Е. И. ЛЯЩЕНКО, А. А. МАЗАНИК

Методика обучения математике в 4—5 классах

Е. И. ЛЯЩЕНКО, А. А. МАЗАНИК

Методика обучения математике в IV—V классах

МИНСК «НАРОДНАЯ АСВЕТА» 1976

51(07) Л99

© Издательство «Народная асвета», 1976.

ЧАСТЬ I

Глава I. Цели обучения математике в IV—V классах

§ 1. Знания и умения учащихся начальных классов по математике

Курс математики начальных классов является органической частью всего курса математики средней школы. Он включает несколько вопросов: 1) понятие о натуральном числе и действиях над натуральными числами; 2) буквенную символику; 3) различные величины; 4) геометрический материал. Основным среди них является понятие о натуральном числе и действиях над натуральными числами.

Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.).

Анализ программы, учебников математики для I—III классов и методических рекомендаций к ним позволяет сделать выводы относительно особенностей содержания изучаемого материала и уровня приобретаемых учащимися знаний и умений.

Понятие натурального числа в I классе вводится путем присчитывания предметов какой-либо группы. Последнее называемое числительное показывает, сколько всего предметов в данной группе. По принципу присчитывания получается и последовательность натуральных чисел. Сравнение чисел выполняется либо на основе практических действий с конкретными группами предметов, либо на основе определения места, которое занимают сравниваемые числа в ряду натуральных чисел. Таким образом, сравнение производится (особенно в первом случае) путем установления взаимно однозначного соответствия между предметами сравниваемых групп, но операция, ему характерная, не производится. В методических рекомендациях1 к учебнику М. И. Моро и др. «Математика. 1» читаем: «Выставить, например, на одной полочке 1 белый гриб, на нижней столь-

1 М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. Математика в I классе. М., 1972, с. 25.

ко же подосиновиков, затем добавить еще 1 подосиновик, обозначить цифрами число грибов на каждой полочке и сравнить, каких грибов больше». Значит, предлагается сразу сравнивать числа на основе места, занимаемого числом в последовательности чисел.

Сумма двух чисел находится «сначала на основе объединения соответствующих множеств предметов и определения численности полученного множества с помощью счета, а затем и использованием способа «присчитывания» по одному и группами»1.

Понятие о действиях сложения и вычитания двух чисел формируется на той же основе, что и понятие числа, т. е. на основе присчитывания. Сущность действий раскрывается на примерах, хорошо известных учащимся из их опыта. Алгоритмы выполнения действий сложения и вычитания двух чисел опираются на присчитывание и отсчитывание определенного числа единиц, указанных во втором слагаемом или в вычитаемом. Затем с помощью этого же принципа присчитывания изучаются состав числа и таблица сложения. Знание состава числа и таблицы сложения лежит в основе практических действий нахождения суммы и разности в пределах 10.

Действие умножения вводится на основе вычисления суммы одинаковых слагаемых. Практические приемы выполнения умножения сводятся к применению таблицы умножения, которая получается из определения умножения, алгоритма присчитывания и, в некоторой мере, переместительного свойства умножения. Для составления таблицы умножения, кроме того, используется счет группами, он же используется и для осмысления переместительного свойства умножения.

Деление вначале вводится вне связи с действием умножения, на основе операций над предметными множествами, поэтому деление на части и деление по содержанию рассматриваются отдельно. Как обобщение этих двух видов делений, в III классе дается понятие действия деления как действия, обратного умножению. Практическими приемами, применяемыми при первоначальном изучении действия деления, являются «раскладывание, разделение данного количества на части определенного размера»2. Приемы нахождения результата деления вводятся на основе знания состава произведения из сомножителей, при сравнении действий умножения и деления.

Формирование приемов вычисления осуществляется благодаря знакомству с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями.

В учебнике «Математика. 1»3 дается формулировка переместительного свойства действий сложения и умножения.

1 Программы I—III классов школ с русским языком обучения. М., 1974, с. 43.

2 Методика начального обучения математике. Под ред. Л. Н. Скаткина. М., 1972, с. 180.

3 М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. Математика, 1 класс. М., 1975.

Формирование этого свойства осуществляется на числовой оенове с привлечением в отдельных случаях наглядных материализованных объектов.

Сочетательное свойство суммы и произведения в начальной школе не формулируется в виде правила (закона), а используется как частный прием действий над тремя и более числами.

Таким образом, название компонентов и результатов четырех арифметических действий и переместительное свойство сложения и умножения в начальной школе даются в виде точных формулировок.

Остальные понятия: число, сравнение чисел, действия над числами, взаимосвязь между компонентами и результатом действий, связь между прямыми и обратными действиями, изменение результата действия в связи с изменением одного из компонентов действия, сочетательное свойство суммы и распределительное свойство умножения и деления относительно суммы, формируются эмпирически, на основе решения определенных задач и не формулируются в виде общих выводов. Главное назначение всех понятий сводится к использованию их для так называемых обоснований выполняемых действий над числами (известными и неизвестными) и рационализации вычислений.

Основное внимание в процессе изучения числа и действий над числами в начальных классах уделяется формированию устных и письменных вычислительных навыков. Вычислительные навыки формируются с помощью использования различных приемов вычисления: прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа, прибавления суммы к сумме и вычитания суммы из суммы, умножения (деления) суммы на число и умножения числа на сумму.

Практические приемы вычислений требуют знания таблиц сложения и умножения в пределах 10, затем 20 и состава числа. Поэтому в первые два года обучения математике существенное внимание уделяется запоминанию таблиц сложения и умножения и составу числа. Термины и символы арифметических действий усваиваются в результате частого применения их в практике.

Таким образом, относительно понятий числа и действия над числами можно сделать следующие выводы:

1. Понятие натурального числа и последовательность натуральных чисел, сравнение чисел и действия над числами вводятся на основе операции «присчитывания».

2. Учащиеся знакомятся с позиционной десятичной системой изображения числа, необходимой для понимания структуры многозначного числа, его разрядов и классов, отношения между разрядными единицами и поместного значения цифры при записи числа.

3. Учащиеся должны понимать конкретный смысл каждого арифметического действия, знать отдельные свойства суммы и произведения и применять их при вычислении. Знать зависимость между компонентами и результатами действия и применять их при решении уравнений. Знать алгоритмы каждого арифметического действия.

4. Все вычислительные приемы в основном опираются на запоминание таблиц и состава числа и формируются в результате систематической тренировочной работы.

Для более глубокого изучения зависимостей между компонентами и результатом действия, для получения обобщений при решении примеров и задач, для подготовки к изучению алгебры в дальнейшем в начальной школе вводится буквенная символика. Вначале буква (в I классе) появляется как символ неизвестного числа в записях зависимости между результатом и компонентами действий, в формулах для решения текстовых задач. Однако есть упражнения (во II—III классах), где буква используется как символ переменной в самом общем виде (нахождение значений выражений, содержащих букву и не содержащих знака отношения, при различных значениях буквы, в записях свойств арифметических действий и т. д.).

Использование буквы в начальной школе позволило обобщить ряд понятий на более высоком уровне. Так, ученики теперь более сознательно понимают зависимость между компонентами и результатом действий, изменение результата действия при изменении его компонентов и др. Позднее, при изучении понятия переменной следует обратить внимание учащихся на множество значений переменной и в связи с этим на существенные особенности таких понятий, как уравнение, неравенство и выражение с переменной. В этом случае выполнение, например, упражнений: а) решите уравнение х + 2 = 5 и б) заполните таблицу

x

0

8

14

18

20

28

80 — (52 + x)

на одном уроке позволит правильно толковать смысл переменной.

Изучение различных величин (стоимость, количество товара и цена единицы товара, масса, длина, площадь и др.) дает возможность на ранних этапах изучения математики практически познакомить учащихся с различными единицами меры, с простейшей техникой измерения (совмещение отметок измеряемого объекта и линейки при измерении длин, расположение глаз по отношению к шкале, отсчет делений шкалы, оценка погрешности измерения и др.), с соотношением между мерами длины, а затем и массы (таблица метрических мер), с округлением остатков на основе измерения, с процессом измерения (сравнение измеряемой величины с единицей измерения).

Оформление результатов измерения величин в виде таблицы дает возможность изучать ряд других вопросов (связь измерений с поразрядной записью числа, изменение чисел в 10, 100 раз и др.), являющихся хорошей подготовкой для введения десятичных дробей.

Для того чтобы ученики смогли сознательно усвоить связь между неоднородными величинами и запись ее с помощью формул, необходимо показать, что такая связь порождает новую величину.

В случае же «отношения» (результата измерения) однородных величин появляется число. Полезными здесь будут задания, показывающие, как число (результат измерения) зависит от единицы измерения. Для этого можно решать задачи на сравнение результатов измерения величин, например, 12 см и 3 дм, 2 кг и 500 г и т. д. В начальных классах осуществляется знакомство со сравнительно большим числом конкретных величин без выяснения существенных вопросов измерения.

В начальных классах учащиеся знакомятся и с отдельными геометрическими фактами. В результате этого знакомства на интуитивном уровне понимания должны быть сформированы представления о некоторых геометрических фигурах: прямой, кривой, ломаной, отрезке, треугольнике, прямоугольнике, квадрате, окружности, круге и простейших их свойствах, как число углов и сторон у многоугольников, равенство и неравенство сторон многоугольников, виды многоугольников и др.

В I—II классах ознакомление с геометрическим материалом осуществляется в тесной связи с арифметикой (счет). В дальнейшем геометрические сведения изучаются путем изготовления макетов фигур, вычерчивания отдельных фигур, вырезывания из бумаги, перегибания листа бумаги и др. Кроме того, на основе изучения геометрического материала учащиеся знакомятся с измерением площади прямоугольника. Изучение измерения площади прямоугольника осуществляется в несколько этапов: 1) сравнение площадей фигур непосредственным наложением друг на друга, 2) составление фигур из единиц площади, 3) накладывание единиц площади на фигуру, 4) косвенное нахождение площади прямоугольника, 5) систематизация единиц площади (квадратных мер).

Одной из существенных особенностей изучения геометрического материала является применение его в качестве наглядных иллюстраций арифметических закономерностей (свойств арифметических действий). Обучение математике в начальной школе строится на основе решения системы задач и выполнения практических работ.

Так как в I—III классах изучается разнообразный материал (число и действия над числами, свойства действий, уравнения, неравенства, величины, геометрические фигуры и др.), то необходима объединяющая линия (идея), с помощью которой можно устанавливать связи между этими разрозненными понятиями.

Такой связующей линией выбрана взаимосвязь между прямыми и обратными действиями, между компонентами и результатами действий. Конечно, связать с помощью названных объединяющих идей такие понятия, как число, величина, действия над числами и геометрические фигуры, практически невозможно. Однако локальные разделы (действия над числами) объединены на этой основе.

Итак, в результате трехлетнего изучения математики учащиеся начальной школы должны:

1. Понимать, что: а) натуральное число есть результат счета предметов в конкретных группах; б) множество натуральных чисел

дискретно, имеет начальный и не имеет последнего элемента; в) натуральные числа можно сравнивать; г) четыре арифметических действия есть источник порождения новых чисел; д) действия сложения и умножения обладают переместительным свойством; е) в основе измерения лежит понятие сравнения однородных величин; м) дробь есть доля целого; з) геометрические фигуры имеют определенные свойства.

2. Знать: а) зависимость между компонентами и результатом четырех арифметических действий; б) переместительное свойство сложения и умножения; в) терминологию и символику чисел и четырех арифметических действий; г) таблицы сложения и умножения; д) меры длины, массы и площади и соотношения между различными единицами меры для конкретных величин; е) косвенные приемы нахождения площади прямоугольника.

3. Уметь: а) читать и записывать любые многозначные числа; б) сравнивать многозначные числа; в) устно и письменно проводить вычисления (письменные в пределах трехзначных чисел); г) обосновывать приемы вычислений на основании свойств арифметических действий; д) использовать наиболее рациональные приемы вычисления значений числовых выражений; е) производить арифметические действия с нулем; м) решать простейшие уравнения и находить значения выражений с переменной при определенных значениях переменной; з) производить простейшие практические измерения длин, площадей, массы; и) выполнять действия над результатами измерения величин (перевод одних единиц в другие для однородных величин, сложение и вычитание результатов измерения величин); к) изготовлять макеты геометрических фигур, вырезать их из бумаги; л) вычерчивать отмеченные в программе геометрические фигуры на нелинованной бумаге; м) находить площадь прямоугольника непосредственным наложением единиц площади и косвенным путем.

Мы рассмотрели некоторые вопросы содержания курса математики в начальной школе и уровень их усвоения. Чтобы установить, какие факты получат дальнейшее углубление и расширение, какие будут переосмыслены на иной идейной или методической основе, а какие непосредственно использованы при изучении математики в IV—V классах, необходимо определить цели изучения математики в этих классах, принципы, положенные в основу отбора содержания, и методическую структуру учебного материала.

§ 2. Цели обучения математике в IV—V классах

В настоящее время значительно расширяется сфера применения научных знаний в производстве. Применение электронно-вычислительных машин для автоматизированного производства освобождает человека не только от физического труда, но и умственного в том случае, когда его формы отличаются наибольшей упорядоченностью.

Данный процесс и составляет одну из особенностей происходящей научно-технической революции. А. И. Маркушевич отмечает, что «...указанные явления приводят к усилению роли теоретических знаний и высших форм умственного труда во все большем числе отраслей человеческой деятельности, которая благодаря этому приобретает более поисковый, более творческий характер»1.

Таким образом, одна из главных задач школы (давать глубокие и прочные знания) в период перехода на новое содержание образования получает дальнейшее углубление и развитие. Существовавшие ранее раздельно три основных задачи обучения: усвоение определенного объема знаний, умственное развитие и создание познавательных мотивов, —должны представлять сейчас единое целое, централизующим звеном которого является содержание образования.

В последнее время в психологии и дидактике интенсивно исследуется вопрос о развивающем обучении, выясняются принципы обучения, обеспечивающего развитие учащихся.

Между развитием и обучением существует сложная зависимость. Учебная практика и проведенные дидактические исследования показывают, что не всякое обучение должным образом развивает учащихся. Обучение может оказаться неразвивающим. «Это может происходить в том случае, если оно ориентировано на уже развитые формы психической деятельности ребенка»2.

Если в начальных классах обучение ведется в основном на наглядно образном уровне мышления, то в IV—V классах необходимо более глубоко развивать словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними»3.

При развивающем обучении ребенок учится переносить полученные знания на другие явления действительности; применять теоретические знания в практической деятельности; анализировать фактический материал и выделять главное из того или иного явления; самостоятельно систематизировать и классифицировать имеющиеся факты и т. п.

Чтобы обучение наиболее полно способствовало интеллектуальному и эмоциональному развитию учащихся, оно должно отвечать некоторым общим принципам развивающего обучения.

1. Ведущими в процессе обучения должны быть теоретические знания. В результате соблюдения этого принципа познавательная сторона будет выдвинута на передний план и как мощное средство

1 А. И. Маркушевич. Совершенствование образования в условиях научно-технической революции. Материалы I научной конференции ученых-педагогов социалистических стран. «Проблемы социалистической педагогики». М., 1973, с. 209.

2 Д. Б. Эльконин. Психология обучения младшего школьника. М., 1974, с. 61.

3 Там же, с. 60.

развития школьника, и как надежная основа подлинного овладения умениями и навыками.

2. Обучение должно вестись на достаточно высоком уровне трудности (имеется в виду трудность, преодоление которой обеспечивает понимание внутренних связей между различными понятиями и темами изучаемого материала), но быть доступным.

3. Обучение на достаточно высоком уровне трудности должно быть дополнено сравнительно быстрым темпом изучения материала. Изучать математику быстрым темпом — это прежде всего не тратить времени на решение большого числа однообразных упражнений. Закреплять навыки и развивать умения необходимо в процессе овладения новыми понятиями, методами, алгоритмами.

4. Действенным средством, которое позволяет продвигаться вперед быстрым темпом со всеми учащимися класса, является применение дифференцированного подхода в обучении.

Из приведенных общих задач вытекают и задачи изучения математики, которые сформулированы в объяснительной записке к программе по математике для средней школы. «Задачей обучения математике в средней школе является прочное и сознательное овладение математическими знаниями и навыками: а) нужными в повседневной жизни и работе каждому члену современного общества; б) составляющими необходимую основу изучения в школе других наук; в) достаточными для самостоятельного продолжения образования после школы, чтения научно-популярной и технической литературы и т. п. Велико значение математики и для общего развития умственных способностей учащихся, формирования навыков логического мышления, воображения и изобретательности. Содействуя пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в практике, обучение математике вносит свой вклад в формирование научного коммунистического мировоззрения учащихся»1.

В результате изменения содержания математического образования (1968 г.) процесс изучения математики в средней школе чисто условно можно расчленить на следующие периоды: I—III классы, IV—V классы, VI—VIII классы и IX—X классы. Все эти периоды объединены общими целями и задачами обучения математике, единством математических, дидактических и методических идей. Однако каждый из них имеет и свои конкретные цели, соответственно свое содержание с адекватными ему методами обучения.

Программа по математике для IV—V классов ставит задачу на основе знаний учащихся, полученных в I—III классах, систематизировать ранее полученные сведения о натуральных числах. «Основой систематизации служит осмысление понятия «число» и операций над числами с привлечением понятий «множество», «элемент множества», «принадлежность»2.

1 Программа по математике для средней школы. «Математика в школе», 1968, № 2, с. 5.

2 Программа восьмилетней школы. Математика. М., 1975, с. 5.

Кроме того, в IV—V классах у учащихся должно быть в конечном счете сформировано понятие рационального числа и использование законов арифметических действий для обоснования действий с многозначными натуральными числами, для тождественных преобразований выражений.

Значительное место в программе по математике IV—V классов отводится изучению уравнений и неравенств, решению текстовых задач методом составления уравнений.

Введение понятий переменной и выражения с переменной создает реальную возможность для функциональной пропедевтики.

Элементы геометрии носят тоже пропедевтический характер и служат как по содержанию, так и по методам изучения подготовкой к изучению систематического курса геометрии в VI—X классах.

Общие задачи курса математики IV—V классов могут быть определены следующим образом:

1. Сформировать понимание: а) сущности числа (натурального, дробного, положительного и отрицательного) и соответствующих множеств чисел с их структурами (порядковой и алгебраической), обладающими определенными свойствами; б) сущности математических отношений и операций («равно», «следует за», «сложение», «вычитание», «деление» и др.); в) взаимосвязи начал алгебры и функциональной пропедевтики с понятиями числовых множеств с помощью таких понятий, как выражение с переменной, уравнение, неравенство; г) сущности простейших понятий математической логики (переменная, высказывание, предложение с переменной, верно или неверно и др.); д) простейших свойств геометрических фигур и преобразований.

2. Знать: а) свойства порядковых и алгебраических структур в каждом числовом множестве (сравнение чисел, построение луча и прямой, законы арифметических действий); б) основные признаки делимости натуральных чисел; в) функциональную трактовку выражения с переменной, уравнения, неравенства; г) принципиальные основы координатного метода, чтение простейших графиков; д) отдельные отличительные (характеристические) свойства некоторых геометрических фигур (треугольников, четырехугольников и др.), свойств геометрических фигур (вертикальных углов и др.), три вида перемещений плоских фигур.

3. Уметь: а) выполнять безошибочно четыре арифметических действия и их комбинации, сложность которых предусмотрена программой; б) решать уравнения и неравенства, преобразования которых к концу V класса должны быть не сложнее, чем указано в программе, т. е. 3⋅(2,5x + 2,8) — 4⋅(1,2x + 1,5) = 2,7x + 2,4; в) решать текстовые задачи методом составления уравнения, с помощью числового выражения, по вопросам с последующими действиями; г) применять законы арифметических действий для обоснования алгоритмов действий во множестве натуральных чисел, для рационализации вычислений в любом множестве чисел и в тождественных преобразованиях; д) пользоваться основными чертежными инструментами

для построения прямых углов, деления отрезка пополам, проведения через данную точку перпендикуляра к данной прямой, деления угла пополам; е) пользоваться теоретико-множественной символикой и терминологией для записи решения задач, отдельных математических предложений и в устной речи.

Наряду с изучением математических фактов в цели обучения математике в IV—V классах входит формирование интеллектуальных умений и навыков. Последние зависят от содержания и структуры изучаемого материала.

К числу таких умений, на наш взгляд, можно отнести: 1) умение воспринимать и усваивать материал, помещенный в учебнике, умение самостоятельно иллюстрировать некоторые вопросы конкретными примерами, использовать полученные выводы (правила) в конкретной ситуации и т. п.; 2) умение применять законы и теоретические выводы к решению учебных и практических задач; 3) умение разделять определенный материал на составные элементы (анализ конкретных фактов, анализ отношений между фактами и др.); 4) умение соединять разрозненные знания по отдельным понятиям в единое целое (составление плана решения текстовой задачи и ответа по конкретному вопросу, самостоятельное получение вывода на основе решения группы дидактических задач относительно локальных понятий и др.); б) умение оценивать результаты своих действий на основе критериев, заданных учителем.

Кроме того, неотъемлемой задачей обучения математике в IV—V классах является привитие: 1) культуры чтения и работы с учебкой книгой и научно-популярной литературой; 2) культуры устной речи учащихся; 3) культуры записи решений упражнений и других математических предложений; 4) культуры математического мышления (обоснованность выводов, установление идейной или операционной взаимосвязи изучаемых явлений и др.).

Глава II. Общие вопросы содержания предмета математики IV—V классов

§ 1. Некоторые дидактические особенности предмета математики IV—V классов

Одним из дидактических требований, положенных в основу определения содержания предмета математики, является объединение разрозненных понятий на основе общих математических и методических идей. В соответствии с этим требованием содержание предмета должно быть единым и по научным идеям, и по методам изучения. «Факты легче укладываются в сознании, когда освещаются теоретическими идеями, группируются и систематизируются с их помощью. Поэтому не случайно в последние годы ознакомление с некоторыми ведущими идеями, руководящими теоретическими положениями науки стараются по возможности приблизить к началу курса, чтобы они служили средствами познания новых фактов, облегчали их осмысление»1.

Анализ программы и учебников по математике для IV—V классов показывает, что в их содержании прослеживается несколько объединяющих учебный предмет математических идей: теоретико-множественная, логическая, вычислительная, функциональная и алгебраическая. Теоретико-множественная и логическая идеи являются генерализирующими. С их помощью и на их основе устанавливается взаимосвязь между числовыми множествами, началами алгебры и пропедевтическими сведениями о функции. Такую взаимосвязь можно было бы осуществить на основе единой научной трактовки важнейших понятий курса. Но так как предмет математики IV—V классов объединяет много разноплановых понятий (числа, сравнение чисел, действия над числами и законы этих действий, множество, переменная, выражение с переменной, уравнение, неравенство, геометрические фигуры и их свойства и др.), то при современном развитии методики математики это не представляется возможным.

Объединяющими средствами при построении учебного предмета

1 Дидактика средней школы. Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., 1975, с. 66.

являются единые методические подходы в изложении родственных понятий. Для объединения различных по содержанию понятий используется несколько методических приемов (единая наглядная интерпретация важнейших понятий; единая система учебных задач, способствующих сознательному пониманию сущности математических действий; единая основа при выполнении арифметических действий, решении уравнений и тождественных преобразованиях выражений).

В настоящем параграфе рассмотрим основные теоретические и методические подходы в изложении важнейших понятий курса, в следующем — единые методические приемы, способствующие генерализации знаний.

Так, при изучении числа для каждого числового множества принята единая схема раскрытия его содержания. Вначале вводятся новые числа, затем рассматривается их сравнение между собой и с ранее известными числами, выясняются определенные подходы (обоснования) введения арифметических действий над новыми числами и законы, которым подчиняются эти действия.

Как появились и для чего необходимы натуральные числа, в основном учебном материале не рассматривается. Эти вопросы вынесены в дополнительные сведения.

Дробные (десятичные) числа вводятся для того, чтобы выразить одну или несколько долей предмета или чтобы всегда можно было записать результат деления двух любых натуральных чисел независимо от того, делится первое число на второе нацело или не делится, или для того, чтобы записать результат измерения.

Отрицательные числа вводятся «для того, чтобы каждый штрих шкалы, в которой деления располагаются по обе стороны от начала отсчета, имел свое собственное число»1.

Понятие обыкновенной дроби считается известным учащимся на основе тех знаний, которые они имеют о доле целого.

После введения новых чисел обычно рассматривается их сравнение. В учебниках принята единая система сравнения чисел. Уже натуральные числа сравниваются с помощью координатного луча и здесь же делается общий вывод: меньшее число расположено на луче слева от большего, а большее — справа от меньшего. В каждом новом числовом множестве прежде всего применяется этот принцип, а затем даются другие: по количеству единиц или долей, по знаку и модулю.

Действие сложения десятичных дробей иллюстрируется конкретной текстовой задачей, решение которой по смыслу аналогично задачам, где числа были натуральные и решение осуществлялось с помощью действия сложения. Алгоритм сложения десятичных дробей сводится к алгоритму сложения натуральных чисел благодаря использованию именованных чисел.

Сложение положительных и отрицательных чисел объясняется с помощью понятия изменения и сведения задачи с отрицательными

1 Н. Я. Виленкин и др. Математика в V классе. М., 1972, с. 26.

числами в условии к задаче с положительными, но аналогичного смысла.

Сложение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями иллюстрируется текстовой задачей, которая решается с помощью действия, аналогичного действию сложения натуральных чисел.

Действие умножения вводится одинаково во всех множествах чисел.

Во всех числовых множествах рассматриваются законы действий сложения и умножения.

Наконец, действия вычитания и деления для всех рассматриваемых чисел даются как обратные действия соответственно для действий сложения и умножения.

Основное содержание предмета математики IV—V классов составляют числовые множества, поэтому соблюдение единых подходов при их изложении особенно необходимо.

В содержание предмета входят еще и такие понятия, как уравнение, неравенство и пропедевтические сведения о функции. Эти понятия важны потому, что с их помощью закладываются основы современного математического языка. Их единая идейная трактовка особенно необходима. Эти вопросы впервые внесены в школьный курс математики в таком (языковом) плане, все они изложены на основе теории множеств и математической логики.

В учебнике с помощью систем упражнений и соответствующих обобщений введены некоторые основные элементы современного математического языка (переменная, высказывание, выражение, выражение с переменной, уравнение, неравенство) и особо обращается внимание на понимание значения переменной и выражения с переменной. Это нашло выражение и в традиционном материале. Хотя понятие «имя» в явном виде в учебник не введено, но задания вида «Найти значение числового выражения» говорят не о чем ином, как об имени числа и его значении.

Данный подход находит дальнейшее развитие при раскрытии понятия уравнения и его решения. Решить уравнение — значит выяснить, когда высказывательная форма, заданная в виде равенства, принимает значение истинного или ложного высказывания.

Так как уравнение — это высказывательная форма (предикат), т. е. понятие математической логики, то решение уравнений должно осуществляться по правилам этой науки. В IV—V классах уравнения решаются на основе зависимости между результатами и компонентами арифметических действий, а затем и свойств равенств. Но обоснование применения этих операций таково, что переход в дальнейшем к логическим операциям следования и равносильности не вызовет противоречий в их идейной трактовке.

Одной из существенных особенностей содержания предмета математики является широкое применение законов арифметических действий для раскрытия сущности алгоритмов арифметических действий, для решения уравнений, для выполнения тождественных преобразований выражений.

Таким образом, законы арифметических действий выполняют очень большую роль в объединении различных понятий предмета математики.

Наконец, еще одна группа вопросов курса — геометрические понятия. Мы не будем анализировать особенности содержания этого раздела, а только отметим два обстоятельства. Во-первых, трактовка геометрической фигуры как множества точек способствует установлению взаимосвязей с целым рядом понятий курса, также излагаемых на теоретико-множественной основе. Во-вторых, использование понятий метрической геометрии для иллюстрации арифметических и алгебраических вопросов способствует генерализации знаний.

Итак, одно из основных дидактических требований к содержанию предмета — систематизация знаний на основе ведущих идей — нашло отражение в современных учебниках математики.

Вторым психолого-дидактическим требованием к учебному предмету является включение в его содержание таких учебных материалов, которые позволяют «проникнуть в сущность предмета, во внутренние связи и отношения его элементов, понять предмет в его возникновении и развитии»1. На основе этого требования в содержании предмета должны быть такие учебные задачи, которые способствуют формированию (при определенных методах обучения) теоретических, а не эмпирических обобщений. Только таким путем полученные теоретические понятия можно продуктивно использовать для обоснования алгоритма действия, решения конкретно-практических задач и др.).

Учебные задачи в каждом отдельном случае должны образовывать такую систему, которая раскрывала бы логику формируемого понятия, устанавливала взаимосвязь с другими родственными понятиями, показывала роль и применение понятия в различных учебных и практических ситуациях. Причем формирование понятия и особенно его структуры (внутренней взаимосвязи) должно осуществляться так, чтобы учащимся было видно, как понятие возникло, каково его применение, при каких условиях оно не может применяться.

В учебниках математики для V—VI классов Н. Я. Виленкина и др. такие системы учебных задач предлагаются для изучения большинства важнейших понятий. Подробно анализ системы задач учебника дан в главе III настоящей работы.

На содержание учебного материала существенное влияние оказывает предполагаемая учебная деятельность. Чтобы содержание предмета способствовало активной организации учебного процесса, необходимо в учебные задачи и упражнения включать такие задания и указания, которые бы:

во-первых, ориентировали ученика на раскрытие содержания понятия вместе с алгоритмом его применения;

1 Дидактика средней школы. Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., 1975, с. 67.

во-вторых, способствовали раскрытию происхождения понятия, создавали реальные условия для осуществления генетического подхода в обучении;

в-третьих, содержали систему материализованных заданий (картин, чертежей, графиков и т. п.), помогающих выяснению структуры изучаемого понятия.

Мы отметили только некоторые основные психолого-дидактические требования к содержанию учебного предмета математики: систематизация знаний на основе теоретических идей; систематизация задач для выяснения внутренних закономерностей изучаемых понятий; наличие специальных указаний и заданий к учебным задачам.

§ 2. Методические приемы, систематизирующие содержание предмета математики IV—V классов

Содержание образования, включающее несколько основных теоретических идей, позволяет применить в обучении единые методические приемы. Укажем некоторые из них.

1. Пропедевтика функции, в частности однозначное соответствие и алгебраические начала, позволяет при введении новых чисел, их сравнении, иллюстрации действий систематически использовать луч и координатную прямую.

2. Систематическое изучение законов арифметических действий позволяет использовать единые методические приемы в обосновании алгоритмов, решении уравнений и тождественных преобразований выражений.

3. Благодаря введению понятия переменной и однозначного соответствия стало возможным более широкое использование таблиц, графиков, формул, схем.

4. Введение выражений с переменной, уравнений и неравенств позволило изменить виды задач с дидактическими и познавательными функциями при изучении числовых множеств и уже в IV—V классах показать практическую применимость новых чисел и действий над ними в самом предмете математики.

Использование нескольких единых методических приемов позволяет разработать более конкретную и действенную методику обучения математике.

Луч (координатная прямая) может быть использован для иллюстрации понятия натурального числа (случай, когда мера укладывается в измеряемом объекте целое число раз); для иллюстрации потребности в дробных числах (случай, когда мера не укладывается в измеряемом объекте целое число раз); иллюстрации потребности в отрицательных числах (числовая характеристика положения точки на прямой по отношению к началу отсчета); для иллюстрации понятия модуля числа (расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу); для иллюстрации сравнения чисел (натуральных, целых, рациональных) с помощью понятия о положении

точки на координатной прямой, для иллюстраций действий сложения и вычитания натуральных, целых и дробных чисел (сведения действия сложения чисел к сложению направленных отрезков прямой); для иллюстрации соответствия (однозначное, а затем и взаимно-однозначное соответствие между множествами чисел и множеством точек координатной прямой); для иллюстрации основ координатного метода.

Сказанное не исключает использования, например, при введении новых чисел других приемов аргументации. Эти приемы — конкретные задачи, применяемые в каждом отдельном случае для иллюстрации необходимости введения, уяснения сущности новых чисел. В дальнейшем все это может быть систематизировано и обобщено с помощью координатной прямой.

Весь же аппарат введения новых чисел может рассматриваться только с помощью и на основе луча и координатной прямой. Лишь после того как будет четко отработано понимание сути введения новых чисел, их сравнения (на каждом конкретном этапе), можно давать другие обоснования введения новых чисел и раскрыть их общность с ранее рассмотренными.

Вторым методическим приемом является использование законов (свойств) арифметических действий для раскрытия сущности алгоритмов сложения и умножения многозначных натуральных чисел; для выполнения тождественных преобразований числовых выражений и выражений с переменной; для рационализации вычислений.

Проверка знаний и умений учащихся IV—V классов, занимающихся по новой программе, показывает, что наряду с некоторым повышением общего математического развития учащихся (более богатая речь учащихся, умение обосновывать выполняемые действия, решать текстовые задачи и др.) есть еще много нерешенных вопросов. Одним из них является формирование прочных вычислительных навыков и навыков тождественных преобразований, необходимость в которых вызвана потребностями изучения самого предмета математики в IV—V классах, не говоря уже о последующих практических приложениях.

Выдвинутый психологами лозунг «учить мыслить» или «учить учиться» опирается на прочные и конкретные знания и навыки и ни в коем случае не противопоставляется требованию прочных практических навыков, ибо нельзя учить мыслить без наличия и последовательного приобретения конкретных знаний. Правда, в связи с развитием вычислительной техники несколько изменились требования к количеству и качеству навыков вычислений и тождественных преобразований. Теперь нет необходимости доводить до «механического» навыка умение вычислять значения громоздких выражений на все действия с рациональными числами или производить сложные тождественные преобразования при решении уравнений или неравенств, так как в практике такие операции успешно выполнит машина, а их однообразие не оказывает положительного влияния на

процесс обучения в целом и на творческое развитие личности в особенности.

Теоретические сведения, включенные в курс математики IV—V классов, должны изучаться одновременно с алгоритмом их использования, иначе может возникнуть опасность неполучения прочного вычислительного навыка и навыка тождественных преобразований и возможность проникновения формализма в изучение предмета. В таком случае теоретические сведения усваиваются сами по себе, навык приобретается сам по себе.

Чтобы этого не произошло, необходимо вникнуть в сущность методической системы изучения теоретических сведений. Покажем это подробно на примере изучения законов арифметических действий.

Первое свойство действий, с которым встречаются учащиеся в школе, — переместительное свойство сложения — вызвано необходимостью упростить получение таблицы суммы, второе — переместительное свойство умножения — необходимостью упростить получение таблицы умножения.

Свойства (законы) действий могут быть сознательно сформулированы, а затем использованы для вычислений только при определенных условиях их изучения. Программу такого изучения можно чисто условно расчленить на четыре этапа.

1. Каждое основное свойство действий (а + b = b + а; а + b + с = а + (b + с), а⋅b = b⋅а и т. п.) формируется с помощью правильно организованной материальной основы действий. Материальная основа действий при изучении законов должна вскрывать и суть этих законов, и их связь на первых порах с алгоритмом «присчитывания» единицами и группами для получения результата действия.

2. После изучения позиционной десятичной записи чисел необходимо осмыслить алгоритмы действий на основе законов (свойств) действий.

3. Показать применение свойств действий к простейшим тождественным преобразованиям числовых и буквенных выражений.

4. Показать применение свойств действий к рационализации вычислений и преобразований.

Первый и частично второй этапы осуществляются в начальных классах, третий и четвертый — в IV и V классах.

Использование свойств арифметических действий для рационализации вычислений — это высший этап их изучения. Первый, наиболее важный этап — формирование на основе конкретных практических задач сущности свойства действия в пределах первого десятка. Реальные предметы (материальные действия), картинки, диафильмы, мультфильмы, дидактические задачы — все это основа для формирования сущности свойств действий.

Например, показав на картинке ситуацию, иллюстрирующую действие умножения натуральных чисел (рис. 1), нельзя считать, что она может служить иллюстрацией переместительного свойства умножения.

Для выяснения сущности переместительного свойства умножения натуральных чисел нужна серия таблиц или рисунков.

Вначале, не привлекая чисел, выясняется идея перестановки элементов в конечной группе и неизменность группы при этом.

Пример 1 (см. рис. 2). Вывод. Группа осталась та же, хотя места предметов в ней изменены.

Пример 2 (см. рис. 3). Вывод. Предметов в первой группе 8. Ее можно получить, объединив предметы в ней по 4 и взяв таких 2 группы. Во второй группе, равной первой, объединили предметы в группы по 2 и взяли 4 группы.

Пример 3 (см. рис. 4). Вывод. От перестановки предметов в группе общее число предметов не изменилось, но первая и вторая группы иллюстрируют разные произведения. Значения первого и второго произведений, как нетрудно видеть из рисунка 4, оказались равные.

Серией аналогичных примеров можно подчеркнуть связь алгоритма умножения и переместительного свойства этого действия.

Еще лучший эффект наблюдается, если учитель использует кодоскоп, мультфильм, с помощью которого показывается процесс

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

изменения положения предметов в совокупности, неизменность результата произведения и характеристика ситуации числами.

Итогом этого этапа должно быть решение дидактических задач, которые можно выполнять с помощью применения свойства и без него.

Второй этап — раскрытие сущности алгоритмов действий над многозначными натуральными числами с помощью явного использования свойств действий.

Чтобы сформировать прочный вычислительный навык выполнения того или иного арифметического действия, необходимо четко усвоить развернутый прием вычислений.

Проследим, на что опирается развернутый прием вычислений, например, суммы многозначных натуральных чисел, как при этом взаимодействует теория арифметических действий с практикой вычислений. Будем исходить из структуры многозначного натурального числа. В основе ее лежит десятичная, позиционная запись числа с помощью десяти цифр. Для того чтобы раскрыть эту структуру, необходимо уметь представлять любое натуральное число в виде суммы разрядных единиц, т. е. a b с = а⋅100 + b⋅10 + с.

Действие сложения натуральных чисел даже в пределах первого десятка не может быть объяснено только на основе «присчитывания» единиц (4 + 3 + 1), так как уже и здесь неявно применяется сочетательное свойство сложения, поэтому соблюдение свойств действия тем более необходимо при раскрытии алгоритма сложения многозначных чисел.

В I—III классах к обоснованию алгоритмов действий в развернутом виде свойства действий не применяются.

Если же во II и III классах систематически показывать развернутый прием раскрытия сущности алгоритма сложения многозначных чисел на основе четкого использования свойств действий, то это послужит фундаментом формирования навыка вычисления на основе свойств действий. Запись вида:

показывает, на каких свойствах действия сложения основан алгоритм сложения натуральных чисел. Теперь от таких записей «в строчку» можно переходить (а не наоборот) к записи «в столбик».

Наличие определенных систем упражнений в соответствующих местах учебников, с помощью которых будет реализовываться второй этап, позволит более осознанно применять свойства арифметических действий к тождественным преобразованиям. Это составляет содержание третьего этапа формирования свойств действий.

Если ученики в I—III классах формально усваивают алгоритмы арифметических действий, вне связи со свойствами действий и структурой числа, то они в IV классе встречают большие затруднения при упрощении выражений вида 65 + 2m + 25 или 7m + 6 + m + 1. Учащиеся здесь складывают числа и коэффициенты, а буквенный множитель либо приписывают как множитель, либо как слагаемое. Упростить выражение 65 + 2m + 25 — это значит осуществить развернутый прием сложения многозначных чисел, где 2m — какое-то число, которое мы не знаем, как расписать в сумму разрядных единиц, и потому вынуждены приписать в виде неразложимого в разряды и единицы слагаемого. Чтобы такая задача оказалась посильной для ученика IV класса, она должна быть подготовлена вторым этапом формирования свойств действий.

Например, задания вида: «Вычислить устно, записывая только промежуточные результаты (III класс), 2463 + 245 + 7 + 130 + 115» — должны вначале выполняться письменно. Преобразуя выражение на основе применения свойств арифметических действий, учащиеся будут получать соответствующую подготовку для выполнения последующих тождественных преобразований. Вначале запись должна быть такой:

Приведенный пример в этом случае должен восприниматься как учебная задача, а не практическая, где важен результат. Такая запись необходима для того, чтобы показать, как надо осуществлять преобразования числовых выражений, чтобы затем можно было использовать такие преобразования для рационализации вычислений.

При последовательном и целенаправленном использовании трех этапов формирования свойств арифметических действий для сознательного получения вычислительного навыка у учащихся создается потребность применять их для рационализации вычислений в любом множестве чисел.

Итак, второй методический прием, объединяющий выполнение арифметических действий, тождественные преобразования и решение уравнений, заключается в последовательном применении законов арифметических действий.

Третьим методическим приемом, способствующим объединению содержания предмета математики, является наличие систем дидактических задач. Выделим два основных условия к ним: 1) структурность; 2) методическое единство введения действий в каждом новом числовом множестве.

Структурность дидактических задач будет раскрыта подробно в § 1 главы III. Здесь только приведем ее принципиальные особенности.

Дидактические задачи рассматриваем пока только для локальных понятий алгоритмов и мыслительных операций. Такие задачи должны обладать следующими свойствами: а) образовывать структуру, соответствующую структуре понятия; б) для задач, формирующих понятие или алгоритм, обязательно должны быть контрпримеры, помогающие устанавливать область применимости понятия или алгоритма.

Сущность системы задач, обеспечивающих методическое единство введения арифметических действий, заключается в том, что необходимо подобрать такие по содержанию задачи, решение которых приводит к определенному действию (сложению, умножению и т. п.) Математическую зависимость данных и искомых элементов этих задач надо четко выделить и связать с фабулой задачи. Это важно сделать при изучении действий над числами множества натуральных чисел, так как операции в этом множестве проще объясняются на основе жизненного опыта ученика с привлечением законов действий. Именно здесь ученикам должна быть показана практическая необходимость того или иного действия над числами. При изучении нового числового множества и действий над числами для установления аналогий в сущности действий (а не алгоритмов нахождения результата) необходимо использовать те же задачи по фабуле и содержанию, что были в ранее изученном множестве, только с числами из нового рассматриваемого множества. Аналогия в зависимостях и фабуле порождает аналогию в операциях. После выяснения смысла действия необходимо показать сущность нового алгоритма.

Четвертым методическим приемом, способствующим установлению единства в содержании учебного предмета математики, является использование некоторых общих приемов оформления изучаемых вопросов, решаемых задач, получаемых выводов. Это не значит, что мы предлагаем унифицировать оформление решения задач. Нет, каждая задача в зависимости от ее конкретного содержания требует и соответствующих методов оформления. Однако введение алгебраических начал и функциональной пропедевтики в курс математики IV—V классов, введение теоретико-множественного языка для определения понятий и формализации записей позволяют более широко использовать таблицы (с одним и двумя входами), выражения с переменной и формулы, в некоторой мере графики и графы. Таблицы, формулы, графики при их систематическом использовании будут способствовать более наглядному и четкому выяснению зависимостей, обнаружению закономерностей.

С помощью таблиц в IV—V классах можно систематизировать все законы арифметических действий.

1. Таблицы для иллюстрации законов суммы х + y. Например:

y \ x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

5

6

7

8

9

10

11

3

6

7

8

9

10

11

12

4

8

9

10

11

12

13

5

10

11

12

13

14

6

12

13

14

15

7

14

15

16

8

16

17

9

18

Данная таблица позволяет иллюстрировать переместительный закон сложения, изменение результата действия с изменением компонентов, состав числа и разнообразные случаи получения одного и того же числа. Такие таблицы возможны для всех действий во всех числовых множествах с указанием «шага» между рядом стоящими числами.

2. Таблицы для установления соответствий между множеством значений переменной и соответствующим множеством значений выражения с переменной. Например:

x

0

1

2

3

4

5

6

2х + 3

Повышению логического уровня изучения математики существенную помощь окажут так называемые таблицы истинности. Их можно применять с большим успехом при формировании понятий уравнения и неравенства, множества корней уравнения и решений неравенства

и др. Применение таких таблиц будет показано в главе III части II настоящей работы.

Заполнение и анализ таких таблиц позволит систематизировать знания о начальных понятиях функции, в частности идеи зависимости, изменения и соответствия.

3. Таблицы мер.

Заполнив первую таблицу мер в III классе, ученики должны к концу V класса уметь заполнить таблицы мер с помощью обыкновенных и десятичных дробей и тем самым усвоить некоторые общие принципы десятичной системы измерения величины. Более подробно этот вопрос разработан в пособии: Ляшчанка Е. I., Яфімчык А. А. Навучанне матэматыцы ў IV класе. Мн., 1971.

Глава III. Система задач и методика работы с ними

Сейчас, когда в IV—V классах несколько усилена теоретическая основа предмета математики, когда за один и тот же промежуток времени должен быть усвоен больший объем знаний, а метод изучения остался индуктивным, возникла необходимость, во-первых, определить функции каждой задачи и систем задач; во-вторых, разработать метод формирования понятий через систему задач; в-третьих, несколько уменьшить количество решаемых задач.

Задачи в школьном курсе математики всегда были и целью обучения, и средством.

С помощью задач (не только текстовых) и на их основе формируются основные понятия, раскрывается взаимосвязь между понятиями и показывается применение математических фактов в реальной ситуации. С помощью задач учащиеся приобретают опыт поисковой деятельности.

Чтобы показать роль задач как средства изучения математики в IV—V классах, необходимо более четко определить функции каждой группы задач.

В методике математики существует деление задач в зависимости от их функций на дидактические, познавательные и развивающие, хотя, конечно, четких границ у каждой группы нет. Одна и та же задача в зависимости от ситуации может выполнять как дидактические, так и развивающие функции. Кроме того, каждая задача несет в себе познавательные функции.

Для более конкретного анализа задач необходима, пусть в некоторой мере условная, классификация задач по их функциям в обучении.

§ 1. Задачи с дидактическими функциями

Система задач с дидактическими функциями — сравнительно новая часть задач школьных учебников, поэтому остановимся на ней более подробно.

Основное назначение таких задач: 1) способствовать формирова-

нию свойств изучаемых понятий и простейших взаимосвязей между ними; 2) формировать алгоритмы действий и методы решения задач; 3) формировать мыслительные операции, применяемые при изучении предмета и решении задач.

Рассмотрим некоторые требования к системе таких задач.

Одно из основных требований, способствующих формированию изучаемых понятий и простейших взаимосвязей между близкими понятиями, — полнота системы, которая выражается в том, что в системе должны быть представлены задачи, так или иначе раскрывающие все существенные свойства содержания понятия и устанавливающие простейшие связи между близкими понятиями. Второе требование — наличие в системе контрпримеров.

Проиллюстрируем первое требование на двух примерах.

Формируется понятие переменной в IV классе. Для этого раскрывается роль переменной в повествовательном предложении. Затем выясняется, как понимать термин «значение переменной» и от чего зависит его смысл; при каких условиях можно сделать вывод, что переменная может принимать те или иные значения, а когда такого вывода сделать нельзя. Между приведенными понятиями на основе материала учебника можно установить определенные связи. Покажем их схематически.

СХЕМА 1

Для сознательного усвоения понятия переменной необходимы задачи, раскрывающие каждое из взаимосвязанных с переменной понятий и устанавливающие между ними простейшие связи. В учебнике для IV класса таких задач достаточно. Среди упражнений п. 15 есть задачи на установление истинности и ложности высказывания (применительно к математическим действиям, задачам с бытовым содержанием, к понятию принадлежности элемента определенному множеству). Упражнения п. 16 в основном сводятся к подстановке

значений переменной в повествовательные предложения. Здесь же предлагаются задачи, в которых необходимо содержание предложений с переменной и данные значения переменной использовать для установления истинности или ложности этих предложений.

Второй пример. Обобщается понятие о действии сложения натуральных чисел в IV классе. Сложение натуральных чисел для четвероклассников понятие не новое. Есть ли необходимость в таком же тщательном подборе задач с дидактическими функциями, как, например, в случае с переменной? Прежде чем ответить на вопрос, проанализируем содержание этого понятия.

В задачах с дидактическими функциями, как мы уже отмечали выше, должна отразиться простейшая зависимость между родственными понятиями на одной из основ: теоретико-множественной, операционной или геометрической. Кроме того, на основании требований программы содержание таких понятий, как действие сложения натуральных чисел, законы этого действия, изменение результата действия в зависимости от изменения компонентов и др., предполагалось в IV классе обобщить, так как здесь начинается систематическое изучение числовых множеств и их свойств.

Проанализируем взаимосвязь основных понятий, раскрывающих содержание понятия «сложение натуральных чисел», и изобразим эту взаимосвязь схематично.

СХЕМА 2

Чтобы учащиеся сознательно систематизировали знания о действии сложения натуральных чисел и осмыслили его при индуктивном методе изучения с помощью решения задач, необходимо в дидактических задачах отразить все приведенные в схеме 2 понятия и простейшие взаимосвязи между ними, как это было в примере с переменной.

Задач с дидактическими функциями, которые показывали бы необходимость использования действия сложения для их решения, две (№ 418, 419), но они помещены в системе всех упражнений после задач на сложение натуральных чисел (№ 416 — 417). Задачи № 418 и 419 лучше рассматривать как задачи, приводящие к действию сложения натуральных чисел, и решать до введения понятия об этом действии.

Необходимо раньше, чем в п. 39, решать задачи на поразрядную запись натуральных чисел и использование ее для раскрытия сущности алгоритмов сложения и умножения натуральных чисел.

В учебнике есть задачи на осмысление понятий верное и неверное равенство применительно к сумме; на сложение многозначных чисел по аналогии с тем, как это делали в начальной школе; на осмысление порядка чисел во множестве натуральных чисел; на нахождение значений выражений с переменной при указанном значении переменной; текстовые задачи, решаемые действием сложения.

Приведенные задачи выполняют не только дидактические функции. Они нужны для установления связи между понятиями, близкими для действия сложения натуральных чисел, а также для более глубокого и всестороннего усвоения таких понятий, как выражение с переменной, верно или неверно равенство и др. Однако в данном случае необходимы задачи, раскрывающие сущность действия сложения натуральных чисел и законы этого действия.

Анализ системы задач п. 29, 30 и 39 учебника показывает, что из шести понятий схемы 2, раскрывающих сущность действия сложения натуральных чисел, два не представлены в дидактических задачах. Кроме того, задачи на применение действия сложения не связаны с задачами, приводящими к этому действию.

Следовательно, система задач с дидактическими функциями, формирующая действие сложения и близко с ним связанные понятия, не отражает полностью содержания этих понятий и поэтому не способствует установлению простейших взаимосвязей между ними. При выбранном методе изучения предмета такое явление не может не сказаться на знаниях учащихся.

Вторая функция дидактических задач — формировать алгоритмы математических действий и методы решения задач.

При реализации этой функции дидактические задачи в основном необходимы для усвоения известных из теории сведений об алгоритме действия или методе решения задач. С их помощью раскрываются наиболее существенные особенности конкретного алгоритма действия, способа или метода решения задачи.

Содержание этой системы задач определяется наиболее существенными особенностями алгоритма того или иного арифметического действия. Приведем примеры.

Первый пример. В IV классе решаются уравнения на основе зависимости между результатом действия и его компонентами. Учащиеся должны к этому времени владеть понятиями: уравнение, корень урав-

нения, множество решений уравнения, зависимость между результатом определенного действия и компонентами действия. При обучении алгоритму решения уравнения необходимо научить учащихся применять все перечисленные понятия для нахождения тех значений переменной, которые обращают уравнение в верное равенство. Например, решают уравнение, где переменная стоит на месте одного из слагаемых. Значит, в задачах, исполняющих дидактические функции, должны быть предусмотрены все примеры вида:

Второй пример. Изучается алгоритм деления многозначных чисел. Осознанное использование алгоритма возможно, если в системе дидактических задач представить все наиболее существенные проявления его, т. е. должны быть примеры, показывающие общие случаи деления многозначных натуральных чисел и раскрывающие сущность алгоритма деления многозначных чисел; примеры деления многозначных чисел, когда в частном получается один или несколько нулей; деление равных чисел; деление на 1; деление 0 на натуральное число; невозможность деления на 0. После того как рассмотрены наиболее существенные случаи деления многозначных чисел, можно действие деления включить в простейшие взаимосвязи с другими понятиями.

Упражнения, которые традиционно называют тренировочными, и есть задачи, предназначенные для формирования алгоритма математических действий и методов решения задач. В такой системе задач должны быть исчерпаны все наиболее характерные проявления алгоритма математического действия или метода решения задачи, позволяющие сформировать умения владеть этим алгоритмом.

Третий пример. Изучается решение текстовых задач методом составления уравнений. В задачах с дидактическими функциями нужно отразить все наиболее существенные особенности метода: 1. Задания на выбор переменной (символом переменной обозначается та величина, которую надо найти в задаче, или другая величина, но связанная с ней). 2. Задания на раскрытие часто встречающихся зависимостей между объектами действительности (для каждого класса эти зависимости определяются теми видами уравнений, которые решают учащиеся). 3. Задания на объяснение составления уравнения или наглядные иллюстрации, поясняющие условия равенства двух выражений. 4. Задания на осмысление полученного значения переменной после решения уравнения или указания на необходимость проверки этого значения переменной и на оформление ответа.

Если эти задания будут отражены в дидактических задачах, то значительно меньше трудностей возникнет при решении текстовых задач, исполняющих познавательные функции, так как тогда усилия учащихся будут направлены только на анализ структуры задачи, а все остальные компоненты метода будут отработаны с помощью дидактических задач.

Наконец, в задачах с дидактическими функциями должны быть

реализованы мыслительные операции, применяемые при изучении теоретических сведений или решении задач.

Проведенные психологами эксперименты1 показывают, что только более способные учащиеся после решения ряда задач самостоятельно осознают использованные ими мыслительные операции и применяют их в дальнейшем. Большинство же учащихся нуждается в специальном обучении этим операциям, аналогичном обучению общим закономерностям математической теории или общим методам решения задач.

Учить школьников мыслительным операциям можно на специально подобранных задачах, а также на дидактических задачах первых двух видов, подобрав к ним дополнительные задания, подчеркивающие особенности и закономерности операции, примененной при решении той или иной задачи или при получении выводов из теоретических сведений.

Например, в V классе изучается сравнение положительных и отрицательных чисел. В течение трех уроков можно заниматься сравнением чисел с помощью координатной прямой либо используя понятие модуля числа и знака. Можно на одном из уроков при решении дидактических и познавательных задач обратить внимание на существование определенной закономерности операции сравнения, а затем акцентировать внимание учащихся на этих особенностях и в других аналогичных случаях. Чтобы сравнить два объекта (числа, выражения, фигуры и т. п.), необходимо: а) выделить общие, существенные признаки в сравниваемых объектах; б) выделить некоторые отличительные несущественные признаки в этих же объектах; в) на основе общих существенных признаков произвести сравнение, а на основе сравнения — классификацию.

Конечно, операцию сравнения нельзя отрывать от других мыслительных операций, применяемых при решении этих упражнений, — анализа, синтеза, обобщения, классификации и др. Однако именно в связи со сравнением чисел или фигур логичнее вести работу по формированию операции сравнения. О сущности классификации целесообразно вести разговор при изучении каждого нового расширения множества чисел или нового вида геометрических фигур, являющихся частным случаем какого-то более широкого множества фигур, об анализе и синтезе — при определении структуры текстовой или какой-либо другой познавательной задачи и при раскрытии содержания изучаемых теоретических сведений через систему дидактических задач и т. п. Поэтому для формирования мыслительных операций, применяемых при изучении теоретических сведений и решении задач, не нужны специальные задачи, исполняющие дидактические функции. Если в дидактических задачах первых двух видов (и в некоторых задачах с познавательными функциями) есть дополнительные задания, акцентирующие внимание на особенностях той или иной

1 См. подробнее: В. А. Крутецкий. Психология математических способностей школьников. М., 1968; Е. Н. Кабанова-Меллер. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., 1968.

мыслительной операции, то учащиеся овладевают основными закономерностями этой операции и вполне успешно используют ее в обучении.

