для их решения учащиеся должны вначале по некоторым условиям доказать параллельность

Черт. 9.

прямых AB и CD, что затем используется для нахождения величины требуемых углов. Аналогично можно решать устно задачи № 220, 221(2) из «Сборника задач» Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой, используя имеющиеся там чертежи 89 и 90.

6. Восприятие учащимися определений, формулировок теорем и их доказательств существенно зависит от того, насколько отчетливо они понимают смысл входящих в формулировки отдельных слов и выражений.

Учащиеся не поймут формулировки, а значит, и доказательства теоремы о свойстве перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, если предварительно не разъяснить смысл термина «среднее геометрическое» или «среднее пропорциональное». Поэтому, прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, разъясняем, что а есть среднее пропорциональное между b и с, если Ь\а = а: с, а также и возможные другие записи: а2 = Ь-с или а=\/Ь'с и решаем устно несколько упражнений вида:

1) 6 = 4; с = 9. Найти их среднее пропорциональное.

2) Найти отрезок а, являющийся средним пропорциональным между отрезками 6 = 4 см и с = 25 см.

При закреплении главное внимание обращаем на различные случаи применения этих формул. Для этого решаем задачи, числовые данные в которых позволяют применять устные вычисления, чтобы внимание учащихся сконцентрировать на различных геометрических истолкованиях полученных формул. Например:

1) Найти высоту прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза делится ею на отрезки в 3 см и 12 см.

2) На какие части гипотенуза в 9 см делится опущенной на нее высотой треугольника, если один из катетов равен 6 см?

3) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делится ею на отрезки величиной 9 см и 4 см. Определить длину хорды.

4) Определить радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 12 см, а его проекция на гипотенузу 10 см и т. п.

Рассмотрим еще определение подобия треугольников. Обычно основное внимание сосредоточивается на разъяснении термина «сходственные стороны». Считают, что понятие пропорциональности отрезков ясно учащимся. Но не все учащиеся сразу решают такую простую задачу: «Стороны одного треугольника равны 16 см; 8 см. и 20 см, меньшая сторона подобного ему треугольника равна 2 см. Определить остальные его стороны». Причина трудности состоит в недостаточно свободном владении термином «пропорциональные отрезки». Поэтому при введении подобия треугольников (и многоугольников) полезно решить устно несколько задач, подобных вышеуказанной, и задач вида:

1) Стороны треугольника относятся, как 4:5:6; меньшая сторона подобного ему треугольника равна 8 см. Определить другие стороны второго треугольника.

2) Подобны ли треугольники, если у одного стороны 1 м\ 2 м и 15 дм, а у второго — 12 дм; 8 дм и 16 дм?

7. Устные упражнения эффективно применяются для разъяснения, а с другой стороны—для выяснения понимания учащимися формулировок многих теорем геометрии восьмилетней школы. Рассмотрим для примера теорему: «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним». Многие шестиклассники с трудом воспринимают термин «внутренние углы, не смежные с данным внешним углом». Поэтому при разборе предшествующего материала о сумме внутренних углов треугольников следует решить устно несколько таких задач:

1) У треугольника ABC даны два внутренних угла: ZA=40°; ZB = 80°. Найти третий внутренний угол. Найти внешний угол, смежный с искомым углом.

2) У треугольника ABC даны два внутренних угла: Zi4 = 50°; Zß = 60°. Найти внешний угол: а) смежный с углом А; б) смежный с углом В; в) не смежный ни с углом Л, ни с углом В.

Обратив внимание учащихся на равенство суммы двух внутренних углов внешнему, не смежному с ними, можно формулировать теорему. Как формулировку, так и доказательство теоремы учащиеся усвоят легко.

Даже в случае простой формулировки теоремы о средней линии трапеции отдельные учащиеся не отчетливо понимают выражение «полусумма оснований». По-

этому после формулировки теоремы, прежде чем приступить к доказательству, предлагаем учащимся вопросы:

1) Сумма оснований трапеции равна 80 см. Чему равна средняя линия трапеции согласно сформулированной теореме?

2) Одно основание 20 см, второе 40 см. Какова длина средней линии согласно сформулированной теореме?

8. В курсе геометрии восьмилетней школы имеется ряд теорем, доказательство которых проводится по частям, в несколько этапов. И чтобы учащиеся не механически запоминали ход доказательства, а понимали логическую связь между отдельными частями доказательства и сами доказательства, целесообразно использовать устное решение специально подобранных задач.

Например, доказательство теоремы об измерении вписанного угла состоит из 3 этапов. Чтобы облегчить усвоение этого доказательства, а значит, сделать его доступным для учащихся, можно после доказательства теоремы для случая, когда центр окружности лежит на стороне вписанного угла, рекомендовать решение устных задач:

Проводим на чертеже, применяемом при доказательстве теоремы для 1-го случая, хорду BD (черт. 10.)

1) Определить величину вписанного угла ABD, если: а) ^ЛС = 40° и wCZ) = 50°; б) ^ЛС = 80° и kjCD = 120°.

2) Определить величину вписанного угла ABD, если ^AD=160°.

После этого учащиеся самостоятельно доказывают в общем виде, что когда центр окружности лежит между сторонами вписанного угла, то и в этом случае вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство теоремы для случая, когда центр окружности лежит вне вписанного угла, можно предложить учащимся разобрать по учебнику самостоятельно, а на уроке ограничиться решением одной-двух задач, иллюстрирующих как справедливость утверждения теоремы, так и идею доказательства. Например:

Черт. ю.

1) Определить величину вписанного угла ABD (черт. 11), если w/lC = 60° и wDC = 30°.

2) Определить величину вписанного угла ABD (черт. 11), если w/lD = 36°.

9. Работа над определениями и в этой связи над классификацией геометрических понятий имеет большое значение в воспитании навыков логического мышления. Решение устных упражнений, требующих от учащихся отчетливого представления о каждом определении, позволяет учителю добиваться понимания соподчинения понятий.

Например, при изучении темы «Четырехугольники» целесообразно решать с учащимися такие устные задачи:

1. Будет ли параллелограммом выпуклый четырехугольник:

а) у которого две стороны параллельны, а две другие равны?

б) у которого все стороны равны?

в) с двумя парами противоположных равных сторон?

г) с двумя парами смежных равных сторон? 2. Будет ли ромбом:

а) выпуклый четырехугольник, у которого все стороны равны?

б) четырехугольник, у которого все стороны равны?

в) параллелограмм, у которого две смежные стороны равны?

г) четырехугольник, у которого две пары равных смежных сторон?

д) прямоугольник, у которого две смежные стороны равны?

Аналогичные задачи можно решать для прямоугольника и квадрата.

Если с учащимися были разобраны теоремы, обратные теоремам о свойствах диагоналей прямоугольника и ромба, то большой интерес у них вызывает устное решение задач вида:

1. Доказать, что если у выпуклого четырехугольника диагонали, пересекаясь, делятся пополам и: а) взаимно

Черт. 11.

перпендикулярны, или б) делят углы ромба пополам, или в) одна из диагоналей делит один угол четырехугольника пополам, или г) являются осями симметрии, то такой четырехугольник есть ромб.

2. Доказать, что если у выпуклого четырехугольника диагонали, пересекаясь, делятся пополам и равны, то такой четырехугольник есть прямоугольник.

3. Доказать, что если у выпуклого четырехугольника диагонали, пересекаясь, делятся пополам, взаимно перпендикулярны и равны, то такой четырехугольник есть квадрат.

4. Доказать, что если у параллелограмма диагонали равны и: а) взаимно перпендикулярны или б) являются осями симметрии, то такой параллелограмм есть квадрат.

Целесообразно ставить перед учащимися и такие устные вопросы:

1. Будет ли ромбом выпуклый четырехугольник, диагонали которого:

а) взаимно перпендикулярны?

б) взаимно перпендикулярны и делят углы четырехугольника пополам?

в) взаимно перпендикулярны и одна из них делит углы четырехугольника пополам?

г) являются осями симметрии четырехугольника?

2. Будет ли прямоугольником выпуклый четырехугольник, диагонали которого:

а) равны?

б) равны и взаимно перпендикулярны?

в) равны и являются осями симметрии?

3. Будет ли квадратом выпуклый четырехугольник, диагонали которого:

а) равны и взаимно перпендикулярны?

б) равны и делят углы четырехугольника пополам?

в) равны и являются осями симметрии?

4. Будет ли квадратом параллелограмм, диагонали которого равны и:

а) взаимно перпендикулярны?

б) делят углы параллелограмма пополам?

в) являются осями симметрии?

10. Приведем еще серию устных вопросов по теме «Четырехугольники»:

1. Существует ли ромб с прямым углом?

2. Существует ли прямоугольник с равными сторонами?

3. Существует ли параллелограмм:

а) с равными сторонами?

