Д.С. ЛЮДМИЛОВ

Задачи БЕЗ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

1961

Д. С. ЛЮДМИЛОВ

ЗАДАЧИ БЕЗ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1961

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга состоит из двух частей. В первой части («О составлении и решении геометрических задач») автор сделал попытку методически разработать и призвать к жизни почти забытый, но очень ценный в научно-методическом отношении вопрос об определяемости геометрической фигуры. В связи с «принципом определяемости» автор получил возможность дать некоторую научно-методическую основу для составления и решения геометрических задач, по-новому осветить этот трудный вопрос методики геометрии.

Сам факт, сформулированный в «принципе определяемости» (термин принадлежит автору), общеизвестен, и, разумеется, никакого нового научного принципа автор в виду не имеет.

Автор попытался лишь убедить читателя в очень важном значении этого факта для методики преподавания геометрии.

Здесь же, в частности, выясняется «природа» задач без числовых данных, даются общие указания к методике их составления и решения, указывается место и значение этих задач в курсе элементарной математики.

Правильно понять смысл и значение задач без числовых данных можно лишь в свете «принципа определяемости».

Автор полагает, что первая часть книги должна дать читателю научно-методическую подготовку для успешной работы над второй ее частью («Задачи без числовых данных»), в особенности — над геометрическим материалом второй части (геометрические задачи составляют около 70% всех задач).

Однако первая часть книги, поскольку она касается общей методики составления и решения геометрических задач, имеет самостоятельное значение.

Вторая часть книги состоит из 6 разделов, содержащих задачи без числовых данных, то есть такие задачи (главным образом на вычисление), в условиях которых не содержат-

ся данные числа или таковых очень мало (последних имеется около 10). Большинство задач должны быть решены с полными вычислениями и приводить к определенному числовому ответу (если в условиях этих задач нет параметрических данных). С целью расширения теоретического кругозора учащегося и более глубокого практического закрепления I части книги автор поместил во II части некоторое количество задач с параметрическими данными.

При решении некоторых задач-вопросов, содержащихся в сборнике, от учащегося требуется устно рассказать, какие величины он должен измерить и какие действия над результатами измерений он должен произвести, чтобы ответить на поставленный в этих задачах вопрос. Эти задачи (практические по существу), предоставляя учащимся самим производить выбор числовых данных, имеют политехническое значение.

В первых двух разделах содержатся задачи по арифметике и алгебре.

В III разделе представлены геометрические задачи, обслуживаемые аппаратом арифметики и простейшими элементами начального курса алгебры. Геометрические задачи, при решении которых аппарат алгебры применяется в значительной степени (более сложные алгебраические преобразования, квадратные уравнения, неравенства и пр.), мы отнесли к IV разделу. Задачи же, при решении которых, помимо аппарата алгебры, применяется аппарат тригонометрии, отнесены нами к V разделу (сюда вошло также несколько «чисто» тригонометрических задач). Эта классификация является в некоторой степени условной, так как нередко одна и та же задача может быть решена различными способами.

В VI раздел вошли задачи без числовых данных (по алгебре и геометрии), приводящиеся к уравнениям 3-й и 4-й степени.

Задачи этого раздела, приводящиеся к одному и тому же уравнению, сгруппированы вместе: это сделано для того, чтобы учащийся более четко ощутил обобщающую силу алгебры, как универсального средства для решения разнообразных задач1 (эта мысль отражена также в первой части книги).

1 Например, 10 различных по содержанию задач (№ 15—24) приводятся к одному и тому же уравнению.

Материал этого раздела рассчитан для внеклассных занятий с учащимися. Однако он может быть успешно использован также при изучении специального курса элементарной алгебры, а также курса высшей алгебры.

В IV и V разделах читатель также встретит множество задач, приводящихся к одному и тому же (квадратному) уравнению.

Автор стремился расположить задачи во всех разделах по степени нарастания трудности и в такой тематической последовательности, которая соответствовала бы обычному расположению материала в программах по элементарной математике. Для того чтобы облегчить использование задач IV раздела для практического закрепления алгебраических тем, автор расположил эти задачи по алгебраическому признаку: задачи, решаемые одним и тем же методом алгебры, сгруппированы вместе.

При решении задач на максимум и минимум (раздел IV и частично V) автор рассматривает известные элементарные приемы. Показано применение этих приемов в ряде трудных случаев (см. задачи 59, 67, разд. IV, и 93, 94, 95, 99, 100, разд. V). Понятно, что эти задачи могут быть успешно решены и с помощью производной. Однако следует отметить, что решение элементарных задач на максимум и минимум с помощью производной редко является наиболее простым. Часто применение производной приводит к более сложным аналитическим выкладкам (не говоря уже о логическом обосновании решения, связанном с самим понятием производной).

Более половины всех задач могут быть успешно использованы в школе для более глубокого практического закрепления теории. За исключением некоторых задач-вопросов, остальные задачи сборника не могут быть использованы при первоначальном изучении предмета.

Почти все задачи снабжены ответами. Задачи, решение которых предполагается изложить устно, отмечены значком «О», трудные задачи — значком «*». Многие задачи (главным образом наиболее трудные) снабжены решениями и указаниями, размещенными непосредственно после задач. Рекомендуется читателю прежде всего внимательно прочесть первую часть книги и тем самым усвоить основной метод решения задач без числовых данных; каждую задачу следует стараться решить самостоятельно. Опыт показывает, что одна задача, решенная самостоятельно,

хотя и с большим трудом, приносит большую пользу, чем несколько задач (того же приблизительно типа), решенных несамостоятельно. Это правило, требующее иногда большого упорства и выдержки, является самым главным для того, чтобы научиться решать задачи. Следует также иметь в виду, что не меньшую пользу принесет читателю и такая задача, на безуспешное решение которой было затрачено много времени и труда, если после этого ознакомиться с ее решением. Также очень полезно свои решения сопоставлять с решениями автора.

Задачи охватывают почти все основные темы школьного курса математики. К внешкольному материалу относится лишь раздел VI.

Автор надеется, что настоящая книга окажет помощь учителям математики в их повседневной работе.

Автор выражает глубокую благодарность С. И. Новоселову, П М. Олоничеву, Н. Б. Берестижевскому, И А. Магарасу, Г. А. Палатнику, А. В. Дейнеге, С. М. Петрову, Б. Н. Белому и Л. М. Лоповоку, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний.

Часть I.

О СОСТАВЛЕНИИ И РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

I. О ПРИНЦИПЕ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ ЗАДАЧИ1.

Известно, что умение решать задачи является основным показателем хороших математических знаний. При изучении математики, как и всякой другой науки, мы наблюдаем глубокую взаимную связь и обусловленность между теорией и практикой: чтобы научиться решать задачи, то есть применять теорию на практике, необходимо понять прежде всего сущность самой теории; однако глубоко понять сущность теории можно лишь при условии успешного решения достаточного количества разнообразных по содержанию и математической фабуле задач.

Одной из главных причин тех методических затруднений, которые испытывает учитель при обучении решению задач, тех больших трудностей, которые испытывает при решении задач учащийся, является отсутствие анализа задач с точки зрения их определяемости и в связи с этим — неумение видеть внутреннюю структуру задачи, неумение видеть процесс образования задачи, а также процесс ее «развития» (от более простой задачи). Ниже постепенно разъясняем эту мысль.

1. Будем называть задачу определяемой, если по данным ее элементам (величинам) можно найти все ее искомые элементы (величины), и число решений г конечно

(г >0).

1 Мы имеем в виду преимущественно такие математические задачи, в которых содержится требование найти по данным величинам ai (i = I, 2, 3,..., m) некоторые другие (искомые) величины х§ (у = = 1, 2, 3,..., р).

2. Элементы задачи будем называть независимыми, если никакой из них не может быть выражен через другие.

3. Два или несколько уравнений1 будем называть независимыми, если какое-либо из них не является следствием другого (других).

Согласно учению о системах уравнений можем высказать следующее утверждение, которое условимся называть принципом определяемости задачи: необходимым признаком определяемости задачи является наличие в ее условии такого числа m данных элементов и такого числа р искомых элементов, что между всеми т + р элементами существуют р независимых уравнений. Этот признак окажется и достаточным при соблюдении следующих основных дополнительных требований.

1. Хотя бы одно решение получаемой системы р уравнений (независимых) с р неизвестными должно принадлежать области допустимых для этих неизвестных значений (иначе г = 0).

2. Данные m элементов должны принадлежать области допустимых для них значений. Например, задача «Найти катеты прямоугольного треугольника, если известна его гипотенуза с = 6 см и площадь S = 10 кв. смъ неопределяема, так как должно быть с2 > 4S, и это условие не соблюдается:

3. Нередко для обеспечения достаточности указанного признака приходится требовать, чтобы число m данных элементов было минимальными или чтобы эти элементы были независимы, или чтобы существующие между этими элементами соотношения (когда элементы зависимы) имели место в действительности. Возьмем задачу: «В треугольнике ABC две медианы равны m и п и образуют с АС углы в ЗГ15' и 28°45\ Найти площадь треугольника АВС (К. С. Барыбин, Сборник задач по геометрии, Планиметрия, 1958, № 985). Данные в условии этой задачи 4 элемента зависимы, и задача становится неопределяемой2 при таких числовых значениях элементов тип, при кото-

1 Тождества мы здесь не относим к категории уравнений (понятия тождества и уравнения не объединяем в одно понятие—уравнения).

2 Следует отличать неопределяемые задачи от неопределенных. Для первых г — 0 либо г = оо, для вторых г — оо.

рых не выполняется соответствующая зависимость между всеми четырьмя элементами.

Определяемыми являются почти все задачи существующих сборников. Заметим, что в условиях многих определяемых задач могут отсутствовать данные числовые значения величин (задачи без числовых данных) или их может быть очень мало, если в этих условиях содержится достаточное количество таких признаков и свойств искомых величин, которые все же позволяют найти эти величины.

Эти признаки и свойства искомых величин часто выступают в виде различных ограничений, налагаемых на эти величины условием задачи, например, принадлежность искомых величин определенному классу чисел (целых, рациональных и пр.), наличие между ними (или между ними и данными величинами) каких-либо неравенств и другие ограничения, быстро суживающие границы для искомых величин.

Многие признаки и свойства искомых величин, содержащиеся в условии задачи, не могут быть непосредственно переведены на язык уравнений. В таком случае задача может стать определяемой, когда число получаемых для определения неизвестных величин уравнений меньше числа этих неизвестных.

Рассмотрим пример.

«Сумма трех положительных чисел равна их произведению, а среднее арифметическое этих чисел равно их среднему геометрическому. Найти эти числа».

Условие этой задачи дает нам лишь два уравнения:

Однако в условии содержится еще требование, чтобы числа X, у, z были положительными, что приводит к неравенству

равенство имеет место лишь при X = у = г, откуда

Рассмотрим еще аналогичный пример: уравнение

имеет в положительных числах

единственное решение х » 2, у = 3, а уравнение

где k < 10— ни одного решения,

В настоящем сборнике читатель встретит и другие примеры такого рода, в том числе и по геометрии (см., например, задачу 46, разд. III).

II. ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ.

Предварительно рассмотрим некоторые термины и определения.

1. Основными элементами многоугольника (многогранника) принято называть его стороны (ребра) и углы1 (плоские, двугранные). Первые называют линейными, а вторые — угловыми элементами.

2. Всякое выражение F, содержащее основные элементы фигуры, будем называть неосновным, или производным, элементом фигуры (или просто элементом фигуры), если это выражение представляет собой какую-либо однозначную функцию от основных элементов, не равную тождественно постоянной величине.

3. Если выражение F является многочленом л-го измерения от основных элементов, то в этом случае выражение F будем называть элементом п-го измерения.

4. В таком случае элемент нулевого измерения будем называть угловым элементом. Отсюда следует, что если выражение содержит только углы или только отношения двух элементов одного и того же измерения (или то и другое), то оно будет угловым элементом2.

Очевидно угловые элементы (их меры) не могут ни в какой степени характеризовать линейные размеры фигуры и являются характеристиками лишь формы фигуры; с помощью угловых элементов можно составить себе представление о фигуре с точностью до подобия (до подобной ей фигуры).

5. Во всех остальных случаях выражение F будем

1 Называя отрезок или угол элементом, мы имеем в виду соответственно длину отрезка и радианную меру угла.

2 См. С. И Новоселов Специальный курс тригонометрии, изд. «Советская наука», 1954, стр. 333

называть метрическим1 элементом, так как во всех остальных случаях это выражение в той или иной мере будет характеризовать линейные размеры фигуры.

Заметим, что определения 2 и 3 мы можем, очевидно, оставить в силе, если вместо основных элементов, фигурирующих в этих определениях, иметь в виду элементы вообще (любые).

6. Определения 2 — 4 оставим в силе для фигур, в состав которых входят дуги, окружности, части круга и прочие фигуры, изучающиеся в элементарной геометрии. Основными элементами «круглых» фигур будем называть радиусы и дуги (в радианной мере).

7. Если численное значение выражения F — элемента фигуры — задано (в виде числа или параметра), то элемент будем называть заданным.

Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами (а, Ь, с, а, ß, у — основные элементы фигуры).

1) Метрическими элементами треугольника являются: биссектриса, отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 1 : 2, радиус описанной (вписанной) окружности, площадь, выражения

2) Угловыми элементами треугольника являются: угол между высотой и биссектрисой, проведенными из заданной вершины, угол между радиусами описанной и вписанной окружности, произвольная степень отношения любых отрезков — элементов треугольника, выражения

3) Метрическими элементами сектора являются длина его дуги, площадь, радиус вписанной в него окружности и пр.

4). Очевидно, задание какого-либо уравнения между угловыми элементами есть задание углового элемента,

1 Линейные элементы, определяемые как элементы первого измерения, относятся к метрическим элементам.

например, уравнение у =» ^ определяет угловой элемент: j — ^ = 0 (он равен нулю) или = 1 (угловой элемент равен 1).

Отсюда следует, что задание какого-либо однородного относительно линейных элементов уравнения есть также задание углового элемента

5) Аналогично задание неоднородного относительно линейных элементов фигуры уравнения есть задание метрического элемента этой фигуры; например, уравнение 2а8 — b sin а = а2 cos ß определяет метрический элемент: 2а8 — b sin а — а2 со$ ß = 0 (он равен нулю).

Принцип определяемости задачи применительно к геометрическим задачам сформулируем, пользуясь введенными определениями, следующим образом: геометрическая фигура определяется (фиксируется) заданием некоторого конечного числа m ее независимых элементов1.

Следовательно, если среди п различных между собой данных элементов фигуры имеется такое число m < п независимых элементов, которые определяют фигуру, то, выразив через принимаемые за основу m элементов остальные п — m элементов, получим п — m уравнений, из которых найдутся п — m элементов (в функции от выбранных m элементов).

Очевидно также, что между данными п > m элементами существует п — m и не более независимых уравнений (соотношений).

Например, для прямоугольного треугольника m = 2, поэтому между его элементами a, bf с, А, аъ Ьх и а должны существовать и действительно существуют 5 независимых уравнений: а2 + Ь2 = с2, ab = сЛ, Л2 = ахЬъ а2 = calt а = b tg а (другие уравнения, например, аг + Ьг = cv b2 = cbx и др., уже будут производными от написанных).

1 Если m независимых элементов фиксируют фигуру, то это означает, что по данным m элементам можно построить конечное число г фигур (г>0). Для разных фигур число т, вообще говоря, различно. Однако, например, такие фигуры, как прямоугольный треугольник, круговой сектор, дуга окружности, ромб, правильная четырехугольная пирамида в пр., определяются каждая двумя независимыми элементами,

Трехгранный угол определяется тремя угловыми элементами, например, его плоскими углами а, ß, у; следовательно, между этими плоскими углами и противоположными им линейными углами двугранных углов а', ß' и у' должны существовать и действительно существуют1 3 независимых уравнения. Элементы a, ha, Ъ и R треугольника должны быть связаны одним уравнением, поэтому по данным а, Ла, Ь можно найти Ry и задача эта имеет в общем случае 2 решения. Рассмотрим еще такой пример. Пусть а — сторона треугольника, а — противолежащий угол, R — радиус описанной окружности, d — расстояние от центра описанной окружности до стороны а. Легко видеть, что любых три элемента из перечисленных четырех элементов зависимы, следовательно, среди этих четырех элементов нет таких, которые определяли бы треугольник. Применять сделанные выше выводы в этом и подобном ему случаях нельзя.

III. ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧАЩИХСЯ С ПРИНЦИПОМ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ (ФИГУРЫ). НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА m.

Принцип определяемости геометрической задачи может стать в руках учителя хорошим средством улучшения методики преподавания геометрии, а в руках учащегося — хорошим средством сознательного усвоения геометрии, сознательного составления и решения геометрических задач.

Довести до сознания учащихся принцип определяемости геометрической фигуры не так уж легко. Часто незаметные детали объяснения должны служить осуществлению поставленной учителем цели. Формулировать же принцип определяемости в таком виде, в каком мы это сделали, можно лишь в старших классах после достижения учащимися должного уровня геометрического мышления (в свою очередь этот уровень в значительной мере зависит от степени внедрения в преподавание указанного принципа). С принципом определяемости геометрической фигуры следует знакомить учащихся постепенно, в процессе изучения программного материала.

1 См. задачу 34, разд, V.

1. При изучении признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников по данным элементам следует обратить внимание на то, что равенство двух элементов треугольников еще не приводит к равенству этих треугольников и что задание равенства трех элементов «обязывает» (в силу доказываемой соответствующей теоремы) треугольники быть равными: по двум данным элементам треугольника можно построить бесчисленное множество их, а задание третьего элемента уже фиксирует определенный треугольник1. Среди прочих задач, решаемых в это время с учащимися, должны быть, например, и такие.

1) а) Известна сторона треугольника. Можно ли найти остальные две стороны его? (Нет.) Почему? (Учащиеся обычно без труда отвечают, что данных мало.) Построить треугольник со стороной, равной 4 см. Сколько существует таких треугольников?

б) Известен угол треугольника. Можно ли найти остальные его углы? стороны? построить треугольник с углом, равным 70°; с двумя углами, равными 70° и 50°? Сколько существует таких треугольников?

2) Всякий ли треугольник со сторонами 10 см и 13 см можно поместить на тетрадном листке? (Такая задача предлагается учащимся для развития идеи геометрического движения.)

3) Известны две стороны треугольника. Можно ли найти третью сторону? Почему эта задача не имеет решения?

4) Известны сторона и прилежащий к ней угол треугольника. Можно ли найти остальные стороны и углы треугольника? (Нет.) Почему? (Потому, что по стороне и углу можно построить бесчисленное множество треугольников.) Что необходимо еще знать, чтобы эта задача стала разрешимой? (Вторую сторону, прилежащую к данному углу, или второй угол, прилежащий к данной стороне.)

5) Построить треугольник по стороне 5 см и прилежащему к ней углу 50° (при помощи линейки и транспортира). Сколько решений имеет эта задача? (Бесчисленное множество.)

1 Здесь и лалее необходимо заботиться о том, чтобы выбираемые для определяемости фигуры элементы были независимы. Кроме того, особенно на первых порах желательно требовать от этих элементов, чтобы они определяли единственную фигуру.

6) Построить треугольник по стороне, равной 6 см, и соответствующей ей медиане — 5 см. Сколько существует искомых треугольников? Что необходимо еще задать, чтобы эта задача имела определенное (одно) решение? (Учащиеся по чертежу легко догадываются, что для того чтобы «остановить» находящуюся в движений вершину, необходимо задать еще либо один из прилежащих к данной стороне углов, либо одну из двух других сторон, либо один из углов между данными стороной и медианой.)

Такие задачи полезно решать не только после изучения признаков равенства треугольников, но и до них — с целью подготовки учащихся к сознательному усвоению этих признаков (к каждому признаку учитель может подготовить специальный комплекс задач и задач-вопросов, образцы которых приведены выше). При изучении признаков равенства треугольников и основных задач на построение обращаем внимание учащихся, что: а) по двум сторонам и углу между ними, б) по стороне и двум прилежащим к ней углам, в) по трем сторонам можно всегда построить единственный треугольник (в противном случае нарушается соответствующий признак). Эта мысль в дальнейшем развивается при помощи решения, например, таких задач (даваемых на дом):

7) Две стороны треугольника равны 5 см и 3 см, угол между ними—40°. Найти остальные углы треугольника и третью сторону (построением и измерением с помощью миллиметровой линейки и транспортира). При анализе решения этой задачи обращаем внимание учащихся на то, что все получаемые ими треугольники (столько треугольников, сколько учеников в классе) должны быть равными по двум сторонам и углу между ними, на то, что по этой причине ответы на данную задачу у всех учащихся также должны быть одинаковыми. Эта работа проводится учителем в форме беседы (вопросы — ответы). Далее легко подводим учащихся к мысли, что если известны две стороны и угол между ними, то всегда можно найти остальные углы и третью сторону, и что задача эта имеет всегда одно решение (ответы у всех учащихся совпадают). Особым подчеркиванием этой мысли и заканчивается анализ указанной задачи.

8) Два угла треугольника равны 72° и 54°, а прилежащая к ним сторона — 6 см. Найти остальные элементы треугольника.

9) Стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 6 см. Найти остальные элементы треугольника (углы).

Анализ задач 8) и 9) проводится в таком же плане, что и задачи 7), причем этот анализ осуществляется самими учащимися без особого труда (учащиеся правильно отвечают на все вопросы учителя, правильно формулируют выводы), если только имел достаточный успех анализ задачи 7).

10) Даны два катета прямоугольного треугольника (или катет и гипотенуза, или катет и острый угол, или гипотенуза и острый угол). Найти остальные элементы (данные числовые).

11) Аналогичная задача на равнобедренный, равнобедренный прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник.

Достаточно ограничиться устным анализом (без построений и измерений) задач 10 и 11, если анализ предыдущих задач имел достаточный успех.

После этого учитель смело может ввести в обиход термины «элемент», «определяется» и сформулировать (вместе с учащимися) общие выводы.

В краткой итоговой беседе учитель напоминает:

а) если известны две стороны треугольника и угол между ними, то можно найти третью сторону и остальные два угла (можно построить единственный треугольник);

б) если известна сторона и два прилежащих к ней угла, то можно найти остальные две стороны и третий угол (можно построить единственный треугольник);

в) если известны три стороны треугольника, то можно найти все его углы (можно построить единственный треугольник)1;

г) аналогичные утверждения для равнобедренного, прямоугольного, прямоугольного равнобедренного, равностороннего треугольников.

Общий вывод: если известны три элемента треугольника, то можно найти остальные его элементы, или короче: треугольник определяется тремя элементами, (уточняется на примерах, какими должны быть эти элементы, но понятие «независимые» элементы еще не вводится); равнобедренный треугольник определяется двумя элементами и пр.

1 См, сноску на стр. 14.

Таков примерно план первоначального ознакомления учащихся с принципом определяемости фигуры.

Во многих случаях при изучении признаков равенства треугольников и решении соответствующих задач и задач-вопросов (аналогичных приведенным выше) очень полезны иллюстрации, например, иллюстрация того, что два элемента не определяют треугольник, иллюстрация подвижной вершины треугольника в задаче 6) и пр.

Понятно, что некоторые из приведенных выше примерных задач могут быть учителем исключены или заменены другими (более удачными для данного класса, при данных условиях). Все зависит от того, какие успехи достигнуты с тем или иным классом.

2. В дальнейшем при изучении четырехугольников и их построения учащиеся приходят к убеждению, что квадрат определяется одним элементом, ромб и прямоугольник — двумя, параллелограмм и равнобедренная трапеция — тремя, трапеция — четырьмя, четырехугольник вообще — пятью.

3. При изучении подобия фигур учащиеся должны ознакомиться с понятием углового элемента (угол, отношение сторон, отрезков), с понятием о форме фигуры, а также с положением о том, что форма треугольника определяется двумя элементами, прямоугольного или равнобедренного — одним, форма прямоугольного равнобедренного, равностороннего треугольников, квадрата — 0 (форма всегда известна); форма параллелограмма — двумя (например, углом и отношением сторон). Так как понятие «форма» употребляется в геометрии в различных (иногда неопределенных) смыслах1, то понятие это не определяют, а вводят такое определение: форма фигуры считается известной, если можно построить фигуру, подобную данной.

В результате усвоения указанных понятий учащимся становится ясным смысл тех задач, в которых требуется найти какой-либо угловой элемент фигуры (в частности, треугольника) по данным другим угловым элементам, определяющим форму фигуры (для треугольника — двум), смысл тригонометрических тождеств, уравнений и пр.

Понятие углового элемента фигуры и его отличие от линейного (метрического) элемента легко уясняется уча-

1 Например, споперечное сечение канала имеет форму трапеции», «участок земли имеет форму квадрата».

щимися с помощью специально подбираемых для этой цели задач и задач-вопросов такого характера.

1) Одна сторона треугольника в 100 раз больше другой его стороны. Можно ли такой треугольник разместить на тетрадном листе? Внутри одной клетки тетрадного листа? (Всегда можно.) Что можно сказать о величине (о линейных размерах) этого треугольника? (О линейных размерах этого треугольника ничего нельзя сказать, следовательно, отношение двух сторон треугольника не есть линейный элемент.) Любую ли форму может иметь этот треугольник? Любой ли треугольник может иметь отношение сторон 1 : 100? (Нет.)

Следовательно, отношение двух сторон треугольника в некоторой мере характеризует форму его; поэтому это отношение следует считать угловым элементом.

2) Характеризуют ли величину треугольника (его линейные размеры): а) угол; б) радиус описанной окружности; в) периметр; г) площадь; д) отношение квадратов двух сторон? (Если известно отношение квадратов двух сторон, то известно отношение этих сторон, и наоборот.)

Для уяснения понятия об определяемости формы фигуры целесообразен разбор таких вопросов.

1) Два угла треугольника равны 30° и 60°. Могут ли две стороны его относиться как 1 : 3?

2) Известны два угла треугольника. Можно ли найти угол между двумя его биссектрисами? высотами? как? можно ли найти отношение сторон этого треугольника? отношение его высот? медиан? почему эти задачи имеют решение? (Два угла треугольника определяют его форму.)

3) Одна сторона треугольника в два раза больше второй стороны; угол между этими сторонами равен 50°. Характеризуют ли данные задачи линейные размеры треугольника? Может ли один из двух других углов этого треугольника равняться 90°. Найти остальные углы треугольника (построением и измерением при помощи транспортира).

4) Стороны треугольника относятся как 3:4:5. Может ли один из его углов равняться 100°? Найти углы треугольника (построением и измерением при помощи транспортира).

5) Стороны треугольника равны 450 м, 300 м, 600 м. Найти его углы (построением треугольника с отношением

сторон 3 : 2 : 4 и измерением его углов при помощи транспортира).

Эти задачи (они очень полезны также и для закрепления соответствующего признака подобия треугольников) целесообразно предложить учащимся решить дома: в результате учащиеся убеждаются на следующем уроке в том, что все полученные ими ответы приблизительно совпадают и все чертежи в тетрадях — подобные треугольники. Очень полезно также практиковать задачи-вопросы, содержащие недостаточное (или излишнее) количество данных элементов.

Требуя незначительную трату времени, решения этих задач и задач-вопросов (осуществляемые, в основном, с помощью беседы учителя со всем классом) вносят большую ясность в объяснение учителя, значительно стимулируют интерес учащихся к изучению той или иной темы, содействуют сознательному усвоению темы.

4. Готовясь к каждому уроку, учитель может подобрать такую систему задач-вопросов, которые (в разрезе данного урока) обеспечили бы сознательное усвоение принципа определяемости фигуры, ее формы. В этом — залог сознательного усвоения соответствующего программного материала.

Например, перед выводом теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма очень полезно разобрать устно с классом примерно такие вопросы.

1) Сколькими элементами определяется параллелограмм? (Повторение ранее изученного.)

Ответ: тремя элементами, например, двумя сторонами и углом, двумя сторонами и диагональю, двумя диагоналями и стороной и т. д.

2) Параллелограмм определяется тремя элементами; что это означает? Ответ: это означает, что по данным трем различным элементам параллелограмма можно его построить (можно построить единственный параллелограмм), а значит, можно найти любой его четвертый элемент.

Построение при помощи циркуля и линейки параллелограмма по конкретно данным трем его элементам и нахождение остальных его элементов (при помощи миллиметровой линейки и транспортира) должно осуществляться ранее во время изучения темы «Параллелограмм». Однако перед изучением данной теоремы полезно предложить учащимся (в качестве домашнего задания) такую задачу:

«Стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а диагональ 12 см Найти вторую диагональ (при помощи построения и измерения миллиметровой линейкой)». Эту же задачу выгодно затем решить с целью закрепления теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма и с помощью этой теоремы.

3) Возьмем две стороны и диагональ параллелограмма (учитель чертит на доске три отрезка). Можно ли теперь в качестве второй диагонали параллелограмма взять произвольный отрезок? (Учитель чертит явно не совместимый с предыдущими отрезок и иллюстрирует получающийся казус чертежом на доске или моделью.) Ответ: нет, так как первые три отрезка фиксируют определенный параллелограмм, поэтому вторая диагональ имеет определенную длину, которую можно найти; если учащимся была задана домой подготовительная задача, о которой говорилось выше, то учитель может ссылаться на эту задачу.

4) Как найти вторую диагональ? Ответ: более точнее построить параллелограмм и затем измерить ее при помощи линейки; здесь учащиеся используют опыт решения подготовительной задачи; если данные подготовительной задачи выражаются большими мерами, например 7 м, 11 м и 12 м (это очень желательно для повторения подобия многоугольников), то при решении этой задачи строится уменьшенный в определенном масштабе параллелограмм (3,5 см, 5,5 см, 6 см).

5) Можно ли найти вторую диагональ, не пользуясь построением точного (или уменьшенного в определенном масштабе) чертежа и последующим измерением? При этом учитель подчеркивает, что не всегда указанный прием удобен (приводятся соответствующие примеры).

На этот вопрос учитель отвечает сам примерно так. Если три элемента параллелограмма полностью его фиксируют, то, зная эти элементы, можно тем или иным способом найти любой четвертый элемент. Если по данным трем величинам а, Ь, с можно найти четвертую величину х, то, с точки зрения алгебры, это означает, что величины а, Ь, с и X связаны каким-то соотношением (уравнением), в котором а, Ь, с — данные числа, а х — искомое число (уравнение с одним неизвестным).

Оказывается, что такое уравнение между отрезками AB, АС и BD действительно существует и к выводу его мы сейчас перейдем.

Разбор этих вопросов проводится при помощи беседы, занимающей от 5 до 10 минут (в зависимости от того, в какой мере были подготовлены учащиеся к слушанию нового материала). Заметим, что само изложение нового материала должно тесно сочетаться с идеей определяемости фигуры: это всегда в той или иной мере можно сделать.

5. Примерно таким же способом могут изучаться и другие темы школьного курса геометрии: теоремы о квадрате стороны треугольника (предшествующие теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма), теорема Пифагора, формула Герона, теорема синусов, косинусов и другие.

Опыт показывает, что принцип определяемости геометрической фигуры является эффективным средством сознательного усвоения основных вопросов школьного курса геометрии. Учащиеся глубоко осмысливают такие важные (для развития интереса и сознательного отношения к всевозможным теоремам, задачам) вопросы, как «причина» наличия четырех независимых соотношений между элементами а, Ь, с, аг, Ьь h прямоугольного треугольника или одного соотношения (уравнения) между элементами а, Ь, с того же треугольника (теоремы Пифагора), одного соотношения между элементами а, 6, с, S треугольника (формулы Герона), трех соотношений между элементами треугольника (теоремы синусов) и многих других формул планиметрии, стереометрии.

6. При изучении каждой новой фигуры очень полезно ставить вопрос о нахождении числа m элементов, которыми эта фигура определяется (фиксируется), а это сделать, как мы видим, нетрудно: само расположение учебного материала способствует этому (равенство фигур, подобие фигур, их построение); необходимо лишь усилить изложение путем анализа и решения специально подготовляемой к каждой теме, к каждой фигуре системы задач и задач-вопросов. Анализ и решение этих задач очень удобно иллюстрировать на простейших моделях. Небесполезна также таблица значений числа m, которая вывешивается на определенное время в классе и все время пополняется учащимися по мере изучения новых фигур.

Заметим, что к вопросу о нахождении числа элементов m, определяющих фигуру очень удобно подходить с конструктивной точки зрения.

Будем, например, строить треугольную пирамиду. Для того чтобы построить основание пирамиды — треугольник, необходимы три элемента (три ребра), 4-й элемент (4-е ребро) не фиксирует положение вершины: вершина расположена на шаровой поверхности с центром в вершине основания и радиусом, равным этому четвертому ребру; 5-й элемент (5-е ребро) еще не фиксирует вершину, но уже суживает геометрическое место ее: вершина расположена на окружности — линии пересечения двух шаровых поверхностей; наконец, шестой элемент (6-е ребро) уже «останавливает» (фиксирует) вершину пирамиды; следовательно, треугольная пирамида определяется 6 элементами. Правильная четырехугольная пирамида определяется двумя элементами, так как, зная, например, сторону основания пирамиды и ее высоту, можно легко построть пирамиду и т. д.

В качестве элементов, определяющих фигуру, берем такие ее основные элементы, с помощью которых построение фигуры осуществляется без особых затруднений. Однако в дальнейшем по мере усвоения учащимися принципа и приобретения ими достаточного опыта в составлении и решении задач, показываем на конкретных примерах, что элементами, определяющими фигуру, могут служить и иные (более сложные) элементы (показываем, например, что по трем высотам треугольника или по двум углам треугольника и радиусу вписанной в него окружности и т. д. можно построить треугольник); определяем понятия угловых и метрических элементов, понятия зависимых и независимых элементов, формулируем принцип определяемости в общем виде; сообщаем учащимся, что если некоторые независимые m элементов фигуры определяют эту фигуру, то и всякие иные m независимых элементов этой фигуры также определяют ее1. Это последнее положение

1 Действительно, пусть некоторая фигура определяется m независимыми элементами аД(= 1, 2, 3,..., т) и b/()= 1, 2,3,..., m)— каких-либо m независимых элементов той же фигуры, среди которых имеется хотя бы один элемент, отличный от каждого из элементов а/. Выразив элементы bj через элементы а/, получим m независимых уравнений (соотношений) между элементами а/ и 6/, a решив эти уравнения относительно элементов а/, найдем все элементы ai (в функции от элементов bj). Таким образом, элементы bj определяют элементы о/, а следовательно, и всю фигуру. Пусть, далее, некоторая фигура определяется как m, так и л независимыми эле-

выражает основную сущность принципа определяемости геометрической фигуры и является его обоснованием.

IV. СОСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Сознательное усвоение учащимися принципа определяемости фигуры и ее формы, умение находить число m дают в руки учащихся ключ к составлению геометрических задач, что имеет большое образовательное значение.

Если в школах еще практикуется составление арифметических задач (и то преимущественно в начальных классах), то составлению алгебраических и особенно геометрических задач внимание, как правило, не уделяется. А ведь из опыта хорошо известно, какую громадную пользу в деле сознательного усвоения программного материала оказывает учащимся самостоятельное составление ими различных задач. Известно, сколько радости, воодушевления и уверенности приносит учащемуся задача, им самим составленная и решенная.

Для того чтобы правильно составить геометрическую задачу на вычисление, требуется совсем немного: знать число m для той фигуры, о которой будет идти речь в предполагаемой задаче. Зная, например, что прямоугольный треугольник определяется двумя элементами, учащиеся без труда составляют задачи:

«Острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, а биссектриса его прямого угла 10 см. Найти стороны треугольника»; «Острый угол прямоугольного треугольника равен a, a медиана, проведенная из вершины этого угла, равна т. Найти стороны и площадь треугольника» и другие. Зная, что правильная четырехугольная пирамида определяется двумя элементами, учащиеся составляют задачи: «Дано боковое ребро / правильной четырехугольной пирамиды и двугранный угол при ее основании а; определить объем пирамиды»; «Дана сторона основания а и плоский угол при вершине а правильной четырехугольной пирамиды; определить полную поверхность пирамиды» и многие другие.

ментами. Тогда m = п. Действительно, если, например, m < п, то, выбрав из общего числа п элементов какие-либо m элементов, вырази и через выбранные m элементоз остальные п—т элементов, то есть придем к неверному заключению о том, что п элементов зависимы между собой.

Правда, иногда бывает нелегко решить правильно составленную учащимся задачу ввиду того, что он еще не овладел необходимыми знаниями. Весь эффект в этом случае состоит в том, что учащийся сознает, что составленная им задача должна решаться и что необходимые знания он получит впереди. Однако следует учесть, что для того, чтобы выбираемые учащимися m элементов для составления задачи по своему характеру соответствовали тому или иному учебному материалу и уровню знаний учащихся, учитель всегда может относительно выбора этих элементов сделать необходимые замечания.

Практика показывает, что если в процессе преподавания геометрии постоянно и систематически внедрять идею определяемости фигуры, то почти к каждой теме учащиеся с легкостью и с большим для себя удовольствием составляют разнообразные геометрические задачи. Это дело следует поощрять оценками в классный журнал. Для будущих «задачников» полезно отводить специальную тетрадь или блокнот Полезно также проводить специальные контрольные работы на составление и решение (к определенной теме) задач. При этом учитель подробно разъясняет, каков должен быть характер выбираемых данных (учитель может даже перечислить те элементы фигуры, из которых следует выбрать данные, дать необходимые разъяснения относительно этого выбора и пр.), каков должен быть характер самой задачи, чтобы она соответствовала как отводимому для ее решения времени, так и уровню знаний учащихся.

Заметим, что принцип определяемости геометрической фигуры позволяет с большим успехом составлять многие задачи на построение1.

Например, зная, что треугольник определяется тремя элементами, учащийся без труда составляет задачи: «Построить треугольник по сумме 5 двух его сторон и противоположным (этим сторонам) углам а и ß» ; «Построить треугольник по трем медианам та , тъ, тс » и др. Зная, что трапеция определяется четырьмя элементами, можно составлять задачи: «Построить трапецию по четырем сторонам С Ь, с, d»; «Построить трапецию по двум диагоналям m, п и двум углам а и ß, прилегающим к одному из оснований», и многие другие.

1 Из дальнейшего изложения читателю станет ясно, что указанный принцип позволяет также составлять некоторые задачи на доказательство.

Не менее важно, что, владея принципом определяемости фигуры, учащиеся вполне осмысливают условия готовых задач на вычисление и построение.

Положительный эффект в обучении составлению геометрических задач на вычисление и построение вызывают у учащихся старших классов задачи такого типа.

«Взяли 60 элементов тетраэдра, из которых любые 6 - независимые между собой (то есть любые 5 элементов не определяют шестой элемент) — ребра, плоские и двугранные углы, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы, поверхности, объемы и пр1. Сколько можно составить задач на тетраэдр, в которых по б элементам, определяющим тетраэдр, требуется найти остальные 54 элемента?»

Учащиеся приходят к неожиданному результату: (в это число входило бы, возможно, некоторое количество однотипных задач). Оказывается, что если бы мы разместили это число задач в задачниках по 1000 задач в каждом, то общее число таких задачников превысило бы 50 000.

Заметим, что возможны случаи, когда искомый элемент фигуры является функцией не от всех m элементов, определяющих фигуру, а только от некоторых из этих элементов2. В таких случаях не следует, разумеется, включать в условие задачи все m элементов.

Рассмотрим пример.

«В треугольник, стороны которого равны 8 см, 10 см и 12 см, вписан параллелограмм так, что угол его совпадает со средним по величине углом треугольника; периметр параллелограмма равен 18 см. Найти стороны параллело-

Черт. 1,

1 Легко убедиться в существовании таких 60 элементов. Можно доказать, что существует сколь угодно большое число элементов фигуры — различных функций каких-либо m элементов, которой определяется фигура — таких, что любые m из этих функций (элементов) независимы.

2 Вопрос о составлении и решении таких задач будет рассмотрен в § 4, раздела VI, ч. I.

грамма» (К. С. Барыбин, Сборник задач по геометрии, Планиметрия, Учпедгиз, 1958, № 1054 2).

Пусть AB = 8 см, ВС = 10 см, CA = 12 см, AEFM — вписанный параллелограмм (черт. 1); обозначим AM = х.

Тогда FM =9 — jc. Из чертежа имеем:-=-,откуда х = Зсм. Как видим, сторона ВС = 10 см совершенно не участвует в решении, а потому давать ее нет смысла.

V. ПРИМЕРЫ НЕПРАВИЛЬНЫХ УСЛОВИЙ.

Пренебрежение принципом определяемости геометрической фигуры приводит при составлении геометрических задач к грубым ошибкам, проникающим иногда в методическую литературу.

Приведем несколько соответствующих примеров с кратким анализом допущенных ошибок.

На странице 8 мы уже имели пример такой задачи. В этой задаче вместо трех элементов, которыми определяется треугольник, даны 4 элемента. Понятно, что соотношение, которым связаны эти 4 элемента, может и не выполниться, а это неизбежно приводит к несуществованию треугольника. Кроме того, в условии этой задачи нет точной ориентации относительно взаимного расположения медиан m и п со стороной АС, ввиду чего при трех данных элементах задача имела бы два решения (вместо одного, предусмотренного автором). Рассмотрим другие примеры.

