Марнянский И. А. Элементы математического анализа в школьном курсе математики : пособие для учителей / [науч. ред. В. Г. Ашкинузе]. — М. : Просвещение, 1964. — 144 с. — Список лит.: с. 142.

И. А. МАРНЯНСКИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

И. А. МАРНЯНСКИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Пособие для учителей

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва 1964

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом Министерства просвещения РСФСР

Научное редактирование выполнено доцентом В. Г. Ашкинузе

ПРЕДИСЛОВИЕ

Естественный процесс проникновения идей и фактов высшей математики в школьный курс получил заметное воплощение в новой программе по математике для старших классов средней школы1. Пополнение школьной математики вводными вопросами математического анализа и элементами дифференциального исчисления существенно расширяет идейное содержание предмета и, несомненно, ведет к оживлению и подъему в работе учителя математики.

Но обогащение школьного курса математики этими интересными разделами выдвигает на передний план два никогда не стареющих требования:

1. Преподаватель «должен стоять достаточно высоко над тем материалом, который ему приходится излагать, и должен в точности знать все те подводные скалы и мели, среди которых он проводит своих учеников»2.

2. Преподаватель должен быть «в состоянии разрешить основную методическую задачу: найти равнодействующую между требованиями науки и интеллектуальными ресурсами ученика»3.

1 О началах высшей математики как важном элементе общего образования, об истории введения в школьное преподавание основ математического анализа см. Я. С. Дубнов, Преподавание элементов высшей математики в средней школе, «Математическое просвещение», вып. 5, М., Физматгиз, 1960, стр. 17—27.

2 Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, ГОНТИ, 1933, стр. 243.

3 Я. С. Дубнов, Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1962, стр. 9.

Готовность учителя математики к выполнению указанных требований во многом зависит от подготовки, полученной им в институте. Однако недостаточная профессиональная направленность курса математического анализа в педвузе, стесненность лектора рамками времени, нежелание многих вузовских преподавателей уделить должное внимание глубокому и подробному освещению с точки зрения современной науки важных вопросов школьной математики — все это ведет к тому, что математический анализ часто остается в голове учителя лишь в виде некоторого воспоминания, не оказывающего прямого влияния на его преподавание. Что касается курсов элементарной математики и методики математики, то и здесь ограниченность во времени не позволяет подвергнуть обстоятельной дискуссии принципиальные вопросы связи математического анализа со школьным курсом.

Появляющиеся в связи с этим пробелы в идейно-теоретической подготовке учителя заметно тормозят дальнейший прогресс методики преподавания трудных для школьников вопросов математического анализа.

Известно, что хорошее усвоение основных понятий делает весь изучаемый предмет более доступным. Между тем у некоторых учителей подчас нет полного и четкого представления о том, что общего и в чем различие между современным научным толкованием основных понятий и фактов в математическом анализе и тем неполным, упрощенным, обусловленным психолого-педагогическими соображениями изучением их в школе. В частности, не все учителя отдают себе полный отчет в том, почему ряд столь привычных и кратких определений основных понятий из учебников А. П. Киселева пришлось заменить при создании новых учебников другими, как правило более громоздкими, определениями и чем эти новые определения все еще отличаются от соответствующих строгих научных определений.

Помочь учителю и студенту глубже вникнуть в некоторые сложные понятия школьного курса математики, осветив их с точки зрения математического анализа; убедить читателя на многочисленных примерах в том, что математический анализ является «хлебом насущным» для учителя математики, что учитель должен постоянно обновлять и пополнять свои знания по этому предмету; обсудить разные возможности изложения отдельных вопросов анализа в школе с учетом психологии усвоения знаний учащимися, стимулируя учителя к самостоятельной творческой методической работе — таковы основные цели настоящего пособия.

В отличие от других книг, рассматривающих связи между математическим анализом и элементарной математикой (например, «Элементарная математика с точки зрения высшей» Ф. Клейна, «Об измерении величин» Л. Лебега и др.), в настоящее пособие включены преимущественно вопросы, имеющие прямое отношение к школьной математике, и опущены некоторые важные для учителя математики, но далекие от школьного преподавания теоретические вопросы (например, определение и изучение свойств элементарных трансцендентных функций с помощью рядов, интегралов, функциональных уравнений, дифференциальных уравнений и методов теории функции комплексного переменного).

Правда, отдельные вопросы, имеющие прямое отношение к школьному курсу математики, рассмотрены в настоящей книге без надлежащих подробностей, так как они с достаточной полнотой освещены во многих других книгах1. Кроме того, в этой книге более подроб-

1 К таким вопросам относится, например, проблема связи определенного интеграла с измерением величин. По этому вопросу см. Л. Лебег, Об измерении величин, М., Учпедгиз, 1938 и 1960; М. К. Гребенча и С. И. Новоселов, Курс математического анализа, ч. II, «Высшая школа», 1961; Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Физматгиз, 1962.

но, чем в книгах, упомянутых выше, обсуждаются вопросы педагогического порядка.

В заключение укажем, что настоящее пособие не предназначено для фундаментального повторения математического анализа, так как в нем нет систематического изложения этого предмета. Если читатель встретит здесь ссылки на забытые им факты, он может обратиться к многочисленным курсам высшей математики и математического анализа, в частности к шести книгам, перечисленным в начале списка рекомендованной литературы в конце пособия.

Считаем своим приятным долгом выразить благодарность П. П. Коровкину, М. Л. Смолянскому, М. В. Яковкину, Б. И. Хацету, С. И. Шварцбурду, И. Б. Вейцману, давшим в своих отзывах о рукописи ряд полезных советов.

ГЛАВА I

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

Краткие исторические сведения об определении понятия функции

Предыстория появления понятия функции в математике восходит к первой половине XVII века, когда знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650) применил метод координат для графического изображения зависимости между переменными величинами.

Термин «функция» (латинское слово functio означает деятельность, отправление) встречается впервые в математике в конце XVII века в одной из работ знаменитого немецкого математика и философа Лейбница (1646—1716)1. Сам Лейбниц и его сподвижники Якоб и Иоганн Бернулли вначале применяли этот термин для характеристики отрезков, связанных с точками некоторой кривой. Но в переписке И. Бернулли с Лейбницем (1697—1698) уже намечается попытка освободить определение функции от чисто геометрических представлений, а в 1718 году И. Бернулли определяет функцию одной переменной как величину, как либо составленную из этой переменной и постоянных.

Крупнейший математик XVII века, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707—1783), несколько уточняя это определение Бернулли, писал в своем «Введении в анализ бесконечно малых» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое

1 См. «Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница», «Успехи математических наук», т. III, вып. I, 1948, стр. 165—204.

выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и из чисел или постоянного количества»1.

Однако уже в 1755 году в своем «Дифференциальном исчислении» Эйлер дает второе, более общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых»2.

С точки зрения современной математики определение Бернулли и первое из определений Эйлера, в которых функция отождествляется с задающим ее аналитическим выражением, сужают понятие функции. Причину такой ограниченности определений следует искать в том, что функции, которыми оперировала математика того времени, непосредственно подсказывали мысль, что функции «обязаны» получаться из значений аргумента при помощи каких-то известных математических операций. Напомним в связи с этим о двух источниках происхождения понятия функции.

В учебной литературе подчеркивается, что понятие функциональной зависимости вошло в математику в связи с исследованием явлений природы вообще и зависимости между физическими величинами в частности. Реже говорится о том, что на идею функциональной зависимости наталкивало математиков также рассмотрение простейших вопросов элементарной математики, оперировавшей лишь постоянными величинами. Интересно, что к этому вопросу обратился Маркс в своей работе «О понятии функции»3, в которой Маркс вскрыл исторические корни понятия функции в элементарной алгебре. Среди рассмотренных им примеров имеется такой: «Найти 2 целых и положительных числа, сумма которых = 10». Составив неопределенное уравнение X + у = 10, Маркс подчеркивает, что, придавая одному неизвестному некоторое значение, мы из уравнения получим определенное значение для второго неизвестного, и при этом первому неизвестному можно прида-

1 Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, изд. АН СССР, М., 1936, стр. 30.

2 Леонард Эйлер, Дифференциальное исчисление, изд. АН СССР, М., 1949, стр. 38.

3 См.: «Вопросы философии», 1958, № 11, стр. 92—95.

вать не любые значения, а только все целые значения от 1 до 9. Указав несколько более сложных примеров, Маркс приходит к выводу: «Итак, понятие функции, как оно возникло из неопределенных уравнений, было следующее: желая выразить, что некоторая величина не может быть определена, если не придать предварительно другим величинам каких-либо определенных значений (причем количество этих значений в одной и той же задаче может быть неограниченным) пользовались словом функция для обозначения этой зависимости»1.

Этот алгебраический источник происхождения понятия функции сыграл, по-видимому, значительную роль в том, что вначале функция отождествлялась с определенной формулой.

Что касается второго определения Эйлера, то в нем имеется другой недостаток: в этом определении нет указаний на определенность соответствия между значениями количеств, и поэтому оно охватывает также такие неопределенные зависимости, которые в математике не считаются функциональными.

Прошло, однако, почти целое столетие, пока великий русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856), а тремя годами позже выдающийся немецкий математик Лежен Дирихле (1805—1859) заменили это расплывчатое определение Эйлера новым определением, основанным на идее соответствия.

В работе «Об исчезании тригонометрических строк» (1834) Лобачевский дает такое определение функции:

«Общее понятие требует, чтобы функцией от х называли число, которое дается для каждого х и вместе с х постоянно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной»2.

Именно это определение по своему смыслу совпадает с принятым в современной математике определением понятия функции.

1 «Вопросы философии», 1958, № 11, стр.94.

2 Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, г. V, изд. АН СССР, М., 1951, стр. 43.

Современное научное определение понятия функции

В современной математике принято такое общее определение понятия функции: если каждому элементу одного множества поставлен в соответствие некоторый элемент второго множества, то говорят, что на первом множестве определена функция1.

Этим определением охватываются, в частности, числовые функции одного и многих переменных, встречающиеся в математическом анализе. Если, например, элементом множества M служит взятая в определенном порядке тройка чисел (я, у, г), которой ставится в соответствие определенное число и, равное (х+у) sin г, то говорят, что на множестве M определена однозначная функция и трех переменных2 х, у, г.

Остановимся более подробно на определении однозначной действительной функции одного действительного переменного. Именно эти функции являются основным объектом изучения в школе.

A. Операция3, посредством которой каждому числу X, принадлежащему множеству М, ставится в соответствие определенное число у, называется функцией, определенной на множестве М.

B. Множество пар взятых в определенном порядке чисел4 (х, у), подчиненных условию: числа х в различных парах разные, — называется функцией, определенной на множестве М, состоящем из чисел х.

1 На природу элементов множества не накладываются никакие ограничения, они могут быть числами, группами чисел, фигурами, буквами, уравнениями, высказываниями (в математической логике) и т. п.

2 Приведенное определение может показаться недостаточно широким, так как оно охватывает только однозначные функции. Однако в настоящее время именно такие функции являются, собственно говоря, объектом математического изучения. В тех же (относительно немногочисленных) случаях, когда в математике, например, в теории функций комплексного переменного, приходится встречаться с многозначными функциями, обычно с помощью тех или иных вспомогательных приемов сводят дело к рассмотрению однозначных функций. Таким путем возникает в теории функций комплексного переменного понятие римановой поверхности.

3 Вместо слова «операция» здесь можно было использовать термины: процесс, преобразование, отображение, правило, закон, оператор.

4 Если вспомнить, что пара чисел определяет точку на плоскости, то нетрудно догадаться, что возможность такого толкования понятия функции подсказана графиком функции.

С точки зрения языка в определениях (А) и (В) речь идет о разных понятиях: об операции и о множестве пар упорядоченных (в самих парах) чисел. Но для математики такое различие не так уж существенно, потому что информация о числах и связях между ними, получаемая в соответствии с каждым из этих определений, по существу одна и та же.

Действительно, в определении (А) говорится о такой связи между числом х данного множества M и числом у, в которой соблюдено единственное условие: каждое число X должно быть связано только с одним числом у. Поэтому достаточно объединить числа х и соответствующие им числа у в пары (ставя х на первом месте), и мы получим функцию в смысле определения (В).

Наоборот, знание множества пар чисел (х, у), о которых говорится в определении (В), дает возможность указать множество M (оно состоит из всех чисел л\ стоящих в парах (х, у) на первом месте) и операцию, связывающую числа X с числами у, если считать число у, входящее в пару с числом х, соответствующим этому числу X (при этом числу X будет соответствовать одно определенное число у, так как каждое число х входит только в одну пару (х, у)).

Выбор первого или второго из этих определений в качестве определения функции оказывает, правда, определеннее влияние на форму определений операций над функциями. Например, в случае определения (А) сумму двух функций (определенных на одном множестве) следует определить как операцию, ставящую в соответствие каждому числу х (из общей области определения) сумму тех чисел у, которые ставились в соответствие этому X каждой из функций-слагаемых. В случае же определения (В) суммой двух функций будет множество таких пар чисел, в которых на первом месте стоит число х (стоящее на первом месте в каждой из пар чисел, входящих в функции-слагаемые), а на втором — число, равное сумме чисел у, входящих вместе с х в пары чисел каждой из функций-слагаемых.

Обратимся теперь к третьему (наиболее важному для дальнейшего изложения) определению функции. Условимся сначала о том, что мы будем понимать под величиной. Если для чисел некоторого множества Р введено общее обозначение (наименование), например U,

то будем называть U величиной, а каждое из чисел множества Р — значениями этой величины1.

С. Величина у называется функцией величины х, определенной на множестве М, если каждому значению X, принадлежащему множеству Му соответствует определенное значение у.

Равносильность этого определения определению (В) очевидна. Ведь в определении (С) функцией названо общее обозначение для чисел, стоящих на вторых местах в тех парах чисел (#, у), о которых говорится в определении (В).

Упомянутое выше понятие суммы двух функций определяется в соответствии с определением (С) следующим образом. Сумма двух функций — это такая величина, значение которой для каждого значения х (из общей области определения функций-слагаемых) равно сумме значений у, соответствующих этому значению х для каждой из функций-слагаемых.

Еще несколько замечаний по поводу понятия функции. В определении (С) (как и в предыдущих определениях) имеется в виду не обязательно причинная зависимость двух величин (например, физических или геометрических), а нечто более общее — здесь речь идет просто о связи (соответствии) между числами двух множеств, подчиненной единственному требованию (его можно кратко назвать требованием однозначного соответствия): каждому числу первого множества соответствует одно определенное число второго множества. Так, например, связь между физическими величинами s и выраженная известной формулой s = у, не является причинной

(движение происходит благодаря действию силы, а не изменению времени), но s является здесь функцией от так как требование однозначного соответствия соблюдено. Вообще, если бы в математике функциональная зависимость отождествлялась с причинно-следственной зависимостью, то, например, рассмотрение обратной функции, наряду с данной, не имело бы смысла.

1 Образно говоря, величина играет роль «универсального» (переменного) представителя множества своих значений. Нечто подобное имеет место, когда мы говорим, например, «рабочий создает материальные ценности». Здесь термин «рабочий» служит общим обозначением для любого представителя множества всех рабочих.

С другой стороны, не всякая причинная связь порождает функцию, Так, между количеством внесенных в почву удобрений и урожайностью имеется причинная зависимость, но урожайность будет функцией количества удобрений только в том случае, если другие факторы, влияющие на урожай (состав почвы, количество осадков и т. д.), будут неизменными (или компенсирующими друг друга), так как без соблюдения этого условия соответствие между количеством удобрений и урожайностью может оказаться неоднозначным.

Второе замечание касается множества значений величины у. Из определения (С) не следует, что значения у обязаны быть разными. Поэтому величина у может обозначать одно число, и тем не менее ее следует считать функцией. Такой будет, например, функция, равная сумме функций sin2* и cos2*, или функция у = ах + + Ь, при а = 01.

Наконец, в определении (С) имеется указание о множестве M значений х> т. е. области определения функции. Поэтому, не зная, о каком конкретном множестве идет речь в каждом отдельном случае, нельзя утверждать, что нам задана функция. Если нам известно, например, что значению величины х соответствует значение величины у, равное ях2, то у можно считать определенной функцией от X, если известно, каково множество значений х. Так, например, функцию у = пх2 с областью определения 0 < X < оо(такой будет, в частности, область определения функции, если х — радиус окружности) и функцию у = Tlx2 с областью определения — oo<*<oo нельзя считать одинаковыми.

§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

Аналитический способ задания (изображения) функции

Одним из важнейших способов задания функции является задание (изображение) ее аналитическим выражением, или, что то же самое, формулой.

Преимущество формулы по сравнению со словесным описанием заключается не только в сокращении запи-

1 Исключение из числа функций таких функций-констант привело бы к ряду неудобств, например: в теоремах о пределе и производной суммы двух функций пришлось бы дополнительно оговаривать случай, когда сумма постоянна.

сей, но и в том, что аналитическое выражение выступает как объект, над которым можно непосредственно производить математические операции.

Следует иметь в виду, что понятие аналитического выражения само по себе чрезвычайно условно. Так, например, рассматривая зависимость показателя степени у от значения степени х (при данном основании а), мы сталкиваемся с зависимостью, которая не может быть выражена аналитически с помощью известных ранее действий. Для этой зависимости вводится специальное обозначение у = logax, и начиная с этого момента запись вида \ogax тоже считается аналитическим выражением.

Понятие аналитического выражения становится вполне определенным лишь после того, как мы условимся, какие операции (другими словами, какие простейшие функции) могут входить в состав аналитического выражения. Чаще всего (по крайней мере в тех вопросах, которые имеют отношение к школьному курсу математики) такими операциями считаются: арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), возвышение в степень (не обязательно с натуральным показателем), нахождение логарифма и значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций, а также операция образования сложной функции (функции от функции). Те функции, которые могут быть аналитически выражены (одной формулой на всей своей области определения) с помощью этих операций, называются элементарными функциями. Такими, например, будут функции у = lg \/ х —2 и у= tgltgU2)].

Если в число допустимых операций включить, кроме перечисленных выше, также операцию предельного перехода (нахождение предела последовательности), то класс функций, выраженных аналитически, значительно расширится1. Проиллюстрируем сказанное следующими примерами.

1. Функция, которую принято обозначать2 sign* (черт. 1), равная 1 при всех положительных х, равная О при X = О и равная — 1 при всех отрицательных х,

1 См.: Н. Н. Лузин, Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, М., 1940, стр. 127.

2 Латинское слово «Signum» означает «знак».

может быть представлена (это нетрудно проверить) формулой

2. Функция Дирихле (ее обозначают D(x)\ изобразить ее график практически невозможно, так как она разрывна в каждой точке), равная 1 при рациональных значениях X и равная 0 при иррациональных значениях ху может быть задана следующей формулой:

Действительно, если х — рациональное число — , то при достаточно больших m произведение т\ — будет целым числом и поэтому sin2 (т\лх) = О, если же л:—иррациональное число, то указанное произведение не будет целым числом и sin2 (т)лх) будет положительным, а далее, если учесть значения функции sign X, все очевидно.

Черт. 1.

Может возникнуть вопрос: нельзя ли рассмотренные две функции представить формулами, не содержащими знак предела, т. е. не являются ли эти функции также элементарными? Ответ на этот вопрос должен быть отрицательным, поскольку эти функции являются разрывными (первая в точке х = 0, вторая — во всех точках), а всякая элементарная функция является непрерывной в своей области определения1.

1 См., например, И. Е. Жак, Дифференциальное исчисление, М., Учпедгиз, 1960, стр. 253. Отметим, что обратное утверждение: всякая непрерывная функция является элементарной — ошибочно. Достаточно вспомнить о некоторых встречающихся в анализе интегралах (например, интегральный синус), не берущихся в конечном виде, которые представляют непрерывные, но неэлементарные функции.

Напомним еще об одной неэлементарной функции (она используется в теории чисел, а также для доказательства некоторых неравенств и записи уравнений разных удивительных фигур)1.

Черт. 22.

Эта функция, принимающая для каждого числа X значение, равное наибольшему целому числу, не превосходящему этого Ху называется «антье от х» и обозначается у = = [х 1, или3 у = Е(х). Графиком функции антье, которую можно также задать своеобразной «формулой», содержащей знаки неравенства [х] < X < [х] + 1, служит бесконечное множество отрезков с исключенными правыми концами (черт. 2). Заметим, что элементарная функция у = х—arctg (tgx) изображается графиком подобного вида. Любопытно, что производная функции у = [х] может быть выражена довольно простой формулой, например,

В самом деле, точки с целочисленными абсциссами являются точками разрыва функции у = [х] и в этих точках производная не существует, во всех же остальных точках производная функции существует и равна нулю (как производная постоянной). Но указанная функция как раз такова, что при целых значениях х она не определенна (числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль), а при всех других значениях х она равна нулю.

1 См.: П. П. Коровкин, Неравенства, Гостехиздат, М., 1952; А. П. Доморяд, Математические игры и развлечения, Физматгиз, М., 1961; А. С. Смогоржевский, Метод координат, Гостехиздат, М., 1953; В. Литцман, Где ошибка, Физматгиз, 1962.

2 Здесь и на предыдущем чертеже отмеченные стрелками концы отрезков не принадлежат графику функции.

3 Французское слово Entier означает «целый».

Обратимся теперь к вопросу об области определения функции заданной формулой. Вообще говоря, наличие одной только формулы недостаточно, чтобы функция считалась заданной, ибо формула указывает, как можно, зная значение аргумента, вычислить соответствующее значение функции1, но сама область определения функции остается неизвестной. Эта неопределенность устраняется соглашением, в соответствии с которым областью определения функции, изображенной формулой, считают множество всех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т. е. при которых выполнимы все содержащиеся в ней действия. Такое множество называют иногда областью существования функции (в отличие от области определения, которая в конкретных задачах может оказаться только частью области существования).

Отличие области существования от области определения легко заметить в случае, когда функция задана формулами на разных участках своей области определения, так как область существования, определяемая этими формулами, обычно бывает шире заданной области определения. Проиллюстрируем сказанное примером.

В строительных сооружениях часто встречаются балки с опертыми концами. Под действием нагрузки (собственный вес и вес предмета, опирающегося на балку) такая балка прогибается. Возникает необходимость в установлении прогиба балки в любом месте. Математически эта задача сводится к нахождению уравнения той линии, по которой прогибается ось балки. Рассмотрим случай, когда на балку длиною AB = / действует сосредоточенная нагрузка Р в точке С, отдаленной от левого

1 Часто сама формула, если ее дополнительно не расшифровать, не предоставляет даже этой возможности. Так, например, формула у = sin х является по существу лишь сокращенным обозначением названия функции синус. И если мы захотим представить эту же функцию формулой, дающей возможность вычислять ее значения (хотя бы приближенно), то придется применить знак предела:

В скобках здесь записана частная сумма ряда, в который раскладывается синус.

конца А балки на расстоянии АС = а (черт. 3). Такое положение имеет место, например, если на небольшой участок балки опирается тяжелый станок или к ней подвешен тяжелый механизм.

Расчеты показывают, что линия, по которой прогнется ось балки (из физических соображений следует ее считать одной линией), не может быть изображена одним простым уравнением. На участке АС, как показывают расчеты, уравнение этой кривой имеет вид у Мх3— Nx,

а на участке СВ

у = Мх* — Nx — Е(х — а)3,

где M, N, Е зависят от свойств балки (от материала и формы балки), величины нагрузки Р и места С ее приложения. Отметим, что в точке с не будет ни излома, ни разрыва-оси балки, так как значение функции у, а также ее производной, вычисленное для значения х = = û по любой из этих формул, будет одним и тем же.

Таким образом функция, геометрическим изображением которой служит изогнутая ось балки, может быть записана так:

V = I — Nx при 0 < X < а

у \ Мх3 — Nx — Е(х—а)3 при а < х < /

Представленные здесь аналитические выражения принимают определенные действительные значения также для всех действительных значений х за пределами сегмента [0, / ] (поэтому областью существования формально здесь служит множество всех действительных чисел), но областью определения этой функции явля-

Черт. 3.

ется только сегмент [О,/ ], так как вне этого сегмента нет балки, а значит, и ее изогнутой оси1. В данном случае выбор области определения диктуется практическими соображениями и функция не тождественна своему формальному аналитическому выражению.

Отметим еще, что рассмотренную функцию можно задать одним аналитическим выражением, содержащим знак предельного перехода, так как всякая непрерывная на сегменте функция является пределом некоторой последовательности многочленов2. Интересно, что ее можно задать также одной формулой, не прибегая к операции предельного перехода. Действительно, легко убедиться, что выше рассмотренная функция тождественна такой функции3:

В учебной литературе говорят иногда о так называемом бесформульном или словесном, способе задания функции. Примеры такого задания функции дает рассмотренное выше словесное описание функций sign х, D(x), [х]. Так как в таком словесном описании точно указывается, какое значение функции соответствует каждому значению аргумента, то словесный способ задания функции является вполне законным. Более того, если аналитическое выражение функции слишком громоздко, а словесное определение ее достаточно просто и позволяет исследовать ее, то нет необходимости в обязательном порядке находить аналитическое выражение функции и оперировать им. Так, например, вопрос о

1 Подобно этому многие формулы физики, содержащие время /, имеют смысл лишь для положительных значений t, хотя аналитические выражения могут при этом принимать определенные действительные значения и для отрицательных t.

2 См., например, И. П. Натансон, Теория функций вещественного переменного, Гостехиздат, М., 1950, стр. 98 или ранее упомянутый учебник H. Н. Лузина, стр. 257.

3 Здесь имеется в виду арифметическое значение корня -/*и2= = \и\. Любопытно, что, используя функцию уЛл*, можно представить,например, одной формулой функцию, совпадающую с tg.v для к < 0 и с sin X для х > 0:

монотонности, о характере точек разрыва (а также об интегрируемости) функции D(x) легко решается на основе ее словесного определения. Функцию [х] также применяют, исходя из ее словесного определения.

О табличном и графическом способах задания функции

Из рассмотренного ранее (§ 1) определения функции (В) как множества пар чисел (ху у) непосредственно следует возможность табличного задания функции: достаточно выписать значения х в один столбец (или строку), а соответствующие значения у записать рядом в другой столбец (или строку).

Однако на пути такого табличного изображения функции имеется существенное препятствие: для записи бесконечного множества значений х и у не хватит ни места, ни времени. Поэтому практически функция может быть задана таблицей в том случае, если она определена на конечном множестве или если функция имеет бесконечную область существования, но мы рассматриваем ее только на конечном подмножестве этой области существования. Ясно, что не всякую таблицу, состоящую из рядом стоящих пар чисел, можно считать таблицей функции: если в столбце значений х встречаются одинаковые числа, а рядом с ними в столбце значений у записаны разные числа, то такая таблица не будет удовлетворять требованию однозначности соответствия.

Подобная таблица может получиться, например, если в одном столбце записать площади колхозных участков (среди которых имеются равные), обрабатываемых разными звеньями, а в другом столбце — размеры снятого с этих участков урожая, которые часто оказываются разными на участках равной площади. Кстати, подобная возможность не учтена в школьном учебнике, где без всяких оговорок утверждается, что площадь посева и размер снятого урожая находятся в функциональной зависимости (А. Н. Барсуков, Алгебра для 6—8 классов, Учпедгиз, М., 1961, стр. 255).

