Линьков Г. И. Внеклассная работа по математике в средней школе. — М. : Учпедгиз, 1954. — 64 с. — (Опыт передового учителя). — Библиогр.: с. 63 (15 назв.).

ОПЫТ ПЕРЕДОВОГО УЧИТЕЛЯ

Г. И. Линьков

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

УЧПЕДГИЗ 1954

Г. И. ЛИНЬКОВ

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1954

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Брошюра Г. И. Линькова представляет изложение опыта внеклассной работы по математике, проводимой в школах г. Курска и Курской области.

Отзывы и замечания просьба направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики.

I. ЗНАЧЕНИЕ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

В объяснительной записке к программе по математике за 1952 год указывается: «...в процессе преподавания математики необходимо обращать внимание учащихся на большую культурно-историческую ценность математики, на её роль в системе наук, на её применение в технике и практике социалистического строительства.

В связи с этим следует уделять достаточное внимание сообщению сведений по истории математики, разъясняя в особенности значение и роль выдающихся математиков нашей родины (Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, С. В. Ковалевская и др., Советская математическая школа)» (стр. 6).

Выполнение этого требования является обязательным для советского учителя.

Исторические сведения по отдельным вопросам следует сообщать на отдельных уроках, отводя для этого 3—8 минут времени. Эти вопросы не должны отвлекать учащихся далеко в сторону от программы и, как правило, должны даваться в начале или в конце прохождения раздела программы.

Давать исторические сведения и расширять математические знания учащихся нужно также во внеурочное время.

«Внеклассная работа даёт возможность организовать решение интересных и более трудных задач, развивающих сообразительность и математическое мышление учащихся; изучить элементы истории математики; по-

знакомиться с жизнью и деятельностью знаменитых математиков, в особенности отечественных; ознакомиться с некоторыми вопросами занимательной математики» (Н. Н. Никитин, И. А. Гибш и И. И. Фетисов, О преподавании математики в V—X классах, Учпедгиз, 1952, стр. 15).

Велико и воспитательное значение внеклассной работы по математике. Она даёт возможность научить учащихся самостоятельно работать, самостоятельно готовиться к докладу, подбирать материалы, воспитывать настойчивость в преодолении трудностей. Внеклассная работа при правильной её постановке может дать радость творческого труда, привить любовь к математике.

Наиболее распространёнными видами внеклассной работы являются математические кружки, математические газеты и журналы, экскурсии, вечера, математические олимпиады, математические пионерские сборы, моделирование и другие.

В данной работе будет показано, как проводится внеклассная работа по математике учителями 3. П. Феоктистовой, В. В. Посох в школе № 4 г. Курска, А. А. Косаревым, Е. И. Хритоненко в школе № 1 г. Рыльска, учителем Н. С. Дятловым в Крупецкой средней школе Крупецкого района и другими учителями школ Курской области.

II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Кружок ставит целью развить математическое мышление учащихся, их смекалку, углубить интерес к математике, развить любовь к отечественным учёным.

Программа кружка должна охватывать следующее:

1. Отдельные вопросы математики, которых школьная программа или вовсе не касается, или не охватывает с достаточной широтой.

2. Вопросы истории математики, к которым учащиеся всегда относятся с исключительным интересом.

3. Область занимательной математики. Здесь неисчерпаемым источником служат книги Я. И. Перельмана.

4. Загадки, шарады, математические фокусы, игры и т. д.

5. Софизмы.

«Весьма полезным подспорьем для развития логических способностей учащихся являются всевозможные софизмы» («О преподавании математики в V—X классах», Учпедгиз, 1952, стр. 41).

Софизмы — «доказательство», направленное на формально логическое установление абсурдного положения. Раскрыть софизм — это значит указать ошибки в рассуждении, при помощи которых была создана внешняя видимость доказательства.

Основная цель рассмотрения софизмов в школе заключается в развитии критического мышления учащихся, умения не только воспроизводить определённые логические схемы, определённые мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждения в соответствии с усвоенными принципами математической логики и мыслительной практики.

Огромное значение имеет первое занятие кружка, на котором учитель должен заинтересовать учащихся, чтобы на последующие занятия они шли с огромным желанием.

Первое организационное занятие кружка в школе № 4 г. Курска В. В. Посох провела так:

1) сообщила учащимся программу, давая некоторые комментарии к каждой теме для уяснения содержания вопроса;

2) установила дни занятий (2 раза в месяц);

3) рассказала о методах работы: на первых занятиях будет сообщать материал учительница, а на последующих некоторые вопросы и сообщения по заданным темам будут готовить члены кружка;

4) рассказала о математических забавах поэта М. Ю. Лермонтова.

Известно, что Михаил Юрьевич был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое всегда возил с собой учебник математики.

Современники, близко знавшие Лермонтова, вспоминали об его отношении к математике:

«В начале 1840 года Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающие офицеры, в том числе и Лермонтов, соби-

рались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то учёном-кардинале, который мог решать в уме самые сложные математические задачи.

— Что Вы скажете на это, Лермонтов? — обратился к нему один из почтенных батальонеров, старик с Георгием,— говорят, что Вы тоже хороший математик?

— Ничего тут удивительного нет,— ответил поэт.— Я тоже могу представить Вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.

— Сделайте одолжение.

— Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых арифметических действий определю это число.

— Ну, что же, попробуйте,— рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся.

— Хорошо, я задумал,—сказал батальонер, подмигнув стоящим вокруг офицерам и для подтверждения впоследствии, на случай неточности вычисления, сообщил задуманное число сидевшей рядом с ним даме.

— Прибавьте к нему,— начал Лермонтов,— ещё 25 и считайте мысленно или посредством записи.

Старик попросил карандаш и стал записывать на бумажке.

— Теперь прибавьте ещё 125. Старик прибавил.

Вычтите 37. Ещё вычтите то число, которое Вы задумали сначала. Теперь остаток умножьте на 5. Полученное число разделите на 2.

Старик разделил.

— Теперь посмотрим, что у Вас должно получиться. .. Кажется, если не ошибаюсь, число 282^-.

Батальонер даже привскочил,— так поразила его точность вычисления.

— Действительно получается 282-^-. Я задумал число 50. Фу, да Вы не колдун ли?

— Колдун не колдун, а математике учился,— улыбнулся Лермонтов.

— Но, позвольте,— старик, видимо, сомневался, не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он производил вычисление.

— Нельзя ли повторить?

Старик задумал ещё два числа, и на этот раз оба

частных были угаданы. Все заинтересовались. Старик только развёл руками. По крепости пошёл разговор. Где бы поэт ни показался, к нему стали обращаться с просьбами угадать число» (5*, стр. 59).

Учительница проделала сама 2—3 подобных примера с учащимися.

После этого она предложила учащимся самостоятельно к следующему занятию найти решение рассмотренной задачи.

А решение простое:

[ (х + 25 + 125 — 37 — х) • 5]: 2 = 282 \.

Затем Вера Васильевна сообщила учащимся задачу про улитку.

«Улитка взбиралась на дерево вышиной в 10 м. За день она поднималась на 4 м, ночью она сползала вниз на 3 м. Через сколько дней улитка достигла вершины дерева?» (1, стр. 62).

После медленного повторения условия задачи члены кружка стали давать «ответы»: 2-^- дня, 10 дней, 5

дней (большинство ответов—10 дней).

Каково же было их удивление, когда учительница сообщила: «Правильный ответ — 7 дней!»

Руководительница подробно рассказала, как получить правильный ответ.

Для подготовки ко второму занятию членам кружка была дана следующая задача:

От Земли до Луны около 384000 км, от Земли до Солнца около 150000000 км. Во сколько времени долетит до них снаряд, если считать, что он будет лететь со скоростью 750 м в секунду?

Ответ: а) около 6 суток, б) около 6-у лет.

На первом занятии математического кружка в школе № 1 г. Рыльска руководитель Косарев А. А. разобрал «Чеховскую головоломку» (2, стр. 30), а также следующие задачи:

а) Написать число 100 четырьмя одинаковыми цифрами f 99 +-§-).

* Порядковый номер книги в списке литературы, приведённом в конце книги.

б) Написать число 100 пятью единицами, пятью пятёрками, пятью тройками (ill — 11; 5-5-5 — 5-5; 3-33 + 4).

в) Написать число 100 шестью одинаковыми цифрами (ответ: -gg- + 99; существует большое количество вариантов других решений).

Примечание. Цифры можно соединять знаками действий.

Написать тремя пятёрками 0, 1, 2, 5. Ответ для первого и третьего случая:

(5-5)-5 = 0, Ц^ = 2.

На дом учитель предложил такую задачу.

На строительную площадку пришли экскаваторы. Предстояло вырыть два котлована, из которых один вдвое больше другого. Начав рыть большой котлован и проработав полдня, экскаваторщики разделили свои машины на две равные колонны. Первая из них продолжала выемку грунта на большом котловане и к концу рабочего дня закончила его, а вторая колонна начала рыть меньший котлован.

Сколько было экскаваторов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся работу выполнил один экскаватор, а выработка каждого из них принимается одинаковой? (Журн. «Огонёк», 1953, № 16.)

Учитель указал, что задача решается значительно легче, если использовать чертёж.

Примерный план работы математических кружков пятых классов

В содержании кружковой работы преобладает область занимательной математики.

1-е занятие

а) Организационные вопросы.

б) Математическая забава М. Ю. Лермонтова.

в) Задача «Каховское море» (журн. «Математика в школе», 1951, № 3).

2-е занятие

а) Во сколько времени снаряд долетит до Луны и до Солнца?

б) Скупой богач (1, стр. 6).

в) «Произведение из любимой цифры» (1, стр. 20).

3-е занятие

а) Лев, волк и пёс (старинная русская задача) (1, стр. 27).

б) Особенности чисел 12 и 365 (2, стр. 73 и 76).

в) Задачи-шутки: 1) К трём спичкам прибавить две, чтобы получилось восемь.

2) К пяти спичкам прибавить четыре спички, чтобы получилось сто.

Указание. Из спичек нужно составлять римские числа или русские слова.

4-е занятие

а) Искусство индусского счётчика (2, стр. 100).

б) Задача.

Всем членам нашей семьи 73 года. Я старше жены на 3 года, а мой сын моложе дочери на 2 года. Четыре года назад моей семье было 58 лет. Сколько лет каждому из нас? (Журн. «Знание — сила», 1950, № 3.)

в) Немного истории («Трудное дело — деление») (2, стр. 41).

5-е занятие

а) Л. Ф. Магницкий — автор первого учебника по математике в России**.

б) Одно из «утешных действий» Магницкого (2, стр. 121).

в) Задача, которую решал Ломоносов**.

6-е занятие

а) Изобретение счётов. Счётные приборы (Н. П. Юрьев, Счётная техника, Госстатиздат, 1952, стр. 52).

б) Сложение и вычитание на счётах (журн. «Математика в школе», 1953, № 6, стр. 64).

** В дальнейшем знаком ** будут обозначены задачи, помещённые в данной работе.

7-е занятие

а) А. П. Киселёв — великий труженик в создании стабильных учебников по математике (журн. «Математика в школе», 1948, № 4).

б) Мощные ГЭС** (задача).

в) Чудесная таблица (1, стр. 71).

8-е занятие

а) Шагающий экскаватор 14-65 (С. Д. Клементьев, Чудо-машины, Госкультпросветиздат, 1952, стр. 41).

б) Машина-гигант** (задача).

в) Изобретение радио (задача) (1, стр. 37).

9-е занятие

а) Академик И. М. Виноградов — сильнейший математик мира.

б) Рассказ учителя «Решето Эратосфена».

в) „Галки и палки" (русская народная задача) (1, стр. 45).