1. «Около окружности описана равнобедренная трапеция, основания которой равны 8 мм и 4 мм, один угол — 150°. Найти радиус окружности» (К. С. Барыбин, Сборник задач по геометрии, Планиметрия, Учпедгиз, № 5542).

Равнобедренная трапеция определяется тремя элементами, а в условии задачи их четыре: 8 мм, 4 мм, 150°, «Около окружности описана равнобедренная трапеция» (следовательно, суммы противоположных сторон а + Ь и 2с равны, и мы имеем данный угловой элемент трапеции

Указанная трапеция, как нетрудно показать, не существует.

2. «Во вписанном четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке К- Найти углы четырехугольника, зная, что^АКВ = 1\0°,^АВ = 140°, ВК = ВС = CD» (там же, № 5952).

Вписанный четырехугольник определяется, очевидно, 4 элементами, его форма — тремя (угловыми) элементами. В условии же задачи содержатся 4 угловых элемента:

^АКВ = 110°, ^АВ = 140°, ВК = ВС, ВК = CD.

Легко проверить, что указанный четырехугольник не существует.

3. «Угол при вершине В треугольника ABC разделен отрезками BD и BE на три равные части (точки D и Е лежат на стороне АС). Найти отрезки AD, DE и ЕС, если:

1) АС = 10 см и AB : BD : BE : ВС = 1 : 2 : 3 : 4;

2) если АС = 12 см и AB : BD : BE : ВС = 2 : 1 : 1 : 3» (там же, № 641.)

Указанный треугольник не существует. Отрезки BD и BE являются, очевидно, функциями основных элементов треугольника, то есть его элементами. Отсюда следует, что равенство AB : BD : BE : ВС =1:2:3:4 содержит три (!) данных угловых элемента треугольника. Уж одного этого (не обращая внимание на длину стороны АС) достаточно, чтобы прийти к выводу: треугольник может не существовать.

Приводим решение автора. «Из треугольника ABC AD : DE = 1 : 3 (1), из треугольника DBC DC : ЕС = 1 : 2 (2), из (1) и (2) AD : DE : ЕС - 1 : 3 : 6». Нетрудно получить противоречие.

Проведем биссектрису ВК угла DBE (черт. 2). Тогда из д05£ DA: : КЕ = 2 : 3, откуда АК

Но должно быть:

что неверно. (То же самое имеем в задаче 2.)

4. «Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом а. Боковые грани наклонены к основанию под углом ср. Апофема пирамиды равна т. Найти полную поверхность конуса, описанного около пирамиды» (Н. П. Антонов, М. Я. Выгод-

скин, В. В. Никитин, А. И. Санкин, Сборник задач по элементарной математике. Гостехиздат, 1957, № 755). Авторы на странице 454 поместили следующее решение этой задачи (см. черт. 3).

Черт. 2. Черт, 3.

«Высота пирамиды ЕО = И = m sin <р. Из треугольника ЕАО нахсдим АО = R = tfctg а = m sinq>ctg а и Л£=

Получаем:

Полученную формулу можйо упростить, применив формулу

Ответ

Если совершенно забыть о принципе определяемости фигур, то к этому «решению» трудно придраться: как будто все обстоит благополучно.

Однако поскольку правильная четырехугольная пирамида определяется двумя элементами, то сразу бросается в глаза лишний элемент. Если убрать элемент m, то это делу не поможет: пирамида становится метрически неопределенной (да и, кроме того, форма правильной пирамиды определяется одним угловым элементом, а в задаче их два: а и ср). Следовательно, один из этих двух углов должен быть убран. Очевидно, углы эти должны быть зависимыми. И в самом деле, из чертежа имеем:

Но OB = ОМУ2. Значит, Cosa = j/2 ctgcp. Допущенная в этой задаче ошибка аналогична той, которая приведена в предыдущей задаче. Если бы мы пожелали снабдить углы a и ф числовыми данными, то нелепость могла бы усилиться: соотношение cos a = J^2 ctgcp могло бы и не выполниться.

5. «В основании призмы, описанной около шара, лежит прямоугольный треугольник с острым углом, равным а, а перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен h. Определить объем призмы».

Эта задача была предложена Министерством просвещения УССР для проведения осенних экзаменов в вечерних школах в 1957/58 учебном году.

Произвольная треугольная призма определяется шестью элементами (3 элемента фиксируют треугольник — основание призмы, а другие 3 элемента — положение одной из вершин верхнего основания). В условии же этой задачи содержатся лишь 4 данных элемента: «прямоугольный треугольник» (1 элемент), a и Л (2 элемента), а утверждение о том, что призму можно описать около шара равноценно одному данному угловому элементу (диаметр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы, равен высоте призмы). Объем призмы не является функцией лишь этих 4-х элементов. Интуитивное чувство, что призма должна быть прямой, обмануло составителей этой задачи.

6. «Боковое ребро в треугольной пирамиде перпендикулярно к противоположной стороне основания а, и концы его равно отстоят от противоположных им граней; двугранный угол при ребре а равен а. Определить объем пирамиды» (К. С. Барыбин и А. К. Исаков, Сборник задач по математике, Учпедгиз, 1955, № 1732).

В этой задаче речь идет о произвольной треугольной пирамиде, определяющейся шестью независимыми элементами. Условие задачи представляет нам всего 4 элемента, поэтому возможная ошибка сразу бросается в глаза. Оказывается, что в условии задачи пропущен данный элемент b — боковое ребро, о котором говорится в начале задачи. Если ввести в условие задачи элемент Ь, получим вполне определяемую задачу несмотря на то, что получаемые 5 элементов еще не определяют пирамиду и даже ее форму (однако объем пирамиды они определяют).

7. «В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед...» (А. И. Худобин и Н. И. Худобин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955). Здесь дважды утверждается, что параллелепипед прямоугольный, то есть данные элементы параллелепипеда без надобности повторяются дважды: утверждения «параллелепипед прямоугольный» и «в цилиндре вписан параллелепипед» эквивалентны (с точки зрения принципа определяемости фигуры).

8. «Радиус круга, описанного около основания правильной четырехугольной пирамиды, равен г, а плоский угол при вершине равен а. Определить двугранный угол между боковыми гранями» (Р. Н. Бончковский, Московские математические олимпиады 1935—1936 гг.). Угол а определяет форму пирамиды, поэтому элемент г является в данной задаче излишним. Задач такого рода имеется в существующих сборниках довольно много. Они тормозят инициативу учащихся в выборе вспомогательных элементов, в поисках наиболее рациональных путей решения задач. Кстати, решение этой задачи в указанной брошюре изложено на целой странице, в то время как внимательное рассмотрение соответствующего чертежа дает возможность решить задачу устно (или составить письменное решение только на одной строке).

В указываемых ниже задачах предоставляем читателю самому обнаружить «лишние» элементы фигуры и решить вопрос о ее существовании.

1) С. В. Назарьев, И. И. Никитин, И. Р. Игнатенков, И. В. Безызвестнов, Сборник задач по геометрии, Учпедгиз, № 559, 564, 580, 799, 1468.

2) К. С. Залогин, Сборник конкурсных задач по математике, Машгиз, Киев, 1954, № 146.

3) И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Учпедгиз, 1954, разд. II, № 271.

4) Журнал «Математика в школе», 1955, № 6, задачи 24 и 25.

5) И. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, Планиметрия, § 7, № 71.

6) Р. И. Позойский, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, разд. IX, № 30.

7) В. С. Кущенко, Сборник задач по математике, Судпромгиз, 1960, №659.

Приведенных примеров (число их можно было бы значительно увеличить) достаточно, чтобы понять, насколько важен принцип определяемости геометрической фигуры (задачи) для правильного составления задач.

VI. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Принцип определяемости геометрической фигуры позволяет, как увидим ниже, установить некоторые общие теоретические начала для отыскания планомерного и последовательного пути решения задач. Он позволяет быстро разобраться, решается ли задача, делает поиски решения спокойными, уверенными, намечает правильный курс и ориентацию при решении даже самых сложных задач (см., например, задачу 64, разд. V настоящего сборника и др.).

Заметим, что хотя часто решение геометрической задачи без применения принципа определяемости фигуры оказывается более простым (и даже изящным), однако такое решение всегда искусственно, и находить его приходится нередко «наощупь».

Для отыскания искусственных способов решения задач необходимы большие навыки и виртуозность, которые приобретаются, в свою очередь, в результате развития навыков решения задач естественным (планомерным) способом.

Именно попытки обучения искусственным приемам решения задач без предварительного развития навыков планомерного, логически связного и последовательного, причинно обусловленного решения задач являются тем формализмом, который мешает учащимся сознательно усваивать пути решения задач. Учащиеся не понимают, почему мы при решении той или иной задачи рассматриваем такой-то треугольник, а не иной, вводим такой-то вспомогательный элемент, а не иной, каков смысл введения вспомогательного элемента, в каких случаях и для какой цели мы его вводим, и пр.

§ 1. АНАЛИЗ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЕЕ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ.

При решении всякой геометрической задачи следует исходить прежде всего из анализа ее условия с точки зрения определяемости тех фигур, о которых идет речь в задаче. Такой анализ должен предусматривать: нахождение

числа m элементов, определяющих фигуру, о которой идет речь, выяснение того, имеется ли в условии задачи достаточное количество данных для ее решения, и почему автор дал именно такое количество данных и именно такие данные, которые содержатся в условии, и пр.

Анализ задачи с точки зрения ее определяемости должен стать главнейшей, существенной частью ее решения. В противном случае задача воспринимается учащимися слепо, искусственно, бесперспективно, а это лишает их интереса, уверенности и воодушевления при ее решении: учащиеся не видят, как возникли те задачи, которыми пользуется тот или иной автор, не понимает, почему в одной задаче содержатся, скажем, 2 данных элемента, в другой — 3, а в третьей «как будто» совершенно нет данных элементов. Именно сознание того, что данная задача должна решаться, поскольку в условии ее имеются все необходимые данные, выбор которых понятен учащимся, является наилучшим стимулом для воспитания воли и упорства при ее решении.

Рассмотрим задачу: «В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; каждое из боковых ребер равно 1. Определить объем пирамиды» (много таких задач составляют сами учащиеся). Даем образцы анализа условия этой задачи (взятые нами из работ десятиклассников).

1. «Величины с и а фиксируют определенный прямоугольный треугольник — основание пирамиды (так как прямоугольный треугольник определяется двумя элементами), а величина / определяет положение вершины (общая точка трех сферических поверхностей радиуса / с центрами в вершинах основания). Следовательно, данные три элемента фиксируют совершенно определенную пирамиду с определенным объемом».

2. «Треугольная пирамида определяется 6 элементами1, из которых три даны нам непосредственно, остальные три элемента «маскируются»: д АС В — прямоугольный (1-й элемент), SA = SB (2-й элемент), SA = SC (3-й элемент). Значит, условие задачи дает нам определенную пи-

1 Мы не требовали в анализе условия задачи объяснять процесс нахождения числа m, если учащиеся приобрели достаточные навыки в этой работе,

рамиду. Это значит, что мы можем найти любой ее элемент...»

Такие анализы раскрывают глаза учащимся на задачу, убеждают их в том, что она «обязана» решаться (или в том, что она имеет бесчисленное множество решений, ни одного решения), вооружают их твердым желанием искать пути решения; такие анализы свидетельствуют о глубоком понимании смысла задачи, об осознанности того пути решения, который следует после анализа.

Рассмотрим в общих чертах основные направления той ориентации при решении геометрических задач, которую мы можем получить благодаря применению принципа определяемости задачи (фигуры).

Начнем с задач на вычисление, которые можно разбить на три класса:

1) Задачи, данные которых определяют фигуру;

2) Задачи, данные которых определяют лишь форму фигуры;

3) Задачи, данные которых не определяют форму фигуры.

§ 2. ЗАДАЧИ, ДАННЫЕ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЮТ ФИГУРУ.

1. Известно, что решение многих геометрических задач на вычисление сводится к нахождению по данным m элементам flj, а2, а3,..., ат> определяющим фигуру, некоторого числа р искомых элементов хъ х2, х3,..., хр той же фигуры. Не нарушая общности, мы можем эти искомые элементы считать отрезками и углами, так как всякий сложный угловой или метрический элемент (поверхность, объем и пр.) является согласно данным нами определениям функцией основных элементов фигуры.

Характер большинства геометрических задач на вычисление, содержащихся в различных сборниках, таков, что неизвестные элементы xt в этих задачах могут быть найдены непосредственно из каких-либо простых геометрических фигур (например, треугольников, прямоугольников, секторов и пр.). При этом необходимо соблюдать требование: простая фигура должна быть определяема (зафиксирована) условием задачи, то есть необходимым числом элементов из числа данных. Неизвестный элемент

стараются «включить» в ту или иную простую фигуру1, следя за тем. чтобы данные элементы определяли эту фигуру Такое «включение» при решении простых геометрических задач на вычисление не вызывает особых трудностей: фиксированные простые фигуры легко «бросаются в глаза». Нередко после того, как первый искомый элемент таким способом уже найден, становится, благодаря этому найденному элементу, определяемой иная простая фигура, из которой находим второй элемент, и т. д.

Если фиксированная простая фигура непосредственно из чертежа основной фигуры не усматривается, ее часто удается легко построить. Пусть, например, требуется решить задачу. «Внутри угла а расположена точка на расстоянии m и п от его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла» (черт. 4).

Продолжим отрезок АС до пересечения со стороной данного угла в точке D. Благодаря этому, треугольник BCD становится фиксированным (^ ADO =90° — а). Следовательно, можем найти CD, затем AD. Теперь становится фиксированным д OAD, что дает возможность найти OA. Таким путем приходим, наконец, к фиксированному треугольнику ОЛС, содержащему искомый элемент.

Рассмотрим более сложный пример. «В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основа-

Черт. 4. Черт. 5.

1 Иногда вместо неизвестного непосредственно элемента приходится «включать» в фиксированную простую фигуру вспомогательный элемент (отрезок, угол), отыскание которою дает возможность легко найти неизвестный элемент (или иной вспомогательный элемент, более «близкий» к искомому).

нии равен а. Через его боковое ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол ß. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения».

В сечении получаем &SCF (черт. 5). Для изображения угла ß проводим SK 1 CF и точки О и К соединяем. Тогда ^SKO = ß. Поскольку элементы а и а фиксируют пирамиду, то можно найти SO: SO = &SOK — фиксированный, следовательно,

Теперь стал фиксированным Д ОСК

значит,

Отсюда ДОС/7 — фиксированный и CF =

Теперь имеем: пл. SCF

Практика показывает, что решение задач путем непосредственного нахождения искомых элементов1 из простых фиксированных фигур является обычно более простым, чем решение с помощью иных приемов.

Рассмотрим задачу: «Угол между образующей конуса

1 Как уже упоминалось ранее, искомыми элементами всегда можно считать отрезки и углы.

и радиусом ее основания равен a, a сумма этих отрезков равна т. Найти объем конуса» (черт. 6).

Такую задачу обычно решают так. Один из отрезков /, R или H принимают за неизвестное и, исходя из равенства / + R = m, составляют уравнение. Например,

откуда H =

Можно получить более простое решение, если построить фиксированный треугольник. Для этого на продолжении образующей SA отложим отрезок AB = OA = R и точку А соединим с О. Тогда из

&SOB(^SBO= ^,^SOß=

по теореме синусов имеем: H =

Можно привести много других подобных примеров (см., например, Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955, § 13, № 35, 37; указания, данные автором к решению этих задач, неуместны). Что касается нахож-

Черт. 6.

дения искомых элементов из фиксированной простой фигуры, то есть решения этой фигуры, то оно всегда основано на применении известных соотношений между элементами этой фигуры, даваемых теорией. Смысл этих соотношений, их вывод становятся понятными учащимся также благодаря введению в преподавание геометрии идеи определяемости фигуры.

2. Но имеется значительная группа задач на вычисление, для решения которых указанный метод применить нельзя, ибо непосредственное отыскание элементов xt из каких-либо простых плоских фигур оказывается для этих задач очень затруднительным. И здесь первое слово принадлежит принципу определяемости фигуры. В самом деле, пусть некоторая фигура определяется m элементами, и требуется найти другие р элементов ее. Согласно принципу определяемости существует между m + р элементами система р уравнений, из которых мы можем (пользуясь определенным алгорифмом решения системы уравнений) найти эти р элементов.

При этом с алгебраической точки зрения безразлично, какие элементы, входящие в систему, данные, а какие — искомые. Важно то, что мы принципиально можем решить систему относительно любых р параметров и что, следовательно, задачу можем считать решенной, когда система эта нами получена. Если ввести в рассмотрение так называемые вспомогательные элементы 6,, Ьъ b3,..., bk , то можно будет составить систему из р + k уравнений, исключив из которой (обычными алгебраическими операциями) эти k элементов, мы получили бы систему из р уравнений. И оказывается, что во многих случаях гораздо легче составить систему р + k уравнений, чем систему р уравнений. Для получения системы р уравнений нам нужно было непосредственно найти р неизвестных в функции от m данных элементов. Но если это сделать нельзя ввиду того что некоторые (или все) элементы xi (i = = 1, 2, 3,...,р) найти непосредственно из каких-либо фиксированных простых фигур затруднительно, то мы можем пытаться выразить вспомогательные элементы Ьг (а также и данные элементы) в функциях от остальных элементов.

Кроме того, если элементы х, не могли быть выражены в функции от элементов ait то они могут оказаться легко выраженными в функции от элементов а, и bt •

Поэтому следует стремиться вводить такие вспомогательные элементы 6,- , которые непосредственно связаны с данными и искомыми элементами, то есть вместе взятые составляют одну и ту же простую фигуру, являясь основными элементами этой фигуры. И далее, среди m + р + k элементов нужно стараться выбрать такие р + k элементов, которые легко выражались бы в функции от остальных элементов.

Иногда систему р уравнений удается легко получить и без введения вспомогательных элементов: это случается тогда, когда из m + р элементов можно выбрать такие р элементов (данных и искомых или только данных), которые легко выражаются в функции от остальных m элементов. В этом случае на некоторые (или все) элементы х1 начинают смотреть, как на «данные» элементы, а на такое же количество элементов а, — как на «искомые».

Пусть, например, требуется найти объем конуса по данным его боковой (q) и полной (Q) поверхности. Поскольку данные задачи фиксируют фигуру (конус), то прежде всего искомый сложный элемент—объем—заменяем искомыми простыми (основными) элементами R и / (радиусом и образующей конуса), в функции от которых легко выражаются все три элемента задачи. Считая R и / «данными», a q и Q — «искомыми», составляем систему

Успешное решение задачи зависит от удачного выбора элементов bt, от удачного варьирования искомых и данных элементов, что, как мы видели, в конечном счете обеспечивается сознательным использованием принципа определяемости фигуры. Для иллюстрации всего сказанного рассмотрим еще несколько примеров.

1. «Найти радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, если дано боковое ребро I пирамиды и угол а между двумя смежными боковыми гранями» (черт. 7).

Так как неизвестный элемент R = IS легко выражается через боковое ребро / и угол ß между боковым ребром и высотой, то вводим вспомогательный элемент ß. Теперь нам нужно получить два соотношения между элементами /, a, R и ß. Получение одного соотношения обеспечено способом введения вспомогательного элемента ß :

(1)

Можно видеть, что отрезки ОР и ОС=ОВу определяющие угол а, легко выражаются в функции от элементов / и ß (AOßS).

Поэтому, считая / и ß «данными» элементами, а а—«искомым», найдем:

(2)

Исключая из (1) и (2) угол ß, получим: R =

2. «В шаровой сегмент с дугой а в осевом сечении вписан шар наибольшего диаметра. Определить поверхность сегмента и разность объемов сегмента и шара, если поверхность шара равна S».

Искомые элементы в этой задаче являются, очевидно, функциями (которые могут быть легко найдены) от элементов а и R (радиуса и дуги осевого сечения), фиксирующих сегмент. «Зная» R и а, можно «найти» S, а из полученного при этом уравнения — радиус R, который выполняет роль вспомогательного элемента.

3. «Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен а. Высота пирамиды равна h. Найти объем пирамиды (черт. 7).

Искомый объем легко выражается в функции от стороны основания DC = а и высоты h. Считая элементы а и h «данными», а элемент а — «искомым», находим из фиксированных треугольников OSD и ESD угол а; из полученного соотношения найдем а и т. д. Можно в качестве вспомогательного элемента взять угол OES (или ODS) и далее поступать аналогично. В тех случаях, когда данные элементы выражаются в функции от искомых, роль вспомогательных элементов выполняют искомые.

Черт. 7.

§ 3. ЗАДАЧИ, ДАННЫЕ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЮТ ТОЛЬКО ФОРМУ ФИГУРЫ.

Имеется многочисленная группа задач на вычисление, в условиях которых содержатся данные, определяющие лишь форму фигуры, о которой говорится в этих задачах. Понятно, что данными и искомыми элементами в таких задачах могут быть лишь угловые элементы. Решая такие задачи, необходимо прежде всего иметь в виду, что если фигура определяется m элементами, то эта фигура с точностью до подобной себе (то есть ее форма) будет определяться m — 1 угловыми элементами1.

Сознательный и целеустремленный путь решения задач этого рода обеспечивается применением того же принципа. Фигуру, о которой говорится в задаче, стараются зафиксировать при помощи введения надлежащим образом выбранного (вообще говоря, произвольного) линейного элемента Ь. Этот вспомогательный элемент стараются выбирать так, чтобы он был возможно теснее связан с данными и искомыми угловыми элементами, чтобы в функции от этого элемента и некоторых данных или искомых элементов (фиксирующих фигуру) можно было легко выразить остальные элементы. Для треугольника часто принимают Ъ = 2R. Функции эти относительно Ь — нулевого измерения, так как они являются аналитическими изображениями угловых элементов. Следовательно, сократив в полученных формулах букву ft, получим систему уравнений между данными и искомыми угловыми элементами, из которых и найдем искомые элементы.

Вот примеры таких задач.

1.«Угол при вершине в осевом сечении конуса равен а. Определить центральный угол в развертке боковой поверхности конуса. Найти этот угол для разностороннего конуса» (П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1957, № 455).

Введем вспомогательный элемент R — радиус основания конуса. Теперь по «данным» R и а находим искомый

1 Среди элементов m, определяющих фигуру, должен быть, как правило, один линейный (метрический). Однако существуют фигуры (например плоский угол, многогранный угол, вообще — любая фигура, состоящая из одних углов), которые определяются только угловыми элементами. Из подобия таких углов всегда вытекает равенство их.

угол; радиус сектора, получающегося в развертке, равен

длина его дуги—2nR. Отсюда искомый угол:

Как уже упоминалось ранее, в любой задаче на вычисление искомыми элементами можем считать отрезки и углы (вспомогательные неизвестные), через посредство которых мы ищем более сложные неизвестные элементы. В связи с этим важно иметь в виду, что вспомогательный элемент b целесообразнее всего брать из числа этих «вспомогательных неизвестных» элементов. Так, в приведенной выше задаче мы могли принять b = R или b = / (образующей конуса). Иногда бывает целесообразным включать в задачу несколько вспомогательных элементов1

2. «Площади нижнего и верхнего оснований усеченного конуса и боковой поверхности его относятся, как m : п : р. Определить угол между образующей и плоскостью нижнего основания» (там же, № 463).

В условии этой задачи содержатся два данных угловых элемента — и — , которыми определяется форма усеченного конуса. Указанные в условии площади легко выражаются в функции от радиусов Rur, образующей / конуса и искомого угла а. Включая в задачу элементы Ry г и /, мы получим (вместе с данными и искомым) 6 элементов усеченной пирамиды, которые должны быть связаны 6— —3 = 3 уравнениями. Исключив из этих уравнений линейные элементы (а они обязательно исключатся), мы получим одно уравнение с одним неизвестным а. Как можно более увереннее получить указанные 3 уравнения (чтобы не «растеряться» среди большого числа элементов)? Применяем для этого принцип определяемости.

Фиксируем конус элементами R, г и а и находим /:

I =- (1). Теперь для получения остальных двух уравнений нам следовало бы по элементам R, г и а «находить»

1 В числе этих вспомогательных элементов могут оказаться и угловые (обычно основные). См. пример ниже.

элементы — и —. Однако благодаря (1), мы можем включить в эти уравнения также и I, что проще.

(2); (3)

Из (1) и (3) исключаем /:

(4)

Из (2) и (4) исключаем R2: Отсюда

Если в условии задачи содержится указание о равенстве отрезков, площадей, объемов, углов, о перпендикулярности или параллельности прямых и плоскостей и т. д., то такие указания мы, разумеется, обязаны считать данными угловыми элементами.

В самом деле, равенство объемов есть задание углового элемента: —1 = 1 (он равен 1); равенство углов или параллельность прямых (плоскостей) есть задание угла а — — ß = О между этими прямыми (плоскостями) и т. д.

Задачи с такими «замаскированными» данными угловыми элементами интересны тем, что в их условиях часто не содержатся числовые данные, и у многих учащихся создается мнение, что в этих задачах «ничего не дано». Такое мнение возникает у этих учащихся в том случае, если они еще недостаточно усвоили принцип определяемости фигуры.

Заметим, что «замаскированными» могут оказаться также линейные (метрические) элементы. Например, в задаче без числовых данных: «Площадь квадрата (в квадратных сантиметрах) и его периметр (в сантиметрах) выражаются одним и тем же числом. Найти сторону квадрата» содержится в «замаскированном» виде данный метрический элемент, а именно а2 — 4а = 0 (он равен нулю), где а — сторона квадрата. Этот метрический элемент выступает здесь в форме неоднородного относительно а многочлена.

Задачи без числовых данных, в которых данные угловые элементы определяют лишь форму фигуры (большинст-

во геометрических задач без числовых данных относится к этому типу), решаются так, как указано выше. Рассмотрим пример.

«Поверхность шара, вписанного в прямой круговой конус, равна площади основания этого конуса. Найти угол при вершине осевого сечения конуса».

Форма конуса определяется одним угловым элементом, который нам и задан в виде равенства между поверхностью шара и поверхностью основания конуса (или в виде отношения этих поверхностей, которое равно 1). Здесь выгодно, очевидно, ввести в рассмотрение удобно связывающиеся друг с другом (а также с искомым и данным элементами) величины: 2а—угол при основании осевого сечения, г — радиус шара, R — радиус основания конуса. Зафиксировать конус можно с помощью любых двух элементов из числа этих трех. Возьмем в качестве фиксирующих элементов, например, г и 2а. «Найдем» данный элемент (в виде равенства или отношения): 4лг2 = nr2ctg2a, откуда ctga = = 2, и т. д.

Составление задач без числовых данных не представляет особых трудностей. Зная, например, что форма правильной четырехугольной пирамиды определяется одним (угловым) элементом, можно, скажем, потребовать, чтобы в этой пирамиде плоский угол при вершине равнялся линейному углу двугранного угла при основании, или чтобы апофема пирамиды равнялась стороне основания, или чтобы площадь диагонального сечения равнялась площади основания, или чтобы центры вписанного и описанного шаров совпадали, и т. д. В качестве искомых элементов соответствующих задач можно, разумеется, взять любые угловые элементы пирамиды.

Возьмем фигуру, состоящую из двух треугольников. Если эти треугольники имеют какой-либо общий элемент, то форма указанной фигуры будет определяться, как 2 -3 — —1, то есть 5-ю угловыми элементами.

Можно потребовать, чтобы два неравных треугольника имели по две равные стороны, по две равные медианы и по одному равному углу (5 элементов), и получить соответствующую задачу: «Два неравных треугольника имеют по две равные стороны, по две равные медианы и по одному равному углу. Найти углы этих треугольников и отношение их площадей» (см. раздел V настоящего сборника, № 29).

§ 4. ЗАДАЧИ, ДАННЫЕ КОТОРЫХ НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ ФОРМЫ ФИГУРЫ.

Имеется категория задач на вычисление, в условиях которых содержатся данные, не определяющие соответствующие фигуры и даже их форму (в число этих данных могут входить и метрические элементы). Очевидно, искомые элементы в этих задачах должны быть связаны с данными элементами некоторыми соотношениями (уравнениями), которые и требуется найти. Задачи этого рода наиболее трудны для учащихся, ибо пути поисков их решения, если не пользоваться принципом определяемости, проходят обычно непоследовательно, нецелеустремленно, «вслепую». Принцип вносит полную ясность в решение и этих задач.

Пусть фигура, о которой идет речь в задаче, определяется m-элементами, а число данных независимых элементов равно п (п < т). Тогда фиксируем фигуру введением m — п1 вспомогательных элементов. Затем по «данным» п + (т — п) = m элементам (в число которых могут входить и искомые элементы) находим, пользуясь описанными выше приемами, остальные элементы (в число их могут входить и данные элементы). Исключая из полученных уравнений все вспомогательные элементы, получим систему уравнений между данными и искомыми элементами, из которой и найдем последние. Очевидно, что если искомые элементы х{ действительно являются функциями лишь данных п элементов, то вспомогательные элементы обязательно «исключаются», то есть обязательно исчезают в окончательных формулах для хг

Если вспомогательные элементы в окончательных формулах для я, не исчезают (не сокращаются, не уничтожаются), то это — верный признак того, что данные элементы не связаны с искомыми какими-либо соотношениями. В этом случае задача становится неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений.

1. «Круговой сегмент, имеющий хорду а, вращается около диаметра, параллельного хорде. Определить объем тела вращения». Элемент а не фиксирует фигуру (сегмент или тело вращения). Вводя вспомогательный элемент —

1 Иногда бывает выгодным вводить и большее число вспомогательных элементов, что связано с составлением большего числа уравнений.

дугу сегмента а, полностью фиксируем эту фигуру и решаем задачу о нахождении объема тела вращения по данным элементам а и а. Получаем окончательный результат V = ~-, свидетельствующий о том, что искомый объем действительно не зависит от а.

2. «Основание прямой призмы — треугольник, два угла которого равны а и ß. Объем призмы равен V. Определить объем описанного около призмы цилиндра» (А. И. Худобин и Н. И. Худобин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955, № 1893.).

Указанная призма определяется, очевидно, четырьмя элементами, а в условии задачи содержится лишь 3 элемента: а, ß и V. Введем в задачу элементы R — радиус описанной около треугольника (основания призмы) окружности и H — высоту призмы. Зафиксируем призму элементами /?, Я, а, ß. Тогда между этими элементами и элементами V и V (V — объем цилиндра) должны существовать два соотношения, исключив из которых вспомогательные элементы R и H (а они должны исключиться), получим уравнение, которое и решим относительно V.

Находим V и V по данным а, ß, R и H:

Теперь имеем:

Обратимся к вопросу о составлении задач рассматриваемого типа. Эти задачи очень легко и удобно составляются с помощью задач рассмотренных ранее типов (данные элементы которых определяют фигуру или ее форму). Если элементы аг, я2, а3,..., ат определяют фигуру, то некоторый искомый элемент х{ является функцией от элементов

Во-первых, может оказаться, что некоторые элементы af не входят в эту функцию: тогда можем составить задачу о нахождении элемента xi по элементам а. (которые вошли в функцию).

Во-вторых, если все элементы at вошли в указанную функцию, то всегда, очевидно, можно выражение f(ab а2, ат) представить в виде суммы или произведения некоторого числа п(п < т) других выражений:

(индекс i принимает значения из чисел 1, 2, 3,..., т). В таком случае мы можем составить задачу о нахождении элемента х{ по данным п элементам (п < т) f. или Fj (у = I, 2, 3,... , п). Рассмотрим несколько примеров.

1) Первую из рассмотренных выше задач можно легко получить, решая задачу: «Круговой сегмент, имеющий хорду а и дугу а, вращается около диаметра, параллельного хорде. Определить объем тела вращения».

2) Вторую из этих задач можно получить из задачи: «В основании прямой призмы — треугольник, два угла которого равны а и ß, а радиус описанной окружности R. Высота призмы равна Н. Найти объем призмы и описанного около нее цилиндра».

3) Рассматривая ответ к задаче 2 предыдущего параграфа

можем составить задачу: «Определить угол между образующей и плоскостью нижнего основания усеченного конуса, если отношение разности площадей оснований к его боковой поверхности равно к».

Или такую задачу: «Определить угол между образующей и плоскостью нижнего основания усеченного конуса, если боковая поверхность его равна S, а разность площадей оснований равна q» (предпочтительнее первая из этих задач, так как она содержит лишь один данный элемент).

3. «Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого а и Ь. Определить боковую поверхность пирамиды, если все ее боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а» (А. И. Худобин, Н. И. Худобин, Сборник задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1955, № 1766).

Обращаясь к ответу, находим:

площадь основания пирамиды. Отсюда получаем задачу, в которой вместо трех элементов û, i и а, определяющих указанную пирамиду, будем иметь лишь два элемента S и а1, которые не определяют пирамиду (но определяют искомый элемент).

1 Результаты задач 3) и 3 вытекают из теоремы о площади проекции (на плоскость).

4. «Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с тупым углом а и сторонами а и Ь. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Определить объем параллелепипеда» (Там же, № 1673).

Ответ к этой задаче таков:

Замечая, что ab sin а = S — площадь параллелограмма — основания параллелепипеда, получим:

Таков ответ к аналогичной задаче, в которой вместо элементов ах b и а фигурируют элементы S и а.

§ 5. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Покажем, что принцип определяемости фигуры может быть успешно применен к целенаправленному и планомерному решению таких геометрических задач на доказательство, в которых требуется доказать наличие каких-либо соотношений (уравнений) между элементами фигуры.

Рассмотрим более общую постановку вопроса. Пусть требуется найти все независимые между собой соотношения между элементами bt (i = 1, 2, 3,..., п) фигуры. Выберем m независимых элементов ai% определяющих фигуру. В число этих элементов может входить и некоторое число р элементов, взятых из элементов bt- (возможно, pi = m). Тогда, пользуясь описанными ранее приемами, можно найти остальные п — р элементов bt (в функции от выбранных элементов а,). В результате получим п — р уравнений между п + m — р элементами. Ясно, что вспомогательные m — р элементов ах должны быть исключены из этих уравнений1 (они обязательно все исключаются, если элементы bt зависимы). В результате останутся у нас уравнения (или одно уравнение) между элементами bi% то есть все существующие между этими элементами независимые соотношения.

Перейдем к примерам.

1 В результате исключения этих элементов общее число уравнений может и не измениться (вспомогательные элементы «сами» исключаются, как в приведенном ниже примере).

1. Рассмотрим задачу 1 предыдущего параграфа в такой форме: «Круговой сегмент, имеющий хорду а, вращается около диаметра, параллельного хорде. Доказать, что объем тела вращения равен — » (или: «Найти соотношение между объемом V тела врашения и хордой а» или еще так: «Доказать, что тело вращения равновелико шару, имеющему своим диаметром хорду а»).

Вводим элемент а. Элементы а и а фиксируют фигуру. Соотношение, полученное в результате нахождения элемента V по данным элементам о и а, является согласно принципу определяемости фигуры единственным соотношением между элементами а, а и V. В этом соотношении вспомогательный элемент и «сам» исключается, и мы получаем требуемое соотношение.

2. Докажем для треугольника известное соотношение:

4SR = abc.

Любые из входящих в эту формулу трех элементов фиксируют треугольник, однако остальные элементы в функции от трех избранных выражаются сложно. Поэтому введем еще один элемент — угол 7 между сторонами а и Ь. Между шестью элементами a, fc, с, S,R и 7 существуют 3 соотношения, из которых нам нужно найти только одно.

Имеем:

(третье соотношение

оказывается для нашей цели лишним).

Можно показать, что принцип определяемости фигуры может быть успешно применен к решению многих других видов задач на доказательство, связанных с метрическими свойствами фигур. Рассмотрим, например, такие две задачи.

I. «Доказать, что геометрическое место точек, из которых можно провести к шаровой поверхности три взаимно перпендикулярные касательные, есть шаровая поверхность, концентрическая данной» (черт 8).

По смыслу задачи расстояние OS какой-либо точки указанного геометрического места точек должно равняться постоянной величине (для данного шара). Но оно так и есть: касательные SA, SB. SC не только взаимно перпендикулярны, но и, очевидно, равны. Поэтому правильная пи-

рамида SA ВС фиксирована (два ее элемента ОС = R и ^ASC = 90° известны). Следовательно, отрезок OS имеет определенную длину, которую мы можем выразить через R.

2. «В трапеции, описанной около окружности, прямая, соединяющая точки касания оснований, и прямая, соединяющая точки касания боковых сторон, проходят через точку пересечения диагоналей. Доказать».

Зафиксируем соответствующий чертеж 9 элементами:

Пусть указанные в условии задачи прямые MN и FE пересекаются в точке К- Докажем, что диагональ АС проходит через точку /(. Для этого соединим точку К с вершинами Л и С и докажем, что ^АКМ = ^CKN. Очевидно, достаточно показать, что

Из чертежа имеем:

Из &0KF по теореме синусов легко находим:

Черт. 8.

Черт. 9.

Отсюда

Из треугольников АО Ni и CON имеем:

Отсюда

что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать, что диагональ BD также проходит через К- Можно было бы обозначить точку пересечения прямых MN и АС через К' и затем путем аналогичных вычислений доказать, что OK = OK' (легко показать, что отрезки OK и OK' одинаково направлены).

Задачи на доказательство наличия соотношений между элементами фигуры составляются без особого труда — тем же способом, что и задачи, данные которых не определяют форму фигуры.

Относительно решения этих задач следует иметь в виду, что хотя указанный прием и является планомерным и последовательным, однако он в некоторых случаях не является простейшим. Иногда искусственные приемы (приобретаемые в результате достаточного развития навыков планомерного решения задач) быстрее и проще приводят к искомому результату. Вот пример: «Доказать для тетраэдра соотношение Sr=31/», где S — поверхность тетраэдра, г — радиус вписанного шара, V — объем. Сказанное ка-

сается, очевидно, также и некоторых задач, данные которых не определяют форму фигуры. Для примера используем предыдущую задачу, сформулировав ее следующим образом: «Дан объем тетраэдра V и его поверхность S. Найти радиус г вписанного шара».

§ 6. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Принцип определяемости фигуры теснейшим образом связан с геометрическими задачами на построение и может быть успешно применен для составления и решения очень многих из этих задач, изучаемых в средней школе.

Мы использовали ранее эту связь для того, чтобы при помощи «воображаемых» геометрических построений определить число элементов, которыми определяется фигура.

Конечным результатом решения всякой геометрической задачи на построение является построение какой-нибудь в той или иной мере сложной фигуры, состоящей из более простых фигур — треугольников, окружностей, трапеций и т. д. Если мы, анализируя задачу (предполагая ее решенной, фигуру — построенной), замечаем, что все m элементов, фиксирующие фигуру, нам заданы (или их легко построить), то можно пытаться: 1) строить фигуру по ее m элементам, если это непосредственно возможно; 2) строить отдельные фиксированные составные части фигуры— треугольники, окружности и др., а затем и всю фигуру (построение по частям).

Однако эти попытки, если не пользоваться алгебраическим методом, окажутся безуспешными в тех случаях, когда элементы, фиксирующие фигуру (или ее составные части), не являются во всей своей совокупности основными. Непосредственное построение фигур по этим элементам оказывается поэтому затруднительным. В этих случаях можно пытаться построение какой-либо простой фигуры (по неосновным элементам) сводить к построению более простой (или такой же) фигуры— по основным элементам. Эта последняя попытка всегда приведет к успеху, если применять алгебру1. Но и без алгебры во многих случаях

1 Построение какой-либо фигуры (например, треугольника) по данным ее неосновным элементам сводится к нахождению основных элементов, позволяющих легко выполнить построение. Последняя же задача принципиально всегда разрешима (см. разд, VI, § 2).

(при решении не очень сложных задач, какие обычно рассматриваются в средней школе) можно без особого труда получить цепь фиксированных (с помощью основных элементов) треугольников и других простейших фигур. Поясним сказанное примерами.

1. «Провести секущую к двум данным окружностям так, чтобы части секущей, заключенные внутри окружностей, равнялись соответственно данным отрезкам а и ах\ (А. П. Киселев, Геометрия, ч, 1, § 135.)

Из чертежа 10 видим, что треугольники О AB и 01А1В1— фиксированные, следовательно, можно построить их высоты ОЕ и OiEv Тогда становится фиксированной прямоугольная трапеция ОЕЕхОх (известны стороны ОЕ, 01Е1 и ООх), а значит, и вся фигура чертежа 10.

Черт. 10. Черт. 11.

2. «Построить треугольник по основанию, углу при вершине и сумме (или разности) двух других сторон» (черт. 11).

Пусть Д Л ВС, в котором основание АС, угол В и сумма (разность) сторон ВС и AB известны, построен. Отложив на продолжении стороны AB отрезок BD = ВС, получим фиксированный треугольник

Аналогично поступаем, если дана разность сторон AB и ВС. Дальнейшее ясно. Понятно, что при помощи известных методов построений (метода геометрических мест, симметрии, вращения, инверсии и пр.) мы во многих случаях получаем более простые решения задач на построение, чем при помощи отыскания и построения цепи фиксированных (своими основными элементами) простых фигур. Кроме того, при решении многих сложных задач отыска-

ние этой цепи оказывается довольно затруднительным. Так, например, задача «Построить треугольник по элементам a,ft а и -^Л» решается очень просто с помощью геометрических мест. При попытке решить эту задачу при помощи построения цепи фиксированных своими основными элементами простых фигур встречаемся с затруднениями: приходится искусственно вводить в чертеж центр описанной окружности.