Таблица позволяет непосредственно, без вычислений, находить по значению аргумента соответствующие значения функции. В этом заключается ее ценность для техники, статистики, бухгалтерии и пр. Математические таблицы получают путем вычисления значений функций, определенных некоторыми формулами; в настоящее время применение электронных вычислитель-

ных машин дает возможность в короткое время получать таблицы значительного объема. В экспериментальных же исследованиях иногда бывает наоборот — раньше получают таблицу значений функции для ограниченного числа значений аргумента, а затем по этим значениям составляется формула, выражающая (как правило, приближенно) рассматриваемую функцию; такая формула дает возможость лучше исследовать функцию, а также вычислять другие ее значения.

Обращаясь к графическому способу изображения функции, следует иметь в виду две стороны вопроса — теоретическую (абстрактную) и практическую.

Теоретически говоря, график функции представляет собой геометрическое изображение этой функции, модель функции, отображающую все ее свойства. Так как график определяет, в частности, значение функции при любом допустимом значении аргумента, он может служить и средством задания функции. Однако все это безоговорочно справедливо лишь до тех пор, пока мы под словами «график» функции понимаем некоторую совокупность абстрактных геометрических точек.

Практически же начерченный график функции представляет собой совокупность физических точек. Так как каждая такая точка имеет конечные размеры, так как любые построения и измерения носят неизбежно приближенный характер, реально начерченный график функции не может точно определять значения функции для каждого заданного значения аргумента, т. е., строго говоря, не может рассматриваться как средство задания функции или как образ, исчерпывающе отражающий все ее свойства. Так, например, по начерченному графику функции нельзя практически определить, будет ли значение функции в данной точке рациональным или иррациональным числом. Практически начерченный график функции представляет собой лишь довольно грубую ее модель, так же как, например, начерченный на бумаге или на классной доске квадрат есть лишь грубая модель геометрического квадрата. Рассматриваемый с этой точки зрения, график функции сохраняет лишь иллюстративное значение как один из способов наглядного изображения функции; этот способ имеет несомненное преимущество легкой обозри-

мости: он дает возможность сразу представить себе всю совокупность пар значений «аргумент — функция» и легко установить ход изменения функции.

Следует отметить, что мы не можем практически даже в простейших случаях построить график функции в точном смысле этого слова не только из-за неизбежно приближенного характера любых построений, но также и потому, что мы вынуждены действовать всегда лишь на ограниченном участке плоскости. Например, желая построить график функции у = х2, мы строим лишь небольшую дугу бесконечной параболы. Впрочем, иногда оказывается практически невозможным построить (даже приближенно) часть графика функции и на ограниченном участке. Так, например, нельзя практически построить часть графика функции у = sin— в окрестности начала координат, так как в любой такой окрестности эта функция имеет бесконечно много максимумов и минимумов. Выше уже говорилось о невозможности построения графика функции Дирихле D(x); его можно только мысленно представить себе в виде двух прямых у = 0 и у = 1, на каждой из которых удалено бесконечное всюду плотное множество точек.

Несмотря на то, что понятие графика в его практическом аспекте не полностью соответствует точному определению функции, на практике нередко рассматривают график функции как средство ее непосредственного задания. Так бывает, например, тогда, когда значения интересующей нас функции регистрируются какими-либо самопишущими приборами. Возможность такого задания функции возникает в тех случаях, когда точность, доставляемая графиком, оказывается достаточной для рассматриваемой практической задачи.

§ 3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Определение функции в школьных учебниках

В учебнике Киселева сказано: «Та из двух связанных между собой переменных величин, которой можно придавать произвольные числовые значения, называется независимой переменной или аргументом.

Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой,

называется зависимой переменной или функцией этой другой переменной величины»1.

Недостаток этого определения (легко заметить, что оно во многом сродни рассмотренному выше второму определению Эйлера) состоит в том, что в нем нет той безоговорочной ясности, которая не давала бы возможности толковать его по-разному.

Во-первых, в определении опущен тот важный момент, который выше был назван требованием однозначного соответствия.

Во-вторых, определение не содержит указания на область определения функции (или, что то же самое, на множество значений аргумента). Более того, из утверждения о том, что аргументу «можно придавать произвольные значения», легко прийти к ошибочному заключению, будто все функции имеют одну и ту же область определения — множество всех действительных чисел2.

В-третьих, оборот: «числовые значения которой изменяются» (в дополнение к прилагательному «переменная») создает впечатление, будто функции-константы не являются функциями.

Обратимся теперь к определению функции в новом учебнике алгебры для 6—8 классов. Здесь определение функции разбито на три части.

«1. Если две переменные величины связаны между собой так, что каждому значению одной из них соответствует определенное значение другой, то говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимость.

2. Если две переменные находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные (допустимые) значения, называется независимой переменной или аргументом.

Другая переменная, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной или функцией этого аргумента.

1 А. П. Киселев, Алгебра, ч. II, Учпедгиз, М., 1962, стр. 25.

2 Этот недостаток также присущ определению функции в учебнике тригонометрии, где говорится о «всяком значении» аргумента и множестве «всех значений» аргумента (см.: С. И. Новоселов, Тригонометрия, Учпедгиз, М., 1953, стр. 42).

3. Множество всех (допустимых) значений аргумента называется областью определения функции»1.

Читатель без труда обнаружит, что в этом новом определении устранены два первых дефекта, присущих определению Киселева. От третьего же недостатка новое определение избавлено только частично: в нем не говорится об обязательном изменении значений функции, но функцией названа все же величина переменная (а замечания о возможности рассмотрения постоянной как частного случая переменной в учебнике нет).

Что касается связи этого нового определения с определениями, изложенными в § 1, то легко заметить, что определение функциональной зависимости (определение 1) по своему смыслу близко подходит к определению (А), а остальные два определения, вместе взятые, примыкают к определению (С).

Каким должно быть определение функции в школе

Для правильного решения вопроса о наиболее приемлемом в средней школе определении функции необходимо учесть следующие требования:

1) доступность определения не достигается путем снижения его научной выдержанности: школьник может и не получить достаточно общего и полного представления о понятии, но он не должен получать и ошибочного представления о нем;

2) более доступным для школьника (особенно при первом знакомстве) является все то, что ближе к его привычным представлениям, и поэтому построение определения понятия надо производить с учетом пропедевтики этого понятия;

3) определение должно быть по возможности кратким и не содержать таких терминов, которые могут толковаться по-разному (особенно если без этих терминов можно обойтись).

Важность требования 1) подтверждается тем, что, несмотря на всю кажущуюся простоту и связанную с ней привлекательность определения Киселева, оно все же уступило место определению Барсукова, которое, как мы видели, в основном удовлетворяет этому требованию.

1 А. Н. Барсуков, Алгебра для 6—8 классов, Учпедгиз, М., 1964, стр. 255—256.

Переходя к вопросу об отражении в определении функции двух остальных требований, напомним вкратце о практикуемой в школе пропедевтике понятия функции. Начинается эта пропедевтика уже в курсе арифметики, где обращают внимание учащихся на зависимость результатов арифметических действий от значений компонентов. Причем зависимость понимается здесь в том смысле, что изменение результата вызывается изменением компонентов. Далее, в алгебре обращают внимание на зависимость (в том же смысле) числового значения алгебраического выражения от чисел, подставляемых вместо букв. Наконец, рассматриваются разные зависимости (прямая и обратная пропорциональная, линейная, квадратная) и строятся их графики. Что касается двух важнейших понятий — множество и соответствие, на которые опирается понятие функции, то рассмотрение их весьма бледно представлено в пропедевтике понятия функции.

Пытаясь формально удовлетворить требованию 2), следовало бы, как это кажется на первый взгляд, включить в формулировку определение функции термин «зависимость» и не включать термины «множество» и «соответствие». Но таким путем мы как раз придем к отвергнутому определению Киселева. Понятия множества и соответствия настолько важны для правильного понимания понятия функции, что обозначающие их термины должны быть включены в определение функции, и если это не согласуется с пропедевтикой, то в последнюю необходимо внести соответствующие коррективы1.

Что касается термина «зависимость», то, хотя его включение в определение функции кажется оправдан-

1 Принимая во внимание то, что многие понятия (например, число, цвет, настроение и т. п.) усваиваются благодаря многократному оперированию ими, сопровождаемому произнесением соответствующего слова, целесообразно еще в младших классах как можно чаще прибегать к терминам «множество» и «соответствие». Например, можно упомянуть, что каждому значению числителя (при неизменном знаменателе) соответствует определенное значение дроби, а при изучении геометрических мест — говорить о различных множествах точек. В ряде случаев уместно также употреблять наряду с термином «зависимость» термин «соответствие», например: «прямо пропорциональная зависимость или прямо пропорциональное соответствие».

ным с точки зрения требования 2), такое включение становится уязвимым в связи с требованием 3). Действительно, как показано выше, в процессе подготовки к изучению функции понятию «зависимость» придается только тот смысл, что изменение одной величины неизменно ведет к какому-то изменению другой (зависимой) величины. Поэтому включение в определение функции термина «зависимость» стимулирует вытеснение в сознании учащегося самой существенной особенности функции — однозначного соответствия между значениями аргумента и функции — и выдвигает на первый план свойство переменности функции.

На основании сказанного нетрудно заметить, что определение Барсукова в двух отношениях не выдерживает «испытания» требованием 3). Во-первых, оно слишком многословно. Во-вторых, включение в определение функции термина «зависимость» (а он встречается здесь 5 раз) является излишним (это не значит, что слово «зависимость» должно быть вообще изгнано из школьного учебника).

Все вышеизложенное дает основания предпочесть, как наиболее подходящее для VIII класса средней школы, следующее определение функции:

Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у; х в этом случае называется независимой переменной или аргументом.

Областью определения функции называется множество допустимых значений аргумента1.

Вместе с тем нам представляется желательным ознакомление учащихся XI класса (при повторном изучении понятия функции) с рассмотренным в § 1 определением (С), краткость и четкость которого достигается исключением терминов «переменная» и «допустимые значения». При этом следует разъяснять школьникам

1 В. М. Брадис, Н. С. Истомина, А. И. Маркушевич, К. П. Сикорский, Алгебра, ч. II, Учпедгиз, М., 1960, стр. 83—84 (эту книгу мы будем ниже коротко называть пособием под редакцией А. И. Маркушевича). О том, что константа есть частный случай функции, можно рассказать позже, рассматривая линейную функцию у = kx -\- b при k = 0.

смысл понятия «величина» как общего обозначения для чисел некоторого множества.

О психологии усвоения понятия функции

Остановимся теперь на некоторых вопросах психологического порядка. В педагогической психологии с помощью многочисленных экспериментов установлен ряд положений, касающихся усвоения научных понятий1. Для правильного решения вопросов изучения понятия функции в школе необходимо учесть следующие два положения:

1. Ознакомление учащихся с четким и доступным для них определением понятия, сопровождаемое целым рядом иллюстративных примеров, еще не гарантирует правильного усвоения его учащимися. Несоответствие между подлинным содержанием понятия и пониманием его школьниками вызывается главным образом тем, что наглядные воздействия, внешнее сходство, влияния житейского смысла термина (в случае его несовпадения с научным смыслом) и пр. могут в силу большой конкретности мышления учащегося оказаться сильнее действия словесных формулировок признаков понятия. Все это может привести к вытеснению в сознании учащегося существенных признаков понятия признаками несущественными, или общих понятий понятиями частными2.

2. Правильное усвоение понятия зависит от осознания учащимся не только существенных, но и типических несущественных признаков понятия, от умения школьника, не ограничиваясь непосредственно данным, умозаключать о противном, что может быть достигнуто главным образом в результате анализа самим учащимся способов применения понятия.

Проведенные автором настоящего пособия массовый опрос и ряд бесед с учащимися VIII—XI классов под-

1 См., например, Д. Н. Богоявленский и Н. A. Менчинская, Психология усвоения знаний в школе, изд. АПН РСФСР, М., 1959.

2 Поучителен следующий эксперимент. После того как 16 шестиклассников были подробно ознакомлены с определением равнобочной трапеции и определение было закреплено на конкретных примерах, этим учащимся предложили найти равнобочные трапеции среди двадцати разнообразных изображенных на плакате фигур, но успешно справились с этой задачей только пять учащихся (см.: А. Ф. Говоркова, Опыт изучения некоторых интеллектуальных умений, «Вопросы психологии», 1962, № 2).

тверждают актуальность указанных положений для изучения понятия функции в средней школе.

В подтверждение первого положения оказалось: а) замена определения функции по Киселеву определением Барсукова привела лишь к незначительному прогрессу в правильном понимании школьниками понятия функции (из этого не следует, что отказ от определения Киселева не оправдал себя, наоборот, это говорит о том, что порядок изучения функции в школе и самое определение функции еще недостаточно отошли от учебников Киселева); б) в примерах с жизненно конкретным содержанием значительное число школьников усматривает функцию только тогда, когда имеется причинная связь, а термин «множество» толкует как «очень много», в) нередко учащиеся причисляют к функциям только те связи, которые напоминают прямую или обратную пропорциональную зависимость, а важнейшее требование однозначного соответствия подменяют требованием изменения значений функции.

Особое значение имеет второе из упомянутых положений. Понятие функции выступает в школьном курсе изолированно, здесь нет понятий, напоминающих функцию, но отличных от функции, т. е. нет понятий, с которыми можно было бы сопоставить понятие функции (в отличие, например, от таких понятий, как «перпендикуляр» или «иррациональное число», сопоставимых соответственно с понятиями наклонной и рационального числа), стимулируя сознательное выделение самим учащимся существенных и несущественных признаков понятия функции.

Вот почему необходимо, изучая понятие функции, составлять и предлагать учащимся специальные упражнения, в частности следует включить в учебники и задачники ряд вопросов и упражнений такого типа:

1. Является ли вес человека функцией его роста?

2. Является ли площадь прямоугольника функцией его периметра?

3. При каком условии величина х, определяемая формулой корней квадратного уравнения будет функцией величины р?

4. Является ли путь, проходимый автомобилем, функцией времени его движения, если автомобиль делает в пути несколько остановок?

5. Известно, что для значений аргумента величина cos* принимает одно и то же значение, равное —, т. е. изменение значении х не вызывает в данном случае изменения cos х. Почему же cos х считается функцией от х?

6. Привести пример функции, в область определения которой не входят два данных числа а и Ь.

7. Указать случаи, когда переменная у не является функцией переменной х.

О таблицах и графиках

Известно, что в представлении учащегося понятие функции связано главным образом с аналитическим изображением функции. Между тем идея однозначного соответствия довольно четко выступает в табличном и графическом представлении функции. Но в школе содержанию табличного способа задания функции уделяется очень мало внимания (хотя о таблицах функций упоминают неоднократно). Достаточно указать, что этому способу в учебнике уделено всего треть страницы, и к тому же добавлено, что табличный способ неудобен, так как он дает значения функции только для приведенных в таблице значений аргумента1. Не удивительно поэтому, что школьник часто не узнает среди примеров, заимствованных из окружающей действительности, таблично заданных функций.

В связи с этим необходимо указать школьникам конкретные примеры таблиц в инженерных справочниках, в бухгалтерии, в сберкассах, в журналах и газетах, а также предложить упражнения на выявление функций, заданных таблично. В частности, можно предложить школьникам ответить, например, на такие вопросы:

1. В прейскуранте заполнены графы: номер по порядку, наименование товара, цена. Является ли здесь цена товара функцией от номера по порядку?

1 А. Н. Барсуков, Алгебра для 6—8 классов, Учпедгиз, М., 1961, стр. 258.

2. На каждом из мотков проволоки, хранящихся на заводском складе, указан номер п мотка и количество / метров проволоки в мотке. Является ли здесь величина / функцией от величины я?

Очень коротко сказано в том же учебнике о графическом способе задания функции. Учитывая широкое распространение и важность этого способа задания функции, следует приводить (в разных классах) примеры такого типа:

1. Графики, приведенные в школьном курсе физики: график перехода из одного агрегатного состояния в другое при изменении количества тепла и график изменения силы тока при ионизации.

2. Индикаторные диаграммы; записи осциллографов и тахографов; метеорологические, сейсмологические и связанные со штурмом космоса радиотелеметрические записи; электрокардиограммы в медицине.

3. Эмпирическая кривая распределения воды и суши на разных высотах земной коры1, графики магнитной активности Земли и солнечной активности2, многочисленные графики и диаграммы в газетах и журналах.

По мере изучения отдельных функций необходимо указывать школьникам на конкретные практические приложения их графиков. Например:

1. Форму параболы у = ах2 имеет цепь, поддерживающая висячий мост с помощью большого числа стержней (если весом цепи пренебречь)3. Параболой является не только известная школьникам траектория снаряда, но и осевое сечение автомобильной фары, а также осевое сечение свободной поверхности жидкости при вращении сосуда с жидкостью вокруг его оси симметрии.

2. График функции у = ах3 (кубическая парабола) используется при проектировании как кривая, по которой совершается плавный переход от прямолинейных к криволинейным участкам пути, в строительстве железных и автомобильных дорог.

1 См.: Г. Штейнгауз, Математический калейдоскоп, Гостехиздат, М., 1948, стр. 46.

2 См.: К. А. Путилов, Курс физики, т. II, Физматгиз, М., 1958, стр. 217.

3 См.: Г. М. Фихтенгольц, Математика для инженеров, ч. I, ГОНТИ, М., 1931, стр. 283.

3. Форму графика функции у = — имеют линии, по которым движутся частицы жидкости при набегании жидкости на стенку.

4. По синусоиде срезают листы, из которых изготовляются коленчатые трубы1.

Следует также сообщить учащимся о том, что графики используются не только в целях наглядности, но и в тех случаях, когда задание функции формулой невозможно или слишком сложно или же в аналитическом задании функции вообще нет необходимости (например, в случае упомянутой эмпирической кривой распределения воды и суши или использования графиков в газетах и журналах). Целесообразно упомянуть также, что для составления таблиц (с небольшой точностью) иногда удобнее использовать приближенно построенный график, чем производить громоздкие вычисления по сложной формуле.

Остановимся еще на одном вопросе, относящемся к построению графиков функций. Одним из важных моментов в процессе усвоения школьниками понятия функции является выработка умения устанавливать, как отражаются на графике некоторые изменения, вносимые в формулу, например умение самостоятельно решить вопрос о том, чем будут отличаться от графика функции у = sin X графики таких функций:

Наш опыт показал, что одной из причин, вызывающих у школьников значительные трудности при решении подобных вопросов, является чрезмерное акцентирование внимания учащегося на переменности функции ( о чем подробно говорилось выше). Часто для сравнения графиков двух функций учащиеся, не останавливаясь на выяснении того, какие значения функции соответствуют отдельным значениям аргумента согласно каждой из формул, пытаются сразу решить вопрос более слож-

1 См.: Г. М. Фихтенгольц, Математика для инженеров, ч. I, ГОНТИ, М., 1931, стр. 274—275.

ный: установить, как вообще изменяется с изменением аргумента функция, заданная новой формулой.

Разъясняя учащимся неудачность такого подхода, необходимо подчеркивать основное в понятии функции— однозначное соответствие между значениями аргумента и функции. Об этом следует напоминать и в старших классах, так как учащиеся этих классов, рассуждая о функции, часто вспоминают определение функции только в свернутом виде («функция — это та переменная, которая зависит от изменения другой переменной»).

К изучению функции «антье» в школе

Чтобы познакомить учащихся с примерами функций, заданных «словесно» (а это необходимо для создания у школьников более глубокого представления о понятии функции), следует обратиться в старших классах к рассмотрению таких функций, как sign х и [х] (а в классах с достаточно сильным составом учащихся — также к функции Дирихле).

Изложив определение функции sign х и построив ее график, желательно обратить внимание на связь этой функции с функцией у = VX2 = \х\: при всех отличных от нуля значениях х соответствующие значения функций у = sign л: и у = -—совпадают. В разделе о производной можно также показать, что при всех отличных от нуля значениях х имеет место еще такое соотношение: {Vx2)f = = sign X.

Что касается функции [х]9 то для того, чтобы она не показалась учащимся надуманной и слишком искусственной, желательно рассмотреть в порядке подготовки к изучению ее практические примеры функций, подобных функции [х]. Вот несколько таких примеров.

1. Представить графически связь между весом груза и платой за его перевозку, если известно, что за перевозку груза взимается плата в таких размерах: за первую полную или неполную тонну груза — 20 коп., а за каждую следующую полную или неполную тонну — по 10 коп. (Наиболее характерные ошибки, часто допускаемые учащимися при решении этой задачи, заключаются в том, что они представляют искомую зависимость в виде линейной функции; или же, построив правильно в основном график, но сомневаясь в возможности

существования графика функции, состоящего из отдельных отрезков, они последовательно соединяют концы полученных отрезков.)

2. Считая, что минутная стрелка электрических часов меняет свое положение в конце каждой секунды мгновенно, построить график зависимости между временем (меняющимся непрерывно) и показаниями такой минутной стрелки.

3. Проходя через ряд слоев различной оптической плотности, луч света преломляется, как известно, на границах между слоями. Каков будет общий вид графика, представляющего зависимость между временем движения луча и углом, который луч образует с границами слоев?

После ознакомления школьников с функцией [х] желательно предложить им убедиться в том, что, ставя в соответствие каждому значению логарифма числа характеристику этого логарифма, мы как раз получим функцию «антье» (от log*).

Членов математического кружка целесообразно познакомить с такими простыми применениями функции «антье»:

а) Методом математической индукции (или с помощью формулы Моавра) нетрудно установить формулы, выражающие s'mmx и cos тх через целые степени sin* и cos х:

Оказывается, что для краткой записи с помощью математических знаков количества членов в первом и втором разложении удобно прибегнуть к функции [х]: в правой части первой формулы имеется I слагаемых, а во второй формуле их будет

б) чтобы доказать, что нуль является пределом последовательности

надо показать, что для любого г > 0 существует такое натуральное число N, что все члены последовательности с номерами, большими или равными N, отличаются от нуля (по абсолютной величине) меньше, чем на е, т. е.

Ясно, что последнее неравенство выполняется, если п>— 9 а так как N должно быть целым, то следует взять

О функциях четных, нечетных, монотонных, периодических

Правильно ли утверждение о том, что все функции делятся на четные и нечетные? На этот вопрос учащиеся часто дают утвердительный ответ. Одна из причин, вызывающих такую ошибку, заключается в том, что школьников обычно очень скупо информируют о существовании функций, не являющихся ни четными, ни нечетными. Этот недостаток нетрудно исправить. Достаточно предложить учащимся разобраться в вопросе о четности или нечетности таких функций, как линейная, квадратная, показательная, логарифмическая, а также выполнить несколько упражнений такого типа:

1. Установить четность или нечетность функций:

у = sin X + cos х, у = 5тг, у = lg X2, у = 21g х, у = lg2 х.

2. Представить функцию у = ах3 + Ьх2 + сх + d в виде суммы четной и нечетной функции.

3. Выяснить, четной или нечетной будет функция, которая является суммой (или произведением) двух функций в случае, когда обе функции четные, или обе нечетные, или одна функция четная, а вторая — нечетная.

Другая причина, стимулирующая указанный ошибочный ответ, психологического порядка. Дело в том, что в школьном курсе математики довольно много понятий, которые делятся только на два вида и терминологически отличаются только частицей «не» (числа четные и нечетные, дроби правильные и неправильные, многоугольники выпуклые и невыпуклые и т. п.). Поэтому школьник дает (часто даже на задумываясь) стереотипный по-

ложительный ответ на упомянутый вопрос. В связи с этим необходимо разъяснить учащимся, что свойство нечетности функции не является простым отрицанием свойства четности. При этом уместно привести для аналогии такие, например, суждения: а) нельзя утверждать, что действительные числа делятся на положительные и отрицательные, так как при этом останется неохваченным число нуль; б) нельзя утверждать, что конец всякого рассказа бывает счастливым или несчастливым, так как имеются рассказы с неопределенным концом.

Что касается изучения в школе понятия монотонности функции1, то здесь недостатком является то, что общее определение возрастания и убывания функции иллюстрируется пока главным образом только на тригонометрических функциях. Между тем следовало бы предложить учащимся исследовать монотонность по крайней мере всех известных им основных элементарных функций. А членов математического кружка желательно (в целях расширения их математического кругозора) ознакомить с функциями Д (х) и sin—и выяснить (совместно с кружковцами), что первая из них не является монотонной ни в каком интервале, а вторая — на любом, сколь угодно малом интервале, содержащем начало координат, неограниченное число раз переходит от убывания к возрастанию. Заметим, что рассмотрение функции Дирихле полезно еще в том отношении, что оно способствует уточнению представлений учащихся о расположении рациональных и иррациональных точек на числовой оси.

Предъявим теперь некоторые претензии к ранее упомянутому учебнику С. И. Новоселова (Учпедгиз, 1958) в связи с изучением периодических функций в школе. В учебнике по существу нет ни одного конкретного при-

1 Важность понятия монотонности функции для школьного курса связана с рассмотрением обратной функции и экстремума функции (см., например, пособие под редакцией А. И. Маркушевича). Напомним читателю, что в теории функции устанавливается связь между монотонными функциями и функциями с ограниченным изменением, а последние необходимы, в частности, для решения вопроса о спрямляемости кривой, т. е. о существовании ее длины (см., например, Н. А. Фролов, Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, М., 1953, стр. 107).

мера функции, которая была бы периодической, не будучи тригонометрической, если не считать единственного графика (стр. 44) такой функции, приведенного без аналитического представления или словесного описания графически изображенной функции. Естественно, что такой пример не производит должного впечатления на склонных к конкретному мышлению учащихся. В связи с этим нам представляется необходимым ознакомление учащихся (не обязательно делать это в самом начале курса тригонометрии) по крайней мере с одной конкретной функцией, которая не является тригонометрической, будучи периодической, например с функцией у= х—[х] («дробная часть числа х»), описав ее словами, построив ее график и установив ее период.

Вторая претензия относится к определению наименьшего периода функции sin 2х (стр. 54). В учебнике сказано, что периодом (имеется в виду наименьший период, как это оговорено в учебнике несколько выше) функции sin 2х является число я, так как от прибавления этого числа к аргументу значение функции не изменится1. Легко заметить, что этим рассуждением устанавливается лишь то, что я является одним из периодов, но не обязательно наименьшим периодом. Здесь следовало рассуждать несколько иначе. Если /— период функции sin 2х, то

sin 2{х + I) = sin 2х.

Но наименьший положительный период синуса равен 2л и поэтому наименьшее положительное значение / определяется из равенства 2(х + I) — 2х = 2я, откуда получается: / = дх. В заключение отметим, что для лучшего усвоения школьниками понятия периода весьма полезны упражнения на отыскание периодов таких функций, как

1 Учителю следует иметь в виду, что периодическая функция может вообще не иметь наименьшего положительного периода; так обстоит дело, например, с функциями у = const, у = D(x) (см., например. И. Е.Жак, Дифференциальное исчисление, Учпедгиз, М., 1960, стр. 68).

Об определении последовательности

Исходя из определения (В) (§1), бесконечную числовую последовательность можно рассматривать как функцию, определенную на множестве натуральных чисел и подчиненную условию: пары чисел (/г, у) упорядочены так, что пара (п + 1, у) следует за парой (п, у).

В школьном курсе, где функция выступает как переменная величина, можно было бы ввести такое определение последовательности:

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, значения которой записаны в таком порядке, в каком функция принимает их, когда значения аргумента монотонно возрастают. Однако в силу громоздкости этого определения более приемлемым для школы было бы такое:

Последовательностью называется переменная величина, значения которой занумерованы с помощью всех чисел натурального ряда и расположены в порядке возрастания номеров.

Заметим, что это определение представляется нам более точным, чем определение, изложенное в пособии под редакцией А. И. Маркушевича (стр. 121): «Переменная величина, принимающая свои значения в определенном отмеченном номерами порядке, называется последовательностью». Здесь неясно, как следует понимать слова «отмеченном номерами порядке», в каком порядке производилась нумерация?

