Математика в образовании и воспитании

Математика в образовании и воспитании

ФАЗИС Москва 2000

УДК 501 ББК 22 + 74.2

Издание поддержано фондом “КНИГА-НАУКА-КУЛЬТУРА”

Математика в образовании и воспитании.

Сост. В.Б.Филиппов. — М.: ФАЗИС, 2000; 256с.

ISBN 5-7036-0067-7

Сборник составлен из статей, в которых авторы затрагивают наиболее общие проблемы образования и воспитания, в том числе, связанные с математическим образованием. Одна из главных целей издания — возвратить в культурный обиход непреходящие работы выдающихся мыслителей прошлого и современности, находящиеся в труднодоступных изданиях. Сборник адресован самому широкому кругу читателей; любой человек, небезразличный к воспитанию и образованию подрастающего поколения, найдет здесь много полезного и важного для себя.

Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.1996) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44. E-mail: phasis@aha.ru http://www.aha.ru/~phasis

ППП «Типография «Наука». 121099, Москва, Шубинский пер., 6 Заказ № 523

ISBN 5-7036-0067-7

© ФАЗИС, 2000

Содержание

Платон и Исократ о роли математики в образовании и воспитании (Ю. А. Шичалин)..... 5

Кассиодор

Наставления в светских науках.............................. 12

Карл Великий

Капитулярий о занятиях науками.......................... 13

Н. И. Лобачевский

Речь «О важнейших предметах воспитания»......... 15

Э. Борель

Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки................... 22

В. Сервэ

Преподавание математики в средних школах...... 38

Рекомендация конференции министерствам народного просвещения, относящаяся к преподаванию математики в средних школах .... 53

А. Я. Хинчин

О воспитательном эффекте уроков математики.... 64

П. Л. Капица

Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи................. 103

Переписка П. Л. Капицы и А. Н. Колмогорова по вопросам образования (А. М. Абрамов)............. 120

A. Н. Колмогоров

К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет».................................. 129

Д. В. Аносов

Образование для жизни........................................... 139

B. М. Тихомиров

Математическое образование (цели, концепции, структура, перспективы)....... 163

C. П. Новиков

Математическое образование в России: есть ли перспективы?............................................... 177

В. И. Арнольд

Математика и математическое образование в современном мире................................................ 195

Ю. П. Соловьев

Два принципа построения образовательных программ по математике......................................... 206

A. М. Абрамов

Еще раз о программе обновления содержания общего среднего образования................................. 213

B. Б. Филиппов

Воспитание—Образование—Математика (послесловие составителя)...................................... 228

Сведения об авторах. Комментарии.............................. 245

Ю. А. Шичалин

Платон и Исократ о роли математики в образовании и воспитании

Роль математики в системе общего образования греки впервые оценили в V веке до Р.Х., когда множество молодых людей из обеспеченных семейств увлеклось решением математических задач, не имевших никакого практического применения: интеллектуальные добродетели были осознаны как престижные сначала на Востоке (в Ионии), где развилась ионийская наука, затем на Западе (в Южной Италии и Сицилии), а Афины подхватили эту моду на интеллектуальный спорт и очень скоро стали ее законодателями.

Но Платон, принадлежавший к одной из аристократических фамилий Афин, испытывал интерес к математике еще и потому, что был увлечен учением Пифагора и его последователей, а в школе пифагорейцев арифметика, геометрия и музыка занимали чрезвычайно важное место. При этом пифагорейцы были философами, и потому нет ничего удивительного в том, что Платон в огромном диалоге в 10 книгах «Государство» считает эти три науки вместе с астрономией основой образования будущего философа, тем более, что философы, по Платону, только и могут быть подлинными правителями государства, которым, разумеется, необходим широкий

интеллектуальный горизонт. Однако гораздо примечательнее то обстоятельство, что Платон считает математику необходимой для большинства людей.

В 7-й книге «Законов»* Платон пишет: «Для свободных людей остаются еще три предмета обучения: счет и арифметика составляют один предмет; измерение длины, плоскости и глубины — второй; третий касается взаимного движения небесных светил и свойственных их природе круговращений. Трудиться над доскональным изучением всего этого большинству людей не надо, но только лишь некоторым... Однако... позорно, если большинство людей не имеют необходимых сведений в этой области и пребывают в невежестве.»

В других диалогах Платон объясняет, почему это так. Дело в том, что все люди, по Платону, некогда — до того, как их душа оказалась в этом теле (Платон и здесь верен пифагорейскому мифу о метемпсихозе), — созерцали истинное бытие, а прообразы математических предметов именно с ним и связаны. И хотя одни видели больше и глядели дольше, а другие — меньше и не столь долго, всем людям математика в принципе доступна, и потому все должны изучать ее просто ради того, чтобы вспомнить о своей приобщенности к истинному миру, а не оставаться в мире иллюзорных кажимостей. Помогает добиться этой приобщенности подлинное образование, и тем самым становится понятным, почему Платон считает необходимым включать математику в систему общего образования.

Греки считали, что воспитывать нужно и тело, и душу, т. е. воспитание должно быть физическим и мусическим. Изучение математики относится к мусическому воспитанию. Вот как описывает роль математики в классической

* Платон, «Сочинения», т.3, ч.2. — М.: Мысль, 1972, с.300.

традиции воспитания по Платону известный французский историк философии и культуры А.-И. Марру*.

«Платон включает в (лоосшсп [мусическое воспитание] третий, весьма неожиданный ряд предметов. Или, по крайней мере, он отводит ему столь большое место, что все пропорции прежней системы образования оказываются смещены: речь идет о математике. У Платона, в отличие от его предшественников, например, Гиппия, изучение математики не зарезервировано для высшей школы; она должна присутствовать на всех уровнях образования, начиная с элементарного.

Разумеется, с момента своего создания начальная школа не могла обойтись без простейшего обучения счету: один, два, три...; нужно было выучить ряды целых чисел и, возможно, двенадцатиричные дроби, употреблявшиеся в греческой системе мер; этого требовало само обучение языку и практические нужды. Но Платон идет гораздо дальше: к изучению собственно чисел, что традиционно считалось у греков предметом арифметики, он добавляет науку вычислений, включенных в задачи, заимствованные из повседневной жизни, из практики различных ремесел. Это было, как можно предположить, нечто аналогичное задачам о “доходах ” или о “бассейнах”, которыми мы терзаем по сей день наших детей. В геометрию также включаются простейшие операции с числами: измерения длины, плоских поверхностей и объемов, а в астрономию — тот минимум математических познаний, который требуется для обращения с календарем.

Это педагогическое нововведение чрезвычайной важности. Платон уверяет нас, что вводит его в подражание

* А.-И. Марру, «История воспитания в античности (Греция)». — М.: «Греко-латинский кабинет» Ю. А. Шичалина, 1998, с.108-112.

египетским обычаям, которые в самом деле могли быть ему известны через его ученика, математика Евдокса Книдского, ездившего в образовательных целях в Египет. А что такие задачи действительно входили в Египте в программу школы писцов, мы смогли убедиться благодаря находке математических папирусов.

Итак, все дети должны будут изучать математику, по крайней мере на этом элементарном уровне. Им придется заняться этим с самого раннего возраста, но урокам постараются придать характер приятной забавы, игры; непосредственной целью этих занятий будет практическое применение полученных знаний для военного дела, для торговли, для земледелия и мореплавания. Никому не дозволено обойтись без этого минимума, по крайней мере, никому из тех, кто в самом деле претендует на имя человека, а не откармливаемого ради сала борова.

Но, что самое важное, роль математики не сводится к этим ремесленным навыкам: уже эти первоначальные упражнения, при всей своей практической направленности, обладают более глубоким значением для образования. Платон, наследник и продолжатель дела Гиппия, указывает на огромные развивающие возможности математики; в этом отношении она, по его словам, несравненна; она пробуждает ум, придает ему гибкость, живость и памятливость.

Математика приносит пользу всем: прикладные упражнения в счете выявляют одаренные умы, которые развивают при этом занятии свою врожденную склонность ко всякого рода ученым занятиям; но и сперва неподатливые, более медлительные головы постепенно пробуждаются таким образом от своей спячки, развиваются и становятся более способны к учению, чем было им свойственно от природы. Это глубокое и оригинальное наблюдение: в отличие от большинства своих последователей (как античных, так и Нового времени), полагающих, что только литература оди-

каково важна для всех, а математика — удел особо одаренных счастливцев, Платон утверждает, нто и тонные науки обращены ко всем, поскольку они основаны исключительно на разуме — способности общечеловеческой...

Как и у Гиппия, программой будет традиционный пифагорейский Quadrivium: арифметика, геометрия, астрономия, акустика; Платон, стремясь включить в преподавание результаты последних научных открытий, дополняет его, добавив к геометрии на плоскости пространственную, которая только что была создана великим математиком Теэтетом и в развитии которой Академия, в лице Евдокса, принимала активное участие. Но что ему особенно важно — это очистить само понятие этих наук: они должны освободиться от всякого субстрата чувственного опыта, стать чисто рациональными, я бы даже сказал, априорными.

Возьмем, к примеру, астрономию: она должна быть математической наукой, а не наукой наблюдений. Для Платона звездное небо в его сиянии и правильности его упорядоченных движений— лишь чувственный образ. Для истинного астронома оно то же, что для подлинного геометра геометрическая фигура, хотя бы и нарисованная с величайшей тщательностью искуснейшим из художников: она для него совершенно бесполезна, так как он производит действия в мысли над умопостигаемой фигурой. Платоновская астрономия есть совокупность круговых равномерных движений, которая призвана не только, как это упрощенно понимает Симпликий, “спасать явления ” (то есть объяснять наблюдаемые феномены), но отыскать те самые числовые закономерности, при помощи которых Демиург упорядочил мир.

Платон, выходя за пределы практического использования, отводит математике прежде всего пропедевтическую роль. Ее задача не в том, чтобы дать набор полезных знаний, а в том, чтобы создать “ясную голову”, чтобы ум стал

способен вместить умопостигаемую истину в том смысле, в каком геометрия говорит о вмещающем дугу угле. Историческое значение этой мысли трудно переоценить: ею открывается новая эпоха в истории педагогики. Ведь Платон формулирует здесь ни больше ни меньше как идеальное понятие и специфическую программу того, что следовало бы назвать средним образованием...».

Нужно сказать, что Платон здесь был не одинок. Его современником и постоянным оппонентом был знаменитый оратор Исократ. Этот последний — в отличие от Платона — не считал изучение математики сколько-нибудь обязательным для взрослых людей, но признавал ее воспитательное значение как раз для детей: «Я полагаю, что те, кто преподает астрономию, геометрию и прочие такого рода науки, не вредят слушателям, но приносят им пользу, хотя и меньшую той, какую они обещают, однако же большую той, какую предполагают остальные. Дело в том, что большинство считают такие науки пустяками и болтовней, поскольку, мол, ни одна из них не только не приносит пользы ни в частных, ни в общественных делах, но даже в памяти учащихся не остаётся из-за того, что совершенно не соответствует жизни, не помогает в делах и вообще находится вне сферы необходимого. Мое же мнение о них не таково, хотя и не сильно от него отличается, так что и те, кто считает эти науки бесполезными, на мой взгляд, правы, и восхваляющие это (математическое) образование не погрешают против истины..., поскольку увлеченные чрезмерной обстоятельностью и точностью геометрии и принужденные устремлять ум на труднопостижимые предметы, а вдобавок привыкающие внимательно рассматривать то, что утверждается и доказывается, и не развлекаться мыслью, они — после того, как поупражнялись в этом и изощрили свой ум,— могут легче и быстрее воспринимать и постигать более серьезные и заслуживающие внимания предметы...

Я называю это занятие... упражнением души и подготовкой к философии; конечно, оно серьезнее того, чем совсем дети занимаются в своих школах, но все же почти во всём сходно с ним...»*.

Занятия грамматикой или музыкой сами по себе не делают молодого человека всерьез готовым к практической работе или к политической деятельности, но позволяют ему усовершенствовать свою восприимчивость и способность понимания более серьезных вещей; точно такую же роль выполняет, согласно Исократу, и математика, почему знаменитый оратор советует обязательно заниматься ею молодым людям.

* Исократ, «Об обмене имуществом», перев. с др.-греч. Ю. А. Шичалина.

Кассиодор

Наставления в светских науках

Математика, которую... мы можем назвать теоретическим предметом, — это наука, изучающая абстрактное количество. Абстрактное количество есть то, что мы рассматриваем лишь умозрительно, отделяя в уме от материи и других случайных явлений. Математика включает в себя следующие дисциплины: арифметику, музыку, геометрию и астрономию. Арифметика — наука о числовом количестве в себе. Музыка — наука, рассматривающая числа в отношении к звукам. Геометрия — наука о неизменных величинах и числах. Астрономия — наука о небесных телах во всех формах, изучающая обычное положение звезд по отношению друг к другу и к земле...

Обсудим теперь термин «наука». Наука... есть изучение, свободное от заблуждений, порожденных субъективными взглядами; она никогда не может быть иной, чем она есть, и называется именно так, поскольку всегда функционирует на основе своих собственных правил. Она никогда не расширяется и не сужается, не подвержена переменам, но сохраняет приверженность своей природе и придерживается своих собственных установлений с неизменным постоянством. Когда мы упражняем свой разум в занятиях науками, они обостряют нашу способность к пониманию и сметают пыль невежества. И если голос разума благоприятствует нам, они приводят нас, с Божией помощью, к выдающимся теоретическим рассуждениям...

Карл Великий

Капитулярий о занятиях науками

Карл, милостью Божией король франков и лангобардов, патриций Рима,... посылаем во имя всемогущего Бога свой ласковый привет!

...Мы вместе со своими верными определили считать полезным, чтобы в епископствах и монастырях, врученных милостью Христа нашему управлению, кроме исполнения правил монастырской жизни и религиозных упражнений, прилежали к размышлению о науках и их изучению, каждый по своим способностям, как он может учиться, при помощи Божией... Конечно, хороший поступок лучше, чем хорошее знание, однако же нужно прежде знать дело, чтобы его сделать. Таким образом, каждый должен предварительно изучить то, что он желает привести в исполнение: чтобы плодотворно было каждое дело, пусть знают, какой опасности может подвергнуть душу язык, даже и воздавая похвалу Богу, без предосторожностей против ошибок. Если всякому следует избегать ложного, то тем более должны заботиться о том, по мере своих сил, те, которые только для того и поставлены, чтобы исключительно служить истине.

...Мы все хорошо знаем, что как ни опасны ошибки в словах, но еще опаснее ошибки в уразумении смысла. Почему и убеждаем вас не только не пренебрегать научными занятиями, но со всею скромностью и благим перед Богом намерением предаваться им прилежно... Только тот

поймет все это духовно, кто был предварительно наставлен в области науки. Но для такого дела избирайте таких людей, которые имели бы способность и охоту учиться сами и вместе [с тем] желание учить других...

Если желаешь приобресть нашу благосклонность, то не забудь разослать копию с этого письма ко всем подведомственным тебе сопастырям и по всем монастырям. ...

Читающему доброго здоровья!

Н. И. Лобачевский

Речь «О важнейших предметах воспитания»

Вот уже год прошел, любезные мои товарищи, как по избранию вашему, несу я на себе должность, которой почести, важность и трудности служат доказательствами лестной вашей ко мне доверенности. Не смею жаловаться на то, что вы захотели отозвать меня от любимых мною занятий, которым долгое время предавался я по склонности. Вы наложили на меня новые труды и чуждые до того мне заботы; но я не смею роптать, потому что вы предоставили мне и новые средства быть полезным. Я принял ваш вызов, потому что уважал вашим мнением; потому что не хотел противиться общему желанию; потому что сам первый не мог оправдать того, кто на моем месте вздумал бы отказаться. Наконец, выбор ваш утвержден был государем императором, и обязанности нового звания сделались для меня священными.

...В воспитании юношества, в сем важном деле, где я по званию своему участвую более других членов Университета, в исполнении сей важной обязанности прошу ваших советов. Осмеливаюсь подвергнуть вашему суждению мои мысли, полагая, что они заключают в себе первые основания нравственности и могут указывать на те правила, которым следовать обязаны наставники...

В каком состоянии, воображаю, должен бы находиться человек, отчужденный от общества людей, отданный на волю одной дикой природе. Обращаю потом мысли к человеку, который, среди устроенного, образованного гражданства последних веков просвещения, высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества. Какая разность, какое безмерное расстояние разделяет того и другого. Эту разность произвело — воспитание. Оно начинается от колыбели, приобретается сперва одним подражанием, постепенно развертывается ум, память, воображение, вкус к изящному, пробуждается любовь к себе, к ближнему, любовь славы, чувство чести, желание наслаждаться жизнию. Все способности ума, все дарования, все страсти, все это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное целое, и человек, как бы снова родившись, является творение в совершенстве.

Наружный вид его, возвышенное чело, взор, который всюду устремляется, все созерцает вверху, вокруг себя; черты лица, в которых изображается чувственность, покоренная уму, — все показывает, что он родился быть господином, повелителем, царем природы. Но мудрость, с которой он должен править с наследственного своего престола, не дана ему от рождения: она приобретается учением.

В чем же должна заключаться эта мудрость? Чему должно нам учиться, чтобы достигнуть своего назначения? Какие способности должны быть раскрыты и усовершенствованы, какие должны потерпеть перемены; что надобно придать, что отсечь, как излишнее, вредное?

Мое мнение: ничего не уничтожать и все усовершенствовать. Неужели дары природы напрасны? Как осмелимся осуждать их? Кого обвиним в них? Одного признаем виновника всему, что ни существует; исповедуем его и благоговеем пред его бесконечною премудростию.

Всего обыкновенное слышать жалобы на страсти, но, как справедливо сказал Мабли: чем страсти сильнее, тем они полезнее в обществе; направление их может быть только вредно.

Что же надобно сказать о дарованиях умственных, врожденных побуждениях, свойственных человеку желаниях? Все должно остаться при нем: иначе исказим его природу, будем ее насиловать и повредим его благополучию.

Обратимся, во-первых, к главнейшей способности, уму, которым хотят отличить человека от прочих животных, противуполагая в последних инстинкт. Я не того мнения, чтобы человек лишен был инстинкта, который является во многих действиях ума, который в соединении с умом составляет Гений. Замечу только мимоходом, что инстинкт не приобретается; Гением быть нельзя, кто не родился. В этом-то искусство воспитателей: открыть Гений, обогатить его познаниями и дать свободу следовать его внушениям. Ум, если хотят составить его из воображения и памяти, едва ли отличает нас от животных? Но разум, без сомнения, принадлежит исключительно человеку; разум — это значит известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины вселенной и которые соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе, где противоречия существовать не могут.

Как бы то ни было, но в том надобно признаться, что не столько уму нашему, сколько дару слова одолжены мы всем нашим превосходством пред прочими животными. Им запрещено передавать друг другу понятия. Одному человеку предоставлено это право; он один на земле пользуется сим даром; ему одному велено учиться, изощрять свой ум, искать истин соединенными силами. Слова, как бы лучи ума его, передают и распространяют свет учения. Язык народа — свидетельство его

образованности, верное доказательство степени его просвещения.

Чему, спрашиваю я, одолжены своими блистательными успехами в последнее время математические и физические науки, слава нынешних веков, торжество ума человеческого? Без сомнения, искусственному языку своему, ибо как назвать все эти знаки различных исчислений, как не особенным, весьма сжатым языком, который, не утомляя напрасно нашего внимания, одной чертой выражает обширные понятия. Такие успехи математических наук, затмивши всякое другое учение, справедливо удивляют нас; заставляют признаться, что уму человеческому предоставлено исключительно познавать сего рода истины, что он, может быть, напрасно гоняется за другими; надобно согласиться и с тем, что математики открыли прямые средства к приобретению познаний. Еще не с давнего времени пользуемся мы сими средствами. Их указал нам знаменитый Бакон. Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно. Наконец, Гений Декарта привел эту счастливую перемену, и, благодаря его дарованиям, мы живем уже в такие времена, когда едва тень древней схоластики бродит по университетам. Здесь, в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено одним праздным умом. Здесь преподаются точные и естественные науки, с пособием языков и познаний исторических. Здесь преподаватели разделяют между собою предметы, которыми всю жизнь свою занимаются, еще с молодых лет почувствовав в себе охоту и некоторые дарования. Как жалко, что истинному

просвещению предпочитаются суетные выгоды домашнего воспитания. Кто хочет образовать своих детей для государства, тот должен прибегнуть к средствам, которые одно только государство в состоянии доставить; тот должен учить своих детей в общественных заведениях.

Одно образование умственное не довершает еще воспитание. Человек, обогащая свой ум познаниями, еще должен учиться уметь наслаждаться жизнию. Я хочу говорить об образованности вкуса.

Жить — значит чувствовать, наслаждаться жизнию, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем......Наслаждение заключается в волнении чувств, под тем условием, чтобы оно держалось в известных пределах... Веселое и печальное, как две противные силы, волнуют жизнь нашу внутри той волны, где заключаются все удовольствия, свойственные человеческой природе. Или подобно реке она [жизнь] течет в излучистых берегах: то разливается в лугах радости, то обмывает крутые утесы горестных размышлений. Ничто так не стесняет сего потока, как невежество: мертвою, прямою дорогою провожает оно жизнь от колыбели к могиле. Еще в низкой доле изнурительные труды необходимости, мешаясь с отдохновением, услаждают жизнь земледельца и ремесленника; но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжелый налог другим; вы, которых ум отупел и чувство заглохло; вы не наслаждаетесь жизнию. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков. Я утешаюсь мыслию, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если, к несчастию, уже родились с таким назначением. Не выйдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства.

Кажется, природа, одарив столь щедро человека при его рождении, еще не удовольствовалась. Вдохнула в каждого желание превосходить других, быть известным, быть предметом удивления, прославиться и, таким образом, возложила на самого человека попечение о своем усовершенствовании. Ум в непрестанной деятельности силится стяжать почести, возвыситься — и все человеческое племя идет от совершенства к совершенству — и где остановится?

Другие обязанности отзывают и охлаждают стремление к славе. Срочное время поручено человеку хранить огонь жизни; хранить с тем, чтобы он передал его другим. ...Но увы, напрасно жизненная сила собирает питательные соки; их сожигает огонь страстей, снедают заботы и губит невежество. Пылкость нашего воображения, наше знание, всегда готовые воспоминания будят страсти и призывают желания не должные. Наставник юношества пусть обратит сюда внимание и постарается предупредить безрассудность молодости, еще не знающей цены своему здоровью.

...Были люди, каковы Гоббес и Гельвеций, которые не хотели верить, чтобы человек рожден был для общества. По счастию, заблуждение их не опасно: подобные будут являться, может быть, по временам; но последователей себе не найдут... Мы родимся с добродетелями, и совесть дана им в охранение. Примеры научают лучше, нежели толкования и книги.

Вы, воспитанники сего заведения, вы пользовались сими примерами. Уверен, что вы отсюда донесете любовь и добродетели и сохраните ее вместе с благодарностию к вашим наставникам. Вы узнаете, и опыт света еще более уверит вас, что одно чувство любви к ближнему, любви бескорыстной, беспристрастной, истинное желание добра вам налагало на нас попечение просветить вам ум познаниями, утвердить вас в правилах веры, приучить

вас к трудолюбию, к порядку, к исполнению ваших обязанностей, сохранить невинность ваших нравов, сберечь и укрепить ваше здоровье, наставить вас в добродетелях, вдохнуть в вас желание славы, чувство благородства, справедливости и чести, этой строгой неприкосновенной честности, которая бы устояла против соблазнительных примеров злоупотребления, недосягаемых наказанием.

Еще вы не в состоянии дать истинной цены словам моим, и не вдруг опытность может вразумить вас. Теперь вступаете вы в свет; новизна и многоразличность впечатлений не дает места размышлениям. Но придет время, когда на блеске настоящего вдруг явится прошедшее с обворожительною прелестию своего туска, подобно нежной затуманенной резьбе на ярком золоте, подобно отраженным предметам в слабом зеркале вод; тогда лета воспитания, лета беззаботной юности со всеми невинными удовольствиями предстанут в вашем воспоминании, как образ совершенного счастия, невозвратимо потерянного. Тогда вашего товарища учения встретите вы как родного; тогда в разговоре о вашей юности с благодарностию будете произносить имена ваших наставников, признаетесь, сколь много они желали вам добра; и с торжеством друг другу дадите обещание следовать примерам, от нас слышанным.

Расставаясь с вами, что скажу вам самого поучительного? Вы счастливее меня, родившись позже. Из истории народов видели вы, что всякое государство переходит возрасты младенчества, возмужалости и старости. То же будет и с нашим любезным отечеством. Хранимое судьбою, медленно возвышается оно в своем величии и достигает высоты, на которую еще не восходило ни одно племя человеческое на земле. Век Петра, Екатерины, Александра были знамениты; но счастливейшие дни России еще впереди...

Э. Борель

Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки

Общество обыкновенно довольно мало интересуется программами и методами начального образования, технического или профессионального обучения и высшего образования, правильно считая, что это, прежде всего, дело специалистов, на которых можно вполне положиться. Оно принимает к сердцу лишь некоторые пункты, которые касаются религии, политики, а также более или менее непосредственного влияния государства или конфессиональных групп на организацию преподавания.

Иначе дело обстоит со средним образованием. Программы средней школы часто подвергаются обсуждению не только на страницах журналов, но и на столбцах ежедневных газет; каждый интересуется этими программами и охотно высказывает относительно них свои взгляды. Сами учителя интересуются также и теми учебными предметами, которые непосредственно их не касаются. Университетский профессор греческого языка весьма удивился бы, если бы его попросили высказаться относительно курса математики в университете, а профессор математики удивился бы не меньше, если бы его спросили о программах греческого языка, но оба они имеют мотивированное мнение о том, какое место должны занимать

в средней школе древние языки и точные науки. Такое положение вещей вполне естественно и объясняется несколькими причинами; главной из них, может быть, является общая цель среднего образования, характеризуемая прекрасным названием «гуманитарное образование» — названием, которое часто дают обучению в средней школе и которое оно должно стремиться оправдать.

Задача заключается, прежде всего в том, чтобы воспитать культурных людей, обладающих тем «общим образованием», которое так трудно поддается формальному определению, хотя мы имеем о нем вполне ясное представление. Точные знания рассматриваются не как самоцель, но как средство для образования, одинаково необходимого всем тем людям, которым предстоит в той или другой мере направлять работу других людей. Понятие среднего образования обсуждалось весьма усиленно, и некоторые даже оспаривают самое право на существование такого образования; указывают на то, что в современном обществе нет больше места для такого общего образования1, что жизнь безусловно слишком коротка, чтобы можно было терять несколько лет на приобретение знаний, которые не находят себе непосредственного применения. Нам незачем здесь обсуждать эту строго утилитарную точку зрения; мы не будем также рассматривать вопроса, в какой мере общественная и политическая эволюция может видоизменить организацию средней школы и комплектование ее воспитанников; мы просто констатируем существование средней школы, как факт современной социальной жизни.

1 По весьма понятным причинам, в различных странах средняя школа имеет различный характер, чего нельзя сказать о высшем образовании, а также о начальном и техническом или профессиональном образовании.

Однако вследствие возрастающего усложнения жизни и международных отношений, по-видимому, все больше и больше будет возрастать потребность в таких людях, которые координировали бы отдельные усилия людей физического труда. Вряд ли можно оспаривать, что для такой координации необходимо общее образование.

Эволюция средней школы может совершаться лишь очень медленно.

Что такое общее образование? Решение этого вопроса зависит от мнения тех людей, которые считаются образованными. Но эти люди получили образование в средней школе в своей молодости; очень немногие из них не считают превосходным то образование, которое получили лучшие из них, и лишь редко кто сохраняет ту свежесть ума, которую проявил Лависс в своих воспоминаниях, появившихся в год его юбилея и содержащих критику системы образования, которая пятьдесят лет тому назад выдвинула его как одного из самых выдающихся воспитанников Нормальной школы.

Консервативные тенденции старшего поколения бывших воспитанников школы сказываются не только в печати и в общественном мнении; к этому поколению принадлежат два класса лиц, влияние которых на школу весьма велико: во-первых, большинство родителей учащихся, во-вторых, сами преподаватели средней школы2,

Медленный ход эволюции средней школы имеет также более глубокие и более серьезные основания. Лишь

2 Влияние этих двух групп особенно сильно и наиболее консервативно в Париже по двум причинам. С одной стороны, в среднем, между родителями учащихся парижских лицеев процент лиц, прошедших через среднюю школу, несравненно более велик, чем между родителями учащихся провинциальных лицеев и коллежей. С другой стороны, преподаватели парижских лицеев, в среднем, старше, чем преподаватели провинци-

в редких случаях мы можем очень хорошо научить тому, чему мы не учились сами, когда были учениками; всякий прогресс школы может явиться лишь в результате последовательного ряда опытов очень многих учителей. Как бы интеллигентен ни был учитель, как бы он ни был предан своему делу, он не в состоянии заменить эту преемственность импровизацией и собственными силами построить столь сложный предмет, каким является цельное среднее образование. Точно так же самые искусные конструкторы строили бы недостаточно устойчивые и плохо идущие суда, если бы они опирались только на теорию и не руководствовались всякий раз старыми образцами.

Впрочем, эту медленность эволюции можно признать скорее полезной, чем вредной, если согласиться со многими превосходными учителями в том, что в среднем образовании содержание менее важно, чем форма, и что по существу образование ума при помощи точных знаний гораздо важнее, чем приобретение этих знаний. Если задача состоит

альных лицеев, так как назначение в Париж дается лишь после более или менее долговременного стажа в провинции.

Недавно мне пришлось наблюдать один типичный образчик многочисленных форм консервативного влияния родителей учащихся. Дело шло об одном несущественном видоизменении в грамматической терминологии; мать ученика объяснила мне, что она не могла решиться принять эту новую терминологию; но ее сын легко понял соответствие между новой терминологией и прежней, которую мать знала, и усвоил себе привычку обращаться к ней в тех тонких случаях, которые приводят учащихся в замешательство: «Скажи мне, мама, как это называлось в твое время? Я уже буду знать, что нужно поставить теперь!». Эта превосходная мать, таким образом, разрушала все усилия, которые прилагал учитель ее сына, чтобы усовершенствовать его знания. (Я не знаю, впрочем, прав ли был преподаватель со своим нововведением или нет.)

в том, чтобы дать образование людям, то почему бы этому гуманитарному образованию эволюционировать быстрее, чем эволюционирует сам человек? Да и так ли мы уже отличаемся от наших дедов? То, что было хорошо для них, имеет, может быть, и для нас большую ценность, чем какие-то новшества, достоинства коих сомнительны?

Эти доводы очень сильны и в достаточной мере оправдывают ту оппозицию, которую встречает каждый проект изменения программ средней школы. Несомненно, что эти изменения должны совершаться с чрезвычайно большой осторожностью: всякое чересчур резкое или слишком значительное изменение легко может потом быть в тягость в течение довольно долгого времени. Можно даже утверждать почти категорически, что всякое вообще изменение прежде всего приносит некоторый вред и в течение периода приспособления влечет за собой больше неудобств, чем выгод.

Никто, однако, не думает, что средняя школа должна оставаться неизменной. Во Франции самые непримиримые приверженцы традиции и греко-латинской школы желают все-таки, чтобы в школе наряду с греческими и латинскими классиками изучались также французские авторы XVII века. Таким образом, значительную часть программы по литературе пришлось изменить меньше чем за два века: раньше смерти Людовика XIV, конечно, нельзя было считать его век классическим!

Еще быстрее изменяются программы по истории, по географии и экспериментальным наукам; теперь показалось бы совершенным абсурдом возвращение к программам, которые проходились всего лишь сто лет тому назад. Что касается наук, связанных с техническими применениями, то иногда общество не только не стремится задерживать их эволюцию, но, наоборот, находит ее слишком медленной. С каждым днем применения техники

завоевывают себе все большее место в нашем обиходе, так что сама повседневная жизнь указывает каждому из нас на пробелы в образовании, полученном нами на школьной скамье. Многое можно было бы сказать об этом возрастающем приспособлении различных учебных предметов к прогрессу науки и к эволюции человеческого общества. Но сейчас я ограничусь наиболее интересным и особенно любопытным явлением — необыкновенно устойчивым характером преподавания математики.

К указанным выше общим причинам медленной эволюции всего преподавания в средней школе присоединяются еще некоторые причины, относящиеся специально к преподаванию математики. Математика представляет собою наиболее древнюю науку: «Начала» Евклида имеют за собой уже двадцать пять веков, а элементарные отделы геометрии и арифметики давно уже достигли высокой степени логического совершенства, дальше которой идти некуда. И если главная цель преподавания этих элементов — приучать учеников к строгому мышлению, то решительно нет никакой необходимости искать более совершенных образцов. Несомненно по этой именно причине еще и теперь в некоторых странах, в особенности в Англии, пользуются для преподавания геометрии просто переводами Евклида. Консервативные тенденции в преподавании математики можно было бы пояснить и другими примерами.

Не подлежит сомнению, что в математике, как и в других дисциплинах, воспитательная роль учебного предмета зависит главным образом от его традиций; всякое резкое изменение прежде всего приносит вред. В распределении материала, в выборе упражнений, в ответах учителя на более или менее сознательные возражения учеников, — во всем этом необходимо в каждый момент руководствоваться опытом многих поколений. Когда

в школу вводится новый предмет, или даже если он преподавался и раньше, но в первый раз вводится в младший класс, то всю эту традицию приходится создавать заново. Каждому учителю приходится рассчитывать исключительно на свой собственный опыт, а опыт одного человека имеет, конечно, весьма малое значение в сравнении с опытом нескольких учительских поколений. Предположим даже, что у молодых или старых учителей нет никаких предубеждений против нововведения и что их не повергает в преждевременное уныние неудача первых опытов, вызванная, может быть, случайными причинами. При всем том нельзя надеяться, что новый учебный предмет скоро достигнет такой же степени совершенства, какую имела вытесненная им старая наука. При сколько-нибудь существенных нововведениях такая степень совершенства может быть достигнута, по меньшей мере, через одно поколение, да и то лишь при самых благоприятных обстоятельствах. В самом деле, необходимо, чтобы была обновлена большая часть преподавательского персонала, так как, вообще, очень трудно научить детей тому, чему сам не научился в их возрасте.

Ввиду этого естественно возникает вопрос, стоит ли труда заниматься программами математики в средней школе. Если преподавание математики имеет целью образование ума, а не приобретение точных знаний, и если эта цель достигается почти совершенным образом с помощью традиционных программ, то к чему изменять эти программы, коль скоро известно, к тому же, что всякое изменение влечет за собой маленький кризис? Я желал бы объяснить в немногих словах, почему такая точка зрения представляется мне неприемлемой.

Прежде всего — вследствие фактической стороны дела. Невозможно сохранить в неприкосновенности одну часть организма, если изменяются все остальные его части.

В самом деле, в гуманитарном образовании словесные и точные науки составляют одно целое: нельзя рассматривать отдельно различные специальные программы, если цель школы одна — формировать культурного человека. Математика не может поэтому оставаться единственной неизменной частью школы, коль скоро всё в этой школе меняется: необходимость в таких изменениях вызывается уже нуждами родственных предметов программы.

Но еще важнее, может быть, следующая сторона дела; для школы небезопасно удаляться все более и более от жизни и реальных условий. С каждым днем приложения науки все глубже проникают в обиход нашей жизни: мы ежедневно пользуемся велосипедом, на столбцах газет мы постоянно встречаем различные графики; когда у нас дома кто-нибудь заболевает, мы вычерчиваем кривые температуры. Если преподавание математики будет опираться на эти столь привычные нам вещи, то оно сделается более интересным, будет чуждо мертвой схоластики. Когда преподавание получает слишком схоластический характер, то оно вызывает у многих учеников отвращение и не только не действует образовательным образом, но, напротив, известной части наносит прямой вред. Еще вопрос, всегда ли школьной математике удавалось избежать этой опасности.

Когда говорят, что преподавание математики должно стать ближе к реальному миру, то некоторые думают, на самом деле или притворно, будто речь идет о наивной замене таких слов, как окружность или сфера, словами «кружок», «мячик» и т. д. Они забывают, что преподавание математики может получить полную воспитательную ценность лишь при том условии, если оно будет избегать слишком распространенного софизма, будто реальные трудности можно разрешить с помощью простых словесных определений, не проверяя, согласованы ли эти

определения с обиходным словарем. Ребенок имеет конкретное представление об окружности или о шаре. С другой стороны, геометр дает отвлеченное определение этих образов, на котором он основывает свои рассуждения; софизм же состоит в том, что без проверки, основываясь исключительно на тождественности употребляемых слов, допускают, что конкретный шар «здравого смысла» и отвлеченная сфера геометра есть в точности одно и то же. Необходимо, следовательно, всегда сопоставлять определения с реальным миром, чтобы показать согласие, по крайней мере приблизительное, между искусственным языком, созданным математиками, и привычной ученику обиходной речью.

Поразительные научные успехи XVIII века, которые повлекли за собой развитие техники в XIX веке, можно связать с четырьмя великими именами: Галилея, Декарта, Ньютона и Лейбница. Благодаря аналитической геометрии и дифференциальному исчислению, оказалось возможным решить исчерпывающим образом проблемы механики на основе прочно установленных принципов. Это, быть может, самый важный факт в истории человечества; благодаря одержанным таким образом техническим победам, человек завоевал и организовал земной шар. Нет ни одного объекта в материальном мире и ни одной мысли в области духа, на которых не отразилось бы влияние научной революции XVIII века. Ни один из элементов современной цивилизации не мог бы существовать без принципов механики, без аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Нет ни одной отрасли в деятельности человека, которая не испытала бы на себе сильного влияния гения Галилея, Декарта, Ньютона и Лейбница.

Я, впрочем, ошибся: нечто все-таки ускользнуло от этого влияния и осталось без изменений, — а именно,

система преподавания математики в средней школе. Лишь в 1902 году некоторые математики предприняли в скромных размерах попытку изменения французских программ, полагая, что за двести лет «новые» идеи в достаточной мере доказали свою состоятельность и смело могут быть излагаемы молодежи. Это новшество многим показалось возмутительным, и споры о нем не прекратились еще до настоящего времени. Обсуждение относящихся сюда вопросов, которому будет посвящена часть заседаний нашего Конгресса, может быть только полезно, так как всякое новшество в преподавании создается с большим трудом; только с помощью коллективного опыта многих учителей можно надеяться немного сократить тот период, в течение которого нововведение, вследствие недостаточного приспособления, приносит существенные неудобства. Я не желаю предвосхищать сейчас результатов предстоящего нам обсуждения, которое, несомненно, будет серьезным и плодотворным: порукой в этом служит число участников и их компетентность. Но я желал бы лишь попытаться ответить заранее на некоторые возражения, которые часто раздаются против всякого нововведения в программы математики. Исходной точкой этих возражений является главным образом распространенное представление о математической науке как о линейном ряде или как о небольшом числе линейных рядов, в каждом из которых порядок следования звеньев отличается строгой неизменностью. Если принять такое представление, то ясно, что вводить в школу новое учение можно лишь вводя вместе с ним все то, что предшествует ему в логическом развитии науки; таким образом, чрезвычайно трудно вводить в школу новые идеи, если не желаем перегружать программы. В частности, установилось обыкновение называть некоторые отделы математики высшими в противоположность ее элементарным

частям; к первым причисляют дифференциальное и интегральное исчисление, одно имя которых вселяет в непосвященных страх; раздаются голоса, будто нелепо вводить эти высокие материи, к которым относится также аналитическая геометрия, для тех, кто не знает в совершенстве так называемой элементарной математики. Многие наши современники, которые в школе не оказывали особых успехов по математике, удивятся, если узнают, что они, сами того не подозревая, занимаются аналитической геометрией всякий раз, как рассматривают графики, столь часто встречающиеся на столбцах газет; а иногда, обсуждая большую или меньшую скорость изменения этих графиков и следствия, которые можно отсюда вывести, они, сами того не зная, занимаются дифференциальным и интегральным исчислением. Эти страшные науки стоят, по крайней мере в своих элементах, в гораздо большей близости к усваиваемым в элементарной школе простым математическим сведениям, чем многочисленные рассуждения об объемах круглых тел, или об уравнениях второй степени, и даже чем вычисления с обыкновенными дробями3, и множество других воп-

3 Исключительное место, которое обыкновенные дроби занимают в преподавании математики, является пережитком той эпохи, когда метрическая система еще не вошла во всеобщее употребление, как мы это видим теперь почти во всех культурных странах, за одним только исключением. Широкая популяризация метрической системы должна повлечь за собой вытеснение обыкновенных дробей десятичными и в связи с этим упрощение курса арифметики, так как действия над десятичными дробями должны преподаваться непосредственно, как простое обобщение действий над целыми числами. Правда, обыкновенные дроби интересны для математики; но ведь и непрерывные дроби интересны не в меньшей степени, а их, однако, не включают же в элементарные программы.

росов, которые внушают ученикам ужас, в девяносто девяти случаях из ста обречены на забвение сейчас же по окончании экзаменов.

Действительно, элементы математики, без которых невозможно идти дальше, сводятся к очень немногому: к сведениям по арифметике и геометрии, необходимым для понимания и применения метрической системы4 достаточно прибавить принципы алгебраических обозначений, чтобы получить прочный фундамент, на основании которого можно продолжить изучение математики в разнообразных направлениях, причем распределение материала определяется только традицией и обычаем. Если бы не существовало традиций, то можно было бы поставить такую задачу: разработать из всех отделов математики курс, приноровленный к современным потребностям науки и техники; большую роль в нем играла бы механика, а прочие дисциплины были бы ей подчинены. Весьма интересно было бы попытаться провести такую систему в стране, находящейся в состоянии быстрого развития: после короткого периода нащупывания удалось бы, вероятно, выиграть очень много. Но в странах, где средняя

4 Некоторые «образованные люди» обнаруживают в этом отношении грубое невежество, которое иногда приводит к курьезным нелепостям. Недавно на первой странице большой газеты было напечатано крупным шрифтом в заголовке одной статьи, что каучуковая мостовая обходится в три франка за 1 кв. см. По прочтении статьи можно было убедиться, что автор написал ее по английскому оригиналу, в котором была указана цена в 100 франков (или, как мне думается, в четыре фунта) за 1 кв. фут. Французский журналист навел справку; фут равен 30 см, следовательно, 1 кв. ф. «равен» 30 кв. см. откуда и получается цена в 3 франка (вместо 10 сантимов, которые получаются на самом деле, так как квадрат, сторона которого равна 30 см, содержит 30 х 30 = 900 кв. см).

