Р.А. МАЙЕР

ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПРЕДЕЛОВ

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

Педагогическая библиотека учителя

Р. А. МАЙЕР

ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПРЕДЕЛОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва 1964

Печатается по решению Редакционно-издательского совета АПН РСФСР

Данная книга предлагает проверенную на опыте разработку некоторых вопросов методики изучения свойств функций и пределов в IX—XI классах. Примеры функций и пределов подобраны автором из конкретных физических процессов и явлений. Широко использованы производственный опыт и экспериментальные работы учащихся.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая брошюра является продолжением работы автора «Из опыта изучения свойств функций в восьмилетней школе» (М., 1963) и реализует высказанные в ней методические соображения на материале старших классов.

Первая глава посвящена вопросу изучения тригонометрических функций, вторая — теории пределов, третья — показательной и логарифмической функциям и, наконец, четвертая, обобщающая весь ранее изучавшийся функциональный материал, по своему содержанию соответствует теме XI класса новой программы «Функции и пределы».

Вопросы изучения производной будут рассмотрены в третьей части работы автора после достаточной экспериментальной проверки.

В основу работы положен опыт автора, а также учителей математики школ Красноярского края, в частности учителей школы № 1 Л. Ф. Поповой и А. В. Пановой и школы № 43 Г. П. Гуляевой г. Енисейска.

В брошюре не дается поурочной разработки. Широта освещения различных вопросов даже в пределах одной и той же темы весьма неравномерна. Некоторые вопросы, имеющие, по нашему мнению, большое значение в деле реализации стоящих перед нами задач, освещены достаточно подробно, другие затронуты только вскользь, а некоторые вообще не нашли отражения. Такая неравномерность освещения программного материала могла привести к превратному представлению об удельном весе (в часах) тех или иных разделов темы. Во избежание этого в

начале каждой главы приведено распределение учебного времени по основным разделам каждой темы. Эта разбивка является примерной. Время, отводимое на изучение того или иного вопроса, степень его освещения, количество выполняемых упражнений и их сложность каждый раз определялись конкретными условиями работы учителя.

Автор

Глава 1

ИЗУЧЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Введение

Тригонометрия давно уже переросла узкие рамки «науки о решении треугольников». В настоящее время она находит широкое применение в самых различных областях физики и техники, особенно при изучении колебательных и периодических процессов. Значительное расширение области применения тригонометрии привело к тому, что тригонометрические величины, бывшие до этого только средством решения геометрических задач, становятся объектом специального изучения: они рассматриваются как функции и составляют содержание новой ветви тригонометрии — гониометрии.

В настоящее время под термином «тригонометрия» понимают обе ее ветви: гониометрию, т. е. учение о тригонометрических функциях, и тригонометрию в собственном смысле этого слова, т. е. решение треугольников. Хотя в современном школьном курсе математики оба направления представлены примерно в равной степени, их идейная значимость далеко не одинакова. Я. С. Дубнов по этому поводу писал:

«Как раз здесь (имеется в виду гониометрия.—Р. М.), а не в решении треугольников лежит главное идейное содержание предмета, вопреки исторически сложившемуся названию и традиции преподавания»1.

Новая программа математики предусматривает рас-

1 Я. С. Дубнов. Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе. «Математическое просвещение», 1960, № 5, стр. 30.

пределение школьного курса тригонометрии между алгеброй, включающей в себя изучение элементарных функций, и геометрией. В курс алгебры включена гониометрия. Здесь тригонометрические функции, наряду с линейной, квадратичной, показательной и другими, должны стать объектом специального изучения. В курс геометрии отнесено решение прямоугольных и косоугольных треугольников.

Для того чтобы включение гониометрии в курс алгебры и элементарных функций не было формальным, а сама гониометрия не оказалась в этом курсе инородным телом, пришлось внести ряд изменений как в порядок прохождения учебного материала, так и в методику изучения отдельных вопросов. При этом мы стремились к тому, чтобы изучение тригонометрических функций осуществлялось в том же плане, в котором изучались все остальные функции.

Ниже приводится примерное распределение учебного материала этой темы по урокам:

п/п

Содержание учебного материала

Число уроков

1

Периодические процессы и периодические функции

2

2

Радианная мера углов и дуг. Числовая окружность

4

3

Определение тригонометрических функций

3

4

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

3

5

Свойства тригонометрических функций и их графики

7

6

Выражение периодических процессов при помощи тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через одну из них

3

7

Четность тригонометрических функций

2

8

Формулы приведения тригонометрических функций

6

9

Нахождение значений аргумента по данному значению одной из его тригонометрических функций (путем построения и при помощи таблиц); общее выражение этих значений; обозначения arc sin*, arc cos*, arctg*, arc ctg*

4

10

Доказательство тождеств и решение уравнений

5

11

Теорема сложения и следствия из нее

27

Итого

66

§ 2. Периодические процессы и периодические функции

Изучение курса тригонометрии мы начинали с рассмотрения конкретных примеров периодических процессов, на материале которых вводили понятие периодической функции и устанавливали особенности в строении графиков этих функций. Это позволяло нам сделать краткое вступление к курсу, в котором устанавливалась связь с предыдущим материалом и выяснялась основная цель (основные задачи) курса.

Практика показала, что такое вступление открывает перед классом перспективу, пробуждает интерес к решению вопроса, вовлекает учащихся в общую работу по нахождению путей решения поставленных перед ними задач.

Знакомство с периодическими процессами начинали с рассмотрения работы модели кривошипного механизма (рис. 1). Модель собиралась на деревянной панели-стойке высотой 40 см и шириной 100 см. Вместо кривошипа использовался диск А радиусом 12 см, выпиленный из пятимиллиметровой фанеры. Диск при помощи втулки укреплялся на неподвижной, закрепленной в панель оси. Шатун В представлял собой деревянную планку длиной 42 см, толщиной 3 мм и шириной 15 мм. На концах шатуна на расстоянии 40 см друг от друга высверливались два отверстия диаметром 5 мм каждое. Ползун С — деревянная планка длиной 40 см, шириной 40 мм и толщи-

Рис. 1

ной 5 мм — двигался в пазах направляющих реек Z), концы которых находились на расстоянии 60 см от вертикальной линии центра диска. Для скрепления шатуна с диском и ползуном в диске на расстоянии 10 см от центра и в ползуне на расстоянии 10 см от его левого конца высверливались отверстия диаметром 5 мм. В эти отверстия вклеивались деревянные шпильки-оси, выступающие над поверхностью на 5 мм. На эти шпильки надевался шатун. На панели вокруг диска наносилась шкала в частях полного оборота. На диске укреплялся указатель для отсчета угла поворота диска. На ползуне наносились деления в миллиметрах для отсчета выступающей части ползуна.

На уроке, вращая диск модели, обращали внимание учащихся на зависимость длины выступающей части ползуна от величины поворота диска. Затем, считая, что диск вращается против часовой стрелки равномерно, совершая один оборот за 8 сек, учащиеся выражали зависимость длины выступающей части ползуна от времени таблицей и графиком. Для этого, фиксируя положение диска через каждую Vs оборота, записывали длину выступающей части ползуна. Результаты измерения заносили в таблицу:

Время г, в сек

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Длина / выступающей части ползуна, в см

20

16,4

8,7

2,3

0

2,3

8,7

16,4

20

Продолжение

Время t, в сек

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Длина / выступающей части ползуна, в см

16,4

8,7

2,3

0

2,3

8,7

16,4

20

16,4

8,7

Пользуясь данными таблицы, строили график исследуемой зависимости (рис. 2). Непрерывность и плавность графика обосновывали особенностями рассматриваемого процесса.

Установив, что каждому значению времени t соответствует одно и только одно строго определенное значение длины / выступающей части ползуна, заключали, что / есть функция времени t. Факт существования функциональной зависимости / от t предлагали коротко записать в виде l=F(t). Одновременно знакомили учащихся с формой записи числового значения функции, например: F(0)=20; Уф) = 16,4; F(4)=0; F(13)=2,3. Эти значения находили по графику, приведенному на рис. 2.

Затем внимание учащихся обращалось на то, что значения рассматриваемой функции повторяются при увеличении аргумента на 8, 16, 24 и вообще на число, кратное 8. Так, например:

F (2) = F(10) = F(18)= ... =f(2 + 8yfe) = 8,7; F (3) = F(l 1) = F(19) = ... =F(3 + 8£) = 2,3.

В общем случае

F(t) = F(t + 8)=*F(t+ 16)« ... = F(t + 8k).

Используя установленный факт, давали определение периодической функции.

Определение. Функция y = F(x) называется периодической, если существует число афО, при котором равенство F(x) = F(x+a) выполняется при всех значениях х из области определения данной функции.

Иначе говоря, функция называется периодической, если она не изменяет своего значения от прибавления к ее аргументу некоторого числа а, отличного от нуля. Само число а называли периодом функции.

Рис. 2

Опираясь на данное определение, учащиеся делали вывод: рассмотренная зависимость выступающей части ползуна / от времени t является периодической функцией, а ее периодом служат числа 8, 16, 24, SR. Наименьшее из этих чисел, число 8, называли «наименьшим положительным периодом».

Затем выяснялось, что установленное свойство периодичности функции весьма наглядно передается на ее графике, а именно: при сдвиге последнего вдоль оси абсцисс на отрезок, равный длине периода, происходит самосовмещение графика. Дома учащиеся строили график зависимости длины хорды MA (рис. 3) от времени t при условии, что точка А закреплена, а точка M равномерно движется по окружности радиусом R = 5, совершая один оборот за 12 мин.

Построив окружность радиусом 5 единиц и проведя хорды, соответствующие моментам времени в 1, 2, 3,..., 20 мин, учащиеся измеряли длины этих хорд и составляли таблицу значений:

/

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

/

0

2,6

5,0

7,0

8,6

9,6

10

9,6

8,6

7,0

Продолжение

t

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

5,0

2,6

0

2,6

5,0

7,0

8,6

9,6

10

9,6

По данным таблицы строили график (рис. 4).

На следующем уроке, проверив выполнение домашнего задания, учитель предлагал обозначить функциональ-

Рис. 3

ную зависимость длины хорды / от t через l=0(t). Используя построенный график, находили: Ф(2)=5,0; Ф(7)=9,6; Ф(15)=7,0.

Установив, что <b(t) =0(t+ 12) =0(t + 24) = ... = = Ф(/+12 k) при любом t, заключали, что рассматриваемая функция — периодическая, с наименьшим положительным периодом, равным 12.

Для закрепления понятия периодической функции и особенностей ее графика выполнялись упражнения.

Упражнение 1. а) В установленной зависимости длины хорды от времени найти длину хорды в момент времени if = 80 мин, т. е. найти Ф(80).

Представив 80 в виде 12 • 6 + 8, находили:

ф(80) =Ф(8+12 - 6) =Ф(8) =8,6.

б) Для случая той же зависимости записать все моменты времени, для которых длина хорды равна 10 см.

Заметив, что за время одного периода длина хорды только один раз принимает значение 10 см, находили, что f = 6+12é, где£ = 0, 1,2,...

в) Для той же зависимости записать все моменты времени, для которых длина хорды равна 5 см.

Заметив, что за время одного периода длина хорды дважды принимает значение 5 см, находили, что t= =2+12£и/=10+12£.

Упражнение 2. При равномерном вращении махового колеса (рис. 5) расстояние у от точки М, находящейся на ободе колеса, до фундамента AB, т. е. длина отрезка

Рис. 4

MN(MN±AB), является функцией времени: y = y(t). График этой функции изображен на рис. 6. Пользуясь этим графиком, найти наименьший период функции, скорость вращения махового колеса, его радиус, расстояние от оси махового колеса О до фундамента AB, начальное положение точки M, а также числовые значения ср(3), ф(7), ф(62).

Рис. 5

Рис. 6

Упражнение 3. На рис. 7 изображена часть графика функции y=g(t), выражающей закон движения некоторой точки по прямой (на оси Oy). Как изобразится весь график этой функции в предположении, что она периодическая? Каков период функции? Какова скорость движения точки в различные промежутки времени t? Чему равны числовые значения функции y = g(t) при / -=1; 2; 3; 4;

Рис. 7

5; 12; 245; 584? При каких значениях t функция g(t) равна 1,5; 0; 3?

Упражнение 4. На рис. 8 изображена часть графика периодической функции y = f(x). Как построить весь график, если период этой функции а = 8; а=13?

Рис. 8

Упражнение 5. На рис. 9 изображен график затухающих колебаний свободного маятника. Можно ли считать изображенную этим графиком функцию периодической?

Упражнение 6. Является ли хотя бы одна из ранее изученных функций, например линейная, квадратичная или обратно пропорциональная, периодической?

Отрицательный ответ учащиеся получали, опираясь на вид графиков этих функций. Одновременно учитель давал и аналитическое доказательство этого факта, например: y=ax+b, a(x+l) +b = ax+b, откуда /=0, т. е. линейная функция непериодическая, и т. д. Затем проводили краткую беседу о роли и значении периодических функций. Большое значение, придаваемое этим

Рис. 9

функциям, объясняли в первую очередь тем, что ими (периодическими функциями) выражаются законы так называемых периодических процессов и явлений, т. е. таких, которые повторяются регулярно через одинаковые промежутки времени. Отмечая распространенность периодических процессов и явлений, указывали, что периодичностью отличаются движения различных частей машин, станков и других механизмов. Повторяющиеся периодические движения совершают, например, поршни паровой машины, клапаны ее парораспределительного механизма, маховик, коленчатый вал и т. д.

Периодичностью отличаются и явления, связанные с движением Земли и других небесных тел, в частности повторяемость времен года, солнечных и лунных затмений, приливов и отливов. Периодичностью отличаются и многие из колебательных процессов.

Но не только в механике встречаются периодические процессы. Все многообразие звуковых явлений также связано с периодическими процессами, а именно с периодическими колебаниями среды, в которой распространяется звук. То же самое можно сказать и о переменном электрическом токе: его сила и напряжение периодически меняются.

А радио? Ведь работа радиоприемника самым тесным образом связана с периодическими процессами. Правда, сами детали его неподвижны, но зато с огромной частотой меняются в его цепях сила и напряжение электрического тока. Да и сами радиоволны, с колоссальной скоростью покрывающие огромные расстояния,—

это сложные электромагнитные колебания. Наконец, все световые явления также связаны с периодическими колебаниями. В частности, все многообразие красок и цветов зависит от разнообразия частот этих колебаний.

Периодические процессы и явления тщательно изучаются физиками, механиками, астрономами, математиками. Закономерности, выявляемые при изучении этих процессов, ученые записывают при помощи периодических функций, а затем, исследуя эти функции, раскрывают внутреннее содержание таких явлений и указывают пути практического использования их на благо человека.

Затем формулировался план дальнейшей работы:

1. Выделить из огромного числа самых разнообразных по своим математическим свойствам периодических функций несколько простейших, с помощью которых можно бы было выражать периодические процессы и явления.

2. Изучить основные свойства выделенных функций.

3. Научиться хотя бы в простейших случаях выражать периодические процессы при помощи этих функций.

§ 3. Радианная мера углов и дуг

Большинство периодических процессов прямо или косвенно связано с вращательными движениями. Поэтому изучение периодических процессов естественнее начать с рассмотрения свойств и особенностей вращательного движения.

Некоторые сведения о вращательном движении известны учащимся из курса физики1. В частности, им известно, что мерой вращательного движения является величина угла поворота. Этого уже достаточно, чтобы ввести понятие обобщенного угла (дуги). Численная величина последнего зависит от выбора единичного угла и направления положительного вращения. Познакомив учащихся с различными единицами измерения, вводили радианное измерение углов и дуг. При этом подчеркивалось, что различие между градусной и радианной мерой сводится к раз-

1 См.: А. В. Перышкин, Е. Я. Минченков, В. В. Крауклис, Г. К. Карпинский. Физика. Учебник для 7 класса. М., Учпедгиз, 1961, стр. 5—9.

личию в единицах измерения. Затем устанавливалась связь между этими двумя мерами и выполнялись упражнения на переход от градусного измерения углов и дуг к радианному и обратно. Здесь же учащиеся знакомились с соответствующими таблицами1.

Вычислив градусные меры дуг в 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 и 3 радиана (или найдя их по таблице), каждый учащийся изготавливал транспортир с радианной шкалой (до десятых долей). Пользуясь приготовленными транспортирами, выполняли упражнения на построение углов, заданных в радианной мере, а также на нахождение радианной меры данных углов.

В порядке упражнения учащиеся выражали зависимость длины дуги / окружности, описываемой точкой вращающегося тела, от величины угла поворота <р, когда угол ср измерен в градусах [l = f^j-#<P ~ 0,0175/?ср), и отдельно, когда угол ср измерен в радианах (/ = /?<р). Используя полученные формулы для решения примеров, подчеркивали преимущество, которое дает в этих случаях радианная мера по сравнению с градусной.

§ 4. Числовая окружность

При вращательном движении тела каждая его точка (не лежащая на оси вращения), например точка M (рис. 10), описывает некоторую окружность с центром О на оси вращения. Выбирая на этой окружности начальную точку, положительное направление и единичную дугу, можно по аналогии с числовой осью построить своеобразную круговую числовую шкалу — «числовую окружность», которая позволит фиксировать числом положение вращающегося тела. Обычно такую окружность связывают с прямоугольной системой координат, начало которой совмещают с центром окружности, а единичные отрезки по осям полагают равными радиусу окружности. За начало отсчета принимают точку А пересечения окружности с положительной полуосью Ох. За единичную дугу брали дугу в один радиан, за положительное направление — направление вращения против часовой стрелки.