В дополнение к определению последовательности следует указать учащимся на связь между понятиями последовательности и функции, разъяснив им, что общий член Un последовательности можно рассматривать как функцию натурального аргумента п, так как каждому значению п соответствует определенное значение Un. Кстати, в математической литературе под последовательностью понимают иногда не выписанные в порядке возрастания п значения величины Ию а сам общий член Un.

ГЛАВА II

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА

Некоторые исторические сведения о понятии предела

Понятие предела имеет первостепенное значение для всего математического анализа. Именно операция предельного перехода (присоединенная к арифметическим операциям) характеризует эту науку.

Остановимся вкратце на тех исторических трудностях, которые возникали перед математикой в процессе кристаллизации понятия предела. Ознакомление с такими трудностями помогает разобраться в психологических трудностях, возникающих у школьников при изучении понятия предела. Часто трудно усваивается учащимися именно то, что трудно давалось самим математикам, и поэтому история науки может оказать помощь методике.

Еще величайший математик древности Архимед (287— 212 гг. до н. э.) указал метод решения некоторых задач на вычисление площадей и объемов, строгое обоснование которого нуждается в понятии предела. Однако первое определение понятия предела было дано лишь в средине XVII века в работе английского математика Валлиса (1616—1703). Но прошло еще более полутора веков, пока в понятие предела была внесена ясность в такой мере, чтобы идея предельного перехода могла стать действенным орудием для обоснования математического анализа-

Лишь в двадцатых годах прошлого века выдающийся французский математик Коши (1789—1857) в своем «Курсе анализа» (1821) и в «Лекциях по дифференциаль-

ному исчислению» (1829) сформулировал (в основном четко) в общем виде определение предела и сделал понятие предела настоящим фундаментом математического анализа в целом. Коши дает такое определение предела («Лекции», стр. 1): Если значения, последовательно приписываемые одной и той же величине, неограниченно приближаются к фиксированному значению так, что с некоторого момента отличаются от него сколь угодно мало, это последнее называется пределом всех остальных.

Отметим, что ряд результатов, предвосхищающих многое из того, что встречается у Коши, был получен чешским математиком Больцано (1781 — 1848) за несколько лет до появления «Курса анализа».

Почему же понятие предела оказалось таким трудным и какие ошибочные взгляды встречались при его истолковании? Главная трудность заключается в том, что переход от конечного к бесконечному, от дискретного к непрерывному требует новых абстрактно-логических соображений; прямое перенесение представлений о конечном на бесконечное легко приводит к ошибкам.

Напомним для иллюстрации сказанного некоторые факты. Как бы много чисел ни содержало конечное числовое множество, среди них всегда имеется наибольшее и наименьшее, чего нельзя сказать о множествах бесконечных. Так, среди рациональных чисел интервала (0,1) нет ни наибольшего, ни наименьшего. Далее, для конечных множеств всегда верно: «целое больше своей части», а в случае бесконечных множеств это свойство нарушается. Так, например, нетрудно установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех точек конечного интервала (например, такое соответствие устанавливается функцией у = tgx, отображающей интервала ^ ; -^, на всю прямую). Удивительным может показаться также существование плоских фигур ограниченной площади, имеющих контур неограниченной длины, или тел конечного объема с неограниченной площадью плоских сечений (некоторые примеры будут указаны в последней главе).

Пытаясь проникнуть дальше в природу предельного перехода, минуя новые абстрактно-логические рассуждения, даже крупные математики создавали своими не совсем убедительными пояснениями почву для мисти-

ческих толкований (например, «бесконечно малое—это дух отошедшей величины») и суровой критики оснований математического анализа. Так, у Лейбница встречается указание на возможность рассмотрения бесконечно малых величин как величин «несравнимо малых» (как, например, пылинка по отношению к Земле)1, а Ньютон (1642—1727) говорил о пределе как о «последнем» значении переменного2.

Отсутствие четкого представления о предельном процессе у Ньютона и Лейбница имело своим следствием необоснованность важной операции отбрасывания некоторых бесконечно малых, связанной с понятием о порядке бесконечно малой. Чтобы читатель лучше понял, о каких нестрогостях идет речь, приведем отрывок из работы Лейбница «Оправдание бесконечно малых с помощью обыкновенной алгебры», напечатанной в 1702 году3.

«Пусть две прямые АХ и EY пересекаются в С (черт. 4). Возьмем точки Е и Y и опустим на прямую АХ перпендикуляры ЕА и YX. Обозначим АС, с и АЕ, е, АХ, х и XY, у. В силу подобия треугольников CAE и CXY, X—с относятся к у , как с к е. Следовательно, если прямая EY станет все более и более приближаться к точке А, сохраняя все время в переменной точке С один и тот же угол, то очевидно, что прямые сие будут все время уменьшаться, но отношение с к е будет оставаться одним и тем же. Это отношение мы предположим здесь отличным от равенства, а названный угол отличным от полупрямого.

Возьмем теперь такой случай, когда прямая EY попадает таким образом в самую точку А; очевидно, что точки Си Е также попадут в А, что прямые АС и АЕ, или

сие исчезнут и что из пропорции или уравнения-=—

получится — = —. Следовательно, в этом случае х—с = х, У е

1 См. «Избранные отрывки», Успехи математических наук, т. III, вып. I, 1948, стр. 187—196.

2 Впрочем, Н. Н. Лузин утверждал, что Ньютон просто пользовался не совсем удачными терминами (см.: Н. Н. Лузин, Ньютонова теория пределов, сб. «Исаак Ньютон», изд. АН СССР, 1943).

3 См. «Избранные отрывки», стр. 195—196.

Черт. 4.

если предположить, что этот случай подходит под общее правило. Тем не менее, с и е не будут вовсе нулями в абсолютном смысле, ибо между ними сохранится отношение СХ к CY .... В самом деле, если бы с и е были в этом вычислении в случае совпадения точек С, £, А нулями в абсолютном смысле, то, поскольку один нуль имеет одно и то же значение, что и другой, сие были бы равны и из уравнения или пропорции х : у = с : е следовало бы х : у=0 : О = 1, т. е. х=у, а это нелепо, ибо мы приняли, что угол отличен от полупрямого».

Этот отрывок показывает, что Лейбниц недалек здесь от истины, но рассуждения его содержат существенные неточности. Например, полученные из соотношения = — равенства — = — их — с = х, строго говоря, ошибочны, но пределы их левых частей равны пределам их правых частей, так как с и — стремятся к нулю. Ошибочным является также утверждение 0 : 0= 1, так как, считая нули постоянными, мы вообще ничего не можем сказать об их отношении, если же понимать под 0 : 0 предел отношения бесконечно малых, то этот предел не всегда равен единице. Здесь мы имеем характерный пример толкования бесконечно малой как величины, которая равна нулю и не равна нулю (с не является нулем в «абсолютном смысле»).

Другие, более поздние исследователи понятия предела допускали ошибки иного порядка. Так, видный французский математик и философ Даламбер (1717— 1783), который дал одно из наиболее удачных определений предела в XVII веке, считал, что переменная величина не может принимать значения, равные тому пределу, к которому она стремится. Да и сам Коши не сумел избежать ошибки, состоявшей в необоснованном перенесении свойств конечных сумм непрерывных функций на случай бесконечной суммы таких функций.

Определение понятия предела в анализе

Несколько сократив и уточнив изложенное выше определение Коши, нетрудно прийти к такому общему определению (D) предела: Число а называется пределом переменной величины U в некотором процессе, если, каково бы ни было положительное число е, в этом процессе наступит такой момент, после которого уже всегда будет I U — а I < е.

Это определение замечательно тем, что, пока в нем фигурируют понятия «процесс» и «момент», лишенные точного математического описания, его можно рассматривать лишь как приблизительное, эскизное определение предела. Если же этим понятиям дать соответствующую математическую характеристику, то оно может стать точным и достаточно общим (для математического анализа) определением предела. Остановимся на этом несколько подробнее.

Известно, что стремление последовательности с общим членом Un к пределу а заключается в том, что при неограниченном возрастании п величина Un неограниченно приближается к а. Если под «процессом» понимать здесь пробегание номером п чисел натурального ряда (при этом Un пробегает последовательность значений Ut, £/2,... Un...)> а под «моментами» процесса — значения номеров п, то, истолковав оборот «наступит такой момент, после которого» в смысле: «существует такой номер N, что для любого п ^> N», мы получим из определения (D) точное определение предела последовательности:

Число а называется пределом последовательности Un, если, каково бы ни было положительное число г, существует такой номер N, что для любого n>N выполняется неравенство Vn — а\ <е. Заметим (это важно для дальнейшего), что указанный выше оборот можно было бы также заменить следующим: «существует такое положительное число о, что для любого п, удовлетворяющего неравенству — < о».

Переходя к определению предела функции напомним, что стремление функции U (х) к пределу а, когда аргумент X стремится к Ь, заключается в том, что \ U(x) — а\ неограниченно приближается к нулю по мере приближения (л: — Ь) к нулю. Под «процессом» будем понимать

здесь пробегание величиной \х—Ь\ значений в порядке их неограниченного убывания, когда х пробегает значения из области определения функции U(x), кроме значения к = Ь (при этом значения U(x) неограниченно приближаются к а), а под «моментами» этого процесса — значения величины \х — Ы. Если теперь слова «наступит такой момент, после которого» понимать в смысле «существует такое положительное число о, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х — — ЬI < б», то придем к такому определению предела функции:

Число а называется пределом функции U(x) при стремлении X к Ь,если, каково бы ни было положительное число е, существует такое положительное о, что при всех х [из области определения функции ], удовлетворяющих неравенству О < \х—b\ < Ô, выполняется неравенство \Щх)-а\ <8.

Заметим, что содержащаяся в этом определении оговорка \х — Ь \ > 0 исключает из рассмотрения значение X — Ь. Это означает, что для решения вопроса о пределе функции U(x) при X —> b совершенно безразлично, определена ли эта функция в точке х = b и если определена, то какое она принимает значение. Такое положение не случайно: наиболее важные применения понятия предела функции относятся именно к таким случаям, когда рассматриваемые функции в интересующих нас точках не определены. Так, например, производная функции есть предел приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю; когда же приращение аргумента равно нулю, упоминаемое здесь отношение, разумеется, не имеет смысла.

Отметим также, что слова: «число а называется пределом функции U(x) при стремлении х к Ь» следует понимать здесь как единое полное наименование предела функции, а слова «стремление х к Ь» не представляют здесь самостоятельного понятия, требующего дополнительного определения. Вообще, термин «стремление» входит в это определение несущественным образом — можно было бы начать определение словами: «число а называется пределом функции U(x) в точке х = Ь».

Обратимся теперь к частному вопросу Принятое в школе определение длины окружности как предела периметров правильных вписанных в окружность много-

гольников при неограниченном удвоении числа их сторон перегружено некоторыми ненужными требованиями. Дело в том, что многоугольники могут быть и неправильными (нужно только, чтобы они были выпуклыми и содержали центр окружности1), а число сторон не должно обязательно удваиваться (важно только, чтобы оно неограниченно росло). Поэтому длину окружности можно определить просто как предел периметров вписанных в нее выпуклых многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает так, что длина наибольшей из сторон неограниченно уменьшается2.

Но о каком пределе идет речь? Говорить о пределе последовательности здесь не приходится, так как множество вписанных многоугольников имеет мощность континиума и не может быть расположено в виде последовательности. Попытка свести вопрос к пределу функции (приняв, например, за аргумент длину хт наибольшей из сторон многоугольника, а за функцию — периметр U многоугольника) также ни к чему не приводит (так как одному значению хт будет соответствовать бесчисленное множество значений U', поскольку многоугольники неправильные). И все же мы имеем здесь дело с пределом в смысле общего определения (D).

Под «процессом» будем понимать пробегание длиной хт наибольшей стороны многоугольника значений, которые неограниченно убывают (при этом значения U будут приближаться к длине окружности), а «моментами» процесса будем считать значения хт. Слова же «наступит такой момент, после которого» будем понимать: «существует такое положительное число о, что для всех хт, удовлетворяющих неравенству хт < 8». И мы придем к такому определению:

Число а называется пределом периметров U вписанных в окружность выпуклых многоугольников (или длиной окружности), если, каково бы ни было положительное число г, существует такое положительное число о, что для всех хт, удовлетворяющих неравенству xm<ô, выполняется неравенство \ U — а | < е.

1 Без соблюдения последнего требования многоугольники могут стягиваться в точку.

2 Заметим, что рост числа сторон не влечет за собой автоматически уменьшение их длин.

Перейдем теперь к общему определению предела, освобожденному от терминов «процесс» и «момент» и охватывающему рассмотренные определения пределов последовательности, функции и периметров вписанных многоугольников.

В главе IV мы увидим, что такое определение вносит необходимую четкость, не только в вопрос о длине окружности, но и в понимание определенного интеграла как предела интегральных сумм.

Прежде всего заметим, что общим в трех рассмотренных определениях является наличие некоторой положительной (однозначной) функции ф (<р =— ; ср = I je — b I ; ср =хт), определенной на том же множестве, что и величина U (на множестве натуральных чисел; на бесконечном множестве, состоящем из действительных чисел; на бесконечном множестве вписанных многоугольников), среди значений которой имеются значения как угодно близкие к нулю (п может быть как угодно большим, X может быть как угодно близким к Ь, хт может быть как угодно малым).

Между этими же определениями имеется различие, связанное с природой аргумента: последовательность Un и функция U(x) являются функциями, определенными на числовых множествах, значения же периметра U зависит не только от числа хт, но и от самого многоугольника.

Для устранения указанного различия условимся рассматривать величину U как функцию, которая может быть определена не только на числовом множестве, но и на множестве, состоящем из объектов любой природы (в частности, такими объектами могут быть фигуры, линии, числа, тела и т. д.).

Величину U (ее можно называть функцией U) мы будем считать определенной на множестве M, если каждому элементу множества M соответствует определенное числовое значение U (выше по существу уже упомянута такая функция: хт является функцией, определенной на множестве вписанных многоугольников). В соответствии с этим определением периметр U является величиной (функцией), определенной на множестве вписанных многоугольников, так как каждый из многоугольников имеет определенный периметр U.

Итак, теперь во всех трех определениях речь идет о некоторой функции £/(-[), определенной на некотором множестве элементов {7}, на котором наряду с функцией £/(7) определена некоторая положительная функция, cp(f) среди значений которой есть как угодно близкие к нулю.

Сформулируем теперь интересующее нас определение (£):

Число а называется пределом величины U (7), если, каково бы ни было положительное число е, существует такое положительное число В, что для всех элементов 7, для которых выполняется неравенство ^(7) < о, выполняется также неравенство \0(^)—а\ <е.

Нетрудно сообразить, что определенное таким образом понятие предела также можно подвести под определение (D). В самом деле, для этого достаточно понимать под «процессом» пробегание функцией ç(ï) своих значений в порядке приближения их к нулю, а под «моментами» — значения функции 9(7).

Заметим, что благодаря введению функции ^(7) происходит определенное упорядочение1 элементов 7 и значений (/(7). Каждое значение |i, принимаемое функцией 9(7), связано с некоторым множеством элементов 7,при которых функция принимает это значение Для каждого из таких элементов 7 функция £/(7) принимает определенное значение, и этим образуется некоторое множество соответствующих значений функции (7(7). Когда значение ja, убывая, стремится к нулю, объединенные в такие множества значения функции £/(7) стремятся к пределу а. Так, в случае последовательности Un каждое значение \i = — связано с одним числом я, которому соответствует одно значение Un, и когда |i—►(), то Un->a. В случае функции U(x) каждое значение^ =\х — Ь\ связано уже с двумя значениями х: х = Ь + \х и X — Ъ — jLi, которым соответствуют два значения функции U{x) : f/(6+|Li) и £/(ô — (ы),и когда \х -> 0, то такие пары значений функции стремятся к а. Если же U является

1 Более подробно см: «Общая точка зрения на предел» в упомянутом ранее «Курсе дифференциального и интегрального исчисления», т. II, Физматгиз, 1959, Г. М. Фихтенгольца, а также Е. Я. Ремеза «Введение в анализ», «Радянська школа», 1952 (на украинском языке), стр. 39—52.

периметром вписанного в окружность многоугольника, то каждое значение \х = хт связано с бесконечным множеством многоугольников (у каждого из которых длина наибольшей стороны равна \х), которым соответствует бесконечное множество значений периметров U и когда jli —>0, эти значения U целыми множествами стремятся к а.

Тот факт, что а является пределом величины U(^)t коротко записывается так:

В частности, рассмотренные выше три предельных перехода запишутся так:

§ 2. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ

Определение бесконечно малой

В этом параграфе мы будем под величиной U понимать функцию числового аргумента (натурального или непрерывного). Среди величин, стремящихся к пределу, выделяются особо величины, стремящиеся к пределу нуль. Эти величины по традиции принято называть бесконечно малыми (более удачным было бы название «бесконечно уменьшающаяся»).

Бесконечно малую можно определить также, не вводя предварительно понятия предела. Это определение нетрудно получить, внеся соответствующие изменения в общее определение (D) предела:

Величина а называется бесконечно малой в некотором процессе, если, каково бы ни было положительное число 8, в этом процессе наступит такой момент, после которого уже всегда будет \а\ < е.

Из этого определения легко получаются (аналогично тому, как выше были получены определения предела последовательности и функции) строгие определения бесконечно малой последовательности и бесконечно малой функции.

1 Такая запись означает, что <p(f) стремится к нулю, оставаясь больше нуля.

Если еще до определения предела ввести указанное определение бесконечно малой и учесть, что фигурирующая в определении (D) разность U — а является бесконечно малой, то мы получим такое краткое определение предела:

Число а называется пределом величины U в некотором процессе, если разность U — а является бесконечно малой в этом процессе.

На основе этого определения легко упрощаются формулировки точных определений предела последовательности и функции, на чем мы не останавливаемся.

Операции над бесконечно малыми

В учебной литературе часто излагают теорию пределов в таком порядке: сначала рассматривается понятие бесконечно малой, а затем понятие предела. Такой порядок позволяет упростить доказательства теорем о пределе суммы, произведения и частного двух величин, если этим теоремам предпослать следующие две известные леммы о бесконечно малых:

1. Алгебраическая сумма фиксированного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

Из второй леммы нетрудно получить следствие: произведение фиксированного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Обязательность указанного в лемме 1 требования о фиксированном (конечном) числе слагаемых почти очевидна. Ведь если бы сумма неограниченного числа бесконечно малых1 всегда была бы бесконечно малой, то длина любой окружности (как и значение любого определенного интеграла) равнялась бы нулю, так как эта длина является пределом периметров — сумм неограниченно возрастающего числа слагаемых (длин сторон), которые неограниченно убывают, т. е. являются бесконечно малыми.

Несколько сложнее убедиться в том, что требование в следствии из леммы 2 об ограниченности числа сомножителей также обязательно. Чтобы убедить читателя в необходимости такого ограничения, приведем пример

1 Понятия суммы (или произведения) неограниченного числа слагаемых (сомножителей), нуждается в точном определении. Такое определение использует операцию предельного перехода.

произведения неограниченного числа бесконечно малых, которое не только не является бесконечно малой, но даже есть бесконечно большая. Бесконечно малые возьмем в виде таких последовательностей:

Перемножив эти бесконечно малые (для этого перемножаются члены, занимающие одинаковые места во всех последовательностях), получим последовательность 2, 4, 8, 2Л,..., являющуюся бесконечно большой. Нетрудно заметить, то полученный результат оказался возможным благодаря тому, что бесконечно малая может в начале своего изменения принимать какие угодно большие значения.

Обратимся теперь к двум другим операциям над бесконечно малыми — к делению двух бесконечно малых и сложению неограниченного числа бесконечно малых. С первой из этих операций связано понятие производной, а со второй — понятие определенного интеграла. Заметим, что, говоря об операции над несколькими бесконечно малыми, мы каждый раз имеем в виду бесконечно малые, участвующие в одном и том же процессе (например, говоря о частном двух бесконечно малых функций, мы полагаем, что обе они рассматриваются при стремлении аргумента к одному и тому же числу).

Отношение двух бесконечно малых а и ß в общем случае не является бесконечно малой. Здесь имеются такие четыре возможности.

1. Отношение — есть величина, пределом которой является некоторое число с Ф О (например, если а= —, ß = —, то при п-+оо--►— ]. В этом случае говорят, что а и ß являются бесконечно малыми одного порядка. Если при этом с = 1, то а и ß называются эквивалентными.

2. Отношение —■ стремится к нулю, т. е. является бесконечно малой (например, если а= — , ß = —, то при n-»oo-^-+0J. В этом случае говорят, что а является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с ß.

3. Отношение —стремится к бесконечности [например, если а = — , ß — — то при п—> оо ~ -> ос j. Этот случай не представляет ничего существенно нового по сравнению с предыдущим, так как — ~* 0, и поэтому ß является здесь бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а.

4. Отношение не имеет ни конечного, ни бесконечного предела (например, если а = ß = — ,то при я-»оо —= sinn не стремится ни к какому пределу). В этом случае говорят, что а и ß несравнимы (ниже мы не будем рассматривать такие бесконечно малые).

Нетрудно показать, что если бесконечно малые а и ß эквивалентны соответственно бесконечно малым а2 и ßlf то пределы отношений — и — равны. Действительно, если— -> 1 и -> 1, то— = 1 + Y и « = 1 + где y и бесконечно малые (напомним, что переменная отличается от своего предела на бесконечно малую), откуда a = ax( 1 -f-v) и ß = ßi (1 + k). Поэтому — = — —— , и так как на основе теоремы о пределе частного —- 1, то пределы —

и — равны. Заметим, что этот факт может быть использован при вычислении предела отношения двух стремящихся к нулю величин.

Покажем еще, что если к числителю а дроби — прибавить бесконечно малую а высшего порядка, чем а, а к знаменателю ß — бесконечно малую т высшего порядка, чем ß, то предел отношения будет таким же, как предел Р + т отношения —, Прибегнем для этого к такому преобразованию:

Так как — и — стремятся к нулю (числитель бесконечно a ß малая высшего порядка, чем знаменатель), то второй сомножитель в правой части равенства стремится к 1 и поэтому пределы дробей и одинаковы.

Обратимся теперь к рассмотрению такой суммы бесконечно малых, в которой одновременно со стремлением слагаемых к нулю происходит неограниченное увеличение числа слагаемых.

Пусть, например, бесконечно малые представляют собой последовательности

Тогда суммой, которая при п <х> становится суммой неограниченного числа бесконечно малых, будет сумма Sn = + aw + . . . Эта сумма Sn может стремиться к некоторому пределу (например, если все а<п> ,

то Sn = 1 и Sn -> 1 при п-^оо). Докажем следующее предложение о возможности замены в такой сумме бесконечно малых слагаемых эквивалентными бесконечно малыми.

Предел (если он существует) суммы бесконечно малых ah число которых неограниченно растет, не изменится, если каждое из слагаемых заменить эквивалентной ему бесконечно малой ßz .

Для доказательства этого предложения установим сначала следующий факт: если две системы положительных величин таковы, что среди отношений — , — наименьшим и наибольшим является соответственно -В и °^, то

(2)

Действительно, из условия следует, что JL < -1 < Л.

Умножим все части неравенства на ß,: -^ß^ <а^ < _iß/ и просуммируем все эти неравенства для значений i = 1, 2, . .. , п. Разделив затем все части полученного неравенства на 2 ß/> Ш1 придем к неравенству (2).

Если величины а/ и ß/? входящие в ( 1 ), для любого i являются парами эквивалентными бесконечно малых, то при л-» оо°^-> 1 и -?->1. Поэтому из (2) следует

О)

и этим предложение доказано.

Обратим внимание читателя на пробел в формулировке доказанного предложения. В ней недостает требования о равномерной эквивалентности бесконечно малых а1 и р/, заключающегося в том, что отношения ~— должны стремиться к 1 с одинаковой скоростью, т. е. для каждого е > 0 существует такое число N (зависящее от 8 и не зависящее от i)9 что для всех я > N выполняется неравенство

Это требование (мы его опустили для сокращения формулировки и доказательства) должно быть использовано в заключительной части доказательства. Дело в том, что с изменением п в неравенствах (2) могут появиться новые отношения aJL и -3 , которые все медленнее стремятся к единице, и без учета указанного требования переход к соотношению (3) становится необоснованным.

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Об истории развития понятия непрерывности

Переходя к подробному рассмотрению понятия непрерывности, напомним, что интуитивное представление о непрерывности имелось еще у древнегреческих философов и математиков, а строгое определение непрерывной функции относится лишь к XIX веку. Объясняется это тем, что, хотя сама идея непрерывного изменения подсказывается элементарным человеческим опытом, строгое определение непрерывности требует достаточно развитого абстрактно-математического аппарата, и прежде всего понятия предела; наиболее же существенные свойства непрерывных функций опирается на свойство непрерывности числовой области, на которой они определены.

Крупнейший древнегреческий философ Аристотель (IV в до н. э.) считал непрерывными (сплошными) лишь такие величины, как длины линий, объемы тел и т. п.,

а числа он относил к так называемым раздельным величинам, которые могут изменяться только скачкообразно. Математики средневекового Востока Омар Хайям (XI—XII век) и Насирэддин Туси (XIII век) уже считали, что понятие числа должно быть расширено так, чтобы оно включало непрерывные величины. Знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650), создатель аналитической геометрии, отбросил противопоставление понятия числа понятию сплошной величины, рассматривая линии как полученные в результате движения точек, координаты которых являются переменными величинами. Во времена Ньютона и Лейбница понятие непрерывно изменяющейся переменной величины, а она представляется с помощью вещественных чисел, прочно вошло в математику. Однако представление о непрерывности оставалось расплывчатым вплоть до XIX столетия, когда Коши и Больцано дали четкие определения предела переменной и непрерывной функции, а Дедекинд (1831—1916), Вейерштрассе (1815—1897), Кантор (1845—1918) создали строгую теорию вещественных чисел.

Отметим, что и в тех случаях, когда физическое явление носит дискретный (раздельный, прерывный) характер, его можно иногда изучать с достаточной степенью точности как непрерывное (например, когда имеются большие массы частиц). Так, в гидродинамике жидкость рассматривается как непрерывная среда, хотя она и состоит из отдельных молекул1.

Определение непрерывной функции

Функция / (X) называется непрерывной в точке ft, если для значений х, достаточно близких к Ьу значения / (х) становятся как угодно близкими к / (Ь).

Ясно, что обороты типа «достаточно близкий» или «как угодно близкий» требуют точного математического описания, так как выводы, основанные на таких расплывчатых оборотах, могут оказаться ошибочными. Приведем для иллюстрации следующее рассуждение.

1 С историей различных представлений о понятии непрерывности читатель может более подробно познакомиться в статье Б. А. Розенфельда «К истории проблемы непрерывного и дискретного в математике» («Ученые записки Коломенского педагогического института», т. II, 1958).

Поскольку значения функции / (х), непрерывной в точке Ь, становятся как угодно близкими к f (Ь)у когда х приближается к Ь, то и на графике функции / (х) точки (х, / (х)) должны постепенно неограниченно приближаться к точке (b, f (6)), и поэтому вблизи точки (b, f (b)) график, казалось бы, должен иметь вид сплошной кривой. Однако такой вывод ошибочен. Так, например, функция / (х), равная х при всех рациональных значениях х и равная нулю при всех иррациональных X, непрерывна в точке х = О, но ни на каком промежутке график этой функции не имеет вид сплошной кривой.