школа имеет прочную организацию, освященную стариной, не может быть и речи о столь больших потрясениях за счет целого поколения учащихся: по причинам, о которых говорилось уже выше, изменения необходимо вводить медленно. Не будет, однако, преувеличением сказать, что для преподавателя математики в средней школе было бы столь же вопиющей нелепостью умолчать о Галилее, Декарте, Ньютоне и Лейбнице, как для профессора химии — не упомянуть о Лавуазье, или для историка — обойти молчанием французскую революцию. Преподавание математики должно быть согласовано с курсами других наук и, что особенно важно, должно быть согласовано с реальной жизнью. При этом условии она, несомненно, будет интересовать гораздо большее число учеников, и тогда изгладится резкое несоответствие между положением математики в жизни современного общества и тем интересом, который питает к ней огромное множество лиц, играющих в этом обществе руководящую роль. Это печальное явление объясняется тем, что математика, преподаваемая в нашей средней школе, есть лишь схоластический пережиток, тогда как миром правит другая математика, и лишь очень малому числу избранных дано восторгаться гордой мощью этой математики. Но всякий образованный человек должен по крайней мере знать, что эта математика существует, а не воображать себе всех математиков вроде маньяков, проводящих дни и ночи за извлечением кубических корней.

Может возникнуть такое сомнение: не представляется ли опасным согласование преподавания в средней школе с прогрессом наук в том отношении, что такого рода приспособление никогда не могло бы быть закончено. Коль скоро мы откажемся от благоразумного постоянства, то не будем ли мы вынуждены беспрерывно вводить все новые и новые изменения к явному ущербу для

дела? Действительно, безусловно необходимо, чтобы процесс согласования совершался осторожно и постепенно. Подобно тому, как программы по литературе допускают в школу новых авторов лишь по истечении известной давности после признания их современниками, точно так же и программы по точным наукам должны остерегаться увлечения мимолетной модой, не должны впадать в весьма распространенную погрешность против перспективы, побуждающую нас приписывать особенную важность последнему открытию, сделанному на наших глазах. Преподавание точных наук в средней школе не имеет своей целью подготовить учащихся к тому, чтобы они могли понимать и усовершенствовать аэропланы, беспроволочный телеграф или цветную кинематографию. Более благоразумные должны будут считать себя удовлетворенными, если мы для придания особой устойчивости преподаванию математики, этой основы всего курса точных наук, установим отсрочку в 100 лет, после которой работы, имеющие для науки жизненное значение, уже не могут считаться как бы несуществующими. Но вот уже более двух веков, как принципы механики, аналитической геометрии, дифференциального исчисления с торжеством выдержали испытание временем. Теперь это уже не мимолетные фантазии, а самая основа всех наших научных трудов. И лишь после того, как эти насущные учения займут подобающее им место, преподавание точных наук в нашей средней школе будет действительно современным и получит поистине воспитательное значение.

Остается одно распространенное возражение, которое делают a priori и на которое можно будет ответить только фактами после очень долгого опыта. Не следует ли опасаться, что новые учебные предметы, к которым школа недостаточно приспособилась, будут менее полезны для общего образования, чем старые? Мы уже указывали на

это возражение, выставляемое против всяких нововведений, и объяснили, что оно содержит в себе долю истины. Всякое применение программы должно терпеть неудачи, по крайней мере кажущиеся неудачи, по той простой причине, что большинство учителей не может сразу достигнуть такого же совершенства педагогической техники в новых учебных предметах, какое достигнуто традиционной техникой для старой программы. Но столь же верно будет и утверждение, обратное этому пессимистическому возражению: если верно, что главное в средней школе — это не столько программа, сколько метод, то всякое изменение программ должно будет в конце концов дать хорошие результаты после того, как будут созданы подходящие методы для новых предметов. Слишком парадоксально было бы утверждать, что таких методов, может быть, и не существует вовсе, и что некоторые дисциплины потому именно, что они более совершенны, имеют менее воспитательную природу. А между тем по такой точно причине арифметику часто противопоставляли алгебре и пытались искусственно изгнать алгебраические обозначения даже в таких случаях, где пользование ими значительно упрощало работу. Некоторые настаивают на том, что это упрощение именно и вредно, что полезна самая работа, а не результат. Это почти все равно, что утверждать, что не следует учить ребенка умножению, а нужно заставлять его пользоваться сложением: если он, например, желает узнать, сколько стоит 125 предметов ценой каждый в 3 фр. 75 сант., то пусть он повторит число 3 фр. 75 сант. слагаемым 125 раз; придется гораздо больше поработать, но зато он в совершенстве усвоит технику сложения, этого очень красивого арифметического действия. Это, конечно, сущая правда; но ведь, когда ребенок научится умножению, от него можно будет потребовать столь же большой работы с помощью этого более совершенного

орудия, и эта работа не будет менее благотворна оттого только, что она менее бесплодна. В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приемами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет. Но сладость этих воспоминаний отнюдь не должна заслонять от нас того факта, что потраченная при этом работа столь же бесплодна, как и сложение 125 равных слагаемых; более совершенные методы позволяют легко получить те же результаты, а если затратить столь же большие усилия, пользуясь усовершенствованными методами, то можно будет уйти несравненно дальше. То же самое относится и к дифференциальному и интегральному исчислению. Не будем колебаться, и возможно скорее посвятим учащихся в эти чудесные науки, которые более полезны и вместе с тем имеют большее воспитательное значение, чем любая другая отрасль математики.

Реформистское течение и противоположное ему консервативное борются между собой из-за программ средней школы не только в области математики. Если бы сторонники реформы поняли хорошо, что всякая перемена вредна в период ее осуществления, и если бы консерваторы согласились, что разумное изменение становится полезным через некоторое время после того, как оно войдет в жизнь, и что преподавание не может оставаться навеки неизменным, тогда, может быть, эти противоборствующие течения могли бы помириться на медленной, осторожной и мудрой эволюции.

В. Сервэ

Преподавание математики в средних школах

В качестве докладчика* я считаю своим долгом поблагодарить все организации и лица, которые разработали, собрали и сравнили всю документацию, представленную различными странами**...

Конференция призвана высказаться — в форме рекомендации министерствам народного образования — о желательных способах решения различных задач, поставленных преподаванием математики в средней школе.

Повестка дня... предлагает вашему вниманию шесть главных вопросов, которые смогут стать предметом дискуссии. Речь, следовательно, будет идти о том, чтобы обрисовать место, которое должно быть предоставлено преподаванию математики; определить цели, какие, по-вашему, надо теперь ставить перед ним; выявить принципы, которыми мы должны вдохновляться при выработке программ; уточнить указания относительно методов

* См. комментарии, с. 255. — Прим. сост.

** Материалы министерств 62 государств, кратко характеризующие преподавание математики в своих странах, были изданы накануне конференции: «L'enseignement des mathématiques dans les écoles secondaires» (Paris—Geneve, 1956).— Прим. сост.

и о роли учебных пособий и, наконец, исследовать вопрос о подготовке и усовершенствовании преподавательских кадров.

Чтобы изыскать «то, что должно быть», конференции необходимо сначала уяснить себе «то, что есть», т. е. условия, которые существуют сегодня в средних школах различных стран. Это фактическое положение изложено в книге, предоставленной в распоряжение каждого из вас в качестве рабочего документа*. Чтобы изыскать «то, что должно быть», особенно необходимо предвидеть, каковы будут завтра математические потребности нашей эпохи.

Мы сознаем все, что находимся сейчас, говоря языком экономистов, в высокой математической конъюнктуре, никогда до сих пор не достигавшейся. Больше, чем когда-либо, математика является одновременно культурой в лоне культуры и техникой в сердце техники. Она представляет собой культурную ценность сама по себе, идеал формальной красоты, заложенной в произведениях искусства — в том, что в них содержится наиболее классического. Этот идеал выражается словами: мера, порядок, отношение, пропорция, являющимися математическими терминами. Математика — это школа, в которой обучаются логике на практике на каждом шагу: точно установить понятие с помощью определения; образовать и выразить суждение; проследить и проверить рассуждение, составить его, сформулировать и разобрать; поставить проблему, найти ее решение, обсудить его, рассмотрев исчерпывающим образом все возможные случаи.

Математика, даже элементарная, показывает на примере геометрии структуру дедуктивной теории, в которой на основе допущенных постулатов строятся теоремы

* Имеется в виду, издание упомянутое в предыдущей сноске. — Прим. сост.

с помощью доказательств, а термины объясняются при помощи определений.

Теоретико-познавательное воззрение платоников на математику состоит в том, что они видят в ней созерцание абстрактных вещей, существующих сами по себе в мире идей. Релятивистское воззрение, более современное, рассматривает математику как организованную систему отношений между элементами, где сами отношения известны только теми явно заданными операторными свойствами, которым эти отношения должны удовлетворять. Обе эти концепции имеют в виду математику в стадии законченной абстракции, которая может проявиться лишь в последние годы в старших классах средней школы. Преподавание, если оно хочет быть эффективным, не может удовлетвориться абстракцией статической как совершенно законченной. Оно должно следовать диалектическим путем абстракции как динамического процесса. Как раз здесь, несомненно, уместны будут генетическая концепция математики и исследование проблемы ее преподавания в связи с историческим развитием математики и, особенно, с психологией математического развития в детском, юношеском и зрелом возрасте.

Математика является меньше знанием, чем умением. Вот почему она может развить свойства ума и характера, связанные с навыками к абстракции, к строгой, целеустремленной дисциплине, к выражению на различных языках (языке общения, фигур, формул и графиков), со схематической мыслью, сжатой и четкой.

С выдающейся культурной ценностью математики может сравниться лишь ценность ее как орудия нашего воздействия на реальный мир.

Если не всякий человек, конечно, может достигнуть достаточно высокой математической культуры, то вся-

кий, даже первобытный человек нуждается в практической математике. С тех пор, как геометрия развилась из измерения земельных участков, математика самым тесным образом сплелась с развитием наук. В качестве системы форм-представления она непрестанно содействовала овладению реальным миром. В наши дни новые ветви математики, теория вероятности, статистика представляют более гибкие формы для описания законов, с помощью которых растут наше понимание реального мира и наше воздействие на него. Математические модели волновой механики являются инструментом наших представлений и предвидений в атомной области. Вслед за естественными науками математизируются и науки гуманитарные.

В настоящее время все более и более плодотворные исследования развивают математику как в конкретном плане, так и в порядке абстрактном. Изобретение вычислительных и рассуждающих машин в той же мере, как и открытие фундаментальных структур, лежащих в основе современной математики, открывает обширное поле для математической деятельности и бросает новый свет на ее природу.

Эти общие соображения хорошо известны. Я напомнил о них лишь для того, чтобы мы могли осознать, в какой мере незнание и непонимание математического языка становятся новой помехой. Никогда проблема лучшего преподавания математики не приобретала, как сейчас, характер столь всеобщий, столь необходимый, столь неотложный.

Все страны поняли, что активное знание математики не является лишь украшением национальной культуры; оно составляет условие экономического существования и элемент безопасности.

Место математики

Проведенные опросы показывают, что математика занимает весьма значительное место на всех ступенях среднего образования: она обязательна за редким исключением; в большинстве стран число недельных часов, отведенных математике в неспециализированных отделениях, колеблется от 4 до 6; 3 часа в неделю представляет более редкий случай, а 2 и менее — лишь исключение. Это составляет от 9 до 20 % всех классных часов.

В специализированных научных отделениях старшего цикла средней школы число часов колеблется от 6 до 10 в неделю, а в некоторых странах достигает 12. Это составляет от 20 до 40 % всего количества часов.

Однако в демократической заботе о том, чтобы дать каждому учащемуся образование, соответствующее его возможностям, и извлечь из склонности юношества к математике большую пользу для общества, можно спросить себя: не желательно ли найти более гибкие формы преподавания? Прежде всего, молодежь, обнаружившая способности и заметный вкус к научным занятиям вообще и к математике в частности, должна бы иметь возможность пользоваться более глубоким образованием, чем это требуется обычными программами. Было бы подходящим для лучшего развития их способностей представить им дополнительное преподавание либо путем дополнительного факультативного курса, либо путем индивидуального преподавания, оставляющего большее поле для самостоятельных исследований. Возможность повысить математи-ческий потенциал более способных позволила бы подумать о менее требовательном преподавании для учеников, менее способных к математике. Зачем обескураживать их и заставлять испытывать отвращение к дисциплине, требования

которой превосходят их способности? Зачем превращать математику в школьный барьер и лишаться людей, способных принести пользу, в то время как целесообразнее преподать им математику в меньших дозах?

Я хочу, чтобы меня хорошо поняли: вопрос идет отнюдь не о том, чтобы приблизить общее преподавание математики к уровню посредственности. Дело идет о том, чтобы поднять уровень обучения лучших, смягчая обучение слабых. Для последних лучше скромная математика, хорошо усвоенная, чем недоступная математика, которую ненавидят, что хуже, чем полное отсутствие математики.

В некоторых странах ученики старших отделений с литературной специализацией совсем не проходят математики. Не является ли более желательным предоставить этим учащимся факультативное обучение с общекультурным направлением, имеющее своей целью больше содействовать их интеллектуальному развитию, чем давать им определенные фактические сведения?

В итоге речь идет о том, чтобы найти формы преподавания математики более разнообразные, лучше приспособленные и гуманные, менее жесткие в смысле объема требований. Они давали бы каждой стране избранных математиков, в которых она нуждается, а также и массу граждан, достаточно натренированных в обычной математической технике. Они, мы надеемся, устранили бы одну из главных причин неудач математического образования, о которых отчеты не говорят: страх перед математикой. Тот страх, который слишком глушит молодежь, вызывает интеллектуальное торможение и заставляет заранее примириться с неудачей.

Надо ясно сказать с этой трибуны: математика является предметом, наиболее устрашающим учеников и их семьи, предметом, у которого больше всего неудач и который часто оказывается первой причиной школьных неполадок.

Цели

Цели преподавания математики многообразны. Они соответствуют различным аспектам самой математики, личным свойствам, которые развивает изучение ее дисциплин и ее практическое применение.

Если учесть, что ответы, данные по этому поводу 62 странами, составляют как бы референдум, то мы должны признать, что преобладающее значение уделяется утилитарному аспекту и роли математики в логическом развитии.

Утилитарные цели суть двоякого рода: наиболее непосредственной является практическая повседневная потребность каждого человека в необходимых знаниях математики, относящихся к вычислению, геометрическим представлениям, формулам, функциям, графикам. Эти основные понятия встречаются во все возрастающем числе профессий. Они необходимы для понимания окружающей природы, а также вопросов экономических и общественных. Далее, одной из главных целей преподавания математики в средней школе является подготовка к последующему изучению научных и технических дисциплин, в которых роль математики непрестанно возрастает.

Воспитательные и культурные цели объединяются в несколько категорий, относящихся к интеллектуальным качествам, формированию характера и общей культуре.

Среди интеллектуальных свойств, развиваемых математикой, наиболее часто упоминаются те, которые относятся к логическому мышлению: дедуктивное рассуждение, способность к абстрагированию, обобщению, специализации, способность мыслить, анализировать, критиковать. Упражнение в математике содействует приобретению рациональных качеств мысли и ее выражения:

порядок, точность, ясность, сжатость. Оно требует воображения и интуиции. Оно дает чутье объективности, интеллектуальную честность, вкус к исследованию и тем самым содействует образованию научного ума.

Изучение математики требует постоянного напряжения внимания, способности сосредоточиться; оно требует настойчивости и закрепляет хорошие навыки работы.

Таким образом, математика выполняет важную роль как в развитии интеллекта, так и в формировании характера.

Эти суждения выражены в разной форме в большинстве ответов. Они ставят перед психологом задачу перенесения этих приобретений на другие сферы деятельности.

К воспитательным достоинствам математики, относительно которых все согласны, прибавляется еще один вклад ее в общую культуру, более специфический, который — удивительная вещь — упоминается во многих ответах: я имею в виду математическую мысль как таковую. То, что целью преподавания математики является приобретение стиля мышления особого рода, является, быть может, для всех само собой разумеющимся и не нуждающимся в явной формулировке.

В общем, при преподавании математики в средней школе во многих странах сохраняется забота об общем образовании. Однако под давлением непосредственных нужд текущей жизни и требований высшего образования все большее место уделяется прагматическим целям.

Та отвлеченная культура, которая долгое время была идеалом обучения в средней школе, должна, следовательно, сочетаться с реальной потребностью в образовании, полезном более непосредственно. У тех, кто сохраняет привязанность к традиции, это вызовет, несомненно, сожаление; те, кто обращены к будущему, с доверием ожидают прихода более живой культуры.

Несмотря на различие во мнениях, объективное исследование фактов приведет нас к согласию в целях, которые должно ставить преподавание математики, как это было и в прошлые годы, когда речь шла о других дисциплинах.

Несомненно, мы добьемся того, чтобы сформулировать эти цели либо в форме соображений, либо прямо в рекомендации.

Программы

Цели, поставленные преподаванию математики, определяют объем и содержание программ. Они приведены в ответах министерств в более или менее сжатой форме.

Общее сопоставление учебного материала в различных странах было бы весьма полезным, но потребовало бы много времени. Более того, так как дискуссии по программам часто бывают весьма страстными, это могло бы отклонить конференцию от ее цели, которой является обзор основных задач, поставленных преподаванием математики.

Мы предполагаем, что нашей задачей здесь является не столько определение объема программ, сколько исследование направлений их современной эволюции. Изменения, которые внесены в новейшее время и предположено внести в программы примерно в половине стран, представленных на настоящей конференции, указывают на заботу о том, чтобы сообразовать преподавание с реальными потребностями учеников и их умственным уровнем, а также учесть нужды научных исследований и различных отраслей технической деятельности.

Наконец, со стороны собственно содержания математики происходят изменения, целью которых является повышение уровня программ: введение исчисления бес-

конечно малых, аналитической геометрии, статистики; придание возрастающей важности изучению функций, векторов, исчислению вероятностей, дифференциальному и интегральному исчислению, а также прикладной математике. Все изменения, внесенные в программы, сводятся, следовательно, к увеличению места, уделяемого исчислениям в формах весьма общего значения.

В какой мере более абстрактные математические структуры, следовательно, в широкой мере многозначные, открытые в недрах классической математики и развитые современными математиками во всем мире, могут благоприятно повлиять на преподавание математики в средней школе? Это — совершенно новый вопрос, на который исследователи ищут ответ во многих странах.

Оставаясь в рамках, соответствующих плану нашей конференции, мы можем спросить себя: как приспособить содержание программ к воспитательным, культурным и практическим целям, изложенным выше?

Следует ли сделать их более гибкими, чтобы предоставить больший простор преподавателям, а учащимся больше возможностей? В какой мере желательно видоизменить программы в зависимости от нынешнего развития наук и сообразуясь с эволюцией современной математики?

Таковы вопросы, по которым полезно будет услышать ваше мнение в ходе общей дискуссии.

Методы

Что касается методов, то данные, которыми мы располагаем, показывают, что больше чем в половине стран органы народного образования обращаются к учителям средних школ с инструкциями, стремясь сообразовать преподавание с определенными педагогическими и психологическими принципами. Чаще всего эти инструкции

не носят обязательного характера. Они представляют, скорее, советы или указания, которые учитель волен принять или нет, но которыми, предполагается, он воспользуется, учитывая особые условия и уровень класса. В общем, педагогические инструкции имеют в виду возбудить у ученика активное участие и исправить ту тенденцию к лекционному преподаванию, в которой вообще можно бы упрекнуть преподавание в средней школе.

Конференция сочтет, несомненно, полезным сформулировать методические рекомендации, которые, оставаясь достаточно общими, чтобы позволить приспособление к местным и индивидуальным условиям, увязали бы требования воспитательные с требованиями специализации.

Быть может, следует поддержать некоторые инструкции, которые довольно часто встречались в ответах министерств:

а) возбуждать и поддерживать интерес учеников; приспособлять преподавание к их индивидуальным способностям;

б) исходить из конкретного, чтобы придти к абстрактному, особенно в низших классах, обращаться к интуиции и эксперименту, в частности, при преподавании геометрии; подводить ученика к самостоятельному открытию свойств; затем, постепенно, на базе приобретенного математического опыта приводить его к дедуктивному рассуждению;

в) показывать пользу преподаваемого на частых практических упражнениях: измерение, межевание, изготовление учебных пособий;

г) обеспечить понимание терминов раньше, чем вводить их формально: отдавать предпочтение размышлению и рассуждению перед мнемоническими правилами; допускать механическое выполнение операций только тогда, когда они усвоены;

д) поощрять исследование и самостоятельную формулировку;

е) выявлять связь математики не только с науками, пользующимися ею, но и с рациональной стороной обыденной речи; указывать на важные этапы в историческом построении математики.

Коротко — сделать все для того, чтобы содействовать и поощрять у ученика активное обучение математике.

В отношении включения среднего образования в систему общего образования — усовершенствовать увязку программ и особенно методов с начальным и высшим образованием.

Эволюция методики математики вызывает надлежащее видоизменение учебников. Наряду с математическими руководствами, которые должны содействовать успешному усвоению абстрактных понятий, учащийся должен располагать книгами для повторения, в которых приобретенный материал снова проходится и располагается в более высоком плане. Справочный и дополнительный материал послужит пособием для индивидуального и более самостоятельного изучения.

Книги с буквенными формулами и плоскими фигурами долгое время были единственным учебным пособием. Теперь математическая педагогика расширила запас своих средств введением моделей, использующих самые различные отрасли техники. Это новшество иногда плохо принималось, ибо плохо понималось поборниками традиционной педагогики. С их точки зрения вторжение того, что они считают пустяками, может поставить под угрозу преподавание математики, заменяя абстрактные доказательства доказательствами сенсомоторными. Сторонники так называемых интуитивных методов видят в употреблении моделей не приковывание к конкретному, а средство к успешному и активному абстрагированию,

опирающемуся последовательно на интуицию в трех различных основных ее значениях: чувственную интуицию конкретного, умственную интуицию представлений и математическую интуицию, являющуюся непосредственным постижением самого строения соотношений и операций.

Как бы то ни было, знаменателен тот факт, что страны, желавшие показать на постоянной выставке современное состояние у них преподавания математики, все представили модели.

Подготовка учителей

Последним вопросом, который нам предстоит разобрать, является вопрос об учителе. Это, без сомнения, наиболее важный вопрос.

Если определение целей, если выработка программ и выбор методов имеют большое значение, то эффективность преподавания и продуктивность метода, бесспорно, зависят в конечном счете от учителя.

В математике роль учителя первостепенна. Сколько людей, пристрастившихся к математике, могут подтвердить, что этим увлечением они обязаны хорошему преподавателю! Сколько людей, для которых математика является запретной областью, сохранили недобрую память о тех, кто внушил им отвращение к ней и обескуражил их!

Говорят также, что хороший преподаватель математики — редкость. И в самом деле, для того чтобы быть хорошим учителем математики в средней школе, недостаточно быть специалистом, имеющим углубленные познания в преподаваемых предметах. Он может быть очень тонким и сведущим педагогом. Но педагогическая жилка столь же необходима, как и специальность математика, и должна быть заложена в нем.

Опросы показывают, что эта двусторонняя подготовка преподавателя математики требуется примерно в трех четвертях стран, представивших сведения. Если эта мера, необходимость которой признана, не стала еще всеобщей, то это потому, что она наталкивается на материальные трудности.

Средства для их облегчения могли бы сделаться предметом одного из пунктов рекомендаций конференции.

Из опроса следует также, что почти всюду делаются усилия, чтобы предоставить работающим преподавателям возможность усовершенствовать свое профессиональное образование.

Почти все ответы упоминают курсы, семинары, конференции, публикации и т. п. Но эти сведения не позволяют установить процент учителей, пользующихся этими возможностями. Однако создается убеждение, что страны все более и более оставляют доктринерскую математическую педагогику, считающую себя неприкосновенной, в пользу новой педагогики, которая старается сохранить и передать приобретенные результаты, но одновременно обогатиться плодами трудов психологов познания, а также новым опытом, приобретаемым учителями среди своих учеников.

В процессе преподавания математики учитель должен иногда забывать законченное знание, которое он хотел бы дать или привить, и следовать тропой юношеской мысли, узнавая таким образом то, чему обучаются его ученики.

Изучение путей, следуя которым дети или юноши активно создают свою математику, приведет к основным началам педагогики.

Большого внимания заслуживает последний пункт: кризис в укомплектовании преподавателей математики, отмеченный почти половиной стран. Его следует приписать

главным образом тому притяжению, которое оказывают на окончивших университет более оплачиваемые должности, предлагаемые промышленностью. Математические кадры, которые будут отвлечены от преподавания в ближайшие годы, несомненно, еще более увеличатся благодаря росту контингента лиц, занятых математическими исследованиями, и благодаря потребности в обслуживающем персонале для вычислительных машин.

Страны, которые не приняли бы соответствующих мер для обеспечения себя кадрами преподавателей математики, достаточными для обучения возрастающих масс учеников, очутились бы в затруднительном, если не в бедственном положении. Одна из обязанностей конференции — забить тревогу и обратить внимание властей на неотложную надобность своевременно подготовить необходимые кадры преподавателей математики.

Язык математики интернационален! Надо, чтобы те, на кого возложена миссия преподавать ее в своей стране, объединили здесь усилия, чтобы сопоставить свои наблюдения, результаты своих исследований и своих методов, чтобы обменяться опытом и публикациями. Математика находится на большом научном подъеме. Больше, чем когда-либо, нуждается в ней наше общество с его техникой! Больше, чем когда-либо, мы должны коллективным усилием улучшить ее преподавание!

Рекомендация конференции министерствам народного просвещения, относящаяся к преподаванию математики в средних школах

Международная конференция по народному образованию, созванная в Женеве Организацией Объединенных Наций по просвещению, науке и культуре и Международным бюро по просвещению и собравшаяся 9/VII 1956 г. на XIX сессию, приняла 17 июля 1956 г. следующую рекомендацию.

Конференция,

— считая, что математика имела во все времена бесспорное культурное и практическое значение, играла важную роль в научном, техническом и экономическом развитии и, в частности, что наша эпоха создает невиданные ранее условия расцвета математики,

— считая, что математическое образование есть благо, на которое имеет право каждое человеческое существо, каковы бы ни были его национальность, пол, положение и деятельность,

— считая, что для обеспечения прогресса и благоденствия народов общее повышение математического уровня должно идти в ногу с техническим и научным расцветом,

— считая, что различные цивилизации играют роль в создании и развитии математики,

— считая, что психология установила, что практически каждое человеческое существо способно к определенной степени математической деятельности и, в особенности, что нет никаких оснований утверждать, что девочки менее способны к математике, чем мальчики,

— считая, что математическая педагогика становится день ото дня все более научной и действенной,

— считая, что следует дать продолжение рекомендации №31, касающейся начального математического образования в начальных школах, принятой XII международной конференцией по народному образованию, —

обращается к министерствам народного просвещения различных стран со следующей рекомендацией.

Цели обучения математике

1. За время общего и продолжительного обучения в средней школе следует достигнуть в возможно большей мере воспитательных целей изучения математики, относящихся к интеллектуальной деятельности и формированию характера. Эти цели сводятся к процессам логического мышления (рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, мыслить дедуктивно, обобщать, специализировать, применять, критиковать и т. п.), к рациональным качествам мысли и ее выражения (порядок, точность, ясность, сжатость и т. д.), к духу наблюдения, пространственным и количественным представлениям, к интуиции и воображению в абстрактной области, к развитию внимания и способности сосредоточиваться, к воспитанию настойчивости и привычки работать упорядоченно и,

наконец, к формированию научного духа (объективность, интеллектуальная честность, вкус к исследованию и т. д.).

2. Операции практического порядка, приспособление к природным условиям и необходимость понимать проблемы, выдвигаемые технической, экономической и социальной жизнью, все более и более требуют элементарных математических знаний (вычисления, практическая геометрия, геометрические представления, формулы, уравнения, функции, таблицы и графики). Эти основные понятия и средства также играют роль в возрастающем количестве профессий.

3. Математика и свойственный ей стиль мышления должны рассматриваться как существенный элемент общей культуры современного человека, даже если он не занимается деятельностью в области точных наук или техники; обучение математике, тесно связанное с обучением другим предметам, должно приводить учащихся к пониманию роли, которую математика играет в научной и философской концепции современного мира.

4. Одной из главных целей повышенного курса математики в последние годы обучения в средней школе должна быть подготовка к занятиям в высшей школе точными или инженерными науками, математическая основа которых растет изо дня в день.

Место, отводимое математическим предметам

5. Обучение математике, обязательное в различных классах младшего цикла средних школ, должно располагать соответствующим числом часов.

6. В старшем цикле научных отделений курс математики должен получать увеличенное число часов.

7. Желательно, чтобы учащиеся, обладающие специальными способностями для занятий точными науками, имели возможность следовать более развернутому обучению и чтобы они могли предаваться дополнительным индивидуальным занятиям.

8. В странах, где математическое обучение не является обязательным на некоторых отделениях (например, на литературном отделении), математическое обучение, имеющее более общекультурное, чем техническое направление, должно быть организовано, по крайней мере, в качестве факультативного.

9. В комплексной оценке каждого учащегося удельный вес, приписываемый успеваемости по математике, должен быть пропорционален значению, признаваемому за этой дисциплиной. Когда она является обязательной, например для научных отделений, она должна рассматриваться как одна из важнейших дисциплин, в особенности при переходе из класса в класс и выдаче аттестата в конце обучения.

Программы

10. Программы по математике определенного отделения средней школы должны быть согласованы с общими целями обучения этой дисциплине и с частными задачами отделения.

11. Программы следует постоянно просматривать и приспособлять к развитию науки, потребностям техники и современной жизни, жертвуя устаревшими вопросами. Особенного внимания заслуживает тот факт, что для повышения уровня программ средней школы некоторые страны вводят аналитическую геометрию, исчисление бесконечно малых, статистику и вероятности, придают возрастающее значение изучению функций и векторов, так же как и приложениям математики.

12. Сложность и объем изучаемого материала должны соответствовать среднему умственному возрасту учащихся каждого класса, интересам и потребностям учащихся. Если желательно давать математически одаренным учащимся дополнительный материал, то необходимо заботиться о том, чтобы не вызвать расхолаживания менее одаренных учащихся, навязывая им вопросы, сложность которых превосходит их силы.

13. Желательно строить учебные планы так, чтобы обучение математике базировалось на функциональных началах, которые, устанавливая правильные соотношения между отдельными ветвями математики, выявляют общие понятия.

14. В этой связи желательно определить посредством педагогических экспериментов, реализуемых без предвзятого мнения, в какой степени многозначные структуры современной математики могут служить усовершенствованию среднего образования.

15. Желательно, чтобы учителя имели известную свободу инициативы в возможном расширении основных программ посредством факультативных дополнений.

Методы

16. В случаях, когда даются методические инструкции, следует придавать им форму советов и предложений, стремящихся сообразовать обучение как с успехами психологии познания и преподавания математики, так и с сущностью и приложениями самой математики — теоретической науки, происходящей из реального мира и имеющей эффективное значение для нашего воздействия на действительность.

17. Все усилия должны быть приложены к тому, чтобы побуждать и поощрять учащихся к активному изучению

математики посредством насколько возможно широкого личного участия в разработке темы.

18. Необходимо:

а) пробуждать и поддерживать интерес учащихся как к самой математике, так и к ее приложениям;

б) проявлять внимание к течению математической мысли самих учащихся;

в) приспособлять обучение к индивидуальным способностям и к эволюции мышления учащихся и постепенно дифференцировать его применительно к потребностям их будущей деятельности.

19. Нужно:

а) переходить к абстрактному, отправляясь от конкретного так часто, насколько это возможно, в особенности в младших классах, и каждый раз, когда это полезно, прибегать к фактическому, изображаемому или воображаемому экспериментированию, чтобы подготовить определение или доказательство;

б) принимать во внимание, что математическое познание возникает и развивается посредством интериоризации конкретной деятельности и построения операторных схем;

в) предпочитать вопросы, возникающие из конкретных ситуаций, не только для того, чтобы подчеркивать практическую полезность математики, но, что еще более существенно, чтобы мотивировать развитие теории.

20. Важно:

а) побуждать учащегося к собственным формулировкам идей и к открытию математических отношений и свойств раньше, чем ему будет внушена вполне завершенная зрелая мысль;

б) обеспечивать усвоение понятий и операторных процессов прежде введения формального обобщения;

в) переходить к автоматическим навыкам только по отношению к вполне усвоенным процессам.

21. Существенно:

а) производить сначала экспериментирование с математическими объектами и отношениями и затем вводить дедуктивное рассуждение;

б) постепенно расширять дедуктивное построение математики;

в) научить ставить задачи, находить данные, использовать их и оценивать результаты;

г) оказывать предпочтение эвристическому исследованию вопросов перед доктринальным изложением теорем;

д) ознакомить учащихся со структурой гипотетико-дедуктивной теории, где — на базе постулатов — теоремы строятся посредством доказательств, и новые понятия вводятся посредством определений, подготовив их, таким образом, к дедуктивно-логическому изложению математики.

22. Нужно:

а) изучать ошибки учащихся и видеть в них средство познания процесса их математического мышления;

б) упражнять в практике самоконтроля и исправления собственных ошибок;

в) раскрыть перед учащимися смысл понятий приближения, порядка величины и правдоподобия результатов;

г) отдавать предпочтение размышлению и рассуждению «перед натаскиванием» и заучиванием наизусть и ограничивать роль памяти за креплением фундаментальных результатов;

д) предлагать экзаменационные вопросы, которые в большей мере требуют математического развития, чем интенсивной подготовки.

23. Важно:

а) поощрять индивидуальные способы выражения, хотя бы приближенные, и постепенно улучшать их;

б) приводить учащегося к точности и строгости посредством выяснения требований к фактическому объяснению с другими лицами и требований ясности собственной мысли;

в) поощрять как индивидуальное исследование и инициативу, так и работу группой;

г) содействовать возрастанию числа учащихся, интересующихся математикой, и способствовать развитию их способностей и знаний, организуя кружки, лекции, соревнования и другие мероприятия факультативного характера и распространяя доступные для учащихся книги и журналы.

24. Существенно:

а) подчеркивать внутреннее единство математики, не устраивать перегородок между ее ветвями и сопоставлять различные методы решения данного вопроса;

б) указывать главные этапы истории изучаемых математических понятий и теорий.

25. Необходимо:

а) поддерживать координацию математики с предметами, использующими ее;

б) использовать развитие математической мысли для повышения точности, ясности и сжатости языка;

в) следить за сохранением контакта математики с жизнью и действительностью.

Учебные материалы

26. Развитие методики математики влечет за собой соответствующие изменения в учебниках. Помимо начальных книг по математике, позволяющих постепенно усваивать абстрактные понятия, ученик должен располагать книгами для углубленного повторения, где пройденные вопросы повторяются и систематизируются на

более высоком уровне. Литература справочного, дополнительного и популярного характера, журналы и т. д. должны предоставляться в распоряжение каждого в классных библиотеках. Эта литература должна быть приспособлена к целям различных отделений и в ней должны быть представлены в надлежащей степени практическая точка зрения, технические применения, теоретические построения и общекультурная сторона дела.

27. Наглядные средства, конкретные математические модели (заимствованные из повседневной обстановки, построенные учащимися или учителями или, наконец, изготовленные промышленными предприятиями), занимают все большее место в обучении; из их употребления следует извлекать средства к тому, чтобы учащиеся действенно овладевали математическими абстракциями.

Обучающий персонал

28. В математике, быть может, больше, чем в какой-нибудь другой дисциплине, роль учителя является первостепенной. Набор, обучение и усовершенствование учителей математики должны быть предметом особого внимания и заботы со стороны властей, отвечающих за воспитание молодежи.

29. Учителя, на которых возложено обучение математике в средних школах, должны иметь математическое образование существенно более высокого уровня, чем тот, на котором они будут преподавать. Это образование должно включать не только изучение теоретической математики, но и часть прикладной математики, общую историю математической мысли, методологию самой математической науки и изучение элементарной математики, рассматриваемой с высшей точки зрения.

30. Соответствующая педагогическая и психологическая подготовка должна быть необходимым дополнением к математическому образованию учителя и включать достаточно ясное и зрелое знание общих целей и принципов воспитания человека. В этой подготовке должны выделяться вопросы структурного развития интеллекта в связи с выработкой математической мысли. Эта подготовка должна останавливаться на отношениях конкретного и абстрактного так, чтобы включить методику использования моделей в математическом обучении. Будущий преподаватель должен быть подготовлен к наблюдению и к экспериментированию в области преподавания математики. Более всего он должен интересоваться молодежью и ее стремлениями с целью стать вдохновителем и наставником юности.

31. Следует заботиться о том, чтобы все учащиеся младших классов и менее одаренные учащиеся старших классов имели хороших учителей.

32. Нужно, чтобы преподаватель математики, исполняя свои обязанности, мог находиться в курсе современного развития теоретической математической науки, ее важных актуальных приложений и новейших успехов дидактики своего предмета. Желательно, чтобы принимались меры в целях облегчения усовершенствования учителей (лекции, курсы в каникулярное время, семинары, рабочие группы, стажировка, издание литературы и т. п.).

33. Рекомендации специализированных инспекторов и педагогических консультантов, пример работы педагогов-экспериментаторов являются превосходными средствами для повышения эффективности преподавания.

34. Преподаватель математики должен пользоваться в современном обществе уважением и положением, на которое ему дают право научное образование и миссия воспитателя.

35. Исходя из того, что во всех странах надлежащее обучение математике является существенным элементом воспитания, важно обеспечивать набор достаточного числа квалифицированных учителей, тем более, что это представляет одно из условий научного, технического, экономического и социального расцвета всех народов.

Интернациональное сотрудничество

36. Правительства и международные культурные или просвещенские организации, такие как ЮНЕСКО, Международное бюро по просвещению, Международная комиссия по математическому образованию, Международная комиссия по изучению и усовершенствованию математического образования, должны содействовать всеми средствами (публикации, лекции, встречи, выставки, поездки с целью изучения и стажировки за границей и т. д.) международному обмену идей, работ, исследований и результатов, полученных в математическом обучении, чтобы молодежь всего мира могла возможно ранее воспользоваться результатами опыта и достижениями учителей всех стран.

А. Я. Хинчин

О воспитательном эффекте уроков математики

Математика в отличие от большинства других преподаваемых в школе дисциплин имеет предметом своего изучения не непосредственно вещи, составляющие окружающий нас внешний мир, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам. Этой особенностью математической науки в первую очередь объясняются те хорошо известные методические трудности, которые неизбежно встают перед преподавателем математики и которых почти не знают преподаватели других наук: перед учителем математики стоит нелегкая задача — преодолеть в сознании учеников возникающее со стихийной неизбежностью представление о «сухости», формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики. Об этом написано много ценного и полезного, и мы хорошо знаем, как справляются с этой задачей лучшие мастера нашей школы.

Но этой же особенностью математической науки в значительной мере объясняется и специфика задач, встающих перед учителем математики, который хочет использовать преподавание своей науки в воспитательных целях. Ясно, что и здесь стоящая перед ним задача труднее, чем в случае большинства других наук. Ибо научная дис-

циплина, занятая изучением не самих вещей, а лишь отношений между ними и потому необходимо требующая поднятия на некоторую ступень абстракции, — такая дисциплина, очевидно, лишь в редких случаях способна давать учителю повод к эффективному воздействию на формирование характера и мировоззрения учащихся, на регулирование их поведения.

То немногое, что написано по этому поводу, в основном не вызывает возражений. Дело сводится обычно к двум рычагам воспитательного воздействия: с одной стороны, говорится, что специфическая для математики логическая строгость и стройность умозаключений призваны воспитывать в учащихся общую логическую культуру мышления; с другой — указывается, что предметно-содержательное оснащение математических задач при надлежащем его выборе дает широкий простор для сообщения цифр и данных, способных значительно расширить кругозор учащихся, поднять их общий культурный уровень.

Все это бесспорно верно. Я думаю, однако, что это далеко не все. Прежде всего, здесь совершенно не затрагиваются важнейшие задачи морального воспитания, для которых, как мне кажется, уроки математики дают весьма ощутимые возможности. Далее, важная задача воспитания логической культуры мышления, которой обычно уделяется много внимания, тем не менее трактуется в большинстве случаев трафаретно, поверхностно и недостаточно расчлененно; приводимые примеры часто не выходят за рамки вульгарного шаблона и поэтому очень мало эффективны. Наконец, воспитывающее воздействие данных, приводимых в «текстовых» задачах, хотя и должно, конечно, всемерно быть использовано, но с математическим содержанием урока связано, очевидно, лишь весьма внешним образом; ясно, что здесь воспитывающее влияние призвана оказывать не сама математика, не ее

законы и ее стиль, а те привязанные к ней чисто внешним образом данные, которые обрамляют собою «текстовые» задачи и которые без всякого изменения математического содержания задачи могли бы быть заменены любыми другими аналогичными данными. Ясно поэтому, что этот рычаг воспитывающего воздействия, будучи важным и действенным, не может считаться в прямом смысле принадлежащим самой преподаваемой в школе математической науке.

Все приведенные соображения показывают, что вопрос о воспитательном значении уроков математики у нас разработан еще далеко недостаточно. Предлагаемая статья ставит целью несколько продвинуть этот вопрос. Для этого я в дальнейшем кратко рассмотрю ряд моментов, которые, насколько я могу судить, при изыскании возможностей воспитательного влияния уроков математики до сих пор либо совсем оставлялись без внимания, либо рассматривались лишь весьма поверхностно.