б) со взаимно перпендикулярными сторонами?

в) с равными и взаимно перпендикулярными сторонами?

4. Существует ли параллелограмм (ромб) с равными диагоналями?

5. Существует ли параллелограмм (прямоугольник) со взаимно перпендикулярными диагоналями?

6. Может ли быть такой ромб, у которого:

а) диагональ равна стороне?

б) основание и высота равны?

7. Может ли диагональ параллелограмма (ромба, прямоугольника) :

а) равняться одной из его сторон?

б) быть меньше одной из его сторон?

11. Указанные устные упражнения, решаемые при прохождении темы «Четырехугольники», позволяют достигнуть значительного повышения общего математического развития учащихся. Ведь учащиеся рассматривают четырехугольники с разных сторон, устанавливают связи и различие между изучаемыми видами четырехугольников.

«Чтобы действительно знать предмет,— говорит В. И. Ленин,— надо охватить, изучить все его стороны, все связи и «опосредствования». Мы никогда не достигнем этого полностью, но требование всесторонности предостережет нас от ошибок и от омертвения» (В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 32, стр. 72).

Это высказывание В. И. Ленина, относящееся к процессу научного познания, в определенной мере применимо и к процессу обучения. Решение устных упражнений является одним из приемлемых в школьном преподавании методов изучения с различных сторон геометрических понятий.

Уже при изучении первого свойства прямой: «Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну» ставим вопрос: «В скольких точках могут пересекаться две прямые?», позволяющий учащимся глубже понять это свойство прямой линии. Подобные вопросы формулируются по-разному при изучении раз-

личных вопросов геометрии. Приведем еще несколько примеров из различных разделов.

При изучении свойств параллелограммов устанавливаем, что у параллелограмма ABCD Z.A + Zß=180°; Zß+ZC=180°; ZC+ZÖ = 180°h ZD+ZA = 180°. Ставится вопрос: «Какие (наименьшее число) из этих условий достаточны для утверждения, что выпуклый четырехугольник ABCD есть параллелограмм?»

Здесь же доказывается, что у параллелограмма противоположные углы равны. Справедлива ли обратная теорема?

Учащиеся легко воспринимают формулировку и доказательство теоремы об отношении площадей подобных фигур. Но не все из них могут ответить на вопросы:

1) Сколько можно нарезать квадратов со стороной в 2 см из квадратного куска жести со стороной в 20 см?

2) Сколько можно нарезать равносторонних треугольников со стороной в 4 CJK из куска жести в форме равностороннего треугольника со стороной в 80 см?

Это свидетельствует о том, что учащиеся не полностью поняли содержание соответствующей теоремы, не могут применять ее к решению задач. Решение же таких устных задач шире раскрывает содержание теоремы.

§ 16. Задачи вычислительного характера

1. Почти все задачи на вычисление имеют числовые данные и для решения требуют выполнения определенных действий над числами. Арифметические подсчеты нередко можно выполнять устно, с применением известных правил устного счета. Решая, например, задачу: «Найти периметр четырехугольника, стороны которого равны 154 мм, 173 мм, 146 мм и 127 мм», повторяем приемы устных вычислений, основанные на применении переместительного и сочетательного законов.

В арифметике, особенно в начальной школе, большое число задач, решаемых учениками устно, предназначено для тренировки памяти учащихся, чтобы приучить их запоминать числа и производить устно соответствующие арифметические действия, без применения приемов уст-

ниго счета. Решение подобных геометрических задач на вычисление не соответствует целям курса геометрии. Главная цель решения геометрических задач —не повторение материала курса арифметики или алгебры, а развитие пространственных представлений и пространственного воображения, ознакомление учащихся со свойствами плоских и пространственных фигур. Поэтому и устно решаемые задачи всех видов (на вычисление, доказательство и построение) должны быть подчинены достижению этой цели.

Следует, конечно, учитывать, что решение многих геометрических задач вычислительного характера требует умения решать соответствующие арифметические или алгебраические задачи. Уже при решении задач на смежные углы требуется знание типовых арифметических задач на отыскание двух чисел по их сумме и разности; по сумме или разности и их кратному отношению. Кроме затруднений геометрического характера, обусловленных восприятием новых геометрических понятий, учащиеся могут испытывать затруднения из-за недостаточности знаний и навыков по арифметике. В таких случаях следует повторить решение типовых арифметических задач, например:

а) Найти два числа, сумма которых 20, а разность 4.

б) В двух ящиках 80 кг яблок. В одном из них на 20 кг больше, чем в другом. Сколько килограммов яблок в каждом ящике?

Можно предлагать для устного решения и задачи с геометрическим содержанием: «Сумма двух углов 180°, один из них больше другого на 40°. Найти эти углы». Из чертежа 12, выполненного к задаче, видно, что, вычитая из угла в 180° угол в 40°, получим сумму двух углов, равных меньшему из искомых углов. Разделив эту сумму пополам, найдем меньший угол.

Большинство задач на вычисление углов со взаимно перпендикулярными или параллельными сторонами, углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, и углов параллелограммов требует уме-

Черт. 12.

ния решать соответствующие типовые арифметические задачи.

Постепенно у учащихся вырабатывается навык в самостоятельной постановке вспомогательных устных задач, позволяющих оттенить тот или иной момент решения задачи. Например, при решении задачи: «Найти периметр равнобедренного треугольника со сторонами а = 7 см и 6 = 3 см» учащиеся самостоятельно ставят и устно решают задачу: «Может ли быть треугольник со сторонами 7 см, 3 см и 3 см?», после чего без труда выполняют решение (тоже устно) исходной задачи.

Заметим, что учащиеся, не приученные к систематическому решению устных задач, для ее решения делают чертеж и, принимая а за основание, Ь — за боковую сторону, получают в ответе 13 см. Устно решаемые задачи вычислительного характера требуют творческого применения геометрических знаний. Например, учащиеся легко доказывают, что в подобных треугольниках сходственные высоты пропорциональны сходственным сторонам. При решении устно задачи вида: «Стороны треугольника 4 см, 5 см и 6 см. Высота подобного ему треугольника в три раза больше сходственной высоты данного треугольника. Найти стороны второго треугольника» учащиеся встречаются с тем же свойством, но в другом освещении, рассматривая его с другой точки зрения.

2. При подборе задач для устного решения необходимо учитывать математическую подготовку учащихся, уровень знаний и умений в каждом конкретном классе. Одна и та же задача в одном классе с трудом решается письменно, а в другом может быть решена устно. Например, при повторении темы «Равнобедренный треугольник» можно устно решать довольно сложные задачи вычислительного характера:

1) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Найти длину каждой стороны, если одна из них 4 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см. Найти длину каждой стороны, если одна из них 8 см.

3) Одна сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, другая составляет -g- третьей. Определить периметр треугольника.

При изучении темы «Равнобедренный треугольник» большинство учащихся VI класса не смогут решать такие задачи устно. Нередки случаи, когда и при письменном решении, имея соответствующий чертеж, многие из них испытывают большие затруднения.

При изучении свойств средней линии трапеции учащиеся легко решают устно задачи:

1. Определить длину средней линии трапеции, если известно, что:

а) большее основание 20 см, а меньшее 10 см;

б) сумма параллельных сторон равна 30 см\

в) периметр равен 30 см, а сумма непараллельных сторон 10 см.

2. Меньшее основание трапеции 10 см, а средняя линия 18 см. Найти большее основание трапеции.

3. В трапеции ABCD (АВ\\ CD) диагональ BD делит среднюю линию на части, равные 6 см и 21 см. Найти основания трапеции.

Но многие семиклассники затрудняются в устном решении задач вида:

4. Основания трапеции относятся, как 7 : 3, и разнятся на 8 см. Найти длину средней линии этой трапеции.

5. Диагональ трапеции делит среднюю линию трапеции на два отрезка, относящиеся, как 3 : 8. Найти основания трапеции, если разность отрезков средней линии равна 10 см.

Здесь сказывается как недостаточность геометрических представлений у учащихся, так и слабый навык в решении соответствующих арифметических задач.

С другой стороны, если некоторый тип задач часто встречается при дальнейшем изучении геометрии, то необходимо добиваться, чтобы подобные задачи учащиеся решали (при не очень громоздких данных) устно. Например, при решении многих геометрических задач по планиметрии и по стереометрии очень важно установить предварительно вид треугольника по трем его сторонам. Поэтому при разборе теоремы, обратной теореме Пифагора, добиваемся, чтобы учащиеся легко и быстро могли решать задачи: «Определить вид треугольника относительно углов со сторонами: а) 6 см, 8 см и 10 см\ б) 2 см, 3 см и 4 см; в) 10 см, 15 см, 20 см\ г) 4 м, 5м и 6 м\ д) 6 см, 6 см и 9 см».