1 В. М. Брадис. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. М., Учпедгиз, 1962, стр. 59 — 61.

Используя транспортиры с радианной шкалой, учащиеся строили на числовой окружности сначала точки, соответствующие натуральным числам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, затем точки, соответствующие дробным числам 2,5; 3^- и, наконец, отрицательным числам — 1, —2, —3, xf —4. В результате делали вывод: каждое действительное число X, как положительное, так и отрицательное, может быть отмечено некоторой точкой M окружности, а именно концом дуги АМ=х радиан. Число X в этом случае называли круговой координатой точки M и писали М(х).

Установив, что в пределах первой окружности круговыми координатами точек А, В, Av Вх (см. рис. 10) служат соответственно числа 0; 1 »57; тг^3,14; ^ «4,71, т. е. A(0),b(j), АЛ*), Вг ), учащиеся строили точки с круговыми координатами 2ъ\ Зтс; ~ + 1; и т. д.

Выполняя упражнение, в котором требовалось построить точки с координатами 2; 2 + 2 я; 2 + 4 я; 2—2 я; 2—4 я, учащиеся устанавливали, что все эти числа изображаются одной и той же точкой числовой окружности. Из этого и аналогичных упражнений делали вывод: каждой точке числовой окружности соответствует не одно, а множество чисел, разность между которыми кратна 2 я. Так, если точка M имеет координату а, то числа а+2 nk, где k = 0, ±1, ±2,..., также будут координатами этой точки.

Затем выполнялись упражнения.

Упражнение 1. Число 0,6 является круговой координатой точки M на числовой окружности. Написать все круговые координаты точки М.

Рис. 10

Упражнение 2. Найти все круговые координаты точек, в которых числовая окружность пересекается с осями координат.

Упражнение 3. Найти все круговые координаты точек, в которых числовая окружность пересекается с биссектрисами координатных углов.

В заключение числовая окружность сопоставлялась с числовой осью и устанавливались элементы сходства и различия. Сходство: каждое вещественное число и на числовой оси, и на числовой окружности изображается одной и только одной точкой. Различие: в то время как каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно вещественное число, каждой точке числовой окружности соответствует бесконечное множество вещественных чисел, разность между которыми кратна 2я.

Заметим, что еще при изучении темы «Вещественные числа» учащимся сообщалось, что отношение длины окружности к ее диаметру, т. е. число я, является числом иррациональным; одновременно с этим на числовой оси отмечались точки, соответствующие числам-^, я, т^, 2я.

Затем каждый из учащихся на своей масштабной линейке наносил штрихи, соответствующие этим числам (рис. 11).

В дальнейшей работе стремились к более или менее свободной ориентировке учащихся в расположении точек, соответствующих числам 2 , я, , 2 я, на числовой оси.

В процессе сопоставления числовой оси и числовой окружности учащимся предлагалось представить себе числовую ось в виде нерастяжимой нити, наматываемой на числовую окружность. Затем выполнялись упражнения.

Упражнение 4. Отметить на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

Рис. 11

где k = 0, 1, 2, 3, ... Сколько таких точек будет на числовой окружности и сколько на оси?

Упражнение 5. Как расположатся на числовой окружности точки, соответствующие числам: 1,1+^?, 1+~-29

Упражнение 6. На числовой оси (на числовой окружности) отмечена точка М(х), Отметить на оси (на окружности) точки, соответствующие числам х + а и х-а (а=1;2;!;*;2т;).

Упражнение 7. Найти на числовой оси (на числовой окружности) геометрическое место точек, соответствующих тем числам х, которые удовлетворяют неравенствам : а) — 1 < X < 1 ; б) — j < X < у; в) — те < X < гг.

Упражнение 8. Отметить на числовой окружности точки, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5. Могут ли некоторые из этих точек совпасть?

Упражнение 9, Как расположены относительно о:ей координат точки: а) М(х) и М! (—х)\ б) М(х) и М'(к — х)? Как расположены относительно начала координат точки М(х) и М'(* + тг)?

§ 5. Определение тригонометрических функций. Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Приступая к введению тригонометрических функций, рассматривали произвольную точку M (х) числовой окружности (рис. 12) и выясняли, что абсцисса а и ордината Ь этой точки зависят как от ее положения на окружности, так и от величины радиуса R. Затем доказывали, что величина каждого из отношений -я, is, - и g- не зависит от величины радиуса R. Одновременно устанавливали, что каждому значению круговой координаты X соответствует одно и только одно значение отношений м- и в случае х Ф ^ + nk единственное

Значение отношения -, а прл х ф -ft единственное значение отношения ~. Таким образом, зависимость каждого из этих отношений от значения круговой координаты X является функциональной зависимостью, а сами отношения представляют собой функции числа х.

Введя исторически сложившиеся обозначения ~ = sinx, ^ = cos х, ^ = tgx, ~ = ctgx, давали определение каждой из этих функций.

Определение, Синусом действительного числа х, которому на числовой окружности соответствует точка М(х), называется отношение ординаты этой точки к радиусу окружности, т. е. число ^.

Аналогично определяли и остальные тригонометрические функции.

Закрепляя вновь введенные понятия, проводили лабораторную работу по нахождению значений тригонометрических функций для значений аргумента х: 2,5; — 1; ^; -5-; TCÎ Ю. Выполняя эту работу, каждый учащийся строил на бумаге (желательно миллиметровой) числовую окружность радиусом R = 10 см, а затем, отмечая точку с заданной круговой координатой х, например х = 2,5, и найдя (измерением) ее абсциссу и ординату, вычислял с точностью до 0,01 значения отношений

В заключение обращали внимание учащихся на то, что, в отличие от ранее изученных функций, тригонометрические функции заданы не аналитически (формулой), а «геометрически» — при помощи так называемого тригонометрического круга. Указывалось также, что в дальней-

Рис. 12

шем тригонометрический круг будет служить основным аппаратом для установления свойств тригонометрических функций, построения их графиков и составления таблиц значений.

Дома, в порядке продолжения начатой в классе лабораторной работы, учащиеся вычисляли значения тригонометрических функций для значений аргумента х, кратных g-. При этом одному ученику давалось не более 3 — 4 таких значений аргумента.

На следующем уроке выяснялось, что введенные тригонометрические функции любого действительного числа могут рассматриваться как обобщение тригонометрических функций острого угла. С этой целью, рассматривая острый угол в X радиан и применяя сначала определения тригонометрических функций, данные в VIII классе для случая острых углов, а затем определения тригонометрических функций для случая обобщенных дуг и углов, убеждались в их совпадении при острых углах.

В результате работы в классе и дома учащиеся заполняли таблицу, числовые значения в которой приведены по недостатку с точностью до 0,01:

Продолжение

Затем знакомили учащихся с таблицами значений тригонометрических функций в радианной и градусной мере. Указывалось, что непосредственные измерения отрезков на тригонометрическом круге не могут обеспечить необходимую во многих случаях точность, и поэтому в математике используются иные, косвенные средства для составления таких таблиц. Вычисленные ранее значения тригонометрических функций сопоставлялись с данными таблиц.

На трех следующих уроках устанавливались алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, вводилось понятие тригонометрического тождества. Решение упражнений на упрощение тригонометрических выражений и доказательство тригонометрических тождеств продолжалось на следующих уроках.

При выводе основных тригонометрических тождеств ставился вопрос об общности полученных формул и области допустимых значений.

§ 6. Свойства тригонометрических функций и их графики

Изучение свойств тригонометрических функций осуществляли в неразрывной связи с их графиками. Геометрические свойства строящихся графиков устанавливали, опираясь на тригонометрический круг. Каждый график строился сначала на указываемом учителем ограниченном числовом промежутке, после чего выяснялось его строение на всей числовой оси. Построенный график использовался затем для формулировки и запоминания свойств рассматриваемой функции.

Построение графиков начинали с функции у — sin х. Построив прямоугольную систему координат, учащиеся наносили на оси абсцисс точки, соответствующие числам У, те, Щ-, 27г. Разделив каждый из четырех образовавшихся отрезков на три равные части, отмечали точки с координатами, кратными -g-. Затем, пользуясь таблицей значений (см. стр. 21), строили точки графика и соединяли их плавной кривой (рис. 13),

Опираясь на тригонометрический круг, устанавливали, что график функции y = s'mx:

1) в промежутке (0, к) симметричен относительно прямой, проходящей через точку ^ , о) параллельно оси ординат;

2) в промежутке (тг, 2-ir) симметричен относительно прямой, проходящей через точку (у, о) параллельно оси ординат;

3) в промежутке (0, 2тс) симметричен относительно точки (тг, 0).

Закончив построение графика функции y = smx в промежутке (0,2 я), предлагали выяснить, как будет располагаться точки графика и, следовательно, вся кривая, если X давать значения, неограниченно возрастающие по модулю. Используя все тот же тригонометрический круг, учащиеся легко обнаруживали, что sin (х+2nk) =sinх, где k = 0; ±1; ±2;..., т. е. что функция y = s'mx— периодическая. Одновременно выяснялось, что наименьшим положительным периодом этой функции является число 2 я. Отсюда следовало, что для продолжения графика функции у = sin X достаточно часть графика, построенную в промежутке (0; 2я), последовательно перенести вдоль оси абсцисс на отрезки, кратные 2 я. В результате устанавливалось, что графиком функции у= — sin* служит бесконечная волнообразная кривая, со-

Рис. 13

стоящая из одинаковых периодически повторяющихся дуг. Построенную кривую называли синусоидой.

Дома каждому ученику рекомендовалось приготовить шаблон синусоиды с масштабной единицей в 1 см, соответствующий промежутку (0; 2 я). Шаблоны вырезались из плотного тонкого картона. Пользуясь этими шаблонами, на миллиметровой бумаге строили синусоиду в промежутке (—4 я; 4 я). Последнюю использовали для нахождения приближенного значения функции y = sinx для некоторых значений аргумента х из этого промежутка, например: sin 1, sin]^2, 5т(я—1).

Устанавливая основные свойства функции y=sinx, обращали внимание учащихся на то, что эти свойства вполне определяются поведением функции в пределах одного периода, например в промежутке (0; 2 я).

1. Область определения. Функция y = s'mx определена на всей числовой оси.

2. Периодичность. Функция y = s\nx периодическая с наименьшим периодом, равным 2 я.

3. Корни функций. Корнями функции y = s'mx служат числа я/г, где k = 0; ±1; ±2; . ..

4. Промежутки знакопостоянства. Значения функции у = sin X положительны в промежутке (0, я) и во всех промежутках, получаемых из последнего сдвигом на величину, кратную 2 я, т. е. в промежутках (0 + 2 яе, я+2л/с). Значения функции у = sin х отрицательны в промежутке (я, 2 я) и во всех промежутках, получаемых сдвигом последнего на величину, кратную 2 я, т. е. в промежутках (я + 2я&, 2я + 2я&). Короче говоря, функция положительна в I и II четвертях и отрицательна в III и IV четвертях.

5. Монотонность. Функция у = ъ\пх возрастает в I и IV четвертях, т. е. в промежутках f— * + 2xk, ™ + 27Г&У, и убывает во II и III четвертях, т. е. в промежутках + 2~k, ~ + 2-ft) .

6. Максимумы и минимумы. Функция у = sinX в точках х = у + 2rzk имеет максимумы, каждый из которых равен 1, а в точках дс= — ^ + 2тсй — минимумы, каждый из которых равен —1,

На следующих пяти уроках в том же порядке строились графики и исследовались свойства остальных тригонометрических функций:

# = cos*, y = tg*, y^ctgx.

В порядке домашней работы учащиеся, пользуясь имеющимися у uvx лекалами, строили графики функций:

у= — sin ж, у = — cos*, у*=— tgx, г/ = — ctgA:.

В дальнейшем требовали от них умения чертить эти графики от руки.

Установленные свойства тригонометрических функций закреплялись решением соответствующих примеров и упражнений.

Упражнение 1. Найти область определения следующих функций:

Упражнение 2. Охарактеризовать поведение функции = 1 + sin 2л: при возрастании аргумента х от Т до Т •

Решение. При увеличении х от до ~ значение 2х увеличивается от ~- до тг, a sin 2л; уменьшается от 1 до 0; поэтому у = 1 + sin2x будет уменьшаться от 2 до 1.

Упражнение 3. Охарактеризовать поведение функции у= 1 — cos ~ при возрастании аргумента а: от 0 до тс.

Ответ. Функция возрастает от 0 до 1. Упражнение 4. Охарактеризовать поведение функции у = sin [х + y) пРи возрастании аргумента х от 0 до т.

Решение. При увеличении х от 0 до ~ * + -^

увеличивается от у до а потому # = sin (л: + у) будет уменьшаться от 1 до 0.

Упражнение 5. Охарактеризовать поведение функции у = sin23A: при увеличении аргумента х от ^- до .

Решение. При увеличении л; от -g- до у- значение Зл: увеличивается от тг до у- , a shi3a; уменьшается от О до — 1. Следовательно, sin23* увеличивается от 0 до 1.

Упражнение 6. При каком значении аргумента х в пределах от 0 до it функция у= 1 +2 sin 2 я достигает наибольшего и наименьшего значения? Найти эти значения.

Более сложные примеры исследования свойств функций, требующие предварительного преобразования функций, решались в X классе.

§ 7. Выражение периодических процессов при помощи тригонометрических функций

Вводя тригонометрические функции, мы преследовали важную цель создать инструмент математического описания и изучения периодических процессов и явлений. На конкретных примерах, сопровождаемых демонстрацией, учащиеся учились выражать периодические процессы при помощи этих функций.

Упражнение 1. Расстояние от некоторой фиксированной точки, взятой на ободе махового колеса, до плоскости пола зависит от величины угла поворота колеса. Выразите эту зависимость при помощи тригонометрических функций. Необходимые числовые данные возьмите с модели1.

Приступая к решению задачи, учащиеся прежде всего готовили чертеж (рис. 14). Схематическое изображение установки связывали с системой координат, начало которой совмещали с осью вращения, а горизонтальную ось располагали параллельно полу. За числовую окружность принимали обод колеса. Обозначив длину отрезка ММ' через у, а величину угла поворота АОМ через х, без труда находили, что у = 00'+ОМ sin х. Выполнив необходимые измерения, подставляли числовые значения 00' и ОМ.

1 В класс приносили специально для этого приготовленную модель.

Упражнение 2. Длина выступающей части ползуна кривошипного механизма зависит от величины угла поворота кривошипа. Выразите эту зависимость при помощи тригонометрических функций. Необходимые числовые данные возьмите с модели кривошипного механизма1.

Как и в предыдущем упражнении, работу начинали с выполнения чертежа (рис. 15). Схематическое изображение установки вновь связывали с системой координат. При этом ось вращения кривошипа помещали в начало координат, а палец располагали вдоль оси абсцисс. Вертикальный отрезок MN условно изображал концы направляющих реек, OA — кривошип, AB — шатун, ВС — ползун.

Обозначив DC — длину выступающей части ползуна — через у, а величину угла поворота АОВ через х, находили, что

Рис. 14

Рис. 15

1 На урок приносили модель, демонстрировавшуюся еще на первом уроке тригонометрии (см. рис. 1).

Выполнив необходимые измерения элементов модели, устанавливали, что

Упражнение 3. Точка M движется по окружности радиусом R = 5 см (рис. 16) против вращения часовой стрелки, точка А — фиксированная. Длина хорды AM зависит от величины угла АОМ. Выразите эту зависимость при помощи тригонометрических функций.

Обозначив длину хорды AM через у, а величину угла АОМ через х, находили, что у = 51Л2(1— cosa:) .

В каждом из этих упражнений давали х некоторые конкретные значения и, вычислив соответствующее значение у, проверяли его непосредственным измерением.

Указав учащимся, что тригонометрические функции широко используются для математического выражения зависимостей между величинами и в непериодических процессах, предупреждали, что в таких случаях необходимо указывать границы изменения аргумента.

Упражнение 4. Площадь равнобедренного треугольника, каждая из равных сторон которого равна 10 см, зависит от величины угла между этими сторонами. Выразите эту зависимость при помощи тригонометрических функций. Установите, при каком значении этого угла площадь треугольника наибольшая.

Ответ. S = 50sinх, где 0<л;<7г. Площадь наибольшая при x = y.

Упражнение 5. Площадь равнобедренного треугольника, периметр которого равен 100 см, зависит от угла при основании треугольника. Выразите эту зависимость при помощи тригонометрических функций. Установите,

Рис. 16

как изменяется площадь треугольника, если угол увеличивается от 0 до ~ .

Решение. Пусть AB = ВС = / (рис. 17), тогда AD = / cos х. По условию / + / cos х = 50, откуда

Площадь треугольника ABC равна:

Таким образом,

где 0 < X < При увеличении X от 0 до -г величина тг—2х л уменьшается от it до у, а потому sin (тс — 2х) увеличивается от 0 до 1. В то же время cos* и, следовательно, весь знаменатель дроби уменьшаются. В результате при увеличении х от 0 до ^ площадь треугольника увеличивается от 0 до 2500 (3 — 2 Y2 ) ä «430 (см2).