Если в учебнике или книге для учителя в отдельных случаях недостаточно дидактических задач, то учитель может подобрать их самостоятельно. Составив схему взаимосвязи родственных понятий, как это было показано в схемах 1 и 2 для понятия переменной и действия сложения натуральных чисел, легко выяснить, каких задач в системе не хватает. Недостаток дидактических задач можно иногда компенсировать, если видоизменить имеющиеся задачи или поставить к ним дополнительные вопросы.

Например, в учебнике V класса для формирования понятия модуля числа предлагаются три задачи, выполняющие дидактические функции.

1. Найдите расстояния от начала отсчета до каждой из точек: A(3,7); В (—7,8); С (—200); D (315,6); Е (0).

2. Найдите модуль каждого из чисел: 81; 1,3; —5,2; —1,5; 52; 0. Напишите соответствующие равенства.

3. Найдите: а) отрицательное число, модуль которого равен 25; 4; 7,4; б) положительное число, модуль которого равен 27; 4,8; 11; 41.

Модуль числа вводится с помощью координатной прямой и определяется как расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу.

При формировании этого понятия необходимо установить независимость расстояния от направления отсчета на координатной прямой. Поэтому все дополнительные вопросы к дидактическим упражнениям должны быть направлены на соединение понятий «расстояние» и «модуль числа». Эти вопросы могут быть следующие:

1. На каком расстоянии от начала отсчета на координатной прямой будет находиться точка, соответствующая числу 81?

2. А если бы было число —81, то на каком расстоянии от начала отсчета была бы точка, соответствующая этому числу?

3. Есть ли какая-либо разница в этих расстояниях на числовой прямой для чисел 81 и —81? И т. п.

Мы уже отмечали, что определить недостающие дидактические задачи можно с помощью составления схем взаимосвязи родственных понятий. Такие схемы можно использовать не только для определения полноты системы дидактических задач, но и на уроках во время изучения теоретических сведений (после того как все родственные понятия изучены). Особенно они полезны при обобщении изученных родственных понятий. Схемы помогают систематизировать знания учащихся по определенному кругу вопросов и установить взаимосвязь между ними, обобщить отдельные факты.

Использование схем-структур — одна из особенностей методики работы с дидактическими задачами, формирующими содержание понятий.

Второй особенностью методики работы с дидактическими задачами является использование контрпримеров.

В системе задач с дидактическими функциями должны быть либо специальные контрзадачи, либо при решении имеющихся задач необходимо применять дополнительные вопросы и задания, которые задачу делают контрзадачей. При таком подходе к решению дидактической задачи ученик стоит перед необходимостью выбора альтернативы (задача — контрзадача) на основе достаточно глубокого и всестороннего осмысления изучаемой теории.

Например, при формировании понятия подобных слагаемых выясняют, что это такие слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. Если же буквенные части различны, то слагаемые не подобны и приводить их нельзя. Понятие это простое, но, не будучи реализовано в дидактических задачах, оно вызывает у учащихся затруднение при практическом применении. Они допускают ошибки при приведении подобных слагаемых в упражнениях вида 7 — 3а — 2а, давая ответы 2а или 2. Эти ошибки возникают чаще всего в том случае, когда во всех дидактических задачах слагаемые подобны и их можно привести. Если же среди первых задач системы на приведение подобных слагаемых будут такие, как 5а + 5b; 1,1n — 3,2k + с, a затем задача 7а + 2а — 2b и, наконец, 7а — 2а, то ученики увидят границы применения понятия приведения подобных слагаемых и усвоят это понятие более осознанно.

В этом смысле контрзадачами для IV класса будут и задачи вида: решить уравнение х + 28 = 12 — 1; измерить отрезок с помощью другого отрезка, который не укладывается в первом целое число раз; подставить в конкретное предложение с переменной такое значение переменной, которое обращает предложение в ложное высказывание, и т. п.

Третьей особенностью методики работы с дидактическими задачами является использование различных таблиц и технических средств. Особенно часто таблицы могут быть применены при формировании алгоритма математического действия. Например, для изучения в IV классе действия умножения на 10 с последующими и предшествующими нулями можно использовать таблицу:

а

а⋅100

а⋅10

а⋅1

а⋅0

а⋅0,1

а⋅0,01

а⋅0,001

3458

3200

243

100

15

7

1

Таблицы можно применять при изучении алгоритмов математических действий как для определения полноты системы дидактичес-

ких задач, так и для обобщения знаний о формируемом алгоритме, а также для повторения и устного счета.

Работа значительно упрощается, если применять кодоскоп, в котором используется не таблица, а карточка, составленная по тому же принципу, что и таблица. Карточки заготовить проще, а поэтому они могут быть более разнообразными по содержанию.

Существенной особенностью системы упражнений являются устные задачи. Авторы книги «Математика в IV классе» делят устные упражнения условно на три группы: а) упражнения, содержащие материал для устного счета; б) текстовые задачи, способствующие выяснению зависимости между величинами, входящими в задачу; в) задачи для развития мышления учащихся, их сообразительности.

Две первые группы устных упражнений способствуют реализации отмеченных нами требований к задачам с дидактическими функциями. Устные упражнения группы в) направлены на формирование мыслительных операций, применяемых при изучении учебного материала, и служат хорошей подготовкой для решения развивающих задач.

Наконец еще один немаловажный вопрос — оформление решений дидактических задач. Эти задачи составляют около 60% общего числа задач учебников для IV—V классов. Многие из них устные, и решение их не требует оформления. Однако около 40% требуют письменного оформления. Рассмотрим, например, задачу № 281 (IV класс)1: «Испытайте числа 81, 18, 79, 32, 57 и 80. Какие из них являются решениями неравенства 81 — х > 4, а какие не являются?»

Решение.

x

81 — x

81 — x > 4

Вывод

81

81—81

0 > 4

неверно

18

81 — 18

63 > 4

верно

79

81—79

2 > 4

неверно

32

81—32

49 > 4

верно

57

81—57

24 > 4

верно

80

81—80

1 > 4

неверно

Ответ. 18, 32, 57 — решения неравенства; 81, 79, 80 — не являются решениями неравенства.

Если решение задачи будет оформлено в виде такой таблицы истинности с последующим выводом, то могут возникнуть вопросы: почему именно эти значения переменной взял решающий, почему подставляли значения переменной, а не решали данное неравенство и по-

1 Здесь и далее даются ссылки на учебники: Н. Я. Виленкин и др. Математика, 4 класс. М., 1976; Математика, 5 класс. М., 1976.

лучали ответ, т. е. какие же числа могут образовывать множество решений данного неравенства; зачем выписаны верные и неверные неравенства?

Решая вопрос об оформлении задач с дидактическими функциями, необходимо помнить об их главной особенности: они предназначены не для получения ответа, а для формирования теоретических понятий.

Приведенная задача должна показать ученику, что одни значения переменной обращают предложение, содержащее ее (в нашем примере неравенство), в истинное высказывание, другие — в ложное. Только непосредственной подстановкой (испытанием) значений переменной можно выяснить, истинное или нет получится высказывание.

Главное в решении дидактических задач — не только и не столько ответ на вопрос задачи, сколько процесс поиска этого ответа, так как именно этот процесс оттеняет наиболее существенные стороны формируемого понятия.

Отражение в тетрадях ученика и на доске указанного процесса и есть показатель того, понимает или нет изучаемое понятие ученик. Таким образом, в дидактических задачах, служащих раскрытию сущности изучаемого понятия, оформление записи связано с пониманием этого понятия. При этом следует отметить, что невозможно указать единые или хотя бы универсальные образцы записи. Каждое понятие с его специфическими закономерностями требует и соответствующего оформления дидактических задач.

В части II данной работы будут показаны конкретные примеры оформления дидактических задач. Здесь мы считаем необходимым только указать, что из задач, которые служат формированию понятий и мыслительных операций, письменно оформлять следует только некоторые. Обычно для конкретного понятия выбирается одна (основная) дидактическая задача. Остальные рассматриваются устно, с записью отдельных фрагментов.

Задачи на формирование алгоритмов математических действий или метода решения задач чаще всего оформляются письменно. В записях фиксируются наиболее существенные элементы алгоритма.

В курсе математики IV—V классов есть понятия, которые содержат и алгоритмические, и новые теоретические сведения или требуют новой символики, например, множество, принадлежность, модуль числа, подмножество и др. Решение дидактических задач, формирующих такие понятия, тоже в большинстве случаев оформляется письменно.

§ 2. Задачи с познавательными функциями

Прежде чем ответить на вопрос, каково содержание задач с познавательными функциями, какова методика их решения, необходимо выяснить, какие цели стоят при решении таких задач.

В практике обучения решение конкретно-практических задач чаще всего осуществляется для того, чтобы найти ответ на вопрос

задачи. При изучении предмета математики в IV—V классах индуктивным методом, т. е. через решение системы задач, на первый план должна быть выдвинута цель: научить учеников в процессе решения задачи, во-первых, находить математические факты и, во-вторых, постигать сам процесс решения.

Но одно дело, когда стоит цель решить какую-то конкретно-практическую задачу, другое дело, когда ставится цель научить решать задачи вообще. Задачи, с помощью которых может быть в определенной мере достигнута эта цель, и есть задачи с познавательными функциями. Для того чтобы иметь возможность говорить о содержании системы задач с познавательными функциями, необходимо хотя бы описательное определение таких задач. Задачи с познавательными функциями позволяют, благодаря своему содержанию, устанавливать разнообразные связи между изученными и изучаемыми понятиями внутри предметов с понятиями других предметов; методами решения задач; приемами мыслительной деятельности, применяемыми при решении задач. Они ставят ученика перед необходимостью поиска решения задач, а это значит, решая задачи с познавательными функциями, учащийся может осмыслить общий процесс решения. Наконец, с помощью таких задач можно применять теоретические знания и методы решения задач в новых для учащегося ситуациях.

Содержание системы задач с познавательными функциями зависит от знаний, которые должны приобрести ученики, уровня их мышления и времени, отводимого на изучение предмета.

Так, в IV—V классах должны решаться задачи, раскрывающие предметные связи между числами всех изучаемых здесь числовых множеств, задачи на решение уравнений и неравенств, на нахождение значений выражений с переменной и др.

Чтобы обучение в IV—V классах было развивающим, необходимо формировать у учащихся словесно-логический уровень мышления. В процессе обучения решению задач это необходимо учитывать при выполнении анализа и синтеза, при составлении образных моделей задач.

Любая система, в том числе и система задач с познавательными функциями, имеет количественную и качественную стороны. Качественная сторона характеризуется приведенным ранее описательным определением познавательных задач и словесно-логическим уровнем мышления, количественная сторона — числом наиболее существенных понятий, отмеченных в программе и учебниках.

Рассматривая дидактические задачи, мы отмечали, что с их помощью устанавливаются связи между различными сторонами одного и того же понятия или между родственными понятиями. Задачи, устанавливающие связи между родственными понятиями, могут выполнять и познавательные функции. Резкой грани между простыми задачами, исполняющими познавательные функции, и более сложными задачами, исполняющими дидактические функции, нет. При таком делении необходимо учитывать возраст учащихся, цели решения

задачи, уровень проникновения в ситуацию решаемой задачи. Проследим переход системы задач, исполняющих дидактические функции, в систему задач, исполняющих познавательные функции.

1. Задача, раскрывающая отдельные аспекты формируемого понятия и выполняющая дидактические функции. Например, формируется понятие уравнения. Дается задача № 259 (IV класс). Является ли число 6 корнем уравнения 36 — а = 24 + а?

Для решения этой задачи по замыслу учебника необходимо знание только понятия уравнения и его корня.

2. Задача с дидактическими функциями, раскрывающая связи между отдельными аспектами формируемого понятия. Например, формируется понятие уравнения. Дается задача (IV класс). Заполните таблицу:

m

1

2

3

4

5

24m — 12

При каком значении m значение выражения 24⋅m — 12 равно 84? Есть ли среди чисел 1; 2; 3; 4; 5 корень уравнения 24⋅m — 12 = 84?

С помощью этой задачи устанавливается взаимосвязь между понятиями корень уравнения, равенство, предложение с переменной, высказывание. При подстановке значений переменной в выражение с переменной глубже осмысливается понятие уравнения.

3. Задача с дидактическими функциями, но содержащая элементы переноса знаний. Для решения такой задачи требуется применение знаний в новой ситуации, но ограниченной рамками одного параграфа или узкой темы. Изучается § 3 «Уравнения и неравенства» (IV класс). Дается задача № 362, б. Найдите множество натуральных решений неравенства 7 ⩽ с < 9.

Несколькими пунктами ранее изучали понятие «множество решений», двумя пунктами ранее изучали понятия «больше» и «меньше». Простой синтез знаний, полученных в названных пунктах, и необходим для решения приведенной задачи. Аналогичными задачами будут простейшие примеры на все действия с числами какого-то определенного числового множества, задания на выполнение тождественных преобразований, объединяющих небольшое число однотипных преобразований.

4. Задача с познавательными функциями, но сохраняющая элементы задач с дидактическими функциями. Для решения такой задачи необходим больший круг знаний, объединяющий не только близкородственные понятия. Например, дается задача (IV класс): «Сторона квадрата равна k см. Составьте выражения для вычисления периметра и площади квадрата и найдите их значения при

k = 35,105». Понятия квадрата, его периметра и площади были изучены ранее. Для решения этой задачи учащиеся должны вспомнить несколько изученных в разное время понятий и применить их в конкретной ситуации, но в сравнительно простой взаимосвязи.

Мы приводили пока виды задач, для решения которых требовался в основном простой перенос математических фактов из ранее изученных тем и пунктов в несложную по структуре ситуацию конкретной задачи. Для применения таких знаний не было необходимости в предварительном анализе содержания задачи, в установлении новых, исходя из условия задачи, связей между изученными ранее вопросами теории и ее приложениями.

Но в задачах, выполняющих познавательные функции, в большей мере, чем в дидактических, реализуется взаимосвязь не только между математическими фактами, близкими или отдаленными, но и методами решения задач, мыслительными и логическими приемами, применяемыми для анализа и синтеза той или иной задачи. Для решения таких задач применяются не только известные алгоритмы, но и эвристические поиски.

5. Задачи с познавательными функциями, для решения которых надо скомбинировать математические факты и способы решения задач. Примером может служить задача на вычисление значения числового выражения, в котором приведены все действия над числами различных числовых множеств и действия эти требуется выполнять не в порядке их записи. Например, найдите значение выражения:

Для решения задачи необходимо вспомнить ряд математических фактов, изученных в разное время, проанализировать структуру задачи, установить правильный порядок действий и на этой основе выполнить алгоритмы действий.

6. Задачи с познавательными функциями, для решения которых необходимо в традиционном материале и ситуации увидеть новую задачу. Например, дана задача (V класс). «Рассмотрите последовательности 1, 3, 5, 7, 9, ... и 2, 4, 6, 8, ... Напишите формулу для вычисления любого члена каждой из этих последовательностей».

С последовательностями учащиеся встречаются с первых уроков математики в школе (последовательность натуральных чисел, десятичных дробей и т. п.). Подметить какое-то общее свойство, характерное данной последовательности, учащимся V класса трудно. В данной задаче вначале необходимо установить общие и отличительные свойства каждого числа последовательности, синтезировать эти общие свойства, а затем сделать вывод.

7. Задачи с познавательными функциями, для решения которых необходимо несколько изменить ранее известные приемы решения на основе использования конкретных условий задачи. Например, дается задача (V класс): «Начертите график для перевода дюймов в сантиметры».

Для решения задачи ученик должен установить соотношение между дюймом и сантиметром. Для этого ему необходимы знания о правилах измерения; об особенностях установления соотношения между величинами одного и того же рода, но при разных единицах измерения; о методе построения точек на координатной плоскости.

8. Познавательная задача, которая может быть решена, если ученик имеет отчетливое представление о ее структуре, т. е. видит, из каких составных элементов состоит задача и в какой взаимосвязи эти элементы находятся между собой.

К этой группе относятся задачи, рассмотренные в пунктах 6 и 7. К ней необходимо причислить и задачи, которые традиционно называют текстовыми. Для того чтобы самостоятельно решить такую задачу, ученик должен прежде всего увидеть за житейской фабулой ее математическое содержание. А это возможно только в том случае, если он мысленно установит связь между данными и искомыми объектами задачи.

Остановимся на некоторых вопросах методики решения задач с познавательными функциями.

По поиску решения все задачи можно разделить на две группы:

1) задачи, способ решения которых в общих чертах известен;

2) задачи, в которых ученику приходится искать общий способ решения и применять его к конкретной задаче.

Задачи, помещенные в школьных учебниках для IV—V классов, кроме большинства задач из разделов «Задачи повышенной трудности», по поиску решения относятся к первой группе. То, что задача, например, стоит в пункте «Сложение и умножение многозначных чисел», уже говорит о том, что ее общее решение — это нахождение суммы или произведения. К первой группе данные задачи относятся еще и потому, что прежде чем какой-то новый вид задач дать для самостоятельного решения, учащихся обычно знакомят с общим алгоритмом1 решения.

При решении задач первой группы учащийся самостоятельно или под руководством учителя осуществляет анализ задачи. Результат такого анализа есть конкретный вариант (варианты) решения. Затем к решаемой задаче применяется известный общий способ решения (жесткий алгоритм или алгоритмическое предписание) и, наконец, осуществляется контроль выполняемых действий на основе планируемых логических или математических операций. Таков процесс решения подавляющего большинства задач с познавательными функциями в IV—V классе. Обобщение здесь производится уже на ином уровне, чем в начальных классах, и это является наиболее существенным моментом методики решения задач. При решении задач в IV—V классах важно вскрыть и как-то смоделировать связи (отношения) между объектами задачи. В начальных классах эти связи были проще и, наглядно представляя объекты задачи,

1 Под алгоритмом имеется в виду не только жесткий алгоритм, но и алгоритмическое предписание.

изображали отношения между ними. С переходом на формирование словесно-логического уровня мышления такие модели задач недостаточны. Теперь на наглядной модели необходимо вскрыть и понятия, которыми располагает задача, и отношения между ними.

Приведем пример решения задачи с учетом нового уровня обобщения. Требуется найти значение числового выражения: 3760 — — 1504 : (348 + 14⋅2) + 107⋅13.

Понятия самого высокого уровня в этой задаче — значение числового выражения. Основное отношение в задаче — порядок выполнения арифметических операций между значениями числовых выражений. Модель задачи будет следующая:

Данная модель вскрывает отношения между понятиями более высокого уровня, чем числа, и тем самым ориентирует учащихся на новый уровень мышления.

Рассмотрим некоторые общие вопросы методики решения задач, учитывая которые можно обучить учащихся приемам поиска решения задач с познавательными функциями.

Прежде всего необходима четкая, адекватная содержанию системы задач методика формирования теоретических понятий. Так, в нашем примере, чтобы ученик и в IV классе не решал эту задачу как задачу на все действия с числами, необходимо своевременно и всесторонне сформировать понятия числового выражения и его значения. Для этого вначале надо показать различие между именем числа (числового выражения) и его значением. Например, записи 5; 10/2; 15 — 10 имеют разное имя (константу), но значение у них одно — 5. При таком подходе у ученика будет четко отработано положение: арифметические действия можно производить только над значениями чисел (числовых выражений). Далее необходимо сформировать понимание того, что значение числового выражения зависит не только от чисел, но и от тех арифметических действий, которые входят в запись выражений. Чтобы осознать, от чего зависит значение числового выражения, необходимо продумать систему заданий. Она может быть следующей:

1. Задания на правильное чтение числовых выражений. (Прочтите выражения: а) 22 + 18; б) 48 — 10; г) 128 : 8; д) (14 + 6)⋅9 и т. п.)

2. Задания на составление числовых выражений, а) Выбирая любые числа и действия, составьте числовые выражения, которые имеют значение, например, (35—15) + 8⋅(24 — 4) : 10; не имеют значения, например, 49 — 54; (42 + 16) : (10 — 10); б) Выбирая любые числа и используя, например, знаки действий «+» и « : », составьте такие числовые выражения, которые имеют значение; в) Составьте из чисел 24, 18 и 30 и знаков действий «+» ,«→ и «⋅» три чис-

ловых выражения, имеющих значение, и одно не имеющее; г) Составьте из чисел 36, 9 и 3 и любых знаков арифметических действий три числовых выражения, соответственно имеющих значения 1, 12,15.

Полезность таких заданий заключается в том, что все они, кроме последнего, не требуют находить значение выражения, а акцентируют внимание ученика на идейной сути понятия, в данном случае числового выражения, его значения и зависимости последнего от чисел и арифметических операций.

3. Задания на разбиение сложных числовых выражений на простые и составление моделей сложных числовых выражений.

Только после такой или аналогичной системы заданий можно приступать к решению задач на нахождение значений числовых выражений по той схеме, которая описана выше. А именно, после составления модели задачи необходимо найти значение каждого из трех промежуточных выражений. Значение первого выражения в нашем примере известно, дано в условии, значения второго и третьего выражений надо найти. Задача может быть оформлена так:

Предварительное изучение теоретических понятий, заложенных в системе задач, система заданий по отработке принципиальных операторных, логических или методических аспектов задач не могут быть заменены решением большого числа однотипных задач того или иного вида. В последнем случае учащиеся обучаются решению конкретного типа задач, но не овладевают общими подходами поиска решения.

Последним этапом деятельности при решении задач первого вида является контроль за выполнением планируемых действий. Планируемые действия обычно бывают отражены в модели задачи. Для того чтобы осуществить контроль, можно: 1) сличить выполненные действия с планируемыми (прием малоэффективный), 2) выполнить косвенные приемы проверки. В нашем примере можно заменить число 3760 на x и подставить найденное значение выражения. Получим

уравнение, которое надо решить. Весьма полезен, кроме того, пооперационный контроль, т. е. проверка выполнения каждого действия над числами обратным действием.

§ 3. Решение текстовых задач

Текстовые задачи представляют собой весьма специфический вид задач с познавательными функциями, поэтому на методике их решения остановимся более подробно.

Основная трудность при решении текстовых задач заключается в вычленении из нематематического текста задач ее структуры, т. е. данных и искомых объектов и отношений между ними. Обычно считают, что ученики, особенно младших классов, лучше ориентируются в конкретных фактах и с их помощью усваивают математические понятия. Однако исследования психолога Н. А. Менчинской относительно решения текстовых задач показывают, что не всегда конкретное есть основа для понимания сущности математических отношений, особенно, когда эти отношения скрыты под словесным содержанием задачи. В текстовых задачах житейская фабула и слова нематематического языка закрывают сущность математических отношений, чем создают одну из трудностей их решения. Но они одновременно и полезны, так как являются примером практического применения математических фактов в реальной действительности.

Например, дана задача: «Квартира состоит из трех комнат: спальни, столовой и кабинета. Столовая в два раза больше, чем кабинет, а спальня на 8 кв. м меньше, чем столовая. Какова общая площадь трех комнат, если столовая имеет площадь 22 кв. м?»

За конкретным содержанием задачи скрывается сравнительно простая математическая зависимость: 22 + 22 : 2 + (22 — 8). Нахождение значения этого выражения не представляет трудности для учащихся IV класса.

Значит, одним из наиболее существенных моментов решения текстовых задач является освобождение текста задачи от слов нематематического языка, т. е. выяснение структуры задачи: объектов задачи и отношений между ними.

На пути к достижению этой цели считаем необходимым выделить следующие этапы:

1. Анализ текста задачи.

2. Краткую запись условия задачи.

3. Составление наглядной модели математического содержания задачи.

4. Составление уравнения, числового выражения или плана решения.

5. Выполнение вычислений или преобразований в соответствии с принятым методом решения задачи.

6. Проверку полученного результата.

7. Запись ответа.

Остановимся на каждом из этапов в отдельности.

Одним из существенных недостатков методики решения таких задач в школе является невнимание к анализу текста задачи и краткой записи условия.

Нередки случаи, когда, минуя два первых этапа или не уделив им должного внимания, учитель приступает к анализу задачи, соединяя в нем одновременно и анализ текста, и анализ основных математических отношений. Анализ, который проводится чаще всего по опорным словам, это скорее всего анализ текста задачи, а не самой математической сути ее. Одного внимания опорным словам при анализе текста задачи недостаточно. Необходима система вопросов, помогающая установлению частных связей между данными величинами и между данными и искомыми.

Для нашего примера это могут быть следующие вопросы:

1. Все ли комнаты разные по площади? (Все.)

2. На каком основании сделали этот вывод? (В условии задачи нет указаний о том, что некоторые из сравниваемых комнат одинаковы.)

3. Какая комната обычно в квартире бывает самой большой? (Столовая или зал.)

4. Подтверждается ли наше предположение в данной задаче? (Да.)

5. Почему? (В условии задачи сказано, что столовая больше кабинета, а спальня меньше столовой, значит, столовая больше спальни.)

6. С чем сравнивается площадь кабинета и спальни? (Со столовой.)

7. Как? (Кабинет меньше столовой в два раза, а площадь спальни меньше площади столовой на 8 кв. м.)

8. Известна ли площадь хотя бы одной комнаты квартиры? (Известна. Площадь столовой равна 22 кв. м.)

Вывод из анализа текста задачи есть краткая запись условия ее. Краткой записи обязательно надо учить учащихся, учитель же должен показать образец.

В рассмотренном примере после выяснения ответов на поставленные вопросы учащиеся без труда записывают кратко условие:

Столовая 22 кв. м.

Кабинет меньше столовой в 2 раза.

Спальня меньше столовой на 8 кв. м.

Чему равна общая площадь трех комнат?

На основе анализа текста задачи и краткой записи условия значительно проще выполнить основной этап решения — составить модель структуры задачи.

Одним из существенных моментов при анализе математического содержания является хорошо составленная графическая модель, которая выражает в каких-либо пространственных формах отношение между объектами задачи.

Значит, после первого этапа абстрагирования (краткой записи условия задачи) необходим следующий этап — составление модели. При этом следует иметь в виду, что модель не всегда должна быть окончательной, т. е. отвечать на основной вопрос задачи.

В нашем примере итоговая модель может быть следующей:

Такая модель еще не дает ключа к решению задачи, так как каждый из блоков этой схемы — сложное явление и необходимо дать дополнительные схемы (см. рис. 5), раскрывающие содержание этих блоков. Схему, иллюстрирующую основные отношения задачи, должны составлять сами учащиеся. Для этого необходимо обучить их общим подходам составления модели задачи: а) вычленению всех объектов;

б) выяснению основных отношений (в нашем примере это три отношения: вся квартира равна сумме трех комнат; кабинет меньше в 2 раза столовой; спальня меньше на 8 кв. м. столовой);

в) выяснению основных свойств (алгоритмов) этих отношений (в нашем примере это отношение части и целого).

Остановимся более подробно на последнем моменте. Решению конкретных текстовых задач должно предшествовать всестороннее теоретическое изучение общих свойств того отношения, которое затем будет заложено в тексте задачи. В нашем примере это отношение целого и части. Данное отношение и его следствия должны быть усвоены с помощью дидактических задач, на основе которых будет строиться решение задач с познавательными функциями. В других задачах таким основным отношением будет, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием или между стоимостью, ценой и количеством товара и т. д. Предварительное изучение основных свойств и следствий этих отношений, моделирование их составляет необходимое условие решения познавательных задач. В этом смысле весьма плодотворна система дидактических задач, в которой даются все основные отношения и их свойства, существующие, например, при движении. Модели этих ситуаций позволяют ориентироваться в сложных зависимостях при встречных движениях и движениях на обгон.

Если основные свойства отношений изучены, то при анализе структуры задачи можно использовать и другие приемы иллюстрации. Например, для нашей задачи это могут быть отрезки, длины которых иллюстрируют сущность отношения.

После того как структура задачи выяснена, необходимо решить вопрос об оформлении записи решения задачи.

Возможны три способа оформления решения задачи: составление числового выражения; составление уравнения; по вопросам и действиям (с планом).

Методика оформления решения задач по вопросам и последующим действиям по сравнению с начальными классами не изменилась, и поэтому мы на ней останавливаться не будем.

Рис. 5

Уделим больше внимания способу оформления решения задач с помощью числового выражения.

Здесь необходимо выделить два этапа:

1) обучение этому способу оформления решения;

2) использование данного способа при решении познавательных задач.

При обучении способу записи решения задачи путем составления числового выражения можно, а на первых порах и необходимо, выполнять такую запись только после того, как задача решена по вопросам и последующим действиям.

Например: «Магазин продал в понедельник 148 м ткани, во вторник на 77 м больше, а в среду на 96 м меньше, чем в понедельник и вторник вместе. Сколько метров ткани продали за три дня?»

После анализа текста, краткой записи условия и анализа структуры задачи возможно следующее оформление решения по вопросам и действиям.

1) Сколько ткани продано во вторник?

148 + 77 = 225 (м)

2) Сколько ткани продано в понедельник и вторник вместе?

148 + 225 = 373 (м)

3) Сколько ткани продано в среду?

373 — 96 = 277 (м)

4) Сколько ткани продано за три дня?

148 + 225 + 277 = 650 (м)

Затем можно записать решение задачи только с помощью числового выражения.

В процессе обучения составлению числового выражения иногда необходимы промежуточные записи, которые служат подготовкой к решению задач методом составления уравнения. Например:

В первый день — 148,

во второй — (148 + 77),

в третий — 148 + (148 + 77) — 96.

Всего — 148 + (148 + 77) + (148 + (148 + 77) — 96).

При такой записи решение не распадается на отдельные самостоятельные вопросы и тем самым заставляет ученика вновь возвращаться к тексту задачи. Это оформление служит основой для синтеза задачи. Значение окончательного числового выражения дает ответ на вопрос задачи и одновременно устанавливает зависимость между всеми данными объектами задач.

После того как у учащихся выработается потребность к оформлению решения задач с помощью числового выражения, можно значительно сократить промежуточные записи и руководствоваться только моделью задачи. Например:

Мы уже отмечали, что составление числовых выражений при решении текстовых задач является хорошей подготовкой к решению задач методом составления уравнения.

Решение задач методом составления уравнения вводится в IV классе в конце второй четверти. К этому времени учащиеся довольно свободно должны решать уравнения вида 3х + 7 = 28 или 7х — 2х + 15 = 50 и знать, в чем заключается математическая сущность понятия уравнения.

В методике математики существуют различные точки зрения на использование метода составления уравнения при решении текстовых задач. Одни методисты считают, что данный метод надо вводить только тогда, когда возникают трудности в решении текстовых задач арифметическим путем. Другие считают, что необходимо с помощью группы простых (дидактических) задач показать все принципиальные моменты данного метода (введение неизвестной, уравнивание объектов, запись уравнений и т. п.), а затем решать любые задачи (легкие и трудные) в зависимости от конкретного содержания наиболее подходящим методом. Третьи считают, что необходимо изучить основные математические отношения, заложенные в содержании текстовых задач, а затем в зависимости от конкретной задачи применять тот или иной метод решения.

Авторы учебников для IV—V классов предлагают вводить метод составления уравнения для решения текстовых задач на простых дидактических задачах, с помощью которых можно будет рассмотреть все особенности этого метода. При решении этих задач необходимо научить учащихся находить объекты, которые будут обозначены переменной, устанавливать условия равенства значений простейших выражений, одно или оба из которых содержат переменную.

Например: «У мальчика была 81 копейка. Несколько копеек он отдал на мороженое, после чего у него осталось 63 копейки. Сколько копеек стоит мороженое?»

Решение.

Было у мальчика — 81 коп.

Отдал он — x коп.

Осталось у него (81 — х) коп.

Но в условии сказано, что осталось у него 63 коп. Значит, выражения (81 — х) и 63 имеют одно и то же значение. Два выражения, которые имеют одно и то же значение, равны, значит, 81 — х = 63; x = 81 — 63; x = 18.

Ответ. Мальчик отдал 18 копеек.

При решении задач с дидактическими функциями по формированию метода составления уравнения для решения текстовых задач особое внимание следует уделять устному обоснованию условия равенства выражений, делая при этом значительные акценты на значении выражений как числовых, так и с переменной.

Кроме того, на данном этапе формирования метода весьма плодотворно составление по полученному уравнению обратных задач и задач с другим текстом.

По уравнению 81 — х = 63 можно составить несколько задач разного содержания. Например:

1. Расстояние между двумя городами 81 км. Мотоциклисту осталось проехать 63 км этого расстояния. Сколько километров он проехал?

2. Наташа нашла 81 гриб. Несколько грибов она отдала Люде. После этого у нее в корзинке осталось 63 гриба. Сколько грибов она отдала Люде?

Составляя тексты задач на полученное уравнение, учащиеся начинают понимать, что с помощью уравнения может быть установлена математическая зависимость между какими-то конкретными и различными величинами. Данное обстоятельство весьма важно для математического развития учащихся, для понимания идеи обобщения в математике.

При обучении решению текстовых задач способом составления уравнения необходимо: 1) решение систем задач с дидактическими функциями; 2) специальное изучение математической сущности отношений, заложенных в задачах.

После этого можно решать и более сложные задачи, придерживаясь следующих этапов:

1) анализа текста задачи;

2) краткой записи условия задачи с привлечением переменной;

3) составления модели основного математического содержания задачи;

4) обоснования составления уравнения;

5) решения уравнения;

6) проверки полученного корня уравнения для решения задачи;

7) оформления ответа.

Приводим пример решения одной задачи с соблюдением всех этапов.

«У покупателя было 22,3 руб. В гастрономе он истратил в 6 раз меньше, чем в универмаге. Сколько денег он истратил в универмаге, если у него осталось 1,3 руб.?»

После работы над текстом задачи выясняем, что для ответа на вопрос задачи необходимо знать, сколько денег истратил покупатель в гастрономе. Переменной могут быть обозначены и деньги, истраченные в гастрономе, и деньги, истраченные в универмаге.

Для решения уравнения, а не составления его, удобнее зал: принять деньги, истраченные в гастрономе. Обозначив одну из неизвестных величин буквой, приступаем к краткой записи условия задачи.

x руб. истрачено в гастрономе, 6х руб. — в универмаге, 22,3 руб. было всего, 1,3 руб. — осталось.

Затем даём структуру основного отношения (рис. 6).

Рис. 6

Значения выражений (х + 6х + 1,3) и 22,3 или х + 6х и 22,3—1,3 равны, так как они обозначают одни и те же истраченные деньги, значит, эти выражения можно приравнять:

Проверка полученного корня может быть двоякой. Она может быть вызвана дидактическими требованиями. Например, подставить в уравнение значение корня и произвести вычисления с целью получения вычислительного навыка. При этом одновременно будет выяснено, правильно ли найден корень. Можно предложить составить по некоторым данным обратную задачу, использовав полученный корень, а одну из известных величин приняв за неизвестную и т. п.

Проверка может носить и математическую направленность, если необходимо выяснить, удовлетворяет ли найденный корень математическим действиям, указанным в уравнении. С таким случаем учащиеся IV—V классов не встречаются. Надо учить учеников оценивать реальность полученного результата. Например, если получен ответ 2,7 человека или для перевозки хлеба в одном колхозе требуется 1000 машин, то надо не подставлять этот ответ механически в уравнение, а установить, реален ли он для данной задачи.

Выскажем несколько рекомендаций по оформлению записи решения задач методом составления уравнения.

1. Как можно меньше употреблять слов нематематического языка.

2. Для записи уравнения давать графические обоснования, которые иллюстрировали бы условие равенства двух выражений с опорой на значение этих выражений.

3. Решение уравнения записывать в столбик.

4. Перед проверкой (с дидактической или математической целью) найти все необходимые по условию задачи объекты в соответствии с их обозначением в краткой записи.

5. Ответ записывать не формально, а с текстовым объяснением.

Опыт показывает, что многословная запись решения задачи отвлекает учащихся данного возраста от математической сущности задачи. Выполнив значительную по объему и содержанию работу при решении текстовой задачи, учащийся забывает, что он искал.

Запись ответа с поясняющим текстом заставляет ученика мысленно возвратиться к содержанию задачи и тем самым оценить полученный ответ.

Наконец, еще один вопрос методики решения текстовых задач. Какие задачи каким методом решать?

Дать универсальный ответ на этот вопрос не представляется возможным. В зависимости от конкретного условия ученик должен сам принять решение, каким методом решать ту или иную задачу. Конечно, учитель должен научить учащихся тому, какие задачи проще, рациональнее решать, например, методом составления уравнения. Но если в конкретных заданиях не будет указания на метод решения, учащийся вправе выбрать тот, которым он сумеет решить предложенную ему задачу.

§ 4. Задачи с развивающими функциями

Существенной особенностью нового содержания образования является дифференциация целей применения задач в обучении. Наряду с дидактическими и познавательными задачами в учебниках по математике для IV—V классов выделены задачи с развивающими функциями.

Введение этих задач в учебники, дидактические материалы, книги для учителя создает одну из возможностей для реализации принципов развивающего обучения. Среди задач с развивающими функциями необходимо выделить два типа задач. Первый тип — это задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, а надо применить имеющиеся знания в иной комбинации. От задач, выполняющих познавательные функции, они отличаются тем, что, во-первых, не находятся в тесной связи с изучаемой теорией и поэтому не требуют применения известного общего способа решения, и, во-вторых, содержание их таково, что невозможно применить один какой-то известный алгоритм и тем самым найти решение. Второй тип— это задачи, с помощью и на основе которых приобретаются знания по предмету. К первым относятся так называемые задачи «на соображение» и некоторые виды задач повышенной трудности с оригинальной фабулой, ко вторым — задачи повышенной трудности.

Задачи первой группы имеются в небольшом количестве в учебниках в разделе «Задачи повышенной трудности». Они в основном составляют содержание устных упражнений третьей группы в книгах для учителя. Задачи второй группы помещены в учебниках в разделе «Задачи повышенной трудности».

Такие задачи по возможности надо решать и на уроках. Это связано прежде всего с необходимостью реализации принципов развивающего обучения. Обучение через задачи требует наличия таких задач, которые ставят ученика перед новой ситуацией, заставляющей максимально мобилизовать мыслительную деятельность для поиска решения. При этом нельзя ограничиваться использованием готовых алгоритмов.

Дадим краткий анализ содержания этих задач.

Анализ устных упражнений третьей группы в книгах для учителя показывает, что большинство из них содержит вопрос, направленный на углубление какого-то одного понятия или даже одного свойства понятия. Такие задачи приучают учащихся к краткому, но уже более глубокому анализу математических явлений и тем самым служат более сознательному усвоению изучаемых понятий и в какой-то мере готовят учащихся к решению задач повышенной трудности.

К задачам повышенной трудности можно отнести прежде всего задачи, которые близки к задачам с познавательными функциями, т. е. не содержат новых знаний по предмету, но требуют одновременного применения многих фактов, полученных при изучении теории и при решении дидактических и познавательных задач. Например, (IV класс): «Найдите все натуральные решения неравенства: а) x + x < 2». Ученик должен учесть, что переменная принимает только натуральные значения. А это значит, что 0 сюда не может быть отнесен. Решение приводит к неравенству 2х < 2, что ставит ученика в необычную для него ситуацию невозможности нахождения положительного ответа. Применение алгоритма решения приводит к неравенству x < 1. Ученик должен осмыслить его и сделать вывод: среди натуральных чисел нет значений переменной, удовлетворяющих данному неравенству. Пример, х : 11 < 8, наоборот, заставляет ученика осуществить последовательный перебор всех натуральных значений переменной, кратных числу 11, и получить ответ, так как для решения этой задачи нет жесткого алгоритма.

К таким задачам можно отнести и задачи вида № 1214, а, V класс: «Какой цифрой кончается сумма 26⋅27⋅28⋅29 + 51⋅52⋅53⋅54». Или № 1232, V класс: «Найдите среди чисел вида 3n + 1 три числа, которые кратны 5». К задачам такого же типа можно отнести и задачи на углубление изученных вопросов программы. Это задачи из теории делимости (их особенно много в учебнике V класса) на раскрытие сущности алгоритмов арифметических действий, состава числа и его позиционной записи и др. Все они углубляют знания по предмету, но каждая из них индивидуальна, ни одна не повторяет другую и поэтому требует специального исследования для нахождения решения.

Другим видом задач в этих разделах являются задачи комбинаторного содержания. Понимая важность и необходимость воспитания качеств мыслительной деятельности, связанных с решением комбинаторных задач, авторы включили практические сведения по комбинаторике в содержание конкретных задач. Это задачи вида № 1471, IV класс: «В учреждении стоит 14 канцелярских столов с одним, двумя и тремя ящиками. Всего в столах 25 ящиков. Столов с одним ящиком столько, сколько с двумя и тремя ящиками вместе. Сколько столов с тремя ящиками?» Задачи аналогичного содержания есть и в учебнике для V класса. Решение таких задач требует осуществления перебора различных значений выражений, комбинирования различ-

ных вариантов, что, естественно, способствует развитию мыслительной деятельности.

Можно выделить еще одну группу задач — задачи с историческим содержанием, раскрывающие развитие математики и единство ее методов.

Кроме названных видов задач, есть еще и другие, но их трудно типизировать.

Так как задачи с развивающими функциями оригинальны по содержанию, то уже одно это обстоятельство вызывает у ученика желание искать ответ на вопрос задачи. При решении задач с дидактическими функциями учащиеся раскрывали сущности алгоритмов действий, обучались методам решения текстовых задач, отрабатывали отдельные, наиболее существенные моменты логических и мыслительных операций. При решении задач с познавательными функциями учащиеся обучались на основе сравнительно развернутого анализа и синтеза применять знания в новой ситуации.

Какую же новую деятельность осуществляет учащийся при решении задач с развивающими функциями?

Для решения таких задач необходимо владеть конкретной логической или математической операцией, уметь раскрывать сущность алгоритма, анализировать текст и содержание задачи. Кроме того, необходима продуктивная деятельность, способная оторвать ученика от традиции и известных методических приемов.

Какими методами такую деятельность воспитать, а отсюда и какими методами решать задачи с развивающими функциями?

Выше мы отметили особенности задач с развивающими функциями в зависимости от их предметного содержания. Но задачи этой группы существенно отличаются от всех других задач и процессом поиска решения, так как ученику приходится находить общие принципы решения таких задач и применять эти принципы к конкретной ситуации.

Какую деятельность осуществляет ученик, чтобы найти эти общие принципы решения?

Вначале ситуация задачи мобилизует ученика на действия интуитивного характера, в процессе выполнения которых появляется возможность выделить более конкретную область поиска.

Трудно указать какой-то универсальный метод, овладев которым человек мог бы сказать, что его интуитивные действия приведут к желаемым результатам. В этом смысле прав Д. Пойа, когда пишет: «Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» и далее: «Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, старайтесь подмечать в задаче, которую вы решаете, то, что сможет пригодиться и в будущем, при решении других задач. Решение, найденное в результате собственных усилий, и то, с которым вы познакомились по книге, или то, которое вы выслушали (но обязательно с живым интересом и стремлением проникнуть в суть дела), может превра-

титься в метод, в образец, которому с успехом можно следовать при решении других задач»1.

Чтобы научить решать задачи повышенной трудности, задачи, способствующие развитию, надо особое внимание уделить поиску решения и самому процессу решения, а для этого надо воспитывать интерес к решению задач. Воспитанию такого интереса способствует содержание задачи, а также организация всей деятельности, направленной на поиск решения. «Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний является важным активом решающего задачу. Хорошая организация этого запаса, открывающая легкий доступ к знаниям, может оказаться даже более важной, чем уровень знаний. Как бы там ни было, излишек знаний иногда вредит, мешая решающему заметить простой подход к задаче; хорошая же организация знаний всегда только полезна»2, — пишет Д. Пойа. К таким знаниям, кроме знаний содержания предмета, которые составляют основу отношений между известными и неизвестными компонентами задачи, т. е. составляют структуру содержания задачи, относятся знания специфики процесса решения задачи. Это и последовательное соблюдение этапов решения задачи, и возможные наглядные приемы иллюстрации зависимости, и отнесение задач к определенному виду, и знание методов решения, и т. п.

Если эти знания будут систематизированы, то они значительно облегчат поиск решения задачи, но не дадут гарантии успеха. Наиболее важным здесь является личный опыт учащегося в решении задач. Поэтому основным в методике решения задач, выполняющих развивающие функции, является создание интереса у учащихся к решению задач, поощрение учащихся, отыскивающих оригинальные решения традиционных задач и решающих задачи повышенной трудности.

Весь комплекс мер: теоретические знания, опыт решения задач с познавательными и дидактическими функциями, продуманная организация фактов и т. п., — все направлено на выработку более содержательной интуиции. Наличие последней у решаемого есть залог успеха в выполнении действий интуитивного характера, существенно необходимых для выдвижения конкретной (или конкретных) гипотезы решения задачи. Сущность интуитивного поиска описать нельзя. Покажем на конкретной задаче (V класс) всю трудность данного вопроса.

«Туристы увидели огромную стену. Ее длина 20 м, высота 3 м, а масса 1,8 т. Может ли ветер опрокинуть эту стену, если 1 см3 стены имеет массу 3 г?»

В каком направлении вести поиск решения, какие выдвигать гипотезы для проверки? Трудно дать общий ответ. В этой задаче есть такие «подкупающие» данные, как 1,8 т, масса 1 см3 — 3 г. Казалось, напрашивается ответ, что не опрокинет. Однако... И как только возникло однако, начинается поиск.

1 Д. Пойа. Математическое открытие. М., 1970, с. 13.

2 Там же, с. 270.

Может быть, масса, приходящаяся на единицу площади, сможет дать аргументированный ответ? Но для этого надо знать толщину стены. А может знание толщины стены поможет найти ответ на вопрос задачи? Так или иначе ученик на основе здравого смысла, содержательной интуиции (процессов, не управляемых логически) приходит к различным вариантам решения задачи.

Затем начинается следующий этап процесса решения. Необходимо найти логические или математические операции, которые помогут убедиться, правильно ли была выдвинута гипотеза. Для того чтобы найти толщину стены при известной длине и высоте, необходимо знать объем стены. В задаче известна масса 1 см3, значит, можно узнать и массу 1 м3. Она равна 3 т. Чтобы узнать объем стены, надо всю ее массу разделить на массу 1 м3, т. е. 1,8 : 3 — 0,6 (м3). Дальше не трудно узнать толщину стены: 0,6 : (20⋅3) = 0,01 (м). Значит, стена высотой 3 м и длиной 20 м имеет толщину 1 см. Несомненно, ветер такую стену опрокинет.

После того как найдены логические или математические операции для подтверждения выдвинутых гипотез, задача по методам решения мало чем отличается от решения задачи с познавательными функциями.

Выскажем еще несколько общих замечаний относительно методики работы с задачами развивающего содержания. Никакой подготовки для их решения проводить не следует. Требовать, чтобы такие задачи обязательно решали все учащиеся, тоже неправомерно, так как задачи в этом случае утратят свои функции. Но надо создавать своеобразный культ решения задач повышенной трудности. Предварительный анализ этих задач должен осуществляться в классе. Затем задача может быть задана на дом, но не обязательна для всех. Разбор решения желательно провести в классе. У учащихся, не решивших задачу, нужно вызвать живой интерес, о котором пишет Д. Пойа. В результате такой систематической работы одни ученики будут решать все задачи, другие — только отдельные, третьи — примут участие в обсуждении готовых решений, но все как-то будут приобщены к процессу решения развивающих задач. Организация такой работы — это фактически организация подлинного творчества учащихся. Учитель должен знать возможности и интересы учеников и быть внимателен к каждому из них.

Опыт показывает, что как анализ, так и прослушивание решений лучше проводить в конце урока. Большинство задач с развивающими функциями нельзя решить известными учащимся методами (методом составления уравнения, числового выражения, по вопросам и действиям), поэтому для каждой задачи надо находить и свою форму записи решения. В одном случае это будет таблица, в другом — несколько различных выражений, в третьем — повествовательное описание. Главное же, чтобы ученики в процессе решения таких задач учились рассуждать, догадываться, делать умозаключения.

Глава IV. Методы обучения математике в IV—V классах

Новое содержание математического образования и несколько иные цели изучения математики несомненно оказывают влияние и на выбор методов обучения, которые должны обеспечивать выполнение поставленных целей.

Мы разделяем точку зрения тех дидактов, которые считают, что в основу классификации методов должен быть положен уровень самостоятельной деятельности учащихся. Так как деятельность учащихся может быть репродуктивная (воспроизводящая) и продуктивная (творческая), то и методы будут обусловлены именно той или иной деятельностью.

Ранее (см. гл. I, § 2) мы отмечали, что сейчас в цели обучения математике в IV—V классах одновременно с приобретением знаний по предмету органически включается и обучение приемам деятельности («учить ученика учиться»). Поэтому, наверное, нет необходимости противопоставлять методы обучения, формирующие репродуктивную и продуктивную деятельность, так как никакая творческая познавательная деятельность невозможна без воспроизведения ранее усвоенных знаний, без опоры на них. В свою очередь, в воспроизведении присутствуют какие-то элементы творчества. Воспроизведение и творчество — две стороны единого процесса познания. Поэтому одной из главных задач любой методики обучения, в том числе и методики обучения математике, является поиск методов обучения, которые обеспечивали бы органическое единство репродуктивной и творческой деятельности школьников.

Курс математики IV—V классов построен индуктивно. Содержание основных понятий раскрывается в ходе решения и анализа дидактических задач, что несомненно оказывает влияние на выбор методов обучения. Кроме того, в учебниках представлены познавательные задачи, в процессе решения которых у учащихся формируется иная познавательная деятельность, чем в том случае, когда задача решается по известному образцу (тренировочные задачи).

Таким образом, содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.

Остановимся на следующих методах обучения математике в IV—V классах: объяснительно-иллюстративном, частично-поисковом, проблемном рассказе и решении познавательных задач. В процессе раскрытия каждого из названных методов выскажем предложения, каким методом лучше изучать тот или иной учебный материал, какие формы лучше использовать, чтобы наиболее полно развивалась как репродуктивная, так и продуктивная деятельность учащихся.

§ 1. Объяснительно-иллюстративный метод

Чтобы учащиеся овладели знаниями и приобрели умения и навыки выполнения типичных действий, достаточно использовать объяснительно-иллюстративный метод обучения, который может быть реализован в виде рассказа, чтения учебной книги, показа учебного фильма или диафильма с комментированием учителя, решения тренировочных задач по готовым образцам.

Целый ряд понятий курса математики IV—V классов может быть введен объяснительно-иллюстративным методом.

Каким же должен быть учебный материал и какие цели при его изучении могут быть поставлены, чтобы можно было рекомендовать объяснительно-иллюстративный метод обучения?

Прежде всего к такому материалу относятся сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение, например: законы арифметических действий во всех числовых множествах; алгоритмы четырех арифметических действий во множестве натуральных чисел; решение тренировочных задач на формирование прочного навыка выполнения арифметических действий на основе многократного воспроизведения однотипных действий (уже не только во множестве натуральных чисел).

Этим методом может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением (а возможно и конкретной иллюстрацией) основного материала, изученного, например, частично-поисковым методом. К такому материалу можно отнести числовые выражения, сравнение углов (после сравнения отрезков и фигур), упрощение выражений, координаты точек на прямой (после координатной прямой), приведение подобных слагаемых (после вынесения множителя за скобки), сравнение дробей с одинаковыми знаменателями (после изучения сравнения натуральных чисел и десятичных дробей) и др.

Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы — решение уравнений и неравенств, нахождение значений числовых выражений с переменной.

Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом — довести знание учащимися правил, законов, алгоритмов и т. п. до уровня навыка.

Покажем, какими формами осуществляется обучение объяснительно-иллюстративным методом.

Одной из основных форм является рассказ учителя, иногда с привлечением картин, графиков, диапозитивов, кинофильмов и т. п., позволяющий в небольшой промежуток времени систематизированно изложить достижения науки и практики по тому или иному вопросу.

Рассказ учителя должен удовлетворять ряду требований.

1. Так как учащиеся данного возраста не умеют долго слушать однообразное изложение, то рассказ учителя должен быть в пределах 5—7 минут.

2. Основные моменты сообщаемого материала необходимо выделять логическими ударениями и весьма желательно фиксировать их на доске (в виде формул, чертежей, рисунков, иллюстраций и т. п.).

3. Для выяснения понимания излагаемого материала во время объяснения можно задавать учащимся вопросы.

4. Для рассказа желательно выбрать один существенный факт и раскрыть его в процессе изложения. Второстепенные моменты могут быть сообщены в процессе закрепления и применения этого факта.

5. Учитель может сам рассказать решение какой-либо задачи, привести все требуемые рассуждения и обоснования, показать образцы записи решения.

6. Речь учителя должна быть логически безупречной и доступной пониманию учащихся. На рассказах учителя ученики должны учиться связно излагать свои ответы.

В процессе рассказа учитель может эпизодически привлекать учащихся к выяснению отдельных фактов, но это не обязательно для данной формы обучения.

Не менее важной является организация самостоятельной деятельности учащихся по усвоению знаний. Только прослушивание учеником рассказа учителя, повторение рассказа при чтении текста учебника дома и воспроизведение на следующем уроке значительно обедняет этот метод и его конкретную форму — рассказ учителя. Такой подход приводит к искусственному противопоставлению продуктивной и репродуктивной деятельности учащегося. Поэтому учитель должен продумывать формы деятельности учащихся по усвоению знаний. К числу таких форм можно отнести составление плана прочитанного дома раздела учебной книги или рекомендованной дополнительной литературы; расписывание поэтапно алгоритма того или иного действия; приведение (письменно или устно) обоснований этапов алгоритмов решения уравнения, нахождения значений числовых выражений и т. п.; составление текстов задач на данное уравнение; нахождение конкретных примеров к изученному теоретическому материалу.

Все эти формы позволяют учащемуся сознательно использовать полученные сведения, осмыслить их в новых проявлениях и тем самым прочнее запомнить и понять.

Приведем два примера, показывающие, как на основе рассказа учителя может быть организована самостоятельная работа учащихся.

I. Урок по изучению свойств действия умножения десятичных дробей.

В рассказе учителя были отмечены следующие моменты: а) показана аналогия в действиях умножения натуральных чисел и десятичных дробей; б) воспроизведены законы (свойства) умножения натуральных чисел; в) на частных примерах показана справедливость законов для десятичных дробей; г) сделан вывод на основе объединения выводов из пунктов а) и в).

Для самостоятельной деятельности можно предложить:

1) придумать геометрическую иллюстрацию, показывающую справедливость, например, переместительного закона умножения или свойства нейтрального элемента действия умножения;

2) объяснить алгоритм умножения десятичных дробей на основе позиционной записи десятичных чисел и законов этого действия;

3) ряд упражнений, показывающих рационализацию вычислений в случае, когда применяли законы;

4) составить план ответа по данному вопросу.

Предложенные виды работы могут быть частично выполнены в классе, частично заданы на дом. Весь же комплекс в целом: рассказ учителя, решение задач в классе, организация самостоятельной работы учащихся с помощью указанных выше заданий и самостоятельное решение задач создаст вполне благоприятные условия для глубокого и прочного усвоения свойств действия умножения десятичных дробей.

II. Урок по изучению действия сложения чисел с разными знаками.

Ученики уже обучены сложению чисел с разными знаками с помощью координатной прямой. На данном уроке надо только показать и закрепить алгоритм сложения таких чисел.

Во время анализа двух задач, которые приведены в объяснительном тексте учебника, учитель четко формулирует алгоритм:

1. Определить, модуль какого из двух складываемых чисел больше.

2. Поставить у суммы знак такой же, как у числа с большим модулем.

3. Из большего модуля вычесть меньший.

4. После ранее поставленного знака записать модуль разности.

Какую можно организовать деятельность учащихся, чтобы усвоить данный алгоритм? Деятельность эта будет в основном репродуктивного содержания: нахождение значений числовых выражений, выражений с переменной, решение уравнений и т. п. При таких заданиях учащийся должен в разных предметных ситуациях выполнять одну и ту же работу — закреплять алгоритм. В результате ученик убеждается, что алгоритм помогает экономно организовать учебные действия и вся деятельность в результате этого становится ясной.