10-е занятие

а) Приёмы ускоренного умножения (2, стр. 131).

б) Умножение на счётах, деление на счётах (2, стр. 36 и 38).

в) Задача-шутка.

В антикварном магазине была куплена редкая книга, за которую заплатили 80 руб. и ещё половину того, что стоит книга. Какова общая стоимость книги? (журн. «Знание — сила», 1950, № 7).

Примерный план математических кружков шестых классов

1-е занятие

а) Рассказ учителя «Развитие геометрии до Евклида» (6, стр. 5—10).

б) Цифровая лестница (2, стр. 90).

в) Не открывая кошельков (2, стр. 101).

2-е занятие

Измерительные работы на местности:

а) Определение ширины реки (4, стр. 42—48).

б) Определение высоты дерева (4, стр. 11—28).

3-е занятие

а) «Начала» Евклида (6, стр. 10—30).

б) Предсказать сумму ненаписанных чисел (2, стр. 113).

в) Угадать дату рождения (2, стр. 120).

4-е занятие

а) Рассказ учителя «Н. И. Лобачевский — великий русский математик».

б) Выигрыш** (задача).

в) Как велик миллион? (2, стр. 152).

5-е занятие

а) Угадывание задуманного числа (1, стр. 70).

б) Сколько денег в каждом кармане? (1, стр. 30).

в) Премии работникам МТС** (задача).

6-е занятие

а) Рассказ учителя «Прицепная землеройная машина Д-264» (журн. «Техника — молодёжи», 1953, № 1).

б) Рассказ по чертежу «Миллион на шестерёнках» (2, стр. 155).

в) Жизнь Н. И. Лобачевского** (задача).

7-е занятие

а) П. С. Александров — президент Московского математического общества (Большая советская энциклопедия, новое издание, т. 2, стр. 84).

б) 2X2 = 100; 3X3=14 (различные системы исчисления) (2, стр. 67).

в) Головоломки (журн. «Знание — сила», 1950, № 2; 1951, № 2).

8-е занятие

а) Рассказ учителя «Счётная техника» (ознакомление с арифмометром) (11, стр. 80 -85).

б) Шагающий экскаватор 14-65** (задача).

в) Идеальный разновес (2, стр. 109).

9-е занятие

а) Рассказ учителя «Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской».

б) Землеройные машины** (задача).

в) Определение длины острова (4, стр. 49).

10-е занятие

а) Определение высоты предметов различными способами (4, стр. 11—28).

б) Четыре пионера** (задача).

в) Сколько яблок** (задача).

Примерный план работы математических кружков седьмых классов

1-е занятие

а) Организационные вопросы.

б) «Просчитались» (задача).

в) Задача на доказательство (три квадрата).

2-е занятие

а) При помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 написать наибольшее число.

б) Уравнение думает за нас (3, стр. 53).

в) Жизнь Диофанта (3, стр. 38).

3-е занятие

а) Рассказ учителя «Кто изобрёл алгебру?» (Большая советская энциклопедия, новое издание, т. 2, стр. 53).

б) Извлечение квадратного корня (старинный способ) (4, стр. 131).

в) Задача Эйлера (3, стр. 125).

4-е занятие

а) Л. С. Понтрягин — выдающийся советский математик.

б) Софизмы: 1) Всякое число равно своей удвоенной величине. 2) Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному (7).

в) Рассказ ученика «Простейшие дальномеры» (4, стр. 52).

5-е занятие

а) Доклад «Как древние вавилоняне четыре тысячи лет назад извлекали квадратные корни» (журн. «Математика в школе», 1947, № 6).

б) Геометрические головоломки.

Черт. 1. Черт. 2,

Разделите эту фигуру на четыре части, одинаковые по форме и равные по площади (журн. «Знание — сила», 1950, № 2).

Разделите эту фигуру на пять частей и сложите из них квадрат (журн. «Знание — сила», 1951, № 2).

6-е занятие

а) А. В. Погорелов — выдающийся советский математик (журн. «Математика в школе», 1950, № 4).

б) Софизм 8X8 = 65**.

в) «Окружность имеет два центра» (7).

г) Живой угломер (рассказ ученика) (4, стр. 87).

7-е занятие

а) Алгебраические софизмы: произвольное число а=\ (7).

б) Из шести спичек (карандашей или палочек) построить четыре равносторонних треугольника.

в) Задача на доказательство.

В 500 ящиках лежат яблоки. Известно, что ящик не может вместить более 240 яблок. Доказать, что по крайней мере 3 ящика содержат по одинаковому числу яблок (А. Н. Колмогоров, О профессии математика, Госиздат, «Советская наука», 1952).

8-е занятие

а) Доклад «Пифагорейская школа» (6).

б) Пифагоровы числа (3, стр. 78).

в) Феноменальная память (запоминание чисел, составленных по определённому закону).

9-е занятие

а) Математики — лауреаты Сталинских премий (журн. «Математика в школе», 1950, № 4).

б) Алгебраические софизмы: 1) 2 = 3; 2) 2X2 = 5.

в) Диофантовы уравнения (3, стр. 92).

10-е занятие

а) Современная машинная математика (А. Н. Колмогоров, О профессии математика).

б) Когда без алгебры проще? (3, стр. 86).

в) Доплата (старинная народная задача) (3, стр. 74).

Примерный план работы математических кружков восьмых классов

1-е занятие

а) Феноменальная память.

б) Мгновенное извлечение кубических корней.

2-е занятие

а) Доклад «М. В. Остроградский — великий русский математик» (Б. В. Гнеденко, Михаил Васильевич Остроградский, Гостехиздат, 1952).

б) Задача. Нержавеющая сталь представляет собой сплав железа с хромом и никелем. Сколько хрома и никеля нужно сплавить с 67,6 кг железа, если хрома в сплаве 15%, а никеля 0,5°/о? (8, № 1516).

в) Практическая геометрия египтян и римлян (4, стр. 189).

3-е занятие

а) Что больше:

(Эти примеры требуется решать, не вычисляя значений корня.)

в) Определение величины данного угла без всяких измерений (4, стр. 138).

в) Задача. После электрификации участка железной дороги его стали обслуживать 8 электровозов вместо 18 паровозов. На сколько процентов повысилась пропускная способность участка, если мощность электровоза в 2,5 раза больше мощности паровоза, а оборачиваемость электровоза на 10% выше, чем оборачиваемость паровоза? (8, № 1543).

4-е занятие

а) Доклад «А. А. Марков — знаменитый русский математик» (журн. «Математика в школе», 1949, № 1).

б) Чем квадрат «лучше» других четырёхугольников? (13, стр. 98).

в) Пятое математическое действие (3, стр. 7).

5-е занятие

а) «Четырьмя единицами». «Тремя двойками». «Тремя тройками» (задачи) (3, стр. 17 и 19).

б) Правило квадрата в шахматах (13, стр. 103).

в) Электроэнергия великих ГЭС** (задача).

6-е занятие

а) Доклад «А. М. Ляпунов — знаменитый русский математик» (журн. «Математика в школе», 1949, № 1).

б) Построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги (13, стр. 106).

7-е занятие

а) Шестое математическое действие (рассказ ученика) (3, стр. 113).

б) Трудная задача (3, стр. 131).

в) Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу? (12, стр. 21.)

8-е занятие

а) Высота башни по фотоснимку (4, стр. 107).

б) Сумма кубов (3, стр. 133).

в) Задача. Универсальный погрузчик С-80, созданный нашими конструкторами, может за один час выполнить дневную (8-часовую) работу трёх грузчиков. Для выгрузки прибывшего груза предполагали направить 18 рабочих, чтобы закончить её за 6 часов. За какое время выполнили эту работу два универсальных погрузчика С-80, прибывшие на место разгрузки? (8, № 1863).

9-е занятие

а) А. Н. Крылов — знаменитый русский математик и кораблестроитель (журн. «Математика в школе», 1949, № 1).

б) Покупка лошади (3, стр. 161).

в) Разложить на множители хъ -\-x-\- 1 (12, стр. 20).

10-е занятие

а) Шесть способов определения высоты дерева (4, стр. 16—26).

б) Землеройные машины** (задача).

Примерный план работы математических кружков девятых—десятых классов

1-е занятие

а) Доклад «Открытия Архимеда в области математики» (10).

б) Направление удара (задача о биллиардном шаре) (4, стр. 231).

2-е занятие

а) Квадратура круга (4, стр. 198).

б) Затруднение токаря (задача) (4, стр. 289).

в) Объём конуса (практическое вычисление, когда недоступны для непосредственного измерения высота и радиус основания конуса) (4, стр. 117).

3-е занятие

а) В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — великий русский математик, Учпедгиз, 1950.

б) История открытия логарифмов (9).

4-е занятие

а) История бинома Ньютона.

б) Фигуры с наибольшей площадью (4, стр. 279).

в) Логарифмы на эстраде (3, стр. 168).

5-е занятие

а) Научная трактовка функциональной зависимости (журн. «Математика в школе», 1946, № 4; 1947, № 4).

б) Логарифмы в электроосвещении (3, стр. 174).

в) Эволюция логарифмических таблиц.

6-е занятие

а) История изобретения логарифмической линейки (11, стр. 98).

б) Ознакомление с главными шкалами логарифмической линейки (11, стр. 100).

в) Умножение и деление на логарифмической линейке (11, стр. 110).

7-е занятие

а) Г. И. Дринфельд, Трансцендентность чисел тс и е, изд. Харьковского гос. университета, 1952.

б) Возведение в квадрат и извлечение квадратных корней на логарифмической линейке (11, стр. 123).

8-е занятие

а) Доклад «Академик А. Н. Колмогоров» (5) (журн. «Математика в школе», 1950, № 4).

б) Простейший трисектор (4, стр. 226).

в) Возведение в куб и извлечение кубических корней на логарифмической линейке (11, стр. 126).

9-е занятие

а) Математические рукописи Маркса.

б) Треугольник с наибольшей площадью (4, стр. 284).

в) Нахождение мантисс при помощи логарифмической линейки (11, стр. 128).

10-е занятие

а) Доклад «Советская математическая школа» (журн. «Математика в школе» 1950, № 4. Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России).

б) Исследовательская работа по математике (12, стр. 6).

Приводим примеры проведения занятий на математических кружках в седьмых и восьмых классах.

На первом занятии математического кружка седьмых классов в Крупецкой средней школе Крупецкого района руководитель Н. С. Дятлов разобрал одну задачу практического содержания и другую на доказательство.

Первая задача. «Просчитались» (рассказ учителя).

Прошедшим летом ученик VII класса Воронов взялся привезти для школы цветочную рассаду для грядки, размер которой он определил.

Длина грядки была 2,4 м, ширина 1,2 м.

Цветы было решено сажать на расстоянии 20 см друг от друга.

После долгих вычислений он купил 72 кустика рассады и привёз в школу, но... их почему-то нехватило, чтобы равномерно и согласно плану засадить грядку. Воронов не силён в математике и поэтому очень обрадовался, когда к нему подошёл Петя Иванов, который славился своими необычайными математическими способностями. Петя при решении самых сложных задач задумывался не больше чем на минуту, а затем говорил: «Задачу следует решать так».

Так было и на этот раз. Выслушав задачу, Петя подумал немного и уверенно сказал: «Представь себе, что нужно расставить шашки на шахматной доске так, чтобы расстояние между ними равнялось двум клеткам. Значит, разделив восемь на два, получим четыре шашки по длине; ясно, что четыре шашки придётся поставить и по ширине доски. Итак, дай мне 16 шашек, и я покажу, что такое математика».

Воронов через пять минут принёс шашки, и Петя принялся их расставлять так, что их центры совпадали с углами доски, а остальные стал размещать через каждые две клетки и... Пете также нехватило шашек, как Воронову рассады. Почему?

