МАТЕМАТИКА В I-III КЛАССАХ

Из опыта работы учителей

МАТЕМАТИКА В I—III КЛАССАХ

Из опыта работы учителей Белоярского района Свердловской области

Составитель М. И. Моро

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва — 1971

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом Министерства просвещения РСФСР

М-34

Математика в I—III классах. Из опыта работы учителей Белоярского р-на Свердловской обл. Сост. М. И. Моро. М., «Просвещение», 1971.

159 с. с илл.

ВВЕДЕНИЕ

Учителя начальных классов школы, которым адресован этот сборник, хорошо знают о широком педагогическом эксперименте, проводившемся в течение последних трех лет в школах Белоярского района Свердловской области, Тосненского района Ленинградской области и Суздальского района Владимирской области.

Целью этого эксперимента было проверить в практике массовой школы доступность и эффективность новой программы, а также возможность успешного обучения по этой программе при работе по новым учебникам и в соответствии с разработанными к нему методическими указаниями.

В ходе эксперимента учителя, принимавшие в нем участие, проявили подлинную заинтересованность в совершенствовании начального обучения, высокое чувство ответственности за порученное им дело.

Значительные трудности пришлось преодолевать учителям экспериментальных районов на первых порах, когда еще не была по-настоящему освоена новая программа, пока не разобрались до конца в новых видах упражнений, пока проходил тяжелый период психологической перестройки, перехода на новые методы обучения. Однако эти трудности были в основном преодолены уже на первом году работы. Во II и в III классах учителя вели занятия уже спокойно, уверенно, с пониманием целей и задач обучения, поставленных в новой программе, используя новые формы и методы обучения.

Успех трехгодичного эксперимента, хорошие результаты, полученные при обучении по новой программе, убе-

дительно показали преимущества новых программ, системы и методов обучения по ним, реализовавшихся в экспериментальных классах.

Проверяя в своем опыте новые программы и учебники, учителя-экспериментаторы вели серьезную исследовательскую работу. Они анализировали возникавшие в процессе обучения трудности, вскрывая их причины, и разрабатывали самостоятельно и с помощью руководивших экспериментом методистов такие приемы обучения, такую методику, которые позволили бы устранить возникшие затруднения или предупредить их.

Опыт, накопленный учителями-первопроходцами, и в частности учителями школ Белоярского района, несомненно может оказать помощь тем учителям, которые в настоящее время идут по проложенной ими дороге.

Предлагаемый сборник познакомит читателя с тем, как решались многие трудные вопросы методики обучения математике по новой программе (в сборник включены также некоторые материалы — статьи, уроки учителей школ № 76, 5, 65 г. Свердловска, приступивших к работе по новой программе на год раньше, чем учителя Белоярского района). Всего в сборнике 16 статей, 11 из них написаны учителями-практиками, 1 написана учителем совместно с методистом, 3—методистами, руководившими экспериментом в Белоярском районе, в течение трех лет изучавшими опыт работы учителей и обобщившими этот опыт в своих статьях.

В помещенных ниже статьях получили освещение все основные направления работы по новой программе. Это прежде всего работа над арифметическим материалом, и в частности формирование сознательных, прочных, доведенных до автоматизма навыков вычислений.

В статьях Н. В. Меленцовой, Т. Н. Федотовой показано, как при работе по новой программе должно вестись изучение табличных случаев сложения однозначных чисел. Авторы раскрывают систему работы над рассматриваемой темой, которая представлена в учебнике и методических указаниях к нему. Наряду с этим они указывают на обнаружившиеся в опыте некоторые недочеты в этой системе, связанные с недооценкой специальной работы над усвоением состава чисел первого десятка, табличных случаев сложения чисел при изучении темы «Сотня». В статьях показано, какие упражнения в какое время

полезно проводить для полноценного усвоения детьми табличного сложения. В статье Н. В. Меленцовой приведен протокол обобщающего урока по теме «Сложение и вычитание в пределах 10», который показывает, каково основное содержание рассматриваемой темы, какого рода вопросы ставятся перед детьми, какие упражнения проводятся с целью закрепления знания таблиц.

В статье Н. В. Меленцовой и М. И. Моро обсуждаются некоторые сложные в методическом отношении вопросы, возникающие при изучении умножения и деления во II классе. В ней показано на материале конкретных уроков, как решаются эти вопросы на практике. Своего рода дополнением к этой статье могут служить следующие похмещенные в приложении протоколы уроков:

1. Обобщающий урок, проведенный учительницей В. Г. Швецовой, перед уроком, посвященным составлению первой таблицы.

2. Урок на тему «Деление с остатком», проведенный Ю. Ф. Мальцевой.

3. Урок на тему «Умножение числа на 1», проведенный А. Н. Измоденовой.

Наконец, последняя статья 1-го раздела книги Г. Г. Конюховой рассказывает о том, как изучается во II классе распределительное свойство умножения, какое место занимают при работе по новой программе некоторые вопросы арифметической теории в курсе, каковы место и роль теории при обучении детей приемам вычислений, решению задач. Эти вопросы, естественно, затрагиваются в большей или меньшей мере во всех статьях рассматриваемого раздела.

Специальный раздел сборника (II) отведен методике обучения детей решению задач. Не претендуя на полноту освещения этих вопросов, авторы статей П. Ф. Колмогорова, Л. М. Колмогорова, 3. А. Шестунина и др. рассказывают о некоторых приемах работы над задачами. Большое внимание в этих статьях уделяется углубленному анализу текста задачи, использованию приема сравнения при обучении решению задач, руководству рассуждениями детей при разборе задачи и составлении плана ее решения.

Все эти вопросы имеют очень большое значение в методике обучения решению задач.

Методике работы над равенствами, неравенствами и уравнениями посвящены статьи Т. П. Трошковой, Н. А. Кокориной, Ю. А. Кочневой. В них подробно рассматриваются упражнения новых видов, используемые в целях формирования у детей понятий равенства, неравенства, уравнения, приводятся образцы рассуждений, пояснений, которые давали учащиеся по ходу выполнения упражнений разных видов. Все это очень важно заранее ясно представить себе учителю, впервые приступающему к работе по новой программе.

Ряд статей сборника (Г. В. Широковой, А. С. Кузнецовой, Г. А. Лагуновой, К. А. Шугановой) посвящен методике работы над геометрическим материалом. Эти статьи в совокупности охватывают почти всю программу для I—III классов, они останавливают внимание читателя на особенностях методики формирования у детей предусмотренных программой представлений, понятий, навыков, рассказывают о некоторых приемах работы, помогающих предупредить или преодолеть возникающие затруднения. Авторы некоторых из этих статей (А. С. Кузнецова, Г. А. Лагунова), проявив особенную заинтересованность геометрическим материалом и вызвав особый интерес к нему у учащихся, получили возможность предъявить к детям несколько более высокие требования в отношении четкости формулировок, оформления решения, доказательности проводимых рассуждений. Описанный в этих статьях опыт интересен, однако считать рекомендации авторов обязательными было бы неверно.

Общие требования к постановке работы с домашними заданиями сформулированы в статье заведующего учебной частью одной из лучших и самых больших школ Белоярского района П. А. Чичканова. В статье содержится ряд конкретных советов и примеров, касающихся методики разработки домашних заданий, их проверки и подготовки.

В статье А. Н. Шутовой описан ряд занимательных упражнений и игр, использовавшихся автором в работе с первоклассниками. Каждому учителю начальных классов хорошо известно, как велика роль элементов занимательности при обучении математике. Поэтому каждая крупица опыта в этом деле, несомненно, полезна.

Благодаря довольно большому числу (более 10) про-

токольных записей уроков, которые приводятся в сборнике, читатель получает возможность составить себе некоторое представление о том, как решалась в опыте учителей экспериментальных классов проблема урока.

Сборник из опыта работы учителей Белоярского района, естественно, не может претендовать на полноту и всесторонность освещения всех основных вопросов курса. Но рассматриваемые в нем вопросы, несомненно, являются важными, заслуживающими внимания учителя. Авторы этих статей — учителя — внесли немало собственного творчества, проявили немало инициативы в их решении.

Все статьи построены на фактическом материале, взятом из практики.

Многие из них содержат выдержки из протоколов уроков, проводившихся учителями, или полный текст таких протоколов. Отметим, что даже в тех случаях, когда, может быть, и можно было бы ограничиться для иллюстрации выдержками из уроков, мы старались приводить протоколы уроков полностью. Думается, что для читателей будет интересно, как решали их коллеги вопрос о том, как построить каждый отдельный урок, как отразить в нем в достаточной мере новый материал и вместе с тем обеспечить систематическое закрепление знаний, умений и навыков, приобретенных ранее. Первый опыт работы по новым программам показывает, что решение этих вопросов во многих случаях вызывает у учителей затруднения.

Уроки, протоколы которых приведены в сборнике, в основном, хорошие, но это не значит, что они даются в книге в качестве образца для подражания. Хотелось, чтобы при чтении этих протоколов читатель задумался. При этом он может, конечно, не согласится с учителем, проведшим урок, испробовать в своем опыте иное его построение или использовать если не все, то хотя бы некоторые из описанных приемов.

Во всех случаях, если предлагаемый сборник поможет учителям в решении хотя бы некоторых из новых и сложных вопросов методики, предупредит о возможных затруднениях и подскажет, как их избежать, то авторы и составитель книги будут считать свою задачу выполненной.

I. ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Н. В. Меленцова,

преподаватель Свердловского педучилища.

ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ И СОСТАВА ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ ДЕСЯТИ

Наблюдая работу по новой программе, замечаешь, что учителя, увлекаясь содержанием программы, новыми методическими приемами его изучения, забывают подчас о том, что всегда было и сейчас остается не менее важным — формирование у детей сознательных и прочных навыков вычислений. Особенно это относится к работе над табличными случаями сложения.

Между тем знание таблицы сложения однозначных чисел может и должно быть доведено до такого же уровня автоматизма, как и табличное умножение, иначе это будет тормозить процесс устных и письменных вычислений. С этим мы уже столкнулись и при работе над сотней в I классе, и в конце второго — начале третьего года обучения.

Например, выполняя вычисления в случае вида + 539 вместо того чтобы сразу сказать, что 6 + 9 — это 15, дети вспоминают прием сложения в пределах 20 с переходом через десяток. Здесь совершенно необходимо знание наизусть результатов табличного сложения: единицы каждого разряда должны складываться без промежуточных вычислений. Ученик должен знать таблицу на память, но это вовсе не означает, что его вообще не нужно знакомить с вычислительными приемами. Наоборот, навык должен быть осознан и лишь в дальнейшем автоматизирован. Необходимо, чтобы на любом этапе овладения навыком в случае затруднения ученик мог найти результат, используя известный ему прием сложения.

В этой статье мы рассмотрим работу над таблицей сложения в пределах 10 (рис. 1).

Рис. 1

Эта таблица содержит 45 случаев. Цифры в кружках — слагаемые: в левом столбце— первые, в верхней строке — вторые. Результат сложения находится на пересечении соответствующих строки и столбца.

Каждый из 45 случаев дети должны знать и для нахождения суммы соответствующих двух чисел, и для соответствующих случаев состава числа из двух слагаемых (3 + 4 = 7, 7 — это 3 и 4 и т. д.). Эти знания должны быть доведены до автоматизма — это одна из важнейших задач изучения табличного сложения.

Конечно, можно было бы предложить детям выучить наизусть все эти случаи, но мы стараемся облегчить детям усвоение таблицы, объединяя некоторые группы случаев и добиваясь усвоения детьми того общего, что их связывает.

Рассмотрим, какие именно группы случаев объединяются общим приемом вычислений, каковы эти приемы и в какой последовательности они изучаются в разделе «Десяток».

Используя известную детям операцию объединения элементов различных множеств и счета предметов, показываем, как образуется каждое следующее число (рассматриваются нумерационные случаи сложения вида а+1).

Начинаем с практических упражнений с разным дидактическим материалом. Например, положите слева 3 красных треугольника, а справа 1 синий. Объедините их вместе, сосчитайте, сколько всего стало треугольников.

Отложите 3 красных кружка, добавьте к ним еще 1. Больше их стало или меньше? Сколько всего кружков стало? Как это записать? (3+1=4.)

Положите 3 треугольника, ниже столько же кружков. Сколько положили кружков? Почему? Добавьте еще 1 кружок. Сколько стало кружков? Каких фигур стало больше?

Положите 3 палочки. Как получить 4 палочки? Что нужно для этого сделать? Как это записать? (3+1=4.) Какое число больше — 3 или 4?

Запись вычислений на этом этапе работы выполняется с помощью карточек с цифрами и знаками.

В дальнейшем такая же работа проводится по парам картинок. Дети сравнивают картинки, устанавливают, больше стало предметов или меньше, и осмысливают запись действия сложения. Затем они самостоятельно составляют примеры вида а+1 (в пределах 10) и по отдельным картинкам.

Дети должны усвоить, как можно получить число, следующее в ряду за данным (к предшествующему числу прибавить 1). Чтобы создать лучшие условия для соответствующих обобщений, полезно рассматривать числа в сравнении друг с другом.

В этой же теме усваиваются случаи состава чисел первого пятка и соответствующие случаи сложения, т. е. 1+2, 1+3, 2 + 2, 2 + 3 и 3+2.

Дети должны знать все способы получения числа в результате сложения двух чисел и все способы его разложения на два слагаемых. Например:

Методика работы над составом чисел и их образованием хорошо известна. Главное здесь — обеспечить достаточное число упражнений с разнообразным дидактическим материалом.

Полезно проделать упражнения, которые помогают усвоить состав чисел в определенной системе: перекладывание кружков по одному с одной полочки наборного полотна на другую, перекладывание по одной косточке на дуговых счетах, применение таблиц вида:

Полезны также упражнения следующих видов. Вставьте пропущенные числа:

Запишите все случаи на сложение двух чисел, которые дают в ответе 4 (5, 3 . . .).

Таким образом, после изучения первых пяти чисел дети усваивают на основе широкого использования наглядности 10 случаев из таблицы сложения (см. рис. 2). Каждый из этих случаев усваивается в двух направлениях (например, 2+1=3 и 3 — это 2 и 1).

При ознакомлении с остальными числами первого десятка дети усваивают принцип образования каждого следующего числа путем прибавления 1 к предыдущему, что используется для обобщения всех случаев вида а+1 (в пределах 10).

В теме «Сложение и вычитание в пределах 10» рассматривается ряд вычислительных приемов, дающих возможность уверенно выполнять сложение двух чисел в пределах 10. Кроме того, именно при изучении этой темы должно быть обеспечено твердое усвоение состава чисел первого десятка. Дети должны также научиться на этой основе решать любой пример на табличное вычитание (9—это 2 и 7, поэтому 9—7 = 2).

Формирование этих навыков и умений ведется примерно по такому плану:

1. На первом уроке по этой теме дети подводятся к выводу: «Если к числу прибавить 1 (единицу), то получится следующее число. Если из числа вычесть 1, то получится предыдущее число». На основе этого обобщения составляется таблица для случаев вида а + 1, ведется тренировка в решении примеров из этой таблицы не только по порядку, но и вразбивку. Здесь же должна быть проведена и специальная работа, направленная на усвоение соответ-

Рис. 2.

ствующих случаев состава чисел (5 — это 4 и 1,6—это 5 и 1, 7 — это 6 и 1 и т. д.).

2. Следующий этап в работе — знакомство с вычислительными приемами вида а + 2, а + 3, а + 4. Эти случаи сложения изучаются на основе знания состава чисел первого пятка и приема прибавления числа по 1 и группами. Наиболее важные основные случаи: а+1 и а + 2, так как, умея прибавлять 1 и 2, дети легко научатся прибавлять 3 и 4. Остановимся более подробно на методике изучения случаев вида а+2 (случаи а + 3 и а + 4 рассматриваются аналогично).

Вначале на ряде упражнений с дидактическим материалом знакомим детей с вычислительным приемом — показываем, как можно прибавить 2.

Например, отложите 3 красных кружка, прибавьте к ним 1 синий и еще 1 синий кружок. Сколько всего синих кружков прибавили? Сколько всего стало кружков? Запишем, что мы делали. Сколько было красных кружков? (3.) Как прибавляли синие кружки? (Сначала 1, а потом еще 1.) Сколько всего прибавили синих кружков? (2.) На доске появляется запись 3+1 + 1=3+2 = 5. Как можно сосчитать, сколько всего стало кружков? (3 да 1 получится 4, 4 да 1 получится 5. Значит, 3 + 2 = 5.)

Дальше решаем примеры такого вида с вычислением промежуточного результата. Например, 7+1 + 1(7+1=8, 8+1=9). Задаем вопросы: Сколько всего прибавили? Как это записать короче?

Вычисления полезно записывать не только так, как показано в учебнике:

7+1 + 1=9, 7+2 = 9,

но и в одну строчку: 7+1 + 1=7 + 2 = 9.

Это будет подготавливать детей к записи решения сложных примеров с объяснением.

Затем дается объяснение приема вычислений. С помощью наглядных пособий учитель иллюстрирует прием прибавления 2. Для такой иллюстрации лучше воспользоваться неполной предметной наглядностью, так как если оба слагаемых будут представлены предметно, то дети смогут найти сумму на основе счета и рассматриваемый прием не будет оправдан.

Учитель выставляет, например, на наборном полотне конверт с изображением ведра и под ним карточку с

цифрой 6. «Коля поймал 6 ершей, — говорит учитель, — и 2 окуня (показывает две карточки с изображением окуней). Как узнать, сколько всего рыб поймал Коля?» Иллюстрация не дает возможности сразу найти ответ. Выясняется, что для решения задачи нужно к 6 прибавить 2. Как это сделать? С этого вопроса начинается рассмотрение приема. Учитель (или кто-нибудь из учащихся) предлагает прибавить сначала 1 рыбку, а потом еще 1. На доске появляется соответствующая запись:

Для закрепления приема вычислений проводится письменное и устное решение примеров и задач, связанных с прибавлением 2. Затем следует выполнение упражнений, в которых требуется продолжить начатые вычисления. Например, 5 + 2 = 5+1+ ... (надо прибавить 2, а прибавили 1, сколько еще нужно прибавить?).

Затем даются упражнения вида:

поставьте вместо точек знак «больше» или «меньше»: 3 + 2 ... 3, 5 ... 5 + 2 (на основе рассуждений с последующей проверкой вычислением).

Запишите (или назовите) число, которое на 2 больше, чем 4, 8 и т. д.

Увеличьте числа 3, 4, 5 на 2. Как это записать?

На основе рассмотренных выше упражнений дети сознательно усваивают прием прибавления числа 2 и начинают применять его в различных условиях. Вместе с тем в ходе выполнения большого числа упражнений они начинают постепенно запоминать некоторые примеры из таблицы прибавления двух. Но этого недостаточно. Без специальной тренировки обеспечить прочное их усвоение нельзя. Необходимы упражнения, направленные специально на запоминание табличных случаев сложения и усвоения состава чисел. К сожалению, многие учителя на этом этапе работы, добиваясь усвоения вычислительных приемов, мало внимания уделяют тренировке, работе над составом числа.

В дальнейшем при изучении каждого нового вычислительного приема (например, а + 3 или а + 4) должны рассматриваться те случаи состава, которые соответствуют не только новому приему сложения, но и ранее изученным. Например, 5+3 = 8, значит, 8 —это 3 да 5 или 5 да 3. Можно поставить вопрос: как иначе можно составить

Рис. 3.

число 8? 8 —это 2 да..., 8 — это 1 да..., т. е. должны повторяться те случаи состава чисел, которые вытекают из рассмотренных ранее таблиц (а+1 и а + 2) в пределах 10.

Именно на этом этапе работы при изучении приема вычислений нужно в устных и письменных упражнениях применять все известные в методике приемы по отработке знания состава чисел и запоминания таблиц (о некоторых из них уже было сказано при изучении состава чисел первого пятка). Подбирая упражнения, надо учитывать, какие случаи состава к данному моменту уже известны детям, а какие нет. Например, можно дать упражнение 8+ ... = 10, но преждевременным было бы задание составить все примеры на сложение двух чисел с ответом 10.

После проведения нескольких уроков, на которых рассматривался и закреплялся вычислительный прием и отрабатывалось знание состава чисел, составляется таблица прибавления числа 2. Эту таблицу дети составляют самостоятельно и заучивают наизусть. На дальнейших уроках следует проверять не только объяснение приемов вычислений, но и знание изученных таблиц сложения и состава чисел.

После изучения сложения вида а + 2, а + 3 и а + 4 дети должны знать уже 30 случаев из таблицы сложения (рис. 3).

Все эти случаи надо заучить. Но вместе с тем дети должны осознать и то общее правило, с помощью которого может быть вычислен любой из этих результатов. Зная состав числа из двух слагаемых, можно прибавить это число по частям (так, дети практически знакомятся с применением сочетательного свойства суммы). К этому времени фактически оказываются уже рассмотренными все случаи состава чисел первого десятка. Действительно, состав чисел 1—5 был уже изучен при ознакомлении с каждым из этих чисел в теме «Нумерация». Состав чисел 6—10 изучается постепенно в связи с соответствующими

Рис. 4.

случаями сложения: изучили случаи прибавления 1 и соответственно те случаи состава чисел б, 7, 8, 9, которые записаны в верхней строке столбиков (см. рис. 4): 6 —это 5 и I, 7 —это 6 и 1, 8 — это 7 и I, 9 — это 8 и 1, 10 — это 9 и 1, изучили случаи прибавления двух — усвоили вторую строку в тех же таблицах и т. д.

3. Следующий вычислительный прием — прибавление чисел 5, 6, 7, 8 и 9 в пределах 10.

Прежде чем переходить к рассмотрению этих случаев сложения, надо познакомить детей с переместительным свойством сложения, которое даст возможность свести эти случаи к ранее изученным (например, новый случай 3 + 6 сводится к известному — 6 + 3). Познакомившись с самим свойством, дети выполняют в дальнейшем различные упражнения, связанные с его применением, делают вывод, что легче к большему числу прибавить меньшее. После этого все примеры, в которых требуется прибавить 5, 6, 7, 8 или 9 (в пределах 10), дети будут решать на этой основе. Рассуждать при этом они могут примерно так: чтобы к 3 + 7, используем перестановку слагаемых: 7 + 3 (так легче!) 7 + 3=10, значит, 3 + 7 = 10. Таким образом, необходимость в запоминании последних 15 случаев из таблицы сложения в пределах 10 отпадает (15 из 45).

Итак, изучение всех таблиц сложения строится приблизительно по такому плану:

1. Знакомство с приемом вычисления (вначале на практических упражнениях с дидактическим материалом). Главный вопрос при этом: как можно прибавить число?

2. Решение устных и письменных примеров, направленных на закрепление знания приема, на применение его в различных условиях. На этом этапе главное, чтобы дети научились правильно, без ошибок (хотя, может быть, и не очень быстро), вычислять результат.

3. Тренировочные упражнения в решении аналогичных примеров из соответствующей таблицы сложения. Цель — совершенствование навыков вычислений.

4. Подведение итога работы — составление соответствующей таблицы сложения, запоминание ее и работа над усвоением состава чисел.

После того как будут рассмотрены все таблицы в отдельности, наступает завершающий этап работы по усвоению табличного сложения в пределах 10.

Изучив все таблицы в отдельности, полезно выделить все те случаи табличного сложения, которые должны быть усвоены на память. Таких случаев всего 16:

Необходимо обратить внимание детей на то, что в каждом новом столбике таблицы остается все меньше примеров, так как остальные случаи могут быть получены перестановкой слагаемых в примерах, рассмотренных ранее.

До конца года над этой таблицей надо работать (полезно вывесить такую таблицу в классе). По ней можно проделать целый ряд упражнений, которые будут способствовать ее заучиванию: спрашивать таблицу не только по порядку, но и вразбивку, выделять все примеры с одинаковым ответом (все Они расположены в одной строчке), предложить назвать недостающие примеры в столбике и сказать ответ для каждого из них и др.

Важно на этом этапе работы повторять ряды чисел, которые образуются при прибавлении по 2, по 3, по 4. Можно составлять примеры цепочкой, когда один ученик придумывает первый пример, а другой решает его и про-

должает, составляя новый, начинающийся с полученного ответа, и т. д. (при составлении цепочек нужно, конечно, использовать не только сложение, но и вычитание).

Полезно предложить детям составить несколько измененные таблицы сложения, прибавляя к одному и тому же числу разные слагаемые, например, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 4.

Интересно специально выделить случаи состава чисел из равных слагаемых (4 — это 2 и 2,6 — 3 и 3, 8—4 и 4). Вопрос может быть сформулирован и иначе: «Можно ли данное число представить в виде суммы двух (или трех) одинаковых слагаемых?» (3 + 3 + 3 = 9,2 + 2 + 2 = 6 и др.).

Наряду с этим следует спрашивать и все случаи состава каждого числа и по порядку, и вразбивку, практиковать составление примеров по заданному ответу (кто больше составит!), дополнять до данного числа (среди всех случаев важно выделить дополнение до 10 как подготовку к вычислительным приемам в пределах 100). Почаще нужно использовать и составление таблиц вида:

С целью закрепления состава чисел часто используют игру «Молчанка». Ее можно проводить не только так, как рекомендуется в учебнике, но и по-другому. Например, задана сумма, а нужно подобрать такую пару из данных чисел, которая составит эту сумму (рис. 5).

В итоге работы учащиеся должны уже в основном усвоить таблицу сложения.

Хорошее знание состава чисел первого десятка необходимо для овладения приемом вычитания (в случаях

Рис. 5.

вида а — 5, а — 6, а — 7, а — 8. а — 9), который рассматривается сразу же после окончания работы над сложением. Приемы вычислений в этих случаях основаны на понимании связи между суммой и слагаемыми (если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое) и на знании состава чисел первого десятка.

Действительно, рассуждать по тому образцу, который подсказывается учебником (7 — это 5 и 2, значит, 7—5 = 2), ученик сможет только в том случае, если он хорошо знает, что 7 — это 5 и 2, а 9 — это 6 и 3 и т. п. Прежде чем переходить к рассмотрению этих случаев вычитания, необходимо обеспечить достаточно уверенное знание состава чисел первого десятка. Это можно сделать только при том условии, что работа над составом чисел будет вестись своевременно, при рассмотрении каждого нового случая сложения, и дети будут систематически выполнять упражнения, направленные на закрепление знаний состава чисел.

Отработка навыков сложения и вычитания при изучении темы «Десяток» ведется не только на основе решения разного рода примеров, но и в ходе решения задач (особенно велика роль задач при рассмотрении связи между слагаемыми и суммой).

В этой статье главное внимание было уделено той работе, которая направлена специально на выработку навыков сложения, на усвоение состава чисел, а вопросы, связанные с обучением решению задач, в ней не затрагивались. Но в практике работы они, конечно, связаны неразрывно.

Приведем протокол урока, проведенного учительницей школы № 76 г.Свердловска В. П. Чечулиной с целью закрепления и обобщения знания таблицы сложения и знаний, приобретенных детьми при решении разных видов задач на сложение.

Цель урока. Закрепление знания таблицы сложения в пределах 10 и состава чисел первого десятка, повторение всех видов задач на сложение.

Оборудование. Таблица сложения, наборные схемы-плакаты для краткой записи задач различных видов.

I. Учитель начинает урок с объявления его темы и цели:

— Продолжаем заниматься сложением и вычитанием. Сегодня повторим таблицу сложения, научимся пользоваться новой таблицей сложения, которая дана на этом плакате*, повторим разные виды задач, которые вы решали.

II. Проведем диктант. Я диктую, а вы записываете примеры и решаете их:

— 10 уменьшить на 2. (Дети записывают).

— Как ты записал пример? (10 — 2 = 8.)

— У кого по-другому записан или решен пример? (Таких не оказалось.)

— Почему нужно из 10 вычесть 2? (Вы сказали, что 10 надо уменьшить на 2. Чтобы уменьшить число, нужно вычесть из него 2.)

— Диктую: 7 увеличить на 3, найти сумму чисел 8 и 2, найти разность чисел 7 и 3, представить число 6 в виде суммы двух слагаемых (запись и решение каждого примера проверяются).

III. К доске вызываются два ученика, каждый из них получает карточку с заданиями и молча приступает к их выполнению.

Пока они готовятся к ответу, учитель проводит фронтальную работу с классом. На доске открывается прикрытая ранее запись:

Слагаемое

7

8

4

5

Слагаемое

2

3

6

4

Сумма

10

9

9

8

— Посмотрите на таблицу, что записано в первой строчке? (первое слагаемое), во второй? (второе слагаемое), в третьей? (сумма).

Учитель показывает указкой на соответствующие цифры и спрашивает: что такое 7? 2? Что неизвестно в этом

* Такая таблица помещена на обложке учебника «Математика» для I класса. (Прим. ред.)

столбике? (7 — первое слагаемое, 2 — второе, неизвестна сумма.)

— Что неизвестно во втором столбике? (Первое слагаемое.)

— Как можно узнать неизвестное слагаемое? (Из суммы вычесть другое слагаемое.)

— Я буду показывать вам столбик, а вы мне карточками будете показывать ответ. (Как только у кого-либо из детей ответ оказывается неправильным, учитель спрашивает его, что узнавал, каким действием, как считал.)

После окончания этой работы, которая заняла на уроке 3 минуты, учитель подводит итог:

— Что повторили по этой таблице? (Как находить неизвестное слагаемое.)

— Еще что? Что еще находим? (Как находить сумму.) Затем переходит к опросу учеников, работавших по

карточкам. Все дети следят за ответами.

Первый ученик читает свое задание: «Записать по 2 примера на сложение и вычитание с числами 7, 2, 9». Показывает на запись:

Учитель. Объясни, как ты из первого примера получил второй. (Я переставил слагаемые, а сумма та же осталась.)

— Как ты составил примеры на вычитание? (Я из суммы вычел сначала первое слагаемое и получилось второе, а потом вычел второе слагаемое и получилось первое.)

— Объясни, почему ты поставил знак «больше» или «меньше». На доске запись:

Ученик объясняет так: 2 + 5 = 7, а 2 + 6 = 8, 7 меньше чем 8.

Учитель просит объяснить не вычисляя, почему во втором случае поставлен знак «больше». (10 больше, чем 9 отняли по 2, где было больше, там больше и осталось.)

Ответ ученика оценивается.

Аналогично проходит опрос второго ученика, который работал по карточке со следующими заданиями:

1. Поставить вместо точек нужный знак:

2. Найти неизвестное число: 3 + х = 8 (ученик проводил сравнение выражений без вычислений, а кто-нибудь из класса делал проверку).

IV. Составление и решение задач.

Прослушайте задачу и запишите ее кратко в тетрадях, а вызванный ученик — на доске (вызывается ученик, который умеет хорошо записать условие) :

«На одной полке было 4 книги, а на другой 2 книги. Сколько всего книг было на двух полках?»

На доске (и в тетрадях) по ходу разбора текста задачи делается краткая запись:

— Что известно в задаче и что нет? (Известны слагаемые, а неизвестное число — сумма.)

— Каким действием решается задача? (Сложением.)

— Запишите формулу решения. (х = 4 + 2.)

— Составьте задачи по кратким записям и запишите их решения:

После того как работа выполнена, она проверяется:

— Расскажи свою задачу и ее решение. (На первой полке было 4 книги, а на второй на 2 книги больше. Сколько книг на второй полке? Я к четырем прибавил 2 и получилось 6. На второй полке 6 книг.)

— Почему ты решал задачу сложением? (На второй полке было на 2 книги больше, чем на первой. Нужно узнать большее число, поэтому нужно прибавлять.)

— Каким действием решили вторую задачу? (Вторая задача решается так же: 4 + 2 = 6, 6 книг.)