Мы привели два примера для того, чтобы показать, что в зависимости от содержания и целей обучения при одном и том же методе и

одной форме изучения материала можно организовать различную самостоятельную работу учащихся. Такой подход позволяет наиболее оптимально соединять репродуктивную и продуктивную деятельность учащихся.

Второй формой работы, которую можно рекомендовать при объяснительно-иллюстративном методе, является чтение учебной книги.

Какой материал может быть рекомендован для самостоятельного изучения?

Прежде всего материал, являющийся продолжением основного, изученного ранее частично-поисковым методом. Кроме того, это может быть и новый материал, но изложенный в самом учебнике так, что нет необходимости в дополнительных средствах по его изучению.

Самостоятельное изучение материала по учебнику может быть организовано различно.

После того как учащиеся прочтут текст, можно предложить им план предполагаемого ответа; можно задать основные вопросы или попросить учащихся самим сформулировать их; можно предложить решение упражнений, опирающихся на теорию, и попросить найти в тексте обоснование всем существенным (или выделенным специально) моментам задачи и т. п.

Рассмотрим, как, например, с помощью учебника может быть изучено раскрытие скобок и заключение в скобки в V классе.

Можно предложить учащимся прочитать первую половину текста п. 24 учебника самостоятельно, поскольку здесь идет речь об уже известных учащимся фактах (раскрытие скобок, когда перед ними стоит знак «+»). Предварительно дается задание обратить внимание на следующие вопросы:

1. Если перед скобкой стоит знак «+», то почему можно его опустить? Изменятся ли при этом знаки перед числами?

2. Если надо несколько слагаемых объединить (взять в скобки), то как это преобразование выполняется? Изменятся ли знаки перед числами, если в результате заключения в скобки перед скобками будет стоять знак «+»?

После работы с учебником можно фронтально в классе выяснить понимание прочитанного с помощью поставленных вопросов.

Самостоятельная деятельность учащихся может быть организована в любой форме в зависимости от конкретного содержания учебного материала.

Можно рекомендовать еще одну форму: просмотр кинофильмов или диафильмов. Показав ученикам кинофильм или диафильм по тому или иному вопросу с соответствующим комментарием, учитель должен организовать самостоятельную работу учащихся по глубокому и прочному усвоению знаний.

Заканчивая разговор об объяснительно-иллюстративном методе, остановимся на свойственных ему формах обратной связи и проверки знаний учащихся. Простое воспроизведение выученных фактов не даст должных результатов. Необходимо, чтобы проверка знаний и умений учащихся содержала в себе такие формы, которые заставляли

бы ученика проявлять свое отношение к изучаемому материалу.

Такие знания, как формулы, законы, определения, ученики несомненно должны уметь воспроизвести. Если ученик затрудняется своими словами (совсем не обязательно как в учебнике) воспроизвести, например, формулу процентов А = N/100⋅Р или переместительный закон умножения, то говорить о применении знаний нельзя, так как пока нечего применять.

Чтобы выяснить, может ли ученик воспроизвести изученный материал, применяют различные формы проверки знаний. Одной из них является устный опрос учащихся (фронтальный или индивидуальный). Его желательно проводить, начиная с устных упражнений и кончая творческими работами. В рассматриваемом случае более приемлем фронтальный опрос.

Индивидуальный опрос учащихся при современных темпах ведения урока вызывает большие трудности у учителей. Однако он должен быть организован так, чтобы каждый ученик не менее двух раз в четверть отвечал на специально поставленный вопрос или самостоятельно решал задачу. Для того чтобы такой опрос достигал цели, а именно ставил ученика в ситуацию, заставляющую его дать ответ в виде связного рассказа, подтвердить теоретические положения практическими примерами, делать выводы и т. п., необходимо тщательно продумывать формулировку вопросов и заданий учащимся.

Например, можно поставить вопрос так: «Расскажите все, что вы знаете о приведении подобных слагаемых». Ученик в лучшем случае перескажет соответствующий параграф учебника. Если же учитель предложит учащимся выделить все этапы алгоритма приведения подобных слагаемых, то учащийся должен будет осмыслить содержание пункта 32 учебника V класса и ограничиться пересказом его не сможет.

Итак, формулируя вопрос или задание при устном индивидуальном опросе, учитель должен самим вопросом направить ученика на продуктивную деятельность и тем самым создать условия для более осознанного изучения предмета.

Если проверяется понимание определения понятия, то вопрос должен нацеливать ученика на выяснение характеристических свойств определения, а не на механическое его воспроизведение.

Ответы учеников должны быть краткими и их ценность зависит от глубины раскрытия изучаемого понятия. Ученики IV—V классов должны понимать, какой ответ должен следовать на вопрос. Если речь идет об определении, то надо раскрыть основные (характеристические) признаки и привести примеры, раскрывающие объем определения. Рассказывая об алгоритме, надо показать этапы алгоритма и, если это возможно, дать им обоснование. Решая задачу, необходимо обосновать составленное уравнение и т. п.

Во время проведения устных индивидуальных опросов важно, чтобы работал весь класс. Некоторые учителя для этого предлагают

ученику предварительно подготовить ответ на откидной доске. Класс в это время выполняет какую-либо фронтальную работу (решает устные упражнения или повторяет материал). Другие учителя дают возможность учащемуся подготовиться за партой, а затем выслушивают ответ у доски. Не трудно видеть, что при проверке знаний тоже может быть элемент, заставляющий ученика выполнять не только репродуктивную деятельность.

Большое значение для создания оптимального темпа работы имеет своевременная обратная связь. При решении устных упражнений, особенно первой группы, всегда важно иметь полную информацию об их выполнении всеми учащимися. Особенно это имеет значение, когда упражнения носят пропедевтический или тренировочный характер. Опыт лучших учителей математики показывает, что организовать такую обратную связь можно с помощью индивидуальных дощечек.

Другой формой фронтальной проверки знаний являются контрольные работы. О конкретном содержании контрольных работ будет идти речь в параграфе о дифференцированном обучении, здесь же отметим только некоторые организационные вопросы.

Во-первых, в содержание контрольных работ необходимо включать теоретические вопросы и вопросы, требующие обоснования выполняемых действий и преобразований.

Во-вторых, любая проверочная работа, в том числе и контрольная, не должна расцениваться как исключительное событие, к которому надо специально готовиться и о котором надо специально предупреждать учащихся.

В соответствии с календарным планом в IV и V классах учащиеся должны в течение учебного года выполнить 30—32 контрольные работы. Контрольная работа один из видов самостоятельной работы, и ученики всегда должны быть готовы продемонстрировать свои знания.

Итак, объяснительно-иллюстративный метод может применяться при изучении многих вопросов учебного материала и давать вполне положительные результаты, если при этом будет организована самостоятельная познавательная деятельность учащихся и определенным образом осуществляться проверка знаний.

§ 2. Частично-поисковый и проблемный методы

Объяснительно-иллюстративный метод имеет ряд положительных сторон, однако при его применении ученик остается в значительной мере пассивен. Как бы ученик ни был внимателен, как бы ни наблюдал за работой учителя, он сам при этом не выполняет творческой работы. Если в процессе изучения нового материала мы поставим ученика перед необходимостью выполнять поисковую работу, заставим его в основном самого добывать новые знания, то они будут особо ценны и составят фундамент знаний по предмету. Поэтому основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обес-

печивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся.

К числу таких методов, вполне применимых в IV—V классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом можно изучить следующие понятия: множество, переменная, выражение с переменной, равенство, верное и неверное равенство, уравнение и неравенство, сравнение чисел, числовая прямая, действия сложения и умножения в каждом из числовых множеств и т. п.

Учащийся под руководством учителя при частично-поисковом методе изучения материала становится причастным к поиску метода выяснения закономерности. Затем, используя найденный метод, проверяет или доказывает (не обязательно логической цепочкой умозаключений) правильность высказанного предположения, переносит полученный вывод на новые факты.

При использовании этого метода изучения нового материала обычно соблюдается следующая последовательность действий учителя и ученика.

1. Вначале решаются дидактические упражнения с целью организации наблюдений и простейшего анализа для выяснения какой-либо закономерности (свойства понятия, сущности метода решения, особенности алгоритма действия и т. п.). Вот почему важно, чтобы дидактические упражнения в каждом конкретном случае наиболее полно раскрывали структуру понятия.

2. Затем в процессе решения дидактических упражнений учитель ставит дополнительные вопросы и задания к ним для выяснения всех доступных учащимся сторон изучаемого понятия, раскрытия связей, зависимостей, противоречий.

3. На основе наблюдений и анализа решений дидактических упражнений, выяснения свойств и зависимостей изучаемых понятий учащиеся под руководством учителя делают вывод о формируемом понятии, формулируют определение или правило действия, устанавливают связь изучаемого понятия с ранее изученным, характеризуют основные свойства метода, отмечают специфические виды деятельности.

4. Последний этап в этой последовательности — решение упражнений на применение полученных знаний о понятии или правиле, т. е. перенос знаний в новую ситуацию.

Выработка окончательного навыка применения понятия в названную последовательность не входит, так как это самостоятельная методическая задача, которая не включается в изучение нового материала.

Проследим применение данного метода на примере формирования понятия координат точек прямой.

В учебнике вначале дается определение этого понятия, а затем приводится 11 упражнений. Первые 3 упражнения можно рассматривать как дидактические.

При решении этих упражнений выясняется, что при определенной единице масштаба, выбранной на координатной прямой, каждому из-

вестному учащимся V класса числу (натуральному, дробному, целому и дробному отрицательному) соответствует определенная и единственная точка. Число, соответствующее точке с учетом единицы масштаба координатной прямой, называют координатой точки на числовой прямой и записывают А (2) или В (—3,2), что означает: точка А с координатой 2 или точка В с координатой минус 3,2.

Для формирования отмеченных характеристик понятия координаты точки прямой достаточно подробно рассмотреть только три названных выше упражнения:

1. Запишите координаты точек О, A, B, С, D, Р, К, M и Е. Начало отсчета — точка О (рис. 7).

Рис. 7

2. Изобразите на прямой точки А (1); В (8,3); С (—6); D (6); M(-2,4); K(2,4).

3. Треугольный флажок находится в точке с координатой —2, а прямоугольный — в точке с координатой 2. Найдите начало отсчета и единичный отрезок. Запишите координаты точек В, С и D (рис. 8).

Рис. 8

Если только ответить на вопросы упражнений и не поставить уточняющих и раскрывающих существо понятия вопросов, то нельзя получить отчетливой картины относительно вводимого понятия. Так, решая упражнение 1, учащиеся визуально устанавливают, что точка О соответствует числу 0 и по аналогии записывают все остальные ответы. Если же к этому упражнению поставить вопросы: 1) изменятся ли координаты указанных точек, если начало отсчета поместить в другом месте на данной координатной прямой, а точки оставить на своих местах; 2) изменятся ли координаты точек, если начало отсчета и положение точек оставить на месте, а изменить единичный отрезок (масштаб); 3) изменятся ли координаты точек, если изменить и единичный отрезок, и начало отсчета, то ученик должен осознать, что значит число соответствует определенной точке прямой, именно определенной, а не произвольной, и от чего зависит эта определенность.

Ответов, подкрепленных конкретными данными (координатами точки, длиной отрезка координатной прямой и т. п.), от учащихся на первых порах можно не требовать, но общие характеристики (поло-

жение точки относительно начала отсчета, точка ближе или дальше от начала отсчета и т. п.) они должны увидеть при обдумывании ответов на поставленные вопросы. Учащиеся должны понять, что координаты точек на прямой зависят от начала отсчета и величины выбранного единичного отрезка (масштаба).

Если аналогичные вопросы поставить и к упражнению 2, то тогда упражнение 3 будет итогом двух первых и после выполнения всех трех упражнений можно будет сделать общий вывод. Указать координаты точек на прямой можно только определив начало отсчета, выбрав единичный отрезок, и следовательно, проградуировав прямую, т. е. каждому числу поставив в соответствие точку.

При частично-поисковом методе изложения материала одной из основных задач учителя математики при подготовке уроков является установление достаточно полной системы дидактических задач, четкое продумывание вопросов, а если есть необходимость, то и дополнительных заданий, с помощью которых из дидактических задач можно получить наиболее полный и осознанный вывод относительно формируемого понятия или правила. Чтобы решить, какие вопросы и дополнительные задания учитель должен поставить при работе с системой дидактических задач, необходимо:

1. Знать современную, принятую учебником трактовку того или иного математического понятия или правила; четко разграничивать, какие свойства понятия надо сознательно сформировать в данном классе, а с какими только познакомиться, а о каких вообще не упоминать.

2. Знать методическую концепцию учебника. Все упражнения рассматривать исходя из этой концепции. В противном случае можно поставить вопросы, которые вообще будут правильными, но противоречащими методическому содержанию учебника, а значит, отвлекающими от существа изучаемого материала.

Например, вводится понятие модуля числа. В учебнике дано несколько упражнений. Выделим из них только дидактические.

1. Найдите модуль каждого из чисел: 81; 1,3; —5,2; —1,5; 52; 0. Напишите соответствующие равенства.

2. Найдите расстояние от начала отсчета до каждой из точек А (3,7); В (—7,8); С (—200); D (315,6); Е (0).

3. Найдите: а) отрицательное число, модуль которого равен 25; 4; 7,4.

Модуль числа вводится с помощью координатной прямой и определяется как расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу.

Следовательно, все вопросы и дидактические упражнения, исходя из этого определения, должны быть такого содержания, которое показывает, что расстояние на координатной прямой не зависит от направления отсчета. Вопросы, направленные на выяснение независимости расстояния от направления на координатной прямой, должны преследовать цель соединения понятий «расстояние» и «модуль числа». Поэтому к названным дидактическим упражнениям в ос-

новном могут быть поставлены вопросы только следующего характера: 1. На каком расстоянии от начала отсчета на координатной прямой будет находиться точка, соответствующая числу 81 ? 2. На каком расстоянии от начала отсчета будет точка, соответствующая числу —81? 3. Есть ли какая-либо разница в расстояниях на координатной прямой от 0 до чисел 81 и —81? При этом вопросы, непосредственно не относящиеся к соединению понятий «расстояние» и «модуль числа» и выяснению сущности модуля числа, не должны ставиться.

Большое значение для всестороннего раскрытия содержания изучаемого материала, установления осознаваемых учащимися связей имеют вопросы и задания с негативными ответами. Рассмотрение таких примеров позволяет учащимся более отчетливо видеть, при каких условиях понятие или правило справедливо, а при каких эта справедливость нарушается, и, следовательно, более осознанно отвечать на всевозможные «почему»?

В каких формах может осуществляться частично-поисковый метод?

Прежде всего — это эвристическая беседа, затем специально организованное чтение учебной книги, проблемный рассказ учителя с соответствующей самостоятельной деятельностью учащегося. Возможны и другие формы: просмотр фильмов и диафильмов, самостоятельная работа и т. п.

Раскрывая сущность частично-поискового метода, мы фактически отметили наиболее важные особенности эвристической беседы и здесь остановимся только на двух моментах.

Первый момент: какими должны быть вопросы, обращенные к ученикам в процессе работы над дидактическими задачами, чтобы заставить их осуществлять творческую деятельность? Прежде всего такими, в которых сталкиваются противоречия (см. вопросы к формированию понятия модуля числа) и которые заставляют активно мыслить и требуют установления сходства и различия.

Вопросы на установление причинно-следственных связей, требующие обоснованного выбора нескольких возможностей, заставляют ученика творчески осмысливать все частности решенных дидактических задач и искать единственно правильный вывод.

Второй момент: как учитель должен готовиться к уроку, или более конкретно, какой у него должен быть план урока?

Раньше планы уроков многих учителей были характерны тем, что в них записывали вопросы индивидуального опроса учащихся, решение задач и, если на уроке проводилась самостоятельная работа, ее текст.

Теперь же, когда текстовых задач (этот термин мы употребляем в традиционном смысле) стало значительно меньше и по структуре они стали более проще, у учителя отпала необходимость записывать их решение в плане урока. Самостоятельные работы даны в дидактических материалах. Приводить решения дидактических задач в плане, в силу их простоты, тоже нет необходимости.

Невольно встает вопрос: каким должен быть план урока учителя, если понятие изучается частично-поисковым методом?

Естественно, в плане остаются без изменения такие пункты, как повторение, опрос, задание на дом. Однако пункт изучения нового материала будет существенно отличен.

Во-первых, в этом пункте должна быть указана полная система дидактических задач. Если она достаточно полная в учебнике, то можно ограничиться указанием номеров задач из учебника, если неполная, то в плане приводятся недостающие задачи.

Во-вторых, что наиболее важно, в плане должны быть записаны все дополнительные вопросы и задания, стимулирующие познавательную деятельность учащихся при изучении понятия. Надеяться на импровизацию на уроке не следует. Вопросы должны выяснять основную закономерность формируемого понятия и соответствовать конкретным дидактическим задачам.

В-третьих, в плане должны быть зафиксированы те основные выводы, которые учитель будет стремиться получить на основе организации познавательной деятельности учащихся, а также конкретные задания для самостоятельной работы учащихся.

Второй формой, реализующей частично-поисковый метод, является чтение учебной книги.

Чем отличается при данном методе чтение учебника от рассмотренного ранее? Прежде всего организацией этого чтения.

Вот, например, как можно организовать изучение вычитания десятичных дробей с помощью самостоятельного чтения учебной книги.

Вначале на доске появляются вопросы: 1. Что значит вычесть из числа а число b? 2. С каких долей начинаем вычитать? 3. Объясните, как вычитаем: а) 3,2 — 1,8; б) 1 — 0,25 и т. п.

Затем учитель говорит, что на все эти вопросы учащиеся смогут найти ответ, прочитав соответствующий пункт учебника. После прочтения учебника учитель возобновляет беседу по тем же вопросам, включая дополнительные задания, и получает необходимый вывод для ответа на вопрос, как вычитаются десятичные дроби.

Конечно, и после эвристической беседы, и после определенным образом организованного чтения учебной книги, и после просмотра диафильма необходимо, так же как и при объяснительно-иллюстративном методе, организовать самостоятельную работу учащихся. Можно применять и те формы ее, которые были отмечены нами в предыдущем параграфе. Специфическими для данного метода являются такие формы, как: 1) составление самостоятельных обобщений и выводов на основе системы дидактических задач и поставленных к ним вопросов; 2) самостоятельное формулирование вопросов, вскрывающих общие закономерности изучаемого понятия и другие аналогичные задания.

Приведенные выше формы организации самостоятельной работы заставляют ученика осуществлять подлинно творческую деятельность и служат более глубокому проникновению в суть изучаемых вопросов.

При применении частично-поискового метода затрачивается значительно больше времени, чем, например, при рассказе учителя. Тщательное продумывание системы задач с дидактическими функциями, вопросов к ним и предполагаемых выводов значительно экономит время на уроке и тем самым обеспечивает эффективность применения этого метода.

Непосредственным расширением частично-поискового метода является проблемный рассказ учителя. Таким методом могут быть изучены принципиально новые вопросы. При их изложении можно проследить за процессом добывания знаний по конкретному вопросу в науке, выдвинуть гипотезу (проблему), показать, как было найдено решение вопроса.

В процессе такого рассказа ученики вместе с учителем должны пройти основные моменты открытия. В IV—V классах такие уроки должны быть, так как на них можно проследить за логикой открытия закономерностей в науке. Данный метод может быть применен как к решению отдельных познавательных задач, так и к введению наиболее важных вопросов предмета. Этим путем можно ввести понятие отрицательного числа, координатной плоскости и другие вопросы курса математики IV—V классов.

Например, при введении координатной плоскости можно рассказать, как происходила эволюция координатного метода: вначале координаты употребляются в астрономии и географии, как широта и долгота на небесной сфере и земном шаре, затем в XIV веке французский математик Н. Оресм использовал координаты на плоскости, наконец Декарт вводит координатную плоскость для изображения формул и полностью раскрывает сущность координатного метода.

Наконец, элементы проблемного изложения могут найти широкое применение при решении познавательных задач. Методика их решения показана нами в предыдущей главе.

Итак, применение частично-поискового метода с привлечением элементов проблемного изложения (проблемный рассказ и решение познавательных задач) существенно пополняет и расширяет арсенал традиционных методов изучения математики в IV—V классах, в значительной мере способствует развитию продуктивной деятельности учащихся.

§ 3. Методы введения определений

Научно-техническая революция требует изменения содержания школьного образования по математике и в вопросах логической подготовки учащихся.

Повышение логического уровня образования необходимо как для внутренних потребностей самого образования, так и в связи с проникновением в повседневную практику электронно-вычислительных машин. Ведь «...машина не может поправить данный ей заказ

при помощи здравого смысла и интуиции. С ней надо разговаривать на языке, обладающем определенностью и ясностью»1.

Переход на новое содержание математического образования характерен тем, что школьный курс математики стал более совершенным с точки зрения логического построения. Курс математики восьмилетней школы не построен по принципу дедуктивной теории. Однако сущность этого принципа постепенно раскрывается при изучении геометрии, и в конце VIII класса появляется возможность показать его применение в планиметрии.

Улучшение логического построения школьных курсов математики выражается не только в попытке построить дедуктивный курс, но и в более корректном изложении отдельных понятий и всего учебного материала, а также в системе работы с ними. Все эти меры должны повысить общую логическую культуру учащихся. Корректность изложения наблюдается прежде всего в более четком и ясном введении определений; вычленении конкретного круга предложений, которые будут доказываться; более аргументированном построении цепи умозаключений при доказательстве; последовательном применении теоретико-множественной терминологии и символики. После такой логической подготовки можно будет показать пример построения дедуктивной теории.

Введение в школьный курс математики теоретико-множественных понятий облегчило процесс формирования основных логических правил и создало благоприятные условия для их применения на протяжении всего курса математики средней школы.

Остановимся на первом этапе повышения логического уровня школьного курса математики — формировании определений понятий.

При работе по старой программе формированию определений придавалось большое значение. Однако они не занимали такого места в общей структуре предмета, как сейчас, и чаще всего удовлетворяли локальным нуждам темы или какого-то конкретного вопроса. Например, давалось логически грамотное определение угла, но рассматривалось оно только в темах и вопросах, связанных с изучением угла.

Построение курса геометрии как дедуктивной теории или хотя бы «модели» одной темы требует иного введения определений. Ученик в конечном счете должен понять, чем отличается определяемое понятие от неопределяемого, каково место определений в ряду различных предложений, используемых при построении дедуктивной теории, наконец, как применяются определения при доказательстве теорем, должен будет усвоить еще и «механизм» получения определений.

Решить эти две задачи, т. е. сформировать определения для использования в локальных условиях и для построения дедуктивной теории, можно только при понимании назначения каждой из них.

Таким образом, четкое с логической точки зрения введение опре-

1 А. Н. Колмогоров. Современная математика и математика в современной школе. «Математика в школе», 1969, № 3.

делений есть органическое требование, заложенное в содержании современных школьных курсов математики.

Одним из существенных моментов методики обучения математике по новым программам является усиление внимания к сознательному пониманию учащимися изучаемого материала. Применительно к определениям это значит, что ученик должен понимать, что такое определение, по каким правилам логики оно получается, как его использовать в практике, какова его роль при дедуктивном построении предмета.

Естественно, решение такой задачи — дело не одного урока и даже не одного года.

В системе работы по формированию определений можно выделить несколько этапов.

1. Наглядно-иллюстративное формирование определений. Содержательная подготовка к введению определений.

2. Формирование определений с учетом их логической структуры.

3. Дедуктивные теории и место определений в них.

В курсе математики IV—V классов учащиеся встречаются с определениями, но четкого отличия одних предложений (закон, теорема, определение, свойство, алгоритм), выделенных жирным шрифтом в учебнике, от других не дается, да это еще и не требуется программой. Важно, чтобы учитель в отдельных случаях обращал внимание учеников на это отличие.

В учебниках для IV—V классов сформулированы различные предложения. Приведем некоторые из них.

1. Две фигуры, которые могут совпадать при наложении друг на друга, называют конгруэнтными.

2. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

3. Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

4. От перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

5. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Часто учителя все эти предложения называют правилами, в равной мере требуют их запоминания только потому, что в учебнике они выделены жирным шрифтом.

Что это за предложения, все ли они действительно одинаковы с точки зрения логической их конструкции и применимости в практике, а затем в построении дедуктивной теории?

Первое, второе и третье предложения — определения, но по своей логической структуре различные. Четвертое предложение — теорема. Пятое — алгоритм (правило) умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

В курсе математики IV—V классов есть предложения, которые доказываются.

При сознательном изучении предмета у учащихся естественно должен возникнуть вопрос: почему одни предложения доказываются, а другие нет, и чем эти предложения отличаются?

Мы считаем, что в IV—V классах нет необходимости знакомить учащихся с терминологией математических предложений, а следовательно и их существенными особенностями. Однако называть предложения надо своими именами. Учащиеся постепенно приучатся к правильной терминологии и, может быть, даже запомнят ее. Там, где представляется возможность, надо раскрывать сущность каждого предложения, его структуру, широту применения и правомерность этого применения. Необходимо показать учащимся, что среди математических предложений, помещенных в учебниках, есть такие, которые доказываются, а также такие, которые вообще-то доказываются, но сейчас доказываться не будут, и такие, которые вообще не надо доказывать (определения, аксиомы).

Как работать с предложениями, которые доказываются, будет показано в последней главе настоящей работы.

Выскажем некоторые рекомендации по работе с одним только видом предложений — определениями.

Выше приведены примеры трех определений. Определение конгруэнтных фигур — это генетическое определение, которое указывает на процесс получения какого-то объекта. Необходимо определить объект «конгруэнтные фигуры». Обосновать конгруэнтность фигур оказалось возможным способом наложения одной фигуры на другую.

Второе определение — определение произведения двух дробей. В школьном курсе математики не принято говорить об определениях математических действий в любом расширенном множестве чисел, так как эти определения по своей конструкции не похожи на все другие определения математики. Однако это определения. Называются они определениями-соглашениями. Их много в курсах алгебры и арифметики.

Существенная трудность в формировании таких определений заключается в том, что они не подготавливаются предварительно, так как именно благодаря этим определениям вводится принципиально новое понятие. Эта особенность требует обоснования введенного определения. Однако обоснование иногда принимает форму доказательства и создается впечатление, что предложение, которое мы назвали определением, доказывается.

Наконец, приведенное определение биссектрисы угла — это определение «через род и видовые отличия». В данном определении указан ближайший род (луч) и видовые отличия, т. е. признаки, которые отличают данное понятие от других видов того же рода(выходить из вершины угла, делить угол пополам).

Структура приведенных определений различна, но каждое из них определяет какое-то конкретное понятие.

В математике чаще всего встречаются определения «через род и видовые отличия», как в случае определения биссектрисы угла. Та-

кие определения называют логическими определениями. Однако и генетические определения и определения-соглашения используют логику так же, как и логические определения. Определений «через род и видовое отличие» в курсе математики больше всего, поэтому на них остановимся более подробно.

Определить понятие или дать его определение — это значит выполнить такую логическую операцию, при помощи которой раскрывается содержание вводимого понятия. Содержание понятия — это совокупность существенных признаков, отраженных в данном понятии. Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а Есе вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов этого же рода.

С точки зрения этих требований приведенные три определения, конечно, не равнозначны. Определение конгруэнтных фигур не указывает существенных признаков определяемого понятия, а только знакомит с тем процессом, в результате выполнения которого мы сможем сделать заключение, конгруэнтны или нет рассматриваемые фигуры.

Определения-соглашения чаще всего перечисляют признаки определяемого понятия, но в них нет указаний на род. Получается это потому, что с помощью таких определений вводятся понятия, которые сами являются родоначальниками нового рода или не соподчиняются с другими родственными понятиями на основе рода и вида. Такое определение близко по своей структуре к алгоритмам (правилам), но оно определяет новые понятия.

Конструкция логических определений всегда одна: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода.

В IV—V классах не всегда есть возможность да и необходимость формировать определение по этой конструкции. Очевидно, даже суть логической конструкции не следует доводить до учащихся. Важнее на наглядно-интуитивной основе научить учащихся понимать значение существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого понятия.

Покажем на примере биссектрисы угла, как сформировать это определение. В учебнике математики для IV класса даны три примера: первый — луч делит угол на две конгруэнтные части, второй — луч не делит угол пополам и третий — луч делит угол пополам, но начало луча не совпадает с вершиной угла. Затем дано определение биссектрисы угла.

Если ограничиться только этими примерами, то определение будет введено формально, и учащиеся не усвоят, какие признаки в этом определении существенны, а какие нет и несоблюдение каких признаков влечет за собой неправильность определения.

Данное определение может быть сформировано следующим образом. На доске вывешивается плакат с рисунками, исчерпывающими все существенные признаки данного определения.

Так как в определении биссектрисы угла сказано, что это луч, но не любой луч, то необходимо выяснить, какими свойствами этот луч должен обладать. Таких свойств два: 1) выходить из вершины угла, 2) делить угол пополам.

Учащимся предлагается ответить, истинны или ложны записанные на плакате предложения:

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13 Рис. 14

Рис. 15 Рис. 16

Ответив на все вопросы, учащиеся поймут, что несоблюдение хотя бы одного из свойств делает определение неверным, так как тогда оно определяет уже другую фигуру, а не биссектрису угла.

Работа с определениями «через род и видовое отличие» в этих классах может быть и ограничена заданиями, аналогичными приведенному. Весьма полезно научить учащихся понимать, что только соблюдение всех указанных в определении свойств полностью и однознанно определяет понятие. Например, дается определение параллельных прямых: две прямые, которые совпадают или лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, называются параллельными прямыми.

С помощью плаката, аналогичного тому, что был приведен для определения биссектрисы угла, или путем постановки вопросов учитель должен раскрыть конструкцию такого предложения.

Для нашего примера это прежде всего две прямые (род), которые обладают следующими свойствами: 1) лежат в одной плоскости, 2) не имеют общих точек (или совпадают).

Если в классе будут строить или хотя бы анализировать выделенные жирным шрифтом предложения по указанной схеме, то, встретив предложение: если один из множителей делится нацело на какое-то число, то и произведение делится нацело на это число, учащийся уже даже по конструкции предложения разберется и сможет понять, что это не определение.

Несколько сложнее обстоит дело с определениями-соглашениями. Конструкции этих определений не всегда одинаковы, но имеют много общего.

Проанализируем только один вид таких определений — определения действий в каждом расширенном множестве чисел (а они чаще всего именно в этом случае и используются). Чтобы определить произведение двух дробей, на каком-то основании надо условиться (соглашение), что это будет дробь, обладающая какими-то свойствами. То, что это дробь, в данном (и аналогичных) случае вытекает из принципа, на основе которого построено расширение числовых множеств, — принципа перманентности.

Все определения (равенства и неравенства новых чисел, действий над числами) для расширенного множества чисел должны удовлетворять требованиям принципа перманентности (см. с. 109).

По такому же принципу строятся определения-соглашения при расширении понятия о числе, т. е. определения вида

Конечно, формулировать свойства принципа перманентности в IV—V классах не следует. Но новые определения должны вводиться на основе этого принципа, т. е. учитель каждый раз должен подчеркивать, почему, например, произведение двух дробей будет дробью (результат не должен выходить за пределы рассматриваемого множества). Такой подход к определениям-соглашениям не позволит ученикам воспринимать их как произвольное нагромождение условностей.

Рассмотрим, как можно сформировать определение-соглашение в V классе. Необходимо выяснить, например, что такое сумма двух отрицательных чисел.

Прежде чем рассматривать примеры, данные в книге, можно ответить на следующие вопросы:

1. Что представляет собой сумма натуральных чисел? (Натуральное число.)

2. Каким законам подчиняется действие сложения натуральных чисел? (Переместительному и сочетательному.)

3. Какое число получается при сложении десятичных дробей? (Десятичная дробь или натуральное число.)

4. Как можно представить натуральное число в виде десятичной дроби? (Десятичная дробь, доли которой записаны только нулями.)

5. Каким законам подчиняется действие сложения десятичных дробей? (Переместительному и сочетательному.)

6. Как можно рассматривать множество натуральных чисел по отношению к множеству десятичных дробей? (Как подмножество.)

На основе такой работы возможно введение определения суммы отрицательных чисел и пояснение этого определения на координатной прямой, как это сделано в школьном учебнике.

Чтобы проанализировать конструкцию определений-соглашений, приведем два примера.

1. Сумма двух отрицательных чисел есть отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.

2. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

В конструкции таких определений есть указание на определяемое понятие (сумма двух отрицательных чисел, произведение двух дро-

бей), дано число, которое получаем (отрицательное число, дробь), и указан алгоритм, с помощью которого из ранее известных чисел и действий можно получить новое число.

Если формируется генетическое определение, необходимо показывать конструкцию определения, заключающуюся в последовательном соблюдении этапов процесса, приводящих к определенному понятию.

Итак, главное в работе с определениями в курсе математики IV—V классов — показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию хотя бы логических определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.

Если учащиеся в IV—V классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут в VI классе изучать курс геометрии более осознанно.

§ 4. Дифференцированный подход в обучении

Одной из существенных особенностей методики обучения математике по новой программе является обязательное соблюдение дифференцированного подхода. Дифференцированный подход продиктован прежде всего одним из основных принципов развивающего обучения — быстрым темпом изучения материала.

Для осуществления дифференцированного подхода учителю необходимо своевременно устанавливать, кто из учеников усваивает только отдельные частные вопросы, кто видит связь между ними, а кто осознает и всю структуру предмета. Не учитывать это обстоятельство при обучении невозможно. Кроме того, в самих учебниках и дидактических материалах заложена основа дифференцированного подхода.

При дифференцированном обучении необходимо, с одной стороны, учитывать уровень развития и знаний отдельных учащихся, а с другой — выявлять их возможности и стремиться к тому, чтобы знания учащихся и способы их приобретения становились более совершенными. Поэтому дифференцированный подход нельзя рассматривать как добавление слабо успевающим учащимся тренировочных задач, а более подготовленным — задач повышенной трудности. В основу его должно быть положено развитие общего кругозора всех учащихся. Причем такое развитие учащиеся могут получить только тогда, когда учитель будет располагать сведениями о том, что и как на данный момент ученик знает из содержания предмета, на каком уровне обобщения он понимает это содержание и в какой мере развита его мыслительная деятельность.

С этой целью учитель должен провести глубокое исследование знаний, интересов и интеллектуальных возможностей учащихся, выявить их индивидуальные особенности. Такое изучение можно осуществить путем бесед, наблюдения за выполнением различных упраж-

нений учебника, определенной системы вопросов и заданий, рассчитанной на выявление не только знаний и навыков, но и мыслительных возможностей учащихся, проведения разнообразных самостоятельных работ.

Остановимся более подробно только на одной форме работы, позволяющей учителю быть в курсе успехов учащихся, — работе с тетрадями.

Регулярная проверка тетрадей необходима по ряду обстоятельств.

Во-первых, применение теоретико-множественной символики в IV классе вызвало появление новых приемов оформления решения задач. Надо добиться, чтобы все учащиеся с самого начала научились ими правильно пользоваться.

Во-вторых, различные формы организации самостоятельной деятельности позволяют ученикам проявить индивидуальное творчество.

В-третьих, изменились требования к оформлению записей в тетрадях учащихся.

После проверки тетрадей необходимо анализировать ошибки учащихся и намечать конкретные меры по их устранению. В зависимости от проведенного анализа и систематизации ошибок можно всегда выделить учащихся, успешно усваивающих конкретную тему (понятие, алгоритм), и учащихся, допускающих какие-то определенные ошибки. Так как тетради должны проверяться ежедневно, то учитель сможет решать вопрос о дифференцированном обучении. Ни фронтальный опрос, ни вызов учащихся к доске не дают учителю такой полной картины успехов и пробелов в знаниях учащихся, как работа с тетрадями.

Проводимая таким образом работа позволит учителю установить индивидуальные способности и возможности учащихся.

В результате может выявиться, что какой-то ученик, получая не очень хорошие оценки, все-таки обладает способностью быстро и правильно воспринимать учебный материал. Значит, причина невысокого качества его знаний кроется в чем-то другом. Может быть, и не надо учителю устанавливать причину, а, принимая во внимание способности учащегося, организовать обучение с их учетом.

Другой ученик внимателен и поэтому понимает учебный материал, но у него нет положительного отношения к предмету, следовательно, такому ученику надо постараться привить интерес к математике.

Третий ученик много пропустил уроков и не сумел организовать работу так, чтобы разобраться в принципиальных вопросах изученного материала. В этом случае ученик может выполнять какие-то математические действия на основе подражания, не всегда осознавая их.

Четвертый ученик прилежен, но обладает таким типом мышления, что ему трудно анализировать, вычленять из упражнений закономерности, делать выводы, строить цепочки умозаключений, т. е. у него нематематическое мышление.

Из сказанного можно сделать вывод, что обучение необходимо

строить на разном уровне обобщения. Один уровень обобщения—эмпирический должен быть доступен всем ученикам. Это надо иметь в виду при изучении принципиально новых вопросов. Более высокие уровни обобщения могут быть недоступны всем, и здесь необходима дифференциация обучения.

В методической литературе встречаются различные примеры организации самостоятельной деятельности учащихся на основе соблюдения дифференцированного подхода. Это и индивидуальные карточки, и варианты разной трудности самостоятельных и контрольных работ, и др.

Мы хотим прежде всего привлечь внимание учителя к дифференцированному изучению материала, а затем уже и к организации самостоятельной работы учащихся.

Учебник содержит систему дидактических задач, позволяющую раскрыть основную суть формируемого понятия.

Например, в IV классе изучается двойное неравенство. Для раскрытия его содержания предлагаются дидактические задачи, позволяющие учащемуся на основе практических действий подсмотреть закономерность, заложенную в понятии двойного неравенства. Это можно сделать и на основе рассмотрения конкретных множеств предметов, и точек на луче, и, наконец, с помощью аналитически записанного неравенства, но с небольшими числами, типа 2 < х < 5. Решая эти простые дидактические задачи, ученик должен осуществить на уровне эмпирического мышления обобщение, т. е. понять, что интересующее нас число находится где-то между двумя числами, но не является ни одним из них. Это чисто арифметическое понятие «между» он «видел» на луче и на конкретных множествах, а затем и в записи.

Далее ученик должен научиться понимать суть этого арифметического понятия «между», но уже без опоры на конкретные множества предметов, а затем и без опоры на луч. Сильные ученики после рассмотрения единственной группы дидактических задач сразу могут перейти к решению задач вида 315 < у ⩽ 322, где нельзя непосредственно опереться на конкретное множество предметов или числовой луч. Им может быть предложена обратная задача: «Имеем множество {16, 17, 18, 19}. Решением какого неравенства оно является?» Слабые же ученики постепенно переходят к решению таких абстрактных задач. Вначале им предлагаются задачи, отличные от дидактических, но близкие к ним, позволяющие использовать либо конкретные представления, либо луч. Затем даются задачи, в которых можно и не использовать луч, но при затруднениях к нему обратиться, и т. п. Таким путем должны формироваться все основные понятия курса. То обстоятельство, что в учебниках много разной трудности задач, близких по содержанию к дидактическим, дает возможность учителю осуществить дифференцированный подход. В методической литературе последних лет (после выхода новых учебников) отмечается, что некоторые познавательные задачи и задачи с развивающими функциями должны решаться не всеми учащимися. Необходимо, чтобы ученик

усвоил основной материал. Например, обучая решению уравнений, надо добиться от всех учеников правильного решения уравнения вида

но совсем не обязательно, чтобы все учащиеся умели решать уравнение

Для решения последнего уравнения необходим не только более широкий круг знаний, но и иной уровень абстракции.

Важным моментом дифференцированного подхода является периодическое возвращение к ранее изученным понятиям, их расширение и углубление. Это можно осуществить, предлагая слабым учащимся более сложные задачи из пройденного после того, как изучены вопросы, позволяющие ту же задачу решать, располагая уже новыми знаниями. Например, более сложную задачу на двойное неравенство можно предложить слабому ученику после усвоения понятий «множество решений уравнения», «выражение с переменной», установления зависимости значения выражения с переменной от множества значений переменной и т. п.

Дифференцированный подход необходим не только для поднятия успеваемости слабых учеников, но и для развития сильных учеников. Хорошо, если всему классу дается одно и тоже задание, но от сильных учеников требуется более глубокий анализ и обобщение. Такой подход позволяет учителю проводить работу со всеми учащимися, учитывая их индивидуальные возможности.

Проиллюстрируем это на двух примерах.

Дано задание сравнить значения двух числовых выражений: 1,15⋅20,8 и 11,5⋅2,08.

Ученики могут выполнить сравнение, вычислив значения обоих выражений или доказав, значение какого выражения больше. Способ выполнения задания предлагает учитель или выбирает сам ученик. Здесь важно не это.

Во втором случае ученик должен высказать догадку (подметить общность в числах обоих числовых выражений), применить знания об умножении десятичных дробей на единицу с последующими нулями, подметить особенности изменения произведения в зависимости от изменения множителей и т. п.

При решении же задачи путем вычисления значений выражений надо только применить алгоритм умножения десятичных дробей.

Конечно, деятельность учащихся в этих случаях различная. После решения задачи путем обоснования отдельных заключений, а не вычисления, сильный ученик может рассказать доказательство всему классу, слабый, прослушав доказательство, познакомится и со вторым способом решения. В целом же в классе была организована работа всех учащихся.

Второй пример. Изучаются вертикальные углы. При формировании определения вертикальных углов учитель может задать классу вопрос «Каковы свойства вертикальных углов?», предложив при этом серию чертежей, показывающих характеристические свойства вертикальных углов.

Работу при этом можно организовать следующим образом. Вначале вызывают ученика, не обладающего в достаточной степени способностью анализировать, и предлагают назвать подмеченные им на рисунках свойства фигур. Из ряда свойств он назовет одно-два. Затем другой ученик дополняет. Наконец, сильный ученик под руководством учителя полностью охарактеризует фигуру, указав необходимые и достаточные свойства, определяющие ее, т. е. выполнит обобщение. Естественно может возникнуть вопрос: не останется ли слабый ученик при такой методике формирования понятий со знанием тех нескольких свойств, которые он назвал первоначально? После получения полного представления о понятии надо вернуться к систематизации свойств понятия и при помощи дидактических и познавательных задач показать необходимость в определении всех свойств, характеризующих фигуру. Эту работу тоже могут выполнить более подготовленные учащиеся. При организации изучения понятий, учитывая дифференцированный подход в обучении, учитель обязан найти каждому ученику место в этом процессе.

Дифференцированный подход при организации изучения материала не может не повлиять на методику проверки качества знаний и умений учащихся.

Рассмотрим в этой связи вопрос о контрольных работах.

По содержанию контрольные работы можно разделить на две группы. Первая — текущие контрольные работы по одному изученному вопросу. Вторая — комбинированные, по всей теме или в конце четверти или года.

Текущие контрольные работы могут быть двух видов: 1) несколько вариантов различной трудности; 2) все варианты по трудности одинаковые, но внутри варианта задачи распределены по нарастанию трудности.

Учителями используются оба вида контрольных работ. В контрольной работе первого вида ученику дается задание, которым учитель хочет проверить конкретные знания по определенному вопросу. Такими работами увлекаться не следует.

Второй вид контрольных работ более эффективен. Он ставит всех учеников вначале в равные условия. В зависимости от подготовленности они и будут выполнять задания. Иногда все, иногда только полегче, которые обычно в работе стоят первыми. Ориентировать сильных учеников на то, чтобы они не выполняли первые, более простые задания, не следует, так как именно в них чаще всего заложена основа знаний.

Комбинированные контрольные работы должны быть во всех вариантах однородные, а внутри — могут содержать задачи разной трудности. Выполнение всех задач обязательно для всех учащихся.

§ 5. Воспитание на уроках математики

Педагогическая наука и практика рассматривают воспитание и обучение как рядом стоящие процессы. Нельзя воспитывать, не передавая знаний. В свою очередь приобретенные знания оказывают воспитательное воздействие на личность учащегося. Воспитание — процесс многогранный. Он предполагает формирование коммунистического мировоззрения, норм коммунистической морали и превращение их в убеждения, всестороннее развитие духовных и физических возможностей личности.

В математике, как ни в каком другом предмете, есть опасность абсолютизировать процесс обучения, т. е. заниматься на уроках только технологией получения знаний, проявляющейся в решении задач с целью нахождения ответа. В результате может произойти определенный отрыв обучения от воспитания. Во избежание этого необходимо прежде всего помнить, что содержание предмета математики располагает большими возможностями для формирования диалектико-материалистического мировоззрения и сознательного отношения к труду, привития учащимся любви к знаниям, воспитания стремления учиться. Ярко выраженная причинно-следственная сущность предмета математики позволяет раскрывать взаимосвязь и взаимообусловленность явлений действительности, отраженных в математических понятиях (уравнениях, формулах, законах и т. д.). Раскрытие идеи изменения, зависимости, соответствия в математике — одна из основ для понимания учащимися принципов диалектики. Изучение математики способствует формированию диалектического мышления. Все, что может быть научно обосновано, доказано, является предметом такого мышления, а обоснования и доказательства составляют основу содержания предмета математики.

Умело используя материал из окружающей действительности, включая в содержание задач цифровые данные о достижениях нашего народного хозяйства, отечественной науки, учитель математики воспитывает у учащихся чувство гордости за успехи и величие нашей страны.

На уроках и во внеклассной работе в IV—V классах можно использовать материал из истории развития математики, рассказывающий о происхождении основных понятий, о поиске методов науки, о значении математики и ее возрастающей роли в научно-техническом прогрессе.

Содержание предмета математики позволяет вести работу по атеистическому и эстетическому воспитанию1.

Воспитательную работу невозможно расчленить на части и предопределить, какая из них будет вестись на уроках, а какая во внеклассное и внешкольное время. Вся работа в школе подчинена зада-

1 См. подробнее: И. В. Ермаков. Атеистическое воспитание при обучении арифметике. М., 1964; В. Д. Чистяков. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Мн., 1969.

чам воспитания. Содержание, формы и методы воспитательной работы по математике во внеурочное время освещены в литературе1, поэтому остановимся на воспитательных аспектах уроков математики.

В литературе вопросы о специфических особенностях предмета математики и методов его изучения, с помощью которых воспитываются определенные черты личности школьника, освещены и разработаны недостаточно.

К числу таких особенностей прежде всего необходимо отнести однозначность, выразительность и лаконичность языка предмета математики. Чтобы овладеть такими свойствами языка, надо научиться отвлекаться от второстепенных деталей при выяснении тех или иных закономерностей; делать однозначные выводы относительно применения теоретических положений в практике и, наоборот, уметь многообразным явлениям окружающей действительности находить теоретические обоснования и т. п. Короче, речь является выразителем уровня и степени мыслительной деятельности. Овладев на уроках математики такими ее качествами, как точность, однозначность и лаконичность, ученик сможет использовать их в других условиях. Поэтому одним из существенных моментов уроков математики должна быть работа над речью учащихся, которая сейчас, когда одним из принципиальных требований нового содержания образования является повышение логического уровня изучения предмета, приобрела особую значимость.

Воспитание логической четкости как в устной, так и в письменной речи должно вестись прежде всего на основе безупречной речи учителя; на основе систематической тренировки в построении логически правильных суждений, умозаключений и выводов; на основе разработанных образцов доказательства предложений и соблюдения последовательности этапов получения вывода. Для учащихся IV—V классов наиболее эффективным в этом смысле является систематическое использование упражнений и вопросов, которые заставляют искать правильный ответ на основе системы логических умозаключений. Такая система заданий приучает ученика находить только характеристические свойства понятий, грамотно строить ответ, делать обоснованные выводы. Например, в упражнениях вида: 1) сравните выражения а и 2а или 1/3b и 3b; 2) сравните 1/a и 1/b при положительных а и b и а > b ученик должен проследить все зависимости значения выражения от значений входящих в него переменных, иначе он не сможет получить правильный ответ. Или предлагается выяснить, чем отличаются предложения: «Ни одно число не делится на 2», «Все числа не делятся на 2». При анализе логической структуры этих предложений вскрывается многообразие выражений, имеющих одно и то же значение. Таких примеров можно привести много. Каждое

1 См. подробнее: М. Б. Балк, Г. В. Балк. Математика после уроков. М., 1971; Внеклассная работа по математике в IV—V классах. Под ред. С. И. Шварцбурда. М., 1974.

задание на уроке математики требует, чтобы ученик учитывал различные условия и из них выбирал существенные, влияющие на обоснованность вывода.

Второй особенностью предмета математики является строгая логическая или идейная взаимосвязь понятий как внутри темы, так и предмета в целом. В математике отдельный, вырванный из контекста вопрос, не может быть понят и даже механически выучен учеником.

Вся работа по изучению предмета математики приводит ученика к необходимости упорядочению и систематически трудиться. Однако, чтобы ученик не запоздал с таким выводом и не запустил изучение предмета, полезно, как мы отмечали в главе о задачах, использовать схему-структуру основных понятий.

Анализируя с учащимися такие схемы-структуры, необходимо показывать, как в математике идейно и логически взаимосвязаны понятия. И только на основе существования такой тесной взаимосвязи можно делать выводы о том, что незнание или непонимание одного какого-либо факта, представленного в схеме-структуре, сказывается на понимании связанных с ним других фактов или понятий. Приведем схему-структуру понятия уравнения:

Анализ ее даже после введения понятия уравнения будет полезен, так как ученики придут к выводу, что в том соподчинении понятий, которое представлено в схеме, сформировать, например, понятие математического выражения без таких понятий, как число, переменная, знаки операций и отношений, невозможно. Периодическое обращение к анализу схем-структур окажет несомненную пользу в воспитании упорядоченного подхода к изучению предмета.

Необходимость получения точного количественного результата воспитывает и такое качество личности, как самодисциплина. Ученик в процессе обучения математике должен контролировать себя. Здесь имеются в виду пока операционные и логические действия. Если ученик решает сложное уравнение или находит значение числового выражения с большим числом промежуточных действий и не умеет себя контролировать, то трудно ожидать положительного результата. Поэтому в качестве обязательного элемента обучения на уроках должны быть задания, требующие проверки не только конечных результатов, но и промежуточных.

Строгая последовательность построения предмета, четкие методы получения выводов оказывают существенное влияние и на формирование навыков упорядоченного мышления, навыков учебного труда. Здесь опять большую помощь могут оказать и специальные упражнения, и использование таблиц, в которых факты, приведенные в систему, помогают организовать мыслительную деятельность для получения выводов и т. п.

Третьей особенностью предмета математики является его количественная (операционная) сторона. Необходимость получения точного количественного результата при вычислениях или преобразованиях в значительной мере способствует воспитанию аккуратности. На уроках математики аккуратность не просто желаемый результат, а органически необходимое качество. Подписал ученик небрежно числа при сложении «в столбик» 23,4 + 1,5 — получил неверный результат. Записал показатель степени, по величине равный основанию, да еще чуть опустил его по вертикали и неясно, степень ли это или вообще одно число. Разумное размещение системы уравнений, последовательная запись действий при решении уравнений и т. п. — необходимое условие хорошего усвоения предмета математики.

Долгое время привилегией предметов естественно-математического цикла было наличие в их содержании познавательных задач. В последние годы они стали в некоторой мере появляться и в других учебных предметах. Однако систематически, непосредственно примыкая к теории предмета и образуя с ним единое целое, познавательные задачи представлены только в школьном предмете математики, и это составляет его четвертую специфическую особенность.

Эта особенность предмета несомненно оказывала и оказывает влияние на воспитание творческой деятельности учащихся. Здесь необходимо подчеркнуть, что только с решением познавательных задач и задач для развития связано воспитание не любой деятельности,

а именно творческой. Существенное значение при этом, как мы уже отмечали, имеет методика решения познавательных задач, а не только их содержание. В методике решения задач важным моментом является обучение общим, характерным особенностям поиска решения. Необходимо обучать учащихся выдвигать правдоподобные гипотезы решения задач. А для этого иногда надо рассмотреть несколько частных случаев, иногда измерить отдельные элементы фигуры, чтобы подметить закономерность, иногда упростить задачу, опустив какое-либо ее условие.

Мы отметили специфические особенности предмета математики, используя которые можно успешно вести работу по воспитанию весьма важных и полезных черт личности ученика. Естественно, эти особенности должны найти отражение на каждом уроке и поэтому учитель должен иметь их в виду при определении цели урока.

Глава V. Урок математики

§ 1. Дидактические требования к уроку математики

Изменение содержания образования по математике не могло не оказать влияния на урок математики, на цели его проведения, содержание, структуру.

Урок — это творчество каждого учителя. На одну и ту же тему разные учителя и в разных классах могут провести разные уроки. Но, коль «урок — это организационная форма, при которой учитель в течение точно установленного времени руководит в специально отведенном месте коллективной познавательной деятельностью постоянной группы учащихся (класса) с учетом особенностей каждого из них, используя виды, средства и методы работы, создающие благоприятные условия для того, чтобы все ученики овладевали основами изучаемого непосредственно в процессе обучения, а также для воспитания и развития познавательных способностей школьников»1, то он должен иметь объективные нормы, не учитывать которые невозможно.

Остановимся на основных требованиях к уроку. Прежде всего с урока снята стандартная схема, которая выражалась в строгой регламентации этапов урока, типов. Отказ от стандартной схемы вызван усилением творческих начал в учебном процессе. Учитель, готовясь к уроку, должен предусмотреть содержание образования, умения и навыки, которые на уроке у учащихся должны быть сформированы, познавательные мотивы учения, связь теоретических знаний с практикой, воспитательные особенности каждого урока. Названные обстоятельства требуют более динамичного отношения к определению цели урока.

Поскольку цель урока должна включать формирование знаний, умений и навыков, воспитание черт творческой личности учащегося, то, естественно, на уроках необходимо разумное применение репродуктивных и продуктивных методов обучения. При современной насыщенности урока и темпах изучения материала стало необхо-

1 Дидактика средней школы. Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., 1975, с. 192.

димым применение технических средств обучения, с помощью которых можно более доступно раскрывать внутренние закономерности изучаемых понятий, осуществлять обратную связь, учитывать индивидуальные возможности учащихся.

Рассмотрим каждую из отмеченных особенностей урока более подробно.

Наиболее существенным требованием к уроку является правильное определение его цели. При формулировке цели урока необходимо учитывать характер учебного материала. Правильно поставленная цель урока определяет методы ведения урока, формы деятельности ученика и учителя и делает урок стройным и законченным. Все этапы, элементы урока должны быть направлены на достижение этой цели.

В связи с реализацией принципов развивающего обучения в цели урока должны входить вопросы развития, воспитания, а не только обучения содержанию предмета.

Цель конкретного урока не может быть четко определена, если урок рассматривается изолированно от всего комплекса уроков по данному предмету и теме в частности. Учителю надо все время помнить об общей цели изучения математики в определенном классе.

Прежде чем учитель будет планировать проведение конкретного урока, он должен четко представить, частью какого целого является материал, который надо изучить учащимся на уроке, какие общие задачи стояли при изучении этого целого; как данный конкретный урок может помочь реализовать это целое.

Проследим на примере темы «Положительные и отрицательные числа» в курсе математики V класса, как связана цель конкретного урока с целью изучения темы. В результате изучения данной темы учащиеся должны понять, какова роль множества положительных и отрицательных чисел в системе изучаемых чисел; знать правила выполнения действий над числами в сравнении с ранее изученными числами; уметь применять эти числа и действия над ними в математике, т. е. в решении уравнений и неравенств, текстовых задач, нахождении значений числовых выражений и выражений с переменной и др., и в смежных предметах.

Материал темы и уровень развития учащихся вполне позволяет учить школьников целому ряду приемов мыслительной деятельности: умозаключениям по аналогии, сравнению, обобщению и началам классификации, анализу и синтезу. Причем уровень этих действий будет уже другой, чем в IV классе, так как содержание материала темы позволяет проводить аналогии на качественно ином материале, чем ранее; обобщение над большими классами чисел и с большим количеством свойств; классификацию при наличии большего числа разноплановых объектов; анализ ситуаций с более широкими и глубокими зависимостями и т. п.

Тема «Положительные и отрицательные числа» изучается в течение 80 часов, она подразделяется на подтемы, перед каждой из них стоит определенная цель, в какой-то мере зависящая от общей цели изучения темы.