Подумав 2—3 минуты ученик VII класса дал такой ответ:

«При делении длины грядки на расстояние между кустами цветов получается число промежутков между растениями. Следовательно, кустов в каждом ряду, а также рядов должно быть на один больше. Всего это составит...

(Он вышел к доске и записал:)

Руководитель утвердил данный ответ.

«Теперь решим задачу на доказательство, которая на первый взгляд кажется простой, а в действительности посмотрим»,— сказал учитель.

— ABCD, DCEK и КЕМИ— квадраты. Проводим прямые BD, ВК, ВН. Доказать, что сумма /1 + А 2 + + ^3 = 90°.

— Так вы нам детскую задачу предложили,— раздались насмешливые голоса.

— j^l можно сразу же отбросить: он равен 45°,— заметил один ученик.— Остаётся лишь доказать, что сумма L 2 +Z.3 = 45°.

Но последнего утверждения учащиеся самостоятельно не смогли доказать, хотя учитель дал возможность подумать более 15 минут.

— Эта задача и интереснее и труднее предыдущей,— сказал учитель,— и решать её следует так:

Черт. 3.

Строим над данными квадратами ещё три таких же квадрата и проводим прямые BF и FH; после этого рассмотрим треугольники BFE и FKH. Они прямоугольные по построению и равны (по двум катетам).

Сумма же двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому BFH = 90°, но, с другой стороны, BF = FH (как гипотенузы равных треугольников), следовательно, Л BFH — равнобедренный и £ FBH = l_ BHF = 45°.

Черт. 4.

Теперь рассмотрим треугольники АВК и FHHi, они прямоугольные (по построению) и равны (по двум катетам), поэтому £FHHt = £2. АННх — прямой (по построению), то /.3 + 2.45° + /.2 = 90°, но /.1=45°, так как диагональ квадрата делит углы пополам, следовательно, Z.1 + Z-2 + Z-3 = 90°.

Николай Степанович помолчал одну минуту, а в это время ученик за первой партой, вздыхая, сказал: «Вот это доказательство».

На дом были даны две задачи:

1. При помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 написать наибольшее число, использовав сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Каждое число и каждое действие должно обязательно фигурировать, и притом один раз.

2. Простой делёж.

Они давно не виделись и обрадовались друг другу, когда встретились в выходной день. Составилась небольшая, но отличная компания: два отца и два сына. Поехали за город, нагулялись, пошли всей компанией завтракать в ресторан. За завтраком им, между прочим, подали шесть крутых яиц. Не разрезая ни одного, они

разделили их между собой так, что каждому пришлось поровну. Как они это сделали? (Журн. «Огонёк», 1951, № 48.)

В Обоянской средней школе учительница В. М. Колодезная на первом занятии кружка с восьмыми классами разобрала такие вопросы:

1) Феноменальная память.

2) Мгновенное извлечение кубических корней.

1. Феноменальная память.

Учитель предлагает ознакомиться с несколькими десятками карточек, на каждой из которых напечатано многозначное число.

— Все числа, находящиеся на 2—3 десятках карточек, можно помнить. Вы сейчас в этом убедитесь. Карточки занумерованы. Вы скажете мне только номер любой карточки, и я постараюсь «вспомнить», какое число на этой карточке напечатано.

Один ученик назвал карточку № 14. Учительница, подумав несколько секунд, назвала число 32 572 910.

Второй ученик назвал карточку № 37. Учительница назвала число 64 044820.

Учащиеся ещё назвали 5—7 номеров карточек, и учительница без ошибки назвала числа на карточках.

«Как же можно помнить такие большие числа?» — спросил один ученик.

«Расскажите, Валентина Михайловна, как вы их запомнили?»— говорит второй ученик.

После минутного молчания учительница стала рассказывать:

— Чтобы безошибочно узнать, какое число находится на карточке под названным номером, вы должны в уме проделать следующее:

1. К названному вами номеру прибавить 9.

2. В числе, которое получится, цифры переставить местами.

3. Сложить две последние цифры этого числа и сумму их приписать справа. Если сумма — двузначное число, то приписываются только единицы. Десятки просто отбрасываются.

4. Следующая цифра получается опять-таки от сложения двух предыдущих цифр. Это приписывание продолжается до тех пор, пока не получится полностью всё число.

— Примеры покажут это ясней. Если вам назвали карточку № 72, то первое, что надо сделать, это прибавить к названному номеру карточки девять:

1. Получится 72 + 9 = 81.

2. Берём это число наоборот, т. е. 18 (это миллионы).

3. Находим третью цифру, сложив две предыдущие, т. е. 1+8 = 9. Приписываем её: 189.

4. Находим таким же образом четвёртую цифру, т. е. складываем две предыдущие: 8 + 9, получаем 17, отбрасываем десятки, а единицы 7 приписываем. У нас получилось 18-97.

Следующая цифра 9 + 7=16. Приписываем 6, получилось 18-976.

Следующая цифра 7 + 6=13. Приписываем 3, получилось 18-976-3.

Следующая цифра 6 + 3 = 9. Так и пишем 18 • 976 • 39.

И последняя 3 + 9=12. Десятки долой, а две единицы пишем и получаем то число, которое ученик держит в руках... 18 976 392.

— Мы пришли к результату: на карточке № 72 значится число 18 миллионов 976 тысяч 392 единицы.

— Если вы хорошо запомните правила, которые надо соблюдать, чтобы найти нужное число, и несколько раз потренируетесь, то сразу, без помощи карандаша и бумаги, сможете «вспомнить» число, проделывая все вычисления в уме.

— Некоторую тренировку вы получите, когда будете приготовлять для этого фокуса карточки, например:

2. Мгновенное извлечение кубических корней.

Учительница говорит учащимся:

— Пусть каждый из вас возьмёт любое число до 100 и возведёт его в третью степень. По окончательному ответу я вам сразу сообщу, какое число было возве-

дено в куб, а затем покажу, как можно мгновенно извлекать кубические корни.

Ученик называет число 185193. Учительница говорит: «В куб возводили 57».

Другой ученик называет число 592 704. Учительница отвечает: «А вы в куб возводили 84».

Ответив ещё трём-четырём учащимся, учительница рассказывает, как проделывается этот замечательный опыт:

— Немного внимания, немного терпения, и вы будете обладателями хорошего математического способа, известного очень немногим специалистам-математикам.

— Прежде всего надо выучить на память третью степень первых десяти чисел. Это нетрудно, на это потребуется не более 10 минут.

— Чтобы облегчить себе запоминание, посмотрите на следующую таблицу:

1 в третьей степени имеет единиц 1

4 » » » » » 4 (64)

5 » » » » » 5 (125)

6 » » » » » 6 (216)

9 » » » » 9 (729)

10 » » » » » 0 (1000).

— Таким образом, последняя цифра куба шести цифр вам известна. Это — сама первоначальная цифра. Что касается остальных четырёх, то их тоже запомнить легко, так как здесь помогает забавная особенность:

3 в третьей степени имеет последнюю цифру 7(27)

7 » » » » » » 3 (343)

2 » » » » » » 8 (8)

8 » » » » » » 2 (512)

Видите, как просто: возведя в куб 3 или число, оканчивающееся на 3, мы получим число, оканчивающееся на 7; зато, возведя в куб 7 или число, оканчивающееся на 7, мы получим число, имеющее в конце 3.

— Далее. Возведя в куб 2 или число, оканчивающееся на 2, получим число, оканчивающееся на 8, а возведя в третью степень 8 или число, оканчивающееся на 8, получим число, имеющее на конце 2.

— Когда вы хорошенько выучите кубы первых десяти чисел, по одному окончанию сумеете назвать кубические корни из этих чисел, то извлечение корня из куба любого числа до 100 для вас не представит затруднений.

— Сейчас я это объясню.

— Когда ваш товарищ назвал вам куб числа, скажем 185193, то вы, зная, что он взял число двузначное, мгновенно узнаёте цифру единиц этого числа по окончанию, т. е. по последней цифре. В данном случае число-результат имеет на конце 3. Значит, последняя цифра первоначального числа будет 7. Другими словами, число, возведённое в третью степень, имеет 7 единиц. Число десятков узнаётся так: отбросив от названного вам результата три последние цифры, в данном случае 193, вы оставшееся у вас число (в данном случае 185) «примеряете» к известным вам кубам первых десяти чисел. Оно приходится между 125 и 216 (т. е. примеряемое число 185 больше 125 и меньше 216). Иначе говоря, оно где-то между кубами 5 и 6. Всегда берите меньшее, в данном примере 5. Первоначальное число вами найдено, это 57.

— Ещё пример. Вас просят извлечь кубический корень из числа 592 704. Рассуждаем так: последняя цифра результата будет 4, следовательно, в числе, которое возведено в куб, последняя цифра тоже 4. Ищем цифру десятков. Отбросив три последние цифры (704), мы будем иметь число 592. Это число помещается между кубами 8 и 9 (третья степень 8, как вы знаете 512, 9—729, а 592 больше 512 и меньше 729). Берём, согласно правилу, меньшую цифру, т. е. 8. Ответ: 84.

Рассмотрим некоторые софизмы, которые можно разобрать на занятиях математических кружков.

1. Всякое число равно своей удвоенной величине, т. е. а = 2а.

Доказательство.

Возьмём тождество а2 — а2 = а2 — а2, в левой части а вынесем за скобки, а правую разложим на множители:

а {а — а) = (a-f-a)-(a— a). (А)

Теперь разделим обе части на (а — а), получим а = a -f- а, или а = 2а, (В)

Объяснение. Ошибка была допущена при делении на (а — а), так как а — а = 0, и мы произвели деление нуля на нуль, что делать нельзя.

Почему нельзя делить нуль на нуль?

При делении нуля на нуль в частном получается неопределённое число. В самом деле, полагая 0:0 = л;, имеем х-0 = 0, а это показывает, что вместо х можно взять какое угодно число (любое число после умножения на нуль даёт нуль).

2. «Доказать», что 2 = 3.

Доказательство.

Имеем: 4—10 = 9—15.

Прибавим к обеим частям равенства по 6^:

(А)

Извлекаем корень из обеих частей равенства:

(В)

Прибавляя к обеим частям равенства по -j получим: 2 = 3.

Объяснение. Ошибка сделана при переходе от равенства (А) к равенству (В). Этот переход основывался на предположении, что извлечение квадратного корня из двух равных чисел приводит к равным числам. Это совершенно правильно, если мы имеем дело с положительными числами. Если же одно из чисел отрицательное, то из равенства степеней нельзя утверждать о равенстве оснований.

Например, при х = Ъ иу = — 3 мы имеем равенство квадратов х2 = у2\ 9 = 9, но первые степени не равны, так как Ъф— 3.

Учитывая знаки при возведении относительных чисел в квадрат, получаем правило: если квадраты двух относительных чисел равны, то основания либо равны, либо противоположны.

Из равенства х2=у2 имеем равенство х—у или х = —у.

Разбирая наш пример, рассмотрим равенство (А). ^2 —-|) — отрицательное число, (З — |-) — положительное число, и 2 — у^З— у, но 2—у = — (3 — у), вот почему получился нелепый результат.

3. Любые два числа равны друг другу.

Пусть а и b — произвольные числа. «Докажем», что а = Ь.

Доказательство. Обозначим разность а — Ь = = су тогда а = b + с.

Умножая обе части равенства на а — b получим:

а2 — ab = ab-{- ас — b2 — be,

отнимая от обеих частей полученного равенства по ас, получим:

а2 — ab — ас = ab — b2 — be,

вынесем за скобки а и Ь} получим:

а (а — b — c) = b (а — b — с),

сокращая на а — b — с, получим: а = Ь.