I. Культура мысли

Правильность мышления. Роль и значение математики в воспитании навыков закономерного и безошибочного мышления всеми признаны в такой мере, что нередко приходится встречаться с утверждениями, будто приучение к строгому в логическом отношении ходу мыслей есть первая и основная задача учителя математики, так что в сравнении с нею даже ознакомление учащихся с самим содержанием математической науки отодвигается на второй план (что несомненно следует признать уже вредным перегибом). Однако как раз потому, что эта воспитательная функция уроков математики приобрела характер банальности, именно в этом направлении мы слышим много высказываний, приводим по готовому трафарету, без

достаточного обдумывания. В результате внимание сосредотачивается на небольшом числе привычных (а подчас и набивших оскомину), хотя и важных, но по своему значению частных и узких вопросов, вроде пресловутого различения между прямыми и обратными теоремами. Между тем остаются в тени вопросы более общего принципиального значения.

Я думаю, что основным общим моментом воспитательной функции математического образования — моментом, который в значительной степени обусловливает собою все остальное, — служит приучение воспитываемых к полноценности аргументации.

В обыденной жизни, даже в «любительских» (не строго научных) принципиальных спорах, мы, защищая какое-либо утверждение, довольствуемся обычно одним-двумя аргументами, говорящими в его пользу. Противник может привести в ответ несколько аргументов, говорящих против нашего утверждения. Однако обычно ни та, ни другая аргументация не бывает исчерпывающей; противники продолжают изыскивать новые аргументы, каждый в пользу своей точки зрения, и спор продолжается.

Примерно так же протекают и научные дискуссии в тех областях знания, которые не входят в число так называемых точных наук; конечно, аргументация здесь бывает, как правило, более полной, чем в обыденных спорах; но почти никогда не удается сделать ее исчерпывающей, не допускающей никаких возражений и тем самым ликвидирующей самую дискуссию.

Иначе обстоит дело в математике. Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы

то на было силы. В математике нет и не может быть «наполовину доказанных» и «почти доказанных» утверждений: либо полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация вообще полностью отсутствует.

Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации. Вначале она удивляет, отталкивает, пугает его, кажется ему излишней, сверхмерной, педантичной. Но постепенно, день за днем, он к ней привыкает. Хороший учитель много может сделать для того, чтобы этот процесс протекал и быстрее, и продуктивнее. Он приучит своих учеников к взаимной критике; когда один из них что-либо доказывает или решает какую-либо задачу перед всем классом, все остальные должны напряженно искать возможных возражений и немедленно их высказывать. Ученик, который «отобьется» от таких возражений, заставит умолкнуть всех своих критиков, неизбежно испытает законную радость победы. Вместе с тем он ясно почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем оружием, которое дало ему эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно научится уважать это оружие, постарается, чтобы оно всегда было при нем. И конечно, не только в математических, но и в любых других дискуссиях он все больше и настойчивее будет стремиться к полноценности аргументации. Каждый раз перед ним будет вставать задача — по возможности обезоружить своих противников, в полной мере используя весь запас аргументов, какие вообще возможны в данной ситуации.

Этот воспитывающий процесс имеет решающее значение для логической культуры мышления, в особенности если учесть, что учащийся привыкает быть беспощадно

требовательным к полноценности аргументации не только в споре, но и в своем собственном мышлении. Процесс этот протекает повседневно на наших глазах у многих тысяч школьников. Он неизбежно возникает и идет своим путем без нашего специального вмешательства, но это не значит, что мы вправе пустить его на самотек; в нашей власти сделать его и более быстрым, и более полным по богатству и прочности достижений; а раз мы можем, то мы и должны это делать; вопрос о том, какими приемами наиболее эффективно можно добиться этих целей, есть уже методическая задача, которую мы не имеем возможности рассматривать здесь детально.

Общий принцип борьбы за полноценность аргументации получает в ходе интеллектуального развития учащегося целый ряд типичных по своей форме конкретных разновидностей, важнейшие из которых мы теперь перечислим.

1. Борьба против незаконных обобщений. Натуралист, подметив наличие какого-либо свойства (признака) у ряда особей данного вида, с чистой научной совестью объявляет этот признак общим для всего рассматриваемого вида, и никто не упрекнет его за это: такого рода индуктивные заключения представляют собою один из основных методологических стержней естественных наук. Конечно, и в этих науках координирующая и осмысливающая теоретическая мысль возможна н необходима; но как исходным пунктом, так и решающей проверкой всякого заключения здесь всегда остаются наблюдение и опыт, осуществляемые над отдельными экземплярами.

В математике дело обстоит принципиально иначе. Если мы обнаружили, что несколько десятков (или хотя бы и несколько миллионов) наудачу выбранных нами треугольников обладают каким-нибудь свойством, мы еще не вправе признать это свойство принадлежащим всем

треугольникам. Такое заключение было бы не до конца обоснованным, а в математической науке все, что обосновано до конца, расценивается как абсолютно необоснованное. Только исчерпывающее общее доказательство может дать уверенность в том, что данный признак действительно является общим свойством всех треугольников.

Чему же может и должна научить школьника та суровая критика по адресу не вполне обоснованных обобщений, с какой он встречается в математике? Конечно, он не должен стараться переносить такого рода требования на выводы других наук и тем более на практические жизненные ситуации. Требование абсолютной полноты индукции специфично для математического метола и совершенно невыполнимо ни в естественных науках, ни в практической жизни. Но привычка с критической тщательностью проверять законность всякого обобщения, привычка твердо помнить, что замеченное во многих случаях еще не обязано тем самым иметь место во всех случаях и что закономерности, установленные на основе хотя бы и многих единичных наблюдений и опытов, требуют поэтому все новой и новой проверки, — все эти важнейшие методологические навыки, необходимые в любой научной и практической деятельности, в значительной степени воспитываются и укрепляются вместе с повышением математической культуры. Это процесс, который мы каждодневно видим происходящим на наших глазах.

2. Борьба против необоснованных аналогий. Заключения по аналогии служат обычным и законным приемом установления новых закономерностей как в эмпирических науках, так и в обыденной жизни. Если, допустим, естествоиспытатель помнит, что все встречавшиеся ему до сих пор виды, обладавшие признаками А и В, обладали также и признаком С, и если он нашел новый вид, у которого обнаружены признаки А и В, то он, естествен-

но, заключит, что этот новый вид обладает также и признаком С Такое заключение по аналогии значительно выигрывает в убедительности, если к чисто эмпирическим данным, описанным выше, присоединяются, как это часто бывает, какие-либо теоретические соображения, заставляющие предполагать, что совместное наличие признаков А, В и С является не случайным, а обосновано теми или другими общими принципиальными соображениями. Но только в математике возможно — и вместе с тем совершенно необходимо — требовать, чтобы эти принципиальные соображения были доведены до степени исчерпывающего доказательства. Либо мы со всей строгостью доказали, что из наличия признаков А и В с неизбежностью вытекает и наличие признака С, либо, если нам не удалось доказать этого с исчерпывающей полнотой, нам запрещается делать из наличия признаков А и В какие бы то ни было выводы относительно признака С. Но в первом случае (т. е. когда доказана теорема «Из А и В следует С») простое применение этой общей теоремы к конкретным частным случаям уже вряд ли может быть названо заключением по аналогии. Будет, таким образом, правильно сказать, что в математике заключения по аналогии категорически запрещены (что не должно, конечно, умалять огромного эвристического значения заключений по аналогии), в то время как в эмпирических науках и практической деятельности заключениям по аналогии принадлежит почетная роль одного из основных приемов вывода новых закономерностей. Поэтому снова встает вопрос о том, что же в этом отношении могут дать уроки математики для воспитания общей культуры мышления. И снова приходится ответить на это то же, что и прежде: математическая вышколенность ума, привыкшего к тому, что заключение по аналогии может служить лишь эвристическим приемом, который сам по себе еще

не имеет доказательной силы, неизбежно приучает прошедшего эту школу человека и во всех других областях мышления относиться к такого рода заключениям с большом осторожностью, памятуя, что во всех таких случаях нельзя без основательной проверки считать полученное заключение твердо установленным. Каждый из нас испытал в свое время на себе воспитывающее влияние этой особенности математического мышления, и каждодневно мы наблюдаем, как влияние это содействует повышению мыслительной культуры наших воспитанников. Критическое отношение к заключениям по аналогии есть один из важнейших показателей, отличающих правильно воспитанное научное и практическое мышление от первобытного, обывательского, и занятия математикой всегда служат одним из основных средств воспитания этого важнейшего показателя.

3. Борьба за полноту дизъюнкций. Когда математик доказывает какое-либо общее свойство всех треугольников, то иногда ему приходится проводить доказательство отдельно для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Известно, как часто в таких случаях начинающие делают ошибки, в особенности в тех случаях, когда рассуждение сопровождается ссылкой на чертеж; чертится, например, остроугольный треугольник, и рассуждение опирается на добавочные построения, которые либо невозможны, либо теряют доказательную силу, если выбранный треугольник имеет тупой угол. В математике такое рассуждение признается ошибочным, так как здесь нарушено основное требование полноты дизъюнкции: не предусмотрены все возможные разновидности данной ситуации, одна из них выпала из поля зрения.

В обыденных, не научных рассуждениях это требование нарушается на каждом шагу. Рассмотрев две-три наиболее часто встречающиеся или наиболее бросающиеся

в глаза разновидности данной ситуации и убедившись, что в каждом из этих случаев мы неизбежно встречаемся с некоторым событием Ач мы заключаем, что это событие А сопутствует данной ситуации во всех случаях, хотя на самом деле данная ситуация может иметь, кроме двух-трех изученных нами, еще десяток других разновидностей, и среди этих разновидностей, скинутых нами со счета, могут быть и такие, в которых наступление события А вовсе необязательно. Мы говорим, на пример, что ученика Иванова вообще нельзя дисциплинировать, потому что на него испытанным образом не действуют ни ласка, ни угрозы. Мы забываем при этом, что лаской и угрозами не исчерпываются еще все разновидности приемов дисциплинирующего воздействия, что существует еще, например, метод спокойного убеждения и что, стало быть, наша дизъюнкция страдает неполнотой. Мы часто наблюдаем, как начинающий, рассмотрев при исследовании какого-нибудь уравнения случай, когда некоторый данный коэффициент положителен, а затем случай, когда этот коэффициент отрицателен, тем самым считает, что он провел исследование во всех случаях, забывая, что изучаемый коэффициент может оказаться равным нулю. Здесь также мы видим неполноту дизъюнкции, которая может привести и фактически приводит к тяжелым ошибкам в выводах.

В противоположность тем двум требованиям, которые мы рассматривали выше, требование полноты дизъюнкции, учета всех возможных разновидностей изучаемой ситуации является необходимой принадлежностью не только математического, но и всякого правильного мышления. Аргументация, в которой не учтены все имеющиеся возможности, всегда оставляет место для законных возражении и потому не может быть признана полноценной. Военачальник, предпринимая какой либо маневр, при учете его последствий должен предвидеть все возможные

ответы врага; просмотр хотя бы одного из них может оказаться гибельным. Юридический кодекс в каждой статье обязательно должен охватывать все мыслимые разновидности данной ситуации, иначе он ставит судью перед необходимостью решать дела по своему произволу.

Но нигде требование безукоризненной чистоты дизъюнкции не выставляется так явно и категорически, как в математике, и никто не обрушивается с такой быстротой и беспощадностью на замеченный просмотр в дизъюнкции, как вышколенный математик.

Вот почему уроки математики должны воспитывать и действительно воспитывают в мышлении учащихся этот важнейший закон правильного рассуждения в несравненно большей мере, чем занятия другими предметами.

4. Борьба за полноту и выдержанность классификации. Классифицирует не только ученый-теоретик в своем кабинете, классификацией приходится очень часто заниматься и практическому работнику, инженеру, врачу, учителю, статистику, агроному. Общеизвестно, что невышколенный ум склонен допускать, производя классификацию, ряд типических ошибок; наиболее распространенными из таких ошибок являются нарушение полноты классификации и нарушение ее выдержанности, единопринципности. Нарушение полноты классификации состоит в том, что остаются понятия, не входящие ни в один из названных классов, и что, стало быть, названы не все классы. Простые примеры: на вопрос «Какие ты знаешь растения?» школьник отвечает: «Травы и деревья», забывая о кустарниках, лишайниках и многих других типах; войсковые части делятся на сухопутные, водные и воздушные (упускаются интендантские, части связи и многие другие); натуральные числа делятся на простые и составные (упускается число 1); вещественные числа делятся на положительные и отрицательные (упускается нуль).

Требование полноты классификации формально аналогично рассмотренному нами выше требованию полноты дизъюнкции, но, конечно, отлично от него по содержанию. Там шла речь об обязательности охвата всех могущих возникнуть ситуаций, здесь же о необходимости перечисления всех разновидностей некоторого понятия. Но здесь, как и там, явно и неукоснительно требование полноты классификации провозглашается в математике преимущественно перед всеми другими науками, и потому уроки математики более всех других воспитывают в школьнике этот обязательный элемент правильного мышления.

Требование выдержанности классификации состоит в том, чтобы она проводилась по единому принципу, по единому признаку. Это требование, при строго правильном мышлении совершенно обязательное, очень часто нарушается не только в обывательских рассуждениях, но и в серьезной практике. Вот простые примеры такой невыдержанной классификации: суда делятся на весельные, парусные, моторные и военные; очевидно, классификация начата по принципу различных движущих сил, и последняя рубрика этот принцип нарушает, другой пример: обувь подразделяют на кожаную, брезентовую, резиновую и модельную — та же картина. Конечно, подобного рода перечисления не всегда претендуют на роль классификации, и в таких случаях соблюдение единого принципа необязательно (например, объявление: завод приглашает на работу плотников, штукатуров, женщин и подростков). Но во всех случаях, когда такому перечислению приписывается классифицирующая функция, невыдержанность разделяющего принципа вызывает такую неотчетливость всей схемы, которая может привести и к теоретическим смешениям, и к практической путанице. Поэтому логически вышколенный ум всегда ощущает

недостаток выдержанности классификации как существенный дефект рассуждения. И снова наиболее чувствительна к этому дефекту математическая наука, и поэтому именно на уроках математики школьник преимущественно развивает в себе эту потребность видеть всякую классификацию выдержанной, построенной на едином классифицирующем принципе.

Я перечислил те моменты в борьбе за правильность мышления и полноценность аргументации, которые представляются мне наиболее важными. Как уже было сказано выше, я не могу входить в этой статье в обсуждение тех методических приемов, с помощью которых учитель математики может достигнуть наибольшего успеха в деле воспитания у своих учеников перечисленных мною моментов правильного мышления. Но я считаю необходимым сделать по этому вопросу одно методическое замечание общего характера (для опытного учителя, впрочем, совершенно очевидное) все те требования правильного мышления, о которых шла речь выше, должны воспитываться в учащихся исподволь, от случая к случаю, без излишнего педалирования; не может быть и речи о том, чтобы посвящать специальный урок, например, борьбе с незаконными аналогиями, такая постановка дела может только безнадежно погубить весь ожидаемый эффект. Надо, напротив, всемерно избегать во всем этом деле общих рассуждений и обращать внимание учащихся на тот или другой логический момент исключительно на базе ярко убедительного конкретного материала. Потребность в логической полноценности аргументации воспитывается не постоянным надоедающим напоминанием о необходимости этой полноценности, а показом на конкретных примерах (поводы к которым дает почти каждый урок), как несоблюдение этого требования ведет к ошибкам и неувязкам. Надо не отвлеченно проповедовать полноценность

аргументации, а приучить учащегося к тому, что каждый пробел в аргументации немедленно вызывает придирчивый вопрос со стороны учителя или, что много лучше, со стороны товарищей.

Я не буду говорить здесь о том, что следует использовать уроки математики для правильного понимания различия между прямым и обратным утверждениями, а также и ряда других аналогичных различий. С одной стороны, об этом так много уже писалось, что вряд ли я смог бы прибавить здесь что-нибудь новое. С другой стороны, мне представляется, что этого рода моменты, будучи, конечно, обязательными для логически правильного мышления, все же по своему частному, специальному характеру не имеют вне математики столь существенного значения, как те значительно более общие принципы, которые я перечислил выше.

Стиль мышления. Помимо специфических, особо строгих требований к логической правильности умозаключений, математика отличается от других преподаваемых в школе наук также и стилем своего мышления. Стиль этот, хотя и претерпевает на протяжении веков, и даже десятилетий, довольно значительные изменения, все же имеет некоторые общие для всех эпох непреходящие черты, заметно отличающие его от стилей, принятых в других науках.

Утвердившийся в той или другой науке стиль мышления не является, как можно было бы думать, только внешним и потому второстепенным фактором, имеющим лишь эстетическую ценность и не могущим поэтому существенно влиять на развитие данной науки. Напротив, стилем мышления в значительной степени определяется отчетливость теоретических связей, простота и ясность научных конструкций, наглядная конкретность понятий и многое другое, от чего в свою очередь зависят эффектив-

ность, плодотворность научных дискуссий и научного преподавания, а вместе с тем и темпы развития науки.

Среди тех особых черт, которые присущи стилю математического мышления, имеется ряд таких, которым свойственно весьма общее и широкое значение; такая черта, если она усваивается представителем какой-нибудь другой науки или практическим деятелем, оказывает нередко весьма существенные услуги как его собственному мышлению, так и усвоению его трудов учениками и последователями. Читая сочинения какого-либо из крупнейших классиков в другой научной области, математик подчас с некоторым удивлением восклицает: «Да ведь он мыслит совсем по-нашему!». Удивление происходит оттого, что обычно в этой научной области принят совсем иной стиль мышления, имеющий очень мало общего с математическим.

Но если усвоение некоторых черт математического мышления способно облагородить мыслительный стиль и в других областях знания и практической деятельности, сделать этот стиль более мощным и продуктивным орудием мысли, то очевидно, что не следует пренебрегать использованием уроков математики для приучения молодых умов к постепенному усвоению этих черт, к тому, чтобы эти черты стали прочными навыками их мышления — сначала в пределах математики, а потом и за ее пределами. Для того чтобы это осуществить, надо в первую очередь постараться со всей тщательностью выявить те черты стиля математической мысли, о которых здесь идет речь.

В основе каждого правильно построенного хода мыслей независимо от предметного содержания его лежит такая формально-логическая схема, которая ощущается вышколенным умом как некий логический костяк, стройный и закономерный, обросший тем или другим конкретным содержанием. Независимо от стиля мышления эта

логическая схема должна быть закономерной, лишенной пробелов: без этого рассуждение становится недоброкачественным и должно быть отвергнуто.

Однако роль и положение этого логического скелета в данное ходе мыслей бывают весьма различны и существенным образом зависят именно от стиля мышления. В одних случаях логическая схема становится определяющим, руководящим моментом мышления, так что мыслящий все время имеет ее перед глазами и сообразно с нею выбирает и направляет последовательные этапы рассуждения. В других, напротив, логический костяк остается затушеванным, мысль в гораздо большей степени направляется запросами конкретного содержания, роль логики сводится к последующему контролю, да и этот контроль в письменном или устном изложении часто только подразумевается и явно не проводится; логическая схема как целое остается вне поля зрения мыслящего. Разумеется, встречаются нередко и стили мышления, промежуточные между двумя указанными.

Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения; математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления). Поэтому приобретенные

на уроках математики стилистические навыки, связанные с указанной чертой, имеют существенное значение для повышения общей культуры мышления учащихся.

Очень интересным и ярким примером мышления в далекой от математики области, и тем не менее чрезвычайно насыщенного этой чертою, могут служить произведения Маркса. Читателя, который после изучения экономических трудов других ученых раскрывает «Капитал», с первых страниц поражает железная, непреклонная логика его строк. Логическая схема с ее неумолимыми требованиями не только определяет ход мысли автора, но и настойчиво убеждает читателя, который не может уйти от ее направляющего влияния. Этот необычный для экономического сочинения стиль, почти приближающийся к математическому, неизменно вызывает в читателе ощущение прочности, надежности, предельной убедительности и в то же время много помогает ему в усвоении читаемого.

Второй характерной чертой математического стиля мышления, о которой здесь должно быть упомянуто, является его лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, о чем нет абсолютной необходимости для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой воды, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечении в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения; лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь

побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

В гораздо меньшей степени этот лаконизм присущ ораторским выступлениям. Здесь мы часто встречаем растянутость, излишнюю цветистость, пренебережение прямотою логического пути в угоду украшающей образности (которой, конечно, нельзя отказать в присущей ей специфической силе воздействия). Однако и в этой области, когда встает оратор, облекающий свою мысль в сжатую, скупую форму предельно кратких и неодолимо убедительных ходов, величественно жертвующий во имя этой железной логики всеми стилистическими «красотами», всеми соблазнами красочной образности, мы видим, как внимание слушателей сразу подтягивается и напрягается, и чуствуем, что такая речь должна вызывать значительно большее доверие, а потому и оказывать большее воздействие, чем многие ярко-образные, оснащенные витиеватыми нагромождениями выступления, апеллирующие к чувству и воображению слушателей.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение необязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность. И поэтому

именно уроки математики призваны дать учащимся, предпочтительно перед другими предметами, навыки лаконичного, прямого, не знающего отвлечении, не обремененного никакими излишними элементами мышления.

Далее, для стиля математического мышления характерна четкая расчлененность хода рассуждения. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучай ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешение и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать такого рода смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятии и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри

каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучай, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда для различения с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например, II 3 — это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, все излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собой разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собой.

Наконец, следует упомянуть еще об одной чисто внешней традиции математического стиля, могущей при надлежащих условиях приобрести воспитательное значение, которым нельзя пренебрегать. Я имею в виду свойственную математике скрупулезную точность символики. Каждый математический символ имеет строго определенное значение; замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания. Учащийся, не привыкший еще относиться с достаточной требовательностью к точности устной речи и письменного изложения, вначале может с некоторым легкомыслием отнестись к неуклонным и настойчивым приглашениям учителя математики — вести математическую запись с абсолютной точностью; эти требования могут даже показаться ему педантичными и вызвать насмешку. Однако он очень быстро убедится на собственном

опыте, что несоблюдение безукоризненной точности символической записи в математике влечет за собой немедленную расплату: он сам теряет возможность понять смысл записанного, вынужден гадать, угадывает неверно и либо получает неправильный ответ, либо вообще лишает себя возможности решить задачу. В лучшем случае ему ценою значительных усилий удастся восстановить правильную запись и шествовать дальше, отправляясь от нее.

Убедившись таким образом, что точность символической записи соответствует его собственным интересам, он начинает следить за собою в этом направлении, и постепенно строгая правильность математической символики становится его привычкой. Но такого рода привычка, приобретенная в какой-либо одной сфере мышления, неизбежно приводит к воспитанию и общего стиля мышления учащегося; он начинает точнее выражаться и в устной речи, и в письменном изложении; в частности, он уделяет больше внимания правописанию, орфографические ошибки переживаются им с такой же остротой и таким же беспокойством, как математические. Мы неизменно наблюдаем, что ученики, научившиеся требовательно относиться к точности математической символики, легче и быстрее перестают делать орфографические ошибки. И я не знаю, возможно ли окончить школу, обладая требуемой для аттестата зрелости математической культурой и не научившись в то же время писать совершенно безошибочно.

Заканчивая эту главу, посвященную вопросам воспитательного воздействия уроков математики на культуру мышления учащихся, я предвижу естественное и законное недоумение читателя по поводу того, что мною нигде даже не затронута проблема развития элементов диалектического мышления. Я считаю себя обязанным дать по этому вопросу краткое разъяснение.

Маркс и Энгельс с полным основанием утверждали, что математика не только дает для законов диалектическо-

го мышления богатейший иллюстративный материал, но систематически способствует развитию диалектических навыков мыслительного процесса. Однако, как это неоднократно отмечалось основоположниками марксизма, в полной мере это может быть отнесено лишь к так называемой высшей математике, т. е. к математике переменных величин. Именно здесь мы приучаемся к математическому исследованию явлении природы и процессов техники в их живой изменчивости, а не статической неподвижности. Именно здесь величины исследуются в их взаимной зависимости (понятие функции), а не в отрыве друг от друга. Нигде с такой наглядностью, как здесь, мы не видим в действии переход количества в качество, диалектический синтез первоначально антагонистических противоположностей и другие основные принципы диалектики. И это одна из важнейших причин (впрочем, далеко не единственная), заставляющих нас признать абсолютно необходимым введение элементов высшей математики в курс средней школы.

Но пока мы только боремся за это. Что же касается преподаваемой в школе элементарной математики, то и она, конечно, как всякая подлинная и живая наука, не лишена диалектических элементов. Но здесь они выступают разрозненно и с малой мощностью, и говорить о них в статье, посвященной лишь основным рычагам воспитательного воздействия уроков математики, я не решился.

II. Моральные моменты и воспитание патриотизма

О роли и значении уроков математики в воспитании правильного и дисциплинированного мышления говорилось и писалось очень много. Напротив, о влиянии математических занятий на формирование личности учащегося не сказано почти ничего. Это вполне понятно: по абстрактности своего предмета математическая наука не

может давать учащемуся тех непосредственных впечатлений, этически воздействующих и формирующих характер образов, картин, эмоций, какими располагает, скажем, история или литература. Было бы, однако, весьма поверхностно делать отсюда вывод, что в деле формирования нравственной личности школьника уроки математики вообще должны быть скинуты со счетов. По моему многолетнему опыту работа над усвоением математической науки неизбежно воспитывает — исподволь и весьма постепенно — в молодом человеке целый ряд черт, имеющих яркую моральную окраску и способных в дальнейшем стать важнейшими моментами в его нравственном облике. Сделать этот процесс более активным и результаты его более прочными — достойная задача для учителя. Но прежде всего надо тщательно разобраться в том, что это за черты и какие особенности математической работы способны их воспитывать.

Честность и правдивость. В обывательских тяжбах всякого рода каждая из спорящих сторон исходит, как правило, из желательного ей, выгодного для нее решения вопроса и с большей или меньшей изобретательностью изыскивает возможно более убедительную аргументацию для решения вопроса в свою пользу. В зависимости от эпохи, среды и содержания спора стороны при этом апеллируют к тому или другому высшему авторитету — общечеловеческой морали, «естественному» праву, священному писанию, юридическому кодексу, действующим правилам внутреннего распорядка, а часто и к высказываниям отдельных авторитетных ученых или признанных политических руководителей. Все мы много раз наблюдали, с какой страстностью ведутся подобного рода споры и какой убежденностью дышит, по-видимому, аргументация каждой из сторон; можно подумать, что такой тяжущийся действи-

тельно обуреваем желанием найти и отстоять истинное, справедливое, отвечающее духу и букве признанного в качестве арбитра авторитетного источника решение.

Но хорошо известно, что эту картину мы часто наблюдаем не в одних только обывательских тяжбах. В точности те же черты являет подчас и научная дискуссия. Выводы, с полной убежденностью сделанные одним ученым, с такою же убежденностью оспариваются другими; завязывается полемика, в которой каждая из сторон находит все новые и новые аргументы в пользу своей позиции — даже вновь поставленные опыты часто говорят каждому из спорящих как раз то, что ему желательно. В ходе полемики каждая из сторон не только стремится все более и более усиливать свою собственную позицию, но и старается различными средствами дискредитировать позицию противной стороны, доходя иногда и до попыток персональной дискредитации. И лишь сравнительно редко бывает, чтобы в такой затянувшейся полемике одна из спорящих сторон нашла честность и мужество признать свою позицию ошибочной.

Субъективные основания такого рода явлений в жизни науки легко понять: они ничем, к сожалению, не отличаются по своей неприглядности от субъективных оснований самых мелочных обывательских стычек. Что касается объективных оснований возможности подобного рода научных ситуаций, то и их нетрудно найти: в эмпирических науках всякая новая, еще не окончательно установленная закономерность фигурирует, по крайней мере временно, в качестве «рабочей гипотезы»; покуда вопрос не решен окончательно, имеются обычно как соображения (опытные и теоретические), говорящие в пользу этой гипотезы, так и такие, которые говорят против нее. Из двух ученых один может поставить своей задачей собрать как можно больше аргументов,

поддерживающих такую гипотезу, а другой — заняться собиранием фактов и соображений, способных вызвать к ней недоверие. Дело происходит как в уголовном процессе, где перед обвинителем и защитником ставятся задачи собрать, привести в порядок и изложить все аргументы, соответственно говорящие за и против виновности подсудимых.

Само собою разумеется, что так поставленная научная дискуссия сама по себе не содержит еще ничего морально одиозного: собрать с возможною полнотою все имеющиеся аргументы за и против данной «рабочей гипотезы» — это во всех случаях приносило пользу прогрессу науки; нет, очевидно, ничего предосудительного и в том, что сбор аргументов за и против гипотезы выполняется двумя различными учеными (или группами ученых), если только обе стороны подходят к своей задаче добросовестно, руководствуясь исключительно желанием способствовать отысканию объективной истины. Моральный одиум, этическое неблагополучие начинаются там, где в своих выводах ученый перестает руководствоваться интересами объективной истины, а стремится поставить эти выводы — сознательно, полусознательно или бессознательно — на службу своим личным интересам — своему упрямству, своему честолюбию, своему корыстолюбию, когда аргументация приводится с пристрастием, «притягивается за волосы», необъективно акцентируется, точь-в-точь как в обывательских дрязгах. Такая деградация научного спора в иных случаях ложится мрачным пятном даже на крупнейших представителей научной мысли; среди же ученых меньшего ранга она представляет собою, к сожалению, довольно распространенное явление.

Одна только математическая наука полностью от всего этого избавлена. Она не знает «рабочих гипотез» — предложений, истинность которых может подлежать дискус-

сии. Пока предложение не доказано, оно вообще никак не входит в сокровищницу науки, никому не придет в голову его отстаивать; если же оно доказано, то истинность его никак не может быть подвергнута сомнению: оно является абсолютно общеобязательным. Никаких промежуточных ситуаций математика не знает. Полемизировать, например, в защиту неполноценного доказательства в математике может только неуч, шарлатан или душевнобольной (все три категории действительно время от времени встречаются, достаточно вспомнить так называемых ферматистов, рыцарей квадратуры круга и трисекции угла); но такой «защитник» немедленно, единогласно и беспощадно разоблачается научным миром. Никакая аргументация с пристрастием или тенденцией, никакое «притягивание за волосы» ни при каких обстоятельствах не могут в математике иметь успеха. Разумеется, это относится только к содержанию самой математической науки; в вопросах логического или философского обоснования математики дискуссии возможны и даже неизбежны; возможны (и к сожалению, нередки) и споры персонального характера, связанные с развитием математики (например, по вопросам приоритета).

Каждый математик рано привыкает к тому, что в его науке всякая попытка по тем или иным мотивам действовать тенденциозно, заранее склоняясь к тому или другому решению вопроса и прислушиваясь только к аргументам, говорящим в пользу избранного решения, — всякая такая попытка заведомо обречена на неудачу, и ничего, кроме разочарования, пытающемуся принести не может. Такое положение, при котором неправильная или не до конца правильная аргументация могла бы оказаться выгодной для аргументирующего, здесь просто принципиально невозможно. Поэтому математик быстро привыкает к тому, что в его науке выгодна только

правильная, объективная, лишенная всякой тенденциозности аргументация, что успех может принести только непредубежденное, беспристрастное напряжение мысли. И независимо от своего общего морального уровня он в своей научной работе всегда руководствуется исключительно соображениями объективной истинности.

Но эту черту, естественно развивающуюся у математика-специалиста, в известной степени воспитывает в себе, занимаясь математикой, и каждый неспециалист, в частности каждый школьник. Ему хорошо известно, что втереть очки учителю математики невозможно, что никакой апломб и никакое красноречие не помогут ему выдать незнание за знание, неполноценную аргументацию за полноценную. И как бы лжив он ни был в других отношениях, в математике он остережется отстаивать неверное утверждение или неправильное доказательство.

Но и здесь, как это часто бывает, моральные навыки, приобретенные в какой-либо одной области, в известной мере переносятся и на другие сферы мышления и практической деятельности. Теоретическая честность, ставшая для математика непреложным законом его научного мышления и профессиональной (в частности, педагогической) деятельности, довлеет над ним во всех его жизненных функциях — от абстрактных рассуждений до практического поведения.

Я должен признаться, что органически не способен отстаивать какое-либо утверждение (хотя бы и обыденно-практического содержания), если я не располагаю не допускающим никакого возражения его доказательством. Профессиональная привычка к абсолютной объективности аргументации не позволяет мне, как это далают многие другие, яростно, во что бы то ни стало отстаивать выгодное мне решение. Таким образом, черта, о которой я сечас говорю, может иногда и повредить своему носи-

телю; тем не менее я дорожу ею и рад, что она у меня есть; радуюсь и тогда, когда вижу ее в других, потому что придаю ей высокую моральную ценность.

Я всегда интересовался этой чертою и много раз наблюдал, как она развивается в людях под влиянием серьезного научного общения, в частности под воздействием уроков математики. Это очень радостная и морально возвышающая картина, когда человек постепенно преодолевает в себе отвратительную мещанскую привычку — подчинять законы мышления своим личным, мелким, корыстным интересам, теоретически защищать все то и только то, что ему практически выгодно; когда он научается уважать объективную правильность аргументации как высшую духовную и культурную ценность и все чаще и со все более легким сердцем жертвовать ради нее своими личными интересами. Доведенная до предела, эта черта представляет собою не что иное, как честность и правдивость — одно из лучших украшений нравственной личности человека.

Настойчивость и мужество. Добросовестная и серьезная работа над приобретением и укреплением знаний в любой научной области требует систематического напряжения умственных усилий, настойчивости в преодолении трудностей, мужественной встречи неудач; поэтому такая работа при правильном руководстве неизбежно воспитывает у учащегося соответственные черты характера: трудолюбие, усидчивость, упорство в преследовании намеченной цели, умение не останавливаться перед трудностями и не впадать в уныние при неудачах. Непосредственно ясно, какое решающее значение имеют все эти черты для развития морально и общественно полноценной человеческой личности и с каким вниманием должен поэтому учитель следить за максимальным исполь-

зованием своих уроков в целях воспитательного воздействия в указанном направлении. Те возможности, которыми для этого располагают предметы школьного обучения, весьма многочисленны и многообразны, и нет такого предмета, в специфических чертах которого не было бы заложено особых, именно этому предмету свойственных движущих рычагов такого воспитательного воздействия. Наша задача здесь, естественно, должна состоять в указании тех черт математики как школьного преподавания, которые, отличая ее от других предметов школьного преподавания, способствуют развитию у учащихся разумной настойчивости и сознательного мужества — этих неоценимых качеств будущего борца.

Прежде всего я хочу здесь отметить четкую определенность поставленной цели, желаемого и требуемого результата каждого математического задания. Если заданием служит сочинение исторического или литературного содержания, то нельзя указать момента, когда такое задание дефинитивно закончено выполнением — возможности дополнения и усовершенствования, систематических улучшений всякого рода здесь почти безграничны; с другой стороны, учащийся не чувствует себя здесь достаточно компетентным для авторитетной оценки своей работы: то, что ему представляется в его сочинении вполне удачным, может встретить совсем иную оценку со стороны учителя. Вся эта, по существу, для данного задания неизбежная неопределенность, расплывчатость в оценке законченности и качества проделанной работы должна, несомненно, оказывать некоторое расслабляющее влияние на волевое напряжение еще мало вышколенного молодого ума. В математике дело обстоят иначе. Если заданием служит решение задачи или доказательство теоремы, то тем самым указывается с полной опреде-

ленностью и тот момент, когда задание может считаться окончательно выполненным: когда решена задача или доказана теорема; все остальное — изложение найденного решения, правильность и аккуратность записи и т. п. — имеет и в глазах учителя, и в глазах ученика лишь второстепенное, не решающее значение. Равным образом и качество работы здесь оценивается с однозначной определенностью: задача должна быть решена верно, теорема должна быть доказана правильно. Проверить отсутствие логических ошибок в своем рассуждении ученик может и должен уметь сам; в случае задачи он знает даже определенные приемы проверки решения. Легко понять, какое стимулирующее влияние на упорство, настойчивость в достижении цели может оказать и действительно оказывает эта четкая определенность показателей результата. Победа здесь так же непосредственно ощутительна, как в шахматной партии или спортивном состязании, и сам учащийся может с такой же уверенностью зафиксировать и оценить свое достижение, как и его авторитетный учитель.

Вторая, значительно более глубокая и важная черта математических заданий, которую я хочу здесь отметить, состоит в присущем им в значительном большинстве случаев творческом характере. В то время как в большинстве других областей знания выполнение задания, за немногими исключениями, требует от учащегося лишь определенных знаний и навыков — в лучшем случае еще умения стройно и стилистически правильно излагать эти знания, — решение математической задачи, как правило, предполагает изобретение специально ведущего к поставленной цели рассуждения и тем самым становится — пусть весьма скромным — творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических за-

даний более чем что-либо другое влечет к себе молодые силы растущего и крепнущего интеллекта учащегося. Тот, кто изведал благородную радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать. Никакие трудности его не остановят, сила его порыва и устремления, его усидчивость и выдержка в преодолении препятствий будут крепнуть с каждым новым достижением, а неудачи, ошибки, временные крушения и поражения он научится встречать, как подобает истинному борцу, не опуская перед ними руки, а черпая в них источник и стимул для все новых и новых напряжений мысли и воли.

Воспитание патриотизма. Задача использования уроков математики для воспитания и укрепления в учащихся прочного чувства гордости за свою Родину и любви к ней имеет в себе специфическую трудность, очевидная причина которой заложена в абстрактном характере математической науки. Надо сказать прямо, что непосредственно, своим собственным материалом и содержанием математика в силу этой причины вообще не может служить орудием пропаганды чего-либо столь конкретного, как красота и величие родной страны. Здесь она с естественной скромностью вынуждена уступить место другим наукам.

Однако на уроках математики ученик вовсе не все время сосредоточивается на ее абстрактной сущности; абстрактные схемы математики непрестанно, почти на каждом уроке оснащаются, дополняются и иллюстрируются весьма различным конкретным содержанием, сюда входит содержательный материал «текстовых» задач, исторические сведения, различного рода приложения и т. п. При этом во многих случаях выбор конкретного оснащения в весьма широких пределах может быть варьирован,

и таким образом в значительной степени ставится на усмотрение преподающего. Очевидно, такой произвол может быть широко использован учителем для фиксирования внимания учащихся на фактах и цифрах, поддерживающих и укрепляющих уважение и любовь к Отечеству. У нас неоднократно писалось уже о подборе патриотически направленного материала текстовых задач. Против этого приема ничего нельзя возразить; надо только тщательно продумать выбираемый материал, чтобы избежать опошления, вульгаризации самой патриотической идеи, как это бывает, когда конкретное содержание задачи мало естественно, «притянуто за волосы», или когда задача, сообщая достаточно интересные цифры и факты, ставит по поводу них такой вопрос, который явно не имеет ни непосредственного интереса, ни какого-либо практического значения. Вместе с тем надо, конечно, отчетливо представлять себе, что весь этот прием является чисто внешним, для развития патриотических чувств здесь используются уроки математики, но никак не самая математика.

Значительно теснее связан с самой математической наукой прием, состоящий в придании патриотической направленности целому ряду исторических сведений. Этот прием, помимо впечатляющей силы воздействия, особенно ценен еще тем, что он значительно повышает интерес учащихся к истории математической науки, а во многих случаях дает повод и возможность эффективным образом ознакомить учащихся с математическими фактами, выходящими за пределы официальной программы и счастливым образом ее дополняющими. Так как по этому вопросу у нас почти ничего не писалось, то я здесь остановлюсь на нем несколько подробнее.

История русской и советской математики богата фактами, знакомство с которыми, в особенности на фоне

правильной исторической перспективы, способно возбуждать в нас законную радостную гордость. И среди этих фактов есть немало таких, понимание которых доступно учащимся средней школы в достаточной мере для того, чтобы они могли оценить их принципиальное или практическое значение. Нужно только, чтобы сам учитель был хорошо осведомлен как об этих фактах, так и об их роли и месте в науке, а также и о той научно-исторической обстановке, в которой они возникали и развивались. Нужно, кроме того, конечно, уметь рассказать учащимся об этих фактах так, чтобы возбудить их живой интерес и извлечь максимальный эффект как для их математического развития, так и для воспитания в них здорового чувства национальной гордости.

Хорошо известно, что для всего этого очень продуктивно могут быть использованы научные идеи нашего великого соотечественника Н. И. Лобачевского и научная судьба его идеи. В своей основе великий геометрический замысел Лобачевского вполне доступен школьникам старших классов, а проведенная с надлежащим тактом беседа о нем может много содействовать, с одной стороны, пониманию основной для современной математики идеи аксиоматического мышления, а с другой — глубокому уважению как к научному гению Лобачевского, так и к его замечательной теоретической стойкости — великой силе убеждения, позволившей ему творить в одиночестве, без общественного признания, в научно-враждебной атмосфере.

Значительно менее известны у нас творения другого нашего великого ученого П. Л. Чебышева. А между тем научный облик его не менее импозантен, чем фигура Лобачевского. И кое-что о нем с большой и многосторонней пользой может быть рассказано и школьникам. Чебышев принадлежал к числу тех немногих ученых самого высокого ранга, которые на протяжении своей жизни работают

в довольно многих, часто весьма удаленных друг от друга областях математики, в каждой из этих областей прокладывая совершенно новые пути, по которым затем в течение многих десятилетий идут их последователи. Великий дух новаторства был присущ Чебышеву не в меньшей степени, чем Лобачевскому. В теории чисел, теории вероятностей, теория механизмов и теории аппроксимации функций он создал мощные новые методы и сделался родоначальником большого числа научных школ в России и за границей. Замечательные идеи его далеко не исчерпаны и до настоящего времени.