— Почему и эта задача решается сложением? Ведь в ней говорится, что где-то меньше книг? (В задаче сказано, что на первой полке меньше книг, а узнать надо про вторую полку, а на ней на 2 книги больше, как и в той задаче. Поэтому и решаются они одинаково.)

— Сравните решения всех трех задач. Что вы заметили? (Все три задачи решаются одинаково.)

— Сравните записи условий. Они одинаковы? (Нет, условия у этих задач разные.)

— Мы повторили с вами разные виды задач, которые решаются сложением. Достаньте листочки, на которых вы должны были записать цену тетради, карандаша, альбома, линейки, покажите их. Используя эти данные, составьте задачи трех видов на сложение и решите их устно.

V. Учитель говорит: «Повторим теперь сложение по таблице нового вида (вывешивает плакат с таблицей сложения в пределах 10)» — и с помощью уголка (сделанного из двух скрепленных под прямым углом линеек) показывает, как пользоваться таблицей.

— В левом столбике в кружках записаны первые слагаемые, а в верхней строчке, в треугольниках,— вторые. На таблице показано, как найти сумму чисел 5 и 3. Найдем сумму чисел 6 и 4, 8 и 1, 3 и 4 (учитель показывает уголком в таблице, а дети называют ответ).

Затем одни ученики задают примеры, а другие ищут ответы в таблице.

— Проверьте по таблице, что 3 + 4 = 4 + 3, что 6 + 2 = 2 + 6 (вызванный ученик показывает соответствующие случаи в таблице).

— Посмотрите теперь, как по данной сумме можно узнать, какие были слагаемые (показывает: сумма 8, слагаемые 2 и 6).

— Посмотрим, при сложении каких двух чисел получается 8 (с помощью уголка показывает соответствующие случаи, дети называют слагаемые).

— Найдите по таблице и запишите все примеры на сложение двух чисел с ответом 10 (начинайте с левого нижнего угла таблицы).

Дети самостоятельно записывают соответствующие примеры.

— Дома запишите все такие примеры с ответом 6.

— Подведем итог: что мы повторяли сегодня и что нового узнали? (Узнали новую таблицу, как по ней находить сумму и слагаемые, повторили задачи на сложение.)

Полезно провести в конце изучения темы такой же урок.

Упражнения, направленные на закрепление знания

таблицы сложения в пределах 10, на усвоение состава чисел и умение решать соответствующие примеры на вычитание, должны проводиться и на всех следующих уроках. Особенно важно не забыть о них на уроках, посвященных ознакомлению учащихся с нумерацией в пределах 100, чтобы ко времени изучения приемов сложения и вычитания в пределах 100 было уже обеспечено отличное знание табличного сложения и вычитания в пределах 10.

Т. Н. Федотова,

учительница средней школы № 18 Белоярского района,

ИЗУЧЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ СЛОЖЕНИЯ В ТЕМЕ «СОТНЯ»

В теме «Сложение и вычитание в пределах 100» рассматриваются случаи сложения однозначных чисел с переходом через разряд вида 7 + 5, 8+6 и др. Это — случаи из таблицы сложения.

На характеристике всей системы изучения сложения в пределах 100 на основе свойств действий мы подробно останавливаться не будем. Напомним только, что первые случаи сложения в пределах 100, рассматриваемые в этой теме (вида 40 + 2, 42+20, 42 + 8), являются внетабличными. Запоминания их не требуется.

Только в III четверти, после ознакомления с правилом прибавления числа к сумме и суммы к числу, дети снова встретятся с такими случаями, которые должны быть усвоены на память.

Для перехода к рассмотрению этих случаев (вида 7 + 5), кроме знания правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, потребуется еще и другая предварительная подготовка.

Прежде всего необходимо обеспечить прочное усвоение состава чисел первого десятка, поэтому на уроках, предшествующих изучению новых случаев табличного сложения, важно снова вернуться к этому, проводя упражнения тех видов, которые выполнялись при закреплении знания состава чисел в теме «Десяток».

Специальное внимание уделяется дополнению до 10. Учащимся давались такие упражнения:

а) заполнить таблицу:

Слагаемое

1

2

3

4

5

6

7

8

Слагаемое

Сумма

10

10

10

10

10

10

10

10

б) дополнить до 10 каждое из чисел данного ряда: 7, 5, 8, 4, 9, 6, 1, 3, 2 и др.

Непосредственной подготовкой к раскрытию приема является решение самым удобным способом примеров вида.

7+(3 + 4), 6+(5 + 4).

Так как учащиеся уже научились дополнять число до 10, то, когда им был дан такой пример, они сами свободно объяснили его решение так: «Удобнее к 7 прибавить первое слагаемое 3, а к полученному результату добавить второе слагаемое 4».

На вопрос: «Почему вы считаете, что так удобнее?» — ответили: «К 7 прибавим 3, мы дополним число 7 до десятка, а к 10 легко прибавить любое однозначное число».

Для раскрытия приема использовалось специальное наборное полотно с двумя рядами карманов по 10 в каждом (рис. 6).

На первом уроке, на котором раскрывался прием вычислений вида 7 + 5, были даны подготовительные упражнения:

Рис. 6.

1) дополнить до 10: 2, 9, 1. 8, 5, 3, 7, 4, 6;

2) решить самым удобным способом:

На доске записаны примеры: 9 + 3 = . 8 + 5 = . Вызывается к доске ученик.

— На наборном полотне в первом ряду отложи 9 кружков.

— Сколько кружков надо прибавить к 9? (3.)

— Сколько кружков можно еще вставить в первом ряду? (1.)

— Сколько получится? (10.)

— Как по-другому можно сказать? (Десяток.)

— Сколько еще надо прибавить? (2.)

— Эти два кружка вставим в другом ряду.

— Сколько всего кружков получили? (12, один десяток да две единицы).

— Посмотрите внимательно на наборное полотно и скажите, как мы к 9 прибавили 3. (К 9 прибавили сначала 1, а потом 2.)

— Что мы сделали, когда к 9 прибавили 1? (Дополнили 9 до десятка.)

— Как получили числа 1 и 2? (Второе слагаемое 3 заменили суммой двух слагаемых 1 и 2.)

Из сказанного видно, что дети к этому времени должны хорошо знать состав чисел в пределах 10. Нельзя переходить к новому вычислительному приему, если недостаточно прочно отработан этот материал. При объяснении вычислительного приема здесь появляется новая формулировка: удобные слагаемые. До сих пор учащимся приходилось раскладывать число только на разрядные слагаемые, а теперь в одних случаях они будут заменять число суммой разрядных слагаемых, а в других случаях — суммой других слагаемых с учетом особенностей примера.

После выполнения операций с предметами вызванный к доске ученик записал:

Аналогично рассмотрели решение примеров 8 + 5, 6 + 7, 8 + 4 и др. Затем сделали вывод о том, как прибавляли (заменяли второе слагаемое суммой удобных слагаемых так, чтобы одно из них дополняло до 10 первое слагаемое, а потом прибавляли каждое слагаемое в отдельности).

Таким образом, на первом же уроке был сразу, на основе рассмотрения различных примеров, сформулирован общий прием прибавления с переходом через десяток, относящийся к случаям прибавления к числам 9, 8, 7 и т. п.

На последующих уроках учащиеся объясняли решение таких примеров устно, а записывали только ответы. На этих уроках мы рассматривали уже отдельно сначала все случаи прибавления с переходом через десяток к 9 (один урок), затем к 8 (еще один урок) и, наконец, к 7 и 6 (на одном уроке). На каждом уроке составлялась соответствующая таблица и проводились специальные упражнения, направленные на их разучивание. Наряду с ними на этих уроках решались и другие примеры, при объяснении которых снова повторялся общий прием перехода через десяток. Кроме способа, рассмотренного ранее (когда заменялось суммой удобных слагаемых второе из складываемых чисел), дети сами предложили и другие способы рассуждений.

Покажем, как рассуждали учащиеся на примере сложения чисел 7 и 8.

В соответствии с рассмотренным приемом ученик объясняет решение так:

Заменю число 8 суммой удобных слагаемых. Здесь удобно, чтобы первое слагаемое было 3 (потому что оно дополнит 7 до 10), а второе слагаемое — 5.

Прибавлю к 7 сначала первое слагаемое (3), а потом к полученному результату— второе слагаемое (5). 10-1-5 получится 15.

(Конечно, не всегда и не все ученики дают в этих случаях подробное объяснение, но такой прием вычислений они используют.)

Другой ученик может дать такое решение:

Заменю 7 суммой удобных слагаемых. Здесь удобными будут 2 и 5, потому что 2+8=10.

Прибавлю 8 к первому слагаемому, а к полученному результату — второе слагаемое.

В этом случае использовалось правило прибавления числа к сумме.

Наконец, предлагали дети и такое объяснение:

Использую перестановку слагаемых. Представлю 7 в виде суммы удобных слагаемых (2 + 5) и применю правило прибавления суммы к числу.

Применяя в процессе решения таких примеров изученные ранее правила, учащиеся сознательно выбирают вычислительные приемы. Сознательность усвоения проявляется в том, как легко дети разбираются в дальнейшем при решении более трудных примеров вида 28 + 6 и даже 37 + 48, используя и в этих случаях знакомые правила и прием дополнения до десятка (или до ближайшего круглого числа).

Специальное внимание должно быть вместе с тем уделено не только правильности, но и быстроте вычислений, запоминанию табличных результатов.

После уроков, на которых рассматривается сложение однозначных чисел с переходом через десяток, ученики должны запомнить 20 новых для них примеров из таблицы:

Для запоминания этих случаев необходимо сказать детям, какие примеры им нужно выучить. Необходимо также проводить специальную тренировку в разучивании этих таблиц.

Покажем, как приблизительно может быть проведена такая работа, на примере одного из уроков по закреплению пройденного (проведенного после изучения всех случаев сложения однозначных чисел с переходом через десяток) . На этом же уроке проводилась и подготовка к рас-

смотрению более трудных примеров на сложение с переходом через десяток в пределах 100.

1. Сообщается тема урока, повторение разных случаев сложения с переходом через десяток и составление таблицы.

2. Предлагается дополнить до круглых десятков каждое из чисел, записанных на доске (18, 27, 29, 56, 73, 86). Дети отвечают, например, так: 18 + 2 = 20, 73 + 7 = 80 и т. п.

3. Затем диктуются примеры, а дети записывают их и решают: «К 18 прибавить сумму чисел 2 и 5». Вызванный ученик комментирует решение: «Удобнее к 18 прибавить первое слагаемое (2), а потом еще 5. 18 и 2 — это 20, 20 да 5 — 25».

Аналогично разбираются примеры вида

4. Дается на доске пример: 9+2. Вызванный ученик решает его с объяснением приема. Дети записывают пример в тетради. Следующий ученик пишет под первым примером новый — 9 + 3 и объясняет (устно) его решение. Ответ записывается.

Записываются еще 2 примера в столбик 9 + 4 и 9 + 5 и предлагается детям решить их самостоятельно, проверяются ответы.

— Какой следующий пример нужно записать в этом столбике? (9 + 6.) А потом? (9 + 7.)

— Запишите все случаи прибавления к 9 однозначного числа с переходом через десяток.

При проверке учащиеся читают ответы.

— Что вы заметили, дети, как изменяется сумма? (Увеличивается на 1.)

— Почему сумма в этих примерах увеличивается на 1? (Потому что первое слагаемое все время было 9, а второе увеличивалось на 1.)

5. Предлагается открыть учебник на странице 169, где дана таблица сложения однозначных чисел с переходом через десяток.

— Рассмотрите второй столбик. Чем похожи примеры этого столбика? (Это таблица прибавления к 8.)

Объясни решение примера 8 + 5. (Заменю 5 суммой удобных слагаемых 2 и 3. Они удобны, потому что 2 дополняет 8 до 10. 8 + 2=10 да еще 3, получится 13.)

— Как удобнее сложить числа 7 и 4? 8 и 6?

— Найдите в таблице и прочитайте все примеры с ответом 12, 13. Мы рассмотрели таблицу сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эти примеры нужно не только уметь объяснить, но и запомнить.

6. Переходим к решению задачи: «У хозяйки было 6 ножей, вилок на 4 штуки больше, чем ножей, а ложек столько, сколько ножей и вилок вместе. Сколько ложек было у хозяйки?»

— Разбираем условие задачи по вопросам и одновременно делаем краткую запись.

— О чем говорится в задаче? (О ножах, вилках и ложках.)

— Что в задаче известно? (Ножей было 6.)

— Известно ли, сколько было вилок? А что сказано про число вилок? и т. п.

Записав задачу кратко, выясняем, можно ли сразу ответить на вопрос задачи, почему нельзя, что для этого нужно узнать сначала, можно ли это узнать...

После этого разбора составляем план решения.

Один из учеников говорит, что узнаем сначала, что потом, а другой — уточняет, как это можно узнать.

1-й ученик. Сначала узнаем, сколько было вилок.

2-й ученик. Для этого к 6 прибавим 4, потому что ножей было 6, а вилок на 4 больше.

1-й ученик. Вторым действием узнаем, сколько было ложек.

2-й ученик. Ложек было столько, сколько ножей и вилок вместе. Ножей было 6, а вилок (6 + 4). Сложим 6 и (6 + 4) и получим ответ на вопрос задачи.

Дети записывают решение в тетрадях.

7. После проверки решения задачи проводим устное решение примеров из упражнения № 5 (стр. 170 учебника).

Первые примеры решаем по учебнику, а потом —со слуха.

Задание на дом: записать таблицы прибавления к 8, 7, решить задачу № 3 (аналогичная решенной в классе).

В заключение хочется еще раз подчеркнуть: при работе по новой программе большое значение придается сознательности в усвоении вычислительных приемов, пониманию того, на чем основан каждый из них,— на это нацелена и новая система изучения сложения и вычитания в пределах 100 и новая методика.

Навыки табличного сложения и вычитания должны быть доведены до автоматизма. Это одна из важнейших задач первого года обучения. Для успешного ее решения необходимо наряду с новыми методическими приемами использовать и то лучшее, что было накоплено в методике раньше.

Н. В. Меленцова, М. И. Моро.

ИЗУЧЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ВО II КЛАССЕ

В связи с изменениями, которые при работе по новой программе должны быть внесены в систему изучения умножения и деления, многие учителя испытывали поначалу трудности. Казалось странным в течение длительного времени работать над умножением и делением и не переходить к составлению и изучению самих таблиц.

Некоторые учителя, уже работая над темой, еще не понимали, на какой основе должны выполняться те упражнения, которые предлагаются в учебнике для первого этапа работы (до изучения таблиц). Было неясно, каким способом решать конкретные задачи на деление, как должны выполняться упражнения на сравнение выражений, в состав которых входят различные случаи умножения чисел. Например,

8-9 + 8* 8-10, 24-6—24* 24-5, 9-18* 8-18 и др.

Не зная таблицы умножения, дети должны выполнять задания вида: вычислить результат каждого примера, пользуясь результатом предыдущего:

Трудности при изучении темы «Умножение и деление» были связаны с тем, что, помимо работы над вопросами, относящимися непосредственно к этой теме, учителю приходилось постоянно заниматься закреплением и дальнейшим развитием многих вопросов, рассмотренных ранее и непосредственного отношения к теме не имеющих.

К таким вопросам относятся: решение новых, более сложных уравнений, упражнения на нахождение числовых значений буквенных выражений (постепенно усложняющихся видов), ознакомление детей с элементами

буквенной символики (запись с помощью букв свойств действий, особых случаев действий и др.), большой и довольно сложный геометрический материал.

Такое разнообразие вопросов, которые учитель должен все время держать в поле своего зрения, вызывает немалые трудности при построении уроков.

Однако в ходе работы учителя экспериментальных классов осознали и оценили особенности новой системы изучения умножения и деления, овладели методикой объяснения новых видов упражнений, характерных для каждого этапа работы над темой.

В результате к концу изучения темы все учителя единодушно пришли к выводу, что новая система работы обладает значительным преимуществом по сравнению с прежней. Особенно важным учителя считали то, что, благодаря более раннему знакомству с переместительным свойством произведения и хорошему пониманию связи между умножением и делением, при изучении таблиц возникла возможность ограничиться заучиванием одной только таблицы умножения, построенной по постоянному множимому.

Результаты неоднократных проверок показали, что дети, зная наизусть одну таблицу, уверенно используют ее при решении любых примеров не только на умножение, но и на деление. Несмотря на сокращение общих сроков работы над темой, навыки умножения и деления оказались выше, чем удавалось достичь прежде.

Покажем, как выглядела работа над этой темой в практике учителей II класса школ Белоярского района и отдельных школ г. Свердловска.

Знакомство с умножением начинается с раскрытия смысла этого действия и проводится на конкретном материале. Можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно найти сумму одинаковых слагаемых. Подобрать задачу следует так, чтобы ее содержание было легко показать наглядно. Затем, опираясь на знания, приобретенные в I классе, дети сначала напишут решение этой задачи сложением, прочитают этот пример так, как читали его в I классе («по... взять... раз»), и запишут короче*.

* Если учитель в I классе не познакомил детей с записями вида: 6-3, то это нужно сделать во II классе на примере решения конкретной задачи.

Отправляясь от конкретной задачи, учителю легче будет довести до сознания детей, что означает каждое из чисел в этой записи, и ввести соответствующие термины (множимое и множитель). На примере такой задачи дети лучше поймут и смысл действия умножения, его связь со сложением. Покажем, например, как может выглядеть такая работа на практике. Для иллюстрации приведем выдержки из протокольной записи урока, проведенного учительницей средней школы № 1 поселка Белоярский Е. Г. Пантелеевой.

— Будем решать задачу. Слушайте внимательно: «Продавец отсчитал покупательнице 4 раза по 2 яблока. Сколько всего яблок он отсчитал?» Что в задаче известно? (Что продавец отсчитал 4 раза по 2 яблока.) Что нужно узнать? (Сколько всего яблок он отсчитал.) Зарисуйте в тетрадях условие этой задачи, а Коля сделает рисунок к задаче на доске. Рисуйте яблоки в одной строчке. Когда рисунки выполнены, учитель спрашивает:

— По скольку яблок давал продавец каждый раз? (По 2 яблока.)

— Сколько раз по 2 яблока он давал ? (4 раза.)

— Каким действием можно узнать, сколько всего яблок он дал? (Сложением, нужно к 2 прибавить 2, 2 и еще 2, получится 8.)

На доске появляется запись: 2 + 2 + 24-2 = 8. Ответ: 8 яблок.

— Чем интересна записанная сумма? (В этой сумме все слагаемые одинаковые.)

— Вспомните, как в I классе мы короче записывали такую сумму? Как показать, что по 2 надо взять 4 раза? (2-4 = 8.) Запишите рядом с прежним решением и такое (запись делается и на доске, и в тетрадях).

— Для решения этой задачи нам пришлось найти сумму одинаковых слагаемых. Решим еще такую задачу: «1 булочка стоит 7 коп. Оля купила 3 такие булочки. Сколько копеек она заплатила?»

— Что означает число 7 в условии задачи? число 3?

— Как можно записать решение этой задачи? (7 + 7 + 7 = 20.)

Учитель предлагает ученику пересчитать, и тот сам исправляет свою ошибку.

— Как можно записать по-другому решение этой задачи? (Вызванный к доске ученик записывает: 7-3 = 21.)

— Почему так можно записать? (Потому что нужно по 7 взять 3 раза, так можно записать потому, что нужно найти сумму трех одинаковых слагаемых.)

— Видите, дети, и для решения этой задачи пришлось находить сумму одинаковых слагаемых. Чтобы узнать, сколько заплатили за 3 булочки, пришлось 7 коп. повторить слагаемым 3 раза, а если бы нам нужно было узнать, сколько стоят 15 булочек или 60 булочек, то пришлось бы складывать 15 семерок или 60 семерок. Это очень долго, и легко ошибиться. Но есть специальное действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых легче и быстрее. Это действие называется умножением. К изучению действия умножения мы с вами и приступаем. Запись, которую мы использовали, когда хотели записать короче пример на сложение одинаковых слагаемых, и есть запись умножения.

— Как вы прочитаете такую запись: 5*4? (По 5 взять 4 раза.)

— Правильно, а теперь мы будем читать эту запись и так: «5 умножить на 4».

— Прочитайте примеры, записанные на доске, используя слово «умножить» (обращает внимание детей на записанные заранее на доске примеры):

(дети читают: 6 умножить на 3, по 3 взять 4 раза, 3 умножить на 4).

— Что означает «6 умножить на 3», как это можно понять? (По 6 взять 3 раза, 6 + 6 + 6.)

— Запишем эти примеры и решим их. Вызванный к доске ученик пишет:

— Вы записали примеры на умножение, а решили их сложением. Рассмотрите эти примеры и объясните, что означает в первом примере число 6 и число 3? (6 — число, которое складываем, а 3 — сколько раз берем по 6.)

— Что означает число 3 во втором примере? (Здесь число 3 показывает, что надо брать по 3.)

— Правильно. Запомните, что на первом месте пишется то число, которое показывает, какие должны быть слагаемые. Это множимое. (Записывает на доске над примерами.) Второе число в записи умножения показывает, сколько таких слагаемых нужно взять. Это множитель. (Пишет.) Результат умножения — произведение. Посмот-

рите на нашу запись и скажите, чему равно произведение чисел 6 и 3? (Произведение чисел 6 и 3 равно 18. Записывает название над результатами.)

— Назовите множимое, множитель и произведение во втором примере (множимое 3, множитель 4, произведение 12). 3-4 (показывает на запись) тоже называется произведением. Если записано (пишет) 7«2= 14, то можно прочитать эту запись так: «Произведение чисел 7 и 2 равно 14». Как еще можно прочитать этот пример? (По 7 взять 2 раза, получится 14, 7 умножить на 2, получится 14.) Запишите произведение чисел 4 и 3. Вычислите, чему равно это произведение (дети работают самостоятельно.)

Учитель записывает в это время на доске:

При проверке самостоятельной работы используются разные формулировки (по 4 взять 3 раза, 4 умножить на 3, произведение чисел 4 и 3 равно 12).

— Спишите с доски те примеры, в которых сумму нескольких слагаемых можно заменить произведением, и сделайте это. (Дети работают самостоятельно.)

При проверке выясняется, почему во втором и в четвертом примерах сумма не может быть записана в виде произведения. Примеры на умножение прочитываются с использованием терминов «множимое», «множитель», «произведение».

На следующих уроках дети снова и снова будут возвращаться к рассмотрению связи между сложением и умножением. Помимо решения задач и замены суммы произведением и наоборот, здесь вводится ряд новых упражнений. Так, например, детям предлагается сравнить два выражения. Приведем некоторые примеры таких упражнений вместе с пояснениями, которые дают учащиеся при их выполнении:

Возможны разные подходы к решению:

1. Наиболее простой способ заменить оба сравниваемых произведения суммами (удобно записать соответствующие примеры один под другим) так:

Сравнив суммы, легко заметить, что во второй из них одной тройкой больше, чем в первой, а из этого следует, что 3-7 больше, чем 3-6.

2. Не заменяя произведения суммами, рассуждаем так: 3 • 6 означает по 3 взять 6 раз, иначе говоря, сложить 6 троек, 3-7 — 7 троек, на одну тройку больше. Этот путь короче, а в случае, если такое рассуждение затруднит кого-либо из учеников, всегда можно вернуть его к более простому первому. Аналогично разбираются упражнения вида 6-4* 6 + 6 + 6.

Впервые встретятся второклассники с такими упражнениями: сравните примеры каждого столбика и решите второй пример, пользуясь результатом предыдущего:

Результат умножения в первом примере дан (ученик может, конечно, если захочет, проверить правильность данного решения, вычислив результат с помощью сложения). Сравнив оба примера (1 пары), ученик придет к выводу, что в первом примере по 6 взяли 7 раз и получили 42, а во втором — 8 раз, т. е. во втором примере должно получиться на 6 больше, чем в первом (к 42 нужно прибавить еще одну шестерку):

Аналогично может быть решен вопрос и по отношению ко второй паре примеров. (В данном случае результат первого примера нужно будет уменьшить на 7, так как 63 получилось в результате сложения 9 семерок, а во втором примере нужно набрать 8 семерок, т. е. на одну семерку меньше.) Отметим, что ответ, полученный на основе подобных рассуждений, всегда может быть проверен учеником, если он понимает смысл умножения.

Новизна этих упражнений приводит иногда к тому, что учитель рассматривает их как новый материал, который надо объяснить, закрепить и т. п. Некоторые учителя даже жаловались на недостаток времени для отработки умения выполнять такие упражнения, на то, что их мало в учебнике. Между тем в этом нет никакой необходимости. С самого начала надо иметь в виду, что эти упражнения не содержат в себе никакого нового материала. Они требуют только ясного понимания смысла действия ум-

ножения, его связи со сложением и помогают учителю выяснить, хорошо ли усвоен этот материал детьми. Время от времени надо возвращаться к этим упражнениям в течение всего года. Особенно полезны они будут при составлении и изучении таблиц.

Параллельно с работой, направленной на усвоение детьми связи между умножением и сложением, продолжается и решение конкретных задач на деление.

В течение 30 часов, отводимых на подготовку к составлению и изучению таблиц умножения, все задачи на деление рекомендуется решать, опираясь на наглядность на основе практических действий с предметами или с использованием схематических рисунков.

Так же должны решаться и примеры на деление. В методических указаниях к работе по математике во II классе* говорится об этом определенно, но, к сожалению, не показано, как проводить такую работу в классе. Наблюдая за работой учителей, убеждаешься, что это вызывает у них затруднение. Действительно, когда задача решается коллективно, то довольно легко организовать такое наглядное решение, но тогда, когда задача или примеры на деление решаются детьми самостоятельно, трудно и организовать, и тем более проверить такую работу. По нашим наблюдениям, лучше всего это получилось у учителей, которые для иллюстрации деления на равные части и деления «по содержанию» использовали не дидактический материал (как это делалось в I классе), а условный, схематический рисунок. Рисунок можно использовать и при коллективном, и при самостоятельном решении задач и примеров на деление.

Например, решается задача: «На каждый конверт надо было наклеить по 2 марки, а у Нади было 8 марок. На сколько конвертов хватит этих марок?».

Учитель предлагает детям зарисовать условно задачи, обводя вместо каждой марки одну клетку, а вместо конверта — прямоугольник. Ученик рисует 8 «марок», а затем рассуждает так: «Марки наклеивали по 2 на конверт. Возьму 2 марки и наклею их на первый конверт (перечеркивает 2 марки из восьми нарисованных, рисует конверт и 2 марки на нем)». Так же продолжает решение:

* М. И. Моро, М. А. Бантова. Методические указания к работе по математике во II классе, изд. 2, испр. М., «Просвещение», 1969.

Рис. 7.

зачеркивает еще 2 марки из данных, рисует второй конверт с марками и т. д., пока не кончатся все марки. Рисунок в тетради ученика будет иметь следующий вид (рис. 7).

По этому рисунку легко ответить на вопрос задачи. Решение и ответ записываются: 8:2 = 4.

Ответ: на 4 конверта.

Решение задачи на деление с помощью рисунка может быть проведено и в том случае, когда задача требует деления на равные части.

Например: «9 кусков сахара разложили поровну в 3 стакана. Сколько кусков сахара положили в каждый стакан?»

Дети зарисовывают схематично условие (на первых порах учитель показывает, как это сделать) (рис. 8):

Затем дети начинают «раскладывать» сахар в стаканы. Стаканов 3. Поэтому берем сразу 3 куска и кладем их по 1 в каждый стакан (на рисунке отделяются и зачеркиваются 3 куска и в каждом стакане рисуется 1 кусок) (рис. 9):

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Затем так же раскладываются еще 3 куска и, наконец, зачеркивается последняя тройка кусков, и рисунок приобретает вид (рис. 10).

По этому рисунку легко может быть проведено решение задачи и получен ответ: 9:3 = 3.

Ответ: по 3 куска.

При решении задач (и примеров) на деление рисунки используются таким образом не только для иллюстрации текста задачи, но и как средство ее решения (необходимость в таком использовании рисунка отпадает только тогда, когда дети смогут решать задачи на деление, опираясь на знание соответствующих случаев табличного умножения и знание связи между делением и умножением).

При изучении переместительного свойства умножения у детей не возникает значительных трудностей, если только подготовить вывод на достаточном числе конкретных наглядных примеров.

Многие учителя на этих уроках проводили практические упражнения в подсчете числа клеток, на которые разбит данный прямоугольник. Чаще всего работа проводилась так: учитель раздавал детям различные прямоугольники, вырезанные из клетчатой бумаги, и каждый ученик должен был подсчитать, на сколько клеток разбит прямоугольник. Для этого подсчитывалось, сколько клеток в одном столбике (например, 4) и сколько таких столбиков (например, 3). Результат подсчитывался устно с помощью сложения (4 + 4+4=12) и записывался в нижнем правом углу листка. Затем ученик перевертывал листок обратной стороной и решал эту же задачу другим способом, записав решение умножением.

В дальнейшем учитель приучал детей, пересчитывая клетки, нумеровать их. Приведем образцы выполнения таких заданий (на рис 11 изображены лицевая и обратная стороны двух листков бумаги).

Рис. 11.

Выполнение таких упражнений способствовало закреплению знания переместительного свойства произведения. С другой стороны, они, как это будет показано ниже, служили хорошей подготовкой к изучению таблицы умножения, а в дальнейшем — к рассмотрению темы «Измерение площади» в III классе.

После изучения переместительного свойства произведения рассматривались задачи на нахождение неизвестного компонента умножения и деления, обобщались два вида задач на деление и благодаря этому подготавливалась почва для рассмотрения таблиц.

Дети знакомились в это время с целым рядом упражнений, которые непосредственно подводили к использованию различных приемов составления таблиц (составление примеров на деление по данному примеру на умножение, решение примера вида 6 • 8 на основе использования данного значения произведения 6 • 7 = 42 и т. п.). До составления таблиц рассматриваются случаи умножения 1 и на 1. (См. протокол урока А. Н. Измоденовой, на стр. 154 настоящей книги.)

Перед тем как перейти к составлению первой таблицы, некоторые учителя проводили специальные уроки, имевшие целью закрепление приобретенных знаний, умений и навыков, подведение итога той большой подготовительной работы, которая была выполнена.

Приведем для иллюстрации протокольную запись такого урока, проведенного учительницей школы № 5 г. Свердловска Е. М. Колесниченко.

Учитель начинает урок с сообщения его цели:

— Сегодня мы повторим с вами все, что узнали о действиях умножения и деления. Вспомним прежде всего, что это за действия. Посмотрите на рисунок, сравните за-

Рис. 12. Рис. 13.

дачи и скажите, какая из них может быть решена умножением (на доске даны рисунки 12 и 13).

Вызванный ученик говорит, что умножением может быть решена вторая задача, а первая — нет.

Учитель. Чем похожи эти задачи, чем отличаются, почему вторую можно решить умножением, а первую нет?

Ученик. Эти задачи похожи — и в первой и во второй нужно узнать сумму трех слагаемых, но в первой задаче слагаемые разные, а во второй — одинаковые.

Учитель. Зарисуйте эту задачу и решите ее.

Ученик записывает на доске 2-3 = 6 и формулирует ответ: «3 тетради стоят 6 коп.».

Учитель. Как называются числа при умножении, как можно назвать в этой записи число 2? число 3? число 6? (Под диктовку детей учитель записывает: 2 — множимое, 3 — множитель, 6 — произведение.)

Учитель. Прочитайте эту запись по-разному. (Вызываемые ученики дают такие формулировки: «По 2 взять 3 раза, получится 6», «2 умножить на 3, получится 6», «множимое 2, множитель 3, произведение 6», «произведение чисел 2 и 3 равно 6».)

Подведем итог: мы повторили, что умножение — это сложение одинаковых слагаемых, повторили, как называются числа при умножении. Составьте теперь по тому же рисунку (стирает один рисунок и оставляет только другой) две обратные задачи.