Объяснение. Если внимательнее присмотреться к выражению а — b — с, то ясно, что это выражение равно нулю, так как а — Ь = с, поэтому делим на нуль, а этого делать нельзя.

4. «Доказать», что 8 X X 8 = 65 (геометрическое доказательство).

Черт. 5. Черт. 6.

Возьмём квадрат со стороной равной 8 см. Разделим квадрат на два треугольника и два четырёхугольника, как показано на чертеже. Затем из данных четырёх фигур построим новый треугольник.

Площадь полученного треугольника

Объяснение. Ошибка в том, что полученная фигура не треугольник, а пятиугольник, так как а ф [3.

Чтобы показать, что угол а ф р, можно предложить два приёма:

1) Из картона вырезать точный квадрат и разрезать на четыре части, как показано на чертеже; полученные четыре фигуры сложить так, чтобы получился треугольник. Теперь, если приложим линейку к сторонам треугольника АВ и ВС, то увидим просветы между краем линейки и указанными сторонами; следовательно, АВ и ВС являются ломаными линиями, поэтому полученная фигура — пятиугольник.

2) Для учащихся старших классов можно объяснить ошибку так:

поэтому «=£Р, линии АВ и ВС—ломаные, полученная фигура — пятиугольник.

3) А также на основании подобия показать ошибочность данного утверждения.

Задачи о технике послевоенных пятилеток

Решая задачи такого содержания, учителя знакомят учащихся с новейшей техникой, а также учат применять теоретические знания к решению конкретных практических задач.

1. Машина-гигант.

Определить, сколько железнодорожных вагонов можно загрузить грунтом, вынутым стругом (прицепная землеройная машина Д-264) за 8 часов? Струг двигается

со скоростью 1,5 км в час, срезая пласт грунта шириной в 3 м и толщиной в 35 см. В один вагон вмещается 20 куб. м. грунта.

Ответ: 630 вагонов.

2. Шагающий экскаватор 14/65.

Какое количество железнодорожных эшелонов (по 60 вагонов, вагон ёмкостью в 20 куб.м.) загрузит один экскаватор в сутки, если в смену (за 8 часов) по норме нужно вынуть 300 ковшей, а стахановец А. Усков выполняет норму на 200%? Ковш вмещает 14 кубометров грунта.

Ответ: 21 эшелон.

3. Землеройные машины.

Шагающий экскаватор, скрепер и бульдозер за смену поднимают и перемещают (на 70—100 м) 20400 кубометров грунта. Скрепер перемещает 10% того грунта, который перемещает экскаватор, а количество грунта, перемещаемого скрепером, относится к количеству грунта, перемещаемого бульдозером, как 3:1. Сколько кубометров перемещают за смену в отдельности экскаватор, скрепер и бульдозер?

Ответ: шагающий экскаватор

перемещает 18 000 куб. м.

скрепер » 1800 куб. м.

бульдозер » 600 куб. м.

4. Электроэнергия великих ГЭС.

Из общего количества электроэнергии Куйбышевской и Сталинградской ГЭС 10,1 млрд. киловатт-часов будет передаваться в Москву, 0,26 частей от всей энергии— в районы Поволжья, 6% — в районы Центрально-Чернозёмной области, 7/40 частей на нужды сельского хозяйства Поволжья и Прикаспия.

Определить:

а) Сколько киловатт-часов энергии вырабатывают обе станции вместе?

б) Сколько киловатт-часов энергии передастся в районы Поволжья, в районы Центрально-Чернозёмной

области и в районы Поволжья и Прикаспия для сельского хозяйства?

Ответ: 20 млрд. квт-ч, 5,2 млрд. квт-ч, 1,2 млрд. квт-ч, 3,5 млрд. квт-ч.

5. Мощные ГЭС.

На Волге строятся крупные гидроэлектростанции: Куйбышевская, Сталинградская. Определить мощность каждой из них, а также мощность Днепровской ГЭС, если мощность Сталинградской будет на 1 142 000 киловатт больше мощности Днепровской, а мощность Куйбышевской будет на 400000 киловатт больше мощности Сталинградской. Мощность всех трёх электростанций равна 4 358 000 киловатт.

Примечание. Один киловатт заменяет работу 40 взрослых человек при 8-часовом рабочем дне.

Ответ: 2100000 кет, 1 700000 кет, 558000 кет.

После решения каждой задачи о технике послевоенных пятилеток учитель в течение 3—5 минут делает более подробное сообщение о машинах и механизмах, например, к задаче «Машина-гигант» он рассказывает:

— Струг выполняет работу семи тысяч землекопов.

— Точное название струга — прицепная землеройная машина Д-264.

— Её устройство таково: мощный трактор тянет за собой длинный, двенадцатиметровый транспортёр. В передней части транспортёра находится трёхметровый нож, который режет землю. Срезанная земля тут же подхватывается на ленту транспортёра, которая с большой скоростью относит землю назад. Здесь земля попадает в бункер отвального моста, соединённого с транспортёром. Длина отвального моста — 47 метров. Это уже второй транспортёр. По его ленте грунт, вынутый стругом, относится на 50 метров в сторону.

— Струг приводится в действие тремя тракторами: первый трактор тянет за собой струг, второй находится у основания транспортёра, третий регулирует движение отвального моста.

— За час работы струг извлекает из карьера 1500 кубических метров грунта.

— Землеройный гигант работает на стройках послевоенных пятилеток.

К задаче «Шагающий экскаватор» учитель рассказывает:

— Шагающий экскаватор ЭШ-14/65 так огромен, что его можно сравнить с огромным зданием. Длина экскаватора вместе с его механической рубкой больше ширины фасада здания московского Большого театра. Для перевозки этого гиганта с Уральского завода, где он был изготовлен, на стройки потребовалось 180 железнодорожных платформ, иначе говоря, целых три состава.

— Сорок восемь электродвигателей общей мощностью в семь тысяч киловатт приводят в действие и сам экскаватор и все его многочисленные механизмы.

— Ещё более мощные экскаваторы созданы коллективом работников Ново-Краматорского машиностроительного завода имени Сталина. Вес ново-краматорского гиганта более 1000 тонн. Он выше 10-этажного здания. Ёмкость ковша этой машины равна ёмкости железнодорожного вагона. Он построен из 60 тысяч деталей.

III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГАЗЕТА

По своему характеру газета является массовым внеклассным мероприятием. Она может издаваться или математическим кружком, или группой учащихся (специальной редколлегией), выделенной для этой работы.

Чтобы выпуск был систематическим, необходимо во всех классах иметь корреспондентов, которые в редколлегии могут получать материал (задания) для разработки его и помещения в математическую газету. Так, например, организован выпуск математической газеты в школе № 4 г. Курска, в школе № 1 г. Рыльска и в других школах.

Какие же разделы имели эти газеты?

1) Элементы истории математики:

а) Биографические данные и математические открытия Лобачевского, Чебышева, Ковалевской и других математиков.

б) Индусская математика и роль арабов в истории математики.

в) Арифметика у греков и римлян,

г) Развитие геометрии до Евклида,

2) Задачи по курсу (более трудные и интересные по содержанию).

3) Занимательные задачи (из «Занимательной арифметики», «Занимательной алгебры», «Занимательной геометрии» Я. И. Перельмана, «Занимательных задач» Г. Б. Поляк).

4) Математические фокусы, шарады, задачи-шутки (журн. «Знание — сила» и другие).

5) Ответы читателям.

Газета математического кружка школы № 4 г. Курска № 1 за 1 953/54 г.

Газета, кроме заголовка, имеет в верхней части: слева ряд чисел (1, 2, 4, 8...), посередине цифровая лестница, справа сравнение по величине двух корней:

1-я статья называлась «Выдающийся русский математик (90 лет со дня рождения А. Н. Крылова)».

«А. Н. Крылов — один из самых выдающихся русских математиков, механиков и инженеров. Главным делом его жизни были исследования по теории корабля.

Алексей Николаевич родился 15 августа 1863 г. в с. Висяге Ардатовского уезда, Симбирской губернии (ныне Ульяновской обл.).

В течение своей долгой жизни (он прожил 82 года) А. Н. Крылов занимал различные ответственные должности, но основная его деятельность проходила в стенах Морской академии и в морском министерстве.

Первой научной работой А. Н. Крылова была работа по девиации компаса. Явление девиации компаса заключается в ошибках показаний магнитного компаса на корабле. Затем А. Н. Крылов работал над вопросом непотопляемости корабля.

В результате большой математической работы он составил специальные таблицы непотопляемости, которые получили широкое распространение в мировом военном кораблестроении. Теперь таблицами непотопляемости снабжаются корабли всех флотов мира.

В 1898 г. А. Н. Крылов напечатал две свои замечательные работы, в которых дал исчерпывающий ответ на вопрос о поведении корабля при любом волнении и

разобрал, какие усилия возникают в различных частях корпуса корабля при качке.

Четвёртым вопросом, который подробно разработал А. Н. Крылов, был вопрос о вибрации судов.

Исключительно плодотворной была его работа в годы советской власти. Алексей Николаевич разработал рациональные приёмы кораблестроительных расчётов, и после этого расчёты по кораблестроению во много раз стали производиться быстрее. Во многих областях высшей математики и астрономии А. Н. Крылов внёс много нового и интересного. За большую общественную и научную работу на благо родины А. Н. Крылов был награждён орденом Ленина, ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда, он был удостоен Сталинской премии первой степени».

2-я статья называлась «Различная точность измерений». Нарисованы: масштабная линейка, штангенциркуль, микрометр. Текст статьи был следующего содержания.

«Во всех видах промышленного производства, при изготовлении различного оборудования и деталей инженеры, техники и рабочие имеют дело с приближёнными числами. Плотник успешно обходится измерениями с точностью до 1 миллиметра, поэтому он пользуется масштабной линейкой или складным метром.

Столяр, токарь, слесарь и другие специалисты судостроительной, тракторостроительной, автомобильной промышленности в большинстве случаев обходятся точностью до 0,1 миллиметра, поэтому они пользуются различными специальными измерительными инструментами, в частности штангенциркулем. При более точных измерениях, до 0,01 миллиметра, пользуются микрометром».

Задача на построение (для учащихся седьмых—десятых классов).

Вписать в окружность треугольник так, чтобы его высота, биссектриса и медиана проходили через три точки, данные на окружности.

Задача-шутка.

Ученик имел четыре яблока в портфеле. К нему подошли четыре товарища. Он каждому дал по яблоку и в портфеле осталось одно яблоко. Как это мог сделать ученик?

Продажа яблок.

Колхозница принесла па базар для продажи корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и ещё пол-яблока; второму — половину остатка и ещё пол-яблока; третьему — половину остатка и ещё пол-яблока и т. д.

Когда же пришёл шестой покупатель и купил у неё половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что колхозница продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на базар?

Умножение и сложение. Какие два целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?

Умножение и деление. Какие два целых числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получается при их перемножении.

Чайнворд «Геометрия».

Черт 7.

Помещая в каждой клетке одну букву, напишите в этой фигуре слова, значение которых вы знаете из курса геометрии:

1. Единица измерения дуг и углов.

2. Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

3. Параллелограм, все стороны которого равны между собой.

4. Прямая, делящая угол пополам.

5. Единица измерения больших площадей.

6. Отрезок прямой, соединяющий центр с любой точкой окружности.

7. Часть, отделяемая от круга хордой.

8. Многоугольник с наименьшим количеством сторон.

9. Одна из двух сторон треугольника, образующих прямой угол.

10. Прибор для отложения и измерения углов.

11. Треугольник, все стороны которого равны между собой.

IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЧЕРА

В практике школьной работы встречаются математические вечера двух видов:

1) вечера занимательной математики и

2) тематические вечера, посвященные великим математикам.