3. Многие задачи вычислительного характера легко решаются устно, если выполнить соответствующие чертежи. Например, достаточно на чертеже (черт. 13) к задаче: «В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны AB проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Q с большим основанием AD. Определить основания трапеции, если AQ = 5 см и QD = 25 см» провести прямую EF II AD или ВК II CD, и задача решается устно без каких-либо затруднений.

Или:

1) Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найти угол между ними.

2) Из точки на окружности проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найти угол между ними.

Решения таких задач при наличии соответствующих чертежей чрезмерно просты. Все это указывает на возможность устного решения вычислительных задач, чертежи к которым приведены в стабильном задачнике или заранее изготовлены в виде таблиц (на переносной доске).

Иногда учитель выполняет необходимый чертеж на классной доске, иллюстрируя сообщаемое условие задачи. Например, учащимся предлагаем для устного решения задачу: «В окружности радиуса 10 см даны два взаимно перпендикулярных диаметра. Из произвольной точки M на окружности опущены перпендикуляры MA и MB на эти диаметры. Найти расстояние AB между основаниями построенных перпендикуляров».

Одновременно с формулировкой условия мы постепенно получаем и чертеж, необходимый для решения задачи (черт. 14).

Черт. 13.

Черт. 14.

Подобные задачи развивают у учащихся сообразительность, внимание, комбинационные способности. Ученикам понятно, что если задача предлагается для устного решения, то громоздких вычислений и преобразований быть не может, нужно сообразить провести радиус ОМ, и тогда сразу получим: АВ = ОМ= 10 см.

Характерна в этом отношении и задача: «Вычислить площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса R». Так как задача предлагается для устного решения, то очевидно, что предполагается какое-то иное решение, чем S = 12- -7£--а12-к12.

Действительно, достаточно за основание одного из 12 треугольников взять радиус OB (черт. 15), тогда высота AM = -с- R, как половина стороны правильного вписанного шестиугольника, и получим:

S = 12~-#4 # = 3#2.

4. В геометрии, так же как в арифметике и алгебре, устные упражнения облегчают и письменное решение более сложных задач. В отдельных случаях решаемые заранее устные задачи или вопросы подготавливают учащихся к восприятию решения более сложной задачи, а умело поставленный в процессе решения устный вопрос или решенная устно вспомогательная задача помогают преодолеть возникшие у учащихся затруднения.

Иногда, прежде чем приступить к решению задачи, приходится повторять свойства фигур, которые будут использованы при решении. Например, для решения задачи: «В равнобедренной трапеции большее основание равно 3 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание» учащимся, в зависимости от избранного ими способа решения, могут понадобиться: свойство углов при основании равнобедренной трапеции, свойство противоположных сторон параллелограмма, величины острых углов равностороннего треугольника или признаки равенства прямоугольных

Черт. 15.

треугольников, свойство катета, лежащего против угла в 30°. Повторение этого материала может быть проведено при фронтальном опросе или при опросе учащихся у доски в форме дополнительных вопросов.

При решении задачи: «Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них» учащиеся, выполнив необходимый чертеж (черт. 16), затрудняются в установлении равенства отрезков АВ--=ВЕ и FC = = CD. Тогда целесообразно с помощью этого же чертежа решить устно вспомогательную задачу: «В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает ВС в точке Е. Определить отрезок BE, если АВ = 3 см». Теперь учащиеся без затруднений самостоятельно и быстро решат предложенную задачу.

К решению подобных вспомогательных задач мы обращаемся довольно часто при решении в классе сложных геометрических задач на вычисление, и тем чаще, чем слабее математическое развитие учащихся и их пространственные гредставления.

5. Отдельно рассмотрим задачи на вычисление периметров и площадей плоских фигур. Программой по геометрии в VII классе предусмотрено вычисление площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и круга, а также вычисление длины окружности. Учащиеся должны не только уметь правильно применять соответствующие формулы, но и запомнить их наизусть, для чего необходимо как можно больше решать задач на применение этих формул.

В курсе арифметики учащиеся уже вычисляли периметры и площади квадрата, прямоугольника и треугольника. Поэтому перед обоснованием соответствующих формул в курсе геометрии выясняем, в какой степени

Черт. 16.

учащиеся помнят их и как они их применяют. Для этого решаем задачи вида:

1) Длина прямоугольника равна 25 см, высота равна 16 см. Найти его площадь.

2) Стороны прямоугольника равны 12,5 см и 8 см. Найти его периметр и площадь.

3) Сторона квадрата равна 10 см. Найти его периметр и площадь.

4) Основание треугольника 64 см, а высота 50 см. Найти его площадь.

Числовые данные подбираем таким образом, чтобы учащиеся могли устно выполнить нужные вычисления, иллюстрируя тем самым и практическую ценность приемов устного счета.

6. После доказательства соответствующих формул для площади прямоугольника (квадрата) решаем следующие устные задачи, записывая лишь, в случае необходимости, данные на доске:

1. а) Найти площадь прямоугольника, у которого основание и высота равны 25 см и 6 см; 12,5 см и 24 см; 97 ж и 25 м.

б) Найти площадь прямоугольника, у которого смежные стороны равны 42 см и 11 см; 35 см и 8 см; 48 см и 9 см.

в) Найти площадь прямоугольника, основание и высота которого равны по 35 см; по 65 см.

г) Найти площадь почтовой марки, длина которой 26 мм и ширина 18 мм.

2. а) Найти площадь прямоугольника, периметр которого равен 100 см, а его основание 30 см.

б) Периметр квадрата 32 см. Чему равна его площадь?

в) Найти площадь квадрата, описанного около круга диаметра 30 см; радиуса 20,5 см.

Аналогичные задачи решаем и при закреплении формулы площади параллелограмма.

После вывода формулы для вычисления площади треугольника решаем несколько таких же устных задач, как и при закреплении формулы площади прямоугольника, но отдельно нужно разъяснить, как применяется полученная формула к прямоугольному треугольнику. Для этого решаем задачи вида:

1) Найти площадь прямоугольного треугольника, зная его катеты: 3 см и 4 см\ 47 см и 9 см; 99 сж и 23 еж.

2) Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого катет равен 15 см; 25 см; 35 см.

После этого разъясняем учащимся получение формулы для вычисления площади ромба, если известны его диагонали. Это можно сделать в процессе решения устных задач, выполнив предварительно на доске чертеж ромба с его диагоналями:

1) Найти площадь ромба, если его диагонали равны 12 см и 8 см; 30 см и 15 см; 37 см и 20 см.

2) Найти площадь квадрата, у которого диагональ равна 10 см; 12 см; 18 см.

3) Найти площадь квадрата, вписанного в круг диаметра 8 см; радиуса 7 см.

4) Определить диагональ квадрата, площадь которого равна 200 см2.

Так как учащимся уже известна теорема Пифагора, то можно решать устно и такие задачи:

1) Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза и один из катетов равны соответственно 5 см и 3 см; 25 см и 20 см; 20 см и 16 см.

2) Найти площадь прямоугольника, у которого высота равна 12 см, а диагональ равна 20 см.

3) Диагональ квадрата равна 18 см. Найти его площадь.

4) Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найти его площадь и периметр.

Целесообразно ознакомить учащихся и с устным решением задач вида: «Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла на гипотенузу, если известны катеты», используя равенство: a-b = c-li. Например, при а=15 см; Ь = 20 см , 15-20 10 / ч А = -2Г = 12 ^

Этот прием вычисления высоты треугольника по площади и известному основанию будет в дальнейшем неоднократно использоваться учащимися и при письменном решении более сложных задач как по планиметрии, так и по стереометрии.

7. Задачи на вычисление площади трапеции несколько сложнее по сравнению с аналогичными задачами для параллелограммов и треугольников, так как сама формула

5= h требует выполнения трех арифметических операций вместо одной или двух в предшествующих случаях. Поэтому следует более тщательно отнестись к закреплению этой формулы. Следует ознакомить учащихся и с другой формулой: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. После этого решаем устно задачи:

1) Найти площадь трапеции, у которой средняя линия и высота равны соответственно: 24 см и 11 см; 35 и 9.

2) Найти площадь трапеции, у которой основания и высота равны соответственно: 35 см, 25 см и 12 см; 27, 23 и 16.

3) Высота трапеции равна 20 см, а площадь 400 см2. Найти среднюю линию трапеции.

4) Площадь трапеции равна 260 см2, а средняя линия 52 см. Найти высоту трапеции.

5) Площадь трапеции равна 225 см2, а основания равны 35 см и 15 см. Найти высоту трапеции.

6) Площадь трапеции равна 960 м2; одно основание ее равно 60 м, а другое 36 м. Найти высоту трапеции.