Дети формулируют эти задачи. На доске записывается их решение:

— Каким действием решаются эти задачи? (Делением.)

— Сравните теперь эти три примера. Что мы получи-

ли, когда произведение 6 разделили на 1-й сомножитель? на 2-й сомножитель? (Дети отвечают правильно.)

— Самостоятельно найдите неизвестное число в следующих примерах (учитель открывает запись на доске): 4-0 = 8, d - 6= 12, с: 3 = 6, 10 : 6 = 2.

Через минуту, когда дети уже начали решать примеры, к доске вызываются 4 ученика. Каждый из них решает по одному из этих примеров, а затем объясняет подробно ход решения. Например: «Произведение чисел 4 и а равно 8». Здесь нужно узнать неизвестный сомножитель, а известны произведение 8 и другой сомножитель 4. Если разделить произведение на известный сомножитель, то получится другой сомножитель: а = 8:4, а = 2, проверка: 4-2 = 8.

Аналогично разбираются другие примеры.

Учитель. Откройте учебник на странице 62 и прочитайте задачу № 352: «На 10 коп. купили конверты по 5 коп. за конверт. Сколько конвертов купили? Составьте две обратные задачи и решите их». Что известно? (Стоимость всей покупки и цена одного конверта.) Что неизвестно? (Сколько конвертов купили.) А как иначе сказать? (Неизвестно количество конвертов.)

Все данные заносятся в таблицу (таблица постоянная с карманами, в которые можно вставлять карточки с числовыми данными):

Цена

Количество

Стоимость

I II III

5 коп. X коп. 5 коп.

X шт. 2 шт. 2 шт.

10 коп. 10 коп. X коп.

— Запишите условие задачи в виде примера с х. (5.*= 10.)

— Каким действием будем решать задачу? (Делением, потому что неизвестный сомножитель находится делением.)

— Решите. Записывается решение:

х=10 : 5, х = 2.

Ответ: 2 конверта.

— Составьте обратную задачу. (На 10 коп. купили 2 конверта. Сколько стоит один конверт?)

— Составьте пример с х по условию второй задачи. (*-2=10.)

— Решите.

(л-=10:2, л: = 5. Ответ: 5 коп.)

— Каким действием решили задачу? (Делением. Неизвестное множимое находится делением.)

— Составьте еще одну обратную задачу. (Купили 2 конверта по 5 коп. за каждый. Сколько уплатили за все конверты?)

— Каким действием мы узнаем стоимость всех конвертов? (Умножением. Зная цену одного конверта и количество конвертов, действием умножения узнаем стоимость всех, гак как цена 1 конверта 5 коп., а купили 2 конверта, то надо по 5 взять 2 раза.)

— Для проверки правильности решения можно использовать составление обратных задач?

— Дома решите задачи № 37 на странице 69 (задачи того же вида, что и разобранные в классе, с заданием записать условие в виде таблицы) и примеры № 3 на странице 64 (из i-го и 2-го по 1 столбику).

Пока дети записывают задание, учитель пишет на доске примеры:

Примеры первого столбика разбираются в ходе фронтальной работы с классом.

Учитель. Сравните произведения 6*5 и 6*4. Какое из них больше? (6-5 больше, чем 6 «4) — Почему? (6 «5— это по 6 взяли 5 раз, а 6*4 — по 6 взяли 4 раза.)

— Как сделать, чтобы стало поровну? (6 • 5 = 6 • 4 + 6)

— Какой знак нужно поставить во втором случае? (7*8 = 8-7. Дети объясняют, формулируя переместительное свойство произведения.)

При рассмотрении третьего упражнения ученик рассуждает так: «Переставлю в одном произведении сомножители, тогда получится: 8*3 и 8 • 4. Теперь легко сравнить: 8*3 меньше, чем 8*4».

Последнее упражнение вызванная ученица разобрала так: «Переставим сомножители в обоих произведениях: 4-7 и 4*6. Теперь сразу видно, что первое произведение больше».

Учитель предлагает подумать, как можно разобрать этот пример, не используя перестановки слагаемых. Деги затрудняются. Тогда учитель записывает на доске:

Сравнивая эти записи, дети (с помощью учителя) делают вывод: в обеих суммах по 4 одинаковых слагаемых, но в первой складывали 4 раза по 7, а во второй — по 6. Каждое слагаемое в первой сумме на 1 больше, а таких слагаемых 4. Значит, в первой сумме на 4 единицы больше, чем во второй.

Для самостоятельного решения предлагается задание: найти ответ второго примера, используя ответ первого

После выполнения работа проверяется.

В заключение подводится итог урока. Учитель спрашивает: «Что вы знаете о действиях умножения и деления?» Дети, дополняя ответы друг друга, перечисляют рассматривавшиеся вопросы.

Из приведенного обобщающего урока, предваряющего изучение таблиц, видно, что на этом этапе учащиеся уже овладевают всеми теми приемами, которые используются при составлении таблиц умножения.

Так, уже при составлении таблицы умножения двух используется прием перестановки сомножителей (случай 2-8, например, заменяется случаем 8 • 2 = 8 + 8= 16), переместительное свойство применяется и при рассмотрении каждой новой таблицы. Аналогично на уроках, посвященных составлению новых таблиц и их усвоению, находят применение и все другие приемы, рассматривавшиеся выше.

Покажем это на примере урока, посвященного умножению чисел 8 и 9 (на 8 и на 9) и соответствующим случаям деления. Урок был проведен учительницей Некрасовской школы Белоярского района Н. М. Парфеновой. Приведем ту часть урока, которая относится к рассмотрению нового материала.

— Сегодня будем изучать умножение 8, 9 и деление на 8 и на 9. Вначале повторим ранее изученные случаи умножения.

На доске написаны два столбика примеров:

— Найдем значение этих произведений. Какое свойство используем для этого? (Переместительное свойство произведения.)

— О чем говорит это свойство? (От перемены мест сомножителей произведение не изменяется.)

— Как же вычислить произведение 8 • 3? (Мы знаем, что 3-8=24, значит, и 8-3 = 24.)

Учитель под диктовку учащихся записывает результаты умножения, включая случай умножения 8 • 7. Останавливается на нем.

— Эти случаи вы запомнили раньше.

— Какое слагаемое здесь повторяется? (8.)

— Сколько раз? (7 раз.)

— Сколько получится, если 8 взять 8 раз? Как это узнать? (К 56 + 8 = 64.)

Учитель записывает: 8 • 8 = 64.

— Кто скажет, сколько получится, если 8 умножить на 9? (72.)

— Объясни, как ты узнал. (64 + 8 = 72, значит, 8-9 = 72.)

Учитель записывает.

— Посмотрите, ребята, мы записали всю таблицу умножения 8. Почти все примеры вам хорошо знакомы. Новыми являются 2 последних. Таблицу надо хорошо запомнить. Аналогично выясняются и записываются результаты умножения числа 9. Учитель останавливается на некоторых примерах.

— Сколько получится, если 9 умножить на 6? Из какой таблицы мы это знаем? (Из таблицы умножения шести.)

— А в какой таблице мы можем найти значение 9 • 8? (Из таблицы умножения 8: 8 «9 = 72 и 9-8 = 72.)

— Найдем результат умножения 9*8 и 9«9. Что означает эта запись? (9 повторяется слагаемым 8 раз, а здесь по 9 взяли 9 раз — на одну девятку больше. Нужно к 72+9=81.)

Учитель записывает последний результат и обращает внимание детей, что они закончили знакомство со всеми случаями табличного умножения.

Дальше детям предлагается выписать все новые случаи табличного умножения, рассмотренные на уроке, и по каждому новому примеру на умножение составить соответствующие примеры на деление (самостоятельно).

В тетрадях появляется запись:

После.проверки выполненной учащимися работы учитель переходит к упражнениям, направленным на усвоение новых случаев табличного умножения и деления.

В этих целях детям предлагаются обычно не только готовые примеры, но и разного вида упражнения, связанные с самостоятельным дополнением или составлением примеров, продолжением рядов чисел, составлением таблиц умножения и др.

Приведем некоторые упражнения:

1) составьте все, какие можно, примеры на умножение двух чисел с ответом 12 (2 • 6, 6 • 2, 3 • 4, 4 • 3, 12-1, Ы2), с ответом 16, 20, 24, 36 и т. п. (некоторые дети, выполняя такие упражнения, приводили и примеры на внетабличное умножение и деление. Правильность их проверялась с помощью сложения. Например, 12*2 = 24. Проверка: 12+12=24 и т. п.);

2) из данных чисел выписать (или подчеркнуть, если числа записаны на доске) числа, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т. п.). Предлагать числа можно в любом порядке, например: 8, 11, 16, 15, 10, 14, 17, 9 или 21, 13, 12, 20, 6, 15, 18, 32 и т. п.;

3) заменить каждое из следующих чисел произведением трех сомножителей, например: 12 = 2 • 2 • 3; 18= ...; 36= 64= 56= 40= ... и т. п.

Решаются такие примеры подбором. Например, желая подобрать 3 числа, дающие в произведении 18, начнем с числа 2. Попробуем умножить на 2: 2 • 2=4. Нет такого третьего числа, чтобы 4, умноженное на это число,

дало 18. Значит, 2 «2 не подходит. Попробуем 2*3 = 6— подойдет, так как 6 «3=18. Запишем: 18 = 2 • 3 • 3. Другое решение: 18 = 3-3 «2 и т. д. Упражнение это интересное, но трудное. Его полезно предложить хорошо подготовленным учащимся.

4) Тоже довольно трудное упражнение — составить все возможные примеры на умножение и деление с данными числами так, чтобы и компоненты и результаты действий были числами из данного ряда. Например, 12, 6, 3, 4, 2, 18.

Приведем решение:

5) Некоторые учителя и при разучивании таблицы умножения проводят игру «Молчанка», причем в такой форме, когда заданы сомножители, а найти надо произведение и когда задано произведение и один из сомножителей, а найти нужно другой.

При составлении таблиц и закреплении знания их, учителя снова возвращаются к практическим упражнениям в подсчете числа клеток, на которые разбит данный прямоугольник.

Так, например, при составлении таблицы умножения числа 3 эти прямоугольники имели такой вид (рис. 14):

С использованием тех же прямоугольников рассматривались случаи, связанные с перестановкой сомножителей, и все случаи деления, соответствующие рассматриваемой таблице умножения.

На этапе закрепления та же работа проводится с целью составления сводной таблицы умножения. Учащиеся работают с пособием «квадрат и уголок», описанным в учебнике (см. рис. на стр. 36). Каждый ученик на последней странице своей тетради чертит квадрат со стороной в 20 клеток и разбивает его на 100 равных квадратиков. Угол вырезается из плотной бумаги.

Клетки верхнего ряда и правого столбца нумеруются так, как это делалось детьми и раньше, а затем, отделяя с помощью уголка соответствующее число клеток, дети записывали результат подсчета в правом нижнем углу. По мере изучения таблиц заполнялись соответствующие строки сводной таблицы.

Рис. 14.

После заполнения их дети проверяли себя по таблице, данной на обложке учебника. Описанные упражнения помогали учащимся связать работу со сводной таблицей с подсчетом клеток, на которые разбит данный прямоугольник.

Разнообразные упражнения, направленные на прочное усвоение таблицы умножения, проводились учителями и на следующих уроках. Таблицы спрашивались по порядку и вразбивку, проводились арифметические диктанты с целью проверки знания таблиц. Особенно большое внимание, как показал опыт, нужно уделить тренировке учащихся в решении примеров на деление с использованием таблицы умножения.

После изучения табличного умножения дети переходят к рассмотрению умножения и деления круглых чисел.

Хорошей иллюстрацией того, как проводится эта работа, может служить урок учительницы Герасимовой Е. С. во II классе Боярской школы Белоярского района.

Мы помещаем запись этого урока полностью, без со-

кращений, так как он, как нам кажется, представляет интерес в целом, помогает оценить объем работы, выполняемой учащимися. Урок интересен и по планированию.

Тема урока. Умножение и деление круглых чисел в пределах 100.

Цель урока. Познакомить учащихся с приемом умножения и деления круглых десятков на однозначное число и научить использовать его в вычислениях. Упражнять детей в решении задач и уравнений.

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания (выборочная). Учитель предлагает открыть тетради, записать сегодняшнюю дату.

— Сейчас я проверю, как вы составили числовую формулу к домашней задаче. Домой была дана задача: «5 конвертов стоят 25 коп. Сколько стоят 9 таких конвертов?»

К доске вызывается ученик, который записывает числовую формулу решения задачи: л;=(25:5)«9.

— Что ты сначала узнавал? (Сколько стоит один конверт.)

— Почему разделил 25 на 5? (Потому что 5 конвертов стоят 25 коп., а чтобы узнать, сколько стоит 1 конверт, надо 25 коп. разделить на пять равных частей. Вторым действием узнавал, сколько стоят 9 таких конвертов. Надо по 5 взять 9 раз. Значит, 9 конвертов стоят 45 коп.)

Ученик записывает: л; = 45.

— Закончил он запись решения задачи? (Нет.)

— Почему? (Вова не написал ответ.) После этого ученик пишет:

Ответ: 9 конвертов стоят 45 копеек. Во время ответа ученика учитель просматривает выполнение домашнего задания в тетрадях учащихся и делает им тихо краткие замечания. После этого он предлагает детям задать вызванному ученику несколько вопросов по таблице умножения и на табличное деление и ставит ему оценку.

2. Повторение табличного умножения и деления (устно).

— Сегодня будем учиться умножать и делить круглые числа, но прежде хочу проверить, знаете ли вы таб-

лицу. Проводится арифметический диктант: трижды 9; 64 разделить на 8; 36 разделить на 6. Какое число надо умножить на 8, чтобы получилось 40? Какое число надо умножить на 7, чтобы получить 56? (Учитель пишет на доске числа: 18, 27, 36, 49, 28.)

— Эти числа надо разделить на 7. Если число делится, то говорите ответ, если не делится, то говорите слово «Гоп».

В классе оживление, некоторые дети ошибаются.

3. Повторение состава круглых чисел.

Учитель предлагает детям записать в тетрадях по два (любых) круглых числа.

Дети записали: 40 и 60, 20 и 50, 10 и 60, 20 и 90 и т. д.

— Галя, назови свои числа. (20 и 50.)

— По скольку десятков в твоих числах? (2 дес. и 5 дес.)

— Сколько единиц в числе 50?

— Назови, Коля, наибольшее из своих чисел. (80. У него были записаны числа 10 и 80.)

— Сколько единиц в этом числе? Сколько десятков?

4. Работа над новым материалом. На доске записан пример:

Учитель вызывает к доске ученика.

— Объясни, что написано. (20, или 2 дес, надо умножить на 4.)

— Если 2 десятка умножить на 4, сколько получится десятков? (80.)

— Чего 80? (Ученик замечает свою ошибку и говорит: 80 ед.)

— А я спросила, сколько десятков. (8 дес, а 8 дес.— это 80.)

После этого учитель записывает на доске:

— А сейчас решим сразу пример на деление: 60 : 2 = Требует от детей объяснения и полных ответов.

— Объясните решение примера, записанного в учебнике: 3.20 = 20-3 = 60. (3-20 = 20-3, потому что здесь только сомножители переставили, а 20*3 = 60, так как 2 дес. -3 = 6 дес.)

Аналогично разбирается еще пара примеров у доски, после чего дети выполняют самостоятельную работу (устно объясняют по учебнику решение примеров):

— Как же можно умножать и делить круглые десятки? (Сначала узнаем, сколько в данном числе десятков, и это число десятков умножаем или делим.)

— Решим задачу на нахождение периметра. Никаких чисел я вам не скажу, а вам надо найти периметр вот этого треугольника.

На доске начерчен равносторонний треугольник со стороной, равной 20 см.

— Подумайте, что надо знать, чтобы найти периметр этого треугольника? (Надо знать стороны треугольника.)

— Для того чтобы узнать периметр, надо знать длину сторон. Сережа, иди определи длину сторон.

Ученик измеряет стороны, замечает, что все стороны треугольника равны.

— Как называется такой треугольник? (Равносторонний.)

— Запишите самостоятельно решение.

Дети записывают в тетрадях, а один ученик — на доске:

— Как можно записать решение, если выразить длину стороны в дециметрах?

5. Решение задач.

— Откройте учебник, прочитайте задачу: «С одного участка ученики собрали 50 кг картофеля, с другого 40 кг, Весь картофель они положили в 3 мешка поровну. Сколько килограммов картофеля положили в каждый мешок?»

После чтения задачи учитель задает вопросы:

— Что известно в задаче? Что нужно узнать? Составьте числовую формулу. Запишите ее.

После того как почти все решили задачу, учитель вызывает к доске ученика и просит записать формулу решения и решить задачу:

Ответ: в каждом мешке по 30 кг картофеля.

— Объяснит решение Таня Куликова. (Первым действием я узнала, сколько всего килограммов картофеля собрали ученики, а потом, сколько килограммов картофеля они положили в каждый мешок: 50 + 40 = 90, 90 : 3 = 30.)

Ответ: в каждом мешке по 30 кг картофеля.

— Объясни, как ты 90 разделила на 3. (90—это 9 дес, 9 дес. : 3=3 дес, а 3 дес. — это 30. Получится 30.)

Учитель задает еще один дополнительный вопрос ученице: что больше — произведение чисел 6 и 9 или произведение чисел 9 и 6? (Они равны.)

— Почему? (От перестановки сомножителей произведение не изменяется.)

После этого выставляется оценка.

— Составьте задачу по числовой формуле решения:

Дети составляют: «В первом гараже стояло 2 ряда машин по 20 в каждом, а во втором гараже тоже 2 ряда по 30 машин. Сколько машин в двух гаражах?»

Аналогичные задачи составляют о самолетах, о корзинах с яблоками и др. Одна из задач решается устно.

6. Решение уравнений.

— Прочитайте пример с неизвестным числом из учебника.

Читает Миша: «Уменьшаемое 72, вычитаемое выражено разностью чисел 54 и х. Разность равна 52». Записывают все в тетради: 72—(54—х)=52.

— Нина, объясняй решение! (Неизвестно вычитаемое. Выписываем его. Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 54—х = 72—52. Значит, из 72 надо вычесть 52. Вычитаемое 54—х равно 20. 54—х=20. Теперь опять неизвестно вычитаемое х. Чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность, х равен 54—20, получится 34. х = 54—20, х=34.)

— Сделай проверку. Объясни. (В скобки подставлю вместо X число 34. 54—34 = 20, 72—20=52. В примере тоже записано 52. Неизвестное число нашли правильно.)

7. Учитель сообщает домашнее задание.

— Посмотрите примеры (указывает номер). Дома решите 2, 3 и 4-й столбики.

— Скажите, как вы будете умножать и делить круглые числа? (Посмотрим, сколько десятков в числе, и будем их умножать или делить.)

— Объясните решение первого примера. (20 «2, в числе двадцать 2 дес, 2 дес.-2, получится 4 дес, или 40).

— Прочитайте задачу: «В 6 одинаковых бидонах 60 л молока. Сколько надо таких бидонов, чтобы разлить 30 л молока?» Решите эту задачу дома по действиям.

Думается, что описанный выше урок может служить примером творческого подхода учителя к отбору материала, к планированию урока.

Так, учительница тщательно продумала, что из пройденного необходимо повторить для подготовки детей к восприятию нового материала (таблица умножения и деления, состав круглых чисел), подобрала разнообразные упражнения для повторения этих вопросов, ввела новый материал, побуждая учащихся к самостоятельному рассмотрению новых случаев, организовала закрепление новых знаний и умений в условиях решения различных примеров и задач. На уроке была проведена и большая работа над задачами. С необходимыми пояснениями были разобраны и решены задачи: на приведение к единице (при проверке домашнего задания); на нахождение периметра равностороннего треугольника (в связи с рассмотрением нового); на деление суммы на число и, наконец; на нахождение суммы двух произведений (было составлено несколько задач в 3 действия по этой формуле и решена одна из них).

Новые вычислительные приемы были закреплены на уроке (всего выполнено 15 вычислений на введенный прием).

Вместе с тем учительница сочла полезным даже на этом уроке, посвященном изучению новых вычислительных приемов, уделить специально внимание тренировке учащихся в решении уравнений более трудных видов.

Таким образом, на уроке, основной целью которого являлось изучение нового арифметического материала, нашли себе место и элементы геометрии, и вопросы алгебраической пропедевтики. Большое внимание, как это и должно быть, было уделено на уроке решению задач и тренировочным упражнениям, направленным на закрепление знания табличного умножения и деления.

Обилие и разнообразие материала, использованного на уроке, высокая активность класса свидетельствуют о хорошей подготовке детей, о высоком мастерстве учителя.

Рассмотрением этого урока мы закончим статью об умножении и делении во II классе, отослав читателей, интересующихся особенностями работы над внетабличными случаями умножения, к помещаемой ниже статье Конюховой*.

Г. Г. Конюхова,

учительница школы № 27 Белоярского района.

РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО УМНОЖЕНИЯ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ ВО II КЛАССЕ

При обучении математике во II классе большое внимание уделяется изучению свойств арифметических действий. Эти свойства дают возможность сознательно воспринять каждый из основных вычислительных приемов, самостоятельно выбрать рациональный путь решения любого примера или задачи, предложить не один, а несколько приемов решения. А с другой стороны, применение тех или иных приемов вычисления обеспечивает сознательность усвоения свойств.

Остановимся на одном из свойств, изучаемых во II классе, — распределительном свойстве умножения. Вся система упражнений, которая дана в учебнике, дает возможность учащимся сознательно использовать это пра-

* Напоминаем, что в приложении даны протоколы уроков, посвященных составлению первой таблицы, ознакомлению учащихся с делением с остатком и умножению числа на 1 (см. стр. 146 настоящей книги).

вило в самых разнообразных условиях: дети пользуются им при решении примеров несколькими способами, находят легкий способ решения любого примера, используют рациональные приемы решения при нахождении периметра прямоугольника. Хорошая отработка и усвоение этого свойства поможет детям легко понять и быстро овладеть навыками внетабличного умножения.

Приступая к изучению темы «Умножение числа на сумму», начинаем с решения задачи: «Купили 7 листов красной бумаги по 6 коп. за лист и 3 листа зеленой тоже по 6 коп. за лист. Сколько денег уплатили за всю покупку?» Краткую запись задачи даем в виде таблицы:

Цена

Количество

Стоимость

6 коп. 6 коп.

7 л. 3 л.

}х коп.

Разбираем задачу по ходу заполнения таблицы и приступаем к решению.

— Как узнать, сколько денег уплатили за всю покупку? (Надо узнать, сколько стоят все листы красной бумаги и все листы зеленой, а затем полученные произведения сложить.) Записываем решение:

После того как задача уже решена, ставим вопрос: — А как по-другому можно решить задачу? Рассмотрев внимательно таблицу, дети замечают, что цена листов одинаковая. И отвечают, что можно узнать, сколько всего листов бумаги купили, и цену 1 листа умножить на полученную сумму. Записываем другой способ решения задачи:

Сравнив ответы, дети убеждаются, что они одинаковы, хотя решали задачу по-разному. Записываем формулу решения одну под другой и сравниваем их:

— Как выполняли вычисления, решая задачу первым способом? (Число 6 умножили на сумму чисел 7 и 3.)

— Как вычисляли, решая задачу вторым способом? (Число 6 умножили на первое слагаемое 7, а потом на второе слагаемое 3 и полученные произведения сложили.) Ответы в обоих случаях одинаковые, значит, эти выражения равны:

После этого предлагаем детям числовой пример: 4.(2 + 3).

— Как можно решить данный пример? (Найдем сумму чисел 2 и 3 и умножим 4 на полученную сумму: 4-(2 + 3)=4.5 = 20.)

— А как по-другому можно решить этот пример? (Можно 4 умножить на первое слагаемое 2, а потом на второе слагаемое 3 и полученные произведения сложить. А решение запишется так:

Дети еще раз убеждаются, что умножить число на сумму можно двумя способами.

После этого предлагаем детям примеры:

Дальше приступаем к обобщению: выясняем, что умножить число на сумму можно, выполняя вычисления так, как записано: вычислим сумму и умножим число на полученный результат, а можно умножать число на сумму и другим способом:

умножим число на первое слагаемое, затем на второе и полученные произведения сложим.

Сформулировав правило, даем его буквенную запись, которая не вызывает у детей больших затруднений:

Рис. 15.

На этом этапе нужно обязательно повторить правило прибавления к числу суммы двух чисел: а+(Ь + с) = (а + Ь)+с или а+(Ь + с) = (а + с) + Ь, так как дети иногда смешивают новое правило со старым и делают ошибки, прибавляя к числу каждое слагаемое, например, а+(Ь + с) = (а + Ь) + (а + с). Некоторые учащиеся даже сформулировали такое «правило»: «Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, надо к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а потом к нему прибавить второе слагаемое и полученные результаты сложить». Наоборот, при умножении числа на сумму дети иногда допускают такую ошибку: умножают число на первое слагаемое и прибавляют второе слагаемое: а - (Ь + с) =а-Ь + с. Вот поэтому и важно сравнить эти два правила, выяснить, чем они отличаются.

После таких упражнений дети стали правильно читать выражение: 6-(5 + 2) —это произведение числа 6 и суммы чисел 5 и 2.

— Что здесь написано? (Произведение.) Где множимое? Множитель? Чем он выражен?

При таком чтении дети лучше понимают, что число б можно умножить на каждое слагаемое. Давались для сравнения выражения: 7- (2 + 5) и (2+5) +7. На других уроках мы возвращались к рассмотрению того же правила умножения числа на сумму. Использовалась наглядная иллюстрация (см. р.ис. 15).

Рассматриваем рисунок и разбираем его:

— Какие знакомые фигуры ты видишь (не обращая внимания на клеточки)? (Прямоугольники.) Сколько прямоугольников? (Три.) Назови их. (Большой ABCDn два маленьких АВКЕ и KCDE).*. Как узнать, сколько всего клеточек в прямоугольнике ABCD? (Надо узнать, сколько клеточек укладывается по длине (9) и сколько по ширине (4), и эти числа перемножить (4-9 = 36 клеточек.) А как по-другому можно узнать? (Можно узнать, сколь-

* Прямоугольники АВКЕ и KCDE были выделены на чертеже цветом.

ко клеточек в прямоугольнике АВКЕ (4*6) и сколько клеточек в прямоугольнике KCDE (4-3) и полученные результаты сложить: 4 • 6 + 4 • 3 = 36.) Сравниваем: 4 • 9 = 36 и 4*6 + 4-3 = 36. Делаем вывод, что результат тот же. Дальнейший разбор такой же, как при разборе задачи.

Вывод: 4 • (6 + 3) =4 • 6 + 4 • 3. Повторяем правило. После объяснения приступаем к закреплению знания свойства. Для этого дан хороший материал в учебнике. Ученики решают данные примеры разными способами, составляют задачу по данной формуле: х = Ъ* (2 + 4), решают задачи разными способами. Даются примеры, которые нужно решить удобным способом. Вот здесь учащиеся должны подумать и объяснить, почему они этот способ считают удобным. Например, 8« (5 + 4) и 8« (4 + 1). Первый пример легче решить, умножив число 8 на каждое слагаемое, так как случай умножения 8 на 9 еще не пройден. Второй пример легче решить, найдя сумму чисел 4 и 1, случай умножения числа 8 на 5 дети знают.

Интересны задания, где ученики должны сравнить задачи и сделать вывод, какая задача решается одним способом, а какая — двумя, почему данную задачу нельзя решить двумя способами, а как нужно изменить данные, чтобы задача решалась двумя способами. Например:

1. Группа туристов совершила экскурсию по городу на машинах: в 6 машинах ехало по 4 человека, а в 3 машинах по 5 человек. Сколько туристов разместилось в этих машинах?

2. Группа туристов совершила экскурсию по городу на машинах. Сначала отправились 6 машин по 4 человека, а затем еще 3 машины по 4 человека в каждой. Сколько туристов совершили экскурсию?

Разбирая задачи, учащиеся устанавливают, что вторую задачу можно решить двумя способами, так как в каждую машину садилось одинаковое число человек. А первую задачу можно решить только одним способом, так как в первом случае в машину садилось 4 человека, а во втором — 5 человек.

Затем разбираются задачи, где применяется это свойство для более рационального вычисления. К таким задачам относятся задачи на вычисление периметра прямоугольника. После того как учитель объяснил, что такое периметр, и повторил свойства сторон прямоугольника

(противоположные стороны равны), он предлагает детям рассмотреть чертеж и вычислить периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 4 см. Зная, что периметр — это сумма всех сторон, они вычисляют его по определению:

Задаем вопрос, нельзя ли вычислить иначе? Пользуясь знанием свойств сторон прямоугольника, ученики делают вывод, что периметр можно найти по-другому. Длину умножить на 2, так как таких сторон две, и ширину умножить на 2, так как таких сторон тоже две.

Р = 3«2 + 4«2, Р=14 см. Результат тот же.

— А нельзя ли вычислить еще по-другому?

Еще раз обращаем внимание детей на рисунок, где обозначена длина каждой стороны прямоугольника, показываем, что можно найти сумму сторон AB и ВС (см. рис. 16) и отдельно сумму сторон CD и AD, а потом сложить их:

Записываем числами: Р= (3 + 4) + (3 + 4). Сравниваем суммы, записанные в скобках, и устанавливаем, что они одинаковые. Говорю: «Значит, Р равно сумме двух одинаковых слагаемых (3 + 4) и (3 + 4). Как это можно записать умножением?» Записываем: Р=(3 + 4) -2. Вычисляем: Р = 7«2, Р=14 см. Результат опять получен тот же. Повторяем, как вычисляли периметр в первый раз (складывали 3 + 4 + 3 + 4), во второй раз (3-2 и 4-2), а потом полученные произведения сложили (сложили 3 и 4 и полученную сумму умножили на 2).

Теперь учащиеся должны сделать вывод, каким способом легче и быстрее сосчитать. И в дальнейшем при решении задач на вычисление периметра прямоугольника (в учебнике дано достаточно таких задач) учащиеся уже почти не пользуются первым способом решения, они применяют более рациональные способы. Это

Рис. 16

показала и годовая контрольная работа, в которой давалась задача на нахождение периметра прямоугольника. Никто из ребят не находил периметр сложением всех сторон.

Для лучшего закрепления знания распределительного свойства умножения даются разнообразные упражнения, например:

1) закончить запись: 16 • (5 + 4) = 16 • 5+...

Учащиеся, не вычисляя, пользуясь знанием данного свойства, должны увидеть, что в правой части число 16 умножили на первое слагаемое 5 и для сохранения равенства не хватает произведения числа 16 на второе слагаемое 4;

2) интересны и такие упражнения — заменить сумму произведений произведением числа на сумму.

Дано: 3 • 4 + 3 • 5. Ученики замечают, что одно и то же число 3 умножили сначала на 4, а потом на 5 и полученные произведения сложили, значит, можно записать:

3) даются упражнения, среди которых дети должны найти такие, где замена (как в предыдущем примере) возможна, а где нет. Предлагается изменить одно из чисел так, чтобы можно было выполнить такую замену: 7Х Х4+8«5—замена невозможна, но если в первом произведении взять множимое не 7, а 8 или во втором не 8, а 7, то замена будет возможна;

4) дается задание — придумать пример, где удобно применить это свойство.