Например. § 2 «Направления и числа» будет изучаться в течение 15 часов и во время его изучения в связи с общей целью должны быть усвоены такие принципиальные положения: необходимость расширения известного учащимся числового множества и определение новых чисел. Отдельные пункты этого параграфа (модуль числа, противоположные числа, координаты точек, сравнение чисел) изучаются с одной целью: дать всестороннее (для детей данного возраста) представление о новых числах в отличие от ранее им уже известных.

Конкретный материал темы, характер задач дают возможность при изучении числовой прямой, подмножества, сравнения чисел вполне успешно делать умозаключения на основе сравнения, учить школьников определять критерии для сравнения, делать выводы по аналогии.

При изучении противоположных чисел и модуля числа наряду со сравнением возможен более четкий анализ, направленный на формирование определения. Усвоив этот материал, учащиеся должны уметь сравнивать положительные и отрицательные числа как с помощью координатной прямой, так и аналитически (по знаку и модулю). Кроме того, они должны наглядно увидеть двойственность в геометрической иллюстрации числа: точка и длина отрезка (порядок и количество), чтобы затем этим воспользоваться при введении действий над числами.

Цель отдельного урока должна вытекать из общей цели изучения конкретного раздела. Кроме того, она определяется упражнениями и заданиями учебника, специфическими особенностями класса и методами, применяемыми на уроке.

В понятие цели урока должна входить не только установка на изучение каких-то конкретных математических фактов, но и формирование навыков мыслительной деятельности. Причем эти требования не на каждом уроке реализуются в одинаковой мере. Например, на первом уроке по изучению координат точек на прямой основная цель может быть: обобщить ранее изученные вопросы об однозначном соответствии чисел точкам координатной прямой и дать соответствующую терминологию и запись. Конечно, одновременно учитель будет заниматься и формированием такой операции, как обобщение на основе анализа (сравнения) отдельных фактов. Но эта работа здесь не главная, а только средство для получения сведений относительно нового понятия — координат точек прямой.

А вот на одном из трех уроков на тему «Сравнение чисел» главная цель может быть следующей: учить учащихся операции сравнения. При реализации этой цели существенным моментом должно быть:

1. Выявление критериев сравнения математических объектов, что можно показать на числах (количественные и порядковые критерии для натуральных чисел и десятичных дробей), на геометрических объектах (длины отрезков, площади фигур и др.).

2. Обобщение на основе выделенных критериев.

3. Установление того общего, что обнаружилось при анализе конкретных объектов с помощью выделенных свойств.

Естественно, на таком уроке будут заниматься сравнением чисел, а образовательный акцент должен свестись к обучению учащихся одному из приемов мыслительной деятельности — в частности сравнения.

Если учитель не будет периодически ставить целью урока обучение различным приемам мыслительной деятельности, то изучение математики по-прежнему останется изучением отдельных математических фактов, а ученики будут получать только сумму знаний по предмету и не получат необходимого развития.

В цели урока должны входить и воспитательные задачи. В зависимости от содержания изучаемого материала в цель урока можно включить вопросы воспитания аккуратности (выполнение чертежей, рациональные записи решений и др.), культуры чтения математической и научно-популярной литературы, культуры математической речи и др.

Итак, на цель урока весьма существенное влияние оказывает содержание изучаемого материала, содержание и уровень возможностей познавательной деятельности учащихся и задачи воспитания.

Как отмечалось ранее, четкая постановка цели урока вытекает из осознания места и назначения урока в общей системе уроков. Поэтому весьма важным моментом работы учителя следует считать перспективное планирование изучаемого материала. Удобнее сразу планировать несколько уроков, по меньшей мере, каждый логически завершенный фрагмент параграфа.

Такое планирование позволит учителю лучше скоординировать решение основных задач, увидеть структуру раздела, что несомненно создаст более благоприятные условия для выбора метода изучения конкретного материала.

Например, предстоит изучить понятие сложения в теме «Положительные и отрицательные числа». На его изучение отводится 9 часов и предполагается проведение двух контрольных работ. По содержанию материал может быть разделен на три логически завершенные части. Первая — изменение величин и сложение с помощью координатной прямой. Вторая — сложение различных чисел на основе правила. Третья — законы сложения чисел и применение их к сложению положительных и отрицательных чисел.

В соответствии с приведенным делением и возможно составление планов уроков по первой части на 3 урока, по второй — на 4 и по третьей — на 2.

Такое планирование позволит учителю детально продумать все аспекты какого-то круга вопросов, предусмотреть взаимосвязь отдельных уроков, разумно распределить учебный материал между отдельными уроками, закончить каждую логически завершенную часть какой-то проверкой (устным собеседованием со всем классом, самостоятельной работой, диктантом, контрольной работой и др.), выделить, какие из изучаемых вопросов или приемов должны быть прочно усвоены, а какие только сообщены.

Установив цели урока и содержание изучаемого материала, необходимо определить методы обучения.

В предыдущей главе были рассмотрены основные методы обучения математике в IV—V классах в соответствии с содержанием изучаемого материала и возрастными особенностями учащихся. Были высказаны рекомендации о том, какой учебный материал какими методами лучше изучать, какие приемы при этом могуть быть использованы наиболее эффективно. Здесь же необходимо только отметить, что, выбирая тот или иной метод и приемы обучения,следует иметь в виду, что они должны обеспечивать понимание изучаемого материала и способствовать развитию активности учащихся.

В связи с изменениями в определении целей уроков значительно изменилось и отношение к типам уроков. Дидактика отмечала ранее несколько типов уроков: урок усвоения новых знаний, урок формирования навыков и умений, урок применения знаний, умений и навыков, урок обобщения и систематизации знаний, урок проверки знаний, умений и навыков, комбинированный урок.

Особенности предмета математики IV—V классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы о выполнении триединой задачи обучения (знать предмет, учить учиться и воспитывать), темп изучения материала привели к тому, что такие типы уроков, как урок усвоения новых знаний, урок формирования умений и навыков, урок применения знаний и умений, слились в один тип — комбинированный.

Комбинированный урок мы понимаем не только как комбинацию в нем различных этапов урока, но и как объединение различных видов деятельности учащихся одной целью.

После изучения определенного раздела или темы в IV—V классах можно проводить уроки обобщения и систематизации знаний.

Так как в системе работы по новому содержанию значительное место заняла самостоятельная работа учащихся, то для IV—V классов особую роль играют уроки проведения самостоятельных и контрольных работ.

В следующем параграфе будут отмечены наиболее характерные особенности названных уроков. Здесь же выскажем несколько общих замечаний относительно структуры современного урока.

Урок математики в IV—V классах, в котором учтены особенности нового содержания и в соответствии с ним применяются адекватные ему методы обучения, будет отличаться от ранее существующего урока.

Отличие это заключается не только в ином отношении к цели урока, но и в несколько изменившемся понимании его структуры. Термин «структура урока» — не просто новое словосочетание, применяемое к старому понятию урока. На основании осмысления этого термина можно более глубоко понять основные требования к уроку. Рассмотрим понятие «структура урока» более подробно.

Мы уже отмечали, что понятие структуры характеризует какое-то множество элементов с заданным на нем отношением (взаимосвязью

элементов). Применим это понятие к уроку. Элементы урока — это проверка домашнего задания, опрос, решение задач с дидактическими функциями, обобщение и получение выводов из решенных задач, решение познавательных задач, самостоятельная работа, задание на дом. Могут быть и другие элементы урока — все зависит от цели и типа уроков. Важно только отметить, что данное множество состоит из элементов, являющихся частями (этапами) урока.

Возникает вопрос: а есть ли теперь (когда преобладающим стал урок усвоения новых знаний) острая необходимость в четком вычленении этапов урока?

Одна из особенностей методов ведения современного урока — учить ученика учиться. Для этого надо знать, какая деятельность и на каком этапе будет учеником осуществляться и какие методы руководства ею учитель может применять.

Например, во время проверки домашнего задания ученик в основном осуществляет воспроизводящую деятельность, иногда с элементами творчества. При изучении нового материала и его применении необходимо создать условия для творческой деятельности учащихся, так как глубоко и прочно знания усваиваются только в результате продуктивной деятельности. В соответствии с этим учитель должен продумать формы работы и конкретно представить, на каком этапе урока он будет раскрывать ту или иную особенность изучаемого материала.

Если у учителя нет четкого представления того, что, как и на каком этапе урока будет сделано, то сам процесс формирования знаний будет аморфным, а значит, неуправляемым и, естественно, не дающим требуемого результата.

Итак, этапы урока необходимы. Выяснив это, надо решить вопрос, вытекающий из общего понятия структуры: какова должна быть связь между этапами урока?

Принципиальный ответ на этот вопрос следует из требований программы. Программа обязывает одновременно учить содержанию предмета, на основе этого содержания учить ученика учиться и воспитывать на этом же содержании с помощью определенных методов.

Прежде всего все этапы урока должны быть направлены на обеспечение понимания изучаемого материала и развитие активной деятельности учащихся.

Мы уже отмечали ранее, что не стоит противопоставлять продуктивную и репродуктивную деятельность учащихся и считать, что активная учебная деятельность заключает в себе только воспитание продуктивной деятельности. На всех уроках и всех его этапах ученик должен понимать, для чего он применяет то или иное понятие и где его применение более эффективно. Чтобы подвести ученика к такому пониманию, между этапами урока необходимо установить внутреннюю связь. Связь эта обычно определяется целью урока, продиктованной содержанием учебного материала.

И, наконец, еще одна особенность современного урока — применение технических средств обучения. Технические средства обуче-

ния применяются на различных этапах урока и для достижения различных целей. Так, кодоскоп можно часто применять для экономии времени. При проверке домашнего задания на экран проецируются условия задач и тем самым экономится время. При изучении нового материала, организации самостоятельной работы тоже можно отдельные задания давать учащимся через кодоскоп.

С помощью технических средств обучения можно с большим эффектом, чем с помощью доски и мела, проникать в сущность изучаемых явлений. Последовательная смена кадров на кодоскопе, использование диафильмов и мультфильмов позволяет более детально раскрывать процесс формирования понятия. Так, например, раскрывая понятие отрицательного числа с помощью координатной прямой, более доступно проследить процесс перехода от словесных указаний положения точки на прямой к буквенным, а затем и к знаку.

Технические средства обучения необходимы и для формирования произвольной памяти. Усиление потока информации сказалось на перегрузке памяти учащегося. Одним из существенных моментов обучения является целенаправленное расширение познавательных возможностей школьников. Но без работы памяти невозможен никакой умственный труд. Память же можно формировать двояко: путем механического заучивания и воспроизведения и путем ее произвольного развития Более ценно и продуктивно развитие произвольной памяти. Использование диафильмов, кинофильмов, кинокольцовок значительно расширяет возможности произвольного запоминания.

Неоценимую помощь в достижении целей обучения оказывают различные приспособления для установления обратной связи. Это дощечки, на которых фиксируются ответы учащихся на устные вопросы учителя; многолистные классные доски, на которых отвечающий ученик фиксирует свой ответ, не отвлекая до определенного момента класс; различные виды контролирующих машин, которыми иногда оборудуются учебные комнаты в школах, и т. п.

Использование технических средств обучения вместе с другими видами наглядности делает урок более уплотненным, разнообразит методы ведения урока и виды деятельности учащегося, что, несомненно, положительно сказывается на содержании урока.

§ 2. Уроки математики в IV—V классах

Урок изучения нового материала

Ранее мы отмечали, что наиболее характерным уроком для IV—V классов является урок изучения нового материала. Структура такого урока может быть различна, но в каждом из них должны быть продуманы вопросы для анализа задач с дидактическими функциями с целью выделения существенных признаков изучаемого понятия. Итогом анализа будут обобщения, выводы, определения. На таком уроке должны быть задачи с познавательными функциями, с помощью ко-

торых усваиваются все признаки формируемого понятия и его применение в ситуации, аналогичной к учебной. Иногда возможны задачи для применения изучаемых вопросов в новой ситуации. Таким образом, приобретение новых знаний и закрепление ранее изученных сливается в единый процесс.

На уроке изучения нового материала может быть этап проверки домашнего задания, в который полезно включить дополнительные вопросы, связывающие ранее изученный материал с материалом предстоящего урока. На таком уроке может быть и фронтальный опрос, особенно во время подготовки к изучению нового материала, вопросы которого тоже должны быть направлены на установление связей изучаемого материала с ранее изученным. Фронтальный опрос может проводиться и для проверки знаний, подлежащих обязательному запоминанию.

На каждом уроке изучения нового материала должен быть индивидуальный опрос. В IV—V классах он необходим не только для проверки понимания и усвоения знаний, но и для обучения ученика связному рассказу, умению строить свой ответ.

Приведем пример одного урока (с методическими замечаниями к нему) по теме «Вычитание натуральных чисел»1.

Тема урока. Вычитание натуральных чисел (продолжение).

Цель урока. На основе взаимосвязи функциональной, вычислительной и логической линий курса расширить и углубить знания учащихся о действии вычитания.

План урока

I. Устные упражнения.

II. Математический диктант.

III. Решение текстовых задач.

IV. Самостоятельная работа.

V. Задание на дом.

1. Устные упражнения

С целью повторения определения вычитания, выработки вычислительного навыка, углубления понятия переменной и выражения с переменной, повышения уровня математического развития в начале урока проводится устный счет.

А. 1. Объясните, что значит вычесть:

а) из числа 150 число 38,

б) число 50 из числа 230.

2. Выполните вычитание:

900 — 108, 1000 — 729, х — 37.

3. Разность x — 37 при различных значениях х принимает различные значения:

1 См. подробнее: Н. Д. Виноградова. Опыт организации урока математики в IV классе. В сб.: Вопросы методики обучения математике в IV—V классах. Под ред. Е. И. Лященко. Мн., 1973, с. 30—42.

а) Какие числа можно подставить вместо х в разность х — 37 (x > 37, т. е. x ∈ {37, 38, 39, ...}.)

б) Назовите несколько значений выражения х — 37. (х — 37 = 0 при x = 37; x — 37 = 1 при х = 38 и т. д.)

в) Сколько значений может принимать выражение х — 37?

Б. Брат нашел 38 белых грибов, а сестра 26. По дороге домой брат отдал сестре несколько грибов, после чего у них грибов стало поровну. Сколько грибов брат отдал сестре?

В. Разность двух чисел оканчивается нулем. Какими цифрами оканчиваются уменьшаемое и вычитаемое?

II. Математический диктант

Чтобы подготовить учащихся к решению задач с помощью составления уравнений, проводится диктант.

Читается условие. Один учащийся составляет уравнение на доске за шторкой, класс — самостоятельно. Когда упражнение выполнено, открывается шторка, решение проверяется и дается обоснование. Приведем текст диктанта.

Обозначьте неизвестное число буквой, составьте уравнение и ответьте на вопросы:

1. К какому числу надо прибавить 259, чтобы получить 1010?

2. Из какого числа надо вычесть 625, чтобы получить 478?

3. Какое число надо прибавить к 459, чтобы получить 1722?

III. Решение текстовых задач

Благодатным материалом для реализации функциональной, теоретико-множественной, алгебраической, вычислительной линий в их взаимосвязи являются задачи с переменной.

В теме «Вычитание» есть задачи с переменной, которые целесообразно решать в классе для более глубокого осмысления действия вычитания.

Например: «На автостанции стояло 10 автобусов. Из них а автобусов ушло в рейс. Сколько автобусов осталось?»

1. Составьте выражение для решения этой задачи. (На автостанции осталось 10 — а автобусов.)

2. Запишите множество значений, которые может принимать переменная а в задаче.

3. Как понять, что переменная а = 0? а = 4? ... а = 10? (а = 0 означает, что ни один автобус не ушел в рейс; а = 4 означает, что в рейс ушло 4 автобуса, и т. д.; а = 10 означает, что в рейс ушли все 10 автобусов.)

4. Сколько автобусов осталось на автостанции, если ушло в рейс 0, 1, 2, 10 автобусов?

Ответ на вопрос записывается в форме таблицы:

Ушло а автобусов

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Осталось 10 — а автобусов

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

При составлении таблицы учащиеся рассуждают так: если ни один автобус не ушел в рейс (а = 0), то осталось 10 автобусов; если ушел 1 автобус, то осталось 9 автобусов и т. д.; если ушли все 10 автобусов, то ни одного не осталось, т. е. осталось 0 автобусов.

5. Если переменная а = 4 или а = 7, то чему равно значение выражения 10 — а? (Если а = 4, то 10 — а = 6; если а = 7, то 10 — а = 3.)

а

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10— а

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Эти соответствия показываются в таблице стрелками.

6. Наоборот, при каком значении переменной а выражение 10 — а равно 1? 8? 6? (10 — а = 1 при а = 9; 10 — а = 8 при а = 2; 10 — а = 6 при а = 4.)

7. Назовите компоненты разности 10 — а. (10 — уменьшаемое, а — вычитаемое.)

8. Как изменится разность 10 — а с увеличением (уменьшением) вычитаемого а? (С увеличением (уменьшением) вычитаемого а разность 10 — а уменьшается (увеличивается).)

Согласно рассуждениям изменения в таблице показываются стрелками.

а

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 — а

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

9. Почему сумма чисел в каждом столбце таблицы равна 10? (Потому что сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому, которое равно 10.)

При решении этой задачи показано, как установить возможные границы изменения переменной а исходя из конкретного условия задачи, и соответствие значений переменной а и выражения 10 — а; как по данному значению одной из переменных найти значение другой; как с изменением вычитаемого изменяется разность при постоян-

ном уменьшаемом. При такой работе учащиеся учатся анализировать таблицу, а это и есть осуществление взаимосвязи функциональной, множественной, алгебраической и вычислительной линий.

После решения задачи полезно предложить учащимся составить свои задачи по выражению 10 — а:

1. Для участников математического конкурса купили 10 книг. Победителям конкурса раздали а книг. Сколько книг осталось?

2. Отец получил премию 10 рублей. Он купил подарки мне и сестренке, и у него еще осталось а рублей. Сколько рублей стоили подарки?

3. Расстояние от городского поселка до деревни 10 км. Пионерам осталось пройти до деревни а км. Сколько километров они прошли?

Вывод. Можно составить много задач различного содержания, и все они решаются составлением одного и того же выражения 10 — а.

Составление учащимися задач способствует развитию творческого мышления, показывает практическое значение математики в жизни. Учащиеся замечают, что разные текстовые задачи содержат в себе одни и те же математические отношения.

Чтобы ученики немного отдохнули, можно предложить устную задачу, способствующую формированию понятия переменной: «У Вани x марок, а у Пети 20 марок. У кого больше марок? Сколько марок могло быть у Вани?»

Затем решается задача: «Может ли периметр треугольника равняться 217 см, если одна его сторона равна 38 см, а вторая на 16 см больше?»

В процессе анализа задачи ученики сами должны понять, может ли существовать треугольник с такими данными.

Решение задачи начинаем с предположения. Если периметр треугольника равен 217 см и одна сторона — 38 см, то тогда другая сторона равна 38 + 16 = 54 (см). Длина двух сторон вместе 38 + 54 = 92 (см). Но так как периметр 217 см, то третья сторона равна 217 — 92 = 125 (см).

Учащиеся могут предложить решение этой задачи с помощью составления уравнения.

Итак, стороны треугольника равны 38, 54, 125 см.

Чтобы учащиеся поняли, почему треугольник с такими сторонами и периметром не существует, можно решить задачу проблемным методом. Ученику даются 3 палочки (модели отрезков). С помощью линейки он измеряет длину каждого отрезка. Получается: 38 см, 54 см, 125 см. Внимание учащихся обращается на то, что это длины сторон треугольника. Предлагается построить треугольник из этих «отрезков». Как ни будет стараться ученик, построить треугольник он не сможет.

Почему мы не можем построить треугольник с такими сторонами? (Потому, что одна сторона треугольника больше суммы двух других сторон, т. е. 125 > 38 + 54.)

В какой зависимости должны находиться стороны, чтобы треугольник можно было построить? (Чтобы треугольник существовал,

нужно, чтобы сторона треугольника была меньше суммы двух других сторон.)

Слово «каждая» ученик не сказал. Тогда предлагается сравнить сторсну 54 и сумму 38 + 125, получается 52 < 38 + 125; сторону 38 и сумму 54 + 125, получается 38 < 54 + 125.

Итак, каждая из двух сторон треугольника меньше суммы других сторон. Но треугольник все равно нельзя построить. Почему? (Потому, что для третьей стороны это условие не выполняется, т. е. 125 > 38 + 54.)

Вывод. Чтобы треугольник существовал, надо, чтобы каждая сторона треугольника была меньше суммы двух других сторон. В нашей задаче 54 < 38 + 125, 38 < 54 + 125, но 125 > 38 + 54.

Ответ. Не может периметр треугольника равняться 217 см, если одна сторона 38 см, а вторая на 16 см больше, так как такого треугольника не существует.

В процессе решения данной задачи отрабатываются такие важные логические понятия, как «любая», «каждая», «всякая» сторона).

IV. Самостоятельная работа

В конце урока с целью совершенствования вычислительного навыка вычитания и сложения многозначных чисел проводится обучающая самостоятельная работа. Предлагаются задачи на нахождение значения выражения и задачи типа: «Верно ли неравенство (213 + а) — 191 < 404 — а, если а = 96».

Решая последнюю задачу, учащиеся рассуждают так.

При а = 96 неравенство принимает вид:

(213 + 96) — 191 < 404 — 96.

Чтобы было верным неравенство (213 + 96) — 191 < 404 — 96 (I), надо, чтобы было верным неравенство (309 — 191) < 308 (II), а чтобы было верным II, надо (т. е. необходимо), чтобы было верным 118 < 308 (III), но III верно, значит, верно II, а если верно II, то верно I.

Ответ. При а = 96 данное неравенство верно.

Так как учащиеся IV класса еще не знают символа «⇒», то оформление решения данной задачи традиционно: последовательное переписывание неравенства с выполнением некоторых действий и преобразований.

Приведенный урок не является простым воспроизведением действия вычитания натуральных чисел, которое учащиеся изучали в I—III классах. Возвращение к ранее изученному здесь осуществляется на более высоком научном уровне, т. е. знания учащихся по этому вопросу расширяются, углубляются, обобщаются, а благодаря наличию в курсе математики IV—V классов некоторых понятий функции повторяются и углубляются понятия, которые до этого были изучены в IV классе: переменная, выражения с переменной, зависимости между сторонами треугольника, множества и др.

В ходе решения задач на этом уроке неявно формировались у учащихся понятия функции, множества ее значений, области определения, монотонности функции.

Наглядное пособие, которое использовалось на уроке («отрезки»)» являлось не иллюстрацией уже известных учащимся положений, а средством создания проблемной ситуации, направленной на углубление понимания зависимости между сторонами треугольника и формирование продуктивной деятельности.

Анализ структуры этого урока дает основание сделать следующие выводы:

1. На каждом этапе была поставлена цель, способствующая достижению общей цели урока. На первом — напомнить известные положения о действии вычитания; на втором — раскрыть сущность алгоритма вычитания; на третьем — показать применение действия вычитания на основе внутрипредметной связи; на четвертом — самостоятельно использовать знания.

В результате последовательного перехода от одного этапа к другому на новом теоретическом уровне было осмыслено действие вычитания.

2. Внутри каждого этапа реализовывались определенные формы самостоятельной деятельности учащихся.

3. Каждый этап завершался выводами учащихся и учителя, а в конце урока был сделан обобщающий вывод. Учитель, создав условия для реализации поставленной цели и обеспечив методы и формы ее достижения, руководил деятельностью учащихся и в конце показал, что было сделано за урок.

Мы не приводим здесь примеры других уроков, так как главной нашей целью было раскрытие принципиальных особенностей структуры урока математики1.

Обобщающий урок

Главная цель обобщающих уроков — систематизация знаний. Организующим началом такого урока является схема-структура, связывающая изученные в параграфе понятия. Анализ такой схемы способствует формированию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Структура обобщающего урока может быть следующей:

1. Фронтальная беседа по отдельным, наиболее принципиальным понятиям темы.

2. Анализ или составление схемы-структуры темы. Выяснение общих идейных и операционных основ взаимосвязанных понятий в схеме. Сравнение понятий с ранее изученными. Определение условий и границ применения понятий и т. п.

3. Решение задач на применение знаний об основных свойствах изученных понятий. Желательно решать задачи, которые по содержанию требуют сравнения, обобщения или классификации. Задачи по мере возможности должны быть комплексными по содержанию, заключать различные варианты с точки зрения применения знаний.

1 Различные варианты уроков разработаны в книге: Е. I. Ляшчанка, З. П. Наронская. Дадатныя і адмоўныя лікі ў курсе матэматыкі 5 класа. Мн., 1973.

4. Самостоятельная работа учащихся как заключительный этап урока.

Приведем пример обобщающего урока по теме «Положительные и отрицательные числа» в V классе.

Тема урока. Обобщить знания и умения учащихся по теме на основе взаимосвязи основных понятий и сравнения с натуральными числами и применить знания при решении задач.

Структура урока аналогична приведенной выше.

1. Цель первого этапа урока — воспроизвести определения и термины основных понятий темы.

Основные вопросы, по которым можно провести фронтальную беседу:

1) Для чего необходимо введение новых (отрицательных) чисел?

2) Как были введены отрицательные числа? Характеристикой чего они являются?

3) Основные характеристики множества положительных и отрицательных чисел в сравнении с ранее известными множествами чисел.

4) Геометрический и аналитический способы сравнения положительных и отрицательных чисел.

5) Алгоритмы арифметических действий над положительными и отрицательными числами.

6) Законы действий над положительными и отрицательными числами.

2. Схема-структура темы «Положительные и отрицательные числа»:

Если аналогичные схемы были использованы при обобщении других числовых множеств, то анализ схемы по теме «Положительные и отрицательные числа» можно провести в сравнительном с ними плане. В процессе сравнения надо показать сходство и различие в порядковых и алгебраических структурах сравниваемых множеств. Можно показать, что множество положительных и отрицательных чисел не имеет начала и симметрично относительно О, что отношение «равно» пополнилось еще одним свойством — знаком. Надо показать, чем отличаются алгоритмы действий над положительными и отрицательными числами от алгоритмов над натуральными или дробными числами. Такой сравнительный анализ схем способствует общему и математическому развитию учащихся.

3. Задачи для применения знаний о положительных и отрицательных числах.

1) Найдите значение выражения:

2) Решите уравнение

и сделайте проверку.

4. Самостоятельная работа.

1) Составьте задачу, решение которой привело бы к составлению уравнения

2) Решите уравнение

В конце урока учитель может сделать обобщение и наметить перспективы изучения нового числового множества — множества рациональных чисел.

Урок самостоятельной работы

Ранее мы отмечали особенности содержания самостоятельных и контрольных работ. Здесь нам представляется необходимым остановиться только на организации уроков, на которых проводится самостоятельная работа, и их структуре.

Уроки самостоятельной работы проводятся с целью обучения учащихся самостоятельно применять полученные ранее знания, поэтому на них должно быть разрешено учащимся использовать таблицы, справочники, учебники, рабочие тетради. Более того, учитель должен показать, как в случае затруднения при выполнении самостоятельной работы можно воспользоваться учебником или тетрадью. Во время проведения самостоятельной работы учитель может

и должен оказывать ученикам в индивидуальном порядке необходимую помощь.

Самостоятельные работы лучше всего проводить на уроках по изучению нового материала или на обобщающих уроках. Перед проведением работы желательно фронтально повторить те понятия, которые будут использованы. Очень важно во время проведения самостоятельных работ создать в классе учебную, а не контролирующую обстановку, использовать, по возможности, элементы игры.

Если было дано два варианта, то работу иногда можно проверить в классе. Учитель с привлечением учащихся может показать на доске правильные образцы решения, а учащиеся сверят по ним свою работу и внесут при необходимости исправления. Учащиеся, выполняющие один и тот же вариант, могут осуществить взаимопроверку. Чаще же учитель собирает тетради и проверяет работу с выставлением оценок.

ЧАСТЬ II

Глава I. Методика обучения учащихся IV—V классов теоретико-множественным понятиям

Основные теоретико-множественные понятия, которые необходимо изучить в IV—V классах, можно условно разделить на две группы: понятия терминологического характера (множество, принадлежность, включение) и понятия об операциях над множествами.

Первая группа понятий по своему содержанию не представляет трудности для учащихся. Необходимо только с первых уроков математики вводить теоретико-множественную терминологию и символику в устную речь и при оформлении записей решения задач.

Все теоретико-множественные понятия вводятся в учебниках на примерах с конечными множествами. Это позволяет ученику, если он сразу не уяснил, например, характеристическое свойство множества, перебрать все элементы конечного множества и эмпирическим путем установить это свойство. Выполнив такую операцию неоднократно и в различных ситуациях, учащийся на основе полученного опыта делает заключение о закономерности.

При формировании первоначальных теоретико-множественных понятий надо учитывать, что «использование первых понятий теории множеств при изучении арифметики и начал алгебры — это определенный методический прием (разрядка наша), дающий возможность совершенствовать процесс обучения математике, повышающий научность и точность изложения материала, дающий возможность устанавливать более эффективные связи между математикой и другими учебными предметами, математикой и накопленным ребенком жизненным опытом»1.

Из этого следует, что целью обучения в этот период является не только усвоение самих теоретико-множественных понятий, но и показ их возможного применения при изучении разнообразных арифметических и алгебраических вопросов (при решении уравнений и неравенств, установлении области значений переменной, определе-

1 Н. Я. Виленкин и др. Математика в IV классе. Изд. 2-е. М., 1972, с. 13.

нии различных подмножеств числовых множеств и т. п.), в записи решений дидактических и познавательных задач, в устной речи учащихся.

§ 1. Формирование основных теоретико-множественных понятий

То обстоятельство, что понятия «множество», «принадлежность» (пока без символики), «множество, состоящее из одного элемента» и «пустое множество» в учебнике рассматриваются на примерах конечных и только числовых множеств, позволяет при их формировании использовать луч.

На первых порах изучения математики в IV классе учащиеся повторяют известные им из I—III классов понятия (натуральные и дробные числа, действия над числами и др.), но повторение это ведется на новом уровне, с привлечением теоретико-множественной терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.

Предлагая учащимся записать, например, все натуральные числа, расположенные на луче между числами 21 и 28, то есть с помощью понятия луча и условия, что искомому множеству принадлежат только числа, расположенные на луче между числами 21 и 28, выясняем: 1) что значит: числа, принадлежащие данному множеству, расположены или не расположены между числами 21 и 28; 2) расположены ли, например, числа 32 и 0 между числами 21 и 28; 3) какие числа лежат на луче между числами 21 и 28; 4) принадлежат ли множеству {22, 23, 24, 25, 26, 27} какие-либо другие числа, кроме названных.

С помощью таких вопросов учащиеся выясняют значение и смысл характеристического свойства множества для выполнения операции принадлежности.

Все упражнения учебника (№ 109—112) преследуют именно эту цель. Даны различные характеристические свойства множеств, и надо решать вопрос о принадлежности. Характеристические свойства позволяют повторять сведения из арифметики: двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3; двузначные числа, расположенные на луче левее девяти; трехзначные числа, которые можно записать цифрами 1 и 2, и т. д.

Если первый урок по изучению множества будет плодотворным, то рассмотрение понятия принадлежности на других, не числовых множествах можно будет свести только к введению символической записи и более тщательному рассмотрению понятия «равные множества». В учебнике данное понятие не формулируется, а дается только замечание, что множества {2, 3, 1} и {3, 1, 2} — это одно и то же множество.

Так как понятие «равные множества» очень важно для школьной математики, то на него надо обратить внимание при изучении начальных понятий. Надо указать, что множество, заданное перечислением, не должно содержать одинаковых элементов. Особенно это важ-

но показать на множествах, задаваемых с помощью характеристического свойства. Действительно, множество чисел, применяемых в качестве школьных отметок, — это множество {1, 2, 3, 4, 5}, но не множество {1, 2, 3, 5, 3, 4, 5}.

Дополнительные задачи для формирования понятия «равные множества» и независимости задания множества от порядка элементов в нем включать в систему дидактических задач не обязательно. Только при решении задач, данных в учебнике, необходимо ставить вопросы и давать задания, помогающие раскрыть характеристические свойства этого понятия. Например, № 124 (а):«3апишите с помощью фигурных скобок множество различных букв в слове «математика». Чтобы решить задачу, надо выяснить, в чем заключается правило, на основе которого будет решаться вопрос о принадлежности элемента множеству. (Различные буквы слова «математика».) После того как будет записано множество {м, а, т, е, и, к}, можно поставить вопросы:

1. Могут ли быть записаны другие множества? (Да. {к, и, е, т, а, м}, {м, т, а, и, е, к} и т. п.)

2. Чем отличаются эти множества? (Порядком элементов в них.)

3. Какие это множества? (Равные.)

При решении таких задач надо отмечать наиболее рациональные способы получения элементов множеств. Это в дальнейшем может быть использовано при изучении других вопросов (комбинаторных задач, неравенств, уравнений и др.).

Понятие «множество» одно из основных. Оно находит широкое применение не только при изучении числовых множеств в IV—V классах, но и в геометрии. Поэтому его формированию и особенно процессу образования различных подмножеств данного множества должно быть уделено большое внимание. Упражнения учебника, предназначенные для формирования понятия «подмножество», желательно дополнить заданиями, направленными на получение всех возможных подмножеств в простейших случаях.

Естественно, говорить ученикам о существовании у любого конечного множества, содержащего n элементов, 2n подмножеств не следует, но раскрыть процесс образования подмножеств у данного множества необходимо.

Например, упражнение, является ли множество А подмножеством множества B, если А = {х, у, р}, В = {х, у, р, k}, может быть дополнено такими заданиями:

1. Какие еще множества можно получить из множества В, чтобы они были его подмножествами?

2. Будет ли множество В = {х, у, р, k} подмножеством множества B?

3. Будет ли множество Е = {х, р, у, k} подмножеством множества В?

В конце работы можно (не для запоминания, а в качестве обобще-

ния) сделать вывод, что в нашем примере множество В — универсальное, а все другие множества — его подмножества.

Позже будет отмечено, что Z — универсальное множество, а N, Z_, 0 — его подмножества.

Большое внимание в курсе математики V класса отводится изучению операций над множествами.

Эти вопросы имеют математическую и методическую стороны. Математическая сторона заключается в том, что над любыми введенными объектами (числа, функции, высказывания, множества и др.) выполняются операции, порождающие объекты той же природы. Учащимся V класса известно это на примере чисел. После введения чисел определенного числового множества (натуральных, дробных, рациональных и т. п.) рассматривались действия (операции) над числами — сложение, умножение, вычитание, деление, тоже порождающие числа.

Методическая сторона уже была отмечена при рассмотрении понятий терминологического характера (см. с. 101). Здесь же необходимо только указать, что, используя операции над множествами, уже в IV классе при изучении свойств геометрических фигур, понятия общего делителя, при решении уравнений и неравенств и др. можно давать более четкие определения, выполнять лаконичные записи, что подготовит учащихся к изучению курсов алгебры и геометрии на теоретико-множественной основе.

Изучение операций над множествами в V классе должно быть достаточно глубоким, так как к этому вопросу больше в средней школе обращаться не будут.

В V классе изучаются три операции над множествами: пересечение и объединение множеств и разбиение множеств на подмножества.

Содержание материала учебника таково, что позволяет раскрыть сущность этих операций на арифметических, геометрических примерах и примерах из жизни и тем самым показать широту теоретико-множественного подхода к изучению реального мира.

В качестве задач, исполняющих дидактические функции при изучении операции пересечения множеств, могут быть использованы следующие:

1. Множество X состоит из треугольников, а множество Y — из фигур белого цвета, среди которых есть и треугольники. Запишите множество, составляющее общую часть множеств X и Y.

2. Запишите множество делителей числа 12 и числа 18. Найдите общую часть этих множеств. Какой из общих делителей чисел 12 и 18 наибольший?

3. Найдите общую часть множеств различных букв, входящих в слова «математика» и «грамматика».

Получив в каждой из этих трех задач «общую часть нескольких множеств» и проиллюстрировав ее кругами Эйлера, можно дать определение операции пересечения как общей части множеств и ввести символическое обозначение этой операции. Так как в результа-

те операции пересечения множеств тоже получается множество, то оно должно удовлетворять требованиям этого понятия: не содержать повторяющихся элементов, иметь подмножества и т. п.

По аналогичному плану может быть введена и операция объединения множеств.

В школе довольно часто и не только на уроках математики находит применение операция классификации объектов по определенным признакам. Простейшая классификация сводится к разбиению множества на два непересекающихся подмножества на основе одного свойства. Например, множество натуральных чисел можно разбить на два непересекающихся подмножества на основе свойства «быть четным». Одно подмножество — четные числа, другое — нечетные. Это разбиение выполнено с соблюдением двух условий: 1) пересечение полученных подмножеств пусто; 2) их объединение дает исходное множество. Множество всех треугольников можно разбить на два непересекающихся подмножества на основе одного свойства — «иметь острый угол».

Рассматривая примеры разбиения множеств на подмножества, важно акцентировать внимание учеников на выполнении принципов разбиения множества на подмножества: пересечение полученных подмножеств пусто (непересекающиеся подмножества), а их объединение должно давать исходное множество. Большую роль для осознания этого вопроса играют контрпримеры. Например, разбейте множество чисел {12, 15, 18, 20} на два подмножества. В одно включите числа, кратные 3, в другое — кратные 5. Удовлетворяет ли такое разбиение требованиям операции разбиения на подмножества?

В нашем примере первое подмножество А = {12, 16, 18}, второе В = {15, 20}. Пересечение их A ⋂ В = {15} не пусто. И хотя объединение множеств А и В дает исходное множество, однако нельзя считать приведенное выше разбиение разбиением на непересекающиеся подмножества.

Можно привести еще контрпример. Дано множество натуральных чисел первого десятка: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Разбить его на подмножества по двум свойствам: «быть простым» и «быть нечетным». Подмножество простых чисел — А = {2, 3, 5, 7}, подмножество нечетных — В = {3, 5, 7, 9}. Их пересечение A ⋂ B = {3, 5, 7} не пусто. Их объединение А ∪ В = {2, 3, б, 7, 9} не дает исходного множества. Значит, оба условия операции разбиения множества на подмножества не соблюдаются при таком разбиении.

Операция разбиения на классы находит применение в V классе при классификации треугольников, множеств чисел. Но особенно с ее помощью и на ее основе можно успешно решать «логические» задачи на внеурочных занятиях. Много задач, решаемых с помощью операции разбиения на классы, есть в журнале «Квант» в разделе для учащихся IV—VI классов. Применение диаграммы Эйлера значительно облегчает их решение.

§ 2. Методика применения основных теоретико-множественных понятий

1. Применение теоретико-множественных терминов и символов при формировании некоторых понятий.

Не расширяя учебного материала, можно эффективно использовать понятие множества для формирования переменной. Например, задачу № 223 (IV класс): «Подставьте в равенство х — 3 = 8 вместо переменной х числа 3, 5, 11, 16. Прочитайте каждое получившееся высказывание и скажите, истинно оно или ложно» — можно сформулировать так: «Подставьте в равенство х — 3 = 8 вместо переменной числа из множества {3, 5, 11, 16} ...»

Цель упражнения та же, что и в первом случае: вместо переменной подставить ее значение и выяснить, истинное или ложное получили высказывание. Записав область определения переменной с помощью теоретико-множественных символов, можно заниматься еще и пропедевтикой понятия множества решений уравнения.

Иногда наряду с толкованием значения переменной без использования теоретико-множественных понятий можно для большей наглядности дать и другое объяснение, свойственное теоретико-множественному подходу (таблицы, стрелки и т. п.).

Например, можно предложить задачу: «В выражение с переменной 76 + x подставить значения: х ∈ {10, 11, 12}».

Для получения вывода о том, что при различных значениях переменной получаются различные значения выражения 76 + х, можно записать:

Такая запись необходима, она показывает, как зависит значение выражения с переменной от значений переменной. Однако записи вида:

или

x

10

11

12

76 + х

86

87

88

наглядно иллюстрируют и идею зависимости, и, что не менее важно, соответствие.

Таким образом, систематическое обращение к теоретико-множественным понятиям (множество, принадлежность, соот-

ветствие) при формировании и использовании понятия переменной значительно обогатит курс идейно и будет служить хорошей подготовкой для изучения курсов геометрии и алгебры в VI—VIII классах.

Аналогичные подходы можно использовать и при формировании понятий уравнения, неравенства и множества их решения, что будет показано позже (см. гл. III).

2. Применение теоретико-множественных символов в записи решения дидактических и познавательных задач.

Самое серьезное внимание надо обратить на применение символов ∈; ∉ и ⊂. Для закрепления первых двух символов в учебнике имеются две группы упражнений: 1) Запись множества по данному характеристическому свойству. Например, записать множество однозначных чисел, кратных 3 ({3, 6, 9}). 2) Дано множество, указано его характеристическое свойство и названо несколько элементов. Требуется определить, принадлежат или не принадлежат элементы данному множеству.

Множественная символика применяется при изучении понятия переменной в решении уравнений и неравенств. Ее надо использовать и при изучении чисел.

Например, при изучении темы «Натуральные числа» для повторения свойств действий и зависимостей результата от компонентов действий можно выполнять упражнения вида: «Составьте таблицу разности x — у, если х ∈ {11, 12, 13, 14, 15, 16} и у ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}». Анализируя таблицу, необходимо выяснить, почему не все клетки ее оказались заполненными.

С той же методической целью множественная символика применяется и при изучении обыкновенных и десятичных дробей. Например, напишите множество всех правильных дробей, знаменатель которых меньше 5 (M = {1/2; 1/3; 1/4; 2/3; 3/4}), или множество десятичных дробей, у которых в дробной части только один разряд (разряд десятых) и которые расположены между числами 6 и 7 (М = (6,1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6; 6,7; 6,8; 6,9}).

В таких упражнениях главное внимание обращается не на множество и его свойства, а на какие-то особенности арифметических или алгебраических понятий. Множественная символика применяется только для экономного и удобного оформления решения упражнений.

В учебнике мало используется символ с: для записи решений упражнений и при формулировке выводов. Однако, не перегружая программу можно найти много моментов, когда такое использование и сократит записи, и более эффективно раскроет их сущность. Например, при изучении числовых множеств можно записывать различные числовые подмножества следующим образом:

Множество правильных дробей есть подмножество множества дробей, множество модулей чисел есть подмножество множества всех чисел. Решения двух неравенств могут выступать в отношении включения. Например: «Найдите множество натуральных чисел, являющихся решениями неравенства 2 < х ⩽ 18 (М = {3, 4, 5, . . ., 18}) и неравенства 10 < х ⩽ 18 (К = {11, 12, 13, . . ., 18}). Какое из множеств является подмножеством другого множества? Иллюстрируйте множества решений на координатной прямой. Выделите на координатной прямей общую часть (пересечение) двух множеств решений».

Решение таких упражнений с серией вопросов обеспечит необходимую пропедевтику решения систем уравнений и неравенств.

Глава II. Числовые множества и действия над числами

§ 1. Расширение числовых множеств

В математике понятие натурального числа и операции над ними рассматриваются как система определений, аксиом и теорем. Обычно выделяется два способа построения арифметики натуральных чисел: на основании теории множеств, создателем которой является немецкий математик Георг Кантор (1845—1918), и чисто аксиоматический способ.

При первом способе числами называют символы, характеризующие классы эквивалентных между собой множеств, т. е. таких множеств, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие. Натуральные числа, по определению, есть мощности непустых конечных множеств. Мощность пустого множества принимают за число нуль.

На основе понятий теории множеств вводится сравнение натуральных чисел; операция сложения естественно связывается с объединением непересекающихся множеств; умножение может быть введено как результат сложения нескольких слагаемых, равных между собой; легко устанавливаются основные свойства отношений и действий над натуральными числами.

При аксиоматическом способе под натуральными числами понимают символы, для которых введено одно основное отношение «непосредственно следует за» и которые удовлетворяют следующим четырем аксиомам, предложенным в 1891 г. итальянским математиком Пеано (1858—1932).

1. Существует число 1, не следующее ни за каким натуральным числом.

2. Для любого натурального числа а существует непосредственно следующее за ним число a' и притом только одно.

3. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.

4. (Аксиома индукции.) Если подмножество M множества натуральных чисел N содержит число 1 и вместе с числом а всегда содержит число а', то подмножество M совпадает со всем множеством N.

Операции сложения и умножения могут быть определены по Грассману (1809—1877) следующим образом:

Эти пары формул в сочетании с аксиомами Пеано для натурального ряда чисел позволяют установить существование и единственность суммы и произведения, а также доказать сочетательный, переместительный и распределительный законы для сложения и умножения.

Но ни один из этих способов не может быть применен в чистом виде в школьном преподавании, хотя анализ содержания и методики обучения в начальной школе показывает, что представления учащихся о натуральных числах и операциях над ними ближе к теоретико-множественному способу построения арифметики натуральных чисел.

Натуральные числа являются фундаментом, на котором можно построить все другие числовые множества. В теоретической арифметике, стремясь к достижению большей логической простоты, последовательно определяют целые, рациональные, действительные и комплексные числа. При этом всякое новое числовое множество является раширением предыдущего, так что обобщение понятия числа происходит по следующей схеме:

Возможны и другие пути обобщений понятия числа. Укажем два наиболее интересных из них:

1. С точки зрения чистой алгебры естественно рассматривать: натуральные числа — целые числа — рациональные числа — алгебраические числа.

2. Следуя историческому пути развития, получаем другую последовательность: натуральные числа — неотрицательные целые числа— неотрицательные рациональные числа— рациональные числа — действительные числа — комплексные числа.

Но при любой схеме обобщения понятия числа мы строим расширения, обладающие определенными свойствами по отношению к расширяемому множеству. Если, например, множество А расширяется до множества B, то построение расширения должно удовлетворять следующим условиям:

1. А есть подмножество В.

2. Отношения и операции для элементов множества B, ранее известные для элементов множества A, должны быть определены так, чтобы их смысл для элементов из A, рассматриваемых как элементы из B, совпадал с тем, какой они имели в A до расширения.

3. Во множестве В должна быть выполнима операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.

4. Расширение В должно быть минимальным из всех возможных расширений множества A, удовлетворяющих требованиям 1—3.

Рассмотрим подробнее эти требования. Известно, что множеств B, удовлетворяющих всем четырем условиям, можно построить много, но все они будут изоморфны между собой относительно введенных в них операций. Это значит, что расширение В определяется заданным множеством А однозначно с точностью до изоморфизма.

Возможны различные способы построения множеств, изоморфных множеству В. Нередко вместо требуемого множества В строят вначале множество B', удовлетворяющее условиям 2—4, а затем выделяют A', подмножество B', изоморфное расширяемому множеству A. Заменяя элементы из А' элементами из A, строят множество B, изоморфное множеству В'. В результате получают одно из изоморфных множеств, удовлетворяющих всем четырем условиям.

В школьном преподавании более распространенным является построение множества В присоединением к элементам множества A некоторых новых элементов. Примеры таких расширений, получаемых присоединением к множеству неотрицательных целых чисел дробей, а затем еще и отрицательных чисел, будут подробно рассмотрены позже в этой же главе.

Второе условие расширений можно кратко выразить как требование «не переучиваться». То, что учащиеся усвоили до введения новых чисел, не должно противоречить новым знаниям. Конечно, не всякое отношение элементов множества A нужно определять и для элементов множества В. Например, при расширении множества действительных чисел до множества комплексных чисел на элементы нового множества не распространяется отношение сравнения, точнее, не вводятся понятия «больше» и «меньше», а дается лишь определение равенства двух комплексных чисел.

Требование «не переучиваться» является основой при подведении учащихся к новым определениям, причем как при введении операций сложения и умножения, так и при обобщении понятия «сравнение».

Основная цель расширения выражена третьим требованием. Как известно, во множестве натуральных чисел всегда выполнимы две операции: сложение и умножение. Если потребовать выполнимости операции вычитания, то придем ко множеству целых чисел, а если потребовать выполнимости операции деления, то получим множество положительных рациональных чисел.

Требование минимальности расширения выражает естественное стремление к постепенности при обобщении понятия чисел. Множество рациональных чисел естественно расширять до множества действительных чисел, а не сразу до комплексных; множество натуральных чисел не расширяют сразу до множества всех рациональных чисел или до множества алгебраических чисел.

Условие минимальности можно выразить так: «Не существует никакого С, подмножества B, отличного от B, которое удовлетворяло бы первым трем условиям». Так что множество В, удовлетворяю-

щее условию минимальности, можно рассматривать (с точностью до изоморфизма) как пересечение всех множеств, удовлетворяющих первым трем условиям.

В школьном преподавании математики требования, предъявляемые к расширениям числовых множеств, несколько видоизменяются. Ясно, что в школе при разъяснении цели расширения мы не можем ограничиваться формальным требованием выполнимости определенной операции, которая не всегда выполнима в уже известном учащимся числовом множестве. У учащихся сразу возникает вопрос, а нужно ли, чтобы эта операция всегда была выполнима. Поэтому, особенно в IV—V классах, учителя вынуждены обосновывать введение новых чисел недостаточностью известных к тому времени чисел для решения некоторых задач, причем не чисто математических, а задач практического характера, доступных и понятных учащимся.

Таким образом, введение новых чисел при всех расширениях (комплексные числа по новой программе в средней школе изучаться не будут) обосновывается не потребностями самой математики, а потребностями практики, жизни. И только после введения этих новых чисел, да и то не всегда, с учащимися выясняется выполнимость соответствующей операции. Например, после введения понятия дроби в IV классе делается вывод, что в расширенном множестве всегда выполнимо деление любых двух натуральных чисел, а в V классе, когда будут изучены все действия над обыкновенными дробями, можно показать, что во множестве рациональных чисел деление всегда выполнимо, исключая лишь деление на нуль.

Как уже указывалось, в школе расширение числовых множеств происходит дополнением известного числового множества новыми числами. Поэтому, кроме раскрытия необходимости введения новых чисел, учитель должен разъяснить, какого вида будут эти новые числа. Учащимся должны быть понятны вводимые определения новых чисел и их отношений, включая и операции над ними. Поэтому вначале лучше рассмотреть соответствующие понятия для элементов исходного числового множества, а затем обобщить на все элементы расширенного множества посредством определений или правил.

Итак, нет необходимости проверять, является ли множество А подмножеством B, и рассматривать минимальность расширения. Однако, на наш взгляд, целесообразно разъяснять такие вопросы, как выполнимость операций и их применимость к элементам исходного числового множества. Например, в V классе легко проверить применимость определений суммы и произведения дробей к целым числам, представимым в виде дроби со знаменателем, равным 1.

Новая программа предусматривает изучение десятичных дробей раньше обыкновенных, обосновывая этот факт психолого-педагогическими соображениями. Как видно из предыдущего, с научной точки зрения десятичные дроби не являются естественным расширением множества натуральных чисел. Они выделяются из общего понятия дробей лишь в силу принятой нами десятичной системы счисления и связанной с ней метрической системой мер. Так как у десятич-

ных дробей знаменателями являются степени основания десятичной системы счисления, то к ним можно применять правила десятичной нумерации. Очевидно, что при иной системе счисления десятичные дроби не представляли бы никакого интереса ни с научной, ни с практической точек зрения.

Изучение десятичных дробей до изучения действий над обыкновенными дробями целесообразно в силу сходства техники вычисления с десятичными дробями и техники выполнения действий над натуральными числами. Безусловно, имеет значение и более широкое распространение в жизни десятичных дробей по сравнению с обыкновенными, но, на наш взгляд, это не является главным при обосновании изменения порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей.

§ 2. Совместное изучение натуральных и дробных чисел

Одной из особенностей программы по математике для IV класса является изучение обыкновенных дробей и некоторых действий над ними на протяжении всей первой темы. «В этой теме наряду с повторением и систематизацией сведений о натуральных числах вводится понятие обыкновенной дроби и дробного числа, ...начинается формирование понятия «обыкновенная дробь» как результат деления натуральных чисел и измерения величин. Вводится понятие «дробное число». Изучается сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»1.

Здесь же начинается формирование и таких понятий, как «переменная», «выражение», «уравнение», «неравенство», методика обучения которым рассматривается в других главах этой книги. Заметим только, что эти понятия помогают учащимся лучше усвоить и действия над натуральными и дробными числами. Имеется возможность разнообразить формулировки и содержание упражнений, предлагаемых учащимся при изучении числовых множеств и действий над числами в IV и V классах.

Такой порядок изучения дробных чисел позволяет установить преемственность в изучении обыкновенных дробей в III и IV классах, а также подготовить учащихся к восприятию десятичных дробей и некоторых операций над ними.

С понятием дроби учащиеся встречаются уже в III классе, где программой предусмотрено рассмотреть следующие вопросы: образование дробей, их чтение и запись; числитель и знаменатель дроби; сравнение дробей (простейшие случаи); нахождение дроби числа. Во II классе дети знакомятся с долями, включая и решение простейших задач на нахождение доли числа и числа по его доле.

В начальной школе главным было формирование у детей вполне конкретного образного представления о дробных числах. Простей-

1 Программы восьмилетней школы. Математика. М., 1975, с. 4,

шие задачи с дробями решались на основе представления о дроби как части (доли) определенной величины.

В IV классе эти представления о дробях и простейшие операции над ними повторяются, систематизируются и углубляются в первой теме, которая так и называется «Натуральные и дробные числа».

Изучение натуральных чисел в IV классе начинается с повторения нумерации многозначных чисел. Обратив внимание учащихся на различие в терминах «число» и «цифра», учитель разъясняет сущность десятичной системы счисления. Упражнения позволяют повторить особенности чтения и записи чисел, в которых отсутствуют некоторые разряды и даже целые классы. Этот раздел является основой для дальнейшего изучения натуральных чисел, так как понимание сущности десятичной системы счисления и знание состава числа необходимы для успешного изучения арифметических действий.

Чтобы учащиеся лучше усвоили сущность позиционной записи числа в десятичной системе счисления, полезно указать, что не всегда и не все народы считали десятками, и привести примеры, когда при записи чисел пользовались отдельными значками для каждого числа. Больше внимания надо уделить и таблице разрядных единиц. Такая таблица с заранее написанными в ней числами помогает в чтении чисел в пределах миллиардов:

Миллиарды

Миллионы

Тысячи

Единицы

Миллиарды

сотни миллионов

десятки миллионов

миллионы

сотни тысяч

десятки тысяч

тысячи

сотни

десятки

единицы

8

6

9

7

8

6

4

2

3

4

8

8

7

0

7

0

7

1

0

0

3

0

0

0

3

0

0

После этого в п. 2 «Обозначение дробных чисел» рассматривается понятие дроби. Как и в начальной школе, только значительно быстрее, ученик должен пройти все этапы наглядного обучения: вначале непосредственное разбиение предметов (пирог, арбуз, круг, полоска бумаги) на равные части; затем деление на равные части геометрических фигур на рисунках и чертежах (отрезок, круг, прямоугольник); после этого введение терминов: дробь, числитель, знаменатель.

Используя доли конкретных предметов, учащиеся знакомятся и с понятием равных дробей (1/2 = 2/4; 2/3 = 4/6) как различных обозначений одного и того же числа.

Здесь же учащиеся впервые встречаются и с дробью как числом вне всякой связи с частями предмета. Для этого учащимся предлагаются задания вида:

1. Прочитайте дроби:

2. Запишите в виде дроби число: а) две третьих; б) три пятых; в) одиннадцать сотых.

При решении задач по-прежнему надо исходить из конкретных представлений учащихся о доле и дроби величины. Например, чтобы найти, сколько километров дороги заасфальтировано, если известно, что длина дороги 20 км, а заасфальтировали 3/4 дороги, мы должны вначале установить, что четвертая часть дороги составляет 5 км, а длина трех таких частей 5⋅3 = 15 (км). Таким образом, длина дороги равна 15 км.

В задаче: «Урок продолжается 45 мин. На решение задачи ушло 7 мин. Какая часть урока ушла на решение задачи?» — вначале надо установить, что 1 мин составляет 1/45 урока, а тогда уже получим, что 7 мин составляют 7/45 урока.