При решении задач на вычисление площадей можно подбирать такие задачи для устного решения, которые развивали бы пространственное воображение учащихся, а также способствовали повторению свойств геометрических фигур. Например, семиклассники с большим интересом решают устно, без каких-либо записей и чертежей задачи:

1) Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 25 м и 9 м или квадратный, имеющий ту же площадь?

2) Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 16 см.

3) Найти площадь ромба с острым углом в 30°, если его периметр равен 64 см.

4) Найти площадь параллелограмма, две стороны которого равны 10 см и 8 см и образуют угол в 30°.

5) У параллелограмма две смежные стороны образуют угол в 45°, а одна из диагоналей перпендикулярна основанию. Найти площадь параллелограмма, если его основание равно 8 см.

6) Основания трапеции 17 см и 8 см. Одна из боковых сторон равна 16 см и образует с большим основанием угол в 30°. Вычислить площадь этой трапеции.

8. Решение задач на вычисление длины окружности и площади круга усложняется тем, что в обе формулы входит иррациональное число л. Учащиеся должны не только знать формулы, но и давать ответ, выбирая для я числовое значение с определенной точностью. Поэтому вначале целесообразно решать задачи, содержащие в условии или в ответах я, а затем требовать вычислений с заменой я его приближенным значением.

1. а) Вычислить длину окружности, если ее диаметр (радиус) равен 6 м\ 35 м; 14,5 м. (Ответы: 6я м\ 35я м; 14,5я м).

б) Определить диаметр (радиус) окружности, если длина окружности равна 8я см\ 12я см; 25я м.

2. а) Вычислить длину окружности, если ее диаметр (радиус) равен 10 см; 2 м. (Ответы: «31 см; 6,3 ж).

б) Определить диаметр (радиус) окружности, если ее длина приближенно равна 6,28 см; 12,6 см.

При решении устных задач на закрепление формулы длины дуги окружности вначале тоже рассматриваем данные или ответы, выраженные через я. Например:

1) Найти длину дуги окружности радиуса /?, если она содержит 60°; 90°; 120°. (ответы: ^; ^;

2) Сколько градусов содержит дуга окружности радиуса /?, если длина дуги равна ^?

Аналогичным образом проводится закрепление формулы площади круга.

Заметим, что и при изучении этого раздела геометрии можно устно решать задачи, развивающие пространственное воображение учащихся.

1) Найти длину окружности, описанной около квадрата, диагональ которого равна 8 см; 12 см.

2) Найти длину окружности, вписанной в квадрат со стороной 2 м; 25 см.

3) Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°, изогнута в окружность. Найти радиус получившейся окружности.

4) Окружность радиуса 8 см разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 60°. Найти радиус дуги.

5) Найти площадь круга, если длина окружности равна 8я см.

6) Найти длину окружности, если площадь круга равна 9л см2.

9. Курс геометрии восьмилетней школы включает и сведения по стереометрии, относящиеся главным образом к измерению поверхностей и объемов различных тел. Это вызвано стремлением осуществить связь теории с практикой, научных знаний с жизнью и техникой.

Обоснование большинства формул дается путем опытной проверки с широким привлечением средств наглядности. Формулы площадей и объемов рассматриваются только для рациональных чисел. Решение задач на вычисление объемов и площадей многих геометрических тел проводится по готовым формулам. Все это вызывает дополнительные трудности при изучении соответствующих разделов курса геометрии в восьмилетней школе. Чтобы учащиеся не только запомнили нужные формулы, но и умели их применять при решении задач по готовым данным, а также по данным, полученным непосредственным измерением, необходимо решить большое число задач.

Для устного вычисления поверхностей и объемов с целью проверки, как учащиеся запомнили и поняли соответствующие формулы, можно предлагать вначале такие задачи:

I. Найти площадь боковой поверхности:

1) куба, ребро которого равно 5 см;

2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 8 см и 10 см;

3) треугольной прямой призмы, стороны основания которой равны 5 см, 7 см и 8 см, а высота 20 см;

4) цилиндра, радиус основания которого равен 2 м, а высота 3 м;

5) правильной треугольной пирамиды по стороне основания 5 см и апофеме 8 см;

6) конуса, у которого радиус основания равен 4 см, а образующая 5 см.

II. Найти объем:

1) куба, ребро которого равно 2 см;

2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 смх 4 см и 6 см:

3) правильной четырехугольной призмы со стороной основания 20 см и высотой 50 см\

4) цилиндра, радиус основания которого равен 5 ж, а образующая 8 м\

5) правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 6 см;

6) конуса, у которого радиус основания равен 5 см, а высота 12 см.

III. 1) Поверхность куба равна 24 ж2. Найти его ребро.

2) Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда S6ok. = 320 см2, а высота 8 см. Найти периметр основания.

3) Высота правильной треугольной призмы равна 12 см, а 5бок.= 144 см2. Найти сторону основания.

4) Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 4 см, а 5полн. = 192 см2. Найти высоту этой призмы.

5) Найти сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если известно, что 5полн.= 192; 5бок.= 160.

6) Найти радиус основания и высоту цилиндра, если известно, что 5Полн. = 66я; 5бок. = 48я.

7) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а 5ПОлн. = 96 см2. Найти апофему этой пирамиды.

IV. 1) Объем куба 8 ж3. Найти его ребро.

2) Объем куба 27 ж3. Найти площадь основания.

3) Объем правильной четырехугольной призмы равен 80 см3, высота призмы равна 5 см. Найти сторону основания.

4) Объем цилиндра равен 225я см3, а радиус основания равен 5 см. Найти высоту цилиндра.

5) Объем правильной четырехугольной пирамиды 150 см3, сторона основания равна 5 см. Найти высоту пирамиды.

6) Объем конуса равен 100 я см3; высота равна 12 см. Найти радиус основания.

7) Объем конуса равен 75я см3; радиус основания равен 5 см. Найти высоту конуса.

V. 1) Найти объем куба, площадь основания которого равна 16 см2.

2) Найти объем куба, если его полная поверхность равна 24 см2.

3) Объем куба 8 м3. Найти его поверхность.

4) Объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 4 см и 5 см, равен 160 см3. Найти боковую (полную) поверхность этого параллелепипеда.

5) Объем правильной четырехугольной призмы равен 80 см3, а высота 5 м. Найти ее боковую (полную) поверхность.

6) Объем цилиндра высотой 10 см равен 160я см3. Найти его боковую (полную) поверхность.

10. В геометрии формулы применяются не только при вычислении площадей плоских фигур или объемов и поверхностей пространственных тел. Целесообразно рекомендовать учащимся запомнить наизусть некоторые вспомогательные формулы, даже если их нет в учебнике. Мы считаем, что каждый восьмиклассник должен знать формулы сторон правильных многоугольников (а3 = RY 3\ а4 = R 1/2; а6 = R), формулы элементов равностороннего треугольника со стороной a\R= у^-; h = —у—; R = -g- А; г = ~2 R = hJ и формулу диагонали квадрата со стороной a(d = а У~2)-Знание формул облегчает решение многих задач при изучении метрических свойств многоугольников. Некоторые задачи с применением формул допускают устное решение.

Пусть требуется решить задачу: «В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Определить сторону этого квадрата».

Решение элементарно: а4 = г]/2, но r = ^-f значит, ал = , и вполне может быть выполнено устно. Если же учащиеся не знают и не могут применять эти формулы, то решение задачи становится громоздким и требует 15—20 минут.

Учащихся необходимо приучать производить устно преобразование формул. Зная формулу высоты равностороннего треугольника h = \ , они должны всегда получить

устно и формулы: R = — h = ^-y-^; г = ~ h = зная определения тригонометрических функций, — формулы: а= с sin а; а = b tg а; с = и др. Применение этих формул значительно упрощает решение отдельных задач.

В геометрии и в физике очень часто решают задачи, требующие умения отыскивать элементы прямоугольных треугольников с углами в 30° или 45°. Часто решение выполняется с применением теоремы Пифагора: один из неизвестных линейных элементов принимают за х и находят через x или через данный элемент второй отрезок, после чего составляют уравнение. Но значительно лучше, если учащиеся во всех подобных случаях находят линейные элементы прямоугольных треугольников с углами в 30° или 45° не по теореме Пифагора, а с применением значений тригонометрических функций этих углов.

Устное преобразование отдельных формул позволяет не только устно решать некоторые задачи, но и упрощать записи при письменном решении, упрощать само решение.

§ 17. Задачи на доказательство

1. Большое значение в обучении геометрии имеют задачи на доказательство, которые не только способствуют более глубокому усвоению курса геометрии, но и помогают учащимся овладеть методами доказательства теорем.

Можно указать два вида задач на доказательство, допускающих устное решение: задачи, не требующие никаких вспомогательных записей и чертежей, и задачи, для понимания которых необходимы чертежи.