Для учащихся средней школы особенно доступны и поучительны достижения Чебышева в теории чисел. Теорему Евклида о существовании бесконечного множества простых чисел знают все. Очень полезно выписать с учащимися таблицу простых чисел хотя бы до 100 и обратить их внимание на видимое отсутствие закономерности в расположении этих чисел. Затем рассказать о том, как задача о закономерностях в чередовании простых чисел была и остается одной из центральных проблем арифметики. Стоит привести (без доказательства) вполне понятный школьникам и способный вызвать в них интерес результат Эйлера -> 0 (п -> оо). в самых общих чертах можно затем коснуться асимптотических результатов Чебышева, обязательно давая историческую картину тех значительных усилий, которые до Чебышева были посвящены этой задаче. Конкретно же очень стоит остановиться на элементарном постулате Бертрана, проверить его на ряде примеров и тем возбудить интерес к нему со стороны учащихся. Позднее можно разобрать и какое-либо из его элементарных доказательств, хотя бы в порядке кружковой работы.

Очень советую обратить внимание учащихся на следующий замечательный исторический факт. Арифметика

и геометрия — два старейших и важнейших раздела математической науки, и в обоих в течение ряда столетии наука в значительной степени питалась творениями Евклида; центральные проблемы этих двух основных ветвей математики — теория параллельных в геометрии и задача о распределении простых чисел в арифметике — в течение многих веков не поддавались сколько-нибудь заметно многочисленным усилиям целых поколений ученых. И вот, в XIX столетии, обе проблемы были сдвинуты, наконец, с мертвой точки. В геометрии это сделал русский математик Лобачевский, в арифметике — русский математик Чебышев. Оба они проложили, каждый в своей области, совершенно новые пути, по которым наука успешно развивается до настоящего времени. Нет сомнения, что эти великие исторические скачки — Евклид — Лобачевский и Евклид — Чебышев — должны импонировать молодым умам, которые в известной мере уже способны оценить их значение.

Заинтересовав учащихся вопросами распределения простых чисел, учитель имеет совершенно естественный повод рассказать им о знаменитой гипотезе Гольдбаха. Очень стоит проверить ее в классе в пределах хотя бы чисел первой сотни. Затем, конечно без всяких доказательств, сообщить о блестящих достижениях советского академика И. М. Виноградова (его основной результат в направлении проблемы Гольдбаха, разумеется, вполне доступен учащимся по своему содержанию).

Заключение

1. Я сознательно полностью оставил в стороне важнейший для темы настоящей статьи вопрос о значении уроков математики для формирования мировоззрения учащихся. Я сделал это по той же причине, по какой

в свое время отказался от рассмотрения вопроса об использовании уроков математики для воспитания навыков диалектического мышления: ознакомление с идеями и методами математической науки имеет фундаментальное мировоззренческое значение, но львиная доля воспитательного эффекта в этом направлении принадлежит математике переменных величин, так называемой высшей математике, с которой, по выражению Энгельса, в математику входит диалектика и которая, к сожалению, все еще почти целиком остается за бортом наших школьных программ. Поистине не стоит при этих условиях говорить о влиянии на формирование мировоззрения той диалектически худосочной части математической науки, которая в настоящее время находит себе приют в нашем школьном преподавании. О тех же мощных сдвигах, направляющих и формирующих мировоззрение, которые может произвести и фактически часто производит изучение высшей математики, можно сказать очень много, и я собираюсь говорить о них в моей будущей статье, о которой я уже упоминал.

2. В этой статье я не касался методических вопросов. Я говорил только о том, какие особенности математической науки и для воспитания каких именно качеств интеллекта или моральной личности учащегося могут и должны быть использованы, но нигде не касался вопроса о том, как это может быть сделано. Мой опыт говорит мне, что это обстоятельство может вызвать недовольство в некоторых кругах читателей; вероятно, я не гарантирован от набивших уже оскомину упреков в том, что моя статья «ничего не дает учителю» и советов «повернуться лицом» и т. д. Поэтому я считаю необходимым сделать по этому поводу следующее краткое разъяснение.

1) Я считаю, что составление сколько-нибудь детальных методических указаний по рассматриваемым мною в

настоящей статье вопросам действительно совершенно излишне. Сколько-нибудь заметный воспитательный эффект уроки математики (как и всякой другой науки) могут дать только при том условии, что учитель, во-первых, достаточно хорошо знает свою науку, ее методологию и ее историю, во-вторых, имеет достаточный педагогический такт и опыт и, наконец, в-третьих, сам обладает в достаточной мере всеми теми качествами, которые он собирается воспитывать в своих учениках. Учителю, который сам не умеет мыслить абсолютно отчетливо, никакие методические шпаргалки не помогут воспитать ясность мысли в учащихся; или еще: какая методика поможет учителю сделать свох учеников горячими патриотами, если сам он любит свою Родину вяло и с прохладцей?

И напротив, если учитель стоит на высоте своей задачи, если он в полной мере обладает всеми перечисленными выше качествами, то никакие методические разработки по воспитательным вопросам ему заведомо не нужны: в каждом отдельном случае он с легкостью и непринужденностью сам найдет наиболее эффективный путь к поставленной цели. Навязывание ему определенной конкретной методики было бы для такого учителя только помехой в работе.

2) Если, таким образом, я считаю составление детальных методических указаний по затронутым мною вопросам практически бесцельным, то может быть было бы полезно все же дать по ним ряд общих методических советов; я думаю, что было бы хорошо, если бы моя статья побудила кого-либо из наших лучших учителей-методистов высказаться по этому вопросу и сделать достоянием младших товарищей некоторые общие выводы из своего опыта. В этом они во всяком случае компетентнее меня, и здесь я со всей необходимой скромностью должен уступить им слово.

3. Наконец, я хочу попытаться заранее оградить себя еще от одного рода упреков, которые я предвижу и которые обычно бывают основаны на недоразумении. Так как я говорил о воспитательном эффекте уроков математики, то мне, естественно, пришлось перечислять одну за другой именно те черты математической науки, которые в воспитательном отношении дают ей то или другое преимущество перед другими дисциплинами. В этом ведь и состояла моя задача. Но когда поступаешь таким образом, то у недостаточно вдумчивого читателя создается впечатление, будто бы ты поставил своей целью превознесение математики над всеми другими науками и вся твоя статья сплошь утверждает, что единственно подлинная наука есть именно математика, все же другие дисциплины страдают теми или другими изъянами и науками могут быть названы лишь с известной оговоркой. Уважаемые коллеги — представители других наук — начинают чувствовать себя несправедливо обиженными и подвергают твою работу яростной критике, доказывая, что другие науки ничуть не хуже и что всеми преимуществами, которыми в моем представлении монопольно обладает математика, на самом деле в такой же мере наделены и все прочие дисциплины.

С первым пунктом этого заявления я целиком и полностью согласен: другие науки действительно ничем не хуже математики; более того, представители этих других наук обычно вызывают во мне глубочайшее уважение тем, что творят великие ценности в таких областях, в которых творчество, на мой взгляд, неимоверно трудно, гораздо труднее, чем в математике. Но ведь в моей статье я нигде ни разу не называю математику лучшей из наук! Напротив, я несколько раз со всею скромностью подчеркиваю, что как орудие воспитания математика прежде всего отмечена такой особенностью, зна-

чение которой для данной цели очевидным образом отрицательно, — она абстрактна, предметом ее служат не сами вещи и явления реального мира, а лишь абстрагированные от них количественные отношения и пространственные формы. Это обстоятельство, как я несколько раз подчеркиваю в своей статье, делает для математики воспитательную задачу значительно труднее, чем для других школьных дисциплин. Но зато математика в некоторых других отношениях отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у этих других дисциплин. И то, что я в своей работе соответственно моей задаче сосредоточиваю внимание читателя именно на этик чертах, никак не может, конечно, означать какого-либо гипостазирования математики, превознесения ее выше всех других наук.

Я отдаю математической науке лишь то, что ей принадлежит по праву, с полной откровенностью признавая и те ее черты, которые в отношении к данной цели составляют ее слабость. Но за те преимущества, которые я ей приписываю, я уж действительно готов драться до конца. И если уважаемые коллеги пожелают утверждать, что та или другая конкретная черта, по моему утверждению монопольно или преимущественно присущая математике, на самом деле является в такой же мере достоянием и всех других научных дисциплин, то здесь я где угодно и когда угодно готов держать ответ в полной уверенности, что смогу отстоять правильность моего утверждения перед любым компетентным и беспристрастным судом.

П. Л. Капица

Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи

Общепризнано, что достижения науки влияют на общий уровень культурной жизни людей, но в XX веке эти достижения столь значительны, что их применение стало влиять в глобальном масштабе на структуру общества. Этот процесс, называемый научно-технической революцией, приводит к тому, что сейчас нельзя рассматривать проблему обучения молодежи в отрыве от тех социальных изменений, которые вызваны научно-технической революцией.

Я остановлюсь только на двух явлениях, порожденных современной научно-технической революцией, которые, по-моему, вызывают наиболее кардинальные изменения в организации образования молодежи.

Хорошо известно, что наиболее значительным следствием использования достижений науки и техники в промышленности является высокая производительность труда. Главным образом это происходит оттого, что физический труд человека заменяется работой, производимой двигателями, что стало все в большей степени возможным благодаря широкому использованию

электроэнергии. При этом все больше используется автоматика, а работа рабочего стала сводиться к кнопочному управлению двигателями, станками, кранами и пр. Благодаря этому в развитых странах производительность труда человека по сравнению с прошлым веком увеличилась в несколько раз и достигла сейчас как в сельском хозяйстве, так и в промышленности очень высоких показателей.

Если в прошлом веке обычно 80—90 % населения жило в деревне и производило продовольственных продуктов в количестве, только достаточном, чтобы прокормить себя и городское население своей страны, то сейчас в ряде стран не более 10 % населения живет на земле и с избытком удовлетворяет продовольственные потребности страны. Исключительно высокий уровень производительности труда, достигнутый теперь в промышленности, виден на следующем примере. Если разделить число автомобилей, изготовляемых на крупном современном предприятии, на число занятых на нем людей, то окажется, что каждый из них производит более одной машины в месяц.

Экономисты считают, что при современной производительности труда достаточно примерно трети или четверти трудового контингента промышленно развитой страны, чтобы вдоволь обеспечить население всем необходимым для жизни: едой, одеждой, жильем, средствами передвижения и пр. Если сейчас в промышленности занято больше народу, то это в основном связано с оборонной промышленностью, экономической помощью менее развитым странам, научными исследованиями, обслуживанием населения, туризмом, радио, телевидением, кино, спортом, прессой и пр. В этих областях число занятых сейчас людей ничем не ограничивается и, по-видимому, определяется числом свободных рук.

Такая высокая по сравнению с прошлым столетием производительность труда и связанная с ней меньшая загрузка рабочего населения дают возможность в наше время значительно поднять продолжительность обучения молодежи.

В прошлом веке, например, в Англии, наиболее промышленно развитой тогда стране, только наиболее состоятельная небольшая часть населения могла позволить юноше посвятить свою молодость до 20—23 лет образованию. Большинство уже с 14 лет работало в промышленности или в сельском хозяйстве. Такой могла быть и судьба Фарадея, который уже в 14 лет был подмастерьем в переплетной мастерской. Рабочий день тогда часто доходил до 12-14 часов.

Сейчас нет никаких экономических причин, которые могли бы помешать промышленно развитой стране дать всей своей молодежи не только законченное среднее образование до 16—18 лет, но и высшее — до 20—23-летнего возраста.

Тот высокий рост численности студентов, который наблюдается сегодня в высокоразвитых странах, конечно, оказался возможным в значительной степени благодаря высокой производительности труда. За последние 10 лет число учащихся в высших учебных заведениях в этих странах удвоилось. Экстраполируя этот рост, мы приходим к выводу, что не исключена возможность, что через несколько десятилетий высшее образование станет в этих странах всеобщим. Это, конечно, повлияет на организацию всего образования и в первую очередь на среднюю школу.

Происходящий сейчас рост общественного богатства за счет высокой производительности труда и развитие производства для массового потребления приводят к необычайному росту дохода на душу населения.

Благосостояние населения неизменно растет. Если в некоторых странах и наблюдается безработица и бедность, то это надо отнести за счет несовершенства социальной структуры и не связывать с экономическими возможностями страны.

Рост благосостояния населения ставит новую социальную проблему. Это проблема досуга. Она сейчас широко обсуждается, но пока общепризнанного решения не имеет, хотя несомненно, что эта проблема тесно связана с вопросами образования и воспитания молодежи.

Схематически эту проблему можно сформулировать так: сейчас средняя занятость человека на работе в сутки близка к 7—8 часам. Если положить, что на сон он тратит часов 7—8, часа два на еду, транспорт и пр., следовательно, у человека в день на досуг остается около 7 часов. Для отдыха по-прежнему остается воскресный день. Но время досуга будет продолжать расти, поскольку неуклонно растет производительность труда. Например, сейчас рост происходит за счет использования электронно-счетных решающих устройств. Ряд социологов-экономистов предвидит тут новый революционный рост производительности труда как на производстве, так и в области обслуживания.

Поскольку занятость у людей будет продолжать уменьшаться, то скоро время досуга у людей станет больше рабочего времени.

Социальная проблема, которая уже поставлена, — это обеспечить человеку условия для рационального использования досуга.

На значимость этой проблемы в яркой форме обратил внимание Олдос Хаксли. Тот, кто читал его книгу «Этот прекрасный новый мир»1, помнит, что для насе-

1 Aidons Huxley. Brave New World, Bantam Books, New York, 1932.

ления «Прекрасного мира» проблема досуга решалась занятием спортом, различными примитивными зрелищными развлечениями и сексом, при этом считалось, что широко должны быть использованы наркотики. Главная задача, которую, согласно книге Хаксли, ставили перед собой руководители «Прекрасного мира», заключалась в том, чтобы у трудящихся не появлялось интереса к социальным проблемам. Для этого с самого раннего детства их отучали от самостоятельного и критического мышления.

Прогноз Хаксли по использованию досуга сейчас начинает оправдываться в наиболее промышленно развитых капиталистических странах2. Там быстро растет достаток у населения, но у массы людей происходит падение духовных и общественных запросов и все больше и больше растет потребление всякого вида наркотиков. Особенно неумело использует досуг и достаток та молодежь, у которой отсутствуют культурные интересы. Юноши и девушки, достигнув зрелого возраста, быстро пресыщаются спортивными и эстрадными зрелищами. На пути секса тоже нет преград. При большом достатке появляется изобилие всякого рода «железяк» (Gadgets) — радио, фото, кино, автомашины и пр., но удовольствие от их примитивного использования также быстро притупляется. При этом, чувствуя обеспеченность родителей, молодые люди не испытывают боязни за завтрашний день, отсутствует необходимость борьбы за существование, и все это приводит к тому, что молодежь в этих условиях не имеет перед собой задач, решая которые она могла бы развивать свои силы и волю. Все это, вместе взятое, делает жизнь молодежи лишенной постоянного внутреннего содержания. К тому же, согласно традиционным

2 Aldous Huxley. Brave New World Revisited. Chatto and Windus, London, 1959.

принципам капиталистического, общества, в семье и в школе при воспитании человека в нем развивают индивидуализм, что ведет к отсутствию у молодежи широких общественных идеалов, как-то: служение людям, науке, искусству, — и все это тоже ограничивает человека в его интересах и лишает жизнь внутреннего содержания. Разнообразные наркотики, которые все больше и больше распространяются среди молодежи как средство, отрывающее ее от действительности, конечно, дают только кратковременный уход от нее, но, как известно, при этом происходит разрушение нервной системы человека, еще больше усугубляющее его духовную депрессию. Среди молодежи непрерывно растет преступность.

Вполне понятно, почему сейчас молодежь начинает протестовать против такой действительности. Первые симптомы протеста молодого поколения против существующего общественного строя уже давно стали проявляться, и они хорошо известны — это битники, хиппи и пр. Хотя это явление не массового характера, но все же оно возможно только в обществе, в котором существует избыток средств и досуга. Несомненно, эти явления символизируют отрицательное отношение молодежи к лишенному внутреннего содержания мещанскому укладу современной цивилизации.

Гораздо показательнее и серьезнее становятся студенческие волнения, сегодня их следует уже рассматривать как значительное социальное явление, которое должно учитываться государством. В США, по данным статистики, уже в 1968—1969 годах из всех окончивших среднюю школу 55 % учащихся поступили в высшие учебные заведения3. В настоящее время в США в высших учебных за-

3 Projections of Educational Statistics to 1977-1978. USA. Printing Office, Washington, 1969, стр. 13, 30.

ведениях разного уровня обучается 7,5 миллиона человек4. Поэтому студенты по своей численности являются значительной общественной политической силой.

Изучение студенческих волнений, которые во всех развитых капиталистических странах так широко охватывают высшие учебные заведения, показывает, что в этом движении большое участие принимает наиболее состоятельная часть студенчества5.

Это указывает на то, что недовольство вызвано не экономическими причинами, но, по существу, является выражением недовольства существующей идеологией общественного строя. Социальные заветы, согласно которым должна жить молодежь, не дают нужных ей идеалов, поскольку индивидуализм, свойственный капиталистическому обществу, воспитывает стремление к обогащению и не развивает широких социальных идеалов.

Когда-то религия давала идейную направленность общественной деятельности человека, но теперь, главным образом, благодаря научным достижениям, большинству людей стала ясна примитивность доктрин, лежащих в основе верований, поэтому сейчас они могут удовлетворить только небольшую часть общества.

На сегодняшний день студенческое движение носит характер бунта, так как молодежь не нашла еще пока для себя тех идеалов и той структуры общества, за которые следует, бороться. Процесс осмысления недовольства только начинается, и он продлится еще несколько лет.

Итак, оказалось, что современное общество пока еще не подготовлено, чтобы с пользой для себя употребить тот материальный достаток и тот досуг, которые дала ему научно-техническая революция. Некоторые буржуазные

4 Там же, стр. 12.

5 Youth in Turmoil, Time-Life Books, New York, 1969.

социологи указывают на то, что уже сейчас наблюдаются признаки дегенерации общества в наиболее развитых капиталистических странах. В последнее время начинают появляться во все возрастающем количестве социологические исследования вопросов достатка у широких масс. Поскольку нельзя остановить дальнейший рост материального благосостояния человечества и связанное с этим увеличение досуга, то все исследователи видят большую опасность в этим социальном процессе, если его предоставить самому себе. Некоторые исследователи не видят выхода из положения и приходят к заключению, что в этом процессе может быть заложен конечный цикл современной цивилизации и ее гибель6. Есть высказывания, что неумение людей использовать свой достаток и досуг может стать для человечества не менее опасным, чем гибель от всеоющей атомной войны.

Конечно, такие заключения недоказательны и преждевременны. Выход из положения можно искать в двух противоположных направлениях. Первое, то, которое так ярко описано у Хаксли в его утопии, — это удовлетворение у широких масс во время досуга только их наиболее примитивных потребностей животного характера, воспитание у них с детства безразличия к духовным и социальным проблемам. Другой путь прямо противоположен — это воспитание в людях с молодых лет высоких духовных запросов, чтобы они с пользой для общества и с интересом для себя могли использовать свой досуг и достаток. Для этого надо дать людям и прежде всего молодежи смысл существования, привить им интерес к решению социальных проблем, воспитывать в них духовные качества, необходимые

6 Gunther Stent. The Coming of the Golden Age. A view of the End of Progress. The Natural History Press. Garden City, New York, 1969.

для восприятия науки и искусства. Несомненно, прогрессивное человечество выберет этот путь. Поскольку воспитание и развитие духовных качеств человека в значительной мере определяются образованием, то это и есть та новая задача, которая выдвинута научно-технической революцией перед школой и перед высшими учебными заведениями.

До сих пор подход к образованию человека был скорее утилитарным. Его обучали для эффективного выполнения его профессиональных функций — инженера, врача, юриста и пр. Это делалось для того, чтобы он в свое рабочее время более производительно и сознательно работал. Теперь уже настало время, когда высшее образование становится необходимым всякому человеку для того, чтобы он научился использовать свой досуг и достаток с интересом для себя и с пользой для общества.

Каким же должно быть это образование?

На этот вопрос ответить определенно пока трудно, но общий характер такого решения можно предвидеть.

Я думаю, и жизненный опыт показывает, что наиболее удовлетворены своей работой люди творческого труда: ученые, писатели, художники, артисты, режиссеры и пр. Хорошо известно, что обычно люди этих профессий не разделяют свое время на рабочее и нерабочее. Они живут своей деятельностью и смысл своего существования видят в своей работе. Мы наблюдаем, что любую работу можно сделать привлекательной и интересной, если в ней имеется элемент творчества. Конечно, при этом процесс творчества надо понимать широко, он проявляется у человека при любой деятельности, когда человек не имеет точной инструкции, но сам должен решать, как ему поступать.

Хорошо известно, что в современном производстве, когда оно имеет массовый характер, для достижения высокой слаженности в работе коллектива все должно делаться точно по инструкции, а это ведет к тому, что

творческое проявление отдельного работника отсутствует; современное массовое производство для человека становится скучным и неинтересным. Это хорошо показано в фильме Чаплина «Новые времена».

Некоторые утописты давно предсказывали, что со временем каждый гражданин будет только часть своего времени работать на производстве, а другую часть времени будет тратить на выполнение интересной работы творческого характера в области науки и искусства. Такое решение вопроса нереально, поскольку жизненный опыт показывает, что для полезной работы в области науки и искусства нужен талант, и можно предположить, что лишь небольшой процент людей имеет достаточно природных дарований, чтобы они могли быть успешно использованы как профессиональные ученые, конструкторы, художники, писатели, артисты и пр. Поэтому сейчас задача ставится иная: как придать досугу рядового человека творческий характер, с тем чтобы он мог его любить и осмысленно использовать.

Жизнь показывает, что такая деятельность в период досуга для большинства людей вполне осуществима. Она может лежать либо в области гуманитарных интересов, либо в области научно-технических, либо в области социальных проблем. Многие люди уже стали этой деятельности отдавать свой досуг. Но жизнь также показывает, что только тот человек может с интересом проводить свой досуг, который достаточно образован и, главное, приучен вносить в свою деятельность творческий элемент.

Чтобы пояснить это положение, приведу простой пример. Сейчас многие тратят свой досуг на путешествия. Если человек будет осматривать достопримечательные города, то для того, чтобы это было ему интересно, он должен быть подготовлен, например, знать историю. Наибольшее удовлетворение он получит, если самостоятельно осмыс-

лит виденное и сопоставит это с историей других стран или с современностью, Чтобы получить полное удовлетворение, он должен быть обучен этому, и это должно соответствовать его творческим способностям.

Итак, задача, поставленная перед образованием, заключается не только в том, чтобы давать человеку всесторонние знания, необходимые для того, чтобы стать полноценным гражданином, но и развивать в нем самостоятельность мышления, необходимую для развития творческого восприятия окружающего мира.

Творческие способности ума человека, как правило, выявляются рано, и их можно развивать уже в средней школе, но их характер и направление определяются обычно к 18 годам. Поэтому высшее образование, которое начинается с этого возраста, уже должно быть специализированным согласно индивидуальным способностям человека. Но, чтобы воспитывать у всех людей умение проводить досуг, государство, очевидно, должно будет предоставить всему населению возможность получать высшее образование независимо от того, нужно это для профессии человека или нет.

Оставляя теперь в стороне общие вопросы о большом социальном значении творческого воспитания молодежи, я хотел бы поделиться приобретенным за свою многолетнюю научную и организаторскую деятельность опытом и конкретными соображениями о том, как следует вести преподавание, чтобы это не было только заучиванием фактических материалов и запоминанием законов природы, но воспитывало бы у молодежи творческие способности.

Этим вопросом я давно интересуюсь вне зависимости от тех соображений о необходимости при обучении развития у человека творческих способностей в связи с увеличением у людей за последнее время достатка н досуга, о которых я говорил вначале.

Вопрос отбора и воспитания молодежи для творческой научной работы всегда является фундаментом успешного развития науки.

Поскольку воспитание человека начинается, по существу, в средней школе, рассмотрим в общих чертах, как оно должно быть преобразовано, чтобы удовлетворять поставленной перед ней задаче воспитания у учеников самостоятельности мышления.

До сих пор основной задачей среднего образования было накопление определенного количества сведений в различных областях знаний необходимых каждому человеку, чтобы быть полноценным гражданином своей страны. Но при воспитании творческих способностей к ученику требуется индивидуальный подход, что в значительной мере осложняет обучение.

У юноши или девушки обычно довольно рано выявляется, где лежат их творческие способности — в области ли точных знаний или в области искусств и литературы. Школа, конечно, должна учитывать эту разницу в способностях молодежи и всячески избегать насилия над природными склонностями учащихся. Я всегда исходил из того, что при воспитании будущего ученого раннее развитие его творческих способностей имеет исключительно большое значение, и поэтому следует их развивать со школьной скамьи, и чем раньше, тем лучше.

Воспитание творческих способностей в человеке основывается на развитии самостоятельного мышления. На мой взгляд, оно может развиваться в следующих основных направлениях: умение научно обобщать — индукция; умение применять теоретические выводы для предсказания течения процессов на практике — дедукция; и, наконец, выявление противоречий между теоретическими обобщениями и процессами, происходящими в природе, — диалектика.

Нетрудно видеть, что наиболее подходящими областями для воспитания у молодежи общего научного творчес-

кого мышления в естествознании являются математика и физика, так как здесь, главным образом, путем решения задач и примеров, можно с раннего возраста воспитывать самостоятельность мышления. Если сравнить эффективность развития творческого мышления у молодых людей, посвятивших себя математике и физике, то, по-видимому, окажется, что область физики гораздо ближе к жизни и к возможностям научного изучения процессов в окружающей нас природе, тем более, что уже на лабораторных занятиях школьник видит, как из наблюдений выводить теоретические обобщения (индуктивный метод изучения природы). Решение задач приучает школьника к дедуктивному мышлению. Для воспитания же диалектического мышления преподаватель на ряде примеров может показать, как противоречие между теоретическими представлениями и экспериментом приводит физике к новым научным открытиям.

Физика является весьма подходящим предметом для начального воспитания в юношестве творческого мышления в области естествознания. Это делает организацию преподавания физики в школе ответственной задачей.

Общепризнано, что большую пользу для развития творческого мышления в физике приносят практикумы, семинары, и, что следует особо отметить, решение задач и организация олимпиад, которые позволяют наиболее эффективно выявлять творческие способности юношества.

Наш опыт показывает, что задачи, которые дают обычно в сборниках, не всегда имеют тот характер, который воспитывает самостоятельность мышления. Обычно эти задачи сводятся к тому, что надо подставить заданные данные в нужные формулы, и тогда получишь определенный ответ. Самостоятельность ученика проявляется только в том, чтобы правильно выбрать формулы, в которые нужно подставить данные.

Мне думается, что следует ставить задачи менее определенно, давая ученику самостоятельно подбирать

подходящие величины из опыта. Вот примеры таких простых задач. Предложить определить мощность мотора насоса, необходимого для поддержания струи, чтобы тушить пожар шестиэтажного дома. Или другая задача: каких размеров должна быть линза, чтобы собранные в ее фокусе солнечные лучи раскалили железную проволоку. Очевидно, ученик сам из жизненного опыта или из справочника должен подобрать необходимые ему данные. Я предлагал задачи подобного рода, но, конечно, несколько более сложные, студентам. В продолжение нескольких лет они их собирали и издали в виде брошюры7. Студенты любят такие задачи, они не имеют точного решения, и это вызывает живое обсуждение. Аналогичный задачник может быть составлен и для средней школы.

Сейчас, чтобы более тщательно готовить для научной работы наиболее способную молодежь как в Советском Союзе, так и в других странах, стали создавать специальные школы для особо одаренных детей.

В области искусств это, может быть, и оправдывает себя, поскольку творческие артистические способности к музыке, изобразительным искусствам и др. обычно определяются гораздо раньше, чем склонность к творческому мышлению в определенной области науки.

Но школы, созданные для избранной, одаренной молодежи в области математики, физики, химии, биологии, оказываются даже вредными. Вред их заключается в следующем. Если талантливого школьника изъять из школы, то это ее как бы обескровливает и сильно сказывается на уровне всей школы. Это объясняется тем, что способный товарищ может уделять своим одноклассникам гораздо больше времени, чем учитель, и взаимная помощь между ними налаживается проще и теснее. Талантливые школьники часто играют большую роль, чем учителя, для обу-

7 Капица П. Л. Физические задачи. «Знание», Москва 1966.

чения своих товарищей. Но этого мало. Хорошо известно, что в процессе обучения сам обучающий учится. Чтобы объяснить товарищу теорему, надо хорошо ее самому понять, и в процессе объяснения лучше всего выявляется своя собственная неполнота понимания. Таким образом, талантливым школьникам для своего умственного роста нужны товарищи, с которыми они могли бы заниматься. В школе для талантливой молодежи такого взаимного обучения обычно не возникает, и это сказывается на эффективном развитии способностей. Конечно, есть еще ряд других хорошо известных факторов, которые являются отрицательной стороной такого рода избранного воспитания, например, развитие среди учеников самомнения и самонадеянности, которые вредят нормальному росту молодежи.

Хорошо известно, что при воспитании у молодежи творческих способностей очень важна роль преподавателя. Тут мы встречаемся с большими трудностями, так как практически оказывается невозможным обеспечить среднюю школу достаточным числом талантливых преподавателей, умеющих индивидуально подходить к ученикам и воспитывать в молодежи самостоятельность мышления.

Большинство преподавателей ставят перед собой задачу передать ученикам определенное количество знаний и оценивают успеваемость ученика исходя из того, насколько твердо он их усвоил. К тому же и сама школа для оценки самостоятельности мышления не имеет критерия. Подбор подходящего типа преподавателей является для поставленной задачи наиболее трудной проблемой. Мне думается, что к решению этой проблемы есть путь, хотя он и не прост. Этот путь аналогичен тому, который мы широко применяем в одном из высших учебных заведений в Москве, созданном специально для подготовки научных работников в ведущие исследовательские институты, преимущественно находящиеся в ведении Академии наук СССР.

Основная идея, которую мы использовали, заключается в следующем. История науки показывает, что те ученые наиболее плодотворно ведут свои исследования, которые имеют учеников и вместе с ними работают. Это видно на примере самых крупных ученых. Например, Менделеев нашел периодическую систему элементов, когда искал способ, как описать свойства элементов, чтобы их лучше могли запомнить студенты, которым он читал лекции по основам химии. Молодой Лобачевский, когда преподавал геометрию в школе взрослых, проходящих курс средней школы, не находил удовлетворительного способа объяснения ученикам a priori очевидности постулата о непересекаемости параллельных линии, и он открыл неевклидову геометрию. Стокс, составляя задачи для студентов по математике, предложил в одной из них доказать, что интеграл, взятый по контуру, просто связан с величиной потока, проходящего через этот контур. Теперь это называется теоремой Стокса, хотя на самом деле он никогда не опубликовывал ее доказательства и предоставлял доказывать самим студентам. Как известно, эта теорема стала фундаментальной, поскольку она легла в основу уравнений Максвелла. В своем знаменитом трактате Максвелл при выводе своих уравнении ссылается на сборник задач, составленный Стоксом. Эти примеры можно продолжить до наших дней. Так, Шредингер нашел свои знаменитые уравнения в процессе объяснения работы де Бройля группе аспирантов Цюрихского университета, где он делал его по просьбе Дебая, который и рассказал мне о том, как были найдены основные уравнения квантовой механики.

Исходя из этого, в ряде исследовательских институтов мы предлагаем молодым научным сотрудникам читать небольшие курсы лекций студентам и вести с ними семинары, обычно по специальным предметам. Это отнимает у них не более одного рабочего дня в неделю. Введена хо-

рошая оплата за эту работу. Мы считаем, что в результате молодой научный работник получает не меньшую пользу, чем сами студенты. Бывали случаи, когда молодые научные сотрудники по собственной инициативе шли в среднюю школу и преподавали физику в старших классах; это тоже давало положительные результаты.

Мне думается, что вполне возможно организовать преподавание физики в старших классах средних школ, используя те же принципы и привлекая к этому молодых научных работников из исследовательских институтов. Это будет полезно и им и ученикам, трудность тут в организации. Ведь надо, чтобы для научных работников это не было обременительной нагрузкой и не занимало больше одного рабочего дня в неделю. Но в средней школе это вызывает ряд организационных затруднений в распределении работы. Возникает необходимость в большом числе преподавателей, так как каждый из научных сотрудников не сможет уделить школе много времени, что, в свою очередь, усложняет работу административного аппарата.

В заключение хочу еще раз подчеркнуть: нет сомнения, что для правильного обучения современной молодежи нужно воспитывать, в ней творческие способности, и делать это надо с учетом индивидуальных склонностей и способностей человека, начиная со школьной скамьи, и продолжать в высших учебных заведениях. Это фундаментальная задача, от решения которой может зависеть будущее нашей цивилизации не только в одной стране, но в глобальном масштабе, задача не менее важная, чем проблема мира и предотвращения атомной войны.

Чтобы человечество развивалось по пути гуманизма, культуры и социального прогресса, все мы, ученые и люди интеллектуального труда, должны принимать активное участие в разработке вопросов, связанных со здоровым и прогрессивным воспитанием нашей смены.

А. М. Абрамов

Переписка П. Л. Капицы и А. Н. Колмогорова по вопросам образования

Осенью 1971 года Петр Леонидович Капица послал Андрею Николаевичу Колмогорову свою статью «Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи» («Вопросы философии», 1971, № 7, с. 16—24) с надписью:

Акад. Анд. Ник. Колмогорову

Дорогому Андрею Николаевичу на добрую память от П. Капицы

4/Х/71, Москва

Через месяц, 5 ноября 1971 г., Андрей Николаевич направил Петру Леонидовичу письмо с изложением своих соображений по этой статье. Это письмо А. Н. Колмогорова и ответ П. Л. Капицы также были опубликованы («Вопросы философии», 1972, № 9, с.127-129).

Эта переписка двух выдающихся отечественных ученых представляет собой столь замечательный образец серьезных размышлений и серьезной дискуссии, что не нуждается в подробном комментарии.

Письмо А. Н. Колмогорова П. Л. Капице

Глубокоуважаемый Петр Леонидович!

Благодарю Вас за присыпку оттиска Вашей статьи из «Вопросов философии». Мое обращение к Вам по поводу Вашей статьи имеет два совершенно различных аспекта.

1. Я руковожу физико-математической школой-интернатом при МГУ. Таких школ-интернатов пока немного. Четыре (Москва, Ленинград, Новосибирск и Киев) существуют на основе специального постановления правительства. Некоторые национальные республики учредили свои (Литва, Грузия, Армения). Школы эти, несомненно, сейчас полезны. Наша московская школа не имеет ни одного ученика из жителей Москвы и в принципе не принимает детей— жителей университетских городов (пока делаем исключение для таких, где, вроде Ярославля, университеты еще очень слабы). Мы считаем, что университеты должны сами заботиться о вовлечении в научную, творческую атмосферу старших школьников своего города.

В области математики успех школы несомненен. Школа существует восемь лет. Этого достаточно, чтобы судить уже о научных успехах наших выпускников. Так как наши математики идут по окончании школы в Московский университет, то оценка достаточно определенна. Не аргументируя подробно, скажу, что около половины хороших научных работ, выполненных студентами и аспирантами математики в МГУ, принадлежит бывшим нашим ученикам. Если же говорить просто о приеме в аспирантуру, то среди принимаемых в аспирантуру немосквичей бывшие наши ученики составляют заметное большинство.

Между тем разные авторитетные товарищи уже ссылаются на Вашу статью в виде аргумента против школ нашего типа. Аргументы против школ с ранним конкурсным отбором мне хорошо известны и имеют некоторое

основание. Я сам очень любил частную гимназию Е. А. Репман, в которой учился с приготовительных классов, и если бы в Москве в те времена учредили специальную математическую школу, то и мои старшие и я сам, вероятно, очень сомневались бы в необходимости туда переходить. И сейчас для способного подростка в университетском городе имеется возможность оставаться в своей обычной школе и посещать специальные занятия (кружки, вечернюю школу), организуемые в университете. Но наши ученики, как правило, попадают к нам из таких мест, где их быстрый рост был бы крайне затруднен или невозможен. Я был бы очень рад, если бы Вы в каком-либо из своих будущих выступлений учли это обстоятельство.

2. Ваши соображения о высвобождении большого количества свободного времени в результате технического прогресса интересны и правильны. Вы их развивали и на заседании Президиума АН, где министр просвещения М. А. Прокофьев докладывал перспективный план (до 1980 года) развития народного образования. При этом Вы говорили о необходимости учить людей пользоваться своим досугом. На том же заседании я пытался проблему свободного времени рассматривать иначе, говоря о том, что сокращение затрат труда на производство материальных ценностей должно дать возможность вкладывать значительно большее количество труда в воспитание подрастающего поколения. При этом я настаивал на том, что никакие «технические средства обучения», о которых можно говорить, не могут заменить индивидуального внимания к каждому подростку, тонкой и творческой работы с ним. Этот вопрос в высшей степени актуален, так как в обсуждавшемся перспективном плане на 1980 год по-прежнему планируется по 40 человек в классе. В гимназии же, в которой я учился, полагалось не более 15. Я даже дерзнул дать формулировку: надо сделать доступным всем столь же индивидуальное и требующее затраты большого количества творческого труда

воспитание, какое передовая интеллигенция давала своим детям еще до революции.

Сейчас я попробовал включить нечто подобное в статью, заказанную «Комсомольской правдой», но, насколько я понял, публикация таких рассуждений затрудняет редакцию . В статье я описываю, как мы организуем «летние школы» для увлеченных математикой школьников (сам я проводил такие три раза под Москвой, два раза в Крыму и один раз для школьников Ивановской и Ярославской областей). Но, оказывается, на 100 школьников мне надо чуть не пятнадцать руководителей (большинство из которых может быть студентами средних курсов). В будущей школе характер работы со школьниками должен быть дифференцирован. Старшие несколько часов в неделю (в нашей физико-математической школе — два часа по математике и два часа по физике) могут слушать лекции, читаемые сразу хоть для 200 школьников. Если в классе (как у нас в школе) 30 человек, то часть работы можно проводить с полным классом (самостоятельные письменные работы, требующие от учителя лишь наблюдения и спорадической помощи чего-либо не понявшим, иногда и общая классная беседа или дополнительные разъяснения к лекции). Но значительная часть работы должна вестись в небольших группах (у нас систематически классы делятся на две группы), а за пределами расписания должен быть обеспечен и широкий контакт преподавателей с учениками в совсем вольной обстановке по нескольку человек и даже по одному.

Я сделал для «Комсомольской правды» маленький подсчет. Если бы 100 миллионов взрослых тратили на 40 миллионов школьников 5 % рабочего времени, то на класс в 40 школьников приходилось бы 200 часов педагогической работы взрослых в неделю, а при классах в 20 учеников (что уже в массовом порядке проводится в Венгрии) — 100 часов.

Не кажется ли Вам, что пропаганду этой идеи: общество должно тратить на школьников значительно больше

интеллигентного и творчески индивидуализированного труда — следует настойчиво вести, особенно среди начальствующих лии.

3. Что касается участия в работе со школьниками научных работников, то она налажена в специализированных школах, а в общих школах начала было развиваться форма «факультативных занятий» по выбору. Но совсем недавно мне докладывали собранную министерством статистику; после первых проб два-три года тому назад ведение этих факультативных занятий вернулось в основном в руки учителей. Уже давно многие вузы ведут работу со школьниками в форме «вечерних школ» и кружков. Эта еженедельная работа возможна только с обитателями своего города, для них она, конечно, важнее олимпиад.

По опыту своей школы хочу заметить еще следующее. От молодого ученого (будь он научно работающим студентом, аспирантом или научным сотрудником), желающего работать в школе, мне хотелось бы требовать в виде минимума не одного полного дня в неделю, а 2—3 часа в один день и 4—5 — в другой. Даже при привлечении лекторов я стараюсь выговорить согласие на две одночасовых лекиии в неделю. Молодому же человеку, желающему приходить в школу раз в неделю, мы рекомендуем неучастие в основном преподавании, а лишь ведение кружка. С желающими организовывать со школьниками экспериментальную работу, вероятно, тем более надо договариваться о двух посещениях школы в неделю.

Ваш А. Колмогоров.

Ответ П. Л. Капицы А. Н. Колмогорову

Глубокоуважаемый Андрей Николаевич! С большим интересом прочел Ваше письмо. Я полностью с Вами согласен в том, что начальный период воспита-

ния и обучения молодежи является наиболее ответственным и ему надо гораздо больше уделять внимания и придавать большее значение, чем мы это делаем сейчас.

В ряде стран уже начинают понимать все значение начального и среднего образования. Так, мне рассказывали, что в Швеции, чтобы привлечь наиболее квалифицированные кадры для начального и среднего образования, преподаватели в этих школах имеют более высокую оплату, чем в высшей школе.

Наиболее трудна и новая задача, стоящая перед школой,

— это необходимость воспитания у юношества творческих способностей. Здесь я тоже с Вами согласен, что надо: по возможности шире развивать внешкольный метод обучения

— кружки, олимпиады и прочее. Также для учеников средней школы нужны журналы. Поэтому я всегда поддерживал создание журнала по физике и математике, каким сейчас является «Квант». Но таких журналов нужно несколько: по различным специальностям и с различными уклонами.

Наконец, вопрос специальных школ. Тут, в статье в «Вопросах философии», по-видимому, я недостаточно четко выразил свою мысль. Я не против специальных школ, но, вероятно, я иначе, чем Вы, представляю себе те задачи, которые они должны преследовать. Я себе представляю задачи специальной школы по сравнению с обычной аналогично тем, которые преследует клиника по сравнению с больницами.

Клиника изучает и отрабатывает новые методы диагностики и лечения и для этого имеет наиболее квалифицированный персонал, и ее задача — внедрить передовые методы в жизнь и этим поднять уровень медицинского обслуживания больных в обычных больницах. При этом, конечно, клиники должны быть специализированными по определенным видам заболевания. Полезность и необходимость такой организации в здравоохранении общепризнаны и не вызывают сомнений. То же должно иметь место и при развитии образования.

Задана специальных школ — изучать и разрабатывать передовые методы обучения воспитания. Спецшколы должны иметь хорошо подобранные кадры преподавателей, образцовую организацию. Конечно, такие школы не могут охватывать обучение по всем областям знания и должны быть специализированы по отдельным дисциплинам, как математика, физика, биология и проч.

