Л. М. ЛОПОВОК

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ

Л. М. ЛОПОВОК

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ

Пособие для учителя

КИЕВ «РАДЯНСЬКА ШКОЛА» 1990

ББК 74.262 Л77

Рекомендовано Главным учебно-методическим управлением общего среднего образования Министерства народного образования УССР

Рецензенты: учителя математики средней школы № 24 г. Луганска Л. Н. Чепига, Л. А. Бондарева.

Редактор В. Н. Кириченко

Лоповок Л. М.

Л77 Факультативные задания по геометрии для 7—11 классов: Пособие для учителя.— К.: Рад. шк., 1990.— 128 с. ISBN 5-330-01206-6.

В книге дана система факультативных заданий для школьников по геометрии. Излагается методика работы учителя при постановке факультативных заданий, организации проверки и оценки работ учащихся. В соответствии с программой приводится 1118 упражнений, обеспечивающих все темы и подтемы курса геометрии. Задания содержат упражнения всех видов и различной сложности, что позволяет выбирать те из них, которые наиболее соответствуют условиям обучения. К предложенным задачам даны указания, в ряде случаев отмечены возможности решения не единственным путем.

Рисунки к задачам выполнены в цвете.

Для учителей математики общеобразовательной средней школы.

Учебно-методическое пособие

ЛОПОВОК ЛЕВ МИХАИЛОВИЧ

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7—11 КЛАССОВ

Пособие для учителя

Заведующий редакцией математики и физики Н. Е. Зубченко. Художник обложки А. В. Пермяков. Художественный редактор Е. Н. Волковинская. Технический редактор Л. Б. Ланцман. Корректоры Т. А. Соколова, Л. С. Бобырь.

ИБ № 7145

Сдано в фотонабор 21.02.89. Подписано в печать 09.10.89. Формат 60X90'/i6. Бумага типогр. № 2. Гарнитура школьная. Печать высокая. Усл. печ. л. 8 + 2,0 вкл. Усл. кр.-отт. 16,50. Уч.-изд. л. 8,6 -f 2,13 вкл. Тираж 80 000 экз. Изд. № 32965. Заказ 9-126. Цена 60 к.

Издательство «Радянська школа». 252053, Киев, Ю. Коцюбинского, 5.

Харьковская книжная фабрика им. М. В. Фрунзе. 310057, Харьков, Донец-Захаржевского, 6/8.

ISBN 5-330-01206-6

© Л. М. Лоповок, 1990

ВВЕДЕНИЕ

В практику советской школы прочно вошли факультативные занятия. Они организуются для школьников, желающих углубить свои знания по отдельным предметам, и включаются в общее расписание (в 8—9-х классах по 2 часа в неделю, в 10—11-х классах по 4 часа в неделю). Руководят факультативными занятиями квалифицированные учителя; иногда школа для этих целей приглашает преподавателей других учебных заведений или иных специалистов. Разработаны программы факультативных курсов; изданы пособия для учителей и учащихся. В программах примерно половина времени отводится на изучение обязательных тем, другие темы (2—3) учитель выбирает из числа предложенных программой.

Участие в факультативных занятиях добровольное; проводятся занятия при достаточном наполнении учебных групп, в стабильном составе.

При комплектовании групп для факультативных занятий встречаются определенные трудности. Чтобы учащиеся сознательно выбрали факультатив и принимали полноценное участие в занятиях, нужно в процессе обучения сформировать у них достаточно постоянный интерес к учебному предмету. Факультативные занятия в школе проходят успешно только в том случае, если им предшествовала значительная подготовка, одним из видов которой может быть внеклассная работа, направленная на повышение интереса к определенной науке и к ее изучению. Эффективны также индивидуальные занятия с теми учащимися, которым необходимы дополнительные задания для развития их способностей и удовлетворения сложившихся у них интересов. Важная форма работы учителей математики — система факультативных заданий. Эпизодически такие задания применяют многие учителя, но именно эта эпизодичность (а не систематическое применение) и не дает возможности использовать все преимущества такой формы работы.

Под факультативными заданиями понимают дополнительные задачи, которые предлагают учащимся наряду с обязательными заданиями. При этом учитель не указывает, кому следует решать эти задачи. Их решают все, кто пожелает, независимо от успеваемости по данному предмету. В этом основное отличие факультативных заданий от индивидуальных: индивидуальные задания учитель дает отдельным ученикам вместо заданий, которые должны выполнить остальные ученики. Таким образом, факультативные задания дают возможность использовать

и спорадический интерес, возникший у того или иного школьника. Работа над факультативным заданием может остаться отдельным эпизодом, но может и содействовать усилению внимания к математике, формированию устойчивого интереса.

В связи с некоторой неопределенностью (безадресностью) факультативных заданий учитель должен разъяснить школьникам, как он будет предлагать такие задачи, как проверять правильность решения, оценивать работу. Нужно рассказать, какую пользу может принести решение этих задач. Можно порекомендовать некоторым школьникам уделить внимание такой работе, однако делать это нужно без нажима, тем более не следует ставить участие в решении факультативных задач обязательным условием для получения высоких оценок по предмету.

Составляя факультативные задания, учитель должен стремиться к тому, чтобы их выполнение учениками содействовало осуществлению таких целей:

1) формирование интереса учащихся к определенному учебному предмету;

2) развитие интереса учащихся к занятиям определенной наукой;

3) расширение кругозора учащихся.

Факультативное задание привлекает внимание учащихся к определенному вопросу программы или к теме (а то и к предмету в целом). Удачно составленное задание может сыграть значительную роль в появлении и закреплении интереса к науке, стать началом систематических занятий ею.

Способности к занятиям определенной наукой редко выступают как природные, заложенные от рождения, хотя некоторые случаи говорят как будто в пользу такой возможности. Известны, например, семейства (Бернулли, Карно, Торричелли), в которых на протяжении нескольких поколений вырастали люди, добивавшиеся замечательных успехов в развитии физико-математических наук. Но и эти факты не дают оснований говорить о врожденных способностях к математике.

Как правило, способности к математике проявляются в процессе обучения. Успехи дошкольников в счете, решении задач на смекалку зависят в значительной степени от влияния окружающих, заботы родителей или других взрослых о развитии памяти и мышления ребенка. Если в дальнейшем не будет проявлена должная забота о развитии ребенка в этом направлении, его задатки к изучению математики не дадут сколько-нибудь ощутимых результатов.

Учителя отмечают проявление этих задатков школьника на уроках: ученик быстро усваивает новое, удачно сопоставляет факты при решении предложенных задач, его интерес к математике проявляется в готовности, не жалея своего времени,

решать задачи (в том числе и повышенной трудности), читать книги, брошюры, статьи, в которых излагается материал, выходящий за рамки учебника. Если создаются условия для такой работы, развитие школьника идет достаточно быстро. Иногда готовность школьника заниматься заинтересовавшим его предметом сочетается с элементами эксперимента, конструирования приборов, изготовления моделей и т. п. Самостоятельные открытия весьма редки, чаще ученик находит уже известные теоремы или формулы, хотя, возможно, установленные другим путем. Расширение кругозора учащихся, обогащение их приемами и методами продуктивной деятельности важно и с точки зрения умственного развития, и как предпосылка для достижения первых целей.

Объясним это на примере. При изучении теоремы Фалеса учащиеся узнают, как с помощью линейки и циркуля разделить данный отрезок на любое натуральное число п (не только вида 2к) частей. Чтобы школьники прочнее усвоили способ работы, ход рассуждений, можно предложить решить такие задачи на вычисление:

1. Точка M делит медиану АО треугольника ABC так, что МО = 2 AM. В каком отношении прямая ВМ делит сторону АС этого треугольника?

2. На стороне АС треугольника ABC взята такая точка М, что MC = 2 AM, а на отрезке ВМ взята такая точка О, что МО = 2 ВО. В каком отношении прямая АО делит отрезок ВС?

Нередко используют задачи на доказательство, например:

3. Точки M и N — середины сторон ВС и AD параллелограмма ABCD. Доказать, что прямые AM и CN делят диагональ BD на три равные части.

Можно предложить также задачу на построение:

4. На прямой 1\ взяты такие точки А, Б, С, что AB = ВС. Провести через эти точки три параллельные прямые так, чтобы они отсекали на данной прямой h отрезки длиной а.

Указание. Если провести через точку С прямую l2 II h и отметить на ней такие точки A1 и B1, чтобы СB1 = B1A1 = а, то прямые АA1, ВB1 и CD \\ ВB1 — искомые (рис. 1).

В качестве факультативных задач по данной теме можно предложить желающим задачи такого содержания:

1. Точки А, Б, С не лежат на одной прямой. Провести через эти точки три параллельные прямые, чтобы они отсекали на данной прямой равные отрезки.

2. На прямой Zi отмечены такие точки А, В, С, что AB Ф ВС. Провести через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекали на данной прямой h отрезки с данной разностью длин.

3. Решить задачу 2 для случая, когда точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Легко заметить, что при решении этих задач нужно использовать прием решения задачи 4 из решенных на уроке.

Однако факультативные задачи раскрывают возможности применения изученного приема в новых условиях, то есть в известной мере обобщают его.

В педагогике неоднократно подчеркивалось, что для эффективного обучения и развития школьников их работа должна быть победной. Достижение цели, успех в работе над предложенной учебной задачей укрепляют желание продолжать работу, формируют веру в себя, уверенность в своих силах и возможностях. Это следует учитывать при подготовке факультативных заданий.

Как известно, к математическим задачам предъявляется требование корректности условия: задача должна быть разрешимой, ее условие не должно быть противоречивым. Может показаться, что это условие нарушается в некоторых задачах на решение уравнений. Рассмотрим, например, уравнение:

Последнее слагаемое левой части свидетельствует, что X Ф 0. Далее замечаем, что сумма двух последних слагаемых по модулю не менее 1. Поэтому при любом действительном X > 0 равенство не может иметь места. Легко убедиться, что оно невозможно и при х < 0. Однако отсутствие действительного корня уравнения не свидетельствует о некорректности задачи. Отсутствие значений на рассматриваемом множестве тоже является ответом на поставленный вопрос. Труднее с задачами типа: «Боковая поверхность треугольной пирамиды равна S, а каждое из боковых ребер равно Z. Найти плоские углы при вершине, зная, что они образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной

Внешне задача кажется приемлемой, в книге к ней приведен ответ. Однако условие ее некорректно, потому что такой пирамиды не существует.

В самом деле, пусть плоские углы при вершине пирамиды х,

По свойству трехгранного угла

В таком случае сумма плоских углов при вершине пирамиды больше 2л, что невозможно.

В задачниках встречаются формулировки задач, которые допускают не единственный вариант трактовки ее условия. Например, условие задачи «Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найти величины углов ромба» со-

1 Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы/Под ред. М. И. Сканави.— М.: Высш. шк., 1978.— Задача 12.357.

держит некоторую неполноту. В условии не сказано, из вершины какого угла (тупого или острого) проведены высоты, с какой диагональю ромба (большей или меньшей) сравнивается расстояние между основаниями высот. Но такая неполнота не случайна, она внесена в условие умышленно: формулировка вынуждает рассматривать не одну, а несколько конфигураций, причем ходы решений различны. Следовательно, речь идет не о недостатке условия, а о включении в решение задачи элементов исследования.

Учителю следует помнить и о таком требовании, как посильность задачи: она должна быть рассчитана на те знания и умения, которыми обладают учащиеся.

При составлении факультативных заданий, кроме вышеперечисленных, необходимо учитывать и другие требования, вытекающие из специфики рассматриваемой формы работы.

Прежде всего, предлагаемые задачи должны содержать элементы необычности, оригинальности. Стандартные формулировки и ситуации не привлекут внимания учащихся, не вызовут желания решать дополнительные задачи.

Приведем примеры таких задач для семиклассников.

1. Из города M по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт Б, а велосипедист — в пункт А у при этом Л MAB — прямоугольный. Еще через 30 мин путешественники оказались в таких пунктах С и D, что Д MCD — равносторонний. Через сколько часов они окажутся в таких пунктах Р и Г, что Л МРТ будет прямоугольным (рис. 2)?

Решение. Здесь данные достаточно замаскированы, и это повышает интерес к задаче. Информация о треугольнике MCD указывает на то, что Z. M = 60°. После этого возвращаются к первой информации (о треугольнике MAB). Поскольку один из его углов 60°, можно использовать теорему о катете, лежащем против угла в 30°. Если обозначить MB = х, то MA = 2х. Это позволяет установить, что скорость мотоциклиста равна Зх км/ч. Следовательно, BD = l,5x, a MC = MD = 2,5л\ Таким образом, за 30 мин велосипедист проехал АС = 2,5# — 2х = = 0,5л:, то есть скорость велосипедиста равна х км/ч. Пусть велосипедист и мотоциклист прибудут в пункты Р и Т через у часов. Поскольку в треугольнике МРТ один из углов 30°, нетрудно составить уравнение:

Отсюда у = 2,5 (часа).

2. Вершины треугольника ABC находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. В треугольнике построены высоты AM и CD, затем, опущен перпендикуляр DE на АС. Доказать, что АЕ = СМ.

В этой задаче интерес вызывает неожиданная связь геометрических объектов с циферблатом часов. Если не обращать внимания на оригинальность условия, а следить только за его корректностью и посильностью задачи, то количество учеников, которые заинтересуются задачей и захотят ее решать, может значительно уменьшиться и задание не принесет пользы.

Немаловажным требованием является негромоздкость условия и возможность разных решений. Факультативная задача требует от решающего несколько больших усилий, чем обычная, однако это достигается не простым увеличением объема работы, не усложнением решения за счет введения в условие менее удобных числовых данных или нагромождения дополнительных условий (преобразований, построений, замены параметра условием дополнительной задачи и т. п.). В таких случаях информация условия задачи должна быть менее видна, метод решения не бросается в глаза.

При решении таких задач используют не одну теорему (формулу), а несколько, причем используемые теоремы или приемы математической деятельности нередко относятся к различным разделам программы (а то и к различным классам).

Составляя или подбирая задачи для факультативных заданий, нельзя забывать о развивающей функции задач в обучении математике. Ю. М. Колягин понимает под этим «такие их функции, которые направлены на развитие мышления учащихся, на формирование качеств, присущих научному мышлению, на овладение приемами эффективной умственной деятельности»1. Постановка факультативных заданий вносит свой вклад в достижение и этой цели.

Составляя факультативные задания, учитель не может не учитывать роли задач в формировании ряда важных качеств личности. В процессе решения задач учащиеся приучаются к последовательности в работе, настойчивости в достижении поставленной цели, у них воспитывается трудолюбие, вырабатывается привычка работать, не жалея сил и времени. Повышенная сложность решения требует усиления контроля не только за правильностью работы, но и за рациональностью намеченного плана.

Все это в конечном счете формирует и критическое отношение к своей работе — чрезвычайно важное качество для любого работника. Человек, который не замечает промахов в своей работе, не видит своих недостатков, едва ли способен быстро исправлять допущенные ошибки.

Рассмотрение возможных путей решения задачи с точки зрения ее сложности, предстоящих затрат сил и времени готовит к реальной работе в будущем. Ведь на производстве

1 Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся.— М.: Просвещение, 1977.— С. 107.

придется не просто выполнять задание, но стараться выполнить его с возможно меньшими затратами сил, средств, материалов, за возможно короткое время.

Поиски путей решения нестандартной задачи способствуют выработке таких качеств, как инициативность, самостоятельность, то есть помогают готовить из сегодняшнего школьника творческого работника.

Таким образом, организация системы факультативных заданий имеет не только педагогическую и методическую, но и явно выраженную общественную значимость.

Опыт показывает, что факультативные задания по математике могут быть предложены на большинстве уроков. При этом сама постановка заданий осуществляется в одной из двух описанных ниже форм.

При постановке задания по ходу урока речь идет о продолжении работы, которая велась на уроке. Чаще всего это предложение поискать доказательство теоремы (формулы), отличное от выполненного на уроке. Большинство теорем допускает не единственное доказательство. Для теоремы Пифагора их известно 370, для теоремы о сумме углов треугольника — около 80, для теоремы о средней линии трапеции — около 20. Не все возможные доказательства соответствуют школьной программе, не все представляют интерес в конкретных условиях преподавания. Однако их рассмотрение целесообразно, так как оно либо обогащает учащихся полезным подходом к проблеме (приемом работы), либо позволяет повторить материал, знание которого важно для дальнейшей работы. Например, при рассмотрении теоремы о площади треугольника в пособии А. В. Погорелова используется дополнение треугольника до параллелограмма. Однако допустим анализ и других конфигураций. Можно провести высоту к основанию и дополнить фигуру до прямоугольника. Можно построить среднюю линию треугольника и дополнять полученную трапецию до параллелограмма или до прямоугольника. Можно через вершину В и середину стороны ВС провести прямые, соответственно параллельные АС и AB и т. п. Все такие доказательства мало отличаются одно от другого по сложности, но в них используются различные свойства фигур или разные соотношения.

Постановку задания в такой форме можно сопровождать показом готовых чертежей.

Вместо предложения поискать другое доказательство можно поставить вопрос о развитии установленного положения, например предложить рассмотреть частные случаи, установить следствия и т. п. В таком виде задания оказываются менее определенными (и потому более сложными), однако и они могут приносить пользу.

Аналогичное задание может быть поставлено и в связи с решением некоторой задачи. Например, рассматривают задачу: «Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырех-

угольника ABCD пересекаются под прямым углом. Доказать, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон ВС и AD».

Для ответа на вопрос задачи достаточно использовать теорему Пифагора. В развитие задачи предлагается вопрос: «Элементы выпуклого четырехугольника ABCD связаны соотношением АС2 + BD2 = ВС2 + AB2. Перпендикулярны ли прямые AB и CD?»

На уроке учитель не всегда имеет возможность рассматривать множество возможных решений задачи. Да и учащиеся не всегда склонны искать различные решения, часто они довольствуются единственным найденным. Но иногда учащиеся предлагают на уроке варианты решения, отличные от записанного на доске. Порой эти варианты отличаются от основного несущественными деталями, иногда же содержат совершенно новый путь. Если есть возможность, учитель останавливается на этих предложениях школьников, показывая (полностью или частично) найденные решения с краткими комментариями. Однако во многих случаях приходится ограничиваться одним подходом к задаче, который записывается на доске и в тетрадях школьников. В таких случаях учитель может заметить, что задача имеет не одно решение, и предложить желающим поискать другие решения.

В нашей практике такая ситуация сложилась при решении задачи: «Внутри квадрата ABCD поставили такую точку М, что MA = 1, MB = 5, MC = 7. Найти площадь квадрата». На уроке задачу решали с помощью прямоугольных координат. Приняв за оси координат прямые AD и AB, обозначили сторону квадрата а, координаты точки М(х; у). С учетом формулы расстояния между двумя точками составили систему уравнений: X2 + у2 = 1, X2 + (у — а)2 = 25, (х — а)2 + у2 = 49. После несложных преобразований обнаружили, что х = у. Отсюда следовало, что точка M лежит на диагонали квадрата. Следовательно, АС = 1 + 7 = 8, а искомая площадь 32.

Другого пути решения никто не предлагал. Учитель посоветовал ученикам дома поискать возможности иного решения задачи. Через несколько дней один ученик предложил другой подход. Опираясь на результат, полученный при решении в классе задачи: «Если ABCD — прямоугольник, то для любой точки M : MA2 + MC2 = MB2 + MD2», он сразу обнаружил, что MD = 5 = MB, то есть точка M равно удалена от вершин В и D квадрата, поэтому лежит на прямой АС. А на занятии кружка с помощью учителя учащиеся убедились, что можно было применить теорему косинусов; к цели ведет и поворот квадрата вокруг вершины В на 90°.

Конечно, бывают случаи, когда находят и большее число решений.

При первой форме постановки факультативного задания по ходу урока термин факультативное задание не произносится,

желающие отмечают в тетрадях (не в дневниках!): поискать другое решение.

При второй форме постановки факультативное задание дается в конце урока. После того как записано домашнее задание для всех, учитель говорит, что для желающих, кроме того, предлагаются и другие задачи. Обычно в качестве факультативных предлагают одну-две задачи. Некоторые учителя математики считают возможным предлагать факультативные задачи не на каждом уроке, но зато большими порциями. Как правило, они вывешивают в математическом кабинете список факультативных задач по небольшой теме или подтеме, рассчитанной на несколько уроков. Желающие на перемене или после уроков записывают условия этих задач, учитель напоминает, что к следующему уроку целесообразно решить из списка факультативных задач такие-то. Наиболее эффективен такой подход в старших классах.

Если у учителя возникает необходимость дать некоторые указания к решению задач из домашнего задания, обратить внимание учащихся на особенности условия или рассматриваемой конфигурации, показать таблицу (схемы, иллюстрации), то он это делает на уроке. В случае факультативных заданий обстановка несколько иная. Дать некоторые пояснения по поводу предлагаемых задач полезно, чтобы привлечь внимание учащихся к заданию, это может привести к увеличению числа желающих решать такие задачи. Но учитывая, что большинство учащихся на постановку таких задач внимания не обратит, в целях экономии времени рекомендуем значительную часть указаний и разъяснений по поводу факультативных задач давать вне рамок урока (на перемене или после урока, индивидуально).

Какую часть работы и в каких условиях проводить на уроке, решает учитель на основе информации о классе, числе учащихся, включившихся в работу над факультативными заданиями, и особенностей предлагаемых задач. Вывешивать в кабинете условия факультативных заданий и рисунки к ним полезно потому, что ими могут воспользоваться позже те учащиеся, которые по каким-либо причинам не сделали этого раньше. Учащиеся получают возможность сверить запись условия, сделанную на уроке, уточнить рисунок и т. д.

Вопрос о сроках выполнения факультативных заданий решается неоднозначно. Обычно факультативные задачи предлагается решить к следующему уроку или в течение ближайшей недели, Затягивание сроков в большинстве случаев не имеет смысла, так как изменяется тема занятий и работа над факультативными задачами будет отвлекать от изучения текущего материала. Впрочем, если ученик приносил найденное им решение факультативной задачи позднее, мы относились к нему внимательно и одобрительно, тем самым стимулируя настойчивость в решении задания. Что касается доказательства теорем

или формул, решения трудных задач, то срок можно вообще не устанавливать. В нашей практике был случай, когда семиклассники пытались решить задачу на разрезание квадрата на остроугольные треугольники. Поиски затянулись, было предложено немало решений, но сами учащиеся находили ошибки, допущенные товарищами. Первое правильное решение было найдено только через две недели. Ученик разрезал пластинку на 24 части. Сам факт нахождения решения подействовал вдохновляюще на других, и в последующие три дня поступили другие решения, причем с меньшим числом частей.

Проверка решения факультативных задач осуществляется по-разному.

В большинстве случаев учащиеся показывают решение факультативного задания перед уроком. Учитель знакомится с решением и, беседуя с учеником, устанавливает степень самостоятельности решения, глубину овладения использованным приемом, заключает, следует ли демонстрировать предложенное решение всему классу и когда это делать — на данном уроке или несколько позже.

Если учащиеся принесли несколько различных решений, представляющих определенный интерес, а выделить время на их анализ трудно, решения рассматриваются во внеурочное время. При этом присутствуют не все учащиеся класса, однако о предложенных решениях узнают от товарищей и другие школьники.

Иногда предложенные учащимися доказательства теорем (формул) могут быть рассмотрены на занятиях математического кружка.

Решения факультативных задач учащиеся могут выполнять в обычной рабочей тетради или (по желанию школьника) в специальной тетради. После проверки учитель оценивает работу соответствующим образом, но благожелательно, помня, что поощрение за работу над факультативными заданиями является важным стимулирующим фактором в обучении.

Опыт показывает, что не все факультативные задачи оказываются решенными. Учитель должен выяснить, почему задачу не решили. В одних случаях школьники просто не брались за решение этих задач, в других — подготовка учеников оказалась недостаточной. Как поступать в таких случаях, учитель решает, исходя из конкретных условий.

Можно некоторые задачи дать как индивидуальные задания, чтобы не возникло мнение, что было предложено непосильное задание. Иногда (по тем же соображениям) задачу из факультативного задания можно рассмотреть на уроке, при этом важно продумать, кого из учащихся вызвать решать задачу у доски.

Возможно, часть задач в следующем учебном году предлагать не следует (как слишком трудные или недостаточно интересные для учащихся).

Задачи для факультативных заданий учитель подбирает,

учитывая уровень знаний и умений учащихся класса, их отношение к изучению математики, а также перечисленные выше факторы. Единого перечня таких задач, пригодного для любых школ и классов, не может быть. Однако определенный ориентировочный набор таких задач может помочь учителю.

Из сказанного выше ясно, что факультативные задания следует давать учащимся регулярно, иначе они не получат системы важных указаний, не привыкнут к детальному изучению условия, не приучатся спокойно подбирать «ключи» к задаче с учетом ее особенностей.

Каждый учитель математики непрерывно подбирает задачный материал. С этой целью приходится просматривать дополнительные задачники, специальные журналы, в том числе зарубежные.

Чтобы облегчить работу учителей, мы предлагаем набор задач по геометрии для факультативных заданий в 7—11-х классах. Набор соответствует программе и согласован с ней. Для облегчения их использования задачи даны по подтемам. Общее число задач больше, чем требуется учителю для работы в конкретном классе, чтобы была возможность выбора задач, наиболее соответствующих конкретным условиям.

В пособии приведены решения задач, которые в большинстве случаев не содержат полной записи вычислений и преобразований, основное внимание обращается на методическую сторону: как подвести учащихся к идее решения, каков общий ход работы. Однако часть задач снабжена достаточно полным решением и обоснованием. В ряде случаев сообщается, что имеется не одно решение задачи, и даются указания к этим решениям.

В методических рекомендациях содержатся справки о задачном и теоретическом материале, на который опирается решение данной задачи, указываются возможности рассмотрения некоторых задач позже — при изучении других тем школьного курса. Замечания о группах задач даны с целью обобщения используемых методов решения математических задач.

Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более широкому использованию на уроках математики факультативных заданий с целью повышения эффективности обучения и развития школьников.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Настоящие рекомендации должны облегчить учителям использование приведенного далее задачного материала.

Седьмой класс

Цель решения задач 1—3 — развитие пространственных представлений учащихся. Учащимся приходится глубже вникать в условие, рассматривать не единственный вариант решения. Это имеет большое значение в математическом развитии школьников.

Задачи 4—5 подчеркивают роль циркуля как измерителя отрезков, а не только инструмента для построения окружности. При работе с циркулем-измерителем возможны разные варианты.

В задачах 6—8 решение упрощается путем составления уравнений.

Задача 9 приводит учащихся к открытию факта: сумма нечетного числа последовательных натуральных чисел равна произведению среднего числа на количество слагаемых.

Задача 10 опирается на понятия, рассмотренные в задачах 1—9, но требует более сложного поиска.

Задачи 11—13 напоминают, что угловая скорость минутной стрелки в 12 раз больше угловой скорости часовой стрелки (сам термин не употребляется). В задачах чаще встречается вопрос, сколько раз в сутки эти стрелки совпадают. Здесь же предлагается менее известный вариант.

Задачи 14—15 по идее решения связаны с задачами 4—5, но используют понятие развернутого угла.

Задачи 16—18 требуют усиленного внимания.

В задачах 20—21 закрепляется понятие развернутого угла и полуплоскости.

Среди задач о смежных и вертикальных углах особое место занимает № 28. Это проблемное задание, для решения которого требуется творческий подход.

При решении задач 30—31 рассматривают не единственную конфигурацию. Задача 30 — пример того, когда об истинности или ложности обратной теоремы без доказательства судить нельзя.

В задаче 34, как обычно, не доказывается факт пересечения серединного перпендикуляра с CD. Дело в том, что в школьных учебниках аксиома Паша отсутствует, а ее изложение в пособии А. В. Погорелова в качестве теоремы 1.2 не воспринимается семиклассниками с должным пониманием.

Большинство задач 33—42 требует неоднократного использования признаков равенства треугольников. Задачи 39—40 продолжают идеи упражнений 14—15, ко шаблон треугольника существенно расширяет возможности решающего. При решении задачи 42 обращают внимание на возможности деления угла пополам без помощи транспортира.

Задачи 43—50 приучают к использованию свойств равнобедренного треугольника. Этот прием будет неоднократно встречаться в дальнейшем. Задача 45 решается приведением к абсурду. Ее можно рассмотреть и позднее — после решения задачи 54 (тогда решение упростится).

При решении задачи 55 обычно рассматривают остроугольный треугольник. Следует обратить внимание на особенности рассуждения в случае тупоугольного треугольника. Без этого школьники не понимают, зачем в условии задачи 57 стоит слово «остроугольный».

Задача 58 имеет принципиальное значение, ее результат расширяет математический кругозор учащихся.