В дальнейшем при изучении геометрического материала и натуральных чисел учащимся предлагаются задачи и примеры с дробными числами. Учащимся не дается определение дроби, важно, чтобы они имели правильное представление об этом понятии и умели свои знания применять к решению несложных задач на отыскание дроби числа, а в последующем — числа по его дроби и отношения двух чисел.

Процесс отвлечения и обобщений проходит весьма медленно. Вначале в IV классе все рассматриваемые дроби меньше единицы, и вполне естественно, что дробь на первых порах воспринимается учащимися как некоторая часть соответствующей величины. Поэтому даже в середине учебного года задачу вида: «От деревни Марфино до железнодорожной станции 36 км. Сколько километров составляют 2/9 этого расстояния?» — ученик решает так: одна девятая часть этого расстояния есть 36 : 9 = 4 (км), а две таких части — 8 км. Никаких правил отыскания дроби числа здесь нет, все задачи решаются на основании смысла дроби как части соответствующего целого.

При решении задач и примеров имеется возможность постепенно подвести учащихся к восприятию отвлеченного понятия дроби как числа. Вначале упражнения имеют узкодидактическое назначение: непосредственное дробление предметов, запись и чтение дробей. Последующие упражнения позволяют расширить понятие дроби. Найдя, например, ответ на задачу: «Из 25 кг молока получается 3 кг сливок. Какую часть молока составляют сливки?» — учащиеся дробь 3/25 уже не связывают с дроблением предмета на 25 равных частей. При таком постепенном ознакомлении с дробями учащиеся благодаря многократному применению их в различ-

ных условиях вырабатывают правильные представления о дроби как о числе.

Следующим этапом в формировании понятия дроби является изображение дробей на луче. Чтобы учащиеся лучше усвоили этот вопрос, желательно при изучении предыдущего материала чаще применять геометрическую иллюстрацию условий задач в виде отрезков и их частей. Например, при разборе условия задачи: «Кусок материи разрезали на 7 равных частей. Из трех частей сшили платья, а из одной части юбку. Какая часть куска материи пошла на платья и какая — на юбку?» — целесообразно изобразить кусок материи в виде отрезка, который непосредственно можно делить на 7 равных частей. Для этого удобно взять его длиной 7 см (на доске — 7 дм). Аналогично можно поступать и при решении других задач.

Для иллюстрации характера совместного изучения натуральных и дробных чисел рассмотрим содержание пункта 12 «Меньше или больше». В нем вначале разъясняется правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями на основе составления дроби из одинаковых частей конкретного предмета. Чем больше берется таких частей, тем большая дробь получается, следовательно, для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями надо сравнивать их числители.

Затем дается геометрическая интерпретация понятий «меньше» и «больше» с помощью координатного луча, причем и для натуральных чисел, и для дробей. Предполагается, что учащиеся умеют определять, какое из любых двух натуральных чисел больше или меньше. Действительно, за время обучения в начальной школе учащиеся на основе многократного применения понятий «меньше» и «больше» получают правильное, пусть и интуитивное представление о сравнении натуральных чисел и уже к IV классу умеют правильно употреблять знаки неравенства. Учащиеся неоднократно решали упражнения на расположение заданных чисел в порядке возрастания или убывания. Поэтому надо не столько повторить все эти вопросы, сколько подвести учащихся к геометрическому определению понятий «меньше» и «больше» на координатном луче.

В учебниках математики для IV и V классов авторы часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей и действия над рациональными числами.

При изучении шкал учащиеся должны усвоить понятие начала отсчета и цену деления. Решение упражнений, в которых требуется с помощью линейки найти длины нескольких отрезков, сравнить эти длины, подготавливает учащихся к восприятию того, что большие числа располагаются на шкале правее. Этот вывод учащиеся сформулируют самостоятельно при изучении бесконечной шкалы. В процессе решения упражнений полезно, чтобы ученики находили

на луче последовательности точек, соответствующие возрастающим и убывающим последовательностям натуральных чисел, определяли непосредственно предшествующее и последующее числа, а также указывали числа, лежащие между заданными двумя натуральными числами.

В результате такой подготовительной работы учащиеся без затруднений поймут геометрическое определение понятий «большее число» и «меньшее число» и успешно справятся с соответствующими упражнениями.

Материал пункта «Правильные и неправильные дроби» не вызывает затруднений у учащихся. Но надо помнить, что здесь уже происходит переосмысливание понятия дроби, так как теперь рассматриваются и дроби, большие единицы. Ценны здесь содержательные задачи вида: «По норме рабочий должен был сделать 18 ящиков, но он выполнил 13/9 нормы. Сколько ящиков сделал рабочий сверх нормы?»

Наряду с обычным решением:«1/9 нормы составляет 2 ящика, а 13/9 составляют 26 ящиков; сверх нормы рабочий сделал 8 ящиков», — полезно выяснить и такие вопросы: 1) Откуда видно, что рабочий перевыполнил норму? 2) Можно ли узнать, на какую часть перевыполнена норма?

Здесь никакого разделения предмета на части нет, и чтобы это несколько новое представление о дроби было понятнее учащимся, следует вначале рассмотреть упражнения вида: «Начертите отрезок CD, равный 5/4 отрезка AB, длина которого 4 см», разъясняя, что для получения отрезка CD мы никакой второй отрезок не делим на 4 части, а просто берем 5 отрезков, каждый длиной по 1 см.

§ 3. Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей

Как мы уже указывали, строгое определение понятия натурального числа в школьном курсе математики не дается. Это понятие является как бы первоначальным, но благодаря многократному применению натуральных чисел при решении различных упражнений и в процессе практической деятельности учащиеся получают о нем правильное представление.

Что касается определения действий, то наибольшие споры в методической литературе вызывает определение сложения (суммы) натуральных чисел. Не имея определения натурального числа, нельзя дать логически строгое определение сложения. Для остальных же действий могут быть даны определения, приемлемые для учащихся IV класса. Главным в IV классе является раскрытие содержания сложения. За основу можно взять идею объединения непересекающихся множеств. Если два непересекающихся множества предметов

объединить в одно множество, то число, показывающее, сколько элементов в новом множестве, называется суммой чисел, соответствующих двум исходным множествам. Нахождение суммы двух чисел называется сложением этих чисел.

В IV классе нецелесообразно давать определение сложения (или суммы) натуральных чисел и можно ограничиться лишь повторением самого алгоритма сложения многозначных чисел1.

Решая примеры, данные в учебнике, или подбирая свои, надо помнить, что система упражнений должна обеспечивать возможность повторения различных вариантов сложения: решение примеров с одинаковым и разным числом цифр у слагаемых; решение примеров с постепенно возрастающим числом переходов через разряды; решение примеров, у которых сумма есть единица с последующими нулями. Можно рекомендовать, например, такую систему примеров для выполнения сложения:

Особое значение для выяснения понимания учащимися алгоритма сложения имеет решение упражнений, в которых требуется заменить звездочки цифрами. Учащиеся фактически решают здесь и обратную задачу: по сумме и одному из слагаемых находят второе слагаемое, т. е. происходит как бы подготовка к восприятию определения операции вычитания. Учащимся разъясняется, что хотя нуль и не есть натуральное число, но, как известно из начальной школы,

При повторении действий над натуральными числами удобно одновременно рассматривать соответствующие операции над простейшими дробями. Например, параллельно со сложением и вычитанием натуральных чисел учащиеся знакомятся со сложением и вычитанием дробей с одинаковыми знаменателями. Учащиеся сами устанавливают, что при сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют (вычитают) числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель.

Здесь же естественно познакомить учащихся с суммами вида 2 + 1/3. Наряду с упражнениями: а) прочитайте числа 3 1/10; 7 5/100; б) запишите следующие числа в виде суммы их целой и дробной части: 3 1/10; 2 2/3; в) запишите числа: три целых одна десятая; пятнадцать целых семь восьмых,—целесообразно предла-

1 О применении геометрического материала при объяснении сложения натуральных чисел см. главу V, с. 197.

гать и такие упражнения: а) отметьте на луче числа:

б) запишите следующие неправильные дроби, выделяя их целую часть:

Выполняя упражнения: «Выразить в метрах 2 м 3 дм; в килограммах 5 кг 25г; в рублях 2 руб. 57 коп.» повторяем единицы измерения и подготавливаем учащихся к введению десятичных дробей.

Повторяя сложение, можно подготовить учащихся к восприятию переместительного закона сложения. Вначале полезно решить задачу, где суммы, отличающиеся лишь порядком расположения слагаемых, считаются различными, как например: «У Миши было а: орехов, а у Саши у орехов. Всего у них было 5 орехов. Какие значения переменных х и у удовлетворяют условию задачи? Записать результаты в таблицу».

Предложенную после этого задачу: «Новая телевизионная башня в Москве состоит из железобетонной опоры высотой 385 м и металлической антенны высотой 148 м. Найдите высоту этой телевизионной башни», — ученики могут решать по-разному: 385 + 148 или 148 + 385, но ответ будет один и тот же. В результате учитель имеет возможность весьма просто начать разъяснение переместительного закона сложения.

Все законы действий рассматриваются по одной и той же схеме: задача, подводящая к восприятию соответствующего свойства, — запись свойства в виде равенства — словесная формулировка — проверка при некоторых значениях переменных — применение к вычислениям. Можно рекомендовать начинать решение с задач на определение расстояний от A до С через В и обратно, употребляя известные учащимся населенные пункты с указанием расстояний между ними.

Учащиеся повторяют известные им из начальной школы свойства сложения. Надо лишь учитывать, что в III классе сочетательный закон формулируется иначе: «При сложении нескольких чисел любые два или несколько слагаемых можно заменить их суммой». В IV классе первоначальная формулировка сочетательного закона соответствует равенству (а + b) + с = а + (b + с): «Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего». Поэтому при вычислении суммы четырех и более слагаемых рекомендуется разъяснить учащимся и несколько видоизмененную формулировку соответствующего правила, являющегося обобщением сочетательного закона сложения: сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой. Такая формулировка позволяет объяснить и название закона, так как мы соединяем, сочетаем слагаемые в группы.

Целесообразно разъяснить учащимся, что всякое действие производится над двумя числами, поэтому требуется дополнительно определять, что значит сложить три числа, четыре числа и т. д.

Желательно хотя бы устно рассмотреть вопрос о справедливости переместительного закона сложения для последовательности натуральных чисел и нуля, а также для дробей с одинаковыми знаменателями.

Весьма полезно напомнить учащимся, что переместительный и сочетательный законы сложения неоднократно применялись ими при обосновании алгоритма сложения многозначных чисел, как например: 435 + 123 = (400 + 30 + 5) + (100 + 20 + 3) = (400 + 100) + (30 + 20) + (5 + 3) = ... . Заметим, что в учебнике Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 4» в § 6 рассматриваются применения законов сложения и умножения к обоснованию алгоритмов сложения и умножения.

Так как в дальнейшем при изучении сложения в новых числовых множествах существенное значение имеют типы решаемых задач, то целесообразно обратить внимание на различные случаи применения сложения. Рассмотрим три задачи, решаемые устно:

1. Два четвертых класса собирали металлолом. Один класс собрал 400 кг, а второй — 600 кг. Сколько металлолома собрали оба класса?

2. Один класс собрал 400 кг, а второй — на 600 кг больше. Сколько металлолома собрал второй класс?

3. В первый день количество металлолома, собранного четвероклассниками, увеличилось на 400 кг, г во второй день — еще на 600 кг. На сколько увеличилось количество собранного четвероклассниками металлолома за два дня?

Эти задачи по содержанию разные, но все они решаются сложением: 400 кг + 600 кг = 1000 кг = 1 т.

Последующие операции над натуральными числами, в том числе и вычитание, уже определяются. Поэтому при повторении этих действий необходимо уделять внимание и формулировкам соответствующих определений. Например, в случае вычитания вначале решаем текстовую задачу, приводящую к уравнению вида b + х = а, что позволяет подвести учащихся к определению: вычесть из числа а число b — значит найти такое число х, которое в сумме с числом b дает а.

Для закрепления этого определения решаем упражнения вида:

1. Объясните, что значит вычесть из числа 870 число 240.

2. Проверьте с помощью сложения равенство: 1689 — 765 = 924.

3. Какое число следует подставить вместо буквы, чтобы получилось верное равенство: 563 + а = 8012?

При обосновании решений этих примеров учащиеся всякий раз ссылаются на определение вычитания. В первом упражнении ученик повторяет само определение: вычесть из числа 870 число 240 — значит найти такое число, которое в сумме с числом 240 дает 870. Во втором упражнении равенство проверяем по определению: 924 в сумме с числом 765 должно дать 1689. То же и при решении третьего упражнения.

Для закрепления терминологии при вычитании полезно решить

несколько устных примеров вида: 1. Уменьшаемое 40, вычитаемое 20. Найти разность. 2. Найти разность чисел 60 и 15 и т. п.

При решении примеров повторяется алгоритм вычитания, хорошо известный учащимся из начальной школы, причем обязательно надо решать и примеры, когда в уменьшаемом имеется несколько нулей подряд, из-за чего приходится производить многократное последовательное разбиение занятой единицы.

На втором уроке рассматривается вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Можно рассмотреть задачу, приведенную в учебнике. Для лучшего восприятия нового материала используем наглядный пример. Полоску картона делим на 7 равных частей, из которых закрашено 5, т. е. 5/7 полоски. Если отрезать 2 закрашенные части, то останется 3 седьмых части полоски:

Формулировка правила вычитания дробей не вызывает затруднений у учащихся, ибо она подобна формулировке правила сложения.

Перед тем как разбирать случаи а — 0 = а и а — а = 0, целесообразно решить несколько примеров вида: «При каком значении переменной верно равенство: а) 34 + х = 34; б) а + 18 = 18; в) 75 — у = 75; г) b — 46 = 0; д) 58 — с = 0, е) р + 0 = 0?» При этом необходимо требовать от учащихся не только ответ, при каком значении переменной верно равенство, но и обоснование, почему, например, b = 46; а = 0 и т. д. Следует отдельно разобрать случай 0 — 0 = 0.

После решения подобных примеров повторяются правила нахождения неизвестного слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого. Все правила получаются из определения операции вычитания, они хорошо известны учащимся из начальной школы.

§ 4. Умножение и деление натуральных чисел

Определению умножения, как и вычитания, предшествует рассмотрение текстовой задачи, для решения которой требуется лишь применение умножения натуральных чисел. Обычно рекомендуется решать задачу на вычисление площади прямоугольника. Это объясняется тем, что и в дальнейшем умножение на десятичную и на обыкновенную дробь, как и разъяснение законов умножения, тесным образом связано с вычислением площади прямоугольника. Более того, в этой задаче оба множителя равноправны, что позволяет легко объяснить переместительный закон умножения, а также и термин «множители», не требуя различия между множимым и множителем.

Переместительный закон умножения для натуральных чисел разъясняем, подсчитывая число квадратов у прямоугольника по строкам и столбцам, а после введения определений а⋅1 = а и а⋅0 =

= 0 формулируем этот закон, подчеркивая, что при любых значениях а и b верно равенство:

Отдельно рассматривается случай, когда один из множителей равен нулю или единице. Подобные упражнения учащиеся решали в III классе, поэтому в IV классе надо обратить внимание на необходимость дополнительного соглашения, что принимать за а⋅1 и а⋅0, ибо эти произведения не поддаются непосредственному истолкованию, так как не имеет смысла говорить о сумме, у которой одно слагаемое или вообще нет слагаемых.

Равенства 1⋅b = b и 0⋅b = 0 учащиеся получат самостоятельно исходя из определения умножения а на b при решении задачи № 524. После этого решаем задачу вида: «Школьный зал освещается b люстрами. В каждой люстре а электрических лампочек. Сколько лампочек освещают зал? Запишите ответ, если а = 25 и b = 2; 3; 4. Сколько лампочек освещают зал, если b = 1; 0?» Если а = 25 и b = 1, то зал освещается только одной люстрой, в которой а лампочек, значит, всего во всех люстрах а лампочек. Поэтому естественно принять за произведение а⋅1 число а. Затем объясняем, почему произведение любого числа и нуля принимают равным нулю.

В результате решения этой задачи определения а⋅1 = а и а⋅0 = 0 становятся для учащихся вполне понятными. Для закрепления учащиеся самостоятельно решают задачу № 525.

В процессе решения примеров повторяем известный учащимся из начальной школы алгоритм умножения многозначных чисел, а для проверки понимания этого алгоритма выполняем упражнения, в которых требуется восстановить некоторые цифры, имея частичную запись выполненного умножения. Такого рода «арифметические ребусы» весьма полезны, ибо для их решения ученик должен сознательно применять алгоритм умножения многозначных чисел, хорошо знать и понимать структуру числа.

При решении задач на умножение натуральных чисел мы, с одной стороны, повторяем особенности действий с именованными числами, а с другой стороны — устанавливаем идентичность предложений: «умножить число а на число b», «вычислить произведение чисел а и b», «увеличить число а в b раз», «повторить число а слагаемым b раз». Заметим только, что при решении упражнения 548: «Отметьте на одном луче значение переменной у, а на другом — значение выражения 2⋅у, если у = 0; 1; 2; 3; 4; 5», —необходимо на обоих лучах за единичные выбирать отрезки одинаковой длины.

В этом же пункте рассматривается и умножение дроби на натуральное число. Программой не предусмотрено изучение в теме «Натуральные и дробные числа» этого материала, но надо учитывать, что в теме «Десятичные дроби» авторы учебника не рассматривают отдельно умножение десятичной дроби на натуральное число, считая его уже известным. Поэтому следует разобрать соответствующую задачу из объяснительного текста учебника и сделать вывод, что

и в случае дробного а можно говорить об умножении его на натуральное число b, понимая под произведением a⋅b сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Этот вывод закрепляется при решении примеров № 526 — 528.

Так как учащиеся не знают еще, что понимается под произведением натурального числа на дробь, то к подобным произведениям не применим переместительный закон, и умножение дроби на натуральное число нужно рассматривать после установления переместительного закона умножения для натуральных чисел.

Несколько замечаний о записях при выполнении умножения. Как известно, в начальной школе отдельно выделяются случаи, когда множимое или множитель или тот и другой оканчиваются одним или несколькими нулями, и рекомендуются соответственно записи вида:

Учащиеся IV класса не встречают затруднений при решении примеров вида 190⋅4 на основании общего алгоритма умножения при обычной записи:

Для разъяснения особенностей применения алгоритма умножения на множитель, содержащий нули в середине, можно привести запись вида:

Постепенно учащиеся сами сократят эту запись, отказавшись от записей частных произведений, состоящих из одних только нулей; учителю достаточно лишь подтвердить громоздкость такого оформления вычислений и похвалить тех учащихся, которые сами перешли на сокращенную запись.

Сочетательный закон умножения иллюстрируется формулой для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Здесь, как и в случае переместительного закона, применяя два способа подсчета единичных кубиков, устанавливаем, что для любых натуральных значений a, b и с верно равенство:

Формулировка сочетательного закона умножения соответствует установленному равенству: «Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение

второго и третьего». Закрепив этот вывод при решении простейших примеров вида 84⋅125⋅8, рассматриваем произведения четырех и более множителей. Целесообразно, чтобы учащиеся усвоили весьма удобное для вычислений правило: значение произведения не изменится, если мы переставим множители, отдельные из них соединим в группы, произведем умножения по группам, а затем перемножим полученные произведения. Важно, чтобы учащиеся правильно и четко обосновывали выполняемые преобразования. Приведем примерные пояснения ученика при подобных вычислениях.

Распределительный закон умножения относительно сложения также легко получается на основе решения геометрической задачи о вычислении площади прямоугольника, состоящего из двух прямоугольников. Наряду с этим желательно проиллюстрировать справедливость закона непосредственными рассуждениями без геометрической иллюстрации. Пусть, например, рассматриваем площадь прямоугольника с основанием (4 + 3) см и шириной 2 см. Геометрически устанавливаем, что

Этот же результат можно получить и так:

Распределительный закон относительно вычитания можно рассмотреть в обратном порядке: вначале на числовом примере, а затем решить задачу, позволяющую геометрически иллюстрировать соответствующее свойство.

Полученные равенства вида (а ± b)⋅с = а⋅с ± b⋅с учащиеся должны уметь применять не только для преобразования произведения в сумму (разность), но и для обратного преобразования суммы в произведение, которое сводится к вынесению общего множителя за скобки. И хотя это преобразование с введением соответствующих названий и правила изучается в последующих классах, ученики IV класса при решении упражнений должны свободно выполнять упрощения вида 202⋅87 — 102⋅87 = (202 — 102)⋅87.

Мы видим, что законы умножения изучаются по той же методической схеме, что и законы сложения, но рассматриваются они уже применительно: 1) к упрощению вычислений, особенно в устных упражнениях; 2) к упрощению выражений, содержащих переменную. Преобразование произведений, содержащих буквенные и числовые множители, упрощение выражений вида 10x ± 4х и т. п. подготавливает учащихся к методам алгебры, в данном случае к тождественным преобразованиям многочленов, к приведению подобных слага-

емых, позволяет более рационально выполнять упражнения на нахождение значений выражений.

Применение свойств умножения и сложения к преобразованиям алгебраических выражений позволяет расширить класс решаемых в IV классе уравнений. Решая, например, уравнение 15x — 8х = 714, ученик рассуждает примерно так: «Пятнадцать х без восьми х— это семь х», но он всегда должен уметь обосновать этот результат, основываясь на распределительном законе умножения относительно вычитания. Поэтому целесообразно иногда при решении подобных упражнений требовать от учащихся пояснений, почему можно таким-то образом преобразовать заданное выражение. Например, упрощая выражение 2х + 17 + 3х + 12, ученик может сразу записать 5x + 29, но он должен уметь обосновать эту запись. Поменяем слагаемые местами (2х + bх + 17 + 12), от этого сумма не изменится; затем объединим слагаемые в две группы и заменим каждую группу их суммой, причем к первой группе применим распределительный закон, получим (2 + 3)х + 29 = 5x + 29.

Таким образом, основное внимание должно обращаться не только на операционную, но и на содержательную сторону преобразования, на законы арифметических действий и сущность буквенной символики.

Знание законов сложения и умножения делает понятными для учащихся алгоритмы действий. В учебнике «Математика. 4» выделен специальный пункт 39 «Сложение и умножение многозначных чисел», в котором разъясняется, что сложение и умножение столбиком основано на разложении числа по разрядам и на применении законов этих действий.

Методика работы учителя при изучении деления натуральных чисел такая же, как и при изучении вычитания. Правда, чтобы подчеркнуть связь между умножением и делением и сделать более естественным введение уравнения, целесообразно решить вначале такую задачу: «В дом отдыха привезли 12 ящиков апельсинов по 75 штук в каждом. Сколько штук апельсинов привезли в дом отдыха?»

Задача решается умножением: 75⋅12 = 900.

Затем предлагается задача: «В дом отдыха привезли 900 апельсинов в ящиках, по 75 штук в каждом. Сколько ящиков апельсинов привезли в дом отдыха?»

Приняв число ящиков за х, получаем уравнение:

С другой стороны, эта задача решается делением: 900 : 75 = 12. Легко проверить, что 75⋅12 = 900.

Итак, разделить 900 на 75 — значит найти такое число х, при умножении на которое числа 75 получается 900. После этого учащиеся смогут сформулировать общее определение, что значит разделить число а на число b.

Это определение закрепляется при выполнении упражнений вида:

1. Объясните,что значит разделить 45 на 5; 25 на 25; 0 на 5.

2. Проверьте с помощью умножения, правильно ли выполнено деление:

3. При каком значении переменной истинно равенство:

Затем целесообразно приступить к решению примеров: а) 25 : х = 25; б) у : 14 = 1; в) m : 5 = 0; г) 0 : х = 0 и т. п., в которых требуется определить, при каком значении переменной истинно равенство. Главное внимание при этом надо обратить не на получение ответа, а на обоснование его. Как обобщение этих результатов легко получаются равенства: а : 1 = а; а : а = 1; 0 : а = 0.

Что касается деления на нуль, то невозможность деления а : 0 при а 0 учащимся понятна, ибо любое число х, умноженное на нуль, даст нуль, а в случае 0 : 0 надо разъяснить, что сумма, произведение и разность, если вычитание выполнимо, есть числа единственные, поэтому и деление рассматривается только в тех случаях, когда частное единственно. В силу этого принципа деление на нуль в математике не рассматривается, даже если делимое и равно нулю.

Затем на примерах повторяется алгоритм деления, причем числа подбираются по возрастанию трудностей с точки зрения особенностей деления, включая те случаи, когда в частном получаются нули в середине, когда на конце частного должны быть поставлены нули и когда делитель оканчивается нулями.

Как и в случае умножения, никакой математической ошибки ученик не делает при такой, например, записи:

Но четвероклассники сами приходят к выводу о нецелесообразности записей частных произведений, состоящих из одних нулей, и применяют более краткую запись.

Вообще ошибки при умножении и делении чисел с нулями весьма распространены. Причина их, по-видимому, в том, что само понятие «нуль» имеет двойственный характер: с одной стороны, нуль является нумерационным знаком, замещающим отсутствующие единицы данного разряда, а с другой стороны — нуль является числом, над которым можно производить операции, как и над натуральными числами. На первых порах обучения учащиеся воспринимают «нуль» как цифру, указывающую на отсутствие единиц в соответствующем разряде. Поэтому нередко они и при выполнении действий игнорируют нуль. Для предупреждения таких ошибок надо обращать

внимание на сознательное восприятие учащимися алгоритмов письменных вычислений. Конечно, имеет значение и форма арифметических записей, сколь удобно и рационально они расположены. Должно положительно сказаться на обучении и специально выделяемое рассмотрение действий над числами, когда одно из них нуль.

Рекомендуем решить хотя бы 2—3 примера на восстановление стертых цифр при делении вида:

Такие примеры заставляют ученика сознательно и глубоко понять не только алгоритм деления, но и других действий (умножения и вычитания).

Здесь же следует повторить известные учащимся из начальной школы правила нахождения неизвестного множителя, неизвестного делителя и делимого. Но это не простое повторение, ибо соответствующие правила получаются уже строго логически из принятого нами определения деления, т. е. учащиеся приучаются к логическому обоснованию выводов. Заметим лишь, что не обязательно требовать, чтобы все четвероклассники могли воспроизводить нужные рассуждения, хотя лучшие ученики должны приучаться к обоснованию простейших утверждений.

При повторении деления натуральных чисел учащиеся знакомятся с решением задач на нахождение числа по его дроби с помощью уравнений. Следует лишь предлагать задачи в определенной системе, придерживаясь принципа постепенного возрастания трудностей. Можно рекомендовать задачи в такой последовательности:

1. Ученик прочел 24 страницы, что составило 1/6 всей книги.

Сколько страниц в книге?

2. Покупатель израсходовал в магазине 8 руб., что составило 2/3 имевшихся у него денег. Сколько денег было у покупателя?

3. До обеда выгрузили 7/10 зерна, которое находилось в товарном вагоне. Сколько тонн зерна было в вагоне, если до обеда выгрузили 42 т?

В пункте «Деление и дроби» учащиеся начинают воспринимать дробь как частное от деления двух натуральных чисел. Вначале

разъясняется, что дробь 2/3 можно рассматривать не только как две третьих доли, но и как результат деления двух предметов на 3 равные части. Второе истолкование дроби обобщается, и дробь рассматривается уже как частное двух натуральных чисел.

Это представление о дроби закрепляется в процессе решения упражнений. Особенно важным для раскрытия понятия дроби как частного двух натуральных чисел является упражнение, в котором при заполнении таблицы раскрывается тождественность понятий дроби и частного (упр. 784). В первой строке дано частное 5 : 8, требуется записать соответствующую дробь, указать делимое и делитель, а также числитель и знаменатель. Во второй строке дана дробь, в третьей — делимое и делитель, в четвертой — числитель и знаменатель. Заполняя пустые места в таблице, учащиеся уясняют связь между дробью и частным натуральных чисел. Для них становится понятным, что черту дроби можно понимать как знак деления и что с помощью дробей теперь уже можно всегда записать результат деления двух любых натуральных чисел независимо от того, делится первое число на второе нацело или не делится.

Здесь же можно остановиться на существовании дробей, у которых числитель равен нулю, а знаменатель — любое натуральное число, разъяснив, что все такие дроби являются записью одного и того же числа нуль. Заметим, что до этого с учащимися не рассматривались дроби с числителем 0 или дроби со знаменателем 1.

Такая систематическая работа с дробями на протяжении всей первой темы позволяет завершить изучение дробей разбором сложения и вычитания чисел с целой частью и одинаковыми знаменателями у дробных частей. При решении примеров и задач учащиеся закрепляют навыки в выполнении сложения и вычитания этих чисел, что существенно облегчит работу учителя при объяснении сложения и вычитания десятичных дробей.

Изучение темы «Натуральные и дробные числа» завершается решением задач и примеров на все действия. Примеры на все действия с натуральными числами решались и до этого. Но теперь при подведении итогов обучения материалу всей темы учитель отбирает такие упражнения, которые наиболее эффективны для повторения порядка выполнения действий и учат начинать решение с выяснения структуры арифметического выражения, что необходимо для нахождения наиболее рационального способа решения.

Выбор рационального способа решения зависит не только от структуры примеров, но и от числовых данных. Например, учитывая конкретные числа в примере

мы видим, что для упрощения решения целесообразно воспользоваться методом последовательных преобразований:

Эффективность подобных решений возрастает, если письменные вычисления умело сочетаются с устными. Это значительно упрощает решение многих примеров вида

Вместо выполнения довольно громоздких 6—7 действий все преобразования можно провести устно, записывая лишь промежуточные результаты:

Чтобы выработать у учащихся навыки применения рациональных приемов вычислений, надо чаще подчеркивать полезность применения законов арифметических действий к упрощению вычислений. Прежде чем решать пример, учащиеся должны определить, какой способ решения наиболее рационален. Надо поощрять тех учащихся, которые предлагают пусть не совсем рациональные, но не стандартные решения.

Приведем примеры таких решений, предложенных четвероклассниками.

Упражнения на решение уравнений тоже требуют предварительного изучения структуры выражений, содержащих переменную. Прежде чем решать уравнение, надо определить, чем является данное в правой части число: произведением, суммой, разностью или частным. Только после этого ученик применяет соответствующее правило для отыскания компоненты, содержащей переменную. Вот примерное рассуждение ученика при решении уравнения:

87 есть частное от деления 17 487 на а + 56. Чтобы найти делитель, содержащий переменную а, надо делимое разделить на частное:

Здесь известны сумма и одно из слагаемых. Найдем неизвестное слагаемое:

Решение задач, с одной стороны, позволяет напомнить об основных видах задач, решаемых применением арифметических действий, а с другой стороны, служит для закрепления навыков в составлении и решении уравнений. Ни для одной из задач не указано, каким методом она должна быть решена, поэтому следует исходить только лишь из требования рациональности решения. В учебных пособиях имеется много задач, позволяющих решать их по-разному. Анализ и сравнение различных решений одной задачи имеет большее значение, чем решение нескольких задач одним и тем же способом.

§ 5. Десятичные дроби

В теме «Натуральные и дробные числа» с учащимися довольно подробно были рассмотрены два пути получения дробей: в результате деления предметов на равные части и в результате деления неотрицательных целых чисел на натуральные числа. Но дробные числа возникли и из потребностей измерения величин, в частности длин, площадей, объемов и веса, т. е. величин, выражаемых при заданной единице измерения неотрицательными числами. Так как десятичные дроби теснейшим образом связаны с измерением величин, то изучение материала темы «Десятичные дроби» начинается с систематизации знаний учащихся о метрической системе мер.

В начальной школе на чисто интуитивном уровне рассматривается измерение отдельных величин. Уже в I классе дети с помощью линейки учатся находить длины отрезков в целых сантиметрах, затем знакомятся с дециметром и метром, в процессе взвешивания и определения емкости получают представление о килограмме и литре, во II классе рассматривают измерение времени, а в III классе знакомятся с метрической системой мер длины и веса, а также находят как непосредственно, так и по формуле площади прямоугольников.

В IV классе в первой теме повторяются и систематизируются знания учащихся об измерении длин, площадей и объемов. При выполнении упражнений повторяются вопросы измерения веса и времени, поэтому перед введением десятичных дробей все эти сведения целесообразно привести в систему.

Наибольшее распространение во всем мире получила так называемая метрическая система мер, теснейшим образом связанная с десятичной системой счисления. Достоинством этой системы мер является то, что отношения между различными единицами измерения одной и той же величины выражаются степенями 10.

При объяснении десятичной записи чисел, знаменатели дробной части которых выражаются единицей с одним или несколькими нулями, можно использовать имеющиеся в тетрадях учащихся таблицы метрических систем мер. В математическом кабинете желательно иметь таблицы вида:

После введения понятия десятичной дроби легко объяснить с помощью этих же таблиц, заменив лишь дроби 1/10; 1/00; ... дробями 0,1; 0,01; . . ., запись составных именованных чисел в виде десятичных дробей, а также раздробление именованных чисел. Например, чтобы выразить в метрах 14 м 2 дм, ученик с помощью таблицы находит, что 1 дм = 0,1 м, а 2 дм = 0,2 м, значит, 14 м 2 дм = 14,2 м. Аналогичная работа проводится и при решении обратных задач, где требуется, например, 4,076 т выразить в тоннах и килограммах.

Для лучшего усвоения учащимися понятия десятичной дроби и ее свойств при изучении измерений величин и таких вопросов, как сравнение дробей, сложение и вычитание обыкновенных дробей, правильные и неправильные дроби, желательно как можно больше рассматривать примеров дробных чисел, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1000

Первоначально десятичные дроби появляются как частный случай обыкновенных дробей. Например, 23,25 учащиеся воспринимают как 23 целых и 25 сотых. Но уже при разъяснении записи десятичных дробей мы фактически применяем к дробям со знаменателями, являющимися степенями 10, правила десятичной нумерации, причем учащиеся сами приходят к выводу, что после запятой справа записаны десятые доли, затем — в десять раз меньшие и т. д., так что та же дробь 23,25 выступает уже как 23 единицы 2 десятых и 5 сотых.

Для понимания сложения и вычитания десятичных дробей, записи и правильного чтения их учащиеся должны хорошо усвоить поразрядное разложение десятичной дроби.

Для облегчения восприятия учащимися названий разрядов деся-

тичных дробей рекомендуется применять таблицу разрядов, которая способствует уяснению симметричности разрядов относительно разряда единиц. Разряд единиц следует выделить другим цветом или заштриховать.

100000

10 000

1000

100

10

1

1/10

1/100

1/1000

1/10000

1/100000

сотни тысяч

десятки тысяч

тысячи

сотни

десятки

единицы

десятые

сотые

тысячные

десятитысячные

стотысячные

2

1

3

7

5

Этой и приведенной в учебнике таблицей удобно пользоваться при решении упражнений, в которых требуется указать, сколько единиц в каждом разряде заданной десятичной дроби, для чего в тетрадях записывают данные числа с помощью этой таблицы. Можно решать и задачи обратного характера: «Прочесть числа, написанные в таблице». Учащиеся с интересом отыскивают ответы и на вопросы вида: «Как изменится значение цифры, если ее передвинуть в этой таблице от какой-нибудь графы влево; вправо? Как прочтется десятичная дробь 21,375, если все цифры сдвинуть влево (вправо) на одну графу; на две графы?»

Полезно и при решении упражнений с составными именованными числами лишний раз оттенить эту особенность десятичных дробей, сближающую их с натуральными числами. Например, решая задачу: «Длина отрезка 4,573 м. Выразить ее в метрах, дециметрах, сантиметрах и миллиметрах», весьма удобно с помощью таблицы разрядов проследить, что в заданном числе 4 целых метра, 5 десятых — 5 дециметров, 7 сотых — 7 сантиметров и 3 тысячных — 3 миллиметра, что соответствует известному ученикам способу образования единиц в метрической системе мер.

Целесообразно решать упражнения на построение точки на координатном луче, соответствующей заданной десятичной дроби, требуя всякий раз (хотя бы устно) предварительно представить десятичную дробь в виде суммы разрядных единиц. Такие упражнения хорошо закрепляют изучаемый материал, а главное, являются хорошей подготовкой к восприятию последующего материала, относящегося к сравнению десятичных дробей.

Надо учитывать, что непосредственное построение на координатном луче точек, соответствующих дробям вида 2,385, не выполнимо в обычной тетради в клетку. Поэтому следует ограничиваться такими, например, заданиями, как № 892: «Отметьте на луче числа: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2; 1,4», порекомендовав при этом за единицу взять 10 клеток.

§ 6. Сравнение десятичных дробей

В предыдущем параграфе было показано, что всякая десятичная дробь, а точнее, десятичная запись числа, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, имеет двоякий смысл. Например, 0,45 можно рассматривать как 45/100 или как 4/10 + 5/100. В связи с этим возможны и различные способы сравнения чисел с помощью их записей в виде десятичных дробей. В учебнике «Математика. 4» сравнение десятичных дробей рассматривается до изучения разрядов десятичной дроби, следовательно, при объяснении этого материала можно использовать известное уже учащимся правило сравнения чисел по их записям в виде обыкновенных дробей.

При сравнении обыкновенных дробей предварительно выясняют, равны ли эти числа, ибо одно и то же число можно записать по-разному. Для десятичных дробей также вначале можно выяснить вопрос о равенстве чисел, и если они не равны, то определить, какое из них больше (или меньше) другого. Так как основное свойство дроби изучается в V классе, то равенство десятичных дробей устанавливаем исходя из понятия равенства дроби. Задача учителя — разъяснить особенности этого свойства в применении к десятичной записи чисел и помочь учащимся запомнить формулировки. Это нетрудно сделать, рассматривая конкретные примеры составных именованных чисел. Конечно, нельзя забывать о трудности, испытываемой учащимися при восприятии того, что одно и то же число может быть записано по-разному.

Чтобы оттенить эту особенность равных десятичных дробей, полезно тщательно проанализировать ответы учащихся на вопрос «Могут ли быть равными две десятичные дроби, если цифр у одной дроби после запятой больше, чем у другой?» Надо подробно разобрать 3—4 примера, которые учащиеся приведут в подтверждение своих ответов. Несомненно, что применение координатного луча для иллюстрации равенства десятичных дробей значительно облегчит эту трудность.

О многозначности представлений одного и того же числа в виде десятичных дробей надо помнить и при решении упражнений. Например, 27 м 40 см можно выразить в метрах как в виде 27,40 м, так и в виде 27,4 м. Наличие двух (или более) различных ответов не является свидетельством того, что некоторые из них ошибочны.

Учащиеся умеют сравнивать обыкновенные дроби, но только с равными знаменателями, а при десятичной записи всегда выделена еще и целая часть числа. Поэтому для десятичных дробей вначале сравниваются целые части, а в случае их равенства сравниваются дробные части. Чтобы у дробных частей десятичных дробей были одинаковые знаменатели, нужно уравнять, приписывая справа нули, число десятичных знаков после запятой у обеих дробей. В резуль-

тате такого разъяснения учащиеся поймут правила сравнения десятичных дробей, приведенные в учебнике «Математика. 4».

Как и при сравнении обыкновенных дробей, объяснение сопровождается иллюстрацией соответствующих утверждений с помощью координатного луча для дробей, изображение которых на луче может быть осуществлено без большой затраты времени.

После ознакомления с разрядами десятичной дроби желательно показать учащимся, хотя бы на занятиях кружка, другой способ сравнения десятичных дробей, который применим и для бесконечных десятичных дробей. Сделать это можно следующим образом.

Вначале решаем задачу вида: «Взвесили 2 слитка металла. В одном оказалось 2,8 кг, а в другом — 2,789 кг. Какой из слитков тяжелее?» Выражая массу каждого слитка в граммах и сравнивая получившиеся натуральные числа, определяем, что первый слиток тяжелее второго, значит, 2,8 > 2,789.

Теперь учащимся понятно, что сравнивать десятичные дроби можно, как и натуральные числа. Но из двух натуральных чисел больше то, которое на координатном луче расположено правее, поэтому будем считать, что большая десятичная дробь расположена на координатном луче справа от меньшей, а меньшая — слева от большей.

Затем это геометрическое определение переводим на алгебраический язык. Чтобы определить, какая из двух заданных десятичных дробей больше, нецелесообразно всякий раз обращаться к координатному лучу. Надо вспомнить, как изображали десятичные дроби на луче. Сначала от начальной точки вправо откладывали целое число единиц, потом число десятых долей, затем сотых и т. д.

В результате станет понятным правило: «Из двух дробей больше та, в которой больше целая часть; если в дробях целых поровну, то больше та, в которой больше десятых, и т. д.».

При решении неравенств с десятичными дробями внимание учащихся обращается на невозможность перечисления всех чисел, являющихся решениями заданных двойных неравенств, ибо таких чисел бесконечное множество. Поэтому и задания в этих упражнениях формулируются в виде: 1. Какие натуральные числа заключены между двумя дробями? 2. Напишите множество натуральных решений неравенств. 3. Найдите одно решение неравенства. Заметим, что решение двойных неравенств существенно помогает формированию у учащихся понятий «больше» и «меньше» во множестве десятичных дробей.

Полезно разъяснить учащимся, что для решения некоторых упражнений не обязательно изображать координатный луч полностью, с началом отсчета. Пусть они постепенно приучаются к схематическому изображению чисел на прямой, что в будущем облегчит восприятие многих теоретических вопросов. Поясним это на примере.

Какие натуральные числа заключены между дробями 16,9 и 19,002?

Очевидно, что изображение этих дробей на координатном луче от начала отсчета потребует много времени. Можно ограничиться

рассмотрением лишь части координатного луча, например от 15 до 20, приняв за единицу две клетки в тетради, и на нем указать примерное расположение заданных дробей.

§ 7. Сложение и вычитание десятичных дробей

На первом этапе обучения сложению десятичных дробей, как и при их сравнении, авторы учебника применяют прием уравнивания числа знаков у слагаемых после запятой. В результате алгоритм сложения выражается в форме четырех предписаний: 1) уравнять число знаков после запятой в слагаемых; 2) записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) сложить получившиеся числа, как складывают натуральные числа; 4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Вначале естественно рассматривать сложение десятичных дробей, в записях которых одинаковое число знаков после запятой. Чтобы при этом использовать опыт учащихся в сложении составных именованных чисел, решаем задачи вида: «На брюки израсходовали 1,23 м ткани, а на пиджак — 1,82 м. Сколько ткани израсходовали на весь костюм?» Выражая данные числа в метрах и сантиметрах, находим их сумму «столбиком»:

Возвращаясь к первоначальным единицам измерения, получаем, что 1,23 м + 1,82 м = 3,05 м. Учащиеся подводятся к тому, что этот результат сложения десятичных дробей можно получить, используя запись столбиком, как и при сложении натуральных чисел: слагаемые записываем друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой, затем складываем получившиеся числа как натуральные числа и в полученной сумме ставим запятую под запятыми в слагаемых.

Для закрепления правила сложения, кроме обычных примеров на отыскание сумм десятичных дробей с одинаковым числом знаков после запятой, полезно находить суммы таких дробей с применением таблицы разрядов, которая позволяет наглядно видеть сложение по разрядам и помогает предупредить ошибки, допускаемые учащимися при подписывании слагаемых друг под другом и при определении места запятой у суммы.

После этого разъясняем, что полученное правило не противоречит правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Можно взять ту же сумму:

Этот прием перехода к дробям с одинаковыми знаменателями ис-

пользуется при рассмотрении задачи 2 из объяснительного текста учебника:

В результате учащиеся как должное воспринимают рекомендацию уравнивать число знаков после запятой в слагаемых. «Как только учащиеся научатся при сложении правильно подписывать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая была под запятой, а каждый разряд под соответствующим разрядом, следует разрешить им обходиться без приписывания нулей»1.

Надо решить несколько примеров и на нахождение суммы трех и более десятичных дробей с записью в столбик.

Так как сложение десятичных дробей сводится к сложению натуральных чисел, то можно ограничиться утверждением, что сложение десятичных дробей подчиняется переместительному и сочетательному законам. Учащиеся сами дадут формулировку этих законов и запишут их с помощью переменных, поэтому не обязательно проверять их справедливость на отдельных группах слагаемых.

Если учащиеся усвоили правило сложения десятичных дробей, то они легко воспринимают и правило вычитания десятичных дробей, состоящее из тех же четырех предписаний, в которых сложение заменено вычитанием.

В объяснительном тексте учебника не разъясняется смысл вычитания. Учитель может ограничиться лишь напоминанием известного для дробей определения вычитания. Чтобы учащиеся лучше уяснили смысл вычитания, надо при решении примеров предлагать им проверять правильность вычитания сложением, требуя всякий раз обоснования.

При подборе примеров на вычитание целесообразно разобрать такие частные случаи: а) число десятичных знаков у уменьшаемого и вычитаемого одинаково; б) у уменьшаемого больше, чем у вычитаемого; в) у уменьшаемого меньше, чем у вычитаемого; г) из целого числа вычитается десятичная дробь. Используя прием уравнивания знаков после запятой, учащиеся правильно выполнят и вычитание вида 3 — 0,07 = 3,00 — 0,07.

При выполнении действий над тремя и более числами полезно уточнить, в каких случаях результат является суммой, а в каких — разностью. Это облегчит решение уравнений вида 5,5 + b — 3,5 = 8,75. Здесь число 8,75 является разностью, так как сначала выполняется сложение (5,5 + b), а потом вычитание. Поэтому решение уравнения начинаем с нахождения уменьшаемого, содержащего переменную: 5,5 + b = 8,75 + 3,5, а затем находим уже и корень уравнения.

1 К. И. Нешков и др. Математика в 4 классе. М., 1975, с. 155.

§ 8. Умножение и деление десятичных дробей

Так как десятичная дробь представляет собой особую запись дробного числа, а умножение дроби на натуральное число было введено при повторении умножения натуральных чисел, то в учебнике «Математика. 4» не выделяется отдельно умножение десятичной дроби на натуральное число. Получив правило умножения десятичных дробей, применяем его и к умножению десятичной дроби на натуральное число, так как последнее можно рассматривать как десятичную дробь. Целесообразно лишь сравнить результаты, полученные при умножении произвольной десятичной дроби на 2 (или на 3) по правилу умножения десятичных дробей и по определению, считая произведение суммой двух (или трех) слагаемых, каждое из которых равно данной десятичной дроби.

Умножение и деление десятичных дробей изучается теперь раньше, чем соответствующие действия над обыкновенными дробями, поэтому необходимо не только получить правило выполнения вычислений с десятичными дробями, но и разъяснить определение той или иной операции. В частности, при рассмотрении умножения десятичных дробей перед учителем стоят две задачи: 1) разъяснить определение умножения на десятичную дробь; 2) получить достаточно простое правило для выполнения вычислений.

До этого под умножением числа а на число b понимали сложение b слагаемых, каждое из которых равно а. Очевидно, что такое определение умножения теряет смысл, если b — десятичная дробь. Поэтому в первую очередь нужно разъяснить учащимся, какой же смысл следует приписать умножению чисел на десятичную дробь, а затем вывести достаточно простое правило умножения десятичных дробей, которое позволит соответствующие задачи во множестве десятичных дробей решать так же просто, как и во множестве натуральных чисел.

В новом учебнике «Математика. 4» авторы отказались от обычного определения умножения на дробь через нахождение дроби числа. Как мы уже отмечали, умножение дробей связывают с вычислением площадей прямоугольников и лишь в конце V класса показывают, что специальный вид задач на нахождение дроби числа можно решать умножением, хотя до этого такие задачи, и довольно много их, решались на основе понятия дроби.

Введение умножения на десятичную дробь и одновременно подготовку к формулировке соответствующего правила проводим, решая задачи на вычисление площади прямоугольника. Можно рекомендовать такой подбор задач.

1. Длина прямоугольника 6 дм, его ширина 2 дм. Найдите площадь прямоугольника.

2. Длина прямоугольника равна 1,2 дм, его ширина равна 0,3 дм. Найдите площадь прямоугольника.

3. Длина прямоугольника 1,76 дм, его ширина 0,6 дм. Найдите площадь прямоугольника.

Первая задача решается во множестве натуральных чисел умножением. Вторая и третья задачи являются задачами с тем же содержанием, что и первая, но данные в условии выражены десятичными дробями. При их решении мы не можем говорить о применении умножения без предварительного определения его. Во всех задачах надо найти площадь прямоугольника, зная его измерения. В первой задаче для нахождения числа (площади) по двум данным числам применяем действие, называемое умножением, поэтому естественно и в случае, когда измерения заданы десятичными дробями, назвать соответствующее действие умножением.

Во второй и третьей задачах, переходя к меньшим единицам измерения длины, десятичные дроби преобразовывают в натуральные числа и находят численное значение площади, причем вычисления производят так: данные числа, уже как натуральные, перемножают и в полученном произведении отделяют запятой справа налево определенное число цифр. Большинство учащихся в состоянии сами сформулировать нужное правило умножения десятичных дробей.

Для закрепления правила умножения десятичных дробей находим произведения пар чисел. Хорошим упражнением являются задачи вида: «Сравните выражения 4,65⋅0,524 и 0,465⋅5,24».

Вопрос о правильности подписывания одного числа под другим при умножении не является столь принципиальным, как при сложении; обычно рекомендуют последнюю цифру подписывать под последней. Приведем в качестве примера записи решения двух примеров.

На последующих уроках, кроме примеров на закрепление правила умножения во множестве натуральных чисел и десятичных дробей, решаются простейшие задачи на нахождение стоимости покупки по цене и количеству, пути по скорости и времени, массы по объему и массе единицы объема, на увеличение числа в несколько раз. В результате учащиеся усвоят, что с помощью умножения десятичных дробей решают такие же задачи, как и с помощью умножения натуральных чисел. Заметим, что некоторые учащиеся для определения нужного действия заменяют дробные данные натуральными числами, получают знакомую им задачу и для решения исходной задачи применяют то же действие, которое они применили бы при ее решении во множестве натуральных чисел.

Основываясь на правиле умножения десятичных дробей и соответствующих законах для натуральных чисел, разъясняем применимость законов умножения и во множестве десятичных дробей. Решая примеры на применение этих законов к упрощению вычислений и

простейших алгебраических преобразований, следует разъяснить схему вычислений произведений вида

При изучении умножения десятичной дроби на 10, на 100 и т. д. желательно, чтобы учащиеся, выполнив, например, умножение двух десятичных дробей на 100 по общему правилу умножения десятичных дробей, сами сформулировали более простое правило умножения десятичной дроби на 100. Решив еще один пример с умножением на 1000, учитель сам формулирует общее правило умножения десятичной дроби на число, выраженное единицей с последующими нулями, либо предлагает учащимся прочесть правило в учебнике. Решая примеры на закрепление этого правила, учащиеся видят целесообразность выделения таких частных случаев умножения десятичных дробей.

Умножение на 0,1, на 0,01 и т.д. есть деление на 10, на 100 и т. д., которое рассматривается позже. Поэтому здесь можно ограничиться разбором примеров, решения которых даны в объяснительном тексте учебника.

При изучении деления десятичной дроби на натуральное число сначала разъясняем смысл этой операции, вспомнив предварительно определение деления во множестве натуральных чисел, а затем — алгоритм выполнения деления, тщательно, не торопясь отрабатывая различные частные случаи деления десятичной дроби на натуральное число. Проверка деления умножением при решении первых примеров является хорошим приемом для закрепления смысла операции деления. Этой же цели служат и простейшие уравнения: 6x = 7,2; у : 6 = 0,6; m : 8 = 1,2 и др.

При закреплении правила деления вначале решаем примеры, когда не требуется раздроблять данную дробь в более мелкие доли приписыванием нулей, а затем постепенно усложняем вычисления, рассматривая в конце и деление целого числа на целое, но только в случае конечной десятичной дроби в частном. Нахождение приближенного значения частного от деления целого числа или десятичной дроби на целое число изучается в V классе после рассмотрения бесконечных десятичных дробей.

Особенно внимательно надо отнестись к выполнению деления, когда целая часть числа меньше делителя и когда в частном получаются нули в середине. Общеизвестно, что эти случаи деления наиболее трудны для учащихся, поэтому в учебнике «Математика. 4» приведено решение четырех подобных примеров, причем в записях вычислений имеются частные произведения, равные нулю. Такие записи полезно применять при объяснении. Решив 2—3 примера, учащиеся сами постепенно придут к общепринятым записям без частных произведений, равных нулю.

При изучении деления десятичной дроби на 10, 100 и т. д. большинство примеров желательно решать устно. Полезно здесь же, испол-

зуя таблицу разрядов, вспомнить, как изменяются значения цифр при переносе запятой вправо или влево в записи десятичной дроби, и разъяснить, что умножение дроби на 10, 100 и т. д. можно рассматривать как увеличение дроби соответственно в 10, 100 и т. д. раз, а деление эквивалентно уменьшению дроби в 10, 100 и т.д. раз. При одновременном рассмотрении этих вопросов учащиеся не могут выполнять перенос запятой механически, в каждом случае они вынуждены осмыслить, умножаем мы или делим, и лишь потом уже переносить запятую в ту или иную сторону.

Целесообразно заранее заготовить таблицу (или сделать записи на доске) примеров, в которых попеременно требуется увеличить или уменьшить десятичные дроби в 10, 100, 1000 и 10 000 раз. Можно рекомендовать следующую таблицу, охватывающую почти все возможные случаи переноса запятых:

Если учащиеся свободно выполняют умножение и деление десятичных дробей на число, изображенное единицей с нулями, посредством перенесения запятой, то правило деления десятичной дроби на десятичную дробь можно вывести, основываясь на изменении произведения в зависимости от изменения множителей. Эти частные случаи умножения и деления десятичных дробей применяются и закрепляются при изучении материала пункта «Проценты» до деления на десятичную дробь и позже при изучении масштабов. Нами вопросы обучения учащихся процентам рассмотрены в следующем параграфе.

Рассмотрение деления на десятичную дробь начинаем с повторения определения действия деления дроби на целое число и алгоритма соответствующих вычислений. Вспомнив свойство частного, деление на десятичную дробь сводим к делению на целое число переносом запятой вправо в делимом и делителе. В дальнейшем основное внимание уделяем выработке у учащихся прочных навыков в выполнении деления и в умении применять деление при решении задач. Но иногда полезно предлагать учащимся проверить правильность выполнения деления посредством умножения, что позволит повторить определение деления как обратной операции.

Кроме задач, по содержанию аналогичных задачам, решаемым делением во множестве натуральных чисел, можно решать и простейшие задачи на нахождение числа по его известной дроби. В IV классе можно и нужно решать задачи, в которых одновременно требуется найти число по его дроби и дробь от числа. Такие задачи решаются на основании самого понятия дроби. Рассмотрим задачу: «Из пшеницы получается 80% муки. Сколько смололи пшеницы, если получили 440 кг муки? Сколько муки получится из 2,5 т пшеницы?»

Фактически имеем две разные задачи, объединенные одним общим условием (процент выхода муки). Первая из них решается в два этапа, которые могут быть записаны одним выражением: 440 : 80⋅100 (кг); решение второй задачи можно записать в виде: 2,5 : 100⋅80 = 2 (т).

При решении задач и примеров на все действия показываем возможность отыскания различных способов решения, сравнение и анализ которых позволяет установить наиболее простое, рациональное решение. Выбор способа решения задачи определяется ее условием. К сожалению, нередко учащиеся, не изучив внимательно условие задачи, начинают решать ее. Рассмотрим задачу: «Площадь земли, засеянной пшеницей, в 3 раза больше площади, засеянной рожью, а площадь, засеянная ячменем, в 5 раз меньше площади, засеянной пшеницей. Площадь, засеянная овсом, на 120 га меньше площади, засеянной рожью. Сколько гектаров засеяно пшеницей, рожью, овсом и ячменем вместе, если овсом засеяно 130 га?»