Однако указанный способ обладает очень важными преимуществами, облегчающими решение задач на вычисление. Рассмотрим эти преимущества.

1. Практика может потребовать не только построить ту или иную фигуру по некоторым данным элементам (условиям), но и найти (вычислить) некоторые из элементов. Построение фигуры с помощью цепи фиксированных простых фигур есть такое построение, ход которого, естественно, показывает, как шаг за шагом наиболее просто вычислить любой неизвестный элемент фигуры (с помощью решения треугольников по основным элементам) Этим обстоятельством выгодно пользоваться при решении сложных задач (см., например, задачи 42 и 64 разд. V настоящего сборника). Ход построения фигуры к задаче, анализ этой фигуры и ее составных частей с точки зрения определяемости содействуют отысканию наиболее простого пути решения задачи. Рассмотрим задачу:

«На плоскости данного угла найти точку, расстояния которой от сторон угла равны тип. Вычислить расстояние от этой точки до вершины угла» (черт. 4, стр 34) Само построение выполняется с помощью геометрических мест довольно просто. Однако это построение не указывает нам пути отыскания искомого расстояния ОС. Если же мысленно выполнить построение с помощью фиксированных треугольников BCD, ODA, О АС и ОВС, то последовательное решение этих треугольников укажет наиболее простой путь отыскания любого элемента фигуры, изображенной на чертеже 4. Это же самое мы можем сказать о чертежах 10 и 11.

Таким образом, с теми затруднениями, которые возникают при отыскании фиксированных фигур, приходится иногда мириться. Замечательно то, что эти затруднения почти всегда могут быть легко преодолены, если выполнить построение каким-либо иным способом (желательно наиболее простым). Тогда обычно легко обнаруживается ис-

комая цепь фиксированных простых фигур. Отсюда следует, что геометрические построения являются важным средством решения задач на вычисление и других задач. Например, решив предыдущую задачу с помощью геометрических мест, обнаруживаем решение ее с помощью фиксированных треугольников.

При решении с помощью метода геометрических мест задачи о построении треугольника по данным элементам a, ha и ^-А центр описанной окружности, необходимой для обнаружения цепи фиксированных треугольников, появляется естественным образом. Приведем еще пример: «Найти высоту трапеции по данным ее основаниям и диагоналям». Строим трапецию по ее основаниям и диагоналям (путем параллельного переноса одной из диагоналей). Получающаяся при этом фигура включает в себя цепь фиксированных треугольников, из которых можно найти кратчайшим путем любой элемент трапеции. Можно привести множество других примеров.

2. Само «начало» решения задачи с помощью фиксации1, заключающееся в нахождении числа m элементов, которыми определяются искомая фигура и отдельные ее составные части, является анализом условия задачи с точки зрения ее определяемости. Этот анализ имеет для задач на построение такое же значение, как и для задач на вычисление. Так что, каким бы методом мы ни решали задачу, анализировать ее условие с точки зрения определяемости очень важно. Кроме того, анализ задачи с точки зрения ее определяемости является ключом к составлению задач (см. разд. IV).

Рассмотрим простой пример. Пусть на плоскости заданы два круга, и мы заинтересовались вопросом о построении третьего круга, касательного одновременно к двум первым. Можно ли составить задачу2: «На плоскости заданы 2 круга. Построить третий круг, касательный одновременно двум первым». Анализируя соответствующий чертеж, легко находим, что для его фиксации не хватает одного элемента (например, радиуса искомой окружности, задания одной из точек касания и пр.).

После этого мы можем правильно составить задачу. Отметим еще, что при решении задач методом подобия,

1 То есть с помощью построения цепи фиксированных фигур.

2 В том смысле, чтобы она имела конечное число решений.

важно умение производить анализ фигуры (и ее составных частей) с точки зрения определяемости их формы.

Как уже отмечалось выше, алгебраический метод решения задач на построение является универсальным, хотя и не всегда наиболее простым и геометрически наглядным. Эта универсальность усиливается тем, что мы к этому методу можем в полной мере применять принцип определяемости фигуры: алгебраический метод геометрических построений включает в себя как основную составную часть решение задач на вычисление, а здесь, как мы видели ранее, принцип определяемости вступает в свои полные права. Нередки случаи, когда решающий задачу на построение, будучи не в силах отыскать чисто геометрическое решение (ибо пути этих поисков не всегда достаточно изведаны, целеустремленны, и к ним удается приходить искусственно, без плана), применяет алгебру, и здесь находит поддержку, успокаивается (ведь задачу он все же решил)1.

Мало того, ход построения найденных формул часто наводит на хорошую дорогу чисто геометрического решения задачи. Следует также отметить, что существует обширная группа геометрических задач на построение, решать которые целесообразнее алгебраическим методом.

Постановка задачи может быть такой, что о чисто геометрическом решении не может быть и речи2. Все задачи на построение могут быть решены алгебраическим (аналитическим) способом (задачи на нахождение геометрических мест точек могут также решаться методом алгебры — при помощи аналитической геометрии), но не всякая задача, решаемая алгебраическим способом, может быть решена чисто геометрически.

Таким образом, алгебраический (аналитический) метод решения геометрических задач, решительную поддержку которому оказывает принцип определяемости фигуры, должен ввиду его универсальности, а также ввиду того

1 Мы настоятельно отсылаем читателя по этому поводу к заключительной части предисловия И. И. Александрова, к 16-му изданию его классического труда «Сборник геометрических задач на построение» (Учпедгиз, 1954).

2 Там же, Отдел третий.

что он в большинстве случаев дает возможность составить определенный план решения задачи, считаться основным методом1.

Принцип определяемости фигуры оказывает значительную помощь также и при решении так называемых «метрических» задач на построение (из области стереометрии).

Возьмем пример такой задачи: «Дано изображение (в параллельной проекции) правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна ее высоте. Построить в этой пирамиде изображение высоты, опущенной из вершины основания на противоположную грань» (черт. 12).

Искомая высота СН (черт. 12) не может занимать в пирамиде произвольное положение: поскольку форма пирамиды нам задана, то высота должна делить апофему SD в определенном отношении, которое сохраняется (инвариантно) при параллельном проектировании. Задача, очевидно, сводится к определению этого отношения. Пусть AB = SO = а (вспомогательный элемент). Из чертежа имеем:

При составлении и решении метрических2 задач важно ус-

Черт. 12.

1 Мы имеем в виду общий характер алгебраического метода и нисколько не преуменьшаем значения геометрических методов решения задач, в частности для средней школы.

2 «Метрическими» эти задачи назвали по той причине, что решение их связано с числами, вычислениями. Однако название это неудачно, поскольку числа эти абстрактны и являются характеристиками лишь формы фигуры. Ничего «линейного» или «метрического» в этих задачах нет.

воить следующее положение, вытекающее из принципа определяемости: всякая метрическая задача на построение имеет конечное число г>0 решений, если известная форма фигуры, над которой выполняется построение, и вид проекции, в которой эта фигура изображается. Это условие является достаточным, но не всегда необходимым.

VII. НЕШАБЛОННЫЕ ЗАДАЧИ. ЗАДАЧИ БЕЗ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ.

Известно, какие исключительные трудности испытывают учащиеся при решении различных нешаблонных задач, в особенности так называемых задач без числовых данных, о которых уже упоминалось ранее. Это объясняется тем, что здесь не могут выручить какие-либо шаблоны или случайности, а необходима сознательная, планомерная и целеустремленная работа, обеспечиваемая главным образом применением принципа определяемости.

Поэтому нешаблонные задачи являются надежным «барометром» для проверки осмысленности знаний учащегося. Но, разумеется, не в этом главная ценность этих задач.

Основная цель учителя — дать эти осмысленные знания. Одним из важных средств для достижения этой цели является, как это мы показали выше, принцип определяемости фигуры и проникновение его в преподавание геометрии. Практика показывает, что решение различных нешаблонных геометрических задач, в особенности задач без числовых данных, является замечательным средством для усвоения принципа определяемости фигуры и его практического применения, а следовательно, для углубления математических знаний. Такова природа этих задач.

Для решения даже простейших из них, требующих применения начальных сведений из курса элементарной математики, необходим только сознательный, осмысленный подход. Среди прочих нешаблонных задач важное значение с точки зрения принципа определяемости имеют также задачи с излишним числом данных элементов, а особенно — задачи с недостаточным (для определяемости задачи) числом данных элементов; иначе: неопределенные задачи. Последние содействуют внедрению идеи функциональной зависимости в геометрические образы, в частности в геометрические места точек.

Неопределенные геометрические задачи позволяют аналитическим путем находить область допустимых значений элементов (параметров), определяющих фигуру, позволяют находить экстремальные значения отдельных элементов (при фиксированных прочих элементах), находить условия существования (определяемости) фигуры, заданной своими п(п<т) элементами, (см., например задачу 98 разд. V сборника) и выполнять ряд других исследований1.

Рассмотрим такой простой пример. Пусть требуется определить площадь S прямоугольного треугольника по данной гипотенузе с. Введя острый угол а, зафиксируем треугольник и найдем: S = -!-c2sin 2а.

Рассматривая S как функцию от а, легко находим:

(условие, при котором элементы S и с определяют прямоугольный треугольник); 2) 2J/S = с, а = 45° (условие максимума S при постоянном с или минимума с при постоянном S).

VIII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из всего сказанного следует, что принцип определяемости фигуры (задачи) является хорошим средством для составления и научно последовательного решения2 геометрических задач, для установления внутренней связи между элементами фигуры, между задачами различных типов и пр.

Поэтому первоочередной задачей учителя математики является настойчивая и систематическая работа по усвоению этого принципа и способов его применения к составлению и решению задач.

Пренебрежение этим принципом при обучении составлению и решению геометрических задач недопустимо. Мы глубоко убеждены в том, что такое пренебрежение и есть одна из причин неуспеваемости по геометрии, одна из причин тех трудностей, которые испытывает учащийся при ре-

1 Неопределенные задачи могут быть использованы как средство аналитического исследования геометрических фигур. Этот вопрос ждет своей научно-методической разработки.

2 Если какой-нибудь автор составил задачу или изложил решение задачи последовательно, правильно, ничего не упомянув о

шении задач. Это подтверждается хотя бы такими типичными ошибками слабо успевающих по математике учащихся.

1) Учащийся упорно решает задачу (добиваясь определенного числового результата), в условии которой недостаточно данных величин или этих величин излишнее количество, что свидетельствует о полной бессознательности его работы; 2) учащийся «решил» задачу, получив результат, зависящий не от всех данных этой задачи, и это обстоятельство его мало беспокоит; 3) учащийся правильно решил задачу (по шаблону или случайно), но не в состоянии проанализировать свое решение, осмыслить его, в конце концов — понять; достаточно внести малейшее изменение в условие задачи, и учащийся оказывается в «неопределимом» затруднении, будучи не в состоянии использовать уже полученный им ранее результат; 4) учащийся для решения задачи пытается составить уравнение. При этом у него почему-то все время вместо уравнения получается тождество. Почему? Потому, что он не различает независимые и зависимые элементы, не фиксирует фигуру и ее составные части (числом элементов m), то есть, не пользуясь «компасом», теряет цель и перспективу, идет «вслепую».

Из сказанного о значении принципа определяемости фигуры для изучения геометрии, в частности для составления и решения задач, следует, что этот принцип имеет прямое отношение к делу политехнизации обучения математике.

Достаточно заметить, что если нужно найти площадь или объем фигуры, заданной в виде модели или в натуральную величину, то учащийся легко определяет, какие именно элементы и сколько ему необходимо измерить.

В жизни чаще всего числовые данные к возникающей практической задаче приходится выбирать самому. Необходимо знать: как правильно сформулировать задачу (составление задачи), какие данные и сколько нужно взять для

принципе определяемости, то берем на себя смелость утверждать что автор этот все же интуитивно воспользовался принципом определяемости. Понятно, что, когда учащийся приобрел достаточные навыки анализа задачи с точки зрения ее определяемости, он может в дальнейшем обходиться без него. Решение задачи, основанное на использовании идеи определяемости, может и не содержать упоминания о фиксированных фигурах, о независимых элементах и прочих понятиях принципа определяемости.

ее решения, причем возможны обстоятельства, ограничивающие этот выбор.

Большинство практических задач по геометрии сводится к решению в той или иной мере сложной фигуры, и мы видели, какую помощь оказывает в этом деле принцип определяемости. Но умение применять математику на практике заключается не только в правильном решении готовых (составленных) практических задач. Умение это заключается также в правильном составлении практической задачи, возникающей перед рабочим той или иной специальности. А правильно сформулировать задачу помогает принцип определяемости.

Если, например, у нас имеется деталь, объем которой нужно вычислить, то, естественно, необходимы следующие шаги: 1) установить, из каких известных геометрических фигур состоит эта деталь; 2) установить число m для каждой из этих фигур, а затем и для детали, 3) установить, какие именно элементы выбрать (в зависимости от вида имеющихся измерительных инструментов) для того, чтобы задачу решить возможно проще: эти элементы должны возможно проще решать соответствующие простые фигуры— треугольники, секторы и пр., для этого некоторые из них должны быть общими для двух или более простых фигур; 4) четко сформулировать (составить) соответствующую задачу; 5) решить эту задачу1.

Очень много важных практических задач по геометрии относятся к так называемым задачам на максимум и минимум.

Известно, что для отыскания максимума или минимума какого-либо элемента фигуры необходимо прежде всего выразить этот элемент в функции иных элементов, то есть приходится решать задачу на вычисление.

В большинстве случаев условие задачи на максимум или минимум дает m — 1 элементов (не фиксирующих фигуру). Следовательно, элемент, экстремум которого ищется, должен быть представлен в функции от этих m—1 элементов

1 Интересно отметить, что на практике иногда (в тех случаях, когда получается более удобная для вычислений формула) измеряют большее количество п элементов фигуры, нежели то количество m элементов, которыми определяется фигура или задача (л >т). Понятно, что те соотношения которые существуют между п элементами, входящими в формулу, будут, естественно, выполняться.

и еще одного (вспомогательного) элемента, выступающего в роли аргумента этой функции. Ясно, что нужно стремиться этот вспомогательный элемент, фиксирующий вместе с данными элементами фигуру, выбрать так, чтобы получить по возможности более простую функцию.

Вся эта важная предварительная работа по решению задач на максимум и минимум может быть успешно и быстро выполнена только в результате применения принципа определяемости. Принцип определяемости приводит в полный порядок все наши действия и рассуждения при решении любой геометрической задачи. Он незримо участвует при решении задач. Мы часто пользуемся им мысленно или интуитивно и сами не замечаем этого.

Часть II

ЗАДАЧИ БЕЗ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ.

I. АРИФМЕТИКА.

1. К трехзначному числу приписали такое же число и полученное шестизначное число разделили на то самое трехзначное число. Сколько получилось?

2. Найти наибольшее число последовательных натуральных чисел, на каждое из которых делится трехзначное число. Найти это трехзначное число.

3. Произведение двух двузначных чисел равно числу, состоящему из одинаковых цифр. Сколько существует пар двузначных чисел, удовлетворяющих этому условию?

Решение. Очевидно, произведение не может быть числом двузначным. Если бы оно было четырехзначным, то оно делилось бы на простое число 101 (1111 = 11-101), что невозможно. Значит, произведение может быть лишь трехзначным числом. Числа 111 = 3 • 37, 222 = 6-37, 333 = 9 «37, очевидно, должны быть исключены из рассмотрения. Остальные трехзначные числа дают 7 пар искомых чисел, причем число 888 = 8 • 3 • 37 = 24 . 37 = 12 • 74 дает две пары.

4. Найти остаток от деления квадрата целого числа на 5. Указание. Квадрат целого числа может оканчиваться лишь цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9.

5. Найти остаток от деления простого числа на 60, если известно, что он является составным числом.

Указание. Остаток должен быть взаимно простым с числом 60.

6°. В сосуд с раствором английской соли добавили столько воды, сколько было в растворе соли (по весу), и столько соли, сколько было воды. Найти процентное содержание соли в полученном растворе.

Указание. Воды и соли в сосуде стало поровну.

7°. Три трактора обладают различной мощностью. Первый трактор один вспахивает некоторое поле за такое же время, какое потребовалось бы для совместного выполнения этой работы двумя другими тракторами. Доказать, что все три трактора могут совместно выполнить эту работу в два раза быстрее первого трактора.

Указание. Общую мощность второго и третьего тракторов принять за одну рабочую единицу (она равна мощности первого трактора).

8. Две бригады на выполнение некоторой работы расходуют столько дней, сколько недель потребовалось бы для выполнения этой работы одной второй бригадой. Во сколько раз первая бригада работает быстрее второй?

Примечание. Воскресенье считать нерабочим днем.

9°. Каждое из нескольких чисел разделили на их сумму и полученные результаты сложили. Сколько получилось?

10°. Отец старше сына на столько лет, сколько месяцев сыну. Во сколько раз отец старше сына?

11°. Брат старше своей сестры во столько раз, сколько ему лет. Сколько лет сестре?

12°. У мальчика братьев нет, а у его сестры столько же братьев, сколько сестер. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

13°. Тебе столько лет, сколько было мне тогда, когда ты родился. Во сколько раз я буду старше тебя через столько лет, сколько тебе сейчас?

14*. Сколько раз в сутки стрелки часов: а) совпадают? б) составляют продолжение друг друга? в) образуют прямой угол?

Решение, а) Рассмотрим какой-либо момент времени, когда стрелки часов совпадают, например 12 час Следующее совпадение стрелок наступит тогда, когда минутная стрелка опередит часовую на один оборот. Каждый час минутная стрелка опережает часовую на 1 — — = — оборота. Следовательно, через каждые i . j- = jj часа стрелки часов будут совпадать. Число этих совпадений в сутки равно 24 : — = 22. Различных случаев совпадений имеем 11. Вопросы б) и в) решаются аналогично.

15* Поезд отошел от станции ровно в полдень и прибыл к месту назначения между 4 и 5 часами, когда стрелки ча-

сов оказались совпавшими. Сколько времени был поезд в пути?

Решение. Рассмотрим момент времени 4 часа. Стрелки часов после этого момента окажутся совпавшими, когда минутная стрелка опередит часовую на 20 делений циферблата, или на — оборота. Каждый час минутная стрелка опережает часовую на — оборота. Следовательно, поезд был в пути

16. Определить толщину воздушной оболочки, опоясывающей земной шар, в предположении, что плотность воздуха всюду одинакова — такая, как у самой поверхности земли.

Решение. Плотность воздуха равна 0,001293 —, давление 1—. Столб воздуха, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с основанием в 1 см2 и высотой, равной искомой толщине, весит 1 кг. Следовательно, толщина воздушной оболочки была бы равна 1000 :0,001293 ^ 773400 см^ ^ 7,7 км.

17ù. Вам нужно прочесть книгу. Как подсчитать приблизительно, сколько у вас уйдет времени на чтение?

18°. В лаборатории желают подсчитать приближенно количество зерен кукурузы, полученных из нескольких подопытных початков. Как это сделать, пользуясь весами? Без весов?

19*. Как вычислить продолжительность игры патефонной пластинки, не прослушивая ее (или иную пластинку)?

Указание. Пазы, в которых движется острие патефонной иглы, образуют одну спиральную линию, которую можно рассматривать как систему концентрических окружностей. Если легонько провести вдоль радиуса пластинки каким-либо острием, то определим число этих окружностей (по числу скачков острия). Заведя проигрыватель, находим число оборотов его диска в 1 секунду.

20°. Как вычислить скорость течения реки, стоя с секундомером на ее берегу и наблюдая за движением плота, длина которого известна?

21°. Желают приблизительно подсчитать число деревьев в лесу с целью определения объема содержащейся в нем древесины? Как проще всего это сделать?

22°. Из железа выплавляется жесть. Что нужно знать, чтобы определить, сколько получится жести (в кв. м)? Как определить?

23°. Нужно обложить кирпичом (в полкирпича) одноэтажный дом со всех сторон. Как вычислить, сколько приблизительно потребуется кирпича?

24°. Желают выложить площадку кирпичом так, чтобы каждый кирпич стоял на ребре (то есть на средней по величине площади своей грани) и тесно примыкал к соседним кирпичам. Как узнать, сколько кирпича потребуется?

25°. Из досок одинаковой толщины, нужно сделать пол в нескольких комнатах. Как узнать, сколько приближенно потребуется кубометров досок?

26°. Трактор С-60 тянет 2 пятикорпусных1 тракторных плуга ПТУ-5 с шириной захвата2 одного корпуса в 35 см. Как вычислить, какое время затратит такой трактор для вспашки данного прямоугольного поля? Скорость, с которой движется трактор во время вспашки, известна.

27°. На складе имеются одинаковые ящики с оконным стеклом. Как вычислить (без взвешивания), сколько потребуется приближенно полуторатонных автомашин для одновременной перевозки стекла?

Указание. Удельный вес стекла равен 2,5.

28°. Как определить количество спичечных коробок в ящике, не распаковывая его?

Примечание. Одна из таких коробок у вас имеется.

29°. Ледник маслозавода, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, нужно заполнить льдом. Как рассчитать, сколько нужно сделать поездок одной трехтонной машине?

30°. Как найти приближенно давление (то есть силу, действующую на 1 см2 опорной площади), производимое кирпичным зданием на фундамент, зная вес и размеры одного кирпича?

Указание. Искомое давление численно равно весу кирпичного столба в форме прямоугольного параллеле-

1 Тракторный плуг, вспахивающий сразу 5 борозд.

2 Ширина борозды.

пипеда с основанием в 1 кв. см и высотой, равной высоте здания.

31°. В закроме, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, содержится пшеница. Как вычислить приближенно вес всей пшеницы в закроме, не перевешивая ее?

32°. При ременной передаче число оборотов двигателя мотора в 1 минуту равно m, диаметр ведущего шкива d, диаметр ведомого шкива D. Как вычислить число оборотов п рабочего вала в 1 минуту?

33°. В типографии имеются несколько стоп бумаги, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда и состоящих из отдельных листов. Бумага во всех стопах одинаковая. Как подсчитать приближенно количество листов во всех стопах?

Указание. Измерить толщину небольшой пачки бумаги, снятой с какой-либо стопы, затем измерить количество листов в ней, измерить общую толщину (высоту) всех стоп и составить пропорцию. Как решить эту задачу, пользуясь весами?

34. Как определить количество бумаги (в квадратных метрах) во всех стопах, описанных в предыдущей задаче?

Указание. Вычислить объем всей бумаги и полученный результат разделить на толщину одного листа бумаги.

35°. Известно расстояние между двумя точками, мимо которых равномерно проходит поезд. Наблюдатель, снабженный секундомером, хорошо видит эти две точки. Как ему определить скорость и длину поезда?

36°. Как, пользуясь сосудом неизвестного объема и весами, найти удельный вес какой-либо жидкости?

Указание. Взвесить порожний сосуд, сосуд, наполненный жидкостью, и сосуд, наполненный водой.

37°. Как при помощи мензурки и весов узнать, имеется ли внутри данного куска металла (удельный вес которого известен) полость?

38. Сколько приблизительно весит мраморная статуя, изображающая в натуральную величину человека среднего роста?

Решение. Известно, что средняя плотность тела человека приближенно равна плотности воды. Человек среднего роста весит примерно 80 кг. Плотность мрамора равна 2,7 —. Следовательно, вес статуи приближенно равен

39. Кусок дерева плавает в воде, погрузившись в нее на половину своего объема. Найти удельный вес дерева.

Указание. Использовать закон Архимеда.

40. Сплошное тело при погружении вводу «теряет» половину своего веса. Определить удельный вес вещества, из которого состоит это тело.

Указание. Использовать закон Архимеда.

41. Кусок железа, имеющий внутри полость, плавает в воде так, что ее поверхность касается поверхности железа. Какую часть объема куска железа занимает полость?

Решение. Вес чистого железа в граммах равен весу воды в объеме всего куска, то есть численно равен сумме объемов чистого железа и полости, выраженной в куб. сантиметрах (так как удельный вес воды равен единице) Примем объем железа в смл за 1 часть. Тогда вес чистого железа в граммах, а следовательно, сумма объемов железа и полости в см3 будет равна 7,8 частей (удельный вес железа 7,8). Объем полости равен 7,8 — 1 = 6,8 ч. Полость составляет —^0,87 объема всего куска железа.

42°. В воздухе парит неподвижно воздушный шар, наполненный водородом. Как определить вес снаряжения шара вместе с балластом, если емкость оболочки шара известна?

Указание. Воспользоваться законом Архимеда для газов.

43°. Цена товара снизилась на столько процентов, на сколько она снизилась рублей. Какова была цена товара?

44°. 12 школьников могут вскопать пришкольный опытный участок за 25 минут. Сколько школьников смогут выполнить ту же работу за 10 минут? (Считать, что все школьники работают одинаково.)

II. АЛГЕБРА.

§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

1. Из сосуда с раствором спирта отлили столько раствора, сколько было в сосуде чистого спирта, и затем налили в сосуд столько чистого спирта, сколько в нем осталось воды. Доказать, что чистого спирта в сосуде стало столько, сколько в нем было первоначально воды.

Решение. Пусть в сосуде было т(г) чистого спирта и Щг) воды. В т{г) отлитого раствора чистого спирта было

Воды в сосуде осталось

Чистого спирта в сосуде стало

что и требовалось доказать.

2. Велосипедист проехал расстояние между двумя пунктами с некоторой постоянной скоростью. Обратный путь он совершил со скоростью, в два раза большей. Во сколько раз средняя скорость движения больше первоначальной скорости?

3. Цифры четырехзначного числа — последовательные целые числа. Найти разность между этим числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

4. Ученик вычислил абсолютную величину разности между двузначным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В этой разности, которая оказалась двузначным числом, он снова переставил цифры и полученное число прибавил к ней. Какое число он получил?

5. Найти сумму цифр числа, представляющего собой абсолютную величину разности между трехзначным числом (крайние цифры которого различны) и числом, написанным теми же цифрами, что и данное, но в обратном порядке.

Решение. Имеем: abc — cba = 100 а + 106 + с — — (100 с + 10 Ь + а) = 100(а — с — 1) + 90 +(10 + с — а). При а — с> 1 это — трехзначное число, сумма цифр которого равна а — с — 1 + 9+10 +с—а = 18. При а — с = I разность будет равна 99. Сумма цифр также 18.

6. Из суммы кубов трех последовательных целых чисел вычли их утроенное произведение и полученный результат разделили на среднее из этих трех чисел. Какое число получили?

Решение. Имеем:

7. Из трехзначного числа вычли обращенное число (так-

же трехзначное). Какой наибольший результат мог при этом получиться?

8. От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого куска?

9. Чтобы выполнить некоторую работу, каждый из трех рабочих проработал последовательно один за другим столько часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения этой работы двумя другими рабочими. Во сколько раз быстрее была бы выполнена эта работа, если бы ее выполнили совместно все трое рабочих?

Решение. Обозначим часть работы, выполняемую первым рабочим за 1 час, через х, вторым—у> третьим—г.

Первый рабочий выполнил —— часть работы, второй — —У—, третий--—. Согласно условию задачи

x+z х+у

(1). На выполнение всей работы ушло времени

(часов). При совместном выполнении работы всеми тремя рабочими времени ушло бы

Искомое отношение равно

так как выражение в скобках согласно (1) равно 1.

10 Из двух пунктов А и ß, расположенных вдоль течения реки, выходят навстречу две моторные лодки, развивающие одинаковую собственную скорость. Одна из них направляется в пункт Л, а другая в В. Если бы первая лодка увеличила свою собственную скорость на х J^L, а вторая на столько же —уменьшила ее, то первая лодка прибы-

ла бы в Л раньше на столько часов, на сколько опоздала бы вторая (с прибытием в В). Принимая скорость течения реки за единицу, определить х в этих единицах.

Решение. Обозначим расстояние AB через 5, собственную скорость моторной лодки—через и, скорость течения—через а. Тогда

откуда легко найдем:

откуда

11. Из города А в город В отправлен плот. Одновременно из города В в город А вышел катер, который вернулся в город В одновременно с прибытием туда плота, причем катер задержался в городе А столько времени, сколько у него ушло на путь от Л до .в. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости плота?

12. Произведение двух несократимых положительных дробей равно их разности. Найти разность между дробями, обратными данным.

13. Существуют ли несократимые дроби с целыми положительными членами, разность которых равна их произведению?

14. Трехзначное число разделилось на сумму его цифр. Какой наименьший результат может получиться?

15°. При каком условии разность между произведением двух чисел и их суммой окажется равной разности этих чисел?

16. Сумма двух чисел равна сумме их наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. Доказать, что одно из этих чисел равно наименьшему общему кратному, а второе — наибольшему общему делителю.

17. При каком условии сумма двух чисел окажется равной разности между их наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем?

18°. При каком условии произведение двух чисел окажется равным их частному?

19°. К числителю и знаменателю дроби прибавили одно и то же число, от чего величина дроби не изменилась. Найти величину дроби.

20. Сплошное тело при погружении в воду «уменьшается» в весе во столько раз, каков удельный вес вещества этого тела. Определить удельный вес.

21. Несколько товарищей, встретившись, поздоровались каждый с каждым. Сколько было товарищей, если известно, что число их оказалось равным числу рукопожатий?

22. Средчяя цифра трехзначного числа равна сумме крайних цифр. Сумма этого числа с числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, есть четырехзначное число, которое требуется найти.

23. Четырехзначное число является точным кубом, в какой бы системе счисления х>3 мы ни считали его записанным. Найти это число.

Решение. Будем искать такие цифры а, &, с, d, чтобы многочлен abcdx = ах3 + Ьх2 + сх + d был точным кубом при любом X > 3.

Для этого должно иметь место тождество: ах3 + Ьх2 ++ сх + d = (тх + п)3 = т3х3 + Зт2пх2 + Ъп2тх + п3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х9 получим: а = m2, Ь = Зт2п> с = Зп2т, d = п3. Отсюда а = d = 1, b = с = 3 (если а = 8, то m = 2 и Ь = 12м >9, что невозможно; аналогично d¥=8). Искомое число есть 1331.

24* Сколько существует таких положений стрелок на правильных часах, что обмен местами стрелок в этих положениях приводит к положениям, также возможным на этих часах?

Решение. Рассмотрим какое-либо из искомых положений стрелок. Пусть часовая стрелка в этом положении находится от цифры 12 на расстоянии х делений (деление = — окружности), а минутная — на расстоянии у делений. Часовая стрелка показывает в этом положении некоторое целое число т<12 часов плюс у минут, х делений, на которые отошла часовая стрелка от цифры 12, равноценны — часам (так как 5 делений равноценны одному часу), а у делений, на которые отошла минутная стрелка, — — часам. Следовательно, — — — = т. Когда стрелки поменяются местами, получим аналогично + — — = п, причем тип — целые числа часов от 0 до 11. Решая совместно полученные два уравнения, найдем: х = —--■—' У = —*-!—Le Давая числам тип значения от 0 до 11,

получим 12 . 12 = 144 пары значений, то есть 144 искомых положений стрелок, из которых два положения (получаемые при m = п = 0 и при m = п = 11) сливаются в одно. Это положение: 12 часов. Итак, всего существуют 143 различных положения стрелок, удовлетворяющих условию задачи.

§ 2. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.

25. Некоторое число является точным квадратом. Найти остаток от деления суммы его цифр на 3.

Указание. Остаток от деления суммы цифр числа на 3 равен остатку от деления этого числа на 3; квадрат целого числа, не кратного 3, имеет вид (Зт ± I)2 == 9m2 ± ± 6т 4- 1 у где m — целее.

26. Квадрат целого числа содержит нечетное число десятков. Найти его последнюю цифру.

Указание. Квадрат целого числа может быть представлен в виде: (10а + Ь)2 = 10 .2 ■ (5а2 + ab) + ft2, откуда видим, что Ь2 ссдержит нечетное число десятков.

27. Квадрат целого числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Какими?

Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

28. Доказать, что квадрат целого числа не может оканчиваться более, чем тремя одинаковыми цифрами, отличными от нуля.

Решение. Квадрат целого числа может оканчиваться тремя одинаковыми цифрами, например 382 = 1444. Докажем теперь, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, то есть числом 4444 (см. № 27). Пусть само целое число оканчивается на 2.

Тогда число M должно быть целым. Имеем: (5а + I)2 = 2500 M + 1111. Видим, что квадрат целого числа оканчивается на 11, что согласно задачи № 27 невозможно. Пусть само целее число оканчиватся цифрой 8.

Тогда М- и мы приходим к тому же результату. Утверждение доказано.

29. Числа р, р + Зт + 1, р + Згг — 1 простые,m и п — целые. Найти р.

Указание. Целое число, не кратное 3, при делении на 3 дает остаток 1 или 2; число р не может не делиться на 3.

30. Доказать, что произведение двух взаимно простых чисел не может делиться на их сумму.

31. При каком необходимом и достаточном условии двузначное число разделится на сумму своих цифр?

32. Сумма квадратов двух целых чисел делится на кх произведение. Найти частное.

Решение. Пусть а и Ь — целые числа, п — их наибольший общий делитель. Тогда а - - =fl2 -? где ах и Ъх — взаимно простые числа (а = nav Ь = nbx). Отсюда видим, что а\ кратно bv то есть ах кратно bv что возможно лишь, когда аг = Ьх «= 1. Значит, искомое частное равно 2.

33. Периметр прямоугольников (в сантиметрах) численно равен его площади (в квадратных сантиметрах). Найти его стороны, зная, что они выражаются целыми числами (сантиметров).

34. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда имеет форму квадрата. Объем параллелепипеда (в кубических сантиметрах) численно равен его полной поверхности (в квадратных сантиметрах). Найти ребра параллелепипеда, если известно, что они выражаются в целых числах (сантиметров).

35. Если в четырехзначном числе изменить порядок цифр на обратный, то получится такое же число. Доказать, что это число не может равняться квадрату целого числа.

36. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

37. Найти двузначное число, квадрат которого равен кубу суммы его цифр.

38. Две последние цифры трехзначного числа равны. Найти это число, зная, что оно в двоичной системе счисления изображается одинаковыми цифрами.

Решение. Искомое число имеет вид 111___Is =

Отсюда

что невозможно.

Имеем два решения: 511 и 255. Других решений нет, так как при п = 6 А = 26— 1<100 что невозможно.

39. Ученику дали перемножить два трехзначных числа и полученное произведение разделить на некоторое число. Ученик не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящих числа за одно шестизначное число. Полученное частное оказалось больше истинного в целое число раз. Найти трехзначное число.

40* Целое число делят последовательно на все натуральные числа, начиная от единицы и кончая самим числом. Если сложить все получающиеся различные остатки, то получится само число. Найти это число.

Решение. Пусть искомое число А нечетно: А = 2п + + 1. При делении его на 2л, 2п — 1, 2лг — 2, п + 1 получим соответственно остатки 1, 2, 3,...,п. Следующие остатки будут повторяться, так как они меньше п (следующие делители пуп— 1,..., 2, 1 не превышают п). Согласно условию задачи А = 2п + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + п. Отсюда 2А = (1 + 2 + 3 + ... + п) + (1 + 2 + 3 + ... + п) = = (1 + п) + (2 + п - 1) + (3 + п — 2) + ... +(1 + л) = = п(1 + п), так как каждое слагаемое в скобках равно п + 1 и число слагаемых есть п. Следовательно, п(п + 1) = = An + 2, п2 — 3п = 2, An2 — \2п + 9 = 17, (2п — З)2 = = 17, что при целом п невозможно. Пусть теперь А = 2пщ Различные остатки в этом случае равны 1, 2, 3,..., п—1. Получим: 2>4 = An = п(п— 1), или, сокращая на п: п— 1 =4, откуда п = 5 и А = 10. Искомое число равно 10.

41. Одна из цифр трехзначного числа — 0. Если зачеркнуть эту цифру, то число уменьшится в целое число раз. Найти это число.

42*. Произвольная степень числа, оканчивающегося трехзначным числом, оканчивается этим же трехзначным числом. Найти это число.

Решение. Пусть х — искомое трехзначное число. Произвольное число, оканчивающееся числом х, имеет вид 1000а + х- Число (1000 а + х)п при любом целом п должно оканчиваться на х. Но (1000 а + х)п = 1000 M + + хлл где M — целое число. Следовательно, хп, и в частности х2у должно оканчиваться числом х> то есть х2 — х = = (х — 1)* кратно 1000 = 8 • 125. Так как числа х и х —1 взаимно просты, то одно из них делится на 8, а второе — на 125.

Среди трехзначных чисел, кратных 125, имеются следующие: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875. Из смежных с ними

чисел на 8 делятся 375 + 1 = 376, 625 — 1 = 624. Следовательно, X = 376 или X = 625. Заметим, что если х2 оканчивается на х, то и хп будет оканчиваться на х Действительно, число хп—X при любом п кратно х(х — I)1, то есть кратно 1000

43*. Если последнюю цифру шестизначного числа переставить в его начало, то число увеличится во столько раз, сколько единиц в представленной цифре. Найти шестизначное число.

Решение. Пусть х— неизвестное шестизначное число, а — переставляемая цифра. Число без последней цифры есть *~а. После переноса получим число

По условию задачи

При а = 1 получим л: =111111. При 1<а<10 число 10а— 1—двузначное, оканчивающееся на 9. Числа 19, 29, 49, 59, 69, 79, 89 не содержатся множителем в числителе. Число 10а — —1 = 39 содержится множителем в числителе. Получаем: а= 4, X = 4 . 9 • 7 • 11 • 37 = 102564. 10а— 1 * 99, так как а< 10. Итак, искомыми числами являются 111111 и 102564.

44. Пятая степень целого числа оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от нуля. Найти наименьшее число, удовлетворяющее этому условию.

Решение. Легко видеть, что пятая степень целого числа оканчивается той же цифрой, что и само число2. Пусть х=\0а+Ь — искомое число. По условию задачи число

целое. Имеем:

Здесь M и N — целые числа. Число должно быть целым. Число b < 9

1 В процессе деления хт—1 на х—1 легко убедиться, что это деление выполняется без остатка.

2 Так как выражение а5 — а — а(а — 1)(а + 1) (а2 + 1) = а (а2 — — 1)(а2 -f О кратно 2 и 5: если а не кратно 5, то либо а2 — 1, либо а2 + 1 кратно 5 (см. разд. I, № 4),

не может равняться 2, 4, 5, 6, 8, так как в этом случае число ЬА — 111 не будет оканчиваться нулем (Ь4 не будет оканчиваться единицей). При 6=1,

что невозможно, так как 5а оканчивается нулем или пятью. При b «= 3, m =--- = —-- — невозможно по аналогичной причине. При b «= 7, получим:

также дробное число, так как число в скобках оканчивается цифрой 6 или 1. Наконец, при Ь = 9 найдем: m «=

Число

должно быть целым. Наименьшее значение а, удовлетворяющее этому требованию, есть а = 19. Искомое число х = 199.

§ 3. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ НЕРАВЕНСТВА1.

45. Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить на несколько процентов, а другую — уменьшить на столько же процентов?

46. Сумма двух целых чисел равна их произведению. Найти это произведение.

47. На сколько больше сумма двух целых положительных чисел их произведения?

48. Может ли разность между трехзначным числом и числом, написанным теми же цифрами в обратном порядке: а) быть точным квадратом? б) равняться произведению его цифр?

49 Может ли быть точным квадратом:

а) сумма квадратов трех последовательных целых чисел? б) сумма квадратов четырех последовательных целых чисел? в) произведение двух последовательных целых чисел ? г) произведение четырех последовательных целых чисел?

1 Тождественными неравенствами условимся называть такие неравенства, которые сохраняются при всех допустимых значениях входящих в них букв, за исключением, быть может, конечного числя этих значений.

Решение, a) M = m2 + (m + l)2 + (m + 2)2 = = 3m2 + 6m + 5. При делении числа M на 3 получаем в остатке 2, что согласно задачи № 25 невозможно; б) M =

Кроме того, M =

Число

УИ заключено между двумя последовательными целыми квадратами и поэтому не может быть целым квадратом. Аналогично решаются вопросы в) и г).

50. Может ли быть точным кубом: а) произведение трех последовательных натуральных чисел? б) произведение шести последовательных натуральных чисел?

Решение.

С другой стороны, имеет место неравенство п2 > Зп + 27. Очевидно, при п < 7 (то есть при п = 6, m = 1) не получим точного куба.

Следовательно, число M заключено между двумя последовательными целыми кубами и потому не может быть кубом целого числа. Вопрос а) решается аналогично.

51. Число изображается в десятеричной системе счисления тремя одинаковыми цифрами. В какой еще системе счисления оно изображается тремя одинаковыми цифрами?

Решение.

Положим

Получим:

Так как Ь < 10 (Ь не кратно 37), то число

должно быть целым.

Но k = m — 10 < 22; поэтому k =» 37 — 21 = 16, За = = 1%, что невозможно, так как число b =— при а < 10 не является целым. Число, изображающееся в десятеричной системе счисления тремя одинаковыми цифрами, не может в другой системе счисления изображаться тремя одинаковыми цифрами.