По традиции в школьном курсе выполняют построения с помощью циркуля и линейки. Поскольку в технике используют и другие инструменты, среди предлагаемых упражнений есть упражнения, требующие использования шаблона прямого или острого угла, линейки с параллельными краями. Для их решения нужна изобретательность, они приучают к работе в незнакомой ситуации. Особенно важны здесь задачи 63, 64, 82—86.

Задача 70 имеет явно выраженную дидактическую направленность, она готовит учащихся к построениям на ограниченной части плоскости. Задача 74 — поисковая. После изучения вписанных углов к ней можно вернуться и показать другое решение.

При решении задач о сумме углов треугольника учащимся сообщают ориентир: если в рассматриваемой конфигурации можно выделить угол в 60°, целесообразно построить равносторонний треугольник. Иллюстрируется ориентир на задачах 102—104, 118. Поскольку задачу можно решать и иначе, в указаниях даны примеры других решений (хоть и более сложные).

При решении задач о прямоугольном треугольнике часто используют свойства медианы, проведенной к гипотенузе, и катета, лежащего против угла в 30°. Без этого, например, задачу 106 учащиеся не решат.

В задачах 109—112 приходится строить дополнительные линии. Этот прием употребляется часто, усвоение его учащими-

ся весьма важно. В задаче 112 показан возможный путь ознакомления с неравенством треугольника еще в седьмом классе.

В задаче 115 речь идет о двух отрезках, которые не являются сторонами одного треугольника. Чтобы сравнить их длины, находят третий отрезок, связанный с двумя данными. В данном случае проводят медиану к гипотенузе. При решении задачи 117 обращают внимание на информацию о треугольнике MCD, из нее следует, что Z. M — 60°. Необходимо учитывать также, что велосипедист и мотоциклист выехали из M не одновременно.

Задача 123 дает формулу, которая будет использоваться в дальнейшем.

Решая задачи о вписанных углах, обращают внимание на то, что центр описанной окружности не всегда находится внутри треугольника. Поучительны в этом смысле задачи 138—140. Задача 141 напоминает о теореме, которую знал еще Фалес: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Задачу 142 можно рассмотреть и позднее — после изучения свойства средней линии. Действительно, если даны гипотенуза AB и медиана CD, то расстояние от точки D до точки M g AB, взятой так, что AM : AB =1:3, равно

Задачи 147—148 можно обобщить: если высота AD и медиана АО треугольника ABC таковы, что Z. BAD и Z. CAO равны, то треугольник равнобедренный или прямоугольный.

Восьмой класс

Цель решения задачи 4 — повторить свойства серединного перпендикуляра отрезка (материал 7-го класса). Задача 6 настраивает учащихся на попытку самостоятельных формулировок, но с обязательной проверкой качества высказывания. При решении задачи 8 важно поискать путь, приводящий к возможно меньшему числу вычислений: Z. MBD = х, A BDM = х, A DMC = 2х, A MCD — 2х9 Z. А = 2х, Z. ABD = 2х; Z. А + + A ABC = 180°.

При решении задач 9—10 используют свойство диагоналей параллелограмма или центральную симметрию параллелограмма. Задача 12 подводит к идее параллельного переноса, хотя пока дело сводится к построению треугольников. В задаче 15 органически используется алгебра. Это следует подчеркнуть, так как подобных случаев будет немало.

Задачу 16 можно дать как задачу на исследование: какая из точек основания приведет к параллелограмму с большим периметром? Задача 18 решается просто после проведения дополнительной прямой. Условие задачи 24 требует внимательного анализа конфигурации. Задача 26 требует обосновать

равенство треугольников и сделать выводы. Догадка без обоснования не должна приниматься за верное решение. Задача 27 имеет не одно решение, все они не очевидны.

Задача 33 — типично поисковая. Задачи 36—37 привлекают практической постановкой вопроса, их стоит рассматривать и со всем классом. Задача 38 похожа на задачу 24, но значительно сложнее, так как дополнительные построения скрыты.

В задаче 41 важно найти все решения, а не некоторое число их. Задача 43 имеет много решений, некоторые (связанные с тригонометрией) можно рассмотреть и в 9-м классе. В указаниях приведено изящное решение, однако найти его нелегко.

Задачи 45—48 в школьных задачниках не встречались, но их решение привлекает внимание к теореме Фалеса. После работы над ними учащиеся легко решают и задачу 52.

По задаче 61 учащиеся ознакомятся с четырехугольником, имеющим много интересных свойств.

Задачу 64 решают, знакомясь через нее с идеей сходимости последовательности. Задача 68 напоминает о прямоугольной трапеции. Она встречается и в задачах 71, 79 и др. (в том числе в 9-м классе). Задачи 77—78 относятся к числу комбинированных, для их решения приходится использовать и ряд фактов, изучавшихся в 7-м классе. Задача 82 напоминает о существовании такой формы задач, как задачи по готовым чертежам. К этим чертежам ничего добавлять не нужно, необходимо обнаружить заложенную идею и реализовать ее.

Задача 87 аналогична задаче 110 (7-й кл.). Задачу 90 приходится решать или после изучения неравенства треугольников или на основании знакомства с этим неравенством в седьмом классе.

Задачи 93—107 относятся к материалу, не включенному в школьную программу, но они интересны и поучительны. Вопрос об их использовании решает учитель с учетом условий работы. Задача 111 ставит проблему, как определить число точек без пересчета.

В задаче 115 решающее слово за алгебраическими соображениями.

Из задач на параллельный перенос (116—124) наиболее сложна — 124.

Ценность задачи 127 в подчеркивании роли нулевого вектора. Если вектору можно приписать более одного направления — это нулевой вектор. В задаче 130 и ряде других к решению ведет замена вектора суммой векторов. В данном случае речь идет о подстановках типа MA = МО + OA. Задача 134 не требует построения: достаточно установить, что сумма четырех векторов — нулевой вектор. Этот прием используется в дальнейшем.

Результаты задач 137—138 будут полезны при решении новых задач. Может пригодиться в дальнейшем прием решения задач 152—153.

Задача 156 заставляет вспомнить конфигурацию задачи 25 и идею ее решения. Задачу 160 можно рассмотреть и после изучения правильных многоугольников. Задача 162 дает повод для беседы о свойствах параболы.

Задача 179 напоминает о сверхполных системах уравнений. Речь идет об исключении неизвестных, о нахождении взаимосвязей между параметрами. В задаче 181 нужно преобразовать выражения так, чтобы были только тангенсы. Задача 182 требует только тождественных преобразований подкоренных выражений, после чего останется построить график у = 3. Примеры 186 допускают много решений, нужна изобретательность.

В задачах 193—195 речь идет о проверке качества съемки плана местности с помощью прямоугольных координат. Этот метод широко используется в технике (есть и специальные таблицы Гаусса). Для решения требуется следить за азимутами.

Из задач на скалярное произведение векторов наиболее сложна 213: в ней используются и свойства ромба и свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

В следующей группе задач на преобразования важны ориентиры, облегчающие выбор преобразования — центральной и осевой симметрии, поворота около точки, параллельного переноса. Метод центральной симметрии целесообразно применять при решении задач о центрально-симметричных фигурах, при построении отрезка с серединой в данной точке и концами на двух данных линиях. Осевую симметрию используют при решении задач о фигурах, имеющих ось симметрии, или в том случае, когда условие содержит суммы или разности элементов фигуры. Поворот около точки используют в том случае, когда в рассматриваемой конфигурации можно выделить равнобедренный треугольник с известным углом между равными сторонами. Параллельный перенос выполняют при необходимости сближения элементов фигуры. Чаще всего он используется в задачах о четырехугольниках, о медианах. Полезно ознакомить с перечисленными ориентирами всех учащихся.

Среди задач на осевую симметрию есть и задачи на вычисление (224—226). Преобразования используются и в дальнейшем, в частности при изучении площадей фигур.

Задачу 242 можно решить и для других углов. В условии взят угол 45°, чтобы избежать построения сегмента (его в школьной программе нет). Задача 233, видимо, наиболее сложная: использование серединных перпендикуляров хорд достаточно замаскировано.

Задачу 238 можно решить и с помощью координат. Она является продолжением задачи: «Точка В находится между А л С. В одной полуплоскости построены равносторонние

треугольники ABD и ВСЕ. Докажите, что точка В и середины отрезков АЕ и CD являются вершинами равностороннего треугольника». Метод решения остается тем же.

В задачах 244, 245 поворот связан с вычислениями.

Задачи 258—266 связаны с установлением равенства фигур. Из них наиболее сложна последняя.

Девятый класс

Задачи 7—8 связаны с фигурами, частично лежащими вне данной части плоскости. Построения требуют находчивости и изобретательности. Базу для многих таких построений дает задача 6. Примыкает к этим задачам задача 14.

Задача 32 дает базу для решения довольно сложной задачи 33. Однако после решения задачи 32 работа с задачей 33 станет не очень трудной.

Из задачи 35 следует, что множества чисел вида 3#, 3jc + 1, Зх + 2 при целых неотрицательных х исчерпывают множество натуральных чисел.

Среди задач на подобие много задач, связанных со вторым признаком подобия (41, 43, 44 и др.).

Группа задач о ломаной требует творческого подхода. Хотя в программе термин ломаная отсутствует, понятие известно школьникам, а задачи 49—51, 54, 55 расширяют кругозор учащихся.

Задача 62 связана с задачами 27, 28. Другие задачи о пятиугольнике знакомят с важными приемами геометрических построений, в том числе с методом предположения, с применением векторов и др.

Задачи 85—87 решаются с помощью алгебры. Задача 97 требует полного разбора возможных вариантов. Задача 114 продолжает задачи о разрезании трапеции. Теперь речь идет о таком разрезании, в результате которого можно сложить равносторонний треугольник. Такие задачи известны, в частности, по книге Г. Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание» («Мир», М., 1977).

Задача 115 требует внимательного вычисления углов, после чего нахождение площади окажется простым делом. Задача 123 сводится к решению квадратного уравнения.

Задачи 134—135 дают повод для ознакомления учащихся с полуправильными многоугольниками. Задачи 148—149 связаны с разрезанием правильных многоугольников. Если у школьников возникнет интерес к проблеме, можно остановиться на разрезании правильного двенадцатиугольника. Довольно легко сложить из его кусков три равных квадрата, известны два способа сложить из его кусков один квадрат. Труднее разрезать двенадцатиугольник на восемь кусков, из которых можно сложить два равных квадрата.

Особое внимание нужно уделить задаче 157. Решив ее, школьники будут знать еще один важный прием вычисления площадей многоугольников.

Задача 165 дает повод для беседы о числе л, история вычисления которого достаточно поучительна.

Задача 188 — одна из наиболее общих теорем планиметрии — так называемая теорема Стюарта (1717—1785). Задача 194 знакомит с мало известными в школе формулами. Однако они весьма удобны, когда длины сторон выражены в радикалах.

Задача 208 — теорема, открытая Л. Эйлером (1707—1783). Задачи 211—212 дают полезный прием решения задач о четырехугольниках.

Десятый класс

Задачи 9—19 знакомят учащихся с важным приемом рассуждения. Задача 12 содержит признак параллельности двух прямых в пространстве. Задача 23 имеет несколько решений, все они достаточно интересны и поучительны. Задачи 46—47 повторяют материал, изученный в девятом классе.

Задачи 55—58 помогают изучению свойств параллельной проекции. Условие допускает многовариантные конфигурации. Задачи типа 57 в школьных задачниках не встречались. Той же цели служат и задачи 60—66. Вместе с тем построение теней играет роль в эстетическом воспитании.

Задача 77 кажется простой, но условие допускает 4 различные конфигурации и 4 ответа.

Задача 87 знакомит с важным приемом размещения наклонных, исходящих из одной точки, в одной плоскости. Он будет нужен в дальнейшем.

Решение задачи 92 дает повод для рассказа о точке Торричелли: Если каждый угол треугольника меньше 120°, наименьшую сумму расстояний от его вершин имеет точка, из которой все стороны видны под углами по 120 °, если же один из углов не менее 120 °, то эта точка совпадает с вершиной наибольшего угла треугольника.

Задачи 99—101, 166—170 решаются с применением тригонометрии. В указаниях показано, что во многих случаях вывод формул функций не нужен. Задача 106 указывает метод вычисления расстояния от точки, находящейся внутри угла, до его вершины. Способ решения задачи 135 такой же, как и у аналогичных планиметрических задач.

Задачи 138, 139 знакомят с общим определением прямой и плоскости с помощью понятия вектора.

Задачи 140—149 знакомят с некоторыми видами преобразований в пространстве.

Поучительна задача 186. В указаниях приведен достаточно простой путь ее решения.

Одиннадцатый класс

Задача 1 развивает пространственные представления учащихся. Ту же цель имеют задачи 2 а, б ; 4. Задача 5 сообщает факт, который многим учащимся кажется невероятным.

Задача 7 и указания к ее решению напоминают о неверном определении призмы, которое встречалось в ряде учебников, а вообще идет еще от Евклида.

Задача 10 показывает путь решения без производной и к тому же более простой. В задаче 12 проблемы появляются по ходу решения: требуется найти tg 15°, а затем искать способ нахождения корней квадратного уравнения с «неудобными» коэффициентами.

Задача 14 устанавливает связь с неравенством треугольника. Она готовит решение задач 21—23. При решении задачи 32 учащиеся не улавливают сразу, что сечение куба, имеющее форму квадрата, может быть параллельно ребру, но не параллельно ни одной грани.

Задача 43 по существу доказывает теорему Фаульгабера (1580—1635): cos2 а + cos2 ß + cos2 у = 1, где а, ß, у — углы, образованные некоторой плоскостью с тремя взаимно перпендикулярными плоскостями. Метод ее решения используется в дальнейшем (например, в задаче 76).

Задача 45 обобщает теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Она применяется в задачах 46—50, 63, 65.

Задачи 53—54 и другие решаются с помощью выделения полного квадрата. Задача 57— типичная задача на исследование. Сперва доказывают, что пирамида — правильная треугольная, затем, что это — правильный тетраэдр. Задача обычно вызывает отрицательный ответ, но он ошибочен.

Задачи 66, 71—72 и др.— на развертки. Задача 78 решается устно, но требует пояснения. Задача 81 кажется невероятной. Однако оказывается, что если двугранный угол при основании пирамиды менее 30°, то площадь боковой поверхности пирамиды больше, чем у призмы. Аналогично неожиданным оказывается результат и задачи 82. Однако из-за сложности выкладок обычно ограничиваются примерами.

В задачах 91—93 выясняется величина площади проекции сечения на плоскость основания. Такой оценочный подход вполне достаточный.

Задачи 136—144 предлагают сформулировать и обосновать несколько признаков равенства призм, пирамид. Поучительная и полезная работа!

При построениях, связанных с эллипсом, требуется и знание планиметрии, и изобретательность. Совсем нового типа задачи 148, 149.

Задачи 160—161 касаются площади осевого сечения конуса. Требуют хороших пространственных представлений задачи 177 о сфере.

В задаче 184 показан полезный переход от пирамиды к параллелепипеду.

Задачи 207—208 сочетают алгебраические методы с учетом геометрических соображений. Задача 212 является примером чисто практической, допускающей весьма экономное решение.

Задача 224 показывает, что поспешность решения может привести к работе над вычислением ненужных данных.

Задачи 230—231, 243—244 знакомят учащихся с важными соотношениями, облегчающими вычисление объемов различных многогранников.

Изучение объема частей шара школьной программой не предусмотрено, поэтому рассмотрение группы задач об этом может быть исключено.

Представляет интерес задача 284. Ее фабула — сгиб квадрата, демонстрируемая на модели, расширяет пространственные представления.

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так, что имеется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Известно, что AB = 3 см, ВС = 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок AB на части длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точками А и С, причем AB = = 7 см, ВС =17 см. Пользуясь только циркулем, постройте на прямой AB отрезок длиной 1 см.

6. M — середина отрезка AB. Найдите на прямой AB все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до F по прямолинейной дороге 35 км, остановки автобуса расположены в точках В, С, D, Е. Зная, что АС = 12 км, BD = 11 км, СЕ = 12 км, DF = 16 км, найдите AB, ВС, CD, DE, EF.

8. Пункты А, В, С, D, £, F, G, H последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что AD = 19 км, BE = 21 км, CF = 19 км, DG = 20 км, AF = 32 км, СН == 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Ai, А2, Аз, А4, ... так, что AiA2= 1, А2А3 = 2, А3А4 = 3, .... Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломерных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей AB построены углы: Z. ВАС = 38°, Z. CAD = 68°, Z. DAE = 85°, Z ЕАК = 99°. Определите градусную меру угла К АС.

21. В одной полуплоскости с границей AB построены неперекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов записать только нечетными цифрами; только четными цифрами?

27. АОВ и COD — углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов AOD и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как определить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые A1 и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых а и Ь. Содержат ли прямые a и b биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых A1 и b1?

32. Через точку О прямой AB в одной полуплоскости построены лучи ОС и OD так, что Z. АОС = Z. BOD. Докажите, что биссектриса угла COD перпендикулярна AB.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

34. В концах отрезка AB в полуплоскости с границей AB построены АС и BD — равные перпендикуляры к AB. Докажите, что перпендикуляр к AB, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку CD. Делит ли он пополам отрезок CD?

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок EF. Перпендикулярны ли I и EF?

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярных сторонам AB и АС треугольника ABC и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки AD и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС = DE.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к AC: AD = ВС и СЕ = AB. Точка О — середина BD, точка M — середина BE (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что AB = = АС. Прямые BD _L AB и СЕ JL АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А?

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника ABC построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника ABC построить биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и M не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов BAD и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и D, Е так, что AB = AD, ВС = DE. Докажите, что точка О пересечения BE

и CD лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны AB и ВС треугольника ABC равны. Биссектрисы углов, смежных с углами ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2к равных частей (А — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон AB и ВС равнобедренного треугольника ABC пересекли АС в точках M и N. Докажите, что В M = BN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что AB = ВС = = CD = DE = ЕА, 4L ВАЕ = Z. DEA. Равны ли углы ABC и EDC?

48. Через середину отрезка ВС построен к нему перпендикуляр ОМ; тупые углы ABC и DCB равны. Зная, что AB = = DC и Z. ВАA1 = Z. CDD1 (рис. 7), докажите, что лучи АA1 и DD1 пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС = BD, /. CAB = /- DBA = 90°, AM и BM — биссектрисы углов CAB и DBA. Лучи СМ и DM пересекают прямую AB в точках К и L. Докажите, что AL = АйГ.

50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний* Докажите.

51. Л ABC — равносторонний. Лучи AD, BE, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, причем углы BAD, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки D, Е, M вершинами равностороннего треугольника?

Третий признак равенства треугольников

52. Медианы AD и ВО треугольника ABC, у которого АС = = ВС, продолжены так, что DE = AD и OK = ВО. Докажите, что Z- АКС = Z. ВЕС.

53. Докажите, что треугольники равны, если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника.

54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

55. Докажите, что треугольник, у которого равны две высоты, равнобедренный.

56. Равны ли два треугольника, если основание и проведенные к нему высота и медиана одного треугольника соответственно равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника?

57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственно равны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам другого остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите.

Периметр треугольника

58. На отрезке AB длиной 38 см между А и В отмечены точки Ci, С2, Сз,Сп и построены равносторонние треугольники с основаниями АC19 C1Съ С2С3, СпВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка AB, от количества отмеченных точек и их размещения на AB (рис. 10)?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника ABC а, &, с. Известно, что периметр больше а + Ь в -|~ раза, больше а + с в раза. Во сколько раз он больше Ъ + с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и сумме боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других сторон.

70. Вне отрезка AB построены такие точки С и D, что АС = = ВС и AD = BD. Верно ли, что прямая CD перпендикулярна

AB? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Постройте отрезок, перпендикулярный AB и имеющий середину на AB, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки M перпендикуляр на прямую Z, если обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась на I.

76. Постройте треугольник ABC по вершине А и прямым 1\ и Z2, на которых лежат биссектрисы углов Б и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых AB и CD прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые AB и CD?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, D, Е. Параллельны ли прямые AB и EF?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А и В, С и D. Равны ли треугольники ABC и DCB?

81. Прямые AB и CD параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите Z. СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка AB. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок AB?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку M так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки AB и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли углы этих треугольников?

91. ВМ и CN — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника ABC. Точки A1 и А2 симметричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что Л АA1А2 — равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.

94. Точка M находится внутри треугольника ABC. Найдите сумму углов АМВ, AMC и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.

97. В треугольнике ABC АС = ВС. На этих сторонах отмечены такие точки D, Е, F, что BD = DE = EF = FC = AB (рис. 13). Найдите углы треугольника ABC.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника ABC попарно пересекаются в точках O1, 02, Оз. Докажите, что Л Oi0203 остроугольный, и выразите его углы через углы треугольника ABC.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника ABC отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов треугольника ABC.

101. Один из углов треугольника равен полусумме двух других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике ABC AB = AC, Z. ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что Z. МВС = 10°, Z. МСВ = = 30°. Найдите LAMB.

103. В треугольнике ABC AB = ВС, Zß = 20°. На стороне AB взята такая точка М, что ВМ = АС. Найдите Z. MC А.

104. В равнобедренном треугольнике ABC Z. В = 100°. Внутри треугольника взята такая точка М, что Z. MAB = 10°, Z MBA = 20°. Найдите Z. БМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедренного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному из катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике ABC Z. А = 15°, Z В = 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону AB на такие части AM и MB, что AM = 2 ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки AB = 2, ВС = CD = 1, DE = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч AM, что Z. ВАМ = -|- Z. С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника. Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках D, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника ABC. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройденному пути. Найдите острые углы треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Л ABC — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — BD и СЕ, отрезки DK и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите Z. KAM.

118. Из города M по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В, а велосипедист в пункт А, при этом Л MAB оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и D, что Л MCD оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся в таких пунктах F и Т, что Л МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике ABC AB = АС. Внутри треугольника взята такая точка М, что Z. MAB = Z. MBA = = 15°. Найдите Z. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла M отмечены такие точки А и В, С и D, что BD = AB + CD. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники MBD и MAC, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, &, гипотенуза с. Докажите, что радиус вписанной окружности г = а % ~ е .

125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой а, касающиеся одна другой в данной точке M и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами O1 и О2 касаются внешним образом. Окружность с центром Оз и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника О1О2О3.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, Б, С, D. Постройте окружность, которая проходит через точки А и Б, а касательные к ней, проведенные из точек С и Д равной длины.

129. Даны окружность и точка M вне ее. Проведите через M прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которыми равно а.

130. Постройте окружность, которая касается двух данных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

131. Постройте треугольник ABC по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окружности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник ABC, если дана прямая, на которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон AB и ВС вписанной в треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию треугольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник ABC — остроугольный, ВЫ и СМ — перпендикуляры к AB и АС. Докажите, что точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, L, М. Определите величины углов треугольника KLM.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. Oi и О2 — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Зная, что Z. АО\В = Z. АО2В, найдите Z. С.

142. АA1 и ВB1 — высоты треугольника ABC. Постройте треугольник ABC по точкам A1, B1 и прямой AB.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник ABC по высоте AD, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая DE проходит через вершину А треугольника ABC и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы DAB и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, M — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что MA + MB = MC.

147. Вершины треугольника ABC находятся в точках /, V, VIII циферблата часов. Построены высоты AM и CD и перпендикуляр DE к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике ABC на стороне ВС есть такая точка М, что ВЫ = 2 MC и Z- АМВ = 60°. Зная, что Z. ВАС = 60°, найдите величины остальных углов треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник ABCD по углам А и Б, сторонам AB, AD и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника ABCD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон AB, AD, CD и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, отличные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка M находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плоскости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка M находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм ABCD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. ABCD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСЕМ. Докажите, что отрезки ED и DK взаимно перпендикулярны.

12. Постройте параллелограмм ABCD по положению вершин А и В и расстояниям от данной точки M до вершин С и D.

13. Постройте параллелограмм ABCD, если дана прямая BD и основания высот, проведенных из вершины В.

14. ABCD — параллелограмм. Вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что Д MDT — равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одного из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.

16. Через точку M на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС и продолжение стороны AB в точках M и N. Докажите, что треугольники ADN и MCD — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма,

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры двух из них равны — и — периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

24. ABCD — прямоугольник. На сторонах AB и CD отложены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущенный на АС. Найдите Z. ВКЕ.

25. На стороне ВС прямоугольника ABCD есть такая точка M, что Z. АМВ = Z. AMD. Зная, что AD — 2 AB, найдите величины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равноудалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба ABCD построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите Z. CMD.

28. Решите задачу 27 для случая, когда M находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВВС параллелограмма ABCD пересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектрисами углов ADB и АСВ.

30. Постройте ромб ABCD, если даны середина стороны и центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC.

31. Постройте ромб ABCD по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки M до середины DC.

32. Постройте ромб ABCD по положению вершин А и С и расстоянию от данной точки M до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?

34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпендикуляры AD, СЕ и BF, причем AD = ВС, СЕ = AB, BF = AC, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной DE, А — центр квадрата со стороной EF, С — центр квадрата со стороной DF.

36. На местности был отмечен участок ABCD квадратной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки M Ç AB и N Ç CD. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек находится на стороне ВС?

38. ABCD — квадрат. На сторонах AB и ВС отложены равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите Z. MTD.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю; б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат ABCD, у которого разность расстояний от вершины В до прямых AD и АС равна а?

41. ABCD — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники MAB, МВС, MCD, MAD будут равнобедренными.

42. На прямой отмечены точки А, В, С, D так, что AB = CD, и построены квадраты со сторонами AB, BD, AC, CD. Первые два находятся по одну сторону от AD, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрата?

43. ABCD, DCEF и FEKM — равные квадраты. Докажите, что Z. САМ + Z. ЕАМ + Z. KAM = 90° (рис. 23).

44. AD — высота остроугольного треугольника ABC, О — центр квадрата, построенного на AB вне треугольника, M — центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки M, D, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки AB и ВС. Как построить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем AB Ф ВС. Постройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ъ.

48. Точки А, Б, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ъ.

49. АО — медиана треугольника ABC. Прямая СЕ пересекает сторону AB в точке M и делит названную медиану пополам. Определите СЕ : ЕМ и AM : MB.

50. На сторонах AB и ВС треугольника ABC взяты такие точки M и N, что ВМ : AB = BN : ВС = 1 : 3. Точки D и Е делят сторону АС на три равные части. Докажите, что MD = NE.

51. Медиана ВМ делит высоту AD треугольника ABC в отношении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин B и D параллелограмма ABCD проведены три высоты. Как по серединам этих высот построить параллелограмм ABCD?

54. Постройте параллелограмм по середине стороны AD и серединам высот, проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм ABCD по серединам сторон ВС и CD и основанию высоты, проведенной из Б к AD.

56. Постройте параллелограмм ABCD, если известна середина стороны AB и основание высоты, проведенной из вершины В к AD.

57. Постройте ромб ABCD, если известны середина стороны AD и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон AB и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма ABCD 80 см. Биссектрисы углов А и D пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок AM пополам. Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме ABCD из вершин В и D проведены по две высоты. Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма.

60. Дан треугольник ABC. Какая фигура образуется центрами всех таких параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах AB и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма углов при стороне AD 90°, AB — CD. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и AD являются вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают четырехугольник KLMN. Найдите его диагонали.

63. AB — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены перпендикуляры к AB. Касательная к полуокружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках D и Т; АС и DO пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли AB и ЕМ?

64. ABCD — выпуклый четырехугольник, середины его сторон — A1, B1, Ci, Di. Середины сторон четырехугольника A1B1C1D1 — А2, В2, С2, D2. Середины сторон четырехугольника A2B2C2D2 — Аз, Вз, Сз, Dз и т. д. Укажите точку, которая находится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника ABC образует со стороной AB углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника ABC.

66. Постройте треугольник ABC по положению точек А и В и точке, в которой продолжение медианы AD пересекает описанную окружность.

67. AD — высота прямоугольного треугольника ABC. Биссектрисы углов В и CAD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов С и BAD — в точке N. Параллельны ли прямые MN и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треугольников можно сложить трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как разрезать ее на три равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции.

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеции перпендикулярны боковым сторонам. Найдите углы трапеции.

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны AB и CD, середина диагонали АС и точка на прямой AD.

75. Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 и 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника трапецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции.

79. ABCD — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каждая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые стороны соответственно параллельны двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны, то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две параллельные хорды АС и BD, у которых: а) сумма длин а; б) разность длин Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и AD. На CD взята такая точка М, что AM = AD. Через В проведена прямая, параллельная CD, она пересекает AM в точке Р. Докажите, что ВМ = PC.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под которым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции.

92. Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании трапеции, как на диаметре, касается меньшего основания и проходит через концы средней линии. Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Биссектрисы углов A и С пересекают окружность в точках Е и F. Докажите, что прямая EF проходит через центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника ABCD равен 56°, AB = = ВС, AD = CD. Зная, что около четырехугольника можно описать окружность, найдите величину наибольшего угла четырехугольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боковых сторонах, как на диаметрах, касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпендикуляры на все стороны четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окружности.

99. В окружность вписан прямоугольник ABCD. Из точки M окружности опущены перпендикуляры ME и MF на диагонали прямоугольника. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.

100. АA1, ВB1, СC1 — высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи A1Н, B1Н, C1Н делят пополам углы треугольника A1B1C1.

101. Внутри треугольника ABC взята такая точка М, что Z. MAC = Z. MBA = Z. MCB = a. На стороны треугольника

ABC опущены перпендикуляры МA1, МB1, МC1. Докажите, что эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника A1B1C1 углы по а.

102. Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через А, пересекает окружности в точках С и D; прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и F. Докажите, что СЕ \\ DF. Верно ли это утверждение, если хорды АС и BE пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку M и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А у пересекает две окружности в точках D и Е. Докажите, что прямые DB и ЕС пересекаются на третьей окружности (рис 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб. Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник ABCD. Докажите, что А АОВ + Z. COD = А ВОС + Z. AOD.

106. Около окружности описан четырехугольник ABCD, его стороны касаются окружности в точках К, L, М, N. Можно ли по углам А, В, С определить углы четырехугольника KLMN1

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны AB, ВС, CD описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отношении делится точкой касания сторона AD?

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочисленными координатами может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для международных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных прямых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если координаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника ABCD хА + хс = хв + xD и У а + Ус — У в + Уй, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у которого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы вместо графика получить график

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных прямых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают равные отрезки.

125. AB — диаметр полуокружности, CD — хорда, не параллельная AB. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые MA и MB пересекали CD в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпендикулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов AB и АС равны. Докажите, что вектор AB + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. MA, MB, MC — радиусы окружности. Известно, что MA + MB + MC = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром M. Зная, что MA + MB + MC + MD = 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ъ + с, если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник ABCD, M — точка этой окружности. Найдите длину вектора MÀ+MB+MC + MD.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник ABC. Зная, что ОМ =18 см, найдите длину вектора MÄ+MB + MC.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

134. На плоскости даны точки А, В, С, D, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны АС, BD, СЕ, AD, BE.

135. ABCD — параллелограмм. Точка M не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого MA, MB, MC, MD.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками AB, ВС, CD, DE, EF, FA. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Do, Ео, F о. Докажите, что для любой точки Т:

137. ABCD — четырехугольник, у которого сумма расстояний между серединами противолежащих сторон равна половине периметра четырехугольника. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

138. Докажите, что, если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то

139. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М.

Докажите, что для любой точки Т:

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = m: п. Докажите, что для любой точки Т:

141. На сторонах AB, ВС, CA треугольника ABC соответственно взяты такие точки C1, A1, B1, что АC1 : C1В = = ВA1 : A1С = СB1 : B1А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC и точка пересечения медиан треугольника A1B1C1 совпадают.

142. ABCD и A1B1C1D1 — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АA1, ВB1, СC1, DD1 являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а Ф Ъ и ab > 0, то существует острый угол, косинус которого равен

144. Докажите, что при любом действительном п Ф 1 существует острый угол, косинус которого равен

Теорема Пифагора

145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы.

146. Докажите, что если Ь2 + с2 = 2а2, то существует прямоугольный треугольник, длины сторон которого

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами а, Ь и гипотенузой с:

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше — гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD равна 90°. Докажите, что ВС2 + AD2 = АС2 + BD2.

150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипотенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямоугольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух других медиан.

152. Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.

153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.

154. Катет AB — а лежит против угла в 15°. Найдите длину второго катета.

155. Катет AB = а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.

156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.

157. Отрезок AB = 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.

158. Из точки M стороны ВС прямоугольника ABCD отрезки AB и AD видны под равными углами. Зная, что AB = 80 см,

AD = 89 см, определите, на какие части точка M делит сторону ВС.

159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр трапеции.

160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше -у2.

161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Определите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.

162. Наблюдатель видел стену AB из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один находится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Определите длину стены.

163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.

Расстояние между двумя точками

164. Докажите, что каждая точка графика у = х2 + 0,25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).

165. Внутри квадрата ABCD есть такая точка М, что MA = 7, MB = 13, MC = 17. Определите длину стороны и диагонали квадрата.

166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наименьшая возможная.

167. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону прямой АС построены равносторонние треугольники ABD и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника.

Уравнение прямой

168. Три стороны ромба лежат на прямых х = 0, у = ху у = = X + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?

169. Найдите периметр треугольника, стороны которого лежат на оси абсцисс и на прямых у = ^-х и у =--+ 15.

170. Равные отрезки AB и CD лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых 1\ и /г. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков BD и AD, равно наклонена к прямым /| и /2,

171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх — Ау + 24 = 0?

172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).

173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5х — 9 у — — 1 = 0 и Зх + у - 10 =0.

174. Докажите, что прямые ах -\- 2у — 6=0 и Ьх — у + + 5=0 пересекаются, если а + 2Ь Ф 0.

175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы BD и СЕ взаимно перпендикулярны.

Пересечение прямой с окружностью

176. Даны окружности х2 + у2 = 25 и (я — 2)2 + (г/ — б)2 = = 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.

177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пересечения прямых 3* — 4г/ — 1 = 0 и 4jc + Зу — 18 = 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?

178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В каких точках она пересекает ось ординат?

179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)2 + + (у — 2)2 = 25 пересекает стороны прямоугольника?

180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности X2 + у2 = 49? В каких точках эта фигура пересекает оси координат?

Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

181. Найдите зависимость между а и Ь, если а = 2 sin х + + 3 cos х, Ъ = 3 sin X — 2 cos х.

182. Известно, что sin х — cos х = —. Найдите tg х.

183. Зная, что tg х = —, вычислите:

184. Постройте график функции:

185. Найдите зависимость между рид, если р = sin X + cos X, q = sin3 x + cos3 x.

186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наименьшего угла этого треугольника.

187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника.

Тригонометрические функции некоторых острых углов

188. При каких целых а, fr, с справедливы следующие равенства:

189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:

Изменение тригонометрических функций острого угла

190. Докажите, что для любого острого угла х при увеличении натурального числа п величина у = cos" х уменьшается.

191. Сравните по величине: sin 58° cos 48° tg 38° и sin 42° cos 32° tg 22°.

192. Запишите в порядке возрастания: sin 76°, cos 58°, tg48°, sin 38°.

193. Запишите в порядке убывания: cos2 10°, cos 30°, tg45°, tg 48°, tg 50°.

Решение прямоугольных треугольников

194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением:

195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33).

196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34).

197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте качество работы вычислением координат.

Неравенство треугольника

198. Докажите, что если точка M находится внутри треугольника ABC, то каждый из отрезков MA, MB, MC меньше хоть одной из сторон треугольника.

199. Докажите, что если две хорды окружности пересекаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диаметра.

200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра?

201. Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, наибольшая.

202. Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра.

203. Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали.

204. Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше — его периметра.

205. Длины сторон треугольника а, &, с, длины его медиан та, тпь, тс. Докажите, что можно построить треугольник со сторонами длиной а + ТПа, Ъ + ТПЬу с + тпс.

206. Б окружность вписан равносторонний треугольник ABC. Диаметр AD пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М. Докажите, что ED > КМ.

207. Две высоты треугольника не меньше сторон, к которым они проведены. Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка M находится внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что MA • MC = MB • MD. Выполняется ли это соотношение, если точка M находится вне прямоугольника?

210. ABCD — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + TD2.

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 + ВС2 = -|- AB2, то АС + ВС = Ö. Докажите.

212. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ТС2 = = MA2 + MB2 + MC2 + 3 TM2.

213. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

214. Окружность диаметра AD пересекает сторону ВС прямоугольника ABCD в точках К и М. Докажите, что ВК • KD == СМ • MA.

215. ABCD — ромб, BK и СЕ — его высоты, проведенные к AD; точка M — середина KD, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедренного треугольника ABC, у которого медианы AD и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны квадрата (или их продолжения) проходят через данные точки M и N.

218. Постройте параллелограмм ABCD по положению вершин А и С и расстояниям а и Ъ от вершин В и D до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и серединам высот, проведенных к боковым сторонам.

220. Точка M находится внутри треугольника ABC. Точки Mi, M2, Мз симметричны M относительно середин сторон ВС, АС, AB. Докажите, что прямые АM1, ВМ2, СМ3 пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника ABCD является диаметром описанной окружности, AM и CN — перпендикуляры, опущенные на диагональ BD. Докажите, что ВМ = DN.

222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника ABCD, пересекает его стороны в точках M и N. Зная, что ЕМ = KN, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диагонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и D симметричны относительно прямой AB. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на AB, перпендикуляр к AB.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с прямой AB.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины углов треугольника.

228. Центр описанной около треугольника ABC окружности и центр окружности, которая касается стороны ВС и продолжений двух других сторон, симметричны относительно ВС. Определите величины углов треугольника ABC.

229. Постройте треугольник ABC по положению вершины А и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей стороне.

231. Постройте треугольник ABC по прямой ВС и серединным перпендикулярам сторон AB и АС.

232. Постройте параллелограмм ABCD по вершине D и серединным перпендикулярам U и h сторон AB и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей CD. Найдите на CD такую точку М, чтобы Z. AMC — — Z. БЛШ = 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки M и N. Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание лежит на луче АС, вершина — на луче AB, а боковые стороны проходят через M и N.

235. Постройте параллелограмм ABCD по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки А, С, D.

236. Точки Oi, 02, Оз симметричны центру окружности, описанной около треугольника ABC, относительно его сторон. Докажите, что Л ABC = А O1020з.

237. По условию задачи 236 постройте по точкам Ou О2, О3 треугольник ABC.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат ABCD по положению вершины В и расстояниям от данной точки M до вершин А и С.

239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.

240. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону от АС построены равносторонние треугольники ABD, BCF, по другую сторону — равносторонний треугольник АСЕ. Докажите, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.

241. Точка M находится внутри равностороннего треугольника ABC. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого соответственно равны отрезкам MA, MB, MC.

242. На сторонах AB и АС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ABDK и АСЕМ. Докажите, что отрезок КМ вдвое больше медианы треугольника, причем KM _L АО.

243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания — данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные точки M и N.

244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой, пересекающей эти окружности.

245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.

246. Внутри квадрата ABCD имеется точка М, причем Z. АМВ = 90°, MA — MB — а. Найдите расстояние от точки M до центра квадрата.

247. Внутри равностороннего треугольника ABC имеется такая точка М, что Z. АМВ = 120°, MA — MB = а. Найдите расстояние от точки M до центра описанной около треугольника окружности.

248. Отрезки AB и CD равны. Докажите, что можно выполнить такой поворот около точки О, что AB и CD совместятся. Как определить центр и угол поворота?

249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точку с наименьшей возможной суммой расстояний от вершин треугольника.

250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна t. На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла треугольника.

Параллельный перенос

251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой CD. Найдите на CD такие точки Е и F, чтобы АЕ = BF и длина отрезка EF равнялась а.

252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам диагоналей и углу между диагоналями.

253. Даны лучи MA, MB, MC. Постройте прямую, которая пересекает их в таких точках Au Bu Си что A1B1 = B1C1 = а.

254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстояниям между противоположными сторонами.

255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов при одной из сторон.

256. Постройте отрезок данной длины а, параллельный данной прямой, с концами на двух данных окружностях.

257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой lu концы которого лежат на прямой h и на данной окружности.

258. Даны точки А, Б, С, D, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы остальные точки были от нее по одну сторону, а сумма расстояний от нее до Б и С была на а меньше суммы расстояний от D и Е.

259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одного параллелограмма равны двум высотам и углу между ними другого параллелограмма. Равны ли эти паралллелограммы?

261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответственно равны сторонам другой?

262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем основании одной трапеции равны основаниям и углам при большем основании другой.

264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.

265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник ABC. Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что отрезки прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.

266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми симметриями с параллельными осями.

267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти треугольники совместились?

268. Середины противоположных сторон четырехугольника ABCD соединили отрезками, которые пересеклись в точке О. Затем построили параллелограмм ОКТМ так, что OK = 20Н, ОМ = 20Е, и провели DP \\ ВС и DF \\ AB (рис. 36). Докажите, что четырехугольник ABCD и параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников.

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х2 и у = ах2 при положительном а Ф 1 гомотетичны.

2. Гомотетичны ли фигуры у = х3 и у = 4х3? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые: а) ах + by — с = 0 и ах + by + с = 0; б) 2х — Зу — 5 = 0 и 3х — 2у — 5 = 0?

4. Гомотетичны ли треугольник ABC и треугольник, образованный его средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

5. Впишите в треугольник ABC треугольник, стороны которого соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника ABC; б) биссектрисам углов треугольника ABC.

6. Докажите, что середины всех отрезков, которые параллельны стороне AB треугольника ABC и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане CF.

7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат sa. пределами данной части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины всех сторон треугольника (рис. 37).

8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).

9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника ABC и пересекающую AB и АС в таких точках D и Е, что AD = ЕС.

10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в данной точке M, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.

11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной точке касается данной прямой.

12. Постройте квадрат ABCD, зная положение вершины А и двух прямых, одна из которых проходит через точку В, а вторая через центр квадрата.

13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в точках А к В касаются: а) сторон данного угла; б) двух данных окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и часть хорды AB без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АС треугольника ABC. Кроме того, одна окружность касается боковой стороны AB треугольника ABC, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания AB треугольника ABC. Кроме того, одна из них касается продолжения стороны AB, а другая — продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые а и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют центры на прямой Ь.

18. AB и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность, которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник ABC по острому углу А и сумме катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длин всех сторон AB : ВС : CD : AD (основания трапеции ВС и AD).

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку M треугольника ABC постройте прямую, которая отсекает треугольник, подобный треугольнику ABC. Сколько решений имеет задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других. Докажите, что их радиусы связаны соотношением: ГI = Г\ • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли эти треугольники?

25. MAB и MCD — секущие к окружности. Докажите, что треугольники MAC и MBD подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая две его стороны в точках M и N. Из этих точек опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли, что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их меньших сторон 6 см, длины двух средних сторон 30 и 20 см. Определите периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 : 8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ь, с и Ь, с, d подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,6?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треугольников a, by с и ai, Ъ\у C1. Докажите, что аа,\ + ЬЪ\ = сC1.

32. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, OA + OB + ОС = ОМ. Докажите, что точка M находится внутри треугольника ABC.

34. АA1 и ВB1 — высоты треугольника ABC, у которого Z. С = 60°. Докажите, что точки A1, B1 и середина стороны AB — вершины равностороннего треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1\ и h и точки А и В вне этих прямых. Постройте через А и Б две параллельные прямые, которые отсекают на 1\ и h отрезки с отношением длин 2 : 3.

37. На сторонах AB и АС треугольника ABC отметьте такие точки D и Е, чтобы AD = DE = ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. AB — диаметр полуокружности. Хорды АС и BD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС - AM + BD - ВМ = AB2.

40. Диагональ BD ромба ABCD равна его стороне. Точка M находится на луче DA вне ромба. MC пересекает AB в точке О. Под каким углом пересекаются прямые MB и DO (рис. 39)?

41. Точка M находится внутри треугольника ABC, причем AM — ВМ. На сторонах АС и ВС вне треугольника ABC построены треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника ABC. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм.

42. ABCD — четырехугольник, Mi, Мг, Мз, М4 — центры масс треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Докажите, что четырехугольники ABCD и М1М2М3М4 подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках M и N. Найдите расстояние между M и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках M и N. Найдите расстояние между M и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что АС • BD = AB • CD + ВС • AD.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите, что произведения отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметра окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма ABCD и пересекает прямые AB, AC, AD в точках B1, Си Di. Докажите, что AB • АB1 + AD • AD1 = АС • АC1. (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломаная имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет не менее четырех звеньев.

52. На сторонах треугольника ABC вне его построены квадраты с центрами Ou 02, 03. Точки А0, Во, Со — середины сторон треугольника ABC, CqAqO\D — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные O1DC0O3 и 02В0СоВ равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрезки О1О3 и 02В равны и взаимно перпендикулярны. Выведите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне треугольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений. Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного треугольника. Определите общее число треугольников.

57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона /г-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки многоугольника, определите возможные значения п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиугольника можно разрезать на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый л-угольник (п > 4) можно разделить на п — 2 трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб ABDE и равносторонний треугольник BCD. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. ABCDEF — шестиугольник, середины сторон которого К, L, M, N, О, Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и LNP совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника, попарно пересекаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окружность касается его сторон в точках А, Б, С, D. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ъ. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если: а) а = 8 см, 6=18 см; б) а = 9 см, 6=16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и площадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки M от трех вершин квадрата ABCD такие: MA = 7 см, MB =17 см, MC = 23 см. Найдите площадь квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на а и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.

76. В окружность радиуса R вписан прямоугольник периметра Р. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам — Hi и Нг.

78. Отрезок ВМ лежит вне треугольника АБС, но его продолжение пересекает сторону АС. Построены параллелограммы ABMD и СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллелограммов равна площади четырехугольника ADEC.

79. На двух параллельных прямых отложены равные отрезки AB и CD, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).

Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме площадей двух других.

80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогично задаче 79. Докажите, что Si + S2 + S3 = S4 + S5 + Se-

81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол a, a расстояния от центра параллелограмма до сторон равны тип.

82. Найдите площадь параллелограмма, у которого периметр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 4 и 6 см.

83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имеющего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба.

84. Площадь равностороннего треугольника ABC равна S. Из точки M на ВС проведены прямые, параллельные AB и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь полученного параллелограмма?

Площадь треугольника

85. Докажите, что в каждом треугольнике ab + ас + Ьс> 6 S.

86. Найдите углы треугольника, у которого

87. Докажите, что в каждом треугольнике

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полусумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата ABCD описана окружность. Найдите на ней такую точку М, чтобы произведение MA • MB • MC - MD имело наибольшую возможную величину.

93. Площадь параллелограмма ABCD равна Q. Вершина M параллелограмма AMKD делит ВС так, что ВМ : MC =3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника Q, длины его сторон а, Ь, с, d, внешние углы а, ß, 7, ô (рис. 44). Найдите

95. У выпуклого четырехугольника ABCD стороны AB и CD равны и лежат на двух взаимно перпендикулярных

прямых. Докажите, что его площадь в 4 раза меньше разности квадратов сторон AD и ВС.

96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов треугольника.

97. ABCD — параллелограмм, M — середина AB, К — середина ВС; АК и DM пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника AOD и параллелограмма ABCD.

98. Две высоты треугольника делят его на две пары равновеликих частей. Найдите величины углов треугольника.

99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Докажите, что эти стороны лежат против острых углов.

100. Площадь остроугольного треугольника равна Q. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45).

101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1:3?

102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого наибольшая медиана имеет длину m и образует с большим катетом угол в 15°.

103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см, найдите площади полученных четырехугольников.

104. Высота AD и медиана АЕ = m треугольника ABC образуют со стороной AB углы по а. Найдите площадь треугольника ABC (рис. 46).

105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение радиуса вписанной окружности на радиус описанной окружности больше -f- площади треугольника.

107. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части а и Ъ. Докажите, что площадь треугольника S = ab.

108. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражены последовательными целыми числами. Найдите длины его сторон, зная, что радиус вписанной окружности 4 см.

109. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражаются последовательными натуральными числами. Найдите эти стороны, зная, что площадь треугольника равна 1170 см2.

110. Три прямые параллельны. Средняя из них удалена от двух других на 4 и 7 см. Найдите площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на этих трех прямых.

Площадь трапеции

111. Треугольник разделен на три трапеции, общей вершиной которых является центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций.

112. Площадь квадрата, построенного на диагонали равнобокой трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Найдите угол между диагоналями трапеции.

113. Сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

114. Основания трапеции ВС и AD, диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников АБО и ВСО равны 50 и 20 см2. Найдите площадь трапеции.

115. Угол между диагоналями равнобокой трапеции равен 60° (два случая). Как разрезать эту трапецию на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить равносторонний треугольник?

116. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке M под углом в 30°. Зная, что площадь треугольника ВМС равна Q, найдите площадь трапеции.

117. В полукруг радиуса 2 см вписана трапеция, периметр которой равен 10 см. Найдите площадь трапеции.

Площади подобных фигур

118. Площадь треугольника равна S. Каждую его сторону продлили на 4- своей длины в обе стороны. Найдите площадь шестиугольника, который получился, когда соединили концы указанных отрезков.

119. В равносторонний треугольник ABC вписали треугольник DEF, стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольника ABC. Найдите отношение площадей треугольников DEF и ABC.

120. Площадь треугольника ABC равна 120 см2. Каждую его сторону разделили в отношении 1:2:1. Через точки деления провели три прямые, которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь оставшегося шестиугольника.

121. На высотах ВК и ВМ ромба ABCD построили ромб. Зная, что его площадь вдвое меньше площади ромба ABCD, найдите величины углов ромба.

122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Прямая, параллельная наименьшей медиане, разделила треугольник на части, площади которых относятся, как 1 : 7. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного сторонами треугольника.

123. В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см, вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь.

124. Основания трапеции 7 и 17 см. Прямая, параллельная основаниям, разделила трапецию на равновеликие части. Найдите длину отрезка прямой, ограниченного боковыми сторонами трапеции.

125. Через внутреннюю точку M треугольника ABC проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника ABC. Площади образовавшихся треугольников с вершиной M равны Si, S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.

Правильные многоугольники

126. На сколько областей делят плоскость прямые, на которых лежат все стороны данного правильного: а) шестиугольника; б) восьмиугольиика?

127. Треугольник ABC — равносторонний. Вне его построены квадраты АВB1A1, АСC1А2, ВСС2В2. Прямые АA1 и СС2, ВB1 и СC1, АА2 и ВВ2 пересекаются в точках К, L, M (рис. 48). Докажите, что шестиугольник AKCLBM — правильный.

128. Постройте правильный шестиугольник с центром в данной точке О, зная, что концы одной малой диагонали лежат на двух данных прямых.

129. Постройте правильный восьмиугольник, у которого центр находится в данной точке О, а концы двух апофем, проведенных к смежным сторонам, находятся на данной окружности и данной прямой.

130. Как изменится решение задачи 129, если концы названных апофем лежат на данной окружности, центр которой не О?

131. На сторонах квадрата ABCD вне его построены равносторонние треугольники АВК, ВСМ, CDP, DAT. Докажите, что середины отрезков KM, MP, РТ, ТК, АК, ВК, ВМ, CM, CP, DP, DT, AT являются вершинами правильного двенадцатиугольника.

132. Останется ли верным заключение задачи 131, если названные треугольники построены внутри квадрата?

133. Точка M находится в плоскости правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что можно построить шестиугольник, длины сторон которого равны расстояниям от точки M до вершин А, В, С, D, Е, F.

134. Известно, что некоторый пятиугольник имеет не менее двух осей симметрии. Является ли он правильным?

135. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность и имеет 3 оси симметрии. Является ли он правильным?

136. Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Известно, что он имеет 3 оси симметрии. Является ли он правильным?

137. Докажите следующие утверждения о разности диагоналей правильного многоугольника A1А2Аз...Ап: а) при п = = 9 A1Аь — A1Аз равна стороне многоугольника; б) при п = 18 A1А9 — A1Аъ = A1Аг.

138. Квадрат вписан в окружность. Через середины каждых двух смежных сторон квадрата построена прямая. Докажите, что точки пересечения этих прямых с окружностью и вершины квадрата являются вершинами правильного двенадцатиугольника.

139. Прямая проходит через центр равностороннего треугольника ABC и пересекает сторону ВС. Под каким углом к ВС нужно строить эту прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, имел наименьшую возможную длину?

140. Через центр квадрата проходят прямые. Докажите, что для всех этих прямых сумма квадратов их расстояний от вершин данного квадрата одинакова.

141. Останется ли верным утверждение задачи 140, если вместо квадрата дан равносторонний треугольник; правильный шестиугольник?

142. Отрезки, соединяющие середину каждой стороны квадрата с концами параллельной стороны, ограничили выпуклый восьмиугольник (рис. 49). Является ли он правильным?

143. В треугольник вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании треугольника, а две — на боковых сторонах. Докажите, что сторона квадрата больше радиуса, но меньше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник.

144. Постройте правильный шестиугольник с центром в данной точке, зная, что концы одной из больших диагоналей шестиугольника лежат на данной прямой и на данной окружности.

145. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного правильного многоугольника наименьшая возможная.

146. ап и Ьп — стороны вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон п. Докажите, что A1п = 1 , = — апоп.

147. Впишите в данный правильный шестиугольник наибольший возможный квадрат.

Площадь многоугольника

148. Середины сторон выпуклого шестиугольника последовательно соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного шестиугольника больше половины площади начального шестиугольника.

149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.

150. Решите задачу 149 для четырех правильных шестиугольников.

151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпуклого равностороннего многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника одинакова.

152. Площадь правильного шестиугольника равна — произведения длин двух неравных диагоналей. Докажите.

153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали. Какой именно?

154. AB и CD — параллельные стороны правильного двенадцатиугольника, АС и BD не пересекаются. Докажите, что АС и BD делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.

155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен такой: «Выразите площадь правильного восьмиугольника A1А2АзА4АъАбА7Аг через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2R2 л[2\ 2) произведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) A1Аз X X A1Аъ\ 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) удвоенное произведение стороны на диагональ A1АA1

6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны?

156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правильный восьмиугольник. На сколько процентов уменьшилась площадь фигуры?

157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых относятся, как 1 : 3. Найдите длину отрезка прямой, ограниченного сторонами шестиугольника.

158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

159. Четырехугольник ABCD разделен на три части отрезками, которые не пересекаются и делят стороны AD и ВС на три равные части (рис. 50). Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника ABCD.

Длина окружности

160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника. При каком условии обе окружности равны?

161. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А и В и касается стороны CD квадрата.

162. В окружность радиуса R вписан правильный двенадцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину.

163. В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник ABC. Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторон AB и АС треугольника.

164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающейся этих трех окружностей.

165. Периметр равностороннего треугольника ABC равен Р. Найдите длину окружности, которая касается стороны AB и медиан AD и BE.

166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы его построения:

а) Герона Александрийского:

б) А. Коханского: AB — диаметр окружности, CD — касательная, проходящая через точку В; Z. СОВ = 30°, CD = ЗА. Искомый отрезок — AD (рис. 51);

в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8а 12 — Д;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то половина длины окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами.

167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около равностороннего треугольника, а другая проходит через центры вневписанных окружностей.

Длина дуги окружности

168. Хорды AB и CD окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и BD равны.

169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами.

170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам треугольника вне его катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника.

171. На стороне AB = а правильного шестиугольника ABCDEF вне его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шестиугольника.

172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности радиуса а. Найдите периметр криволинейного четырехугольника, ограниченного названными окружностями.

173. Вершины прямоугольника делят описанную окружность на части, длины двух из которых относятся, как 1 : 5.

Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямоугольника образует с его сторонами.

174. Радианные меры двух углов треугольника 4г и • Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих против названных углов.

175. Вершина А равностороннего треугольника ABC является центром окружности, проходящей через точки В и С. Биссектрисы углов В и С пересекают окружность в точках M и Р. Определите радианную меру центральных углов, соответствующих дугам PB, ВС, CM, MP.

Площадь круга и его частей

176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность. Определите площадь части круга, находящейся внутри треугольника.

177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника а. На катете, как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри треугольника.

178. AB — основание полукруга, точка M находится на окружности. Построены полукруги с диаметрами AM и ВМ. Докажите, что сумма площадей луночек (то есть частей полукругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади треугольника АМВ.

179. AB — диаметр полукруга, С — точка этого диаметра, CD — перпендикуляр к AB, причем точка D находится на окружности. Построены полуокружности диаметров АС и ВС внутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной тремя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга диаметра CD (рис. 52).

180. На диаметре полукруга AD отложены равные отрезки AB и CD. На AB и CD, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и OF проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра EF.

Теорема косинусов

181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, а один из углов вдвое больше суммы остальных.

182. Вычислите величины углов вписанного в окружность четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.

183. Докажите, что в треугольнике ABC:

184. Медианы AD и BE треугольника ABC взаимно перпендикулярны, докажите, что 5 AB2 = АС2 + ВС2.

185. Вычислите

186. На диаметре AB окружности взята точка М; хорда CD параллельна AB. Докажите, что величина MC2 + MD2 не зависит от выбора точки С.

187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадратов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.