Некоторые четвероклассники ошибочно считают, что если в задаче имеется кратное и разностное сравнение величин, то ее нужно решать составлением уравнения. В данной задаче это весьма нерациональный способ решения. Внимательный анализ условия показывает, что самым простым является арифметическое решение. Зная, что овсом засеяно 130 га, находим площадь, засеянную рожью (250 га), тогда пшеницей засеяно 750 га, а ячменем — 150 га. Следовательно, пшеницей, рожью, овсом и ячменем вместе засеяно 1280 га.

При решении примеров от учащихся надо требовать осознанного применения правил порядка выполнения действий. Они должны понимать структуру арифметического выражения. Это в каждом конкретном случае поможет найти наиболее удобный порядок вычислений. Рассмотрим пример:

Если строго придерживаться правил, определяющих порядок выполнения действий, то вычисления должны выполняться в такой последовательности :

Этот порядок выполнения действий неудобен, так как после второго действия мы возвращаемся к результату первого действия, результат второго действия используется лишь в четвертом действии. Более приемлемым является следующее решение:

Прежде чем предлагать примеры на все действия, необходимо научить учащихся читать и составлять выражения. Тогда ученики смогут правильно анализировать предложенный для вычисления пример и определять наиболее рациональный порядок действий.

§ 9. Понятие о проценте

При изучении десятичных дробей учащиеся впервые знакомятся с новым для них понятием процента и с задачами на нахождение процента числа и числа по его процентам.

Основное внимание учитель должен обратить на формирование самого понятия «процент». Надо раскрыть связь этого нового понятия с известным понятием дроби; добиться от каждого учащегося понимания записи процентов как другой формы записи десятичных дробей, т. е. что 1% = 0,01; 25% = 0,25; 100% = 1; разъяснить целесообразность введения специального названия для сотой доли различных величин; дать определение процента.

В учебнике «Математика. 4» сказано: процентом называется одна сотая часть. Существуют и другие определения процента. В большинстве учебников и методических пособий рассматривается «процент от числа» и дается определение: «Процентом какого-нибудь числа называется сотая часть этого числа». Последнее определение подчеркивает, что проценты применяются только при решении задач. Отвлеченные числа нельзя было выражать в процентах, поэтому записи вида 15% = 0,15 многие считали недопустимыми, ошибочными. При новом определении понятие процента отождествляется с десятичной дробью 0,01, что облегчает применение процентов при решении различных задач. Учащиеся решают много задач на нахождение нескольких процентов числа и числа по известным его процентам, но никакие специальные правила для их решения не вводятся. В IV классе такие задачи решаются только на основании определения процента и понимания смысла обыкновенной дроби.

Так как никакой специальной «теории процентов» нет, то существенно возрастает значение системы упражнений для формирования понятия процента и для раскрытия применения процентов при решении задач.

Возможны различные методические схемы формирования понятия «проценты» и ознакомления с простейшими задачами на нахождение процентов числа.

Можно начинать с устного решения примеров вида;

1. а) Найти 1 % от 200; от 300; от 700.

б) Найти 3% от 200; от 500; от 1200.

в) Дано число 200. Найти от него 2%; 5%; 7%; 30%.

2. Объяснить смысл каждой из фраз:

а) Покупатель израсходовал 30% имеющихся у него денег.

б) В руде содержится 60% железа.

3. Найти: 1) 50% от 18; 2) 10% от 70; 3) 25% от 40.

При решении последних задач учащиеся видят целесообразность перевода процентов в десятичные и обыкновенные дроби: 50% = 0,50 = 1/2; 10% = 0,10 = 1/10; 25% = 0,25 = 1/4. Они хорошо усваивают и осознают связь между задачами на проценты и задачами на нахождение дроби числа и числа по его дроби. Известно, что подчеркивание особенностей задач на проценты отрицательно сказывается на восприятии учащимися существа процентных расчетов.

После устного решения примеров, раскрывающих сущность понятия процента, переходим к устному, а затем и письменному решению задач на нахождение процентов числа, подбирая задачи, различные по содержанию и формулировке, а также и по входящим в условие числовым данным.

Можно начинать сразу с решения задач, как это рекомендуется системой упражнений в учебнике «Математика. 4». В условиях первых задач (№ 1150 — 1152) ясно выражено, от какой величины берется то или иное число процентов. Эти задачи можно решать устно. В первой задаче ученики легко найдут одну сотую часть от 120 руб. Вторая задача отличается от первой лишь тем, что вместо выражения «одна сотая часть премии» употреблено «1% этой премии»; вспомнив, что 1% = 0,01, повторяем решение предыдущей задачи. Третья задача готовит учащихся к приемлемой схеме решения задач на нахождение нескольких процентов числа: вначале находим 1% (делим данное число на 100), а затем требуемое число процентов (умножаем на число процентов). Решая задачу № 1153, знакомим учащихся с записью вычислений в виде: 620 : 100⋅15 = 93 (га).

При решении задач раскрывается связь между процентами и обыкновенными дробями, т. е., что 50% — это половина, а 100% какого-то числа составляют все это число. Задачи вида: «Геологи проделали путь длиной 2450 км. 10% пути они пролетели в самолете, 60% пути проехали в лодках, а остальную часть прошли пешком. Сколько километров геологи прошли пешком?» — целесообразно решать двумя способами, подготавливая учащихся к возможности выполнения действий над числами, заданными в процентах. При решении последующих задач полезно сравнить оба способа решения, показать, что хотя число действий одно и то же, второй способ решения (с действиями над процентами) несколько проще, ибо многие вычисления можно выполнить устно, записывая лишь результаты действий.

Несколько слов о письменном оформлении решений таких задач. Нахождение процентов числа при решении задач записывают иногда в два действия: 1) Сколько составляет 1% данного числа? 2) Сколько составляют р процентов данного числа? Такое оформление решения задач нецелесообразно, а иногда и просто неприемлемо. Рассмотрим, например, задачу № 1179: «На водопой пригнали 220 лошадей и жеребят. Жеребята составляли 15% табуна. Сколько было жеребят?» Здесь вообще не имеет реального смысла ответ на вопрос: «Сколько составляет 1 % всего табуна? 220 : 100 = 2,2». Мы не можем истолко-

вать, что означает полученный ответ 2,2. Если ограничиться записью одного вопроса при соответствующей записи действий: 220 : 100 × 15 = 33, то никаких недоразумений не возникнет. Получение же ответа 2,2 свидетельствует либо об ошибке в вычислениях, либо о некорректности постановки задачи.

Таким образом, начиная с простейших задач на нахождение нескольких процентов числа, учащиеся фактически всякий раз вычисляют значение выражения N : 100⋅р.

В дальнейшем в IV классе задачи на проценты рассматриваются параллельно с решением задач на дроби. Учащиеся должны понять, что если числа, выраженные в процентах, есть дроби со знаменателем 100, то новые правила действий над процентами не вводятся и задачи на проценты решаются так же, как соответствующие задачи на дроби. Для этого целесообразно решать задачи, в условии которых данные могут быть выражены как в процентах, так и в десятичных (позже—в обыкновенных) дробях. Тогда становится более очевидной идентичность задач на проценты с соответствующими задачами на дроби, и решение любой задачи на проценты может быть сведено к действиям над дробями. Поэтому наряду с примерами и задачами на действия с десятичными дробями решаем задачи, в которых некоторые данные выражены в процентах, а также простейшие задачи на отыскание дроби от числа, когда дробь задается в виде дробного числа процентов, как например: «Из чайного листа получилось 4,2% чая. Сколько получилось чая из 450 кг чайного листа?»

Рассмотрим одно упражнение из учебника.

1163. Объясните смысл предложения:

а) «Из молока получается 25% сливок»;

б) «В свекле содержится 20% сахара».

До этого условия задач формулировались так, что было видно, от какой величины берутся проценты: 25% всех яблок; 3% всех огурцов; 10% пути и т. п. В этой же задаче условия сформулированы несколько иначе, нет четкого указания на то, к какому числу относятся р%. Построение фраз даже содействует тому, чтобы ученики рассматривали 20% от массы сахара или 25% от массы сливок. Учитель должен разъяснить смысл этих часто употребляющихся в жизни утверждений.

Решая задачу: «Привезли 500 т руды с содержанием меди 6,5% и 700 т руды с содержанием меди 4,5%. Из какой руды получится больше меди?», мы сравниваем проценты от различных чисел, что позволяет разъяснить недопустимость сложения и вычитания процентов, если они относятся к разным числам.

В задаче: «Молоко дает 25% сливок, сливки дают 20% масла. Сколько масла получится из 240 кг молока?» — имеем дело с процентами от процентов. Ученики должны решать эту задачу в два этапа: вначале найти, сколько получится сливок (240 : 100⋅25 = 60), а затем только вычислить, сколько получится масла (60 : 100⋅20 = 12). Отыскание процентов от процентов можно рассмотреть на занятиях кружка, решая при этом и более сложные задачи вида:

1. Цена на телевизор сначала была снижена на 10%, а потом еще на 30%. Какой процент первоначальной стоимости составляет стоимость телевизора после двух снижений?

2. В цехе 40% всех станков были усовершенствованы, в результате чего их производительность повысилась на 60%. На сколько процентов повысился выпуск продукции в цехе?

3. Заработная плата повысилась на 15%, а цены на товары снизились на 8%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?

При изучении деления на десятичную дробь в порядке повторения полезно предлагать учащимся упражнения с процентами. При этом все задачи на отыскание процентов числа и числа по его процентам решаются только на основании самого понятия «процент». В конце темы «Десятичные дроби» следует ознакомить учащихся с решением таких задач при помощи составления уравнений. Задачи по сложности такие же, как и решаемые ранее. Но теперь уже учащиеся решают и задачи на отыскание процентного отношения двух чисел, например:

1. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют мальчики?

2. По плану рабочий должен был изготовить 35 деталей, но он изготовил на 14 деталей больше. На сколько процентов рабочий выполнил план?

При изучении последующих тем в V классе для работы в классе, и особенно для домашней работы, рекомендуются различные задачи на процентные вычисления.

В теме «Рациональные числа» учащиеся в связи с нахождением дроби числа умножением на дробь решают и задачи на нахождение процентов числа, а затем и задачи на нахождение числа по его процентам составлением уравнений.

«Решение задач на проценты вызывает у учащихся значительные трудности. Поэтому учитель должен четко представлять задачи, которые должны научиться решать все без исключения ученики. К ним относятся три простейшие задачи: нахождение нескольких процентов числа, нахождение числа по процентам, нахождение процентного отношения и задачи вида: «Телевизор стоил 150 рублей. Вскоре цена была снижена на 12%. Найдите новую цену телевизора». Решение более сложных задач на проценты в V классе не следует считать обязательным для всех учащихся. Цель их иная — развитие учащихся. Подбор более сложных задач на проценты должен осуществляться учителем в зависимости от степени подготовленности и развития класса»1.

1 Методическое письмо «О преподавании математики в V классе по новой программе». «Математика в школе», 1971, № 5, с. 17.

§ 10. Введение отрицательных чисел

Одной из особенностей новой программы по математике является принципиально иной порядок изучения рациональных чисел. Теперь отрицательные числа изучаются после десятичных дробей, но до систематического изучения обыкновенных дробей, что позволяет разнообразить упражнения и шире использовать алгебраические методы при решении задач и примеров.

Методическая схема введения отрицательных чисел та же, что и при любом расширении числовых множеств в восьмилетней школе. Вначале устанавливается недостаточность известных учащимся чисел для решения некоторых практически важных и интересных задач. В учебнике очень хорошо раскрывается необходимость введения новых чисел посредством удачно подобранных задач.

Задачу «Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз. Покажите, где будет находиться белка, если она удалится от дупла на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот вопрос?» лучше решать, используя плакат с соответствующим рисунком из учебника. Учитель имеет возможность формулировать вопросы поочередно. Выяснив, где будет находиться белка, если она удалится от дупла на 3 м, естественно поставить второй вопрос: «Сколько ответов можно дать на первый вопрос?» Затем предлагаем и третий вопрос: «Что нужно знать, чтобы определить положение белки на дереве?» В результате учащиеся сами сделают вывод, которым начинается следующая задача: «Чтобы определить положение белки на дереве, недостаточно знать ее расстояние от дупла. Надо еще знать, где она находится — выше или ниже дупла».

Аналогичную работу проводим и при решении следующей пары задач.

1. Поезд вышел со станции Петропавловск и идет со скоростью 90 км/ч. В какой город придет поезд через 3 ч?

2. Чтобы определить положение поезда на железной дороге, недостаточно знать его расстояние от станции Петропавловск. Надо еще знать, куда он идет: в Новосибирск или Челябинск. Если он идет в Новосибирск, то через 3 ч придет на станцию Омск, а если в Челябинск, то на станцию Курган. Где будет находиться поезд:

а) через 10 ч, если он идет в Новосибирск,

б) через 5 ч, если он идет в Челябинск?

Вместо приведенных в учебнике названий городов можно взять известные учащимся населенные пункты. Важно, чтобы учащиеся поняли, что для ответа на вопрос «Где будет находиться поезд (автобус, велосипедист, пешеход) через определенное время?» мало знать путь, пройденный за это время, надо еще знать и направление.

Так как положительные и отрицательные числа теснейшим образом связаны с обозначением положения точки на координатной прямой относительно начала отсчета, то надо выполнить упражнения, в которых создается наглядно-геометрическая основа для введения новых чисел, например: «Проведите прямую слева направо и от-

метьте на ней точку О. Отметьте на той же прямой точки А, В, С и K, если известно, что: а) А правее О на 6 клеток; б) В левее О на 5,5 клетки; в) С правее О на 7,5 клетки; г) К левее О на 2 клетки».

В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия «координатная прямая». Они видят на прямой и два направления. Учителю остается лишь ввести названия для них: положительное и отрицательное направления.

Как мы отмечали в § 1 этой главы, при расширении числовых множеств нужно не только разъяснять необходимость введения новых чисел, но одновременно и готовить учащихся к восприятию того, какими должны быть эти числа. Здесь учащиеся подготавливаются к целесообразности рассмотрения чисел со знаками плюс и минус вместо слов «вправо» и «влево».

От учащихся не требуется знания формулировок определений введенных положительных и отрицательных чисел; главное, чтобы они поняли и осознали эти новые понятия. Поэтому большое обучающее значение имеет решение упражнений на чтение и запись положительных и отрицательных чисел, на изображение их точками на прямой. Отмечая на прямой точки, соответствующие заданным числам, и находя числа, соответствующие точкам координатной прямой, учащиеся обучаются чтению и записи новых чисел. При решении упражнений с использованием показаний термометра еще раз закрепляется новый теоретический материал.

Определение противоположных чисел в учебнике отсутствует, но ученики должны для каждого числа свободно называть ему противоположное, понимать двоякий смысл знака минус (запись «—5» означает «число минус пять» и «число, противоположное числу пять»).

Остановимся несколько подробнее на методике изложения вопросов, относящихся к понятию модуля числа, которое играет большую роль при изучении действий над положительными и отрицательными числами.

Стремясь к наглядности, авторы учебника «Математика. 5» исходное определение модуля дают в геометрической форме как расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей числу, а затем переходят к алгебраической формулировке, более приемлемой при выполнении упражнений, чем геометрическое определение. Чтобы учащиеся сознательно усвоили, что модуль положительного числа равен самому числу, модуль нуля равен нулю, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, необходима система упражнений, различных по содержанию и формулировке. Решение уравнения |х| = а в общем виде недоступно большинству пятиклассников. Учащиеся решают уравнения вида: |х| = 9; |х| = 0; |х| = —3 (упр. 206), т. е. когда а принимает конкретные числовые значения, и только отдельные из них понимают объяснение решения уравнения в общем виде. Такие примеры, а позднее и связь расстояния между точками а и b с модулем разности чисел а и b могут служить материалом для работы в математическом кружке.

Заметим, что при решении подобных уравнений учащиеся встре-

чаются с новым способом, совершенно не связанным с известной им зависимостью между результатом и компонентами действий. Чтобы подготовить учащихся к другим способам решения уравнений, полезно указать на эту особенность. Следует напомнить, что раньше уравнения решались и на основе определения противоположных чисел.

§ 11. Сравнение чисел

Взаимное расположение положительных и отрицательных чисел на координатной прямой рассматривается уже при решении упражнений вида: «Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами: а) —8 и —5; б) —3 и 0; в ) —2 и 2; г) —3,6 и 4,2?», что соответствует геометрическому определению понятий «больше» и «меньше».

Материал о сравнении рациональных чисел можно изложить несколько иначе, чем это сделано в учебнике «Математика. 5». Целесообразно вначале дать определение, а потом уже рассматривать каждый из частных случаев сравнения чисел. Начать можно с повторения определений «больше» и «меньше» для положительных чисел. Вспомнив, что из двух положительных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, и меньше то, которое расположено левее, обобщаем это определение на все рациональные числа. Для учащихся вполне естественно, что и для любых двух положительных или отрицательных чисел следует считать большим то, которое на координатной прямой расположено правее, и меньшим то, которое расположено левее.

Используя координатную прямую, устанавливаем, что всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное число меньше нуля. Позже получим, что всякое отрицательное число меньше любого положительного. Естественность каждого из этих выводов иллюстрируем с помощью сравнения температур, решая соответствующие задачи, и закрепляем в процессе решения примеров.

Наиболее трудным для учащихся является правило сравнения двух отрицательных чисел. Поэтому при выполнении упражнений обращаем внимание как на правильность ответа, так и на обоснование его, требуя в отдельных случаях иллюстрации на координатной прямой. Постепенно учащиеся научатся применять и соответствующее правило: из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль, и больше то, у которого модуль меньше.

При решении многих примеров и задач, как и при сравнении десятичных дробей, рекомендуем смелее пользоваться схематическим изображением чисел на прямой. Пусть требуется сравнить числа —2 и —30. Здесь важно лишь определить, какое из них расположено левее, поэтому можно, не требуя строгого соблюдения масштаба, ограничиться рисунком (см. рис. 17). Такое схематическое изображение чисел на прямой может быть применено при решении многих упражнений на сравнение чисел.

Большое значение имеют упражнения, являющиеся хорошей иллюстрацией равносильности двух предложений, например:

1. Известно, что х и у — положительные числа, а n и m — отрицательные. Сравните: а) 0 и х; б) у и 0; в) n и 0; г) 0 и m.

2. Каким числом (положительным или отрицательным) является число х, если: а) х < 0; б) х > 0?

3. Запишите в виде неравенства предложение: а) —4,3 — отрицательное число; б) 27,1 — положительное число; в) а — отрицательное число; г) b — положительное число.

В VII классе при доказательстве свойств числовых неравенств используются утверждения: а > b тогда и только тогда, когда разность a — b положительна; а < b тогда и только тогда, когда разность a—b отрицательна. Поэтому при решении таких упражнений следует более подробно разъяснить учащимся равносильность предложений: х — число положительное (отрицательное) и х > 0 (х < 0). Заметим, что уже при выполнении первого упражнения мы требуем от учащихся примерно таких рассуждений: так как х — число положительное, а любое положительное число больше нуля, то имеет место неравенство: 0 < х.

§ 12. Сложение и вычитание

Действия над положительными и отрицательными числами, как и при построении произвольного числового множества, определяются, причем вычитание и деление рассматриваются как операции, обратные сложению и умножению соответственно. Но при обучении в школе всегда возникает дополнительная задача методического характера: подготовить учащихся к восприятию вводимых операций над новыми числами, разъяснить целесообразность и естественность вводимых определений. При введении сложения определяющим является требование, чтобы задачи, аналогичные решаемым во множестве положительных чисел сложением, решались и в новом числовом множестве тоже сложением.

Посредством сложения здесь решаются в основном задачи двух типов: 1) нахождение результата двух последовательных изменений величины; 2) определение результата, который получается при изменении величины, т. е. вычисление нового значения величины, зная ее приращение и первоначальное значение. Второй тип задач более труден для учащихся, да и с методической точки зрения он менее приемлем, чем первый. Поэтому в учебнике «Математика. 5» вначале рассматривают нахождение результата двух последовательных изменений с помощью сложения, а затем (см. упр. 305) устанав-

Рис. 17

ливают, что с помощью сложения находят также результат, который получается при изменении какой-нибудь величины. Первоначальное значение величины можно рассматривать как изменение, происшедшее к данному моменту. Авторы не заостряют внимания на теоретических тонкостях этой проблемы. Возможность отождествления первого изменения величины с заданным ее значением достигается тем, что при решении первых двух задач изменение величин рассматривалось, начиная с нуля, хотя за начальную точку отсчета можно было брать произвольную точку прямой и от нее уже откладывать соответствующие изменения величины.

Чтобы лучше подготовить учащихся к определению сложения как результата двух последовательных изменений величины, специально выделяется урок для рассмотрения этого понятия, на котором учащиеся учатся выражать изменения величин при помощи положительных и отрицательных чисел. С изменением величин учащиеся неоднократно встречались при изучении предыдущего материала этой темы. Более того, формирование понятия изменения величин началось еще при изучении натуральных чисел в IV классе.

Так как почти весь предыдущий теоретический материал главы «Положительные и отрицательные числа» теснейшим образом связан с координатной прямой, авторы учебника «Математика. 5» сначала рассматривают сложение с помощью координатной прямой. На основе разбора решений задач у учащихся формируется конкретный смысл сложения, причем сумма истолковывается как результат двух последовательных изменений. Это представление о сумме закрепляется решением соответствующих упражнений, а на следующем уроке рассматривается и второе истолкование суммы.

Мы видим, что координатная прямая действительно служит той наглядной основой, которая, как мы уже отмечали, позволяет изучение числовых множеств объединить единой методической идеей.

В пункте «Сложение чисел с помощью координатной прямой» имеются упражнения, содержащие теоретический материал. Решая упражнение: «Выполните на координатной прямой сложение чисел: 4 и 0; 0 и —3; —5 и 0. Сделайте вывод. Запишите его в виде равенства, содержащего переменную», мы как бы доопределяем сложение в случае, когда одно из слагаемых равно нулю, и устанавливаем, что в этом случае, как и во множестве положительных чисел, сумма равна другому слагаемому.

При выполнении упражнения: «Придумайте два противоположных числа и сложите их. Проверьте результат еще на двух парах противоположных чисел. Сделайте вывод. Запишите его в виде равенства, содержащего переменную», — получаем, что сумма любых двух противоположных чисел равна нулю. Рекомендуем этот результат записать не только в виде равенства, содержащего переменную, но и как отдельное правило, обязательное для запоминания учащимися. В учебнике «Математика. 5» выделено специальное правило о сумме двух противоположных чисел, которое широко применяется как при выполнении упражнений, так и при изложении теоретичес-

кого материала. Следует учитывать, что правило сложения для противоположных чисел формально нельзя получить из правила сложения чисел с разными знаками, ибо там речь идет о сумме двух чисел, из которых одно обязательно должно иметь больший модуль.

После этого выводятся правила сложения уже без использования координатной прямой. Они получаются на основе определения сложения и навыков, приобретенных учащимися на предыдущих уроках. Заметим, что для закрепления полученных правил рекомендуются примеры и задачи, требующие сложения только двух чисел. Позже при решении примеров на сложение нескольких чисел обязательно надо указать, что сложение, как и в случае положительных чисел, выполняется по правилу: вначале складываем первые два слагаемых, затем к полученной сумме прибавляем третье слагаемое и т. д.

Законы сложения изучаются по той же методической схеме, что и для десятичных дробей: утверждение о применимости переместительного и сочетательного законов для сложения — запись в виде равенств, содержащих переменные, — проверка для конкретных числовых значений переменных — применение к упрощению вычислений и простейших преобразований алгебраических выражений.

Решая примеры, учащиеся приходят к выводу, что слагаемые можно как угодно переставлять и объединять в произвольные группы. Особо надо остановиться на выполнении упражнений, в которых нецелесообразно выписывать все слагаемые, например:

1. Найдите сумму всех целых чисел, расположенных между числами —7 и 9.

2. Чему равна сумма целых решений неравенства:

Очевидно, что для нахождения суммы целых решений неравенства —32 ⩽ x < 32 учащиеся должны в уме представить себе соответствующую сумму, произвести нужную группировку пар противоположных чисел, после чего дать ответ, а не пытаться записать все 64 слагаемых. При решении упражнений на применение законов сложения к упрощению вычислений или выражений надо учитывать, что отрицательные числа рассматриваются здесь только как слагаемые, а поэтому при перестановке мы обязаны брать их в скобки.

В «Книге для учителя» указывается, что переместительный и сочетательный законы сложения можно вывести из правил сложения. Но вряд ли целесообразно проводить соответствующие рассуждения из-за их громоздкости и недоступности для абсолютного большинства пятиклассников в начале учебного года, особенно доказательство сочетательного закона, даже если рассуждения сопровождать числовыми примерами.

При выводе правила вычитания объяснение можно несколько видоизменить. Дав определение вычитания как действия, обратного сложению, и разъяснив его смысл, решаем задачу: «Вчера вечером термометр показывал а°С. К утру температура воздуха понизилась на b °С. Какая температура сегодня утром?» Эту задачу можно ре-

шать вычитанием (а — b) или сложением (а + ( — b)), значит, а — b = а + (—b). Высказываем предположение, что вычитание можно заменить прибавлением числа, противоположного вычитаемому, т. е. для того чтобы из одного числа вычесть другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, и после этого можно доказать в общем виде, что а — b = а + (—b), ибо (а + (—b)) + b = а + ((—b) + b) = а + 0 = а.

Такое объяснение проще и логически более строгое. Большинство пятиклассников, как показывает практика, на следующем уроке могут даже воспроизвести это доказательство.

После решения примеров на закрепление правила целесообразно разъяснить применение вычитания для нахождения изменения величины, ее приращения. В конце изучения всего раздела о сложении и вычитании обязательно нужно остановиться на выполнимости вычитания, чтобы учащиеся поняли, что с введением отрицательных чисел действие вычитания уже всегда выполнимо.

На примерах надо показать, что теперь всякую разность можно представить в виде суммы, и наоборот, всякую сумму можно записать в виде разности. Это поможет учащимся понять целесообразность решения упражнений вида х + b = а прибавлением к обеим частям одного и того же числа.

§ 13. Умножение и деление

Наиболее трудным для учителя является объяснение умножения положительных и отрицательных чисел. Как сделать понятными и естественными правила умножения, особенно когда множитель — число отрицательное?

В учебнике Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 5» предлагается принципиально новый подход к введению произведения двух чисел. Решая две задачи, замечают, что изменение знака у множимого приводит к изменению знака у произведения, модуль же произведения остается неизменным, а потом утверждают: «Вообще при изменении знака любого множителя (выделено нами) знак произведения изменяется, а его модуль остается тем же». Это утверждение-определение позволяет затем получить соответствующие правила.

Мы видим, что задачами проиллюстрирован лишь один случай, а обобщение сделано сразу на оба множителя. Поэтому, чтобы убедить учащихся в естественности полученных правил, желательно после формулировки правила решить 2—3 задачи с конкретным жизненным содержанием.

Так как при изучении предыдущего материала этой темы для иллюстрации тех или иных утверждений мы чаще всего использовали термометр, то и здесь вначале лучше решать задачу об изменении температуры, например: «Температура изменяется каждый час на а градусов. В настоящий момент термометр показывает нуль. Какова будет при этих условиях температура через t часов?»

Конечно, требуется напомнить, что понижение температуры обозначается отрицательным числом, а повышение — положительным. Под отрицательным временем понимаем время, отсчитываемое в прошедшее, а время, отсчитываемое от настоящего момента в будущее, считается положительным. Достаточно рассмотреть, например, следующие случаи: а = 2, t = 4; а = —2, t = 4; а = 2, t = —4; а = —2; t = —4.

Полезно еще решить задачу на вычисление пути при различных значениях скорости и времени. Решая примеры на нахождение произведений двух чисел, надо разъяснить отдельные частные случаи, а именно: 1) если один из множителей равен нулю, то произведение также равно нулю; 2) если один из множителей равен 1, то произведение равно второму множителю; 3) если один из множителей равен —1, то произведение есть число, противоположное второму множителю.

В курсе алгебры восьмилетней школы большое место занимает решение уравнений, представимых в виде произведения, равного нулю. Поэтому желательно в V классе как можно лучше подготовить учащихся к соответствующим рассуждениям при решении таких уравнений. Для этого полезно при решении обычных примеров на умножение двух чисел неоднократно подчеркивать, что произведение двух или более чисел, отличных от нуля, всегда не равно нулю. Тогда учащиеся поймут, что произведение двух чисел в том и только в том случае равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Решая соответствующие уравнения, учащиеся всякий раз должны сформулировать утверждение: если произведение равно нулю, то обязательно хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассматривая законы умножения, надо стремиться к тому, чтобы учащиеся твердо усвоили, что переместительный, сочетательный, позже и распределительный законы умножения справедливы не только в том случае, когда множители положительные числа, но и для произвольных чисел (положительных, отрицательных, равных нулю). В хорошо подготовленном классе можно рассмотреть справедливость формулы а⋅b = b⋅а для отдельных случаев в общем виде (а > 0, b > 0; а < 0, b > 0 и т. п.).

Рассматривая произведение нескольких множителей, надо познакомить учащихся с практически удобным приемом вычислений: произведение нескольких чисел есть число положительное или отрицательное, если число отрицательных множителей четно или нечетно соответственно, а модуль произведения равен произведению модулей. В частности, при определении знака произведения весьма удобно подчеркнуть, что нет необходимости вычислять сами произведения, достаточно лишь установить, будет произведение числом положительным или отрицательным.

Деление, подобно вычитанию, вводится как операция, обратная умножению. Методика работы на уроке обычная. Закрепляя определение деления, всякий раз требуем от учащихся установить вначале, каким (положительным или отрицательным) будет частное

а : b, т. е. знак корня уравнения b⋅х = a, a затем указать его модуль, основываясь на правилах умножения.

В результате учащиеся самостоятельно формулируют полученные индуктивно правила деления любых двух отличных от нуля чисел. Затем уточняется, что если делимое равно нулю, а делитель отличен от нуля, то частное равно нулю. Полезно обратить внимание на справедливость обратного утверждения: если частное равно нулю, а делитель отличен от нуля, то делимое равно нулю. Невозможность деления на нуль обосновывается так же, как и в случае натуральных чисел. Изучение темы целесообразно завершить рассмотрением вопроса о выполнимости четырех арифметических действий.

§ 14. Делимость чисел

Как по содержанию, так и по характеру изложения тема «Делимость чисел» претерпела значительные изменения. В учебнике Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 5» прежних лет издания материал этой темы был выделен в отдельную главу и изложен на теоретико-множественной основе, использовались элементы алгебры, что позволяло сделать более доступными многие понятия и утверждения.

По новой программе уже в IV классе после изучения деления с остатком рассматриваются понятия делителя и кратного, а затем и признаки делимости на 10, 5, 2 и 3. Понятие делителя тесно связано с предыдущим материалом, что видно из самого определения: «Делителем числа а называется число, на которое а делится без остатка». Правда, признаки делимости не находят себе применения в течение целого года, вплоть до изучения темы «Рациональные числа» в V классе.

Вывод признаков делимости дается на основе разбора конкретных числовых примеров без какого-либо теоретического обоснования, поэтому в хорошо подготовленном классе или на занятиях кружка целесообразно изложить признаки делимости более строго.

Анализируя формулировку, например, признака делимости на 3: «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3», мы видим, что предполагается рассматривать не только достаточное, но и необходимое условие делимости. Поэтому при более строгом обосновании признаков делимости следует разъяснить учащимся две теоремы о делимости суммы и теорему о делимости произведения:

1. Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится без остатка на это число.

2. Если одно слагаемое не делится, а все остальные делятся без остатка на некоторое число, то сумма не разделится без остатка на это число.

3. Если один из сомножителей делится без остатка на какое-то число, то и произведение делится на это число без остатка.

Остальные вопросы этой темы (простые и составные числа; раз-

ложение на простые множители; взаимно простые числа; наименьшее общее кратное) изучаются в V классе в теме «Рациональные числа».

В настоящее время в школе приняты несколько отличные от традиционных определения простого и составного числа.

Простым числом называется такое число, которое имеет только два делителя (везде подразумеваются натуральные делители).

Составным числом называется такое число, которое имеет более двух делителей.

Такие определения проще и четче, чем определения вида: «Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым. Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным». Однако при выполнении упражнений для обоснования того, что некоторое число является составным, весьма удобно и при новом определении находить именно делитель числа, отличный от единицы и от него самого.

Иногда учителя несколько видоизменяют определения, дополняя их, а именно:

Простым числом называется такое число, которое имеет два и только два различных делителя.

Составным числом называется такое число, которое имеет более двух различных делителей.

Подобные определения вполне допустимы, ибо никакой ошибки как с научной, так и с методической точек зрения здесь нет.

Основным содержанием раздела «Делимость чисел» является разложение чисел на простые множители. Учащиеся должны уметь свободно раскладывать числа на простые множители, чтобы позже применять приобретенные навыки при отыскании общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. Заметим, что утверждение: «Всякое число, большее единицы, или простое, или может быть представлено в виде произведения простых чисел и притом единственным образом» — нередко называют основной теоремой арифметики натуральных чисел.

При объяснении вопросов разложения чисел на простые множители вначале надо показать, что действительно при решении многих задач придется представлять число в виде произведения простых множителей. Для этого решаются задачи на нахождение целочисленных размеров прямоугольника (прямоугольного параллелепипеда) по его площади (объему). Числа квадратных единиц подбираются так, чтобы учащиеся сами сделали вывод: простое число может быть представлено только в виде произведения единицы на само число, а составное число имеет и другие делители.

После этого ставится задача научиться раскладывать числа на простые множители. Для небольших чисел вида 24; 30; 19; 37 учащиеся легко определяют, является оно простым или разложимо на простые множители. Но когда предлагаются числа вида: 437 = 19⋅23; 667 = 23⋅29; 887; 997, то учащиеся затрудняются без помощи учи-

теля определить, является оно простым или составным. Такие примеры подводят учащихся к необходимости таблицы простых чисел. Полезно рассказать о составлении таблицы простых чисел при помощи так называемого «Решета Эратосфена» и познакомить с таблицей, приведенной в учебнике.

Вначале не обязательно требовать выделения простого множителя. Учащиеся могут представлять число в виде произведения составных чисел, например:

Сам процесс разложения небольших чисел на простые множители вначале лучше записывать в строку. Записью при помощи вертикальной черты следует пользоваться для более сложных разложений, причем нужно добиваться, чтобы учащиеся выполняли это разложение сознательно, чтобы они видели на любом этапе число в виде произведения. Для этого полезно предлагать ученикам, выполнившим часть разложения, записать исходное число в виде произведения, используя частичное разложение.

При решении примеров на разложение чисел на простые множители учащиеся замечают, что с точностью до порядка следования разложение единственно. Целесообразно не только сформулировать этот вывод, но и разобрать решение одной-двух задач вида:

1. Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

2. Можно ли найти пять таких простых чисел, чтобы произведение двух из них равнялось произведению трех других?

При нахождении наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители надо учитывать, что многие учащиеся затрудняются в применении соответствующего алгоритма для случая трех чисел. Поэтому желательно для трех чисел повторить те же рассуждения, которые проводились в случае нахождения НОК двух чисел.

Вопросы делимости чисел представляют собой благодатнейший материал для кружковых занятий, где можно доказать в общем виде теоремы о делимости суммы и произведения и признаки делимости на 2, 3 и 5; вывести признаки делимости на 9, 4 и 25; доказать теорему о бесконечности простых чисел; познакомить учащихся с биографиями таких крупнейших математиков, как Л. Эйлер, П. Л. Чебышев и И. М. Виноградов; рассказать о знаменитой теореме Ферма, о числах-близнецах и т. п.

§ 15. Рациональные числа

Учение о числе в V классе завершается рассмотрением обыкновенных дробей. Как по своему расположению, так и по содержанию этот материал претерпел существенные изменения. Одна из причин, вызвавших эти изменения, — необходимость как можно лучше подготовить учащихся к изучению дробей в курсе алгебры VII класса.

Алгебраические дроби в VII классе рассматриваются на основе знаний, полученных учащимися в IV—V классах, об обыкновенных дробях, поэтому методика изучения обыкновенных и алгебраических дробей должна быть по возможности одинаковой.

Изучение обыкновенных дробей в V классе начинается с рассмотрения основного свойства дроби, которое затем используется при сокращении дробей и при приведении дробей к новому знаменателю, причем последнее преобразование сразу же применяется для сравнения дробей с разными знаменателями.

Так как алгоритм умножения и деления дробей значительно проще, чем алгоритм сложения, и требует главным образом знания основного свойства дроби, то умножение и деление обыкновенных дробей изучаются раньше, чем сложение. В связи с этим вполне естественно ознакомить учащихся с понятием отношения и с пропорциями.

Основное свойство дроби связано с понятием равенства дробей. Оно является теоретической основой для приведения дробей к новому знаменателю и сокращения дробей, а также позволяет расширить представления учащихся о понятии равенства чисел: когда сравнивались натуральные числа, то любые два равных числа ни по содержанию, ни по форме записи ничем не различались. Теперь же встречаемся с числами, имеющими одно и то же значение, но различающимися формой записи. Как показывает практика, разъяснение этого факта помогает учащимся усвоить простейшие преобразования дробей и положительно сказывается на сознательном усвоении общего понятия равенства в математике.

Приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби с точки зрения теории не является новым для учащихся. Учащиеся должны уметь выполнять эти преобразования, поэтому главное внимание надо обратить на подбор упражнений, которые позволят, с одной стороны, выработать у учащихся необходимые навыки, а с другой стороны — оттенить все особенности этих преобразований. Рассмотрим, например, сокращение дробей.

Согласно новой программе отыскание наибольшего общего делителя в IV—V классах не рассматривается, следовательно, при сокращении дробей нельзя применять прием нахождения НОД числителя и знаменателя. К тому же учащиеся еще не умеют разлагать числа на простые множители и будут испытывать затруднения при сокращении дроби до несократимой.

Вначале надо предлагать учащимся сокращать дроби, у которых числитель и знаменатель имеют единственный общий делитель, отличный от единицы, например:

Затем уже можно предлагать такие дроби, когда требуется проводить последовательное сокращение, как, например:

При этом пользуемся в основном признаками делимости. Заметим, что при сокращении последней дроби некоторые учащиеся допускают весьма распространенную ошибку: не доводят сокращение до конца, до получения несократимой дроби. Поэтому полезно дать несколько заданий вида: «Докажите, что дробь 5/72 является несократимой».

При выполнении таких заданий целесообразно рассмотреть все делители числителя или знаменателя и убедиться, что второе число ни на один из этих делителей, кроме 1, не делится. После этого вновь предлагаются примеры, требующие трех-четырехкратного последовательного сокращения. Более подготовленным учащимся можно предложить несколько примеров, в которых необходимо сокращать на такие делители, как 13, 17, 19, 23 и т. п.

Желательно рассмотреть и сокращение неправильных дробей, в том числе и дробей, равных целым числам, например:

§ 16. Умножение и деление рациональных чисел

Раньше в школе умножение на дробь определялось как нахождение дроби данного числа. Поэтому вначале рассматривали умножение дроби на целое число, понимая под произведением сумму одинаковых слагаемых, равных множимому, у которой число слагаемых равно множителю. Затем изучали нахождение дроби данного числа и только после этого переходили к умножению на дробь. Но, как показал многолетний опыт работы, большинство учащихся не понимали сущности такого определения умножения, для них нахождение дроби числа и умножение на дробь представляли разные операции. Учителю самому было трудно объяснить применение этой операции при решении задач на вычисление площадей, на нахождение стоимости по весу и цене, пути по скорости и времени и т. п. Пусть, например, требуется определить стоимость куска ткани в 2,8 м, если 1 м ткани стоит 14 руб. Пятиклассники решали эту задачу по аналогии с задачами такого же содержания во множестве натуральных чисел. Им хорошо известна зависимость величин, входящих в условие задачи, но они никак не воспринимают, что здесь мы находим дробь 2,8 (или 14/5 в обыкновенных дробях) от числа 14.

Как и при изучении других числовых множеств, умножение на дробь вводится теперь как действие, с помощью которого решаются задачи, аналогичные задачам, решаемым умножением натуральных чисел или десятичных дробей. Позже показывается, что задачи на нахождение дроби числа можно решать умножением.

Умножение обыкновенных дробей, как и умножение на десятич-

ную дробь, объясняется на примере решения задач на вычисление площадей прямоугольников. Рассматриваются такие три задачи:

1. Длина прямоугольника 1,2 дм, а ширина 0,3 дм. Найдите площадь прямоугольника.

2. Длина прямоугольника 1/2 дм, а ширина 1/3 дм. Найдите площадь прямоугольника.

3. Длина прямоугольника 2/3 дм, а ширина 4/5 дм. Найдите площадь прямоугольника.

Задача, в которой длина и ширина прямоугольника выражены десятичными дробями, знакома учащимся, она решалась во множестве десятичных дробей умножением. Изменяя в условии задачи данные числа, решают еще две задачи, причем площади прямоугольников находят чисто геометрическим путем, «по соображению». Решая эти две задачи, учитель помнит о двух целях: надо разъяснить смысл умножения обыкновенных дробей и одновременно сформулировать правило умножения, которое и становится определением произведения дробей.

Для учащихся совершенно естественно принять, что в обеих задачах ответ получается умножением дробей. Этому способствуют и весьма удачные исходные данные во второй задаче. При решении первой задачи повторили, что если длина и ширина прямоугольника выражаются натуральными числами или десятичными дробями, то площадь прямоугольника находится умножением длины на ширину. Во второй задаче длина прямоугольника 1/2 дм, а ширина 1/3 дм.

Заданную в виде обыкновенной дроби длину легко выразить десятичной дробью 0,5 дм, что устанавливает связь с предыдущей задачей. Но ширину 1/3 дм ученики не могут выразить конечной десятичной дробью, поэтому решение этой задачи они не могут свести к решению предыдущей. С одной стороны, задача принципиально новая, но, с другой стороны — вполне естественно считать, что и здесь площадь находится умножением длины на ширину.

Решая третью задачу, еще раз подчеркиваем, что разумно считать найденную площадь 8/15 произведением 2/3 и 4/5. Из полученного равенства 2/3⋅4/5 = 8/15 учащиеся непосредственно усматривают общее правило нахождения такого произведения. Выяснив, что это правило применимо и при решении второй задачи, даем определение произведения двух дробей.

По определению произведением двух дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей. Учащиеся должны понимать это сугубо формальное определение произведения дробей и уметь применять его при решении различных задач. Безусловно, такое определение понятия через его алгоритм весьма целесообразно.

Учащиеся не испытывают затруднений при применении этого правила для решения примеров, даже если множителями являются и отрицательные дроби. Лишь некоторые пятиклассники забывают полученную дробь преобразовать в несократимую дробь.

Кроме решения примеров на умножение дробей, полезно предложить учащимся решить несколько задач на нахождение стоимости по цене и количеству и пути по скорости и времени, подчеркнув в последнем случае возможность применения знакомой им формулы пути s = v⋅t, даже если скорость и время выражены обыкновенными дробями. После этого учащимся будет понятно утверждение, что с помощью умножения обыкновенных дробей решаются такие же задачи, как и во множестве натуральных чисел и десятичных дробей.

Рассмотрим умножение дроби на натуральное число. Учащиеся еще из IV класса знают, что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому правило умножения двух дробей можно применять и при умножении дроби на натуральное число. Но нельзя забывать о возникающих у учеников трудностях психологического порядка, ведь до сих пор под произведением любого числа на натуральное число они понимали сумму одинаковых слагаемых.

Чтобы не возникало подобных недоумений, полезно разъяснить, что новое правило не противоречит прежнему представлению о произведении любого числа на натуральное число. Для этого можно, например, решить двумя способами такую несложную задачу: «Один набор конфет весит 2/5 кг. Сколько весят 3 таких же набора?» Обычно учащиеся решают ее умножением 2/5⋅3 = 6/5 (кг). Предлагаем подсчитать вес трех наборов конфет сложением: 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5 (га). Совпадение результатов является наилучшим доводом для подтверждения исходного утверждения.

Перед рассмотрением сочетательного закона умножения полезно решить примеры вида:

и уточнить, что в случае трех и более множителей сначала находится произведение первых двух чисел, затем этот результат умножается на третий множитель, полученное произведение умножается на четвертый и т. д. Используя соответствующие свойства умножения целых чисел, можно сразу перемножить все числители и все знаменатели, первое произведение является числителем, а второе — знаменателем произведения.

Применимость переместительного и сочетательного законов к умножению дробей не требует детального разъяснения, так как это следует из соответствующих законов для целых чисел.

Навыки в умножении дробей закрепляются и при умножении чисел с целыми и дробными частями. Надо лишь учитывать, что после ознакомления с правилом умножения таких чисел некоторые из учащихся и при сложении начинают превращать их в неправильную дробь. Подобные примеры, в том числе и из домашнего задания, должны быть тщательно разобраны в классе.

В новом учебнике деление дробей сводится к умножению делимого на число, обратное делителю. Такое правило помогает выработке прочного навыка в умножении дробей и предупреждает появление ошибок, которые были раньше, когда правило деления дробей формулировалось так: чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Если учесть, что раньше учащиеся учили еще отдельное правило деления целого числа на дробь, то становится очевидным, что новое правило деления проще. Такое правило весьма удобно при вычислении выражений, записанных в виде дроби, а также в VII классе при изучении деления алгебраических дробей.

Как известно, многие учащиеся V—VI классов допускали ошибки в задачах, при решении которых требовалось находить дробь числа и число по его дроби, ибо не четко различали, в каком случае надо умножать на дробь, а в каком делить. В новом учебнике несколько усилено различие в подходе к решению таких задач. Если для нахождения дроби числа данное число умножаем на дробь, то задача нахождения числа по известной его дроби решается с помощью составления уравнения, основанного на том же правиле нахождения дроби числа. Заметим лишь, что уравнения вида 2/5 х = 800 можно решать не только делением на 2/5, но и умножением обеих частей равенства на число 5/2, так как с этим способом решения уравнений учащиеся уже знакомы.

Решая задачи с дробями, учащиеся нередко затрудняются при формулировке вопросов, если вместо обычных единиц измерения в условии фигурируют такие единицы, как «вся пшеница», «запас ткани», «рукопись», «некоторая работа» и т. п. Необходимо требовать четкой и полной формулировки вопросов, особенно при решении задач, в условии которых одна величина выражается в частях другой, а последняя — является частью третьей. Рассмотрим несложную задачу: «В палатку привезли 8 3/4 т картофеля. В первый день продали 3/4 всего картофеля, а во второй день 1/2 того количества, которое было продано в первый день. Сколько тонн картофеля было продано во второй день?»

Решение задачи можно начинать с умножения

которому соответствует вопрос: «Какую часть всего картофеля продали во второй день?» Пятиклассники, к сожалению, иногда опускают выделенные нами слова, и тогда действие не соответствует вопросу.

При решении задач на нахождение дроби числа и числа по его дроби надо больше внимания уделить тем задачам, в условии которых имеются проценты, так как последние широко используются в быту и на производстве (учащиеся весьма часто слышат о процентах выполнения или перевыполнения плановых заданий, о снижении цен на несколько процентов и т. п.).

§ 17. Сложение и вычитание рациональных чисел

Как уже указывалось, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями изучается еще в первой теме курса математики IV класса. В V классе рассматривается сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Очевидна необходимость и целесообразность предварительного повторения действий над дробями с одинаковыми знаменателями.

Правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями большинство учащихся знает и применяет без затруднений, поэтому повторение можно начинать не с разбора содержательной задачи, а сразу с задания:

«Найти суммы дробей:

После выполнения его учащимся предлагается сформулировать правило. Аналогичная работа проводится и при повторении правила вычитания. Затем выполняются упражнения на применение этих правил. Разъясняется, что в простейших случаях следует сразу записывать требуемый результат. Например, вместо записи

ученики должны записать:

Аналогично и при вычитании:

Изучение обыкновенных дробей должно подготавливать учащихся к изучению в VII классе алгебраических дробей, поэтому нужно уделить внимание и решению примеров с буквенными числителями или знаменателями, например:

Полезно уточнить, что здесь а и b могут принимать любые целые значения, в то время как m не может быть равным нулю; обычно его считают натуральным числом.

Некоторые учителя, разъяснив на числовых примерах, что дробь вида —a/b можно записать и как -a/b объединяют оба правила, т. е. вычитание рассматривают как сложение. Такой подход значительно упрощает решение многих примеров. Кроме того, замена вычитания сложением соответствует изложению в VII классе материала о сложении и вычитании алгебраических дробей. Заметим, что после введения отрицательных чисел уже неудобно противопоставлять вычитание сложению, так как в первой теме V класса мы как раз разъясняли учащимся, что выражение вида а — b — с есть сумма, у которой слагаемыми являются числа а, —b и —с. Поэтому сложение и вычитание обыкновенных дробей нужно рассматривать одновременно.

При повторении сложения и вычитания чисел с целыми и дробными частями вначале решают примеры, в которых не требуется преобразовывать целые единицы в дробь с определенным знаменателем, т. е. когда при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, а также примеры на сложение, когда сумма — неправильная дробь, которую представляют в виде суммы единицы и правильной дроби.

Так как приведение дроби к новому знаменателю изучалось в самом начале темы «Рациональные числа», то следует на конкретных примерах повторить это преобразование. С целью подготовки учащихся к восприятию сложения и вычитания дробей с разными знаменателями полезно выполнить и такое упражнение:

«Сначала приведите дроби к одному знаменателю, а затем выполните действия:

При изучении разделов, подобных сложению и вычитанию дробей, надо избегать длинных объяснений, главное внимание должно быть обращено на выполнение системы упражнений. Общеизвестно, например, сколь трудоемким и сложным для учащихся является приведение дробей к общему знаменателю. Должные навыки в таком преобразовании учащиеся могут выработать лишь в результате длительных упражнений. В учебнике «Математика. 5» приведению дробей к общему знаменателю предшествует специальный пункт «Приведение дроби к новому знаменателю», а при обучении сложению и вычитанию отдельно выделяется «Дополнение дроби до единицы», ибо эти преобразования, как известно, являются трудными для пятиклассников.

Большое значение в обучении учащихся сокращению дробей и приведению дробей к общему знаменателю имеет навык устного разложения чисел на множители. Примеры в учебнике таковы, что значительная часть их допускает вообще устное решение. Вначале учащиеся раскладывают небольшие двузначные числа, представляющие собой произведения двух взаимно простых чисел, а затем применяют приобретенный навык и в более сложных случаях. Чтобы най-

ти, например, НОК чисел 27 и 36, удобно устно установить, на какой множитель надо умножить одно из этих чисел, чтобы получить их наименьшее общее кратное. Заметим, что учащихся V класса полезно приучить простейшие случаи сложения и вычитания дробей с разными знаменателями вида

выполнять только устно. Внимание учащихся при этом сосредоточено только на преобразовании одних долей в другие.

Выполняя упражнения на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, учащиеся испытывают затруднения при нахождении наименьшего общего знаменателя. Поэтому, как и в случае алгебраических дробей, не надо вначале требовать нахождения наименьшего общего кратного знаменателей. Некоторое время учащиеся общим знаменателем могут считать произведение знаменателей. Постепенно они сами убедятся, что для упрощения вычислений лучше всего находить наименьший общий знаменатель. В результате им будет понятна и полезность введения наименьшего общего кратного двух и более чисел.

Несколько слов о решении примеров, содержащих более двух слагаемых. Желательно приучить учащихся все решение записывать одним действием, например:

В учебнике мало упражнений, показывающих целесообразность применения законов сложения к упрощению вычислений, поэтому надо по возможности обращать внимание учащихся на необходимость таких упрощений. Рассмотрим, например, задачу: «Площадь Каспийского моря равна 395 тыс. км2. На сколько площадь Каспийского моря больше суммы площадей Аральского моря (65 1/2 тыс. км2), озера Байкал (30 1/2 тыс. км2), Ладожского озера (17 3/5 тыс. км2) и озера Балхаш (17 2/5 тыс. км2)?» При нахождении суммы

очень удобно применить группировку слагаемых по два, получим: 96 + 35 = 131.

Считаем, что учитель всегда может подобрать достаточное число примеров для иллюстрации упрощения вычислений при применении основных законов действий. Такие примеры нужно заранее записать

на доске, чтобы учащиеся могли видеть условие примера для определения удобной группировки слагаемых.

Приведем два примера на применение законов сложения, второй из которых довольно сложный:

На уроках надо чаще решать упражнения устно. Устные упражнения способствуют (без большой затраты учебного времени) рассмотрению изучаемых понятий и отношений с различных сторон и предупреждают формализм в преподавании математики.

Согласно новой программе по математике в V классе специально выделяются вопросы применения переместительного и сочетательного законов сложения и распределительного закона умножения для рациональных чисел, подводя как бы итог изучению законов действий над числами.

Ранее мы уже рассматривали применение переместительного и сочетательного законов сложения. Что касается распределительного закона умножения, то лучше всего разъяснение его начинать с выполнения упражнений вида:

1. Выполните действия:

2. Найдите значение выражения:

Позже при изучении умножения чисел с целой и дробной частями на натуральное число еще раз подчеркиваем целесообразность применения распределительного закона для упрощения вычислений. Следует лишь помнить, что при решении примеров вида

все действия должны выполняться устно, ибо только в таком случае применение распределительного закона эффективно.

В заключение рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к выполнению совместных действий над десятичными и обыкновенными дробями. Основная цель, преследуемая при выполнении соответству-

ющих упражнений, — выработать у учащихся осознанные и прочные навыки выполнения совместных действий над обыкновенными и десятичными дробями, в том числе и над процентами. Из теории здесь рассматривается лишь вопрос о переводе обыкновенной дроби в десятичную с введением понятия бесконечной десятичной дроби.

Перед объяснением записи обыкновенной дроби в виде десятичной полезно показать целесообразность обращения одних дробей в другие, для чего можно решить простую задачу вида: «Собственная скорость самолета 13,5 км в минуту. Скорость ветра 1 1/5 км в минуту.

Найти скорость самолета при его движении по направлению ветра». Учащиеся сами приходят к выводу о необходимости записи десятичной дроби в виде обыкновенной или обыкновенной дроби — в виде десятичной.

Затем выполняется упражнение: «Запишите в виде десятичной дроби числа:

В случае затруднений можно предложить разложить знаменатель дроби на простые множители, в результате чего учащиеся легко поймут условия возможности обращения обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Полученный вывод закрепляется при выполнении соответствующих упражнений.

Рассмотрение второго способа обращения обыкновенной дроби в десятичную делением числителя на знаменатель приводит к понятию бесконечной десятичной дроби. Понятие периодичности бесконечных десятичных дробей не вводится. Главная трудность для учителя — разъяснить смысл выражения «бесконечная десятичная дробь», обращая внимание учащихся на приближенность значений таких дробей при округлении их значений до определенного десятичного знака. Применение десятичных дробей для сравнения обыкновенных дробей лучше всего объяснять в процессе решения примеров.

Изучая действия над обыкновенными дробями, учащиеся неоднократно имели дело с различными случаями, встречающимися при совместных действиях с обыкновенными и десятичными дробями. Ясно, что здесь не должно быть какого-то специального разъяснения теории, учащиеся усваивают соответствующие рекомендации при выполнении упражнений. Система упражнений в учебнике «Математика. 5» позволяет познакомить учащихся с различными приемами вычислений: обращение всех дробей в обыкновенные; обращение всех дробей в десятичные, включая и случай, когда получаем бесконечные десятичные дроби; без обращения одних дробей в другие и т. п.

В упражнениях не указывается, в каких дробях следует вести вычисления, поэтому разные способы решения нужно оценивать с точки зрения их рациональности. Применение различных преобра-

зований при умелом сочетании с устными вычислениями не только ускоряет процесс вычислений, но и повышает интерес учащихся к самой вычислительной работе.

Приведем пример с большим числом действий, который рекомендуется решать следующим наиболее рациональным путем:

(действия в скобках выполнены устно);

Решение примера, числовые данные которого позволяют почти все вычисления выполнить устно, может быть записано в виде одной цепочки преобразований, например:

Иногда полезно заменить умножение делением или, наоборот, преобразовать предварительно одно из данных чисел, как например:

Подобные рекомендации, облегчающие вычисления, мало знать, надо уметь ими пользоваться. Нужно настойчиво вырабатывать у учащихся привычку, прежде чем решать пример, прикидывать, что и как выгодно делать и что невыгодно.