Организуют вечер в большинстве случаев математические кружки, а иногда специально выделенные группы учащихся.

Каждый из участников вечера заранее получает специальное задание для выступления.

В 1951/52 учебном году в школе № 4 г. Курска группой учащихся было проведено пять математических вечеров. Все вечера были посвящены великим русским математикам.

На вечерах учительницей 3. П. Феоктистовой и учениками 10 класса были сделаны доклады на темы:

1) «Л. Ф. Магницкий».

2) «Н. И. Лобачевский — великий русский математик».

3) «С. В. Ковалевская».

4) «П. Л. Чебышев».

5) «Советская математическая школа».

Доклады были сделаны в первом отделении вечера.

Во втором отделении рассматривались арифметические ребусы из серии Перельмана «Дом занимательной науки», издание 1939 г.; а также производилось раскрытие математических софизмов: «прямой угол равен острому», «2=1» и других.

На такой вечер следует пригласить всех учащихся школы.

Раскрытие софизмов, решение ребусов и разрешение других задач иногда предлагается присутствующим. Если никто не даёт решения, то предложивший задачу разъясняет её.

При подготовке к докладам была использована следующая литература:

1. Краткий политический словарь, Госполитиздат, 1946.

2. В. И. Костин, Основания геометрии, Учпедгиз, 1946.

3. П. С. Александров, Неевклидова геометрия, 1948.

4. «С. В. Ковалевская», издание Академии педагогических наук, 1950.

5. В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев, Учпедгиз, 1950.

6. Журнал «Математика в школе», 1950, № 4.

7. Большая советская энциклопедия (новое издание), т. 2, стр. 84.

8. Б. В. Гнеденко, Очерки по истории развития математики в России, Гостехиздат, 1946.

9. И. Депман, Из истории математики, Детгиз, 1950.

10. Журналы «Математика в школе», 1948, № 4; 1949, № 1, 2, 3, 5; 1950, № 3; 1951, № 1 и 2.

Во время подготовки докладов учительница 3. П. Феоктистова давала консультации и проверяла готовые доклады. Она давала такие указания:

В докладе о Л. Ф. Магницком следует подчеркнуть, что «Арифметика» Магницкого была первым печатным учебником и для того времени считалась энциклопедией математических знаний.

Книга Л. Ф. Магницкого не только в своё время стимулировала М. В. Ломоносова и других учёных к естественно-научному образованию, но и в настоящее

время является ценнейшим источником для математиков и других учёных отечественной науки.

В докладе о Лобачевском учащихся не только следует ознакомить с биографией Н. И. Лобачевского, но и показать, что Лобачевский был последовательным революционером в математике, чтобы учащиеся увидели, насколько велики заслуги русского математика в создании им неевклидовой геометрии, имеющей не только большое теоретическое, но и практическое значение.

В докладах о Н. И. Лобачевском, о С. В. Ковалевской и П. Л. Чебышеве надо показать патриотизм русских учёных, их глубокие исследовательские работы, большое трудолюбие и величайшую любовь к своему делу. Учащиеся должны узнать, что многие открытия русских математиков принесли П. Л. Чебышеву и С. В. Ковалевской ещё при их жизни славу величайших учёных мира. Следует указать великие предвидения Н. И. Лобачевского (неевклидова геометрия), а также отметить, что прототипом шагающего экскаватора является стопошагающая машина, изобретённая П. Л. Чебышевым ещё в XIX веке.

Подчеркнуть, что С. В. Ковалевская была не только гениальным учёным-математиком, но и талантливой писательницей. Она написала романы: «Приват-доцент», «На Ривьере», «Нигилистка», драму «Борьба за счастье». Ей принадлежат превосходные «Воспоминания детства»; она написала работу о М. Е. Салтыкове-Щедрине; составила обширный очерк о шведском крестьянском университете и написала ряд других произведений.

Вот так был проведён первый вечер:

1. Доклад о Л. Ф. Магницком.

2. Задача из «Арифметики» Магницкого и другие задачи занимательного характера.

1-я часть вечера

ЛЕОНТИЙ ФИЛИППОВИЧ МАГНИЦКИЙ (1669-1739).

«Пётр I, ... беседуя с ним многократно о математических науках, был так восхищён глубокими познаниями его в оных, что назвал его магнитом и приказал

писаться Магницким. Какое прозвание он имел до сего времени, то даже ближним его неизвестно». (Жизнеописание первых российских адмиралов, ч. I, 1831).

Л. Ф. Магницкий родился 9 июня 1669 г. Учился он в Московской славяно-греко-латинской академии между 1685 годом, в котором приехали рекомендованные для академии в качестве профессоров учёные-греки братья Лихуды, и 1694 годом, когда Лихуды были устранены из академии. (В одном из обвинительных писем против Лихудов патриарх Досифей писал: «Лихуды забавляются около физики и философии».)

В академии в это время преподавалась физика, а математика совсем не преподавалась.

В России по математике была единственная рукописная книга издания 1682 г. «Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий...» (название книги в шесть строк).

Под этим длинным заглавием содержится таблица умножения друг на друга всех чисел до 100.

Ф. Прокопович в «Слове на похвалу Петра Великого» пишет: «Не ведаю, во всём государстве был ли хотя один цирклик, а прочего орудия и имён не слыхано; а если бы где некое явилось арифметическое или геометрическое действие, то тогда волшебством нарицано».

Это положение математического образования в России нужно иметь в виду, оценивая заслуги Магницкого.

В 1698 г. в Лондоне Пётр просит указать ему способного и знающего преподавателя математических и навигационных наук, который согласился бы отправиться в Россию. Такой человек нашёлся в лице профессора математики Эбердинского университета Андрея Фарварсона, слывшего на родине хорошим математиком, астрономом и знатоком морских наук.

14 января 1701 г. появился указ Петра о создании математико-навигацкой школы.

Для школы была отведена Сухарева башня (Москва) со всеми её строениями и землями. Школа находилась в ведении боярина Головина.

Преподавателями математики, астрономии и морских наук были назначены профессор Фарварсон и Леонтий Магницкий.

Роль Магницкого во вновь открытой школе была

гораздо большей, чем это можно было бы думать по занимаемой им скромной должности учителя русской школы. Фактически школа держалась на Магницком. Головин в донесениях Пегру указывал, что «только Фарварсон наукою дошёл до Магницкого. Другие же... до Леонтия наукою не дошли».

В 1715 г. Фарварсон был переведён в Петербург в открытую там Морскую академию, Магницкий же остался в Москве.

Для учеников математико-навигацкой школы и писал свою «Арифметику» Магницкий.

Стать проводником математических знаний в широкие русские грамотные слои выпало на долю «Арифметики» Магницкого.

Магницкий, вышедший из низов русского народа, стремился создать подлинно русский народный учебник, в котором не было бы ничего чужеземного. Он широко пользуется терминологией и задачами рукописной славяно-русской математической литературы, приближая свой язык к разговорному русскому, употребляя впервые в печатном тексте одни лишь арабские цифры. Чтобы подчеркнуть самостоятельность при составлении учебника, Магницкий пишет:

«Разум весь собрал и чин Природно русский, а не немчин».

Написанный Магницким учебник носит заглавие «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык приведённая, и во едино собрана, и на две книги разделена...»

Эта книга была издана в 1703 г.

«Арифметика» Магницкого была написана как учебник для будущих моряков. Эта целеустановка книги выразилась, с одной стороны, в написании к учебнику третьей части второй книги, называемой «О земном общеразмерении и яже к мореплаванию принадлежит» и содержащей основы мореходной астрономии и навигации; с другой стороны, прикладной характер своей книги автор выразил в рисунке, помещённом перед началом текста книги. Здесь изображён храм, посреди которого на троне сидит женщина с большим ключом в правой руке. Над нею на арке написано: Арифметика, а на пяти ступенях, ведущих к трону, написано: Счи-

сление, сложение, вычитание, умножение, деление. Основание храма поддерживается восемью колоннами, на которых надписи: геометрия, стереометрия, астрономия, оптика, меркатория, география, фортификация, архитектура. Здесь же можно встретить надпись: арифметика, что деет: на столпах то всё имеет.

Перед титульной страницей помещён рисунок, называемый гербом. Сверху расположен русский государственный герб и под ним в рамке надпись: Арифметика, политика и логистика. Внизу с левой стороны изображён Пифагор с таблицей арабских цифр, циркулем, линейкой, пером, чернильницей. У ног его — знаменитый египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5. С правой — Архимед, у ног которого пропорциональный циркуль, угольник, клещи (закон рычага) и запись правильного алгебраического умножения в символах того времени. Повидимому, автор считает, что Пифагор и Архимед являются учёными, которым принадлежит виднейшее место в создании математических наук.

Книга изложена стихами. Вначале Магницкий излагает свои взгляды на пользу и значение наук и знакомит читателя с содержанием предлагаемого учебника, состоящего из двух книг.

В первой содержится

«Арифметика обычайная,

В купецких делах случайная...»

Далее передаётся содержание пяти частей этой книги:

«...Сих первая есть о числе целом,

Ясно объявлена самым делом».

В дальнейших двух частях изложено учение о дробях. Четвёртая часть книги посвящена изложению правил ложного положения.

Пятая — учение о корнях.

Затем автор переходит к перечислению второй, ысшей части арифметики.

Из этого обзора видно, что «Арифметика» Магницкого— это целая энциклопедия математики и её положений, охватывающих основы алгебры, геометрии, тригонометрии, мореходной астрономии и навигации.

Все теоретические разделы сопровождаются практическими приложениями, среди которых можно встретить

все современные главы прикладной арифметики: задачи на вычисления сплавов и смесей, времени, прибыли и убытков; геометрические задачи на военные, строевые и морские темы; учение о прогрессиях и корнях, применяемых к решению различных вопросов морского и военного дела, и другие задачи.

Вот несколько примеров, характеризующих «Арифметику» Магницкого.

Всё сочинение охватывает 324 страницы большого формата, по содержанию разделено на две книги: первая включает арифметику-практику, вторая — арифметику в применении к астрономии и морскому делу.

Магницкий излагает сначала нумерацию, разбивает числа на классы, вводит термины «миллион», «биллион» и т. д. и даёт название числам до 24-го разряда (квадрильонов), указывая, что практически этого вполне достаточно, так как этими числами можно «всё счисляти, что внутрь неба».

В изложении арифметики целых чисел Магницкий проявляет себя вдумчивым педагогом. Например, в главе об умножении он указывает несколько способов.

Для выполнения действия деления, представлявшего большие трудности даже для выдающихся учёных Европы в XVII в., наш автор даёт шесть различных способов, среди них имеются почти совпадающие с современными. Самому Магницкому принадлежит способ, дающий одновременно и проверку действия.

В главе об именованных числах Магницкий даёт очерк происхождения разных систем мер.

Учение о дробях у Магницкого носит также почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей.

За тройным правилом следуют другие «правила» практической арифметики.

После этого Магницкий в своей «Арифметике» излагает основные правила алгебраических действий, учение о прогрессиях и корнях.

Заключается статья разделом, в котором Магницкий излагает начала действия над десятичными дробями.

Первая часть второй книги Магницкого посвящена дальнейшему изложению алгебры. Даётся подробное решение квадратных уравнений.

Решая геометрические задачи, он пользуется алгебраическими выкладками. Магницкий проводит подробное вычисление значений тригонометрических функций, т. е. составляет таблицы.

Наконец, последняя часть книги Магницкого посвящена мореходному делу. Из этой части видно, что он очень хорошо знал мореходную астрономию.

Дальнейшая его научно-литературная деятельность заключалась в участии при коллективных изданиях с преподавателями математико-навигацкой школы «Таблиц логарифмов...»