188. Квадрат произведения длин диагоналей параллелограмма равен сумме четвертых степеней длин двух смежных сторон. Найдите величины углов параллелограмма.

189. Точка M находится на стороне ВС треугольника ABC. Докажите, что AM2 - ВС = AB2 - СМ + АС2 . ВМ — ВС . ВМ X X СМ.

190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутренним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех названных окружностей.

191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно ос, ß, 7, докажите, что

192. Докажите, что в треугольнике ABC:

193. Докажите, что треугольник ABC — остроугольный, если: а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см.

194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окружности удален от концов гипотенузы на 7 и 5^2 см. Найдите длины сторон треугольника.

195. Докажите правильность формул для вычисления площади треугольника :

196. Докажите, что в треугольнике ABC:

197. Докажите, что в четырехугольнике ABCD:

198. Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон пересекаются под прямым углом. Докажите.

Теорема синусов

199. Площадь треугольника ABC равна Q. Определите величину а2 sin 2В + Ь2 sin 2А.

200. Точка M находится внутри треугольника ABC. Лучи AM, ВМ, СМ делят углы треугольника на части ai и аг, ßi и ß2, у\ и 72. Докажите, что sin ai • sin ßi • sin 71 = sin аг X X sin ß2 sin Y2.

201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, образуют со сторонами при этих вершинах такие углы ai, a2, ßi, ß2> У\9 Y2» что sin ai sin ßi sin 71 = sin a2 sin ß2 sin 72, то эти лучи пересекаются в одной точке. Докажите.

202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехугольника?

203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.

204. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Докажите, что АН

205. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. M1 и Мг — центры масс треугольников ВОС и AOD, Н\ и Ну — ортоцентры треугольников АВО и С DO. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые М1М2 и H [Но взаимно перпендикулярны.

206. AB и АС — хорды окружности. На продолжении AB отмечена точка N на расстоянии AB от АС и на продолжении АС отмечена точка M на расстоянии АС от AB. Докажите, что MN равен диаметру данной окружности.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

207. Докажите, что в треугольнике

208. Используя результат задачи 207, установите, что:

209. Докажите, что в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.

210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.

211. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Периметры треугольников АБО, ВСО и параллелограмма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.

212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?

213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

Аксиомы стереометрии и следствия из них

1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?

2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).

3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.

4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?

5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?

6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?

7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?

8. Плоскость ô пересекает плоскости а и ß. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются аир.

9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

13. Точки А, В, С, D лежат вне плоскости параллелограмма KLMN, причем К — середина AB, L — середина ВС, M — середина CD. Является ли N серединой отрезка AD?

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в одной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях ô и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пересекают ни одной из названных плоскостей?

16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости : одна в точках А и В, другая — в точке С и еще одной, которую требуется построить.

17. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех параллелограммов.

18. Точка M лежит вне плоскости правильного шестиугольника ABCDEF. Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков MB и MC, параллельна: a) AD; б) CD?

19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC.

20. Точка M находится вне плоскости правильного пятиугольника ABCDE. Каким сторонам или диагоналям пятиугольника параллельна прямая, проходящая через центры масс треугольников MAB и МАЕ?

21. M и N — центры граней АВB1A1 и ВСC1B1 куба ABCD A1B1C1D1. Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямая MN?

22. ABCDEF — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и AF, CD и EF равны и параллельны. Параллельны ли звенья AB и DE?

23. ABCD — квадрат со стороной 6 см. Точка M удалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Определите расстояние от середины отрезка MA до середин всех сторон квадрата.

24. Периметр правильного шестиугольника ABCDEF равен Р. Точка О, находящаяся вне плоскости шестиугольника, соединена отрезком с каждой его вершиной. Из центра масс треугольника О AB проведены до пересечения в точках M1, М2, Мз, М4, Ms, Me с плоскостью шестиугольника прямые, соответственно параллельные OA, OB, ОС, OD, ОЕ, OF. Найдите периметр и площадь шестиугольника М1М2М3М4М5М6.

25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

26. ABCD — квадрат со стороной 6 см, прямые AM и CT параллельны. На них по одну сторону от квадрата отмечены такие точки МиГ, что MA : ТС =4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая МТ пересекает плоскость квадрата?

Параллельность прямой и плоскости

27. Плоскости био пересекаются. Докажите, что через каждую точку плоскости Ô можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости а, либо принадлежит плоскости а. Является ли названная прямая единственной прямой, обладающей таким свойством?

28. Через точку М, не принадлежащую плоскостям а и ß, можно построить только одну прямую, параллельную этим плоскостям. Докажите, что плоскости а и ß пересекаются.

29. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух медиан треугольника и пересекающая его плоскость, параллельна одной из его сторон.

30. Точка M находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Постройте линию пересечения плоскостей АВМ и CDM. Параллельна ли она плоскости параллелограмма?

31. По условию задачи 21 докажите, что прямая MN параллельна плоскости: a) ABC; б) A1B1C1\ в) проходящей через ребра АA1 и Cd.

32. ABCDA1B1C1D1 — куб. Докажите, что ребро DD1 параллельно плоскости: а) АВB1\ б) ВСC1\ в) проходящей через ребра АA1 и Cd; г) проходящей через середины ребер A1B1, AB, ВС.

Параллельность плоскостей

33. Стороны двух углов соответственно параллельны. Докажите, что либо эти углы равны, либо сумма их градусных мер равна 180°.

34. Стороны параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно параллельны. Пересекаются ли в одной точке отрезки АС и BD \, СA1 и Dßi? Если не всегда, то при каком условии они обязательно имеют общую точку?

35. На одной из параллельных плоскостей даны точки А и В, на другой — точки С и D. Середины отрезков АС и BD не совпадают. Докажите, что прямая, проходящая через эти середины, параллельна названным плоскостям.

36. Точка M находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Лежат ли в одной плоскости середины отрезков MA, MB, MC, MD?

37. Через вершины правильного шестиугольника ABCDEF проведены параллельные прямые, пересекающие его плоскость. Докажите, что плоскости, проходящие через прямые ВB1 и FF и СC1 и ЕЕ\, делят отрезок с концами на АA1 и DD1 на три части, одна из которых равна сумме двух других.

38. По условию задачи 37 определите, в каком отношении плоскости, проведенные через АA1 и CCi, АA1 и DD19 делят отрезок с концами на ВB1 и ЕЕ\.

39. ABCDA1B1C1D[ — куб. Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней, содержащих точку А, параллельна плоскости B1CD1.

40. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках Au А2, А3; другая — в точках Ви В2, Вз. Докажите, что А]А2 : B1В2 = А2А3 : В2Вг.

41. По условию задачи 40 известно, что AiA2=4cm, В0В3 = 9 см, А2Аъ = B1В2. Найдите длины отрезков Ai Аз и B1ВЪ.

Изображение пространственных фигур

42. Две медианы треугольника ABC соответственно параллельны двум медианам подобного треугольника DEF. Параллельны ли третьи медианы этих треугольников?

43. Изобразите правильный шестиугольник, зная, что данная плоскость делит пополам две не параллельные и не смежные его стороны.

44. Дано изображение квадрата ABCD и точки M на стороне AB. Постройте изображение прямой, проходящей через А перпендикулярно MD.

45. Дано изображение правильного шестиугольника ABCDEF. Постройте изображение биссектрис угла: а) АСВ; б) ВАЕ; в) между АС и BD; г) между АС и BE.

46. Чтобы получить изображение правильного восьмиугольника, построили изображение квадрата ABCD. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересеклись в точке О. Каждый из отрезков, исходящий из точки О, продлили на — его длины. Полученные точки и вершины квадрата считали изображением вершин правильного восьмиугольника. Верно ли это? Если да, определите точность построения (рис. 54).

47. ABCD — изображение квадрата. На сколько нужно продлить в обе стороны отрезки, соединяющие середины каждых двух соседних сторон квадрата, чтобы полученные точки и вершины квадрата оказались изображением вершин правильного двенадцатиугольника?

48. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Укажите на изображении точки касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

49. Дано изображение равнобедренного прямоугольного треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на гипотенузе, а две — на катетах.

50. Дано изображение равностороннего треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник.

51. Дано изображение ромба, у которого одна диагональ равна стороне. Изобразите высоты ромба, проходящие через его центр.

52. Дано изображение прямоугольного треугольника, у которого отношение катетов равно 2:3. Постройте изображение серединного перпендикуляра к медиане, проведенной к большему катету.

53. Дано изображение квадрата ABCD. Постройте изображение равностороннего треугольника АВМ.

54. Дано изображение прямоугольника, у которого отношение двух сторон равно 1 : 2. Постройте изображение серединного перпендикуляра диагонали этого прямоугольника.

Задачи на построение в пространстве

55. Дан пятиугольник ABCDE и проекции трех его вершин на плоскости. Постройте проекции остальных вершин.

56. Дан пятиугольник ABCDE и проекции трех точек, принадлежащих его сторонам, на плоскость Ô. Найдите проекцию пятиугольника на эту плоскость.

57. Дана проекция пятиугольника на плоскость и положение трех его вершин. Найдите положение4 остальных вершин.

58. Дана проекция пятиугольника на плоскость б, а также изображения трех точек плоскости пятиугольника, не лежащих на одной прямой, и их проекции на плоскость б. Постройте изображение пятиугольника.

59. Дана прямая Z, пересекающая плоскость б, и точка М, не принадлежащая ни прямой Z, ни плоскости б. Постройте через эту точку прямую, которая параллельна плоскости б и пересекает прямую Z.

60. Даны плоскость б и направление лучей света (то есть изображение соответствующей прямой и ее проекции на плоскость б). Постройте тень данного квадрата ABCD на эту плоскость (рис. 55).

61. Даны плоскость б и положение точечного источника света М. Постройте тень данного треугольника на эту плоскость.

62. Прямая AB лежит в плоскости б, а прямая CD пересекает эту плоскость; данная точка M лежит вне этой плоскости (рис. 56). Постройте через точку M прямую, которая пересекает AB и CD.

63. Дано изображение куба и направление лучей света. Постройте тень куба на плоскость его основания (рис. 57).

64. Постройте тень куба на плоскость его основания, если дано положение точечного источника света.

65. Основания двух кубов находятся в одной плоскости. Прямая пересекает поверхность одного куба в точках А и 3. В каких точках она пересекает поверхность другого куба?

66. Даны два куба, основания которых находятся на плоскости о, и положение точечного источника света. Как построить тень одного куба на поверхности другого?

Перпендикулярные прямые

67. Биссектрисы двух неравных углов равнобедренного треугольника соответственно параллельны двум биссектрисам углов другого равнобедренного треугольника. Параллельны ли основания этих треугольников?

68. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника соответственно параллельны биссектрисам двух внутренних углов другого треугольника. Параллельны ли соответственные биссектрисы внешних углов этих треугольников?

Перпендикуляр к плоскости

69. Сколько различных плоскостей определяют 4 перпендикуляра к одной плоскости?

70. Докажите, что прямые а и Ь параллельны, если они имеют два общих перпендикуляра.

71. ABCDA1B1C1D1—куб. Докажите, что любая высота грани АВB1A1 либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости A1B1C1.

72. Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если они имеют общий перпендикуляр.

73. Прямые а и b параллельны, а — перпендикуляр к плоскости ô, b — перпендикуляр к плоскости а. Параллельны ли эти плоскости?

74. Плоскость Ô не пересекает трапецию ABCD. Суммы расстояний концов от плоскости ô у обеих диагоналей одинаковы. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости о.

75. Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна плоскости о. Как расположена относительно этой плоскости средняя линия трапеции?

76. Одна из диагоналей ромба находится на перпендикуляре к плоскости о. Докажите, что вторая диагональ параллельна плоскости ô или находится на этой плоскости.

77. Расстояния вершин А, В, С параллелограмма ABCD от плоскости ô равны 7, 20, 11 см. Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости.

78. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, каждая из которых равно удалена от двух данных точек?

79. Какую фигуру образуют все точки, расстояния которых от двух данных параллельных плоскостей относятся, как 1 : 3?

80. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от плоскости ô и от точки M этой плоскости одинаковы?

81. Точка M находится вне плоскости о. Одна из сторон треугольника MAB находится на плоскости о. Какую фигуру образуют центры масс всех таких треугольников?

82. Прямая I параллельна плоскости о. Какую фигуру образуют центры всех таких параллелограммов, у каждого из которых одна сторона находится на прямой I, а другая — на плоскости о?

83. Треугольники ABC и АВМ — равносторонние, их периметры равны по 18 см. Зная, что СМ = 3^6 см, укажите на рисунке перпендикуляр к плоскости ABC.

84. Два квадрата, периметры которых по 24 см, имеют общую сторону. Расстояние между центрами квадратов 3^[2 см. Укажите на рисунке перпендикуляры к плоскостям этих квадратов.

85. Два правильных шестиугольника имеют периметры по 48 см. Отрезок AB — их общая малая диагональ, расстояние между центрами шестиугольников 4-^/2 см. Изобразите шестиугольники и перпендикуляры к их плоскостям.

Перпендикуляр и наклонная

86. Прямая I параллельна плоскости Ô. Какую фигуру образуют концы наклонных длины а, проведенных к плоскости ô из точек прямой /?

87. Из точки M к плоскости, не содержащей эту точку, проведены наклонные длиной 25 и 40 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости, зная, что сумма проекций наклонных на эту плоскость 39 см.

88. Точка M £ ô, длины наклонных MA и MB 30 и 25 см. Определите расстояние от точки M до плоскости о, зная, что разность проекций наклонных на эту плоскость 11 см.

89. К плоскости б из точки М, не лежащей в этой плоскости, проведены перпендикуляр МО и наклонные MA и MB. Зная, что Z. АМВ =60°, Z. АМО = Z. ВМО = 45°, найдите градусную меру угла между проекциями наклонных.

90. Плоскость проходит через основание трапеции на расстоянии 8 см от точки пересечения диагоналей. Найдите отношение длин оснований этой трапеции.

91. Вершины треугольника удалены от плоскости о, не пересекающей его, на 7, 15, 19 см. Найдите расстояния от середин медиан треугольника до плоскости о.

92. В треугольнике ABC A А = А В = 30°. Найдите на плоскости ABD точку с наименьшей суммой расстояний от вершин треугольника.

93. Концы отрезков AB и CD лежат на плоскостях био, причем точки А и С находятся на одной плоскости, а точки В и D — на другой. AB = 9 см, CD = 15 см, АС = 7 см, BD =11 см, отрезок AB перпендикулярен плоскостям ô и а. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.

94. В треугольнике ABC : AB = 5 см, AC = 7 см, A А = 60°. Его проекция на плоскость, параллельную ВС и проходящую через А,— треугольник с углом 120°. Найдите расстояние от стороны ВС до этой плоскости.

95. Проекция прямоугольного треугольника на плоскость, проходящую через вершину прямого угла параллельно гипотенузе, есть треугольник с углом в 120° и сторонами этого угла 8 и 9 см. Найдите расстояние от этой плоскости до гипотенузы.

96. Плоскость параллельна наибольшей средней линии прямоугольного треугольника ABC. Проекции сторон треугольника на эту плоскость 11, 12, 19 см. Найдите площадь треугольника ABC.

97. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC проходит плоскость Ô, которая параллельна гипотенузе ВС и удалена от нее на 24 см. Зная, что ВС = 50 см, а проекции катетов на плоскость б относятся , как 9 : 16, найдите площадь треугольника ABC.

98. В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник ABCj точка M находится вне его плоскости. Докажите, что MA2 + MB2 + MC2 = 2 (R2 + MO2), где О — центр окружности.

99. МО — перпендикуляр к плоскости, проходящей через ее точку О. MA = 10 см, MB = 16 см, АОАМ = 2 АОВМ. Найдите МО.

100. Из точки М, находящейся вне плоскости б, проведены к этой плоскости перпендикуляр МО и наклонные MA и MB.

Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, А АМО = -|- A ВМО, найдите МО.

101. Из точки M проведены к плоскости б перпендикуляр МО и наклонные MA, МБ, MC. Проекции MB и MC меньше проекции MA на 33 и 48 см, АОАМ : АОВМ : АОСМ = = 1:2:3. Найдите МО.

Теорема о трех перпендикулярах

102. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны данного треугольника?

103. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от трех прямых, находящихся в плоскости Ô?

104. Катеты прямоугольного треугольника ABC 12 и 16 см. Точка M удалена от каждой из прямых AB, АС, ВС на 13 см. Найдите ее расстояние от плоскости ABC.

105. Точка M удалена от вершины и сторон прямого угла соответственно на 16, 12, 11 см. Найдите ее расстояние от плоскости прямого угла.

106. На плоскости ô дан угол в 60°. Точка M удалена от его вершины на 5 см, а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости названного угла.

107. Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка M удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости трапеции.

108. На плоскости ô отмечены точки А и В, на плоскости а — точки С и D так, что AB = 13 см, CD = 14 см, АС = 8 см, BD =17 см, причем прямая АС перпендикулярна плоскостям био. Найдите расстояние между АС и BD.

109. Если существует точка, равноудаленная от всех сторон параллелограмма, то этот параллелограмм — ромб. Докажите.

Перпендикулярные плоскости

110. Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного угла (меньше развернутого) и образуют с его сторонами равные углы?

111. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от двух данных пересекающихся прямых?

112. Прямоугольник ABCD, стороны которого 3 и 4 см, перегнули по диагонали АС так, что треугольники ABC и ADC оказались в перпендикулярных плоскостях. Определите расстояние между точками В и D после перегиба.

113. Плоскости аир перпендикулярны плоскости о. Докажите, что линия пересечения плоскостей а и ß перпендикулярна плоскости б.

114. Концы отрезка AB лежат на двух данных взаимно перпендикулярных плоскостях. Опущены перпендикуляры АA1 и ВB1 на линию пересечения плоскостей. Зная, что AB = = 21 см, АA1 = 11 см, ВB1 = 16 см, найдите A1B1.

115. Квадраты ABCD и ABC1D1 имеют площади по 32 см2. Зная, что расстояние между CD и C1D1 равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно перпендикулярны.

116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок AB имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45°. Найдите угол между направлениями I и AB.

117. ABCD — квадрат, плоскость MAD перпендикулярна плоскости квадрата, MN || AD На AB дана точка Т. Как построить через зту точку прямую, образующую равные углы с AB и MN?

118. Периметры равносторонних треугольников ABC и ABD равны по 24 см, плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Постройте общий перпендикуляр медиан АО и DM этих треугольников и найдите его длину.

119. Плоскости квадрата ABCD и равностороннего треугольника АВМ взаимно перпендикулярны, AB = а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3* 2), (8; 7; —1). Найдите координаты четвертой вершины.

121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1* 8), (4; 7; 1), (3; 5; —8). Найдите координаты четвертой вершины.

122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2; 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиугольника ABCDEF: (—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите координаты остальных вершин и центра шестиугольника.

124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой плоскости.

125. Лежат ли на одной прямой точки А(5; —1; 4), В(4; 3; 1), С(3; 7; -2)?

126. Докажите, что отрезки AB и CD, концы которых находятся в точках А(8; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), D(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1 : 2.

127. На ребрах A Au BXCU CD куба ABCDA1B1C1D1 найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости ху и пересекает отрезок с концами А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пересечения.

129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от точек с координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130. ABCD — прямоугольник, точка M находится вне его плоскости. Докажите, что MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

131. Точка M находится вне плоскости треугольника ABC, центр масс которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК = 3 KT. Докажите, что ÄK + ВК + CK -f- МК = Ö.

132. Если направление AB образует с направлениями CD, CE, DE равные углы, то прямая AB перпендикулярна плоскости CDE. Докажите.

133. Верно ли, что, если M — центр правильного многоугольника A1А2Аз... Ап, то МА \ + МА2 + МА3 + ...+ МАп — = О?

134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника.

135. Точка M отстоит от центра куба ABCDA1B1C1D1 на 7 см. Найдите длину вектора MA + MB + MC + MD + MA \ + + MB1 + MCx + MD1. _

136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ + + МР2 + МРз+МР4 + МРь + МР,9 где Р,, Р2, Р3, Р4, Р5, Рб — центры граней куба.

137. Через центр масс Т треугольника ABC проведена прямая, на ней отмечены такие точки Au B1> Си что АA1 || Il ВB1 II CCi. Докажите, что: а) АЛХ + ВВ{ + CCi = Ö; б) ТА \ + ТВ{ + ТСх = 0.

138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно определить, как совокупность точек М, удовлетворяющих условию AM — р AB, где —оо < р < оо. Какое число р соответствует точке А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из векторного задания, получить координатное задание прямой?

139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С, можно определить как совокупность точек М, удовлетворяющих условию AM = р AB + q АС, где — оо < р < оо, — оо <С q < оо.

Преобразование фигур в пространстве

140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости о, на которую спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В.

141. Точки M и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от M и N.

142. Точки А и В находятся по разные стороны плоскости Ô, на которую они спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек А и В.

143. ABCDA1B1C1D1 — куб. Точка M находится на грани CDD1C1y а точка N — на луче A1А вне куба. Найдите на плоскости ABC точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек M и N.

144. О — центр грани ВСC1B1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите на плоскости ABC все точки, равноудаленные от точек О и Ai.

145. Даны точки А(6; 0; 0), Б(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой AB и на плоскости xz.

146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса вершина наибольшего угла переместилась в центр описанной окружности. Найдите новые координаты вершин треугольника.

147. Выполните параллельный перенос куба ABCDA1B1C1D1, чтобы его вершина А переместилась в центр грани ABCD.

148. Выполните параллельный перенос куба ABCDAiBiCiDi, чтобы центр грани ADDiAi переместился на середину отрезка AB.

149. Известно положение вершин А(1; —3; 4), Б(3; 1; —1), С(4; 0; 2) параллелограмма ABCD. Построена фигура, симметричная параллелограмму относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка D.

Углы между прямыми

150. Найдите величины углов между диагоналями куба.

151. Дан куб ABCDAiBiCiDi. Постройте прямую, которая образует углы по 60° с прямыми ВС и AiBi.

152. M — середина ребра CCi куба ABCDAiBiCiDi. Найдите угол между AiM и прямой, которая проходит через точку В и середину отрезка AiM.

153. M — центр грани BCCiBi куба. Найдите угол между прямыми A1М и DM.

154. Найдите на диагонали BDX куба ABCDAiBiCiDi такую точку Р, чтобы прямые АР и CP пересекались под прямым углом.

155. Найдите угол между направлениями BAi и BiDu если отрезки BAi и BiDi — диагонали соответствующих граней куба.

156. По условию задачи 152 найдите угол между направлениями AiM и BDi.

Угол между прямой и плоскостью

157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, образует с его диагональю угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает.

158. AD — высота прямоугольного треугольника ABC. Плоскость, проходящая через гипотенузу, образует с катетами

углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плоскостью и AD.

159. ABCD — квадрат, точка M находится вне его плоскости. Углы между прямыми MA, MB, MC и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите угол между прямой MD и плоскостью ABC.

160. Прямая I параллельна плоскости 6. Найдите на этой плоскости все такие точки М, что прямая, проходящая через M, пересекает ô и образует равные углы с Z и с плоскостью Ô.

161. Прямая проходит через вершину прямого угла и образует с его сторонами углы в 45° и 60°. Какой угол она образует с плоскостью прямого угла?

162. Через сторону AB равностороннего треугольника ABC проходит плоскость, образующая с прямой АС угол в 30°. Найдите углы между этой плоскостью и высотами треугольника.

163. На плоскости ху дана окружность (х — 4)2 + + (у — З)2 = 25. Точка А имеет координаты (0; 0; 5). Найдите на окружности такую точку В, чтобы угол между AB и ху был наименьшим возможным.

164. ABCD — квадрат, точка M находится вне его плоскости. Прямые ВС и АС образуют с плоскостью АВМ углы, градусные меры которых разнятся на а. Определите величины этих углов.

165. Из точки М, находящейся вне плоскости о, проведены к этой плоскости наклонные MA = 23 см и MB = 9 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью ô относятся, как 1 : 3, определите расстояние от точки M до плоскости б.

166. Из точки M, удаленной от плоскости б на 24 см, построены две наклонные, длины которых относятся, как 5 : 8. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1 : 2. Найдите длины наклонных.

167. Из точки M £ б проведены к плоскости наклонные MA и MB, проекции которых на плоскость 11 и 37 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью относятся, как 3:1, найдите расстояние от M до б.

168. MA и MB — наклонные, образующие с плоскостью б, содержащей точки А и В, углы, один из которых в 4 раза больше другого. Зная, что проекции наклонных на эту плоскость 600 и 119 см, найдите расстояние от точки M до плоскости б.

169. Из точки M к плоскости б проведены наклонные MA и MB длиной 79 и 25 см. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1:5. Найдите расстояние от точки M до плоскости б.

170. В точке О к плоскости б восстановлен перпендикуляр. На нем отмечены точки А, В, С так, что АО — ВО — 144 см, АО — СО — 25 см. Зная, что углы между наклонными MA, MB, MC и плоскостью относятся, как 1:4:3, найдите МО.

Угол между плоскостями

171. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых сумма расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна т?

172. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых разность расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна т?

173. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от пересекающихся плоскостей аир относятся, как m : ni

174. ABCD — квадрат, треугольники MAB и МВС — равносторонние. Найдите угол между плоскостями треугольников.

175. Длины сторон трапеции 19, 19, 19, 45 см. Плоскость проходит через основание трапеции под углом в 30° к плоскости трапеции. Найдите расстояние от этой плоскости до другого основания трапеции.

176. ABCD — квадрат. Точка M удалена от каждой стороны квадрата на AB. Найдите угол между плоскостью квадрата и плоскостью МВС.

177. Точка M удалена от каждой стороны равностороннего треугольника ABC на радиус окружности, описанной около треугольника. Найдите угол между плоскостями ABC и MAB.

178. Точка M находится внутри двугранного угла а и удалена от его граней на а и Ь. Найдите ее расстояние от ребра двугранного угла, если а, а, b соответственно равны: а) 120°, 22 см, 23 см; б) 60°, 2 см, 11 см; в) 30°, 2 см, 3 Уз см; г) 150°, 11см; 8^ см; д) 45°, 10 см, 7 -yß см; е) 135°, 8 см, см.

179. Точка M находится внутри двугранного угла в 45° и удалена от его ребра на 10 см. Найдите ее расстояния от граней двугранного угла, зная, что эти расстояния относятся, как 1 : 3 д/2.

180. Сторона равностороннего треугольника 6 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если плоскости MAB, MAC, МВС образуют с ней углы: а) 90°, 30°, 60°; б) 60°, 60°, 30°.

Площадь ортогональной проекции

181. Плоскости аир пересекаются. Треугольник ABC находится на плоскости а, его ортогональная проекция на плоскость р — Д A1B1C1. Ортогональная проекция на плоскость а треугольника A1B1C1 — Д А2В2С2. Найдите угол между плоскостями аир, если площадь треугольника А2В2С2 меньше площади треугольника ABC: а) вдвое; б) на 25 %.

182. Стороны треугольника ABC 25, 29, 36 см, его ортогональная проекция на плоскость ô — Д А \B1C1. Ортогональная проекция треугольника A1B1C1 на плоскость ABC — Д-А2В2С2,

стороны которого 12, 17, 25 см. Найдите угол между плоскостями ABC и б.

183. Докажите, что при параллельном проектировании двух многоугольников, лежащих в одной плоскости, на одну и ту же плоскость площади проекций относятся, как площади многоугольников.

184. На плоскости ô находятся квадрат и треугольник. Периметр квадрата 32 см, стороны треугольника 13, 37, 40 см. Проекция квадрата на плоскость ô — прямоугольник со сторонами 5 и 8 см. Определите площадь проекции треугольника на плоскость б.

185. Проекция квадрата ABCD на плоскость б — прямоугольник ABEF, причем ортогональная проекция точки F делит отрезок AD в отношении 1 : 3, считая от А. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника.

186. Ортогональная проекция квадрата на плоскость — четырехугольник со сторонами 2 и 4 см и диагональю 5 см. Определите площадь квадрата и угол между плоскостью квадрата и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости

187. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; 3; 8) и отсекает на координатных осях равные отрезки.

188. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает оси Ох, Oy, Oz в таких точках А, В, С, что AB = 10, АС = 17, ВС = 3 У29.

189. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки (0; 2; 5), (1; 0; 3), (1; 4; 0).

190. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает две координатные плоскости по прямым Зх — 2z — 6=0 и Зу + 6z — 15 = 0.

191. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна оси Oz и проходит через точки А(1; 5; 3) и В(4; 2; 1).

192. Найдите угол между плоскостями

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

Многогранник

1. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пирамиды?

2. Изобразите многогранник с общим числом ребер: а) 11; б) 13.

3. Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер.

4. Изобразите многогранник, отличный от пирамиды, у которого вершин столько же, сколько граней.

5. Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют ли данные точки единственный многогранник с вершинами в этих точках?

6. Может ли существовать многогранник с нечетным числом граней, причем все его грани — четырехугольники?

Призма

7. Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани — многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а все остальные грани — параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого определения.

8. Изобразите призму, у которой вершин столько же, сколько диагоналей.

9. Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости симметрии? Если да, изобразите призму, отвечающую этому условию.

10. Ребро куба 2 см. Паук находится в центре грани куба. Какой наименьший путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть в вершину параллельной грани?

11. ABCDEF A1B1C1D1E1F \ — призма. Докажите, что АB1 + + ВC1 + CD{ = AFi + FE1 + ED1.

12. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы образует с плоскостью основания угол, который на 15° больше угла между малой диагональю призмы и плоскостью основания. Найдите эти углы.

13. А и В — середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Найдите на плоскости нижнего основания призмы все такие точки, что прямые MA и MB образуют равные углы с плоскостью нижнего основания призмы,

14. Верно ли, что площадь боковой грани треугольной призмы меньше суммы площадей остальных боковых граней?

15. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани.

16. Три диагонали четырехугольной призмы имеют общую точку О. Докажите, что и четвертая диагональ призмы проходит через точку О.

17. Стороны основания прямой треугольной призмы относятся, как 5 : 9 : 10. Диагонали двух меньших боковых граней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей боковой грани.

18. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.

19. Основание призмы — прямоугольный треугольник ABC, две боковые грани (АВB1A1 и АСC1A1) — квадраты. Найдите Z B1АC1.

20. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от всех вершин данной правильной треугольной призмы.

Площадь поверхности призмы

21. Докажите, что площадь боковой грани любой призмы менее половины площади боковой поверхности призмы.

22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой диагонали основания. Найдите отношение площадей боковой и полной поверхности призмы.

23. Расстояния боковых ребер треугольной призмы от параллельных боковых граней равны 12, 15, 20 см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы.

24. Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 480, 312, 200, 128 см2. Найдите высоту призмы.

25. Основание прямой призмы — ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41, 50 см, найдите площадь боковой поверхности призмы.

26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны по 3 см. Найдите площадь поверхности призмы.

27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

28. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная /г-угольная призма, у которой диагональ боковой грани d?

29. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы.

Сечение призмы плоскостью

30. Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является остроугольным треугольником.

31. Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое — через ее центр. Зная, что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.

32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата.

33. Ребро куба а. Построено сечение, имеющее форму правильного л-угольника. Для каких п и как именно можно построить такие сечения? Вычислите его площадь для каждого возможного п.

34. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер AB и ВС параллельно диагонали BD1.

35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение, проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет форму квадрата. Найдите площадь поверхности призмы.

36. В правильной четырехугольной призме сторона основания 2 см, высота 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58).

37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ\.

38. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 боковая грань и сечение АB1С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного сечения и боковым ребром призмы.

39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треугольной призмы АВСA1B1C1 так, что сечением оказался равносторонний треугольник KLM периметра 36 см. Известно, что АК — 16 см, BL = 11 см, СМ — 5 см. Найдите угол между медианой KD сечения и плоскостью основания (рис. 59).

40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений.

Параллелепипед

41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра — параллелограмм. Докажите, что эта призма — параллелепипед.

42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда Z, диагональ его вдвое меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.

43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат площади сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба втрое меньше диагонали куба.

45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его ребер.

46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см. Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.

47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр основания 56 см. Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10, 9 см. Найдите стороны основания.

48. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Периметры треугольников ОАA1, О AB и OAD равны 36, 37, 29 см, АA1 =17 см, AB = 11 см, AD = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основания 10 и 11 см. Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными числами, найдите площади диагональных сечений.

50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите расстояния от центра параллелепипеда до вершин.

51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если бы каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы 274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.

53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, у которого длина диагонали d?

54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у которого сумма длин всех ребер 48 см?

Пирамиды

55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной плоскости?

56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме плоских углов при всех вершинах пирамиды. Определите число ребер этой пирамиды.

57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды.

58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно построить треугольник, стороны которого равны суммам скрещивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые соединяют середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, в 4 раза меньше суммы квадратов ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоугольными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Докажите, что сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды.

63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны которого 16 и 22 см. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между их проекциями 120°. Найдите высоту пирамиды.

65. Основание пирамиды — параллелограмм, периметр которого 48 см. Центр основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9, 11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды оказаться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом; в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником; д) трапецией?

67. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием.

68. Докажите, что только при п = 3 развертка полной поверхности /г-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

69. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

70. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды относятся, как 1:2:5:2. Найдите величины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды M ABC имеет длину I и образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал ползти из вершины А и, побывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в ту же точку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF равна а, угол между боковым ребром и сто-

роной основания, которую оно пересекает, 80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую возможную длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды, площадь основания которой равна Q, опущены перпендикуляры на плоскости граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров — К, L, M, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости, и найдите площадь четырехугольника KLMN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и имеют длины а, Ь, с, то высота пирамиды H связана с ними соотношением: Н~2 = а~2 + Ъ~2 + + е~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треугольной пирамиды равны, то высоты пирамиды пересекаются в одной точке. Докажите.

Площадь поверхности пирамиды

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания Q. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каждого диагонального сечения равна Q. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади боковой поверхности пирамиды? Если да, то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей остальных боковых граней? Может ли она превысить названную сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которой Q, проведены параллельно боковым ребрам пирамиды прямые ОA1, ОB1, ОC1, OD1 (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды OA1B1C1D1.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторонним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырехугольной пирамиды Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отношении 1 : 5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды M ABCD равна а, боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания AB и ВС параллельно ребру MB и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно противолежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро 14 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину медианы основания перпендикулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани проведено сечение. Докажите, что его площадь больше jjr площади основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани проведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше площади основания.

94. Основание пирамиды MABCD — ромб с диагоналями АС = 24 см, BD = 21 см. Боковое ребро MA = 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину ребра MC параллельно диагонали BD основания (рис. 64).

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений, параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины лежат на основании пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота пирамиды H = 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пирамиды имеет длину 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см. Найдите площади оснований усеченной пирамиды.

102. Отрезок 0O1 = 27 см, соединяющий центры оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25 см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отрезок, соединяющий середину малой диагонали большего основания с центром другого основания, параллелен одному из боковых ребер. Как относятся площади оснований усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований 2 и 5 дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры оснований усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильной шестиугольной усеченной пирамиды 5 и 11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной грани, 19 см. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых относятся, как 3:11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды 18 и 36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды ABCDEFA1B1C1D1E1F1 28 и 124 см. Расстояние от вершины А \ меньшего основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отношением сторон 3 : 4 и длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно меньшей диагонали меньшего основания. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плоскостью, являющееся правильным л-угольником?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла правильного тетраэдра и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите, что лучи OA, OB, ОС попарно взаимно перпендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллельные плоскости? Какую фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную данной правильной л-угольной пирамиде (п = 4; 6; 3) относительно середины высоты пирамиды.

121. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, точка M Ç A1B1. Постройте отрезок MN9 у которого середина находится на плоскости СC1АУ а точка N лежит на ребре CD.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах AB и MC и серединой на высоте МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрии.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости x-\-y-\-z — 3=0 относительно точки M (2; 2; 2).

125. Дан квадрат ABCD с вершинами А (4; 0; 0) и Б (8; 3; 0), плоскость которого параллельна оси Oz. Найдите координаты вершин квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. M ABCD — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней MAB и МВС; в) грани MAD.

127. АВСA1B1C1 — правильная призма. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости АВB1\ а) отрезку B1C1 б) данному отрезку с концами на ВС и A1C1.

128. Все ребра пирамиды MABCD равны. Найдите на плоскости ее основания точку, равноудаленную от точек РнТ, лежащих на MA и MC.

129. Точки D и Е находятся на боковых гранях правильной пирамиды МАВС. Найдите на плоскости ABC точку с наименьшей возможной суммой расстояний от D и Е.

130. Точки D и Е находятся на высоте треугольной пирамиды МАВС. Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек D и Е.

131. Точки D и Е находятся на стороне основания правильной пирамиды МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от D и Е.

132. На гранях АВВ[A1 и ВСC1B1 правильной треугольной призмы АВСA1B1C1 даны точки D и Е. Постройте равнобедренный треугольник, у которого вершина находится на ВВи концы основания — на AB и ВС, а боковые стороны проходят через D и Е.

133. Точки D и Е находятся на гранях MAB и МВС правильной пирамиды МАВС. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной на МВ> концами основания на AB и ВС, чтобы боковые стороны содержали D и Е.

134. Точки Е и F находятся на гранях MAB и MCD правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах MB и MC, а боковые стороны содержат точки Е и F.

135. ABCDEF A1B1C1D1E1F1 — правильная призма. Постройте на ее поверхности все точки, принадлежащие плоскости симметрии плоскостей: a)AAiß и CCiF; б) АA1В и АA1Е\ в) АA1В и AA1D1 г) АA1В и ВB1C1 д) АA1С и BBXF1 е) AA1D и ВB1Е\ ж) ААхС и DD1F.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое ребро одной равны трем сторонам основания и боковому ребру другой? Если нет, то какое нужно дополнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее основание — квадрат ABCD. Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а) в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. ABCDA{B1C1D1 — куб. Докажите, что пирамиды АВСB1 и DD1C1B1 равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных призм. Обоснуйте эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных пирамид. Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых граней соответственно равны?

143. MABCDEF — правильная пирамида. Докажите равенство пирамид: а) МАВС и MDEF; б) МВСЕ и MAFD.

144. ABCDEF A1B1C1D1E1F \ — правильная призма. Равны ли пирамиды: a) C1BCD и EE1D1F1\ б) A1ABF и C1CDE1 в) DAA1B1B и AjCdDiD?

Цилиндр

145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от данной прямой Z на а и равноудаленные от данных точек А и В?

146. Постройте изображение вписанных в окружность правильного восьмиугольника и правильного двенадцатиугольника.

147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением катетов 2 : 3.

148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной точке M под прямым углом.

149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной точке M под углом в 60°.

150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса.

151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и равнобокой трапеции с углом 45° при большем основании.

152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы на барабан наматывается 225 м троса диаметра 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос?

155. Около данного цилиндра опишите правильную четырехугольную пирамиду, высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, его образующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали куба с ребром a, a каждая из окружностей оснований касается трех граней куба, имеющих общую вершину.

Конус

158. В равносторонний конус, образующая которого I, вписана правильная шестиугольная призма, боковая грань которой — квадрат. Найдите площади диагональных сечений призмы.

159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь осевого сечения конуса.

160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равны а. Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите высоту конуса.

163. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Диагональ АC1 содержит высоту равностороннего конуса с вершиной А. Окружность основания конуса касается трех граней куба с общей точкой Ci. Найдите образующую конуса.

164. Основание конуса находится на грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1, у которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани A1B1C1D1. Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой, которая проходит через: а) B1 и середину DC; б) В и середину DCi; в) середины DC и ВВ{ (рис. 69).

Усеченный конус

165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного конуса?

166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каждого из которых концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осевое сечение этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.

168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная, что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по которой пересекаются поверхности этих конусов.

Сфера и шар

170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной точки А на все плоскости, проходящие через данную точку В?

171. Из точки M к данному шару можно провести три взаимно перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

172. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на а от данной сферы радиуса Ь?

173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса R, касающихся: а) данной плоскости б; б) двух данных плоскостей?

174. Даны плоскость б и точка M вне ее. Какую фигуру образуют центры сфер радиуса JR, которые проходят через точку M и касаются плоскости б?

175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере, имеют равные длины.

176. Плоскость fi касается шара в точке А. На продолжении диаметра AB = а взята такая точка С, что БС = 6, в ней помещен точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость Ô.

177. Диаметры AB, CD, EF сферы взаимно перпендикулярны. Каждый из них разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости, перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили сферу, если: а) п = 4; б) п = 6; в) п = 5; г) п = 8?

178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных сечения, радиусы которых относятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2 см, найдите площади сечений.

179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л и 320д, см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений имеет длину 16 см.

180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны.

181. В сферу радиуса R вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой, сторона основания а. Найдите радиус описанной сферы.

183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирамиды, у которой высота Я, а каждое боковое ребро Z, равен ^.

Установите, при каком соотношении между Z и H центр описанной сферы находится внутри пирамиды.

184. У треугольной пирамиды МАВС: MA = ВС = 16 см, MB = АС =19 см, MC = AB =21 см. Определите радиус описанной сферы.

185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.

186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы площадей ее противолежащих боковых граней равны?

187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.

188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды.

189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер тетраэдра.

190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образующая 15 см, вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.

Сфера и ее уравнение

191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по которой пересекаются поверхности шаров 30л см. Определите расстояние между центрами шаров.

192. Имеется обломок шара. На основании каких построений и измерений вы могли бы определить его радиус?

193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2 + + г2 = 4 и X2 + у2 + г2 — 24* — 12у + 16z — 168 = 0.

194. Установите взаимное расположение сферы х2 + У2 + -j- z2 = 16 и плоскости 2х — 2у + z — 12 = 0.

195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и (3; —1; 5) и касается плоскости ху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямоугольного параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см; б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих частей можно было сложить призму, основание которой: а) прямоугольная трапеция; б) равнобокая трапеция?

198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого расстояния от центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

199. На ребрах АA1 и ВB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA)B1C1D1 даны точки M и N. Постройте плоскость, которая проходит через эти точки и делит параллелепипед на равные части.

200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых гранях.

201. Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены последовательными целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов остальных. Определите длины ребер этих кубов.

202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов с данной длиной диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину, когда эти числа равны».

203. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры трех граней 36, 40, 48 см.

204. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22.

Объем прямого параллелепипеда

205. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали АC1 и BD1 взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 дм. Зная, что ВС = 3 дм, найдите объем параллелепипеда.

206. Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда 60°, площади диагональных сечений 56 и 72 см2, длина бокового ребра 4 см. Найдите объем параллелепипеда.

207. Расстояния от центра прямого параллелепипеда до основания и боковых граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = = 70 см. Определите объем параллелепипеда.

208. Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния от центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда

209. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро равно I и образует со сторонами основания углы в 45° и 60°. Найдите объем параллелепипеда.

210. Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские углы при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда.

Объем призмы

211. Площадь основания правильной четырехугольной призмы Q. Длины диагоналей двух граней относятся, как 1 : 3. Найдите объем призмы.

212. Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму правильной призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 % полезного объема, определите толщину стен.

213. Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основания а, боковое ребро Ъ, у другой сторона основания Ь, боковое ребро а (а> Ь). У какой из призм объем больше?

214. Две одноименные правильные л-угольные призмы равновелики. У какой из них больше площадь боковой поверхности?

215. Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно и стенки канала длиной по а. При какой величине угла между дном и стенками канала его пропускная способность будет наибольшей?

216. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы Q. Плоскость проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения.

217. Высота правильной шестиугольной призмы Я. Угол между двумя равными диагоналями призмы, проведенными из одной вершины, 30°. Найдите объем призмы.

218. Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади параллельных боковых граней 96

и 264 см2, а площади двух других боковых граней 156 и 180 см2. Найдите объем призмы.

219. Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306 см2. Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см2, а площади других боковых граней 75 и 205 см2. Найдите объем призмы.

220. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 : 39 : 16. Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы.

221. В цилиндр высоты 12 см вписана шестиугольная призма, у которой три стороны, взятые через одну, имеют длины по 3 см, остальные стороны основания — по 5 см. Найдите объем призмы.

222. В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой длины четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных сторон основания — по 3 см. Найдите объем призмы.

223. В сферу радиуса R вписана правильная треугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, наклонен к плоскости боковой грани под углом а. Найдите объем призмы.

Объем пирамиды

224. Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°. Найдите объем пирамиды.

225. Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее основание — трапеция с длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найдите объем пирамиды.

226. Длина каждого бокового ребра пирамиды 35 см, стороны основания 20, 34, 60, 66 см. Найдите объем пирамиды.

227. Высота правильной шестиугольной пирамиды Н. Расстояние от середины высоты до бокового ребра в 4 раза меньше стороны основания. Найдите объем пирамиды.

228. Длина пяти ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что объем пирамиды не более 1 см3,

229. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше

— квадратного корня из произведения длин всех ребер пирамиды.

230. Стороны основания усеченной1 треугольной призмы 28, 45, 53 см, а боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите объем усеченной призмы (рис. 70).

1 Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересекает все боковые ребра призмы, то полученные части призмы будем называть усеченными призмами.

231. Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых ребер.

232. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними 30°. Плоскость отсекает на трех боковых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см. Найдите объем той части призмы, которая заключена между основанием и плоскостью сечения.

233. Основание прямой призмы — трапеция, у которой стороны AB = CD = 13 см, ВС = 18 см, AD = 28 см. Плоскость проходит через точку С и отсекает на ребрах ВB1 и DD1 отрезки по 9 см. Найдите объем части призмы между основанием и проведенным сечением.

234. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АA1, точка M — середина ребра СC1, BD1 = а, КB1 = Ь, МB1 = с, причем BD и КB1 и МB1 попарно взаимно перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда.

235. Развертка поверхности пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите объем пирамиды.

236. Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см. Периметры двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см. Найдите объем пирамиды.

237. Даны тетраэдры МАВС и M1A1B1Си У которых трехгранные углы с вершинами M и M1 равны. Докажите, что объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер равных трехгранных углов.

238. Через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой грани правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду.

239. Через сторону основания и середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые при этом разделилась пирамида.

240. Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды.

241. Докажите, что объем правильной пирамиды меньше — куба длины ее бокового ребра.

242. Каждое боковое ребро пирамиды MABCD равно L Известно, что /- АМВ = ZL ВМС = Z. AMC =90°, Z. AMD = = Z. CMD. Найдите объем пирамиды.

243. Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линией AB, вершина пирамиды М, О — середина стороны, параллельной средней линии. Докажите, что объем пирамиды равен -|- произведения площади сечения MAB на расстояние от точки О до плоскости MAB (рис. 71).

244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все остальные грани — треугольники или трапеции, все вершины которых лежат на основаниях. Докажите, что объем многогранника V = — (Q\ + Q2 + 4Q0), где H — расстояние между плоскостями оснований, Q\ и Q2 — площади оснований, a Qo — площадь сечения, проходящего через середины всех ребер, не принадлежащих основаниям (рис. 72).

245. Найдите объем чердачного помещения, у которого основание — прямоугольник 6 X 12 м, высота 1,5 м, длина гребня 9 м.

Объемы подобных тел

246. У двух правильных треугольных пирамид двугранные углы при основаниях равны по 60°. Высота одной пирамиды равна стороне основания другой. Как относятся объемы этих пирамид?

247. При каком построении плоскость рассекает прямоугольный параллелепипед с измерениями 2, 4, 9 см на два подобных параллелепипеда? Найдите объемы этих параллелепипедов.

248. Через центр масс основания треугольной пирамиды проходит плоскость, параллельная боковой грани. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду.

249. Объем правильной четырехугольной пирамиды MABCD равен V. В результате параллельного переноса вершина А переместилась в центр основания. Найдите объем общей части обоих положений пирамиды.

250. Найдите отношение объемов частей, на которые правильная треугольная пирамида делится плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды.

252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь сечения, параллельного плоскостям оснований, равна полусумме площадей оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило усеченную пирамиду?

Объем цилиндра

253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7 цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11 раз меньшими радиуса цилиндра (рис 73). Какая часть пороха сгорит после того, как горение перестанет быть прогрессивным?

254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались горизонтальными?

255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем?

Объем конуса

256. AB = 10 см и CD = 14 см — хорды основания конуса, вершина которого М. Плоскости MAB и MAC наклонены к плоскости основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса.

257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны 5,10,13 см. Построены два конуса, у которых вершины — центры оснований усеченного конуса, а основания совпадают с основаниями усеченного конуса. Найдите объем общей части этих конусов.

258. Около треугольной пирамиды, у которой периметры боковых граней 180, 194,196 см, описан конус Зная, что высота конуса лежит на одной из боковых граней пирамиды, определите объем конуса.

259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем?

Объем тела вращения

260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения.

261. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата со стороной а вокруг прямой, которая находится в плоскости квадрата, проходит через его вершину вне квадрата под углом а к стороне квадрата.

262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения.

263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба.

264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения.

Объем шара и его сегмента

265. Расстояние между центрами трех шаров, которые попарно касаются,— 6, 8, 10 см. Определите объемы этих шаров.

266. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый касается остальных. Найдите объем шара, который касается всех этих шаров.

267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы.

268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара: а) 9 : 4; б) 8 : 3.

269. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 40 % объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса.

270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при вершине пирамиды.

271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на координатных плоскостях и на плоскости 12л: + Зу + 4z — 24 = 0.

272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что Уц = ~\jvm • VK .

273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что Уц = yVm • VK .

274. Докажите, что объем шарового сегмента равен пН2 (а — -~ \ где R — радиус шара, а я — высота сегмента.

275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образующая 10 см, вписан шар. Через линию касания этих тел проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступающей из воды части 6 см. Найдите плотность материала, из которого сделан шар.

277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

278. Высота равностороннего конуса равна я и является диаметром шара. Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

Площадь поверхности цилиндра

279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра являются осями цилиндрических поверхностей радиуса Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного названными цилиндрическими поверхностями и основаниями призмы.

280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит ось цилиндра, найдите площадь полной поверхности цилиндра.

281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности конуса

282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

283. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диагональных сечений пирамиды содержит высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.

284. Квадрат ABCD площадью 120 см2, согнув, поместили на поверхности конуса. При этом диагональ АС совпала с образующей, а диагональ BD оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74). Определите объем и площадь поверхности конуса.

285. Радиус полушара R. На основании полушара построен конус, каждая образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите площадь поверхности этого конуса.

286. В сферу радиуса R вписан конус наибольшего возможного объема. Определите площадь поверхности этого конуса.

287. Радиус основания конуса R. Сфера касается основания конуса и делит каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности шара

288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая проходит через все вершины одной грани и касается параллельной грани куба.

289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найдите площадь сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба.

290. Развертка боковой поверхности треугольной пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите площадь сферы, вписанной в эту пирамиду.

291. Докажите, что площадь сферической поверхности шарового сегмента S = 2лДН, где R — радиус шара, а Я — высота сегмента.

292. Высота правильного тетраэдра H = 12 см. Точка, равноудаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.

293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих шаров.

294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, разделившая призму на части с отношением объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу?

295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит сферу?

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Примечание. В указаниях римская цифра, стоящая в скобках, указывает на номер соответствующего признака равенства треугольников.

1. 4 (рис. 75). 2. Рис. 76, а, б, в. 3. Условию удовлетворяют две конфигурации (рис. 77, а, б), на одной из них 18 отрезков, на другой 21. 4. 2 АС — ВС = 1.

5. 5 AB — 2 ВС = 1.6. -g- AB или —. 7. 8,4, 7, 5,11 км. 8. 8, 5, 6,10, 3, 7, 4 км.

9. A45A46 = А22А24 = А|4А17 = A7Ai2 = А5АМ = A1Аю. 10. От середины А3А1 до середины А7А8 или от середины А9Аю до середины A1\A12. 11. В 6 часов. Так как минутная стрелка движется (в минутах) в 12 раз быстрее часовой, то угол между стрелками повторяется через — поворота часовой стрелки по циферблату. За сутки таких положений 11 • 2 = 22. 12. В 3 часа или в 9 часов. Такие же углы будут через каждую — поворота часовой стрелки. За сутки таких положений 2 -11 -2= 44. 13. 5—-. минут второго, 10 —z минут третьего, 50 —- минут одиннадцатого. За сутки 22 раза.

14. Можно: 13° - 97 - 180° -7=1°. 15. 17° • 53 - 180° -5=1°. 16. Поровну: по 40°, по 80°, по 120°, по 160° — по 9 углов. 17. Острых углов 12, тупых 11. 18. Острых углов 18, тупых 17. 19. 2 пары. 20. 82°. 21. Не более 7.

22. 67°30', 112°30'. 23. 72° и 108° или и -у- . Если разность углов *, то один из углов Зх, а второй 2х или 4jc. 24. Если они прямые. 25. 2 пары. 26. Нет. 27. Не обязательно, на рисунке 78 биссектрисы углов А OB и COD не лежат на одной прямой. 28. Продлить на листе бумаги стороны угла и измерить смежный или вертикальный угол. 29. Да. 27° • 10 — 180° = 90° 30. Да. 31. Только, если а _1_ Ь. 33. Если высоты AD и BE в точке О делятся пополам, то А АОЕ = A DOB, АО = ВО = ОЕу что невозможно. 34. Да. 35. Да. 38. Да. 39. Аналогично задаче 38. Шаблон помогает строить равные прямоугольные треугольники. 44. На отрезке AB построить треугольники ABC и ABD с углами при вершинах А и В, равными данному. Прямая CD делит в точке О отрезок AB пополам. Далее аналогично разделить пополам отрезок АО и т. д. 45. Доказывается от противного. 47. Рис. 79: Д ABE — д EAD (I); £1=Z.2=Z3=Z4;Z BAD = Z. BED; AD = BE; Д ABD = Д EDB (I); Z. ABD = Z. EDB. A BCD — равнобедренный, Z. 5 = Z. 6; Д ABC = Д EDC. 51. Да. 53. Продлить медианы AD и A1D1 так, что DE = D1E1 — AD; Д ACE = = Д A1C1E1 (III), /L CAE = Z C1A1EU A ACD = Д A,C,D,(I), CD = C,D,, ВС = B1C1, Д ABC = А A1B1C1 (III). 54. Продлить равные катеты АС и A1C1 так, что CD = AC = CiZ>i. Д ACB = Д DCB (I), Д AiCßi = Д DiCiß, (I); DB = AB= A,ß, = D,ß,; Д ABD = Д A,B,D, (III); А А = А А,; Д АБС = = Д AißiCi (I). 55. Использовать результат задачи 54. 56. Да. 58. При любом размещении точек сумма длин 76 см. 59. 10, 13, 19 см. 60. В — раза.

63. С помощью шаблона построить Д MAB с углами MAB и MB А, равными шаблону. Затем построить Д CAB с такими же углами. Прямая MC — искомая.