Естественным продолжением рассмотренных примеров являются упражнения на выражение тригонометрических функций через одну из них. Выяснив, что все тригонометрические функции можно выражать через одну, замечали, что можно было бы вообще определить и изучать только одну какую-нибудь из тригонометрических функций, например синус, и с ее помощью выражать законы различных периодических процессов. Однако на практике использование всех четырех тригонометрических функций оказывается более целесообразным (в смысле экономии времени и сил).

Вопросу четности тригонометрических функций отводили два урока. На этих уроках, введя понятие четной и нечетной функций, устанавливали четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса. Выяснялась связь введенных понятий с особенностями в строении

Рис. 17

графиков каждой из тригонометрических функций: симметричностью графика функции y = cosx относительно оси ординат и симметричностью трех остальных функций относительно начала координат. Свойство четности тригонометрических функций использовалось в дальнейшем при решении примеров и задач.

Дома, используя лекала, учащиеся строили графики функций : у = sin (— х), у = cos (— х), у = tg (— х), у = = ctg (—х). Предварительно на уроке выяснялось, что в силу тождеств: sin(— х) = — sin х9 tg (— jc) =—tg at, ctg (— х) = —ctg X и cos (— х) = cos X графики функций sin(—л:), tg(—х), ctg(—С могут быть получены зеркальным отражением графиков функций sin х, tg х, ctg л: в оси абсцисс, а график функции cos (—^совпадает с графиком функции cos*. В дальнейшем требовали от учащихся умения чертить эти графики от руки.

§ 8. Формулы приведения тригонометрических функций

Выводу формул приведения тригонометрических функций предпосылалось построение графиков функций:

у =- sin(a: + п), у = cos(* + п), у — tg(х + п), y = ctg(x + n).

Построение графиков этих функций начинали с конкретного случая: у = sin(*+~j. При этом первоначально предлагалось построить только часть графика на промежутке (—~, Составив таблицу значений с шагом

Продолжение

учащиеся строили соответствующие этим значениям точки графика и соединяли их плавной кривой (рис. 18).

Сопоставляя построенную дугу графика у = sin {х+^) с графиком функции y = s\nx, учащиеся высказывали предположение, что график функции у =sin (х + j может быть получен из графика функции # = sin# сдвигом последнего в отрицательном направлении оси абсцисс на отрезок Напомнив аналогичное утверждение для графика функции у = а(х + п)2, указывали, что этим свойством обладает всякая функция.

Теорема. График функции у = F(x+ п) может быть получен из графика функции у = F(x) сдвигом последнего параллельно оси абсцисс на величину \п\ влево, если п > 0, и вправо, если п < 0.

В подготовленном классе доказательство теоремы можно провести сразу в общем виде. Пусть M (лс0, у0) — произвольная точка графика функции y = F(x) (рис. 19), т. е. F (х0) = у0. После указанного в теореме сдвига точка М(х0, у0) перейдет в точку М' (х0 — п, у0). Покажем, что точка М' (х0 — n9 у0) принадлежит графику

Рис. 18

функции у = F(х + ri). Для этого до:тагочно установить, что F (х + ri) при X = х0 — п равно //0:

F 1(х0 — п) + n] = F (х0) = у0.

Аналогично доказывалось, что каждая точка графика y = F(x + n) при указанном сдвиге может быть получена из некоторой точки графика у = F(x). Таким образом, сдвигая каждую точку графика у = F (х) параллельно оси Ох на величину \п\ влево или вправо, в зависимости от знака п, мы получим график функции y = F(x+n).

Доказанную теорему использовали при построении графиков функций:

у = sin(* + /г), у = œs(x + п), у= tg(x+n)

для различных конкретных значений п. Построение проводили по лекалам соответствующих функций.

Формулы приведения тригонометрических функций устанавливались сначала для синуса и косинуса:

Все эти формулы «открывали» сами учащиеся одним и тем же приемом, опираясь на доказанную выше тео-

Рис. 19

рему о графике функции y = F(x+ti). Так, например, подводя учащихся к «открытию» тождества sin (л: + = ^cos*, предлагали построить график функции у = = sin (-^ + ^“)- Построение выполняли по шаблону синусоиды, сдвинутой вдоль оси абсцисс влево на отрезок —, Сопоставляя построенный график с графиком функции # = cos*, учащиеся высказывали предположение об их тождественности. Выяснялось, что тождественность графиков равносильна утверждению: при любых значениях аргумента х верно равенство sin [х + *Л = cos х.

Специально разъяснялась необходимость доказательства этого тождества.

Аналогично «открывались» и остальные тождества.

Доказательство первого из вышеприведенных тождеств проводили на тригонометрическом круге. Построив на числовой окружности радиуса R (рис. 20) точку М(х), соответствующую некоторому (произвольному) числу *, строили точку М! [х + (дуга ММ' — j радиан). Построив ординаты MP и М'Р' точек M и М\ записывали, что X + Л = ^ и cos* = Доказав, что при любом положении точки М(х) на числовой окружности отрезки ОР и М'Р' равны и имеют одинаковые знаки, заключали, что sin^* + у J = cos*1.

На тригонометрическом же круге доказывалось и второе тождество: cos(* + у J = — sin*.

Остальные тождества доказывались аналитически, например:

Графическая иллюстрация полученных результатов сводилась в общую таблицу (рис. 21). Аналогичная таблица составлялась и для формул приведения функции у = cos*.

1 Отсюда следовало, что графиком функции y=*œsx является синусоида, сдвинутая вдоль оси абсцисс на четверть периода влево.

Рис. 20

Рис. 21

Формулы приведения для тангенса и котангенса выводились аналитически, например:

Анализируя таблицу тождеств:

формулировали мнемоническое правило: любая тригонометрическая функция числа х + п-^ по абсолютной величине равна той же функции числа х, если число п — четное, и соименной функции, если п — нечетное. При этом, если функция числа х + п-7^ положительна, когда 0< X < ~, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

Затем решались упражнения на использование формул (правила) приведения.

На следующих четырех уроках выполнялись упражнения на нахождение числа по данному значению одной из его тригонометрических функций. При этом в равной степени использовались и графики тригонометрических функций, на которых особенно отчетливо видна многозначность решений, и тригонометрический круг, и табли-

цы. В процессе выполнения подобных упражнений выяснялось, что в промежутках монотонности каждому значению тригонометрических функций соответствует не более одного значения аргумента.

Выделив для каждой из четырех тригонометрических функций один из таких промежутков: для # = sin*h y=igx промежуток (—у, для #=cos* иy=ctgx промежуток (0, тс), вводили понятие главного угла (дуги) и обозначения arc sin х, arc cos х, arctg*, arc ctg x.

Наконец, устанавливалось общее выражение тех значений аргумента, которым соответствует данное значение тригонометрической функции.

В заключение темы выделялось примерно пять уроков для закрепления навыков в тождественных преобразованиях тригонометрических выражений и решении простейших тригонометрических уравнений.

§ 9. Упражнения на исследование тригонометрических функций

После рассмотрения теорем сложения и следствий из них выполнялись упражнения на исследование свойств зависимостей, в аналитическое выражение которых входят тригонометрические функции.

Упражнение /. При каком значении аргумента х в пределах от 0 до тс функция у = sin*-cos* достигает наибольшего (наименьшего) значения?

Так как sin*-cos* = ^sin2*f то # = ysin2*, причем 0 < 2х < 2тс. Следовательно, функция у принимает в промежутке (0, тс) наибольшее значение при 2х = у , или при * = ji а наименьшее значение при 2х = у, или при x = -J .

Упражнение 2. При каком значении аргумента х в пределах от 0 до ~ функция у = sin* + cos* достигает наибольшего значения? Найти это значение.

Предварительно находим, что у2 = (sin* + cos*)2 = 1 + sin2*. Так как 0 < * < у, то sin* > 0 и cos*>0,

поэтому у > О и, следовательно, г/ = -|- sin2jc. Свое наибольшее значение у принимает вместе с подкоренным выражением. Так как 0 < 2х < тг, то у будет иметь наибольшее значение при 2х = ~, или х = ^. Наибольшее значение у будет равно У 2 .

Упражнение 3. Из всех вписанных в данный круг углов, каждый из которых равен а, найти такой, у которого сумма образующих его хорд наибольшая.

Концы данных хорд соединим отрезком прямой ВС (рис. 22) и в полученном треугольнике обозначим углы, противолежащие хордам, через х и у. Тогда по известной лемме Л5 = 2/?sin#, AC ^2R sin х, где /? —радиус данного круга. Сумма хорд достигает наибольшего значения при cos— ^ == 1, т. е. при х-~^у = О, или X = у1. Таким образом, сумма хорд, составляющих угол а, будет наибольшей, если эти хорды равны; последнее же выполняется тогда и только тогда, когда биссектриса угла а проходит через центр данного круга.

Рис. 22 Рис. 23

1 Если —g— = л/г и £=£0, то х — y = 2nk, что невозможно, так как X и у—углы треугольника.

Упражнение 4. В каких границах может изменяться отношение k периметра ромба к сумме его диагоналей?

Обозначим длину стороны ромба ABCD (рис. 23) через а; тогда периметр р = 4а. Величину одного из углов ромба, например ^BAD, обозначим х\ тогда диагональ i4C = 2acos|-, а диагональ BD = 2а sin J-. Искомое отношение

Так как 0 < х < icf то 0 < sin х < 1. Наибольшее значение sin* достигается при * = * ; при этом k будет иметь наименьшее значение, равное у=* или У2. Наименьшее значение sin л: принимает при л: = 0 или те. В обоих случаях k = 2. Таким образом, величина k может изменяться в границах ]/2 < k < 2. Если исключить из рассмотрения случаи X ==0 и X = те, при которых фигура «вырождается», то “J/2 < & < 2.

Упражнение 5. Дан угол 405 == а и точка M внутри него (рис. 24). Провести через эту точку прямую так, чтобы произведение ее отрезков от точки M до сторон угла было наименьшее.

Опустим из точки M перпендикуляры МК и ML на стороны данного угла; их длины обозначим соответственно через а и Ь. Положение искомой прямой А1В1 вполне определяется углом, который она образует с одной из сторон данного угла, например со стороной OB. Обозначим этот угол через х\ тогда получим:

Рис. 24

следовательно:

Таким образом, произведение МАг-МВг будет иметь наименьшее значение тогда, когда выражение sin*X X sin (ж + а) будет иметь наибольшее значение. Но

поэтому sin (л: + a)-sinx принимает наибольшее значение тогда, когда cos (2х + а) = — 1, т. е. при 2х + а = я, откуда X = .

Итак, прямую АХВХ следует провести так, чтобы

Упражнение 6. На рис. 25 схематически изображена двускатная крыша AB—ВС. Спрашивается, каким должен быть угол X, чтобы шарик, помещенный в точку В, скатывался с нее в возможно короткое время?

Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости с углом X, выражается формулой а = g sin х. Путь, проходимый точкой при движении по наклонной плоскости за время/, определяется формулой s = ~af = -~ gsinx-t2. Весь путь, который должен пройти шарик по крыше,

Рис. 25

выражается длиной AB =

поэтому имеем

откуда определяем время ti

где AD и g не зависят от х. Чтобы это время было наименьшим, необходимо, чтобы переменная величина в знаменателе, т. е. sin2*, имела наибольшее из всех возможных значений, т. е. sin 2х = 1. Учитывая ограничения, наложенные условием задачи на х, находим х =

Глава 2

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Введение

В программе первые элементарные сведения из теории пределов включены в тему «Числовые последовательности».

Планируя работу по указанной теме, мы стремились не столько к формализации понятия предела, сколько к тому, чтобы в доступной школьникам форме показать практические приложения введенного понятия. Здесь мы в первую очередь имеем в виду применение метода пределов к решению геометрических и физических задач, приводящих к конкретным числовым результатам, например задач на вычисление площадей и объемов, суммарного давления, работы.

При решении задач мы опирались на имеющиеся у учащихся интуитивно-наглядные представления о площади криволинейной фигуры, длине дуги, объеме, суммарном давлении, мгновенной скорости. Вопрос об уточнении этих понятий, о строгом их определении на языке пределов ставился позже, при изучении соответствующих разделов геометрии и физики. Более широко использовался нами метод пределов и при доказательстве ряда теорем геометрии.

Проведенная экспериментальная работа убедила нас в том, что такое более подробное, чем обычно, знакомство учащихся с вопросами применения теории пределов (за счет сокращения времени, отводимого на уточнение формально-логического определения предела) по-

вышает интерес к теме, способствует более прочному усвоению понятия предела.

С включением в программу математики XI класса элементов анализа роль метода пределов еще более возрастает. Действительно, в математическом анализе метод пределов служит основным средством рассуждения. Овладение этим методом является залогом неформального усвоения аппарата дифференциального исчисления. Кроме того, применение метода пределов к вычислению площадей и объемов, к нахождению суммарного итога действия непрерывно изменяющейся величины в какой-то степени компенсирует отсутствие в школьном курсе математики элементов интегрального исчисления.

Наконец, метод пределов, в котором устойчивое, постоянное познается как результат процесса, движения, способствует развитию (формированию) диалектического мышления учащихся.

Само понятие предела мы определяли не в применении к последовательностям, а в применении к переменным величинам, изменяющимся в определенном процессе. Конечно, это определение менее четко, ибо в нем характеристика последовательных стадий процесса остается не формализованной. Однако именно отсутствие этой формализации позволяет охватить одним определением обе разновидности предельного перехода: 1) предел последовательности аь а2,..., а1и ... при п-*°°; 2) предел функции y = F(x) при условии, что X стремится к постоянному числу а.

Мы вполне согласны с А. Я. Хинчиным, который пишет:

«Всякое мыслимое в пределах средней (а также, впрочем, и первых курсов высшей) школы более формальное определение неизбежно наталкивается на новую трудность: оно требует для двух указанных разновидностей предельного перехода двух различных определений, что, разумеется, еще более затрудняет представление о едином общем логическом и предметном основании этих двух случаев»1.

Приведем примерную разбивку учебного материала по урокам:

1 А. Я. Хинчин. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М.. 1940, стр. 33.

Сделаем теперь несколько замечаний по трем первым разделам темы.

К понятию числовой последовательности учащиеся подводились при рассмотрении процессов, в которых переменная величина изменяется дискретно (скачками), так что для каждого ее значения можно указать непосредственно за ним следующее. Значения такой переменной образуют последовательность. Учащимся указывалось, что на практике разнообразные числовые последовательности получают также тогда, когда, наблюдая за непрерывно изменяющейся переменной, например температурой, измеряют ее значение через определенные промежутки времени. Изучая арифметическую прогрессию, обращали внимание учащихся на ее связь с линейной функцией: если в данной линейной функции, например у = Зх + 1, давать х значения 1, 2, 3, ..., п, ..., то значения у образуют арифметическую прогрессию 4, 7, 10, ..., 3/г + 1, ... .

№ п/п

Содержание учебного материала

Число уроков

1

Процессы изменения переменных. Предыдущее и последующее значения переменной, изменяющейся в данном процессе. Непрерывно и дискретно изменяющиеся переменные. Понятие числовой последовательности. Общий член числовой последовательности. Определение арифметической прогрессии. Связь арифметической прогрессии с линейной функцией. Формула общего члена арифметической прогрессии. Формула суммы п членов арифметической прогрессии

5

2

Определение геометрической прогрессии. Формула общего члена геометрической прогрессии. Формула суммы п членов геометрической прогрессии

5

3

Пределы переменных величин в данном процессе. Существование предела ограниченной возрастающей переменной величины (без доказательства). Теоремы о пределе суммы, произведения и частного (без доказательства)

5

4

Метод пределов. Вычисление площади параболического сегмента. Вычисление объема параболоида вращения. Вычисление суммарного давления. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Обращение периодических дробей в обыкновенные

5

Итого

20

Среди примеров на арифметическую прогрессию выводили формулу для нахождения суммы квадратов первых п натуральных чисел:

(1)

Для этого в тождестве (k + I)3 = № + 3k2 + 3k + 1 вместо k подставляли последовательно 1,2, 3, ..., п, что приводило к ряду равенств:

Сложив все эти равенства и уничтожив одинаковые слагаемые (23, З3, я3) в обеих частях равенства, получали:

Заменив сумму 1 + 2 + 3 + ... + п выражением (п + \)п ^ после Пр0СТЫх преобразований получали формулу (1). Этой формулой пользовались в дальнейшем при решении задач и доказательстве теорем1.

§ 2. Примеры, приводящие к понятию предела. Определение предела. Бесконечно большая величина

Остановимся теперь более подробно на уроках, посвященных введению понятия предела. Первый из них начинали с рассмотрения нескольких процессов, частью геометрических, частью физических, в которых участвовали переменные, имеющие предел.

1 В целях экономии времени можно доказать справедливость этой формулы методом математической индукции.

Пример 1. Демонстрируя приготовленный заранее чертеж (рис. 26), разъясняли содержание изображенного на нем процесса: незаштрихованный прямоугольник делится пополам и одна из половин штрихуется.