К точному определению непрерывной функции перейти нетрудно. В приведенном выше определении по существу требуется: если х таково, что разность х— b = Ах приближается к нулю, то и соответствующая разность / (х) — —/ (Ь) = А/ (х) должна стремиться к нулю (где бы ни бралась точка X — справа или слева от точки Ь). Поэтому коротко можно сказать так:

Функция f (х) называется непрерывной в точке Ь, если бесконечно малому приращению аргумента (Ах) соответствует бесконечно малое приращение функции (Af (х)).

Если раскрыть в самом определении смысл понятия бесконечно малой, то получим определение в развернутом виде:

Функция f(х) называется непрерывной в точке Ь, если, каково бы ни было положительное число е, существует такое положительное число о, что при всех х (из области определения функции), удовлетворяющих неравенству \х—Ь\ < <б, выполняется неравенство

|/(*)-/(*)|<е.

Сравнив это определение с определением предела функции в § 1 настоящей главы [там функция обозначалась U (х) I, мы заметим, что эти определения очень близки друг к другу, но отличаются в одном существенном пункте, а именно: в определении предела функции в точке b вообще не упоминается значение данной функции в самой этой точке. В точке b функция может быть вообще не определена или принимать любое значение — это не повлияет ни на существование предела функции в данной точке, ни на его значение. Напротив, определение непрерывности функции / (х)в точке b предполагает, что эта функция определена

при X = b, и налагает на значение / (Ь) в точности те же требования, какие ранее (стр. 42) налагались на предел функции.

Итак, непрерывность функции / (х) в точке b означает, что: 1) функция / (х) определена в точке 6, 2) функция / (х) имеет предел при стремлении х к ft, 3) значение / (Ь) функции в точке b равно ее пределу при стремлении х к Ь. Кратко непрерывность f (х) в b характеризуется соотношением

lim f(x)=f(b).

Точки, в которых нарушается по крайней мере одно из указанных трех условий, называются точками разрыва функции.

Проиллюстрируем понятие непрерывности (а заодно и понятие предела) несколькими примерами. Так как примеры непрерывных функций и доказательства их непрерывности имеются в любом курсе анализа, то мы обратимся к примерам функций, имеющих разрыв в отдельных точках.

1) Обозначив в известном соотношении между сопротивлениями при параллельном соединении проводников Rx через х, a R2 через у, получим

При X = R функция у не определена, значит, она не является непрерывной в этой точке. Но здесь не существует и предела при стремлении х к R, так как при х -* R функция у по абсолютной величине неограниченно возрастает (у -* со). Заметим кстати, что у неограниченно возрастает тогда, и только тогда, когда х -*R, из чего следует: ток идет почти полностью по первому проводнику (Rx близко к полному сопротивлению R), когда сопротивление R2 становится достаточно большим.

2) Если на линии центров двух небесных тел А и В с одинаковыми массами (черт. 5) поместить тело С, то благодаря притяжению оно станет двигаться в сторону бли-

Черт. 5.

жайшего из тел Л, В и упадет на него. Но если тело Сбудет в начальный момент находиться в середине О отрезка AB, то оно останется неподвижным. Будем рассматривать кинетическую энергию у тела С в момент падения его на одно из тел А или В как функцию расстояния л:тела С (в начальный момент) от точки О. Ясно, что чем больше первоначальное расстояние тела С от тела, на которое оно падает, тем больше его кинетическая энергия в момент падения, но если тело находится в начальный момент в точке О, то падение тела Сна тело А или В не состоится (случай равновесия), т. е. функция определена во всех точках отрезка AB, а также за его пределами, но не определена в точке X = 0.

Нетрудно убедиться в том, что во всех точках, отличных от х — 0, функция //непрерывна (для этого достаточно обратиться к соответствующим формулам физики), но в точке X = 0 функция у не является непрерывной, так как она не определена в этой точке. Что касается предела, то при х -* 0 предел функции у существует (он равен длине a указанного на чертеже отрезка).

3) Рассмотрим число п агрегатных состояний воды как функцию от ее температуры t (по Цельсию). Так как при t < 0 имеет место твердое состояние (лед), то п = 1; при 0 < t < 100 — жидкое состояние и снова п = 1; а при t = 0 возможен лед, плавающий в воде, т. е. п = 2 (черт. 6).

В точке t — 0 функция п определена и равна 2. При t -* 0 эта функция имеет предел 1. Но непрерывности функции в точке / == 0 нет, так как 2 ф 1.

4) Известно, что удельная теплоемкость льда равна

воды— 1

а теплота

плавления льда 80-•

Поэтому можно зависимость температуры Т од-

Черт. 6.

Черт. 7.

ного грамма воды (льда) от количества Q поглощенного тепла изобразить графически в виде ломаной (черт. 7), а формулами так:

Рассмотрим теперь обратную функцию, условившись (во избежание многозначности) приписывать ей в точке Т — 0 одно определенное значение (например, 60). Тогда функция Q будет задана так (черт. 8):

При Т = 0 эта функция определена (Q = 60), но непрерывной в этой точке она не является, так как при Т -+ U предела функции Q не существует1.

Черт. 8.

1 Здесь существуют только различные пределы функции слева (он равен 5) и справа (он равен 85). Если обратиться к функции Дирихле, то нетрудно убедиться, что у нее ни в одной точке не только нет предела функции, но нет даже и односторонних пределов (слева и справа).

О продолжении функции по непрерывности

По характеру разрыва функции в примерах 1) и 4) существенно отличаются от функций в примерах 2) и 3). Дело в том, что функции первой пары отличаются от непрерывных функций своими значениями в неограниченном количестве точек, а функции второй пары таковы, что достаточно приписать определенное значение (или соответствующим образом изменить значение функции) только в самой точке разрыва, и мы получим функцию (новую), непрерывную в этой точке (такие точки разрыва называются точками устранимого разрыва). Например, функция в примере 2) такова, что, дополнив ее область определения точкой х = О и придав ей в этой точке значение а, мы получим функцию, непрерывную при всех действительных значениях х. При этом мы не изменим значений данной функции в ее прежней области определения, а новая функция получится просто путем такого расширения области определения данной функции, что и в новой точке выполняются условия непрерывности (первоначальная функция была непрерывна во всех точках своей области определения, а точка х — 0 в эту область не входила).

Подобное расширение области определения функции с соблюдением непрерывности в новых точках называют продолжением функции по непрерывности. Остановимся на примерах применения этого приема в рамках элементарной математики.

а) Известно, что равенство а0 = 1 выражает соглашение о степени с нулевым показателем. Главным мотивом в пользу такого соглашения является стремление распространить законы действий над степенями также на эту «условную» степень.

Но имеется еще одно свидетельство целесообразности этого соглашения: желая сохранить непрерывность показательной (логарифмической) функции в точке х = О (х = 1), мы должны положить значение функции a* (\ogax) равным 1(0), так как lim ах = 1 (lim loga х =0)1. Заметим, что аналогичные соображения могут быть выдвинуты и при решении более общих вопросов, например при согласовании определения степени с иррациональным показателем с требованием непрерывности показательной функции в иррациональных точках.

1 Равенство указанных пределов соответственно 1 и 0 может быль без труда доказано.

б) Особым решением уравнения = 0 принято называть всякое значение х = а, при котором знаменатель левой части уравнения обращается в нуль, но выполняется предельное соотношение

(1)

Нетрудно сообразить, что основой для присоединения такого числа а к множеству корней уравнения является продолжение функции по непрерывности. Чтобы продолжить функцию —- по непрерывности в точку а, удовлетворяющую условию (1), необходимо положить = 0 [так как имеет место равенство (1)]. Поэтому, считая функцию непрерывно продолженной на множество всех таких точек, мы должны всякое такое число а считать просто корнем уравнения, так как подстановка этого числа в уравнение обращает последнее в тождество. Рассмотрим, например, уравнения

При X = 2 знаменатели левых частей обоих уравнений обращаются в нуль. Но функция^-^* ^ после продолжения ее по непрерывности в точку х = 2 становится равной в этой точке, а функция --—- равной 0. Поэтому число 2 является решением (особым) только второго из этих уравнений.

О свойствах непрерывных функций

В курсах математического анализа доказывают, что сумма, произведение и частное двух непрерывных в некоторой точке X = х0 функций также непрерывны в этой точке (в случае частного предполагается, что делитель не обращается в нуль при х = х0). Из этого свойства следует,

1 Напомним, что

например, что функция у = ахп непрерывна (так как у = х непрерывна), что всякий многочлен

Р(х) = а0хп + а^1 -+-...+ ап^х + ап

непрерывен при всех действительных значениях х, а также что частное двух многочленов есть функция, непрерывная при всех х, за исключением значений х, являющихся корнями многочлена-делителя. Заметим, что корни знаменателя не входят в область определения последней функции и поэтому она непрерывна в каждой точке своей области определения.

В анализе доказывают, используя некоторые свойства основных элементарных функций, что все они непрерывны в областях их определения. Далее устанавливают непрерывность сложной функции, составленной из непрерывных функций, и, как общий итог, получают, что всякая элементарная функция непрерывна в области ее определения (см., например, И. Е. Жак, Дифференциальное исчисление, Учпедгиз, 1960, стр. 252—253). Функцию называют непрерывной на некотором множестве точек, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В математическом анализе рассматривают также такие свойства произвольной функции, непрерывной на некотором сегменте:

1) Ограниченность: функция ограничена, т.е. значения, принимаемые на сегменте функцией, не превосходят (по абсолютной величине) некоторого числа.

2) Достижение наибольшего и наименьшего значения: среди значений функции существует наибольшее и наименьшее.

3) Принятие промежуточного значения: когда х изменяется от х1 до х2, то функция принимает по крайней мере один раз каждое значение между [ (х^ и / (х2), в частности, если одно из чисел / (хх) и / (х2) положительное, а другое отрицательное, то в некоторой точке х = с, лежащей между хх и х2, / (с) = 0.

Эти свойства, на которые часто опираются в доказательствах важнейших теорем анализа, могут быть использованы также при решении некоторых частных вопросов. Так, например, с их помощью доказывают, что алгебраическое уравнение нечетной степени (с действительными коэффициентами) имеет по крайней мере один действительный корень, что для произвольной плоской фигуры найдется пря-

мая, делящая ее на две равновеликие части и т. п. (см. И. Е. Жак, Дифференциальное исчисление, стр. 201—205). Приведем еще примеры применения свойств непрерывных функций.

В процессе доказательства теоремы Безу в равенство Р М = {x-a)Q (X) + R, (*)

получаемое делением многочлена Р (х) на х — а, подставляют вместо X значение а и получают, что R — Р (а). Этот момент вызывает иногда у слушателей такое возражение: поскольку равенство (*) получено в результате деления Р (х) na X —а, то его нельзя считать верным при значении X — а, так как операция деления на х — a была бы невозможной при X = a (делить на нуль нельзя).

Подробное рассмотрение этого вопроса с алгебраической точки зрения проведено в книге А. И. Маркушевича «Деление с остатком в арифметике и алгебре» (изд. АПН РСФСР, 1949), где показано, что основой для такого возражения является смешение операций деления многочленов и деления чисел.

Мы же покажем, как можно легко ликвидировать это возражение, используя непрерывность многочлена (установленную без использования теоремы Безу).

Переписав равенство в виде

P(x) — (x — a) Q(x) — R = 0, (**)

получим в левой части последнего равенства многочлен, который при всех значениях ху за исключением, быть может, X = а, равен нулю. Но всякий многочлен является функцией, непрерывной при всех без исключения значениях X. Поэтому рассматриваемый многочлен, обращающийся в нуль во всех точках (в том числе и в точках, как угодно близких к X =а), обязан в силу непрерывности равняться нулю и в точке х = а. Таким образом, равенство (**), а значит, и равенство (*) справедливо при всех х, включая X = а.

Второй пример касается вопроса существования и единственности арифметического корня. Докажем, что существует одно, и только одно, такое положительное число Ь, что

Ъп = а, т. е. Ь — у а, где а > 0 и п — натуральное число.

Для доказательства рассмотрим функцию у = хп, определенную на промежутке 10, со). Эта функция непрерывна, равна нулю при л: = 0 и возрастаег(если О <хх <хг, то хгп <

<х2п) в указанном промежутке. С ростом х она возрастает неограниченно, и поэтому найдется такое положительное число* = с, что сп> а. Но непрерывная функция у=хп, принимающая на концах сегмента [0, с] значения 0 и сп, обязана, согласно свойству 3), принять по крайней мере в одной точке b (О < b < с) значение, равное а (так как О < а < сп)у т. е. Ьп = а. Другого такого числа Ьх > О, что Ь\ = а, не существует, так как строго возрастающая в промежутке функция не может принимать одинаковые значения в разных точках (строгое возрастание функции легко установить, воспользовавшись, например, тождеством

§ 4. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Пропедевтика понятия предела

Велико значение понятия предела для курса математики средней школы. Вспомним, что им оперируют при изучении периодических десятичных дробей, бесконечно убывающей геометрической прогрессии, длины окружности, площадей и объемов ряда геометрических тел, а в соответствии с новой программой оно будет существенно использовано при изучении элементов дифференциального исчисления.

Трудности, возникающие при изучении этого понятия, связаны прежде всего с тем, что здесь впервые ученику приходится по-настоящему иметь дело с бесконечным процессом.

С бесконечностью учащиеся сталкиваются еще до изучения понятия предела, но выступает она в школьном преподавании главным образом как термин, встречающийся в чисто описательных рассуждениях, или же как «сложное место», которое нередко стараются обойти. Так, приближенное вычисление квадратного корня связано с бесконечным процессом, но в школе главное внимание обращается не на весь этот процесс, а на технику получения нескольких десятичных знаков искомого корня. Учащимся говорят иногда, что когда вершина конуса удаляется в бесконечность, то конус превращается в цилиндр. Но и здесь бесконечность используется только для образной характеристики явления.

Когда при исследовании задач появляется отношение со знаменателем нуль, то в школе часто ограничиваются лишь указанием на то, что «этот случай не подходит». Так,

исследуя систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными в случае, когда знаменатели в выражениях для неизвестных обращаются в нуль, переключают внимание учащихся на сами уравнения, отказываясь от попыток объяснить школьникам то, что происходит с неизвестными при стремлении этих знаменателей к нулю.

Аналогично поступают, исследуя квадратное уравнение. Если коэффициент при квадрате неизвестного обращается в нуль, то говорят о вырождении данного уравнения в уравнение первой степени, не интересуясь вопросом о том, что происходит со вторым корнем квадратного уравнения, когда указанный коэффициент приближается к нулю. Между тем это легко выяснить, обратившись к формуле для корней квадратного уравнения.

Таким образом, еще задолго до изучения понятия предела возникает немало поводов и возможностей для того, чтобы исподволь готовить учащихся к усвоению понятия бесконечного процесса. Учителю не следует пренебрегать такими возможностями (тем более, что все это не связано с большой затратой времени).

Немалую роль в формировании представлений школьников о бесконечности играет ознакомление учащихся с бесконечными множествами и некоторыми их свойствами.

В школе говорят о множестве всех натуральных чисел, всех рациональных чисел, всех точек прямой и т. п. Но упоминают об этих множествах слишком бегло, почти не касаясь свойств бесконечных множеств, в результате чего в сознании школьников создаются лишь весьма туманные представления о бесконечных множествах. В частности, старшеклассники иногда не в состоянии самостоятельно привести несколько примеров бесконечных множеств или решить вопрос о существовании в бесконечном множестве наибольшего и наименьшего числа. Некоторые школьники вообще не представляют себе бесконечного множества как уже существующего (актуально), а полагают, будто всякое бесконечное множество — это множество конечное, и только со временем, с увеличением числа его элементов оно становится (потенциально) бесконечным.

Довольно часто учащиеся необоснованно переносят свойства конечных множеств на множества бесконечные (например, «у всякого множества должен быть первый элемент»), не замечая, что переход от конечного к бесконечному может быть связан с потерей некоторых свойств.

В школе нет необходимости вводить специальные темы, посвященные изучению бесконечных множеств, так как до изучения понятий функции и предела такие темы выглядели бы ненужным привеском, не имеющим существенных применений. Но, рассматривая примеры бесконечных множеств, необходимо попутно выяснять простейшие свойства этих множеств, решая с учащимися такие вопросы:

1. Имеется ли во множестве всех положительных рациональных чисел наименьшее число, а во множестве всех отрицательных действительных чисел — наибольшее число?

2. Какие из следующих множеств конечные, а какие — бесконечные: а) множество всех яблок на всех деревьях Земли, б) множество всех положительных рациональных чисел, не превосходящих одной стотысячной?

3. Существуют ли иррациональные числа, большие 1, но меньшие \f 2? Много ли таких чисел?

4. Конечно или бесконечно множество, о котором известно, что среди его чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего числа?

5. Какое множество чисел останется — конечное или бесконечное, — если из данного бесконечного множества чисел исключить какое-то бесконечное множество чисел?

6. Каково наибольшее и наименьшее число последовательности:

Определение и порядок изложения понятия предела в школе

Большинство методистов и авторов учебников не считают целесообразным введение в школьный курс определения предела функции на языке «е — б» ввиду сложности такого определения. С этим можно согласиться.

Вместе с тем нам представляется неоправданным стремление некоторых авторов ограничиться определениями, в которых существенно используются понятия «процесс», «состояние», «стремление» без математического описания их1, ибо такие определения могут создать

1 См., например, пособие под редакцией А. И. Маркушевича, стр. 125, 225 В книге А. И. Гибша «Алгебра», Учпедгиз, М., 1960, даны более строгие, но слишком громоздкие определения.

у школьника лишь туманные представления о пределе.

Нам кажется, что наиболее целесообразным (мы это неоднократно проверяли в процессе работы с математическим кружком и в юношеской математической школе) для школы является построение теории пределов, основанное на понятии бесконечно малой последовательности. Укажем основные этапы такого изложения.

Изучение понятия предела начинается с рассмотрения заимствованных из физики, химии, окружающей действительности примеров переменных величин, участвующих в некоторых процессах1. После этого дается описательное определение предела: число а, к которому неограниченно приближаются значения данной переменной величины, и называется пределом этой переменной. Подкрепив это определение рядом примеров, следует перейти к уточнению его, пояснив, что приближение и к а состоит в том, что разность и — а стремится к нулю, т. е., каково бы ни было положительное число е, можно указать такой момент в процессе изменения и, начиная с которого \и — а\ < е.

После этого следует перейти к понятию бесконечно малой. Известно, что авторы некоторых учебников считают излишним введение понятия бесконечно малой в школьный курс. С этим нельзя согласиться, так как:

1) понятие бесконечно малой является ценным в историческом аспекте (до сих пор математический анализ называют также анализом бесконечно малых);

2) с помощью лемм о бесконечно малых заметно упрощаются доказательства теорем о пределах;

3) производная является отношением двух бесконечно малых, и в школе не следует оставлять этот факт без внимания;

4) желая создать у школьников простейшее представление о дифференциале и определенном интеграле, снова приходится обращаться к бесконечно малым.

Бесконечно малую последовательность можно определить так:

Последовательность х1$ х2, хп, ... называется бесконечно малой, если для любого (как угодно малого) положи-

1 Ряд интересных примеров такого типа приведен, например, в журнале «Математика в школе», 1961, № 1, в статье Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда «О преподавании пределов переменных величин и функций в средней школе».

тельного числа е существует такое натуральное число N, что каждый член последовательности с номером п^ N по абсолютной величине меньше г, ш. е. \ хп \ < е.

Далее следует определение предела последовательности:

Число а называется пределом последовательности xv х2, хп если последовательность хг — а, х2— а, хп — а, ... является бесконечно малой.

Если последовательность имеет предел а, то говорят, что она стремится к а. В частности, бесконечно малая последовательность стремится к нулю. Затем вводится обозначение для предела и рассматриваются примеры; подчеркивается различие между бесконечно малой и очень малой величиной; доказываются леммы о бесконечно малых, а с их помощью и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух последовательностей.

Определение предела функции может быть теперь сформулировано так:

Число а называется пределом функции f (х) при стремлении х к х0 , если, какой бы ни была последовательность х1У х2,хп9стремящаяся к х0, последовательность соответствующих значений функции f (xj, / (х2), f {хп), ... стремится к а, т. е. {/ (хп) — а\ есть бесконечно малая всегда, когда {хп — х0) бесконечно малая.

Разъясняя смысл этого определения, следует обратить внимание на то, что члены хп последовательностей принадлежат области определения функции и хп Ф х0. Необходимость оговорки: хп Ф х0 должна быть иллюстрирована рядом примеров, в частности для этого можно использовать примеры функций с устранимым разрывом, приведенные в предыдущем параграфе.

Теоремы о пределах функций доказываются совсем просто на основании указанного определения предела функции и теорем о пределах последовательностей1.

1 См., например, Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, Гостехиздат, 1955, стр. 88. В этом же учебнике (стр. 70) показано, что сформулированное выше определение предела функции равносильно определению предела функции, изложенному в § 1 настоящей главы. Заметим, что в некоторых учебниках (например, в книге А. Н. Барсукова «Алгебра», ч. II, Учпедгиз, 1957) формулировки теорем о пределах не отличаются строгостью. Так, в теореме о пределе частного (стр. 176) не упоминается о том, что переменные участвуют в одном и том же процессе, а делитель не должен в процессе изменения принимать значение нуль.

Заметим, что это определение, вообще говоря, проще применить в доказательствах несуществования предела, чем при установлении существования предела. В самом деле, для доказательства существования предела функции надо убедиться в том, что для всевозможных последовательностей \хп\-> х0 [хпФ х0) предел последовательности {/ ixn)\ существует и равен одному и тому же числу а, a для доказательства того, что предел некоторой функции не существует, достаточно указать хотя бы одну такую последовательность ( хп \ -* х0, для которой соответствующая последовательность (/ (хп)\ не стремится ни к какому пределу (например, в случае функции Дирихле достаточно, чтобы последовательность \хп\ состояла из чередующихся рациональных и иррациональных чисел). Тем не менее мы считаем, что для нужд школьной математики этого определения достаточно. В школьном курсе редко приходится доказывать существование предела функции, а в тех случаях, когда это делается (например, при доказательстве существования предела отношения sin х к х при х -> 0), доказательство не усложнится, если вместо предположения о непрерывном стремлении х к хп говорить о стремлении произвольной последовательности хп к х0.

Учашимся следует разъяснить, что поскольку аргумент может стремиться к дг0, пробегая разные последовательности значений хп, то мы условимся в обозначении предела функции опускать индекс п и писать х -* х0 вместо хп-+х0:

lim/(а-) = а.

Х—у х0

Что касается определения предела функции f(x) при х-+?э, то его также легко сформулировать, опираясь на определение предела последовательности; для этого нужно лишь определить понятие стремления к со последовательности \хп\.

В заключение укажем, что учащимся необходимо чаще предлагать вопросы, для решения которых они должны опираться на определение предела, а не только на теоремы о пределах. Вот несколько вопросов такого типа:

I. Докажите, опираясь на определение предела последовательности, что число 3 не является пределом последовательности

2. Приведите несколько примеров последовательностей, стремящихся к пределу 12.

3. Каков предел последовательности

sin 1, sin 2, ... sin п, ...?

4. Может ли функция, принимающая только отрицательные значения, стремиться к нулю при стремлении аргумента к некоторому числу.

5. Верно ли утверждение: если последовательность [хп] состоит из положительных чисел, которые убывают с ростом п9 то она является бесконечно малой.

Предупреждение ошибочных заключений о пределе

Учитель должен не только исправлять рассматриваемые ниже ошибочные представления школьников в момент их появления, но и предупреждать возможность таких ошибок.

Одной из распространенных ошибок, восходящих к выше упомянутым неясным высказываниям Ньютона и Лейбница, является представление, будто процесс стремления переменной величины к пределу заканчивается достижением предела. Учащиеся иногда говорят (желая показать, что они «глубоко» понимают суть дела): «Вписанная в конус пирамида при неограниченном удвоении числа ее граней в конце концов становится конусом, и поэтому объем пирамиды станет равным объему конуса». Ошибочность такого рассуждения заключается в том, что утверждением о фактическом достижении переменной предела в конце процесса ее изменения по сути отрицается бесконечность этого процесса. Кроме того, такое обязательное причисление предела к значениям самой переменной ведет к другому ложному представлению: будто предел функции обязан быть значением этой функции, т. е. всякая функция непрерывна. Интересно отметить, что во времена Ньютона и Лейбница представление о всякой функции как об обязательно непрерывной связывалось с некоторым общефилософским принципом: «природа не делает скачков», который укреплял мнение о достижении переменной в конце процесса своего предела. В качестве примера, призванного опровергнуть такое ложное представление, можно указать учащимся величину ап = — , имеющую своим пределом нуль, но не принимающую нулевого значения.

Другая ошибка заключается в утверждении, будто переменная не может принимать значения, равного пределу, так как она никогда не достигает своего предела. Учащиеся высказывают это часто в такой форме: «Предел — это та постоянная, к которой переменная приближается, но никогда не делается равной этой постоянной». Чтобы предупредить такую ошибку, достаточно рассмотрения двух-трех опровергающих это мнение примеров. Так, рассматривая в качестве переменной величину угла отклонения маятника от вертикального положения в случае затухающих колебаний, убеждаемся, что эта переменная стремится к нулю, но в процессе изменения неограниченное количество раз становится равной нулю. Другим примером может служить последовательность

0,1,0, I, 0,1 ...

с общим членом

Величина ап стремится к нулю при неограниченном возрастании л, принимая сколько угодно раз самое значение нуль.

Следующее заблуждение учащихся заключается в том, что они нередко нуль (т. е. величину, все значения которой равны нулю) не причисляют к бесконечно малым. Это, по-видимому, объясняется тем, что учитель, желая разъяснить учащимся различие между бесконечно малой и очень малой постоянной величиной, подчеркивает, что бесконечно малая есть величина переменная, а не постоянная. Здесь мы еще раз замечаем, что, отказываясь рассматривать постоянную величину как частный случай переменной, мы должны нуль исключить из категории бесконечно малых. Но это, в частности, не дало бы возможности говорить о пределе последовательности, у которой все члены одинаковы. Вряд ли, сообщив школьнику, почему нуль также причисляется к бесконечно малым, мы усложним для него понятие бесконечно малой. С другой стороны, указывая учащемуся вначале на отличие постоянной от переменной, а затем на возможность рассмотрения постоянной как частного случая переменной, мы прививаем ему элементы диалектического мышления.

Вообще, в теме о пределе имеются некоторые возможности изменить складывающееся у школьников мнение о том,

что в математике ничего нельзя менять в условии задачи или примера, так как при этом изменится результат. Так, например, можно пояснить учащимся, что если мы изменим тысячу или сто тысяч членов последовательности, то предел ее не изменится (если он существовал до этого).

Необходимо также разъяснить, почему, несмотря на то что делить на нуль нельзя, можно говорить о пределе дроби, знаменатель которой стремится к нулю. Дело в том, что школьники считают иногда невозможность деления на нуль условным соглашением, искусственным запретом. Этот «запрет» подкрепляется популярной литературой, рассматривающей занимательные примеры, в которых деление на нуль ведет к абсурдному результату. Напомнив еще раз о том, почему на нуль делить нельзя, следует показать школьникам несколько примеров дробей, у которых числители и знаменатели стремятся к нулю, а сами дроби стремятся к определенным числам. Отметим, что, принимая предел за «последнее» значение переменной, мы бы пришли в этом вопросе к противоречию (получилось бы, что само отношение двух нулей равно определенному числу), от которого не могли освободиться в свое время основатели математического анализа.