В 1722 г. вышла в свет его работа «Таблицы горизонтальных, северные и южные широты». Перу Магницкого принадлежит «Записка Леонтия Магницкого по делу Тверитинова».

Величайший гений русского народа М. В. Ломоносов пишет, что он охоту к учению получил у Магницкого, «Арифметику» которого он знал наизусть, и называет её «вратами учёности». Не будет преувеличением сказать, что «Арифметика» Магницкого была вратами учёности всех образованных русских людей XVIII века.

Современная русская математика за 250 лет ушла далеко от арифметики Магницкого, но вся дружная семья народов Советского Союза с благодарностью вспоминает автора первого оригинального русского учебника математики.

2-я часть вечера

Выступают специально подготовленные учащиеся с задачами-шутками, занимательными задачами, делят фигуры на части, сообщают решения различных математических головоломок.

Задача из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, которую решал Ломоносов.

Отец привёл в училище своего сына и спросил учителя:

— Скажи мне, сколько у тебя учеников? Учитель ответил:

— Если учеников придёт столько, сколько я уже

имею, да ещё полстолько, да ещё четвёртая часть, да ещё твой сын, тогда учеников будет сто. Сколько же учеников было в училище?

Многие учащиеся вызвались решить эту задачу.

Задача о переправе. (К данной задаче был набросан рисунок большого формата.)

Трём пешим разведчикам необходимо было перебраться на противоположный берег в лодке, в которой можно было поместиться только двум мальчикам или одному взрослому. Эту лодку разведчики заметили на реке. В ней катались два мальчика. Как же эти мальчики переправили разведчиков на другой берег?

Ответ получился такой.

Первая поездка. Оба мальчика пристают к противоположному берегу и один из них остаётся, а другой направляется за разведчиками.

Вторая поездка. Мальчик, приехавший в лодке, остаётся на этом берегу, в челнок садится первый разведчик, переезжает на тот берег, лодку возвращает второй мальчик. (Указкой всё время показывается движение на рисунке.).

Третья поездка. Оба мальчика переправляются через реку, один из них возвращается обратно.

Четвёртая поездка. Второй разведчик переправляется на противоположный берег, челнок возвращается с мальчиком.

Пятая поездка. Повторение третьей поездки.

Шестая поездка. Третий разведчик переправляется на противоположный берег, челнок возвращается с мальчиком.

Головоломка.

Как разделить эту фигуру (черт. 8) на четыре равные части?

Данный чертёж изготовлен на большом листе бумаги, и под листом на доске помещается ответ.

Головоломка.

Как разделить квадрат на четыре равные части (черт. 10), чтобы на каждой было по одному дереву?

Черт. 8. Черт. 9.

Черт. 10. Черт. 11.

В чём ошибка? (задача-шутка).

Отец позвонил дочке на работу и попросил её купить ряд вещей, нужных ему к отъезду. Он сказал, что деньги на эти вещи оставит в конверте на письменном столе. Придя домой, дочка нашла конверт. Мельком взглянула на него, увидела написанную цифру 98, вынула деньги и, не сосчитав их, положила в сумку, а конверт смяла и бросила в корзину для бумаг. В магазине она купила вещей на 92 рубля, а когда хотела расплатиться, то оказалось, что у неё не только не останется шести рублей, как она предполагала, но даже нехватит шести рублей.

Дома она рассказала об этом отцу и спросила, не ошибся ли он, когда считал деньги.

Отец ответил, что он сосчитал деньги правильно, а ошиблась она сама, и, рассмеявшись, указал ей на ошибку. В чём была ошибка дочери?

(Дочка прочла число в перевёрнутом виде.)

Подсчитать сумму следующих разностей (в течение 3—5 секунд):

18—12= 68 — 42 =

25 — 18= 73 — 68 =

36 — 25= 97 — 73 = 42 — 36 =

Ответ быстро дал один ученик.

Если все эти разности написать в одну строчку и сложить, то кроме первого вычитаемого и последнего уменьшаемого, все числа сократятся и получится ответ 85, т. е. 97 — 12 = 85.

Измерения без инструментов.

Как определить количество воды в бочке (больше половины или меньше половины), если не производить никаких измерений?

(Следует наклонить бочку.)

Как найти середину длины стержня или бревна, не измеряя его?

Этот вечер учащимся понравился. Они с глубоким интересом выслушивали все задачи, пытались участвовать в работе и с большим вниманием следили за ответами.

На другом вечере был заслушан доклад «Н. И. Лобачевский— великий русский математик». В докладе было особо подчёркнуто следующее:

Во-первых, Н. И. Лобачевский является гениальным русским учёным, создавшим новую геометрию, имеющую очень важное значение в различных областях науки. Мы гордимся тем, что такой великий учёный был сыном русского народа.

Во-вторых, он имел необыкновенную широту образования и отличался исключительным трудолюбием. Великие научные открытия Лобачевского давались ему в результате сосредоточения сил, большого творческого труда.

В-третьих, Н. И. Лобачевский был горячим патрио-

том своей родины; на всю свою разнообразную работу и научную деятельность он смотрел как на служение любимой родине, и у студентов университета он стремился воспитать честность, правдивость, любовь к труду.

В-четвёртых, Н. И. Лобачевский имел непреклонную волю в стремлении осуществить свои цели, отличался исключительной смелостью и твёрдостью в отстаивании своих взглядов.

При жизни Лобачевского его геометрические взгляды не были поняты многими современниками. Но все это не сломило твёрдой уверенности Лобачевского в правильности его рассуждений, в неизбежности торжества его идей. И это время настало.

Образ Лобачевского, как величайшего учёного, пламенного патриота своей родины, неутомимого борца за русскую национальную культуру, останется навсегда в памяти народов нашего Советского Союза и всего прогрессивного человечества.

На последующих вечерах были заслушаны доклады о С. В. Ковалевской и П. Л. Чебышеве.

С. В. КОВАЛЕВСКАЯ.

К докладу о Ковалевской был изготовлен портрет больших размеров. Портрет был укреплён в нижнем левом углу доски, вверху написано «Гениальный математик и талантливая писательница».

Справа написано: «Каждый обязан свои лучшие силы посвятить делу большинства».

(С. В. Ковалевская.) (С. В. Ковалевская, Воспоминания и письма, АН СССР, 1951, стр. 7.)

В докладе не только были изложены биографические данные о С. В. Ковалевской, её открытия и значение её научных трудов, но также подчёркивалось, что знаменитый советский математик академик А. Н. Крылов называл С. В. Ковалевскую гениальной (там же, стр. 6). Кроме того, зачитывались отрывки из её произведений.

С. В. Ковалевская могла красочно, точно и правдиво описывать портреты и характеры людей. Например, в произведении С. В. Ковалевской «Воспоминания дет-

ства» она так описывает портрет и характер своего дяди: «Я помню в детстве две особенно сильные привязанности— к двум моим дядям. Один из них был старший брат моего отца Пётр Васильевич Корвин-Круковский. Это был чрезвычайно живописный старик, высокого роста, с массивной головой, окаймлённой совсем белыми густыми кудрями. Лицо его с правильным строгим профилем, с седыми, взъерошенными бровями и с глубокой продольной складкой, пересекающей почти снизу доверху весь его высокий лоб, могло бы показаться суровым, почти жестоким на вид, если бы оно не освещалось такими добрыми, простодушными глазами, какие бывают только у ньюфаундленских собак да у малых детей» (С. В. Ковалевская, Воспоминания и письма, стр. 45).

А вот описание С. В. Ковалевской природы: «Лес становится всё гуще и непроходимее. Куда ни взглянешь, всюду видны только сосны, высокие, мрачные с темнокоричневыми стволами и прямые, как гигантские церковные свечи. Лишь по краям дороги тянется узкая полоска кустарников — орешника, бузины и особенно вётел. Кое-где видны красные дрожащие листья осины, уже окрашенные осенью, или живописная рябина, покрытая яркокрасными гроздьями ягод» (там же стр. 64).

В этой же книге имеется переписка С. В. Ковалевской с Ф. М. Достоевским и П. Л. Чебышевым.

При окончании доклада было указано, что более 60 лет прошло со дня смерти Ковалевской, но она по-прежнему продолжает вызывать удивление своими талантами, настойчивостью, разносторонностью. Нашим девушкам не нужно преодолевать теперь тех нелепых препятствий, которые стояли на пути Ковалевской, перед ними широко открыты двери в искусство, промышленность, науку. Многие женщины уже успели проявить себя в любых областях деятельности. Значительный вклад внесли они и в математику.

После Великой Октябрьской социалистической революции, открывшей двери университетов для женщин, наши научные кадры пополнились такими замечательными математиками-женщинами, как Нина Карловна Бари (1901 г. рождения), Людмила Всеволодовна Келдыш (1904 г. рождения), которые немало способствуют

умножению славы советской женщины; Пелагея Яковлевна Полубаринова-Кочина — советский математик, член-корреспондент Академии наук СССР работает в области применения математических знаний в практике социалистического строительства. Академия наук СССР отметила диссертацию Кочиной так:

«Блестяще разработан и эффективно применён ряд новых математических выводов к решению практических задач».

Работают в области математики и многие другие женщины нашей родины.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ (1821—1894).

П. Л. Чебышев родился 26 мая 1821 г. в с. Окатове Калужской губ. Он считается одним из величайших математиков и прикладных механиков XIX в., основоположником самостоятельной русской математической школы и русской науки о механизмах.

Первоначальное воспитание и образование до поступления в Московский университет он получил дома. Одним из учителей Чебышева был педагог Погорельский, автор известного учебника.

Об «Алгебре» Погорельского Чебышев говорил, что она самая лучшая из русских книг ввиду своей краткости.

В детстве Чебышев заинтересовался механизмами и механическими игрушками и полюбил мастерить их собственными руками. На уроках геометрии он заметил связь между этой наукой и своими игрушками и с особым усердием принялся за её изучение.

В университет Чебышев поступил в 1837 г. При переходе с первого на второй курс он написал работу «О вычислении корней уравнения», за которую получил серебряную медаль. Своим усердием и успехами Чебышев обратил на себя внимание известного профессора университета Н. Д. Брашмана, который начал дополнительно заниматься с Чебышевым, советовал ему посвятить себя математике. К своему учителю Чебышев сохранил навсегда глубочайшее уважение.

Через пять лет по окончании университета Чебышев защитил в Московском университете магистерскую дис-

сертацию на тему «Опыт элементарного анализа теории вероятностей».

Через три года в Петербургском университете он защитил докторскую диссертацию на тему «Теория сравнений».

В 1853 г. Чебышев был избран в адъюнкты, а в 1859 г.— в ординарные академики Академии наук.

Профессорская деятельность Чебышева протекала преимущественно в Петербургском университете и продолжалась ровно 35 лет — с 1847 г. по 1882 г. В 1882 г. Чебышев прекратил чтение лекций и всецело отдался научно-исследовательской работе.

В 1852 г. Чебышев был в заграничной командировке с целью осмотра фабрик, заводов и изучения практической механики. Он беседовал со многими знаменитыми учёными различных европейских стран, посещал заседания учёных обществ.

С 1856 г. по 1873 г. Чебышев был членом учёного комитета при Главном управлении училищ (впоследствии переименованном в Учёный комитет министерства народного просвещения). С 1873 г. до конца жизни он был почётным членом этого комитета.

Исключительные достижения Чебышева в области математики и прикладной механики принесли ему ещё при жизни славу одного из величайших учёных мира. Он был избран членом нескольких заграничных академий: французской и итальянской, английского королевского общества и других. Состоял почётным членом многих русских и заграничных университетов и учёных обществ. За свои модели механизмов Чебышев получил дипломы на двух международных выставках: в Филадельфии и Чикаго.