52 . Доказать, что всякое натуральное число больше произведения его цифр (число цифр больше 1).

Решение. Обозначим цифры числа а,, а2, Ач,-» а„ (ai < < 10). Имеем последовательно: ûi > ^ — 1; 10а! >ахаг— — а2\ а{а2> аха2\ аха2> а}а2 — 1; \0aia2> а1а2а3— а3; а,а2ал > а, а2а3;... ; а,а1ал...ап >а1а2а^ ...ал.

53. Разность между числом и произведением его цифр равна сумме цифр этого числа Найти это число.

Решение. Пусть

Отсюда

Далее:

Мы получили:

Продолжая этот процесс до конца, получим:

откуда

Это неравенство возможно, очевидно, только при п = 2. Имеем уравнение: 10а + b = ab + а + 6, откуда 9а = = ab, b = 9, а — произвольное число (а < 10). Искомыми числами являются все двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 9.

54. Доказать, что не существует целого числа, кроме 0 и 1, равного сумме квадратов его цифр.

Решение.

что невозможно. При ах = 2 200 + Юа2 + а3 = 4 а22 + аД что, очевидно, также невозможно. Пусть п = 2, тогда 10а! + а2 = a^-j-аД ßi2 — 10ах + 25 = 25 + а2—а22, (ах — 5)2 = 25+а2 — я22, откуда а2 = 0, ах = 10 (или ах = = 0), что также невозможно.

55. Найти число, равное квадрату суммы его цифр.

Указание.

Кроме того, S < 4 • 9 = 36 и S2 > 1000, S > 31 Числа S и S — 1 — взаимно простые, значит, либо S, либо S — 1 кратно 9. Поэтому S = 36, ах = а% = а3 = а4 = = 9; 111 а, + llûa + Д3 = 140, что невозможно. Аналогично решаем вопрос при п = 3 и п = 2. При п = 2 получаем единственное решение: 81 = (8 + I)2.

56*. Сумма нескольких целых положительных чисел равна их произведению. Найти все числа, удовлетворяющие этому требованию.

Решение. Пусть ах + а2 + ... + ak + ak+\ + ak+<i + +... + ап = аха2 ... ап (1). Если п = 2, то аха2 = ах + 4-а2, откуда легко получаем: ах = а2 = 2 (задача № 46); если ах + а2 > а^, то либо ах = 1, либо а2 = 1 (задача № 47). Значит, если числа ах и а^ не равны и ни одно из них не равно 1, то аха2 > ûi + а2. Пусть среди чисел аь Ог,..., ап имеются k < л чисел аь Ог, а3 ... ак , не равных единице.

Докажем, что остальные я — k чисел (обозначим их а,) равны каждое 1.

Предположим, что все числа а{ отличны от 1. Тогда (aia2 ... ап-\)ап > аха2 ... ап-\ +а (знак = невозможен, ибо тогда было бы ап = аха2... ап = 2, и один из сомножителей равнялся бы 1).

Согласно (1) имеем:

Продолжив эти неравенства до конца, придем к невозможным неравенствам ах + а2 > аха2> ах > ах. Следовательно, одно из чисел а, равно 1. Пусть ап = 1, и ни одно из остальных чисел а, не равно 1. Получим: аг + а2 + ... + + ал_1 + 1 ахОъ ... ап_, > ага2 ... ö„_2 + аЛ-ь откуда 0,02... an_2 — (ûi + а2 + ••• + fln-2) < 1 (3) (то есть = 0 или < 0). Мы пришли к условиям, приводящим согласно (1) и (2) к тем же невозможным неравенствам: ах + а2 > аха2, ах > ах.

Следовательно, одно из чисел а, равно 1. Пусть aa_i = 1, получим: ах + а2 + - + ßn-2 + 2 = аха2... ал-2 > аха2... ... а„-з+ + откуда а^а ... ал_3 — (ах + а2 + ... + + ал_з) <2( = 1, 0 или <0).

Если аха2... ал-з — (ûi + Оа + ••• + Ял-з) =" 1« то (вА ••• ап-4 + ая-з) — (ûi + а2 + ... + а„_3) < 1 или ... ал-4 — — (ûi + (Ц + ... + Оп-4) < Ii что согласно (3) приводит к тем же невозможным неравенствам. Рассуждая таким образом далее, придем к формуле ах + + ... + ak + + п — k = ага^а9 ... ak или п = ... аА + £ — (ßi + + а2 + ... + аА), дающей все целые числа, обладающие свойством, указанным в условии задачи. Так например, при k = 2, ах = 2, а2 = 3 получим: л = 2- 3 + 2- (2 + + 3)==3, п—*=1 и 1-2.3=1+2+3. При = = 2, а, = 3, а2 = 4 получим: 3*4*1 -1 -1 -1 -1 = = 3+4 + 1 + 1 +1 + 1 +1.

57. Подкоренное число и показатель корня — равные между собой натуральные числа. Найти наибольшее численное значение такого корня.

58. Найти четыре целых положительных неравных числа, зная, что их сумма равна произведению наибольшего из них на наименьшее, сложенному с произведением двух остальных.

Решение. Положим, что х — наибольшее число, t — наименьшее, у иг — остальные два числа (у > г). Имеем уравнение: (х + t) + (2 + у) = xt + гу. Пусть X + t = xt. Тогда г + у = гу, и на основании задачи № 46 x=y=z=t=2, что не удовлетворяет условию задачи. Пусть X + t > xt, тогда / = 1 (на основании задачи № 47); X 1, так как х— наибольшее число).

Имеем:

откуда

Это дает: у = 3, г = 2, х > 3. Пусть, наконец,

Тогда у + г > yzt откуда г = 1, х + t + 1 = xt% t — = 1 H--. Это дает: х = 3, / = 2, что невозможно, так как г >/. Итак, имеем решение: х — произвольное число, большее 3, у = 3. г = 2, t = 1.

59. Как изменяется величина арифметической дроби от прибавления к ее членам одного и того же числа?

Решение. Имеем:

60. Теплоход совершил путь AB по течению реки и путь ВА против течения. Доказать, что средняя скорость теплохода в этом движении меньше его собственной скорости.

61. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А — против ветра, причем ветер дул все время с одинаковой силой. Затем самолет совершил этот же маршрут в безветренную погоду. В обоих случаях мотор самолета развивал одинаковую мощность. В каком случае на весь маршрут ушло меньше времени? Как зависит время, расходуемое на весь маршрут, от скорости ветра?

62. Катер проплыл расстояние AB по течению реки и расстояние ВА против течения, причем во время движения катера все время дул вдоль реки ветер. Было ли бы израсходовано меньше времени на весь этот маршрут, если бы ветра не было? Скорость течения, ветра, а также собственную скорость катера считать постоянными.

Решение. Введем обозначения: AB = S, v — собственная скорость катера, а — скорость течения (а < v). Ветер придает катеру некоторую (незначительную) дополнительную скорость, которую обозначим буквой Ь. В безветренную погоду на весь маршрут ушло бы времени

Если ветер дул в направлении течения, то времени было израсходовано

Если же ветер дул против течения, то времени ушло /2 =

Следовательно, было бы израсходовано меньше времени, если направ-

ление ветра совпадало с направлением течения. К этому выводу можно прийти, пользуясь результатом предыдущей задачи. Действительно, совпадение направлений ветра и течения можно истолковывать как увеличение скорости ветра при движении в стоячей воде или как увеличение скорости течения при движении в безветренную погоду. В обоих случаях (см. второй вопрос предыдущей задачи) времени будет израсходовано больше.

63. Два трактора вспахивают поле за х дней. Если бы первый трактор вспахал половину поля, а затем второй — остальную часть, то потребовалось бы у дней. Доказать, что у > 2х.

64. Велосипедист должен был проехать в определенный срок некоторое расстояние, двигаясь с постоянной скоростью и без остановок. Не делая остановок, он, однако, на одной части пути а увеличил свою скорость на m, а на остальной части на столько же уменьшил ее, причем он прибыл к месту своевременно. Доказать, что увеличение скорости m не превышает 100% и что путь а более половины всего пути.

Решение. Обозначим весь путь через S, постоянную скорость — v. Тогда

Упростив это уравнение, получим:

откуда видим, что

так как a<S; значит,

что требовалось доказать.

65. Катер должен был проплыть путь AB по течению и путь ВА против течения в определенный срок и с постоянной собственной скоростью. На пути AB он уменьшил собственную скорость, а на пути ВА — на столько же — увеличил ее. Опоздал ли катер?

Решение. Пусть AB = S, v — —собственная скорость катера, а--скорость течения, х — —изменение скорости. Катер должен был затратить на весь маршрут

В действительности он затратил

Отсюда

видим, что при х — а = а, х = 2а катер совершит весь маршрут как раз своевременно; при *>2а катер опоздает и при X < 2а он совершит весь маршрут раньше срока.

66. Чтобы уравновесить чашечные весы, на одну из чашек положили небольшой груз. Можно ли после этого взвешивать на весах?

Решение. Отсутствие равновесия чашечных весов вызывается различием длин плеч гг и г2. Пусть г2 > гъ m — дополнительный груз, M — взвешиваемый предмет, Рг и Р2 силы, действующие на плечи весов (без предметов m и М). Так как силы Рх + m и Р2 уравновешены, то по правилу рычага

Взвешивание предмета M окажется возможным, если силы Р1 + т + МиР2 + М будут уравновешены, то есть если

Но это равенство невозможно: неправильная дробь — уменьшается от прибавления к ее числителю и знаменателю положительного числа М. Легко видеть, что относительная ошибка взвешивания равна

67. Какую часть данного количества товара M надо отпустить покупателю с одной чашки весов, описанных в предыдущей задаче, и какую — с другой, чтобы общее количество отпущенного товара было равно М?

68. Доказать, что произведение суммы нескольких положительных чисел на сумму обратных величин этих чисел не менее квадрата их количества.

Решение. Имеем:

так как

а количество пар ai и ау- равно, очевидно,

69. Тело проходит путь AB равными частями, причем скорость его по крайней мере на двух частях различна. Обратный путь оно прошло равномерно со скоростью,

равной среднему арифметическому скоростей, которыми обладало тело на отдельных частях пути AB. На какой путь ушло больше времени, на путь AB или В А? Решение. Пусть AB = S, п — количество равных частей пути ^каждая часть равна—|, vb v2, v3,..., vn — скорости на этих частях пути. На путь AB ушло времени

На обратный путь ушло времени: Т =

Имеем: Т — t

так как на основании предыдущей задачи

(знак равенства исключается так как по условию задачи по крайней мере две скорости v. различны). Итак, Т < /: на путь AB ушло больше времени.

Замечание Мы доказали попутно, что средняя скорость движения тела

всегда меньше средней арифметической скорости

§ 4. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

70. Аргумент х квадратного трехчлена принимает всевозможные различные числовые значения. Могут ли среди соответствующих численных значений трехчлена встретиться: а) два одинаковых значения? б) три и более одинаковых значения?

71. Вычислить первую космическую (или круговую) скорость, то есть наименьшую начальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли, не падая на ее поверхность. Радиус Земли

принять равным R = 6400 км, ускорение силы тяжести

Решение. Для того чтобы тело не падало на Землю, необходимо, чтобы вес его равнялся центробежной силе, возникающей во время его кругового движения.

Вес тела равен mg, центробежная сила , где m — масса тела, v — искомая скорость. Имеем: mg = ,

(сопротивлением воздуха мы пренебрегли).

72*. Вычислить вторую космическую (или параболическую) скорость, то есть ту минимальную начальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть земное притяжение и улететь в мировое пространство. Радиус земного шара принять равным R = 6400 км, а ускорение силы тяжести g = 10 —.

Решение. Всякое тело на поверхности планеты обладает по отношению к центру планеты некоторой потенциальной энергией. Эту энергию можно создать, как бы «извлекая» тело из центра планеты на ее поверхность. Для простоты будем считать, что сила тяжести во время такого воображаемого «извлечения» постоянна. Следовательно, величина этой энергии будет mgR, где m — масса тела. Искомая начальная скорость должна быть такой, чтобы сообщаемая телу кинетическая энергия была численно равна потенциальной энергии. Отсюда mgR = ,

73*. Вычислить вторую космическую (или параболическую) скорость относительно Солнца, то есть ту минимальную скорость, которую нужно сообщить телу (находящемуся на поверхности Солнца), чтобы оно могло преодолеть притяжение Солнца и улететь в мировое пространство.

Решение. Сравнивая результаты задач 71 и 72, видим, что вторая космическая скорость относительно планеты (звезды) равна первой космической скорости относи.

тельно той же планеты (звезды), умноженной на у2. Но первая космическая скорость относительно Солнца равна линейной скорости вращения Земли вокруг Солнца, то есть

Искомая скорость приближенно равна

74. Два крана наполняют совместно бассейн за х часов. Один первый кран требует для наполнения бассейна на X часов больше, чем один второй. Во сколько раз пропускная способность второго крана больше пропускной способности первого?

75. Через входной кран ванна может наполниться до определенного уровня за х часов, а через выходное отверстие — наполненная ванна может опорожниться за у часов. Если открыть входной кран на у часов, а выходное отверстие на X часов, то ванна наполнится до того же уровня. Во сколько раз пропускная способность выходного отверстия больше пропускной способности входного крана?

76. Из пунктов А и В отправились две машины: одна шла из А в В, другая — из В в Л. После встречи одной из них потребовалось на остальной путь столько часов, сколько у другой ушло на весь путь. Найти отношение скоростей машин.

77. Ученик увеличил число, полученный результат он снова увеличил, затем новый результат он уменьшил — каждый раз на одно и то же число процентов. В результате он получил первоначальное число. Найти это число процентов.

78. Из общего количества товара х% проданы с убытком в х%\ х% оставшегося товара проданы также с убытком в х%. Весь остальной товар продан с прибылью в х%у причем вырученная за весь проданный товар сумма денег оказалась равной его себестоимости. Найти х.

Решение. Пусть себестоимость всего товара равна а руб. и ——= у. Себестоимость первой проданной части товара равна ау, убыток на ней ау2. Себестоимость остального товара равна а — ау = а{\ — у), а себестоимость второй части проданного товара равна а(1 — у) у, убыток на ней а(1 — у) у2. Себестоимость товара, оставшегося после продажи этих двух частей, равна а(\ — у) — а(1 — — У) У — я(1 — У)2* a прибыль на нем а(1— у)2у. Чистая

прибыль a(l — у)2у — ay2 — a(l — y)y2 по условию задачи равна 0. Имеем уравнение: а(1 — у)2 у — ау2 —а(1 — — У) У2 =_0, или 2у* —4у2 + у =0, 2у2 — Ау + 1 = О, у = 2~~^2 ^0,293, откуда х = 29,3%.

79. Тело, брошенное с некоторой начальной скоростью вертикально вверх, поднялось за первую секунду на половину своей максимальной высоты. С какой начальной скоростью брошено тело?

80. На дно впадины выпустили из рук небольшой камень, измерив при этом время t = 10 сек от начала падения до того момента, когда услышали звук удара камня о дно. Определить глубину впадины.

Указание. Воспользоваться законом свободного падения. Скорость звука считать равной 340 ускорение силы тяжести — 10 — .

81. Коэффициенты а, й, с уравнения х3 + ах2 4- Ьх + + с = 0 рациональны и равны его корням. Найти а, Ь% с.

82. Сумма двух чисел равна обратной величине одного из них, а разность — обратной величине второго. Доказать, что эти числа — мнимые.

83. Найти два рациональных числа, сумма квадратов которых равнялась бы сумме их кубов.

84*. Найти все пары неравных рациональных чисел, разность которых равна разности их кубов.

Решение. Имеем уравнение:

Число ]/4 — Зу2 должно быть рациональным. Положим j/4 — Зу2 =2 — ty (для любого наперед заданного рационального числа и и фиксированного у можно подобрать такое рациональное число /, что будет иметь место равенство: и = 2 — ty)

Мы получили два множества пар рациональных чисел, удовлетворяющих условию задачи. Все они дают различ-

ные значения для х и у, так как уравнения At = 3 — /*— — 2/ и M = t2 — 2t — 3 не имеют решений в области рациональных чисел.

§ 5. ПРОГРЕССИИ И ПРЕДЕЛЫ1.

85. Найти сумму всех нечетных трехзначных чисел.

86. Сумма некоторого числа последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, равна трехзначному числу, все цифры которого одинаковы. Найти это число.

87. Могут ли сумма и разность двух членов арифметической прогрессии быть последовательными членами той же прогрессии?

Решение. Имеем:

Или:

отсюда

2k = 2т + 1, что невозможно: четное число не может равняться нечетному числу.

88. Если к членам одной арифметической прогрессии прибавить соответствующие (по номеру занимаемого места) члены другой арифметической прогрессии, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

89. Крайние члены арифметической прогрессии различны по абсолютной величине и сумма их равна сумме остальных членов прогрессии. Найти число членов прогрессии.

90. Средний член арифметической прогресии, число членов которой нечетно, равен сумме всех остальных членов прогрессии. Найти средний член прогрессии.

91. Найти отношение корней биквадратного уравнения, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию.

92. Доказать, что пути, проходимые равноускоренно (равнозамедленно) движущимся телом в последовательные равные промежутки времени, составляют арифметическую прогрессию.

Указание. Воспользоваться формулой пути при равномерно переменном движении

1 Условимся ряд равных чисел не считать прогрессией.

93. При равнопеременном движении тела проходимый им путь вычисляется по формуле 5 = v0t + -~ , где v0 — начальная скорость движения тела, а — ускорение, / — время движения Вывести эту формулу1,

Решение. Разделим промежутки времени от 0 до / на очень большое число п равных частей. В таком случае движение тела в продолжение одного (очень малого) промежутка времени, равного — , можем считать равномерным. Скорость движения тела на промежутке от 0 до — можем считать равной v0\ по истечении этого времени скорость тела увеличится на а • ~ » следовательно, на втором промежутке /от — до — j скорость можем считать равной vQ + — , на третьем vQ + —- и т. д. Наконец, на последнем п-м промежутке |от до скорость достигнет значения v0 + ^ ~~ - at. Пути, проходимые телом в продолжение каждого из этих промежутков времени, соответственно равны:

Теперь имеем:

Очевидно, полученная формула окажется тем точнее, чем вернее окажется предположение о равномерности движе-

1 Вывод этой формулы в элементарных учебниках по физике не является математически строгим.

ния тела в продолжение каждого из п промежутков времени. Это же предположение верно при условии, если указанные промежутки ничтожно малы, то есть число п — очень большое. Но при очень большом п будет:

Следовательно,

94. Несколько рабочих приступили к выполнению не" которой работы один за другим через равные промежутки времени, после чего каждый из них работал до окончания всей работы. Работа была окончена в тот момент, когда должен был приступить к работе предпоследний рабочий. Доказать, что если бы эту работу выполняли с самого начала все рабочие совместно, то времени было бы затрачено меньше — не более, чем в три раза, но более, чем в два раза.

Примечание. Считать, что продуктивность работы каждого рабочего одна и та же.

95. Два велосипедиста движутся с одинаковой постоянной скоростью. С некоторого момента времени первый из них начинает двигаться равноускоренно с ускорением а-^- , а второй начинает двигаться так, что за каждую следующую секунду проходит путь на а метров больший, чем в предыдущую. Какой из этих велосипедистов пройдет больший путь за одно и то же время?

96. Тракторист начал вспахивать прямоугольное поле с краев, двигаясь все время вдоль периметра невспаханной части и постепенно приближаясь к середине. Периметр поля и ширина захвата всех плугов трактора известны. Как вычислить, какую площадь вспашет тракторист, совершив несколько (п) кругов вдоль периметра с момента начала работы?

Решение. Пусть а — длина поля, b — его ширина (а > b)> d — общая ширина захвата (ширина захвата всех плугов, прицепленных к трактору). В результате совершения первого круга вспахана площадь 2 ad + + 2 (b — 2d) d = 2d (b + a — 2d). После первого круга остался невспаханным прямоугольник, длина и ширина которого соответственно равны а — 2d и b — 2d (черт. 13). По аналогии можем написать, что в результате соверше-

ния второго круга вспахана площадь 2d (а — 2d + b — 2d — 2d) = 2d (а + b — 6d), третьего — 2d (а + Ь — 10 d) и т. д.; наконец, л-го — 2d [а + b — 2(2п — l)d ]. В результате совершения всех п кругов вспахана площадь:

где Р = 2(а + Ь) — периметр поля1.

Черт. 13.

97. Какую работу мы выполним, вытягивая при помощи веревки (или цепи) ведро из колодца? Весом веревки (цепи) не пренебрегать.

Решение. Вычислим работу, которую нужно выполнить, чтобы вытянуть из колодца только веревку (цепь). Разделим длину веревки (глубину колодца) на очень большое число п равных частей, так что длина каждой части будет: d = —. Первая из рассматриваемых частей (верхняя) поднимается на высоту d, вторая — на высоту 2d, третья — 3d и т. д. Последняя часть поднимается на высоту nd = Л. Обозначим вес веревки (цепи) через р. Тогда вес одной части будет ^.

Для поднятия каждой части нужно выполнить последовательно такие работы:

1 Эту задачу можно решить проще (см. ответ), без прогрессии. Однако указанный здесь путь позволяет определять площади, вспахиваемые при совершении каждого круга (они составляют арифметическую прогрессию).

Следовательно, общая работа (поднятия всей веревки) выразится приближенно так:

Эта формула окажется, очевидно, тем более точной, чем больше п. Поэтому А = — lim п — 1 = —. Если бы вся веревка (цепь) находилась у самой поверхности воды, то для ее поднятия пришлось бы выполнить работу ph — в два раза большую. Искомая работа равна Ph + — , где Р — вес ведра.

98*. Вывести формулу для вычисления работы, которую необходимо затратить, чтобы 1 г массы удалить с поверхности планеты в бесконечность (эта работа называется потенциалом точки поверхности планеты). Воспользоваться полученной формулой для вычисления второй космической скорости относительно земли (см. задачу 72).

Решение. Эту задачу можно было бы решать упрощенным путем, указанным в задаче 72. Однако мы воспользуемся иным способом. Вычислим величину работы, которую нужно затратить, чтобы массу в 1 г переместить в пространство по направлению радиуса планеты из ее. поверхности на расстояние h. Разделим это расстояние на очень большое число п равных частей так, чтобы каждая часть d = — была очень малой. По закону всемирного тяготения сила, действующая на массу 1 г, расположенную на расстоянии от центра планеты R + d (R — радиус планеты), равна

где

гравитационная постоянная, M — масса планеты; на расстоянии

и т. д. Силу, действующую на указанную массу во время ее перемещений на очень малом расстоянии можем с большой точностью считать постоянной.

Следовательно, работа А перемещения массы 1 г от поверхности планеты к высоте h выразится приближенной фор-

мулой:

Точное значение этой работы получим, если найдем предел выражения

Имеем:

Складывая эти равенства, получим

При всяком

Каждое слагаемое в квадратных скобках меньше Следовательно, сумма в квадратных скобках при всяком п остается меньше выражения

Но

Поэтому

Итак,

Устремляя теперь число h к бесконечности, получим искомое выражение потенциала точки поверхности планеты:

Заметим попутно, что таким же способом мы

могли бы, пользуясь законом Кулона, прийти к аналогичному выражению потенциала точки электрического поля:

Р = — . — , где е — диэлектрическая постоянная, а — величина заряда, г — расстояние точки до заряда (предполагаемого точечным).

Для Земли Я ж 6,4 • 107 см, M ж 5,97 . 1027 г, следовательно,

Для того чтобы тело массы m могло быть выведено за пределы земного притяжения (теоретически — в бесконечность), необходимо, чтобы приобретенная им кинетическая энергия равнялась его потенциалу относительно Земли:

Отсюда искомая вторая космическая скорость будет:

99*. Вычислить третью космическую (или гиперболическую) скорость, то есть ту наименьшую начальную скорость, которую нужно сообщить ракете, чтобы она могла навсегда покинуть солнечную систему.

Решение. Согласно предыдущей задаче для подъема ракеты на бесконечно большую высоту h = оо над поверхностью Земли необходимо выполнить работу А = . Эта работа равна убыли кинетической энергии: --

где v0 — искомая третья космическая скорость, — скорость ракеты на бесконечно большой высоте (остаточная скорость). Отсюда

Теперь заметим, что для развития ракетой второй космической скорости относительно Солнца (см. задачу 73) достаточно направить ракету с Земли (в направлении вращения ее вокруг Солнца) со скоростью 42,3 — 30 = 12,3— ( скорость вращения Земли вокруг Солнца ^30— ' сек\ сек/

Считая значение иж = 12,3-^- остаточной скоростью в бесконечности (относительно Земли), получим:

100*. В стенке цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью, пробито небольшое отверстие. Как вычислить, сколько времени будет продолжаться вытекание жидкости из отверстия? Как вычислить, сколько жидкости вытечет за данный промежуток времени t?

Решение. Пусть отверстие находится на глубине h от поверхности жидкости; обозначим радиус отверстия через г, радиус основания цилиндра — через R. Скорость v вытекания жидкости из отверстия равна (закон Торичелли) скорости свободного падения с высоты ft, то есть v = Y2qh . Скорость эта не остается постоянной, уменьшаясь с течением времени, вследствие постепенного уменьшения высоты А. Разделим высоту Л на п таких частей, чтобы расстояния точек деления от отверстия образовывали геометрическую прогрессию;

Считая число п очень большим, а знаменатель прогрессии а — очень близким к 1, получим очень малые расстояния между двумя смежными точками деления.

Действительно, расстояние между kw(k —1) точками деления (толщина k-vo слоя жидкости, считая от отверстия)

равно

так как

откуда

Видим, что как толщина первого слоя

(непосредст-

венно примыкающего к отверстию), так и толщина k -го слоя при п —> оо и а — 1 бесконечно убывает. Скорость вытекания очень тонкого слоя жидкости можно считать неизменной. Вычислим время tk, в продолжении которого вытекает k-и слой. Объем &-го слоя равен а скорость его вытекания из отверстия

Отсюда

Искомое время Т приближенно выразится (с тем большею точностью, чем больше п и чем а ближе к 1) так:

Истинное значение времени Т получим при п— оо и а-*1:

Допустим, что за промежуток времени t сек вытекает слой жидкости толщиной d. Согласно вышеизложенному вытекание жидкости будет продолжаться еще Имеем уравнение:

Отсюда

Следовательно, искомое количество жидкости равно:

101.Если члены одной геометрической прогрессии умножить на соответствующие (по номеру занимаемого ими мес-

та) члены другой геометрической прогрессии, то будет ли полученная последовательность геометрической прогрессией?

102. Доказать, что произведение1 двух арифметических прогрессий не может быть арифметической прогрессией.

103. При каком условии сумма1 двух геометрических прогрессий будет геометрической прогрессией?

104. Средний член геометрической прогрессии, число членов которой нечетно, равен произведению остальных ее членов. Найти средний член прогрессии.

105. Средний член геометрической прогрессии, число членов которой нечетно, есть среднее геометрическое между произведением членов, расположенных левее от среднего члена, и произведением членов, расположенных правее от него. Найти средний член прогрессии.

106. Произведение членов геометрической прогрессии, стоящих на нечетных местах, равно произведению остальных ее членов. Найти произведение всех членов прогрессии, если известно, что они различны по абсолютной величине.

107. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма первой половины ее членов равна сумме второй половины. Могут ли члены этой прогрессии быть различными по абсолютной величине?

108. Произведение крайних членов геометрической прогрессии равно произведению остальных ее членов. Найти число членов прогрессии.

Решение. По условию

если qn-\a2 = J то п можно взять произвольно. Задача неопределенна.

109. Найти отношение корней биквадратного уравнения, если известно, что они составляют геометрическую прогрессию.

110. Имеются два одинаковых сосуда: один наполнен доверху спиртом, другой до половины наполнен водой. Второй сосуд доливается спиртом из первого сосуда, затем первый сосуд доливается смесью, получившейся во втором сосуде, и т. д. К какому пределу стремится содержание чистого спирта в первом сосуде?

1 Под суммой (произведением) двух прогрессий подразумеваем ряд чисел, состоящих из последовательных сумм (произведений) соответствующих (по номеру занимаемого места) членов обеих прогрессий.

Решение. Пусть объем сосуда равен V. Два последовательных переливания назовем операцией. Пусть после (п — 1) операции в первом сосуде осталось чистого спирта Vn~\ • Тогда после п операции чистого спирта в нем останется

После первой операции чистого спирта в первом сосуде осталось

после второй —

после третьей —

после п-й —

111. Может ли сумма арифметической и геометрической прогрессии быть прогрессией: а) арифметической? б) геометрической?

112. Если к каждому члену геометрической прогрессии прибавить одно и то же число, не равное нулю, то будет ли полученная последовательность чисел составлять геометрическую прогрессию?

113. Доказать, что произведение двух арифметических прогрессий не может быть геометрической прогрессией, если первый член и разность одной из этих прогрессий имеют одинаковые знаки.

114. Доказать, что если произведение арифметической прогрессии на геометрическую прогрессию есть арифметическая прогрессия, то число членов ее не больше трех.

115. Члены арифметической прогрессии, порядковые номера которых образуют геометрическую прогрессию, также образуют геометрическую прогрессию. Найти эту арифметическую прогрессию.

116*. Несколько равных шаров расположили в форме правильного тетраэдра так, что они плотно примыкают друг к другу (каждый шар касается всех смежных с ним шаров). Затем все эти шары расположили на плоскости

так, что они, плотно примыкая друг к другу, образовали квадрат. Определить число шаров.

Решение. Шары в пирамиде расположены рядами (слоями), имеющими форму правильных треугольников. Пусть сторона самого большого первого ряда (основания пирамиды) содержит m шаров; тогда число всех шаров в этом ряде

число шаров второго ряда равно:

третьего —

и т. д. Общее число шаров выразится формулой:

Сумму в скобках можно упростить следующим образом. Напишем ряд тождеств:

Сложив эти тождества, после упрощения получим:

Шары можно расположить в форме квадрата, значит, M = м2, где п — количество шаров в стороне квадрата.

По условию задачи

Пары чисел m и m + 1, m + 1 и m + 2 взаимно просты. Пара чисел m и m + 2 взаимно проста или имеет наибольший общий делитель 2. В первом случае выражение 6п2 представляло бы произведение трех взаимно простых чисел: 6/г2 — т(т + 1)(т + 2), что возможно лишь в

случае п = 1 или п = 2. Действительно, все делители числа л2 не могут быть сосредоточены одновременно в двух или всех трех множителях произведения т{т + 1)Х Х(я* + 2), так как в противном случае эти множители не могли бы быть попарно взаимно простыми; если все множители числа п% сосредоточены в m, то тогда придется предположить, что 6 = (m + l)(m + 2), откуда m = п = = 1; если они все сосредоточены в m-f Ь то 3 = т(т + + 2), откуда m — п = 1.

Наконец, если все множители числа п2 сосредоточены в m + 2, то 6 = т(т + 1) или 2 = т(т + 1), откуда m = 1 или m = 2 и соответственно п = 1 или п = 2. Во втором случае, когда числа m и m + 2 имеют общий делитель 2, числа тип должны быть четными: m = 2mlt п = 2пг. Имеем: 2т1(2т1 + \){2тх + 2) = б^)2 или т^тх + 1) (m! + 1) = 6rt!2. Выражение 6п I есть снова произведение трех попарно взаимно простых чисел. Проведя исследование, аналогичное изложенному выше, мы не получим новых решений.

§ 6. ЛОГАРИФМЫ И ПРОГРЕССИИ.

117. Основание степени увеличили в несколько раз, а показатель во столько же раз уменьшили, отчего сама степень не изменилась. Может ли это быть?

Решение. Имеем: а" = (ат)т . Исключим тривиальные случаи а = 0, п = 0, m = 1. Тогда а = (am) т , откуда легко найдем: а = тт-[ , п — произвольное число.

118. Изменится ли значение логарифма числа, если основание логарифма и само число возвести в одинаковую степень?

119. Логарифм числа не изменяется, если основание логарифма и само число одновременно умножить на одно и то же число. Найти этот логарифм.

120. Число умножили на основание логарифма этого числа. Как изменился логарифм числа (взятый при том же основании)?

121. Основание логарифма числа и само число умножили на основание, отчего логарифм увеличился. Доказать, что этот логарифм меньше единицы.

122. Может ли логарифм произведения двух чисел равняться произведению логарифмов этих чисел (основание общее)? Привести примеры.

123. Логарифм логарифма числа равен квадрату логарифма этого числа (основание общее). Привести соответствующие числовые примеры.

124. Основаниями логарифмов нескольких чисел служат последовательно каждое из этих чисел. Найти произведение этих логарифмов.

Решение. Пусть имеем п чисел: ах% а2, аЪУ ... ап и пусть log elj ах . loge/e а2 .. . log aln ап = N. Будем считать, что atj ф а/, так как в противном случае мы имели бы log aij dj= 1, что не влияет на произведение N, а лишь уменьшает число чисел п на единицу. Перейдя к какому-либо общему основанию m (по формуле

получим:

так как числа а. , а. , а. , .. • , а. и а., а2, а3 — одни и те же.

125. Основания логарифмов одного и того же числа образуют геометрическую прогрессию. Доказать, что логарифмы образуют гармоническую прогрессию1.

126. Основания четырех логарифмов одного и того же числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным этому числу. Найти эти логарифмы, если известно, что сумма первых двух из них равна сумме остальных.

Решение. Пусть

По условию задачи

или после упрощения

откуда

1 Числа а1% а2.....ап образуют гармоническую прогрессию, если обратные им числа образуют арифметическую прогрессию.

127. Основания логарифмов чисел и сами числа представляют собой две геометрические прогрессии, имеющие общий знаменатель.

Могут ли эти логаримфы составлять: а) геометрическую прогрессию? б) арифметическую?

128. Основания логарифмов четырех чисел и сами числа представляют собой две геометрические прогрессии, имеющие общий знаменатель. Найти сумму средних логарифмов, если известно, что она равна сумме крайних.

Решение. Пусть \ogyX = г и m — произвольное положительное число (т Ф 1). По условию \og^x + + \ogym*xm3 = log^rnxm + \ogym>xm2 = S, или, перейдя к основанию у и заменяя log m = tt получим: S = z +

Это уравнение упрощается к следующему:

При z = 1 получим S = 2. Если S получает такое же значение: S

129. Основания логарифмов четырех чисел и сами числа представляют собой две геометрические прогрессии, имеющие общий знаменатель. Найти произведение средних логарифмов, если известно, что оно равно произведению крайних.

130. Доказать, что логарифмы последовательных членов арифметической (геометрической) прогрессии, взятые по одному и тому же основанию, не могут составлять арифметическую (геометрическую) прогрессию.

131. Через сколько лет срочный вклад в сберкассу (3% годовых) удвоится?

132. Промышленное предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за три года объем выпускаемой продукции возрос в три раза.

133. Двадцатая степень целого числа есть двадцатипятизначное число. Найти это целое число.

134. Зависимость атмосферного давления р от высоты h выражается приближенной формулой: р = р0 • е~0Л27Н

(барометрическая формула),

атмосферное давление у самой поверхности Земли, е ^ ^ 2,718 — основание натуральных логарифмов; значение h выражено в километрах. Определить по этой формуле толщину Л атмосферы в предположении, что атмосфера кончается там, где давление достигает значения 1 -

III. ГЕОМЕТРИЯ.

§ 1. ПЛАНИМЕТРИЯ.

1°. Какую дугу в градусной мере описывает ежеминутно каждая точка земной поверхности при вращении Земли вокруг своей оси?

2°. Пароход движется равномерно в направлении меридиана. Как вычислить изменение (в градусной мере) географической широты за каждый час движения?

3°. Через вершину данного угла проведена прямая, разделившая его на две части. Угол между биссектрисами этих частей равен углу, смежному с данным. Определить угол между биссектрисами.

4. Угол между биссектрисами двух углов, имеющих общую вершину и общую сторону, — прямой. Доказать, что сумма или разность этих углов равна 180°.

5°. Найти тупой угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

6°. Могут ли две внутренние биссектрисы треугольника быть взаимно перпендикулярными?

7°. Секущая делит треугольник на две равные фигуры. Этим же свойством обладает другая секущая. Найти углы треугольника.

8. Катет прямоугольного треугольника равен одной из его медиан. Найти угол между этой медианой и вторым катетом.

9. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна его стороне. Найти этот угол.

10. Биссектриса внутреннего угла треугольника равна биссектрисе смежного с ним внешнего угла. Найти разность двух других углов треугольника.

11°. В столярной мастерской изготовляют из багетов прямоугольные рамки. При этом для правильного соединения сторон рамки приходится вырезывать углы (черт. 14), составляющие отход. Какой отход получается при изготовлении одной рамки? Составить соответствующую задачу с числовыми данными.

12. Центры окружностей описанной около треугольника и вписанной в него совпадают. Определить углы треугольника.

13. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ равна большему основанию. Определить острый угол трапеции.

14°. В числе углов выпуклого многоугольника имеются острые углы и один прямой угол. Найти число острых углов.

Указание. Использовать теорему о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

15. Углы правильного многоугольника выражаются целыми числами градусов; число этих углов не кратно ни 2, ни 3. Найти число углов.

16. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Определить сумму углов при основании трапеции.

Решение. Пусть M и N — середины оснований ВС и AD трапеции A BCD, причем

Проведя BF H MN || СЕ (черт. 15), получим:

откуда

17. На горе, уклон которой к горизонту равен 30 , лежит кусок рельса. Во сколько раз кантовать его (ставя в вертикальное положение и заставляя падать) с горы легче, чем в гору?

Черт. 14.

Решение. Пусть AB — положение куска рельса на горе, разрез которой представлен углом ECF (черт. 16), M — середина AB (центр тяжести рельса), АВХ и ВАХ — два его вертикальных положения, Мх и М2— центры тяжести рельса в этих положениях. Проведем PMQ || CF. В первом положении центр тяжести поднят на высоту МХР =

во втором — на высоту M2Q

Но ^BMQ = ^iPMA = 30°. Следовательно, кантовать с горы в 3 раза легче (в смысле количества выполняемой работы).

18. Найти отношение катета прямоугольного треугольника к расстоянию центра тяжести треугольника от другого катета.

19. В четырехугольнике, описанном около круга, проведена параллельно его стороне секущая прямая. Можно ли в одну из получившихся частей четырехугольника вписать окружность?

20. Пловец переплывает реку со скоростью, равной скорости течения, стремясь все время плыть перпендикулярно направлению течения. На какое расстояние отнесет его течение в сторону?

Указание. Использовать правило (параллелограмма) сложения скоростей.

21. Сколько существует пар неравных подобных треугольников, которые имеют по две равные стороны и по две равные высоты?

Указание. Из того что подобные треугольники имеют по две равные стороны, следует, что они имеют по две равные высоты.

Черт. 15. Черт. 16.

22. Секущая прямая разделила треугольник на две неравные подобные между собой фигуры. Найти наибольший угол треугольника.

23. Биссектриса равнобедренного треугольника отсекает от него подобный ему треугольник. Найти углы равнобедренного треугольника.

24°. У стены высокого здания стоит длинная лестница. Как определить длину лестницы, приставляя к стене параллельно лестнице палку известной длины?

25е. На ровной местности стоит дерево, отбрасывающее тень. Как на основании подобия треугольника найти высоту дерева, воспользовавшись шестом известной длины?

26. Секущая прямая делит параллелограмм на два параллелограмма, подобные данному. Найти отношение сторон каждого параллелограмма.

27. Прямая, параллельная основаниям трапеции, разделила последнюю на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Доказать, что эти две трапеции подобны.

28. Поперечное сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобедренной трапеции. Как определить большее (недоступное) основание этой трапеции (а следователь но. и ее площадь), не измеряя угол откоса и высоту насыпи? (Черт. 17.)

Решение. Измеряем отрезки AB = CD = а. ВС = = Ь. Пусть S — точка пересечения сторон AB w CD (на чертеже не указана). Обозначим AD = х> тогда — = 0 +sc п\ Расположив два прямых шеста на откосах AB и CD (приблизительно в плоскости поперечного сечения) так. чтобы выступы BE и CF были равны, измеряем отрезки BE = CF = с и EF = d. Тогда получим:

Из (1) и (2) находим искомое основание AD = х.

29. Для решения предыдущей задачи выкопали выемку AMN (MN j_ AD) (черт. 18). Как следует поступить далее?

30. Между двумя точками А и В натянут длинный стальной трос (черт. 19). Как определить силу натяжения

троса, пользуясь длиной стрелки h = ОЕ (О — середина троса)?

Решение. В точке О действуют три силы: сила Р — веса троса, направленная вертикально вниз, и силы натяжения троса F} и F2, равные по величине и направленные соответственно от О к Л и от О к В (черт. 19). Так как эти силы уравновешены, то одну из них (например, Р) можем рассматривать как геометрическую сумму двух других. Построив соответствующий параллелограмм сил (ромб OFjPFi), получим из подобия треугольников ОВЕ и OF2M (M — точка пересечения диагоналей ромба):

где / — длина троса.

Если d — диаметр троса, то

(удельный вес стали принимаем

Следовательно,

31. Во сколько раз поступательная скорость верхней точки обода велосипедного колеса (точки А) численно

Черт. 17. Черт. 18.