Рис. 26

Выяснив, что в этом процессе одной из переменных величин является площадь заштрихованной фигуры, предлагали характеризовать особенности изменения этой величины. Подводя итог ответам учащихся, устанавливали, что:

1. В рассматриваемом процессе переменная величина sn (площадь заштрихованной фигуры) изменяется скачками (дискретно) так, что все ее значения образуют некоторую последовательность. В частности, если площадь исходного квадрата равна 1, то эти значения следующие:

2. Переменная sn возрастает.

3. Переменная sn приближается к числу 1 (площади исходного квадрата).

Выясняя характер приближения переменной sn к числу 1, предлагали рассмотреть разность между площадью исходного квадрата и площадью заштрихованной фигуры. Опираясь на наглядные представления, учащиеся без колебания заключали, что с течением процесса эта разность может быть сделана как угодно малой. В подтверждение сказанному предлагали, считая площадь исходного квадрата равной 1 (например, 1 дм2), найти состояние процесса, начиная с которого абсолютная величина этой разности станет меньше 0,01, т. е. меньше 1 см2. Так как в данном случае состояние процесса характеризуется номером п шага раздробления, а разность между площадью квадрата и площадью заштрихованной фигуры есть

не что иное, как площадь незаштрихованного прямоугольника, равная ^тг, то задача сводилась к нахождению наименьшего натурального п, удовлетворяющего неравенству

^п<т> или 2« > 100.

Простым подбором учащиеся находили, что п=7. Таким образом, устанавливалось, что уже после седьмого раздробления разность между площадью всего квадрата и площадью заштрихованной фигуры станет и в дальнейшем будет оставаться меньше 0,01, т. е. меньше 1 см2. Выяснялось, что аналогично можно найти состояние процесса (номер я), начиная с которого эта разность станет и будет оставаться меньше 0,001, 0,0001 и т. д.

Дома учащимся предлагалось найти состояние процесса (номер п), начиная с которого эта разность станет и будет оставаться меньше 0,0001 (т. е. меньше 1 мм2).

В заключение делали вывод: характер приближения переменной sn к числу 1 таков, что, какое бы малое положительное число ни назвать, наступит состояние процесса (номер последовательности), начиная с которого разность 1 —5п по абсолютной величине станет и будет оставаться меньше этого числа.

Пример 2. Демонстрируя чертеж (рис. 27), где MN\\PQ, ABLPQ, AB = OA = \Qcm, указывали, что процесс заключается в том, что точка D равномерно движется по лучу PQ от точки В вправо. Учащимся предлагалось выяснить, как в этом процессе изменяется длина отрезка ВС.

Подводя итог ответам учащихся, учитель обращал их внимание на то, что в рассматриваемом процессе переменная величина х (длина отрезка ВС) изменяется непрерывным образом (без скачков), а также на то, что, возрастая, она приближается к числу 10 (длине отрезка AB).

Рис. 27

Как и в предыдущем примере, обращали внимание на поведение разности 10 — х, выясняли, что эта разность, равная длине отрезка АС, с течением процесса может быть сделана как угодно малой.

В подтверждение сказанному предлагали найти состояние процесса (длину отрезка BD), начиная с которого эта разность станет и будет оставаться меньше 0,1, т. е. меньше 1 мм.

Из подобия треугольников О АС и DBC находили, что BD:BC=OA:AC. Полагая ЛС=0,1 (£С=9,9), находили, что 50:9,9=10:0,1, откуда BD=990 (см).

Таким образом, устанавливалось, что, когда длина отрезка BD превысит 990 см, разность 10—х станет и в дальнейшем будет оставаться меньше 0,1, т. е. 1 мм.

Дома учащимся предлагалось найти состояние процесса (длину отрезка BD), начиная с которого разность 10—х, т. е. длина отрезка АС, будет меньше 0,001.

В заключение делали вывод: характер приближения переменной X к числу 10 таков, что какое бы малое положительное число ни назвать, наступит состояние процесса (длина отрезка BD), начиная с которого разность 10—х по абсолютной величине станет и будет оставаться меньше этого числа.

Пример 3. Для следующей демонстрации использовали прибор, изображенный на рис. 28. На стойке, размеры которой примерно 50X25 см, укреплен выпиленный из фанеры маятник. Его верхняя часть, как это видно из р,исунка, представляет собой полукруг, центр которого служит точкой опоры маятника. В конце нижней, удлиненной части маятника укреплен дополнительный груз (свинцовая шайба). Весь прибор, включая маятник, окрашен в темно-коричневый цвет. На стойку наклеен полукруг из плотной белой бумаги. Центр полукруга совмещен с точкой опоры маятника, а диаметр расположен вертикально. Черной краской нанесены радиус OA на стойке и радиус OB на подвижном полукруге маятника. В результате угол АОВ, внутренняя область которого окра-

Рис. 28

шена в белый цвет, рельефно выделяется на темном фоне прибора.

Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать затухающие колебания. Учащимся предлагалось пронаблюдать, как при этом будет изменяться величина а центрального угла АО В, который при неотклоненном маятнике равен 90°. Затем маятник приводился в колебательное движение. Наблюдая за изменением величины угла АОВ, делали вывод:

1. Величина угла меняется непрерывным образом.

2. Изменяясь, она то увеличивается, то уменьшается, неограниченно приближаясь к 90°.

3. Характер этого приближения таков, что, какое бы малое положительное число ни назвать, наступит состояние процесса (момент времени), начиная с которого абсолютная величина разности 90°—а станет и будет оставаться меньше этого числа.

4. В данном процессе переменная а неоднократно принимает значение 90°.

Пример 4. Для последней демонстрации пользовались двумя сообщающимися сосудами (рис. 29). На одном из них наклеивалась шкала с делениями в миллиметрах для определения высоты уровня жидкости. (Вода для лучшей видимости слегка подкрашивалась.) На этом же сосуде

Рис. 29

черной краской наносилась линия уровня жидкости АВУ которую она занимала в состоянии равновесия. Наклоном сосудов жидкость выводилась из положения равновесия, и кран закрывался. Учащимся предлагалось наблюдать за характером изменения высоты h столба жидкости в том из сообщающихся сосудов, на котором нанесена линия уровня. Затем открывали кран, соединяющий сосуды. Наблюдая за изменением величины h и зная, что линия AB находится на десятисантиметровой отметке, учащиеся делали вывод:

1. Величина h меняется непрерывным образом.

2. Изменяясь, она неограниченно приближается к числу 10.

3. Характер этого приближения таков, что, какое бы малое положительное число ни назвать, наступит состояние процесса (момент времени), начиная с которого абсолютная величина разности 10—h станет и будет оставаться меньше этого числа.

Наконец, делали общий вывод о характере изменения переменных в рассмотренных примерах. Несмотря на различие процессов, в которых участвуют эти переменные, все они обладают общим свойством: для каждой из них может быть указана своя постоянная величина а, к которой эта переменная х приближается как угодно близко.

Характер этого приближения таков, что разность а—х, начиная с некоторого момента (некоторой стадии) процесса, становится и во всех дальнейших стадиях его остается как угодно малой по абсолютному значению. Выражаясь более строго, можно сказать, что какое бы малое положительное число ни назвать, в каждом из этих процессов наступает состояние, когда разность а—х по абсолютной величине становится и остается меньше этого числа.

Затем давали определение.

Определение. Число а называется пределом переменной х, если разность а—х по абсолютному значению становится и остается в ходе данного процесса меньше любого (малого) наперед заданного положительного числа.

О переменной х в этом случае говорят, что она имеет предел а или стремится к пределу а. Записывают это кратко так: х—+а или limx = a.

Возвращаясь к рассмотренным переменным, для каждой из них указывали предел, к которому она стремится. При этом мы считали излишним проводить какие-либо аналитические доказательства.

Затем приводились примеры переменных величин, не имеющих пределов. Выяснив, например, что в процессе, описанном в примере 2 (см. рис. 27), длина отрезка BD (а также длина отрезков OD и CD) с течением процесса становится и остается больше любого наперед заданного числа, заключали, что эти переменные предела не имеют. Рассматривая модель кривошипного механизма (см. рис. 1), устанавливали, что если процесс заключается в равномерном вращательном движении махового колеса, то переменная / — длина выступающей части ползуна — в этом процессе не будет иметь предела. Не имеет предела и переменная величина угла между часовой и минутной стрелками, завод которых своевременно возобновляется.

В связи с рассмотренными примерами вводили понятие бесконечно большой величины. Бесконечно большую величину определяли как величину, которая в процессе своего изменения становится и в дальнейшем ходе процесса остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Введенное понятие иллюстрировали примерами. Вводя обозначения х->оо, х-*- + оо их -> — сю, предупреждали учащихся, что ни в одном из этих случаев переменная х предела не имеет. Затем на числовых примерах разъяснялось, что величина, обратная бесконечно большой величине, имеет пределом нуль, т. е. Hm —=0, если х->оо.

В связи с понятием бесконечно большой величины останавливались на различии, существующем между величиной, которая растет все время (т. е. неограниченно долго), и величиной бесконечно большой. На материале рассмотренных примеров выясняли, что существуют величины, которые растут неограниченно долго (все время) и все же остаются в своем росте ограниченными, т. е. не являются величинами бесконечно большими. Так, если в примере 1 (см. рис. 26) каждое деление будет занимать 1 сек, то процесс деления можно продолжать часы, тысячи и миллионы лет, и все-таки растущая площадь заштрихованной фигуры никогда не превзойдет площади квадрата, т. е. 1, и не только не превзойдет, но даже никогда не станет равна 1. Точно так же в примере 2 (см. рис. 27) точка D может двигаться по прямой MN неограниченно долго, и все же длина отрезка ВС никогда не превзойдет 10.

Итак, если переменная величина х все время растет, т. е. каждое ее последующее значение больше предыду-

щего, то это еще не означает, что в рассматриваемом процессе эта переменная может стать как угодно большой, т. е. это не значит, что х—;-f-°°.

§ 3. Упражнения на закрепление понятия предела. Теоремы о пределах

Введенные понятия закреплялись упражнениями, при выполнении которых широко использовалась интуиция учащихся. Вместо строгих доказательств существования предела, использующих традиционную букву е, ограничивались числовыми расчетами, при выполнении которых учащиеся убеждались в том, что абсолютная величина разности между переменной и предполагаемым пределом с течением процесса становится и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного положительного числа, каким бы малым оно ни было.

Упражнение 1. В процессе, описанном в примере 2 (см. рис. 27), рассмотреть величины: отрезок ОС, отрезок CD, ^ЛОС, ^АСО, ^ОСВ, ^DCB, площадь ЛОЛС, площадь aBDC. Какие из этих величин не имеют пределов? Какие имеют пределы? Чему равны эти пределы? Какие из названных переменных бесконечно большие.

Упражнение 2. Вершина С треугольника ABC, основание которого остается неизменным, равномерно движется по прямой MN, параллельной AB, вправо, удаляясь от неподвижной точки О (рис. 30). Какие из величин, участвующих в этом процессе, не имеют пределов? Какие из величин имеют пределы? Чему равны эти пределы? Какие из переменных бесконечно большие?

Рис. 30

Упражнение 3. В окружность радиуса R вписываются правильные многоугольники: сначала треугольник, затем четырехугольник, пятиугольник и т. д. (рис. 31). Таким образом, процесс заключается в последовательном и неограниченном росте п. В этом процессе переменными величинами являются: число сторон многоугольника, величина одного внутреннего угла, сумма внутренних углов, длина сторон, периметр, площадь многоугольника, апофема и т. д. Какие из этих переменных не имеют пределов? Какие имеют пределы? Чему равны эти пределы? Какие из названных переменных бесконечно большие?

На первых порах, выполняя эти упражнения, учащиеся, как правило, пренебрегают рассмотрением разности между переменной и ее предполагаемым пределом, полностью и безотчетно полагаются на свою интуицию. В целях преодоления этого недостатка мы в качестве очередного упражнения предлагали известный пример, в котором бесконтрольное следование интуиции приводит к ошибке.

Упражнение 4. Дан прямоугольный треугольник с катетами ЛС=4 и ВС=3. Гипотенуза AB, равная 5, разделена на п равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные катетам. Рассматривается ломаная ADEFGH, выделенная на чертеже (рис. 32) жирной линией. Процесс заключается в неограниченном увеличении числа точек деления.

Иллюстрируя пример, учитель вывешивал таблицу (рис. 33), на которой рассматриваемая ломаная выделялась красным цветом. Обозначив длину ломаной через хп, он предлагал найти ее предел в описанном процессе. Как

Рис. 31

Рис. 32

правило, учащиеся были единодушны в мнении, что этот предел равен 5, т. е. длине гипотенузы.

После этого (и только после этого) учитель предлагал найти длину этой ломаной при п=2, 3, 4, 5. Выяснив, что хп отличается от суммы катетов на длину отрезка ВН, без труда находили, что

Теперь учащимся было ясно, что интуиция их подвела, что пределом хп является, по-видимому, число 7, а не 5, как они думали сначала. Чтобы выяснить окончательно, какое же из чисел—7 или 5—является пределом переменной хп9 предлагалось обратиться к определению предела. Из определения следует, что для ответа на поставленный вопрос необходимо рассмотреть абсолютную величину разности между переменной хп и ее предполагаемым пределом.

Так как хп=7— —, то абсолютная величина разности между хп и числом 5 равна | хп— 5 | = 2 — — . Отсюда видно, что в ходе процесса, т. е. при /г-> + °°, эта величина не уменьшается, а растет и, следовательно, число 5 не может быть пределом для переменной хп.

Другое дело —число 7: так как I хп— 7 I = то абсолютная величина разности между переменной хп и числом 7 с ростом п уменьшается, причем уменьшается так, что в ходе процесса становится меньше любого наперед заданного положительного числа. В подтверждение сказанному учащиеся должны были

Рис. 33

указать, начиная с какого значения п эта разность по абсолютной величине становится (и в дальнейшем остается) меньше 0,01; 0,001; 0,000001. Таким образом, учащиеся убеждались, что в рассматриваемом процессе, т. е. при я — +00, lim хп = 7.

В результате рассмотрения этого примера1 делали вывод: при определении предела одной интуиции мало, она может подвести. Установленный по интуиции предел должен быть подвергнут проверке, для чего, следуя определению предела, нужно рассмотреть абсолютную величину разности между переменной и ее предполагаемым пределом и показать, что она с течением процесса становится и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного положительного числа2.

Возвращаясь затем к упражнению 3, предлагали показать, что в описанном там процессе пределом переменной величины внутреннего угла многоугольника действительно является число 180.

Упражнение 5. Показать, что в процессе неограниченного увеличения числа сторон правильного вписанного Аг-угольника величина его внутреннего угла а имеет предел, равный 180.

Для выполнения упражнения учащиеся рассматривали абсолютную величину разности 180 — а.

При п -> + оо эта величина может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа. В подтверждение сказанному просили учащихся доказать, начиная с какого значения п эта разность по абсолютной величине становится и в дальнейшем остается меньше 1 (Г), ^ O'Xg^X) О')- “ результате считалось доказанным, что в этом процессе прил-> + оо Нта=180.

1 Число подобных упражнений может быть увеличено за счет примеров, рассмотренных в брошюре Я. С. Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах» (М., Физматгиз, 1961).

2 Именно здесь при доказательстве того, что данное число является пределом переменной, можно ввести букву е.

Упражнение 6. Показать, что в процессе неограниченного увеличения числа сторон вписанного в окружность правильного /г-угольника величина его апофемы h имеет предел, равный радиусу R этой окружности.

Для выполнения упражнения рассматривали абсолютную величину разности R — h. Из ААОВ (рис. 34) находили, что I R — h I <-/. Но AB < ~ ЛЯ=-^, следовательно, \ R — h \ < —. При /г-> + оо эта величина может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа. Полагая, например, /?= 10, требовали от учащихся указать такое я, при котором величина | R—h | была бы меньше ^, В результате считалось доказанным, что в этом процессе при п-+ + со Umh=R.

Упражнение 7. Дана дробь —J-T. Процесс заключается в том, что X принимает возрастающие целочисленные значения: 1, 2, 3, 4, /2, .... В этом процессе переменная величина принимает значения: у, , Т1 5“' * Имеет ли эта переменная предел и если имеет, то чему он равен? Найти состояние процесса (значение /г), начиная с которого дробь отличается от 1 меньше чем на 0,01.

В дальнейшем выполнялись и другие упражнения, приведенные в сборнике задач П. А. Ларичева.

Анализируя приведенные примеры и выполненные упражнения, учащиеся устанавливали:

1. Переменная величина может приближаться к своему пределу или возрастая, или убывая, или колеблясь.

2. Существуют процессы, в которых имеющая предел переменная никогда не достигает своего предела. Однако существуют и такие процессы, в которых переменная многократно принимает свое предельное значение. Может даже случиться, что с некоторого момента процесса пере-

Рис. 34

менная становится и в дальнейшем остается равной своему пределу.

3. Если наблюдаемая величина х в течение всего процесса (или начиная с некоторого его момента) принимает одно и то же численное значение с (остается постоянной), то разность с—х равна нулю и, следовательно, в каждый момент времени меньше любого наперед заданного положительного числа. Поэтому в соответствии с данным выше определением число с будет пределом этой величины. Таким образом, оказывается справедливым следующее утверждение: пределом постоянной величины с является число с, т. е. lim с=с.