Чебышев умер в Петербурге в возрасте 73 лет 8 декабря 1894 г., погребён в селе Окатове.

Сочинения Чебышева изданы Академией наук под редакцией академиков А. А. Маркова и Н. Я. Сонина в двух томах, на двух языках: русском и французском.

Научные интересы Чебышева охватывали почти все основные отделы математики. Он работал в области теории чисел и теории вероятностей, решил ряд сложных проблем интегрального исчисления, занимался вопросами интерполирования непрерывными дробями и

в особенности занимался интерполированием по способу наименьших квадратов.

Математические исследования Чебышева являются выдающимися не только по их результатам, но также по глубине и изяществу новых методов, с помощью которых эти результаты были получены.

Для Чебышева характерно также стремление получить результаты минимумом наипростейших средств.

Главные результаты Чебышева в теории чисел относятся к вопросу о распределении простых чисел в ряде натуральных чисел.

Эта проблема, до настоящего времени полностью не разрешённая, имеет многовековую давность. Ещё Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Впоследствии эмпирически доказали, что простые числа распределяются в ряде натуральных чисел неравномерно. Например, количество простых чисел в первом миллионе 78499, во втором 7. 433. Но точного закона распределения простых чисел установить не удалось.

Бертран высказал предположение, что между двумя натуральными числами х и 2х — 2(х^>3) содержится простое число.

Французский математик Лежандр и другие математики на основании эмпирических данных пытались установить приближённые формулы, дающие выражение количества простых чисел, не превосходящих данного числа х.

Чебышев доказал правильность предположения Бертрана, и тем самым было установлено первое значительное предположение, относящееся к закону распределения простых чисел во всём ряде натуральных чисел.

Далее Чебышев доказал, что если тг (х) есть функция, выражающая количество простых чисел, меньших х, то 0,92129<^-;< 1,10555, причём, если при х-+оо \пх предел отношения существует, то он должен быть равным единице. Следовательно, для достаточно больших значений х приближённо тс (х) = 1—.

«Эти работы,— указывает академик С. Н. Берн-

штейн,— сразу выдвинули Чебышева в глазах всего мира в ряды величайших математиков современности». И это естественно: Лобачевский решил многовековую проблему параллельных, Чебышев поставил на научную базу и получил первые фундаментальные результаты в столь же древней и, может быть, ещё более трудной проблеме простых чисел.

Исследования Чебышева в области теории вероятностей относятся в первую очередь к основным её положениям — закону больших чисел и предельной теореме для сумм независимых случайных величин.

Точная формулировка и строго математическое доказательство этих теорем в достаточно широких предположениях являются делом Чебышева.

Чебышев развил теорию наилучшего приближения функций и теорию ортогональных полиномов (полиномов Чебышева), играющих важную роль в современном математическом анализе и его приближениях. В работе Чебышева по математическому анализу одно из главных мест занимают также исследования, посвященные интегрированию иррациональных функций. Здесь он значительно развил результаты, полученные до него норвежским математиком Абелем.

Отличительной чертой научного творчества Чебышева являлась его направленность на удовлетворение запросов практики.

Создать технику, отвечающую наивыгоднейшему использованию сил природы, развить математические методы, обеспечивающие достижение этой цели,— такова основная идея Чебышева, которую он настойчиво проводил в жизнь и подчёркивал в своих выступлениях.

Чебышев говорил: «Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием её; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных. Если теория много выигрывает от новых применений старой методы или от новых развитии её, то она ещё более приобретает открытием новых методов и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике».

Чебышев особенно усердно занимался теорией так называемых параллелограм-механизмов, служащих, в

частности, для передачи пара. От рационального построения этих механизмов зависит экономия в топливе и прочность машин. Именно эти исследования приведи Чебышева к новой, чрезвычайно плодотворной математической теории — теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Исследования Чебышева по механизмам получили у него материальное воплощение: он построил много моделей различных механизмов. Они хранятся в Академии наук СССР.

Чебышева справедливо считают учителем русских математиков, основоположником самостоятельной русской школы. Этим русская наука обязана не только гению Чебышева, но и его изумительному педагогическому дарованию и такту. Одной из незабвенных заслуг Чебышева было то, что он своими работами и указаниями в учёных беседах наводил своих учеников на плодотворные темы для собственных изысканий и обращал их внимание на такие вопросы, изучение которых всегда приводило к более или менее ценным результатам.

Например, он предложил своему ближайшему ученику (впоследствии академику) Ляпунову вопрос, относящийся к исследованию формы однородной жидкой массы, вращающейся вокруг оси. Над этим вопросом Ляпунов работал всю жизнь и получил классические результаты, значительно превосходящие всё, что в этом направлении было сделано знаменитым французским математиком А. Пуанкаре.

Лекции Чебышева по различным вопросам математики пользовались широкой популярностью. Его лекции отличались живым и увлекательным изложением, они сопровождались множеством интересных замечаний относительно значения и важности тех или других вопросов или научных методов.

Память о великом русском математике Пафнутии Львовиче Чебышеве свято хранится в широких кругах Советского Союза. Идеи его развивают и по сей день многочисленные русские школы математиков и прикладных механиков.

В декабре 1944 г. Совнарком СССР издал постановление «О мероприятиях по увековечению памяти академика П. Л. Чебышева в связи с 50-летием со дня его смерти».

Совнарком СССР постановил:

1. Одобрить решение АН СССР об издании полного собрания сочинений академика П. Л. Чебышева.

2. Установить две премии имени академика П. Л. Чебышева в размере 20000 рублей каждая, присуждаемые каждые 3 года за лучшую работу в области математики и за лучшую работу в области теории механизмов и машин.

3. Установить несколько стипендий имени академика П. Л. Чебышева для аспирантов и докторантов в Московском и Ленинградском университетах и в Математическом институте АН СССР имени Стеклова.

4. Установить перед зданием Ленинградского университета бронзовый бюст академика П. Л. Чебышева.

Примерный план доклада «Советская математическая школа»

1. Краткая характеристика деятельности Л. Ф. Магницкого, М. В. Остроградского, Леонарда Эйлера, Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева, С. В. Ковалевской и других выдающихся математиков прошлого нашей родины.

2. Расположение и роль старых (дореволюционных) математических центров в России.

3. Возникновение Московской математической школы под руководством Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина.

4. Постоянно действующий семинар для начинающих учёных и математиков-студентов, главным образом по теории функций.

5. Открытия П. С. Александрова, Д. Е. Меньшова, М. Я. Суслина, А. Я. Хинчина в первые годы советской власти.

6. В 1920 г. в школу Н. Н. Лузина входят Колмогоров, Лаврентьев, Н. К. Бари, Л. В. Келдыш и другие.

7. Работа учёных по группам над различными разделами математики.

8. Значение книги Л. С. Понтрягина по теории групп.

9. Доказательство различных проблем академиком И. М. Виноградовым, ленинградским математиком Линник, московским математиком А. О. Гельфондом и другими учёными.

10. Ведущая роль советских математиков на международном конгрессе в г. Осло в 1936 г.

11. Значение труда П. С. Александрова «Общая комбинаторная топология».

12. Связь учёных-математиков с конструкторами и изобретателями новейшей социалистической техники.

13. Присуждение Сталинских премий виднейшим математикам нашей страны.

14. Видные составители стабильных учебников и задачников (А. П. Киселёв, Н. А. Шапошников, А. Ф. Малинин, Рыбкин и другие).

15. Настоящего расцвета математическая наука достигла в годы советской власти.

Литература для данного доклада и докладов о деятельности отдельных русских и советских математиков:

Б. В. Гнеденко, Очерки по истории развития математики в России, Гостехиздат, 1946.

И. Я. Депман, Из истории математики, Детгиз, 1950.

Журналы «Математика в школе»:

1. 1949 г., № 1: «Математика и её преподавание в России XVII—XIX вв.» (Петербургская математическая школа: А. Н. Коркин, Е. И. Золоторёв, Г. Ф. Вороной, А. А. Марков, В. Г. Имшенецкий и Н. Я. Сонин, С. В. Ковалевская, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, А. Н. Крылов) (стр. 7—19); «Александр Федорович Малинин» (стр. 44).

2. 1949 г., № 2: «К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского» (стр. 45).

3. 1949 г., № 3: «Математика и её преподавание в России в XVII—XIX вв.».

4. 1949 г., № 5: «Иван Иванович Александров» (стр. 39).

5. 1950 г., № 3: «Академик Николай Николаевич Лузин» (стр. 1); «Борис Брониславович Пиотровский» (стр. 46).

6. 1950, № 4: «Присуждение Сталинских премий» (П. С. Александров, И. М. Виноградов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин и другие, всего 20 человек) (стр. 42). «Лауреат Сталинской премии Алексей Васильевич Погорелов» (стр. 44).

7. 1951, № 1: «Дмитрий Матвеевич Синцов» (стр. 77).

8. 1951, № 2: «Педагогическое наследие М. В. Остроградского» (стр. 13),

9. 1951, № 5: «Василий Иванович Обреимов (стр. 68).

10. 1952, № 1: «Дмитрий Александрович Граве» (стр. 67).

11. 1952, № 2: «Идеи Лобачевского в области методики математики» (стр. 1).

«Советские педагоги-математики (Н. Ф. Четверухин, С. В. Филичев).

12. 1952, №3: «Павел Афанасьевич Ларичев» (стр. 63).

13. 1952, № 4: «Выдающийся математик и педагог Иосиф Иванович Сомов» (стр. 10).

14. 1952, № 5: «Педагогические идеи и деятельность А. А. Маркова» (стр. 10).

15. 1952, № 6: «Василий Петрович Ермаков» (стр. 64).

16. 1953, № 2: «С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик» (стр. 66).

V. ВИТРИНЫ И ВЫСКАЗЫВАНИЯ ВЕЛИКИХ ЛЮДЕЙ

Во многих школах области в кабинетах математики или коридорах школ написаны высказывания великих вождей и учёных о математике.

Можно встретить такие высказывания:

«Чтобы строить, надо знать... А чтобы знать, надо учиться, учиться упорно и терпеливо»

(И. Сталин). (Ленин и Сталин о молодёжи, 1938, стр. 303.)

«Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей, из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики» (Ф. Энгельс).

(Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1953, стр. 37.)

«Фантазия! Напрасно думают, что она нужна только поэту. Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия — есть качество величайшей ценности!» (В. И. Ленин, Соч., т. 33, стр. 284).

«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» (М. В. Ломоносов).

«Никакое человеческое исследование не может быть названо истинной наукой, если оно не проходит через ма-

тематические доказательства» (Леонардо да Винчи). (А. Дживелегов, Леонардо да Винчи, 1935, стр. 202.) Даны и другие высказывания.

В кабинете математики Куйбышевской средней школы Рыльского района изготовлена витрина, посвященная выдающимся русским и советским математикам.

Витрина состоит из отдельных листов, на каждом из которых (в левом верхнем углу) помещается портрет учёного. Справа фамилия, имя, отчество и даты жизни. Внизу крупным разборчивым почерком написаны основные биографические данные, важнейшие открытия и труды учёного. Например:

Академик ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич

И. М. Виноградов (родился в 1891 г.) — действительный член Академии наук СССР.

С 1935 г. И. М. Виноградов возглавляет Научно-исследовательский институт им. В. А. Стеклова.

Уже в 1919 г. академик Виноградов решил при помощи тригонометрических сумм проблему Варинга.

В Ленинграде в советский период получили мировую известность работы И. М. Виноградова по аналитической теории чисел.

В 1935 г. в г. Осло на международном конгрессе в докладе „О диофантовых приближениях" Вандер-Кор-

пут, делая сводку достижений по этому вопросу, сделал восемнадцать ссылок на работы академика Виноградова.