Черт. 19. Черт. 20.

больше поступательной скорости боковой точки {В или С) того же колеса, если велосипедист едет с постоянной скоростью (черт. 20)?

Указание. Поступательная скорость точки обода колеса слагается геометрически из двух скоростей: скорости поступательного движения велосипедиста и скорости вращательного движения этой точки; эти две скорости численно равны.

32. Вы стоите на ровной местности и видите в воде отражение верхушки заводской трубы. К подножию этой трубы подойти можно. Как, пользуясь подобием треугольников, найти высоту трубы?

Указание. Воспользоваться законом отражения света.

33. Высота и медиана, проведенные к одной и той же стороне треугольника, разделили противоположный угол на три равные части. Определить углы треугольника.

Указание. Использовать свойство биссектрисы угла и обратную теорему о катете, лежащем против угла в 30°.

34. Сколькими элементами определяется: а) треугольник? прямоугольный треугольник? б) параллелограмм и отдельные его виды? в) трапеция и отдельные ее виды? г) произвольный м-угольник.

Решение, г) Будем строить п-угольник. Длина одной его стороны (один элемент) определяет положение двух вершин. Положение каждой из остальных (п — 2) вершин определяется двумя элементами (например, расстояниями этой вершины к двум ранее выбранным вершинам). Всего элементов потребуется 1 + 2(п — 2) = 2п —3.

35. Начерчены пять отрезков. Сколько, самое большее, можно построить выпуклых четырехугольников, стороны которых и диагональ были бы равны этим отрезкам?

Указание. Из 5 отрезков можно составить, самое большее, 10 различных треугольников. Каждый из этих треугольников даст начало, самое большее, 6 различным четырехугольникам, при этом каждый четырехугольник будет повторяться дважды. Общее число различных четырехугольников равно —-— = «30.

36. Сколько можно составить различных по содержанию задач, в которых по данным элементам, определяющим прямоугольный треугольник, требуется найти все остальные

элементы, если рассматривать следующие элементы: стороны треугольника, высоту, проведенную на гипотенузу, проекции катетов на гипотенузу?

37. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка Р. Сколько соотношений, и какие именно, существует между сторонами треугольника и отрезками РА, PB, PC?

Указание. Прямоугольный треугольник определяется 2 элементами, положение точки Р — одним, поэтому данная фигура определяется 3 элементами. 6 элементов (стороны и указанные отрезки) должны быть связаны 6—3—3 соотношениями, два из которых, очевидно, таковы: РА + PB = AB, AB2 = AC2 + ВС2.

38. Какие соотношения существуют между высотами ^û» h» К треугольника и расстояниями dâ, db, dc какой-либо точки внутри этого треугольника к его сторонам а, Ь, с?

Решение. Фигура определяется 5 элементами, поэтому между 6 элементами ha, hb, hc, da , db , dc существует одно соотношение. Очевидно adn + bdh + cdr = 2S. Введя сюда вместо a, b, с соответственно

получим искомое соотношение:

39. Найти зависимость между диагоналями параллелограмма и расстояниями какой-либо точки внутри его плоскости ко всем вершинам.

Решение. Пусть S — произвольная точка внутри плоскости параллелограмма ABCD (черт. 21). Найти зависимость между отрезками SA, SB, SC, SD, АС и BD. Треугольник BSD определяется отрезками SB, SD и BD; для определения треугольника ASC необходимы еще два элемента, так как медиана OS уже определена в треугольнике BSD. Следовательно, между указанными шестью отрезками должно существовать одно соотношение. Из чертежа имеем: АС2 + 40S2 = 2SC2+ 2SA2\ BD2 + 40S2 = = 2SB2 + 2SD2 (на основании теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма), откуда BD2 — АС2 = - 2(SB2 + SD2 — SC2 — SA2).

40. Перпендикуляры к сторонам многоугольника пересекаются в одной точке внутри его плоскости. Найти соотношение между отрезками, на которые эти перпендикуляры разделили стороны многоугольника.

Решение, л-угольник определяется 2л — 3 элементами, положение точки О пересечения указанных перпендикуляров — двумя элементами. Поэтому между 2л элементами (отрезками сторон) должно существовать 2л — — (2л — 3 + 2) = 1 соотношение. Пусть aé и bà — отрезки стороны А,Ац.\ (черт. 22). Имеем:

Складывая эти равенства, получим:

41. Сколькими элементами определяется с точностью до подобия1: а) треугольник и его отдельные виды? б) четырехугольник и его отдельные виды? в) произвольный л-угольник?

42. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других его углов. Содержится ли в этом утверждении данный угловой элемент треугольника?

43. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна квадрату суммы оснований. Является ли это утверждение данным элементом трапеции?

44. Сумма квадратов двух противоположных сторон четырехугольника равна сумме квадратов двух других сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника.

45. Расстояние между серединами противоположных сторон четырехугольника равно полусумме двух других

Черт. 21. Черт. 22.

1 Определить фигуру с точностью до подобия—это значит задать элементы, фиксирующие фигуру, подобную искомой, то есть ее форму.

сторон. Найти соотношения между углами четырехугольника.

Решение. Пусть A BCD — данный четырехугольник, в котором M и N — середины противоположных сторон AB и CD, S — середина диагонали АС, К — точка пересечения АС и MN (черт. 23). Имеем: AD \\ SN = a-AD, ВС И SM = ybc- По y^0BHK) задачи ^AD + —ВС = SN + SM = MN, что возможно только при совпадении точек S и К. А тогда AD || ВС или ^-А + + ^В = ^С + ^D = 180°.

46. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру. Доказать, что такой четырехугольник является параллелограммом.

Решение. Пусть MN и EF — отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD (соответственно AB и CD, AD и ВС). На основании предыдущей задачи

Складывая эти неравенства, получим:

причем знак равенства имеет место лишь одновременно с предыдущими неравенствами. Следовательно, AB II CD и AD и ВС.

47. Доказать, что при помощи циркуля и линейки можно построить центр тяжести произвольного многоугольника.

Указание. Можно построить центр тяжести произвольного четырехугольника ABCD (черт. 24), раз-

Черт. 23. Черт. 24.

бивая его на два треугольника двумя различными способами: например, диагональю BD и продолжением стороны DC. Если /И,, Мг, М3, М4—центры тяжести соответственно треугольников A BDy BCD, A ED, ВСЕ, то центр тяжести четырехугольника будет расположен в точке пересечения отрезков МХМ2 и М^МА (в точке М).

48. В чем состоит ошибочность задачи: «Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит одну из медиан на три равные части. Определить углы треугольника»?

Решение. Форма прямоугольного треугольника определяется одним угловым элементом. В условии задачи содержатся два данных угловых элемента: равенство трех отрезков.

49. Чтобы найти площадь «живого» сечения реки, измерили в определенном месте ее ширину (в направлении, перпендикулярном берегам реки), затем измерили глубину реки в нескольких точках, расположенных на том же направлении на равном расстоянии друг от друга. Как, пользуясь полученными результатами, найти площадь «живого» сечения реки?

Указание. Искомая площадь равна сумме площадей прямоугольных трапеций и треугольников; если d — ширина реки, ftf.(î = 1, 2, 3, п) — глубина реки в п точках, в которых проводилось измерение, то искомая площадь приближенно равна

50. Стороны одного треугольника равны медианам второго треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников.

Решение. Пусть О — точка пересечения медиан треугольника ABC, AF, ВМ и CN — его медианы (черт. 25). Продолжим ВМ на расстояние МК = ОМ и соединим К и С. Тогда пл. ОС К = — пл. ABC. Но стороны дОС/( составляют — соответствующих медиан /\АВС. Поэтому искомое отношение равно

51. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части. Прямая, параллельная основаниям трапеции и

проходящая через одну из точек деления, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении делит площадь трапеции ее средняя линия?

52°. Вершины треугольника недоступны. Как при помощи геометрических построений найти радиус окружности: а) вписанной в треугольник? б) описанной около треугольника? Как найти площадь треугольника?

Указание. Найти построением центр вписанной окружности и, приняв его за центр подобия, построить треугольник, подобный данному.

53. Дана окружность и вне ее точка1. Как вычислить расстояние от этой точки до центра и длину касательной, если центр окружности недоступен?

Указание. По трем точкам окружности находим построением (или измерением и вычислением) радиус окружности, затем проводим произвольную секущую. Дальнейшее ясно.

54. Шесть одинаковых кругов расположены в одной плоскости так, что каждый из них касается двух соседних кругов. Определить отношение радиусов кругов, касающихся всех данных шести кругов.

55. Три равных круга, расположенных в одной плоскости, взаимно касаются друг друга. Четвертый круг касается каждого из трех первых. Найти отношение радиуса четвертого круга к радиусу одного из остальных кругов.

56. Четыре равных круга расположены в одной плоскости так, что каждый из них касается двух других. Пятый круг касается всех четырех кругов. Найти отношение радиуса пятого круга к радиусу одного из остальных кругов.

57°. Сколькими элементами определяется: а) правильный многоугольник? б) форма правильного многоугольника?

Черт. 25.

1 Имеется в виду, что окружность и точка лежат в одной плоскости.

Указание. Форма правильного многоугольника определяется его видом, то есть заданием числа п его сторон (углов).

58. Внешний угол одного правильного многоугольника равен внутреннему углу второго. Найти эти углы.

59. Угол правильного многоугольника выражается в градусах целым простым числом. Найти это число.

60. Внутренний угол одного правильного многоугольника на столько градусов больше внутреннего угла второго правильного многоугольника, на сколько число сторон первого больше числа сторон второго. Найти число сторон первого многоугольника, если оно является точным квадратом.

61. а) Квадрат и правильный треугольник имеют равные периметры. Как относятся их площади? б) Квадрат и правильный треугольник равновелики. Как относятся их периметры?

62. Правильный треугольник срезан по углам так, что получился правильный шестиугольник. Какая часть площади треугольника срезана?

63. Правильный шестиугольник срезан по углам так, что получился правильный двенадцатиугольник. Какая часть площади шестиугольника срезана?

64. Углы прямоугольника срезаны (то есть отрезаны четыре треугольника) так, что получился правильный шестиугольник. Определить отношение сторон прямоугольника.

65°. Сколькими элементами определяется: а) окружность или круг? б) дуга окружности, сектор, сегмент?

66. Сколько можно составить различных по содержанию задач, в которых по данным элементам, определяющим сектор, требуется найти все остальные его элементы, если рассматривать следующие элементы сектора: радиус, длина дуги, центральный угол, хорда, площадь, радиус вписанной окружности?

Указание. Из 6 данных элементов можно составить 6 * 5 = 15 различных пар, соответствующих 15 различным по содержанию задачам.

67°. Как определить скорость ветра, пользуясь только что пущенной, но еще не загруженной полезной рабо-

той ветряной мельницей? Трением в механизмах мельницы пренебречь.

Указание. Искомая скорость равна линейной скорости крайней точки ветряного колеса.

68. Как вычислить путь S, пройденный велосипедом, если известны: количество оборотов педали m, диаметр à велосипедного колеса, количество зубьев Пг большой шестерни и количество зубьев пи ведомой (малой) шестерни?

69. С какой приблизительно скоростью надо двигаться вдоль экватора навстречу заходящему солнцу, чтобы все время держать его в поле зрения?

Указание. Искомая скорость равна линейной скорости движения какой-либо точки экватора при суточном вращении земли вокруг своей оси. Радиус земли принять равным 6400 км.

70*. С какой скоростью и на какой высоте над экватором земли должен вращаться с запада на восток (то есть в направлении вращения земли вокруг своей оси) искусственный спутник, чтобы он все время находился над одной и той же точкой экватора1?

Решение. Обозначим искомую скорость через vf искомую высоту — через Н. Центростремительное ускорение, благодаря которому спутник удерживается на своей круговой орбите, равно - — -, а соответствующая центростремительная сила равна

где R —радиус Земли, m — масса спутника. По закону всемирного тяготения

где /— гравитационная постоянная (см. задачу 98, разд. II), M — масса Земли. Отсюда

(см. задачу 98, разд. II). Длина круговой орбиты спутника равна 2n(R + Я), а время t одного его оборота равно

Отсюда

1 Такой искусственный спутник называется стационарным. Его можно было бы наблюдать одновременно с огромной территории земного шара.

Очевидно, что для того чтобы спутник все время находился над одной и той же точкой экватора, необходимо, чтобы период вращения его вокруг Земли равнялся периоду вращения Земли вокруг своей оси, то есть звездным суткам: / = 23 часа 56 минут 4 секунды = 86164 сек. Подставляя все величины в выражение для //, найдем:

Теперь

имеем:

71. Дан круг. Как рассчитать, сколько равных кругов данного радиуса можно расположить на одной плоскости с данным кругом так, чтобы они касались его и друг друга?

Решение. Пусть 0,Оь02 — соответственно центры данного круга и двух смежных равных между собой кругов (черт. 26). Искомое число кругов равно, очевидно, Построив AOi002 и измерив ^OßO^ вычислим искомое число кругов1 (оно равно целой части дроби

72. Имеется кольцо от подшипника и один из его шариков. Как определить, сколько всех шариков было в подшипнике? (Все шарики почти касались друг друга.)

Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

73. Данного круга касаются несколько равных кругов большего радиуса, которые касаются также друг друга. Все круги расположены в одной плоскости. Найти число всех кругов.

Черт. 26.

1 При помощи тригонометрии искомое число кругов выразится формулой

(оно равно целой части этого числа).

Указание. Воспользоваться результатами задачи 71.

74. На патефонной пластинке имеются пазы, в которых движется острие патефонной иглы. Как вычислить длину этих пазов, не пользуясь проигрывателем?

Решение. Пазы чередуются с ребрами, отделяющими один паз от другого, занимая одинаковую с ними площадь. Эти пазы образуют одну спиральную линию, которую можно рассматривать как систему концентрических окружностей. Находим площадь S рабочей части пластинки (как разность площадей двух кругов), а также ширину d рабочей части (измеряемую вдоль радиуса пластинки). Затем находим число п пазов (ребер), как в задаче 19, раздел I. Тогда искомая длина / всей спиральной линии будет: / = — = Можно решить эту задачу без помощи формулы площади круга, используя арифметическую прогрессию. Как следует поступить в таком случае?

75. Из жести выштамповывают одинаковые круги. Определить минимальный процент отходов.

Указание. Минимальный процент отходов получается тогда, когда каждый из вырезаемых кругов касается шести соседних с ним кругов.

76. Паркетный пол сложен из одинаковых правильных восьмиугольных и четырехугольных плиток. Каждая четырехугольная (квадратная) плитка расположена между четырьмя восьмиугольными плитками. Какую часть общей площади пола составляют квадратные плитки?

Указание. Количества квадратных и восьмиугольных плиток приближенно равны, поэтому если п — отношение площади квадратной плитки к площади восьмиугольной, то искомое отношение х будет равно ——.

77. Правильный треугольник и правильный двенадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Найти отношение их площадей.

78. Даны два круга такие, что правильный треугольник, вписанный в один из них, равновелик правильному шестиугольнику, описанному около другого. Вычислить отношение площадей кругов.

79. Вершины правильного пятиугольника служат вершинами правильной пятиконечной звезды, вписанной в пятиугольник. Какую часть площади пятиугольника занимает звезда?

Решение. Проведем BF — биссектрису угла ОВМ треугольника ОВМ (М середина дуги AB, черт. 27). Тогда

откуда

(сторона правильного вписанного десятиугольника есть большая часть радиуса, разделенного в среднем и крайнем отношении). Далее:

Искомое отношение равно

Черт. 27.

80. Один круг обкатился вокруг неподвижного второго, затем второй круг обкатился вокруг неподвижного первого круга. Качение происходило без скольжения. Какое наименьшее число оборотов могли при этом сделать оба круга вместе?

Решение. Пусть R — радиус первого круга, г — радиус второго круга. Первый круг, обкатившись вокруг второго, сделал = — оборотов плюс 1 оборот, полученный в результате вращения вокруг второго круга на угол 360° (при г = 0 мы получаем как раз этот 1 оборот).

Таким образом, общее число оборотов равно — H--+ 2 > 4, так как — + — > 2. Наименьшее число оборотов равно 4.

81°. Имеется обломок зубчатого колеса, состоящий лишь из двух смежных зубьев. Как при помощи геометрических построений определить общее число зубьев колеса?

Указание. По трем угловым точкам у краев оснований зубьев строим окружность, на которой откладываем, как хорду, основание.

82. Точка одной из двух концентрических окружностей соединена с двумя диаметрально противоположными точками второй. Полученные отрезки служат диаметрами двух кругов. Найти отношение суммы площадей этих кругов к сумме площадей концентрических кругов.

Указание. Воспользоваться теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

83. Два одинаковых круга лежат в одной плоскости1 и пересекаются под прямым углом. Найти отношение площади общей части этих кругов к площади круга.

84°. Точка касания двух равных кругов служит центром третьего круга, касающегося двух первых. Определить отношение площади фигуры, ограниченной окружностями этих кругов, к площади меньшего круга.

85. Два одинаковых круга внешне касаются. Найти отношение площади фигуры, заключенной между окружностями и их общей внешней касательной, к площади круга.

1 В следующих задачах также имеется в виду, что круги расположены в одной плоскости.

86. Найти отношение площади криволинейного треугольника, заключенного между тремя одинаковыми взаимно касающимися кругами, к площади одного из этих кругов.

§ 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ.

87°. Сколькими элементами определяется: а) треугольная призма? треугольная пирамида? б) n-угольная призма? п-угольная пирамида? в) прямая /г-угольная призма? г) /г-угольная пирамида, у которой все боковые ребра равны?

88°. Сколькими элементами определяется: а) четырехугольная призма, в основании которой лежит ромб? четырехугольная пирамида, боковые грани которой одинаково наклонены к плоскости основания? б) правильная призма? правильная пирамида?

Решение, а) Четырехугольная призма (пирамида) определяется 4*2 = 8 элементами; равенство четырех сторон основания призмы (или четырех двугранных углов при основании пирамиды) представляет собой 4—1 = = 3 данных угловых элемента, Следовательно, указанные тела определяются 8 — 3 = 5 элементами каждое.

89°. Сколькими элементами определяется: а) произвольный многогранник, имеющий п вершин? б) правильный многогранник? в) л-гранный угол? г) правильный п-гранный угол?

Решение, а) Будем ориентировать многогранник1 по отношению к трем его произвольным вершинам, которые можно зафиксировать при помощи трех элементов. Каждую из оставшихся п — 3 вершин можно зафиксировать также при помощи трех элементов. Всего для фиксации всех вершин (п точек пространства) потребуется (п — — 3) 3 + 3 = Зм — 6 элементов. Мы видим, что взаимное расположение п точек пространства вполне определяется в общем случае Зя — 6 элементами.

б) Число правильных многогранников конечно, их вид и форма известны: правильный многогранник определяется одним элементом, а число элементов, определяющих его форму, равно нулю.

в) Будем ориентировать многогранный угол (не обязательно выпуклый) по отношению к одному из его плос-

1 Не обязательно выпуклый.

ких углов. Плоский угол определяется одним элементом и фиксирует два ребра. Положение каждого из остальных п — 2 ребер определяется двумя элементами (например, двумя углами, образованными этим ребром с зафиксированными двумя ребрами). Итого имеем 1 +2(лг—2)=2п—3 элементов. К этому же результату можно прийти так: пересечем л-гранный угол произвольной плоскостью; получим п-угольную пирамиду, определяющуюся 2п элементами; если считать n-гранный угол заданным, то для фиксации пирамиды будут необходимы 3 элемента (например, длины трех ребер, концы которых определят основание пирамиды); поэтому х + 3 = 2м, откуда х = 2п — 3. Существуют и другие способы рассуждений, г) Правильная n-угольная пирамида определяется двумя элементами, значит, правильный м-гранный угол при ее вершине определяется одним элементом.

90°. Сколькими элементами определяется форма: а) л-угольной пирамиды (призмы)? б) цилиндра? конуса? сферического сегмента? в) усеченного конуса? сферического слоя? г) правильного многогранника? шара?

Указание. Если фигура определяется m элементами (среди которых должен быть по крайней мере один линейный элемент), то ее форма определится m — 1 угловыми элементами1.

91. Сколько можно составить различных по содержанию задач, в которых требуется по данным элементам, определяющим правильную четырехугольную пирамиду, найти остальные ее элементы, если рассматривать следующие элементы пирамиды: сторона основания пирамиды, боковое ребро, угол наклона бокового ребра к плоскости основания, плоский угол при вершине, апофема, радиус вписанного шара, боковая поверхность, двугранный угол при основании?

Решение. Из 8 элементов можно составить — = 28 различных пар, в число которых войдут 3 пары углов. Пара углов не определяет пирамиду (тем более, что любые два угла зависимы). Каждая из остальных 28 — 3 = 25 пар определяет пирамиду.

92. Горизонтальный луч, параллельный плоскости одного из двух вертикальных плоских зеркал, отражается

1 См. сноску на стр. 40,

от второго зеркала по прямой, перпендикулярной плоскости первого зеркала. Найти угол между зеркалами.

Указание. Воспользоваться законами отражения света.

93. Горизонтальный луч отражается от двух вертикальных плоских зеркал, причем сначала луч параллелен плоскости одного из зеркал, а после двух отражений — параллелен плоскости второго зеркала. Определить угол между зеркалами.

Указание. Воспользоваться законами отражения света.

94°. Дана модель правильной четырехугольной пирамиды. Как вычислить ее объем, не измеряя углов? Решить эту же задачу для правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

95. Вершина правильной пирамиды (треугольной, четырехугольной, шестиугольной) недоступна. Как вычислить объем пирамиды, не измеряя углов?

Указание. От двух смежных вершин основания — точек А и В, откладываем на боковых ребрах два равных отрезка АЕ = BF. Обозначив AS = х и измерив отрезки AB, EF, АЕ, составляем на основании подобия треугольников ASB и ESF пропорцию (черт. 28).

96. Верхнее основание правильной усеченной пирамиды (треугольной, четырехугольной, шестиугольной) недоступно, за исключением одной точки его периметра. Как вычислить объем пирамиды, не измеряя углов?

Указание. Пусть К — данная точка на стороне верхнего основания пирамиды (черт. 29). По трем сторо-

Черт. 28. Черт. 29.

нам треугольника A KB находим по формуле Герона высоту /(Р. Затем по способу, описанному в предыдущей задаче, находим боковое ребро (SA) полной пирамиды, это даст возможность найти апофему полной пирамиды.

97. Тяжелый однородный куб расположен своим основанием на горизонтальной площадке. Один раз куб ставится вертикально на ребро, другой раз — на вершину. Во сколько раз во втором случае выполняется большая работа, чем в первом?

Указание. См. задачу 17.

98. Определить отношение диагонали куба к кратчайшему расстоянию между скрещивающимися диагоналями двух его смежных граней.

99. Сечение куба с плоскостью представляет собой правильный шестиугольник. Найти отношение площади этого шестиугольника к площади грани куба.

100. Куб спроектирован на плоскость, перпендикулярную его диагонали. Направление проектирования совпадает с направлением этой диагонали. Найти вид проекции и отношение ее площади к площади грани.

101. 1) Куб и правильный тетраэдр равновелики. Найти отношение их поверхностей.

2) Куб и правильный тетраэдр имеют равные полные поверхности. Найти отношение их объемов.

102. Вывести простейшую формулу для вычисления объема усеченной1 треугольной призмы.

Решение. Пусть одно из оснований (ABC) треугольной усеченной призмы ABCAlBlCl перпендикулярно ее боковым ребрам (черт. 30). Проведем АВ\УАСХ и ВСХ ; очевидно

Так как ССХ \\ ВВХ \\ AAV то объем пирамиды СХАВВХ не изменится, если ее вершину Сх переместить вдоль СС1 в точку С:

Черт. 30.

1 Усеченная призма образуется при пересечении призматической поверхности двумя непересекающимися внутри призмы и непараллельными плоскостями.

По той же причине объем пирамиды С, ААХВ не изменится, если ее вершины С, и ß, переместить вдоль СС1 и ВВХ в точки С и В: Vc1aa1b=Vcaa1b1 = Vахавс- Следовательно,

Если ни одно из оснований призмы не перпендикулярно ее боковым ребрам, то, проведя перпендикулярное (боковым ребрам) сечение, разобьем призму на две призмы рассмотренного вида. Поэтому полученная формула остается в силе.

103°. Найти отношение суммы объемов всех пирамид, основаниями которых служат боковые грани призмы, обшей вершиной — произвольная точка внутри призмы, к объему призмы.

104°. Для того чтобы найти площадь поперечного сечения стального рельса нашли по справочнику вес 1 м такого рельса1. Как следует поступить далее?

105°. Имеется треугольный металлический лист (в форме прямой призмы). Как отрезать параллельно его краю часть данного веса?

Указание. Вес отрезанной и оставшейся части относятся как соответствующие площади (трапеции и треугольника); далее использовать теорему об отношении площадей подобных треугольников.

106. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведено сечение, делящее двугранный угол при основании пополам. Определить отношение площади сечения к площади основания

107. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведено сечение, разделившее боковую поверхность призмы пополам. В каком отношении разделился объем призмы?

108. Через диагональ основания правильной пятиугольной призмы и сторону верхнего основания проведено сечение. В каком отношении делит это сечение объем призмы?

109. Каждое основание правильной призмы служит основанием пирамиды, вершина которой находится в центре другого основания призмы. Найти отношение объема

1 1 м стального рельса весит 42 кг.

тела, ограниченного основаниями призмы и боковыми поверхностями пирамид, к объему призмы.

110. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна стороне основания. Через середину высоты пирамиды проведено параллельно боковой грани сечение. Найти отношение площади этого сечения к площади боковой грани.

111. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны. Через сторону основания пирамиды и середину ее высоты проведено сечение. Найти отношение площади сечения к площади боковой грани.

112°. Число сторон основания правильной пирамиды нечетно. Определить угол между боковым ребром и противоположной стороной основания.

113.° В пирамиду вписана призма, одно основание которой представляет собой сечение пирамиды, проходящее через середину ее высоты. Плоскость второго основания призмы совпадает с плоскостью основания пирамиды. Какую часть объема пирамиды составляет объем призмы?

114. Грани правильной четырехугольной пирамиды равновелики. Определить: а) отношение, в котором центр вписанного шара делит высоту; б) отношение высоты пирамиды к расстоянию между стороной основания и противоположной гранью.

115°. В правильной четырехугольной пирамиде через середины трех ребер, выходящих из вершины основания, проведено сечение. В каком отношении оно делит объем пирамиды?

116°. Решить предыдущую задачу для случая шестиугольной пирамиды.

117°. Тетраэдр срезан четырьмя плоскостями, проходящими через середины всех его ребер. Какая часть объема тетраэдра срезана?

118. Правильный тетраэдр срезан по углам так, что получился восьмигранник, у которого четыре грани — правильные шестиугольники, а другие четыре грани — правильные треугольники. Какая часть объема тетраэдра срезана?

119. Вершины тетраэдра соединены отрезками с центрами тяжести противоположных граней. Доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке и что четыре пирамиды, общей вершиной которых служит эта точка, а основаниями — грани тетраэдра, — равновелики.

120°. Центры тяжести граней тетраэдра служат вершинами другого тетраэдра. Найти отношение объемов этих тетраэдров.

121°. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем пополам. В каком отношении она делит боковую поверхность пирамиды?

122. Один из двугранных углов правильной пирамиды прямой. Найти отношение площади сечения пирамиды, делящего двугранный угол при ее основании пополам, к площади боковой грани.

123. Сплошное тело разделили на несколько равных между собой частей (тел), которые подобны этому телу. При этом поверхность тела увеличилась в п раз1. На сколько равных частей разделили тело?

124. Два сплошных тела имеют одинаковую форму (то есть их фигуры подобны), температуру и состоят из одного и того же вещества. Какое из этих тел скорее остынет, если они будут находиться в одинаковых условиях?

Решение. Количества теплоты, содержащиеся в этих телах, прямо пропорциональны их массам, а следовательно, объемам Vx < V2. Время остывания тела характеризуется количеством теплоты, приходящимся на единицу площади, с которой происходит остывание (отдача теплоты). Следовательно, нам нужно сравнить два отношения: — и — или -—- и -—-, соответственно равные Y$i и У$2у где Sx и S2 — соответствующие поверхности тел. Так как Vx < V2, то V^i < V$2- Следовательно, остынет скорее меньшее по размерам тело.

125. Сплошной куб разделен на несколько меньших кубов так, что объемы всех кубов (вместе с данным кубом) составляют геометрическую прогрессию. Во сколько раз увеличилась поверхность куба?1

126. Дана часть поверхности прямого кругового цилиндра и направления двух образующих на ней. Как вычислить радиус цилиндрической поверхности, не измеряя углов?

Решение. От произвольной точки M цилиндрической поверхности откладываем две пары равных отрезков MA = MB и МАХ = МВХ (точки А и В на одной из двух

1 То есть сумма полных поверхностей всех малых тел больше полной поверхности большого (первоначального) тела в п раз.

данных образующих, точки Аг и В1— на другой, черт. 31). Затем по теореме Пифагора находим отрезки MF _i_ AB и ME _l A1BV Плоскость треугольника MEF перпендикулярна образующим. По формуле Герона и формуле R = —^находим радиус.

127. Дана часть конической поверхности, содержащая вершину. Как при помощи геометрических построений найти угол при вершине осевого сечения конической поверхности?

128. На поверхности конуса, вершина которого недоступна, даны направления двух образующих. Как вычислить объем конуса, не измеряя углов?

Решение. Пусть образующие пересекают окружность основания в точках А и В. Отложим на образующих от точек А и В два произвольных, но равных между собой отрезка AM и BN (черт. 32). На основании подобия треугольников SAB и SMN составляем пропорцию, из которой находим длину образующей AS (предварительно измеряем отрезки AB и MN). Затем вычисляем радиус конуса (по трем точкам окружности его основания) и высоту конуса (по теореме Пифагора).

129. Верхнее основание усеченного конуса недоступно, за исключением одной точки его окружности. Известны

Черт. 31. Черт. 32. Черт. 33.

1 Здесь и далее имеется в виду боковая поверхность прямого кругового конуса.

направления двух образующих на поверхности конуса. Как вычислить объем конуса, не измеряя углов?

Указание. Пусть образующие конуса пересекают окружность его основания в точках А и В и С — доступная точка верхнего основания. Отложив AM = BN, находим, как и в предыдущей задаче, длину образующей полного конуса. Измерив отрезки AM, АС и MC, находим высоту треугольника АСМ, опущенную из С на SA (CK) и отрезок SK. Из треугольников SC^ßj и SOB находим 0ХВХ и 00х (черт. 33) (предварительно находим CS = SBX по теореме Пифагора).

130*. Дана часть конической поверхности, не содержащая вершину, и направления трех образующих на ней. Требуется при помощи геометрических построений найти угол при вершине осевого сечения конической поверхности.

Решение. Отметим на каждой из образующих по две точки: А и С, В и D, Е и F (черт. 34). Строим отдельно два четырехугольника AlClD1Bl и f^D/B/ (по четырем сторонам и диагонали), соответственно равные четырехугольникам ACDB и EFDB (черт. 35). Находим точки пересечения сторон АхСг и BXDX (точку Si), сторон ElF1 и Di'Bi (точку Si). Очевидно, точки Si я Si —суть изображения вершины пирамиды. Откладываем далее три произвольных, но равных отрезка SXMX = SXNX = Sx Ki (три образующие). Отложив затем AM = АХМХ\ BN = = ßijVb EK = ExKi (черт. 34), получим три точки M,N,К, принадлежащие окружности сечения конической поверхности, перпендикулярного его оси. По трем точкам M, N', К строим эту окружность и ее диаметр. Угол при вершине

Черт. 34. Черт. 35.

равнобедренного треугольника, основанием которого служит найденный диаметр, а боковыми сторонами—образующие SiMx = SlN1 = Si К\> — искомый.

131°. Почему струя воды, вытекающая из крана, суживается по мере удаления от крана?

Решение. Скорость частиц струи у самого крана (vi) меньше их скорости (v2) на некотором расстоянии h от крана (на величину, равную скорости падения с высоты h, то есть ]/2ghy где g — ускорение силы тяжести). В то же время количества воды, протекающие через соответствующие сечения струи S± и S2 за одно и то же время / должны быть равными: vßj = v^Sj, откуда Sx >S2.

132е. Стенки круглого колодца нужно облицовать гранитным камнем. Как вычислить, сколько кубометров камня потребуется? Составить и решить соответствующую задачу с числовыми данными.

133. Горизонтально размещенная цилиндрическая цистерна почти целиком вкопана в землю. Можно ли определить, какая часть объема цистерны находится в земле? Как? Поверхность земли вокруг цистерны горизонтальна.

134°. Под действием собственного давления жидкость из одного сосуда переливается при помощи резинового круглого шланга во второй, объем которого U. Как вычислить время / наполнения второго сосуда, если известна разность d между уровнем жидкости в первом сосуде и уровнем нижнего конца шланга1?

Указание. Скорость истечения жидкости из нижнего конца шланга равна (если пренебречь трением жидкости во время ее движения по шлангу) скорости свободного падения с высоты d : v = V^gd.

135°. Вода из крана вытекает с некоторой скоростью. Как вычислить эту скорость, пользуясь сосудом, объем которого известен?

Решение. Определяем время /, в продолжение которого наполняется данный сосуд объема U\ находим диаметр d выходного отверстия крана. Тогда в продолжение единицы времени (1 сек) вытекает струя воды длиной

Это и есть искомая скорость. Если

1 Изменение уровня жидкости в сосудах во время переливания в расчет не принимать.

вычислить эту скорость при открытом до отказа кране, то по формуле v = V2gh (g = 9,8 —) можно найти высоту h водонапорной башни относительно крана (если пренебречь трением жидкости во время ее движения по трубам).

136°. Картонная бумага имеет форму цилиндрического плотного рулона. Как определить (приблизительно) количество бумаги (в квадратных метрах)?

Решение. Измеряем толщину картона d, внутренний диаметр Dx рулона и его внешний диаметр D2. Весь рулон можно представить состоящим из концентрических витков, диаметры которых составляют арифметическую прогрессию с разностью 2d. Число витков равно, очевидно, °2 Диаметр первого (внутреннего) витка равен Di + d, длина его окружности n{Dx + d), длина окружности второго витка л(Ь, + 3d), третьего—n(Dl + 5d) и т. д., наконец, последнего (наружного) — общая длина составляет:

Следовательно, площадь всей бумаги равна

К этому результату можно было прийти проще. Измеряем объем рулона (как разность объемов двух цилиндров), получаем:

измеряем толщину картона d. Если S — искомая площадь, то V = Sd, откуда

137. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Треугольник вращается последовательно около каждой из этих прямых. Найти отношение суммы поверхностей, описываемых противоположными сторонами треугольника, к площади треугольника.

138°. Равносторонний конус катится на плоскости вокруг своей вершины. Найти отношение числа оборотов конуса к числу оборотов его основания.

139. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит ее высоту в крайнем и среднем отношении. В каком отношении делит эта плоскость боковую поверхность конуса?

140. На поверхности конуса оказалось возможным провести три взаимно перпендикулярные образующие. Определить отношение высоты конуса к радиусу основания, а также угол в развертке его боковой поверхности.

141. В прямом конусе содержится жидкость. Если конус разместить вертикально, вершиной вверх, то поверхность жидкости установится посредине образующей. На какой высоте установится жидкость (начиная от вершины), если конус разместить вертикально, вершиной вниз?

142. Из круга вырезан сектор с прямым центральным углом. Оставшаяся часть круга свернута в конус. Определить отношение диаметра конуса к его образующей.

143. Как относятся объемы двух конусов, из которых один вписан в правильную пятиугольную пирамиду, а другой описан около нее?

Указание. См. задачу 79.

144. Угол при вершине осевого сечения конуса — прямой. Какую часть объема конуса составляет объем вписанного в него равностороннего цилиндра?

145. Развертка боковой поверхности конуса есть прямоугольный сектор. Какую часть объема конуса составляет объем вписанного в него равностороннего цилиндра?

146. Каждое основание цилиндра служит основанием конуса, вершина которого находится в центре другого основания цилиндра. Найти отношение объема, заключенного между боковыми поверхностями конусов и цилиндра, к объему цилиндра.

147. Объем усеченного конуса более произведения площади его среднего сечения на высоту. Доказать.

148. Как расположены относительно Земли и Луны все точки, в которых притяжения этих тел одинаковы? Действием прочих тел солнечной системы пренебречь.

Решение. Пусть Z — положение центра Земли, L — положение центра Луны, N — произвольная точка, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны одинаковы (черт. 36). По закону всемирного тяготения сила, действующая со стороны Земли на какое-либо тело массы m, помещенное в точку /V, равна k- —, а сила,

действующая на то же тело со стороны Луны, — k LN2, где k — коэффициент пропорциональности, M и М' — соответственно массы Земли и Луны. По условию задачи

откуда

[отношение = 81,5 можно найти из таблиц).

Следовательно, точка N является точкой равного притяжения Земли и Луны, если отношение расстояний этой точки к центрам Земли и Луны равно данному числу (9,028).

На прямой ZL, в частности, имеются две точки равного притяжения: точка Nlt делящая отрезок ZL внутренним образом в отношении 9,028 : 1 (ZA\ : LNX = 9,028), и точка N2, делящая отрезок ZL внешним образом в том же отношении (ZiV2 : LN2 = 9,028). Положение точек Nx и N2 относительно Земли и Луны (относительно точек Z и п ZN ZNX L) вполне определенное, и поскольку —- = —-± = —s— ^9,028, to NNi — биссектриса внутреннего угла треугольника ZNL и NN% — биссектриса смежного с ним (внешнего) угла (при вершине N)1. Следовательно,

Черт. 36.

1 Нетрудно доказать теорему, обратную теореме о свойстве биссектрисы внутреннего (внешнего) угла треугольника: если прямая, проходящая через вершину треугольника, делит его основание (внутренним или внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим (к этим частям) боковым сторонам треугольника, то эта прямая является биссектрисой угла (внутреннего или внешнего) при указанной вершине.

Таким образом, точка N находится на поверхности шара, диаметр которого есть

Очевидно, что и обратно: всякая точка этой шаровой поверхности есть точка, в которой силы притяжения Земли и Луны одинаковы. Все точки, в которых преобладает сила тяжести Земли, находятся вне этой шаровой поверхности, а все точки, в которых преобладает сила тяжести Луны — внутри указанной поверхности.

149. Котлован для водохранилища имеет форму сферического сегмента. Как вычислить объем произведенных земляных работ? Составить и решить соответствующую задачу с числовыми данными.

150. Два одинаковых шара касаются друг друга и плоскости. Определить отношение радиуса наименьшего шара, касающегося двух данных шаров и той же плоскости, к радиусу одного из данных шаров.

151. Поверхности шара касаются нескольких таких же шаров. Найти максимальное число всех шаров. Найти отношение радиуса шара, касающегося всех данных шаров (кроме внутреннего), к радиусу одного из них.

152. Три одинаковых шара касаются друг друга и некоторой плоскости. Четвертый шар касается трех первых и той же плоскости. Определить отношение радиуса четвертого шара к радиусу одного из остальных шаров.

153. Шар касается четырех равных шаров, каждый из которых касается трех остальных. Определить отношение радиуса этого шара к радиусу какого-либо из четырех шаров.

154. Каждый из четырех равных шаров касается трех остальных шаров. Определить отношение радиуса шара к расстоянию от его центра до плоскости, касательной к остальным шарам.

Указание. Задача имеет два решения.

155. Светящая точка находится от поверхности шара на расстоянии, равном радиусу шара. Какая часть поверхности шара освещается?

156. Определить приближенно вес всего воздуха, окружающего Землю.

157. В ведро, доверху наполненное яблоками (приблизительно одинакового размера), наливают воду. Сколько

воды (приблизительно) войдет в ведро ( в процентах к объему ведра)?

Примечание. Для упрощения вычислений считать, что яблоки в ведре размещены одно над другим в вертикальном направлении.

158. Данного шара касаются несколько равных шаров большего радиуса, которые касаются друг друга. Кроме того, все шары касаются одной и той же плоскости. Найти число всех шаров.

Указание. Свести задачу к задаче 73.

159. Шар касается двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Найти отношение радиуса этого шара к радиусу наименьшего (наибольшего) шара, касающегося тех же плоскостей и первого шара.

160. Шар касается трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Второй шар касается тех же плоскостей и первого шара. Найти отношение радиуса большего из этих шаров к радиусу меньшего.

161. В каком отношении делится объем шара плоскостью, проходящей через середину радиуса перпендикулярно к нему?

162. Поверхность шара разделена двумя параллельными плоскостями на три равные части. В каком отношении разделили эти плоскости перпендикулярный им диаметр шара?

163. Около шара описана правильная шестиугольная призма. Около этой призмы описан другой шар. Как относятся поверхности этих шаров?

164. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого, а) В каком отношении поверхность одного из них делится поверхностью другого? б) Чему равно отношение объема общей части этих шаров к объему шара?

165. Определить отношение разности площадей двух концентрических шаровых поверхностей к площади поверхности сечения, касающегося меньшей шаровой поверхности.