64. Отложить АС = BD = k • а (а — раствор циркуля). Окружности (С, а) и (D, а) пересекаются на искомом перпендикуляре (рис. 80). На рис. 81 показано

построение, предложенное итальянским математиком Н. Тарталья (1500—1557). 65. Аналогично задаче 63. 67. Если известны АС = a, Z. А = а, AB + ВС = &, то построить Д ADC по а, Ь> а. Точка В определяется построением серединного перпендикуляра отрезка CD. 68. Если АС = Ъ, медиана ВО = т, высота СМ = = Л проведена к стороне Aß, то построить прямую АС, т. О — середину АС, окр. ( О, —), т. M — окр. (С, Л), прямую AM, т. В — окр. (О, т), прямую ВС. Задача имеет не более 2 решений. 69. Если даны катет ВС = а, AB — АС = Ь, то построить прямоугольный треугольник ВСМ с катетами а и Ь. Вершина А определяется пересечением прямой CA _L СВ и продолжения ВМ. 71. Если вершина угла О, построить луч, симметричный АО относительно AB. Задача не всегда имеет решение. 73. Аналогично задаче 72, но нужно иметь в виду 2 случая. 74. Использовать свойство серединного перпендикуляра. На I взять точки А и В. Окружности (A, AM) и (В, ВМ) пересекаются в точке ЛГ, симметричной М. Прямая MN — искомая. 75. Если точка A1 симметрична точке А относительно /, то ВА| определяет вершину угла. Решение одно, ни одного или бесконечно много. 76. По свойству биссектрисы угла точки, симметричные А относительно 1\ и 1о, лежат на прямой ВС. Поэтому построить точки А, и А:> и провести прямую А|А2 Это определяет точки В и С (рис. 82). 77. Не обязательно. 78. Углы МВС и NCB острые (как части прямых углов), поэтому их сумма не равна 180°, и прямые пересекаются (рис 83). 79. Да. 80. Да. 81. 120°. 82. Построить в точках А и В перпендикуляры АС и BD к AB, затем CD JL АС, соединить А и D, В и С. Л ABC = Л DCB (II), АС = BD, AB = CD, Z. ABC = Z BAD. Перпендикуляр из точки пересечения AD и ВС к AB делит AB пополам (рис. 84). 83. Построить Z. AMC = Z BMD = Z. MCD = Z OCD = Z СЯО (рис. 85), ОМ J_ AB. 84. Поместить линейку так, чтобы ее параллельные края проходили через А и В, и провести по этим краям прямые. Затем изменить направление краев линейки и повторить построение. Пересечения полученных пар прямых — точки, через которые проходит искомая прямая. 85. Провести через M произвольную прямую /. Приложив к ней линейку, построить параллельные / прямые 1\ и /2. Приложив линейку так, чтобы ее края проходили через M и одну из полученных точек С, провести через С прямую h. Она пересекает U в точке О. Прямая МО _L AB (рис. 86). 86. Построить UWU так, чтобы расстояние между U и 1\ равнялось расстоянию между h и h. Отметив О 6 /4, построить окр. (О, а). Если она пересекает U в точках А и В, то искомые прямые параллельны OA и OB (рис. 87). 88. l\ II /4» h II h- 89. Да. 90. Если стороны двух углов соответственно перпендикулярны, то либо эти углы равны, либо их сумма равна 180°. Поэтому, если углы одного треугольника х, у, z, то углы другого либо х, у, г, либо X, у, 180° — г, либо х, 180° — у, 180° — г, либо 180° — х, 180° — у, 180° — г. В двух последних случаях сумма углов второго треугольника больше 180°, что невозможно, а в двух первых углы треугольников соответственно равны. 93. 120°. 94. 360°. 95. 1 : 1. 96. Если Z. А < А В, то отложить на АС отрезок CD = ВС, Л ABD можно построить по AD и прилежащим к ней углам. Вершина С лежит на серединном перпендикуляре отрезка BD. 97. Если Z_ 1 = X, то Z. 2= X, Z. 3 = 2х, Z. 4 = 2xf Z. 5 = 3*, Z. 6 = Sx, /. 7 = 4х, Z. А = 4*; 4* + 4х + х = 180°. Углы треугольника: 80°, 80°, 20° (рис. 88). 98. Каждый из углов O1, о2, 03 равен полусумме соответствующих углов треугольника ABC. 99. 30°, 66°, 84°. Если обозначить углы через 2х и 2у, то получим 4 системы уравнений: 1) 2х + у = 63°, я + 2у = 81°; 2) 2х + у = 63°, X + 2у = 99°; 3) 2х + # = 117°, х + 2i/ — 81°; 4) 2* -h 1/ = = 117°, X + 2у = 99°. Однако только первая приводит к остроугольному треугольнику. 100. 72°, 72°, 36° или -^р-, ^у^-, . 101. 30°, 60°, 90°. 102. Первое решение. Углы при основании по 50°. Так как при точке В углы 50° и 10°, сумма которых 60°, построить равносторонний Л BDC (рис. 89). Л ABD = Л ACD (III), Z. ADB = 60° : 2 == 30°, г. ABD = 60° - 50° =10°; Д ADB = Л МСВ (II), AB = ВМ. Z ABM = = 50° - 10° = 40°; Z. BMA = (180° — 40°) : 2 = 70°. Второе решение. Луч СМ пересекает высоту AÜT в точке О (рис. 90); Z. ВОК = Z. СОК = 60°, Z.AOß= ZAOC= 120°; Z ABO = ZMBO= 20°; Л АБО = Л МВО (II), т. е. АВ^ВМ. Поэтому А АМВ = (180°—40°) : 2 = 70°. 103. Первое реше-

ние. Углы при основании АС по 80°. Комбинация углов 80°— 20° = 60° подсказывает построение равностороннего треугольника ACD (рис. 91). A ABD = = Л CBD (III), Z ABD = Z CBD = 20° : 2 = 10°; Z_ BCD = 80° -60° = 20°; Л CBM = Д ABD (I), Z МСВ = Z ABD = 10°, Z MCA = 80° - 10° = 70°. Второе решение. Построить CO _L AB, продлить CO на ОТ = CO, построить равносторонний Д ТКС и ДГР так, что Z С#Р = 10° (рис. 92). Д ГАС = = Л КРС (II), Z КРВ = 20° = Z В. Таким образом, точка M совпадает с точкой К, Z КС А — 60° 10° = 70°. Третье решение. Построить окр. (С, АС), это даст ÜT 6 ^В. По построению CK" = D£ — ЕК (рис. 93), Д СДГЯ — равносторонний, Z EDK = 40°, Z DKE = 40°, Z BED = 20° = = Z. В, DB = АС, т. е. точки D и M совпадают. Т. к. Д DBC — равнобедренный, то Z£CD = Z EDC = 20° : 2 = 10°. Z АСМ = 80° — 10° == 70°. Четвертое решение. Построить CK \\ AB, ВК || АС; Д ВКС = Д CAB, Д BÄ'D — равносторонний (рис. 94). Д CÄ7) = Д CBD (III), Д CBD = Д CßM(I). Поэтому Z ВСМ = Z BCD =r Z. KCD = 20° : 2 10°; Z MCA = 80° — 10° = 70°. Пятое решение. Построить перпендикуляры АК и CP к АС и лучи ВК и BP так, что Z ABÜT = Z СВР = 20°. Д К BP — равносторонний, причем KP II АС и ЯГР = АС. Так как BP = ВМ, то Д ВМС = Д ВРС (I), Z МСВ = = Z. ВСР = 90° - 80° = 10°; Z. МСА = 80° - 10° = 70° (рис. 95). 104. Первое решение. Углы при вершине В 80° и 20°. Комбинация углов 80° — 20° = 60° подсказывает целесообразность построения равностороннего A MDB (рис. 96). ЛАВМ= A CBD (I); Z. MAB = Z. DCB, A CDB = 150°, Z MDC = 150°, Д BDC = Д MDC (I), Z CMD = Z CBD = 20°, Z ВМС = = 60° + 20° = 80°, Второе решение (рис. 97). Луч AM пересекает высоту BD в точке О. Z МВО = 30° = Z ВМО; ВО = МО; Z BOA = 120°, Z AOD = 60°, Z AOC = 120°. Поэтому Z AOC = Z BOC, Z OMC = 50°, Z ВМС = 50° + 30° = 80°. Третье решение. Построить A BDC = = A BMA. Так как ВМ = BD и Z MBD = 100° - 20° - 20° = 60°, то Д MBD — равносторонний. Далее в духе первого решения. 105. Рис. 98. 107. Любой треугольник можно разрезать на 2 прямоугольных треугольника. Прямоугольный треугольник делится медианой, проведенной к гипотенузе, на два равнобедренных. 109. Учесть, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 110. Отметить на AM такую точку О, что Z А СО = = 15°. Тогда АО = ОС, Z. СОМ = 30° = Z В; ОС = СВ; Z ОСМ = 90° — 15° = 75° = Z СОМ; ОС = ОМ. Следовательно, AM = 2 ОС » 2 ВС. 111. Построить ОМ ± АС (рис. 99). Д ADB = Д ADO (II), BD = DO; Д AOD = Д АОМ (II), ОМ= OD= -|-ВО = -~ОС; Z С = 30°; Z ВАС = -|-(90° — 30°)= 90°, ZB = 60°. 112. Если к рисунку 99 добавить Д ADE, симметричный Д ADC, то станет очевидным ответ: 30°. 114. 36°, 54°. 115. 15°, 75°. 116. 15° и 75°. Построить медиану к гипотенузе. 117, По свойству биссектрисы угла, DK = DA, ЕМ = ЕА. Построить АР _L ВС, т. е. АР || DK \\ ЕМ. Z РАМ = Z МАЕ = Z AME, Z РАЯГ = Z A#D = Z KAD. Следовательно, Z MA/JT = -|- Z BAC = 45°. 118. Пусть MB = *, тогда uM = 3 км/ч; Z M == 60°, Z MAB = 30°, MA = 2*; BD = 1,5*, АС = 0,5дг, vB = x км/ч. Пусть они попадут в Р и Т через г/ часов. Так как Z М7\Р = 30°, то МТ = 2 MP; 2 (2,5.г + 1/я) = 2,5jc + Зг/лс; л: = 0, у — 2,5 (часа). 119. Первое решение. При вершине А углы в 75° и 15°, их разность 60°. Это подсказывает построение равностороннего треугольника AMD (рис. 100). Д ABM = A ACD (I), Z ADC = = 150°, Z.MDC= 150°, AACD= Д MCD (I). Углы при точке С по 15°, Z МВС = 30°, Z ВМС = 135°. Второе решение. ВМ пересекает высоту AD в точке О (рис. 101); Z МАО = Z АМО = 30°, Z АОМ » 120°; Z АОВ = = Z BOC, Z АСО = 15°, Д А ОС = Д МОС (I), Z ОСМ = Z ОСА = 15°, Z МСВ = 15°, Z МВС = 30°, Z ВМС = 135°. 120. Построить диаметр через точку пересечения хорд. Если бы они делились в этой точке пополам, то диаметр был бы перпендикулярен обеим хордам, что невозможно. 121. Эти углы H--—, 90° -I---—, 90° H--—. 122. По свойству касательных (рис. 102), AD = АЕ, BD = ВК, КС = СЕ. Р = AB + АС + ВС = AB + + -АС + BUT -f ÜTC = AB + AC + BD + CE = AD + АЕ = 2AD = 20В.

123. Учесть, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой с: тпс = —.

125. Если МК JL а, то, по свойству касательных (рис. 103), KP — KT = = МК. Это позволяет найти точки касания, а затем и центры окружностей. 126. 24 см. 127. Окружность, имеющую с данной общий центр. 128. Центр окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров отрезков Л В и CD. 129. Определив построением b — расстояние от центра О до хорды длиной а, построить треугольник с гипотенузой ОМ и катетом Ь.

130. Отложить на МО\ отрезок MA — R2 Искомый центр О лежит на пересечении прямой МО[ с серединным перпендикуляром отрезка АОг (рис. 104).

131. Если даны АС = Ь, АA1 — h и R, то построить прямую AiC, затем перпендикуляр АA1 = h к ней, окр. (А, Ь). Это даст точку С. Окр. (А, R) и окр. (С, R) определят О, а окр. (О, R) определит В на А [С. Задача имеет не больше двух решений. 132. Построить прямоугольный Д CDE, у которого CD = hc, CE — mc. Перпендикуляр к DE в точке Е и окр. (С, R) определят центр описанной окружности. Окр. (О, R) определит на прямой DE точки А и В. Число решений — не более двух. 133. Серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего точки касания, определит на данной биссектрисе центр вписанной окружности. 136. MA — диаметр окружности, проходящей через точки Ау В, С. 138. Так как треугольники ОКА, OK В, OL A, OLC, ОМ В, ОМС—прямоугольные (рис. 105), то Z KOL = 2 (я0° - = ZB + ZC, ^КОМ= ZA + Z С, Z MOL sas Z А + Z В. Найденные углы вдвое больше углов Л KLM. 139. 56°, 84°. 140. Как видно на рисунке 106, условию отвечают две конфигурации: а) если Л ABC — остроугольный, то углы 52°, 61°, 67°; если он тупоугольный, то углы 9°, 52°, 119°; б) 14°30', 23°30', 142° или 9°, 14°30', 156°30'. 141. 60°. 142. Точки A1 и B1 лежат на окружности диаметра AB. Центр этой окружности — пересечение данной прямой и серединного перпендикуляра отрезка A1B1. Окружность (О, O1АХ) определяет точки An В. Прямые АB1 и ВA1 пересекаются в точке С. 143, Если продлить медиану ВО на ОМ = ВО, то Д ОСМ = Л О AB (I), Z ОСВ = 90°. Поэтому план построения: ВО — ОМ — окр. (В, ВС) — окр. (диам. OB) — С — AB — ВС. 144. Построить Л ADE по катету AD и острому углу Е, найти центр описанной окружности О как пересечение окр. (A, R) с перпендикуляром к DE, проведенным через точку Е. Окружность (О, R) пересекает прямую DE в точках В и С (рис. 107). Решений не более двух. 146. Отложить на MC отрезок MP — MA (рис. 108). Z АСМ = = Z ABM, Z CAP — 60° — Z PAB = Z MAB; A CAP = Л ВАМ (II), CP = = MB. 148. Первое решение. Пусть Z. BAD = Z. DAE = /L ЕАО = = Z ОАС = X (рис. 109). Продлить медиану до пересечения с описанной окружностью в точке M. Z M = Z В = 90° — jc; Z АСМ = 180° — x — — (90° — x) = 90°. Таким образом, AM — диаметр, который пересекает хорду ВС, не будучи к ней перпендикулярным, и делит при этом ее пополам. Поэтому ВС — тоже диаметр, Ах = 90°. Углы 90°, 67°3O1 22°30'. Второе решение. Построить диаметр через О перпендикулярно ВС (рис. 110). Он проходит через точку К окружности. ВК — КС, поэтому продолжение биссектрисы проходит через точку К. Z DAK = Z OAK, т. е. АО — ОК. Следовательно, середлинный перпендикуляр отрезка АК проходит через точку О. Таким образом, О — центр описанной окружности, он лежит на стороне треугольника. Поэтому Z ВАС = 90°. Далее как в первом варианте. 149. 90°, 66°, 24°. Решение, как в первом варианте задачи 148. 150. Построить ВО _L AM; Z ОВМ = 30°, ОМ = \вм = MC, Z МОС = Z МСО = 60° : 2 = 30° = Z ОВМ. Поэтому OB = ОС, Z ВОС = 2 Z ВАС. Следовательно, О — центр описанной окружности, АО = OB, Z ABO = 45°, Z ABC = 75°, Z ACB = 45°.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

1. 6 (две стороны и все отрезки диагоналей). 2. 8 (у квадрата). 3. Если все углы острые, то их сумма менее 360°, а это противоречит условию. 4. Построить AB, углы А и В и точку D (рис. 111). Если отложить на сто-

роне Z. В отрезок BE = ВС + CD, то точка С лежит на серединном перпендикуляре отрезка DE. 5. Построить Д ABD по сторонам AB, AD и Z. А. Вершина С определяется пересечением окр. (D, CD) и окружности, диаметр которой BD. 6. Например: а) противоположные углы попарно равны; б) две стороны равны и параллельны; в) противоположные стороны попарно равны. 7. Построить через M прямые, параллельные сторонам угла. Искомая прямая проходит через середину отрезка, соединяющего середины полученных на сторонах угла точек. 8. 90°, или 72° и 108°, или 45° и 135°. 9. Если вершина угла О, продлить ОМ так, что MA = ОМу и построить Aß и АС параллельно сторонам угла. Отрезок СВ искомый (по свойству параллелограмма). 10. Если M — середина АС, то BD строится, как в задаче 9. 12. Построить Д AßMi = Д DCM. Тогда AM\MD — параллелограмм, т. е. ВС = = AD = М[М (рис. 112). Т. к. Д АВM1 можно строить по обе стороны от AB, то задача может иметь два решения. 13. О — центр окружности, проходящей через точки В, D, К, M на пересечении прямой BD с серединным перпендикуляром отрезка КМ. Окр. (Ot OK) определяет В и D. Далее построить прямые через В и D, перпендикулярные соответствующим высотам параллелограмма (рис.113). 15. 10,5 см, 13,5 см. 18. 60° и 120°. 19. Если Z. А = Z. В = 90° и АС = BD, то ABCD — прямоугольник. Если Z. А = Z. С = 90°, то четырехугольник вписан в окружность, ее диаметр BD. T. к. АС = ßD, то и АС — диаметр окружности. В обоих случаях ABCD — прямоугольник. 20. 4 : 3. 21. 2а + 2Ъ. 22. 60° и 30°. 23. 45°. 24. Точки М, В, С, Е лежат на одной окружности, ее диаметры MC и BE. T. к. Z. MÄ" С — 90°, то и точка К лежит на этой окружности. Поэтому Z. ВКЕ = 90° (рис.114). 25. Z. АМВ = = Z. MAD; MD = AD = 2 CD; Z. CMD = 30°; Z. АМВ = (180° - 30°) : 2 = = 75° (рис.115). 26. Ромб. 27. Первое решение. Построить МО— = ВС так, что МО || ВС (рис. 116). ОМС = ZL МСВ = Z. ВМС; Z. ОМ£> = Z. MDA = Z. AMD. Поэтому Z. CMD = Z. АМВ =30°. Второе решение. Построить отрезок МО, который равен и параллелен ВС. Тогда МВСО и M ADO — ромбы, MC и MD — биссектрисы углов ромбов. Поэтому CMD = — Z. АМВ = 30°. Третье решение. Построить отрезок МО, который равен и параллелен ВС. Тогда Д OCD — равносторонний. Точка О — центр окружности, проходящей через точки М, С, D. При этом Z. CMD — вписанный. Поэтому Z. CMD = — Z. COD = 30°. 28. Использовать решение задачи 27.

29. Построить МК \\ AB (рис. 117). Тогда ZL ВАС + Z. BDC = 2 (А ВАМ + + Z. MDC) = 2 Z. AMD = 90°. Следовательно, Z. AÜTD = 90°, т. е. ABCD — ромб. Искомый угол 45°. 30. По центрам O1 и 02 построить прямые АС и BD, определить центр ромба О. 31. Расстояние между серединами AB и CD равно AB. Это позволяет найти середину CD. 32. Если Т — середина ВС, О — середина АС, то ОТ = ГС (рис. 118). Поэтому Г— пересечение серединного перпендикуляра ОС с окр. (Mf а). Задача имеет не более двух решений. 33. Квадрат, диагонали которого лежат на осях координат и имеют длины по 4. 34. Сторона квадрата 1. Для точек I \\ ВС сумма расстояний 1 -f- х + (1 + х) = 6; д: = 2. Поэтому искомые точки образуют фигуру, состоящую из 8 звеньев (рис. 119). 35. Из равенства треугольников выясняют, что BD = BE и ZI DBE = 90°. Аналогично рассуждают и в остальных случаях. 36. Построить луч МО и отметить на нем такую точку Mi, что ОМ| = ОМ. Точки N и Mi определяют прямую CD. Прямая AB параллельна ей, Z. ОАВ = 45° (рис. 120). 37. Окружность диаметра MN проходит через точку В. Если К — середина полуокружности, не содержащей В, то прямая OK содержит диагональ BD (рис. 121). 38. Продлить ВТ до пересечения с AD в точке Р (рис. 122). Д АВР = Д BCüf (II); АР = ВМ, т. е. MC = PD, около прямоугольника PMCD можно описать окружность, ее диаметры PC и MD. Т. к. Z. РТС = = 90°, то точка Т лежит на этой окружности. Вписанный угол M7"D опирается на диаметр, поэтому он прямой. 39. Сводится к построению треугольника по стороне и прилежащим углам (45° и 22°30' или 45° и 67° 30'). 40. Если ВМ = ВО, то Д АМО можно построить по AM и его углам. Точка В определяется пересечением прямой AM с серединным перпендикуляром отрезка МО

(рис. 123). 41. Таких точек 9: центр квадрата и третьи вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах квадрата по обе стороны от этих сторон. 42. Да. 43. Построить по другую сторону AM три таких же квадрата (рис.124). Т.к. АР = PK и Z АРК = 90°, то Z КАР = 45°. Но Z КАР = Z МАК + Z MAP = Z MAüT + Z MAE; Z DA С = 45°. Поэтому сумма трех названных углов 90°. 44. Да. 45. (рис. 125). 46. На AB отметить точку М, чтобы AB = ВМ. Одна из искомых прямых — MC (рис. 126). 48. Использовать решения задач 46 и 47. 49. 3 : 1. 51. 1:1. 52. Если из середины D боковой стороны ВС опустить перпендикуляр DE на основание АС, то АЕ ЕС =3:1. Поэтому легко построить Д ADE. 53. О — середина КМ и F — середина ЯВг по теореме Фалеса лежат на прямой, параллельной AB (рис. 127). Поэтому построить F В JL OF и ВК J_ КМ. Это определяет вершину В. Далее просто. 54. Пусть M — середина AD, К — середина ВB1, L — середина ВВъ Построить ML и прямую ВВ2 JL ML и отрезок РМ с серединой К. Окружность диаметра PK пересекает ВВ2 в точке В. 55. Если Т — середина КB1, то легко построить ВС и AD, найти середину ВB1, а затем точки В, С, D (рис. 128).

56. BEDF — прямоугольник, поэтому расстояние от середины отрезка EF до В равно ОЕ. Т. к. Д ABE — прямоугольный, то ME = MB. Построив В, как пересечение окр. (Mf ME) и окр. (О, ОЕ), найти вершины А и D (рис. 129).

57. Если даны точки касания Е и F и К — середина стороны AD (рис. 130), то прямая BD — серединный перпендикуляр отрезка EF. Т. к. BD и серединный перпендикуляр отрезка КМ, то точка M и середина отрезка KF лежат на прямой, которая параллельна ВС и проходит через центр ромба О. Далее просто. 58. 8 см, 32 см. 60. Средняя линия треугольника, параллельная ВС. 62. 6 см. 63. Д A OD = Д COD (III). Д ADE = CDE (I), CE = EA. Аналогично доказывается, что СМ = MB. ЕМ — средняя линия Д ABC (рис. 131). 64. Точка пересечения диагоналей АС и BD. 65. 60°, 30°, 90°. 66. Продлить MB на МК = MB. Тогда CK \\ AM. Поэтому построить окружность через точки А, В, М, найти К и построить КС \\ AM. Пересечение КС с окружностью — вершина С (рис. 132). Решений не более 2. 67. Вычисляя величины углов, установить, что Д АВТ — равнобедренный и M — середина AT (рис. 133). Аналогично N — середина АР. MN \\ РТ (по свойству средней линии). 68. Из двух (рис. 134). 69. Через внутреннюю точку построить три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника (рис. 135). 70. Рис. 136. 71. а) Трапеции прямоугольные, их основания относятся, как 1:5; б) основания 1 и Зсм. 72. 80°, 100°, 120°, 60°. 73. 60°, 120°. 75. Рис. 137. 76. 60°, 120°. 77. 80° или 40°. 78. 72° и 108°. 79. Так как Z ВМС = = 90°, то ВМ — медиана и высота Д ABC, т. е. AB = ВС. Если ВК — высота, то AB = 2ВК, Z. ВАК = 30°, Z ABC = 150° (рис. 138). 80. Рис. 139. 81. Ось симметрии трапеции параллельна биссектрисе угла между данными прямыми. Это позволяет строить основание трапеции, а затем и боковые стороны. 84. Провести МК \\ AB и MP \\ CD (M — середина ВС). В треугольнике КМР известны два угла и медиана MN. Построить этот треугольник, затем среднюю линию трапеции и боковые стороны. 85. а) Если искомые хорды АС и BD, EF — средняя линия трапеции. OK _l_ EF. Можно построить прямоугольный Д ОЕК, у которого ЕК = —. Хорды параллельны ЕК; б) построить Д АВМ с гипотенузой AB и ВМ = . АС \\ ВМ. 86. 90°. 88. 60° и 120° (рис. 140). 90. 4:5. Сперва найти длину боковой стороны (8 см). 92. Если Oi С и 02D — перпендикуляры к искомой прямой, то средняя линия трапеции O1CDO2 — отрезок МО, где О — середина отрезка О1О2. Поэтому сперва построить точку О. Искомая прямая перпендикулярна ОМ. 93. 105°, 75°. 94. Если О — центр окружности, то Z FOE = Z. FOB + Z. ВОЕ = = 2 Z. FCB + 2 Z EAB = Z DCB + Z DAB = 180°. 95. 124°. 97. Около четырехугольников АКОТ, ВЕОК, СМОЕ, DTOM можно описать окружности. При этом Z ТКЕ + Z ТМЕ = Z ТКО + Z ОКЕ + Z ЕМО + Z ОМТ = = Z ТАО + Z ОВЕ + Z ECO + Z TDO = 180° (рис. 141). 99. Четырехугольник OEMF вписан в окружность диаметра ОМ, причем ОМ и Z EOF постоянны. Поэтому и EF = const (рис. 142). 100. Построить окружности

с диаметрами АН, ВН, CH. Z НC1B1 — Z. НАB1; Z. НC1A1 = Z ЯБЛ,. Mo Z CAAi = Z CBB[. Следовательно, углы HC1A1 и HC1B1 равны (рис. 143). 102. Z ACE = 180° - Z ABE = Z ABF = 180° - Z ADF; Z ACE + + Z ADF = 180°; CE II DF. 103. Z MCE = 180° - Z MAE = Z MAD = = 180° - Z MBD = Z МАГ. Поэтому (рис. 32) Z МВТ + Z МСГ = 180°, т. е. точка пересечения прямых CE и DB лежит на третьей окружности. 107.56 см или 50 см. 108.40:9. 109. Не более 28.110.81. 111.121.

113. (2; 1), (6; 9), (10; 7). 116. Абсциссы концов отрезка

Эта величина меньше 0,01 при достаточно больших у, например при у = 250 005. 117. (2; 4,5), (14; 4,5), (14; 9,5). Учесть, что данный треугольник — прямоугольный.

119. Перенести AD в ЕМ и ВС в ЕК (рис. 144), доказать, что точки К, M, F лежат на одной прямой, F — середина КМ. Далее построить Л ЕКМ по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. 120. Пусть даны стороны AB, ВС, CD и углы А и D. Выполнить параллельный перенос AB и MD. В треугольнике CDM известны стороны CD и MD и Z CDM. Затем построить окр. (С, ВС) и прямую MB II AD, учитывая, что Z BMD = ZA. 121, Построить отрезок AB = — с концами на и и равносторонний Д ABC. Затем выполнить перенос CCi || Ii до пересечения с данной окружностью. Задача имеет не более 8 решений. 122. Аналогично задаче 121. 123. Опустить перпендикуляры AM и СЕ на h, убедиться, что Д АВМ = Д СВЕ, AM = BE. Поэтому взять произвольную точку В 6 опустить BP JL /|, отложить BE = BP, построить ЕС _L h. По точкам В и С построить квадрат, а затем выполнить его параллельный перенос (рис. 145). 125. Выполнить параллельный перенос EF в положение АК. Так как Z KFB — Z M = 90°, то F определяется пересечением CD с окружностью диаметра KB (рис. 146). 126. ОМ (12; 5), МТ {—5; 12). 128. По 120°. 129. Прямоугольник. 131. 24 см. 132. 54 см. 133. АА, + ВВ, + , AB + АС , ВА + ВС , CA + СВ _ „ Лег „ + СС 1 =-^--1--J--1---J-= 0. 135. Первое решение. Построить Д АШ|, симметричный треугольнику CDM относительно О. Четырехугольник AMiBM отвечает условию (рис. 147). Второе решение. MA — MB -f CM — DM = 2MO — 2MO = 0. 139. Использовать результат задачи 138. 142. KL = \ (AB + А,В,); МЛ? = 4" (CD f C,D,) = — (AB + ÄiBi) = JKX (рис. 148). 144. Знаменатель равен (n — If -f in2 -f-+ 2), поэтому при п ф 1 дробь положительна, но меньше 1. 145. а:< о* <

154. Построить Z СВМ 15° (рис. 149), СМ = MB = 2а, Z АМВ= 30°, АМ = = а Уз. 155. а(1 -f- У2). Решение аналогично решению задачи 154.156. Условие допускает 4 варианта. Ответы: У674, или 25 + д/399, или 25 — д/399, или 24 см. 157. 2 см. 158. 39, 50 см. 159. 20 см. 160. Разделить квадрат на 49 квадратов со стороной 1. Хоть в одном из них окажется две точки из числа данных. Расстояние между ними меньше V2- 162. АС A. BD. Если АО = ле, ВО = у (рис. 150J,_QÇ2 = Зу2, OD2 = Sx2; Sx2 + Зу2 = 3002; x2 -f -f y2 = 30 000; AB = УЗО 000 « 173 (м). 165. Если AD и AB - оси координат, AB = а, М(#; у), то jc2 -f- i/2 = 49, x2 + (y — а)2 = 169, 'x — af -\-+ (y — a)2 = 289. Отсюда a2 — 2a# = 120, a2 — 2ai/ = 120, т. e. x = точка M лежит на диагонали квадрата: AC = 7 -f- 17 = 24 (см), a = 12 V 2 см.