Тут мы, по-видимому, несколько расходимся с Вами во взглядах. В Вашем письме, характеризуя деятельность Ваших школ, Вы определяете их значимость по научным успехам Ваших питомцев. Это, конечно, показывает, что Ваши методы преподавания математики действительно являются более совершенными. Но Вы не говорите о том, что Вы предпринимаете, чтобы эти методы обучения распространились более широко, и как они влияют на качество преподавания математики в обычных школах. Я считаю, что повышение уровня преподавания в стране в широких масштабах и должно быть основной задачей спецшкол. Если это так, то из этого следует, что характер организации этих школ, отбор преподавателей и учеников должны быть согласованы с этой задачей.

Существуют еще специальные школы, в которых основной предмет обучения практически отсутствует в обычных школах. Например, это балетные школы, цирковые училища, музыкальные и художественные школы и т. п. Поскольку такого рода специалисты требуют обучения смолоду и малочисленны, то существование подобных школ вполне оправданно.

Конечно, есть еще другие типы спецшкол, такие, например, как суворовские и нахимовские училища, есть еще у нас и профессионально-технические училища. Их задача — более эффективно подготовить в массовом масштабе кадры для специального назначения. Их существование определяется государственными задачами, связанными с созданием квали-

фицированных кадров для армии, промышленности и других областей.

Со временем, с совершенствованием структуры общества, по-видимому, существование таких школ навряд ли будет нужно.

Спецшколы по основным отраслям знания, задачи которых разрабатывать и внедрять наиболее передовые методы преподавания в масштабе всей страны, всегда будут нужны.

Я с Вами также согласен, что к механизированным методам обучения надо относиться весьма критически. Повидимому, их применение будет ограничено, и, конечно, они неприменимы там, где ставится задача воспитания творческих дарований юношества, поскольку тут требуется индивидуальный подход.

Очень ценно, что Вы, ученый такого исключительно крупного научного дарования, занимаетесь вопросом воспитания молодежи. Я думаю, что сейчас это наиболее важная задача для развития культуры в нашей стране. Когда-то Клемансо говорил, что война чересчур серьезная вещь, чтобы поручать ее одним военным. Я думаю, что то же относится к воспитанию творческой молодежи: в этой работе должны принимать участие ученые.

Я был бы, конечно, рад, если бы Вы могли как-нибудь уделить вечер для беседы по этим вопросам; ведь это наиболее эффективный метод для разрешения противоречий и постановки новых проблем.

Ваш П. Капица

* * *

К сожалению, такой вечер для беседы Колмогорова и Капицы так и не состоялся. И нам остается лишь расставить некоторые акценты, подчеркивающие злободневность повторной публикации спустя 30 лет.

1. Вступление в полемику А. Н. Колмогорова имело очень серьезное практическое основание. В начале 70-х годов появилось немало весьма влиятельных критиков идеи спецшкол. Раздавались даже требования об их закрытии. Андрей Николаевич был последовательным сторонником дифференциации. Его письмо Петру Леонидовичу вызвано стремлением защитить физматшколы при университетах.

Важно подчеркнуть, однако, что обмен мнениями принял существенно более широкий характер. Ко многим «плюсам» и «минусам» дифференциации, затронутым в переписке, стоит внимательно присмотреться сегодня, когда вариативность школ стала свершившимся фактом.

2. Следует обратить внимание как на масштаб затронутых проблем, так и на широту взглядов. Чрезвычайно злободневны сегодня и проблема досуга человека, затронутая П. Л. Капицей, и проблема увеличения объема общественного труда, вкладываемого в образование, поставленная А. Н. Колмогоровым. С горечью приходится отметить, что их надежды на прогресс в нынешней России пока не оправдываются: культура уступает антикультуре; вклад государства и общества в образование сегодня много ниже минимально необходимого уровня.

3. Наконец, укором современникам служит и тот факт, что А. Н. Колмогоров и П. Л. Капица, несомненные лидеры и отечественной, и мировой науки, уделяли самое серьезное внимание проблемам школы, проблемам воспитания новых поколений. К сожалению, подобные примеры подвижничества современных деятелей науки и культуры крайне редки. Возможно, новое прочтение забытых текстов будет способствовать изменениям в позитивном направлении...

А. Н. Колмогоров

К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет»

Социальный заказ, общая продолжительность обучения, возраст приема детей в школу и разделение на ступени

Во вполне обозримом будущем (можно надеяться, значительно ранее 2000 года) будет с экономической стороны возможным исходить при решении вопроса о продолжительности пребывания в школе из интересов наиболее полного развития человеческой личности, а не из размера необходимых материальных затрат (прямых и косвенных — в виде более позднего вхождения в трудовую деятельность).

Но мне представляется ошибочным желание авторов доклада исходить из заранее установленного «общего объема знаний, умений, навыков, уровня развития и воспитанности выпускника школы». Особенно безнадежным представляется прогнозирование «необходимого» объема общеобразовательных знаний. Если говорить об объеме знаний, без которого невозможно начало трудовой деятельности или профессионального обучения, то он будет

не слишком большим. Если же иметь в виду желательное общекультурное развитие взрослого члена общества, то соответствующий ему объем знаний будет со временем расти, а необходимый для его приобретения срок школьного обучения выйдет за пределы, диктуемые естественно возникающим в юношеском возрасте стремлением к самостоятельной четко специализированной активности.

Я думаю, что рациональный возраст окончания общеобразовательной школы — это возраст, в котором для дальнейшего роста личности школьный режим перестает быть оптимальным и формируется четкое и рациональное стремление к самостоятельно избранному направлению деятельности на правах и ответственности взрослого. Исходным для прогнозирования рационального среднего возраста окончания средней школы можно считать соответствующий представлениям о характере полной средней школы в ряде стран возраст 17-18 лет. В несколько экзотической, наиболее знакомой мне профессии математика-исследователя более позднее переключение на режим затраты основных сил на свою специальность было бы определенно нежелательным. Я думаю, что, по существу, и для многих более массовых профессий, требующих тонкого индивидуального мастерства, дело обстоит также. Во всяком случае, было бы важно изучить различные профессии более тщательно с этой точки зрения.

Ступени дошкольного и школьного обучения, мне представляется, должны быть охарактеризованы прежде всего с точки зрения режима и психологической установки учащихся. Психологические установки людей имеют тяготение к дискретности даже и в раннем возрасте. Поступление в школу обычно является (и, на мой взгляд, должно быть!) большим событием в жизни, мысль о котором заранее окрашивает предшествующий год жизни. Для начинающего школьника жизненно важным вопросом яв-

ляется приобретение уверенности в том, что со своим новым положением и новой ответственностью он справится.

Наиболее существенной характеристикой первой ступени школьного обучения в нашей школе является наличие одного учителя, ведущего все основное преподавание в классе, а переход во вторую ступень соответствует переходу к предметному обучению. В соответствии с этим, например, и вводимая сейчас программа для IV класса по математике предполагает уже от учащихся некоторый интерес к системе данной науки, классификации изучаемых ее объектов и т. д. (см. далее пункт о предметном преподавании). Вопрос о целесообразном возрасте перехода к дифференцированному восприятию отдельных предметов с их внутренней логикой и к той большей самостоятельности, которая связана с обучением у нескольких преподавателей, является в первую очередь вопросом возрастной психологии. Например, организуя уже сейчас опыты школьного обучения с шестилетнего возраста, следует тщательно обсудить вопрос о том, не лучше ли использовать открывающиеся здесь преимущества на расширение первой ступени до четырехлетней.

Что касается старшей ступени обучения, то в обсуждаемом проекте отмечается, что принятая сейчас ее двухлетняя продолжительность (IX—X классы) многими воспринимается как «явно недостаточная». Интересно заметить, что авторы вводимой сейчас новой программы (по физике) в явочном порядке провели для своего предмета четкое деление на два концентра — двухлетний (VI—VII классы) и трехлетний (VIII—X классы). Надо сказать, что математики, если бы они при составлении новых программ решились на нечто аналогичное, тоже получили бы ряд преимуществ, но при работе над новыми программами они чувствовали себя связанными представлением о важности известной законченности курса восьмилетней школы.

Выше употреблено слово «концентр». После неумеренного увлечения «концентризмом» преподавания это слово стало, с точки зрения методистов, запретным и даже был выдвинут лишенный ясного содержания принцип «линейного» построения многолетнего курса, в частности математики. Однако естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер «развития по спирали». Например, изучив в восьмилетней школе ряд элементарных функций, мы возвращаемся к ним в IX и X классах, вооруженные знанием понятия производной, и т. п. Логика науки не знает никакого одного преимущественного «линейного» расположения материала (даже в пределах одной научной дисциплины). Она не требует, с другой стороны, и того, чтобы процесс наращивания знаний с неизбежным возвращением с новой точки зрения к ранее изученному распадался на «концентры». Говоря образно, «спираль» необязательно разбивать на отдельные «витки».

Практически сложившееся представление о старшей ступени общего образования возникло в обстановке, когда значительная часть учащихся после «неполной средней школы» (сейчас — восьмилетней) переходила в профессиональные школы или заканчивала обучение в школе. Но и в обстановке, когда все учащиеся до 17—18 лет будут оставаться в общеобразовательной средней школе, в старших классах естественна психологическая установка на подготовку к приближающемуся вступлению в самостоятельную жизнь. Факультативные занятия по выбору обслуживают здесь уже не временные увлечения, а в сознании самих учащихся их выбор определяется намечаемой дальнейшей самостоятельной деятельностью.

Для значительной части учащихся делается целесообразным зачисление в специализированные по интересам классы. При изучении отдельных предметов становится

возможным рассчитывать на восприятие самими учащимися направленности на охват системы основных положений изучаемой науки.

Надо сказать, что при современной длительности школьного обучения с окончанием средней школы в 17 лет возникает некоторый конфликт между желанием придать научным курсам старшей ступени достаточную солидность и тем обстоятельством, что учащиеся при переходе из VII класса в VIII в 14 лет к очерченному изменению психологической обстановки не всегда подготовлены.

Замечу, что, вероятно, и в будущем этот переход должен примерно соответствовать переходу из пионерской организации в комсомольскую.

Вопрос о «ступенях обучения» имеет и еще одну существенную сторону. Как уже говорилось, тенденция к дискретной смене установок свойственна человеку. При изучении отдельного предмета естественны и полезны моменты, когда внимание учащихся сосредоточивается на том, что они могут обозреть и далее изучать данную дисциплину на новом, более высоком уровне. По старой традиции при этом ученик получал новый учебник, который сопровождал его в течение нескольких лет. Для старших классов такой порядок представляется существенным сохранить вопреки распространившейся во многих странах системе учебников, сменяющихся каждый год.

Возможно, что высказанные выше опасения относительно перехода в старшую ступень в 14-летнем возрасте окажутся необоснованными при повышении уровня работы в предшествующих классах. Если это так, то заслуживает внимания схема 4 + 4 + 3 при школьном возрасте с 6 до 17 лет. Вопрос о границе между младшей и средней ступенями имеет непосредственное практическое значение для экспериментальной работы в ближайшие годы. Мне представляется определенно нецелесообразным,

чтобы дети, принятые в ближайшие годы в экспериментальные классы шестилеток, имели перспективу окончить X класс по действующим программам массовых школ в 16 лет. Следует иметь в виду, что эксперимент с классами шестилеток в основном есть эксперимент, который должен решить вопрос о целесообразности для детей шестилетнего возраста режима детского сада или школы. Даже при положительном решении в пользу школьного режима дело не идет о том, что один год в классе шестилеток должен дать развитие, эквивалентное одному году детского сада + первый класс обычной школы.

Об оптимальных темпах развития

В обсуждаемом докладе лишь вскользь говорится о том, что индивидуализация обучения должна была бы позволить «каждому ребенку продвигаться своими темпами». Вместе с тем справедливо подчеркивается, что полное разрушение классного коллектива сверстников нельзя считать желательным даже для отдавленного будущего.

Однако теоретически несомненно, что для каждого человека существуют оптимальные темпы движения по этапам обучения и воспитания, при которых он достиг бы в конечном итоге наиболее высоких результатов. Более медленное продвижение вперед приучает не использовать полностью свои возможности, ведет к потере интереса к занятиям. Продвижение даже немного более быстрыми темпами, чем оптимальные, приводит к формальному усвоению знаний, понижению самостоятельности и трудно возмещаемому в дальнейшем обеднению всей личности.

Правда, на практике для школьников, приспособленных, по существу, к более быстрым темпам развития, чем задаваемые школой, обычно находится благополучный выход в широком культивировании дополнительных вне-

школьных интересов. Значительно хуже дело обстоит с тем, для кого оптимальные индивидуальные темпы развития хотя бы немного ниже, чем задаваемые школой. Даже при внешне благополучном переходе из класса в класс и окончании школы их развитие остается, по существу, неполноценным.

При широком введении исследовательской работы было бы естественно прежде всего точно знать размеры этих различий. Мне кажется вероятным, что серьезное исследование этого вопроса привело бы к результату, что даже среднее отклонение оптимальных индивидуальных темпов обучения от нормы весьма велико: равносильно разбросу в оптимальных сроках прохождения школьного курса порядка целого года.

Существуют разные пути преодоления этой трудности.

1. В его современной форме «оставление на второй год», конечно, является очень плохим способом нормализовать развитие школьника. Но существуют и другие способы, не нарушая здорового рабочего режима школьника, в нужных случаях сдвинуть на более поздний срок окончание им школы. Особенно это легко, если бы набор в школу происходил два раза в год (что практикуется кое-где во Франции). В идеале, школьник, для которого признана целесообразной задержка на 1/2 года, направляется во вспомогательную, оздоровительную школу, где имеется группа, позволяющая ему восполнить пробелы за последний класс, в котором он не справлялся с работой, и после этого возвращается в нормальную школу, где продолжает учиться с «потерей» полугода.

2. В настоящее время факультативные занятия необязательны для выбора. Учащийся имеет право и ничего не выбрать. Многие рассматривают эту систему как временную. Но возможно, что она имеет длительное будущее. Обязательной останется лишь минимальная программа,

но дополнительные предметы по выбору будут входить в аттестат и учитываться при приеме на работу и в вузы. Имеющие менее полноценные аттестаты должны тогда иметь возможность пополнить свое образование в дополнительных классах. По существу, мы уже пошли по этому пути, культивируя подготовительные курсы при вузах для людей, имеющих законченное среднее образование.

Во всяком случае мне представляется неправильным обходить этот вопрос о праве каждого учиться свойственными ему темпами. Замечу, что среди медленно развивающихся юношей бывают и представляющие ценность для самых тонких видов творческой деятельности.

Организационные формы обучения и затраты общественного труда на работу со школьниками

При современном безраздельном господстве классно-урочной системы занятий представляется необходимым резкое сокращение числа учеников о классе. Постепенно завоевывающее признание сокращение классов до 30 учеников здесь далеко не достаточно. По опыту дореволюционных частных гимназий и опытно-показательных школ 20-х годов, можно было бы признать желательными классы в 15 человек. Таковы студенческие группы в Московском физико-техническом институте, всюду — студенческие группы по иностранным языкам и группы по иностранным языкам в школах, где классы имеют по 30 человек.

Но для старших классов имеются пути более рационального употребления педагогических сил. Например, в потоке параллельных классов на 150 учащихся 6-8 ч в неделю могут занимать лекции, читаемые всему потоку. Классы по 30 школьников часть времени (письменные

работы, вводные объяснения учителя) могут работать в полном составе с одним педагогом, но на значительную часть времени («поисковая» беседа, проверка знаний при помощи устного опроса, занятия иностранным языком, лабораторный практикум) делиться на группы по 15 или даже 10 человек. Например, разделив 30 ч на 8 ч лекций, 8 ч занятий с классами по 30 человек и 14 ч занятий с группами по 15 человек, мы всего занимаем на класс из 30 человек, занимающийся 30 ч, (8 + 8 • 5 + 14 • Ю)/5 = 38 ч преподавательского времени.

Но глубокая индивидуализация обучения требует большой затраты педагогического труда на различные формы работы (консультации в помощь отстающим, консультации по руководству индивидуальной поисковой работой, подготовка докладов и др.) с совсем маленькими группами учащихся и даже индивидуально с одним учащимся.

Помимо кружков большое значение должны иметь летние лагерные сборы учащихся по интересам. Мне приходилось не раз выступать с описанием организации таких летних школ для любителей математики. Разумная их организация требует очень большого количества педагогического труда, который в значительной мере, однако, может быть возложен на студенческую молодежь. Не следует и совсем скидывать со счета и работу старших школьников с младшими.

Но во всяком случае, осуществление широкой программы усовершенствования нашей школы потребует значительного увеличения количества общественного труда, затрачиваемого обществом на работу со школьниками. Этот тезис должен быть разработан со всей полнотой. Сейчас сложилось ненормальное положение, когда уже весьма широкие круги населения возмещают недостатки школы, обращаясь к индивидуальному или групповому репетиторству.

Помимо элементов нездоровой конкуренции за места в вузах это является и признаком нашего отставания в части организованных затрат общественного труда на школу.

О предметном преподавании

В обсуждаемом докладе номенклатура самостоятельно преподающихся в школе предметов упоминается лишь в связи с обсуждением проектов ее расширить. За рубежом и на международных конференциях широко обсуждается обратная тенденция: с целью расширить возможности проблемного подхода к делу предлагается объединение традиционно раздельных предметов. Внутри математики почти во всех странах уже исчез выделенный курс геометрии. Возможно, что и нам разумно пойти по этому пути. Выдвигаемую иногда идею поглощения математики естествознанием, надо думать, надо отвергнуть даже для средних классов, не говоря уже о старших. Но различные планы объединения разделов естествознания, в осуществлении которых уже имеется большой зарубежный опыт, следует тщательно изучить. Представляется, например, возможным, что начальные сведения по химии должны составлять органическую часть курса физики, что преподавателю физики надо предоставить часы для освещения вопросов физической географии и т. д.

Д. В. Аносов

Образование для жизни

Надеюсь, все согласны, что необходимым условием нормальной жизни граждан является экономическое благополучие страны. Здесь можно выделить три уровня. Первый, минимальный — когда страна в состоянии обеспечить первоочередные жизненные потребности своих граждан, частью за счет внутреннего производства, частью за счет международной торговли, если есть чем торговать. Основной вопрос здесь — баланс этих частей. Второй уровень — когда возможно широкое участие в мировой торговле за счет экспорта промтоваров, а не только сырья. Этот уровень достигнут рядом азиатских и латиноамериканских стран. И, наконец, тот уровень, на котором страна производит в большом количестве не просто промтовары, а промтовары, требующие высокой технологии. Этого уровня достигли сперва США, Канада и ведущие европейские страны, затем Япония, затем 4 «малых дракона».

При социализме у нас действовал закон планомерного, пропорционального развития народного хозяйства. Действовала также диалектическая логика, которая выше формальной логики Аристотеля или всяких там Фреге и Расселов. Поэтому последствия закона планомерного, пропорционального развития оказались не такими, какие получились бы по Аристотелю: развитие различных отраслей

экономики и их подразделений оказалось удивительно непропорциональным.

У нас имеются удачные достижения высоких технологий, преимущественно в военной области или в такой области, как космическая, которая может иметь различные применения. В то же время у нас не очень-то обеспечен даже первый уровень. Насколько уверенно может себя чувствовать страна, которая не в состоянии обеспечить себя продовольствием, даже если она может покупать его на нефтедоллары?

В общем, желательно хорошенько закрепиться на первом уровне и выходить на второй, не теряя того, что уже достигнуто из относящегося к третьему уровню.

Сокращение военного производства уменьшило потребность в соответствующих кадрах, но вовсе не уничтожило ее, а новые задачи эту потребность увеличивают. Это относится, с одной стороны, к общему уровню образования широких кругов населения, с другой стороны — к потребности в людях, способных вести научные исследования или использовать результаты таких исследований. Остановлюсь на первом, где опять-таки надо отметить два обстоятельства, тесно связанных друг с другом, но все-таки различных.

Во-первых, нам необходимо перейти от воспитания исполнителей чужих решений к воспитанию самостоятельных, активных, инициативных и заинтересованных членов современного общества, — иначе мы никогда не выкарабкаемся. Этого нельзя достичь без отказа от авторитарного давления школы на ученика, без формирования личностного его отношения к содержанию образования, включающего признание права ребенка иметь свое мнение.

Но нельзя и полностью идти на поводу этого мнения; как всегда, нужен педагогически обдуманный

компромисс, выражаемый ныне термином «сотрудничество» ученика и учителя.

Во-вторых, сейчас во всем мире происходит и будет происходить существенное увеличение техногенной составляющей в жизни и в профессиональной деятельности каждого человека. Поэтому возрастает значение полноценной математической и естественнонаучной подготовки каждого выпускника школы, а не только будущего специалиста. Причем условия нашего времени таковы, что происходит быстрая смена технологий, усиление управляющего компонента и т.д. Мы даже не можем себе представить, что войдет в повседневную жизнь через 20-25 лет, а ведь это будет в середине жизни нынешних школьников. Это требует фундаментализации образования и коррекции его содержания. В частности, нужно освоение принципиальных идей взамен культивирования локальных технических приемов, хотя последними тоже не всегда можно пренебрегать.

К этому стоит добавить, что даваемые в школе элементы научного образования в какой-то степени создают иммунитет против массового одурачивания, будь то в (околонаучной сфере или в сфере общественных отношений. Принято считать, что в последней сфере значительное стабилизирующее влияние оказывают также наличие среднего класса и правовая культура общества. Но у нас ни того, ни другого нет.

В общем, задачи, объективно стоящие перед нашей системой образования, не менее серьезны, чем это было в начале индустриализации, когда речь шла о росте промышленности, в основном связанном с имеющимся уровнем техники, или после войны, когда возникли новые и более сложные отрасли техники. Причем нынешние задачи — наполовину новые. Но в прошлом масштабность задач и их характер, по крайней мере, в общих чертах,

осознавались и верхами, и низами, поскольку это было видно невооруженным глазом, а теперь, похоже, осознается только небольшой частью интеллигенции. Высшая школа пока что кое-как держится более или менее на прежнем уровне, хотя не берусь предсказать, что будет дальше. А вот в средней школе положение уже давно ухудшается.

Сейчас намечается очередная реформа образования. Зачем она нужна? Многие подозревают, что она нужна Министерству образования для демонстрации деятельности. Я не собираюсь отрицать, что такие соображения на них могут влиять, но есть и объективные причины, о которых я уже отчасти говорил (новые задачи) и к которым я вернусь ниже в историческом контексте.

В первую очередь должна быть выработана концепция, учитывающая потребности личности, общества и государства в начале третьего тысячелетия. В принципе, реформа должна затрагивать все стороны — охрану здоровья ребенка, содержание образования, систему финансирования и т. д. При подготовке концепций ни одна из сторон реформы не подвергалась широкому общественному обсуждению. В том числе никак не привлекалась Академия наук, которая традиционно всегда проводила экспертизу содержания образования.

В 1932 году основная цель школы (я имею в виду полную среднюю школу) была определена ЦК ВКП(б) совершенно четко: подготовка молодежи к поступлению в технические вузы. Эта директива соответствовала тогдашней действительности и фактически «работала» четверть века. Обстоятельства изменились, и неизбежно должна была измениться и цель. В теперешнем Законе об образовании она указана далеко не столь конкретно: «обеспечить основы образования и культуры» (я не цитирую дословно, но смысл именно такой). Возможно, в нынешних условиях

одной фразой лучше и не скажешь. Тогда пусть это будет не одна, а пять фраз, да еще и с абзацем поясняющих и конкретизирующих комментариев; пусть не в Законе об образовании, но в каком-то другом нормативном документе, исходящем от высшего законодательного авторитета. Но пусть в конечном счете эти пять фраз и абзац или что-то иное создадут такую же ясность, как в 1932 году. Без этого попытки по усовершенствованию образования и даже о наведении какого-то порядка в нем останутся без точки опоры.

В прошлом, в 30-е—60-е годы система школьного образования в нашей стране была очень жестко стандартизирована. Противоположной в этом отношении была американская система. Сейчас Россия с США в некотором отношении как бы меняются местами. Нормативно-правовая база образования у нас чрезмерно приближается к американской практике, в то время как в США считают нужным сделать эту базу более жесткой, единообразной и детальной. Точнее, применительно к США надо говорить не о нормативно-правовой базе в нашем смысле, а о стандартах штатов (федеральных стандартов нет). Но практически это то же самое, ибо со стандартами у них связано финансирование. Школьная же практика у нас и у них пока меньше сдвинулась с прежних позиций, чем это у нас дозволено, а у них даже предписано. Но это вопрос времени. У нас финансирование переходит в регионы, и нетрудно понять, к чему это приведет.

Отчасти наш сдвиг в сторону американской системы просто неизбежен при отходе от крайностей стандартизации. Но мы готовы зайти дальше, чем это нужно. Видимо, иногда авторы нашей реформы не следовали сознательно американскому примеру, а сами дошли примерно до тех же соображений, которыми в свое время руководствовались американцы. Но едва ли

можно сомневаться, что в какой-то степени было и сознательное следование, тем более что это в духе времени — сейчас часто говорят по различным поводам, что мы-де следуем их примеру, и кое-кого, в том числе и в верхах, эти слова прямо-таки завораживают, хотя сами американцы не всегда согласны, что мы действительно ему следуем. Но что касается школьного образования, то тут пример США безусловно неудачный, что признают сами американцы и что подтверждается недавним международным обследованием (финансировавшимся в основном американцами же) «Third International Mathematics and Science Study». Я отличаю сам факт существования стандартов и не говорю об их содержании. Должен сказать, что оно, особенно для некоторых штатов, вызвало критику американ ской математической общественности. Наша система в свое время неплохо удовлетворяла тогдашним потребностям, о чем я еще скажу, а американская система уже давно заслуживает внимания больше с той стороны, которую имел в виду Бисмарк, высказавшийся примерно так: дураки говорят, что они учатся на своих ошибках, я же предпочитаю учиться на ошибках других.

Деградация американского школьного образования началась в 20-х годах, когда оно стало практически всеобщим, и оказалось, что новый контингент учащихся не справляется со старыми программами. С этим столкнулись впоследствии и другие страны и, честно говоря, вполне удовлетворительного решения никто не нашел. Но та реформа, которую осуществили в США, была определенно худшим из всех решений, и не случайно ему не последовали ведущие европейские страны, Япония и 4 «малых дракона».

А намерения у американских реформаторов были благими — но, как известно, этот стройматериал успешно

использован в качестве дорожного покрытия на трассе, ведущей в зону высоких температур. В виде частичного оправдания можно сказать, что эти американцы были первыми, а первый блин часто бывает комом. Быть может, в зоне это приняли во внимание, но как относиться к тем, кто взялся за дело последним и, ссылаясь на чужой опыт, не удосужился с ним как следует познакомиться?

В США лидером реформаторов был Джон Дьюи. У нас он известен как философ, развивавший направление, именуемое прагматизмом, за что у нас во время оно его, мягко выражаясь, критиковали. С этой стороной его деятельности я не знаком и своего мнения о ней не имею. Что же касается реформы, то Дьюи и его сторонники говорили примерно следующее.

Школьники не понимают, зачем им надо учить кучу различных предметов, общественных и естественнонаучных. Да и родители этого часто не понимают, а ведь школы существуют на деньги налогоплательщиков. (Реформа коснулась более государственных, чем частных школ.) На учебу дети смотрят как на наказание, школу и учителей они ненавидят. Почти все, что им преподают, им не интересно и скорее всего не понадобится в жизни. Они, по возможности, кое-что заучивают наизусть, чтобы отделаться, благо память в этом возрасте прекрасная, и тут же все забывают. Кому нужны римские консулы, звездные параллаксы и квадратные уравнения? Особенно последние два— кое-что из истории еще можно рассказать занимательно, но и в ней сколько скуки!

Впрочем, надо предоставить возможность выбора: если кто хочет — пожалуйста, при возможности дадим ему учить историю, астрономию, математику. Но большинство, конечно, выберет иное, скажем, домашнее хозяйство, джаз, вождение автомобиля и т. п. Так что если кому нужны

консулы, параллаксы и уравнения, ему лучше поискать подходящую частную школу или, если это не по карману, удовлетворить свою любознательность на младших курсах университета. Учение, особенно в младших классах, должно стать игрой.

О воспитании дисциплины — я имею в виду не тишину на уроке или построение перед его началом (что впрочем, тоже имеет значение, создавая обстановку), но дисциплину учебы, — Дьюи, похоже, забыл, хотя несомненно знал, какое значение имеют дисциплинированность и собранность для успеха в жизни. Он больше подчеркивал и старался развивать другие качества, тоже, конечно, полезные — инициативность, энергию. О значении различных предметов для развития мышления он, возможно, и вообще не знал. А здесь, может быть, самое уязвимое место реформы. Фактический объем знаний еще можно восполнить позднее, но то, что упущено в подростковые и юношеские годы для развития любознательности, мышления и других сторон личности, впоследствии восполнить очень трудно, если вообще возможно, ибо почему-то все это легче всего может быть развито именно в эти годы.

Реформа была проведена в жизнь с естественной самоуверенностью молодой нации, которая лучше других знает, что ей нужно. Результаты были блистательными поначалу и ужасающими впоследствии. Блистательными, потому что у детей на какое-то время появился интерес к школе (это и в самом деле хорошо) и радикально улучшились показатели (это всегда хорошо на бумаге, но не всегда хорошо на деле). Ужасающими, потому что привлекательность реформированной школы со временем упала, ибо если стали на этот путь, то почему бы не пойти дальше и не превратить школу в подобие клуба? Пусть даже с танцами и наркотиками вместо уроков (насчёт наркотиков были достигнуты большие успехи, не дающие нам покоя, но

уж тут-то мы их точно в состоянии догнать и перегнать). А в результате страна, являющаяся лидером научного и технического прогресса, не может сама себя в полной мере обеспечить кадрами специалистов, причем процент студентов североамериканского происхождения в американских вузах падает. У них ситуация всё же далека от катастрофы, потому что есть хорошие частные школы, часть вузов старается держать планку высоко и есть возможность импортировать хороших специалистов или молодых людей, готовых учиться и стать хорошими специалистами. У нас же с грехом пополам хватает нефтедолларов на импорт продовольствия, но на импорт мозгов рассчитывать не приходится. Они движутся не туда, куда двигались при Петре I и Екатерине II, которые, впрочем, на этот импорт целиком не полагались, а развивали образование с тем, чтобы со временем если не совсем избавиться от импорта мозгов (зачем же отказываться от добра, если есть деньги?), то сделать его значение второстепенным.

Это я говорил о высококвалифицированных специалистах, что же касается общего образования, то его ухудшение проявляется, по-видимому, больше косвенным образом: кто учится кое-как, тот часто (хоть и не всегда) работает тоже кое-как, независимо от того, насколько нужны для его работы не выученные в школе знания. А снижение уровня работы подчас заметно даже поверхностному взгляду туриста. Так, на протяжении трех десятилетий определенно ухудшилось (по сравнению с западноевропейским или с прежним американским) качество дорожных покрытий, особенно на второстепенных дорогах. Само по себе это едва ли важно для американской экономики в целом, но это неприятный симптом.

Около 40 лет назад, после первых спутников, в американской печати прокатилась волна критики американской

системы школьного образования. Естественно, много выступали ученые и инженеры, беспокоившиеся главным образом о подготовке научных и технических кадров. Не думаю, будто они стали выступать потому, что у них вдруг открылись глаза. Глаза, вероятно, частично открылись у других, а потому ученые и инженеры получили возможность сказать, что они думают. Я упомяну здесь о выступлении адмирала Хаймэна Риковера — создателя американского подводного ядерного флота. Это отчасти конструктор, отчасти организатор, отчасти даже толкач (лоббист), но отнюдь не абстрактный мыслитель, сидящий в башне из слоновой кости. Он возмущался, что подросток сам выбирает, учить ли ему физику или устройство автомобиля. Для этого подросток недостаточно зрел. В виде положительного образца Риковер указывал швейцарские школы, по его мнению, лучшие в мире. Не думаю, чтобы Риковер мог достаточно полно изучить школы многих различных стран, у него других дел хватало, но, видимо, из тех школ, которые он знал, швейцарские показались ему лучшими. Как видите, он призывал американцев следовать европейскому примеру, а у нас фактически в значительной степени собираются, не вполне это сознавая, последовать американскому примеру. Повторяю: такой цели явно не ставится, но это само собой получится, особенно когда финансирование окончательно перейдет в регионы, а общероссийских стандартов не будет, или они будут минимальными, или они не будут соблюдаться.

В то время в США обсуждали и университетские дела. Насколько я знаю, больше говорили об их поддержке, а не критиковали. Не то, чтобы дела там обстояли во всем так уж благополучно, но все понимали, что недостатки университетов отчасти являются следствиями недостатков школы (приходится тратить 1—2 курса на завершение общего образования), отчасти носят такой же характер

(в порядке повышения общеобразовательной подготовки можно изучать историю джаза), — я говорю о тех случаях, когда это засчитывается за общее образование, а не о специальной подготовке музыкантов и музыковедов.

Тогда, около 40 лет назад, в США несомненно увеличилось финансирование университетов. Я не знаю цифр, но помню, что когда в 1964 году я впервые посетил США, меня едва ли не больше всего поразил вид университетских городков — все они были с подъёмными кранами. Других изменений, особенно в школе, по-видимому, не произошло. Похоже, что после успеха лунной программы общественный интерес к самокритике в этой области пропал. Но он вновь проявился в наши дни. Об этом свидетельствуют недавние выступления в американских верхах, включая Клинтона. Видимо, до них дошло, что хотя явного противника сравнимой с ними военной мощи перед ними сейчас не стоит, зато объективно стоящие перед ними задачи ничуть не менее масштабны. Во многом это такие же задачи, как и стоящие перед нами, с той только существенной разницей, что им не надо вылезать из экономической ямы. Как известно, после прекращения военного противостояния в США на радостях начали экономить на фундаментальной науке. Теперь же объявлено об увеличении ее финансовой поддержки на 2 миллиарда долларов. Критика Клинтоном системы образования, воспитывающей посредственностей, и уже упоминавшееся изменение стандартов штатов — это другая сторона того же поворота в сознании американских верхов, причем имеется в виду и подготовка специалистов, и общее образование широких кругов, даже, может быть, больше последнее. К чему все это приведет, покажет будущее.

Но все же не все в американском опыте представляет интерес исключительно с отрицательной стороны. Как-никак, будучи первыми, у кого образование стало

практически всеобщим, они за это время должны были осознать и решить некоторые вопросы.

У нас уже давно стоит вопрос, не следует ли после какого-то класса учащемуся, если он хочет учиться дальше, предоставить возможность выбора между несколькими (2—3) вариантами. Конечно, в царское время так оно и было, поскольку имелись гимназии, реальные, коммерческие и кадетские училища. Но в то время образование было весьма далеко от всеобщего. Опыт США заслуживает внимания в том отношении, как они отвечают на тот же вопрос в условиях всеобщего образования.

Наиболее распространенной в США является так называемая «объединенная всеохватывающая» 12-летняя школа. В ней после 9-го класса учащиеся распределяются по трём «профилям» (мы бы сказали — отделениям): профессиональному, общему и академическому. Первый — это что-то вроде наших техникумов, только не со столь четкой специализацией, хотя, по-видимому, все-таки имеются специализации, по которым различные школы отличаются друг от друга. Примерно половина учащихся идет по общему профилю, а наиболее серьезная подготовка дается на академическом профиле. Имеются предметы по выбору; на профессиональном и академическом профиле на них отводится сравнительно небольшая часть времени, а на общем профиле они занимают 2/3 времени — это то самое, против чего возражал Риковер. Япония скопировала американскую систему трех профилей, но там и на общем профиле предметов по выбору немного. И, как известно, японская система образования работает успешно.

Вернемся на родную землю. Хотя Риковер не призывал следовать нашему образцу, ни он, ни кто-либо другой из выступавших тогда с критикой американской сис-

темы образования не сомневались, что в то время она была лучше американской. Поэтому теперь самое время остановиться на истории нашей системы.

Система образования, сложившаяся в середине 30-х годах., была принята ввиду необходимости готовить большое число инженеров, чего требовала индустриализация. В 1932 году, в постановлении ЦК ВКП(б) так и было сказано, что основная задача школы — готовить молодежь для поступления в технические вузы. При реорганизации школы в соответствии с такой целью был успешно использован дореволюционный опыт: учебные программы представляли нечто среднее между программами гимназий и реальных училищ, учебный процесс был организован по их образцу, по математике (кроме тригонометрии) были приняты (после некоторой переработки) старые учебники Киселева. По другим предметам были написаны новые учебники, но с учетом старых традиций. Сеть школ была значительно расширена по сравнению с дореволюционной. Квалифицированных кадров для нее не хватало, особенно вначале и вне крупных городов, но этот неизбежный недостаток удачно компенсировался тогдашними учебниками, по которым способный ученик мог успешно учиться даже при слабом учителе.

Учебники и задачники по математике долго оставались стабильными, в них только вносились различные исправления, благодаря чему эти книги действительно были отшлифованы. По другим предметам стабильность была меньше, но все же любой учебник или задачник не только прошел соответствующую экспертизу, но и выдержал несколько изданий, в ходе которых устранялись замеченные погрешности. Конечно, когда в биологии произошла катастрофа, учебники пришлось переписывать, внося туда лысенковскую лженауку. Судьба

учебников по общественным дисциплинам по понятным причинам была куда более тревожной. Все же в ряде случаев они давали довольно много как фактических сведений, так и пищи для размышлений, хоть и под неизбежным идеологическим соусом.

Очень важной стороной тогдашней системы образования были существовавшие тогда школьные кружки по различным учебным, а также техническим предметам. Сюда относятся кружки при школах, домах пионеров и вузах, а также олимпиады. К сожалению, ни тогда, ни теперь важность этой работы не доходила и не доходит до начальства, и учителя ничего не получали и не получают за нее. В вузах в большей степени понимали и понимают ее важность. По крайней мере, студентам и аспирантам, ведшим кружки, это засчитывалось за общественную работу, а ведь фактически иметь какие-то общественные нагрузки было обязательно.

Важность кружков состоит в том, что они дают возможность заинтересоваться тем или иным делом подросткам, у которых еще нет устойчивых интересов. На прошлой неделе он сходил в кружок по математике, на этой — по литературе, на следующей пойдет в радиолюбительский кружок. Глядишь, где-нибудь и останется, а кое-что в нем самом останется из тех кружков, куда он потом перестанет ходить. В средних классах кружки, возможно, более удачно корректировали чрезмерную стандартизацию образования, чем теперешние спецклассы и спецшколы. В старших классах — другое дело, к этому времени уже формируются устойчивые интересы, наклонности, и тут разделение образования на потоки, а также спецклассы и спецшколы не просто уместны, но и необходимы. Развитие кружковой работы было одним из достижений нашей системы образования, которое выгодно отличало ее от различных зарубежных систем.

Но так как учителям за кружковую работу не платят, они, естественно, предпочитают «официальную» специализацию классов и школ.

Позднее возникла противоречивая ситуация. С одной стороны, на протяжении большей части указанного выше периода общеобразовательное 10-классное обучение не было всеобщим. Например, когда я учился, половина класса ушла после 4-го класса (главным образом, в ремесленные училища), а половина оставшихся — после 7-го класса (главным образом, в техникумы).

Таким жестоким образом корректировалась чрезмерная стандартизация образования. Спустя несколько лет жить стало лучше и после 4-го класса уже не уходили, но уходили после 7-го. Когда общеобразовательное 10-классное обучение стало всеобщим, чему почему-то придавалось принципиальное значение, то у части учеников возникли трудности с усвоением материала старших классов, который скорее всего им и не мог в дальнейшем понадобиться. Выход из положения был найден с подлинной административной грацией: раз на экзамен по геометрии приходится всего больше двоек, надо первым делом отменить этот экзамен и уменьшить объем программы. Сейчас обязательного экзамена по геометрии нет ни в одном классе, хотя он может проводиться либо по решению школ для всех учеников, либо по желанию части учеников. На уроках не успевают как следует прорабатывать геометрические задачи.

С другой стороны, возникновение и развитие качественно новых областей техники — сюда в первую очередь относятся радиолокация, атомная энергия, ракеты, — опирались на более новые крупные научные достижения и целые отрасли науки, нежели прежняя техника, и от соответствующих специалистов требовались более обширные познания в математике, физике

и вообще естественных науках, для чего неплохо было бы иметь лучшую подготовку при поступлении в вуз. Поскольку первоначально эти достижения произвели значительное впечатление и на высокое начальство, и на широкие крути общества, то идея о повышении уровня школьного образования не вызвала особых возражений и отчасти даже встретила поддержку. Были составлены новые программы и написаны новые учебники. В частности, в школьную программу по математике были введены элементы того, что в ВУЗах называют «математическим анализом». К сожалению, вследствие неопытности инициаторов реформы и их организационной неумелости это дело фактически оказалось в руках людей, которые не были ни учеными, ни сколько-либо опытными педагогами и не поддерживали серьезного контакта ни с теми, ни с другими. В итоге на свет родились наукообразные учебники, непригодные для школы, как и для чего-либо иного. Как математик, я лучше могу судить об учебниках по этому предмету, но судя по сообщениям печати и беседам с коллегами, с другими предметами дело обстояло не лучше. Например, в грамматику ввели кое-что из университетской лингвистики, от чего не прибавилось ни грамотности, ни любви к грамматике.

Все это ухудшило положение и вызвало естественную реакцию во всем обществе. Единственное, что можно сказать в утешение — это что аналогичные события произошли и в других странах, включая Францию, где вследствие того же комплекса причин была расстроена существовавшая в начале века превосходная система образования (как видно из воспоминаний академика А. Н. Крылова — корабельного инженера, математика и механика, а заодно и адмирала, — ее уровень был выше, чем тогда в России. Насколько мне известно, он и теперь выше, но это уже не звучит таким комплиментом).