В заключение, рассматривая одну из геометрических интерпретаций предела, выясняли, что в одном и том же процессе переменная х может иметь не более одного предела.

На очередном уроке, введя понятие суммы, разности, произведения и частного переменных, изменяющихся в одном и том же процессе, формулировали теоремы.

Теорема 1. Если изменяющиеся в одном и том же процессе переменные х и у имеют пределы а и ft, то и переменные х + у, х — у, х-у в том же процессе имеют пределы, равные соответственно a + b, а — Ь и а-Ь.

Теорема 2. Если изменяющиеся в одном и том же процессе переменные х и у имеют соответственно пределы а и Ь и если у не обращается в нуль и Ъ Ф О, то и переменная - в том же процессе имеет предел, равный — .

Вместо доказательства приводились числовые примеры и графические иллюстрации. Указывалось, что сформулированные теоремы вместе с ранее установленными фактами: lim с = с и lim-^- = 0 при х -> оо — значительно упрощают задачу нахождения пределов. Затем решались соответствующие упражнения из «Сборника задач по алгебре» (ч. 2) П. А. Ларичева. Решение упражнений продолжали и на следующем уроке. После соответствующих разъяснений и графической иллюстрации формулировали признак Вейерштрасса: Если каждое последующее значение переменной х больше предыдущего (или равно ему) и все эти значения не превосходят одного и того же числа М, то переменная х имеет пре-

дел и притом не больший, чем М. Если каждое последующее значение переменной х меньше предыдущего (или равно ему) и все эти значения не меньше одного и того же числа т, то переменная х имеет предел и притом не меньший, чем т.

§ 4. Применение теории пределов к решению задач

Последние пять уроков темы учащиеся знакомились с применением теории пределов к решению задач. Изложение материала начинали с краткой беседы, в которой на конкретных примерах выясняли, что для решения многих вопросов известные учащимся из курса арифметики, алгебры и геометрии методы решения задач оказываются недостаточными.

Так, демонстрируя рис. 35, выясняли, что известные учащимся правила косвенного вычисления площадей позволяют вычислять площади только таких фигур, которые ограничены отрезками прямой и дугами окружности. Если же контур фигуры не может быть разбит на отрезки и дуги окружностей, то найти площадь такой фигуры уча-

Рис. 35

щиеся могут только приближенно, используя для этого палетку. Не могут они вычислить, например, площади эллипса, сегмента параболы, сегмента синусоиды и т. д.

Демонстрируя набор различных геометрических тел, например параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, параболоид вращения, эллипсоид вращения и др., выясняли, что учащимся неизвестны правила, по которым вычисляются объемы тел, ограниченных какой-либо кривой поверхностью, отличной от сферы, цилиндра или конуса, например объем эллипсоида или параболоида вращения. Неизвестны учащимся и приемы вычисления длины линии, отличной от отрезка прямой или дуги окружности, например они не могут вычислить длину дуги параболы, гиперболы, синусоиды.

Затем указывалось, что в поисках решения подобных задач учеными был разработан особый математический метод — метод пределов, в основе которого лежит известное учащимся понятие предела. Ознакомление учащихся с этим методом осуществляли на конкретных задачах.

Задача 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = Л'2, осью Ох и прямой X = 1 (рис. 36).

Рис. 36

Выяснив, что учащимся неизвестна формула для вычисления площади изображенного на чертеже криволинейного треугольника, предлагали найти хотя бы приближенное значение этой площади. С этой целью точками jQ, jQ, уд,.. . , та делили отрезок (0; 1) оси Ох на 10 равных частей и на каждом из образовавшихся отрезков строили прямоугольник, левая верхняя вершина которого принадлежит параболе. В результате получали систему вписанных прямоугольников, в каждом из которых основание равно ~t а высоты разные: высота первого равна 0, второго — [ 1^] , третьего — , ...,

последнего — 1^) . Вся площадь вписанной ступенчатой фигуры равна:

Воспользовавшись формулой суммы квадратов последовательных натуральных чисел:

(1)

получали:

Выяснялось, что точность найденного значения площади была бы значительно выше, если бы отрезок (0; 1) разделить не на 10, а на 100 или лучше на 1000 равных частей.

Затем ставилась задача вычислить точное значение искомой площади. С этой целью учащимся предлагалось представить себе процесс, в котором отрезок (0; 1) делится сначала на 2, потом на 3, 4, 5 и т. д. равных частей и каждый раз вышеуказанным способом строится система вписанных прямоугольников.

Опираясь на интуицию учащихся, выясняли, что в этом процессе разность между площадью S данного криволинейного треугольника и площадью Sn вписанной ступенчатой фигуры становится и остается меньше любого наперед заданного положительного числа1 и потому

(2)

С другой стороны, Sn есть сумма п прямоугольников с одинаковыми основаниями (равными —) и разны-

1 Действительно, разность S — Sn есть не что иное, как суммарная площадь всех п незаштрихованных криволинейных треугольников. Если каждый из них достроить до прямоугольника, то последние, будучи поставлены друг на друга, образуют прямоугольник с основанием, равным —, и высотой, равной 1. С течением процесса площадь этого прямоугольника, а следовательно, и | S—Sn | , которая меньше этой площади, становятся меньше любого наперед заданного положительного числа.

ми высотами: высота первого равна 0, второго — ^)3, третьего — ^\ , . . ., последнего — )*. Следовательно,

Используя формулу (1), получали:

Представив Sn в виде Sn= — §^ + g^ä и заметив, что в рассматриваемом процессе п неограниченно возрастает, находили:

(3)

Сопоставляя равенства (2) и (3) и опираясь на теорему о единственности предела, заключали, что S = у •

Дома учащимся предлагалось, пользуясь тем же приемом, вычислить площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, и убедиться, что метод пределов дает тот же результат, что и элементарные методы.

Для этого учащиеся разбивали катет АС = 1 на п равных частей и строили систему вписанных прямоугольников (рис. 37). Основание каждого прямоугольника равно —, высота первого равна 0, второго — — , третьего — 2 я —1 — последнего--— . Площадь заштрихованной ступенчатой фигуры:

Рис. 37

Воспользовавшись формулой для суммы членов арифметической прогрессии, находили:

(4)

В процессе неограниченного роста п переменная площадь ступенчатой фигуры имеет своим пределом площадь данного треугольника; в то же время из формулы (4) следует, что в этом процессе S„-*~ . Опираясь на теорему о единственности предела, заключали, что площадь треугольника равна ~-.

Задача 2. Вычислить объем тела, которое получится, если сегмент, отсекаемый прямой у=1 от параболы у=#2 (рис. 38), вращать вокруг оси ординат.

Вращая на центробежной машине вырезанную из жести модель сегмента, демонстрировали учащимся процесс образования указанного в задаче тела. После этого демонстрировали и само тело, выточенное из дерева (в школьных мастерских). Учащимся указывалось, что поверхности, получаемые вращением парабол (у=*ах2) вокруг их оси (параболоиды вращения), очень распрост-

Рис. 38

ранены, особенно в осветительной технике. Например, форму параболоида имеют фары автомобиля, медицинский рефлектор, зеркало отражательного телескопа (рефлектора) и т. п.

Приступая к решению задачи, предлагали мысленно разрезать данное тело плоскостями, перпендикулярными оси вращения, на п тонких (одинаковой толщины) слоев и каждый слой заменить цилиндром, обрезав его покатые края.

Объем полученного ступенчатого тела Vn легко найти. Для этого нужно сложить объемы всех п — 1 цилиндриков, высоты которых одинаковы и равны — , а радиусы гъ г2> • • • >гл-1 различны. Затем находили радиус k-ro (снизу) цилиндра rk, т. е. длину отрезка AB. Так как ОС = 1, то OA = и по свойству параболы AB =

Итак, радиус первого снизу цилиндра

второго

третьего

последнего

Объем ступенчатого тела:

(5)

Так что, если тело разбить на 10 слоев, то

если на 100 слоев, то

и т, д.

Затем учащимся предлагалось рассмотреть процесс неограниченного роста числа /г. Опираясь на интуицию, учащиеся выясняли, что в этом процессе разность между объемом V данного тела и объемом Vn вписанного ступенчатого тела становится меньше любого наперед заданного положительного числа и потому

(6)

С другой стороны, из формулы (5) при /2-> + 00 получим:

(7)

Сопоставляя равенства (6) и (7) и опираясь на теорему о единственности предела, заключали, что V = ^ (куб. ед.)

Задача 3. Со:уд, имеющий квадратное дно со стороной 50 см и вертикальные стенки высотой 40 см, наполнен до краев водой (рис. 39). Чему равна сила F, с которой давит вода на одну из стенок сосуда?

Из курса физики известно, что величина давления па стенки сосуда зависит от глубины погружения и удельного веса жидкости и находится по формуле p=h*d, где h — глубина погружения, a d— удельный вес жидкости. Если h измерено в см, d— в Г/см?, то давление р будет выражено в Г/см2. Так как в данном случае жидкостью служит вода (d = 1 Г/см3), то давление р в каждой точке сосуда численно равно высоте столба жидкости h.

Найдем сначала приближенное значение этого давления. Разделим для этого поверхность стенки на 10 горизонтальных полосок высотой 4 см. Площадь каждой из этих полосок будет 200 см2. Условимся считать давление в пределах каждой полоски постоянным, равным давлению у нижнего ее края. Иначе говоря, давление в пределах первой сверху полоски будем считать 4 Г/см2, второй —8 Г/см2, третьей—12 Г/см2, десятой — 40 Г/см2.

Рис. 39

В результате

Эта сила несколько завышена, так как в пределах каждой полоски давление у нижнего ее края распределялось на всю полоску. Более точный результат мы получим, если поверхность стенки разделим не на 10, а на 100 или даже 1000 горизонтальных полосок.

Для того чтобы найти точное значение искомой силы F, разделим поверхность на п горизонтальных полосок одинаковой ширины. Площадь каждой такой полоски * 2000 о г, будет равна —^-см?. Как и прежде, давление в пределах каждой площадки условимся считать постоянным, равным давлению у нижнего ее края. Иначе говоря, давление в пределах первой сверху полоски будем считать — Г1см1, второй--— / /см2, третьей--— Г 1см1 и т. д. В результате:

Рассмотрим теперь процесс, заключающийся в том, что разбиение совершается на все более узкие полоски. Из физических соображений ясно, что lim Fn = F. В то же время, как видно из формулы F„ = 40 000 (l + —в этом процессе lim Fw = 40000. Учитывая теорему единственности предела, заключаем, что F = 40 000 Г, или 40 кГ.

Подводя итог решению задач методом пределов, выясняли его основные черты: чтобы найти точное значение неизвестной постоянной величины X, находят сначала не ее самое, а переменную х, представляющую собой некоторое приближение величины X. Затем рассматривают про-

цесс, в котором принимаемые переменной х значения суть все более и более точные приближенные значения искомой постоянной X. Затем, во-первых, доказывают, что в этом процессе lim х=Х, и, во-вторых, опираясь на теоремы о пределах, находят, что lim х=А. Опираясь на теорему о единственности предела, заключают, что искомая величина Х = А.

На последних двух уроках, введя понятие бесконечной убывающей геометрической прогрессии, выводили формулу для нахождения ее суммы. Полученную формулу применяли для решения вопроса об обращении периодической дроби в обыкновенную, решали примеры на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Глава 3

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

§ 1. Введение

Еще совсем недавно в практике работы многих школ при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции. Логарифмы» основное внимание уделялось вопросам обоснования действий с логарифмами и вычислениям при помощи логарифмических таблиц. Об использовании же показательной и логарифмической функций для математического описания разнообразных процессов и явлений, например, таких, как радиоактивный распад, охлаждение тел, вытекание жидкости через тонкую трубку, движение тел по инерции в сопротивляющейся среде и многих других, ничего не говорилось. Тем самым учителя лишали себя возможности решать задачи практического содержания, в частности задачи на составление показательных и логарифмических уравнений. В результате в школе сложилось такое ненормальное положение, когда учащиеся, знакомясь с показательной и логарифмической функциями, производя вычисления с логарифмическими таблицами, решая показательные и логарифмические уравнения, не имели представления о том, в каких же практических вопросах такие уравнения возникают, где на практике встречаются показательные зависимости.

Чрезмерное внимание школы к вычислению при помощи логарифмических таблиц за счет других не менее важных вопросов этой темы стало особо нетерпимым теперь, когда почти во всех областях науки, техники и производства логарифмические таблицы вытесняются специализированными вычислительными средствами, начиная с таких простых, как арифмометр, логарифмическая линейка,

и кончая быстродействующими электронными вычислительными машинами.

Планируя работу по теме «Показательная и логарифмическая функции. Логарифмы», мы, естественно, стремились к тому, чтобы учащиеся не только производили вычисления с логарифмическими таблицами, не только решали показательные и логарифмические уравнения, но и знакомились с некоторыми явлениями и процессами, которые описываются при помощи показательной и логарифмической функций, а также решали задачи практического содержания, приводящие к логарифмическим и показательным уравнениям.

Распределение учебного материала по урокам осуществлялось нами следующим образом:

п/п

Содержание учебного материала

Число уроков

1

Свойства степени с рациональным показателем. Понятие о степени с иррациональным показателем

2

2

Примеры физических зависимостей, приводящих к понятию показательной функции

2

3

Определение показательной функции и ее характеристическое свойство. График показательной функции. Свойства показательной функции

3

4

Определение логарифма. Существование логарифма положительного числа при положительном основании, не равном 1 (без доказательства). Простейшие логарифмические уравнения

2

5

Логарифмическая функция, ее основные свойства и график

2

6

Логарифм произведения, частного, степени и корня. Логарифмирование и потенцирование алгебраических выражений

4

7

Использование логарифмической (показательной) функции для приближенных вычислений. Десятичные логарифмы. Их свойства. Таблицы десятичных логарифмов. Вычисления при помощи логарифмов

6

8

Обоснование действий на логарифмической линейке

3

9

Задачи с практическим содержанием, приводящие к показательным и логарифмическим уравнениям. Решение показательных и логарифмических уравнений. Примеры графического решения уравнений вида ax=kx~\-b и др.

4

Итого

28

На первых уроках, повторив определение степени а* когда показатель х равен натуральному числу, нулю, це-

лому отрицательному числу, дробному положительному числу, наконец, любому рациональному числу, делали вывод: если число а>0, то при любом рациональном показателе г выражение ат имеет вполне определенный смысл и всегда положительно. Затем, доказав, что с возрастанием показателя степень числа а>1 возрастает, а степень числа 0<а<1 убывает, вводили понятие степени с иррациональным показателем и указывали, что сформулированные выше свойства справедливы при любом действительном показателе.

§ 2. Физические процессы, приводящие к показательной функции

Третий урок начинали с краткой беседы, в которой напоминали учащимся, что все изученные ими функции (прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, линейная, квадратичная и др.) вводились в связи с изучением определенных процессов и явлений. Например, линейная функция вводилась как средство описания и изучения равномерных процессов, тригонометрические — как средство описания и изучения периодических процессов. Затем сообщалось, что на данном и двух последующих уроках будут рассмотрены процессы, для математического описания и изучения которых придется ввести новую, пока неизвестную учащимся функцию.

В качестве первого примера рассматривали процесс вытекания воды из цилиндрического сосуда через длинную тонкую трубку. Перед учащимися ставилась задача выразить зависимость высоты уровня воды от времени таблицей, графиком и аналитически. Напоминалось, что аналогичное задание они выполняли еще в VIII классе, однако тогда вода вытекала прямо через отверстие в тонкой стенке сосуда.

Демонстрационный сосуд представлял собой стеклянную цилиндрическую банку с тубусом (трубкой) при основании. Внутрь тубуса вкладывался конец резиновой трубки длиной примерно 20 см, диаметром внутреннего отверстия около 3 мм. Просвет между тубусом и резиновой трубкой заделывали пластилином1. На банку наклеи-

1 Надевать резиновую трубку на тубус нежелательно, особенно если последний толстостенный.

вали шкалу с миллиметровыми делениями для определения высоты уровня жидкости. Начало отсчета шкалы помещали на уровне нижнего края отверстия. Трубку располагали горизонтально, а ее свободный конец закрывали зажимом. Для удобства отсчета воду подкрашивали тушью.

Начиная опыт, снимали зажим и через каждые полминуты в течение 5 мин записывали уровень воды.

Время /, в мин

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Уровень, в мм

200

150

113

85

64

48

36

27

20

15

11

По полученным данным строили график зависимости высоты уровня воды h от времени t (рис. 40).

Рис. 40

Переходя к вопросу об аналитическом выражении этой зависимости, выписывали значения h с интервалами в 1 мин: 200, 113, 64, 36, 20, 11 и предлагали учащимся вы-

числять с точностью до 0,01 отношения каждого последующего значения высоты уровня к предыдущему. Деление выполняли на логарифмических линейках. Полученные результаты выписывали на доску.

Выяснив, что все эти отношения равны приблизительно 0,56, заключали, что полученная в результате измерений последовательность значений высоты уровня представляет собой убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 200, а знаменатель 0,56. Устанавливалось, что все остальные приведенные в таблице значения уровня могут быть вычислены по формуле общего члена геометрической прогрессии /г = 200 • 0,56п, где п — число полных минут, прошедших с начала опыта. Например, через 4 мин высота уровня согласно этой формуле должна быть равна 200 • 0,564~ 19,7, что вполне соответствует опытным данным.