Минимум при

Угловой коэффициент прямой EF равен

196. Точность около 1 %, что достаточно. 197. Точность около 1 %, что достаточно. 199. Построить через конец одной хорды хорду, параллельную другой данной. 200. Если а = х, то Ь ^ jc + —, с ^ —. Но 2х + -— > —-, т. е. je > —-. Но тогда с > — , что невозможно. 201. Если CD _L АС, то Aß > AD > АС. Если CE J_ ВС, то AB > BE > ВС (рис. 153). 202. По свойству внутренней точки треугольника: если т. M находится внутри Л ЛВС, то MA + M В < < АС Ч- ВС, тогда AM + MC < Aß + ВС и ВМ + MD < ВС + CD (рис. 154). Сложив эти неравенства, получим искомое. 203. Построить окружность диаметра АС (рис. 155). Так как углы В и D тупые, то точки В и D находятся внутри окружности. Следовательно, хорда BD меньше АС. 204. Учесть, что медианы треугольника при пересечении делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 207. По условию b < hb < а; а < ha < b. Отсюда а = b = Ла Углы, треугольника 45°, 45<\ 90°. 208. АС2 + BD2 = (AB + ВС У2 4- (ВС +

217. Построить Mi симметрично M относительно О. На прямей MiiV лежит сторона AB. Прямая CD проходит через M параллельно AB. Диагональ АС проходит через О под углом 45° к AB. 218. Середина АС — центр параллелограмма. Точка Mi симметрична M относительно О. Вершина D — пересечение окружностей (М, &) и (Mi, а). 219. Отрезки OD и ОЕ перпендикулярны прямым АA1 и СС|. Построив эти прямые, построить отрезок АС с серединой О и концами

на A Ai и СC1 (рис. 159). 220. Использовать свойство диагоналей параллелограмма. 221. Построить диаметр BP и хорду PK || BD (рис. 160). По симметрии относительно О: BD = PK, Z. ABM = Z. CPT, ВМ = TP = ND. 222. Построить BP II EK и CH II EK (рис. 161). По свойству средней линии треугольника, отрезки BP и СН должны совпасть. А это возможно лишь при условии ВС II ЕК, т.е. ВС II AD. 223. (—4; 0), (0; 6), (4; 0), (0; —6). 224. (рис. 162). MC и AB пересекаются в точке Е, MD и AB пересекаются в точке Р. Точка пересечения ED и CP симметрична M относительно AB. Если M и С примерно равноудалены от AB, сперва берут вместо M точку, расстояние которой от AB значительно отличается от расстояния точки С от AB. Все построение выполнено без помощи циркуля. 225. Принять прямую AB за ось симметрии и построить окружность, симметричную данной. Ее центр — пересечение окружностей (А, АО) и (В, ВО). Пересечение этой окружности с данной — искомые точки С и D (рис. 163). 226. 45°. 227. 36°, 36°, 108°. 228. 36°, 72°, 72°. 230. Если / — ось симметрии точек В и С, построить ВA1 симметрично CA. Тогда Z. АВA1 = Z. ABC — Z_ АСВ. Построив Д АВА \ по двум сторонам и углу между ними, находим Z (серединный перпендикуляр отрезка АA1) и точку С, симметричную В (рис. 164). Построение возможно, если AB ф АС, иначе данных недостаточно или они противоречивы. 231. Построить h и U симметрично ВС относительно U и /2. Их пересечение — вершина А (рис. 165). 232. Построить лучи DC и DA, соответственно перпендикулярные 1\ и /2. Прямые, симметричные DA относительно h и DC относительно h, пересекаются в точке В. 233. B1 симметрична В относительно CD. Тогда Z. АМB1 = 90° и точка M определяется пересечением CD с окружностью диаметра АB1 (рис 166), 234. ЕК — высота искомого треугольника. Точка M1 симметрична M относительно AB, поэтому Z. MEN = 2 Z. АЕК = 90°. Следовательно, вершина Е определяется пересечением AB с окружностью диаметра M\N (рис. 167). 235. Прямая 1\ _L ВС — ось симметрии точек А и D (рис. 168). Поэтому т\, симметричная В А относительно 1\, проходит через D. Прямая h — ось симметрии точек С и D. Поэтому m 2, симметричная ВС относительно ht проходит через D. Пересечение гп\ и га 2 — вершина D. 236. Их стороны вдвое больше соответствующих средних линий треугольника ABC.

237. По Д о1о2о3 найти радиус R описанной окружности. Окружности этого радиуса с центрами в O1, О2, Оз попарно пересекаются в точках А, В, С.

238. Выполнить поворот на 90° около В. 239. Зафиксировать вершину В на известном расстоянии от М. После этого выполнить поворот, как в задаче 238. 240. Решение с помощью координат дано в указаниях к задаче 165. Пусть AB = 2а, ВС = 2Ъ, АО\ и С02 пересекаются в точке M. амсо3 — ромб с углом 60°, поэтому О3М = Ot)C (рис. 169): Так как проекции O1М и 02С на АС равны, то при повороте на 60° около Оз точка 02 займет положение O1. 241. Выполнить поворот около А на 60°. Тогда (рис. 170) Д АМM1 — равносторонний, МM1 — AM, ВM1 — СМ, А ВМM1 отвечает условию. 242. Выполнить поворот треугольника KAM около А на 90°. 243. Если OD _L AB и ОЕ J_ ВС, то OD = ОЕ, Z. DOE = 120°. В результате поворота около О на 120° точка N перемещается в К (рис. 171). После этого можно построить прямую AB и через О прямую под углом 60° к AB. 244. На одной из данных окружностей взять точку А и выполнить поворот другой окружности около А на 60°. Так на третьей окружности определяется вершина В. Задача имеет не более 4 решений. 245. Взять произвольную точку В на наименьшей окружности и выполнить около нее поворот на 90°. Так определятся вершины квадрата ABDC. Останется выполнить его поворот около О, чтобы вершина D оказалась на данной прямой (рис 172). 246. Поворот около О на 90° перемещает Д МВА в положение Д TAD, причем Т £ MA, ОМ = ОТ, Z. МОТ == 90°. Так как AT = MB, то МТ = а, МО = ——(рис 173). 247. Аналогично задаче 246, но поворот на 120°. 248. Серединные перпендикуляры отрезков АС и BD определяют центр О поворота, так как Д АОВ = Д COD (III). Угол поворота — Z. АОС. 249. Если выполнить поворот, как в задаче 241, то сумма расстояний от M до всех вершин равна DM\ + МM1 + MC. Она минимальна, если точки M и Mi находятся на CD. Аналогично построим равносторонний Д ВСЕ. Искомая точка —

на отрезке АЕ. Поэтому M — пересечение CD и АЕ. 250. Выполнить поворот на 90° около центра О квадрата. Тогда Л О АС займет положение ОМВ.

Z. АМВ = 180°, ВМ = АС, АМ= AB + АС, d = 251. Если АA1 \\ CD и АA1 — а, то точка F лежит на пересечении оси симметрии отрезка A1В с прямой CD. 252. Перенести BD в положение СЕ (рис. 174). Тогда можно будет построить Д АСЕ по АС = m, СЕ = п и Z. АСЕ = а. Далее легко построить точку D. 253. Построив параллелограмм MDEF с вершинами на данных лучах (его центр О), отметить (рис. 175) OA 2 = ОВ2 — а на прямой DF, затем провести В2С1 II MB и А2А1 || MB. 256. Выполнить параллельный перенос одной из окружностей (Oi, г) на о. 257. Аналогично задаче 256. 258. Если M и N — середины отрезков ВС и AB, то построить прямоугольный Л MNP, у которого катет NP — а. Искомая прямая параллельна MP. 259. Построить в этих окружностях хорды А|В| = а и А2В2 = Ъ, определить расстояния тип прямой от центров окружностей O1 и 02, затем построить Д O1ОоМ с гипотенузой Ot02 и катетом OiM, длиной m -f п или m — п. Искомая прямая параллельна М02. Задача имеет не более 4 решений. 260. Да. 261. Да. Чтобы убедиться в равенстве соответствующих углов, выполнить параллельный перенос боковой стороны. 264. Выполнить поворот около центра на 90°. 265. Выполнить поворот около центра О на 120°. 267. Не более трех. 268. Одна часть у них общая, две пары частей равны как центрально симметричные. У оставшихся двух четырехугольников стороны соответственно равны и Z. Т = Z. О.

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

1. Если уравнение прямой OA у — kx,TO A(k; k2), т. е. одинаково для всех прямых, проходящих через начало координат. 2. Аналогично задаче 1. 3. а) Да; б) Нет. 4. Да. Центр гомотетии — точка пересечения медиан, k = ——. 6. Если отрезок ED || AB и имеет концы на АС и ВС, медиана CF пересекает ED в точке О, то ЕО : AF = СО : CF = OD : FB = = OD : AF (рис. 176). Отсюда ЕО = OD. 7. По результату задачи 6 найти середины сторон треугольника и длины его средних линий. 8. а) По результатам задачи 6 найти середины сторон и построить серединные перпендикуляры двух сторон; б) построив A1B1 II AB, найти две высоты Д AiBiC, его третья высота CD лежит на высоте, проведенной к AB. 9. Взять Di £ AB, построить D|Ei II ВС и отложить Е\C1 = AD. Если Ci и С не совпадают, провести CD II D1C1 (рис. 177). 10. Принять M за центр гомотетии, k — 2. 11. Принять точку касания окружностей за центр гомотетии (рис. 178). Тогда радиусу O1М искомой окружности гомотетичен параллельный радиус OA (т. е. перпендикулярный /). Прямая AM определяет точку касания Р. Если вместо OA взять радиус OB, то придем к случаю внутреннего касания окружностей.

12. Построить прямую h, гомотетичную 1\ (центр гомотетии A, k = ——\ и выполнить поворот на 45° (центр О). После поворота она проходит через О, т. е. пересекает h в центре квадрата (рис. 179). 13. а) Перпендикуляры к сторонам угла пересекаются в точке С. Требуется найти такие точки O1 и 02, что АО| = ВОо — -г- Oi02. Отложить на ВС отрезок ВМ = АС, провести через M прямую, параллельную AB. Она пересекает окр. (С, 2АВ) в точке Р. Прямая РА пересекает ВС в точке 02 (рис. 180); б) аналогично задаче 13, а. 14. Принять центр О за центр гомотетии. Построить окружность радиуса OCi = — (на рисунке 181 k = 3). Точке D хорды AB гомотетична точка D1, Проведя через Di прямую, параллельную AB, получим точки Ai и Bi на построенной окружности. Z. AiOßi — искомый. 15. AOi и С02 — биссектрисы углов А и С треугольника ABC — пересекаются в точке О (рис. 182), требуется вписать в А АОС прямоугольник, у которого основание вдвое больше высоты. 16. Ана-

логично задаче 15. 17. Принять за центр гомотетии точку пересечения прямых а и Ь. 18. Построить касательные, соответственно параллельные данным прямым. Поскольку точка касания окружностей является их центром гомотетии, прямая АA1 определяет точку касания (рис. 183). 19. Принять за центр гомотетии окружностей (данной и искомой) точку касания M (рис. 184). Тогда построить касательные h и U к данной окружности, их точка пересечения В гомотетична А. Поэтому пересечение прямой AB с данной окружностью — точка М. Центр искомой окружности — пересечение ОМ с биссектрисой угла между U и h 20. Построить Л A1Е\C1, подобный искомому, а затем учесть размеры ВС + AD (рис. 185). 21. Построить трапецию, стороны которой соответственно пропорциональны длинам сторон искомой трапеции. Затем использовать ее высоту. 22. Число решений не менее 3, не более 6. 24. Да. 25. Учесть, что MA • MB = MC • MD, так как оба произведения равны квадрату касательной ME. 26. ME || NP, МК \\ NF; Z КМЕ = Z FNP; ME : NP = МК : NF = МО : ON; Д МЕК со д NPF; Z МЕК = Z NPF, Z КЕО = Z FPO; КЕ || FP (рис. 186). 27. 84 см, 56 см. 28. 10, 8, 6 см и 89, 64, 48 см. 30. Так как числа а, Ь, с, d составляют геометрическую прогрессию, то на основании неравенства треугольника должны выполняться неравенства:

32. Точки А о, Во, Со — середины сторон Л ABC. В треугольниках ABC и А0В0С0 точки H и О — ортоцентры. Поэтому АН : А0О = ВС : В0С0 = 2 : 1. 33. ÖÄ + ÖB + ОС = ÖÄ + 2 ÖÄ0 = = OA + АН = ОН, то есть точка M совпадает с Н. Так как Д АБС — остроугольный, то точка M находится внутри треугольника. 34. Д AiBiC со

35. Проведение в треугольнике средних линий увеличивает общее число треугольников на 3. Поэтому построения, указанные на рисунках 187, а, б, в, приводят к построению любого числа треугольников п ^ 6 вида 3k -f- 1, 3k, 3k + 2. 36. Через точку С Ç /i построить CD \\ h и отложить на этих прямых отрезки СЕ и CD с отношением длин 2 : 3. Искомые прямые параллельны ED (рис. 188). 38. Условию отвечают три конфигурации: а) Высоты проведены из вершины тупого угла В, КМ = — АС (рис. 189). Тогда КМ — средняя линия треугольника ACD, углы 60° и 120°; б) Высоты построены из вершины В, но КМ = — BD. Из подобия треугольников ABD и ВКМ находят: ВК : AB =1:2.

Углы ромба 30° и 150°; в) Высоты проведены из вершины острого угла А (рис. 190), КМ — — АС. Решение и ответ, как во втором случае. 39. Построить MP J_ AB. Из подобия треугольников ABC и AMP, BAD и BMP получаем: АС • AM = AB • АР, BD • ВМ = AB • PB. Сложив равенства, получим искомое соотношение (рис. 191). 40. BE : BD = BE : AD = ВО : OA = AB : AM; Z MAB = Z DBE = 120° (рис. 192), Д DBE со Д БАМ; Z ВКО = Z £ + + Z Mߣ = Z MBA -f- Z MBE = 60°. 41. Так как Z РАМ = Z ВАС и АР : AC = AM : AB, то Д АРМ со д CAB (рис. 193), РМ : ВС = АР : АС. Но по условию, АР : АС = CK" : ВС, т. е. РМ = CK. Аналогично показать, что PC = МК. 42. По задаче 139 (8-й кл.), ТM1 = \ (ТА + ТВ + ТС), ТМ2 = -L (ТВ-Ь ТС + TD), т. е. М2М, = ТМ, - ТМ2 = DA. Так же выяснить, что и остальные стороны четырехугольника MiM2M;JMt в 3 раза меньше соответственных сторон четырехугольника ABCD и параллельны этим сторонам. 43. 4 см. 44. 5 4" см. 45. Рис. 194. Построить Z ВСМ = Z ACD;

Сложив (1) и (2), получим: ВС • AD + AB • CD = AC • BD. 47. Первое решение. Если хорды пересекаются в точке Е, опустить на них из центра окружности перпендикуляры ОМ и ОК. R2 = ОМ2 + MB2 = ЕК2 + MB2 = X BE — CE • DE). Но, по задаче 46, выражение во второй скобке 0. Второе решение. Построить CP \\ AB, тогда DP — диаметр (рис. 195). DP2 = = CD2 + CP2 = (CE + DE)2 + (BE + AE)2 и в духе первого решения. Третье решение (Рис. 196). Z. PBD = 90°; DP2 = PB2 + BD2 = AC2 + BD2 = = AE2 4- CE2 -h DE2 + BE2. 48. Построить D1M || АС, (рис. 40). a АB1К со со Д ABC; AB, : AÄ" = AC : AB; AB • AB, = AC • АДГ (1); a ACD со а С{MK; АС : MC, = AD : КСХ. Так как MC, = AD,, то AD • AD, = AC - KC1 (2). Сложив (1) и (2), получить искомое соотношение. 49. Каждое новое звено изменяет направление на 30°. Следовательно, суммарный поворот на 0° или 180° будет не позже шестого поворота. 50. Решения показаны на рисунках 197. На рисунке 197, а через две точки проведена прямая, затем через каждую из остальных — параллельная ей прямая (возможно, такая прямая пройдет и не через одну из данных точек). Соединив эти прямые отрезком (с концами в двух данных точках на этих прямых), получим простую незамкнутую ломаную. Остается прибавить несколько отрезков, чтобы замкнуть ее. На рисунке 197, б из точки плоскости, не являющейся данной, проведены лучи, каждый из которых содержит, по крайней мере, одну из данных точек. Соединяем на каждом луче наиболее удаленную от его начала данную точку с ближайшей к началу данной точкой следующего луча. Получается простая замкнутая ломаная, содержащая на своих звеньях все данные точки. На рисунке 197, в построена такая замкнутая ломаная с вершинами в нескольких данных точках, что все остальные точки находятся внутри ее. Из оставшихся строим еще такую замкнутую ломаную и т. д. Затем в каждых двух соседних ломаных выбрасываем по звену и соединяем концы выброшенных звеньев. 51. Длина любого звена меньше диагонали квадрата, т. е. / < 12 V"2 < 17. Следовательно, длина трех звеньев меньше 51 см, т. е. звеньев не менее 4. 52. Полученные звенья попарно равны и лежат на перпендикулярных прямых. 53. Первое решение. По задаче 52 (рис. 198), 0,03 = 02В, причем 0,03 и 02В взаимно перпендикулярны. Это позволяет построить В. Аналогично строят и другие вершины. Второе решение. ОзАо = О,Со, причем О3А0 -L Ао02. Это позволяет построить А о, а затем найти В и С. 54. По условию, вершины с нечетными номерами лежат по одну сторону пересекающей прямой, а вершины с четными номерами — по другую. Таким образом, звено А,А,989 не пересекает эту прямую. 55. Пусть начало пути — начало координат, а первое звено лежит на луче Oy. Считая длину звена 1, определить изменения координат каждого звена по сравнению с координатами начала. Сумма этих приращений координат 0. Следовательно, маршрут был замкнутым. 56. Сумма углов всех названных треугольников равна сумме внутренних углов 1000-угольника, сложенной с суммой углов при 2000 внутренних точек, т. е. х = 180° (1000 — 2) + 360° • 2000. Т. к. сумма углов каждого треугольника 180°, то их число равно х° : 180° = = 4998. 57. Если это условие не выполняется, то все углы л-угольника острые, а это при п > 3 невозможно. 58. 4. При большем числе сумма внешних углов превысила бы 360°. 59. Если точка находится внутри круга, то из нее диаметр, не проходящий через эту точку, виден под тупым углом. Если все углы при точке — тупые, то их число менее 4, т. е. 3. 61. Построить через вершины прямые, параллельные AB. Так будут отсекаться трапеции. После отсечения п — 5 трапеций останется пятиугольник, а его можно разделить на 3 трапеции. 62. Возможны решения, как в задаче 27—28 (8-й кл.). 63. Можно установить, что АС + BD -f- СЕ + DA + ЕВ = 0 . Отсюда следует возможность построения пятиугольника из диагоналей пятиугольника ABCDE. Можно осуществить фактическое построение, выполнив три параллельных переноса диагоналей. 64. Первое решение. Взять наугад вместо Ai произвольную точку С,. Затем, зная положение середин сторон, построить С2, Сз, C1, Сь, Сб. Если С, и Сб не совпадают, то вершина А, — середина отрезка С,Сб. Доказа-

тельство следует из того, что отрезки C1A1, С2А2, ... попарно равны и параллельны. Второе решение. (Рис. 199). Середина А|А4— точка Т — четвертая вершина параллелограмма ВхВъВъГ, поэтому ее легко построить. Но Л A1А*Аь легко построить по серединам всех его сторон. Третье решение. Взять произвольную точку М. Так как МB1 — МВ2 + МВ3 — MA5 + MA 5 + MAi) = MA 1. Найдя Ai, легко построить остальные вершины. 65. Аналогично задаче 64. 66. Использовать результат задачи 139 (8-й кл.). 67. Если два угла по 120° прилегают к одной стороне, то смежные с ней стороны равны. Если же углы не прилегают к одной стороне (например, на рисунке 200 — А, С, Е), соединить вершину С с D и F. Тогда Z BCF = 60°, Z DCF = 60°, т. е. Z BCD > 120°. Следовательно, два угла по 120° прилегают к одной стороне, и у семиугольника есть равные стороны. 68. Пусть сторона шестиугольника х. Из подобия треугольников АКР и ABC, LBC и ABC имеем: АК = —, BL = —. Поэтому x + — + — =5, , Р = —- см. 69. Первое решение. Внутренние углы шестиугольника по 120°, внешние — по 60°. Продлив три стороны, получить равносторонние треугольники KAF, BLC, DME, KLM (рис. 201). Из равенства КМ — KL и КМ = ML получаем искомое соотношение. Второе решение. Аналогично получаем параллелограмм КВРЕ (рис. 201) и приравниваем его противоположные стороны. Третье решение. Из вершин А, С, Е построить лучи, соответственно параллельные ВС, AB и CD (рис. 202). Д КРТ — равносторонний (углы по 60°), причем KP = КС — РС= DE - AB; РТ = АР - AT = ВС — FE; KT = ТЕ — КЕ = = AF — CD. 70. Так как, по условию, (b -f с)2 — (Ь — с)2 = а2, то площадь прямоугольника равна -—. 71. 276,48 см2. 72. Решение показано на рис. 203, а, б.

73. Отметить внутри прямоугольника прилегающие к его сторонам полосы шириной 1 см (рис. 204). Они покрывают весь прямоугольник, кроме центральной части, но дважды покрывают единичные квадраты в углах прямоугольника. Поэтому площадь центральной части равна 4 см2, это или прямоугольник 1X4 или квадрат 2X2. Поэтому длины сторон искомой фигуры 3 и 6см или 4 и 4 см, ее площадь 18 см2 или 16 см2. 74. Как в задаче 165 (8-й кл.), установить, что длина диагонали 30 см, S = 450 см2. 76. — — 2R2.

90. Учесть, что высота Д AMC больше половины высоты Д ABC (рис. 205).

Максимум имеет место, если M — середина дуги (рис. 206). Таких точек 4.

= 4Q. 96. 15°, 75°. 97. 1:6. 98. Возможны три случая: 1) SBCE = SBOC, &аеок — SkOC'* 2) sßoc — SrOC » £>boe == Saeok'* 3) sßqe = SK0C, sae0k = SB0K.

Первые два случая приводят к противоречию, в третьем две высоты оказываются и медианами. Д ABC — равносторонний. 99. По условию, а — b = — hb — ha. Отсюда a b {а — Ъ) = 2S (а — Ь). Либо а = 6, либо ab 2S. В первом случае углы А и В — острые, во втором Z С — прямой. 100. Серединные перпендикуляры сторон остроугольного треугольника пересекаются внутри

треугольника (в центре описанной окружности О). ТС0ОВо, HAqOCo, PBqOAq — параллелограммы. Диагонали ВоС0, С0А0, А0£о делят эти параллелограммы на равновеликие части. Поэтому

111. Трапеции равновелики.

112. 30°. 114. 245 см2. 115. Условие допускает две конфигурации (рис. 209— 210). В первой достаточен один разрез (АС) и перемещение отрезанной части в положение CDE. Во второй нужны разрезы КЕ (через середины оснований), ОС и OD (О — точка пересечения диагоналей). Искомая фигура — Л МКЕ. 116. 2Q. 117. Если боковые стороны трапеции х, то меньшее основание 6 —- 2х. По условию х2 = 4 (3 — х); х = 2, S = 3 Уз см2.

126. а) 19; б) 33. 128. Пусть А £ h и С 6 /2. Поворот на 120° около О преобразует Zi в /3. Пересечение h и /з — точка С. 129. Поворот около О на 45° определит конец одной из апофем восьмиугольника. 130. Нужно искать точки пересечения данной окружности с ее новым положением после поворота. 131. По свойству средней линии треугольника, все стороны 12-угольника равны; все его углы по 150°. 132. Да. 133. Если дан правильный шестиугольник ABCDEF, то построить равносторонний Л ADK, затем на его сторонах построить треугольники, равные треугольникам MAD, МВЕ, MCF. 134. Рассмотрев два случая выбора осей симметрии, убедиться, что все стороны пятиугольника и все его углы равны. 137. Первое решение. Построить (рис. 212) диагонали А2А4 II A1Аъ и перенести АААъ в положение А2В. У полученного треугольника все углы по 60°. Второе решение. Рис. 213. В треугольниках A1АзМ и АеА7М все углы по 60°. Отсюда AiA6 — A1Аъ + А6А7. 139. Построить (рис. 214) КМ II AC, DP II АС, РМ || AB; A DKO = А ТМО (II); ТМ = DK = = РМ; Z. Т = Z. KDO < 60°; Z. ЕМТ = 60° ; Z МЕТ > АТ,ЕМ<МТ= РМ; Z.EPM< - ™Г = 30°; Z-DPM= 120°; /L DPE — тупой. Поэтому DE > DP = ÜTM. Следовательно, наименьший отрезок — КМ (секущая параллельна стороне, таких секущих 3). 140. Треугольники ОАA1, ОВB1, ОСC1, ODD1 равны: ААл -f ВB1 + СC1 + DD? = 2 OA = const (рис. 215). 141. Да. 142. У него все стороны равны, но углы равны через один (ни один не равен 135°). 143. Вписанная в квадрат окружность меньше окружности, вписанной в треугольник: — < г; а < 2г. Описанная около квадрата окружность пересекает одну сторону треугольника и имеет хоть одну общую точку с каждой из других сторон, поэтому она больше вписанной в треугольник ———> г; а > г У2.144. Ис-

пользовать центральную симметрию. 145. ТА2-\- ТA1 + ТА2 + ... Ч-^ГА2 = = (ТМ + MA,)2 + (УМ + МА2)2 + ... + (ТМ + MA,)2 = л - ТМ2 + л • MA? + 2 ТМ (MAi -f MA2 H- МАз + ... + МА„). Так как сумма в скобках равна О, минимум достигается при совпадении точек Т и М. 146. По рис. 216, &аоав : Saocd = AB2 • CD , но это отношение равно и АК : CD. Отсюда AB2 == AK • CD, т. е. A1п = — а„ • Ь„. 147. После выполнения поворота шестиугольника около центра на 90° обнаружатся на сторонах 12 общих обоим положениям точек. Это вершины трех квадратов, отвечающих условию задачи. 148. Учесть, что площадь четырехугольника с вершинами на серединах сторон данного четырехугольника вдвое меньше площади данного четырехугольника. Если О — середина AD (рис. 217), то сумма площадей KIMO и OTPN равна половине площади шестиугольника. А названная в условии площадь больше. 149. Рис. 218. 150. Решения на рисунке 219, а, б, причем второе дает меньшую сумму длин разрезов. 151. Соединить точку с вершинами и вычислить площадь многоугольника как сумму площадей треугольников с вершиной в данной точке. 155. Четвертый неправильный.

156. « 17,2 %. 157. — а. 158. Из всех вершин опустить перпендикуляры на одну из координатных осей и найти алгебраическую сумму площадей полученных трапеций и треугольников. Если ось пересекает многоугольник, ее можно заменить параллельной прямой. 160. Если треугольник имеет угол в 30°.

Найти по теореме Пифагора AD и BD, катеты больше г на AD и BD, 196. С учетом результата задачи 195,

197« Возвысить скалярно в квадрат:

200. Найти по теореме сину-

сов —;-, —;——, ——-f- и перемножить полученные равенства. 201. Доказывается от противного. 202. Да. 203. По теореме синусов, =

204. Из подобия треугольников

213. Аналогично задаче 212.

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

1. Одну или четыре. 2. 1, 2, 3, 5, 7 или 10. 3. 1, 3, 6, 8 или 10. 4. Нет. 5. 20. 6. 27. 7. 11. 9. Если A1 £ 6, то в том же полупространстве лежит и As, т.е. середина стороны Ai As не лежит на плоскости Ô, что противоречит условию. 10. Аналогично задаче 9. 11. Пусть Ai, А 2, Аз определяют плоскость о. Тогда любая из остальных точек лежит в этой плоскости. Если же такой тройки нет, то все точки лежат на одной прямой, что не противоречит условию теоремы. 12. Если а || Ь, то плоскость а, пересекающая а в точке М, пересекает плоскость, проходящую через а и Ь, по прямой /, содержащей точку М. Поскольку эта прямая не параллельна Ъ, но лежит с ней в одной плоскости, она пересекает Ь. Так как / £ Ô, то плоскость a пересекает не только прямую а, но и & (рис. 226). Пусть любая плоскость a пересекает а и Ь. Если бы а \ Ъ, то нашлась бы плоскость, которая пересекая а, не пересекает Ъ. 13. Отрезки MN и KL равны и параллельны. Если бы серединой AD была не N, а N\9 то MN и MN\ были бы параллельны АС, что невозможно. 14. Аналогично решению задачи 9. 15. Параллельно линии пересечения плоскостей. 18. а) Да; б) Нет. 19. AC, DF. 20. BE и CD. 21. АС, A,Ci. 22. Эти отрезки параллельны CF, т. е. ABCF и CDEF — трапеции, AB \\ DE. 23. Если К — середина MA, Р — середина AB, Т — середина ВС, то KP — средняя линия Д АМВ, а KT можно найти как медиану Д ТАМ или построить КО \\ AD (рис. 227). Так как КОСТ — параллелограмм и КОСВ — равнобокая трапеция, то KT = ОС = KB = 5,5 см. 24. гт^ л/3. 25. Пусть a и ß пересекают v

по 1\ и /2. Если l\ Ii loy то они должны пересекаться по прямой, параллельной Ii и Z2. Если же они пересекаются в точке О, то прямая^ по которой пересекаются а и ß, должна содержать точку О. 26. 18 У~2 , 24 дЛ2 , 30, 30 см. 27. Эта прямая либо является линией пересечения плоскостей, либо параллельна этой линии. В каждом случае она — единственная. 28. Если бы можно было построить через точку M более одной прямой, параллельной аир, эти плоскости были бы параллельны. 29. Прямая, проходящая через середины медиан АА{ и ВB1 треугольника ABC, параллельна AB. 30. Да. 34. Названные отрезки пересекаются, если параллелограммы подобны. 35. Построить ВК II АС. Если M — середина KB, то EF || ß (рис. 228). 36. Да. 38. 1:2:2. 41. 10см, 15см. 42. Да. 44. Первое решение. Квадрат AB1C1D — истинная форма ABCD. Точке В соответствует точка B1, поэтому точке M соответствует такая точка Mi, что MMi || ВB1. Построить АК\ A. M\D. Точке Ki соответствует точка К (рис. 229). Второе решение. ME \\ АС и AD пересекаются в ортоцентре треугольника BMD (рис. 230). Третье решение. По свойству прямоугольного треугольника, точка К делит MD пропорционально квадратам AM и AB. Поэтому построить прямоугольный треугольник с катетами AM и АР = AB. Если AT его высота, то МК : KD — МТ : ТР. 45. При построении использовать свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. 46. Вместо У2 взято 1,4, т. е. допущена ошибка в 1 %. 47. Вместо -взять — с точностью — %. 48. Построение показано на рис. 231.