Аналогично разбирается умножение суммы на число. Хорошая отработка данного свойства дает возможность без труда изучить тему «Внетабличное умножение и деление». На первом уроке по изучению внетабличного умножения в учебнике даются хорошие подготовительные упражнения, где повторяются свойства умножения и деления и разложение чисел на разрядные слагаемые (67 = 60 + 7). Затем предлагаем детям представить число 24 в виде суммы разрядных слагаемых и умножить эту сумму на 3. У детей получается такая запись:

Зная свойство умножения суммы на число, дети без

труда справляются с этим заданием. Дальше учащиеся решают пример с объяснением:

Учащиеся делают вывод, как умножить двузначное число на однозначное. На первых двух уроках использовали запись с объяснением (хорошо применить при этом комментирование «цепочкой»). При решении таких примеров дети иногда раскладывают двузначное число не на разрядные слагаемые, а на слагаемые, которые кажутся им удобными. Например, встречались такие случаи:

Чувствуется, что ученик знает свойство умножения суммы на число, но не уловил еще, как легче решить этот пример. В таких случаях мы соглашались с решением ученика, но каждый раз обращали внимание его, что легче умножить десятки и единицы и почему (при умножении получаются круглые числа, а к круглым числам легче прибавлять).

Затем учащиеся переходят к записи решения без подробного объяснения, но объясняя себе прием вычисления самостоятельно. Всякий раз можно проконтролировать, как ученик решает и почему так решает. Для закрепления опять даются разнообразные упражнения.

Хорошее знание распределительного свойства умножения, умение применять его при решении примеров и задач обеспечивает сознательность усвоения вычислительного приема при внетабличном умножении. Навыки внетабличного умножения приобретаются детьми быстро и оказываются прочными.

II. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

П. Ф. Колмогорова,

учительница школы № 2 Белоярского района.

ОБУЧЕНИЕ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ

При переходе к решению составных задач необходимо, чтобы дети владели умением решать изученные виды простых задач: умели подбирать числовые данные при их составлении, свободно ставить вопрос к условию задачи, составлять простую задачу по числовой формуле ее решения или по ее краткой записи. Кроме того, очень важно, чтобы дети умели обосновать выбор действия при решении простой задачи. Объяснить, почему для решения нужно сложить числа, как находится неизвестное слагаемое и др. Нужно, чтобы учащиеся понимали, что если, например, сказано увеличить отрезок на 2 см, то это значит нужно прибавить 2 см, а если сказано уменьшить на 2 см — значит нужно вычесть 2 см. После этого детям легче будет обосновывать выбор действий и при решении составной задачи.

Работа над составной задачей начинается с усвоения ее содержания. Для лучшего понимания содержания задачи необходимо, чтобы каждый ученик не только услышал ее текст, но и самостоятельно прочитал задачу. Если условие замысловатое, то целесообразно дать учащимся две-три минуты для самостоятельного обдумывания ее содержания.

При чтении задачи нужно научить детей правильно ставить логические ударения. Это важно как для понимания структуры задачи, так и для понимания математических терминов, зависимостей между данными и неизвестными величинами.

При работе над текстом задачи прежде всего необходимо направить внимание учащихся на значение каждого слова, каждого числа в тексте задачи: помочь им живо представить в воображении ту картину, которая рисуется в задаче; выделить данные условия, вопрос; понять,

какие изменения происходят с величинами, о которых говорится в задаче, понять ее вопрос.

В работе над словами, определяющими выбор действия, важно добиваться, чтобы дети поняли, что отдельно взятое слово само по себе не определяет выбора действия: для этого важно сочетание слов и их смысл, понимание той жизненной ситуации, которая отражена в тексте задачи. Нужна оценка тех количественных изменений, к которым должно привести описанное в задаче действие.

После устной работы над текстом задачи нужно перевести содержание ее на язык математических терминов и обозначить ее математическую структуру в виде краткой записи (схемы, чертежа, примера с л:, таблицы). Это даст возможность наглядно представить соотношение между величинами.

В процессе краткой записи задачи уточняются связи между данными и искомой величинами. Дети видят, что известно и что нужно найти, какие новые (промежуточные) данные потребуются им для ответа на основной вопрос задачи.

Приведем пример составной задачи, которая решается в I классе: «Пионеры посадили возле школы 16 кленов, а дубов на 4 дерева больше, чем кленов. Сколько всего деревьев посадили пионеры возле школы?».

Дети читают задачу один раз. В задаче говорится о кленах и дубах, которые посадили пионеры. Указывают, что известно и что неизвестно в задаче. Записывают задачу кратко.

Краткая запись появляется на доске при участии самих детей, а не дается учителем в готовом виде.

В 1 классе эта задача может быть кратко записана так (получив ответ на вопрос, какие деревья посадили пионеры, учитель чертит два квадрата):

— Сколько было кленов? (16.)

— Запишем в первом квадрате 16 деревьев. А сколько посадили дубов? (Неизвестно.)

— Поставим во втором квадрате знак вопроса.

— А что сказано о дубах? (Их на 4 дерева больше, чем кленов.)

— Запишем это под квадратом.

— Что спрашивается в задаче? (Сколько всего деревьев посадили.)

— Что же надо найти (Сколько всего дубов и кленов вместе.)

— Как это мы изобразим? (Фигурной скобкой.) На доске появляется краткая запись задачи:

В дальнейшем такие задачи записываем в другом виде:

К концу учебного года дети уже хорошо понимают, что если дубов на 4 больше, чем кленов, а кленов 16, то число дубов можно выразить так: (16 + 4) дер. Поэтому во II классе краткая запись этой же задачи может быть такой:

или в виде чертежа (рис. 17).

После краткой записи задачи переходим к более точному установлению связей между данными и искомыми величинами и составлению формулы решения (с обоснованием выбора действий.)

Установление зависимости между искомой и данными величинами идет по краткой записи задачи.

— Что надо определить в задаче? (Сколько всего деревьев посадили пионеры.)

— Что для этого нужно знать? (Сколько посадили кленов и сколько дубов.)

— Какая величина известна, а какая не известна? (Кленов посадили 16, а сколько посадили дубов — неизвестно.)

— А что сказано про дубы? (Дубов столько же, сколько кленов, да еще 4.)

— Можно ли узнать по этим данным, сколько дубов посадили пионеры? Что для этого надо сделать? (Раз

Рис. 17.

* При краткой записи этой задачи можно было бы обойтись и без стрелки, вычерчивание которой затрудняет детей. (Прим. ред )

кленов посадили 16, а дубов на 4 больше, значит, к 16 надо прибавить 4.)

И появляется запись:

После этого можно перейти к составлению формулы, выражающей общее количество посаженных деревьев. Кленов посадили 16, а дубов (16 + 4); в результате появляется формула и решение:

Формула позволяет ученику сразу охватить всю задачу, видеть ход ее решения. Она заменяет письменный план и экономит время. По формуле учителю легко проверить, правильно ли ученик понимает задачу. При составлении формулы наименования не записываются. После записи формулы нужно еще раз спросить: что означает выражение в скобках (что узнаем этим действием), почему нужно сложить?

Ответ формулируется полностью, а записывается кратко.

Ответ: 36 деревьев.

При записи ответа обращаем внимание на словарную работу. Например, в этой задаче говорится о кленах и дубах, а в ответе понадобится слово «деревья».

После этого проверяется ответ задачи. В I классе этот ответ сравнивается с данными — больше или меньше общее количество деревьев, чем кленов и дубов отдельно. (Больше, так как 36> 16 и 36>20, значит, такой ответ может быть).

В дальнейшем во II классе могут быть применены другие способы проверки (проверка по условию, составление обратной задачи или решение задачи другим способом). Например, эту задачу можно проверить путем составления обратной задачи: «Возле школы пионеры посадили 36 деревьев, из них 16 кленов, а остальные дубы. На сколько больше посадили дубов, чем кленов?»

Сколько числовых данных в исходной задаче, столько можно составить обратных задач.

Аналогично решаются задачи на увеличение и уменьшение в несколько раз (выраженные в прямой и в косвенной форме).

Запись решения с помощью формулы помогает готовить учащихся к решению задач методом составления уравнений в III и IV классах.

Поэтому мы придаем большое значение составлению формул.

Такая подробная работа над задачей при составлении формулы ее решения нужна при знакомстве с каждым новым видом задачи.

Иногда составление краткой записи задачи соединяется с решением задачи по «ступенькам», подготавливающим составление формулы.

Например,

Вместо того чтобы писать, что во второй раз привезли в 3 раза меньше ящиков, чем в первый, дети записывают выражение (36 : 3) ящ., после чего появляется формула:

Скобки в формуле ставим, пока не изучен порядок выполнения действий.

В тех случаях, когда в составной задаче речь идет о хорошо знакомых детям зависимостях между величинами, ученики сразу составляют формулу решения без вспомогательных «ступенек», переводя текст задачи на математический язык.

Например: «Купили 3 м материи по 6 руб. за метр и еще ситца на 10 руб. Сколько денег заплатили за всю покупку?»

Показав ученикам все этапы работы над задачей, можно предложить им памятку «Как решить задачу».

Памятка*.

1. Прочитай задачу.

* Памятка вывешивается в классе.

2. Запиши задачу кратко (в виде схемы, чертежа или примера с х, или таблицы).

3. Расскажи по краткой записи, что означает каждое число.

4. Повтори вопрос задачи.

5. Представь себе то, о чем говорится в задаче.

6. Выполни решение задачи.

7. Проверь решение задачи.

8. Запиши ответ.

Разберем теперь задачу, которая может быть решена разными способами.

Возьмем задачу, где применяется правило умножения суммы на число: «В ларьке в течение дня продали 4 шапки по 3 руб. и 4 шарфа по 2 руб. Сколько денег выручили за эти вещи?»

Эта задача дается после решения простых задач на зависимость между ценой, количеством и стоимостью.

Краткую запись можно дать в виде таблицы (заранее приготовленной на доске или на плакате), в которую можно вставлять различные данные.

Разбор задачи проводится по ходу заполнения таблицы.

Цена

Количество

Стоимость

3 руб. 2 руб.

4 шт. 4 шт.

? J X руб.

Рассмотрев таблицу, дети заметят, что количество шарфов и шапок одинаковое, но цены их различны; составляют по таблице формулу и решают задачу:

Дальше ставится дополнительный вопрос: как можно решить задачу по-другому, имея в виду, что шапок и шарфов было одинаковое число? Можно узнать, сколько нужно заплатить за 1 шарф и за 1 шапку вместе (3+2) руб., и умножить на 4, так как тех и других было по 4.

Такой способ полезно проиллюстрировать на рисунке.

Детям надо сказать, что, когда решали задачу первым способом, мы сначала узнавали, сколько выручили за все 4 шапки, потом за 4 шарфа, а затем всю сумму вырученных денег.

А теперь представьте, что каждый покупатель (из четырех) купил сразу шапку и шарф.

Тогда мы сначала можем узнать, сколько заплатил каждый покупатель за 1 шапку и 1 шарф (3 + 2) руб., а затем эту сумму повторить 4 раза.

Составляем формулу решения:

Вычисляем и записываем ответ: х = 20.

Сравнивая ответы, дети убеждаются, что ответ получили тот же, что и при решении задачи первым способом. Отсюда можно сделать вывод, что задачу решили правильно (решение задачи другим способом является одним из видов проверки).

Записываем две формулы одну под другой:

Предлагаем детям прочитать первую, потом вторую формулу, объяснить, как можно умножить сумму на число, т. е. повторить правило, которое им уже известно.

Позднее (в III классе) работа над такими задачами усложняется. Часто практикуется составление задач, например, в той же таблице заменяется известное число неизвестным, а неизвестное число известным и получается новая задача, обратная исходной: «На 20 руб. купили

Рис. 18.

4 шарфа по 2 руб. и столько же шапок. Сколько стоит шапка?»

Цена

Количество

Стоимость

X руб. 2 руб.

4 шг. 4 шт.

? J 20 руб.

Выясняем, что значит столько же. Как это изобразить в таблице?

Дети знают, что цена — множимое, количество — множитель, и, опираясь на это, самостоятельно составляют новое уравнение;

Такие уравнения учащиеся решают на основании знания зависимости между результатом действия и компонентами.

Они говорят, что здесь неизвестно первое слагаемое, чтобы его найти, нужно из суммы вычесть известное второе слагаемое.

Решение имеет такой вид:

Вначале эту задачу можно решить по «ступенькам». Составляя числовую формулу, спросить:

— Что надо найти в задаче? (По какой цене покупали шапки.)

— Что для этого надо знать? (Нужно знать стоимость всех шапок и их количество.)

— Что из этого известно в задаче? (Знаем, что купили 4 шапки, а их стоимость не известна. Она входит в общую сумму 20 руб. Чтобы ее найти, нужно узнать вначале, сколько стоят 4 шарфа по 2 руб. каждый.)

Записываем новую «ступеньку»: (2 «4) руб. (стоят 4 шарфа).

— А что дальше нужно узнать? (Стоимость четырех шапок.)

— Как? (Из общей стоимости — суммы 20 руб.— вычесть стоимость четырех шарфов (2 • 4) руб.)

Получается вторая «ступенька»: (20—2 • 4) руб. (стоят 4 шапки).

— Решили мы задачу? (Нет. Нам надо узнать, сколько стоит одна шапка.)

— Что для этого нужно сделать? (Стоимость четырех шапок разделить на 4 равные части.)

Получаем третью «ступеньку»:

Эта последняя «ступенька» уже прямо подводит к составлению формулы решения задачи.

Ответ проверяется по исходной задаче (по первой таблице).

Остальные обратные задачи и их решение можно предложить учащимся составить самостоятельно (или дать задание на дом). Но на одном из уроков очень важно сравнить все эти задачи, чтобы показать связь между взаимообратными задачами.

Л. М. Колмогорова,

учительница,

З. А. Шестунина,

заведующая учебной частью школы № 26 Белоярского района.

ПРИМЕРНЫЕ ПЛАНЫ РАЗБОРА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ В I—III КЛАССАХ

В новой программе по математике для I—III классов придается большое значение обучению детей решению арифметических задач. Решение задач способствует лучшему усвоению понятий, законов, зависимостей, которые рассматриваются в начальном курсе математики. Задачи служат важным средством укрепления связи обучения с жизнью. Решение задач — важнейшее средство развития мышления учащихся, оно учит детей применять знания,

приобретенные на уроках математики, к решению разнообразных практических вопросов.

В объяснительной записке к программе подчеркивается, что дети должны овладеть умением самостоятельно разобраться в условии и вопросе задачи, выяснить, что в задаче известно и что неизвестно, записать ее кратко, выделив самое существенное в условии, составить план решения, т. е. наметить, какие действия (и над какими числами) нужно выполнить, чтобы найти ответ на вопрос задачи. Овладевают дети этими умениями под руководством учителя. Поэтому для самого учителя должно быть совершенно ясно, как может выглядеть краткая запись задачи в каждом конкретном случае, какие следует поставить вопросы при ее разборе, каков план решения, как рациональнее оформить решение данной задачи и, наконец, каким способом воспользоваться для проверки правильности решения. Практика показывает, что, готовясь к уроку и продумывая работу над задачей, учитель нередко затрудняется в решении этих вопросов. Поэтому мы и решили рассмотреть их на примере конкретных задач различных видов.

По отношению к каждой задаче мы наметили:

1) краткую запись;

2) вопросы для разбора;

3) оформление решения;

4) вопросы для проверки решения.

Все эти вопросы мы рассматриваем в отдельности (для удобства изложения), но на практике и составление краткой записи задачи, и составление формулы ее решения, как правило, выполняются параллельно с разбором и составлением плана решения*.

* Необходимо иметь в виду, что далеко не всегда при разборе задачи и при составлении плана ее решения понадобится постановка всех тех вопросов, которые будут приведены ниже для той или иной задачи. Часто оказывается достаточным выяснить 1—2 вопроса, чтобы ход решения задачи стал уже ясен ученикам, иногда вообще не возникает необходимости в вопросах со стороны учителя. В этом случае могло бы быть только вредным продолжать «разбирать» задачу вопросо-ответным методом. Вообще, разбирая с детьми задачу и ход ее решения, надо стремиться по возможности избегать излишнего многословия и использования подсказывающих вопросов. (Ред.).

I класс

Задачи на нахождение суммы

(на объединение двух множеств, не имеющих общих элементов)

«С одной грядки мама сорвала 3 огурца, с другой 2 огурца. Сколько всего огурцов сорвала мама с двух грядок?»

Краткая запись:

Вопросы для разбора текста задачи: Про что говорится в задаче? Сколько сняли огурцов с первой грядки? Со второй грядки? Что нужно узнать в задаче?

Вопросы для составления плана решения: Мама сорвала 3 огурца с одной грядки, а потом 2 с другой — больше у нее стало огурцов или меньше? Каким действием можно узнать, сколько всего огурцов сорвала мама?

Решение. В начале года, когда дети еще не умеют писать буквы, решение такой задачи оформляется так же, как и решение примера. В дальнейшем записываются решения тех задач, в которых наименования сокращенно могут быть даны с использованием знакомых детям букв, а после введения х для обозначения неизвестного числа — и с составлением формулы. Покажем все 3 вида оформления решения рассматриваемой задачи:

Вопросы для проверки: Что нужно было узнать в задаче? Что получили в ответе? Получен ли ответ на вопрос задачи?

Задачи на нахождение остатка

«В сарае было 10 досок. Из 2 досок папа сделал полочку для книг. Сколько досок осталось в сарае?»

Краткая запись: Было — 10 д.

израсходовали — 2 д. осталось — л: д.

Вопросы для разбора текста задачи: Что известно в задаче? Что неизвестно? Что означает число 10 в тексте задачи? число 2?

Вопросы для составления плана решения: Больше или меньше стало досок в сарае, когда папа взял 2 доски? Каким действием будем находить остаток?

Решение, как и в случае нахождения суммы, может быть оформлено по-разному:

Вопросы для проверки: Что требовалось узнать в задаче? Получили ли мы ответ на этот вопрос?

Задачи на увеличение числа на несколько единиц

«Один мальчик поймал 5 рыбок, другой на 2 рыбки больше. Сколько рыбок поймал второй мальчик?»

Краткая запись*:

Вопросы для разбора текста задачи: Сколько рыбок поймал первый мальчик? Знаем ли мы, сколько рыбок поймал второй мальчик? Что знаем про рыбки, пойманные вторым мальчиком?

Вопрос для составления плана решения: Что значит, что второй мальчик поймал на 2 рыбки больше, чем первый? (Столько же и еще 2.) Решение:

* Стрелку при краткой записи задач можно не использовать, если сравниваются лишь два числа.

Проверка. Прочитайте вопрос задачи. Прочитайте ответ. Решена ли задача?

— Проверим, правильно ли решена задача. 7 больше 5? На сколько? А что сказано в условии? Следовательно, задачу решили правильно.

Точно так же разбираются задачи на уменьшение числа на несколько единиц.

Задачи на нахождение неизвестного компонента действий

«В двух коробках было 5 жуков. В первой 3 жука. Сколько жуков было во второй коробке?»

Краткая запись:

Вопросы для разбора текста задачи: Что известно в задаче? Что требуется узнать? Какое число показывает, сколько жуков было в первой коробке? Сколько жуков было во второй коробке?

Вопрос для составления формулы: если к жукам, находящимся в первой коробке, прибавить жуков из второй коробки, то сколько получится? (3 + л: = 5.)

Решение. Посмотрите на запись, какое действие записано. Известна ли сумма? слагаемые? Как найти одно из двух слагаемых, если известны сумма и другое слагаемое? Запись решения:

Проверка. Что требовалось узнать в задаче? Получен ли ответ на вопрос задачи? Записываем проверку: 3+2 = 5.

Задачи на разностное сравнение

Решение задач на разностное сравнение сначала учитель объясняет, используя наглядность, а потом делает вывод, как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого. В дальнейшем они разбираются со ссылкой на это правило.

Задача: «В одной коробке было 9 карандашей, в другой 6. На сколько карандашей больше в первой коробке, чем во второй?

Краткая запись:

(Такую стрелку мы использовали в качестве условного знака, показывающего, что нужно сравнить числа, на которые указывают два ее конца.)

Вопросы к разбору текста задачи: О чем говорится в задаче? Сколько карандашей было в первой коробке? Сколько во второй? Одинаковое ли количество карандашей в коробках? В которой коробке больше? Что спрашивается в задаче? Как можно узнать, на сколько одно число больше другого?

Решение: х=9—6

Ответ: на 3 карандаша больше.

После решения такой задачи полезно поставить перед детьми дополнительный вопрос: на сколько карандашей меньше во второй коробке, чем в первой?

Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в косвенной форме

«На одной тарелке лежало 8 яблок. Это на 2 яблока больше, чем на другой. Сколько яблок лежало на второй тарелке?»

Краткая запись:

Вопросы для разбора текста задачи: О чем говорится в задаче? Сколько яблок лежало на первой тарелке? На которой тарелке лежало больше яблок? А на которой тарелке меньше? Какое число нужно узнать — большее или меньшее?

Вопросы для составления плана решения: Как узнать, сколько яблок лежало на второй тарелке? Почему нужно отнять 2?

Решение:

Проверка. Проверим по условию, правильно ли мы решили задачу: Сколько яблок лежало на первой тарелке? Сколько яблок лежало на второй тарелке? На какой тарелке больше? На сколько? Правильно ли решили задачу?

Составные задачи

«Одна книга стоила 12 коп., а другая на 5 коп. дешевле. Сколько стоят обе книги вместе?»

Краткая запись:

Вопросы для разбора текста задачи: Сколько стоит первая книга? вторая книга? Что известно про цену второй книги? Что означает слово «дешевле»? Что нужно узнать в задаче?

Вопросы для составления плана решения: Что нужно для того, чтобы узнать, сколько стоят обе книги вместе? Знаем ли мы это? Можно ли сразу ответить на вопрос задачи? Что нужно узнать сначала? Как это узнать? Почему, чтобы узнать цену второй книги, надо из 12 вычесть 5? Что узнаем сначала, что — потом?

Решение:

II класс

Остановимся только на некоторых, часто встречающихся составных задачах.

«В ларек привезли 8 ящиков с огурцами, по 10 кг в каждом. До перерыва продали 54 кг огурцов. Сколько килограммов огурцов осталось?»

Краткая запись: было — 8 ящ. по 10 кг продали — 54 кг осталось — X кг Вопросы для составления плана решения: Что нужно узнать в задаче? Какие данные нужны для ответа на этот вопрос? Все ли это мы знаем? Можно ли узнать, сколько было огурцов? Каким действием? Почему? Что узнаем после этого? Каким действием? Решение: л:= (10 • 8)—54 х = 80—54 Л' = 26

Ответ: осталось 26 кг огурцов. Проверка: Получен ли ответ на вопрос задачи?

Задача на зависимость между величинами: цена, количество, стоимость.

«Мальчик купил 4 карандаша и 3 тетради по 2 копейки. За всю покупку он уплатил 18 копеек. Сколько стоит один карандаш?»

Краткая запись в таблице:

Цепа

Количество

Стоимость

X коп. 2 коп.

4 к. 3 к.

?

f 18 коп.

?

Вопросы для разбора текста задачи: Что известно про тетради? Что означает, что тетради были по 2 коп.? Что сказано про карандаши? Знаем ли мы цену карандаша? Что означает число 18 коп.? Из чего складывается стоимость всей покупки? Что нужно узнать, чтобы найти цену 1 карандаша?

Вопросы для составления плана решения: Как можно было бы узнать, сколько стоили все карандаши? Можно ли узнать, сколько стоили все тетради? Как это узнать?

Мы узнаем, сколько стоит вся покупка и сколько стоят тетради. Как узнать, сколько стоят все карандаши? Как узнать, сколько стоит один карандаш?

Решение:

«В классе 27 пионеров, октябрят на 18 меньше. Во сколько раз пионеров больше, чем октябрят? Во сколько раз октябрят меньше, чем пионеров?»

Краткая запись:

Анализ условия: Сколько было пионеров? Сколько было октябрят? Как это записать? Что нужно узнать?

Вопросы для составления плана решения: Каким действием можно узнать, во сколько раз одно число больше другого? Что узнаем сначала? Что тогда можно будет узнать? Как?

Решение:

больше, чем октябрят. Октябрят было в 3 раза меньше, чем пионеров.

«С одной грядки собрали 36 кг луку, с другой на 12 кг больше. Третью часть всего лука оставили на семена. Сколько килограммов лука оставили на семена?»

Вопросы для разбора текста задачи:

Сколько лука собрали с первой грядки? Сколько лука собрали со второй грядки? Как это записать? Сколько лука оставили на семена?

Вопросы для составления плана решения:

От какого количества нужно находить -4-? Как узнать, сколько килограммов лука собрали с двух грядок? Каким действием найдем третью часть от этого количества?

При записи решения такой и некоторых других задач формулой приходится вводить квадратные скобки. Поэтому лучше решить эту задачу по действиям.

Решение:

III класс

Задачи на движение

«Расстояние между городами 418 км. Поезд шел 4 часа со скоростью 42 км в час. На остальном участке пути его скорость была на 8 км больше. За сколько часов поезд прошел остальной путь?»

Разбираем условие задачи и делаем чертеж (рис. 19).

Рис. 19.

Вопросы для составления плана решения: Что нужно узнать в задаче? Что необходимо знать для определения времени? Что известно про скорость на оставшемся пути? Можем ли мы ее узнать? Что нужно знать, чтобы найти остальной путь? Какие данные для этого есть в задаче? Что нужно узнать? Как это можно узнать? Каков план решения задачи?

Решение:

«Из двух городов А и В, находящихся на расстоянии 175 км друг от друга, вышли одновременно в противоположных направлениях два поезда. Один из них шел со скоростью 56 км в час, другой 60 км в час. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 6 час. после начала движения?»

Разберем условия и сделаем чертеж (рис. 20).

Вопросы для составления плана решения: Из каких участков складывается расстояние в х км? Можно ли узнать расстояние, пройденное первым поездом? вторым поездом? Каков план решения задачи?

Решение:

Ответ: через 6 часов поезда будут на расстоянии 871 км.

При решении этой задачи можно рассуждать и иначе, по вопросам: Как изменяется расстояние между поездами? На сколько увеличивается расстояние между ними за каждый час? Почему? На сколько увеличится расстояние за 6 часов? На каком расстоянии они будут? Как это узнать? Почему?

При таком подходе к составлению плана решения мы получим более рациональное и более интересное решение по формуле: х= (60 + 56) • 6+175

Ответ: через 6 часов поезда будут на расстоянии 871 км.

Аналогично может быть рассмотрена задача на встречное движение.

«Из Москвы и Свердловска вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый проходил в час 48 км, второй — 54 км. Какое расстояние было между по-

Рис. 20.

Рис. 21,

ездами через 12 часов после выхода, если от Москвы до Свердловска 1822 км?» (Рис. 21.)

Здесь обязательно нужно обратить внимание учащихся, что при встречном движении поездов каждый час расстояние между ними сокращается на сумму их скоростей.

Мы привели примерные планы разбора только для некоторых видов задач, но думаем, что по ним можно судить об общем характере работы учителя с учащимися при подготовке к решению задач.

В заключение подчеркнем еще раз, что на практике далеко не всегда приходится задавать все те вопросы, которые намечены учителем для разбора задачи. Хорошо, если дети чаще будут самостоятельно, без наводящих вопросов учителя разбираться в условии задачи и планировать ее решение. Но учителю важно все же всегда быть готовым оказать им необходимую помощь, а для этого необходимо заранее продумать весь ход разбора и решения задачи.

И. И. Гвоздина,

учительница школы № 65 г. Свердловска

ЧАСТИЧНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ КАК ОДИН ИЗ ПРИЕМОВ В ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Чтобы правильно выбрать действие для решения простой задачи и правильно наметить план решения составной задачи, пожалуй, самое важное — уметь основательно разобраться в ее условии. Каждый учитель знает, что ошибки, допускаемые детьми при решении задач, чаще всего возникают потому, что оказалось неосознанным какое-нибудь, хоть и небольшое, но очень важное условие или от непонимания вопроса задачи. Поэтому большое значение имеют все те приемы, которые помогают обучить детей анализу условия задачи, довести до сознания детей связь между условием задачи и ходом ее решения, понять изменение хода решения от постановки того или иного вопроса при тех же данных.

Для выработки у детей перечисленных умений можно использовать следующие приемы:

1) изменить отдельные элементы условия решенной

задачи, сохраняя тот же вопрос и предлагая детям проследить изменения в ходе решения (выяснить, что изменилось в числовой формуле);

2) изменить вопрос задачи, сохраняя те же данные (обратить внимание, как изменяется ход решения задачи);

3) изменить знак действия в формуле решения и предложить детям изменить соответственно условие задачи;

4) изменить знак действия в формуле решения и предложить детям изменить соответственно вопрос задачи;

5) изменить один элемент условия в краткой записи с тем, чтобы дети соответственно изменили формулировку задачи, и наоборот.

Такие виды работ можно проводить как устно, так и с краткой записью на доске. Краткая запись облегчает сопоставление задач, отличающихся каким-либо одним элементом условия или вопросом. Хорошо в такой работе использовать готовые плакаты с краткой записью основных видов задач, рассматриваемых в I классе. На плакате меняются карточки, которые вкладываются в кармашки. Это дает возможность быстро менять отдельные элементы задачи (числа, слова, знаки).

Опыт убеждает, что такая работа ребятам нравится, вызывает интерес и приносит большую пользу (позволяет быстро повторить задачи разных видов, подчеркнуть, что в них является наиболее существенным для выбора действия, и т. д.).

Приведем один из уроков закрепления пройденного, на котором описанные упражнения заняли основное место. Этот урок проведен 22 января 1968 г., когда после зимних каникул нужно было оживить в памяти детей знания и умения, полученные в I полугодии. На уроке было намечено повторить вопросы, связанные с решением задач, показать связь между простой и составной задачей, повторить задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, на разностное сравнение, на нахождение суммы.

Этот урок несколько выпадал из системы уроков над новой темой («Нумерация»), но опыт показал, что в данном классе появилась необходимость уделить специальное внимание решению задач изученных видов.

Тема урока. «Решение задач».

Цель урока. Показать учащимся, как изменяется решение задачи с изменением отдельных элементов ее условия и наоборот, как должна быть изменена формулировка задачи, составленной по формуле ее решения (или по краткой записи) с изменением отдельных элементов формулы.

Ход урока. 1. Запись примеров под диктовку учителя и самостоятельное решение их детьми. Примеры: Найти сумму чисел 4 и 3.

Найти разность чисел 10 и 4.

Увеличить число 60 на 3.

Число 36 уменьшить на 6.

Каждый пример проверяется, вызванный ученик читает его с ответом, остальные следят по тетрадям.

2. Учитель обращает внимание детей на примеры, заранее записанные на доске:

— Что нужно найти в первом примере? (В первом примере нужно найти уменьшаемое.)

— Как можно найти уменьшаемое, если известны вычитаемое и разность? (Сложением.)

— Кто точнее скажет? (Надо к разности прибавить вычитаемое.)

— Чему же равно уменьшаемое? (8.) Другой ученик выполняет проверку: 8—2 = 6. Так же разбирается второй пример.

3. Решение задач. Читается задача (вслух): «Саша на уроке труда сделал 3 синих флажка, а красных на 2 флажка больше, чем синих. Сколько всего флажков сделал Саша?»

После этого коллективно разбирается условие задачи и одновременно на доске выполняется краткая запись ее:

— Можно ли сразу ответить на вопрос задачи? Что нужно знать для этого? (Нужно знать, сколько синих и сколько красных флажков, а мы знаем, сколько синих, а красных еще не знаем.)

— Что же нужно узнать сначала? Что потом? (Сначала нужно узнать, сколько красных флажков сделал Саша, а потом, сколько всего.)

После этого дети самостоятельно составляют формулу решения задачи. Когда задание выполнено, вызванный ученик записывает на доске формулу л:=5+(5+2), решает задачу и дает полный ответ на ее вопрос.

Вопросы классу. Что узнали, когда к 5 прибавили 2? (Сколько было красных флажков.)

— Почему нужно было прибавить 2? Что узнали, когда к 5 прибавили сумму 5+2? (Сколько всего флажков.)