В методическом письме «О преподавании математики в V классе по новой программе» дана следующая рекомендация:

«При оценке роли и места десятичных и обыкновенных дробей в развитии вычислительных навыков следует больше уделять внимания изучению десятичных дробей, которые широко используются в быту и на производстве. Поэтому при выполнении упражнений на совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями следует чаще пользоваться переводом обыкновенных дробей в десятичные. Не следует считать недостатком, когда учащиеся переходят от обыкновенных дробей к десятичным даже в том случае, когда

обыкновенные дроби выражаются бесконечной десятичной дробью и для вычисления приходится округлять десятичные дроби, фактически переходить к приближенным вычислениям»1.

Но практика работы с пятиклассниками показывает, что они при вычислениях применяют бесконечные десятичные дроби только тогда, когда само задание содержит требование: обратить данные обыкновенные дроби в десятичные и округлить до заданных долей, а также при необходимости округлить ответ в задаче.

Мы считаем, что при определении того, в каких дробях (обыкновенных или десятичных) целесообразно решать соответствующие примеры, надо исходить из сравнения рациональности решений, для чего нужно внимательно изучить структуру примера и заданные числа. Многие обыкновенные дроби нельзя обратить в конечную десятичную дробь, а иногда десятичные дроби неудобно обращать в обыкновенные.

Чтобы найти значение выражения 7,144 : 2,35—2,85⋅0,4 + 3,8 нет смысла обращать десятичные дроби в обыкновенные.

Но чтобы выполнить действия в примере вида

можно перейти к обыкновенным дробям либо к целым числам, хотя все числа заданы в десятичных дробях. Действительно, при выполнении вычислений в десятичных дробях учащимся трудно произвести сокращения, а переходя к обыкновенным, получим:

или

Для того чтобы быстро установить, в каких дробях проще решать предложенный пример, учащиеся должны овладеть навыками устного перевода одних дробей в другие. Они должны знать наизусть перевод десятичных дробей вида 0,5; 0,75; 0,25; 0,125; 0,375 и т. п. в обыкновенные, твердо знать и условия, при которых обыкновенная дробь не может быть преобразована в конечную десятичную дробь.

Заметим, что иногда часть вычислений лучше производить в одних дробях, а часть — в других. Рассмотрим такой пример:

1 «Математика в школе», 1971, № 5, с. 17.

Здесь проще вычисления в знаменателе произвести в десятичных дробях, а вычисления в числителе — в обыкновенных. Надо показать учащимся возможность совместного выполнения действий над обыкновенными и десятичными дробями. Если, например, требуется 0,567 умножить на 3/7, можно устно 0,567 разделить на 7 и умножить затем на 3.

Этот пример можно решать и так:

При проверке решений примеров и задач, выполняемых учащимися дома или в классе, следует выяснять, в каких дробях производились вычисления, оценивая всякий раз их рациональность.

Глава III. Уравнения и неравенства

§ 1. Понятия уравнения и неравенства

Понятие уравнения в школьном курсе математики — одно из самых разноречивых с методической точки зрения. Одни авторы считают уравнение равенством с переменной, другие — условием равенства двух функций, третьи — вопросительным предложением. Можно еще привести другие точки зрения на само понятие уравнения, но вопрос от этого не становится яснее. Не установив предварительно, что такое равенство, предложение и т. п., нельзя решить вопрос о понятии уравнения, которое строится на основе этих понятий.

Правда, в методике математики встречается и такое мнение, что не обязательно формулировать определение понятия уравнения. Достаточно, если учащиеся будут понимать, что значит решить уравнение.

Эта точка зрения нам представляется неправильной. Такой подход может быть допустим (но не оправдан), если вообще в курсе математики нет определений понятий, а все изучается на интуитивной основе. Однако многие понятия (корень уравнения, высказывание, множество решений уравнения и др.) определяются уже в IV—V классах, а начиная с VI класса, особенно в курсе геометрии, большинство понятий определяется.

Выполнять преобразования над уравнениями, не зная четко, что это за понятие, нежелательно. Значит, для самого содержания курса математики понятие уравнения должно быть где-то определено.

Возникает только вопрос, где определение уравнения должно появиться: в начальных классах или в систематическом курсе математики.

Мы считаем, что определение уравнения (а следовательно, и неравенства) можно вполне корректно дать в IV классе и более к нему не возвращаться, раскрывая в последующих классах объем этого понятия, т. е. решая различные виды уравнений — квадратные, показательные, логарифмические и т. п.

Такой вывод мы делаем на основании того, что в IV классе введены слова и предложения школьного математического языка, используя которые можно определить понятие уравнения. Введение же этого понятия поможет систематизировать школьный математический язык и придать ему определенную четкость.

Уравнение — это предложение математического языка. Для того чтобы понять, что это за предложение, в чем заключается его семантика и каков его синтаксис, рассмотрим хотя бы кратко сущность школьного математического (арифметико-алгебраического) языка.

Как в любом естественном (родном или иностранном) языке, так и в школьном математическом языке важно определить его алфавит.

В учебном предмете школьной математики алфавит будет представлять собой конечное множество символов. Элементами этого множества прежде всего будут цифры десятичной системы счисления. Так как язык школьной математики не полностью формализован, то элементами этого множества будут и буквы родного языка. Далее в него войдут буквы латинского и греческого алфавита, знаки арифметических и алгебраических операций, знаки отношений, специальные обозначения вида я, е и т. п.

Символически это множество можно записать так:

Всякий язык, в том числе и язык школьного предмета математики, должен удовлетворять синтаксическим и семантическим требованиям.

Соблюдение требований синтаксиса заключается в том, чтобы при построении слов (терминов) и предложений языка были использованы определенные правила. Кроме того, должно быть обусловлено, по каким правилам будут осуществляться преобразования терминов и предложений. К их числу обычно относят правила логического вывода, которые в школьном курсе математики нигде явно не формулируются, а формируются постепенно как правила здравого смысла, которые мы применяем при рассуждениях. Затем на основе математических правил и алгоритмов делаем заключение о правомерности вывода из тех или иных посылок.

Соблюдение требований семантики языковой системы сводится к соблюдению правил, на основе которых приписывается значение и смысл выражениям рассматриваемого языка. Правила эти позволяют судить, именами каких конкретных объектов являются данные термины или какие объекты являются значениями этих терминов. Учитывая семантические требования, можно оценивать предложения. Оценкой, например, повествовательных предложений могут быть «верно», «неверно», «неопределенно». Оценкой такого математического предложения, как определение, может быть его корректность или некорректность.

Чтобы язык предмета был достаточно богат, для каждого объекта,

свойств объектов и отношений необходимо указать одно конкретное имя. Чтобы в языке (особенно научном) не было двусмысленности, различные объекты, их свойства, отношения должны иметь разные имена.

Отрыв синтаксических требований от семантических порождает формализм, поэтому все математические слова и предложения надо рассматривать как с точки зрения их формы, так и с точки зрения содержания, вычленяя особо каждый из рассмотренных аспектов. Несоблюдение этих требований приводит к определенным осложнениям. Например, термин «отношение» в школьном курсе математики используется в двух смыслах. Отношение как частное двух чисел, т. е. у, и любое математическое отношение, например «=» или « > » и т. п., которое отождествляется с множеством пар, составленных из его области задания.

Естественно, такое положение может порождать не только методические трудности, но и ошибочные заключения по существу, если в каждом конкретном случае не будет оговорено, что подразумевается, например, под термином «отношение».

Теперь, когда обусловлены семантические и синтаксические требования к языку, можно приступить к построению основных предложений школьного предмета математики.

Важнейшими элементами математического языка являются имена и переменные. Выясним вначале сущность каждого из этих элементов.

Чтобы говорить об объектах и их свойствах, мы даем каждому объекту и каждому свойству имя. «Число», «угол», «перпендикуляр», «биссектриса» и т. п.—это имена объектов, изучаемых в школьном курсе математики. «Параллельность», «равно», «больше» и т. п. — это имена отношений между объектами.

Чтобы правильно пользоваться научным языком и однозначно его понимать, необходимо в каждом конкретном случае различать, относится ли термин к сущности объекта или только к его названию. Например, выражения

имеют значение 9. Каждое из этих выражений есть имя числа 9. В одном случае это имя — дробь

в другом — разность

и т. п.

Но в каждом из этих случаев значение у этого имени одно и то же — 9. Выражения

называются константами, а то, что означают эти выражения, — их значениями. Константы могут быть разные, а значение их может быть одно и то же, как в нашем примере. Следовательно, имя имеет форму константу) и содержание (значение константы).

В окружающей действительности, а не только в предмете математики, это тоже соблюдается, но здесь все значительно проще. Например, если мы назвали имя Надя, то мы имеем в виду и сам

термин «Надя» и человека, которому этот термин приписан. В математике такое нерасчленение формы и содержания иногда влечет за собой серьезные последствия, особенно сейчас, когда широко используются теоретико-множественные и логические понятия. Исходя из этого надо различать число и запись его. Дробь (запись числа) может быть и целым числом, и дробным числом. Например, 6/3 —дробь, но значение ее — число целое: 2. 3/6 — дробь, а значение ее — дробное число: 1/2. Или другой пример: записаны числа 3; 1/2; 30/10; 0,5; 4/8. Различных записей здесь пять, а чисел различных только два, так как 3 и 30/10 — это записи одного и того же числа 3, а 1/2, 0,5 и 4/8 — это различные записи одного и того же числа 1/2.

Такой подход, требующий различения формы и содержания понятий, прослеживается в курсе школьной математики на протяжении всего обучения — при введении понятия одночлена, алгебраической дроби и т. п. Когда выполняются арифметические и алгебраические операции над числами или выражениями, то надо иметь в виду, что они выполняются над значениями чисел и выражений.

Для того чтобы перейти к рассмотрению предложений школьного математического языка, необходимо еще выяснить, какую форму и содержание имеет понятие «переменная». Существенное отличие любого естественного языка от языка символического, используемого в математике, заключается в том, что в последнем есть такой элемент, как переменная.

Переменная — это любой символ, чаще буква, вместо которой можно что-то подставлять. В этом предложении надо уточнить ряд моментов. Прежде всего, что значит любая буква. Если имеем выражение 2х + b, то здесь и х и b могут быть переменными. Учитывая какие-то реальные условия задачи, необходимо четко в каждом конкретном случае установить, какая или какие буквы будем объявлять переменными. В выражении обычно те буквы объявляют переменными, вместо которых собираются подставлять значения.

Далее необходимо выяснить, что значит можно что-то подставлять вместо переменной. Это значит, что выражение после подстановки должно иметь смысл. Ограничением выбора значений переменной является здравый смысл. Действительно, объявив х переменной, например, в выражении 2 + х, необходимо понимать, что значениями х могут быть только числа, так как складывать можно только однородные объекты. Если мы х зададим на множестве {стол, слон, Δ}, то при подстановке любого его элемента в выражении 2 + х получим бессмысленность, т. е. 2 + стол или 2 + Δ. Позднее здравый смысл будет сводиться к правомерности выполнения математических операций для получения значения выражения с переменной.

Следовательно, понятие переменной заключает в себе обязательное соблюдение следующего условия: объявляя букву переменной,

полагается указывать то множество значений, которые может принимать переменная. Допустимые значения переменной — это те ее значения, которые выражение с переменной превращают в выражение, которое можно понять на основе здравого смысла или известных правил предмета. Например, записав выражение с переменной 2 + x, полагается сразу же указать множество значений переменной, т.е. x ∈ N или x ∈ {2, 4, 6, 8} и т. д.

Итак, для имен математического языка важно различать их форму и значение, для переменной — обязательно указать множество ее значений, так как сама переменная (буква) есть только форма. Не наполнив ее содержанием, нельзя вести осмысленный разговор.

До сих пор, не дав определения, мы употребляли термин «выражение». Сейчас, когда мы приступаем к построению слов и предложений школьного предмета математики, надо более четко раскрыть этот термин.

Выражение — это любая конечная совокупность символов алфавита. Но, конечно же, эта совокупность должна удовлетворять определенным семантическим и синтаксическим требованиям.

Например, выражение х + : 2 составлено без соблюдения правил синтаксиса, так как постановка рядом двух знаков «+» и «:» противоречит правилам синтаксиса школьного предмета математики. Ранее мы приводили пример, в котором выражение 2 + х, х ∈ {стол, слон, Δ} находится в противоречии с семантическими правилами.

Значит, любое выражение должно иметь смысл. Для арифметико-алгебраических выражений это значит, что оно должно иметь числовое значение. Если оно не имеет смысла, то это значит, что не имеет числового значения, т. е. не все математические действия, записанные в выражении, можно выполнить.

Понятие «выражение» включает в себя все изучаемые в школе выражения, т. е. это и просто числа или буквы, и действия над числами

и формулы

и уравнения и неравенства

и т. п.

В математике, и в школьном предмете математики в частности, различные выражения в зависимости от определенных условий получили специальные названия. Проследим, как можно проклассифицировать выражения.

Выражения могут быть без переменных и с переменными. Например, 2 + 7; 2 + 8 = 29 и х — 13; 2х + 14 = 25.

Выражения без переменных могут быть только со знаками математических действий, а могут быть и со знаками математических отношений. Выражения без знаков отношений — это имя числа (константа). 2 + 7 — это имя числа 9,

— это имя числа

О требованиях к именам мы сделали оговорку ранее.

Выражение без переменной со знаком отношения — это высказывание. Его семантический смысл определяется выяснением того, верно оно или нет. 2 + 8 = 29 — неверное высказывание (ложно), 12 : 3 = 4 — верное (истинно).

Другие выражения без переменной в школьном курсе математики не рассматриваются.

Выражение с переменной, не содержащее знака отношения (2 + x), есть форма, которая переводит конечное множество значений переменной {2, 4, 6, 8) в конечное множество. В нашем примере форма 2 + x где x ∈ (2, 4, 6, 8), отображает множество {2, 4, 6, 8} на множество (4, 6, 8, 10}. В принятой для школы терминологии выражение с переменной без знака отношения, когда переменная принимает числовые значения, есть функция числовой переменной.

Наконец, выражение с переменной, содержащее знак отношения, например, 2х + 3 = 9 или 2х + 1 ⩽ 4, где х ∈ (1, 2, 3}. При подстановке значений переменной в выражение 2х + 3 = 9 или 2х + 1 ⩽ 4 получаем истинное или ложное высказывание. Значит, выражения с переменной, содержащие знак отношения, переводят числовые множества (значения переменной) во множество, состоящее из двух элементов (истина, ложь}. Выражение с переменной, содержащее знак отношения, принято называть, по аналогии с числовой функцией, логической функцией или уравнением (неравенством).

Изобразим соподчинение выражений в виде классификационной схемы:

Если понятие уравнения формируется на основе понятия равенства, то, очевидно, необходимо дать толкование именно этому понятию. Выражение вида А = B, где А и В — имена чисел, называется числовым равенством или, как в приведенной схеме, высказыванием. Выражение А (х) = В (x), где А (х) и В (х) — формы, содержащие переменные, называется равенством с переменной (переменными) или высказывательной формой (предикатом).

Иногда для предмета алгебры выделяют специальное определение уравнения, отличая его от уравнений, рассматриваемых в других дисциплинах. Действительно, в аналитической геометрии мы говорим: дано уравнение (формула) прямой х + у = 5 или окружности x2 + y2 = 25, в физике — формула (уравнение) закона Ома I = U/R, уравнение теплового баланса и др. Чем эти уравнения отличаются от уравнений, которые мы решаем в курсе алгебры? С логической точки зрения — ничем. Все они есть выражения с переменной, содержащие знак отношения «=». При одних значениях переменных полученные высказывания становятся истинными, при других — ложными. Но в геометрии и физике не стоит задача найти те значения переменных, при которых высказывания будут истинны. Такая задача ставится в алгебре. Поэтому специально выделяя алгебраическую задачу изучения уравнений, возможно в определение понятия уравнения включить это требование, т. е. среди всех значений переменной выбрать те, которые при подстановке в высказывательную форму обращают ее в верное равенство. Каждое из таких значений переменной есть корень уравнения.

Теперь, когда мы определили, что уравнение — это высказывательная форма (предикат), необходимо выяснить, каким правилам подчиняются операции над уравнениями.

Над высказывательными формами (уравнениями и неравенствами), так же как и над высказываниями, выполняются следующие операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и др.

Не будем подробно останавливаться на содержании названных операций, так как их теория достаточно разработана в литературе1. Для решения уравнений особенно важно понимать смысл полученного после очередного преобразования уравнения, т. е. будет ли новое уравнение с тем же множеством решений или множество решений изменилось. С этой целью вводится понятие равносильных уравнений. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней.

Чтобы решить уравнение, в результате определенных преобразований его заменяют равносильным ему уравнением. Этот процесс происходит до тех пор, пока не придем к уравнению вида х = а.

1 См. подробнее: Н. Я. Виленкин и др. Математика в IV классе. М., 1972; А. А. Столяр. Логическое введение в математику. Мн., 1971.

Эти преобразования осуществляются на основе соблюдения всех названных выше операций и их свойств. Однако в IV—V классах решаются сравнительно простые уравнения, и не возникает необходимости обращаться ко всей тонкости теории. Методические же приемы решения будут показаны нами в следующем параграфе.

§ 2. Методика обучения уравнениям и неравенствам

В начальной школе уравнения и неравенства изучаются в основном с целью более глубокого и всестороннего осмысления зависимости между компонентами и результатом арифметических действий. Так как в I—III классах изучаются только верные равенства, то решение уравнения сводится к отысканию значения неизвестного числа, т. е. числа, при подстановке которого в уравнение получим верное равенство. Поэтому отыскание неизвестного числа выполняется на основе зависимости между компонентами и результатом действия и не требуются никакие оговорки.

Определения уравнения и корня уравнения в I—III классах не даются. Показав на нескольких конкретных примерах, что неизвестным в арифметических действиях может быть не только сумма или разность, но и компоненты, делается заключение, что такие примеры с неизвестными компонентами будем называть уравнениями.

Решение уравнений в начальных классах осуществляется в несколько этапов. Первые уравнения решают с привлечением конкретных объектов, т. е. чисто зрительно, путем присчитывания или отсчитывания элементов множества находят неизвестное число. Затем неизвестное число находят с учетом состава числа и, наконец, с учетом зависимости между компонентами и результатом арифметического действия. На этом последнем этапе уравнения решаются вначале ради того, чтобы учащиеся более осознанно усвоили зависимость между компонентами действий и результатом. А затем на основе этой выясненной зависимости решаются уже более сложные уравнения.

В порядке усложнения в III классе рассматриваются уравнения, в которых правая часть задается числовым выражением, например x + 3 = 21 — 14 или x — 12 = 48 : 12; затем уравнения, в которых числовое выражение входит в один из компонентов действия, например (7 + 21) + x = 240 или x — (130 — 80) = 12.

Такие уравнения в значительной мере способствуют усвоению порядка действий и пониманию зависимости между компонентами и результатом действия. Кроме того, уравнения широко применяются для решения текстовых задач.

Неравенства с переменной в начальной школе рассматриваются отдельно от уравнений. Простейшие неравенства с переменной используются для выяснения, например, при каких значениях буквы а сумма а + 2 меньше 10. Вначале даются значения буквы, и учащим-

ся необходимо только подставить в выражение а + 2 значение а и сравнить полученное значение а + 2 с 10. Затем учащиеся сами подбирают такие значения буквы. Понятие «решение неравенства» в начальной школе не вводится.

Для раскрытия смысла уравнения важно уточнить понятие равенства. Учащиеся начальной школы знают только верные равенства. Если в выражении стоит отношение «=», то это понимается ими как утверждение того, что левая и правая части этого выражения имеют одно и то же значение. Формы (записи) могут быть и разные: 10 + (3 + 2) = 24 — 9, и одинаковые: 25 — 3 = 25 — 3, но значения всегда равны. Значит, отношение «=» понимается здесь в утвердительном смысле.

Итак, в IV класс ученики приходят со знанием некоторых понятий, что необходимо учитывать, приступая к формированию понятий переменная, уравнение, неравенство, корень уравнения, множество решений неравенства и приемов решения уравнений.

Изучение уравнений в курсе математики IV—V классов носит двоякий характер.

Во-первых, уравнение изучается уже как самостоятельное математическое понятие, поэтому необходимы четкие приемы формирования его. В IV классе даются определение уравнения и система задач, необходимая для содержательного формирования этого понятия. Одновременно с понятием уравнения рассматривается и понятие неравенства, решаются различные линейные уравнения аналитическим путем, на основе зависимости между компонентами и результатом действий и на основе свойств числовых равенств.

Во-вторых, уравнения и неравенства в значительной мере используются как служебные понятия для формирования вычислительных навыков, для раскрытия и закрепления зависимости между компонентами и результатом арифметических действий. Поэтому учителю надо знать, что в конкретном упражнении главное и как в силу этого использовать понятие уравнения в каждом случае.

Значительное место в IV классе занимает формирование понятия уравнения. Понятиями, на основе которых оно вводится, являются множество, переменная, высказывание и равенство с переменной (предложение с переменной).

Сделаем несколько замечаний о введении понятия переменной. В § 1 настоящей главы мы отмечали, что переменная не может быть сформирована без множества ее значений. Не вводя специального термина «множество значений переменной» (так как его нет в учебнике), надо раскрыть содержание этого термина.

В учебнике неоднократно подчеркивается, какие значения может принимать переменная в той или иной задаче. В объяснительном тексте п. 15 отмечено, что в предложение: «К доске пойдет x» — вместо переменной х можно подставить имя любого ученика, который учится в этом классе.

Мы уже отмечали ранее (см. с. 27), что дидактические задачи, предложенные в учебнике, образуют достаточно полную систему,

которая поможет учащимся сформировать правильное понимание этого понятия. Однако весьма полезно рассмотреть несколько контрпримеров, позволяющих уяснить необходимость одновременного задания с переменной множества ее значений. Это особенно важно еще и потому, что у учеников с самого начала знакомства с переменной следует сформировать четкое представление: коль задана переменная, необходимо знать ее область значений. Такое единство символа переменной с ее областью определения получит применение при изучении функций, уравнений и неравенств. Поэтому при первом знакомстве с переменной весьма полезными будут упражнения, аналогичные приведенным ниже.

1. Запишите множество М, элементами которого будут фамилии учащихся вашего класса и при подстановке которых в предложения: а) «Ученик нашего класса . . . отличник»; б) «Ученик нашего класса ... олимпийский чемпион» — получаются верные высказывания.

2. Будет ли верным предложение: «Площадь комнаты х квадратных метров»? Что необходимо знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Какие могут быть элементы у множества значений переменной? Какими условиями определяется это множество?

У учащихся IV класса должно быть сформировано существенно новое понимание отношения «=». Если ранее это отношение понималось только в утвердительном смысле, то теперь ему придается и вопросительный смысл. Знак «=» ставится уже условно между любыми числами и выражениями. Предварительно надо выяснить, будут ли сравниваемые объекты равны. Если будут, то получаем верное равенство, если нет, то неверное. Такой подход к равенству становится оправданным, если хотя бы в одной части равенства находится переменная.

Формирование верного и неверного равенства вызывает у учащихся IV класса определенные трудности, которые связаны с условностью знака «=», к которому они уже привыкли как к утверждению.

В учебнике IV класса вопрос о верных и неверных равенствах специально не выделяется, а рассматривается в связи с высказываниями. Но ученики до этого времени выражение вида 34 + 29 = 63 считали равенством, а не высказыванием, тем более что учебник и не устанавливает непосредственной связи между высказыванием и равенством. Предложение: «Равенства и неравенства тоже бывают верными и неверными» — мало что объясняет. Система упражнений учебника хорошо раскрывает содержание понятия высказывания, но не делает акцента относительно уже известного отношения «=». В дальнейшем этот вид высказываний для предмета школьной математики имеет значение, поэтому именно ему и должно быть уделено значительное внимание.

Для раскрытия содержания понятия верного или неверного равенства можно предложить группу упражнений и вопросов к ним. Эти упражнения можно записать с помощью таблицы:

№ п/п

Равенство

Равенство после нахождения значений левой и правой частей

Смысл равенства

1

5 = 5

5 = 5

Верно

2

22—10 = 4⋅3

12 = 12

Верно

3

48 + 14 = 70 — (22—4)

62 = 52

Неверно

Вопросы. 1. Как понимаем равенства, написанные во 2-м столбце? (Левая и правая части равны.) 2. Что показал результат вычисления значений левой и правой частей? (Оказывается, в третьем примере значения выражений левой и правой частей не равны.) 3. Могли ли мы высказать такое заключение до нахождения значений выражений левой и правой частей? (Нет.)

Вывод. Знак «=» может ставиться в выражениях условно. После выполнения преобразований в обеих частях такого выражения можем получить верное равенство или неверное.

Такая трактовка символа «=» становится особенно понятной, если в выражении есть переменная. Действительно, выражение x + 5 = 12 при одних значениях переменной будет верно, при других — неверно.

Здесь же можно показать на примерах, что существуют равенства всегда верные (а + b = b + а или а⋅b = b⋅а и др.), равенства всегда неверные (2х + 5 = 2х + 11) и равенства иногда верные, а иногда неверные (х + 17 = 24; х — 4 = 2х + 18 и т. п.).

Небольшая группа упражнений может помочь раскрыть сущность этих понятий.

1. В равенство 28 + m = m + 28 подставьте вместо переменной числа из множества {1, 2, 3, 10, 100}. При каких значениях переменной равенство верное? Можно ли найти значение переменной, при подстановке которого равенство 28 + m = m + 28 неверное?

2. Какое число или переменную надо подставить вместо звездочки, чтобы равенство с переменной всегда было верным:

а) 75 + k = k + *; б) с + 42 = 42 + *; в) m + k = * + m?

3. В равенство 54 + d = d + 60 подставьте вместо переменной числа из множества {1, 2, 3, 10, 100}. При каких значениях переменной равенство неверное? Можно ли подобрать значение переменной, при котором данное равенство верное?

4. Вместо звездочки подставьте число или переменную, чтобы полученное равенство с переменной было всегда неверным:

5. Всегда ли верно равенство с переменной:

6. Придумайте равенства с переменной: а) всегда верные; б) иногда верные, иногда неверные; в) всегда неверные.

7. Можно ли подобрать такие значения переменных m и n, при которых равенство m + n = n + m неверное1?

После того как будут сформированы понятия множества, переменной и верного или неверного равенства, можно приступать к формированию понятия уравнения и неравенства.

Понятие уравнения необходимо формировать одновременно с понятием корня уравнения.

Если проанализируем структуру понятия уравнения, то увидим, что в основу его положено понятие равенства, но не любого, а только равенства с переменной.

В § 1 настоящей главы мы отмечали, что любое равенство с переменной есть уравнение. Но для предмета алгебры важна применительно к уравнениям задача нахождения значений переменной, обращающих его в верное равенство. В дидактических задачах, раскрывающих смысл уравнения, это и сделано.

При формировании понятия уравнения необходимо постоянно иметь в виду именно эти два отличительных момента.

В качестве наглядной модели для формирования уравнения в учебнике взяты весы. На весах с помощью перекладывания грузов достигается равновесие (так наглядно формируется понятие равенства с переменной). Поскольку ранее в упражнениях было отмечено, что равенства с переменной бывают верные и неверные, то теперь важно формировать не только понятие уравнения, но и корня (корней) уравнения. Необходимо заметить, что в процессе формирования понятия уравнения должна быть заложена правомерность выполнения преобразований над уравнениями,опираясь на которую учащиеся будут решать уравнения в IV—V классах. Для этого достаточно рассмотреть три вида уравнений Здесь удобно использовать таблицу:

x

x + 3 = 7

Верно или неверно

0

3 = 7

Неверно

1

4 = 7

»

2

5 = 7

»

3

6 = 7

4

7 = 7

Верно

5

8 = 7

Неверно

6

9 = 7

1 Задачи взяты из работы: А. А. Ходова. Использование операторного истолкования натурального числа при изучении действий сложения и вычитания. В сб.: Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики. Под ред. Е. И. Лященко. Мн., 1975.

Результат подстановки показывает, что равенство (неравенство) с переменной при одних значениях переменной может быть верно, а при других — нет. В данном примере равенство верно при единственном значении переменной, равном 4. Его-то и называют корнем уравнения.

Приведем еще один пример:

y

y + y = y⋅y

Верно или неверно

0

0 = 0

Верно

1

2 = 1

Неверно

2

4 = 4

Верно

3

6 = 9

Неверно

4

8 = 16

»

5

10 = 25

»

Оказывается, есть и такие равенства с переменной, которые верны не при одном каком-то определенном значении переменной, а при двух и более. Эти два значения переменной есть корни уравнения или множество корней уравнения.

Наконец, необходимо рассмотреть в IV классе и такой пример:

x

x + 5 = 2

Верно или неверно

0

5 = 2

Неверно

1

6 = 2

»

2

7 = 2

»

3

8 = 2

»

4

9 = 2

»

Анализ полученных равенств при подстановке значений переменной показывает, что среди известных учащимся чисел не найдется такое значение переменной, которое бы обращало уравнение в верное равенство. Но ведь х + 5 = 2 — уравнение. Значит, надо сказать ученикам, что вообще такое уравнение имеет корень (об этом они узнают в V классе), но среди известных им чисел нет таких, которые бы это уравнение обращали в верное равенство, т. е. данное уравнение корней пока не имеет и множество его корней пусто.

Все таблицы и их анализ необходимы для формирования понятия уравнения, а именно равенства с переменной. Те значения переменной, которые обращают равенство в верное, называются корнями уравнения.

Эти же таблицы можно использовать и для формирования второй части понятия — нахождения значений переменной.

Случай x + 3 = 7 (первая таблица) известен учащимся. Они знают, как здесь найти корень уравнения. Два других случая ученикам неизвестны, и рассмотрение их поставило теперь учеников перед новой задачей: а как же решить уравнение у + у = у⋅у?

Вот здесь-то и необходимо показать правомерность тех действий, которые они выполняли ранее в начальной школе без особого обоснования.

Уравнение вида у + у = у⋅у можно решить, но не на основе зависимости между компонентами и результатом арифметического действия. В IV—V классах такие уравнения (и им аналогичные, например y2 = 25 и др.) решаются перебором значений переменной.

Уравнений, которые не имеют корней, — решать не будем. Для того чтобы убедиться, что уравнение корней не имеет, необходимо вместо переменной подставить несколько ее значений таких, чтобы подметить закономерность и сделать вывод об отсутствии корня у уравнения.

При составлении таблиц и формировании понятия уравнения важно предусмотреть и еще один момент, а именно: отказ от понятия о неизвестном числе в уравнении (известного из начальных классов) и формирование понятия переменной.

Чтобы в IV классе можно было решать уравнение на основе зависимости между компонентами и результатом действия, необходимо, чтобы уравнение имело корень и притом единственный.

В учебнике IV класса и подобраны именно такие уравнения. Уравнение здесь можно рассматривать как зависимость между компонентами и результатом действия потому, что переменная обязательно имеет значение, обращающее это уравнение в верное равенство, и это значение единственное. Вот это значение и имеется в виду, когда над уравнением выполняются преобразования.

Например: решить уравнение 2х + 3 = 9.

Приступая к решению, мы высказываем допущение, что корень у этого уравнения есть и притом единственный. А значит, для этого корня форма 2х + 3 есть действие сложения 2х и 3, и сумма их равна 9. Все дальнейшие преобразования такие же, как в начальной школе.

Здесь хотелось бы сделать одно замечание. При решении уравнений в IV классе на основе зависимости между результатом и компонентами действий учителя иногда стремятся обучить учащихся словесным формулировкам этих зависимостей. Опыт показывает, что это малопродуктивно. Учащиеся заучивают формулировки, но применяют их неправильно. Ранее мы отмечали, что важно сформировать метод с его применением одновременно, поэтому лучше добиться усвоения формулы, на основе которой решается то или иное уравнение, т. е. х + а = b, х = b — а, или х — а = b, х = b + а, или а — х = b, х = а — b. Если же учащимся трудно воспользоваться формулой, то целесообразно применить «модель» уравнения. Например, учащийся затрудняется решить уравнение x : 17 = 34 и представляет его как х = 34 : 17, х = 2. Можно

предложить «модель» этого уравнения: х : 2 = 6. Его ученик решает устно и убеждается, что 6 надо не делить на 2, а умножить на 2, только тогда 12 : 2 даст 6 и получим верное равенство.

В V классе учащиеся встречаются с уравнениями, которые имеют корень и притом единственный, но решить такое уравнение на основе зависимости между компонентами и результатом действия не представляется возможным. Например, 2х + 4 = 3х.

Таблица показывает, что корень у уравнения есть и притом единственный.

x

2х + 4 = 3х

Верно или неверно

0

4 = 0

Неверно

1

6 = 3

»

2

8 = 6

»

3

10 = 9

»

4

12 = 12

Верно

5

14 = 15

Неверно

6

16 = 18

»

7

18 = 21

»

Рассматривая такой вид уравнений, необходимо дать новые обоснования их решению.

Исходная посылка остается той же, вывод можно сделать иной.

Если рассматривать уравнение из предпосылки, что оно имеет решение и притом единственное, то для этого значения переменной (а именно оно нас интересует при решении уравнений) уравнение можно рассматривать как верное равенство. В нашем примере этим значением переменной будет 4, при подстановке которого уравнение 2х + 4 = 3а: обращается в верное равенство 2⋅4 + 4 = 3⋅4.

Значит, при соблюдении высказанной выше предпосылки с уравнением можно обращаться, как с верным равенством.

Опыт показывает1, что весьма полезно, прежде чем приступать к решению таких уравнений, рассмотреть на конкретных примерах некоторые основные свойства числовых равенств. В этот момент удобно систематизировать знания учащихся относительно известных им уже свойств числовых равенств, а именно: необходимо повторить, что равенство рефлексивно (а = а), симметрично, (если а = b, то b = а), транзитивно (если а = b и b = с, то а = с). Систематизация этих свойств числовых равенств в значительной мере будет способствовать и обоснованию правомерности выполнения простейших тождественных преобразований выражений. Принято считать, что преобразования вида 2 (k + 3) = 2k + 6 учащиеся выполняют

1 См. подробнее: Е. I. Ляшчанка, З. П. Наронская. Дадатныя i адмоўныя лікі ў курсе матэматыкі V класа. Мн., 1973, с. 71—76.

с меньшими затруднениями, чем преобразования вида 2k + 6 = 2(k + 3). Если же, начиная с числовых равенств, приучать учащихся видеть симметричность равенств, учить читать равенства и слева направо и справа налево, переставлять части равенства в зависимости от удобства конкретной задачи и т. п., то приведенные затруднения будут в значительной мере ликвидированы.

После систематизации известных учащимся из практики свойств верных равенств необходимо на примерах рассмотреть еще два свойства: 1) если к обеим частям верного (неверного) равенства прибавить одно и то же число или выражение, имеющее смысл, равенство останется верным (неверным); 2) если обе части верного (неверного) равенства умножить на одно и то же число, отличное от 0, или выражение, имеющее смысл, то равенство останется верным (неверным). Используя приведенные обоснования преобразований уравнений, учащиеся могут решать все те виды уравнений, которые имеются в учебниках.

Для формирования понятий степени, модуля числа в V классе большое значение имеет решение нетипичных уравнений, т. е. уравнений вида x2 = 49, x3 = 125, |х| = 7 и т. п. При нахождении корней таких уравнений главное внимание уделяется раскрытию сущности понятий степени, модуля числа и т. п., однако оно осуществляется в данном случае на основе понятия уравнения. Тем самым расширяется и углубляется и смысл формируемых понятий, и смысл понятия уравнения.

Касаясь вопросов методики обучения уравнениям и неравенствам, следует остановиться и на некоторых частных вопросах.

Одним из наиболее важных из них мы считаем правильное отношение к «решению» уравнений методом (если так можно выразиться) перебора значений переменной. Некоторые учителя после введения понятия уравнения и корня сразу переходят к решению уравнений на основе зависимости между компонентами и результатом арифметического действия, чем обедняют идейную сторону изучения понятий уравнения и неравенства.

Периодическое обращение к методу перебора значений переменной для нахождения корня уравнения или множества решений неравенства способствует решению многих не только математических, но и дидактических задач. Осуществляя перебор значений переменной, мы продолжаем формировать такие понятия, как множество, переменная, уравнение. Анализируя последовательность значений переменной, приучаем учащихся к правильным обобщениям и выводам, а обучая системному перебору (а не произвольному), закладываем основы статистического мышления и т. п.

Поэтому не случайно авторы учебников математики для IV—V классов периодически на протяжении всего курса приводят примеры уравнений, решение которых можно осуще-

ствить только перебором значений переменной (y2 = 16; y3 = 27 и т. п.).

Мы отмечали, что уравнения в IV классе несут и вторую нагрузку, а именно: с их помощью осуществляется связь нескольких основных линий предмета (вычислительной, функциональной, теоретико-множественной, логической). Если понятие уравнения будет формироваться правильно, то тем самым будет четко прослеживаться взаимосвязь между функциональной, теоретико-множественной и логической линиями. В чем конкретно заключается эта связь?

Во-первых, само решение уравнений, основанное на зависимости между компонентами и результатом действий, есть прямая связь этих линий.

Во-вторых, решение уравнений с устными (а иногда и письменными) обоснованиями в значительной мере способствует закреплению и повторению знания действий над числами.

Например: решить уравнение 25у— 13у + у = 169 с обоснованием.

Решение.

1. На основе переместительного и сочетательного законов сложения имеем: (25y + y) —13y = 169.

2. На основе определения суммы целых чисел имеем: 26y-13y = 169.

3. На основе действия вычитания имеем: 13y = 169.

4. На основе зависимости между произведением и множителями имеем: у = 169 : 13.

5. На основе определения действия деления имеем: у = 13. Проверка.

1) 25⋅13 — 13⋅13 + 13 = 325 — 169 + 13 = 156 + 13 = 169.

2) 169 = 169 — истинное равенство. Ответ. 13 — корень уравнения.

В процессе решения и проверки учащиеся могут повторить и закрепить несколько основных вопросов, связанных с арифметическими действиями и законами, которым эти действия подчиняются.

Наконец, последний вопрос — неравенства. Формирование понятия неравенства осуществляется одновременно с уравнением. Однако решение неравенств существенно отличается от решения уравнений.

Все неравенства, рассматриваемые в IV—V классах, решаются путем системной подстановки значений переменной. Неравенств, которые бы требовали значительных преобразований, учебник не предлагает, и обращаться к ним нет необходимости.

Весьма ценным методическим пособием для осмысления понятия «множество решений неравенства» является луч, а затем и координатная прямая.

Например, для нахождения целых решений неравенства 2х + 3 < 8 вначале можно составить таблицу:

x

2х + 3 < 8

Верно или неверно

0

3 < 8

Верно

1

5 < 8

»

2

7 < 8

»

3

9 < 8

Неверно

4

11 < 8

»

5

13 < 8

»

Сделав вывод, что для всех значений переменной, равных и больших 3, неравенство неверно, можно дать геометрическую иллюстрацию, показывающую, что только числа 0, 1, 2 есть решения неравенства. При этом важно иметь в виду различие между множеством решений во множестве натуральных чисел и во множестве рациональных.

Когда учащиеся поймут смысл неравенств, можно требовать ответов только на координатной прямой. Геометрическая иллюстрация множеств решений неравенств — один из наиболее важных моментов их изучения, который будет широко использован в дальнейшем, при изучении курса алгебры.

Глава IV. Тождественные преобразования выражений

§ 1. Понятие о тождественных преобразованиях

Тождественные преобразования занимают большое место в школьном курсе математики. Определения понятий «тождественно равные выражения», «тождество» и «тождественное преобразование» вводятся в начале курса алгебры VI класса. Учитывая возрастные особенности учащихся и содержание алгебраического материала, авторы школьного учебника определяют тождественные выражения как выражения, все соответственные значения которых равны, причем под словами «все значения» подразумеваются значения выражений, когда множеством значений переменных является множество рациональных чисел. Верные числовые равенства также являются тождествами.

В таком определении не указано то множество, на котором рассматриваются данные выражения. Понятия «тождественно равные выражения», а значит, и «тождество» являются понятиями относительными, так как одно и то же равенство с переменной на одном числовом множестве может быть тождеством, а на другом — нет. Поэтому строгое определение должно включать указание множества, на котором рассматриваются выражения, как это и сделано в VIII классе, где два выражения называются тождественно равными на данном множестве, если на этом множестве они имеют смысл и все их соответственные значения равны.

На основе введенного понятия тождественно равных выражений в VI классе дается определение: «Замену выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения».

При выполнении тождественных преобразований следует помнить и о функциональном начале, особенно при первом знакомстве с этими преобразованиями. Почти каждое тождество вида a (b ± с) = ab ± ас, a (bc) = (ab) с и т. п. проверяется посредством подстановки числовых значений букв, да и правильность выполнения преобразований нередко проверяется подстановкой произвольных значений входящих переменных. Числовые подстановки весьма эффективны и

для обоснования утверждения, что данные выражения не являются тождественными.

При выполнении тождественных преобразований в IV классе используются навыки в преобразовании выражений, которые учащиеся приобрели в III классе. Знакомство учащихся начальной школы с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями позволяет, с одной стороны, формировать у них вычислительные навыки на основе сознательного использования приемов вычисления, а с другой стороны — знакомить их с простейшими тождественными преобразованиями.

Заметим, что в III классе рассматриваются в основном преобразования числовых выражений, хотя в учебнике имеется несколько упражнений и на преобразование выражений, содержащих переменные, и на упрощение выражений вида:

1. Замените, где это возможно, сумму произведением:

2. Запишите выражения без скобок так, чтобы результаты не изменились:

В IV—V классах рассматриваются тождественные преобразования числовых выражений и выражений с переменными, которые подготавливают учащихся к восприятию тождественных преобразований курса алгебры восьмилетней школы. При такой постепенной подготовке учащиеся привыкают к буквенным выражениям, правильно оперируют ими, вычисляя значения выражений или проверяя справедливость тождеств при некоторых конкретных значениях переменных. У учащихся вырабатываются навыки подстановки числовых значений переменных. В результате открывается возможность формирования и функциональных представлений.

Так как в IV—V классах тождественные преобразования основываются главным образом на законах арифметических действий, то они содействуют более глубокому усвоению учащимися этих законов, применению их к упрощению выражений, для рационализации вычислений.

Изучение каждого нового вида тождественных преобразований позволяет знакомить учащихся с новыми видами уравнений и текстовых задач, решаемых при помощи уравнений.

Так как верные числовые равенства также являются тождествами, то упражнения, в которых требуется выполнить указанное действие или вычислить значение выражения, содержащего два числа, можно рассматривать как упражнения на тождественные преобразования. В дальнейшем мы не будем останавливаться на таких тождественных преобразованиях, являющихся обычными действиями над числами.

Заметим, что в большинстве случаев в учебниках для IV—V классов при формулировке заданий различают упражнения, в которых требуется выполнить преобразования, и упражнения, в которых фактически выполняются действия над числами. В упражнениях первого вида задания формулируются так:

а) упростите выражение: 5а + 12,4 + - 2,6;

б) представьте произведение в виде суммы: 4⋅х;

в) представьте сумму в виде произведения: а + а + а + а + а;

г) раскройте скобки: 3⋅(7 — 5); а⋅(и + х + 2);

д) примените распределительный закон умножения:

е) приведите подобные слагаемые: 7х + 4 + 3х — 7 — 5х и др.

В упражнениях второго вида задания формулируются так:

а) выполните деление: 11,648 : 5,6; найдите произведение 24⋅3;

б) выполните действия: 1,7⋅(3,9658 + 16,0142) — 7,1;

в) найдите значение выражения: 11,035 + (57,34 — 23,17)⋅24;

г) найдите значение выражения (—42)⋅у, если у = 0; 1;—1 и т. д.

В некоторых упражнениях в зависимости от структуры примера и числовых данных необходимо самостоятельно решать, выполнять ли преобразования или просто вычислять. Приведем в качестве примера упражнение № 1213 из учебника Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 4».

Сравните выражения:

В первом из них выполняются действия без каких-либо тождественных преобразований, а во втором мы предварительно преобразовываем оба выражения:

Аналогичное положение и с упражнениями, в которых требуется найти значение выражения, в том числе и выражения с переменными, если заданы их числовые значения. Ограничимся одним примером.

Найдите значение выражения:

Если пример б) удобно и нужно решать, выполняя тождественные преобразования, то первый пример можно решать в два действия.

Еще раз подчеркиваем, что никакой ошибки ученики не допустят, если даже выполнение действий над числами сочтут за тождественное преобразование.

§ 2. Тождественные преобразования выражений в IV классе

В предыдущем параграфе отмечалось, что учащиеся в начальной школе выполняют несложные преобразования числовых выражений, основанные на свойствах арифметических действий и свойствах нуля и единицы. Это позволяет в IV классе, еще до изучения действий над натуральными числами, повторить тождественные преобразования числовых выражений, аналогичные выполняемым в III классе. Например, решая упражнения на сравнение числовых выражений, можно повторить основные свойства действий и простейшие преобразования. Чтобы сравнить выражения вида 750 + 124 и 124 + 750; 64⋅308 и 308⋅64; (21 — 11)⋅2 и 44 — 22; 42⋅(3 + 7) и 42⋅3 + 42⋅7, целесообразно не производить указанные вычисления, а преобразовать одно из выражений либо просто сослаться на соответствующее свойство действий, известное из начальной школы.

В результате мы сможем осуществить рекомендацию, данную в «Объяснительной записке» к программе: «С первых уроков в IV классе формируются навыки тождественных преобразований. Важную роль при этом играет понятие «выражение». Тождественные преобразования основываются на законах арифметических действий».

В главе II (§ 3 и 4) мы рассмотрели, как при изучении действий над натуральными числами формулируются и записываются в виде формул законы действий и свойства нуля и единицы. Эти тождества являются теперь уже основой не только для упрощения вычислений и самих числовых выражений, но и для упрощения выражений, содержащих переменные, например:

1. Запишите в виде суммы произведение:

2. Запишите в виде произведения:

3. Найдите значение выражения:

Подобные примеры позволяют обратить внимание учащихся на возможность более простого решения, вызывают у них интерес к изучаемому материалу, вырабатывают умение рационально и творчески выполнять полученные задания.

В учебнике Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 4» специально выделены два пункта: «Запись произведения с буквенными множителями» и «Упрощение выражений», относящиеся к тождественным преобразованиям. Остановимся подробнее на содержании и методике изучения первого пункта. Этот материал рекомендуется рассматривать на двух уроках. Цель первого урока можно сформулировать так: «Научить учащихся упрощать произведения, содержащие числовые и буквенные множители». Второй урок надо посвятить применению таких преобразований.

В соответствии с общей целью первого урока можно наметить такие промежуточные цели:

1. Разъяснить учащимся целесообразность таких преобразований.

2. Обосновать эти преобразования.

3. Познакомить учащихся с новым видом записи и чтения получающихся результатов.

4. Рассмотреть случаи более двух числовых множителей и более одного буквенного множителя.

Примечание. Случай, когда хотя бы один из множителей заключен в скобки, рассматривается на следующем уроке.

На предыдущем уроке проводилась контрольная работа, в которой были и задачи вида: «Три звена пионеров собирали семена деревьев. Первое звено собрало 63 кг, второе собрало m кг, а третье на 12 кг больше, чем первое. Сколько семян собрали три звена? Составьте выражение для решения задачи. Найдите значение выражения при m = 57; m = 68».

При анализе результатов работы подчеркиваем, что при вычислении значений выражения для нескольких значений переменной целесообразно предварительно упростить это выражение. Затем вспоминаем, что и на предыдущих уроках при решении уравнений вида 4⋅25⋅x = 800; а⋅5⋅20 = 500; 21⋅8⋅х = 168; х⋅3⋅33 = 990 мы также предварительно упрощали выражения. Предлагаем ученикам указать, какие упрощения удобно произвести при решении этих уравнений.

Записав тему урока («Упрощение произведений с числовыми и буквенными множителями»), предлагаем устно решить задачу: «При подготовке к летнему туристскому походу четвероклассники наметили проходить в час в среднем по 4 км и в пути ежедневно быть по 5 ч. Какой путь они намечают пройти за а дней? Составьте выражение для решения задачи и вычислите значение выражения при а = 2; 3; 4; 5».

На доске записываем лишь конечный результат: (4⋅5)⋅а км. После этого устанавливаем, что если бы задачу надо было решить при каком-то одном значении а, то можно было бы просто подставить это значение а в выражение (4⋅5)⋅а и выполнить умножения. Но так как мы должны найти значение этого выражения для четырех значений а, то лучше предварительно упростить это выражение: (4⋅5)⋅а = 20⋅а, а затем устно закончить решение задачи.

Аналогично решаем еще одну задачу, но теперь уже учащиеся записывают ее решение.

«Колхоз сдал в магазин х ящиков яиц. В каждом ящике яйца уложены в 8 слоев, в каждом слое 50 яиц. Сколько яиц сдал колхоз? Решите задачу в общем виде. Найдите значение выражения при x = 150, 250, 350».

Получив выражение (50⋅8)⋅х, учащиеся преобразовывают его: (50⋅8)⋅x = 400⋅x. Разъясняем, что для нахождения числа яиц, которые колхоз сдал в магазин, при конкретных значениях переменной x безразлично, в какое из выражений ((50⋅8)⋅х или 400⋅х) подставлять значение х, так как эти выражения принимают равные значения при любых значениях переменной х.

Затем предлагаем учащимся прочесть решение задачи, приведенной в п. 37 учебника, после чего разъясняем, почему (125⋅m)⋅8 = 1000⋅m, показывая, где при преобразованиях применяются сочетательный и переместительный законы. Преобразования записываем в таком виде: (125⋅m)⋅8 = 8⋅(125⋅m) = (8⋅125)⋅m = 1000 — m.

Для закрепления учащиеся решают пример на упрощение выражения, причем с объяснением того, какой закон применяется при конкретном преобразовании: 24⋅х⋅5 = 24⋅(х⋅5) = 24⋅(5⋅х) = (24⋅5)⋅x = 120⋅x. Затем показываем краткую запись решения таких примеров: 25⋅m⋅8 = 25⋅8⋅m = 200⋅m.

Используя запись решения последнего примера, можно сообщить, что обычно знак умножения в результате опускается, т. е. пишут просто 200 m и читают вместо «двести, умноженное на m» кратко: «двести m», что хорошо согласуется и со смыслом умножения: 200 раз берется m в качестве слагаемого. Затем решаются примеры:

1. Найдите значение выражения

2. Упростите выражение:

3. Упростите выражение:

Последний пример позволяет сделать замечание об обобщении преобразования произведения на случай трех и более числовых множителей и двух буквенных.

На следующем уроке решаем различные примеры на закрепление преобразования произведения с числовыми и буквенными множителями. Для того чтобы предупредить формализм в выполнении таких преобразований, одновременно решаем и контрпримеры, которые не позволяют применить рассматриваемое преобразование.

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

если x = 2; 5; 10.

Такой подбор примеров заставляет учеников не механически выполнять преобразование, а думать, анализировать и сравнивать, требует глубокого понимания порядка выполнения действий.

Так как при изучении распределительного закона учащиеся приобрели определенные умения и навыки не только в преобразовании произведения в сумму, но и в замене суммы или разности произведением, то все уроки, рекомендуемые на изучение пункта «Упрощение выражений», посвящаются выработке прочных навыков упрощения выражений, что фактически сводится к простейшим случаям приведения подобных слагаемых на основе распределительного закона. Учитель может ограничиться лишь показом наиболее рацио-

нальной записи при выполнении первых примеров: 4а + 8a + 26а = (4 + 8 + 26) а = 38а; 27а — 17а = (27 — 17)а = 10а. В дальнейшем все внимание должно быть обращено на то, чтобы довести до автоматизма навыки правильных и быстрых преобразований, т. е. чтобы ученики сразу писали 4а + а + 8 + 5а = 10а + 8 (при условии, конечно, что они в любой момент по требованию учителя могут обосновать производимые преобразования).

Система упражнений, данная в учебнике, вполне позволяет достичь этой цели, причем, наряду с тренировочными упражнениями, предназначенными для выработки навыков в выполнении самого преобразования, имеются упражнения, которые связаны с рассматриваемым преобразованием, но несут на себе и дополнительную смысловую нагрузку.

Применение рассмотренных преобразований выражений позволяет расширить класс решаемых уравнений, а значит, и задач, решаемых составлением более сложных уравнений.

При изучении темы «Десятичные дроби» рассматриваются тождественные преобразования числовых выражений и выражений, содержащих переменные, подобные выполняемым в теме «Натуральные и дробные числа». Никакие новые преобразования не изучаются, но все преобразования выполняются в расширенном числовом множестве, полученном из множества натуральных чисел и нуля присоединением десятичных дробей.

В заключение укажем, что преобразования выражений как числовых, так и с переменными, непосредственно выполняемые на основе свойств арифметических действий, применяются и при решении некоторых геометрических задач. Такое систематическое применение тождественных преобразований способствует раскрытию их практических приложений, что повышает интерес учащихся к выполнению преобразований и, в конечном итоге, способствует укреплению навыков тождественных преобразований.

§ 3. Тождественные преобразования выражений в V классе

До изучения действий над отрицательными числами учащиеся при выполнении упражнений для домашней работы повторяют известные им из IV класса преобразования числовых выражений, главным образом выражений с переменными. Полезно при разборе таких решений подчеркивать, что, преобразуя выражение, содержащее переменную, мы представляем его в другом, более удобном виде, но при этом требуется, чтобы значения нового выражения при любых конкретных значениях переменной совпадали со значениями исходного выражения.

При изучении действий над отрицательными числами появляются преобразования, с которыми учащиеся не встречались в IV классе. Например, на основе законов сложения упрощают вычисление суммы нескольких слагаемых, складывая отдельно положительные числа и

отдельно отрицательные числа, а затем к сумме положительных чисел прибавляя сумму отрицательных. Установив, что а — а = а + (—а) = 0, это свойство применяют для упрощения выражений вида:

а) упростите сумму:

б) найдите значение выражения:

После изучения правила вычитания отдельно рассматривается раскрытие скобок. До этого учащиеся при решении различных упражнений неоднократно раскрывали скобки, перед которыми стоит знак плюс, основываясь на сочетательном законе сложения и определении суммы трех и более слагаемых, например: «Упростите сумму — 8 — у + (—0,3 + у — c)». Поэтому объяснение правил раскрытия скобок можно начать с напоминания о выполняемых ранее преобразованиях вида а + (b + с) = а + b + с. Затем решают примеры на раскрытие скобок:

В результате учащиеся самостоятельно сформулируют правило раскрытия скобок, если перед скобками стоит знак плюс. При закреплении этого правила рассматриваем и выражения вида (—4 + 19) — 10, начинающиеся со скобки; в этом случае можно считать, что перед скобкой стоит знак плюс.

Заметим, что вывод правила основан на сочетательном законе сложения чисел, а правило раскрытия скобок формулируется в общем виде. Впоследствии оно будет применяться, когда слагаемые в скобках являются алгебраическими выражениями. На наш взгляд, не стоит заострять внимание на этом, так как главное здесь — формально-операционная сторона.

Несколько труднее объяснить правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Приведем один из возможных вариантов объяснения.

Ставится проблема: как раскрывать скобки, если перед ними стоит знак минус? Рассмотрим пример: 18 — (6 + 5). Вычисления можно выполнить двояко: 18 — 11 = 7 или 18 — 6 — 5 = 7.