Формула /г =»200 • 0,56п получена в предположении, что п — число целое. Желательно же иметь формулу, которая позволила бы вычислять высоту h для любого момента времени, а не только целочисленного. Естественно искать ее в виде /i = 200 • 0,56'. Проверяя, насколько точно отражает эта формула реальный процесс, учащиеся вычисляли значения h при некоторых дробных значениях t, после чего сверяли их графиком. Например, при / = 2,5

что вполне соответствует данным опыта.

В заключение указывалось, что и при других промежуточных значениях t формула Л = 200-0,56' дает результаты, совпадающие с опытом. В общем же случае зависимость высоты h от времени t выражается формулой Л = Л0-я', где hQ — начальный уровень воды над отверстием, а— величина, зависящая от диаметра трубки. В конце урока учитель выставлял второй прибор, отличающийся от первого только диаметром трубки и количеством воды. Сделав два замера уровня воды с интервалом в 1 мин: Л0 = 150, h = 115 (отсчет уровня вели опять от отверстия), зажимали конец трубки. Затем, подставляя в формулу Л = Л0- а/ значения А0= 150, А = 116, t= 1, из равенства 115= 150-а1 находили, что в данном случае а « 0,77, откуда устанавливали, что формула, выражающая зависимость h от имеет вид:

Воспользовавшись этой формулой, находили, что еще через 3 мин, т. е. всего за 4 мин, вода опустится до уровня Л-= 150-0,774ä 150-0,35 « 52 (мм). Открыв зажим еще на 3 мин, убеждались, что полученный результат соответствует опыту. Внимание учащихся обращалось на то, что введенная формула позволяет по двум измерениям предсказывать высоту уровня, которую будет иметь вода в сосуде в любой последующий момент времени, т. е. позволяет предвидеть события и благодаря этому управлять ими.

На следующем, четвертом уроке рассматривали зависимость температуры остывающего тела от времени. Самого опыта в классе не делали, а ограничивались только его описанием: 100 г песку, нагретого до 100° С, остывает при температуре окружающего воздуха 0°. Температура песка ежеминутно записывается, и по этим данным строится кривая охлаждения.

Напомнив, что аналогичную лабораторную работу учащиеся выполняли еще в VI классе, учитель вывешивал заранее приготовленную таблицу, на которой в крупном масштабе была начерчена кривая охлаждения1 (рис. 41) и приведена таблица числовых значений:

Время /, в мин

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Температура Г, в °С.

100

80

64

51

41

33

26

21

17

13

11

8

7

5

Как и в первом примере, устанавливалось, что последовательность значений температуры образует геометрическую прогрессию, первый член которой равен 100, а знаменатель q = 0,8. В результате, используя формулу общего члена геометрической прогрессии, получали: Т mm 100-0,8“, где /г —число минут, прошедших с начала опыта. Распространяя эту формулу на любое значение времени получали:

г= 100-0,8'.

1 Кривая охлаждения твердого тела, в частности песка, заметно отличается от кривой охлаждения жидкости, которую учащиеся строили в VI классе. Объясняется это тем, что в последнем случае к процессу теплового излучения присоединяется процесс испарения, который в значительной степени меняет вид кривой охлаждения.

Пользуясь этой формулой, вычисляли значение температуры Т для нескольких промежуточных, не внесенных в таблицу, значений моментов времени t. Найденные значения температуры сверяли с графиком. Указывали, что в общем случае (как установил еще Ньютон) температура остывающего тела вычисляется по формуле:

где Тг — начальная температура тела, Т0 — температура окружающей среды, основание а — число, зависящее от свойств остывающего тела, его объема, массы, формы, цвета и т. д.

В заключение решали задачу: металлическая деталь, нагретая до 320°, остывает на воздухе, температура которого 20°. За первые 10 минут ее температура снизилась до 290°. Определить, какую температуру будет иметь деталь через час.

Используя условие задачи, находили, что Тг = 320°, Т0 = 20°, / = 10 мин, Т = 290°. Подставляя эти значения в формулу Т ~ (Tg — Т0)а* + Т0, получали равенство:

Рис. 41

290 = 20+ 300-а10, откуда а10 = 0,9, или а = 0,90»1. В результате формула для вычисления температуры остывающей детали приобретала вид:

Пользуясь этой формулой, находили, что

Т (60) = 20 + 300-0,96 « 20 + 300-0,53 « 179.

На дом учащимся давалось задание: вскипятив воду в чайнике, поставить его остывать при комнатной температуре. Через 30 мин измерить температуру воды и температуру воздуха в комнате, где остывал чайник. Затем, вычислив а, написать формулу для вычисления температуры и построить график. По формуле или графику найти температуру, которую будет иметь чайни через 2 ч, и проверить найденный результат измерением

§ 3. Показательная функция и ее свойства

На следующем уроке, сопоставляя полученные формулы, замечали, что, несмотря на различие величин, участвующих в этих зависимостях, их математическая форма одна и та же и может быть выражена формулой y = c + kax. Характерным для этой зависимости является то, что для нахождения значения функции у при данном значении аргумента X нужно некоторое число а, постоянное для данного процесса, возвести в степень х. Указывалось, что в природе существует огромное количество процессов (с некоторыми из них учащиеся еще встретятся в курсе физики1), в которых зависимость между величинами выражается этой формулой.

Наиболее простым случаем этой зависимости является зависимость у = ах, причем а>0 и аФ\. Выяснив

1 На уроках физики при изучении реактивного движения вводилась формула К. Э. Циолковского: M = tn {ev° — 1), где/л —масса самой ракеты без топлива, v0 — скорость истечения газов, М — масса топлива, V — скорость, развиваемая ракетой. При изучении радиоактивного распада вводилась формула т^МЛ-^) , где М — первоначальная масса вещества, m —масса нераспавшегося вещества, t0 — период полураспада, / — время распада, Решались задачи на использование этих формул.

смысл ограничений, накладываемых на основание а, давали определение.

Определение. Функция, которая аналитически выражается формулой у = ах, где а>0 и аФ\, называется показательной функцией.

Затем внимание учащихся обращалось на то, что в рассмотренных примерах таблицы значений обладали следующим замечательным свойством: значения аргумента образовывали арифметическую прогрессию, а соответствующие значения функции—геометрическую прогрессию. Указывалось, что последнее обстоятельство не является случайным.

Теорема. При возрастании аргумента х по закону арифметической прогрессии показательная функция изменяется по закону геометрической прогрессии.

Это свойство иллюстрировалось на числовом примере.

Пусть у = 2х, а хг = 1,- х2 = 3, хг = 5, х4 = 7,.... Тогда уг = 2, у2 = 8, у3 - 32, уА = 128,....

Здесь значения аргумента образуют арифметическую прогрессию, разность которой d = 2, а значения функции образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 4. При наличии времени теорема доказывалась в общем виде:

Пусть у = ах, а значения аргумента образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна d: хи x<i = хг + d, хг = х2 + d, Xi = лг3 4- d,.... Тогда

Таким образом, последовательность значений у\, t/2, f/з,..., Уп,... образует геометрическую прогрессию со знаменателем q = ad, так как каждое последующее значение функции получается в результате умножения предыдущего на число ad. Это свойство помогает устанавливать, является ли наблюдаемая зависимость показательной или нет. В частности, ни одна из ранее изученных функций не обладает этим свойством и потому не является показательной.

В конце урока, напомнив учащимся, что атмосферное давление р зависит от высоты h над уровнем моря, записывали таблицу:

Высота h, в км

0

1

2

3

4

5

Давление р, в мм рт. ст.

760

670

591

521

460

405

Учащимся предлагалось дома выяснить, можно ли в указанных таблицей пределах выразить при помощи показательной функции зависимость давления р от высоты h. В случае положительного ответа учащиеся должны были найти аналитическое выражение этой зависимости и вычислить давление на высоте 1,5 км.

Построение графика показательной функции у = 2х проводили по точкам, сначала на ограниченном промежутке (—4; 4). Аргументу х придавали значения: —4; —3; —2; —1; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4. Соответствующие значения функции учащиеся вычисляли при помощи таблиц квадратов чисел, квадратных корней, кубов и обратных чисел. Соединив построенные точки плавной кривой (рис. 42), выясняли, что построена только часть графика, что полученную дугу можно продолжать в обе стороны.

Выяснив на числовых примерах, что при неограниченном увеличении аргумента (х-+ + °°) функция растет неограниченно (у->+°°), заключали, что при продолжении кривой вправо ее точки будут подниматься вверх, неограниченно удаляясь от оси Ох.

Затем рассматривался случай, когда х-> — œ. Выяснялось, что в этом процессе функция 2х принимает уменьшающиеся положительные значения. Так, если х = — 1, — 2, — 3, — 4, — 5, — 6,..., то функция у = 2х равна со-

Рис. 42

ответственно у, g-, -yg-, -^-t Ж'--' ^ Ростом абсолютной величины X функция 2х принимает сколько угодно малые положительные значения, т. е. при х-> — со у->0. Отсюда заключали, что при продолжении кривой (графика) влево она будет неограниченно приближаться к оси абсцисс, нигде ее, однако, не пересекая.

Построив графики функции у = а* для некоторых других значений а, например а = 3, а = \, выясняли зависимость вида графика от величины основания а.

Дома учащимся поручалось приготовить лекала для вычерчивания графиков показательных функций 2х и 3* (за единицу масштаба брать 1 см). Эти лекала использовались также для построения графиков функций ^-)* и (-3)*, а позже — графиков соответствующих логарифмических функций.

Опираясь на построенные графики, формулировали основные свойства показательной функции.

1. Область определения. Показательная функция определена на всей числовой прямой.

2. Корни функции. Показательная функция не имеет корней.

3. Промежутки знакопостоянства. Показательная функция всегда положительна.

4. Монотонность. Показательная функция монотонна во всей области определения. Если а>1, то функция монотонно возрастает, причем тем быстрее, чем больше а. Если 0<а<1, то функция монотонно убывает, причем тем быстрее, чем меньше а.

5. Максимумы и минимумы. Показательная функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

6. Если а > 1, то у -> + оо при *-> + оои#->0 при

X -> — со.

Если 0<а<1,то у -> О при х-> + оо и у -> + œ при х-> — оо.

7. Особо останавливались на том, что показательная функция, монотонно изменяясь в промежутке (—сю, + со), принимает все значения от 0 до + со, так что каждое из этих значений она принимает один и только один раз.

Для закрепления установленных свойств показательной функции решали в классе и дома соответствующие

примеры из стабильного сборника задач по алгебре. При решении опирались на схематический график показательной функции.

Пример 1. Определить, будет ли степень больше единицы, равна единице или меньше единицы.

-g-j имеет основание О < -g- < 1, то она убывающая. Учащиеся чертят ее схематический график (рис. 43). Так как * = — > О, то ордината, равная , меньше 1.

Пример 2, Какое заключение можно сделать относительно чисел m и п, если (^jm < (-^)“?

Так как показательная функция у = ^-j* имеет основание 4“ > 1, то она возрастающая. Учащиеся чертят ее схематический график (рис. 44). Так как по условию ордината {-^ больше ординаты [^j1, то, судя по графику, она должна быть расположена правее ординаты (^J1 и, следовательно, пут.

Рис. 43

Рис. 44

§ 4. Логарифмическая функция и ее свойства

Сделаем теперь несколько замечаний по поводу изучения логарифмической функции.

На первых уроках, пользуясь графиками показательных функций у = 2х 9 у = 3*, у = 10*, учащиеся выполняли упражнения:

а) по данному значению показателя х находили степень ах (а= 2; 3; 10);

б) по данному значению степени ах находили значение показателя х.

Особое внимание уделяли работе с графиком функции у = 10х. График этой функции строили на миллиметровой бумаге в промежутке 0 < х < 1. За единицу длины на оси абсцисс брали отрезок в 10 см9 а на оси ординат отрезок в 1 см. Давая х значения 0; 0,25; 0,50; 0,75; 1, вычисляли у9 пользуясь таблицами кубов и квадратных корней, например:

Построив найденные точки, проводили плавную кривую—график функции у= \0Х для 0<*< 1 (рис. 45)1, При работе с этим графиком выполняли следующие упражнения:

а) находили степени числа 10, например:

б) представляли произвольные положительные числа в виде степени 10, например :

1 В целях экономии времени эти графики можно приготовить заранее и на уроке раздать учащимся для вычислительной работы.

На материале рассмотренных упражнений, опираясь на свойство седьмое показательной функции, устанавливали (без доказательства), что если а>0 и аф\у то всякое положительное число N может быть представлено в виде степени числа а, т. е. для любого положительного числа N может быть указано такое число х (притом одно), что N = ах\ в частности, всякое положительное число N может быть представлено в виде степени числа 10, т. е. N = 10*.

После этого давали определение логарифма как показателя степени и вводили соответствующие обозначения. При подборе упражнений на закрепление введенного понятия особое внимание уделяли, во-первых, равнозначности двух форм записи аь = с и \ogac=*b (переходу от одной из них к другой) и, во-вторых, упражнениям, в которых требовалось, пользуясь графиком функции у = ах, находить logaN. При этом в большинстве упражнений основание а брали опять-таки равным 10.

Рис. 45

Приступая к введению логарифмической функции, обращали внимание учащихся на то, что в уравнении с = аь (û>0 и а^1) не только степень с зависит от показателя 6, но и показатель Ъ зависит от степени с. При этом зависимость показателя Ь от степени с (при фиксированном основании а>0 и аф 1) такова, что для каждого положительного числа с можно указать одно и только одно значение b — такое, что с = аь.

В силу этого показатель степени (логарифм числа) есть функция самой степени (числа). Эту функцию называли логарифмической и обозначали y = \ogax. Затем строили график логарифмической функции y = \og2x.

На первом этапе строили только часть графика в промежутке 8^, для чего, пользуясь графиком функции у = 2х, заполняли таблицу, в которой значения логарифма определялись с точностью до 0,1.

По данным этой таблицы учащиеся строили дугу графика y = log2x (рис. 46). Чтобы выяснить, как будут располагаться точки графика при продолжении построенной дуги влево и вправо, предлагалось построенную часть графика у = log2 х сопоставить с графиком функ-

Рис. 46

ции у = 2х (см. рис. 42). Доказывалось, что между этими графиками существует связь, аналогичная той, которая устанавливалась для правой части графика у = х2 и графика ух , а именно: если отрезок О А (см. рис. 42) равен отрезку ОгАг (см. рис. 46), то отрезок AB (см. рис. 42) будет равен отрезку (см. рис. 46). Действительно, если обозначить длины отрезков ОЛ, AB, 0^ и АХВХ соответственно через а, Ь, avbvT09 во-первых, а = ах и, во-вторых, а = 2Ь, откуда Ь = log2a = log2ax = bl9 т. е. AB = АгВх. Следовательно, если чертежи рис. 42 и рис. 46 совместить так, чтобы совпали точки О и Ov А и Аи В и Ви то кривые совместятся всеми своими точками.

Связь между графиками функций у = log2 х и у = 2х использовалась для уточнения графика функции y=\og2x. В частности, устанавливалось, что #->+оо при л:-> + оо и у->—оо при х-+0. Устанавливалось также, что для отрицательных значений и нуля функция у = log2 х не определена.

Затем выяснялось, что связь, существующая между графиками функций у = 2х и y = \og2x, остается в силе и в общем случае для функций у = ах и у = logö х, поэтому для построения графиков логарифмических функций можно пользоваться лекалами соответствующих показательных функций.

Пользуясь лекалами показательной функции, учащиеся строили графики логарифмической функции при а, равном 2; 3; 10; -g-; у; ^. Опираясь на построенные графики, формулировали основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения. Логарифмическая функция определена на множестве всех положительных чисел.

2. Корни функции. Логарифмическая функция при любом основании имеет один и только один корень х= 1.

3. Промежутки знакопостоянства. Если а>1, то функция y = \ogax положительна в промежутке (1; +оо) и отрицательна в промежутке (0; 1). Если 0<а<1, то она положительна в промежутке (0; 1) и отрицательна в промежутке (1; +оо).

4. Монотонность. Логарифмическая функция монотонна во всей области определения. Если а > 1, то функция монотонно возрастает, причем тем быстрее, чем меньше а. Если 0 < а < 1, то функция монотонно убывает, причем тем быстрее, чем больше а.

5. Максимумы и минимумы. Логарифмическая функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

6. Если а > 1, то у + оо при х -> + оо и у -> —оо при X -> 0. Если 0 < а < 1, то у -> —œ при х -> + оо и у->-\-оо при JC-> 0.

Для закрепления свойств показательной функции решали в классе и дома соответствующие примеры. При их решении, так же как и в случае показательной функции, опиралась на схематический график.

Пример 1. Какое заключение можно сделать относительно логарифмируемого числа т, если \og2m = — 0,32?

Так как логарифмическая функция y = \og2x имеет основание 2>1, то она возрастающая. Учащиеся чертят ее схематический график (рис. 47). Так как по условию ордината у = —0,32<0, то, судя по графику, аргумент m должен удовлетворять условию 0 < m < 1.

Пример 2. Какое заключение можно сделать относительно логарифмируемых чисел тип, если log5m< log5/z?