Ранее были приведены примеры задач на доказательство, которые учащиеся могут решать без каких-либо чертежей или записей. Подобные устные задачи без чертежей можно предлагать учащимся при изучении различных разделов геометрии. Уже в VI классе при изучении признаков равенства треугольников целесообразно устно решить задачи на установление признаков равенства прямоугольных и равнобедренных треугольников, не требующих особого доказательства. Аналогичные за-

дачи могут быть предложены учащимся при изучении признаков подобия треугольников.

Если учащиеся хорошо усвоили свойства симметричных фигур, то для устного решения можно рекомендовать серию задач, относящихся к взаимному расположению окружностей:

1) Почему две различные окружности не могут иметь более двух общих точек?

2) Доказать, что если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют еще и другую общую точку, симметричную первой относительно линии центров.

3) Доказать, что если две окружности имеют единственную общую точку, то эта общая точка лежит на линии центров.

Два последних утверждения обосновывают наличие пяти различных случаев взаимного расположения двух окружностей, а также могут быть использованы при рассмотрении некоторых геометрических мест центров окружностей, касающихся данной окружности.

2. Для устного решения многих несложных задач на доказательство из-за недостаточного развития у учащихся пространственного воображения необходимо применять чертежи. Можно использовать чертежи, имеющиеся в школьных задачниках к отдельным задачам на доказательство (например, задачи № 145, 150, 190, 382, 650, 821 и др. в «Сборнике задач по геометрии» H. Н. Никитина и Г. Г. Масловой), а также заранее заготовленные таблицы с чертежами и краткими записями. Таблицы можно заменить чертежами и записями, выполненными на переносной доске до начала урока.

Задачи с использованием чертежа могут решаться на протяжении всего курса геометрии по мере прохождения соответствующего программного материала. Например, при закреплении признаков равенства треугольников необходимо, чтобы учащиеся приобрели практические навыки и умения применять изученные ими признаки к установлению равенства треугольников при различном расположении их относительно друг друга. С этой целью учащиеся после изучения каждого признака устанавливают устно равенство определенных пар треугольников. Приведем, в качестве примера, набор задач ко второму признаку равенства треугольников:

1) Дано: ZI = Z2'» Z.3 = ^4 (черт. 17). Доказать: &ABD=&BCD.

Черт. 17.

2) Дано: ЛО = OD; ^ 1 = ^2 (черт. 18). Доказать: ллво=досо.

Черт. 18.

3) Дано: Zl = Z3; Z2=Z4 (черт. 19). Доказать: &ABC=&ACD.

Черт. 19.

4) Дано: ВА ± AD\ CD±AD\ ZI = Z2 (черт. 20). Доказать: AABD=&ACD,

5) Дано: ав=вс\ l abn = l mbc (черт. 21). Доказать:

aabn=ambc.

Черт. 21.

6) Дано: ibad= = Z adc\ l cad = = l bd a (черт. 22). Доказать: aabd=aacd.

Черт. 22.

Эти же таблицы могут быть использованы и при решении устных упражнений на доказательство равенства отрезков и углов с применением признаков равенства треугольников. Достаточно лишь изменить записи условий задач. Для этого на полоске бумаги нужно сделать новые записи (что дано и что требуется доказать) и закрыть ею прежние записи. Например, записи к таблице, рекомендованной для закрепления второго признака равенства треугольников, можно заменить такими (см. черт. 17—22):

1) Дано: /1 = /2; /3=/4. Доказать: /_bad = /_bcd.

2) Дано: ao = od\ Z1 = Z2. Доказать: ab = dc.

3) Дано: /1 = /3; /2 = /4. Доказать: a) ab = dc\ б) bc = ad.

4) Дано: ba1ad; cdlad\ Z1 = Z2. Доказать: ac = bd.

5) Дано: АВ = ВС; ZABN = ZMBC. Доказать: BN = BM.

6) Дано: ZBAD=ZADÇ; ZCAD= ZBDA. Доказать: AC = BD.

3. Аналогичные задачи можно решать с учащимися и при изучении признаков подобия треугольников, требуя не только доказать подобие рассматриваемых треугольников, но и указать равные отношения сходственных сторон:

1) Дано: АВ±ВС; BD ± АС (черт. 23). Доказать:

а) Г ABDœ Д BDC\

б) AABD со ДЛЯС;

в) ABDCcc A ABC.

Черт. 23.

2) Дано: £АМС= = t_ANС (черт. 24). Доказать: дЛ/Ш со дС/Vß.

Черт. 24.

3) Дано: £АВС= = ^^СУИ(черт.25). Доказать: Д ЛВС сод ЛС7И.

4) Дано: £АМС= = /_ВСА (черт. 26). Доказать: аАМСсс аАВС.

Черт. 26.

Решая первую из этих задач, мы фактически доказываем теорему о перпендикуляре, проведенном из вершины прямого угла на гипотенузу.

Так как изучаемые в восьмилетней школе метрические соотношения в круге устанавливаются на основании подобия треугольников, то и в этом случае можно предложить учащимся решить устно такие задачи:

На каждом из чертежей (черт. 27) найти подобные треугольники и указать сходственные стороны:

Черт. 27.

Эти упражнения позволяют не только закреплять признаки подобия треугольников, но и подготавливают учащихся к восприятию пропорциональных линий в круге.

4. Некоторые устные упражнения, указанные ранее для закрепления признаков равенства треугольников, являются также и подготовительными упражнениями для темы «Четырехугольники». Если учащиеся приобре-

ли достаточно прочные навыки и умения в применении признаков равенства треугольников, в частности, для установления равенства отрезков и углов, то все свойства параллелограммов можно получить в результате устного решения соответствующих задач на доказательство. При этом можно воспользоваться заранее заготовленными чертежами либо вычертить здесь же на классной доске параллелограмм и в соответствии с формулировкой задачи изменять записи условия и заключения теоремы.

Таким же образом можно получить и признаки параллелограммов, причем не только те два, которые указаны в программе и в учебнике, но и другие, получаемые как обратные теоремы для свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма и его частных видов. Например:

1) Если суммы углов, прилежащих к каждой стороне четырехугольника, равны 180°, то такой четырехугольник параллелограмм.

2) Если у выпуклого четырехугольника противоположные углы попарно равны, то такой четырехугольник параллелограмм и т. п.

Заметим, что подготовительную работу к восприятию темы «Четырехугольники» можно проводить и при изучении темы «Параллельные прямые». Например, после ознакомления учащихся с признаками параллельности прямых решаем устно несколько задач на доказательство:

1) Дано: AB=DC\ BC=AD (черт. 28). Доказать: а) AB H DC; б) ВС II AD.

Черт. 28.

2) Дано: АО=ОС\ BO=OD (черт. 29). Доказать: AB H DC.

3) Дано: АО=ОС\ BO=OD{ (черт. 30). Доказать: AB || DC и ВС II AD.

Черт. 30.

После доказательства теорем о свойстве углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, устно решаем такие задачи:

4) Дано: AB || DC; ВС H AD (черт. 31). Доказать:

а) Z.1 = Z2 и L 3^Z4;

б) Л ЛВС-Л Л DC;

в) AB^DC и £С=ЛО;

г) LB=LD\

д) LBAD= LBCD.

5) Дано: ßC || ЛО; ВС=ЛО (черт. 32). Доказать:

а) Zl = Z2;

б) ЛЯ II DC.

Черт. 31.

Черт. 32.

Решение устных задач на доказательство убеждает учащихся в возможности самостоятельного доказательства теорем геометрии. Они осознают, что достаточно понять содержание теоремы и нет необходимости в заучивании приведенных в учебнике доказательств.

§ 18. Задачи на построение

1. Богатый материал для устных упражнений представляют задачи на построение по планиметрии. Одним из основных методов конструктивной геометрии в восьмилетней школе является метод геометрических мест.

Овладение учащимися этим методом существенно зависит от изучения самого понятия геометрического места точек.

С понятием геометрического места точек учащиеся впервые встречаются при рассмотрении свойства перпендикуляра, проведенного к данному отрезку через, его середину. В процессе обучения надо показать, что геометрическим местом точек может быть прямая, окружность, несколько прямых или окружностей или их частей, отдельные точки или часть плоскости. Учащиеся должны видеть различные примеры геометрических мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометрических фигур.

После разбора геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек, в форме устных вопросов показываем учащимся, что одно и то же геометрическое место точек может встречаться в различных формулировках, для чего сравниваем это геометрическое место точек с такими, как: геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием (середина основания уже исключается).

После разбора геометрического места точек на плоскости, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О, предлагаем учащимся устно решить следующие задачи:

1) Найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем R.

3) Найти геометрическое место вершин А треугольников с данным основанием а и боковой стороной Ь.

3) Найти геометрическое место вершин А треугольников с данным основанием а и данной медианой m, проведенной к этой стороне.