Учитель. Посмотрите, что я изменю в условии задачи. (В краткой записи только что решенной задачи слово «больше» заменяется словом «меньше».) Подумайте, как изменилась теперь задача и как изменится формула ее решения.

Такой вопрос вызвал интерес у ребят. Он заставляет думать.

Вызванные ученики объясняют, что в скобках знак плюс нужно заменить знаком минус, т. е. к 5 не прибавить 2, а из 5 вычесть 2, сумму заменить разностью.

— Почему? (Дети объясняют: красных флажков на 2 меньше, чем синих.)

— Решите новую задачу: «Сколько всего флажков сделано?» (Дети записывают решение задачи.)

После этого учитель снова преобразует краткую запись задачи. Рядом с прежней записью пишут на доске новую:

— Что спрашивается в задаче?

— Изменился ли вопрос задачи? (Нет, тоже спрашивается, сколько всего флажков.)

— Все ли известно для ответа на этот вопрос? Можно ли на него сразу ответить? (Да, мы знаем, что синих 5 флажков, а красных 3. Чтобы узнать все, надо к 5 прибавить 3.)

— Почему же наша составная задача стала простой? (Дети сравнивают краткие записи предыдущей задачи и новой.)

Ответ: там не было прямо сказано, сколько сделано красных флажков, а здесь известно, что их было 3.

Дети записывают формулу решения, а один пишет на доске х = 5 + 3.

— А теперь, дети, скажите, как нужно изменить вопрос, чтобы задача решалась так: х = Ъ—3. (На сколько больше было синих флажков, чем красных?)

Как можно по-другому поставить вопрос? (На сколько меньше было красных флажков, чем синих?) Подведение итога урока.

— Скажите, дети, если изменить в формуле решения задачи знак действия, то может ли остаться таким же текст задачи, которая составлялась по этой формуле? (Не может, задача получится другая.)

— Когда мы заменяли в задаче слово «больше» на «меньше», у нас изменялось решение. В последней задаче мы изменили вопрос и получили задачу нового вида. Вот почему важно внимательно относиться к каждому слову в тексте задачи.

Г. Г. Конюхова,

учительница школы № 27 Белоярского района.

ПРИЕМ СРАВНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В I КЛАССЕ

Объяснительная записка к проекту новой программы указывает, что система в подборе и расположении задач различных видов во времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении (а потому и смешиваемых детьми), а также задач взаимообратных. Связанные между собой задачи, как правило, рассматриваются совместно. При этом имеется в виду, что в процессе упражнений дети все время будут встречаться с задачами различных видов. Это исключает возможность выработки вредных штампов в решении задач. Дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз проводить анализ условия задачи, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения.

Важнейший момент в обучении детей решению задач— правильный выбор действия. Для правильного выбора действия ученик должен представить себе картину или ситуацию, данную в задаче, суметь расчленить задачу на условие и вопрос, раскрыть смысл вопроса, определить связь между числовыми данными и искомыми, понять характер этой связи и выразить действие над конкретными предметами в виде математического действия над соответствующими числами. Обучению детей выбору действия поможет сравнение — задач. Оно проводится в целях выяснения сходства или различия в условии, в способе решения. Например, дается пара задач на нахождение суммы и остатка.

«На ветке сидело 6 птичек. Прилетела еще одна птичка. Сколько птичек стало на ветке?»

«На ветке сидело 6 птичек. Одна птичка улетела. Сколько птичек осталось на ветке?»

В задачах дан сходный сюжет, одни и те же числа. Дети должны обосновать выбор действия в каждой задаче; они должны понять, к чему ведет описанная в задаче ситуация — к увеличению или уменьшению, почему в первой задаче прибавляем (птичка прилетела, значит, их стало больше), а во второй — отнимаем (птичка улетела— их стало меньше). Аналогично сравниваются задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

«Катя нашла в лесу 9 орехов, а Миша — на 3 ореха меньше. Сколько орехов нашел Миша?»

«Катя нашла 9 орехов, а Миша — на 3 ореха больше. Сколько орехов нашел Миша?»

Дети должны хорошо усвоить отношения «на столько-то больше (меньше)» и прежде всего «столько же». Тут выгодно пользоваться краткой записью задачи. С ее помощью дети легче выделят черты сходства и различия в задачах.

Рассуждают: «Катя нашла 9 орехов. Миша столько же да еще 3 ореха (или без 3 орехов) ».

Научив детей правильно выбирать действие в задаче, учитель уже с I класса должен подводить детей к обобщению, выясняя, например, какие задачи решаются действием вычитания. Хорошим приемом является сопоставление простых задач на нахождение суммы двух чисел и на увеличение данного числа на несколько еди-

ниц, а также сопоставление задач на нахождение остатка и задач на уменьшение данного числа на несколько единиц. Сначала сопоставляются задачи с одинаковыми данными, а потом с различными.

Например: «Мальчик заплатил за альбом 6 коп., а за общую тетрадь — на 2 коп. больше. Сколько стоит общая тетрадь?»

В результате сравнения таких задач учащиеся приходят к выводу, что эти задачи неодинаковы, но и та и другая решаются сложением, и объясняют почему.

Один яз наиболее трудных разделов программы — задачи на разностное сравнение. Изучение их начинается на наглядных материалах.

По заданию учителя дети кладут на парту цветные палочки, кружки в указанном количестве, определяют, где и на сколько палочек лежит больше, а где меньше, проводится зарисовка в тетради клеточек, палочек, полосок. После этого переходят к решению задач, которые сопровождаются краткой записью. Во дворе играли 7 мальчиков и 12 девочек. На сколько больше было девочек, чем мальчиков?»

Решая такие задачи, дети пришли к выводу: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо от большего числа отнять меньшее». Записывают решение задачи: х=\2—7, х=5.

И сразу можно сопоставить решение этих задач с задачами на увеличение или на уменьшение данного числа. Каждый раз дети осмысливают различие между задачами и объяснениями, почему данная задача решается посредством сложения или вычитания. «В одной бочке было 6 ведер воды, а в другой на 2 ведра больше. Сколько ведер воды во второй бочке?».

Решение: Дано задание: придумайте задачу с этими же числами, но со словом «меньше».

А теперь к данной краткой записи

поставьте вопрос и подумайте, как записать ее решение. Какой еще вопрос можно поставить?

Большие затруднения в I классе вызывает решение задач, выраженных в косвенной форме. В таких задачах текст задачи подсказывает одно действие, а задача решается обратным действием, например, в условии есть слова «больше на» (прилетел, прибежал, дал), которые подсказывают действие сложения, а задача решается вычитанием, или слова «меньше на» (улетел, убежал, отдал), которые подсказывают вычитание, а задача решается обратным действием. Поэтому ученику приходится думать, устанавливать зависимость между данными и искомыми.

Здесь очень поможет одновременное решение прямых и косвенных задач в сопоставлении их парами. Возьмем две задачи:

1) На первой полке 8 книг, на второй — на 2 книги больше. Сколько книг на второй полке?

2) На первой полке 8 книг, это на 2 книги больше, чем на второй полке. Сколько книг на второй полке?

Наличие в обеих задачах одного и того же выражения «на 2 книги больше» наталкивает некоторых детей на использование одного и того же действия сложения. Здесь выгодно воспользоваться краткой записью задачи:

— Чем похожи эти задачи? (Дети ответят, что в задачах все числа одинаковы, а некоторые еще скажут, что в первой и во второй есть слово «на».) А кто правильнее скажет? (На 2 книги больше.) А чем же отличаются задачи?

Вот здесь-то детям обязательно придется рассуждать: в первой задаче сказано, что на второй полке на 2 книги больше, чем на первой. Во второй задаче сказано, что на

первой полке на 2 книги больше, чем на второй. Надо узнать, сколько книг на второй полке (раз на первой полке книг больше, значит, на второй будет на 2 книги меньше). А как решить такую задачу, они уже знают. Три этапа при сравнении таких задач обязательны. Что дано? Что общего? Чем отличаются задачи?

Сравнение и сопоставление задач помогают формировать у школьников новые понятия, углублять знание теории, применять теорию на практике. С учащимися необходимо выяснить вопросы: какое свойство действия использовано при решении данной задачи или какие величины входят в эту задачу и какова зависимость между ними.

В I классе дети учатся прибавлять к сумме число и к числу сумму двух чисел, отнимать от суммы число и от числа сумму.

Так, при решении задачи: «У мальчика было 20 коп. Он купил альбом за 10 коп. и карандаш за 3 коп. Сколько денег осталось у мальчика?», далее не давая задания решить задачу несколькими способами, мы встретимся с разными способами ее решения:

При проверке решения задачи, записав разные способы ее решения на доске и сравнивая их, делаем вывод: «Все задачи решены верно». Знание свойств способствует осмысливанию способов решения задачи и, наоборот, применение различных способов помогает более глубокому пониманию свойств действий.

Большое значение для развития мышления имеет работа по преобразованию задач. В начале года мы учим ребят самостоятельно ставить вопрос к условию и обращаем их внимание на то, как меняется ход решения от формулировки вопроса, перевода прямой задачи в косвенную.

Проследим работу над одной из задач и покажем, какие преобразования можно с ней сделать.

«В школьном саду растет 12 яблонь, а груш на 3 больше. Сколько всего деревьев растет в школьном саду?»

Проводим разбор задачи, записываем решение и ответ:

Уточняем, что мы нашли первым действием, вторым, и приступаем к работе над преобразованием.

1. Как записывалось бы решение задачи, если бы груш было на 3 меньше?

2. Какой вопрос надо поставить к задаче, чтобы она решалась одним действием? (Сколько было груш в саду?) Как записать решение?

3. Сформулируйте такую задачу, чтобы ответ был такой же, но задача решалась бы одним действием. («В саду было 12 яблонь и 15 груш. Сколько всего деревьев в саду?»)

4. Составьте задачу, чтобы слова «на ...больше» были в главном вопросе. («В саду росло 12 яблонь и 15 груш. На сколько больше было груш, чем яблонь?»)

5. Составьте задачу, чтобы в ней были слова «на ...меньше», но она решалась бы сложением. («В саду 12 яблонь, их на 3 меньше, чем груш. Сколько груш в саду?»)

Наличие в каждой задаче какой-то новизны — одно из условий, активизирующих умственную деятельность ученика. Мы часто спрашиваем ребят, с какой задачей нельзя путать это условие, какую ошибку нужно предупредить в ее решении.

Если дети будут систематически проводить упражнения по сравнению, сопоставлению и преобразованию задач, то это поможет им быстрее научиться решать любые задачи.

III. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОПЕДЕВТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Т. П. Трошкова,

ст. преподаватель Свердловского пединститута,

Н. А. Кокорина,

учительница Косулинской средней школы, Белоярского района.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В I—II КЛАССАХ

Уравнение в начальных классах школы определяется как равенство, содержащее неизвестное число. Неизвестное число обозначается буквой. В качестве подготовки к решению уравнений нужно дать детям понятие о равенстве, познакомить их с обозначением неизвестного числа с помощью буквы.

Неизвестное число появляется впервые уже в связи с решением примеров вида 1 + 1=2, которые решаются при изучении нумерации в пределах 10. Предварительно организуются практические работы. Приведем некоторые задания, предлагаемые в этот период:

— Положите перед собой на парту 1 кружок, затем еще 1 кружок. Сколько кружков получилось? Составьте пример и выложите его на наборном полотне с помощью разрезных цифр. (Дети выполняют задание: 1 + 1 = Ù.) Прочитайте запись. (К одному прибавить 1. Сколько получится?)

— В этом примере два известных числа: 1 и 1, а третье число, которое получится, когда мы к 1 прибавим 1, надо найти. Число, которое требуется найти, называют неизвестным.

— Найдите неизвестное число. (Если к одному прибавить 1, то получится два.) Чему равно неизвестное число? (Неизвестное число равно 2.)

— Сколько всего кружков перед вами на парте? (2 кружка.) Уберите один кружок. Сколько кружков останется? Составьте пример из разрезных цифр. (2-l = D.)

— Найдите в этом примере неизвестное число. (Из 2 вычесть 1, получится 1. Неизвестное число равно 1.)

Постепенно задания усложняются.

Так, детям предлагается, пользуясь рисунком, имеющимся в учебнике, составить пример, в котором надо прибавить 1 (при этом дана запись из разрезных цифр: □ + 1 = □), или по другому рисунку вычесть I (запись: 1= □).

В двух последних заданиях примеры содержат, вообще говоря, по два неизвестных числа, но поскольку сказано, что пример нужно составить по рисунку, для выполнения задания дети пересчитывают кружки в левой части числовой фигуры, изображенной на рисунке, получают число 4, прибавляют к нему 1 и находят неизвестное число (5).

В рассмотренных примерах неизвестным числом являлся результат действия (сложения или вычитания). В дальнейшем дети встречаются и с таким случаем, когда неизвестным оказывается один из компонентов действия. Например, предлагается упражнение: «Спишите пример, заполняя пропуск : 3 + D = 5». Подготовку к выполнению подобных заданий учительница Писцова 3. Д. (В. Дубровская, ср. школа) проводила следующим образом:

— Прочитайте пример: 3+1 = □ (к 3 прибавить 1. Сколько получится?) Назовите известные числа в этом примере (3 и 1). Найдите неизвестное число. (4.) Дайте полный ответ. (К 3 прибавить 1, получится 4.) Запишите решение примера (3+1=4). Закройте первое известное число в примере D + l=4. Найдите неизвестное число в новом примере.

На этом этапе обучения неизвестное число находится подбором. Учитель предлагает составить новый пример, в котором было бы неизвестно второе число (3+D =4), и найти это неизвестное число.

Следует особо подчеркнуть, что при решении таких примеров в результате получается одно значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

Эта идея хорошо проводится в пособии «Математика в начальных классах», составленном К. И. Нешковым и А. М. Пышкало*. Предлагаются задания, к которым имеются рисунки.

№ 409. Миша придумал игру. Он показывал в «окош-

* К. И. Нешков и А. М. Пышкало. Математика в начальных классах. М., «Просвещение», 1968.

ке» (D + l=5) по порядку числа: 3, 5, 2, 1, 4, а ребята говорили, какие получились записи: верные или неверные. (Испытайте и вы эти же числа.)

№ 410. В окошко (1 + 0=4) по очереди появляются числа: 5, 1, 4, 2, 3. В каких случаях получается верная запись и в каких — неверная?

№ 435. Кто из них верно решил задачу? (2 + D = 7). Ответы: 4,3,2,5.

После выполнения подобных упражнений делается вывод, что только при одном значении неизвестного получим верное равенство. Говорим, что в математике принято неизвестное число обозначать буквой.

Дальнейшее знакомство с уравнениями происходит при установлении взаимосвязи между суммой и слагаемыми, уменьшаемым, вычитаемым и разностью.

Приведем примеры уроков из опыта учительницы Удиловой Г. И. (В. Дубровская, ср. школа) по введению уравнений. На первом из этих уроков учительница предложила ученикам задачу: «Митя нарисовал 3 красных кружка и 2 черных. Сколько кружков нарисовал Митя?» (Рис. 23.)

Дети выполнили к этой задаче рисунок и записали решение: 3+2 = 5.

Учительница спросила, сколько всего кружков нарисовал Митя? (На рисунке 24 провели дугу, подписали

ответ.) Вспомнили название чисел при сложении. Затем учащимся было предложено закрыть красные кружки (сама учительница закрыла их на наборном полотне, рис. 25).

Рис. 23.

Рис. 24.

Рис. 25.

Закрыв слагаемое 3, в записи решения получили □ +2 = 5. Учащимся дается задание: составить по этому примеру новую задачу. «Митя нарисовал несколько красных кружков и 2 черных. Всего 5 кружков. Сколько красных кружков он нарисовал?» Затем выясняется, что известно и что неизвестно в этой задаче. (Знаем, сколько Митя нарисовал черных кружков и сколько всего нарисовал. Не знаем, сколько он нарисовал красных кружков.) После этого учительница спрашивает, как узнать неизвестное число. Дети отвечают, что для этого нужно из суммы 5 вычесть второе слагаемое 2.

Ответ: 3 красных кружка.

Аналогичную работу выполняли дети, закрывая черные кружки. При этом получили новую задачу. «Митя нарисовал 3 красных кружка и несколько черных. Всего 5 кружков. Сколько черных кружков нарисовал Митя?»

Решение этой задачи приводит к нахождению неизвестного второго слагаемого.

Дети записывают решение: 5—3 = 2.

— Каким действием нашли ответ? (Вычитанием: из суммы 5 вычли первое слагаемое 3.)

На этом же уроке учащиеся выполняли и другие подобные упражнения. После их проведения дети сделали вывод: «Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое».

На следующем уроке при решении задач составлялись уравнения. Учительница предложила задание: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6. Найти неизвестное число. Записать задачу в виде примера с неизвестным». (Дети записали пример: D + 2 = 6.) Что известно в примере? (Сумма 6, второе слагаемое 2.) Что неизвестно? (Первое слагаемое.) Будем обозначать неизвестные числа буквой х: х+2 = 6. Как найти неизвестное слагаемое? (Из суммы 6 вычесть слагаемое 2.) Решение будем записывать так:

(При этом даются пояснения: в этом примере неизвестно первое слагаемое, чтобы его найти, надо из суммы 6 вычесть второе слагаемое 2. Первое слагаемое равно 4. После решения выполняется проверка: 4+2 = 6, 6 = 6.)

Полученные знания учащиеся закрепляют при решении текстовых задач вида: «Кате подарили 3 красные ленты и несколько белых, а всего ей подарили 7 лент. Сколько белых лент подарили Кате?» (Эта задача дана в учебнике с иллюстрацией.)

Работа над задачей проводится по тому же плану:

1. Чтение задачи.

2. Знакомство с иллюстрацией в учебнике.

3. Краткая запись задачи:

4. Разбор задачи: что известно в задаче? (Кате подарили 3 красные ленты и несколько белых, а всего 7 лент.) Что неизвестно? (Сколько белых лент подарили Кате.) Обозначьте неизвестное число белых лент буквой X, составьте по задаче пример с х и решите его. Снова повторяется текст задачи:

Решили ли мы задачу? (Решили, так как ответили на вопрос задачи.) Проверьте, правильно ли решена задача. (Полученное слагаемое 4 меньше суммы; сумма 3+4 = 7, задача решена правильно.) Запишите ответ задачи.

Ответ: 4 белые ленты.

Иногда после решения задачи учителя практикуют преобразование задач по заданиям следующего вида:

Составить задачи, в которых нужно узнать: 1) Сколько всего лент, и белых и красных, подарили Кате? 2) Сколько красных лент подарили Кате? (Дети составляют задачи.)

Составленные задачи решаются. После этого проводится сравнение трех задач и их решений. Выясняется, чем похожи задачи (зависимость между суммой и слагаемыми) и чем они отличаются (в одном случае находится сумма, а в другом — одно из слагаемых). В процессе этой работы осуществляется и проверка правильности решения задачи. Хорошее средство для закрепления знания взаимосвязи между слагаемыми и суммой — составление задач по данному уравнению, а также преобразование задач.

Выполнение таких заданий способствует развитию речи учащихся, мышления, расширяет кругозор детей, является хорошей подготовкой к составлению уравнений по задаче.

До конца первого года обучения дети встретятся еще с задачами на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого, будут упражняться в решении соответствующих примеров.

Во II классе они познакомятся с нахождением неизвестных компонентов действий второй ступени.

Дети учатся нахождению неизвестных сомножителей, делимого и делителя. Напомним некоторые моменты изучения этой темы. Начинаем с рассмотрения задач на нахождение неизвестного сомножителя.

На доске дается рисунок (рис. 26).

Рис. 26.

Учитель ставит вопросы: «Сколько раз по 4 кружка нарисовано?» (3 раза.) «Сколько всего кружков?» (12 кружков.) Запишем решение умножением:

Затем детям предлагается, используя тот же рисунок, сказать, сколько получится, если 12 кружков разделить по 4 кружка. (Если 12 кружков разделить по 4 кружка, то получится 3 раза.)

Решение записывается под первым примером:

Учитель спрашивает: «Сколько получится, если 12 кружков разделить на 3 равные части?» (Если 12 кружков разделить на 3 равные части, то получится по 4 кружка.)

Решение записывается под вторым примером:

После этого детям предлагается сравнить решения.

Учитель просит детей прочитать записанные примеры с использованием терминов: «множимое», «множитель», «произведение».

Один из учеников читает пример так: «Множимое 4, множитель 3, произведение 12. Следующий: «При решении второго примера произведение 12 разделили на множимое 4, получили множитель 3»; «При решении третьего примера произведение 12 разделили на множитель 3. получили множимое 4».

Учитель напоминает, что множимое и множитель по-другому называют сомножителями, и помогает детям сделать вывод: «Если произведение двух чисел разделить на один из сомножителей, то получим другой сомножитель».

Аналогичная работа проводится и при выполнении других практических заданий.

После этого переходим к нахождению неизвестного сомножителя:

Проверка: 9-8 = 72, 72 = 72.

В этот период большое внимание уделяется правильному чтению выражений. Например, #-8 = 72 дети учатся читать по-разному:

1) Неизвестное число умножили на 8, получили 72. Найти неизвестное число.

2) Задуманное число умножили на 8, получилось 72. Какое число задумано?

3) Какое число надо умножить на 8, чтобы получить 72?

4) Множитель 8, произведение 72. Найти множимое.

5) Неизвестное число увеличили в 8 раз, получили 72. Найти неизвестное число.

Второй пример: х:6 = 4.

1) Задуманное число уменьшили в 6 раз, получилось 4. Какое число задумано?

2) Какое число надо разделить на 6, чтобы получилось 4?

3) Делитель 6, частное 4. Найти делимое.

4) Неизвестное число разделили на 6, получили 4. Найти неизвестное число.

5) Неизвестное число уменьшили в 6 раз, получили число 4. Найти неизвестное число.

Постепенно ведется подготовка учащихся к составлению и решению более сложных уравнений.

Например: «Я задумала число. От него отняла 5, полученную разность умножила на 2 и получила 8. Какое число задумано?» На доске появляется запись: (х—5) -2 = 8*.

Учащиеся рассуждают так: после умножения разности на 2 получили 8, значит, разность (л;—5) равна (8:2 = 4). Число 4 получили после того, как из задуманного числа вычли число 5, следовательно, задуманное число было на 5 больше, т. е. 4 + 5 = 9.

Для того чтобы дети смогли применять свои знания при решении подобных примеров, надо хорошо знать названия компонентов и зависимость между компонентами и результатами действий. С этой целью широко использовались карточки, ранее заготовленные учителем.

Учитель на уроке раздает нескольким учащимся карточки, на каждой из которых написано по одному уравнению. (Количество розданных карточек определяется целью урока и планом его построения.) Дети про себя читают задание, записанное на карточках, продумывают, как можно по-разному прочитать уравнение.

После этого одни ученики читают задание вслух, а другие записывают под их диктовку данные уравнения в тетрадях, причем часто один из учеников вызывается для записи того же уравнения на доске.

При ответе у доски дети обязательно рассуждают вслух, объясняя, что известно и что неизвестно в уравнении. Как находится неизвестное.

Решение каждого уравнения начинается с его чтения. При чтении уравнения учащиеся должны назвать известные и неизвестные, результат и компоненты действия.

Затем дети говорят правило нахождения неизвестного компонента и одновременно записывают решение.

Проводится проверка правильности решения уравнения. Приведем выдержку из протокола** урока.

«Дети, сейчас я вам раздам карточки и решим несколько уравнений. Кто хочет получить такую карточку? (Дети поднимают руки.) Чтобы уравнение прочи-

* В утвержденном тексте программы решение уравнений такого вида отнесено к третьему году обучения. (Прим. ред.)

** Урок записывался на магнитофонную ленту. Запись воспроизводится буквально. Объяснения и запись на доске выполнялись одновременно. (Ред.)

тать правильно, те, кто получил карточки, обратите внимание на арифметическое действие и название компонентов. Первое уравнение будет решать Аля К., а запись сделает Сережа Б.

К. Аля. Множимое неизвестно, множитель 8, произведение 72. В данном уравнении известно произведение 72, множитель 8, неизвестно множимое. Множимое находится действием деления. Для этого произведение 72 делим на множитель 8, получаем множимое 9.

По ходу объяснения на доске появляется запись:

Теперь сделаем проверку. Вместо неизвестного подставим его значение 9, получим произведение чисел 9*8=72, т. е. число, полученное в левой части уравнения, равно числу, данному в правой части уравнения, значит, уравнение решили правильно».

Приведем несколько примеров работы над более трудными уравнениями. Например: 18 + л; = 35—10.

Усложнение в этом случае состоит в том, что в правой части дано не число, а выражение (здесь разность 35—10).

Учитель объясняет ребятам, что сначала надо найти разность, а потом решать уравнение знакомого вида.

Дети решают уравнение 18 + л: = 25 самостоятельно. Затем дается другое уравнение: 24—л;=12 + 3. Дети комментируют его решение.

Приведем еще одну выдержку из протокола урока.

А. Гена читает уравнение, а Ш. Люда записывает под его диктовку на доске и объясняет решение:

А. Гена: Делимое выражено разностью чисел 51 и k, делитель 8, частное 4.

Ш. Люда: В этом уравнении известно частное 4 и делитель 8, а неизвестное находится в делимом.

Делимое находится действием умножения: частное 4 умножим на делитель. Получим число 32.

Теперь у нас получилось уравнение, в котором неизвестным является вычитаемое k.

Вычитаемое находится действием вычитания k = 5l—32, из уменьшаемого 51 вычтем разность 32, получим число 19.

Сделаем проверку: вместо неизвестного подставим его значение 19. Результаты в левой и правой частях уравнения получились одинаковые, значит, уравнение решили правильно:

(51 — 19) :8 = 4, 32:8=4, 4 = 4.»

При подготовке и использовании карточек полезно иногда включать для сравнения на одной и той же карточке уравнения различных видов, например: (51—к) :8 = 4, 51—£ = 32.

— Чем отличаются данные уравнения? Что общего есть в этих уравнениях?

Учащиеся снова рассказывают о том, что знают об их решении. Приведенная система работы над уравнением обеспечивает хорошую подготовку учащихся по этому вопросу.

Все учащиеся класса справляются с решением уравнений, выполняют эту работу с удовольствием. Они хорошо рассуждают, знают названия компонентов, результатов действий и зависимость между ними.

Благодаря этому ученики без всякого требования учителя, по собственной инициативе стали использовать прием составления и решения уравнения и при решении задач.

Рассмотрим образцы задач, которые решались при помощи составления уравнения во II классе.

Задание: составьте задачу по краткой записи и решите ее.

Цена

Количество

Стоимость

2 руб. 10 руб.

30 м X M

?

Одинаковая

?

По этой краткой записи дети предложили задачу: «Купили 30 м полотна по 2 руб. за 1 м и несколько метров шерсти по 10 руб. за метр. Стоимость обоих кусков

одинаковая. Сколько метров шерсти купили?» Учащиеся рассуждали так: за полотно заплатили (2-30) руб., за шерсть (10 *х) руб. Известно, что за оба куска заплатили столько же, значит, можно записать, что 2-30= 10 х.

Решение этого уравнения посильно детям: вычислив произведение 2-30 = 60, получили уравнение 10-*=60, в котором неизвестен множитель. Решив его, получили значение неизвестного числа, узнали, сколько метров шерсти купили.

При помощи составления уравнений учащиеся решали и такие задачи, в которых были одинаковые либо цена, либо количество. Дети без затруднений предлагали алгебраический способ решения и такой задачи: «Из куска материи можно сшить 9 детских костюмов, расходуя на каждый по 2 м. Сколько платьев выйдет из этого куска, если расходовать по 3 м на каждое?»

При разборе этой задачи учительница обратила внимание учащихся на зависимость между количеством материи, костюмов, платьев и расходом ткани на одну вещь.

Дети получили два произведения, которые по смыслу задачи должны быть равны:

2-9 = 3-х.

Из всего сказанного видно, что при условии систематической и постепенной подготовки дети уже во II классе в состоянии использовать алгебраический способ решения задач различных видов. Они оказываются хорошо подготовленными к решению при помощи уравнений и более сложных задач в III классе.

Ю. А. Кочнева,

учительница средней школы № 1 Белоярского района.

РАБОТА НАД НЕРАВЕНСТВАМИ В I КЛАССЕ

Подготовка к рассмотрению с учащимися неравенств начинается с первых уроков в I классе. На этих уроках дети учатся сравнивать две группы предметов, например несколько больших кружков и несколько маленьких, несколько красных кубиков и несколько синих и т. п.

Сравнивая эти группы предметов, дети должны выяснить, каких предметов больше, а каких — меньше.

Дети много раз должны убедиться на практике в том, что если в одной из сравниваемых совокупностей предметов больше, то это значит, что в другой их меньше.

В первую неделю занятий, а потом и на следующих уроках при изучении чисел первого десятка часто выполняются упражнения на сравнение двух групп, на уравнивание неравных групп предметов и т. п.

Так, даем задание: «Положить 5 зеленых кружков, а под ними столько же красных кружков». Когда ученики выполнят это задание, проверяем:

— Сколько вы положили красных кружков? (5.)

— Почему? (Вы сказали: «Столько же, сколько зеленых, а зеленых 5»). Продолжаем это задание:

— Положите еще 1 красный кружок. Каких кружков стало больше? меньше? Почему? Что надо сделать, чтобы их стало поровну? (Нужно или убрать лишний красный кружок, или добавить 1 зеленый.)

Подобные рассуждения ведутся и при работе с другим раздаточным материалом.

От конкретных примеров и заданий на сравнение и уравнивание различных множеств предметов переходим к сравнению чисел.

Например, детям предлагается сравнить числа 4 и 5. Сначала такие задания ученики, в случае затруднения, выполняют так: возьмут 4 треугольника и 5 кружков, выложат их один под другим на наборном полотне и увидят, что треугольников на 1 меньше, чем кружкоз. Делают вывод, что 4<5. Потом дети научились сравнивать числа и так: то число, которое идет раньше при счете — меньше, а которое идет позднее — больше.

Кроме сравнения (т. е. выяснение того, какое число больше, а какое — меньше), выполняем и такие упражнения, когда требуется от неравенства перейти к равенству. Подробно рассматривали два возможных способа.

Например, б<7.

Спрашивается, что нужно сделать, чтобы знак < можно было заменить знаком = . Учащиеся предлагают: «Если к 6 прибавить 1, то получится 7». Записываем: 6<7, 6+1=7.

Обращаем внимание учащихся на то, что слева от знака было меньшее число б, и, чтобы уравнять левую

часть с числом 7, мы прибавили 1. Рассматриваем и другой способ: (6 = 7—1). Запись в целом будет такая:

Аналогичные задания можно дать и в другой форме. Например: 8 = 9 .... Закончить запись так, чтобы знак «равно» был поставлен верно.

При решении можно рассуждать так: слева от знака стоит число 8. Значит, и справа должно получиться 8. Чтобы справа получилось 8, нужно из 9 вычесть 1.

Научившись сравнивать числа, дети постепенно перешли к сравнению выражений.

Сначала упражнения давались в такой форме: что больше 6+1 или 8, 6—1 или 6. Спишите, вставляя вместо точек знак > или <. (Со знаками дети встретились уже при изучении чисел 1 и 2 и научились их писать и понимать легко.)

Чтобы правильно поставить знак, сравнивая 6+1 и 8, дети вычисляли сумму (6+1=7) и сравнивали затем числа (7 и 8). «7<8», — говорил ученик и записывал: «6+К8».

В случае сравнения 6—1 и 6 некоторые учащиеся тоже сначала вычисляли разность (6—1=5) и сравнивали числа 5 и 6, а другие ставили знак даже не считая. Они говорили, например, так: «Слева было 6 и справа С. Справа так и осталось 6, а слева 1 отняли. Там стало меньше».