У нас последовали попытки улучшить положение. Я снова остановлюсь на математике. Здесь определенную роль сыграли сменившие друг друга комиссии Отделения математики АН СССР, возглавлявшиеся И. М. Виноградовым и Л. С. Понтрягиным. Я не собираюсь обсуждать всю административную деятельность этих людей, которую одни хвалят, а другие порицают, но их комиссии по школьному образованию учли промахи предшественников и внимательно вникли в обсуждаемые программы и учебники, проявляя при этом здоровый консерватизм. К сожалению, эта работа не была доведена до конца — сами Виноградов и Понтрягин умерли, началось перестройка, затем наступила так называемая демократия, которая в учебных делах более смахивала на дезорганизацию. Комиссия как-то незаметно перестала существовать. Все же в то время эта комиссия и органы просвещения сделали довольно много — одобренное ими новое поколение учебников определенно было лучше предыдущего, но по своей методической отработанности они все-таки не могли идти в сравнение с учебниками Киселева, задачниками Рыбкина, Шапошникова и Вальцева или Ларичева. Кроме того, как наследие прежней реформы остались изменения в преподавании математики в младших классах, которых академические комиссии и не касались. Создается впечатление, что, во-первых, преподавание здесь потерпело серьезный методический урон. И, во-вторых, существенное сокращения так называемых «арифметических» задач, включая ликвидацию более сложных задач, которые решаются в несколько шагов и являются столько же арифметическими, сколько и логическими, обеднило развитие учеников младших классов. А что упущено в раннем возрасте, непросто наверстать позднее.

Вернуться в средних и старших классах в геометрии и алгебре к Киселеву и соответствующим задачникам

невозможно из-за изменения программ. Во-первых, с геометрией слилась тригонометрия. Во-вторых, число часов, отводимых на алгебру и, так сказать, прежнюю геометрию, уменьшилось, — отчасти из-за появления новых математических предметов, отчасти из-за производственного обучения, а отчасти потому, что по мере того как обучение охватывало все больше учащихся, наряду с его прежней целью — подготовка молодежи к поступлению в технические вузы — появлялась другая — дать образование широкой массе, которая в вузы не пойдет. Поэтому надо было кое-что убрать из прежней программы. Но ведь часто нельзя просто пропустить какие-то параграфы, этого не допускает логика изложения. Я не говорю уже о том, что введённые в программу элементы математического анализа в известных всем учебниках Киселева отсутствовали. По этим причинам учебники Киселева были переизданы только как пособия для учителей. Видите, какой прогресс!

Должен, кстати, сказать, что я и ряд моих коллег кисло относимся к введению в программу общеобразовательной школы элементов математического анализа. В этом отношении мы более консервативны, чем предыдущие две комиссии Отделения математики. Нужно трезво смотреть на вещи: эксперимент не удался. Может быть, не столько ради математики, сколько ради физики, других предметов и вообще ради расширения умственного горизонта можно попробовать сохранить что-то вроде научно-популярной лекции о производной с разбором нескольких примеров. А если не удастся отработать такие необычные для математики несколько уроков, от анализа лучше отказаться полностью. Есть и другие вопросы, которые, может быть, стоило бы давать в таком нетрадиционном стиле, как это и делается во всем мире. Но это уже тема для особого обсуждения. Конечно, сказанное не относится к специальным школам с естественно-науч-

ным уклоном, которые вполне могут следовать примеру французских лицеев или хотя бы реальных, коммерческих и кадетских училищ царской России, а также тех частных гимназий, в которых объем программы по математике и естественным наукам был больше обычного гимназического.

Положительным элементом в нынешней системе образования и в предлагаемой реформе по сравнению с системой 30-х—60-х годов является известная гибкость, проявляющаяся в нескольких обстоятельствах. Имеется 9 обязательных классов и еще 2 факультативных; от прежней догмы, что все почему-то должны учиться 10 или 11 лет, повидимому, отказались. В 10-х и 11-х классах запланированы два варианта — «общеобразовательный курс» и «курс А». Название, как у нас часто бывает, ни о чем не говорит; разница в том, что в первом варианте больше естественно-научного материала. Имеется «базовый уровень» — минимум требований для получения тройки; имеются и требования для других оценок; это сообщается учащимся. Когда я учился, этого не было. Официально считалось, что и троечник, и отличник должны знать одно и то же, только один посредственно, другой отлично. На самом же деле и тогда ученикам нередко давали понять, что того-то на тройку с тебя не спросят, лучше выучи получше то-то, но это было общепринятым нарушением официальных правил. Другой вариант того же: на Западе на письменных экзаменах по математике давным-давно давали больше задач, чем нужно даже для пятерки, и сообщали, что для такой-то оценки надо столько-то баллов, а за такую-то задачу засчитывается столько-то баллов. У нас, наконец, к этому тоже пришли или приходят, хотя бы в иной форме: скажем, говорят, что на тройку достаточно решить 5 первых задач из 12, а на пятёрку — любые 10 задач. Раньше опять-

таки неофициально признавали, что такая-то задача трудная и троечнику незачем с ней связываться. Лучше это делать открыто. Гибкость проявляется также в наличии так называемой «школьной компоненты», т. е. часов, которые школа заполняет по своему усмотрению.

Предоставление такой свободы школам можно только приветствовать, если не доводить этого до нелепости, как в Америке, или как это бывало у нас, когда вводились совсем странные предметы вроде «москвоведения» (прекрасный предмет, но не для школьной работы) или обучения пользованию презервативом. Упоминавшаяся ранее возможность введения дополнительных экзаменов или экзамен по выбору, при том, что общеобязательных экзаменов немного — тоже, видимо, само по себе неплохо. К сожалению, кружковая работа как раньше зависела от энтузиазма учителей, так и теперь зависит.

Однако отрицательные элементы в нынешней школе и в намечаемой реформе более значительны. Собственно, это один элемент: снижение уровня образования. Я уже говорил, что массовость образования порождает проблемы, но «решать» их путем значительного ухудшения образования — это самое худшее, что может быть. Признание, что только 9-летнее образование обязательно, — это, по-моему, правильный шаг, но раз он сделан, то в последних, факультативных классах, казалось бы, можно в какой-то степени вернуться к уровню 30-х—60-х годов. Между тем он и там снижается, причём почти все разделы сохраняются, но реальное содержание из них шаг за шагом устраняется, — типично чиновнический образ действий. Я, конечно, лучше всего могу судить о положении с математикой, затем с физикой и другими естественно-научными предметами, но вот что говорит генеральный директор Российского гуманитарного научного фонда Е. В. Семенов в статье «Научное зна-

ние остается не замеченным обществом» («Независимая газета», ежемесячное приложение «НГ-Наука», апрель 1998, с. 11): «Наука, в том числе гуманитарная, вытесняется из сферы просвещения, где различного рода обскурантизм просто заполонил: гадание по рукам, на кофейной гуще, по всему, что угодно, становится с точки зрения общества гораздо более важным, чем достоверное гуманитарное знание. Идет одичание нации. Вот в этом действительно кризис гуманитарных наук». И это происходит под аккомпанимент разговоров о «гуманизации и гуманитаризации образования». Конкретное содержание «гуманизации» состоит в своего рода повороту к ученику, что не вызывает возражений, если не доводить этого до абсурда. Я уже говорил, в частности, что в последних классах ученикам, как и намечается, нужно предоставить возможность выбора типа класса и в некоторой степени — возможность выбора части уроков и экзаменов, делать же это раньше просто нелепо, здесь могли бы сыграть свою роль кружки. Конкретное значение «гуманитаризации» сводится к очередному изменению соотношения между предметами и появлению упомянутых выше странных предметов (впрочем, последнее теперь, кажется, отвергнуто). В чем же оно должно состоять по своему содержанию и откуда в гуманитарной сфере у нас вдруг возьмется такое количество квалифицированных педагогов, когда признается, что в коммунистические времена их обучали фальсифицированным «наукам», неизвестно. Стоит напомнить, что ведущие коммунистические деятели первой половины века имели гуманитарное образование, отнюдь не сделавшее их гуманистами, и что лучшие премьер-министры Николая II — Витте и Столыпин — имели естественнонаучное (математическое) образование. Так что иметь существенную гуманитарную компоненту в образовании и иметь школы с гуманитарным уклоном — это, конечно,

правильно, если только не воображать, будто это автоматически обеспечит нас панацеей от наших бед, но вот чтобы так называемая «гуманитаризация» этому способствовала — этого почему-то серьезные представители гуманитарных наук до сих пор не заметили, а заметили нечто противоположное: одичание.

Возвращаясь к своей сфере, отмечу, что дело не только в сокращении числа часов, пока небольшом и, может быть, в этих пределах в какой-то степени оправданном. Не менее заметную роль играет снижение интенсивности занятий.

В связи с этим отмечу пример из истории: в коммерческих училищах на математику отводили ровно столько же часов, сколько в гимназиях, однако курс был больше и включал даже кое-что из математического анализа в большем объеме, нежели теперь. Если при всеобщем образовании в первых 9 классах это снижение интенсивности сравнительно с прошлым еще можно как-то понять, то как объяснить, что то же самое происходит и в старших классах, где вроде бы должны учиться только те, кто действительно может и хочет? Видимо, стремлением к хорошим показателям: чем меньше преподается, тем меньше неприятностей с экзаменами.

По-видимому, есть и еще одна причина снижения интенсивности занятий в старших классах: ухудшение методической подготовки учителей. Я говорю об этом с меньшей уверенностью, ибо это не моя сфера, но я об этом слышал от опытных педагогов.

Уменьшение числа часов и снижение интенсивности занятий обосновывают ссылкой на перегрузку учеников. Соответствующие данные действительно вызывают тревогу, чтобы не сказать более, но из-за чего возникла перегрузка? Ведь с середины 30-х годов примерно 30 лет программы и число часов по математике и естественнонаучным

предметам были больше, чем теперь, и это не создавало особых перегрузок. Перегрузки возникли позднее и по другим причинам. Одна из них — изменение контингента учащихся, о чем я уже несколько раз говорил. Это неизбежно. Но в старших классах эта причина не действует. Одно время соотношение числа часов по математике и естественно-научным дисциплинам, с одной стороны, и по общественным дисциплинам, с другой, изменилось в пользу последних, что тогда мотивировалось идеологической важностью общественных дисциплин. Ясно, в каком духе были выдержаны сделанные добавления и насколько легче стало учиться, только странно, что Сталина и Жданова тем самым заподозрили в недооценке идеологии. Впрочем, это уже в прошлом, идеологизированных уроков несколько поубавилось, теперь идет речь о гуманитаризации образования, которую некоторые путают с одичанием.

Раз таблицу умножения еще помнят, значит, в математическом отношении мы еще не совсем одичали, дикари ее не знают. Но стараемся. Раз есть калькуляторы, помнить ее не надо. И нетрудно предвидеть, что ухудшение преподавания, если оно будет иметь место на протяжении длительного времени, приведет к такому общему развитию населения и такому уровню будущих специалистов, что это гарантирует низведение России на уровень второстепенного государства третьего мира, если она вообще сохранится как единое государство.

В часто высказываемой ностальгии по прекрасным временам Киселева (а тем паче, царским) верно то, что тогда был достигнут довольно высокий уровень школьного образования для тех, кто его получал. Я надеюсь, ясно, что в нынешних условиях этот опыт пригоден не полностью. Но хочу подчеркнуть, прежняя система прошла прекрасную апробацию историей, и отказываться от прежнего опыта надо только там и постольку, где

и поскольку это диктуется изменившимися обстоятельствами. И еще раз повторяю, что всеобщее школьное образование с какого-то места должно разветвляться. На одной из этих веток могут найти свое место не только учебники Киселева, но и более солидный учебник геометрии Адамара, бывший в начале века стандартным во французских лицеях.

Я не воображаю себя оракулом, изрекающим непререкаемые истины. В частности, я хорошо знаю, что по социальным причинам многие возражают против того, чтобы общее обязательное образование ограничивалось 9 классами. Если оно будет ограничиваться 9 классами, что мне все-таки представляется целесообразным, то нужно вновь, как когда-то, обратить внимание на развитие техникумов. Если социальные причины заставят поступить иначе, то придется отказаться от надежды на «усиление» программ последних классов средней школы и от заметной части того, что когда-то во всем мире рассматривалось как достижение прежней советской системы образования, но что, может быть, в конечном счете было возможно только при строе, успехи которого на самом деле оплачивались дорогой ценой. Одно несомненно: реформа образования во всех ее аспектах должна стать предметом широкого и тщательного обсуждения. Вопросы, касающиеся человека и общества, часто кажутся иллюзорно ясными, решающимися на основании личного опыта и разума даже одного-единственного человека, а на самом деле они сложны, будучи связаны со многими факторами, различными целями и т.д., причем эти факторы, не согласующиеся друг с другом цели и т. п. могут даже не осознаваться. Вспомните, как убедительно всё выглядело у Дьюи, и что вышло. А тех возможностей, которые позволяют Америке корректировать неудачные последствия сложившейся там системы образования, у нас нет и не предвидится.

В. М. Тихомиров

Математическое образование (цели, концепции, структура, перспективы)

Давайте поразмышляем над вопросом: кому и зачем нужно математическое образование.

Если достаточно полно ответить на него, легче будет справиться и с другими проблемами: каковы должны быть концепция и структура образования, какими должны быть учебники, программы, длительности обучения, к чему следует стремиться в будущем.

Но для того, чтобы ответить на этот основной вопрос, разумно сначала обсудить два вспомогательных: кому и зачем нужны математики? и кому и зачем нужна математика? Человек в этом мире принадлежит многим «сферам». Первая из них — это он сам. Затем — семейная, дружеская сферы (их мы не будем касаться), затем — профессиональная и общественная сферы, потом —государственная, наконец, все человечество.

Еще недавно целью человеческой жизни объявлялось служение государству, «нашему» государству. (При этом нас окружало кольцо «вражеских» государств, и все силы отдавались противостоянию.) В преддверии нового века осталась лишь единственная возможность для продления

жизни на Земле — осознав наше общее братство, объединиться всем, чтобы разрешить проблемы иным путем неразрешимые: регулирование народонаселения, спасение от экологического коллапса, преодоление язвы терроризма.

Математика всегда была верной служанкой и всего человечества, и любой государственной системы, и каждого отдельного человека. На ее языке пишутся законы Природы. Она является основой Инженерии, она — часть нашей общей Культуры. Математика является необходимым подспорьем всех созидательных профессий, она дает возможность человеку ориентироваться в окружающем его мире. Эта наука (также, как физкультура по отношению к здоровью и гармоническому развитию тела) необходима для тренировки нашего мозга, для развития нашего интеллекта.

Величайшие математики — Архимед, Ньютон, Лейбниц, Гаусс, Пуанкаре и другие — интеллектуальные вершины и украшение человеческого рода. Однако сейчас надо сказать и о другом. Человечество сможет выжить в будущем столетии только подчинившись некоторой глубоко продуманной общей программе, а такую программу невозможно составить без сложнейших расчетов, без колоссальных интеллектуальных усилий, и без математиков высшей квалификации. На этом пока закончим с нашей «высшей сферой» — всем человечеством.

Следующая ступень — государство. Нужны ли математики государству, в частности, нашему государству?

Перед Войной Англия, Соединенные Штаты Америки и мы решали проблему противостояния. Они — против Гитлера и нас, мы — против всех. Необходимо было создать совершенные орудия поражения, средства их доставки, разработать систему шифровки своих сообщений и дешифровки чужих.

При решении этих грандиозных проблем во всех названных странах исключительную роль сыграли математики. Интересно отметить, что руководящую роль играли математики по своему образованию не связанные с приложениями. В Англии проблемы кодирования решал и решил один из крупнейших логиков того времени — Алан Тьюринг. Группа, им руководимая, сумела разгадать немецкие шифры, что привело к разгрому немецкого бомбардировочного воздушного флота. Соответствующую группу в Америке возглавлял Маршалл Стоун, крупнейший специалист в области функционального анализа и топологии. Когда СССР стал форсировать атомную и космическую программы, был образован Отдел прикладной математики (ОПМ), который возглавил Мстислав Всеволодович Келдыш. Для осуществления фантастических по трудности прикладных задач были приглашены сотрудники и выпускники мех-мата. Среди них были Израиль Моисеевич Гельфанд — специалист в области функционального анализа, абстрактнейший тополог Олег Вячеславович Локуциевский и другие. После окончания мех-мата перешли в ОПМ Сергей Константинович Годунов, Николай Николаевич Ченцов, Владимир Федотович Дьяченко и многие их товарищи по студенческой скамье. Ничему подобному тому, чем им пришлось заниматься в ОПМ, на мех-мате не обучали. Но все они стали выдающимися специалистами и выполнили возложенную на них миссию. Подобных примеров — тьма. И у нас, и в других странах.

Естественно спросить себя — а почему именно мехмат? Почему именно математики? Здесь надо отметить два аспекта: один связан с системой образования, другой — с особым «математическим менталитетом».

В тридцатые годы была выработана и проверена на практике особая концепция университетского математического

образования. Специализированное вузовское образование учит освоению специальной профессии: в нефтяном институте учат про нефть, в угольном — про уголь, в институте стали — про сталь. А в наших самых крупных университетах (Московском и Ленинградском прежде всего, затем — в Новосибирском, и, быть может, в некоторых других), преподавание было насыщено таким интеллектуально богатым материалом, строилось на такой глубокой научной основе, что само образование оказывалось воистину универсальным: выпускники механико-математических факультетов этих университетов быстро и эффективно осваивали любые смежные профессии, не терялись перед любой задачей — из какой бы области науки она не возникала.

А теперь — о другом аспекте. В человеке, обнаружившем в себе тягу к нашей науке, возжигается огонь, который может угаснуть только со смертью. Азарт решить стоящую перед математиком проблему, стремление достичь цели становится всепоглощающим. Для большинства великих математиков творчество является основным стимулом в жизни, а материальные проблемы не играют особой роли.

Все это позволяет надеяться, что в труднейших задачах созидания, которые стоят ныне перед нами, математики сыграют столь же фундаментальную роль, какую сыграли наши коллеги в иное время, создавая орудия разрушения.

Стоит сказать также, что математика — достойная профессия. Конечно, как и во всякой большой семье, там случаются свои «исключения», но в подавляющей массе своей математики — хорошие люди, прежде всего потому, что все они труженики, увлеченные своим делом. Недаром среди выдающихся математиков так много было тех, кто принадлежал высшей интеллектуальной элите

нации, тех кто осуществлял строительство выдающихся культурных центров в нашей стране. Назовем имена Ивана Георгиевича Петровского, Михаила Алексеевича Лаврентьева, Мстислава Всеволодовича Келдыша, Андрея Николаевича Колмогорова. Можно долго продолжать этот список.

Международное сообщество математиков может служить прототипом будущего международного сотрудничества всего человечества.

О концепции математического образования

Выделим несколько несомненных задач, стоящих перед математическим просвещением.

1. Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно определенные математические навыки нужны каждому человеку. Каждому человеку нужно владеть понятием числа и уметь оперировать с числами, понимать пропорции, проценты и т. п. Инженер должен овладеть понятиями математического анализа — понятиями производной, интеграла и ряда, дифференциального уравнения, а также определенными навыками, связанными с этими понятиями.

2. Первая школа, где была выработана определенная концепция математического образования, была организована чуть более 1200 лет тому назад, в 795 году. Это произошло при Карле Великом. Он повелел организовать в городе Аахене школу и пригласил для организации ее монаха из Британии по фамилии Алкуин. Алкуин исполнил приказ и написал первую в Средневековой Европе учебную книгу по математике, озаглавленную «Задачи для изощрения ума». Задачей под номером 18 в этой книге была следующая:

«Человеку надо перевезти волка, козу и капусту через реку. Но лодка не позволяет перевезти сразу всех троих, можно взять только двух. И нельзя оставлять вместе на берегу без присмотра волка и козу, козу и капусту. Как следует поступить?»

С тех пор и поныне эта задача кочует из одной занимательной книги по математике в другую.

«Изощрение ума» — безусловная цель математического образования любого уровня. В частности, того образования, которое осуществляется в гуманитарных и технических вузах, не говоря уже об университетах.

3. Еще одной важнейшей задачей математического образования является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать. В 1267 году знаменитый английский философ Роджер Бекон сказал: «Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».

Есть две традиции в математическом образовании — американская и российская. Американская система построена на том, что человек должен уметь пользоваться готовыми приемами, российская — на том, что прежде всего следует научить думать его самого.

Наши традиции зиждутся на развитии интеллекта, что предполагает в частности, некоторые «доказательства».

4. Математика является неотъемлемой частью человеческой культуры, т. е. участвует в формировании духовного мира человечества, равно как и искусство, и потому каждому человеку полезно знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена ее творцов, сущность их вклада в нее, ход научной эволюции, преодоление ошибок. Преподавание должно воспитывать уважение к авторитетам, и, кроме того, воспитывать творческий дух, смелость

в отстаивании истины, свойственной великим творцам. Следует помнить слова Галилея: «Авторитет, основанный на мнении тысячи в вопросах науки, не стоит искры разума одного единственного».

5. Философское постижение Мира, его общих закономерностей и основных научных концепций также не возможно без математики. Курс математики связан с двумя основными философскими концепциями устройства Мира, которые характеризуются словами Порядок и Хаос. Первый изучается в классическом анализе, второй — в теории вероятностей.

Согласно первой философской концепции Мир полностью предсказуем. Послушайте Лапласа: «Ум, — писал он, — которому были бы известны для каждого данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, — он обнял бы в одной формуле движения величайших тел вселенной наряду с движениями легчайших атомов; не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же, как и прошедшее, предстало бы перед его взором». Сейчас мы думаем совершенно по-другому.

Во времена Лапласа огромный мир Природы являл собой Царство Порядка, где все предсказуемо и предопределено. И только на ничтожном клочке этого упорядоченного мира находилась «противоправная» область, где царил Хаос: он утверждал себя лишь в азартных играх, где все-таки не все можно было предсказать. Паскаль, Ферма, Якоб Бернулли и сам Лаплас описали первые законы Случая.

Но область Хаоса все росла и росла. Наука о случайном — теория вероятностей — развивалась и крепла. В XX веке (во многом благодаря усилиям Чебышева, Ляпунова, Маркова, Бернштейна и нашего великого соотечествен-

ника А. Н. Колмогорова) она приобрела оформленные очертания и стала занимать все большее и большее место в толковании Царства Природы. Еще полвека назад казалось, что Царство Хаоса и Царство Порядка соизмеримы по занимаемым ими территориям. И лишь в последние десятилетия эта концепция стала подверженной жестокому испытанию: неустойчивость, царящая в Мире ведет к непредсказуемому Хаосу. И все эти философские концепции в той или иной форме должны сопровождать математическое просвещение.

6. Математика является языком естествознания и техники, и потому профессии естествоиспытателя и инженера требуют овладения многими профессиональными сведениями, основанными на математике. Очень хорошо сказал об этом Галилей, о том, что невозможно понимать язык Природы, не зная языка треугольников, кругов, парабол, словом, не зная математики. Одной из главных целей математики является объяснение Законов Мироздания.

7. Математическое образование должно включать в себя обучение компьютерам, компьютерным технологиям и современным информационным возможностям. Это — веяния нового времени, но, несомненно, новый век будет веком Компьютера также, как были века Пара, Электричества, Атома. И надо иметь ввиду, что уже в математике происходят события первостепенной важности, которые необходимо включать в математическое образование (теория катастроф, фракталы, дискретная математика и т.п.).

Структура и формы математического образования

Человек начинает сталкиваться с математикой в раннем детстве, когда родители знакомят детей с началами арифметики и предлагают простейшие задачи для «изощ-

рения ума». Потом — школа (гимназия, лицей и т.п.), где учителя преподают арифметику, алгебру, геометрию и начала анализа. Основы математики ныне усваивают все. Но уже сейчас в школьном образовании происходит первое деление — на гуманитарное и естественно-научное. В первом программа по математике значительно сокращена. Школьное образование берет на себя первую, вторую и третью задачи, о которых речь шла в предыдущем пункте (простейшие навыки, развитие интеллекта и логического мышления), в малой степени четвертую (общекультурное развитие) и почти не затрагивает пятой. (В свое время А. Н. Колмогоров выдвигал пятую цель — формирование научного мировоззрения — важнейшей задачей школы. Но этого не произошло.)

Нет никакого сомнения, что совершенствование математического образования должно привести к совершенствованию всех этих компонентов, но так или иначе всеми ими должно наполняться и высшее математическое образование любого уровня, в частности, гуманитарное и техническое. Хотя, разумеется, в техническом образовании должны содержаться и заполнять существеннейшую долю профессиональная компонента и компьютерное обучение, в гуманитарном — общекультурная и философская компоненты.

Как следует уравновесить все это — практические приложения, освоение логики, «изощрение ума», формирование научного мировоззрения, развитие общей культуры и обучение компьютерам — одна из целей собраний, подобных нынешнему.

Несколько слов о формах образования. До сих пор традиционные формы любого обучения оставались неизменными в любой дисциплине. Для очного обучения это урок в школе, лекция и семинарское занятие в университете и вузе. Заочное обучение основывается на переписке

и общении с преподавателями во время сессий. Форма отчетности — вызов к доске в школе, контрольная работа, коллоквиум, зачет, экзамен. Урок происходит в классе, лекция и семинарское занятие — в аудитории у доски. Для подготовки к урокам, зачетам и экзаменам используются задачники и учебники.

Компьютерные технологии предоставляют несравненно большие возможности, и этим надо воспользоваться.

Некоторые итоги и перспективы

Что же вытекает из всего сказанного?

Оставим за скобками пожелание правителям великих держав задуматься над будущим нашей планеты и предпринять активные действия, направленные на ее выживание. Среди прочего они должны понимать: чтобы появились новые Колмогоровы, нужно поддерживать системы национальных и международных программ, фондов и грантов1. Но такие вопросы пусть обсуждают люди, облечённые властью, а мы вернемся к проблемам математического образования, где каждый из нас может внести свою лепту в общее дело.

1 На конференции с очень интересным обзором весьма плодотворной деятельности Программы Фулбрайт в России выступил Дж. МакКормик; напрашивается наша собственная подобная программа поддержки регионов и многое другое, направленное на поддержку математиков, достигших первых заметных успехов в науке. В свое время (в двадцатые годы) командировки за границу Александрова, Боголюбова, Колмогорова, Лаврентьева, Меньшова, Урысона, Шмидта, Шнирельмана и других сыграли неоценимую роль в становлении советской математики.

Однако сначала надо иметь «исходные данные», которые должно задать государство. Мне представляется, что цель государства — служить своим подданным, заботиться о них, защищать их от всевозможных напастей и обеспечивать их естественные права. В частности, на образование, а в будущем (надеюсь, обозримом) — на математическое образование.

Само образование состоит из двух больших компонентов — школьного и высшего («надвысшего» — аспирантуры, ординатуры и пр. мы здесь не коснемся). Государство должно взять на себя осуществление права любого человека на общее школьное образование, и при этом оно должно объявить длительность такого образования. Сейчас обсуждается проблема 12-летнего обязательного образования2. Пусть срок установлен. Скажем, 12 лет. При этом необходимо решить ещё один кардинальнейший вопрос. В течении какого срока математическое образование в школе должно быть общим? Ноль лет? Четыре года? Семь? Восемь? Это — период, когда неизбежно нарушается «принцип свободы», и личность должна подчиниться «заведённому порядку». Я бы предложил семь лет в качестве срока общего математического образования. А потом предоставил бы личности (слушая советы родителей, друзей, учителей) сделать первый выбор: избрать гуманитарное, естественно-научное

2 Я бы не хотел опрометчиво, не владея всей информацией, высказывать свое мнение о том, какая длительность нужна нам и сейчас. На конференции довелось слышать, что одним из основных аргументов в пользу именно 12 лет является социологический: «Надо оболтусов держать под присмотром до армии». Но я надеюсь, что когда нам удастся вылезти из той помойной ямы, в которую мы залезли, возможно будет исходить и из других аргументов. Например, из права личности на свободу выбора.

образование (где математика нужна всерьез) или продолжать общее образование (люди, выбравшие спорт, балет, музыку и т.п. совершают сход с общей стези еще раньше). Разумеется, должно быть предоставлено право переменить свой выбор через некоторое время.

Естественно-научное образование также будет неизбежно иметь несколько специализаций, из которых важнейшие — математическая, физическая, химическая и биологическая.

После того, как этот второй период фиксирован (а это должно быть закреплено законодательно, и этому должна предшествовать выработка общей концепции образования), наступает период разработки программ и написания учебников. Для этого должны создаться специальные коллективы и каждый должен работать под эгидой объявленной цели (арифметика для всех, геометрия для гуманитариев, анализ для спецшкол и т.п.).

Обсудим некоторые проблемы высшего образования.

Оно также подразделяется на несколько частей. Это — математическое университетское образование, а также институты естественнонаучного, инженерного, педагогического и гуманитарного направлений.

Программы университетского образования сложились в 30—50-е годы благодаря труду поколения наших учителей. (Большую роль сыграл здесь А. Н. Колмогоров.) Наше поколение пропустило свою очередь внести в программы существенные коррективы, учитывающие развитие науки за последние полвека. А эти изменения оказались существенными. В тридцатые годы опустился железный занавес, и развитие науки у нас оказалось во многом оторванным от развития мировой науки. Новое поколение французской математической школы — Ж. Лере, А. Картан, А. Вейль, К. Шевалле, и ещё более молодые — А. Гротендик, Ж.-П. Серр, Р. Том, во многом сменили ори-

ентиры. Возникли новые пристрастия — многомерный комплексный анализ, алгебраическая геометрия, теория групп Ли, теория представлений и многое другое, что до сих пор еще не отражено в наших университетских программах.

Необходима определенная ревизия этих программ. Для того, чтобы университетское образование могло соответствовать современному этапу развития науки, необходим, быть может, некоторый особый «экспериментальный» университет, где состав студентов был бы более продвинут (и малочислен), где можно было бы отрабатывать новые курсы, писать по ним учебники и постепенно внедрять их в традиционное математическое образование. Такой университет был недавно создан — это Независимый университет. Одной из его нынешних задач является выработка глубоко продуманной программы. Кроме того, такое учебное заведение, некоторые аналоги которого можно найти и во Франции, и в США, призвано создавать условия для появления учёных высшего ранга (будущих Архимедов).

Очень важной задачей представляется сохранение уровня самых передовых из сложившихся у нас университетов (Московского, С.-Петербургского, Новосибирского, Физтеха и т.п.). Из них, как уже объяснялось, могут быть почерпнуты кадры для решения сложнейших задач, стоящих перед нашей страной. И здесь необходимы шаги по некоторому модифицированию программ, написанию учебников по новым обязательным и специальным курсам. Не исключено, что грантовая система должна включиться в эту работу — заказывать программы, учебники, пособия и т. д.

То же самое, если не в большей степени, относится к остальным ветвям высшего образования, особенно к инженерному и гуманитарному. В первом случае нужно дать инженеру возможность освоить компьютерные

технологии, во втором научить точному мышлению, ибо, как показала жизнь, способность формализовать стоящие перед специалистом проблемы необходима и врачу, и лингвисту, и экономисту, и юристу, а обучить этому может только математика.

...Я призываю всех, кому дорога наша профессия, принять участие в обсуждении наиболее насущных проблем математического образования...

С. П. Новиков

Математическое образование в России: есть ли перспективы?

Математика сегодня. Снижение физико-математических наук

Уходит XX век. Вероятно, в истории человечества он будет представляться одной из вершин развития точных теоретических наук, основанных на математике и физике. Подобную вершину теоретического уровня цивилизация уже проходила около двух тысяч лет тому назад в период эллинизма, подытожившего и далеко развившего математические открытия предыдущих культур на базе принципиально нового тогда фундамента — открытости информации и свободного обмена идеями. За тысячелетия люди далеко развили технику, но долго еще не были в состоянии даже освоить греческую математику, хотя кое-где на Востоке теплились огоньки новых исследований.

В какой-то момент Европа сумела их освоить. Затем — около трех-четырех веков назад — начался быстрый подъем, достигший вершины в нашем XX веке. И вот сейчас мы ясно видим, как в обществе понижается роль наук, считавшихся до недавних пор царицами — физики (для меня это в первую очередь теоретическая физика) и математики. Уровень лучших «носителей» этих наук,

выдвинувшихся за последнее десятилетие, как мне кажется, явно снижается: резко возрастает степень профессиональной узости, духовная обедненность, погруженность в материальные интересы.

Сегодня в науке правит новая царица — биология. Генетика творит чудеса. Кроме всего прочего, генная инженерия кормит цивилизованные страны, причем кормит хорошо. (К сожалению, в нашей стране когда-то уничтожили генетику, и полностью она не возродилась; у нас худшее в цивилизованном мире сельское хозяйство, лидеры которого с достойной лучшего применения настойчивостью борются с переменами.) Известный генетик Тимофеев-Ресовский, которого в трудные времена поддерживали знакомые физики и математики, говорил в личных беседах в 60-х годах.: «Настоящая математика нужна будет биологии в XXIII веке. Пока еще время не приспело». И даже теперь, спустя 30 лет, когда я слушаю интересные научные доклады, в которых обсуждаются те или иные математические аспекты в применении к биологии, не могу уйти от ощущения, что математика здесь бесконечно бедна по сравнению с той, которая была нужна физике XX века и была частично ею создана. Пока чудеса биологии представляются мне скорее технологическими, инженерными. Хотелось бы, конечно, чтобы здесь возникло чудо и для математики где-нибудь через одно-два десятилетия, а не через три века, но предсказать это чудо невозможно.

Жажда чуда, вера в чудо — характерная черта нашего времени. Многие стараются фантазировать и предсказывать будущие достижения без реальной научной основы. Начинают заранее рекламу еще не сделанных фундаментальных открытий, надеясь на шанс, что кто-то впоследствии сделает реальное открытие, а ты выступишь «гениальным предсказателем», вроде Нострадамуса. Подобная

ориентация на чудо — один из симптомов снижения общего уровня. Когда наука идет на подъем, ценятся лишь рациональные аргументы. Они загадочным образом ведут иногда к чудесным результатам: вспомним физику первых трех четвертей XX века, которая соединила революцию в представлениях о фундаментальных законах природы и устройстве Вселенной с необыкновенно высоким уровнем необходимой математической абстракции, а также с пробуждением гигантской, страшной для всех энергии, с революцией в технологии. Физико-математические науки породили и информационный взрыв, век компьютеров. И моральный уровень этих людей можно оценить, вспоминая А. Д. Сахарова, а он ведь не был одиночкой.

Всем очевидны итоги этого развития: естественно следует вывод о том, что в XXI веке цивилизованной стране необходимо иметь хорошее школьное и высшее физико-математическое образование.

Однако уровень математического образования почему-то неуклонно падает. Что случилось? Часто нам подсовывают идею, что-де в СССР все было хорошо, а плохо стало именно сейчас. Попробуем в этом разобраться. Вероятно, это поможет понять, какие меры следует принять.

Итак, физико-математические науки идут вниз.

Символично, что даже в таких разделах чистой математики, оторванных от приложений, как теория чисел, также произошло завершение длительного этапа эволюции: решена теорема Ферма, а за несколько лет до этого события был решен и ряд других известных задач, которые вдохновляли работу математиков за последние 50 лет. Большой период развития завершен, и далее, возможно, даже эту область научного познания ожидает период «отдыха».

Математическое образование. Немного истории

Одна из специфических черт образовательного процесса состоит в том, что общественная оценка его уровня на данный момент существенно затруднена. Плохое образование сегодня — это плохие специалисты через несколько, даже много лет спустя. Образование ухудшилось 20 лет тому назад — страдаем сегодня. Однако мы, россияне, ведем себя как всегда: пока гром не грянет, Иван не перекрестится. Хотя все предвидеть и заранее рассчитать — нехарактерная для россиян добродетель, давайте все-таки задумаемся: можно ли нам в России продолжать делать глупости, ликвидируя полноценное образование, а затем, спустя несколько лет, возрождать его заново? Откуда у России появятся такие возможности? Мне кажется, резервов никаких нет. Большевизм за 70 лет проел все наши резервы, включая и «человеческий материал». Если сейчас Россия не сумеет повернуть дело к лучшему, ее надолго ждет малопривлекательное будущее.

Надо, однако, ясно понять: почему дело плохо? Какие рычаги нужно поворачивать? Мне кажется, этого понимания в обществе нет. Большевизм, будучи глубоко некомпетентным в вопросах образования, породил немало мифов, наподобие рождения детей в капусте, а главное — сам в эти мифы искренне верил. Подобную веру он внушил всему общественному сознанию, закрыв все информацию из других источников для всех, включая самого себя. Такое положение вещей, безусловно, мешает пониманию реальностей и попыткам сформулировать правильную программу действий.

Приведу характерный пример: всем нам долдонили, что именно большевики в 20—30-е годах, сделали страну поголовно грамотной, что это их заслуга, а при

царизме ничего сделано не было. И сам я в это верил, пока не прочитал мемуары графа Витте, умершего в 1915 году. В конце XIX века, в последние годы царствования Александра III было проведено специальное совещание у императора (в котором участвовал и Витте), на котором Александр поставил вопрос: что необходимо сделать, чтобы Россия стала поголовно грамотной? Была разработана программа действий на 20—30 лет. На первом этапе была создана система церковно-приходских (начальных) школ, которая в следующее десятилетие уже решала поставленную задачу. Программа начинала реализовываться, но в это время произошел октябрьский переворот. Большевики узурпировали власть, и надо отдать им должное — они воспользовались уже созданной системой начального школьного образования. Вернее, они использовали уже подготовленные кадры, но сами искренне решили, что всю работу проделали они сами, до них ничего не было, а кадры возникли как бы «из воздуха».

Легенду о том, что сильную физико-математическую школу в 20-30-е годы, создали именно большевики, я тоже исследовал и долго в результате смеялся. К началу XX века в России возникло много ценнейших ростков будущего — были созданы базы для развития многих научно-технических школ, существовала интеллигенция очень высокого интеллектуального и духовного уровня. Большевики сохранили некоторые такие «ростки», и именно они «распустились» и обслуживали нужды страны в течение ряда десятилетий (а многие из них истребили и разогнали). О том, как возникают сами эти «ростки», большевики не имели никакого понятия, они считали, что такие вещи появляются сами собой, их непрерывно «порождает» родная земля в большом количестве, или что-то в таком роде.

Кстати сказать, талантливейшие отечественные физики и математики, которые далее основали свои научные школы (Капица, Колмогоров, Лаврентьев, Александров и другие), провели ряд лет на Западе, в частности, благодаря системе стипендий Фонда Рокфеллера. У большевизма того раннего периода еще не было, по-видимому, идеи, что использовать деньги западного мецената — это непатриотично, что предложенная науке помощь — какой-то «троянский конь», а может быть, работа агентов из ЦРУ. О подобном у нас недавно вещали гнусавые кликуши. Скорее всего, я думаю, кто-то влиятельный пытался отобрать последние гроши у нищих российских ученых, сумевших выиграть научный конкурс без помощи чиновных и прочих структур, а кто-то старательно подтявкивал...

Здесь мы видим важное отличие дня сегодняшнего от времен 20-х годов: тогда ученые возвращались на родину, их ждали и приветствовали, самых лучших хотели видеть все. Только в 30-е годы, ученые перестали возвращаться, правда, Сталин принуждал их к тому силой... До того большевики вели себя в отношении талантливых ученых более или менее разумно, если не принимать во внимание их воззрений о том, что таланты «самозарождаются» в огромных количествах и что задача их власти — «прополоть» всходы и нужные оставить себе. Сейчас положение иное: сложившаяся система не хочет признать лучшими тех, кто выигрывает объективные научные конкурсы, включая международные. Особенно это касается образовательных учреждений. Академия наук в этом отношении ведет себя значительно лучше (я знаю положение дел в наших естественных науках и не беру на себя смелость утверждать что-либо о гуманитарных областях).

В 20-е годы ученых было мало, и лучшие были хорошо видны. Сейчас ученых много. Низкие научные звания

и само социальное положение ряда талантливых специалистов часто не соответствовало их рейтингу в мировой науке. Это касается и физико-математических наук. Достаточно только припомнить отвратительный антисемитизм. В лучших учреждениях высшего образования сосредоточены в основном кадры со второсортной научной квалификацией по сравнению с Академией, хотя, конечно, бывали исключения — например, московский Физтех. Везде ниже уровень кадров в тех вузах, которые по международным стандартам вообще не могут претендовать на высокую оценку. Уровень таких вузов настолько невысок, что сами они не способны это заметить и объективно оценить свой уровень. Зато такие вузы по-своему жаждут «справедливости»: они считают, что именно им должна быть дана власть управления наукой и высшим образованием. За эту власть они борются чисто политическим путем и часто вполне эффективно присасываются к новой региональной (а иногда и к центральной) демократической власти.

Путь разумной эволюции для всего высшего образования вполне ясен: ученые из НИИ должны брать на себя часть функций преподавания. Совершенно неестественно, что целый слой талантливых ученых (пусть даже и ведущих секретные разработки) никого не обучает. Для вузов просто необходимо сближение с лучшими нашими специалистами. Необходимо ввести понятие «рейтинг» для наших вузов на базе независимых объективных опросов как наших, так и зарубежных экспертов. Необходимо, разумеется, оказать дифференцированную материальную поддержку: если денег мало, то в первую очередь поддержать лучших, т. е. тех, кто способен выиграть международный научный конкурс или может быть назван «лучшим преподавателем» после проведенных объективных опросов. Один из худших видов несправедливости —

кормить всех одинаково. Открытость общества поставила все на свои места: в науке и образовании тоже есть свой «рынок» — лучшие перетекут туда, где их уважают, где им прилично платят и продвигают.