Отметим еще одно встречающееся заблуждение, состоящее в том, что символ со считают числом. Так, школьники иногда склонны думать, что

— = 1, оо — оо=0. оо

Ликвидировать указанное заблуждение проще всего, сделав соответствующие предостережения и обратившись к примерам. Так, при неограниченно возрастающем п переменные 100п и 5п неограниченно возрастают, но их отношение не стремится к единице, а их разность не стремится к нулю.

Понятие предела и бесконечно малой остаются иногда в сознании школьников только в виде как-то связанных терминов. Нередко такие школьники попадают в «порочный круг», пытаясь сразу дать определение обоим понятиям: «бесконечно малая есть переменная, предел которой равен нулю, а предел есть постоянная, отличающаяся от переменной на бесконечно малую». Следует разъяснить школьникам, что нельзя, не давая самостоятельного определения одному

из этих понятии, принимать указание на взаимосвязь между ними за их определение.

Приложение к приближенным вычислениям

Членов математического кружка полезно ознакомить с понятием эквивалентности бесконечно малых и его приложением к приближенным вычислениям. Сделать это можно следующим образом.

Назвав две бесконечно малые а и р эквивалентными, если их отношение стремится к единице, надо подчеркнуть, что по мере приближения к нулю такие бесконечно малые быстро становятся близкими друг к другу. Это следует из того, что отношение разности а — ß к а и ß стремится к нулю, т. е. эта разность стремится к нулю быстрее, чем каждая из бесконечно малых, из которых она составлена. Последнее означает, что две эквивалентные бесконечно малые, когда они достаточно малы, можно считать приближенно равными, неразличимыми при некоторой точности вычислений, при которой каждая из этих величин еще отличима от нуля.

Среди приложений этого факта можно рассмотреть вывод некоторых приближенных формул. Пользуясь пределом

легко показать, что

откуда следует, что при малых по абсолютной величине значениях х справедливы такие приближенные равенства:

Аналогично, показав эквивалентность -\-х—1 и — при X -* 0 (для отыскания предела их отношения можно положить \-\- X = г*), получим формулу для приближенного вычисления корней (при малых х):

В качестве примера можно вычислить приближенно значение Y 245:

Ряд и его сумма

Для рассмотрения простейших вопросов теории рядов требуется только знакомство с понятием предела последовательности.

Поэтому имеется возможность познакомить школьников, прежде всего кружковцев, с некоторыми вопросами этой теории.

Нередко на вопрос о том, встречаются ли в школе ряды и суммы рядов, некоторые учителя отвечают: только убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Если же пристальней присмотреться к материалу школьного курса, то не так уж трудно найти в нем много других примеров числовых рядов. Ведь любое иррациональное число можно рассматривать как сумму ряда, и притом не являющегося геометрической прогрессией. Например,

Ясно, что, беря эти числа приближенно с недостатком, мы рассматриваем суммы нескольких первых членов такого ряда, т. е. вместо суммы ряда ограничиваемся частными суммами. Между прочим, иногда в школьной учебной литературе вместо термина «сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии» встречается оборот «предел суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии», что явно нелепо, ибо такая «сумма» сама является пределом частных сумм.

Нам представляется, что трудности в усвоении школьниками понятия о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии частично объясняются тем, что прогрессия изучается в школе как единственная последовательность, сумму членов которой должен представить себе учащийся. Разве не полезно еще до рассмотрения суммы

членов убывающей прогрессии показать на примере числа V2, что идея приближения к сумме ряда путем увеличения числа слагаемых по сути уже знакома ученикам? С другой стороны, желательно также показать на примере гармонического ряда, что частная сумма не всегда стремится к определенному пределу, даже если общий член ряда стремится к нулю. В связи с этим полезно также рассмотреть (на математическом кружке) примеры рядов, члены которых меньше соответствующих членов убывающей геометрической прогрессии, для решения вопроса о существовании сумм таких рядов. Полезно упомянуть и о возможном геометрическом истолковании суммы убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, как суммы площадей прямоугольников с шириной, равной единице, и длинами, равными членам ряда, а также о том, что некоторые признаки существования суммы ряда могут быть получены путем сравнения рядов с геометрической прогрессией. Подобное рассмотрение, при котором вопрос о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии выступает не изолированно, а как составная часть проблемы суммирования рядов, когда учащихся подводят к вопросу, используя известные им факты, способствует повышению интереса к теме и благоприятствует лучшему ее усвоению. В качестве пособия для первого знакомства с рядами можно рекомендовать учащимся книгу А. И. Маркушевича «Ряды » (Гостехиздат, 1947, 1960).

Обратим теперь внимание читателя на то, что с помощью рядов можно дать учащимся представление о проблеме существования. Некоторые учителя считают, что теоремы существования имеются только в высшей математике. Но так ли это? Предложение о том, что \ 2 не является рациональным числом, представляет собой пример теоремы «несуществования». Доказательством существования величин и геометрических форм занимаются также в ряде мест школьной геометрии. Так, дав определение параллельных прямых, мы далее доказываем их существование (теорема о параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей); определив подобие многоугольников, мы тут же решаем задачу о построении многоугольника, подобного данному, доказывая этим существование подобных многоугольников; определив длину окружности как предел периметров соответствующих многоугольников, мы затем доказываем, что такой предел существует, и т. п. Однако эти примеры не всегда убеждают учащихся в необходимости доказывать сущест-

вование объектов, вводимых с помощью определений. Многие из них считают, что в вопросах, подобных вышеперечисленным, установление существования определяемого объекта служит лишь иллюстрацией к самому определению. В теории рядов имеются нетрудные вопросы, рассмотрение которых способствовало бы ликвидации такого заблуждения. Приведем пример.

Нетрудно объяснить учащимся, что подобно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма произвольного числового ряда определяется как предел его частных сумм (если он существует) при неограниченном росте числа слагаемых. Рассмотрев несколько простейших рядов и найдя их суммы, следует указать на те нелепости, к которым можно прийти, если считать, что из определения суммы ряда следует ее существование у всякого числового ряда. Здесь можно, например, обратиться к таким рядам:

1 + 2 + 3+ 4 + ...

2 + 4 + 6 + 8 + ... .

Если обозначить сумму первого ряда через S, то сумма второго ряда, очевидно, равна будет 25. Представив первый ряд в виде суммы двух рядов

1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... = (2 + 4+6 + + 8 + ...) + (1 + 3 + 5 + 7+ ...),

заметим, что в левой части равенства имеется ряд, сумма которого равна S, а в правой части сумма первого ряда равна 2S и к нему еще добавляется ряд, сумма Sx которого положительна, т. е.

S = 2S +Sl9 S > 2S, S < 0.

Таким образом, сумма ряда, члены которого положительны, оказалась отрицательной. Можно сказать учащимся, что подобные ошибки получаются не только потому, что рассматриваемые ряды не имеют суммы, но и потому, что в отличие от случая конечной суммы не всегда можно произвольным образом менять местами члены ряда.

В упомянутой книге А. И. Маркушевича приведены интересные примеры из истории математики. Кстати, в одном из них «доказывается», что U = — ,и указывается на имевшую место попытку считать этот факт «символом того, что мир создан из ничего». Приведя такой пример и разъяснив уча-

щимся, в чем ошибка, учитель математики внесет свой вклад в атеистическое воспитание школьников.

Заметим, что членов кружка нелишне также познакомить с идеей представления функций рядами. В частности, считая знаменатель убывающей геометрической прогрессии произвольным числом X (не превышающим по абсолютной величине единицы), легко объяснить получение таких разложений:

Сославшись на эти два разложения, можно пояснить, что и тригонометрические функции представимы в виде рядов, которые могут быть использованы для приближенного вычисления этих функций с большой точностью (при этом нелишне привести конкретные примеры таких рядов). Заметим, что, рассматривая ряд для синуса как многочлен с неограниченным количеством слагаемых, мы получаем пример того, как при переходе от конечного к бесконечному могут появиться новые качества, а не только теряться старые (о чем говорилось в § 1 настоящей главы). Многочлен (алгебраический) не может быть периодической функцией (хотя бы потому, что он на любом сегменте ограничен, а на всей прямой не ограничен), а ряд для синуса является периодической функцией.

Небезынтересно указать школьникам также на такую возможность деления целых чисел «без деления и вычитания».

Пусть первый член прогрессии —, а знаменатель— < 1, тогда легко получить

Если целое число N больше нуля, но меньше десяти, то, подставив в обе части полученного равенства jc = 10 и а = 10 — N, получим

(Y)

Например, для N = 7

Значит, для того чтобы разделить 1 на 7, достаточно выполнить операции возведения в степень числа 3 и сложения десятичных дробей:

Если же целое число N является n-значным, то, подставив в первоначальное равенство (ч) х = 10я и а = 10'* — А/, снова заменим операцию деления 1 на N возведением в степень числа 10" — /V и сложением десятичных дробей. Так как деление двух целых чисел M : N можно заменить умножением М-—, то мы свели операцию деления к умножению числа M на число, получаемое с помощью операций возведения в степень и сложения (правда, один раз пришлось все-таки вычесть: 10" — N).

Наконец, упомянем об одном возникающем у школьников при изучении бесконечно убывающей геометрической прогрессии вопросе, который часто высказывается в такой форме: «как это получается, что количество слагаемых бесконечно, а сумма их конечная?» Отвечая на такой вопрос, необходимо разъяснить два момента.

Во-первых, сумма членов бесконечно убывающей прогрессии не является результатом непосредственного сложения бесконечного количества слагаемых, так как это практически неосуществимо. Такая сумма специально определяется как предел частной суммы Sn при п — оо. В качестве наводящего соображения, показывающего целесообразность (но не обязательность) такого определения, можно указать на то, что с увеличением п частная сумма Sn охватывает все большее число членов прогрессии. Таким образом, сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии нельзя безоговорочно уподоблять обыкновенной сумме нескольких слагаемых.

Во-вторых, предел Sn при п -> со —это предел числовой последовательности Slt S2, S„,,.., а члены такой последовательности, если они даже становятся все больше и больше,

могут оставаться меньше некоторого числа. В качестве примеров можно указать такие последовательности (сопровождая это иллюстрацией на числовой оси):

Обе последовательности возрастающие, но члены первой из них не превышают единицы, второй — двух, а это влечет за собой существование конечных пределов этих последовательностей.

И в заключение приведем одну поучительную задачу. Пусть в обмен на десять порожних литровых банок в магазине дают литровую банку компота. Сколько компота приходится на каждую из сданных банок, если учесть, что каждую банку из-под вновь получаемого компота можно (собрав десять банок) снова обменять на банку компота?

Рассуждаем так. За десять банок получен литр компота. Значит, на одну банку приходится — литра компота.

Но, кроме компота, получена еще содержащая этот компот банка. Поэтому на ту же сданную банку приходится еще ^ часть новой порожней банки, на которую при дальнейшем обмене приходится j~ литра компота (так как на целую банку приходится ^ литра) и ^ часть новой порожней банки. Этой сотой части банки соответствует в свою очередь —!— литра компота и —!— часть новой банки и т. д. Всего на одну порожнюю банку приходится поэтому сумма всех указанных количеств компота: —, — — ,____По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим, что на одну порожнюю банку приходится — литра компота.

А вот и второе, совсем простое решение этой задачи. Поскольку взамен десяти порожних банок получен литр

компота вместе с содержащей его банкой, сам компот получен взамен девяти порожних банок, т. е. на одну порожнюю банку приходится — литра компота.

При всей «прозаичности» сюжета этой задачи и «нерентабельности» первого решения ее рассмотрение двух способов решения интересно в трех отношениях. Во-первых, сопоставив эти решения, мы на частном примере проиллюстрируем целесообразность принятого определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (формула для суммы прогрессии, выведенная на основании этого определения, дала тот же результат, что и арифметическое решение). Во-вторых, показано, что иногда можно косвенно получить сумму бесконечной прогрессии без использования формулы. В-третьих, показано, что не исключена возможность использования бесконечной прогрессии для решения практических задач, заимствованных из повседневной жизни.

О замечательном пределе

Обратимся к замечательному пределу

который рассматривается в связи с выводом формул для производных от тригонометрических функций.

Мы считаем полезным указать учащимся на некоторые наводящие соображения к установлению значения этого предела. Пусть линия синусов AB (черт. 9) при продолжении вниз образует хорду AD, являющуюся стороной некоторого правильного вписанного n-угольника. Тогда отношение —длины хорды AD к длине дуги ACD стремится при уменьшении угла х к единице, так как периметры многоугольников стремятся к длине окружности, а указанные длины хорды и дуги составляют — часть периметра многоугольника и длины окружности.

Если в выражении —разделить числитель и знаменатель на 2R, то получим отношение ,

Черт. 9.

которое по вышеуказанным соображениям должно стремиться к единице.

Учащимся следует разъяснить, что приведенное рассуждение еще не может служить доказательством того, что искомый предел равен 1, так как мы не рассматривали стремление произвольной последовательности \хп\ к нулю: в случае правильных многоугольников рассмотренные углы могут быть только вида х = —. Кроме того, желательно обратить внимание на то, что радианное измерение углов привело здесь к более простому соотношению: если под х понимать градусную меру угла, то

Определение непрерывной функции в школе

Понятие непрерывной функции имеет первостепенное значение для математического анализа — требование непрерывности фигурирует в большинстве важнейших теорем анализа. В школьном курсе дело сводится лишь к беглому ознакомлению учащихся с этим понятием1.

Определению непрерывной функции должна предшествовать некоторая подготовительная работа. Прежде всего необходимо напомнить школьникам о тех интуитивных представлениях о непрерывности, которые у них имеются. Учащиеся знают, например, что, подставив в формулу приближенные значения некоторых полученных путем измерения величин, можно получить искомое значение другой величины близкое к ее точному значению (если подставленные числовые значения величин близки к точным значениям). Школьники также хорошо представляют себе, что при небольшом изменении радиуса круга мало изменится площадь круга и т. п.

Особого внимания заслуживают графики функций. Следует разъяснить учащимся что изображаемый сплошной кривой график функции обладает тем свойством, что ордината f (х) точки кривой становится как угодно близкой к ординате

1 См., например, пособие под редакцией А. И. Маркушевича, стр. 162, 246. Отметим, что, говоря ниже об изучении понятия непрерывности в школе, мы имеем в виду, главным образом, рассмотрение его в математическом кружке.

/ (b) фиксированной точки кривой, если абсцисса х неограниченно приближается к абсциссе Ъ.

Всего этого, однако, еще недостаточно, так как подобные примеры, а также то обстоятельство, что все подробно изучаемые в школе функции (за исключением —, tg л:, ctg х) не имеют точек разрыва, могут склонить школьника к мысли, будто все функции обладают свойством непрерывности. Поэтому необходимо указать учащимся несколько примеров функций, имеющих точки разрыва, обратив внимание на поведение функции вблизи такой точки. В качестве примеров могут быть использованы некоторые заимствованные из физики и астрономии функции, о которых говорилось в § 3 настоящей главы, а также следующие функции:

После этого можно переходить к такому краткому (но вполне строгому) определению непрерывной функции:

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел этой функции при стремлении х к х0 равен ее значению в точке х0, т. е.

\\mf(x) = f(x0).

дс-»лг0

Подкрепляя это определение примерами и комментируя его, следует обратить внимание учащихся на то, что определение непрерывности содержит такое простое требование: если разность х— х0 стремится к нулю, то к нулю должна стремиться и разность f (х) — / (л;0). Разъяснив затем смысл термина «приращение», можно дать второе определение непрерывности:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

После этого следует дать определение функции, непрерывной на некотором сегменте (или интервале), и, пользуясь

вторым определением непрерывности, доказать, например, непрерывность таких функций, как у = х3> у = sin х. Желательно также рассказать учащимся об арифметических операциях над непрерывными функциями.

Необходимо ясно понимать, что свойство непрерывности изучаемых в школе функций лежит в основе нередко встречающейся операции — так называемого «перехода к пределу под знаком функции». Так, если мы пишем, что

и т. д., мы используем непрерывность показательной и тригонометрической функций. В этих равенствах по сути отражено определение непрерывности

lim f(x)=f(xQ).

х->х0

Заметим, что этот вопрос обойден в ранее упомянутом учебнике А. Н. Барсукова (Алгебра, ч. II, стр. 269), где без всяких пояснений написано:

cos m ^х -р AJ _» cos тх при h -* 0.

Для рациональных функций, в частности для многочленов, законность такой операции без труда устанавливается с помощью известных в школе теорем о пределах суммы, разности, произведения и частного. Сами эти теоремы по сути дела выражают непрерывность арифметических действий — простейших функций двух переменных: z = х + у, г = = ху и т. п. Учитель, ясно сознающий все эти взаимосвязи, всегда найдет повод указать на них учащимся и уж во всяком случае не пропустит ссылки на непрерывность соответствующей функции при выполнении предельного перехода под знаком функции, как это еще случается в некоторых школьных учебниках. Чтобы вопрос о допустимости перехода к пределу не казался учащимся бессодержательным, можно привести пример хотя бы функции у = [х], для которой такую операцию выполнять, вообще говоря, нельзя: если число X стремится, скажем, к 1, то его целая часть не обязана стремиться к 1 (она может оставаться все время равной 0); сказанное здесь не выражает, конечно, ничего,

кроме уже известного факта, что функция у = [х] имеет разрыв при X = 1.

Обращение непрерывной функции в нуль

Изучение свойств непрерывных функций не может быть проведено в школе с надлежащей полнотой. Тем не менее мы считаем полезным ознакомление членов кружка с некоторыми свойствами этих функций (без доказательства). В частности, школьникам должно быть известно, что если непрерывная функция / (х) меняет свой знак, то она обращается в нуль для некоторого промежуточного значения аргумента х. Такое свойство легко проиллюстрировать на графике непрерывной функции.

Познакомив учащихся с этим свойством, можно обратиться к его интересным применениям. Здесь можно указать на приводимое в курсах анализа доказательство существования вещественного корня у всякого алгебраического уравнения нечетной степени, а также на способ приближенного вычисления его. Полезно также рассмотреть некоторые геометрические примеры. Остановимся на двух таких примерах.

1. Показать без использования известных геометрических построений, что из точки, взятой на прямой AB, можно восставить к этой прямой перпендикуляр. Проведем через точку О произвольный луч ОС (черт. 10). Пусть угол а больше угла ß (т. е. а — ß > 0). Будем вращать луч ОС так, чтобы угол а уменьшался. При этом углы а ир, а вместе с ними и разность а — ß, меняются непрерывно (ссылка на наглядность). Но если для начального положения луча ОС эта разность положительна, то наступит момент (например, когда он займет положение ОС1), когда она станет отрицательной. В силу непрерывности разности а — ß должно существовать такое положение вращающегося луча, когда эта разность равна нулю, т.е. когда луч ОС будет перпендикулярен к прямой AB.

Кстати, легко сообразить, что искомый перпендикуляр — единственный. Действительно, обратившись в нуль, разность а — ß при дальнейшем вращении луча остается отрицательной.

Черт. 10.

Вполне аналогично решается, например, и такой вопрос: в плоскости дан треугольник (или другая фигура) и произвольная прямая; существует ли прямая, параллельная данной и делящая треугольник на две равновеликие фигуры?

2. Доказать, что в гладкую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Словам «гладкая кривая» можно здесь дать геометрическое толкование как кривой без точек излома и самопересечения. Проведем через точку О (черт. 11) касательную OA и луч OB под углом 60° к OA. Будем вращать лучи OA и OB вокруг точки О, сохраняя угол между ними, и рассмотрим разность между длинами хорд, образующимися при этом на лучах (для положения, изображенного пунктиром, она равна ОАг—ОВг).

Эта разность вначале отрицательная (длина хорды, отсекаемой на луче OA, равна нулю, а на OB она — положительное число), но когда луч OB займет положение ОВ21 эта разность станет положительной. Из соображений непрерывности следует, что должно существовать такое положение лучей, когда указанная разность равна нулю, но, соединив в этом случае вторые концы хорд, мы получим правильный треугольник (так как две стороны его равны, а угол между ними равен 60°).

Ясно, что рассуждения, проведенные в обоих примерах, нельзя считать строгими, так как доказательства непрерывности рассматриваемых функций здесь опущены и заменены ссылками на очевидность. Тем не менее рассматривать такие примеры в школе весьма полезно: они еще в начале изучения нового и трудного для учащихся понятия показывают его конкретные применения.

Несколько более сложных, но вполне приемлемых для изучения в математическом кружке задач читатель найдет в книге И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры» (Гостехиздат, 1951). В частности, в этой книге имеется доказательство того, что вокруг любой фигуры можно описать квадрат (в упомянутом ранее «Математическом калей-

Черт. п.

доскопе» Г. Штейнгауза изображен квадрат, описанный вокруг контура Каспийского моря).

Непрерывность функции и формула

Остановимся на вопросе о связи между непрерывностью функции и формулами, которыми она определяется. Рассмотрев примеры таких разрывных функций, которые в разных промежутках определяются различными формулами, учащиеся могут сделать ошибочное «обобщение», будто всякая функция, не определяющаяся одной формулой, является разрывной. Любопытно вспомнить, что Эйлер называл непрерывными только те функции, которые для всех значений аргумента определялись одной формулой, в противном случае функция называлась разрывной или смешанной. Это объяснялось тем, что Эйлер считал возможным классифицировать функции, исходя из того, одним или несколькими законами они определяются. Между тем вообще нет смысла усматривать принципиальное различие между одним и многими законами. По этому поводу профессор А. И. Маркушевич («Математика в школе», 1947, № 4) приводит следующее простое и убедительное рассуждение: если в двух княжествах одного государства кража наказывается согласно разным законам, то можно издать единый закон, в который два прежних закона входят (без изменений) как составные части.

Очевидно, что с этой точки зрения непрерывность (как и другие свойства) функции не должна зависеть от способа ее задания. Это легко подтвердить на примерах.

Так, функция у = — разрывна в точке х = 0, а функция

непрерывна в точке х = 0. Напомним: последнюю функцию можно задать и одной формулой

у = X X2,

имея здесь в виду только арифметический корень (школьники зачастую нечетко представляют себе смысл этого понятия). Заметим, что к функциям, подобным последней, приводят простейшие факты из физики. Если, например, звук, распространяясь от источника звука, наталкивается на препятствие, отражается от него и возвращается к источнику, то расстояние s звука от источника как функция времени / запишется так:

Мы приняли скорость звука равной —, а момент отражения звука обозначили через /0. График этой функции изображен на чертеже 12.

Даже из чисто физических соображений ясно, что функция 5 является непрерывной на всем промежутке [О, 2/0], хотя на графике имеется угловая точка с абсциссой /0.

График, подобный рассмотренному, приведен, например, в книге Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих» (Физматгиз, 1960, стр. 179) при исследовании зависимости количества теплоты (чайника) от времени нагревания (на электроплитке).

В заключение приведем одно утверждение, часто встречающееся в методической литературе: если понятия функции и предела усвоены, то понятие непрерывности не представляет трудностей1. Не возражая против этого утверждения, поставим такой вопрос: как быть, если понятия функции и предела слабо усвоены (что нередко случается в школе), имеет ли тогда смысл изучать непрерывность? Мы склонны дать утвердительный ответ на этот вопрос, исходя из того, что изучение непрерывности функции может оказать обратное воздействие — помочь лучшему усвоению понятий функции и предела. Дело не только в том, что в определении непрерывности используются указанные понятия, но и в том, что рассмотрение примеров непрерывных и разрывных функций и свойств непрерывных функций дает дополнительные представления о функции и пределе.

Черт. 12.

1 Я. С. Дубнов. Преподавание элементов высшей математики в средней школе, «Математическое просвещение», № 5, Физматгиз, 1960; D. Reuter, Zur behandlung der Infinitesimalrechnund in der Oberschule («Mathematik und Physic in der Schule», Heft 1, Berlin, 1958).

ГЛАВА III

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Краткие сведения из истории дифференциального исчисления

Еще до появления работ Ньютона и Лейбница большое количество результатов было получено в области, относимой теперь к интегральному исчислению (подробнее этот вопрос рассматривается в следующей главе). Что касается исследований, связываемых теперь с дифференциальным исчислением, то здесь также были получены некоторые результаты. Однако по сравнению с понятием определенного интеграла, которое начало выкристаллизовываться еще до Ньютона и Лейбница, формирование понятия производной намного отставало.

Важную роль в истории формирования понятия производной сыграли постановка и решение некоторых задач на проведение касательных к кривым, на определение скорости в случае неравномерного движения и нахождение наименьших и наибольших значений функции.

Задачами на проведение касательных и нахождение наибольших и наименьших значений занимались такие математики, как Ферма (1601—1665), Барроу (1630—1677), Роберваль (1602—1675), Торричелли (1608—1647) и другие. В основе полученного ими метода для решения этих задач лежали принцип пренебрежения членами высшего порядка малости и принцип остановки, нашедшие позже отражение в концепциях Ньютона и Лейбница.

Обратившись к работам Ньютона и Лейбница (вторая половина XVII века), можно убедиться, что принцип пренебрежения членами высшего порядка малости заключался

в отбрасывании бесконечно малых высшего порядка малости. Так, Ньютон1 для получения из соотношения х3 —ах2 + аху — у3 = О соотношения между производными от х и у, которые он называл флюксиями, подставлял в это равенство х + хо, у + уо вместо X и у (здесь х и у — функции от t, а хо, уо в современных обозначениях означают дифференциалы: х' At, у' At). Затем он из полученного равенства почленно вычитал первоначальное соотношение между х и у, сокращал на 0 (т. е. на At), наконец, отбрасывал члены, которые и после этого содержали 0, и получал такое соотношение

Зх2х — 2ахх + аух + аху — Зу2у = 0.

При этом Ньютон пояснял: «Так как мы предположили 0 бесконечно малой величиной... то члены, которые на нее умножены, можно считать за ничто в сравнении с другими».

Нетрудно видеть, что и теперь при нахождении производной по сути производятся аналогичные, но строго обоснованные операции. Так, например, при вычислении производной произведения двух функций u (х) и v (х) составляется разность

(u + Au) (v + Av) — uv = uAv + vAu + AuAv,

которую делят на Ах и затем переходят к пределу при Ах -> 0.

У Ньютона запись имела бы несколько иной вид: вместо приращений Au и Av были бы подставлены дифференциалы iï Ах и v' Ах (которые отличаются от Au и A v на бесконечно малые высшего порядка, чем Ах). Поэтому можно было бы рассматриваемую разность почленно поделить на Дх, а третье слагаемое, в котором оставался еще множитель Ах, отбросить и получить ту формулу, которая теперь получается после перехода к пределу.

Отметим, что принцип пренебрежения бесконечно малыми высшего порядка положен в основу изложения в ранее упомянутой книге «Высшая математика для начинающих» Я. Б. Зельдовича, что дало возможность ее автору рассмотреть основные факты дифференциального и интегрального исчисления без ссылок на понятие предела. Для оправдания указанного принципа автор на ряде физических при-

1 См. Математические работы Ньютона, ОНТИ, 1937.

меров показывает, как значения переменной, приближаясь к числу, начинают с некоторого момента становиться близкими друг другу (например, средняя скорость за очень малый промежуток времени мало меняется при дальнейшем уменьшении промежутка), что позволяет с заданной степенью точности пользоваться вместо этого числа близкими ему значениями переменной. В частности, в этой книге производная определена как такое отношение приращения функции к приращению аргумента, которое с дальнейшим уменьшением приращения аргумента практически не меняется.