Аналогично разбирались случаи вида 7 + 1 ,..7, 8 ... 8—1 и т. п.

Детям очень нравится «догадываться», где больше, а где меньше. Они стараются дать ответ не вычисляя, на основе рассуждений. Например, один ученик должен был поставить знак в таком примере: 8—i ..,9. Он не стал считать, сразу поставил знак меньше и объяснил свой выбор так: «8 и так меньше 9, а тут от 8 еще 1 отняли, еще меньше стало».

Но для проверки почти всегда выполняются вычисления и сравниваются полученные числа.

Потом переходим к сравнению двух выражений:

На таких примерах дети учатся сравнивать, выяснять, чем похожи и чем отличаются выражения, записанные слева и справа от пропущенного знака. Так, разбирая первое упражнение, ученик должен сказать, что и слева и справа отнимают от 9, но в левом примере от 9 отнимали 2Т а в правом — 3. Выясняем, где меньше отнимали,, и дети сами приходят к выводу, что там, где меньше отняли, осталось больше. Для лучшего, его усвоения разбираем этот случай с использовавшем наглядности: двум ученикам дается по 5 тетрадей. Затем одному предлагается убрать за спину 2 тетради, а другому— 4. Учащиеся убеждаются, что у того, кто убрал больше тетрадей, осталось меньше.

Такая демонстрация помогает всем детям без вычислений понять, какой знак надо поставить.

После того как было изучено переместительное свойство суммы и правила прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа, мы стали выполнять упражнения, основанные на этих правилах. Например:

Из этих упражнений легче для детей те, которые составлены прямо по правилу, и нужно только поставить знак равенства (упр. № 1, 2, 3, 6 и аналогичные им). Учащиеся, выполняя упражнение 1, рассуждают, например, так: слева от точек 5 + 4, а справа 4 + 5. Эти примеры на сложение очень похожи: в них переставлены только слагаемые. Мы знаем, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Следовательно, и слева и справа после выполнения действий получится то же самое число, поэтому можно поставить знак «равно».

При выполнении упражнений такого вида, как упражнение 2, разбираем сначала, что записано слева, и читаем так: «К сумме чисел 6 и 7 прибавить число 2», вспоминаем правило и смотрим, что записано справа (число 2 прибавили к первому слагаемому, а потом прибавили второе слагаемое). Делаем вывод, что справа и слева суммы одинаковые, поэтому можно поставить знак равенства.

Так же разбираются и другие упражнения такого вида.

Труднее упражнения № 4 и 5, хотя они и выполняются на основе тех же правил, но применять эти правила приходится в иных условиях.

Объяснить решение упражнения № 4 можно приблизительно так: «Посмотрим, что записано слева от точек. Здесь нужно из числа 20 вычесть сумму чисел 6 и 4. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть сначала одно слагаемое, а потом другое. Посмотрим, что записано справа от точек. Здесь сначала от числа 20 отняли 6, а потом прибавили 4. Если бы справа 4 не прибавляли, а вычитали, то можно было бы поставить знак равенства, но в этом случае вычитают меньше, чем слева, да еще прибавляют 4 (еще больше будет). Значит, справа результат будет больше, чем слева».

Такое объяснение самостоятельно, конечно, могут дать далеко не все ученики. Если кто-либо из учеников затрудняется ответить на вопрос без вычислений, то он сначала выполнит действия, а потом уже сравнивает полученные числа и ставит нужный знак.

При изучении нумерации чисел 11—20 и нумерации до ста снова выполняются упражнения на сравнение чисел. Здесь добавляется еще сравнение именованных чисел.

При сравнении именованных чисел у детей возникли затруднения.

Например, дети трудно уясняют, что 3 дм>8 см. Здесь легко допускается ошибка и ставится знак меньше (потому что 3<8). Все время при сравнении именованных чисел приходится обращать внимание детей на наименования, спрашивать, сколько сантиметров в 1 дм, сколько в 3 дм и т. п. Часто приходится использовать сантиметровую ленту, чтобы сравнить, например, 3 дм и 8 см и т. д.

Очень полезно сравнение двузначных чисел такого вида: 32 ... 23, 46 ... 64. Оно помогает детят понять десятичный состав чисел.

Выполняются и такие упражнения из учебника, в которых надо записать любое число, лишь бы оно было больше или меньше заданного. Например, дается задание закончить запись: 5 < ... . Вместо точек можно записать любое число, которое больше, чем 5. Дети не сра-

зу понимают это. Они привыкли, что в примерах бывает только один ответ. Приходится им объяснять, что в данном случае ответов будет сколько угодно. Когда они поняли, то эти упражнения им понравились и они стали записывать разные решения: 5<7, 5<6 и т. д.

Учащимся очень нравятся упражнения с неравенствами, и эти упражнения очень много дают детям. Работая с неравенствами, ученики лучше усваивают нумерацию, свойства действий, упражняются в вычислениях.

IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В I—III КЛАССАХ

Г. В. Широкова,

учительница средней школы № 27 Белоярского района.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В I КЛАССЕ

В I классе изучается материал, способствующий развитию пространственных представлений и геометрических понятий. Изучение этого материала строится главным образом на основе практических работ: изготовления геометрических фигур, их вычерчивания, вырезывания, получения перегибанием листа бумаги, моделирования, распознавания геометрических фигур в окружающей обстановке и на чертежах. Ученики учатся работать с линейкой, угольником.

Предусмотренный программой геометрический материал посилен и интересен учащимся, а это создает условия для повышения активности и самостоятельности при выполнении геометрических заданий.

Изучение геометрического материала проводится параллельно с изучением арифметического. Мы стремимся использовать каждую возможность для установления этой связи, чтобы изучение арифметического материала способствовало изучению геометрического и наоборот.

Покажем, как выглядела эта работа при изучении программы I класса.

Первый десяток

Изучение этой темы начинаем с обучения детей счету. Для счета используем не только рисунки овощей, фруктов, но и геометрические фигуры: круги, треугольники, четырехугольники и др. Позже начинаем более детально знакомить детей с этими фигурами. Просим их, например, сосчитать углы, вершины, стороны многоугольника. Дети узнают, что если в многоугольнике три угла, это треугольник, если четыре — четырехугольник.

Затем предлагаем посчитать углы в следующих геометрических фигурах (рис.27), назвать каждую из них и объяснить, почему она так называется.

Посмотрев на эти фигуры, ученик говорит, что в первой из них три угла, это треугольник и т.д. В это же время проводим и практические упражнения. Например, составляя треугольник из палочек, спрашиваем, сколько нужно их взять, чтобы получить треугольник, а из четырех палочек, какую фигуру сможем сложить. Вырезаем фигуры из бумаги.

Так дети упражняются в счете и вместе с тем учатся сознательно различать эти фигуры. На практических работах учащиеся знакомятся и с некоторыми свойствами этих фигур. Например, они узнают, что сколько в многоугольнике углов, столько и сторон, столько же и вершин, что треугольники и четырехугольники могут быть разными.

При изучении первого десятка мы вводим понятие прямого угла*. Понятие о прямом угле даем так. Берем лист бумаги, перегибаем его по прямой и получаем прямой угол. Просим одного из учеников проделать то же у доски, а потом каждый ученик так же изготавливает модель прямого угла. Теперь ищем прямые углы в окружающей обстановке. Прилагаем наш прямой угол к углу доски (показываем, как это сделать). Спрашиваем, что можно сказать об угле доски. Предлагаем приложить свои углы к углу книги, стола. Что можно сказать об этих углах? Как они называются? Чертим несколько углов и просим найти прямой. Ученики ищут, показывают прямые углы, проверяют их при помощи изготовленных ими моделей или чертежных треугольников.

После этого дети учатся находить прямые углы на чертежах. В учебнике даны такие рисунки, и мы предла-

Рис. 27.

* В первом издании учебника прямой угол вводился в теме «Десяток», но в последующих изданиях учебника ознакомление с ним предусмотрено в теме «Сотня». Методика ознакомления с прямым углом при этом не изменилась. (Прим. ред.)

гали разные многоугольники и просили найти в них прямые углы.

Когда дети уже свободно умеют находить прямые углы, знакомим их с прямоугольником. Учим выделять прямоугольник среди множества четырехугольников.

Для этого сначала находим прямые углы в данных четырехугольниках (в одном из них один угол прямой, в другом — два, в третьем — четыре). Говорим, если у четырехугольника все углы прямые, то это прямоугольник. После этого дети сами находят на чертежах и среди вырезанных из бумаги фигур прямоугольники (проверяя каждый раз, все ли углы в данном четырехугольнике прямые). Затем проводим практические работы: вырезывание, выкладывание прямоугольников, раскрашивание их.

В это же время дети знакомятся с прямой и кривой линиями, отрезком, учатся практически пользоваться линейкой. Они усваивают, что число получается не только в результате счета предметов, но и в результате измерения.

Знакомим ребят с сантиметром, измерением отрезков. Эта работа выглядит так. Ученики отмечают точку на пересечении линий в тетради, отсчитывают 2 клетки вправо и проводят отрезок (длина полоски в 2 клетки равна 1 см). Затем отрезаем от листа клетчатой бумаги полоску в 1 см и чертим отрезки такой же длины в другом положении. Накладываем полоску длиной 1 см на мизинец и проверяем, что ширина ногтя приблизительно равна 1 см.

Затем проводим практические задания по измерению. Чертим отрезки длиной 2—3 см. Сначала по клеточкам узнаем длину уже начерченных отрезков, а затем моделью сантиметра (путем наложения): если модель сантиметра уложилась в отрезке 5 раз, значит, длина этого отрезка 5 см.

Знакомим учащихся с линейкой. Показывая линейку, укладываем на ней модель сантиметра. Отмечаем, что цифра 1 стоит в конце первого сантиметра, цифра 2— в конце второго и т. д. В дальнейшем измеряем отрезки при помощи линейки.

Сотня

При изучении этой темы работа в основном идет с отрезками. Дети учатся уменьшать и увеличивать отрез-

ки на заданное число сантиметров, измерять данные отрезки, стороны многоугольников.

Проводим такие упражнения: даем отрезок, раздаем детям карточки с начерченными на них отрезками. Нужно данный отрезок измерить, а в тетради начертить отрезок длиннее или короче его на заданное число сантиметров.

Таким образом устанавливается связь с решением задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

В связи с измерением сторон многоугольников дети наблюдают случаи, когда все стороны четырехугольника (треугольника) имеют разную длину, когда две стороны имеют одинаковую длину, когда все стороны равны между собой.

Сравнивая стороны прямоугольника, дети убеждаются в том, что противоположные его стороны всегда равны между собой.

На основе измерения и сравнения сторон прямоугольника рассматривается и частный его случай — квадрат. Учащиеся с самого начала понимают, что квадрат— это прямоугольник и что он отличается от всех других прямоугольников тем, что у него все стороны равны.

Познакомившись с прямоугольником, квадратом и другими фигурами, ученики учатся выделять часть из общего и составлять целое из частей. Проводим упражнения такого вида: рассмотрите чертеж (рис. 28) и подсчитайте, сколько здесь всего треугольников, четырехугольников; чего больше и на сколько.

Обратные задания — на составление фигуры из частей. Например, составьте из этих треугольников (рис. 29) квадрат.

Очень интересны, но немного труднее задания, связанные с дополнением данной фигуры. Например, дает-

Рис. 28. Рис. 29.

ся задание — дополнить данную фигуру до квадрата (рис. 30). Чтобы объяснить, как это сделать, мы предлагаем детям сравнить эту фигуру с тем квадратом (равным искомому), который вырезали из цветной бумаги (рис. 31). Накладываем данную фигуру на квадрат и убеждаемся, что не хватает только небольшого треугольника. Обращаем внимание детей на то, что при дополнении фигуры нужно стремиться добавить то, что действительно необходимо. Выясняем, в чем ошибка ученика, который дополнил до квадрата эту фигуру так, как показано на рисунке 32. Первые задания этого вида лучше давать так, чтобы дети все время сравнивали дополняемую фигуру с полной. В дальнейшем они уже начинают выполнять подобные задания по представлению.

А. С. Кузнецова,

учительница Камышевской средней школы Белоярского района.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ВО II КЛАССЕ

Большое внимание во II классе уделяется работе над отрезками. Очень важно, чтобы дети научились правильно строить отрезки. Учим строить отрезки в ходе разных упражнений. Например, предлагаем учащимся в тетради поставить 2 точки, затем взять линейку, приложить ее к точкам и соединить их. Точки будут концами искомого отрезка. В другом случае детям дается задание начертить отрезок заданной длины или отрезок, проходящий через данную точку, и т. д.

Выполняя упражнения по черчению отрезков, учащиеся постепенно овладевают умением пользоваться измерительными инструментами. С первых же уроков во II классе учим детей сравнивать отрезки по длине при помощи циркуля.

Рис. 30. Рис. 31. Рис. 32.

В нашу задачу входит и развитие глазомера учащихся. В этом отношении важно научить детей сравнивать отрезки, по-разному расположенные на плоскости. Результат сравнения, выполненного на глаз, полезно сразу же проверить с помощью циркуля или линейки. Например, провожу такие упражнения:

1. Определить, который из отрезков каждой пары длиннее (рис. 33).

2. Нет ли на чертеже равных по длине отрезков?

3. Нет ли среди данных отрезков отрезка, равного 1 дм? И т. п.

В этих упражнениях подводим детей к пониманию того, как необходимо умение пользоваться измерительными приборами. Сравнивая длину отрезков, дети записывают:

Дети с первого года обучения знают, что стороны треугольников и других многоугольников являются отрезками. В связи с этим выполняются и упражнения на сравнение отрезков, являющихся сторонами фигур.

Во II классе дети знакомятся с новой единицей длины— миллиметром. Они подводятся к пониманию того, когда пользуются миллиметром (при измерении небольших отрезков). С помощью линейки измеряем толщину карандаша, резинки, спичек, измеряем и стороны фигур, когда более крупная единица (1 см) не укладывается на данном отрезке целое число раз. Результаты измерения в таких случаях записываются составным именованным числом.

Например, АВ = 3 см 5 мм, АС = 5 см 4 мм и т. п.

Рис. 33.

Проводится ряд упражнений с составными именованными числами, чтобы дети лучше усвоили единичные отношения между единицами длины. Например, закончить запись:

Если учащиеся затрудняются закончить запись, то они всегда могут воспользоваться линейкой. По линейке учащиеся наглядно устанавливают соотношения между единицами длины, сравнивают отрезки и т. п.

В связи с тем, что программой во II классе предусмотрено изучение периметра многоугольников, с первых же уроков дети знакомились со сложением отрезков.

В начале упражнения проводились так (рис. 34): берется отрезок АЕ. Обозначается одна из точек буквой В. Спрашивается: «Сколько теперь получилось отрезков?» (3.) «Какие? Из каких отрезков состоит отрезок АЕ?» (АЕ = АВ + ВЕ.)

Считаем полезным научить детей правильно разбирать и оформлять запись заданий на построение в такой последовательности (рис. 35).

Дано: AB и CD — отрезки. Надо построить AC = AB + CD. Анализируем задачу, выясняем, что дано, что нужно построить, каким должен быть искомый отрезок, поскольку он равен сумме двух отрезков.

Построение выполняем при помощи циркуля и линейки. Чертим произвольную прямую (учитель на доске, учащиеся в тетрадях). От произвольно взятой на ней точки А откладываем циркулем отрезок, равный отрезку

Рис. 34.

Рис. 35. Рис. 36.

AB, от точки В откладываем в том же направлении отрезок ВС, равный отрезку CD. Ставятся вопросы: Какой новый отрезок мы получили? Из каких отрезков он состоит? Построили ли мы отрезок, равный сумме AB и CD? Записываем: АС = АВ + ВС (рис. 36).

После работы с циркулем можно предложить учащимся измерить длину данного отрезка линейкой и вычислить, каким по длине должен быть отрезок, равный их сумме. Проверяем, равна ли длина отрезка АЕ сумме длин двух отрезков — AB и CD. Учащиеся измеряют новый отрезок и делают вывод.

Линейкой и циркулем пользуются дети и при решении таких задач, в которых требуется построить отрезок на несколько сантиметров длиннее или короче данного, в несколько раз короче или длиннее данного.

Интерес вызывает у детей и работа с углами. Учащиеся учатся вычерчивать углы, обозначать их, правильно читать (называть букву при вершине угла в середине наименования), изготавливают модели углов (острого, тупого и прямого). Сравнивая углы с прямым (с помощью чертежного угольника или бумажной модели прямого угла), дети учатся определять вид угла (рис. 37), записывая, например, так:

Называют углы в фигурах.

Модель прямого угла помогает учащимся определить виды углов, а следовательно, и виды треугольников, в зависимости от углов (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный).

Дети учатся строить прямоугольные треугольники не только на клетчатой бумаге, но и на нелинованной.

Следующей темой является ломаная линия, вычис-

Рис. 37.

ление ее длины. Найти длину ломаной линии — это значит найти сумму длин отрезков ее составляющих.

Задачи на нахождение длины ломаной решаем двумя способами:

1. Путем измерения звеньев ломаной линии линейкой и нахождения длины ломаной путем подсчета суммы длин отрезков — звеньев.

2. Используя умение находить сумму отрезков на прямой, откладываем звенья — отрезки последовательно один за другим и, приложив линейку к полученному новому отрезку, равному сумме других отрезков, измеряем длину всей ломаной — периметр.

Сравнивая два способа решения, устанавливаем, что нужно уметь решать такие задачи обоими способами, так как может оказаться, что нужно найти, например, длину изгороди, зная длину сторон участка, но не видя его. В другом случае нужно, например, узнать длину ремня, необходимого для перевязки чемодана, и сделать это нужно, не имея возможности измерить каждый отрезок. Эти же способы решения применяем для нахождения периметра треугольника, прямоугольника, и учащиеся легко решают задачи, сами выводят формулу нахождения периметра прямоугольника:

На основе рассмотрения чертежа, под руководством учителя выводится формула:

Ра=(а + &).2.

Задача: «Начертить треугольник (рис. 38)* и вычислить его периметр». Дано: А ABC. Вычислить периметр А ABC.

Решение:

I способ

Р=АВ+ВС+АС

р=4+4+5

Р=\3

II способ

Чертим отрезок, равный сумме данных отрезков (сторон треугольника), измерив его длину, находим периметр треугольника (рис. 39).

Рис. 38.

* Чертежи даны в уменьшенном виде.

Рис. 39.

Рис. 40.

Решаем с детьми и более сложные геометрические задачи, связанные с нахождением периметра. Например: «Найти длину одной из двух равных сторон равнобедренного треугольника, если известно, что периметр его равен 20 см, а третья сторона равна 6 см».

Чертим равнобедренный треугольник (рис. 40), условно обозначаем его стороны, записываем: Дано: A ABC — равнобедренный АВ = ВС ЛС = 6 см РЛ ABC = 20 см. Определить AB и ВС.

Решение: х=(20—6) : 2 Проверка: Р = 7 + 7 + б х = 7. Р = 20

Ответ: АВ = ВС = 1 см.

Выясняем, что узнавали, почему так поступали при решении.

Дети любят геометрический материал, быстро чертят, учатся правильно записывать задачу геометрического содержания.

Важнейшее значение имеет дальнейшее совершенствование форм и методов обучения, установление единой линии математического образования начиная с I класса.

В своей работе начиная с младшего звена школы мы стремимся, в доступной для младших школьников форме, приблизить методику работы над геометрическим материалом к методам, которые применяются при изучении геометрии в старших классах.

Г. А. Лагунова,

ст. преподаватель Свердловского педагогического института.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

В новой программе по математике для I—III классов уделяется специальное внимание решению задач на построение различных геометрических фигур. Так, в программе подчеркивается, что дети должны научиться не только узнавать и называть знакомые геометрические фигуры, но и изображать их на бумаге (сначала на клетчатой, а затем и на нелинованной). Дети должны уже в I классе овладеть умением построить отрезок, если даны две точки, являющиеся его концами, построить отрезок заданной длины, увеличить или уменьшить данный отрезок на несколько сантиметров, начертить отрезки меньший или больший данного на несколько сантиметров, изобразить замкнутую и незамкнутую ломаные линии, различные виды многоугольников (главным образом треугольники и четырехугольники). Уже в I классе дети должны научиться чертить прямоугольник (квадрат) с заданными сторонами, используя клетчатую разлиновку тетради. Во II классе строится окружность заданного радиуса, выполняются упражнения в увеличении (уменьшении) отрезка в несколько раз, дети знакомятся с классификацией треугольников (по сторонам и по углам) и в связи с этим с практическими приемами построения треугольников различных видов. Если в I классе, выполняя те или иные построения, учащиеся пользовались только масштабной линейкой (и клетчатой разлиновкой тетради), то во II классе программой предусмотрено построение прямого угла с помощью чертежного угольника. Благодаря этому, в частности, построение прямоугольного треугольника может уже быть выполнено во II классе и на гладкой бумаге*. В утвержденной программе — в III классе. Знакомятся дети во II классе и с измерительным циркулем. Навыки работы с ним формируются в ходе упражнений, связанных с измерением и сравнением отрезков, построением отрезков заданной длины и пр. В III классе дети знакомятся с еще

более сложными построениями. В частности, они должны научиться строить прямоугольник на гладкой бумаге.

Обучение детей всем этим построениям — дело нелегкое и для учителей начальных классов во многом новое. Поэтому и представляется полезным показать, как решали эту задачу в своей практике некоторые учителя школ Белоярского района и г. Свердловска (А. С. Кузнецова, А. П. Мезенова, Г. А. Щуклина, А. И. Титова и др.).

Учителя, опыт которых освещается в этой статье, приучали детей проводить работу над задачами на построение по тому же плану, что и решение арифметических задач.

Так, прежде всего выяснялось, что в задаче известно (что дано) и что нужно узнать или построить (начертить), что означает каждое слово в тексте задачи. Решение задач на построение всегда связывалось с повторением определений, знакомых детям свойств рассматриваемых фигур.

Работа над условием задачи сопровождалась краткой ее записью, которая часто оказывалась очень похожей на те записи, какие выполнялись при решении арифметических задач.

Например, при решении задачи: «Начертить два отрезка. Длина первого — 8 см, а второй — на 2 см длиннее первого»; краткая запись выглядела так: 1—8 см

II—X см на 2 см длиннее

При решении некоторых задач краткая запись сочеталась с выполнением от руки наброска (чертежа) той фигуры, которую нужно было построить.

Например, во II классе решалась задача на построение прямоугольника, если известно, что длины его сторон (3 см и 5 см).

Вместо того чтобы записывать эти данные словами, ученики выполняли чертеж — набросок вида (рис. 41).

Такой чертеж очень часто помогает на следующем этапе работы, когда составляется план решения.

На этом этапе прежде всего выясняется, можно ли выполнить требуемое построение сразу или понадобятся предварительные вычисле-

Рис. 41.

ния и построения (говоря языком арифметики: простая эта задача или составная). Например, если в задаче требуется построить только отрезок длиной 8 см 5 мм, то задача решается сразу. Если же требуется построить прямоугольник, длина которого 6 см 5 мм, а ширина 2 см 3 мм, то эту задачу уже сразу решить нельзя. Здесь потребуется ряд предварительных построений (построить отрезок заданной длины, прямой угол, отложить отрезок заданной длины и т. д.), а также вспомнить ряд правил, определений и свойств геометрических фигур. Представить эту фигуру (можно показать фигуру, если задача решается впервые). Вспомнить о некоторых специальных приемах, использовавшихся ранее в более простых случаях (как построить прямой угол, измерить отрезок и т. д.). На этом же этапе должен быть намечен весь путь решения задачи до конца и здесь же надо уделить специальное внимание выяснению того, имеются ли для этого все необходимые условия, чтобы не получилось так, что учитель дает неопределенную задачу. (Например: «Длина одного отрезка 6 см. Начертить другой отрезок».) Так же как и при решении арифметической задачи, учителя не позволяли учащимся решать задачу на построение путем «проб», а добивались того, чтобы дети ясно представили себе весь путь решения. Так, например, если указано, что второй отрезок на 2 см длиннее, ученик рассуждает: длину первого отрезка а я знаю, могу сразу начертить по линейке (учитель может задать контрольный вопрос: от какой же черточки на линейке и до какой черточки на линейке ты будешь проводить отрезок?) Длину второго отрезка надо еще найти, вычислю и тогда построю отрезок Ь.

— Как ты будешь, строить этот отрезок? Возможны разные ответы, например:

1. Проведу по линейке отрезок длиной 8 см.

2. Проведу отрезок длиной 6 см, а потом продолжу его по линейке и отмерю еще 2 см.

После того как план построения (решения) намечен, можно переходить к III этапу — к выполнению построения.

При выполнении построения учащиеся поясняли каждый шаг в своей работе, учителя все время требова-

ли точных формулировок. В ходе пояснений учащиеся выясняют, нельзя ли упростить решение, улучшить намеченный план (найти другой способ решения). Пример таких пояснений будет приведен ниже на более сложной задаче. После того как построение выполнено, необходимо проверить решение (построение).

Проверка решения задачи начинается с вопросов: Решили ли задачу? Построили ли искомую фигуру? Далее следует вопрос: Почему вы думаете, что задача решена?

Проверка должна быть тщательной. Выясняется, верно ли обосновано решение, нет ли технических ошибок в чертеже, правдоподобен ли чертеж, результат. Нельзя ли сделать проверку путем непосредственных измерений или вычислений, решить задачу другим способом.

Ответ задачи записывается после проверки. Обычно учителя требуют полного ответа на вопрос.

Намеченный выше план работы над задачами, связанными с построением, соблюдается во всех случаях.

Дети постепенно приучаются пользоваться им и при самостоятельном выполнении такого рода заданий.

Решая задачу на построение, они пользуются той же «Памяткой», которая раньше помогала им при решении арифметических задач, в нее вносятся только некоторые дополнительные уточнения:

1. Прочитай задачу. Что дано в задаче и что надо узнать (или построить)?

2. Что означает каждое данное в задаче требование?

3. Запиши задачу кратко, сделай к ней рисунок или чертеж.

4. Наметь план решения (построения).

5. Выполни решение (построение).

6. Проверь свое решение (построение).

7. Дай ответ на вопрос задачи.

8. Докажи, что построил нужную фигуру.

Рассмотрим решение одной из наиболее трудных задач на построение, относящейся к третьему году обучения. Покажем, как учат оформлять решение задачи на построение некоторые учителя II—III классов Белоярского района.

Задача: «Построить с помощью угольника и линейки прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см».

1. В соответствии с указаниями «Памятки» выясняем прежде всего, что в задаче дано (длина одной стороны прямоугольника Ь см, а другой 2 см), что требуется (построить прямоугольник с такими сторонами).

2. Выясняем, что означает каждое данное в задаче, уточняем задание так: прежде всего вспоминаем, что такое прямоугольник (четырехугольник, у которого все углы прямые), уточняем, сколько сторон у прямоугольника (4), почему в условии указана длина двух сторон (в прямоугольнике противоположные стороны равны), какова длина сторон искомого прямоугольника (2 см, 6 см, 2 см, 6 см). Выясняем, что означает требование построить прямоугольник с помощью угольника и линейки (значит, не по клеточкам, а на гладкой бумаге) .

3. Записываем задачу кратко и делаем к ней от руки чертеж (см. рис. 42).

Дано: а = 6 см, Ь = 2 см. Построить прямоугольник.

После этого переходим к следующему, очень ответственному этапу работы: намечаем и подробно разбираем план построения прямоугольника. Вот, например, как может составить план построения ученик: «Проведу прямую MN и отложу на ней с помощью линейки отрезок AD длиной 6 см. Через концы этого отрезка проведу с помощью угольника 2 прямые под прямым углом к данной прямой. На каждой из этих прямых отложу в одну и ту же сторону от прямой MN отрезки длиной 2 см. Концы этих отрезков соединю с помощью линейки».

Составляя план построения, ученик всегда может использовать тот чертеж, который был сделан от руки при разборе условия задачи. По ходу составления плана полезно задавать детям контролирующие вопросы, чтобы выяснить, понимают ли они, почему можно выполнить построение предлагаемым способом (например, спросить, почему на обеих прямых, проведенных через

Рис. 42.

Рис. 43.

На произвольной прямой откладываем отрезок, равный 6 см. Концы отрезка называем буквами А и D.

Рис. 44.

Через точки А и D проводим прямые под прямым углом к AD.

Рис. 45.

Откладываем на этих прямых отрезки АВ= DC = 2 см.

Рис. 46.

Соединяем (по линейке) точки В и С отрезком ВС. Четырехугольник ABCD — прямоугольник, который нужно было построить.

концы отрезка AD, надо отложить отрезки длиной по 2 см \\т. п.).

Следующий этап работы — выполнение построения (см. рис. 43, 44, 45, 46, показывающие последовательные шаги в построении).

Если задача на построение решается у доски, то ученик говорит, что он будет строить прямоугольник со сторонами не 6 см и 2 см, а 6 дм и 2 дм, а в основном все построения выполняются так же, как и в тетради (обязательно с использованием линейки и угольника!).

После того как построение выполнено, приступаем к проверке его правильности. Проверка начинается с вопросов:

1. Что надо было построить?

2. Как проверить, что данная фигура — прямоугольник?

Вспоминаем определение прямоугольника, его существенные признаки.

3. Выясняем, что надо проверить:

а) Прямые ли углы ABC и DCB?

б) Равны ли противоположные стороны ВС и AD?

в) Соблюдены ли требуемые размеры?

Проверку выполняем с помощью инструментов так (см. рис. 47, 48):

Запись: Z ABC и Z BCD — прямые углы, 5С = /4D = 6 см. После проверки записывается:

ABCD — искомый прямоугольник. Учащиеся с большой охотой решают задачи на построение. Решение задач на построение способствует закреплению арифметического материала, служит хорошей подготовкой к изучению геометрии.

Рис. 47. Рис. 48.

К. А. Шуганова,

учительница школы № 27 Белоярского района.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИМЕТРА И ПЛОЩАДИ

Вычислению периметра и площади геометрических фигур уделяется большое внимание во II и III классах, но подготовительная работа для изучения этого материала начинается с I класса. Здесь дети знакомятся с линейными мерами: сантиметром, дециметром, метром. При помощи линейки дети чертят отрезки заданной длины, сравнивают отрезки, измеряют отрезки различной длины. Уже в I классе дети приучаются работать с линейкой и угольником, а во II классе чертить прямой угол на гладкой бумаге. Навыки построения прямого угла используются в дальнейшем при построении прямоугольного треугольника, прямоугольника (квадрата).

Не менее важно, чтобы со II класса дети приучались отмечать на чертеже размеры и умели сами читать чертежи (см. рис. 49).

Во II классе проводится знакомство с новыми единицами измерения: миллиметром, километром. Много внимания уделяется работе с таблицей мер длины:

I км = 1000 м

1 м =10 дм = \00 см

1 дм = \0 см = \00 мм

1 см = 10 мм

Чтобы дети лучше усвоили соотношение между единицами длины, важно почаще проводить упражнения в измерении и сравнении отрезков. Например, предлагается детям сравнить отрезки в I дм 2 см и 11 см (для того чтобы сравнить, дети предварительно вычерчивают эти отрезки), в другой раз сравнивали отрезки в 1 м 6 дм и 18 дм уже без вычерчивания, на основе рассуждения (в 1 м— 10 дм, значит, 1 м 6 дм—это 16 дм, 16 дм< 18 дм) и др.

Хорошее усвоение отношений между единицами изме-

Рис. 49.

Рис. 50.

рения очень важно — это поможет детям при решении задач на вычисление периметра.

Эти задачи впервые появляются во II классе. Можно предложить детям начертить ломаную линию, измерить длину каждого отрезка этой ломаной и сложить полученные числа, т. е. найти сумму длин этих отрезков (рис. 50).