Второй способ понятен учащимся, поскольку они еще в начальной школе так вычитали суммы двух чисел из данного числа. Предлагаем сравнить записи: 18 — (6 + 5) и 18 — 6 — 5. Видим, что знаки каждого слагаемого, заключенного в скобки, изменились на противоположные. Рассмотрев затем задачу, приведенную в объяснительном тексте учебника, учащиеся еще раз убеждаются, что

Проверка этого тождества при различных значениях переменных займет много времени, поэтому, использовав понятие противоположного выражения, можно доказать его в общем виде, не требуя от учащихся воспроизведения доказательства. Нетрудно проверить, что

значит —b — c — выражение, противоположное выражению b + с, и по правилу вычитания получим:

Повторив еще раз само правило, решаем примеры, требуя всякий раз от учащихся сформулировать правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Рассмотрим еще одно тождественное преобразование, изучаемое в V классе, которое в учебнике выделено отдельным пунктом: «Приведение подобных слагаемых». До этого уже введено понятие коэффициента, которое не вызывает затруднений, так же как и нахождение коэффициента произведения, ибо учащиеся еще в IV классе упрощали выражения с несколькими числовыми и буквенными множителями. Поэтому, выполнив несколько упражнений, объясняем, что понимается под коэффициентом при а и —а. Тщательно разбираем решения примеров, где требуется назвать каждое слагаемое и его коэффициент. Преобразования вида (—a) b = —(ab) = (—1) ab = —ab рассматриваются на следующем уроке.

Проанализируем текст учебника: «Слагаемые 2а, —6а и 10а имеют одинаковую буквенную часть. Такие слагаемые называют подобными слагаемыми, а замену суммы 2а — 6а + 10а на 6а называют приведением подобных слагаемых». После этого формулируется правило приведения подобных слагаемых.

В приведенном абзаце имеется определение подобных слагаемых (слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть) и определение приведения подобных слагаемых (замена суммы подобных слагаемых равным ей произведением). Но авторы, придерживаясь методического принципа: «Выделять для заучивания учащимися небольшое число правил или определений», строят предложения в анализируемом абзаце так, чтобы было видно, что эти определения учащимся заучивать не надо. От них требуется знать выделенные термины, понимать, что это такое, и уметь находить в сумме подобные слагаемые. Правило приведения подобных слагаемых, которым учащиеся неоднократно будут пользоваться, специально выделено другим шрифтом, что указывает на необходимость его заучивания.

Заметим, что приведение подобных слагаемых — не новое действие, а тождественное преобразование, позволяющее упрощать данную сумму.

Упражнения в этом пункте разнообразны и позволяют учащимся приобрести прочные умения и навыки в приведении подобных слагаемых. Вначале даны упражнения с однобуквенными слагаемыми, причем здесь же приводятся и контрпримеры, в которых часть слагаемых не имеет подобных, и даже сумма —3а — 5b + 5с + 18, в которой вообще нет подобных слагаемых.

Введенное новое тождественное преобразование применяется к решению более сложных уравнений вида 8(3 — 2х) + 5(3x + 5) = 9 и задач, которые решаются составлением уравнений, требующих раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Известно, что некоторые учащиеся приведение подобных слагаемых выполняют, не раскрывая предварительно скобок, что почти всегда приводит к ошибкам, особенно если перед скобкой стоит знак минус. В таких случаях нужно добиваться от учащегося объяснения, почему он так сделал, какими законами пользовался, или предложить ему проверить справедливость равенства при некотором конкретном значении переменной.

В случае необходимости вполне приемлемы наводящие вопросы: «Сколько будет два километра да три километра? 0,1 килограмма да 0,35 килограмма?»

В теме «Рациональные числа» никакие новые тождественные преобразования не рассматриваются. Преобразования таких числовых выражений, как сумма, разность, произведение и частное двух обыкновенных дробей, а также связанные с ними сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю и т. п., довольно подробно рассмотрены ранее (см. ч. II, гл. II).

Глава V. Геометрический материал в курсе математики IV—V классов

§ 1. Геометрия — составная часть курса математики IV—V классов

Программа по математике для IV—V классов содержит два раздела: «Арифметика и начала алгебры» и «Геометрия». Одной из основных целей, для достижения которой в курс математики IV—V классов включается геометрический материал, является создание благоприятных условий для успешного усвоения арифметики и начал алгебры и овладения основами знаний по другим предметам.

Ранее в курс арифметики включались отдельные геометрические вопросы, необходимые для успешного изучения предмета и других смежных дисциплин в восьмилетней школе. В новой программе такие темы, как прямоугольный параллелепипед с выводом формулы для вычисления его объема, формулы площади треугольника, длины окружности и площади круга, также включены в раздел «Арифметика и начала алгебры».

Этот материал помогает готовить учащихся и к изучению систематического курса планиметрии в VI—VIII классах. Например, понятие площади прямоугольника используется при изложении таких вопросов раздела «Арифметика и начала алгебры», как умножение натуральных чисел и дробей, законы умножения и т. п. В то же время при изучении темы «Площадь прямоугольника» не только вырабатываются навыки вычисления площади, но и формируется общее представление о площади фигуры как о геометрической величине. Аналогичное положение и при изучении прямоугольного параллелепипеда в связи с рассмотрением сочетательного закона умножения для натуральных чисел.

В свою очередь, учебный материал, отнесенный к разделу «Геометрия» в IV—V классах, используется для подготовки учащихся к изучению смежных разделов. Например, теоретико-множественные и логические понятия широко используются не только при изучении чисел, операций над числами и их свойств, но и при изучении геометрического материала. В то же время упражнения геометрического характера и теоретический материал о фигурах, их

отношениях и свойствах служат для уточнения теоретико-множественных понятий.

Программа рекомендует изучать геометрический материал в IV—V классах рассредоточенно, в соответствии с чем в тематических планах дано ориентировочное распределение этого материала по урокам. И в новых учебниках «Математика. 4» и «Математика. 5» авторы по мере возможности объединяют по содержанию арифметико-алгебраический и геометрический материал.

Тесная связь между разделами курса математики осуществляется за счет использования одного материала при изучении другого, а также при выполнении упражнений. В главе II (ч. II) было подробно освещено, как, используя понятие площади прямоугольника, разъясняются переместительный и распределительный законы умножения для натуральных чисел и как вводится умножение дробей. Приведем пример, как используется геометрический материал при повторении понятия сложения натуральных чисел. Пункту «Сложение» предшествует пункт «Пересечение и объединение фигур», причем с первых шагов обучения в IV классе геометрические фигуры рассматриваются как множества точек. Сложение натуральных чисел при теоретико-множественной концепции связано с объединением множеств. Вопросы объединения произвольных множеств изучаются в V классе, поэтому объяснение сложения чисел надо начинать с разбора примеров на объединение отрезков и плоских фигур, не накладывающихся друг на друга. Рассматривая соответственно длины отрезков или площадь объединения исходных фигур, получим, что длина отрезка-объединения равна сумме длин исходных отрезков, а площадь объединения двух фигур равна сумме площадей этих фигур.

Изложение теории измерения углов основано на понятии дроби, ибо градус вводится как 1/90 часть прямого угла. При изучении бесконечной шкалы одновременно разъясняется бесконечность луча и неограниченность множества натуральных чисел. Установленное при этом геометрическое изображение натуральных чисел как точек координатной прямой используется впоследствии при изучении таких понятий, как числовые множества, равенство и неравенство.

Примеров органической связи геометрии с арифметикой и началами алгебры, особенно в курсе математики IV класса, можно привести много. Геометрический материал применяется при изучении и других школьных дисциплин. Градусное измерение углов, а также общие сведения об окружности и круге нужны при изучении географии, физики. На уроках труда учащимся нередко надо находить оси симметрии некоторых фигур, вычерчивать перпендикулярные или параллельные прямые.

Еще больше возможностей для установления органической связи геометрического материала с арифметико-алгебраическим учитель имеет при подборе упражнений для закрепления и углубления теоретического материала. Уже на первых уроках в IV классе при

повторении обозначения дробных чисел решаются задачи с геометрическим содержанием вида:

1. Начертите квадрат со стороной 6 см. Разделите его на 3 равные части. Закрасьте 2/3 квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной?

2. С помощью рисунка 18 выясните, равны ли дроби 2/3 и 4/6.

При изучении множеств с любыми элементами учащимся можно предложить такие упражнения:

1. Отметьте точку О и проведите через нее прямые AB, СМ и KР. Запишите множество образовавшихся лучей с началом в точке О.

2. Запишите с помощью фигурных скобок множество треугольников, изображенных на рисунке 19. Сколько элементов в этом множестве?

Понятие выражения с переменной можно вводить в процессе решения задач на составление выражения, например:

а) Ширина прямоугольного участка 22 м, а его длина на 4 м больше. Найдите площадь участка.

б) Ширина прямоугольного участка 22 м, а его длина на х м больше. Найдите площадь участка.

в) Ширина прямоугольного участка у м, а его длина на 4 м больше. Найдите площадь участка.

г) Ширина прямоугольного участка у м, а его длина на х м больше. Найдите площадь участка.

Почти в каждом пункте учебника «Математика. 4» имеются задачи на вычисление длины отрезка, периметра многоугольника, площади прямоугольника, объема или площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

При решении же задач на закрепление геометрического материала применяются арифметические и алгебраические методы, в том числе и метод составления уравнений. Например, при решении задач вида: «Один из смежных углов на 130° меньше другого. Чему равна величина каждого из этих углов?» «Один из смежных углов в 4 раза меньше другого. Найдите величину каждого из этих углов» — наиболее целесообразно применить метод составления уравнений. Решение полученных уравнений (соответственно х + (х — 130°) = 180° и x + 4х = 180°) не вызывает затруднений у учащихся IV класса в конце учебного года.

Рис. 18 Рис. 19

В V классе при изучении действий над множествами наряду с арифметико-алгебраическим материалом используется и геометрический материал; разбиение на классы иллюстрируется примерами классификации треугольников. Пункту «Противоположные числа» предшествует пункт «Центральная симметрия», что облегчает учащимся усвоение понятия противоположного числа.

К сожалению, не всегда можно установить органическую связь между геометрическим и арифметико-алгебраическим материалом, но там, где есть возможность, нужно стремиться к этому.

§ 2. Методика изучения геометрических понятий

Изучение геометрии в восьмилетней школе состоит из трех этапов (первый — I—III классы, второй — IV—V классы и третий — VI—VIII классы), существенно отличающихся содержанием и характером изложения геометрического материала. Так как геометрия IV—V классов занимает промежуточное место по отношению к геометрии начальной школы и систематическому курсу геометрии VI—VIII классов, то при обучении учащихся IV класса вначале надо придерживаться методики, применяемой в I—III классах, постепенно приближая ее к методике обучения геометрии в VI—VIII классах.

В «Объяснительной записке» к программе по математике I—III классов сказано: «Основой начального курса является арифметика натуральных чисел и основных величин. Кроме того, в него входят элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, которые, по возможности, органически включаются в систему арифметических знаний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях и математических отношениях»1.

В начальной школе изучают свойства и отношения геометрических фигур, связанные с измерениями. Кроме того, у учащихся постепенно накапливается запас знаний, необходимый для определения формы окружающих предметов и развития пространственного воображения.

При переходе учащихся из класса в класс объем их геометрических представлений расширяется, одновременно происходит расширение геометрической терминологии и символики. Свойства фигур устанавливаются экспериментальным путем в процессе наблюдений, измерений, вычерчивания и моделирования, а затем учащиеся используют эти свойства для установления отношений между фигурами или их элементами и, таким образом, подготавливаются к восприятию структуры логического следования.

В начальной школе большое значение имеют практические работы. В результате изготовления и вычерчивания геометрических фигур, получения фигур перегибанием листа бумаги, выполнения простейших измерительных работ и других практических действий

1 Программа I—III классов школ с русским языком обучения. Мн., 1975.

учащиеся знакомятся с определенными свойствами изучаемых фигур, учатся применять полученные знания при выполнении простейших практических заданий. Опираясь на наглядность, они приобретают некоторые умения логически рассуждать. Наряду сформированием навыков индуктивного мышления постепенно развиваются и используются навыки дедуктивного мышления.

Такая методика изучения геометрического материала вполне приемлема и целесообразна при обучении учащихся IV—V классов. Рассмотрим вначале вопросы методики изучения геометрических понятий.

В геометрии, как и в любой математической теории, существуют понятия, допускающие формально-логические определения с указанием ближайшего рода и видового отличия, и основные понятия, принимаемые без определений. Учитывая возрастные особенности учащихся, нередко понятие, допускающее формально-логическое определение, относят к неопределяемым понятиям. В IV классе встречаются понятия, с которыми учащиеся знакомились в начальной школе на интуитивной основе, без каких-либо определений. Разумеется, и методика изучения различных геометрических понятий будет разная.

Рассмотренные в начальной школе геометрические понятия, которые в IV—V классах не требуют каких-либо существенных уточнений или углублений, целесообразно повторять, предлагая учащимся выполнить в классе или дома соответствующие упражнения. Например, чтобы повторить понятия ломаной, замкнутой ломаной и периметра многоугольника, можно на первых уроках в IV классе рассмотреть упражнения:

1. Начертить ломаную ABC так, чтобы длина отрезка AB равнялась 4 см, а длина отрезка ВС равнялась 5 см.

2. Найти длину замкнутой ломаной KMXY, если известно, что |КМ| = 5 см; |МХ| = 2 см; |XY| = 4 см и |KY| = 6 см.

3. Найти периметр многоугольника ABCD, длины сторон которого указаны на рисунке 20.

Аналогично повторяются понятия окружности и круга, их центра и радиуса, а также понятие прямоугольника и формулы вычисления его периметра и площади. Заметим, что некоторые учащиеся, правильно построив в тетрадях прямоугольник, не могут указать свойства его сторон и углов. Поэтому при решении задач на вычисление периметра прямоугольника по его сторонам следует предложить учащимся начертить в тетрадях прямоугольник и вспомнить, что у прямоугольника все углы прямые, а длины противоположных сторон равны:

Сведения о некоторых понятиях, полученные учащимися в начальной школе, в IV классе повторяются, систематизируются и углубляются. Например, понятие отрезка считается

Рис. 20

известным учащимся IV класса. Поэтому вначале предлагается изобразить в тетрадях две произвольные точки и соединить их отрезком, а потом— три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками. Затем дается задание назвать все отрезки, изображенные на доске или на большом листе бумаги (рис. 21, а, б).

После этого учащиеся строят различные ломаные, соединяющие дветочки A и В, и сравнивают длины получившихся ломаных с длиной отрезка AВ. Обобщая результаты измерений, устанавливается, что ломаные длиннее отрезка, и делается вывод: отрезок AB имеет наименьшую длину среди всех линий, соединяющих точки А и В. Здесь же вводятся обозначения для отрезка и его длины, принятые в курсе геометрии VI класса, так что с самого начала учащиеся приучаются различать понятия отрезка и его длины.

Подобным образом повторяется и понятие прямой, представление о которой уже имеется у учащихся. В IV классе формулируются свойства прямой:

1. Через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.

2. Прямая не имеет ни начала, ни конца. От любой ее точки можно отложить в обе стороны отрезки какой угодно длины.

3. Две различные прямые могут иметь одну точку пересечения или не иметь ни одной.

Рассмотрим отдельно понятие геометрической фигуры. В начальной школе термин «фигура» употребляется весьма часто. Никакого определения этого понятия не дается и в IV классе, но требуется сформировать у учащихся представление о фигуре как множестве точек. Это нетрудно сделать, если при изучении каждой фигуры в IV классе предлагать упражнения, в которых требуется указать, какие из данных на рисунке точек принадлежат или не принадлежат данной фигуре, как например:

1. По рисунку 22 укажите, какие из точек A, B, С, D, К и М: а) принадлежат четырехугольнику; б) не принадлежат треугольнику; в) принадлежат треугольнику и четырехугольнику; г) не при-

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

надлежат ни треугольнику, ни четырехугольнику.

2. Запишите множество отмеченных на рисунке 23 точек, принадлежащих углу АМК. Запишите множество углов, которым принадлежит точка S.

Нельзя не учитывать, что в систематическом курсе планиметрии геометрические фигуры рассматриваются как множества точек, причем такая идея проводится последовательно через весь курс планиметрии. Это объясняется тем, что «...цельная и наглядно убедительная картина строения всей нашей науки не может быть дана без описания теоретико-множественной концепции в ее содержательном (а не формализованном) варианте и в полном объеме, невзирая на то, что в своей нефинитной части она нуждается в более тщательном обосновании. Поэтому представляется несомненным, что основной позицией школьного курса математики должна быть позиция «наивной теории множеств»1.

Мы уже отмечали, что одной из методических особенностей обучения математике в IV—V классах «...является выделение для заучивания учащимися небольшого числа правил или определений»2. Поэтому не рекомендуется требовать от учащихся определения таких, например, понятий, как луч и угол, но они должны отчетливо представлять эти фигуры и уметь их изображать. В дальнейшем эти понятия используются при определении других понятий.

Разъяснение понятия луча не вызывает затруднений у учителя. Более сложным в методическом отношении является понятие угла. В IV классе понятие угла определяется генетически, через описание способа его образования. Учащимся предлагается построить два произвольных луча, имеющих общее начало. Основываясь на своем жизненном опыте, они делают вывод, что в результате такого построения эти лучи разделили плоскость на две части. Учитель вводит термины: углы, стороны угла и вершина угла, — и объясняет, как на рисунке можно указать угол, о котором идет речь.

Полезно, чтобы учащиеся сказали, какие из точек, отмеченных на рисунке 24, принадлежат углу MNK и какие не принадлежат ему. Учитель обращает внимание учащихся на принадлежность углу его сторон, а также подводит их к мысли, что угол есть определенное мно-

1 А. Н. Колмогоров. Научные основы школьного курса математики. «Математика в школе», 1969, № 3, с. 16.

2 Математика в V классе. Под ред. А. И. Маркушевича. М., 1971, с. 10.

жество точек плоскости, т. е. геометрическая фигура. Затем учащихся знакомят с различными обозначениями угла и со знаком ∠.

Постепенно у учащихся создается достаточный запас представлений и понятий, позволяющий дать новым фигурам и формально-логические определения, указывая ближайший род и видовое отличие. Например, после изучения темы «Угол» рассматривается сравнение углов и дается определение биссектрисы угла. С помощью моделей конкретных пар углов, налагаемых друг на друга, вводятся понятия: конгруэнтные углы; один угол больше (меньше) другого. Перегибая вырезанные из бумаги углы, делят их пополам, после чего дается определение биссектрисы угла.

Здесь уже определение дано в явной форме: указан ближайший род (луч) и видовые отличия (выходит из вершины угла и делит этот угол пополам). Задача учителя изменяется: теперь необходимо, используя, например, специально подобранные рисунки, обратить внимание учащихся на то, что биссектриса — это луч, причем такой луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам (см. с. 71).

В дальнейшем при формировании понятий также следует применять конструктивный подход независимо от того, как будет определяться это понятие: формально-логически или генетически, через описание способа его образования. Например, при введении понятия смежных углов целесообразно вначале построить два смежных угла, точнее, из произвольной точки данной прямой провести луч. Используя полученный рисунок, легко подвести учащихся к формальному определению.

Два угла, объединение которых — развернутый угол, а пересечение — луч, называются смежными углами.

При решении задач вида: «Являются ли смежными углы, указанные на рисунке 25?» — учащиеся должны понять, что смежные углы— это два угла, причем такие, объединение которых — развернутый угол, а пересечение — луч.

В процессе выполнения упражнений не только раскрывается само определение смежных углов, но и устанавливаются простейшие их свойства: смежные углы имеют одну общую сторону, а две другие стороны составляют прямую; сумма величин смежных углов равна 180 е.

В учебнике «Математика. 4» развернутый угол определяется как угол, стороны которого являются противоположными лучами. Понятие «противоположные лучи» не определяется, а описывается при помощи построения. Хотя определение в явном виде и не дается, весьма полезно и нужно установить три видовых отличия: это лучи одной прямой, они имеют общее начало и противоположно направлены.

Рис. 24

Мы видим, что при формировании понятий, для которых дается формально-логическое определение, анализируют как родовое понятие, так и видовые отличия. Для понятий, которые вводятся не через определение в явном виде, также иногда выясняют ближайший род или видовые отличия.

Такая работа в IV классе проводится при изучении прямого, острого и тупого углов и при определении перпендикулярных прямых. Сами термины «прямой угол», «острый угол» и т. д. учащиеся знают из начальной школы, да и определения соответствуют имеющимся у учащихся представлениям, поэтому нужно показать, что в отличие от начальной школы теперь каждый из видов углов получает строгое определение: мы указываем ближайший род и видовые отличия.

При построении двух перпендикулярных прямых с помощью транспортира или чертежного треугольника фактически строится один прямой угол, поэтому до того как давать определение перпендикулярных прямых, обязательно надо при активном участии учеников установить, что и получающиеся при этом три остальных угла прямые. Без такой предварительной работы определение «Две прямые, делящие плоскость на четыре прямых угла, называются перпендикулярными» будет внутренне противоречивым.

Рис. 25

В V классе значительное место занимают геометрические преобразования. Это объясняется тем, что в систематическом курсе планиметрии большое внимание уделяется отображениям всей плоскости на себя, в частности в VI классе изучаются перемещения, т. е. изометрические отображения (сохраняющие расстояния между соответствующими точками), а в VII классе — преобразование подобия и его частный случай — гомотетия. Геометрические преобразования, являющиеся в геометрии аналогом понятия функции в алгебре, служат основой курса планиметрии. Они применяются не только при формировании отдельных понятий и определений, но и для доказательства многих теорем курса VI—VIII классов. Более того, отображения являются основой построения значительной части планиметрии. Например, понятие вектора, которое вводится в VII классе и широко применяется в курсе геометрии, определяется как параллельный перенос.

Очевидно, что для успешного усвоения курса планиметрии учащиеся при обучении в предшествующих классах должны получить предварительную подготовку. Например, чтобы понять перемещения как изометрические отображения всей плоскости на себя, необходимо наглядно представлять поворот, осевую симметрию и параллельный перенос конкретных геометрических фигур на плоскости и уметь строить образы этих фигур. Если учащиеся в V классе не научатся чертить фигуры, получающиеся в результате выполнения определенного преобразования, то они будут испытывать трудности при изучении соответствующих тем курса геометрии VI класса.

Из-за ограниченности учебного времени в V классе невозможно должным образом изучить симметрию, параллельный перенос и поворот вокруг точки. Основное внимание сосредоточено на осевой симметрии; поворот вокруг точки в общем случае не рассматривается, изучается лишь центральная симметрия.

В V классе определения геометрических преобразований не даются. У учащихся должны формироваться наглядные представления об осевой и центральной симметрии, о параллельном переносе, при этом существенное значение имеют построения фигур, на которые отображаются данные фигуры. Изучение симметрии позволяет обосновать отдельные геометрические построения (деление отрезка или угла пополам; построение перпендикуляра к прямой). Конечно, при изучении теоретического материала, относящегося к геометрическим преобразованиям, и при выполнении соответствующих упражнений учащиеся знакомятся и с дедуктивным методом построения геометрии.

При формировании понятий в V классе также применяются индуктивные методы. Большинство геометрических фактов устанавливается в результате обобщения наблюдений, измерений и построений, в том числе и построений с листом бумаги. Например, при изучении осевой симметрии конгруэнтность симметричных фигур обосновывается посредством перегибания листа бумаги.

Первоначальные представления о геометрических преобразова-

ниях у учащихся формируются с помощью построений. И хотя никаких определений преобразованиям не дается, учащиеся знакомятся с рядом их свойств, в частности, убеждаются, что при параллельном переносе, осевой и центральной симметрии всякая фигура преобразуется в конгруэнтную ей фигуру.

Известно, что осознанные знания могут быть получены только в процессе активной и творческой деятельности. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности для формирования этого понятия самими учащимися. Действительно, учащиеся неоднократно наблюдали в жизни симметричные фигуры, многие из них они изготовляли или рисовали в начальной школе и в IV классе (вырезали симметричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла с помощью симметричных инструментов).

Анализируя эти знакомые учащимся примеры, особенно предметы, которые были объектом или орудием труда в школьных мастерских, на уроках общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметричных фигурах. В результате такой подготовительной работы учащиеся самостоятельно формулируют определение точки, симметричной относительно оси. Затем решаются задачи на построение фигур, взаимно симметричных относительно оси:

1. Построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой.

2. Построить отрезок (прямую), симметричный данному отрезку (прямой) относительно данной прямой.

3. Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.

4. Построить окружность, симметричную данной окружности относительно данной прямой, и т. п.

Так как при изучении осевой симметрии часто применяется перегибание листа бумаги по оси симметрии, то некоторые учащиеся воспринимают осевую симметрию как отображение полуплоскости на полуплоскость. Чтобы предотвратить эту ошибку, следует при построении отрезков, треугольников и окружностей, симметричных данным фигурам относительно данной прямой, рассматривать различные положения данных фигур относительно оси симметрии, причем обязательно и случай, когда ось симметрии пересекает данную фигуру.

В дальнейшем, где только возможно, надо использовать понятие и свойства осевой симметрии, в частности при решении некоторых задач на построение с помощью циркуля и линейки, например, деление отрезка пополам, построение перпендикуляра к прямой через точку, не лежащую на данной прямой, и т. п.

Чтобы построить биссектрису угла, которая лежит на прямой, являющейся осью симметрии сторон угла, достаточно на сторонах угла найти две точки, симметричные относительно искомой оси. Таковыми будут точки, лежащие на сторонах угла и находящиеся на

равных расстояниях от его вершины, принадлежащей оси симметрии. Аналогично решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в заданной точке.

Мы уже указывали, что в соответствии с новой программой поворот фигур вокруг точки в V классе не рассматривается, поэтому понятие центральной симметрии можно вводить так же, как это сделано нами для осевой симметрии.

Рассмотрим некоторые особенности изучения темы «Параллельный перенос», наиболее трудной для пятиклассников. Понятие параллельности прямых вводится в IV классе, а в V классе в начале учебного года рассматривается их построение. Причем теперь совпадающие прямые считаются тоже параллельными и параллельность как отношение обладает уже свойствами рефлексивности (а || a), симметричности (если а || b, то и b || а) и транзитивности (если а || b и b || c, то a || с). С другой стороны, при таком определении параллельности прямых формулировки многих утверждений о свойствах параллельного переноса при изучении композиций отображений значительно упрощаются, так как не требуют перечисления отдельных исключений. Например, при формулировке утверждения, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую, не требуется указывать на особенности прямых, имеющих направление параллельного переноса и переходящих сами в себя, так как теперь совпадающие прямые считаются параллельными.

Объяснение лучше всего начинать с физически выполняемого параллельного переноса простейшего многоугольника — треугольника, как это и рекомендуется в учебнике «Математика. 5». Выполнив на доске перемещение треугольника, скользящего одной стороной вдоль линейки, вводим термин «параллельный перенос». Затем каждому ученику дается вырезанный из плотной бумаги (фанеры) треугольник ABC и предлагается в тетрадях самостоятельно осуществить параллельный перенос его вдоль линейки. После этого учитель на доске, а ученики в тетрадях обводят треугольник в исходном и конечном положениях, обозначая их соответственно АBС и A1B1C1 Разъясняется, что треугольник A1B1C1 получен в результате параллельного переноса из треугольника АВС. Очевидно, что и треугольник ABC можно рассматривать как полученный из треугольника A1B1C1 параллельным переносом, только в противоположном направлении.

Соединяя точки А и A1, В и B1, С и C1, устанавливают, что отрезки AA1, BB1, СC1 имеют равную длину и одинаково направлены, причем AA1 || ВB1 || CC1. Таким образом, параллельный перенос — это перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются вдоль параллельных прямых на одно и то же расстояние и в одну и ту же сторону. Раскрыть содержание этого понятия необходимо в процессе выполнения упражнений.

Затем решается такая задача: «Начертить квадрат ABCD со

стороной 2 см и отрезок CK, длина которого 3 см. Выполнить параллельный перенос построенного квадрата на отрезок СK». Здесь уже параллельный перенос фигуры надо выполнять, не прибегая к физическому перемещению ее.

Дальнейшая задача учителя состоит в том, чтобы ознакомить учащихся со свойствами фигур, получающихся в результате выполняемых преобразований. Основываясь на выполненных перемещениях треугольника и квадрата, учащиеся легко устанавливают, что при параллельном переносе, как и при центральной симметрии, любая фигура преобразуется в конгруэнтную ей фигуру. Предлагается построить точки A1 и B1, в которые переходят данные две точки А и В при параллельном переносе на некоторый направленный отрезок CD. Простым измерением учащиеся устанавливают, что отрезок A1B1 конгруэнтен отрезку AB.

Целесообразно предложить учащимся выполнить параллельный перенос окружности определенного радиуса. Ученики должны сообразить, что для этого достаточно построить лишь точку, в которую при параллельном переносе перейдет центр окружности, и данным радиусом построить окружность, которая и будет образом исходной окружности.

Решая задачи, можно показать, что при параллельном переносе, как и при центральной симметрии, прямая переходит в прямую, ей параллельную. Отдельно рассматривается случай, когда прямая совпадает с направлением параллельного переноса. Полезно подчеркнуть, что, в отличие от центральной симметрии, где центр симметрии переходит сам в себя, при параллельном переносе неподвижных точек нет. Здесь же можно ввести понятие расстояния между точками и разъяснить, что при параллельном переносе расстояния между точками сохраняются.

Изучение геометрии в IV—V классах не ограничивается введением понятий и рассмотрением их свойств. Не менее важным является развитие логического мышления учащихся, ознакомление их с дедуктивным методом построения геометрии, а также формирование пространственного воображения.

Уже в IV классе постепенно вводятся дедуктивные умозаключения, хотя в общем изучение геометрического материала носит индуктивный характер. Рассмотрим в качестве примера два урока, на которых изучается сумма величин углов треугольника. На первом уроке можно рассмотреть прямоугольный треугольник, а на втором—сумму величин углов произвольного треугольника.

На первом уроке выделяем такие промежуточные цели:

1. Подвести учащихся к утверждению, что сумма величин углов прямоугольного треугольника равна 180°.

2. Доказать это утверждение.

3. Решить несколько задач узкодидактического назначения на закрепление полученного результата.

Учащимся предлагается начертить в тетрадях прямоугольный треугольник, измерить транспортиром углы и найти сумму величин всех

углов. У большинства получится 180°. Если у некоторых учащихся сумма величин углов будет отличаться от 180° более чем на 5°, то они должны еще раз измерить углы. При анализе полученных результатов высказывается предположение, что каков бы ни был прямоугольный треугольник, сумма величин его углов равна 180°.

Такой прием весьма эффективен и для выработки у учащихся сознания необходимости доказательства. Следует учитывать, что учащимся проще и легче измерять углы с помощью транспортира на чертеже, чем на модели, а на этом уроке главное — не техника измерения углов, а лишь создание так называемой проблемной ситуации (кажется, сумма равна 180°).

Для доказательства на доске вычерчивается прямоугольник, который диагональю разбивается на два прямоугольных треугольника. Учащиеся еще раньше убеждались, что при непосредственном наложении такие треугольники совпадают, т. е. полученные прямоугольные треугольники конгруэнтны. Доказательство не вызывает каких-либо затруднений, и закончить его учащиеся могут самостоятельно.

После доказательства полезно заметить, что какой бы ни был прямоугольный треугольник, всегда можно построить прямоугольник, смежные стороны которого имеют длины, равные длинам катетов данного прямоугольного треугольника. Итак, теперь можно считать установленным, что сумма величин углов произвольного прямоугольного треугольника равна 180°.

Сравнивая полученный результат с данными измерений, определяем погрешности измерений. Замечаем, что не следует измерять прямой угол, он всегда равен 90°. После этого решается задача: «Найти величину острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что величина второго острого угла равна 50°», а затем учащимся предлагается самостоятельно доказать, что сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Теперь уже учащиеся смогут устно решать задачи вида: «Величина одного из углов прямоугольного треугольника равна 30°, 50°, 45°, 32°. Чему равна величина второго острого угла этого треугольника?»

При проведении этого урока надо учесть разъяснение, приведенное в «Книге для учителя»: данное доказательство не является логически строгим, так как без должного обоснования используются утверждения, что существует фигура с четырьмя прямыми углами и что диагональ прямоугольника разбивает его на две конгруэнтные фигуры — прямоугольные треугольники.

На втором уроке доказывается, что сумма величин углов произвольного треугольника тоже равна 180°. Нецелесообразно вновь начинать объяснение с измерения углов. Более эффективен прием обобщения результата, полученного для частного вида треугольников, на произвольные треугольники.

Ситуации, подводящие учеников к необходимости обоснования индуктивно полученного утверждения, желательно создавать и в других случаях, главным образом при решении задач. Подобные приме-

ры приводились в этом параграфе, когда требовалось обосновать такие построения, как деление отрезка на две конгруэнтные части, проведение перпендикуляра к прямой и т. п.

Проблемная ситуация может быть создана и при доказательстве конгруэнтности вертикальных углов в теме «Центральная симметрия», и при изучении отдельных вопросов темы «Осевая симметрия». В этих случаях объяснение целесообразно начинать с постановки соответствующей проблемы, которую учащиеся должны разрешить.

Что касается формирования пространственного воображения, то надо учитывать, что учащиеся IV—V классов еще слабо владеют абстрактными понятиями, их мышление основывается на конкретных примерах, поэтому большое внимание следует уделять наглядности. Здесь имеются в виду не только различные модели, таблицы, но и жизненный опыт учащихся, который используется при изучении почти каждого раздела геометрии, а также чертежи, выполняемые учащимися при изучении объяснительного текста учебника и при решении задач.

Нельзя забывать об изготовлении моделей самими учащимися. Например, к уроку по теме «Конгруэнтные фигуры» учащиеся могут изготовить из фанеры, картона или плотной бумаги наборы равных фигур, позволяющие накладывать их друг на друга. Можно и нужно применять всевозможные наборы и подвижные модели, имеющиеся в школе, кинофрагменты, диафильмы и диапозитивы, как например: «Прямоугольный параллелепипед», «Углы и их виды», «Осевая симметрия на плоскости», «Измерения на местности» и др.1.

Таким образом, обучение геометрии в IV—V классах строится на наглядной основе с преимущественно индуктивным методом изложения материала. В большинстве случаев вводимое понятие раскрывается на конкретных примерах, а также в процессе решения задач, в том числе задач, связанных с построениями и измерениями. Дедуктивные умозаключения появляются постепенно при разъяснении определений, при доказательстве утверждений, при обосновании построений и т. п.

§ 3. Геометрические упражнения в IV—V классах

Большое значение при изучении геометрии имеют упражнения. «Предполагается, что усвоение нового материала будет проходить, главным образом, в процессе активного решения посильных для учащихся задач, в процессе формирования умений и навыков применения знаний, а не в разучивании так называемой теории. Изучение геометрического материала должно проводиться с опорой на развитие творческого мышления учащихся, а не только и не столько

1 Список учебных диафильмов, выпущенных студией «Диафильм», приведен в журнале «Математика в школе». 1973, № 1, с 64—67.

на развитие памяти. Поэтому задачи занимают в учебнике значительно больше места, чем объяснительный текст»1.

В части I сказано о значении задач в курсе математики IV—V классов и дана их классификация в зависимости от обучающих функций. Все это относится и к геометрическим задачам курса математики IV—V классов.

Геометрические задачи иногда классифицируют в зависимости от их содержания, выделяя следующих три класса: задачи вычислительного характера, задачи на построение и задачи на доказательство. Такая классификация слишком условная.

В новых учебниках по математике для IV—V классов значительная часть упражнений с геометрическим содержанием не может быть отнесена ни к одному из указанных классов задач. Такими упражнениями являются всевозможные задания дидактического назначения, помогающие формировать основные геометрические понятия. Выполняя их, учащиеся усваивают видовые и родовые свойства изучаемых понятий и вновь вводимую символику. В предыдущих параграфах приводились примеры подобных заданий: а) укажите точки, принадлежащие или не принадлежащие данной фигуре; б) назовите все лучи, изображенные на рисунке; в) какие из указанных на рисунке углов являются смежными; г) назовите фигуру, являющуюся пересечением данных на рисунке прямой и круга, прямой и окружности и т. п.

Кроме того, в учебниках имеется много упражнений практического характера вида:

1. Измерьте расстояние между данными точками; найдите длину ломаной, измерив все ее отрезки; измерьте углы треугольника.

2. Вырежьте из бумаги прямоугольник, разрежьте его по диагонали и сравните получившиеся прямоугольные треугольники.

3. Вырежьте из плотной бумаги фигуру, изображенную на данном рисунке, перегните ее по штриховым линиям и сделайте модель прямоугольного параллелепипеда.

4. Постройте на клетчатой бумаге квадрат со стороной 5 см и разделите его на квадраты со сторонами 1 см. Заштрихуйте четвертую слева вертикальную полоску и вторую снизу горизонтальную полоску. Какая фигура является: а) пересечением заштрихованных полосок; б) объединением этих полосок?

5. На листе бумаги постройте прямую AB и какую-нибудь фигуру Р. Перегните лист по прямой AВ. Острием циркуля проколите бумагу в нескольких точках фигуры Р. Развернув лист, найдите пары симметричных точек. Обозначьте эти точки.

Подобные задания имеют узкодидактические цели: сделать объяснение нового материала более доступным; проверить, правильно ли поняли учащиеся соответствующее понятие; подготовить в пропедевтическом плане учащихся к изучению нового материала и т. п.

1 А. Д. Семушин. Обучение геометрии в IV классе. «Математика в школе», 1970, № 1, с. 18.

Из приведенных примеров видно, что одно и то же задание может рассматриваться и как практическое, и как задача вычислительного характера, и как задача на построение или на доказательство. Несмотря на это, выделение некоторых типов задач облегчает разработку методики обучения решению задач.

Рассмотрим подробнее наиболее интересные с методической точки зрения упражнения на доказательство и упражнения, требующие выполнения построения.

В предыдущем параграфе было показано, как при изложении теоретического материала, в частности при работе с определениями и при доказательстве отдельных утверждений, учащиеся учатся отдельным дедуктивным умозаключениям. Большие возможности для развития дедуктивного мышления имеются и при решении задач на доказательство.

С первых шагов обучения геометрии в IV классе учащиеся решают задачи, в которых требуется ответить на определенный вопрос, причем не просто ответить, но и обосновать свой ответ. Рассмотрим такие, например, задачи.

1. Отрезки AM и PB конгруэнтны (рис. 26). Будут ли конгруэнтны отрезки АР и MB?

2. Отрезки АР и MB конгруэнтны (рис. 26). Конгруэнтны ли отрезки AM и PB?

3. Углы АОС и BOD на рисунке 27 конгруэнтны. Покажите все пары конгруэнтных углов.

В этих задачах нет явно сформулированного требования: доказать. Однако при их решении вполне естествен дополнительный вопрос: почему? Мало сказать, что отрезки АР и MB конгруэнтны, учитель должен уточнить, а не угадал ли ученик ответ или он его получил путем некоторых рассуждений.

Из-за простоты решения подобных задач мы не останавливаемся на самом решении. Заметим лишь, что если ученик и не может дать логически строгое обоснование, то и в этом случае целесообразна постановка вопроса: почему? Рассмотрим такой пример. Учащимся предлагается начертить прямоугольник ABCD, соединить его вершины А и С отрезком и указать пары конгруэнтных острых углов. Порекомендовав взять одну из смежных сторон втрое больше второй, можно быть уверенным, что абсолютное большинство учащихся правильно укажет требуемые пары острых углов. Здесь уже в прин-

Рис. 26 Рис. 27

ципе ученики не могут логически строго обосновать свое утверждение, ибо имеющийся у них запас геометрических знаний недостаточен. Но многие из них на уточняющий вопрос «А почему именно угол ВСА конгруэнтен углу CAD?» ответят, что, для того чтобы совпали прямоугольные треугольники, на которые диагональ АС разделила прямоугольник, их надо накладывать так, чтобы совпали стороны (AB с CD и AD с BC), а при этом ∠ACB совпадает с ∠DAС. Конгруэнтность треугольников ABC и ACD ученики считают очевидным фактом, ибо они неоднократно разрезали прямоугольник по диагонали и накладывали друг на друга получающиеся прямоугольные треугольники.

Постепенно учащиеся привыкают к необходимости обоснования своих утверждений, для них становятся привычными вопросы: «Почему ты так считаешь? Как это обосновать? Как в этом убедиться? Как это доказать?» В результате уже во втором полугодии им будут понятны, например, такие задания: «На рисунке 27 угол AOD конгруэнтен углу СОВ. Докажите, что угол АОС конгруэнтен углу DOB» или «Докажите, что сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90°».

Конечно, чтобы выполнить задание, недостаточно понимать его формулировку, поэтому лишь хорошо подготовленным ученикам IV класса в конце учебного года можно предложить такую задачу, как № 1358 из учебника «Математика. 4»: «Прямые AB и CD пересекаются в точке О. Докажите, что углы АОС и BOD конгруэнтны» (рис. 28).

Решение этой задачи со всеми учащимися потребует много времени. Придется предварительно решить несколько задач на вычисление величин углов, полученных при пересечении двух прямых, если известна величина угла AOD. Вычисляя углы АОС и BOD, учащиеся не только убеждаются, что эти углы действительно конгруэнтны, но одновременно и подготавливаются к восприятию доказательства:

AOC = BOD, следовательно, ∠АОС конгруэнтен ∠BOD. В V классе значительная часть задач на доказательство формулируется в явном виде, например:

1. Докажите, что прямая, проходящая через вершину равнобедренного треугольника и середину его основания, перпендикулярна его основанию и делит пополам угол при вершине.

2. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.

Рис. 28

Чтобы эти задачи были посильны для всех учащихся класса, необходимо предварительно установить, что осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, проходящая через его вершину и середину основания. Тогда обе сформулированные задачи решаются простой ссылкой на конгруэнтность фигур, симметричных относительно оси.

Приведенные примеры задач показывают, что учащиеся при их решении не только овладевают навыками дедуктивных умозаключений, но и узнают о некоторых новых сведениях из геометрии, которые используются впоследствии при решении других задач. В предыдущем параграфе мы уже приводили пример на применение утверждения о том, что сумма величии острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Аналогично применяются свойства равнобедренного треугольника при решении задач вида:

1. У равнобедренного треугольника АБС (|АВ| = |ВС|) величина одного угла при основании АС равна 50°. Найти величины остальных его углов.

2. Величина одного из углов равнобедренного треугольника равна 100°. Найти величины остальных его углов.

3. С помощью циркуля, линейки и транспортира построить треугольник ABC, у которого |АВ| = |ВС|, |АС| = 5 см и А = 35°.

При решении задач учащиеся овладевают и приемом опровержения неверного утверждения приведением соответствующего примера. В предыдущем параграфе на примере биссектрисы и смежных углов было показано, как этот прием использовался для обоснования, например, того факта, что заданные углы не являются смежными (указывались признаки, которые не выполнялись для той или иной пары углов). Приведем простейшие примеры задач такого типа:

1. У четырехугольников ABCD и EFPQ (рис. 29) все стороны имеют одну и ту же длину. Конгруэнтны ли эти четырехугольники?

2. Конгруэнтны ли фигуры на рисунке 30? Равны ли их площади? При решении последней задачи лишний раз подчеркивается, что если фигуры конгруэнтны, то их площади равны, но обратное утверждение неверно, так как площади могут быть равны, хотя сами фигуры неконгруэнтны.

Одной из важнейших задач обучения геометрии в IV—V классах является выработка у учащихся навыков быстрого и экономного выполнения геометрических построений. Эффективность обучения геометрии существенно зависит от того, как учащиеся выпол-

Рис. 29

Рис. 30

няют требуемые построения. Наличие прочных навыков геометрических построений позволяет все внимание уделять изучению самих геометрических понятий, не отвлекаясь на построение чертежей.

Еще в начальной школе при выполнении простейших построений учащиеся приобретают навыки использования масштабной линейки, циркуля и угольника. Они чертят (в том числе и на нелинованной бумаге) многоугольники, прямоугольники, правильный треугольник и шестиугольник, окружность заданного радиуса.

В IV—V классах расширяется набор инструментов для выполнения построений, повышаются требования к качеству чертежей, к точности построений. Геометрические построения по-прежнему являются одним из наиболее приемлемых видов вводных упражнений при изучении новых понятий, при установлении определенных свойств геометрических фигур. В предыдущих параграфах приводились примеры, показывающие использование построений при изучении теоретического материала. При решении геометрических задач практического или вычислительного характера, задач на доказательство и даже некоторых задач с арифметико-алгебраическим содержанием учащиеся часто для лучшего восприятия условия задачи также прибегают к построению соответствующих рисунков или схем.

В каждом пункте учебников по математике для IV—V классов, содержащем геометрический материал, в объяснительном тексте и в упражнениях встречаются задания: начертите; постройте; перечертите в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке, и т. п. С помощью соответствующих чертежей иллюстрируются всевозможные случаи расположения фигур.

Интересен пример на построение перпендикуляра к прямой. Учащиеся узнают прямые углы, у которых одна сторона горизонтальная, а вторая вертикальная, и с помощью угольника неплохо строят такие перпендикуляры, но не всегда могут найти прямой угол при ином расположении его сторон, как и при построении перпендикуляра к негоризонтальной прямой. Полезно поэтому выполнять такие упражнения:

1. Изобразите с помощью чертежного треугольника четыре прямых угла в разных положениях.

2. Скопируйте рисунок 31 в тетрадь и постройте прямые, проходящие через точку M так, чтобы каждая из них была перпендикулярна к одной из прямых, изображенных на рисунке.

В школьном курсе геометрии существование многих фигур обосновывается построением. Приведем такой пример.

Чтобы учащиеся понимали, что такое прямоугольник, полезно установить, может ли существовать четырехугольник, в котором два угла прямые, а два других — не прямые. Ответ на вопрос лучше и проще всего дать, построив такой четырехугольник. В большинстве случаев четвероклассники строят фигуру, как на рисунке 32, а. Целесообразно показать и возможность другого вида таких четырехугольников, у которых противоположные углы прямые. Для этого

предлагаем построить четырехугольник ABCD, в котором угол А — прямой, угол В — тупой и угол С — прямой (рис. 32, б).

В IV—V классах появляются так называемые основные построения, выделяемые в учебнике отдельными пунктами, а именно: построение треугольников по трем элементам; построение параллельных прямых; построение оси симметрии; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой и построение биссектрисы угла.

Построение треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по стороне и двум прилежащим к ней углам рассматривается в IV классе. При решении этих задач требуется лишь умение выполнять построения. Задача о построении треугольника по трем сторонам отнесена к V классу, поскольку здесь уже мало одного навыка построения. Учащиеся должны найти план решения, а в конце провести исследование, так как не для любых трех сторон можно построить треугольник.

Чтобы разъяснить различные случаи, которые могут встретиться при решении этой задачи, достаточно задавать конкретные числовые данные для длин сторон искомого треугольника, как например:

Несколько труднее подвести учащихся к восприятию способа построения треугольника по трем сторонам. Ведь важно, чтобы каждый учащийся знал не только, «как делать», но и «почему так делать». Если он не поймет, почему сделано то или иное построение, ему придется запоминать буквально все решение. Поэтому нужно приучать учащихся искать решения, находить зависимости между различными элементами рассматриваемого чертежа и делать на основании этого выводы, способствующие нахождению решения, а также научить их данную задачу сводить к другим, рассмотренным ранее. Давать различные варианты решения на первых порах, когда учащиеся еще только начинают изучать основные задачи на построение, нецелесообразно.

При изучении пересечения множеств вначале можно рекомендо-

Рис. 31

Рис. 32

вать решить задачу: «Найти точку, находящуюся от данной точки А на расстоянии а и от данной точки В на расстоянии b, где а и b есть длины данных отрезков», а затем построить треугольник, конгруэнтный данному треугольнику ABC.

После этого переходим к построению треугольника по трем данным сторонам. Решение этой задачи сводится к предыдущей, в которой мы строили треугольник, по существу, по трем сторонам, но здесь уже рассматриваются условия возможности решения. Для построения треугольника необходимо (и достаточно), чтобы наибольшая из данных сторон была меньше суммы двух других сторон.

На решении основных задач на построение, связанных с осевой симметрией, мы уже останавливались в предыдущем параграфе.

В IV—V классах используется наиболее распространенный набор инструментов: линейка, циркуль, угольник и транспортир. Но в отдельных заданиях требуется выполнить построение с ограниченным набором инструментов, например только с помощью циркуля и линейки. Если же в условии не указано, какими инструментами можно пользоваться, то основным критерием при выборе инструментов должна быть простота и быстрота построения.

При решении задач на построение следует всегда уделять внимание выбору наиболее рационального способа построения. Например, требуется построить перпендикуляр к диагонали квадрата через ее середину1. Здесь вообще не нужно искать никаких вспомогательных точек, так как две другие вершины квадрата равноудалены от концов диагонали.

В заключение заметим, что хотя программой и не предусмотрены измерительные работы на местности, геометрический материал IV—V классов, в частности построение треугольников по трем элементам, позволяет провести несколько таких работ, что несомненно повысит интерес к изучаемому материалу.

1 А. Д. Семушин. Обучение геометрии в V классе. «Математика в школе», 1971, № 4, с. 22.

ЛИТЕРАТУРА

Александров А. Д. Математика и диалектика. «Математика в школе», 1972, № 1, 2.

Балк М. Б., Балк Г. В. Математика после уроков. М., 1971.

Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Полевщикова А. М. Методика преподавания математики в начальных классах. М., 1973.

Брунер Дж. Процесс обучения. Пер. с англ. М., 1962.

Виленкин Н. Я. Математика. 4—5 классы. Теоретические основы. М., 1974.

Внеклассная работа по математике в IV—V классах. Под ред. С. И. Шварцбурда. М., 1974.

Вопросы методики обучения математике в IV—V классах. Под ред. Е. И. Ляшенко. Мн., 1973.

Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.

Дубинчук О. С. Методика викладання математики в IV—V класах. Арифметика и початки алгебри. Киів, 1974.

Ермаков И. В. Атеистическое воспитание при обучении арифметике. М., 1964.

Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие. М., 1968.

Клини С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М., 1973.

Колмогоров А. Н. Современная математика в современной школе. «Математика в школе», 1969, № 3.

Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса математики. М., 1974.

Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

Лингарт И. Процесс и структура человеческого учения. М., 1970. Ляшчанка Е. I., Яфімчык А. А. Навучанне матэматыцы ў IV класс Мн., 1971.

Ляшчанка Е. I., Наронская З. П. Дадатныя і адмоўныя лікі ў курсе матэматыкі 5 класа. Мн., 1973.

Методика начального обучения. Под ред. Л. Н. Скаткина. М., 1972.

Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении. «Математика в школе», 1971, № 3.

Пойя Д. Математическое открытие. Пер. с англ. М., 1970.

Проблемы социалистической педагогики. Материалы I научной конференции ученых-педагогов социалистических стран. Ред. коллегия. Председатель А. И. Маркушевич. М., 1973.

Проблемы школьного учебника. Ред. коллегия, вып. 1. М., 1974.

Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.

Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики. Под ред. Е. И. Лященко. Мн., 1975.

Скаткин М. Н. Требования к современному уроку. «Народное образование», 1969, № 7.

Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. М., 1968.

Столяр А. А. Логическое введение в математику. Мн., 1971. Столяр А. А. Педагогика математики. Мн., 1974.

Фридман Л. М. О механизмах решения задач. «Вопросы психологии», 1967, № 2.

Чистяков В. Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Мн., 1969.

Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника. М., 1974.

СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ I

Глава I. Цели обучения математике в IV—V классах . . 3

§ 1. Знания и умения учащихся начальных классов по математике —

§ 2. Цели обучения математике в IV—V классах...... 8

Глава II. Общие вопросы содержания предмета математики IV—V классов .............. 13

§ 1. Некоторые дидактические особенности предмета математики IV—V классов.............. —

§ 2. Методические приемы, систематизирующие содержание предмета математики IV—V классов . ...... 17

Глава III. Система задач и методика работы с ними...... 26

§ 1. Задачи с дидактическими функциями —

§ 2. Задачи с познавательными функциями ...... 35

§ 3. Решение текстовых задач .......... 42

§ 4. Задачи с развивающими функциями ....... 49

Глава IV. Методы обучения математике в IV—V классах .... 54

§ 1. Объяснительно-иллюстративный метод....... 55

§ 2. Частично-поисковый и проблемный методы...... 60

§ 3. Методы введения определений.......... 66

§ 4. Дифференцированный подход в обучении...... 74

§ 5. Воспитание на уроках математики ........ 79

Глава V. Урок математики............. 84

§ 1. Дидактические требования к уроку математики ..... —

§ 2. Уроки математики в IV—V классах........ 90

ЧАСТЬ II

Глава I. Методика обучения учащихся IV—V классов теоретико-множественным понятиям......100

§ 1. Формирование основных теоретико-множественных понятий 101

§ 2. Методика применения основных теоретико-множественных понятий ................ 105

Глава II. Числовые множества и действия над числами . 108

§ 1. Расширение числовых множеств......... —

§ 2. Совместное изучение натуральных и дробных чисел . . 112

§ 3. Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей . . . 116

§ 4. Умножение и деление натуральных чисел...... 120

§ 5. Десятичные дроби.............129

§ 6. Сравнение десятичных дробей....... 132

§ 7. Сложение и вычитание десятичных дробей...... 134

§ 8. Умножение и деление десятичных дробей...... 136

§ 9. Понятие о проценте............ 141

§ 10. Введение отрицательных чисел ......... 145

§ 11. Сравнение чисел . . ,.......... 147

§ 12. Сложение и вычитание........... 148

§ 13. Умножение и деление . .......... 151

§ 14. Делимость чисел............. 153

§ 15. Рациональные числа............ 155

§ 16. Умножение и деление рациональных чисел...... 157

§ 17. Сложение и вычитание рациональных чисел...... 161

Глава III. Уравнения и неравенства.......... 169

§ 1. Понятия уравнения и неравенства......... —

§ 2. Методика обучения уравнениям и неравенствам . . . 176

Глава IV. Тождественные преобразования выражений..... 187

§ 1. Понятие о тождественных преобразованиях...... —

§ 2. Тождественные преобразования выражений в IV классе ... 190

§ 3. Тождественные преобразования выражений в V классе . . . 193

Глава V. Геометрический материал в курсе математики IV—V классов 197

§ 1. Геометрия — составная часть курса математики IV—V классов —

§ 2. Методика изучения геометрических понятий...... 200

§ 3. Геометрические упражнения в IV—V классах . . . 211

Литература ....... 219

Евдокия Ивановна Лященко, Алексей Архипович Мазаник

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В IV—V КЛАССАХ

Редактор Л. Э. Горянина. Обложка художника А. Г. Звонарева. Художественный редактор Г. И. Красинский. Технический редактор Л. Я. Сопот. Корректоры: З. И. Гришели, З. А. Заянчковская.

Сдано в набор 29/XII 1975 г. Подписано в печать 22/VII 1976 г. Формат 60×901/16. Бум. тип. № 2. Усл. печ. л. 14,0. Уч.-изд. л. 12,44. Тираж 60 000 экз. Заказ 2912. Цена 47 коп.

Издательство «Народная асвета» Государственного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Минск, Ленинский проспект, 85.

Полиграфкомбинат им. Я. Коласа Государственного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Минск, Красная, 23.

Лященко Е. И. и Мазаник А. А.

Л99 Методика обучения математике в IV—V классах. Мн., «Нар. асвета», 1976. 222 с. с ил.

В книге разработаны общие вопросы обучения математике и методика изучения основных понятий в IV—V классах.

В первой части дан анализ идейных подходов в трактовке таких основных понятий, как множество, переменная, высказывание, уравнение и др.; показаны основные методические приемы изучения числовых множеств и действий над числами; раскрыты функции задач в различные периоды формирования понятия; дан анализ методов обучения; показаны особенности современного урока математики и приведены возможные типы уроков в IV—V классах.

Во второй части изложена методика изучения основных понятий: множества, числовых множеств и действий над числами, уравнений, тождественных преобразований выражений и геометрического материала.

Часть I и главы I и III части II написаны Е. И. Лященко, главы II, IV и V части II написаны А. А. Мазаником.

Книга адресована учителям математики, а также может быть использована студентами педагогических институтов.

51(07)