Так как логарифмическая функция у = log5 х имеет основание 5>1, то она возрастающая. Учащиеся чертят ее схематический график (рис. 48). Так как по условию ордината \og5n больше ординаты log5m, то, судя по графику, она расположена правее ординаты \ogsm и, следовательно, п > т.

Рис. 47 Рис. 48

В связи с введением логарифмической функции возникает естественный вопрос: какие зависимости (в каких процессах) описываются этой функцией? Учащимся разъяснялось, что логарифмическая функция повсюду сопутствует показательной функции.

Пример 1. Зависимость температуры Т остывающего тела от времени t выражается формулой Т=(Т1—Т0)а*+Т0.

Отсюда а* = т __т°, или t = logg т Эта формула выражает зависимость времени t от температуры Т (см. рис. 41).

Пример 2. Зависимость веса груза Я, который можно удержать силой F, от угла обхвата а выражается формулой P = F-aa; но отсюда аа = у, или a = logû/7- '

Эта формула выражает зависимость угла обхвата а от величины отношения веса груза к величине удерживающей силы.

На следующих уроках доказывались теоремы о логарифме произведения, частного, степени, корня и выполнялись упражнения на логарифмирование и потенцирование алгебраических выражений.

Затем на двух уроках разбирался вопрос об использовании логарифмической (показательной) функции для приближенных вычислений, выполнялись упражнения примерно следующего содержания:

Упражнение 1. Вычислить А = 2,93-4.

По графику функции у = 10*, или y=\gx, находили, что 2,9 = 100'46, откуда А = 2,93-4 = lO0«463«4 = 101-56 — = 10-100'56. Найдя по графику, что Ю0»56 = 3,6, заключали, что А = 10-3,6 = 36. Затем указывалось, что записи могут быть сокращены и систематизированы следующим образом:

Упражнение 2. Вычислить

По графику находили, что

откуда

В сокращенной записи:

откуда А = 10°'42^2,6.

По мере усвоения материала переходили на одну сокращенную форму записи.

На материале этих примеров выяснялось, что вычисления могут быть значительно облегчены, если операции над числами заменить операциями над показателями числа 10 (или какого-либо другого положительного числа), т. е. над их логарифмами. Но для этого надо научиться легко, быстро и надежно выражать любое положительное число в виде степени 10 (или любого специально выбранного для этого числа), т. е. находить логарифмы положительных чисел.

После этого знакомили учащихся со свойствами десятичных логарифмов, вводили понятие характеристики и мантиссы логарифма, вводили в употребление таблицы десятичных логарифмов и антилогарифмов, выполняли упражнения на вычисления при помощи логарифмов.

Три урока отводили для обоснования действий на логарифмической линейке.

§ 5. Задачи, приводящие к показательным уравнениям

Показательные и логарифмические уравнения (простейшие) решались на протяжении всего времени, отведенного для изучения данной темы. На последних уроках весь этот материал систематизировался. Здесь же решались задачи на составление показательных и логарифмических уравнений. Приведем в качестве примера некоторые из них.

Задача 1. Металлическая деталь, нагретая до 320°, остывает на воздухе, температура которого 20°. Определить, через сколько минут деталь остынет до 50°, если за первые 10 мин она остыла на 30°.

Для решения задачи использовали формулу: Т = — (Ti — то) + Т0. По условию задачи Тг — 320%

Т0 - 20°, / = 10 мин, Т = 290°. Подставляя эти значения в формулу, получали: 290 = 300-а10 + 20, откуда

я10 = НйГ5 = °'9' или а = 0>90,1-

Таким образом, рассматриваемая в задаче зависимость температуры Т остывающей детали от времени / принимает вид: 7 = 20 + 300.0,9°.“.

В задаче требуется найти момент времени t, когда температура детали Т станет равной 50°. Для этого необходимо решить показательное уравнение: 50 = 20+ + 300-0,90'1', или 0,9°'и = 0,1. Для решения этого уравнения логарифмировали обе его части: 0,lMg0,9 = lg0,l, откуда t = 0 i^g'o 9~218. Таким образом, деталь остынет до 50° через 3 ч 38 мин.

Задача 2. Если пеньковый канат 2 раза обернуть вокруг металлической сваи, то силой в 60 кГ можно удержать натяжение в 1500 кГ. При каком угле обхвата это натяжение можно удержать силой 40 кГ?

Для решения задачи использовали формулу: P=F*acl. По условию задачи F = 60, Р = 1500, а = 2. Подставляя эти значения в формулу, получали: 1500 = 60-а2, или а2 = 25, откуда а = 5.

Таким образом, рассматриваемая в задаче зависимость выразится формулой: Я = /7'5а.

В задаче требуется найти величину угла обхвата, при котором F =40, а Я = 1500. Для этого необходимо решить уравнение: 1500 = 40-5*, или 5а == 37,5. Для решения этого уравнения обе его части логарифмировали:

Таким образом, для того чтобы силой в 40 кГ удержать натяжение 1500 кГ, надо канат обмотать вокруг железного столба примерно два раза с четвертью.

Задача 3. Количество топлива М, необходимого для того, чтобы придать одноступенчатой ракете нужную скорость v, зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0t с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если пренебречь сопротивлением воздуха и притяжением Земли, то количество топлива определяется формулой К. Э. Циолковского:

Пользуясь этой формулой, вычислить количество топлива М, которое потребуется, чтобы ракете с массой т= 1,5 т придать скорость v = 8 км/сек, если скорость истечения газов vQ = 2,5 км1сек\ то же при v0 = = 4 км/сек. Установить, как меняется значение M с увеличением скорости истечения газов. В каждом из двух случаев вычислить отношение -щ-^ (число Циолковского).

Вычислив, что в первом случае M“^m ~ 0>04, а во втором 0,13, указывали, что в известных ракетах число Циолковского равно 0,3.

Задача 4. Пользуясь формулой Циолковского, вычислить скорость, которую получит ракета при сжигании 10 Т топлива, если ее масса (без топлива) 4 г, а скорость истечения газов vQ = 2,5 км/сек.

Подставляя данные задачи в формулу Циолковского, учащиеся получали показательное уравнение 10 = 4(2,72^—1), или 2,722'5 = 3,5. Логарифмируя обе части этого уравнения, получали, что 2^-lg2,72 = lg3,5, откуда v = 2jg2g72>5 ~ ^ км1сек-

Задача 5. Пользуясь формулой Циолковского, выразить явно зависимость скорости v, развиваемой ракетой,

от массы топлива М. (Ответ: v = vQlog.^_±J5e \

Глава 4

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 1. Введение

Изучение элементарных функций и их основных свойств рассредоточено в школьном курсе математики по многим классам. Поэтому в курсе алгебры X класса мы, как правило, 2—3 урока посвящали систематизации и обобщению всего ранее изучавшегося функционального материала. В новой программе этой цели посвящена специальная тема XI класса «Функции и пределы». По поводу этой темы в объяснительной записке к программе говорится, что она «завершает часть курса «Алгебра и элементарные функции» и одновременно подготавливает переход к введению понятия производной».

В прошедшем учебном году эта тема изучалась нами на занятиях математического кружка. При этом в соответствии со всей ранее проделанной работой был принят следующий порядок ее изучения:

п/п

Содержание учебного материала

Число уроков

1

2 3 4 5

6

Повторение основных функциональных понятий и определений. Решение примеров Обратные функции, свойство их графиков Вопросы построения графиков функций Исследование аналитически заданных функций Обзор свойств и графиков изученных ранее элементарных функций г, — j тт Hm sin* Предел функции. Упражнения. Нахождение x_+çf~£~

3 2 1

4 2 4

Итого

16

Три первых урока темы посвящались повторению основных функциональных понятий, таких, как функция, область определения функции, промежутки монотонности и знакопостоянства, максимум и минимум, четность, периодичность и т. д.

Вводилось и новое для учащихся понятие области изменения функции. Его содержание раскрывалось на графическом материале. Для каждой из ранее изученных элементарных функций находили (опираясь на график) ее область изменения.

При повторении материала, касающегося понятия четной и нечетной функции, доказывали теорему: график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции — относительно начала координат.

Повторяемый и вновь изучаемый материал закреплялся решением упражнений, часть из которых выполнялась дома.

1. Найти область определения функции

и вычислить: /(0), f(l), /(—3),

2. Найти область определения функции

и вычислить;

3. Найти область определения следующих функций:

4. Найти область определения функций:

5.F(x) = X5 — Xs + 5х. Доказать, что F(— х) = — F (х).

6. f(x) =ix2 —5л: + 6. Найти корни функции и промежутки знакопостоянства.

На четвертом и пятом уроках вводили понятие обратной функции и выясняли особенности ее графика.

§ 2. Вопросы построения графиков и задача аналитического исследования свойств функции

Шестой урок темы посвящали критическому анализу применяемого учениками метода построения графиков по точкам. На материале конкретного примера вскрывались слабые стороны этого метода, выяснялась необходимость аналитического исследования свойств функции.

В начале урока учащиеся, повторив определение графика функции, вспоминали основные этапы применявшегося ими метода построения графиков по точкам:

1) намечается некоторый конечный промежуток оси Ох;

2) в этом промежутке выбираются произвольные значения аргумента: х19 х2, ..., хп, обычно целочисленные;

3) вычисляются соответствующие им значения функции: уи уъ ...9уп\

4) строится система точек (х19уг)9 (х2,у2), .. .,(хп,уп);

5) построенные точки соединяются по возможности плавной кривой;

6) исследуется поведение функции за пределами выбранного промежутка.

Затем предлагалось упражнение, при выполнении которого выяснялось, что бесконтрольное следование сформулированному выше правилу построения графиков по точкам может привести к грубым ошибкам, в корне искажающим вид графика.

Упражнение. Построить график функции у = ^ J3^2.

Составив таблицу значений:

и построив соответствующие этим значениям точки, большинство учащихся соединяли их плавной кривой, полагая, что последняя и будет частью искомого графика (рис. 49). Каково же было их удивление, когда, вычислив по требованию учителя значение .у при # = 4» они получали точку 1б), которая лежала далеко в сто-

роне от проведенной ими кривой! К аналогичному результату они приходили, вычисляя значение у при иных значениях X из промежутка (— 1; 1).

В результате учащиеся убеждались, что график построен неверно. Но где коренится ошибка? Можно ли ее избежать?

Рис. 49

Учащимся предлагалось вспомнить, как строилась кривая охлаждения. Там тоже по данным таблицы значений строили сначала отдельные точки, которые затем соединяли плавной кривой. Однако тогда учащиеся знали характер поведения этой кривой: ее точки с увеличением абсциссы не могли удаляться от оси Ох, так как это означало бы рост температуры, что противоречило бы физической природе описываемого процесса. Именно это давало им уверенность в том, что построенная кривая правильно отражает зависимость. В рассмотренном же примере поведение функции между двумя соседними значениями аргумента (для которых построены точки) не выяснялось. Это, очевидно, и привело к ошибке.

Переходя к анализу поведения рассматриваемой функции в промежутке (0; 1), устанавливали:

1. При X = у= ~ 0,58 функция у = ({_J3x2)2 не 0ПРе“ делена. Геометрически это означает, что прямая MN', проходящая через точку 0j параллельно оси ординат, не пересечет графика функции. На чертеже эту прямую проводили пунктирной линией. Точку ^у^> Oj называли «особой».

2. С увеличением х от 0 до -^== значение выражения (1 — Зх2)2 уменьшается, а дробь ^_^2 увеличивается,

и, следовательно, в этом промежутке точки графика с ростом абсциссы удаляются от оси Ох.

3. С увеличением х от до 1 значение выражения (1 — Зх2)2 увеличивается, а дробь ^__^2 уменьшается, и, следовательно, в этом промежутке точки графика с ростом абсциссы приближаются к оси Ох.

Уточняя вид графика в промежутке (0; 1), предлагали построить дополнительно точки, соответствующие значениям аргумента л: = 0,1 ; 0,2; 0,3; ... ; 0,9.

В целях экономии времени всю вычислительную работу распределяли между учащимися с таким расчетом, чтобы каждый из них вычислял значение функции только для одного какого-либо значения аргумента. Результаты вычислений заносили в заранее приготовленную «а доске таблицу:

Построив соответствующие этим значениям точки (рис. 50) и выяснив, что их расположение в промежутках ^0; и (^у=\ 1 j отвечает результатам проведенного выше анализа, соединяли их (в каждом из указанных промежутков) плавной кривой. Затем устанавливалось, что по мере приближения х к «особой» точке значения функции у = ^__зХ2)2 неограниченно растут (у ->- + оо) и, следовательно, точки графика по мере приближения к прямой MN неограниченно поднимаются над осью Ох.

Заметив, что из четности функции у= —(\__1Х2у следует симметричность ее графика относительно оси ординат, строили левую часть графика путем отражения ее правой части в оси ординат.

Сопоставляя истинный вид графика (рис. 50) с тем, который учащиеся построили сначала (см. рис. 49), выясняли, что ошибка в построении графика произошла пото-

му, что не был учтен характер поведения функции между соседними точками графика.

Как же избежать подобных ошибок? Можно, конечно, увеличить число построенных точек графика, однако в принципе это не гарантирует правильности построения графика. Для избежания подобных ошибок в общем случае необходимо, опираясь на данное аналитическое выражение, исследовать поведение функции между соседними точками графика.

Если до этого примера учащиеся смотрели на график как на средство исследования аналитически заданной функции, то теперь они убеждались, что для построения такого графика опять-таки нужно уметь исследовать функцию непосредственно по ее аналитическому выражению.

Так возникает потребность в методах исследования аналитически заданной функции, которые бы не опирались на ее график, в методах, при которых график, фиксирующий свойства функции в наглядном образе кривой, появлялся бы только в качестве завершающего звена этих исследований. Как известно, такие методы изучаются в курсе дифференциального исчисления. Однако в несложных случаях исследовать некоторые свойства функ-

Рпс. 50

ции и по данным этого исследования построить ее график удается без привлечения аппарата дифференциального исчисления, средствами элементарной алгебры.

В большинстве нетривиальных случаев такое исследование требует хорошего знания многих разделов элементарной математики, а зачастую и остроумного применения этих знаний. Исследование свойств функции средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками своих знаний по многим важным разделам элементарной математики.

Необходимо отметить, что в процессе элементарного исследования функций и построения их графиков удается провести необходимую подготовительную работу для введения понятия предела функции. Для этого нужно в качестве одного из элементов исследования функции включить вопрос о ее поведении:

1) «в бесконечности», т. е. при ноеграниченном возрастании аргумента х по абсолютной величине;

2) «в окрестности «особых» точек», т. е. при значениях этого аргумента, неограниченно приближающихся к его «особым» точкам.

С включением в школьную программу элементов дифференциального исчисления вопросы элементарного исследования функции не утрачивают своего самостоятельного значения. Кроме того, как нам кажется, рассмотрение подобных примеров поможет учащимся лучше оценить силу дифференциального исчисления, изящно и просто решающего многочисленные задачи исследования функций, перед которыми элементарная алгебра зачастую оказывается бессильной.

§ 3. Примеры элементарного исследования функций с построением их графиков

На следующих четырех уроках (с седьмого по десятый) выполняли упражнения на элементарное исследование несложных функций. Обычно такое исследование проводится чисто аналитическими средствами и завершается схематическим наброском графика. Построение же отдельных точек служит только цели уточнения этого графика. Однако проведенная с учащимися работа показала,

что такое отвлеченное от графика исследование функции усваивается ими с большим трудом и может быть проведено только отдельными наиболее успевающими учениками. Поэтому мы предпочитали исследование функции проводить в порядке обоснования проводимого построения. Так, например, найдя область определения функции и построив несколько точек графика, устанавливали предположительно промежутки его монотонности, а также поведение «в бесконечности» и вблизи «особых» точек. Затем, если удавалось доказать справедливость высказанных предположений, соединяли построенные точки плавной кривой. Остальные свойства функции учитывались» с построенного графика. При этом найденные по графику корни функции, промежутки знакопостоянства, область изменения функции по возможности проверялись аналитическими средствами.

Необходимо заметить, что приведенные ниже упражнения в том виде, в каком они там решены, выполнялись в классе под руководством и при активной помощи учителя. Всего выполнялось четыре таких упражнения, по одному на уроке. Аналогичные упражнения учащиеся выполняли дома. При этом от большинства из них не требовалось доказательств монотонности функции. В сомнительных случаях предлагалось просто увеличить число построенных точек графика. Не требовалась при выполнении домашнего задания и аналитическая проверка установленной по графику области изменения функции. Только наиболее успевающие учащиеся выполняли исследование в полном объеме, т. е. так же, как в классе.

Приведем в качестве примера два таких упражнения.

Пример 1. Исследовать функцию у = *2 + { и построить ее график.

1. Область определения. Областью определения служит все множество вещественных чисел. Геометрически это означает, что любая прямая, параллельная оси ординат, пересечет график.

2. Четность. Функция четная, и, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться исследованием этой функции только для положительных значений аргумента.

3. Промежутки монотонности. Вычислив значения функции при х, равном 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 3; 4, и

построив соответствующие этим значениям точки (рис. 51), учащиеся высказывали предположение, что в промежутке (0, + œ) функция возрастающая. Выяснялось, что высказанное предположение необходимо доказать.