Какой длины первый отрезок? Второй? Третий? Найдем сумму длин этих отрезков. Дети записывают:

Длину этой ломаной можно найти двумя способами:

а) измерить длину каждого звена (отрезка) и сложить полученные числа;

б) выпрямить ломаную, измерить длину всего куска проволоки.

Оба эти способа мы и использовали. Вычисление длины ломаной вплотную подвело детей к восприятию понятия о периметре многоугольника.

Знакомство с периметром происходило так. Проводился геометрический диктант.

— Будем чертить ломаную линию. Начертите отрезок AB длиной 3 см. От точки В под прямым углом к отрезку AB проведите отрезок ВС длиной 5 см, от точки С под острым углом к отрезку ВС проведите отрезок CD длиной 7 см. Найдите теперь длину ломаной ABCD: (х=3+5 + 7; jc=15 см). Соедините теперь отрезком прямой точки А и D. Измерьте отрезок AD и найдите длину полученной замкнутой ломаной линии (у детей получаются разные ответы, так как длина AD была у них разной).

После этого детям предлагается раскрасить полученный многоугольник и назвать его стороны. Выясняется, какова их длина. Учитель сообщает, что сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Выясняется, что периметр — это длина замкнутой ломаной — границы многоугольника.

С целью закрепления понятия о периметре даются задания разного характера, например предлагается найти периметр равностороннего треугольника АБС. Выясняется, какой это треугольник (равносторонний, остроугольный, рис. 51). Измеряются стороны, устанавливается, что длина стороны треугольника 2 см. Составляется формула вычисления периметра: Я = 2 + 2 + 2. Обращается внимание, что в данном случае все слагаемые одинаковые, формулу можно записать так: Р = 2-3.

При вычислении периметра прямоугольника используем его свойства (противоположные стороны равны) и формулу составляем так: Р= (а+Ь) + (а+Ь), или Р=(а + 6)-2, а основываясь на свойстве умножения суммы на число, получаем новую формулу: Р = а-2 + Ь-2. Позднее при решении задач дети используют более рациональные способы решения.

Решая задачи на вычисление периметра, необходимо во II классе выполнять и такие упражнения, решение которых является непосредственной подготовкой к изучению площади и ее измерения.

Приведем примеры таких заданий:

1) Подсчитайте число клеток, на которые разбит данный прямоугольник (рассматриваются два способа подсчета).

2) Проверьте, считая по-разному, на сколько квадратов разделен каждый прямоугольник (рис. 52).

3) Из квадратов, вырезанных детьми, предлагается сложить различные фигуры; подсчитать, сколько квадратов потребовалось для этого (рис. 53).

Рис. 51.

Рис. 52.

Рис. 53.

4) Сколько плиток выпало (рис. 54)?

Решаются и обратные задачи. Вся работа над табличным умножением ведется с использованием пособия, предусмотренного учебником. Используя способ подсчета клеток, можно решить любой пример таблицы умножения (на рисунке 55 показан случай 5-3).

Итак, проведен ряд упражнений, подготавливающих детей к восприятию понятия площади. Работа над формированием этого понятия ведется в III классе. Понятие о площади дается на наглядном примере: два прямоугольника, расположенные по-разному, дверь и стена класса. Ставится вопрос: «на что больше пойдет краски и почему?» (Стена больше двери по площади.) Сравниваем по величине носовой платок и полотенце, носовой платок и простыню. Сколько платков можно сделать из простыни? Как узнать? (Накладывать носовой платок на простыню.)

Изучая моря Тихого океана на уроках природоведения, дети решили сравнить по величине моря Охотское

Рис. 54. Рис. 55.

Рис. 56. Рис. 57.

и Японское, пришли к выводу, что первое больше, а на сколько больше,— сказать затруднились.

Для сравнения учащимся были предложены две такие фигуры, как на рисунке. Вопрос был сформулирован так: «Вторая фигура явно больше первой, но как узнать, на сколько больше?» Один из учеников предложил обе фигуры разбить на равные клеточки, сосчитать их и найти разницу. Отталкиваясь от этих примеров, подвожу детей к выводу, что для измерения площади нужны новые единицы измерения.

Предлагаю начертить отрезок в 1 см, квадрат со стороной в 1 см и сообщаю, что квадрат со стороной в 1 см называется квадратным сантиметром. Это и есть единица измерения площади. После этого сравниваются фигуры (см. рис. 58).

Подсчитываем квадратные сантиметры и находим, что фигуры равны по площади. Сравнивая периметры их, устанавливаем, что у первой фигуры он на 4 см больше. Делаем вывод, что фигуры, имеющие равные площади, могут иметь разные периметры. Возьмем два прямоугольника, стороны одного 5 см и 3 см, стороны второго 7 см и 1 см. Сравним их периметры и площади. Выясняется, что периметры равные, а площадь первой фигуры на 8 кв. см больше. Значит, фигуры с одинаковыми периметрами могут быть различной площади.

Изучение этой темы вызывает много трудностей; дети часто вместо площади вычисляют периметр или при правильном вычислении площади результат выражают

Рис. 58.

Рис. 59. Рис. 60.

в линейных мерах. Поэтому важно каждый раз подчеркивать, что для вычисления площади используются новые единицы измерения, отличные от линейных единиц. Это квадратные единицы.

Найти площадь фигуры (рис. 59). В каких единицах получится ответ? Дети считают число квадратных сантиметров. Если мысленно ряды сдвинуть, то получится прямоугольник. Число квадратных сантиметров подсчитали так: 6-4 = 24 (кв.см).

Для измерения площади фигур произвольной формы детям предлагается палетка — прозрачная пластинка,на которой тонкими линиями нанесена сетка, состоящая из квадратных сантиметров. Если палетку наложить на фигуру, то можно приближенно найти число квадратных сантиметров, покрывающих эту фигуру, т. е. найти площадь ее в квадратных сантиметрах. Палетку лучше всего приготовить из кальки. Сетку нанести карандашом. Чтобы вычислить площадь фигуры, вначале считаем число квадратных сантиметров, которые оказались полностью внутри контура фигуры, их 6; затем считаем квадраты, через которые проходят контуры фигуры,— их 13; это неполные квадраты, одни больше, другие меньше половины квадратного сантиметра. Чтобы узнать, сколько полных квадратов они составляют, число неполных делим пополам (получится приблизительно 6 кв.см). Теперь подсчитаем площадь фигуры:

полных 6 кв. см, площадь неполных квадратов приблизительно 6 кв. см (13:2).

Площадь всей фигуры будет приблизительно 6 + 6=12 (кв.см).

Рис 61.

При помощи палетки вычисляем и площадь прямоугольника с произвольными сторонами, листа тополя и других фигур различной формы.

Затем выводим формулу вычисления площади прямоугольника (см. рис. 61).

Один прямоугольник разбит на квадраты, одна из сторон которых 1 см,— это указано на чертеже. Сколько сантиметров укладывается по ширине? По длине? Составьте формулу для вычисления площади, заменив слово «площадь» буквой S. И дети составляют формулу: S = 7-3.

Ответ: площадь прямоугольника 21 кв.см.

Еще раз делаем упор на то, что считали квадратные сантиметры, что площадь выражается в квадратных единицах измерения.

Чтобы найти площадь второго прямоугольника, находим длину сторон (при помощи линейки, путем измерения). Площадь вычисляем, рассуждая так: длина прямоугольника 6 см. Значит, вдоль этой стороны можно было бы уложить 6 кв. см, а ширина 3 см, значит, можно было бы уложить 3 ряда квадратных сантиметров, а всего в этом прямоугольнике уложится (6-3) кв.см. Записываем в тетради:

Обобщение: сколько измерений нужно для вычисления площади прямоугольника? (Надо измерить длину и ширину.) Как вычислить площадь прямоугольника? (Измерить длину и ширину и полученные числа перемножить.) В каких единицах должен быть выражен ответ? (Если длину и ширину измеряли в сантиметрах, то площадь узнаем в квадратных сантиметрах.)

Научив детей вычислять площадь по заданным размерам сторон, знакомим их с обратными задачами, когда по заданной площади и длине одной из сторон прямоугольника находится длина другой стороны. Эти задачи они решают, как задачи на нахождение неизвестного сомножителя.

Задачи на вычисление площади постепенно усложняются, например:

1) Вычислите площадь прямоугольника, зная, что длина одной его стороны 4 см, это на 3 см меньше длины другой стороны.

Дети объясняют: для вычисления площади нужны два измерения. Сначала выразим длину другой стороны (4 + 3) см, затем составим формулу: S = 4-(4 + 3).

2) Пользуясь данными рисунка 62, вычислите площадь фигуры.

В подготовительных упражнениях подобные фигуры уже встречались. (Мы считали число квадратов, укладывающихся в фигуре.) В данном случае нужно вычислить площадь тех прямоугольников, на которые разбита фигура. Вычисляем площадь каждого прямоугольника отдельно и, наконец, находим всю площадь как сумму площадей прямоугольников.

Сначала на числах, а затем и в общем виде решаем задачи: «Одна сторона прямоугольника А, другая В. Найти площадь его и периметр». Дети составляют формулы:

Рис 62.

Площадь выражается в квадратных единицах, а периметр в линейных единицах измерения.

Аналогично работе по вычислению площади в квадратных сантиметрах ведется работа по вычислению площади в квадратных дециметрах и квадратных метрах. Вспоминаем, что 1 дм=10 см, 1 л/ = 10 дм, а потому:

Таблица мер заучивается наизусть. Предлагаются задания-вопросы (для устного решения).

Квадратный дециметр, изготовленный из бумаги, разрезали на квадратные сантиметры и выложили их в один ряд, прикладывая друг к другу одной стороной. Какой длины получится полоса? Какая это фигура? Чему равна площадь этого прямоугольника? Чему равен периметр?

Площадь осталась такая же, так как выкладывали все квадратики, а периметр резко изменился. Периметр 1 кв. дм равен 10-4 = 40 (см), а периметр полученного прямоугольника равен (100+1)-2 = 202 (см). Значит, периметр увеличился на (202—40) см.

Предлагаем составить задачи по таким таблицам:

Длина (а)

Ширина (б)

Площадь (S)

12 м

а м

12 м

3 м 3 м

6 M

X кв. M

36 кв. м 36 кв. м

Такие упражнения заинтересовывают детей, они требуют от них напряженной работы мысли. Вместе с тем они способствуют формированию у детей правильных представлений о периметре, площади фигуры, об их измерении.

V.

П. А. Чичканов,

заведующий учебной частью средней школы № 2 Белоярского района.

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Систематическое наблюдение за работой учителей начальных классов нашей школы показало, что при обучении математике в начальных классах (в особенности при работе по новой программе) учителя часто затрудняются, решая вопрос о том, что и как задавать детям на дом, как проверять домашнюю работу учащихся. Вопросы эти слабо разработаны в новых учебниках математики и методических указаниях к ним, а учителя, как показывают наблюдения, часто допускают при их решении серьезные ошибки.

Нередко бывает так, что учитель ограничивается только тем, что задает детям задание на дом, но не учит их тому, как выполнять его, не проверяет, понятно ли ученикам это задание, готовы ли они к самостоятельному его выполнению. Не все учителя достаточно продуманно отбирают материал для домашних заданий, предлагая, например, детям такие упражнения, которые они без посторонней помощи выполнить не могут, или предлагают слишком большие по объему задания. Просматривая тетради в одном классе, видишь, что учащиеся решают дома примеры, задачи, иногда выполняют чертежи, в другом классе на дом задаются только примеры.

Все это показывает, что определенной системы в использовании домашней работы учащихся пока еще нет и значение ее недооценивается.

Между тем практика, жизнь убеждает, что без хорошо продуманной системы домашних заданий, являющихся частью всей целенаправленной учебной работы школьника, нельзя обеспечить полноценного усвоения программы.

Домашние задания имеют большое значение не только в обучении, но и в воспитании. Правильно организованная домашняя учебная работа детей воспитывает у

них самостоятельность, чувство ответственности, помогает им в дальнейшем самостоятельно овладевать новыми знаниями, умениями и навыками.

Для того чтобы домашняя работа детей способствовала повышению эффективности обучения в целом, она должна организовываться учителем с соблюдением определенных общепедагогических и методических требований.

Не претендуя на разрешение всех вопросов методики, связанных с проблемой домашней учебной работы детей, хотелось бы поделиться своими наблюдениями и мыслями по поводу некоторых из них.

Содержание домашних заданий

Содержание домашних заданий, очевидно, должно быть самым тесным образом связано с тем, что делается в классе. Вместе с тем, видимо, правильно поступают те учителя, которые задают детям на дом не только такие упражнения, которые рассматривались на уроке сегодня, но и такие, которые рассматривались ранее.

Лучшие наши учителя продумывают домашние задания для учащихся так же тщательно, как они готовятся к урокам.

Они считают, что домашняя работа детей, как и уроки, представляет собой взаимосвязанные элементы единого учебного процесса и, как и каждый урок, каждое домашнее задание должно преследовать определенную цель, занимать определенное место в системе работы учителя и учеников.

Цель домашней работы учащихся — закрепление изученного в классе, выработка соответствующих умений и навыков, повторение ранее пройденного. Домашняя работа детей может быть использована и для подготовки к рассмотрению нового, когда учащиеся, выполняя ее, накапливают материал для последующих обобщений.

Учитывая цель и конкретные задачи каждого домашнего задания, нужно подбирать для него соответствующие упражнения. Это будут не только примеры и задачи, но и разнообразные виды упражнений, связанных с формированием практических умений, навыков измерения, черчения и т. п. Как и на уроке, важно, чтобы вы-

полняемая детьми работа способствовала развитию у учащихся мышления, возбуждала у них интерес и служила делу развития самостоятельности детей, способности к творческой работе.

Рассмотрим несколько примеров заданий, которые давали учителя учащимся на дом, руководствуясь этими соображениями.

Учительница Мальцева Ю. Ф. (II класс) после рассмотрения на уроке вопроса о порядке выполнения арифметических действий предложила детям дома составить два выражения, содержащие действия одной ступени (только сложение и вычитание или только умножение и деление), и два выражения, содержащие действия как той, так и другой ступени, а затем найти их значения.

Это задание направлено на закрепление только что введенного на уроке учебного материала, которое требует применения приобретенных знаний в новых условиях. Задание дает возможность детям проявить собственное творчество (характерно, что дети составили по этому заданию выражения различной сложности: одни составили выражения, содержащие 2 действия, другие — в 3—4 действия, одни — с числами в пределах 10, другие— с двузначными числами).

Учительница Швецова В. Г. на уроке, предшествовавшем теме «Внетабличное умножение», помимо примеров на умножение и деление, задала учащимся повторить разные способы умножения суммы на число. Предлагая такое задание, учительница подчеркнула, что знание правила умножения суммы на число понадобится при рассмотрении нового материала на следующем уроке.

С целью привития практических навыков, учителя начальных классов давали такие задания, как определение площади своей комнаты, вычерчивание плана квартиры, вырезывание геометрических фигур из бумаги и др.

Большой интерес вызывают у учащихся задания геометрического содержания. Учительница Колмогорова П. Ф. предлагает иногда детям задания на узнавание знакомых геометрических фигур на данном чертеже, вычленение их в относительно более сложных условиях (например, когда дети должны найти 8 треугольников на чертеже, на котором изображен параллелограмм с дву-

мя его диагоналями). Выполняя дома задание, дети использовали такой прием: вырезали из сложенного листка бумаги сразу несколько одинаковых (равных) фигур, а затем, раскрашивая каждую из них, обозначали таким образом все треугольники (или другие фигуры), которые нужно было найти на данном чертеже.

Используются в практике наших учителей и такие задания, которые связаны с самостоятельным составлением задач учащимися с учетом данных, взятых из окружающей детей дома обстановки (о домашней библиотеке, о выписке газет и журналов, о расходах на электроэнергию и другие квартирные услуги и т. п.).

Определяя содержание домашнего задания, подбирая для него упражнения, необходимо строго учитывать возможности учащихся. Одно из основных требований, которое будет предъявлено к заданию для домашней работы учащихся,— доступность. Учащиеся должны быть подготовлены к самостоятельному выполнению задания. Все задания должны быть посильными, иначе у учащихся пропадает интерес к занятиям и они теряют уверенность в своих силах. С другой стороны, слишком легкие задания не дают ребятам чувства удовлетворения, не способствуют воспитанию настойчивости, умения преодолевать трудности.

В каждом классе ребята отличаются по подготовке. В последнее время особенно много стали говорить о необходимости использовать дифференцированные задания на уроке, но то же надо сказать и о домашних заданиях. К сожалению, учителя очень редко дают индивидуальные задания отдельным учащимся, учитывая обнаруженные в их знаниях пробелы или, наоборот, особый интерес к каким-то вопросам. Между тем, индивидуализируя задания для учеников с разной подготовкой, можно было бы принести больше пользы каждому из них, да и классу в целом.

Приведем примеры некоторых заданий, которые давали учителя в индивидуальном порядке отдельным хорошо успевающим ученикам:

1. Весь класс получает задание решить какую-то задачу, а нескольким ученикам предлагается самостоятельно составить подобную задачу и решить ее. (При проверке домашнего задания весь класс заслушивает текст составленных задач и решает их.)

2. Классу дается, например, задание решить числовые примеры на внетабличное умножение с объяснением, а сильным учащимся предлагается, кроме того, записать использованное при решении правило с помощью букв.

3. Классу дается задание решить задачу или пример, в котором нужно узнать неизвестный компонент действия, а нескольким ученикам придумать пример (или задачу) на нахождение другого компонента того же действия. (Такие задания лучше давать не одному, а двум или нескольким ученикам, чтобы при проверке они могли следить за правильностью ответа товарища). При проверке домашнего задания весь класс принимает участие в решении составленной задачи.

4. С интересом относятся хорошо подготовленные ученики и к заданию решить ту же задачу или тот же пример различными способами.

Для учащихся, обнаруживающих худшую подготовку по математике, будут полезны задания, учитывающие те особые трудности, с которыми сталкивается каждый из них из-за возникновения пробелов в знаниях (недостаточного знания таблиц сложения и умножения, изученных правил и т. п.). Давая такие задания систематически, нужно следить за тем, чтобы они все же были разнообразны.

Вообще, чем младше ребенок, тем по возможности разнообразнее и интереснее должно быть задание для его самостоятельной работы.

Объем домашних заданий

Выполнение домашнего задания по математике, как указано в объяснительной записке к программе, должно занимать у учащихся не более 20—25 минут.

Для того чтобы выполнить это требование, учителю нужно очень хорошо знать, сколько времени требует то или иное упражнение. Между тем проверка показывает, что учителя не всегда могут заранее более или менее точно определить, сколько времени требует работа, которую дети должны выполнить дома.

Для того чтобы всегда иметь возможность более точно заранее предвидеть, сколько времени нужно детям

для выполнения задания, полезно провести хронометраж во время самостоятельной работы на уроке.

Учитель должен знать, сколько времени требуется его учащимся для решения примеров, простой задачи, составной задачи, для решения уравнения, для решения задачи, требующей чертежа, и т. п. Тогда он не ошибется, определяя объем домашнего задания. Очень важно также, чтобы учитель, готовясь к уроку, сам выполнил те упражнения, которые он предлагает детям. Это исключит возможность каких-либо случайных затруднений (опечатка в учебнике, недостаточная ясность задания и т. п.), а также поможет учителю конкретно представить себе объем задания.

Когда и как следует сообщать учащимся задание на дом?

На вопрос о том, когда лучше всего сообщать домашнее задание — в начале урока, в середине его или в конце, нельзя ответить однозначно. Здесь все зависит от того, что это за задание, в какой связи с материалом урока оно находится, требует ли оно каких-то дополнительных пояснений.

Если задание имеет целью повторение пройденного, не связано с материалом данного урока и не требует дополнительных пояснений, то его можно записать на доске заранее и дать в любое время. Если же домашнее задание представляет собой естественное продолжение работы, которая проводится на данном уроке, то более правильным будет сообщить задание на дом после того, как дети выполнят аналогичные упражнения на уроке, когда учащимся будет совершенно ясно, что они должны делать дома. Если, например, учащиеся должны будут закончить решение примеров или задач, работа над которыми была начата в классе, то сказать об этом лучше всего сразу, когда закончена та часть работы, которая выполняется в классе (записать задание можно и позднее). Если домашнее задание направлено на подготовку к изучению нового, то дать его лучше в конце урока, сообщив учащимся тему следующего урока и объяснив цель домашней работы.

Как правило, задание уроков на дом должно сопровождаться показом соответствующих упражнений в учебнике (или в тетради). В начальных классах особен-

но важно, чтобы дети еще на уроке нашли в учебнике и посмотрели те упражнения, которые будут выполнять дома.

Лучшие наши учителя, задав то или иное упражнение, обычно тут же проверяют (спросив двух-трех учеников), как понято задание, предупреждают детей о возможных трудностях, дают указания по поводу оформления работы и др.

Вообще, самое важное, чтобы каждый ученик ясно представлял себе цель и содержание домашней работы, чтобы у него была уверенность в том, что он ее сможет выполнить самостоятельно.

Для того чтобы выполнить сформулированные выше требования, учитель должен заранее наметить и то время на уроке, когда будет задавать домашнее задание.

К сожалению, на это учителя часто не обращают внимания, а в результате времени на этот момент урока не остается, задание дается во время звонка или после звонка, когда внимание детей уже трудно сосредоточить на осознании смысла и цели домашней работы, когда пояснения, которые дает учитель, не доходят до сознания каждого ученика, а домашняя работа становится иногда именно в связи с этим непосильной.

Приходилось сталкиваться и с такими фактами, когда учитель дает задание на дом сразу по всем предметам, задерживая детей на пятый урок.

Такое решение вопроса о времени сообщения домашнего задания нельзя признать удачным.

Домашнее задание должно в сознании учащихся связываться с работой, выполняемой на уроке, под руководством учителя, они должны понимать его место и роль в изучении рассматриваемого материала. Поэтому и давать его надо на уроке (в начале, в середине или в конце, как это будет более целесообразно в каждом конкретном случае), сопровождая указаниями о цели работы («Поупражняйтесь дома в решении таких примеров», «Повторите решение задач, рассматривавшихся раньше», «Поработайте над таблицей умножения» и т. п.), а также необходимыми пояснениями.

Довольно часто (особенно в начальных классах) бывает полезным на уроке устно разобрать 1—2 упражнения из домашнего задания.

Формы и методы проверки домашних заданий

Для того чтобы домашняя работа учащихся была эффективной, чтобы она помогала не только обучать, но и воспитывать детей, необходимо систематически проверять их самостоятельную работу и оценивать ее. Ученик должен видеть результат своей работы, знать, хорошо он ее выполнил или нет.

Это не значит, конечно, что каждая домашняя работа учащихся должна проверяться в классе и что за каждую домашнюю работу нужно выставлять ученикам оценки.

Форма проверки должна соответствовать не только цели задания, но и цели урока. С учетом этих конкретных условий не все и не всегда надо проверять.

Допустим, учитель знает, что задание ребятам было понятно, доступно, он уверен, что учащиеся с этим заданием справятся, а к материалу данного урока заданные на дом упражнения непосредственного отношения не имеют. В этом случае задание на уроке можно не проверять, но и в этом случае полезно спросить, все ли справились с заданием, подойти к тем ученикам, за которых учитель не спокоен, посмотреть, как они выполнили задание.

Если домашнее задание было дано с целью повторения пройденного, подготовки к изучению нового, то его необходимо проверить перед объяснением нового — тогда домашняя работа детей действительно будет использована полноценно. Иногда проверку домашнего задания удобно выполнить по частям; например: в начале урока в форме устного счета (опрос) проверить решение примеров, а задачу — позднее, связав проверку с рассмотрением новой задачи.

Проверку домашнего задания учителя проводят по-разному, не ограничиваясь простой сверкой ответов. Механическое зачитывание примеров по тетрадям ничего не дает учащимся, а занимает дорогое время урока. Такая проверка не интересует детей, не активизирует их мысль.

Остановимся на некоторых формах проверки, используемых в опыте наших учителей.

Учителя стараются задания для самостоятельной домашней работы детей построить так, чтобы в них были элементы самоконтроля учащихся.

Так, задают на дом «круговые» примеры. В других

случаях учитель сообщает, скажем, что сумма всех ответов равна числу 85. Ученик, не получив при проверке этого числа, видит, что в чем-то он ошибся, и ищет ошибку. Если он даже не нашел сам ошибки, то на уроке будет внимательно, активно участвовать в проверке домашнего задания.

Как только учащиеся познакомились с различными способами проверки действий, учителя, как правило, начинают требовать от учащихся, чтобы, выполняя домашнее задание, они использовали эти способы проверки. Для проверки правильности решения задачи рекомендуют составить обратную задачу или решить задачу другим способом.

При проверке домашнего задания в классе учитель может поставить целый ряд вопросов, требующих от детей некоторой дополнительной работы над решавшимися дома примерами и задачами.

Например, при проверке задач:

1) изменить вопрос задачи так, чтобы она решалась другим действием;

2) преобразовать домашнюю простую задачу так, чтобы она решалась другим действием, изменить числовые данные в задаче так, чтобы ее можно было решить разными способами, и т. п. (все это, конечно, с учетом особенностей задачи, которая решалась учащимися).

При проверке решения примеров учительница Рагозина Л. С. задает детям такие, например, вопросы: назовите самый большой ответ (или самый маленький), найдите два таких ответа, которые в сумме составляют 100. Единицы какого разряда отсутствуют в ответе на такой-то пример? И т. п.

Такие вопросы дают возможность по ходу проверки домашнего задания провести и опрос учащихся, оценить их знания.

Вместо проверки домашнего задания иногда полезно провести в классе работу, аналогичную домашней.

Хочется отметить, что вопросы, связанные с подготовкой, проведением и проверкой домашней работы детей, имеющие большое значение вообще, требуют к себе особого внимания в I классе.

Требование посильности домашних заданий для самостоятельной работы детей должно выполняться и по отношению к первоклассникам, хотя, как правило, родите-

ли и помогают детям, следят за их домашней работой. РЗажно приучить ребенка с самого начала к самостоятельности, воспитывать в нем чувство ответственности за порученное ему дело.

В заключение подчеркнем, что от того, в какой мере учитель продумает систему и содержание домашних заданий, как организует их сообщение на уроке и проверку домашней работы учащихся, во многом зависит эффективность обучения и воспитания детей.

А. Н. Шутова,

учительница школы № 3 Белоярского района.

ЭЛЕМЕНТЫ ЗАНИМАТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В I КЛАССЕ

Первоклассника нужно заинтересовать, сделать так, чтобы ему было любопытно и захотелось заниматься математикой. Опыт показывает, что самое обычное решение примеров можно преподнести так, что они вызывают большой интерес, и дети с удовольствием выполняют эту работу, которая в другом случае им показалась бы скучной и утомительной. Достаточным оказывается для этого только придать упражнениям занимательный характер, форму игры, включить в работу элементы соревнования. Это захватывает детей, они с удовольствием занимаются математикой не только на уроке, но и во внеурочное время, и дома.

В этой статье мы расскажем о некоторых играх и занимательных упражнениях, которые были использованы в работе с классом.

На каждом уроке, начиная с первого учебного дня, проводились 5 и 10-минутки, посвященные занимательной математике. Это были занимательные игры, командные соревнования внутри класса. При проведении командных соревнований команды составлялись так, чтобы они были более или менее одинаковыми по подготовке.

Например, составлялись две команды по три человека в каждой. На доске в два столбика записывались одинаковые примеры, но расположенные в столбиках в различном порядке. Эти примеры закрывались. Вызыва-

лись команды (которые были составлены из детей, работающих приблизительно в одинаковом темпе), каждый ученик получал кусочек мела, затем открывались примеры. По сигналу дети приступали к их решению. Остальные ученики следили за их работой, проверяли и, заметив ошибку, поднимали руку. (Степень трудности примеров зависит от пройденного материала.) Выигрывала та команда, которая раньше решит все примеры и правильно.

Команда, допустившая ошибку, считается проигравшей,- даже если она и окончила работу очень быстро. Пример задания для команд:

Аналогичная работа проводилась и с другими заданиями. Например: «Кто быстрее составит 9 примеров с ответом 23 или др.». Иногда соревнование проводилось по рядам, в этом случае в нем участвует весь класс.

«Кто правильно сочтет — в ворота мяч забьет». На доске были нарисованы трое ворот, а на сетке записано задание, например (см. рис. 63):

Рис 63.

Первый ряд придумывал примеры с ответом 15, второй — с ответом 23, а третий — с ответом 45.

Выигрывает та команда, которая больше придумает примеров. Иногда проводилось соревнование на решение задач. Такие соревнования повышают и улучшают навыки устного счета. Оживляют урок, делают его интересным. Ребята проделывают большую работу и не так устают.

Проводились на уроках и математические игры. Игры были разнообразные. При изучении порядкового счета использовали игру «Сколько нас осталось?»

К доске вызывались, например, 5 учеников, и им предлагалось рассчитаться на первый, второй, третий...

Задавался классу вопрос: «Сколько ребят у доски?» (Пять.) После этого предлагалось пятому отойти и ответить на вопрос, сколько детей осталось. Дети повторяли: «Пятый ушел, осталось 4».

При повторении эта игра усложнялась: увеличивалось число вызываемых учеников, уходил не всегда последний — иногда первый или второй.

Благодаря этой игре дети повторяют в единстве количественный и порядковый счет, прямой и обратный. Большую помощь оказала игра «Молчанка» при запоминании цифр и счета. Для каждого ученика была сделана книжка с цифрами от 0 до 1 и число 10, а у учителя были карточки с изображением различных групп предметов. Карточки были красочными. Учитель должен показывать одну из карточек, а дети поднимают соответствующую цифру. Иногда карточки с числовыми фигурами заменялись хлопками или постукиванием карандаша по столу. Для оживления игры часто неожиданно для детей повторялось только что выполненное задание: дети намеревались искать новую цифру, а оказывалось, что цифра нужна та же. Эта игра требует от детей умения сосредоточить внимание. Так как, если ученик прослушал хотя бы один хлопок или стук, ошибка неизбежна, потому что проверить себя он уже не сможет.

При изучении термина «столько же» проводили игру «У кого столько же?» Эту игру проводили во внеурочное время, по группам. Ведущими были сами дети. Они получили карточки с предметами или геометрическими фигурами. У ведущего были цифры. Он показывал цифру, и дети искали карточку, на которой было столько же предметов (предметы были расположены по-разному и разных размеров). Карточки выкладывались на стол в один ряд, и рядом с ними помещалась цифра. Допустивший ошибку получал штрафное очко.

Большую помощь в формировании понятий «больше», «меньше», «столько же» оказала игра «Сравни и скажи, где больше, меньше или одинаково». На карточках нарисованы по две группы предметов, которые отличаются расположением, величиной и формой.

Такие группы предметов рисовали на доске. Предлагалось ученикам внимательно посмотреть на обе группы предметов, сравнить их, ответить на вопрос: каких предметов больше, меньше, одинаково? Вопрос решается

Рис. 64.

путем пересчета предметов обеих групп и сравнения чисел. Способом проверки является соотнесение предметов каждой группы по одному.

Например, рисунок 64:

треугольников на один больше, чем грибков.

Поскольку в данном случае (когда предметы нарисованы на доске) предметы нельзя брать в руки по одному (выкладывать рядами и пр.), мы используем здесь прием зачеркивания. Ученик зачеркивает 1 гриб и 1 треугольник, еще 1 гриб и 1 треугольник и т. д., пока не окажется, что, например, грибы зачеркнуты все, а 1 треугольник остался незачеркнутым. Заметив это, учащиеся делают вывод, что треугольников на 1 больше, чем грибов, а грибов соответственно на 1 меньше, чем треугольников.