Принцип остановки, который также оставался необоснованным, у Ньютона формулировался: «Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течет ни вперед, ни назад». Подобно этому Лейбниц указывал, что наибольшая и наименьшая из ординат определяется условием, что касательная не наклонена ни в одну, ни в другую сторону, а ординаты в этот момент «ни возрастают, ни убывают, но находятся в покое».

Эти формулировки показывают, что Ньютон и Лейбниц исходили из соображений, подсказанных механикой и геометрией. Заметим, что если у Ньютона первоначальным понятием была скорость, то у Лейбница подобную роль играла касательная. Хотя Ньютон и Лейбниц, в отличие от своих предшественников, показали применимость их методов к любой (рассматриваемой в то время) функции, необоснованность вышеупомянутых основных понятий вызывала у многих математиков XVIII и начала XIX века отрицательную реакцию и желание обойти эти понятия. Так, например, известный французский математик Лагранж (1736—1813) сделал попытку удалить понятия бесконечно малой и предела изучения о производной, определяя последнюю чисто формально: если функция / (х) определена рядом

/ (х) = а0 + аЛх + сигх2 + а3х3 +

то производной называется функция f (х), определяемая рядом

f (х) = ах + 2сцых + 3i73v2 + ... .

Однако эта теория сужает класс рассматриваемых в математике функций и не дает ответа на вопрос, почему целесообразно рассматривать такие «производные» ряды. Но еще важнее то, что освобождение от понятия предела здесь толь-

ко кажущееся, так как для строгого обоснования этой теории (в частности, при решении вопроса о сходимости рядов) приходится снова прибегнуть к понятию предела.

Определение и содержание понятия производной

Пусть функция у = / (х) определена в точке х0 и некоторой ее окрестности. Обозначим разность X — л-0, где х любая точка (число) этой окрестности, отличная от ,v0, через Ах0, а соответствующую разность значений функции f (х) — / (л:0) — через Ау0. Записав дробь — , которая является функцией от х (так как х0 фиксировано), найдем ее предел при стремлении х к х0.

Легко заметить, что из стремления х к х0 следует стремление к нулю приращения аргумента Ах0 = х — х0 (при таком обозначении получается, что х = х0 + Ах0), т. е. знаменатель рассматриваемой дроби является бесконечно малой. Поэтому предел этой дроби будет существовать только в том случае, если ее числитель, т. е. приращение функции Ау0 = / (х) — f (х0), будет также бесконечно малой (того же порядка, что и Дх0, или более высокого порядка). Из этого немедленно следует, что указанный предел (его мы назовем производной) может существовать только тогда, когда функция f (х) непрерывна в точке х0.

Производной функции у = / (х) при х = х0 называется предел (если он существует) отношения — при стремлении X к xQj или (что то же самое) при стремлении Д*0 к нулю. Этот предел обозначают /' (л:0) или у' (х0). Таким образом,

Пусть теперь х0 также фиксированная, но произвольная точка из области определения функции. Обозначим эту точку просто буквой X, тогда прежнее обозначение х для другой точки придется заменить на

1 Заметим, что в соответствии с определением (£) предела функции (гл. II, § 1) эта запись приобретает такой вид:

В этих новых обозначениях соотношение (1) примет вид /'(*) = Hm £-у.

Что же теперь представляет собой ff(x) — число или функцию? С одной стороны, в соответствии с определением предела, f (х) должно быть числом, и если х считать просто фиксированным, то f (х) действительно является числом. Но если принять во внимание, что под х можно в то же время понимать любую точку, в которой производная существует, то при Ал:-> 0 значения Ау, а значит, и рассматриваемый предел, зависят от того, какое именно значение х будет взято. Поэтому каждому значению х соответствует определенное значение f (х) и f (х) является функцией от х.

Если к этому же вопросу подойти, привлекая понятие функции двух переменных, то он решается совсем просто: А у является функцией двух переменных х и А*, и поэтому /' (х), полученное из — переходом к пределу при Ал: -# О, продолжает оставаться функцией от х. Точно так же, например, предел, к которому стремится полная поверхность произвольного прямого цилиндра, когда высота его стремится к нулю, равен удвоенной площади его основания, которая зависит от радиуса основания, т. е. такой предел является функцией радиуса основания.

Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью рассматривается в большинстве учебников анализа, и поэтому, не входя в подробности, напомним только, что из непрерывности функции еще не следует ее дифференцируемость (что из дифференцируемости следует непрерывность, было показано в начале настоящего пункта). Можно указать примеры функций, не имеющих производной в отдельных точках промежутков, на которых они непрерывны, и функций, непрерывных при всех действительных значениях аргумента х, но не имеющих производной ни при одном значении х1. Небезынтересно, что функция может быть всюду разрывна за исключением одной точки и все же иметь в этой точке производную. Такой является, например, функция у = х2 D (х) (D (х)—функция Ди-

1 См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Гостехиздат, М., 1948, стр. 502—503.

рихле), которая, как легко убедиться, непрерывна только в точке X = О, и имеет в этой точке производную (равную нулю).

Не останавливаясь на общеизвестном геометрическом и механическом толковании производной (угловой коэффициент касательной1 и скорость движения), заметим, что производная, независимо от смысла, придаваемого функции, определяет скорость изменения функции относительно аргумента, т. е. производная служит мерой быстроты изменения функции. Действительно, приращение функции Ау показывает, насколько изменилась функция при изменении аргумента àx, а отношение — определяет среднюю скорость изменения функции относительно аргумента на участке (х, х + Ах) (или (х + Ах, х), если Ах < 0). Ясно, что предел такого отношения при Ах 0 можно рассматривать как локальную2 скорость этого изменения, показывающую быстроту изменения у относительно х при данном значении х. Применим эти соображения к степенной и показательной функциям, чтобы выяснить характер их роста.

Производную степенной функции у = х* (а > 0 — действительное число) можно записать в виде у' = а —. Из этой записи видно, что степенная функция растет (при х>0) тем быстрее, чем больше а и отношение — . При X = 1 (при любом а > 0) у = 1, a поэтому при х > 1, как видно из формулы для у', функция у = X7- растет тем быстрее, чем больше ее показатель а, т. е. при л:> 1 график функции с большим а должен подниматься круче графика функции с меньшим а.

Записав производную показательной функции у = ах (а> 1) в виде у'= у Ina, замечаем, что здесь производ-

1 Между прочим, возможны также другие частные геометрические толкования. Так, например, произвольная площади круга К = я/?2 по радиусу равна длине окружности 2itR.

Заметим, что при установлении геометрического смысла производной пользуются (иногда без всяких оговорок) непрерывностью тангенса, когда из факта стремления угла a между секущей и осью абсцисс к углу © и между касательной и этой осью делают вывод о том, что tga-> tg ф.

2 Латинское слово localis означает «местный», «свойственный данному месту».

ная пропорциональна самой функции у (а не отношению ~j и поэтому возрастание показательной функции значительно быстрее, чем у степенной функции. (Нетрудно показать, что для X, удовлетворяющих системе неравенств I а > X ^ выполняется неравенство (ах)' > (хп)'.) Именно ( X ^> е этим объясняется быстрый рост геометрической прогрессии (со знаменателем, большим 1): с увеличением ее членов она растет все быстрее.

О вычислении производной

Чтобы облегчить вычисление производных от элементарных функций, в анализе выводят сначала формулы для производных основных элементарных функций, устанавливают правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций и доказывают теорему о производной сложной функции. Пользуясь этими результатами, можно вычислять производную любой элементарной функции, не прибегая каждый раз к непосредственному вычислению того предела, о котором говорится в определении производной.

Мы остановимся здесь на отдельных моментах, связанных с существованием и вычислением производной.

В теоремах о производной суммы, произведения и частного на функции-компоненты накладывается требование: они должны быть дифференцируемы (а в случае частного дополнительно требуется, чтобы функция-делитель не обращалась в нуль). При этом доказывают не только формулы для вычисления производной от функции-суммы (произведения, частного), но и существование этой производной. В связи с этим заметим, что требование дифференцируемости функций-компонентов является достаточным, ноне необходимым. Так, например, производные от разрывных функций и = X — D (х) и V — D (х) не существуют ни при одном я, а сумма этих функций и + и = х имеет производную, равную 1, при всех значениях х.

Приведем теперь доказательство теоремы о производной частного, отличное от общепринятого. Пусть функции и (х) и и (х) дифференцируемы и v (х) Ф 0. Рассмотрим функцию-частное у =—. Запишем соотношение между функцией ями и, и> у в виде и = уи и применим теорему о производной произведения

откуда получим

и, подставив — вместо у, получим требуемую формулу

При всей привлекательности этого вывода он имеет недостаток: среди условий, накладываемых на рассматриваемые функции и, и, у, должно быть указано, что функция у также дифференцируема (без этой оговорки становится незаконным применение теоремы о производной произведения, в которой требуется существование производных от функций-сомножителей). Если добавить к условиям рассматриваемой теоремы условие дифференцируемости функции-частного, то приведенное доказательство будет вполне корректным, но сама теорема станет при этом более «слабой» (на функции накладывается больше требований, чем это вообще необходимо).

Покажем теперь, как получить формулу для производной функции, возведенной в натуральную степень, не ссылаясь ни на теорему о производной сложной функции, ни на формулу для производной произведения нескольких сомножителей. Пусть и = у", где у дифференцируемая функция от X. Воспользуемся равенством

Это равенство является обобщением известных формул (разность квадратов и разность кубов) и легко проверяется одним из следующих трех способов: а) делением числителя на знаменатель, рассматриваемых как многочлены относительно а, б) умножением делителя на частное, в) суммированием выражения в правой части равенства как геометрической прогрессии со знаменателем — . Подставив в это равенство у -|- Ау вместо any вместо b и умножив обе части нового равенства на —, получим

Переходя к пределу при А*-* 0 (при этом А у 0, так как дифференцируемая функция у обязана быть непрерывной), найдем требуемую формулу

и = (у»)' = пу«-у. (R)

Эта формула может быть, в частности, использована для отыскания производной степенной функции с дробным показателем. Так, например, для вычисления производной функции у = V х возводим обе части этого равенства в квадрат: у2=х и, приравняв производные левой и правой части последнего равенства (имея в виду, что у = V х ), получим 2уу' = 1, откуда

При этом не следует, однако, забывать, что справедливость полученной формулы может считаться строго доказанной, если предварительно установлено, что производная функции VX существует, так как при выводе общей формулы (R) предполагалась дифференцируемость функции у.

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

«Локальная» и «тотальная»1 монотонность функции

Исследование возрастания и убывания функции с помощью производной занимает важное место среди многочисленных применений производной. С этим исследованием связаны вопросы максимума и минимума функций, построение графиков функций, существование обратных функций, доказательство неравенств и др.

В математическом анализе признаки возрастания (убывания) функции устанавливаются довольно просто с помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях (см. любой курс математического анализа). Мы здесь укажем другой путь решения вопроса.

Пусть функция / (х) определена на некотором промежутке (сегменте, интервале, полуинтервале) и х0 — одна из

1 Французское слово total означает «полный», «всеохватывающий».

внутренних точек этого промежутка. Назовем х0 точкой возрастания функции f (х), если существует такой интервал, содержащий х0, что в точках этого интервала, лежащих правее х0, значения f (х) больше, а в точках, лежащих левее х0—меньше, чем значение f (х0) (аналогичное определение можно дать точке убывания).

Покажем, что если f (х0)>0, то точка х0 является точкой возрастания функции f (х) (аналогично можно показать, что если f (xQ) <0, то х0 — точка убывания). Так как /' (л:0) является пределом дроби - ^° — ~~ - ^ при Ах0 -> 0, то при достаточно малых по абсолютной величине значениях Ах0 эта дробь должна быть положительной (в противном случае ее предел не был бы положительным). Из этого следует, что при таких малых значениях Ах0 числитель и знаменатель дроби должны быть одного знака, т. е. при Ах0 > 0 должно выполняться неравенство f (*0)</ (л:0-|-Ал:0), а при Дл:0<0— неравенство /(*<> + &хо) <f(xo)- Этим и установлено, что х0 является точкой возрастания функции / (х) (так как при Ах0 > 0 точки х0 -f- Ах0 лежат правее точки х0, а при Ал:0<0 — левее точки х0).

Вспомним, что функция / (х) называется возрастающей в некотором промежутке, если из неравенства х1 < х2 (Хц х2 — любые две точки из данного промежутка) следует неравенство / (хг) < / (х2).

На первый взгляд может показаться, что возрастание функции в некотором промежутке является очевидным следствием ее возрастания в каждой точке этого промежутка. Однако этот факт не так уж очевиден. В точке возрастания х0 значение функции больше, чем ее значения в точках, близких к х0 и лежащих слева от нее, и меньше ее значений в соседних точках, лежащих справа от нее. Но из этого не следует, что, взяв две точки, близкие к точке возрастания и лежащие по одну сторону от нее, мы обязательно обнаружим, что в точке с большей абсциссой значения функции также больше. О том, что в подобных вопросах ссылка на очевидность часто ведет к ошибке, свидетельствует следующий пример.

Рассмотрим поведение функции у = х— [х] на интервале (0,2). В каждой точке хь этого интервала значение функции таково, что в близких к ней, но лежащих правее от нее точках интервала значения функции больше, чем в точке А'0 (в таком случае принято говорить, что функция «возра-

стает справа»). Казалось бы, что функция, обладающая этим свойством, должна быть монотонно возрастающей на всем интервале. Но, как видно из чертежа 13, рассматриваемая функция не является возрастающей на всем интервале (0,2)1.

Докажем теперь (используя известное свойство непрерывной на сегменте функции: достижения ею наибольшего и наименьшего значения) теорему:

Если в каждой точке х промежутка имеет место неравенство У (х) > 0, то функция f (х) является возрастающей на этом промежутке.

Из условия /' (х) > 0 следует, что каждая точка промежутка является точкой возрастания функции f(x). Кроме того, из существования производной функции / (х) следует, что / (х) непрерывна на том же промежутке.

Допустим, что / (х) не является возрастающей на всем промежутке, т. е. найдутся такие две точки хх и х2 промежутка, что *! < х21 а / (х2) <; / (jct). Из непрерывности функции / (х) на сегменте [хх, х2] следует, что f (х) принимает в некоторой точке С этого сегмента наибольшее значение. Эта точка С является внутренней точкой сегмента [xlt х2]: совпадать с хг она не может, потому что хх является точкой возрастания (поэтому в точках, близких к ней справа, значения функции больше, чем в хх)\ с х2 точка С совпасть также не может, так как / (х2) / (хх). Но такая точка С не является точкой возрастания (значения функции справа от нее не больше, чем в ней самой), а это противоречит полученному выше выводу о том, что все точки промежутка являются точками возрастания. Таким образом, предположение о том, что / (х) не является возрастающей на промежутке, неверно, и этим утверждение доказано. Аналогично доказывается, что из f (х) < 0 следует, что функция / (х) убывающая.

В процессе доказательства мы фактически пользовались тем, что функция является непрерывной и возрастающей справа, т. е. в случае непрерывной функции из возрастания

Черт. 13.

1 Ниже приведен также пример функции, имеющей точку возрастания, но не возрастающей ни в каком малом интервале, содержащем эту точку.

справа в каждой точке следует возрастание на всем промежутке (сравните с приведенным выше примером).

О максимуме и минимуме функции

Легко сообразить, что точки максимума и минимума не могут быть точками возрастания или убывания функции. Из этого сразу следует необходимое условие экстремума: для того чтобы функция имела в данной точке максимум или минимум, необходимо, чтобы в этой точке производная функции была равна нулю1 или не существовала.

Это условие не является, однако, достаточным, так как существуют такие точки возрастания и убывания (вспомним точки перегиба и точки излома), в которых производная равна нулю или не существует.

Черт. 14.

Интересно отметить, что даже в случае непрерывной функции могут существовать точки, не являющиеся ни точками возрастания или убывания, ни точками максимума или минимума. Такой, например, является точка х = О для непрерывной функции (черт. 14)

1 Точку, в которой производная равна нулю, называют стационарной (в такой точке скорость изменения функции обращается в нуль).

Из доказанной выше теоремы о достаточных условиях монотонности легко получить достаточные условия экстремума (т. е. максимума или минимума). Если в непосредственной близости от точки х0 (в которой f (х0) = 0) в точках, лежащих левее х09 производная f (х) положительна (отрицательна), а в точках, лежащих правее х0, производная f (х) отрицательна (положительна), то функция является возрастающей (убывающей) слева от х0 и убывающей (возрастающей) справа от х0, а поэтому функция / (х) имеет в точке х0 максимум (минимум).

Черт. 15.

Обратим внимание читателя на то, что получаемые таким путем достаточные условия экстремума не являются необходимыми. Так, функция может иметь экстремум в точке, несмотря на то что вблизи этой точки имеются (как слева, так и справа) точки, в которых производная то положительна, то отрицательна. На чертеже 15 изображен график функции, производная которой при х = 0 равна нулю, но вблизи точки X = 0 (как слева, так и справа) f (х) принимает и положительные и отрицательные значения. Вместе с тем точка X = 0 является точкой минимума. Кстати, здесь мы видим нестрогость приема, заключающегося в том, что, выяснив знак первой производной в одной точке слева и в одной точке справа от стационарной точки, судят об ее знаке в точках, близких к стационарной точке слева и справа.

Как указывалось ранее, существуют функции, которые имеют точку возрастания, но не являются возрастающими ни в каком интервале, содержащем эту точку. Рассмотренный выше пример дает возможность легко представить себе такую функцию. В самом деле, если положить

то для этой функции точка х = О будет точкой возрастания, но ни в какой окрестности этой точки функция не будет возрастающей.

Черт. 16.

Сделаем теперь замечание относительно нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Для определения наибольшего (наименьшего) значения функции нет необходимости устанавливать, в каких точках функция имеет максимум (минимум). Достаточно найти значения функции в точках, где она может иметь экстремум, а также на концах сегмента, на котором она рассматривается, и среди этих значений взять наибольшее (наименьшее).

Кроме того, если функция имеет лишь одну точку экстремума, то значение функции в такой точке будет наиболь-

шим или наименьшим ее значением. Последнее легко разъяснить следующим образом: если функция имеет одну точку максимума, то она не может в какой-то другой точке принимать большее значение, чем в этой точке, так как между такими двумя точками была бы точка минимума.

Интересно отметить, что последний вывод оказывается ошибочным в случае функции двух переменных, которая при наличии одной только точки экстремума может принять наибольшее и наименьшее значение в других точках. Читатель легко представит себе такую возможность, если вспомнит, что, двигаясь от точки максимума к точке с еще большим значением функции, можно пройти через точки, над которыми график функции (т. е. поверхность) имеет седлообразную форму (как у гиперболического параболоида), и не встретить точки минимума. На чертеже 17 дан график функции, определенной в области KLM, имеющей максимум в точке А, наибольшее значение в точке В и «седловую» точку О, в которой нет ни максимума, ни минимума.

В заключение обратимся к одному небезынтересному примеру. Пусть точка С (черт. 18), лежащая вне окружности, неподвижна, а точка M описывает единичную окружность. Из чертежа видно, что расстояние от С до M будет минимальным, когда точка M совпадет с точкой А (с аб-

Черт. 17.

Черт. 18.

сциссой 1) и максимальным, когда M совпадет с ß (с абсциссой — 1), так как при отклонении точки Al вдоль окружности вверх и вниз от точки А (В) длина отрезка СМ становится больше (меньше), чем при совпадении M с А (В). Пээтому производная функции, выражающей расстояние от С до M (а также функции, дающей квадрат этого расстояния), должна равняться нулю при х = 1 и х = — 1 (вспомните необходимое условие экстремума). Но квадрат расстояния d2 от С до M равен (л:—2)2 —[— у2, где х и у координаты точки М, итак как последняя лежит на окружности, то у2 = 1 — X2. Подставив выражение у2 в формулу для d2, получим d2 = — 4х + 5. Но производная от d2, равная — 4, отлична от нуля при всех значениях х. Отыскание ошибки предоставим читателю.

О «плавных кривых»

Кривые, которые в школе без надлежащих пояснений называются «плавными», по-видимому, характеризуются не только отсутствием разрывов, но и существованием в каждой точке касательной, угловой коэффициент которой меняется непрерывно, когда точка касания описывает кривую. Поэтому к «плавным кривым» следует отнести графики функции, которые не только непрерывны, но имеют также непрерывную производную. Впрочем, к числу «плавных кривых» можно отнести и графики некоторых функций, не имеющих производных в отдельных точках. Так, например, график функции у = уГх (черт. 19) школьники, по-видимому, отнесут к «плавным кривым», хотя функция у = Yх не имеет производной в точке х = 0. Заметим, что в нашем изложении производная предполагается несуществующей, если она обращается в со. Мы считаем, что обращение производной в бесконечность должно в школе рассматриваться как ее несуществование, так как школьникам трудно будет разобраться в расширении понятия производной, при котором ранее исключенная из категории чисел бесконечность принимается за значение производной.

Черт. 19.

В математическом анализе рассматриваются так называемые гладкие кривые, которые, в отличие от школьных «плавных кривых», строго определяются наложением определенных условий на функций, графиками которых являются эти кривые. Одно из таких условий заключается в требовании непрерывности производной, а иногда и в непрерывности производных высших порядков от функции, определяющей график (см., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, Гостехиздат, 1947, стр. 674—675).

§ 3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

О производной и вычислении ее в школе

Определению понятия производной принято предпосылать рассмотрение понятия касательной. Нам представляется целесообразным начинать такое рассмотрение в школе с вопроса о том, чем вызван интерес к касательной. Сделать это можно следующим образом, обратившись к простому графику.

Черт. 20.

График функции у = х2 получают в результате нанесения нескольких точек (после составления «таблички») и соединения их «плавной кривой». Но при строгом подходе должны возникнуть такие вопросы:

1. Почему такая кривая обязана быть сплошной? Не может ли она иметь разрыв (черт. 20, а)?

Черт. 20, в.

2. Из чего следует, что эта кривая обращена везде выпуклостью вниз? Ведь через нанесенные точки можно провести и кривую волнообразного вида (черт. 20, б)?

3. Имеется ли уверенность, что на кривой нет «изломов»? Из чего, например, следует, что кривая не имеет заострения в начале координат (черт. 20, в)?

Поставив перед учащимися такие вопросы, следует разъяснить, что никаким увеличением числа нанесенных точек решить их нельзя, так как мы можем построить лишь ограниченное количество точек. Следовательно, для решения поставленных вопросов требуются более глубокие методы исследования, чем вычисление значений функции в отдельных точках.

Здесь можно пояснить учащимся, что первый вопрос решается путем доказательства непрерывности функции у = je2, а второй и третий — установлением (с помощью других исследований функции) существования касательной в каждой точке графика и расположения касательной относительно графика.

На определении производной, ее геометрическом и механическом истолковании мы не останавливаемся, так как все это хорошо изложено в том же пособии под редакцией А. И. Маркушевича. Сделаем только замечание о разъяснении учащимся того, что производная является функцией.

Соображения по этому поводу, изложенные в § 1 настоящей главы, вряд ли доступны среднему ученику. Поэтому здесь лучше сослаться на геометрическое толкование производной. Ведь значения х служат абсциссами точек (х, / (х)) графика функции, в каждой из которых (если производная существует) можно провести касательную к графику, которая при этом образует определенный угол ср с осью абсцисс. Каждому значению ф соответствует определеннее значение tg ф, которое равно /' (х). Значит, каждому значению х соответствует определенное значение f (х), и поэтому / (х) является функцией от х. Это объяснение следует подкрепить построением наряду с графиком функции графика ее производной (хотя бы для одной-двух простых функций).

Что касается вычисления производной, то мы сделаем также несколько частных дополнений к изложенному в пособии под редакцией А. И. Маркушевича.

Нам представляется желательным ознакомление учащихся с таким геометрическим выводом формул для производных от синуса и косинуса.

Сначала покажем, что и синус и косинус являются непрерывными функциями. На чертеже 21 изображена единичная окружность, два угла — х и х + Ах — и соответствующие приращения синуса и косинуса. Из этого чертежа видно, что для любых значений х и Ах имеем

Значит, при Ах -» 0 приращения синуса и косинуса также стремятся к нулю, т. е. эти функции непрерывны.

Переходя к отысканию производной синуса, запишем Д sin X в виде

Черт. 21.

Так как отношение длины хорды AB к длине стягиваемой ею дуги Ах стремится к единице при Ах-* Ü (это следует из того, что lim - = 1), то

Но ~ = sin(Z ВАС), a Z ВАС стремится при Ах —0 и AB

Z DAC между карательной и стороной АС, поэтому sin(Z ВАС) ->sin(/ DAC)

Таким образом,

Вполне аналогично можно получить производную косинуса. Производные синуса и косинуса можно также вычислить исходя из физических соображений без ссылок на предел отношения при х -> О (см. «Детская энциклопедия», т. 3, изд. АПН РСФСР, 1959, стр. 167—168). Отметим, что при таком определении производной синуса предел отношения sin л: к л: при х -* 0 можно найти совсем просто. Действительно,

Второе дополнение относится к формуле для производной от степени функции. В том же пособии эта формула применена только к разложению степени бинома. Между тем этой формулой можно воспользоваться для расширения множества тех функций, которые учащиеся умеют дифференцировать. В частности, желательно показать, как применить эту формулу для вычисления производных от функций типа

у = Ух -J-a, # = y^sinA: так (рассуждая так, как указано выше, в § 1 настоящей главы).

О возрастании и убывании функции

Вывод достаточного условия возрастания (убывания) функции представляет, как было показано выше, некоторые трудности. В пособии под редакцией А. И. Маркушевича это условие приводится без доказательства. Нам представляется, однако, что это не наилучший выход из положения.

Мы считаем более подходящим такое решение вопроса. Ввести понятие точки возрастания и точки убывания (напомним, что, введя такое понятие, можно позже очень просто получить, как это показано выше, необходимые условия максимума и минимума). Далее следует установить условия возрастания и убывания функции в точке (/' {х0) ^ 0) и получить указанное достаточное условие монотонности на промежутке, сославшись (без доказательства) на факт возрастания (убывания) функции в промежутке, все точки которого являются точками возрастания (убывания) функции. На занятиях математического кружка можно провести дока-

зательство полностью, как это показано в § 2 настоящей главы, разъяснив предварительно свойство достижения непрерывной на сегменте функцией наибольшего и наименьшего значения.

Максимум и минимум

Переходя к вопросу об исследовании функции на экстремум, напомним еще раз о ранее изложенном «принципе остановки». Согласно этому принципу в точках экстремума величина «не течет ни вперед, ни назад», или геометрически — «касательная не наклонена ни в одну, ни в другую сторону». Такая наглядная характеристика экстремумов может быть использована при рассмотрении вопроса в школе. Определение точек максимума и минимума следует давать полные, чтобы не было повода для смешения экстремума с наибольшим и наименьшим значением функции. Определив точку максимума функции как точку, в которой значение функции больше, чем ее значения в непосредственной близости от этой точки, следует привести геометрические иллюстрации, сопровождая их разъяснениями в духе «принципа остановки». Затем определение должно быть уточнено: для точки максимума должен существовать такой содержащий ее интервал, что значение функции в этой точке больше ее значений в остальных точках интервала. Аналогично можно определить точку минимума.

Необходимые, а также достаточные условия экстремума можно получить так, как указано выше, в § 2 настоящей главы.

Можно обратить внимание учащихся и на такое механическое объяснение необходимого условия экстремума. Если рассматривать функцию как выражение для расстояния движущегося прямолинейно тела от некоторой точки прямой, то в момент, когда функция принимает наибольшее или наименьшее значение, ее производная должна обращаться в нуль. Действительно, в момент достижения наибольшего расстояния тело должно остановиться (так как направление движения меняется на обратное) и скорость его становится равной 0.