166. Через центр данного шара проведена сферическая поверхность, пересекающая поверхность шара. Определить отношение площади полученного сферического сечения к поверхности шара.

Указание. Искомое отношение не зависит от положения центра сферической поверхности.

167. Кусок металла, имевший форму равностороннего

цилиндра, переплавлен в форму шара. Во сколько раз уменьшилась его поверхность?

168. Около шара описана призма. Найти отношение площади боковой поверхности призмы к площади ее основания.

Указание. Соединить центр шара с точками, в которых поверхность шара касается граней призмы, и со всеми вершинами призмы; тогда призма разделится на пирамиды; выразить сумму объемов двух пирамид, основаниями которых служат основания призмы, а общей вершиной — центр шара (она равна — объема призмы), а также сумму объемов остальных пирамид.

169. Около шара описана усеченная пирамида. Найти отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади ее среднего сечения.

Указание. Эта задача является обобщением предыдущей задачи; воспользоваться тем же методом.

170. Боковая поверхность цилиндра, вписанного в шар, делит объем шара пополам. Определить отношение диаметра цилиндра к его высоте.

171. Боковая (наружная) поверхность круглого кольца— сферическая, а внутренняя его поверхность — цилиндрическая. Какие измерения и вычисления достаточно произвести, чтобы найти объем кольца?

172. Боковая поверхность бочки, у которой основания равны, сферическая (некоторые бочки имеют почти такую форму) Вывести формулу для вычисления объема такой бочки.

Указание. Достаточно измерить высоту h бочки и радиус R ее основания. Бочка состоит из цилиндра радиуса /?, высоты h и тела, объем которого равен — (см. Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, § 23, № 26; см. также результат предыдущей задачи).

173. Определить отношение радиусов шаров, описанного около правильного октаэдра и вписанного в него.

174. В правильный тетраэдр вписан шар. Второй шар касается трех граней тетраэдра и первого шара. Определить отношение радиусов этих шаров.

175. Решить предыдущую задачу для случая, когда второй шар является наименьшим из шаров, касающихся двух граней тетраэдра и первого шара.

176. Правильный тетраэдр, описанный около шара, равновелик кубу, вписанному в другой шар. Найти отношение объемов этих шаров.

177. Поверхность и объем некоторого шара соответственно равны боковой поверхности и объему некоторого цилиндра. Найти отношение диаметра цилиндра к его высоте.

178. Площадь основания конуса равна поверхности вписанного в него шара. Найти отношение радиуса этого шара к радиусу шара, описанного около конуса.

179. Сосуд с водой имеет форму равностороннего конуса, расположенного вертикально вершиной вниз. Если вложить в конус шар, то поверхности воды и конуса становятся касательными к нему. Какой еще другой шар обладает этим свойством? Определить отношение радиусов этих шаров.

180°. Из полушара выточен наибольший конус. Какой процент составляет сточенный материал?

181. Угол при вершине осевого сечения конуса прямой. Определить отношение радиусов шаров описанного около конуса и вписанного в него.

182. Равносторонний конус и полушар имеют общее основание и расположены по одну сторону от него. Какая часть объема конуса расположена внутри полушара?

183. Каждый из шести равных шаров касается двух смежных с ним шаров, а также плоскости основания и боковой поверхности равностороннего конуса. Найти отношение радиуса шара к радиусу основания конуса.

Указание. Рассмотреть сечение всей фигуры плоскостью, проходящей через точки касания шаров с боковой поверхностью конуса; шары могут касаться конической поверхности внутренним или внешним образом.

IV. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ К ГЕОМЕТРИИ.

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Боковые стороны трапеции взаимно перпендикулярны. Определить ее углы, если они составляют арифметическую прогрессию.

2 Все квадраты, вписанные в треугольник так, что две вершины расположены на стороне треугольника, а две другие

вершины — на двух других сторонах треугольника, равны между собой. Найти углы треугольника.

Решение. Обозначив сторону квадрата черех х, получим из чертежа 37:

откуда

Аналогично

Следовательно,

Если ab = 25, то = 90° и из b H--= с H--найдем аналогично, что либо ^ А = 90°, либо b = с, что невозможно. Поэтому а = b = с.

3. Стороны треугольника составляют геометрическую прогрессию. Доказать, что такой треугольник подобен треугольнику, сторонами которого служат высоты данного.

Решение. Пусть нужно доказать, что а :

Но по условию Ь2 = ас. Значит, действительно,

4. Доказать, что если квадраты сторон треугольника составляют арифметическую прогрессию, то треугольник,

Черт. 37.

сторонами которого служат медианы данного, подобен данному. Найти коэффициент подобия.

Решение. По условию задачи 2Ь2 = а2 + с2. Поэтому

Отсюда

Искомый коэффициент подобия равен

5. Доказать, что если два прямоугольника имеют равные периметры и площади, то они равны.

6. Найти отношение сторон прямоугольного треугольника, если они составляют арифметическую прогрессию.

7. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника разделила его периметр пополам. Определить форму треугольника.

8. Фигура на чертеже 38 состоит из квадрата A BCD и равностороннего треугольника ВМС, имеющих общую сторону ВС. О — точка пересечения отрезков ВС и AM. Определить отношение ВС : OB.

9. Стороны двух равных равносторонних треугольников взаимно перпендикулярны (попарно). В каком отношении сторона одного треугольника делится двумя сторонами второго, если треугольники имеют общий центр?

10. Равнобедренная трапеция, диагональ которой равна ее стороне, описана около окружности. Определить отношение радиуса этой окружности к радиусу окружности, описанной около трапеции.

11. Правильный треугольник срезан по углам так, что получился правильный шестиугольник; правильный шестиугольник срезан по углам так, что получился правильный двенадцатиугольник, и т. д. до бесконечности. К какому пределу стремится срезанная часть площади треугольника?

Черт. 38.

Указание. Срезанная площадь стремится к разности между площадью треугольника и площадью вписанного в него круга.

12. К двум равным окружностям проведены внешняя и внутренняя касательные так, что диаметр окружности оказался их средним арифметическим. Принимая радиус окружности за единицу, определить в этих единицах расстояние между центрами окружностей.

13. Доказать, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы и полные поверхности, а также по равному ребру, то они равны.

14. Два из трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, увеличены каждое на одно и то же число процентов, а третье ребро уменьшено на столько же процентов. Найти это число процентов, если известно, что объем параллелепипеда не изменился.

15. Два ребра правильной шестиугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.

16. Объем правильной двенадцатиугольной пирамиды равен кубу ее высоты. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

17. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды и ее объем, выраженные соответственно в квадратных метрах и кубических метрах, численно равны. Определить сторону основания пирамиды и ее высоту, если известно, что они выражаются в целых числах (метров).

18. В правильный тетраэдр вписан шар, в шар вписан правильный тетраэдр и т. д. до бесконечности. Определить: а) предел отношения суммы объемов всех тетраэдров к объему наибольшего из них; б) предел отношения суммы объемов всех шаров к объему наибольшего из них.

Решение. Если х — ребро правильного третраэдра, то нетрудно найти радиус шара, вписанного в тетраэдр (г) и описанного около него (/?):

откуда

Пусть ах — ребро правильного тетраэдра. Радиус вписанного шара равен:

Ребро второго тетраэдра, вписанного в этот шар, согласно из-

ложенному выше, равно:

Аналогично ребро третьего тетраэдра будет

Так как все правильные тетраэдры подобны, то искомый предел есть:

Так как коэффициент подобия двух последовательных шаров (вписанных в два последовательных тетраэдра с коэффициентом подобия—)также равен—, то ответ на вопрос б) таков же.

19. Дано изображение правильной четырехугольной пирамиды, у которой высота равна стороне основания. Как построить в этой пирамиде изображение высоты боковой грани, проведенной из вершины основания пирамиды?

Решение. Пусть SABCD — данная пирамида, AB = = SO = 2а, AK 1 BS (черт. 39). Так как BS ± АС, то BS L пл. АКС и BS ± ОК.

Имеем:

Следовательно, точка К (основание ысоты) должна разделить боковое ребро в отношении 2 : 1 (начиная от вершины).

20. Дано изображение правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна стороне основания. Как построить в этой пирамиде изображение высоты, опущенной из вершины основания на противоположную грань?

Черт. 39.

21. В усеченной пирамиде проведены параллельно основаниям три сечения. Первое сечение проходит через середину высоты, второе — делит боковую поверхность пополам, а третье — делит объем пирамиды пополам. Найти соотношение между площадями Slt S2 и S3 этих сечений.

Решение. Пусть Q и q — площади оснований усеченной пирамиды (Q > q). Дополним усеченную пирамиду до полной. Полные пирамиды, основаниями которых служат основания усеченной пирамиды и указанные сечения, подобны, поэтому их поверхности пропорциональны квадратам соответствующих линейных элементов, то есть величинам Q, q, Si, S2, S3, а объемы — кубам соответствующих линейных элементов, то есть величинам |/Q3>

На основании свойства средней линии трапеции имеем:

Кроме того, согласно условию задачи

Имеем систему

Исключая Q и q, получим:

22. Найти ошибку в приведенном ниже решении задачи: «В усеченной пирамиде проведено параллельно основаниям сечение, разделившее объем пирамиды и ее боковую поверхность пополам. Найти отношение площади этого сечения к площади среднего1 сечения».

«Решение: Полагая в предыдущей задаче 02~^-*Ьз Œ *ь, получим:

так как при

Q > q, S у Si. Действительно,

Значит,

Искомое отношение равно:

Решение. Указанная в условии задачи пирамида не

1 Среднее сечение—сечение, проходящее через середину высоты параллельно основаниям.

существует (она обращается в призму). Величины 5bS2H S3 связаны для пирамиды определенными соотношениями (неравенствами), и поэтому нельзя им приписывать произвольные значения или связывать их произвольными соотношениями. Мы уже доказали, что S2y>Si. Из соотношения, полученного нами в предыдущей задаче, имеем:

так как

и тем более

Таким образом, S3>S2>Si, то есть равенство S3 = S2 невозможно.

23. На деревянный барабан, имеющий форму катушки с прямыми стенками, намотан в несколько рядов длинный стальной трос. Как приблизительно подсчитать длину этого троса S, не разматывая его?

Решение. Измеряем расстояние / между стенками барабана (ширину барабана) и число витков, укладывающихся на этом расстоянии. Тогда диаметр d троса будет: à = —. Затем измеряем диаметр Dx барабана и диаметр D2 наружного витка. Частное °2 — Dl дает нам число рядов т.

Длина первого витка (непосредственно прилегающего к барабану) равна n(Dx-]-d)y длина троса в первом ряду пп (D, -U d), во втором ряду пп (Dx + 3d), в третьем Tin (D, + 5d) и т. д. Наконец, длина последнего (наружного) ряда равна пп \Dl+(2m—l)d].

Имеем формулу:

Полагая здесь

получим окончательно:

объем катушки, занятой тросом вместе с промежутками. Существуют и другие способы решения (не связанные с прогрессией).

24. При изготовлении из жести колена для водосточной трубы приходится вырезывать «углы» (для соединения под прямым углом двух труб), составляющие отход. Как вычислить этот отход?

25. Существует ли такой цилиндр, полная поверхность которого и объем были бы соответственно равны поверхности и объему некоторого шара?

26. Полная поверхность конуса (в квадратных сантиметрах) и его объем (в кубических сантиметрах) выражается одним и тем же числом. Найти это число, зная, что радиус и образующая конуса являются целыми (в сантиметрах) числами.

27. Высота конуса, образующая и диаметр основания выражаются последовательными целыми числами сантиметров. Определить объем конуса.

28. Металлический равносторонний конус стачивается на токарном станке по всей поверхности на одинаковую глубину (перпендикулярно поверхности). При какой глубине стачивания (относительно первоначального радиуса) вес конуса уменьшится на 10%?

29. Вдоль оси конуса высверлили сквозное цилиндрическое отверстие так, что объем оставшейся части конуса оказался равным объему снятых стружек. Определить отношение радиуса цилиндрического отверстия к радиусу конуса.

Решение. Высверливаемая часть конуса состоит из конуса SBC и цилиндра ABCD (черт. 40). Пусть ОЕ = = R — радиус данного конуса, OD = 0{F = r — радиус цилиндра, COi = h — его высота. Из чертежа имеем:

откуда

По условию задачи

Черт. 40.

Полагая

получим

что невозможно, так как 0 <х < 1.

30°. Ствол дерева, высота которого известна, ровный, равномерно суживающийся от основания к верхушке. Как вычислить, на какой высоте толщина дерева достигает заданную величину?

31. Конус и равносторонний цилиндр равновелики. Могут ли эти тела иметь равные полные поверхности?

Указание. Допущение о том, что тела имеют равные полные поверхности, приводит к уравнению

не имеющему решений в области действительных чисел (R и г — радиусы конуса и цилиндра).

32. Определить отношение радиусов оснований усеченного конуса, описанного около шара, если площадь нижнего его основания является: а) средним геометрическим площади верхнего основания и боковой поверхности; б) средним арифметическим тех же величин.

33. Может ли поверхность и объем шара соответственно равняться полной поверхности и объему шарового сегмента?

34. Сосуд с водой имеет форму прямой призмы с квадратным основанием. Если опустить в воду шар, диаметр которого равен стороне основания, то поверхность воды становится касательной к нему. Найти отношение диаметра этого шара к диаметру другого шара, обладающего таким же свойством.

35. На горизонтальное дно цилиндрического сосуда, содержащего воду, помещается тяжелый шар; поверхность воды становится касательной к шару. Таким же свойством обладает другой шар, радиус которого равен радиусу цилиндра. Определить отношение радиусов этих шаров.

Решение. Пусть R — радиус цилиндра, г — радиус первого шара. По условию задачи

Полагая

получим:

так как оба шара по условию задачи разные. Следовательно, х2 — 2х — 2 = 0, откуда х = I + 1^3.

36. На плоское горизонтальное дно сосуда с прямыми стенками, в котором находится вода, положили шар; поверхность воды стала касательной к шару. Затем рядом с первым шаром положили на дно второй шар, поверхность воды стала касательной к этому второму шару. Наконец, рядом с первыми двумя шарами положили на дно третий шар, радиус которого равен сумме радиусов первых двух шаров; поверхность воды стала касательной к третьему шару. Найти отношение радиусов этих шаров (вода из сосуда во время вкладывания шаров не выливалась).

37. Шар касается всех ребер правильного тетраэдра. Какая часть поверхности шара отсекается плоскостью, совпадающей с гранью тетраэдра?

38. 1) Шар касается всех ребер правильного тетраэдра. Плоскости, совпадающие с гранями тетраэдра, делят поверхность шара на несколько частей. Найти отношение площадей двух различных частей; 2) Плоскости, совпадающие с гранями правильного тетраэдра, вписанного в шар, разделяют объем шара на несколько частей, одной из которых является сам тетраэдр. Найти отношение объемов двух различных частей из числа прочих.

39. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если вместо правильного тетраэдра взять куб?

§ 2. НЕРАВЕНСТВА. МАКСИМУМ И МИНИМУМ.

Теоретической основой самого элементарного способа решения задач на максимум и минимум является неравенство Коши

где ал — положительные числа; знак равенства имеет место лишь при условии ах = а2 = а.л = ... — ап. Практика показывает, что большинство элементарных задач на максимум

и минимум могут быть решены применением приведенного выше неравенства для случаев п = 2, 3, 4. Приводим наиболее простое доказательство неравенства для случаев:

м = 3 и п = 4. При п — \ имеем:

К этому случаю легко приводится случай п-3:

Решение многих элементарных задач на максимум и минимум легко сводится к нахождению условия равенства нулю дискриминанта квадратного трехчлена (см., например, разд. IV, №71 или №40, 91, раздел V). Заметим, что существуют функции, не имеющие ни максимума, ни минимума.

Однако, если аргумент х рассматривается на некотором сегменте [m, п], то функция у на этом сегменте всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Очевидно, для отыскания наибольшего и наименьшего значения какой-либо непрерывной функции у = f(x) на сегменте [ m, п\ необходимо сравнить между собой максимумы и минимумы, приобретаемые данной функцией на этом сегменте, со значениями функции f(m) и f(n) на концах того же сегмента. Наибольшее из полученных чисел будет наибольшим значением функции на рассматриваемом сегменте и наименьшее — наименьшим (см. задачи 95, 99, 100 разд. V).

Иногда для нахождения максимума или минимума функции применяют прием, заключающийся в изучении разности f(x2) — ((xj при x2>*i и хг -> х2 (сравнение смежных значений функции). Этот прием, однако, редко оказывается простейшим элементарным приемом и применение его связано большей частью с громоздкими выкладками (см. задачу 93, разд. V).

При исследовании функции на максимум и минимум большую помощь оказывает иногда следующее положение: если несколько положительных (при всяком х) функций имеют максимум или минимум при одном и том же значении х = а, то и сумма (произведение) указанных функций имеет соответственно максимум или минимум при том же значении х = а. Это положение легко доказывается (см. задачу 93, разд. V).

40. От параллелограмма отрезали параллельно его стороне часть, подобную ему, от остатка отрезали параллельно той же стороне часть, подобную этому остатку. Найти соотношение между сторонами параллелограмма.

41. На чертеже 41 AB || ОМ || CD. При каком условии отрезки AB у ОМ и CD могут служить сторонами треугольника?

42. Средняя линия трапеции делит ее площадь на две части, отношение площадей которых не превышает 3. Доказать.

43. Как следует задать периметр Р прямоугольного треугольника и радиус г вписанной в него окружности, чтобы эти два элемента определяли прямоугольный треугольник?

44. В каких пределах может изменяться отношение п боковой поверхности конуса к поверхности вписанного в него шара?

Решение. Пусть /, /?, г — соответственно образующая конуса, его радиус и радиус вписанного шара.

Нетрудно выразить г через I и R:

Далее:

Черт. 41.

Должно иметь место неравенство:

45. В каких пределах может изменяться отношение п объема конуса к объему вписанного в него шара?

46. В каких пределах может изменяться отношение п боковой поверхности усеченной пирамиды, описанной около шара, к сумме площадей оснований?

Решение. Пусть Q и q — площади оснований усеченной пирамиды, г — радиус вписанного в нее шара, S — боковая поверхность, V — объем. Соединим центр шара со всеми вершинами пирамиды. Тогда усеченная пирамида разделится на несколько полных пирамид, имеющих своими основаниями грани данной усеченной пирамиды, а высотой —радиус г. Поэтому:

С другой стороны, Следовательно,

откуда

Далее:

47. Сферический сегмент целиком расположен внутри цилиндра и имеет с ним общее основание и высоту. В каких пределах может изменяться отношение п объема цилиндра к объему сегмента?

48. Полная поверхность конуса равна полной поверхности некоторого равностороннего цилиндра. Доказать, что объем цилиндра больше объема конуса.

49. Цилиндр и шар имеют равные объемы. Доказать,

что поверхность шара меньше полной поверхности цилиндра1,

50. Полная поверхность цилиндра равна поверхности некоторого шара. Доказать, что объем шара больше объема цилиндра1.

Указание. Задача сводится к доказательству неравенства при 2>0: 23 — Зг + 4 =г3 + 1 + 3(1—г)> >0. Это неравенство при г<1 очевидно. Если г>1, то г3 — Зг + 4>г2 — 3z + 4>0, что требовалось доказать.

51. Конус и полушар имеют равные полные поверхности. Объем какого из этих тел больше?

Решение. Пусть г, /, Vi — соответственно радиус, образующая и объем конуса, R и Vi — радиус и объем полушара.

По условию

Имеем:

откуда Vi < V2— объем полушара больше.

52. Конус и полушар имеют равные объемы. Полная поверхность какого из этих тел больше?

53. Конус и полушар имеют равные радиусы и равные боковые поверхности. Объем какого из этих тел больше?

54° Почему выгоднее (в целях экономии стройматериалов) строить дом с квадратным основанием, чем с основанием в форме другого четырехугольника?

55. Из всех треугольников, имеющих равные площади, выбрать тот, у которого наименьший периметр.

Решение. При постоянном произведении - S2 = сомножителей их сумма достигает минимума при

1 Существует общая теорема: из всех тел, имеющих равные поверхности, шар обладает наибольшим объемом и обратная теорема: из всех тел, имеющих равные объемы, шар обладает наименьшей поверхностью.

56. Из каких равных треугольных плиток следует сделать паркетный пол, чтобы длина швов была минимальной?

Решение. Пусть Q — площадь пола, 2р — периметр треугольника, S — его площадь. Число треугольников равно: m = j#

Общая длина швов равна -Plu — рщ. Так как m— постоянная величина, то задача сводится к нахождению формы треугольника, имеющего минимальный периметр. На основании предыдущей задачи заключаем, что треугольные плитки должны быть равносторонними (правильными).

57. Найти максимум отношения произведения отрезков от точки пересечения биссектрис треугольника до его вершин к произведению биссектрис.

Указание. Сначала доказать, что сумма отношений указанных отрезков к соответствующим биссектрисам есть величина постоянная.

58. Из прямоугольного сектора вырезали наибольший по площади прямоугольник, две вершины которого лежат на дуге сектора. Найти отношение сторон прямоугольника.

59.* Хорда делит круг на два сегмента. Из меньшего сегмента (или из полукруга, если эти сегменты равны) требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади.

Решение. Пусть СЕ = MN = DF = х, KN - А, OB = OK = R (черт. 42). Тогда КМ = h — х, ML = = 2R — {h — х) = 2R — h + х, MD2 = KM . ML = = (h — x)(2R — h + x). Нам нужно найти максимум выражения S = CDMN или выражения S2 = CD2 *MN2=

Имеем:

(1).

где /л, м, р — параметры, подлежащие определению.

Черт. 42.

Подберем эти параметры так, чтобы выполнялись следующие требования:

1) Каждый множитель правой части (1) должен быть положительный; это требование выполняется при произвольных положительных m, я, р\

2) Сумма этих множителей должна быть постоянной:

очевидно, для этого

необходимо положить 2р + п — m = 0, откуда m = 2р ++ п\ (2)

3) Система mh—тх = 2Rn — hn+xn = рх должна определять X единственным способом, то есть быть совместимой; для этого должно быть

(3)

Исключая из (2) и (3) m, получаем:

Из (3) находим х:

В частности, при R = Л, получим:

что мы и ожидали (искомый прямоугольник представляет собой в этом случае половину квадрата, вписанного в окружность радиуса R).

60. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих общую диагональ, найти тот, который имеет наибольший объем.

61. Изготовляются одинаковые фанерные прямоугольные ящики для посылок. Какую форму должны иметь эти ящики, чтобы на их изготовление уходило наименьшее количество фанеры?

62. Из деревянного шара вытесан прямоугольный брусок наибольшей поверхности. Определить процент отхода дерева.

Указание. Воспользоваться неравенством х2 +

63. Из множества одноименных правильных призм, имеющих одинаковую полную поверхность, выделить ту, которая имеет наибольший объем.

Решение. Рассмотрим призму определенного вида, то есть число п сторон основания будем считать заданным. Обозначим сторону основания —а, апофему основания — высоту призмы — Л. По условию задачи величина с = = ak + an постоянна. Число п фиксирует центральный угол основания призмы, поэтому величина — = сх— также постоянна.

Следовательно, с ~cx(k2+ kh)\ объем призмы зависит от выражения V = akh = cxk2h> откуда 2 — = 2k4h2 = =2k2-kh-kh. Так как сумма 2k2+kh +kh = 2(k2 +kh)= постоянна, то 2k2 = kh% h = 2k — апофема основания призмы должна равняться Головине ее высоты.

64. Из деревянного шара вытесан цилиндр наибольшего объема. Сколько процентов материала сточено?

65. Какой из вписанных в шар конусов имеет наибольший объем?

66. Как выточить из металлического конуса цилиндр так, чтобы было сточено возможно меньше материала?

67. Из усеченного конуса нужно выточить цилиндр так, чтобы было сточено возможно меньше материала. Как это сделать?1

Решение. Пусть R = ОхС, г = 02А2, h = 0,02 — элементы данного усеченного конуса. Обозначим высоту искомого цилиндра 00i = AAi = х, его радиус ОА=у (черт. 43). Тогда получим: — = ^=1^, откуда х =—HLlÉ .

Нам нужно найти условие максимума выражения V =

или выражения

Черт. 43.

1 Очевидно, данная задача включает в себя предыдущую.

— y) = y-y(2R — 2y). Поскольку сумма y+y+2R— 2y =2/? постоянна, то у = у = 2R — 2у, откуда У—~^ R- Такое решение будем иметь, пока -/?>г. Когда же — /? < г, — < —, то это решение не удовлетворяет, очевидно, условию задачи. В этом случае у = г. Действительно, функция убывает:

68. Из картонного круга вырезают вдоль радиусов сектор и оставшуюся часть круга свертывают в конус. Какую часть круга следует вырезать, чтобы получить конус наибольшего объема?

Решение. Пусть х — длина окружности получающегося конуса, R — радиус круга, равный образующей конуса. Для объема V конуса получим следующее выражение:

Задача сводится к нахождению максимума выражения

Так как сумма

постоянна, то

Следовательно, длина дуги вырезываемого сектора должна быть

и составляет часть окружности.

69. Изготовляются одинаковые ведра в виде цилиндров с открытым верхним основанием. Какую форму следует им придать, чтобы они были (при данном расходе материала) наиболее вместительными?1

70. Изготовляются консервные банки. Как добиться

1 Расходы материала на обрезки и швы в расчет не принимать.

увеличения вместимости банок, не изменяя количества материала, идущего на их изготовление1.

71. Цистерна, представляющая собой цилиндр с двумя наружными конусами, должна иметь определенный диаметр и объем. Какая должна быть форма этих конусов (определить отношение п высоты конуса к его образующей), чтобы на изготовление цистерны ушло наименьшее количество материала1?

Решение. Пусть R, V, 5 — соответственно радиус, объем и поверхность цистерны, H — высота ее цилиндрической части, h — высота конической части. Имеем соотношение: nR2H-\—яг*Л = V, откуда ЗЯ+2А =- = с, где с — постоянная величина (поскольку V, R и л— постоянные), И =-. Найти условие минимальности величины

или величины г =

Ясно, что величина г будет минимальной при том же условии, что и величина t. Положив — = х, получим

откуда

Следовательно, /2>5, то есть минимальное значение / равно У5 и достигается при х =

72. Из жести изготовляется сосуд определенного объема, состоящий из открытого цилиндра и заканчивающийся внизу конусом. Сделать расчет экономии жести1.

Указание. Установив, что количество жести прямо пропорционально радиусу основания цилиндра (конуса), принять этот радиус за постоянную величину.

73. Баллон для газированной воды, представляющий собой цилиндр с двумя сферическими сегментами (не более полушара) должен иметь определенный диаметр и объем.

1 Расходы материала на обрезки и швы в расчет не принимать.

Какую форму баллона следует избрать, чтобы на его изготовление ушло возможно меньше материала1?

Решение. Пусть V — объем баллона, S — поверхность, R — радиус, / — длина (высота) его цилиндрической части, г — радиус сферической части (сферической поверхности), h — высота сферического сегмента. Легко получить следующие соотношения:

Из первого соотношения г =

из второго I =

Исключая г и / из третьего соотношения, получим:

Так как величины R, V, я постоянны, то будем искать минимум выражения

так как

Отсюда

= 1, h = R. Итак, сферический сегмент должен иметь форму полушара.

74. В шар вписан цилиндр наибольшей полной поверхности. Найти отношение диаметра цилиндра к его высоте.

75*. Из прямоугольного листа жести длиной а метров и шириной b метров вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной X метров и из оставшейся части листа изготовляют открытую прямоугольную коробку ВЫСОТОЙ X, Найти X так, чтобы объем коробки был наибольший.

Указание. Можно применить такой же прием, что и в задаче 59.

1 Расходы материала на обрезки и швы в расчет не принимать.

V. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ К ГЕОМЕТРИИ.

§ 1. ПЛАНИМЕТРИЯ.

1. При каком условии: а) синус острого угла а больше его косинуса? б) тангенс острого угла а больше косеканса его?

Решение, а) Имеем неравенство sin a>cos a, эквивалентное неравенству sin2a>cos2a (так как sin a>0 и

б) Имеем:

2. В каких границах может изменяться: а) произведение синуса и косинуса одного и того же угла? б) сумма синуса и косинуса одного и того же угла?

3. Вычислить с точностью до 0,001 sin 18°.

4. Что больше: синус синуса угла или косинус косинуса того же угла?

Решение. Имеем:

(см. задачу 2, б)

Следовательно,

5. а) Может ли тангенс суммы двух углов треугольника равняться сумме тангенсов этих углов? б) Может ли синус суммы двух углов треугольника равняться сумме синусов этих углов?

6. Может ли сумма синусов углов выпуклого многоугольника равняться их произведению?

7. Доказать, что сумма котангенсов углов треугольника больше их произведения.

8. Часы пущены ровно в полдень. Какое время будут они показывать, когда длина дуги, описанной концом часовой стрелки, окажется равнрй длине этой стрелки (с точностью до 1 сек)?

9. Косинусы углов прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти тангенсы его острых углов.

10. Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти его наименьший угол.

11. Найти углы прямоугольного треугольника, если известно, что их синусы составляют: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

12. Прямая, параллельная стороне прямоугольного треугольника, делит его периметр и площадь пополам. Определить углы треугольника.

Указание. Сначала показать, что прямая, параллельная гипотенузе, не может обладать этим свойством.

13. Прямая, параллельная стороне равнобедренного треугольника, делит его периметр и площадь пополам. Определить угол при основании треугольника.

14. Определить углы прямоугольного треугольника, в котором две медианы взаимно перпендикулярны.

15. Два неравных подобных прямоугольных треугольника имеют по две равные стороны. Найти углы этих треугольников.

16. В острые углы прямоугольного треугольника вписаны два одинаковых круга, касающихся друг друга. Сумма площадей этих кругов равна площади круга, вписанного в треугольник. Определить форму треугольника.

Решение. Пусть (черт. 44) = а, — ß, 0Y и 02—центры двух равных окружностей, касающихся друг друга и сторон углов А и ß, О — центр вписанной окружности.

Положим OxN = 02М = р, ОР = г. По условию задачи

Из чертежа имеем

Положим

Тогда

Но

(2).

Из (1) и (2) получаем:

17. Определить острый угол ромба, в котором диагонали и сторона составляют: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

18. Ортоцентр треугольника делит одну из высот пополам. Найти произведение тангенсов углов треугольника, противоположных этой высоте.

19. Сумма косинусов углов треугольника равна сумме косинусов углов равностороннего треугольника. Найти углы треугольника.

Решение. По условию задачи cos а + cos ß + cos у=

Черт. 44.

Заменяя

получим:

Отсюда а = ß (в противном случае мы получили бы для cos мнимое число). Аналогично а = у. Значит, треугольник — равносторонний.

20. Два треугольника, из которых один равносторонний, имеют равные периметры и радиусы вписанных окружностей. Найти углы второго треугольника.

Решение. Пусть а, ß, у — искомые углы треугольника, R и г — радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него. Воспользуемся соотношениями:

Условие задачи дает нам:

откуда

Так как сумма сомножителей в скобках постоянна, то максимум произведения этих сомножителей будем иметь при их равенстве, то есть когда а = ß = у = 60°. Этот максимум как раз есть (, з tg230°j = —. Это и означает, что а = ß = у = 60°.

21. Периметр и площадь некоторого треугольника соответственно равны периметру и площади равностороннего треугольника. Доказать, что треугольники равны.

Указание. Равенство периметров и площадей приводит согласно формуле г = — к равенству радиусов вписанных окружностей; поэтому задача аналогична предыдущей.

22*. Два неравных равнобедренных треугольника имеют равные площади и радиусы описанных окружностей.

Кроме того они имеют по равной стороне и высоте. Найти углы этих треугольников, заключенные между равными сторонами.

Решение. Пусть ABC и Л,В,с1— два указанных треугольника, О и 0t—центры описанных окружностей, AD 1 ВС, СХЕ 1 АгВи ВС= = В1С1 = а, ^ВАС = 2а, ^ AiCßi = 2ß (искомые углы) (черт. 45). Из чертежа имеем:

По условию задачи

(1)

Кроме того,

(2)

Разделив (2) на (1), получим:

(3)

Перемножив (1) и (2), получим:

(4)

Сложив (3) и (4), получим уравнение:

Черт. 45.

Если X = 2 sin ß = 1, Toß = 30°, a = 30°. Треугольники получаются равными (и равносторонними), что оговорено в условии задачи. Следовательно, х2 +2х— 1 = 0, откуда х = ^2—1« 0,4142, sinß^^^ =0,2071, ß^ 11°57', лАхСхВх = 2ß « 23°54', sin 2a = cosß ^ 0,9783, (2a)i = = 78°3', (2a)2 = 180° — 78°3' = 101°57'. Значение 2a = 78°3' не удовлетворяет (1). Следовательно, 2a = 10Г57', 2ß = 23°54'.

23. Даны две пары прямых, расположенных в одной плоскости; точка пересечения каждой пары недоступна. Как вычислить расстояние между этими недоступными точками?

Решение. Проводим произвольную секущую (базис) ABCD, пересекающую прямые S{ A, Stß, S2C, S2D соответственно в точках A, В, CD (черт. 46). Измеряем углы alf ß1f a2, ß2 между секущей и данными прямыми, а также отрезки AB, ВС, CD. Затем вычисляем отрезки SXMX _L AB, SM2 _l CD, MXB, M2C. Неизвестное расстояние S,S2 = X находим из ÂS,S2^ по теореме Пифагора. Возможны и иные способы решения.

24. Прямоугольную рамку из углового железа (черт. 47) желают установить на двускатной крыше в качестве кронштейна для электропроводки так, чтобы плоскость ее была параллельна плоскости поперечного сечения кры-

Черт. 46. Черт. 47.

ши. Для того чтобы перемычка AB была горизонтальна, необходимо одну из ножек (АС) укоротить на некоторую часть CK. Как вычислить СЮ

25. Найти углы треугольника, зная, что вписанная окружность делит одну из его медиан на равные части.

Решение Пусть медиана AM делится окружностью, вписанной в треугольник ABC, на три равные части ЛЕ = EF = FM = m (черт. 48).

Пусть ВС = а, AB = с, АС = &, Т и /(—точки касания сторон AB и ВС.

Имеем:

Кроме того,

Следовательно,

то

Исключая здесь а путем подстановки а = 26, получим:

Если

то треугольник не существует.

Мы получили: а : Ь : с = 10 : 5 : 13.

Черт. 48. Черт. 49.

Теперь по теореме косинусов

Если медиана AM делится вписанной окружностью на две равные части, то точки M и К совпадают, и мы придем к равнобедренному треугольнику (AB = АС) с углами:

26*. Доказать, что если две неравные стороны треугольника обратно пропорциональны биссектрисам, проведенным на эти стороны, то углы этого треугольника составляют арифметическую прогрессию.

Решение. Пусть в треугольнике ABC (черт. 49) ВС >ЛС, ^А >^i9 и АЕ — биссектриса угла Л, BF — биссектриса угла В. Докажем предварительно, что BF > > АЕ. По теореме синусов из треугольников ABF и ABE имеем:

Нам нужно доказать, что

Имеем:

так как при А >ß будет

отсюда, между прочим, следует, что равным биссектрисам соответствуют равные углы, большей биссектрисе соответствует больший угол (доказательство от противного).

Далее, если

то по условию задачи

что противоречит условию, либо

= 180°, откуда А + В = 120°, С = 60°; углы: Л, 60°, 120° — Л, действительно составляют арифметическую прогрессию.

27. Под каким углом к горизонту нужно вести стрельбу из орудия, чтобы дальность полета снарядов была максимальной? Найти для этого угла отношение дальности полета к наибольшей высоте подъема снаряда. Полагать, что точка падения снаряда находится на одной высоте с точкой вылета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Пусть снаряд вылетает из орудия под углом а к горизонту; скорость, с которой вылетает снаряд, обозначим vQ. Эту скорость можно разложить на две составляющие: в горизонтальном направлении их и в вертикальном иу (черт. 50). Следовательно, в некоторый момент времени t снаряд находится на высоте H = vyt — — (g—ускорение силы тяжести) и на расстоянии от орудия S = Vx t (в горизонтальном направлении). Для точки падения H = 0, то есть

(второй корень / = 0 соответствует моменту выстрела). Очевидно, в начальный момент времени будем иметь vx = = v0 cos a, üy = v0sin а (черт. 50). К моменту падения снаряд пролетал в горизонтальном направлении путь S =

Это и есть

Черт. 50.

дальность полета. Ее наибольшее значение S = —получчим при sin 2а = 1, откуда а = 45°. Так как движение снаряда в вертикальном направлении является равнозамедленным, то в любой момент времени t будем иметь: vy = v0sina — gt. В наивысшей точке vv = 0, поэтому

для наивысшей точки

При а = 45° наибольшая высота подъема будет f- . Искомое отношение есть

28. Где быстрее можно переплыть реку: в широком или более узком месте? В каком направлении надо плыть, чтобы возможно быстрее переплыть реку, если ширина ее везде одинаковая?

Решение. Начнем со второго вопроса. Пусть ОМ = = Vx — вектор собственной скорости движения, MN = = V2 — вектор скорости течения реки, тогда ON = V — вектор скорости действительного движения (черт. 51). Время /, необходимое для переплытия реки, выразится так:

(1)

где S = AB — расстояние между берегами в направлении вектора V.

Из AOMN по теореме синусов имеем:

Из (1) получим:

(2).

Но

(черт. 51). Формула (2) принимает

Черт. 51. Черт. 52.

вид: / =---. Этот результат показывает, что скорость течения не влияет на время /. Наименьшее значение t получим при sin а = 1, а = 90°. Отсюда / =

Следовательно, надо плыть перпендикулярно к направлению течения и в более узком месте (с возможно большей скоростью). К этому выводу можной прийти интуитивно.

29*. Два неравных треугольника имеют по одному равному углу, по две равные стороны и по две равные медианы. Определить углы этих треугольников.

Решение. Неравные треугольники, имеющие по две равные стороны и одному равному углу, могут быть расположены как на чертеже 52: у треугольников ABC и Ai ВС сторона ВС'и угол В — общие и АС = АХС. Пусть = ß, ^ CAХВ = а. Тогда ^А£В = 180° — (а + ß), ^А = ^ААХС= 180° — а, ^АСВ = а — ß. Заметим прежде всего, что 180° >а > 90°, а + ß < 180°, ß < 90°.

Очевидно, треугольники ABC и АХВС могут быть вписаны в одну и ту же окружность радиуса R. По теореме синусов и теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма находим, что медианы сторон ВС, САи ВАХ треугольника АХВС и медианы сторон ВС, CA, AB треугольника ABC соответственно равны:

Между первыми тремя медианами и последними возможны равенства (после сокращения на У? и возведения в квадрат):

Эти равенства упрощаются к следующим:

Иные равенства между указанными медианами явно невозможны. Равенство (1) также отпадает:

Так как треугольники должны иметь по две равные медианы, то необходимо найти условия совместимости систем:

(2) - (3); (2) - (6); (3) - (6); (4) - (5). Системы (3) - (4); (5) - (6); (3) - (5); (2) - (4) не рассматриваем, так как они выражают условия равенства двух медиан одного треугольника одной и той же медиане другого. Другие системы явно несовместимы.

Рассмотрим каждую из указанных систем.

I система (2) —(3):

Из первого уравнения имеем:

Далее:

(ставим знак минус, так

как ctg 2а <0). Второе уравнение ввиду

принимает вид:

откуда

что невозможно, так как

II система (2) — (6) :

Эта система несовместима, так как из первого уравнения имеем 2ß <90°, а из второго tg 2ß = 3tga <0 (180° > ><х>90°).

III система (3)— (6):

Эту систему можно получить из системы (2) — (3) путем замены в ней углов а и ß соответственно углами ß и — а.

Поэтому будем иметь по аналогии:

IV система (4) — (5):

После исключения tg а и упрощения получим:

Первый корень хх ^ 2,245 > 1 надо отбросить, так как

Итак, задача имеет два решения.

30. Два неравных треугольника имеют по одному равному углу и по две равные стороны. Кроме того, две медианы одного из этих треугольников равны одной и той же медиане второго. Найти углы этих треугольников.

Указание. См. предыдущую задачу.

31. Через середину основания АС равнобедренного треугольника АБС (AB = ЕС) проведена секущая прямая, пересекающая сторону ВС в точке Л1, а продолжение стороны AB — в точке N. Являются ли отрезки ВА, ВМ, BN зависимы? Если да, то найти эту зависимость.

§ 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ.

32. В безветренную погоду падает «косой» дождь. Как при помощи листа фанеры определить угол, образуемый траекторией падающих капель с горизонтальной плоскостью?

Решение. Располагаем фанерный лист вертикально так, чтобы его плоскость была приблизительно перпендикулярна плоскости, определяемой траекторией движущейся капли и ее проекцией на горизонтальную плос-

кость (черт. 53). Тогда на горизонтальной плоскости (на земле) получим прямоугольник ADFE, на который капли дождя не попадают. Измерив РМ и PN, найдем тангенс искомого угла.

33. Скорость самолета, летящего на одной и той же высоте, известна. Можно ли найти эту высоту, не сходя с одного места ?