Для доказательства проблемы Гольдбаха, которая не была доказана в течение 200 лет, И. М. Виноградовым созданы новые математические методы, и эти методы будут использованы для решения других математических вопросов. Открытие И. М. Виноградовым нового метода доказательства было событием, которое привлекло внимание всего мира.

Иван Матвеевич Виноградов является организатором и руководителем Советской математической школы.

Проведение подобных мероприятий знакомит учащихся с великими открытиями русских и советских учёных, способствует выработке у учащихся любви к нашей социалистической родине.

Эти мероприятия имеют большую культурно-историческую ценность, показывают огромное значение русских и советских учёных в развитии мировой математической науки.

VI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

С 3 февраля 1952 г. по 30 апреля 1952 г. Курским институтом усовершенствования учителей на страницах областной газеты «Молодая гвардия» была проведена заочная математическая олимпиада.

В два тура была напечатана 31 задача для учащихся IV—X классов г. Курска и Курской области.

Цель проведения олимпиады — углубить и расширить знания учащихся по математике, а также показать, что математические знания могут быть применены в разных областях социалистического строительства. Задачи по содержанию предлагались следующего характера: о стройках послевоенных пятилеток, занимательные, практического содержания и повышенной трудности.

В олимпиаде приняли участие около 500 учащихся г. Курска и области. Многие учащиеся прислали решения с подробным анализом и проверкой. Семнадцать лучших участников олимпиады были премированы грамотами обкома комсомола и ценными подарками.

Приводим наиболее интересные задачи, предложенные в первом и во втором турах.

Для учащихся IV—V классов

1. Школьный сад.

Пионеры разбили школьный сад. Длина его 400 метров, а ширина составляет 1\2 его длины. Всю площадь сада поделили на участки, равные 50 квадратным метрам. На каждом таком квадрате посадили по одной яблоне. Когда деревца выросли и стали плодоносить, каждая яблоня дала 0,12 центнера яблок.

Сколько всего яблок собрали школьники в своём саду?

2. Задача про Каховское море.

В районе города Каховки будет построено огромное водохранилище ёмкостью в 14 миллиардов кубических метров. Это объём четырёхгранной призмы, в основании которой находится квадрат, а глубина её 10 метров. Вычислите площадь Каховского моря в квадратных метрах.

3. Жизнь Н. И. Лобачевского.

Великий русский математик Н. И. Лобачевский V? своей жизни находился в Нижегородской губернии. После того как он прожил 3/7 своей жизни в Казани, в «Казанском вестнике» появился его первый труд по геометрии (дата рождения геометрии Лобачевского).

Последние 27 лет своей жизни великий учёный упорно трудился и создал неевклидову геометрию. Определить дату (год) рождения геометрии Лобачевского, если он родился в 1793 г.

4. Аквариум.

У Володи был небольшой аквариум, который имел в основании квадрат со стороной, равной 40 см. Уровень воды в аквариуме достигал 48 см.

Потом Володе купили новый аквариум, уже в виде прямоугольного параллелепипеда, основание его длиной 48 см и шириной 30 см. Володя перелил воду из старого аквариума в новый.

Определите уровень воды в новом аквариуме.

5. Сколько яблок?

Юннаты собрали с четырёх яблонь некоторое число яблок: с первой —130 штук, со второй — вдвое меньше, чем с остальных трёх яблонь; с третьей — втрое меньше, чем с остальных трёх яблонь, и с четвёртой — вчетверо меньше, чем с остальных трёх яблонь.

Сколько всего яблок собрали юннаты?

Для учащихся VI—VII классов

6. Трудная задача.

— Так ты уверен, что на любой вопрос по геометрии ответишь не задумываясь?

В то время у нас в классе изучали окружность. Я очень любил геометрию и хорошо занимался. А старший мой брат Михаил — такой спорщик: что ни скажешь, он сейчас же начинает оспаривать. Но я не уступал.

— Да, сразу отвечу,— решительно заявил я.

— В таком случае я задам тебе очень трудную задачу, в пределах твоих знаний, конечно,— с серьёзным видом сказал брат,— над нею немало потрудились математики древности. Вот смотри.

Михаил набросал чертёж и продолжал:

— На четверти окружности, радиус которой равен 4 см, возьмём произвольную точку А, затем засекаем на уровне точки А точку В, а отвесно под А — точку С (черт. 12). Рассчитай с точностью до одной сотой сантиметра расстояние ВС. Времени даю 3 минуты, а хочешь получить 5, то одну минуту.

OD = 4 см ВС= ?

7. Определить длину острова.

Находясь у реки или озера, вы видите остров, длину которого желаете измерить, не покидая берега. Можно ли сделать это измерение?

Черт. 12.

Хотя для нас недоступны оба конца измеряемой линии, задача всё же вполне разрешима, притом без сложных приборов.

Как решить эту задачу?

8. Четыре пионера.

Четыре пионера собрали для колхозной лесополосы 45 кг семян. Если семена первого увеличить на 2 кг, семена второго уменьшить на 2 кг, семена третьего увеличить вдвое, то у всех пионеров семян окажется поровну.

Сколько килограммов семян собрал каждый из них?

9. Красивое окно.

Верхнюю часть окон в вестибюле решили сделать полукруглой формы и вставить в них стёкла разного цвета. В центре рамы поместили большое круглое стекло, а по бокам два небольших, тоже круглых красного цвета (черт. 13).

Черт. 13

Пространство между стёклами заполнили зелёной прозрачной пластмассой.

Определить площадь, заполненную пластмассой, если Л5 = 2 м, а 00! = 0,75 ж.

10. Премии работникам МТС.

За перевыполнение плана работников МТС премировали велосипедами и мотоциклами, всего на сумму 24400 руб. Цены на велосипеды и мотоциклы обратно пропорциональны числам 4 и 1,4. Число мотоциклов составляло 66,(6) процентов числа велосипедов.

Сколько было выделено для премий велосипедов и мотоциклов, если известно, что мотоцикл дороже велосипеда на 1300 руб.?

11. Выигрыш.

По облигации государственного займа рабочий выиграл сумму, которая по 5% годовых (простых) за два года и три месяца приносит 1125 руб. прибыли. Свой выигрыш рабочий разделил на три части. Первая из них составляет 60% третьей части, а вторая 2/3 первой. На большую из этих частей он купил новые облигации государственного займа.

Определите, на какую сумму рабочий купил облигаций.

Для учащихся VIII — X классов

12. На вспашке колхозного поля.

При совместной работе двух тракторов разной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. Если бы половину поля вспахал один первый трактор, то при дальнейшей работе двух тракторов вся пахота была бы закончена за 10 дней.

За сколько дней вспахал бы всё поле каждый трактор в отдельности?

13. Сколько лет?

Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них моложе старшего на одно и то же число. Самый старший из них старше самого младшего на столько лет, сколько трём младшим братьям вместе.

Сколько лет каждому?

(Составил А. Маренков, ученик IX класса Богословской средней школы Б. Дворского района).

14. Резервуар.

Резервуар для воды состоит из полушара, диаметр которого равен 14 дм, и цилиндра с таким же диаметром основания.

Какой высоты должна быть его цилиндрическая часть, чтобы весь резервуар мог вместить 1200 л воды?

15. Определить объём конуса.

На нескольких автомашинах привезли для строительства дороги щебень. Когда его ссыпали в кучу, образовался конус.

Определите объём конуса, высота и радиус которого недоступны для непосредственного измерения.

Анализ работы показал, что лучшими и более грамотными являются решения арифметических и алгебраических задач. Слабее решение задач по геометрии, особенно практического содержания.

Положительным явлением было то, что учащиеся сами составляли задачи и присылали в редакцию «Молодая гвардия». Ряд задач, более интересных, был помещён в газете.

Отрадно отметить и то, что некоторые задачи на составление уравнений, предложенные учащимся VIII—X классов, были решены не только алгебраически, но и арифметически.

Городская математическая олимпиада

При Курском государственном педагогическом институте в течение трёх лет проводятся математические олимпиады, в которых принимают участие лучшие учащиеся средних школ города Курска. Каждый год в олимпиадах участвуют 70—80 учащихся девятых и десятых классов. Наибольшее количество участников дают школы № 4, № 3, № 2, № 25.

Целью проведения олимпиады является повышение интереса учащихся к математическим наукам, а также повышение качества общей подготовки учащихся по математике. Кроме того, проведение олимпиад должьо способствовать усилению работы школ с отличниками.

Подготовка к математическим олимпиадам проводилась как в школах, так и в пединституте. Преподаватели математики в школах организовали для участников математической олимпиады дополнительную кружковую работу. Подготовительная работа к олимпиадам проводилась на материале повышенной трудности.

Преподаватели математики средних школ организовали консультации для учащихся, выделенных для участия в олимпиаде.

Руководители пединститута выделили комиссию по проведению олимпиады. Члены комиссии подготовили письмо в школы с указанием сроков проведения олимпиады, её условий; указывалась дополнительная литература для учащихся.

При институте проводилась консультация для руководителей кружков.

Недостатком в работе олимпиады следует отметить то, что задачи давались только повышенной трудности. Задач о стройках послевоенных пятилеток и задач практического содержания не предлагалось.

Выводы.

Занятия в математическом кружке и другие формы внеклассной работы по математике очень полезны не только учащимся, но и учителю. Они помогают творческому росту учителя, заставляют его изучать дополнительную литературу и тем самым освежать, расширять и углублять свои познания в области элементарной математики, её истории, а также правильно математически рассуждать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Б. Поляк, Занимательные задачи, Учпедгиз, 1948.

2. Я. И. Перельман, Занимательная арифметика, «Редакция научно-популярной и юношеской литературы», 1938.

3. Я. И. Перельман, Занимательная алгебра, Госиздат технико-теоретической литературы, 1949.

4. Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, Госиздат технико-теоретической литературы, 1950.

5. И. Депман, Из истории математики, Детгиз; 1950.

6. В. И. Костин, Основания геометрии, Учпедгиз, 1946.

7. В. И. Брадис и А. К. Харчева, Ошибки в математических рассуждениях, 1939.

8. С. А. Пономарёв и Н. И. Сырнев, Сборник задач по арифметике, Учпедгиз, 1951.

9. И. Б. Абельсон, Рождение логарифмов, Гостехиздат, 1948.

10. С. Я. Лурье, Архимед, 1945.

11. Н. П. Юрьев, Счётная техника, Госстатиздат, 1952.

12. А. Н. Колмогоров, О профессии математика, Госиздат «Советская наука», 1952.

13. Б. А. Кордемский и Н. В. Русалёв, Удивительный квадрат, Госиздат технико-теоретической литературы, 1952.

14. В. Коломиец, В часы досуга, Госиздат культурно-просветительной литературы, 1948.

15. С. Д. Клементьев, Чудо-машины, Госкультпросветиздат, 1952.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. Значение внеклассной работы по математике ....... 3

2. Математический кружок..............4

3. Математическая газета...............30

4. Математические вечера...............34

5. Витрины и высказывания великих людей ......54

6. Математическая олимпиада.............56

Г. И. Линьков.— Внеклассная работа по математике

Редактор А. А. Борисов. Технический редактор С. Т. Шикин.

* * *

Сдано в набор 13/IV 1954 г. Подписано к печати 17/VI 1954 г. 84Х108732. 4 (3,28) п. л . Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 40 тыс. экз. А-05401. Цена 1 руб. 05 коп. Заказ № 1571.

* * *

Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6.

Отпечатано с матриц типографии № 3 Ленгорполиграфиздата в 4-й тип. им. Евг. Соколовой Союзполиграфпрома Главизлата Министерства культуры СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.