Кроме высокой профессиональной квалификации существует еще один параметр, играющий очень важную роль, особенно в университетском преподавании. Это — честность тех, кто преподает, как профессиональная, так и общечеловеческая. Лживость, двуличие наставников неизбежно развращает молодежь. Гетеры не нужны обществу в роли весталок и матрон. Мы ведь знаем о том, что была распространена практика формирования особых бригад для целей как раз необъективного приема вступительных экзаменов у абитуриентов. Эта практика была инициирована верхними эшелонами власти. Мы знаем о широком масштабе махинаций с так называемыми хоздоговорами в сфере сельскохозяйственных и строительных работ, в которые была вовлечена верхушка комсомола. Мы знаем о, мягко выражаясь, «неделовом» подходе к решению вопросов о приеме в аспирантуру и на научную работу. Для объяснения всех этих негативных явлений большевизм подсовывал версию, что русские, мол, от природы — антисемиты и жулики. Но мы, люди старшего поколения, помним о закрытых решениях ЦК КПСС в 1968-1969 годах, где поминались и математики, мы знаем, как КПСС и КГБ превратили математическое образование в особую идеологическую зону, как они развратили многие вузы, особенно слой администрации, но постепенно — и существенный процент преподавательского состава. Прямые инструкции формулировались весьма расплывчато и поступали «под грифом». Очень жаль (я, как и многие, считаю это одной из печальных ошибок), что сегодня произошел отказ от практики публикаций архивных документов ЦК и КГБ.

В последнее десятилетие было немало политических событий, будораживших наше общество, однако студенчество, в отличие от конца 50-х — начала 60-х годов, было как бы социально омертвелой, инертной массой. Это в будущем может дорого обойтись России, особенно если учитывать нездоровую активность по внедрению тех взглядов, которые могут изолировать страну от передовой цивилизации. Простое увеличение финансирования, даже лучшим университетам, без общественного контроля за тем, кому это финансирование направляется, может быть целенаправленно использовано либо для поддержки темных сил, либо просто украдено для поддержки «по блату» никчемных бездарностей.

Начиная с эпохи Петра Великого, двести лет в Россию стекались наиболее энергичные люди со всей Европы. В XX веке, напротив, из страны изгонялись целые общественные классы, а в них было много одаренных личностей — например, в дворянско-купеческом слое. В 20-х годах истребили или изгнали слой интеллигенции: способных к деревенской работе истребили в 30-е годы (назвав кулаками). Затем начали выталкивать людей по национальному признаку — например, ни в чем не повинных корейцев в 30-е годы или евреев в 70-е. Остальной народ — спаивали. Сейчас темные силы пытаются использовать свободу для того, чтобы вытолкнуть куда-то безусловно признанную в международном сообществе творческую интеллигенцию. Особенно это заметно в физико-математических науках и биологии (хотя в этой области крупных авторитетов уже мало), уезжающим специалистам не дают шанса вернуться.

Если учесть огромные потери во Второй мировой войне, включая и тех, кто не вернулся из Германии после рабства или плена (и потому боявшихся расправы), если вспомнить масштабы сталинского ГУЛАГа в СССР,

то мы должны задать себе вопрос: много ли осталось скрытых творческих сил у нашего народа? Ведь талантливость нашего народа, которая была ясно видна в XX веке, — это не вечный дар природы, это, скорее, плоды двухсотлетнего развития страны, начиная с эпохи петровских реформ. Сейчас этот талант, возможно, растрачен. Остатки следовало бы поберечь. Нужно копить его заново несколько десятилетий, причем копить этот творческий потенциал необходимо в условиях открытого общества, с нормальной стабильной частной собственностью. Надо привлекать талантливых людей извне, но очень беречь своих. Наблюдающееся сейчас понижение уровня интеллигенции — одно из последствий интеллектуального геноцида, которому Россия так жестоко была подвернута в XX столетии. Вероятно, сейчас потенциал будущего развития — наш совокупный национальный талант — существенно ниже, чем в начале этого века.

Все это также следует принимать во внимание, обсуждая перспективы математического образования, которое еще со школы является самой трудной частью всего образовательного процесса.

Математика и школа

Проблема школы — самая трудная. Во-первых, школьное преподавание ведут люди с высшим образованием, часть из которых закончила не педвузы, а университеты. Я припоминаю, как в 60-е годы ректор Ярославского университета приглашал профессоров самого высокого класса, в частности из Москвы. Он сказал им так: если вы хотите иметь очень талантливых студентов, будущих крупных математиков, возьмите себе несколько человек, хотя бы из Москвы, но для нас, Ярославской области, извольте хорошо выучить основную массу средних по способ-

ностям студентов, которых вы сами называете и считаете троечниками. Именно эти студенты станут учителями в наших школах, а талантливые математики сделают другую карьеру.

Безусловно, ректор был прав. Каждый должен иметь свой интерес, и договор должен соблюдаться честно. Эти средние выпускники не напишут, конечно, выдающихся научных работ с оригинальными результатами, но это— слой научно грамотных учителей, а некоторые могут оказаться блестящими педагогами. Они помогут нахождению подлинных математических талантов и будут отнюдь не средними в такой педагогической работе. Конечно, было бы прекрасно, чтобы и выпускники хороших университетов могли бы идти в школу, но для этого надо еще создать условия. Анализируя причины падения уровня школьного образования и возможные пути его возрождения, мы должны прежде всего поставить вопрос: почему профессия школьного учителя так деградировала и стала безликой, непрестижной? Помню, как 30 лет назад математики начинали реформу школьного преподавания, затем через 10 лет критиковали ошибки этой реформы и вносили всяческие исправления, в ряде случаев столь же нелепые. Авторами реформ были академики, профессора и т. п., но отнюдь не учителя. Дело даже не только в том, что академики никогда сами не преподавали в школе, что выдающиеся люди нередко имеют завиральные идеи, что те, кто обвинял других в некомпетентности, сами были несведущи в школьном деле. Главный вопрос, однако, состоит в следующем: почему сообщество школьных учителей само по себе было столь жалким, что не выдвинуло никого из собственной среды? Учителя ограничились только руганью тех или иных академиков-математиков и физиков, которые сочиняли школьные учебники. А сами-то они написали хоть один учебник

математики после Киселева? Казалось бы, в стране имеется Академия педагогических наук — где ее усилия? Спрашивается: состоят ли в этой Академии учителя? Когда несколько лет назад была реформа в этой Академии, я обратил внимание на то, что ее членами являются люди, имеющие весьма слабое отношение к практической школьной работе. Где же учителя? Неужели придется сделать вывод о том, что сегодня мы имеем бесправное сообщество ломовых лошадей, трудяг, которым не дано никакой возможности творчества? И одновременно мы видим: в этой Академии никто не способен выполнить поставленные задачи, так как нет в ней ни профессионалов-математиков, ни профессионалов-педагогов. Члены Академии педнаук — это «теоретики педагогики», но не педагоги.

Чрезвычайно важно установить справедливую иерархию для учителей, исходя из «обратной связи», — иными словами, учитывать уровень бывших учащихся и проводить независимые, статистически объективные опросы. Нечто в этом роде недавно проделал фонд Сороса. В результате те учителя, которых с благодарностью вспомнили их бывшие ученики, неожиданно для себя получили материальную поддержку. Сами учителя давно привыкли, что их всегда игнорируют и забывают.

Мы, профессионалы современной математики и ее приложений, должны определить приблизительное содержание школьного курса, включив туда, конечно, элементы вычислительной математики. Мы должны определить содержание различных курсов, исходя из задач, стоящих перед различными типами школ. Конкретные учебники должны быть отработаны вместе с учителями и апробированы в экспериментальных школах. Все это надо провести открыто, под контролем общественности, о чем должны позаботиться местные муниципалитеты. Надо

определить рейтинг школ, равно как и вузов. Следует позаботиться о том, чтобы прием в школы с высоким рейтингом происходил бы на базе объективного, честного конкурса. Конечно, должны быть и частные школы, где учиться можно за плату. Кстати говоря, если бы кто-то хотел устроить своего ребенка в школу с высоким рейтингом, минуя процедуру конкурсного отбора, возможно, стоит разрешить прием такого ребенка при соответствующей плате за обучение, включая и солидный первый взнос. В противном случае взяточничество возьмет верх. Лучшие из учителей вполне легально должны иметь высокий доход и наиболее высокое положение в школе.

И опять мы приходим к вопросу о честности кадров, особенно руководящих, административных, — так сказать, директоров и иже с ними. Ни для кого не секрет, что начиная с 70-х годов большевизм периода брежневщины боролся с математическим образованием, боролся в частности со школами, где был «математический уклон». Им казалось (отчасти небезосновательно), что в таких спецшколах царит какой-то диссидентский дух, и настойчиво искали в этих школах «влияние международного сионизма и империализма». Хотя были отдельные случаи прямого проникновения в школьную среду диссидентской пропаганды, инакомыслие в учительской среде встречалось крайне редко. Главным же источником, стимулировавшим нарастание диссидентских настроений после 1968 года, была дурнопахнущая деятельность самих наших властей — как внутри страны, так и вне границ СССР, а также полная глухота к идеям и настроениям подлинной интеллигенции. В среде учащихся старших классов непрерывно обсуждалось, что происходит на приемных экзаменах в лучшие вузы, а также велись соответствующие разговоры дома, в семьях, в дружеском кругу... Некоторые из чрезвычайно достойных уважения людей

в тот период прониклись таким духом отрицания всего, что делалось властями, что перенесли этот дух на оценку всех сегодняшних ситуаций, не замечая, что реалии уже сильно изменились.

В одной из московских спецшкол, которую я хорошо знал, в начале 80-х годов произошла такая история. Один способный мальчик, столкнувшись с явной несправедливостью, которую он наблюдал относительно себя в период приемных экзаменов, а также узнав и о других, еще худших случаях, увлекся диссидентскими идеями. С каким-то приятелем он даже подбросил листовки в чьи-то почтовые ящики (кстати говоря, сами листовки ему доставила весьма подозрительная личность, действия которой явно смахивали на провокацию). За каждым шагом этих молодых людей, разумеется, пристально следил КГБ. Когда мальчику исполнилось 18 лет (примерно через полгода по окончании школы), его почти сразу арестовали, а ряд его друзей, включая одноклассников по спецшколе, допросили с пристрастием. Явно начинали шить «детское дело». В свою очередь трое мальчиков из того же класса, которые поступили учиться в Высшую школу КГБ, написали донос с обвинениями в адрес своих учителей. Это были очень хорошие учителя, которые учили детей математике, а не политике и не сочинению доносов. Из выпускного класса той спецшколы многие успешно поступили в разные вузы, даже и в Высшую школу КГБ. Можно ли представить, что ребята, сочинившие донос, действовали по своему разумению и воле, и никто не «посоветовал» им написать соответствующее письмо? Нет ни малейшего сомнения в том, что подобное «воспитание» развращает, что мораль этих молодых людей двулична и фальшива. В результате же этой истории школу решили разгромить — вероятно, чтобы назначить туда «своих». В данном конкретном случае этого сделать не

удалось. Воспротивился директор (кстати, женщина), Брежнев умер, и «детское дело» просто распалось. Именно большевизм брежневского периода был высшей концентрацией маразма.

Во множестве других случаев в престижные школы рано или поздно назначали соответствующих директоров, которые находились в самых хороших отношениях с КГБ и райкомами, т. е. профессионально не пригодных для преподавания математики, но — «своих». Чтобы педагогические коллективы могли принять такие кадры, всячески распространялись мифы, что-де такие люди обладают нужными связями для отыскания нужных для школы материальных средств и льгот (иначе говоря, в другие руки начальство эти необходимые средства просто не отдаст). Далее подобные кадры формировали свой круг общения и поддержки в педагогическом коллективе. Созданный таким образом слой педагогических кадров будет в действительности и сегодня всячески мешать реальному развитию школы, превращая на практике любое благородное намерение властей в нечто отвратительное. Освободить школу от подобной плесени — это трудная задача. Открытость, контроль общественности, дифференцированная материальная поддержка лучших педагогов (устанавливаемых опросами бывших учеников) — все это абсолютно необходимо.

И еще одно обстоятельство. Когда я сам учился в школе (1945-1955 годы), мы ежегодно, начиная с 4 класса, сдавали как устные (публичные), так и письменные экзамены. Экзамены по русскому языку и математике были каждый год. Можно ли представить, что нынешние дети глупее и для них это очень трудное испытание? В чем, вообще говоря, состоит контроль над процессом усвоения учебного предмета? Для полноценного усвоения математики, начиная с арифметики, необходимо все пройденное

весной повторить и внутренне собраться непосредственно перед экзаменом. Если не все могут учиться, как 40—50 лет тому назад, если ослабли трудоспособность и интеллект, что же — пусть будут школы разных типов. Можно выбирать школы с ежегодными экзаменами и без таковых. Пусть только в аттестате будет указано, в какие годы сколько экзаменов и по каким предметам учащийся сдавал.

Заметим, что в Японии, например, очень жесткая система образования и с высокой требовательностью. Но именно это, по мнению многих, объясняет причины технологического и промышленного успеха данной страны. Необходимо научить людей точно и эффективно работать, концентрировать свои усилия, стремиться к достижению необходимого уровня профессионализма. Замечено, что наше население сегодня работает на редкость плохо даже по сравнению с населением ряда стран «третьего мира». А все эти навыки закладываются и начинаются в школе.

Еще раз повторю: школы должны иметь «обратную связь» со своими выпускниками. В самих школах должны быть стенды для публичной информации о том, кто из учеников школы достиг выдающихся успехов, где учатся выпускники и тому подобное. Это если говорить о близких интересах нынешних учеников. Хорошо бы знать и сообщать, сколько среди выпускников данной школы известных депутатов, министров, бизнесменов, ученых, инженеров, художников, музыкантов, сколько отличились в боевых действиях и т. д. и т. п. Это даст информацию для более дальних перспектив, определит рейтинг школы, ее лицо. Сейчас наши школы в подавляющем большинстве абсолютно безлики.

Состояние математического образования в школах и вузах страны, степень его требовательности, способность большое количество людей довести до необходи-

мого уровня — это один из важнейших факторов, определяющих, будут ли в стране кадры, действительно умеющие работать. Необходимо и разумно приложить усилия к тому, чтобы решить такую задачу. Это нужно России, нужно всему населению, всем нам. Если учесть продолжающийся процесс деградации, усилия нужны немалые. Нам следует также проанализировать, насколько глубоко и эффективно элементарное математическое образование у курсантов, будущих офицеров российской армии. Есть подозрение, что одной из причин, из-за которой армия безжалостно отрывает учащихся для службы в армии, прерывая их обучение в вузах и техникумах, является низкий уровень офицеров, профессиональных военных. Этот вопрос требует специального анализа, тем более что у военных слишком многое «под секретом».

С образовательным процессом в целом, особенно с математическим образованием, дело обстоит следующим образом: все, что скрывается от общественного контроля, весьма быстро загнивает, ибо нет контроля за качеством. Хорошего математического образования нельзя достичь под «большим, большим секретом»! Кстати замечу: все свидетельствует о том, что в вышеупомянутой Высшей школе КГБ уровень математического образования быстро упал к 70—80-м годам (что было позже, я просто не знаю).

Суммируя, я бы сказал так: народ должен, конечно, выбить из государственных и региональных властей, от муниципалитетов все, что требуется для минимально допустимого обеспечения школ (издание учебных пособий, ремонт зданий, зарплату для учителей). Это очевидно всем. Но при том следовало бы осуществить не столько всеобщее финансирование по принципу «всем поровну», сколько целенаправленное увеличение финансирования в соответствии с оценкой тех факторов, о которых я писал

выше. Кроме того, учителям следовало бы создать какое-то независимое профессиональное объединение, которое могло бы защищать их от местного произвола, включая произвол некомпетентного директора. Наши люди, к сожалению, ждут благ сверху, сами почти не борются за свои права. Это — рабская психология, от которой надо решительно отказаться. Я надеюсь, что здоровые интеллектуальные силы все-таки будут побеждать, и все пойдет на улучшение.

В. И. Арнольд

Математика и математическое образование в современном мире

«No star wars — no mathematics*» — говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только «прикладные» науки**, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом.

На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки.

Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но

* Нет звездных войн — нет математики (англ,).

** Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объяснения.

именно они изменили наш мир, после того как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правителей платить по этому счету — удивительно недальновидная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и, следовательно, экономической (а также и военной) отсталостью.

Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.

Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение математического образования.

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков — столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических приложений и мотивировок понятий математики.

Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям — разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиоматическом или алгебраическом) школьники

предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели — со знаменателями.

Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холмса — каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики — не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.

В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математическим моделированием:

«Между математиками есть двоякого рода люди: 1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие математики, которых философия математики, математические идеи не трогают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах... Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся

математики видят в исчислениях, цифрах и формулах... Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда с презрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов как на людей в известном смысле “тронутых”».

Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое происхождение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У «математиков-исчислителей», по терминологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним «Защиту Лужина» Набокова). Но доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом явились повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением. Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий мозга.

После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кассира, машиниста, начальника станции...) — неоценимый опыт для будущего премьер-министра.

Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром.

Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники, чем в политических интригах (к которым большой талант имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оставался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции, и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция...

Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики («исчислений»), а в том способе мышления, который он называет «математикой-философией» и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического моделирования.

Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или производственной деятельности (исключая, быть может, политические интриги) была хорошо понята уже сто лет назад*:

«Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных споров».

К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математической экономики Парето**:

«Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни того, что она из себя представляет, ни того даже, что представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение».

На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я обсуждал проекты перестройки преподавания математики в средних школах Франции с министром народного образования, исследований и технологии Клодом Аллегре и его советником Винсентом Куртийо, который так описал их планы: берем учебник математики, рвем его на куски, оставляем одну треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть школьники знали как следует.

Хочу предупредить возможных российских реформаторов-последователей: математика — живой организм, вдобавок, подобный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвычайно опасно.

Выводы: планируемое во всех странах подавление фундаментальной науки и, в частности, математики (по

* В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова, 1904, с. 5.

** V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalökonomie. Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften, Band I, Heft 7, S. 1114.

американским данным, на это им потребуется лет 10—15), принесет человечеству (и отдельным странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры инквизиции западной цивилизации (и Испании).

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого школьника.

Основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира, умение, так хорошо описанное Витте в его характеристике «математики-философии» и так блестяще использованное им в вовсе не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения.

Применяя таблицу умножения, легко получить следующий результат: уменьшение средней продолжительности жизни на десять лет приводит в масштабах СССР к такой же потере человеко-лет, как одновременный расстрел порядка 80 миллионов человек (в масштабах России — порядка 40 миллионов). Здесь использована лемма: когда коммунисты расстреливают вас, вы теряете в среднем порядка половины своей жизни.

Математика, подобно физике, — экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а следовательно, производительность наших математиков — в соответствующее число раз выше).

Как мне сообщил на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фаддеев, затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а современные затраты России — стоимость примерно одной десятой танка в год. Мы живем в сумасшедшем

мире, будущее которого представляется весьма сомнительным. То, что в России еще остались математики, упорно не желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых студентов, —- свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения наших западных коллег — глупости), традиционного для российской интеллигенции. Но долго удерживаться такое состояние не может.

Математические модели перестройки

Самые простые и самые общие математические модели этой сильно нелинейной ситуации приводят нас к выводам, которые могут показаться неожиданными для управленцев, привыкших иметь дело с линейными системами, в которых результаты пропорциональны усилиям.

Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего издания моей книжки «Теория катастроф» (М.: Наука, 1990) (в предыдущих изданиях эти выводы поместить не удавалось по причинам, исчезнувшим — надеюсь, не только временно — вследствие самой перестройки).

Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы* (см. рисунок).

Вот некоторые простейшие выводы:

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равомерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

* Сама по себе рыночная экономика — не панацея: согласно знаменитой теореме Дебре, она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к хаосу.

Перестройка с точки зрения теории перестроек

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение не способна.

6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния

достаточно близко к хорошему, то дальше она будет сама собой эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Наполеон критиковал Лапласа за «попытку ввести в управление дух бесконечно малых»*. Математическая теория перестроек — это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Следующее явление хорошо известно в теории управления техническими системами. Я опишу его в самой простой модели, лишь заменяя технические термины человеческими.

Пусть производство какого-либо продукта х управляется некоторым руководителем, принимающим решение о скорости производства. В свою очередь, поведение руководителя управляется руководителем второго ранга, принимающим решение о скорости изменения скорости производства, и так далее, до генерального руководителя я-ого ранга.

Генеральный руководитель в нашей модели реализует обратную связь: его решение основывается не на жела-

* Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром, требовал, чтобы все счета сходились до копейки.

нии выполнить приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела.

Математический анализ этой и других подобных ей моделей приводит к выводу: многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при п, большем двух, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.

Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление, при котором управляющее лицо более заинтересовано в интересах дела, чем в поощрении со стороны начальства.

Длительное и, по-видимому, устойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существованием «теневой» системы заинтересовывания управляющих различных рангов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией) многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе.

К счастью, необходимость в независимости Центробанка уже хорошо понята, но многоступенчатое («административное») управление сохраняется во многих других случаях.

Описанная выше модель управления является «мягкой» в том смысле, что, хотя целый ряд подробностей (например, вид обратной связи) в ней не уточнен, выводы остаются справедливыми для многих «жестких» моделей, в которых эти подробности фиксированы.

Теория мягкого моделирования — это искусство получать относительно надежные выводы из анализа малонадежных моделей.

Ю. П. Соловьев

Два принципа построения образовательных программ по математике

В двадцатом веке школьное образование стало всеобщим. Неудивительно поэтому, что в течение всего этого века не прекращаются споры о том, каковы должны быть школьные программы, чему и как нужно учить. Пожалуй, наиболее горячие дискуссии ведутся о преподавании математики. В послевоенные годы в разных странах было предложено несколько новых школьных математических программ, которые по замыслу их авторов учитывали запросы и потребности современного общества. Однако практика (иной раз многолетняя) показала, что все эти программы страдают определенными недостатками. Эти недостатки особенно отчетливо стали проявляться в последние три десятилетия, вызывая серьезные негативные последствия.

На мой взгляд, причина неудач современных школьных математических программ кроется в том, что в них мало учитывались фундаментальные принципы, на которых основывается любая образовательная система. Особо важную роль эти принципы играют при создании программ по математике в силу универсальности этого предмета.

Первый такой принцип можно сформулировать следующим образом: образовательная система должна быть адекватна потребностям данного исторического периода.

Главный вопрос, на который должен себе ответить создатель такой программы, — что такое математика как школьная дисциплина.

Математика многолика. Прежде всего, она — культурный феномен, такой же, как язык, религия, музыка, живопись. Понимаемая в широком смысле как искусство использования чисел и геометрических фигур, математика родилась несколько тысячелетий назад и включает в себя достижения многих великих цивилизаций прошлого. С ее помощью оказалось возможным предсказывать различные природные явления, вычислять то, что недоступно непосредственным измерениям. С древних времен математика рассматривалась как высшая мудрость, приближающая человека к богам.

С другой стороны, математика — это наука, с присущей только ей предметом и методом исследований, высочайший образец достоверного знания. Кроме того, математика — это универсальный язык, самая точная и эффективная связь с реальным миром, источник самого надежного знания о мире, которого в состоянии достичь человек. И, наконец, математика — это школьная дисциплина.

Математика как школьный предмет, пожалуй, самое сложное, что есть в образовании. Это и наука, и универсальный язык, однако, прежде всего — это культурный феномен. Математика в широком смысле, математика для всех — это искусство логически правильно мыслить, владеть пространственными формами, делать правдоподобные оценки. Другими словами, школьная математика — это дисциплина, позволяющая человеку адекватно ориентироваться в окружающем мире.

Я приведу простой пример, показывающий несовершенство нашей интуиции и вызывающий у многих искреннее удивление. Решим следующую задачу. На грядке лежит 100 кг только что сорванных огурцов с содержанием влаги 99 %. Полежав некоторое время, огурцы подсохли и содержание влаги в них стало 98 %. Какова теперь масса огурцов?

Если попросить быстро дать ответ, то числа называются разные. Это может быть и 98 кг, и «что-то около 97 кг» и т. п. Правильный же ответ — 50 кг. Вот это и вызывает изумление: содержание влаги изменилось всего на один процент, а масса — в два раза.

Можно привести много более серьезных примеров такого же рода, но даже этот игрушечный пример достаточно ярко иллюстрирует основную цель школьного математического образования: умение оценить, может ли произойти то или иное явление в реальном мире, отличить правдоподобную ситуацию от ситуации невозможной.

Математика как предмет преподавания зависит от времени. Если математику рассматривать и как культурный феномен, и как науку, и как язык, то в разное время пропорции между этими составляющими были различны. Все выдающиеся математические программы, которые когда-либо удавалось успешно реализовать, были устроены следующим образом. Всякий раз, когда создавались такие программы, четко определялось, что такое математика с точки зрения насущных проблем общества и государства, какие функции она должна выполнять.

В России первая общегосударственная образовательная программа была создана во времена Петра I. Под математикой тогда понималось искусство, с помощью которого можно вести инженерные, навигационные и артиллерийские расчеты. Естественно поэтому, что молодых людей учили практической математике, с помо-

щью которой можно было строить корабли, заниматься картографией, металлургией, горным делом.

При Екатерине II была принята другая программа, которая просуществовала с различными изменениями до реформы 1861 года. Образованный человек времен Екатерины II понимался как «слуга отечеству» и «отец своим крестьянам». Образованный человек — это либо государственный чиновник, либо помещик, который живет в деревне и обладает универсальными знаниями. Он должен руководить обучением и работой своих крестьян, разбираться в медицине, естественных науках и математике, которая в то время понималась скорее как универсальный язык, нежели как наука.

После реформы 1861 года школьные программы сильно меняются. Учитывая потребности развивающейся промышленности, увеличивается научная составляющая школьной математики. Выдающимся памятником этого периода являются учебники алгебры А. П. Киселева, выдержавшие более чем пятьдесят изданий.

Подобную смену концепции предмета математики нетрудно проследить в Англии, Франции, Германии.

В тридцатые годы нашего столетия в России происходит наиболее значительная реформа школы. Школьные программы и, в частности, программы по математике, направлены на воспитание кадров для развития индустрии страны. Реализовать эти программы в полном объеме удалось только после войны, на них основаны многие выдающиеся достижения в математике, физике, технике 50-Х-60-Х годов. На этих программах была воспитана блестящая плеяда математиков, время которых называют теперь «золотым периодом московской математической школы».

В последние годы мировая цивилизация вступила в новый очень сложный период. Новые информационные

технологии привели к последствиям, равным по значению революции. Изменение претерпели мировая индустрия, наука, медицина и многие другие области человеческой деятельности.

Традиционная парадигма развития цивилизации — производить больше, шире использовать природные ресурсы — подошла к своей критической точке, уступая место парадигме ограниченного контролируемого развития.

К сожалению, общество оказалось неподготовленным к таким радикальным изменениям и в настоящее время впервые за три последние столетия не существует четкой концепции математики, как предмета преподавания. А без этого невозможна никакая программа. В результате оказалась размытой «культурная составляющая» школьной математики.

Ответ на вопрос — что такое математика с точки зрения потребности современной цивилизации, — как никогда жизненно необходим. Без решения этой проблемы невозможно создать разумные математические программы, адекватные историческому вызову.

Коснемся еще одного фундаментального принципа построения образовательных программ. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: интеллектуальное развитие индивидуального человека копирует интеллектуальное развития всего человечества.

Чтобы пояснить сказанное, обратимся к физическому развитию человека в его внутриутробный период. По каким-то таинственным, неизвестным причинам человеческий эмбрион в своем развитии проходит различные стадии — именно те, которые проходили живые существа, пока не превратились в млекопитающих, а затем в человека. Какое-то время человеческий эмбрион совершенно не отличим от эмбриона рыбы, у него даже имеются жабры. Затем он похож на эмбрион земноводного

и т. д. Природа предусмотрела, чтобы интервалы времени, в течение которых это все происходит, были очень точно отмерены. При развитии человеческого эмбриона стадия земноводного коротка, но эта стадия нужна. Точно не известно зачем, но нужна. Наблюдения показывают, что сокращение этой стадии ведет к сокращению объема мозга. Пока нет теории, которая объясняет эту стадийность, — физическое развитие живого существа остается, скорее, таинством, но такой феномен существует.

Еще в прошлом веке психологи и педагоги стали высказывать следующую идею: по-видимому, интеллектуальное развитие конкретного человека совершается по закону, аналогичному законам эмбрионального развития, т. е. в точно отмеренных отрезках повторяет интеллектуальное развитие целого общества. При этом спрямляются различные эволюционные изгибы, выбрасываются тупиковые дороги, некоторые стадии становятся очень короткими, однако сохраняется их последовательность.

Применительно к школьным программам по математике этот принцип означает, что в четко определенном масштабе школьник должен пройти те стадии, которые прошла математика за всю свою историю и как наука, и как культурный феномен. Выделение существенных стадий и их масштабирование требует высокого мастерства, большой точности и почти неизбежно здесь будут ошибки. Важно избежать фатальных ошибок: инверсий, т.е. перестановок изучаемых тем, и ускоренного изучения того, что требует хорошей мотивации и пропедевтики. В последние десятилетия было много программ, в которых современные математические понятия предлагалось изучать, по существу, с пятого класса. Можно считать это педагогическим экспериментом, в котором участвовало около миллиарда человек. Как известно, больших успехов школьные программы с такими инверсиями не достигли.

Пожалуй, каждый из нас встречался с ситуацией, когда молодой человек, выросший в хорошей семье (скажем, в семье профессионального математика с заботливыми родителями и прекрасной домашней библиотекой), с раннего детства ориентируемый на занятия математикой и знакомый с будущей профессией, в конце концов не выдерживал конкуренции по сравнению со сверстником, выросшим в трудных условиях, недостаточно обученным и мало читавшим. У многих людей это вызывает шок. Появляются объяснения типа «на детях великих людей природа отдыхает». Разумеется, это не так, — природа не отдыхает на детях великих людей. Все гораздо проще! Сами родители и их окружение губят те задатки, которыми от природы располагает молодой человек, пытаясь искусственно ускорить его развитие.

В традиционные отечественные программы не включались элементы математического анализа, однако, пропедевтика его была. Некоторые достаточно сложные физические формулы, требующие применения дифференциального и интегрального исчисления, получались в учебниках физики методами анализа бесконечно малых. Наиболее последовательно это проделано в замечательном «Элементарном учебнике физики» Г. С. Ландсберга. В результате в сумму математических знаний школьников включались пропедевтические элементы, необходимые для успешного изучения высшей математики.

Математика, как школьная дисциплина, существует несколько столетий. За эти столетия было создано много школьных математических программ. Некоторые из них сыграли выдающуюся роль в развитии мировой науки и культуры. Программы эти создавались в разных странах и в различные эпохи; объединяют их те два фундаментальных принципа, которые обсуждались в этой статье. Хочется надеяться, что эта традиция не исчезнет.

А. М. Абрамов

Еще раз о программе обновления содержания общего среднего образования

Содержание школьного образования неизменно вызывает самые жаркие споры всех со всеми, в ходе которых невольно вспоминается Ф. И. Тютчев: любая «мысль изреченная есть ложь». К тому есть объективные основания. С одной стороны, обсуждая вопрос: «Чему учить в школе?», мы включаем в рассмотрение гигантский информационный массив, обсуждая, по существу, более широкую проблему «Мир и человек», аккумулирующую все проклятые вопросы человечества. С другой стороны, школа так или иначе затрагивает интересы каждого, интересы многих профессиональных групп, различных сообществ. Тем не менее согласие (выраженное в некоем реальном содержании) должно быть достигнуто. Чтобы избежать хаотичности дискуссии, важно сгруппировать ее вокруг относительно небольшого числа ключевых вопросов. С этой целью далее выделяются основные положения (принципы) развиваемой концепции.

Принцип приоритетности. Проблемы содержания общего среднего образования обладают несомненным приоритетом в системе общих проблем школы.

Естественность этого тезиса обусловлена следующими причинами.

1. В значительной мере именно содержание общего образования задает деятельность, образ жизни учащихся в ключевые периоды становления личности (детство, отрочество, юность);

2. Наиболее явно и полно цели школы фиксируются в содержании, и в силу этого другие сферы системы общего среднего образования (структура школы и сроки обучения, подготовка учителя, разработка и производство средств обучения; экономика образования и т.д.) производны от содержания.

Из принципа приоритетности вытекает необходимость следовать правилу «Не навреди». Любая заметная ошибка в отборе содержания влечет самые серьезные последствия.

О целях школы

На предшествующих этапах развития отечественной школы цели определялись сверху так, как их формулировало государство. Школа-институт, который в силу своей природы обеспечивает паритет интересов человека, общества, государства. Переход к общественно-государственному управлению школой начат в 1988 г., когда были выдвинуты лозунги демократизации, гуманитаризации, гуманизации и дифференциации образования, когда сформировались идеи личностно-ориентированной педагогики.

В основу дальнейших рассмотрений положен следующий принцип, по существу, конкретизирующий статью Закона «Об образовании».

Принцип целеполагания. Цель общего среднего образования — воспитание учащихся на идеалах гуманистической культуры, то есть:

— содействие достойному культурно- и природосообразному проживанию школьного периода жизни;

— содействие полному раскрытию природного потенциала учащихся с учетом их особенностей, склонностей и способностей;

— воспитание на образцах отечественной и мировой культуры.

Основные задачи общего среднего образования:

— формирование и развитие личности;

— развитие способности к свободной ориентации в современном мире и принятию самостоятельных решений;

— воспитание гражданина России, что предполагает: а) формирование правосознания, уважения к закону; б) воспитание патриотизма, понимаемого как ответственность за сохранение пространства, освоенного предками; ответственность за сохранение и приумножение отечественной культуры.

Из целевого принципа вытекает ряд следствий.

1. Впервые в истории отечественного образования приоритет должен быть отдан интересам личности, а не интересам государства. Этот тезис не вызов государству, а норма гражданского общества.

2. Задачи создания гуманистической школы много сложнее тех, которые решались в России на предшествующих этапах. За красивыми декларациями о личностно-ориентированной, гуманной педагогике — вечные проблемы человека. Типология личностных ситуаций детей крайне разнообразна. Вот почему необходимо резкое увеличение объема общественного труда, вкладываемого в образование, и придание ему нового качества.

3. Из сказанного выше вытекает, что основы наук перестают быть единственным источником формирования содержания. Требуется анализ существенно более сложной системы, фиксирующей социокультурный опыт человечества.

4. Важно подчеркнуть: задача поступления в вуз не случайно отсутствует в приведенной выше формулировке. Она не является специальной целью общего среднего образования, хотя, конечно, развитие интересов и способностей предполагает и формирование интереса к будущей профессии. Эта точка зрения естественно предполагает создание новых принципов взаимоотношений систем профессионального и общего образования.

Образование человека и образовательная среда

Формулировка следующих принципов требует предварительных разъяснений.

Одна из наиболее серьезных причин нескончаемых дискуссий об образовании — отсутствие системы дефиниций, позволяющих вести разговор на одном языке. (Можно сказать, что система образования — своеобразная «вавилонская башня», строители которой утратили общность языка.) Вовсе не надеясь на поддержку предлагаемой ниже системы определений, считаю все же необходимым их сформулировать. Создание получившей признание системы понятий в образовании — дело будущего. Но рабочий вариант — средство, без которого нельзя передавать смыслы.

Последовательно проводя идеи личностно-ориентированной педагогики, мы должны поставить в центр внимания индивидуальные процессы. (Подобно тому, как врач лечит больного, а не болезнь, учитель учит конкретного ученика, а не конкретному предмету.) Основная функция сложившихся общественных институтов образования — содействие образованию конкретных людей. Соответственно в организации понятий просматривается двойственность: понятию, характеризующему ту или иную сторону индивидуального процесса образования, отвечает понятие, относящееся к соответствующей общественной системе.

Введем рабочие определения.

1. Образование человека — происходящий на протяжении всей его жизни в ходе опытов жизнедеятельности, опытов мыслительной, духовной, эмоциональной, практической деятельности процесс обретения своего, присущего только ему человеческого образа. Иными словами, это процесс формирования внутреннего мира человека, определяющий его поступки, мысли, действия, эмоции, принятие решений, выбор жизненных траекторий, осуществляемый в ходе присвоения тех или иных форм культуры и служащий источником индивидуального поиска, гармонии с самим собой, другими людьми, обществом, природой. Условно в образовании человека выделяются два компонента — общее и специальное. Специальное образование — процесс, направленный на освоение той или иной профессиональной деятельности; этот процесс в значительной мере алгоритмизуем. Общее образование, осуществляемое в ходе усвоения наиболее распространенных форм социокультурного опыта, — процесс, во многом недетерминированный, случайный.

2. Культура — это все, что создано человечеством. Наиболее важные компоненты культуры — продукты материального и интеллектуального, духовного труда, опыт социальных и межличностных отношений, опыт взаимодействий с окружающим миром, опыт созидания, поведения, деятельности.

3. Содержание образования человека — элементы культуры, присвоенные этим человеком.

Приведенные определения призваны подчеркнуть случайный во многих отношениях характер индивидуального образования, который у каждого свой. Факт, хорошо известный из жизни: «Посеешь поступок — пожнешь привычку. Посеешь привычку — пожнешь характер. Посеешь характер — пожнешь судьбу». Факт, хорошо известный

из школьной практики: даже на уровне конкретных знаний, умений, навыков (не говоря уже о личностных характеристиках) всегда есть дистанция между ожидаемыми целями и реально достигнутыми учеником результатами.

4. Разумность введения следующего понятия подсказана аналогией с растением. Из агрономии хорошо известно, что на рост растений влияют два основных фактора: а) качество семян; б) влияние внешних условий (состояние почвы, климат и т.д.). Человек много сложнее. Это существо и биологическое, и социальное. Соответственно результат стихийного или сознательно выстраиваемого образования зависит: а) от природных задатков; б) от окружающей образовательной среды.

Образовательная среда — совокупность факторов, в наибольшей мере влияющих на результаты образования человека. В числе этих факторов — семья, сверстники, школа, СМИ, доминирующий тип культуры и т. п.

Сказанное выше можно зафиксировать в следующей форме.

Принцип неопределенности. Образование человека — случайный процесс, находящийся под влиянием двух основных факторов: индивидуальности (определенной природными задатками и последовательно формирующимися новообразованиями) и образовательной среды. Результаты образования нельзя гарантировать, можно лишь повышать вероятность их достижения за счет облагораживания образовательной среды.

Из принципа неопределенности вытекает, в частности, ограниченность возможностей собственно системы образования. Очевидна, например, необходимость самой серьезной реорганизации СМИ, цели которых весьма далеки сегодня от идеалов гуманистической культуры. Вообще, следует заметить, что проводимая при молчаливом согласии государства и общества политика протекционизма по отношению к антикультуре порочна: в от-

личие от культуры антикультура сама успешно пробивает себе дорогу. Благоприятная образовательная среда всегда результат комплексных усилий различных институтов и структур общества и государства.

Наличие такого мощного фактора, как образовательная среда, несомненно, влияет и на характер разработок содержания, определяя конкретные модели, выстраиваемые с учетом среды обитания учащихся.

С точки зрения изложенного разумная организация образования человека предполагает ответы на три главных вопроса теории содержания, определяя конкретные модели, выстраиваемые с учетом среды обитания учащихся. Каковы критерии отбора и способы формирования содержания общего образования? Каковы индивидуальные механизмы и способы присвоения человеком элементов культуры? Как должна быть устроена система трансляции культуры? Ключевым вопросом из них сегодня является первый.

Культурологическая основа

С целью развития массовых форм образования возникали исторически обусловленные образовательные системы — совокупности людей, структур, ресурсов, объединенных общей образовательной целью. Наиболее распространены такие образовательные системы, как учебные заведения. Другие примеры — региональные или национальные системы, система подготовки учителей, экономика образования и т. д. Задача образовательных систем — моделирование процессов, происходящих в сфере образования, и реализация этих моделей.

Содержание общего среднего образования — элементы культуры, отражающие общественно признанную норму

представлений о желаемом типе личности выпускника школы, а также о минимально необходимом для самостоятельной жизни объеме и уровне владения различными способами человеческой деятельности. Содержание включает в себя элементы культуры, призванные пробудить интерес, развить склонности и способности учащихся. Содержание общего среднего образования фиксируется в нормативных документах (учебные планы, программы, стандарты). Отражается в средствах обучения и практике школ.

Человек един и сложен. Очень трудно понять, благодаря чему, когда и как формируются те или иные черты и свойства личности, как усваивается сумма представлений, знаний, умений. Поэтому для обозначения внутреннего процесса формирования личности разумно ограничиться одним понятием — образованием человека.

Иная ситуация в образовательных системах. Речь здесь идет о моделях (а следовательно, о неизбежном абстрагировании) и специализации людей, работающих в сфере образования. Поэтому довольно естественно разделение понятия «образование» (понимаемого как организованный в массовых формах процесс осуществления определенной педагогической деятельности) на две основные формы — обучение и воспитание.

Обучение — процесс передачи определенной суммы общих знаний, умений, навыков, а также представлений о различных типах деятельности и способах ее осуществления.

Воспитание — процесс передачи норм поведения и системы ценностей, выстраиваемый на основе сложившихся устойчивых общественных представлений об идеале личности.

Сформулируем основные принципы отбора содержания.

Принцип полноты. Содержание общего среднего образования должно составлять полную систему, позволяющую

выпускнику школы начать самостоятельную достойную и уверенную жизнь в соответствии с устройством современного ему мира и нормами жизни общества.

Принцип минимума. Ядро содержания общего среднего образования составляют лишь строго необходимые элементы культуры.

Упрощенно говоря, следование этим принципам означает, что содержание образования в школе находится в пересечении сфер, определенных ответами на вопросы «чему ученик обязан учиться?» и «чему ученика желательно учить?» Выделение принципа минимума призвано, в частности, ограничить «предметный эгоизм», лежащий в основе перегрузки.

Существенная роль отводится следующему принципу.

Принцип деятельности. Содержание общего среднего образования формируется на основе анализа ведущих видов и способов человеческой деятельности.

Как известно, наиболее полное и последовательное выражение эта теория получила в работах В. В. Давыдова.

В обобщенной форме критерии отбора содержания отражает и целевой принцип: в содержание входит то, что отвечает целям и задачам общего образования.