Многие геометрические места точек можно получить, доказывая пары взаимно обратных теорем либо обобщая уже известные учащимся геометрические места, причем в обоих случаях часто ограничиваемся лишь устным решением. Например, после доказательства прямой и обратной теорем о диаметре, перпендикулярном к хорде, предлагаем решить устно задачу: «Найти геометрическое место середин параллельных хорд данного круга».

После доказательства прямой и обратной теорем о касательной аналогично получаем геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в заданной на ней точке.

Конечно, всякий раз необходимо учитывать подготовку учащихся, иметь в виду, насколько полученный вывод будет понят и осознан ими. Например, отыскание геометрического места центров окружностей, касающихся данной окружности в заданной на ней точке, или геометрического места центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности, значительно упрощается, если учащиеся знают, что две окружности касаются тогда и только тогда, когда их общая точка лежит на линии центров. Если же это свойство касающихся окружностей им неизвестно, то придется специально доказывать, и довольно тщательно, соответствующие утверждения.

Целесообразно подготавливать учащихся и при получении новых геометрических мест точек путем распространения и обобщения известных им геометрических мест точек на новые геометрические объекты. Например, при изучении свойств касательной к окружности в форме устных вопросов устанавливаем, что центр окружности всегда отстоит от касательной на расстоянии, равном радиусу, и наоборот, если центр окружности отстоит от какой-либо прямой на расстоянии радиуса, то такая окружность касается данной прямой. После такой подготовительной работы можно решать устно задачи:

1) Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой (геометрическое место точек, отстоящих от данной прямой на данное расстояние R).

2) Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных параллельных прямых (геометрическое место точек, равноудаленных от данных параллельных прямых).

3) Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся сторон острого угла (геометрическое место точек, равноудаленных от сторон острого угла).

4) Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых.

Устные упражнения целесообразно применять и для преодоления тех или иных трудностей при нахождении

новых геометрических мест точек. Как показывает опыт, учащиеся VI класса получают более правильное представление о геометрическом месте точек, если это понятие вводить посредством решения неопределенных задач. В частности, понятие геометрического места точек, равноудаленных от сторон острого угла, вводим, решая задачу: «Найти точки внутри острого угла, равноудаленные от сторон этого угла».

Доказательство обеих теорем для утверждения, что геометрическим местом точек является биссектриса угла, не вызывает затруднений у учащихся. Значительно сложнее подвести их к этому выводу, так как построение точек, равноудаленных от сторон угла, требует много времени. Поэтому предварительно в форме устных вопросов повторяем, что биссектриса угла есть ось симметрии его сторон, а ее точки равноудалены от любых двух точек на сторонах угла, находящихся на равных расстояниях от его вершины. Тогда учащиеся сами сформулируют предположение, что все искомые точки лежат на биссектрисе угла.

2. Решение задач на построение должно сопровождаться выполнением чертежа. Но и при рассмотрении таких задач, не в меньшей мере, чем при решении задач на вычисление и доказательство, возможно и целесообразно применение устных упражнений. В зависимости от подготовки учащихся, времени решения той или иной задачи и от ее назначения устные упражнения могут проводиться как с применением чертежа, так и без него.

Если учащиеся VI класса, отвечая на вопрос, как построить прямоугольный треугольник по двум катетам, ответ свой сопровождают выполнением схематического чертежа: на глаз проводят две взаимно перпендикулярные прямые, на них откладывают катеты, просто указав две точки, концы соответствующих катетов, и от руки соединяют эти точки, то в VII классе эту же задачу учащиеся должны решать устно без чертежа.

Такого принципа придерживаемся почти для всех так называемых «основных построений». Если при первом ознакомлении учащиеся подробно, иногда с применением чертежных инструментов, выполняют соответствующее построение, то впоследствии, когда они усвоят необходимую последовательность элементарных построе-

нии, оно становится как бы устным упражнением. От учащихся уже требуется устный рассказ, как решается та или иная задача. При изучении же нового материала следует систематически повторять «основные построения». Лучше всего это делать в связи с изучаемым материалом в форме дополнительных вопросов либо специально выделив время для такого повторения.

Например, для решения большинства задач на построение параллелограммов требуется знание решений задач на построение треугольников. Прежде чем приступить к построению прямоугольников, необходимо выяснить, свободно ли учащиеся владеют навыками построения прямоугольных треугольников по двум катетам, по катету и гипотенузе, по катету и острому углу и т. п.

3. Устное решение задач на построение позволяет закреплять и повторять специальные методы решения задач на построение. Например, после ознакомления учащихся с методом параллельного переноса, привлекая в случае необходимости чертеж для пояснения условия, предлагаем учащимся дополнительные вопросы вида:

1) Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой.

2) Через данную точку провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между двумя данными параллельными прямыми, равнялся данному отрезку.

3) Между сторонами данного острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к одной из сторон этого угла.

4) Как построить прямоугольный треугольник по острому углу и противоположному катету? и т. п.

Предлагая учащимся VIII класса для устного решения задачи вида: «Построить треугольник по отношению двух сторон, углу между ними и биссектрисе этого угла»; «Построить треугольник по двум углам и медиане», мы повторяем и закрепляем метод подобия.

4. Отдельно рассмотрим устные задачи на построение, решаемые с применением метода геометрических мест. Уже в VI классе полезно решать задачи, предлагаемые учащимся в виде дополнительных вопросов:

1) Найти точку, находящуюся на данном расстоянии от данной точки и: а) лежащую на данной прямой; б) лежащую на данной окружности.

2) Найти на данной прямой (или на данной окруж-

ности) точку, находящуюся на равном расстоянии: а) от концов данного отрезка; б) от двух пересекающихся прямых и т. п.

Решение таких задач занимает не более 2—3 минут и позволяет учащимся глубже уяснить понятие соответствующего геометрического места точек.

В VII—VIII классах при рассмотрении новых геометрических мест точек нецелесообразно тратить много времени на решение простейших задач для закрепления этих понятий. С неменьшей пользой можно применить устный разбор этих задач, ограничиваюсь лишь чертежом на доске, иллюстрирующим условие задачи. Например, установив, что геометрическим местом центров окружностей, проходящих через данные точки А и В, является перпендикуляр, проведенный к отрезку AB через его середину (ось симметрии точек А и В), устно разбираем решения задач вида: «Построить окружность с центром на данной прямой (окружности), которая проходила бы через две данные точки».

Рассматривая геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в заданной на ней точке, предлагаем учащимся для устного решения задачу: «Построить окружность данного радиуса /?, которая касалась бы данной прямой AB в заданной на ней точке М». Целесообразно на доске провести прямую AB и указать на ней точку М, чтобы учащимся было легче объяснять решение задачи.

Можно предлагать учащимся и более сложные задачи на построение для устного решения, например: «Как построить окружность, касающуюся сторон данного угла, причем одной из них — в данной на ней точке». От учащихся не требуется выполнения чертежа, они должны лишь объяснить, как найти центр искомой окружности и ее радиус.

5. Одна и та же задача на построение может быть сформулирована по-разному. После решения основной задачи на построение целесообразно устно решить несколько задач, являющихся иными формулировками исходной задачи. Например, после разбора задачи: «На прямой MN найти точку, сумма расстояний которой от двух данных точек А и В была бы наименьшей» полезно, используя тот же чертеж, решить устно несколько задач, отличающихся от этой лишь формулировками:

1) По стержню MN скользит без трения кольцо, через которое пропущен туго натянутый шнур, закрепленный в концах Л и В. В какой точке будет находиться кольцо в момент равновесия?

2) На данной прямой MN найти точку А", чтобы прямые АХ и ВХ, где А и В—данные точки, образовали с прямой MN равные углы.

3) Луч света отражается от зеркала под углом, равным углу падения (показываем на чертеже). Как нужно направить луч света из точки Л, чтобы он, отразившись от зеркала MN, прошел через точку ß?

4) Упругий шарик, катящийся по прямой линии, лежащей в горизонтальной плоскости, ударившись о стенку, отражается от нее под углом, равным углу падения. Как нужно направить шарик Л, чтобы он, отскочив от стенки MN, прошел через точку В?

Иногда подобным образом можно решать и задачи, которые не идентичны основной задаче, но решение которых аналогично ее решению. Например, после подробного решения методом параллельного переноса задачи: «Построить трапецию по четырем сторонам» здесь же устно легко установить план решения такой, например, задачи, используя тот же чертеж: «Построить трапецию по разности оснований, двум боковым сторонам и одной диагонали».

6. Как при решении задач на доказательство и на вычисление, так и при решении задач на построение нередко приходится решать устно вспомогательные задачи. Пусть требуется разъяснить учащимся сущность метода подобия на примере решения задачи: «Построить треугольник, зная два его угла Л и С и высоту Ль». Построив один из возможных треугольников по двум данным углам Л и С, подводим учащихся к необходимости подобного преобразования построенного треугольника в искомый. Для этого устно устанавливаем, что если бы полученная высота была, например, в два раза меньше (больше) данной высоты, то и стороны построенного треугольника нужно увеличить (уменьшить) в два раза, ибо сходственные высоты в подобных треугольниках относятся, как сходственные стороны.