О направлении выпуклости кривой

О направлении выпуклости кривой можно рассказать в школе следующее. Дуга кривой называется обращенной выпуклостью вверх (вниз), если касательная в каждой ее точке лежит выше (ниже) дуги. Сославшись на чертеж, можно заметить, что на участках, обращенных

выпуклостью вверх, угол между касательной и осью абсцисс, а значит, и первая производная у' убывает с ростом х> а на участках, обращенных выпуклостью вниз, у' возрастает. Принимая во внимание условие монотонности, заключаем, что выпуклость вверх (вниз) обеспечена там, где

(у')' < 0 (у'У > 0).

Графическое решение уравнений

На занятиях математического кружка желательно упомянуть также о точках перегиба и способе их отыскания.

Одним из важных приложений приемов исследования графиков функций является приближенное решение уравнений. Между тем в сборнике задач по алгебре П. А. Ларичева имеется много задач, показывающих практическое применение теории экстремумов, но нет примеров использования уже построенных графиков функций. Нетрудно придумать такие примеры. Для этого можно использовать, в частности, имеющиеся в задачнике упражнения на построение графиков функций. Так, например, рассматривая график функции у = хл — 4лс2, можно тут же предложить определить приближенно корни уравнения х4 — 4х2 — х + \ — 0 (для этого надо найти абсциссы общих точек кривой у = х* — 4х2 и прямой у = X — 1). Не следует, однако, ограничиваться лишь алгебраическими уравнениями. Так, например, можно рассмотреть уравнения:

Черт. 22.

Обращаем внимание читателя на то, что в некоторых учебниках и учебных пособиях допускается следующая неточность: утверждается, что при графическом решении уравнений следует определить абсциссы точек пересечения соответствующих графиков. Между тем правильнее говорить об абсциссах общих точек графиков, так как кривые могут касаться в некоторых точках, а абсциссы таких точек также являются корнями уравнения. Так, например, если бы

мы стали решать графически уравнение Xs — Зх + 2 = О, то, построив графики функции у = х3 и у = ох — 2 (черт. 22), получили бы, что кубическая парабола и прямая имеют одну точку пересечения с абсциссой х = — 2 и одну точку касания с абсциссой х = 1. Оба эти значения являются корнями данного уравнения (что можно сказать о третьем корне уравнения?).

В качестве приложения производной к решению уравнений можно на математическом кружке также заняться исследованием кубического уравнения, методом касательных (Ньютона) приближенного решения уравнений и т. п.

Приближенные вычисления

Переходим к вопросу о применении производных к выводу приближенных формул и вычислению значений функции. Известно, что в анализе этот вопрос решается с помощью дифференциалов и формулы Тейлора. Нам представляется, что и в школе кое-что можно сделать в этом направлении.

Если не вводить понятия дифференциала, следует все же на математическом кружке обратиться к вытекающему из определения производной соотношению

Ду'= у' Ах -\-akx. Нетрудно разъяснить, что при малых Ал: получается приближенное равенство1

Ay zxy'Ax, а затем переписать его в виде f(x) - f(x0) « f'(x0)(x - х0), f{x) « /(*,) - /'(*„)(* - *<>)• Пользуясь этим соотношением, можно затем получить приближенные формулы (при малых значениях х):

Kl+*~l-f-— X, sin лгал;

и применить их к конкретным числовым примерам. Заметим, что последняя формула поможет школьникам избавиться от представления, будто в любом случае можно вместо угла в радианах записывать его значение в градусах, и наоборот.

Теорема Безу, бином Ньютона

Формула Тейлора, очевидно, не может служить предметом рассмотрения в школе. Но некоторые вопросы, связанные с этой формулой для случая многочлена, могут быть изучены на математическом кружке. Покажем, как это сделать.

1 При А Х-+0 а также стремится к нулю, и отбрасываемое слагаемое является бесконечно малой высшего порядка, чем А х.

Начать можно с известного соотношения, получаемого при выводе формулы для корней квадратного уравнения

Указав на то, что это равенство найдено искусственным приемом, следует показать, как его получить по определенным правилам. Попытаемся представить квадратный трехчлен в виде суммы степеней двучлена х +—, помноженных на постоянные (в третьем слагаемом двучлен взят в нулевой степени). Теперь остается определить неизвестные коэффициенты А, В, С. Нетрудно заметить, что, положив в обеих частях равенства х = —~, получим

Далее приравняем производные обеих частей равенства (%*)

Если в это равенство подставить х = — —, то узнаем, что В = 0. Взяв еще раз производную, найдем 2 = 2Л, т. е. А = 1. Подставив найденные значения коэффициентов, получим требуемое равенство1.

Это рассуждение должно послужить поводом для изучения более общего вопроса о разложении произвольного многочлена Р (х) по степеням х — а. Если многочлен л-й степени, такое представление следует искать в виде

Р(х) = А(х — а)п + В(х — а)*-1+ ... + L(x — а)+М

(так как хк можно представить в виде суммы степеней разности (х — а), если учесть, что хк = [(х — a)-\-a)]k.

1 Это равенство можно получить иначе, исследуя квадратный трехчлен при помощи производной, как это сделано в пособии под редакцией А. И. Маркушевича (стр. 277—280).

Очевидно, что M найдем, подставив х = а,

М=Р{а).

Взяв, подобно предыдущему, производную

Р' (х) = пА(х — а)"-1 + (п — 1) В(х — а)"-2 + ... +L и подставив х = а, получим

L = P'(a).

Далее можно объяснить (не проделывая самих операций), что повторное дифференцирование даст возможность найти и остальные коэффициенты. Этот вывод следует закрепить на простых примерах, например на многочленах третьей степени.

Чем же полезно последнее рассмотрение? Прежде всего оно покажет учащимся, что результаты, получаемые элементарно искусственными приемами для простейших случаев, можно, используя производные, получить в форме готового правила, и притом для общего случая.

Но дело не только в этом. Рассмотренная формула (пусть в ней даже не все коэффициенты выражены в общем виде через значения производных от Р (х)) дает возможность совсем просто доказать теорему Безу. Действительно, правая часть формулы (а значит, и левая) делится без остатка на х—а только при условии M = 0, т. е. Р (а) = 0. Таким образом, многочлен Р (х) делится на х — а без остатка тогда, и только тогда, когда а является корнем многочлена Р {х). Но это и есть теорема Безу.

Отметим также, что из теоремы Безу вытекает признак кратности корня многочлена. Действительно, записав равенство

Р(х) = (х- a)Q(x)+P(a)

в виде

Р(х)-Р(а) = ш X — а

и перейдя к пределу х-+а, получим P'(a) = Q(a).

Но чтобы число а было кратным корнем многочлена Р (х), оно должно быть корнем многочлена Q (х), т. е. Q (а) должно равняться нулю. Значит, для кратности корня а требуется обращение в нуль не только Р (а), но и Р' (а).

Подобно формуле Тейлора для многочлена (но еще проще) можно получить формулу бинома Ньютона. В самом деле, (х + а)п является многочленом n-й степени. Пусть Ах, А2, Ап — неизвестные коэффициенты такого многочлена:

(X + а)" = х» + At*-* + А2х^ +... + Ап_хх + Ал. Положив в этом тождестве х = О, получим

Ап = а\

Возьмем производную от обеих частей тождества

п (х -\- а)п~1 = пхп~1 + Ах (п — 1) хп~2 + ... + Vi-Положим снова х = 0 и найдем

Vi = лв*"1.

Продолжив этот процесс дифференцирования и подстановки нуля вместо ху мы определим все коэффициенты и получим формулу бинома Ньютона (более подробно вывод этой формулы изложен в пособии под редакцией А. И. Маркушевича, стр. 253—254).

Связь между некоторыми формулами геометрии

Обратимся к установлению связи между некоторыми формулами школьного курса геометрии. Функция 2nR, выражающая длину окружности через радиус, является производной функции я/?2, выражающей площадь круга; площадь боковой поверхности цилиндра 2nRH является производной от объема цилиндра JiR2H (как функции радиуса основания); площадь поверхности шара 4л/?2 является производной объема шара - nR*. Нетрудно установить подобную зависимость между объемом и площадью боковой поверхности конуса. Из чертежа 23 легко получить формулу для объема конуса

где X — длина перпендикуляра, опущенного из центра основания на образующую. Найдем производную от V по X

Черт. 23.

Так как отношение - равно длине L образующей, то V = nRL, т. е. производная объема равна площади боковой поверхности конуса.

Чем же вызваны установленные зависимости и как их можно будет объяснить школьникам? Мы остановимся на случае круга и конуса (для цилиндра и шара вопрос решается аналогично).

Площадь AS кольца, ограниченного окружностями (черт. 24), представляет собой приращение площади nR2 внутреннего круга, вызванное приращением AR его радиуса. Предел отношения — , когда AR -> 0, является производной функции nR2, и поэтому он равен 2nR. Как же выяснить, является ли 2nR длиной внутренней окружности, если не считать этот факт заранее известным?

Чтобы ответить на этот вопрос, разрежем кольцо (например, вдоль отрезка AB) и, считая его резиновым, «выпрямим» так, чтобы получился прямоугольник, ширина которого равна AR. При этом можно (сжав наружную границу кольца) получить прямоугольник, длина которого равна длине С, меньшей окружности; или (растянув внутреннюю границу кольца) получить прямоугольник, длина которого равна длине С2 большей окружности. Так как первый раз происходило сжатие, а второй раз —растяжение, то площадь первого прямоугольника меньше, а второго — больше площади кольца, т. е.

Черт. 24.

При стремлении AR к нулю С2 стремится к Cl% а поэтому - -» Сх> т. е. производная площади круга равна длине окружности.

Обратимся теперь к конусу. Как видно из чертежа 25, объем AV слоя, расположенного между двумя конусами,

Является приращением объема внутреннего конуса, вызванным приращением Ах длины перпендикуляра, опущенного из точки О на образующую (угол а у обоих конусов один и тот же). Предел отношения — при Ал; -» О, являясь производной объема V конуса, равен (как показано выше) nRL.

Покажем, что последнее произведение равно боковой поверхности конуса. Для этого рассечем рассмотренный слой (например, по трапеции A BCD) и «развернем» его. При этом, сжимая или растягивая указанный слой, можно получить цилиндры высотой Ал: с основаниями в форме секторов, площадь которых равна площади S1 боковой поверхности внутреннего конуса или площади S2 боковой поверхности внешнего конуса. Объем AV больше объема SxAx первого цилиндра и меньше объема S2Ax второго цилиндра. Поэтому отношение ^больше 5L и меньше S2. Так как при Ал: -* О имеем S0 т. е. полученное значение производной V = nRL равно площади Sx боковой поверхности конуса.

Черт. 25.

Вывод основных формул тригонометрии

Обратимся теперь к тригонометрии. Известно, что формулы школьного курса тригонометрии легко получаются из формулы тригонометрической единицы и теорем сложения. Эти последние основные соотношения нетрудно получить, исходя из теории линейных дифференциальных уравнений. Но оказывается, что они могут быть установлены без ссылок на эту теорию, если только выведены производные синуса и косинуса и дано понятие второй производной (а это предусмотрено новой программой). Прежде чем показать, как это осуществить, сделаем два замечания.

При выводе формул для производных синуса и косинуса используются теоремы сложения. Чтобы в приводимых ниже рассуждениях читатель не усмотрел «пороч-

ного круга» (в нижеследующем выводе теорем сложения используются эти производные), напомним, что формулы для производных синуса и косинуса можно получить из физических соображений без использования теорем сложения (см. замечание в §2 настоящей главы).

Второе замечание относится к предложению, обратному простейшему факту: производная постоянной равна нулю. Обратное предложение: если производная функции всюду равна нулю, то сама функция есть постоянная. Оно легко получается из теоремы Лагранжа, которая, однако, неизвестна членам кружка. Поэтому им следует разъяснить этот факт, сославшись на то, что, поскольку производная функции всюду равна нулю, касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс, а поэтому и сам график должен быть прямой, параллельной оси абсцисс, т. е. функция является постоянной. Можно указать и другое соображение: раз производная функции, т. е. скорость изменения функции, равна нулю, то функция должна быть постоянной.

А теперь получим вышеуказанные формулы. Легко заметить, что каждая из функций у = sin jc, у = cos х, у = sin (х+а), у = cos (х+а) обладает тем свойством, что сумма функции и ее второй производной равна нулю

у + у" = о. (1)

Умножим обе части этого равенства на 2у'

2 УУ' + 2 у'у" = 0.

Нетрудно сообразить, что последнее равенство можно записать в виде

(у2 + у'2)' = 0.

Чтобы в этом убедиться, нет необходимости в знакомстве с теоремой о производной сложной функции, достаточно знать только правила для производной суммы и произведения двух функций. Но раз производная выражения в скобках оказалась равной нулю, то, как указывалось выше, само это выражение должно быть постоянным

уа + /а = const. (2)

Этим последним свойством должна обладать каждая из указанных четырех функций, так как все они обладали

свойством, выраженным равенством (1). В частности, если в равенстве (2) вместо у и у' записать sinx и его производную cos л:, то получим

sin2 X + cos2 X = const.

Но при X = 0 левая часть этого равенства обращается в единицу, а так как она должна быть постоянной, то она равна единице при любом х> т. е. мы пришли к требуемой формуле

sin2 X + cos2 X = 1.

Остается доказать одну из теорем сложения, например, формулу для синуса суммы (простым дифференцированием из нее получается формула для косинуса суммы). Ввиду того, что функции sin X, cos X, sin (х+а) обладают свойствами (1) и (2), можно попытаться представить последнюю из них с помощью первых двух, например, в виде суммы синуса и косинуса, умноженных на какие-то постоянные:

A sin X + В cos X.

Иными словами, следует выяснить возможность отыскания таких значений А и В, чтобы функция

у = sin (х+а) — Л sin л: — В cos х (3)

была равна нулю при любом значении х.

Легко проверить, что эта функция (3) также обладает свойством (1), а значит, и свойством (2). Из свойства (2) следует, что если хоть при одном значении х функция у и ее производная у" будут равны нулю, то сумма у2+у/2, будучи равной постоянной, обязана равняться нулю при любом X. Но в этом случае будет равна нулю сама функция у при всех X, так как из равенства нулю суммы двух неотрицательных слагаемых следует, что каждое из них равно нулю. Таким образом, дело сводится к отысканию таких А и В, чтобы у и у7 равнялись нулю при одном значении X, например при х=0. А для этого достаточно подставить х=0 в функцию (3) и ее производную, приравнять полученные выражения нулю, и мы получим, что В = sin а и А = cos а. Значит, при таких А и В функция (3) тождественно равна нулю, и поэтому

sin (х+а) = cos a sin х + sin a cos х.

В заключение укажем, что для обеспечения усвоения вывода последней формулы требуется очень четкое изложение. В целом же ознакомление кружковцев с возможностью нового подхода к известным фактам геометрии и тригонометрии при помощи производной способствует повышению интереса к новой теме, особенно на тех занятиях, которые заполнены общими понятиями и формулами. Наконец, с точки зрения приобщения членов кружка к научному мышлению, а это должно быть основной целью занятий кружка, рассмотренные выше рассуждения весьма полезны.

О числе е

В популярной литературе для школьников число е встречается довольно часто1.

Однако известные доказательства существования этого замечательного предела несколько громоздки для школьников2. Мы предлагаем для рассмотрения на математическом кружке следующее, на наш взгляд менее громоздкое, доказательство.

Требуется доказать, что последовательность ^ 1-)-— Y стремится при п -» оо к пределу (его обозначают буквой е). Для этого достаточно (согласно известному школьникам признаку Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной переменной) доказать, что с ростом п величина 11 + — монотонно возрастает (точнее, не убывает) и остается меньше некоторого числа (т. е. ограничена сверху).

Возрастание этой величины будет доказано, если мы установим справедливость неравенства (для всех натуральных /г).

(1)

В ограниченности сверху можно убедиться, доказав неравенство

1 См., например А. А. Колосов, Книга для внеклассного чтения по математике (для IX класса), Учпедгиз, М., 1963; «Детская энциклопедия», т. 3, изд. АПН РСФСР, 1959.

2 См. любой курс анализа, а также: В. И. Левин, О числе е, «Математическое просвещение», вып. 6, Физматгиз, М., 1961.

Действительно, установив неравенство (2), мы покажем, что величина убывает с ростом п, а поэтому наибольшее ее значение, получающееся при л = 1, равно 4. Но тогда и величина + — j"» которая меньше, чем + — y+1, должна быть меньше 4.

Для доказательства неравенств (1), (2) преобразуем их следующим образом:

или

Но оба последних неравенства будут одновременно доказаны, если мы покажем, что функция v ;— принимает наименьшее значение при х = n, а это легко установить, исследовав эту функцию на экстремум с помощью производной.

Отметим, что можно обойтись и без производной, но для этого следует: 1) получить соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим п чисел и установить с его помощью, что произведение нескольких положительных чисел, сумма которых постоянна, будет наибольшим, когда эти числа равны между собой;

2) с помощью подстановки —— = U преобразовать выражение- к виду

ГЛАВА IV

ИНТЕГРАЛ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

Из истории возникновения понятия интеграла

О работах математиков античной древности мы скажем очень коротко. Такие математики, как Демокрит и особенно Архимед, достигли значительных успехов в вычислении площадей и объемов многих фигур и тел с помощью метода, который принято называть методом неделимых. Этот метод заключается в разложении фигур и тел на такие сверхчувственно малые, но конечные по размерам элементы, которые, будучи взяты в конечном количестве, составляют всю фигуру или тело. В своих работах Архимед часто рассматривал вписанные и описанные ступенчатые фигуры, в которых можно усматривать геометрический аналог интегральных сумм. Подробнее читатель может познакомиться с этими вопросами в книгах С. Я. Лурье «Теория бесконечно малых у древних атомистов» (Изд. АН СССР, 1935) и «Архимед» (Изд. АН СССР, 1945). Отметим, что указанные представления вполне естественны с точки зрения чувственного восприятия: разбивая фигуру (тело) на полосы (слои), мы получаем конечное количество таких полос (слоев), которые при помощи имеющихся чертежных средств невозможно разделить на более тонкие части.

Значительно ближе подошли к понятию интеграла известные математики Иоганн Кеплер (1571—1630) и Беневентура Кавальери (1598—1647). Кеплер расширил область применения метода Архимеда. При этом он уже считал, что фигуры раскладываются на бесконечное число элементов, но эти последние не совсем лишены толщины. Дальнейший шаг был сделан Кавальери, считавшим, что

фигуры состоят из «линий», а тела из «плоскостей», лишенных толщины.

Хорошо известный школьникам принцип, носящий имя Кавальери, заключающийся в утверждении: если равны площади сечений, проведенных на одинаковой высоте в двух телах, то и объемы этих тел равны, — легко получается из этой концепции. В самом деле, раз два тела состоят из наложенных друг на друга попарно конгруентные (или равновеликих) плоских фигур, то одно тело получается из другого простым сдвигом (или деформацией с сохранением площади) отдельных фигур и поэтому их объемы равны. Следует отдать себе отчет в том, что, хотя сама формулировка принципа верна (о доказательстве мы скажем ниже), обоснование его нельзя считать удовлетворительным, так как, суммируя нулевые объемы плоских фигур (неделимых), нельзя получить отличный от нуля объем тела. Это понимал сам Кавальери, и, вместо того, чтобы говорить об объеме одного тела, он пользовался более осторожными формулировками, утверждая, что объемы двух тел относятся так, как относятся все неделимые, из которых состоят эти тела. Из этого, в частности, получается и рассматриваемый в школе принцип.

Понятие определенного интеграла получило дальнейшее развитие в работах Ферма, Паскаля, Валлиса. Эти математики не только вычислили (преимущественно в геометрической форме) ряд интегралов и нашли некоторые соотношения, преобразующие один интеграл в другой, но и в самом понимании интеграла сделали шаг вперед. Паскаль1, например, разъяснял, что под суммой ординат ZM при разбиении полукруга (черт. 26) на «неограниченное» число равных частей следует понимать «сумму неограниченного числа прямоугольников, составленных каждой ординатой с каждой из маленьких равных частей диаметра». Таким образом, Паскаль почти точно определил то, что теперь называют интегральной суммой. Правда, он говорил о «неограниченном числе» прямоугольни-

Черт. 26.

1 См.: Вилейтнер, Хрестоматия по истории математики, ГТТИ, М., 1932, стр. 80—81.

ков, но это он вынужден был делать из-за отсутствия четкого представления о предельном переходе.

Итак, еще до появления работ Ньютона и Лейбница содержание понятия определенного интеграла было в значительной мере выяснено. Ньютон и Лейбниц несколько уточнили это понятие.

Так, Ньютон указывает, что, если он рассматривает «величины как бы состоящими из постоянных частиц ... то следует разуметь, что это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы и не отношения конечных частей, а последние суммы и последние отношения исчезающих величин» (см. А. Н. Крылов, Избранные сочинения, т. VII, 1936, перевод работы Ньютона «Математические начала натуральной философии»).

В подобном рассуждении уже можно усматривать представление об интеграле как о пределе суммы бесконечно малых. Однако основная заслуга Ньютона и Лейбница заключается не в уточнении понятия определенного интеграла, а в установлении в общей форме понятий интеграла и производной, раскрытии их взаимосвязи, а также в создании алгоритма для вычислений.

Определение понятия интеграла

Чтобы легче проследить связь многих фактов школьного курса с интегральным исчислением, напомним и уточним некоторые вопросы, касающиеся определенного интеграла.

Разбивая сегмент la, b 1, на котором определена функция / (х), на п частичных промежутков, длины которых обозначаются AxL, и беря в каждом промежутке произвольную точку С;, составим так называемую интегральную сумму

Геометрический смысл этой суммы заключается в том, что она равна сумме площадей прямоугольников (черт. 27) с длинами сторон Axt и / Предел, к которому стремятся интегральные суммы 8п, когда наибольшая из длин Ах. (обозначим ее через Ï) стремится к нулю, называется определенным интегралом функции f (х) в промежутке от а до b и обозначается символом

Коротко можно записать:

Заметим, что сумма àn не есть однозначная функция от /, так как она зависит еще от способа разбиения на частичные промежутки и выбора точек £/в Поэтому речь здесь идет не об обычном пределе функции, а о пределе величины в смысле определения (£), рассмотренного в § 1 главы II. Роль элемента у играет здесь комбинация из 2п-{-1 точек: из n -f- 1 точек х0 = a, xv х2> ... , хп = Ь, с помощью которых сегмент [а, Ь] разбит на п отрезков, и п промежуточных точек £lf £2, ..., £я. Функцией <р (у) является здесь / = max Axlt а роль величины U (у) играет здесь оя.

Определение определенного интеграла может вызвать много вопросов: всегда ли существует интеграл; каковы условия существования интеграла, если он не всегда существует; нельзя ли вычислить интеграл, не прибегая к непосредственному нахождению пределов интегральных сумм и т. п. Ответ на такие вопросы можно найти в большинстве курсов математического анализа.

Черт. 27.

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Площадь фигуры

Из чертежа 27 видно что 8п является лишь приближенным значением площади S криволинейной трапеции A BCD. Но при / -+ 0 «кусочки» прямоугольников, выходящие за пределы трапеции, и «кусочки» трапеции, не покрытые прямоугольниками, становятся все меньше и меньше, и поэтому Ьп —» S, т. е. интеграл равен S.

Такое объяснение имеет, однако, два недостатка: а) нельзя говорить о площади криволинейной трапеции, не дав предварительно определения площади такой трапеции, б) из стремления к нулю площадей отдельных кусочков не следует, что сумма этих площадей стремится к нулю, так как при / -> 0 число таких кусочков растет неограниченно.

Эти дефекты легко устранить путем введения такого определения: площадью криволинейной трапеции называется предел, к которому стремится площадь 6п фигуры, состоящей из указанных прямоугольников, когда их наибольшая ширина стремится к нулю. После этого равенство интеграла и площади трапеции не требует комментариев. Но такое неуязвимое с точки зрения математической строгости определение вызывает некоторую неудовлетворенность из педагогических соображений: почему выбор пал именно на такое определение площади? Оно не совсем убедительно и с точки зрения интуитивного представления о площади. Поясним это подробнее.

Человек имеет представление о площади, вытекающее из повседневного опыта. Так, например, зная, что на покраску 1 м2 пола требуется 100 г краски, можно считать (приближенно) что пол круглой башни имеет площадь 20 м2, если на его покраску пошло 2 кг краски. Подобное практическое определение площади можно провести и с большей точностью, например, узнав вес квадратного сантиметра гладкой бумаги, вырезать из нее эллипс и, взвесив его на достаточно точных весах, узнать его площадь.

И вот, с интуитивной точки зрения, было бы целесообразно показать, что интеграл и площадь фигуры равны, установив, что сумма площадей указанных «кусочков» стремится к нулю. При этом кет необходимости в точном определении суммы площадей этих «кусочков» — доста-

точно установить, что их можно поместить внутрь фигур (например, заключить в многоугольник), площадь которых легко определить, и убедиться, что площади этих фигур могут быть как угодно близки к нулю.

Такое решение вопроса можно осуществить следующим образом. Определим площадь фигуры как общее значение нижней грани площадей всех многоугольников, содержащих фигуру, и верхней грани площадей многоугольников, содержащихся в ней (если эти грани равны). Пользуясь этим определением, можно доказать, что интересующая нас сумма площадей «кусочков» стремится к нулю и поэтому площадь криволинейной трапеции равна интегралу. Этот вопрос подробно изложен в книге Г. Лебега «Об измерении величин» (Учпедгиз, 1938, второе издание — 1960).

Обратимся теперь к иному рассмотрению того же вопроса (предположим, что площадь фигуры существует). Это поможет нам вскрыть механизм приложения интеграла к вопросам измерения. Вернемся еще раз к чертежу 27, выделив из него для большей ясности часть фигуры ширины Ах{. (черт. 28) и построив маленький прямоугольник KLMN, содержащий дугу LN. Ясно, что площадь прямоугольника KLMN не меньше, чем разность между площадью криволинейной трапеции PLNQ и площадью заштрихованного прямоугольника. Но площадь прямоугольника KLMN стремится к нулю, когда А*. -» 0, ибо при этом и KN и KL стремятся к нулю (последнее следует из непрерывности кривой). Значит, разность между площадью криволинейной трапеции PLNQ, являющейся одной из полосок, на которые разбита вся криволинейная трапеция A BCD, и площадью соответствующего прямоугольника является бесконечно малой при &xt -» 0, и притом бесконечно малой высшего порядка, чем площади указанной трапеции и прямоугольника (так как оба измерения прямоугольника KLMN стремятся к нулю, а пло-

Черт. 28.

щадь равна их произведению). Обозначим площадь полоски через а, площадь заштрихованного прямоугольника через ß, а площадь прямоугольника KLMN через Y- Тогда

0< |а—ßl<Y> ß<«<ß+Y (или a<ß<a+Y).

Разделив все части неравенства на ß (a, ß, у — положительные), получим

Так как при Axt -+ 0 у есть бесконечно малая высшего порядка, чем ß, то ——► О и мы получим Р ,. а , lim — = 1.

Таким образом, мы установили, что при AxL -> 0 площади полосок, на которые разбита криволинейная трапеция, и площади соответствующих прямоугольников суть эквивалентные бесконечно малые, так как их отношение стремится к единице. Теперь остается показать, что и отношение суммы площадей всех полосок (т. е. площадь всей криволинейной трапеции) к сумме площадей всех прямоугольников также стремится к единице, и мы получим требуемое: площадь фигуры, составленной из прямоугольников, стремится к площади криволинейной трапеции, т. е. последняя равна соответствующему интегралу.