Изложенная концепция существенно расширяет представления о составе содержания. Наряду с привычной системой ЗУНов включаются представления о чертах и свойствах личности (что резко усиливает воспитательные аспекты). Расширяется сфера деятельности. Это ставит новую проблему: привычный подход к созданию содержания ограничивался отбором внутри наук и адаптацией для школы. Решение (практически единственное) видится в следующей идее, сформулированной и подробно изложенной в монографии «Теоретические основы содержания общего среднего образования» под редакцией В. В. Краевского и И. Я. Лернера (М.: Педагогика, 1983).

Принцип культурологии. Источник формирования содержания общего среднего образования — культура, наиболее значимые формы социокультурного опыта.

Формирование осуществляется в несколько этапов:

I этап (допредметный) — этап формирования общетеоретических представлений о содержании. На этом этапе формируются в обобщенной форме представления о его составе и структуре;

II этап — предметный', здесь определяется состав учебных предметов, их конкретное наполнение и распределение по ступеням обучения;

III этап — этап создания учебных материалов;

IV этап — этап организации процесса обучения,

V этап — этап присвоения учениками нового содержания.

С точки зрения разработки главная задача — старт первого этапа. Проблема в том, что реального опыта работы на этом этапе сегодня нет.

О системе разработок

Предварительные исследования приводят к выводу, что одна из основных трудностей заключается в необычайно быстром размножении привлекаемых понятий и идей: содержание образования в рассматриваемом здесь понимании имеет очень широкий культурный контекст. В этой связи разумное ограничение дает следующий принцип.

Принцип экономии. Необходимое условие создания нового содержания общего образования — крайне жесткий поэтапный отбор рассматриваемых понятий и идей.

Это возможно при разделении теоретического этапа на три стадии: 1) формирование общетеоретических представлений; 2) выделение понятий и идей на уровне вет-

вей культуры, представленных в содержании; 3) составление более полного тезауруса содержания.

Существенное расширение состава и числа рассматриваемых понятий и идей допускается лишь при переходе от одной завершенной стадии к последующей.

Следование сформулированному выше принципу полноты означает, что должна быть выявлена наиболее существенная часть культуры, фиксирующая систему гармоничных отношений человека с окружающим миром. Это системы отношений «Я — Я», «Я — Другой», «Я — Природа», «Я — Общество», «Я — Культура».

Все эти отношения и их нормы зафиксированы в культуре. Таким образом, культура в теории содержания имеет две функции: с одной стороны, это источник формирования содержания, а с другой стороны, культура — часть среды обитания человека, с которой должна быть установлена определенная система отношений.

Для современного знания характерна достаточно узкая специализация. Поэтому отбор содержания требует разделения проблемы между группами специалистов. С этой целью выделяется следующий (по-видимому, дискуссионный) список основных ветвей культуры: 1) материальная культура; 2) художественная культура; 3) философская культура (включая представления о религиозном сознании); 4) научная культура; 5) гражданская культура; 6) экологическая культура; 7) информационная культура; 8) бытовая культура; 9) культура человеческих отношений.

В большинстве случаев направления отбора заданы соответствующими названиями. Следует уточнить, что под бытовой культурой имеются в виду такие элементы, как гигиена и физическая культура, правила этикета, техника безопасности в быту и т. п.

Наряду с системой представлений о норме отношений с окружающим миром неотъемлемый элемент теории

содержания — представления об уровне развития, способностях, свойствах и чертах характера, наконец, о деятельности, способствующей развитию ожидаемых качеств личности.

По существу, речь идет о конкретизации имеющихся разрозненных представлений об образовательном идеале и соответствующих формах воспитания. Соответственно требуются описания следующих моделей: 1) человек нравственный; 2) человек общественный; 3) человек природный; 4) человек культурный; 5) человек свободный; 6) человек здоровый; 7) человек мыслящий; 8) человек умелый; 9) человек творческий; 10) человек ответственный; 11) человек трудолюбивый; 12) человек коммуникативный.

Результат работы на допредметном уровне — разумно распределенные по ступеням обучения (с учетом возрастных особенностей) деятельностный и информационный массивы, достойные быть представленными в школе. Распределение по предметам и соответствующий учебный план — задачи следующих этапов.

Резюме

Итоги обсуждения программы модернизации содержания общего среднего образования в части, относящейся к естественно-научному циклу, математике и информатике, удобно подвести (во избежание повторений), анализируя способы устранения противоречий, накопившихся за длительное время.

1. Противоречие между раздробленностью системы научных знаний, распределенных сегодня (в соответствии с исторически сложившейся дифференцировкой наук) по отдельным малосвязанным учебным предметам с одной стороны — и единством мира, единством процесса чело-

веческого познания с другой. Выход видится в тесном согласовании будущих предметов.

Существуют естественные основания для придания всему циклу общности. Это: 1) приоритет задачи общего образования и развития личности в ходе знакомства с науками; 2) общность научного метода познания;

3) системность в описании научной картины мира;

4) тесная взаимосвязь учебных предметов, требующая временного, информационного, терминологического, методического согласования.

2. Противоречие между стремлением расширить (в соответствии с быстро нарастающими динамизмом и сложностью жизни современного человека) границы познаваемого в школьные годы мира с реальными возможностями ученика и школы. Наиболее явные проявления — информационная перегрузка, перегруженность системы требований к учащимся.

Предлагаемое решение для устранения этого противоречия — явное разделение содержания на три концентрические сферы: 1) сфера знаний, умений и навыков; 2) сфера понимания; 3) сфера представлений. Существо этой «концепции трех сфер» в следующем.

В первую сферу входит предельно жестко отобранный материал, содержащий: а) сведения, минимально необходимые для уверенного продолжения обучения на последующих этапах обучения в школе; б) материал прагматической природы, необходимый для грамотного поведения и ориентации в современном мире, для практической жизни. Эта часть должна быть посильна для всех и твердо усвоена.

Сфера понимания шире и сложнее для усвоения. Задача учителя — стремиться к усвоению материала в этой части, но требования к учащимся здесь менее жесткие. По сравнению с имеющимся содержанием, сфера понимания

должна быть существенно компактнее. Это может быть сделано за счет освобождения будущих курсов от архаичного материала, второстепенных деталей, за счет элиминации разделов, единственное убедительное назначение которых — подготовка к вступительному экзамену в вуз, после которого все может быть благополучно забыто.

Кроме того, немалые резервы кроются в методической системе обучения: это наглядность, прозрачность идей, четкость и компактность изложения, современные средства обучения.

Назначение сферы общих представлений — демонстрация научной картины мира и истории ее создания. В ходе знакомства с этой сферой ученик в сжатые сроки проходит немалую часть пути, пройденного человечеством, переживая заново историю познания, драму идей и драму людей. Основной стиль изложения — стиль лучших образцов научно-популярной литературы, информативных и красочных научно-популярных фильмов, убедительных экспериментов, реальных и мысленных. Это в первую очередь «рассказы и показы», благодаря которым «на пальцах» и с помощью средств визуализации демонстрируются как изящные миниатюры, так и нетривиальные крупные идеи. Старый лозунг «Учение с увлечением» может быть материализован с созданием соответствующих методик, направленных на последовательное расширение сферы общих представлений. Разумеется, требования к учащимся в этой части должны быть совсем либеральными.

3. Противоречие между естественным стремлением к индивидуализации образования с неизбежными для массовых форм образования элементами стандартизации. Последовательное решение этой проблемы требует создания полной системы модулей, дополняющих базовую часть содержания. Типология этих модулей (на сегодня не разработанная) весьма широка. Это система компенсаторного

образования для детей с различными проблемами здоровья (физического, психического, социального). Специфичны компоненты содержания для регионов и субрегионов. Специализированные модули нужны для школ с этнокультурным компонентом, сельских школ и т.п.

4. Противоречие определяется наличием принципиальных различий в системах общего и специального образования. Интересы систем высшего и среднего профессионального образования могут быть учтены в полной мере за счет развертывания внутри школ и вне их различных форм работы по развитию интересов, склонностей и способностей. Это в первую очередь хорошо зарекомендовавшие себя — разнообразные кружки в начальных классах; более систематизированные занятия в основной школе — факультативные курсы, юношеские школы при вузах, олимпиады и конкурсы; профильные классы и школы — в старших классах.

Следует, впрочем, заметить, что при всех достижениях российских команд на международных олимпиадах вся система подготовки будущих ученых должна быть существенно усовершенствована. Задача подготовки победителя олимпиад и воспитания ученого принципиально различаются. Процент бывших чемпионов, ставших серьезными признанными учеными, не слишком велик. Вузовские программы на первых курсах должны учитывать специфику выпускников профильных классов и школ.

Очевидное начальное условие разумно организованной работы по развитию способностей — опережающее развитие соответствующей инфраструктуры (книгоиздание, лабораторное оборудование, компьютеры, программное обеспечение т. д.). Принципиально новые возможности (связанные с первую очередь с дистантным образованием и самообразованием) открываются в связи с бурным развитием информационных технологий.

В. Б. Филиппов

Воспитание — Образование — Математика (послесловие составителя)

Этот сборник — ответ на призыв принять участие в обсуждении проекта очередной реформы образования в России. Общение с выдающимися математиками (которое я имею благодаря издательской деятельности), вошедшие в этот сборник статьи (не только выдающихся ученых, но и выдающихся личностей — наших современников), некоторые новые издания (случайно встреченные и порой неожиданные), а также собственный жизненный опыт (включая педагогический) привели меня к более глубокому, как я надеюсь, пониманию того, как можно выбраться из исторической ямы, в которую попало общество. Некоторыми соображениями на этот счет, относящимися к общему образованию, я и хочу кратко поделиться с Вами, уважаемый Читатель. Вполне возможно, что эти соображения не новы; но в условиях цейтнота (который стал спутником жизни) я не нашел подобных публикаций, потому и осмеливаюсь предложить свои Вашему вниманию.

1. Трагедия математики — болезнь общества

Казалось бы, что со времен Платона ответ на вопрос “Почему всем надо изучать математику?” практически

не изменился. По сути, так оно и есть, — слова Платона: «...позорно, если большинство людей не имеют необходимых сведений в этой области и пребывают в невежестве» [с. 6]* останутся вечными; даже оппоненты Платона соглашались с ним в этом [с. 10]. Для тех, кто хотел получить мало-мальски приличное образование, эти слова никогда не вызывали сомнения. «Доказывать необходимость математической грамотности для каждого культурного человека как-то странно: не понимают этого разве только дикари, думающие, что булки валятся с неба, автомобили существовали всегда, а от самолетов один вред»**.

Тем не менее, поставленный вопрос остается актуальным: «В американских школах детям не дают элементарных знаний, а 80 процентов учителей не знают даже дробей. Два года назад по этому поводу развернулось настоящее “юридическое побоище ”штата с федеральной властью, известное как “калифорнийские войны ”. Правительство посчитало неконституционным требование местных властей, чтобы учителя умели разделить 111 на 3 без калькулятора»***.

Выросли целые общества, для которых потребление стало смыслом жизни. Сформировалась “демократическая” традиция, когда социально-экономические горизонты избранной обществом власти ограничиваются выборным сроком или даже перспективой отставки. В такой прагматичной среде все труднее становится выживать многим наукам, хотя расходы на их “содержание” в масштабах общества практически незаметны (см. [с. 201]). Но общества

* Здесь и далее в квадратных скобках даны ссылки на настоящее издание.

** Арнольд В. И., «Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции». — «Известия», 16.01.1998, с. 5.

*** Арнольд В. И., «Общая газета», 30.12.1999-12.01.2000, №52/1, с. 8.

и их власти остаются глухи к голосу разума. «Американское правительство, в соответствии с мнениями своих избирателей и налогоплательщиков, не станет субсидировать фундаментальные исследования (например, математику), если не будет доказано, нто страны, где фундаментальные исследования субсидируются..., живут лучше...»*.

«С прекращением... военного противостояния государств было фактически прекращено финансирование науки в России. Специалисты утверждают, что за 10 лет оно уменьшилось в 17 раз и упало до четверти необходимого для ее выживания, а расходы на образование от 7 % внутреннего валового продукта в 1970 г. снижены до 0,6 % в 1997 г.»**.

Естественно, что отношение общества к науке математике сказывается и на его отношении к математическому образованию. Тем более, что и само преподавание зачастую ведется так, что не подчеркивается ни одна из многих граней органической связи математики с реальной жизнью. Результатом является «современное отвращение к математике со стороны общества и правительств»***. Круг замкнулся и может показаться, что разорвать его сможет только реформа математического образования.

Однако проблема значительно глубже. Математика отдельно от других наук (и даже от культуры в целом) не сможет, как барон Мюнхгаузен, сама себя вытянуть из болота.

Обратим внимание на следующее расхождение. Современный ответ на поставленный вначале вопрос краток (как

* Арнольд В. И., «Выживет ли математика?» — газета «Эврика», 07.09.1994; или в кн.: «Владимир Игоревич Арнольд. Избранное-60». - М.: ФАЗИС, 1997, с. 706-707.

** Арнольд В. И., «Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции». — «Известия», 16.01.1998, с. 5.

*** Арнольд В. И., «Победное шествие антинаучной революции». — «Известия», 26.02.1999, с. 5.

и раньше) — математика является частью культуры. Это, безусловно, верно и было бы достаточным, но только если иметь в виду тот смысл понятия — «КУЛЬТУРА = совокупность достижений человечества в производственном, общественном и умственном отношении»* — который сохранился сегодня лишь в словарях и монографиях, т. е. в умах лишь тех, кто их пишет и читает. Однако, в обыденной жизни это понятие чрезвычайно сильно редуцировано..., — настолько, что, по-видимому, настало время различать его смыслы и в написании: например, “министерство культуры”, но “математика является частью КУЛЬТУРЫ”**.

“Орудия” математики — логика, доказательство и проч. — могут работать лишь в той среде, где ценят науки, преклоняясь перед КУЛЬТУРОЙ. Сегодня в моде “демократические” общества; но если такое общество начинает превращаться в болото, или точнее, в стадо, то бесполезно ждать уважения и к математике, и к наукам вообще. «...Мы становимся сейчас свидетелями своеобразной антинаучной революции во всем мире, чем-то похожей на уничтожение греческой культуры римской цивилизацией. ...Следует подумать, не предпочтет ли человечество заменить математиков запаянными в компьютеры программами, которые пользователи следующих веков будут понимать столь же мало, как мы— устройство самолета»***.

* Ожегов С. И., Словарь русского языка. — М.: Русский язык, 1987, с. 268.

** Прошу Вас, уважаемый Читатель, разрешить мне и дальше для разделения смысла некоторых понятий пользоваться их написанием и строчными, и прописными буквами, не обсуждая, для краткости, смысловую разницу (она почти всегда такая же, как и в случае с “культурой”), полагаясь на Вашу интуицию!

*** Арнольд В. И., «Международный математический конгресс в Берлине». — «Вестник РАН», 1998, т. 69, № 2, с. 171.

Выход, стало быть, в том, чтобы не допустить сползание общества в состояние стада. Это, однако, уже непросто.

В какой стране мы оказались, Вы знаете не хуже меня. В богатейшей всеми ресурсами стране власть отвернулась от тех, кто своим трудом создал эту страну, оставив их выживать за чертой бедности! В этой стране государство позволяет себе устанавливать мизерную зарплату*, да и ту не выплачивает годами. В разных концах страны бастуют даже учителя, традиционно составляющие одну из самых консервативных групп граждан, а власть отбирает у детей оставшиеся с прежних времен крохи**...

Многочисленные оценки ситуации в стране можно найти и в статьях данного сборника: «...Если сейчас Россия не сумеет повернуть дело к лучшему, ее надолго ждет малопривлекательное будущее» [с. 180]; «Наука... вытесняется из сферы просвещения... Идет одичание нации» [с. 159] и др.

* «600 рублей получает сегодня начинающий школьный учитель, учитель 12-го разряда — 900 рублей, ...доктор наук и профессор — 1900 рублей..., а прожиточный минимум в стране составляет 1300 рублей. Такие данные привел накануне нового учебного года министр образования России...» — «Новые Известия», 01.09.2000, с.1 (там же - Курс: $1 = 27,75 руб.)

** Недавно назначенный полномочный представитель президента в Уральском федеральном округе генерал П.Латышев забирает под резиденцию Дом творчества учащихся (бывший Дворец пионеров). Губернатор Э.Россель сделал соответствующие распоряжения. Детям предложено переехать в помещение ДК ГУВД. При этом губернатор отметил, что место под резиденцию Латышева выбрали представители администрации президента и уже готов соответствующий указ. Москва готова потратить на реставрацию особняка 15 млн. долларов. По мнению областного вице-премьера наилучшим выходом было бы построить новое здание резиденции. Денег, которые выделяет Москва... для этой цели вполне хватило бы. (журнал «Эксперт-Урал», 14.08.200, № 14, с. 18).

« Что же делать, чтобы предотвратить национальную катастрофу? Избавить себя от стыда и позора? Не стать последним поколением России? ...Как ни печально это признать, сегодня мы не великий народ. И даже не народ. Население»*.

Одним словом, общество все больше превращается в стадо, которое уже ничем нельзя разбудить, — ни разворовыванием его богатства, ни полосканием в грязи его мозгов, ни предательством его интересов пастухами. Состояние стада — это крайняя степень деградации общества, его полный застой (надо отдать должное, — нас к нему хорошо поготовили). Такое состояние омертвения страшнее и опаснее многих жизненных коллизий, любых политических и других общественных споров. В защиту последнего положения скажу лишь, что если общество ценит науку, то споры не страшны, потому что доказательства востребованы.

Состояние стада — главная опасность для общества. Это положение является первым постулатом для наших дальнейших рассуждений.

Как же избежать этой опасности? Исключив тривиальные решения (алкоголь, эмиграция и др.) остается одно — постоянные лечебно-профилактические усилия против этой хронической болезни общества. Необходимо не только следить за состоянием “здоровья” общества, но и — главное — заботиться о выращивании “здорового” потомства, то есть иметь “здоровую” (в духовно-нравственном отношении) систему воспитания и образования. Тогда, если доля “здоровых” достаточно высока, то это уже не стадо, а более или менее нормальное общество.

Но ведь “здоровье” общества каждый понимает по своему. И как быть, если общество не сможет договориться

* Абрамов А., «Стыдно! Пора наконец жить не молча!». — «Независимая газета», 27.10.1999.

о компромиссе? Ответ, по существу, прежний: для КУЛЬТУРНОГО общества многообразие мнений — норма; а состояние стада для него — подобно смерти!

Однако, с учетом печального опыта, перспектива “здоровой” системы воспитания и образования тоже не внушает оптимизма, если “здоровье” будет определяться властью.

А если — не властью? Если без разрешения свыше любой человек сможет внести свой посильный вклад в “здоровье” общества?.. Фантастика? — Уже нет! Сегодня такую альтернативу можно и нужно (!) обсуждать серьезно — именно этому посвящена настоящая статья.

2. Главенство воспитания над образованием

Какого же человека хотим мы вырастить в результате? Безусловно — хорошего человека, желательно — очень хорошего; назовем его “ГРАЖДАНИН”*. Конечно, он и будет целью воспитания. С этим согласны все. (В самом деле, не объявлять же, что целью воспитания является “гражданин” — обыватель, потребитель и т. д., и т. п.; хотя и не вор, не наркоман, не насильник, — что для нас уже хорошо!)

Однако, переходя от цели воспитания к целям образования, наше отношение к необходимости достижения цели воспитания меняется в зависимости от нашей роли в обществе. Как рядовые члены общества, мы не отступаем от цели воспитания и с большим или меньшим успехом бьемся “до последнего”. Если же мы — чиновники высшей школы, то цеховые интересы быстро заставляют нас забыть о цели воспитания ради того, чтобы прочно связать цель общего образования с нуждами высшей школы. Как чиновники власти, мы мгновенно забудем о цели

* Можно без конца обсуждать эту тему в поисках адекватного определения. Но мы, как и раньше, полагаемся на интуицию ЧИТАТЕЛЯ.

воспитания: с одной стороны, в наших реалиях эта цель — утопия (и все это знают!), с другой стороны, “как не порадеть родному человечку” из высшей школы, и, вообще, власти проще иметь дело с “гражданами”, а не с “ГРАЖДАНАМИ”.

Поэтому главенство воспитания над образованием будет нашим вторым постулатом.

Потенциальным союзником такого подхода будет весь народ; активными союзниками — ГРАЖДАНЕ, рассеянные по всей стране. Среди них много УЧИТЕЛЕЙ. Встретятся и предприниматели, для которых неприемлем принцип “пока есть люди глупее меня, я буду жить хорошо”. Но не нужно ожидать среди союзников власть придержащих или олигархов, — и тем, и другим нужно стадо, а не общество ГРАЖДАН.

Симбиоз политической власти и финансово-экономической олигархии — не теоретические домыслы. «Обе эти системы требуют монопольного контроля над обществом. Монополизм в промышленности был когда-то целью Дж. П. Моргана и Дж. Д. Рокфеллера, но к концу XIX века жрецы Уолл-Стрита поняли, нто наиболее эффективный путь к завоеванию непоколебимой монополии заключается в том, чтобы “пойти в политику ” и заставить общество работать на монополистов под вывеской общественного блага и общественных интересов»*.

А вот «Признания монополиста»**:

«Существуют правила большого бизнеса. Они заменяют поучения наших родителей и сводятся к простой формуле: получи монополию, заставь общество работать на тебя и помни, что лучшим видом бизнеса является политика,

* Саттон Э., «Уолл-стрит и большевицкая революция». — М.: Русская идея, 1998, с. 9. (Отсюда взята и следующая цитата.)

** Howe, Frederick С, «Confessions of a Monopolist». — Chicago: Public Publishing, 1906, p.157.

ибо законодательная дотация, франшиза, субсидия или освобождение от налогов стоят больше, нем месторождение в Кимберли или Комстоке, так как первые не требуют для своего использования ни умственного, ни физического труда».

Не секрет, что симбиоз между властью и олигархией характерен для современного “демократического” общества и прямо или косвенно влияет практически на все стороны жизни, в том числе, — на образование и воспитание подрастающего поколения. Одна из книг профессора Саттона так и называется: «Как Орден контролирует образование»*.

Новая Россия не является исключением. К сожалению, министерство образования держит равнение на международный капитал: «...Сегодня все сколько-нибудь значительные программы в образовании возможны только при условии их финансирования с Запада. ...Если она [ОЭСР — международная Организация экономического сотрудничества и развития] пойдет нам навстречу, мы будем иметь возможность получать объективную и систематизированную информацию о самих себе»**, — это слова заместителя министра.

Математика является одним из самых мощных составляющих бдительности общества в заботе о своем “здоровье”. «Знакомство с математикой (и это гораздо важнее, нем умение складывать дроби) учит отличать правильное рассуждение от неправильного. А без такого умения человеческое сообщество превращается в легко управляемое демагогами стадо. Так было в Германии, где немногие верили

* Sutton, Antony С, «How the Order controls éducation». — Bullsbrook, W.A.: Veritas, 1986.

** Болотов В., «Советы постороннего». — «Школьное обозрение», 1999, № 1, с. 30-31.

в начале 30-х годов, нто к власти может прийти кто-то, подобный Гитлеру»*.

Каким же должно быть устройство общества, в котором целью воспитания был бы ГРАЖДАНИН? Можно было бы рассмотреть вариант “демократия без олигархии” (который, быть может, близок понятию ДЕМОКРАТИЯ). Он, несомненно, привлекателен; но и нереален сегодня.

Итак, бесполезно ожидать, что глобальное решение задачи воспитания ГРАЖДАН найдет реальную поддержку власти (отдельные примеры такой поддержки “погоды” не делают и нуждаются в дополнительном анализе). Поэтому у кого-то может создаться впечатление, что задача о “здоровом” обществе неразрешима. Это было бы верно, но только если смотреть в одну сторону, ожидая каких-либо руководящих указаний сверху. Если же освободиться от подобострастия перед властью и олигархией (а это не просто, что видно, например, по современным средствам массовой информации), то можно заметить “свет в конце туннеля”. Но путь к “здоровому” обществу — открытая РЕФОРМА образования — не близкий и не легкий.

3. Открытая РЕФОРМА образования

Сначала о терминах: “открытая” — подчеркивает независимость от чиновников, возможность участия любого специалиста; “РЕФОРМА” (в отличие от “реформы”) означает прежде всего главенство цели воспитания над любыми целями и задачами образования и обучения; образование, как и раньше, рассматривается только общее (не специальное), но теперь уже индивидуальное (не групповое).

* Арнольд В.И., «Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции». — “Известия”, 16.01.1989, с. 5.

Еще недавно такую РЕФОРМУ можно было рассматривать лишь как утопию. Но теперь, благодаря революции информационных (компьютерных) технологий создана реальная техническая база для индивидуального обучения.

Эта революция, однако, таит в себе и огромную опасность для “здоровья” общества (так же как ядерная энергия — для его жизни). Уже заполняют рынок произвольные обучающие (иностранным языкам, физике, химии, биологии и др.) системы, созданные на коммерческой основе; уже рекламируется получение общего образования по телевизору “не выходя из дома”. Эти коммерческие предприятия лишний раз сигнализируют нам об опасности стада.

Новые невиданные ранее возможности для обучения открывает Интернет. Единственной дорогой в будущее общество является система обучения. Издавна по этой дороге следуют караваны средств воспитания и образования. Контроль над этой дорогой с довольно узкой проезжей частью позволял давать преимущества одним средствам и тормозить другие. Вдруг, прямо на глазах, чудесным образом проезжая часть этой дороги стала расширяться чуть ли не до горизонта. И сначала робко, но затем все более уверенно стали осваиваться пионерами* новые просторы, все чаще можно будет встретить там отдельные педагогические находки независимых творцов.

Именно в Интернете — этой демократической (со всеми плюсами и минусами) среде — стало возможным осуществление любых проектов образования, стало возможным личное влияние каждого ГРАЖДАНИНА на “здоровье” общества. Воспользуется ли этим историческим подарком

* О сетевом сопровождении обучения, который осуществляет Центр информационных средств и технологий физического факультета МГУ, предоставляя возможность учиться в университете всем желающим, рассказано в статье: Соболева Т., «В МГУ — без конкурса!». — «Школьное обозрение», 1999, № 1, 26—27.

здоровая в духовно-нравственном отношении часть общества, найдет ли в себе силы создавать новые и возрождать старые, испытанные временем средства воспитания и образования, — от этого зависит, в какую сторону пойдет развитие общества (и даже будет ли оно вообще).

«...Необходимо перейти от воспитания исполнителей чужих решений к воспитанию самостоятельных, активных, инициативных и заинтересованных членов современного общества, — иначе мы никогда не выкарабкаемся» [с. 138]. В этих словах академика Д. В. Аносова (председателя Комиссии по вопросам школьного образования Отделения математики Российской академии наук) четко обозначено ядро РЕФОРМЫ — проблема воспитания. При решении любых вопросов системы образования стрелка компаса должна быть направлена на цель воспитания.

Итак, прежде всего необходимо понять и решить, какое требуется воспитание. От этого будет зависеть, каким должно быть образование. Только после этого можно обсуждать, какая математика может быть привлечена для достижения поставленных целей. (Очевидно, эта же схема применима и для других образовательных дисциплин.) Установление именно такого “векторного поля” общего образования и есть главная задача РЕФОРМЫ.

Много практических вопросов реализации РЕФОРМЫ остались за пределами настоящей статьи, но все они имеют ответы. И если мы преодолеем нашу инертность, направив долю нашей активности на служение обществу, — это будет лучшим лекарством для его “здоровья”.

4. Вклад математики

Очевидно, что выбор цели воспитания —- ГРАЖДАНИН или гражданин — определяет совершенно различное содержание математического образования. И если в первом случае УЧИТЕЛЯМ и СПЕЦИАЛИСТАМ стоит

“ломать копья” за качество математического образования, чтобы в результате получить того, «который, среды устроенного, образованного гражданства..., высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества» [с. 16], то во втором случае, быть может, важнее сохранить пока количество учебных часов школьной математики и, тем самым, рабочих мест учителей, чем обсуждать, как лучше из математической пушки палить по воробьиным* запросам будущих обывателей. Нас интересует здесь лишь первый случай, так что целью содержания образования будем считать его ГРАЖДАНСТВЕННОСТЬ.

«Основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира...»[с. 201].

Поэтому главная задача обучения математике состоит в приближении содержания школьной математики к реалиям современной жизни, а также согласования его с содержанием других школьных предметов. Необходимость этого неоднократно подчеркивалась авторами настоящего сборника.

В математических арсеналах имеются впечатляющие картины, такие, например, как расчеты, связанные с сокращением продолжительности жизни [с. 201] или с высыханием огурцов [с. 208]. Подобных примеров каждый из нас найдет множество или изобретет сам..., если захочет! Если же он сделает их достоянием многих, поместив в Интернет (например, на сайт РЕФОРМЫ), и если УЧИТЕЛЯ доведут такие примеры до своих учеников, то можно надеяться на улучшение “здоровья” общества, — выполнение этих “если” и составляет суть РЕФОРМЫ.

Конечно, образование должно быть таким, чтобы выращенные в ней “лица, принимающие решения” выбира-

* Да простят меня воробьи!

ли правильные методы, формулы, модели. Но еще более важно (и гораздо более трудно), чтобы “контролирующие лица” (в идеале — весь народ) были способны почувствовать фальшь в рассуждениях, заметить ошибки в расчетах. Способность контролировать действия властей, бдительность по отношению к принимаемым ими решениям — повседневные инструменты ГРАЖДАНИНА. А создаются такие инструменты еще в школе.

«Каждый... математик знает, нто если не контролировать себя (лунше всего— примерами), то... половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в нислители. Технология борьбы с подобными ошибками— такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого напала учить школьников младших классов»*.

Актуальной сегодня остается и Рекомендация международной конференции [с. 53—63]. В ней и особенно в докладе В. Сервэ [с. 38—52] очень точно зафиксированы важнейшие характеристики ГРАЖДАНИНА: «чутье объективности» и «интеллектуальная честность» [с. 45, 55]. Тем не менее, можно и нужно уточнять ее отдельные положения. Но особую бдительность необходимо проявлять при покушении на главенство воспитания — например: «... при преподавании математики в средней школе во многих странах сохраняется забота об общем образовании. Однако под давлением непосредственных нужд текущей жизни и требований высшего образования все большее место уделяется прагматическим целям» [с. 45]. Такой подход должен быть отвергнут категорически: общее образование никак не должно быть привязано к каким бы то ни было прагматическим целям!

* Арнольд В. И., «О преподавании математики». — «Успехи математических наук», 1998, т. 53, вып.1, с. 232.

Переходя теперь к заключительному вопросу: «Каким должно быть содержание математического образования?», мне очень хочется ответить — ЛЮБЫМ, лишь бы оно эффективно служило делу воспитания ГРАЖДАНИНА. Такой “ответ”, надеюсь, не застанет врасплох УЧИТЕЛЯ, — он прекрасно раскроет эту тему, составит правильный учебный план, воспользуется существующими и создаст новые эффектные и эффективные компьютерные средства обучения и, поместив их в Интернет, сделает их достоянием общества. Я хочу добавить здесь лишь несколько штрихов, относящихся к приближению содержания математического образования к реальности.

В статьях этого сборника содержится большое число конкретных указаний — вот лишь немногие их них: Э. Борель [с. 34], А. Я. Хинчин [с. 95], П.Л.Капица [с. 115], В. М.Тихомиров [с. 170]. Нетрудно найти такие указания и для младших школьников: «Нужны живые, непринужденные рассказы о неевклидовой геометрии, геометрии Лобачевского, пространствах большой (даже бесконечной!) размерности, о симметрии в алгебре, об экстремумах, об изопериметрах, о парадоксах бесконечности и многом другом. Умело преподнесенные, все эти темы вполне доступны школьнику, начиная с пятого класса. Много есть тем и для младших классов— орнаменты и бордюры, паркеты и кристаллы, правильные многоугольники и многогранники...»*.

Большой воспитательный потенциал несут в себе задачи, «предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют

* Постников М., «Главную роль в жизни играет мышление рациональное». — «Школьное обозрение», 1999, № 1, с. 17.

последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29)»*.

Сегодняшняя жизнь щедро дарит нам все новые примеры математической безграмотности. Не утруждают себя элементарным арифметическим контролем журналисты; ошибки доходят до десятков раз (и часто гадаешь, что это — незнание арифметики или оплаченная ложь). Выступления доморощенных политиков стали кладезем задачек для школьной математики, сформулированных, впрочем, УЧИТЕЛЕМ. Такую задачку ученик с удовольствием расскажет друзьям или принесет домой, просвещая тем самым свое окружение. Или, наоборот, принесет в класс газету с арифметической или логической ошибкой, — как это делает частенько его УЧИТЕЛЬ...

Огромными дидактическими возможностями обладают новые области математики, — в первую очередь, математическое моделирование. В статье В.И.Арнольда [с. 195—205] мы получили представление о неожиданных выводах, которые можно получить из простых моделей перестройки. Конкретные примеры моделей, получивших мировой резонанс, вполне могут служить маяками при решении вопросов содержания общего математического образования. На сегодняшний день они составляют внушительный список: это и математическая теория борьбы за жизнь (В. Вольтерра), и модели мировой динамики (Дж. Форрестер), и “ядерная зима” (Н. Н. Моисеев), и многие другие. Знакомство с этими моделями, создание на их базе поучительных примеров для будущего ГРАЖДАНИНА, — это еще одна задача нового содержания математического образования.

* Арнольд В.И., «О преподавании математики». — «Успехи математических наук», 1998, т. 53, вып. 1, с. 232.

Практически все, что было сказано в этой статье об УЧИТЕЛЯХ, относится и к УЧЕНЫМ. Остается только повторить наказ П. Л. Капицы: «Чтобы человечество развивалось по пути гуманизма, культуры и социального прогресса, все мы, ученые и люди интеллектуального труда, должны принимать активное участие в разработке вопросов, связанных со здоровым и прогрессивным воспитанием нашей смены» [с. 119].

* * *

Капитулярий о занятиях науками Карла Великого заканчивается словами: «...не забудь разослать копию с этого письма ко всем подведомственным тебе сопастырям и по всем монастырям. ...Читающему доброго здоровья!» [с. 14]. Эти слова я и хочу повторить в заключение:

Читающему доброго здоровья!

Сведения об авторах. Комментарии

АБРАМОВ Александр Михайлович (р. 1946) — математик и педагог, кандидат педагогических наук, член-корреспондент РАО, директор Московского института развития образовательных систем (МИРОС).

Заметка в настоящем сборнике подготовлена по просьбе составителя. Текст письма А. Н. Колмогорова и ответ П. Л. Капицы воспроизведен из журнала «Вопросы философии», 1972, № 9, с. 128-129.

Статья в настоящем сборнике развивает тему, поднятую автором в публикации: «К программе обновления содержания общего среднего образования». («Региональное образование», 11.07.2000 г., № 16, с. 6).

АНОСОВ Дмитрий Викторович (р. 1936) — выдающийся отечественный математик, действительный член РАН, зав. отделом Математического института им. В. А. Стеклова.

Настоящая статья написана на основе доклада автора на конференции «Фундаментальная наука и безопасность России» (Москва, весна 1998 г.) и публикуется впервые.

АРНОЛЬД Владимир Игоревич (р. 1937) — выдающийся отечественный математик, действительный член РАН и многих иностранных академий, главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова, ректор Московского независимого университета.

Настоящая статья подготовлена на основе доклада «“Жесткие” и “мягкие” математические модели» на семинаре «Аналитика в государственных учреждениях» (Москва, 25.09.1997); впервые напечатана в журнале «Открытия политика», 1997, № 11, с. 66-69. В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью с разрешения автора.

БОРЕЛЬ Эмиль (1871-1956) — один из крупнейших французских математиков; проявлял активный интерес к преподаванию математики, начиная с самых ранних ступеней.

Настоящая статья является обработкой его доклада на Международной конференции по математическому образованию (Париж, 1-4.04.1914). Впервые статья была напечатана в 1914 г. в журнале

«L'Enseignement mathématique» (vol. 16, p. 198-210). Русский перевод был опубликован в том же 1914 г. в Одессе в «Вестнике опытной физики и элементарной математики» (№ 623-624, с. 254-264). Этот перевод, сверенный с подлинником и заново отредактированнный М. З. Кайнером, с предисловием Я. С.Дубнова был напечатан в сборнике «Математическое просвещение» (Москва, 1958, вып. 3, с. 89—100). В настоящем сборнике этот текст автора воспроизведен полностью по инициативе А. М. Абрамова.

КАПИЦА Петр Леонидович (1894-1984) — выдающийся отечественный физик, действительный член АН СССР и многих иностранных академий, лауреат Нобелевской премии по физике.

Настоящая статья является изложением доклада автора на Международном конгрессе по подготовке преподавателей физики для средней школы (Венгрия, Эгер, 11.09.1970); опубликована в журнале «Вопросы философии», 1971, № 7, с. 16-24. В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью по инициативе А. М. Абрамова.

КАРЛ ВЕЛИКИЙ (742/768-814) - франкский король и император, реформатор в области школьного образования.

Знаменитый «Капитулярий о занятии науками» написан в 787 году. В результате по всей империи были созданы школы при монастырях и епископствах. Перевод с латинского впервые опубликован в книге: Стасюлевич М. М., «История средних веков в ее писателях и исследованиях новейших ученых». — СПб., 1906, т. 2, с. 67-68. В настоящем сборнике с сокращениями помещены текст и комментарий, взятые из сборника «Послушник и школяр, наставник и магистр. Средневековая педагогика в лицах и текстах». М.: Изд-во РОУ, 1996, с. 134—135.

КАССИОДОР (480/490-575/583) - позднеантичный политический деятель, писатель, педагог.

Трактат «Наставление в науках божественных и свецких» написан в 551 году и состоит из двух книг; вторая целиком посвещена свободным искусствам, распределенным на ступени “тривиума” (грамматика, риторика, диалектика) и «квадривиума» (арифметика, геометрия, музыка и астрономия). Сокращенный перевод с латинского П. С. Карамитти опубликован в сборнике «Послушник и школяр, наставник и магистр. Средневековая педагогика в лицах и текстах» (М.: Изд-во РОУ, 1996, с. 113-121), из которого здесь помещены фрагменты комментария и текста, относящегося к математике.

КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич (1903-1987) - выдающийся отечественный математик, действительный член АН СССР и многих иностранных академий.

Настоящая статья опубликована в журнале «Математика в школе» (1990, № 5, с. 59—61) и представляет собой ранее неизвестную работу автора, которая была найдена при разборе его рукописного наследия и является его отзывом на проект перспективного плана развития советской школы на ближайшие 30 лет. Этот проект был разработан Академией педагогических наук СССР в конце 60-х — начале 70-х годов, но не стал предметом широкого обсуждения; со временем эта работа была прекращена вовсе и, к сожалению, забыта. В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью по инициативе А. М. Абрамова.

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856) - выдающийся отечественный математик, ректор императорского Казанского университета (1827—1846); одним из главных направлений своей деятельности считал воспитание юношества.

«Речь» произнесена им 05.07.1828 г. на торжественном собрании Университета. Впервые «Речь» опубликована в 1832 г. в «Казанском вестнике» (ч. XXXV, кн. VIII, с. 577-596). Перепечатана с купюрами в 1948 и 1956 гг. и полностью — в сборнике Лобачевский Н. И., «Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма» (М.: Наука, 1976, с. 16—21). В настоящем сборнике этот текст воспроизведен в отрывках, составляющих большую часть «Речи».

НОВИКОВ Сергей Петрович (р. 1938) — выдающийся отечественный математик, действительный член РАН и многих иностранных академий, главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова, зав. кафедрой Высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ им. M. В. Ломоносова.

В авторской редакции статья впервые напечатана в журнале «Вопросы истории естествознания и техники», 1997, № 1, с. 97-106. В настоящем сборнике текст воспроизведен полностью с разрешения автора.

СЕРВЭ Вилли (Бельгия) — профессор, председатель комиссии по выработке рекомендации по преподаванию математики, принятой XIX Международной конференцией по народному образованию (Женева, 9-17.07.1956), на которой он сделал обзорный доклад по вопросам преподавания математики. Перевод (этого доклада) с французского М. 3. Кайнера опубликован в сборнике «Математическое просвещение» (Москва, 1957, вып. 1, с. 22—31). В настоящем сборнике этот текст воспроизведен с незначительными сокращениями.

СОЛОВЬЕВ Юрий Петрович (р. 1946) — известный отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор, механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Статья написана по просьбе составителя и публикуется впервые.

ТИХОМИРОВ Владимир Михайлович (р. 1934) — известный отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Статья представляет собой изложение пленарного доклада автора на Международной конференции «Проблемы реализации многоуровневой системы образования. Наука в вузах» (Москва); опубликована в Трудах этой конференции (М.: изд-во РУДН, 1999, с. 176-186). В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью с разрешения автора.

ФИЛИППОВ Виктор Борисович (р. 1943) — математик и издатель, кандидат физико-математических наук, директор Научного и издательского объединения ФАЗИС (Москва).

Статья публикуется впервые.

ХИНЧИН Александр Яковлевич (1894-1959) — выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР, академик АПН РСФСР.

Впервые статья была напечатана в сборнике «Математическое просвещение» (Москва, 1961, вып. 6, с. 7—28). Из других публикаций этой статьи отметим наиболее полную — в сборнике: А. Я. Хинчин, «Педагогические статьи» (Москва: изд-во АПН РСФСР, 1963, с. 128—160). В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью по инициативе H. П. Долбилина.

ШИЧАЛИН Юрий Анатольевич (р. 1950) — известный отечественный филолог-классик, доктор философских наук, старший научный сотрудник Института философии РАН, директор Греко-латинского кабинета, учредитель Классической гимназии (в которой древние языки, математика и Закон Божий составляют три основных блока дисциплин).

Заметка составлена специально для настоящего сборника и публикуется впервые.

РЕКОМЕНДАЦИЯ конференции министерствам народного просвещения, относящаяся к преподаванию математики в средних школах, — принята XIX Международной конференцией по народному образованию (Женева, 9—17.07.1956). Перевод с французского А. И. Маркушевича опубликован в сборнике «Математическое просвещение» (Москва, 1957, вып. 1, с. 15-22). В настоящем сборнике этот текст воспроизведен полностью по инициативе А. М. Абрамова.