Иногда такой вспомогательной задачей может быть частный случай решаемой задачи. Например, учащиеся с трудом воспринимают необходимость при решении за-

дачи: «На прямой MN найти точку, сумма расстояний которой от двух данных точек А и В была бы наименьшей» в случае, когда точки А и В расположены по одну сторону от MN, одну из данных точек заменить ей симметричной относительно MN. Чтобы они самостоятельно могли прийти к такому преобразованию, решаем устно эту же задачу, считая А и В расположенными по разные стороны прямой MN. Решение ее элементарно, достаточно лишь соединить точки А и В отрезком и найти его точку пересечения с прямой MN. После решения этой вспомогательной задачи учащиеся самостоятельно предлагают и в случае расположения точек А и В по одну сторону данной прямой заменить точку А (или В) симметричной ей относительно MN точкой А\.

Вспомогательная задача, решаемая устно, может связывать решение двух задач на построение, когда решение одной не совсем легко сводится к решению другой. Так, например, после разбора задачи о делении данного отрезка пополам с помощью построения его оси симметрии, прежде чем приступить к разъяснению решений задач, связанных с построением перпендикуляров, целесообразно решить устно задачу: «Как через данную точку О, середину отрезка AB, провести к нему перпендикуляр?» Тогда уже легко подвести учащихся к решению задачи: «Через точку С на прямой AB провести прямую, к ней перпендикулярную». Они понимают, что если бы точка С была, как во вспомогательной задаче, серединой некоторого отрезка прямой AB, то задача не представляла бы ничего нового. Отложив на прямой AB по обе стороны от точки С равные отрезки произвольной длины, сводим решение новой задачи к только что решенной устно задаче.

При таком применении устно решаемых вспомогательных задач учащиеся приучаются смотреть на каждую предложенную для решения задачу не как на совершенно новую, решение которой надо знать к следующему уроку, а как на знакомую, только с небольшим усложнением. Это заставляет их критически подходить ко всякой новой задаче, отыскивая в ней знакомые элементы. Развитие у учащихся такого отношения к геометрическим фактам позволит им легко справляться с решением геометрических задач не только на построение, но и на доказательство и на вычисление.

Нередко для лучшего восприятия учащимися решения задачи на построение целесообразно устно решить специально подобранную задачу вычислительного характера. Например, чтобы учащиеся быстрее и легче смогли построить прямоугольник по основанию и углу между диагоналями, можно решить такую задачу: «Найти угол между основанием и диагональю прямоугольника, если угол между его диагоналями 120°». Для экономии времени используем чертеж, сделанный для отыскания плана решения задачи на построение.

7. Задачи на построение являются основой измерительных работ на местности. Большинство предусмотренных программой по геометрии измерительных работ есть решение соответствующих задач на построение. Поэтому при выполнении измерительных работ на местности учитель вынужден устно повторять решения задач на построение, разобранных в свое время в классной обстановке.

§ 19. Стереометрия

1. При изучении стереометрии в старших классах, как и при изучении планиметрии, устные упражнения позволяют учителю осуществлять более глубокую проверку знаний учащихся, способствуют их подготовке к сознательному восприятию нового материала.

Значение устных упражнений в старших классах возрастает. Учащиеся уже имеют навык в доказательстве теорем, они могут более серьезно усваивать материал. Поэтому, например, нет необходимости подбирать специальные устные упражнения для подготовки учащихся к восприятию формулировки и доказательства теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей или теоремы об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями; эти теоремы можно предлагать девятиклассникам в качестве устных упражнений.

При изучении курса стереометрии большое место занимает повторение предшествующего материала, причем не только по стереометрии, но и по планиметрии. Многие стереометрические понятия, теоремы и большинство задач вычислительного характера, а также задачи на доказательство и построение требуют соответствующих зна-

ний по планиметрии. А устные упражнения как раз и являются одним из эффективных методов систематического повторения и закрепления. В старших классах приходится повторять различные разделы как из стереометрии, так и из планиметрии. По теории еще можно всякий раз указать, что нужно повторить к следующему уроку, чтобы понимать изложение нового материала. Но для задач давать подобные рекомендации почти невозможно, так как одну и ту же задачу можно решать различными способами, используя те или иные свойства фигур. Умело и своевременно поставленный вопрос позволяет мысль ученика направить на правильный путь, а иногда помогает выяснить, в чем затрудняются учащиеся, чтобы оказать им конкретную помощь.

2. При разборе в классе решенных дома задач целесообразно вместо заслушивания всего решения ограничиться лишь выяснением основных моментов: план решения; как обосновываются отдельные моменты решения (линейный угол, угол прямой с плоскостью, перпендикулярность прямых); как можно вычислить некоторые величины и т. д., ибо при решении многих задач вычислительного характера наибольшую трудность представляет обоснование решения. Пусть, например, требуется разобрать в классе решенную дома учащимися задачу № 25 из § 3 «Сборника задач по геометрии», ч. II, Н. Рыбкина: «В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания а и боковое ребро Ъ. Провести в этой пирамиде плоскость через середины ребер AB и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения».

Сделав чертеж к задаче (черт. 33), вызванный ученик рассказывает построение сечения и, не делая на доске никаких записей, доказывает, что в сечении получился прямоугольник. Вычисление площади сечения элементарно, наиболее сущест-

Черт. 33.

венным в решении этой задачи является установление формы сечения.

Как и в планиметрии, в стереометрии можно решать устно отдельные задачи, используя заранее заготовленные чертежи или чертежи из задачника. Нередко условие задачи формулирует учитель, не записывая его на доске или в таблице.

Например, при повторении применения теоремы о трех перпендикулярах заранее была заготовлена таблица с 6 чертежами (часть таблицы дана на чертеже 34),

выполненными разноцветной тушью. Учительница к каждому чертежу формулировала задачу, учащиеся с мест давали решение, в результате за 25 минут были решены все шесть задач.

При устном решении задач по стереометрии наряду с чертежами мы используем и модели, которые значительно облегчают учащимся понимание условия задачи и ее решение. Общеизвестно, например, что с применением соответствующей модели вывод формулы объема треугольной пирамиды после доказательства леммы о равновеликости пирамид во много раз проще и понятнее для учащихся, чем с помощью чертежа.

Наряду с моделями фабричного изготовления мы используем и модели, изготовленные самими учащимися.

3. Существуют и различия между применением устных упражнений в стереометрии и в планиметрии. Уже

Черт. 34.

тот факт, что построение пространственных фигур значительно сложнее, чем построение плоских фигур, накладывает свои особенности на изучение учебного материала в стереометрии. Например, при решении задач на нахождение геометрических мест точек в пространстве почти невозможно на чертеже изобразить положение нескольких точек, обладающих соответствующим свойством. Но во многих случаях достаточно устно определить соответствующее геометрическое место точек в одной плоскости и использовать идею движения, чтобы получить требуемое геометрическое место точек как след от перемещения найденной плоской фигуры.

Рассмотрим задачу: «Найти геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек А и ß». Учащиеся знают, что в случае плоскости искомым геометрическим местом является ось симметрии этих точек. Проведя мысленно через точки А и В произвольную плоскость Р, мы найдем прямую MN, перпендикулярную AB и проходящую через середину AB, которая является геометрическим местом точек построенной плоскости, равноудаленных от А и В. При вращении плоскости Р вокруг AB прямая MN опишет плоскость Q, которая и будет искомым геометрическим местом. Следовательно, искомым геометрическим местом точек является плоскость Q, перпендикулярная отрезку AB и делящая его пополам.

4. С усложнением задач возрастает значение формул, причем не только для оформления, но и для отыскания решения. Рассмотрим задачу: «Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Боковое ребро образует с высотой угол в 30°. Найти площадь сечения, проведенного через вершину основания перпендикулярно к противоположному ребру (черт. 35)».

Учащиеся, в совершенстве знающие формулы, относящиеся к равностороннему треугольнику, рассуждают примерно так: NK ± BL; значит, Sce4> = ~ BL • NR. Но SD = = SB = b и £ DSB = 60°, значит, д SBD — равносторон-

Черт. 35.

нии треугольник со стороной b = BD = a Y 2 и высотой BL=b_V_z_ Так как д^||ЛС и so и ßL —медианы треугольника, то SM : SO = NK : AC = 2 : 3, значит, iV/( = уЛС = / 2. Следовательно:

^сеч. — 2 2 3 — 3 ^КВ*

При плохом знании соответствующих формул решение этой задачи оказывается довольно трудным, так как, кроме обоснования решения, приходится много внимания уделять выяснению возможности вычисления определенных элементов.