Подлежащий доказательству факт непосредственно следует из доказанного в §2 главы II предложения: предел суммы положительных бесконечно малых, количество которых неограниченно возрастает, не изменится, если каждое из слагаемых заменить эквивалентной ему бесконечно малой.

Схема приложения интеграла к измерению величин

Мы подробно остановились на возможности точного выражения площади фигуры с помощью соответствующего интеграла для того, чтобы сделать более общие выводы. Легко понять, что полученный нами результат относится не только к площади, так как подобные рассуждения можно провести также при измерении других величин (длины, объема, массы, ра-

боты и т. д.). Действительно, вышеизложенное позволяет утверждать, что, если разбивать подлежащую измерению величину на «части» и каждую из них заменить новой «частью», отличающейся от нее на бесконечно малую высшего порядка, то при дальнейшем неограниченном дроблении сумма этих новых «частей» будет стремиться к точному значению величины. Но предел этой суммы является интегралом. Вот почему, заменяя точное значение величины определенным образом составленными суммами, мы после перехода к пределу получаем интеграл, точно выражающий значение этой величины.

Проиллюстрируем сказанное примером, который ниже будет использован. На чертеже 29 изображено тело, которое (для упрощения решения вопроса) взято таким, чтобы контуры проекций на плоскость а близких друг к другу плоских сечений, перпендикулярных оси ОХ, не пересекались. Рассмотрим два близких сечения, взятых на расстоянии àxt друг от друга, и каждое из них примем за основание цилиндра высоты Ахг Плоскости сечений вырезают также «слой» данного тела толщиной А*,. Объем цилиндра с меньшим основанием (обозначим его площадь Р (х^) меньше, чем объем «слоя», но отличается от этого объема, меньше, чем от объема цилиндра с большим основанием, т. е. разность объемов «слоя» и меньшего цилиндра меньше, чем разность между объемами большего и меньшего цилиндров. Если данное тело разбивать плоскостями на «слои», толщина AxL которых все уменьшается, то для доказательства того, что сумма yiP(xi)Axi объемов меньших (внутренних) цилиндров стремится к объему тела, достаточно показать, что указанная разность между объемами большего и меньшего цилиндров есть бесконечно малая высшего порядка, чем объем меньшего цилиндра. Но это сделать нетрудно, если предположить, что площадь сечений меняется непрерывно при измене-

Черт. 29.

нии х. В самом деле, в этом случае объем тела, расположенного между цилиндрическими поверхностями, равен произведению Ах, на площадь, равную разности площадей оснований цилиндров, которая стремится к нулю вместе с Ах: (так как площадь сечений меняется непрерывно). Поэтому объем указанного тела есть бесконечно малая высшего порядка, чем объем внутреннего цилиндра, который равен произведению А*,, на площадь Р (xt) (последняя не стремится к нулю). Итак, мы показали, что объем тела равен

Принцип Кавальери

Из последней формулы получается в качестве простого следствия известный принцип Кавальери: Если два тела, содержащихся между парой параллельных плоскостей а и ß, обладают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью у, параллельной указанным плоскостям, всегда получаются равновеликие фигуры, то объемы этих тел равны.

Действительно, приняв за ось ОХ какой-нибудь перпендикуляр к плоскостям а и ß (черт. 30) и, приняв во внимание факт равенства площадей Р (х) фигур, полученных пересечением данных тел плоскостью у, мы убеждаемся в том, что объемы этих тел вычисляются одним и тем же интегралом, т. е. эти объемы равны.

Черт. 30.

Правило Симпсона

Как было сказано выше, интеграл J P(x)dx численно равен объему такого тела, у которого площади плоских сечений равны Р (х). Но исходя из рассмотренного в начале настоящей гла-

вы геометрического толкования интеграла как площади криволинейной трапеции, можно утверждать, что этот же интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = Р (х), снизу — отрезком оси ОХ, слева — отрезком оси ОУ и справа — отрезком прямой X = Н.

Остановимся на вычислении площади такой криволинейной трапеции, которая сверху ограничена дугой параболы у = ах2 + -f- bx + с (черт. 31). Эта площадь равна (здесь мы используем известную формулу Ньютона—Лейбница)

где у0, у2 — ордината крайних точек дуги параболы, а ух — ордината точки кривой с абсциссой — (средняя ордината).

Черт. 31.

Но вычисленный интеграл равен также, в соответствии с вышесказанным, объему тела высоты Н, площади сечений которого Р (х) = ах2 + Ьх + с. Ординаты же у0 и у2 численно равны в таком случае площадям крайних сечений (т. е. оснований), а ух — площади среднего сечения, полученного при пересечении тела плоскостью, перпендикулярной высоте тела и проходящей через ее середину. Таким образом, мы получаем следующее правило Симпсона1:

Если площади плоских сечений тела выражаются квадратной функцией от их расстояний от основания тела, то объем такого тела равен произведению шестой части

1 Томас Симпсон (1710—1761) — английский математик.

его высоты на сумму площадей его оснований и учетверенной площади среднего сечения.

Пользуясь этим правилом, можно совсем просто определить объем любого из рассматриваемых в школьном курсе тел (призмы, пирамиды, усеченной пирамиды, цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента), так как площади сечений этих тел могут быть представлены в виде квадратной (или линейной) функции расстояния сечения от основания.

Рассмотрим, например, конус (черт. 32). Из подобия треугольников (см. чертеж) следует

Черт. 32.

Откуда

и площадь сечения Р (х) (центр сечения—в точке х) равна

т. е. площадь сечения является квадратной функцией от X. Согласно правилу Симпсона получаем

Любопытно, что правило Симпсона остается в силе и в том случае, если площадь сечения Р (х) является многочленом третьей степени от х. Таким образом, условие: Р (х) является многочленом второй степени, использованное при установлении факта,—оказалось не обязательным для того, чтобы факт имел место. Такое условие можно назвать несущественным. Ясно, что несущественным может оказаться условие, которое не является необходимым. Например, в предложении: если пирамида трехгранная, то объем ее равен произведению площади основания на треть длины высоты — условие трехгранности является несущественным. Встречаются, однако, предложения, в которых условия, не являясь необходимыми,

все же являются существенными. Например, в предложении: если функция непрерывна на сегменте и на концах его значения функции имеют противоположные знаки, то в какой-то точке сегмента функция обращается в нуль — условия непрерывности и противоположности знаков не являются необходимыми (так как и без их выполнения некоторые функции обращаются в нуль), но они существенны, так как без них утверждение теоремы становится неверным.

§ 3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Принцип Кавальери

Известно, что в учебнике Киселева (Геометрия, ч. II, Учпедгиз, 1963, стр. 50) принцип Кавальери приводится без доказательства и без надлежащих объяснений. Указанное выше доказательство этого принципа недоступно для школьника. Вместе с тем сущность этого принципа можно все же объяснить учащимся. При этом станет возможным более широкое (чем это принято до настоящего времени) использование принципа Кавальери в школьном курсе геометрии.

Вкратце такое разъяснение можно осуществить следующим образом. Прежде всего следует напомнить учащимся, что для вычисления площади прямоугольника (или объема параллелепипеда), измерения которого иррациональны, рассматривались последовательности площадей прямоугольников (объемов параллелепипедов), содержащихся и содержащих данный прямоугольник (параллелепипед), и искомая площадь (объем) определялась как общий предел этих последовательностей. Затем следует, построив две пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями, рассечь их плоскостями и получить, как в лемме о равновеликости треугольных пирамид, ступенчатые тела, содержащиеся в этих пирамидах и содержащие их. Далее можно пояснить, что объем каждой из пирамид может быть найден (по аналогии с упомянутой площадью прямоугольника и объемом параллелепипеда) как общий предел объемов содержащихся в ней и содержащих ее ступенчатых тел, когда число «ступенек» неограниченно возрастает, а их высоты безгранично убывают. Так как соответственные ступенчатые тела обеих пирамид имеют одинаковые объемы, то указанные общие пределы будут одинаковы для этих пирамид, т. е. пирами-

ды равновелики. После этого остается лишь отметить, что если бы вместо пирамид были взяты другие тела, то иной была бы только форма ступенчатых тел, а все рассуждения можно было бы повторить и для этих тел. Полезно также в целях внесения функционального начала в геометрию обратить внимание школьников на возможность рассмотрения площади сечения тела как функции расстояния секущей плоскости от некоторой неподвижной точки.

Такое разъяснение принципа Кавальери дает право более смело им пользоваться. В подобном разъяснении есть необходимость и по другой причине. Ограничившись только формулировкой принципа, мы можем вызвать у школьника ложное впечатление, будто равенство объемов тел объясняется тем, что тела «составлены» из равновеликих плоских фигур. Выше уже указывалось на несостоятельность такого взгляда. Теперь приведем конкретный пример, опровергающий такое представление. Пусть лист бумаги (черт. 33), на котором изображены два круга 0t и 02, вращается вокруг своей стороны AB. При таком вращении каждый круг опишет тор («бублик»). Вращающаяся плоскость является секущей плоскостью для этих двух тел, образующей при пересечении с ними равновеликие (точнее, равные) фигуры. Тем не менее объем тора, образованного кругом 0и очевидно, меньше объема тора, образованного кругом 02 (представьте себе два кольца одинаковой ширины, но разных размеров). Напомним, что точные значения объемов этих тел, как и многих других тел вращения, легко получить с помощью известной теоремы Гюльдена, выражающей связь между объемом тела, площадью вращающейся фигуры и положением ее центра тяжести.

В заключение отметим, что если в школе будут внесены изменения в некоторые определения (например, площадь круга будет определяться как общий предел последовательностей площадей вписанных и описанных многоугольников), и особенно если объем пирамиды станут вычислять как предел последовательности объемов вписанных ступенчатых тел, то предложенное выше

Черт. 33.

разъяснение принципа Кавальери можно будет значительно упростить.

Площадь круга

Имеются ли в школьном курсе еще вопросы, в которых можно обнаружить метод предельного перехода, аналогичный интегрированию? Перечислим такие вопросы, а затем несколько подробнее остановимся на некоторых из них. Длина окружности: здесь роль интегральной суммы играет сумма длин звеньев вписанной ломаной, т. е. ее периметр. Площадь круга: здесь роль интегральной суммы играет сумма площадей треугольников, на которые разбивается вписанный многоугольник радиусами, проведенными в его вершины, т. е. площадь этого многоугольника. Объем пирамиды: интегральная сумма состоит из объемов призм, составляющих ступенчатое тело. Боковая поверхность цилиндра (конуса) определяется, как предел суммы площадей боковых граней вписанной призмы (пирамиды). Объем цилиндра (конуса) может быть получен аналогичным образом из объемов «ломтиков», получающихся при рассечении вписанной призмы (пирамиды) плоскостями, проходящими через ось цилиндра (конуса) и ребра призмы (пирамиды). Поверхность (объем) шара: роль интегральной суммы играет здесь сумма поверхностей (объемов) полных и усеченных конусов.

Остановимся подробнее на площади круга. Принятое в школе определение площади круга (как и длины окружности) уже давно подвергается критике. Дело в том, что школьные рассмотрения площади круга (как предела площадей правильных вписанных многоугольников) и его частей вызывают возражения в силу их произвольности и скрытого использования веры учащегося в существование площади1.

Обратим внимание еще на такое встречающееся иногда «истолкование» определения площади круга: когда число сторон вписанного многоугольника возрастает неограниченно, то площади не вошедших в многоугольник сегментов становятся все меньше и поэтому площадь многоугольника стремится к площади круга. Ошибочным в таком рассуждении является пользование понятием площади круга и сегмента до того, как эти понятия определены. Допустим, однако, что мы согласны с этой недос-

1 Более подробно можно познакомиться с этими вопросами в упоминавшейся ранее книге Г. Лебега.

таточно строгой частью рассуждения, в которой площадь фигуры предполагается существующей и понимается как «величина части плоскости, заключенной внутри фигуры» (этот туманный, с научной точки зрения, оборот взят из учебника Киселева). Но и в этом случае возникает вопрос: будет ли сумма площадей упомянутых сегментов стремиться к нулю, если каждое слагаемое суммы убывает, а число слагаемых растет?

Положительный ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев, кроме вписанных, также описанные многоугольники. Но можно поступить иначе. Заключим каждый сегмент в прямоугольник (см. черт. 34), одна сторона которого равна стороне многоугольника, а вторая — высоте сегмента. Сумма площадей этих прямоугольников, превышающая сумму площадей сегментов, равна периметру многоугольника, умноженному на высоту сегмента. Но упомянутая сумма должна стремиться к нулю при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, так как периметры многоугольников остаются ограниченными, а высота сегментов стремится к нулю.

Этим рассуждением мы хотим обратить внимание читателя на то, что даже при использовании некоторых интуитивных соображений следует там, где это возможно, проводить доказательства, отказавшись от излишних ссылок на очевидность.

Черт. 34.

Элементарное доказательство правила Симпсона

Обратимся теперь к доказательству правила Симпсона, не требующему прямого использования понятия интеграла. Это доказательство неоднократно излагалось на математическом кружке десятиклассникам и не вызывало серьезных затруднений у них1. Оно состоит из трех частей, рассмотрение которых целесообразно разделить

1 С элементарным выводом правила Симпсона для случая так называемого трапецоида (выпуклый многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях) можно познакомиться в книге Л. Н. Бескина «Стереометрия» (Учпедгиз, 1960, стр. 145—147). По поводу правила Симпсона см. также: «Математика в школе», 1963, № 2.

на два занятия математического кружка (на первом занятии — I и II части, на втором — III часть).

I. Выведем сначала формулу для вычисления площади S параболической трапеции pACBq (черт. 35), ограниченной сверху дугой АС В параболы у = ах2. Разделим высоту pq этой трапеции на п равных частей и, восставив в точках деления перпендикуляры к высоте pq, соединим точки пересечения дуги АСВ с этими перпендикулярами так, чтобы получилась вписанная в дугу ломаная. Площадь SM многоугольника М, ограниченного сверху этой ломаной и отрезками Ар, pq и Bq, стремится при п -* со к S.

Действительно, разность SM-S, равная сумме площадей параболических сегментов, меньше суммы площадей (обозначим ее S') треугольников, содержащих эти сегменты (см. черт. 35). Но S' стремится к нулю при п —> со, так как основания треугольников стремятся при этом к нулю (длина каждого основания равна - ~ р }, а сумма высот треугольников остается постоянной (она равна длине отрезка BD). Поэтому SM—S 0 при п со, из чего следует, что SM стремится S при п —► со. Заметим, что разность SM— S равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. черт. 35). В силу того, что SM-+S и S' -» 0 при п -+ со, площадь этой ступенчатой фигуры также стремится к площади S параболической трапеции. Этот факт будет использован ниже.

Для вычисления SM обратимся к трапециям, на которые разбит многоугольник M ранее проведенными к pq перпендикулярами. Площадь каждой из этих трапеций, например площадьSx первой трапеции слева, вычислим так:

Черт. 35.

Обозначив высоту параболической трапеции, равную q—р, через h (при этом высоты рассматриваемых прямолинейных трапеций

Ясно, что при п -» оо слагаемое--- стремится к нулю, и поэтому получим для искомой площади S параболической трапеции формулу

Преобразуем эту формулу следующим образом:

1 Сравнив эту формулу с формулой (1), заменив при этом q на X\t легко обнаружить, что площадь параболического сегмента равна —(хх — рУ и зависит от разности абсцисс хг и р его концов, т. е. все сегменты рассмотренной параболы, проекции которых на ось абсцисс равны, имеют одинаковую площадь.

Заметим, что в курсах анализа используется для получения формулы площади параболической трапеции либо интеграл, либо интегральная сумма, отыскание предела которой требует предварительного вывода формулы для суммы квадратов первых п натуральных чисел. Имеются другие оригинальные, но громоздкие приемы для получения этой формулы (см. статьи В. Бляшке и И. М. Яглома соответственно в третьем и пятом выпусках «Математического просвещения» за 1958 и 1960 гг., а также А. М. Яглом и И. М. Яглом, Неэлементарные задачи в элементарном изложении, Гостехиздат, 1954).

Обозначим теперь ординаты точек А и В соответственно через ух и у2, а ординату точки С, лежащей над серединой отрезка pq, через ус и получим окончательно

II. Покажем, что формула (2) имеет место также в случае параболической трапеции, ограниченной сверху дугой произвольной параболы у = ах2 + Ьх + с. Проведя через вершину D параболы (черт. 36) прямую, параллельную оси ОХ, обнаружим, что площадь S параболической трапеции pACBq равна разности между площадью S' прямоугольника pKLq и площадью S" параболической трапеции KACBL, которую можно вычислить с помощью формулы (2). Поэтому

Черт. 36.

III. Рассмотрим тело (черт. 37), у которого площади у плоских сечений, полученных при пересечении его плоскостями, перпендикулярными оси ОХ, выражаются с помощью квадратной функции у = ах2 + Ьх + с от абсциссы X точки пересечения секущей плоскости с осью ОХ.

1 Нетрудно убедиться в том, что формула остается в силе также в случае параболы, обращенной выпуклостью вниз.

Покажем, что объем данного тела численно равен площади некоторой параболической трапеции, ограниченной сверху дугой параболы у = ах2 + Ьх + с. Рассечем данное тело равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными оси ОХ, на п частей и на каждом сечении начиная с крайнего левого (это основание тела), построим прямой цилиндр (или призму) высотой - (h = q—р —высота тела).

Черт. 37.

За объем V данного тела принимаем по определению предел, к которому стремится объем ступенчатого тела («лестницы»), составленного из этих цилиндров. Сумма объемов указанных цилиндров численно равна сумме площадей прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру (см. черт. 37), содержащуюся в параболической трапеции, ограниченной сверху дугой параболы у = ах2+ + Ьх + с. Действительно, длина стороны каждого прямоугольника, параллельной оси OK, численно равна площади основания соответствующего цилиндра, а другая сторона прямоугольника, расположенная на оси ОХ, служит высотой этого цилиндра.

Как было показано выше, площадь указанной ступенчатой фигуры стремится с ростом п к площади параболической трапеции. Вот почему объем данного тела численно равен площади этой параболической трапеции, крайние ординаты уг и у2 которой численно равны площадям Sx и S2 оснований тела, а ордината ус равна пло-

щади Sc сечения, перпендикулярного высоте тела и проходящего через ее середину. Воспользовавшись формулой (2), получим формулу для объема тела

V = A(5i + 4SC + S2).

Таким образом, получено правило Симпсона: объем тела, площади плоских сечений которого выражаются квадратной функцией от их расстояний от некоторой точки, взятой на высоте тела, равен шестой части высоты тела, умноженной на сумму площадей его оснований и учетверенной площади «серединного» сечения тела пи е. сечения его плоскостью, перпендикулярной к высоте тела и проходящей через середину высоты.

Заключительные замечания

Нет сомнений в том, что вслед за элементами дифференциального исчисления в школьную программу войдут со временем вопросы интегрального исчисления.

Но уже теперь простейшие вопросы интегрального исчисления могут стать предметом изучения в математическом кружке (см., например, Л. З. Мудрая, Об изучении элементов интегрального исчисления в школьном математическом кружке, «Математика в школе», 1962, №6, стр. 56—64).

Весьма полезно рассматривать на занятиях кружка по крайней мере задачи на составление и отыскание пределов интегральных сумм. Много интересных задач такого типа имеется в книге И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых величин» (Гостехиздат, 1956). Заметим попутно, что приведенный в этой книге вывод формулы для объема пирамиды намного короче, чем в учебнике Киселева. Впрочем, об усовершенствовании «чертовой лестницы» говорилось уже давно (см., например, H. М. Бескин, Методика геометрии, Учпедгиз, 1947, стр. 200—202).

Мы считаем также целесообразным использование в школе некоторых интуитивных соображений. В частности, еще до вывода формулы объема шара можно вместе со школьниками «прикинуть», какой должна получиться ожидаемая формула. Для этого можно рассматривать шар как тело, состоящее из очень большого числа тончайших пирамид с вершинами в центре шара. В учебнике Киселева (Геометрия, ч. II, Учпедгиз, 1963, стр. 85) возмож-

ность такого подхода указана только после строгого вывода формулы и при этом не указано, в чем заключается нестрогость такого приема. Нестрогость подобного приема заключается в том, что замена одних уменьшающихся геометрических фигур другими не всегда связана с отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка и поэтому суммарная ошибка может оказаться не стремящейся к нулю при неограниченном уменьшении размеров фигур. В книге Я. С. Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах» (Гостехиздат, 1953) приведен поучительный пример вычисления площади поверхности шара, в котором ошибка вызвана необоснованной заменой «узеньких» сферических треугольников «почти такими же» плоскими треугольниками.

В заключение рассмотрим один частный вопрос. Об эллипсе школьники слышат в курсах физики и астрономии, его чертят на уроках черчения, о нем говорят и пишут в связи с запуском искусственных спутников и космических кораблей. Поэтому вполне вероятно, что некоторые школьники обратятся к учителю с такими вопросами: как вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом, как вычислить длину эллипса? Отвечая на такие вопросы, учитель должен прежде всего помнить, как они решаются в интегральном исчислении: площадь эллипса легко определяется вычислением соответствующего интеграла, а вычисление длины эллипса приводит к так называемому эллиптическому интегралу, значение которого может быть найдено приближенно (с помощью вычислений или с использованием готовых таблиц).

А что можно сказать учащимся по этому вопросу? Относительно длины эллипса можно лишь сообщить, что она определяется, подобно длине окружности, как предел периметров вписанных многоугольников, но получаемая при этом формула слишком сложна для школьников, так как требует знакомства с интегральным исчислением. Что касается площади ограниченной эллипсом фигуры, то этот вопрос может быть решен в школе так, как это сделано в ранее упомянутой книге И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых величин».

Допуская, что не все читатели будут иметь возможность познакомиться с этой книгой, мы вкратце изложим суть дела. Эллипс можно определить как сжатую окружность. Пусть все ординаты точек окружности радиуса а умень-

шены в k раз и при этом верхний конец вертикального диаметра окажется на расстоянии Ь от центра. Ясно, что в таком случае коэффициент сжатия k будет равен—. Поэтому на каждой прямой, параллельной оси OY и пересекающей обе фигуры, получается при пересечении с эллипсом отрезок в k раз короче, чем отрезок, получаемый при пересечении с окружностью. После этого остается сообщить несколько видоизмененный принцип Кавальери (доказывается он подобно принципу, сформулированному в школе). Заключается он в том, что если при пересечении фигур параллельными между собой прямыми отрезки, вырезаемые на прямых одной фигурой, в k раз короче соответственных отрезков, вырезаемых второй фигурой, то и площадь первой фигуры в k раз меньше площади второй фигуры. Из этого принципа сразу получаем, что площадь эллипса в—раз меньше, чем площадь круга, т. е. площадь эллипса с полуосями а и Ъ равна па2 : — = nab. ъ

Аналогично решается вопрос об объеме эллипсоида, получаемого в результате вращения эллипса вокруг оси.

Заметим, что школьников могут заинтересовать и более сложные вопросы, например о площади (объеме) бесконечно протяженных фигур (тел).

Ответ на подобные вопросы можно получить с помощью несобственных интегралов с бесконечными пределами. Но объяснения, опирающиеся на несобственный интеграл, в школе неприемлемы (правда, для того чтобы дать правильный окончательный ответ, сам учитель может воспользоваться таким интегралом). Вместе с тем кое-что можно объяснить школьникам и без интеграла. Так, например, рассмотрев фигуру, состоящую из прямоугольников шириной, равной единице, с высотами, образующими геометрическую прогрессию

(*)

легко пояснить, что площадь этой неограниченной фигуры равна 2, хотя линия, ее ограничивающая, имеет беско-

нечную длину. Вращая такую фигуру вокруг оси ОХ, получим тело безграничной протяженности, но конечного объема. В самом деле, такое тело состоит из цилиндров, объемы которых образуют последовательность

Если при отыскании суммы членов этой последовательности вынести за скобки я, то слагаемые в скобке (начиная со второго) будут меньше соответствующих членов рассмотренной прогрессии. Поэтому ясно, что объем этого тела ограничен и не превышает 2л.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

«Математика, ее содержание, методы и значение», т. I, изд. АН СССР, М., 1956.

А. Я. Хинчин, Восемь лекций по математическому анализу, Гостехиздат, М., 1946.

A. Я. Хинчин, Краткий курс математического анализа, Гостехиздат, М., 1946.

С. Банах, Дифференциальное и интегральное исчисление, Физматгиз, М., 1958.

Г. X. Харди, Курс чистой математики, Изд. иностр. лит., М., 1949.

Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, т. I, II, Гостехиздат, М., 1956.

Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, Гонти, М., 1933.

Г. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1938, 1960.

«Энциклопедия элементарной математики», кн. III, Гостехиздат, М., 1952.

И. Е. Жак, Дифференциальное исчисление (под редакцией Н. Я. Виленкина), Учпедгиз, М., 1960.

B. М. Брадис, Н. С. Истомина, А. И. Маркушевич, К. П. Сикорский, Алгебра (под редакцией А. И. Маркушевича), Учпедгиз, М., 1960.

А. И. Гибш. Алгебра, пособие для учителей IX—XI классов, М., Учпедгиз, 1960.

Д. К. Фадеев и И. С. Соминский, Алгебра, ч. II, Учпедгиз, М., 1954.

И. И. Привалов и С. А. Гальперн, Основы анализа бесконечно малых, Физматгиз, М., 1949.

Я. Б. Зельдович, Высшая математика для начинающих, Физматгиз, М., 1960.

А. И. Маркушевич, Ряды, Гостехиздат, М., 1947, Физматгиз, М., 1959.

A. И. Маркушевич, Площади и логарифмы, Гостехиздат, М., 1952.

B. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование, Гостехиздат, М., 1957.

И. П. Натансон, Суммирование бесконечно малых величин, Гостехиздат, М., 1956.

Б. A. Манзон, Элементы дифференциального исчисления в школьном курсе математики, Симферополь, 1957.

И. Я. Танатар, Геометрические преобразования графиков функций, Учпедгиз, М., 1960.

И. П. Гурский, Функции и построение графиков, Учпедгиз, М., 1961.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие................... 3

Глава I. Понятие функции............. 7

§ 1. Определение понятия функции........ —

§ 2. Способы задания функции.......... 13

§ 3. Педагогические замечания.......... 22

Глава II. Понятие предела............. 38

§ 1. Определение понятия предела........ —

§ 2. Бесконечно малая............. 47

§ 3. Непрерывность.............. 53

§ 4. Педагогические замечания.......... 63

Глава III. Производная.............. 87

§ 1. Производная и ее вычисление........ —

§ 2. Применение производной.......... 95

§ 3. Педагогические замечания.......... 103

Глава IV. Интеграл................ 119

§ 1. Определение интеграла........... —

§ 2. Применение определенного интеграла...... 123

§ 3. Педагогические замечания.......... 130

Рекомендуемая литература............. 142

Израиль Адольфович Марнянский

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Редактор Л. А. Сидорова Художник М. И. Гозенпут Художественный редактор В. С. Эрденко Технический редактор Т. Н. Зыкина Корректор Н. И. Котельникова

Сдано в набор 16/V-1964 г. Подписано к печати 20/Х-1064 г. 84X108« а2. Печ. л. 9 (7,56) Уч.-изд. л. 7,12. Тираж 39 тыс. экз. Тем. пл. 1964 г. № 160.

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати, г. Саратов, улица, Чернышевского. 59. Заказ 92.

Цена 20 коп.