Центр вписанной окружности делит пополам отрезок, соединяющий середины оснований. Построить МТ || AB до пересечения с СВ в точке T и EP \\ KT. Прямая, проходящая через Р параллельно ВС, пересекает CD в точке касания. 50. На рисунке 232, а, б показаны два решения. Первое — по методу соответствия (как в задаче 44), во втором учтено, что сторона квадрата равна « 0,536 « — высоты треугольника. 51. Так как Д ABD — равносторонний, искомые высоты ромба параллельны соответствующим медианам треугольника. 52. ВК _L AD, причем (рис. 233) ВК : KD = AB2 : AD2 =9:4. Искомый перпендикуляр параллелен ВК. 53. Либо — по методу соответствия, либо учесть, что (рис. 234) ЕО —-^—« — FE. 54. Аналогично задаче 52.

55. Если дан пятиугольник ABCDE и проекции его вершин А, В, Е, то построить точку Е и ее проекцию К\. После этого найти проекцию вершины С. 59. Если даны точка M и ее проекция Mi, прямая Z и ее проекция на плоскость б, то на отрезке ВB1(В £ I) отметить такую точку Т, что TTi = M Mi, и построить прямую, параллельную проекции прямой Z. Если она пересекает Z в точке С, то искомая прямая — MC. 60. Точка А £ а. Построить ВВ2 II m и B1В2 II п. Их пересечение — тень точки В. Аналогично на рис. 235 построены тени других вершин. 61. Найти точки пересечения прямых MA, MB, MC с плоскостью ô. 62. Отметить К £ CD и построить след CP плоскости MCD (рис. 236). Если CP пересекает AB в точке Т, то искомая прямая — МТ. Если же CP || AB, задача не имеет решения. 65. Построение показано на рис. 237. Порядок построения виден по нумерации точек. 66. Построив тень куба ABCDAiBiCiDi на плоскость его основания, отметить точки пересечения с боковыми гранями другого куба (рис. 238). 67. Да. 68. Да. 69. Одну, четыре или 6. 73. Да. 75. Параллельна плоскости ô или лежит в этой плоскости. 77. 2, 16, 24 или 38 см. 78. Плоскость. 79. Две плоскости, параллельные данным. Если не указано, к какой плоскости точки ближе, то таких плоскостей 4. 80. Перпендикуляр к плоскости о, проходящий через точку М. 81. Плоскость, параллельную ô и удаленную от нее втрое меньше, чем точка М. 82. Плоскость, параллельную ô и находящуюся вдвое ближе к б, чем прямая Z. 85. Перпендикуляры проходят через центры шестиугольников и середину общей диагонали или параллельно названным прямым. 86. Если, расстояние от / до ô b = а, условию отвечает прямая, параллельная I (концы перпендикуляров, опущенных из точек Z на б; если b > а, таких точек не существует; если b <С а, условию отвечает полоса, ограниченная двумя прямыми, параллельными /.

87. На продолжении АО отметить ОС = OB. Тогда Л МОА = Д ШОВ, и можно искать МО как высоту треугольника, стороны которого 25, 40 и 39 см. МО = = 24 см. 88. Метод решения аналогичен использованному в задаче 87. МО = 24 см. 89. 90°. 90. 1 : 2. 91. 12, 14, 15 см. 92. Так как Z. С = 120°, то наименьшую сумму расстояний от вершины треугольника в плоскости ABC имеет точка с. На плоскости ABD такая точка — основание перпендикуляра CD к этой плоскости. 93. Расстояние равно длине медианы ВО = 7 см треугольника BC1D (рис.239). 94. V22CM. 95.6 см. 96. 52 УЗ см2. 97.600 см2.

= 26,4 (см). 102. Четыре прямые, которые проходят перпендикулярно плоскости треугольника через точки, равноудаленные от сторон треугольника или их продолжений (т. е. через центр вписанной и центры вневписанных окружностей). 103. Прямые, перпендикулярные плоскости о. в зависимости от расположения прямых число искомых прямых 0, 1, 2 или 4. 104. 3 VÏ7 см, -}JÏQ5 см, 5 см. 105. 3 см. 106. д/69 см. 107. 8 см. 108. Решение аналогично задаче 97, но искать нужно не медиану, а высоту треугольника, оно равно 11,2 см. 109. в этот параллелограмм можно вписать окружность. 110. Плоскость, проходящую через биссектрису данного угла перпендикулярно его плоскости. 111. Две плоскости, перпендикулярные плоскости ВАС и проходящие через биссектрисы угла ВАС и смежного с ним угла. 112. — д/337 см.

114. х= 212 — 162 — II2 = 8 (см). 116.60°. 117. Если искомая прямая TP, провести ТЕ || ВС. Тогда Z. АТР = Z. МРТ = Z РТЕ, т. е. Р\Т — биссектриса угла ATE, ТР\ \\ BD (рис. 241). 118. Так как DM _L пл. ABC, то перпендикуляр МК к медиане АО удовлетворяет условию (рис. 242). 119. —*—. Аналогично решению задачи 118. 120. (3; 1; —9). 121. (4; 3; 17) или (2; —1; —1), или (4; 11; -15). 122. (-3; 8; 1), (-1; 2; 1), (5; -2; 7). 123. (2; 5; 2), (7; 1; 3), (—3; 6; 7), (2; 4; 4). 127. Середины указанных ребер. Найдя через координаты сумму квадратов расстояний, выделить полные квадраты. 128. (5; 5; 3). 129. Так как (х - I)2 + (у - 2)2 + (* - 4)2 + (х - 4)2 + (и - З)2 + (г - I)2 + + (x - 7)2 + (у - 2)2 + (z - I)2 = 3(х - 4)2 + 3(1, - ЗУ + 3(2 - 2)2 + 30. Искомая точка (4; 3; 2). Из задачи 212 (8-й кл.) следует, что в искомой точке пересекаются медианы данного треугольника, ее координаты равны средним арифметическим координат вершин треугольника. 133. Да. 134. Его центр.

135. 56 см. Представить каждый вектор по образцу: MA = МО + OA.

136. 42 см. 140. Если Ai и B1 — проекции точек на плоскость Ô, построить точку Вг симметричную В относительно о. Искомая точка — пересечение A1B1 и АВ2. 141. Аналогично задаче 140. 142. Если точка B1 симметрична В относительно о, то искомая точка — пересечение АB1 и о. Правильность решения опирается на неравенство треугольника. 144. Серединный перпендикуляр отрезка AiO в плоскости AAiO делит АК в отношении

1 : 2, считая от А. Искомая прямая проходит через эту точку параллельно прямой, содержащей В и середину CD. 145. Концы отрезка (7; 0; 6), (3; 2; 0). 149. (6; --12; 21). 150. « 38°58', 48°12:. 151. Если КМ = х (рис. 243), то

158.60°. 159. 30°29'. 160. Ортогональная проекция прямой I на плоскость о. 161. 30°. 162. 30°; 16°47'. 163. Она лежит на пересечении окружности с прямой, проходящей через центр окружности и начало координат: В (8; 6; 0). 164. По усло-

166. Если длины наклонных Ъх и Sx, то Ъх sin 2а = 8л* sin а; cos а = 0,8; sin а = 0,6. Длины наклонных 25 см и 40 см. 167. Если углы х и Sx, то 37 tg х = 11 tg Sx. Отсюда tgjc= 0,2, МО= 7,4 см. 168. Если углы х и Ах, то 600 tg х = 119tg4#. После упрощения и подстановки tg2* = у, получим: 150г/2 — 781 у -f 31 = 0, tg X = 0,2. Второй корень не годится, так как д*<22°30'; МО — 120 см. 169. Аналогично задаче 165. МО = 7,9 УГО ж 25,0 см. 170. Поместив точки А, В, С на луче OA, получить прямоугольные треугольники МАО, МСО, МВО (рис. 244).

171. Полосу, края которой находятся на данных плоскостях и параллельны линии их пересечения. 172. Две плоскости, параллельные биссекторной полуплоскости этих плоскостей. 173. Две плоскости, проходящие через линию пересечения данных плоскостей. 174. « 109**2'. 175. 4д/3см. 176.60°. 177.60°. 178. а) 26 см; б) 14 см; в) 14 см; г) 19 см; д) 26 см; е) 10 см. 179. л[2 см и 6 см.

180. а) 2 -i- см; б) 1,8 см. Учесть, что сумма расстояний внутренней точки равностороннего треугольника от его сторон равна высоте треугольника.

181. а) 45°; б) 60°. 182. S^ABC = 360 см2, SAAiBiCî = 900 см2; cos2 х = ~; cos*=~; X = 60°. 184. а = 8 см, .Si = 64 см2, S2 — 40 см2; cos а = —; Q, = 240 см2; Q2 = 240 • — = 150 см2. 185. 60°. 186. Если сторона квадрата

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

1. а) 21; б) 27; в) 15. В каждом случае учесть число граней, ребер, вершин и внутреннюю область. 2. Примеры даны на рисунке 246. 3. Если все грани треугольные, число ребер делилось бы на 3. Если же хоть одна грань имеет больше трех вершин, то общее число ребер больше 7. 4. Примеры при-

ведены на рисунке 247. 5. Нет. 6. Пример дан на рисунке 248: куб и усеченная пирамида имеют общее основание, затем построено их общее сечение через две вершины. 7. Примеры на рисунке 249. 9. Например, прямая призма, основание которой имеет 3 оси симметрии. 10. Пусть паук находится в точке О — центре грани АВB1A1 и ползет в точку С.. Если выполнить поворот грани ВСC1B1 в положение ВB1Е\Е (ЕЕ\ — в плоскости АВB1), то кратчайший путь паука равен длине гипотенузы с катетами 1 см и 3 см. 11. Обе суммы равны по ЗАA1. 12. Если сторона основания призмы а, искомые углы х и х 15°, то боковое ребро найти из двух прямоугольных треугольников: Уз a tg х и a tg (х + 15°). Приравняв эти выражения и учтя, что tg 15° = 2 — уз, получим уравнение: (2 д/З — 3) tg* х — (д/З — 1) tg х + 2 — д/З = 0. Разделим на 2 л/3 — 3 I tg2 X — ^1 -j- ^ tg X -\---Ü— = 0. Его корни 1 и . Если решать квадратное уравнение без преобразования, под корнем получится 52 - 30 УЗ = 27 + 25 - 30 Уз = (3 УЗ - б)2. Ответ: углы 45° и 60° или 30° и 45°. 13. Прямая, содержащая одну из больших диагоналей основания, или прямая, содержащая две апофемы основания. 16. По условию, основание призмы — параллелограмм. 17. 480 см2. 18. 7 или 8 (первое мало вероятно). 19. 60°. 20. Середина отрезка, соединяющего центры оснований. Целесообразно использовать векторы или координаты. 22. 2 : 3. 23. 1200 см2. 24. 4 см. 25. 240109 см2. 26. Все углы основания — по 120°; АС = 7 см, R = -х- • S6 = 24 - Д^-= 112 УЗ, SnojIH = 159 У'З см2. 27. По условию, 2(Н2 -Ь X2) = (х УЗ)2; лг = Нд/2; S6 = 6#2 У2. 28. Призма, у которой боковая грань — квадрат. 29. Стороны основания 7 де, 1Ьх, 20х, 24*. Так как (7*)2 4- (24*)2 = (15л:)2 + (20х)2, то два угла основания — прямые. (15*)2 + (2pjc^j==_502, X — 2. Стороны основания 14, 30, 40, 48 см, высота H = = д/52- — 48^ = 20 (см). S„ = 4512 см2. 30. Квадрат каждой стороны сечения меньше суммы квадратов двух других сторон. 31. 90°, 60°, 30°. 32. Сечение параллельно ребру куба. 33. S3 ^ —^— , S4 = a2, Se — — а2 Уз • В последнем случае сечение проходит через середины шести ребер. 35. 3720 см . 36. 9 см". 37. 10 уГосм2. 38. 45°. 39. а = 12 см, AD — 6 -У"3 см, sin a = —~— « 0,7698, a ä 50°20/. 40. 3 : 2. 42. —. 44. Оно равно расстоянию между плоскостями A1BD и D1B1C, а они перпендикулярны диагонали АC1 и делят ее на три равные части. 45. Использовать теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. 46. 62, 64, 66 см. 47. 15, 13 см. 48. 28, 24, 18, 10 см. 49. 24 уГО см2, 24У26 см2. 50. 18, 20, 22, 24 см. 51. 13 см. 52. Такое сечение имеет параллельные стороны, а у правильного пятиугольника параллельных сторон кет. 53. S = 2аЪ -f 2ac -f 2Ьс = 2(а2 + Ъ2 + с2) — (а — bf — (а — с)2 — — (Ь — с)2 = 2d2 — (а — Ъ)2 + (а — с)2 -\- (Ь — с)1. Максимум имеет место при a = Ь = с и равен 2d2. 54. 96 см2. 55. Если плоские углы при одной вершине — прямые. 56. 20„ 57. Если основание fe-угольник, то сумма углов при основаниях боковых граней 2 • 180° (k — 2), а сумма углов при вершине 180° • (4 — k). Так как она положительна, то k < 4, т. е. k = 3. По второму признаку равенства треугольников каждая боковая грань равна основанию. Отсюда основание — равносторонний треугольник, пирамида — правильная. 58. Использовать свойство диагоналей параллелограмма и доказать, что названные отрезки, пересекаясь, делятся пополам. 61. Да. Прямыми могут быть углы MAB, MAC, МВС, ABC. 63. 11, 13, 15, 17 см. 64. 11 см. 65. Представить пирамиду как часть параллелепипеда (ее основание — грань параллелепипеда, а вершина — центр параллелепипеда), его диагонали 18, 22, 24, 26 см; боковое ребро 15 см, стороны основания 12 — х и 12 + х. По задаче 45 находим: х = 1. 66. а) Да; б) Да; в) Да; г) Нет; д) Нет. На рис. 250 показаны линии сгиба в возможных случаях. 68. Сумма углов при основаниях боковых граней больше суммы углов основания, но меньше 180° • п. Поэтому 2 • 180° • (п —- 2) < 180° • п, откуда п <. 4. 69. Использовать теорему о трех перпендикулярах. 70. Построить через высоту пирамиды две плоскости, перпендикулярные к сторонам квадрата. Если углы при основании х, 2х, Ъх, 2х9 то получается уравнение:

из которого cos 4л: = 0. Учтя, что 0 < Ах < 180°, находим углы: 22° 30', 45°, 112° 30', 45°. 71. На развертке кратчайший путь совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны /. Поэтому x = 1~\[~2 . 72. Аналогично задаче 71. Развертка боковой поверхности — равнобедренный треугольник с углом 120°. / = ——. ^0 . 73. Точки пересечения равноудалены от плоскости основания и проектируются ортогонально на середины сторон основания. SKLMN = —. 74. В прямоугольном треугольнике Н~2 = а'2 + Ь~2. 75. MA2 — MB2 = АО2 — ВО2. По условию, MA2 + ВС2 = MB2 + АС2, т. е. АО2 - ВО2 = АС2 - ВС2, СО JL Aß, О — ортоцентр грани ABC. По той же причине высота из вершины С содержит ортоцентр грани MAB. Обе высоты находятся в плоскости MCD и пересекаются (рис. 251). 76. Площади трех граней 4, 16, 32 см2. Построить MD ± ВС (рис. 252). ВС = 2 Уб, MD = -i-, AD = Так как AD JL ВС, 5дАВС = 36 см2. 77. 88 см2

78. Smax = à2 ^1 -j—^. Две грани — равносторонние треугольники, две — прямоугольные. 79. Двугранный угол при основании 45°, S6 = Q л[2. 80. 2QV(5; 2Q(V3 +л/6). 81. Если двугранный угол при основании пирамиды менее 30°. 82. Например, ребро DA — 2 перпендикулярно плоскости основания ABC, стороны AB = 4, АС = 8. В зависимости от угла BCD площадь BCD может быть равной SADAB + SADAC или превышать эту сумму. 83. Если сторона основания 2а, плоский угол при вершине 2х, то —— = д/2 -f-Г—- J tg* Н-"\/-т~2--1 » откуда tg д: = 1 или —. При первом значении пирамида не существует, при втором угол при вершине ж 36° 52'. 84. —. 85. Сечение (их три) содержит две апофемы пирамиды. 86. 144 см2. 87. — Q. 88. 75 см2

89. — al л[2. Сечение можно представить состоящим из двух равных трапеций или из прямоугольника и равнобедренного треугольника. 90. У85 см2

91. —см . 92. Ортогональная проекция сечения на плоскость основания имеет площадь — площади основания. Поэтому Sce4 > — SOCH . 93. Аналогично задаче 92. 94. 105 см2. 95. Не всегда. 96. 48 см. 97. 12 см. 98. Грань куба находится в сечении, параллельном плоскости основания пирамиды. Если катеты сечения Sx и 4jc, то ребро куба - . Поэтому Sx : 3 = (24---— J : 24; х= -1 а ребро куба 1,6 см. 100. 108 см2. 101. ц^-, -^см2. 102. 512 см2, 800 см2. 103. 25 см2, 169 см2. 104. 1 : 4. 105. 4 дм2. 106. ä 62° 30'

107. — ip* 108* 3(234 + 73 V 3 ) см2. 109. 60°. 110. 54 см2. 111. 1216 см2 Р + Pi

112. 2352 см2. 113. 1 : 9. 114. 3 : 1, считая от вершины тетраэдра. 115. Для п = 4 и п = 6.116. Косинусы этих углов —— и--ь—. 118. Бесконечно много.

Плоскость, параллельная данным плоскостям. 122. Условию отвечает только медиана CD основания. 123. Если диагонали основания АС и BD пересекаются в точке О, то взять точку Т 6 МО и построить параллелограммы TAiMCi и TB1MD1, В, Ç MB, Ci 6 MC, В, Ç MD. A1B1C1D1 — параллелограмм. 124. x + + у + г- 9=0. 125. (0; 4; 4), (-4; 1; 4), (0; 4; -1), (-4; 1; -1) или (-4; 4; 4), (0; 4; 9), (—4; 1; 9). 128. Спроектировать точки Р и Т на основание пирамиды

параллельно МО. Если Рг симметрична Р относительно (ABC), то искомая точка — пересечение Р>Т с АС. 129. Аналогично задаче 128. Направление проектирования параллельно высоте МО пирамиды. 132. Если О — центр основания призмы, то построить точку Р, симметричную D относительно плоскости ОВB1. Точки Р и Е лежат на боковой стороне искомого треугольника (рис. 253). 133. Аналогично задаче 132. 134. Построение в духе задачи 132 показано на рис. 254. 136. Если призма — прямая. 141. Построить их перпендикулярные сечения и выполнить параллельный перенос одной из призм. 142. Не обязательно. 144. а) Да; б) Нет; в) Да. 145. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью, т. е. эллипс, окружность, или две образующие, или одна образующая цилиндрической поверхности. 146. Для построения восьмиугольника построить серединные перпендикуляры двух сторон вписанного квадрата; для двенадцатиугольника — построить серединные перпендикуляры трех последовательных сторон вписанного правильного шестиугольника или построить прямые через середины каждых двух соседних сторон вписанного квадрата. 148. Построить через точку M диаметр AB, затем построить сопряженный диаметр CD. Искомые хорды проходят через M параллельно АС и AD (рис. 255). 149. Аналогично задаче 148, но вместо квадрата построить равносторонний треугольник (рис. 256). 150. Построить диаметр MA и сопряженный с ним диаметр ВС. Касательная параллельна ВС. 152. 256 см2 или 400 см2. 153. 3 : 4. 154. В три слоя. 156. Z. ОВВх = 30°; ОB1 = 4 см. Радиус окружности, вписанной в Д АB1С — 1,5 см (рис. 257). 157. Рассмотреть диагональное сечение куба.

160. Максимальную площадь имеет осевое сечение в том случае, когда угол при вершине осевого сечения острый или прямой. Если же он — тупой, то наибольшую площадь имеет сечение, проведенное через две взаимно перпендикулярные образующие, она равна В данном случае S =---= 65 (см2). 161. 15°. Учесть замечания к решению задачи 160. 162. (2 + л/2 ). 163. 2а (3 — л/б). 164. Построить плоскость через О и B1К. Сечение — трапеция, касающаяся образующей и окружности основания конуса. Поэтому радиус ОМ = — л] 2 , ON : NM = B10 : ME =2:1.

165. Окружность с центром на середине оси усеченного конуса и радиусом, равным полуразности радиусов оснований. 166. Круг или (если R > Зг) круговое кольцо. 167. 20 см. 168. 21, 11см. 169. 12л см. 170. Сферу диаметра AB (без точки А). 171. Сферу радиуса R V3, концентрическую с данной сферой радиуса R. 172. Две сферы радиусов а + b и а — b или сферу радиуса а + b и ее центр, или сферу радиуса а + b (если а > Ь). Все названные сферы концентричны с данной. 174. Окружность или точку, или таких точек не существует.

186. Да. 187. Так как все грани равны, то равны и радиусы окружностей, описанных около этих граней, т. е. плоскости граней равноудалены от центра описанной сферы. 188. Z. МСО = 45°. Если МК — х (рис. 259), то

Первый корень отвечает положению центра сферы в центре основания пирамиды, второй посторонний (сфера касается продолжений боковых ребер).

1Э0. 2 л см. 191. 12 см или 28 см. 192. Поставив ножку циркуля в точку M поверхности шара, описать на этой поверхности окружность (рис. 260). Отметив на ней точки А, В, С, определить построением радиус построенной окружности г. Затем построить прямоугольный треугольник с катетом MA и высотой г. Гипотенуза треугольника равна диаметру шара. Имеются специальные приборы (так называемые сферометры), дающие величину диаметра шара без вычислений или дополнительных построений. 193. Общих точек нет. 194. Плоскость касается сферы.

196. Рис. 261.

197. а) Две; б) Две. 198. 5376 i см2 199. Сечение проходит через центр параллелепипеда. 201. 3, 4, 5, 6 см. 203. 1001 см3. 204. 12 408 см3. 205. По рис. 262 ВО — 4, АО 3, ВС = 5. По свойству параллелограмма, 82__— Я2 + -1 б2 - Я2 = 2 (52 + З2); Я =4; DC2 = б2 — 42 = 20. = 4 V = 16л/Псм3. 206. 256 лГз см3. 208.96 см3. 209.-^. 210. 6 Vol см3.

211. Q V17Q. 212. Силосная башня в целом и ее внутренняя часть (без перекрытий) — призмы равной высоты. Если апофема первой призмы /, то V, : V2 = S. : S2 = Z2 : 3,652 = 1,0645; / = 3,65 Л/1,0645 . Толщина стен

215. Максимум, если <х = 120°. 216. ~ Q. 217. ~-(3 - V~3 ). 218. 2160 см3.

219. 1530 см3. 220. По размерам сторон установить, что два угла основания — прямые. V = 145 728 см3. 221. 282 УЗ см3. 222. 8(13 + 12 л/2) см3. 223. 12Я3 V3 sin (30° + a) sin (30° — а). 224. Вершина проектируется ортогонально в центр окруяшости, описанной около основания, H — R. Поэтому V = = — . = ~-. V — 340 см3. 225. 15 360 см3. 226. Основание вписано в окружность. Так как 202 + 662 = 242 + 602 = 4776, то ее радиус VÏÏ89". V = 3360 см3. 227. -| Я3 д/З. 228. SOCH < л/3, Я < 2 • V < ^ 1 см3. 229. Сначала установить, что объем треугольной пирамиды не превышает ~ произведения длин трех ребер, исходящих из одной вершины. Написав 4 таких неравенства, перемножить их. 230. 3136 см . 231. Для прямой треугольной усеченной призмы

(рис. 263). Так как наклонную усеченную треугольную призму можно представить как две прямые усеченные призмы, общим основанием которых является перпендикулярное сечение, то (рис. 264)

234. Р — середина ребра DD1 (рис. 265). Объем пирамиды DiAiCjP в 12 раз меньше объема параллелепипеда. Ее основание — прямоугольный треугольник с катетами b и с, а высота

Совместить равные трехгранные углы (рис. 266).

238. 3 : 5. Построить диагональное сечение пирамиды и применить результат задачи 237 к половинам данной пирамиды. 239. 2:7. Сначала установить, что плоскость делит два боковых ребра в отношении 1 : 2, считая от вершины. 241. Vnup —

246. 1 : 8. 247. Их измерения 1, 2, 4 и 2, 4, 8,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.............................. 3

Методические рекомендации..................... 14

Седьмой класс........................... 23

Восьмой класс........................... 33

Девятый класс........................... 51

Десятый класс........................... 67

Одиннадцатый класс........................ 81

Ответы и указания......................... 105

рис. 1 рис. 2

рис.3

рис. 4

рис. 6

рис. 5

рис. 7

рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис.15

Рис. 16 Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29

Рис. 30

Рис.31 Рис 32

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

Рис.49

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

Рис. 69

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

Рис. 73

Рис. 74

Рис. 75

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 80

Рис. 81

Рис. 82

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

Рис. 86

Рис. 87

Рис. 88

Рис 89

Рис. 90

Рис. 91

Рис. 92

Рис. 93

Рис. 94

Рис. 95

Рис. 96

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

Рис. 100

Рис. 101

Рис. 102

Рис. 103

Рис. 104

Рис. 105

Рис. 106

Рис. 107

Рис. 108

Рис. 109

Рис. 110

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

Рис. 114

Рис. 115

Рис. 116

Рис. 117

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

Рис. 123

Рис. 124

Рис. 125

Рис. 126

Рис. 127

Рис. 128

Рис. 129

Рис. 130

Рис. 131

Рис. 132

Рис. 133

Рис. 134

Рис. 135

Рис. 136

Рис. 137

Рис. 138

Рис. 139

Рис. 140

Рис. 141

Рис. 142

Рис. 143

Рис. 144

Рис. 145

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Рис. 149

Рис. 150

Рис. 151

Рис. 152

Рис. 153

Рис. 154

Рис. 155

Рис. 156

Рис. 157

Рис. 158

Рис. 159

Рис. 160

Рис. 161

Рис. 162

Рис. 163

Рис. 164

Рис. 165

Рис. 166

Рис. 167

Рис. 168

Рис. 169

Рис. 170

Рис. 171

Рис. 172

Рис. 173

Рис. 174

Рис. 175

Рис. 176

Рис. 177

Рис. 178

Рис. 179

Рис. 180

Рис. 181

Рис. 182

Рис. 183

Рис.184

Рис. 185

Рис. 186

Рис. 188

Рис. 187

Рис. 189

Рис. 190

Рис. 191

Рис. 192

Рис. 193

Рис. 194

Рис. 195

Рис. 196

Рис. 197

Рис. 198

Рис. 199

Рис. 200

Рис. 201

Рис. 202

Рис. 203

Рис. 204

Рис. 205

Рис. 206

Рис. 207

Рис. 208

Рис. 209

Рис. 210

Рис. 211

Рис. 212

Рис. 213

Рис. 214

Рис. 215

Рис. 216

Рис. 217

Рис. 218

Рис. 219

Рис. 220

Рис. 221

Рис. 222

Рис. 223

Рис. 224

Рис. 225

Рис. 226

Рис. 227

Рис. 228

Рис. 229

Рис. 230

Рис. 231

Рис. 232

Рис. 233

Рис. 234

Рис. 235

Рис. 236

Рис. 237

Рис. 238

Рис. 239

Рис. 240

Рис. 241

Рис. 242

Рис. 243

Рис. 244

Рис. 245

Рис. 246

Рис. 247

Рис.248

Рис. 249

Рис. 250

Рис. 251

Рис. 252

Рис. 253

Рис. 254

Рис. 255

Рис. 256

Рис. 257

Рис. 258

Рис. 259

Рис. 260

Рис. 261

Рис. 262

Рис. 263

Рис. 264

Рис. 265

Рис. 266

ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ

60 к