Пусть хх и х2 — два произвольных значения аргумента, а ух и ^ — соответствующие им значения функции

Тогда

(1)

Пусть теперь 0<х1<х2 и, следовательно, функция рассматривается в промежутке (0; + œ). Тогда х2—а:1>0, так как *2 > хг\ *i+x2>0, так как ^>0 и л:2> 0, а знаменатель дроби (1) положителен при любых значениях хх и х2. Следовательно, дробь (1), а потому и разность у2—уг положительна, откуда у2>У\.

Итак, для 0<а:1<а:2 у2> yl9 т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, в промежутке (0, + со) рассматриваемая функция действительно возрастающая.

Соединив построенные точки плавной кривой, строили левую часть графика, симметричную правой относительно оси ординат.

4. Для выяснения поведения графика при неограниченном росте абсциссы х находили Um . при х -> + оо.

Для этого, полагая *>0, делили обе части дроби на л:2.

Рис. 51

Тогда для X > О

В процессе неограниченного роста х(х-> + со) числитель и знаменатель этой дроби имеют пределы: Hm(l— ^2) = 1, Hm+ ~j = 1 . Используя теорему о пределе дроби, получали, что Um у= 1 при # -> + оо.

Таким образом, при неограниченном продолжении графика вправо его точки неограниченно приближаются к прямой у=\. На графике эту прямую проводили пунктирной линией.

В силу четности функции заключали, что и при неограниченном продолжении графика влево его точки будут неограниченно приближаться (и тоже снизу) к той же прямой у=1. Иначе говоря, Hm у= 1 при х ->—оо,

5. Корни функции. Как видно из графика, данная функция имеет два корня хг=—1 и х2=1. Тот же результат получали, решая уравнение = 0.

6. Промежутки знакопостоянства. Судя по графику, функция положительна в промежутках (—оо, —1) и (1, + оо) и отрицательна в промежутке (—1, 1). Тот же результат получали, решая неравенства ^qrr>0 и ^ < 0.

7. Область изменения функции. Из графика видно, что областью изменения функции у служит промежуток (—1; 1), точнее, — 1 <#< 1. В подготовленном классе найденный результат проверяли следующим образом. Из уравнения У=х2+ ^ имеем (1—у)х2 = \ + у, откуда при уФ 1 л;= ± у у^г. Следовательно, у может принимать только те значения, при которых yï~> 0 пуф\.

Решая эти неравенства, получаем, что —1<у<\ и у Ф 1, т. е. — 1 < у < 1.

8. Максимумы и минимумы. Функция имеет один минимум, равный —1, который достигается при л;=о, и не имеет ни одного максимума.

Пример 2. Исследовать функцию у=х + — и построить ее график.

1. Область определения. Областью определения функции служит все множество вещественных чисел, кроме х=0. Геометрически это означает, что любая прямая, параллельная оси ординат (кроме самой этой оси), пересечет график. Точку х = 0 называли «особой».

2. Четность. Функция нечетная, и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться исследованием этой функции только для положительных значений аргумента.

3. Промежутки монотонности. Вычислив значения функции при х} равном 0,5; 1; 1,5; 2; 3; 4, и построив соответствующие этим значениям точки (рис. 52), учащиеся высказывали предположение, что в промежутке (0; 1) функция убывающая, а в промежутке (1; +оо) возрастающая. Выяснялось, что высказанное предположение требует доказательства.

Пусть хх и х2—два произвольных значения аргумента, а //2 и у2—соответствующие им значения функции:

Рис. 52

Тогда

(2)

Пусть теперь 0<^1<л:2<1 и, следовательно, функция рассматривается в промежутке (0; 1). Тогда х2—*i>0, так как х2>хг\ ххх2> 0 и х^—1<0, так как 0<*Л<1. Следовательно, дробь (2), а потому и разность у2—ух отрицательны, откуда у2<.У\.

Итак, для 0<*!<л;2<1 у2<уи т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, в промежутке (0; 1) функция действительно убывающая.

Пусть теперь 1<*1<л;2 и, следовательно, функция рассматривается в промежутке (1; + œ); тогда х2—л:1>0, так как х2>хх\ ххх2> 0 и ххх2—1>0, так как l<*i*2- Следовательно, дробь (2), а потому и разность ü2—Ух положительны, откуда #2> уг.

Итак, для 1 <х1<*2 у2> уи т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, в промежутке (1; + оо) функция действительно возрастающая.

Соединив построенные точки плавной кривой, строили левую часть графика, симметричную правой относительно начала координат.

4. Решая вопрос о поведении графика при неограниченном росте абсциссы ху выясняли, что в этом процессе первое слагаемое функции у=х + неограниченно растет, тогда как второе стремится к нулю. Отсюда следовало, что сама функция растет неограниченно, т. е. у=х + ~ -> + оо при х-> + оо. Таким образом, при неограниченном продолжении графика вправо его точки неограниченно поднимаются над осью Ох.

Затем ставился вопрос о поведении графика при неограниченном приближении аргумента х к «особой» точке л:=0. С этой целью переменная ордината у рассматривалась в процессе неограниченного приближения аргумента X к нулю (справа), когда х принимает только положительные значения. Выяснилось, что в этом процессе переменная у=х + ~ , принимая положительные значения, неограниченно растет; действительно, при

X -> 0(х > 0) переменная ~, а следовательно, и переменная л; + — -> + оо.

Таким образом, при продолжении графика влево его точки будут неограниченно приближаться к оси ординат.

В силу нечетности функции особенности в строении правой ветви графика переносили на симметричную левую ветвь.

5. Корни функции. Как видно из графика, функция не имеет корней. Тот же результат получали, решая уравнение х + -~==0.

6. Промежутки знакопостоянства. Судя по графику, функция отрицательна в промежутке (—оо; 0) и положительна в промежутке (0; + оо). Тот же результат получали, решая неравенства я+-^>0и*+-~ <0.

7. Область изменения функции. Из графика видно, что областью изменения функции служат промежутки (—оо; —2) и (2; + со), точнее, —2 и у> 2. Область изменения этой функции можно найти и непосредственно из самого аналитического выражения.

Действительно, из уравнения у=х + — следует, что X—ух +1 = 0, откуда Л'= J - г £-. Следовательно, у может принимать только те значения, при которых у2—4 > 0. Решая неравенство, найдем у < — 2, у > 2.

8. Максимумы и минимумы. Из графика видно, что функция имеет один минимум при л:=1, равный 2, и один максимум при л:=—1, равный —2.

В порядке домашней работы учащиеся выполняли упражнения на построение графиков функций с одновременным исследованием их свойств:

Два следующих урока (одиннадцатый и двенадцатый) посвящали обзору свойств и графиков изученных ранее элементарных функций. При этом справедливость неко-

торых из ранее сформулированных свойств проверялась аналитическими средствами. Наиболее обстоятельно разбирались свойства показательной функции.

§ 4. Предел функции

Предел функции y=f(x) при х—>а мы вводили на основе понятия предела переменной величины. С этой целью прежде всего выполняли упражнения, в которых требовалось выяснить поведение функции вблизи (в окрестности) ее «особых» точек. Выполнение этих упражнений в целях большей наглядности опять-таки сопровождали построением графиков исследуемых функций; однако, в отличие от предыдущих примеров, графики строились только в ограниченных числовых промежутках, содержащих «особую» точку. Вопросы поведения функции за пределами этого промежутка, а тем более «в бесконечности», не ставили.

Пример 1. Построить график функции г/= ^£^-и исследовать его строение вблизи «особой» точки х= 2.

Вычислив значения функции при х, равном —1, 0, 1, 3, 4, о, и построив соответствующие этим значениям точки (рис. 53), учащиеся высказывали предположение, что в промежутках (—со; 2) и (2; + оо) функция возрастающая. Действительно, если считать хф 2, то функ-

Рис. 53

цию у = можно представить в виде монотонно возрастающей функции: у = х + 2.

Затем ставился вопрос о поведении графика при неограниченном приближении абсциссы х к «особой» точке X = 2. С этой целью вычисляли предел, к которому стремится переменная у = , когда х стремится к числу 2 (как к своему пределу), оставаясь меньше 2.

Так как в этом процессе х ф 2, то х_2 = х + 2 и потому lim у = lim (л: + 2) = lim л: + 2. Но по условию процесс заключается в том, что Нтл; = 2. Поэтому lim у = 4. Так же находили, что lim у = 4, когда д: стремится к числу 2 (как к своему пределу), оставаясь больше 2.

Следовательно, у->А при л:-^2, каким бы способом X ни приближалось к 2 (как к пределу), лишь бы X в этом процессе не равнялось 2.

Пример 2. Построить график функции у = -^г3— и исследовать его строение вблизи «особой» точки х = 3.

Вычислив значение функции при х, равном —2, —1, О, 1,2, 4, 5, 6, 7, строили соответствующие этим значениям точки графика (рис. 54). Так как при любом X < 3 функция у = —1, а при любом х > 3 функция у = 1, то ее график представляет собой две полупрямые, параллельные оси абсцисс.

Рис. 54

Затем устанавливалось поведение функции при неограниченном приближении абсциссы х к особой точке X = 3. Выяснилось, что если х стремится к числу 3 (как к своему пределу), оставаясь меньше 3, то функция у сохраняет постоянное значение, равное —1, и потому в этом процессе предел переменной у = ! ! равен —1. Если же х стремится к числу 3, оставаясь больше 3, то функция у сохраняет постоянное значение, равное 1, и поэтому в этом процессе предел переменной у = *равен +1. Наконец, если х, приближаясь к числу 3 как к своему пределу, принимает числовые значения попеременно то большие, то меньшие 3 (например, 3,1; —2,9; 3,01; —2,99; 3,001; —2,999;...), то значениями переменной у будут попеременно то +1, то —1, и, следовательно, в этом процессе переменная у не может иметь предела.

Итак, и наличие у переменной у = ! х~~\* предела при х->3 (хфЗ), и его величина зависят от способа стремления х к своему пределу.

Пример 3. Построить график функции у = 2х и исследовать его строение вблизи «особой» точки х = 0.

Вычислив значения функции для л:, равного —3; —2; — 1; —0,5; 0,5; 1; 2; 3, и построив соответствующие этим значениям точки графика (рис. 55), учащиеся высказывали предположение, что функция убывает как в

Рис. 55

промежутке (—оо; 0), так и в промежутке (0; + оо). Высказанное предположение доказывалось. Пусть xt и х2 — два произвольных значения аргумента, а ух и у2 — соответствующие им значения функции; тогда

(3)

Пусть теперь *1<#2<0 и, следовательно, функция рассматривается в промежутке (—оо, 0). Тогда *1~~*2 < 0, откуда по свойству показательной функции 2 х,х2 < 1. Учитывая, что 2 *>0 при любом значении хи заключали, что выражение (3), а потому и разность У2— У\ отрицательны, откуда y2<yv

Итак, для хх < х2 < 0 у2 < уи т. е. в промежутке (—оо; 0) функция 2х действительно убывающая.

К тому же выводу приходили, рассматривая эту функцию в промежутке (0; + оо). Построенные точки (в каждом из интервалов) соединяли плавной кривой.

Затем ставился вопрос о поведении графика при неограниченном приближении абсциссы х к особой точке X = 0. Выяснялось, что если х стремится к 0 как своему пределу, оставаясь отрицательным, то — -> — оо, Рассматривая затем 2х как показательную функцию, аргумент которой — стремится к —оо, заключали (по шестому свойству показательной функции), что 2х -*0. Если же X стремится к нулю, о:таваясь положительным, то — -> + оо, откуда по тому же свойству показательной функции 2х заключали, что 2х -> + оо.

Итак, существование у переменной у=*2х предела при х-+0 (х^О) и его величина зависят от способа стремления х к своему пределу.

Пример 4. Выяснить поведение переменной у = х2 в процессе стремления х к числу 5 как своему пределу.

На основании известных теорем о пределах переменных, изменяющихся в одном и том же процессе, заключали, что lim х2 = lim (х-х) = lim х-lim х\ но Ит*=5, поэтому lim*2 =25.

Итак, каким бы образом ни приближался аргумент х к числу 5 как своему пределу, переменная у будет иметь предел, равный 25.

Опираясь на материал рассмотренных примеров, выясняли, что если переменная у есть функция переменной X [y = f(x)], которая, изменяясь, стремится к некоторому числу а как своему пределу, но не принимает значения, равного а (хфа), то переменная у в этом процессе либо будет также стремиться к некоторому пределу Ь, либо не будет стремиться ни к какому пределу. Та или другая возможность зависит прежде всего от свойств данной функции, но также может зависеть от того, каков именно процесс изменения переменной х. Затем давали определение.

Определение. Если переменная y=f(x) стремится к некоторому пределу ft при условии, что* каким угодно способом стремится к пределу а (не принимая, однако, самого значения а), то говорят, что функция имеет предел Ъ при х, стремящемся к а. Вводили обозначение f(x)->b при х->а, а также \\mf(x) = b.

Обращаясь к рассмотренным примерам, заключали:

1. Функция у = X + — при л:->0 не имеет предела.

2. Функция у = х_2 при Х-+2 имеет предел, равный 4, т. е. lim х*~* = 4.

3. Функция у = при X ->3 не имеет предела.

4. Функция у = 2х при X О не имеет предела.

5. Функция у = X2 при х->5 имеет предел, равный 25, т. е. limх2 = 25.

Учитывая, что предел функции является частным случаем предела переменной, предлагали учащимся сформулировать применительно к пределу функции теоремы о пределах переменных.

Теорема. Если lim/(jt) и Птср(л:) существуют, то:

1. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю:

4. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине lim С = С.

Затем выполнялись упражнения из стабильного задачника на вычисление пределов.

Наконец, учащимся предлагалось выяснить, имеет ли функция g(x) = ^x^- при х->0 предел и если имеет, то чему он равен1.

Так как предел знаменателя равен нулю, то для отыскания предела этой функции нельзя воспользоваться теоремой о пределе дроби. Поэтому прежде всего устанавливались некоторые свойства этой функции.

1. Областью определения функции g(x) служит все множество вещественных чисел, кроме х = 0.

2. Функция g(x) четная; следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат и поэтому в дальнейшем можно ограничиться исследованием этой функции только для положительных значений аргумента.

3. Выясняя строение графика этой функции вблизи «особой» точки X = 0, предлагали вычислить ее значения для некоторых значений аргумента из промежутка

1 Переменная х выражена в радианах.

Построив соответствующие этим значениям точки, обнаруживали, что по мере приближения значений аргумента X к нулю как справа (х > 0), так и слева (х < 0) значения функции приближаются к 1.

На основании этого высказывалось предположение, что при любом способе стремления аргумента х к нулю (хфО) переменная у = имеет предел, равный 1, т. е.

lim-= 1.

Выяснялось, что для доказательства высказанного предположения нужно показать, что модуль разности 1 — с течением процесса (х -> 0) становится и в дальнейшем остается меньше любого малого положительного числа.

Затем, опираясь на тригонометрический круг, обычным путем выводили неравенство 1 — < х, из которого следовало, что при х-±0 (*>0) величина 1 — действительно становится и остается меньше любого положительного числа, что и доказывало высказанное утверждение.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ............. ..... 3

Глава 1. Изучение тригонометрических функций

§ 1. Введение...........5

§ 2. Периодические процессы и периодические функции ..............7

§ 3. Радианная мера углов и дуг.....15

§ 4. Числовая окружность.......16

§ 5. Определение тригонометрических функций. Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента .... 19

§ 6. Свойства тригонометрических функций и их графики............. 22

§ 7. Выражение периодических процессов при помощи тригонометрических функций......26

§ 8. Формулы приведения тригонометрических функций ...............30

§ 9. Упражнения на исследование тригонометрических функций............36

Глава 2. Теория пределов

§ 1. Введение . .......... 41

§ 2. Примеры, приводящие к понятию предела. Определение предела. Бесконечно большая величина . . 44

§ 3. Упражнения на закрепление понятия предела.

Теоремы о пределах.......... 51

§ 4. Применение теории пределов к решению задач 57

Глава 3. Показательная и логарифмическая функции

§ 1. Введение.......... 66

§ 2. Физические процессы, приводящие к показательной функции........... 68

§ 3. Показательная функция и ее свойства . . 73

§ 4. Логарифмическая функция и ее свойства . . 78

§ 5. Задачи, приводящие к показательным уравнениям .............. 84

Глава 4. Функции и пределы

§ 1. Введение.......... 87

§ 2. Вопросы построения графиков и задача аналитического исследования свойств функции .... 89

§ 3. Примеры элементарного исследования функций с построением их графиков........ 93

§ 4. Предел функции......... 100

Роберт Адольфович Майер

ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПРЕДЕЛОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ

Редактор В. С. Капустина Художественный редактор Л. В. Голубева Технический редактор В. В. Тарасова Корректор В. А. Седова

Сдано в набор 21/1X1963 г. Подписано к печати 10/11 1964 г

Формат 84х1087мБум. л.1,69Печ. л.6,75 Усл. п. л.5,54

Уч.-изд. л. 5,27 ТП АПН РСФСР 1964 г. № 77

Цена 14 коп. А 00048 Тираж 23 250 экз. Заказ 4847

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной Рощи. 41. Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, Люберцы, Октябрьский просп., 403

14 коп.