Решение. Пусть наблюдатель находится в точке О, а самолет в какой-то момент времени находится в точке А (черт. 54). Измеряем ^АОАх = а, где Ах — горизонтальная проекция точки А. Через некоторое время / самолет переместится в точку В, причем А В — vt, где v — скорость самолета. Измеряем ^ВОВх = ß, где Вх — горизонтальная проекция точки В. Направления ОАх и ОВх визируем.

Измеряем ^AYOBx = ф. Пусть ААХ = ВВХ = х. Из чертежа имеем: OAi = x ctga, OBi = xctgß; из /\A\OB\ по теореме косинусов

откуда

34. Найти соотношения между плоскими углами a, ß и у и противоположными им двугранными углами a', ß', Y трехгранного угла.

Решение. На одном из ребер трехгранного угла S возьмем точку А и построим при этой точке линейный угол двугранного угла SA — угол ВАС (точки В и С — на двух других ребрах, черт. 55).

Положим -^BSC = a, ^ASC = ß, ^ASB = у. Тогда

Черт. 53. Черт. 54.

^ВАС — а'. Так как трехгранный угол определяется тремя элементами, то между шестью его элементами должны существовать три соотношения. По данным а, ß и у найдем а'. Из чертежа имеем:

Из треугольников ABC и BSC по теореме косинусов

откуда

Аналогично для углов ß' и у' получим:

Эти формулы выведены в предположении, что углы а, ß, у—острые. Можно легко показать, что формулы остаются справедливыми и тогда, когда среди плоских углов имеются тупые углы.

35. Доказать, что синусы плоских углов любого трехгранного угла относятся как синусы противоположных им линейных углов двугранных углов.

Указание. Можно воспользоваться результатом предыдущей задачи.

36. Найти соотношение между плоским углом а правильного п-гранного угла и линейным углом его двугранного угла (ß). При каком условии а = ß?

Решение. Проведя перпендикулярно оси правильного многогранного угла плоскость, получим правильную п-угольную пирамиду. Рассмотрим один из трехгранных углов при ее основании. Один из плоских углов его есть внутренний угол правильного /i-угольника, равный

Черт. 55.

два других плоских угла равны каждый

На основании задачи 34

37. Найти соотношение между плоским углом а правильного n-гранного угла и углом у. между ребром п-гранного угла и его осью симметрии1.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 34.

38. Найти плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, зная, что он равен линейному углу двугранного угла при ее основании.

Решение. Обозначим неизвестный угол через а. Рассмотрим трехгранный угол при основании пирамиды.

Его плоские углы равны:

Пользуясь одной из формул задачи 34, получим:

1 Угол при вершине правильней л-угольной пирамиды называется правильным n-гранным углом, высота этой пирамиды является осью симметрии я-гранного угла.

Умножим последнее уравнение на 3*^3 :

Полученное уравнение можно записать в виде:

39. Плоский угол правильного четырехгранного угла в два раза меньше линейного угла его двугранного угла. Найти эти углы.

Решение. Пользуясь результатом задачи 36 и полагая ß = 2а, п = 4, получим sinacos —= cos 45° =

Отсюда

Если cosa = 0, то a = 90°, ß = 180°, что невозможно. Следовательно, cos2a + cosa — 1 =0, откуда cosa =

40. Требуется построить канал, поперечное сечение которого представляет собой равнобедренную трапецию. Внутренняя поверхность канала бетонируется. Произвести расчет экономии материалов для бетонирования, учитывая, что канал должен иметь определенную глубину и пропускную способность.

Решение. Пусть ABCD (черт. 56) — поперечное сечение канала. По условию задачи величина S площади

Черт. 56.

этого сечения (которой определяется пропускная способность канала), а также высота BE = h являются величинами данными (постоянными). Введение третьего элемента ^.ВСЕ = а полностью фиксирует трапецию ABCD. Количество расходуемых материалов определяется, очевидно, суммой отрезков AD, DC и ВС (бетонируемая поверхность равна произведению этой суммы на длину канала, которую по смыслу задачи следует считать постоянной): Р = AD + -{-DC + ВС.

Найдем Р как функцию от а. Из чертежа имеем: ВС = AD <=

Из уравнения

Отсюда

Следовательно, необходимо найти минимум функции г

Имеем:

отсюда z2 > 3. Для наименьшего значения г получаем:

При этом

Наименьшее значение Р равно

Так, например, если S = 20 кем, h = 2ле, а = 40°, процент экономии материалов составил бы

41. Как решить предыдущую задачу, если ставится единственное требование: чтобы канал имел определенную пропускную способность?

Решение. Зафиксировав временно А, мы пришли бы к формуле: Р = — + h у§ . Рассматривая Р как функцию от Л, ищем условие минимума Р. Так как произве-

дение слагаемых —«йу^з =Syz постоянно, то наименьшее значение для Р получим при равенстве этих слагаемых:

Для примера, приведенного в предыдущей задаче, процент экономии материалов в этом случае равен был бы

42*. Через центры оснований правильной /2-угольной призмы проведены две плоскости, не пересекающиеся внутри призмы. Найти соотношение между боковым ребром правильной призмы и боковыми ребрами получившейся усеченной призмы.

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда одна из плоскостей (нижняя) перпендикулярна оси правильной призмы п плоскостей, проходящих через боковые ребра усеченной призмы и ось, разделяют призму на п треугольных призм. На чертеже 57 представлено тело ОАВСО^^.С1, состоящее из двух таких (смежных) призм. Это тело (как и всю усеченную призму) зафиксируем элементами:

Ребро CCj = a.Ä является функцией этих элементов. Найдем его. Пгозедем плоскость О^А'В'С у параллельную плоскости О А ВС. Пусть Е — точка пересечения от-

Черт. 57.

1 Легко видеть, что в этом случае сечение канала представляет собой половину правильного шестиугольника.

резков 0,ß' и Л'С, F — точка пересечения отрезков 0ХВХ и А1С1. Отрезок EF — средняя линия трапеции Л'Л,

Из чертежа находим:

Теперь

следующие последовательно после ССХ = а3 боковые ребра усеченной призмы, то по аналогии можем написать:

Сложив полученные равенства, найдем:

Теперь ясно, что если ни одна из секущих плоскостей не перпендикулярна оси призмы, то результат получим тот же, ибо плоскость, проходящая между двумя секущими плоскостями перпендикулярно оси, разделяет призму на две призмы рассмотренного нами типа. Итак, боковое ребро правильной призмы является средним арифметическим между боковыми ребрами усеченной призмы1.

43. Вывести простейшую формулу для вычисления объема и боковой поверхности усеченной призмы, описанной в предыдущей задаче.

1 Доказательство может быть построено лишь с помощью подобия фигур (без применения тригонометрии).

Решение. Усеченная призма состоит из п треугольных призм (см. предыдущую задачу). Пусть 1/ц V2t V3>... Vn—объемы этих призм, S — площадь перпендикулярного (боковым ребрам) сечения каждой из них, а1у а2, а3..., ап — боковые ребра усеченной призмы, d — расстояние между центрами ее оснований

Согласно задаче 102 (разд. III) имеем:

Сложив эти равенства, получим:

где V — объем усеченной призмы, Q =Sn — площадь ее перпендикулярного сечения. Боковая поверхность усеченной призмы имеет аналогичное выражение S6oK. = Pd, где Р—периметр перпендикулярного сечения.

Действительно, если а — сторона перпендикулярного сечения (правильного /г-угольника),

44*. Вывести формулу для вычисления объема и боковой поверхности усеченного цилиндра.

Указание. Впишем в поверхность прямого цилиндра правильную л-угольную призматическую поверхность и проведем две произвольные, но не пересекающиеся внутри цилиндрической поверхности плоскости. Получим усеченный цилиндр и вписанную в него усеченную призму. Ясно, что объем и боковая поверхность усеченного цилиндра являются пределами соответственно объема и боковой поверхности усеченной призмы, когда число п стремится к бесконечности. Отсюда, объем усеченного цилиндра равен произведению площади его перпендикулярного сечения на расстояние между центрами его оснований: V = nR2d.

Аналогично определяется боковая поверхность, и поэтому S60K, = 2nRd.

45. Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, высота которой равна стороне основания, наполнен доверху водой. На какой угол следует повернуть эту призму: а) вокруг стороны основания; б) в противоположном направлении, чтобы половина воды вылилась?

Указание. Воспользоваться результатом задачи 43.

46. Герметически закрытый цилиндрический сосуд, наполненный доверху жидкостью, ставится в вертикальное положение на «ребро» (то есть в положение, при котором диагональ осевого сечения сосуда становится вертикальной).

Затем в самой нижней точке верхнего основания делается небольшое отверстие. Какая часть (общего объема жидкости) вытечет через это отверстие, если высота сосуда в три раза больше радиуса ее основания?

Указание. См. задачу 44.

47. Грани правильной шестиугольной пирамиды равновелики. Определить сумму плоских углов при вершине пирамиды.

48. Определить угол между двумя смежными гранями: а) правильного тетраэдра; б) октаэдра; в) додекаэдра; г) икосаэдра.

Указание, в) Согласно задаче 36 для правильного л-гранного угла имеем:

где а — плоский угол л-гранного угла, ß — линейный угол его двугранного угла. Для додекаэдра а = 108° (угол правильного пятиугольника), п = 3 (число плоских углов при вершине), поэтому для него

Аналогично можно поступить в случаях а), б), г).

49. В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

50. Решить предыдущую задачу для правильной шестиугольной пирамиды.

51. Через центр шара, вписанного в правильную пирамиду, проведена параллельно основанию плоскость. Определить двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что: а) эта плоскость разделила объем пирамиды пополам; б) эта плоскость разделила боковую поверхность пирамиды пополам.

52. Плоскость, проведенная через центр шара, описанного около правильной пирамиды, параллельно основанию, делит объем пирамиды пополам. Найти угол между боковым ребром и основанием пирамиды.

53. Все грани пирамиды равны и две из них взаимно перпендикулярны. Найти плоские углы при вершине этой пирамиды.

Решение. Очевидно, пирамида является треугольной. Пусть (черт. 58) S А ВС— искомая треугольная пирамида. Из равенства треугольников SAB, SAC и SBC может последовать: 1) SB = АС, AB = SC и AS = ВС (черт. 58) или 2) SB = SC, AB = АС и AS = ВС.

Рассмотрим каждый случай.

1) В этом случае условие задачи дает нам 4 угловых элемента треугольной пирамиды вместо 5, которыми определяется ее форма. Задача в этом случае неопределенна. Можно лишь указать сумму плоских углов при вершине: 180°.

2) Этот случай представлен на чертеже 59. Из равенства равнобедренных треугольников ABC и SBC имеем: AB = BS = SC = AC = а, кроме того, AS = ВС = b. Следовательно, в этом случае имеем 4+1=5 угловых элементов (равенство четырех пар отрезков и перпендикулярность граней). Задача становится вполне определяемой.

Черт. 58. Черт. 59.

Взаимно перпендикулярными могут быть лишь грани ABC и SBC или ASC и ASB (если пл. ASB ± пл, ЛВС, то пл. j4SC _]_ пл. ЛВС, что невозможно; если пл. ASB i пл. SßC, то пл. Л5С_1_ пл. SßC, что также невозможно). Очевидно, если пл. SBC ± пл. ЛВС, то пл. Л5С_]_ пл. AS В и наоборот (так как ^ Я£Л = 90°, д SEA = Д ßC£b где Е и Ех — середины ребер ВС и AS). Из чертежа имеем:

54. Все ребра пирамиды равны. Определить двугранный угол при ее основании.

Указание. Боковыми гранями такой пирамиды служат равносторонние треугольники, поэтому плоские углы при ее вершине равны по 60°. Число таких плоских углов должно быть меньше —— = 6. Следовательно, пирамида является треугольной, четырехугольной, либо пятиугольной. Рассмотреть каждый случай отдельно; воспользоваться результатами задачи 34.

55. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

56. Сечение правильной четырехугольной пирамиды, делящее двугранный угол при основании пополам, перпендикулярно противолежащей грани. Определить плоский угол при вершине пирамиды.

57. Зная угол ската двускатной крыши, вычислить, сколько, приближенно, жести потребуется для покрытия ее. Какие еще необходимо иметь данные?

58. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды проведено перпендикулярно противоположной грани сечение, разделившее объем пирамиды на две равновеликие части. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

59. Ребро правильной четырехугольной пирамиды находится в плоскости, параллельной диагонали ее основания. Площадь проекции пирамиды на эту плоскость равна площади основания пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды (черт. 60).

60. Шесть правильных четырехугольных пирамид имеют общую вершину и лежат на одной плоскости (вместе с вершиной) так, что каждая из них касается двух смежных с нею пирамид вдоль бокового ребра. Найти угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания.

Решение. Рассмотрим одну из шести пирамид SABCD (черт. 60). Из условия задачи следует, что угол между проекциями двух противоположных ребер пирамиды на указанную плоскость равен -g- = 60°; ^iMSN = 60°, MN = MS = NS. Пусть ^:OAS = а— искомый угол, AS = /. Из чертежа имеем: BD = MN = 2 • OA = — 21 cosa, OP = BN = OA • sin a = / cosa sin a. Из равенства MN2 = SN2 получаем: 4/2 cos2 a = /2 —

61. Решить предыдущую задачу: а) для случая четырех правильных четырехугольных пирамид; б) для случая трех правильных треугольных пирамид.

62. Боковые грани правильной л-угольной пирамиды развернуты на плоскость ее основания и полученные вершины последовательно соединены отрезками так, что получился правильный п-уголышк. Часть плоскости этого

Черт. 60.

л-угольника, не занятая гранями пирамиды, равна боковой поверхности пирамиды. Определить: а) число сторон основания пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды.

Решение. Пусть О — центр основания пирамиды, AB и ВС — две смежные стороны основания, AStB и BS2C — соответствующие им смежные боковые грани, развернутые на плоскость основания (черт. 61). Проведя SXD ±АВ и обозначив ASX = найдем из чертежа:

По условию задачи пл. Sxß52 = пл. ASß, или

откуда

Так как

откуда п<6. Следовательно, п = 5, 4 или 3 и соответственно а = 54°, 45° или 30°.

63. Может ли объем правильной пирамиды равняться кубу ее бокового ребра?

Решение. Обозначим ребро правильной я-угольной пирамиды через /, угол между этим ребром и плоскостью основания — через а. Объем пирамиды Vx меньше объема К2 описанного около нее конуса.

Для конуса имеем:

Следовательно, тем более

объем пирамиды всегда меньше куба ее бокового ребра.

64*. Через центр основания правильной п-угольной пирамиды проведена произвольная плоскость. Найти зависимость между боковыми ребрами полученной новой пирамиды и боковым ребром правильной пирамиды.

Решение, п плоскостей, проходящих через боковые ребра пирамиды и ее ось, разделяют ее на п треугольных пирамид.

На чертеже 62 представлено тело SOABC, состоящее из двух таких пирамид. Пусть секущая плоскость пересекает грани SOA, SOB и SAB соответственно по прямым ОАъ ОВх и АХВХ.

Построим точку Ci пересечения этой же плоскости с ребром SC. С этой целью отрезок SM (M — точка пересечения АС и OB) продлим до пересечения в точке N с отрезком ОВх.Тогда точка пересечения прямых AXN и SC — искомая. Пусть SA = SB = SC = a, SAX = аъ SBX = а2, SCX =а3, ^OSM = а, ^OSB = ß, ^AOB = ^BOC = у =—.

Ход построения точки Cx показывает, как выразить а3 через а, а1% а2> а, ß и у (один из углов а, ß или у является вспомогательным, введенным для удобства вычислений; фигура на чертеже 62 определяется пятью элементами, включая п). Проведем ВХЕ \\ OB и отрезок MN продлим до пересечения с ВХЕ в точке R. Тогда SM =

Из подобия треугольников OMN и RNBX, имеем:

Рассмотрим чертеж 63, на котором изображен треугольник SCXAX вместе с отрезками ЛС, SM и SN. Проведем АХКР II АС и PQ II SN. Из подобия треугольников CXQP и

C2yVS имеем:

откуда

Очевидно,

Теперь имеем:

Для а3 получаем выражение:

Черт. 62. Черт. 63.

Полученное соотношение можно представить в таком виде:

Заметим, что

и, следовательно,

Очевидно, что а3 зависит только от четырех элементов а, аь а% и у (несмотря на то, что фигура черт. 62 определяется пятью элементами, например, а, аь а2, а и у).

Если а4, а6, аб, . . . , ап — следующие последовательно после SCX = а3 — боковые ребра «усеченной» пирамиды, то по аналогии можем написать равенства:

Сложив почленно все эти равенства, получим:

откуда

Пришли к выводу, что боковое ребро правильной пирамиды является средним гармоническим между боковыми ребрами «усеченной» пирамиды.

65. Рассмотреть множество всех правильных шестиугольных пирамид, имеющих равные боковые поверхности.

Найти плоский угол при вершине той пирамиды, которая имеет наибольший объем.

66. Найти угол при вершине осевого сечения стерадиана1.

67. Найти величину дуги в осевом сечении сферического сектора первого рода, в котором величины сферической и конической поверхности равны.

68. Два неравных цилиндра имеют равные полные поверхности и равные диагонали осевых сечений. Определить сумму углов наклона этих диагоналей к соответствующим плоскостям оснований цилиндров.

69. Два равновеликих цилиндра имеют равные диагонали осевых сечений. Могут ли эти цилиндры быть неравными?

70. Два конуса имеют равные образующие и равные полные поверхности. Могут ли эти конусы быть неравными?

71. Могут ли быть неравными два равновеликих конуса, если у них: а) образующие равны? б) боковые поверхности равны?

72. Осевые сечения двух неравных конусов, имеющих равные объемы и боковые поверхности, имеют по равному углу. Найти этот угол.

Решение. Если 2 а и 2ß — углы при вершинах осевых сечений конусов, а и Ъ — соответствующие образующие, то согласно условию задачи имеем два уравнения:

Исключая а и by получим:

сокращаем на

Кроме того, условие задачи дает нам:

откуда

Исключая из полученного выше уравнения

получим:

1 Стерадианом называют сферический сектор первого рода, величина сферической поверхности которого равна квадрату радиуса.

(мы сократили на sin а Ф 0);

очевидно,

поэтому

откуда

(находим без таблиц).

73. Прямоугольный треугольник вращается последовательно вокруг каждой своей стороны. Одно из полученных трех тел вращения равновелико сумме двух других. Найти углы треугольника.

74. На образующей конуса от его вершины отложен отрезок, равный высоте конуса. Через конец этого отрезка проведена плоскость параллельно основанию конуса. При каком условии эта плоскость: а) разделит боковую поверхность конуса пополам? б) разделит объем конуса пополам?

75. Площади оснований и боковая поверхность усеченного конуса, описанного около шара, составляют арифметическую прогрессию. Найти острый угол при основании осевого сечения конуса.

76. Коническая поверхность касается трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Найти угол при вершине осевого сечения конической поверхности.

77. В конус вписан шар. Найти угол при основании осевого сечения конуса, если известно, что окружность, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса, делит последнюю пополам.

78. Поверхность шара, вписанного в конус, проходит через центр шара, описанного около конуса. Найти угол при основании осевого сечения конуса.

79. Два конуса имеют концентрические окружности оснований и общую высоту, причем полная поверхность одного из них равна площади основания второго. Угол при вершине осевого сечения большего конуса равен углу при основании осевого сечения меньшего. Найти эти углы.

80. Полусфера и конус имеют равные объемы. Какое из этих тел имеет большую полную поверхность?

Решение. Пусть R — радиус конуса, 2а — угол при вершине его осевого сечения, г — радиус полушара. Равенство объемов этих тел даст нам соотношение /?3ctga =

(1). Полная поверхность конуса равна

а полушара — Зяг2. Знак разности этих поверхностей совпадает со знаком выражения

(1)

имеем:

Положим

Тогда

Следовательно, полная поверхность конуса больше полной поверхности полушара.

81. Шар касается боковой поверхности конуса по окружности его основания. Поверхность этого шара равна боковой поверхности конуса. Найти угол при основании осевого сечения конуса.

82. Конус установлен вертикально, вершиной вниз; в него вкладывается наполненный водой шар. Если открыть отверстие в шаре, которое находится в самой нижней его части, то при каком условии вода из шара полностью выльется?

83. Конус установлен вертикально, вершиной вниз. В него вливают некоторое количество воды и опускают тяжелый шар, объем которого равен объему всей воды. Определить угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что шар целиком погрузился в воду.

Решение. Пусть 2а — искомый угол, г — радиус шара. Шар целиком погрузится в воду, если объем шара и воды (то есть, удвоенный объем шара) окажется не меньше объема конуса, для которого этот шар является вписанным, а угол 2а — углом при вершине осевого сечения. Объем этого конуса нетрудно выразить через г и а. Он равен

По условию задачи

Это неравенство возможно лишь при условии

84. Плоскость, параллельная основанию равностороннего конуса, проходит через середину высоты. В этой плоскости на расстоянии от высоты конуса, равном диаметру его основания, находится светящая точка. Какая часть боковой поверхности конуса освещается?

85. На плоскости около общей вершины лежат три одинаковых конуса, последовательно касающиеся друг друга. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение. Пусть S — общая вершина конусов, 01 и 02 — центры оснований двух соседних конусов, Т — точка касания окружностей этих оснований (черт. 64).

Черт. 64.

Проведем ST — образующую, по которой касаются боковые поверхности конусов, высоты SOi nS02, радиусы 0УТ и 02Т. Докажем, что лучи ТОх, Т02, TS лежат в одной плоскости. Для этого проводим ТА — общую касательную окружностей оснований конусов. Тогда, очевидно, 0ХТ±ТА, 02Т ± ТА (как радиусы, проведенные в точку касания), ST 1_ТА (по теореме о трех перпендикулярах). Положение доказано. Пусть, далее, M и N — проекции центров Oi и 02 на плоскость, которой касаются своими боковыми поверхностями все три конуса. Тогда, очевидно, ^?-MSN =

Поскольку SM, SN и ST— образующие, a SOi и S02 —высоты, то ^MSOx = ^NSO*= ^ OxST= = ^OST = X (х — угол между высотой и образующей конуса). Из чертежа имеем: 0}К = 0XS • sin х, MS = = OiS cosx, ML = MSsin 60° = 0,S cosx sin 60°, и поскольку ML = Oj/C, то sin x = cos* sin 60°, откуда tgx=sin60°, x^40° 54'. Искомый угол равен 2x^81°48'.

86. Решить предыдущую задачу для случая четырех равных конусов.

87. Цилиндр и конус имеют равные образующие, объемы и боковые поверхности. Определить угол при основании осевого сечения конуса.

88. В шар вписаны равновеликие между собой правильные шестиугольные призма и пирамида, имеющие общее основание. Определить двугранный угол при основании пирамиды.

89. Усеченный конус можно описать около шара, а его осевое сечение можно вписать в нижнее основание конуса. Определить угол при основании осевого сечения конуса.

90. Поверхность и объем шара равны соответственно боковой поверхности и объему сферического сегмента. Определить величину дуги в осевом сечении сегмента.

Решение. Пусть 2а — искомая дуга, г— радиус сегмента, R — радиус шара. Условие задачи дает нам два уравнения:

или

Исключая R и г, получим:

или после упрощения

Искомая дуга равна

91. Из множества всех конусов, имеющих равные полные поверхности, выбрать тот, у которого наибольший объем.

Решение. Если R — радиус конуса, а — угол при основании его осевого сечения, то полная поверхность S будет равна

(2) Исключая из (1) и (2) радиус /?, получим:

Нам нужно найти условие максимума V при постоянном S.

Очевидно, макисимум V получим при том же условии, что и максимум у. Имеем:

откуда Отсюда

Следовательно,

92. Жестянщику нужно изготовить несколько одинаковых воронок в форме усеченного конуса по данному образцу одной такой воронки. Для этого ему нужно предварительно изготовить шаблон из картона, представляющий собой развертку воронки на плоскость. Как решить эту задачу?

Решение. Измеряем радиусы R и г усеченного конуса (воронки) и ее образующую /. Пусть сектор SAD яеляется разверткой соответствующего полного конуса (черт. 65). Отложив AB = DC = t и проведя из центра S дугу ВС, получим развертку усеченного конуса (ABCD). Из чертежа имеем:

Таким образом, задача легко решается при помощи геометрических построений (без тригонометрии). Если учитывать расход материала на швы, то в этом случае, вырезая по шаблону заготовку для воронки, несколько отступают от краев шаблона (обычно на 1 — 2 см).

93*. К каналу ширины а подходит под прямым углом канал ширины Ь.

Найти наибольшую длину бревна, которое можно сплавить из одного канала в другой.

Решение. Рассмотрим положение, когда бревно касается стенок обоих каналов (черт. 66). В таком положении длина / = AB бревна выразится следующим образом: / =

где а — угол между бревном и стенкой

канала ширины а (черт. 66). Очевидно, искомая наибольшая длина бревна равна минимальному значению отрезка AB = I — ——I--— , все время соприкасающегося стенок обоих каналов (всех четырех стенок).

Следовательно, необходимо искать условие минимума функции

Имеем:

Заметим, что функции

положительны при всяком х и достигают своего минимума при одном и том же значении

(находим из равенств

Следовательно, при том же значении х= -у ^ достигает своего минимума и функция f(x) =ф(х)+ ty(x). Действительно, если функция f(x) достигает своего минимума при х = ЬФл[—, тоф(&)> ф(т/ — ),

Черт. 65. Черт. 66.

Решим задачу при помощи сравнения смежных значений функции1. Пусть х2 >хи тогда f(x2)— f(xx) =

Знак этой разности зависит от знака выражения в квадратных скобках, причем, очевидно, при возрастании (убывании) переменных хх и х2 выражение в квадратных скобках возрастает (убывает), а при хх = х2 = -у iL, оно обращается в нуль. Поэтому при хх<х2<-у/Г£, f(x2)<f(xx), а при х2 > хх >~]/Г —у f (**) > / (Xl)' Значит, слева от х = -у i., функция f(x) убывает, а справа от этого значения — возрастает.

Поэтому при X = yf 2l функция / (х) достигает минимума.

94*. В шар вписан конус, имеющий наибольшую полную поверхность. Найти угол а между образующей конуса и плоскостью его основания.

Решение. Пусть R — радиус шара. Тогда полная поверхность конуса выразится так:

Sn = AR2 cos а (1 + cos а) sin2 а - 4 R2x{l + х) (1 — х2),

где X = cos а. Задача сводится к нахождению максимума функции f(x) = х(1 +х) (1 + X) (1 - X) (0<*<1). Подберем такие положительные числа m, п и р, чтобы сумма тх + л(1 + х) + п(1 + х) + р{\ — х) = х(т + 2п — — р) + 2п + р была постоянной и чтобы система уравнений тх = п(\ + х) = п(\ + х) = р(1 — х) была совместимой. Первое требование удовлетворяется, очевидно,

1 Алгебраические выкладки значительно сокращаем,

Из системы уравнений имеем:

(2) Из (1) и (2) имеем:

Следовательно,

95*. Необходимо построить к дому четырехскатную крышу определенной высоты. Произвести расчет экономии материала для ее покрытия, то есть узнать, какую форму должна иметь крыша, чтобы на обшивку ее и покрытие ушло минимальное количество стройматериалов (досок, шифера).

Решение. Пусть AD = ВС = а — длина крыши, AB = = DC =b — ширина ее, КО = NP = h — высота, ^cNEP = —а — угол ската к стороне AD, ^NFP = ß — угол ската к стороне DC (черт. 67).

Имеем:

Для поверхности S крыши получаем:

По смыслу за-

Черт. 67.

дачи величины а, 6, h и а ( tga = — ) постоянны. Следовательно, S зависит от функции угла ß:

Нетрудно убедиться, что эта функция минимума не имеет; однако задача по смыслу должна иметь решение: на сегменте ^ OF К < ß < 90° (черт. 67) указанная функция имеет минимальное значение1. Пусть ß' > ß; тогда

Следовательно, функция /7(ß) — возрастающая. Поэтому значение ß нужно брать минимальным, каковым является

ß= ^ OFK = arctg-.

Итак, все скаты должны быть треугольными. Стремясь, однако, сохранить некоторую часть верхнего пролета MN (например, для удобства расположения дымоходов и пр.), необходимо делать этот пролет возможно меньше (угол ß возможно меньшим). Выступы и швы в расчет не принимали — расход материалов на них почти не изменяется.

96*. Для соединения под прямым углом двух труб нужно изготовить из жести колено, состоящее из п(п>2) одинаковых последовательно спаянных друг с другом труб того же диаметра. Для этого необходимо предварительно вырезать из картона шаблон, представляющий собой развертку на плоскость одного из звеньев колена (одной из указанных выше п труб). Как это сделать2?

1 Очевидно, всякая ограниченная и непрерывная на сегменте функция принимает на этом сегменте как наибольшее, так и наименьшее значение (см. стр. 146).

2 Эта задача часто возникает в практике работы жестянщика и вызывает большие затруднения (даже у наиболее опытных мастеров), если не пользоваться математическими расчетами.

Решение. Очевидно, для определяемости задачи необходимо, кроме я, задать еще два элемента колена: например, диаметр трубы d и внутренний радиус закругления г. На чертеже 68, а представлено продольное сечение колена, проходящее через центр закругления О, для случая п = 3 (фигура Ах Вх Сх D, DCBA). Сечения ААи ВВХ и т. д. являются эллипсами, OA = OB = ОС = OD = г,

Из чертежа имеем:

Разверткой одного из звеньев, например звена ВВХСХСУ является фигура В'В\ В"С"С\ С, состоящая из двух равных равнобедренных трапеций с общим основанием В\ С\= = ВХСХ (черт. 68,6), причем В'С'= В"С" = ВС =

Таким образом, развертку легко построить. Отметим, что для соединения под прямым углом указанных двух труб достаточно изготовить колено, состоящее из п — 1 звеньев (в нашем случае — из 2-х звеньев). Если соединить эти

Черт. 68.

трубы — одну с первым звеном (ААХ ВХВ), а вторую — с предпоследним (ВВХСХС)У то они как раз окажутся взаимно перпендикулярными: CD i AM, CXDX l А^ (соединение труб со звеньями производится так же, как и соединение звеньев между собой; на чертеже соединяемые две трубы показаны штрихпунктирными линиями).

97. Более половины цилиндрического сосуда наполнено жидкостью. На какой угол следует наклонить сосуд, чтобы жидкость начала выливаться? Составить и решить соответствующую задачу с числовыми данными.

Указание. Можно воспользоваться результатом задачи 44.

98. Дана боковая поверхность (S), высота (К) и угол (а) между высотой и образующей усеченного конуса. Какому условию должны удовлетворять эти три элемента, чтобы усеченный конус существовал?

Решение. Имеем:5--= —— = (/?-)-r), R — г = htga, где R и r (R У г) — радиусы оснований конуса. Величины 5, h и a не могут изменяться произвольно. Поэтому выберем такие три элемента конуса, которые могли бы (в области допустимых для каждого из этих элементов значений) принимать произвольные значения. Этой цели отвечают элементы h, а и г (при ft>0, г>0, ~ >a>0J. Теперь выражаем вспомогательный элемент г в функции от данных трех элементов о,Л и а:

Так как

то

Это и есть, очевидно, искомое условие (легко видеть, что

то усеченный конус вырождается в полный (г = 0).

99*. Дано множество усеченных конусов, имеющих равные высоты и боковые поверхности. Найти среди них тот, у которого наименьший объем.

Решение. Задача сводится к нахождению условия минимума объема V усеченного конуса при постоянных S и h (боковой поверхности и высоты). Нетрудно получить

такие соотношения (в обозначениях предыдущей задачи):

Из (1) и (2) имеем:

Формула (3) после исключения R и г принимает вид:

Отсюда

Так как

то минимума величина V достигает при

Однако для существования усеченного конуса необходимо (см. предыдущую задачу), чтобы

откуда

Следовательно, минимум имеет для данной задачи смысл, если

Так как

то

Итак,

минимальный объем имеет тот усеченный конус, для которого cos2a= = — J^3_7^. При k = — — KjL усеченный конус минимального объема вырождается в цилиндр (а = 0). При k = = —2 = l^L он вырождается в полный конус (см. преды-

дущую задачу). Если k < Kj-L, то значение cos1 а = 7^|г > 1 лежит вне области допустимых значений для аргумента cos2 а функции —-+ 3 £2cos2a. Так как эта функция справа и слева от точки возрастает, то минимум ее при k < ^f- будем иметь при cos2a= 1, откуда a = 0: если k = ^ < Ç » то искомый усеченный конус есть цилиндр высоты h и боковой поверхности S. Остается рассмотреть случай k > l^L. В этом случае точка минимума имеет для рассматриваемой функции смысл, но усеченный конус перестает существовать (f<0) для значений Следовательно, в данном случае приходится принимать cos«a= J^lLy^jzL : искомый усеченный конус вырождается в полный конус той же высоты h и боковой поверхности S.

100* . Изготовляются одинаковые тазы в форме усеченных конусов. Каждый таз должен иметь заданную глубину (высоту). Для изготовления боковых поверхностей нескольких таких тазов имеется определенное количество материала (например, жести). Ограничения на количество материала, расходуемого на изготовление доньев, не налагаются. При каком условии тазы окажутся наиболее вместительными?1

Решение. Задача сводится к отысканию максимума функции

при условии

(в обозначениях предыдущей задачи). Пусть

значение cosaa = ^p=r, при котором эта функция дости-

1 Эту задачу можно сформулировать аналогично предыдущей, соответственно изменив лишь вопрос (требование) задачи.

гает минимума, принадлежит области допустимых для cos* а значений, то есть k\/r3>\y k>YJL. Если при этом

то (ввиду того, что данная функция слева и справа от значения cos2 а = возрастает) придется сравнить между собой значения функции в крайних точках сегмента

и выбрать большее из этих значений. Эти значения соответственно равны:

Решаем неравенство (выясняем знак неравенства):

Имеем:

Следовательно, функция достигает максимума, когда

В этом случае усеченный конус вырождается в полный конус. Практический вывод: если KjL<£<y, то, стремясь к усеченному конусу (тазу) наибольшего объема, необходимо радиус его основания (дна) брать возможно меньшим (чтобы усеченный конус был возможно ближе к полному конусу). При &> ~ , а значит, YJL > k > — функция достигает максимума при cos2a= 1, a = 0. Практический вывод: если ljL > k > — , то, стремясь к усеченному конусу (тазу) наибольшего объема, необходимо выбирать форму последнего возможно более близкую к цилиндрической. Пусть теперь

Так как при всяком k

то в этом случае максимум функции будем иметь при cos2 a =1. Следовательно, при k > Y-L практический вывод совпадает с

предыдущим. Рассмотрим теперь случай, когда значение со52а = ^|г, при котором данная функция достигает минимума, не принадлежит области допустимых для cos2 а значений, то есть

В этом случае, очевидно, максимум объема V будем иметь при cos2tt= ^—^ш ~"1 (рассматриваемая функция возрастает слева от значения cos2a= 1). Итак, имеем общий практический вывод: при k < — усеченный конус (таз) наибольшего объема вырождается в полный конус, поэтому дно таза в этом случае ^при& с ~j нужно стремиться делать возможно меньшим; при &> — усеченный конус (таз) наибольшего объема вырождается в цилиндр, поэтому форму таза в этом случае следует выбирать возможно более близкую к цилиндрической (разумеется, при тех же постоянных значениях S и А).

VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.

К уравнениям высших степеней приводят очень многие задачи элементарной математики, причем наиболее часто мы приходим к уравнениям третьей и четвертой степени. Поэтому приходится довольно часто слышать от учащихся, интересующихся математикой, различные вопросы относительно решения уравнений высших степеней, в особенности вычисления их корней Способы, изложенные в курсе высшей алгебры (способ «хорд и касательных», способ Лагранжа, способ Ньютона и др.), трудны для понимания и очень громоздки для практического применения.

И вот перед учителем математики возникает задача: ознакомить учащихся (на кружковых занятиях) с наиболее элементарными и доступными способами приближенного вычисления корней численных уравнений высших степеней, и в особенности — уравнений третьей и четвертой степени.

Все основные вопросы, связанные с элементарными приемами приближенного вычисления корней алгебраических уравнений, целесообразно, по нашему мнению, излагать в таком плане.

I. Сначала знакомим учащихся с графическим способом решения уравнений, пригодным в принципе для любого уравнения. При этом указываются два приема.

Пусть требуется решить уравнение / (х) = 0. Возможно точнее строим график функции f(x)\ тогда абсциссы точек пересечения кривой у = f(x) с осью абсцисс будут действительными корнями уравнения. Рассмотрим второй прием. Представляем функцию / (х) в виде f(x) = ф(х) + г|)(х), где ф(х) и ty(x) — более простые по сравнению с f(x) функции. Практически выгодно одну из этих функций взять линейной. Далее в одной и той же системе координат строим графики функций у = у(х) и у = ty(x). Тогда абсциссы точек пересечения (или касания) кривых у = ф(х) и у = = ty(x) будут действительными корнями уравнения. Обращаем внимание учащихся на преимущества второго приема, на то, что при тщательном и более точном построении кривых (миллиметровая бумага, лекало) можно добиться значительной точности, что число действительных корней уравнения равно числу точек пересечения (касания) кривых.

Этим вторым приемом очень удобно решать кубические уравнения, особенно уравнения вида х3 + рх + q = 0 или X3 = —рх — q1. Следует предварительно изготовить возможно точнее несколько шаблонов кубической параболы у = х3\ тогда искомые корни находятся графически очень быстро. Разумеется, что за единицу масштаба следует выбирать возможно больший отрезок (лист миллиметровой бумаги должен быть возможно больший). Учащиеся — любители математики — обычно очень заинтересовываются графическим способом вычислений корней.

II. Далее знакомим учащихся с двумя элементарными аналитическими способами, дающими возможность практически вычислять корни с любой наперед заданной точностью.

1 Произвольное кубическое уравнение уъ + аУ2 + by + с = 0 может быть легко приведено к указанному виду путем подстановки

1) Способ деления сегмента пополам. Пусть имеем уравнение f(x) = 0. Предположим, что найдены такие две точки X = а и X = ft, что Да)<0, /(&)>0; тогда из непрерывности функции у = f(x) следует, что существует такая точка х0 (иллюстрируем это графически), что /(х0) = 0. К этой точке X = х0 (к корню) постепенно приближаемся следующим образом.

Рассматриваем точку хх= —j^-; если /(xi)=0, то х0= хх\ если же, например, /(*i)X), то рассматриваем точку х2 = = (так как /(^i)>0, /(а)<0, то х0 лежит между а и л^) и т. д.

Ясно, что мы таким способом можем приблизиться к корню х=х0 как угодно близко. Заметим, что отделение корней, то есть отыскание всех интервалов (а, Ь) легко осуществляется при помощи самого схематичного графика. При решении уравнения, полученного из конкретной задачи, интервал (а, Ь) часто легко определяется по смыслу этой задачи.

2) Затем кратко знакомим учащихся с принципом применения второго способа—способа линейной интерполяции, или «ложного положения». Сущность этих способов воспринимается учащимися без особого труда, если рассказ учителя сопровождается графическими иллюстрациями.

III. Знакомим учащихся со следующими свойствами; многочлена f(x) п-и степени с действительными коэффициентами.

1) Функция f(x) непрерывна при всех действительных значениях аргумента (иллюстрируем графически);

2) Общее число корней уравнения f{x) = 0 равно показателю степени при его старшем члене (принимаем без доказательства, что уравнение f(x) = 0 имеет по крайней мере один корень, затем доказываем данное свойство);

3) Если уравнение f(x) = 0 имеет мнимый корень х = = а + ЫУ то оно имеет еще и другой мнимый корень а — Ы (приводим доказательство);

4) Пусть Xj, х2у я,,..., хп— корни уравнения f{x) = 0, тогда

в частности, сумма корней уравнения 3-й степени (4-й степени) равна коэффициенту при х2(при je3), взятому с обратным знаком, а произведение — свободному члену (взятому с обратным знаком для уравнения 3-й степени) ;

5) Уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Число действительных корней уравнения 3-й степени равно 1 или 3. Если уравнение 4-й степени имеет действительные корни, то их число равно 2 или 4. Это свойство легко вытекает из свойств 2) и 3);

6) Сообщаем учащимся, что все уравнения до четвертой степени включительно разрешимы в радикалах и разъясняем смысл этого понятия («разрешимы в радикалах»). Даем наиболее элементарный вывод формулы Тарталья— Кардано для решения уравнения 3-й степени и соответствующую историческую справку. Знакомим в общих чертах со способом Феррари решения уравнения 4-й степени, то есть приводим доказательство разрешимости в радикалах уравнения 4-й степени. Затем на конкретных примерах показываем учащимся, с какими громоздкими выкладками сопряжено применение формулы Тарталья — Кардано1 и способа Феррари.

После этого знакомим учащихся со способом приближенного вычисления действительных корней. Пусть известно, что искомый действительный корень уравнения

хп + axn-i + bxn-2 + _|_ dx3 + kx2 + 1х + р = Q (1)

очень мал по абсолютной величине; тогда, опустив члены хпу axn~lt bxn-2t...t dx3, придем к квадратному уравнению kxi + Ixi + р = 0, один из корней которого х' приближенно равен искомому корню уравнения (1). Ясно, что число х' тем ближе к истинному значению искомого корня, чем это истинное значение по абсолютной величине меньше. Способ этот очень прост, элементарен и примене-

1 Действительный корень х уравнения х9 + рх + g = 0 вычисляется по формуле Тарталья—Кардано Пользоваться этой формулой выгодно лишь тогда, когда числа р и q не являются громоздкими, многоцифровыми и (см. задачу 27).