5. Несколько видоизменяется по сравнению с восьмилетней школой применение устных упражнений при изучении формул поверхностей и объемов пространственных тел. В X классе нецелесообразно для закрепления доказанных теорем решать задачи вида: «Найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная все три его измерения: а = 2; 6 = 5; с = 6», требующие простого перемножения данных чисел.

Для устного решения следует предлагать задачи, требующие хороших пространственных представлений:

1) Найти объем куба, диагональ которого d=\ см.

2) Найти объем куба, вписанного в шар радиуса R.

3) Найти объем куба, описанного около шара радиуса R.

Так как основной целью решения подобных задач является развитие пространственного воображения и пространственных представлений, а не закрепление полученных формул и вычислительных навыков (соответствующие формулы известны из восьмилетней школы), то данные берем в общем виде; задачи подбираем такие, для решения которых учащиеся должны мысленно выполнить некоторые преобразования известных им стандартных образов (куб, правильная призма и пирамида), чтобы получить представление о данном теле. Например: По ребру куба а вычислить объем пирамиды, вершинами которой служат: а) вершина верхнего и четыре вершины нижнего оснований куба; б) вершина куба и концы трех ребер, выходящих из этой вершины; б) вершина куба и середины трех ребер, выходящих из этой вершины.

Для решения последних двух задач ученики должны так представить себе нужную пирамиду, чтобы основанием оказался один из треугольников, лежащих в гранях куба.

В отдельных случаях закрепление формул поверхностей и объемов геометрических тел необходимо проводить так же, как и в восьмилетней школе. Например, доказав, что объем усеченной пирамиды равен

предлагаем устно решить несколько задач вида:

1) Найти объем усеченной пирамиды, у которой площадь нижнего основания равна 8 см2, площадь верхнего основания равна 2 см2, а высота равна 9 см.

2) Найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований равны 3 см и 2 см, а высота равна 6 см.

Необходимость решения таких задач объясняется не столько сложностью формул, сколько различием между формулировкой теоремы и формулой для вычисления объема, ибо при вычислении объема усеченной пирамиды мы не вычисляем объемы трех полных пирамид, о которых идет речь в теореме.

При вычислении поверхностей и объемов шара и его частей также приходится решать подобные устные упражнения, так как учащиеся нередко делают ошибки в применении формул для сегмента и сектора. Устные задачи с простейшими данными способствуют закреплению и запоминанию этих формул. Например:

1) Найти сегментную поверхность и объем шарового сегмента высоты Я=3 см, если радиус шара R = 6 ем.

2) Найти поверхность шарового пояса и объем шарового сектора высоты Н = 3см, если радиус шара R=6cm.

6. В стереометрии имеется много задач, требующих вычисления площадей или периметров фигур, полученных в сечении различных тел плоскостью. Поэтому большое значение имеют упражнения на нахождение вида сечений. Задачи можно формулировать по-разному для различных стереометрических тел:

1. Как можно пересечь куб, чтобы в сечении получились: а) треугольник; б) равнобедренный треугольник; в) равносторонний треугольник; г) трапеция; д) равнобедренная трапеция; е) параллелограмм; ж) ромб;

з) прямоугольник; и) квадрат; к) пятиугольник; л) шестиугольник; м) правильный шестиугольник?

2. Как можно пересечь правильную треугольную пирамиду, чтобы в сечении получился квадрат?

3. Какие фигуры представляют собой сечения плоскостью прямой треугольной призмы?

4. Может ли быть в наклонном параллелепипеде диагональное сечение прямоугольником?

5. Можно ли пересечь цилиндр плоскостью так, чтобы в сечении получились: а) круг; б) прямоугольник; в) трапеция?

6. Сколько можно провести плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Такие упражнения предлагаются для устного решения, и лишь в случае необходимости требуется показать соответствующее сечение на модели.

7. Значительное место в курсе стереометрии занимают задачи на тела вращения. Для более успешного решения таких задач целесообразно решить как можно больше устных задач вида:

I. Какое геометрическое тело образуется от вращения:

1) квадрата около одной из его сторон?

2) прямоугольного треугольника: а) около его катета? б) около его гипотенузы?

3) равнобедренного треугольника около его основания?

4) произвольного треугольника около одной из его сторон (три различных случая в зависимости от углов при оси вращения)?

II. Какие поверхности ограничивают тело, если оно образовано вращением:

1) квадрата вокруг оси, параллельной его стороне?

2) прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно гипотенузе?

3) тупоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину тупого угла параллельно противолежащей стороне?

4) параллелограмма вокруг оси, проходящей через вершину его острого угла перпендикулярно к диагонали?

III. Из поверхностей каких тел образована поверхность тела, полученного от вращения параллелограмма вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно к его основанию? и т. д.

Решая такие задачи, учащиеся приучаются рассматривать поверхности тел вращения, образованных сторонами вращающейся фигуры, и более успешно справляются с решением задач на вычисление поверхностей и объемов тел вращения.

В заключение напомним, что только повседневная, кропотливая работа учителя по использованию устных упражнений на уроках математики во всех классах средней школы поможет привить учащимся любовь к этому виду учебной работы и принесет необходимые результаты.

ЛИТЕРАТУРА

Абугова Х. Б., Щукина М. А. Сборник устных упражнений по геометрии для 8—10 классов. М., Учпедгиз, 1960.

Агафонов В. М. Устные контрольные работы по математике для восьмилетней школы. М., «Просвещение», 1965.

Березанская Е. С, Нагибин Ф. Ф. Упражнения для устных занятий по алгебре. М., Учпедгиз, 1949.

Березанская Е. С, Нагибин Ф. Ф. Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии. М., Учпедгиз, 1951.

Берман Г. Н. Приемы счета. М.—Л., ГТТИ, 1950.

Гончаренко Б. Г. Задачи и вопросы по стереометрии (для устного решения). М., «Просвещение», 1964.

Гурвич Т. Л., Тутаев Л. К. Устные вопросы по геометрии для средней школы. Минск, Учпедгиз, 1960.

Игнатьев В. А., Пономарев С. А., Обуховская Е. Н. Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике. М., Учпедгиз, 1952.

Игнатьев В. А. Сборник задач по арифметике для устных упражнений (для начальной школы). М., Учпедгиз, 1955.

Крейдлин Е. Г. Устные контрольные работы по математике для 8—10 классов. М., Учпедгиз, 1961.

Никитин Н. Н. Устные вычисления на уроках арифметики в V—VII классах средней школы. М., изд-во АПН РСФСР, 1950.

Поляк Г. Б. Устный счет в начальной школе. М., изд-во АПН РСФСР, 1946.

Стальков Г. А. Устный счет. М., Учпедгиз, 1955.

Чекмарев Я. Ф. Сборник арифметических задач и упражнений по устному счету. М., Учпедгиз, 1947.

Эменов В. Л. и Чекмарев Я. Ф. Сборник арифметических задач и упражнений по устному счету (для начальной школы). М., Учпедгиз, 1951.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Часть I. Арифметика

§ 1. Натуральные числа.......... 3

§ 2. Предварительная оценка результата ...... 7

§ 3. Обыкновенные дроби.......... 10

§ 4. Десятичные дроби........... 15

§ 5. Проценты............. 1,9

§ 6. Пропорции............. 24

Часть II. Алгебра

§ 7. Алгебраические выражения........ 26

§ 8. Расширение понятия числа........ 31

§ 9. Тождественные преобразования....... 34

§ 10. Уравнения............. 43

§ 11. Алгебраические и трансцендентные функции .... 59

§ 12. Числовые последовательности и прогрессии .... 65

§ 13. Функции и пределы. Производная....... 70

Часть III. Геометрия

§ 14. Первые уроки геометрии......... 74

§ 15. Доказательство теорем и формирование понятий ... 78

§ 16. Задачи вычислительного характера...... 89

§ 17. Задачи на доказательство........ 103

§ 18. Задачи на построение......... 110

§ 19. Стереометрия............ 118

Литература............. 126

Алексей Архипович Мазаник

Устные упражнения в курсе математики средней школы

Издательство «Народная асвета» Комитета по печати при Совете Министров БССР. Минск, Ленинский проспект, 83а * * *

Редактор Т. М. Белая Обложка художника М. А. Мовчана Технический редактор В. Н. Жук Корректор В. П. Матуковская

АТ03466. Сдано в набор 29/XII 1965 г. Подписано к печати 4/V-1966 г. Формат 84 X 1087s2- Физ. печ. л. 4,0. Усл. печ. л. 6,72. Уч.-изд. л. 6,29. Тираж 18800 экз. Заказ 5. Цена. 17 коп. Бум. типогр. № 3.

Типография издательства «Звязда», Минск, Ленинский проспект, 79.