Такую же работу можно проводить на наборном полотне с разным дидактическим материалом.

При знакомстве с составом чисел проводили игру «Примеры разные, ответ один». Эту игру проводили как на уроке, так и во внеурочное время. Варианты игры менялись. Дети получали карточки маленькие с примерами и большую с ответами. Большую карточку, где находились ответы, дети должны были заполнить (рис. 65).

Во внеурочное время игру проводил ведущий. Он выставлял карточку с ответом, а дети в своих карточках должны были найти все примеры с таким ответом.

При изучении тем «Десяток» и «Нумерация в пределах 20» проводили игру «Кто быстрее» (помещенную

Рис. 65.

на обороте обложки учебника математики). Для игры сделали фишки-квадраты, кубик с числовыми фигурами. Игра способствует запоминанию натурального ряда чисел до 20 и упражняет учащихся в сложении и вычитании в пределах 20. Эту игру можно продолжить и при изучении сотни.

При закреплении вычитания в пределах 10 и 20 хорошо проводить игру «А сколько на второй карточке?» Берутся две карточки. Одна показывается лицевой стороной, а другая — тыльной. «На двух этих карточках 8 птичек. На первой 3 птички, а сколько на второй?»

Дети считают, поднимают руки и по знаку учителя составляют из цифр число, обозначающее количество птичек на второй карточке. Потом берутся следующие две карточки и т. д.

При закреплении сложения, вычитания и терминов «увеличить», «уменьшить» полезно проводить игру «Узнай число предметов». Учитель берет парные карточки. Одну карточку он держит лицевой стороной к детям. Сколько грибов? А на этой карточке тоже грибы, но здесь их на три больше. Узнайте, сколько грибов нарисовано на этой карточке.

Когда большинство учащихся поднимают руки, учитель дает знак поднять нужную цифру и т. д.

С большим интересом составляли дети и магические квадраты. Подбирали числа по данной сумме. Все эти игры повышают интерес учащихся к математике.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Протоколы уроков

УРОК, ПРОВЕДЕННЫЙ ВО II КЛАССЕ УЧИТЕЛЬНИЦЕЙ ШКОЛЫ № 2 БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА В. Г. ШВЕЦОВОЙ.

Тема урока. Умножение и деление (повторение перед изучением темы «Табличное умножение и деление»).

Цель урока. Повторить смысл действия умножения, его связь с действием деления, переместительное свойство произведения, упражнять детей в решении уравнений.

Ход урока. Учитель сообщает цель урока: «Повторим все, что учили об умножении и делении».

1. Устные упражнения.

На доске написаны упражнения на сравнение выражений:

— Сравните эти выражения, подумайте, какой знак (больше, меньше или равно) надо поставить вместо точек, и объясните почему. (В первом упражнении надо поставить знак равенства, потому что в выражении слева по 8 взяли 4 раза а справа 8-3+8 тоже 8 взяли сначала 3 раза да еще 1 раз, всего 4 раза. Во втором упражнении надо тоже поставить знак равенства, здесь одни и те же произведения, только с переставленными сомножителями. В третьем упражнении слева б умножили на 3, а справа сначала 6-3, а потом отняли одну шестерку, значит, всего по 6 взято 2 раза, а поэтому слева будет больше, чем справа.)

2. Составление задач по рисунку 66 (устно).

— Посмотрите на картинку и на числовые данные и составьте задачу по этой картинке.

Дети составляют задачу: «За две одинаковые машины уплатили 60 коп. Сколько копеек стоит одна машина?»

Другой ученик предлагает изменить вопрос: «Какая цена одной машины?»

— Какая это задача? (Простая.)

— Почему? (Можем сразу ответить на ее вопрос.)

— Каким действием будете решать эту задачу? (Делением.)

После решения задачи учитель предлагает учащимся составить обратную задачу. Дети формулируют задачу:

«Мама купила 2 одинаковые машины. Одна машина стоит 30 коп. Сколько стоят две машины?»

— Что здесь известно? (Количество и цена машин.)

— Что нужно узнать? (Стоимость.)

— Как ее найти? Каким действием? (Умножением.) Аналогично составляется и решается вторая обратная задача.

После чего учитель задает вопрос:

— Как можно назвать эти 2 задачи? (Это взаимообратные по отношению друг к другу задачи.)

Рис. 66.

3. Решение примеров на нахождение неизвестных компонентов.

— Откройте тетради, запишите дату.

— Я вам буду диктовать примеры с неизвестными компонентами, вы их запишете и будете решать с объяснением.

Диктует:

— Произведение двух чисел равно 15, множитель 3. Что здесь неизвестно?

Дальше вызывает ученика, который подробно объясняет решение со ссылкой на правило. Аналогично решаются примеры: 20:с = 5, 18:х = 6, 45—^=12

4. Физминутка.

5. Решение задачи из учебника (№ 345).

«От одной коровы доярка надоила 15 л молока, от другой 17 л, от третьей 18 л. Все молоко она разлила в бидоны, по 10 л в каждый. Сколько потребовалось бидонов?»

— Прочитайте внимательно задачу.

— Запишите ее кратко.

Дети записывают задачу кратко в тетради:

— Что нужно узнать в задаче?

— Можем ли сразу узнать, сколько потребуется бидонов?

— Почему? (Надо знать, сколько всего молока надоили от всех коров.)

— Можем ли это узнать?

— Запишите числовую формулу и решите задачу. Дети записывают решение в тетради: *=(15+17+18) : ю

х=50: 10 х = 5

Ответ: 5 бидонов.

— Можно эту задачу решить другим способом? (Нет, потому что ни одно из слагаемых не делится на 10.)

6. Запись числовых выражений и нахождение их значения.

Учитель раздает учащимся карточки, на которых записаны числовые выражения, значение которых надо найти.

Ученик читает вслух выражение, остальные записывают его в тетрадях и вычисляют значение. Ответ проверяется. Читая по карточке, ученик диктует:

1) Первое слагаемое 48, второе слагаемое выражено разностью чисел 21 и 11. Надо найти сумму. (Сумма равна 58.)

2) Делимое выражено суммой чисел 32 и 8, делитель 40. Найти частное.

— Чему равно частное? (Единице.)

— Почему? (Если делимое равно делителю, то частное равно 1.)

3) Уменьшаемое 36, вычитаемое выражено суммой чисел 24 и 6. Найти разность.

4) Множимое 1, множитель выражен суммой чисел 25 и 6. Найти произведение.

— Чему равно здесь произведение? (Множителю, равному 31.)

— Почему? (Если множимое равно единице, то произведение равно множителю.)

Ученикам, которые читали примеры и объясняли их решения, были выставлены оценки. 7. Решение уравнений.

Один ученик решает уравнение у доски с объяснением, остальные записывают в тетради:

(Неизвестным является вычитаемое, чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность.)

Проверка:

Аналогично с подробным объяснением решается второе уравнение:

Проверка:

Задание на дом.

УРОК ВО II КЛАССЕ, ПРОВЕДЕННЫЙ УЧИТЕЛЬНИЦЕЙ ШКОЛЫ № 2 БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА МАЛЬЦЕВОЙ Ю. Ф.

Тема урока. Деление с остатком.

Цель урока. Ознакомить детей с такими случаями деления, когда при делении получается остаток.

1. Арифметический диктант.

Учительница предлагает детям записать в тетрадях дату, слова «Классная работа». Решать примеры устно, записывая только ответ.

— Девятью шесть, семью восемь, по 5 взять 9 раз (и т. д., всего 8 примеров, прочитанных по-разному).

2. Учительница предлагает детям выполнить устно упражнения, заранее записанные на доске.

Что больше:

Вызванный ученик решает так: «Сначала разделю 40 на 2, получится 20, потом 40 разделю на 8, получится 5.

20 больше, чем 5. Значит, — от 40 больше -г- ».

— Может быть, кто-то сообразил, как можно быстрее, легче ответить на вопрос? (— всегда больше, чем — , это можно сразу ска-

зать, не вычисляя. Чтобы —узнать, надо на 2 делить, а — —на 8, конечно, меньше получится.)

— Хорошо ли он сказал, дети? Точно ли это? Всегда ли — больше, чем — ?

Выясняют, что это будет верно, если брать эти доли от одного и того же числа.

Аналогично разбирается и второй пример.

3. Сегодня мы рассмотрим с вами новые случаи деления. Чем они отличаются от известных вам, вы мне скажете сами в конце урока.

К доске вызывается ученик. Он должен выполнять задания учителя у доски с использованием демонстрационных пособий, а остальные учащиеся те же задания должны выполнять на столах с использованием своего индивидуального счетного материала.

— Возьмите 10 кружков и разделите их по 4. (Дети выполняют, оглядываются.)

— Сколько раз по 4 содержится в 10? Все ли кружки разделили? Какое самое большое число разделилось по 4? (8.) Но оно меньше 10.

— Сколько кружков осталось? Как лее это записать? Сколько их было? По скольку делили? Сколько получилось? А осталось сколько? Посмотрите, как я запишу: 10:4 = 2 (ост. 2).

Аналогично делят 9 кружков по 4 и записывают: 9:4 = 2 (ост. 1).

Работа в тетради. Нарисуйте 9 квадратиков и разделите их по 2 (отделяют), запишите, что у вас получилось.

Дальше так же решают пример 10:3 = 3 (ост. 1).

После этого решают самостоятельно из учебника два примера; 12:5=2 (ост. 2) и 8:3 = 2 (ост. 2) (проверяют).

— А теперь решите пример 9:3 =

— Сравните его с примером, который мы уже решали (10:3). Что можно сказать о них? (Дети сразу подмечают, что в первом примере число полностью разделилось, а во втором остается остаток.)—Как мы проверим пример 9:3 = 3?

(Дети отвечают.)

Здесь при делении 10:3 = 3 (ост. 1) тоже надо 3-3=9 да прибавить остаток 1, получится 10.

4. Самостоятельная работа.

Каждое из этих чисел разделите по 2: 11, 13, 15. А каждое из чисел 13, 14, 16 разделите по 3. Запишите в 2 столбика примерами. В тетрадях получается запись:

При проверке учитель спрашивает, например: «Какое самое большое число (меньшее 13) разделится на 3?» и так для других примеров.

— А теперь, дети, посмотрите на эти столбики примеров. Что можно сказать про остатки? Сравните их с делителями. Что боль-

ше — остаток или делитель? (Делитель больше остатка, остаток меньше делителя.)

— Может ли быть наоборот? (Нет.) Почему? (Тогда не все поделили.)

— А теперь прочитайте правило по учебнику (стр. 136). («Если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя».)

— С каким же видом деления мы познакомились сегодня? (Дети отвечают правильно.)

— Разделится 29 на 4? (Нет.) Почему же? (Разделится, но будет остаток.) Какое самое большое число, меньшее 29, разделится на 4? Какие могут получиться остатки при делении на 4? (1, 2, 3.)

Учительница открывает записанные ранее на доске упражнения:

Вызываемые к доске учащиеся заполняют пропуски, объясняя, как они узнают нужное число.

— С какой темой связаны эти упражнения? (Именованные числа, меры времени.)

— Ас темой сегодняшнего урока они связаны или нет? (Связаны — здесь приходится выполнять деление с остатком.)

6. Решение задачи. (Полный текст записан на доске.) Запишите задачу кратко, решите ее, составив формулу, а потом по действиям с объяснением.

«Трактор за 4 часа израсходовал 28 л керосина. На сколько часов хватит 70 л керосина?»

— Тот, кто быстро решит задачу, выполнит еще упражнение: «56 разложить на сумму двух слагаемых так, чтобы каждое из них делилось на 4».

Большинство решили и задачу и упражнения, причем ответы были разные:

48 и 8, 12 и 44, 16 и 40, 28 и 28 и т. п.

Домашнее задание: упражнения в решении примеров на деление с остатком (8 примеров).

УРОК, ПРОВЕДЕННЫЙ В I КЛАССЕ УЧИТЕЛЬНИЦЕЙ ГАГАРСКОЙ 8-й ШКОЛЫ БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА ЧИЧЕРИНОЙ Н. А.

Тема урока. Нахождение неизвестного слагаемого (закрепление пройденного).

Ход урока. Дети сразу записывают в тетрадях дату (даже без напоминания учителя). Учитель говорит: «Сегодня снова будем учиться находить неизвестное слагаемое.

1. Арифметический диктант. Записывайте только ответы. Слушайте внимательно, повторять не буду.

— Из 8 вычесть 4. Сложите числа 6 и 3. Найдите сумму чисел 7 и 3. Сумма двух чисел равна 6, а одно из чисел 4, найдите, чему равно второе число. Сколько надо прибавить к 8, чтобы получить 10?

— Проверять не буду, проверю тетради и поставлю оценку.

2. Устное решение задачи № 6 (стр. 71 учебника). Учитель читает задачу, а дети решают ее устно (1+6=7. Ответ. 7 детей). «Как

ты к 1 прибавил 6?» (Здесь лучше переставить слагаемые 6+1=7, значит, и 1 +6=7.)

3. Самостоятельная работа (по вариантам):

— Откройте учебники на странице 71, № 4.

— Прочитайте задание. (Увеличьте числа 1, 2, 3, 4 на 6.)

— Каким действием будем выполнять задание? (Сложением.)

— Его будут выполнять ученики, решающие I вариант.

— Читайте второе задание. (Уменьшите числа 3, 5, 7, 9 на 3.)

— Что значит уменьшить на 3? (Это значит вычесть 3.)

— Выполняйте задание те, кто всегда решает II вариант.

При проверке этой работы учащиеся читают примеры по-разному: 1 плюс 6 равно 7, сумма двух и шести равна 8, 3 увеличить на 6, получится 9. 3 минус 3 равно 0 и т. д. Причем каждый отвечающий ученик следит за тем, чтобы не повторить использованную уже формулировку.

4. Решение примеров и задач на нахождение неизвестного слагаемого.

Выполняется упражнение № 1 на странице 71 учебника. Один ученик выполняет его у доски, а остальные — в тетрадях (3+5 = 8, 5 + 3=8, 8—3=5, 8—5 = 3).

При проверке выясняется, как составлен из первого примера каждый следующий (переставили слагаемые, из суммы вычли первое слагаемое и получили второе, из суммы вычли второе слагаемое и получили первое слагаемое). Повторяется правило нахождения неизвестного слагаемого.

Учитель диктует пример: «Первое слагаемое неизвестно, второе 4. Сумма равна 5. Найти первое слагаемое».

Дети записывают: *+4 = 5.

Ученик у доски объясняет: «Этот пример на нахождение неизвестного слагаемого. Неизвестно первое слагаемое, чтобы его найти, нужно из суммы 5 вычесть второе слагаемое 4. Получится 1».

х = 5—4

х=\

— Сделай проверку. (Подставлю вместо х единицу. 4 да 1 равно 5, и сумма в первом примере тоже 5. Пример решен верно.)

Аналогично решают второй пример:

— Первое слагаемое 8, второе неизвестно. Сумма равна 9.

5. Самостоятельная работа.

— Прочитайте, что нужно сделать в упражнении № 3. Прочитать и решить примеры: х+5 = 6, 3 + * = 7, х + 2 = 8.

Самостоятельно решают 3 примера. После чего проверяют. Дети объясняют решение примеров.

Во время самостоятельной работы учитель подходит к слабым ученикам, помогает им, требует от них объяснения решения.

Тем, кто выполнил задание, учитель быстро дает дополнительное задание. Закончите запись:

10=1+ 10 = 2+ 10 = 3+ 10 = 4+ ....

Учитель подводит итог, ставя вопрос: «Кто же скажет правило, как найти неизвестное слагаемое?» Вызванный ученик еще раз формулирует это правило.

6. Решение задачи. Читает задачу:

«Начертить отрезки. Длина первого равна 7 см, этот отрезок на 2 см короче второго. Начертить второй отрезок. Вычислить его длину».

Учитель задает только один вопрос: «Какой отрезок будет длиннее?» Выполняют задание самостоятельно. Потом учитель спрашивает, чему равна длина второго отрезка? Каким действием решила эту задачу и почему?

7. Геометрический материал: упражнение № 9 на странице 71 учебника.

Спрашивает: «Сколько здесь четырехугольников и треугольников?». Дети отвечают.

8. Сообщение домашнего задания: примеры № 8 (предлагает посмотреть по учебнику эти примеры).

9. Повторение таблиц сложения и состава числа 10. Откройте последнюю страницу тетради и прочитайте все примеры с ответом 10. (На этой странице выписаны все столбики таблиц от +1, до +5.)

Класс очень организованный, дети приучены самостоятельно работать. Сами читают задания по учебнику. Знают различные формулировки чтения примеров. Умеют объяснять все, что они делают. Много учитель работает на уроке с отстающими.

УРОК ВО II КЛАССЕ КРУТИХИНСКОЙ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА, ПРОВЕДЕННЫЙ УЧИТЕЛЬНИЦЕЙ ИЗМОДЕНОВОЙ А. Н.

Тема урока. Умножение числа на единицу. Цель урока. Рассмотреть с учащимися случай умножения числа на 1.

Повторить зависимость между компонентами и результатами действий.

Ход урока. 1. Решение примеров на нахождение неизвестных компонентов действий.

— Откройте тетради, запишите дату.

— Сегодня повторим названия компонентов и результатов всех действий и будем решать примеры на нахождение неизвестных компонентов, продолжим работу по нашей теме «Умножение и деление».

Учитель вызывает к доске ученика, остальные записывают в тетради под диктовку учителя.

— Второе слагаемое 2, сумма 8. Найти первое слагаемое. Ученик записывает пример и решает с объяснением:

(Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.) Пишет.

— Как проверить? (Вместо а поставлю в первом примере число б, б да 2 будет 8, и справа стоит тоже 8.)

Аналогично решаются с объяснением еще три примера, остальные самостоятельно:

Просматривая записи в тетрадях, учитель говорит трем учащимся, что им нужно повторить.

2. Упражнение в продолжении ряда чисел. На доске написан ряд чисел: 4, 8, 12, 16.

— Дети, посмотрите, как расположены числа в этом ряду: увеличиваются они или уменьшаются? (Числа увеличиваются.)

— Как они увеличиваются? На сколько?

— Как получить каждое число этого ряда из предыдущего числа? (Прибавить 4.)

— Продолжите этот ряд. Напишите еще 6 чисел.

Попутно повторяются приемы сложения с переходом через десяток.

3. Работа над новым материалом.

— Какие примеры на умножение мы решали вчера? (Единицу умножали на число.)

— Сколько получится, если 1-6, 1-12? (1-6 = 6, 1-12=12.)

— Почему? (В первом примере по единице брали 6 раз и получилось 6 единиц.)

— Как иначе можно сказать, чему будет равно произведение, если множимое равно 1? (Если множимое равно 1, то произведение равно множителю.)

— Сегодня мы познакомимся с новым случаем умножения — умножением числа на единицу.

— Посмотрите на эти примеры. Как можно записать 4-3 в виде суммы? Иди, Миша, запиши.

Ученик записывает рядом с примером на умножение суммы 4+4+4=12.

— На какое число умножил, сколько четверок сложил? (3.)

— Теперь скажите, как записать второй пример суммой?

— Можно ли записать третий пример в виде суммы?

— Дети, посмотрите — в первом примере множитель равен 3, и в сумме было 3 четверки, во втором — множитель два, и в сумме 2 четверки, а в третьем примере, хотя его и нельзя заменить суммой, считают, что умножили на 1, в результате получилась одна четверка или 4.

— Откройте учебник на странице 59. Прочитайте про себя правило и примеры, которые там записаны.

После этого учитель предлагает учащимся самостоятельно записать примеры 1-го столбика из № 328.

При проверке особое внимание обращается на последний пример:

Учитель спрашивает:

— Какое число можно подставить вместо k? (Выясняется, что k может быть любым числом.)

Учитель подводит итог:

— Значит, если любое число умножить на единицу, то какое число получится? Дайте полный ответ на мои вопрос. (Если любое число умножить на единицу, то получим то число, которое умножали.)

4. Решение задачи: «На двух полках стояло по 50 книг. С верх-

ней полки переложили на нижнюю 10 книг. На сколько книг больше стало на нижней полке, чем осталось на верхней?»

Учитель предлагает выполнить чертеж к задаче и дает необходимые указания:

— Начертим два отрезка, пусть отрезок длиной 1 см обозначает 10 книг. Каким тогда отрезком надо изобразить 50 книг? (Отрезком в 5 см.)

— Начертите один под другим два отрезка по 5 см (рис. 67).

Рис. 67.

Сам учитель демонстрирует это на доске с помощью полосок бумаги.

— Если с первой полки убрали 10 книг, значит, там стало меньше. Я отрежу от первого отрезка отрезок в 1 см и приложу его ко второму (ведь 10 книг переложили на вторую полку). Иди, Вера, покажи другой отрезок, который показывает, на сколько больше стало книг на II полке.

Дети изображают это у себя в тетрадях.

— Посмотрите на чертеж и скажите, на сколько же больше книг стало на II полке. (На 20 книг.)

— Как вы это узнали? (К 10+10 = 20.)

— А как это можно записать умножением? (10-2 = 20.)

— Дайте полный ответ. (На нижней полке стало на 20 книг больше, чем осталось на верхней.)

— Запишите решение и ответ в тетрадях. Дети записывают:

10-2 = 20.

Ответ: на 20 книг больше.

— Решим теперь эту задачу по-другому.

— На которой полке стало больше? Почему? (На II полке стало больше, потому что туда положили 10 книг.)

— Как можно записать, сколько книг стало на II полке?

II—(50-flO) (кн.) Сколько книг осталось на I полке?—(50— — 10) (кн.). Как это записать? Что нужно сделать, чтобы узнать, на сколько больше стало книг на II полке, чем на I? (Надо из (50+10) вычесть (50—10).)

— Запишите теперь числовую формулу решения этой задачи. Дети записывают:

х= (504- 10) —(50—10) X = 60— 40 А' = 20

Ответ: на 20 книг больше.

— Сравните это решение с первым. Тот же ответ получился? Какое решение лучше?

Задайте на дом: примеры № 328 (2-й и 3-й столбики) устно и № 329. Задача № 334.

УРОК В I КЛАССЕ, ПРОВЕДЕННЫЙ УЧИТЕЛЬНИЦЕЙ ШКОЛЫ № 76 г. СВЕРДЛОВСКА В. В. ЦЕПЕЛЕВОЙ

Тема. Нумерация чисел первого десятка. Цель урока. Знакомство с числами 8 и 9.

1. Повторение пройденного.

— Посмотрите на ряд чисел (на доске выставлены карточки с цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), назовите соседей числа 6 в этом ряду. Какое число больше: 5 или 6? 7 или 6? (Вызванные к доске учащиеся записывают с помощью подвижных цифр и знаков 5<6, 7>6.) Почему ты думаешь, что 5 меньше, чем 6? (5 раньше идет в ряду, 6 идет после него.) На сколько 5 меньше, чем 6? (5 меньше, чем 6, на 1.)

Аналогично разбирается и второй случай.

— Как можно получить число 6? (7—1=6, 5 + 1=6.)

2. Объяснение нового материала.

— Сегодня мы разберем, как получаются следующие числа, будем сравнивать их со знакомыми.

Учительница ставит на полочку один на другой 7 красных кубиков.

— Сколько я поставила красных кубиков? (7.) Отложите столько же красных палочек.

— Сколько вы положили палочек? (7.) Почему? (Вы сказали «Столько же положить, сколько кубиков, а кубиков 7».)

— Посмотрите все, что я делаю (ставит сверху еще 1 желтый кубик). Который по счету кубик я поставила? (Он будет восьмой.) Сколько всего кубиков стало на полочке? (На полочке стало всего 8 кубиков.)

— Сколько у вас палочек? (7.) Положите еще 1.

— Сколько стало у вас палочек? Как получили 8 палочек?

— Теперь у меня 8 кубиков, а у вас 8 палочек. Возьму еще 1 кубик. Посчитаем, сколько всего стало кубиков (1, 2, 9, всего 9 кубиков.) Прибавьте к своим 8 палочкам еще 1. Посчитайте, сколько всего стало палочек. (9.)

— Как получили 9 палочек? (К 8 прибавили 1.)

— Как у меня получилось 9 кубиков? (К 8 кубикам прибавили 1 кубик.)

— Посмотрите на эти кружки (показывает нанизанные на нитку двухцветные кружки). Считаем, сколько красных кружков (отодвигает по 1 кружку, дети считают: 1, 2, 7).

— Что нужно сделать, чтобы стало 8 красных кружков? (Нужно к 7 еще 1 придвинуть).

— Сколько теперь кружков? (8.)

— Посмотрите, как записывается число 8 (показывает карточку с цифрой 8). Это цифра 8 — так записывается это число. Найдите такую цифру в своем наборе и покажите ее мне. (Дети выполняют задание.) Расскажите теперь еще раз, как мы получили 8 кружков, и запишите это. («Мы к 7 кружкам прибавили 1 кружок, и получилось 8 кружков», — говорит вызванный ученик, а все дети составляют на своих наборных полотнах соответствующий пример и показывают его учителю.) Учительница записывает его на доске.

— Кто мне теперь скажет, сколько получится, если к 7 яблокам прибавить 1 яблоко (8 яблок), а если к 7 огурцам прибавить

1 огурец (8 огурцов), а если к 7 партам придвинуть еще одну (8 парт). Как можно получить число 8? (К 7 прибавить 1, получится 8.)

— Отсчитайте 8 палочек. Как сделать так, чтобы их стало 9? (Нужно прибавить еще одну.) Сделайте, проверьте, составьте такой пример, используя цифру 9. (Дети составляют пример и показывают его.)

— Посмотрите на ряд чисел. Какое число раньше встречается в ряду — 6 или 7? Какое из них больше? На сколько? (Дети отвечают правильно.) Какое число нужно записать в этом ряду после числа 7? (Число 8.) Как можно получить это число? (7 + 1=8.) Какое из чисел больше — 7 или 8? На сколько?

Аналогичные вопросы ставятся по отношению к числу 9. После этого на доске делается запись под диктовку отдельных учеников:

Дети читают эти записи хором.

Работа в тетради: обведите полоску в 9 клеточек. Раскрасьте одну клеточку. Сколько осталось белых клеточек? (8.)

— Как у вас получилось 8? (9—1=8.)

— Как теперь сделать, чтобы осталось 7 белых клеточек? (Нужно еще одну клетку раскрасить.)

Вызывает к доске 9 учеников, строит их в ряд.

— По порядку номеров рассчитайтесь. (Дети по очереди называют свой номер: первый, второй, девятый.)

— Сколько всего детей? (9.)

— Девятый отойди в сторону. Сколько осталось? (8.)

— Если восьмой уйдет, то сколько останется? (Останется 7 человек.)

Составление задачи по картинке.

— Что изображено на картинке? (Девочки играют, прыгают через веревочку, а одна уходит.)

— Сколько всего девочек? Сколько уходит?

— Скажите условие задачи. (Во дворе играли 9 девочек, 1 девочка ушла. Сколько девочек осталось?) Я просила сказать только условие, а что еще Миша сказал? (Он и вопрос сказал.)

— Повтори только условие. (Повторяет правильно.) Какой вопрос можно поставить? Как решить эту задачу? Больше или меньше стало девочек, когда одна ушла?

— Запишите решение разрезными цифрами. (Дети записывают и показывают свои записи.)

Письмо цифры 8. Учитель показывает, как пишется цифра 8, дети самостоятельно записывают сначала 3 раза цифру 8, а потом — до конца строки (после проверки учителем).

Задание на дом: написать 8 раз цифру 8.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПЕРЕЧЕНЬ ПРОТОКОЛОВ УРОКОВ*, ПРИВОДИМЫХ В КНИГЕ

1. Обобщающий урок по теме «Сложение и вычитание в пределах 10». I кл., школа № 76 г. Свердловска, учительница Чечулина В. П................. 18

2. Урок по теме «Сложение однозначных чисел с переходом через 10» (закрепление пройденного). I кл., школа № 18 Белоярского района, учительница Федотова T. H...... 23

3. Урок, посвященный раскрытию смысла действия умножения (закрепление пройденного). II кл., школа № 1 Белоярского района, учительница Пантелеева Е. Г........ 32

4. Обобщающий урок перед темой «Табличное умножение». II кл., школа № 5 г. Свердловска, учительница Колесниченко Е. M..............,...... 39

5. Урок ознакомления с умножением чисел 8 и 9 и соответствующими случаями деления. II кл., Некрасовская школа Белоярского района, учительница Парфенова H. M..... 43

6. Урок ознакомления с приемами умножения и деления круглых чисел. II кл., Боярская школа Белоярского района, учительница Герасимова Е. С............. 47

7. Урок, посвященный работе над задачами. I кл., школа № 65 г. Свердловска, учительница Гвоздина И. И. . . . 80

8. Обобщающий урок перед темой «Табличное умножение». II кл., школа № 2 Белоярского района, учительница Швецова В. Г.................... 146

9. Урок ознакомления с делением с остатком. II кл., школа № 2 Белоярского района, учительница Мальцева Ю. Ф. . . 148

10. Урок закрепления пройденного по теме «Нахождение неизвестного слагаемого». I кл., школа № 8 Белоярского района, учительница Чичерина H. А............ 150

11. Урок ознакомления со случаями умножения числа на 1. II кл., Крутихинская школа Белоярского района, учительница Измоденова А. H............... 152

12. Урок ознакомления с числами 8 и 9. I кл., школа № 76 г. Свердловска, учительница Цепелева В. В...... 155

* Уроки записаны и протоколы их подготовлены к печати Н. В. Меленцовой и М. И. Моро.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................... 3

I. Изучение арифметических действий

Mеленцова Н. В. Изучение сложения и состава чисел в пределах десяти .................. 8

Федотова Т. Н. Изучение табличных случаев сложения в теме «Сотня».................. 23

Mеленцова Н. В., Моро М. И. Изучение умножения и деления во II классе................ 30

Конюхова Г. Г. Распределительное свойство умножения и его использование при решении примеров и задач во II классе................... 53

II. Обучение решению задач

Колмогорова П. Ф. Обучение приемам решения составных задач.................... 61

Колмогорова Л. М. и Шестунина З. А. Примерные планы разбора некоторых задач, решаемых в I—III классах 69

Гвоздина И. И. Частичное изменение условия задачи как один из приемов в обучении решению задач...... 80

Конюхова Г. Г. Прием сравнения при решении задач в I классе.................., , 84

III. Элементы алгебраической пропедевтики в начальных классах

Трошкова Т. П. и Кокорина Н. А. Решение уравнений в I—II классах................ 90

Кочнева Ю. А. Работа над неравенствами в I классе . . 100

IV. Геометрический материал в I—III классах

Широкова Г. В. Геометрический материал в I классе . . . 106

Кузнецова А. С. Геометрический материал во II классе . . 110

Лагунова Г. А. Задачи на построение простейших геометрических фигур в начальной школе.......... 116

Шуганова К. А. Задачи на нахождение периметра и площади 123

V.

Чичканов П. А. Домашние задания по математике .... 132

Шутова А. Н. Элементы занимательности при обучении математике в I классе............... 141

Приложение I. Протоколы уроков......... 146

Приложение II. Перечень протоколов уроков, приводимых в книге.................. 157

МАТЕМАТИКА В I—III КЛАССАХ

Редактор Л. А. Сидорова

Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор Л. Я. Медведев Корректор В. Г. Соловьева

Сдано в набор 10/ХП 1970 г. Подписано к печати 20/IV 1971г. 84X108'/«. Бумага типографская № 2. Печ. л. 5,0. Условн. л. 8,4. Уч.-изд. л. 8,1. Тираж 100 000 экз. (План 1971г. JV«58).

Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Областная типография Ивановского управления по печати. Заказ № 1091. Цена 22 коп.