ние его ведет к быстрому вычислению действительных корней с практически достаточной точностью

В настоящем разделе помещены различные элементарные задачи без числовых данных, приводящиеся к приближенному вычислению действительных корней численных уравнений 3-й и 4-й степени. Вычисления проводятся главным образом указанным выше способом (способом приведения к квадратному уравнению). В задачах настоящего раздела иллюстрируются и некоторые другие приемы (см. задачи 11, 38). Однако приемы эти носят случайный характер и не являются всегда применимыми.

§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ 3-й СТЕПЕНИ.

1. Полушар разделен плоскостью, параллельной его основанию, на две равновеликие части. Найти отношение радиуса шара к высоте отсекаемого сферического сегмента.

2. Центр одного шара расположен на поверхности другого шара, причем поверхность общей части этих шаров1 равна площади большого круга второго из них. Найти отношение радиуса второго шара к радиусу первого.

3. Сосуд, имеющий форму полушара, доверху наполнен водой. На какой угол следует его наклонить, чтобы половина воды вылилась?

Указание. Указания к задачам 1—3 содержатся в решении задачи 4.

4. Найти без помощи таблиц тригонометрические функции углов 40° и 80°.

Решение. Имеем тождество: cos За = 4 cos3 а — —3 cosa; положив в левой части а=40° или а=80°, получим:

По смыслу задачи уравнение (I) должно иметь два положительных корня хх и х2. Подберем значения х, которые обращали бы f(x) в число, близкое к нулю. Имеем:

1 Поверхность «чечевицы».

Положим

Из уравнения (1) получим:

Опускаем член у3 :

(2);

Оценим абсолютную погрешность < 0,000009 < 0,00001. Такова, очевидно, и ошибках (и притом преувеличенная). Поэтому можем принять де ^ 1,53200.

Пусть теперь

получим:

Опустив у3, получим:

Следовательно,

Задачи 1 и 2 приводятся к уравнению (I), где х — искомое отношение. Так как по смыслу этих задач х > 1, то для них X ä 1,532. Задача 3 также приводится к уравнению

5. Сплошной шар, удельный вес которого равен 0,75—, плавает в воде. Найти отношение высоты, на которую он выступает из воды, к радиусу шара.

Указание. Задача приводится к тому же уравнению (I), в котором X — искомое отношение.

6. Сферическая поверхность полушара равна боковой поверхности описанного около него конуса (так, что эти

1 Можно было бы начертить схематичный график функции f(x), из которого мы заключили бы, что искомые значения находятся вблизи

поверхности касаются, а основание полушара лежит в основании конуса). Найти угол при основании осевого сечения конуса.

7. Сферическая поверхность полушара равна боковой поверхности равновеликого ему конуса. Определить угол при основании осевого сечения конуса.

Решение. Задачи 6 и 7 приводятся к уравнению

Очевидно,

получим

f(x) > 0. Это значит, что обе задачи не имеют решения, или что сферическая поверхность полушара всегда меньше боковой поверхности равновеликого ему (или описанного около него) конуса.

8. Двугранный угол1 правильного трехгранного угла в два раза больше его плоского угла а. Найти плоский угол.

Указание. Задача приводится к уравнению х3 — 4х+

(см. задачу 11).

9. Боковая поверхность и объем конуса соответственно равны поверхности и объему некоторого шара. Определить угол при основании осевого сечения конуса.

Указание. Задача приводится к тому же уравнению (II), в котором Jt = 2cosß и ß—искомый угол (см. задачу 11).

10. Из сосуда, наполненного раствором глицерина, отлили столько раствора, сколько было в нем чистого глицерина, и долили глицерином; затем отлили столько раствора, сколько было первоначально в сосуде воды, и долили водой; после этого глицерина и воды стало в сосуде поровну. Сколько глицерина содержалось первоначально в сосуде?

Решение. Пусть первоначально имелось тг раствора, в котором содержалось пг глицерина. В л граммах отлитого первоначально раствора содержалось глицерина — • п = —граммов. После того, как раствор долили глицерином, глицерина в нем стало

1 Линейный угол его.

граммов. Во второй раз отлили m — п граммов раствора, в которых чистого глицерина было

Всего глицерина стало после этого в сосуде

По условию задачи

Далее см. задачу 11.

11. Около шара описан усеченный конус, объем которого и боковая поверхность соответственно равны объему и поверхности некоторого другого шара. Определить угол при основании осевого сечения конуса.

Решение. Задача легко приводится к уравнению

радиусы оснований конуса. Положив УR = т> У г = л, придем к уравнению

Положим

откуда

Получим:

и окончательно

Так как

(для данной задачи). Так как

Из уравнения (II) имеем:

Итак, из равенства находим:

Для искомого угла ß получим:

Так как /(1) < 0, /(2) > 0, то второй положительный корень уравнения (II) лежит между 1 и 2: 1 < z < 2. Рассмотрим задачу 8.

Поскольку двугранный угол меньше двух прямых, то будем иметь

Следовательно,

Для задачи 10 имеем:

Следовательно, этой задаче удовлетворяет корень

Найдем его. Имеем:

Числа z2 и z3 являются корнями уравнения

Глицерина первоначально содержалось в сосуде

12. Шар разделен двумя параллельными плоскостями на три равновеликие части. В каком отношении разделили эти плоскости перпендикулярный им диаметр шара?

Указание. Задача приводится к уравнению у3 — —9у + 6 = 0.

13. Из сосуда, наполненного сиропом, отливают некоторую часть и доливают сосуд равным количеством воды; затем отливают такое же количество смеси и снова доливают равным количеством воды. После третьего отливания чистого сиропа в сосуде осталось ровно столько, сколько его отлили в первый раз. Сколько сиропа осталось в сосуде?

Указание. Задача приводится к уравнению х9 -f +х — 1 = 0.

14. Два неравных треугольника имеют по равному углу, по равной высоте и по две равные стороны. Один из этих треугольников равнобедренный. Найти угол при основании равнобедренного треугольника.

Указание. Задача приводится к уравнению х9 — — X — 1 = 0, где X = 2cosß и ß — искомый угол.

15. Сумма квадратов двух положительных чисел равна одному из этих чисел, а разность квадратов — второму. Найти эти числа.

Указание. Задача приводится к уравнению х% +2x2 — 2 «в 0 (III), гдеу — меньшее из искомых чисел.

16. Произведение сторон равнобедренного треугольника равно произведению его периметра на площадь. Определить угол при основании треугольника.

Указание. Задача приводится к уравнению (III), в котором X = cosa и a — искомый угол.

17. Прямоугольная трапеция, описанная около окружности, делится своей диагональю на два подобных треугольника. Найти острый угол трапеции.

Указание. Задача приводится к уравнению (III), в котором X = cosa и a — искомый угол.

18. Три сомножителя увеличены каждый на одно и то же число процентов, а один сомножитель уменьшен на такое же число процентов. Найти это число процентов, если известно, что в итоге произведение не изменилось1.

19. Из полного сосуда с раствором спирта отлили столько раствора, сколько было в сосуде воды, и долили спиртом; затем отлили столько раствора, сколько было первоначально в сосуде спирта, и долили водой. После этого спирта и воды в сосуде оказалось поровну. Определить первоначальную крепость спирта.

Решение. Пусть в сосуде находилось первоначально пг чистого спирта и тг воды. Первоначально отлили тг раствора, в которых находилось тп г чистого спирта.

1 Задача приводится к уравнению (III), имеющему единственный положительный корень х « 0,8411.

После того как долили сосуд спиртом, чистого спирта в сосуде стало (граммов). Затем отлили пг раствора, в котором чистого спирта было (граммов). Чистого спирта в сосуде теперь стало

Согласно условию задачи имеем уравнение:

Полагая

получим

(IV)

Первоначальная крепость спирта равна:

Решение уравнения (IV) приведено в задаче 23.

20. Линейный угол двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды равен плоскому углу при ее вершине. Найти этот угол.

Указание. Задача приводится к уравнению (IV), в котором X = tgy и а — искомый угол (см. задачу 23).

21. Найти углы прямоугольного треугольника, если известно, что радиусы вневписанных кругов составляют геометрическую прогрессию.

Указание. Задача приводится к тому же уравнению (IV), в котором X = tg — и А — один из острых углов прямоугольного треугольника.

22. Сечение правильной четырехугольной пирамиды, проходящее через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани, равновелико этой грани. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Указание. Задача приводится к уравнению х4 -2х+ 1 =0 = (je— 1) (х* + х*+ х-1), где х = —L. nß — искомый двугранный угол; очевидно, хг 1 —

28. При каком необходимом условии плоские углы четырехгранного угла будут составлять геометрическую прогрессию?

Решение. Пусть а — наибольший из четырех плоских углов, X — знаменатель прогрессии. Тогда необходимо должно существовать неравенство:

Решим предварительно уравнение (IV)

Полагая \0х = уу получим:

Отсюда

Получим:

или, опуская г3, получим:

Для абсолютной ошибки имеем:

Следовательно, х ^ 0,5 + 0,0437 = 0,5437, причем все знаки верны. Уравнение (IV) не может иметь отрицательных корней, так как при х = — т(т > 0) мы получили бы: m2 = 1 + m3 + m, что, очевидно, невозможно.

Уравнение (IV) не может иметь больше действительных корней, так как в противном случае все его три корня были бы положительными числами, имеющими сумму, равную — 1, что невозможно. Итак,

если рассматривать прогрессию, как возрастающую).

24. Из сосуда, наполненного сиропом, выливают не-

1 Путем подстановки х =-- уравнение IV приводится к уравнению III:

которую часть — в другой, равный ему сосуд; дополнив остальную часть второго сосуда водой, дополняют полученной смесью первый сосуд. Затем дополняют второй сосуд смесью, получившейся в первом сосуде, после чего в обоих сосудах чистого сиропа оказалось поровну. Найти — '

Указание. Задача приводится к уравнению

полагая здесь п= z + 2, получим:

или после упрощения

Мы снова пришли к уравнению III.

25. Катет прямоугольного треугольника равен одной из его биссектрис. Найти углы треугольника.

Указание. Если указанная биссектриса делит острый угол, то задача приводится к уравнению f(x) = 2xs — 2х2 — 2х + 1 = О (V), где х = sin ~ и а— искомый угол.

(См. задачу 26.)

26. Один из плоских углов при вершине основания правильной треугольной пирамиды равен углу между двумя efo боковыми гранями. Найти этот угол.

Решение. Задача приводится к тому же уравнению (V), в котором X = cos ß и ß — искомый угол.

Чтобы найти первое приближение для х (с точностью до—), умножим уравнение (V) на 103 и положим Юх = у\ получим

Положим

Из уравнения (V) найдем:

Опуская член 2z8, получим:

Теперь имеем:

Оценим допускаемую ошибку.

Имеем:

Так как г <0,1, то получаем:

Следовательно,

Это значит, что, продолжая процесс извлечения корня У 10,87, мы получили бы еще несколько верных знаков для а. Так как сумма корней уравнения (V) равна 1, а произведение равно—то остальные его два корня х% и х9 связаны соотношениями х% + *з ^ 1 — 0,4031 ^ 0,6,

Из этих соотношений заключаем, что абсолютная величина по крайней мере одного из корней х2 и х3 больше 1, что эти корни имеют разные знаки и что большую абсолютную величину имеет положительный корень. Следовательно, абсолютная величина положительного корня больше 1. Но задачам 25 и 26 удовлетворяют положительные корни уравнения (V), меньшие по абсолютной величине 1. Поэтому эти задачи имеют такие решения:

(задача 25),

(задача 26).

27. Полушар и сферический сегмент имеют общее основание, причем поверхность сферического сегмента делит объем полушара пополам. Определить величину дуги в осевом сечении сегмента.

Решение. Задача легко приводится к уравнению

где X = tg— и а — искомый угол. Так как значение /(0,6) = 0,016 близко к нулю, то положим X = 0,6 — у, где у > 0 (функция / (х) в точке

Допущенная ошибка достаточна мала:

28. Найти без помощи таблиц тригонометрические функции дуги окружности, стягиваемой стороной правильного вписанного в нее семиугольника.

Следовательно,

Остальные корни уравнения (VI) х2 и х% связаны соотношениями

из которых заключаем, что если бы эти корни были действительными, то они были бы отрицательными, что невозможно, так как по смыслу задачи х — tg — > 0.

Решим уравнение VI. пользуясь формулой Тарталья— Кардано.

Имеем:

Решение. Пусть

откуда

Имеем:

или после упрощения

Положим

тогда получим;

Для абсолютной погрешности получаем:

Следовательно,

Уравнение (VII) имеет еще два положительных корня х2 и х3, так как х2 + хг ^ 21 — 0,2318 =

Имеем

Найдем соответствующие значения для tg а.

Имеем:

Решением данной задачи является:

Мы специально не выделяли его ранее.

29. Осевые сечения двух неравных конусов, имеющих

1 Наличие еще двух положительных корней уравнения (VII) следует также из того, что углы острые, и ка кдое из написанных равенств приводит к одному и тому же уравнению (VII), так как tg 180° = tg 360 = ~ tg 540° = tg 7<xj = tg 7a2 = tg 7as. Можно было бы исходить из соотношений

и после преобразования

прийти к уравнению

корни которого равны, очевидно.

равные образующие и объемы, имеют по равному углу. Найти этот угол.

Указание. Задача приводится к уравнению (соэа — корни которого не принадлежат области допустимых для них (для угла а) значений.

30. Толщина стенок и дна открытого цилиндрического сосуда всюду одинакова; высота сосуда (извне) равна его внешнему диаметру. Определить отношение л толщины стенок к внешнему радиусу, зная, что объем стенок равен вместимости сосуда.

Указание. Задача приводится к уравнению л3 — — 4л2 + 5л — 1 в 0.

31. На горизонтальной плоскости стоит цилиндрический сосуд, в котором налита вода до высоты, равной радиусу основания сосуда. Когда на дно сосуда опустили шар, то уровень воды стал касательным к шару. Найти отношение радиуса этого шара к радиусу основания сосуда. Как изменится ход и результат решения задачи, если считать, что первоначальный уровень воды в сосуде составлял - радиуса основания1?

32. Найти углы прямоугольного треугольника, если известно, что секущая прямая делит его на две части, имеющие равные площади и периметры, и что одна из этих частей — равнобедренный треугольник.

Решение. Пусть секущая прямая пересекает стороны острого угла ß в точках Е и F (черт. 69). Положим BE =• BF = AB = с, AC = b, ВС = а. Согласно условию задачи 2х2 = ас и 2х = Ь + а — х + с — х, Ах « а 4- Ь + с. Исключая х, получим: (а + Ь + с)2 = 8 ас,

Значение cos ß близко к "7" * так как

1 Во время опускания шара в воду вода из сосуда не выливается. Сравните эту задачу с задачей 35 раздела IV.

Положим

Получим:

Опуская — л:8, найдем: или приближенно

Следовательно, cos ß ^ 0,75 — 0,0223 - 0,7277, ß ^ ä43°18'. Способом, указанным в задаче 27, убеждаемся в том, что уравнение (VIII) больше положительных корней не имеет. Если секущая прямая пересекает катеты, то получим

что невозможно, так как

33. Полушар и цилиндр имеют равные объемы. При каком условии полная поверхность цилиндра будет больше полной поверхности полушара?

Решение. Пусть г я h — соответственно радиус и высота цилиндра, R — радиус полушара. По условию задачи nr2h = —nR3 или h «= —Нам надо найти условие выполнимости неравенства:

Черт. 69.

Решим уравнение

(IX). Число X находится вблизи х — 0,5,

Положим

получим:

Следовательно, х^ 0,5 + 0,0296 « 0,5296. Далее:

Один из корней х2 или xs уравнения (IX) отрицателен1, например, ха <0. Найдем х2.

имеем:

неравенство f(x) = 6(х — х3) (х — 0,5296) (х — 0,8557» 0 окажется справедливым при х > 0,8557 либо при X < 0.5296.

§ 2. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ 4-й СТЕПЕНИ.

34. Поверхность шара, вписанного в сферический сектор первого рода, равна поверхности сферической части сектора. Определить центральный угол в осевом сечении сектора.

Решение. На чертеже 70 представлено осевое сечение сферического сектора вместе с сечением вписанного в него шара. Нужно найти ^АОВ = 2х. Пусть ОхЕ = ОхС = г — радиус шара.

По условию задачи

Имеем:

1 Поскольку

Следовательно,

Так как

Полагая

получим:

Очевидно, 2х < 180°. Поэтому

Заметим, что / (0,9) = 0,0244 — число, близкое к нулю. Поэтому положим и = 0,9 + г. Из (X) получим:

(члены, содержащие г4 и г3, мы сразу опустили),

Черт. 70.

Итак,

35*. Из данного сектора вырезать треугольник наибольшей площади.

Решение. Пусть АОВ — данный сектор (черт. 71), ^ АОВ = 2х — его центральный угол. Если 2х < 90°, то треугольник АОВ — наибольший по площади, так как произвольное передвижение вдоль периметра сектора какой-либо вершины этого треугольника приводит к снижению ее относительно противоположной стороны треугольника. Однако при некотором угле 2х > 9(f пл. дЛСВ > пл. &АОВ, где С—середина дуги AB. Это произойдет, когда CD > OD, то есть при 2х > 120°. Если 120° > ^АОВ = 2х > 90°, то наибольшей площадью будет обладать любой прямоугольный треугольник, катеты которого равны радиусам сектора: например, Д О KB (черт. 72). Действительно, пл. Д ОКВ > пл. Д АОВ, и перемещение какой-либо вершины &ОКВ вдоль периметра сектора АОВ приводит, очевидно, к снижению ее относительно противоположной этой вершине стороны треугольника. Если 2х > 120°, то необходимо сравнить площадь треугольника ОКВ с площадью треугольника АСВ, так как в этом случае пл. дИСВ > лл. /\ОАВ. Треугольник СКВ (а также другие равные ему) останется наиболь-

Черт. 71. Черт. 72.

шим по площади до тех пор, пока пл. дЛСВ < пл. дО/С5. Решим это неравенство относительно х. Из чертежа 71 имеем:

Имеем неравенство:

Положим:

Получим

Решим уравнение:

(X)

Один корень мы нашли при решении предыдущей задачи: zx « 0,8969. Так как / ijj = ~,— число, близкое к нулю, то, положив г = / H—, получим:

Итак, z2 ^ 0,25 + 0,00417 = 0,25417. Малость полученного значения tx при малом является верным признаком того, что все найденные знаки для г2 правильны. Продолжив процесс извлечения квадратного корня, мы получили бы еще несколько верных знаков (что подтверждается оценкой погрешности). Остальные корни уравнения (X) 23 и z4 связаны соотношениями: г.. + zA = —

отсюда следует, что числа г8 и z4 — комплексные, так как дискриминант

Следовательно,

Первоначальное неравенство

эквивалентно следующему: При 2х > 180° треугольник АСВ не существует (как часть сектора), поэтому

Поэтому неравенство z < 0,25417 невозможно и, следовательно,

Это означает,

что при 2х > 127°28' наибольшим по площади треугольником является /\АСВ. Лишь при 2х = 360° получим другое решение — равносторонний треугольник, вписанный в круг. Итак, при 2х < 90° имеем одно решение (единственный треугольник) — дЛОВ; при 127°28'> > 2х > 90° — бесчисленное множество решений (треугольник ОКВ и другие, равные ему, а также треугольник АСВ при 2х % 127*28'); при 180° > 2х > 12Г28' — одно решение (дЛСЯ); при 360° >2х > 180° — бесчисленное множество решений (прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенузой которого служит один из диаметров сектора); наконец, при 2х — 360°—также бесчисленное множество решений — равносторонние треугольники, вписанные в круг.

36*. Треугольник, сторонами которого являются биссектрисы данного разностороннего треугольника, подобен данному. Найти углы этих треугольников.

1 К этому выводу можно прийти проще: так как ?3 z4 > 0 и г3 + + *4 < 0, то числа г., и г4 либо о ja отрицательные, либо оба комплексные; в обоих случаях при г > 0 имеем: (z — — > 0,

Решение. Пусть АЕ, BF, CD — биссектрисы треугольника ABC. Для определенности положим, что АС < < ВС < AB (черт. 73). На основании задачи 26 (разд. V) должно быть: CD <Л£ < BF. Если треугольник, сторонами которого служат биссектрисы CD, BF, АЕ, подобен треугольнику ABC, то имеют место пропорции

(1)и

(2). Из (1) на основании задачи 26 (разд. V) следует, что ^А = 60°. Положив в (2)

получим:

так как

Далее:

Черт. 73

Возведя это уравнение в квадрат и умножая затем на 2, получим:

Полагая

получим иа (3):

Из равенства х — 1=0 следует, что х = cos (В — 60°) = = 1, откуда — 60° — 0, ^В = 60°, что невозможно, так как треугольник по условию разносторонний. Следовательно,

Так как = 60°, то ^В < 120° и cos {В — 60°) = X у = 2х + 1 > 2.

Полагая у = г + 2, где г > 0, получим:

что невозможно, так как г > 0. Итак, указанный треугольник не существует.

37. При каком условии отношение объема шара к объему вписанного в него цилиндра окажется равным отношению поверхности шара к полной поверхности цилиндра?

Решение. Задача приводится к уравнению f(x) =

где X — отношение радиуса шара к радиусу цилиндра (очевидно, по смыслу задачи х > 1). Пусть х = у + 1, где у > 0. Получим

При у < 1 будет: Следовательно,

Пусть и = z + 1, тогда

(XI). Отбрасывая члены 4г4 и 20z3, получим:

откуда

Оценим допущенную ошибку:

Следовательно, с точностью до трех знаков имеем: х =

(с избытком, так как z < zx).

Уравнение (XI) при z > 0, очевидно, не имеет решений, кроме найденного.

38. Центр одного шара лежит на поверхности другого шара, причем объем одного из этих шаров делится поверхностью другого пополам. Найти отношение радиусов этих шаров.

Решение. Задача легко приводится к уравнению

— искомое отношение, причем из геометрических соображений

Имеем:

причем

(вычисления проводим при помощи таблиц или логарифмической линейки). Пусть получим:

Итак,

К искомому значению х можно было бы приблизиться и таким способом (вычисления проводим по четырехзначным таблицам).

Далее таблицы не дают улучшений. Следовательно, х ^ « 1,628.

39. Вычислить без помощи таблиц V25.

Решение. Значение корня весьма близко к 2; поэтому положим jf/25 = 2 — х, откуда (2 — х)ь = 25. Раскрывая скобки и опуская члены с х5, х4, х3, получим:

Следовательно,

Такой же ответ получим, пользуясь таблицей логарифмов.

Примечание. Проиллюстрированный во многих задачах этого раздела способ приближенного вычисления корней (путем приведения к квадратному уравнению) можно алгоритмировать следующим образом. Положим в уравнении

где а — весьма малая дробь. Получим:

Отбрасывая член Da3 и все последующие за ним члены, получим:

откуда

Так, например, для уравнения IV

(задачи 19—23)

найдем:

и мы приходим к уравнению

полученному нами ранее (см. задачу 23).

Следуя Н. И. Лобачевскому, можно было бы в уравнении

F(a) = 0 отбросить все члены, начиная с Ca2 и получить уравнение А + Вах = 0, из которого at ^--. Абсолютная погрешность, оцениваемая величиной |а — aj, может оказаться в этом случае значительной и соответствующая точность округления практически недостаточной (в каждом отдельном случае нужно вычислить эту абсолютную погрешность; она, очевидно, тем меньше, чем меньше величина |<х|). Однако повторяя, как это предлагает Н. И. Лобачевский1, указанный процесс несколько раз подряд, можно вычислить a, а следовательно, и х — с любой точностью.

Для рассмотренного выше примера имеем:

Полагая теперь

получим:

Следовательно, х ^ 0,54 + 0,0037 = 0,5437, что совпадает с результатом, полученным в задачах 19—23.

1 См. полное собрание сочинений, т. IV, Гостехиздат, М.—Л., 1948, стр. 419—420.

ОТВЕТЫ.

I. Арифметика.

1. 1001. 2. 8; 840. 3. 7 . 4. 0,1, 4.5. 49. 6. 50%. 8. В 5 раз. 9- 1. 10. В 13 раз. 11. 1 год. 12. 1 брат и 2 сестры. 13. В 1— раза. 14. а) 22 раза, б) 22 раза, в) 44 раза. 15.^4 час 22 мин. 16.ä7,7 км. 18. Желая решить задачу без помощи весов, можно сосчитать количество зерен, помещающихся в какой-либо небольшой мерке (например, небольшой пробирке), затем сосчитать, сколько таких мерок помещается, например, в стакане и т. д.

20. Длину плота разделить на время прохождения его мимо какой-либо неподвижной (относительно течения) точки.

21. Подсчитать число деревьев на небольшом участке средней густоты и полученный результат умножить на отношение площади леса к площади указанного участка.

22. Необходимо знать объем железа и толщину жести.

23. Всю обкладываемую площадь разделить на площадь средней по величине грани кирпича.

25. Общую площадь полов умножить на толщину доски.

29. Объем ледника умножить на 0,9 (удельный вес льда) и полученный результат разделить на 3.

30. Высоту здания умножить на удельный вес кирпича, который по данным задачи легко найти.

31. Взвесить известный объем пшеницы, например 1 куб. дм (1 л), измерить объем всей пшеницы и оба результата перемножить.

32. В п = — об/мин.

35. Найти время, в продолжение которого поезд проходит мимо одной из двух данных точек, а также время прохождения расстояния между данными двумя точками какой-либо точкой движущегося поезда (например, перевозом). Дальнейшее ясно. 37. Найти (пользуясь мензуркой) объем куска металла и соответствующий этому объему (в предположении, что полостей нет) вес. Затем взвешиванием находим действительный вес. Дальнейшее ясно.

II. Алгебра.

2. В 1—раза. 3. ±3087. 4. 99. 5. 18. 6.9. 7. 792. 8. В 2 раза. 9. В 4 раза. 10. ±2 ед. 11. В 3 раза. 12. ± 1.

13. Существует бесчисленное множество таких дробей.

14. 11. 15. Одно из этих чисел должно равняться 2 или 0.

17. Отношение этих чисел должно быть 2 : 3.

18. Одно из этих чисел должно быть 0 или± 1 (необходимое условие).

19. 1. 20. 2—, . 21. 3. 22. 1089. 23. 1331. 24. 143. 25. 0 или 1.

26. 6. 27. 44. 29. 3.

31. Отношение цифр двузначного числа должно равняться 2, либо сумма этих цифр — 9, либо цифра единиц — 0.

32. 2. 33. 3 схХб см или 4 схХ4 см.

34. 12 схХ 12 сжХЗ см\ S cmXS смХ4 см\ 6 схХб схХб см\ 5 см X ХЬ смХ\0 см. 36. 36. 37. 27. 38. 511 или 255. 39. 143 и 143 или 167 и 334.

40. 10. 41. Условию задачи удовлетворяют все трехзначные числа, оканчивающиеся нулем, а также числа 105, 108, 405. 42. 376 или 625. 43. 111 111 или 102 564. 44. 199.45. Площадь уменьшится. 46. 4. 47. 1. 48. Нет. 49. Нет. 50. Нет. 51. Число не может изображаться тремя одинаковыми цифрами в иной системе счисления. 53. Искомыми числами являются все двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 9. 55. 81. 56. См. решение в тексте. 57.>Лз . 58. Наибольшее число есть произвольное число, большее 3; остальные числа равны 1, 2, 3.

61. В случае безветренной погоды. При увеличении скорости ветра указанное время увеличивается.

62. Было бы израсходовано меньше времени, если бы направление ветра совпадало с направлением течения.

69. На путь AB ушло больше времени.

70. а) Могут, если корни трехчлена различны; б) Нет.

85. 247 500. 86. 666. 87. Нет. 88. Да. 89. 4. 90. 0. 91. 3 : 1 : —1 : —3. 95. Второй велосипедист. 96. Задача может быть решена без применения арифметической прогрессии: совершив п кругов, тракторист вспахал полосу шириной dn\ невспаханная часть представляет собой прямоугольник со сторонами а — 2dn и b — 2dn\ следовательно, вспахано ab -(а — 2dn) (b — 2dn) = 2dn(a + b) — 4 d2n2 = Pdn — 4d*na (a и 6 — длина и ширина поля). 97. Ph T"g"i где ™ — вес ведра, р — вес веревки, h—глубина колодца. 99. «16,7—. 101. Да.

103. Знаменатели прогрессий должны быть равны. 104. 1. 105. 1. 106. 1. 107. Нет. 108. Задача неопределенна. 109. 1 : — 1 : 1 : — 1.

110. -т первоначального количества спирта. 111. а) Нет. б) Да.

112. Нет. 115. -а, 2а, За.....па, (п + 1)а,... 116. 1 или 4. 118. Нет.

119. 1. 120. Увеличился на 1.

122. Может. Искомые логарифмы связаны уравнением х + у = ху, имеющим бесчисленное множество решений.

123. Основание a логарифма числа N и само число N определяются из соотношений

III. Геометрия.

1. 0,25°. 2. Скорость движения (в 1 час) парохода разделить на длину окружности меридиана («40 000 км) и полученный результат умножить на 360°. Так, при скорости 40 получим:

= 0,36е. 3. 60°. 5. 135°. 6. Нет. 7. 60°. 8. 30°. 9. 72° или 51— •

10. 90°. 11. При изготовлении одной рамки отход составляет 4 а(см), где a — ширина багета с тыловой стороны; например, при а = 10 см отход составит 40 см. 12. 60°. 13. 72е 14. 2. 15. 5. 16. 90°. 17. Кантовать с горы в 3 раза легче. 18.3. 19. Нет. 20. На расстояние, равное ширине реки. 21. Бесчисленное множество. 22. 90°.

23. 45°, 45° и 90° или 72°, 72° и 36°.

24. Воспользоваться подобием треугольников.

25. Поставив шест вертикально, измерить длину его тени, измерить также длину тени от дерева, воспользоваться подобием треугольников.

26. 1Л2Г29. Нетрудно найти (на основании подобия прямоугольных треугольников) высоту насыпи.

30. Искомая сила приближенно равна ——, где h — длина стрелки троса, / — его длина, Р — вес; все величины выражены в метрах.

31. В VT« 1,4 раза. 33. 30°, 60° и 90°. 35. 30. 36. 9. 37. PC2-AB2 = РА2 • ВС2 + PB2. АС2. 38. = = и (cdc + bdb+ ada)2 = 4S2, где S — площадь треугольника (являющаяся функцией его сторон). 42. Утверждение верно всегда. 43. Да. .иагонали такой трапеции взаимно перпендикулярны. 44. 90°.

45. Две другие стороны четырехугольника параллельны.

59. 179е. 60. 4,9 или 36.

89. а)3п—6,6) 1, в) 2п — 3, г) 1. 90. а) 2л—1, б) 1, в) 2, г) 0. 91. 25. 92. 45°. 93. 60° 94. Достаточно измерить сторону (стороны) основания (оснований) и боковое ребро пирамиды:_97. В(|^3 — 2 — — 1)» 1,8 раза. 98. 3. 99. 3^3 : 4. 100. |/*3 . Правильный шестиугольник. 101. 1) 1 : >/3 (отношение поверхности куба к поверхности тетраэдра). 2) 1 : i/З (отношение объема тетраэдра к объему куба). 103. 2 : 3.

106. У^2, если высота призмы не менее высоты ее основания (высоты равностороннего треугольника); в_противном случае задача неопределенна. 107. 5:7. 108.1 : 4 — V 5. 109. 7:12. 110. 15:16.

по размерам тело остынет скорее. 125. 3 т=—— « 1,7 раза. 127. На конической поверхности отметить три точки, равноудаленные от вершины; около треугольника, сторонами которого служат рассто* яния между найденными точками, описать окружность. Дальнейшее ясно. 132. V = *dh (D — d)t где V — искомый объем, h — — глубина колодца, d — толщина каменной стенки колодца, D — диаметр колодца (до облицовки).

133. Часть основания цистерны, выступающая над землей, представляет собой сегмент. Измерив хорду 2d этого сегмента и его высоту (стрелку) Л, придем к результату желая избежать применения тригонометрии, измеряем (шнуром) длину / дуги сегмента и приходим к результату:

где R — внутренний радиус шланга.

135. Искомая скорость v равна:

где U —объем сосуда,

t— время (в сек) его наполнения водой, d — диаметр выходного отверстия крана.

136. Искомое количество бумаги S выражается формулой: S =

где d — толщина картона, h — высота рулона, Dx и D2 — соответственно внутренний и внешний диаметр его (возможно, что Dx = 0). 137. 12*. 138. 2. 139. JVT— 1): 2 или (3 ^5— 5) : 10 (начиная от вершины). 140. 1 : /2; (120^6)°.

146. 5 : 12. 149. Проще всего измерить глубину (стрелку) котлована Л и расстояние d от самой нижней точки котлована до верхнего края его. Тогда искомый объем выразится формулой

150. 1 : 4. 151. Искомое число шаров равно 13, а искомое отношение — 3. 152. 1 : 3.

171. Объем кольца равен — , где h — высота соответствующего

цилиндра. 172. V = nR2h + —, где V— искомый объем, # — радиус основания бочки, h — ее высота (размеры внутренние). 173. 1ЛЗ. 174. 2. 175. 2 + УТ. 176. 9 : 1. 177. 4: 9. 178. 12:25. 179. у~ТЬ. Второй шар соприкоснется с водой только в одной точке. 180. 50%

IV. Применение алгебры к геометрии.

1. 22°30', 67°30', 112° 30', 157°30'. 2. 60° 6. 3 : 4 : 5.

7. Треугольник равносторонний. 8. 2 + У*3 . 9. 2 : УТГ : 1,

10. (з— VÎT) : 2 ä 0,635. 11. 9~~*^3 »0,6.

12. 2,5ед. 14.«62%. 15. У*5 : Уз или Vi : V3 . 16. 45е.

17. 12 м и 8 ж. 18. — . 19. Искомая высота должна разделить боковое ребро в отношении 2 : 1 (начиная от вершины пирамиды). 20. Искомая высота должна разделить апофему пирамиды в отношении 10 : 3 (начиная от вершины пирамиды). 21. S33 = St(3S2— —2Si)2. 24. JiD2: отход равен боковой поверхности равностороннего цилиндра, диаметр которого D равен диаметру трубы. 25. Нет.

26. 96 л. 27. 12 л (куб. см). 28. — \ 0,9) _ Q^2 первоначального радиуса; воспользоваться подобием конусов. 29. 0,5.

30. Искомая высота х равна: х =-—-, где h — высота дерева, D — диаметр ствола у основания его, d — диаметр (толщина) ствола на высоте х. Используйте подобие треугольников. 31. Нет.

51. Объем полушара больше. 52. Полная поверхность конуса больше. 53. Объем полушара больше. 54. Из всех равновеликих прямоугольников квадрат обладает наименьшим периметром. Количество затрачиваемых на строительство дома материалов определяется главным образом этим периметром. 55. Равносторонний треугольник.

56. Плитки должны быть равносторонними (правильными).

63. Апофема основания призмы должна равняться половине ее высоты. 64. ^42%. 65. Отношение радиуса основания конуса к его высоте должно быть 1 : V 2 • 66- Радиус цилиндра должен равняться — диаметра конуса. 67. Если — < -~ , то у * если ~ > ~г, то у = г, где у — радиус цилиндра, R и г — радиусы оснований конуса (R > г).

69. Высота ведра должна равняться радиусу его основания. 70. Осевое сечение банки должно быть квадратным. 71. п «= "т. 72. Отношение высоты конуса к его образующей должно быть —\ 73. Сферический сегмент должен иметь форму полушара.

V. Применение алгебры и тригонометрии к геометрии.

16. Треугольник прямоугольный и равнобедренный.

28. Время, необходимое для переплытия реки, не зависит от скорости течения.

40. Острый угол равнобедренной трапеции (сечения канала) должен равняться 60°.

41. Сечение канала должно иметь форму половины правильного шестиугольника.

43. V = Qd>S6oK = Pd, где V, Q, Р, 5, d — соответственно объем, площадь перпендикулярного (боковым ребрам) сечения, периметр этого сечения, боковая поверхность, расстояние между центрами основания усеченной призмы.

44. V = nR2d, 5бок = 2nRdt где V,S6oK R и d — соответственно объем, боковая поверхность, радиус окружности перпендикулярного сечения, расстояние между центрами оснований усеченной призмы.

67. Необходимо измерить еще два элемента крыши, например, ее длину а и ширину b (длину и ширину дома). Тогда искомое количество жести S выразится формулой:

где а — угол ската (выступы крыши и швы в расчет не приняты).

62. а) Число сторон основания равно 3,4 или 5 и соответственно: 2) плоский угол при вершине равен 30°, 45° или 54°.

63. Нет. Объем правильной пирамиды всегда меньше куба ее бокового ребра. 64. Боковое ребро правильной пирамиды является средним гармоническим боковых ребер сусеченной» пирамиды.

68. arc tg2«63°26'. 69. Могут, если аФaresin « 35° 15', где а — угол наклона диагонали осевого сечения одного из цилиндров к плоскости его основания.

70. Нет. 71. а) Да, если <*ф2 arecos —- ä 109°30' и а — угол при вершине осевого сечения одного из конусов, б) Да, если аф2 « 70°30' и а — угол при вершине осевого сечения одного из конусов. 72. 36°. 73. 4" arc sin ( 2 У 2~2) * 27°57' и 62°3'

»85°11\ 91. Отношение радиуса основания конуса к его образующей должно быть 1 : 3.

95. Все скаты крыши должны быть треугольными (см. решение в тексте).

(полный конус) (обозначения предыдущей задачи).

(цилиндр) (обозначения задачи 98).

VI. Задачи, приводящиеся к уравнениям третьей и четвертой степени.

в—7. Сферическая поверхность полушара всегда меньше боковой поверхности равновеликого ему (или описанного около него) конуса: обе задачи не имеют решения.

31. Первое допущение неверно. Во втором случае задача приводится к квадратному уравнению, дающему два решения:

33. Приближенно х> 0,8557 или х<0,5296, где лг — отношение радиуса цилиндра к радиусу полушара.

35. См. решение в тексте. 36. Указанный треугольник не существует.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие....................... 3

ЧАСТЬ I.

О составлении и решении геометрических задач.

I. О принципе определяемости задачи........... 7

II. Принцип определяемости геометрической задачи . . 10

III. Ознакомление учащихся с принципом определяемости геометрической задачи (фигуры). Нахождение числа т. 13

IV. Составление геометрических задач............ 23

V. Примеры неправильных условий . ........... 26

VI. Решение геометрических задач............. 31

§ 1. Анализ условия задачи с точки зрения ее определяемости. .......................... —

§ 2. Задачи, данные которых определяют фигуру . . 33

§ 3. Задачи, данные которых определяют только форму фигуры...................... 40

§ 4. Задачи, данные которых не определяют форму фигуры...................... 44

§ 5. Задачи на доказательство.............. 47

§ 6. Задачи на построение ............... 51

VII. Нешаблонные задачи. Задачи без числовых данных. 57

VII. Заключение ..................... 58

ЧАСТЬ II.

Задачи без числовых данных.

I. Арифметика ......................... 62

II. Алгебра ...........................

§ 1. Тождественные преобразования и уравнения первой степени........................ 67

§ 2. Делимость чисел .................. 72

§ 3. Тождественные неравенства ........... 76

I 4. Квадратный трехчлен ............... 84

§ 5. Прогрессии и пределы ............... 88

§ 6. Логарифмы и прогрессии ............. 100

III. Геометрия...................... 103

§ 1. Планиметрия .................... —

§ 2. Стереометрия..................... 120

IV. Применение алгебры к геометрии.............. 136

§ 1. Алгебраические преобразования. Квадратные уравнения ........................ —

§ 2. Неравенства. Максимум и минимум ....... 145

V. Применение алгебры и тригонометрии к геометрии . . . 156

§ 1. Планиметрия ..................... —

§ 2. Стереометрия..................... 168

VI. Задачи, приводящиеся к уравнениям третьей и четвертой степени...................... 200

§ 1. Задачи, приводящиеся к уравнениям третьей степени...................... 204

§ 2. Задачи, приводящиеся к уравнениям четвертой степени...................... 218

Ответы............................ 228

Сдано в набор 10/II 1961 г. Подписано к печати 27/V 1961 г. 84х1087я- Печ. л. 15 (12,30) Уч-изд. л. 11,51 Тираж 48тыс.экз.

Дмитрий Семенович Людмилов

ЗАДАЧИ БЕЗ ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

Редактор Л. А. Сидорова Обложка художника Н. И. Растащенова Художественный редактор Б. М. Кисин Технический редактор М. И. Смирнова Корректор Р. Б. Берман

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Полиграфкомбинат Саратовского совнархоза, г. Саратов, ул. Чернышевского 59. Заказ № 2182.

Цена без переплета 31 коп., переплет 8 коп.